EJERCICIOS RESUELTOS 65. Cálculo del pago de anualidades.Una amiga suya celebra hoy su cumpleaños número 35 y desea empezar a ahorrar para su jubilación anticipada a los 65 años. Ella desea retirar 110 000 dólares de su cuenta de ahorro en cada aniversario durante 25 años después de su jubilación; el primer retiro será cuando cumpla 66 años. Su amiga quiere invertir su dinero en la unión de crédito local, que ofrece 9% de interés anual. Además, en cada cumpleaños desea hacer pagos anuales iguales a la cuenta establecida en la unión de crédito para su fondo de jubilación. a) Si ella empieza a hacer estos depósitos cuando cumpla 36 años y continúa haciendo depósitos hasta que cumpla 65 (su último depósito será en su aniversario número 65), ¿qué cantidad deberá depositar cada año para poder hacer los retiros de fondos deseados durante su jubilación? b) Suponga que su amiga acaba de heredar una fuerte suma de dinero. En lugar de hacer pagos anuales análogos, ha decidido hacer un solo pago de una suma global en su cumpleaños número 35 para cubrir sus necesidades de jubilación. ¿Qué monto tiene que depositar? c) Suponga que el empleador de su amiga aportará 1 500 dólares a la cuenta cada año como parte del plan de participación en las utilidades de la empresa. Además, su amiga espera una distribución de 50 000 dólares de un fideicomiso familiar en su cumpleaños número 55, que también depositará en la cuenta de jubilación. ¿Qué cantidad deberá depositar anualmente su amiga para estar en condiciones de hacer los retiros deseados durante su jubilación? Solución La solución de este problema requiere tres pasos. Los dos primeros determinan el valor presente de los retiros. El paso final establece los depósitos anuales que tendrán un valor presente igual al de los retiros. El gráfico que representa la situación descrita es: a) Calculamos el valor presente de los 25 años después de su jubilación usando la fórmula de anualidades y empleando la tabla para hallar FIVPA9%,25años: Datos: R = $ 110,000 i = 9% n = 25 años Por tablas: (FIVPA9%,25años) = 9.8226 Reemplazando valores en la fórmula del valor presente de las anualidades: VPA9%,25años = 110,000 x 9.8226 VPA9%,25años = $ 1 080,486.00 Entonces. 1 080. lo cual se calcula como: Datos: 1 1− 1+𝑖 𝑛 VPA9%. hace su primer retiro al cumplir 66 años. la serie de depósitos de 8.n 𝑅 = R(FIVPAi.29 años = $ 88. calculamos el depósito anual que producirá un valor presente de todos los depósitos de 88.815.00 i = 9% n = (65-36) años = 29 años Por tablas: (FIVP9%. b) Calculamos el valor presente de los retiros que hará Mary.00 dólares representan el valor presente en su cumpleaños 65. obtenemos: VP0 = 88.95 c) Suponiendo que Mary hace depósitos en el banco al final de cada uno de los 29 años. Datos: VF65 años = $ 1 080.n) R = ¿? 𝑖 i = 9% n = 29 años Por tablas: (FIVPA9%.815.29años) = 10.95 VPAi.29años) = 0.000 dólares durante los 25 años siguientes a la jubilación de Mary. . cuando cumpla 36 años.815.1983 Reemplazando datos.708. tal como dice el enunciado del problema.90 dólares hechos al final de cada uno de los primeros 29 años e invertidos a una tasa de 9% proporcionarán suficiente dinero para hacer retiros de 110.0822 Reemplazando datos. obtenemos: R = 8.486.Supongamos que mi amiga Mary. teniendo en cuenta la fecha en que comienza a hacer sus depósitos.90 Respuesta: De este modo.708.486.95 dólares. ¿vale la pena comprar la póliza? SOLUCIÓN La línea