Alessandro RasuloAnalisi delle sollecitazioni agenti su di un solaio latero-cementizio con l’ausilio del SAP 2000 Il logo CSI e la denominazione SAP2000 sono marchi registrati di Computers and Structures, Inc. UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI ROMA TRE FACOLTA’ DI ARCHITETTURA prof. ing. Renato Giannini dott. arch. Silvia Santini dott. ing. Alessandro Rasulo LABORATORI O DI COSTRUZI ONI DELL’ARCHI TETTURA 2 (B) Lettere E-N Introduzione I programmi di calcolo strutturale della famiglia SAP sono nati alla fine degli anni ’60 dall’opera pionieristica di Ed. Wilson, studente di Clough Penzien all’University of California, Berkeley, dove il Prof. Wilson ha insegnato e di cui attualmente e’ porfessore emerito. Lo sviluppo del programma SAP e’ nato dall’interazione fra mondo accademico e industria, dal momento che a partire dal 1963-65, Wilson ha lavorato come ingegnere nella societa’ Aerojet General Corp. di Sacramento in California. Qui le necessita’ di calcolo legate alla progettazione aero-spaziale hanno fatto da propulsore alla messa a punto di uno strumento di analisi che sfruttasse le potenzialita’ della formulazione agli elementi finiti, all’epoca appena messa a punto in ambiente accademico. Negli anni febrili a cavallo fra i ‘70 e gli ’80, definiti da qualche commentatore “gli anni della rivoluzione degli elementi finiti”, il programma subisce progressive evoluzioni fino alla versione SAP IV, il cui codice, liberamente distribuito da Ed Wilson e collaboratori, e’ tuttora il motore di molti dei programmi di analisi attualmente in commercio. La possibilita’ di poter usare il SAP come strumento di analisi non-lineare e’ dovuta invece a Klaus- Jÿrgen Bathe, studente di Wilson a Berkeley. Il programma NONSAP si e’ progressivamente accresciuto fino a diventare il codice di calcolo ADINA. Il nome SAP e’ l’acronimo di ‘programma per l’analisi strutturale’ (Structural Analysis Program), ma nello slang anglosassone significa anche ‘esecutore acritico di ordini’. Come spiegato da Ed Wilson nel primo manuale utente del SAP (vedi riquadro nella pagina seguente) questo gioco di parole e’ intenzionale. Figura 1 - Programmi della famiglia SAP. The sl ang name SAP was sel ect ed t o r emi nd t he user t hat t hi s pr ogr am, l i ke al l pr ogr ams, l acks i nt el l i gence. I t i s t he r esponsi bi l i t y of t he engi neer t o i deal i ze t he st r uct ur e cor r ect l y and assume r esponsi bi l i t y f or t he r esul t s. dal 1^ manuale del SAP (Ed Wilson, 1970) Gli elementi disponibili nella versione corrente (SAP2000 Nonlinear) sono: - elementi mono-dimensionali elastici trave/colonna [Frame] - elementi bidimensionali elastici lastra/piastra [Shell] - elementi elastici con stato piano di sforzo/deformazione [Plate] - elementi tridimensionali elastici [Solid, Asolid] - molle lineari collegate a terra [Spring] - elementi non lineari [Nonlinear Link, Push-over Plastic Hinge]. Le possibili modalità di analisi vanno dall’analisi sotto carichi statici (forze e spostamenti concentrati nei nodi, carichi distribuiti, pressioni idrostatiche, azioni termiche e precompressione), a quella di strutture da ponte soggette a carichi mobili (secondo la teoria delle linee d’influenza), alle azioni dinamiche (sia analisi statica equivalente con spettro di risposta che risposta nel dominio del tempo). E’ prevista la possibilità di una progettazione assistita da calcolatore, ma non e’ oggetto di esame in queste note visto che e’ ritenuto più utile dal punto di vista didattico che l’allievo provveda manualmente al dimensionamento e alla verifica della struttura assegnata nell’ambito del Laboratorio. Versioni disponibili per ambiente Windows 95/98/NT/2000 •SAP2000 Educational – Come la versione Nonlinear ma con un limite di 30 nodi. Trattandosi di una versione distribuita a scopo educativo, l’uso commerciale e’ proibito. •SAP2000 Standard - Analisi statica e dinamica (analisi spettrale) per telai e strutture bidimensionali. Limite 1500 nodi. •SAP2000 Plus – Aggiunge alle funzioni della versione Standard l’analisi con carichi mobili e l’analisi dinamica nel dominio del tempo nonché l’uso di elementi Plane, Solid e Asolid. •SAP2000 Nonlinear – Aggiunge alle funzioni della versione Plus gli elementi non lineari. Definizione del modello geometrico Vogliamo calcolare il solaio riportato in figura (per il quale nelle scorse esercitazioni progettuali sono stati eseguiti il pre-dimensionamento e l’analisi dei carichi). 