MATEMÁTICA ILÍMITE DE UNA FUNCIÓN Departamento de ciencias Es posible que en alguna ocasión, en un estacionamiento, haya tenido que acercarse al automóvil de enfrente, pero sin desear golpearlo, o ni siquiera tocarlo. Está noción de «acercarse cada vez más a algo, pero sin tocarlo», es muy importante en matemáticas y tiene que ver con el concepto de límite, que es fundamental para el Cálculo. Logros de la sesión: • Al término de la sesión, el estudiante resuelve ejercicios, relacionados a límites de funciones algebraicas; haciendo uso de las propiedades de límites, siguiendo un proceso lógico fundamentado y comunica sus resultados. CASO PRÁCTICO: La empresa SEDALIB S.A. ha uniformizado sus tarifas de agua. La tarifa doméstica básica es de S/. 2,5 y un cargo adicional de 1,3 por cada m3 hasta los 8 m3/mes. Sobre el exceso de 8m3, el cargo adicional es de 1,4 por cada metro cúbico hasta 20m3/mes. Si el consumo sobrepasa los 20m3/mes, el cargo adicional por cada metro cúbico es 3. Calcule costo del consumo de agua mensual cercano a 20m3/mes. ¿Cuál será el valor del consumo cerca a 20m3/mes? Recordar • Factorización • Racionalización • Simplificación de expresiones algebraicas TEMARIO • Límites de una función • Propiedades de límites • Interpretación Geométrica • Límites de la forma 0/0 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Decir que lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 significa que cuando x está cerca pero diferente de c , entonces 𝑥→𝑐 f(x) está cerca de L. Simbólicamente: lim f ( x) L 0, ( ) / x c f ( x) L x c 3𝑥 2 −3 INTERPRETACIÓN: Sea 𝑓 𝑥 = , 𝐷𝑜𝑚𝑓 = ℝ − 1 𝑥−1 ¿Qué sucede cuando x toma valores muy cercanos a 1? Veamos la siguiente tabla: 𝒙<𝟏 𝒙>𝟏 Podemos decir que f(x) puede hacerse «tan 𝒙 𝒇(𝒙) 𝒙 𝒇(𝒙) cercano» a 6 como se quiera si x toma valores «suficientemente cercanos» a 1. INTERPRETANDO 0,9 5,7 1,1 6,3 0,95 5,85 1,05 6,15 Obsérvese que cuando x difiere de 1 en ±0,1, 0,99 5,97 1,01 6,03 se tiene que f(x) difiere en 6 en ±0,3. 0,995 5,985 1,005 6,015 Además, si x difiere en 1 en ±0,001, se tiene 0,999 5,997 1,001 6,003 que f(x) difiere en 6 en ±0,003. Cuando se dice que x difiere de 1 en ±0,1 significa que |x − 1| = 0,1 y cuando f(x) difiere en 6 en ±0,003 quiere decir que |f(x) − 6| = 0,003. Si se desea que f x − 6 < 0,00015, ¿qué valores para x deberíamos tomar? 3𝑥 2 − 3 3(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) 𝑓 𝑥 −6 = −6 = − 6 = 3 𝑥 + 1 − 6 = 3(𝑥 − 1) = 3 𝑥 − 1 𝑥−1 𝑥−1 Entonces: 0,00015 𝑓 𝑥 − 6 = 3 𝑥 − 1 < 0,00015 y se tiene que 𝑥 − 1 < = 0,00005 . 3 Por lo tanto, si 𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥 − 1 < 0,00005 ⇒ 𝑓 𝑥 − 6 < 0,00015. Que es equivalente a decir que: si 𝑥 ≠ 1 ∧ 1 − 0,00005 < 𝑥 < 1 + 0,00005 ⇒ 6 − 0,00015 < 𝑓(𝑥) < 6 + 0,00015. Obsérvese que se propuso 0,00015 arbitrariamente y se encontró a partir de éste dato el valor de 0,00005. Entonces puedo tomar un valor cualquier valor positivo para 𝜀 é𝑝𝑠𝑖𝑙𝑜𝑛 y a partir de éste encontrar 𝛿 (delta). Simbólicamente, tenemos: 3𝑥 2 − 3 lim = 6 ⇔ ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 − 1 < 𝛿 ⇒ 𝑓 𝑥 − 6 < 𝜀 𝑥→1 𝑥 − 1 Ejemplo: lim x 2 x2 • Necesitamos calcular a qué valor se aproximará x2 cuando x se acerca mucho a 2. • Analizando la tabla: • Observa que conforme x se acerca a 2, por debajo, es decir, dando los valores 1.9, 1.99, 1.999, los valores de f (x) que obtenemos se van a cercando a 4, también por debajo. • Cuando los valores de x se acercan por arriba a 2, los valores de f (x) se acercan a 4, también por arriba. lim x 2 4 x2 Entonces, cuando deseemos calcular el límite de una función polinomial, basta con que evaluemos la función al cual tiende y con eso encontraremos el resultado a nuestro problema. PROPIEDADES Sean “n” un entero positivo, k una constante y f y g funciones que tengan límites en a. Entonces: 1) lim k k xa 2) lim kf ( x) k lim f ( x) xa x a 3) lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) x a x a x a 4) lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) x a x a x a f ( x) lim f ( x) 5) lim x a ; lim g ( x) 0 x a g ( x) g ( x) x a lim x a 6) lim n f ( x) n lim f ( x) x a x a INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA SIGNIFICA QUE LA ALTURA DE LA GRAFICA Y= F(X) TIENDE A L CUANDO X TIENDE A A, TAL COMO SE MUESTRA EN LA FIGURA Limites de la forma 0/0: A) Tipo racional: -Factorizar el polinomio (Factor Común, Productos notables, Ruffini) -Simplificar. -Sustituir (calcular límite). Ejemplo: Calcule x2 x 2 lim 2 x 1 x 5 x 4 Solución: x2 x 2 ( x 1) ( x 2) x 2 1 2 lim 2 lim lim 1 x 1 x 5 x 4 x 1 ( x 1) ( x 4) x 1 x 4 1 4 Limites de la forma 0/0: B) Tipo irracional: -Multiplicar numerador y denominador por el conjugado. -Aplicar diferencia de cuadrados. -Simplificar y calcular límite. Ejemplo: x Calcule lim x 0 1 3 x 1 Solución: lim x lim x 1 3x 1 lim x 1 3x 1 x 0 1 3 x 1 x 0 1 3x 1 1 3x 1 x 0 1 3x 2 12 lim x 1 3x 1 1 3(0) 1 2 x 0 3x 3 3 CASO PRÁCTICO La empresa SEDALIB S.A. ha uniformizado sus tarifas de agua. La tarifa doméstica básica es de S/. 2,5 y un cargo adicional de 1,3 por cada m3 hasta los 8 m3/mes. Sobre el exceso de 8m3, el cargo adicional es de 1,4 por cada metro cúbico hasta 20m3/mes. Si el consumo sobrepasa los 20m3/mes, el cargo adicional por cada metro cúbico es 3. Calcule costo del consumo de agua mensual cercano a 20m3/mes. 2,94 1,29 x ; x [0 ; 8 ] f ( x) 13,26 1,36( x 8) ; x ] 8 ; 20 ] 29,58 3,27( x 20) ; x ] 20 ; [