FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011IPCA - Escola Superior de Gestão 1 Apontamentos de Fundamentos de Física Ano Lectivo: 2010/2011 Cursos: Eng.ª Eléctrica e Eng.ª Sistemas Informáticos (L e PL) Unidade Curricular: Fundamentos de Física (1º Ano-1º Semestre) Docente: Síria Barros Instituto Politécnico do Cávado e do Ave - IPCA FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 2 ÍNDICE ÍNDICE ___________________________________________________________________________ 1 INTRODUÇÃO ____________________________________________________________________ 5 1. GRANDEZAS FÍSICAS, UNIDADES E DIMENSÕES ______________________________ 5 1.1 Grandezas fundamentais e grandezas derivadas ______________________________ 5 1.2 Como medir uma dada quantidade (grandeza)? _______________________________ 5 1.3 Sistemas de Unidades ________________________________________________________ 6 1.4 Análise Dimensional __________________________________________________________ 7 2. COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA ___________________________________________ 9 2.1 Trigonometria ________________________________________________________________ 9 2.2 Cálculo vectorial ___________________________________________________________ 10 2.3 Cálculo diferencial _________________________________________________________ 12 2.3.1 Derivada de uma função __________________________________________________12 2.3.2 Regras básicas de derivação _______________________________________________13 2.3.3 Derivadas imediatas ______________________________________________________13 2.4 Cálculo integral ____________________________________________________________ 14 2.4.1 Algumas regras da primitivação ___________________________________________15 3. CINEMÁTICA DE UM PONTO MATERIAL _____________________________________ 15 3.1 Introdução _________________________________________________________________ 15 3.2 Movimento Unidimensional ________________________________________________ 16 3.2.1 Vector posição; Deslocamento _____________________________________________17 3.2.2 Velocidade média _________________________________________________________17 3.2.3 Velocidade instantânea ___________________________________________________18 3.2.4 Aceleração média é instantânea ___________________________________________18 3.2.5 Dedução das equações de velocidade e movimento no movimento unidimensional ________________________________________________________________19 3.2.6 Movimento rectilíneo e uniformemente variado _____________________________20 3.2.7 Corpos em queda livre ____________________________________________________20 FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 3 3.3 Movimento Dimensional e Tridimensional _________________________________ 21 3.3.1 Coordenadas cartesianas _________________________________________________21 3.3.1.1 Posição e deslocamento________________________________________________21 3.3.1.2 Velocidade média e velocidade instantânea _____________________________21 3.3.1.3 Aceleração média e aceleração instantânea _____________________________23 3.3.2 Movimento de um Projéctil ________________________________________________24 3.3.3 Coordenadas intrínsecas __________________________________________________26 3.3.3.1 Aceleração tangencial e aceleração radial no movimento curvilíneo _______28 3.3.3.2 Movimento circular ____________________________________________________30 3.4 Movimento relativo ________________________________________________________ 33 3.4.1 Velocidade relativa ________________________________________________________34 3.4.2 Aceleração relativa ________________________________________________________35 3.4.3 Movimento Relativo de Translação Uniforme _______________________________35 4. DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA MATERIAL _________________________________ 36 4.1 Momento linear ou quantidade de movimento _____________________________ 36 4.2 Leis de Newton _____________________________________________________________ 37 4.3 Princípio da conservação da quantidade de movimento ____________________ 39 4.4 Forças fundamentais e forças derivadas ____________________________________ 40 4.4.1 Conceito de força _________________________________________________________40 4.4.2 Tipos de forças ___________________________________________________________41 4.4.2.1 Forças fundamentais __________________________________________________41 4.4.2.2 Forças de contacto ____________________________________________________43 4.5 Aplicação da 1ª e 2ª leis de Newton: diagramas de corpo livre ______________ 46 4.6 Aplicação da terceira lei de Newton: movimento curvilíneo ________________ 50 5. ESTÁTICA ___________________________________________________________________ 61 5.1 Condições de equilíbrio de uma partícula __________________________________ 61 5.2 Condições de equilíbrio de um corpo rígido ________________________________ 61 5.3 Momento de uma força _____________________________________________________ 62 FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 4 6. TRABALHO E ENERGIA ______________________________________________________ 66 6.1 Trabalho de uma força _____________________________________________________ 66 6.2 Trabalho e Energia cinética. Teorema da energia cinética _________________ 68 6.3 Energia potencial associada a uma força conservativa: energia potencial gravítica e elástica _____________________________________________________________ 69 6.4 Forças não conservativas___________________________________________________ 74 6.5 Lei da conservação da Energia Mecânica ___________________________________ 75 6.6 Potência ____________________________________________________________________ 77 7. MOVIMENTO OSCILATÓRIO _________________________________________________ 78 7.1 Movimento Harmónico Simples ____________________________________________ 79 7.2 Energia do Oscilador Harmónico Simples __________________________________ 85 FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 5 INTRODUÇÃO O que é a física? A física é uma ciência fundamental que procura entender os fenómenos naturais que ocorrem no nosso Universo. É uma ciência que se baseia em observações experimentais e em medições quantitativas. Procura estudar as propriedades básicas do Universo usando um conjunto limitado de objectos – Sistema Físico – que pode ir desde o menor sistema físico, designadamente o estudo de partículas elementares ao maior sistema físico, nomeadamente o Universo. Objectivos da física Distinguir as várias interacções da matéria (gravitacionais, electromagnéticas, nucleares) Exprimi-las quantitativamente com o auxílio da matemática A partir das interacções fundamentais formular regras gerais sobre o comportamento macroscópico da matéria 1. GRANDEZAS FÍSICAS, UNIDADES E DIMENSÕES 1.1 Grandezas fundamentais e grandezas derivadas A observação de um fenómeno é incompleta quando dela não resultar uma informação quantitativa. As leis de física exprimem-se em termos de grandezas fundamentais. Por exemplo grandezas como a força, velocidade e volume são grandezas derivadas, pois podem ser descritas em função de grandezas fundamentais, que em si mesmas se definem em função de medidas ou de comparação com padrões bem definidos. Na mecânica as três grandezas fundamentais são o comprimento (L), o tempo (T) e a massa (M). Todas as outras grandezas derivadas exprimem-se em função das grandezas fundamentais por fórmulas matemáticas. 1.2 Como medir uma dada quantidade (grandeza)? Medir é um processo que nos permite atribuir um número a uma grandeza física como resultado da comparação entre grandezas do mesmo tipo. Compara-se com um padrão o qual é considerado como unidade dessa quantidade (dimensão). FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 6 Para medir o comprimento de um objecto compara-se com o metro padrão. Como curiosidade, este foi definido como a distância percorrida pela luz, no vácuo, no intervalo de tempo 1/299.792.458 segundos. Para medir a massa de um objecto compara-se com o quilograma. Define- se como a massa de 1 litro de água pura a 4ºC. Para medir o intervalo de tempo compara-se com o segundo. Define-se como o tempo necessário para o átomo de césio 133 efectuar 9.192.631.770 vibrações. Tabela 1.1 – Prefixos de potências de 10 Prefixo Abreviatura Factor Prefixo Abreviatura Factor Deca- da 10 1 Deci- d 10 -1 Hecto- H 10 2 Centi- c 10 -2 Quilo- K 10 3 Mili- m 10 -3 Mega- M 10 6 Micro- μ 10 -6 Giga- G 10 9 Nano- n 10 -9 Tera- T 10 12 Pico- P 10 -12 1.3 Sistemas de Unidades Em 1960, um comité internacional estabeleceu as regras para decidir sobre os padrões destas grandezas fundamentais. O sistema que foi estabelecido é denominado Sistema Internacional (SI) de Unidades. Neste sistema, as unidades de massa, de comprimento e de tempo são, respectivamente o quilograma, o metro e o segundo. Outras unidades estabelecidas pelo comité foram as de temperatura (kelvim), a de corrente eléctrica (ampère) e de intensidade luminosa (a candela) e a de quantidade de substância. Um sistema de unidades deve ser “coerente”, o que significa que uma unidade derivada se deve obter à custa das fundamentais por simples produto ou quociente. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 7 Tabela 1.2 Algumas unidades SI derivadas com nomes especiais Grandeza Unidade Expressão em termos de outras unidades Expressão em termos das unidades fundamentais Frequência Força Pressão Trabalho Potência Hertz(Hz) Newton (N) Pascal (Pa) Joule (J) Watt (kW) N/m 2 N.m J/s s -1 m.Kg.s -2 m -1 .Kg.s -2 m 2 .Kg.s -2 m 2 .Kg.s -3 1.4 Análise Dimensional O conceito de dimensão tem significado especial na física. Em geral denota a natureza física de uma grandeza. Uma distância, por exemplo, quer seja medida em metros ou em quilómetros, é sempre uma distância. Dizemos então que a sua dimensão é comprimento. Por exemplo para representar as dimensões da velocidade indicamos: | | v No Sistema Internacional de Unidades os símbolos adoptados para cada uma das grandezas fundamentais são: Tabela 1.3 Dimensões de grandezas fundamentais Grandeza fundamental dimensão Comprimento L Massa M Tempo T Corrente eléctrica I Temperatura ө Quantidade de matéria N Intensidade luminosa J A dimensão de uma grandeza G, no SI, vem em geral dada por: | | n c o ¸ | o u J N T M L G G = = dim FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 8 onde ,... , , ¸ | o , são chamados expoentes dimensionais. Note-se que uma grandeza sem dimensão (adimensional) é uma grandeza em que todos os expoentes dimensionais são iguais a zero. Na tabela seguinte estão listadas as dimensões de algumas grandezas, juntamente com as unidades nos dois sistemas de unidades mais conhecidos. Tabela 1.4 – Principais unidades SI utilizadas em Mecânica. Grandeza Dimensão Unidade(si) Unidades (cgs) Velocidade LT -1 m s -1 cm s -1 Área L 2 m 2 cm 2 Volume de sólidos L 3 m 3 cm 3 Aceleração LT -2 M s -2 cm s -2 Força MLT -2 Kg m s -2 =Newton g cm s -2 =dine Energia ML 2 T 2 Kg m 2 s -2 =Joule g cm 2 s -2 =erg Uma equação física correcta terá de ser dimensionalmente homogénea, devendo para tal obedecer às seguintes regras: As dimensões das quantidades em ambos os lados de uma equação devem de ser as mesmas (a não ser que a equação expresse um conversão entre sistemas de unidades diferentes), e este é o princípio da homogeneidade dimensional. Apenas quantidades com as mesmas dimensões devem de ser somadas ou subtraídas. Quaisquer quantidades podem ser multiplicadas ou divididas, mas as dimensões do resultado são o produto ou a divisão das dimensões individuais das parcelas. Exemplo 1.1 kg m 3 3 = (errado) kg g 3 10 3 3 = × (correcto, corresponde a uma conversão) 1 polegada = 2,54 cm (correcto, corresponde a uma conversão) FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 9 Exemplo. 1.2 Analisemos dimensionalmente a seguinte equação, que traduz a equação de movimento. t v at x 0 2 2 / 1 + = | | L x = | | | || | | || | L L L T LT T T L L T v T a X + = · + = · + = ÷ ÷ 2 / 1 . 2 / 1 2 / 1 1 2 2 2 (dimensionalmente correcto) 2. COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA 2.1 Trigonometria 2.1.1 Funções trigonométricas c a cotg a c tg = = u u 2.1.2 Triângulos trigonométricos - Triângulos rectângulos 2 2 2 a c h + = - Outros triângulos h – comprimento da hipotenusa c – comprimento do lado oposto ao ângulou a - comprimento do lado adjacente ao ângulo u c a c h sec h c sen h cosec h a cos a cotg a c tg = = = = = = u u u u u u Funções inversas ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ = = = u u u h c arcsen h a a c arctg arccos FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 10 Lei dos senos: ¸ | o sen c sen b sen a = = Lei dos co-senos: u ¸ cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 ab b a c ab b a c + + = ÷ + = 2.2 Cálculo vectorial As grandezas físicas podem ser escalares ou vectoriais. Grandezas escalares são grandezas definidas apenas pela sua magnitude (número mais dimensão), como o tempo, área, volume,…Grandezas vectoriais são definidas pela sua magnitude e têm uma direcção associada (vector mais dimensão), tais como, a velocidade, aceleração, força,… Os vectores normalmente designam-se por letras minúsculas com uma seta por cima ( ,... , , , , w v u b a ). O vector u definido pelo segmento orientado | | B A, representa-se por AB e escreve-se AB u = O vector nulo representa-se por 0 , tem direcção e sentido indeterminados e comprimento zero. Referencial Ortonormado A B u Define três direcções ortogonais no espaço tridimensional Os vectores k e j , i têm valor unitário sendo ortogonais entre si Estes vectores constituem uma base ortonormada com a qual é possível representara qualquer vector FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 11 ) , , ( z y x z y x z y x A A A k A j A i A A A A A = + + = + + = A medida do comprimento de um vector chama-se a norma do vector: 2 2 2 z y x A A A A + + = Em matemática, dados dois vectores quaisquer, obtém-se o vector soma da seguinte forma: Conhecidas as representações geométricas ) , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( z z y y x x z z y y x x z y x z y x v u v u v u k v u j v u i v u k v j v i v k u j u i u v u + + + = + + + + + = = + + + + + = + Produto de um vector por um escalar: Dado o vector u , tem-se: u v u v v u + u v v u + u u 2 u 3 ÷ FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 12 ( ) 1 , 5 , 3 ÷ = u ( ) 2 , 10 , 6 2 2 2 2 ÷ = + + = k u j u i u u z y x ( ) 3 , 15 , 9 3 ÷ ÷ = ÷ u Produto escalar de dois vectores (produto interno): ) cos( ) ).( ( . uv z z y y x x z y x z y x v u v u v u v u k v j v i v k u j u i u v u u = + + = + + + + = Em que uv u é o ângulo entre os dois vectores. Assim se os dois vectores forem perpendiculares o seu produto escalar (ou interno) é nulo. Produto Vectorial de dois vectores (produto externo): ) ( ) ( ) ( ) ( uv x y y x x y x z y z z y z y x z y x sen v u k v u v u j v u v u i v u v u v v v u u u k j i v u v u u = ÷ + ÷ + ÷ = = . = × Se dois vectores forem paralelos o seu produto externo é o vector nulo. A direcção do vector v u× é perpendicular a ambos os vectores. Utilizando a mão direita e colocando o dedo indicador no vector u e o médio no vector v , o polegar numa posição perpendicular aos outros dois dedos indica o sentido do vector resultante do produto vectorial (ou externo). 2.3 Cálculo diferencial 2.3.1 Derivada de uma função A derivada de um função ) (x f para a x = é definida como: h a f h a f a f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0 ÷ + = ÷ FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 13 2.3.2 Regras básicas de derivação Derivada da soma de funções: | | ) ( ' ) ( ' ' ) ( ) ( x g x f x g x f + = + Derivada do produto de funções: | | ) ( ' ). ( ) ( ). ( ' ) ( ). ( x g x f x g x f x g x f + = Derivada do quociente de funções: ) ( ) ( ' ). ( ) ( ). ( ' ' ) ( ) ( 2 x g x g x f x g x f x g x f ÷ = Derivada da função composta: ) ( ' )) ( ( ' ) ( )' ( x g x g f x fog = Derivada da função inversa: | | )) ( ( ' 1 ' ) ( 1 1 x f f x f ÷ ÷ = 2.3.3 Derivadas imediatas 1 . )' ( ÷ = a a x a x | | ) cos( ' ) ( x x sen = | | ) ( ' ) cos( x sen x ÷ = | | ) ( cos 1 ' ) ( 2 x x tg = x x x x e e a a a = ¬ = ) ( ) ln( . )' ( ) ( ) ( ' u tg a f = - a derivada é igual ao declive da tangente à curva para a x = FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 14 2.4 Cálculo integral Considere-se o gráfico da função y Seja t A , a variação, que se considera constante, da variável t . Se esta variação for suficientemente pequena para que a função y se possa considerar constante em cada intervalo t t + A , tem-se: t t y t t t y t t t y t t y A f i i i A + + A A + + A A + + A = ) ( .... ) 2 ( ) ( ) ( Tomando o limite 0 ÷ At , o cálculo da área é exacto, pois num intervalo de tempo infinitesimal a variável y matem-se constante: dt t y dt t t y dt t t y dt t y A f i i i ) ( .... ) 2 ( ) ( ) ( + + A + + A + + = Esta soma tem infinitos termos e é representada através de um intervalo definido: í = f i t t dt t y A ) ( O teorema fundamental do cálculo integral, permite calcular o integral definido através da primitiva Y , da função y : | | ) ( ) ( ) ( f i t t t t t Y t Y Y dt t y A f i f i ÷ = = = í A primitiva é a função Y , cuja derivada é ) (t y e, sendo assim, pode obter-se de uma maneira inversa à da derivação. í ÷ = b a a F b F dx x f ) ( ) ( ) ( em que ) ( ) ( x f dx x dF = ou seja )) ( ( ) ( x f primitiva x F = A área representada na figura pode ser obtida dividindo-a em várias fatias e calculando a sua soma: n A A A A A + + + + = ... 3 2 1 FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 15 Na tabela seguinte representam-se algumas primitivas usuais. Tabela 2.1 Primitivas de algumas funções usuais f(x) k ) 1 ( ÷ = n kx n x k ) ( . ax sen k ) cos( . ax k Primitiva kx 1 1 + + n x k n x k ln ) cos(ax a k ÷ ) (ax sen a k 2.4.1 Algumas regras da primitivação Primitiva da soma de funções: | | í í í + = + dx x g dx x f dx x g x f ) ( ) ( ) ( ) ( Primitiva de uma constante vezes uma função í í = dx x f c dx x f c ) ( ) ( . Integração de uma função vectorial í í í í + + = · + + = f i f i f i f i t t t t t t t t k dt t z j dt t ry i dt t rx dt r k t z j t y i t x r ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Pois os vectores j i . e k são invariantes no tempo. 3. CINEMÁTICA DE UM PONTO MATERIAL 3.1 Introdução A dinâmica estuda o movimento dos corpos e a relação entre esse movimento e grandezas físicas, como a força e a massa. A cinemática representa a parte da mecânica que descreve o movimento com os conceitos de espaço e de tempo, independentemente das causas que o produzem. O repouso e o movimento de um corpo são conceitos relativos: Corpo está em movimento se a sua posição relativa a outro objecto varia com o tempo; FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 16 Um corpo está em repouso se a sua posição relativa a outro objecto não varia com o tempo. Para descrever o movimento torna-se necessário definir um sistema de referência ou um referencial. A trajectória do movimento depende também do referencial adoptado para o estudar: O lugar geométrico dos pontos do espaço que vão sendo sucessivamente ocupados pela partícula designa-se trajectória. Com base na trajectória podemos classificar os movimentos possíveis da partícula como: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ¹ ´ ¦ onal Tridimensi nal Bidimensio onal Unidimensi - espaço no - plano no s Curvilíneo - Rectilíneo Movimentos 3.2 Movimento Unidimensional Neste capítulo, consideremos o movimento sobre uma recta, isto é, o movimento unidimensional. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 17 3.2.1 Vector posição; Deslocamento O vector deslocamento traduz a mudança de posição de um objecto. É caracterizado por: Direcção – da recta suporte do vector Sentido - aponta da posição inicial para a posição final Módulo – menor distância entre a posição inicial e a posição final 3.2.2 Velocidade média A velocidade média da partícula define-se, no intervalo de tempo | | f i t t , , como o quociente do espaço percorrido pelo intervalo de tempo que o levou a percorrer: i t t x x t r v i f i f média | | . | \ | ÷ ÷ = A A = media v - velocidade média f i x x , - posição inicial e final f i t t , - tempo inicial e final x A - deslocamento t A - intervalo de tempo ¬ Se ) ( ) ( 0 i f med t x t x v > ¬ > - o movimento tem o sentido positivo do eixo Ox. ¬ Se ) ( ) ( 0 i f med t x t x v < ¬ < - o movimento tem o sentido negativo do eixo Ox. A posição da partícula é, em cada instante, caracterizada pelo vector posição: i t x t r ) ( ) ( = Vector deslocamento - ) ( 0 r r r ÷ = A FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 18 3.2.3 Velocidade instantânea A velocidade instantânea, v , indica a velocidade, a direcção e sentido do movimento de um objecto em cada instante. É igual ao valor limite da velocidade média, quando o intervalo de tempo se torna muito pequeno, isto é: i dt dx i t x v t = A A = ÷ A lim 0 3.2.4 Aceleração média é instantânea A aceleração representa a taxa de variação da velocidade instantânea. i f i f med t t v v t v a ÷ ÷ = A A = med a - aceleração média num intervalo de tempo f i v v , - velocidade inicial e final f i t t , - tempo inicial e final v A - deslocamento t A - intervalo de tempo A aceleração instantânea é o valor limite da velocidade média, quando o intervalo de tempo tende para zero. i dt x d i dt dx dt d dt v d t v a t 2 2 0 lim = | . | \ | = = A A = ÷ A ¬ Se ) ( ) ( 0 i f t v t v a > ¬ > : Se ) ( f t v e ) ( i t v são positivos, significa que a velocidade aumenta, isto é, o movimento é acelerado. Se ) ( f t v e ) ( i t v são negativos, ) ( ) ( i f t v t v > significa que o valor absoluto da velocidade em f t é menor do que em i t e o movimento é retardado. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 19 ¬ Se ) ( ) ( 0 i f t v t v a < ¬ < : Se ) ( f t v e ) ( i t v são positivos, significa que a velocidade diminui, isto é, o movimento é retardado. Se ) ( f t v e ) ( i t v são negativos, ) ( ) ( i f t v t v > significa que o valor absoluto da velocidade em f t é maior do que em i t e o movimento é acelerado. Um movimento em que existe aceleração diz-se variado. Se a aceleração é constante diz-se uniformemente variado. Se a aceleração for nula, a velocidade é constante e o movimento diz-se uniforme. 3.2.5 Dedução das equações de velocidade e movimento no movimento unidimensional Podemos assim escrever: dt a dv . = Esta relação pode ser integrada. Para isso é necessário o conhecimento de um valor da velocidade ( 0 v por exemplo) para um dado instante, 0 t . Temos então: í í = t t v v adt dv 0 0 ¬ í = ÷ t t adt v v 0 0 Do mesmo modo a equação do movimento pode ser obtida por integração uma vez conhecida a lei das velocidades. Tem-se: dt dx v = ¬ dt v dx . = í í = t t x x xdt dx 0 0 ¬ í = ÷ t t vdt x x 0 0 Temos então a equação do movimento da partícula, num dado instante t, é dada por: FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 20 í + = t t vdt x x 0 0 Note-se que deslocamento e espaço percorrido podem ser bastante diferentes. O deslocamento é dado pela diferença de posição entre dois instantes: | |i t x t x r i f ) ( ) ( ÷ = A Para determinar o espaço percorrido temos de determinar os instantes em que a velocidade se anula, { } ,... , , 3 2 1 t t t , e fazer: ¯ = ÷ ÷ = A n i i i x t x s 1 1 ) ( ) ( 3.2.6 Movimento rectilíneo e uniformemente variado Sendo a aceleração constante, a equação da velocidade em função do tempo fica: ) t t ( a v v dt a v v adt v v t t t t 0 0 0 0 0 0 ÷ + = · + = · + = í í Por raciocínio análogo, a equação da posição ao longo do tempo fica: | | 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ( 2 1 ) ( ) ( 0 0 t t a t t v x x dt t t a v x x dt v x x t t t t ÷ + ÷ + = · ÷ + + = · = ÷ í í Particularmente, no movimento uniforme na qual a velocidade é constante: ) ( 0 0 0 0 0 0 t t v x dt v x dt v x x t t t t ÷ + = + = + = í í 3.2.7 Corpos em queda livre É bem sabido, que todos os corpos quando são largados no espaço caem para a superfície da Terra com uma aceleração constante, devido à aceleração da gravidade g a ÷ = . Deste modo as equações de movimento acima apresentadas passam a ter a seguinte forma (considerando 0 0 = t ). FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 21 3.3 Movimento Dimensional e Tridimensional 3.3.1 Coordenadas cartesianas 3.3.1.1 Posição e deslocamento De maneira geral, a localização de uma partícula é dada através do vector posição - r . Usando a notação de vectores unitários, representa-se por: k t z j t y i t x r ) ( ) ( ) ( + + = ) ( ) ( t r t r r i f ÷ = A 3.3.1.2 Velocidade média e velocidade instantânea k t t z j t t y i t t x t t r v med A A + A A + A A = A A = ) ( ) ( ) ( ) ( k dt dz j dt dy i dt dx k t v j t v i t v dt r d t t r t t r v z y x t + + = + + = = A ÷ A + = ÷ A ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( lim 0 Equação da velocidade gt v v ÷ = 0 Equação da posição 2 0 0 2 1 gt t v y y ÷ + = Velocidade em função da posição ) ( 2 0 2 0 2 x x g v v ÷ ÷ = FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 22 Exemplos 3.1 a) No caso do deslocamento se dar no sentido positivo. b) No caso do deslocamento se dar no sentido negativo A velocidade pode variar em módulo e em direcção. A variação da velocidade com o tempo é traduzida pela aceleração. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 23 3.3.1.3 Aceleração média e aceleração instantânea k t v j t v i t v t v a z y x med A A + A A + A A = A A = 2 2 0 0 lim lim dt r d dt v d t v a a t med t = = A A = = ÷ A ÷ A A aceleração é sempre dirigida para a concavidade da curva pois a velocidade varia na direcção da curvatura da trajectória. k a j a i a k dt dv j dt dv i dt dv dt v d a z y x z y x + + = + + = = 2 2 2 z y x a a a a + + = Conhecendo a aceleração, é possível determinar por integração a velocidade e a posição em qualquer instante t: í í í + = · = · = · = t t v t t dt a v v dt a v d v dt a v d dt v d a 0 0 0 0 | | í í í í + + = · = · = · = t t t t r r t t dt dt a v r r dt v r d dt v d r d dt r d v 0 0 0 0 0 0 Velocidade em função do tempo Posição em função do tempo dt a v v t t x x x í + = 0 0 | |dt dt a v x dt v x x t t t t x x t t x í í í + + = + = 0 0 0 0 0 0 dt a v v t t y y y í + = 0 0 | |dt dt a v y dt v y y t t t t y y t t y í í í + + = + = 0 0 0 0 0 0 dt a v v t t z z z í + = 0 0 | |dt dt a v z dt v z z t t t t z z t t z í í í + + = + = 0 0 0 0 0 0 FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 24 A caracterização do movimento pode ser efectuada independentemente em cada uma das direcções do sistema de referência (Oxyz). Exemplo 3.2 3.3.2 Movimento de um Projéctil O movimento de projécteis constitui um bom exemplo de um movimento num plano. Normalmente é conhecida a sua velocidade inicial, de grandeza 0 v e fazendo um ângulo o com a horizontal, para além da aceleração, g . FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 25 0 0 = r e 0 0 = t ¹ ´ ¦ ÷ = = g a a y x 0 ¬ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ ÷ = = = = í í í í í dt g dt a dv dt a dv t t y v v y t x v v x y y x x 0 0 0 ) ( 0 0 0 | | | | j dt gt sen v i dt cos v j dt v y i dt v x j y i x r j gt j sen v i cos v j gt j v i v ) t t ( a v v j g g a j sen v i cos v j v i v v t t t t y t t x y x y x ÷ o + o = + + + = + = ÷ o + o = ÷ + = ÷ + = ÷ = = o + o = + = í í í í 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ÷ = = 2 0 0 2 1 ) ( ) cos( gt t sen v y t v x o o Equação da trajectória de um projéctil: ) cos( 2 ) ( 2 0 2 o o v g x xtg y ÷ = A trajectória de um projéctil é uma parábola No ponto mais alto (ponto A), tem-se 0 = y v (velocidade horizontal): g ) ( sen v t 0 gt sen(αe v A A 0 o = ¬ = ÷ 0 FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 26 A altura máxima atingida pelo projéctil é então: g sen v h máx 2 ) ( 2 2 0 o = O tempo necessário para o projéctil atingir o solo é calculado considerando 0 = y : A B B B t g sen v t gt t sen v 2 ) ( 2 2 1 ) ( 0 0 2 0 = = ¬ ÷ = í o o O alcance do projéctil corresponde ao valor de B x : g ) ( sen ) cos( v x g ) ( sen v ) cos( v t ) cos( v ) t t ( x máx B B o o = o o = o = = 0 0 0 0 2 2 Os resultados anteriores para o movimento do projéctil são válidas se: 1. O alcance é suficientemente pequeno para se poder desprezar a curvatura da superfície terrestre. 2. A altitude é suficientemente pequena para que a variação da aceleração da gravidade com a altura seja insignificante. 3. A velocidade inicial é suficientemente pequena para que a resistência não seja importante. 3.3.3 Coordenadas intrínsecas As coordenadas cartesianas são um modo útil de estudar movimentos planos mas fisicamente pouco informativas no que diz respeito aos vectores velocidade e aceleração. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 27 Se multiplicarmos e dividirmos por s A no cálculo da velocidade, podemos escrever: | . | \ | A A | . | \ | A A = | . | \ | A A A A = A A = ÷ A ÷ A ÷ A ÷ A t s s r t s s r t r v t t t t 0 0 0 0 lim . lim . lim lim Por outro lado sabe-se que: Versor da tangente à curva: t s u s r ds r d = A A = ÷ A 0 lim Módulo da velocidade: t s dt ds v t A A = = ÷ A 0 lim Logo, t u v v . = A partir do módulo da velocidade podemos obter a lei horária do movimento, ) (t s s = : Velocidade média t r v med A A = Velocidade instantânea dt r d t r v t = A A = ÷ A 0 lim Quando 0 ÷ At , o módulo do deslocamento tende para s A s r A ÷ A FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 28 vdt s s vdt ds v.dt ds t 0 t 0 s s 0 í í í = ÷ ¬ = ¬ = 0 3.3.3.1 Aceleração tangencial e aceleração radial no movimento curvilíneo Consideremos o movimento de uma partícula sobre uma trajectória curva, na qual a velocidade muda de módulo e de direcção. ( ) j dt d i dt d sen j sen i dt d dt u d j i sen j sen i u j sen i u t n t o o o o o o o o t o t o o o ) cos( ) ( ) ( ) cos( ) cos( ) ( 2 2 cos ) ( ) cos( + ÷ = + = + ÷ = | . | \ | + + | . | \ | + = + = n t u dt d dt u d o = ¬ Conclui-se que dt u d t é normal à trajectória Introduzindo o deslocamento na trajectória, ds , obtém-se Aceleração média t v a med A A = Aceleração instantânea dt u d v u dt dv dt u v d dt v d a t t t + = = = ) ( | | ) (t u u t t = FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 29 ds d v dt ds ds d dt d o = o = o Se R for o raio da curvatura da trajectória, sabemos que o Rd ds = , e podemos fazer v R dt d . 1 = o Como a aceleração está dirigida para a concavidade da trajectória pode-se decompô-la em duas componentes, uma tangencial ( t a ) e outra normal ( n a ) à trajectória. n t n t a a u R v u dt dv a + = + = 2 ~ Considerando o versor da tangente à trajectória ( t u ) tem-se: 2 4 2 2 2 R v dt dv a a a n t + | . | \ | = + = A aceleração tangencial contabiliza a variação do módulo da velocidade e permite calcular a distância percorrida ao longo da trajectória curvilínea. í í + = ¬ = + = ¬ = t t t t t t vdt s s dt ds v t d a v v dt dv a 0 0 0 0 A aceleração normal caracteriza a variação da direcção da velocidade: n t n u R v dt u d v a 2 = = dt v d a t = - descreve a variação do módulo de velocidade dt u d a t n = - descreve a variação da direcção da velocidade FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 30 se se conhecer n a e o módulo de velocidade, v j dt ) t ( g ) t ( g i dt ) t ( g ) t ( f ) t ( u ) t ( u j ) t ( v ) t ( g i ) t ( v ) t ( f dt u d dt u d ) t ( v j ) t ( g i ) t ( f a t t t t t t t t n | | . | \ | + | | . | \ | + = ¬ + = = + = í í 0 0 0 3.3.3.2 Movimento circular Um caso em que este tipo de coordenadas é particularmente útil é o do movimento circular. O movimento circular é o movimento no qual a trajectória é uma circunferência. O estudo deste movimento torna-se mais simples se tomarmos como origem do sistema de eixos o centro da circunferência. O arco s , percorrido pela partícula, está relacionado com o ângulo u por: A velocidade é perpendicular ao raio, pois a velocidade é tangente à circunferência. u u R s R s = · = (sendo u radianos) t t t u wR u dt d R u dt ds v = = = u ¬Velocidade escalar (ms -1 ) dt d w u = ¬Velocidade angular (rad s -1 ) r w v wrsen wR v k dt d w rsen R × = ¦ ¦ ) ¦ ¦ ` ¹ = = = = ) ( ) ( ¸ u ¸ FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 31 w é perpendicular ao plano em que a rotação ocorre. O sentido de w , é determinado pelo sentido do movimento de rotação através da regra da mão direita ou do saca-rolhas. Neste caso as duas componentes da aceleração são dadas por: dt dw R dt dv a t = = 2 2 2 2 Rw R w R R v a n = = = A quantidade dt dw = o designa-se por aceleração angular da partícula. Temos então para aceleração total: n t u Rw u R a 2 + =o Movimento circular e uniforme ( w = constante) ) ( 0 0 0 0 t t w dt w d wdt d dt d w t t ÷ + = · = · = · = í í u u u u u u u Neste caso tem-se um movimento periódico, pois após uma rotação de t 2 volta- se ao ângulo inicial de 0 u . Tempo que demora a efectuar uma volta completa designa-se por período do movimento, T , e corresponde a uma rotação de t u 2 = rad. ) (s t t T n = A sua relação com w determina-se facilmente já que dt d w u = ¬ í í + + = t u u u 2 T t t wdt d ¬ W T T w t t 2 . 2 = · = Número de voltas por unidade de tempo designa-se por frequência do movimento, f , é o inverso do período: Tempo que demora a efectuar n voltas FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 32 Hz) (s T 1 t t f -1 n = = = ¬ f w t 2 = Podemos neste caso obter também a variação temporal do ângulo | | t t t t t t wt wdt wdt d wdt d dt d t w 0 0 0 0 0 ) ( = = ÷ · = · = · = í í í u u u u u u u Obtemos assim: ) ( 0 0 t t w ÷ + =u u Em coordenadas cartesianas, a posição da partícula é: Movimento circular não uniforme Existe uma aceleração angular ) (o . No movimento circular a direcção de w não varia 2 2 dt d dt dw u o = = Quando o é constante obtém-se o movimento circular e uniformemente variado. | | 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 t t t t w dt t t w wdt t t w dt w dt w w t t t t t t t t ÷ + ÷ + = = ÷ + + = + = ÷ + = + = + = í í í í o u o u u u o o o ) cos( . ) ( 0 wt R t x + = u ) ( . ) ( 0 wt sen R t y + = u R v a 2 = ou R w a 2 = A aceleração é radial e aponta para o centro da trajectória FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 33 Componente normal e tangencial da aceleração no movimento circular 3.4 Movimento relativo O movimento é um conceito relativo cuja descrição depende de um referencial específico escolhido pelo observador. Na realidade, diferentes observadores usando sistemas referenciais diferentes obtêm diferentes descrições de um mesmo movimento. O movimento relativo procura deste modo, relacionar os resultados distintos de um mesmo fenómeno descrito por diferentes observadores. Um referencial é escolhido de modo a facilitar a descrição do movimento do objecto que se pretende estudar. Exemplos Movimento da Terra: referenciais ligados à Terra Astronomia: referenciais em estrelas que se podem considerarem imóveis (“estrelas fixas”) Física atómica: referencial no núcleo atómico (os electrões são muito mais leves que o núcleo podendo-se considerar que a posição nuclear é fixa relativamente aos electrões) n t n t n t n t u R w u R u R ) wR ( u dt ) wR ( d u R v u dt dv a a a 2 2 2 + o = + = + = + = FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 34 3.4.1 Velocidade relativa Vector posição de B relativamente a A A B BA r r B A r ÷ = = Vector posição de A relativamente a B B A AB r r BA r ÷ = = ¬ BA AB r r ÷ = Velocidade de B em ralação a A: dt r d v BA BA = Velocidade de A em ralação a B: dt r d v AB AB = A B AO BO BA A B BA v v v v v dt r d dt r d dt r d ÷ = ÷ = · ÷ = B A BO AO AB B A AB v v v v v dt r d dt r d dt r d ÷ = ÷ = · ÷ = Velocidade de A e B medidos pelo observador O dt r d v A A = dt r d v B B = AB BA v v ÷ = ¬ FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 35 3.4.2 Aceleração relativa Aceleração de B em ralação a A: dt v d a BA BA = Aceleração de A em ralação a B: dt v d a AB AB = A B AO BO BA A B BA a a a a a dt v d dt v d dt v d ÷ = ÷ = · ÷ = B A BO AO AB B A AB a a a a a dt v d dt v d dt v d ÷ = ÷ = · ÷ = 3.4.3 Movimento Relativo de Translação Uniforme Seja O’ x’y´z´ um referencial móvel com velocidade t v em relação ao referencial fixo Oxyz. ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ = = = ÷ = · ÷ = · + = + = = t' t y z' y y' vt x ´ x t v r ' r ' r t v A ' O ' OO OA r Transformações de Galileu AB BA a a ÷ = ¬ O sistema de referência O e O’ movem-se um em relação ao outro com movimento uniforme de translação ( te cons v v TR tan = = ) Para simplificar escolheu-se sistemas de eixos com i e j paralelos a v , j paralelo a j e k paralelo a ' k Supondo que para 0 = t , O e O’ coincidem temos: t v ' OO = com i v v = FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 36 Admite-se que as medidas de tempo são independentes do observador. AO v v = é a velocidade absoluta fixo ref obj v . / ¬ ' ' AO v v = é a velocidade relativa móvel ref obj v . / ¬ ' oo TR v v = é a velocidade de transporte fixo ref móvel ref v . / . ¬ tem-se, Tr v v v + = ' ou Tr v v v ÷ = ' Aceleração Tr a a a + = ' ou Tr a a a ÷ = ' . Se a velocidade de transporte for constante 0 = Tr a . Os referenciais que se movem um em relação ao outro com um movimento uniforme são chamado referenciais inerciais. 4. DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA MATERIAL O objectivo da Dinâmica é o estudo da relação entre um movimento, ou, mais precisamente entre as alterações a um movimento, e as causas dessas alterações. Por exemplo, um movimento rectilíneo e uniforme de uma partícula não requer nenhuma interacção entre a partícula e o exterior para se manter. Mas para o modificar, isto é, para lhe fazer variar a velocidade, seja em grandeza ou direcção, a partícula tem que ser submetida à acção do que se designa por uma força, que lhe provocará uma aceleração, isto é uma mudança no seu estado de movimento. 4.1 Momento linear ou quantidade de movimento A quantidade de movimento, p , de uma partícula é definida como: v m p = Esta é uma grandeza muito importante pois combina os dois elementos que caracterizam o estado dinâmico da partícula: a sua massa e sua velocidade. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 37 4.2 Leis de Newton A cinemática descreve o movimento de uma partícula, enquanto que a dinâmica estuda as relações entre o movimento de um corpo e as causas desse movimento. O que é visível numa força é o seu efeito: a alteração do seu movimento. Assim para estudar as forças, é necessário observar o movimento resultante das acções das forças. Podemos assim definir a força como uma interacção entre corpos físicos que provoca alterações na sua velocidade ou não. Deste modo, a dinâmica pode ser considerada como a análise da relação entre o movimento e a força. Primeira lei de Newton (ou lei da inércia) Quando a resultante das forças que actuam num objecto for nula, esse objecto permanece num estado de repouso ou num estado de movimento rectilíneo e uniforme. Da 1ª lei de Newton, podemos concluir que: Repouso ou movimento são estados naturais de um corpo, isto é, estados que somente se modificam se a resultante das forças que actuam no corpo for não nula. Os objectos têm tendência para permanecer em repouso ou em movimento rectilíneo uniforme. Esta tendência é referida como inércia. Do ponto de vista físico não existe diferença entre repouso e movimento com velocidade constante. Referenciais inerciais A primeira lei de Newton, também chamada lei da inércia, define um conjunto especial de sistemas de coordenadas denominado referenciais inerciais. Um referencial inercial é um referencial em que é válida a primeira lei de Newton. Definindo partícula livre, como uma partícula que não está sujeita a interacções com outras (partícula isolada) podemos assim mostrar que o movimento é um conceito relativo. Para descrever o movimento de uma partícula livre é necessário que o observador também seja uma partícula livre (sem aceleração). Tal FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 38 observador é um observador inercial e o referencial por ele usado é um referencial inercial. A Terra não é um referencial inercial, pois tem movimento de rotação em torno do Sol e movimento de rotação em torno do seu eixo, sendo por isso um referencial acelerado. De facto a aceleração resultante dos seus movimentos de rotação e translação é cerca de 0,01m/s 2 . Assim, um referencial ligado à superfície da Terra pode, sem grande erro (em muitos casos), ser considerado um referencial de inércia. O Sol não é um referencial inercial, pois roda em torno do centro da Galáxia, estando assim animado de um aceleração centrípeta. Contudo, o Sol é um referencial inercial mais próximo que o da Terra, pois o seu movimento aproxima-se mais do movimento rectilíneo e uniforme (raio da curvatura muito maior que o da Terra). Segunda lei de Newton (ou lei fundamental da dinâmica) A segunda lei de Newton define assim a força, F , como a causa da alteração do movimento, de tal forma que, se uma força F actuar sobre uma partícula, a sua quantidade de movimento, v m p = , sofre uma alteração tal que dt p d F = unidade SI: kgms -2 =newton (N) Admite-se que todas as forças causam o mesmo efeito, quer actuem isoladas ou em conjunto com outras forças – Princípio da independência das forças Equação fundamental da dinâmica: ¯ = = i i dt p d F R FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 39 A B F / B A F / A B No caso geral temos: dt v d m v dt dm dt ) v m ( d dt p d + = = Sendo a massa, m constante | . | \ | = 0 dt dm , temos: a m dt v d m dt p d = = Obtemos assim a forma mis conhecida da 2ª lei de Newton: a m F R i i = = ¯ Terceira lei de Newton (ou lei fundamental da dinâmica) Quando dois corpos interagem, a força que um corpo exerce no outro é igual em módulo, e de sentido contrário, à força que o segundo corpo exerce no primeiro. A / B B / A F F ÷ = 4.3 Princípio da conservação da quantidade de movimento Considere o sistema de partículas isoladas A e B No instante t: 2 1 2 1 v m v m p p p + = + = No instante t’: 2 1 2 1 ' v m ' v m ' p ' p ' p + = + = te tan cons ' p p = = em qualquer instante FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 40 Princípio da conservação da quantidade de movimento Num sistema com n partículas isoladas a quantidade de movimento mantém-se constante relativamente a um referencial inercial, isto é: ¯ = i i p p =constante Considerando um sistema de n partícula em dois instantes diferentes i t e f t , tem-se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... p p p ... p p p f f f i i i + + + = + + + 3 2 1 3 2 1 ou seja 0 3 2 1 = + + + ... p p p A A A ¯ ÷ = i i j p p A A ¬A variação de p de uma dada partícula é igual ao simétrico da variação de p do resto do sistema. Num sistema de duas partículas: 2 1 p p A A ÷ = ou seja a interacção entre partículas leva a uma troca da quantidade de movimento entre elas. 4.4 Forças fundamentais e forças derivadas 4.4.1 Conceito de força As forças actuam sempre à distância (não existe contacto). Esta distância poderá ser: Muito grande (ex., interacção gravítica interplanetária) Muito pequena (ex., interacções interatómicas, contacto aparente entre dois objectos) A transferência da quantidade de movimento entre partículas envolve um meio de transmissão. A força representa a acção de corpo sobre outro e caracteriza-se por: uma direcção, sentido, intensidade e ponto de aplicação. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 41 ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ - - deformável Corpo fixas são s relativa posições suas as que em materiais pontos de número grande um de Conjunto rígido Corpo iva significat ia influênc têm não estudo em corpos dos forma a e tamanho o quando utilizado É espaço no ponto um cupa o que considerar pode se que matéria da porção Pequena material Ponto a se - aplicam orças F 4.4.2 Tipos de forças 4.4.2.1 Forças fundamentais Forças fundamentais forças gravíticas (relativamente fracas) forças electromagnéticas (relativamente fortes) forças nucleares fortes (mantêm a coesão do núcleo) forças nucleares fracas (interacção a curta distância) Força gravitacional É força de atracção mútua entre todos os corpos. Exemplos mais comuns são a força exercida pelo sol que mantém os planetas na sua órbita, assim como a força exercida pela Terra sobre a Lua que mantém esta numa órbita quase circular em torno desta. Lei da gravitação de Newton – dois pontos materiais de massas M e m são mutuamente atraídos com forças iguais e opostas, F, de intensidade: FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 42 No caso da atracção pela Terra de um ponto material para a sua superfície mg P = 2 2 8 9 ÷ = = ms , R GM g Terra Terra em que P é força de atracção exercida pela Terra num ponto material de massa m e é definido como o seu peso. Força electromagnética É a atracção, ou repulsão, entre partículas carregadas que estão em movimento relativo. A força electromagnética inclui, deste modo, duas forças, a eléctrica e a magnética. Um exemplo típico de uma força eléctrica é a atracção entre pedaços de papel e uma barra de plástico. A força magnética entre um electroíman e limalha de ferro aparece quando as cargas eléctricas se movem. Força nuclear forte A força nuclear forte é a responsável pela estabilidade dos núcleos. Esta força constitui a “cola” que matem reunidos os constituintes do núcleo (os nucleões). É a mais intensa das forças fundamentais. Com separações da ordem de 10 -15 m (dimensão nuclear típica), a força nuclear forte é uma a duas ordens de grandeza maior que a força electromagnética. Porém diminui rapidamente com o aumento da separação entre as partículas. Força nuclear fraca A força nuclear fraca é uma força de curto alcance, que tende a provocar a instabilidade de certos núcleos. Maior parte das reacções de desintegração radioactiva é provocada pela força nuclear fraca. 2 AB r mM G F = G - constante de gravitação AB r - distância entre os dois pontos materiais FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 43 4.4.2.2 Forças de contacto Todas as outras forças de que vulgarmente se fala, tais como a força de atrito, a força elástica de uma mola, a tensão numa corda, etc…, são manifestações macroscópicas de forças incluídas numa das quatro categorias referidas. Reacção normal Força de reacção normal ou reacção normal, N , é uma componente que a superfície exerce sobre o objecto com o qual está em contacto, cuja direcção é sempre perpendicular à direcção da superfície. Força de atrito Quando um objecto está em contacto com uma superfície, para além da força normal, existe uma força com uma direcção paralela à superfície denominada força de atrito. O atrito resulta da interacção das moléculas das superfícies em contacto, depende por isso, essencialmente de três factores: natureza das superfícies de contacto rugosidade das superfícies velocidade relativa O peso do bloco puxa-o para baixo, empurrando-o contra as moléculas da superfície da mesa A mesa resiste a esta compressão e exerce no bloco uma força, dirigida para cima. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 44 O atrito de escorregamento ocorre quando existe deslizamento entre duas superfícies em contacto. Um dado objecto em movimento vai perdendo quantidade de movimento devido à força de atrito ) F ( at . Esta força de atrito de escorregamento opõe-se sempre ao movimento, tendo por isso, a mesma direcção da velocidade e sentido oposto. O peso do corpo pressiona-o contra a superfície originando um par acção- reacção, N e ' N , perpendicular ao plano de contacto. Verifica-se experimentalmente que a intensidade da força de atrito é proporcional à intensidade do força normal, N , que resulta do contacto entre as duas superfícies, N F at u = ) ( 0 > u - coeficiente de atrito Quando existe movimento relativo e considerando o versor da direcção do movimento v / v u v = , a força de atrito pode-se exprimir vectorialmente como: v at u N F u ÷ = O coeficiente de atrito mudo consoante o corpo está em movimento relativamente ou não, FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 45 N F μ N F μ 0 F F at at = ¬ = ¬ = + O valor máximo de F para a qual a força de atrito consegue evitar o movimento corresponde ao coeficiente de atrito estático, e u . Nesse caso o corpo está na iminência do movimento. Conclui-se portanto, que na ausência de movimento, a força de atrito está no plano de contacto das superfícies e tem intensidade: max ae ae F F s O módulo da força de atrito estático, ae F , pode ter qualquer valor entre zero um valor máximo, max ae F , em que: N F e max ae u = Quando a força F é suficiente para iniciar o movimento verifica-se que o coeficiente de atrito é aproximadamente independente da velocidade tomando o valor de c u . Este valor corresponde ao coeficiente de atrito cinético e é inferior a e u , sendo a força de atrito cinética, ac F . v / v N u N F c v c ac u ÷ = u ÷ = O atrito de rolamento ocorre quando um corpo rolo em cima de outro. Como a superfície de contacto entre os corpos é menor, este atrito é geralmente menor que o atrito de escorregamento. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 46 Tabela 4.1 Valores aproximados de coeficientes de atrito Material e u c u aço/aço vidro/vidro teflon/aço borracha/cimento molhado borracha/cimento seco 0,7 0,9 0,04 1,0 1,0 0,6 0,4 0,04 0,8 0,8 Forças em molas Quando se estica ou comprime uma mola existe uma força que tende a levar a mola ao seu comprimento de equilíbrio denominada força elástica, el F . A el F é proporcional ao afastamento do equilíbrio da mola: x el u ) x x ( k F 0 ÷ ÷ = 4.5 Aplicação da 1ª e 2ª leis de Newton: diagramas de corpo livre Exemplo 4.5.1 Mola em equilíbrio Mola comprimida Mola esticada FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 47 Exemplo 4.5.2 Considere-se o seguinte exemplo na qual temos um trenó assente numa superfície gelada. O cão a corda atada ao trenó com uma força F. A corda sob tensão puxa então o trenó. Primeiro passo para resolver o problema é isolar o sistema a ser analisado: neste caso o trenó. Segunda fase, é esquematizar quais as forças que actua no sistema considerado, ou seja desenhar o diagrama do corpo livre. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 48 Exemplo 4.5.3 Forças que actuam na TV: Exemplo 4.5.4 Forças aplicadas no bloco são, mais uma vez: Exemplo 4.5.5 Forças que actuam no livro: Peso: g m P = Reacção normal: N Como a TV está parada, temos: ¯ = + · = = 0 0 N P a m F mg N P N = · ÷ = Peso: g m P = Reacção normal: N Aplicando a 2ª lei de Newton: ¯ = + · = a m N P a m F ¦ ¹ ¦ ´ ¦ × = × = × = · ¹ ´ ¦ = × = + ÷ × = u u u cos mg N sen g m sen mg a a m N P a m P x y y x x 0 Peso: g m P = Força exercida pela mão: F Reacção normal: N Como o livro está em repouso, temos: ¯ = + + · = = 0 0 N F P a m F F mg N F P N + = · ÷ ÷ = FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 49 Exemplo 4.5.6 Forças que actuam no cesto: Exemplo 4.5.7 “O Amaral cai acidentalmente e fica pendurado na beira de um rochedo gelado. Felizmente encontra-se preso por uma corda ao Eduardo. Antes do Eduardo conseguir cravar o seu martelo no gelo, desliza mas continua atado ao Amaral”. Qual a aceleração de cada um dos alpinistas? Aplicando a 2ª lei de Newton: Peso: g m P = Força exercida pela mão: F Reacção normal: N Como o cesto está em repouso, temos: ¯ = + + · = = 0 0 N F P a m F F mg N F P N ÷ = · ÷ ÷ = ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = + ÷ · = = = ¹ ´ ¦ = ÷ · = = · = ¯ ¯ ¯ ¯ a y a a a Y a Y a x a x e e Y e Y e x e e x e x a m g m T a m F a m F : g m N a m F a m T a m F : 2 1 0 0 Amaral Eduardo FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 50 Uma vez que o Eduardo e o Amaral estão ligados pela corda ( 2 1 T T = , se se desprezar a massa da corda) os módulos das suas acelerações serão iguais, então: a e a a a e m m g m a a m g m a m + = · ÷ = 4.6 Aplicação da terceira lei de Newton: movimento curvilíneo Exemplo 4.6.1 Qual é a aceleração das caixas? Qual a intensidade da força exercida por uma caixa sobre a outra? Movimento circular Exemplo 4.6.2 Considere-se uma partícula a descrever um movimento circula e uniforme. A partícula percorre um círculo de raio R num determinado intervalo de tempo T. Pela 3ª lei de Newton: 1 2 2 1 / / F F ÷ = Aplicando o princípio da 2ª lei de Newton às duas caixas: caixa 1: 1 1 1 2 a m F F / = ÷ caixa 2: 1 1 2 1 a m F / = uma vez que a a a = = 2 1 obtemos: 2 1 m m F a + = F m m m F / 2 1 2 2 1 + = FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 51 Este termo é sempre perpendicular à trajectória. Movimento curvilíneo O movimento curvilíneo ocorre quando a força não é colinear com a velocidade. Existe portanto uma componente da aceleração perpendicular à velocidade. A componente da aceleração perpendicular à velocidade é responsável pela variação da direcção do movimento da partícula (através da variação da direcção da velocidade). Se a massa for constante então a aceleração é paralela à força: ¬ A força tangencial, t F é responsável pela variação do módulo da velocidade e é tangente à trajectória. 0 = t F - o movimento é uniforme (velocidade constante) R / v T T W T R t s v = t = u = t = = 2 2 A A A A mas se o intervalo de tempo considerado é pequeno: R v w . v t . v a t v a 2 = = u = · ~ A A A A quando 0 ÷ t A ) a a ( m a m F n t + = = em que: dt dv a t = e r v a n 2 = ¬ n t u r v m u dt dv m F 2 + = n t t u F u F F + = FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 52 ¬ A força normal, n F é responsável pela variação da direcção da velocidade e aponta sempre para o centro da curvatura. 0 = n F - o movimento é rectilíneo. No caso do movimento circular o raio da curvatura, r, é constante e igual ao raio da circunferência, R e wR v = . Logo a força normal ou força centrípeta, é: R mw R v m a m F F n n n 2 2 = = = = Quando o movimento é circular e uniforme, 0) (a F F t n = = , ou seja, p w v w m u wv ( m ) u R mw u a m F n n n n × = × = = = 2 Exemplo 4.6.3 Um fio de comprimento L, ligado a um ponto fixo, tem na sua extremidade uma massa m que gira em torno de um eixo vertical com velocidade angular constante w. Este dispositivo chama-se pêndulo cónico. Determinar a aceleração angular, o. Tomando as componentes das forças nas direcção vertical e normal, tem-se ¹ ´ ¦ o o = o = ¬ ¹ ´ ¦ = o = ÷ o ) cos( / mgsen F ) cos( / mg T F ) ( Tsen P ) cos( T n n 0 como ) ( Lsen mw R mw ma F n n o = = = 2 2 , conclui-se que L w / g ) cos( 2 = o As forças que actuam na massa m são o peso, P , e a tensão, T . A restante das forças é a força centrípeta, n F , necessária ao movimento circular: n F P T = + FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 53 5. DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS 5.1 Momento linear e impulso Até agora estudamos o movimento duma partícula ou de partículas. Vamos agora estudar o movimento de um sistema de partículas. O momento linear de uma partícula de massa m que se move com uma velocidade v é definido como o produto da massa pela velocidade: v m p = Momento de um sistema de partículas é a soma: 1 1 v m p = 2 2 v m p = 3 3 v m p = n p p p p + + + = ... 2 1 ... n n v m p = Definimos o vector força, como a derivada do momento linear relativo ao tempo, que constitui a expressão da segunda lei de Newton. dt p d F = A segunda lei de Newton no caso particular de massa constante é um caso particular da definição de força. a m dt v d m dt v m d F = = = ) ( Explicitando p d na definição de força e integrando dt F p d = í = ÷ f i t t i f dt F p p À esquerda, temos a variação de momento linear, à direita, o integral que é denominada impulso da força F no intervalo que vai de ti a tf. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 54 Para o movimento em uma dimensão, quando uma partícula se move sob a acção de uma força F , a integral é a área sombreada sob a curva força-tempo. Em muitas situações físicas empregamos a teoria do impulso. Nesta teoria, podemos supor que uma das forças que actuam sobre a partícula é muito grande, porém, de muito curta duração. Esta teoria é de grande utilidade quando estudamos os colisões, por exemplo, de uma bola com uma raqueta ou com o pé. O tempo de colisão é muito pequeno, da ordem de centésimos ou milésimos de segundo, e a força média que exerce o pé ou a raqueta sobre a bola é de vários Newton (s). Esta força é muito maior que a gravidade, por isto podemos utilizar a teoria do impulso. Quando utilizamos esta teoria é importante recordar que os momentos lineares inicial e final se referem ao instante antes e depois da colisão, respectivamente. 5.2 Dinâmica de um sistema de partículas Seja um sistema de partículas. Sobre cada partícula actuam as forças externas ao sistema e as forças de interacção mútua entre as partículas do sistema. Suponhamos um sistema formado por duas partículas. Sobre a partícula 1 actua a força externa 1 F e a força que exerce a partícula 2, 12 F . Sobre a partícula 2 actuam a força externa 2 F e a força que exerce a partícula 1, 21 F . Por exemplo, se o sistema de partículas fosse o formado pela Terra e Lua: as forças externas seriam as que exerce o Sol (e o resto dos planetas) sobre a Terra e sobre a Lua. As forças internas seriam a atracção mútua entre estes dois corpos celestes. Para cada uma das partículas se cumpre que a razão da variação do momento linear com o tempo é igual a resultante das forças que actuam sobre a partícula considerada, logo, o movimento de cada partícula é determinado pelas forças internas e externas que atuam sobre esta partícula. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 55 Somando membro a membro e tendo em conta a terceira Lei de Newton, 12 F =- 21 F , temos que 2 1 2 1 ) ( F F dt p p d + = + ext F dt p d = Onde p é o momento linear total do sistema e ext F é a resultante das forças externas que atuam sobre o sistema de partículas. O movimento do sistema de partículas é determinado somente pelas forças externas. 5.3 Conservação do momento linear de um sistema de partículas Considere duas partículas que podem interagir entre si se, porém estão isoladas dos arredores. As partículas movem-se sob sua interacção mútua porém não há forças externas ao sistema. A partícula 1 move-se sob a acção da força 12 F que exerce a partícula 2. A partícula 2 move-se sob a acção da força 21 F que exerce a partícula 1. A terceira lei de Newton ou Princípio de Acção e Reacção estabelece que ambas forças tem que ser iguais e de sinal contrário. 