37gdzie ∫ σ = d y I x 2 oznacza moment bezwładności pola przekroju ciała płaszczyzną pływania względem osi x (obliczony zgodnie z oznaczeniami osi przyjętymi na rys. 2.8c). Wprowadzając tę zależność do wzoru (2.38) obliczamy , x I d l τ θ = (2.40) gdzie τ jest objętością zanurzonej części ciała. Oznaczmy odległość środka ciężkości S C od środka wyporu S W literą a; przyj- miemy , 0 > a gdy środek ciężkości leży powyżej środka wyporu. Przedłużając linię działania siły θ W r otrzymujemy na przecięciu się z osią ′ z punkt M, nazywany p u n k t e m me t a c e n t r y c z n y m lub me t a c e n t r u m. Odległość metacen- trum od środka ciężkości S C nazywa się wy s o k o ś c i ą me t a c e n t r y c z n ą ; jest ona oznaczana literą m. Przyjmuje się m> 0 w przypadku gdy metacentrum leży powyżej środka ciężkości . C S Z rys. 2.8b i 2.8d wynika, że ciało pływające na po- wierzchni jest stateczne w zakresie małych wychyleń z położenia równowagi o ele- mentarnie mały kąt, gdy odległość metacentryczna jest dodatnia . 0 > m (2.41) Z zależności geometrycznych, widocznych na rys. 2.8b, wyznaczamy θ + ≈ θ + = d m a d m a l ) ( ) ( sin ) ( i następnie po wykorzystaniu (2.40) ostatecznie otrzymujemy . 0 > − τ = a I m x (2.42) ĆWICZENIA Przykład 2.1. Mikromanometr napełniony dwiema cieczami nie mieszającymi się o różnych gęstościach ρ 1 840 = kg m 3 i ρ 2 790 = kg m 3 zbudowano w kształ- cie U-rurki z dwoma zbiorniczkami (rys. 2.9). Średnica rurki d = 8 mm, średnica zbiorniczka D = 80 mm. Określić zależność pomiędzy różnicą ciśnień , ) ( 2 1 p p − a wysokością h słupa cięższej cieczy. 38 Rys. 2.9 Z rys. 2.9 wynikają zależności: 0 = p ∆ , ) ( ) ( 2 1 c a b a + γ = + γ 0 > p ∆ , ) ( ) ( 2 2 1 1 h a c p h a b p − + ′ γ + = − + ′ γ + które odejmujemy stronami . ) ( ) ( 2 2 2 1 1 1 h c c p h b b p γ − − ′ γ + = γ − − ′ γ + Z porównania wypartych objętości cieczy mamy b b c c − ′ = ′ − oraz π π D c c d h 2 2 4 4 ( ) , − ′ = czyli b b d D h − ′ = | \ | ¹ | 2 . 39 Po wykorzystaniu tych wzorów uzyskujemy związek ( ¸ ( ¸ − | ¹ | \ | γ + = ( ¸ ( ¸ + | ¹ | \ | γ − 1 1 2 2 2 2 1 1 D d h p D d h p i ostatecznie otrzymujemy ( ) . 2 1 2 2 1 2 1 h D d g p p p ( ¸ ( ¸ ρ + ρ | ¹ | \ | + ρ − ρ = − = ∆ Przykład 2.2. Do U-rurki zatopionej z jednej strony nalewano stopniowo rtęci (rys. 2.10). Znając ciśnienie atmosferyczne p a oraz wysokość rurki h, wyprowadzić zależność między wysokościami a i b poziomów rtęci w obu ramionach U-rurki. Rys. 2.10 Zakładamy, że sprężanie powietrza w zamkniętym ramieniu U-rurki odbywa się izotermicznie. Obowiązuje więc w tym przypadku prawo Boyle’a-Mariotte’a , ) ( 1 b h p h p a − = gdzie p 1 jest nieznanym ciśnieniem powietrza. Drugie równanie wynika z warunku równości ciśnień na poziomie 0-0: . 