Tópicos De IO Dr. (c).Ricardo López Guevara USIL 1 I ntroducción La Investigación de Operaciones ha participado durante y después de la Segunda Guerra Mundial en la Toma de Decisiones del gobierno y empresas muy activamente. Después de la Segunda Guerra Mundial, los Gerentes han sufrido los cambios sobre todo en lo relacionado a tecnología y métodos o procesos de trabajo, haciendo más compleja la toma de decisiones, solo basta ver todo lo que implica trabajar a través del Internet. Como consecuencia de ello, la Investigación de Operaciones ha evolucionado de tal manera que ha permitido a los gerentes valerse de nuevas herramientas para la toma de decisiones. La mayoría de los enfoques formales en la toma de decisiones en la industria eran aplicados a casos muy especiales, a problemas operacionales repetitivos orientados al control de la producción y asignación de recursos. Con la evolución de la tecnología computacional digital, muchas empresas privadas desarrolladoras de software han visto realizar sus sueños al crear o plasmar su software de desarrollo de Problemas de Investigación de Operaciones. Hoy en día existe una enorme cantidad de software que permite que se planteen problemas que antes eran imposibles de ejecutarse en equipos considerados grandes y hasta científicos. Las PC denominadas Pentium 3 y 4 con procesadores muy potentes permiten ahora correr software que solucionan problemas de Investigación de Operaciones. El mismo desarrollo computacional, ha permitido que las grandes empresas de software presenten soluciones para el manejo integral de las operaciones de las empresas, de allí que existen los ERP, tales como SAP, JD Edwards, People Soft, etc. Estas herramientas se han orientado a solucionar la complejidad de los métodos de trabajo y especialmente colaboran a la Toma de Decisiones; pero ello no se ha estacionado allí, estas empresas siguen trabajando para facilitar la Toma de Decisiones y a sus software les están agregando componentes de optimización utilizando las herramientas de la Investigación de Operaciones, convirtiendo los ya conocidos y aceptados ERP en ERO por el agregado de optimización. Una de las definiciones más simples de la Investigación de Operaciones lo hace como el método científico aplicado a la solución de problemas y a la toma de decisiones por la gerencia. En resumen, la Investigación de Operaciones se ocupa de la Toma de Decisiones óptima y del modelado de sistemas determinísticos y probabilísticos que se originan en la vida real. Estas aplicaciones, que ocurren en el gobierno, en los negocios, en las industrias, en la ingeniería, en la economía, y en las ciencias naturales y sociales, se caracterizan, en gran parte por la necesidad de asignar recursos escasos. La Investigación de Operaciones adopta el método científico como estructura para la solución de los problemas, dando mayor énfasis al juicio objetivo que al juicio subjetivo. En su sentido más amplio la Investigación de Operaciones, puede ser caracterizada como la aplicación de métodos científicos, técnicas científicas e instrumentos científicos a problemas que involucran operaciones de sistemas, de modo que provean a los tomadores Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 2 de decisiones(Ejecutivos) responsables de las operaciones, soluciones óptimas para los problemas. El enfoque de la Investigación de Operaciones, incorpora el enfoque sistemático al reconocer que las variables internas en los problemas de decisiones son interdependientes e interrelacionadas. Entonces, podríamos concluir que la Investigación de Operaciones es “la aplicación de métodos, técnicas e instrumentos científicos a los problemas que envuelven las operaciones de un sistema, de modo que proporcione, a los que controlan el sistema, soluciones óptimas para el problema observado” 1 . Definición Toma de Decisiones.- Es un proceso de elegir entre diferentes cursos alternativos de acción para obtener metas y objetivos. Metodología Científica.- Como es obvio, el enfoque principal de un estudio de Investigación de Operaciones es en la Toma de Decisiones. Es decir el resultado que derive del análisis, debe tener consecuencias directas y no ambiguas para el tomador de decisiones. El método científico aplicado a la toma de decisiones en un proceso de IO, se inicia con la observación cuidadosa y la formulación del problema; para luego construir un modelo científico que trate de abstraer la esencia del problema real. De este modelo se obtendrán las conclusiones y soluciones que también son válidas para el problema real; por lo que en forma iterativa el modelo se llega a verificar con la experimentación adecuada. Posteriormente se trata de encontrar una solución, la mejor o la óptima, y para ello se define una medida de efectividad que considere las metas. Esta medida servirá para comparar los cursos de acción alternos. Los pasos a seguir normalmente son: 1. Construcción de un modelo que extrae los elementos del problema de decisión del mundo real. 2. Realizar el examen y análisis de las relaciones que determinan las consecuencias de la decisión. 3. Y por último desarrollar una técnica de solución que produzca un valor óptimo basado en los objetivos del tomador de decisiones. Elementos de un proceso de decisión.- Los elementos de una decisión constan de: 1. Un tomador de decisiones ( que puede ser un individuo, grupo, organización o la sociedad misma) 2. Un conjunto posible de cursos de acción que pueden tomarse para resolver el problema de decisiones. 3. Un conjunto posible de estados que pueden ocurrir. Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 3 4. Un conjunto de consecuencias asociadas a cada curso de acción y estado posible que pueda ocurrir. 5. La relación entre las consecuencias y los valores del tomador de decisiones. Cabe destacar que en una situación real de toma de decisiones, la definición y generación de alternativas, estados y consecuencias; son los aspectos más difíciles en un problema de decisiones. El Proceso de la Investigación de Operaciones Según Moskowitz, define 5 pasos principales: 1. Formulación y definición del problema 2. Construcción del modelo 3. Solución del modelo 4. Validación del modelo 5. Implementación de resultados En la Fase 1 de Formulación y Definición del problema, se requiere (1) una descripción precisa de las metas u objetivos del estudio, (2) identificar las variables de decisión controlables y no controlables del sistema de decisión y (3) reconocer las limitaciones o restricciones en las variables del sistema. En la Fase 2 de Construcción del Modelo, se detalla el proceso. Primero, el investigador de operaciones debe decidir el modelo más adecuado para representar el sistema. Este modelo debe especificar las relaciones cuantitativas para el objetivo y las restricciones del problema en términos de las variables de decisión. Debe proporcionar estimados de los parámetros, obtenidos bien sea a partir de datos históricos o subjetivos o formalmente estimados por medio de algún mecanismos estadístico. Se debe escoger un horizonte de tiempo. También se debe determinar sí el sistema es determinístico o probabilística. El modelo puede ser matemático, de simulación o heurístico, dependiendo de la complejidad y posibilidad de solución de las relaciones matemáticas. En la Fase 3 de la Solución del Modelo, el modelador debe, junto a los parámetros especificados por datos históricos, tecnológicos o prácticos, calcular o derivar una solución matemática. Sí el modelo se acomoda a uno de los modelos matemáticamente bien conocidos como el de programación lineal, se puede obtener una solución óptima utilizando estas técnicas. Si por lo contrario, las relaciones matemáticas del modelo son muy complejas para permitir una solución analítica, entonces el método de simulación puede ser lo más apropiado. Sí se utilizan modelos heurísticos o metaheurístcos o de simulación, la búsqueda de la optimalidad debe reemplazarse por la búsqueda de “buenas” soluciones”. En la solución del modelo, se deben realizar análisis de sensibilidad, para determinar el comportamiento del sistema ante cambios en las especificaciones y parámetros del sistema. Es una práctica importante, toda vez que los datos de entrada (parámetros) no necesariamente son precisos o estables y las suposiciones estructurales del modelo puede que no sean válidas. Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 4 En la Fase 4 de Validación del Modelo, requiere que se determine sí tal modelo puede predecir confiablemente el comportamiento del sistema. También comprende la prueba de las suposiciones estructurales del modelo (variables, relaciones funcionales, etc.) para determinar su validez. Una práctica importante es comparar el desempeño del modelo actual con datos de entrada históricos. El modelo será válido, si bajo condiciones similares de entrada, puede reproducir razonablemente el comportamiento pasado del sistema. Es importante resaltar, que no hay garantía de que el comportamiento futuro del sistema continúe duplicando la historia pasada. En la Fase 5 de la Implementación debe empezar realmente al iniciar el estudio de Investigación de Operaciones. Es importante que quienes participen en la toma de decisiones como resultado del estudio analicen el problema. De esta forma el proyecto toma validez real y no sea considerado un mero ejercicio académico. Los principales campos de aplicación de la Investigación de Operaciones son entre otros 3 : a) Relativa a Personas 1. Organización y Gerencia 2. Ausentismo y relaciones de trabajo 3. Economía 4. Decisiones individuales 5. Investigaciones de mercado b) Relativa a personas y máquinas 1. Eficiencia y productividad 2. Organización de flujos en fábricas 3. Métodos de control de calidad, inspección y muestreo 4. Prevención de accidentes 5. Organización de cambios tecnológicos c) Relativa a movimientos 1. Transporte 2. Almacenamiento, distribución y manipulación 3. Comunicaciones Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 5 MODELOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PROGRAMACIÓN NO LINEAL MÉTODOS DE BÚSQUEDA MÉTODOS CLÁSICOS OPTIMIZACION NO LINEAL REDES PROGRAMACIÓN ENTERA YBINARIA TRANSPORTE YASIGNACIÓN PROGRAMACIÓN LINEAL OPTIMIZACION LINEAL DETERMINISTICOS HEURÍSTICAS METAHEURÍSTICAS PERT CPM SIMULACIÓN INVENTARIOS PROGRAMACIÓN DINÁMICA HIBRIDOS TEORÍA DE DECISIONES Y JUEGOS PROCESOS ESTOCÁSTICOS COLAS PROGRAMACIÓN ESTOCÁSTICA ESTOCASTICOS MODELOS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES Programación Lineal El objeto de la programación lineal es optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal de n variables sujeto a restricciones lineales de igualdad o desigualdad. Más formalmente, se dice que un problema de programación lineal consiste en encontrar el óptimo (máximo o mínimo) de una función lineal en un conjunto que puede expresarse como la intersección de un número finito de hiperplanos y semiespacios en R n . Antes de pasar a los planteamientos de problemas ejemplo, es necesario desarrollar una estructura general para los modelos de PL. Algunas características generales de los modelos de PL son: Una sola función objetivo, maximización(minimización) de una función objetivo sujeta a disponibilidad de recursos, proporcionalidad de la función objetivo y de las restricciones con respecto al nivel de producción de cada artículo, etc. Remarcaremos estos aspectos, más tarde. Si se expresan estas condiciones en forma ligeramente modificada y se consideran más de acuerdo con el orden en el cual se relacionan con el planteamiento del modelo, entonces es posible enunciar que n problema puede resolverse a través de la PL si satisface los siguientes requerimientos. 1. Puede plantearse una función objetivo para el problema en términos de variables de decisión, es decir, como x 1 , x 2 , x 3 , ......... x n Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 6 2. Las variables del problema deben estar interrelacionadas para generar el resultado total, es decir, puede dejarse de fabricar un producto (variable) para fabricar o utilizar una mayor cantidad de otro producto(variable). 3. Las restricciones relacionadas con la disponibilidad o uso de los recursos, la satisfacción de los requerimientos o surtimiento de la demanda deben ser de forma lineal. 4. Los valores de las variables en la solución pueden ser fraccionarios, pero deben ser mayores o iguales a cero. Expresado en forma matemática general, el modelo de PL es de la siguiente forma: Maximizar(minimizar) Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + ............+ c n x n Sujeto a: a 11 x 1 + a 12 x 2 + ......................+ a 1n x n [≤ , , = ] b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ......................+ a 2n x n [≤ , , = ] b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + ......................+ a 3n x n [≤ , , = ] b 3 ... ... ... .. . ... ... ... .. . ... ... ... .. . ... ... ... .. . a m1 x 1 + a m2 x 2 + ......................+ a mn x n [≤ , , = ] b m x 1, x 2, …………….. x n 0 en donde x 1, x 2 ......................x n representan las variables de decisión a 11, a 12 , ......................a 1n representan los coeficientes de la tasa física de sustitución a 21, a 22 , ......................a 2n (uso); por ejemplo, podrían describir la tasa de uso de la a 31, a 32 , ......................a 3n materia prima i (en donde i varía de 1 a m) en la producción . . . . de la variable j ( en donde j varía de 1 a n) . . . . . . . . . . . . a m1, a m2 , ......................a mn c 1, c 2 , ......................c n representan los coeficientes de contribución. b 1, b 2 , ......................b m representan los recursos disponibles de materias primas. Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 7 Planteamiento de Problemas La habilidad para transformar un problema del mundo real en un modelo de PL debidamente planteado es un arte. Al plantear los problemas, se han encontrado que los siguientes procedimientos son muy útiles: 1. Debe concentrarse en identificar la función objetivo general. ¿Cuál es el objetivo final del problema, maximizar utilidades, minimizar costos, minimizar las materias primas que se requieren, maximizar el uso de la fuerza de trabajo, etc. 2. Debe plantearse el objetivo en forma verbal, incluyendo en la expresión la forma en que el objetivo se relaciona con los diversos factores (variables de decisión) sobre las cuales tiene control quien toma las decisiones. 3. Se debe identificar y plantear en forma verbal cada restricción. 4. Otros consideran en primer lugar reunir todos los datos del problema. Luego de haber descrito el problema en forma verbal, el siguiente paso es transformar las descripciones verbales en una estructura matemática apropiada. Un procedimiento funcional que puede utilizarse en esta etapa del proceso de planteamiento de problemas es: 1. Identificar y definir las variables de decisión (las x j ) asociadas con el problema, incluyendo en la definición las unidades de medición asociadas con cada una de las variables. 2. Identificar los coeficientes de contribución (los c j ) asociados con cada variable, incluyendo en la definición la unidad de medición asociada.} 3. Plantear la función objetivo y verificar que existe consistencia en las unidades de medición. 4. Identificar la tasa física de los coeficientes de sustitución (los a ij ), incluyendo en la definición las unidades de medición relacionadas con el coeficiente respectivo. 5. Identificar los recursos o requerimientos disponibles, es decir los coeficientes del segundo termino (los b i ), que son los valores que aparecen en lado derecho del signo de igualdad en las ecuaciones de restricción, incluyendo en la definición las unidades de medición asociadas con los recursos. 6. Plantear las restricciones relacionadas con cada uno de los respectivos recursos o requerimientos y verificar que haya consistencia en las unidades de medición para cada restricción. 7. Definir las condiciones de No Negatividad asociadas con las variables de decisión. Variables Continuas y Variables Discretas Los valores de las variables en la solución pueden ser fraccionarios o continuos. No siempre es práctico en la vida real. Puede evitarse este problema en la programación lineal redondeando los valores continuos para que sean discretos; sin embargo, esto no Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 8 siempre da como resultado una solución factible. Existen algoritmos que proporcionan valores discretos óptimos en las soluciones, pero se deja para después su análisis. Problema de Mezcla de Productos Una empresa produce 2 tipos de Televisores, el LED y el PLASMA. Hay 2 líneas de producción, uno para cada tipo de televisor, y 2 departamentos que intervienen ambos en la producción de cada aparato. La capacidad de la línea de producción LED es de 70 televisores diarios y la línea de PLASMA es de 50 televisores por día. En el departamento A se fabrican los cinescopios. En este departamento los televisores LED requieren 1 hora de trabajo y los de PLASMA 2. Actualmente, en el departamento A se puede asignar un máximo de 120 horas de trabajo por día a la producción de ambos tipos de televisor. En el departamento B se construye el chasis. En este departamento, los televisores LED requieren 1 hora de trabajo, igual que los PLASMA. En la actualidad se puede asignar un máximo de 90 horas de trabajo diarias al departamento de B para la producción de ambos tipos de televisores. La utilidad por cada tipo de televisor es de US$ 20 y US$ 10 respectivamente, para cada LED y PLASMA. Ver cuadro. Sí la empresa puede vender todos los televisores que se produzcan, ¿Cuál debe ser el plan de producción diaria de cada tipo de televisor? Plantear este problema como un programa lineal. DATOS Utilización de Trabajo Por tipo de TV(hrs) Disponibilidad diaria Dpto A Dpto B Utilidad LED 70 1 1 $20 PLASMA 50 2 1 $10 Disponibilidad Total 120 90 Solución X 1 = Producción diaria de TV Led (aparatos por día) X 2 = Producción diaria de TV Plasma (aparatos por día) Máximizar 20 X 1 + 10 X 2 Sujeto a : X 1 ≤ 70 X 2 ≤ 50 X 1 + 2 X 2 ≤ 120 X 1 + X 2 ≤ 90 X 1 , X 2 0 Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 9 Problema de Mezclas Una bolsa de 16 onzas de alimentos para