0 21 12 = + F F Aplicando a segunda lei de Newton a cada uma das partículas 0 ) ( 2 1 2 1 = + = + dt p p d dt p d dt p d FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 56 O princípio de conservação do momento linear afirma que o momento linear total do sistema de partículas permanece constante, se o sistema é isolado, logo, se não atuam forças externas sobre as partículas do sistema. O princípio de conservação do momento linear é independente da natureza das forças de interacção entre as partículas do sistema isolado: 2 1 2 1 v m v m u m u m + = + Onde 1 u e 2 u são as velocidades iniciais das partículas 1 e 2, e 1 v e 2 v as velocidades finais destas partículas. 5.4 Colisões Empregamos o termo de colisão para representar a situação na qual duas ou mais partículas interagem durante um tempo muito curto. Supomos que as forças impulsivas devidas a colisão são muito maiores que qualquer outra força externa presente. O momento linear total é conservado nas colisões. No entanto, a energia cinética não se conserva devido a que parte da energia cinética se transforma em energia térmica e em energia potencial elástica interna quando os corpos se deformam durante a colisão. Definimos colisão inelástica como a colisão na qual não se conserva a energia cinética. Quando dois objectos que chocam e ficam juntos depois do choque dizemos que a colisão é perfeitamente inelástica. Por exemplo, um meteorito que choca contra a Terra. Numa colisão elástica a energia cinética conserva-se. Por exemplo, as colisões entre bolas de bilhar são aproximadamente elásticas. A nível atómico as colisões podem ser perfeitamente elásticas. A grandeza Q é a diferença entre as energias cinéticas depois e antes da colisão. Q toma o valor zero nas colisões perfeitamente elásticas, porém pode ser menor que zero se no choque se perde energia cinética como resultado da deformação, ou pode ser maior que zero, se a energia cinética das partículas depois da colisão é maior que a inicial, por exemplo, na explosão de uma granada ou na desintegração radioactiva, parte da energia química ou energia nuclear converte-se em energia cinética dos produtos. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 57 Coeficiente de restituição Foi encontrado experimentalmente que numa colisão frontal de duas esferas sólidas como as que experimentam as bolas de bilhar, as velocidades depois do choque estão relacionadas com as velocidades antes do choque, pela expressão onde e é o coeficiente de restituição e tem um valor entre 0 e 1, relação foi proposta por Newton . O valor de um é para um choque perfeitamente elástico e o valor de zero para um choque perfeitamente inelástico. O coeficiente de restituição é a razão entre a velocidade relativa de afastamento depois do choque, e a velocidade relativa de aproximação antes do choque das partículas. 5.5 Centro de massa. Até ao momento ignoramos as dimensões dos objectos. Veremos que para um corpo de dimensão finita, o centro de massa comporta-se como uma partícula em termos da sua dinâmica. O Sistema de Referência do Centro de Massa (sistema-C) é especialmente útil para descrever as colisões comparando com o Sistema de Referência do Laboratório (sistema-L). Movimento do Centro de Massas Na figura, temos duas partículas de massas m1 e m2, como m1 é maior que m2, a posição do centro de massas do sistema de duas partículas estará próxima da massa maior. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 58 Em geral, a posição CM r do centro de massa de um sistema de N partículas é a posição média da massa do sistema. M r m m r m r N i i N i N i i CM ¯ ¯ ¯ = = 1 1 1 Em termos de componentes: i N i n n CM x m M x m x m x m M x ¯ = + + + = 1 2 2 1 1 1 ) ... ( 1 i N i n n CM y m M y m y m y m M y ¯ = + + + = 1 2 2 1 1 1 ) ... ( 1 i N i n n CM z m M z m z m z m M z ¯ = + + + = 1 2 2 1 1 1 ) ... ( 1 Exemplo: Determine o Centro de massa de três partículas: Centro de massa de corpos sólidos Consideremos corpos com distribuição contínua de massa. Divide-se o corpo em elementos de massa i m A com coordenadas i i i z y x , , . M m x x i i CM ¯ A = Considerando o limite de elementos i m A tendente para ·: dm x M M m x x i i m CM i í ¯ = A = ÷ A 1 lim 0 FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 59 dm y M y CM í = 1 dm z M z CM í = 1 dm r M rCM í = 1 Daqui se conclui que o centro de massa de corpos homogéneos e simétricos terá de estar num eixo de simetria. Se um objecto possui um ponto, linha ou plano de simetria, o centro de massa terá de estar nesse ponto, linha ou plano. Não é necessário que alguma partícula tenha de estar no centro de massa (ex, donut) É frequentemente conveniente expressar a distribuição de massa em termos de densidade local do elemento de volume. dv dm p = dm r M rCM p í = 1 dv x M x CM p í = 1 dv y M y CM p í = 1 dv z M z CM p í = 1 Se a densidade for constante, então o centro de massa é frequentemente obtido pela simetria do volume do objecto. A velocidade do centro de massas CM v é obtida derivando com relação ao tempo M p m v m v N i N i i CM = = ¯ ¯ 1 1 FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 60 No numerador figura o momento linear total e no denominador a massa total do sistema de partículas. Da dinâmica de um sistema de partículas temos que: O centro de massas de um sistema de partículas move-se como se fosse uma partícula de massa igual a massa total do sistema sob a acção da força externa aplicada ao sistema. Num sistema isolado 0 = ext F o centro de massas move-se com velocidade constante const vCM = . O Sistema de Referência do Centro de Massas Para um sistema de duas partículas, A velocidade da partícula 1 relativa ao centro de massas é, A velocidade da partícula 2 relativa ao centro de massas é, No sistema-C, as duas partículas movem-se em direcções opostas. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 61 6. ESTÁTICA Como sabemos pelas leis de Newton, uma força aplicada a um corpo provoca nesse corpo uma alteração da sua velocidade. Se tivermos mais que uma força, a 2ª lei de Newton permite escrever: a m F R i i = = ¯ Por outro lado, se o corpo estiver de alguma forma preso (como uma porta, por exemplo) a força pode ter um outro efeito, que é o de provocar a rotação do corpo em torno de um eixo que não intersecte a sua linha de acção e não lhe seja paralelo. Esta tendência é chamada momento da força, em torno do eixo considerado, sendo definido como: o = = ¯ m M M i i 6.1 Condições de equilíbrio de uma partícula Diz-se que uma partícula está em equilíbrio de translação se a soma de todas as forças que actuam sobre ela for zero, isto é: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = = = ¬ = = ¯ ¯ ¯ ¯ 0 F 0 F 0 F 0 F R z y x i i 6.2 Condições de equilíbrio de um corpo rígido Para que um corpo rígido esteja em equilíbrio é necessário que a soma vectorial de todas as forças externas, assim como a soma vectorial dos respectivos momentos, sejam nulos, isto é: 0 = = = ¯ a m F R i i Equilíbrio de translação 0 = o = = ¯ m M M i i Equilíbrio de rotação FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 62 Estas duas equações vectoriais são equivalentes, no caso geral, a seis equações escalares. ¯ = i x F 0 ¯ = i x M 0 ¯ = i y F 0 ¯ = i y M 0 ¯ = i z F 0 ¯ = i z M 0 6.3 Momento de uma força De acordo com as propriedades de produto vectorial, o momento de uma força é representado por um vector perpendicular tanto a r como a F e cujo sentido é dado pela regra da mão direita. z y x z y x O F F F r r r k j i F r M = × = Se tanto r como F estiverem no mesmo plano, por exemplo Oxy, então temos: k ) F r F r ( F F r r k j i F F F r r r k j i F r M x y y x y x y x z y x z y x O ÷ = = = × = 0 0 O momento de uma força, F , relativamente a um ponto O, é definido como: F r M O × = Em que o módulo é dado por: F . d sen . F . r M = o = 0 FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 63 Logo M estará ao longo do eixo dos zz’ e perpendicular ao plano formado por r e F (Oxy). A partir da figura anterior verifica-se que o momento da força não varia quando deslocamos a foca ao longo da sua linha de acção, dado que a distância d permanece constante. Binário Um momento produzido por duas forçaS iguais e opostas e não colineares é chamado binário. As forças representadas na figura não podem ser combinadas numa única força, porque a sua soma é nula, pelo que o seu efeito é o de produzir uma rotação. O momento combinado das duas forças, relativamente a um eixo normal ao plano que contém as duas forças, é: d . F d . F ) d a .( F M = ÷ + = sendo independente de a. O momento de um binário é representado por um vector livre M , perpendicular ao plano do binário. O resultado é o mesmo seja qual for a origem do referencial, por exemplo O1: FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 64 Sistema de forças Uma força F que tende a fazer um corpo rodar em torno de um eixo que passe por O e que não intersecte a linha de acção da força, é equivalente ao conjunto de um força igual e paralela aplicada no eixo de rotação (momento nulo) e de um binário (resultante nula) igual ao momento da força. Deste modo pode-se efectuar a substituição de uma força por um sistema de forças equivalente de uma força de um binário. A força aplicada no ponto A, pode ser substituída pela força aplicada em O e pelo binário d . F M = . Para um sistema de forças, n F ,..., F , F , F 3 2 1 no espaço, cada uma das forças pode ser substituída do mesmo modo por um sistema força-binário. F r F ) r r ( ) F ( r F r M B A B A × = × ÷ = ÷ × + × = Como d é a projecção de r segundo a normal de F então d . F M = FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 65 As força concorrentes podem ser adicionadas vectorialmente e todo o sistema de forças pode ser substituído por uma resultante, R, e por um momento resultante, M : k R j R i R F F ... F F F R z y i x i n + + = = + + + + = ¯ 3 2 1 ) F r ( M ... M M M M i i i n × = + + + + = ¯ 3 2 1 0 Na tabela seguinte estão apresentadas algumas das reacções mais comuns em apoios de ligação a duas dimensões. Tabela 6.1 – Reacções nos apoios de ligação FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 66 Exemplo 6.3.1 Ao içar a estaca na posição indicada a tracção T no cabo tem de suportar uma momento em torno do ponto O 72Kn.m. Determine a intensidade de T. 7. TRABALHO E ENERGIA O conceito de trabalho está associado ao conceito de energia: quando um sistema realiza trabalho sobre outro, há uma transferência de energia de um para outro sistema. Em Física diz-se que uma partícula ou um sistema de partículas que tem a capacidade de realizar trabalho possui energia. Esta grandeza física pode ter várias formas. Por exemplo, um homem ao puxar um objecto gasta energia química do seu organismo que é transformada em movimento desse objecto (energia cinética) e em energia térmica (consequência do atrito entre o objecto e o chão). 7.1 Trabalho de uma força Existe trabalho produzido por uma força num dado corpo quando: O ponto de aplicação da força se desloca Existe uma componente da força ao longo da trajectória do movimento (apenas esta efectua trabalho). FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 67 O trabalho realizado pela força F quando o seu ponto de aplicação efectua um deslocamento r d é definido pelo produto escalar: ds F cos . ds . F r d . F dW t = u = = unidade SI: Nm = J (Joule) O trabalho total realizado pela partícula no trajecto AB é a soma de todos os trabalhos infinitesimais realizados durante os sucessivos deslocamentos infinitesimais: í í = = B A t B A AB ds . F s d . F W · Se a força que actua no corpo é constante em direcção e sentido, o movimento do corpo é rectilíneo. s cos F W ) s s ( cos F ds . F s d . F W AB B A B A t B A AB A × u × = · ÷ × u × = = = í í Quando várias forças ( n F ,..., F , F 2 1 actuam num corpo o trabalho total, total W , é soma dos trabalhos produzidos por cada força, ou é o trabalho da força resultante FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 68 í í í í = + + + = B A te tan resul B A B A B A n total s d . F s d . F ... s d . F s d . F W 2 1 Exemplo 7.1.1 A força F , é dada por: ¹ ´ ¦ ÷ = ¬ < < = ¬ < < ) N ( x , F x ) N ( F x 5 2 15 6 4 5 4 0 O trabalho é então | | ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = ÷ = ÷ = = ÷ × = = í í ÷ ÷ 6 4 6 4 2 6 4 4 0 4 0 5 25 1 15 5 2 15 20 0 4 5 5 ) J ( x , x dx ) x , ( W ) J ( ) ( dx W ¬ ) J ( W W total 25 6 0 = = ÷ 7.2 Trabalho e Energia cinética. Teorema da energia cinética A figura mostra um objecto que se move sem atrito numa superfície horizontal, sob a acção de uma força F . Se a força F actua no objecto, este vai adquirir aceleração, de acordo com a 2ª lei de Newton (a sua velocidade é alterada): ¹ ´ ¦ = ÷ = · ¹ ´ ¦ = = · = ¯ ¯ ¯ 0 P N ma F ma F ma F a m F y y x x i i Uma força x F varia com a posição como se mostra na figura. Calcule o trabalho realizado pela força sobre uma partícula quando esta se move desde 0 = x até 6 = x cm. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 69 sabendo que: v dx dv dt dx . dx dv dx dx . dt dv dt dv a = = = = Trabalho realizado entre 1 x e 2 x : 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 Ec Ec mv mv v m vdv m adx m Fdx W v v v v x x x x ÷ = ÷ = = = = = í í í ÷ Teorema da energia cinética: O trabalho total exercido sobre uma partícula é igual à variação da sua energia cinética: cinética A cinética B total B A E E Ec W ÷ = = ÷ A Exemplo 7.2.1 7.3 Energia potencial associada a uma força conservativa: energia potencial gravítica e elástica Por vezes o trabalho realizado pelas forças sobre um sistema não aumenta a energia cinética do sistema, mas a energia fornecida é armazenada na forma de energia potencial. A energia potencial de um sistema representa a capacidade de esse sistema realizar trabalho por causa da sua configuração. Um esquimó puxa um trenó de massa 80 kg com uma força de 180 N, numa direcção de 20º com a horizontal. a) Qual o trabalho realizado pelo esquimó. b) Qual a velocidade que o trenó terá ao fim de se deslocar 5 m a partir do repouso. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 70 Forças conservativas Se o trabalho realizado por uma força para mover um corpo entre duas posições é independente da trajectória do movimento, a força é chamada conservativa. ) ( W ) ( W B A B A 2 1 ÷ ÷ = Exemplos de forças conservativas: Força gravítica Força elástica O trabalho de uma força conservativa é igual ao negativo da variação da energia potencial associado a esta força, p E A : ) B ( E ) A ( E dE r d . F W p p ) B ( E ) A ( E P r r p p B A ÷ = ÷ = = í í Então: P dE r d . F ÷ = mas dz F dy F dx F r d . F z y x + + = Logo: p z y x dE dz F dy F dx F ÷ = + + Concluímos assim que, para uma fora conservativa, temos: ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ ÷ = ÷ = ÷ = ¬ ÷ = dz dE F dy dE F dx dE F r d . F dE p z p y p x p 1 2 FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 71 Energia potencial gravítica Considerando apenas as forças aplicadas no haltere: Considerando o sistema Terra - haltere: O homem realiza trabalho sobre o sistema, então o trabalho realizado pelo homem tem que ser igual à variação da energia do sistema. Nesta caso o sistema não ganha “energia cinética”, mas sim “energia potencial. s F W E em hom exteriores forças sistema A A × = = Sabe-se que 0 0 0 = + ÷ · = ¬ = ¯ em hom haltere haltere F mg F a mgh E h s mg F sistema em hom = ¬ ¹ ´ ¦ = = A A A energia potencial gravítica de uma partícula com massa m é a energia que a partícula possui devido à posição em relação à Terra. A definição de energia Consideremos o seguinte exemplo: Um homem levanta um haltere, mantendo a velocidade constante, durante o levantamento O homem realiza trabalho, mas a energia cinética do haltere não aumentou. Mas se homem sair o haltere vai “ganhar” emergia cinética. Se 0 0 0 = + · = · = ¬ = ¯ haltere em hom P F F a K v Se ¯ = ¬ = ¬ = 0 0 0 cinética total E W F A FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 72 potencial gravítica implica que se escolha uma posição de referência para a qual a energia potencial é nula. Exemplo 7.3.1 Podemos assim concluir que quando o corpo sobe. A força gravítica realiza um trabalho negativo O sistema “ganha” energia potencial Para que o sistema ganhe energia, tem que haver uma força exterior a realizar trabalho sobre o sistema Energia potencial elástica Como já foi dito atrás as molas obedecem à lei de Hooke: Consideremos o movimento de uma bola de massa m muito próxima da superfície terrestre, onde a aceleração g é aproximadamente constante. Quando o trabalho realizado pela força gravítica quando a bola sobe? p peso peso s s h h f peso E W h mg W ) h h ( mg dy ) mg ( s d P W f f A A ÷ = · × ÷ = ÷ ÷ = ÷ = = í í 0 0 0 FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 73 x K F el A = F K x ÷ ÷ A ÷ força que dá origem à deformação constante da mola desocamento da mola em relação à sua posição de equiíbrio O trabalho realizado pela mola quando se desloca da posição de equilíbrio x0 para a posição x1 é dado por: ) ( E ) ( E kx kx x k W dx . x . k dx . F W pe pe x x mola x x x x mola mola 1 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 1 0 1 0 1 0 ÷ = ÷ = ÷ = ÷ = = í í A energia potencial elástica de uma mola é uma força conservativa, sendo igual ao trabalho que essa mola realizaria quando regressa à sua posição de equilíbrio: 2 2 1 kx E pe = onde k é a constante da mola e x a sua deformação. Curvas de Energia Potencial (em movimento unidimensional) Aplicando a relação anterior, entre força e a energia potencial associada: kxdx dE dx dE kx dx dE F p p p x = · ÷ = ÷ · ÷ = Integrando entre a posição de equilíbrio, 0 = x , e uma posição x arbitrária, obtemos 2 0 2 0 0 2 1 2 1 kx x k E kxdx dE x p x E p p = = · = í í A figura representa um sistema constituído por uma mola de constante k ligada a um bloco. Como varia a energia potencial com a posição? FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 74 Podemos representar esta função graficamente: 7.4 Forças não conservativas Uma força é não conservativa quando o trabalho realizado depende da trajectória do movimento. Um exemplo típico de uma força não conservativa é a força de atrito. ) x x ( F W at F ta 0 2 2 0 ÷ ÷ = ÷ = ) x x x ( F W ) x x ( F ) x x ( F W W W W at F at at F F F F at at at at at 1 2 0 2 0 1 2 1 0 2 0 2 1 1 0 2 0 2 ÷ + ÷ = ÷ ÷ ÷ ÷ = + = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ Na posição de equilíbrio a força que actua na partícula é nula, porque quando 0 = x (posição de equilíbrio), a derivada da energia potencial é nula. O equilíbrio é estável porque um ligeiro afastamento da partícula da posição de equilíbrio tem como resultado uma força que tende a restabelecer o equilíbrio. O equilíbrio é instável, pois qualquer pequeno deslocamento tem como resultado uma força que acelera a partícula para fora do equilíbrio. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 75 O trabalho da força de atrito entre o ponto x0 e x2 depende do percurso logo a força de atrito é uma força não conservativa Suponhamos que actuam na partícula forças conservativas, c n c c F ,..., F , F 2 1 , e não conservativas, nc n nc nc F ,..., F , F 2 1 . Pelo teorema da energia cinética sabemos que ) F ( W ... ) F ( W ) F ( W ) F ( W ... ) F ( W ) F ( W W E nc n nc nc c n c c total c + + + + + + + = = 2 1 2 1 A Para cada força conservativa tem-se: i p c i E ) F ( W A ÷ = Conclui-se então que a variação da energia mecânica é igual ao trabalho das forças não conservativas. ) W( F ... ) W( F ) W( F ΔE nc n nc 2 nc 1 mec âni c a + + + = + + + = + + + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ = ) F ( W ... ) F ( W ) F ( W ) E ... E E E ( ) F ( W ... ) F ( W ) F ( W E ... E E E nc n nc nc p p p c nc n nc nc p p p c n n 2 1 2 1 2 1 2 1 A A A A A 7.5 Lei da conservação da Energia Mecânica Se num sistema, estiver uma partícula e sobre ela actuar só uma força conservativa: c p cinética F potencial F E E E W E W a consevativ a consevativ A A A A = ÷ ¬ ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = ÷ = Lei da conservação da Energia Mecânica A energia total sobre um sistema permanece constante se a única força que realiza trabalho sobre o sistema for uma força conservativa: 0 0 = + · = + ) E E ( E E c p c p A A A ¬ constante = ¬ = mecânica mecânica E E 0 A FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 76 Exemplo 7.5.1 O trabalho realizado será: a a e g F f i f i F F F total W kx kx ) mgh mgh ( W W W W + | . | \ | ÷ + ÷ = + + = 2 2 2 1 2 1 Usando o teorema da energia cinética podemos escrever: i mecânica f mecânica i pe i pg i c f pe f pg f c F F f i f i i f E E ) E E E ( ) E E E ( W W ) x x ( k ) h h ( mg mv mv a a ÷ = + + ÷ + + = + ÷ + ÷ == ÷ 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 Exemplo 7.5.2 O sistema da figura é utilizado para lançar blocos ao longo de uma superfície com atrito. Relacione o trabalho realizado pelo atrito com a variação da energia mecânica. Neste exemplo temos três tipos de forças: elástica, atrito e gravítica. Um motociclista salta um vale descrevendo a trajectória mostrada. Desprezando a resistência do ar, calcule o módulo da velocidade da moto quando esta atinge o solo. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 77 7.6 Potência A potência traduz o trabalho que é realizado por unidade de tempo. Se a quantidade de trabalho, W, é realizada no intervalo de tempo, t A , a potência média, P , é definida como: t W P A = Se o trabalho, W, é expresso como função do tempo, a potência instantânea, P, desenvolvida em qualquer instante é definida como: dt dW P = Unidade SI: joule/s= watt (W) Se o trabalho for realizado por uma força constante: dt r d . F dt dW P r d . F dW = = ¬ = ou seja, v . F P = Exemplo 7.6.1 Um automóvel acelera de o a 96 km/h em 6,5 s. a) Qual a potência do automóvel b) Quanto demorará a acelerar desde 80 km/h até 112 km/h Exemplo 7.6.2 Calcule a potência desenvolvida pelo motor de automóvel ao subir uma rampa de 5º de inclinação, com uma velocidade constante de 36 km/h. Considere a massa do automóvel igual a 1200 kg. Despreze os efeitos do atrito. Se cte v = , então 0 = R F , logo 0 = total W F P toatl W W W + = F pg W E + ÷ = A 0 ) y y ( mg E W pg F 0 ÷ = = A FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 78 W . sen . mg mgv dt dy mg dt dW P y F 4 10 033 1 × = o = = = = Eficiência mecânica ou rendimento Chama-se eficiência ou rendimento ( n) à razão entre o trabalho realizado por uma máquina e a energia que é necessária fornecer à máquina para que ela realize esse trabalho. total util mecânica P P E W máquina à fornecida Energia máquina pela realizado Trabalho = = = n Em qualquer máquina, a energia gerada geralmente não é toda utilizada para produzir um dado trabalho, pois há sempre dissipação de energia ( 1 < n ). As forças de atrito realizam trabalho que é dissipado sob a forma de calor, Q. Q W E mecânica + = Exemplos A energia química do combustível apenas é utilizada em 25 % (75 % é dissipado como calor). Os músculos que utilizam energia química também têm % 25 = n . 7. MOVIMENTO OSCILATÓRIO Um caso particular de movimento ocorre quando a força aplicada sobre um corpo é proporcional ao deslocamento do corpo em relação à sua posição de equilíbrio. Se essa força actuar sempre na direcção da posição de equilíbrio do corpo, provocará um movimento repetitivo, de vai e vem em torno dessa posição. Este tipo de movimento denomina-se periódico ou oscilatório. Uma oscilação ocorre quando um sistema em equilíbrio estável é perturbado, de modo que este oscila em torno da sua posição de equilíbrio. Exemplos deste tipo de movimento são: Oscilações de um barco nas ondas FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 79 Oscilações do pêndulo de um relógio Vibrações de instrumento musical de cordas Vibrações das moléculas do ar, quando o som se propaga Movimentos das moléculas de um sólido em torno das suas posições de equilíbrio 7.1 Movimento Harmónico Simples No movimento harmónico simples, um corpo oscila entre duas posições espaciais, durante um intervalo indefinido de tempo, sem perda de energia mecânica. Contudo, nos sistemas mecânicos reais estão sempre presentes forças retardadoras (ou de atrito). Estas forças reduzem a energia mecânica do sistema à medida que o movimento avança e as oscilações são amortecidas. O estudo de um movimento pode ser feito de duas perspectivas diferentes: Estabelecer as “leis do movimento” partindo da observação e depois tentar perceber porque as características do movimento. Ver primeiro quais são as forças aplicadas ao sistema e a partir da segunda lei de Newton estabelecer as lei do movimento Características do Movimento Harmónico Simples Seguindo a 1ª opção, vamos observar o movimento: FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 80 Equação do movimento A variação da posição em função do tempo segue uma lei do tipo sinusoidal. Pode ser escrita por: | . | \ | + t = c t . T Asen ) t ( x 2 Observemos que A, a amplitude do movimento, é simplesmente o deslocamento máximo da partícula na direcção de x positiva ou negativa, isto é, ) t ( x varia entre A (quando sen = 1) e –A (quando sen =-1). Verifique-se que f T w t = t = 2 2 é a frequência angular. ¬ O corpo oscila em torno da posição de equilíbrio ( 0 = x ) ¬ O número de oscilações por segundo é constante – frequência. ¬ O movimento é periódico – período. ¬ O corpo oscila entre duas posições extremas, igualmente espaçadas em relação à posição de equilíbrio –amplitude. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 81 Se ) c ( Asen ) t ( x t = ÷ = 0 , 0 o = c indica a posição em que o corpo inicia o movimento. A grandeza ) wt ( 0 o + é a fase do movimento. Repara-se que a unção x(t) é uma função periódica, pois repete-se sempre w aumenta t 2 radianos. O período T, é o intervalo de tempo necessário para a partícula descrever um ciclo completo do seu movimento. Isto é, as posições, x(t) nos instantes t=T , t=2T, t=3T,…, são iguais. Se no movimento periódico a posição da partícula é descrita por uma expressão do tipo: ) wt ( sen . A ) t ( x 0 o + = diz-se que o movimento é harmónico simples (MHS). Velocidade e aceleração em função do tempo Posição: ) wt ( Asen ) t ( x 0 o + = Velocidade: dt dx ) t ( v = ) wt cos( wA ) t ( v 0 o + = Aceleração dt dv ) t ( a = ) wt cos( A w ) t ( a 0 2 o + ÷ = ) t ( x w ) t ( a 2 ÷ = FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 82 Aplicação da 2ª lei de Newton Vamos prever o movimento a partir das forças aplicadas: Na posição de equilíbrio a mola não exerce nenhuma força sobre o corpo, 0 = F . Quando o corpo é deslocado, uma pequena distância em relação à posição de equilíbrio, a mola exerce uma força que aumenta à medida que o seu afastamento, x aumenta. Esta força é dada pela lei de Hooke: x k F ÷ = E tem as seguintes características: actua na direcção do eixo da mola tem sempre o sentido contrário ao deslocamento é proporcional ao deslocamento Consideremos um corpo ligado a uma mola, que oscila quando é afastado da posição de equilíbrio Forças aplicadas sobre o corpo: P –Peso N – reacção normal da mesa sobre o corpo F – força que a mola exerce sobre o corpo FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 83 Aplicando a 2ª lei de Newton: yy’ 0 = = ÷ ¬ y a . m P N xx’ x m k a a . m x . k F x x ÷ = · = ÷ = ¬ Vemos assim que a aceleração não é constante: tem sentido contrário ao deslocamento é proporcional ao deslocamento é nula na posição de equilíbrio é máxima nos extremos (quando x é máximo) Vamos agora descrever o movimento de maneira quantitativa. Recordemos que, 2 2 dt x d dt dv a = = , então: 0 2 2 2 2 = + · ÷ = x m k dt x d x m k dt x d Equação diferencial do MHS É necessário encontrar a solução da equação diferencial, isto é, uma função x=f(t), que satisfaça a equação diferencial de 2ª ordem. Se ¦ ¹ ¦ ´ ¦ ÷ = o + ÷ = + = ¬ o + = x w ) wt ( sen . a w dt x d ) φ wa.cos(wt dt dx ) wt ( sen . a x 0 2 0 2 2 2 0 Substituindo na equação diferencial, vem. x m k x w ÷ = ÷ 2 , verdadeira desde que m k w= FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 84 Então: | | . | \ | o + = 0 t . m k sen . a ) t ( x é solução Podemos assim concluir que a frequência angular depende das características do oscilador, isto é: m k T w = t = 2 Pêndulo Simples O pêndulo simples é um outro sistema mecânico que exibe movimento periódico, oscilatório. É constituído por uma massa m pendurada num fio de massa desprezável, de comprimento L, que tem a extremidade fixa como mostra a figura. O movimento ocorre num plano vertical e ocorre provocado pela força de gravidade. mas L . a t o = , então: L . gsen L . . m mgsen o = u ÷ · o = u ÷ Sabe-se que 2 2 dt d u = o , logo: Forças que actuam sobre a massa: Tensão, Peso Aplicando a 2ª lei de Newton: ¯ = + · = a m P T a m F Na direcção tangente ao movimento: t t ma mgsen ma Psen = u ÷ · = u ÷ FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 85 u + u · u = u ÷ sen L g dt d dt d L gsen 2 2 2 2 Não se trata de uma equação diferencial de 2º grau logo o movimento não é um movimento harmónico simples. Se admitirmos, que u seja pequeno podemos usar a aproximação u = u sen , onde u está em radianos. A equação do movimento fica: 0 2 2 = u + u L g dt d Temos assim uma equação diferencial que tem a mesma forma que no caso apresentado anteriormente, e então concluímos que o movimento é um movimento harmónico simples. A solução da equação diferencial é do tipo: ) wt ( sen ) t ( 0 0 o + u = u onde 0 u , é o deslocamento angular máximo, e a frequência angular e o período do movimento são dados por: L g w= e g L w T t = t = 2 2 Ou seja, a equação que traduz a posição do pêndulo em cada instante é: ) t L g ( sen ) t ( 0 0 o + u = u 7.2 Energia do Oscilador Harmónico Simples Calculemos o trabalho realizado pela força exercida pela mola sobre o corpo, F, quando o corpo se move entre as posições xA e xB. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 86 ) x x ( k W x k x k x k dx . kx i dx . i kx r d . F W B A AB A B x x x x x x x x AB B A B A B A B A 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 ÷ = + ÷ = ÷ = ÷ = ÷ = = í í í Energia potencial elástica Se ) x x ( k W B A AB 2 2 2 1 ÷ = o trabalho realizado pela força elástica não depende do caminho percorrido, mas apenas das posições inicial e final, então a força elástica é uma força conservativa. Podemos então definir Energia Potencial elástica (EP) de uma partícula de massa m, colocada num ponto A de elongação x: 2 a p x . k 2 1 ) A ( E = Energia cinética Sabe-se que 2 2 1 mv E cinética = Mas ) wt cos( wA ) t ( v 0 o + = | | | | 2 2 0 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 x A . k ) wt ( sen A mw A mw E ) wt ( sen A mw E ) wt ( cos A mw E c c c ÷ = o + ÷ = o + ÷ = o + = FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 87 Energia mecânica Durante o movimento a energia mecânica é conservada: te tan cons E E cinética potencial = + te tan cons mv kx = + 2 2 2 1 2 1 Exemplo 7.2.1 Um corpo de massa 4 kg oscila sobre um plano horizontal, ligado a uma mola elástica (k=40 N/m). O corpo foi deslocado 10 cm para a direita da posição de equilíbrio e abandonado. Calcule: a) a equação diferencial do movimento b) a equação que define a posição do corpo em qualquer instante c) a amplitude, a frequência e o período do movimento d) a velocidade máxima e a aceleração máxima e) a energia cinética e energia potencial quando o corpo está a 5 cm afastado da posição de equilíbrio. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 88 8. MECÂNICA DOS FLUIDOS O que determina o estado físico – sólido, líquido, gasoso – em que a matéria se encontra, é a grandeza das forças internas, que os seus átomos ou moléculas exercem uns sobre os outros. Apesar destas diferenças entre líquidos e gases é possível encontrar um conjunto apreciável de propriedades comuns a ambos. Designam-se vulgarmente por fluidos o conjunto de líquidos e gases. Um fluido é uma substância que não apresenta forma própria e estando em repouso não resiste a esforços tangenciais por menores que estes se apresentem, o que equivale a dizer que a mesma se deforma continuamente. Conformam-se com as fronteiras de qualquer recipiente, dado que não conseguem suster qualquer força tangencial à sua superfície. Contudo podem exercer uma força na direcção perpendicular à sua superfície, como vamos ver. O termo fluido inclui líquidos e gases, que diferem notavelmente nas suas compressibilidades: um gás é facilmente comprimido, enquanto um líquido é praticamente incompressível. 8.1 HIDROSTÁTICA 8.1.1 Massa volúmica A massa volúmica de uma substância, p , de um material homogéneo, é definida como a sua massa por unidade de volume / m V p = . É uma grandeza escalar cuja unidade, no sistema SI, é kg.m -3 . FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 89 8.1.3 Pressão Define-se pressão (sobre uma superfície), p , como sendo a força exercida, perpendicularmente a essa superfície, por unidade de área. dF p dA = A pressão é uma grandeza escalar cuja unidade, no Sistema Internacional, é o N/m 2 que tem o nome de Pascal, Pa. É ainda utilizada, especialmente para fluidos o bar cuja relação com o Pascal é de 5 1 10 bar Pa = . Relações entre unidades de pressão: , / 5 2 101 10 760 760 1 N m mmHg Torr atm ÷ × = = = Pressão num fluido – pressão hidrostática devida ao seu próprio peso. Consideremos um elemento de fluido com a forma de um lâmina com espessura, y A , e área, A. A força exercida sobre esse elemento de fluido que o envolve é em qualquer ponto normal à sua superfície. Por simetria a resultante nos bordos laterais é nula (anulam- se as forças horizontais). A força para baixo exercida sobre a sua face inferior é dada por: FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 90 . . . .( . ). down F p A mg p A A y g p = +A = + A A força para baixo, é dada por: ( ). up F p p A = +A Como o elemento de fluido está em equilíbrio, a força resultante que actua sobre ele é nula: ( ). . .( . ). 0 T up down F F F p p A p A A y g p = ÷ = +A ÷ ÷ A = O que equivale a: . p g y p A = A lim . 0 y p dp g y dy p A ÷ A = = A Integrando a equação anterior temos a pressão absoluta: . . 0 p p g y p = + Esta equação traduz o Teorema de Stevin ou Lei Fundamental da Hidrostática. Teorema de Stevin – A diferença de pressão entre dois pontos quaisquer de um líquido em equilíbrio é numericamente igual ao valor do peso de uma coluna de líquido com altura igual à diferença de nível entre os pontos e área unitária. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 91 8.1.4 Consequência da Lei Fundamental da Hidrostática Vasos comunicantes De acordo com a lei fundamental da hidrostática os pontos A, B e C estão à mesma pressão uma vez que se encontram ao mesmo nível. A B C p p p = = Designando 0 p , a pressão atmosférica, . . 0 A B C p p p p g h p = = = + A FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 92 Vasos comunicantes contendo líquidos imiscíveis Consideremos um sistema de vasos comunicantes que contém líquidos imiscíveis, de massas volúmicas, A p e B p . Sabendo que a maior densidade é a que fica no fundo, A B p p < . Como nos pontos A e B estão ao mesmo nível e pertencem ao mesmo líquido, temos: A B p p = . . . . 0 0 A A B B p g h p g h p p + = + . . A A B B h h p p = Da análise permite-nos concluir o seguinte: - Se as massas volúmicas dos líquidos são diferentes, então a altura das colunas de líquidos correspondentes são também diferentes; - A superfície do líquido de menor massa volúmica encontra-se a um nível superior. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 93 8.1.5 Medição da pressão 8.1.5.1 Barómetro de Mercúrio (Evangelista Torricelli, 1974) Torricelli, no século XVII descobriu como determinar a pressão atmosférica. A experiência consistiu em inverter um tubo de vidro cheio de mercúrio numa tina de vidro com mercúrio. Torricelli observou que o nível do mercúrio desceu até uma altura de 760 h = mm, relativamente à superfície livre do líquido na tina. Daí concluiu que a pressão atmosférica actuante na superfície livre do líquido ( 2 A B p p p = = ) seria equivalente a 760mm de Hg (mecúrio). . . . . , , , 2 1 5 0 13600 9 8 0 760 1013 10 mercúrio mercúrio p p g h g h p Pa p p = + = + = × × = × Desta experiência podemos verificar que a altura do líquido varia na razão directa da pressão atmosférica. Repare que para uma determinada pressão, a altura da coluna de mercúrio é independente do diâmetro do tubo. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 94 8.1.5.2 Manómetro de Tubo Aberto O tipo mais simples de medidor de pressão é p manómetro de tubo aberto. Este tipo de manómetro mede pressão de um gás. Consiste num tubo em U contendo um líquido de densidade conhecida (água corada, ou mercúrio), com uma das extremidades desse tubo ligado ao tanque onde desejamos medir a pressão ( 2 p ) do gás e a outra extremidade aberta à pressão atmosférica ( 1 atm p p = ). Quando a pressão no tanque for igual à pressão atmosférica os níveis do líquido em ambos os lados do tubo são iguais. Há medida que a pressão no tanque sobe acima da pressão atmosférica o nível da pressão na parte esquerda do tubo é empurrado para baixo, subindo correspondentemente do lado direito. . . 2 1 líquido p p g h p = + 8.1.6 Lei de Pascal A B h FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 95 Supondo que na superfície livre de um líquido se exerce um pressão, A p , a pressão em B é dada por: . . B A p p g h p = + Se com um êmbolo aumentarmos a pressão em A, uma quantidade p A , como um líquido é praticamente incompressível, não haverá variação da altura h . A pressão em A passará a ser: ´ A A p p p = +A A nova pressão em B, ' B p : ' B B p p p = +A Lei de Pascal – Uma variação da pressão num ponto de um líquido transmite-se integralmente a todos os pontos desse líquido. 1 2 p p A = A Exemplos de aplicação da lei de Pascal: - Tubo de pasta de dentes; - Macaco hidráulico; - Braços pneumáticos em maquinaria; FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 96 Princípio de Pascal – Funcionamento da Prensa Hidráulica Considerando o caso de um fluido incompressível, se uma força 1 F actuar para baixo na parte esquerda sobre um pistão de área 1 A , dado que esta pressão externa se propaga integralmente a todo o fluido e suas paredes, como consequência na parte direita vai-se fazer sentir sobre o pistão de área 2 A uma força de sentido contrário 2 F . A variação de pressão de um lado é idêntica à do outro. Logo temos: 1 2 2 2 1 1 2 1 F F A p F F A A A A = = · = Dado que 2 1 2 1 A A F F > ¬ > Se o pistão da esquerda descer de uma altura 1 d , o pistão da direita sobe, 2 d , é-lhe proporcional dado que o volume de fluido deslocado é constante: . . 1 1 1 2 2 2 1 2 A V A d A d d d A = = ¬ = Daí que o pistão da direita sobe menos do que o da esquerda desce. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 97 8.1.7 Flutuação de corpos em fluidos – Princípio de Arquimedes Alguns corpos ao serem introduzidos num líquido ficam em equilíbrio no interior do líquido. Isto leva-nos a concluir que há uma força exercida pelo líquido sobre o corpo que nestas condições anula a força do peso. Esta força designa-se por – impulsão do líquido – I. Consideremos um bloco de uma material de volume, . V Ah = , e densidade p , parcialmente imerso em água (densidade w p ). Nas bases do corpo, o líquido exerce forças de pressão com resultantes, up F e down F . As forças laterais que se exercem nas paredes do corpo anulam-se aos pares. A força para cima é devida à pressão: . . 0 w p p g y p = + Logo: . . . . . 0 up w F p A p A g y A p = = + A FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 98 Logo, para flutuar: . . . . . . w g h A g y A p p = Isto é: w h y p p = h - altura do corpo y - profundidade do corpo imerso Força de Impulsão: . . . . . w w I I g y A gV p p = = i V - volume do corpo imerso O princípio de Arquimedes diz que todo o sólido imerso num líquido, sofre uma força de impulsão, de baixo para cima, igual ao peso do fluido deslocado. A força para baixo ( down F ), tem duas componentes, a pressão atmosférica e o peso do bloco: . . . . 0 down F p A g h A p = + A Logo: . . . . . . total down up w F F F g h A g y A p p = ÷ = ÷ Uma vez que o bloco está em equilíbrio: 0 total F = FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 99 Exemplo de aplicação Uma tina rectangular, feita de cimento, tem um comprimento 1 l = m, uma largura 80 w= cm, uma altura 60 d = cm e uma massa 200 M = kg. A tina flutua num lago. Quantas pessoas de massa 80 m= kg cada, podem entrar na tina sem que esta se afunde? .( . . ). ( . ). g I F l wd g M n m g p = · = + Logo, . . . l wd M n m p ÷ = . 3 5 3 n = ~ pessoas 8.2 HIDRODINÂMICA 8.2.1 Introdução A hidrodinâmica é o estudo de fluidos em movimento. É um dos capítulos mais difíceis da Física porque, embora cada partícula do fluido siga leis simples, como as leis de Newton, o enorme número de partículas envolvido torna impraticável esta via do estudo. Felizmente, muitas situações de importância prática podem ser representados por modelos ideais que são suficientemente simples para poderem ser entendidos. Devemos começar por dividir os fluidos em ideais e reais. Um fluido ideal é incompressível e não apresenta forças internas de atrito ou seja, forças de viscosidade. Peso total: ( . ). g F M n m g = + Impulsão máxima: .( . . ). I l wd g p = FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 100 A hipótese de incompressibilidade é uma boa aproximação quando se trata de líquidos, e, em algumas circunstâncias, por gases se o movimento não envolver grandes diferenças de pressão. Os fluidos compressíveis e que apresentam forças de viscosidade serão os fluidos reais. 8.2.1 Fluidos ideais Define-se uma linha de fluxo como sendo a trajectória percorrida por um elemento dum fluido em movimento. Em geral a velocidade varia em direcção e módulo ao longo dessa trajectória. Se, considerando um dado um dado ponto dessa trajectória, todos os elementos seguinte que por lá passa, tiverem a mesma velocidade, o fluxo do fluido diz-se estacionário. Isto significa que a velocidade das partículas de fluido é sempre a mesma num dado ponto do espaço embora possa variar de ponto para ponto. Definimos linha de corrente como a linha que em cada ponto do espaço é tangente à trajectória, isto é, à direcção das partículas que por aí passam. Quando o movimento é estacionário as linhas de corrente coincidem com as linhas de fluxo. O conjunto de linhas de corrente que passam tangenciando um elemento de área, denomina-se tubo de corrente. O modo como um fluido se desloca muitas vezes referido como regime de escoamento pode classificar-se de duas maneiras. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 101 Regime laminar – é um regime de escoamento em que as camadas de fluido deslizam umas sobre as outras. Este tipo de escoamento pode ser representado por um conjunto regular de linhas de corrente que se mantém estável no tempo. Regime turbulento – é caracterizado pela ausência de um mapa de linhas de corrente estável e surge quando o fluido se desloca a altas velocidades ou quando no seu percurso aparecem obstáculos que provocam variações de velocidade bruscas e o fluxo se torna irregular. Há duas equações básicas na Dinâmica dos fluidos, a equação da continuidade e o teorema de Bernoulli. 8.2.3 Equação da continuidade Num fluido ideal o volume de fluido que atravessa qualquer secção recta por unidade de tempo (caudal) é constante. Isto significa simplesmente que há conservação de massa do fluido, não se criando, nem se perdendo, fluido em nenhum ponto ao longo do trajecto. Para traduzir matematicamente esta constatação, imaginemos um fluido ideal que se escoa ao longo do tubo representado na figura. Sejam A1 e A2 as áreas das secções rectas em duas partes distintas do tubo. As velocidades de escoamento em A1 e A2, são respectivamente, 1 v e 2 v . Como o líquido é incompressível, o volume que entra no tubo no tempo t A é o existente nu cilindro de base 1 A e altura 1 1 x v t A = ×A . Este volume é igual a aquele que, no mesmo tempo, sai da parte da secção de área A 2 . FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 102 ( ) ( ) 1 2 1 2 volume volume V V = A = A Se dividirmos o volume escoado V A pelo tempo t A , teremos uma grandeza chamada caudal de fluido, Q. | | | | | | 3 V Q L T t = = Podemos então afirmar que: 1 1 1 2 Q Q V V t t = A A = A A 1 1 2 2 A x A x t t ×A ×A = A A E finalmente obtemos a Equação da continuidade: 1 1 2 2 A v A v × = × Esta equação mostra que a velocidade de um fluido num tubo com estrangulamento é maior nesses pontos do que nas zonas mais largas. 8.2.4 Equação de Bernoulli Quando um fluido incompressível escoa ao longo de um tubo de corrente de secção transversal variável, a sua velocidade varia. Consequentemente, deve haver uma força resultante aplicada (“ª lei de Newton) e isso significa que a pressão deve variar ao longo do tubo, ainda que não haja diferença de altura. Para dois pontos com diferentes alturas, a diferença de pressões depende não apenas da diferença de nível mas também da diferença de velocidade entre aqueles dois pontos. Um vez que num fluido ideal só existem força conservativas, a expressão geral da diferença de pressões obtém-se a partir da conservação de energia. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 103 Para obter-se a Equação de Bernoulli, aplica-se o teorema de trabalho e energia ao fluido contido numa secção de um tubo de corrente. Consideremos um elemento de fluido contido entre duas secções de um tubo de corrente, A1 e A2, tal como mostra a figura seguinte. A força na secção 1 A é dada por: . . 1 1 1 1 A F p dA p A = = í O trabalho realizado pelas forças de pressão, devidas a 1 p , quando o fluido se desloca de 1 s A é dado por: 1 1 1 1 F W p A s = × ×A Do mesmo modo, o trabalho realizado pelas forças de pressão, devidas a 2 p , quando o fluido se desloca 2 s A é dado por: 2 2 2 2 F W p A s = × ×A O trabalho efectivo realizado sobre o elemento de fluido, durante este deslocamento será: 1 1 1 2 2 2 W p A s p A s = × ×A ÷ × ×A Pela equação da continuidade: FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 104 1 1 2 2 A v A v × = × 1 1 s v t A = ×A e 2 2 s v t A = ×A ¬ 1 1 2 2 A s A s V ×A = ×A = A Podemos então escrever esse trabalho como: ( ) forças de pressão 1 2 W p p V = ÷ ×A Aplicando o teorema de Trabalho-Energia iguala-se este trabalho à variação total das energias cinética e potencial do elemento durante t A . Durante t A , um volume de fluido 1 1 V A s A = ×A , com massa, m V p A = ×A , entra no tubo na secção 1 A , trazendo uma energia cinética: ( ) 2 2 1 1 1 1 2 2 C E m v V v p = ×A × = × ×A × Analogamente, durante esse intervalo, igual massa de fluido deixa o tubo pela secção, 2 A , levando consigo uma energia cinética de: ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 2 C E m v V v p = ×A × = × ×A × Seno a variação de energia cinética: ( ) 2 2 2 1 1 2 c E V v v p A = × ×A × ÷ A variação da energia potencial é dada por: ( ) ( ) 2 1 2 1 p E m g h h V g h h p A = ÷A × × ÷ = ÷ ×A × × ÷ Usando o teorema de trabalho energia, podemos escrever: ( ) ( ) ( ) forças de pressão 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 c p W E E V v v p p V V g h h p p = A + A × ×A × ÷ = ÷ ×A ÷ ×A × × ÷ FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 105 Dividindo por V A , obtemos: ( ) ( ) 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 p p v v g h h p p ÷ = × × ÷ + × × ÷ Esta equação traduz o teorema de Bernoulli. Pode ainda ser utilizada da seguinte forma, mais comum. p g h v p g h v 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 p p p p + × × + × × = + × × + × × A diferença de pressões devido ao peso de fluido, (hidrostática) é a diferença de altura entre os dois extremos do elemento de fluido e a pressão adicinal associada à variação da velocidade do fluido. Esta equação também pode ser escrita da seguinte forma: constante 2 1 2 p g h v p p + × × + × × = 8.2.5 Implicações da Equação de Bernoulli 8.2.5.1 Velocidade de descarga Consideremos o seguinte tanque de área transversal, 1 A , cheio de um líquido de densidade, p , até à profundidade, h . O espaço acima do líquido contém ar a uma pressão, p , e este escoa através de u orifício de área, 2 A . Considerando toda a massa de líquido como um tubo de corrente, sendo 1 v e 2 v as velocidades nos pontos 1 e 2, respectivamente. A quantidade 2 v é chamada velocidade de descarga e a pressão em 2 é a pressão atmosférica. Aplicando a Equação de Bernoulli: 2 2 1 0 2 1 1 2 2 p v g h p v p p p + × × + × × = + × × 2 2 0 2 1 2 2 p p v v g h p ÷ = + + × × (1) FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 106 Da equação da continuidade: 1 2 1 2 A v v A = × Devido à convergência das linhas de corrente à medida que se aproximam do orifício a secção transversal da secção do líquido continua a diminuir até uma pequena distância do tanque. A área a ser usada na menor secção é conhecida como vena contracta (veia contraída). Para um orifício circular a área da veia contraída é cerca de 65 % do orifício. Considerando alguns casos especiais, suponha-se que o tanque está aberto para a atmosfera. 0 p p = Suponha-se também que 1 2 A A , então 2 2 1 2 v v , podendo ser desprezado. Logo da equação (1), tira-se: 2 2 v g h = × × Desta equação concluímos que, a velocidade de descarga é a mesma que adquire um corpo em queda livre, caindo a uma altura h - Teorema de Torrricelle. Este teorema não se restringe a orifícios na base do tanque, sendo também aplicado para os que são feitos nas paredes laterais a uma profundidade h da superfície. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 107 8.2.5.2 Tubo de Venturi O tubo de Venturi consiste num estrangulamento inserido num tubo, constituído por peças suficientemente inclinadas, na entrada e saída, para evitar turbulência. Aplicando a equação de Bernoulli às secções larga e estreita: 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 p v p v p p + × × = + × × Da equação da continuidade, 1 1 2 2 A v A v × = × , 2 v é maior que 1 v e assim a pressão 2 p , na garganta é menor que 1 p .Assim, uma força para a direita, actua acelerando o fluido quando entra na garganta e outra, para a esquerda o retarda. As pressões 1 p e 2 p podem ser medidas por meio de tubos verticais, presos lateralmente. Conhecidas essas pressões e as áreas 1 A e 2 A das secções transversais pode-se calcular as velocidades e as taxas de escoamento de massa. Quando usado para este fim este dispositivo chama-se Medidor de Venturi. 8.2.5.3 Sustentação de aviões A figura seguinte mostra as linhas de corrente em torno da secção transversal de uma asa de um avião. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 108 A orientação da asa em relação às linhas de corrente provoca uma acumulação de linhas de corrente acima da asa, correspondentes a uma maior velocidade da corrente nesta região ( 1 2 v v > ), como na garganta de venturi ( 1 2 A A < ). Assim, a parte superior da asa está numa região de grande corrente e pressão reduzida, enquanto que a parte inferior é mais ou menos a pressão atmosférica (não tem correntes de ar). Nestas condições, surge uma força de sustentação (devido à diferença de pressões) de baixo para cima que permite o aparelho manter-se no ar sem cair. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 109 8.2.6 Viscosidade – fluidos reais Fluidos reais, como o ar, água, óleo, sangue, shampoo, não obedecem perfeitamente a equação de Bernoulli. Situações reais, como o efeito da tensão superficial, e da viscosidade, não podem ser descritos com a equação de Bernoulli. É da experiência corrente que a água ou o álcool, por exemplo, se podem vazar de um reservatório para outro (e se deformam portanto) com maior facilidade do que o óleo ou mel. Traduz-se este facto dizendo-se vulgarmente que os últimos líquidos são mais viscosos do que os primeiros. A viscosidade pode ser encarada como uma forma de atrito entre as camadas adjacentes de um líquido. É normalmente percebida como a "grossura", ou resistência ao despejamento. Viscosidade descreve a resistência interna para fluir de um fluido e deve ser pensada como a medida do atrito do fluido. Assim, a água é "fina", tendo uma baixa viscosidade, enquanto óleo vegetal é "grosso", tendo uma alta viscosidade. Por causa da viscosidade, é necessário exercer uma força para fazer uma camada de fluido deslizar sobre outra. Tanto os líquidos como os gases são viscoso, embora os primeiros sejam muito mais que os gases. Verifica-se que um fluido em contacto com uma superfície tem a mesma velocidade que esta. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 110 As velocidades das restantes camadas distribuem-se regularmente ao longo da direcção normal às superfícies (se o regime for laminar), constituindo-se assim um gradiente de velocidades ao longo dessa direcção que se representa por: dv dy No escoamento laminar, as camadas de fluido deslizam uma sobre as outras como fazem as folhas de um livro colocado sobre uma mesa quando se aplica uma força à sua capa superior. Como consequência deste movimento, uma porção de líquido que, num dado instante, tem a forma abcd, num instante posterior apresenta a forma abc’d’, deformando-se cada vez mais, à medida que o movimento prossegue. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 111 A fim de manter o movimento, é necessário exercer uma força continuamente para a direita, sobre a placa superior móvel (placa inferior estacionária) e, assim, indirectamente, sobre a superfície superior do líquido. Esta força é representada por F na figura acima apresentada. Sendo A, a área do líquido sobre a qual estas forças estão aplicadas, a relação / F A é a tensão tangencial exercida sobre o fluido. A deformação produzida é definida como a razão entre este deslocamento e a dimensão transversal y , ( '/ deformação dd y = ), e, dentro do limite da elasticidade, a tensão e a deformação são proporcionais. Por outro lado, no caso de um fluido, a deformação cresce sem limite, enquanto se aplica a tensão, e verifica-se experimentalmente que esta depende não da deformação de cisalhamento (tangencial), mas da sua taxa de deformação. Taxa de variação da deformação tangencial = dv dy Define-se coeficiente de viscosidade, n , ou simplesmente viscosidade de um fluido, como a relação entre a tensão tangencial de um fluido e a taxa de deformação correspondente. / / F A dv dy n = dv F A dy n = × × FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 112 O coeficiente de viscosidade é uma grandeza escalar cuja unidade, no Sistema Internacional, é o Pa.s. Em muitas tabelas encontramos como unidade o Poise, que pertence aos sistema C.G.S. sendo 1 Poise = 10 -1 Pa.s. Para os líquidos que escoam facilmente, como a água ou querosene, a tensão tangencial é relativamente pequena para uma dada taxa de variação de deformação, sendo também a viscosidade relativamente pequena. O contrário acontece com a glicerina ou o óleo cuja viscosidade é correspondentemente maior. O coeficiente de viscosidade depende significativamente da temperatura, crescendo para os gases e diminuindo par os líquidos. A tabela seguinte apresenta alguns dos coeficientes de viscosidade de materiais conhecidos 8.2.7 Lei de Stokes Quando um corpo se desloca no seio de um fluido viscoso, exerce sobre ele, para além das forças de impulsão, forças de atrito devidas à viscosidade. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 113 Estas forças são da forma: F v ì = ÷ × Para uma esfera de raio r , que se desloca com uma velocidade v , essas forças podem escrever-se: 6 F r v t n = ÷ × × × Esta expressão traduz a lei de Stokes. Uma partícula esférica abandonada ( 0 0 v = ) num líquido viscoso, fica inicialmente submetida a duas forças: a impulsão e o peso. Se o peso for maior que a impulsão, a partícula começa a cair no interior do fluido, aumentando a sua velocidade a partir do zero, ficando assim sujeita também a uma força de viscosidade, com sentido contrário à velocidade, e que aumenta com esta. Temos assim uma resultante: 6 g R F I r v t n = ÷ ÷ × × × Uma vez que as forças de viscosidade aumentam à medida que a velocidade aumenta, atinge-se um situação de equilíbrio para uma velocidade T v , velocidade terminal, tal que: FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 114 6 0 g T F I r v t n ÷ ÷ × × × = Passando a partícula a deslocar-se com velocidade constante. Supondo uma densidade p , para a partícula e p L para o fluido, temos: g F g V p = × × L I g V p = × × 3 4 3 V r t = Obtemos assim, ( ) 2 2 9 T L r g v p p t × × = × ÷ Este é o método usado para determinar a viscosidade de determinados fluidos. Medindo a velocidade terminal de uma esfera de raio r e densidade conhecidas, pode- se medir a viscosidade do fluido na qual ela cai. Esta equação foi deduzida por Milikan para calcular para calcular o raio de gotas submicroscópicas de óleo electricamente carregadas, por meio dos quais se determinou a carga de uma electrão individual. 8.2.8 Escoamento de um fluido: Lei de Pouseuille FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 115 É evidente que, pela natureza dos efeitos dos fluidos viscosos a velocidade de um fluido que escoa através de um tubo não será constante em todos os pontos de uma secção recta. A camada mais externa do fluido adere às paredes e a sua velocidade é nula. As paredes do tubo exercem sobre as camadas mais externas uma força para trás e esta, por sua vez, exerce na camada seguinte na mesma direcção e assim por diante. Se a velocidade não for muito elevada o escoamento será laminar e a velocidade será máxima no centro do tubo, decrescendo a zero nas paredes do mesmo. A figura seguinte mostra o perfil de velocidades de um fluido nestas condições. A equação que governa o movimento de um fluido dentro de um tubo é conhecida como equação de Poiseuille. Ela leva em consideração a viscosidade, sendo válida, apenas para escoamento não-turbulento (escoamento laminar). O sangue fluindo através dos canais sanguíneos não é exactamente um escoamento laminar. Mas aplicando a equação de Poiseuille para essa situação é uma aproximação razoável em primeira ordem, e leva a implicações interessantes. A equação de Poiseuille, diz que, o caudal de líquido, Q, que se escoa num tubo de FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 116 raio R , e comprimento L é função da diferença de pressões, 1 2 p p ÷ e do coeficiente de viscosidade do líquido, através da expressão, 4 1 2 8 p p R Q L t n ÷ = × × Que constitui a lei de Poiseuille Para o sangue, o coeficiente de viscosidade é de cerca de 4 x 10 -3 Pa s. A coisa mais importante a ser observada é que a taxa de escoamento é fortemente dependente no raio do tubo: R 4 . Logo, um decréscimo relativamente pequeno no raio do tubo significa uma drástica diminuição na taxa de escoamento. Diminuindo o raio por um factor 2, diminui o escoamento por um factor 16! Isto é uma boa razão para nos preocuparmos com os níveis de colesterol no sangue, ou qualquer obstrução das artérias. Uma pequena mudança no raio das artérias pode significar um enorme esforço para o coração conseguir bombear a mesma quantidade de sangue pelo corpo. 