RAZ.MATEMATI CO -MARZOABRILEUROAMERICANO PRIMARIA RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º ¡ B ie n v e n id o ! EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º M es d e ... EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º C O N T E O D E F IG U R A S E s e l p r o c e s o d e d e t e r m i n a r l a m á x i m a c a n t i d a d d e fi g u r a s d e d e t e r m i n a d o ti p o , p r e s e n te s e n u n a fi g u r a p r i n c i p a l d a d a . E x is te n b á s ic a m e n te , d o s m é to d o s d e c o n te o . A) Conteo Directo: Se realiza visualmente o por simple inspección, enumerando cada una de las figuras simples que conforman la figura principal; procediendo luego, a contar ordenadamente y agrupando las figuras de menos o más. B) Conteo por Inducción: Se realiza aplicando fórmula que generaliza los casos particulares, para determinar el total de figuras; siempre y cuando sean figuras adyacentes, es decir, que estén una a continuación de otra. I. CONTEO DE SEGMENTOS Segmento: Es una porción de recta que tiene dos extremos. Ejemplos: Conteo Directo: A cada segmento simple le ponemos una letra que lo identifique y empezamos a contar hasta llegar al mayor segmento compuesto: a) a sólo hay 01 segmento: “a” EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. b) a 6º 02 segmentos de una letra: a y b b 01 segmentos de dos letras ab Hay 03 segmentos en total c) 03 segmentos de una letra: a, b y c a b c 02 segmentos de dos letras: ab y bc 01 segmento de tres letras: abc Hay 06 segmentos en total d) 04 segmentos de una letra: a, b, c y d a b c d 03 segmentos de dos letras: ab, bc y cd 02 segmentos de tres letras: abc y bcd 01 segmento de cuatro letras: abcd Hay 10 segmentos en total Conteo por inducción: Si los segmentos son adyacentes, es decir, conformar una recta observaremos cada caso particular llegando a establecer una fórmula general. Para ello, cada espacio o segmento simple será numerado. 1 1 segmento 1 1 2 2 1 + 2 segmentos 3 1 + 2 + 3 segmentos EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º Encuentra la máxima cantidad de segmentos en las siguientes figuras. EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º RABAJEM O S EN C ASA EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º C O N T E O D E T R IÁ N G U L O S EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º ¿T R IÁ N G U L O ? F i g u r a g e o m é tr i c a q u e ti e n e tr e s l a d o s y tr e s á n g u l o s Así se cuenta: I.- Cuando la figura es sencilla (no es complicada) el proceso de contar se puede realizar mentalmente veamos algunos ejemplos: Cuenta el total de triángulos que encuentras en la siguiente figura: T o ta l = 5 tr i á n g u l o s II.- Cuando la figura ya no es sencilla (algo complicada) se recomienda escribir una letra o número en cada espacio encerrado por figuras simples y luego se procede a contar en forma ordenada, de la siguiente manera: 1. Se cuenta todas las figuras simples, o sea, las que tienen una sola letra o número. 