perros debe contener proteínas, carbohidratos y grasas en las siguientes cantidades mínimas: proteínas, 3 onzas; carbohidratos, 5 onzas; grasas, 4 onzas. Se van a mezclar cuatro tipos de alimento en diversas proporciones para producir una bolsa de alimento para perro que satisfaga los requerimientos. Los contenidos y precios de 16 onzas de cada alimento se pueden ver el cuadro siguiente. DATOS Alimento Contenido Contenido de Contenido Proteínas (oz) Carbohidratos (oz) Grasas(oz) Precio 1 3 7 5 $4 2 5 4 6 $6 3 2 2 6 $3 4 3 8 2 $2 Formule este problema como un programa lineal. Sugerencia: Designe con X i la proporción del alimento i que habrá en una bolsa de 16 onzas de alimento para perro, i = 1,2,3,4. Solución Minimizar 4X 1 + 6X 2 + 3X 3 + 2X 4 Sujeto a: 3 X 1 + 5 X 2 + 2 X 3 + 3 X 4 3 7 X 1 + 4 X 2 + 2 X 3 + 8 X 4 5 5 X 1 + 6 X 2 + 6 X 3 + 2 X 4 4 X 1 + X 2 + X 3 + X 4 = 1 X 1, X 2, X 3, X 4 0 5. La Pro-Shaft Company fabrica y vende tres líneas de raquetas de tenis: A, B y C: A es una raqueta “estándar”, B y C son raquetas “profesionales”. El proceso de manufactura de las raquetas hace que se requieran dos operaciones de producción; todas las raquetas pasan a través de ambas operaciones. Cada raqueta requiere 3 horas de tiempo de producción en la operación 1. En la operación 2 la raqueta A requiere 2 horas de tiempo de producción; la raqueta B requiere 4 horas y la C, 5. La operación 1 tiene 50 horas de tiempo semanal de producción y la operación 2 tiene suficiente mano de obra para operar 80 horas a la semana. El grupo de Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 10 mercadotecnia de la Pro-Shaft ha proyectado que la demanda de la raqueta estándar no será de más de 25 por semana. Debido a que las raquetas B y C son de calidad similar, se ha pronosticado que la demanda combinada para éstas será, en total, de diez o más, pero no más de 30 por semana. La venta de la raqueta A da como resultado $7 de utilidades, en tanto que las raquetas B y C proporcionan utilidades de $8.00 y $8.50, respectivamente, ¿Cuántas raquetas del tipo A, B y C deben fabricarse por semana, si la compañía busca maximizar sus utilidades? Plantee el problema como un problema estándar de PL. SOLUCION Objetivo (verbal) El objetivo es determinar cuántas raquetas del tipo A, B y C deben fabricarse por semana, si la compañía busca maximizar sus utilidades. Restricciones (verbales) 1. La operación 1 tiene 50 horas de tiempo semanal de producción 2. La operación 2 tiene suficiente mano de obra para operar 80 horas a la semana. 3. La demanda de la raqueta estándar no será de más de 25 por semana. 4. Debido a que las raquetas B y C son de calidad similar, se ha pronosticado que la demanda combinada para éstas será, en total, de diez o mas, pero no mas de 30 por semana Variables (estructura matemática) Se requieren tres variables, puesto que existen tres clases de raquetas. X 1 = número de raquetas tipo A (estándar) a producir X 2 = número de raquetas tipo B a producir X 3 = número de raquetas tipo C a producir. Función objetivo (estructura matemática) La función objetivo debe expresarse en dólares ya que se desea maximizar las utilidades. Los coeficientes de la misma deben ser el aporte de las utilidades de cada una de las raquetas. c A = 7,0 ; c B = 8,0 ; c C = 8,5 De donde la función objetivo será. MAXIMIZAR Z = 7 x A + 8 x B + 8.5 x C Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 11 Restricciones (estructura matemática) 1. Restricciones por tiempo de producción La operación 1 tiene 50 horas de tiempo semanal de producción 3 x A + 3 x B + 3 x C 50 y la operación 2 tiene suficiente mano de obra para operar 80 horas a la semana. 2 x A + 4 x B + 5 x C 80 2. Restricción por el departamento de mercadotecnia El grupo de mercadotecnia de la Pro-Shaft ha proyectado que la demanda de la raqueta estándar no será de mas de 25 por semana. x A 25 Debido a que las raquetas B y C son de calidad similar, se ha pronosticado que la demanda combinada para éstas será, en total, de diez o mas, pero no mas de 30 por semana x B + x C 10 x B + x C 30 Planteamiento matemático MAXIMIZAR Z = 7 x A + 8 x B + 8.5 x C Sujeta a 3 x A + 3 x B + 3 x C 50 2 x A + 4 x B + 5 x C 80 x A 25 x B + x C 10 x B + x C 30 x A , x B , x C 0 Se obtiene que se deben fabricar 0 raquetas del tipo A, 3.33 raquetas del tipo B y 13.3 raquetas del tipo C y que la utilidad que se va a obtener es 140 dólares max 7 xa + 8 xb + 8.5 xc st 3 xa + 3 xb + 3 xc < 50 2 xa + 4 xb + 5 xc < 80 xa < 25 xb + xc > 10 xb + xc < 30 Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 12 Problema.- Empresa de Muebles La empresa de muebles de oficina, produce dos tipos de escritorios: ejecutivos y secretariales. La empresa tiene dos plantas en las que fabrica los escritorios. La planta 1, que es una planta antigua, opera con doble turno 80 horas por semana. La planta 2 es una planta más nueva y no opera a su capacidad total. Sin embargo, y dado que los administradores planean operar la segunda planta con base en un turno doble como el de la planta 1, se ha encontrado operadores para que trabajen los dos turnos. En estos momentos, cada turno de la planta 2 trabaja 25 horas por semana. No se paga ninguna prima adicional a los trabajadores del segundo turno. La tabla siguiente, muestra el tiempo de producción (en horas por unidad) y los costos estándar (en US$ por unidad) en cada planta. La empresa ha competido con éxito en el pasado asignado un precio de US$ 350 a los escritorios ejecutivos. Sin embargo, parece que la empresa tendrá que reducir el precio de los escritorios secretariales a US$ 275 con el objeto de estar en posición competitiva. La empresa ha estado experimentando excesos de costos en las últimas ocho o diez semanas; por lo tanto, los administradores han fijado una restricción presupuestaria semanal sobre los costos de producción. El presupuesto semanal para la producción total de escritorios ejecutivos es de US$ 2,000, en tanto que el presupuesto para los escritorios secretariales es de US$ 2,200. A los administradores les gustaría determinar cuál es el número de cada clase de escritorios que deben fabricarse en cada planta con el objeto de maximizar las utilidades. SOLUCIÖN Tabla de tiempos (horas) y costos(US$) de la empresa de muebles Tiempo de producción Costos Estándar (horas / unidad) (US$/unidad) Planta1 Planta2 Planta1 Planta2 Escritorios Ejecutivos 7.0 6.0 250 260 Escritorios Secretariales 4.0 5.0 200 180 Objetivo (Verbal) La empresa necesita determinar el número de escritorios ejecutivos y secretariales que deben fabricarse en la planta 1 y los que deben fabricarse en la planta 2 con el objeto de maximizar las utilidades. La utilidad por unidad en las respectivas plantas es la diferencia entre el precio de venta y los costos estándar. Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 13 Restricciones (verbales) 1. No se dispone de más de 80 horas para la producción combinada de escritorios en la planta 1. 2. No se dispone de más de 50 horas para la producción combinada de escritorios en la planta 2. 3. Los costos asociados con la producción combinada de escritorios ejecutivos en las dos plantas, no debe exceder de US$ 2,000. 4. Los costos asociados con la producción combinada de escritorios secretariales en las dos plantas, no debe exceder de US$ 2,200. Variables (Estructura matemática) Dado que es necesario determinar la cantidad de cada tipo de escritorio que va a fabricarse en la planta 1 y en la planta 2, se requieren cuatro variables: X 1 : número de escritorios ejecutivos que se fabrican en la planta 1 X 2 : número de escritorios secretariales que se fabrican en la planta 1 X 3 : número de escritorios ejecutivos que se fabrican en la planta 2 X 4 : número de escritorios secretariales que se fabrican en la planta 2 Coeficientes de la función objetivo (estructura matemática) La función objetivo se expresará en US$, puesto que el objetivo es maximizar las utilidades; por lo tanto, los coeficientes C j se expresarán en US$ por unidad, dado que las X j están expresadas en unidades. Los coeficientes C j se determinan encontrando la diferencia entre el precio de venta de un determinado tipo de escritorio y los costos estándar implicados en la fabricación de ese escritorio en la planta específica. Por lo tanto: C 1 = 350 – 250 = $100 / escritorio ejecutivo fabricado en la planta 1 C 2 = 275 – 200 = $75 / escritorio secretarial fabricado en la planta 1 C 3 = 350 – 260 = $90 / escritorio ejecutivo fabricado en la planta 2 C 4 = 275 – 180 = $95 / escritorio secretarial fabricado en la planta 2 Función Objetivo (Estructura matemática) Maximizar Z = 100 X 1 + 75 X 2 + 90 X 3 + 95 X 4 Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 14 Restricciones (Estructura matemática) Es posible identificar y verificar la consistencia de las unidades de medición de los coeficientes a ij y de los valores del segundo término al mismo tiempo que se desarrolla la estructura matemática de las restricciones. Puesto que las unidades de medición pueden diferir de una restricción a otra, se considera cada una de ellas en forma separada. 