SEGUNDO BACHILLER FISICA.pdf

Segundo de BachilleratoAntonio Jesús López López Compañia de María Almería · TEMA 0· Repaso de Aspectos Generales  La experiencia de otros años demuestra que resulta conveniente, antes de abordar de lleno el contenido de la física de este curso, hacer un breve repaso de los aspectos más importantes de los del curso anterior, ya que muchos de ellos se nos volverán a repetir en este, sobre todo los más fundamentales. Será un repaso breve que nos permitirá un progreso más efectivo en los contenidos de este segundo curso de física. Comenzamos. R REPASO INICIIAL. Tema 0 0.1. CINEMÁ ÁTICA.  Laa cinemática es esa parte de la física que q se encarga del estudio del movimien nto, pero sin atender a la causaa que lo produ uce. Para ese estudio cinem mático, es nece esario utilizar una serie de magnitudes que q ayudan a definirr conceptos fu undamentales en ese tema. 0.1.11. SISTEMA AS DE REFERENCIA.  La a idea de quee el reposo y el movimiento o son conceptos relativos puede p ponersee fácilmente de d manifiesto media ante ejemplos claros que yaa se abordaro on en el curso pasado. Tam mbién allí se d dedujo que el mejor modo de eviitar ambigüed dades en el estudio, consistíía en prefijar un u SISTEMA DED REFERENCIA, esto es, un n PUNTO DE VISTAA desde dondee realizar el esstudio. En esee punto de refferencia se situaría el observador, de mo odo que NO existenn sistemas de referencia especialmente privilegiados, p y que TODOS son igualmeente aceptable es, pudiendo variarr las ecuacion nes que desccriben el movvimiento, e incluso los reesultados, sien ndo éstos completamente equiva alentes. Es po or tanto el prrimer paso: decidir d un pun ncia, que se considerará “en nto de referen “ reposo”. Escrup pulosamente hablando, NO O puede deccirse que exista nada fijo, por lo que toda la eleccción de tales sistem mas de referencias serán siempre s aproximaciones. De D hecho, ess posible incluso elegir SISTEMAS DE REFER RENCIA EN MOVIMIENTO M O CONSTANTTE (Sistemas de d referencia inerciales) quue NO ofrece en diferencia dinám mica respecto de los que esstán en reposo o, como seguramente recorrdarás del currso pasado. Lo os SISTEMAS DE RE EFERENCIA NON INERCIALE ES, son los quue están afecta ados de aceleeración y en eesos casos, las leyes de la física hay que “reinterpretarlas”.. Usaremos lo os sistemas de referencia inerciales, i rep presentados habitualmente media ante un sistema de ejes carteesianos. 0.1.22. POSICIÓ ÓN y VECTOR DE POSIC CIÓN.  Elegido el sisttema de referencia, definimos la posicción como la distancia a la que está á el cuerpo móvil m respecto de aquél. En su forma más genera al, la posición de un cuerpo puedee conocerse mediante m las coordenadas cartesianas c (x, y , z) del cuerpo, de modo m que el módulo m del vector que une ese punto (x,y,z) con el origen dee coordenada as, nos dará la ncia a que se encuentra el cuerpo. A este vector se distan e le denommina VECTOR R DE POSICIÓ ÓN. Evidentem mente, sabremmos que un u cuerpo está á en movimien nto respecto de d un sistema de referencia elegido, cuando CAM MBIEN esas co oordenadas, esto e es, cu c el tiempo,, de modo que el resultado de uando varíen con unir las distintas posiciones del cuerpo o que se está e movimmiento, nos daará LA TRAYECCTORIA. En estos téérminos, el qu ordado como vector de possición del cuerpo móvil pue ue hemos reco ede escribirse genérricamente commo v v v v r (t ) = x(t )i + y (t ) j + z (t )k en do onde sus trees coordenad das varían co on el tiempo o, como corrresponde al objeto móvvil. Un caso particularmente interesante es cuando c el móóvil se despla aza en el planno, en cuyo caso es fácil obtener sus ecuacciones paraméétricas y con ellas, la de la trayectoria. Sólo con la a ecuación de la trayectorria se puede reconocer si el movvimiento es recctilíneo o no. (Recordar del curso pasado o cómo se haccía esta operacción). Es cierto que también puede hacerse el estudio del movimiento de d una forma ESCALAR. Para ello, suele hablarse de un PUN NTO de REFERENCIA, esto es, un punto sobre la mism ma trayectoria respecto del cual c medir la distan ncia y así la po osición. Se disstinguen posicciones positiva as para cuand do el móvil se sitúa a la derecha de ese punto, y negativas cuando está á al a izquierdda. Al ser este método menos general que el vecto orial, solo lo usaremmos cuando la a situación física admita una simplificacióón adicional. Compañia de María. Almería Página 2  0.4 4. la de aceleración partee de la “aceleración media”” para tras lleevarlo al límite e. cuyo módulo puede p reconoocerse como “rapidez”. y su sentido es el del movim miento del cueerpo.  Con ayudaa del vector deesplazamiento o (concepto deel curso pasaddo) se define la a idea de velo ocidad media y.3. su exp presión vectorrial. Sentido: Hacia el centro de la curvatura. según n v v v v Δr dr v v v = limm = = vx i + v y j + vz k → Δt Δt →0 dt Por la prop q de esto see dijo en el curso pasado (e pia definición anterior. A rema arcar. se mide en m//s. “ Ya que la a velocidad ess un vector. por lo tanto. Igual que e se hizo con la ideea de velocidaad. obtener la acelerración instantá ánea.la dee velocidad in nstantánea y sus s características. Ello nos indicará quue tal movimieento es un ejemplo de movimiento NO un niforme. dado qu ue la aceleracción mide loss CAMBIOS del vector veelocidad. Almería Página 3  . ACELE ERACIÓN NO ORMAL o CEN NTRÍPTEA: Mid de los cambioss en la direcció ón del movimiento. que q en el sistema internacio onal. está el hechoo de que “la velocidad v es una magnitud d vectorial”. La velocid dad instantáneea se define como c la deriva ada matemática del vector de posición. puede existir tal u cambio en la dirección/ssentido de esee vector velocidad. VELOCID DAD. v dv v at = u t dt Módulo: derivada respecto del tiempo o de la rapideez. De hecho un es un vector d dirigido hacia el centro de giro (V Ver figura). R REPASO INICIIAL.1. existiend do lo que se e denominan componentes intrínnsecas de la aceleración que reflejan de forma separa ada los cam mbios que se s producen bien en la a rapidez (aceleeración tangencial) o en la dirección (aceleración ( centrípeta) c definiddas del modo siguiente: ACELE ERACIÓN TA ANGENCIAL: Mide M los cam mbios en la ra apidez del movim miento. Dirección: tangennte a la trayecctoria Sentido: el del movimiento nte el vector unitario Precisamen u ut es un u vector tange ente a la trayeectoria. v v2 v an = u n R Módulo: el cua adrado de la a rapidez entre el radio de giro. por lo que cambio con que “ssólo “ exista un q conviene recorddar que la exxpresión anteerior nos calccula la ACELE ERACIÓN TO OTAL.1. ACELERA ACIÓN  Los CAMB BIOS en la velo ocidad se mid den mediante el e concepto dee ACELERACIÓ ÓN. Es posible que la expressión vectorial de d la velocida ad (vector) sea a una expresió ón dependiente e del tiempo. El módu ulo de este vector nos dará la rapidez. definida a como la deriivada de la ve elocidad. Tema 0 0. possteriormente –llevándolo – al límite. del siguiente modo o: v v v v Δ v dv v v a = limm = = axi + a y j + az k Δt → 0 Δ t dt Sin embarrgo. y reccordando lo que en el “salto al límite””) la velocida ad es un vector tangente en e cada punto a la trayecctoria del móvvil. (No o se recuerdan aquí las demostraciones visttas el curso pa asado) Dirección:: perpen ndicular a la aceleración a tangencial. Compañia de María. haay que recorda ar que a la ho ora de referirnos a él es preciso conocer. dadas las características tan peculiares de este tipo de movimiento. resulta de suma utilidad recordar la magnitud “posición angular” en radianes (φ) definida como ΔS Δθ = R Si el movimiento circular se recorre con rapidez constante. Página 4  . Ya que todo cuerpo en movimiento circular “barre” un ángulo con el radio que lo une al centro de giro. REPASO     INICIAL. si bien hasta ahora los únicos movimientos analizados son aquellos con aceleración CONSTANTE. Con ella. el ángulo barrido en un mismo tiempo será siempre el mismo. la expresión v v v 1v r = r0 + v0t + at 2 2 Es SUMAMENTE IMPORTANTE tener claro que la ecuación general anterior es UNA ECUACIÓN VECTORIAL. ya que en ellos existe un continuo cambio en la dirección del movimiento.1. existen otras magnitudes que ayudan a describirlo mejor: son las magnitudes angulares. v v v a = at + a n a = at2 + an2 0. que sin detenernos ahora en su “demostración” tiene de aspecto general. Tal análisis obedece a un planteamiento matemático a partir del cual es relativamente fácil obtener conclusiones de interés acerca de las propiedades del movimiento en cuestión. hará falta definir la aceleración angular (α) como dω α= dt de modo que la ecuación general (escalar) de los movimientos circulares podía escribirse como 1 θ = θ 0 + ω0t + αt 2 2 pudiéndose deducir a partir de ella los casos más generales de movimientos circulares (“uniformes” o no). es posible analizar movimientos que se producen en una.5. abordar el estudio de los movimientos circulares con ecuaciones ESCALARES DEL MOVIMIENTO. Resulta muy conveniente en aras de la simplicidad. Por sus propias características. dos y tres dimensiones. la ecuación del movimiento es una ecuación VECTORIAL. haciendo uso de las derivadas. Sin embargo. es posible obtener la velocidad y/o la aceleración. Esta operación parte del planteamiento de la que da en denominar ecuación del movimiento.  Por tanto la suma VECTORIAL de estas dos componentes da la ACELERACIÓN TOTAL que antes hemos definido. por lo que la rapidez angular ( ) se define como dθ ω= dt y de no ser así. Un caso particular de interés de movimientos es el MOVIMIENTO CIRCULAR.  Todas las magnitudes y conceptos anteriores se plasman en un “método” para analizar y estudiar el movimiento de los cuerpos. y mediante el uso de las derivadas. todos los movimientos circulares son ACELERADOS. y por tanto. En su forma más completa. ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO.   Tema 0. existe aceleración centrípeta. A partir de esa ecuación. de forma que si la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es cero. La TERCERA LEY DE NEWTON es casi una consecuencia de la definición dada del concepto de fuerza y del desarrollo anterior. si un cuerpo NO experimenta variaciones en su estado de movimiento. que sin entrar en las demostraciones son: S = θ ·R v = ω ·R at = α ·R a N = ω 2 ·R 0. Entendemos físicamente por Fuerza. Es una MAGNITUD VECTORIAL definida por el producto de la masa por la velocidad v v p = m·v Por lo tanto. la derivada dp/dt = 0. La magnitud que sirve de relación es la “masa inercial” de modo que la expresión más general de esa relación constituye la segunda ley de Newton que en seguida recordaremos. Ya que esas variaciones son provocadas (“por definición”) por una o varias fuerzas sin contrarrestar. DINÁMICA. Por otro lado. Eso sí. la magnitud (vectorial) que nos mide la intensidad de una interacción entre DOS CUERPOS.  Si la Cinemática estudia el movimiento sin atender a la causa que lo produce. precisamente de forma más genérica. REPASO INICIAL.2. Puesto que existe una relación entre fuerza y VARIACIONES en el estado de movimiento de los cueros es fácil intuir la relación que ha de existir entre Fuerza (resultante) y esa variación de movimiento (medida mediante la aceleración). DOS tipos de efectos: DEFORMACIONES (incluso a nivel microscópico) o VARIACIONES en el estado de movimiento de los cuerpos. De este modo. El concepto fundamental de la dinámica es el concepto de FUERZA (o interacción). lo que supone tomar todas las precauciones necesarias que ello conlleva. Antes conviene hacer referencia a una importante magnitud con estos conceptos relacionados: EL MOMENTO LINEAL (o cantidad de movimiento). la segunda ley de Newton se expresa como una ecuación vectorial en el sentido v dpv ΣF = dt de modo que si la masa permanece constante esa expresión nos conduce a la conocida ∑ F = m a La Ley de Inercia a la que antes hemos aludido. sólo la ejercen. a variaciones en la cantidad de movimiento. Así por tanto. Las variaciones del movimiento de la que antes hablábamos quedan referidas. Hay que entender que por interacción se quiere especificar ACCIÓN MUTUA de ahí que físicamente no tenga sentido hablar de “la fuerza de los cuerpos” ya que éstos NO tienen fuerza. recordamos que esa acción-mutua a la que llamamos fuerza puede ejercerse bien a distancia o bien por “contacto” y que puede llegar a producir en los cuerpos que la padecen. Tema 0 Para finalizar este repaso. de un modo general queda expresada en términos de cantidad de movimiento. esto es que p ha de ser constante. y que para cada una de ellas se cumple la ley fundamental de la dinámica (segunda ley de Newton). p posee la misma dirección y sentido que v. habrá que recordar las relaciones entre las magnitudes angulares y las lineales. hay que recordar que esas dos fuerzas nunca estarán contrarrestadas. (si m = constante) que p sea constante implica que lo sea v. pues se hallan aplicadas en cuerpos diferentes. Si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre otro cuerpo B (FAB) éste cuerpo B ejercerá otra fuerza exactamente igual en intensidad sobre el cuerpo A (FBA) de igual dirección y sentido contrario. De hecho. cuando analicemos situaciones dinámicas habrá que buscar siempre un cuerpo que “ejerza” la fuerza y otro que “la padezca”. se dirá que la RESULTANTE de las fuerzas que actúan sobre él es cero. y entonces bien estará en reposo (relativo) o en Movimiento Uniforme (Ley de Inercia). No hay que olvidar que las ecuaciones y conceptos que aquí se recuerdan son de carácter vectorial. parte de la Dinámica se encarga de ello. De este Página 5  . Entender este primer aspecto resulta crucial. a las fuerzas que surgen como consecuencia “del contacto” entre cuerpos en movimiento relativo. 0. Esta ley suele expresarse de modo matemático como: v v F = − Kx u siendo u el vector unitario correspondiente. por supuesto) de estas magnitudes. esta tercera ley conduce (no procedemos a su demostración que se hizo en el curso pasado) a la conocida LEY DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO. escalar).   Tema 0. En las que nos centramos más son en las fuerzas de rozamiento entre superficies.  modo. y así un W > 0 indica que el sistema está Página 6  . el de Energía. sino que es una magnitud que sirve para medir LAS ENERGÍAS TRANSFERIDAS entre sistemas. se puede escribir: v v 1 W = F · dr = F · dr · cosα = ΔEc = Ec F − EcI = m · (v F2 − v I2 ) 2 si bien conviene recordar que en la ecuación anterior (conocida como el Teorema de las Fuerzas Vivas) la expresión Ec = ½ m· v2 recibe el nombre de ENERGÍA CINÉTICA. Aunque no resulta fácil definir esta magnitud. podemos relacionarla con los cambios que se producen en la Naturaleza. en donde la cantidad de movimiento total de todo el conjunto ha de permanecer invariable (en ausencia de fuerzas exteriores).2. lo que esta ley exige es que NO cambie la SUMA (vectorial.3. de modo que si un sistema está “ganando” energía es porque hay otro “que la está perdiendo”. lo que nos permite hacer una amplia clasificación y definir (recordar) unos conceptos y magnitudes que nos permiten evaluar las VARIACIONES de energía (transferencias) entre cuerpos.  Son las ejercidas por muelles o resortes. Existen un grupo de fuerzas “de contacto” que se vieron el curso pasado y que merece recordar aunque sea de pasada. depende de la naturaleza del resorte. es al TRABAJO MECÁNICO (W. recordando que el valor de esa fuerza depende de la naturaleza de esas superficies (NO del valor de esas superficies) y de la “fuerza que comprime” a ambos cuerpos.1. La primera magnitud que nos permite evaluar las transferencias energéticas debidas a la existencia de fuerzas. que sin entrar en las demostraciones que ya se vieron en el curso pasado.2. según la cual esa fuerza ejercida por el resorte se opone a la deformación (x) con un valor proporcional a éste.2.  Vamos a finalizar este rápido repaso con uno de los conceptos más productivos de la física. y tienen gran importancia en los modelos de física del estado sólido. 0. A propósito del concepto de trabajo conviene remarcar que éste NO es una forma de energía. La ley que permite conocer esta interacción es la conocida como “ley de Hooke”. la cantidad de energía permanece constante. Dependiendo de la existencia o no de “fuerzas disipativas” las transferencias de energía ocurren sin “degradación en calor” o con presencia de éste en un valor igual a las diferencias energéticas “recibida y transferida”. REPASO     INICIAL.  Genéricamente (y en primera aproximación) se entienden por tales. FUERZAS ELÁSTICAS. TRABAJO y ENERGÍA. FUERZAS DE ROZAMIENTO. La constante de proporcionalidad. Ojo: pueden variar las p de cada cuerpo individual. Su valor máximo queda calculado por la expresión Fr ≤ µ N 0. de modo que una característica fundamental de esos intercambios es que en ellos. y cuando la fuerza que actúa sobre el cuerpo es constante. si dos cuerpos están sometidos a su mutua interacción. las únicas fuerzas que actúan sobre los cuerpos NO son sólo fuerzas de este tipo.e. porque hacen que bajo su acción la energía mecánica del sistema (aislado) se mantenga constante. Dicho de otro modo: un cuerpo NO tiene trabajo (del mismo modo que tampoco tiene CALOR: el calor –recordémoslo de paso. de intercambio de energía entre dos cuerpos como consecuencia de sus diferencias de energía interna) Dentro de poco veremos “cómo hay que retocar” esta expresión para el caso de fuerzas variables. tiene de valor U = mgh. vista el curso pasado) W = U1 – U2 = . Matemáticamente expresado. Bajo su acción. y exige una generalización. a este tipo de fuerzas se las denomina FUERZAS CONSERVATIVAS precisamente por ello. rozamiento) para las que no se cumple el principio anterior. Veremos en otro tema cómo se altera esta ecuación. La fuerza gravitatoria es un ejemplo (no el único) de este tipo de fuerzas tan fundamentales en la física. igual que W. Tema 0 “ganando” energía. En su primera aproximación (y para la fuerza gravitatoria) la energía potencial gravitatoria debida a los cuerpos a pequeñas alturas. cuando un cuerpo está sometido a la acción de este tipo de fuerzas tan peculiares. sino que existe una fracción más o menos importante de esa energía mecánica inicial que “se pierde” en calor. Página 7  . Entendemos por energía mecánica como la suma de la energía potencial y cinética de un cuerpo. En otros términos: la transferencia energética NO es íntegra de un sistema al otro. como energía son magnitudes escalares. Precisamente la cuantía de ese calor viene dado por el valor del trabajo mecánico realizado por esas fuerzas NO conservativas.∆U Esto es. el trabajo que realizan estas fuerzas se invierte en DISMINUIR la energía potencial. sino que hay otras (disipativas. el trabajo realizado por estas fuerzas puede escribirse como (sin demostración. Recuerda que tanto trabajo mecánico. Por ello. REPASO INICIAL. Así. el trabajo realizado por las fuerzas NO CONSERVATIVAS se invierte en variar la energía mecánica: Wnc = ∆E Esto es tanto como decir que bajo la existencia de fuerzas NO conservativas.es un proceso. Existe un grupo importante de fuerzas (llamadas FUERZAS CONSERVATIVAS) que tienen la característica principal de que el trabajo que realizan NO depende del camino que sigan. E = U + Ec. mientras que si W < 0 significará que lo está perdiendo. si previamente se ha señalado una referencia para “h”. como es fácil demostrar (ya se hizo el curso pasado) el trabajo total en un ciclo cerrado es nulo. A esa función se la denomina ENERGÍA POTENCIAL. es decir que Ei = Ef. la Energía mecánica Inicial de un sistema se “reparte” en calor y en “energía mecánica final”. p. sino sólo del valor que tiene una función matemática en la posición inicial y en la posición final. En estos casos donde las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son conservativas y NO conservativas. Evidentemente. LA ENERGÍA MECÁNICA SE CONSERVA.  c) 12.  Determinar:  a)  la  distancia recorrida sobre el plano hasta que se detiene.  A)  ¿Cómo varía el módulo de la velocidad de las partículas del disco en función de la distancia al eje de giro?.25 s. c) en el caso de que el bloque rozase con la mesa. 10 m/s     7.    8. con coeficiente de  rozamiento  dinámico  de  0. B) ¿Son elásticas las colisiones?  Solución: a) 6.2. b) 1200 Julios    3. b) 1.5 kg se mueve en sentido opuesto sobre la misma recta. Se lanza hacia arriba un bloque de 1 kg.  en  donde  el  coeficiente de rozamiento es 0. Un objeto se mueve con una velocidad v = 2ti – 5j. una bola e papel. situada a 1.  ¿Qué  velocidad  angular  debería  tener  la  Tierra  para  que  un  objeto  en  el  Ecuador  no  tenga  peso?  ¿Cuántas  horas  6 ‐2 debería tener el día para ello? Datos: Radio de la Tierra 6. inicialmente en reposo sobre una mesa sin rozamiento. a) ¿cuál es el valor de esa fuerza?.  Una  tercera  partícula de 1.41 m/s.0  metros de distancia lanzamos con la mano. A) Deducir la rapidez de la tercera partícula para  que las tres partículas queden en reposo tras la segunda colisión.43 metros.269 m.  Solución: 2i. a) ¿Cuál es la velocidad y la posición de la  pelota después de 2 s y de 4 s?. b) Si se duplica  la velocidad angular.8 m/s2  Solución: a) 0.30. Una segunda partícula de 1 kg se mueve a 4  m/s  en  la  misma  dirección  y  sentido. ¿cómo cambia la frecuencia del movimiento? ¿Y el período?  Solución: a) aumenta a medida que nos alejemos del centro. b) No    6.  Para  ello  se  le  aplica  una  fuerza  vertical  constante. 156 (SI)    10.   Tema 0.  La  rapidez  inicial  es  2  m/s  y  el  coeficiente  de  rozamiento  tiene  de  valor  µ=  0. a) ¿Cuál es la velocidad final  del proyectil y del bloque?.b) Al cabo de 10 segundos.  Un  bloque  de  masa  m  =  2  kg  se  lanza  con  una  rapidez  de  6  m/s  por  una  superficie  horizontal  rugosa. REPASO     INICIAL.  Tras  la  colisión  ambas  permanecen  unidas. b) 1. A 40 metros del suelo su rapidez es 4 m/s.3 N/m.37∙10  metros y tomar el valor de g igual a 9.  Desde nuestro  escritorio. b) la velocidad cuando se encuentra a la mitad de su recorrido. choca con el extremo libre de un resorte. b) 0. b) 333.  1.49 metros    5.  Una  papelera  de  40  cm  de  altura  se  encuentra  en  un  rincón de  la  habitación. 1. colocado horizontalmente y fijo por el otro extremo. c)  la energía “mecánica perdida” cuando ha llegado a dicho punto intermedio. colocado verticalmente para que la compresión fuera la misma que en  2 el apartado anterior.  Un  cuerpo  de  3  kg  que  descansa  sobre  el  suelo  se  eleva  verticalmente. b) 0.02.67 m/s. calcula: a) la aceleración instantánea. 40 m. c) 0.  b)  la  altura  desde  la  que  debería  dejarse caer el bloque sobre el extremo del resorte.6 m/s. 2i. c) las aceleraciones tangencial y normal a los 2 segundos. Calcular: a)  la  compresión  máxima  del  resorte  y  el  trabajo  total  realizado  en  dicha  compresión. con la intención de encestar  limpiamente.240∙10  rad/s.40 metro del suelo.  PROBLEMAS DE REPASO  DE SELECTIVIDAD. Después de recorrer una distancia de 4 metros. b) ¿Qué trabajo realiza esta fuerza  hasta que el cuerpo alcanza los 40 metros?  Solución: a) 30 N.8 ms   ‐3 Solución: a) 1. ¿Con qué velocidad (rapidez) debemos lanzar la bola hacia la papelera si el ángulo de disparo es de 30º?  Solución: 4.6 m/s    9. 10 m/s(hacia abajo) .  de masa despreciable y de constante elástica k=200 N/m . b) el período se reduce a la  mitad y la frecuencia se duplica.41 horas    Página 8  .25.342 J    2. b) ¿Qué velocidad y aceleración tiene en el punto más alto de su trayectoria? Dato g= 10  m/s2  2 Solución: a) 10 m/s(hacia arriba) . b) la aceleración media entre  los instante 2 y 3 segundos. el conjunto proyectil‐bloque choca contra un muelle y lo comprime  20 cm.  situado  a  3. a lo largo de la recta de máxima pendiente de un plano inclinado 30º con el  plano  horizontal. Dato: g= 9.    4.  ¿cuánto  tiempo  habría  transcurrido  hasta  chocar  con  el  muelle  desde  el  momento  del  impacto con el proyectil?  Solución: a) 6. Dato g= 10 m/s   Solución: a) 0. Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota con una rapidez de 30 m/s. Un proyectil de 10 gramos de masa se mueve horizontalmente y en línea recta con una rapidez de 200 m/s y se incrusta  en un bloque de 290 gramos de masa. ¿cuál es la constante elástica del muelle?. Una partícula de 2 kg se mueve sobre una línea recta horizontal a 3 m/s.  de  forma  que  colisionan.  Un  disco  de  radio  R  gira  con  velocidad  angular  ω  alrededor  de  un  eje  perpendicular  a  él  que  pasa  por  su  centro. 40 m. Tema 0. Se  pide:  a)  módulo  de  la  fuerza  de  rozamiento  en  el  plano  horizontal  y  en  el  plano  inclinado.01 kg con una rapidez de 60 m/s en dirección horizontal. A) Dibujar un esquema de todas las fuerzas que actúan sobre el bloque y explicar el  balance trabajo‐energía en un desplazamiento del bloque de 5 m.    16. Tras recorrer 2 m queda unido al extremo libre de un resorte (K = 200 Nm ) paralelo al plano y  fijo al otro extremo. Calcular la variación de energía cinética en un desplazamiento de 0.            Página 9  . Un proyectil de 0. desde una altura h sobre un resorte sin masa apreciable. B) Explicar los cambios de energía del  bloque desde que inicia el descenso hasta que comprime el resorte. (JUNIO 1999) Un bloque de 5 kg desliza con velocidad constante por una superficie horizontal mientras se aplica una  fuerza de 10 N. b y c?  Solución: a) 655.  Un  bloque  de  50  kg  asciende  una  distancia  de  6  metros  por  la  superficie  de  un  plano  inclinado  37º  respecto  la  horizontal. REPASO INICIAL.2 kg inicialmente en reposo se deja deslizar por un plano inclinado 30º sobre la horizontal  ‐1 con rozamiento (µ = 0. Siendo el coeficiente de rozamiento. b) 4 m/s. e indicar el  valor de cada fuerza. b) rapidez mínima del proyectil para que el bloque describa una circunferencia completa.  b)  la  variación  de  su  energía  potencial  . ¿con qué aceleración desciende el bloque?. d) a la energía comunicada por la fuerza F.  11.16 J. El coeficiente de rozamiento dinámico (cinético) entre el cuerpo y las superficies es 0. ¿Qué velocidad inicial habría de tener un proyectil para lograr el mismo alcance que otro con mitad de masa. B) Dibujar en otro esquema las fuerzas que actuarían  sobre el bloque si la fuerza que se le aplica fuera de 30 N en una dirección que forma 60º con la horizontal.2). Un cuerpo de 4 kg de masa viene deslizando por una superficie horizontal que se continúa con otra superficie inclinada  30º con respecto a la horizontal.45 J. siendo  iguales los ángulos de lanzamiento?  Solución: la misma velocidad inicial.    12. (JUNIO 2003) Un bloque de 0. aplicándole una fuerza de 490 N.4 J.  Calcular:  a)  altura  a  la  que  asciende  el  bloque  tras  el  impacto.12∙10‐3 metros. Se deja caer un bloque de masa m.15. calcular: a) la variación  de  energía  cinética  del  bloque.5 m. b) 2835.    14. calculando la máxima compresión de éste. 5. c) 479. Repetir las cuestiones para el  caso de existir un coeficiente de rozamiento μ con la superficie de deslizamiento.    17. d) ¿A qué tiene que corresponder la suma de los términos calculados en los apartados a.635 m    13. inicialmente en reposo. paralela a la superficie. c) altura máxima que alcanza. b) 1805.  Solución: a) 1.  b)  rapidez  con  que  inicia  el  ascenso por el plano inclinado. se incrusta en un bloque de 4 kg suspendido  en  un  punto  fijo  mediante  una  cuerda  de  1  metro  de  longitud.c)  el  trabajo  realizado  contra  la  fuerza  de  rozamiento.  Cuando el cuerpo se encuentra a 3 metros del  punto donde comienza el plano inclinado lleva una rapidez de 5 m/s.  Solución: a) 6 N. pues el alcance no depende de la masa.2 N.5 m/s    15. c) 0. paralela al plano. A) Diseñar en un esquema todas las fuerzas que actúan sobre el bloque cuando comienza el descenso  e indique el valor de cada una de ellas.  cuya constante recuperadora es k. Hallar la máxima distancia "y" que se comprimirá el resorte. Página 10  . (11’65.2) hasta el vértice O en el que deja de tener contacto con el plano. (Tomar g=9.3 kg estando el punto de impacto a 20 m de distancia horizontal y 1. REPASO INICIAL.: 11.5 m energía perdida en el mismo. 31.92 N 3. La flecha sale con una velocidad inicial de 50 m/s haciendo una inclinación de 30º con la horizontal y el viento produce una aceleración horizontal opuesta a su velocidad de 2 m/s2. la masa m1 rebota hasta alcanzar la posición C a altura C h del suelo. Calcular: a) La rapidez del saco y de la bala inmediatamente después del choque. b) La rapidez de la bala antes del choque y la 1.5 kg de masa comienza a descender por una pendiente inclinada 30º respecto de la horizontal (μ = 0. B) Hallar el punto de impacto del cuerpo en el plano inclinado 45º.89 m 6.5 m Después del choque el saco se eleva hasta que la cuerda hace un ángulo de 30º con la vertical.4 ms-1. Se deja caer desde la posición A.8 m/s2) Sol. donde Guillermo Tell va a intentar ensartar con una flecha una manzana dispuesta en la cabeza de su hijo a cierta distancia d del punto de disparo (la manzana está 5 m por debajo del punto de lanzamiento de la flecha). punto B.82 ms-1. Desde 5 m de altura respecto al plato se deja caer un cuerpo de 4 kg que se adhiere a él. C) Hallar el tiempo de vuelo T del bloque (desde que abandona el plano inclinado hasta el punto de impacto).02m 2. Un ascensor de 3 m de altura sube desde el reposo con una aceleración de 1 m/s2.6 y 4.4 ms-1.: 0. Determinar: a) La rapidez de m1 al llegar a la posición B antes del B choque y la tensión de la cuerda en ese instante. Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo del ascensor. Al llegar al punto más bajo de su trayectoria.5 m. Una bala de masa 0. b) 0. ¿A qué hora volverán a coincidir? Sol. Tomar g como 9. c) 290 J. Cuando se encuentra a una cierta altura se desprende la lámpara del techo. Las agujas horaria y del minutero de un reloj coinciden exactamente a las 12:00 h en punto. 4 kg 0. Sol.6 J c) 47. A) Determinar la velocidad del bloque en dicha posición.8 m/s2. (g = 9. c) La energía cinética que pierde m1 en el choque. b) 51. b) Las velocidades de m1 y m2 h después del choque. Como consecuencia del choque. Un bloque de 0.5 m de larga y en reposo. Calcular la máxima compresión del resorte. Hállese la altura máxima que alcanza la flecha medida desde el punto de lanzamiento. mientras tanto la bala describe una parábola.15 ms-1. Un resorte vertical de constante K=1000 N/m sostiene un plato de 2 kg de masa. atada a una cuerda sin masa de longitud 1. tal como se indica en la figura. d) 0.3 kg y velocidad desconocida choca contra un saco de 4 kg suspendido de una cuerda de 0.18 s 7. c) La tensión de la cuerda cuando esta hace 10º con la vertical. 201.23 m.14 y 36. Tema 0. 20 m Solución: a) 1. El péndulo simple de la figura consta de una masa puntual m1 = 20 kg. -13’65).71 s 5. d) La altura h al que asciende la masa m1 después del choque.3 s 4.8 m/s2) Solución: a) 5. Nos encontramos en la antigua Suiza. que se encuentra en reposo O en esa posición sobre una superficie horizontal sin rozamiento. 30º 0. 197. situado 2 m por debajo de O.: a las 13h 05 min 27. Calcular la distancia horizontal d a la que deberá estar el hijo para que pueda ensartar la manzana. se produce un choque A perfectamente elástico con otra masa m2 = 25 kg.  Ejercicios Tema 0 1.43 m/s.5 m por debajo. Sol. 1. 1 N. El segundo tramo discurre por un plano inclinado tangente a la circunferencia en el punto inferior del arco. 60. Una pista de patinaje tiene la forma indicada en la figura.86 m/s.p. de modo que en su punto más bajo de la trayectoria (punto A) impacta (sin que rebote y M m quedando en reposo) sobre otro cuerpo de masa m = 1 kg que se mueve hasta B con rozamiento (μ = 0. Calcular cuánto se comprime el muelle si se sabe que el ángulo del plano es de 10º. B) Expresa la rapidez del vagón en función del tiempo. Calcular: a) El alargamiento del resorte.12) y sube hasta C sin A B rozamiento. C. 2.m. tras rebotar.: 2. En cierto momento comienza a llover y el contenedor se llena a razón de 5 L/min. b) El ángulo que forma la altura del cono con la generatriz. la distancia BC son 4 m y AB = 2. Se suelta el dispositivo de sujeción y el bloque recorre el camino ABCD sin rozamiento. Sol: 1029 y 594. A) ¿Con qué velocidad se moverá al cabo de una hora y media de incesante lluvia (se desprecia el rozamiento). Un vagón que dispone de un contenedor abierto por la parte superior tiene una masa total de 1250 kg y se mueve a una velocidad de 30 km/h sobre una vía recta. un objeto de 1 kg está comprimiendo 2 cm un muelle (K = 520 N/cm) de modo que desde ahí se suelta y recorre C el tramo rugoso AB de 30 cm de longitud (μ = 0. Sol. b)La reacción del raíl cuando pasa por el punto más alto. d) ¿Qué tiempo Β empleó en caer al suelo desde C? O 14. 39.5 m. En la posición A de la figura. Determinar: A) La reacción de la pista en A y B.2 º 10. B) La distancia que habrá comprimido el muelle cuando el patinador se detiene por completo. Lo hacemos girar como un péndulo cónico con una velocidad angular constante de 60 r. Tema 0 8. Solución: a) 22 km/h 12. cae a 15 metros de ella. Sol. 2. c) Una vez que sale de la pista por el punto C ¿cuál es la ecuación de la Α trayectoria que sigue el objeto hasta que llega al suelo?. El punto A hace un ángulo de 30º con la horizontal. Calcular a) ¿con qué rapidez llega el objeto al punto B?. (Admitir que el choque Mm es perfectamente elástico) Página 11  . 15º C Se lo separa 15º de la vertical y se lo suelta.02 m. 5 N 11.12) para completar el tramo curvo y liso BC sin rozamiento (distancia BC = 0. El primer tramo lo constituye un arco de 60º de una circunferencia de 30 m de radio. b) ¿con qué rapidez llegará al punto C?. A lo largo de la pista no hay rozamiento. La longitud de la cuerda son 140 cm. y B es un punto del plano inclinado.86 m/s. Enganchamos una partícula de 1 kg a un resorte de masa despreciable cuya longitud natural es de 48 cm y la constante recuperadora 10 N/cm.63 m 9. C y D. La pelota golpea horizontalmente contra la pared y. En un partido de pelota vasca. Calcular: a) La velocidad del bloque cuando pasa por B.: 0. En el tramo plano se coloca un muelle (parachoques) de constante k = 40 N/m cuyo extremo libre coincide exactamente con el final del tramo circular. REPASO INICIAL. un pelotari golpea desde 20 metros una pelota de 200 gramos que sale despedida de su mano (a 1 metro sobre el suelo) formando un ángulo de 30º sobre la horizontal.23 kg m/s 13.29 m/s.6 m) al final del cual el cuerpo queda libre y escapa del circuito. ¿Qué impulso ha ejercido la pared sobre la pelota? Solución: 6.5 cm. Un cuerpo de masa M = 9 kg forma parte de un péndulo que está sujeto al punto O de la figura. Un bloque de 200 g permanece en reposo en A cuando el muelle de constante 500 N/m está comprimido 7. donde existe un muelle de constante K = 770 N/m con el que choca. Un patinador de 70 kg de masa se deja deslizar con velocidad inicial nula desde el extremo superior del primer tramo circular siendo detenido finalmente por la acción del resorte. etcc.. Elipse Lo o propuesto por p Copérnico o. son una desscripción cineemática del movimiento planettario y se enun ncian del siguiente modo: I. lo os ciclos de las estaciones. qu ue aquí hallaráá estrellas y solees que acompañ ñan al cielo. como resultado r adoso de las mediciones del análisis cuida O astron nómicas de Tyycho Brahe (1546-1601). XLII) D Desde el commienzo de la civilización. los grriegos. · TE EM MA 1· 1 Inteeraccción G Gravitaatoriaa  "Entre vuestra merced.. de enominadas leyes de Kepler.enn este paraíso.. EL QUIJ JOTE. y no la tierra. En realidad. No fue hasta la llegada de Niccolás Copérniico. En esta línea. Los planetas describen órbitas elípticas. Estas “nuevvas ideas” coperrnicanas. Lo que en realidad r propuuso Copérnicoo fue Epiciclos de Ptolom meo al el movimiento de otro sistema de refeerencia situado en el sol. alteeraban el ord den de colo ocación de las órbitas planettarias con resspecto al sol. como el ceentro de giro... uno u de los temass que más ha intrigado al hombre ha sido o el estudio y conoocimiento de los cielos. ayudó al asttrónomo Johannes Kepler (1571-1630) en el descubrim miento de lass leyes del movimiento A F F' B planettario. EstasE leyes. e estan ndo el sol en uno de d sus focos.. esta suposición s noo explicaba satisfa actoriamente el movimien nto observaddo de los planettas.. ya .. y la geom metría del movvimiento planeetario se hizo más y más compleja. Cap.. aquí ha allará las armass en su punto y la hermosura ene su extremo" (Miguel de d Cervantes (154 47-1616). N Nicolás Copérnico (1473--1543) busca aba una solu ución más simplee al movimien nto planetario o y llegó a proponer el so ol. que consid deraban al ho ombre como el e eje de todo. supusieron a tierra era el centro geométrico del Universo y que que la todos los cuerposs celestes see movían alrrededor de nuestrro planeta. Sin embargo. esta idea habíah sido propu uesta mucho antes a por el astrónomo a grieego Aristarco de Samos alredeedor del siglo o tercero anttes de Cristoo. loss movimientoss estelares y planettarios. teniendo a la tierra en su ceentro. H Hasta entrado o el siglo XV VI... OF ' OF excentrici dad d e= = ≤1 OB OA Esta primera ley supuso unu primer cambio en el esquema del e ≈ 0 ⇒ órbita circuular funcio a que se consideraba el círculo la figura onamiento de los cielos. cuando la a situación com menzó a varia ar. reespecto al cua los plaanetas tenía una u descripción más simple. las ideas predominante es en este terreno eran las mismas que las del siglo II: la as debidas al astrónomo alejan ndrino Ptolomeeo (teoría de los epiciclos). la suceesión del día y la noche. La a primera hippótesis relacionada con el movimiento planettario consistió en suponer que los planetas describían círculos concéntricos. barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales. La secuencia de su razonamiento era el siguiente: I. Los cuadrados de los periodos de revolución de los planetas son proporcionales a los cubos de las distancias promedio de los planetas al sol (r). pero que implica al Momento Angular y que vamos a deducir ahora. determina y permite calcular la interacción entre dos cuerpos masivos separados una cierta distancia. El vector de posición de cualquier planeta con respecto al sol.  La  anterior  fuerza.  debe  tener  una  dirección  constantemente  juega un papel importante en la evolución de las estrellas y  en el comportamiento de las galaxias. Aunque su importancia es  trayectoria rectilínea (ley de inercia)  despreciable entre las interacciones entre partículas    elementales. la  dirigida  hacia  el  centro  de  la  trayectoria  (fuerza  central). Esta ley. G R A V I T A C I Ó N. Tema 1 geométrica “perfecta” y que por tanto esa habría de ser la órbita que describieran los objetos en el cielo. o expresado de otro modo: “para cada planeta que orbita alrededor del sol el cociente T2/r3 permanece constante”. el pensamiento de la Humanidad. para desplazarse de P1 a P2 va más despacio que para hacerlo de P3 a P4 para que las áreas barridas sean iguales. y que por lo tanto. las estaciones NO duraran lo mismo en ambos hemisferios. En cierto sentido.  La  gravedad es la que mantiene reunido todo el Universo”  razón que dio Newton fue que de este modo. siendo K una constante de proporcionalidad. deben actuar una fuerza resultante neta  “La gravedad es una de las cuatro interacciones  NO  equilibrada. Es aquí donde Sir Isaac Newton (1642-1727) llevó a cabo su grandiosa contribución: la ley de gravitación universal.  ya  que  si  no. (Esta ley puede expresarse por la ecuación matemática T2 = K · r3. Se define la magnitud MOMENTO ANGULAR. De modo similar hay una ley parecida para las rotaciones (como la de los planetas). Sobre los planetas. Para hallarla derivamos L: v v v dL d v v dr v v dp = (r ∧ p) = ∧ p+r ∧ dt dt dt dt Página 13  . ya no sería el mismo de antes. las conclusiones que de ella se derivan cambiaron por completo la visión de los cielos. la gravedad tiene una importancia fundamental  II. Aplicada al movimiento planetario. Esta fue una herencia de Platón y Aristóteles que al propio Kepler le costó esfuerzo desterrar.  los  planetas  seguirían  una  fundamentales en la Naturaleza. de una partícula m L como el Momento de su cantidad de movimiento: v v v v v V L = r ∧ p = r ∧ mv r O La segunda ley de Newton establecía que: ∑ F = dp/dt para los movimientos de traslación. (Esta proposición se denomina la ley de las áreas) Esta ley “obligaba” a que los planetas NO se movían con la misma rapidez alrededor del Sol. a partir de entonces. De hecho. La siguiente etapa en la historia de la Astronomía fue una discusión de la dinámica del movimiento planetario y un esfuerzo por determinar la interacción responsable de tal movimiento. Evidentemente. La fuerza gravitatoria  naturaleza. se debe al mismo Newton el genio de encontrar una ley matemática exacta que rige el movimiento de los planetas. III. se cumple la 2ª  ley de Kepler. el planeta.   Veamos esta afirmación utilizando terminología matemática moderna. II. L .  cualquiera  que  sea  su  magnitud  o  su  en las interacciones de objetos grandes.  se mueve con velocidad  v v v v dL v v v v = 2i − j   (SI). el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.  con  rapidez  angular  w. si la partícula se mueve desde la posición 1 a 2 la 2. Esto es. “el área barrida por el radio vector en cada unidad de tiempo (velocidad areolar) es constante".Si el radio de la órbita circular de un planeta A es cuatro  muy útil para la rotación.  Una  partícula  de  2  kg  de  masa. periodos? ¿Y sus rapideces medias?  Lógicamente.  Determinar  su  F= momento angular. lo evitamos para no alargar en exceso este tema. significa que la trayectoria planetaria ha de ser plana (esto es. L se ha de conservar tanto en módulo como en dirección. • Que el módulo del Momento Angular se conserve. exige que la velocidad de un planeta es diferente en el afelio y en el perihelio)  Página 14  . r+dr O En efecto. G R A V I T A C I Ó N. dt En efecto. nos quedará sólo que: A2.    que es una expresión equivalente a A3.  ¿en  qué  relación  están  sus  importantes de la física clásica. Por lo tanto. Una partícula de masa m realiza un movimiento circular  v dpv uniforme  de  radio  r. si admitimos que las órbitas son circulares (o elípticas) y ya que la fuerza que actúa sobre el planeta es central.  Determina  el  momento  angular  con  =r ∧F =M dt respecto a ese observador. El área barrida por el radio vector será: 1 v v 1 dS = r ∧ dr 2 y por otro lado: 1 v v 1 v v 1 v 1 v v dS L dS = r ∧dr = r ∧v dt = r ∧v dt⇒ dS = r ∧mv dt⇒ = =cte. el momento angular ha de conservarse. que aunque no es complicado.2.0) referido a cierto observador. si M = 0 v dL v v v v = r ∧ F = M = 0 ⇒ L = cte. la derivada del Momento angular ha de ser cero. de la última ecuación obtenida.  dt   A4. en un mismo plano).  ¿Cuáles  serán  las  unidades  del  módulo  del  momento  dt angular?  y la velocidad y el momento lineal tienen la misma   dirección y sentido. (Demostrar que la conservación de L. acarrea la demostración de “la ley de las áreas” de Kepler. 2 2 2 2m dt 2m es decir. recorre en un intervalo de tiempo dt. Tema 1 pero como v dr v =v A1. y una de las ecuaciones más veces  mayor  que  la  de  otro  B. una demostración más purista de esta ley de Kepler de las áreas exige la utilización de las llamadas coordenadas polares y su inclusión en la conservación del momento angular. y por lo tanto. En realidad. un arco de dr r tramo dr. se concluye que M ha de ser cero (ya que lo es el producto vectorial que lo define al ser el vector de posición y la fuerza que mueve al planeta de igual dirección). esto es. se deduce que si el Momento de las fuerzas es nulo. • Que la dirección y sentido del Momento Angular se conserve.  situada  en  la  posición  (3.    Tema 1. visto desde la Tierra. según la tercera ley de Newton. se mueve más rápidamente  Newton.4  alrededor del Sol (de masa M). Depende de la distancia entre ambos cuerpos. El sol. ⇒ m ⋅ K 2 = M ⋅ K1 = cte' K1 R K2 R K1 K 2 por lo que 4π 2 M m M ⋅m F= ⋅ ⋅ 2 =G⋅ K M R R2 ya que K · M = cte.67·10-11 N·m/Kg2 la conocida como “constante de la gravitación Universal”. la fuerza actúa a lo largo de la línea que une los dos  cuerpos. suponía que la fuerza gravitatoria era contra el fondo de estrellas en invierno que en verano. De forma más general.  Marte  posee  un  satélite  con  un  periodo  de  460  min  y  Supongamos ahora un planeta (de masa m) girando que  describe  una  órbita  con  un  semieje  mayor  de  9. podremos escribir que 4π 2 1 4π 2 1 m M ⋅m ⋅ 2 = ⋅M ⋅ 2 ⇒ = = cte. la fuerza con que el cuerpo de masa m1 atrae al de masa m2 la podemos escribir: v m ·m v F = −G 1 2 2 u r La fuerza gravitatoria es una FUERZA CENTRAL. Además es una fuerza central (y como veremos. Sobre  atractiva. es siempre atractiva ente dos masas cualesquiera situada a una cierta distancia. Por otro lado. éste usó las leyes de   Kepler para obtener su ley de la gravitación. si consideramos dos cuerpos de masas m1 y m2 cuyos centros C1 y C2 están separados una distancia r y suponemos que u es un vector unitario en la dirección de la recta que pasa por C1 y C2 y cuyo sentido es de C1 hacia C2. La expresión anterior nos da EL MÓDULO de la fuerza gravitatoria. Simplificando el en los distintos hemisferios de la Tierra?  método usado por Newton.  Página 15  . conservativa). pero eso NO significaba que tal fuerza la base de este hecho y de las leyes de Kepler. ¿qué puede  decirse  acerca  de  la  distancia  relativa  de  la  Tierra  al  Sol  fuese la responsable del movimiento planetario durante estas estaciones? ¿Y de la duración de las estaciones  observado y de las leyes de Kepler. Es una fuerza conservativa.  La que se denominó ley de la gravitación universal de Q1.R 3 o sea: 4π 2 1 F= ⋅m⋅ 2 K R esto es. la fuerza gravitatoria debería variar con el inverso del cuadrado de las distancias. Para él podríamos Megametros. ¿Cuál es la masa de Marte?  plantear las siguientes ecuaciones: 4π 2 F = m. es decir.ac = m. Siendo G = 6. esto es su dirección pasa por el centro que une ambos cuerpos. la cual. siendo m la masa del planeta.ω 2 R = m 2 R T T 2 = K . Q2. G R A V I T A C I Ó N. Si vamos situando el segundo cuerpo en distintas posiciones alrededor del primero.  creado por una masa M en puntos situados a actúa  sobre él una fuerza de atracción. El término “contacto”. sin embargo. Por lo “TODAS las interacciones que se producen entre  tanto.  1. La expresión vectorial de esa fuerza. ejerciendo cada uno de ellos fuerza sobre el otro. separados una distancia de 150 millones de kilómetros? ¿Son diferentes la interacción mano-objeto y la interacción Tierra-Sol? En realidad. Ur r F Se define el campo gravitatorio creado por M como la fuerza que se ejerce en cada punto sobre la unidad de M masa. al colocar allí un segundo cuerpo. y no sólo eso.  Supongamos dos cuerpos que están interaccionando entre sí. Sin embargo. TODAS las interacciones que se producen entre los cuerpos. empujamos una mesa. ya que nuestro sentido del tacto “nota” el “contacto” a cierta distancia”. • A qué se llama CAMPO de fuerzas. según la ley de Coulomb: F = KQ1Q2/d2 ejercer una fuerza infinita (d = 0). que hace que. G R A V I T A C I Ó N. Michael Faraday. Queda en pié la cuestión cómo se transmite la interacción. Tema 1. que hace que. de ahí el signo negativo que aparece en la expresión anterior m (ver figura). al colocar una nueva carga en las proximidades de la 1ª.  relativa a cómo se transmite la interacción. denominada campo  Si queremos determinar el campo gravitatorio gravitatorio. ¿cómo puede explicarse la interacción entre la Tierra y el Sol. ya que ello requeriría. entendido como distancia nula. actuará en cada caso una fuerza distinta sobre él. al colocarla en dicho punto: v m m v F M v g = = −G 2 u r m r Página 16  . al situar un cuerpo en sus proximidades. A esa propiedad la denominamos campo. y no sólo eso. por ejemplo. de tal  modo que. los electrones más externos de los átomos situados en la superficie de nuestra mano. ya que en cada punto del espacio existe un valor del campo.  sobre la masa m será: v M ·m v F = −G 2 u r r para lo que se ha definido el vector unitario ur en la m dirección que une las masas y sentido contrario a F. De este modo. no es difícil de entender cómo tiene lugar la interacción entre la mano y el objeto. no pudieron superarse hasta que a mediados del siglo XIX. utilizamos el término contacto como una sensación fisiológica. si analizamos de verdad el término “contacto”. aparezca sobre él una fuerza. Así.  su alrededor. NO EXISTE. creada por éste. La existencia del campo en cada punto hace que. CONCEPTO FÍSICO DE CAMPO Si se empuja un objeto con la mano. son realmente interacciones a  distancia. descubriremos que en verdad no hay diferencias entre ambos tipos de interacciones. al crear el cuerpo un campo de fuerzas que actúa sobre los cuerpos colocados a su alrededor. actúe sobre él una fuerza. la fuerza que actúa sobre el segundo cuerpo se debe al campo que crea en ese punto el primer cuerpo. Esto puede interpretarse admitiendo que cada punto del espacio alrededor del primer cuerpo está dotado de cierta propiedad. Por ello.  esa masa. no llegan nunca a estar en contacto con los electrones más externos de la mesa. ya que ambos “están en contacto”. Cuando. en sus estudios sobre electricidad. Queda en pié la cuestión relativa a  son realmente interacciones a distancia. introdujo el concepto de campo y éste pasó a generalizarse. evitamos las dificultades que entraña admitir una acción a distancia. los cuerpos. colocamos una masa m en esos   puntos y medimos la fuerza que actúa sobre * Una carga eléctrica crea a su alrededor un campo eléctrico. ¿se ¿se transmiten “instantáneamente” las  transmiten “instantáneamente” las interacciones? Todas estas interacciones?”  dificultades no pasaron desapercibidas al propio Newton cuando formuló su ley de la gravitación. al colocar otro cuerpo en uno de esos puntos. medimos sobre ella una fuerza. Cálculo del CAMPO * La Tierra crea a su alrededor cierta propiedad.  ¿cuál sería la expresión para el campo  (Realizar el esquema de líneas de fuerza para eléctrico? ¿Cuáles serían sus unidades? ¿Y las del campo gravitatorio?  el caso de 2 masas separadas una cierta   distancia) Q4.7  N/kg.  M2(6.    Q5. Si suponemos que la masa m se coloca en el punto A y El campo gravitatorio es un ejemplo de campo vectorial o  se le deja moverse libremente.‐Determina el campo eléctrico que crea una carga puntual de 1 C. a cada punto alrededor de M  se lo puede caracterizar por un valor de g. debido a la acción de varias masas. Dado que la fuerza que actúa sobre una masa m situada en un punto del campo gravitatorio creado por otra partícula material es única.  Analiza  su  dirección  y  este modo.  punto del campo será m’ veces mayor: v m v v v F = −G 2 u r · m' ⇒ F = m'⋅g r Este es el peso del cuerpo (de masa m’) en el punto considerado.  Tres  masas  iguales.  y sentido que la fuerza por ser el cociente de un vector por un escalar.  sucesivas B. Las líneas del campo gravitatorio. que en conjunto constituye una de las líneas de fuerza del campo gravitatorio creado por la masa M. ¿Cuál será el valor  de la fuerza resultante que actúa sobre una masa de 100 kg situada en  ese punto?  Página 17  . ¿Cuál es la dirección y  que determinar su valor en un punto del sentido de esa fuerza?  espacio bajo la influencia de varias masas. e indican la trayectoria que seguiría la unidad de masa abandonada en un punto cualquiera del campo gravitatorio. que es su intensidad. tienen dirección radial y están dirigidas hacia el centro de la masa que crea el campo. el campo gravitatorio total en un sentido. Tema 1 Según esto. excepto en el punto donde se encuentra la masa que crea el campo. en el que convergen todas las líneas de fuerza (consideraremos.C.  Calcular  el  módulo  de  la  fuerza  que  aparece  gravitatorio es una magnitud vectorial.  Determinar  el  valor  del  campo  gravitatorio  creado  por  la  Tierra  (considerada  como  masa  puntual)  en  puntos  situados  a  6500  km  de  distancia de ella. Indicar su dirección y sentido.D.1). o líneas de campo. por lo tanto.   se corresponderá con la suma vectorial de Q6.  de  100  kg  cada  una  están  situadas  en  los  cada uno de los campos individuales en ese siguientes  puntos:  M1(0. G R A V I T A C I Ó N.  A. la intensidad del campo es un vector de la misma dirección De esta forma. De puntos  del  vacío  situados  a  1  m  de  distancia. por lo sobre una masa de 10 kg al situarla en ese punto..2). las líneas de fuerza del campo gravitatorio no se cortan. B.0).  punto.  M3(3. en  requiere hacer uso del cálculo vectorial. Los campos de fuerza se representan por líneas de fuerza. Se dice que son sumideros. Dichas líneas de fuerza se caracterizan por ser curvas tangentes al vector campo en todos sus puntos.  Determinar  el  campo  punto (Principio de superposición) gravitatorio que crean estas masas en el punto (3.‐En  un  punto  del  espacio  existe  un  campo  gravitatorio  cuya  No hay que olvidar que el campo intensidad  es  6. la atracción que sobre ella campo de fuerzas porque a cada punto del campo va unido un  ejerce M hará que ocupe una serie de posiciones vector o fuerza. A este g  se lo suele también denominar  Y la fuerza ejercida por el campo sobre una masa m’ situada en un INTENSIDAD DE CAMPO. que una masa puntual no está sometida a los efectos de su propio campo) Q3..0). Por analogía con lo anterior. de modo que el trabajo dr entre dos puntos sea igual a menos la variación de energía entre esos dos puntos: F m W12 = − ΔU = − (U 2 − U 1 ) = U 1 − U 2 1 Vamos a determinar el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria al mover una masa desde un punto 1 a otro punto distinto 2. cualquier desplazamiento se puede considerar como la composición de dos: uno paralelo a la dirección del campo y otro perpendicular a la dirección del mismo.   Tema 1. que la primera expresión nos determina la VARIACIÓN de energía potencial entre dos puntos. Con todo. mientras que el trabajo es nulo en el trayecto en el que el desplazamiento es perpendicular al campo. por lo que si se quiere asignar valores absolutos a la energía potencial de un cuerpo en un determinado punto del campo. nos volveremos a referir con más detalle al abordar los aspectos energéticos del campo gravitatorio. Vamos a llamar a éste el criterio 1. G R A V I T A C I Ó N. Sólo se realiza trabajo en el tramo que es paralelo al campo. 2. Hasta este momento (en el curso pasado) se usaba el criterio de que la energía potencial de un cuerpo era cero en la superficie de la Tierra. un campo gravitacional lineal idéntico al que crea una partícula de igual masa situada en el Inverso con el cuadrado centro de esa esfera. pues depende de la distancias. O a r Puede demostrarse que una esfera sólida homogénea de radio “a” produce.  Además conviene recordar aquí que el campo gravitatorio es conservativo. el trabajo podemos calcularlo así: 2 2 v v 2 m ⋅ MT 1 m ⋅ MT m ⋅ MT W= ∫ 1 F . Este valor de referencia PUEDE SER CUALQUIERA. Ya se estudió algo de ello en el curso anterior. y éstas cambian. r1 m ⋅ MT U2 = − G + cte. r2 Hay que tener presente. en puntos externos a ella. De este modo. será necesario establecer un valor de referencia. porque el trabajo para trasladar una masa de un g punto a otro no depende de la trayectoria seguida. Ahora “el problema” para ese cálculo del trabajo reside en que la fuerza que actúa sobre la masa “m” NO es constante. Página 18  .dr = ∫ 1 −G r 2 dr = − Gm ⋅ M T − r1 =G r2 − G r1 m ⋅ MT U1 = − G + cte. Como todas las fuerzas de estas características. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA CONCEPTO DE POTENCIAL Ya en otro curso se ha visto que la fuerza de la gravedad es una 2 fuerza conservativa. llevará asociada una “Energía Potencial”. de modo que gráficamente puede mostrarse esta variación como se ve seguidamente en la representación. Realmente.   En este caso.  Si  inicialmente  la  energía  potencial  era  cero. el convenio anterior nos lleva a escribir que: U1 = 0 cuando r1 = RT ⇒ m⋅ MT m ⋅ MT 0=−G + cte ⇒ cte = G RT RT Con lo que la energía potencial de un cuerpo a una distancia r del centro de la Tierra será: Teniendo en cuenta el convenio 1. y se hace extensivo a dos masas cualesquiera.  conforme  la  fuerza  gravitatoria  realiza  el  trabajo  de  acercamiento  de  las  dos  masas.  hay  que  aplicar  una  fuerza  corresponde una energía potencial:   exterior al sistema.  forzosamente al final del desplazamiento.  El  sentido  físico  de  este  signo  negativo  es  simple:  según  el  teorema  de  la  energía  potencial. y del criterio seguido para ella. ⇒ cte = 0 ∞ y en este caso: m ⋅ MT Ur = − G +0 r esto es m ⋅ MT Ur =− G r El último criterio es el que generalmente se adopta. Esta fuerza se emplea para aumentar la    energía  potencial.  ⊕ (¿Qué unidades poseerá la Energía potencial gravitatoria?) Página 19  .  la  cual  tomará  su  valor  máximo  en  el  m1m2 infinito.   Tema 1.  • Que  a  cada  posición  relativa  de  dos  masas  • Cuando  separamos  dos  masas.  la  energía  potencial  deducen algunas cosas interesantes: disminuye.  Criterio 1: La energía potencial de un cuerpo sobre la superficie de la Tierra es nulo.  En este caso. se • Cuando  dos  cuerpos  se  acercan.  el  trabajo  realizado  por  una  fuerza  conservativa  es  igual  a  la  disminución  de  la  energía  potencial. si consideramos el punto 1 en la superficie de la Tierra. siendo entonces la expresión de la energía potencial gravitatoria del tipo: m1m2 U (r ) = −G r De esta expresión.  U (r ) = −G r     • La energía potencial de un sistema formado por más de dos  • Que a la posición infinito corresponde una energía  partículas  se  obtiene  sumando  las  energías  potencial nula   correspondientes a los sistemas que se pueden formar con  las partículas tomadas dos a dos. G R A V I T A C I Ó N.  • Que  la  energía  potencial  gravitatoria  es  siempre  negativa.  Por  consiguiente.  El  trabajo  de  acercamiento  lo  realiza  la  fuerza  gravitatoria a costa de la energía potencial.  la  energía  potencial  disminuye. será negativo.  m⋅ MT m ⋅ MT r − RT Ur = − G +G = G ⋅m⋅ MT demostrar que la energía potencial  r RT r ⋅ RT gravitatoria de un cuerpo de masa m   situado en el infinito es U = m∙g0∙RT  sustituyendo r = RT + h y G· MT = g0· R2 queda: RT Ur = m⋅ g ⋅h⋅ RT + h Criterio 2: La energía potencial gravitatoria de un cuerpo situado en el infinito es nula. escribiremos: U1 = 0 cuando r1 = ∞ esto es: m ⋅ MT 0 = −G + cte. la energía potencial permanece constante. a la que denominaremos potencial gravitatorio. es aplicable. En realidad. de nuevo.   Tema 1. al situar una masa m en un punto a su alrededor. Por lo tanto. puede obtenerse así: (admitiendo que si h<<R ⇒ h/R ≈ 0) ⎛1 1⎞ ⎛1 1 ⎞ R+h−R h ΔU = Gm1m2 ⎜⎜ − ⎟⎟ = GMm⎜⎜ − ⎟⎟ = GMm = GMm = r ⎝ A rB ⎠ ⎝ R ( R + h ) ⎠ ( R + h ) R R ( R + h) R 2h Rh h gm = gm = gm = mgh = mg ( hB − hA ) R ( R + h) R+h h 1+ R Ahora podemos ver. Por tanto. La VARIACIÓN de energía potencial que experimenta el cuerpo al elevarlo una determinada altura h (con R >> h). podremos escribir que: m1m2 ⎛ m m ⎞ Gm1m2 Gm1m2 ⎛1 1⎞ ΔU = U ( B ) − U ( A) = −G − ⎜⎜ − G 1 2 ⎟⎟ = − = Gm1m2 ⎜⎜ − ⎟⎟ rB ⎝ rA ⎠ rA rB ⎝ rA rB ⎠ Vemos que si rB = rA = r (constante).    Así. hay tres formas  Usando “el criterio del infinito” también se llega a una equivalentes de definir un campo de fuerzas conservativo:  conclusión conocida. no es más que la energía potencial que adquiriría la unidad de masa situada en ese punto: (¿En qué unidades se medirá V?) U (r ) M ⋅m M V= =− G =− G m r⋅m r Página 20  . que en principio. puede ser positiva o negativa. la partícula m2 se desplaza sobre una superficie esférica cuyo centro está en m1 y cuyo radio vale r. en las ecuaciones anteriores basta hacer m1 = M (masa de la Tierra) y m2 Cuando el trabajo realizado por las fuerzas   = m (masa del cuerpo). • Un nuevo concepto: el POTENCIAL. teniendo presente las variaciones que con la altura experimenta g. también lo hace la energía potencial. Podemos decir. su energía potencial es: camino cerrado vale cero. De este modo. Para ello.  Según todo lo anterior. Supongamos que la partícula m2 se traslada del punto A al punto B. que la ‘antigua’ expresión U = mgh que utilizábamos en el curso pasado. representa variaciones de energía potencial. Para la variación de energía potencial. cuando un cuerpo está a una distancia r del centro Cuando el trabajo de las fuerzas DEL CAMPO a lo largo de un   de la Tierra.    Cuando existe una función Energía potencial tal que   m1m2 Mm U = −G = −G el trabajo realizado por las fuerzas del campo entre   r ( R + h) dos puntos A y B puede expresarse como diferencia   WA‐B = U(A) – U(B)  siendo R el radio de la Tierra. adquiera cierta energía potencial. En este caso. Lo anteriormente expuesto a propósito del campo gravitatorio terrestre. V. podemos suponer que M “crea” en cada punto del espacio a su alrededor cierta propiedad. la variación de energía potencial. por supuesto a dos masas cualesquiera. pero ¿de qué modo?. G R A V I T A C I Ó N. cabe preguntarse cómo varía la energía potencial entre dos puntos cualesquiera. pero es preciso especificarlo en cada caso. el potencial gravitatorio. Este nivel de referencia se toma arbitrariamente. la existencia de M hace que. Lógicamente. sólo tiene sentido cuando se establece un nivel de referencia. Esta superficie se denomina superficie equipotencial. si las posiciones de los cuerpos cambian. DEL CAMPO No depende de la trayectoria seguida. Igualmente.   masas cuando éstas están infinitamente alejadas. A medida que penetramos en el campo.1 Q7.  De esta forma. de acuerdo con los criterios expuestos en las  explicaciones?  Q11. Al situar una masa m en uno de esos puntos. y un valor para el potencial V. que nos    permite conocer la energía potencial que  Q10. siendo nulo el potencial a distancias infinitas de la masa que crea el campo.1 = m(V2-V1) ⇒ negativo. en el proceso "de acercamiento" las fuerzas del campo realizarán un trabajo positivo que hace disminuir la energía potencial del sistema. puede ser espontáneo. 1 En realidad. hacia los potenciales gravitatorios DECRECIENTES.  en  puntos  situados  a  6500  km  de  distancia de ella. la energía potencial que adquiere es: U(r) = m · V Así. el CAMPO va dirigido hacia la masa que lo crea.  considerada  como  masa  puntual. y como W podemos escribirlo como W1.  ¿Cómo  varía  el  potencial  gravitatorio  creado  por  una  masa  M. ¿Puede ser nulo el potencial gravitatorio que crea un conjunto de masas Mi  alrededor de M un valor para el campo  en  algún  punto  que  no  esté  infinitamente  alejado  del  sistema?  ¿Puede  serlo  el  gravitatorio. V. lógicamente. existe una relación matemática precisa entre el campo y el potencial. En cambio. tenemos en cada punto del espacio alrededor de M un valor para el campo gravitatorio. que nos proporciona la fuerza  que actúa sobre una masa m.    Q8. g. en un campo gravitatorio. En efecto. que nos proporciona la fuerza que actúa sobre una masa m.   Tema 1. g. Este proceso. el potencial en un punto es siempre negativo: M M V = −G 2 1 r m V2 V1 Según este criterio. G R A V I T A C I Ó N. situada en ese  campo?  punto. Tal relación involucra un nuevo concepto matemático: el gradiente. ¿Cómo se interpreta el signo obtenido? ¿Cómo  desde el infinito (o sea. es el del infinito. El potencial gravitatorio en un punto es ‐100 J/kg. dado que V1 > V2. situada en ese punto. y un valor para el potencial (magnitud escalar).1) de la distribución de masas de Q6.    “Así.  según  nos  adquiere m al situarla allí. Determina el potencial gravitatorio en el punto (3.  Una  masa  de  5  kg  tiene  en  cierto  punto  una  energía potencial de ‐100 J. En este caso. para ALEJAR dos masas hay que aplicar una fuerza externa que realizará un trabajo CONTRA el campo que se emplea en aumentar la energía potencial: W2. cada punto alrededor de M posee cierto potencial. NO es espontáneo. Esto significa que el proceso de “acercamiento” hacia la masa que crea el campo.”  alejemos o nos acerquemos a ella. esto es. que nos permite conocer la energía potencial que adquiere m al situarla allí. que vale cero. el potencial mayor. que se estudiará en otros niveles. el potencial disminuye (es negativo).  Calcula  el  potencial  gravitatorio  que  crea  la  Tierra. desde fuera del campo) hasta ese varía la energía potencial de esta masa?   punto. Como sabemos. tenemos en cada punto del espacio  Q9. ¿Cuánto vale en ese punto el  Significado Físico del potencial. potencial gravitatorio?     Si asignamos el valor cero de energía potencial para dos Q12.2 = m(V1-V2). el Halla el trabajo externo que hay que realizar para situar  potencial gravitatorio en un punto representa el trabajo en  dicho  punto  una  masa  de  10  kg  traída  desde  el  realizado por el campo para trasladar la unidad de masa infinito. Página 21  . 8 N/kg. La velocidad correspondiente a una energía cinética igual a G · MT m/RT es independiente de la masa de la partícula y recibe el nombre de velocidad de escape. resulta que2: 2 ⎛ h⎞ h −2 h ⎜1 + ⎟ ≈ 1 + 2 • ⇒ g = g 0 (1 + h / R ) ≈ g 0 (1 − 2 ) ⎝ R⎠ R R siendo g0 = G · M/R2 el valor de la gravedad en la superficie terrestre. llamándose primera velocidad cósmica a la que debemos darle a un satélite para que gire alrededor de la superficie terrestre. por ejemplo desde la Tierra. vemos que si la energía cinética que en la Tierra se suministra al cuerpo es menor que GMm/R. la masa no abandonará la Tierra sino que se elevará hasta una altura máxima rm y luego volverá a caer sobre la Tierra. La velocidad 2 Si la distancia h es pequeña comparada con R (como aquí se supone). admitiendo a nuestro planeta como una esfera perfecta y homogénea. Así.  Calcula  cómo  varía  g  al  elevarnos  1000  m  sobre  la  superficie  terrestre. de modo que pueda escapar del campo gravitatorio que ésta crea (esto es. Sin embargo. La energía GMm/R recibe el nombre de energía de ligamiento. el módulo del campo gravitatorio en ese punto será: M M 1 g =G =G 2 ⋅ ( R+ H ) R (1 + h / R) 2 y si h <<R. el objeto continuará su movimiento indefinidamente y no volverá a la Tierra. si se lanza con una energía cinética mayor que GMm/R. Sin embargo. energía potencial cero). MOVIMIENTO DE SATÉLITES. esto puede aplicarse y poner que (1 + h/R)-2 ≈ (1 . El balance energético quedaría del modo: Mm 1 2 Mm −G + mv = −G =0 R 2 r Mm 1 2 G = mv R 2 2 M v = 2G R como M g=G 2 R queda v = 2gR De todo lo anterior. Así. Q13. este valor se modifica al elevarnos o al profundizar en el interior de la Tierra. Cuando nos elevamos una distancia h sobre la superficie terrestre. Conocemos que para valores de r no muy alejados de la superficie terrestre.  3. G R A V I T A C I Ó N. a suministrar desde el lugar del lanzamiento. pueden extraerse algunas consecuencias importantes. ALGUNOS ASPECTOS DE INTERÉS RELACIONADOS CON EL CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE. al ser h/R << 1. El valor de la velocidad antes deducido para el lanzamiento desde la superficie terrestre tiene un valor de unos 11 km/s. puede utilizarse la aproximación matemática que si x <<1.  que g se redujera en un 10 %?   Lanzar un objeto de masa m desde la superficie de la Tierra. por ejemplo. el cuerpo volverá a caer a la Tierra después de elevarse a una cierta altura.  ¿Hasta  dónde  habría  que  subir  para  • Movimiento de Satélites. Si la energía cinética es mayor que la energía de ligamiento. y también se la denomina segunda velocidad cósmica. el módulo de la intensidad de campo gravitatorio tiene un valor cercano a 9. y en nuestro caso. Tema 1. podemos decir que si la energía cinética es menor que la energía de ligamiento en la superficie terrestre. la masa no volverá a caer sobre la Tierra. es una tarea que requiere un determinado aporte energético.2h/R) Página 22  . entonces (1+x)n ≈ (1 + nx). la conservación de la energía no es suficiente para resolver el problema. se la denomina órbita de inserción. En el apogeo de esa órbita el satélite es inyectado en su órbita definitiva mediante motores propulsores. será. En aquéllos casos donde se considere. con lo que v2 Mm 1 1 Mm m = G 2 ⇒ mv 2 = G r r 2 2 r deducimos : Mm E = −G 2r La última expresión nos indica que la energía total es negativa. Pensemos ahora en un satélite (o cualquier otro cuerpo de masa m) en órbita alrededor de la Tierra. en cuyo caso. el satélite es lanzado desde un transbordador espacial o lanzadera con la velocidad necesaria para mantenerse en una órbita de transferencia. Tema 1 de escape se corresponde justo con la velocidad correspondiente a una energía cinética igual a la energía de ligamiento. G R A V I T A C I Ó N. y se hace necesario usar también la conservación del momento angular. Esto puede verse porque. la partícula puede llegar al infinito y tener aún energía cinética. igualmente cinética y potencial. cuando el movimiento es bajo la acción de una fuerza central como es el caso de la gravitatoria. la energía que le corresponde. ecuación que es imposible satisfacer si E es negativa. en el Ecuador. Una órbita cerrada significa que la energía cinética no es suficiente en ningún punto de la órbita para llevar la partícula al infinito. para lo cual cambiaría su energía cinética en potencial y vencería la atracción gravitacional. bastará incluir en los balances de energía la Ec de rotación terrestre. Por supuesto que si E >0. Página 23  . En el caso de E = 0 la partícula llega al infinito. esto es. la fuerza gravitatoria hace las veces de fuerza centrípeta. ¿Cómo se interpreta esto? Este resultado es más general de lo que podría parecer al principio: todas las órbitas elípticas (o cerradas) tienen una energía total negativa (E<0) cuando definimos la energía potencial como cero en el infinito. y una vez situado en esa órbita definitiva. pero allí se detiene. a una separación infinita. tal y como se recoge en la figura. Para el caso de una órbita elíptica estable alrededor de la Tierra. caerá en la Tierra o escapará de la acción gravitatoria. en los lanzamientos de satélites se aprovecha la velocidad de rotación de la Tierra en los puntos donde ésta es máxima. En ese lugar. y debemos tener E = ½ mv2. La primera de ellas lanza desde la Tierra el satélite hasta que éste alcance una altura MÁXIMA “r” (con Ec = 0 en ese punto) y acto seguido el satélite recibe un empuje final justo en ese punto. Dependiendo del valor de ese empuje. En realidad y hablando en términos generales. La puesta en órbita de un satélite a una distancia “r” tiene lugar en varias etapas. el satélite puede corregir las desviaciones que se produzcan gracias a sus motores. de ahí que lugares como la Guayana Francesa o cabo Cañaveral sean lugares idóneos para los lanzamientos. el segundo término de la primera ecuación de la energía del satélite en órbita vale cero. de valores: 1 Mm E = mv 2 − G 2 r Al moverse en una órbita circular. el satélite quedará en órbita. la Ec a suministrar en el lanzamiento será menor. L. Estrictamente hablando. que NO es la órbita definitiva del satélite. A la velocidad que se necesita imprimir al satélite para que quede en órbita circular. U(r) conocer el valor real de la función energía potencial. si la energía TOTAL de la partícula es positiva. De la figura se deduce que si la energía TOTAL es negativa. la recta correspondiente a esta energía total corta a la curva de la energía potencial en algún punto de separación máxima rm y el sistema es un sistema ligado.  