Revisao matematica

GELSON IEZZIOSVALDO DOLCE DAVID DEGENSZAJN ROBERTO PÉRIGO MATEMÁTICA MATEMÁTICA voluME únICo – CD-rom voluME únICo – CD-rom Sumário Seleção de exercícios de vestibulares 1 Conjuntos e conjuntos numéricos ................................................................................................................ 1 Respostas ................................................................................................................................................... 5 2 Funções ....................................................................................................................................................... 6 Respostas ................................................................................................................................................... 18 3 Progressões .................................................................................................................................................. 19 Respostas ................................................................................................................................................... 24 4 Matemática comercial e fnanceira ............................................................................................................... 25 Respostas ................................................................................................................................................... 32 5 Trigonometria .............................................................................................................................................. 33 Respostas ................................................................................................................................................... 40 6 Matrizes, determinantes e sistemas lineares ................................................................................................. 41 Respostas ................................................................................................................................................... 45 7 Geometria plana .......................................................................................................................................... 46 Respostas ................................................................................................................................................... 54 8 Geometria espacial ...................................................................................................................................... 55 Respostas ................................................................................................................................................... 64 9 Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton .......................................................................... 65 Respostas ................................................................................................................................................... 72 10 Geometria analítica ...................................................................................................................................... 73 Respostas ................................................................................................................................................... 81 11 Números complexos, polinômios e equações algébricas ............................................................................... 82 Respostas ................................................................................................................................................... 85 12 Estatística..................................................................................................................................................... 86 Respostas ................................................................................................................................................... 92 Coletânea de testes do ENEm .................................................................................................. 93 Respostas ............................................................................................................................................................. 109 Matemática Volume Único 1 Conjuntos e conjuntos numéricos 1. (Fatec-SP) O número inteiro N 5 16 15 1 2 56 é divisível por: a) 5 b) 7 c) 11 d) 13 e) 17 2. (Unifesp-SP) Dia 20 de julho de 2008 caiu num domingo. Três mil dias após essa data, cairá: a) Numa quinta-feira. b) Numa sexta-feira. c) Num sábado. d) Num domingo. e) Numa segunda-feira. 