rotações

ROTAÇÕES - PER. 14.1 PROF. MARCOS AMARAL 01. Uma força de magnitude F é aplicada horizontalmente, no sentido, -x, na borda de um disco de raio R, como mostrado na Figura 1. Escreva F e r em termos dos vetores unitários i, j, k, e calcule o torque produzido por esta força em relação à origem no centro do disco. 02. Quatro partículas, uma em cada um dos cantos de um quadrado de 2,0 m de lado, estão ligadas por barras sem massa, Figura 2. As massas das partículas são m 1 =m 3 = 3 kg e m 2 =m 4 = 4 kg. Determine o momento de inércia do sistema em relação ao eixo z. 03. Use o teorema dos eixos paralelos para calcular o momento de inércia do sistema de partículas da Figura 2, em relação ao eixo que passa pelo centro de massa, e que é paralelo ao eixo z. 04. Para o sistema da Figura 2, determine o momento de inércia I x em relação ao eixo x que passa por m 2 e m 3 e b) determine o momento de inércia I y em relação ao eixo y que passa por m 1 e m 2 . 05. Um cilindro de 2,5 kg cujo raio é de 11 cm, inicialmente em repouso, pode girar livremente em torno de seu eixo. Uma corda de massa desprezível é enrolada em torno dele e puxada com uma força de 17 N. Supondo que a corda não escorregue, determine a) o torque exercido pela corda sobre o cilindro, b) a aceleração angular do cilindro e c) a velocidade angular do cilindro após 0,5 s. 06. Uma roda de amolar está inicialmente em repouso. Um torque externo constante de 50 N.m é aplicado sobre a roda durante 20 s, imprimindo à pedra uma velocidade angular de 600 rev/min. O torque externo é, então retirado, e a roda atinge o repouso 120 s depois. Determine: a) o momento de inércia da roda e b) o torque causado pelo atrito, suposto constante. 07. As partículas da Figura 7 estão ligadas por uma barra muito leve. Elas giram em torno do eixo y a 2 rad/s. a) determine a velocidade tangencial de cada partícula e utilize estes valores para calcular a energia cinética do sistema diretamente a partir de   i i i c v m E 2 2 1 . b) determine o momento de inércia em relação ao eixo y, calcule a energia cinética a partir de 2 0 2 1  I E c  , e compare com o resultado do item a). 08. Uma esfera maciça, de 1,4 kg e 15 cm de diâmetro, está girando em torno de seu diâmetro a 70 rev/min. a) Qual é a sua energia cinética? b) Adicionando-se 5 mJ de energia à energia cinética qual a nova velocidade angular da esfera. 09. Um bloco de 2000 kg é levantado, com velocidade constante de 8 cm/s, por um cabo de aço ligado por uma polia a um guincho motorizado Figura 09. O raio do tambor do guincho é 30 cm. a) Qual é a tensão no cabo? b) Qual é o torque que o cabo exerce sobre o tambor do guincho? c) Qual é a velocidade angular do tambor do guincho? d) Qual é a potência que o motor deve desenvolver para movimentar o tambor do guincho? 10. O sistema mostrado na Figura 10 consiste em um bloco de 4 kg colocado sobre uma prateleira horizontal sem atrito. Este bloco está preso a um cordão que passa por uma polia e tem sua outra extremidade presa a um bloco pendente de 2 kg. A polia é um disco uniforme de 8 cm de raio e 0,6 kg de massa. Determine a aceleração de cada bloco e as tensões no cordão. 11. No sistema da Figura 10, o bloco de 2 kg é largado do repouso. A) Determine a velocidade do bloco depois de ele ter caído uma distância de 2,5m. b) Qual é a velocidade angular da polia neste instante 12. O sistema da Figura 12 é largado do repouso quando o bloco de 30 kg está 2 m acima da prateleira. A polia é um disco uniforme de 5 kg com um raio de 10 cm. Justo antes de o bloco de 30 kg atingir a prateleira, determine a) sua velocidade v b) a velocidade angular da polia, c) a tensão nos fios e d) determine o tempo de queda do bloco de 30kg. Suponha que o fio não desliza na polia. 