de tiempo para el valor futuro de un ingreso mixto (flujos de efectivo a fin de año.339.012. Los detalles de la póliza son como sigue: el comprador (digamos el padre) hace los seis pagos siguientes a la compañía de seguros: Primer cumpleaños : $ 800 Segundo cumpleaños : $ 800 Tercer cumpleaños : $ 900 Cuarto cumpleaños : $ 900 Quinto cumpleaños : $1 000 Sexto cumpleaños : $1 000 Después del sexto cumpleaños del hijo no se hacen más pagos.2%..562.1100) + 1000(1) VF1.2032) + 900(2. Sus vacaciones navideñas en un centro de esquí fueron grandiosas. 4.1100) VF1. Si la tasa de interés relevante es de 11% durante los seis primeros años y de 7% todos los años subsiguientes.6= $ 7. pero desafortunadamente se salieron un poco de su presupuesto. Una compañía de seguros está ofreciendo una nueva póliza a sus clientes. De ordinario.29 …….6%.6 = 2.5181) + 900(1. haciendo que: i = 11% y n = 5. Valor futuro y flujos de efectivo múltiples.66.110. compuesto al 11% al término de 6 años) es: VFn = P0 (1 + i) n Este problema se resuelve en dos pasos. ¿Cuándo liquidará el préstamo si efectúa pagos mensuales planeados de 200 dólares con la nueva tarjeta? ¿Qué sucedería si el banco cobrara una comisión de 2% sobre los saldos transferidos? 67.2321) + 1000(1. empleamos la fórmula: VFn = Rn*(FIVFn) …… (1) Donde el factor de interés para cada valor futuro.6851) + 800(1. … 1. Cuando el hijo llegue a los 65 años recibirá 350 000 dólares. (2) . No se ha perdido todo: acaba de recibir una oferta por correo para transferir su saldo de 9 000 dólares de su tarjeta de crédito actual.56 + 2.6= 800(3. se obtiene de tablas. a) La pregunta de partida es: ¿Cuánto acumulará al término de 6 años los flujos de efectivo realizados cada fin de año? Debemos calcular el valor futuro de cada flujo de efectivo compuesto al 11% durante el número adecuado de años: VF1.3676) + 900(1.73 + 2.6 = 800(1.6 = VF1 + VF2 + VF3 + VF4 + VF5 + VF6 …. respectivamente: VF1.(1) Aquí.00 VF1. Cálculo del número de periodos.5997) + 1000(2. éstos son padres de familia o abuelos que compran esta póliza cuando nace el niño. la cual cobra una tasa anual de 18. a una nueva tarjeta de crédito que cobra una tasa de 8. Valores presentes de las anualidades y tasas efectivas. Usted acaba de ganar la lotería. de acuerdo a la tabla correspondiente. cuando su hijo cumple 12 años.5 7.09 Hallamos el valor de i por interpolación: Despejando i. Si la tasa de interés apropiada es una TPA de 9% diariamente capitalizable.08 i 9%=0. en este tramo deberemos emplear la siguiente fórmula: VFn / VP0 = (1 + i) n Datos: VP7 = $ 7.000 = 60.000 𝑖 n=6 Empleamos la fórmula y resulta: FIVF = 60000/8000 = 7.754.59años = 379.5 Ahora.012.3359 7. Un representante de Greenleaf Investments le ofrece comprar todos los pagos en 15 millones de dólares. cada uno con 30 días. 68. Por lo tanto.5233 8%=0. que comprende desde los 7 años hasta los 65 años.88% . El plan requiere que usted haga seis pagos anuales de 8 000 dólares cada uno.59años = (7. vendrá a ser (el valor presente) porque después del sexto cumpleaños del hijo no se hacen más pagos. 