Calcula la cantidad de gasolina (poder calorífico 10. En este caso. Por tanto. Esta es una elección que suele hacerse ya por costumbre.  Suponer que Rt = 6500 km. al soltarlo desde una distancia r del centro de  la Tierra. la propia superficie terrestre. como ya sabemos. que es negativo. para que en todo  momento  esté  situado  sobre  el  mismo  punto  de  la  superficie  terrestre.  y  que  la  velocidad de rotación allí es de 465 m/s)    Q15. pero esto tiene varias Rt E2 > 0 ventajas. tal y como hemos visto. y E2 que es positivo. el sistema es NO ligado Página 24  . r La figura adjunta muestra una representación gráfica de U(r) en función de la distancia r para el caso de U = 0 para r = ∞.  Cuando una masa se halla a pequeñas alturas respecto de la superficie terrestre.  Q14. no es muy importante rm Ec = E2 . la función energía potencial adquiere el valor mgh. Por otro lado. Calcular la velocidad con que llegará un cuerpo a la superficie de la Tierra. el criterio para que haya escape es que la energía TOTAL sea igual o mayor que cero. y en estos casos. el sistema es ligado Si E ≥ 0. Los dos valores posibles de U(r) = . G R A V I T A C I Ó N. esa interacción NO se produce y el sistema NO está ligado. las condiciones para que un sistema sea ligado o no pueden resumirse en Si E ≤ 0. esta función energía potencial puede simplificarse eligiendo el valor cero de la misma en el infinito. es conveniente elegir como nivel cero de referencia para la energía potencial. sobre el Ecuador. Sin embargo. Como en realidad lo que tiene relevancia son las VARIACIONES de energía potencial. En E1 < 0 la superficie terrestre esta función toma el valor negativo U = - GM·m/RT incrementándose luego según aumenta r y acercándose a cero cuando r = ∞. Calcular la altura a la que se ha de colocar un satélite geoestacionario de 400 kg.G M m/r la energía TOTAL de la partícula son los indicados en la figura: E1. para este criterio de U = 0 para r = ∞.  Calcula  también  la  velocidad  con  que  se  mueve. en los casos en que la separación sea ya muy grande en comparación con el radio terrestre. El hecho de que la energía total sea negativa solo significa (como ya se ha visto anteriormente) que la energía cinética en la superficie terrestre es menor que G M · m/RT de modo que su magnitud nunca es mayor que la magnitud de la energía potencial negativa.   Tema 1.000 kcal/kg) necesaria para poner en órbita el  satélite  anterior  suponiendo  un  rendimiento  del  5  %  (suponer  que  el  lanzamiento  se  realiza  desde  el  ecuador. Puede parecer extraño disponer de una función energía potencial que es siempre negativa. de modo que para cualquier otro sitio U(r) “diferente del infinito” la energía potencial gravitatoria adquiere valores negativos. Despreciar los efectos del rozamiento y aplicar el principio de conservación de la energía. Un apunte más sobre la Energía Potencial Gravitatoria y Satélites. a la línea rmin horizontal (1) de la gráfica anterior. sobre todo cuando –por ejemplo. Cuando se r1 hace así. G R A V I T A C I Ó N. nace un concepto que O complementa la gráfica anterior y E (3) M que se denomina “Energía potencial Efectiva” (que es pequeña a grandes distancias. pero importante a r2 distancias cortas. Para terminar. y la partícula viene del infinito hasta el punto C de acercamiento mínimo y luego se aleja (dibujo B) sin volver a regresar. por ejemplo. habría que indicar brevemente que un análisis más completo de las curvas de energía potencial para el caso importante (2) C de fuerzas centrales (no solo las gravitatorias. Tema 1 U(r) U(r) U(r) E<0 E>0 E=0 Ec O O O Ec E Ec parábola hipérbola elipse U(r) Por supuesto. el radio de la órbita podrá oscilar entre C O (B) los valores máximo y mínimo r1 y r2 y la órbita podrá tener la forma que se indica en el dibujo (A) de abajo. Página 25  . entonces existe UNA sola intersección y la distancia al centro permanece constante. Si la energía total de la partícula corresponde. la órbita NO está limitada. Con ella por delante pueden explicarse multitud de movimientos y comportamientos. y limitaciones de tipo matemático. la energía de ligamiento es la misma independientemente de la elección hecha de energía potencial cero. también las eléctricas). no solo “del tipo planetario” sino incluso los relativos a las interacciones entre átomos para formar (o disociar) moléculas.se analizan las interacciones entre átomos) y que dan como resultado una curva diferente a (A) B la anterior y que se expone adjunta. y la segunda nos impide A desarrollar lo anterior usando E A B (1) coordenadas polares. La primera limitación nos impide profundizar en la importante ley de la r1 r0 r2 conservación del momento angular. Si la energía corresponde al mínimo M de la línea (3). dando como resultado que la partícula describa una trayectoria circular de radio r0. Pero si la energía corresponde a un valor como el indicado por la línea horizontal (2) de la gráfica. E incluyen algunos factores que NO se han tenido aquí en cuenta por limitaciones de tiempo.  el módulo  lunar  Águila.  cuando  la  nave  espacial  pasa  de  la  órbita  de  transferencia a la órbita circular exterior. en donde la atracción de la Luna  es igual a la atracción de la Tierra (punto de Lagrange). (Esta órbita era elíptica con una altura máxima de 314 km y mínima de 113 km).  y  de  la  dinámica del movimiento circular.  La nave Apolo XI que llevó a hombres a la Luna por primera vez.  se  separó  de  la  nave  principal  y  descendió  hasta  una  órbita de unos 15 km de altura. su energía cinética era mayor que la necesaria para escapar de este astro.   Tema 1. La nave espacial entonces se movió hacia la  Luna. fue lanzada desde la Tierra hasta alcanzar una órbita casi  circular  alrededor  de  la  Tierra  a  una altura  de  191  km  y  con una  velocidad  de 28  000  km/h  (órbita  de  transferencia). G R A V I T A C I Ó N. A partir de esa órbita el módulo fue dirigido hasta su alunizaje en la superficie lunar.  Esta  velocidad.  que  contenía  a  los  astronautas  Armstrong  y  Aldrin.  Supongamos que queremos enviar una nave espacial desde la órbita de un planeta a la de otro o bien. disminuyendo su velocidad hasta un punto distante 38 000 km de nuestro satélite.            Página 26  . En la parte más alejada de la  Luna.  UN EJEMPLO en el VUELO DEL APOLO XI en 1969 a la LUNA. elevar un satélite de  comunicaciones desde una órbita circular ecuatorial de baja altura a otra órbita coplanar y circular de mayor altura.    Para economizar el combustible. debido a a que la  Luna ejerce una atracción gravitatoria que entonces habíamos despreciado.  En  la  posición  B. es necesario que la nave espacial siga  una  trayectoria  semielíptica  denominada  órbita  de  transferencia  de  Hohmann para lo que es necesario proporcionarle dos impulsos:    En el punto A cuando la nave espacial pasa de la órbita circular interior  a la órbita de transferencia. A partir de esta órbita. es menor que la velocidad de escape que se ha calculado antes. A partir de ese punto.  que  casi  duplica la energía cinética de la nave.  se  dispararon  los  cohetes  retardadores  para  disminuir  la  velocidad  del  mismo  y  ponerlo  en  órbita  alrededor  del  satélite.     Para  resolver  el  problema  propuesto. Cuando la  nave pasó la Luna. la nave se aceleró hacia la Luna.  OTRO EJEMPLO DE INTERÉS: Las órbitas de transferencia de Hohman.  A  partir  de  esa  órbita  se  disparó  el  motor  de  la  nave  para  darle  una  velocidad  de  39  000  km/h.  solamente  es  necesario  hacer  uso de las propiedades central y conservativa de la fuerza de atracción  gravitatoria  que  hemos  estudiado  en  páginas  anteriores.   y m ess la masa de la nave que se sim mplifica en las eecuaciones del movimiento.      La eneergía de la navee espacial es con nstante en todo os los puntos de la trayectoriaa e igual a       La  eneergía  que  hemo e la  posición  A  para  que  paase  de  la  órbitaa  circular  a  la  trayectoria  os  de  suministrar  al  satélite  en  t de  transfeerencia será la diferencia E2‐EE1 o bien. el módulo de lla velocidad vA A se puede calcu ular aplicando  la dináámica del movimiento circularr que ya hemoss usado        dondee M es la masa  de la Tierra. Tema 1 Órbita a circular interrior Cuand do la nave espacial describe un na órbita circular de radio rA. G  es la constantee de la gravitacción universal. ha d de cambiar su vvelocidad para sseguir la trayecctoria circular de radio rB. la en nergía E1 de la nave espacial een la órbita circular inicial es    la mitaad de la energíaa potencial    Órbita a semielíptica de transferencia Para ccalcular la  veloccidad que debee llevar la navee espacial en el punto A para  que alcance laa órbita exterio or en B. por lo que       Conoccidos rA y rB podemos calcularr en este par dee ecuaciones lass incógnitas v’A A y vB. De  nuevo o. que también hemo os visto al comieenzo del tema yy escribir  Y dado o que la energíaa se conserva. basta  aplicarr la conservacióón del momento angular. aplicando la d dinámica del mo ovimiento circuular tenemos    La eneergía E3 de la naave espacial en la órbita circullar final es  Página 27  .    Como sabemos. éésta ha de ser iggual en A y en B B. G R A V I T A C I Ó N.      Órbita a circular exterior Una veez que la nave espacial llega aal punto B.  m1 == 800 kg y m2  = 600 kg están  = separadas 0.  a)  ¿Cuál  es  el  e periodo  de  reevolución? b) ¿Cuál es su rapid dez? c) ¿Cuánto o vale su acelerración centrípetta?    Página 28  . ¿CCuál es la intenssidad del camp po gravitatorio  en un punto situuado a 0. 6 6. en la línea TTierra‐Sol del p D punto en el quee se equilibra la fuerza de atraccción del Sol y  laa de la Tierra so obre un cuerpoo de masa m.108 km  ol.37. b) ¿Cuál será  el periodo de osscilación de un p péndulo en la ssuperficie lunarr. Sabiendo  que  laa  masa  de  la  Luna  L es  1/81  de  d la  de  la  Tierrra.  Datoss:  MT  =  5.10  m.  calcular  el  valor  de  la  gravedad en la ssuperficie de la Luna.. masa del Sol: 1. Tema 1 La eneergía que hemo os de suministrar al satélite paara que pase d de la órbita de ttransferencia eelíptica a la órbita circular de  radio rrB es la diferencia E3‐E2 o bien n.2 m dee m1 y 0.    4.5.74. D Dos masas.    siendo o a. a) ¿Qué distaancia recorrerá un cuerpo en  un segundo. es la m mitad del period do P.10 0   kg. si en la Tierra esta magnitud es de 1 segund do?    6.    2.  RT  =  6 6 6. RT = 6370 km.   11.35 5 m entre sí. A parrtir de esta acelleración.    4 cm 9. ML == MT/81. ¿a qué altura pesará la mittad? Radio de la Tierra.  0 km de radio? M   7..103  m  so 12. 3 cm Hallar el peso de una persona en la Luna sab H biendo que  24 en  la  Tierra  pessa  60  kp.    Por  último. R RM = 3332 km.    3.  el  tiemp po  que  tarda  laa  nave  espacial  en  pasar  del  punto  A  al  pu unto  B  principiio  y  fin  de  la  trayectoria  t de  transfeerencia.98. Si un cuerpo en la superficie teerrestre pesa P kp.  gira  un  satélite  en  órbita  circular. RL = 1.1024 kg. Calcular la aceleeración de la Tierra hacia el So C ue la Tierra desscribe una órbitta casi circular  de 1. ¿Cuál sería el peeriodo de revolución de un saatélite artificial  de masa m qu ue circunda a laa Tierra siguien ndo una órbita  ciircular de 8000 Masa de la Tierrra: 5.98.1022 kg y su radio 16.1024 kg.38.10  m.   DATOS: MM == 6. aproxximadamente... Determina la disstancia a la Tierrra. En  una  órbita  de  obre  el  nivel  del  mar.9   5. (Masass esferas: 3200 g)    8.108 km. sabiendo qu de radio y lleva u una rapidez de 30 km/s. D DATOS: distanciia Tierra‐Sol: 1.7. Si la masa de la Luna es.  PR ROBLE EMAS 1. Determina la acceleración del p D punto P1 si estáá sometido  P1 únicamente a laa atracción de  las dos esferass iguales de  laa figura. Calcula  la  inten C nsidad  del  cam mpo  gravitatorio  sobre  la  su uperficie del planeta Marte. en caída libre haciia la Luna.1023 kg. masa  98.5.98.15 de m m2? ¿Cuál es el potencial graviitatorio en ese punto?    d 3.  del la Tierra: 5.105 m m. determ minar la masa ddel Sol. R.1024 kgg.  y  su  radio  es  ¼  del  terreestre. si se abandona en u un punto cercano a la superficcie de aquélla?.. 10.1030 kg. el semieje m mayor de la elip pse. DATOS: MT == 5975. Hallar el potenc H ial gravitatorio sobre la superfficie terrestre. G R A V I T A C I Ó N. 83. a) Julio Verne propuso  emplear un cañón gigante. cuyo peso en la Tierra es de 700 N.  DATOS: G = 6.313 km/s. Desde una altura de 1000 km sobre  16 cm la  superficie  de  la  Tierra. Dar la expresión de la energía  total de ese satélite en su órbita. El diámetro de Venus puede admitirse igual que el de la Tierra. Deseamos colocar en órbita alrededor de la Tierra una cápsula espacial a la que hemos de comunicar una rapidez de  unos 10 km/s y en la que viajarán seres vivos que no soportan aceleraciones superiores a “7g”.  la aceleración de  la gravedad es de 2  m/s .: ‐GMm/(2(R+h)))    18. explique cómo cambiaría la velocidad del satélite.67. ve pasar un  objeto  de  60  kg  en  dirección  a  la  Tierra  con  una  velocidad  de  40  m/s. MT = 6.4 kg cada una.2 años terrestres.10  rad. queda atrapado. ¿Resistirán los seres vivos la aceleración en el cañón. c) La masa del planeta. el cuerpo escapa. de 6.    16.  Considerar en todos los casos que la órbita es circular y que el radio terrestre es el  Tierra dado en Q14.: si v0 > 10.10  N m  kg  . B) Calcule la  relación entre las masas de Venus y de la Tierra. Un satélite de masa m se mueve en su órbita circular alrededor de un planeta de masa M. (DE  SELECTIVIDAD)  Un  satélite  de  250  kg  de  masa  se  lanza  desde  la  superficie  de  la  Tierra  hasta  situarlo  en  una  órbita  circular a una altura de 500 km de la superficie. G R A V I T A C I Ó N. (DE SELECTIVIDAD) Un planeta hipotético describe una órbita circular alrededor    del Sol con un radio 3 veces mayor que el de la órbita terrestre. están fijadas a dos puntos  separadas 16 cm. a) ¿Cuántos años  terrestres tardaría en recorrer su órbita? B) ¿Cuál sería su velocidad angular?  ‐8 ‐1 (Sol. determinar: a) la aceleración de  6 cm dicha  masa  cuando  está  en  las  posiciones  A  y  B. B) Calcule la velocidad orbital y la energía mecánica del satélite. Calcular:  a) La energía  potencial gravitatoria de un objeto de 50 kg de masa situado en la superficie del planeta. 2.7  Rl: a) ¿Cuánto vale la aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna?.     20. A) Explique por qué sucede lo indicado. C) ¿Qué relación existe entre las masas de los dos planetas y su periodos  de revolución alrededor del Sol?    23. En  la  superficie  de un planeta  de 1000  km  de  radio. Un astronauta se encuentra en un satélite que describe una órbita circular de radio 2 Rt y.  b)  Si  para  lanzar  la  cápsula  empleamos  un  cohete  animado  de  una  aceleración  constante  e  igual  a  “6g”. en caso contrario.    2 19. b) velocidad y aceleración del satélite en su órbita (Sol. suponiendo que éste tuviera 1 km de  largo?.  b)  rapidez  que  llevará  cuando pase por B.10‐8 dinas.  se  lanza  un  cuerpo  con  cierta  velocidad  v0.  Si  suponemos que la masa móvil es de 100 g. A) Realice un análisis energético del proceso.63. Tema 1 13. C) Si el radio de la órbita fuera  más pequeño.: 5. RT = 6370 km    22. Un astronauta.  la energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m es la cuarta parte del valor que tiene en la superficie? DATO: Rl =  1740 km. Una tercera masa se suelta en un punto A equidistante de  A las masas anteriores y a una distancia de 6 cm de la línea que los une. respectivamente. No considerar los efectos de la atracción gravitatoria terrestre. Dos masas esféricas iguales.5 m/s2) (DATO: Rt = 6500 km)    21. Mt = 81 Ml y Rt = 3.: 7981 m/s. ¿cuánto aumentará el peso aparente  de los objetos que hay en la cápsula?    14. c) Si el cohete sigue vertical. Si las relaciones aproximadas entre las masas y los radios de la Tierra y la Luna son. b) ¿A qué altura sobre la superficie de la Luna. el cuerpo quedará  en  órbita  alrededor  de  la  Tierra  y  para  cuáles  escapará  de  la  atracción  terrestre. b) La velocidad de escape desde  la superficie del planeta.cm2/g2  m B m   Vo 15.  ‐11 2 ‐2 DATOS: G = 6.  (Sol.  ¿cuánto tiempo tardará en alcanzar los 10 km/s?.  Sol.s )    17.1024 Kg. 5644  m/s. que resulta ser de 600  N. desde el lanzamiento hasta  que se encuentra en órbita. Razonar:  Si el cero de energía potencial gravitatoria de una partícula de masa m se sitúa en la superficie de la Tierra. Determinar para qué valores de la velocidad. 3.  Calcular:  a)  velocidad  del  objeto  al  llegar  a  la  superficie de la Tierra (no considerar rozamientos). aterriza en el planeta Venus y mide allí su peso.  tal  y  como  aparece en la figura. ¿cuál es el  valor de la energía potencial de la partícula cuando ésta se halla a una distancia infinita de la Tierra?  ¿Puede  ser  negativo  el  trabajo  realizado  por  una  fuerza  gravitatoria?  ¿Puede  ser  negativa  la  energía  potencial  gravitatoria?    Página 29  . en un instante dado. 9 33 erg s-1 Solar Temperature To 5.463 17 cm Solar mass Mo 1.  JUNIO  2001.23342 -1 0. DE  SELECTIVIDAD.    El  satélite  de  investigación  europeo  (ERS‐2)  sobrevuela  la  Tierra  a  800  km  de  altura.976 27 6.                  Astronomical Units/Data   NAME   SYMBOL NUMBER EXP CGS UNITS -------------------------------------------------------- ---- Astronomical unit AU 1. fijo por el otro extremo.899 30 7.418 26 3. DE  SELECTIVIDAD. Un cuerpo de 10 kg se lanza con una velocidad de 30 m s‐1 por una superficie lisa y horizontal hacia el extremo libre de un  resorte horizontal.87096 -1 0.99987 -1 0.  JUNIO  2001.050 8 7.96 10 cm Solar luminosity Lo 3.378 8 9. G R A V I T A C I Ó N.  Suponga  que  la  Tierra  redujese  su  radio  a  la  mitad  manteniendo  su  misma  masa.086 18 cm Light year ly 9.047826 Página 30  .  Suponga su trayectoria circular y su masa de 1000 kg. B) Si  suponemos  que  el  satélite  está  sometido  solamente  a  la  fuerza  de  gravitación  terrestre.093404 Jupiter 1.397 8 1.99 33 g Solar radius Ro 6.    a) Analizar las variaciones de energía que tienen lugar a partir del instante anterior al impacto con el resorte y calcular  la máxima compresión del resorte.303 26 2.439 8 3.      b) Discutir en términos energéticos las modificaciones relativas al anterior apartado si la superficie horizontal tuviera  rozamiento.870 27 6.523705 0 0.204529 0 0.006783 Earth 5.496 13 cm Parsec pc 3.  A)  ¿Aumentaría  la  intensidad  del  campo  gravitatorio  en  su  nueva  superficie?  B)  ¿Se  modificaría  sustancialmente  su  órbita  alrededor del Sol? Justifique las respuestas.  ¿por  qué  no  cae  sobre  la  superficie? Razone las respuestas.140 9 5. A) Calcule de forma razonada la velocidad orbital del satélite.205622 Venus 4. de constante elástica 200 N/m.780 3 K -------------------------------------------------------- ---- NAME MASS (g) RADIUS (cm) SEMI-MAJOR (AU) ECCENTRICITY -------------------------------------------------------- ---- Mercury 3.016684 Mars 6.    26. Tema 1 24.    25. se hacee P. No lo sabemoss. que el universo creció tremeendamente naada más naccer. provoccó una tre emenda expanssión del universo o. y en una R. loss fotones. se convirtió ó en "la oveja negra". el cossmos ya tiene un u Respu uesta. Estábamos en el universo ya macroscópico. su madre y sus tres t hermanoss-. ¿Có ómo sería? P. en parttículas elementa ales. R. Professor de la Unive ersidad Autóno oma de Madrid d. P. EEn aquel tiempo las temperaturas eran muy altas y la as reacciones P. Pero tam mbién aborda la misteriosaa energía oscu ura que. físico de parttículas. emmpezaron a unirr neutrones y prrotones formand do los prrimeros núcleos atómicos de los elementos lige eros. La universso. ¿Sigue sin tra ansparente.. R. cuando c leyó el libro Universo. que tenía unos 400. no es nada cuuya abundancia relativa se ha m medido con bas stante dentro del espacio-tiempo. Fue a loss 14 años -aho ora tiene 39-. del orden o de centím metros. sino que es e el propio prrecisión. ¿Puede coontarme la histooria del universo o P.. Sería la fase inttermedia entre un u origen cuánttico núúcleo atómico). no de modo inflacionario-. ¿Y las estrellass y galaxias? ocurrióó un crecimiento o exponencial. Hayy indicios de quee en el universo o muy primitivo P. al final de la infflación. assí infflación es algo equivalente e a quue una canica crezca c que soon especulacionnes. ¿De dónde salle toda esa energía inicial? R. coomo para que lo os electrones se e unan a los núc cleos formando átomoss. Se forman los quarkss (las partículass fundamentales s del R. dice. Más tarde el universo se enfría lo sufiiciente espaciio-tiempo el que e se va creandoo al expandirse. desde lueg go. podríamos p tenerr tamaño macroscó ópico. que luego upermasivos. P. Al optar po or la físicca. y estamos hablando o de las primeraas obbservable hoy día.. los gluones. ¿La a inflación es la frontera a partirr de la cual se R. Pero no tenemos pruebas de d ese inicio. Loss fotones emitido os entonces nos comprobarse? lle egan ahora como radiación de ffondo. La inflación se ideó ó hace 20 años. y se Página 31  . ¿Seguimos con la historia del universo? según lo que saben ahora a los científicos? R.Madrid M EL PAÍS P . aunque cada c uno hace predicciones p R.. aunque sigue e siendo muy por la gravedad cuánttica en el que se e originó el peequeño: algunass fracciones de centímetro. Creo C que se logrrará probar la au umentaron de de ensidad y dieron lugar a las priimeras inflació ón con la deteccción de las onda as gravitacionales es strellas. Pregunta. En realidad. en una familia a de biólogos -su padre. radiación. García a-Bellido es cossmólogo teóric co y se dedica a explorrar en el Big Ba ang aquel instaante del universso primitivo en que una ignotta energía iniciaal se convirtió en radiación. La idea i es que una a cierta densida ad de energía. Tema 1 ENTRE EVISTA: JUA AN GARCÍA A-BELLIDO Cosmólogo "L La energía osscura es repulssión gravitato oria" Los coosmólogos esttán intentandoo comprobar una u idea feliz.. al parecer. de Isaac Asim mov.. alcanzanndo un tama año de fraccciones de centím metro. B ALICIA A RIVERA . Juan García-Bellid G do investiga lo l que pudo pasar en esse cosmos primittivo. pero poco después se espaciio preexistente.000 millo ones de años. Podría haaber un momen nto inicial regido o tamaño respetablle. El Big B Bang no es una u gran explossión dentro de un u nuucleares muy acctivas.000 0 años. hace un nos 13. De lo que pasó p dee repente hasta el tamaño de to odo el universo inmediiatamente. Así es. en unos diez d años habráá equipos capacces po osible que surgieeran también aggujeros negros de haccerlo. y se va a enfriando a meedida que se ex xpande convie erte en el cosmo os que vemos? -yaa normalmente.20-07--2005 Juan García-Bellido Capdevila reccuerda exacta amente cuándo o surgió su fasscinación por el universo y decidió que su s vocación era investig garlo.600 milloones de años. p tener una u escala maccroscópica. EsE que ge enera. Después de la a inflación. Cuando el cosmos tiene ya fraccio ones minúsculass de segundo. es un nivel de e energía muy fracció ón de segundo pasó p de ser un objeto o su uperior al que po odemos ahora e explorar con nue estros microsscópico dominad do por la mecánnica cuántica a ac celeradores de partículas... En el momentoo de emisión dee esa radiación ded concreetas que podem mos comprobar fondo había unoss ligerísimos gru umos de materia a que experimmentalmente. su s formaran lass galaxias. desde el prrimer segundo dde un universo que q tie ene 13. Desd de ese y una realidad r regida fundamentalme ente por la física a mo omento hasta ahora a tenemos la historia basta ante clásica a. No es una explosióón y. se traducce en aceleracción del Big Bang. cuyo origen o y naturale eza no conocem mos aún. la teooría del Big Banng desarrollada en los últimos 606 añños empieza en ese momento. P. la energíaa se convierte en e hoy díaa algunos indiciios: la época infflacionaria. ya no hay elecctrones libres y el unniverso. claara. G R A V I T A C I Ó N. Pero P dentro de este essquema genera al hay muchos modelos m posible es de infla ación.. Sí. por la atracción gravitatoria. R. Uno es un satélite para estudiar varios miles de R. pero en un momento algo empezó a ser dominante y se aceleró. En resumen: la expansión fondo y la distribución de materia en el universo.000 o años? 6. de la que están hechas estrellas y aumentado su volumen. y sólo un 5% es universo a partir de un cierto momento. si la expansión del aceleración? universo estuviera frenándose. para que corresponden al universo algo más joven. Todavía no lo sabemos. propuesta en la que participa un grupo español. ¿Se han hecho más observaciones de la deberían dada su distancia. ¿Cuánto tardarán en descifrar la energía oscura. y creíamos que debería hacerlo cada R. La hipótesis más sencilla es que se trata de la constante cosmológica que Einstein introdujo en su Página 33  . por la universo estático. Es posible que mucho más. Y se ha medido P.. 10 cuándo: ese cambio se produjo hace unos 5. ¿La materia oscura? cosmológica? R. la observar supernovas. que algo descubrió que está en expansión. oscura. Sí. naturaleza. Entonces se planetas y nosotros. Tema 1 se fueron agrupando en cúmulos. en la radiación de fondo. Una repulsión gravitacional. Pero conocemos la naturaleza de la energía oscura. cuya P. Pero con esto no estamos más que vez más despacio. No despacio. ¿Y el resto del universo? P.000 millones de años. tipo Ia. Por ello dedujeron que estaba acelerándose. que se añade a la materia común y a la materia oscura? R. y no antes. se veían con menos luminosidad de lo que P. una más lejanas y se comprobó que a distancias mayores. cada vez más tenemos mayor precisión en las medidas. Todo lo que he descrito hasta ahora se está expandiendo. dos grupos independientes observaron que único que podemos hacer por ahora es estudiar sus objetos luminosos muy intensos. Pero luego se velocidades de rotación de las galaxias. del universo iba frenándose. donde quedaron plasmadas pequeñas inhomogeneidades. Podría tratarse de partículas exóticas que por eso acelera la expansión. Es la llamada energía oscura. R. pero también la radiación de expansión era decelerada. P.. en lugar de atracción. lo en 1998. R. Pero hay algo más: sabemos. Sí. igual etiquetando nuestra ignorancia. G R A V I T A C I Ó N. ¿La energía oscura es el 70% del cosmos. situadas a cientos de millones de años luz de nosotros.. Cierto. las supernovas de consecuencias. aunque cada día que al lanzar una pelota al aire sube. El universo siguió teoría de la relatividad para ajustarla y obtener un expandiéndose. Tiene una densidad de se crearon al final de la inflación. hasta que se para y empieza a caer. ¿Qué sería esa energía oscura o constante P. invisible está actuando gravitacionalmente. P. pero se estudiaron otras supernovas mucho supernovas. Sí. por lo que se hace evidente en el supone un 25% de todo lo que existe. respondiendo así a sus prejuicios distribución de materia en los cúmulos y por las clásicos de un cosmos estable. Y ahora hay dos proyectos para observarla mejor. y ya no hacía falta. Otro es el Dark Energy Survey. Es todo un dilema porque no conocemos su R. Se planteó que podía haber polvo debilitando su evolución en el tiempo informa acerca de esa energía luz. cuando ha materia normal. que tengamos que P. aprecia la aceleración.. ¿Por qué esa aceleración? esperar a tener nuevos conocimientos fundamentales de gravitación cuántica para desvelar su naturaleza. La materia oscura energía constante. G R A V I T A C I Ó N. Tema 1.  Problemas de Selectividad 1)  Un  cuerpo  se  lanza  hacia  arriba  por  un  plano  inclinado  de  30º,  con  una  rapidez  inicial  de  10  m/s.  Se  pide:  a)  explica  cualitativamente como varían las energías cinética, potencial y mecánica del  cuerpo durante la subida; b) ¿Cómo variaría la  longitud recorrida si se duplica la velocidad inicial? ¿y si se duplica el ángulo del plano? Tomar g=10 m/s2.    2) a) Explique el concepto de velocidad de escape y deduzca razonadamente su expresión; b) ¿Qué ocurriría en la realidad si  lanzamos un cohete desde la superficie de la Tierra con una velocidad igual a la de escape?    3) Un muelle de constante elástica 250 N/m horizontal y con un extremo fijo, está comprimido 10 cm. Un cuerpo de 0,5 kg  situado en su extremo libre, sale despedido al liberarse el muelle. A) Explica las variaciones de energía del muelle y del cuerpo  mientras se estira el muelle. B) Calcula la velocidad del cuerpo en el instante de abandonar el muelle.    4) Una masa de 250 gramos que parte del reposo desde una posición situada a 0,5 metros de altura sobre el suelo se deja caer  deslizando por un plano inclinado, llegando al suelo con una rapidez de 2 m/s. ¿cuál ha sido el trabajo realizado por la fuerza de  gravedad y cuál el efectuado por la fuerza de rozamiento?  Sol: a) 1,225 J ; b) ‐0,725 J.    5) Un satélite describe una órbita en torno a la Tierra con un período de revolución igual al terrestre. A) Explica cuántas órbitas  son posibles y calcule su(s) radio. B) Determine la relación entre la velocidad de escape en un punto de la superficie terrestre y  la velocidad orbital del satélite.     6) En una región del espacio existe un campo gravitatorio uniforme de intensidad g, representado en la figura por sus líneas de  campo. A) Razona el valor del trabajo que se realiza al trasladar la unidad de masa desde el punto A al B y desde el B al C. B)  Analiza las analogías y diferencias entre el campo descrito y el campo gravitatorio terrestre.    7)  Sean  A  y  B  dos  puntos  de  la  órbita  elíptica  de  un  cometa  g = 6 N/Kg alrededor del Sol, estando A más alejado del Sol que B. A) Haga un  análisis  energético  del  movimiento  del  cometa  y  compare  los  C valores de la energía cinética y potencial en A y en B. B) ¿En cuál  de  los  puntos  es  mayor  el  módulo  de  la  velocidad'  ¿Y  el  de  la  AB = AC = 2 m aceleración?.    Otros problemas...  A B 8) Dos partículas puntuales de masa m, se encuentran fijas en los  puntos (a,0) y (‐a,0). Calcular: a) campo gravitatorio en un punto de la mediatriz del segmento que une ambas masas, en función  de la ordenada del punto; b) velocidad de una tercera masa puntual m, inicialmente en reposo en el punto (0,b), al pasar por el  origen.    9) Una masa puntual de 8 kg está situada en el punto (0,0). Calcular: a) punto del eje OY en el que habría que colocar otra masa  puntual  de  6  kg  para  que  una  partícula  libre,  de  2  kg,  se  encuentre  en  reposo  en  el  punto  (0,2)  m;  b)  energía  potencial  gravitatoria de la partícula.  Sol.: 3,71 m; ‐9,96∙10‐10 J    10) Calcular: a) la altura sobre la superficie terrestre a la que el valor de g se ha reducido a la mitad; b) potencial gravitatorio  terrestre en un punto situado a 6370 km de distancia de la superficie de la Tierra. (Tomar el radio terrestre como 6370 km y su  masa como 6∙1024 kg)  Sol.: 2638 km; ‐31,21∙106 J/kg    11) Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba desde la superficie terrestre con una rapidez de 1000 m/s. a) Calcular la altura  máxima  que  alcanzará.  b)  repetir  el  cálculo  despreciando  la  variación  de  g  con  la  altura  y  comparar  el  resultado  con  el  del  apartado anterior.(Usar los datos del ejercicio  10).  Sol.: 51,43 km ; 51,02 km    12) Calcular: a) el trabajo que hay que realizar para trasladar un cuerpo de 20 kg desde la superficie terrestre hasta una altura  igual al radio de la Tierra; b) rapidez con que habría que lanzarlo para que alcanzara dicha altura. (Usar los datos del ejercicio 9).  Sol.: 6,24∙108 J ; 7,9 km/s    13) Un satélite artificial describe una órbita circular a una altura igual a tres radios terrestres sobre la superficie de la Tierra.  Calcular: a) rapidez orbital del satélite; b) aceleración del satélite (Usar los datos del ejercicio 9)  Sol.: 3,95 km/s ; 0,6125 m/s2    Página 34  G R A V I T A C I Ó N. Tema 1 14) Un satélite se encuentra en órbita geoestacionaria. Calcular: a) rapidez del satélite; b) radio de la órbita. (Usar los datos del  ejercicio 9).  Sol.: 3,07 km/s ; 42208 km    15) Calcular la velocidad de escape para un cuerpo situado en: a) la superficie terrestre; b) a una altura de 2000 km sobre dicha  superficie. (Usar los datos del ejercicio 9).  Sol.: 11,2 km/s ; 9,74 km/s    16) Un objeto que tiene una masa de 70 kg en la superficie de la Tierra se encuentra en la superficie e un planeta cuyo radio es  el doble del terrestre y cuya masa es 8 veces la de la Tierra. Calcular: a) el peso del objeto en dicho lugar; b) tiempo de caída  desde una altura de 20 metros sobre la superficie del planeta. (Usar los datos del ejercicio 9).  Sol.: 140 kp; 1,43 s.    17)  Estimar  la masa de  un planeta de 70000 km  de radio si un  cuerpo que se deja caer  desde  50   metros de  altura tarda 2  segundos en llegar al suelo.  Sol.: Aprox. 18,3∙1026    18) Desde la superficie de la Luna se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo con una rapidez  de 500 m/s. Calcular la altura  que alcanza. La masa de la Luna es de 7∙1022 kg y su radio de 1700 km.  Sol.: 81,3 km    19)  Si  en  cada  uno  de  los  vértices  de  un  cuadrado  de  1  metro  de  lado  hay  una  masa  de  1  kg,  calcula  el  valor  del  potencial  gravitatorio y la intensidad del campo gravitatorio en el centro de ese cuadrado.  Sol.: ‐37,7∙10‐11 J/kg ; nulo    20) Dos masas puntuales de 4 kg y 5 kg están separadas 1 metro. Si al soltarlas se mueven ambas bajo la única acción de su  atracción gravitatoria, calcular sus respectivas aceleraciones.  Sol.: 3,3∙10‐10m/s2; 2,7∙10‐10m/s2    21) Un meteorito se encuentra inicialmente en reposo a una distancia sobre la superficie terrestre igual a 6 veces el radio de la  Tierra.  Calcular  la  velocidad  con  que  llegaría  a  la  superficie  terrestre  si  en  su  caída  prescindimos  del  rozamiento  con  la  atmósfera.  Sol.: Aprox 10 km/s    22) Uno de los satélites de Júpiter describe una órbita de 2∙106 km de radio en 400 horas. Calcular la intensidad del campo  gravitatorio en la superficie de Júpiter sabiendo que su radio es de 74000 km  Sol Aprox. 27 m/s2    23) Desde la superficie terrestre se lanza un cuerpo para que se ponga en órbita de radio doble del  terrestre. Calcular: a) la  velocidad de lanzamiento; b) la velocidad orbital; c) el periodo de la órbita.  Sol.: 9,68 km/s; 5,59 km/s; 14380 s.    24)  Sabiendo  que  en  la  superficie  terrestre  el  módulo  de  la  intensidad  del  campo  gravitatorio  es  de  9,8  m/s2,  calcular  la  intensidad del campo gravitatorio en la superficie de Marte, sabiendo que su masa es 10 veces menor que la de la Tierra y su  radio es la mitad del terrestre.  Sol.: 3,92 m/s2    25) Con los datos del ejercicio anterior, determinar la velocidad de escape de la superficie de Marte.  Sol.: Aprox 5 km/s    26)  Consideremos  la  Tierra  como  un  cuerpo  aislado  y  de  radio  6380  km.  Se  desea  lanzar  un  satélite  de  65  kg  de  masa  que  describa una órbita ecuatorial de radio tres veces el radio terrestre desde un punto del ecuador en el que la g = 9,8 m/s² y hacia  el este. Calcula la energía necesaria para poner en órbita el satélite. Si una vez puesto en órbita pierde energía por rozamiento,  ¿qué ocurrirá?.  9 Sol: 3,379∙10  Julios; caerá a una órbita más baja.    27) Un automóvil de 1000 kg de masa pasa del reposo a una velocidad de 100 km/h en 9 segundos. Si no existe el rozamiento,  ¿qué potencia desarrolla?. En ese instante pasa a circular por una superficie de coeficiente de rozamiento 0,2 y se desconecta el  motor. Determina la distancia recorrida antes de pararse. ¿Dónde va a parar la energía que tenía el coche?    28) Un dispositivo de arrastre utiliza un cable de acero para tirar de una vagoneta de carbón de 2500 kg de masa, a lo largo de  un plano inclinado de 30º de inclinación salvando un desnivel de 15 metros. Sabiendo que el movimiento de la vagoneta es  uniforme y que el coeficiente de rozamiento con los rieles es de 0,4, se pide: a) Esquema de las fuerzas que actúan sobre la  Página 35  G R A V I T A C I Ó N. Tema 1 vagoneta, calculando la fuerza que cada una de las cuatro ruedas aplica sobre el raíl. B) La tensión que soporta el cable. C) La  potencia desarrollada por el dispositivo elevador, teniendo en cuenta que la elevación se produce en 30 segundos.    29)  Una bala de  masa  m y velocidad v, pasa a  través de  la esfera  de un  péndulo,  de masa  M y  longitud  l, saliendo  con una  velocidad v/2. ¿Cuál es el menor valor de v para el cual el péndulo completa una circunferencia?    30) En lo alto de un balón de radio R se coloca una moneda de masa m. Si se le da a la moneda un ligero empujón horizontal y  ésta se desliza a lo largo de la superficie del balón sin rozamiento, calcula: el punto en el que abandona la superficie esférica, la  velocidad en ese punto y la velocidad con la que llega al suelo.          Página 36  mientras que las de “signos contrarios” se atraen. cargas del mismo signo se repelen y cargas de diferente signo se atraen. Vamos a comenzar recordando brevemente algunos aspectos generales de la INTERACCIÓN ELÉCTRICA. en realidad se quiere decir que contiene un exceso de uno de los dos signos. para algo más adelante verlas en conjunto como interacción electromagnética. hasta que gracias a los trabajos de J. La materia contiene generalmente el mismo número de unas que de otras. Clerck Maxwell y otros. es necesario –primeramente. al fin y al cabo a algunos de estos tipos. Tiene su origen en la estructura íntima de la materia: protones y electrones de los átomos que la forman. • La unidad de carga en el S. Por tanto. es el culombio (C). y está presente en cualquier porción de la misma. Es relativamente fácil “romper la igualdad protones/electrones” en ALGUNOS cuerpos. • Existen dos tipos de cargas de propiedades opuestas que arbitrariamente se denominan positiva y negativa. y por tanto “suministrarles carga”. Es este un tema de investigación muy candente y apasionante en la actualidad.estudiar las interacciones eléctricas y magnéticas por separado. de modo que todas las que se estudian obedecen. que los objetos (al menos uno de ellos) “pose carga eléctrica”. los científicos creen que en los primerísimos instantes de vida del Universo. Hasta no hace demasiado tiempo. y que posteriormente “se separaron”. lo que los permite clasificarlos en cuerpos CONDUCTORES y AISLANTES. “De rerum natura”. Hasta llegar en este curso a ese punto. en concreto. Al igual que la masa. todas las fuerzas que hoy se nos manifiestan debieron estar unidas en una sola. Sólo se manifiesta entre cuerpos en los que NO se da la igualdad entre protones y electrones en los átomos que forman su estructura (se dice entonces que los cuerpos están cargados) de modo que cuerpos con “igual tipo de carga” se repelen. • La carga eléctrica es una propiedad fundamental de la materia. la carga eléctrica es una propiedad más de la materia que no siempre se manifiesta. al menos tal y como la conocemos hoy. Evidentemente NO todos los cuerpos responden igualmente ante esos procesos.I. La que denominamos interacción eléctrica se caracteriza por ser una interacción a distancia. • La cantidad de carga total permanece invariable. las interacciones eléctricas y magnéticas se creían independientes. de modo que a igualdad de estas partículas en los átomos que forman la sustancia. La física de hoy ha sido capaz de estudiar lo que se cree que fue el Universo hasta los 10-43 segundos de vida (tiempo de Planck) pero es incapaz de estudiar lo que sucedió en el Universo para tiempos menores de vida que ese: la física a partir de ese instante tan extremadamente pequeño “no funciona”. • Los fenómenos de electrización por frotamiento evidencian la existencia de las cargas y de las acciones que tienen lugar entre ellas. El deseo de “unir todas las interacciones” de la Naturaleza en una sola (al estilo de lo que sucedió con la electricidad y el magnetismo) es el sueño de los físicos de hoy. · TEMA 2 · Interacción Eléctrica y Magnética  "La ignorancia de las causas hace atribuir a los dioses el imperio de la Naturaleza” (Lucrecio. de doble naturaleza (atractiva o repulsiva) que la diferencia (entre otros factores más como veremos) de la interacción gravitatoria. se pudo demostrar que en el fondo “eran dos caras de la misma moneda”. nuclear fuerte y nuclear débil. por lo que no manifiesta propiedades eléctricas. electromagnética. Para investigar en esa dirección y encontrar lo que se ha dado en llamar la “Teoría Unificada de Campos”. es requisito indispensable para que aparezca esta interacción. no se muestra esta interacción. libro VI) Las interacciones en la Naturaleza pueden clasificarse en cuatro tipos: gravitatoria. . Al decir que un cuerpo está cargado. cuyo sentido es el que se indica en la figura. La ley de Coulomb.  La electrización por frotamiento no se presenta en todos los cuerpos. Para cualquier otro medio material su valor es siempre menor. Esto supone que el medio material disminuye la interacción eléctrica entre cargas. ε donde ε es una nueva constante denominada permitividad del medio. 2 u r r siendo F la fuerza que actúa sobre la otra carga. E L E C T R O E S T Á T I C A   y   M A G N E T I S M O. Situando el Sistema de Referencia en una de las cargas. en los que NO se aprecia. la ley de Coulomb puede expresarse matemáticamente como: r Q1 . Además de confirmar la hipótesis de Priestley. fue el primero en hacer una hipótesis mediante analogía con la ley de gravitación de Newton acerca de la relación existente entre las fuerzas que se ejercen dos cuerpos cargados eléctricamente y la distancia que los separa. el valor de K es. no la contrastó mediante ningún experimento. y esto nos permite clasificar las sustancias. tuvo que inventar una técnica para obtener cargas variables de valor relativo conocido. Coulomb demostró que la fuerza eléctrica era directamente proporcional a la magnitud de las cargas. científico inglés emigrado a Norteamérica al haber sido perseguido en Inglaterra por sus ideas liberales. Esta hipótesis consistió en suponer que la fuerza que se ejercen dos cuerpos cargados es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Precisamente. 1. En la interacción eléctrica. en el vacío.) Valor de la constante K. Como no existía en su época ningún método para medir las cargas. aproximadamente. el valor de K depende de las características del medio en el que se encuentran las cargas. y K una constante de la que ahora hablaremos (Deduce su unidad en el S. con la diferencia de que en algunos. la constante K se expresa del siguiente modo: 1 K = 4. Actualmente esto se interpreta diciendo que los metales son con- ductores de la electricidad: al frotarlos. Hay algunos. En realidad. Con el fin de simplificar las expresiones. Q 2 r F = K. el comentado anteriormente. Aunque Priestley formuló la hipótesis.π . Página 38  . En realidad. ur un vector unitario en la dirección de la línea que une ambas cargas. lo que ha sucedido ha sido un intercambio de electrones entre los materiales. el exceso de carga circula fácilmente hasta nuestras manos.I. esos electrones pueden "circular" por el material. pero su valor varía al cambiar de medio. Esto lo hizo el francés Charles Coulomb (1738-1806) mediante un dispositivo conocido como balanza de torsión que él mismo inventó (ambos en la foto). impidiendo que ésta circule. el medio en que se hallan las cargas afecta al valor de la fuerza ejercida. como los metales. en dos tipos: eléctricas (las electrizables por frotamiento) y no eléctricas. Todo sucede como si el medio fuese realmente responsable de transmitir la interacción. Las sustancias que se electrizan por frotamiento NO SON conductoras y retienen el exceso de carga.   Tema 2. Joseph Priestley (1773-1804). K es constante para un medio determinado. como se ha dicho. y por tanto se descargan con la misma facilidad con que se cargaron.  ni ninguna forma de vida que dependa de estrellas del tipo solar para su sustento. Calcula el  magnitud vectorial. q. El cociente de la fuerza con que se atraen gravitacionalmente dos protones. el concepto de campo eléctrico. Faraday. Su unidad en el S. Cada vez que situemos la carga q en una posición. y la fuerza con que se repelen debido a su carga  eléctrica. en diferentes lugares otra carga q de igual o de diferente signo que la anterior. ‐2. Esto significa que el medio habrá  que  colocarlas  para  que  la  fuerza  entre  transmite la interacción menos eficazmente.  En  los  vértices  de  un  cuadrado  de  2  m  de  lado.  ¿A  qué  distancia  resulta de la interacción (¿Por qué?).85. actúe sobre ella una fuerza F. Históricamente este problema se superó a partir de los estudios sobre los fenómenos eléctricos realizados por el autodidacta M.10-12 C2/N. la que se produciría si la constante de la gravitación  ‐38 fuese distinta de la que es en sólo un 10  %. el sentido del campo eléctrico será uno u otro. introduciremos el campo eléctrico del mismo modo a como lo hicimos con el campo gravitatorio: supondremos que se dispone una carga Q. para ello. se encuentren   alejadas de los dos extremos que corresponden a las enanas rojas (frías. podemos olvidar la carga que lo produce y afirmar que al situar una carga q en un punto del espacio en donde el valor del campo es E. (Principio de superposición) n v v E T = ∑ Ei i =1 Página 39  . Si conocemos el valor del campo en los distintos puntos del espacio. es el N/C. convectivas y pequeñas) y las gigantes azules (calientes. Cuanto más alta es esa constante. cabe la posibilidad de calcularlo cuando es producido por varias cargas. cuyo módulo. 1 y 5 mC. al situarla en ese punto: v “No  debemos  confundir  la  carga  (o  v F Q v E = = K 2 ur cargas)  que  crean  el  campo  con  la  carga  q r testigo  (o  de  prueba)  que  nos  permite  detectarlo”  Lógicamente. dirección y sentido valor del campo eléctrico en el centro del cuadrado y  dependen únicamente de la posición que ocupan las cargas la fuerza que actuaría sobre una quinta carga de 4 mC  que crean el campo.  Dos  cargas  eléctricas  se  encuentran  vacío.   radiativas y grandes). El valor de este cociente da lugar a que exista un   equilibrio de fuerzas dentro de las estrellas que hace que casi todas ellas. se obtendrá como suma vectorial de cada uno de los campos eléctricos individuales. Definimos el campo eléctrico (o intensidad de campo eléctrico) creado por una carga Q.I. Por ello. Luego. no estaríamos aquí para narrarlo. por ejemplo. ε0 = 8. se generalizaron sus conclusiones para la interacción gravitatoria.m2. menor es la fuerza que separadas  una  cierta  distancia. cuya similitud con la ley de la gravitación de Newton es patente. dependiendo del signo que posea Q. es crucial para la determinación de la estructura de las estrellas. Todo sucede como si la carga Q produjera en el espacio que la rodea una modificación que denominaremos Campo Eléctrico.  Esto es. utilizando. que allí se depositara. como la fuerza que se ejerce en cada punto sobre la unidad de carga positiva. Una ligerísima alteración en ese valor. CAMPO ELÉCTRICO. atractiva o repulsiva (según los respectivos signos de las cargas) y cuyo valor viene dado por la ley de Coulomb. sobre ésta actuará la fuerza: F = q · E. el campo eléctrico es una situamos cuatro cargas de 3. LÍNEAS DE FUERZA La ley de Coulomb. En tales situaciones.  Tal y como ha sido definido. El campo eléctrico hace que al situar allí otra carga.  2. en cuanto a sus masas y luminosidades. presenta el mismo problema que presentaba aquélla: cómo explicar la acción a distancia. Q2.  Al ser el campo eléctrico una magnitud vectorial. se dice que el campo eléctrico presenta “manantiales” y “sumideros”. el campo eléctrico total. E L E C T R O E S T Á T I C A y M A G N E T I S M O. No existirían estrellas como el Sol. alrededor de la cual situamos. sería suficiente para que todas las estrellas tuvieran que ser gigantes azules o   enanas rojas. Tema 2 Para el vacío. De ahí el nombre de ellas se reduzca a la cuarta parte?  constante dieléctrica (no eléctrica). aparecerá sobre ella una fuerza. Por ello. Cualquier medio material ofrece una constante de permitividad mayor que la del Q1. En cambio. su valor es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que existe entre ambos.  Analogías  y  Diferencias  entre  el  campo  gravitatorio  y  el  campo eléctrico  Al comparar las expresiones que nos permiten calcular el campo gravitatorio y el campo eléctrico a una distancia r del cuerpo que lo crea: v M v g = −G 2 ur r v Q v E = K 2 ur r encontramos una serie de analogías y de diferencias Q. g. valor y signo de las cargas que crean el campo. Sin embargo. en cada punto del espacio de su entorno. Algunas situaciones simples son las que aparecen en la figura. son radiales.1. calcular la energía cinética a los 3 s. E L E C T R O E S T Á T I C A y M A G N E T I S M O. • En segundo lugar. Representación del campo eléctrico: líneas de fuerza. dado que la constante K varía de un medio Página 40  . De este modo. el campo gravitatorio creado por un cuerpo. (de igual o diferente signo) ya que entonces esas regiones del espacio se ven sometidas a la acción conjunta de los campos eléctricos individuales. Q3. Tema 2 1. Por ello. • En primer lugar. esto es. al ser G una constante universal. Si su masa es de 10‐2  estudio de la Física. “entrando” o “saliendo” de la carga. en donde en cada punto de las líneas de fuerza (sólo se han representado algunas) el vector campo eléctrico es en ellos tangente. el vector campo eléctrico sea tangente a ella. Una carga eléctrica que se mueve dirigiéndose  al Norte. penetra en  una región en la que existe un campo eléctrico uniforme dirigido hacia el  Este. y por lo tanto.  Sin embargo. ambos campos resultan ser campos centrales. Asimismo. ya que su dirección es la de la línea que une un punto con el lugar donde se encuentra la carga o la masa que crea el campo. Ya que alrededor de una carga eléctrica Q se crea un campo eléctrico. más que representar multitud de vectores (uno para cada punto del espacio con un valor de campo eléctrico) es conveniente hacer uso de un artificio geométrico muy útil: las líneas de fuerza. es independiente del medio que rodea al cuerpo. Una línea de fuerza se dibuja de tal modo que en cada punto de la misma. La representación de tales líneas varía según la disposición. ¿Qué le sucede a la carga? ¿Y si fuera negativa?  1. de sus líneas de fuerza. la magnitud E tiene un valor que se debilita con la distancia. las líneas de fuerza que corresponden al campo eléctrico creado por cargas eléctricas puntuales.2.4 N/C. la situación más interesante se presenta en regiones del espacio en donde existen dos o más cargas eléctricas. según el signo de la misma (manantiales y sumideros).5 Se introduce una carga de 10‐6 C en un campo  interesantes que se irán viendo conforme se progrese en el eléctrico uniforme de 0. ya podemos señalar algunas. ¿Hacia dónde se moverá una carga eléctrica negativa al abandonarla  en una región en que el campo eléctrico apunta hacia el Norte? ¿Pueden  cruzarse las líneas de fuerza en algún punto diferente a aquél en que se  halla el cuerpo que crea el campo?    Q4. 1 Supongamos que disponemos de una carga positiva.10‐31 Kg. sobre ellas. S . “la densidad de líneas de fuerza” (número de líneas de fuerza por unidad de superficie) disminuye al alejarnos de la carga q+ que crea el campo. • En tercer lugar. según la carga que lo crea. Carga del electrón 1. Teorema de Gauss  3 Ya hemos deducido que el campo eléctrico se debilita con la distancia a la carga que lo produce. En una región del espacio en la que existe un campo eléctrico determinado. Una superficie de 20 cm2 forma un  Si analizamos la expresión del flujo. El ángulo α es el que forman el vector campo con el de superficie.  ¿Qué  unidad  posee?. como hemos visto. Tema 2 a otro. Evidentemente.10‐2 m. deberá ser Voltio x metro (V. el campo eléctrico tiene sentidos distintos.6. Calcular el flujo  representa y tiene por módulo el valor de ella misma. entonces. se define el flujo del campo a través de una superficie S. viene que  atraviesa  la  superficie.I.10‐2 m y la separación es de  2.   determinado por la parte convexa de la superficie.3. En general.  Entre dos placas planas paralelas hay un campo eléctrico de 104 N/C. Una idea de gran importancia en el estudio de campos es la que se conoce con el nombre de flujo. S Φ = E . en la misma medida el 2 número de líneas de fuerza también se va haciendo menor. se q+ observa que esa superficie. En la dirección del eje se manda un electrón que penetra entre las dos placas con la velocidad de 107 m/seg.10‐19 C. este vector superficie apunta hacia el exterior de la misma. más intenso será el campo eléctrico”. E L E C T R O E S T Á T I C A y M A G N E T I S M O. S. es un vector perpendicular a la superficie a la que intensidad es de 20 N/C.cos α Q. Lógicamente. la presencia de un medio material debilita la interacción eléctrica. cosa que no sucede con la gravitatoria. El campo que crea a su alrededor sabemos que es radial. En cambio. Siguiendo este criterio. situada a diferentes distancias de q+. como el producto escalar de los vectores campo y superficie: v v Φ = E. C) Distancia por debajo del eje con que chocará contra una pantalla situada a 2. en la región 1 es cruzada por mayor número de líneas de fuerza que en la región 2 y en ésta por mayor número que en la región 3..1. Por lo tanto. aparece una nueva interacción: la interacción magnética. la intensidad del campo permanezca constante. como veremos. Se puede afirmar. Complemento: Concepto de Flujo Eléctrico. . podremos concluir que la unidad en ángulo  de  60º  con  la  dirección  de  un  el S. Sin embargo.10‐1 m del final de las placas. en el caso de cargas en movimiento. “cuanto más apretadas estén las líneas de fuerza en una región del espacio. el campo gravitatorio que crea un cuerpo tiene siempre el mismo sentido. Despreciar efectos gravitatorios. que el módulo del campo eléctrico en una cierta región del espacio es proporcional a la densidad de líneas de fuerza que hay en esa región: E = ∝ n/S. B) Ángulo que forma con el eje la velocidad a la salida de las  placas. • El campo gravitatorio creado por una masa en movimiento no se altera por ese hecho. el campo eléctrico creado por un cuerpo toma distintos valores según el medio. también será “elemental”. Si el campo no es uniforme y varía de un punto a otro.m) campo  eléctrico  uniforme  cuya  El vector superficie. que está relacionado con el número de líneas de fuerza que cruzan determinada zona del espacio. dS Página 41  .6. Calcular:  A) Cuánto ha descendido el electrón cuando sale de las placas. Su sentido. tendremos que recurrir a tomar áreas elementales (infinitesimales) de modo que. además de la eléctrica. Si consideramos ahora una superficie de área constante S. el flujo que atraviese un área elemental. Su longitud es de 5. Igual sucede con el módulo del campo eléctrico. con lo que escribiremos: v v dΦ = E .  1. Si la superficie es cerrada. DATOS:  masa electrón = 9. estando dirigido hacia el cuerpo que lo crea.. una masa M vale ‐4πGM  El resultado que acabamos de obtener es de gran TEOREMA DE GAUSS:  importancia. entonces ese producto escalar E. Por analogía con el campo gravitatorio.  interior de la superficie. y dado que el en cualquier punto situado a una distancia r  flujo representa el número de líneas de fuerza. y se utiliza mucho más que la ley de Coulomb. atravesarán la otra superficie. Supongamos ahora que una carga Q+ que crea un campo dS eléctrico a su alrededor. Página 42  . el flujo total a través de la esfera será: 1 Q Q Φ= 2 • 4πr = 2 4πε r ε Lo interesante de este resultado es que siempre es el mismo. está encerrada en el interior de una Q+ superficie esférica de radio r. por lo que el flujo total a través de toda la esfera se obtendrá multiplicando el valor del campo eléctrico en cada punto por la superficie total de la misma. de Gauss.  Aplicar  el  teorema  la esfera. ya que siempre creado por una esfera conductora cargada. Vamos a calcular el flujo que atraviesa dicha superficie.  dividido  por  la  superficie cerrada es igual a la carga neta que existe en el constante dieléctrica del medio”.  podemos imaginar una esfera interior a esa superficie. Por supuesto que este número depende de cómo se oriente la superficie en el interior del E campo. es decir. el resultado seguiría siendo el mismo.dS . cos α S S El significado del concepto flujo debe quedar ahora claro: Si el módulo del campo es proporcional a la densidad de líneas de fuerza. Si en lugar de una superficie esférica de radio R que encierra a  carga hubiese varias en el interior. La máxima utilidad de este teorema se verá en estudios más profundos de Física. habrá que hallar la integral a través de toda la superficie: v v Φ = ∫ E. el campo en todos sus puntos tiene por módulo: 1 Q E= 4πε r 2 y como la superficie de la esfera es S = 4πr2. E L E C T R O E S T Á T I C A   y   M A G N E T I S M O. pero no el resultado.    Q8. Determinar el valor del campo eléctrico  la superficie que encierre la carga NO sea una esfera. ya que si E ∝ n/x. las mismas que cruzan del  centro  de  la  esfera.  Para calcular el flujo total a través de la superficie S habrá que hallar la suma de los infinitos flujos elementales. el signo de la carga encerrada sólo cambiará la demostrar que el flujo neto a través de una  dirección de los vectores.S ∝ n. siendo ahora Q la suma de todas las cargas encerradas. Si la esfera tiene un radio r. “el  flujo  del  campo  eléctrico  a  través  de  una  Ese resultado se conoce con el nombre de teorema de superficie cerrada es igual a la carga neta que existe  Gauss: “el flujo del campo eléctrico a través de una en  el  interior  de  la  superficie.  De igual modo. dividido por la constante dieléctrica del medio”. aunque podemos adelantar que es el mejor procedimiento para calcular campos eléctricos debidos a distribuciones continuas de carga eléctrica. el producto escalar E · S ha de estar relacionado con el número de líneas de fuerza que cruzan la superficie.dS = ∫ E. aunque Q7.   Tema 2. Una superficie infinitesimal dS será siempre paralela al vector campo E. en un punto P exterior a ella. el flujo que atraviesa de dentro a fuera una superficie gaussiana como la de la figura (a trazos) es nulo. y por lo tanto el campo eléctrico en su interior es nulo. el campo creado por la esfera en todos los puntos situados a una distancia r debe ser constante y en dirección radial. donde la concentración de cargas puede ser tan grande que la repulsión mutua entre ellas las haga saltar fuera del conductor. Todo conductor provisto de partes aguzadas se descarga rápidamente. basta rodearlo de una pantalla metálica conectada a tierra (jaula de Faraday). Por lo tanto: v v q Φ = ∫ E . Para hallar la intensidad de campo en P. De este modo. la carga tiende a acumularse en las zonas de mayor curvatura. E L E C T R O E S T Á T I C A   y   M A G N E T I S M O. es decir. • Intensidad de Campo producido por una esfera cargada. por el teorema de Gauss Φ=q/ε.dS Página 43  . Este fenómeno se conoce como “efecto punta”. dS = 0 = ε S Por lo tanto. Si denominamos σ a la densidad de carga en una de sus caras. σ = dq/dS. El blindaje o protección electrostática se funda en el hecho de que la carga de un conductor se halla en la parte más externa de él. es decir que E · S = E · dS.4.  1. Esto obliga a definir una “densidad superficial de carga. En el interior no hay cargas. la carga correspondiente a la superficie dS será: dq = σ. con sus cargas en reposo. Cuando se desea proteger de cualquier perturbación electrostática externa un aparato delicado. ya que de no serlo. por muy intensos que sean los campos eléctricos externos. Por otro lado v v Φ = ∫ E . sobre todo en las puntas. trazamos una superficie esférica gaussiana concéntrica con la esfera dada. Por simetría. el campo en el interior es siempre nulo. Por tanto. dS = E ∫ dS = E [ S ]0 4 πr 2 q 1 q E . dS = ∫ E . necesariamente debe estar sobre la superficie de dicho conductor. En estas condiciones. El flujo que pasa a través de esta segunda superficie esférica. dentro del conductor no hay carga. Una lámina cargada tiene distribuida uniformemente una determinada carga por ambas caras. en contra de lo que se ha supuesto. σ = Q/S” En los conductores de forma irregular. por serlo la intensidad de campo en el interior. las cargas no estarían en reposo. AMPLIACIÓN: Algunas aplicaciones del teorema de Gauss  • Distribución de carga en los conductores. Sea un conductor en equilibrio electrostático. el campo eléctrico en el interior del conductor debe ser nulo. cargada uniformemente.   Tema 2. vale. • Campo creado por una lámina conductora infinita.4πr 2 = ⇒E= ε 4πε r 2 que era lo que se quería demostrar. El campo producido por una esfera cargada con una carga q en un punto exterior es el mismo que el creado por esa misma carga considerada puntual y situada en el centro de la esfera. pero ya que ésta no puede haber desaparecido. r 2 ⎣ 4πε . y sobre la que situaremos el sistema de referencia. el campo eléctrico también es conservativo. ya que las partes del plano situadas E2 por encima del cilindro verán compensado su efecto por las partes situadas por P E debajo de éste.q U (r ) = 4πε . ya que el cilindro posee dos bases iguales. el flujo total a través de la superficie será: Φ = 2· E · A. q Q. no habrá más que recordar lo visto para el campo gravitatorio y reemplazar las masas por cargas. ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA Conviene ahora seguir nuestro estudio del campo eléctrico con lo relativo a los aspectos energéticos del mismo. R2 Como se ve. no se pierde. Esto es fácil de comprobar. de nuevo. dS = E ∫ ds = E . supondremos uno de sus ejes sobre la línea de unión entre Q y la carga q. Por lo tanto. El trabajo para mover esa carga q desde R1 a R2 vendrá dado por la expresión: R R2 v v R2 Q. la abandonamos. nuestro trabajo es devuelto por el campo. deberemos calcular el flujo a través de las bases de área A. Por ello. si recordamos que W = . es necesario realizar un trabajo externo realizado por nosotros. Supongamos que acercamos una carga positiva a otra que también lo es. + El campo en el punto P es radial.r Página 44  . y no de la trayectoria (como corresponde a las fuerzas conservativas). El campo eléctrico toma el mismo valor en todos los puntos de la superficie. En efecto. q ⎡ Q. Para conseguirlo. ya que si una vez acercada la carga. por ser perpendicular el campo al vector superficie. a su posición original. A De esta forma. E S E aplicamos el teorema de Gauss del siguiente modo: S E consideramos una superficie gausiana cilíndrica con área de base S A y calculamos el flujo a través de esa superficie. fija. Tema 2 Para calcular el valor del campo eléctrico en el punto P. situada a una distancia R1. de modo que. Por lo tanto. Lo mismo que sucede con el campo gravitatorio.A. E1 + El flujo a través de las caras laterales del cilindro es nulo.Δ U = U(1) . dr = ∫ dr = ⎢− ⎥ = − R1 R1 4πε . E L E C T R O E S T Á T I C A y M A G N E T I S M O. Consideraremos una carga Q. de modo que el flujo a través de UNA de las bases será: v v Φ = ∫ E .U(2) podremos concluir que la expresión de la energía potencial asociada a una carga q situada a una distancia r de la carga Q viene dada por la expresión: Q. ésta regresa. Para encontrar el valor de la energía potencial eléctrica comenzaremos determinando el trabajo que realizan las fuerzas del campo cuando una carga q se desplaza de un punto a otro del mismo. Esta carga es σ. Este trabajo. esta expresión sólo depende de las posiciones R1 y R2 (inicial y final). R1 4πε . q W=∫ F . nuestro trabajo realizado CONTRA las fuerzas puede ser recuperado. En virtud del teorema de Gauss. por comodidad. por lo que: 2·E·A = σ A/ε ⇒ E = σ/(2ε) 3. r ⎦ R1 4πε . q ⎤ 2 Q. ha de ser igual a la carga encerrada dividida por ε. Es decir. Por lo tanto. usada con mucha frecuencia. denominada potencial eléctrico. por lo que cabe interpretar la energía potencial como el trabajo que es necesario realizar para acercar hasta una distancia r a dos cargas que en un principio están infinitamente alejadas. Ni que decir tiene que tanto el potencial eléctrico como la energía potencial. son magnitudes ESCALARES. • Si por el contrario. De igual modo que una carga Q crea a su alrededor un campo eléctrico. 3. Esta es otra interpretación del potencial eléctrico y de la diferencia de potencial. no se pierde. Sin embargo.  y su signo dependerá del signo de las cargas. se requiere que realicemos sobre ellas cierto trabajo. Tema 2. E L E C T R O E S T Á T I C A y M A G N E T I S M O. Recordando que W = . por sí mismo. Si dejamos en libertad el sistema. podemos reescribirlo como W = q(V1 . pero una vez conocido el valor de V en cada punto. ésta será nula para una separación infinita. podemos obtener el potencial eléctrico en un punto midiendo el trabajo hecho por el campo eléctrico al mover una carga unitaria positiva desde ese punto a otro donde el potencial es cero. Si un sistema de cargas tiene una energía potencial positiva.ΔU = U(1) . ya que el proceso es espontáneo y en él disminuye la energía del sistema (es cero en el infinito). separándose las cargas y disminuyendo al tiempo su energía potencial.V donde V es el potencial eléctrico. para acercarlas hasta la distancia r no es preciso realizar trabajo. éste evolucionará de modo espontáneo. Este trabajo. se escoge en el infinito. sino que se almacena en forma de energía potencial y es devuelta por el sistema en cuanto quede libre. acercándose cada vez más las cargas. el signo negativo de la energía potencial significa que debemos realizar un trabajo SOBRE el sistema para volver las cargas a su posición original. podemos suponer que la presencia de Q permita que haya a su alrededor una propiedad. Entonces. en el campo eléctrico conviene definir la magnitud Potencial. Página 45  . de conseguirlo. Por tanto.U(2). o conjunto de ellas. El sistema es incapaz. el potencial ha de ser creado por alguna carga. Igual que para el campo gravitatorio. evolucionará espontáneamente. de tal forma que al situar en ese punto una carga q. que como hemos visto. significará que al dejarlo en libertad. ésta adquiera una energía potencial Ep tal que: U=q.  Al igual que se hizo con el campo gravitatorio. Como se deduce de la propia expresión de energía potencial.1. Siguiendo con el criterio de situar el origen de energía potencial en el infinito. La unidad de potencial es el voltio (V) y equivale a J/C. se trata de un sistema ligado. las cargas son de diferente signo. podremos olvidar la(s) carga(s) que lo origina. Concepto de Potencial Eléctrico. el concepto de potencial adquiere un significado claro: el potencial en un punto es el trabajo necesario para trasladar la unidad de carga positiva desde el infinito hasta ese punto.V2) de modo que la diferencia de potencial entre los puntos P1 y P2 será V1 – V2 = W/q o bien ΔV = -W/q De este modo podrá definirse la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos como el trabajo hecho por el campo eléctrico al mover una carga unitaria positiva de un punto a otro. a propósito de esta misma expresión conviene aclarar algunos aspectos: • Para acercar hasta una distancia r dos cargas de igual signo. como la energía potencial por unidad de carga positiva de carga colocada en ese punto: V = U(r) /q Desde luego. definimos el potencial eléctrico en un punto. Q. Tales puntos pertenecen a una superficie esférica de radio r con centro en Q. operación que realizaremos y  en  los  dos  vértices  contiguos. dr = q. se sitúa una carga de ‐20 pC  cada una de las infinitas cargas dq. E .609 · 10-19 C · 1 V = 1.  V= 4πε r Para una distribución discreta de cargas.  sendas  integrando la expresión anterior: cargas  de  10  pC.  2 Las descripciones dadas del campo eléctrico y del potencial eléctrico son complementarias. eV. bastará sustituir en la expresión de definición de V anteriormente dado los valores de U y q para ver con detalle el valor del potencial creado por esa carga Q a una cierta distancia r: Q V= 4πε . dr = q. Ya que el potencial es una magnitud escalar. E . si tenemos una agrupación discreta de cargas. De la última expresión se deduce con facilidad que todos los puntos que se encuentran a igual distancia r de Q tendrán el mismo potencial. E L E C T R O E S T Á T I C A   y   M A G N E T I S M O.602 · 10-19 J 3. Como en el campo gravitatorio.  Hallar  el  potencial  1 dq ∫ eléctrico en el cuarto vértice. Potencial creado por cargas puntuales. con lo que E. bastará hacer 1 Qi V = 4πε 0 ∑r i i 3. puede determinarse el dr otro. Ahora nos ocuparemos de tal relación.   Tema 2. Si la carga está repartida de forma continua en el espacio. Un electronvoltio es igual al trabajo realizado sobre una carga elemental e cuando se la mueve a través de una diferencia de potencial de un voltio.cos α y este trabajo ha de ser: W = . r El signo del potencial será positivo o negativo según el signo de la carga que lo crea. es decir que 1 eV = 1.  Superficies Equipotenciales. dividiremos esa carga en infinitas cargas infinitesimales dq.  