3. (U.E. Ponta Grossa-PR) Dois sinais luminosos acendem juntos num determinado instante. Um deles permanece aceso 1 minuto e apagado 30 segundos, enquanto o outro permanece aceso 1 minuto e apagado 20 segundos. A partir desse instante qual o número mínimo de minutos necessários para que os dois sinais voltem a acender juntos outra vez? Assinale no cartão de respostas o número da alternativa que contém a resposta que você calcular como correta. 01) Oito 02) Dez 04) Doze 08) Quatorze 4. (U.E. Ponta Grossa-PR) Indica-se por n(X) o número de elementos do conjunto X. Se A e B são conjuntos tais que n(A) 5 20, n(B – A) 5 15 e n(A  B) 5 8, assinale o que for correto. 01) n(A – B) 5 12 02) n(B) 5 23 04) n(A  B) 5 35 08) n(A  B) – n(A  B) 5 27 16) n(A) – n(B) 5 n(A – B) 5. (U.E. Ponta Grossa-PR) Assinale o que for correto. (Indique a soma dos números obtidos.) 01) O número real representado por 0,5222... é um número racional. 02) O quadrado de qualquer número irracional é um número racional. 04) Se m e n são números irracionais então m ? n pode ser racional. 08) O número real √ 3 pode ser escrito sob a forma a b , onde a e b são inteiros e b  0. 16) Toda raiz de uma equação algébrica do 2º grau é um número real. 6. (UFF-RJ) Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891), “Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem”. Os conjuntos numéricos são, como afrma o matemá- tico, uma das grandes invenções humanas. Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é correto afrmar que: a) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional. b) a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional. c) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional. d) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional. e) a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo. 7. (UF-RJ) Manuel, Joaquim e Antônio olham, num certo instante, para dois relógios, A e B, que só indicam horas e minutos. Naquele instante, A e B indicam, respectivamente, 11h51min e 11h53min. Diante dessa situação, segue-se o seguinte diálogo entre os amigos: “Nessas condições, a dedução lógica é que a defasagem entre A e B é de 120 segundos.”, exclama Manuel. “Não! Só podemos garantir que a defasagem entre A e B é de, no máximo, 120 segundos!”, contesta Joaquim. “Vocês dois estão enganados. Com esses dados, só é possível concluir que a defasagem entre A e B é de, pelo menos, 120 segundos!”, afrma Antônio. 2 Conjuntos e conjuntos numéricos Sobre as conclusões dos três patrícios, avalie qual das afrmativas a seguir é verdadeira. I – Só Manuel está certo II – Só Joaquim está certo III – Só Antônio está certo IV – Os três estão certos V – Os três estão errados VI – Não é possível decidir se algum nem qual dos três está certo. 8. (FGV-SP) Sejam x e y a soma e o produto, respectivamente, dos dígitos de um número natural. Por exemplo, se o número é 142, então x 5 7 e y 5 8. Sabendo-se que N é um número natural de dois dígitos tal que N 5 x 1 y, o dígito da unidade de N é: a) 2 b) 3 c) 6 d) 8 e) 9 9. (PUC-RS) Pitágoras estabeleceu a seguinte relação entre as sete notas musicais e números racionais: DÓ rÉ mi Fá SoL Lá Si DÓ 1 8 9 64 81 3 4 2 3 16 27 128 243 1 2 Para encontrarmos o número 16 27 (relativo à nota LÁ), multiplicamos 2 3 (o correspondente da nota SOL) por 8 9 . Assim, para obtermos 3 4 (relativo à nota FÁ), devemos multiplicar 64 81 (da nota MI) por: a) 8 9 b) 9 8 c) 243 256 d) 256 243 e) 192 324 10. (ESPM-SP) Numa empresa multinacional, sabe-se que 60% dos funcionários falam inglês, 45% falam espanhol e 30% deles não falam nenhuma daquelas línguas. Se exatamente 49 funcionários falam inglês e espanhol, podemos concluir que o número de funcionários dessa empresa é igual a: a) 180 d) 165 b) 140 e) 127 c) 210 11. (Cefet-PR) Se a, b e c são números naturais tais que a – b 5 c, então podemos afrmar que a 1 b 1 c é igual a: a) 2a d) 5a b) 3a e) 6a c) 4a 12. (Cefet-PR) Encontre o valor numérico da expressão algébrica 2x 2 2 3xy √ x 2 1 3y 2 4 , para x 5 21 e y 5 4. a) 10 3 d) 13 7 b) 11 3 e) 14 3 c) 12 7 13. (Enem-MEC) A classifcação de um país no quadro de medalhas nos Jogos Olímpicos depende do número de medalhas de ouro que obteve na com- petição, tendo como critério de desempate o nú- mero de medalhas de prata seguido do número de medalhas de bronze conquistados. Nas Olimpíadas de 2004, o Brasil foi o décimo sexto colocado no quadro de medalhas, tendo obtido 5 medalhas de ouro, 2 de prata e 3 de bronze. Parte desse quadro de medalhas é reproduzida a seguir: Classifca- ção País medalhas de ouro medalhas de prata medalhas de bronze Total de medalhas 8º Itália 10 11 11 32 9º Coreia do Sul 9 12 9 30 10º Grã- Bretanha 9 9 12 30 11º Cuba 9 7 11 27 12º Ucrânia 9 5 9 23 13º Hungria 8 6 3 17 Disponível em: http://www.quadroademedalhas.com.br. Acesso em: 05 abr. 2010 (adaptado). 