TEOREMI SULLE DERIVATE: TEOREMA DI ROLLE E DI LAGRANGEa cura di Gianfranco Metelli IL TEOREMA DI ROLLE Sia f(x) una funzione definita nell’intervallo chiuso [a,b] che soddisfi le seguenti condizioni: • sia continua nell’intervallo chiuso [a,b]; • sia derivabile nell’intervallo aperto (a,b); • assuma valori uguali negli estremi dell’intervallo, ovvero f(a) = f(b) . Allora esiste almeno un punto c, interno all’intervallo dato, nel quale si annulla la derivata della funzione, ovvero f ' (c ) = 0 con c ∈ (a, b ) . Cominciamo a dare una interpretazione geometrica del teorema: se il grafico di una funzione f(x) è un arco di curva continua, dotata in ogni suo punto interno di tangente non parallelo all’asse y, esiste almeno un punto all’interno dell’arco in cui la tangente è parallela all’asse x. Se le condizioni di continuità e derivabilità sono verificate e risulta che f(a) = f(b) , vediamo che esiste un punto c in cui la retta tangente alla curva è parallela all’asse delle ascisse. Ricordando il significato geometrico, la derivata f ' (c) della funzione y=f(x) calcolata nel punto c rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente la funzione nel punto di ascissa c. Quindi, se ora tale tangente risulta orizzontale, il suo coefficiente angolare risulta nullo, di conseguenza f ' (c ) = 0 . y f(a) = f(b) x a figura 1 c b pag. 1 a figura 2 • Nei tre casi seguenti non esistono punti in cui la retta tangente è parallela all’asse x: l’ipotesi della continuità richiede cha la funzione non presenti salti come. se viene a mancare l’ipotesi che f(a) = f(b) . Infatti. la figura 3a. b - a figura 3a b a figura 3b b a figura 3c b • Occorre tener presente che possono esistere più punti in cui la derivata della funzione si annulla. se sono soddisfatte le ipotesi. il cadere anche di una sola di esse (escludendo il caso in cui la derivata è infinita in qualche punto ma la funzione è continua – si veda di seguito . a c1 figura 4 c2 b pag. l’ipotesi della derivabilità richiede che la derivata sia determinata. per esempio. I punti in cui la derivata si annulla sono detti punti stazionari. non si garantisce l’esistenza della tangente orizzontale (figura 3c). per esempio. si afferma che esiste “almeno” un punto in cui la derivata si annulla). la derivata destra e la derivata sinistra sono diverse. la figura 3b.Osservazioni • Le ipotesi del teorema sono tre. nell’enunciato del teorema. (Infatti. E’ questo il caso della funzione rappresentata in figura 4: la derivata si annulla in c1 e c2. per cui non devono esistere punti angolosi come.) non garantisce più l’esistenza del punto c. Questo non significa che non esiste alcun punto c (la figura a fianco presenta una funzione non continua ma che ha un punto la cui tangente è orizzontale). diciamo che la sua esistenza non è più certa. 