1. Límite del tiempo de producción en la planta 1( 80 horas) (7.0 horas por unidad) x ( X 1 unidades) + (4.0 horas por unidad) x (X 2 unidades) ≤ 80 horas 2. Límite del tiempo de producción en la planta 2 ( 50 horas) (6.0 horas por unidad) x ( X 3 unidades) + (5.0 horas por unidad) x (X 4 unidades) ≤ 50 horas 3. Restricción de costos de los escritorios ejecutivos ( US$ 2,000) (250 US$ por unidad) x ( X 1 unidades) + (260 US$ por unidad) x (X 3 unidades) ≤ US$ 2,000 4. Restricción de costos de los escritorios secretariales ( US$ 2,200) (200 US$ por unidad) x ( X 2 unidades) + (180 US$ por unidad) x (X 4 unidades) ≤ US$ 2,200 Planteamiento Matemático Maximizar Z = 100 X 1 + 75 X 2 + 90 X 3 + 95 X 4 Sujeto a: 7.0 X 1 + 4.0 X 2 ≤ 80 6.0 X 3 + 5.0 X 4 ≤ 50 250 X 1 + 260 X 3 ≤ 2,000 200 X 2 + 180 X 4 ≤ 2,200 X 1, X 2, X 3, X 4 0 DISTRIBUDORES de COMBUSTIBLES La Distribuidora comercializa gasolina de dos grados: la extra y la normal. Cada gasolina debe satisfacer ciertas especificaciones, tales como la presión máxima de vapor aceptable y el octanaje mínimo. Los requerimientos de manufactura para las gasolinas y el precio por barril se muestran en la tabla que sigue: Presión Precio Octanaje máxima de venta Gasolina mínimo de vapor (por barril) Normal 80 9 $ 21 Extra 100 6 $ 24 Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 15 Se utilizan tres tipos de gasolinas para fabricar las gasolinas normal y extra. Las características de las gasolinas base se muestran en la tabla que sigue: Presión de Disponibilidad Gasolina vapor máxima costo por Base Octanaje (barriles) por barril Tipo 1 108 4 32,000 $ 22 Tipo 2 90 10 20,000 $ 20 Tipo 3 73 5 38,000 $ 19 La Empresa se ha comprometido con un comprador a proporcionarle 30,000 barriles de gasolina normal por semana. No se tienen compromisos con respecto a la gasolina extra. A la compañía le gustaría determinar el plan de manufactura para las dos clases de gasolina que maximice las utilidades. SOLUCIÓN Objetivo (verbal) A la Empresa le gustaría mezclar las dos gasolinas base (tipos 1,2 y 3) para fabricar gasolinas extra y normal, de manera que las utilidades totales de las ventas de las cantidades (barriles) que se fabriquen sean máximas. Restricciones (verbales) 1. La disponibilidad semanal máxima de gasolina base tipo 1 es 32,000 barriles. El tipo 1 puede utilizarse para fabricar ambos productos finales. 2. La disponibilidad semanal máxima de la gasolina base tipo 2 es 20,000 barriles. El tipo 2 puede usarse en la fabricación de ambos productos finales. 3. La disponibilidad semanal máxima de gasolina base tipo 3 es 38,000 barriles. El tipo 3 puede emplearse en la fabricación de ambos productos finales. 4. La presión de vapor de la gasolina normal mezclada no debe exceder 9 unidades por barril. [En este caso, las unidades podrían ser libras por pulgada cuadrada, es decir, 9 psi (de sus iniciales en inglés); sin embargo, puede utilizarse el término unidades.] 5. El octanaje de la gasolina normal mezclada debe ser cuando menos de 80 unidades por barril. 6. La presión de vapor para la gasolina extra mezclada no debe exceder 6 unidades por barril. 7. El octanaje de la gasolina extra mezclada debe ser cuando menos de 100 unidades por barril. 8. Deben fabricarse cuando menos 30,000 barriles de gasolina normal para satisfacer los pedidos que se han comprometido. Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 16 Variables (estructura matemática) Este problema requiere el uso de seis variables, puesto que hay que determinar la cantidad de cada una de las gasolinas base que debe mezclarse para fabricar los dos productos finales. Puede parecer que el uso de tantas variables es algo desorientador, puesto que el objetivo del problema es determinar las cantidades de los dos productos finales que deben fabricarse, pero si no se sigue este método, no habría manera de identificar cómo es que se fabricarán los productos finales. Por tanto, sean X 1 = número de barriles de gasolina base tipo 1 que debe utilizarse para fabricar gasolina normal X 2 = número de barriles de gasolina base tipo 2 que debe utilizarse para fabricar gasolina normal X 3 = número de barriles de gasolina base tipo 3 que debe utilizarse para fabricar gasolina normal X 4 = número de barriles de gasolina base tipo 1 que debe utilizarse para fabricar gasolina extra X 5 = número de barriles de gasolina base tipo 2 que 3 debe utilizarse para fabricar gasolina extra X 6 = número de barriles de gasolina base tipo 3 que debe utilizarse para fabricar gasolina extra Las cantidades de gasolina normal y extra que se requieren para maximizar las utilidades pueden determinarse sumando X 1 , X 2 , y X 3 por una parte, y X 4 , X 5 y X 6 por la otra, respectivamente, a la solución óptima para el problema. Coeficientes de la función objetivo (estructura matemática) La función objetivo (Z) se expresará en dólares, puesto que el objetivo es maximizar utilidades. Por tanto, los coeficientes c j se expresarán en dólares por barril, puesto que las x j se expresan en barriles. Para determinar la contribución a las utilidades para las respectivas gasolinas básicas, simplemente se determina la diferencia entre el precio de venta por barril y el costo por barril: C 1 = 21 - 22 = -1 dólar por barril de gasolina base 1 utilizada en la normal C 2 = 21 - 20 = 1 dólar por barril de gasolina base 2 usada en la normal C 3 = 21 - 19 = 2 dólares por barril de gasolina base 3 empleada en la normal C 4 = 24 - 22 = 2 dólares por barril de gasolina base 1 utilizada en la extra C 5 = 24 - 20 = 4 dólares por barril de gasolina base 2 usada en la extra C 6 = 24 - 19 = 5 dólares por barril de gasolina base 3 empleada en la extra Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 17 Función objetivo (estructura matemática) MAXIMIZAR: Z = - l X 1 + 1 X 2 + 2 X 3 + 2.X 4 + 4 X 5 + 5 X 6 Restricciones (estructura matemática) 1. Restricción de la disponibilidad de gasolina base tipo 1: (X 1 barriles de gasolina base 1 utilizada en la normal) + (X 4 barriles de gasolina base 1 utilizada en la extra) ≤ 32,000 barriles de gasolina base 1 2. Restricción de la disponibilidad de gasolina base tipo 2: (X 2 barriles de gasolina base 2 utilizada en la normal) + (X 5 barriles de gasolina base 2 utilizada en la extra) ≤ 20,000 barriles de gasolina base 2 3. Restricción de la disponibilidad de gasolina base tipo 3: (X 3 barriles de gasolina base 3 utilizada en la normal) + (X 6 barriles de gasolina base 3 utilizada en la extra) ≤ 38,000 barriles de gasolina base 3 4. Presión de vapor para la gasolina normal: Se estructura esta restricción reconociendo que la presión de vapor de la gasolina normal se determina a través de la proporción de gasolina que es atribuible a la base respectiva y el vapor asociado con cada una de las gasolinas base específicas. La proporción de base en un barril de gasolina normal se determina dividiendo la cantidad (barriles) de cada gasolina base que se usa en la gasolina normal entre el número total de barriles de ésta. Puesto que la suma X 1 X 2 y X 3 es el total de barriles de gasolina normal, las proporciones se expresan de la siguiente manera: 3 2 1 3 3 2 1 2 3 2 1 1 , , X X X X X X X X X X X X Si se multiplican las proporciones respectivas por la presión de vapor asociada con cada gasolina base, los resultados serán la presión de vapor que cada base introduce en cada uno de los barriles de gasolina normal. Los valores de estas presiones de vapor se expresan de la siguiente manera: 3 2 1 3 3 2 1 2 3 2 1 1 5 , 10 , 4 X X X X X X X X X X X X Dado que la presión de vapor para la gasolina regular no debe ser mayor que 9 unidades por barril, la restricción es: 9 5 10 4 3 2 1 3 3 2 1 2 3 2 1 1 X X X X X X X X X X X X Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 18 5. Octanaje de la gasolina normal: Esta restricción se estructura de la misma manera que la restricción para la presión de vapor, excepto que se utilizan octanajes en vez de presiones de vapor. . 80 73 90 108 3 2 1 3 3 2 1 2 3 2 1 1 X X X X X X X X X X X X 6. Presión de vapor para la gasolina extra: 6 5 10 4 6 5 4 6 6 5 4 5 6 5 4 4 X X X X X X X X X X X X 7. Octanaje para la gasolina extra: 100 73 90 108 6 5 4 6 6 5 4 5 6 5 4 14 X X X X X X X X X X X X Se puede verificar las unidades de medición de las restricciones 4, 5, 6 y 7. Es fácil ver que las restricciones se equilibran si reconocemos que los cocientes X 1 / (X 1 + X 2 + X 3 ) son proporciones y no tienen unidades de medición. 