Robot Puma

Cinemática del Brazo articulado PUMAJosé Cortés Parejo. Enero 2008 1. Estructura del brazo robótico El robot PUMA de la serie 500 es un brazo articulado con 6 articulaciones rotatorias que le proporcionan 6 grados de libertad y le permiten posicionar y orientar su herramienta final. De manera más específica, las 3 primeras articulaciones (sistema Hombro-Codo-Muñeca) posicionan en el espacio el grupo formado por las 3 últimas, que son las que orientan el efector. La estructura de articulaciones-elementos, queda esbozada en las siguientes figuras, en las que se muestra una imagen simétrica del robot y en la de la derecha las dimensiones no están a escala para facilitar su comprensión: La cinemática del brazo articulado la formularemos siguiendo la representación de Denavit-Hartenberg, cuya descripción comprende 2 apartados: asignación de Sistemas de Referencia y relación de parámetros asociados a elementos y articulaciones. 2. Representación Denavit-Hartenberg La cinemática de una cadena articulada se basa en asociar a cada par articulación–brazo un Sistema de Referencia Local con origen en un punto Qi y ejes ortonormales { X i , Yi , Z i } , comenzando con un primer sistema de referencia fijo e inmóvil representado por los ejes { X 0 , Y0 , Z 0 } , anclado a un punto fijo Q0 de la Base sobre la que está montada toda la estructura de la cadena. Este Sistema de Referencia no tiene por qué ser el Universal con origen en (0, 0, 0) y ejes { X U , YU , ZU } asociados a la Base canónica. siendo el sentido positivo el que va desde el Eje Z i − 1 al Z i si ai > 0 . de forma que el eje de giro de la 1ª articulación es Z 0 y el de la 6ª articulación. es uno de los parámetros asociados a la articulación i -ésima. 2. . La especificación de cada Eje X i depende de la relación espacial entre Z i y Z i − 1 . distinguiéndose 2 casos: 1. el Eje X i es esta recta. cuya intersección con los ejes proporciona su mínima distancia (que puede ser nula).ambos. la distancia perpendicular entre los ejes Z i − 1 y Z i . En este caso. El parámetro ai es. A la articulación i -ésima se le asocia su propio eje de rotación como Eje Z i − 1 . Z i } sea dextrógiro. el Eje Yi por su parte. se escoge para que el sistema { X i . Yi . como antes.Z i y Z i − 1 no son paralelos Entonces existe una única recta perpendicular a ambos.Z i y Z i − 1 son paralelos En esta situación el Eje X i se toma en el plano conteniendo a Z i − 1 y Z i y perpendicular a.Las articulaciones se numeran desde 1 hasta n ( n = 6 en nuestro caso). Para la articulación i -ésima (que es la que gira alrededor de Z i − 1 ). Z 5 . y d i es la distancia desde Qi − 1 . El origen de coordenadas Qi es la intersección de dicha recta con el Eje Z i . Por otra parte. El origen Qi es cualquier punto conveniente del eje Z i . representada por ai y medida desde el eje Z i − 1 hacia el eje Z i (con su signo). la distancia d i desde Qi − 1 a la intersección de la perpendicular común entre Z i − 1 y Z i con Z i − 1 es el 2º de los parámetros asociados a la articulación i -ésima. Esta distancia. la elección del origen de coordenadas Qi y del Eje X i sigue reglas muy precisas en función de la geometría de los brazos articulados. (giro de Z 0 sobre Z1 alrededor de X 1 ) es negativo al haber elegido X 1 con sentido opuesto al de Z 0 ⊗ Z1 . todos ellos anclados y fijos a la Base. Precisamente el ángulo θ i de giro que forman los ejes X i − 1 y X i con respecto al eje Z i − 1 es el 4º parámetro asociado a la articulación i y el único de ellos que varía cuando el brazo i gira. Por tanto. Veamos cómo