Precisamente por esta última expresión.2. el valor de aquél en un punto podrá obtenerse por suma algebraica de los potenciales individuales debidos a cada carga. Si deseamos trasladar una carga desde un punto 1 al otro 2. que se usa para su estudio.cos α = -dV/dr Página 46  . El potencial producido en un punto P a una distancia r de dq será: 1 dq dV = 4πε r Q9. Relación Campo‐Potencial: una relación importante. con la carga de prueba.3. dr .cosα dr = -dV ⇒ E. como se observa en la figura. A tal superficie se la denomina superficie equipotencial.ΔU = -q dV. y considerando una carga eléctrica fundamental (la del electrón) se define la unidad de energía denominada electronvoltio. En un vértice de un rectángulo de 3 y  el potencial total lo calcularemos sumando los potenciales debidos a 4 cm de lado. α Vamos a suponer que en cierta región del espacio hay un campo 1 eléctrico uniforme paralelo al eje OX. no debemos confundir la carga que crea el campo. q. el trabajo realizado por la fuerza eléctrica sobre la carga será: v v v v W = F . ya que conocido uno de ellos.  Si es Q la carga que crea a su alrededor el campo eléctrico y el potencial. E L E C T R O E S T Á T I C A   y   M A G N E T I S M O.   Tema 2. el punto tendría que tener más de un potencial. • B.  Página 47  . uno de los factores debe ser 0. Por lo tanto. unos puntos del espacio en los que no existe variación de potencial son las que hemos denominado SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES.  Determina  a)  el  vector  intensidad  de  campo  en  el  punto  A(2. es nulo. Por ello. cos α = 0.Va) Por ser a y b puntos de una superficie equipotencial. Una carga puntual positiva de 10‐9 C está situada en el origen de coordenadas.E.  b)  el  trabajo  realizado  por  las  fuerzas  del  campo para trasladar una carga de 3 C desde A(2.  Tenemos  un  campo  eléctrico  uniforme  dirigido  verticalmente  de  abajo  hacia  arriba.10‐8 C está en  el  punto  (0. y escribir de modo general: v dV Er = − v dr “La componente del campo eléctrico en la dirección del desplazamiento puede obtenerse dividiendo el valor de la  diferencia de potencial entre dos puntos por la distancia que los separa”  Si observamos.  cuya  intensidad  es  de  104  N/C. realizaremos un trabajo: dW = q0.4)  Q12.  A)Calcular la fuerza ejercida por ese campo sobre un electrón.0 = 0 • Las líneas de fuerza son normales (perpendiculares) a las superficies equipotenciales. la última expresión también sugiere que el campo eléctrico puede medirse en V/m (Demostrar que es equivalente a N/C) Lo anterior también implica que • A. • El trabajo para transportar una carga q0 de un punto a otro de una superficie equipotencial. Buscar los datos de masa y carga del electrón.0) a B(2. Si movemos una carga q0 sobre una superficie equipotencial. B) Calcula la velocidad que adquirirá el electrón en el campo  anterior cuando haya recorrido 1 cm partiendo del reposo.0). Precisamente. puede determinarse el valor del campo eléctrico. Si no hay variación de potencial en determinada dirección. • C. la componente del campo en esa dirección es nula. lo cual es imposible ya que el potencial depende del punto considerado y es único. Calcula la diferencia de potencial que existe entre dos puntos situados en el interior de un campo eléctrico uniforme de 10  N/C. estas superficies equipotenciales.dS. como indica el signo negativo de la ecuación.  La expresión anterior puede generalizarse para cualquier tipo de campo (uniforme o no).E. cumplen una serie de propiedades: • Por un punto sólo pasa una superficie equipotencial: Si pasara más de una superficie equipotencial. puede obtenerse el valor del potencial integrando.1)  m. los vectores intensidad de campo serán perpendiculares a las superficies equipotenciales.Va = 0 y por lo tanto: Wab = q0(Vb .dS. Wab = q0(Vb .Va) = q0.cos α como dW = 0 ⇒ q0. El sentido de éste es hacia potenciales DECRECIENTES. Vb = Va ⇒ Vb . si están separados una distancia de 2 m y la línea que los une está orientada en la dirección del campo    Q11. Conocido el valor del potencial en cada punto. Q10. y el único que puede serlo es cos α por lo que el ángulo deberá ser de 90º. y otra puntual negativa de 2. Si se conoce el valor del campo en cada punto.     3. un protón se dirige directamente contra un núcleo de la lámina de oro con  6 ‐27  ‐ una rapidez de 10  m/s.  se  separan  de  modo  que  los  hilos  forman  entre  sí  un  ángulo  de  60º.    2.  Sol: 17. DE SELECTIVIDAD 1.67∙10 kg. Dos cargas puntuales iguales están separadas por una distancia d.  Se  lanza  un  haz  de  electrones  con  una  rapidez  de  107  m/s  en  dirección  perpendicular  al  campo  entre  las  placas. (JUNIO 2001). A)¿Qué trabajo se realiza al llevar la  carga desde el punto C al punto A? ¿En qué propiedad del campo electrostático se basa la respuesta? B) Si q = ‐2C ¿cuánto  vale el potencial en los puntos A y C? Si el punto C es el más próximo a la carga Q. ε0=8. En una experiencia similar a la de Rutherford. se realiza un  trabajo de 5 J.  Determinar  la  desviación  de  la  dirección  del  haz  de  electrones.  B)  Calcule el valor de la carga que se suministra a cada partícula.    5.  4 N/C. 20 cm.    Determinar  la  rapidez  de  un  electrón liberado en la placa negativa: a) en el punto medio entre las placas. Dos partículas de 10 g se encuentran suspendidas por dos hilos de 30 cm desde un mismo punto.  a  la  salida  de  la  zona  entre  las  placas. el trabajo es de ‐10 J. Determinar la velocidad con que llegará a la mesa.  pero de sentido contrario a la anterior. c) ¿En qué punto de dicha recta el potencial es  nulo?     Q14. b) A 20 cm de la negativa.  en  la  figura.  Sol: aprox 19º    7.  Determinar.  A)  Dibujar  en  un  diagrama  las  fuerzas  que  actúan  sobre  las  partículas  y  analice  la  energía  del  sistema  en  esa  situación. Dos cargas negativas iguales de 1μC cada una se encuentran sobre una mesa horizontal separadas 20 cm.  ¿cuál fue la carga comunicada a cada esferita?    9. A 50 cm sobre  la mesa y en la vertical del punto medio de la línea que une las dos cargas se coloca otra carga de 1μC cuya masa es de 1  gramo y se suelta. la separación entre ellas es de 1 cm y su longitud es de  2  cm.. ¿Qué relación debe haber entre la carga y la masa de dos partículas idénticas para que la atracción gravitatoria entre  ellas se compense con la repulsión electrostática?    8.  Entre  dos  placas  paralelas  distantes  1  cm  existe  una  diferencia  de  potencial  de  100  V. Si se traslada desde el infinito a otro punto C. En cierta experiencia se colgaron dos esferitas conductoras de 120 mg cada una de dos hilos aislantes muy delgados.  la  ddp  Vd  ‐  Vb  y  el  trabajo  necesario  para  mover  una  carga de 2  C desde el  punto D  al punto B.2∙10‐11 metros. ¿cuál es el signo de Q? ¿por qué?    4.85 10  C /Nm  (El número atómico del oro es 79)  Sol: 2..   Tema 2. ¿cuál es la posición de dicho punto?. Una carga puntual Q crea un campo electrostático. tomados en la dirección recta que une a las cargas y en el sentido de la  carga negativa a la positiva. Intensidad del  campo. La diferencia de potencial entre dos placas paralelas es de 100 V. contados en la misma dirección. colocadas a una distancia  de 10  cm..  Si es así. E L E C T R O E S T Á T I C A   y   M A G N E T I S M O. Se tienen dos cargas eléctricas puntuales de +2 y ‐5 mC. a) ¿Es nulo el campo eléctrico total en algún punto?. de  82 cm de longitud cada uno.3m/s    6.6∙10 19 ‐12 2 2  C.  Calcular el  campo y  el potencial  en  los siguientes puntos:  a) a  20  cm de la  A B carga positiva.  Sol: a) 4200 km/s. Al trasladar una carga q desde un punto A al infinito..  respecto  de  la  dirección de entrada de dicho haz (ángulo de deflexión del haz). carga del protón: 1. Cuando se suministró a cada esferita la misma carga se separaron y quedaron en equilibrio a  una distancia de 10 cm entre sus centros. B) Repetir el apartado a) si las cargas fueran opuestas. ¿A qué distancia del núcleo se volverá? Datos: Masa protón: 1.    Q13. Si se les  suministra  a  ambas  partículas  la  misma  carga. b) 5900 km/s    Página 48  . b) al llegar a la placa positiva.  Otros problemas.  Longitud  del  lado.  D C PROBLEMAS. como la magnetita.p. Tema 2. ya que ni las bolas de corcho ni los trozos de papel son atraídos por tales minerales.05  gramos  de  masa  que  porta  una  carga  eléctrica de 10‐6 C situado en el vacío a 20 cm de una segunda carga puntual fija de ‐4∙10‐6 C. Entre dos placas planas y paralelas separadas 5 cm se establece una d. Se pide:  a.    12.  una  de  ellas  tiene  un  valor  de  2  μC  y  está  situada en el punto (0. carga del electrón: ‐1.0) m. CAMPOS MAGNÉTICOS Los antiguos griegos observaron que ciertos minerales de hierro. • → Existen polos magnéticos de DOS clases. el manganeso y muchos compuestos de estos metales. la propiedad la muestran el hierro.  Si es así. la segunda de las cargas cuyo valor es ‐3μC se encuentra en el punto (4. 2.  Un protón se libera de la  plaza positiva en el mismo instante en que un electrón se libera de la placa negativa. En los vértices de un cuadrado de lado 1 metro. La distancia de la placa positiva en la que se cruzan. Magnesia.6∙10‐19 C. Las regiones de un cuerpo donde parece concentrarse el magnetismo se conocen como polos magnéticos.d. masa del protón: 1. Determina la potencia media desarrollada por el acelerador en el proceso.  En  un  sistema  de  ejes  coordenados  tenemos  dos  cargas  puntuales  fijas.2). tienen la propiedad de atraer pequeños trozos de hierro. Aparentemente tampoco está relacionada con la interacción eléctrica. 3 y 4 µC. Se alcanza el equilibrio para un ángulo de 10º cada hilo con la vertical. En estado natural. Calcula la tensión de la cuerda. La velocidad y la energía cinética con la que llega cada uno de ellos a la respectiva  placa opuesta. Determina:  a. de 1500 voltios. en donde según la tradición.  b.    15. B) Repetir el apartado a) si las cargas fueran opuestas.67∙10‐27 kg)    13.01 segundos. ¿cuál es la posición de dicho punto?.672∙10‐27 kg)    14. y un cuerpo magnetizado se conoce como imán. Página 49  . El nombre se deriva de la antigua ciudad del Asia Menor. Un protón que parte del reposo se acelera en un ciclotrón hasta alcanzar la velocidad de 2. Arbitrariamente se los designa como norte y sur. Calcula el trabajo  de la fuerza electrostática para trasladar una carga de ‐1 μC del punto A(0. a esta propiedad física se la denominó magnetismo.244∙10‐2 julios. Si la primera carga se libera. CARGAS ELÉCTRICAS EN MOVIMIENTO. ya que NO la poseen todos los cuerpos.  ¿qué rapidez llevará cuando se encuentre a 10 cm de la primera?  Sol: 85 m/s  11. (masa del protón: 1. y parece concentrarse en ciertos lugares del mineral. NO está relacionada con la gravedad. Éstos se atraen entre sí si son de distinto tipo. se colocan cargas idénticas de valor 1. Así.109∙10‐31 kg.5∙107 m/s.  (masa del electrón: 9.2) al punto B(4. La Tierra misma es un imán.0) m. a) ¿Es nulo el campo eléctrico total en algún punto?. Dos partículas de 10 gramos de masa y una carga Q cada una se suspenden de un punto común mediante dos hilos  iguales de 50 cm de longitud cada uno.  4. Por tanto. E L E C T R O E S T Á T I C A y M A G N E T I S M O.  b. Las propiedades de los polos magnéticos eran semejantes a las de las cargas eléctricas.  10. el cobalto. y se repelen al serlo de signo contrario • → La fuerza de interacción entre los polos varía con el cuadrado de la distancia que los separa. Hallar el valor del  campo eléctrico y el potencial en el centro del cuadrado. Dos cargas puntuales iguales están separadas por una distancia d.  Sol: ‐1. Determina el valor de Q. en un tiempo de  0.  Calcula  la  energía  potencial  eléctrica  asociada  a  un  pequeño  cuerpo  de  0.    16. fue observado por primera vez el fenómeno por un pastor.  este polo norte geo ográfico de la Tiierra. Esas líneas de fueerza magnéticcas. y es que si ya sabemos que e existen dos aislaarse: si partimos un imán en trrozos. pudiendo h hablar individualmente de unoo de ellos se con nvierte en un nuevo imán  cada una de ellas (positiva a/negativa). Sin n embargo. que se pondrá á de manifiestto al situar allíí otro imán.  La primera evidencia que señaló la idea de qu ue el magnetissmo debía esttar íntimamentte relacio onado con lo os fenómenos eléctricos fuee realizada po or el físico dan nés Oersted een 1919 (en la foto). Esta experiencia e pu uso de manifieesto que las coorrientes eléctricas (cargas en e movimiento o) produucen sobre la brújula los mismos m efecto os que se obsservan al aceercar a ésta u un imán. es tan Página 50  . los polos p magnéticos no puede en aislarse: si posible monopolo magnético es ttarea de la  partimos un imán en trozoss. o dicho de otro mod do: las cargass eléctricas enn movimientoo crean un ca ampo magnétitico a su alreddedor.  No eexisten los “mo onopolos” magn néticos: es  Sin embargo. William GGilbert descubriió la  razón dee que la aguja dde una brújula sse  oriente porr sí misma en diirección definid da: la  Tierra es un n imán permanente. Esta fuerza entre los con nductores sólo o aparece cuando circula corriente por ellos. La bú úsqueda del  magnéticos: es e decir. La suma de mpo magnético o que see observa en las l cercanías deld imán. y debajo dee él. La inteeracción magnética. por tanto. es el resultado r de la a existencia dee una propiedad p de la materia ya explicada: la carga. son cerradas (a diferenncia de las lín neas de fuerza a del campo eléctrico): parrten del polo norte y terminan en n el sur (por co d esas líneas magnéticas. para describirr las acciones que se ponen n de manifiestto entre imanees. un polo o magnético surr. seguiremos un proceso análogo al llevado o a cabo con las cargas elléctricas: imag ginaremos que todo imán “crea” a su alrededor a un campo magnético. Puesto qu ue el  polo nortee de la aguja dee una brújula see ve  atraído haacia el polo geoggráfico norte de la  Tierra. y en cada punto de po magnético ngente a él.. Rápidamentee. a pesar de estta diferencia. el campo magnético tambié én puede ser descrito con la ayuuda de las línneas de fuerza. la brújula se orientó ó perpendiculaarmente al hilo o. existe una principal p diferrencia entre la a interacción d decir. Cuand do cesaba la corriente. Tema 2. orientados deel mismo modo en todos loss átomo d sus efectos da como resultado el cam os. por lo tanto.  es en reealidad. la brújula b volvía a su posición original. los polos m magnéticos no pueden  eléctrica y la magnética. Oersteed situó una brújula en lass cercanías dee un hilo condductor. según el sentido de la corriente que circcula por ellos. Las líneas de fuerza deel campo magnético pueden visuallizarse de un modo muy sim mple: basta pooner sobre unn papel unas limaduras l de hierro o. Otras pruebbas experimenttales a favor de d esta idea están e en la observación de que q al situar ddos hilos para alelos y hacer circula ar por ellos una corriente de d elevada in ntensidad. cada uno d de ellos se con nvierte en un física actual. Según esto. las limadura as se orientan n según las lín neas de fuerza a. Al haccer circular un na corriente eléctrica continua c por el e hilo. un imán. los imanes naturaless se explican n admitiendo que en n su interior see producen co orrientes elécttricas. L Los fenómeno os magnéticoss NO son inde ependientes d  de la carga elé éctrica. cada  clases de carrgas eléctricass. En el año 1 1600. debidass al moovimiento de lo os electrones. Sin embargo.  4.  nuevo imán conc sus DOS polos opuesttos. t que las cargas eléctricas en movim miento produceen los mismoss efectos que los imanes. Como o el campo eléctrico. nno existen lo “monopolos” “ con ssus DOS polos o opuestos.1. E  L E C T R O E S  T Á T I C A y M A G N E T I S M O. apaarecen fuerzass de atracciónn o de repulsión. Parece. ess necesario que esass cargas esténn en movimien nto para que tal interacción n magnética aparezcca. eel vector camp onvenio). diremos que en un punto de una región del espacio existe un campo magnético B si al situar en ese punto una carga que se mueve con velocidad v. Sin embargo. de los grandes pioneros en el estudio del magnetismo. ESTUDIO DEL CAMPO MAGNÉTICO. Si este hecho lo trasladamos a las cargas móviles. resulta ser siempre perpendicular a la velocidad de la  perpendicular a la velocidad. en honor de Nicolai Tesla (en la foto). v siendo F el módulo de la fuerza máxima medida sobre la partícula. la unidad en que se mide B en el SI es el N. o no. Igual que hicimos con el campo eléctrico. modifica sólo el sentido de la velocidad. B) la fuerza alcanza su valor máximo cuando la carga se mueve en una dirección perpendicular a la anterior. EXPERIMENTALMENTE se observa que: • F es proporcional a la carga. aparece sobre ella una fuerza F.  y. dependiendo del sistema de referencia. esto es. es fácil entender que “los campos magnéticos. el campo magnético no ejerce ninguna acción sobre ella. INTERACCIÓN MAGNÉTICA. E L E C T R O E S T Á T I C A y M A G N E T I S M O. es necesario recordar el carácter relativo del movimiento. • F es proporcional al módulo de la velocidad con que la carga se mueve. aparece sobre ella una fuerza que viene dada por: v v v F = q. Por convenio. Así. los movimientos pueden ser percibidos.s/(C. Sin embargo. su acción sobre la carga testigo será la fuerza que acabamos de estudiar. caracterizada por la fuerza. Con alguna frecuencia se utiliza otra unidad denominada GAUSS con la equivalencia: 1 tesla = 104 gauss Las observaciones anteriores pueden englobarse en una sola con ayuda del concepto de producto vectorial. y su sentido se invierte si cambiamos el signo de la carga. sean relativos”. dejando inalterado el módulo de la misma. de forma que: A) existe una dirección del movimiento para la que la fuerza es nula. podemos asignar a cada punto del espacio un valor del campo magnético. Si la carga q está en reposo. La fuerza magnética es siempre  La interacción magnética. lo está a la de un campo eléctrico (a la vez) la fuerza total que padecerá vendrá dada por la suma (vectorial) de ambas fuerzas. si se mueve con cierta velocidad. • F es perpendicular al vector velocidad.(v ∧ B ) Si además de estar sometida la carga a la influencia de un campo magnético. Se define el módulo del campo magnético como F B= q. y sus efectos. transversal al movimiento de la carga carga. Sin tener presente por ahora. el origen del campo magnético. Página 51  . Tema 2 5. es decir F = q(E + v x B) Esta expresión se conoce como fuerza de Lorentz. De acuerdo con la anterior definición. se admite que la dirección del campo magnético es aquélla en que la fuerza que actúa sobre la carga resulta ser nula. vamos a imaginar una zona del espacio en donde existe un campo magnético uniforme que representaremos por el vector B. de modo diferente según los observadores. por lo tanto. y su módulo depende de la dirección de la velocidad. En efecto.m) y se denomina TESLA (T). incluidas las de la Tierra) alcanza la magnetosfera terrestre. B Precisamente. pueden deducirse las características vectoriales de fuerza. Tema 2. mientras que la otra componente. al estar alineada con las líneas vx de fuerza. pues aparecerá una fuera magnética como antes. para este caso puede escribirse que v2 mv qvB = m ⇒ r = r qB y como v = ω · r. Si además de todo esto. que en estos casos actúa de auténtico escudo protector. De este modo. mientras que la magnética sólo aparece cuando la carga se mueve de determinada manera. al sustituir en lo anterior y despejar la rapidez angular de giro ω se tendrá que q ω = B m expresión que se conoce como frecuencia ciclotrónica. En función del signo de la carga. mientras que la magnética asociada a un campo magnético estable NO trabaja cuando se desplaza la partícula. mientras que la magnética es perpendicular al campo. campo y velocidad que aparecen en la ecuación anterior relacionados (recordar la “regla F del tornillo”). como ya puede intuirse tras esta definición: • La fuerza eléctrica está siempre en la dirección del campo eléctrico. Este tipo de situaciones es la que se produce cuando el viento solar (partículas cargadas lanzadas por el sol a gran velocidad en todas las direcciones. El resultado conjunto será un movimiento “compuesto” dando una trayectoria helicoidal según el signo. • La fuerza eléctrica efectúa trabajo al desplazar la carga. ésta rotará en un sentido u otro. provocan las famosas auroras boreales. El caso “más favorable” y fácil de interpretar es aquél en que la dirección de entrada de la carga es perpendicular a las líneas de fuerza del campo magnético (uniforme). Si la dirección de entrada NO es perpendicular a las líneas de B fuerza del campo. ya que en esos casos aparecerá una fuerza perpendicular a esa trayectoria que provocará un giro de radio definido y determinable (una aceleración centrípeta). el campo magnético NO fuera uniforme. Es decir. resultan de sumo interés los casos en v que una carga eléctrica penetra en el interior de un campo O r magnético uniforme (o no) y estudiar las trayectorias posibles en función del ángulo de entrada.  Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eléctrica y magnética. Página 52  . vy v de modo que cada una producirá en efecto distinto: la componente perpendicular al campo hará que se gire el movimiento. podrá descomponerse la velocidad en sus dos F componentes: una perpendicular y otra alineada con el campo. gracias a la definición del producto vectorial que nos ayuda a definir la fuerza magnética. como se ve en el dibujo. La zona más desprotegida del campo magnético terrestre se halla en los polos y es por ahí por donde penetran esas partículas cargadas que al chocar con las moléculas de oxígeno y nitrógeno del aire. el movimiento de la partícula sería bastante más caótico que los anteriores. no habrá aceleración (ni fuerza) de ningún tipo en esa dirección y la partícula avanzará a velocidad constante. la curvatura de la trayectoria de un ión en un campo magnético proporciona un medio para determinar el signo de la carga. • La fuerza eléctrica actúa sobre una partícula cargada en todo momento. Por tanto. E L E C T R O E S T Á T I C A y M A G N E T I S M O.  sabiendo que  la fuerza  representada es  la máxima  F F que puede actuar sobre la carga (positiva)  F   ‐19 Q5. ¿Cómo se modificará el resultado si en lugar  v de un electrón se considera un protón?            B                     Página 53  . Calcula el valor del campo magnético si la dirección inicial del  movimiento del electrón es perpendicular al campo y sobre él se ejerce una fuerza de 1 N. principalmente electrones y protones. Comprobar cómo la definición de Lorentz del campo magnético cumple las observaciones experimentales anteriormente  dadas. La variación del número de estas partículas está asociada con la actividad solar.  Estos cinturones de radiación son un ejemplo de partículas cósmicas cargadas que interactúan con el campo magnético terrestre.    Q2.6. Hay pruebas de que el cinturón interior está compuesto de protones y electrones que proceden de la desintegración de los neutrones producidos en la atmósfera por la acción de los rayos cósmicos. Estos cinturones están compuestos de partículas cargadas que se mueven con rapidez.     Q6.  v v   v Q4. E L E C T R O E S T Á T I C A   y   M A G N E T I S M O. Un electrón se mueve en la dirección que se indica en la figura. Q1. El cinturón interior se extiende de 800 a 4000 km sobre la superficie terrestre. El cinturón exterior está formado principalmente por partículas cargadas que han sido proyectadas por el Sol. Su salida del cinturón de radiación es lo que causa las auroras boreales y pueden interrumpir las transmisiones de radio. en el seno de  un campo magnético.   Tema 2. Dibujar el vector campo magnético existente en cada uno de los  siguientes  casos.  y  otro  análisis  de  entrada  NO  perpendicular en un campo NO uniforme. Señala la dirección de la fuerza que actuará sobre él y dibuja  electron la trayectoria que seguirá.  CINTURONES DE RADIACIÓN DE Van Allen.  Un  electrón.  penetra  en  una  región  donde existe un campo magnético con una velocidad de 105 m/s. que están ATRAPADOS en el campo magnético terrestre.  de  carga  q  =  ‐1.10   C. mientras que el otro se extiende hasta unos 60 000 km de la Tierra. ¿Cómo podremos saber si la fuerza que actúa sobre una carga en movimiento es de origen eléctrico o magnético?    Q3. ¿Qué trayectoria seguirá una carga al penetrar en un campo magnético uniforme si se mueve con una velocidad que es  perpendicular  al  campo?  Hacer  un  análisis  de  la  trayectoria  seguida  por esta misma partícula si penetrara en un campo uniforme con una  dirección  NO  perpendicular. Calcula el trabajo que realiza la fuerza magnética sobre  ele electrón en el interior del campo.  en eel vacío. respeectivamente. por el  y un campo c magnéético si ADEMMÁS están en movimiento.I. • Depende del d medio en el e que se realiiza la experien ncia.  Calccula  el  campo  fundamental de la a materia. se suele representar con un ⊕ el campo ma agnético perpendicular al ppapel y que penetra en él. Esto se traduce en la l expresión I B=K r dondee K es una co onstante caraccterística del medio m ne como unidad en el SI el tesla. Frecuentemennte se la suele escribbir como Km = μ/4 e una constante quee en el SI vale 10-7 4π donde μ es otra v μ Q.I..   Tema 2. e fundamenttalmente. Estas brújulass se alinearán n en la direcciión del campo o magnético que q crea esa corriente: perpendiicular a ella. del cálculo integraal. r para un traatamiento riguroso.m/ampeerio. recto e ind definido.5 5) y (3. v v v B = K m 2 ut ∧ ur en donde ut y ur son s DOS vectores unitarios u en la direccción de la velociddad y en la direccióón de la posición deel punto en el que r calculam mos el campo. C Campo magné ético creado p  por una corriente RECTILÍN NEA  La proopia experiencia de Oersteed nos proporciona una primera idea sobre s la dirección y sentidoo del campo magnético que crea a una corriente rectilínea1.3) admmitiendo que se  física que implica las cargas ene movimientto. o simple emente recorddamos que lass cargas eléctricas producen campos eléctricos Q7. La corriente circula en  reparaar en el hecho de que am mbos campos son una prop piedad el  sentido  de  las  YY  positivas.2.0. y resulta más apropiado usar u el magn nético  creado  por  este  cond ductor  en  los  términno de campo o electromagn nético para deescribir la situ uación punto os (2. Imaginemos que colocamo os alrededor d de una corriente rectilínea una serie de pequeeñas brújulas. denominada perm meabilidad magnétiica del medio.m/amperio. o mejor aún: a la regla del d tornillo.v v v v r B = 0 • 2 u t ∧ u r = μ 0 · ε 0 ·vu r ∧ E constantte.  6 CAMP 6. Aquí vamos a exponer. De esta forma.110-7 U. el campo c ante sería la suma VECTOR resulta RIAL del campo o que crea cada una de ella as. que en el vacío. B en n donde r representa la disttancia al pun mpo magnéticco producido por la nto en donde se quiere deteerminar el cam corriente Y. la anterior expresión puede esccribirse como μ I B= 2π r que reecibe el nomb bre de ley de Biot-Savart.  fundamental es qu ue dos obserrvadores en movimiento m re elativo 1 En reallidad este estudio requiere. posee un valor μ0 = 4π. Si en lugar de exisstir una sola corriente recttilínea hubiese e varias. (0. POS MAAGNÉTICO OS CRE EADOS POR UN NA COR RRIENTE ELÉCT TRICA 6. denominando μ com mo permeabilidad magnéticca.  A está  situado  sobree el eje OY. Normalmente. y Km es 7 U. un desarro ollo experimental. • Disminuye proporcionalmente con la distancia al co onductor. Cuanddo el campo magnético que se quiere reepresentar es perpendicular p . aunque fueron los trabajos de Ampère y Laplaace los que permitieeron definir el camp po magnético que “ccrea” una carga Q een movimiento meddiante la expresión v Q.10-7 T. con lo que 4π r que nos estaablece una relación sumamente s interesaante entre los campoos eléctrico y magnéético creados por unna carga en movimiiento para una v << c (velocidad de la luz) Página 54  . μ0 = 4π.0). y en el vacío. m es e fácil que  circula  c una  corrriente  de  20  A.. Su giro o nos dará el sentido del ve ector campo en e el (los) puntto(s) considera ados En cua anto a la mag gnitud del cam mpo magnético o.I. aunque que tien se preefiere escribir k como k = μ/2π. pero saliend do del papel. UUn cable conducctor. Otra prop piedad trabaaja en el S. E  L E C T R O E S  T Á T I C A   y   M  M A G N E T I S M  M O.1. se escoge el olo ~ símbo Si se ha observado el pié de página anterrior. El resultado que se obtie ene permite enunciar e amada regla de la mano la lla derecha.0. sittuando un torrnillo sobre "el cable" de mo odo que gire en el sentido de avaance de la corriente. experimenta almente se comprueba que: • Es proporccional a la inteensidad de la corriente que circula. el espira ees de 1 m  campo magnético resultante dee todas ellas sea la suma a de cada uno de los campos c indiviiduales. situamos varias. por p lo tanto. Así. Esta expresión e noss confirma el hecho antess comentado de que el campo magnético aumenta “conforme má ás apretadass estén las espira as”. un ob bservador que ve la partícula en movimieento mide cam mpos eléctrico y magnético que cambian con el e tiempo a medida que la partícula se acerca a y se aleeja del observvador. I L dondee N representa a el número de espiras.‐2. simplemente. Ademáss.. Ess de cuyo centro está situad do en el punto (0. en el punto p central de d la espira. En otras palabras. s un conjunto de d espiras. por lo que cabe esperar que ad de líneas de q el campo magnético se refuerrce en el interior y se debilitte en puntos externos de la espira.   producido por una esp pira de corriente e situada en  el vacío por la que circuula una intensidad de 10 A y  Un soolenoide es. • El valor deel módulo del campo en un punto P situado en el eje de d la espira ressulta ser μ r2 B= I 2 R3 dondee r es el radio o de la espira a y R la distan ncia desde cu ualquier elemeento de corrieente de la esp pira al punto consid derado. podrremos utilizar espira as para genera ar en su interio or un campo magnético m inte enso.3..0. y queda ará que μI B= 2 r Q8. h hacerlo circulaar y formar así una espira? Si tenemos presentee las líneas de fuerza del campo c que crea un conducctor rectilíneo (y deducibles por la regla del tornillo) e imagiinamos ahora “doblado” el conductor ha a espira. esto es.0 0) y C(0. Sin embargo. Por lo o tanto. De estta forma.0) en los  puntos A A(0. R = r. ¿qué sucede si tal corriente c no es e ¿qué sucederá con el campo magnéttico si “doblamos” el hilo hasta e recta. Tema 2 midenn velocidades diferentes dee la carga elééctrica en mo ovimiento y. mayyor número d de espiras po or unidad de longitud) se hallen las espiras. Página 55  . también mide en diferentes campos magnéticoss. el campo magnéticco adquiere el módulo N B = μ. pero un n observador en reposo con resspecto a la carga c sólo mide m un camp po eléctrico constante. más intenso será el campo en n el interior deel solenoide. cabe suponer que en el interior asta obtener la de éstta habrá una mayor densida d fuerza que en el exterior. E  L E C T R O E S  T Á T I C A y M A G N E T I S M O.  Calcular  el  veector  campo  magnético  6.0) si e el radio de la  esperaar que si en lugar de una sola s espira. y L la longitud de el solenoide. C Campo magné ético creado p  por un solenoiide o bobina. o Es importante reseñar que a medida qu ue la partículaa se mueve llleva consigo sus campos eléctriico y magnéticco. los campos magnétticos dependen del movimieento relativo entre la carga y el observador.2 Ca ampo magnéttico creado po or una espira. Pero. cuanto más apretadas (esto es. c (Reelatividad de los campos magnéticos) 6. con lo que el cam mpo magnético se refueerza.0).  Acaba amos de imag ginar y calcular el campo magnético prod ducido por una a corriente recctilínea. B(0. En un punto inteerior del solenoide situado sobre su u eje y lo suficieentemente alejado de los exxtremos. depende del sentido de a en su interio circulaciónn de la corrien nte y se obtiene aplicando la a regla del torrnillo.0. el cálculo c del va alor del camp po en cualqu uier punto alrrededor de la a espira es un u problema excesiivamente complejo para estte curso y aceptaremos los siguientes s resu ultados: • La direccióón y sentido del campo magnético que crea una espira or.3. deppendiendo tal curvattura del valor del campo y de d la velocidad de la partícula. Ese campo magnético en el in nterior del solenoide puedee modificarse alterando el medio (ya qu ue depende ded μ). cuando penetra en el interior del campo c magnéético. están de alguna manera. el ca ampo en el in nterior del soleenoide será 2000 veces má ás intenso. Teniendo presente lo os modelos atómico os clásicos.   Tema 2. Ahora nos ocuparemos de estudiar el efecto que q esos camp pos magnético os pueden prooducir en las corrientes o en las cargas c móviles. de su  eje su junto con los rresultados anteriormente uficientemente aalejado de los extremos. ccuya  solenoide si se introd atracción y rep pulsión entre permeabilidad magnética es 10  T. igual i que las bobinas. Ya quue la corriennte más simple que podemos considerrar consiste en e una carga a en movimie ento. De estee modo. E  L E C T R O E S  T Á T I C A   y   M  M A G N E T I S M  M O. Q9. sig gue en pié la idea de que las cargas elééctricas en mo ovimiento son las creeadoras de los campos mag gnéticos. para esstas situacionees de trayectorria curva cerra ada podremos escribir que sse cumple: v2 m. hemos comenzado nuestro o estudio por aquí y nos ayudó a definir el propio cam mpo magnéticoo al hablar y establecer la denomminada Fuerza a de Lorentz.  Es rep pasar lo que ya a se ha dicho. nos proporciona p campos magné éticos intensoss y prácticameente uniformess. Hay susta bilidad: consid ancias en las que podemos p admmitir que el moovimiento connjunto orbital de los electro ones de sus mmuchos átomos. si introducimos una barra b de hierro entre las esspiras del sole enoide. 7 ACCIÓ 7.m ‐3 m/A  espiras e imanes. Algunas situ uaciones ya la as hemos aborrdado. por lo tanto. como ya se ha venido comentado an nteriormente. Essta analogía. por lo o que en cierto o sentido. numerosas corrientes circculares en su Q10. La priincipal conseccuencia que ses deriva de estee hecho ess que al ser la fuerza de LLorentz perpen ndicular a la velocidad con se mueve m la carga. v.  án y por un Deterrminar: A) El cam mpo magnético creado por cad solenoide (o bob da una de las esp piras  bina) se ob bserva que. en su centro. B) El campo creado p por el solenoide en un punto d cualitattivamente. ÓN DEL CAMPO MAG GNÉTICO SOBRE E CORR RIENTES ELÉCT TRICAS Hasta aquí hemoss estudiado la as características del cammpo magnético creado po or corrientes o cargas en movimmiento. 7. n nos hace pen nsar que los   imaness poseen. Un soolenoide. no modificca el módulo de la misma. El dispossitivo que permmite esto se deenomina electtroimán. B Página 56  . Así.1. Pero hay h otra posib derar el espín de giro de lass partículas atómicas cargadas. v ∧ B . v m = q. En general. pueede incluso ha ablarse de carra norte y cara a sur de un so olenoide o inccluso de cara norte y cara sur de una espira. C) El ccampo creado por el  a comenttados sobre a duce en su interrior una barra de hierro dulce. sino sólo su dirección. la trayecctoria de la ca arga. de a algún modo.  ¿Cómo  se  orieenta  una  brújula  al  situarla  en  el  interior  de e  un  solenoide?  interiorr. A Acción del cam mpo magnéticco sobre una c  carga en movimiento. accoplados. son iguales. po odríamos imag ginar que esass son las corrientes circularees a las que nos referimos.  El asp pecto que ado opta el campoo magnético que crea un so olenoide coinccide con el campo creado porp un imán. al ser la permeabilidad magnéticca del hierro unas 2000 2 veces superior a la del d vacío. se verá curvada. en que loss electrones circulaan alrededor del d núcleo. Por lo tanto. B ⇒ r = r q. como fuerza que actúa so obre una cargga móvil que penetra en ell seno de un campo magnético: v v v F = q.  Un  U solenoide  de  20  cm  de  lo Al com mparar las líneeas de fuerza m2  de  sección  está  ongitud  y  20  cm a del campo formaado  por  100  esspiras  y  es  reco magnéttico producido por un imá orrido  por  una  corriente  de  10  1 A. Los iones emitidos por la fuente son acelerados. la ddp y el radio de la curvatura.6.r 2 r= ⇒ = q. la curvatura de la trayectoria será más pequeña (según aumenta el campo) describiendo entonces la partícula una trayectoria helicoidal. Esta velocidad depende de la ddp (V). Q11. por lo que el movimiento en esa dirección será rectilíneo y uniforme. tal y como ya se ha comentado antes.10‐31 kg.V que nos permite determinar la relación carga/masa del ión si se conoce el campo magnético. la carga se mueve inicialmente en dirección perpendicular al campo.3 ∙ 10  T. La componente paralela de la velocidad no se ve afectada por la fuerza de Lorentz. v m B 2 . En todos los casos citados.6 ∙ 10  kg  Página 57  . ya que es el campo eléctrico el que aporta la energía cinética del ión: 1 2 mv = q. Entre ellas hay que destacar el espectrógrafo de masas. esa fuerza NO realiza trabajo. mp = 1. Las aplicaciones prácticas de la fuerza de Lorentz son muy numerosas. ni introduce variaciones en la energía cinética de la carga. Si esto no fuera así. q = ‐1.  perpendicular al vector velocidad y de 10‐3 T de intensidad. Consiste en un dispositivo como el representado en la figura.  Datos:  B  cerca  del  ‐5 7 ‐27 ecuador = 1.1. el acelerador de partículas. situado a una distancia x del lugar de entrada. Se utiliza para medir la relación carga/masa de los distintos iones de los diferentes elementos químicos. Un electrón y un protón se mueven con la misma velocidad. etc. su trayectoria se curvará debido a la fuerza de Lorentz. denominado ciclotrón. Una aplicación importante. debido a la diferencia de potencial V que existe entre la fuente y la zona del campo magnético.. Se cumplirá por lo tanto que: m.V 2 Una vez ha penetrado el ión en la región del campo magnético. ambos curvan su  trayectoria en sentidos opuestos. sólo la cambia de dirección.  El espectrógrafo fue ideado por Aston en 1919. Tema 2 El sentido de giro dependerá del signo de la carga.10‐19 C)    Q12. expresada  en eV (1 eV = 1. aumenta en la dirección en que se mueve la carga. sometido a la acción de un campo magnético uniforme. ESPECTRÓGRAFO DE MASAS. las experiencias de Thomson para determinar la relación carga/masa del electrón. E L E C T R O E S T Á T I C A y M A G N E T I S M O. A) Calcular la velocidad del electrón y su energía cinética. Un electrón se mueve en una órbita circular de 50 cm de radio. de forma que el radio de la hélice va decreciendo. la componente perpendicular se verá curvada. sino que. ¿Quién curvará más su trayectoria? ¿Por qué?  B. El efecto conjunto de la trayectoria será una “espiral de rizos uniformes”. vp = 10  m/s. e impactará en el punto P.6. tras describir una semicircunferencia cuyo radio será r = x/2. en cambio. por ejemplo. Si además el campo magnético no fuera uniforme. y dado que F es perpendicular a v. B q 2. Al penetrar en un campo magnético. de modo que penetran en la región del campo con cierta velocidad. A. Determinar la fuerza  magnética ejercida por el campo magnético terrestre sobre un protón de  los rayos  cósmicos que se  mueve  en  el  plano  ecuatorial  (perpendicular  al  campo  magnético  terrestre)  y  compararla  con  su  peso. podríamos descomponer el vector velocidad en dos componentes: una paralela al campo y otra perpendicular a él.10‐19 J) B) Determinar el periodo de su movimiento orbital y la variación de energía cinética al cabo de ese  periodo (me = 9. F = N. pero esta expresión se corresponde con el módulo del producto vectorial: v v v F = I. Acción del campo magnético sobre una corriente rectilínea  Una corriente eléctrica no es más que un conjunto de cargas en movimiento. En la región en la que se sitúa el conductor existe un campo magnético uniforme de módulo 0.v.v. podrá escribirse como Q = q. Sin embargo. Un conductor de 10 cm de longitud está situado sobre el eje OX.S el volumen elemental en donde están localizadas las n cargas. Tema 2 7. Volveremos sobre esto un poco más adelante. donde α es el ángulo que forman la velocidad de las cargas y el campo magnético.  B) Igual si el campo es paralelo al plano XZ y forma un ángulo de 60º con OZ. el conductor forma un determinado ángulo con las líneas paralelas del campo magnético.  situado  en  el  interior  de  un  campo  magnético. por lo que la fuerza total que actúa sobre ellas tendrá. El número total de cargas que existen en un tramo del conductor de esa longitud L será: N = n. recordaremos que la intensidad de corriente quedaba definida como I = Q/t.  ¿Es  posible  que  sobre  un  conductor  rectilíneo  por  el  que  circula  una  corriente.01 T. no actúe ninguna fuerza?    Q14. Q13.S. Como resultado de estas fuerzas.n siendo x. n. Por el mismo circula una corriente de 5 A. Esta última expresión se conoce con el nombre de ley de Laplace. S . Vamos a suponer una corriente I que circula por un conductor de cierta longitud que se halla en el seno de un campo magnético uniforme B.L.B.sen α = n. las cuales se mueven con igual velocidad v .S.q. Ello se debe a que.  A) Hallar el valor de la fuerza que actúa sobre el conductor.B sen α. por lo que Q = I. en el sentido de las z crecientes. E L E C T R O E S T Á T I C A y M A G N E T I S M O. Así las cosas. la fuerza que actúa sobre el conductor tiene de módulo: F = I. q.v. y como consecuencia de la ley de Laplace. como sabemos. la carga total.S. S . Originalmente.B. v t pues x/t representa la velocidad (rapidez) con que se mueven las cargas en el conductor.t. por lo que podremos ampliar nuestro estudio anterior para el caso de la acción del campo magnético sobre una corriente.B sen α. De esta forma.  C) Lo mismo si el campo tiene la dirección del eje X  Página 58  . si seguimos considerando nuestro elemento de conductor que posee un número n de cargas por unidad de volumen. dirigido  según OZ. aparezca una fuerza entre ambas (sobre cada una de ellas: acción/reacción). actúa una fuerza cuyo módulo viene dado por F = q. dirigida hacia  las x negativas. cada una crea un campo magnético que actuará sobre la otra. Vamos a admitir que el conductor posee una sección S y una longitud L y en donde hay localizadas un v determinado número de cargas por unidad de volumen.L. sobre cada una de las cargas que se mueven por el conductor. L ∧ B donde el vector L tiene el mismo sentido que la intensidad de corriente. x I= = q. Q.q. las líneas se atraen o repelen según el sentido de la corriente que circula por ellas. n. Una consecuencia interesante de la expresión anterior es la atracción o repulsión que existe entre dos líneas de corriente paralelas. de módulo: FT = N. Como sabemos.L.2.x. n.senα Por otro lado. dirección y sentido. de módulo su valor y sentido dado por la regla de la mano derecha aplicada a la corriente circulante. El momento. Pero hay una diferencia muy importante con respecto a las otras dos y es que las direcciones de Fbc y Fda son paralelas por lo que constituyen un par de fuerzas. esta magnitud es un caso particular del MOMENTO de una fuerza respecto de un punto. pero de sentidos opuestos. los momentos de cada una de las espiras tienen el mismo módulo. por lo que el momento total se obtiene como suma de los momentos de cada una de las espiras. es decir: v v v M = n( m ∧ B ) 2 Cuando sobre un cuerpo actúan dos fuerzas iguales en módulo. l1l2 B sen β ⇒ M = IS B sen β b Fbc S donde S representa la superficie de la espira. los otros dos lados ab y cd tienen de longitud l2 y su dirección forma un ángulo β con una dirección perpendicular a la de las líneas del campo (ver figura).2 Representado por /F/ el módulo de cualquiera de estas dos fuerzas. se habrá alcanzado el equilibrio. Aunque las ecuaciones anteriores se han obtenido para una espira rectangular. también son aplicables para espiras de cualquier otra forma. La fuerza magnética sobre cada uno de los lados de la espira puede obtenerse aplicado la ley de Laplace por tratarse de corrientes rectilíneas. En realidad.  Momento  magnético. por lo que su resultante es nula. el momento de dicho par vale. las fuerzas Fab y Fcd sobre los lados ab y cd son del mismo módulo y dirección. En esa posición. m. las fuerzas Fcd y Fda sobre los lados bc y da también poseen el mismo módulo y opuestos sentidos. por lo que igualmente su resultante también es cero. Esta situación frecuente se estudia en física mediante la magnitud MOMENTO. y como la fuerza total sobre la espira también es nula. podremos escribir que: v v v M = I ( S ∧ B) Dado que el vector IS se lo conoce con el nombre de momento dipolar magnético. superpuestas y con el mismo sentido e intensidad de la corriente. Si se trata de n espiras iguales. Tema 2 7. ese cuerpo tiende a girar. la dirección sería vertical y el sentido hacia Vist a superior Fda arriba). de un par de fuerzas queda definido como el producto vectorial de una de ellas por la distancia que las separa. Si representamos la superficie S mediante un vector perpendicular a la superficie. tiende a girar la espira de modo que su plano resulta perpendicular al campo.  Acción  de  un  campo  magnético  uniforme  sobre  una  espira  rectangular  de  corriente. de opuestos sentidos y direcciones paralelas.3. bc y da tienen de longitud l1 y su dirección es perpendicular a la de las líneas de fuerza del campo magnético. Este momento. Del mismo modo. es provocar un giro que tiende a orientarla de modo que se coloque perpendicularmente a la dirección de las líneas del campo magnético. en módulo: v v M = F l2 sen β La dirección y sentido de M vienen dados por la regla del “sacacorchos” (en el caso de la figura. podemos escribir que v v v M =m∧ B Así. el momento dipolar tiene la misma dirección que el campo. De esa forma.   Imaginemos una espira rectangular inserta en un campo magnético uniforme y por la que circula una corriente de intensidad I. E L E C T R O E S T Á T I C A y M A G N E T I S M O. por lo que el momento M es cero. Como la dirección de la corriente que circula por los lados bc y da es perpendicular a la dirección del campo. el efecto del par de fuerzas de momento M sobre la espira de corriente. Página 59  . Supongamos que dos de los lados. el módulo de la fuerza a magnética sobre cualquiera de esos lados será: v v F = Il1 B que sustituyendo en la expresión anterior: β v v v v M = I .  Un electrón se mueve en una órbita circular de 50 cm de radio. Si.  ‐19 expresada en eV.  Un  electrón  con  velocidad  de  10   ms   en  el  sentido  positivo  del  eje  OX  penetra  en  una  región  en  la  que  existe  un  campo magnético de 0.6. se lanza un electrón  con una velocidad de 2. y 100 cm de distancia del centro del conductor.5 T: a) si las energías son las mismas. circula una corriente de 5 A en el sentido horario. Determinar el campo magnético que crea en su centro una espira cuadrada de 3 m de lado. Determinar la rapidez con que se mueve un electrón en el interior de un campo magnético de 1 T dirigido hacia las X  crecientes. Se  aplica un campo magnético de 2 T dirigido en el sentido positivo del eje OY.  Suponer  que  átomos  de  U  simplemente  ionizados  parten  de  una  fuente  común  y  se  mueven  perpendicularmente  a  un  campo  magnético  uniforme.    3.    8.    7. SELECTIVIDAD.        Página 60  . (1 eV = 1. Con intención de determinar el campo magnético (uniforme) que existe en una zona del espacio. Uno de los procedimientos para separar los isótopos  U y  U se basa en la diferencia en el radio de sus trayectorias  en  un  campo  magnético. un campo magnético de 6. con la velocidad que adquiere.           B)  El  valor  de  la  fuerza  que  actúa  sobre  el  electrón.    5.  situado  en  el  vacío  y  por  el  que  circula  una  corriente. b) momento sobre la espira. el electrón no se desvía.  b)  campo  eléctrico  que  hay  que  aplicar  para  que  el  electrón  mantenga  rectilínea  su  trayectoria  (Sol. ¿En qué dirección ha de moverse un electrón en el interior de un campo magnético para que la fuerza que éste ejerce  sobre él sea nula? ¿Y un protón?    2.  cuando  se  mueva  en  el  sentido  de  las  X  crecientes. Por un conductor recto y muy largo  circula una corriente de 100 A.    6. ¿qué radio de órbita describirá? El campo magnético es  de 5 gauss.10  J)    9.  perpendicular  al  vector  velocidad  y  de  10‐3  T  de  intensidad. 20. observándose lo siguiente:    * Cuando se mueve en el sentido de las Y crecientes. Calcular la intensidad de corriente que circula por el alambre.  crea  en  un  punto  a  10  cm  del  mismo.    * Cuando se mueve en el sentido de las Z crecientes. Por una espira rectangular de 10 x 20 cm.    13. b) escribir una  ecuación análoga para el campo gravitatorio.  Considerar  cada  lado  como  un  conductor  recto  e  indefinido. Calcular: a) la ddp necesaria para que el electrón adquiera la  energía  cinética  inicial. B) el periodo de su movimiento orbital. Un electrón parte del reposo y es acelerado por una ddp de 100 V. indicando también el significado de cada símbolo. b) radio de la órbita descrita y periodo orbital. (Buscar los datos necesarios)    4 ‐1 10. la fuerza sobre el electrón es de 10‐9 N dirigida hacia las X  positivas. JUNIO DE 1996 (Andalucía)     Dada la ecuación F = q ∙ E . situada en el plano XY.  Un  alambre  recto  e  indefinido. Calcular: a) la fuerza magnética sobre cada  lado de la espira.    235 238 12. a) indicar qué fenómeno físico representa y qué significa cada símbolo. E L E C T R O E S T Á T I C A   y   M A G N E T I S M O.10‐5 T. sometido a la acción de un campo magnético uniforme.  Encontrar  la  máxima  separación  de  los  haces  cuando  el  radio  de  235 curvatura del haz de  U es de 0.  Calcula:  A)  la  velocidad  del  electrón  y  su  energía  cinética.  Tal  fuerza  está  dirigida hacia las Z decrecientes.  Calcular:  a)  aceleración  (vector)  del  electrón.   Tema 2.: a) 284 μ V.  Un electrón que se mueve en el sentido positivo del eje OX con una velocidad de 25000 m/s penetra en una región en la  que  existe  un  campo  magnético  de  5  T  dirigido  en  el  sentido  negativo  del  eje  OZ.5 m en un campo de 1.  La  espira  está  situada  en  el  vacío. (situada en el vacío) por la  que  circula  una  corriente  de  1  A. penetra en un  campo magnético perpendicularmente a la dirección del campo.  de  módulo  10‐10  N. Calcula el campo magnético   que crea en puntos  situados a 10.108 m/s en diferentes direcciones. expresadas en uma.  si  sobre  el  mismo  actúa  una  fuerza  que  resulta  ser  la  máxima  posible. b) 5000 j N/C)    11.    Determina: A) el valor del campo magnético.    4.5 T en el sentido positivo del eje OZ. indicando su dirección y sentido.  PROBLEMAS DE SÍNTESIS 1. b) si las velocidades son las  mismas (Suponer que las masas atómicas. coinciden con sus respectivos números másicos).  JUNIO DE 1999) Dos partículas cargadas se mueven con la misma velocidad y.  Por  un  conductor  recto. de 1. al aplicarles un  campo magnético perpendicular a esa velocidad.15 m de longitud. era el de hacer circular corrientes conductoras I2 paralelas y observar el efecto de atracción o repulsión que se produce entre ellos. de longitudes L1 y L2 y por los que circulan corrientes de intensidades I1 e I2 .  indica  razonadamente. un campo magnético perpendicular a  él.    20.    17.  dirigido  a  lo  largo  del  eje  OY.5 cm de radio. C) cuando forme 90°.01 T. por la  que circula una corriente de 1 A.    16.2. ese conductor crea un campo magnético cuya intensidad en un punto situado a cierta distancia a viene dada.  8.2 separadas una distancia a. Determinar el valor del momento del par de fuerzas  que actuará sobre la bobina en los siguientes casos: A) cuando el momento magnético de la bobina forme un ángulo de 0°  con la dirección del campo. E L E C T R O E S T Á T I C A   y   M A G N E T I S M O. A) Describa la trayectoria seguida por la partícula y explique cómo cambia su energía.  perpendicular  a  las  líneas  del  campo.  Deducir  la  relación  que  existe  A)  entre  los  radios  de  las  órbitas  que  describen.  14.  una  intensidad  de  corriente de 20 A.   Tema 2. ut ut Ahora vamos a conocer más a fondo ese efecto en el caso de F2.1 B 1 corrientes rectilíneas.  JUNIO  2001. FUERZA MAGNÉTICA ENTRE DOS CORRIENTES RECTILÍNEAS INDEFINIDAS En una ocasión se señaló que una de las experiencias que I1 confirma que el magnetismo tiene su origen en cargas eléctricas en movimiento.    21. al situarla en el interior de un campo magnético uniforme de 0.  A)  ¿Qué  se  puede  decir  de  las  características  de  estas  partículas?  B)  Si  en  vez  de  aplicarles  un  campo  magnético  se  les  aplica  un  campo  eléctrico  paralelo  a  su  trayectoria. Para ello.  DE  SELECTIVIDAD. (SELECTIVIDAD LOGSE.10‐16 J. Ese electrón penetra perpendicularmente a las líneas de inducción de  un campo magnético de 0. respectivamente y F1. Determina el radio de la trayectoria que describe el electrón.10‐4 T. por unidad de longitud. Calcular la fuerza que el campo magnético   v v v B = 2i + 3k   ejerce.    15.004 T. B) Repita el  apartado anterior si en vez de ser un campo eléctrico fuera un campo magnético. se desvían en sentidos contrarios y describen trayectorias circulares de  radios  distintos. Calcula el valor del par máximo que se ejerce sobre una bobina formada por 1000 espiras de 0. según vimos. Como por el conductor rectilíneo L1 B2 circula una corriente de intensidad I1.  Una  partícula  cargada  penetra  en  un  campo  eléctrico  uniforme  con  una  velocidad  perpendicular al campo.  circula  en  el  sentido  positivo  de  ese  eje. por la expresión a μ0 I B1 = 2π a Página 61  . Calcular la fuerza que ejerce sobre un conductor rectilíneo de 0. La energía cinética de un electrón vale 6. B) cuando el ángulo sea de 60°. sobre dicho conductor.  cómo  se  mueven  las  partículas. cada una de 3 cm de radio.1 T.  En  un  mismo  punto  de  un  campo  magnético  dejamos  en  libertad  un  protón  y  un  electrón.    22.  dotados  con  la  misma  velocidad. consideremos dos conductores rectilíneos muy largos y paralelos. Por ella circula una corriente de 2 A y  está situada en el interior de un campo magnético uniforme de 0. siendo 5 A la intensidad de corriente que lo recorre. B) entre los periodos de las mismas. Una bobina está formada por 100 espiras de alambre.    18.    19. Una carga positiva de 5 mC se mueve con una velocidad dada por la expresión   v v v v = 5i − 5k   en el interior de un campo magnético  v v v v B=i +2j −k     Deducir la fuerza que actúa sobre dicha carga. la carga eléctrica NO es magnitud fundamental. Página 62  . la distancia a = 1 metro y f = 2. por cada unidad de longitud del conductor L1.2. determinar el ángulo que  desviará  la  brújula. por unidad de longitud. son perpendiculares entre sí. (Suponer la experiencia en el vacío)  Q17. Si en la última ecuación despejamos la permeabilidad magnética μ0 y tomamos I1 = I2 = 1A. sino la intensidad de corriente. Un topógrafo está utilizando una brújula 7 m por debajo de una línea de alta tensión que lleva una corriente de 100 A.  suponiendo  que  la  línea  de  corriente  tuviera  dirección  NS  y  que  la  componente  horizontal  del  campo  magnético terrestre sea 0.  Suele ser bastante frecuente definir las distintas magnitudes eléctricas tomando como base la carga. y sustituyendo el valor del módulo del campo: v v μ0 I 1 F = I 2 L2 B1 = I 2 L2 2πa El valor de la fuerza por unidad de longitud f21 = F21/L2 para ese conductor es: μI I 2 L2 0 1 v v f 21 = F21 / L2 = 2πa = μ 0 I1 I 2 ( N / m) L2 2πa Resulta fácil deducir que. que a su vez. (a una ddp cte. Tema 2. Sin embargo. Se coloca paralelamente a él y por encima. El módulo de esta fuerza vale. actúa otra fuerza f12 cuyo módulo y dirección coinciden con los de f21 pero en sentido opuesto. situadas ambas en el vacío y separadas 1 metro. E L E C T R O E S T Á T I C A y M A G N E T I S M O. como sabemos. F = I2L2B1. tal fuerza será de repulsión (estudiar esta situación).2 gauss aproximadamente.10-7 N sobre cada metro de otra corriente igual y paralela.  un alambre de densidad lineal 8 g/m por el que circula una corriente de 20 A ¿A qué altura quedará suspendido este alambre  por la repulsión magnética? (Despreciar la sección de los alambres). Q15.I.  Q16. y su sentido es hacia el conductor L1.10 − 7 m N 2πa f m = 4π 10 − 7 N / A 2 μ0 = = I1 I 2 1A 2 que es el valor ya conocido para la permeabilidad magnética en el vacío. Si las corrientes son “antiparalelas”. es directamente proporcional al producto de sus intensidades e inversamente proporcional a la distancia que las separa. entre dos postes separados 50 m si la distancia entre los cables es de 1 m. 2) En el supuesto de que la alterara. que es la unidad de intensidad de corriente en el S. tangente a la circunferencia de radio a y cuyo sentido es el que indica la punta de los dedos de la mano derecha. es: v v v v v F21 = I 2 L2 ∧ B1 = I 2 L2 (ut ∧ B1 ) cuya dirección es perpendicular tanto a B1 como a L2. como sabemos. Definición Internacional de Amperio. 1)  ¿Alterará esta corriente la lectura de la brújula? ¿En qué caso?. circula una corriente de 100 A.10-7 N/m.  cuya dirección es. resultará: v 2π . La definición de amperio. por lo tanto. se basa en el efecto de atracción (o repulsión) entre corrientes rectilíneas paralelas: Amperio es la intensidad de una corriente eléctrica rectilínea e indefinida que ejerce una fuerza de 2. de 105  V).1. (Ver figura anterior). en el Sistema Internacional de unidades. Este campo magnético ejerce una fuerza sobre la corriente I2 que circula por el conductor L2 cuyo valor..  8. Por un cable de longitud indefinida y horizontal. El resultado obtenido indica que dos corrientes rectilíneas paralelas del mismo sentido se atraen con una fuerza que. Calcula la fuerza que se ejercen entre sí dos cables de conducción eléctrica que transportan 1500 A. como sabemos.s-2.A-1 De esta definición resulta claro que 1 T = 1wb/1m2 con lo que la intensidad del campo magnético se puede expresar también en Wb/m2 en lugar de T. se alcanza la situación de equilibrio y la aguja señala la correspondiente posición en la escala. Podremos ahora preguntarnos si es posible generar una corriente eléctrica a partir de un campo magnético. En cambio. Siguiendo con nuestro desarrollo.m2. campos eléctricos. De la misma manera a como se hizo con el campo eléctrico (e incluso con el gravitatorio) podemos definir el concepto de flujo de un campo magnético a través de una superficie. Sin embargo. dS S La unidad de flujo magnético es el weber (wb). E L E C T R O E S T Á T I C A   y   M A G N E T I S M O. Esto significa que la corriente que circula por la espira al mover el imán tiene un sentido que depende de que lo acerquemos o lo alejemos de la espira (En realidad. el momento producido por el campo magnético. que de acuerdo con lo entonces hablado. la ecuación para el flujo magnético puede terminarse así: v v Φ = ∫ B. y esto independientemente de la superficie de la espira. que cuando no circula corriente por la bobina. la aguja del galvanómetro vuelve a desviarse pero ahora hacia el otro lado de la escala.m2. En principio. Esto indica. FLUJO MAGNÉTICO y CORRIENTES ALTERNAS. Si en las cercanías de un imán en reposo hay una espira (o una bobina) a la que se la ha conectado un galvanómetro.   Tema 2.  9. Unida al eje hay una aguja que puede señalar sobre una escala y un resorte elástico. bajo ciertas condiciones. por lo que se admite como postulado fundamental que el flujo del campo magnético a través de cualquier superficie CERRADA es siempre nulo. de la “potencia” del imán y de las distancias relativas entre ambos. son capaces de generar corrientes eléctricas. El aparato que se utiliza para ello es el galvanómetro3. si manteniendo en reposo la espira acercamos el imán. el flujo de un campo eléctrico a través de una superficie cerrada era igual al cociente q/ε. consiste en una bobina que se enrrolla alrededor de un núcleo de hierro que puede girar sobre un eje y que se encuentra en el seno de un campo magnético. En esencia. si ahora alejamos el imán. Por lo tanto. Cuando se igualan el momento magnético de la bobina con el momento elástico del resorte. ya se ha apuntado que el magnetismo tiene su causa en corrientes eléctricas en movimiento. Según el teorema de Gauss visto para el campo eléctrico. también depende de que el polo del imán que acerquemos sea el N ó el S). Un weber es el flujo de un campo magnético uniforme de un Tesla a través de una superficie de un metro cuadrado colocada perpendicularmente a la dirección de las líneas del campo. por lo tanto. tiende. pero eso significa que el resorte se retuerce. en el campo magnético no “hay unidades magnéticas individuales”. mantiene la aguja sobre una determinada posición de la escala (cero). que la mera presencia de un campo magnético estático NO genera corriente eléctrica. quedará definido como: v v Φ = ∫ B. Cuando la bobina es recorrida por una corriente. dS = 0 S que será la ecuación equivalente al teorema de Gauss del campo eléctrico. todo el trabajo de Henry y Faraday iba dirigido a detectar corrientes eléctricas en un circuito. éste no detecta el paso de corriente mientras se mantienen inmóviles ambos elementos: espira e imán. a situarla perpendicularmente a la dirección de las líneas del campo.s-1 C-1 = kg. el galvanómetro registra una corriente en la espira al desviarse su aguja del cero. Página 63  . por lo tanto. 3 El fundamento del galvanómetro tiene también su orígen en el efecto magnético sobre muchas espiras superpuestas (bobina). el inglés Michael Faraday (1791-1867) y el norteamericano Joseph Henry (1797-1878) descubrieron casi simultáneamente y de forma independiente el fenómeno de la inducción electromagnética: los campos magnéticos. Hacia 1830. Wb = T · m2 = kg. ha de conocerse el valor de la corriente inducida. igual que antes. se genera una corriente en la espira detectora. E L E C T R O E S T Á T I C A   y   M A G N E T I S M O. que demuestran que los campos magnéticos. también se genera corriente. se induce una fuerza electromotriz cuyo valor es igual y de signo opuesto a la derivada del flujo con respecto al tiempo” dΦ ε =− dt ] Página 64  .1. la variación del flujo se produce al conectar o desconectar el circuito que genera el campo. la ley de Henry-Faraday (también conocida a veces como ley de Lenz-Faraday) para la inducción electromagnética puede enunciarse de la siguiente forma: “En todo circuito cerrado atravesado por un flujo de campo magnético variable con el tiempo. NO se registra corriente alguna. sino que en todos los casos anteriores.  La genialidad de los trabajos de Henry-Faraday consistió. cómo en todas las situaciones antes comentadas. aparecerán en él corrientes inducidas. si consideramos como superficie la de la espira detectora. Ley de Henry‐Faraday.   Tema 2. sin que haya sido preciso ningún tipo de movimiento. En ese caso. Para cuantificar la ley de Henry-Faraday. Cualitativamente. en percatarse del hecho común a todas las experiencias anteriores. el flujo se altera por modificarse el campo B. En nuestro caso. podemos apreciar. la bobina con corriente. Cuando no existe el movimiento relativo entre el campo y la espira detectora. pero si acercamos o alejamos la bobina con corriente. una variación del flujo a su través. De este modo. la ley de Henry Faraday puede enunciarse diciendo que siempre que el flujo magnético a través de un circuito varíe con el tiempo. o ambos. Hay otro caso interesante en donde se detecta paso de corriente en el galvanómetro que la controla. De esta forma. a través del circuito en el que aparecen esas corrientes. y por lo tanto. Si sustituimos el imán por otra bobina recorrida por una corriente y la dejamos en reposo respecto a la espira detectora (la conectada al galvanómetro). al conectar o desconectar el generador). Es aquél en que estando ambos elementos en reposo (bobina conectada al galvanómetro y bobina productora del campo).  Si mantenemos en reposo el imán y movemos la espira. bajo ciertas circunstancias son capaces de generar corrientes eléctricas. el imán. en parte. la intensidad de la corriente que recorre la bobina varía con el tiempo (por ejemplo. el galvanómetro registra paso de corriente. y al conjunto de estos fenómenos que acabamos de ver. se registra también una corriente. resulta más conveniente caracterizar la corriente por la fuerza electromotriz. Si mantenemos fijas las distancias relativas entre los elementos. se les conoce con el nombre de corrientes inducidas. 9. se produce una variación del número de líneas que cruzan la espira. No es sólo el hecho de la existencia del campo magnético para explicar la existencia de la corriente inducida. la cual varía dependiendo de la resistencia eléctrica de la espira. Por ese motivo. hacemos rotar la espira detectora. A las corrientes que se generan debido a las condiciones anteriores. no se producen si estando móviles los elementos participantes (espira e imán o bobina) éstos mantienen fijas sus distancias relativas (recordar el carácter relativo del movimiento). se los denomina fenómenos de inducción. Estos efectos de corriente en el galvanómetro. Origen de la corriente inducida. hay una variación del flujo magnético con el tiempo. en forma análoga a la que se producía al mover el imán.  Sobre el sentido de la fem inducida: ley de Lenz. al circular la corriente inducida por la La genialidad de los trabajos de Henry‐Faraday  espira detectora. Al acercar el imán a la espira. fue Lenz quien en 1834 describió dicho sentido de otro modo al enunciar la ley que lleva su nombre: “El sentido de la corriente inducida es tal. en percatarse del hecho común a  pues ese campo magnético creado ha de ser de tal naturaleza todas las experiencias de inducción. No es sólo  que SU FLUJO contrarreste el aumento de flujo debido al el hecho de la existencia del campo magnético  acercamiento del imán. se observa que el sentido de la corriente inducida es tal que se opone siempre a la variación del flujo del campo inductor a través de la espira. Q18. se induce una corriente que tiende a hacer disminuir el flujo. llevadas a cabo por Henry y Faraday. y que el sentido en que esa corriente recorre la espira es diferente si el flujo del campo magnético a través de esa espira crece o disminuye. El propio signo negativo de la ley de Faraday indica cuál debe ser el sentido de la corriente inducida. que se opone a la causa que la produce” Así sin más. el sentido de la corriente es negativa y a la inversa. a  Así pues.  El estudio cuidadoso de las experiencias de inducción anteriores. el flujo a través de ésta aumenta. consistió.   Tema 2. Si intentamos corrientes. Sin embargo.  aumentar el flujo a través de un circuito. hay una  variación del flujo magnético con el tiempo. sino que en todos los casos.    9.2. La ley de Lenz viene a decirnos que la corriente inducida en la espira ha de tener un sentido tal que se oponga a ese aumento de flujo. por tanto. ya que es mayor el número de líneas de fuerza que la cruzan. Para ello imaginemos una situación como la representada en la última figura. Como sabemos. pone de manifiesto que el valor de la corriente inducida depende de la rapidez con que se varíe le flujo.  Página 65  . la definición es demasiado concisa y precisa aclararse. para explicar la existencia de la corriente  inducida. E L E C T R O E S T Á T I C A   y   M A G N E T I S M O. si la variación del flujo es positiva. Bien.  se  ha  representado  una  espira  rectangular  con  un  lado  móvil  situada  en  el  interior  de  un  campo  magnético uniforme como se ve en la figura. Deduce el sentido  de la corriente inducida cuando se desplaza el lado móvil en la  forma indicada. ésta crea a su vez un campo magnético. la ley de Lenz se reduce a afirmar que la corriente través del  circuito en el que aparecen esas  inducida tiende a mantener la situación establecida. En todos los casos.    En  la  figura. es posible detectar fenómenos de inducción utilizando un único circuito. por lo que se autoinduce una corriente que.  Basándote  en  los  fenómenos  de  autoinducción  descritos  anteriormente. B) el interruptor está cerrado y se abre. Sin embargo. al encenderlo o apagarlo) también se modificará el campo magnético y consiguientemente el flujo que cruza la espira. En el momento en que cerramos el interruptor.   Tema 2. Si una vez estabilizada la corriente por el circuito. Ahora bien. AUTOINDUCCIÓN. La corriente que circula por el circuito. C) El interruptor está cerrado y se introduce un  núcleo de hierro en el interior de la bobina. según la ley de Lenz. Q19. En el S. que depende de sus características geométricas. Si por alguna razón variamos la intensidad de corriente (p. Por tanto. sabemos que el campo magnético asociado es proporcional a esa intensidad.I. se manifiesta en forma de chispa eléctrica más o menos violenta. deberá transcurrir cierto tiempo hasta que la corriente que circula alcance el valor ε/R previsto por la ley de Ohm. sino que origina una ddp entre los extremos del interruptor que. lo que induce una corriente en el propio circuito. el flujo magnético también será proporcional a la intensidad de corriente. según la ley de Faraday. este coeficiente se mide en Henrios (H). por lo que no circula ninguna corriente por el mismo. por lo tanto. Veamos qué sucede en un circuito como el representado en la figura. A esa corriente se la denomina corriente autoinducida y al fenómeno causante de ella. Autoinducción  Hasta aquí hemos venido contemplando situaciones en las que existían dos circuitos (o un imán y un circuito): uno genera el campo magnético y en el otro se inducen las corrientes al variar el flujo que lo cruza.e.  indica  qué  sucederá  con  la  luminosidad  de  la  bombilla  en  los  siguientes  casos:  A)  el  interruptor está abierto y se cierra. el flujo a través del circuito también variará y podrá escribirse según la ley de Henry-Faraday: dΦ d ( L.I. donde ε es la fem de la pila (de resistencia interna despreciable). Ya que esa causa es un aumento de la intensidad. se abre el interruptor (desconectamos) la intensidad cae bruscamente hasta cero. esa corriente NO circula. por lo tanto. el valor de la corriente varía hasta alcanzar cierto valor I que de acuerdo con la ley de Ohm. E L E C T R O E S T Á T I C A   y   M A G N E T I S M O. L. ha de oponerse a la causa que la origina. la autoinducción será otra característica más a considerar en los circuitos eléctricos que manejamos siempre que en ellos se produzcan variaciones en la intensidad de corriente. Nuevamente la variación de intensidad se traduce en la aparición de una corriente autoinducida que se opone a ese cambio. genera un campo magnético en la zona de su alrededor.  