2 . in un punto angoloso. pag. in cui la funzione assume valore minimo.b). cioè quello in cui assume valore massimo. distinguiamo il caso in cui m=M da quello in cui m<M. 3 . ad essere interno. per la definizione di massimo. devono allora valere le seguenti disuguaglianze f (c + h) − f (c ) f (c + h) − f (c ) ≤ 0 se h>0 ≥ 0 se h<0 (1) h h L’espressione al primo membro di tali disuguaglianze è il rapporto incrementale della funzione relativo al punto x=c. • Diciamo in conclusione che il teorema di Rolle esprime una condizione sufficiente per l’esistenza di punti a derivata nulla. ovvero m ≤ f ( x) ≤ M . ad essere interno all’intervallo (a. Questo significa che esistono due punti c e d.b] il suo valore massimo M e il suo valore minimo m. questo significa che deve valere zero. Dimostrazione analitica del teorema di Rolle E’ possibile proporre ora una dimostrazione analitica del teorema di Rolle.b). rispettivamente della destra e della sinistra. si ha che la derivata è nulla in qualsiasi punto dell’intervallo considerato. Il teorema di Weierstrass assicura che la funzione assume in [a. essa deve assumere o il valore minimo o il valore massimo in un punto interno all’intervallo [a. quindi anche in un punto c particolare.• Se la funzione considerata è costante. y = k . tali che M=f(c) e m=f(d).b]. Premesso questo. Il teorema risulta quindi dimostrato. poiché per ipotesi la funzione assume valori uguali agli estremi.b]. Poiché per ipotesi la funzione è derivabile in (a.b] è compreso tra questi due valori. ∀x ∈ [a. Inoltre. Il teorema è quindi dimostrato. ogni altro valore assunto dalla funzione al variare di x in [a. b] . appartenenti ad [a. Se m<M. Allora. Supponiamo che sia il punto c. Se invece è il punto d. esistono finiti ed uguali i limiti dei rapporti incrementali per h → 0 ed è f (c + h) − f (c ) f (c + h) − f (c ) lim = lim− = f ' (c ) + h→0 h →0 h h Le relazioni (1) affermano che la derivata nel punto c è contemporaneamente positiva o nulla e negativa o nulla. si procede con un analogo ragionamento giungendo alle stesse conclusioni. ovvero f ' (c) = 0 . Secondo caso. deve essere vero che f (c + h) ≤ f (c ) . Se m=M la funzione è costante in tutto l’intervallo e ha quindi derivata nulla in tutti i suoi punti. Primo caso. ovvero esista un punto x0 in cui lim f ' ( x) = +∞ .Altra osservazione: Può accadere che la funzione abbia in qualche punto interno ad (a. Il teorema può essere esteso anche a questo caso: vale a x → x0 dire che. pag. 4 .b) una derivata infinita. se la funzione è continua. l’esistenza del punto c è comunque certa. f (a) ) e B(b. xB − x A b−a Immaginando di tracciare il fascio di rette parallele a tale secante. b ) .b] e derivabile internamente ad esso. • f (b) − f (a) rappresenta il rapporto incrementale della funzione nel passaggio b−a dal punto a al punto b. Se le condizioni richieste sono soddisfatte. Ricordando poi che la derivata f ' (c) rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente (in questo caso proprio t) la funzione nel suo punto di ascissa c. f (b) ) . dalla (2) si ottiene che f ' (c) = 0 . Osservando la figura 5. Il coefficiente angolare della retta s secante passante per A e B si determina con m AB = yB − y A f (b) − f (a ) = . ne segue la (2). allora esiste almeno un punto c. y t B s A x a c figura 5 b Osservazioni • Il teorema di Rolle può essere visto come un caso particolare del teorema di Lagrange: infatti. esse avranno lo stesso coefficiente angolare. troviamo evidentemente anche la retta t tangente al grafico di f(x) nel punto di ascissa c. (2) b−a Anche di questo teorema diamo inizialmente una interpretazione geometrica. Dato che t ed s sono parallele. il teorema allora ribadisce che tale rapporto incrementale è uguale alla