se realiza la asignación de ejes: 1.R. θ 1 es el ángulo de giro entre X 0 y X 1 . . d i y α i permanecen constantes. Finalmente. el eje X 1 tiene la dirección de Z 0 ⊗ Z1 .A la articulación i -ésima se le asocia un 3er parámetro fijo α i que es el ángulo que forman los ejes Z i − 1 y Z i en relación al eje X i .La 1ª articulación. para que se alinee de forma paralela con el Brazo 2 (en Azul) cuando éste está horizontal. dibujada en Rojo junto con el brazo que acciona al rotar. tiene asociado el S. α i y θ i determina totalmente el Sistema de Referencia de la articulación i + 1 en función del S. Por tanto. El origen del S. d i y α i pueden calcularse a partir de cualquier configuración de la estructura articulada. ai . en particular a partir de una configuración inicial estándar o de reposo. de la Base { X 0 . Q1 coincide con Q0 .R de la articulación i . Y0 . Por convenio se le ha puesto de sentido contrario. 3. Z 0 } junto con su origen Q0 . Nótese que cuando el brazo i -ésimo (que une rígidamente las articulaciones i e i + 1 ) gira en torno al eje Z i − 1 (que es el de rotación de la articulación i ).R. Los parámetros constantes de la 1ª articulación son: a1 = 0 El ángulo α 1 d1 = 0 α 1 = − 90º . Los ejes Z 0 y Z1 son coplanarios e intersectan en el punto Q0 . d i . es la intersección de la recta perpendicular común a Z 0 y Z1 que da su mínima distancia (que es nula) con el eje Z1 . que son invariables. Por tanto. Sistemas de Referencia en el PUMA En la siguiente Figura aparecen representadas las 6 articulaciones del robot junto con sus brazos asociados. Es importante observar que el conjunto de los 4 parámetros ai . pues dependen exclusivamente de las posiciones/orientaciones relativas entre los ejes Z i − 1 y Z i . los parámetros ai . que han sido rotados ligeramente para visualizar mejor los ejes de cada Sistema de Referencia. alrededor de cuyo eje Z1 rota.8 mm el parámetro α 2 d 2 = 149. El origen Q2 se elige en estos casos como cualquier punto sobre el eje Z 2 . En el caso del Robot PUMA estas magnitudes son: a2 = 431.La 2ª articulación. α 3 . { X 3 . tiene asociado el recién definido Sistema de Referencia { X 1 . por lo que el eje X 2 es perpendicular a ambos y coplanario con Z1 y Z 2 . y θ 3 definimos previamente el 4º S. El origen de coordenadas Q3 es.La 3ª articulación. Para determinar sus parámetros a3 .09 mm y por otra parte. .R. { X 2 . = 0º (ángulo entre Z1 y Z 2 ). desde Q1 hasta la perpendicular común que contiene al eje X 2 .32 mm ). Y1 . tiene asociado el S. d 3 . Ahora los ejes Z1 y Z 2 son paralelos. Y3 . Como ya se desribió en general. d 3 es la distancia desde Q2 a la intersección entre Z 2 y X 3 y por tanto d 3 = 0 . Q2 y gira alrededor de Z 2 . Z 3 } . Y2 . Q3 . medida sobre el eje Z1 . mientras que el ángulo desde Z 2 a Z 3 alrededor de X 3 es α 3 = + 90º . la intersección entre X 3 y Z 3 . medida desde Z 2 a Z 3 en el sentido de X 3 . con lo cual a3 < 0 (para el PUMA es a3 = − 20. a2 es la distancia perpendicular entre Z1 y Z 2 mientras que d 2 es la distancia. Z 2 } . Los ejes Z 2 y Z 3 se cruzan en el espacio (no son coplanarios). Por su parte.R. dibujada en Verde. 3. dibujada en Azul con el brazo que acciona al rotar. Z1 } .2. habiéndolo situado en el extremo del 2º brazo. por lo que el eje X 3 es la recta + perpendicular a ambos que da la mínima distancia a3 . gira alrededor de Z 5 y es la última del brazo articulado.La 5ª articulación.4. siendo este punto de corte el origen Q4 . con lo cual se tiene d 5 = 0 . dibujada en Cyan. que coincide con Q4 . 