Un  circuito  está  formado  por  una  lámpara  conectada  en  paralelo  a  una  bobina. Supongamos que el circuito de nuestro ejemplo está provisto de un interruptor que inicialmente se halla abierto.  9. siendo L el coeficiente de proporcionalidad. la corriente autoinducida se opondrá a ese aumento y será. I ) dI ε=− =− = −L dt dt dt Página 66  . En esos casos (la intensidad varía con el tiempo). dependiendo del valor de la intensidad que circulaba y de la proximidad de dichos extremos. al circular la intensidad I. mientras la corriente varía desde cero hasta que alcanza su valor máximo dado por ε/R. al estar abierto el circuito. Todo circuito posee cierto coeficiente de autoinducción. de sentido opuesto a I. Este coeficiente depende sólo de las características geométricas del circuito y se denomina coeficiente de autoinducción (L). resulta valer I = ε /R. Por el circuito. el campo magnético que crea varía. de modo que puede escribirse: Φ = L.  A partir de ahora. sin embargo.3. • El campo electrostático realiza trabajo si una carga Q se desplaza entre dos puntos que estén a distinto potencial.   Tema 2. si una carga se desplaza entre dos puntos de un campo eléctrico que están a diferente potencial.  10. el campo magnético creado por una carga en movimiento tiene “simetría de rotación” respecto de la dirección de movimiento de la carga. • Las líneas del campo electrostático son abiertas. sin embargo. Página 67  .E). el campo magnético NO realiza trabajo ya que la fuerza magnética sobre una carga es perpendicular a la velocidad (o al desplazamiento). su energía cinética varía. Un campo electrostático ejerce una fuerza sobre una carga tanto si ésta en reposo como si se mueve. B) Si una tiene el doble número de espiras  que la otra. aunque se mueva. Calcula el coeficiente de autoinducción de una bobina de N espiras y longitud l.01 H. A lo largo de este tema hemos venido presentando las principales características del campo magnético. pero el flujo del campo magnético a través de una superficie cerrada SIEMPRE es nulo. por el contrario. • El flujo del campo electrostático a través de una superficie cerrada sólo es nulo sin la carga total contenida en el interior de esa superficie lo es.    Q21. Las líneas del campo magnético son circunferencias perpendiculares a la dirección de movimiento de la carga y centradas en la recta correspondiente a esa dirección. A) ¿Cuál de las dos tiene mayor coeficiente de autoinducción?. ¿Cuál es el flujo magnético que pasa por una  espira de la bobina cuando la corriente es de 5 mA?    Q24. pero el campo magnético sólo la ejerce si la carga está en movimiento y. la fuerza que ejerce un campo magnético sobre una carga Q depende de la intensidad del campo. Calcula el flujo magnético total a través de la  bobina cuando la corriente es de 0. (Sol.  Q20. no tiene sentido hablar de energía potencial magnética asociada a una carga. Calcular para una bobina de 400 espiras de 5 cm2 de área y 10 cm de longitud. Vamos a recordarlas al tiempo que las compararemos con las del campo electrostático estudiadas con anterioridad: • La fuerza que ejerce un campo electrostático sobre una carga Q depende sólo de la intensidad de ese campo y del valor de la carga (recordar F = Q. ¿cómo son sus respectivos coeficientes de autoinducción?    Q23. • El campo magnético carece de “fuentes escalares”: no se conocen cargas magnéticas o monopolos magnéticos.  sólo  se  diferencian  en  el  número de espiras. E L E C T R O E S T Á T I C A   y   M A G N E T I S M O. cuánto debe variar la corriente para que  aparezca una fem autoinducida de 10 V. la energía cinética de una carga que se mueve en un campo magnético permanece constante. en cambio. El coeficiente de autoinducción de una bobina de 400 vueltas es de 8 mH. en cambio. En cambio.  y  construidas  con  el  mismo  tipo  de  conductor. • El hecho de que el campo electrostático sea conservativo. • El campo electrostático creado por una carga puntual en reposo tiene simetría esférica en torno a la carga. Como consecuencia de esto.: unos ‐10 000 A/s)    Q22. mientras que las del campo magnético son cerradas. CAMPO MAGNÉTICO y CAMPO ELÉCTRICO: comparaciones. puede que esa fuerza sea nula. en cuyo caso el trabajo es nulo (recordar la definición física de trabajo). nos permitía asociar a la carga una energía potencial electrostática. Las líneas de fuerza del campo electrostático son radiales y las superficies equipotenciales son esféricas y centradas en la posición de la carga. del valor de la carga y de la velocidad con que se mueva esa carga (recordar la ley de Lorentz). La autoinducción de una bobina de 100 espiras muy próximas es de 0. puesto que EL CAMPO MAGNÉTICO NO ES CONSERVATIVO.5 mA.  Dos  bobinas  con  la  misma  sección  y  longitud. el flujo que la cruza variará con el tiempo. e inicialmente los vectores campo y superficie están orientados en el mismo sentido (α = 0). ELECTROMAGNETISMO y CORRIENTE ALTERNA Una de las mayores y mejores aplicaciones del electromagnetismo reside en la posibilidad de generar corrientes eléctricas de uso habitual.ω A la rapidez angular ω se la denomina también frecuencia angular y no ha de confundirse con la frecuencia del giro. Vamos ahora a acercarnos un poco más a su estudio.t y por lo tanto: d (cos α ) ε = − B. se inducirá en la espira una corriente que vendrá caracterizada por una fem dΦ ε=− dt Que podremos escribir: v v dΦ d ( B. su signo cambia dos veces a lo largo de un periodo. S . por lo que de acuerdo con la ley de Faraday. S . f = 1/T. El periodo es T = 2π/ω y por tanto. será α = ω.ω que resulta ser directamente proporcional a la rapidez angular de giro. Por ello.cos α ) d (cos α ) ε=− =− =− = − B. el ángulo que formarán esos vectores tras un cierto tiempo. Algo ya de esto se ha venido comentando indirectamente en las páginas anteriores.S. S ) d ( B. Puede girar. • el valor de la fem varía periódicamente. = B.sen ωt dt que podremos escribir del modo: ε = ε0 · sen ωt donde ε0 = B. Si analizamos la última ecuación vemos: • la fem inducida en la bobina (espira) varía con el tiempo. por tanto. dt dt dt dt Si suponemos que la espira gira con rapidez angular constante. Supongamos una espira en el seno de un campo magnético uniforme (ver figura). E L E C T R O E S T Á T I C A   y   M A G N E T I S M O. y al hacerlo.   Tema 2. una corriente la llamaremos corriente alterna si posee las anteriores características. es decir. la corriente inducida cambia de sentido 2.  11. S . Al valor de ε en cualquier instante se lo denomina fem instantánea. S . a partir de ahora. cuando su fem varía sinusoidalmente con el tiempo bajo la forma ε = ε0 · sen ωt Página 68  .f veces por segundo.S. la frecuencia será f = ω/2π • el valor máximo de la fem es ε0 = B. ω. • al ser la fem una función sinusoidal.ω . sino variable.1 UN CASO IMPORTANTE: Transformadores. Una bobina formada por 100 espiras  circulares de  5 cm de radio gira en el interior de un  campo magnético  horizontal  uniforme  de  0. Cuando se aplica la fem variable V1 al primario (de N1 vueltas de cable) se produce una corriente en este circuito..N1 d φ/dt El mismo flujo pasará por las N2 vueltas del secundario. Así. Calcular: a) el campo magnético en un punto situado a 10 cm del primer  conductor  y  a  20  cm  del  segundo. la fem que aparece en el secundario es V2 = . ¿Con qué velocidad angular debe girar la bobina de un alternador formado por 100 espiras cuadrangulares de 5 cm de  lado.2.  a  razón  de  1000  rpm.  Un transformador está constituido por DOS circuitos acoplados. o las diferencias de fase y el efecto del circuito externo conectado al secundario. conocidos como primario y secundario. Sobre dos railes paralelos al eje OX. el flujo total será N1· φ y escribiremos que V1 = .  Dos  conductores  rectilíneos  paralelos. a ello. (Dar el resultado en función de I)  Página 69  .N2 d φ/dt El cociente de las dos fems es V2/V1 = N2/N1 lo que significa que la fem que se obtiene en el secundario guarda una proporción N2/N1 con la fem aplicada en el primario. se apoya una  barra de cobre de 0.  B)  fuerza  por  unidad  de  longitud    sobre  un conductor  rectilíneo  situado  en el  mismo  plano. 1. representados con el símbolo ~. autoinducciones. una corriente de 30 A. espiras. (Sol. Cuando se aplica al circuito primario una fem variable. están separados entre sí 10 cm. Si φ es el flujo magnético a través de una vuelta del primario. Normalmente el primario y el secundario están enrollados alrededor de un núcleo de hierro con el fin de conectar el flujo magnético (ver figura).8 mT en dirección vertical)    2.  A)  Calcula  el  valor  de  la  fem  inducida  en cualquier instante. para obtener una fem inducida de  220 V de valor máximo? ¿Cuál es la frecuencia de dicha corriente?  Lógicamente. perpendicular al eje de rotación. se une la presencia de una serie de características más. que produce un campo magnético localizado casi por completo dentro del núcleo de hierro. si el coeficiente  de rozamiento barra‐railes vale µ = 0. situada en un campo magnético uniforme de 0.1 kg. cuando N2/N1 > 1 hablamos de un transformador de aumento de voltaje. Pero eso ya es otro tema que lamentablemente no podemos ver aquí. como son los nuevos elementos: bobinas. N1 N2 PROBLEMAS DE SÍNTESIS NIVEL 1. ya que no considera varios V1 V2 factores como pérdidas de flujo y de energía.  recorridos  por  corrientes  del  mismo  sentido  de  10  y  20  A  respectivamente.2  T  alrededor  de  un  eje  vertical  que  pasa  por  su  centro. Por lo tanto. y cuando es < 1 se trata de un transformador de disminución del voltaje. se produce una fem.  DE  SELECTIVIDAD.. a través de la barra de cobre. Se hace circular de un rail a otro.    Q26. Calcular el  campo magnético que habría que aplicar para que la barra deslice sobre los railes a velocidad constante. En realidad este análisis es un tanto simple. Por lo pronto. situados en un plano horizontal y separados 30 cm. con los elementos hasta aquí estudiados es posible “fabricar circuitos” con una serie de características notablemente diferentes a los montados con corriente continua.5 T. también variable en el secundario. los generadores no suministran una fem uniforme.: 21. 11. que dan otro enfoque a la electricidad. E L E C T R O E S T Á T I C A   y   M A G N E T I S M O.  Q25. etc.   Tema 2. paralelo y equidistante de ambos. B) Valor máximo de la fem. DE SELECTIVIDAD. ahora.   Determinar: A) el valor de la fem inducida en cualquier instante. b) momento sobre la espira. que gira alrededor de un eje  vertical  que  pasa  por  su  centro. hay  una  espira  rectangular  de  modo  que  su  lado  mayor  (de  4  m)  es  paralelo  al  hilo  (ancho  1  m).  t  =  0.    16.:  4.5 m S inducida.  b) Explicar el significado físico de la citada ley y. Ley de Lorentz. b) son  de sentido contrario.10  T?    13.t. circula  una corriente de 5 A en el  sentido  horario. C) la frecuencia de  la corriente inducida. que pasa por  los  rieles  a  100  km/h  (cte. Los raíles de una vía férrea están a 1 metro de distancia. B) el máximo valor de la fem inducida. Por una espira rectangular de 10x20 cm.). ¿En qué dirección debe moverse una carga en el seno de un campo magnético  para que no aparezca fuerza sobre ella?  Página 70  . cuyo módulo varía con el tiempo según la expresión B = B0. ¿Qué fuerza por unidad de longitud actúa sobre ellos si a) las corrientes son del mismo sentido.   Tema 2. Determinar la fem inducida en el circuito y  el valor máximo de dicha fem.    15. By = 0.  uniforme  y  horizontal.  c)  la  frecuencia  de  la  corriente  0. de 20 espiras. respectivamente. Bz = 6 T.10  T.2 m modo  que  no  exista  flujo  magnético  a  su  través?  B)  ¿Cuánto  vale  el  flujo a través de la espira cuando se coloca de forma que su plano sea  Z perpendicular al campo?    9.2. c) intensidad y fem en el instante t = 10 s. ley de Lenz‐Faraday.5 metros de él. Al generador se  conecta  una  resistencia  de  50  ohmios  y  se  cierra  el  circuito.  colocado  perpendicularmente  a  un  campo  magnético. A 0.    14. Una espira rectangular se mueve en una región en la que el campo  magnético está dado por Bx = 0. y están separados una  distancia de 4 cm. Calcular la fuerza que ejerce sobre un conductor rectilíneo de 0.    3.2 Ω. Una bobina circular plana.  situada en el plano XY. DE SELECTIVIDAD: Junio de 1996 (Andalucía.2  T. SELECTIVIDAD LOGSE.  la  espira  se  encuentra  en  la  posición  dibujada  y  que  gira  a  razón  de  10  rpm  en  el  sentido  dibujado.  Calcular:  a)  fuerza  magnética sobre cada lado de la espira.  a  1000  rpm. Suponiendo que en el  instante  inicial.  Si  el  campo  magnético  terrestre  tiene  una  componente  vertical  de  0.    5. d) valor máximo de la intensidad.    4.  Se  aplica  un  campo  magnético  B  de  2  T  dirigido  en  el  sentido  positivo  del  eje  OY. de inducción 1.  A)  ¿Cómo  ha  de  situarse  la  espira  de  0. Dos conductores rectilíneos y paralelos transportan una corriente de 2 y 6 A. b) el valor máximo de esa  fem  y  en  qué  instante  se  produce.  establece  una  conexión  eléctrica  entre  ellos.  b)  ¿se  inducirá  corriente  al  mover  la  espira  paralelamente al hilo? ¿Y al alejarla o acercarla al hilo?    10.  ¿cuál  será  la  ddp  que  surge  entre  los  extremos  de  la  conexión  de  los  raíles?  (Sol.  Calcular:  a)  la  fem  en  cualquier  instante.15  gauss.001 mgauss describa una circunferencia de 2 cm de radio?    12. d) la intensidad que recorre la espira. tiene un radio de 10 cm.  b)  la  intensidad  instantánea que circula. Un tren. Un alternador está formado por una bobina de 1000 espiras circulares de 3 cm de radio. D) el número de veces que cambia de sentido la corriente en un segundo. distrito único)  a) Inducción electromagnética.    Y 7.  Una  espira  de  alambre  de  0. si su resistencia es de  0. Un generador de corriente alterna proporciona una fem máxima de 250 V con una frecuencia de 50 Hz.  actúa  sobre  él  una  fuerza  que  le  obliga  a  describir  una  trayectoria  circular.  Sea  un  circuito  formado  por  N  espiras.10‐4 V)    11. el signo menos que aparece en ella. siendo 5 A la intensidad de corriente que circula por el conductor.senω.    2 8. E L E C T R O E S T Á T I C A   y   M A G N E T I S M O. en particular.25  cm   de  área  se  halla  en  un  campo  x magnético  uniforme  de  0.05  T.15 m de longitud un campo magnético perpendicular a  ‐4 él. DE SELECTIVIDAD.  ¿Qué  velocidad  deberá  poseer  un  electrón  para  que  al  penetrar  perpendicularmente  a  las  líneas  de  un  campo  magnético de 0.1. ¿Qué intensidad de corriente debe circular por ella  ‐4 para que la inducción magnética en su centro (campo magnético) valga 2.    6.  Al  penetrar un  electrón  en un  campo  magnético.  en  el  interior  de  un  campo  magnético  de  0.  cada  una  de  ellas  de  área  S.  Hallar  a)  el  valor  del  flujo  magnético  creado  por  la  corriente  a  través  de  la  espira  rectangular.  hallar:  a)  la  fem  inducida en la espira en cualquier instante. eléctricamente aislados uno del otro. Por un hilo horizontal circula una corriente rectilínea de 50 A en el sentido positivo del eje OX.  SELECTIVIDAD LOGSE (Septbre. calcular: a) el campo magnético en el interior del solenoide. b) su autoinducción.  Determina el valor de la fem inducida al cabo de 2 segundos.  cuyos  lados  BC  y  DA  son  paralelos  al  conductor  rectilíneo.0) cm si: a) por ambos conductores circula una corriente de 5 A en el sentido positivo del eje OY. máximo negativo y nulo. AB = DC = b. Si por el  solenoide circula una corriente de 3 A. ¿Puede inducirse fem  en una espira en un campo magnético constante?    26. SELECTIVIDAD (Burgos. de acuerdo  con la expresión:   φ= 20t4 ‐ 6t2 (SI). E L E C T R O E S T Á T I C A   y   M A G N E T I S M O.  paralelos. circulan las intensidades  I1  (2.  está  recorrida  por  una  intensidad  I. máximo negativo y nulo.  Determinar  el  sentido  de  la  corriente  inducida  en  la  espira cuando su movimiento es: a) paralelo al conductor. separados 3 m.10‐5 T.  1995)  Se  deja  caer  un  electrón  en  el  campo  magnético  terrestre. dirección y sentido de un campo  eléctrico E que. 1995) Una carga eléctrica positiva.  b) Indicar las posiciones en que la fem inducida tomará valores máximo positivo.    27.   A.  ¿Podrías  indicar  cualitativamente cómo sería su trayectoria? Razona la respuesta.05 m.    21. sin embargo. Una varilla de 2 m de longitud se desplaza.  Página 71  . b) se invierte el  sentido de la corriente en el conductor situado sobre el eje OY. SELECTIVIDAD (Almería) A lo largo de dos conductores rectilíneos y paralelos.  D)  Dibujar  una  espira  en  un  campo  magnético  uniforme  y  suponer  que  la  hacemos  girar  en  un  sentido  determinado  (indicarlo). 1994) CUESTIONES.  1995)  Por  un  conductor  rectilíneo  muy  largo  circula  una  corriente  eléctrica  I. ¿cuál sería el nuevo campo?    29. distancia del conductor al lado AD = b)    22.  Uno de ellos coincide con el eje OY y el otro pasa por el punto (20. El flujo magnético que atraviesa una espira varía con el tiempo.10‐2  A)  con  la  misma  dirección  y  sentido.    D. Si la velocidad de la varilla es de 25 m/s y la componente  vertical del campo magnético terrestre en ese lugar es 4. y perpendicular a su  eje.  C) Definir qué es el Amperio. Si el diámetro del solenoide es de 0.  SELECTIVIDAD  (Sevilla. 1995) A través de un conductor rectilíneo e indefinido pasa una corriente de intensidad I1.5 A.5 cm y una sección de 2 cm2. ¿Qué le sucede a un anillo metálico si lo haces girar encima de una mesa?  ¿Por qué?    C.0)  y (‐10.  SELECTIVIDAD  (Madrid.  están  situados  en  el  plano  XY. no salta al cerrarlo?    19.0) cm.  SELECTIVIDAD  (Valladolid. se mueve a velocidad constante v y entra en una región  donde existe un campo magnético uniforme B. ¿cuál será la ddp que aparecerá entre los extremos de la  varilla?    20.    28. perpendicular a v. 1995) Un solenoide de 400 vueltas tiene una longitud de 2.  A) ¿Qué se entiende por líneas de campo?  B) Diferencia fundamental entre las líneas del campo eléctrico y las del campo magnético. SELECTIVIDAD (Sevilla. Una  espira  rectangular  ABCD. aplicado en la misma región del espacio.  b)  el  flujo  magnético  que  lo  cruza.  1994)  Dos  conductores  rectilíneos  de  gran  longitud.  ¿Por  qué  salta  una  chispa  en  un  interruptor  al  cortar  la  corriente  en  un  circuito y. SELECTIVIDAD (Jaén. 1995) Enunciar la ley de Lenz‐Faraday de la inducción electromagnética.  Una  espira  cuadrada  se  mueve  manteniéndose  coplanaria  con  el  conductor.  Calcula la fuerza que ejerce el campo magnético creado por el conductor sobre cada lado de la espira. Calcular el campo magnético en los puntos (10.    17.    25. (DATOS: BC = DA =  a. sobre un plano horizontal.10‐2  A)  e  I2  (4.    24. 1994) Se tiene un solenoide de 1m de longitud (sin núcleo) que consta de 1330 espiras  por las que circula una corriente de 2.  donde  se  sabe  que  el  polo  norte  del  imán  está  a  la  izquierda.   Tema 2.    23.  Determinar  a  qué  distancia  del  conductor  1  el  campo  magnético vale 0. Determinar el módulo. q. con velocidad cte. SELECTIVIDAD (Madrid. permita que la carga eléctrica siga en movimiento rectilíneo. Aplica la ley de Lenz para determinar el sentido de la corriente inducida en cada una  de  las  situaciones  de  la  figura. a) Indicar las posiciones de la espira en que el flujo a su través será el máximo positivo. b) perpendicular al conductor y alejándose de él.    18. calcular: a) el campo de inducción  magnética  producido  en  el  interior  del  solenoide.  c)  si  tuviese  un  núcleo  cuya  permeabilidad magnética fuese 100 veces la del vacío. SELECTIVIDAD LOGSE (Salamanca. ¿De qué factores depende el coeficiente de autoinducción de un solenoide?    B.  penetran en un campo magnético uniforme. Junio 1999) Dos hilos metálicos largos y paralelos por los que circulan corrientes de 10 A.  b) Llevan distinto sentido. Razona la respuesta. Determinar la fuerza que  actúa sobre ella.105 m/s  B = 0. con  una  dirección  perpendicular  al  mismo.  10‐27    Kg      y      21.   Tema 2.  respectivamente  con  la  misma  carga  de  ionización  son  5 acelerados  hasta  que  adquieren  una  velocidad  constante  de  6.  (B)  La  aceleración  que  adquiere el electrón. en el instante que pasa  por el punto  (0.  Al  entrar  en  el  campo. Dos partículas materiales P1 y P2. que se mueven con la misma velocidad. de tal modo que  describe  una  trayectoria  circular  de  radio  R.    Da  una  explicación  razonada  de  lo  dicho  y  confecciona  un  diagrama  al  efecto.85 T cuyas líneas de campo son perpendiculares a la velocidad de las  partículas.10‐27 Kg  v = 6.  Un  protón  y  una  partícula  α  (carga  +2e)  se mueven  en un  campo  magnético  uniforme  según  circunferencias  de  igual  radio .7. Ambas partículas. SELECTIVIDAD (Andalucía.  Dos  isótopos. Determina la  relación  entre  los  radios  de  las  trayectorias  que  describe  cada  isótopo.  Ambas  corrientes  discurren perpendicularmente a dicho plano y hacia arriba.  SOLUCIÓN   Una trayectoria circular de distinto sentido              Rp/Re = 1836  6.10‐27 Kg  m2 =21.10‐27  Kg  .4 k (T) Determinar para el instante en el que la velocidad del electrón es  v = 20 i m/s: (A) Las fuerzas que  actúan  sobre  el  electrón  debidas  al  campo  eléctrico  y  al  campo  magnético  respectivamente.  7.25 m y están recorridos  por sendas corrientes de 160 A.  SOLUCIÓN  a)   vα =1/2 vp . Datos: Se considera que la masa del protón es igual aproximadamente.  ¿Cuál  de  ellas  tendrá  la  trayectoria de mayor radio de curvatura?.  situado  en  el  vacío  sobre  el  eje  OZ  de  un  sistema  de  referencia  cartesiano   OXYZ  . determine.  b) Calcular los valores numéricos del campo magnético en ese vértice y de la fuerza por unidad de longitud ejercida sobre  uno de los hilos. Una carga q = +1 C entra con una velocidad v = 3i – j + 2k en el campo magnético B = ‐j + 6 k.  ¿Qué  se  puede  afirmar  sobre    la  dirección del campo magnético?  5.  b) Sus energías cinéticas  c) Sus momentos angulares  d) Se admite que la masa de la partícula α es igual a 4 veces la masa del protón.  determine  la  separación entre los dos isótopos cuando han descrito una semicircunferencia.85 T   q = e  3. Compara los valores de:  a) Sus velocidades. Un electrón que se mueve con una velocidad constante v. Determine la fuerza que actúa entre los dos alambres cuando las dos corrientes:  a) Llevan el mismo sentido. 4. a 1836 veces la  masa del electrón.  Se  les  hace  atravesar  una  región  de  campo  magnético uniforme de 0.  Si  la  intensidad  del  campo  magnético  disminuye  a  la  mitad  y  la  velocidad  aumenta al doble.  Página 72  .7.  pasan  por  dos  vértices  opuestos  de  un  cuadrado  de  1  m  de  lado  situado  en  un  plano  horizontal. Un electrón se mueve en una región  en la que están superpuestos un campo eléctrico E = (2i  + 4j) V/m  y un campo  magnético B = 0.  si  han  sido  ionizados  una  sola  vez.  DATOS   I1= I2 = 160 A  d = 0.  a) Dibuje un esquema en el que figuren las interacciones mutuas y el campo magnético resultante en uno de los otros dos  vértices del cuadrado.  de  masas  19. Dos alambres conductores paralelos de 25 m de longitud están separados por una distancia de 0. Razona tu respuesta.  8.  Un  electrón  pasa  a  través  de  un  campo  magnético  sin  que  se  altere  su  trayectoria. c)   Lα= 2Lp  9.92. 0)  m con una  velocidad v = 20 j  10.92.  rectilíneo  e  indefinido. E L E C T R O E S T Á T I C A   y   M A G N E T I S M O. en tanto que la masa de P1 es mayor  que la de P2.10     m/s.  Un  hilo  conductor. penetra en un campo magnético uniforme B .  transporta  una  corriente  eléctrica  de  intensidad    I  =  2A  en  el  sentido  positivo  de  dicho  eje. b)   Ecp = Ecα  . 1.  DATOS  m1= 19.  Nivel 2. poseen cargas iguales y de signos contrarios.  30.59.59. con igual velocidad ¿qué tipo  de  trayectoria  realiza  cada  uno  de  ellos?  ¿cómo  es  la  trayectoria  que  realiza  el  protón  en  relación  con  la  que  realiza  el  electrón ?.  a) El radio de la órbita  b) La velocidad angular.  Calcula  la  fuerza  magnética que actuará sobre una partícula cargada con 5 C . Un protón y un electrón se mueven perpendicularmente a un campo magnético uniforme.  las  dos  partículas  curvan  sus  trayectorias  en  sentidos  contrarios.  2. 25 m  L = 25 m  4.  Encuentra:  a) La relación entre sus energías cinéticas en el momento de penetrar en el campo magnético.104V m‐1 y un campo magnético  uniforme de valor  0.  siendo  sus  vectores  velocidad  perpendicular  y  paralelo  respectivamente  a  la  dirección  del  campo magnético.5 j.45. Determina las siguientes magnitudes del electrón en la zona con campo magnético:  a) Velocidad angular  b) Módulo de la fuerza que experimenta.I. Determinar:  a) El valor de la fuerza centrifuga que actúa sobre el electrón.10‐6 m             c)  4. B0 = 1 T.1011Hz  e)  1.5 A circula en sentido horario. Dibuja las fuerzas  que padece cada lado de la espira y determina el flujo que la atraviesa entonces. En una misma región del espacio existen un campo eléctrico uniforme de valor 0.3 . dejamos el campo magnético anterior e introducimos un hilo de corriente en su  interior. E L E C T R O E S T Á T I C A y M A G N E T I S M O. Un protón.  Dibuja y calcula la fuerza que padece este hilo  conductor (por unidad de longitud). 18. determina el valor del momento magnético a aplicar para  que NO gire. Introducimos un protón con la velocidad v = –100  k. Dibuja las fuerzas que actúan sobre cada lado de  la espira y calcula su valor.10‐13 N         b)  3. paralelamente a dos conductores y equidistante entre  ellos sin cambiar su trayectoria. siendo sus direcciones perpendiculares entre sí:  a) ¿Cuál deberá ser la velocidad de una partícula cargada que penetra en esa región en dirección perpendicular a  ambos campos para que pase a través de la misma sin ser desviada?. ¿Girará la espira? En caso afirmativo.).  de  forma  que  situada  sobre  el  plano  XZ  porta  la  corriente en sentido horario.  eliminamos  el  conductor  de  2  A  y  fabricamos  una  espira  rectangular  con  el  cable  de  1  A  cuyas  dimensiones  son  de  3x5  cm. SOLUCIÓN  V = ‐100 j                17.5. Explica si es posible que un electrón se mueva con velocidad v.0). Una de las partículas está en reposo y  las  otras  dos  en  movimiento. considerando los casos posibles referente a la dirección de entrada y signo de la carga. Calcula  y  dibuja el  vector  campo  magnético  en  el  punto  (‐6. nos fabricamos una espira de 2x6 cm. existe un campo magnético B = 6i (S.5. de modo que transporta 0. explica cuál es la acción del campo sobre cada una de las partículas y cómo será su movimiento en él  16.0. de modo que  la corriente de 0.  Un  hilo  conductor  transporta  2  A  de  corriente  en  el  sentido  positivo  del  eje  OZ.  c) Tiempo que el electrón tarda en recorrer la circunferencia completa  d) El número de vueltas que da en un segundo  e) La energía del electrón a su entrada en el campo  f) La variación de potencial que debe experimentar ese electrón para pasar del reposo a la citada velocidad (se  supone invariable la masa)  SOLUCIÓN        a)   64.125. En cierta región del espacio hay un campo eléctrico E = Eok  y un campo magnético B = ‐Boi ¿Qué velocidad y dirección  debe tener un electrón que penetre en esta región para que su trayectoria sea rectilínea?  Datos : E0 = 1000 V /m  .10‐12 s              d)  2. El plano de la espira así construida está sobre el plano XY. entran en una región del  espacio donde el campo magnético es uniforme y se mueven perpendiculares a dicho campo.  c) Si el radio de la trayectoria del protón es de 0. mα = 4 u  14. y el mismo campo magnético. Si aplicamos el campo magnético B = ‐1.  c) Módulo del momento angular respecto del centro de la circunferencia que describe el electrón  12. En cierta región del espacio.3 T.  b) El radio de la órbita descrita.34.  Un  electrón  penetra  en  una  zona  con  un  campo  magnético  uniforme  de  10‐3  T  y  lleva  una  velocidad  de  500  m/s  perpendicular al campo magnético. me =  5.10‐4u  .  En  un  segundo  experimento.  b) Si la partícula es un protón.0)  pasa  otro  hilo  (paralelo  al  eje OX)  que  porta  una  corriente  de 1  A  hacia  la  parte  negativa  del eje  OX.  20. ¿cuál deberá ser su energía cinética para no ser desviado?  15.  Página 73  .  Por  el  punto  (0.5 A en el sentido positivo del eje OY.31 V  13. un electrón y una partícula α.4.  Efectuar  un  análisis  cualitativo  del  movimiento  que  efectúa  una  carga  eléctrica  al  penetrar  en  un  campo  magnético  uniforme. ¿En qué dirección ha de  entrar un electrón en ese campo para que no se ejerza fuerza sobre él?  19. En el seno de un campo magnético uniforme se sitúan tres partículas cargadas.  b) La relación entre sus velocidades en el momento de penetrar en el campo magnético. ¿cuáles son los radios de las trayectorias del electrón y de la  partícula?  Datos : mp = 1u  . acelerados por la misma diferencia de potencial. Sobre un electrón que se mueve con la velocidad de 5000 Km/s actúa en dirección normal a su velocidad un campo  magnético en el que B = 8 T.  c) Con el mismo hilo de antes.1 m. Se pide:  a) Hacía dónde deberíamos aplicar un campo eléctrico para conseguir que el protón no se desvíe una vez dentro  del campo magnético? ¿Cuál habría de ser su valor?  b) En otro experimento distinto.10‐17 J  f)  70. Tema 2 11.     30.10‐27 kg)    25. Calcula la fuerza sobre cada uno de los lados de la espira y el momento necesario para  mantener la espira en su posición.  En  estas  circunstancias  hay  que  añadir  pesas  hasta  completar  12  g  en  el  otro  platillo  para  recuperar  el  equilibrio. b) si fuera un protón. Determina el VECTOR campo magnético en el punto P de la figura.  23. Encontrar la nueva orientación de la  brújula.  P La varilla de la balanza.  Un  topógrafo  maneja  una  brújula  a  4  m  por  debajo  de  una  línea  de  corriente por la que circulan 150 A (supongamos que de corriente continua). Análisis comparativo entre los campos gravitatorio. La espira está en una región del espacio donde hay un campo magnético paralelo al eje OX y dirigido hacia valores  positivos de X y de magnitud 0. E L E C T R O E S T Á T I C A y M A G N E T I S M O.6 T.  27. Deducir el  valor de la corriente que circula por esos cables (explicando su sentido) si se  sabe  que  todo  el  conjunto  está  en  equilibrio  y  que  los  cables  tienen  una  densidad  lineal  ρ  (kg/m). en el mismo sentido.66.  Ofrecer  el  resultado  en  función  de  los  datos  suministrados y/o de las constantes características.  Página 74  . Tema 2. El ángulo que forman las cuerdas con la  vertical es de 6º. de modo que el plano de la espira  sea paralelo a las líneas de fuerza del campo.    26. es de 0.  Un  solenoide  de  20  cm  de  longitud  formado  por  600  espiras  tiene  una  resistencia  de  12  Ω.5∙10  T y que el hilo conductor está orientado justo hacia el  Sur.  Una  espira  rectangular  (de  8x6  cm)  puede  girar  alrededor  del  eje  OZ  y  transporta  una  corriente  de  10  A  en  sentido  horario. recibe el nombre de Balanza de  I2 = 0. A) Hallar la magnitud y dirección del campo magnético capaz de lograr que el  electrón conserve su movimiento horizontal en presencia de ambos campos.48 T.  Por  dos  vértices  opuestos  de  un  cuadrado  de  1  m  de  lado.  21. Se pide:  a) Calcular el campo magnético resultante en el centro del cuadrado.  d)  Eliminamos  la  corriente  de  la  espira  anterior  y  la  hacemos  girar  a  800  rpm  de  modo  que  el  eje  de  giro  es  paralelo  al  eje  OY. con el cable de 5 A nos fabricamos una espira cuadrada de 20 cm de lado y lo introducimos  en un campo magnético uniforme de 0. Un chorro de iones  de neón. el otro platillo se equilibra por medio de pesas.  se  introduce  en  el  seno  de  un  campo  magnético  horizontal  y  perpendicular  a  X Y ella.  Determina  la  fuerza  electromotriz  inducida  en  cualquier  instante  y  cuándo  alcanzará  ésta  su  valor  máximo por primera vez.  b) DIBUJAR (lo más claro posible) y CALCULAR. describe una trayectoria circular de 7. recorrida por una corriente de 2 A. corrientes de 2 y 5 amperios. el circuito está equilibrado con una masa m.5 A Cotton)    24.  Calcula  el  módulo  del  campo  I3 = 1 A magnético (un dispositivo como el aquí descrito.  En ausencia de campo magnético.    28.  De  uno  de  los  platillos  de  una  balanza  pende  un  circuito  rectangular. eléctrico y magnético.28 cm de radio en el campo magnético. Dos hilos conductores de igual longitud (L) que transportan corrientes del  mismo  valor.  la  componente  horizontal  del  campo  magnético  ‐5 terrestre vale 2.  cuyo  lado inferior es una varilla rígida. la fuerza magnética que se ejercen los conductores. ¿cómo debe ser B para  conseguir el mismo resultado? La acción de la fuerza de la gravedad se puede despreciar.  pasan  dos  hilos  conductores  que  transportan.    29. sabiendo  que éste se halla justo en medio de los conductores I1 e I3.  y  perpendicular  a  él. de 10 cm de longitud.  Se  sabe  que  en  ese  lugar. y dirigiendo hacia allí la  corriente. con una sola carga.  Determinar  el  valor  del  campo magnético en su interior cuando está conectado a una ddp de 100 V.2 T.  cuelgan  de  una  barra  del  techo  mediante  dos  cuerdas  iguales  inextensibles  (de  longitud  l)  y  de  masa  despreciable  tal  y  como  se  ve  en  la  6ª figura. Un electrón de 104 eV de energía se mueve horizontalmente y penetra en una región donde hay un campo eléctrico E =  100 V/cm dirigido verticalmente hacia abajo. Determinar el  número másico del isótopo de neón (1 u = 1. especificando  su naturaleza (repulsión‐atracción)  c) Si en otra ocasión. ¿Qué fuerza magnética soportará  I1 = 2 A cada  lado  de  ese  cuadrado  y  EXPLICAR  qué  efectos  producirá  en  la  espira  así  Z construida? (Decidir el sentido de circulación de la corriente de 5 Amperios)  22.  El  campo  eléctrico  entre  las  placas  del  filtro  de  velocidades  de  un  espectrómetro  de  masas  es  de  120000  V/m  y  el  campo magnético que es contrarrestado por el anterior y que sigue actuando tras el filtro. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE. Al dejar oscilar libremente al objeto de la figura. Si recuerdas. Si se desprecian los rozamientos. J. Así por ejemplo. comenzará a moverse hacia O con cierta aceleración. Queda por tratar aquellos casos de movimientos con aceleración variable. La inteligencia es un raro estado de la materia viva. es uno de los más “Un objeto oscila cuando se mueve de forma periódica  importantes que existen en la Naturaleza. · TEMA 3 · Vibraciones y Ondas  La vida es un raro estado de la materia inerte. bien eran uniformes o bien poseían aceleraciones constantes. éste describe un movimiento de oscilación: un movimiento armónico simple (en adelante. Nuestra andadura se va a iniciar con un nuevo tipo de movimiento: el oscilatorio o armónico simple. un péndulo al moverse realiza un movimiento oscilatorio. . rebasará la línea O. siendo los puntos A y A’ posiciones simétricas respecto de O. pero dejando atrás otros casos igual de interesantes. Uno de esos casos interesantes lo constituye el llamado “movimiento armónico” y posteriormente. en donde se detendrá. La cultura es un raro estado de la materia inteligente. los átomos de un sólido vibran alrededor de su posición de equilibrio. el estudio del movimiento suele ser en los capítulos de física. al soltar el objeto desde la posición A. MAS). comprender ese fenómeno físico y las posibles consecuencias que de él se deriven permite abordar otras cuestiones que en principio poco parecen tener que ver entre sí. 1. etc. uno de los temas más recurrentes. que estudiaremos luego. el objeto continuará oscilando indefinidamente. Casi siempre suele comenzarse el movimiento por el estudio de las variables involucradas y la clasificación posterior que se hace. El movimiento oscilatorio o vibratorio. que haremos extensivo a nuevas situaciones. volverá a moverse hacia O. ese estudio no llega a ser nunca del todo completo. en el curso pasado se estudiaron los casos más universales de movimiento de un modo más o menos pormenorizado. De nuevo aquí volveremos a tropezarnos con conceptos vistos el curso pasado. Wagensberg Normalmente. La civilización es un raro estado de la materia culta. va disminuyendo su velocidad hasta llegar a A’. Además. un alrededor de su posición de equilibrio”  cuerpo colgado de un muelle oscila alrededor de su posición de equilibrio al separarlo de ésta y dejarlo en libertad. este tipo de movimiento es la base de los fenómenos ondulatorios. Estudiaremos sus características y magnitudes fundamentales y lo completaremos abordando el movimiento ondulatorio. Al mismo tiempo. Con todo. todos los movimientos estudiados el curso pasado. Luego. Por ejemplo. y así sucesivamente. O A' A A Si O es la posición de equilibrio. el conocido como movimiento ondulatorio (armónico). Sin embargo. obtenemos sobre un diámetro un MAS cuyo periodo coincidirá con el del movimiento circular. Si tenemos presente el valor de ω. Es decir. la posición del objeto que vibra vendrá dada en cada momento.  Antes de comenzar a describir matemáticamente el movimiento. en la figura) • el periodo (T) → es el tiempo empleado en producirse una oscilación completa (es decir el tiempo en ir desde el punto A y regresar a él) • la frecuencia (f) → es la inversa del periodo. M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O y O N D U L A T O R I O. El movimiento vibratorio representado en la figura anterior. es un movimiento rectilíneo que se produce verticalmente. en el punto O. A Para ello.t como “la sombra sobre el eje OY (o sobre el eje OX. Obtener matemáticamente la ecuación del movimiento armónico. la ecuación de un movimiento oscilatorio que describe un MAS de periodo T y amplitud A. conviene definir algunas de sus magnitudes importantes: • la elongación (y) → es la distancia que separa en cada instante al cuerpo que oscila de su posición de equilibrio.R. viene dada por la expresión: ⎛ 2π ⎞ y = Asen⎜ t⎟ ⎝ T ⎠ Página 76  . (ver la figura). Así el movimiento quedará descrito cuando obtengamos una ecuación (ecuación del MAS) que nos permita conocer su posición en cada instante. el número de oscilaciones dadas en un segundo. De este modo. podremos escribir que: ⎛ 2π ⎞ y = Asen⎜ t ⎟ = Asen(2πft ) ⎝ T ⎠ Así pues. De esta forma. es complicado para este curso. • la amplitud (A) → es la elongación máxima (distancia de la posición de equilibrio al punto A. es indistinto) Q de un cuerpo que rota en movimiento circular y uniforme con O rapidez angular ω“. por la ordenada correspondiente. Por ello. utilizando trigonometría elemental. Por lo tanto 2π ω= T Suponiendo que en el instante inicial el objeto que describe el MAS está en O (el objeto que describe el movimiento circular estaría en Q) su posición en un instante posterior vendrá dado. nos valdremos de un procedimiento que nos dará buenos resultados. por y = A sen (ω t) siendo A la amplitud. buscaremos una función del tipo y = y(t). podremos situar el origen del S. basta observar que el movimiento de “vaivén” del cuerpo que oscila del muelle. Representa. por lo tanto. Tema 3. puede ser reproducido y w. Representaciones de la posición. Es decir. las condiciones del problema no son las que se han utilizado en nuestro desarrollo para obtener la ecuación general. M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O y O N D U L A T O R I O. NO ES CONSTANTE. y = . Observar sus relaciones.0. Por ello. esta expresión no cumple las condiciones iniciales impuestas: para t = 0.1) = 0. Un ejemplo Interesante: “Un objeto colgado de un muelle describe un MAS de amplitud 10 cm y periodo 0. Como para t = 0 debe ser que y = -0. rapidez y aceleración en un MAS. ha de añadirse a la ecuación general una constante. Sin embargo. la posición del objeto que se mueve así. el muelle está estirado. según lo anterior. ocupando el cuerpo la posición más baja de su oscilación. la ecuación del movimiento quedará como y = 0. y que además por tanto. Para salvar este tipo de dificultad. se tendrá que: -0. Como se recordará.1 m. En este caso. a partir de la ecuación del movimiento.1 sen (20πt). será un MAS. Tema 3.1 sen(20πt + 3π/2) Página 77  . y es que EL MOVIMIENTO CIRCULAR SÓLO SE HA UTILIZADO COMO AYUDA para describir el MAS y que NADA TIENE QUE VER con él (“El MAS es un movimiento rectilíneo”) Como se puede apreciar de la ecuación del movimiento del MAS. todo movimiento cuya aceleración sea de la forma a = -ky donde K = cte.1. podremos obtener las expresiones para la rapidez y la aceleración con ayuda del cálculo de derivadas: • Para la velocidad (rapidez): dy ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ v= = A⎜ ⎟ cos⎜ t⎟ dt ⎝ T ⎠ ⎝ T ⎠ y • Para la aceleración: 2 dv ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ a= = − A⎜ ⎟ sen⎜ t ⎟ ⇒ a = −(2π / T ) 2 y ⇒ a = −ω 2 y dt ⎝ T ⎠ ⎝T ⎠ Hay que destacar que la aceleración es directamente proporcional a la elongación (y) y de sentido contrario.1 = 0. simplemente. En general. va variando en función del tiempo de forma periódica sinusoidal. Determinar la ecuación del movimiento”.1 sen(2πt/0.1 · sen(20πt +∂).1 s. la ecuación debería ser. que se determina exigiendo que la nueva ecuación cumpla las condiciones del enunciado. y = 0. ∂.  Hay que destacar un último aspecto importante antes de seguir.1 · sen(0 +∂) ⇒ ∂ = 3/2 Por lo tanto. En el instante inicial. denominada fase inicial. tendremos: y = 0.     Q3. B) possición inicial del objeto.  Un n  objeto  descriibe  un  MAS  qu ue  responde  a  la  = 0. Se  tira  del  bloque  hacia  abajo  y  se  suelta.  En el caso dee un movimiento armónico o simple. B) La veloccidad y la acelerración en ese in nstante.2  sen  (2πt  +  π/2).  de  modo  que  oscila  verticalmentte.    Q2. el cuerpo que osscila experimeenta cambios de posición respeccto del equilib brio. SELECTTIVIDAD JUNIO''99.  a.1. tambbién. por lo qu ue dará: 1 2 1 2 1 2 1 2 E = Ec + Ep = K ⋅ A − K ⋅ y + K ⋅ y = K ⋅ A = ctee. M O V I M I E N T O S    A R M M Ó N I C O   y  O  N D U L A T O R R I O. 2 2 2 2 ⊕ Estudiar las variacionees energéticas d de un cuerpo qu ue oscila respectto de su posición n de equilibrio. sabemoss que F = − K ⋅ y = m ⋅ a = −m ⋅ ω 2 ⋅ y ⇒ K = m ⋅ ω 2 y la expresión anterior a podem mos ponerla como: c 1 1 Ec = K ⋅ A2 − K ⋅ y 2 2 2 ⊕  Según  la expresión an nterior. pues hayy que recordar que la fuerzaa elástica "reccuperadora" ess conservativa a. la Energía cin Por nética es: 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 Ec = m ⋅ v = m ⋅ ( A ⋅ ω ⋅ cos ω t ) = mA ω cos c ω t = mA A ω (1 − sen ω t ) = 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 = mA ω − mA ω senn ω t = mA ω − mω y 2 2 2 2 P Pero por otro la ado. vertical y fijo  por su exttremo superior. C Como ya se ha a estudiado en n un curso antterior. estudiar los valores máxximos y mínimos de Ec y cuándo o se producen. Veamos el valor v de esas energías y de la eneergía mecánicca total. y a lo largo de su reecorrido expe erimenta. es e por definició ón.  A Ayúdate de la gráfica anterior. C) punttos en los que laa aceleración es máxima.  Analice  las  variaaciones de energgía cinética y po otencial del bloq que y del resortee en una oscilación completa. la suma de e ambos términos. Indiq que las fuerzas q que actúan sobrre la partícula exxplicando si son no conservativaas.  b. P definición.  deteermina  A)  la  po osición  que  ocu upará  el  objetoo  transcurridos  10  s  desde  qu ue  se  inició  la  oscilacción.  Q1.  A  partir  de  la  ecuación  de  la  veelocidad  de  un  MAS. variacioones de energ gía cinética y potencial.  Determ l expresión  y  =  minar:  A)  amplittud. ASPE ECTOS ENERG GÉTICOS DEL L MAS.  Siguiendo  con  el  ejemplo.  demostraar  que  ésta  es  nula  en  los  puntos  en  que  la  elongación  es  máximma  1 1.  periodo  y  frecuencia de ese movvimiento. C) Demmostrar que la m máxima velocidaad se alcanza cu uando el móvil  pasa ppor la posición de equilibrio.  Página 78  .  Tema 3. la energ gía potencial elástica e viene dada por la expresión e 1 2 1 2 Epp = K ⋅ y = K ( A ⋅ senω t ) 2 2 La a energía meccánica total.  Un bloquee de masa m cu uelga del extrem mo inferior de un n resorte de maasa despreciablee. Para otros aquéllos casos en que no pueda hacerse la consideración de ángulos pequeños. es decir. MOVIMIENTO ONDULATORIO Muchos de los fenómenos que se producen frecuentemente en nuestra vida diaria son de naturaleza ondulatoria. Página 79  . se ha de tener en cuenta que sen α ≈ α en radianes.  1. según la posición que adopta el péndulo. L Θ Estudiar para qué posiciones de un péndulo. M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O   y  O N D U L A T O R I O. En estas condiciones. Ese análisis está recogido en la figura. Así por ejemplo. nos queda para T la expresión: v2 T = m⋅( + g cosα ) ≠ cte.A. En este caso. Desde su posición de equilibrio se lo separa un cierto ángulo alfa y se lo deja oscilar libremente.  El movimiento de un péndulo simple es un ejemplo más de los movimientos armónicos. siempre que se habla de periodos de péndulos simples. las olas del mar o el rizado del agua de un estanque al dejar caer en él una piedra son ejemplos de fenómenos ondulatorio. de cierta longitud L. α Para pequeñas variaciones de la posición de equilibrio. sucesivamente. pero sin desplazarse de la posición que ocupa (un corcho en el agua. al ser alcanzado por la perturbación efectúa un movimiento de vaivén. para pequeñas separaciones del cuerpo de su posición de equilibrio. La perturbación introducida en el punto en el que ha caído la piedra en el estanque produce en ese punto un movimiento vertical de vaivén (MAS) que. el sonido que oímos tras poner en marcha un aparato de radio o televisión. en muy buena aproximación. la "fuerza recuperadora" es la titulada como px en el dibujo. En efecto. como un ejemplo más de movimiento armónico. Es un dispositivo formado por un objeto de cierta masa atado al extremo de una cuerda. Cualquiera de esos puntos.  Tema 3.2. la tensión del hilo es mínima y máxima. Aplicando la segunda ley de Newton. de masa despreciable e inextensible. la T es variable según el valor de ese ángulo. por lo que: T x Px x senα = = ⇒ Px = mg L mg L x para α → 0 se tiene que px es una fuerza que obedece la ley de Hooke Py Px x mg mg = K⋅x⇒ K = = mω 2 mg L L es decir: g 4π 2 L = 2 ⇒ T = 2π L T g que es la expresión del periodo para un péndulo simple. se asume que las separaciones de la posición de equilibrio son pequeñas. Para cuando α NO es despreciable frente a 0. sino que su resultante es responsable de una aceleración centrípeta.  2. En cualquier caso. el comportamiento de la masa puede describirse.S. por lo que la expresión para T sigue siendo válida. se va transmitiendo a los puntos que lo rodean. ESTUDIO DEL PÉNDULO SIMPLE COMO EJEMPLO DE M. Ahora Py y T NO están contrarrestadas. la luz natural o artificial. la situación cambia. se mantiene prácticamente en su sitio aunque realizando un movimiento vertical). comenzaremos haciendo un análisis de las fuerzas que actúan sobre la masa m cuando se la separa de su posición. Ondas Mecánicas: son las que necesitan un medio para propagarse (sonido. También resulta evidente que si antes de se alcanzados por la perturbación. vibran las cuerdas y las ondas sonoras se  ondas que viajan por una cuerda. Para esos trenes de ondas. Así. Todas las ondas que estudiaremos serán. ondas a través de un muelle. Magnitudes para describir el movimiento ondulatorio Armónico. En principio.  tiene lugar verticalmente (le damos a la cuerda Todos estos son ejemplos de movimiento ondulatorio. se produce un transporte de energía de unos puntos a otros sin transporte de materia. aunque por comodidad se los suele denominar. Por ejemplo. sino un “huracán” con vientos de gran velocidad. podemos diferenciar dos tipos de ondas: .  avanza en sentido horizontal. simplemente. Más correctamente: hemos producido un pulso. Ya se ha señalado que en un movimiento ondulatorio. Si hubiera transporte de materia.  Imaginemos una trozo de cuerda sujeto por un extremo a la pared. Ondas Electromagnéticas: no precisan de ningún medio para propagarse (la luz) Otro criterio de clasificación de las ondas Todos estamos familiarizados con la idea de onda. mientras que la onda punto. es porque el movimiento ondulatorio supone transmisión de energía.) . Si damos una sola sacudida vertical. Precisamente. habremos generado un tren de ondas periódico. en el caso de las afuera. Tema 3 Este hecho nos ayuda a comprender la definición de movimiento ondulatorio como un fenómeno consistente en la propagación de una perturbación en el espacio (en un medio elástico) en la que se produce una transmisión de energía. etc. Otro rasgo de interés es el relacionado con la localización espacial: una partícula en reposo o en movimiento ocupa en cada instante una determinada posición en el espacio (está “localizada”). Igual puede decirse de la cantidad de movimiento: en el movimiento ondulatorio hay transmisión o propagación de cantidad de movimiento sin un desplazamiento neto de materia. En cambio. 1 Hay algunos datos para avalar esta última afirmación. por la cuerda viajarán un conjunto de pulsos: en este caso. cuando una estación de radio está  que la perturbación original (desplazamiento) transmitiendo. las ondas de agua marchan radialmente hacia  perturbación. de modo que  podemos decir: una onda es una perturbación que producida en un  una sacudida vertical). al dejar caer una  atiende a la dirección en que se produce la piedra en un estanque.1. se obtiene una figura denominada frente de ondas. una onda se extiende por una región del espacio afectando a muchos puntos al mismo tiempo (esta “deslocalizada”). si en lugar de dar una sola sacudida. En este caso se dice que la onda es longitudinal. llamado foco. no tendríamos sonido. al tocar el piano. si unimos con una línea los puntos alcanzados por la perturbación. se observa que la perturbación original (compresión-dilatación) tiene la misma dirección que la de avance de la onda. en realidad. ondas. produce compresiones y dilataciones en el aire que se halla en su cercanía. si estudiamos las ondas producidas al comprimir y dilatar un muelle. Página 80  . Esta perturbación es la que. se dice que la onda producida es transversal. Sin embargo. Suele representarse con la letra T y se mide en segundos. el corcho del estanque o el tímpano del oído estaban en reposo y después se mueven. la onda se llama ONDA ARMÓNICA (a veces. Por ejemplo. se propaga en el espacio. se observa extienden por la habitación. trenes de ondas periódicos. M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O y O N D U L A T O R I O. se produce una perturbación (onda) en la cuerda. al propagarse a través del aire constituye el sonido (que viaja a unos 340 m/s). pero no hay transporte neto de materia. cuando la membrana del altavoz de la radio vibra. repetimos ésta de forma periódica. se definen una serie de magnitudes fundamentales: • EL PERIODO de la onda es el tiempo que transcurre entre dos pulsos sucesivos. también sinusoidal o cosenoidal) Un aspecto importante a considerar es la diferencia entre ondas y partículas. En este caso. las ondas eléctricas se transmiten a través del espacio.1 Cuando la perturbación consiste en un movimiento vibratorio armónico simple. 2. El otro extremo está libre y lo tenemos sujeto con la mano de forma que mantenemos la cuerda en posición horizontal.   el  oído  humano  es  capaz  de  detectar  sonidos  cuya frecuencia está comprendida entre 20 y 20000 Hz. VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS y SU DEPENDENCIA DEL MEDIO La velocidad de propagación de una onda mecánica depende de las características del medio. cuando en el mismo medio se propagan ondas transversales y A longitudinales. M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O   y  O N D U L A T O R I O.5 MHz?  3. Pero además. la longitud de onda será la distancia que avanza la onda en un periodo. Si admitimos que los diferentes pulsos se propagan con la misma velocidad (denominada velocidad de propagación). con diferente B T' velocidad.  Salvo  excepciones. ¿Qué longitud  de onda corresponde a cada una de estas frecuencias. Genéricamente se suele representar por la letra λ y se mide en metros. en cada caso. vale T · sen α.  Tema 3. el segmento AB se encuentra desviado de su posición inicial un pequeño ángulo α. cuando el sonido  se propaga en el aire?    Q5.I. lo hacen. Por ejemplo. α A' dado el equilibrio inicial del pequeño trozo de cuerda Th c' comprendido entre A y B. Página 81  .f Q4. vamos a hacerlo en Th α forma elemental para el caso de una onda transversal que se propaga por una cuerda fina y homogénea cuya densidad A B T' lineal (masa por unidad de longitud) sea μ y sometida a una tensión T. T Tv La obtención teórica y rigurosa de una expresión para la T velocidad de propagación de una onda mecánica en un medio α A' determinado. Se cumplirá que v = λ. Su unidad en el S. no es sencillo. Entonces.  • LA LONGITUD DE ONDA es la distancia que existe entre dos pulsos sucesivos. la componente vertical de la tensión T. f. se puede sustituir el seno del ángulo por la tangente: Tv = T · tag α. Tv T Sean A y B dos puntos cercanos entre sí. el sonido. De esta forma se puede escribir que: v = λ/T • LA FRECUENCIA. es la inversa del periodo. si la sintonizamos  en 97. la tensión en B será T’. A B T' v Supongamos que tras sufrir una perturbación. Representa el número de pulsos producidos en la unidad de tiempo. es el hertzio (hz). y puesto que el ángulo es muy pequeño. igual y c opuesta a T. pero a unos 1500 m/s en el agua o a unos 5000 m/s en el acero. Nosotros. que inicialmente la mantiene recta como en la figura de la página siguiente.  Calcular  la  longitud  de  onda  que  corresponde  a  las  ondas  electromagnéticas que emite una emisora de radio. Si la tensión es T. se propaga a una velocidad de unos 340 m/s en el aire. 1011 Nm-2 y 0. podemos razonar que ese tiempo t es el empleado en la propagación de la perturbación desde el punto A hasta el punto B. las moléculas del fondo del recipiente no los experimentan. De la misma manera que para una cuerda tensa se ha obtenido que la velocidad de propagación depende de la tensión y de la densidad lineal. llamada módulo de elasticidad de Young. se propagan con una velocidad dada por la expresión: ζ v= ρ donde ζ es otra constante para el sólido denominada módulo de torsión. Dado que para un mismo sólido. En general. como es lógico. para el mismo sólido. la velocidad de las ondas longitudinales es casi dos veces mayor que la de las transversales. En la superficie de un líquido actúan ciertas fuerzas. Como todos los puntos del segmento AB se han visto afectados por la perturbación. la velocidad es: ϕ v= ρ donde ϕ es una constante del sólido. su tratamiento matemático es bastante complicado. que se ha producido con la aceleración a(cdm) en el tiempo t vale: 1 CC '= acdnt 2 2 por lo que 2C C ' = acdm t 2 = A A ' pero como 2 A A ' a( cdm ) . el mismo que ha empleado el punto A en desplazarse hasta A’.46. La amplitud de estos desplazamientos verticales varía con la profundidad y. respectivamente. los valores de ϕ y ζ son. por lo que para este metal. será.t tagα = = AB vt y como la masa del trozo de cuerda es μ · AB.1011 Nm-2. Así. Entre ellas. la tensión superficial. Tema 3 Vamos a fijarnos en “el centro de masa” del trozo de cuerda AB (punto c) de masa m. Página 82  . para una onda longitudinal en un sólido (una barra. se puede deducir la velocidad de propagación de las demás ondas mecánicas. y cuyo valor concuerda con el que experimentalmente se obtiene. Por la ecuación fundamental de la dinámica se le podrá escribir que: Tv = m · a(cdm) Con esa aceleración. o cualquier punto del segmento AB en desplazarse desde su posición inicial hasta la nueva posición. las velocidades de las ondas longitudinales y transversales que se propagan por ese sólido.t 2 T Tv = A B μa( cdm) = vtμa( cdm) = T ⇒v= vt μ que es la expresión de propagación de una onda transversal por una cuerda tensa. el valor del módulo de Young es mayor que el del módulo de torsión. podemos sustituir y tener que: a(cdm) . para el cobre. es diferentes. M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O y O N D U L A T O R I O.25. a título de curiosidad. la velocidad de propagación de las ondas longitudinales es superior a la de las transversales. por ejemplo). Las ondas elásticas transversales en una barra sólida. que permiten los desplazamientos verticales de las moléculas cercanas a la superficie. el punto c se habrá desplazado hasta c’ en un cierto tiempo t. La velocidad de propagación del movimiento ondulatorio en la cuerda. y ρ es la densidad de ese sólido. Aunque las ondas superficiales en la superficie de un líquido sean las más simples de observar. que es justo lo que buscamos. Por ejemplo. los valores del módulo de Young y del módulo de torsión no son iguales. por lo que. resulta dependiente de la densidad y de las constantes elásticas del medio. 1. por lo tanto: AB v= t El desplazamiento entre las posiciones c y c’. En cualquier caso. M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O   y  O N D U L A T O R I O.  Tema 3.  La velocidad con que se propagan estas ondas superficiales es: gλ 2πξ v= + 2π ρλ donde λ es la longitud de onda y ξ es la tensión superficial. El aspecto más importante de esta ecuación (que no ha aparecido en los casos anteriores) es que la velocidad de propagación depende de la longitud de la onda. Como sabemos, la longitud de onda está relacionada con la frecuencia. Por lo tanto, la velocidad dada por esta ecuación depende de la frecuencia. Cuando sucede esto (la velocidad de propagación de una onda en un medio depende de la frecuencia) decimos que hay dispersión o que el medio es dispersivo. De este modo, si una onda que es resultante de la superposición de varias (como sucede, por ejemplo con la luz blanca) y penetra en un medio dispersivo, se produce una dispersión debida a que cada componente se propaga con diferente velocidad. Este fenómenos aparece con frecuencia en la propagación de las ondas electromagnéticas a través de la materia y es el que explica la producción del arco iris o el color azul del cielo (fenómeno conocido como scátering de Thomson) 4. ECUACIÓN DE LAS ONDAS ARMÓNICAS (o función de Onda) Ya hemos comentado con anterioridad qué es una onda armónica. Por otra parte, según el teorema de Fourier (que solo mencionamos aquí), cualquier movimiento periódico se puede expresar como una superposición de movimientos armónicos simples, y por lo tanto, todo movimiento ondulatorio periódico se puede expresar como una superposición de movimientos ondulatorios armónicos. Este teorema justifica el que consideremos sólo ondas armónicas, sin perder, por ello, generalidad. Describir matemáticamente el movimiento ondulatorio, requiere encontrar una ecuación que nos permita conocer, en cada punto, el valor de la perturbación introducida. Para encontrarla, vamos a volver a considerar el caso de las ondas armónicas producidas en una cuerda y que se propagan a una velocidad v. Esto supone admitir que cada punto de la cuerda describe un MAS; por lo que nos interesa poder determinar el estado de perturbación que tendrá cada punto P del entorno del foco de perturbación en cualquier instante. La perturbación tardará en llegar a P un tiempo t’ = x/v que dependerá de la velocidad de propagación (v) y de la distancia al punto P (x). Lo que sí sabemos es que si el foco tiene una perturbación tipo MAS, el punto P acabará teniendo la misma perturbación MAS sólo que t’ segundos más tarde. Es decir, que para un punto cualquiera P, tendremos que su estado de vibración, yP(t), será idéntico al estado que tenía el foco en el instante t-t’. Esto es: yP(t) = y0(t-t’) Ya que estamos suponiendo que la perturbación que se propaga es de tipo MAS, tendremos ⎡ x ⎤ [ ] y P (t ) = Asen ω (t − t ' ) = y0 (t − t ' ) = Asen ω (t − ) ⎢⎣ v ⎥⎦ Página 83  M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O   y  O N D U L A T O R I O.  Tema 3.  Si la perturbación se desplazara en el sentido negativo de las X tendríamos de la misma forma yP(t) = y0(t-t’) pero la expresión final, sería ⎡ x ⎤ [ ] y P (t ) = Asen ω (t − t ' ) = Asen ω (t + ⎢⎣ ) ⎥⎦ v La expresión anterior nos da el estado de perturbación de cualquier punto en cualquier momento, por lo tanto, podemos escribir: ⎡ x ⎤ y ( x, t ) = Asen ω (t − ) ⎢⎣ v ⎥⎦ que recibe el nombre de ECUACIÓN DE UNA ONDA ARMÓNICA, y en ellas se mantiene constante la amplitud. No todas las ondas son armónicas, pero sí todas las armónicas son, evidentemente, ondas. Nuestro estudio se centrará sólo en las que sí lo son. La particularidad más importante de la expresión anterior es que es doblemente periódica. En efecto, basta observar la ecuación para percatarse de que se trata de una función de dos variables. Así si se mantiene fija la variable x, es decir, si consideramos un punto determinado de la cuerda, la ecuación nos indica cómo varía la posición de ese punto con el tiempo. Si por el contrario, lo que fijamos es la variable t, la ecuación nos proporciona la posición, en un instante dado, de todos los puntos los puntos de la cuerda. 4.1. Sobre la doble periodicidad del Movimiento Ondulatorio Armónico.  Es ésta una de sus características principales. En efecto. Sabemos que la función seno es una función periódica. Al estudiar el MAS, como la posición o elongación sólo dependía del tiempo, existía un periodo temporal, T. En este caso, hemos visto que el valor de la perturbación depende del instante, pero también del punto en que se analice la perturbación. Por lo tanto, habrá un segundo periodo ESPACIAL, λ, que se denomina longitud de onda. La longitud de onda, representa, por tanto, la distancia recorrida por la perturbación en un periodo T, es decir: λ= v.T. El significado físico de la longitud de onda es muy similar al del periodo temporal T. Sabíamos que el periodo T era el tiempo que transcurre para que se alcance de nuevo las mismas condiciones de movimiento (“el mismo estado de movimiento”). En nuestro caso, el periodo T representa el tiempo que ha de transcurrir para que un punto repita el mismo estado de perturbación. Es evidente que en un tiempo T, el valor de la perturbación se habrá trasladado una distancia igual a la longitud de onda. Por lo tanto, DOS PUNTOS DISTANCIADOS UNA LONGITUD DE ONDA POSEEN EL MISMO ESTADO DE PERTURBACIÓN. Es decir, la λ juega el papel de un periodo espacial, tal que todos los que se encuentren separados por esa distancia λ tienen el mismo valor de perturbación. Dicho de otro modo: y(x,t) = y(x+λ,t) = y(x+2λ,t) La amplitud, A, el periodo T y la longitud de onda, λ, son parámetros constantes y característicos de la onda, de ahí que la ecuación del movimiento ondulatorio, suela escribirse, también de otra forma: ⎡ x ⎤ ⎡ t x ⎤ ⎡ t x ⎤ y ( x, t ) = Asen ⎢ω (t − )⎥ = Asen ⎢2π ( − )⎥ = Asen ⎢2π ( − )⎥ ⎣ v ⎦ ⎣ T vT ⎦ ⎣ T λ ⎦ ⎛ 2πt 2πx ⎞ y ( x, t ) = Asen⎜ − ⎟ = Asen(ωt − kx) ⎝ T λ ⎠ es decir: y = A sen(ωt – kx) donde k = 2π/λ recibe el nombre de número de ondas. Página 84  M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O   y  O N D U L A T O R I O.  Tema 3.  Q6.  Escribir  la  ecuación  de  una  onda  que  se  propaga  por  una  cuerda,  sabiendo  que  la  amplitud  es  2  cm,  la  velocidad  de  propagación 2 m/s y el periodo 0,1 s.    Q7. La ecuación de ondas que corresponde a una onda que viaja por una cuerda es de la forma:  y(x,t) = 0,03 sen 2(x‐0,1t)  Determinar las magnitudes características de la onda (λ,ω,T y f)  Como en el caso del MAS, en ocasiones, a una onda puede exigírsele unas condiciones iniciales diferentes a las hasta aquí prefijadas: “Considerar una onda cuyas características son A = 2 cm; v = 2 m/s; T = 0,1 s. En el instante inicial, el punto cuya abcisa es nula, tiene una elongación de 1cm. ¿Cuál es la ecuación para esta onda?” En un principio, prescindiendo de la condición impuesta, la ecuación general del movimiento ondulatorio no satisface por completo las premisas iniciales, de ahí que (como en el MAS) haga falta agregar una nueva constate, δ, para que la ecuación recoja la situación para t = 0. Procediendo de igual modo a como se hizo en el MAS, resulta que en este caso, δ ha de ser igual a 0,52 rad. De esta forma, un modo más general de escribir la ecuación del movimiento ondulatorio, sería del modo: y = A sen (ωt - kx + δ) OTRO CASO. “La ecuación de una onda que viaja por una cuerda es y = 0,02 sen 10π (x - 2t). A) Determinar la diferencia de fase que habrá entre dos puntos separados una distancia de 20 cm; B) Calcula la distancia que separa dos puntos de la cuerda si la diferencia de fase entre ellos es π radianes.” Si x1 y x2 son los puntos que se indican en el apartado A), para cada uno de ellos se podrá escribir que: y = 0,02 sen 10π(x1 - 2t) y’ = 0,02 sen 10π (x2 - 2t) La diferencia de fase entre ellos será: 10 π(x1 - 2t) - 10π(x2 - 2t) = 10 π(x1 - x2) Si los puntos están separados 20 cm se tendrá que 10π(0,2) = 2π rad. Cuando la diferencia de fase entre dos puntos es 2π decimos que los puntos están en fase y su estado de vibración es el mismo, ya que al ser periódica la función seno, y su periodo 2π, la elongación es la misma, esto es, : y = y’ (HACER EL APARTADO B. Sol.: 0,1 m) Q8. Una onda armónica se propaga con una velocidad de 3 m/s. Su frecuencia es 2 Hz y la amplitud 5 cm. Un punto que dista 10  cm del origen (foco) tiene una elongación nula en el instante inicial. Hallar su ecuación.    Q9. Una onda se mueve hacia la derecha a lo largo de una cuerda con una velocidad de 5 m/s. Su frecuencia es de 60 Hz y su  amplitud  0,2  m.  A)  Encontrar  una  función  de  onda  adecuada  para  esta  onda;  B)  ¿podrías  hallar  otra  función  diferente  que  describa este tipo de onda? ¿Cómo?    Q10. La ecuación de cierta onda es  ψ= 10 sen 2π (2x ‐ 100t)    (SI). Hallar la amplitud, la longitud de onda, la frecuencia, y la velocidad de propagación de la onda.    Q11. La ecuación de una onda plana es y = 1,5 cos π (0,55x ‐ 90t) (cgs). Determinar la longitud de onda,  la frecuencia, el periodo  y la velocidad de propagación de esta onda.  Página 85   sabiendo que  caso  de  expresiones  en  las  que  hallamos  la  función  coseno. Si para el instante t = 0. B) la elongación máxima.  y  por  el  mismo  motivo  podemos  Q13. Por lo tanto. ya que la fuerza que provoca el MAS es una fuerza elástica del tipo F = -kx. El tiempo que transcurre entre el instante de  desplazamiento máximo y el de elongación nula de un punto de la cuerda es 0.  de 2 segundos.  sen( − α ) = cosα = − sen(α − ) 2 2   Determinar:  Del  mismo  modo.        5. vibrará con valores de energía propio a los de un MAS. consideramos ondas armónicas. (DE SELECTIVIDAD. Estas ecuaciones.  Una onda está expresada por la ecuación  Con  todo. una partícula que así vibra poseerá tanto energía cinética como energía potencial. Año 1984)  hallar una constante en el argumento del seno o del coseno.125 s es nula la elongación de un punto situado en x = 4 m. de ahí la forma típica de ondas que hemos venido contemplando y por tanto.  Una  onda  armónica  de  20  cm  de  amplitud  y  0. viendo en ello una manera de simplificar nuestro  estudio y calificándolas de armónicas. Desde casi el comienzo de este tema se comentaba que. Precisamente. F ha sido  una función seno ó coseno.  de  dos  partículas  separadas  120  cm  en  la  dirección  de  avance  de  la  onda. en éste se transmitía energía sin transporte de materia. C) Elongación de un punto    a 6 cm del foco al cabo de 12 s. Si como venimos haciendo.  B) velocidad de propagación de la onda si su longitud de onda es de 1.  En  el  centro  de  una  piscina  circular  de  10  m  de  radio. donde F puede ser una  función matemática cualquiera. En realidad. D) Velocidad de ese punto en  La  razón  por  la  que  se  elige  la  función  seno  o  coseno  para  ese momento. Otra salvedad a tener presente es que aquí sólo hemos considerado “movimientos ondulatorios unidimensionales”.  dejamos caer una piedra que origina una onda sinusoidal en la    superficie del agua. la ecuación de las ondas unidireccionales son del tipo y(x. la elongación  son igualmente válidas y representan una onda armónica.17 s. de la doble periodicidad de la  que hemos estado hablando. Por tanto.  al cabo de 0. Estrictamente. no es más que un caso particular de los que pueden existir.  en  ocasiones  la  ecuación  del  movimiento    a)  El  carácter  de  la  onda  y  su  velocidad  de  ondulatorio aparece de la forma   propagación.2 m de amplitud y 60 Hz de frecuencia  que se mueve en el sentido positivo del eje OX con una velocidad de 5 m/s. cada partícula. En general. Calcula: A) periodo y frecuencia de la onda. longitud de onda y la velocidad y  sentido de propagación de la onda.10‐6 cos(1900t + 5. según cuál sea esa F “la forma de la onda” será diferente. La longitud de onda de este movimiento es  Es  frecuente  encontrarse  en  los  libros  expresiones  para  la  de 0. Tema 3 Q12.    Q16. Calcula la frecuencia. Encontrar otra expresión distinta que describa a  esta misma onda. pues es éste tipo de movimiento el que se transmite en las ondas armónicas. que es una fuerza conservativa.    d)  La  diferencia  de  fase.  en el centro de la piscina es de 4 cm. En los casos analizados.75 m y la onda tarda 10 s en llegar a la orilla. donde la fase (x +/‐ vt) nos informa de la velocidad de propagación de la onda y del sentido en que ésta se  desplaza. las ecuaciones de onda suelen ser a veces.5  s  de  periodo  se  propaga  con  una  velocidad  de  24  m/s  en  el  sentido  positivo del eje OX.  o  una constante dentro del argumento del seno.25 s de producirse la perturbación. mucho más complejas y no tienen por qué  ser “de tipo trigonométrico”.    Q17.  Q14. cada partícula del medio describe un MAS y comunica a sus vecinas ese movimiento.  y = A sen (kx ‐ ωt)    c)  La  diferencia  de  fase  para  dos  posiciones  de  la  basta  hacer  un  pequeño  estudio  para  deducir  las  mismas  misma partícula cuando el intervalo de tiempo transcurrido es  características anteriores.t)= F(x +/‐ vt). Es el  periodo y la frecuencia.  