6.10 Teoremas de Dirac y Ore Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real Alberto Conejero y Cristina Jordán Depto. Matemática Aplicada E.T.S. Ingeniería Informática Universitat Politècnica de València Queremos sentarlas alrededor de una mesa redonda de manera que conozcan a las dos personas que tienen al lado.Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real Mesas en una cena En una cena hay 6 personas. ¿Será posible si cada una de ellas conoce al menos a 3 personas? ¿Y si sabemos que se cumple que la suma de las personas que conocen dos personas que no se conocen es mayor o igual que 6? 6.10. Teoremas de Dirac y Ore . Teoremas de Dirac y Ore .10.Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real Colas Supongamos que un grupo de personas coinciden en la entrada de un cine y algunos se conocen entre sí: ¿Será posible que hagan cola de manera que cada uno de ellos conozca al que tiene delante y al que tiene detrás? 6. entonces también se puede hallar un ciclo Hamiltoniano. 6. • Si de cada vértice es adyacente a muchos otros. Teoremas de Dirac y Ore .10.Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real Hamiltonianos ¿Cuándo y cómo hallar ciclos/caminos Hamiltonianos? • Si hay vértices de grado 2 se simplifica el problema ya que sus aristas adyacentes están en el ciclo Hamiltoniano. No se puede hallar un ciclo Hamiltoniano en un grafo con sólo 2 vértices aunque se cumpla la condición sobre los grados. Si cada vértice tiene grado mayor o igual que n/2. Sea G=(V. Teoremas de Dirac y Ore . simple y con al menos 3 vértices.Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real Teorema de Dirac Dirac (1952). 6.10. |V| = n ≥ 3. En cambio en uno con 3 ya sí que se puede. entonces G es Hamiltoniano.E) un grafo no dirigido. Sea G=(V. entonces G es Hamiltoniano.E) un grafo no dirigido. |V| = n ≥ 3. Si cada vértice tiene grado mayor o igual que n/2.Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real Teorema de Dirac Dirac (1952). 6. Los siguientes ejemplos muestran cómo la estimación es bastante precisa. C. D y E tienen grado igual a 2< 5/2 No hay ciclo Hamiltoniano porque no se puede acabar en el lado del que se empieza. Sí que hay un ciclo Hamiltoniano. Teoremas de Dirac y Ore . simple y con al menos 3 vértices.10. Todos tienen grado 3 ≥ 6/2. Todos tienen grado 3 ≥ 6/2. Teoremas de Dirac y Ore . 6. entonces G es Hamiltoniano. D y E tienen grado igual a 2< 5/2 No hay ciclo Hamiltoniano porque no se puede acabar en el lado del que se empieza.E) un grafo no dirigido. C. Sí que hay un ciclo Hamiltoniano. Sea G=(V.10. Si cada vértice tiene grado mayor o igual que n/2.Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real Teorema de Dirac Dirac (1952). Los siguientes ejemplos muestran cómo la estimación es bastante precisa. |V| = n ≥ 3. simple y con al menos 3 vértices. 6.10.E) un grafo no dirigido.Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real Teorema de Dirac Dirac (1952). La condición es suficiente pero no necesaria como muestra el siguiente ejemplo: Es un grafo Hamiltoniano y sin embargo no cumple las hipótesis del teorema. Teoremas de Dirac y Ore . |V| = n ≥ 3. simple y con al menos 3 vértices. Si cada vértice tiene grado mayor o igual que n/2. entonces G es Hamiltoniano. Sea G=(V. Ejemplo: 6.E) un grafo no dirigido con al menos 3 vértices. Si para cada pareja de vértices no adyacentes x.y se tiene que d(x)+d(y) ≥ n. Ore (1960).Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real Teorema de Ore El Teorema de Dirac se puede deducir como corolario del siguiente resultado. |V| = n ≥ 3. Sea G=(V.10. entonces el grafo es Hamiltoniano. Teoremas de Dirac y Ore . 10. Sea G=(V. Las hipótesis no se pueden mejorar: La suma de grados de A y B es 4<5 No hay ciclo Hamiltoniano porque no se puede acabar en el lado del que se empieza. Si para cada pareja de vértices no adyacentes x. entonces el grafo es Hamiltoniano.Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real Teorema de Ore Ore (1960).E) un grafo no dirigido con al menos 3 vértices. La suma de grados de dos vértices no adyacentes es 6. Sí que hay un ciclo Hamiltoniano. Teoremas de Dirac y Ore . |V| = n ≥ 3. 