69. obtenemos: i = 0. vale la pena comprar la póliza. ¿Qué rendimiento ofrece esta inversión? SOLUCIÓN Datos: 𝑖 𝑛 R0 = 8 000 dólares 𝑆𝑖 𝑅 S = VFA = 80.29 i = 7% n = 59 años Por tablas: (FIVF7%. obtenemos: VF7%. los FIVF para n = 6 más cercanos son: 7. Una agencia de planeación financiera ofrece un programa de ahorro para pagar una carrera universitaria. Sí.1555 Reemplazando datos.000 – 20. este valor calculado.1555) VF7%.012. Estos pagos empezarán dentro de un año a partir de hoy y se pagarán cada seis meses.0888 = 8.59años) = 54. ¿debe aceptar la oferta? Suponga que existen 12 meses en un año.07 Rpta.b) Ahora. hoy recibirá 2 millones de dólares y luego recibirá 40 pagos de 750 000 dólares cada uno.29) (54. hoy el primero de ellos. Cuando cumpla 18 el plan proporcionará 20 000 dólares por año durante cuatro años. para el siguiente tramo. Cálculo de tasas de interés. Anualidades ordinarias y anualidades anticipadas.70. DEMOSTRACIÓN La fórmula se obtiene al plantear la ecuación de valor con fecha focal al principio y trasladando todos los pagos a valor presente a la tasa i (de nuevo. Como se expuso en el texto. una anualidad anticipada es idéntica a una anualidad ordinaria excepto porque los pagos periódicos ocurren al inicio de cada periodo y no al final. i% = (1+i)-1+(1+i)-2+………+(1+i)-n Para simplificar la ecuación anterior. El plan Y es una anualidad a 10 años de 35 000 dólares. Después de 30 días. los intereses acumulados son de $106. no se pierde generalidad si se supone que todos los pagos son de 1$). Su asesor en planeación financiera le ofrece dos distintos planes de inversión. es de: Valor de la anualidad anticipada = Valor de la anualidad ordinaria x (1 + r) Demuestre esto tanto para el valor presente como para el valor futuro. que se calcula a partir de la siguiente ecuación: Donde: VFA2 = 8. . ¿A qué tasa de descuento sería usted indiferente entre estos dos planes? 71. VPAn. se puede seguir un procedimiento similar al realizado para el valor final. Ambos planes harán su primer pago dentro de un año.56 al día. n = 2 años = 740 días b) Sdsd c) 72. SOLUCIÓN a) Lo primero que se establece es la anualidad (R) a partir de los 8 500 cada dos años para siempre. Muestre que la relación entre el valor de una anualidad ordinaria y el valor de una anualidad anticipada. sin embargo el camino mas corto consiste en actualizar el valor final.500 i = 13% diariamente = 13%*1/365 = 0. Flujos de efectivo perpetuos ¿Cuál es el valor de una inversión que paga 8 500 cada dos años para siempre. El plan X es una perpetuidad anual de 20 000 dólares. que por lo demás es equivalente. Punto de equilibrio de los rendimientos sobre inversiones. si el primer pago ocurre dentro de un año a partir de hoy y la tasa de descuento es de 13% diariamente capitalizable? ¿Cuál es el valor de hoy si el primer pago se realiza dentro de cuatro años? Suponga que no hay años bisiestos.0356 Durante el primer mes la cuenta acumulará un interés de $3.8 que se suman a la cuenta de partida. es que el monto de la última anualidad ordinaria es R. Cálculo de la TAE.n(1+i)n …… (3) Si hacemos n = 1 para un periodo. Sin embargo. el interés será de ($100x1. si usted solicita un préstamo de 100 dólares por un mes (cuatro semanas). hoy los fondos netos del préstamo serán de 58. i = r .84 dólares. la tienda le permite liquidar esta suma en abonos de 25 dólares por semana. se obtiene: VFAi.094) . ¿Cuál será la TPA ahora? ¿Y la TAE? c) Este establecimiento de cambio de cheques también hace préstamos con intereses complementarios a un mes con una tasa de interés descontado de 9% semanal. Entonces usted deberá reembolsarle a la tienda 100 dólares al final del mes. del monto de las anualidades anticipadas. Un establecimiento que cambia cheques se dedica también a hacer