conviene  recordar  que  relaciones  trigonométricas  entre coseno y seno:  ⎡t x ⎤ Y = 2 cos 2π ⎢ + ⎥ π π ⎣ 4 160 ⎦  (CGS).    La ecuación que aquí se ha deducido para las ondas es una “ecuación trigonométrica”. M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O y O N D U L A T O R I O. Página 86  . Calcula: A) el  función de ondas que no responden a la que ya conocemos.t) = 6.    Q15. Comprobar que la ecuación y = 0. La ecuación de una onda es y(x.  en  un  instante  dado.72x) (CGS). la ecuación y(x. a una determinada distancia del foco. ENERGÍA ASOCIADA AL MOVIMIENTO ONDULATORIO.  OTRAS EXPRESIONES PARA LA ECUACIÓN DE ONDA. (DE SELECTIVIDAD) Una onda sinusoidal se propaga a lo largo de una cuerda.  UNA BREVE CONSIDERACIÓN SOBRE LAS ONDAS y SU ECUACIÓN.4 m. como característica a destacar del movimiento ondulatorio. hallar la ecuación de esta  onda.  representar  la  ecuación  de  ondas  depende  de  las  condiciones  iniciales  que  se  establezcan. que como  puede entenderse fácilmente.2 sen 24π (x ‐ 5t) corresponde a una onda de 0.t) = F(x +/‐ vt) es solución de una ecuación diferencial de segundo orden que  no viene al caso comentar aquí. Es decir. A este fenómeno se lo denomina atenuación de la onda. de ese foco (para. se convierte en foco emisor de energía que se va propagando con el frente de onda. podemos concluir que la amplitud de la onda es inversamente proporcional a la distancia al foco emisor. Determina A) La intensidad sonora a 10 m de distancia del altavoz. Pe). Por lo tanto. emite con una determinada potencia. es el W/m2. Si la distancia es r’. y su unidad en el S. la intensidad de la onda disminuye con el cuadrado de la distancia al foco emisor. las partículas de ese frente vibrarán cada vez con menos energía y repartirán cada vez menos energía.  Esto  supone  que  parte  de  la  energía  emitida  por  el  foco  va  siendo  absorbida  por  el  medio  y  por  tanto. a cierta distancia. una superficie unidad colocada en ese punto. Como la energía “no se puede perder”.  3 B) Expresa el nivel que corresponde a esa intensidad sonora en decibelios   2 Una  segunda  causa  por  la  que  la  intensidad  de  una  onda  disminuye  a  medida  que  se  propaga  es  la  pérdida  energética  ocasionada  por  rozamientos.  A  tal  debilitamiento de la onda se le conoce con el nombre de ABSORCIÓN. Por lo tanto. hay que tener presente que cuando un punto del espacio comienza a vibrar.  viscosidad. perpendicularmente a la dirección de propagación. Si admitimos que no hay pérdidas energéticas (por rozamiento2. Su unidad es el decibelio. Esto es lo que antes hemos comentado que se conoce como atenuación de la onda. M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O   y  O N D U L A T O R I O. también con la frecuencia) posee un nivel a partir del cual produce dolor.  la  onda  va  debilitándose. el foco emitirá o irradiará energía en una cierta cantidad por unidad de tiempo (con una cierta potencia) dependiendo de su amplitud de oscilación y/o de su frecuencia. una onda esférica propagada en un medio homogéneo e isótropo) la Intensidad de onda vendrá dada por: Pe I= 4πr 2 siendo 4πr2 la superficie de la esfera de radio r centrada en el foco. es la energía que atraviesa por unidad de tiempo. por ejemplo. nuestro problema es determinar cuánta energía transporta o desplaza una onda. Esto quiere decir que conforme nos alejamos del foco. avanzará con el frente de onda y se repartirá entre todas las partículas que componen el frente de onda.  Tema 3. ¿Cuál será la relación que existe entre las amplitudes de la onda sonora en esos puntos?    Q19. En ocasiones. En este punto.  Calcula  la  intensidad  sonora  en  dos  puntos  situados  a  10  y  20  m  respectivamente del foco emisor.   Para el aire I0 = 10‐12 W/m2  Página 87  . tendrán una amplitud de oscilación A1 y A2 tales que: A1 r2 = A2 r1 Q18. dos puntos situados a sendas distancias r1 y r2 del centro emisor. La intensidad de onda en un punto. el frente de onda será cada vez más grande mientras que la energía a repartir debe ser la misma.I.  Un  foco  sonoro  emite  con  una  potencia  de  20  W. Una magnitud adecuada para representar la rapidez con que se transfiere la energía es la denominada INTENSIDAD DE ONDA. Ya que la Intensidad depende del cuadrado de la amplitud (por definición). por ello. la intensidad de la onda será: Pe I= 4πr '2 Como puede verse.    3 La intensidad sonora (variable. por ejemplo) si el foco emisor emite una cierta cantidad de energía en un determinado tiempo (esto es. Un altavoz emite el sonido con una potencia de 40 W. se habla del nivel de  intensidad (B). que se define como  I   B = 10 log I0 donde I es el valor de la intensidad de un sonido e I0 el valor que corresponde a un nivel arbitrario de referencia. que la energía transportada por la onda decaerá con la distancia.  Sin embargo.  etc. r. Suele representarse por la letra I. M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O y O N D U L A T O R I O. Tema 3 ALGUNOS EJEMPLOS DE PROBLEMAS RESUELTOS Página 88  .   Tema 3.  Página 89  .M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O   y  O N D U L A T O R I O.   Tema 3.  Página 90  .M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O   y  O N D U L A T O R I O. Tema 3.M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O y O N D U L A T O R I O.  Página 91  . Tema 3 Página 92  .M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O y O N D U L A T O R I O. M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O   y  O N D U L A T O R I O.  Página 93  .  Tema 3. M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O y O N D U L A T O R I O. Tema 3.  Página 94  .  (A) Calcular la energía total del sistema y la velocidad máxima.  ¿Cuál  será  la  frecuencia de estas oscilaciones? [Sol. Una masa de 200 gramos unida a un muelle de constante elástica K = 20 N/m oscila con una amplitud de 5 cm  sobre una superficie horizontal sin rozamiento.25  s  de  periodo. Un  móvil  describe  un  MAS  entre  los  puntos  P1  (1. (D) La  fase inicial.  la  primera  comienza  a  oscilar  con  un  mas. c) Posición y velocidad en el instante t = 1.  9. Un péndulo está constituido por una masa puntual de 500 gramos suspendida de un hilo de 1 m de longitud. Del extremo de un muelle cuelga una masa de 500 gramos. indica cómo varía: (A) Su periodo.2 m/s?  6.  hallar  la  frecuencia  de  vibración  del  automóvil al pasar por un bache. Un  móvil  describe  un  MAS  de  5  cm  de  amplitud  y  1. Tema 3 PROBLEMAS PARA RESOLVER   1. La  ecuación  de  un  MAS  es  S  =  2  ∙  cos  (πt  +  π/4).  Hallar:  (a)  la  pulsación  del  movimiento. (c) Rapidez máxima  3. (B)  Velocidad cuando la elongación sea de 3 cm.  Al  retirar  esta  segunda  masa. El chasis de un automóvil de 1200 kg de masa está soportado por cuatro resortes de constante elástica 20000  N/m  cada  uno. Si a continuación se le añade otra de 500 gramos el  muelle  se  alarga  2  cm.  (D) ¿Para qué valores de la elongación la velocidad del sistema es de 0. d) Desplazamiento  del objeto entre los tiempos t = 0 y t = 1 segundos.  Escribir  la  ecuación  de  su  elongación  sabiendo que en el instante inicial la elongación es máxima y positiva.5 Hz)  8.  (B)  Velocidad  con la que pasa por la posición de equilibrio si se lo separa 60º de la vertical. M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O y O N D U L A T O R I O.  4.  2.  Determinar:  a)  Amplitud.  5. (C) Energía cinética y potencial cuando la elongación sea de 3 cm. (C) Su amplitud.: 3. (A)  Determinar  el  periodo  de  oscilación  de  este  péndulo  para  pequeñas  separaciones  del  equilibrio.5  s‐1  e  inicialmente  se  encuentra  en  el  punto  P2.  Página 95  .0).  Si  en  el  coche  viajan  cuatro  personas  de  60  kg  cada  una. b) rapidez y aceleración instantáneas.  (b)  Ecuaciones  de  su  elongación y rapidez.0)  y  P2  (‐1. Si se duplica la pulsación de un MAS.  La  frecuencia  del  movimiento  es  0. ¿En qué posiciones y en qué instantes se hacen iguales las energías cinética y potencial elástica de un cuerpo que  describe un mas?  7.  periodo  y  frecuencia  de  este  movimiento. (B) Su frecuencia.  v = ‐10. Una partícula de 50 g vibra a lo largo del eje X.  b) el período de  oscilación  y  la  constante  recuperadora  del  resorte.5 s. calcular: a) el período y  la  frecuencia  del  movimiento. v = 48 π m/s. Calcular: a) la constante de recuperación del resorte. determinar la ecuación del movimiento y su rapidez en cualquier instante. El  pistón  de  un  cilindro  de  un  motor  de  combustión  interna  realiza  un  MAS. (b) x = A/4. Una partícula de masa 2 unidades SI se mueve a lo largo del eje X hacia el origen.  segundos y 1 radianes. indicando las elongaciones de cada una  27. tiene una amplitud de recorrido de 10 cm y realiza 2400 oscilaciones en un minuto. Si tarda 1 mín. [Sol.24  s.  21. am = ‐ 0.  c)  los  instantes  en  los  que  v  y  a  se  hacen  máximas. b)  la ecuación del movimiento vibratorio armónico resultante. cm. con período T = π s y amplitud de 10 cm. b) la velocidad cuando la fase es de 60º. T = 2.: 1.  así  como  las  ecuaciones de su movimiento y rapidez. cuando las  fases son: 0º.  23. [Sol. Un móvil animado de un mas tiene una aceleración de 5 m/s2 cuando su elongación es 5 cm. (SELECTIVIDAD  LOGSE)  Una  pelota  está  botando  en  el  suelo.20 m/s. Calcular m.6 m.  c)  la  elongación de un punto situado a 6 cm del foco emisor en el instante t = 12 s.6 kg]  22. Al pasar el objeto vibrante por la posición de equilibrio.  d)  la  representación  gráfica  de  la  aceleración  instantánea  en  función  de  la  velocidad  v  y  la  de  la  aceleración  a  en  función de la posición x.(v). si sabemos que en t = 0 la elongación es +A. k = 45∙10‐3 N/m. [Sol.19 s.  si  al  cabo  de  1/4  de  segundo  la  elongación  es  de  4  cm.. c) la fuerza restauradora sobre la bola. Tema 3 10.  A)  ¿Es  un  movimiento  periódico?  ¿Es  armónico  simple?. [Sol. pero tales que la  longitud del primero es doble que la del segundo.: vmax = 0.  16. En esta posición se suelta y oscila libremente.: A = 1. Desde 80 cm sobre  su  vertical  soltamos  una  masa  de  3  kg  de  modo  que  al  caer  comprime  el  muelle  quedando  el  conjunto  en  equilibrio. [Sol. Determinar: a) la velocidad y la aceleración (máximas)  de la partícula. f = 0.  tiene  una  frecuencia  de  440  Hz  y  oscila  con  una  amplitud  de   1mm. y = ‐2. Una partícula de masa 5 g oscila por la acción de un resorte cuyo movimiento es: x = 7 cos(3t + 1). (c) x = A. t1= 1.. c) Ec = 0  18. A = 4. [Sol. Determinar la compresión experimentada por el muelle. Un muelle de constante K = 290 N/cm está situado en posición vertical sobre una superficie. a = 0)  20.5π rad/s.5π  rad. Dos cuerpos de igual masa se cuelgan de dos resortes que poseen la misma constante elástica. Un objeto realiza un MAS de tal modo que entre las posiciones extremas del mismo la distancia es de 12 cm y  realiza 24 oscilaciones en un tiempo de 6 s.: vm = ‐0.67 Hz. Una bola de masa m = 20 g oscila con m.63 m/s2 . comienza la  cuenta del tiempo. t. por la acción de una fuerza F = ‐ 10 x i.1 s.19 s.62  cm.71 s…(a)  26.  usual  en  los  laboratorios  de  física.  19.23 cm]  Página 96  .  el pistón está en y = 0 cm.  13. t = 0. El estudio de su movimiento ha revelado que existe una relación sencilla entre la aceleración  y la posición que ocupa en cada instante: a = – 16 π² x.  17. b) Ec =  15 Ep. alejándose como máximo 10 cm a un lado y a otro de la posición  de equilibrio (x = 0). En el centro de una piscina de 6 m de radio se produce una perturbación que origina un movimiento ondulatorio  en la superficie del agua.s. 30º y 90º respectivamente. Se le aplica una fuerza de 20 N para mantenerlo estirado una longitud  de 15 cm. b) Calcula las energías cinética y potencial de la partícula cuando se encuentra a 5 cm  de la posición de equilibrio. Escribe las ecuaciones de este movimiento y determina la posición.5  s después de empezar a contar el tiempo. ¿Cuál de ellos vibrará con mayor frecuencia? ¿Por qué?  11. t´1 = 0. el  nuevo período es de 3 s. B) Repetir la anterior cuestión para el caso en que no hubiera pérdidas energéticas en los rebotes. b) el instante que pasa por el origen la primera vez. c) la velocidad en dicho instante. rapidez y aceleración 1. j0 = 1. `Sol. ¿Cuál  es  la  relación  entre  la  energía  cinética  y  la  energía  potencial  de  un  punto. Calcular: a) la velocidad  máxima de la bola.  supuesto  que  sea  un  MAS. a) Escribe las expresiones de la posición y de la velocidad  de la partícula en función del tiempo. siendo x. Si se aumenta la masa en 2 Kg. Escribe la ecuación MAS de un cuerpo que oscila colgado de un muelle. ¿Cuánto vale su  periodo?  12. si se sabe que la separación máxima es  de 8 cm y realiza 20 oscilaciones cada 9 segundos. Un resorte lleva en un extremo una masa m y oscila con un período T = 2 s.  b)  la  amplitud.  d) velocidad máxima y aceleración máxima en ese punto.a. la longitud de onda vale 3/4 m y tarda 12 s en llegar a la orilla.  determinar: A. Calcular: a) el período del  movimiento. 20  s en describir 100 oscilaciones completas.81  s.  15. Determina la frecuencia del movimiento. El estudio experimental del movimiento armónico simple de una partícula de 250 g se hace tomando t = 0 en el  instante en que pasa la partícula por el punto de equilibrio y de elongación negativa a positiva.  de  masa  “m”  que  vibra  armónicamente en los instantes en que la elongación es (a) x = A/2.21 m/s. sabiendo que este último se comenzó a medir cuando la partícula pasaba  por la posición x = 10 cm. Un  diapasón.: T = 2. lleva en su extremo una masa de 5 kg. t0 = 0. c) las energías potencial y cinética cuando x = 2 cm.4 N alarga el muelle 2 cm.  Identifica  todas  las  magnitudes  del  movimiento  vibratorio. Un muelle elástico de 10 cm (y 100 g de masa) tiene uno de sus extremos fijo en la pared vertical y descansa en  una superficie horizontal sin rozamiento. F2 = ‐4∙10‐3]  24.: y = 0. si sabemos que para t = 0 y = +A.  14. v = 0.  En  un  determinado  régimen  de  funcionamiento. F1 = 0. y el valor máximo de la fuerza que produce el movimiento es F = 25 N.: T = 1.1 m/s. Un muelle colocado horizontalmente sobre una mesa sin rozamiento. ω y jo en la ecuación del movimiento: x = A cos (ωt + j0).98 m/s]  25. w =2. Se  sabe que una fuerza horizontal de 29. [Sol: a) Ec = 3Ep. Si para t = 0. M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O y O N D U L A T O R I O. Inicialmente está a 2 m del origen moviéndose con una velocidad de 10 m/s. t) = cos π (0.  vx = 2π cos(4πt – 6. La ecuación de una onda transversal que se propaga en una cuerda es  Y = 0.2 cos (0. desde  la posición de equilibrio.16)m. La ecuación de una onda transversal es Y = 25 sen (0. T = 8. Determinar: a) la longitud de onda. Una onda de 10 cm de amplitud se propaga de izquierda a derecha y su período es de 12 s.10 m.  Calcular:  a)  la  velocidad  de  propagación  de  la  onda  por  la  cuerda.1 sen 2π(t/0. En  una  cuerda  horizontal  de  longitud  indefinida  se  produce  una  onda  sinusoidal  transversal  en  x  =  0.3 s. Una  onda  armónica  esférica  tiene  de  intensidad  6∙10   W/cm a  20  m  del  foco  emisor. según la ecuación: y = 24 sen (1.987 t – 6 x) en unidades SI.25 kg/m y  está sometida a una tensión de 10 N.5   ‐  x/3.  Determinar: a) la frecuencia de las vibraciones. [Solución: y = 5 cm.  Página 97  . ax = ‐8 π 2 sen (4πt – 6. [Solución: f = 316. Una  onda  longitudinal  se  propaga  por  un  resorte  que  tiene  un  extremo  unido  a  una  fuente  vibrátil.35 m. Una  cuerda  de  longitud  L  =  60  cm  tiene  el  extremo  S  unido  a  un  vibrador  animado  de  movimiento  vertical  sinusoidal de amplitud A = 1.  hallar la elongación en el origen cuando el tiempo es 1 s. Una  cuerda  puesta  en  el  eje  OX  vibra  transversalmente  según  el  eje  0  Y  con  movimiento  ondulatorio  de  ecuación:  y(x. c) la frecuencia con que ambos resortes alcanzan en el  mismo instante la elongación máxima (frecuencia de las pulsaciones). A2 = 2 mm]  36.3  cm  y  se  propaga  en  sentido  positivo  en  el  eje  OX.  calcular: a) la energía emitida por el foco emisor en un minuto.  C)  velocidad  con  que  vibra  un punto  cualquiera  y  su  valor máximo. y = 24 sen  (1. [Solución: v = 0.  Si  no  hay  absorción.  fp = 0. v´ = 0]  32. A) Especifica las  características de la onda. Por la  cuerda  se  propaga  una  onda  sinusoidal. v = ‐3.3∙10‐2 sen (50π ‐ 26.  y  =  0. λ= 0. c) la ecuación de otra  onda que se propaga en sentido contrario.5 rad]  40.  b)  la  frecuencia  y  longitud  de  onda  del  mismo.  Calcular:  a)  las  frecuencias  de  oscilación  de  cada  uno  de  ellos. si a los 20 m  es de 4 mm. A = 0.  l = 0.15 s e identifica las magnitudes propias de la onda. v = 4 m/s.14x) (SI). siendo A = 0. d) la ecuación de la  onda.0 sen  (200πt – 9. Dj = 300 π rad.5 m.  b)  la  velocidad  del  punto  de  la  cuerda x = 2.]  34. Si la densidad lineal de la cuerda es de 0.30 m. Ambos se sueltan  para  oscilar  simultáneamente  (desde  sus  desplazamientos  máximos  iguales)  y  describen  m.  el  movimiento de la misma se produce dos veces cada segundo. b) la amplitud de la onda a los 40 m. b) el vector de onda (o  número  de  ondas)  k. Una  onda  unidimensional  se  propaga  de  derecha  a  izquierda  con  velocidad  de  8  m/s.2 Hz.80 y 1.  c)  la  ecuación  del  movimiento. l = 0.002 sen (60 x + 300 t) en unidades SI. [Solución: f1 = 1. Calcula la  velocidad transversal de la cuerda en x = 40 cm y t = 0.4t ‐ 3.  Tema 3.125 x) (CGS).57x) m.1 m y ω = 20π rad/s. [Solución: v = ‐5 m/s.4 m.  [Solución:  v  =  6.a. Se pide: a) dirección y velocidad con que se propaga la  onda.5x ‐ 200t).5  sen  2π  (t/0. e) la longitud de onda. b) la ecuación de la onda. b) la velocidad de propagación. y = 1.  si  la  elongación  máxima  es  0.  d)  la  velocidad  y  aceleración de un punto situado a 3.  determina  la  diferencia  de  fase tres  segundos más  tarde. (SELECTIVIDAD) Una onda está representada por la ecuación f(x.96 J..  42. cuya separación es de 0.0 cm y frecuencia f = 100 Hz. [Solución:l = 4 m.  b)  la  ecuación  de  la  onda. t) = 0.4) cm]  29.5  m.30 sen (4πt + 1. f2 = 1 Hz. v = 331 m/s. El otro extremo está unido a un dispositivo que impide  la reflexión de onda.   [Solución: v = 6 m/s . Dos masas de 0. Hallar la longitud de onda correspondiente. [Solución: f = 10 Hz.  y  el  punto  x1  =  0.5 t + 0.  frecuencia  f  =  2  Hz  y de  amplitud 30 cm.16 m del origen de la perturbación. En ese mismo instante.  Dx = 0. Dato: amplitud del movimiento. Si en el instante t = 0 el extremo S está en su posición de equilibrio y considerando positivo  el  desplazamiento  ascendente. b) la velocidad de propagación de la onda. La ecuación de una onda en unidades SI es: y = 0.25 cos  (0.1  ‐  5x/2) m]  ‐8 2  35. la elongación es nula en un punto distante 4 cm del origen hacia  la derecha.0 kg penden de resortes idénticos de constante elástica k = 4.75 Hz. oscila según la ecuación: y = A sen ωt.  deducir  la  ecuación  de  la  elongación  de  S  en  función  del  tiempo.0 sen 200πt cm.  b)  el  menor  tiempo  en  que  uno  de  ellos  da  exactamente  una  vibración más que el otro (período de las pulsaciones). 2) l = 0.  f  =  2  Hz.  Calcular: a) la frecuencia de la onda.5 m en el instante t = 10 s.  l  =  3.04 sen (30Oπt ‐ 3x) Calcular: a) la frecuencia de la onda y su  velocidad. así como la rapidez de propagación.32  m/s.24 m.s.32) m/s2]  38. El extremo de una cuerda x = 0.987t + 6x) m]  37. b) longitud de onda y frecuencia del movimiento. [Solución: f = 150 Hz. Supuesta sinusoidal. y = 0. d) la diferencia de fase entre  dos puntos. contado a partir de la iniciación del movimiento. Dj = 1.12 Hz.16  m.  28.  2)  Las  vibraciones se propagan con velocidad v = 30. Calcular: a) la longitud de onda.0∙π2 N/m.  Si  la  frecuencia de la vibración es f = 25 Hz y la longitud de onda. e idéntica a la dada.12 Hz]  39.0 m/s.32) m/s. B) Dado un punto fijo y un instante cualquiera.2 x)  en  unidades  SI.  e)  la  distancia entre dos puntos consecutivos cuya diferencia de fase es π/3 radianes. La ecuación del  movimiento de una onda transversal por una cuerda tensa es: y = 0.  b)  la  diferencia  de  fase  entre  las  posiciones  de  un  punto  en  el  intervalo  de  tiempo  t  =  1  s.9 m‐1. Determina: (a) Los puntos que están en fase  y en oposición de fase. v = 315 m/s. f = 47.0  cm  del  punto S. y = 0. M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O   y  O N D U L A T O R I O. Una perturbación se propaga por un medio elástico. (b) ¿Qué tiempo tiene que transcurrir para que un punto situado a 5 m del foco tenga  velocidad máxima?  41.05 t ‐ 0.25 m/s. c) la velocidad de una partícula en x =  2 m en el instante t = 1s. en un instante dado. y = 0.  c)  la  expresión  de  la  elongación  de  un  punto  M  situado  a  una  distancia  x  =  45. calcular: a) la velocidad de propagación del movimiento ondulatorio en la  cuerda. l = 0. k = 20. [Sol: 1) y = 1.18x) m]  31.77 m/s]  33.48 m]  30. calcular: a) la velocidad de propagación. [Solución: E = 180.05  m  vibra  según  la expresión   y  =  A  sen  (ωt  ‐  π/4). (CGS). A esa constante se la conoce como índice de refracción relativo del medio de refracción respecto del medio de incidencia. La demostración de Kirchhoff de este resultado y la que permite la ampliación del principio de Huygens a ondas electromagnéticas. cuya envolvente es un nuevo frente de ondas. la velocidad de propagación de las ondas. • El cociente entre el seno del ángulo de incidencia y el de refracción es constante. la construcción de Huygens precisa una revisión. (La B envolvente de una familia de curvas. están en un mismo plano perpendicular a la superficie de separación entre los dos medios. por aplicación del principio de Huygens. que fue llevada a cabo a finales del siglo pasado por el alemán Gustav Kirchhoff (1824-1887). Como ya se ha dicho. es muy complicada y no entraremos en ella. M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O y O N D U L A T O R I O. PROPAGACIÓN DE ONDAS. De modo equivalente. que cuando una onda Onda Incident e Onda reflejada (onda incidente) alcanza la superficie de separación (interfase) entre dos medios en los que se propaga con θi θ'r diferente velocidad. se podrían producir nuevos frentes de onda en sentido contrario D al de avance de la perturbación. depende de las características del medio. se convierte en un foco emisor de ondas A secundarias. Como ejercicio de aplicación utilizaremos el principio de Huygens para deducir las leyes de la reflexión y de la refracción para una onda plana cuando la superficie de separación entre los dos medios. REFLEXIÓN y REFRACCIÓN. Página 98  . En el caso de las ondas electromagnéticas que se propagan en el vacío. medio 1 * La ONDA REFLEJADA es la que. El físico danés Christian Huygens (1629-1695). se propaga en el Onda refract ada mismo medio en que se propagaba la onda incidente. Tema 3 6. Este hecho. trae como consecuencia. a finales del siglo XVII. Esa constante es igual al cociente entre la velocidad de propagación de la onda en el medio en que viaja la onda incidente y la velocidad de propagación en el medio en que viaja la onda refractada. El ángulo de incidencia está determinado por la dirección de la onda incidente y una dirección perpendicular a la superficie de separación en el punto de incidencia a la que se la denomina normal. habiendo sufrido también un cambio en su dirección respecto de la de incidencia. C Conviene indicar que. es una curva tangente a Envolvent e todas ellas). tras medio 2 experimentar un cambio en su dirección. se produzcan fenómenos de reflexión y de refracción. de la reflejada y de la refractada. Fue también Kirchhoff quien eliminó esta dificultad al establecer que las “ondas de retroceso” no existían al poseer energía nula. • El ángulo de incidencia es igual al de reflexión (θi = θ‘r). también es plana. (También siguen siendo válidas si estas premisas no se cumplen) Estas leyes son: • Las direcciones de la onda incidente. se determinan los ángulos de reflexión y refracción. * La ONDA REFRACTADA es la que se propaga θr en el segundo medio. La idea básica del mecanismo propuesto por Huygens se acostumbra a enunciar en forma de principio: cada punto de un frente de ondas. propuso un mecanismo que explicaba satisfactoriamente la propagación de las ondas mecánicas. Y y Z. envolvente de las ondas secundarias. idéntico al que emplea en pasar de B a C. ya que el rayo incidente y la normal a la superficie determinan un plano. el A’C. Página 99  . vamos a justificarlas utilizando el modelo de Huygens. como se ve en la figura. sen r = AA’/AC Ya que la onda no cambia de medio EL MODULO DE LA VELOCIDAD NO SE MODIFICA.  Esta última ley. A medida que transcurre el tiempo.t siendo t el tiempo que emplea la onda en pasar de A a A’. Estas leyes son conocidas desde muy antiguo. Por simple geometría. Z. se i comportará como foco emisor de ondas secundarias. las ondas emitidas por A. A' B La segunda ley no es difícil de justificar. cuando el punto B llegue a la superficie de separación. Cuando el punto A es alcanzado por el frente de ondas. conocida como ley de Snell (o de Snell-Descartes) establece que: n 2 sen θ i v = = 1 = n 21 n1 sen θr v2 de donde resulta claro que si v1 > v2 (n21 > 1) será sen θi > sen θr. se ha generado en el segundo medio un nuevo frente de ondas. v2 A' t Durante el tiempo que emplea B en llegar hasta C. v1< v2 (n21 < 1). el rayo refractado se aleja de la normal. ya que se emplea el mismo tiempo en recorrerlas. pero teniendo presente que ahora. que constituye la onda reflejada. De ella se deduce que: sen i = BC/AC sen t = AA’/AC Si v1 y v2 son las respectivas velocidades de propagación en cada uno de los medios. Si sucede lo contrario. Y. el punto B dista un segmento BC de la misma.Z a C medida que son alcanzados por la onda. sin embargo. medio 2. sucede los mismo con los puntos X. y lo mismo sucederá con los puntos X. en este caso A X Y Zt hacia el segundo medio. De esta manera. Por lo tanto. v1 segundo medio (ver esta segunda figura). BC = AA’. es decir θi > θr. M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O y O N D U L A T O R I O. el A’C. Y Cuando el punto A del frente de onda alcanza la superficie de A X Z C separación. la velocidad de la onda cambia al penetrar en el B medio 1. En ese instante. i = r.Y. y no hay ninguna razón para que los rayos reflejados (y refractados) se i r aparten de ese plano. Supongamos un frente de onda AB plano (ver figura) que llega con i r cierta inclinación y a la superficie de separación de los dos medios. se tendrá que: BC = v1. Normal i La ley de Snell puede justificarse de modo similar. habrán originado un nuevo frente de ondas. se aprecia que sen i = BC/AC. el punto alcanzado por A se convierte en foco emisor de nuevas ondas. lo que significa que el rayo refractado (la dirección de la onda refractada) se acerca a la normal.t AA’ = v2. Normal La primera ley puede justificarse simplemente por simetría. X. Tema 3. ya que la velocidad de propagación depende de las características del medio y por consiguiente. Por otra parte. podemos expresar la ley anterior fenómeno? (Sol.5) al aire (n =  decir.  sent n1 Considera un recipiente de agua en el que se coloca un espejo en  el fondo. se aprecia que si la abertura es suficientemente grande.T = = f ω resulta claro que la longitud de onda es mayor en el medio en que se propaga la onda con mayor velocidad. lo que nos permitirá establecer las llamadas condiciones de contorno. Página 100  . fenómeno conocido como reflexión total que se produce a partir  de cierto ángulo conocido como ángulo límite.81º)  como:   seni n2 Q23. conforme se va reduciendo el tamaño de la abertura (o del obstáculo).75 c  = (siendo  c  la  velocidad  de  propagación  de  la  luz  en  el  aire). como ha de conservarse la energía transmitida por la onda. reflejada y refractada es necesario conocer las características de cada caso. es la onda reflejada la de mayor energía. tanto. En algunos casos. En ocasiones decimos que el rayo refractado se acerca o se  dividiendo: aleja de la normal. Podemos definir la difracción como el fenómeno que se produce cuando en la propagación de una onda ésta encuentra un obstáculo o una abertura de tamaño comparable al de su longitud de onda.  Tema 3. En otros.  Analiza  qué  sucede  con  ángulos  mayores  o  menores    que  el  patrón): n = c/v (siendo c la velocidad en ese ángulo  límite. M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O   y  O N D U L A T O R I O. Calcula el ángulo  Si utilizamos los índices de refracción absolutos (es límite para un rayo de luz que pase del vidrio (n = 1. 7. que permite discernir si determinado fenómeno es o no de naturaleza ondulatoria (por ejemplo. reflejada y refractada sean diferentes. Un rayo de luz penetra en el agua con una inclinación de  El hecho de que la velocidad de propagación de la 30º.: 41. por ejemplo en los espejos. Calcula la inclinación con que saldrá del agua tras reflejarse  onda sea diferente en los dos medios mientras que en  el  espejo  del  fondo. la mayor parte de la energía la transporta la onda refractada. se comprende que las amplitudes de las ondas incidente. esa energía se debe repartir entre la onda reflejada y la refractada y como la energía en un movimiento ondulatorio depende del cuadrado de la amplitud.t/AC sen t = v2. Dada la relación entre la longitud de onda. La velocidad de propagación de la luz en el agua es 0. Para conocer la relación entre las amplitudes de las ondas incidente. Sin embargo. Señala en qué condiciones se acerca el rayo a  seni v1 = la normal y en qué condiciones se aleja de ésta.(ver figura) Este fenómeno se conoce con el nombre de difracción.  sent v2   que resulta ser la ley de Snell (expresada de otro Q22. Cuando el rayo refractado se aleja de la normal aparece el  modo). Este hecho se hace aún más notable cuando el tamaño de orificio se acerca al de la longitud de onda.  ¿Hay  algún  ángulo  de  incidencia  para  el  la frecuencia se mantiene constante trae como cual  no  emerge  ningún  rayo  tras  reflejarse  en  el  espejo  del  consecuencia que la longitud de onda de la onda fondo?  refractada es diferente de la de la onda incidente. experimentos con difracción de electrones para determinar su naturaleza ondulatoria). por contra. las ondas que la atraviesan apenas si se distorsionan. velocidad de propagación y frecuencia de la onda v 2πv λ = v. y es de los más característicos del movimiento ondulatorio.t/AC Q21. referidos a otro medio escogido como 1).  Sustituyendo: sen i = v1. FENÓMENOS DE DIFRACCIÓN ¿Qué sucederá cuando una onda choca con una pared en la que se ha practicado una pequeña abertura? ¿Cómo se propaga la onda a partir de esa abertura? Al realizar la experiencia con ondas planas. llega un momento en que el movimiento que se propaga tras ésta es diferente al que existía ANTES de atravesarla.  ¿Conoces  alguna  aplicación  práctica  de  este  medio patrón). si nos fijamos en el último esquema. Es uno de los principios más importantes en el estudio del movimiento ondulatorio. existe una propiedad muy importante de las ondas. se nos hace totalmente invisible por la difracción de la propia luz que usamos. continuando independientemente uno del otro. Precisamente por el principio de superposición se puede analizar cualquier tipo de movimiento ondulatorio periódico. INTERFERENCIAS Aunque no se ha dicho. la distorsión aumenta a medida que se reducen La difracción es el fenómeno que se  las dimensiones de la abertura. para cada punto.  La aparente ausencia de difracción en la luz es en realidad un problema de tamaño: las longitudes de onda de la luz visible son del orden de 10-7 m y por lo tanto sólo aparecen figuras de difracción cuando los obstáculos tienen un tamaño comparable con esa longitud de onda. las elongaciones debidas a las ondas componentes. dos movimientos ondulatorios que se encuentran en un punto. que aprovechan una “propiedad de los electrones” (su carácter ondulatorio) para poder ver los objetos. Aplicando este principio tenemos que la onda resultante se obtendrá (en cada instante) sumando. A este fenómeno se lo un obstáculo o una apertura al  propagarse cuyo tamaño es  denomina difracción. Se dice entonces que en ese punto se ha producido una interferencia. por tanto usar “otra luz” que tenga una longitud de onda menor que el propio objeto. ese objeto se nos hace visible (tercer caso del dibujo). siendo importante cuando la anchura de produce cuando una onda encuentra  ésta se aproxima al valor de la longitud de onda. por dos o más movimientos ondulatorios diferentes producidos en distintos focos. pero solamente en ese punto. y este hecho marca una limitación al tamaño de los objetos que podemos ver. En cambio. puede suponerse que un punto del espacio puede ser alcanzado al mismo tiempo. En este sentido. 8. M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O y O N D U L A T O R I O. por el cual. tanto a simple vista como con el microscopio óptico. Es necesario. SUPERPOSICIÓN DE ONDAS ARMÓNICAS. En efecto. Página 101  . vemos que cuando el objeto a ver (por un microscopio óptico. si ese objeto a ver por el microscopio es de un tamaño muy reducido en comparación con la longitud de onda. Fourier demostró que toda función periódica no sinusoidal puede obtenerse como suma o superposición de movimientos ondulatorios armónicos sinusoidales. Tema 3 Como vemos en la imagen. Así nacieron los microscopios electrónicos. conocida con el nombre de PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN. se superponen dando lugar a otro nuevo. por ejemplo) es de mayor tamaño que la longitud de onda. comparable a su longitud de onda. En ese punto se superponen las perturbaciones que producirían en él cada uno de los movimientos ondulatorios. Así. además. La generalización del principio de superposición.‐ Habrá un máximo cuando la amplitud de la onda resultante sea máxima. y nos detendremos en observar los efectos de la superposición de estas ondas en un punto P situado a diferentes distancias de cada foco. como por ejemplo. en lo característico de este principio: el hecho de que dos pulsos se crucen sin alterar su naturaleza es una propiedad fundamental de las ondas y caracterizan al movimiento ondulatorio. constituye la esencia de las INTERFERENCIAS. Conviene pensar. el estado de P será4: y = y1 + y2 ⎡ t x t x ⎤ y = y1 + y 2 = A⎢ sen2π ( − 1 ) + sen 2π ( − 2 )⎥ = ⎣ T λ T λ ⎦ ⎡ t x t x ) t x t x )⎤ ⎢ 2π ( − 1 ) + 2π ( − 2 2π ( − 1 ) − 2π ( − 2 ⎥ A⎢2 sen T λ T λ cos T λ T λ = ⎥ ⎢ 2 2 ⎥ ⎣ ⎦ t x1 t x2 t x1 t x 2π − 2π + 2π − 2π 2π − 2π − 2π + 2π 2 2 Asen T λ T λ cos T λ T λ = 2 2 x −x t x + x2 t x + x2 2 A cos 2π 2 1 sen2π ( − 1 ) = A0 sen 2π ( − 1 ) 2λ T 2λ T 2λ donde A0 es la amplitud de la onda resultante en el punto del espacio en el que se produce la interferencia.cos(a-b)/2 Página 102  .  (Ver figura)  Debido al primer movimiento.   4 recordar que sen a + sen b = 2 sen (a+b)/2. a. y de valor x −x A0 = 2 A cos 2π 2 1 2λ Vamos a ver qué condiciones deben de cumplir los valores x1 y x2 en esta expresión de la amplitud para que en P haya un máximo o un mínimo. la composición de movimientos. debido al movimiento iniciado en O2 y de camino x2: t x y2 = Asen2π ( − 2 ) . M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O y O N D U L A T O R I O. P Estudiaremos analíticamente las condiciones que deben cumplir dos  trenes de onda de igual frecuencia y amplitud. T λ Según el principio de superposición. para que al interferir en  un punto. Pensemos en la enorme diferencia que existe entre este hecho y lo que sucede cuando chocan dos objetos: en ese caso desaparecen los movimientos originales. Para no complicar en exceso. Tema 3 Este principio de superposición es similar al encontrado en otras situaciones similares ya estudiadas. se produzcan máximos y mínimos de interferencia. que se produce en O1 y sigue la trayectoria (que llamaremos x1) el punto P tiene un estado de O1 O2 vibración expresado por la ecuación t x y1 = Asen2π ( − 1 ) T λ y por la misma razón. supondremos dos ondas de igual frecuencia y amplitud generadas en focos independientes. y las lííneas que los unen. para que q haya un máximo m de intterferencia debe cumplirse que q la diferen ncia de caminos recorridos por lo ual a un número par de se os dos movimientos sea igu emilongitudes de onda. etc. En estos puntos se diced que se produce una a interferenciaa totalmente CONSTRUCTIVA. Se encueentran “en esta ado estacionario”. líneas nodalees. por lo tanto. que se haccen evidentes en una cub beta de onda as o en una representaciión de las mismas. las condiciones de interferencia que hemos deducido. A partir de sus estudio se puedeen determinar las longitudess de onda. Tales punto os NO se ven afectados por la propagación de los mo ovimientos ond dulatorios. Tema 3. ondas sonoras en el aire. Se observa o tanto en el dominio de las onda as mecánicas (ondas transvversales en la superficie de un líquido o a lo largo de una cu uerda. m Si los dos movimientos m v vibratorios de igual periodo o y dirección que se superponen. tenemos que x2 − x1 x −x λ cos 2π = ±1 ⇒ 2π 2 1 = 0 + kπ ⇒ x2 − x1 = 2k 2λ 2λ 2 Por lo o tanto. sacamos las siguientes co onclusiones: 1) El period do del movimiiento resultantte. b b. pero en los puntos de movimiento mínimo la amplitud no o se anula commo en el caso expuesto. AS ESTAC CIONARIA AS Página 103  . NO O poseen la misma amplittud. imparr de semilongitudes de onda A los puntos en los que la amplittud de la onda a resultante ess nula. El fenómeno o de interferencia es muy general. de caminos recorridos.‐ Para que se e anulen los dos movimientos en el puntto P. la interferrencia es DESTTRUCTIVA. 2) La ampllitud A0 del movimiento rresultante es una función d la diferenciia x2 . si se prefiere e: un número entero o de longitud des de ondaa). debe verrificarse que    x2 − x1 x −x 2k + 1 λ os 2π co = 0 ⇒ 2π 2 1 = π + kπ = ⇒ x2 − x1 = ( 2k + 1) 2λ 2λ 2 2 2 Para que q se anulen n ambos trenees de onda enn el punto P. como la que aquí se muestra. 9 ONDA 9. En estos cassos.  Como o la amplitud es e A0 = 2A · cos c [2π(x2 – x1)/2λ] . ésta se erá máxima cu uando el cosen no tome valorres +/-1. la diferencia de d caminos deebe ser igual a un número a. M O V I M I E N T O S    A R M M Ó N I C O y O N D U L A T O R I O.x1. Si ana ue nos da el movimiento resultante alizamos deteenidamente la ecuación qu r de interferir dos movimientos ondulatorioss en un puntto cualquiera del medio. es idéntico o al de cada uno de los movimientos m c componentes. (o. se les denomina NO ODOS. también existe interfe erencia. cosenoidal de Precisamentte. obedecen o en realidad a eecuaciones dee hipérbolas.) como en el dominioo de las ondas luminosas y eléctricas. se deberá cumplir que: ψ (x =0. M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O y O N D U L A T O R I O. la onda resultante será5: ⎧ ⎡ t x t x ⎤⎫ ψ = A⎨sen ⎢2π ( + ) − sen2π ( − ) ⎬ ⎩ ⎣ T λ T λ ⎥⎦ ⎭ x t ψ = 2 Asen( 2π ) cos(2π ) λ T La última expresión es la correspondiente a la ecuación de la onda que se obtiene en este caso de interferencia. t) = ψ1(x =0. π rad. y teniendo presente el principio de superposición. • la situación de la cuerda permanece inalterable con el tiempo. En realidad. Al observar esta figura que reproduce el fenómeno. pero en sentidos opuestos. Tema 3 El fenómeno de interferencia de ondas presenta un interés especial cuando se superponen dos ondas de iguales características que se propagan en la misma dirección. si fijamos un punto a una distancia x0 observamos que la magnitud ψ oscila con amplitud 2A sen (2π x0/λ) 5 recordar que sen x . Sean las ecuaciones de las ondas incidentes y reflejadas las siguientes: ⎡ t x ⎤ ψ 1 = A1sen ⎢2π ( + )⎥ ⎣ T λ ⎦ ⎡ t x ⎤ ψ 2 = A2 sen ⎢2π ( − )⎥ ⎣ T λ ⎦ Dado que suponemos que en el extremo fijo (llamémosle punto O) la onda resultante NO podrá vibrar. se tiene que ⎡ t ⎤ ⎡ t ⎤ t ψ ( x=0. Es decir. En ella observamos que no es una ecuación de ondas “ordinaria”. t) + ψ2(x =0.sen y = 2 sen (x . y se propaga en sentido contrario. se observa que: • unos puntos sobre la horizontal permanecen siempre en reposo. y por el otro avanza un tren de ondas armónico. El resultado de esta situación puede constituir un ejemplo de las denominadas ondas estacionarias. t) Haciendo x = 0 en las ecuaciones anteriores y sumando. Por lo tanto. Nos interesa determinar cómo será la interferencia. Un ejemplo de esta situación se presenta cuando disponemos de una cuerda. • los demás puntos sobre la cuerda presentan un movimiento oscilatorio armónico. está desfasada con la incidente. dirigiéndose ahora hacia el extremo libre. se “refleja”. Cuando el tren de ondas llega al extremo fijo. En efecto.t ) = A1sen ⎢ 2π ⎥ + A2 sen ⎢2π ⎥ = 0 ⇒ ( A1 + A2 ) sen( 2π ) = 0 ⎣ T⎦ ⎣ T⎦ T ⇒ A1 = − A2 lo que nos indica que la onda reflejada (en un límite fijo) tiene igual amplitud que la onda incidente. las ondas estacionarias suelen estar asociadas a fenómenos de reflexión o rebote de una onda que avanza hasta llegar a un límite de separación con otro medio de características diferentes.y)/2 cos (x + y)/2 Página 104  . pero de sentido contrario. fija por un extremo. si a lo largo de la cuerda existen puntos como estos NODOS que permanecen en reposo. 2π . el hacer vibrar una cuerda de guitarra). • NODOS (o amplitud nula)..3π . Por lo tanto.  La amplitud máxima resultante podrá ser ±2A que sucederá cuando x x π λ sen(2π ) = ±1 ⇒ 2π = (2n + 1) ⇒ x = (2n + 1) .1. tendremos que v v f = =n λ 2L Página 105  . si la cuerda es de longitud L. M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O y O N D U L A T O R I O. se producirán NODOS a unas distancias del origen iguales a números enteros de semilongitudes de onda. También es fácil observar que la amplitud atraviesa por valores de máximos y mínimos. Lógicamente.2.nπ ⇒ ( n = 0.. 2.3... por lo que la onda estacionaria no es “una onda viajera”. ya que interfieren ondas idénticas que se propagan en sentidos opuestos. 9. • VIENTRES (o amplitud máxima). → n = 0..n ) λ λ x λ 2π = nπ ⇒ x = n λ 2 Esto es.1.. quieta. es imposible transmitir energía más allá de esos nodos.... Tema 3 en ese punto con un periodo T igual al de las ondas confluyentes. Por lo tanto.3. una cuerda fija por sus dos extremos en la que se provoca una perturbación (por ejemplo. λ λ 2 4 es decir. esto es. por ejemplo. de ahí el nombre de estacionaria. Por tanto. los nodos y los vientres se suceden alternativamente a distancias de cuartos de longitud de onda. π . Al estar fijos ambos extremos. Pero NO tenemos una onda que se propaga. ya que la fase vale 2πt/T que sólo depende del tiempo y NO del espacio.  Este caso puede ser el de. aplicando esa condición para x = L tendremos que λ L L=n ⇒λ =2 2 n Si recordamos la relación entre longitud de onda y frecuencia. en aquellos puntos que estén situados a distancias del punto O iguales a número impares de cuartos de longitud de onda. Igual que antes se producen ondas estacionarias. Por lo tanto. lo que tenemos es una onda estacionaria. la ecuación anterior lo que más bien representa es una sucesión espacial de vibraciones armónicas oscilando con el mismo periodo T pero cada uno con una amplitud que depende de su distancia al origen O.. Ondas estacionarias confinadas entre dos límites.  La amplitud será nula cuando suceda que x x 2 Asen ( 2π ) = 0 ⇔ 2π = 0. los puntos de x = 0 y x = L han de ser nodos de las ondas estacionarias.1.. Cada una de estas frecuencias va asociada a un movimiento.  y  la  velocidad  de  propagación  de  las  ondas  por  la  cuerda  es  de  8  m/s. fo = v/ 2 L λ / 2 =L f=2fo λ /2 =L/ 2 f=3 fo λ /2 = L/ 3 Al mismo tiempo. cuando un observador que escucha se mueve hacia una fuente sonora en reposo. Se hace vibrar una cuerda de guitarra de 1 m de longitud.  Si  la  amplitud  máxima  es  de  1  cm. En la figura. la altura (frecuencia) del sonido que se percibe es superior que cuando se halla en reposo.5 s. lo contrario sucede cuando la distancia crece.  Tema 3. Por ejemplo. de manera que: La frecuencia aparente de un foco emisor aumenta cuando la distancia relativa entre el foco y el observador disminuye. M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O   y  O N D U L A T O R I O. La Página 106  . tantos modos de vibración como posibles valores de n.  El efecto Doppler consiste en la variación que experimenta la frecuencia que se observa cuando existe un movimiento relativo entre el foco y el observador.    Q25. observando que presenta 9 nodos. conviene ver que la frecuencia NO varía de forma continua. percibe un sonido más bajo que cuando está en reposo. Habrá.  determinar:  A)  la  ecuación de la onda estacionaria. Se obtienen resultados similares cuando la fuente se halla en movimiento.  *** COMPLEMENTO. a cada uno de estos movimientos se les denomina modos de vibración. por lo tanto. acercándose o alejándose de un observador en reposo. sujeta por los dos extremos. es decir.  c) Calcula la velocidad con que se mueve una partícula de la cuerda situada en x = 6 cm en el instante t = 2. Una cuerda sujeta por ambos extremos. B) la frecuencia fundamental de vibración y la longitud de onda asociada. sino que lo hace adquiriendo valores que se diferencian en v/(2L).  b) Calcula la distancia que existe entre dos nodos sucesivos. EFECTO DOPPLER y POLARIZACIÓN. vibra según la ecuación (CGS)  πx y = 3sen cos 50πt 3   a) Determinar la amplitud y velocidad de las ondas cuya interferencia da lugar a la vibración anterior.  donde v es la velocidad de propagación. Si el observador se está alejando de la fuente fija. infinitos. Todas las demás frecuencias posibles (derivadas de la fundamental) reciben el nombre de armónicos. aparecen varios. Q24. Denominamos frecuencia fundamental de vibración a f = v/2L con n = 1 Conviene observar que sólo son posibles aquellas ondas cuya frecuencia de vibración es un múltiplo de la frecuencia fundamental. Tema 3 altura del silbato de una locomotora es mayor cuando la fuente se acerca al observador que cuando lo ha pasado y se está alejando.el movimiento de alejamiento de la fuente. hay una disminución de frecuencia fv0/v correspondientes a las ondas que no llegan al observador en cada unidad de tiempo debido a su movimiento de alejamiento. Los círculos representan frentes de onda. la relación general aplicable cuando la fuente se encuentra en reposo con respecto al medio pero el observador se está moviendo a través del medio es: v ± v0 f '= f v en la cual. el signo + es aplicable al movimiento hacia la fuente y el signo . el efecto es un acortamiento de la longitud de onda (ver figura) porque la fuente está avanzando detrás de las ondas que se acercan al observador. esto es: (vt / λ ) + (v0t / λ ) v + v0 v + v0 v + v0 v f '= = = ⇒ f '= f = f (1 + 0 ) t λ v/ f v v O sea. Vs S O Cuando la fuente se encuentra en movimiento hacia un observador en reposo. La frecuencia f' que percibe es el número de ondas que percibe por unidad de tiempo. siendo V la rapidez del sonido O en el medio y λ la longitud de onda. la frecuencia del sonido que percibe el observador aumenta: v v v f '= = = f λ ' (v − v s ) / f v − vs Si la fuente se mueve alejándose del observador. Por lo tanto. Consideremos un sistema de referencia en reposo en el medio por el que avanza el sonido. la longitud de onda emitida es vs/f mayor que λ. que van avanzando por el medio. El efecto Doppler se aplica a toda clase de ondas en general. Si la frecuencia de la fuente es f y su velocidad vs durante cada vibración avanza una distancia vs/f y cada longitud de onda se reduce en esa cantidad. Si el observador estuviera en reposo en el S medio. la frecuencia f' que percibe el observador es igual a la frecuencia ordinaria f que percibe en reposo mas el aumento fv0/v que procede del movimiento del observador. pero la fuente se está moviendo a través de él es: Página 107  . debido al movimiento del observador hacia la fuente. Consideraremos solamente el caso especial en que la fuente y el observador se mueven a lo largo de la línea que los unen. Cuando éste se encuentra en movimiento alejándose de la fuente sonora. éste recibe Vot/λ ondas adicionales en ese mismo tiempo t. la relación general aplicable cuando el observador se encuentra en reposo con respecto al medio. recibiría Vt/λ ondas en el tiempo t. Entonces: v − v0 v f '= f = f (1 − 0 ) v v Por consiguiente. Lo aplicaremos ahora a ondas sonoras. Nótese que la causa del cambio es el hecho de que el observador intercepta más o menos Vo = 0 ondas en cada segundo debido a su movimiento. de modo que el observador percibe una frecuencia reducida: v v f '= = f (v + v s ) / f v + vs Por consiguiente. La figura muestra una fuente sonora S en reposo en ese marco y un observador O que se mueve hacia la fuente Vo con velocidad Vo. sino λ'=v/f - vs/f. Por consiguiente. Ahora bien. la longitud de onda del sonido que llega al observador no es λ = v/f. M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O y O N D U L A T O R I O. en cuyo vértice está el cuerpo en movimiento. el resultado será una onda transversal polarizada circularmente. R. Por consiguiente. pero si se dispone formando un ángulo α. POLARIZACIÓN. Algunos ejemplos son la onda de proa de un bote veloz en el agua y la "onda de choque" de un avión o proyectil que se mueve con una velocidad mayor que la del sonido en ese medio (velocidades supersónicas). impedirán totalmente la propagación de cualquier onda transversal. sobre el plano P. y el signo + cuando tal movimiento es alejándose del observador. una rendija. de modo que si α = 90 grados (rendija R''). las restantes partículas irán realizando vibraciones que también serán lineales y estarán contenidas todas en un A' mismo plano. el frente de onda toma forma de cono. sólo se observará la onda correspondiente a la componente del movimiento según la dirección de la apertura. P R R' En el caso más simple en que la partícula A R'' realice vibraciones lineales en la dirección AA' de la figura. al otro lado de ésta. los movimientos periódicos del primero. de igual periodo y amplitud. en consecuencia. sino que tiene lugar según una curva arbitraria cualquiera situada en el plano P. cuando la vibración inicial no es ni circular ni elíptica. en el medio se propagará una onda transversal NO POLARIZADA y en cada punto se reproducirán a su vez. M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O y O N D U L A T O R I O. tal como la R'. esto es.es aplicable cuando el movimiento es HACIA el observador. los restantes irán realizando el mismo tipo de vibración. como caso particular) contenido en un plano perpendicular a la dirección en que se propaga el movimiento ondulatorio. entre los que existe una diferencia de fase de 90grados ó 270. En tales casos. que la onda transversal está polarizada rectilíneamente. cuando en un cuerpo se originan simultáneamente dos ondas transversales polarizadas rectilíneamente que cumplan esas condiciones. colocada paralelamente a la dirección de vibración no perturbará el movimiento ondulatorio. Cuando el punto inicial. Recuérdese que un movimiento circular puede considerarse como el resultado de la composición de dos movimientos armónicos perpendiculares. gira describiendo una circunferencia cuyo plano es perpendicular a la dirección de propagación del movimiento ondulatorio. vibra circularmente. con el consiguiente retraso. es anulada por la siguiente. si en la dirección de avance de una onda no polarizada interponemos una rendija. dos rendijas situadas una tras otra y tales que sus direcciones sean normales entre sí. puesto que la componente transmitida por una de ellas. se dice que la onda está polarizada circularmente. ésta interceptará totalmente la propagación del movimiento ondulatorio. Si la vibración inicial en lugar de ser circular. Hay muchos casos en los que la fuente se mueve a través de un medio con una velocidad mayor que la velocidad de fase de la onda en ese medio. describe una elipse. con la dirección de vibración. actuará de filtro. diremos que la onda está polarizada elípticamente. Es un fenómeno característico de las ondas transversales. Página 108  . Se forma una onda transversal siempre que un punto material realiza un movimiento periódico (vibratorio armónico. detrás de la rendija. se dice en este caso. es decir. la onda quedará polarizada rectilíneamente y el plano de polarización vendrá determinado por la rendija y la dirección de propagación. Cuando así sea. reduciendo la amplitud de aquélla proporcionalmente al cos(α). en lugar de realizar vibraciones rectilíneas. por consiguiente. Tema 3 v f '= f v ± vs expresión en la que el signo . en este caso. Notar que la causa del cambio en este caso es el hecho de que el movimiento del foco a través del medio reduce o aumenta la longitud de onda transmitida a través del medio. Finalmente.   Escribir:  a)  la  ecuación  de  la  onda  reflejada. En las ondas estacionarias de una cuerda.01x).5 cm. λ.sen 0. Andalucía.  Una  horquilla.  dista del anterior 40 cm.    4. ω?  b) Determinar la elongación de un punto que dista del foco 42 cm. incide en un segundo medio en el que la  velocidad de propagación es de 2500 m/s. Si la frecuencia es de 500 Hz.    c) Representarlo gráficamente.2sen(πx)cos(100πt) (metros) en donde x está comprendido  entre  0  y  6  metros.  b) Explicar si se trata de una onda longitudinal o transversal e indicar en qué sentido se propaga.  5. situado a 8 cm de O1 y 9 cm de O2. Las perturbaciones producidas en dos puntos O1 y O2 se propagan por la  superficie con una velocidad de 1 m/s.  (el  cual  está  fijo)  se  refleja  completamente. ν. ¿Cuál es la longitud de onda del movimiento?    7. B) Distancia  entre dos nodos sucesivos de la cuerda.  b)  el  número  total  de  nodos  (incluidos  los  extremos).0025x cos 50t (con x en milímetros y t en segundos). ¿Cuál es la longitud de onda en el aire. de frecuencia 100 Hz y amplitud 2 mm. 340 m/s)  6. M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O y O N D U L A T O R I O. es y = A = 20 cm. Página 109  . La función de una onda  que se propaga por una cuerda sujeta por ambos extremos es  y = 30 sen 0. el punto más cercano en que y = 0. En una onda se propaga un movimiento ondulatorio dado por (SI):  t x y = 12sen2π ( − ) 5 8   a) ¿Cuál es el valor de A. A) ¿Cuál es la longitud de onda y la frecuencia?. el periodo y la velocidad de propagación.5πx  + π/6)  en el punto x = 4 m  9. a los 30 segundos de iniciado el movimiento.  2. calcular la longitud de onda en ambos medios. En el mismo momento. T. de longitud L. Calcula la ecuación de vibración del punto P.5.  Calcule:  a)  la  longitud  de  onda  y  la  frecuencia  angular. Universidad de Murcia)  Una onda en una cuerda viene dada por la ecuación: y(x. Si la velocidad de  propagación es de 1200 m/s:    a) ¿Cuál es la longitud de la onda?    b) Escribir la ecuación de este movimiento.05t ‐ 0. Tema 3.  a) Calcula la longitud de onda.  3.5x)}. (DE SELECTIVIDAD)  Calcular la perturbación resultante al superponerse las ondas  Y1 = 4 sen(2πt ‐ πx). la distancia entre un nodo y un vientre consecutivos es de 1. b) la ecuación de la onda estacionaria resultante.02x cos 30t (CGS). es  del modo y = 0. C) Si la ecuación anterior corresponde a la onda fundamental.  10. La función de onda correspondiente a una onda estacionaria en una cuerda fija por ambos extremos. (DE SELECTIVIDAD. ¿Cuál es la  longitud de onda?    11.  Al  llegar  al  extremo  izquierdo  de  ésta.  colocada  verticalmente. (SELECTIVIDAD LOGSE.  Y2 = 4 sen(2πt ‐ 0.  Determinar A) velocidad y amplitud de las ondas cuya combinación da como resultado la onda estacionaria. ¿cuál es la longitud de  la cuerda?  13.  8. B) ¿Cuál es la velocidad de las  ondas transversales en esta cuerda?.  PROBLEMAS PARA RESOLVER 1.  está  dotada  de  un  movimiento  vibratorio  perpendicular  a  la  superficie  de  un  líquido. La ecuación de una onda transversal que avanza por una cuerda viene dada por la expresión y = 60 sen{π/2(8t + 0. Un tren de ondas que se desplaza en un medio a la velocidad de 1500 m/s. En un punto dado de una cuerda vibrante.t) = 0. Junio de 1996)  La expresión matemática de una onda en el SI es y = 3 sen 2π (0. Se hace vibrar el extremo de una cuerda tensa con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 60 Hz. para el sonido de la nota "la" de 435 Hz? (Velocidad de propagación del sonido  en el aire. c) la velocidad de propagación de las ondas de la cuerda. 12.  4 cm.2  cm.1 m.  b)  la  amplitud  de  los  nodos.: y’ = 10 cos π(2x + 10 t). Los dos vibran en fase y las ondas se  propagan a 680 m/s. El rayo cae sobre una de las caras del primas  perpendicularmente a ella. A) Escribir la expresión de la onda  que.)  17.4 m/s. sujeta por ambos extremos y observamos que presenta un  total de 9 nodos. en un instante dado. El índice de refracción  del vidrio es 1. Determinar: a) magnitudes características de la onda. b) la velocidad en un punto que dista x = 1. velocidad del sonido. 2) se varía la tensión de la cuerda. Dos focos A y B emiten ondas en fase que se superponen en el punto M. La distancia AM es 32 m y la distancia BM es  20 m. B)  su  velocidad  de  propagación. Dos focos sonoros emiten ondas de la misma frecuencia. c) A = 0.  Tema 3.  (b)  Amplitud  y  longitud  de  onda  de  las  ondas  componentes. c) d = 1. B)  la  frecuencia  fundamental  de vibración  y  la  longitud  de  onda correspondiente a esa frecuencia. Hallar el ángulo B entre los rayos incidente y refractado por el prisma.3 m. b) y = 0.  (Sol. Si la amplitud máxima es de 1 cm y la velocidad de propagación de las ondas en esa cuerda es de 80 m/s.01 sen(8πx) cos(640πt). Sabiendo que en t = 0 y d = 0  ambas perturbaciones son máximas. 0. y la velocidad del sonido en el aire es 340 m/s. B. 40 Hz. t3= 2/30 s. Calcular:  a)  la  ecuación  de  las  ondas  estacionarias  resultantes. λ = 4 m.  La  ecuación  de  una  onda  estacionaria  es  y  =  0.5π  segundos  y  una  amplitud  de  0. Explique qué características de la onda cambian si 1)  se aumenta el periodo de la vibración en el extremo de la cuerda. v = 60 m/s)    19. c) la distancia entre dos nodos. f1` = 488 Hz.5 π m ‐1. al interferir con ella.. produciría una onda estacionaria. Una onda está representada por la ecuación y = 2 cos 2π (t/4 + x/160)  (CGS).    26. Un tren pasa por un puente a 105 km/h y emite un sonido de 530 Hz. en fase. La amplitud en M de la onda procedente de A es  0. Dos ondas de ecuaciones: y1 = 6 sen (1. (Sol.5 cm. t) = 5 sen (1/3)∙π ∙x cos 40π ∙t (estando x e y en cm.  C)  la  diferencia  de  fase  para  dos  posiciones  de  la  misma  partícula  cuando  el  intervalo  de  tiempo transcurrido es de 2 segundos. 0. Se hace vibrar transversalmente un extremo de una cuerda de gran longitud con un periodo  de  0.  c)  amplitud  y  velocidad  de  fase  de  las  ondas  cuya  superposición podría producirla.  propagándose  a  través  de  ella  una  onda  con  una  velocidad  de  0. Determinar: A) el carácter de la onda.  (c)  Velocidad  en  función  del  tiempo  de  una  partícula de abcisa  x = 2m  Página 110  . 2 m)  18. [Solución: f1 = 580 Hz.  b)  la  amplitud  de  la  perturbación resultante de la interferencia.5πx sen30πt (SI). [Solución: a) y = 12 cos 250 x ∙ sen 1. 100 Hz y amplitud. T = 1/15 s. La ecuación de una onda es y = 0.500 t – 250 x) y2 = 6 sen (1. π rad. k = 0. indicando el razonamiento seguido. Se hace vibrar una cuerda de guitarra de 1 m de longitud.5. Consideremos dos focos generadores de ondas de 100 Hz y 1 cm de amplitud. t en segundos) Calcular: a)  la amplitud y velocidad de las ondas que originan la onda estacionaria.: 120°)    15.4 m y la de la onda procedente de B es 0.  20.5 cm del  origen en el instante t = 1. 3π/2 rad.    27. ν = 15 Hz. Calcular la frecuencia que percibe un observador  situado cerca de la vía.: y = 0. t2 = 1/30 s.  c)  la  distancia  entre  dos  vientres  consecutivos.6  cos  πx  cos  50  πt  (SI)  Determinar:  (a)Distancia  entre  dos  nodos  consecutivos. Ambas interfieren en el punto P.500t. Si las distancias de cada uno  de esos focos a un punto P son 75 m y 87. Determinar los puntos de interferencia constructiva y los de interferencia destructiva. La velocidad de esas ondas es de 900 m/s y la frecuencia 150 Hz.]  25.  Escriba la ecuación de la onda..500 t + 250 x) en unidades SI.: Onda armónica que se propaga en el sentido del eje OX.5 m. Junio’92)  (Sol. M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O   y  O N D U L A T O R I O. 340 m/s.  calcular:  A)  la  ecuación  de  la  onda  estacionaria  en  la  cuerda. Dos focos vibratorios de 2 cm de amplitud y 50 Hz de frecuencia producen en la superficie de un líquido ondas que se  propagan con una rapidez de 3 m/s. b) ¿en  qué  instantes  será  máxima  la  velocidad  del  punto  x  =  0. Sevilla. 20 cm)    16. que dista 98 m de F1 y 30 cm de F2. Una cuerda vibra según la ecuación: y(x. B) Indicar la distancia entre nodos en esa onda estacionara y la  amplitud en un vientre (o antinodo)  (Sol.25 s.  A. b) t1 = 0s. c) La perturbación total en ese momento.26∙10‐2 m]  23.5  m?. La sección de un prisma de vidrio tiene forma de un triángulo equilátero. Hallar la ecuación del movimiento del punto M. interfieren.1  m/s.  21 SELECTIVIDAD JUNIO 2001. (SELECTIVIDAD.: ω = 30π s‐1. determinar: a) la perturbación que produce en el punto P y en el instante t = 1 cada  foco  por  separado.  suponiendo  que  se  trata  de  ondas  planas  (prescindiendo  de  la  atenuación).2 cos 0. D) la diferencia de fase. al acercarse el tren y al alejarse.  14. determinar la forma de  vibración del punto P. de dos partículas separadas 120 cm en  la dirección de avance de la onda.     24.  (Sol.  22. La ecuación de una onda transversal en una cuerda es y = 10 cos π(2x ‐ 10t) (CGS).. M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O y O N D U L A T O R I O. Tema 3 28. Los extremos de una cuerda de 2,4 m de longitud y 200 g de masa se fijan de modo que se mantiene estirada con una  tensión de 12 N. ¿Qué frecuencia tendrá una onda estacionaria en la cuerda en la que haya cinco vientres?    29. SELECTIVIDAD. La ecuación de una onda es y = 0,4 sen π (3t – 12 x) (S.I.). Determinar: A) ¿Con qué onda debe interferir  para producir una onda estacionaria?; B) Ecuación de la onda resultante.    30. Dos ondas de ecuaciones y1 = 2 sen (500 t – 10 x)  e y2 = 2 sen (500 t + 10 x) interfieren en un punto. Calcular: A) la  ecuación de la onda estacionaria resultante; B) La relación entre la amplitud y la distancia recorrida; C) La amplitud de los  nodos; C) La distancia entre dos vientres consecutivos.    31. SELECTIVIDAD. La ecuación y = 2 cos (πt) sen (1,256 x) (S.I.) representa una onda estacionaria. ¿Cuáles son la longitud  de onda y la frecuencia de las dos ondas, coherentes, viajando en sentidos contrarios, que al interferir dan lugar a esta  onda? Razonar la respuesta.  PROBLEMAS CON SOLUCIONES INDICADAS Página 111  M O V I M I E N T O S    A R M Ó N I C O y O N D U L A T O R I O. Tema 3.  Página 112  · TEMA 4 · Luz y Ondas Electromagnéticas  “Toda nuestra ciencia, comparada con la realidad, es primitiva e infantil... y sin embargo, es lo más preciado que tenemos.” (Albert Einstein) Para la mayoría de los científicos de finales del siglo XIX, el mundo físico, a pesar de su complejidad superficial, aparecía dotado de una soberbia unidad. La mecánica de Galileo y Newton explicaba el movimiento de todos los cuerpos, ya fuesen de dimensiones corrientes o planetas. Además, la teoría cinético-molecular, había extendido triunfalmente sus dominios al mundo submicroscópico interpretando muchos fenómenos del calor, por el movimiento de sus átomos. También el sonido había llegado a formar una rama de la mecánica, considerado como una vibración que se propaga entre las moléculas, de acuerdo con las leyes clásicas del movimiento. En principio, se tuvo la esperanza de que los fenómenos de la luz, la electricidad y el magnetismo podían también explicarse mecánicamente, o bien postulando tipos especiales de partículas con leyes de fuerza apropiadas o bien como influencias propagadas a través del espacio por las vibraciones de un medio etéreo. Pero cuando los físicos teóricos pasaron de la primera explicación a la segunda, hallaron que mientras sus ecuaciones se hacían cada vez más exactas en la descripción y predicción de los fenómenos, las bases físicas de aquellas ecuaciones se hacían cada vez menos comprensibles. El gran triunfo de la teoría electromagnética de la luz del escocés Maxwell, el cual unificó, finalmente, una serie de sorprendentes fenómenos previamente considerados de modo independientes (en el caso de que fueran conocidos), fue conseguido sólo a base de levantar un modelo mecánico tan complejo y artificial que fue unánimemente descartado por imposible. Lo que vamos a estudiar en estos dos últimos temas del curso es “el crecimiento de un dinosaurio que engulle tanto alimento que se colapsa bajo su propio peso”. Pero esto no es del todo una metáfora exacta. Como veremos, el esqueleto de la teoría electromagnética es suficientemente fuerte para constituir el soporte de la relatividad y de la mecánica cuántica modernas. 1. LA LUZ: ¿PARTÍCULAS u ONDAS? La controversia sobre la naturaleza de la luz es una de las  “La radiación electromagnética con longitudes de  más interesantes en la historia de la Ciencia. Las teorías antiguas onda comprendidas entre los 400 y 700 nm  consideraban la luz como un chorro de partículas emanadas de aproximadamente, a las que el ojo humano es  una fuente y que producían una sensación de visión al entrar en sensible, recibe popularmente el nombre de luz.”  el ojo. El preconizador de mayor influencia de esta teoría corpuscular de la luz fue I. Newton. Utilizándola, fue capaz de explicar las leyes de la reflexión y la refracción que ya se estudiaron en un tema anterior. Cuando la luz incide sobre una frontera que separa dos medios transparentes, por ejemplo, el aire y el agua o el aire y el vidrio, parte de la energía de la luz se refleja y parte se transmite. El rayo reflejado forma un ángulo con la normal a la superficie igual al ángulo del rayo incidente, mientras que el rayo transmitido se acerca a la normal. (Si la luz abandona el agua o el vidrio para entrar en el aire, el rayo transmitido se aleja de la normal, como ya sabemos). Hugens. que la propagación rectilínea observada por la luz. viéndose obligado el haz luminoso a desviarse hacia la normal a la superficie de acuerdo con lo observado.  La ley de la reflexión de la luz en una superficie límite plana se explica fácilmente mediante la teoría corpuscular. en particular porque explicaba los colores formados por las láminas delgadas. Su observación de interferencias con la luz fue una demostración clara de la naturaleza ondulatoria de ésta. basado en una carencia de pruebas de difracción. Fue uno de los primeros en introducir la idea de la interferencia como fenómeno ondulatorio. la componente de la cantidad de movimiento de la partícula paralela a la superficie no se ve modificada por el choque. el mayor avance en la aceptación general de la P teoría ondulatoria de la luz se debió al físico francés Agustín Fresnel (1788- 1827). Newton suponía que las partículas luminosas eran fuertemente atraídas por el vidrio o el agua de modo que cuando se acercaban a la superficie. La figura. fue estrictamente aceptado por los seguidores de Newton. la dirección de la cantidad de movimiento de las partículas luminosas variaba. Thomas Young reavivó la teoría ondulatoria de la luz. En tal caso.  d Después de hacer pasar un haz de luz monocromática (de una sola frecuencia) por un pequeño orificio y observar la figura de difracción obtenida F2 sobre una pantalla. La teoría corpuscular de la luz fue aceptada durante más de un siglo. Tal vez. el ángulo de reflexión es igual al de incidencia. que realizó gran número de experimentos sobre interferencias y difracción y apoyó la teoría ondulatoria en una base matemática. fue capaz de explicar la reflexión y refracción admitiendo que la luz se mueve más lentamente en un medio como el vidrio o el agua que en el aire. observándose en una pantalla situada detrás de los orificios la figura de interferencia. para poder explicar la tendencia a acercarse el haz hacia la normal cuando entra en el agua o en el vidrio o separase de la normal cuando entra en el aire desde cualquiera de los dos medios anteriores. rechazó la teoría ondulatoria debido a la propagación de la luz en línea recta de observación común. la luz se difracta en los orificios. Los defensores principales de la teoría ondulatoria de la propagación de la luz fueron Christian Huygens y Robert Hooke. quisieron explicarla diciendo que era la dispersión de partículas luminosas en los bordes de la rendija. Esta otra figura ilustra la explicación de Newton de la refracción. muestra una partícula que rebota sobre una superficie plana y dura y donde no existe rozamiento. Young hizo atravesar este haz a través de DOS pequeños orificios muy juntos. O N D A S   E L E C T R O M A G N É T I C A S    y Ó P T I C A G E O M É T R I C A. que Newton estudió ampliamente. en el caso de una superficie aire-vidrio o aire-agua. Sin embargo. De este modo. Así pues. d1 por ejemplo. Debido a la gran reputación y categoría de Newton. Demostró. recibían un impulso momentáneo que hacía aumentar la componente de cantidad de movimiento perpendicular a la superficie. Tema 4. el trabajo de Young quedó desconocido por los científicos durante más de una década. es un resultado de la longitud de onda muy corta de la luz visible. y F1 d2 α α   1.1 El experimento de T. Sin embargo. En ella aparecía un máximo central de luz. éste rechazo de la teoría ondulatoria de la luz. tanto en la luz como en el sonido. Cada orificio actúa como una fuente de ondas –o lo que es lo mismo. En el año 1801.y esos haces procedentes de D cada uno de los nuevos focos interfería en una zona común. Incluso después de disponer de las pruebas de difracción. Página 114  . según se observa en el caso de rayos luminosos reflejándose en un espejo plano. Newton conoció las virtudes de la teoría ondulatoria de la luz. alternando con zonas oscuras y zonas de luz. Young. Una característica importante de esta teoría es que la velocidad de la luz debía ser mayor en el agua o en el vidrio que en el aire. pero la componente perpendicular a la pared se invierte. Schrödinger. Una de las mayores ironías en la historia de la Ciencia es que un famoso experimento realizado por Hertz para demostrar la existencia de tales ondas electromagnéticas. interferían constructivamente. y otros. Consideró primeramente lo que sucede cuando una corriente eléctrica oscila a lo largo de un hilo recto o circula por una espira. de nuevo. produciendo un punto brillante en el centro de la sombra del disco. la teoría ondulatoria de Fresnel predice que las ondas luminosas se “doblan” alrededor del borde del disco y que deberían encontrarse e interferir constructivamente en el eje. La teoría de Maxwell sobre la propagación de las ondas luminosas se menciona ahora como “una teoría clásica”. cuando los experimentos realizados por C. irradiada por la corriente y se dispersa en forma de ondas en todas las direcciones. demostró que sólo podía explicarse mediante ¡un modelo corpuscular de la luz!1. Poisson consideraba esto como una contradicción ridícula. Este estudio de la controversia sobre si la luz es onda o corpúsculo no sería completo si se omitiera el descubrimiento realizado durante el siglo XX de que la teoría ondulatoria generalmente correcta para explicar y describir la luz y otras ondas electromagnéticas. El comportamiento de fenómenos fundamentales como la luz. Su conclusión teórica era que la energía “se pierde”. W. pensó que las franjas luminosas se debían a que las ondas procedentes de cada orificio llegaban a la pantalla cresta con cresta. Las figuras de interferencia NO se forman solo cuando la luz incide sobre dos rendijas. y de hecho. las franjas oscuras se debían a que las crestas de las ondas de un foco coincidían con los valles de otros al llegar a la pantalla (interferían destructivamente). falla al intentar explicar TODAS sus propiedades observadas. Eso será objeto del siguiente capítulo. en 1860. convenció a otros muchos científicos dubitativos a favor de la teoría ondulatoria de la luz.P. y sugirió que este acuerdo no es casual. los electrones y otras partículas subatómicas se describe correctamente mediante la teoría de la mecánica cuántica desarrollada por E. algunos años más tardes.J. es decir. Esto significaba que cualquier carga eléctrica situada en un obstáculo distante de la trayectoria de la radiación (por ejemplo sobre un segundo hilo) 1 El estudio del efecto fotoeléctrico se realizará en profundidad en el tema siguiente. destruyendo así la teoría corpuscular de Newton. con lo que el modelo corpuscular quedaba. La comprensión total de la naturaleza dual de la luz no llegó hasta la década de 1920. Thompson demostraron que los electrones (y otras “partículas”) también poseían una naturaleza dual exhibiendo propiedades ondulatorias de interferencia y difracción al mismo tiempo que propiedades corpusculares perfectamente conocidas. Foucault midió la velocidad de la luz en el agua y demostró que es menor que en el aire. Davisson y L. 2. pero la inmediata demostración de Fresnel de que tal punto existe de hecho. Página 115  . Un notable triunfo de la teoría ondulatoria consistió en un experimento sugerido a Fresnel por Poisson. que intentaba desacreditar la teoría ondulatoria. condujo. introducido en escena. sino que indica que la luz es una onda electromagnética.A. Poisson señaló que si se ilumina un disco opaco por la luz de una fuente situada en su eje. también. Heisenberg. la mayor parte de los espectroscopios se construyen con red de difracción en lugar de prismas para descomponer la luz en sus colores. 