4200 4450 1 5 0 0 5 0 5 0 5 3 5 0 6 0 0 0 1 5 0 0 1350 2950 2950 2750 4050 2750 2950 2950 3350 3200 2750 2750 2750 3200 3350 4450 4200 4050 Una volta avviato il programma, comparirà la finestra con l’ambiente di lavoro, come nella figura seguente: Si procederà innanzitutto a selezionare nell’angolo in basso a destra le unità di misura più convenienti per l’analisi che si intende condurre (ad es. kN-m): Si provvederà poi a selezionare dalla barra degli strumenti l’opzione, File? New Model from Template …: Apparirà il seguente schema, in cui sono elencati i modelli base per i quali il SAP2000 fornisce la possibilità di seguire una creazione assistita: Occorre selezionare lo schema statico che più si avvicina alla struttura che si vuole analizzare. Nel caso di un solaio è opportuno scegliere lo schema di trave continua (e’ lo schema riportato nell’angolo in alto a sinistra). Apparirà una schermata in cui vengono richiesti il numero delle campate e la lunghezza (uguale per tutte le campate). Specificare i dati (nel nostro caso 5 campate con lunghezza costante pari a 6 m) e confermare cliccando su OK: Se tutto e’ andato come previsto, il risultato sarà la schermata seguente: Si fa notare come la posizione dei vincoli (alle estremità dei due sbalzi) e le lunghezze delle campate non coincidono con lo schema statico del nostro esempio. Prima di correggere la geometria del modello, pero’, provvediamo a rimuovere i gradi di libertà superflui della struttura. Trattandosi di una struttura che giace tutta nel piano XZ (si veda il riferimento cartesiano che compare nella figura precedente) e soggetta ai soli carichi verticali (lungo Z) gli unici gradi di libertà che ci interessano sono: la traslazione lungo X; la traslazione lungo Z; la rotazione intorno a Y. Per rimuovere i gradi di libertà indesiderati occorre selezionare sulla barra degli strumenti Analyze? Set Options … e deselezionare UY, RX e RZ alla voce Available DOFs: Per correggere la geometria si procede cliccando con il tasto destro del mouse i nodi di cui si vuole cambiare la posizione ed inserendo le nuove coordinate cartesiane del nodo selezionato: Una possibile definizione delle coordinate, compatibile con la geometria dello schema da analizzare, e’ riportata nella tabella che segue: Numero Nodo X [m] Y [m] Z [m] 1 -12.00 0 0 2 -10.50 0 0 3 -5.45 0 0 4 -0.10 0 0 5 5.90 0 0 6 7.40 0 0 Dopo aver modificato come indicato le coordinate dei nodi ed eseguito una rigenerazione grafica di entrambe le viste (View? Refresh View), lo schermo dovrebbe apparire come segue: Per completare la definizione della geometria dello schema non resta che intervenire sui vincoli, selezionando i nodi in cui si vuole modificare le condizioni di vincolo e utilizzando lo strumento Assign Joint Restraint: che permette di attivare la finestra di dialogo dove è possibile specificare i vincoli che agiscono lungo i gradi di libertà dei singoli nodi: Al termine di questa operazione lo schema dovrebbe apparire così: Definizione dei materiali Selezionare dalla barra degli strumenti Define? Material, in modo da ottenere la seguente finestra: Il programma ha già pre-definite le proprietà del calcestruzzo (concrete) e dell’acciaio (steel). L’utente può aggiungere nuovi materiali cliccando su Add New Material. Se invece si vuole verificare o modificare le proprietà dei materiali già esistenti occorre cliccare su Modify/Show Material, in modo da ottenere la finestra che segue: Verificare se le proprietà già definite possono andare bene nel caso che si vuole analizzare. Qualora ci si accorga che c’e’ qualcosa che non va, si può cambiare l’input selezionando le singole caselle e introducendo il valore voluto. ATTENZIONE: Quando si specifica un valore non-nullo per il peso specifico (weigth per unit volume), il programma calcolerà in automatico il peso degli