6.y se tiene que d(x)+d(y) ≥ n. E) un grafo no dirigido con al menos 3 vértices. Sea G=(V.10. 6.Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real Teorema de Ore Ore (1960).y se tiene que d(x)+d(y) ≥ n. entonces el grafo es Hamiltoniano. |V| = n ≥ 3. Sí que hay un ciclo Hamiltoniano. Teoremas de Dirac y Ore . Si para cada pareja de vértices no adyacentes x. Las hipótesis no se pueden mejorar: La suma de grados de A y B es 4<5 No hay ciclo Hamiltoniano porque no se puede acabar en el lado del que se empieza. La suma de grados de dos vértices no adyacentes es 6. 6. |V| = n ≥ 3.10. Si para cada pareja de vértices no adyacentes x.y se tiene que d(x)+d(y) ≥ n. Sea G=(V. La condición es suficiente pero no necesaria como muestra el siguiente ejemplo: Es un grafo Hamiltoniano y sin embargo no cumple las hipótesis del teorema. entonces el grafo es Hamiltoniano. Teoremas de Dirac y Ore .E) un grafo no dirigido con al menos 3 vértices.Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real Teorema de Ore Ore (1960). 10. Teoremas de Dirac y Ore .Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real Mesas en una cena En este caso los vértices son las personas y cada arista une a dos personas que se conocen entre sí. La respuesta es afirmativa a ambas preguntas: ¿Será posible si cada una de ellas conoce al menos a 3 personas? ¿Y si sabemos que se cumple que la suma de las personas que conocen dos personas que no se conocen es mayor o igual que 6? 6. Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real Mesas en una cena En este caso los vértices son las personas y cada arista une a dos personas que se conocen entre sí.10. Teoremas de Dirac y Ore . La respuesta es afirmativa a ambas preguntas: ¿Será posible si cada una de ellas conoce al menos a 3 personas? Sí. por el Teorema de Ore 6. por el Teorema de Dirac ¿Y si sabemos que se cumple que la suma de las personas que conocen dos personas que no se conocen es mayor o igual que 6? Sí. E) un grafo no dirigido. |V| = n ≥ 3.Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real Teorema de Dirac (para caminos) Dirac (1952). Teoremas de Dirac y Ore . Si cada vértice tiene grado mayor o igual que (n-1)/2. IDEA: 6. entonces existe un camino Hamiltoniano en G.10. simple y con al menos 3 vértices. Sea G=(V. simple y con al menos 3 vértices. IDEA: Añadimos un vértice adicional y lo conectamos con todos los demás. 6. |V| = n ≥ 3. entonces existe un camino Hamiltoniano en G. Si cada vértice tiene grado mayor o igual que (n-1)/2. Teoremas de Dirac y Ore .E) un grafo no dirigido.Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real Teorema de Dirac (para caminos) Dirac (1952).10. para así poder aplicar el Teorema de Dirac. Sea G=(V. para así poder aplicar el Teorema de Dirac.10. |V| = n ≥ 3.E) un grafo no dirigido. entonces existe un camino Hamiltoniano en G. IDEA: Añadimos un vértice adicional y lo conectamos con todos los demás. Sea G=(V.Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real Teorema de Dirac (para caminos) Dirac (1952). Si cada vértice tiene grado mayor o igual que (n-1)/2. 6. simple y con al menos 3 vértices. Teoremas de Dirac y Ore . entonces existe un camino Hamiltoniano en G. Sea G=(V.10. para así poder aplicar el Teorema de Dirac.Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real Teorema de Dirac (para caminos) Dirac (1952). Teoremas de Dirac y Ore . IDEA: Añadimos un vértice adicional y lo conectamos con todos los demás.E) un grafo no dirigido. simple y con al menos 3 vértices. Si cada vértice tiene grado mayor o igual que (n-1)/2. |V| = n ≥ 3. 6. Teoremas de Dirac y Ore . a partir del Teorema de Dirac porque cada uno conoce al menos a dos personas 6.Aplicaciones de la Teoría de Grafos a la vida real Colas La modelización es como en los problemas anteriores. los vértices son las personas y cada arista une a dos personas que se conocen entre sí. ¿Será posible que hagan cola de manera que cada uno de ellos conozca al que tiene delante y al que tiene detrás? Sí.10.