préstamos personales a los clientes ordinarios. para el valor final de una anualidad: 1 −1 ……. a) ¿Qué TPA deberá informar la tienda a sus clientes? ¿Cuál es la TAE que en realidad pagan los clientes? b) Suponga ahora que la tienda hace préstamos de una semana a una tasa de interés descontado de 9% semanal (vea la pregunta 60).n = VPAr. entonces la ecuación (3) se convierte en: VFAr. La tienda hace únicamente préstamos de una semana a una tasa de interés de 9% semanal.n x (1+r) La relación que existe entre el valor actual de una anualidad anticipada y una ordinaria.n ……… (2) Si dividimos miembro a miembro (1) y (2) obtenemos: 1− 1 1+ Haciendo operaciones y luego simplificando. (1) El Valor presente de una anualidad es: VPAi. Debido a que se trata de interés descontado. Que se expresa de la siguiente manera: Valor de la anualidad anticipada = Valor de la anualidad ordinaria x (1 + r) Lq d 2 73.Luego se tendrá. Por lo tanto. ¿Cuál será la TPA de este préstamo? ¿Cuál será la TAE? SOLUCIÓN a) De acuerdo a la definición. mientras que la última anualidad anticipada se convierte en un monto de: R (1 + i). (1) .. al capitalizar una inversión m veces al año se obtiene una riqueza al final de año de: ……. para ayudarle.100 = $41. El monto de las anualidades ordinarias es igual al valor actual en un periodo. Es decir.16.n = VPAi. si la tasa de interés es de 6%. Esta aproximación es útil para muchas tasas de interés y periodos. Valor presente de una perpetuidad creciente ¿Cuál es la ecuación del valor presente de una perpetuidad creciente con un pago de C después de un periodo a partir de hoy si los pagos crecen C en cada periodo? 75.. es 12 si el tipo es mensual. frecuencia de pagos/cobros de intereses: es 365 si se realiza diariamente. 6 si es bimestral. ¿A qué tasa es exacta la regla del 72? SOLUCIÓN Partimos de la fórmula para hallar el valor futuro de una inversión aplicando el interés compuesto: n VFn / VP0 = (1 + i) Datos: VFn = 2 VP0 = 1 Remplazando en la ecuación: …………. es 24 si es quincenal. 74. Regla del 72. 3 si es cuatrimestral. la regla del 72 establece que se requerirán 72/6 = 12 años para duplicarse. usted simplemente divide 72 entre la tasa de interés para determinar el número de periodos que se requieren para que un valor de hoy se duplique. es 52 si es semanal.Datos: C0 = $ 1 b) Nfdsf c) Sfsdf d) i = 9% 𝑇𝐴𝐸 𝐶 m = 365 𝑖 𝑚 𝑚 Reemplazando valores: (FITAEDiario) ……….) expresado en %. Por ejemplo. La regla del 72 también se puede aplicar para determinar la tasa de interés que se necesita para duplicar el dinero en un periodo específico. La gráfica es: . Esto es aproximadamente igual a la respuesta real de 11. semestral. Una útil herramienta empírica para calcular el tiempo que requiere una inversión para duplicarse con capitalizaciones discretas es la “regla del 72”. (1) ……………. (2) Donde: i.. 2 si es semestral. f.90 años. es el tipo de interés nominal (mensual. 4 si es trimestral. (1) 1 La regla del 72. Para usarla. y 1 si es anual. de acuerdo a la ecuación (1) será exacta a una tasa del 100% pagadero en un año. 3 Un corolario de la regla del 72 es la regla del 69.3 en el caso de intereses continuamente capitalizables. Otras soluciones Cap. VI . 77. Demuestre la regla del 69. La regla del 69. Regla del 69.3 es correcta en forma exacta excepto para redondeos cuando las tasas de interés se capitalizan en forma continua.3.80 70 60 50 40 30 20 10 0 0% 5% 10% 15% 20% 25% 76.