Profesor: Chero LLontop David preparación!¡....más preparación! b) Los días del trabajo y las horas diarias que se trabajan c) La velocidad de un automóvil y el tiempo empleado en recorrer una distancia. · Importante: · Una magnitud puede ser directa o inversamente proporcional a otras magnitudes. Así: El precio es una pieza de tela es directamente proporcional a su calidad, longitud y ancho. El área de un rectángulo es directamente proporcional a su base y altura. La velocidad es directamente proporcional al espacio recorrido e inversamente proporcional al tiempo. Directa o Inversa, según las cantidades que intervienen sean directa o inversamente proporcionales. Supuesto y Pregunta En toda Regla de Tres hay dos filas de términos o números. El supuesto formado por los términos conocidos del problema va generalmente en la parte superior. La pregunta formada por los términos que contienen a la incógnita del problema va en la parte inferior. Ejemplo: Si: 5 lapiceros cuestan S/. 20. ¿Cuánto costarán 12 lapiceros? Supuesto: Pregunta: 5 lapiceros ® S/. 20 12 lapiceros ® S/. x ¡....más Círculo de estudios Razonamiento Matemático TEMA 1: REGLA DE TRES Problema 1: Un automóvil tarda 8 horas en recorrer un trayecto yendo a 90 km/h. ¿Cuánto tardará en recorrer el mismo trayecto yendo a 60 km/h? a) 10 cm b) 12 cm c) 45 cm d) 50 cm e) 75 cm Problema 2: Si 12 metros de cable cuestan 42 soles. ¿Cuánto costarán 16 metros del mismo cable? a) 10 cm d) 56 cm b) 20 cm e) 75 cm c) 45 cm MAGNITUDES PROPORCIONALES Magnitudes Proporcionales: Directamente Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra resulta multiplicada o dividida por el mismo número. - Problema 3: Una obra puede ser hecha 20 obreros en 14 días. ¿Cuántos obreros se puede añadir para que la obra se termine en 8 días? a) 15 cm d) 50 cm b) 20 cm e) 75 cm c) 45 cm Ejemplos: Son proporcionales: magnitudes directamente · Las magnitudes directamente proporcionales van de más a más, i de menos a menos (+a+; -a-) Las magnitudes inversamente proporcionales van de más a menos o menos a más (+a; -a+) REGLA DE TRES · El supuesto está formado por 5 lapiceros y S/. 20; la pregunta por12 lapiceros y la incógnita por S/. X Métodos de Resolución Todo problema que se plantea por una Regla de Tres puede resolverse por tres métodos. a) El número de objetos y su precio cuando se paga a razón del número. b) El tiempo realizado. y las unidades de trabajo · Problema: Un ganadero tiene 640 corderos que puede alimentar durante 65 días. Cuantos corderos debe vender si quiere alimentar su rebaño por 15 días más dando la ración? c) El tiempo de trabajo y el salario percibido. · Magnitudes Inversamente proporcionales Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una de ellas por un número la otra resulta dividida y al dividir una de ellas la otra resulta multiplicada por el mismo número. Ejemplos: Son proporcionales. magnitudes inversamente La Regla de Tres.- Es una operación que tiene por objeto, dados dos o más pares de cantidades proporcionales siendo una desconocida o incógnita, hallar el valor de esta ultima. La Regla de Tres puede ser: Simple y Compuesta. Es Simple cuando intervienen dos pares de cantidades proporcionales. Es compuesta cuando intervienen tres o más pares de cantidades proporcionales. A. Regla de Tres Simple En la Regla de tres simple interviene tres cantidades conocidas o datos y una desconocida o incógnita. Esta regla puede ser: I. Método de Reducción a la unidad II. Método de las proporciones y III. Método Práctico Directa Regla de Tres Simple: a c b x Inversa x= a.b c x= b.c a a) 10 cm d) 50 cm b) 120 cm e) 75 cm c) 45 cm Problema 5: Manuel y Sara recorren cierta distancia, y los tiempos que emplean están en la 15 razón . La velocidad de Manuel es de 21 56 km/h. ¿Cuál es la velocidad de Sara? a) 10 cm d) 50 cm b) 20 cm e) 75 cm c) 40 cm a) El número de obreros y el tiempo necesario para hacer una obra. PROBLEMAS PROPUESTOS Problema 6: Dos ruedas cuyos diámetros, son 1,5 m y 2,4 m están movidas por una correa, cuando la Profesor: Chero LLontop David preparación! menor dá 220 vueltas revoluciones. ¿Cantas revoluciones dá la mayor? Gráfica: a) 12 hr d) 18 hr b) 14 hr e) 24 hr. ¡....más preparación! c) 16 hr 08. Un reloj da tantas campanadas como las horas que marca. Si en dar las 5 hrs tarda 10 segundos. ¿Cuánto tarda en dar las 8hrs? a) 16 seg d) 18 b) 15 e) 14,5 c) 17,5 d) 11 e) 12 ¡....más 220 Rev d=1,5m 03. Una cuadrilla de 35 obreros puede terminar una obra en 27 días. Al cabo de 6 días de trabajo se les junta cierto número de obreros de otro grupo, de modo que en 15 días terminan lo que falta de la obra, ¿Cuántos obreros eran del segundo grupo? a) 12 d) 15 b) 13 e) 16 c) 14 07. 