13. Uma esfera maciça e uniforme de massa M e raio R está livre para girar em torno de um eixo horizontal que passa pelo seu centro. Um cordão está enrolado em torno da esfera e preso a um objeto de massa m, Figura 13. Suponha que o cordão não deslize na esfera. Determine: a) a aceleração do objeto e b) a tensão no cordão. 14. Dois corpos de massa m 1 =500 g e m 2 =510 g, estão ligados por um fio de massa desprezível que passa por uma polia sem atrito Figura 14. A polia é um disco uniforme de 50 g com raio de 4 cm. O fio não desliza na polia. Determine: a) a aceleração dos corpos; b) Qual a tensão no fio entre o corpo de 500 g e a polia? Qual é a tensão no fio entre o corpo de 510 g e a polia? De quanto diferem estas duas tensões? C) Quais seriam suas respostas se você desprezasse a massa da polia? 15. Dois corpos estão presos a cordas, que estão enroladas a duas rodas que giram em torno do mesmo eixo, como mostrado na Figura 15. As duas rodas estão soldadas, de modo a formarem um único objeto rígido. O momento de inércia deste objeto rígido é 40 kg.m 2 ; Os raios das rodas são R 1 =1,2 m e R 2 =0,4 m. a) Se m 1 =24 kg, determine m 2 de forma que não haja aceleração angular nas rodas. b) Se 12 kg são colocados em cima de m 1 , determine a aceleração angular das rodas e as tensões nas cordas. 16. A extremidade superior do fio enrolado em redor do cilindro figura 16 está segura por uma mão que acelera para cima, de modo que o centro de massa do cilindro não se move, enquanto o cilindro gira. Determine a) tensão no fio, b) a aceleração angular do cilindro e c) a aceleração da mão. 17. Em 1993, um ioiô gigante de 400 kg, com 1,5m de raio, fio largado de um guindaste de uma altura de 57 m. A corda, com uma das extremidades atada no topo do guindaste, ia desenrolando enquanto o ioiô ia descendo. Supondo o eixo do ioiô com um raio de 0,1 m, avalie sua velocidade linear no final da queda. 18. Um cilindro maciço e uniforme, de madeira, rola descendo um plano inclinado de um ângulo , sem deslizar. O coeficiente de atrito é  e . Determine: a) a aceleração do centro de massa do cilindro, b) a força de atrito atuando sobre o cilindro e c) o maior ângulo de inclinação para o qual o cilindro rolará sem deslizar. 19. Lançadas do repouso da mesma altura, uma casca esférica fina e uma esfera maciça, de mesma massa m e mesmo raio R, descem rolando um plano inclinado, sem deslizar, da mesma altura vertical H. As duas são lançadas horizontalmente ao abandonarem a rampa. A casca esférica atinge o solo a uma distância horizontal L da base da rampa e a esfera maciça atinge o solo a uma distancia horizontal L’ da base da rampa. Determine a razão L’/L. 20. Deve-se projetar um brinquedo tipo montanha-russa. A ideia, como mostra a Figura 20 é que a bolinha de massa m e raio r deve descer rolando um trilho inclinado e percorrer o laço circular de raio R que o trilho forma, sem deslizar. A bolinha parte do repouso de uma altura h acima da mesa sobre a qual está o trilho. Determine a menor altura h, em termos de R e r, para a qual a bolinha permanecerá em contato com o trilho durante todo o percurso. (Não despreze o raio da bolinha nos seus cálculos) Respostas: 02. 60 kg.m 2 . 04. a) 28 kg.m 2 . b) 32 kg.m 2 . 05. a) 1,9 Nm; b) 1,2x10 2 rad/s 2 ; c)6,2x10 2 rad/s. 08. a) 85 mJ, b) 72 rev/min 09. a) 19,6 kN; b) 5,9 kN.m c) 0,27 rad/s d) 1,6 kW 10. 3,1 m/s 2 , T 1 =12 N, T 2 =13 N. 13. a=g/(1+(2M/5m)), b) T = 2mMg/(5m+2M). 15. a) 72 kg; b) 1,4 rad/s 2 ; 0,29 kN; 0,75 kN. 17. 3,1 m/s. 18. a=(2/3)gsen; F at =(1/3)mgsen;  max =tan -1 (3 e )