derivata della funzione in un punto c intermedio. i punti A e B del grafico hanno coordinate A(a. tale che f (b) − f (a) = f ' (c ) con c ∈ (a. 5 . L’espressione pag. interno all’intervallo dato. se in quest’ultimo si suppone che f(a)=f(b).IL TEOREMA DI LAGRANGE (o teorema del valor medio) Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo chiuso [a. esiste almeno un punto c interno all’intervallo in cui la retta tangente è parallela alla secante passante per i punti A e B: esse infatti hanno lo stesso coefficiente angolare. come mostra la figura 6. Indicati con A(a. nel caso di figura 7c. Infine. x a c1 c2 figura 6 • Le figure 7a e 7b riportano i grafici di funzioni che non soddisfano il teorema di Lagrange. f (b) ) i punti della curva in corrispondenza degli estremi dell’intervallo [a. ⎣ b−a ⎦ Vediamo cosa rappresenta tale funzione.b] ad eccezione di un suo punto interno c. la non applicabilità del teorema di Lagrange è dovuta al fatto che la funzione è definita su tutto l’intervallo [a. anche Lagrange enuncia che esiste “almeno” un punto c che verifica il teorema. il f (b) − f (a) rapporto è il coefficiente angolare della b−a retta AB e quindi la parte racchiusa in parentesi quadra rappresenta l’ordinata del punto di tale corda che ha ascissa x (figura 8): infatti il termine f (b) − f (a) ( x − a) rappresenta la misura del segmento b−a PQ.• Come per il teorema di Rolle. Consideriamo la funzione ausiliaria ⎡ f (b) − f (a) ⎤ g ( x) = f ( x) − ⎢ ( x − a) + f (a)⎥ . 6 . Ciò vuol dire che possono esistere più punti in cui la retta tangente è parallela alla corda AB. c3 b B A A B A B a c figura 7a b a c b figura 7b a c figura 7c b Dimostrazione analitica del teorema di Lagrange Vediamo anche per il teorema di Lagrange una dimostrazione analitica. perché il punto c presenta un punto angoloso o una cuspide (e quindi non derivabile in c).b]. f (a ) ) e B(b. B Q A P a x figura 8 b x pag. considerato un punto x0 . Per questo motivo il teorema viene anche detto dell’incremento finito. dove λ è un numero reale 0 < λ < 1 . ovvero il teorema è dimostrato. . f (b) − f (a ) Calcoliamo la derivata di g: g ' ( x) = f ' ( x) − b−a f (b) − f (a ) =0. La f (b) − f (a) = f ' (c) può essere allora scritta nella forma relazione del teorema di Lagrange b−a f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) = h ⋅ f ' ( x 0 + λh) o anche f ( x 0 + h) = f ( x 0 ) + h ⋅ f ' ( x 0 + λ h) Quest’ultima relazione consente di dare un diverso enunciato del teorema: fatte salve le ipotesi sulla funzione f(x). b) . 7 . Infatti . g(x) indica allora la differenza fra l’ordinata di un punto della funzione (cioè f(x)) e l’ordinata del corrispondente punto sulla corda (ovvero la parte in parentesi quadra). Osserviamo che la funzione g(x) soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle.b) almeno un punto c in cui g ' (c) = 0 . b−a Altra osservazione: Se poniamo x0 al posto di a e x0+h al posto di b.In ogni punto x ∈ (a. il punto c.b] e derivabili in (a. anche essa è continua e derivabile in tali intervalli.essendo la differenza di due funzioni continue in [a. Allora g ' (c) = f ' (c) − b−a f (b) − f (a ) da cui si ricava che f ' (c) = . il valore di f in un punto x0+h è uguale alla somma del valore di f(x0 ) nel punto iniziale x0 con il prodotto