8.2.8 Escoamento laminar ou turbulento: Número de Reynolds Quando a velocidade de um fluido excede um valor crítico, que depende das propriedades do fluido e do raio do tubo, o regime de escoamento torna-se mais complicado. Na vizinhança das paredes do tubo o ainda é laminar mas no interior é altamente irregular. Aparecem localmente correntes circulares, vórtices, como se observa frequentemente no fundo do cigarro, aumentando geralmente a resistência do fluido. Este regime é designado por turbulento. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 117 Experimentalmente verifica-se que uma combinação de quatro factores determina se um regime é laminar ou turbulento. Esta combinação é conhecida como número de Reynolds, R N , definido como: R v D N p n × × = Em que, p - densidade do fluido v - velocidade média para a frente n - viscosidade do fluido D - DIÂMETRO DO TUBO O número de Reynolds é uma grandeza adimensional e tem sempre o mesmo valor, para um dado líquido e tubo, qualquer que seja o sistema de unidades utilizado para o seu cálculo. Experimentalmente verifica-se que: 2000 R N < o escoamento é laminar 3000 R N > o escoamento é turbulento FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 IPCA - Escola Superior de Gestão 118 2000 3000 R N < < o escoamento é instável, passando várias vezes de um para outro tipo de regime. Quando um objecto se desloca no seio de um fluido, mesmo que este flua em regime laminar, a deformação produzida nas linhas de corrente mostra que se estabelecem em torno do objecto grandes gradientes de velocidade e portanto aparecem nessa região forças de viscosidade. Por essa razão os fluidos, mesmo de baixa viscosidade, não podem ser tratados como ideais na vizinhança de objectos sólidos. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 ÍNDICE ÍNDICE ___________________________________________________________________________ 1 INTRODUÇÃO ____________________________________________________________________ 5 1. GRANDEZAS FÍSICAS, UNIDADES E DIMENSÕES ______________________________ 5 1.1 Grandezas fundamentais e grandezas derivadas ______________________________ 5 1.2 Como medir uma dada quantidade (grandeza)?_______________________________ 5 1.3 Sistemas de Unidades ________________________________________________________ 6 1.4 Análise Dimensional__________________________________________________________ 7 2. COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA ___________________________________________ 9 2.1 Trigonometria ________________________________________________________________ 9 2.2 Cálculo vectorial ___________________________________________________________ 10 2.3 Cálculo diferencial _________________________________________________________ 12 2.3.1 Derivada de uma função __________________________________________________12 2.3.2 Regras básicas de derivação _______________________________________________13 2.3.3 Derivadas imediatas ______________________________________________________13 2.4 Cálculo integral ____________________________________________________________ 14 2.4.1 Algumas regras da primitivação ___________________________________________15 3. CINEMÁTICA DE UM PONTO MATERIAL _____________________________________ 15 3.1 Introdução _________________________________________________________________ 15 3.2 Movimento Unidimensional ________________________________________________ 16 3.2.1 Vector posição; Deslocamento _____________________________________________17 3.2.2 Velocidade média _________________________________________________________17 3.2.3 Velocidade instantânea ___________________________________________________18 3.2.4 Aceleração média é instantânea ___________________________________________18 3.2.5 Dedução das equações de velocidade e movimento no movimento unidimensional ________________________________________________________________19 3.2.6 Movimento rectilíneo e uniformemente variado _____________________________20 3.2.7 Corpos em queda livre ____________________________________________________20 IPCA - Escola Superior de Gestão 2 FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 3.3 Movimento Dimensional e Tridimensional _________________________________ 21 3.3.1 Coordenadas cartesianas _________________________________________________21 3.3.1.1 Posição e deslocamento________________________________________________21 3.3.1.2 Velocidade média e velocidade instantânea _____________________________21 3.3.1.3 Aceleração média e aceleração instantânea _____________________________23 3.3.2 Movimento de um Projéctil ________________________________________________24 3.3.3 Coordenadas intrínsecas __________________________________________________26 3.3.3.1 Aceleração tangencial e aceleração radial no movimento curvilíneo _______28 3.3.3.2 Movimento circular ____________________________________________________30 3.4 Movimento relativo ________________________________________________________ 33 3.4.1 Velocidade relativa ________________________________________________________34 3.4.2 Aceleração relativa ________________________________________________________35 3.4.3 Movimento Relativo de Translação Uniforme _______________________________35 4. DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA MATERIAL _________________________________ 36 4.1 Momento linear ou quantidade de movimento _____________________________ 36 4.2 Leis de Newton _____________________________________________________________ 37 4.3 Princípio da conservação da quantidade de movimento ____________________ 39 4.4 Forças fundamentais e forças derivadas ____________________________________ 40 4.4.1 Conceito de força _________________________________________________________40 4.4.2 Tipos de forças ___________________________________________________________41 4.4.2.1 Forças fundamentais __________________________________________________41 4.4.2.2 Forças de contacto ____________________________________________________43 4.5 Aplicação da 1ª e 2ª leis de Newton: diagramas de corpo livre ______________ 46 4.6 Aplicação da terceira lei de Newton: movimento curvilíneo ________________ 50 5. ESTÁTICA ___________________________________________________________________ 61 5.1 Condições de equilíbrio de uma partícula __________________________________ 61 5.2 Condições de equilíbrio de um corpo rígido ________________________________ 61 5.3 Momento de uma força _____________________________________________________ 62 IPCA - Escola Superior de Gestão 3 FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 6. TRABALHO E ENERGIA ______________________________________________________ 66 6.1 Trabalho de uma força _____________________________________________________ 66 6.2 Trabalho e Energia cinética. Teorema da energia cinética _________________ 68 6.3 Energia potencial associada a uma força conservativa: energia potencial gravítica e elástica _____________________________________________________________ 69 6.4 Forças não conservativas___________________________________________________ 74 6.5 Lei da conservação da Energia Mecânica ___________________________________ 75 6.6 Potência ____________________________________________________________________ 77 7. MOVIMENTO OSCILATÓRIO _________________________________________________ 78 7.1 Movimento Harmónico Simples ____________________________________________ 79 7.2 Energia do Oscilador Harmónico Simples __________________________________ 85 IPCA - Escola Superior de Gestão 4 FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 INTRODUÇÃO O que é a física? A física é uma ciência fundamental que procura entender os fenómenos naturais que ocorrem no nosso Universo. É uma ciência que se baseia em observações experimentais e em medições quantitativas. Procura estudar as propriedades básicas do Universo usando um conjunto limitado de objectos – Sistema Físico – que pode ir desde o menor sistema físico, designadamente o estudo de partículas elementares ao maior sistema físico, nomeadamente o Universo. Objectivos da física Distinguir as várias interacções da matéria (gravitacionais, electromagnéticas, nucleares) Exprimi-las quantitativamente com o auxílio da matemática A partir das interacções fundamentais formular regras gerais sobre o comportamento macroscópico da matéria 1. GRANDEZAS FÍSICAS, UNIDADES E DIMENSÕES 1.1 Grandezas fundamentais e grandezas derivadas A observação de um fenómeno é incompleta quando dela não resultar uma informação quantitativa. As leis de física exprimem-se em termos de grandezas fundamentais. Por exemplo grandezas como a força, velocidade e volume são grandezas derivadas, pois podem ser descritas em função de grandezas fundamentais, que em si mesmas se definem em função de medidas ou de comparação com padrões bem definidos. Na mecânica as três grandezas fundamentais são o comprimento (L), o tempo (T) e a massa (M). Todas as outras grandezas derivadas exprimem-se em função das grandezas fundamentais por fórmulas matemáticas. 1.2 Como medir uma dada quantidade (grandeza)? Medir é um processo que nos permite atribuir um número a uma grandeza física como resultado da comparação entre grandezas do mesmo tipo. Compara-se com um padrão o qual é considerado como unidade dessa quantidade (dimensão). IPCA - Escola Superior de Gestão 5 FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Para medir o comprimento de um objecto compara-se com o metro padrão. Como curiosidade, este foi definido como a distância percorrida pela luz, no vácuo, no intervalo de tempo 1/299.792.458 segundos. Para medir a massa de um objecto compara-se com o quilograma. Definese como a massa de 1 litro de água pura a 4ºC. Para medir o intervalo de tempo compara-se com o segundo. Define-se como o tempo necessário para o átomo de césio 133 efectuar 9.192.631.770 vibrações. Tabela 1.1 – Prefixos de potências de 10 Prefixo DecaHectoQuiloMegaGigaTeraAbreviatura da H K M G T Factor 101 102 103 106 109 1012 Prefixo DeciCentiMiliMicroNanoPicoAbreviatura d c m Factor 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 μ n P 1.3 Sistemas de Unidades Em 1960, um comité internacional estabeleceu as regras para decidir sobre os padrões destas grandezas fundamentais. O sistema que foi estabelecido é denominado Sistema Internacional (SI) de Unidades. Neste sistema, as unidades de massa, de comprimento e de tempo são, respectivamente o quilograma, o metro e o segundo. Outras unidades estabelecidas pelo comité foram as de temperatura (kelvim), a de corrente eléctrica (ampère) e de intensidade luminosa (a candela) e a de quantidade de substância. Um sistema de unidades deve ser “coerente”, o que significa que uma unidade derivada se deve obter à custa das fundamentais por simples produto ou quociente. IPCA - Escola Superior de Gestão 6 Kg.Kg. quer seja medida em metros ou em quilómetros.Kg. Dizemos então que a sua dimensão é comprimento.s-2 m2.4 Análise Dimensional O conceito de dimensão tem significado especial na física. é sempre uma distância.3 Dimensões de grandezas fundamentais Grandeza fundamental Comprimento Massa Tempo Corrente eléctrica Temperatura Quantidade de matéria Intensidade luminosa dimensão L M T I ө N J A dimensão de uma grandeza G.s-2 m2.m J/s Expressão em termos de outras unidades Expressão em termos das unidades fundamentais s-1 m.2 Algumas unidades SI derivadas com nomes especiais Grandeza Frequência Força Pressão Trabalho Potência Unidade Hertz(Hz) Newton (N) Pascal (Pa) Joule (J) Watt (kW) N/m2 N.Escola Superior de Gestão 7 . por exemplo.s-2 m-1. vem em geral dada por: G dim G L M T N J IPCA . Em geral denota a natureza física de uma grandeza.s-3 1. no SI.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Tabela 1. Por exemplo para representar as dimensões da velocidade indicamos: v No Sistema Internacional de Unidades os símbolos adoptados para cada uma das grandezas fundamentais são: Tabela 1. Uma distância.Kg. . Exemplo 1.1 3m 3kg (errado) (correcto. devendo para tal obedecer às seguintes regras: As dimensões das quantidades em ambos os lados de uma equação devem de ser as mesmas (a não ser que a equação expresse um conversão entre sistemas de unidades diferentes).54 cm (correcto.. Note-se que uma grandeza sem dimensão (adimensional) é uma grandeza em que todos os expoentes dimensionais são iguais a zero. Grandeza Velocidade Área Volume de sólidos Aceleração Força Energia Dimensão LT-1 L2 L3 LT-2 MLT-2 ML2T2 Unidade(si) m s-1 m2 m3 M s-2 Kg m s-2=Newton Kg m2 s-2=Joule Unidades (cgs) cm s-1 cm2 cm3 cm s-2 g cm s-2=dine g cm2 s-2=erg Uma equação física correcta terá de ser dimensionalmente homogénea. Quaisquer quantidades podem ser multiplicadas ou divididas. corresponde a uma conversão) IPCA . e este é o princípio da homogeneidade dimensional..Escola Superior de Gestão 8 . Apenas quantidades com as mesmas dimensões devem de ser somadas ou subtraídas. Na tabela seguinte estão listadas as dimensões de algumas grandezas.. Tabela 1. juntamente com as unidades nos dois sistemas de unidades mais conhecidos. são chamados expoentes dimensionais. mas as dimensões do resultado são o produto ou a divisão das dimensões individuais das parcelas. . corresponde a uma conversão) 3 103 g 3kg 1 polegada = 2.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 onde .4 – Principais unidades SI utilizadas em Mecânica.. 1.2 Triângulos trigonométricos Triângulos rectângulos h2 c2 a2 Outros triângulos IPCA . que traduz a equação de movimento.1 Funções trigonométricas tg c a cotg a c h a a h c sen h c tg a cos cosec h sec c a cotg c c arctg a a Funções inversas arccos h c arcsen h 2. 1.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Exemplo.1 Trigonometria h – comprimento da hipotenusa c – comprimento do lado oposto ao ângulo a .2 Analisemos dimensionalmente a seguinte equação. COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA 2.comprimento do lado adjacente ao ângulo 2.1.T 2T 2 LT 1T L 1/ 2L L (dimensionalmente correcto) 2.Escola Superior de Gestão 9 . x 1/ 2at 2 v0t x L X 1/ 2aT 2 vT L 1/ 2L. … Os vectores normalmente designam-se por letras minúsculas com uma seta por cima ( a. tais como. tem direcção e sentido indeterminados e comprimento zero. v.…Grandezas vectoriais são definidas pela sua magnitude e têm uma direcção associada (vector mais dimensão). ). B representa-se por AB e u A O vector nulo representa-se por 0 . u. aceleração. b.2 Cálculo vectorial As grandezas físicas podem ser escalares ou vectoriais. a velocidade. área. Grandezas escalares são grandezas definidas apenas pela sua magnitude (número mais dimensão). j e k têm valor unitário sendo ortogonais entre si Estes vectores constituem uma base ortonormada com a qual é possível representara vector qualquer IPCA . força.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Lei dos senos: a b c sen sen sen c 2 a 2 b 2 2ab cos c 2 a 2 b 2 2ab cos Lei dos co-senos: 2. volume...Escola Superior de Gestão 10 . w. como o tempo. O vector u definido pelo segmento orientado escreve-se u AB B A. Referencial Ortonormado Define três direcções ortogonais no espaço tridimensional Os vectores i .. dados dois vectores quaisquer. obtém-se o vector soma da seguinte forma: Conhecidas geométricas as representações u v (u x i u y j u z k ) (v x i v y j v z k ) (u x v x )i (u y v y ) j (u z v z )k (u x v x .Escola Superior de Gestão 11 . u y v y . Ay . Az ) A medida do comprimento de um vector chama-se a norma do vector: A Ax2 Ay2 Az2 Em matemática. tem-se: 3u u 2u IPCA . u z v z ) u v u uv u v uv v Produto de um vector por um escalar: Dado o vector u .FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 A Ax Ay Az Ax i Ay j Az k ( Ax . 1 Derivada de uma função A derivada de um função f (x) para x a é definida como: f ' (a) lim h 0 f ( a h) f ( a ) h IPCA .(v x i v y j v z k ) u x v x u y v y u z v z u v cos( uv ) Em que uv é o ângulo entre os dois vectores.3.3 Produto escalar de dois vectores (produto interno): u. Assim se os dois vectores forem perpendiculares o seu produto escalar (ou interno) é nulo.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 u 3. A direcção do vector uv é perpendicular a ambos os vectores.5.Escola Superior de Gestão 12 .2 3u 9.v (u x i u y j u z k ).10.1 2u 2u x i 2u y j 2u z k 6.15.3 Cálculo diferencial u e o médio no vector v. Utilizando a mão direita e colocando o dedo indicador no vector do produto vectorial (ou externo). 2. Produto Vectorial de dois vectores (produto externo): i u v u v ux vx j uy vy k u z (u y v z u z v y )i (u z v x u y v x ) j (u x v y u y v x )k u v sen( uv ) vz Se dois vectores forem paralelos o seu produto externo é o vector nulo. o polegar numa posição perpendicular aos outros dois dedos indica o sentido do vector resultante 2. g ( x) f ( x).2 Regras básicas de derivação Derivada da soma de funções: Derivada do produto de funções: f ( x) g ( x)' f ' ( x) g ' ( x) f ( x).g ( x) f ( x).x a1 sen( x)' cos(x) cos(x)' sen( x) tg ( x)' 1 cos2 ( x) (a x )' a x .FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 f ' (a) tg ( ) .Escola Superior de Gestão 13 .g ' ( x) g ( x) ' g 2 ( x) ( fog)'( x) f ' ( g ( x))g ' ( x) Derivada do quociente de funções: Derivada da função composta: Derivada da função inversa: f 1 ( x)' 1 f ' ( f 1 ( x)) 2.ln( a) (e x ) e x IPCA .g ( x) f ' ( x).3.3.3 Derivadas imediatas ( x a )' a.a derivada é igual ao declive da tangente à curva para x a 2.g ' ( x) f ( x) f ' ( x). 4 Cálculo integral Considere-se o gráfico da função y A área representada na figura pode ser obtida dividindo-a em várias fatias e calculando a sua soma: A A1 A2 A3 .. da variável t . An Seja t . tem-se: A y(t i )t y(t i t )t y(t i 2t )t . que se considera constante... y(t f )t Tomando o limite t 0 . sendo assim..FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 2. y(t f )dt Esta soma tem infinitos termos e é representada através de um intervalo definido: A y (t )dt ti tf O teorema fundamental do cálculo integral. da função y : A y(t )dt Y tif Y (t i ) Y (t f ) tf t ti A primitiva é a função Y . b a f ( x)dx F (b) F (a) em que dF ( x) f ( x) ou seja F ( x) primitiva( f ( x)) dx 14 IPCA . pode obter-se de uma maneira inversa à da derivação. Se esta variação for suficientemente pequena para que a função y se possa considerar constante em cada intervalo t t .Escola Superior de Gestão .... cuja derivada é y (t ) e. a variação. pois num intervalo de tempo infinitesimal a variável y matem-se constante: A y(t i )dt y(t i t )dt y(t i 2t )dt . o cálculo da área é exacto.. permite calcular o integral definido através da primitiva Y . Tabela 2. j e k são invariantes no tempo. f ( x)dx c f ( x)dx Integração de uma função vectorial tf tf tf tf r x(t )i y(t ) j z (t )k r dt rx(t )dti ry(t )dtj z (t )dtk ti ti ti ti Pois os vectores i . cos(ax) Primitiva kx k x n 1 n 1 k cos(ax) a k sen(ax) a 2.sen(ax) k. IPCA . CINEMÁTICA DE UM PONTO MATERIAL 3. A cinemática representa a parte da mecânica que descreve o movimento com os conceitos de espaço e de tempo. O repouso e o movimento de um corpo são conceitos relativos: Corpo está em movimento se a sua posição relativa a outro objecto varia com o tempo.Escola Superior de Gestão 15 .4. independentemente das causas que o produzem.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Na tabela seguinte representam-se algumas primitivas usuais. 3.1 Introdução A dinâmica estuda o movimento dos corpos e a relação entre esse movimento e grandezas físicas.1 Primitivas de algumas funções usuais f(x) k kxn (n 1) k x k ln x k.1 Algumas regras da primitivação Primitiva da soma de funções: f ( x) g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx Primitiva de uma constante vezes uma função c. como a força e a massa. Tridimensional 3. o movimento unidimensional.Bidimensional Curvilíneos no espaço .Escola Superior de Gestão 16 . IPCA .2 Movimento Unidimensional Neste capítulo. Com base na trajectória podemos classificar os movimentos possíveis da partícula como: Rectilíneo .FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Um corpo está em repouso se a sua posição relativa a outro objecto não varia com o tempo. isto é. A trajectória do movimento depende também do referencial adoptado para o estudar: O lugar geométrico dos pontos do espaço que vão sendo sucessivamente ocupados pela partícula designa-se trajectória. Para descrever o movimento torna-se necessário definir um sistema de referência ou um referencial.Unidimensional Movimentos no plano . consideremos o movimento sobre uma recta. caracterizada pelo vector posição: r (t ) x(t )i Vector deslocamento .o movimento tem o sentido positivo do eixo Ox. É caracterizado por: Direcção – da recta suporte do vector Sentido .deslocamento t . como o i f quociente do espaço percorrido pelo intervalo de tempo que o levou a percorrer: v média r x f xi i t t f t i v media .FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 3. em cada instante.2.posição inicial e final ti .o movimento tem o sentido negativo do eixo Ox.aponta da posição inicial para a posição final Módulo – menor distância entre a posição inicial e a posição final 3.2 Velocidade média A velocidade média da partícula define-se.intervalo de tempo Se Se vmed 0 x(t f ) x(ti ) vmed 0 x(t f ) x(ti ) . x f .velocidade média xi . t .Escola Superior de Gestão 17 .tempo inicial e final x .r (r r0 ) O vector deslocamento traduz a mudança de posição de um objecto. Deslocamento A posição da partícula é. t f . .2. IPCA . no intervalo de tempo t .1 Vector posição. o movimento é acelerado. v v f vi amed t t f ti amed . quando o intervalo de tempo se torna muito pequeno. indica a velocidade.velocidade inicial e final ti . v. tf é menor do que em ti e o movimento IPCA . t f . significa que a velocidade aumenta. isto é: x dx v lim i i dt t 0 t 3.aceleração média num intervalo de tempo vi . isto é.Escola Superior de Gestão 18 .4 Aceleração média é instantânea A aceleração representa a taxa de variação da velocidade instantânea.3 Velocidade instantânea A velocidade instantânea.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 3.deslocamento t . quando o intervalo de tempo tende para zero.intervalo de tempo A aceleração instantânea é o valor limite da velocidade média. v f .2.2. a direcção e sentido do movimento de um objecto em cada instante. Se v(t f ) e v(ti ) são negativos.tempo inicial e final v . É igual ao valor limite da velocidade média. v dv d dx d 2 x a lim i i dt dt dt dt 2 t 0 t Se a 0 v(t f ) v(ti ) : Se v(t f ) e v(ti ) são positivos. v(t f ) v(ti ) significa que o valor absoluto da velocidade em é retardado. é dada por: IPCA . Temos então: dv adt v0 t0 v t v v0 adt t0 t Do mesmo modo a equação do movimento pode ser obtida por integração uma vez conhecida a lei das velocidades. v(t f ) v(ti ) significa que o valor absoluto da velocidade em acelerado. a velocidade é constante e o movimento diz-se uniforme. Se e são negativos. Se a aceleração for nula.2.Escola Superior de Gestão 19 . t 0 . 3. Se a aceleração é constante diz-se uniformemente variado.dt t dx xdt x0 t0 x x0 vdt t0 Temos então a equação do movimento da partícula. Para isso é necessário o conhecimento de um valor da velocidade ( v0 por exemplo) para um dado instante.5 Dedução das equações de velocidade e movimento no movimento unidimensional Podemos assim escrever: dv a. isto é. o movimento é retardado. num dado instante t.dt Esta relação pode ser integrada. tf é maior do que em ti e o movimento é Um movimento em que existe aceleração diz-se variado. Tem-se: v x dx dt t dx v.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Se a 0 v(t f ) v(ti ) : Se v(t f ) v(t f ) e v(ti ) v(ti ) são positivos. significa que a velocidade diminui. Escola Superior de Gestão 20 . no movimento uniforme na qual a velocidade é constante: x x0 t vdt x0 v t dt x0 v(t t0 ) t t 0 0 3. Deste modo as equações de movimento acima apresentadas passam a ter a seguinte forma (considerando t0 0 ).2.. O deslocamento é dado pela diferença de posição entre dois instantes: r x(t f ) x(t i ) i Para determinar o espaço percorrido temos de determinar os instantes em que a velocidade se anula. a equação da posição ao longo do tempo fica: 1 x x0 t vdt x x0 v0 a(t t 0 )dt x x0 v0 (t t 0 ) a(t t 0 ) 2 2 t t 0 0 t Particularmente. t .. .FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 x x0 vdt t0 t Note-se que deslocamento e espaço percorrido podem ser bastante diferentes.2. a equação da velocidade em função do tempo fica: v v0 adt v v0 a dt v v0 a( t t 0 ) t0 t0 t t Por raciocínio análogo. devido à aceleração da gravidade a g . IPCA .. t3 . e fazer: s x(ti ) x( i 1 ) i 1 n 3. que todos os corpos quando são largados no espaço caem para a superfície da Terra com uma aceleração constante.6 Movimento rectilíneo e uniformemente variado Sendo a aceleração constante. t 1 2 .7 Corpos em queda livre É bem sabido. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Equação da velocidade v v0 gt Equação da posição Velocidade em função da posição 2 v 2 v0 2 g ( x x0 ) 1 y y0 v0t gt 2 2 3.2 Velocidade média e velocidade instantânea r (t ) x(t ) y(t ) z (t ) vmed i j k t t t t dx dy dz r (t t ) r (t ) dr v lim v x (t )i v y (t ) j v z (t )k i j k t 0 t dt dt dt dt IPCA .3.1. Usando a notação de vectores unitários.1. a localização de uma partícula é dada através do vector posição .1 Coordenadas cartesianas 3.r . representa-se por: r x(t )i y(t ) j z (t )k r rf (t ) ri (t ) 3.3.3 Movimento Dimensional e Tridimensional 3.3.Escola Superior de Gestão 21 .1 Posição e deslocamento De maneira geral. IPCA . A variação da velocidade com o tempo é traduzida pela aceleração.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Exemplos 3.1 a) No caso do deslocamento se dar no sentido positivo. b) No caso do deslocamento se dar no sentido negativo A velocidade pode variar em módulo e em direcção.Escola Superior de Gestão 22 . FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 3.Escola Superior de Gestão 23 . dv dv x dv y dv z a i j k axi a y j az k dt dt dt dt 2 a ax2 a y az2 Conhecendo a aceleração. é possível determinar por integração a velocidade e a posição em qualquer instante t: t dv t a dv adt v v dv t adt v v0 t adt dt 0 0 0 r t dr t t v dr dv dt r dr t v dt r r0 t v0 t adt dt dt 0 0 0 0 Velocidade em função do tempo Posição em função do tempo vx v0 x t ax dt t 0 x x0 t vx dt x0 t v0 x t ax dt dt t t t 0 0 0 v y v0 y t a y dt t 0 y y0 t v y dt y0 t v0 y t a y dt dt t t t 0 0 0 vz v0 z t az dt t 0 z z0 t vz dt z0 t v0 z t az dt dt t t t 0 0 0 IPCA .3 Aceleração média e aceleração instantânea a med v v x v y v z i j k t t t t v dv d 2 r a lim0 amed lim0 t t t dt dt 2 A aceleração é sempre dirigida para a concavidade da curva pois a velocidade varia na direcção da curvatura da trajectória.3.1. 2 Movimento de um Projéctil O movimento de projécteis constitui um bom exemplo de um movimento num plano.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 A caracterização do movimento pode ser efectuada independentemente em cada uma das direcções do sistema de referência (Oxyz). para além da aceleração. IPCA .2 3. g.Escola Superior de Gestão 24 . Normalmente é conhecida a sua velocidade inicial. Exemplo 3.3. de grandeza fazendo um ângulo v0 e com a horizontal. tem-se vy 0 (velocidade horizontal): v0 sen(αe gt A 0 t A v0 sen( ) g IPCA .Escola Superior de Gestão 25 .FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 r0 0 e t0 0 t v dv x a x dt 0 0 v v t t dv a dt ( g )dt v y y 0 0 x 0x y 0y a x a y 0 g v0 v0 x i v0 y j v0 cos i v0 senj a g gj v v0 a( t t 0 ) v0 x i v0 y j gtj v0 cos i v0 senj gtj t t t t r xi yj x0 v x dt i y 0 v y dt j v0 cos dt i v0 sen gt dt j 0 0 t0 t0 x v0 cos( )t 1 y v0 sen ( )t gt 2 2 Equação da trajectória de um projéctil: y xtg ( ) x 2 g 2v cos( ) 2 0 A trajectória de um projéctil é uma parábola No ponto mais alto (ponto A). Escola Superior de Gestão 26 .3 Coordenadas intrínsecas As coordenadas cartesianas são um modo útil de estudar movimentos planos mas fisicamente pouco informativas no que diz respeito aos vectores velocidade e aceleração. 2.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 A altura máxima atingida pelo projéctil é então: hmáx v02 sen 2 ( ) 2g O tempo necessário para o projéctil atingir o solo é calculado considerando y 0: 2 2v sen ( ) 1 0 v0 sen ( )t B gt B t B 0 2t A 2 g O alcance do projéctil corresponde ao valor de xB : x( t t B ) v0 cos( )t B v0 cos( ) x máx 2v0 cos( )sen( ) g 2v0 sen( ) g Os resultados anteriores para o movimento do projéctil são válidas se: 1. 3. A velocidade inicial é suficientemente pequena para que a resistência não seja importante. A altitude é suficientemente pequena para que a variação da aceleração da gravidade com a altura seja insignificante. O alcance é suficientemente pequeno para se poder desprezar a curvatura da superfície terrestre. 