Proyecto integradorEn un tiempo Módulo 18 Semana 4 Lorena Patricia Rivas Zavala Grupo:M18C3G4-029 Planteamiento de problema: Una asociación contra el cáncer de niños se encarga de recolectar latas de refrescos desechables con el propósito de venderlas y así obtener una cantidad de dinero extra para continuar con su labor. la ecuación que representa el número de latas a recolectar es la siguiente f(x)= -x2 + 10x donde f(x) señala la cantidad de latas recolectar y “x” representa el tiempo en semanas. . la asociación ya cuenta con 20 . Según su estadística. Ligado a esto.000 latas que ha recolectado por su cuenta. .1. evaluaremos “x” en algunos puntos para determinar “y”.Bosqueja la grafica de la función. X Y -1 −(−1)2 + 10(−1)=-11 0 0 1 9 2 16 3 21 4 24 5 25 6 24 7 21 8 16 9 9 10 0 11 -11 . Para hacer la gráfica de la función f(x)= −𝑥 2 + 10𝑥. Una vez ubicados los puntos en el plano cartesiano. la gráfica quedaría de la siguiente forma: . a) ¿Cuál es el punto máximo del número de latas que se recolectan. así como el tiempo en el que ya no se recolecta nada? (No olvides que los resultados son en miles) Observando la gráfica el punto máximo de latas que se recolectan se da a las 5 semanas recolectando 25.000 latas y el tiempo en el que ya no se recolecta nada es a las 10 semanas. Analíticamente Usando formula de derivación para polinomios tenemos que: 𝑓´ 𝑥 = −2𝑥 + 10 = 0 ⇔ −2𝑥 = −10 ⇔ 𝑥 = 5 entonces f(x)= -(5)2 + 10(5)=25 así el punto máximo se encuentra en (5.25) . Ahora para determinar el tiempo en el que ya no se recolecta nada buscamos la intersección de la función con el eje x pues es aquí donde la función se hace cero entonces: f(x)= -x2 + 10x=0⇔ − 𝑥 − 5 2 + 25 = 0 ⇔ 𝑥 − 5 = ± 25 ⇔ 𝑥 = 5 ± 5 es decir que la función se hace cero en x=0 y en x=10 dado que x=0 no es relevante para el problema nos enfocamos en el valor x=10 por lo que el tiempo en el que ya no se recolecta nada es en 10 semanas . - b) ¿Cuál es la relación que existe entre el tiempo y el número de latas que se juntaron? y ¿cuál sería el total de latas en el punto máximo.2. en conjunto con lo ya obtenido por la asociación con anterioridad? La relación entre el tiempo y el número de latas que se juntaron se da por el área bajo la curva es decir 𝑡 𝑥 3 𝑡 𝑡 3 R(t)=0 −x2 + 10x 𝑑𝑥 = − + 5𝑥 2 = − + 5𝑡 2 3 0 3 El total de latas en el punto máximo seria de 53 2 125 1000(20 + R(5))=1000(20+ − +5 5 )= 1000(20+ − + 125 )= 3 3 310 310000 =1000( ) = ≈ 103333 latas 3 3 . .Obtén la ecuación de la recta secante a partir de la función derivada (de la que ya te fue dada anteriormente) y el valor de su pendiente.3. Considera que para la pendiente tendrás que usar los siguientes valores: x1 = 0 x2 = 5 y1 = 20 mil latas y2= el punto máximo obtenido de tu gráfica= 25 mil latas Usando formula de derivación para polinomios tenemos que: 𝑓´ 𝑥 = −2𝑥 + 10 . 𝑥2 = 5 . 𝑦2 =25 . 𝑦1 =20. obtenemos que la pendiente de la recta secante es: 25 − 20 5 𝑚= = =1 5−0 5 Como la recta secante pasa por los puntos dados si sustituimos uno de ellos en la ecuación 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) tenemos que: 𝑦 − 20 = 1 ∗ 𝑥 − 0 = 𝑥 ⟹ 𝒚 = 𝒙 + 𝟐𝟎 es la ecuación de la recta secante .La ecuación para obtener la pendiente es: 𝑦2 − 𝑦1 𝑚= 𝑥2 − 𝑥1 Sustituyendo los valores 𝑥1 =0. Evaluando algunos puntos en x la gráfica quedaría de la siguiente forma: X Y -1 y = (−1) + 20=19 0 20 1 21 2 22 3 23 4 24 5 25 6 26 . La recta Tangente en el punto x=5 se obtiene a partir de la derivada 𝑓´ 𝑥 = −2𝑥 + 10 Sustituyendo x=5 tenemos que la pendiente a la recta tangente en el punto x=5 es: 𝑓´ 5 = −2(5) + 10 =0 Sustituyendo en la ecuación de la recta 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) con 𝑥1 = 5 𝑦 𝑦1 = 25 tenemos que 𝑦 − 25 = (0)(𝑥 − 5) entonces la ecuación de la recta tangente es 𝒚 = 𝟐𝟓 en este caso no es necesario tabular pues para cualquier valor de x. . y=25 y la grafica queda representada por una línea horizontal a 25 unidades del eje x. . c) Qué relación existe entre el punto máximo alcanzado y la recta tangente y su pendiente.(AUDIO) . relaciónalo con los datos obtenidos en tu actividad.