2. Se cuentan las figuras formadas por 2 letras (o números), luego las formadas por 3 letras y así sucesivamente hasta que al final se suman todos los resultados parciales, obteniendo el total de figuras que se quería. EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º Observa este conteo de triángulos… 01. Cuenta el total de triángulos en la siguiente figura: Resolución: a b c 02. ¿Cuántos triángulos puedes contar en la siguiente figura? Resolución: a b c d EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º Encuentra la máxima cantidad de segmentos en las siguientes figuras. EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º CASOS ESPECIALES DE TRIÁNGULOS E n a l g u n o s c a s o s p a r t i c u l a r e s e l c o n t e o d e tr i á n g u l o s s e p u e d e r e a liz a r e n fo r m a r á p id a , a p lic a n d o p a r a e llo , a lg u n a s fó r m u la s d e fá c il d e d u c c ió n : EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º ¡A T E N C I Ó N ! E l t o t a l d e t r i á n g u l o s q u e s e f o r m a n c u a n d o d e s d e u n v é r ti c e d e u n t r i á n g u l o s e tr a z a n v a r ia s lín e a s h a c ia e l la d o o p u e s to , s e o b tie n e a p lic a n d o la s ig u ie n te fó r m u la : EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º Observa: 02. ¿Cuántos 01. Hallar el número total de cuadriláteros cuadriláteros puedes contar en la siguiente figura? en la siguiente figura: Resolución: Resolución: a b c d a b c e Cuadriláteros con: Cuadriláteros con: 1 letra : b ; c ; d ; e 1 letra : b ; c =4 2 letras : bc ; cd ; ce =3 3 letras : bcd =1 4 letras : no hay =0 5 letras : no hay =0 Total = 8 cuadriláteros =2 2 letras : ab ; bc =2 3 letras : abc =1 Total = 5 cuadriláteros Rpta. Rpta. C O N T E O D E C U A D R IL Á T E R O S EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º ¡A T E N C IÓ N ! E s tim a d o a lu m n o , u n c u a d r ilá te r o s e p u e d e r e p re se n ta r e n c u a lq u ie r a d e la s sig u ie n te s fo r m a s : T ra p e c io T r a p e z o id e C u a d ra d o R e c t á n g u lo R o m b o id e ( o p a r a le l o g r a m o p r o p ia m e n te d ic h o ) R om bo C u a d r i lá te r o có n ca vo EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. Ejercicio 1: Halla el número total de Ejercicio 2: ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura? cuadriláteros: Resolución: 6º Resolución: EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º CASOS ESPECIALES DE CUADRILÁTEROS EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º E n a lg u n o s c a s o s p a r tic u la r e s , e l c o n te o d e c u a d r ilá te r o s s e p u e d e r e a liz a r e n fo r m a r á p id a , a p lic a n d o p a r a e llo , a lg u n a s fó r m u la s d e fá c il d e d u c c ió n . EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º C O N T E O D E S E C T O R E S C IR C U L A R E S Sector Circular: Es una porción de circunferencia conformada por dos lados rectos y uno curvo opuesto al ángulo formado. Ejemplo: b.- Por inducción: Enumera los espacios en línea curva base y a.- Por conteo directo: Nombra cada aplica la fórmula. figura simple y empieza a contar 1 de simple a compuesto: 2 c a 3 b 4 02 < de una letra: a y c N° de <= 01 < de dos letras: ab N° de <= 10 01 <de tres letras: abc Hay 4 sectores circulares en total. < Se resuelve análogamente al conteo de s, por su forma similar EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º Encuentra la cantidad de sectores circulares que hay en cada figura. EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º E S U E LV E E N C A S A Encuentra el total de sectoresREFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS circulares figuras: en las siguientes 01. ¿Cuántos cuadriláteros que tengan asteriscos hay? 01. Rpta: _________________ 02. 02. ¿Cuántos triángulos hay en la F100? F1 F2 F3 F4 . . . 