3. IPCA .3. ut A partir do módulo da velocidade podemos obter a lei horária do movimento. s s(t ) : IPCA . lim0 t 0 t t 0 s t t 0 s t t Por outro lado sabe-se que: Versor da tangente à curva: dr r lim ut ds s0 s v ds s lim dt t 0 t Módulo da velocidade: Logo. o módulo do deslocamento tende para s r s Se multiplicarmos e dividirmos por escrever: s no cálculo da velocidade.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Velocidade média r vmed t Velocidade instantânea r dr v lim t 0 t dt Quando t 0 . v v.Escola Superior de Gestão 27 . lim . podemos r r s r s v lim lim . Aceleração média v amed t Aceleração instantânea dut dv d (vut ) dv a ut v dt dt dt dt u t ut (t ) ut cos( )i sen ( ) j u n cos i sen j sen ( )i cos( ) j 2 2 dut d d d cos( )i sen ( ) j sen ( ) i cos( ) j dt dt dt dt dut d un dt dt Conclui-se que du t dt é normal à trajectória Introduzindo o deslocamento na trajectória.3. obtém-se IPCA .3.dt ds vdt s s0 vdt s0 0 0 s t t 3.1 Aceleração tangencial e aceleração radial no movimento curvilíneo Consideremos o movimento de uma partícula sobre uma trajectória curva. ds .FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 ds v. na qual a velocidade muda de módulo e de direcção.Escola Superior de Gestão 28 . Escola Superior de Gestão 29 . uma tangencial ( at ) e outra normal ( an ) à trajectória. sabemos que fazer ds Rd . e podemos d dt 1 .descreve a variação da direcção da velocidade dt Considerando o versor da tangente à trajectória ( u t ) tem-se: v4 dv a a a 2 R dt 2 t 2 n 2 A aceleração tangencial contabiliza a variação do módulo da velocidade e permite calcular a distância percorrida ao longo da trajectória curvilínea. dv v 2 a u t u n at a n dt R ~ dv at .v R Como a aceleração está dirigida para a concavidade da trajectória pode-se decompô-la em duas componentes.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 d d ds d v dt ds dt ds Se R for o raio da curvatura da trajectória. t dv v v0 t at dt dt t ds v s s0 t vdt dt at 0 0 A aceleração normal caracteriza a variação da direcção da velocidade: du t v 2 an v un dt R IPCA .descreve a variação do módulo de velocidade dt dut an . 3. R rsen ( ) d w k v w r dt v wR wrsen ( ) IPCA . por: s s R R (sendo radianos) d ds v ut R ut wRut Velocidade dt dt -1 escalar (ms ) w d Velocidade angular (rad s-1) dt A velocidade é perpendicular ao raio. v du t a n f ( t )i g( t ) j v( t ) dt du t t f ( t ) t g( t ) f ( t ) g( t ) i j ut ( t ) ut ( t 0 ) t0 g( t ) dt i t0 g( t ) dt j dt v( t ) v( t ) 3.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 se se conhecer a n e o módulo de velocidade.2 Movimento circular Um caso em que este tipo de coordenadas é particularmente útil é o do movimento circular. O movimento circular é o movimento no qual a trajectória é uma circunferência. O arco percorrido pela partícula. O estudo deste movimento torna-se mais simples se tomarmos como origem do sistema de eixos o centro da circunferência.Escola Superior de Gestão 30 . está relacionado com o ângulo s.3. pois a velocidade é tangente à circunferência. Temos então para aceleração total: a Rut Rw2un Movimento circular e uniforme ( w = constante) w t d d wdt d wt dt 0 w(t t0 ) dt 0 0 Neste caso tem-se um movimento periódico. é o inverso do período: IPCA .T T 2 W Número de voltas por unidade de tempo designa-se por frequência do movimento. Neste caso as duas componentes da aceleração são dadas por: at dv dw R dt dt an dw dt v 2 R 2 w2 Rw2 R R A quantidade designa-se por aceleração angular da partícula. e corresponde a uma rotação de 2 Tempo que demora a efectuar n voltas rad. é determinado pelo sentido do movimento de rotação através da regra da mão direita ou do saca-rolhas. O sentido de w.Escola Superior de Gestão 31 . f . Tempo que demora a efectuar uma volta completa designa-se por período do movimento.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 w é perpendicular ao plano em que a rotação ocorre. pois após uma rotação de se ao ângulo inicial de 2 volta- 0 . T tn (s) t A sua relação com w determina-se facilmente já que 2 w d dt d wdt t t T 2 w. T . a posição da partícula é: x(t ) R.sen ( 0 wt ) v2 a ou a w 2 R R A aceleração é radial e aponta para o centro da trajectória Movimento circular não uniforme Existe uma aceleração angular ( ) . No movimento circular a direcção de varia w não dw d 2 dt dt 2 Quando variado.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 f t 1 (s-1 Hz) tn T w 2f Podemos neste caso obter também a variação temporal do ângulo w(t ) t t d t d wdt d wdt 0 wdt wt t dt t t 0 0 0 0 Obtemos assim: 0 w(t t0 ) Em coordenadas cartesianas. é constante obtém-se o movimento circular e uniformemente w w0 t dt w0 t dt w0 (t t0 ) t t 0 0 0 t wdt 0 t w0 (t t0 )dt 0 w0 (t t0 ) t t 0 0 2 (t t0 ) 2 IPCA .Escola Superior de Gestão 32 . cos( 0 wt ) y(t ) R. diferentes observadores usando sistemas referenciais diferentes obtêm diferentes descrições de um mesmo movimento. Um referencial é escolhido de modo a facilitar a descrição do movimento do objecto que se pretende estudar. O movimento relativo procura deste modo.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Componente normal e tangencial da aceleração no movimento circular a at a n dv v 2 ut u n dt R d ( wR ) ( wR )2 ut un dt R Rut w 2 Ru n 3. Exemplos Movimento da Terra: referenciais ligados à Terra Astronomia: referenciais em estrelas que se podem considerarem imóveis (“estrelas fixas”) Física atómica: referencial no núcleo atómico (os electrões são muito mais leves que o núcleo podendo-se considerar que a posição nuclear é fixa relativamente aos electrões) IPCA . relacionar os resultados distintos de um mesmo fenómeno descrito por diferentes observadores. Na realidade.Escola Superior de Gestão 33 .4 Movimento relativo O movimento é um conceito relativo cuja descrição depende de um referencial específico escolhido pelo observador. 4.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 3.Escola Superior de Gestão 34 .1 Velocidade relativa Velocidade de A e B medidos pelo observador O drA vA dt drB vB dt Vector posição de B relativamente a A rBA AB rB rA Vector posição de A relativamente a B rAB BA rA rB rAB rBA Velocidade de B em ralação a A: drBA vBA dt drAB v AB dt vBA vAB Velocidade de A em ralação a B: drBA drB drA vBA vBO v AO vB v A dt dt dt drAB drA drB v AB v AO vBO v A vB dt dt dt IPCA . 3 Movimento Relativo de Translação Uniforme Seja O’ x’y´z´ um referencial móvel com velocidade fixo Oxyz.4.2 Aceleração relativa Aceleração de B em ralação a A: dvBA aBA dt dv AB a AB dt aBA aAB Aceleração de A em ralação a B: dvBA dvB dv A aBA aBO a AO aB a A dt dt dt dv AB dv A dvB a AB a AO aBO a A aB dt dt dt 3. O e O’ coincidem OO' v t com v vi x´ x vt r OA OO' O' A v t r ' r ' r v t y' y z' y t t' Galileu Transformações de IPCA .4.Escola Superior de Gestão 35 . j paralelo a vt em relação ao referencial j e k paralelo a k' Supondo que para temos: t 0 . O sistema de referência O e O’ movem-se um em relação ao outro com movimento uniforme de translação ( vTR v cons tan te ) Para simplificar escolheu-se sistemas de eixos com i e j paralelos a v .FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 3. e as causas dessas alterações.1 Momento linear ou quantidade de movimento A quantidade de movimento. para lhe fazer variar a velocidade. 4. mais precisamente entre as alterações a um movimento. que lhe provocará uma aceleração. v v 'vTr ou v ' v vTr Aceleração a a 'aTr ou a ' a aTr .móvel / ref . v v AO v ' vAO ' é a velocidade absoluta vobj/ ref .Escola Superior de Gestão 36 . Por exemplo. Os referenciais que se movem um em relação ao outro com um movimento uniforme são chamado referenciais inerciais. IPCA . 4. fixo vTR voo' tem-se. DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA MATERIAL O objectivo da Dinâmica é o estudo da relação entre um movimento. ou.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Admite-se que as medidas de tempo são independentes do observador.móvel é a velocidade de transporte vref . de uma partícula é definida como: p mv Esta é uma grandeza muito importante pois combina os dois elementos que caracterizam o estado dinâmico da partícula: a sua massa e sua velocidade. isto é. seja em grandeza ou direcção. a partícula tem que ser submetida à acção do que se designa por uma força. fixo é a velocidade relativa vobj/ ref . Se a velocidade de transporte for constante aTr 0 . p . Mas para o modificar. isto é uma mudança no seu estado de movimento. um movimento rectilíneo e uniforme de uma partícula não requer nenhuma interacção entre a partícula e o exterior para se manter. define um conjunto especial de sistemas de coordenadas denominado referenciais inerciais. Os objectos têm tendência para permanecer em repouso ou em movimento rectilíneo uniforme. Para descrever o movimento de uma partícula livre é necessário que o observador também seja uma partícula livre (sem aceleração). Deste modo.Escola Superior de Gestão 37 . é necessário observar o movimento resultante das acções das forças. Referenciais inerciais A primeira lei de Newton. esse objecto permanece num estado de repouso ou num estado de movimento rectilíneo e uniforme. Do ponto de vista físico não existe diferença entre repouso e movimento com velocidade constante. isto é. podemos concluir que: Repouso ou movimento são estados naturais de um corpo. Tal IPCA . a dinâmica pode ser considerada como a análise da relação entre o movimento e a força. enquanto que a dinâmica estuda as relações entre o movimento de um corpo e as causas desse movimento.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 4. Da 1ª lei de Newton. também chamada lei da inércia. como uma partícula que não está sujeita a interacções com outras (partícula isolada) podemos assim mostrar que o movimento é um conceito relativo. Primeira lei de Newton (ou lei da inércia) Quando a resultante das forças que actuam num objecto for nula. Um referencial inercial é um referencial em que é válida a primeira lei de Newton. Definindo partícula livre. Assim para estudar as forças. Podemos assim definir a força como uma interacção entre corpos físicos que provoca alterações na sua velocidade ou não. estados que somente se modificam se a resultante das forças que actuam no corpo for não nula.2 Leis de Newton A cinemática descreve o movimento de uma partícula. Esta tendência é referida como inércia. O que é visível numa força é o seu efeito: a alteração do seu movimento. O Sol não é um referencial inercial. estando assim animado de um aceleração centrípeta. como a causa da alteração do movimento. sem grande erro (em muitos casos). sofre uma alteração tal que dp F dt unidade SI: kgms-2=newton (N) Admite-se que todas as forças causam o mesmo efeito. pois roda em torno do centro da Galáxia. pois o seu movimento aproxima-se mais do movimento rectilíneo e uniforme (raio da curvatura muito maior que o da Terra). Segunda lei de Newton (ou lei fundamental da dinâmica) A segunda lei de Newton define assim a força. ser considerado um referencial de inércia. Contudo. A Terra não é um referencial inercial. pois tem movimento de rotação em torno do Sol e movimento de rotação em torno do seu eixo. F . a sua quantidade de movimento. De facto a aceleração resultante dos seus movimentos de rotação e translação é cerca de 0. Assim. sendo por isso um referencial acelerado.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 observador é um observador inercial e o referencial por ele usado é um referencial inercial. p mv .01m/s2. o Sol é um referencial inercial mais próximo que o da Terra. se uma força F actuar sobre uma partícula. um referencial ligado à superfície da Terra pode. quer actuem isoladas ou em conjunto com outras forças – Princípio da independência das forças Equação fundamental da dinâmica: dp R Fi dt i IPCA . de tal forma que.Escola Superior de Gestão 38 . à força que o segundo corpo exerce no primeiro.Escola Superior de Gestão 39 . a força que um corpo exerce no outro é igual em módulo. FB / A FA / B FA / B FB / A A B 4. temos: dt dp dv m ma dt dt Obtemos assim a forma mis conhecida da 2ª lei de Newton: R Fi ma i Terceira lei de Newton (ou lei fundamental da dinâmica) Quando dois corpos interagem.3 Princípio da conservação da quantidade de movimento Considere o sistema de partículas isoladas A e B No instante t: No instante t’: p p1 p2 mv1 mv2 p' p'1 p' 2 mv'1 mv' 2 em qualquer p p' cons tan te instante IPCA . m constante dm 0 .FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 No caso geral temos: dp d ( mv ) dm dv vm dt dt dt dt Sendo a massa. e de sentido contrário. Num sistema de duas partículas: p1 p2 ou seja a interacção entre partículas leva a uma troca da quantidade de movimento entre elas.Escola Superior de Gestão 40 . ou seja p1 p2 p3 . Esta distância poderá ser: Muito grande (ex...4 Forças fundamentais e forças derivadas 4. 4. intensidade e ponto de aplicação.1 Conceito de força As forças actuam sempre à distância (não existe contacto).. isto é: p pi =constante i Considerando um sistema de n partícula em dois instantes diferentes tem-se: ti e tf .. p1 f p2 f p3 f ... 0 p j pi i A variação de p de uma dada partícula é igual ao simétrico da variação de p do resto do sistema. A força representa a acção de corpo sobre outro e caracteriza-se por: uma direcção.. IPCA . interacção gravítica interplanetária) Muito pequena (ex.. contacto aparente entre dois objectos) A transferência da quantidade de movimento entre partículas envolve um meio de transmissão.4. interacções interatómicas. sentido. p p p 1 i 2 i 3 i .FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Princípio da conservação da quantidade de movimento Num sistema com n partículas isoladas a quantidade de movimento mantém-se constante relativamente a um referencial inercial. 2 Tipos de forças 4.1 Forças fundamentais Forças fundamentais forças gravíticas (relativamente fracas) forças electromagnéticas (relativamente fortes) forças nucleares fortes (mantêm a coesão do núcleo) forças nucleares fracas (interacção a curta distância) Força gravitacional É força de atracção mútua entre todos os corpos. Lei da gravitação de Newton – dois pontos materiais de massas M e m são mutuamente atraídos com forças iguais e opostas. de intensidade: IPCA .2. F. assim como a força exercida pela Terra sobre a Lua que mantém esta numa órbita quase circular em torno desta.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Pequena porção da matéria que se pode considerar que o cupa um ponto no espaço Ponto material É utilizado quando o tamanho e a forma dos corpos em estudo não têm influência significat iva Forças aplicam .4.4.Escola Superior de Gestão 41 .se a Conjunto de um grande número de pontos Corpo rígidomateriais em que as suas posições relativas são fixas Corpo deformável 4. Exemplos mais comuns são a força exercida pelo sol que mantém os planetas na sua órbita. Força nuclear fraca A força nuclear fraca é uma força de curto alcance. Esta força constitui a “cola” que matem reunidos os constituintes do núcleo (os nucleões).8ms 2 2 RTerra em que P é força de atracção exercida pela Terra num ponto material de massa m e é definido como o seu peso. A força magnética entre um electroíman e limalha de ferro aparece quando as cargas eléctricas se movem.Escola Superior de Gestão 42 . duas forças. Um exemplo típico de uma força eléctrica é a atracção entre pedaços de papel e uma barra de plástico. Porém diminui rapidamente com o aumento da separação entre as partículas. Força electromagnética É a atracção. que tende a provocar a instabilidade de certos núcleos. deste modo.distância entre os dois pontos materiais No caso da atracção pela Terra de um ponto material para a sua superfície P mg g GM Terra 9. a força nuclear forte é uma a duas ordens de grandeza maior que a força electromagnética. A força electromagnética inclui. Força nuclear forte A força nuclear forte é a responsável pela estabilidade dos núcleos. entre partículas carregadas que estão em movimento relativo. É a mais intensa das forças fundamentais. Maior parte das reacções de desintegração radioactiva é provocada pela força nuclear fraca.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 F G mM 2 rAB G .constante de gravitação rAB . Com separações da ordem de 10 -15 m (dimensão nuclear típica). IPCA . ou repulsão. a eléctrica e a magnética. a tensão numa corda. Reacção normal O peso do bloco puxa-o para baixo.2 Forças de contacto Todas as outras forças de que vulgarmente se fala.Escola Superior de Gestão 43 . tais como a força de atrito. essencialmente de três factores: natureza das superfícies de contacto rugosidade das superfícies velocidade relativa IPCA . N .FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 4. são manifestações macroscópicas de forças incluídas numa das quatro categorias referidas. Força de reacção normal ou reacção normal. empurrando-o contra as moléculas da superfície da mesa A mesa resiste a esta compressão e exerce no bloco uma força. cuja direcção é sempre perpendicular à direcção da superfície. é uma componente que a superfície exerce sobre o objecto com o qual está em contacto. etc…. para além da força normal. existe uma força com uma direcção paralela à superfície denominada força de atrito. Força de atrito Quando um objecto está em contacto com uma superfície. dirigida para cima. O atrito resulta da interacção das moléculas das superfícies em contacto.4.2. depende por isso. a força elástica de uma mola. a mesma direcção da velocidade e sentido oposto. tendo por isso. perpendicular ao plano de contacto. N .coeficiente de atrito Quando existe movimento relativo e considerando o versor da direcção do movimento u v v / v .FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 O atrito de escorregamento ocorre quando existe deslizamento entre duas superfícies em contacto. N e N' . a força de atrito pode-se exprimir vectorialmente como: Fat N u v O coeficiente de atrito mudo consoante o corpo está em movimento relativamente ou não. Verifica-se experimentalmente que a intensidade da força de atrito é proporcional à intensidade do força normal. que resulta do contacto entre as duas superfícies. O peso do corpo pressiona-o contra a superfície originando um par acçãoreacção. Esta força de atrito de escorregamento opõe-se sempre ao movimento. Um dado objecto em movimento vai perdendo quantidade de movimento devido à força de atrito ( Fat ) .Escola Superior de Gestão 44 . Fat N ( 0 ) . IPCA . pode ter qualquer valor entre zero um max valor máximo.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Fat F Fat 0 μ μ N F N O valor máximo de F para a qual a força de atrito consegue evitar o movimento corresponde ao coeficiente de atrito estático. Fae . Fac . Este valor corresponde ao coeficiente de atrito cinético e é inferior a e . Conclui-se portanto. que na ausência de movimento. este atrito é geralmente menor que o atrito de escorregamento. IPCA . Fae . em que: max Fae e N Quando a força F é suficiente para iniciar o movimento verifica-se que o coeficiente de atrito é aproximadamente independente da velocidade tomando o valor de c . e . sendo a força de atrito cinética. a força de atrito está no plano de contacto das superfícies e tem intensidade: max Fae Fae O módulo da força de atrito estático. Fac c N u v c N v / v O atrito de rolamento ocorre quando um corpo rolo em cima de outro.Escola Superior de Gestão 45 . Como a superfície de contacto entre os corpos é menor. Nesse caso o corpo está na iminência do movimento. 04 0.0 1. Fel .8 Forças em molas Quando se estica ou comprime uma mola existe uma força que tende a levar a mola ao seu comprimento de equilíbrio denominada força elástica.5. Mola em equilíbrio Mola comprimida Mola esticada A Fel é proporcional ao afastamento do equilíbrio da mola: Fel k( x x0 )u x 4.1 IPCA .8 0.1 Valores aproximados de coeficientes de atrito Material aço/aço vidro/vidro teflon/aço borracha/cimento molhado borracha/cimento seco e 0.9 0.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Tabela 4.4 0.5 Aplicação da 1ª e 2ª leis de Newton: diagramas de corpo livre Exemplo 4.6 0.7 0.Escola Superior de Gestão 46 .04 1.0 c 0. IPCA . Primeiro passo para resolver o problema é isolar o sistema a ser analisado: neste caso o trenó. O cão a corda atada ao trenó com uma força F.Escola Superior de Gestão 47 .5. A corda sob tensão puxa então o trenó. Segunda fase. ou seja desenhar o diagrama do corpo livre.2 Considere-se o seguinte exemplo na qual temos um trenó assente numa superfície gelada. é esquematizar quais as forças que actua no sistema considerado.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Exemplo 4. 5.5 Forças que actuam no livro: P mg Força exercida pela mão: F Reacção normal: N Peso: Como o livro está em repouso.5.3 Forças que actuam na TV: Peso: P mg Reacção normal: N Como a TV está parada.4 Forças aplicadas no bloco são. temos: F ma 0 P N 0 N P N mg Exemplo 4. mais uma vez: Peso: Reacção normal: P mg N Aplicando a 2ª lei de Newton: F ma P N ma mg sen Px m a x g sen a x m Py N m a y 0 N mg cos Exemplo 4.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Exemplo 4.5. temos: F ma 0 P F N 0 N P F N mg F IPCA .Escola Superior de Gestão 48 . Felizmente encontra-se preso por uma corda ao Eduardo.Escola Superior de Gestão 49 .7 “O Amaral cai acidentalmente e fica pendurado na beira de um rochedo gelado. temos: F ma 0 P F N 0 N P F N mg F Exemplo 4. Qual a aceleração de cada um dos alpinistas? Aplicando a 2ª lei de Newton: Eduardo : Amaral : Fx FY Fx FY m e a xe T1 m e a xe e m e aY N m e g 0 m a a xa 0 a m a aYa T2 m a g m a a y IPCA . desliza mas continua atado ao Amaral”.5.5.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Exemplo 4. Antes do Eduardo conseguir cravar o seu martelo no gelo.6 Forças que actuam no cesto: P mg Força exercida pela mão: F Reacção normal: N Peso: Como o cesto está em repouso. 6.6 Aplicação da terceira lei de Newton: movimento curvilíneo Exemplo 4.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Uma vez que o Eduardo e o Amaral estão ligados pela corda ( T1 então: T2 .1 Qual é a aceleração das caixas? Qual a intensidade da força exercida por uma caixa sobre a outra? Pela 3ª lei de Newton: F1 / 2 F2 / 1 Aplicando o princípio da 2ª lei de Newton às duas caixas: caixa 1: F1 / 2 F F2 / 1 m1a1 m1a1 caixa 2: uma vez que a1 a2 a obtemos: a F m1 m2 F1 / 2 m2 F m1 m2 Movimento circular Exemplo 4.Escola Superior de Gestão 50 . ma g m am g m aa e m ma e a a 4. A partícula percorre um círculo de raio R num determinado intervalo de tempo T.6. IPCA .2 Considere-se uma partícula a descrever um movimento circula e uniforme. se se desprezar a massa da corda) os módulos das suas acelerações serão iguais. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 s 2R t T 2 W v/ R T T v mas se o intervalo de tempo considerado é pequeno: v v. v2 a a v.w t t R quando t 0 Este termo é sempre perpendicular à trajectória. Movimento curvilíneo O movimento curvilíneo ocorre quando a força não é colinear com a velocidade. Existe portanto uma componente da aceleração perpendicular à velocidade. A componente da aceleração perpendicular à velocidade é responsável pela variação da direcção do movimento da partícula (através da variação da direcção da velocidade). Se a massa for constante então a aceleração é paralela à força: F ma m( at an ) em que: dv v2 dv v2 at e an F m ut m u n dt dt r r F Ft ut Fun A força tangencial, Ft é responsável pela variação do módulo da velocidade e é tangente à trajectória. (velocidade constante) Ft 0 - o movimento é uniforme IPCA - Escola Superior de Gestão 51 FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 A força normal, Fn é responsável pela variação da direcção da velocidade e aponta sempre para o centro da curvatura. rectilíneo. Fn 0 - o movimento é No caso do movimento circular o raio da curvatura, r, é constante e igual ao raio da circunferência, R e v wR . Logo a força normal ou força centrípeta, é: v2 Fn Fn m an m mw 2 R R Quando o movimento é circular e uniforme, F Fn (at 0) , ou seja, F m an un mw2 Run )m( wvun mw v w p Exemplo 4.6.3 Um fio de comprimento L, ligado a um ponto fixo, tem na sua extremidade uma massa m que gira em torno de um eixo vertical com velocidade angular constante w . Este dispositivo chama-se pêndulo cónico. Determinar a aceleração angular, . As forças que actuam na massa m são o peso, P , e a tensão, T . A restante das forças é a força centrípeta, Fn , necessária ao movimento circular: T P Fn Tomando as componentes das forças nas direcção vertical e normal, tem-se T cos( ) P 0 T mg / cos( ) Tsen( ) Fn Fn mgsen / cos( ) como Fn man mw2 R mw2 Lsen( ) , conclui-se que cos( ) g / w2 L 52 IPCA - Escola Superior de Gestão FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 5. DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS 5.1 Momento linear e impulso Até agora estudamos o movimento duma partícula ou de partículas. Vamos agora estudar o movimento de um sistema de partículas. O momento linear de uma partícula de massa m que se move com uma velocidade v é definido como o produto da massa pela velocidade: p mv Momento de um sistema de partículas é a soma: p1 mv1 p 2 mv 2 p 3 mv 3 ... p p1 p 2 ... p n p n mv n Definimos o vector força, como a derivada do momento linear relativo ao tempo, que constitui a expressão da segunda lei de Newton. F dp dt A segunda lei de Newton no caso particular de massa constante é um caso particular da definição de força. F d (mv) dv m ma dt dt Explicitando d p na definição de força e integrando d p Fdt p f p i F dt ti tf À esquerda, temos a variação de momento linear, à direita, o integral que é denominada impulso da força F no intervalo que vai de ti a tf. IPCA - Escola Superior de Gestão 53 Sobre a partícula 1 actua a força externa F 1 e a força que exerce a partícula 2. Suponhamos um sistema formado por duas partículas. podemos supor que uma das forças que actuam sobre a partícula é muito grande. 5.Escola Superior de Gestão 54 . de uma bola com uma raqueta ou com o pé. O tempo de colisão é muito pequeno. F 21 . por exemplo. Por exemplo. o movimento de cada partícula é determinado pelas forças internas e externas que atuam sobre esta partícula. F 12 . da ordem de centésimos ou milésimos de segundo. por isto podemos utilizar a teoria do impulso. IPCA . Esta teoria é de grande utilidade quando estudamos os colisões. de muito curta duração. Sobre a partícula 2 actuam a força externa F 2 e a força que exerce a partícula 1. e a força média que exerce o pé ou a raqueta sobre a bola é de vários Newton (s). Quando utilizamos esta teoria é importante recordar que os momentos lineares inicial e final se referem ao instante antes e depois da colisão. Para cada uma das partículas se cumpre que a razão da variação do momento linear com o tempo é igual a resultante das forças que actuam sobre a partícula considerada. Nesta teoria. Em muitas situações físicas empregamos a teoria do impulso. se o sistema de partículas fosse o formado pela Terra e Lua: as forças externas seriam as que exerce o Sol (e o resto dos planetas) sobre a Terra e sobre a Lua. quando uma partícula se move sob a acção de uma força F . logo. Esta força é muito maior que a gravidade. a integral é a área sombreada sob a curva força-tempo.2 Dinâmica de um sistema de partículas Seja um sistema de partículas. Sobre cada partícula actuam as forças externas ao sistema e as forças de interacção mútua entre as partículas do sistema. porém. respectivamente.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Para o movimento em uma dimensão. As forças internas seriam a atracção mútua entre estes dois corpos celestes. Escola Superior de Gestão 55 . F 12 F 21 0 Aplicando a segunda lei de Newton a cada uma das partículas d p1 d p 2 d ( p1 p 2 ) 0 dt dt dt IPCA . O movimento do sistema de partículas é determinado somente pelas forças externas. 5.3 Conservação do momento linear de um sistema de partículas Considere duas partículas que podem interagir entre si se. F 12 =.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Somando membro a membro e tendo em conta a terceira Lei de Newton. A terceira lei de Newton ou Princípio de Acção e Reacção estabelece que ambas forças tem que ser iguais e de sinal contrário. As partículas movem-se sob sua interacção mútua porém não há forças externas ao sistema.F 21 . A partícula 2 move-se sob a acção da força F 21 que exerce a partícula 1. A partícula 1 move-se sob a acção da força F 12 que exerce a partícula 2. temos que d ( p1 p 2 ) F1 F 2 dt dp Fext dt Onde p é o momento linear total do sistema e Fext é a resultante das forças externas que atuam sobre o sistema de partículas. porém estão isoladas dos arredores. se não atuam forças externas sobre as partículas do sistema.4 Colisões Empregamos o termo de colisão para representar a situação na qual duas ou mais partículas interagem durante um tempo muito curto. porém pode ser menor que zero se no choque se perde energia cinética como resultado da deformação. Q toma o valor zero nas colisões perfeitamente elásticas. se o sistema é isolado. um meteorito que choca contra a Terra. Quando dois objectos que chocam e ficam juntos depois do choque dizemos que a colisão é perfeitamente inelástica. A nível atómico as colisões podem ser perfeitamente elásticas. No entanto. ou pode ser maior que zero.Escola Superior de Gestão 56 . as colisões entre bolas de bilhar são aproximadamente elásticas. por exemplo. se a energia cinética das partículas depois da colisão é maior que a inicial. Numa colisão elástica a energia cinética conserva-se. Definimos colisão inelástica como a colisão na qual não se conserva a energia cinética. Por exemplo.