dell’incremento h per la derivata di f in un punto intermedio. pag.assume valori uguali agli estremi ⎡ f (b) − f (a ) ⎤ g (a) = f (a) − ⎢ (a − a ) + f (a )⎥ = 0 ⎣ b−a ⎦ ( ) ( ) f b − f a ⎡ ⎤ (b − a ) + f (a )⎥ = 0 g (b) = f (b) − ⎢ ⎣ b−a ⎦ Esiste allora in (a.b). dovendo trovarsi all’interno dell’intervallo [x0 . x0+h] avrà espressione x0 + λh . b). come si può vedere immediatamente.b).b] e derivabile in (a. ovvero f ' (c ) = 0 .b). Questa proposizione si può invertire dando luogo al seguente teorema: C1. Dal triangolo ABC risulta (per costruzione ˆ B ): trigonometrica con α = CA CB f (b) − f (a ) .ALTRA DIMOSTRAZIONE DEI TEOREMI DI LAGRANGE E ROLLE Sia AB un arco di curva continua e dotata in ogni suo punto interno di tangente. b) . t Vediamo quale relazione implica questa proprietà. 8 .x2]. Inoltre la funzione f(x) sia continua in tutto [a. allora.b). si deduce che f ' (c) = 0 . Sappiamo che. Ne segue che f ( x 2 ) − f ( x1 ) = 0 . esiste almeno un punto interno all’arco nel quale la tangente è parallela alla corda che congiunge i punti estremi dell’arco (figura 9). Se si aggiunge l’ulteriore ipotesi che f(a)=f(b). per il teorema di Lagrange applicato all’intervallo [x1. x 2 − x1 Ma per ipotesi la derivata di f(x) è nulla in ogni punto di (a. essa è costante. = AC b−a D’altra parte se c è l’ascissa del punto P della curva nel quale è parallela la corda AB. Se una funzione continua ha derivata nulla in tutti i punti di un intervallo (a. quindi anche in c. Infatti. se f(x) è costante nell’intervallo [a. ovvero il teorema di Rolle. Sia y=f(x) l’equazione della curva di cui s consideriamo l’arco AB e siano a e b le ascisse P B rispettivamente di A e B. b−a Questo risultato è il teorema di Lagrange. pag. in tutto l’intervallo la derivata è nulla. CONSEGUENZE DEL TEOREMA DI LAGRANGE Una prima conseguenza del teorema di Lagrange è la seguente. esiste almeno un punto c all’interno per il quale f ( x 2 ) − f ( x1 ) = f ' (c ) . ossia f ( x 2 ) = f ( x1 ) ∀x ∈ (a. per il significato geometrico della derivata si ha tgα = tgα = f ' (c) da cui A C a c figura 9 b x f (b) − f (a ) = f ' (c ) . se x1 e x2 sono due punti qualsiasi dell’intervallo (a.b]. le tangenti alle due curve di equazioni y=f(x) e y=g(x) sono parallele in ogni punto di ascissa x.b] che. hanno la stessa derivata in ogni punto di (a. posto h( x) = f ( x) − g ( x) . Infatti. si ha h' ( x) = 0 . In questo caso le due funzioni non differiscono per una costante e questo dipende dal fatto che g(x) è discontinua e quindi non derivabile. ovvero h(x) = k.C2. la derivata di h(x) risulta h' ( x) = f ' ( x) − g ' ( x) . Essendo poi f ' ( x) = g ' ( x) in tutti i punti x dell’intervallo.b). pur avendo derivata nulla in tutto I. Osserviamo anche che. per x=c.b). 9 . b) . g(x) f(x) 0 1 2 figura 11a 3 0 a c figura 11b b pag. b) . In base alla conseguenza C1.b).b] e che siano derivabili in (a. Se due funzioni continue f(x) e g(x) derivabili in un intervallo (a. Nella seconda sono illustrati i grafici di due funzioni f(x) e g(x) definite in un intervallo [a.3] che. hanno derivata uguale in tutti i punti dell’intervallo. Per rendersene conto osserviamo le figure 11a e 11b.1] U [2. ad eccezione di un punto c. esse differiscono di una costante. Da qui si ottiene che f ( x) − g ( x) = k ∀x ∈ (a. non è qui costante. Nella prima è riportato il grafico di una funzione definita nell’insieme I = [0. y = f(x) y = g(x) a x figura 10 b Osservazione: Per la validità delle due precedenti conseguenze è essenziale che le funzioni di cui si parla siano definite in un intervallo [a. questo significa che la funzione h(x) è uguale ad una costante k in tutto l’intervallo. essendo f ' ( x) = g ' ( x) in ogni punto x ∈ (a. Il teorema di Lagrange offre un aiuto.b). anche f ' (c) < 0 . se f ' ( x) > 0 in ogni punto di (a. il segno del secondo membro dell’ultima relazione dipende da f ' (c) .b]. ovvero f ( x 2 ) < f ( x1 ) . La funzione è quindi decrescente in senso stretto in [a. il primo membro deve avere lo stesso segno del secondo. x 2 ) tale che f ( x 2 ) − f ( x1 ) = f ' (c ) ovvero f ( x 2 ) − f ( x1 ) = f ' (c) ⋅ ( x 2 − x1 ) x 2 − x1 Avendo supposto che x2>x1 . essendo y ' = 3 x 2 . ma nell’origine la sua derivata non è positiva. la funzione y = x 3 (il grafico è nella figura a fianco) è strettamente crescente in tutto R. possiamo applicare il teorema di Lagrange e dire che esiste un punto c ∈ ( x1 . allora f ( x 2 ) − f ( x1 ) > 0 . è quindi facile in questo caso rispondere a domande che tendono a stabilire se una funzione cresce o decresce. decresce per un certo tratto e riprende a crescere da un certo punto in poi. ma non delle condizioni necessarie.E’ possibile arrivare anche a conseguenze che riguardano la monotonia della funzione. Consideriamo due punti qualsiasi dell’intervallo [a. Osservando il grafico di una funzione come quella in figura 12. anche f ' (c) > 0 . allora f ( x 2 ) − f ( x1 ) < 0 . Per le ipotesi fatte di derivabilità. affinché sussista l’uguaglianza. Questa conseguenza offre delle condizioni sufficienti per stabilire quando una funzione cresce o decresce. infatti. b) .b). Ad esempio. Il problema è cercare di dare una risposta alle stesse domande quando non si conosce il grafico della funzione e il dato di partenza è la sua espressione analitica.b] non implica necessariamente che la derivata si mantenga sempre positiva o sempre negativa. pag. ovvero f ( x 2 ) > f ( x1 ) .se si suppone che f ' ( x) > 0 ∀x ∈ (a. La funzione è quindi crescente in senso stretto in [a.b].b]. 10 . in tale punto la derivata è nulla.b] di ascisse x1 e x2 e supponiamo che sia x1<x2. . figura 12 C3. Questo significa che: .se viceversa si suppone che f ' ( x) < 0 ∀x ∈ (a. Sia f(x) una funzione continua in un intervallo [a. b) . allora la funzione è strettamente decrescente in [a. Vale a dire che il fatto che una funzione sia crescente o decrescente in un intervallo [a. se f ' ( x) < 0 in ogni punto di (a. diciamo che essa cresce fino ad un certo punto.b] e derivabile al suo interno.b]. allora la funzione è strettamente crescente in [a. 0]. Il punto x=3 è infatti un punto angoloso. La derivata della funzione è f ' ( x) = 3x 2 − 3 . pag. Il teorema non è applicabile. Tuttavia non è continua in x = 3. interno all’intervallo dato [-1.0]. Esercizio 5 Data la funzione y = x 3 − 3x + a .1]. Per determinare c risolviamo l’equazione f ' ( x) = 0.ESERCIZI CON IL TEOREMA DI ROLLE Esercizio 1 Verificare il teorema di Rolle per la funzione y = x + x 2 nell’intervallo [-1. Nell’intervallo indicato la funzione risulta continua e derivabile. c=− 2 Esercizio 2 Verificare il teorema di Rolle per la funzione y = x − 3 nell’intervallo [-1.1] la funzione non è definita (quindi non è continua né derivabile).1]. mostrare mediante Rolle che essa non può avere più di una radice nell’intervallo [-1. Infatti 1 se h>0 3+ h −3 − 3−3 h lim = lim = h →0 h →0 h h -1 se h<0 Esercizio 3 1− x2 nell’intervallo [-1. Quindi è possibile applicare il teorema di Rolle. 