8. Pedidos comprometidos: El número total de barriles de gasolina normal que se fabrica es la suma de X 1, X 2 , y X 3 (es decir, X 1 + X 2 + X 3 ). Dado que la Empresa se ha comprometido a vender 30,000 barriles de gasolina normal, la restricción es X 1 + X 2 + X 3 30,000 Antes de poder expresar el modelo en forma general de PL, es necesario transformar algebraicamente las ecuaciones 4 a 7. La restricción 4 se expresa 9 5 10 4 3 2 1 3 2 1 X X X X X X Multiplicando ambos términos de la desigualdad por X 1 + X 2 + X 3 , se tiene 4 X 1 + 10 X 2 + 5X 3 ≤ 9(X 1 + X 2 + X 3 ) Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 19 Agrupando términos, la restricción 4 es - 5 X 1 + X 2 - 4X 3 ≤ 0 Ahora, la restricción queda expresada en forma general de PL. Pueden llevarse a cabo operaciones similares en las restricciones 5, 6 Y 7. Planteamiento matemático MAXIMIZAR: Z = - l X 1 + 1 X 2 + 2 X 3 + 2.X 4 + 4 X 5 + 5 X 6 SUJETO A: X 1 + X 4 ≤ 32,000 X 2 + X 5 ≤ 20,000 X 3 + X 6 ≤ 38,000 -5 X 1 + X 2 - 4 X 3 ≤ 0 28 X 1 + 10 X 2 - 7 X 3 0 - 2 X 4 + 4 X 5 - X 6 ≤ 0 X 1 + X 2 + X 3 30,000 X 1, X 2, X 3, X 4 , X 5, X 6 0 Los resultados por computadora para la Empresa de deben realizar en Lindo. Utilizando estos datos, se determina que la política óptima consiste en mezclar 0.0 barriles de gasolina base tipo 1, 19,970.59 barriles de tipo 2 y 28,529.41 barriles de tipo 3, para fabricar 48,500.00 barriles de gasolina normal y mezclar 32,000.00 barriles de gasolina base tipo 1, 29.42 barriles de tipo 2 y 9,470.59 barriles de tipo 3 para fabricar 41,500.01 barriles de gasolina extra. Eso da como resultado utilidades totales de $188,500.03. PROBLEMA La Ware Farms del Valle Schoharie, cerca de Albany, N.Y., cultiva brócoli y coliflor en 500 acres de terreno en el valle. Un acre de brócoli produce $500 de contribución a las utilidades y la contribución de un acre de coliflor es de $1000. Debido a reglamentos gubernamentales, no pueden cultivarse mas de 200 acres de brócoli. Durante la temporada de plantación, habrá disponibles 1200 horas-hombre de tiempo de plantadores. Cada acre de brócoli requiere 2.5 horas-hombre y cada acre de coliflor requiere 5.5 horas-hombre. Plantee un problema de PL para determinar cuántos acres de brócoli y cuántos de coliflor deben plantarse para maximizar la contribución a las utilidades. Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 20 SOLUCION Objetivo (verbal) El objetivo es determinar cuántos acres de brócoli y cuántos de coliflor deben cultivarse para maximizar la contribución a las utilidades Restricciones (verbales) 1. Se tiene un terreno de 500 acres . 2. Debido a reglamentos gubernamentales, no pueden cultivarse mas de 200 acres de brócoli 3. Durante la temporada de plantación, habrá disponibles 1200 horas-hombre de tiempo de plantadores Variables (estructura matemática) Se requieren dos variables, puesto que existen dos clases de cultivos. X 1 = acres de terreno sembrado de brócoli X 2 = acres de terreno sembrado de coliflor Función objetivo (estructura matemática) Con base en el planteamiento verbal del problema, se concluye que la función objetivo debe expresarse en dólares, puesto que el objetivo consiste en maximizar los ingresos esperados; Los coeficientes c j para el problema son los rendimientos esperados por acre sembrado c 1 = 500 y c 2 = 1000 Por lo que la función objetivo será MAXIMIZAR Z = 500 x 1 + 1000 x 2 Restricciones (estructura matemática) 1. Restricción del área de cultivo Se tiene un terreno de 500 acres para sembrar brócoli y coliflor x 1 + x 2 500 2. Restricción por reglamentos gubernamentales Debido a reglamentos gubernamentales, no pueden cultivarse mas de 200 acres de brócoli x 1 200 3. Restricción de la mano de obra Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 21 Se tiene disponibles 1200 horas-hombre de tiempo de plantadores 2.5 x 1 + 5.5 x 2 1200 Planteamiento matemático MAXIMIZAR Z = 500 x 1 + 1000 x 2 sujeto a x 1 + x 2 500 x 1 200 2.5 x 1 + 5.5 x 2 1200 x 1 , x 2 0 PROBLEMA La Higgins Company fabrica piezas de metal de alta precisión que se utilizan en los motores de automóviles de carreras. La pieza se fabrica en un proceso de forjado y refinación y son necesarias cantidades mínimas de diversos metales. Cada pieza requiere 40 onzas de plomo, 48 de cobre y 60 de acero colado. Existen 4 tipos de mineral disponible para el proceso de acero forjado y refinación. El mineral de tipo 1 contiene 4 onzas de plomo, 2 de cobre y 2 de acero colado por libra. Una libra de mineral de tipo 2 contiene 2 onzas de plomo, 6 de cobre y 6 de acero colado. Una libra de mineral de tipo 3 contiene 1 onza de plomo, 4 de cobre y 4 de acero colado. Por ultimo, el mineral de tipo 4 contiene ½ onza de plomo, 1 de cobre y 8 onzas de acero colado por libra. El costo por libra para los cuatro minerales es $ 20, $ 30, $ 60 y $ 50, respectivamente. A la Higgins le gustaría mezclar los minerales de manera que se satisfagan las especificaciones de las piezas y se minimice el costo de fabricarlas. Defina las variables de decisión y plantee el apropiado modelo de PL. SOLUCION Objetivo (verbal) Fabricar piezas de metal de alta precisión que se utilizan en los motores de automóviles de carreras, mezclando los minerales de manera que se satisfagan las especificaciones de las piezas y se minimice el costo de fabricarlas. Restricciones (verbales) 1. Cada pieza requiere 40 onzas de plomo, 48 de cobre y 60 de acero colado Variables (estructura matemática) Se requieren seis variables, puesto que existen seis clases de inversiones. X 1 = libras del mineral del tipo 1 X 2 = libras del mineral del tipo 2 X 3 = libras del mineral del tipo 3 X 4 = libras del mineral del tipo 4 Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 22 Función objetivo (estructura matemática) Con base en el planteamiento verbal del problema, se concluye que la función objetivo debe expresarse en dólares, puesto que el objetivo consiste en minimizar los egresos esperados. Los coeficientes c j para el problema es el costo por libra de los 4 tipos de mineral c 1 = 20 ; c 2 = 30 ; c 3 = 60 y c 4 = 50 La función objetivo es: MINIMIZAR Z = 20 x 1 + 30 x 2 + 60 x 3 + 50 x 4 Restricciones (estructura matemática) 1. Restricción de requerimiento de metal Cada pieza requiere 40 onzas de plomo, 48 de cobre y 60 de acero colado 4 x 1 + 2 x 2 + x 3 + 0.5 x 4 40 2 x 1 + 6 x 2 + 4 x 3 + x 4 48 2 x 1 + 6 x 2 + 4 x 3 + 8 x 4 60 Planteamiento matemático MINIMIZAR Z = 20 x 1 + 30 x 2 + 60 x 3 + 50 x 4 Sujeto a 4 x 1 + 2 x 2 + x 3 + 0.5 x 4 40 2 x 1 + 6 x 2 + 4 x 3 + x 4 48 2 x 1 + 6 x 2 + 4 x 3 + 8 x 4 60 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 0 UN PROBLEMA DE ASIGNACIÓN DE PERSONAL El hospital UCV ha decidido ampliar su servicio de urgencias (abierto las 24 horas) con la consiguiente necesidad de nuevo personal de enfermería. La gerencia del hospital ha estimado las necesidades mínimas de personal por tramos horarios para poder cubrir las urgencias que se presenten. Se definieron 6 turnos o tramos de 4 horas. La necesidad mínima de personal en cada turno se indica en el Cuadro 1. Por otro lado, el departamento de recursos humanos ha informado a la gerencia, que los contratos laborales han de ser de ocho horas seguidas, según el Convenio firmado con los sindicatos, independientemente de los horarios de entrada y salida del personal. El problema es encontrar el número mínimo de personal necesario para cubrir la demanda. Cuadro 1: Necesidades de personal por turnos o tramos horarios. Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 23 Formulación del problema: En primer lugar, se tienen que definir las variables del modelo que queremos desarrollar. Como hemos de controlar en número de personal en cada turno, definimos Xj como la cantidad de personal que entra a trabajar en el turno j, en donde j=1,...,6. Es decir, hay una variable para cada turno. Las restricciones del modelo tienen que reflejar la necesidad de que la cantidad de personal que entren en el periodo j más el número de personas que entraron a trabajar en el turno j-1 sean suficientes para cubrir las necesidades del turno j (Nj). Esta situación queda reflejada en el Cuadro 2. En esta tabla, un trabajador que entra a trabajar, por ejemplo, a las 4:00, trabajará en los turnos 2 y 3, y por tanto, contribuirá a cubrir las necesidades de estos dos turnos. En otras palabras, el turno j estará siendo atendido por Xj-1 y Xj. En consecuencia, tendremos que Xj-1 + Xj (el personal que trabaja durante el turno j) tiene que ser, como mínimo, igual a Nj, que es el número mínimo de personal de enfermería necesario para este turno. En términos matemáticos la restricción es la siguiente: Xj-1 + Xj _ Nj Habrá una restricción para cada horario de entrada. El objetivo de la gerencia consiste en la minimización del número total de personal de enfermería necesario para cubrir las necesidades diarias. Este número será igual a X1 +X2 +X3 +X4 +X5 +X6 que representa la suma del número de personal que entra en cada periodo. Finalmente, el modelo matemático es el siguiente: Cuadro 2: Necesidades de personal Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 24 METODO GRAFICO - SOLUCION GEOMÉTRICA Esbozo de conceptos y aspectos relevantes de la teoría del método gráfico 1- En el análisis cuantitativo, una vez que se ha formulado y construido un modelo lineal para resolver un problema existente, en un sistema cualquiera, es necesario resolverlo. 2- La solución de un modelo lineal muestra siempre un conjunto convexo delimitado por las restricciones del mismo y en el cual, si existe solución posible, al menos uno de sus puntos extremos es la solución óptima. Un punto extremo existe en la intersección de, al menos, dos rectas. 3- El método gráfico se usa para resolver modelos lineales con dos variables y muestra el conjunto convexo que constituye la denominada región solución y el(los) punto(s) extremo(s) que proporciona(n) la solución del modelo. 