8m / s la velocidad de la luz. En 1850. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Y ÉTER Volvamos al trabajo realizado en la década de 1860 por el científico James Clerk Maxwell. La diferencia está en que el prisma descompone la luz por refracción y la red de difracción lo hace por interferencia. James Clerk Maxwell publicó su teoría matemática del electromagnetismo que predecía la existencia de ondas electromagnéticas que se propagan con la velocidad c = 1 / (ε 0 μ 0 ) ≈ 310 . O N D A S   E L E C T R O M A G N É T I C A S    y   Ó P T I C A G E O M É T R I C A. Germer y G. Análogamente. Tema 4 Para explicar el resultado de este experimento. Dirac. que Einstein. Un conjunto numeroso de rendijas muy juntas y paralelas forman una red de difracción. Más tarde. Actualmente el experimento de Young se realiza con dos rendijas muy juntas de modo que las franjas de interferencias son líneas rectas. P. al descubrimiento del efecto fotoeléctrico. La importancia de la teoría electromagnética de Maxwell para la física ha sido considerada como semejante al trabajo de Newton. uno de los toques que terminaría minando la física clásica y permitiendo el resurgimiento de nuevas ideas en la física. 3. El dibujo de arriba muestra los vectores de intensidad de campo eléctrico y magnético en un punto P del campo electromagnético en instantes sucesivos. que esta radiación debería viajar a través del vacío o el aire con unos 3. de la que se hablará en el tema siguiente. E Técnicamente. el campo eléctrico fluctuante actúa sobre estas cargas del mismo modo que una onda que se propaga por una cuerda agita las partículas de una sección de la misma. los rayos gamma. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Entre las ondas electromagnéticas hemos de incluir la luz. E B La analogía entre el comportamiento conocido de la luz y el esperado (pero aún por entonces no probado) comportamiento de las ondas electromagnéticas previstas por Maxwell fue ciertamente exasperante. surgía la cuestión de si la propagación de las perturbaciones de los campos eléctrico y magnético en el espacio no dependería también de la acción de un medio mecánico: un éter. Si nos fijamos exclusivamente en el comportamiento del vector del campo eléctrico. Las diferencias entre los diversos tipos de ondas electromagnéticas radican en su frecuencia y en su longitud de onda. podemos exponer estos hechos en un lenguaje diferente. Página 116  . las ondas de radio. “Según la teoría electromagnética clásica. A todo el amplio conjunto de estas ondas se las denomina espectro electromagnético.108 m/s (en el vacío). radia energía en forma de ondas electromagnéticas de igual frecuencia” Todas las ondas electromagnéticas se generan cuando se aceleran las cargas eléctricas. los rayos X. o luz visible). es perfectamente correcto decir que una onda electromagnética pasa por este punto P del espacio y referirse a la energía responsable del movimiento de las cargas llamándola energía o B E radiación electromagnética. entre ellas la teoría de la relatividad. Tema 4. la trayectoria de los haces se desvía. que al cruzar otros obstáculos tal como una lámina de vidrio. El ojo humano es sensible a la radiación electromagnética de unos 400 a 700 nm de longitud de onda (espectro visible. como se verá. como soporte mecánico que permitiera la propagación de las ondas electromagnéticas. cuando otras cargas eléctricas o polos magnéticos se introducen en este E E “campo electromagnético” fluctuante (como en E una antena o receptor). las microondas y otras. La teoría de Maxwell también predice que los objetos metálicos reflejarán un haz incidente de energía electromagnética. (sin éxito alguno) constituyó. y su desesperada búsqueda física. cualquier polo magnético presente en el obstáculo sufría también variaciones semejantes y el propio obstáculo experimentaba una ligera presión mecánica. O N D A S   E L E C T R O M A G N É T I C A S    y Ó P T I C A G E O M É T R I C A. Además. Una carga E E eléctrica vibrante o circulante (transmisor u B B oscilador) engendra en la región existente a su P P P B P alrededor un campo magnético y eléctrico P P B P B B fluctuantes.  comenzaba a oscilar con la misma frecuencia que la fuente original. en todas las cuales interviene la propagación ondulatoria de campos eléctricos y magnéticos a través del espacio con una velocidad c = 3. También. y lo que es más sorprendente. de radar. como lo haría un espejo. si una carga oscila con un movimiento armónico simple de frecuencia f. de A. se sugiere una útil analogía: si un receptor (tal vez un alambre metálico que posee electrones libres) se sitúa en el punto P. Einstein.108 m/s. actúan sobre ellos fuerzas eléctricas y magnéticas que vibran con igual periodicidad que las oscilaciones originales del transmisor. el primer hilo. Esta idea del éter. En realidad. Página 117  . A la luz roja. y la infrarroja es la  que posee longitudes de onda  justo más  largas que el visible”. de mayor longitud de onda. O N D A S   E L E C T R O M A G N É T I C A S    y   Ó P T I C A   G E O M É T R I C A. y por lo tanto la longitud de onda. le corresponderá un índice n menor. La luz ultravioleta es  radiación electromagnética que está un poco  más allá de la parte de longitud de onda más  corta del intervalo visible.  “La palabra luz se utiliza también para  longitudes de onda un poco más allá del  margen visible. Tendremos: c λ0 = f v λ'= f y como c λ ⋅f λ n= ⇒ 0 ⇒ n = 0 > 1 ⇒ λ0 > λ ' v λ⋅ f λ Por lo tanto. Esto explica que al cruzar un prisma. pero sí en el vacío. Sea λ0 la longitud de onda en el vacío de una determinada radiación. aplicando la ley de Snell: sen i n 2 sen i = ⇒ sen r = ⇒ n2 menor ⇒ r mayor sen r 1 n2 ya que el (sen i) es el mismo para todas las luces pues provienen del vacío. Lo anterior nos permite escribir la ecuación de Snell que ya hemos estudiado. en la luz blanca (conjunto de muchas longitudes de onda). por lo tanto. por ejemplo. se modifica la velocidad de la luz. de otro modo: λ0 sen i n2 λ 2 λ1 = = = sen r n1 λ0 λ 2 λ1 Consideremos un rayo de luz blanca que incide bajo un cierto ángulo i sobre la cara de un prisma. el color azul del cielo. Cuando esa luz blanca se propaga en un medio natural. lo que significa que si cambia de medio. el color rojo sea el que MENOS se disperse (r mayor) y el color azul el que más se disperse ( r menor). y λ' la longitud de onda de ésta en un medio diferente.  Tema 4. por ejemplo. la FRECUENCIA NO VARÍA.  La que denominamos "luz blanca" es en realidad una "mezcla de colores que viajan en un único rayo". NO todas se propagan con la misma velocidad en el interior de un prisma. Este hecho es fundamental para poder explicar. El fenómeno de la polarización cobra especial importancia en el caso de la luz. estaría polarizada linealmente. la luz no puede estar polarizada. sin embargo. si por medio de algún dispositivo. Este material contiene moléculas de hidrocarburo de cadena larga que se alinean cuando la lámina se deforma en una dirección durante el proceso de fabricación. La polarización.2 Polarización por Absorción. En las ondas electromagnéticas las vibraciones suponen la variación de los valores del campo eléctrico y magnético asociados. es una propiedad que sólo tiene sentido en las ondas transversales.1. Ahora bien. si se colocan dos polaroides cruzados en direcciones perpendiculares. De este modo. cuando una onda transversal puede vibrar en cualquiera de los posibles planos perpendiculares a la dirección de propagación. los diferentes tipos de finalmente coloreará sus ojos. Sin embargo. O N D A S   E L E C T R O M A G N É T I C A S    y Ó P T I C A G E O M É T R I C A. 4. Por tanto. con todas las implicaciones que ello supone sobre la existencia del “hipotético éter” por donde se pensaba que se debía propagar la luz. Algunos de ellos los veremos ahora. absorben totalmente la luz que les llega. somos capaces de forzar las vibraciones en una sola dirección. decimos que hemos polarizado la onda. Tema 4 4. la dirección de propagación de una onda. sólo existe una posibilidad de vibración. no sucede lo mismo con las transversales. entonces la luz reflejada está rayo refract ado (ligerament e polarizado) totalmente polarizada. y la de el aire. Land. sobre el que ahora volveremos. por lo tanto. FENÓMENOS LUMINOSOS Al poderse considerar la luz como un fenómeno ondulatorio más. ambos relacionados con otro fenómeno anteriormente también apuntado como complemento: la Polarización de la luz. Los ojos de un niño recién nacido son azules porque  4.H. ya que existen numerosos planos perpendiculares a la dirección de propagación en los que puede tener lugar la vibración.  Un método corriente de polarización es el de absorción en una lámina de un material comercial denominado polaroide. inventado en 1938 por E. (ver dibujo del tema anterior). Este resultado fue descubierto experimentalmente por Sir David Brewster en 1812. El color de los ojos de un niño pueden   cambiar tras varios meses de su nacimiento cuando  vibración de los puntos. De hecho. la luz reflejada está parcialmente polarizada dependiendo su polarización del ángulo de incidencia. nos servía como criterio para clasificar su cuerpo empieza a manufacturar el pigmento que  en longitudinales o transversales. ampliaremos algo más ese estudio con un par de sucesos más: la absorción y la dispersión de la luz. también la luz participa de los fenómenos de reflexión y refracción. se dice que la onda NO está polarizada. y también sirvió para demostrar su carácter de onda transversal. (debidos. Así.3 Polarización por reflexión. Polarización de la Luz. pero en general. como se vio. Página 118  . Si la onda electromagnética fuese producida por una única carga acelerada. al cambio de medio) por lo que las leyes para esos fenómenos estudiados. estos polaroides absorben cierta cantidad de luz y sólo transmiten aquella en que el campo eléctrico asociado tiene una cierta dirección. Cuando un rayo de luz incide sobre la superficie rayo incident e NOpolarizado rayo reflejado polarizado de separación de dos medios y se refleja y refracta en ella. es aplicable todo lo anteriormente visto para los movimientos de este tipo. como las moléculas en   Si recordamos. Si el ángulo de incidencia es tal que los rayos reflejados y refractados son 90º perpendiculares. Como no están todas en fase.  pequeñas partículas de materia de iris dispersan  preferencialmente luz azul. La luz que emerge del polaroide está polarizada linealmente. que son siempre perpendiculares a la dirección de propagación. son muchas las cargas que al ser aceleradas producen las ondas electromagnéticas.  movimiento ondulatorios. 4. En las ondas longitudinales. Para polarizar la luz existen diferentes mecanismos. siguen siendo válidos aquí.  lo que le sucede a la luz del Sol  cuando atraviesa la atmósfera.  corteza atómica que comienza a oscilar.  imaginemos  que  no se queda almacenada en el aire. ¿A qué altura por encima de la horizontal debe estar el Sol para que la luz reflejada por la superficie de un lago tranquilo  esté totalmente polarizada? Dato: índice de refracción del agua.  La  belleza  del  cielo  no  es  más  que  el  resultado  de  la  longitud  de  onda  larga  interacción  de  la  LUZ  del  Sol  con  la  atmósfera. en sus variadas posibles manifestaciones. Tema 4 Debido a la polarización de la luz reflejada. Muy a grosso modo. (Ver figura). los cristales de las gafas de sol.  Si  profundizamos  un  poco  más. La luz  partícula  pequeña  cuya  corteza  se  agita.  La  desviación  es  máxima  para  los  rayos  de  explicación)  siendo  la  intensidad  de  la  luz  difundida  longitud de onda corta (violeta y azul). Calcula los ángulos de incidencia y de refracción cuando la luz reflejada por una  superficie de vidrio está completamente polarizada. dando así al cielo su color azul.4 Polarización por Dispersión. ¿Podríamos ver la luz que   acompañada  de  partículas  de  polvo  y  de  ceniza  es  rayos  violetas  y  azules.   ocuparemos  sólo  del  fenómeno  óptico  más  común  que  es  el color del cielo. que son  desviados  y  van  casi  directamente  en  línea  recta  desde  el  fenómenos  ópticos  completamente  explicables. En corriente invisible pero incesante.  terrestre.: 56.  hace  que  parte  del  agua  de  la  superficie  pequeñas moléculas). ojo En el techo de una habitación   ¿POR QUÉ EL CIELO ES AZUL? completamente oscura. más que las longitudes de onda largas.  Los  de luz.33.  El  cesión  y  remisión  de  energía  por  partículas  de  tamaño  rayo  violeta  es  el  que  se  ha  separado  mas  de  la  dirección  atómico  se  denomina  difusión  de  RAYLEIGH  (en  honor  del  del  rayo  blanco  y  ahí  esta  precisamente  la  explicación  del  físico  inglés  Lord  Rayleigh  que  fue  el  primero  en  darle  color  del  cielo.   hay un espejo plano.  Aquí  nos  Sol hasta nuestros ojos. son los átomos.  longitud  de  onda  de  la  luz  incidente  (átomos  aislados  o  Con  su  calor.  primer  efecto  de  la  interacción  de  la  luz  con  las  partículas  mares. La luz es una onda electromagnética y las piezas  El  secreto  del  color  azul  del  cielo  esta  relacionado  con  la  fundamentales  de  la  materia  en  su  estado  más  frecuente  composición  de  la  luz  solar  ‐integrada  por  los  distintos  en la Tierra. las plantas y los cuerpos  pequeñas  del  aire  es  que  la  radiación  incidente  se  debilita  de los animales y del hombre). pues. (El  la  atmósfera.  mientras  el  Sol  aparece  de  color  otros  más  "raros"  (Espejismos.  casi  no  son  desviados.  amarillo  y  rojo.  tienen  un  tamaño  igual  o  inferior  al  de  la  Sol  es  quien  se  encarga  de  procurar  al  aire  su  humedad.  la  explicación  es  más  compleja.3º. Evidentemente esta energía  Para  explicar  el  color  azul  del  cielo.  sin polvo y sin humo en el aire.: 36. se denomina dispersión. O N D A S   E L E C T R O M A G N É T I C A S    y   Ó P T I C A G E O M É T R I C A. Un ejemplo familiar de la dispersión de la luz es la que forman las agrupaciones de moléculas de aire (debidos a fluctuaciones aleatorias de su densidad) que tienen a dispersar las longitudes de onda cortas. un haz de espejo luz NO polarizado que se dirige a un centro de dispersión consigue dispersarse en direcciones perpendiculares a la inicial con direcciones de vibración del campo eléctrico (en cada una de ellas) perpendiculares a la dirección de propagación del rayo.  Falsos  Soles  y  Falsas  Lunas  y  el  cielo  nos  parezca  azul.  que  Por un orificio penetra un rayo   cantidad  de  humedad. desde el suelo. De ahí que  solares  y  lunares.).7º)    Q2. limpia.  relativamente  pequeña.  los  Halos. Auroras Polares..  pues  los  rayos  amarillos  y  rojos  son  poco  Sagrada.  Una  (amarillos  y  rojos).. sino que nos llegan de todas las  como  son  el  Arco  Iris. Si las partículas existentes en  colores del arco iris‐ y con la humedad de la atmósfera.  El  proceso  completo  de  gama  de  colores:  violeta. pueden ser muy eficaces para eliminar los deslumbramientos. pues cualquier átomo o  dejamos pasar un rayo de sol por un prisma de vidrio. chocan  manifestaciones de color. y mínima para los de  inversamente  proporcional  a  la  cuarta  potencia  de  la  Página 119  .  verde.  azul. una danza  en  zigzag  en  el  seno  del  aire  antes  de  alcanzar  el  suelo  Cuando  se  dan  condiciones  atmosféricas  especiales.5. puede decirse que con ella.  entra por el agujero? suficiente  para  provocar  en  el  cielo  las  múltiples  una vez desviados. 1.  acaba  radiando  se  abre  en  un  abanico  de  colores  (se  dispersa)  por  toda  su  energía  en  forma  de  onda  electromagnética  al  refracción y como resultado de esta dispersión vemos una  entorno  en  cualquier  dirección. hechos de material polarizante. 33. (Sol. la onda cede parte de su energía a la  terrestre se evapore. Cuando.  los  Círculos  de  Ulloa.94º)  4.  la  Luz  amarillo. Q1. (Sol. El índice de refracción del vidrio es 1.  al ceder parte de su energía. como en forma de fina lluvia. El fenómeno de absorción y radiación de nuevo.   con  otras  partículas  de  aire  y  nuevamente  varían  su  trayectoria. y así sucesivamente: realizan.  las  Coronas  regiones del cielo.  el  Rayo  Verde. lagos y ríos. no parecen  pueden  aparecer  fenómenos  atmosféricos  cromáticos  venir directamente del Sol. llegan a nuestros ojos. al fin. de manera que un  la  humedad  se  dirige  hacia  el  cielo  desde  los  océanos. Fuegos de San Telmo.  casi por igual. ( El cielo del  nuestros  ojos  directamente  desde  el  disco  solar  y  no  planeta  Marte  es  otro  ejemplo  de  difusión  de  Mie.  los  más  suma  de  todos  los  colores‐  se  le  quita  el  color  azul.  sencillo: la partícula simplemente absorbe parte de la luz y  la otra parte la refleja.  los  mas  bellos  que  el  aire  puede  ofrecer  a  nuestros ojos.  cuando  el  espesor  de  gas  es  muy  grande. Encima del  que observado cuando la niebla se debe a polvo fino tiene  lugar en donde se ha puesto el Sol. visto a través de esta niebla de gotas grandes.  por  dos  razones  Si  el  horizonte  es  amplio. porque si a la luz blanca procedente del Sol ‐que es  afectada  y  difundida  y  solo  los  rayos  rojos.  El color del cielo. tanto peores  resulta  verde‐amarillenta. la luz amarilla ‐ que parte  de  1  ó  2°. polvo  Cuando el Sol se halla a una distancia angular del horizonte  o gotitas de agua muy pequeñas.  ya  que  la  que.  la  luz  violeta  es  la  más  difundida  y  la  cuando las nubes son muy gruesas. es la base de la utilización de los faros antiniebla.  el  resultado  es  la  Página 120  .  que están fuera de la atmósfera).  Poco  a  poco.  se  embargo.  Si  la  niebla  es  "húmeda".  la  luz  solar  alcanzaría  todas las direcciones pero sin alterar su color.  Mientras  la  luz  que  aparece  en  los  alrededores  puedan presentar.  color rojo del sol poniente. todos los colores de la luz blanca. esparcen la luz en  Si  la  tierra  no  tuviera  atmósfera.  purpúreo.  se  observa  en  el  oeste  del  cielo  un  resplandor  El mismo Sol.  y  desaparece  cuando  ya  el  Sol  ha  mecanismo  de  Rayleigh. es más sensible a la luz azul que a la violeta.  mas  Independientemente  de  todas  las  posibilidades  que  se  saturado.  de  manera  que  resulta  amarillo  se  transforma  en  una  luz  rojo‐anaranjada.  como  originan también gracias a la intervención de las moléculas  sucede en la atmósfera. debido a la presencia de humo.  la  luz  del  amanecer  y  del  reflejada  si  la  partícula  está  formada  por  sustancias  atardecer  es  especialmente  roja.  azul que violeta y porque el ojo humano (que en definitiva  es  el  que  capta  las  imágenes  ‐aunque  el  cerebro  las  interprete‐). Cuando ya el astro diurno ha desaparecido bajo el  dispersan.  El hecho de que la difusión sea mayor para las ondas más  cortas. El resultado neto es que parte de la luz que  menos gris.  espectáculos.  como  por  la  noche  (los  astronautas  pueden  observar  por  eso  no  es  azul.  vemos  cómo  el  colorido  del  cielo  se  vuelve  más  intenso.  se  direccionales.   Si la niebla es "seca".  mejores  faros  contra  ella  fracasan  casi  del  todo. Esta  coloración se debe en esencia a la refracción de la luz solar  en las partículas que enturbian el aire situado entre los 10 y  Si la luz interactúa con una partícula grande.   difusión de Mie.  además.  semicírculo cuyo color varia entre el púrpura y el rosa. Esta es la causa de que en los días muy nublados.  mientras  ha descendido unos 5° por debajo del horizonte. la luna y los planetas debido a  permite la difusión de Rayleigh).   suspensión  "el  aerosol  atmosférico".  parte  de  la  luz  se  esparce  y.  longitud de onda.   La  difusión  producida  por  los  gases  es  muy  débil. como ocurre a menudo al ponerse  por  una  estrecha  franja  rojo‐parda.  si  las  partículas  difusoras  no  son  coloreadas.   nos  llega  desde  el  Sol  en  línea  recta. Cada partícula se comporta como un  espejo  pequeñito  que  reflejará  más  o  menos  luz  según  su  Cuando  existe  una  cantidad  anormalmente  elevada  de  composición  química  y  que  alterará  el  color  de  la  luz  aerosoles  (polvo  atmosférico).  algunas  veces. puede afirmarse que.  que  dispersan  y  desdoblan la luz solar de múltiples modos. O N D A S   E L E C T R O M A G N É T I C A S    y   Ó P T I C A   G E O M É T R I C A.  al  alcanzar  la  atmósfera  se  difunde  en  todas  direcciones  y  llena  todo  el  Las salidas y puestas de sol nos brindan a diario hermosos  cielo.  Al atardecer.  porque  el  tamaño  de  las  partículas  no  durante el día las  estrellas. donde las gotas de agua incoloras.  llega  a  presentar  el  rojo  color  de  la  niebla  húmeda  esta  formada  por  gotas  grandes  que  sangre.  Este  proceso  se  conoce  como  mayor a altas presiones.  Ya  antes  de  que  el  Sol  se  hunda  en  el  horizonte.  los  finalmente. La difusión será mayor por tanto. la roja.  en  una  luminosidad  centelleante  color  fuego.  y.  los  rebotes  sucesivos  en  unas  partículas y otras hacen crecer la probabilidad de que la luz  El color azul del cielo se debe por tanto a la mayor difusión  acabe  chocando  con  una  partícula  absorbente  y  de las ondas cortas.  pero  no  lo  es.  suele  verse  un  el astro.   intenso en el cenit.  el  resplandor  la  interposición  de  esta  niebla.  recibiríamos  luz  difundida  y  el  cielo  aparecería  tan  negro  provocado  por  partículas  coloreadas  de  tamaño  grande.  siguen  un  camino  casi  rectilíneo.  misma  conclusión. El color del sol  es amarillo‐rojizo  y no  desaparezca. cuanto mayor sea  del disco solar vira hacia el amarillo‐rojizo y en el horizonte  el numero de partículas que enturbian el aire. fácilmente se puede observar la luz  existentes  en  el  aire  y  de  las  partículas  que  éste  tiene  en  difundida. no funciona el  los  20  km.  Tema 4.  Sucede  generalmente  coloreadas.  ya que la concentración de partículas de polvo en el aire es  puede  cambiar  de  color. el camino que la luz solar recorre dentro de la  atmósfera  es  mas  largo. separado del horizonte  el aspecto de disco rojo.  de  manera  que  incluso  la  parte  amarilla  es  blanco. y a veces casi negro. que alcanza su máxima intensidad cuando el Sol  aparece  desdibujado  y  de  color  blanco  lechoso.  Si  la  luz  se  encuentra  con  una  distribución  de  cuando existen presiones atmosféricas elevadas (anticiclón)  partículas  grandes.  la  luz  crepuscular  derrama  sobre  el  borde  del  de los faros antiniebla‐ apenas pierde intensidad a causa de  cielo  su  mágica  luminosidad.  De  ahí  el  obtiene una luz de color amarillo‐roja.  el  azul  del  cielo  se  vuelve  más  serán las condiciones de visibilidad a través de dicho aire.  visible  a  través  de  ella. el cielo aparezca mas o  menos.  sin  Los  colores  que  nos  ofrece  el  cielo  en  estos  casos. llegamos a la  oscuros.  los  efectos  se  multiplican  y  el  fundamentalmente:  porque  la  luz  solar  contiene  más  luz  espectáculo es todo un poema.  Cuando  la  difusión  de  Mie  actúa  de  forma  masiva.  ocurre  un  proceso  mucho  más  llegado a los 7 ° por debajo del horizonte. y el ejemplo más sencillo lo tenemos en las  nubes. debería ser violeta por ser ésta la longitud  de  onda  más  corta. para las  atenuación  de  la  luz  blanca  hacia  grises  cada  vez  más  ondas más cortas: Como consecuencia de ello.  de  altura.  horizonte.  se  ello.  apenas disminuye la intensidad de iluminación con la distancia.   Cuando  el  haz  de  rayos  sale  de  la  gota  en  forma  de  haz  paralelo.  recibiremos  una  cantidad  considerable  de  luz  refractada  y  reflejada.‐. apenas llega luz y por  que continuaban aun meses después del cataclismo.  se  observaron  asombrosas  coloraciones  durante  las  especiales  debido  a  la  contribución  de  los  volcanes  en  salidas  y  puestas  de  sol  y  se  vieron  soles  de  todos  los  actividad. por ejemplo.  El fenómeno no es tan sencillo como se ha supuesto.  es  por  lo  que  el  Sol  se  ve  más  kilómetros de distancia. el color negro de la noche.  el  camino  que  la  luz  solar  iniciales de 600 a 1000 m/s.  La  erupción  lanzó  a  los  aires  un  volumen  de  masas  produce  un  gran  incendio  forestal  y  los  vientos  del  Oeste  rocosas  de  la  pequeña  Isla  de  Krakatoa  (situada  en  el  arrastran  hasta  nuestro  Continente  partículas  de  ceniza  Estrecho de la Sonda.  como se indica en A. porque la luz blanca no solamente se refracta al entrar y salir de la gota. El cielo permaneció oscuro durante  achatado y ancho pues el efecto de refracción a través de la  varios  días.  fueron  arrastradas  por  las  corrientes  atmosféricas  elevadas  y  dieron  la  vuelta  a  la  Tierra  por  dos  veces.  es  el  que  se  desvía  menos  de  su  primitiva  dirección  después  de  experimentar  las  dos  refracciones  y  la  reflexión. Tomando la posición del  ojo del observador E como vértice (siguiente figura). De modo que mientras el ángulo que forma el haz de rayos  rojos que emerge con el haz incidente es de unos 42°. como hemos  se  dejó  oír  en  Rodríguez  (Isla  de  Madagascar)  a  4774  indicado  anteriormente. y exteriormente a este cono se encuentra el de los  rayos rojizos.  Un  rayo  de  luz  solar  S1M1  que  puede  considerarse como un pequeño haz de luz paralela. Tema 4 En  casos  excepcionales  pueden  aparecer  coloraciones  otros.  Cuando  se  produjo  la  erupción  del  volcán  colores. y todas las gotas. En la figura solamente se han trazado los caminos de  algunos  rayos. si miramos  esta  gota  desde  distancia  en  la  dirección  P2N2.    Otro FENÓMENO FÍSICO ESPECTACULAR: EL ARCO IRIS Supongamos que el circulo de la primera figura represente una sección  de  una  gota  de  agua  esférica. y esta  disminución es debida a la absorción del medio.etc. O N D A S   E L E C T R O M A G N É T I C A S    y Ó P T I C A G E O M É T R I C A. y como eje la dirección SES’ de los rayos solares. entre  tanto no se puede dar suficiente difusión. Por tanto. entre Sumatra y Java) que se estima  finísimas.  para  evitar  confusión. P1.  entre  ellos  rojo‐cobre  y  verde.  según  R1N1  y  al  llegar  a  N1  parte  de  esta  luz  deja  la  gota  y  sigue  la  dirección N1P1. ‐36000 muertos por la  soles de color azul. figura 359.  Se  Por último.  recibiremos muy poca luz si miramos la gota en cualquier otra dirección. podemos describir un cono  cuyas generatrices formen con el eje un ángulo de 42º. sino  que al mismo tiempo se dispersa. que abarca un ángulo de 42°     Página 121  . como pueden asimismo verse en  raras  erupción‐) se presenció en la Tierra un notable ejemplo de  ocasiones en Europa. Trozos de roca del tamaño de una cabeza  humana  salieron  despedidos  hacia  lo  alto  con  velocidades  Debido  a  que  al  atardecer. el que forma el haz violeta es de unos 40°.  y  en  cambio  los  que  inciden  en  cualquier otro punto M3 salen de la gota divergentes.  cuyo radio forma un ángulo de 59° con la dirección de la luz incidente. al llegar a la gota  se desvía y sigue la dirección M1R1 reflejándose en R1 parte de la luz. cuando en el Canadá.  pero  si  se  trazaran  infinidad  de  rayos paralelos a S1MI1se vería que el rayo que incide en el punto M2.  También  se  ve  en  la  figura  que  los  rayos  que  inciden  alrededor  del  punto  M2  forman  al  dejar  la  gota  un  haz  paralelo  N2P2.   Si se traza XX' paralelamente a la luz incidente. es debido a que a la  produjeron  en  el  aire  fantásticos  fenómenos  cromáticos  atmósfera que rodea al observador. el ángulo N2P2X es de 138º y el ángulo N2P2X’ es de 42º.  Las  partículas  mas  finas  de  ceniza  volcánica  atmósfera es muy grande.  También  se  vieron  Krakatoa (26 y 27 de agosto de 1883.  en  cambio.  3 en unos 18 km . P2.   De suerte que las gotas situadas en un cono de ángulo de 40° se ven violeta. situadas sobre la superficie de ese cono  estarán puestas de modo que el haz de rayos paralelos que experimenta la desviación mínima puede entrar en el ojo y verse como  puntos luminosos brillantes.   expulsadas por el volcán se esparcieron hasta los 80 km de  altura. y el estruendo de la explosión  recorre dentro de la atmósfera es mas largo. P3…. El premio Nobel de 1965 R. v1 C Acudimos en su ayuda.  llamado  arco  secundario. distancia que invierte el menor tiempo posible.  llamando  a  esta  banda  formada  de  colores. Podemos correr y nadar sin problemas. esto es la refracción de un movimiento ondulatorio cuando cambia de medio de propagación”.5. Ahora.  Además  del  arco  estudiado  antes. el arco iris. se conoce como óptica geométrica. Es preferible recorrer un mayor camino para tardar el menor tiempo posible ya que éste es la magnitud que realmente interesa para salvar a la persona. 5.   4. estando el rojo en la parte  externa. Tema 4 Entre  estos  dos  conos  se  ve  una  serie  de  arcos  con  los colores del. O N D A S   E L E C T R O M A G N É T I C A S    y Ó P T I C A G E O M É T R I C A. elige siempre el que requiere un tiempo más corto”. ÓPTICA GEOMÉTRICA. el camino es el ACB. Feynman ofreció una explicación muy A didáctica de este principio: “Imagina que estamos en la orilla de un río.  Cuando en 1657 P. ya que nos movemos más lentamente por el agua que por la tierra.  y  que  se  llama  primario. Esta frase es lo que constituye el llamado principio de Fermat (o del tiempo mínimo). Página 122  .    La  explicaci6n  elemental  que  se  ha  dado  aquí  es  incompleta y no da cuenta de una serie de bandas coloreadas que aparecen cerca del borde interno del arco primario y cerca del  borde externo del arco secundario. si usáramos un poco más la inteligencia nos daríamos cuenta que v2 es ventajoso seguir una distancia mayor por tierra para disminuir la B distancia por el agua.  como  se  representa  en  B  siendo  los  ángulos  de  desviaci6n mínima de 54° en el violeta y de 51º en el  rojo.  y  sucediéndose  hacia  dentro  en  el  orden  del  espectro. Feynman. en el punto A. v2 < v1 ¿Qué hacemos? ¿vamos en línea recta? (¡Sin duda!) Sin embargo. Principio de FERMAT e interpretación de R. Fermat estudiaba la reflexión y la refracción de la luz a través de medios transparentes le atribuyó a ésta un comportamiento “intencionado”: “De todos los caminos posibles que la luz puede tomar para ir de un punto a otro. espectro. El estudio de estos casos.  Se  forma  por  dos  reflexiones  internas  sobre  la  superficie  de  la  gota. en tierra.  De  modo  que  en  este  segundo  arco  queda  el  violeta en la parte de fuera. pues bien.  se  ve  a  veces  otro  exterior  al  primero. y en el punto B dentro del agua a cierta distancia de la orilla hay una persona ahogándose. ESPEJOS y LENTES La longitud de onda de la luz suele ser muy pequeña en comparación con el tamaño de los obstáculos o aberturas que se encuentran a su paso y pueden despreciarse en general los efectos de la difracción. en los que es válida la aproximación de los rayos y en los que se propaga la luz en línea recta. En el dibujo. aplicaremos las leyes de la reflexión y refracción deducidas en el tema anterior para estudiar la formación de imágenes por espejos y lentes. El punto P’ está en la línea que pasa por el objeto (P) y P' es perpendicular al plano del espejo.2. La imagen podrá verse siempre que el ojo esté en algún lugar de la región indicada en el dibujo. Espejos esféricos. debido a que se refleja menos intensidad luminosa. Estos rayos se denominan rayos fotográfica  del  modo  descrito  anteriormente  para el caso de un espejo plano?  paraxiales. a una distancia detrás de dicho plano igual a la distancia a que el objeto está del mismo.  5. Espejos Planos. los rayos divergen exactamente como si procediesen de un punto P’ detrás del espejo. no pueden diferenciarse de espejo plano los rayos que procederían de una fuente situada en P’ (como si no hubiera espejo alguno). la imagen aparece borrosa. se cumple que.  ¿Quedaría  impresionada  una  película  pasando por el punto imagen. Para este tipo de espejos (que supondremos de radio r) puede demostrarse que si el punto P está a una distancia s del punto O. se reduce su brillo. P P' Este dibujo muestra un haz de rayos que procede de un punto A O situado en el eje de un espejo esférico cóncavo y que después de reflejarse en el mismo convergen en el punto P’. Aunque entonces la imagen es más nítida. sino que sólo lo parece. Q3. Puede verse por un ojo que mire hacia el espejo y situado a la izquierda de la imagen o incluso una película fotográfica situada en ese punto P’ quedaría impresionada. y que la imagen P’ se forma a una distancia s’ respecto de ese mismo punto. La imagen puede conseguirse más nítida reduciendo el tamaño del espejo de forma que no incidan en él los rayos paraxiales. pueda verse entera al  reflejarse en él? (El espejo está a la altura de la cabeza)  5. ¿Qué longitud deberá tener un espejo plano para que una persona que se sitúe de pié frente a él. La imagen se denomina virtual debido a que luz no procede realmente de la imagen.1. efecto denominado aberración esférica. Los rayos entonces divergen desde este punto como si hubiese un objeto en el mismo. para los rayos paraxiales P' P 1 1 2 A s' O + = s s' r s Cuando la distancia del objeto es mucho mayor que el radio de curvatura del espejo.  Tema 4. El punto P’ se denomina imagen del punto P. debido a que la luz realmente emana del punto imagen. Debido a que otros rayos convergen en otros sitios cercanos a P’. En la figura se ve que el objeto no necesita estar directamente delante del espejo: una imagen pude verse siempre que el objeto esté por encima del plano del espejo. O N D A S   E L E C T R O M A G N É T I C A S    y   Ó P T I C A   G E O M É T R I C A. Esta imagen se denomina real. P En la figura aparece un haz de rayos luminosos que proceden de un punto P y se refleja en un espejo plano. 1 f = r 2 Página 123  . Esta distancia se denomina distancia focal f del espejo y el punto imagen se denomina punto focal o simplemente foco F. dando como resultado que la distancia de la imagen es s’ = ½ r. Después de la reflexión. el término 1/s de la anterior ecuación puede despreciarse. También en el dibujo se aprecia que sólo los rayos que inciden en el espejo en los puntos próximos al eje AO se reflejan Q4. Cuando estos rayos entran en el ojo. ecuaciones de óptica geométrica atender y respetar un CRITERIO DE SIGNOS convencional. P P' Para construir las imágenes que un espejo como los anteriormente vistos forma.3  Formación  de  imágenes  en  espejos  esféricos. los rayos reflejados desde el espejo NO convergen sino que parecen diverger de un punto detrás del espejo. Este mismo criterio se usará también en los dioptrios y lentes. tal vez el más lógico sea el que considera el vértice del espejo como el punto (0. De este modo. menos el cociente de distancias s’ y s. la imagen es virtual y derecha (como se ve en la figura). que pasa por el centro de curvatura del espejo. Aunque hay varios. La amplificación o el aumento del y' sistema óptico (espejo esférico en este caso) se define como el cociente del tamaño de la imagen al tamaño del objeto. lo mismo que lo que quede por debajo del eje óptico. a) Un rayo procedente del extremo superior de la flecha. En tal caso. que sea paralelo al eje AO se refleja pasando por el punto focal a una distancia r/2 del espejo. o lo que es lo mismo. tal y como se observa en la figura s' y y' y' s' tagα = =− ⇒m= =− s s' y s Un caso especial es cuando la imagen “inicial” está situada entre el espejo y su punto focal. a la hora de aplicar esta –y otras. la primera ecuación podrá escribirse como: 1 1 1 + = s s' f Es muy importante. Este punto podría comprobarse mediante un tercer rayo que pasara por el punto focal. A C f O Página 124  . s La intersección de los DOS rayos anteriores da como resultado la posición del punto imagen del extremo superior del objeto. el cual se refleja hacia atrás paralelamente el eje. Normalmente esta serie de rayos son los que se muestran en la figura siguiente. En efecto. en donde se ha ejemplificado con una flecha el objeto a reflejar. b) Otro rayo. 5. incide sobre éste perpendicularmente a su superficie y se refleja de nuevo a lo largo de la su trayectoria original. y α Puede observarse que la imagen está invertida y que no es del α mismo tamaño que el original. Tema 4 Con esto. “todo” lo situado a la izquierda de ese vértice será negativo. es conveniente elegir una A O serie “representativa” de rayos luminosos que nos permitan formar la imagen en P’. O N D A S   E L E C T R O M A G N É T I C A S    y Ó P T I C A G E O M É T R I C A.  Construcción geométrica.0) de un sistema de ejes coordenados. En tal caso. tal y como se recoge en el otro dibujo. Una imagen es virtual cuando se forma por intersección de las PROLONGACIONES de los rayos. Lentes. DIOPTRIOS. también pueden considerarse dióptrios. Responder a las mismas cuestiones para el  caso de un espejo convexo. también en este caso los rayos paraxiales convergen en un punto único. isótropos y homogéneos. separados por una superficie. Por tanto. No se pueden recoger en una pantalla. s s' P' P n2 n1 El dibujo anterior muestra la formación de una imagen por refracción en una superficie esférica (de radio r) que separa dos medios con índices de refracción n1 y n2.  ¿En  qué  condiciones  producirá  un  espejo  cóncavo  una  imagen  derecha? ¿Una imagen virtual? ¿Una imagen menor que el objeto? ¿Una  imagen mayor que el objeto?. Las imágenes que proporcionan los dioptrios pueden ser REALES o VIRTUALES.  Recibe el nombre de DIÓPTRIO un conjunto formado por DOS medios transparentes. Tema 4 Lógicamente. afecta a TODAS las distancias (incluido radio de curvatura del espejo. nos fijaremos en uno de esos rayos tal que el ángulo que forma con el eje óptico sea muy pequeño. f C Q5. Según sea esa superficie. Localizar la imagen y hallar su altura. Decimos que una imagen es real cuando se forma por intersección de los rayos tras cruzar (o emerger) del sistema óptico. Un objeto de 2 cm de alto está a 10 cm de un espejo convexo cuyo  radio de curvatura es 10 cm. Como se ve. los dióptrios se clasifican en planos o esféricos. la magnificación de la imagen puede resultar negativa o positiva. los mismos espejos anteriormente vistos.3. puede admitirse que si α → 0 ⇒ sen α ≈ tag α ≈ α y que por tanto pueden escribirse las siguientes expresiones: n1 ·sen i = n2 ·sen r ⇒ n1 · i = n2 · r Página 125  . Imágenes formadas por refracción. De hecho. En estas condiciones. hay que tener presente que el criterio de signos anterior. Utilizando la ley de Snell puede deducirse que la ecuación que relaciona las variables señaladas. O N D A S   E L E C T R O M A G N É T I C A S    y Ó P T I C A G E O M É T R I C A.    Q6. Pueden recogerse sobre una pantalla.  5. Para ello. por la geometría del diseño β = 180 − (α + θ ) 180 = i + β ⇒ i =α +θ w n1 i n2 π = 180 − ( r + α ' ) β r 180 = π + θ ⇒ r = θ − α ' h α' α O θ π P' con lo que nos queda P C s n1 ·(α + θ ) = n2 ·(θ − α ' ) s' y dado que h α ≈ tagα = s h α ' ≈ tagα ' = s' h θ ≈ tagθ = R podemos escribir que ⎛h h⎞ ⎛h h⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎛1 1⎞ n1 ·⎜ + ⎟ = n2 ·⎜ − ⎟ ⇒ n1 ·⎜ + ⎟ = n2 ⎜ − ⎟ ⎝ s R⎠ ⎝ R s' ⎠ ⎝s R⎠ ⎝ R s' ⎠ pero dado que s < 0 nos quedará n1 n1 n2 n2 n n n n − = − ⇒− 1 + 2 = 2 − 1 R s R s' s s' R R esto es n1 n2 n1 − n2 − = s s' R que es la ecuación general del dioptrio esférico. Q7. Por tanto: n1 n1 n2 n1 − n2 n n − n2 n1 F − = ⇒ 1 = 1 ⇒ f =− R f ∞ R f R n2 − n1 esto es. la cual posee  un índice de refracción n = 4/3.  Tema 4. De este modo. Determinar la profundidad aparente de un pez que está en reposo a 1 m por debajo de la superficie del agua. si R > 0 y n2 > n1 ⇒ f < 0 (está a la izqda.  y por otro lado. repitiendo el mismo esquema anterior.: ‐75 cm)  • FOCOS OBJETO e IMAGEN. del vértice) Casi del mismo modo se define el FOCO IMAGEN. del vértice) f R > 0 y n2 < n1 ⇒ f > 0 (está a la dcha.  Son dos puntos importantes en el dioptrio. nos encontramos que: n1 n n − n2 n2 − 2 = 1 ⇒ f'= R −∞ f' R n2 − n1 Página 126  . (Sol. y por tanto la imagen se n2 forma en el infinito. Se denomina FOCO OBJETO al punto del eje óptico tal que los rayos que parten de él (/o cuyas prolongaciones pasan por él) se refractan paralelamente al eje. como el punto del eje óptico tal que los rayos refractados de un objeto en s = infinito pasan por él. O N D A S   E L E C T R O M A G N É T I C A S    y   Ó P T I C A   G E O M É T R I C A. Otro modo de trabajar con esta ecuación es usando los parámetros especificados en el esquema.  Para hacer una representación del modo en cómo se forman las imágenes. • Un rayo que pasando por el foco objeto.  y del mismo modo: R > 0 y n2 > n1 ⇒ f’ > 0 (está a la dcha. los focos imagen y objeto están uno a cada lado. tal y como se ve en la figura. nos queda que f·f’ = x·x’ que es la ecuación de Newton para el dioptrio. al final. y de esta forma. del vértice) R > 0 y n2 < n1 ⇒ f’ < 0 (está a la izqda. n1 n2 F' F C Página 127  . incide sobre la superficie del dióptrio y se refracta paralelamente al eje óptico. La intersección de estos 3 rayos (que parten de cada punto de la “figura” original) forman los puntos imágenes. tendremos: f n =− 1 f' n2 es decir. En principio. que tras refractarse y pasar al segundo medio. pero a diferencia de ellos. del vértice.  Tema 4. son suficientes 3 rayos: • Un rayo paralelo al eje óptico. ahora la imagen que se forma obedece a la refracción. O N D A S   E L E C T R O M A G N É T I C A S    y   Ó P T I C A   G E O M É T R I C A. n1 n2 escribir: x f f' x' P F' P' s=x+f ⇒ f=s–x F s’= x’ + f’ ⇒ f’ = s’ – x’ s' s que sustituyendo en la anterior ecuación. esto es: R R n1 n2 n1 − n2 n1 − n2 f f' − =1 ⇒ + =1 s s' s s' que es la conocida como “Ecuación de Gauss” del dióptrio. • Un rayo que se dirige directamente. Otra forma útil de expresar la ecuación general del dioptrio es dividir por su segundo término(n1-n2)/R. que resulta una imagen REAL e INVERTIDA. • OBTENCIÓN DE IMÁGENES POR DIOPTRIOS. al centro del dioptrio. se sigue un procedimiento gráfico como el de los espejos. pasa por el foco imagen. en cuyo caso. los rayos paralelos divergen y las prolongaciones pasan por F’) Si dividimos las dos expresiones de distancias focales objeto e imagen. y que por tanto. y no a la reflexión. no sufre refracción. queda f f' + =1 x + f x'+ f ' desarrollando y agrupando. pero ahora. las lentes pueden clasificarse en CONVEXAS. pueden ver variado su tamaño respecto del original.  Como ha debido quedar claro tras las últimas representaciones gráficas. el espesor suele ser pequeño. Por ello. Tema 4 SE PROPONE REALIZAR UN ESQUEMA SIMILAR A ESTE PARA EL CASO EN QUE EL ORIGINAL SE ENCUENTRE SITUADO ENTRE EL FOCO y EL VÉRTICE DEL DIÓPTRIO. también. se puede analizar considerando que la imagen que forma el primer dioptrio sirve de objeto para el segundo. Consideremos la figura: y' n1 n2 mL = y y i y tag i = r y' −s − y' tag r = s' y por la ley de Snell. las imágenes que proporcionan los dioptrios.  Llamaremos “lente” a un sistema óptico formado por 2 dioptrios del que al menos uno suele ser esférico. podemos poner que: y y ' n1 ·s ' sen i n2 tag i = ≈ ⇒ n2 = s = y · s' esto es mL = = sen r n1 tag r n1 y' y' · s y n 2 ·s s' • LENTES DELGADAS. el hecho de que la imagen se forme por refracción hace que esta expresión sea distinta.  El proceso total de formación de las imágenes. En estas condiciones. • Aumento lateral del dioptrio. O N D A S   E L E C T R O M A G N É T I C A S    y Ó P T I C A G E O M É T R I C A. PLANO CONVEXAS y de MENISCO CONVERGENTE. ha de definirse. el parámetro de “aumento lateral” del que ya hablamos para los espejos. ECUACIÓN DE LAS LENTES. y en una primera clasificación “geométrica”. CONVERGENTES. Normalmente. y aplicar la ecuación general del dioptrio anteriormente deducida. tendremos: R1 > 0 R2 < 0 n1 n2 n1 − n2 ⎫ − = s s'1 R1 ⎪⎪ n1 n1 ⎡1 1⎤ ⎬(+) ⇒ − = (n1 − n2 )·⎢ − ⎥ n2 n1 n2 − n1 ⎪ s s' ⎣ R1 R2 ⎦ − = s '1 s ' R2 ⎪⎭ n1 n1 y si n1 = 1 (aire) tendremos que 1 1 ⎡1 1⎤ − = (1 − n)·⎢ − ⎥ P C2 s' C1 P'1 s s' ⎣ R1 R2 ⎦ s n2 s'1 Página 128  . bastará hacer s' = infinito en la ecuación general de la lente. Tema 4.  La figura muestra una lente BICONVEXA. si un haz de rayos paralelos incide sobre una lente convergente desde “la derecha”. también cabe hablar de estos puntos ópticos significativos. y negativo para las lentes divergentes. que f = -f'. De este modo.1. Los dos puntos a la izquierda y derecha de cualquier lente delgada a una distancia f de la misma son el primer y segundo punto focal de la lente. habitualmente designados por F y F’. O N D A S   E L E C T R O M A G N É T I C A S    y Ó P T I C A G E O M É T R I C A. En este caso. Al hilo de las definiciones anteriores. su posición se halla haciendo s = infinito. Página 129  . pero r2 es negativo debido a que el centro de curvatura de la segunda superficie r2 P' está en la parte izquierda. r1 es positivo ya P r1 que el centro de curvatura está a la derecha de C2 C1 la superficie. De modo. ambas superficies tienden a desviar los rayos luminosos hacia el eje de la lente y entonces se la denomina LENTE CONVERGENTE. Se tendrá. para las lentes. Por otro lado. y tendremos finalmente: 1 ⎡1 1⎤ = (1 − n)·⎢ − ⎥ f ⎣ R1 R2 ⎦ Esto es. usaremos el concepto de POTENCIA DE UNA LENTE (C). el AUMENTO LATERAL será el producto de los aumentos que proporciona cada dioptrio: y1 ' n1 s '1 mL1 = − = y n2 s y ' n2 s ' mL 2 = − = y '1 n1 s '1 n1 s '1 n2 s ' s ' mL = mL1 ·mL 2 = · = n2 s n1 s '1 s 5.  Igual que se hizo anteriormente. Según el criterio de signos utilizado. como la inversa de la distancia focal imagen.  • FOCOS y DISTANCIAS FOCALES. y su deducción puede hacerse en base a la ecuación anteriormente deducida. Estudio de las imágenes formadas por las lentes.3. si esa distancia focal imagen se mide en metros. que su unidad es la DIOPTRIA. se verá enfocado en un punto a la izquierda situada a una distancia f de la lente. Igualmente. la potencia de una lente convergente. se nos transforma: x·x' = -f2 = -f'2 y según esto: 1 1 1 1 − = =− s s' f f' que será la que llamaremos ecuación general de las lentes delgadas. Como cabría suponer. Foco Imagen. Con el mismo significado que el caso general del dioptrio. por lo que si llevamos este hecho a la ecuación de Newton del dióptrio. será un número positivo. entonces: 1 1 ⎡1 1⎤ 1 ⎡1 1⎤ − = − = (1 − n)·⎢ − ⎥ ⇒ = (n − 1)·⎢ − ⎥ s' f' ⎣ R1 R2 ⎦ f' ⎣ R1 R2 ⎦ Foco Objeto.   correspondiente a la segunda lente. es conveniente localizar la imagen mediante métodos gráficos. • Un rayo que pasando por el centro de la lente (vértice) no se desvía. que se desvía hacia el punto focal a la derecha de la lente. no resulta necesario) s Este mismo esquema de rayos puede aplicarse a diferentes y F' situaciones (o para lentes divergentes). averiguando cuál es la distancia imagen primera y utilizándola luego (junto con la distancia entre Una LENTE CONVERGENTE  tiene una distancia focal imagen  las lentes) para hallar la distancia del objeto positiva. • Un rayo que pasa por el primer punto focal de la lente y emerge paralelo al eje.  Igual que con los espejos. O N D A S   E L E C T R O M A G N É T I C A S    y Ó P T I C A G E O M É T R I C A. podremos hallar la imagen final formada producida por el conjunto. En la figura se representa uno de ellos. P r1 C2 Ambas superficies tienden a hacer diverger los rayos luminosos alejándolos del eje de la lente. a veces. (Este tercero.  como el punto objeto para la siguiente lente. Igual que allí. Diagrama de rayos para las lentes. y por tanto. dando diferentes y' resultados. se la suele denominar “lente positiva”. LenteConvergente LenteDivergente • Un rayo paralelo al eje. Es decir. elegiremos convenientemente los rayos (ver figura). tal y como se ha hecho anteriormente.   Una LENTE DIVERGENTE tiene una distancia focal imagen  consideraremos cada imagen (llegue a formarse o no) negativa y puede denominarse “lente negativa”. C1 P' r2 Si tenemos dos o más lentes delgadas. Tema 4 El siguiente estudio corresponde a una lente BICÓNCAVA. F s' y y' F Página 130  . Aunque para tareas distintas a las anteriores. En el otro extremo se sitúa el ocular. O N D A S   E L E C T R O M A G N É T I C A S    y Ó P T I C A G E O M É T R I C A. ALGO SOBRE INSTRUMENTOS ÓPTICOS * Lupa. obteniéndose una imagen final muy aumentada. al que merece que le dediquemos unos párrafos: se trata del ojo. Los telescopios de espejos (denominados reflectores) en su modelo más simple (modelo Newtoniano) consta de un espejo cóncavo situado en la base de un cilindro. Página 131  . Se emplea para ampliar la imagen de pequeños objetos colocados dentro de la distancia focal. (ocular) en donde hay situado una lente (o conjunto de ellas). existe una lente convergente (en su modelo más simple) de más o menos diámetro en un extremo del tubo del telescopio. * Telescopio. coincidiendo en distancia con la focal de la lente principal. En los telescopios refractores. existe un instrumento óptico fundamental. Es simplemente una lente convergente de pequeña distancia focal (entre 5 y 10 cm). como de espejos. e incluso. La imagen formada por esta lente cae dentro de la distancia focal de otra segunda lente (llamada ocular). De todos modos. Una (llamada objeto) se sitúa muy próxima al objeto (de ahí su nombre) que deseamos observar. cerca de la que se sitúa el ojo. existen telescopios tanto de lentes. en contra de otros modelos (Cassegrain) en donde la visión se realiza sobre el mismo eje del espejo mediante un sistema de espejos añadidos. * Microscopio. combinación de ambos. Para aumentos mayores a los que permite la lupa se recurre al microscopio. En este tipo de telescopios. Consta de dos lentes convergentes. La imagen real dada por la primera lente actúa como objeto de la segunda. en donde se sitúa un espejo plano (espejo secundario) que dirige los rayos hacia el lateral del tubo. Los rayos paralelos que penetran por el tubo convergen tienden a converger en el foco del espejo. Tema 4 6. se observa por uno de los laterales.   B) ¿Cuáles serán los valores de la frecuencia y de la longitud de onda correspondientes a cada una  de estas radiaciones en el vidrio.07 0 n vidrio.299 ⇒ θ r = arcsen 0.299 = 17.   A) ¿Qué ángulo formarán entre sí en el interior del vidrio los rayos rojo y azul componentes de la  luz  blanca.  respectivamente.410 = 0.410 n vidrio.1 nm?        a) Aplicando la ley de Snell: 1 sen θi = n vidrio rojo sen θr sen 30 0 0.660 Página 132  . Tema 4 PROBLEMAS RESULETOS y PARA RESOLVER 1.31 ⇒ θ r = arcsen 0. respectivamente..5 ⇒ sen θ r = = = 0.5 ⇒ sen θ r = = = 0.612  y  nazul = 1. si las longitudes de onda en el vacío son.671 Δθ = 18..  si  los  valores  de  los  índices  de  refracción  del  vidrio  para  estos  colores  son.660 Δθ = 0..3 nm y λ azul = 486.rojo 1. nrojo = 1.azul 1. O N D A S   E L E C T R O M A G N É T I C A S y Ó P T I C A G E O M É T R I C A.671.070 – 17.612 1 sen θi = n vidrio azul sen θr sen 30 0 0. λ  rojo= 656. Un rayo de luz blanca incide desde el aire sobre una lámina de vidrio con un ángulo de incidencia de 30º.31 = 18. 10 14 Hz c = λ 0 rojo .rojo 1.    Por la Ley de Snell ) 1.10 − 7 m 2.1.azul λ vidrio.rojo = λ vidrio.f azul λ 0azul λ 0azul 486.rojo λ vidrio. Página 133  .3.98 α = 127.10 −9 n vidrio.980 b) La reflexión total se presenta a partir de un ángulo de incidencia llamado límite para el cual el ángulo refractado tiene un valor de 90º.5.  Tema 4.sen 300 = 4/3 sen r ) sen 30 0 0.rojo = 4. O N D A S   E L E C T R O M A G N É T I C A S    y   Ó P T I C A   G E O M É T R I C A.57. Esto sólo puede suceder cuando el rayo pasa de un medio más refringente a otro menos .azul f azul c Dividiendo.  Dato: índice de refracción del agua = 4/3.1014 Hz λ 0 rojo 656.azul .rojo = = = ⇒ λ vidrio.3 ) sen r = = = 0.10 − 7 m v vidrio.azul 1. el primer medio es el agua y el segundo el aire. La frecuencia es la misma en el aire que en el vidrio c 3.375 = 22.07.azul = λ vidrio.07.azul = = = 2.3.azu l = 2.10 −7 m c = λ 0.rojo n vidrio.10 14 Hz c 3. en éste caso el rayo pasa del agua al aire.17.02 =127.10 8 c = λ 0azul f azul ⇒ f azul = = = 6.azul f azul λ vidrio.azul n vidrio.f azul v vidrio.671 λ vidrio.f rojo λ 0 rojo λ 0 rojo 656.rojo f rojo c Dividiendo.10 −9 f rojo = 4.17.10 8 c = λ 0 rojo f rojo ⇒ f rojo = = = 4.  b) f0 rojo (vacío) = frojo (vidrio ) .612 λ vidrio.10 − 7 m v vidrio.9.02 0 4/3 4 El ángulo que incidente es igual que el reflejado ( 300 ) por tanto los rayos reflejado y refractado formarán un ángulo α = 1800 – 300 – 22.57. → n = v c λ 0 rojo . → n = v c λ 0azul . Aplicando la ley de Snell.rojo f rojo λ vidrio.f rojo v vidrio.1014 Hz λ 0azul 486.rojo = = = ⇒ λ vidrio.375 ⇒ r = arcsen 0.9.10 −9 n vidrio. Un rayo luminoso que se propaga en al aire incide sobre el agua de un estanque con un ángulo de 30º  ¿Qué ángulo forman entre sí los rayos reflejado y refractado? Si el rayo luminoso se propagase desde el  agua hacia el aire ¿a partir de qué valor del ángulo de incidencia se presentará el fenómeno de reflexión  total?.1.rojo = = = 4.10 −9 f azul = 6. 14 0 1. Un espejo esférico .342 ) sen r = = = 0.270 –500= 22.  El prisma se encuentra situado en el aire.75 = 48. Tema 4 ) 4/3 sen l = 1 sen 900 ) sen 90 0 3 ) sen l = = = 0. ha de formar una imagen invertida de un objeto en forma de flecha.0.10 b) La desviación mínima ocurre cuando i = i’.4 sen 250⇒ i = arcsen 0.  a) Aplicando la ley de Snell del aire al prisma ) 1 sen 200 = 1.  incide  un rayo de luz con un ángulo de 20º . Determina:  El ángulo de desviación sufrido por el rayo. Determinar:  A qué distancia del espejo debe colocarse el objeto.55º δm = 22.86 0 Aplicando la ley de Snell del prisma al aire ) ) 1.244 = 14. sen 35. sobre  una pantalla situada a una distancia de 420 cm delante del espejo.55º 4.10 δ = 25.10 0 Como δ = α + β i =α+r ⇒α=i–r δ = i – r + i′ .59 0 3.10 –500 = 25. r = r′ .75 ⇒ l = arcsen 0.4 1.4. O N D A S   E L E C T R O M A G N É T I C A S    y Ó P T I C A G E O M É T R I C A.ϕ δ = 200 + 55.  El ángulo de desviación mínima que corresponde a este prisma.ϕ = 2. Es decir dentro del prisma la trayectoria del rayo luminoso es paralela a la base del prisma.  El radio de curvatura del espejo.r′ i′ = β + r′ ⇒ β = i′ . cóncavo.r′ δ = i + i′ -(r + r′) δ = i + i′ .59 0 4/3 4 ) l = 48.5 =− ⇒ =− ⇒s=− = −7cm y s 0.244 ⇒ r = arcsen 0.592 = 36.4 sen r ′ = 1 sen i ′ ) ) sen i ′ = 1. Sobre la cara lateral de un prisma de vidrio de índice de refracción   1.27º Por tanto : δm = i + i′ -ϕ = 2i . Se cumple : i = i′ .36.4 ) ) ) Como ϕ = r + r ′ ⇒ r ′ = 50 0 − 14.4   y ángulo en el vértice 50º.5 s 30 s = −7cm Página 134  . ϕ = r + r′ = 2r ⇒ r = 25º Aplicando la ley de Snell del aire al prisma ) ) 1 sen i = 1.  Efectuar la construcción geométrica de la citada imagen.4 sen r ) sen 20 0 0.  a) y′ s′ − 30 − 420 420.86 0 = 0.82 ⇒ i ′ = 55.14 0 = 35. El objeto mide  5 mm y la imagen ha de  tener una altura de 30 cm. Tema 4 b) 1 1 1 + = s s′ f 1 1 1 + = − 7 − 420 f − 61 1 = 420 f f = −6.s 50 8 s ′ = −8.5.  pero  de  tamaño  diferente al obtenido anteriormente.5 − 1)( − ) = 0. Un objeto luminoso está situado a 6 m de una pantalla.76cm 5. Una lente convergente con radios de curvatura de sus caras iguales. tiene una  distancia focal de 50 cm.76cm r = −13. cuya distancia focal es desconocida.25cm s s′ f ′ s − 8. Proyecta sobre una pantalla la imagen de un objeto de tamaño 5 cm.s 50 8.s 1 1 1 1 1 1 9 1 450 − + = ⇒− + = ⇒− = ⇐s=− = −56.25) = 450cm s ′ = 450cm b) 1 1 1 1 1 2 P= = (n − 1)( − ) = (1.5 P = 2 Dioptrías 6. Una lente.5( ) f′ r1 r2 r −r r 1 0.s y s y 5 s ′ = −8. invertida y cuatro veces mayor que el objeto.88cm = −13.2 = ⇒ r1 = 50cm 50 r r1 = 50cm r2 = −50cm 1 1 P= = = 2 Dioptrías f ′ 0.5. O N D A S   E L E C T R O M A G N É T I C A S    y   Ó P T I C A G E O M É T R I C A.s = ⇒ s′ = = = −8.  forma sobre la pantalla una imagen real. − 6.  Calcula la distancia  de la pantalla a la lente para que la imagen sea de tamaño 40 cm  Si el índice de refracción de la lente es igual a 1.  ¿Cuál es la naturaleza y la posición de la lente ?. y que suponemos delgada. ¿Cuál es la nueva posición de la lente y el nuevo valor del aumento ?  Página 135  . ¿Qué valor tienen los radios de la lente y cuál es la potencia  de la misma ?  a) Al proyectarse en una pantalla la imagen es real y por tanto invertida y′ s′ s.88cm ⇒ r = 2f = 2.¿ Cuál es el valor de la distancia focal de la lente ?   Se  desplaza  la  lente  de manera  que  se  obtenga  sobre  la  misma  pantalla  una  imagen  nítida.y ′ −40.s = −8(−56. 96m s s′ f ′ − 1.s + s 2 = 0.8 = 1.8 m delante de la lente ) s′ = 1.8 m 1 1 1 1 1 1 5 1 4. 25 y s − 4 .8 ML= = 0.2 m ( Imagen 1.76 − 6 ± 3.8 m s′ = 4.1.2 4.s y s y s y en (1) 6 − s + (−4.2 m coincide con la del apartado a). 2 M L = = = = − 0 .8m → s = −1.96(−6) ⇒ s 2 + 6.2) = 4.  Tema 4.2 m ( Objeto 4. y s ′ = ⇒ = ⇒ s ′ = −4.4.s ) = 6 ⇒ −5. lo que cambia es la posición de la lente.8 m ( Imagen real .detrás de la lente ) La distancia de la imagen a la lente es 4.2m La distancia del objeto a la lente es de –1.25 m Esto quiere decir que la imagen es más pequeña que el objeto ( La cuarta parte ) Página 136  .s = 6 ⇒ s = − = −1.s + 5. O N D A S   E L E C T R O M A G N É T I C A S    y   Ó P T I C A   G E O M É T R I C A.8 m ⇒ s′ = 6 + s = 6 – 4. Por tanto se cumple: -s + s′ = 6 ⇒ s′= 6 + s Como es la misma lente la distancia focal no cambia f′ = 0.6 s= = 2 2 → s = −4. Por tanto la solución a éste nuevo apartado es s =-4.2m 5 s = −1.2 cm s′ = -4s = -4(-1.96 ⇒ 6.76 = 0 − 6 ± 6 2 − 4.8 f ′ 5 f ′ = 0.96 (6 + s)s 0.96m b) La pantalla está en la misma posición.8 − + = ⇒− + = ⇒ = ⇒ f′ = = 0.96 m Aplicando: 1 1 1 1 1 1 −6 − s + s 1 − + = ⇒− + = ⇒ = s s′ f ′ s 6 + s 0.2m La solución s = -1.5.  a) Para que la imagen de un objeto sea real e invertida la lente tiene que ser CONVERGENTE (1) -s + s′ = 6 y′ s′ − 4.2 m detrás de la lente) y′ s′ 1.8 f ′ 4.8 m s = .  4.  SOLUCIÓN:  a)  2.7º  2.5.5 . situada en el  aire. Un haz de rayos de luz llega a la superficie plana de medio cilindro de un material transparente  cuyo  n =  √2 formando  un ángulo de 45º.45)  flota  sobre  agua  (n  =  1.24.  c) El ángulo de incidencia mínimo para el rayo de luz que. ¿Qué nombre recibe ese  ángulo?.? ¿ Y su longitud de onda en el agua .06.458. propagándose por el interior de la fibra de cuarzo.  SOLUCIÓN    31. Determinar con qué ángulo abandonará  la superficie cilíndrica.? nagua= 1. 400 nm     5.    Encontrar  el    ángulo  refractado.25 .s‐1 . Se llama ángulo límite    8. Una fuente luminosa emite luz monocromática de longitud de onda en el vacío λ0 = 6 x 10‐7m (luz roja) que se propaga  en el agua de índice de refracción  n = 1. 108 m/ s .388 cm  Página 137  .  Un  rayo  de  luz  brilla  dentro  del  aceite  con  un  î  =  40º.10‐7 m                c)   43.  Determinar :  a) Su frecuencia  b)  Su  velocidad  de  propagación  y  su  longitud  de  onda  en  el  interior    de  una  fibra  de  cuarzo.96. ( nagua = 1.  encuentra la superficie de discontinuidad entre el cuarzo y el aire y experimenta reflexión total.6º. O N D A S   E L E C T R O M A G N É T I C A S    y   Ó P T I C A   G E O M É T R I C A.12 cm .10‐15 Hz                b)   2.04. Un rayo luminoso incide en una cara lateral de un cubo de vidrio de n = 1.34 Determine:  a) La velocidad de propagación de la luz en el agua.s‐1                 b)  5.            SOLUCIÓN     28.  Para ángulos de incidencia mayores que el ángulo límite  ( n1>n2 )    9.    SOLUCIÓN  48.33  SOLUCIÓN  f aire= fagua=  5.33 )                                                                               SOLUCIÓN   58.  ¿Con qué ángulo debe incidir el rayo para que al salir la luz haya reflexión total en la cara superior horizontal del cubo?.  4. tiene una longitud de onda en el vacío de 589. que está sumergido en agua.  Un  faro  sumergido  en  un  lago  dirige  un  haz  de  luz  hacia  la  superficie  del  lago  con      î  =  40º  .1014 Hz .  Una  capa  de  aceite  (n  =  1.6              b)  38.108 m. Un rayo de luz monocromática que se propaga en el aire incide sobre una sustancia transparente con un ángulo de  58º respecto a la normal.670    ‐9 11. 10 m. si la luz se propagase desde ésta hacia el aire?  SOLUCIÓN : a)  1.478.  PROBLEMAS PROPUESTOS  1.                              SOLUCIÓN:  a)   1. Haz un dibujo  SOLUCIÓN     49.31 ) al aire.33). ¿Y su velocidad en el agua . ¿Cuál es la frecuencia de la luz que tiene una longitud de onda en el aire de 546 nm .43º    7.10‐7 m    10.  Encontrar el ángulo que forma el rayo con el agua. Encontrar el ángulo límite para la reflexión total interna de la luz que pasa del hielo (n = 1.? ¿Cuál es su frecuencia en el  agua?.  a)  Comprueba que el ángulo de emergencia es el mismo que el ángulo de incidencia.7º    4. Se observa que los rayos reflejado y refractado son mutuamente perpendiculares:  a) ¿Cuál es el índice de refracción de la sustancia transparente para esta luz ?  b) ¿Cuál es el ángulo límite para la reflexión total interna en esta sustancia . 1014 Hz  . de n = 1.  El valor del índice de refracción absoluto del agua es  na = 4/3.  Si  un  rayo  de  luz  monocromática  se  propaga  del  agua  al  aire  ¿a  partir  de  qué  valor  del  ángulo  de  incidencia  en  la  superficie de discontinuidad entre ambos medios se presentará el fenómeno de reflexión total?.  SOLUCIÓN  30º    6.  cuyo  índice  de  refracción es n = 1. 0.108 m. Sobre una lámina de vidrio de caras planas y paralelas.  SOLUCIÓN: a)  1 sen 300 = 3/2 sen r     3/2 sen r = 1 sen i′ ⇒ i′= 300            b ) 2. incide un rayo de luz monocromática con un ángulo θi = 30º.7º    3.33. de espesor 2 cm y de índice de refracción  n = 3/2. Explica en qué condiciones un rayo de luz monocromática:  a) Se refracta con un ángulo de refracción menor que el ángulo de incidencia   b) Experimenta el fenómeno de reflexión total.  Tema 4.  b)  Determine  la  distancia  recorrida  por  el  rayo  dentro  de  la  lámina  y  el  desplazamiento  lateral  del  rayo  emergente. emitido por una lámpara de sodio. 2. Un  rayo de luz amarilla .  b) La frecuencia y la longitud de onda de la luz en el agua.300   12.  SOLUCIÓN   Cuando pasa de un medio menos refringente ( menor índice de refracción ) a otro más  ( mayor índice de refracción ) ( n2 > n1) . Razone la respuesta.   de  altura  está situado  a  75  cm. Determinar la distancia del espejo a la que se ha de colocar el objeto. Una piscina tiene una profundidad aparente de 1. Son derechas y de mayor tamaño que el  objeto.    23. derecha y tres veces mayor que el objeto. Cierto espejo colocado a 2 m de un objeto produce una imagen derecha y tres veces mayor que el objeto.    13.4 m    14.    17.  Tema 4. Un espejo esférico cóncavo tiene una distancia focal de 0. Un lápiz de 12 cm.53 m   .5 cm    15.6 m      Página 138  . invertida y tres veces mayor que el objeto.Es  una  noche  oscura  y  en  una  casa  que  hay  en  la  cima  de  una  montaña.  b) La imagen es virtual. ¿A qué distancia del espejo debe colocarse un rostro para que la imagen  aparezca derecha y su tamaño sea el doble del natural?. más pequeña .  1. Las señales de radio de AM (de entre 200 y 600 m de longitud de onda) “pasan” mejor las montañas que las señales  de FM (de unos 3 m de longitud de onda).   SOLUCIÓN: ‐2. La distancia objeto imagen es  igual a 28 cm. ¿El espejo  es convexo o cóncavo? ¿Cuánto mide el radio de curvatura del espejo?    25.  Halla  la  posición.                   SOLUCIÓN:  Real e invertida. tamaño y naturaleza de la imagen. Determinar la  posición y altura  de la imagen. Virtual    24.  así como el radio de curvatura del espejo.... Determinar las posiciones del objeto y de la imagen en  los siguientes casos:  a) La imagen es real. ¿Dónde debes colocar un objeto para que un espejo cóncavo forme imágenes virtuales?. de modo que resulte un aumento igual a ‐4.  de  un  espejo  cóncavo  de  50  cm. Ofrecer una explicación a este hecho. La imagen es real o virtual?              SOLUCIÓN: ‐ 30 cm . las personas que habitan la casa no ven a la persona del valle. O N D A S   E L E C T R O M A G N É T I C A S    y   Ó P T I C A   G E O M É T R I C A. ¿ A qué distancia se halla el objeto y cuánto vale la focal del espejo?   SOLUCIÓN:     ‐14 cm .4 cm    18. Determinar a qué distancia hay que colocar  un  espejo  plano  perpendicular  al  eje  del  sistema  para  que  la  imagen  formada  después  de  reflejarse  los  rayos  en  este  espejo quede situada en el centro de curvatura del espejo cóncavo?   SOLUCIÓN: 135 cm    20.. R = 4 m    21.  Calcule  a  qué  distancia  debe  colocarse  un  objeto  a  la  izquierda  del  vértice  de  un  espejo  cóncavo  cuyo  radio  de  curvatura es de 12 cm para que su imagen sea tres veces mayor que el objeto. Índice de refracción absoluto del agua  4/3                SOLUCIÓN:  2.  ‐3. ¿Cuál será su profundidad real?. la imagen de un  objeto. se coloca en el centro de curvatura de un espejo cóncavo de 40 cm. Sobre una pantalla se desea proyectar. Un espejo cóncavo tiene un radio de 120 cm.8 m.   c) Efectuar la construcción geométrica en ambos casos.  se  enciende  una  luz.  naturaleza y tamaño de la imagen. de distancia focal.2 m                       b) –0.‐10. mediante un espejo esférico cóncavo que distan de ella 10 m. ¿Qué tamaño tienen estas  imágenes?. de alto está situado a 12 cm.    16.  de  radio.  Un  objeto  de  10  cm. pero sin embargo. de  r = 12 cm.            SOLUCIÓN: a) –1.                SOLUCIÓN: Virtual...éste tiene que estar entre el centro de curvatura ( ‐12 cm ) y  el   foco ( ‐6 cm ) la imagen será entonces real .5 m. Con un espejo cóncavo se obtiene una imagen invertida tres veces mayor que el objeto.  Halla :  posición.  Datos. derecha. Interpreta los posibles resultados y efectúe  las construcciones geométricas correspondientes  SOLUCIÓN: ‐8 cm . Ayúdate de las construcciones geométricas necesarias para su explicación  SOLUCIÓN: Un espejo cóncavo sólo forma imágenes virtuales cuando el objeto se coloca  entre el foco y el espejo. Para que la imagen sea mayor que el objeto en un espejo cóncavo . ‐37.5 cm    19. de un espejo convexo.               SOLUCIÓN:  Invertida.8 m.07 m  . Ofrecer  una explicación a este hecho.. invertida y de mayor tamaño     26. de igual tamaño y ‐ 80cm    22. A 35 cm de un espejo cóncavo de 60 cm de radio se encuentra un objeto. Haz un esquema con la marcha  de los rayos luminosos. Un objeto de 3 cm.  Una  persona  que  se  encuentra en el valle ve la luz.   SOLUCIÓN:    ‐ 15 cm . Un objeto de 4 cm.              SOLUCIÓN:  30 cm . Si el valor absoluto de la distancia focal de la lente es 10 cm .        SOLUCIÓN:   a) ‐1. a un  metro de la lente. más grande    36. ¿Qué características tiene la imagen?  SOLUCIÓN: 100 cm  . colocado perpendicularmente al eje óptico de una lente esférica delgada. un espejo esférico convexo de 50 cm de radio formando un sistema centrado. sobre una pantalla localizada a 10 m.5) tiene  unos valores de  r1  y  r2  de 50 cm  y 100 cm.  27. 1. Un objeto de 2 cm de altura está situado a 25 cm de una lente convergente de 20 cm de distancia focal.25 m. Un objeto está a 5 cm. de una lente convexa de  f  = 7.  