1600 hombres tienen víveres para 10 días a razón de 3 raciones diarias cada hombre. ¿Cuántos días durarán los víveres, si cada hombre toma 2 raciones diarias? a) 12 d) 15 b) 13 e) 8 c) 20 08. Una guarnición tiene víveres para 121 días si se aumenta 1/3 el número de individuos de la guarnición. ¿Cuánto debe disminuirse la ración para que los víveres duren el mismo tiempo? a) 3/4 d) 1/3 b) 1/5 e) 2/5 c) 1/4 D=24m "x" Rev a) 100.2 cm d) 150,4 cm b) 20 cm e) 137,5 cm c) 45 cm 04. Una cuadrilla de 15 obreros pueden hacer una obra en 25 jornadas de 8 horas diarias, pasadas 5 jornadas se les pidió que lo terminarán 5 días antes de lo proyectado, esto motivó aumentar el número de horas de trabajo diario y contratar más obreros, ¿Cuál es el menor número de obreros que se debe contratar? a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 09. Se piensa construir una pared con 15 hombres en 20 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios contratar, si se quiere concluir la pared 8 días antes? a) 32 d) 25 b) 18 e) 10 c) 20 08. Ocho obreros trabajando 10 h/d durante 5 días, pueden arar un terreno cuadrado de 400 m de lado. ¿Cuántos obreros de doble rendimiento será necesario para que en 6 días de 8 h/d pueden arar otro terreno de 480 m de lado? a) 2 d) 3 b) 7 e) 4 c) 6 Problema 07: Nataly demora 6 horas en construir un cubo compacto de 4 cm de arista, después d e 54 horas de trabajo. ¿Qué parte de un cubo de 12 cm de arista habrá construido? a) 1/3 d) 1/5 b) 2/3 e) 7/5 c) 4/5 PRACTICA DE CLASE 01. Juan es el triple de rápido que Pedro. Si juntos pueden hacer cierto trabajo en 9 días. ¿En cuántos días hace el trabajo Juan trabajando solo? a) 10 d) 13 b) 11 e) 14 c) 12 06. Tres brigadas de obreros pueden hacer una zanja, la primera en 9 días, la segunda en 10 días y la tercera en 12 días. Se emplean a la vez ¼ de la primera, 1/3 de la segunda y 3/5 de la tercera. ¿En cuánto tiempo se hará la zanja? a) 9 días d) 10 b) 8 e) 12 c) 7 04. Dos obreros hacen 350 obras en 7 días. ¿Cuántos obreros del mismo rendimiento que los obreros anteriores pueden hacer 600 obras en 4 días? a) 10 d) 7 b) 9 e) 6 c) 8 09. Un grupo de 20 obreros ha hecho 2/5 de una obra en 24 días. Si se retiran 4 obreros. ¿Cuánto tiempo emplearán los restantes para hacer lo que le falta de la obra? a) 30 días d) 48 b) 40 e) 50 c) 45 07. Un grupo de 24 obreros pueden construir una zanja de 80m de largo, 2 m de ancho y 1,5 m de profundidad en 16 días trabajando 6h/d. ¿En cuántos días 20 obreros trabajando 8h/d pueden hacer una zanja cuyo ancho sea 0,5 m más; 0,5 m menos de profundidad y 40 m más de largo? a) 15 días d) 12 b) 18 e) 10 c) 20 05. Se sabe que “x + 6” máquinas pueden hacer un trabajo en 20 días y que con 3 máquinas adicionales se puede hacer el mismo trabajo en 5 días menos. ¿En qué tiempo se podrá hacer el trabajo con “x” máquinas? a) 40 días d) 60 b) 50 e) 75 c) 45 10. Veinte obreros han hecho 1/3 de un trabajo en 12 días. En ese momento abandonan el trabajo 8 obreros. ¿ Cúantos días se empleó en hacer la obra? a) 28 d) 64 b) 52 e) 30 c) 40 02. Un caballo atado a un poste con una cuerda de 2 m tarda 8 h en comer todo el pasto que está a su alcance. ¿Cuántas horas requiere este caballo para consumir todo el pasto que esta a su alcance, si la cuerda fuese de 3 m? 06. Un carpintero ha construido una mesa en 16 días. Si hubiera trabajado 4 horas menos habría empleado 8 días más para hacer la mesa. ¿Cuántas horas hubiera trabajado por día?. a) 8 b) 9 c) 10 11. Un reservorio de 8 m de radio y 12 m de altura abastece a 75 personas durante 20 días. ¿Cuál debe ser el radio de un reservorio de 6 m de altura que debe abastecer a 50 personas durante 2 meses? a) 16 m d) 12 b) 15 e) 10 c) 14