1 b p a p a γ + = γ + Po wyeliminowaniu ciśnienia 1 p otrzymujemy: . ) ( b a b h b p a − γ = − 40 Przykład 2.3. W akumulatorze hydraulicznym (rys. 2.11) całkowicie wypełnio- nym olejem o gęstości , m kg 860 3 = ρ zainstalowano dwa cylindry z tłokami, prze- sunięte względem siebie o wysokość h = 0,5 m. Na tłok o średnicy d = 25 mm działa siła kN. 1 1 = P Jaką siłę P 2 należy przyłożyć do drugiego tłoka, o średnicy D = 100 mm, aby układ znajdował się w stanie równowagi? Rys. 2.11 Ciśnienie na poziomie osi symetrii tłoka o średnicy D (poziom 1 na rys. 2.11) wynosi 2 2 1 1 σ = ρ + σ = P gh P p . Ponieważ: , 4 , 4 2 2 2 1 D d π = σ π = σ zatem . 4 4 2 2 2 1 D P gh d P π = ρ + π Z ostatniej zależności wyznaczamy siłę P 2 . 4 4 2 1 2 2 | | ¹ | \ | ρ + π π = gh d P D P 41 Po podstawieniu danych liczbowych otrzymamy . kN 16 2 = P Przykład 2.4. Cylindryczny zbiornik wypełniony cieczą wiruje dookoła piono- wej osi ze stałą prędkością kątową ω (rys. 2.12a). Wyznaczyć kształt powierzchni swobodnej w zbiorniku oraz określić rozkład ciśnienia. Rys. 2.12 Jednostkowa siła masowa działająca na dowolną cząstkę w naczyniu (rys. 2.12b) jest wypadkową jednostkowej siły ciężkości i jednostkowej siły bezwładności, które wyrażają się następującymi zależnościami: . , sin , = co 2 2 2 2 g Z y r Y x r X − = ω = ϕ ω = ω ϕ ω = s Równanie powierzchni ekwipotencjalnej ma postać ; 0 2 2 = − ω + ω z d g y d y x d x po jego scałkowaniu uzyskujemy związek , ) ( 2 1 2 2 2 C z g y x = − + ω który łatwo można zapisać w układzie współrzędnych cylindrycznych . 2 1 2 2 C z g r = − ω 42 Powierzchnie ekwipotencjalne (również powierzchnia swobodna) są więc parabolo- idami obrotowymi. Z warunku z z = 0 dla r = 0 mamy , 0 z g C − = a stałą z 0 można wyznaczyć porównując objętość cieczy w spoczynku i ustalonym ruchu obrotowym. Rozkład ciśnienia wynika z rozwiązania równania (2.9). Po jego scałkowaniu i wyznaczeniu stałej całkowania z warunku p p = 0 dla r = 0, z z = 0 otrzymujemy . ) ( 2 0 2 2 0 z z g r p p − ρ − ω ρ + = Przykład 2.5. Określić stosunek H B wysokości zapory do jej szerokości z warunku, że moment Ph wywracający zaporę stanowi połowę momentu ustatecz- niającego G b (rys. 2.13). Długość zapory w kierunku normalnym do płaszczyzny przedstawionej na rysunku 2.13 wynosi L; zaporę traktujemy jako bryłę jednorodną o ciężarze właściwym γ z ; ciężar właściwy wody γ w . Rys. 2.13 Parcie działające na zaporę obliczamy ze wzoru (2.26) . 2 1 2 2 L H L H H P w w γ = γ = Odległość punktu przyłożenia wypadkowej parcia od zwierciadła wody jest określo- na wzorem (2.28). Wobec tego 43 . 