Calcular  la  posición  y  focal  de  una  lente  convergente  que  proyectará  la  imagen  de  una  lámpara.  El  tamaño  de  dicha  imagen  es  1\10  del  tamaño  real  del  vehículo  cuando  éste  se  encuentra a 8 m del espejo.5 cm . de alto está a 20 cm.  amplificándola  4  diámetros.4 m/s    29.  ‐2.5 más grande    31. Un menisco convergente de vidrio (n = 1. Un objeto de 10 mm de altura .5 cm.67 m del objeto .                SOLUCIÓN: a 10 y 30 cm del objeto . ‐3 y –1/3 respectivamente     34.  real  invertida  y  menor              b) –7.  SOLUCIÓN: a) 1. Un espejo esférico.8 m              c) –3. 3 veces más grande. ¿Cuál es el aumento lateral?..78 m    b) 0. cinco veces mayor que el objeto sobre una pantalla  situada a 5 m del objeto:  a) Determinar  la  posición  del  objeto  anterior  respecto  al  espejo  al  espejo  y  el  valor  del  radio  de  curvatura de dicho espejo. Si  un objeto se sitúa a 25 cm. Determinar la  posición y la altura de la imagen. ¿ Qué tipo de espejo es ?. ¿En qué puntos entre el objeto y  la  pantalla  se  puede  colocar  una  lente  convergente  de  7. O N D A S   E L E C T R O M A G N É T I C A S    y Ó P T I C A G E O M É T R I C A. de la lente.83 m     28. que actúa de retrovisor de un coche parado. proporciona una imagen virtual de un vehículo que se  aproxima  con  velocidad  constante.6 cm     33. de la lámpara..  ‐0. Un  objeto se sitúa a 50 cm del centro óptico de una lente convergente de 25 cm de distancia focal.57 cm .              SOLUCIÓN: a)  15 cm . calcular la  posición .  b) La lente es divergente.              SOLUCIÓN: 15 dioptrías    37. Una pantalla está situada a 40 cm de un objeto que se quiere proyectar en la misma.                  SOLUCIÓN: Virtual a 1.cóncavo  ‐0. de la lente. el tamaño y la naturaleza de la imagen formada en los siguientes casos:  a) La lente es convergente. Determinar la posición y tamaño de la imagen.5 cm . Se coloca. ‐8 cm.08 m .               SOLUCIÓN:    8 cm . derecha y menor    Página 139  . ‐5 cm.  c) Efectuar la construcción geométrica en ambos casos.33    38. respectivamente. 1. Si la imagen real de una objeto es doble e invertida y se forma a 20 cm.  ¿A  qué  distancia  del  espejo  se  encuentra ahora el vehículo?  d) ¿Cuál era su velocidad?.  b) Aumento del sistema. ¿cuál es la posición y naturaleza de la imagen?   SOLUCIÓN:        ‐ 28.  b) Utilizando el mismo espejo ¿ a qué distancia tendría que colocarse el objeto para que la imagen  formada fuese virtual y de tamaño cinco veces mayor?. Se utiliza un espejo esférico para formar una imagen invertida. está situado  a una distancia de 30 cm delante de la misma.  a) ¿Cuál es el radio de curvatura del espejo?  b) ¿A qué distancia del espejo se forma la correspondiente imagen virtual?  c)  Un  segundo  después  la  imagen  observada  en  el  espejo  se  ha  duplicado. determinar la Potencia de la lente..5  cm  de  distancia  focal  para  que  la  imagen  se  forme  sobre  la  pantalla?. ¿A  qué distancia de una lente convergente debe situarse un objeto para que su imagen sea de igual tamaño?                SOLUCIÓN:   2f      35. Calcula la  posición de la imagen y su tamaño. Imagen invertida  y de mayor tamaño que el objeto    30. Tema 4. derecha . frente a una lente convexa delgada con  una f’′ = + 12 cm. 2.5 m  d) 4. invertida .. Determinar :  a) Posición y naturaleza de la imagen final. derecha    32. virtual.     40.  39. así como su posición respecto del objeto y de la pantalla.75 . ¿Qué aumento se consigue con una lupa de distancia  focal igual a 10 cm ?          SOLUCIÓN:   Usamos la lupa para ver  con nuestros ojos  un objeto  aumentado . Determina la naturaleza de la lente L.Por tanto el aumento conseguido es:  ML= 2.  a. Calcule  la  distancia  focal. En una lente convergente se consigue colocando el objeto entre el foco objeto y la lente  ( aproximadamente en dicho foco ) . así la imagen será  virtual y aumentada.  s′ = ‐25 cm y en éste caso s = –f = ‐10 cm . O N D A S   E L E C T R O M A G N É T I C A S    y   Ó P T I C A   G E O M É T R I C A. Un objeto luminoso de 2 mm de altura está situado a 4 m de distancia de una pantalla.. que produce sobre la pantalla una imagen tres veces  mayor que el objeto.              SOLUCIÓN:   Convergente .  0.33 dioptrías.  El objeto está a –1 m  y  la pantalla  (imagen) a 3 m de la lente. Entre el objeto y la pantalla se  coloca una lente esférica delgada L de distancia focal desconocida. Para verlo con nitidez debemos situarlo a unos 25 cm del ojo ( punto próximo ). 1.5          Página 140  . Explica el funcionamiento de una lente biconvexa como lupa.  la  potencia  de  la  lente  al  y  efectúe  la  construcción  geométrica  de  la  imagen.  b.  Tema 4. . 1.. Algunos de esos otros hechos fueron: • La retrogradación del perihelio de Mercurio • El experimento negativo de Michelson-Morley • Constancia de la velocidad de la luz y la “interconversión” masa-energía En este tema vamos a realizar una visión de algunos de estos hechos y lo que los mismos supusieron para el avance del conocimiento científico y el renacer de la llamada MECÁNICA CUÁNTICA. la provisionalidad de las teorías en cada época: no procede hablar nunca de “ciencia cerrada” o definitivamente completa. exponiendo todo el conjunto a la luz solar. ambas teorías son consideradas ya como modelos “clásicos” dándonos así una idea del vertiginoso ritmo al que se suceden los hechos. la Relatividad de Einstein y la Mecánica Cuántica están consideradas las avanzadillas de la física en lo que a la nueva interpretación del mundo se refiere. la radiación de incandescencia y especialmente el estudio de la radiactividad. Incluso. con sus profundas implicaciones en el terreno no sólo de la física. modelos y teorías en el terreno de la ciencia. más fácil le resulta creerlas. · TEMA 5 · Aproximación a la Física Moderna  "Una mente crédula. aunque sólo aparecía marcada la zona que precisamente cubría el mineral de uranio. el conocimiento del efecto fotoeléctrico. Lo espectacular e inesperado era que esta situación se seguía produciendo incluso en ausencia de luz solar cuando se colocaba sobre ella una sal de uranio. encuentra el mayor deleite en creer cosas extrañas y. tales como el concepto del electrón como unidad natural de carga componente de la materia. Su procedimiento consistía en envolver una placa fotográfica con papel negro y grueso. sino también en el de la técnica o en el de la filosofía. Comenzaremos nuestro estudio con los fenómenos de la Física Nuclear y Radiactividad. nuevos hechos. Igualmente se sucedieron toda una serie de nuevos descubrimientos que hacían impensable una explicación en base a los parámetros clásicos. Sin embargo. Actualmente. El resultado era que la sustancia fosforescente en cuestión emitía radiaciones que penetraban a través del papel opaco a la luz y marcaban su silueta sobre la placa fotográfica. cuanto más extrañas son. de modo que solo pudiera ser atravesado por radiaciones muy energéticas y penetrantes. la Mecánica Teórica y el Electromagnetismo eran los pilares maestros de lo que podríamos denominar ahora física clásica. contrastados siempre experimentalmente. si apuramos. el descubrimiento de los rayos X. FÍSICA NUCLEAR y de PARTÍCULAS El descubrimiento de la Radiactividad por el físico francés H. y colocar encima una sustancia fosforescente. principalmente. las series espectrales observadas en los espectros de emisión de los átomos. haciéndola un ente vivo. construcción mental que asombraba por la perfección de sus razonamientos. . porque todo el mundo puede creerlas". A finales del siglo XIX. preparan la revolución científica que tendrá lugar a partir de 1900. Samuel Butler La evolución histórica de la física es una parte fascinante del desarrollo del conocimiento científico y muestra. pero nunca toma en cuenta las que son más sencillas y posibles. Becquerel (en la foto) en 1896 se produjo como consecuencia de una investigación sobre la posible emisión de rayos X por sustancias fosforescentes. F Í S I C A   N U C L E A R    y   C U Á N T I C A.  Tema 5.  Experimentos posteriores con diferentes minerales de “En esa época estábamos completamente absorbidos por las  Uranio, con o sin exposición a la luz solar, pusieron de perspectivas que se abrían ante nosotros, gracias a un  manifiesto la emisión continua de algo que era capaz de descubrimiento inesperado. A pesar de las dificultades de  nuestras condiciones de trabajo, nos sentíamos felices.  penetrar el papel y otras sustancias como el vidrio. La Nuestros días transcurrían en el laboratorio. Vivíamos en una  preocupación única, como en un sueño”  intensidad de la radiación se vio que era proporcional a   la cantidad de masa de uranio contenida en el (Marie Curie (1867‐1934). Cartas)  compuesto. De igual modo, Becquerel hizo sus experimentos con el uranio en polvo, disuelto en ácidos, a baja temperatura... y siempre obtenía el mismo resultado de radiaciones. Estaba por tanto claro que la radiación era debida el Uranio y que las otras sustancias con las que éste se combinaba, no afectaban en absoluto al poder de radiación Estas investigaciones fueron continuadas por los esposos Curie, que descubrieron que otros elementos poseían también la misma propiedad que el uranio, e incluso con mayor intensidad, y en todos ellos se seguía cumpliendo que la intensidad de la radiación era proporcional a la masa del elemento activo presente. El paso siguiente era averiguar la naturaleza de esas emisiones. Placa Fotográfica Desde que se descubrieron las alfa radiaciones, se hicieron experimentos para Beta averiguar su naturaleza, y ver si estaban formadas por distintas componentes. Para - + ello, la radiación se hizo pasar por campos eléctricos y se observaron tres Campo Eléctrico comportamientos distintos, lo que permitió hacer una clasificación de la radiación en alfa (α) beta (β) y gamma (γ). • Radiación alfa (α)  Plomo Consiste en átomos de helio ionizados, es decir, partículas formadas por dos protones y dos neutrones. Debido a su masa y a que son emitidas a gran velocidad (poseen entonces gran energía cinética) producen una elevada ionización pero, al cruzar la materia, son frenadas rápidamente, por tanto, son poco penetrantes; de hecho, no son capaces de atravesar la piel humana. • Radiación Beta β. Consiste en electrones lanzados a gran velocidad. Debido a tener menor masa que las anteriores, son de POCO poder de ionización, pero muy penetrantes. Pueden atravesar la piel humana, aunque no el tejido subcutáneo. • Radiación Gamma γ Es radiación electromagnética muy energética, de corta longitud de onda. Es mucho más penetrante que las radiaciones alfa y beta. Pueden atravesar el cuerpo humano, y para detenerlas se precisan espesores de varios centímetros de plomo y de decímetros de hormigón. Los resultados anteriores sugerían que los átomos NO eran como esferas macizas sino que poseían una estructura compleja, y se diseñaron experimentos para analizarla. Quizás Mancha original de la placa impresionada por la  el experimento más famoso fue el realizado por E. Rutherford, primera emisión radiactiva registrada por  que dirigió sobre una delgada lámina de oro un haz de H.Becquerel  radiación alfa observando un triple comportamiento. Por un lado, la mayor parte de las radiaciones cruzaban sin más la lámina de oro. Un porcentaje sensiblemente menor lo hacía pero desviándose en su camino posterior, y un tercer tipo minoritario rebotaba en la lámina. Al principio, se consideró que este triple comportamiento era un error del experimento, pero por mucho que se repitió, los resultados fueron siempre los mismos. Página 142  F Í S I C A N U C L E A R y C U Á N T I C A. Tema 5 El experimento de Rutherford permitió deducir que: • La mayor parte del átomo habría de ser una estructura “hueca”, ya que la mayor parte de las partículas lanzadas lo cruzaban sin dificultad. • Habría de contener una minúscula zona con carga positiva (los protones ya descubiertos) que explicara la desviación que se producía en la radiación alfa. • Esa minúscula zona habría de ser muy masiva, ya que así podría explicarse las partículas que rebotaban. Esa pequeña zona masiva donde habrían de concentrarse los protones, se la denominó núcleo. Orbitando en torno a ese núcleo y en igual número que los protones que albergaba, habrían de estar los electrones. Al número de protones que contiene cada átomo en su núcleo se lo denomina NÚMERO ATÓMICO (Z). Tras este hallazgo y propuesta de estructura, se pudo comprobar que la masa medida de los átomos NO coincidía con la suma de las masas de los protones que albergaba en su núcleo. La solución se produjo tras el descubrimiento de un nuevo tipo de partículas, los neutrones, de carga nula y de masa aproximadamente igual a la de los protones. De este modo, la masa de un átomo es prácticamente la de su núcleo. A la suma del número de los protones y de los neutrones se lo denominó NÚMERO MÁSICO (A). Ambas partículas reciben el nombre genérico de nucleones, Los núcleos que poseen el mismo Z y el mismo A se los denomina núclidos. Si es X el símbolo de un elemento químico, suele representarse esta información escribiendo A Z X Se dice que dos núcleos son ISÓTOPOS, si coinciden en el número atómico (Z1 = Z2) y difieren, por lo tanto, en el número de neutrones (N1 ≠ N2). Se denominan ISÓBAROS si poseen el mismo número másico (A1 = A2). El tamaño del núcleo de un átomo es proporcional al número de nucleones que lo forma. El radio nuclear viene dado por la expresión: R = r0 3 A -15 donde r0 = 1,2.10 m. Para expresar la masa de los átomos se utiliza la unidad de masa atómica que, por definición, corresponde a la doceava parte de la masa de un átomo de Carbono-12. Si la simbolizamos simplemente por u (o por uma, es indiferente), tendremos que 12 g 1u = = 1,66.10−24 g 12 • 6,023.1023 La masa (en reposo) del protón es mp = 1,00782 u; la del neutrón es mn = 1,00867 u, y la del electrón es me = 0,00055 u. Con todo, la masa atómica que aparece en la tabla periódica es una media ponderada de las masas de los distintos isótopos que posee. 2. INTERACCIÓN FUERTE Una vez que quedó claro que el interior del átomo albergaba protones, se planteó la cuestión de cómo era posible que éstos permanecieran unidos, ya que según las leyes de Coulomb, las cargas del mismo signo se repelen. ¿Cómo explicar la estabilidad nuclear? Estaba claro que en el interior del núcleo debería darse un tipo de interacción muy superior a la repulsión eléctrica. Se empezó a hablar de fuerza nuclear. Las características fundamentales de esta interacción pueden resumirse así: • Se manifiesta cuando la distancia entre nucleones es muy pequeña; es decir: son fuerzas “de corto alcance”. • Alta Intensidad (mayor que la electromagnética, mucho mayor que la débil1 y extraordinariamente superior que la interacción gravitatoria). 1 La interacción nuclear débil (que se verá más adelante) es también de corto alcance Página 143  F Í S I C A   N U C L E A R    y   C U Á N T I C A.  Tema 5.  • Es atractiva a las distancias normales en el núcleo, pero se hace repulsiva a distancias muy cortas. • Es independiente de la carga, por lo tanto, la intensidad es la misma en la interacción entre neutrones, que entre dos protones o que entre un protón y un neutrón. • Saturación: cada nucleón interacciona con un cierto número de nucleones (los más próximos). Esto explica que la energía necesaria para arrancar un nucleón de un núcleo sea la misma para núcleos de pocos nucleones (ocho o diez) que para núcleos de muchos nucleones (ochenta o cien). 3. ESTABILIDAD NUCLEAR Existen alrededor de 400 núcleos estables; se han observado muchos más, pero éstos son inestables. Si se hace una representación gráfica de N (nº de neutrones) frente a Z (nº de protones) se observa que los núcleos ligeros (salvo el 1H) son más estables si contienen un número igual de protones que de neutrones (N = Z). En los núcleos masivos notamos que éstos son más estables si el número de neutrones excede al nº de protones. Esto indica que a medida que el número de protones aumenta, también lo hace el valor de la intensidad de la fuerza repulsiva eléctrica de Coulomb, lo que hace desestabilizar el núcleo. Por eso se necesitan más neutrones para mantener estable el núcleo ya que los neutrones sólo experimentan fuerzas nucleares atractivas. A partir del elemento Z = 83 las fuerzas repulsivas entre los protones no pueden ser compensadas por la adición de más neutrones y los núcleos correspondientes NO son suficientemente estables. LA estabilidad nuclear puede entenderse mediante las fuerzas nucleares, pero también desde el punto de vista energético. Así, es un hecho comprobado que la masa de la masa de los nucleones libres NO ES LA MISMA que la suma de las masas de protones y neutrones que ese núcleo contiene. A esa diferencia de masa se la denomina Defecto de Masa. Este defecto puede calcularse mediante la expresión Δm = Z · mp + (A-Z) · mn - mx donde mx es la masa del núcleo considerado. Una de las consecuencias más sorprendentes de la teoría de la Relatividad de Albert Einstein está en el hecho de haber puesto de manifiesto la equivalencia entre masa y energía. Para Einstein, la masa es “otra forma en que se nos presenta la energía”2. La relación que existe entre ambas es una de las ecuaciones más famosas de toda la Física: E = mc2 Por lo tanto, no tiene sentido hablar de conservación de la masa y/o de la conservación de la energía. Lo más prudente es hablar de la ley de conservación masa-energía. Precisamente, por tanto, es esa diferencia de masa entre “la que deberían tener los núcleos y la que realmente tienen” la que da origen a la que podemos llamar energía de enlace (o de ligadura) y que se calculará mediante la ecuación de Einstein anterior. Inversamente, podremos interpretar la energía de ligadura como la energía que habría que suministrar a un núcleo para separarlo completamente en sus componentes. A parte esto, se hace posible hablar de la masa de una partícula expresándola en unidades de energía, y poder escribir, como relación de interés que 1 uma = 931,48 MeV/c2 (demostrar la relación anterior usando los datos necesarios) Según esto, el defecto de masa (expresado en unidades de energía), es la energía necesaria para descomponer un núcleo en sus protones y neutrones por separado.3 2 Dicho esto con las mayores precauciones posibles. 3 Recordemos que 1 eV = 1,6.10-19 J Página 144  Y sería el 178O. por lo tanto. y b al protón.9721.  O. E/A. fue interpretado por E. En eso consiste la fusión nuclear. 24.  Mg. Por ejemplo: 7 1 4 4 7 3 Li +1 H → 2 He + 2 He ⇔ 3 Li ( p. REACCIONES NUCLEARES Un fenómeno producido al estudiar la difusión de partículas alfa en la materia. la energía que se libera cuando el núcleo captura un nucleón.9051. por lo que se conseguirá una mayor estabilidad y la consiguiente liberación de energía mediante la fragmentación de estos núcleos pesados en otros más ligeros. Q1. n)126C 27 1 27 1 27 27 13 Al + 0 n→12 Mg +1 H ⇔13 Al ( n. La transformación que se ha llevado a cabo se puede escribir así: 14 7N + α →178 O + protón Estas transformaciones se denominan REACCIONES NUCLEARES.  202 Hg  (DATOS: Masa He‐4 = 4. y da idea de la estabilidad nuclear: los núcleos más estables son los que poseen los valores mayores de E/A. El magnesio común es una mezcla de los isótopos  Mg.  Ag. p )12 Mg Página 145  .  Mg. Para valores pequeños de A. la unión de dos de estos núcleos ligeros formando un núcleo más pesado (y por lo tanto más estable) liberará energía. Tema 5 La energía de ligadura (o de enlace) por nucleón.9858. F Í S I C A N U C L E A R y C U Á N T I C A. O‐16 = 15. a un aumento de dos mismos corresponde una disminución de los valores de E/A. al tiempo que se produce la emisión de un protón.9850. representa la energía que hay que suministrar al núcleo para separar UNO de los nucleones. α ) 42 He 9 4 12 1 9 4 Be + 2 He→ 6 C + 0 n ⇔ 4 Be( α .314 uma. Este fenómeno es el de fisión nuclear. de oxígeno.  Hg‐202 = 201. Calcular la energía de enlace por nucleón que corresponde al núcleo 5626Fe (Masa atómica del hierro 56 = 55. S‐32 = 31. Calcula la energía total de ligadura y la energía de ligadura por nucleón para los siguientes isótopos:  He. En la gráfica se observa que los valores alcanzan un máximo para los núcleos cuyos números másicos están comprendidos entre 50 y 100.9826 uma) El isótopo26 tiene un 10. Rutherford suponiendo que el choque de una partícula alfa contra un núcleo de nitrógeno daba lugar a la formación de un nuevo núcleo.9349)    24 25 26 Q2.0026. La masa atómica del magnesio natural es 24. es decir.    4 16 32 107 Q3. Ambos fenómenos se estudiarán con algo de más detalle más adelante.  ¿Qué porcentaje de cada isótopo está presente en el magnesio natural? (masas respectivas de cada isótopo: 23. o lo que es igual.9706 umas)  4.9949. Para valores altos de A. el valor de E/A crece fuertemente conforme aumenta el valor de A.  25. a corresponde a la partícula alfa.b)Y en donde X sería el 147N.  S. Otra forma usual de representar estas reacciones es X(a. Esta energía de ligadura E/A es función del número de nucleones en la forma indicada en la figura.2% de abundancia. Ag‐107 = 106. por lo tanto. Por ejemplo. Esto significa que la liberación de energía en las reacciones nucleares es muy superior a la que se produce en las reacciones químicas ordinarias. le corresponde una energía de 17.002603 masa del núcleo de helio: 4. Tema 5. En cambio. el sistema ha de recibir un aporte externo de energía.023829 masa del la partícula alfa: 4. el sistema CEDE energía. a entre dos y tres neutrones. el poder calorífico de la gasolina es de unas 9800 cal/g. y así la partícula proyectil ha de tener como mínimo una cierta energía cinética para producir la reacción. en la fisión del Uranio-235 se produce una pérdida de masa de 0. El número x de neutrones generados puede ser de 2 ó 3 según la naturaleza de los fragmentos X e Y.007825 masa del núcleo de litio: 7. los momentos lineal y angular.34 MeV. nuevamente. es el que se refiere a la liberación de energía. También se conserva el número másico: Σ A = cte Pero NO se conserva la masa Por ejemplo. 7Li3(p.215 unidades que corresponden a unos 200 MeV por núcleo de Uranio escindido. precisamente igual al valor absoluto de esa energía negativa del balance de la reacción. Si el balance energético del tipo que se ha hecho en el ejemplo anterior arroja un resultado positivo. con una rapidez cada vez mayor.018623 u.016004 TOTAL: 8. Por tanto. Entre los productos de la reacción nuclear se descubrieron dos elementos de masa media: el bario y el lantano. 5. liberándose en un corto intervalo de tiempo una enorme cantidad de Página 146  . llamada “energía umbral” que ha de ser. FISIÓN y FUSIÓN NUCLEAR La FISIÓN nuclear consiste en la fragmentación de núcleos pesados en otros más ligeros con liberación de energía. el número de nucleones y la carga. En 1938 los físicos Otto Hahan y Fritz Stassmann iniciaron una serie de experimentos consistentes en bombardear una muestra de uranio con neutrones. Este proceso fue interpretado como la rotura del núcleo de Uranio por el neutrón. en la reacción de combustión del carbón (C + O2 → CO2) se libera una energía de 94 kcal/mol. por ejemplo. Teóricamente cada uno de estos neutrones puede causar una NUEVA FISIÓN liberando más energía y dando lugar. existiendo hasta 90 posibles “núcleos hijos” diferentes. a la diferencia de masa Δm = 0. originando así las denominadas desde entonces REACCIONES DE FISIÓN. Y así sucesivamente. el equivalente a 1 kg de U-235 sería unas DOS MIL TONELADAS de gasolina. pudiendo ocurrir una reacción en cadena. en la reacción primera del ejemplo. hay otro aspecto que las hace muy distintas.α)4He2 se tiene que: masa del protón: 1.005206 Pero como se conserva la masa-energía.  En todas las reacciones nucleares se conserva la carga: Σ Z = cte. A parte de que en las reacciones químicas ordinarias no se ven afectados los núcleos atómicos. Si tenemos en cuenta que. las reacciones nucleares son esencialmente procesos de choque en los que se conserva la energía. F Í S I C A   N U C L E A R y C U Á N T I C A. Si por el contrario resulta negativo.002603 TOTAL: 8. La Fisión del Uranio-235 puede producirse por bombardeo con neutrones lentos (también llamados térmicos) según el esquema general: U + 01n → 235 235 92 92 U → X + Y + x ( 0 n ) * 1 Donde U* corresponde a un estado excitado que rápidamente se divide en los fragmentos de fisión X e Y. tratando de crear nuevos elementos. Página 147  . con lo que se pierde una masa de 4. Una reacción nuclear autosostenida requiere. por lo tanto que ha de existir un TAMAÑO CRÍTICO de muestra nuclear fisionable al que corresponderá obviamente una MASA CRÍTICA del mismo. y así sucesivamente.0296 u * Energía correspondiente ΔE = Δm·c2 = 26.6 MeV. con lo que la energía total liberada es de unos 28. Por ejemplo.0199 u. una parte de los neutrones producidos en cada fisión puede escapar de la muestra de material fisible sin producir fisión alguna. es muy grande. Como los neutrones escapan por la superficie del material. se obtiene: * Defecto de masa Δm = 4·1. por debajo de la cual la reacción en cadena terminará por extinguirse.6 MeV * Los dos positrones se aniquilan con dos electrones. en esencia.  energía. por lo que hoy día no se ve cercana la construcción de reactores nucleares de fusión. el fundamento de la bomba atómica: dos porciones de material fisionable. puesto que se puede liberar más energía que en la fisión y además más limpia. y la energía liberada es de 18. La FUSIÓN nuclear es la unión de dos núcleos ligeros en otro más pesado con liberación de energía. F Í S I C A   N U C L E A R    y   C U Á N T I C A. la energía solar se debe a un proceso de fusión en el que se unen núcleos de hidrógeno para formar núcleos de helio (y creación de positrones). Las condiciones de presión y temperatura en la bomba de hidrógeno se consiguen mediante la explosión de una bomba nuclear de fisión. En la reacción 2 3 4 1 1 H +1 H → 2 He + 0 n (la de la bomba de hidrógeno) la pérdida de masa vale 0. en el que éste viene a jugar un papel como catalizador nuclear. la energía de ligadura por nucleón aumenta cuando aumenta el número de nucleones). La gráfica comentada en hojas anteriores indica que esto es posible si se trata de núcleos muy ligeros (para valores pequeños del número de nucleones. En la actualidad. Son reacciones de fusión: 2 3 4 1 1 H +1 H → 2 He + 0 n o también 2 3 4 1 1 H + 2 He→ 2 He +1 H La fusión nuclear juega un papel fundamental en el Universo. El proceso se lleva a cabo a través del llamado ciclo del carbono.0026 = 0.0.00055 u = 0. Para iniciar una reacción de Fusión. lo que proporciona una energía (en forma de radiación γ) de unos 2 MeV. de la relación existente entre el área y el volumen del material fisionable. La clave del asunto está en poder controlar ese proceso y crear de este modo un uso pacífico de la energía nuclear.0078 . cuyos efectos devastadores son conocidos desde 1945 en Hiroshima. en definitiva: 4(11H )→ 24 He + 2 +10 e Al hacer el balance energético de esta reacción.0022 u. la principal dificultad para la realización de estas reacciones está en su control. se necesitan temperaturas de millones de grados (recientemente se está contemplando la posibilidad de la llamada fusión fría). mientras que por encima de la misma podría producirse una brutal liberación de energía. una explosión nuclear. Esta última posibilidad es. sin embargo. mediante aceleradores de partículas. dejarla sin control y crear así una bomba nuclear. cada una de las cuales es subcrítica.4.  Tema 5. el 235U por ejemplo. En el laboratorio. Dicho efecto puede tener más o menos importancia dependiendo del TAMAÑO DE LA MUESTRA COMBUSTIBLE nuclear. Puede concluirse.5 MeV. la fracción de neutrones que pueden llegar a perderse dependerá en última instancia. Sin embargo. El resultado del ciclo es. se unen dando lugar a una masa combinada que supera la masa crítica. El interés. en el caso del 235U que al menos UNO de los neutrones emitidos en la fisión de uno de sus átomos provoque una nueva fisión. o por el contrario. originándose una violenta explosión. es de unos 200 MeV. REACTORES NUCLEARES Los reactores nucleares pueden ser de varios tipos: Según la velocidad de los neutrones que producen las reacciones nucleares de fisión. en reactores de uranio natural o reactores de uranio enriquecido. construidas con un material. se clasifican en reactores rápidos y reactores térmicos. etc. el proceso se hace supercrítico y nos hallamos con una bomba nuclear de fisión. el plutonio. de gran eficacia en la captura de neutrones. en cada fisión se produce un solo neutrón capaz de producir una nueva fisión. esa energía aparece como energía cinética de los neutrones y de los fragmentos producidos en la fisión y también en forma de radiación γ. el U-238 se transforma en Pu-239 fisionable según el proceso: 238 1 239 92 U + 0 n→ 92 U 239 239 0 92 U → 93 Np + −1 e 239 239 0 93 Np → 94 Pu + −1 e Página 148  . Por ejemplo 235 1 236 141 92 92 U + 0 n → 92 U → 56 Ba + 36 Kr + 3( 01n) Esta reacción es una de entre las más de 30 que se pueden seguir en la fisión del Uranio. Esta energía produce el calentamiento de la masa de Uranio. el defecto de masa es aproximadamente el mismo en todos ellos y la energía liberada. Por captura de un neutrón. Si por contra. En su mayor parte. aunque no es fisionable). En la reacción se liberan dos o tres neutrones que producen a su vez nuevas fisiones. Esto se consigue mediante barras de control. la denominada reacción en cadena de la que ya hemos hablado antes. de modo que mediante un refrigerante adecuado se puede obtener energía calorífica y de ella energía eléctrica. Como el U235 aparece en una proporción pequeña en el uranio natural. como el cadmio. el reactor funciona críticamente y genera energía de forma estable. de agua ligera o de grafito. Se provoca así. aire. deben ser lentos. Otro tipo de reactor nuclear es el llamado reproductor (o recuperador). que es posible obtener a partir del U-238 (más abundante que el U-235. los núcleos de U-235 son bombardeados por neutrones lentos experimentando la fisión. por lo que es preciso frenar los que se producen. Los neutrones se van frenando al chocar elásticamente con los núcleos del moderador. Esto se consigue mediante los moderadores que son sustancias como el agua o el grafito que contienen núcleos ligeros. sólo uno de ellos produzca una nueva. es preciso que de los dos o tres neutrones producidos en cada fisión. Funciona en modo subcrítico cuando en la reacción se genera por término medio menos de un neutrón por núcleo capaz de inducir nuevas fisiones. los neutrones que producen la fisión del Uranio. En los reactores térmicos. gas. se puede preferir como combustible. los neutrones producidos inducen más de una fisión. • Según el “moderador”: de agua pesada. • Según el combustible utilizado. Con este tipo de reactores. En los diferentes procesos. Si por el contrario. • Según el refrigerante: de agua. para que el proceso de fisión se mantenga. Por otro lado. Tema 5 6. F Í S I C A   N U C L E A R y C U Á N T I C A. ya que el proceso es espontáneo. de modo que evolucionan espontáneamente hacia estados de menor energía.  Como el plutonio fisiona con neutrones rápidos. Los reactores de fusión están todavía en fase de investigación. 7. se transforma en otro cuyo número atómico disminuye en DOS unidades y cuyo número másico disminuye en cuatro” Teniendo presente la asociación que hemos visto entre estabilidad y masa nuclear.  Tema 5. beta y gamma. requiere suponer que lo que sucede en el núcleo es la formación de un electrón y un protón a partir de un neutrón. No todos los núcleos que existen en la Naturaleza son estables. Esos núcleos se los denomina radiactivos y al proceso mediante el que consiguen la estabilización se conoce como RADIACTIVIDAD. F Í S I C A   N U C L E A R    y   C U Á N T I C A. y la posición del núclido se aleja de la curva de estabilidad que hemos estudiado. la masa del núcleo inicial deberá ser mayor que la suma de las masas de las partículas formadas (incluida la alfa). • Emisión alfa. mientras que el número atómico aumenta en una unidad A 0 A Z X → −1 e + Z +1Y 234 0 234 90Th → −1 e + 91 Pa La emisión de una partícula beta (electrón) desde el núcleo de un átomo donde NO los hay. Recordemos que para lograr la fusión se necesitan temperaturas de millones de grados y que a esas temperaturas. los elementos a fusionar se ionizan constituyendo lo que se llama plasma. por lo que pese a las grandes esperanzas puestas para resolver definitivamente el problema energético. Este plasma es preciso confinarlo. En ese proceso emiten partículas o radiación de las del tipo que ya hemos adelantado: alfa. presentan serias dificultades.  En los núcleos de los elementos muy masivos (Z ≥ 82). pero por otra parte. como la de confinamiento inercial. El protón Página 149  . Además. sobre todo de la partícula alfa. aún está lejos de poderse utilizar comercialmente. decaimiento radiactivo o desintegración radiactiva. el número másico del nuevo núcleo NO experimenta cambio alguno. no se precisa moderador. Estos núcleos alcanzan espontáneamente mayor estabilidad emitiendo partículas alfa o núcleos de helio según A 4 A− 4 Z X → 2 He + Z − 2Y 238 4 234 92 U → 2 He + 90Th “Cuando un núcleo emite una partícula alfa. presenta mayores problemas de seguridad debido a su mayor dificultad en el control mecánico. LEYES DE SODDY-FAJANS. Cuando un núcleo emite un electrón. que son las empleadas. como refrigerante ha de utilizarse sodio líquido en vez de agua. • Emisiones β‐ y β+  En los núcleos muy ricos en neutrones la desintegración espontánea se produce con emisión de partículas β- (electrones). Esta diferencia de masa la medimos como energía cinética. Leyes de la desintegración radiactiva. el número de neutrones es muy superior al de protones. y tanto la técnica de confinamiento magnético. a esa partícula se la identificó con el antineutrino. el número atómico disminuye en una unidad conservándose A. el análisis cuidadoso del proceso de emisión beta llevó a resultados que NO verificaban el principio de conservación de la energía ni el principio de conservación del momento cinético y angular. por lo que esta emisión gamma no supone modificaciones en Z y/o A. por ser de intensidad menor que las interacciones electromagnética y fuerte. y a consecuencia de otros experimentos. Página 150  . Así. permite pasar al núclido del estado excitado a otro estado de energía más baja o al estado fundamental. W. sino tres. En general estos dos procesos son competitivos. Para explicar la emisión β. que además del electrón se emitía una partícula muy difícil de detectar. debida a la ocupación de otros electrones exteriores de la vacante dejada en la capa K. pero sí una emisión de rayos X. La diferencia entre ambos procesos reside en que en la captura electrónica no existe emisión de positrones. La emisión de fotones muy energéticos. llamados rayos gamma. llamada débil. sucede en núcleos con deficiencia de neutrones. • Emisión Gamma. al contrario que el anterior. Este proceso. Los fotones NO tienen carga ni masa. Globalmente puede escribirse A Z X→ A Z −1 Y + β + +ν Como se ve. Más tarde.puede escribirse como A Z X→ Y+ A Z +1 0 −1 e + 00ν Veamos la desintegración β+.(o la inestabilidad del neutrón) E. Fermi postuló la existencia de una cuarta interacción fundamental. la emisión β. normalmente queda excitado.  Tema 5. Esto es. normalmente uno de la capa K que es la más cercana al núcleo.  permanece en el núcleo (de ahí que aumente el Z) y el electrón es emitido como radiación beta.  Cuando un núclido se desintegra por emisión alfa o beta. Sin embargo. F Í S I C A   N U C L E A R    y   C U Á N T I C A. Para hacer compatibles estos principios de conservación con la emisión beta. La emisión de rayos gamma es el mecanismo por el que los productos de una desintegración radiactiva ceden el exceso de energía. a la que se la denominó neutrino. La ganancia en el número de neutrones se consigue mediante la transformación p → 01n + 0 +1 e +ν en la cual se emite un positrón y un neutrino electrónico. El núcleo resultante es idéntico al que se produce tras la emisión β+. Los núcleos con deficiencia de neutrones pueden adquirir mayor estabilidad mediante otro tipo de transformación denominado captura electrónica orbital que consiste en que el núcleo captura un electrón orbital. sin carga ni masa en reposo. Pauli supuso que el resultado de la desintegración NO son dos partículas. Todo lo más.1 Leyes de la emisión Radiactiva.dt ⇒ N ∫ ∫ = − λdt ⇒ ln N = −λt + cte Si consideramos que en el instante inicial. cumpliéndose que ΔN = −λ . t = 0. Tema 5 7. sustituyendo en la última ecuación. el número de núcleos es N0. Como en ese instante T el número de núcleos que quedan sin desintegrar será N0/2. Esto es así debido a que el proceso radiactivo es totalmente aleatorio.e − λT ⇒ ln 2 = λT ⇒ T = 2 λ Página 151  . tendremos que lnN0 = cte. N.  Ante una muestra de núcleos radiactivos NO es posible predecir cuándo se llevará a cabo la emisión radiactiva de uno de ellos en concreto. transcurrido cierto tiempo ∆t.e − λt expresión que nos permite conocer EL NÚMERO DE NÚCLEOS QUE QUEDAN en la muestra SIN desintegrar en cada instante t. por lo que se rige por las leyes de la estadística.N Δt donde λ es una constante característica del elemento radiactivo considerado. que es el tiempo al cabo del cual se han desintegrado la mitad de los núcleos iniciales. El signo negativo que aparece en la expresión indica que a causa de la desintegración. el número de núcleos de la muestra decrece. se puede determinar la probabilidad de que alguno de los núcleos emita radiación en un cierto tiempo. Otra constante de interés en la radiactividad es la SEMIVIDA. y con ello. tendremos: N0 ln 2 = N 0 . La expresión anterior puede escribirse e integrarse del modo siguiente: dN dN N = −λ . Se ha comprobado que si el número de núcleos de una muestra radiactiva es. T. lnN = -λ · t + lnN0 lo que significa que N ln = −λt N0 que expresado en forma exponencial. o periodo de Semidesintegración. suele ponerse como N = N 0 . en un determinado momento. llamada constante de desintegración. el numero de núcleos desintegrados es ∆N. F Í S I C A N U C L E A R y C U Á N T I C A. F Í S I C A   N U C L E A R    y   C U Á N T I C A. a 3.10-7 segundos). al asimilar el dióxido de carbono.  sabiendo  que  se  trata  de  un  emisor beta. (Eje OY: N. por lo tanto.  A)  Escribe  la  reacción  de  desintegración. B) La emisión beta de este isótopo va acompañada de una emisión gamma. corresponde a una desintegración por segundo: 1 Bq = 1 desint/s. ya que con  mucha  facilidad  se  fija  el  iodo  en  la  glándula  tiroides.  Se denomina así al número de desintegraciones que se producen en esa fuente en un segundo. cuando chocan neutrones con átomos de  A =λ · N 14 N.7.8772.104 años).109 años). la actividad de N átomos será partícula β. C) Determina la energía total liberada por el núcleo al desintegrarse. y representa el tiempo medio que tarda. del torio y del actinio. ¿Cuál de las dos emisiones es más  perjudicial para el ser humano?. Se forma en las capas  altas de la atmósfera. Al morir la planta. gas muy peligroso. eje OX: Z) 7. Aquí se muestra la serie del Uranio. se denominan serie del uranio. por definición. Th-230 (T = 8. en desintegrarse un núcleo. T es otra constante característica del núcleo considerado. Actividad de una fuente radiactiva.1010 Bq.2. DATOS de masas atómicas  en uma: 131I = 130. En el S. Las series radiactivas  Una serie radiactiva es un conjunto de núclidos radiactivos que derivan del mismo núclido inicial y que por desintegración en cascada. Ello permite utilizar la cantidad de  este isótopo que queda actualmente para establecer la fecha en  que la planta fue cortada”  Página 152  . Entre los materiales gaseosos que pueden escapar de un reactor nuclear.  Como puede observarse.8756)  7. cuyo valor varía desde mucho miles de años a millonésimas de segundo. se encuentra el 131I. At-218 (T = 2 segundos).3. Bi-210 (T = 5 días). Q4. Las representaciones de las otras series radiactivas son muy similares a esta. A la inversa de la constante de desintegración se la denomina vida media y se simboliza por Γ = 1/λ. el proceso de absorción de  dióxido de carbono se detiene y va disminuyendo lentamente el  14 contenido de  C que posee. Equivale a 37000 Rutherford y por lo tanto. U-238 (T = 4. 131Xe = 130. etc.5. que según el elemento que la inicia.I. La  proporción entre ambos es. la cual finaliza en el núclido estable de Pb-206.  Tema 5. la unidad es el Becquerel (Bq) que. Las plantas. que equivale a un millón de becquerel: 1 Rutherford = 106 Bq = 106 desint/s. Po-212 (T = 3. conducen a un mismo núclido estable. asimilan el  14 12 isótopo radiactivo  C a la vez que el isótopo estable  C. Existen tres series naturales. Otro múltiplo es el curio (Ci) que por definición corresponde a la actividad de un gramo de radio puro. Es interesante observar que la vida media de un isótopo sólo depende de sus características propias y NO de la cantidad de isótopo de la que se disponga. la misma en la atmósfera  que en los vegetales. 12 “El carbono  C es un isótopo que se desintegra emitiendo una  En general. probabilísticamente. Un múltiplo del Bq es el Rutherford. Por ejemplo. Su vida media es de 5736 años. El gray corresponde a la dosis tal que recibida por un kg de materia. o mutaciones genéticas.  8. según los casos) alterando la naturaleza de las sustancias. que por definición es aquélla dosis de radiación tal que si un gramo de materia la recibe.I. Hay una proporcionalidad entre el daño causado y la dosis individual recibida. 1 gray (Gy) = 1 J/Kg = 107 erg/103 g = 104 erg/g = 102 rad Se habla de dosis equivalente puesto que las diferentes radiaciones causan diferentes daños biológicos en las distintas clases de tejidos. se habla de ellos en términos de probabilidad. vómitos. Cuando una partícula cargada atraviesa el contador. La unidad de dosis absorbida (en el CGS) es el rad. Página 153  . se produce una descarga que. la unidad es el gray. una rad libera 100 ergios por cada gramo de material absorbente. o sea. Para medir los efectos producidos por la radiación (dosimetría) se consideran la “dosis absorbida” y la “dosis equivalente”. se disipan 100 ergios de energía. En el S. Entre esos electrodos se establece la máxima ddp posible sin que llegue a saltar la chispa. que básicamente es un cilindro metálico (ver esquema de la figura) que contiene un gas a baja presión y en cuyo eje lleva un hilo metálico tenso que actúa de electrodo positivo (el cilindro actúa de electrodo negativo). Los efectos genéticos se deben a alteraciones en los cromosomas. etc. hemorragias y en último caso. con la muerte del afectado. La unidad de dosis equivalente es el rem. Los efectos suelen clasificarse en: • Fisico-Químicos • Biológicos: > somáticos · a corto plazo · a largo plazo > genéticos Los efectos biológicos a corto plazo tienen lugar como consecuencia de exposiciones agudas. amplificada. es debidamente contada por un sistema de registro. se disipa un Julio de energía. y se manifiestan en quemaduras. Como los anteriores. Los efectos a largo plazo se deben a la absorción de pequeñas dosis durante largos periodos y son de tipo cancerígeno. que se define como el producto de un rad por un factor de calidad (QF) de cada radiación en cada tejido: 1 rem = 1 rad x QF Uno de los aparatos más utilizados en la detección de la radiación es el contador Geiger-Müller. Es válido para cualquier tipo de radiación y cualquier material. EFECTOS DE LA RADIACIÓN Los efectos directos de la radiación (ionización y calentamiento) pueden producir. otros efectos (perjudiciales o beneficiosos. a su vez. produciendo cambios en la composición química de los tejidos de los seres vivos.  Tema 5. F Í S I C A   N U C L E A R    y   C U Á N T I C A. La probabilidad de aparición de cáncer es proporcional a la dosis colectiva recibida por la población. aumentando la velocidad de algunas reacciones. es posible controlar y disminuir su población en una determinada región geográfica. muchos de ellos cuestionados o prohibidos por los efectos nocivos que producen en el organismo humano. se ha aplicado con éxito la técnica TIE para el control de la mosca de la fruta. c) Conservación de Alimentos. En Chile. la necesaria descendencia. lo que ha permitido la expansión de sus exportaciones agrícolas. identificar el origen de las aguas subterráneas. De este modo. caudales de ríos. En muchas regiones del planeta aún se les combate con la ayuda de gran variedad de productos químicos. Luego los machos estériles se dejan en libertad para facilitar su apareamiento con los insectos hembra. es la obtención de nuevas variedades de especies con características particulares que permitan el aumento de su resistencia y productividad. En estudios de aguas superficiales es posible caracterizar y medir las corrientes de aguas lluvias y de nieve. b) Mutaciones.  Tema 5. La irradiación aplicada a semillas. porosidad y dispersión de acuíferos. fugas en embalses. Medicina Nuclear Se ha extendido con gran rapidez el uso de radiaciones y de radioisótopos en medicina como agentes terapéuticos y de diagnóstico. relación con aguas superficiales. APLICACIONES DE LOS RADIOISOTOPOS Agricultura y Alimentación  a) Control de Plagas. como para la salud humana. Esta técnica despierta algunas polémicas ante los posibles efectos secundarios que pudiera tener. velocidad. El objetivo de la técnica. su edad. Hidrología  Gracias al uso de las técnicas nucleares es posible desarrollar diversos estudios relacionados con recursos hídricos. En el diagnóstico se utilizan radiofármacos para diversos estudios de: Tiroides. flujo. Los animales sometidos al tratamiento soportan durante un período más prolongado el peligro de reinfección siempre latente en su medio natural. después de importantes y rigurosos estudios. Circulación sanguínea.  9. Metabolismo. Pulmón. No se produce. Las radiaciones son utilizadas en muchos países para aumentar el período de conservación de muchos alimentos. dirección. Medicina  Vacunas Se han elaborado radiovacunas para combatir enfermedades parasitarias del ganado y que afectan la producción pecuaria en general. Hígado. F Í S I C A   N U C L E A R    y   C U Á N T I C A. con la tecnología nuclear es posible aplicar la llamada "Técnica de los Insectos Estériles (TIE)". Página 154  . Trato gastroentestinales. En estudios de aguas subterráneas es posible medir los caudales de las napas. Es una técnica que es capaz de reducir en forma considerable el número de organismos y microorganismos patógenos presentes en variados alimentos de consumo masivo. sin que existan pruebas contundentes al respecto. que consiste en suministrar altas emisiones de radiación ionizante a un cierto grupo de insectos machos mantenidos en laboratorio. Se sabe que algunos insectos pueden ser muy perjudiciales tanto para la calidad y productividad de cierto tipo de cosechas. permite cambiar la información genética de ciertas variedades de plantas y vegetales de consumo humano. Riñón. por ende. conexiones entre acuíferos. Sin embargo. Corazón. lagos y canales y la dinámica de lagos y depósitos. luego de sucesivas y rigurosas repeticiones del proceso. el hígado y el riñón. F Í S I C A   N U C L E A R    y   C U Á N T I C A. Combinando el tratamiento con una adecuada y prematura detección del cáncer. Medio Ambiente  En esta área se utilizan técnicas nucleares para la detección y análisis de diversos contaminantes del medio ambiente. etc. el pulmón. ciertas proteínas del suero. velocidades en tuberías. fármacos y variadas sustancias. en piezas cerámicas.  En terapia médica con las técnicas nucleares se puede combatir ciertos tipos de cáncer. La técnica consiste en irradiar una muestra. que consiste en determinar la cantidad de dicho isótopo contenida en un cuerpo Página 155  . Estas imágenes reciben el nombre de Gammagrafía y Neutrografía respectivamente. Luego se detecta la trayectoria de la sustancia gracias a su emisión radiactiva. velocidad de desgaste de materiales. basado en los trabajos desarrollados en 1936 por el científico húngaro J. para finalmente procesar la información con ayuda computacional. cambios de fase de líquido a gas. Radiofármacos Se administra al paciente un cierto tipo de fármaco radiactivo que permite estudiar. se puede determinar caudales de fluidos. mediante imágenes bidimensionales (centelleografía) o tridimensionales (tomografía). Instrumentación Son instrumentos radioisótopicos que permiten realizar mediciones sin contacto físico directo.. se obtienen terapias con exitosos resultados. filtraciones.51 para la exploración del bazo. Una serie de estudios se han podido aplicar a diversos problemas de contaminación como las causadas por el bióxido de azufre. Con frecuencia se utilizan tratamientos en base a irradiaciones con rayos gamma provenientes de fuentes de Cobalto-60. donde con posterioridad se añadirá algún radioisótopo específico. virus de la hepatitis. de espesor o bien de densidad. se utilizan radiofármacos como el Cromo . Con estos métodos se puede comprobar la calidad en soldaduras estructurales. Premio Nobel de Química en 1944.. las descargas gaseosas a nivel del suelo. el estado de diversos órganos del cuerpo humano.57 para el diagnóstico de la anemia. de tal forma. el cual permite obtener mediciones de gran precisión respecto de hormonas y otras sustancias de interés. Entre otras variables. en contaminación de aguas y en el smog generado por las ciudades. La técnica más conocida recibe el nombre de Análisis por Activación Neutrónica. dinámica del transporte de materiales. La información espectral identifica los elementos presentes en la muestra y las concentraciones de los mismos. esferas internas radiactivas.75 para el estudio del páncreas y el Cobalto . en derrames de petróleo. de obtener a posteriori los espectros gamma que ella emite. Hevesy. De este modo se puede examinar el funcionamiento de la tiroides. Radioinmunoanalisis Se trata de un método y procedimiento de gran sensibilidad utilizado para realizar mediciones de hormonas. en desechos agrícolas. etc. Una de las técnicas utiliza el Carbono-14. Se utilizan indicadores de nivel. Industria e Investigación  Trazadores Se elaboran sustancias radiactivas que son introducidas en un determinado proceso. agujas e hilos de Cobalto radiactivo. en piezas metálicas fundidas. para análisis de humedad en materiales de construcción. También. Datación Se emplean técnicas isotópicas para determinar la edad en formaciones geológicas y arqueológicas. el Selenio . lo que permite investigar diversas variables propias del proceso. enzimas. y son de gran utilidad en la industria como método no destructivo de control de calidad. Imágenes Es posible obtener imágenes de piezas con su estructura interna utilizando radiografías en base a rayos gamma o bien con un flujo de neutrones.  Tema 5. así como el volumen y circulación sanguíneos. El procedimiento consiste en tomar muestras de sangre del paciente.G. así como también.   Para  una  muestra  de  80  mg  de  ese  isótopo. periodo de semidesintegración del C‐14 = 5730 años) (Sol.  B)  Si  el  14C  es  radiactivo  y  se  desintegra  mediante  β‐. A) ¿Qué actividad registrará la muestra si se realiza la medida 32 días después?  B)  ¿Qué  número  de  átomos  de  131I  hay  inicialmente?  Escribe  la  ecuación  del  proceso  que  tiene  lugar  y.1 u? (Sol.: 4045 años)      Página 156  .  liberándose  dos  neutrones. y el periodo de semidesintegración del carbono‐14 es de 5730 años).6  desintegraciones  por  minuto  y  gramo  de  carbono. establecer: a) su constante de semidesintegración radiactiva. Investigación Utilizando haces de neutrones generados por reactores. c)  la masa que se tenía hace 30 años. Calcula la edad del bosque  prehistórico. tritio = 3. Una muestra de 131I radiactivo.10  kg.  (La  actividad  del  C‐14  en  los  seres  vivos  es  de  15  desintegraciones  por  minuto  y  gramo  de  carbono.  mientras  que  en  una  muestra de la misma masa de un bosque reciente existen 1350 desintegraciones/minuto.    8.9754 u. neutrón: 1. Establecer la edad de la caja de la momia.9943 u.66 ∙ 10  kg    3. Una  muestra  de  madera  de  una  caja  de  momia  egipcia  da  13536  desintegraciones  en  un  día  por  cada  gramo  de  carbono. etc.9196 u.     9. estudios de monocristales. defectos en sólidos. F Í S I C A   N U C L E A R    y   C U Á N T I C A.  ‐27 ‐27 protón = 1.49∙10‐11 J)    3 3 2. Ten presente los siguientes datos:   Masa He‐3: 3.: unos 152.  ¿qué  proceso  tiene  lugar?  C)  Las  plantas  vivas  asimilan  el carbono de la atmósfera mediante la fotosíntesis y a su muerte. Razonar por qué el tritio.  aproximadamente.  y tiene una actividad media de 84 Bq. Sr = 93. distribuciones y concentraciones de elementos livianos en función de la profundidad en sólidos.5 kg)    5.  para  ello. dando un gran impulso a los trabajos de carácter genético.6726.:  1. que contiene un 0. sabiendo que el periodo de semidesintegración del 14C es de 5590 años (Sol. Una  de  las  reacciones  posibles  de  la  fisión  del  U235  es  la  formación  de  Sr94  y  Xe140. (Sol. En  una  muestra  de  un  bosque  prehistórico  se  detecta  que  hay  197  desintegraciones/minuto.6749. B)  Calcular la energía liberada por 50 g de uranio (DATOS: U = 234. En la alta atmósfera. por lo tanto.  desde  la  muerte  del  animal. Una central nuclear de una potencia de 1000 MW utiliza como combustible uranio natural.  H1 es más estable que el  He2.0086  u)    4. PROBLEMAS 1. disminuye a la mitad cada 5730 años. ¿Qué energía se libera por núcleo en una reacción nuclear en la que se produce un defecto de masa de 0.  orgánico. Por ejemplo.  ¿Cuántos  kg  de  uranio  natural  se  consumirán  en  un  día  de  funcionamiento.  si  la  energía  total  liberada con ocasión de la fisión de un átomo de U‐235 es de 200 MeV y se supone que no hay pérdidas de energía  en la central.016049 u. Un  isótopo  radiactivo  tiene  un  periodo  de  semidesintegración  de  10  años. b) la masa que se tendrá al cabo de 30 años. En el ámbito de la biología. n = 1. debida a la presencia de Carbono-14.016029 u.. Sol.: 15522 años)    6. experimenta una desintegración β‐.7% del  isótopo  fisible  235U.  consulta una tabla periódica. La radiactividad existente. cuyo periodo de semidesintegración es de 8 días.  A)  Formular la reacción nuclear y hacer un análisis cualitativo de la misma con respecto a la conservación de la masa.    7. la introducción de compuestos radiactivos marcados ha permitido observar las actividades biológicas hasta en sus más mínimos detalles. A) Escribe la reacción que  tiene  lugar. es posible llevar a cabo diversas investigaciones en el campo de las ciencias de los materiales. Los  restos  de  un  animal  encontrados  en  un  yacimiento  arqueológico  tienen  una  actividad  radiactiva  de  2. el  14N se transforma en  14C por efecto del bombardeo de neutrones. el proceso de asimilación se detiene.  Calcula  el  tiempo  transcurrido. al medir con precisión su actividad se puede inferir la edad de la muestra.10  kg  ‐24 1 u = 1. (Dato: un gramo de una materia actual de carbono experimenta  920 desintegraciones por hora. Xe = 139.  Tema 5.: 14479 años. se puede obtener información respecto de estructuras cristalinas.  cada minuto. de igual energía. C) Expresar la energía  liberada en la formación de 1 g de helio en kWh. El Sol emite.  B)  Calcular  la  energía  liberada  en  la  formación de un átomo de helio al producirse esa reacción. Calcular la energía total producida. (4 p → α + 2e  +1) determinar el ritmo con que disminuye la masa del Sol y el tiempo necesario para  30 8 12 que se produzca una disminución del 1%. En el año 1898 Marie y Pierre Curie aislaron 200 mg de radio. Cuando hace explosión una bomba de hidrógeno.  el  cual.: 1. Sabiendo que el periodo de semidesintegración  del radon es 3. es necesaria para producir  una potencia eléctrica de 2000 MW? (Dato: masa atómica del tritio = 3.: 14. (Busca los datos que necesites)    21. (Busca los datos que necesites)    15.01700 u) (Sol.  El  40 potasio natural tiene un 0. Tema 5. calcular la actividad específica del agua del mar en  milicurios/litro. expresando el resultado en MeV.23∙104 años)    16.45∙10  kg/seg. A)  ¿A  qué  cantidad  han  quedado  reducidos  en  la  actualidad  los  200  mg  iniciales?  B)  ¿Qué  %  se  habrá  desintegrado  dentro de 500 años?    18. (Buscar los datos que necesites)    11.59 MeV   podría  utilizarse  en  un  hipotético  reactor  nuclear  de  fusión.82 días.  emite  otra  partícula  alfa  y  da  lugar  a  un  isótopo del polonio.: unos 4. A partir de esos datos.38  g/l. Completa las siguientes reacciones de desintegración nuclear:  214 210 Po → Pb + 84 82   234 234 X→ Y+ 90 91 12.34∙10  J. se produce una reacción termonuclear en la que se forma He‐4 a  partir  de  deuterio  y  de  tritio.28∙109 años) (Sol. ¿Cuánto tiempo hace que esa planta estuvo viva? (Dato: T = 5370 años) (Sol. una cantidad de energía igual a 2. suponiendo que la radiación permanece constante. ¿qué masa de tritio. Masa del Sol: 1. cuyo periodo de semidesintegración es 1620 años.98∙10  Kg. (T = 1. en uma. La energía de enlace del  Cl17 es 289 MeV. La  reacción  nuclear  12 H + 13H → 24He + 01n + 17.4 kg)    35 14. expresada en  eV    13. 1. Si esa potencia es consecuencia del proceso nuclear conocido por el ciclo  protón‐protón. por semana.  A)  Escribir  la  reacción  nuclear  correspondiente. Escribe sus correspondientes desintegraciones.01112% de 19K .  10. la masa total de ambos se transforma en  energía en forma de dos fotones o cuantos de luz.: 3∙10‐10 Ci/l)  Página 157  . Se  ha  determinado  que  el  contenido  de  C‐14  de  una  planta  fosilizada  es  el  22. Masa del Sol: 1. El  226Ra88  emite  una  partícula  alfa  y  da  lugar  al  radon. Si la eficacia global de la central fuera del 15%. F Í S I C A   N U C L E A R y C U Á N T I C A.  a  su  vez.98∙10   (Sol: 7. Determinar la energía mínima que ha de tener un rayo gamma para desintegrar un núcleo de He  en un núcleo de  3 He  y un neutrón. Calcula su masa. La potencia radiada por el Sol es 4∙1025 W.  (Sol. ¿cuánto quedará después de 30 días en un recipiente en el que al adquirirlo había 30 g?    17. Cuando choca un electrón con un positrón en determinadas condiciones. Hallar cuánto tiempo tardará la masa del Sol  30 12  en reducirse a la mitad.5%  del  que  existe  en  las  plantas  actuales. El  potasio  es  un  elemento  muy  abundante  en  el  mundo  marino  y  su  contenido  en  el  agua  del  mar  es  0.23∙10 años)    4 20.41∙10  años)    28 19.   Tema 5. Ehrenfest. H. Schrödinger. se nos muestra enigmático (tal vez algo menos. M. A. De Donder. H. Verschaffelt. M. Hoy el mundo. Debye. Kramers.A. La realidad se mostraría muy diferente a todas estas creencias. Bohr. E. L. apartada de todo el antropocentrismo de antaño. que no quedaba más nada que descubrir y que sólo quedaba a la comunidad científica el afinar detalles en los modelos y teorías. O. aún hoy día no comprendida del todo en sus fundamentos conceptuales profundos. P.A.A. M. Born. Knudsen. E. F Í S I C A   N U C L E A R    y   C U Á N T I C A. Richardson  Nada queda hoy día de esa mentalidad positivista. A. Curie. Einstein.H. frente a los que la mecánica clásica de Newton era del todo incapaz de ofrecer una explicación. y aún queda mucho recorrido por hacer. Planck. El V Congreso de Solvay de 1927 puso los cimientos de la nueva física A. Página 158  . pero apasionante. A lo más un ridículo reducto de lo que fue. Dirac.H. Hoy sabemos que los ecos del posible (y cuestionado) Big Bang que dio origen al Universo late en los átomos de que estamos hechos. Wilson. Langmuir. Heisenberg. P.M. Th.W. El panorama se complicaría aún más con el descubrimiento e interpretación de los espectros atómicos y el renacer de toda una nueva manera de entender el mundo: LA MECÁNICA CUÁNTICA. E. quizás. Herzen.T. W. había llevado a creer que la ciencia en general y la física en particular.L.  CUÁNTICA  Hacia finales del siglo XIX la mentalidad positivista de la época en el mundo occidental. Los avances en astrofísica o en biología están resituando a la especie Humana en el lugar de la Creación que le corresponde. y que el pensamiento racional sería la herramienta para poder construir un mundo más justo e igualitario. El camino hasta llegar ahí no ha sido fácil. Brillouin. estimulante y magnífico. y a ello contribuyó el descubrimiento de nuevos fenómenos como el de la radiactividad y el estudio de la radiación electromagnética.R. N. C. Bragg. Ch. de Broglie. La fe en la ciencia y en la física era tal que hubo físicos que se aventuraron a pensar que ya en el siglo XIX la ciencia había tocado su techo. Langevin. R. L. Fowler. Henriot. Compton. Vamos a abordar ahora otro de los frentes abiertos en la física de comienzos del siglo XX: la radiación electromagnética y la estructura atómica. el Universo. Piccard. W.  P. Ed. Pauli.  I. M. W. Lorentz. E. que a finales del siglo XIX). P. darían respuesta a todas las necesidades materiales de la Humanidad. Guye. TEORÍA CUÁNTICA DE LA LUZ El estudio de la luz lleva a la física moderna por dos caminos diferentes: por un lado el de detectar el movimiento absoluto de la Tierra respecto del éter que proponían las teorías clásicas y que influyó decisivamente en el resurgimiento de la teoría de la relatividad de Einstein. y justamente este espectro “de arco iris” había sido obtenido examinando la luz de todos los sólidos y líquidos incandescentes (metales fundidos). fueron tres los acontecimientos fundamentales que obligaron a los físicos a remodelar las ideas de la física clásica con la que tan contentos estaban: la radiación térmica.  Cuando la luz incide sobre un cuerpo cualquiera. “devuelven” la energía absorbida. Tema 5 10. sino que se extiende a todo el espectro electromagnético. y en la actualidad. a comienzos del siglo XX se disponía de gran cantidad de conocimientos experimentales. Respecto al tema de la luz. constituyó la base en la que se iniciaría parte de la revolución que viviría la física de comienzos de este siglo. la mayor parte de la energía que radian se emite en longitudes de onda propias del infrarrojo o más largas. Otro camino nos lleva de forma más indirecta a la teoría cuántica. una parte es absorbida por él y otra parte o bien se refleja en la superficie o bien atraviesa el cuerpo. F Í S I C A   N U C L E A R y C U Á N T I C A. También ellos emiten. El registro espectroscópico de esa energía devuelta constituye el espectro de emisión. Precisamente. Los detalles particulares de este proceso para cada cuerpo concreto se manifiestan por ejemplo en su color. De hecho. Por el contrario. mientras que uno de color negro absorbe casi toda ella. NO ES VISIBLE. las técnicas espectroscópicas mejoraron sustancialmente. de modo que al cesar la excitación. el estudio detallado de los espectros de las sustancias. los átomos que los constituyen quedan excitados energéticamente. cuando se dirige un haz energético sobre una masa de gas y se analiza ese mismo rayo tras cruzarla. Esta interacción entre los cuerpos y la luz NO se restringe a la luz visible. Ese análisis constituye el espectro de absorción. Newton había demostrado que la luz del Sol podía descomponerse mediante un prisma dando un espectro de varios colores. Lo que sucede es que. a las temperaturas ordinarias. los cuerpos NO sólo responden a la radiación que les llega. se observan que “faltan” algunas líneas en el espectro de su “luz” (respecto de la radiación inicial). cabe hacer una clasificación de las diferentes clases de espectros en dos grupos: espectros de emisión y espectros de absorción. Las gafas de visión nocturna no son otra cosa que detectores de infrarrojos. 10. Muy posteriormente. Página 159  .1 Radiación Térmica y Teoría de Planck. el efecto fotoeléctrico y el carácter discontinuo de los espectros atómicos. Color Intervalo de λ en angstroms Rojo 6100 a 7500 Naranja 5900 a 6100 Amarillo 5700 a 5900 Verde 5900 a 5700 Azul 4500 a 5000 Violeta aproximadate. es decir. Un objeto de color blanco refleja casi toda la radiación que recibe. Cuando una masa de gas recibe energía. 4000 a 4500 (Infrarrojo) Mayor de 7500 (Ultravioleta) Menor de 4000 Por otra parte. Ese mismo cambio de color se puede apreciar en el filamento de una bombilla. llevarlo a incandescencia. se trata de emisión propia. la forma de estas curvas de distribución. El área encerrada por la curva y el eje de abcisas es igual a la intensidad total de energía emitida por el cuerpo a esa temperatura. absorbida por las paredes antes de que pueda salir de ella. para un valor fijo de la temperatura nos informa de cómo se reparte la intensidad de energía procedente del cuerpo entre las distintas longitudes de onda (ver figura adjunta). F Í S I C A   N U C L E A R y C U Á N T I C A. Para intentar deducir. También el color de la luz de las mayores fuentes de radiación conocidas. al llamado "rojo blanco". ¿qué hay más negro que una habitación sin ventanas a oscuras? Éste es el modelo de cuerpo negro ideal: una cavidad de paredes muy absorbentes con una pequeña abertura en una de sus paredes. Esta función. pasando posteriormente a un rojo vivo. Si se desea estudiar únicamente la EMISIÓN propia es preciso aislar al cuerpo de algún modo. es decir. un bloque de hierro de color negro adquiere un color rojizo a medida que aumenta su temperatura. en base a un modelo teórico de comportamiento. casi con toda certeza. Cualquier radiación que entre en la cavidad será. y para temperatura más alta. De este modo. Sin embargo. se supuso que los "emisores" que constituyen la pared de la cavidad pueden oscilar con una energía cuyo valor puede ser cualquiera que esté comprendido entre 0 e ∞. La forma de describir la radiación emitida por un cuerpo es una función llamada distribución espectral. en los cuerpos negros ideales esto no es así: no importa cuál sea el material del que estén hechas las paredes ni la forma de la cavidad. esto es. está relacionado con la temperatura. las estrellas. La radiación que proviene de un cuerpo es la suma de la radiación propia y la que refleja. Tema 5 Espectros de algunos elementos químicos Para conseguir que un cuerpo emita luz visible es necesario elevar su temperatura por encima de los 600- 700ºC. Página 160  . El espectro y la cantidad de radiación que emite un cuerpo depende en general del material del que está hecho. Pero. Los objetos de color negro poseen en gran medida esa propiedad. Por ejemplo. Variando la temperatura del cuerpo cambia la forma de distribución espectral. se puede asegurar que la radiación que salga por la abertura tiene su origen en las paredes de la cavidad. Esta dificultad desaparece si el cuerpo absorbe toda la radiación que recibe. desplazándose el máximo (longitud de onda en la que se emite la mayor cantidad de energía) hacia longitudes de onda más cortas. la temperatura superficial de las estrellas.0029 m. en parte porque la radiación del Sol es parcialmente absorbida por nuestra atmósfera. denominada ley de Stefan-Boltzman.67·10-8 Wm-2K-4 la denominada “constante de Boltzman”. Tema 5. sobre todo en las longitudes de onda cortas. la emisión de energía por radiación. F Í S I C A   N U C L E A R y C U Á N T I C A. ya que ningún cuerpo puede emitir infinita energía. Sin embargo. las temperaturas son más altas que la del Sol. cuyo valor de λmáx es pequeño y corresponde al extremo azul del espectro o incluso más allá. Así resulta que T = 500 K4 Dado que la ley de Wien es aproximadamente válida para los intervalos extremos de temperatura. las leyes y teorías físicas de finales del siglo XIX eran incapaces de explicar de modo completo y satisfactorio. Así se determina. aproximadamente. λazul: de 4500  a 500 angstron)  El problema de hallar qué mecanismo hace que los átomos radiantes produzcan la distribución de energía de la radiación del cuerpo negro lo resuelve en el año 1900 el físico alemán Max Planck en un trabajo que presenta a la Sociedad Alemana de Física de Berlín. y en donde anuncia haber hallado una ecuación empírica que se ajusta a las curvas experimentales. hacer algunos cálculos sorprendentes: se analiza la radiación de estrellas distantes para determinar el valor de λmáx. para la radiación del cuerpo negro rige otra ley experimental. donde prevé una emisión de energía infinita. a la que pueda aplicarse con toda precisión la ecuación de Wien. Los datos exactos de las curvas reales de distribución fueron resumidos. el producto de la λ (en cm) correspondiente a un máximo por su temperatura absoluta (en K) es una constante con el valor empírico de 0. Igualmente. 5. Las estrellas “más frías” (rojizas) tienen valores mayores de λmáx y por tanto T es menor. En definitiva. λmáx para el Sol es. por lo que el valor real de λmáx es algo menor. pero sólo en las zonas de BAJAS FRECUENCIAS (valores altos de λ) pero fracasa estrepitosamente en la zona de las altas frecuencias.5.  Con esta hipótesis.k Por ejemplo. lo que se llamó la catástrofe ultravioleta. esta cifra es algo baja. 4 Sin embargo. ¿Qué longitud de onda corresponde al pico del espectro de la radiación emitida por un cuerpo negro a 300 K (temperatura  ambiente)? ¿Sería visible?    Q6. y también porque el Sol no es una superficie negra ideal. Planck no estaba muy satisfecho con su trabajo. en seguida.2897 cm · k: λmáx(cm) x T(K) = 0. ya que para deducir su ecuación había tenido que hacer algunas hipótesis que chocaban frontalmente con la concepción física de la realidad en vigor en esos momentos: se inicia aquí la nueva física de nuestro siglo. que regula la energía total emitida por un cuerpo negro. aproximadamente. Página 161  . ¿Qué rango de temperatura tendrían estrellas como Vega o Antares? (Dato: λrojo: de 6100 a 7500 angstron. podemos. se deduce una ley que se adapta bastante bien a la curva observada experimentalmente (ver figura). Q5. Para las estrellas “calientes”.10-7. de forma experimental. por el físico alemán Wilhem Wien en 1893 en la denominada ley del desplazamiento que en parte establece que para un emisor perfecto de espectros continuos. por unidad de tiempo y superficie: Etotal = σ· T4 siendo σ = 5. 