03. Rpta: _________________ 03. ¿Cuántos triángulos hay en F100? F1 F2 F3 F4 . . . Rpta: _________________ 04. EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 04. ¿Cuántos triángulos hay en F100? F F 1 F 2 F 3 6º 07. ¿Cuántos rectángulos hay en F100? F 4 1 F 2 F F 3 4 . . . . . . Rpta: _________________ Rpta: _________________ 05. ¿Cuántos segmentos hay en F100? F F 1 1 2 F 2 1 2 3 F 3 1 2 3 4 . . . 4 1 2 3 4 5 08. ¿Cuántos paralelogramos hay en F100? F 1 F 2 F F 3 Rpta: _________________ 4 .. . 06. ¿Cuántos octógonos hay en F100? F 1 F 2 F 3 F Rpta: _________________ 4 .. . Rpta: _________________ EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º M es d e ... EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º P IR Á M ID E S N U M É R IC A S Observa la siguiente pirámide numérica: Ahí vemos que el resultado de la operación de dos números vecinos es el número que está en la parte superior intermedia. 96 16 8 6 3 2 4 2 1 3 Compramos: 4 2 2 1 2 2 3 1 6 16 8 3 2 8 96 3 16 6 EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º Ejemplo: a b c 11 Calcula 2 1152 48 A) 9 a B) 16 C) 25 2 b 2 c D) 36 Resolución: Completando la pirámide: 1152 48 12 24 6 4 6 2 2 3 48 x a = 1152 a = 1152 48 = 24 bx2 = 12 b = 12 2 2xc =6 c=6 2 Hallamos = a b c 11 2 24 6 3 11 = 2 (3)2 9 a 24 b 6 =6 =3 c 3 Rpta : A EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º 01. Completa las siguientes pirámides: 4 4 8 2 10 3 4 0 5 2 6 5 1 50 37 27000 12 2 1 25 300 20 4 13 1 9 EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. a b c 02. Calcular: 6º 2 04. Calcular: a 2a 2 144 2 5a 3 a 4a 6 b a c A) 625 B) 36 2a 1 C) 100 D) 400 A) 144 B) 168 C) 202 D) 194 03. Calcular: r s 2 t u 2 05. Calcular: a (b c) e 730 64 8 r t B) 45 C) 25 D) 85 b 70 2 u 1 A) 75 a s 2 1 E) 102 40 c d 28 A) 1 B) 3 C) 5 D) 2 E) 4 EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º N ÚM ERO S N ATURALES OPERACIONES COMBINADAS Orden a seguir: 1° Signos de colección. 2° Raíces y potencias, en el orden en que aparecen (siempre de izquierda a derecha) 3° Multiplicación y división, en el orden en que aparecen (siempre de izquierda a derecha) 4° Sumas y restas; en el orden en que aparecen (siempre de izquierda a derecha). Si hubiera signos de agrupación y/o colección: 1° Paréntesis ( ) 2° Corchetes [ ] 3° Llaves { } Ejemplo: Resuelve: 23 . (18 - 6 : 2) + (92 - 5 - 4) : 32 EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 01) 4 (33 24 ) (32 2) 05) 6º 17 9 3 13 6 7 36 9 3 4 2 (62 1) 7 (34 43) 06) 5 (3 2 ) (3 2) 3 9 OPERACIONES COMBINADAS 02) 03) 36 1 7 81 64 3 04) 5 2 4 6 3 1 5 07) (82 62)2 102 22 08) 150 4 3 14 3 32 23 7 EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 2 3 01) 69 3 49 2 42 2 05) 6º 64 52 23 7 22 5 7 8 52 2 8 5 32 1 02) 06) 2 102 3 24 2 3 52 2 7 3 OPERACIONES COMBINADAS 3 2 22 3 2 0 03) (2 4 3 ) 24 5 15 07) 3 64 62 3 9 83 4 52 3 11 2 2 42 6 3 5 9 52 18 16 04) 3 08) 22 33 23 32 2 4 34 1000 0 EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º 01. Mi casa tiene cinco pisos. El 03. Rosario es mayor que Carolina primer piso tiene 3 ventanas, el por 4 años; si la suma de sus segundo 5, el tercero 4, el cuarto edades actuales es 52 años ¿Cuál 6 es la edad de Rosario? y el quinto 8. ¿Cuántas ventanas tiene mi casa? C U A T R O O P E R A C IO N E S Veremos la importancia de la suma, resta, multiplicación y división. Al alumno le mostraremos métodos de solución simple para cierto, tipos de problemas. Estos métodos de solución son: suma y diferencia, falsa suposición que se muestra a continuación: 02. Se desea repartir 6554 naranjas 04. La suma de edades de