11 . L’esistenza del punto stazionario c nell’intervallo indicato non è garantita.4] e agli estremi di questo assume valori uguali. Verificare il teorema di Rolle per la funzione y = x2 Non è applicabile il teorema di Rolle in quanto nel punto x=0 interno a [-1. in quanto la funzione non è derivabile per x=3. inoltre f(-1) = f(0) = 0.7]. qualunque sia il valore di a.7]. Esercizio 4 ⎧ ⎪ x Verificare il teorema di Rolle per la funzione y = ⎨ ⎪ −x + 5 ⎩ per 1 ≤ x ≤ 3 per 3 < x ≤ 4 La funzione è definita nell’intervallo [1. 1 f ' ( x) = 1 + 2 x da cui interno a [-1. ∀x ∈ R . Alla funzione f(x) sarebbe allora applicabile il teorema di Rolle relativamente all’intervallo [x1 .2) nel quale risulta che f ' (c) = 0 . c=± 7 . 12 . come somma e prodotto di funzioni continue e derivabili in I.allora f ' ( x) = 0 per x = ±1 . che assicura l’esistenza di almeno un punto c ∈ (1. ciò è in contrasto con le osservazioni fatte in precedenza sull’annullamento della derivata prima.2] e tale che g(2) = 1. che la funzione data abbia due radici distinte x1 e x2 con − 1 ≤ x1 < x 2 ≤ 1 . Mostrare. Esiste allora almeno un punto c ∈ (−1. E’ quindi applicabile il teorema di Rolle. Calcolando i valori della funzione f(x) agli estremi dell’intervallo I risulta: π⎞ ⎛ f (1) = ( g (1) − sin π ) log 1 = 0 f (2) = ⎜1 − sin ⎟ log 2 = 0 2⎠ ⎝ La funzione f(x). (3) 3 − (−1) Ora f(3) = 30 . per assurdo. Si esclude che la funzione. f(-1) = -6 3c 2 + 2 = e 30 + 6 . non può avere più di una radice nell’intervallo [-1. Esercizio 6 Sia g(x) una funzione derivabile in tutto l’intervallo I = [1. si ottiene che c = + ∈ (−1. x2]. ovvero la derivata non si annulla mai nei punti interni all’intervallo [-1. quindi continua. 4 f ' ( x) = 3x 2 + 2 . che la derivata della funzione π⎞ ⎛ f ( x) = ⎜ g ( x) − sin ⎟ log x x⎠ ⎝ si annulla in almeno un punto interno a I.3) .3) . perciò anche nell’intervallo richiesto. senza eseguire la derivazione e facendo ricorso al teorema di Rolle. 3 3 pag. Verifichiamo prima le condizioni che costituiscono le ipotesi del teorema: la funzione è derivabile.1]. per qualsiasi a.3].3) che verifica la relazione f (3) − f (−1) f ' (c ) = . è funzione continua e derivabile in I. Supponiamo ora. x2] e derivabile in (x1 . Risulterebbe che f(x1) = f( x2) = 0 con f(x) continua in [x1 . Dovrebbe pertanto esistere almeno un punto c con − 1 ≤ x1 < c < x 2 ≤ 1 tale che f ' (c) = 0 . risolvendo da cui f ' (c) = 3c 2 + 2 . ESERCIZI CON IL TEOREMA DI LAGRANGE Esercizio 7 Applicare il teorema di Lagrange alla funzione y = x 3 + 2 x − 3 nell’intervallo [-1. 3 La (3) diventa Trascurando il valore c = − 7 7 ∉ (−1. x2) .1]. Esercizio 9 Verificare il teorema di Lagrange per la funzione y = 3 − x2 nell’intervallo [1. che ∀x . (5) Il teorema di Lagrange. non è derivabile. da cui accettiamo solo la soluzione c = 2 + 3 ∈ (3. in accordo con l’interpretazione geometrica del teorema di Lagrange: − 2 = f ' (c) = 2 − 2c . m AB = Esercizio 11 Dimostrare. 