2 12 2 3 L H H H L H h H + = − Zważywszy następnie, że: , 3 2 , 2 B b L H B G z = γ = ze wzoru b G h P 2 1 = obliczamy . w z B H γ γ = Przykład 2.6. Zbiornik wody jest zamknięty obrotową płytą, wygiętą w kształcie ćwiartki walca kołowego i obracającą się względem osi, której śladem jest punkt S (rys. 2.14). Należy obliczyć wypadkowe parcie P r na płytę, jego punkt przyłożenia oraz moment względem osi S. Szerokość zbiornika wynosi L. Rys. 2.14 44 Składowe P x i P z wynikają bezpośrednio ze wzorów (2.30) i wynoszą: . 4 ; 2 | ¹ | \ | π − γ = | ¹ | \ | − γ = R H L R P R H L R P z x Dowolne parcie elementarne przechodzi przez punkt N, przez ten punkt będzie również przechodzić wypadkowa układu parć elementarnych. Stąd wyznaczymy kąt β, jaki tworzy siła P r z płaszczyzną poziomą. Linia działania składowej P x jest określona wzorem (2.31); jej odległość od zwierciadła cieczy jest więc równa . 2 12 2 2 | ¹ | \ | − + | ¹ | \ | − = R H R R H z p Linia działania składowej P z przechodzi przez środek ciężkości bryły jednorod- nej, o podstawie będącej różnicą powierzchni H R i ćwiartki koła; jej położenie okre- ślamy wykorzystując wzór (2.32) . 4 3 2 4 3 4 4 2 2 2 R H R H R L R R H L R R R H R x p π − − = | | ¹ | \ | π − | | ¹ | \ | π π − = Moment M S wypadkowej P r względem osi S jest sumą momentów obu składo- wych P x i P z względem tej osi . 2 ) ( 2 | ¹ | \ | − γ = + − + = R H L R R H z P x P M P x P z s Przykład 2.7. Areometr zanurza się w wodzie o gęstości 0 ρ do głębokości , 0 h a w cieczy o gęstości 1 ρ do głębokości . 1 h Na jaką głębokość h zanurzy się on w cieczy o gęstości ? ρ Na podstawie prawa Archimedesa możemy napisać następujące równania rów- nowagi , ) ( ) ( ) ( 0 1 1 0 0 0 0 g h g h g h g m ρ σ + τ = ρ σ + τ = ρ σ + τ = 45 gdzie m oznacza masę areometru, σ - przekrój rurki areometru, a 0 τ - objętość ku- listej części areometru. Z powyższych równań otrzymamy , 1 1 0 0 0 h m h m h m σ − ρ = σ − ρ = σ − ρ = τ skąd wynikają dwie zależności dla przekroju rurki areometru: , 1 1 1 0 1 0 | | ¹ | \ | ρ − ρ − = σ h h m , 1 1 0 0 | | ¹ | \ | ρ − ρ − = σ h h m z których wyznaczamy szukaną wielkość h . ) ( ) ( ) ( 0 1 0 1 0 1 0 ρ − ρ ρ ρ − ρ ρ − + = h h h h Przykład 2.8. Obliczyć stosunek średnicy D do tworzącej L walca kołowego jednorodnego o ciężarze właściwym , 1 γ pływającego w cieczy o ciężarze właściwym , 2 γ w taki sposób, że jego tworzące są normalne do zwierciadła cieczy (rys. 2.15). Rys. 2.15 Warunek równowagi trwałej wynika ze wzorów (2.41) i (2.42). Obliczamy po- szczególne wielkości. Moment bezwładności płaszczyzny pływania względem osi poziomej x wynosi 46 I D x = π 4 64 . Objętość zanurzona . 4 4 2 1 2 2 γ γ π = π = τ L D l D Odległość środka ciężkości S C od środka wyporu S W . 1 2 2 2 2 1 | | ¹ | \ | γ γ − = − = L l L a Po podstawieniu tych wielkości do warunku (2.42) otrzymujemy . 1 8 2 1 2 1 | | ¹ | \ | γ γ − γ γ > L D