elementi strutturali associati a quel materiale e lo userà nel corso dell’analisi andando a moltiplicarlo per il moltiplicatore gravitazionale specificato. Dal momento che il nostro solaio include anche degli alleggerimenti in laterizio, sembra opportuno definire il peso proprio della fascia di solaio in esame a parte (le operazioni per fare ciò verranno spiegate in dettaglio nella sezione Definizione dei Carichi), per cui e’ opportuno specificare zero nella casella weigth per unit volume. Definizione degli Elementi Per controllare le modalità di visualizzazione degli elementi occorre selezionare la voce View? Set Elements … per avere la finestra che segue: E’ utile, al fine di verificare visivamente la corretta orientazione degli elementi di solaio, che l’opzione Show Extrusions sia selezionata. Per definire la sezione del solaio occorre selezionare Define? Frame Sections per ottenere la seguente schermata: Come e’ possibile vedere e’ gia definita una sezione rettangolare di default (FSEC1). E’ possibile tanto modificare questa sezione, quanto importare (Import) o aggiungere (Add) nuove sezioni. Per modificare la sezione esistente basta selezionare FSEC1 e poi cliccare su Modify/Show Section. Dal momento che vogliamo modellare una fasca di solaio la cui larghezza (Width) e’ 1 m e la cui altezza (Depth) e’ 0,24 m, la sezione andra’ impostata come nella finestra seguente: E’ possibile definire un nome per la sezione andandolo a scrivere nel campo Section Name. Assicurarsi che il nome del materiale coincida con quello definito precedentemente per il calcestruzzo. E’ possibile verificare le proprieta’ di geometria delle masse associate alla sezione appena definita, cosi’ come calcolate in automatico dal SAP, clicando su Section Properties: Se si reputa opportuno modificare le proprieta’ appena visualizzate, si puo’ cliccare sul bottone Modification Factor per stabilire dei coefficienti moltiplicativi. In particolare si fa notare che nel caso della sezione in calcestruzzo le proprietà sono calcolate supponendo la sezione interamente reagente, trascurando quindi l’effetto di parzializzazione indotto dalla formazione di fessure nel lembo teso. Un simile effetto ha grande influenza ai fini di un calcolo accurato delle frecce di inflessione del solaio per il quale è opportuno tenere in conto l’effetto di riduzione dell’inerzia ad opera della fessurazione, ma tale fenomeno non influenza significativamente il calcolo delle sollecitazioni e verrà pertanto trascurato in questa sede. Per assegnare le proprietà della sezione appena vista ai singoli elementi di solaio già presenti nel nostro modello, basta selezionare gli elementi e quindi attivare i comandi Assign? Frame Section per avere la schermata che segue: Scegliere la sezione e premere OK. Se tutto e’ andato come previsto, otterremo il seguente schema: dove e’ possibile valutare visivamente che larghezza e altezza delle sezioni sono state disposte lungo le direzioni corrette. Se ci fosse stato qualche problema si sarebbe dovuti intervenire sulla definizione degli assi locali dei singoli elementi attraverso I comandi Assign? Frame Local Axes: Tanto per capire il significato del comando proviamo a modificare l’orientazione degli assi locali dei primi tre elementi di solaio impostando un angolo di rotazione di 90 gradi. Otterremo il seguente schema che è però palesemente ERRATO: Una volta definiti gli elementi e controllato che la loro orientazione sia corretta e’ il caso di ripristinare la modalità di visualizzazione degli elementi escludendo l’estrusione. Come già illustrato in precedenza il comando e’ View? Set Elements, nella finestra di dialogo che apparirà bisogna deselezionare la casella Show Extrusion. Definizione dei Carichi Prima di iniziare ad inserire i carichi nel SAP, sembra opportuno definire le varie combinazioni di carico che occorre considerare al fine di massimizzare o minimizzare (a seconda del segno) le sollecitazioni sulle varie sezioni di solaio. Facendo uso della teoria delle linee di influenza (applicazione del teorema di reciprocità di Betti) o considerazioni più immediate sulla deformata e sul segno dei momenti, risultano