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 O princípio de conservação do momento linear afirma que o momento linear total do sistema de partículas permanece constante. Por exemplo. a energia cinética não se conserva devido a que parte da energia cinética se transforma em energia térmica e em energia potencial elástica interna quando os corpos se deformam durante a colisão. Supomos que as forças impulsivas devidas a colisão são muito maiores que qualquer outra força externa presente. parte da energia química ou energia nuclear converte-se em energia cinética dos produtos. O princípio de conservação do momento linear é independente da natureza das forças de interacção entre as partículas do sistema isolado: mu1 mu 2 mv1 mv 2 Onde u 1 e u 2 são as velocidades iniciais das partículas 1 e 2. A grandeza Q é a diferença entre as energias cinéticas depois e antes da colisão. logo. IPCA . 5. O momento linear total é conservado nas colisões. na explosão de uma granada ou na desintegração radioactiva. e v 1 e v 2 as velocidades finais destas partículas. como m1 é maior que m2. temos duas partículas de massas m1 e m2. a posição do centro de massas do sistema de duas partículas estará próxima da massa maior. O valor de um é para um choque perfeitamente elástico e o valor de zero para um choque perfeitamente inelástico. O coeficiente de restituição é a razão entre a velocidade relativa de afastamento depois do choque. e a velocidade relativa de aproximação antes do choque das partículas. Até ao momento ignoramos as dimensões dos objectos. 5. as velocidades depois do choque estão relacionadas com as velocidades antes do choque.5 Centro de massa.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Coeficiente de restituição Foi encontrado experimentalmente que numa colisão frontal de duas esferas sólidas como as que experimentam as bolas de bilhar. Veremos que para um corpo de dimensão finita. pela expressão onde e é o coeficiente de restituição e tem um valor entre 0 e 1. o centro de massa comporta-se como uma partícula em termos da sua dinâmica. IPCA . relação foi proposta por Newton . O Sistema de Referência do Centro de Massa (sistema-C) é especialmente útil para descrever as colisões comparando com o Sistema de Referência do Laboratório (sistema-L). Movimento do Centro de Massas Na figura.Escola Superior de Gestão 57 . xCM x m i i M Considerando o limite de elementos mi tendente para : xCM lim x m i i mi 0 M 1 xdm M IPCA . r CM mi ri m 1 1 N i N m r 1 N i i M Em termos de componentes: xCM yCM z CM 1 1 (m1 x1 m2 x2 ... mn xn ) M M 1 1 (m1 y1 m2 y 2 .. mn y n ) M M 1 1 (m1 z1 m2 z 2 . yi . Divide-se o corpo em elementos de massa mi com coordenadas xi .Escola Superior de Gestão 58 ...FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Em geral.. z i . a posição r CM do centro de massa de um sistema de N partículas é a posição média da massa do sistema. mn z n ) M M m x i 1 N 1 N 1 i N i m y i i i m z Exemplo: Determine o Centro de massa de três partículas: Centro de massa de corpos sólidos Consideremos corpos com distribuição contínua de massa. o centro de massa terá de estar nesse ponto. dm dv r CM xCM 1 r dm M 1 xdv M yCM z CM 1 M ydv 1 zdv M Se a densidade for constante. A velocidade do centro de massas vCM é obtida derivando com relação ao tempo v CM m v 1 N i i m 1 N p M i IPCA . então o centro de massa é frequentemente obtido pela simetria do volume do objecto.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 yCM z CM r CM 1 M ydm 1 zdm M 1 rdm M Daqui se conclui que o centro de massa de corpos homogéneos e simétricos terá de estar num eixo de simetria. linha ou plano de simetria. linha ou plano. donut) É frequentemente conveniente expressar a distribuição de massa em termos de densidade local do elemento de volume.Escola Superior de Gestão 59 . Não é necessário que alguma partícula tenha de estar no centro de massa (ex. Se um objecto possui um ponto. A velocidade da partícula 2 relativa ao centro de massas é. A velocidade da partícula 1 relativa ao centro de massas é. No sistema-C. Da dinâmica de um sistema de partículas temos que: O centro de massas de um sistema de partículas move-se como se fosse uma partícula de massa igual a massa total do sistema sob a acção da força externa aplicada ao sistema.Escola Superior de Gestão 60 .FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 No numerador figura o momento linear total e no denominador a massa total do sistema de partículas. IPCA . Num sistema isolado F ext 0 o centro de massas move-se com velocidade constante v CM const . as duas partículas movem-se em direcções opostas. O Sistema de Referência do Centro de Massas Para um sistema de duas partículas. Esta tendência é chamada momento da força. isto é: R Fi ma 0 i Equilíbrio de translação M M i m 0 i Equilíbrio de rotação IPCA . que é o de provocar a rotação do corpo em torno de um eixo que não intersecte a sua linha de acção e não lhe seja paralelo. uma força aplicada a um corpo provoca nesse corpo uma alteração da sua velocidade. isto é: Fx 0 R Fi 0 Fy 0 i Fz 0 6. a 2ª lei de Newton permite escrever: R Fi ma i Por outro lado.Escola Superior de Gestão 61 . por exemplo) a força pode ter um outro efeito.1 Condições de equilíbrio de uma partícula Diz-se que uma partícula está em equilíbrio de translação se a soma de todas as forças que actuam sobre ela for zero. sejam nulos. Se tivermos mais que uma força.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 6. se o corpo estiver de alguma forma preso (como uma porta.2 Condições de equilíbrio de um corpo rígido Para que um corpo rígido esteja em equilíbrio é necessário que a soma vectorial de todas as forças externas. em torno do eixo considerado. assim como a soma vectorial dos respectivos momentos. sendo definido como: M M i m i 6. ESTÁTICA Como sabemos pelas leis de Newton. i M O r F rx Fx j ry Fy k rz Fz Se tanto r como F estiverem no mesmo plano.Escola Superior de Gestão 62 . F i x 0 M i x 0 F i y 0 0 M i y 0 0 F i z M i z 6. por exemplo Oxy. no caso geral. então temos: i M O r F rx Fx j ry Fy k i rz rx Fz Fx j ry Fy k 0 ( rx Fy ry Fx )k 0 IPCA . a seis equações escalares. O momento de uma força. relativamente a um ponto O.F De acordo com as propriedades de produto vectorial.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Estas duas equações vectoriais são equivalentes.3 Momento de uma força F. o momento de uma força é representado por um vector perpendicular tanto a r como a F e cujo sentido é dado pela regra da mão direita. é definido como: MO r F Em que o módulo é dado por: M 0 r . F .sen d . porque a sua soma é nula. A partir da figura anterior verifica-se que o momento da força não varia quando deslocamos a foca ao longo da sua linha de acção. IPCA .d F .( a d ) F . dado que a distância d permanece constante.Escola Superior de Gestão 63 . O momento de um binário é representado por um vector livre por exemplo O1: M . O resultado é o mesmo seja qual for a origem do referencial.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Logo e M estará ao longo do eixo dos zz’ e perpendicular ao plano formado por r F (Oxy). O momento combinado das duas forças. pelo que o seu efeito é o de produzir uma rotação.d sendo independente de a. relativamente a um eixo normal ao plano que contém as duas forças. As forças representadas na figura não podem ser combinadas numa única força. Binário Um momento produzido por duas forçaS iguais e opostas e não colineares é chamado binário. perpendicular ao plano do binário. é: M F . Fn no espaço.d F r então Sistema de forças Uma força F que tende a fazer um corpo rodar em torno de um eixo que passe por O e que não intersecte a linha de acção da força.. F1 . F2 . A força aplicada no ponto A. cada uma das forças pode Para um sistema de forças. pode ser substituída pela força aplicada em O e pelo binário M F . é equivalente ao conjunto de um força igual e paralela aplicada no eixo de rotação (momento nulo) e de um binário (resultante nula) igual ao momento da força. F3 .Escola Superior de Gestão 64 .. ser substituída do mesmo modo por um sistema força-binário.. Deste modo pode-se efectuar a substituição de uma força por um sistema de forças equivalente de uma força de um binário. IPCA ..d .FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 M rA F rB ( F ) ( rA rB ) F rF Como d é a projecção de segundo a normal de M F . . Fn Fi Rx i Ry j Rz k i e por um momento M 0 M 1 M 2 M 3 ..1 – Reacções nos apoios de ligação IPCA .FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 As força concorrentes podem ser adicionadas vectorialmente e todo o sistema de forças pode ser substituído por uma resultante. M : R F1 F2 F3 .Escola Superior de Gestão 65 . R. Tabela 6.. M n ( ri Fi ) i Na tabela seguinte estão apresentadas algumas das reacções mais comuns em apoios de ligação a duas dimensões. resultante.. 3.m.1 Trabalho de uma força Existe trabalho produzido por uma força num dado corpo quando: O ponto de aplicação da força se desloca Existe uma componente da força ao longo da trajectória do movimento (apenas esta efectua trabalho).Escola Superior de Gestão 66 . Por exemplo. 7.1 Ao içar a estaca na posição indicada a tracção T no cabo tem de suportar uma momento em torno do ponto O 72Kn. Determine a intensidade de T.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Exemplo 6. TRABALHO E ENERGIA O conceito de trabalho está associado ao conceito de energia: quando um sistema realiza trabalho sobre outro. há uma transferência de energia de um para outro sistema. IPCA . um homem ao puxar um objecto gasta energia química do seu organismo que é transformada em movimento desse objecto (energia cinética) e em energia térmica (consequência do atrito entre o objecto e o chão). Em Física diz-se que uma partícula ou um sistema de partículas que tem a capacidade de realizar trabalho possui energia. 7. Esta grandeza física pode ter várias formas. ds. F2 .ds F cos ( s A s B ) W AB F cos s B A A Quando várias forças ( F1 ..ds Ft .ds B A A Se a força que actua no corpo é constante em direcção e sentido...FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 O trabalho realizado pela força deslocamento dr F quando o seu ponto de aplicação efectua um é definido pelo produto escalar: unidade SI: Nm = J (Joule) dW F . W AB B F . ou é o trabalho da força IPCA .ds Ft .dr F . resultante Wtotal ..Escola Superior de Gestão 67 .cos Ft ds O trabalho total realizado pela partícula no trajecto AB é a soma de todos os trabalhos infinitesimais realizados durante os sucessivos deslocamentos infinitesimais: B WAB F . é soma dos trabalhos produzidos por cada força.Fn actuam num corpo o trabalho total. o movimento do corpo é rectilíneo. Fn .FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 B B B B Wtotal F1 .Escola Superior de Gestão .25 x 4 5( J ) 7.ds .ds Fresultante . F .1 Uma força Fx varia com a posição como se mostra na figura.ds A A A A Exemplo 7. sob a acção de uma força F. é dada por: 0 x 4 F 5( N ) 4 x 6 F 15 2.ds F2 . de acordo com a 2ª lei de Newton (a sua velocidade é alterada): F i i Fx ma x F ma ma N P 0 Fy ma y 68 IPCA . este vai adquirir aceleração.. Teorema da energia cinética Wtotal W06 25( J ) A figura mostra um objecto que se move sem atrito numa superfície horizontal.1.5 x( N ) O trabalho é então W04 4 5dx 5 ( 4 0 ) 20( J ) 0 6 2 6 W46 4 ( 15 2..2 Trabalho e Energia cinética. Calcule o trabalho realizado pela força sobre uma partícula quando esta se move desde A força x0 até x6 cm. Se a força F actua no objecto.5 x )dx 15 x 1. numa direcção de 20º com a horizontal.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 sabendo que: a dv dv dx dv dx dv . . mas a energia fornecida é armazenada na forma de energia potencial.1 Um esquimó puxa um trenó de massa 80 kg com uma força de 180 N.Escola Superior de Gestão 69 . v dt dt dx dx dt dx e Trabalho realizado entre x1 x2 : v2 W12 1 1 v2 Fdx m adx m vdv m mv22 mv12 Ec2 Ec1 2 x x v 2 v 2 x2 x2 v2 1 1 1 1 Teorema da energia cinética: O trabalho total exercido sobre uma partícula é igual à variação da sua energia cinética: cinética cinética WAtotal Ec EB EA B Exemplo 7. A energia potencial de um sistema representa a capacidade de esse sistema realizar trabalho por causa da sua configuração. IPCA . 7.2. Qual a velocidade que o trenó terá ao fim de se deslocar 5 m a partir do repouso. a) b) Qual o trabalho realizado pelo esquimó.3 Energia potencial associada a uma força conservativa: energia potencial gravítica e elástica Por vezes o trabalho realizado pelas forças sobre um sistema não aumenta a energia cinética do sistema. a força é chamada conservativa. WAB ( 1 ) WAB ( 2 ) Exemplos de forças conservativas: 1 2 Força gravítica Força elástica O trabalho de uma força conservativa é igual ao negativo da variação da energia potencial associado a esta força. para uma fora conservativa. rB E p : E (B) W F .dr E ( A ) dE P E p ( A ) E p ( B ) p rA p Então: Logo: F .Escola Superior de Gestão 70 .FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Forças conservativas Se o trabalho realizado por uma força para mover um corpo entre duas posições é independente da trajectória do movimento.dr dEP mas F .dr Fy p dy dE Fz p dz IPCA .dr Fx dx Fy dy Fz dz Fx dx Fy dy Fz dz dE p Concluímos assim que. temos: dE Fx p dx dE dE p F . FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Energia potencial gravítica Consideremos o seguinte exemplo: Um homem levanta um haltere. durante o levantamento O homem realiza trabalho. Esistema W forçasexteriores Fhomem s Sabe-se que ahaltere 0 Fhaltere 0 mg Fhomem 0 Fhomem mg Esistema mgh s h A energia potencial gravítica de uma partícula com massa m é a energia que a partícula possui devido à posição em relação à Terra. mantendo a velocidade constante. mas a energia cinética do haltere não aumentou.Escola Superior de Gestão 71 . A definição de energia IPCA . então o trabalho realizado pelo homem tem que ser igual à variação da energia do sistema. Mas se homem sair o haltere vai “ganhar” emergia cinética. mas sim “energia potencial. Nesta caso o sistema não ganha “energia cinética”. Considerando apenas as forças aplicadas no haltere: Se v K a 0 F 0 Fhomem Phaltere 0 Se F 0 W total 0 Ecinética 0 Considerando o sistema Terra .haltere: O homem realiza trabalho sobre o sistema. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 potencial gravítica implica que se escolha uma posição de referência para a qual a energia potencial é nula. A força gravítica realiza um trabalho negativo O sistema “ganha” energia potencial Para que o sistema ganhe energia.1 Consideremos o movimento de uma bola de massa m muito próxima da superfície terrestre. tem que haver uma força exterior a realizar trabalho sobre o sistema Energia potencial elástica Como já foi dito atrás as molas obedecem à lei de Hooke: IPCA .Escola Superior de Gestão 72 . onde a aceleração g é aproximadamente constante. Exemplo 7. Quando o trabalho realizado pela força gravítica quando a bola sobe? h W peso Pds ( mg )dy mg ( h f h0 ) sf f s0 h0 W peso mg h W peso E p Podemos assim concluir que quando o corpo sobe.3. Curvas de Energia Potencial (em movimento unidimensional) A figura representa um sistema constituído por uma mola de constante k ligada a um bloco.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Fel Kx F força que dá origem à deformação K constante da mola x desocamento da mola em relação à sua posição de equiíbrio O trabalho realizado pela mola quando se desloca da posição de equilíbrio x0 para a posição x1 é dado por: x Fmola .dx x1 1 Wmola x0 x1 x0 1 1 1 Wmola k x 2 kx02 kx12 E pe ( 0 ) E pe ( 1 ) 2 2 x 2 0 A energia potencial elástica de uma mola é uma força conservativa. e uma posição x arbitrária.x. obtemos Ep x 0. entre força e a energia potencial associada: Fx dE p dx kx dE p dx dE p kxdx Integrando entre a posição de equilíbrio. sendo igual ao trabalho que essa mola realizaria quando regressa à sua posição de equilíbrio: 1 E pe kx2 2 onde k é a constante da mola e x a sua deformação. 1 2 1 2 dE p kxdx E p k 2 x 2 kx 0 0 0 x x IPCA . Como varia a energia potencial com a posição? Aplicando a relação anterior.dx k .Escola Superior de Gestão 73 . porque afastamento da partícula da posição de equilíbrio tem como resultado uma força que tende a restabelecer o equilíbrio. 7. Um exemplo típico de uma força não conservativa é a força de atrito.4 Forças não conservativas Uma força é não conservativa quando o trabalho realizado depende da trajectória do movimento.Escola Superior de Gestão 74 . porque quando O equilíbrio é estável x0 (posição de um ligeiro equilíbrio). pois qualquer pequeno deslocamento tem como resultado uma força que acelera a partícula para fora do equilíbrio.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Podemos representar esta função graficamente: Na posição de equilíbrio a força que actua na partícula é nula. O equilíbrio é instável. a derivada da energia potencial é nula. WF02 WF01 WF12 at at at W 0 2 Fta Fat ( x2 x0 ) W 0 2 Fat Fat ( x0 x1 ) Fat ( x2 x1 ) WF02 Fat ( x0 x2 2 x1 ) at IPCA . FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 O trabalho da força de atrito entre o ponto x0 e x2 depende do percurso logo a força de atrito é uma força não conservativa Suponhamos que actuam na partícula forças conservativas. W ( Fnc ) W ( F1nc ) W ( F2nc ) . E p ) W ( F1nc ) W ( F2nc ) . W ( Fnnc ) Para cada força conservativa tem-se: W ( Fi c ) E p i Conclui-se então que a variação da energia mecânica é igual ao trabalho das forças não conservativas....... W ( Fnnc ) 1 2 n ( Ec E p E p ..Fnnc . Ec E p E p .. F2c .Escola Superior de Gestão 75 . F1c .... estiver uma partícula e sobre ela actuar só uma força conservativa: WF WF consevativa E potencial Ecinética E p Ec consevativa Lei da conservação da Energia Mecânica A energia total sobre um sistema permanece constante se a única força que realiza trabalho sobre o sistema for uma força conservativa: E p Ec 0 ( E p Ec ) 0 Emecânica 0 Emecânica constante IPCA .. Pelo teorema da energia cinética sabemos que Ec Wtotal W ( F1c ) W ( F2c ) .Fnc .5 Lei da conservação da Energia Mecânica Se num sistema.... E p W ( F1nc ) W ( F2nc ) . W ( Fnnc ) 1 2 n ΔEm e c â n i c a W(F ) W(F2n c ) . conservativas... F2nc . e não F1nc ...... W(Fnn c ) nc 1 7. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Exemplo 7. O trabalho realizado será: 1 1 Wtotal WF WF WF ( mghi mgh f ) kxi2 kx2 WF f 2 2 g e a a Usando o teorema da energia cinética podemos escrever: 1 2 1 2 1 mv f mvi mg( hi h f ) k ( xi2 x 2 ) WF f 2 2 2 f f i i f i WF ( Ecf E pg E pe ) ( Eci E pg E pe ) Emecânica Emecânica a a Exemplo 7.5. Relacione o trabalho realizado pelo atrito com a variação da energia mecânica. calcule o módulo da velocidade da moto quando esta atinge o solo. Neste exemplo temos três tipos de forças: elástica.5.1 O sistema da figura é utilizado para lançar blocos ao longo de uma superfície com atrito.2 Um motociclista salta um vale descrevendo mostrada. atrito e gravítica. IPCA . a trajectória a Desprezando resistência do ar.Escola Superior de Gestão 76 . 6. Se a quantidade de trabalho. Se v cte . dt dt Exemplo 7. P F .1 ou seja.5 s.Escola Superior de Gestão 77 . logo Wtotal 0 Wtoatl WP WF 0 E pg WF WF E pg mg( y y0 ) IPCA . é realizada no intervalo de tempo. Despreze os efeitos do atrito. W.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 7. é definida como: P W t Se o trabalho.6.6 Potência A potência traduz o trabalho que é realizado por unidade de tempo.dr P F. a P . potência média. é expresso como função do tempo. com uma velocidade constante de 36 km/h.2 Calcule a potência desenvolvida pelo motor de automóvel ao subir uma rampa de 5º de inclinação. a potência instantânea. a) Qual a potência do automóvel b) Quanto demorará a acelerar desde 80 km/h até 112 km/h Exemplo 7. Considere a massa do automóvel igual a 1200 kg. P. W. t . desenvolvida em qualquer instante é definida como: P dW dt Unidade SI: joule/s= watt (W) Se o trabalho for realizado por uma força constante: dW dr dW F . então FR 0 .v Um automóvel acelera de o a 96 km/h em 6. MOVIMENTO OSCILATÓRIO Um caso particular de movimento ocorre quando a força aplicada sobre um corpo é proporcional ao deslocamento do corpo em relação à sua posição de equilíbrio.Escola Superior de Gestão 78 . provocará um movimento repetitivo.033 10 4 W dt dt Eficiência mecânica ou rendimento Chama-se eficiência ou rendimento ( ) à razão entre o trabalho realizado por uma máquina e a energia que é necessária fornecer à máquina para que ela realize esse trabalho. P Trabalho realizado pela máquina W util Energia fornecida à máquina Emecânica Ptotal Em qualquer máquina. Emecânica W Q Exemplos A energia química do combustível apenas é utilizada em 25 % (75 % é dissipado como calor). Exemplos deste tipo de movimento são: Oscilações de um barco nas ondas IPCA . 7. a energia gerada geralmente não é toda utilizada para produzir um dado trabalho. pois há sempre dissipação de energia ( 1 ).sen 1. As forças de atrito realizam trabalho que é dissipado sob a forma de calor. Uma oscilação ocorre quando um sistema em equilíbrio estável é perturbado. de modo que este oscila em torno da sua posição de equilíbrio. Se essa força actuar sempre na direcção da posição de equilíbrio do corpo. Os músculos que utilizam energia química também têm 25% . de vai e vem em torno dessa posição. Este tipo de movimento denomina-se periódico ou oscilatório.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 P dWF dy mg mgv y mg . Q. sem perda de energia mecânica.1 Movimento Harmónico Simples No movimento harmónico simples. um corpo oscila entre duas posições espaciais. O estudo de um movimento pode ser feito de duas perspectivas diferentes: Estabelecer as “leis do movimento” partindo da observação e depois tentar perceber porque as características do movimento. quando o som se propaga Movimentos das moléculas de um sólido em torno das suas posições de equilíbrio 7.Escola Superior de Gestão 79 . Estas forças reduzem a energia mecânica do sistema à medida que o movimento avança e as oscilações são amortecidas. durante um intervalo indefinido de tempo. Contudo.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Oscilações do pêndulo de um relógio Vibrações de instrumento musical de cordas Vibrações das moléculas do ar. Ver primeiro quais são as forças aplicadas ao sistema e a partir da segunda lei de Newton estabelecer as lei do movimento Características do Movimento Harmónico Simples Seguindo a 1ª opção. vamos observar o movimento: IPCA . nos sistemas mecânicos reais estão sempre presentes forças retardadoras (ou de atrito). t c T Observemos que A. igualmente espaçadas em relação à posição de equilíbrio –amplitude. O corpo oscila entre duas posições extremas. a amplitude do movimento.Escola Superior de Gestão 80 . Pode ser escrita por: 2 x( t ) Asen . O movimento é periódico – período. IPCA . x( t ) varia Verifique-se que w 2 2f T é a frequência angular. entre A (quando sen = 1) e –A (quando sen =-1). é simplesmente o deslocamento máximo da partícula na direcção de x positiva ou negativa.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 O corpo oscila em torno da posição de equilíbrio ( x 0) O número de oscilações por segundo é constante – frequência. isto é. Equação do movimento A variação da posição em função do tempo segue uma lei do tipo sinusoidal. sen( wt 0 ) diz-se que o movimento é harmónico simples (MHS). são iguais. pois repete-se sempre w aumenta 2 radianos. O período T. A grandeza ( wt 0 ) é a fase do movimento. t=3T. t=2T. as posições. x(t) nos instantes t=T . é o intervalo de tempo necessário para a partícula descrever um ciclo completo do seu movimento.….Escola Superior de Gestão 81 . Velocidade e aceleração em função do tempo Posição: x( t ) Asen( wt 0 ) Velocidade: v( t ) dx dt v( t ) wA cos( wt 0 ) Aceleração a( t ) dv dt a( t ) w2 A cos( wt 0 ) a( t ) w2 x( t ) IPCA .FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Se t 0 x( t ) Asen( c ) . Repara-se que a unção x(t) é uma função periódica. c 0 indica a posição em que o corpo inicia o movimento. Se no movimento periódico a posição da partícula é descrita por uma expressão do tipo: x( t ) A. Isto é. Escola Superior de Gestão 82 . F 0.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Aplicação da 2ª lei de Newton Vamos prever o movimento a partir das forças aplicadas: Consideremos um corpo ligado a uma mola. x aumenta. Quando o corpo é deslocado. Esta força é dada pela lei de Hooke: F kx E tem as seguintes características: actua na direcção do eixo da mola tem sempre o sentido contrário ao deslocamento é proporcional ao deslocamento Forças corpo: aplicadas sobre o P –Peso N – reacção normal da mesa sobre o corpo F – força que a mola exerce sobre o corpo IPCA . a mola exerce uma força que aumenta à medida que o seu afastamento. uma pequena distância em relação à posição de equilíbrio. que oscila quando é afastado da posição de equilíbrio Na posição de equilíbrio a mola não exerce nenhuma força sobre o corpo. w2 x k k x .sen( wt 0 ) w 2 x dt Substituindo na equação diferencial.x m. que satisfaça a equação diferencial de 2ª ordem. então: dt dt 2 d 2x k d 2x k x 2 x0 dt 2 m dt m Equação diferencial do MHS É necessário encontrar a solução da equação diferencial.cos(wt φ0 ) x a.a y 0 F k .FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Aplicando a 2ª lei de Newton: yy’ N P m. vem.Escola Superior de Gestão 83 . uma função x=f(t). verdadeira desde que w m m IPCA . Recordemos que. Se dx dt wa.a x a x k x m xx’ Vemos assim que a aceleração não é constante: tem sentido contrário ao deslocamento é proporcional ao deslocamento é nula na posição de equilíbrio é máxima nos extremos (quando x é máximo) Vamos agora descrever o movimento de maneira quantitativa.sen( wt 0 ) 2 d x 2 w 2 a. isto é. dv d 2 x a . Forças que actuam sobre a massa: Tensão. isto é: w 2 k T m Pêndulo Simples O pêndulo simples é um outro sistema mecânico que exibe movimento periódico. logo: dt IPCA .FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Então: k x( t ) a.sen .L Sabe-se que d 2 2 .Escola Superior de Gestão 84 .t 0 m é solução Podemos assim concluir que a frequência angular depende das características do oscilador. É constituído por uma massa m pendurada num fio de massa desprezável. então: mgsen m.L . Peso Aplicando a 2ª lei de Newton: F ma T P ma Na direcção tangente ao movimento: Psen mat mgsen mat mas at . O movimento ocorre num plano vertical e ocorre provocado pela força de gravidade. que tem a extremidade fixa como mostra a figura. oscilatório.L gsen .. de comprimento L. F.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 d 2 d 2 g gsen L 2 2 sen dt dt L Não se trata de uma equação diferencial de 2º grau logo o movimento não é um movimento harmónico simples. A equação do d 2 g 0 dt 2 L Temos assim uma equação diferencial que tem a mesma forma que no caso apresentado anteriormente. IPCA .Escola Superior de Gestão 85 . onde está em radianos. e a frequência angular e o período do movimento são dados por: w g L e T 2 L 2 w g Ou seja. quando o corpo se move entre as posições xA e xB. e então concluímos que o movimento é um movimento harmónico simples. A solução da equação diferencial é do tipo: ( t ) 0 sen( wt 0 ) onde 0 . a equação que traduz a posição do pêndulo em cada instante é: ( t ) 0 sen( g t 0 ) L 7. que usar a aproximação movimento fica: seja pequeno podemos sen .2 Energia do Oscilador Harmónico Simples Calculemos o trabalho realizado pela força exercida pela mola sobre o corpo. Se admitirmos. é o deslocamento angular máximo. dx k k B k A 2 2 x x x 2 x 1 2 2 WAB k ( x A x B ) 2 xB B B B A A A A Energia potencial elástica Se 1 2 2 WAB k ( xA xB ) 2 o trabalho realizado pela força elástica não depende do caminho percorrido.Escola Superior de Gestão 86 . Podemos então definir Energia Potencial elástica (EP) de uma partícula de massa m. então a força elástica é uma força conservativa.x a 2 Energia cinética Sabe-se que 1 Ecinética mv 2 2 Mas v( t ) wA cos( wt 0 ) 1 Ec mw 2 A 2 cos 2 ( wt 0 ) 2 1 Ec mw 2 A 2 1 sen 2 ( wt 0 ) 2 1 1 1 Ec mw 2 A 2 mw 2 A 2 sen 2 ( wt 0 ) k .A 2 x 2 2 2 2 IPCA .FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 x x x x2 x2 x2 WAB F .dr kxi . colocada num ponto A de elongação x: 1 2 E p (A) k.dxi kx. mas apenas das posições inicial e final. Escola Superior de Gestão 87 . ligado a uma mola elástica (k=40 N/m). Calcule: a) a equação diferencial do movimento b) a equação que define a posição do corpo em qualquer instante c) a amplitude.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Energia mecânica Durante o movimento a energia mecânica é conservada: E potencial Ecinética cons tan te 1 2 1 2 kx mv cons tan te 2 2 Exemplo 7. a frequência e o período do movimento d) a velocidade máxima e a aceleração máxima e) a energia cinética e energia potencial quando o corpo está a 5 cm afastado da posição de equilíbrio. O corpo foi deslocado 10 cm para a direita da posição de equilíbrio e abandonado.1 Um corpo de massa 4 kg oscila sobre um plano horizontal.2. IPCA . 