Jorge, Juan entre 58 personas ¿Cuánto le y Jesús es 88 años. De los tres, el toca a cada uno? mayor tiene 20 años más que el menor y el del medio tiene 18 años menos que el mayor. ¿Cuál es la edad del menor? EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º 05. La suma de las edades actuales de08. Si Lalo recorre con su bicicleta 360 Esteban y Manuel es 26 años. Si la km en 12 horas, ¿cuál es la diferencia de las mismas es 2 años. distancia ¿Cuál es la edad del mayor? minuto? que recorre en cada 06. La distancia de la tierra a la luna es aproximadamente 400 000 km y el09. Un comerciante vende polos, 200 sol es 150 000 000 km ¿Cuántas polos a 8 por 2 soles y 300 polos a veces es mayor la distancia de la 5 tierra al sol que a la luna? diferencia de lo que recibió de la por 3 soles. ¿Cuál es la primera venta con la segunda? 07. Pedro trabaja 10 días de 8 horas diarias, Luis 14 días de 7 horas; José10. A una fiesta y asistieron 24 días de 9 horas diarias, si la hora personas de trabajo se paga S/. 5 nuevos determinado 23 hombres y 20 soles. ¿Cuánto importa el trabajo de mujeres los tres? mujeres asistieron? no en un 107 bailan. momento ¿Cuántas EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º 01. Elsa es 6 años más joven que Iván.03. Gerardo ha comprado un auto por Hace 3 años Iván tenía el triple de la un valor de S/. 80 100. Primero edad que Elsa tenía en ese entonces. pagó la quinta parte del valor del ¿Cuántos auto años tiene Iván actualmente? y el mensualidades resto iguales. en 60 ¿Cuánto pago Gerardo cada mes? 04. Un tren que tiene asientos en los cuales entran tres personas, el tren 02. Se compró libros entre tiene 8 vagones de 17 asientos y 5 Historia para vagones de 12 asientos. ¿Cuántas implementar la Biblioteca de nuestro personas pueden viajar en dicho colegio gastando en total S/. 231. Si tren? Matemática 17 e cada libro de Matemática cuesta S/. 15 y cada libro de Historia cuesta S/. 12 ¿Cuántos libros de Matemática se compraron? 05. Al comprar un pantalón, un buzo y una mochila pagué S/. 120. Si el pantalón cuesta el triple de lo que cuesta la mochila y el buzo cuesta S/. 35 más que la mochila ¿Cuánto EUROAMERICANO me costó el pantalón? RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. PROBLEMAS: 6º 03. Manuel y César tienen juntos S/. 300. ¿Cuánto dinero tiene César 01. La suma de dos números es 24 y su diferencia es 8. ¿Cuál es el menor si se sabe que tiene S/. 40 menos que Manuel? de dichos números? S U M A Y D IF E R E N C IA D E D O S N ÚM ERO S N ATURALES 04. Si sumamos las edades de Rocío 02. Al sumar dos números se obtiene 40 y Raúl obtenemos 78 años. Si si el mayor excede al menor en 12, hace 10 años la diferencia de sus ¿cuál es el número mayor? edades era 2 años ¿Qué edad tiene Rocío? EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º 05. Dentro de 8 años mi edad será 8 08. La suma de dos números es 28 y años más que la de Richard. Si su diferencia 10. Calcule el triple actualmente del número menor. nuestras edades suman 56 años. ¿Cuál es la edad de Richard? 09. Carlos tiene S/. 40 más que Miguel 06. La suma de las edades de Tom y Jerry es 84 años; si Jerry es menor pero entre ellos tienen S/. 180. ¿Cuánto tiene cada uno? que Tom por 18 años. ¿Cuál es la edad de Jerry? 10. Las edades de Marcela y Vanesa suman 24 años. Si la edad de 07. Un reloj más un anillo costaron S/. Marcela excede a la de Vanesa en 1400; si el reloj costó S/. 