1 nell’intervallo [-1. sapendo che la tangente alla curva in tale punto è parallela alla corda AB.5]. Se l’intervallo fosse [3. interno a [1.-3). pur essendo continua. 13 .5) . f (3) = 3−9 = −6 3− 2 f (5) = 3 − 25 22 =− 5−2 3 f ' (c ) = f (5) − f (3) 2 =K= − 5−3 3 − c 2 + 4c − 3 La derivata risulta f ' ( x) = 2 − x 2 + 4x − 3 (x − 2) 2 . quindi. Se x>0 .3]: infatti a tale intervallo appartiene il punto x=0.1) e B(3. applicando il teorema di Lagrange alla funzione y = e x . ex ≥ 1+ x (4) f ( x) − f (0) = x ⋅ f ' (c) . di ascissa c.x]. Esercizio 10 Trovare le coordinate del punto M. pag. ponendo f ' (c) = (c − 2) 2 =− 2 3 si giunge all’equazione c − 4c + 1 = 0 che ha come soluzioni c = 2 ± 3 . quindi è possibile determinare il punto c.Esercizio 8 Il teorema di Lagrange non è applicabile alla funzione y = punto x=0 la funzione non è continua. applicata alla funzione assegnata. offre la relazione che. da cui c = 2 .1]: infatti nel x Il teorema di Lagrange non è applicabile neppure alla funzione y = x nell’intervallo [–2. la funzione è qui continua e derivabile. e che A(1. posto sull’arco AB della curva di equazione y = 2 x − x 2 . x−2 Dato che la funzione non è derivabile in x=2. in cui la funzione.3]. deve risultare. risulta 0 < c < x e quindi successivamente: ec > e0 = 1 ⇒ xe c > x ⇒ 1 + xe c > 1 + x . diventa e x = 1 + xe c . applicato nell’intervallo [0. 3 −1 xB − x A Nel punto richiesto. Il coefficiente angolare della retta AB è yB − y A − 3 − 1 = = −2 . il teorema non è applicabile.3]. risulta x < c < 0 e quindi ec < e0 = 1 ⇒ xe c > x ⇒ 1 + xe c > 1 + x . e x = 1 + xe c > 1 + x . 6 pag.2) . Se invece x<0 .2] sia applicabile il teorema di Lagrange. per 1 ≤ x < 2 . che verifica la (4). x 2 − ax + a è continua. e x = 1 + xe c > 1 + x .2). E’ immediato verificare che è continua in I: infatti x 3 è continua in [0.1] .2) se vale se si ha cioè 3= 2−a per 0 < x < 1 per 1 < x < 2 x →1 lim 3x 2 = lim (2 x − a) − + x →1 ⇒ a = −1 .2] e inoltre. dalla (5). in [1.2] e derivabile in (0. Esercizio 12 Data la funzione ⎧ 3 ⎪x f ( x) = ⎨ ⎪ x 2 − ax + a ⎩ per 0 ≤ x ≤ 1 per 1 < x ≤ 2 si determini il valore di a in modo che nell’intervallo I=[0. 4 2 f (2) − f (0) 5 = 2 2 5 ∈ (0. Se infine x=0 . si ottiene ⎧3x 2 ⎪ f ' ( x) = ⎨ ⎪2 x − a ⎩ e quindi. f ' ( x) risulta definita in tutto (0.2) risulta allora la seguente: ⎧x 3 ⎪ f ( x) = ⎨ ⎪x 2 + x − 1 ⎩ per 0 ≤ x ≤ 1 per 1 ≤ x ≤ 2 con ⎧3x 2 ⎪ f ' ( x) = ⎨ ⎪2 x + 1 ⎩ per 0 < x ≤ 1 per 1 ≤ x < 2 Il teorema di Lagrange afferma l’esistenza di almeno un punto c tale che f ' (c) = Ora. per 0 < x ≤ 1 .1].quindi. in x=1 si ha: x →1− lim f ( x) = lim x 3 = 1 = f (1) − x →1 x →1+ lim f ( x) = lim ( x 2 − ax + a) = 1 + x →1 Quanto alla derivata. da cui c = ∉ [1. si ricerchino poi i punti c che lo soddisfano. risulta Invece. risulta 3c 2 = 5 5 . da cui c = ± 2 6 3 5 2c + 1 = . 14 . Affinché alla funzione sia applicabile Lagrange in I. ∀a . e ancora dalla (5). f(x) deve risultare continua in [0. La funzione continua in I e derivabile in (0. che verifica la (4). la (4) è evidentemente verificata con il segno di uguaglianza. e si considera solo c = + 6 Il punto c del teorema di Lagrange risulta allora unico del valore c = 5 .