i seguenti schemi, in cui il carico permanente agisce su tutte le campate ed in tutti gli schemi, mentre il carico accidentale è posizionato a ‘scacchiera’ per ottenere i diversi casi limite. Facendo seguito al pre-dimensionamento e all’analisi dei carichi avremo: - carico permanente (peso proprio solaio+sovraccarichi permanenti): 1.4*6,0 kN/m 2 =8,4 kN/m 2 - carico accidentale civile abitazione (campate interne): 1.5*2,0 kN/m 2 =3,0 kN/m 2 - carico accidentale terrazzi (sbalzi): 1.5*4,0 kN/m 2 =6,0 kN/m 2 Combinazione 1) - Momento Min. appoggio B e D: A B C D Combinazione 2) - Momento Min. appoggio A e C: A B C D Combinazione 3) - Momento Max. mezzeria AB e CD: A B C D Combinazione 4) - Momento Max. mezzeria BC: A B C D Per definire i carichi nel SAP occorre utilizzare il comando Define? Static Load Case per ottenere la finestra che segue: dove è possibile specificare per ogni singolo carico il nome (Load) ed il tipo (Type). Attenzione: Dal momento che il carico permanente che andremo ad applicare sul nostro modello include anche il peso proprio degli elementi strutturali, è opportuno imporre che il moltiplicatore del peso propio (Self Weight Multiplier) sia zero, al fine di non conare due volte il peso proprio. Definiremo sei forme di carico: PERM (carico permanente) 8,4 kN/m ACC1 (carico accidentale sbalzo A) 6,0 kN/m ACC2 (carico accidentale sbalzo AB) 3,0 kN/m ACC3 (carico accidentale sbalzo BC) 3,0 kN/m ACC4 (carico accidentale sbalzo CD) 3,0 kN/m ACC5 (carico accidentale sbalzo D) 6,0 kN/m Per applicare i carichi bisogna selezionare gli elementi di solaio su cui i singoli carichi insistono ed eseguire il comando Assign? Frame Static Load ... ? Point and Uniform. Ad esempio per i carichi permanenti agenti su tutto lo sviluppo longitudinale del solaio, una volta definito il valore di carico uniformemente distribuito (Uniform Load) e cliccato sul pulsante OK: dovrebbe apparire il seguente schema di carico: Procedendo secondo la stessa procedura per tutti i carichi avremo: Adesso provvediamo a definire le diverse combinazioni di carico (indicate con le sigle COMB1, COMB2, COMB3, COMB4). Il comando è Define? Load Combination che da accesso alla seguente finestra: Per aggiungere una nuova combinazione bisogna selezionare Add? New Combo per avere la finestra che segue: E’ possibile definire il nome della combinazione (Load Cobination Name), i carichi che devono essere combinati assieme (Case Name) ed i rispettivi moltiplicatori (Scale Factor). Dal momento che i moltiplicatori di combinazione (responsabili della trasformazione da carico caratteristico a carico di progetto) sono gia’ stati inclusi nei valori del carico base, i moltiplicatori devono essere posti unitari. Nel nostro caso le combinazioni sono 5: COMB1=PERM+ACC2+ACC3+ACC5 (Modalita’ ADD) COMB2=PERM+ACC1+ACC3+ACC4 (Modalita’ ADD) COMB3=PERM+ACC2+ACC4 (Modalita’ ADD) COMB4=PERM+ACC1+ACC3+ACC5 (Modalita’ ADD) ENV =COMB1+COMB2+COMB3+COMB4 (Modalita’ ENVE) Le prime quattro corrispondono agli schemi riportati all’inizio del paragrafo, mentre l’ultima corrisponde al diagramma di inviluppo delle quattro combinazioni. L’analisi puo’ ora essere eseguita selezionando il comando Analyze? Run o cliccando l’icona ? . Di default il SAP riporta, al termine dell’esecuzione, la deformata del primo carico definito (nel nostro caso PERM). I valori degli spostamenti nodali possono essere visualizzati selezionando il nodo di cui si vuole conoscere lo spostamento e quindi cliccando con il tasto destro del mouse. Per la visualizzazione di tutti gli altri risultati occorre selezionare il comando Display e scegliere l’opzione desiderata. In particolare, per visualizzare i diagrammi dei momenti relativi alle diverse combinazioni di carico occorre selezionare Display? Show Element Forces/Stresses? Frame. Nella figura che segue e’ riportato il diagramma di inviluppo delle varie combinazioni di carico, cosi’ come fornito dal SAP. Si tratta di uno strumento progettuale molto utile dal momento che rappresenta i valori massimi e minimi di sollecitazione che devono essere presi in considerazione al momento del dmensionamento e della verifica della struttura.