400 más 14 años. ¿Cuántos que el anillo. ¿Cuánto costó cada Vanesa hace 2 años? años tuvo uno? EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º S U M A Y C O C IE N T E D E D O S N ÚM ERO S N ATURALES EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 05. Dos si 07. La suma de dos números es 1200, dividimos el mayor entre el si uno de ellos es el triple del otro, menor, el cociente resulta 3 y el número mayor es. el números residuo PROBLEMAS: 4. suman ¿Cuál 32 6º es el número mayor? 03. Entre dos personas tienen S/. 200 01. Entre César y David se tiene S/. si la cantidad que tiene una de 126 si la cantidad que tiene ellas es el triple de lo que tiene la César es 17 veces la que tiene otra. David. ¿Cuánto más tiene César cantidades? ¿Cuáles son dichas que David? 02. Hace 2 años, tu edad era mayor que la de María por 8 06. La suma de dos números es años. Si actualmente tu edad es 130, su cociente es 6 y el el triple que la de Maritza. ¿Qué residuo es 4. Hallar los edad tendrás el próximo año? números. 04. Jessica y Rosa tienen juntos S/. 08. Entre Juan y Pedro tienen en el 342 si lo que tiene Rosa es 5 banco una cuenta por S/. 920 lo veces lo que tiene Jessica, que le corresponde a Juan es 4 ¿Cuánto tiene Rosa? veces lo que le corresponde a Pedro con un adicional de S/. 20 ¿Cuánto le corresponde a Pedro? EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º M É T O D O D E L A FA L S A S U P O S IC IÓ N El método de falsa suposición es aplicable a problemas donde intervienen dos conjuntos tales como A y B. Se recomienda seguir los siguientes pasos: 1°. Suponer que todos los elementos pertenecen a un sólo conjunto (por ejemplo al conjunto A) 2°. Calcular el error correspondiente (por diferencia) 3°. Cambiar un elemento del conjunto A por un elemento del conjunto B y determinar la variación producida. 4°. Calcular el número total de cambios para corregir el error que es igual a la cantidad de elementos correspondientes al conjunto B. PROBLEMAS: 03. En un patio grande hay cerdos y patos. Si se cuenta 28 cabezas y 01. En una billetera hay 24 billetes que hacen un total de 560 soles; si 78 patas. ¿Cuántos patos hay en el patio? sólo habían billetes de 50 soles y 10 soles ¿Cuántos eran de cada clase? 04. En el circo las entradas de adulto costaban S/. 4 y los de niños S/. 02. Se ha conserva comprado de dos 77 latas de capacidades 2. Concurrieron 560 espectadores y se recaudaron S/. 1800 distintas. Una tiene 8 onzas y la ¿Cuántos eran adultos y cuántos otra 15 onzas. Si el contenido total niños? es de 861 onzas ¿Cuántas latas de 8 onzas se compraron? EUROAMERICANO RAZONAMIENTO MATEMATICO PRIM. 6º 05. En un corral hay 80 patas y 35 08. Un litro de leche pesa 1032 gr y un cabezas, las únicas especies que litro de agua pesa 1055 gr. En una hay son palomas y gatos ¿Cuántos mezcla de 10 litros han intervenido hay de cada especie? ambos componentes y pesa 10366 gr. ¿Qué cantidad de agua de mar hay en la mezcla? 06. Ricardo tiene 34 animales entre 09. Tengo 50 billetes, unos de S/. 10 y gatitos y loritos ¿Cuántos gatitos otros de S/. 50. Si uso todos los tiene Ricardo? Si total hay 100 billetes que tengo para pagar una patas. deuda de S/. 780. ¿Cuántos billetes son de S/. 10? 07. Un profesor compró 37 libros, unos 10. En un parque hay niños le costaron 120 soles y otros 200 paseándose ya sea en triciclo o en soles cada uno. Si gastó 5 640 bicicleta. En total se cuentan 60 soles ¿Cuántos libros de mayor pedales, 30 timones y 78 ruedas precio compró? ¿Cuántos triciclos más que bicicletas hay? EUROAMERICANO