6. El parámetro d 4 es la distancia a lo largo de Z 3 desde Q3 a la intersección de Z 3 y Z 4 . El eje X 5 es perpendicular a Z 4 y Z 5 y a5 = 0 .07 mm y finalmente. siendo este punto de corte el origen Q5 . gira alrededor de Z 4 . El ángulo que forman Z 4 y Z 5 respecto a X 5 es α 5 = 90º . y por tanto más ejes de giro. En el caso del PUMA es d 4 = 433. dibujada en Gris.La 4ª articulación. Nótese que la longitud del brazo 4 (representado por un pequeño bloque amarillo) no es un parámetro.La 6ª articulación. gira alrededor de Z 3 . El parámetro d 5 es la distancia a lo largo de Z 4 desde Q4 a la intersección de Z 4 y Z 5 . el ángulo que forman Z 3 y Z 4 respecto a X 4 es α 4 = − 90º . se define un Sistema de Referencia. 5. Los ejes Z 3 y Z 4 se cortan. ligado al último brazo en el que el eje Z 6 coincide con Z 5 mientras que X 6 es cualquier vector . Los ejes Z 4 y Z 5 se cortan. dibujada en Amarillo. Dado que no existen más articulaciones. El eje X 4 es entonces perpendicular a Z 3 y Z 4 y naturalmente a4 = 0 . . De estos 4 parámetros. que tiene origen en Qi y Base { X i . generalmente en el extremo del brazo 5.25 mm . al primero viene dado por: { X i − 1 . . v3 ] } con Bases ortonormales asociadas. que para el robot PUMA es d 6 = 56. mientras que el 4º parámetro θ i es la única variable de la articulación i .  X i . los 3 primeros son constantes y dependen exclusivamente de la relación geométrica entre las articulaciones i e i + 1 . Z i − 1  } y R2 = { Qi . el cambio de coordenadas del segundo S. β 2 . los Sistemas de Referencia son R1 = { Qi − 1 . Finalmente.R asociado a la ( i + 1) -ésima articulación. R es la matriz del Cambio de Base tal que  v1 | v2 | v3  =  u1 | u2 | u3  ⋅ R y λ 1 . v2 . α 6 = 0 . u3 ] } y R 2 = { Q2 .Yi . α 2 . Transformación de coordenadas Ya se ha comentado que los 4 parámetros ai . cuyo S. El origen Q6 se sitúa en posición arbitraria. d i . Q2     respecto al primero. α tiene por origen el punto Qi − 1 y Base S. Z i } . λ 3 son las coordenadas del origen del segundo S.Yi − 1 . 4. [v1 .α 3 del punto en cuestión con respecto al primero de los S. para pasar de la ( i + 1) -ésima articulación a la i -ésima. Z i − 1 } i y θ i asociados a la i -ésima articulación.R.perpendicular. que es donde se ancla la herramienta del manipulador. La expresión permite entonces obtener las coordenadas α 1 . u2 . determinan unívocamente la transformación en el α  α α  donde 1  β 1  λ 1      2 = R⋅  β 2  +  λ 2    β 3 λ 3 3     β 1 . Sabemos que dados 2 Sistemas de Referencia R 1 = { Q1 . En este caso se tiene a6 = 0 y d 6 es la distancia desde Q5 a Q6 . λ 2 .R R 2 . Estudiaremos por separado la matriz del Cambio de Base y la expresión de Qi en en el primer S. siendo el ángulo de giro del eje X i − 1 alrededor del eje Z i − 1 para llevarlo hasta X i . Yi − 1 .R. En nuestro caso. [u1 .R. Yi .R. Zi  } .  X i − 1 .R. β 3 son las coordenadas de un punto en el S. Por su parte.1 Matriz del Cambio de Base Habiendo asignado los ejes a cada articulación mediante la representación Denavit-Hartenberg. el origen del 2º Sistema de Referencia se obtiene mediante: 1. • La primera transformación es una rotación alrededor del 3er vector de la 1ª Base.El eje Z i se obtiene rotando el eje Z i − 1 alrededor del eje X i un ángulo α i .Traslación de Qi − 1 a lo largo del eje Z i − 1 por la magnitud d i . el eje Yi viene ya determinado por X i y Z i . 