4- El Método Gráfico permite conocer la base matemática de la solución de modelos lineales, los conjuntos convexos, y observar gráficamente situaciones que se presentan en modelos de cualquier tamaño. Esto ayuda a la comprensión de la Programación Lineal. 5- El proceso para trabajar con el Método Gráfico sigue los pasos siguientes: a) Graficar las restricciones como igualdades y luego determinar el área correspondiente a la desigualdad, sombreando el espacio correspondiente. b) Determinar el área común a todas las restricciones. c) Evaluar la Función Objetivo en cada punto extremo del espacio de soluciones posibles. El punto o los puntos extremos en el que se obtenga el mejor valor, determinarán la solución del modelo. 6- Existe un procedimiento alterno al punto c), señalado en el Método Gráfico, para obtener la solución del modelo. Este procedimiento alterno consiste en graficar la Función Objetivo con un valor arbitrario dentro de la región solución. Luego se desplaza paralelamente en la dirección que incremente su valor (si está maximizando) o decrezca su valor (si está minimizando). El punto o los puntos extremos que toque esa Función Objetivo antes de salir totalmente fuera de la región de soluciones posibles determinarán el óptimo, o solución del modelo. 7- Al conjunto convexo de solución se le llama región de soluciones posibles, porque todos los puntos de esa región satisfacen TODAS las restricciones del modelo. 8- Un modelo tiene solución óptima UNICA cuando sólo una combinación de variables proporciona el mejor valor para el objetivo; se reconoce en el gráfico porque un único punto extremo provee el mejor valor del objetivo o un único punto extremo limita el valor de la recta objetivo. 9- Un modelo tiene soluciones óptimas ALTERNAS cuando más de una combinación de variables proporciona el óptimo valor del objetivo. Se reconoce en el gráfico porque más de un punto extremo proporciona el óptimo valor del objetivo o más de un punto extremo limita el valor de la recta objetivo. La recta objetivo al desplazarse dentro de la región solución cae paralelamente sobre alguna restricción antes de salir totalmente de la región solución. 10- Un modelo NO TIENE SOLUCIÓN POSIBLE cuando no hay alguna combinación de variables que satisfaga todas las restricciones. Se debe a la presencia de restricciones Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 25 inconsistentes en el modelo. Se reconocen en el gráfico porque no existe ninguna región común para todas las restricciones. 11- Un modelo tiene SOLUCIÓN CON VALOR INFINITO cuando hay combinaciones de variables que proporcionan valor infinito para el objetivo y no hay alguna combinación que limite el valor del objetivo a un valor finito. Esto se debe a la omisión de restricciones importantes, del sistema, en el modelo. Estas restricciones limitarían las variables de decisión a valores factibles. Se reconocen en el gráfico porque el espacio de solución es abierto, no acotado, no limitado y la Función Objetivo puede moverse dentro de esa región hasta el infinito sin que un punto extremo, con valor finito, limite su valor. 12- Un modelo tiene ESPACIO DE SOLUCION NO ACOTADO y SOLUCION DE VALOR FINITO cuando existen combinaciones de variables que dan un valor infinito al objetivo pero existe al menos una combinación de variables que le proporciona un valor finito. Se reconocen en el gráfico porque la región de soluciones posibles es abierta, no limitada pero hay por lo menos un punto extremo que limita el valor del objetivo. 13- Un modelo tiene SOLUCION DEGENERADA cuando existen combinaciones de variables que tienen más de la cantidad normal (una por cada restricción) de variables con valor cero. Esto se debe a la presencia de restricciones redundantes en el modelo. Más de la cantidad normal de variables (una por cada restricción del modelo) debe tomar valor cero para satisfacer a mayor cantidad de restricciones en el punto óptimo. Se reconocen en el gráfico porque más de dos restricciones cruzan sobre el punto extremo óptimo. 14- Una restricción redundante puede ser removida sin afectar la región solución. Cuando la restricción redundante está sobre el punto extremo óptimo, la solución es Degenerada. 15- Los modelos lineales que son formulados en sistemas cuya solución tiene valor infinito y los que no presentan solución posible son casos que no deben existir en el mundo real. En los modelos con solución degenerada, una restricción redundante en un período de planificación dentro de ese sistema, puede no serlo en otro período posterior, por lo tanto es recomendable tener en cuenta esa consideración. Veamos algunos casos y ejemplos. CASO 1. MODELOS CON SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA. El modelo es formulado por una empresa asesora de inversiones para elaborar la cartera de un cliente. Las variables X 1 y X 2 representan la cantidad de acciones Tipo 1 y 2 a comprar para satisfacer el objetivo establecido de maximizar el retorno anual de esa inversión o compra de acciones. El monto total disponible para invertir es de $80.000. El riesgo es una medida relativa de las dos inversiones alternativas. La acción Tipo 1 es una inversión más riesgosa. Limitando el riesgo total para la cartera, la firma inversora evita colocar montos excesivos de la cartera en inversiones de retorno potencialmente alto pero de alto riesgo. También se limita el monto de acciones de mayor riesgo. Max 3X 1 + 5X 2 (Retorno anual en $) Sujeto a: 25 X 1 + 50 X 2 80.000 $ de fondos disponibles 0.5 X 1 + 0.25 X 2 700 riesgo máximo 1 X 1 1.000 acciones Tipo 1 X1, X2 ≥ 0 Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 26 En este caso 1, conteste lo siguiente: 1.1 ¿Qué representa el coeficiente de la variable X 2 en la Función Objetivo y en la segunda restricción? 1.2 ¿Qué Tipo de solución presenta el modelo?, ¿Por qué? y ¿Cómo se reconoce en el gráfico? 1.3 ¿Cuál es la decisión que se recomendaría con la solución encontrada? 1.4 Analice las restricciones en el punto óptimo y presente la información que se obtiene. 1.5 ¿Qué efecto tendría sobre la solución óptima encontrada un cambio en el retorno anual de cada acción Tipo 2. Suponga que cambia a 9. Explique y muestre sobre el gráfico. ¿Cómo se llama este Análisis que se hace?. RESPUESTAS: 1.1 En la Función Objetivo representa el retorno anual de cada acción Tipo 2 comprada, es decir cada acción Tipo 2 que se compre proporcionará un retorno anual de $ 5. En la restricción 2, Representa el riesgo medido para cada acción Tipo 2. Es decir, cada acción Tipo 2 tiene un riesgo de 0.25. 1.2 Solución Única, porque hay una única combinación de acciones Tipo 1 y 2 a comprar que maximiza el retorno anual de la inversión y se reconoce en el gráfico porque un único punto extremo proporciona el máximo valor para el objetivo. En este caso, el punto b. 1.3 Comprar 800 acciones Tipo 1 y 1.200 Acciones Tipo 2 para maximizar el ingreso anual en 8.400 unidades monetarias ($) 1.4 Restricción 1: 25 (800) + 50 (1200) = 80.000 Se observa que se cumple exactamente, es decir como una igualdad. Esto indica que con esa decisión óptima se utiliza totalmente el monto máximo de presupuesto disponible para la compra. Restricción 2: 0.5 (800) + 0.25 (1200) = 700 Se observa que se cumple exactamente, es decir como una igualdad. Esto indica que con esa decisión óptima se tendrá totalmente el monto máximo requerido de riesgo para la compra. Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 27 Restricción 3: 1 (800) = 800; 800 < 1.000 Se observa que se cumple como una desigualdad. Esto indica que con esa decisión óptima se compran 800 acciones Tipo 1, 200 menos del monto máximo requerido. Recuerde que eso está permitido debido que la restricción es “menor o igual a”. En el gráfico puede observarse, como algo lógico, que las restricciones que se cumplen como igualdades están cruzando sobre el punto óptimo y las que se cumplen como desigualdades están en la región solución alejadas del punto óptimo. 1.5 El análisis se denomina Análisis de Sensibilidad. Se realiza después de haber obtenido la solución óptima. En este caso, se realiza para determinar el efecto que produce sobre la solución óptima, un cambio en un coeficiente de una variable en la Función Objetivo. La nueva Función Objetivo, 3X1 + 9X2, es graficada nuevamente. Se observa sobre el mismo gráfico 2 que la pendiente de la recta objetivo (f.o. 2) cambia. Ahora al desplazarse, en crecimiento, el punto extremo que la limita es el de la intersección de las rectas que corresponden a la restricción de fondos disponibles y a la ordenada o restricción de no- negatividad, punto extremo “a”. La nueva solución es una solución única, con otros valores para las variables. CASO 2. MODELOS CON SOLUCIONES ÓPTIMAS ALTERNAS O MÚLTIPLES. Max 6X 1 + 2X 2 (Beneficio) Sujeto a: 3 X 1 + X 2 4 8 horas de trabajo 3 X 1 + 4 X 2 120 unidades de materia Prima 3 X 1 + X 2 ≥ 36 horas de supervisión. X1, X2 ≥ 0 El modelo es formulado por una empresa que desea determinar la cantidad de unidades de producto 1 ( X 1 ) y producto 2 (X 2 ) a fabricar para satisfacer el objetivo establecido de maximizar el beneficio. El monto total disponible de horas de trabajo para este período es de 48. La disponibilidad de materia prima es de 120 unidades y la cantidad mínima de horas disponibles para supervisión es de 36 horas. Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 28 Graficar las restricciones y obtener el espacio de solución se efectúa en forma similar al proceso efectuado en el caso 1. Los puntos extremos del conjunto convexo son: A(16,0), B(8,24), C(8/3,28) y D(12,0). Dos puntos extremos proporcionan el máximo valor del objetivo, los puntos A y B. Esto permite afirmar que existen soluciones óptimas Alternas para este modelo. Son óptimos todos los puntos sobre el segmento de línea AB que limita el conjunto convexo de solución y corresponden a la primera restricción. Si Usted utiliza el método de graficar la Función Objetivo con un valor arbitrario, 48 por ejemplo, podrá observar que la línea es completamente paralela a la primera y tercera restricción. Al desplazarla paralelamente hacia su optimización, hacia arriba porque se está maximizando, finalmente caerá completamente sobre la primera restricción, de horas de trabajo, antes de salir totalmente fuera de la región solución. Dos puntos extremos estarían limitando el crecimiento del objetivo, el punto B y el punto A. “Cualquier recta que tenga ratio de coeficientes igual al de otra recta, es paralela a esa otra recta”. La ventaja que presentan los modelos con este Tipo de solución es que se puede elegir cualquiera de las soluciones óptimas, porque todas presentan el mismo valor óptimo para el objetivo. Por ejemplo, si una de las soluciones tiene valores fraccionales para las variables y no puede trabajarse con valores fraccionales, el que toma la decisión seleccionará una solución con valores enteros. CASO 3. MODELOS SIN SOLUCIÓN POSIBLE No se definirán los elementos del modelo porque no habrá una solución posible para tomar alguna decisión. Max 40 X 1 + 30 X2 Sujeto a: 2/5 X1 + ½ X 2 20 1/5 X 2 5 3/5 X 1 + 3/10 X 2 21 X 1 ≥ 30, X 2 ≥ 15 Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 29 X 1 , X2 ≥ 0 Puede observarse en el Gráfico 4, que mientras las 3 primeras restricciones delimitan un espacio en común, las 2 últimas delimitan otro espacio común para ellas. Por lo tanto, no hay una región de puntos comunes que satisfagan ambos conjuntos de restricciones y el modelo no tendrá solución posible. En estos casos es necesario determinar cuáles son las restricciones inconsistentes para el modelo. Es decir, cuáles son realmente válidas para el modelo. Obsérvese que si las variables X 1 y X 2 toman el valor mínimo que pueden tomar en las dos últimas restricciones, es decir X 1 = 30 y X 2 = 15 entonces la tercera restricción no se cumpliría. Esto es una inconsistencia. Estos modelos no deben existir en el mundo real (14). Si el sistema modelado trabaja, entonces el modelo debe representarlo de tal manera que permita obtener una solución posible. CASO 4. MODELOS QUE PRESENTAN SOLUCIÓN CON VALOR INFINITO Max X 1 + 2X 2 Sujeto a: -4 X 1 + 3 X 2 3 X 1 - X 2 3 X 1 , X 2 ≥ 0 No se definirán los elementos del modelo porque no habrá una solución para tomar alguna decisión. Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 30 En el gráfico 5 el conjunto convexo llamado región solución, que contiene todas las soluciones posibles, es un espacio abierto. Tiene tres puntos extremos A, B y C, pero ninguno delimita el crecimiento del objetivo. Esta función puede tomar valores infinitos ya que las variables conforman puntos con valores infinitos dentro de la región solución y ninguno de ellos le proporciona un valor finito óptimo. Por lo tanto, existiendo restricciones, no es lógico encontrar un objetivo de valor infinito. En estos casos debe buscarse dentro del sistema, la restricción o las restricciones que se omitieron en el modelo y que limitarían las variables de decisión a valores factibles. CASO 5. MODELOS CON ESPACIO DE SOLUCION NO ACOTADO Y SOLUCION DE VALOR FINITO Min 0.06 X 1 + 0.05 X 2 ( costos) Sujeto a: 0.30 X 1 + 0.20 X 2 ≥ 500 Proteína 0.15 X 1 + 0.30 X 2 ≥ 300 Grasa X 1 , X 2 ≥ 0 El modelo es formulado para una guardería de perros que se destaca por dar una alimentación balanceada a las mascotas. El alimento lo elabora mezclando 2 marcas conocidas de alimentos que llamaremos X 1 y X 2 . Se desea determinar la cantidad de gramos de X 1 y X 2 a mezclar en el alimento, con el objetivo establecido de minimizar los costos de la mezcla. Esta, debe contener al menos 500 gramos de proteínas y al menos 300 gramos de grasa por día. Los porcentajes de contenido de grasa y proteína de cada gramo de X 1 y X 2 se conocen y son usados en el modelo. Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 31 El espacio de solución obtenido se muestra en el Gráfico 6. Se observa una región abierta con las soluciones posibles y puntos extremos A, B, C. Esto indica que pueden existir combinaciones de cantidad de gramos de alimento X 1 y X 2 con valor infinito, en este caso los costos serían infinitos. Esto es posible porque no se está limitando directamente la cantidad de X 1 y X 2 en alguna restricción específica y las restricciones existentes son todas de Tipo “ que”. Pero, mientras exista al menos una combinación con valor finito, en algún punto extremo que limite el valor del objetivo, a esa combinación se le considerará óptima. En los casos de región abierta de soluciones posibles, es conveniente entonces encontrar el valor óptimo con el procedimiento de graficar la Función Objetivo. Al graficar la Función Objetivo, con un valor arbitrario de 120, se observa que al desplazarla paralelamente hacia su optimización, hacia abajo porque se está minimizando, la línea cae sobre el punto B, antes de salir completamente de la región solución. A este punto se le considerará punto extremo óptimo. La solución óptima es Única con los valores: X 1 = 1.500, X 2 = 250 F.O. = 102.5 Conociendo la definición del modelo, puede contestar preguntas similares a las hechas en el caso 1 CASO 6. MODELOS CON SOLUCION DEGENERADA Min 2500 X + 2200 Y (costos) Sujeto a: X + Y 10 Empleados temporales 300 X + 400 Y 3.400 cartas 80 X + 50 Y 680 paquetes X, Y 0 El modelo es formulado por una oficina de correos que puede contratar hasta 10 empleados para manejar el correo. La oficina conoce que un empleado (hombre) puede manejar 300 cartas y 80 paquetes por día y una empleada (mujer) puede manejar 400 cartas y 50 paquetes en un día. No menos de 3.400 cartas y de 680 paquetes se esperan por día. A cada empleado hombre (X), se le paga S/. 2.500 por día y a una empleada mujer ( Y) se le paga S/. 2.200 por día. Se quiere determinar la cantidad de hombres (X) y mujeres (Y) que se deben contratar para satisfacer las restricciones y lograr el objetivo establecido de minimizar los costos de la nómina. Graficar las restricciones y obtener el espacio de solución se efectúa en forma similar al hecho en el caso 1 y por lo tanto no se repiten las instrucciones. El gráfico obtenido es el Gráfico 7. Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 32 Se observa una región de soluciones posibles de un solo punto común para todas las restricciones y por lo tanto un único punto extremo A. Esto indica que existe una única combinación posible y además óptima, de cantidad de empleados X e Y que satisface las restricciones y optimiza el objetivo. Conociendo la definición del modelo, puede contestar preguntas similares a las hechas en el Caso 1 1.1 ¿Qué representa el coeficiente de la variable Y en la Función Objetivo y en la segunda restricción? 1.2 ¿Qué Tipo de solución presenta el modelo?, ¿Por qué? y ¿Cómo se reconoce en el gráfico? 1.3 ¿Cuál es la solución y la decisión que se recomendaría con la solución encontrada? 1.4 Analice las restricciones en el punto óptimo y presente la información que se obtiene. 1.5 ¿Qué efecto tendría, sobre la solución óptima encontrada, un cambio en el número de cartas esperadas. Suponga que cambia a 2.400. Explique y muestre sobre el gráfico. ¿Cómo se llama este Análisis? Respuestas: 1.1 El coeficiente de la variable Y en la Función Objetivo representa lo que se le paga diariamente a cada trabajadora (mujer), es decir, el costo de contratar una trabajadora al día es de S/. 2.200. En la segunda restricción representa la cantidad de cartas que puede manejar al día cada mujer contratada, es decir, 400 cartas al día puede manejar cada mujer contratada. 1.2 Única y Degenerada. Normalmente la solución de un modelo contiene una variable (Estructural o de holgura) con valor mayor que cero por cada restricción del modelo. En este caso, más variables de las normales toman valor cero, para poder satisfacer mayor numero de restricciones, en el punto óptimo. Hay entonces menor cantidad de variables con valor mayor que cero con relación al número de restricciones. Por eso se le llama Solución Degenerada en contraposición a la Solución Normal. Además es única porque una sola combinación de empleados, hombres y mujeres, proporciona el mínimo costo. Se debe a la presencia de restricciones redundantes en el modelo y se reconoce en el gráfico porque más de dos restricciones cruzan sobre el punto óptimo. Del total de restricciones que cruzan el punto óptimo, sólo dos son necesarias para calcular sus coordenadas. En este caso sólo hay una Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 33 restricción redundante, por ello la Solución es Degenerada. Se reconoce que es única porque hay un solo punto extremo que proporciona el valor óptimo del objetivo. 