1 HIDROSTÁTICA 8.1 Massa volúmica A massa volúmica de uma substância.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 8. É uma grandeza escalar cuja unidade. que os seus átomos ou moléculas exercem uns sobre os outros. Conformam-se com as fronteiras de qualquer recipiente. que diferem notavelmente nas suas compressibilidades: um gás é facilmente comprimido.m-3. . enquanto um líquido é praticamente incompressível. gasoso – em que a matéria se encontra. líquido. 8. no sistema SI. o que equivale a dizer que a mesma se deforma continuamente. O termo fluido inclui líquidos e gases. IPCA .1. MECÂNICA DOS FLUIDOS O que determina o estado físico – sólido. Um fluido é uma substância que não apresenta forma própria e estando em repouso não resiste a esforços tangenciais por menores que estes se apresentem. dado que não conseguem suster qualquer força tangencial à sua superfície. Designam-se vulgarmente por fluidos o conjunto de líquidos e gases. é a grandeza das forças internas. Apesar destas diferenças entre líquidos e gases é possível encontrar um conjunto apreciável de propriedades comuns a ambos. Contudo podem exercer uma força na direcção perpendicular à sua superfície. é kg. como vamos ver.Escola Superior de Gestão 88 . é definida como a sua massa por unidade de volume m / V . de um material homogéneo. Escola Superior de Gestão 89 . A força exercida sobre esse elemento de fluido que o envolve é em qualquer ponto normal à sua superfície. é o N/m 2 que tem o nome de Pascal. p .1. Relações entre unidades de pressão: 1 01105 N / m2 760mmHg 760Torr 1 . por unidade de área. e área. Consideremos um elemento de fluido com a forma de um lâmina com espessura. p dF dA A pressão é uma grandeza escalar cuja unidade.3 Pressão Define-se pressão (sobre uma superfície).FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 8. É ainda utilizada. A força para baixo exercida sobre a sua face inferior é dada por: IPCA . perpendicularmente a essa superfície. atm Pressão num fluido – pressão hidrostática devida ao seu próprio peso. como sendo a força exercida. y . Pa. A . Por simetria a resultante nos bordos laterais é nula (anulamse as forças horizontais). especialmente para fluidos o bar cuja relação com o Pascal é de 1 bar 105 Pa . no Sistema Internacional. y).Escola Superior de Gestão 90 . IPCA .( A. é dada por: Fup ( p p). A p.g 0 O que equivale a: p .g y p dp . a força resultante que actua sobre ele é nula: FT Fup Fdown ( p p).g y dy y 0 lim Integrando a equação anterior temos a pressão absoluta: p p0 .y). Teorema de Stevin – A diferença de pressão entre dois pontos quaisquer de um líquido em equilíbrio é numericamente igual ao valor do peso de uma coluna de líquido com altura igual à diferença de nível entre os pontos e área unitária. A . y Esta equação traduz o Teorema de Stevin ou Lei Fundamental da Hidrostática. A Como o elemento de fluido está em equilíbrio.g.g p.( A. A m. A .g A força para baixo.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Fdown p. B e C estão à mesma pressão uma vez que se encontram ao mesmo nível.4 Consequência da Lei Fundamental da Hidrostática Vasos comunicantes De acordo com a lei fundamental da hidrostática os pontos A. pA pB pC p0 .1.Escola Superior de Gestão 91 .FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 8. a pressão atmosférica.g. pA pB pC Designando p0 .h IPCA . hA B . Como nos pontos A e B estão ao mesmo nível e pertencem ao mesmo líquido. A e B . de massas volúmicas.g. A B . temos: pA pB p0 A .g. Sabendo que a maior densidade é a que fica no fundo.Escola Superior de Gestão 92 .FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Vasos comunicantes contendo líquidos imiscíveis Consideremos um sistema de vasos comunicantes que contém líquidos imiscíveis.hB Da análise permite-nos concluir o seguinte: Se as massas volúmicas dos líquidos são diferentes. então a altura das colunas de líquidos correspondentes são também diferentes.hB A . IPCA .hA p0 B . A superfície do líquido de menor massa volúmica encontra-se a um nível superior. no século XVII descobriu como determinar a pressão atmosférica.g. p2 p1 mercúrio . 760 p 1 013 105 Pa . relativamente à superfície livre do líquido na tina. Daí concluiu que a pressão atmosférica actuante na superfície livre do líquido ( pA pB p2 ) seria equivalente a 760 mm de Hg (mecúrio).1.1 Barómetro de Mercúrio (Evangelista Torricelli.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 8. Torricelli observou que o nível do mercúrio desceu até uma altura de h 760 mm. A experiência consistiu em inverter um tubo de vidro cheio de mercúrio numa tina de vidro com mercúrio. Desta experiência podemos verificar que a altura do líquido varia na razão directa da pressão atmosférica. 8 0.1. 1974) Torricelli.g.h 0 mercúrio .Escola Superior de Gestão 93 .h 13600 9.5 Medição da pressão 8. IPCA .5. a altura da coluna de mercúrio é independente do diâmetro do tubo. Repare que para uma determinada pressão. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 8. Consiste num tubo em U contendo um líquido de densidade conhecida (água corada. Há medida que a pressão no tanque sobe acima da pressão atmosférica o nível da pressão na parte esquerda do tubo é empurrado para baixo.g. Quando a pressão no tanque for igual à pressão atmosférica os níveis do líquido em ambos os lados do tubo são iguais.1.1. com uma das extremidades desse tubo ligado ao tanque onde desejamos medir a pressão ( p2 ) do gás e a outra extremidade aberta à pressão atmosférica ( p1 patm ). subindo correspondentemente do lado direito. p2 p1 líquido .6 Lei de Pascal A h B IPCA .Escola Superior de Gestão 94 . Este tipo de manómetro mede pressão de um gás. ou mercúrio).h 8.2 Manómetro de Tubo Aberto O tipo mais simples de medidor de pressão é p manómetro de tubo aberto.5. não haverá variação da altura h .h Se com um êmbolo aumentarmos a pressão em A. Braços pneumáticos em maquinaria.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Supondo que na superfície livre de um líquido se exerce um pressão. uma quantidade p . IPCA . Macaco hidráulico.g. p1 p2 Exemplos de aplicação da lei de Pascal: Tubo de pasta de dentes. p A . pB ' : pB ' pB p Lei de Pascal – Uma variação da pressão num ponto de um líquido transmite-se integralmente a todos os pontos desse líquido.Escola Superior de Gestão 95 . A pressão em A passará a ser: pA´ pA p A nova pressão em B. como um líquido é praticamente incompressível. a pressão em B é dada por: pB pA . IPCA .FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Princípio de Pascal – Funcionamento da Prensa Hidráulica Considerando o caso de um fluido incompressível. o pistão da direita sobe.d2 d2 A1 d1 A2 Daí que o pistão da direita sobe menos do que o da esquerda desce. é-lhe proporcional dado que o volume de fluido deslocado é constante: V A1. d 2 . como consequência na parte direita vai-se fazer sentir sobre o pistão de área A2 uma força de sentido contrário F2 . dado que esta pressão externa se propaga integralmente a todo o fluido e suas paredes. se uma força F1 actuar para baixo na parte esquerda sobre um pistão de área A1 .Escola Superior de Gestão 96 . A variação de pressão de um lado é idêntica à do outro.d1 A2 . Logo temos: p F1 F2 A F2 F1 2 A1 A2 A1 Dado que A2 A1 F2 F1 Se o pistão da esquerda descer de uma altura d1 . Fup e Fdown . Isto leva-nos a concluir que há uma força exercida pelo líquido sobre o corpo que nestas condições anula a força do peso.Escola Superior de Gestão 97 . A força para cima é devida à pressão: p p0 w .1.7 Flutuação de corpos em fluidos – Princípio de Arquimedes Alguns corpos ao serem introduzidos num líquido ficam em equilíbrio no interior do líquido. e densidade .h . y. V A. As forças laterais que se exercem nas paredes do corpo anulam-se aos pares.g.g. Esta força designa-se por – impulsão do líquido – I. Nas bases do corpo. A w . A p0 . parcialmente imerso em água (densidade w ). o líquido exerce forças de pressão com resultantes. Consideremos um bloco de uma material de volume. A A IPCA . y Logo: Fup p.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 8. y. y.g. para flutuar: . tem duas componentes.g.h. IPCA . A w .profundidade do corpo imerso Força de Impulsão: I w .g. A Isto é: h y w h . A w .g. de baixo para cima. A Uma vez que o bloco está em equilíbrio: Ftotal 0 Logo.VI Vi . A .g.altura do corpo y . igual ao peso do fluido deslocado. sofre uma força de impulsão. A w .h. a pressão atmosférica e o peso do bloco: Fdown p0 .FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 A força para baixo ( Fdown ).g.Escola Superior de Gestão 98 .volume do corpo imerso O princípio de Arquimedes diz que todo o sólido imerso num líquido.h.g. y. A A Logo: Ftotal Fdown Fup . Escola Superior de Gestão 99 .w. forças de viscosidade. É um dos capítulos mais difíceis da Física porque. uma largura w 80 cm. Devemos começar por dividir os fluidos em ideais e reais.m). como as leis de Newton. Felizmente. A tina flutua num lago.2. IPCA . o enorme número de partículas envolvido torna impraticável esta via do estudo. n .g I Fg .g (M n.d M m n 3.w.w.m).1 Introdução A hidrodinâmica é o estudo de fluidos em movimento.g Impulsão máxima: I . embora cada partícula do fluido siga leis simples.l.5 3 pessoas 8. muitas situações de importância prática podem ser representados por modelos ideais que são suficientemente simples para poderem ser entendidos. Um fluido ideal é incompressível e não apresenta forças internas de atrito ou seja.(l. podem entrar na tina sem que esta se afunde? Peso total: Fg (M n. feita de cimento. tem um comprimento l 1 m.d ). Quantas pessoas de massa m 80 kg cada. uma altura d 60 cm e uma massa M 200 kg.2 HIDRODINÂMICA 8.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Exemplo de aplicação Uma tina rectangular.d ).(l.g Logo. por gases se o movimento não envolver grandes diferenças de pressão. à direcção das partículas que por aí passam.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 A hipótese de incompressibilidade é uma boa aproximação quando se trata de líquidos. Os fluidos compressíveis e que apresentam forças de viscosidade serão os fluidos reais.1 Fluidos ideais Define-se uma linha de fluxo como sendo a trajectória percorrida por um elemento dum fluido em movimento. IPCA . e. denomina-se tubo de corrente.Escola Superior de Gestão 100 . isto é. Quando o movimento é estacionário as linhas de corrente coincidem com as linhas de fluxo. Isto significa que a velocidade das partículas de fluido é sempre a mesma num dado ponto do espaço embora possa variar de ponto para ponto. Em geral a velocidade varia em direcção e módulo ao longo dessa trajectória. O conjunto de linhas de corrente que passam tangenciando um elemento de área. O modo como um fluido se desloca muitas vezes referido como regime de escoamento pode classificar-se de duas maneiras. Definimos linha de corrente como a linha que em cada ponto do espaço é tangente à trajectória.2. todos os elementos seguinte que por lá passa. o fluxo do fluido diz-se estacionário. considerando um dado um dado ponto dessa trajectória. em algumas circunstâncias. tiverem a mesma velocidade. Se. 8. 3 Equação da continuidade Num fluido ideal o volume de fluido que atravessa qualquer secção recta por unidade de tempo (caudal) é constante. Regime turbulento – é caracterizado pela ausência de um mapa de linhas de corrente estável e surge quando o fluido se desloca a altas velocidades ou quando no seu percurso aparecem obstáculos que provocam variações de velocidade bruscas e o fluxo se torna irregular. Sejam A 1 e A2 as áreas das secções rectas em duas partes distintas do tubo. 8. Este volume é igual a aquele que. Como o líquido é incompressível. nem se perdendo. Isto significa simplesmente que há conservação de massa do fluido. no mesmo tempo.Escola Superior de Gestão 101 . não se criando. Para traduzir matematicamente esta constatação. a equação da continuidade e o teorema de Bernoulli. fluido em nenhum ponto ao longo do trajecto. As velocidades de escoamento em A 1 e A2.2.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Regime laminar – é um regime de escoamento em que as camadas de fluido deslizam umas sobre as outras. são respectivamente. v1 e v 2 . Há duas equações básicas na Dinâmica dos fluidos. Este tipo de escoamento pode ser representado por um conjunto regular de linhas de corrente que se mantém estável no tempo. sai da parte da secção de área A2. IPCA . imaginemos um fluido ideal que se escoa ao longo do tubo representado na figura. o volume que entra no tubo no tempo t é o existente nu cilindro de base A1 e altura x1 v1 t . Para dois pontos com diferentes alturas. IPCA .Escola Superior de Gestão 102 .4 Equação de Bernoulli Quando um fluido incompressível escoa ao longo de um tubo de corrente de secção transversal variável. Consequentemente. a sua velocidade varia. teremos uma grandeza chamada caudal de fluido. Q . 8. Q V L3T t Podemos então afirmar que: Q1 Q1 V1 V2 t t A1 x1 A2 x2 t t E finalmente obtemos a Equação da continuidade: A1 v1 A2 v2 Esta equação mostra que a velocidade de um fluido num tubo com estrangulamento é maior nesses pontos do que nas zonas mais largas.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 volume(1 volume(2) ) V1 V2 Se dividirmos o volume escoado V pelo tempo t . deve haver uma força resultante aplicada (“ª lei de Newton) e isso significa que a pressão deve variar ao longo do tubo. Um vez que num fluido ideal só existem força conservativas. ainda que não haja diferença de altura.2. a diferença de pressões depende não apenas da diferença de nível mas também da diferença de velocidade entre aqueles dois pontos. a expressão geral da diferença de pressões obtém-se a partir da conservação de energia. o trabalho realizado pelas forças de pressão. quando o fluido se desloca s2 é dado por: WF2 p2 A2 s2 O trabalho efectivo realizado sobre o elemento de fluido. A força na secção A1 é dada por: F1 A p1. aplica-se o teorema de trabalho e energia ao fluido contido numa secção de um tubo de corrente. A1 e A2. A1 O trabalho realizado pelas forças de pressão. durante este deslocamento será: W p1 A1 s1 p2 A2 s2 Pela equação da continuidade: IPCA . devidas a p1 .dA p1. tal como mostra a figura seguinte.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Para obter-se a Equação de Bernoulli. Consideremos um elemento de fluido contido entre duas secções de um tubo de corrente.Escola Superior de Gestão 103 . quando o fluido se desloca de s1 é dado por: WF1 p1 A1 s1 Do mesmo modo. devidas a p2 . levando consigo uma energia cinética de: EC ( 2) 1 1 m v2 2 V v2 2 2 2 Seno a variação de energia cinética: Ec 1 V (v22 v12 ) 2 A variação da energia potencial é dada por: E p m g (h2 h1) V g (h2 h1) Usando o teorema de trabalho energia. A2 . um volume de fluido V A1 s1 . com massa. Durante t . entra no tubo na secção A1 .Escola Superior de Gestão 104 . trazendo uma energia cinética: EC (1) 1 1 m v 2 V v12 2 2 Analogamente. igual massa de fluido deixa o tubo pela secção. durante esse intervalo. m V .FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 A1 v1 A2 v2 s1 v1 t e s2 v2 t A1 s1 A2 s2 V Podemos então escrever esse trabalho como: Wforças de pressão ( p1 p2 ) V Aplicando o teorema de Trabalho-Energia iguala-se este trabalho à variação total das energias cinética e potencial do elemento durante t . podemos escrever: Wforças de pressão Ec E p 1 V (v2 2 v11) ( p1 p2 ) V V g (h2 h1 ) 2 IPCA . 2.Escola Superior de Gestão 105 . até à profundidade. Pode ainda ser utilizada da seguinte forma. p1 g h1 1 1 v12 p2 g h2 v2 2 2 2 A diferença de pressões devido ao peso de fluido. A quantidade v2 é chamada velocidade de descarga e a pressão em 2 é a pressão atmosférica. A1 . e este escoa através de u orifício de área. respectivamente. A2 . obtemos: p1 p2 1 (v22 v11) g (h2 h1) 2 Esta equação traduz o teorema de Bernoulli.5 Implicações da Equação de Bernoulli 8. Aplicando a Equação de Bernoulli: 1 1 p v12 g h p0 v22 2 2 v2 2 v12 2 p p0 2 g h (1) IPCA . O espaço acima do líquido contém ar a uma pressão.1 Velocidade de descarga Consideremos o seguinte tanque de área transversal. sendo v1 e v2 as velocidades nos pontos 1 e 2.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Dividindo por V . Esta equação também pode ser escrita da seguinte forma: 1 p g h v2 constante 2 8. Considerando toda a massa de líquido como um tubo de corrente. mais comum. . h .5.2. cheio de um líquido de densidade. p . (hidrostática) é a diferença de altura entre os dois extremos do elemento de fluido e a pressão adicinal associada à variação da velocidade do fluido. Considerando alguns casos especiais. caindo a uma altura h . podendo ser desprezado. Para um orifício circular a área da veia contraída é cerca de 65 % do orifício. a velocidade de descarga é a mesma que adquire um corpo em queda livre.Teorema de Torrricelle. Este teorema não se restringe a orifícios na base do tanque. tira-se: A2 . p p0 Suponha-se também que A1 equação (1).Escola Superior de Gestão 106 . IPCA . então v12 v22 . Logo da v2 2 g h Desta equação concluímos que. A área a ser usada na menor secção é conhecida como vena contracta (veia contraída).FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Da equação da continuidade: v2 A1 v1 A2 Devido à convergência das linhas de corrente à medida que se aproximam do orifício a secção transversal da secção do líquido continua a diminuir até uma pequena distância do tanque. suponha-se que o tanque está aberto para a atmosfera. sendo também aplicado para os que são feitos nas paredes laterais a uma profundidade h da superfície. 8.5.5. presos lateralmente. Conhecidas essas pressões e as áreas A1 e A2 das secções transversais pode-se calcular as velocidades e as taxas de escoamento de massa.2. para evitar turbulência.3 Sustentação de aviões A figura seguinte mostra as linhas de corrente em torno da secção transversal de uma asa de um avião. Aplicando a equação de Bernoulli às secções larga e estreita: 1 1 p1 v12 p2 v22 2 2 Da equação da continuidade.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 8.Assim. actua acelerando o fluido quando entra na garganta e outra. uma força para a direita. na entrada e saída. constituído por peças suficientemente inclinadas. A1 v1 A2 v2 .2 Tubo de Venturi O tubo de Venturi consiste num estrangulamento inserido num tubo. IPCA . para a esquerda o retarda. na garganta é menor que p1 .2. v2 é maior que v1 e assim a pressão p2 .Escola Superior de Gestão 107 . Quando usado para este fim este dispositivo chama-se Medidor de Venturi. As pressões p1 e p2 podem ser medidas por meio de tubos verticais. Escola Superior de Gestão 108 . Assim.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 A orientação da asa em relação às linhas de corrente provoca uma acumulação de linhas de corrente acima da asa. correspondentes a uma maior velocidade da corrente nesta região ( v1 v2 ). a parte superior da asa está numa região de grande corrente e pressão reduzida. surge uma força de sustentação (devido à diferença de pressões) de baixo para cima que permite o aparelho manter-se no ar sem cair. como na garganta de venturi ( A1 A2 ). Nestas condições. enquanto que a parte inferior é mais ou menos a pressão atmosférica (não tem correntes de ar). IPCA . tendo uma alta viscosidade. Verifica-se que um fluido em contacto com uma superfície tem a mesma velocidade que esta. É da experiência corrente que a água ou o álcool. enquanto óleo vegetal é "grosso".FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 8. IPCA . tendo uma baixa viscosidade. shampoo. óleo. Viscosidade descreve a resistência interna para fluir de um fluido e deve ser pensada como a medida do atrito do fluido.Escola Superior de Gestão 109 .6 Viscosidade – fluidos reais Fluidos reais. é necessário exercer uma força para fazer uma camada de fluido deslizar sobre outra. e da viscosidade. Traduz-se este facto dizendo-se vulgarmente que os últimos líquidos são mais viscosos do que os primeiros. água. ou resistência ao despejamento. Situações reais. como o ar. Assim. por exemplo. Por causa da viscosidade. A viscosidade pode ser encarada como uma forma de atrito entre as camadas adjacentes de um líquido. não podem ser descritos com a equação de Bernoulli. sangue. se podem vazar de um reservatório para outro (e se deformam portanto) com maior facilidade do que o óleo ou mel. É normalmente percebida como a "grossura". Tanto os líquidos como os gases são viscoso. como o efeito da tensão superficial.2. a água é "fina". embora os primeiros sejam muito mais que os gases. não obedecem perfeitamente a equação de Bernoulli. as camadas de fluido deslizam uma sobre as outras como fazem as folhas de um livro colocado sobre uma mesa quando se aplica uma força à sua capa superior. à medida que o movimento prossegue. num dado instante.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 As velocidades das restantes camadas distribuem-se regularmente ao longo da direcção normal às superfícies (se o regime for laminar). tem a forma abcd. num instante posterior apresenta a forma abc’d’. uma porção de líquido que. Como consequência deste movimento.Escola Superior de Gestão 110 . constituindo-se assim um gradiente de velocidades ao longo dessa direcção que se representa por: dv dy No escoamento laminar. IPCA . deformando-se cada vez mais. no caso de um fluido. F/A dv / dy F A dv dy IPCA . Taxa de variação da deformação tangencial = dv dy Define-se coeficiente de viscosidade. ( deformação dd '/ y ). ou simplesmente viscosidade de um fluido. Esta força é representada por F na figura acima apresentada. assim. e. sobre a superfície superior do líquido.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 A fim de manter o movimento. e verifica-se experimentalmente que esta depende não da deformação de cisalhamento (tangencial). A deformação produzida é definida como a razão entre este deslocamento e a dimensão transversal y . . enquanto se aplica a tensão. a deformação cresce sem limite. a área do líquido sobre a qual estas forças estão aplicadas. é necessário exercer uma força continuamente para a direita. como a relação entre a tensão tangencial de um fluido e a taxa de deformação correspondente. a tensão e a deformação são proporcionais. Por outro lado. indirectamente. sobre a placa superior móvel (placa inferior estacionária) e. mas da sua taxa de deformação. dentro do limite da elasticidade. Sendo A . a relação F / A é a tensão tangencial exercida sobre o fluido.Escola Superior de Gestão 111 . é o Pa.Escola Superior de Gestão 112 . a tensão tangencial é relativamente pequena para uma dada taxa de variação de deformação. Em muitas tabelas encontramos como unidade o Poise. crescendo para os gases e diminuindo par os líquidos. sendo também a viscosidade relativamente pequena.S. no Sistema Internacional.s. como a água ou querosene. O coeficiente de viscosidade depende significativamente da temperatura.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 O coeficiente de viscosidade é uma grandeza escalar cuja unidade. IPCA . Para os líquidos que escoam facilmente.2.7 Lei de Stokes Quando um corpo se desloca no seio de um fluido viscoso. O contrário acontece com a glicerina ou o óleo cuja viscosidade é correspondentemente maior. que pertence aos sistema C.s. exerce sobre ele. A tabela seguinte apresenta alguns dos coeficientes de viscosidade de materiais conhecidos 8. sendo 1 Poise = 10-1 Pa. forças de atrito devidas à viscosidade.G. para além das forças de impulsão. velocidade terminal. fica inicialmente submetida a duas forças: a impulsão e o peso.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Estas forças são da forma: F v Para uma esfera de raio r . Uma partícula esférica abandonada ( v0 0 ) num líquido viscoso.Escola Superior de Gestão 113 . que se desloca com uma velocidade v . com sentido contrário à velocidade. Se o peso for maior que a impulsão. a partícula começa a cair no interior do fluido. essas forças podem escrever-se: F 6 r v Esta expressão traduz a lei de Stokes. Temos assim uma resultante: R Fg I 6 r v Uma vez que as forças de viscosidade aumentam à medida que a velocidade aumenta. aumentando a sua velocidade a partir do zero. ficando assim sujeita também a uma força de viscosidade. tal que: IPCA . atinge-se um situação de equilíbrio para uma velocidade vT . e que aumenta com esta. FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Fg I 6 r vT 0 Passando a partícula a deslocar-se com velocidade constante. vT 2 r2 g L 9 Este é o método usado para determinar a viscosidade de determinados fluidos. 8. Supondo uma densidade . Medindo a velocidade terminal de uma esfera de raio r e densidade conhecidas. para a partícula e L para o fluido.Escola Superior de Gestão 114 . podese medir a viscosidade do fluido na qual ela cai. por meio dos quais se determinou a carga de uma electrão individual.2.8 Escoamento de um fluido: Lei de Pouseuille IPCA . temos: Fg g V I L g V 4 V r3 3 Obtemos assim. Esta equação foi deduzida por Milikan para calcular para calcular o raio de gotas submicroscópicas de óleo electricamente carregadas. As paredes do tubo exercem sobre as camadas mais externas uma força para trás e esta. A camada mais externa do fluido adere às paredes e a sua velocidade é nula. Mas aplicando a equação de Poiseuille para essa situação é uma aproximação razoável em primeira ordem. decrescendo a zero nas paredes do mesmo. O sangue fluindo através dos canais sanguíneos não é exactamente um escoamento laminar. que se escoa num tubo de IPCA . pela natureza dos efeitos dos fluidos viscosos a velocidade de um fluido que escoa através de um tubo não será constante em todos os pontos de uma secção recta. diz que. por sua vez.Escola Superior de Gestão 115 . e leva a implicações interessantes. A equação de Poiseuille. sendo válida. exerce na camada seguinte na mesma direcção e assim por diante.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 É evidente que. A equação que governa o movimento de um fluido dentro de um tubo é conhecida como equação de Poiseuille. A figura seguinte mostra o perfil de velocidades de um fluido nestas condições. apenas para escoamento não-turbulento (escoamento laminar). o caudal de líquido. Ela leva em consideração a viscosidade. Se a velocidade não for muito elevada o escoamento será laminar e a velocidade será máxima no centro do tubo. Q . diminui o escoamento por um factor 16! Isto é uma boa razão para nos preocuparmos com os níveis de colesterol no sangue. um decréscimo relativamente pequeno no raio do tubo significa uma drástica diminuição na taxa de escoamento. como se observa frequentemente no fundo do cigarro. o regime de escoamento torna-se mais complicado. Q 8 R4 p1 p2 L Que constitui a lei de Poiseuille Para o sangue. vórtices. o coeficiente de viscosidade é de cerca de 4 x 10-3 Pa s. Aparecem localmente correntes circulares. através da expressão. A coisa mais importante a ser observada é que a taxa de escoamento é fortemente dependente no raio do tubo: R4. p1 p2 e do coeficiente de viscosidade do líquido. aumentando geralmente a resistência do fluido. Diminuindo o raio por um factor 2. Este regime é designado por turbulento. IPCA .FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 raio R . Logo. Uma pequena mudança no raio das artérias pode significar um enorme esforço para o coração conseguir bombear a mesma quantidade de sangue pelo corpo. 8.8 Escoamento laminar ou turbulento: Número de Reynolds Quando a velocidade de um fluido excede um valor crítico. que depende das propriedades do fluido e do raio do tubo.Escola Superior de Gestão 116 . e comprimento L é função da diferença de pressões. ou qualquer obstrução das artérias. Na vizinhança das paredes do tubo o ainda é laminar mas no interior é altamente irregular.2. Experimentalmente verifica-se que: N R 2000 N R 3000 o escoamento é laminar o escoamento é turbulento IPCA . N R . Esta combinação é conhecida como número de Reynolds. qualquer que seja o sistema de unidades utilizado para o seu cálculo.viscosidade do fluido D .densidade do fluido v . .FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 Experimentalmente verifica-se que uma combinação de quatro factores determina se um regime é laminar ou turbulento. para um dado líquido e tubo.Escola Superior de Gestão 117 .velocidade média para a frente . definido como: NR v D Em que.DIÂMETRO DO TUBO O número de Reynolds é uma grandeza adimensional e tem sempre o mesmo valor. não podem ser tratados como ideais na vizinhança de objectos sólidos. Por essa razão os fluidos. mesmo que este flua em regime laminar. o escoamento é instável.FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011 2000 N R 3000 tipo de regime. mesmo de baixa viscosidade.Escola Superior de Gestão 118 . passando várias vezes de um para outro Quando um objecto se desloca no seio de um fluido. IPCA . a deformação produzida nas linhas de corrente mostra que se estabelecem em torno do objecto grandes gradientes de velocidade e portanto aparecem nessa região forças de viscosidade.