2.Traslación a lo largo del eje X i por la magnitud ai .2 Coordenadas de Qi en el primer S. concatenándolas:  u1 | u2 | u3    =  u1 | u2 | u3  R3 (θ i ) R1 (α i ) =  X i − 1 | Yi − 1 | Z i − 1  R3 (θ i ) R1 (α i ) Finalmente. Según la representación de Denavit-Hartenberg. tenemos que: 1. cambiamos la notación para tener:  X i | Yi | Z i    Con lo cual. • • (1) La primera transformación es: Qi − 1 = Qi − 1 + d i Z i − 1 (1) La segunda transformación es: Qi = Qi − 1 + ai X i .4. y tiene por expresión: (2) (2) (2) (1) (1) (1)  u1 | u2 | u3  =  u1 | u2 | u3  R1 (α i )     (2) (2) (2) Por tanto. la matriz del Cambio de Base es:  cos θ i R = R3 (θ i ) R1 (α i ) =  senθ i  0  − senθ i cos θ i 0 0 0  1  0 1  ⋅  0 cos α  0 senα  i i 0   − senα i  cos α i    cos θ i  R =  senθ i  0  − senθ i cos α i cos θ i cos α i senα i senθ i senα i   − cos θ i senα i   cos α i  4.R. 2.El eje X i se obtiene rotando el eje X i − 1 alrededor del eje Z i − 1 un ángulo θ i . cuyas ecuaciones genéricas son: (1) (1) (1)  u1 | u2 | u3  =  u1 | u2 | u3  R3 (θ i )     • La segunda transformación es una rotación alrededor del 1er vector de la Base ya transformada. la transformación de coordenadas del S. En coordenadas homogéneas:  xi − 1   cos θ i  y   senθ i  i− 1  =   zi − 1   0     1   0 − senθ i cos α i cos θ i cos α i senα i 0 senθ i senα i − cos θ i senα i cos α i 0 ai cos θ i   xi  ai senθ i   yi  ⋅  d i   zi     1   1 . Z i − 1 ] es: α  α α  1  cos θ i   2  =  senθ i   0 3  − senθ i cos α i cos θ i cos α i senα i senθ i senα i   − cos θ i senα i   cos α i   β 1  ai cos θ i    ⋅  β 2  +  ai senθ i   β 3  di      Cambiando la notación para las coordenadas:  xi − 1   cos θ i     yi − 1  =  senθ i  zi − 1   0    − senθ i cos α i cos θ i cos α i senα i senθ i senα i   − cos θ i senα i   cos α i   xi   ai cos θ i  ⋅  yi  +  ai senθ i   zi   d i      Donde el subíndice denota el Sistema de Referencia respecto al cual están expresadas las coordenadas.R. las coordenadas de Qi en el 1er Sistema de Referencia son:  λ 1   ai cos θ i       λ 2  =  ai senθ i   λ 3   di      Finalmente. Qi . Z i ] al S.R.[ X i . para el 1er vector: − senθ i cos α i cos θ i cos α i senα i senθ i senα i   − cos θ i senα i   cos α i   cos θ i  X i =  X i − 1 | Yi − 1 | Z i − 1  ⋅  senθ i  = cos θ i ⋅ X i − 1 + senθ i ⋅ Yi − 1      0    (1) de donde: Qi = Qi − 1 + ai X i = Qi − 1 + d i Z i − 1 + ai (cos θ i ⋅ X i − 1 + senθ i ⋅ Yi − 1 ) Qi = Qi − 1 + (ai cos θ i ) X i − 1 + (ai senθ i )Yi − 1 + d i Z i − 1 y por tanto. Qi − 1 .Yi . Yi − 1 .Teniendo ahora en cuenta que:  cos θ i   X i | Yi | Z i  =  X i − 1 | Yi − 1 | Z i − 1  ⋅  senθ i      0  Se tiene. [ X i − 1 . 07 0 56.09 0 433.32 0 0 0 di 0 144. tenemos la siguiente Tabla: Articulación 1 2 3 4 5 6 ai 0 431.[ X 0 . α i asociados.8 -20. Qi .5.R. A modo de resumen. Matrices de transformación para el PUMA-560 En la sección 3 se explicó la estructura articulada del PUMA-560. d i . Z i ] al Q0 .[ X i . la asignación de Sistemas de Referencia a cada articulación y el valor de los parámetros constantes ai .Yi . Z0 ] es: p(0) = T10 ⋅ T21 ⋅ ⋅ ⋅ Ti i − 1 ⋅ p( i ) En particular.Y0 .25 αi -90 0 +90 -90 +90 0 A partir de la cual podemos obtener las 6 matrices de transformación:  cos θ 1  senθ 1 0 T1 =   0   0  cos θ 3  senθ 3 2 T3 =   0   0 0 -senθ 1 0  0 cos θ 1 0   −1 0 0  0 0 1 0 senθ 3 0 − cos θ 3 1 0 0 0 a3 cos θ 3  a3 senθ 3   0   1   cos θ 2  senθ 2 1 T2 =   0   0  cos θ 4  senθ 4 =   0   0 − senθ 2 cos θ 2 0 0 0 a2 cos θ 2  0 a2 senθ 2   1 d2   0 1  0 0  d4   1 T43 0 -senθ 4 0 cos θ 4 −1 0 0 0  cos θ 5  senθ 5 T54 =   0   0 0 senθ 5 0 − cos θ 5 1 0 0 0 0 0  0  1  cos θ 6  senθ 6 T65 =   0   0 − senθ 6 cos θ 6 0 0 0 0 0 0  1 d6   0 1 Y la transformación de coordenadas desde el S. para la última articulación: p(0) = T10 ⋅ T21 ⋅ T32 ⋅ T43 ⋅ T54 ⋅ T65 p( i ) .