1.3 La solución es X = 6, Y = 4, F.O. = 23.800. La decisión sería contratar 6 empleados hombres y 4 mujeres para minimizar los costos diarios de contratación en 23.800 unidades monetarias: 2.500(6) + 2.200 (4) . 1.4 Restricción 1 X + Y 10 6 + 4 = 10 Con esta decisión se contrata el máximo de empleados que se estaba dispuesto a contratar. Restricción 2 300 X + 400 Y ≥ 3.400 300(6) + 400(4) = 3.400 Con esta decisión se manejará el mínimo de cartas que se espera. Restricción 3 80 X + 50 Y ≥ 680 80(6) + 50 (4) = 680 Con esta decisión se manejará el mínimo de paquetes que se espera. 1.5 El análisis a efectuar se denomina Análisis de Sensibilidad. Sobre el gráfico está graficada la nueva restricción 300X + 400 Y ≥ 2.400 Se observa que no cambia el espacio de soluciones posibles y por lo tanto la solución óptima seguirá siendo la misma. En general, disminuir la cantidad del lado derecho de una restricción Tipo ≥ , es relajar la restricción y hacerla más fácil de satisfacer. Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 34 OTROS EJEMPLOS Tenemos una empresa que se dedica a producir diversos productos químicos. En un proceso de producción en particular se utilizan tres materias primas para elaborar dos productos: un aditivo para combustible y una base disolvente. El aditivo para combustible se vende a empresas petroleras y se utiliza en la producción de gasolina y otros combustibles relacionados. La base disolvente se vende a varias empresas químicas y se utiliza tanto para productos de limpieza del hogar como industriales. Para formar el aditivo para combustible y la base disolvente se mezclan las tres materias primas, como aparece en la siguiente tabla: Necesidades de Materia Prima por tonelada Producto m. prima 1 m. prima 2 m. prima 3 Aditivo para combustible 2/5 0 3/5 Base disolvente 1/2 1/5 3/10 Esta tabla, muestra que una tonelada de aditivo para combustible es una mezcla de 2/5 de tonelada de la materia prima 1 y 3/5 de tonelada de la materia prima 3. Una tonelada de base disolvente es una mezcla de 1/2 tonelada de la materia prima 1, 1/5 de tonelada de la materia prima 2 y 3/10 de tonelada de la materia prima 3. La producción de la empresa, está limitada por la disponibilidad de las tres materias primas. Para el periodo de producción actual, la empresa tiene disponibles las cantidades siguientes de cada una de las materias primas: Cantidades disponibles Materia prima para la producción Materia prima 1 20 toneladas Materia prima 2 5 toneladas Materia prima 1 21 toneladas Debido al deterioro y la naturaleza del proceso de producción, cualquier materia prima que no se utilice para la producción actual resulta inútil y debe descartarse. El departamento de control de calidad ha analizado las cifras de producción, asignando todos los costos correspondientes, y para ambos productos llegó a precios que resultarán en Utiliza ½ tonelada de MP 1 en cada tonelada de disolvente Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 35 una contribución a la utilidad (margen de contribución por tonelada) de US 40 por cada tonelada de aditivo para combustible producida y de US$ 30 por cada tonelada de base disolvente producida. La Gerencia de la empresa, después de una análisis de la demanda potencial, ha concluido que los precios establecidos asegurarán la venta de todo el aditivo para combustible y de toda la base disolvente que se produzca. El problema de la empresa es determinar cuántas toneladas de cada producto deberá producir para maximizar la contribución total a la utilidad. Función Objetivo Cuántas toneladas de aditivo para combustible y cuántas toneladas de base disolvente producirá la empresa para el periodo actual de producción. Variables X 1 = número de toneladas de aditivo para combustible X 2 = número de toneladas de base disolvente Restricciones 2/5 X 1 + 1/2 X 2 ≤ 20 toneladas necesarias de la materia prima 1 0X 1 + 1/5 X 2 ≤ 5 toneladas necesarias de la Materia prima 2 3/5X 1 + 3/10 X 2 ≤ 21 toneladas necesarias de la Materia prima 3 X 1 0 , X 2 0 Implementación Máx 40 X 1 + 30 X 2 Sujeto a: 2/5 X 1 + 1/2 X 2 ≤ 20 0X 1 + 1/5 X 2 ≤ 5 3/5X 1 + 3/10 X 2 ≤ 21 X 1 , X 2 0 Ahora la tarea es encontrar la mezcla de productos(es decir la combinación de X 1 y X 2 ) que satisfaga las restricciones, y al mismo tiempo, nos de un valor de la función objetivo que sea mayor o igual al valor dado por cualquier otra solución factible. Al hacerlo, habremos encontrado la solución óptima al problema. Deben establecerse hipótesis necesarias para que un modelo de programación lineal sea apropiado: la ley de la proporcionalidad, la ley general de la adición y la ley general de la división. Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 36 La proporcionalidad significa que la contribución a la función objetivo y el monto de los recursos utilizados son proporcionales al valor de cada variable de decisión. La adición significa que se puede determinar el valor de la función objetivo y de los recursos totales utilizados, sumando la contribución de las funciones objetivo y los recursos utilizados para todas las variables de decisión. La divisibilidad significa que las variables de decisión son continuas. La hipótesis de la divisibilidad más las restricciones de no negatividad significan que la variables de decisión pueden asumir cualquier valor mayor que o igual a cero. Análisis de Sensibilidad (Análisis de Post Optimalidad) Es el estudio de la forma en que los cambios en los coeficientes de programa lineal afectan a la solución óptima. El análisis de sensibilidad entre otras ayuda a responder lo siguiente: 1. Cómo afectará un cambio en un coeficiente de la función objetivo a la solución óptima? 2. Cómo afectará un cambio en el valor del lado derecho de una restricción a la solución óptima? El análisis de sensibilidad entonces solo se inicia cuando se ha obtenido la solución óptima del problema original de PL. El análisis de sensibilidad es importante para la toma de decisiones, debido a que los problemas reales se presentan en un entorno cambiante. Cambian los precios de las MP, cambia la demanda de los productos, las empresas adquieren maquinarias nuevas, fluctúan los precios de los valores, hay rotación de personal y así muchas otras cosas más. El análisis de sensibilidad nos da la información necesaria para responder a estas modificaciones. Las tres hipótesis necesarias para que un modelo de PL sea apropiado, son la proporcionalidad, la ley general de la adición y la ley general de la división. a) La proporcionalidad significa que la contribución a la función objetivo y el monto de los recursos utilizados son proporcionales al valor de cada variable de decisión. b) La adición significa que se puede determinar el valor de la función objetivo y de los recursos totales utilizados, sumando la contribución de la función objetivo y los recursos utilizados para todas las variables de decisión. c) La divisibilidad significa que las variables de decisión son continuas. La hipótesis de divisibilidad más las restricciones de no negatividad significan que las variables de decisión pueden asumir cualquier valor mayor que, o igual a cero. En el problema de la gasolinera (ver página 31), vemos Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 37 Máx 40 X 1 + 30 X 2 Sujeto a: 2/5 X 1 + 1/2 X 2 ≤ 20 MP1 0X 1 + 1/5 X 2 ≤ 5 MP2 3/5X 1 + 3/10 X 2 ≤ 21 MP3 X 1 , X 2 0 La solución óptima x 1 = 25 TM de aditivo para combustible y x 2 =20 TM de base disolvente, se basó en las cifras de contribución a la utilidad de US$ 40 x TM de aditivo para combustible y US$ 30 x TM de base disolvente. Sin embargo, supongamos que posteriormente, nos enteramos que una reducción en el precio hace que la contribución a la utilidad para el aditivo para combustible se reduce de US$ 40 a US$ 35 x TM. Se utiliza el análisis de sensibilidad para determinar si el programa de producción que incluye 25 TM de aditivo para combustible y 20 TM de base disolvente sigue siendo el mejor. Tópicos De IO Dr. (c). Ricardo López Guevara USIL 38 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 1. ANDERSON, D.; SWEENEY, D.; “Métodos Cuantitativos para los Negocios”. International WILLIAMS, T. Thomson Editores, Séptima, México, 2010. 2. GALLAGHER, Ch.; WATSON, H. “Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones” Editorial McGraw Hill, España, 2010. (658.5/G21) 3. HILLIER, F.; HILLIER, M.; “Métodos Cuantitativos para Administración” Un enfoque de modelos y casos de estudio, con hoja de cálculo. Editorial McGraw Hill Interamericana Editores, S.A. de C.V., México 2006. 7. TAHA, Hamdy “Investigación de Operaciones” Edit. Alfa omega, México, 2008.