11. el reconocimiento de que la teoría clásica de la luz necesitaba un profunda revisión vino de la mano de una nueva experiencia: el efecto fotoeléctrico. hasta alcanzar un valor cercano al de la velocidad de la luz. sometidos a diferencias de potencial y se les provocan aumentos de velocidad. Tema 5 Planck admite que: • Cada átomo se comporta como un pequeño oscilador y que cada uno oscila con una frecuencia dada ν. cabe esperar un resultado como el aparecido en la gráfica (línea de trazos). siendo emitida o absorbida por los osciladores en “paquetes” que son múltiplos enteros del cuanto de energía.s El trabajo de Planck supone que la energía se emite o se absorbe en “paquetes” (a los que denominó “cuantos”).1. puede parecer que las ecuaciones de Newton son erróneas. No es eso: el principio de conservación de la energía mecánica sigue siendo perfectamente válido. no puede transferirse de modo oscilador  que  emite  radiación  en  una  longitud  aleatorio o continuo. se estudiarán un poco más adelante en este tema. conforme pasa el tiempo. contribuyeron a establecer la concepción actual de la luz. la mecánica de Newton no fue capaz de explicar ciertas experiencias que se desarrollaron a finales del siglo pasado y comienzos de este. F Í S I C A   N U C L E A R y C U Á N T I C A. etc. nos indica que esta energía velocidad no pueda seguir creciendo. no existe (en principio) ningún límite c para la velocidad que puede adquirir un cuerpo. Esas experiencias estaban velocidad relacionadas con el movimiento de las llamadas “partículas elementales”. Es decir. incluso. de valor individual h · ν. 11.  Determina  la  frecuencia  y  el  valor  del  cuanto  de  energía  que  corresponde  a  un  energía “está cuantizada”. lo que sucede es que toda la energía que se ha comunicado para acelerar a los electrones NO HA SIDO UTILIZADA para incrementar la velocidad Página 162  . sino que se estabiliza a medida que aumenta la energía. • Cada átomo puede absorber o emitir energía de radiación en una cantidad proporcional a su frecuencia ν:   E = h ν  La constante (h ) de Planck es una constante universal.10-34 J. sino como múltiplos enteros de esos de onda en el vacío que corresponde a 4000 A  “cuantos”. y nada en las ecuaciones que se conocen en la mecánica newtoniana. posiciones. que junto con el efecto Compton. ¿Hay límites de velocidad? Según la mecánica clásica. Cuando se realizan experiencias con electrones. a la que se atribuye un comportamiento dual como onda y como corpúsculo. de valor 6. los resultados experimentales demuestran que la curva resultante es en realidad la que se indica en trazo continuo.6256. los efectos de esas fuerzas. “CUANDO LA MECÁNICA CLÁSICA YA NO SIRVE”: Fenómenos mecánicos que NO se explican con la física de Newton La mecánica clásica permite interpretar la mayor parte de los movimientos que realiza un cuerpo cuando sobre él actúa (o no) alguna fuerza. donde se puede apreciar que la velocidad NO crece linealmente. pudiendo prever. Sin embargo. En principio. Una de las consecuencias que se derivan de las ideas de Planck es que la "luz está cuantizada". Si se ejerce una fuerza constante sobre un objeto. Cada uno de estos fenómenos nombrados. la Q7. Sin embargo. su velocidad va en aumento. Sin embargo. Estudiemos el choque entre dos protones5. Esto es lo que hizo Albert Einstein. ha de conservarse la cantidad de movimiento: v v v pi = p1 + p2 Como Ec = ½ m v2 y p = m · v se puede poner que Ec = p2/2m de donde pi2 p2 p2 = 1 + 2 ⇒ pi2 = p12 + p22 2m 2m 2m y como recordaremos que v v v pi = p1 + p2 resulta que v v v v v v v v pi2 = ( pi ⋅ pi ) = ( p1 + p2 ) ⋅ ( p1 + p2 ) = p12 + 2 ⋅ p1 ⋅ p2 + p22 Teniendo presente todo lo anterior. Galileo estableció que las leyes de la dinámica deben ser las mismas en todos los sistemas de referencia. En sistemas de referencia inerciales. Sin embargo. Se precisa establecer una nueva expresión para ese principio de conservación. inicialmente. cuando se contemplan velocidad es cercanas a la de la luz. Supondremos que. 11.  Tema 5. Podremos suponer que el choque que se produce es perfectamente elástico. Sin embargo. Cuando se trata de protones que se mueven a velocidades cercanas a la de la luz. ha de conservarse la energía cinética. pudiendo aplicar los principios de conservación que ya conocemos. de nuevo. a raíz de lo último que hemos estudiado. 5 Los choques entre protones ofrecen la facilidad de poderse visualizar muy fácilmente en cámaras de burbujas. encontrando asimismo la relación que existe entre energía y velocidad cuando esa velocidad sea muy alta. es necesario que el producto v v p1 ⋅ p2 = 0 v v de donde concluimos que los vectores p1 y p 2 son perpendiculares entre sí. como sabemos. F Í S I C A   N U C L E A R    y   C U Á N T I C A. Ya en su época. Por otro lado. a que las expresiones de la mecánica clásica para los principios de conservación no son las adecuadas: hace falta una remodelación de la mecánica. lo que hace relativamente fácil su estudio”. 12. estas previsiones teóricas sólo son ciertas cuando la velocidad con que incide el protón que penetra en la cámara de burbujas es relativamente baja. esto es que Ec(i) = Ec(1) + Ec(2).  de éstos. uno de ellos está en reposo. disponer de protones en un laboratorio de física no es ningún inconveniente. parece “que algo falla” y es necesaria una revisión. También el estudio de los choques evidencia ciertas contradicciones que la mecánica clásica no puede resolver.2 Dos protones chocan entre sí. el ángulo que forman los dos vectores es menor que 90º. independientemente del sistema de referencia elegido. si se mueven con velocidad constante unos con respecto a otros. Además. Sin embargo la luz es una excepción a este principio. MECÁNICA RELATIVISTA: un nuevo punto de enfoque. Página 163  . Esto es lo que constituye la esencia del conocido “principio de relatividad de Galileo”. ya que su velocidad de propagación es constante. la mecánica clásica sigue siendo válida. Lo anterior. Por un lado. no es lo único que pone de manifiesto la insuficiencia de la mecánica clásica para situaciones “límite” que rozan la velocidad de la luz. para que se verifique esta última ecuación. Veamos cuáles son las previsiones de la mecánica clásica para un choque de estas características. Esto se debe. 105 km/s (la velocidad de la luz. Sin embargo. 12. De hecho. Ahí las teorías de Einstein juegan un papel crucial. una persona que midiera la velocidad de la luz de un foco de un tren que se moviera a. Einstein observó que la ecuación fundamental de la mecánica v dpv F= dt sólo era válida si se expresaba la cantidad de movimiento en la forma v v m ⋅v p= 0 v2 1− 2 c donde mo representa la masa de la partícula en reposo. por ejemplo. lo anterior suele ponerse como v v p0 p= 1− β 2 o bien como v v p = Γ ⋅ m0 ⋅ v donde β = v/c y 1 Γ= 1− β 2 Así. que se mueven con velocidad constante unos respecto de otros. • La velocidad de la luz es la misma. ya en 1902 se observó que la masa del electrón cambia con su velocidad. F Í S I C A   N U C L E A R    y   C U Á N T I C A. 10 000 km/h. Para simplificar la escritura. por ejemplo. enuncia como postulados. Revisión de conceptos: Masa. es decir. el de las partículas elementales. energía y cantidad de movimiento.  Tema 5. seguiría obteniendo el resultado de c = 3. resulta que NO es posible detectar el movimiento absoluto y uniforme. en donde se consiguen con relativa facilidad las velocidades cercanas a las de la luz. medida en cualquier sistema de referencia inercial. Página 164  .  En el año 1905. Estos postulados van en contra de algunas conclusiones de la mecánica clásica y choca frontalmente con la relatividad de Galileo. el principio de relatividad especial de Einstein. la expresión que nos proporciona la cantidad de movimiento puede escribirse como v v p = m⋅v donde m0 m= v2 1− c2 es la masa relativista. existe en física un extenso campo. Las modificaciones que introduce la teoría de Einstein son importantes y relevantes cuando las velocidades de los objetos con los que se trabaja son cercanas a la de la luz. En “la vida práctica” la mecánica clásica siendo una excelente aproximación. Si lo anterior es así. que • Todas las leyes de la Naturaleza deben ser las mismas para observadores inercias. c) y NO c + v. Así. ya que las partículas con las que se trabaja son de muy pequeña masa.1. depende disminuye?  de la velocidad de la partícula. no.  ¿Cuándo  será  mayor  la  masa  del  electrón. Tema 5 Con esta nueva reformulación de la cantidad de Q8. ya que ellas pueden ser desviadas por campos magnéticos. Et = √2 m0c   1/2 2 igual al trabajo realizado por las fuerzas exteriores sobre el mismo (teorema de las fuerzas vivas).  ¿Por  qué  para  un  electrón  en  un  acelerador  de  resultado final que partículas  su  masa  varía. β tiende al valor 1 y Γ tiende a crecer su momento  lineal  sea m0c? Determina la energía  total de  la  indefinidamente. que da como Q9. esto es: E = Ec + m0c2 = mc2 = Γm0c2 Si la partícula se mueve a velocidad cercana a la de Q11. Ese modo. la energía cinética ha de calcularse de otro para qué valores m ≈ m0  modo. pueden deducirse algunas relaciones importantes. Veamos. no podrá alcanzar jamás la velocidad de la luz. ¿Con qué velocidad debe moverse una partícula para que  la luz.5  c?  ¿Aumenta  o  El primer término de la ecuación anterior. Para una partícula elemental.m0) c2 Q10.  Estudia  la  expresión  de  la  masa  relativista  y  observar  movimiento. Por tanto. Ese segundo término. De este modo. ¿en cuánto varía su masa  al  moverse  a  una  velocidad  v  =  0. F Í S I C A N U C L E A R y C U Á N T I C A. Si no tenemos presente la energía potencial que la partícula pudiera tener. el radio de curvatura nos proporciona una medida indirecta del valor de la cantidad de movimiento de la partícula. ya que en los experimentos con partículas elementales es más fácil medir la cantidad de movimiento de éstas que su velocidad.  crece indefinidamente.: v = (2 /2)c. El segundo. (m0 c 2 ) 2 ⎝ E ⎠ de donde resulta que E = ( pc ) 2 + ( m0 c 2 ) 2 Esta última ecuación es fundamental en mecánica relativista. incluye cálculo integral. la energía cinética de la partícula en ese supuesto. A partir de las ecuaciones anteriores. y ya que la Ec de un cuerpo es Sol. Esto nos indica que cualquier partícula con masa. mc2. por lo menos en partículas cargadas. en reposo o en movimiento cercano a la de la luz?  Ec = (m . m0c2 . Ya que 1 Γ= ⇒ Γ 2 ⋅ (1 − β 2 ) = 1 1− β 2 como E = Γ ⋅ m0 ⋅ c 2 p = Γ ⋅ m0 ⋅ v = β ⋅ Γ ⋅ m0 ⋅ c E Γ= m0 ⋅ c 2 resulta p p⋅c β= = E E m0 c ⋅ m0 c 2 sustituyendo estos valores Γ 2 ⋅ (1 − β 2 ) = 1 E2 ⎛ p 2c 2 ⎞ ⋅ ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ = 1. será necesario comunicar una energía infinita para alcanzar la velocidad de la luz. recibe el nombre de energía en reposo (E0). Página 165  . la energía total que la partícula tendría sería la suma de la energía cinética ((m-m0)c2) y la energía en reposo (m0c2). 6.10-19 J Página 166  . o sea. se vio un año después que ciertas sustancias (en particular los metales alcalinos) mostraban el mismo efecto con luz visible.6784. De este modo.673. EFECTO FOTOELÉCTRICO Por una ironía. El bevatrón es un acelerador de protones que puede  comunicar a éstos una energía cinética de 10‐9 J.10-27 kg) por ejemplo. mientras  MeV/c2. 6 Como recordarás. en lugar de expresar la energía en MeV. tendremos que E0 = 1. Se pudo comprobar que el aire NO intervenía en el proceso. Q12. Así.109. si la partícula en estudio tiene masa nula (las veremos más adelante) resulta que E = pc y con ello p⋅c β= =1 E Esto supone que una partícula de masa en reposo nula DEBE ESTAR SIEMPRE EN MOVIMIENTO. F Í S I C A   N U C L E A R y C U Á N T I C A.  exponenciales. p = (n+1)(1‐1/(n+1)2)1/2m0c  12. determina cuál será  su velocidad y su cantidad de movimiento. Esto nos evita el neutrón  es  1. Hay que observar que según lo anterior. Se vio también que la radiación ultravioleta tenía el efecto de arrancar cargas negativas de la superficie limpia de un metal y que eran esas cargas las que ayudaban a mantener una corriente transitoria adecuada entre los electrodos. resulta que para el cálculo anterior que mp = 939 Q14. para un protón. fue una observación incidental recogida por Hertz durante la investigación experimental que proporcionó la prueba más contundente en favor de la teoría electromagnética clásica de Maxwell.  Determina  su  energía  en  reposo  en  engorro de trabajar con kg y manejar julios y en MeV. Comprobar que el MeV/c2 es una unidad de masa. 13. De hecho. CON UNA VELOCIDAD IGUAL A LA DE LA LUZ. (de masa m0 = 1. Una unidad habitual en estos terrenos del mundo cuántico es el electronvoltio6 (eV) y el MeV (megaelectronvoltio).10-10 J. Otras unidades. investigando la descarga eléctrica entre dos electrodos usada como fuentes de ondas electromagnéticas.  Determina la  variación de masa que experimentan estas partículas.  (Sol. Así. la energía en reposo de una partícula E0 es constante. y la del  prácticamente equivalente. el electronvoltio es la energía que adquiere un electrón al someterlo a una ddp de un voltio.(pc)2 es igualmente constante.10‐27  kg.  partícula en MeV o su masa en MeV/c2 es Q15. para “el mundo de las partículas elementales” resulta más conveniente expresar la energía que la partícula lleva asociada. La masa en reposo de un electrón es 9. donde es fácil errar. el primer paso que condujo al descubrimiento del denominado efecto fotoeléctrico y al reconocimiento de que la teoría clásica de la luz necesitaba una revisión fundamental. la expresión E2 . independientemente del sistema de referencia elegido. podemos expresar la masa en MeV/c2.2.: v = c (1‐1/(n+1)2)1/2.  Q13.504. Por ello. 1 eV = 1. En 1887. Dadas las relaciones anteriores. ya que la energía en reposo de una partícula viene dada por E0 = m0c2. expresar la energía en reposo de una que el MeV/c es de cantidad de movimiento. 939 MeV. Si se comunica a una partícula en reposo una energía cinética igual a n veces su energía en reposo. Según lo anterior. Tema 5 La última ecuación. también puede ponerse del modo E 2 − ( pc) 2 = ( m0 c 2 ) = E 02 Según esto. FOTONES: partículas sin masa. Hertz observó que la intensidad de la descarga aumentaba cuando se iluminaba los electrodos con luz ultravioleta.10‐31 kg. pero no de su intensidad. De experiencias de este estilo. no podrá hacerlo. Para explicar el efecto fotoeléctrico. Einstein quien. fabricado de metales alcalinos o sus óxidos) y de un ánodo o placa metálica dentro de una ampolla de vidrio con un elevado vacío. cada fotón posee una energía determinada que sólo depende de la frecuencia de la radiación luminosa. no entendían. cualquiera que sea la intensidad de la radiación. En tales condiciones. Fue A. establecen que en las interacciones con la materia. Einstein era de origen judío. Einstein sobre el efecto fotoeléctrico. Por ello. en caso contrario. que por lo tanto ha de moverse continuamente a la velocidad de la luz. una onda electromagnética de frecuencia f puede ser considerada como un conjunto de partículas (a las que Einstein denominó fotones). en 1905.f = Ec + W W es característico de cada metal. al iluminar el cátodo. trabajo de extracción. se dedujeron una serie de leyes experimentales: • El efecto fotoeléctrico es prácticamente instantáneo. Estas leyes experimentales (sobre todo la última) NO podían explicarse según la concepción ondulatoria de la luz. Sin embargo. admitía que cada fotón del haz choca con un electrón. Para determinar la energía ánodo máxima. es una partícula sin masa y sin carga. fundamentalmente. Por ello recibiría el Premio Nobel (y no por sus teorías de la relatividad)7. 7 A. W) y dotarlo luego de velocidad (de energía cinética). Por más que se aumente la intensidad del haz (y por tanto el número de fotones) si cada uno de ellos no posee por sí mismo la energía suficiente. hay una frecuencia mínima (denominada frecuencia umbral) por debajo de la cual NO se A produce emisión fotoeléctrica. se verifica que V0. entonces arranca el electrón del átomo. La energía del fotón que incide. no era una “decisión acertada” otorgar el premio nobel a un científico judío que había dado a conocer unas teorías que buena parte de los “físicos ortodoxos” alemanes. Este hecho (y su interpretación correspondiente) dieron por sentado definitivamente el carácter dual de la luz. Consta esencialmente de un cátodo fotosensible (sensible a determinados “tipos de luz”. donde V0 es el “potencial de detención” (o potencial de frenado) • Para cada metal del cátodo. que son atraídos por el ánodo positivo. en los “preparatorios” de la 2ª guerra mundial. las presiones políticas y sociales están fuertemente presentes: “no es tan bonito como nos lo pintan” Página 167  . de Planck). • La energía (y velocidad) de los fotoelectrones sólo depende de la frecuencia de la luz. se aplica a los electrodos una ddp de signo opuesto que se va incrementando hasta que anule por completo la fot océlula corriente fotoeléctrica. estableció de modo contundente la hipótesis que permitió explicar el efecto fotoeléctrico. El fotón así descrito. ha de emplearse de dos formas: extraer el electrón (venciendo la atracción del metal. • La intensidad de corriente (carga de electrones emitidos por luz unidad de tiempo) es proporcional a la intensidad de la luz incidente. puede escribirse que h. Según las ideas de Einstein. Si la energía del fotón es suficiente. arranca electrones. También en esto de los Premios Nobel. la cual cesa al suprimir la iluminación. es decir. Los trabajos de A. NO se arrancarán electrones y no tendrá lugar el efecto fotoeléctrico. una luz muy intensa es aquélla que posee muchos fotones. En su época.e = ½ m v2máx. cada uno de ellos “portadores” de una energía igual a E = h · f (siendo f la frecuencia de la radiación y h la cte. F Í S I C A   N U C L E A R y C U Á N T I C A. Los fotoelectrones cát odo de masa m extraídos del cátodo por efecto de la luz incidente poseen una energía cinética inicial. Tema 5 La figura muestra el esquema de una fotocélula. originándose una corriente eléctrica que se detecta fácilmente. Al incidir luz sobre el cátodo. se detecta instantáneamente la corriente. Por tanto: W0 h h tagα = ⋅ = e W0 e Midiendo α y utilizando el valor conocido de la carga e podemos volver a determinar la constante de Planck. corta al eje de ordenadas en un punto que corresponde con el valor W0/e (el cual se obtiene sin más que hacer cero la frecuencia en la ecuación anterior). Tema 5.4 eV. podemos obtener una serie de fo=Wo/h valores del potencial V0. Al incidir sobre el potasio un haz de luz de 3000 A. H. el físico norteamericano A.05  eV. posee una energía cinética de 4 eV. siendo dispersados por éstos. como sabemos. Página 168  . cuya longitud de onda es 6700 A?  Q19.  Teniendo presente que el efecto fotoeléctrico sólo tiene lugar para energías superiores a la frecuencia umbral. El resultado es el mismo que el hallado para la radiación del cuerpo negro. foto) descubrió que un haz de rayos X de 0. La energía que se necesita para extraer un electrón del sodio es de 2.8 eV.  Q17. los electrones emitidos poseen una energía cinética máxima de 2. Si prolongamos la recta. La experiencia de Compton sólo se explica suponiendo que los FOTONES pueden “chocar” con los electrones.  Q18. EFECTO “COMPTON” En el año 1923. Si se duplicara la frecuencia de la radiación que incide sobre una placa metálica. lo cual constituye una justificación más de la hipótesis de Planck. Q16. ¿Podemos producir el efecto fotoeléctrico  para el sodio con luz anaranjada.71 A de longitud de onda era dispersado al cruzar una región en donde existían electrones.  14. F Í S I C A   N U C L E A R y C U Á N T I C A. Los rayos X. son radiación electromagnética cuya frecuencia es más elevada que la de la radiación visible. el gráfico de f los valores de V0 frente a f debe ser una recta. Calcula la  frecuencia mínima capaz de extraer ese electrón y la de la radiación usada.f0) expresión que se conoce con el nombre de ecuación de Einstein del V0 efecto fotoeléctrico. Un electrón arrancado al hierro. Determina la energía del fotón incidente y la energía de extracción del potasio. podremos escribir que: V0 · e = hf .W0 por lo que variando la frecuencia. Si la última expresión es correcta. La particularidad de este fenómeno está en que la frecuencia de la radiación dispersada es MENOR que la de la radiación incidente. Compton (1892-1962. Este descubrimiento desencadenó nuevos conocimientos sobre los fotones. ¿se duplicaría la energía cinética de los  electrones emitidos? Explicación. cuya energía de extracción es de 4. podemos escribir que W = h. Teniendo presente la idea de “potencial de detención” anteriormente señalada. Esto es exactamente lo Wo/e que se obtiene.f0 con lo que lo anterior nos queda del modo: Ec = h(f . Por las características de las partículas que intervienen. después de todo esto.λ sólo depende del ángulo de dispersión θ formado por la dirección de la radiación incidente y la elect rón dirección en la que se observan las ondas dispersadas (ver figura) según la expresión θ Det ect or λ' . se obtiene que 1 1 h − = ⋅ (1 − cosθ ) f f ' me ⋅ c 2 Como recordamos que λ = c/f ⇒ c = λ · f se deduce de lo anterior que h λ '−λ = (1 − cos θ ) me ⋅ c por lo que se deduce que necesariamente h λc = me c Así. midiendo λc. está claro que el estudio de esta colisión ha de hacerse utilizando la mecánica relativista. Por tanto. determinado experimentalmente. F Í S I C A   N U C L E A R y C U Á N T I C A. escribiremos que (conservación de la energía): E0 + h. vimos que E = pc). p’ la del fotón dispersado y pe la correspondiente al electrón. se puede calcular el valor de h. se puede explicar la dispersión de la radiación electromagnética por un electrón libre si se identifica el proceso con un choque entre un electrón libre y una partícula de masa en reposo nula. Radiación dispersada y conocida con el nombre de longitud de onda de Compton para electrones. me y c. de las ecuaciones relativistas que venimos utilizando se desprende que una de las partículas que colisionan tiene en reposo masa nula y se mueve con velocidad igual a c (recordar que en estos casos. Del mismo modo (conservación del momento lineal): v v v p = pe + p ' donde p es la cantidad de movimiento del fotón inicial.10-12 m.λ = λc (1-cos θ) donde λc es una constante cuyo valor. f = E02 + p 2c 2 + hf ' donde E0 es la energía en reposo del electrón. Ya que para el fotón c h E = pc ⇒ hf = pc ⇒ h = pc ⇒ p = λ λ si resolvemos el sistema formado por los principios de conservación de la energía y de la cantidad de movimiento. Además. A partir de esto. Analizando el choque. Tema 5. y (E02 + p2c2)1/2 es la energía del electrón tras salir arrancado del blanco.42. tiene un valor de λc = 2. la dispersión de una onda electromagnética por un electrón se puede interpretar como el “choque” entre la onda y el electrón en donde se conservaran tanto la energía como el momento lineal. hf es la energía correspondiente al fotón incidente. obteniéndose el mismo valor encontrado para la constante de Planck. el Página 169  . y teniendo presente los principios de conservación de la energía y cantidad de movimiento. Compton encontró experimentalmente que la diferencia λ’ . debido a la interacción.  Radiación incident e Si llamamos λ a la longitud de onda incidente y λ‘ la de la dispersada. hf’ la que corresponde al fotón dispersado. la imagen i ondulatoria concueerda perfectam mente con los hechoos experimenta ales. para explicar e la rad diación del cuuerpo negro. Esto le hizzo plantearse adentrarse enn la física.1. Tema 5 fotón. sino quue como pura especulación asignó una lo ongitud de onda a estas onda as hipotéticas. Sin S embargo. p se comprobó c quee la naturalezza de la luz es e más sutil. que denominamo os fotón. esto es. mantenía a con su hermmano (que era a físico) profu undas discusioones sobre probleemas científico os. • la dispersiónn de la radiaciión electromagnética por un electrón librre se puede coonsiderar como un choque entre el elecctrón y un fotón. 128º con la  direcció ón del fotón dispersado)  1 15. y en e su tesis doctoral plantea ya a que al igua al que los fottones presentan un compo ortamiento dual. calcula cuánto varía la energíaa. e asociamo os el fotón a una onda electromagn nética. frecuencia y lo ongitud de ondaa del fotón.  Un fotón de 10‐ U 11  m de  longitud de onda. ambas descripciones d son posibles dependiendo o del tipo de fenómmeno observado. Como o se ha visto. Sin embargo. Luis de d Broglie (fo oto) se licencció en historiia en la Universidad de París. Un fotón cuya en nergía es de 15 keV choca con un electrón librre en reposo y ssale dispersado. por taanto.  Q22. resp pectivamente ppor Newton y Huygens en siglo XVII: X para long gitudes de ondda entre 10-3 3 y 103 m. la descripción fotónicaa es la más addecuada. o y no sólo o eso. Sin embargo. Simultáneameente presenta la conducta ondulatoria y corpu uscular. la materria debía presentar también n el mismo comportamiento. F Í S I C A  A   N U C L E A R y C U Á N T I C A. El marco teóricot de la conexxión de ambass teorías lo connstituye la meccánica cuánticca. Aceptando. De Brroglie establecció la hipótesiss de que las partículas p mate eriales tienen asociadas una onda.  B)  ¿Qué  cantidad  de  energía  cin nética  se  comun nica  al  electrón n  que  rebota?  (Suponer tratamiento clásico con Eo == 0)   Q21.10 V.4.243. A ASOCIAC CIÓN “ON NDA-PAR RTÍCULA” Los feenómenos de difracción d e in nterferencia (que ya se viero on en el tema de movimientto ondulatorio o) pueden ser aplicaados y explicados considera ando la luz coomo una onda a. Cada una de estas interpretacion nes justifica un na serie de expperiencias y permite armoniizar. • La energía y el momento lineal del fotó ón están relacionados con laa frecuencia y la longitud de onda de la radiación electromagnéti e ica por E = hf y p = h/λ. el carrácter corpusccular de la radiación.  A)  Deteerminar  el  desp plazamiento  Co ompton  Δλ. Cuando la longitud de d onda dism minuye hasta órdenes del amstrong o inferiores.. ¿por ¿ qué no o pensar en un posible comportamiento on ndulatorio de la l materia? 15. En la reegión del visible. las explicacionnes del efecto Compton han n requerido. ele efecto fotoe eléctrico o el efecto e Compto on. Determ mina la longitud d de onda que  correspponde a la radiaación dispersa del movimiento de los electrone 0‐11 m. aunque en unos feenómenos pre edomina más una sobre otrra. Raayos X de 1 A so on dispersados m mediante un blo oque de carbón. e con nforme las técn nicas experimeentales se fuerron haciendo más precisas. 2. La radiación diispersada se obsserva a 90º del haz incidente. como ondas y como partícculas. con todas las l propiedades de éstas. (Sol. Supuso quee la longitud de onda de las ondas Página 170  . que posee una energía E = h · f y un momento m linea al dado por p = E/c = h/λ antes de la colisión c y una energía E’ = h · f’ y un momento o p’ = h/λ‘ deespués de la co olisión.  exxperimenta  la dispersión Comp pton en una  mu uestra  de silicio o.104 eV es de retroceso.  La  radiación  disperssada tras el procceso lo es en unna dirección perrpendicular a la dirección de inccidencia. la as siguientes suposiciones: • la radiación n electromag gnética hace las veces de d una partíccula de massa en reposo o nula. Q20. tras siglo os de disputa. las co oncepciones corpuscular c y ondulatorias de la luz.: 1. Natu uraleza Ondullatoria de la M  Materia. se necesitta una nueva teoría: la teoría corrpuscular de la a radiación.. deffendidas. Si el ángulo de e dispersión es  de 60º. Podemos comprender. pero no de su composición química. La naturaleza ondulatoria de la materia se pone de manifiesto cuando la longitud de onda de las partículas es un poco mayor que las dimensiones de los obstáculos con los que tropieza. y hoy en día se acepta sin reservas el carácter dual de la materia y de las partículas elementales. para que su longitud de onda asociada sea lo suficiente grande para que se puedan observar en la materia fenómenos derivados de su naturaleza ondulatoria. como las partículas atómicas. Determina la longitud de onda de De Broglie correspondiente a una pelota de tenis que se mueve a 190 km/h (en un  saque) si su masa es de 90 g. Se precisan las masas más pequeñas que existen. Página 171  .: 1. Las figuras de la difracción coincidían con las que cabría esperar si se asocian a las partículas una onda con la longitud de onda de De Broglie. ESPECTROS DISCONTÍNUOS Como vimos unas páginas anteriores. Predijo que: h λ= m⋅v donde m es la masa de la partícula. muy brillantes unas. y otras menos. Tema 5 materiales debería venir dada por la misma relación aplicable a la luz.2 A)  Q24. es decir. los gases y vapores tienen espectros de emisión de rayas.  16. Las ideas de De Broglie fueron posteriormente confirmadas experimentalmente. volvamos a otro tipo de espectro. Visto con un espectroscopio. F Í S I C A   N U C L E A R y C U Á N T I C A. Calcula también la que corresponde a un tren de mercancías de 1000 toneladas que marcha a  150 km/h. el espectro aparece como un conjunto de líneas irregularmente repartidas. se sabía que los gases y vapores emiten luz cuando son “excitados” mediante una chispa o arco eléctrico. Los electrones revelan su naturaleza ondulatoria si su longitud de onda es del orden de las dimensiones atómicas y los neutrones cuando es del orden del tamaño del núcleo. por tanto. cuando se descomponía mediante un espectroscopio. Esos espectros dependían sólo de la temperatura de la fuente. Nos referimos entonces sólo a los espectros producidos por sólidos o líquidos incandescentes. resultaba que la luz así emitida. Una vez identificadas las características generales de esta ley (al menos provisionalmente) y comprobado su éxito en la interpretación del efecto fotoeléctrico. discontinuos. llevó a Planck a formular su hipótesis cuántica en el año 1900. Desde hacía tiempo. ¿Qué longitud de onda debe tener un haz de electrones cuya energía cinética es de 100 eV?  (Sol. es decir. La evidencia más directa de las ondas de materia lo dio la observación de la difracción de haces de partículas tales como los electrones y neutrones. daba un espectro notable y fundamentalmente diferente de los espectros continuos de emisión de los sólidos y líquidos incandescentes. Y naturalmente. Con este objeto. λ = h/p que relaciona la longitud de onda de una onda luminosa con el momento de los fotones asociados a ella. fue precisamente este carácter universal de los espectros de emisión el que atrajo la atención de Planck y le hizo sospechar la existencia de una ley fundamental de la física. en lugar de una banda de colores variables del tipo “arco iris”. veamos ahora cómo podía aplicarse a los problemas más específicos de la estructura atómica. Q23. ya que entonces las ondas asociadas a esas partículas se difractan en ellos con facilidad. por qué tardó tanto tiempo en descubrirse la naturaleza ondulatoria de la material. sólo presentaban luz en algunas longitudes de onda bien definidas con espacios oscuros entre ellas. Además. el estudio de los espectros continuos de emisión. por ejemplo. De nuevo. mientras que el vapor de sodio tiene sólo dos rayas intensas amarillas próximas en la región visible. Todas las expresiones para determinar la posición (la longitud de onda) de esas líneas pueden ser sintetizadas en la ecuación final: 1 ⎡1 1 ⎤ = R⋅⎢ 2 − 2 ⎥ λ ⎢⎣ ni n f ⎥⎦ donde ni < nf siendo ambos números enteros. Esta expresión (empírica) no justifica.097. De todos estos hechos. otros son mucho más simples: el vapor de hierro. el profesor suizo. El hecho de que cada elemento químico presente una serie de líneas características. Trabajos de Balmer. es que los espectros de emisión de líneas SON MARCADAMENTE DIFERENTES PARA ELEMENTOS DISTINTOS. Tema 5 Otro punto de diferencia con respecto a los espectros continuos de emisión. 16. En 1884.107 m-1 y n un número natural cuyo valor ha de ser superior a 2. estudiando la zona del espectro de emisión del hidrógeno correspondiente a la zona visible. F Í S I C A N U C L E A R y C U Á N T I C A. demostrar la validez de las fórmulas anteriores. permitía calcular las longitudes de onda de las líneas visibles del hidrógeno. Se hallaron nuevas series en el ultravioleta (serie de Lyman) y en el infrarrojo (serie de Paschen y Brackett). Página 172  . Esa expresión es ya conocida de un curso anterior: 1 ⎡1 1⎤ = R⋅⎢ 2 − 2 ⎥ λ ⎣2 n ⎦ donde R es una constante. Cada sustancia tiene su propio sistema característico de longitudes de onda en toda la región observable. muestra unas seis mil líneas brillantes. sin ningún soporte teórico. las teorías clásicas sobre emisión de radiación son incapaces de explicar estos hechos. Johann Balmer.1. se encontró que existían más series de líneas en el espectro del hidrógeno. y mucho menos. cada material podía identificarse a partir de su espectro de emisión de rayas. la necesidad de encontrar alguna regularidad entre las líneas que conforman. Al perfeccionarse las técnicas espectroscópicas. que tales espectros debían estar íntimamente relacionados con la estructura interna de la materia. en absoluto por qué los gases emiten espectros a rayas. La gran variedad de sistemas de rayas y sus separaciones parecía completamente inexplicable: ¿por qué los gases emiten espectros de rayas y por qué elementos íntimamente relacionados presentan sistemas de líneas tan diferentes? Todo esto estaba destinado a permanecer como un auténtico enigma durante casi tres generaciones. Algunos materiales revelan un espectro de emisión complejo. halló una expresión que. De cualquier modo. permitió sospechar más adelante. de valor 1. surgió inmediatamente. lo que no sucede. fue obra del danés N. Uno de los primeros intentos de armonizar los conocimientos sobre los espectros del átomo de hidrógeno y un modelo de átomo que fuera consistente con ellos. y su valor depende de los posibles valores de n. “no se cumple la ley electromagnética” de que toda carga acelerada emite energía radiante.3. El hecho de que sólo se observen determinadas longitudes de onda es otra prueba más de que la energía de los electrones está cuantizada. en cada uno de estos saltos. 3º) El electrón excitado No emite energía de forma continua al regresar a su órbita estable. el modelo atómico de Rutherford no era estable. el electrón perdería velocidad y terminaría cayendo en el interior del núcleo.2. fueron denominándose con las letras K. en 1913..  De acuerdo con lo que sabemos a estas alturas del curso. la energía del electrón en la órbita está cuantizada. N. dado que la energía del electrón en su órbita es la suma de la cinética y potencial (eléctrica) se llega a 1 K ·e 2 2·π ·K 2 ·m·e 4 1 E=− · =− · 2 2 r h2 n Esto es. sólo son estables aquéllas que cumplen la condición matemática h mvr = n 2π el número n es un número natural (1. que se corresponden con las órbitas permitidas.. denominados “saltos en cascada”. 16. al girar alrededor del núcleo poseen aceleración centrípeta y de acuerdo con las leyes del electromagnetismo.) y puesto que “cuantizaba” las órbitas. Primeros intentos de explicación: modelo de Bohr. ya que los electrones. En ellas. el electrón sólo adquiere ciertos valores de energía. las diferentes “órbitas” a ellos correspondientes. L. Página 173  . Combinando las versiones matemáticas de estos tres postulados se llega fácilmente al hecho de la cuantización del radio h2 r = n2 · 4·π ·K ·m·e 2 Y por otro lado. Bohr. F Í S I C A   N U C L E A R y C U Á N T I C A. P. Tema 5. han de irradiar energía electromagnética. Si perdiese energía. Esto no lo explicaba Rutherford ni por qué el átomo emite sólo en determinadas longitudes de onda. M. e 2 mv 2 k = r2 r 2º) De todas las órbitas posibles para el electrón.2. no emite ni absorbe energía. . En un intento de solucionar el asunto.. y que por lo tanto. En función de los valores de n. Q. se emite radiación que deja una huella en el espectro. sino que lo hace a pequeños saltos.. Bohr propuesto un nuevo modelo atómico basado en tres postulados: 1º) Las órbitas (circulares) estables para el electrón tienen la propiedad de que cuando el electrón se encuentra en ellas. lo denominó número cuántico principal. y específicamente con la distancia a la que éstos se hallan del núcleo.  El origen de los espectros era desconocido hasta que la teoría atómica asoció la emisión de radiación por parte de los átomos con el comportamiento de los electrones. La principal dificultad. Tema 5 En caada salto de nivel. estriba preccisamente en determinar qu ué es lo que vibra. n la concoordancia entree perdición y experimento o. en la que laa cuantizaciónn que correspponde a los niiveles de enerrgía está relaccionada con llos valores pe ermitidos que corressponden a lass longitudes de onda del electrón. y sólo se s ha hecho con c cierto éxito o en el caso de d átomos con n pocos electrrones. esa ecuación es extrem madamente co ompleja de ressolver. Las ideas de Boh hr se muestran n del todo insuficciente para áto omos de más de un electrón (Z > 1). cuya Página 174  . el electtrón emite (o absorbe) un fotón de energía. En 1926. tanto dee esta teoría como de loss postulados de De Broglie. el físico ausstríaco E. preedicho por Planck. se veía desdoblada a (ver efectoos Zeeman y Zeeman anómalo del curso pasado). de los que era posible dedducir una ecuuación que exp plicaba el com mportamiento de los electro ones en cualquier átomo o molécula. concebido o como una partícula p punttual. G GENERAL LIZACIÓN N. 1 17. Sin embargo o. Com mpatibilizar essto con un ele ectrón puntuall. era en reaalidad. Esta teoría. Boh hr. t conocida como “Meecánica Ondu ulatoria”. F Í S I C A  A   N U C L E A R y C U Á N T I C A. moviéndose m simultáneamentte con velocidades muy diiferentes. de valorr h · f. P De nuevo. una geeneralización de d los postulados de N. cada línea del espectro de hidróg geno. No se tra ata del electró ón. sino que hay que pen nsar en que el e electrón se dispersa porr la órbita. Schrödinger (en la foto) establecía en su teoría a una serie de e postulados. e incluso cu uando las técniccas espectrosccópicas mejoraron. constituyó un firme soporrte de las ideas cuánticass de Planck y su aplicacción a la explicación de los espectros e disco ontínuos en ga ases. Schrrödinger desa arrolló una teo oría matemática de las pro opiedades ató ómicas. El modelo de Bohr sólo explica adecuadamente el comportamiento del átomo dee hidrógeno. Los reesultados obteenidos por Dee Broglie dierron un rotunddo vuelco a la concepción n física de la realidad. se ha interpretado ERRÓNEAMENTE que el principio de incertidumbre es “una limitación experimental”. A veces. con menor precisión se medirá la otra. De hecho.54 W. por lo que en el mundo macroscópico también existe. El principio de indeterminación también se aplica a la energía y al tiempo. pronto se vio que ambas teorías eran matemáticamente equivalentes.6 x 10-19 C Masa del electrón me = 9.0 eV. penetra en una célula fotoeléctrica de cátodo de cesio cuyo trabajo de extracción es de 2. Por lo mismo. es una ciencia mucho más sugestiva y mucho más hermosa. libre de incertidumbre.1 x 10-31 Kg Constante de Planck h = 6. PROBLEMAS RESUELTOS y PROPUESTOS 1. se consideran como dos formas alternativas de una única teoría: “La Mecánica Cuántica”. Fue W. Heisemberg quien desarrolló una nueva teoría. En el año 1927. Una radiación monocromática que tiene una longitud de onda en el vacío de 600 nm y una potencia de 0. Esto ha tenido profundas repercusiones en el terreno de la filosofía. inherente. Datos : Velocidad de la luz en el vacío c = 3 x 108 m s –1 Valor absoluto de la carga del electrón e = 1. Cuanto mayor sea la precisión en la medida de una de esas magnitudes. debido a la restricción: h δE ⋅ δt ≥ 2π Ello hace de la física una ciencia mucho menos determinista de lo que cabría esperar. el pequeño valor de la constante de Planck explica que sólo deba ser tenido en cuenta en el mundo microscópico. F Í S I C A   N U C L E A R y C U Á N T I C A. Esa teoría era capaz de ofrecer los mismos resultados que la mecánica de Schrödinger. habituados a las “precisiones” del mundo macroscópico. y de hecho. a la propia Naturaleza. que debido a la parquedad de los instrumentos de medida. resulta verdaderamente complicado. conocida como “Mecánica de Matrices”. es imposible obtener datos con “exactitud”. b) La longitud de onda umbral del efecto fotoeléctrico para el cesio. Un modo de caracterizar las consecuencias que la mecánica cuántica introduce en la física es el denominado principio de incertidumbre de Heisemberg. Actualmente. “la filosofía se hace en los laboratorios y despachos de los físicos teóricos”. Tema 5 carga y masa es posible medir experimentalmente. ya que el producto de sus imprecisiones es siempre mayor que una cantidad constante. es imposible medir con precisión simultáneamente la posición y la cantidad de movimiento de una partícula. Sin embargo. en la que ofrecía una serie de reglas para calcular las frecuencias y las intensidades de las líneas espectrales en las que sólo utilizaba relaciones entre magnitudes observables. c) La energía cinética de los electrones emitidos. Heisemberg postuló que ciertas propiedades de las partículas NO pueden ser medidas simultáneamente de forma exacta. Sin embargo. y viceversa. Nada de eso: la indeterminación es algo propio. d) La velocidad con que llegan los electrones al ánodo si se aplica una diferencia de potencial de 100 V. hoy en día. función de la constante de Planck: h δx ⋅ δp ≥ 2π Esta indeterminación es inherente a la propia realidad. Determina : a) El número de fotones por segundo que viajan con la radiación. es imposible determinar ambas magnitudes simultáneamente con precisión.63 x 10-34J s Página 175  . es decir. 63.10 −34 . Suponga velocidades no relativistas.63.93.10 − 20 + 1.10 − 7 m λ0 Wextr 3.63.1018 s J s 3. a) h λe = meve h λp = mpvp Página 176  .315.6.10 −17 ⇒ v ′ = 5.63.6.10 6 2 2 2 s m v ′ = 5.313.10 − 20 J d) 1 1 1 m mv 2 + eΔV = mv ′ 2 ⇒ mv ′ 2 = 1.10-7m P = 0. 1.10-19 J = 3.c 6.54 N º fotones s fotones = = 1.10 8 E c = h − Wextr = − 3.54 W Wextr= 2.10 8 J E fotón = h = −7 = 3. F Í S I C A   N U C L E A R y C U Á N T I C A.10 −7 E c = 1.10 6 s 2.54 s c 6.2.2.10 −19 = 1.10 fotón J 0.10 18 s s b) c h.10 −19 Wextr = 6.54 W = 0.10 −34 .0 eV= 2.15.10 −34 . Considere las longitudes de onda de De Broglie de un electrón y de un protón. Tema 5 DATOS λ = 600 nm = 6.2.3.15.3. Razone cuál es menor si tienen: a) El mismo módulo de la velocidad.10 8 Wextr = h ⇒ λ0 = = = 6.10 − 20 J λ 6.21.10 − 7 m c) c h = Wextr + E c λ c 6.15. b) La misma energía cinética.93.63.10 −19 λ 6.10-19 J a) J P = 0.21.10 −19 fotón Nº fotones fotones = 1.3. 008665 u.0001089 u. Para calcular el defecto de masa producido en el formación de ese núcleo. 1u =1.99.Z = nº de neutrones = 15-7= 8 15 a) El Nitrógeno 7 N contiene en el núcleo 7 protones y 8 neutrones.=0. la relación entre las longitudes de onda de de Broglie será λe mp = λp me Como λe mp mp > me ⇒ = > 1⇒ λe > λp λp me λe > λp b) La misma energía cinética Ec e= Ec p= Ec 1 1 Ec = m e v e2 = m p v 2p 2 2 2E c 2E c h h h v e2 = ⇒ ve = ⇒ λe = = = me me m e ve 2E c 2E c m e me me 2E c 2E c h h h v 2p = ⇒ vp = ⇒ λp = = = mp mp mp vp 2E c 2E c m p mp mp Como h λe 2E c m e mp mp > me ⇒ = = > 1 ⇒ λe > λ p λp h me 2E c m p λe > λp 3. Calcula la energía de enlace por nucleón. -15. Calcula el defecto de masa y la energía total del enlace del isótopo 15N7 de masa atómica 15.007276 u . restaremos la masa del núcleo a la suma de las masas de todas las partículas que constituyen el núcleo por separado Δm = Z.008665 u. Unidad de masa atómica 1 u = 1.66.66. Tema 5 Si las velocidades son iguales ve = vp . Z = Nº atómico = nº de protones = 7 A = nº de protones + nº de neutrones = nº de nucleones = 15 A.10-12 Kg Δm =1. Velocidad de la luz en el vacío c = 3.0001089 u.007276 u + 8.99.0001089 u.120144 u .108 m s-1 DATOS 15 7N Ma = 15. 1.Ma 1.10-27 Kg Masa del neutrón m n= 1.10-12 Kg Para calcular la energía equivalente aplicaremos la ecuación de Einstein E = Δm . c2 Página 177  . . Datos: Masa del protón m p = 1.mp + ( A –Z )mn . 1.10 -27 Kg Δm = 7. F Í S I C A N U C L E A R y C U Á N T I C A. 99.39 años b) N = N0 e-kt 0.1.t ln 0.19.5 mg ⇒ N0 = nº de átomos iniciales Final = 0. El período de semidesintegración del estroncio-90 es de 28 años. El cátodo de cesio se ilumina con luz monocromática de diferentes longitudes de onda.39años k 0. N0 a) ln 2 ln 2 ln 2 t1/ 2 = ⇒k= = = 0.10-11 J b) Energía E 1.39 t= = 17. Calcula: a) Su constante de desintegración y la vida media.54años ln 0. Los resultados obtenidos son los que se ofrecen en la tabla Página 178  .10 −12 J nucleón A 15 E = 1. 1.1.10-12 J A 4. El circuito de la figura se usa para estudiar el efecto fotoeléctrico.0247 τ = 40.1 N0 = N0 e-40.1 =-40. Tema 5 E = 1.5 mg ⇒ N = nº de átomos finales = 0.10-12 Kg . t −40.54 años 5.79.79.108 m s-1)2 =1.79. El potencial de frenado Vo se ajusta hasta que la corriente medida se anula.10 -11 J = = = 1.19.0247años −1 k t1/ 2 28 k = 0.39.10-11 J E =1.5 mg se reduzca un 90% DATOS t 1/ 2= 28 años Inicial =1.0247 años-1 1 1 τ= = = 40.1 t = 17. F Í S I C A   N U C L E A R y C U Á N T I C A.39.( 3. b) El tiempo que deberá transcurrir para que una muestra de 1. A partir de la gráfica. Tema 5. la constante de Planck y el trabajo de extracción de un electrón del cesio. F Í S I C A   N U C L E A R y C U Á N T I C A. obtener la frecuencia umbral del cesio.  Dibujar una gráfica en la que se aprecie cómo varía Vo en función de la frecuencia de la radiación incidente. Página 179  .  dicho  potencial pasa a ser de 3.  Calcula:   A) La función trabajo del metal.31. a partir de esta experiencia. el potencial de detención era de 0.8  nm  dando  un  potencial  de  detención de 0. b) La función  trabajo (o trabajo de extracción) del  metal. Sobre la superficie del potasio incide luz de 6.95.6 .05. el potencial de frenado de los fotoelectrones es  de 2 V.6 .10‐19 J  Página 180  .67. Determine: a) El valor de la constante de Planck. Tema 5.10‐7 m . La variación de la función de trabajo del material y de la frecuencia umbral. Razona la respuesta.10‐19J              b) 4. Los fotones de luz cuya frecuencia es la umbral para un cierto metal tienen luna energía de 2 eV. sólo aumentaría el número de fotones incidentes.10‐9 m.  PROBLEMAS CON SOLUCIONES PROPUESTAS (Buscar los datos de masas y constantes necesarias) 1.2 V .65. mientras que al iluminarla con una radiación de λ2 = 656. 10‐20 J            b)   9.6 nm.  9.105 m/s . Para un metal la frecuencia umbral es de 4. Sabiendo que la longitud de onda umbral para el  potasio  es  de  7. mientras que sí la longitud de onda es  λ2 = 2240. expresada en eV.s    8.10‐19 J            b) 3.10‐19 J. La energía de  extracción para un electrón del cátodo es 2. Al iluminar una superficie metálica con una longitud de onda λ1 = 200.10‐8 m de longitud de onda.17.10‐19 J                          b) 6. 1. el potencial de frenado se reduce a 1 V. la I2 no tiene suficiente energía.5.10‐34 J. el potencial de frenado vale 1.  SOLUCIÓN:    Sí  y además el electrón arrancado de la superficie del metal tendrá una energía cinética mayor  5.78.  B.105 m/s y para λ2 la velocidad máxima es 1.108 V. La variación de la energía cinética máxima de los electrones emitidos.  SOLUCIÓN:   a) 2.  SOLUCIÓN: a) 6. El potencial de  frenado se reduce a 0.58. Si en un cierto metal se produce el efecto fotoeléctrico con luz  de frecuencia f0 .2 eV.10‐7 m de longitud de onda .847.98.105 m/s  2.75. El trabajo de extracción de un electrón de éste cátodo es  W = 3. siendo preciso establecer entre el cátodo y el ánodo una tensión de 0.  C) La velocidad máxima de los fotoelectrones.1015 Hz se observa que emite electrones que pueden detenerse al aplicar un  potencial de frenado de 7.5 . Si se ilumina con luz de λ = 300 nm la superficie de un material fotoeléctrico.1014Hz  c)  Para  λ1 la velocidad  máxima es 4. Al iluminar un metal con luz de frecuencia 2.  En  un  experimento  fotoeléctrico  se  iluminó  la  placa  metálica  con  una  radiación  λ1  =  521. El cátodo de una célula fotoeléctrica es iluminado con una radiación electromagnética de longitud de onda λ. ¿Cómo variaría dicha velocidad al  duplicar la intensidad de la radiación luminosa incidente?.4 .  Calcula:  a)  El  trabajo  de  extracción  de  los  electrones  en  el  potasio. F Í S I C A   N U C L E A R y C U Á N T I C A.5  . No variaría. Obtenga:  A) El trabajo de extracción del metal   B) El valor que resulta para la constante de Planck. b) 5. Si la luz que se emplea con el mismo fin es de longitud de onda en el vacío de 1.  SOLUCIÓN:   La  I1 = 228 nm .  SOLUCIÓN: a) – 9. 4. λ0 = 5.    b) Los valores de la longitud de onda de la radiación empleada λ y la longitud de onda umbral  λ0   SOLUCIÓN: a)  3.4 V para  anular la corriente fotoeléctrica.10‐34 J. El cátodo metálico de una célula fotoeléctrica se ilumina simultáneamente con dos radiaciones monocromáticas : I1 = 228 nm  y  I2 = 524 nm.68.78. Determina:  A.10‐7 m   3. Si el metal se  ilumina con una luz de 5. h. 10‐20 J . de los electrones emitidos por ese metal cuando se le ilumina con la luz cuyos fotones tiene 3 eV de  energía ?   SOLUCIÓN:  1 eV  7.105 m/s              b)  λ = 4.  b)  La  energía  máxima  de  los  electrones emitidos.596 V.10‐7 m.  SOLUCIÓN:  a)  6.10‐9 m.4 .  SOLUCIÓN: a) 2.8 V.  8.1014 Hz  6. A) ¿Cuál de las radiaciones produce efecto  fotoeléctrico.10‐18J  4.5.10‐20 J . Calcular:    A) La velocidad máxima de los electrones emitidos.94.s.6 V por oxidación del material. ¿Cuál es la energía mínima para arrancarle un electrón?.2 V. ¿ Cuál es la energía cinética  máxima.10‐7  m.40 eV.  B) La frecuencia umbral.¿se producirá también con luz de frecuencia 2  f0?.1014 Hz .105m/s  10.. 9.65. ¿Cuál es la energía de los electrones emitidos y su velocidad?                   SOLUCIÓN: 2. B) Calcule la velocidad máxima de los electrones emitidos . Razone la respuesta.45.   Tema 5. b) luz ultravioleta  Página 181  . (SELECTIVIDAD) Una superficie de sodio iluminada con luz de 1 A emite fotoelectrones. Una muestra que inicialmente contenía 109 núcleos  posee en la actualidad 107 núcleos.0.Las  longitudes de onda del espectro visible están comprendidas.4 V  15. pero no los emite cuando se ilumina con luz  amarilla.1875 eV  y 1. Calcular:  A) La energía cinética adquirida por los electrones.88 . ¿qué momento lineal posee? ¿Qué energía?  22. El período de semidesintegración de un núcleo radiactivo es de 100 s.10‐11 m de longitud de onda.  según  Planck  E  =  h. Si inicialmente tenemos 1 mol de átomos de radio ¿ Cuántos átomos se han desintegrado en 1995 años?.10‐10 m.45.  C) ¿Cuál es el número medio de núcleos radiactivos en ese instante?.  SOLUCIÓN:  Se llama vida media (τ = 1/ k ) ( k = cte de desintegración ) de un núcleo inestable al tiempo de vida promedio de todos los núcleos presentes en  un muestra.1. entre 390 nm en el violeta y 740 nm en el rojo.10‐16 J                          b) 3.10‐11 m.87.46 eV. (SELECTIVIDAD) Un material emite fotoelectrones cuando se ilumina con luz azul.10‐23  Kg.181. a) Calcula la longitud de onda asociada a un electrón que se propaga con una velocidad de 5∙106 m s‐1. e‐kt.31.6.  SOLUCIÓN:  a) 1. aproximadamente.  longitud  de  onda  y  frecuencia  de  los  fotoelectrones  emitidos  y  la  longitud  de  onda  umbral.  La ley de desintegración radiactiva se puede expresar :  A = A0.3 s    c) 67.  f.107 desintegraciones por segundo.  Justifica la respuesta.   SOLUCIÓN: a) 664.1. El trabajo de extracción del sodio es  de 2.f  si  la  presencia  de  la  frecuencia. a) ¿ Qué intervalo aproximado de energía (en eV ) corresponde a los fotones del espectro visible?  b)  ¿Qué  intervalo  aproximado  de  longitudes  de  onda  de  De  Broglie  tendrán  los  electrones  en  ese  intervalo  de  energías?. Calcula la potencia que irradia por unidad de superficie y la  longitud de onda máxima de su espectro. A) Indique el fenómeno físico que rige este proceso y haga un análisis de las transformaciones de energía que en él se  producen.5 s    b) 144.5 mg?  SOLUCIÓN: 276 días 18. Un núcleo radiactivo tiene una vida media de 1 segundo:  A) ¿Cuál es su constante de desintegración?. Calcula:  a) La antigüedad de la muestra.47. ¿A qué se llama vida media de un núcleo inestable? ¿Cuál es la ley de desintegración radiactiva?  ¿Qué es una serie radiactiva? Cita una de ellas. ¿Qué  tiempo debe de transcurrir para que queden 0.  SOLUCIÓN: a) 1 s‐1                          b) 11.94.10 7núcleos  16. hasta llegar a un núcleo estable.10‐15 J    14.10‐11 m  13.    24.s‐1. llamado padre.m. Siendo “A” la actividad de una sustancia radiactiva  Una serie radiactiva es el conjunto de los núcleos  radiactivos que proceden por desintegraciones sucesivas ( α ó  β ) de un mismo núcleo 238 inicial.  c) La actividad de la muestra dentro de 1000 s. Un fotón posee una longitud de onda igual a 2.  en  la  expresión.  B)  Calcule  la  energía  cinética.1023átomos 20.68 eV      b)  6.  B) Si en un instante dado una muestra de esta sustancia radiactiva tiene una actividad de 11. implica que la luz es una onda?  21.  9.  SOLUCIÓN: a) 3. F Í S I C A   N U C L E A R    y   C U Á N T I C A. El  período de semidesintegración del polonio‐210 es de 138 días. Una bombilla incandescente posee una temperatura de 2800 K.  11. Si disponemos inicialmente de 2 mg de polonio‐210.10‐10 m  12.  B) La longitud de onda de De Broglie asociadas a dichos electrones.  SOLUCIÓN: a) 1. Un fotón de 2.  Datos :  El período de semidesintegración del radio : 1840 años  SOLUCIÓN: 3.10‐10 m   y   9. Razone qué sucederá si se ilumina con: a) luz roja.8 núcleos que se desintegran por s  19. Calcula la cantidad de movimiento y la energía que tiene. b) 418. Se acelera desde el reposo un haz de electrones sometiéndoles a una diferencia de potencial de 103 Voltios.  ¿Cómo  es  posible  afirmar  que  la  energía  de  un  fotón  es. Por ejemplo la del U92 17.  23.  b) La vida media.  SOLUCIÓN:  3.  b)  Halla  la  diferencia  de  potencial  que  hay  que  aplicar  a  un  cañón  de  electrones  para  que  la  longitud  de  onda  asociada  a  los  electrones sea de 6∙10‐11 m. 10‐26  kg?  NOTA:  el  fotón  posee  una  cantidad  de  movimiento  dada por p = h/λ.  25.6 eV y se emite un fotón. 1 gramo del isótopo  40Ca20 si su  masa atómica es 39. DE SELECTIVIDAD. (DE SELECTIVIDAD) Dualidad onda‐corpúsculo.  Determinar  la  longitud  de  onda  de  la  radiación  que  ha  de  absorber  un  átomo  de  hidrógeno  para  pasar  del  estado  fundamental (n = 1) al primer estado excitado (n = 2). suponiendo un rendimiento del 30%. (DE SELECTIVIDAD) El cátodo metálico de una fotocélula se ilumina simultáneamente con dos radiaciones monocromáticas de  228  y  524  nm  respectivamente.s  (Sol. interacciona con un electrón. se ilumina con luz de  180  nm. F Í S I C A   N U C L E A R    y   C U Á N T I C A.  frecuencia  y  energía  cinética  de  los  fotoelectrones.  28.99 g. DATO: R = 1. Un neutrón incide sobre un núcleo de deuterio.097. siendo h (constante de Planck) = 6.014740 u  m(3H) = 3.  Inicialmente  tenemos 16 g de dicho isótopo.61. Calcula: a) ¿Qué cantidad quedará al cabo de 15 días?.008986 u    38.4  eV. Calcular la energía necesaria para disociar completamente en sus partículas constituyentes.  b) Calcula la energía desprendida en el proceso.951.  cuya  masa  es  de  24.10‐10 m de longitud de onda.  A)  Calcule  su longitud de onda..017005 u  m(n) = 1.2518 kg)  37. La energía adquirida en la  caída  se  emite  como  radiación  visible  de  color  verde  (λ  =  540  nm)  A)  Haga  un  análisis  energético  del  problema.  (SELECTIVIDAD)  Comente  las  siguientes  afirmaciones  indicando  si  son  o  no  correctas:  A)  Una  radiación  que  no  sea  monocromática no puede producir efecto fotoeléctrico. Determinar  la longitud de onda asociada a un electrón de 50 eV de energía cinética.: 4. (SELECTIVIDAD) Un metal. que puede considerarse libre y que inicialmente  estaba  en  reposo. Calcula la masa de deuterio que requeriría cada día una hipotética central de fusión de 500 MW de potencia eléctrica en la  que la energía se obtuviese del proceso 2 Deuterio → Helio.  El  210Bi83  se  desintegra  espontáneamente  por  emisión  beta  con  un  período  de  semidesintegración  de  5  días.35. 637. B) Cuanto más intensa sea la luz.  El  trabajo  de  extracción  de un  electrón  de  este  cátodo  es  3.  A)  Explique  el  proceso  en  términos  de  energía.  (Sol. Determina la frecuencia de la radiación emitida. El proceso va acompañado de la emisión de  un fotón de radiación gamma:  a) Escribe la ecuación que corresponde al proceso de desintegración nuclear.: 1. Un fotón de 0.  A)  ¿Cuál  de  las  radiaciones  produce  efecto  fotoeléctrico?  Razone  la  respuesta.  El  fotón  sufre  una  dispersión  de  180º  y  modifica  su  longitud  de  onda.  que  pasa  a  ser  10‐10  m.  33.10‐23 kg.  B)  ¿Cuántos  fotones serán emitidos?  27. ¿aumenta o disminuye? ¿Por  qué?  30.  (SELECTIVIDAD)  A)  ¿Qué  se  entiende  por  interferencia  de  la  luz?.73 ∙ 1011 J)  36.107 m‐1  34.  B)  Calcule  la  longitud  de  onda.: 0.  31.  (SELECTIVIDAD  LOGSE)  A)  ¿Qué  es  una  onda  electromagnética?  B)  ¿Cambian  las  magnitudes  características  de  una  onda  electromagnética que se propaga en el aire al penetrar en un bloque de vidrio? Si cambia alguna.m/s. b) ¿Cuántos protones y neutrones tiene el  núcleo que resulta después de dicha emisión? (Sol.10‐2 m/s)  40. Un átomo de hidrógeno está en un estado excitado 2 con una energía de E2 = ‐3.  (SELECTIVIDAD)  Una  antena  emite  una  onda  electromagnética de  50  kHz. (SELECTIVIDAD) Unas partícula de 2 mg de masa se deja caer al suelo desde una altura de 2 cm.10‐9 m).4 eV.  B)  Determine la  frecuencia de una onda sonora de la misma longitud de onda. inicialmente en reposo. formándose un núcleo de tritio. 84 protones y 126 neutrones) 39. expresada en eV.: 7. Ocurre una transición hacia el estado 1  con una energía E1 = ‐13.97545 uma (Sol. para el que la longitud de onda umbral de efecto fotoeléctrico es de 275 nm.10‐34 J.: 1.  B)  ¿Por  qué  no  observamos  la  interferencia  de  la  luz  producida por dos faros de un coche?  29.  B)  Calcular  la  velocidad  máxima  de  los  electrones  emitidos.6.  c) ¿Cuántas reacciones de este tipo son necesarias para producir 1 J de energía?  Datos: m(2H) = 2.  35. Ecuación de De Broglie y comentarios sobre su importancia física.6 eV)  Página 182  .  Tema 5. ¿Cuál es la dirección y el módulo de la  velocidad  (rapidez)  de  retroceso  del  átomo. mayor será la energía cinética de los  electrones emitidos por efecto fotoeléctrico  26. emite un fotón de luz amarilla (λ=598.  ¿Cómo  varía  dicha velocidad al duplicar la intensidad de la radiación luminosa incidente? (Consulta los datos que necesites)  32. (Sol.  Calcula  la  cantidad de movimiento del electrón tras la interacción y la energía cinética que le corresponde.  Un átomo de sodio.  Sobre la Tierra incide la radiación solar a razón de 2 cal/cm2.  41.11. ¿A cuántos fotones corresponde esa cifra.29.10‐23 kgm/s)  42. En una experiencia de difusión de Compton.  Tema 5. 1.10‐11 m de longitud de onda interacciona con un electrón que  se supone en reposo y libre. 568.4. El fotón es dispersado en una dirección que forma 90º con la dirección incidente. siendo su nueva  longitud  de  onda  de  7.35. un fotón de 7.10‐10  m.  (Sol.min. suponiendo para  la luz solar una longitud de onda media de 5500 A?  (Sol.: 44º con la inicial del fotón.s)  Página 183  .3 eV. F Í S I C A   N U C L E A R    y   C U Á N T I C A.  Determina  la  dirección  en  la  que  sale  el  electrón.1022 fotones/m2.: 2.  así  como  su  energía  y  cantidad  de  movimiento. Gross. la edición de este año de la cita mundial de los especialistas en esa Teoría de Cuerdas. Al menos algo así se intuía en las sesiones de Strings 07. Para otros. para otros. definida como la alternativa más desarrollada a las teorías establecidas y comprobadas que describen el universo a gran escala y sus componentes más pequeños. sino que de forma automática tiene todos los ingredientes necesarios para entender el resto de las interacciones fundamentales de la naturaleza. No es que las cuerdas tiren por tierra lo que ahora se sabe -casi ninguna buena propuesta científica lo ha hecho en la historia-. F Í S I C A N U C L E A R y C U Á N T I C A. pero es una de esas preguntas que antes era religiosa y que ahora es ciencia". que están hechos de núcleos y electrones a su alrededor. y un creciente interés por los próximos resultados experimentales que ofrecerá el nuevo acelerador de partículas LHC. comentaba el físico teórico y premio Nobel David Gross en Madrid. el pasado sábado. es algo que no entendemos. Para muchos investigadores. un atrevido e influyente desarrollo científico que. la teoría de Einstein se rompe. que reunió la semana pasada en la Universidad Autónoma de Madrid (UAM) a 500 físicos teóricos expertos en la denominada Teoría de Cuerdas. explica Luis Ibáñez. resumió el estado de cosas actual en la física fundamental. El punto de arranque es simple: las partículas fundamentales no serían puntos. "El Big Bang. la explosión inicial. permite profundizar en el conocimiento del universo tanto a la escala cósmica como a la de sus componentes más minúsculos. La teoría vigente basada en la mecánica cuántica. es una pregunta perfectamente científica.choca con recalcitrantes barreras. a su vez formados por diferentes quarks". al menos en el papel. Un mayor énfasis en la cosmología por parte de estos especialistas que hasta hace pocos años parecían volcados más que nada en el ámbito de los componentes más minúsculos de la materia. "Muchas veces en la historia de la física ha habido que cambiar nuestras ideas básicas para abordar preguntas que parecían imposibles. Para unos es un formidable y atractivo desafío. y avanzar ahí donde la física más convencional -y comprobada. "La Teoría de Cuerdas no sólo hace compatible la mecánica cuántica con la gravitación de Einstein. que describe las partículas y las tres fuerzas de Página 184  . para profundizar y explicar lo inexplicable. razonamientos que parecen perturbar el sentido común y soluciones imprevisibles ha estado bien nutrido el congreso Strings 07. sino que se pretende dar paso más lejos. Tema 5 El universo. explicó. y sospecho que vamos a tener que cambiar nuestra comprensión del espacio- tiempo. desde una idea alternativa Medio millar de especialistas mundiales debaten en Madrid los avances de la Teoría de Cuerdas ALICIA RIVERA . literalmente cuerdas. en su charla de divulgación impartida en la Fundación BBVA. Uno de esos problemas ahora es el origen del universo. esos pasos se alejan más de lo deseable de la comprobación experimental. sino objetos extensos. se pierde el control. del funcionamiento de la propia naturaleza. al menos intelectualmente. catedrático de física teórica de la UAM y coordinador de Strings 07 a través del Instituto de Física Teórica UAM-CSIC. explicó Gross. Partículas familiares como el electrón o la radiación electromagnética corresponden a las vibraciones de menor energía de las cuerdas". ese antes del principio sería una pregunta científicamente imposible. Él es uno de los máximos expertos en la denominada Teoría de Cuerdas. antes del Big Bang? Sí.Madrid . De ideas atrevidas. o varios pasos. como en la teoría de partículas convencional. porque al extrapolar todo hasta ese punto. a lo mejor resulta que el antes del principio tiene así una respuesta simple". una especulación fuera del alcance de cualquier experimento que verifique o descartar una respuesta. Tal vez muchas ideas de física van a cambiar en este siglo XXI. poco después de impartir una charla sobre La revolución que se avecina en física fundamental. el modelo estándar. "El avance en el conocimiento ha sido extraordinario en el siglo XX: ahora sabemos que hay átomos. hasta el mismo inicio. y las cosas se hacen infinitas". de momento no podemos contestarla. tal vez hayan empezado ya a cambiar. la ciencia tiene que ser osada. y que el núcleo es una estructura compleja formada por protones y neutrones.04/07/2007 ¿Qué pasó antes del principio de todo. han sido rasgos distintivos de este congreso respecto a ediciones de otros años. Todo lo que nos rodea está hecho de esas partículas. Gross entre ellos. para ser fructífera. apuntan directamente en la dirección de la supersimetría". "El componente especulativo es importante". y que estén como enrolladas. fuera del alcance de los laboratorios y aceleradores de partículas con los que se puede contar de modo realista. Otros especialistas reconocen que se sienten algo incómodos. mientras que el universo a nuestro alrededor sólo muestra cuatro: las tres espaciales y el tiempo. que describe la gravedad. no ha podido despegarse de la principal crítica: la falta de experimentos en perspectiva que verifiquen si es correcta. que. de Harvard. los avances matemáticos que implica justifican por sí solos el interés. Él resumió la marcha del nuevo acelerador de partículas LHC. sobre sólo tres dimensiones. ¿Dónde están las demás? El escenario teórico indica que están escondidas. y la estadounidense Lisa Randall. catedrático de Física Teórica de la UAM. Sin embargo. "Las extradimensiones podrían ser el gran descubrimiento en los próximos cinco años". y a la vez que se vislumbran con ellas efectos que de otro modo pasarían inadvertidos. entendido como laboratorio para profundizar en el análisis de la gravitación. Para unos. director del IFT. así que. la verdad es que la complejidad de la teoría está resultando enorme. impartida por un físico experimental: Gigi Rolandi. Pero los físicos de cuerdas han valorado cómo una aportación destacada en Strings 07. fue chocante la charla inaugural de Strings07. con las que cuenta la Teoría de Cuerdas. pero sí podrían descubrirse nuevas familias de partículas elementales. un estudio que hace justo lo contrario. "Tanto la línea de cuantizar la gravedad. También hay posturas diferentes entre quienes dedican todo su esfuerzo científico al desarrollo de la Teoría de Cuerdas. Para otros muchos. Si uno se pone en el lugar de un hipotético individuo bidimensional (plano) que intenta comprender qué es una esfera. "¿Cómo vamos a evitar explorar sus posibilidades?". puso en su charla un ejemplo de cómo es posible tratar esas otras dimensiones. como mínimo. "La mayoría de nosotros estamos deseando que haya experimentos [capaces de verificar la Teoría de Cuerdas]. escondidas para nuestros sentidos. Es evidente que no". dos espaciales y el tiempo. hemos terminado. afirmó Randall. que debe empezar a funcionar en 2008. exclamó Gross.. Página 185  .. la fuerza débil y la fuerza nuclear fuerte). ambas muy bien establecidas por separado". la Teoría de Cuerdas combina de modo natural esos dos colosos teóricos de la ciencia. Las dimensiones extra. y eso de tener dos modelos conceptuales incompatibles para describir y entender la naturaleza es incongruente. Los mismos especialistas creen que esto se debe a que no es aún una teoría terminada. Para un congreso de física teórica. Puede que el universo efectivamente tenga más dimensiones de las que se observan. dijo este físico. Tema 5 interacción entre ellas (el electromagnetismo. No es que nadie sueñe siquiera con la posibilidad de que en este acelerador se generen cuerdas. del Laboratorio Europeo de Física de Partículas (CERN). ofrecen muchas respuestas a preguntas que hasta ahora han resultado intratables para la física.a centenares de físicos en todo el mundo hacia esta teoría. Pero si parece simple esta idea básica de las partículas convertidas en cuerdas con efectos asombrosos de combinar lo que de otro modo resulta irreconciliable.. es un inconveniente que no se puede pasar por alto en modo alguno. "se ha comprobado experimentalmente con una precisión extraordinaria. la ausencia de predicciones experimentales de una teoría física después de 20 años de desarrollo. Ha sido un trabajo desarrollado por el gran especialista en cuerdas estadounidense Edward Witten. El problema es que las cuerdas y sus efectos serían sólo apreciables en condiciones de energía altísimas. los físicos podemos irnos a casa. Por ejemplo. El problema que todos los físicos reconocen es que la mecánica cuántica y la relatividad no encajan. abarcamos todas las fuerzas observadas en la naturaleza. unificando la gravedad y la mecánica cuántica. pero es difícil comprobar si es correcta". por otro lado. llamadas supersimétricas. pero es muy difícil que haya una evidencia directa a corto plazo". de las diferentes soluciones que encuentran a sus ecuaciones no saben cómo elegir la que realmente corresponde a nuestro universo. "La verdad es que no conocemos otra teoría capaz de unir la mecánica cuántica y la gravedad. señalaba Álvarez. pero que no por ello deja de reconocer su interés. como la de unificar las interacciones fundamentales. F Í S I C A N U C L E A R y C U Á N T I C A. El atractivo de la idea y las soluciones que se encuentran en el contexto de las cuerdas han atraído. comentó Antonio González Arroyo. "La Teoría de Cuerdas es muy ambiciosa.. Una de sus características menos intuitivas es el hecho de que para que las cuerdas funcionen hace falta pensar y calcular en diez dimensiones. dijo Randall. que no se dedica al desarrollo de esta teoría. y con el modelo estándar más la relatividad general de Einstein. dijo Enrique Álvarez. la respuesta sería una pila de discos de tamaño creciente hasta el centro de la esfera y decreciente después. desde luego. Pero. "Strings 07 ha cubierto temas muy variados dentro del campo. las partículas supersimétricas encajan en otros enfoques teóricos de partículas. Ha sido una conferencia muy interesante". no será nada definitivo como prueba porque. resumió Ibáñez. © Diario EL PAÍS S. la posibilidad de que surja el rastro de la supersimetría en LHC aglutinó gran interés en el congreso de Madrid. hasta posibles pistas experimentales en el LHC. desde la cosmología en la Teoría de Cuerdas. La opinión unánime es que ese descubrimiento sería una buena palmada en la espalda a la Teoría de Cuerdas. Página 186  .L. como la física de iones pesados estudiada experimentalmente en el laboratorio de Brookhaven (EE UU). además. Tema 5 Palmada en la espalda Desde luego. "Otros temas importantes tratados incluyen aplicaciones de la Teoría de Cuerdas en otras áreas. sin tener que recurrir al marco de las cuerdas. pasando por la física de agujeros negros y el estudio de la Correspondencia de Maldacena. F Í S I C A   N U C L E A R y C U Á N T I C A. Quizá se ha notado menos énfasis matemático que en las dos últimas ediciones". Tema 5 Página 187  .F Í S I C A N U C L E A R y C U Á N T I C A.