3 Matemática Volume Único Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 4 de prata e 10 de bronze, sem alterações no número de medalhas dos demais países mostrados no quadro, qual teria sido a classifcação brasileira no quadro de medalhas das Olimpíadas de 2004? a) 13º b) 12º c) 11º d) 10º e) 9º 14. (Enem-MEC) A disparidade de volume entre os planetas é tão grande que seria possível colocá- los uns dentro dos outros. O planeta Mercúrio é o menor de todos. Marte é o segundo menor: dentro dele cabem três Mercúrios. Terra é o único com vida: dentro dela cabem sete Martes. Netuno é o quarto maior: dentro dele cabem 58 Terras. Júpiter é o maior dos planetas: dentro dele cabem 23 Netunos. Revista Veja. Ano 41, nº 26, 25 jun. 2008 (adaptado). Seguindo o raciocínio proposto, quantas Terras cabem dentro de Júpiter? a) 406 b) 1 334 c) 4 002 d) 9 338 e) 28 014 15. (UF-RJ) Se x 5 √ 3 2 √ 8 2 √ 3 1 √ 8 , mostre que x é inteiro e negativo. (Sugestão: calcule x 2 .) 16. (UF-PI) O Diretor de uma tradicional escola da cidade de Teresina resolveu fazer uma pesquisa de opinião junto aos seus 590 alunos do Ensino Médio, sobre as políticas públicas de acesso ao Ensino Superior. No questionário, pergunta-se sobre a aprovação de: Cotas, Bolsas e ENEM, como modelo de exame vestibular. As respostas dos alunos foram sintetizadas na tabela abaixo: Política pública Cotas Bolsas ENEm Cotas e Bolsas Bolsas e ENEm Cotas e ENEm Cotas, Bolsas e ENEm Número de apro- vações 226 147 418 53 85 116 44 Sobre a pesquisa e a tabela acima, é correto afrmar que: a) a quantidade de alunos que não opinaram por nenhuma das três políticas é 12. b) a quantidade de alunos que aprovam apenas uma política pública é 415. c) a quantidade de alunos que aprovam mais de uma política é 167. d) a quantidade de alunos que aprovam as três po- líticas é 45. e) há mais alunos que aprovam Cotas do que alunos que aprovam somente o ENEM. 17. (UF-PB) Em determinada data, o câmbio, entre as moedas abaixo, apresentava a seguinte equivalência: 1 dólar 5 0,9 euro 1 euro 5 0,7 libra 1 real 5 0,18 libra De acordo com esses dados, é correto afrmar que, nessa data, 1 dólar equivalia a: a) R$ 3,40 d) R$ 3,55 b) R$ 3,45 e) R$ 3,60 c) R$ 3,50 18. (UF-MA) Quantos números inteiros pertencem ao intervalo  2√ 10, √ 15 ? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) Nenhum 19. (UF-PE) Antônio nasceu no século XX, e seu pai, que tinha 30 anos quando Antônio nasceu, tinha X anos no ano X 2 . Considerando estas informações, analise as afrmações seguintes: 0-0) O pai de Antônio nasceu no século vinte. 1-1) O pai de Antônio nasceu em 1936. 2-2) O pai de Antônio tinha 44 anos em 1936. 3-3) Antônio nasceu em 1922. 4-4) Antônio nasceu em 1936. 20. (UE-PI) Júnior tem três álbuns de fguras. No primeiro, estão três décimos do total de fguras; no segundo, estão alguns oitavos do total de fguras e, no terceiro álbum, estão 15 fguras. Quantas fguras estão no segundo álbum? a) 110 d) 125 b) 115 e) 130 c) 120 4 Conjuntos e conjuntos numéricos 21. (UF-PB) A prefeitura de certa cidade realizou dois concursos: um para gari e outro para assistente administrativo. Nesses dois concursos, houve um total de 6 500 candidatos inscritos. Desse total, exatamente, 870 fzeram prova somente do concurso para gari. Sabendo-se que, do total de candidatos inscritos, 4 630 não fzeram a prova do concurso para gari, é correto afrmar que o número de candidatos que fzeram provas dos dois concursos foi: a) 4 630 b) 1 870 c) 1 300 d) 1 740 e) 1 000 22. (UPE-PE) Sabe-se que o produto de dois números irracionais a e b pode ser um número racional c. Assinale a única alternativa abaixo que exemplifca esta afrmação. a) a 5 √ 12, b 5 √ 3 , c 5 √ 36 b) a 5 √ 9 , b 5 √ 4 , c 5 √ 36 c) a 5 √ 144, b 5 1 4 , c 5 √ 36 d) a 5 2√ 12, b 5 2√ 3 , c 5 2√ 36 e) a 5 √ 9, b 5 √ 4 , c 5 6 23. (Uneb-BA) Considerem-se as proposições I – r é um número racional. II – Existe um número racional cujo quadrado é 2. III – Se a . 0, então 2a , 0. IV – Todo número primo é impar. Com base nelas, é correto afrmar: 01) A proposição I é verdadeira. 02) A proposição II é verdadeira. 03) A proposição III é verdadeira. 04) As proposições I, II e IV são verdadeiras. 05) As proposições II, III e IV são verdadeiras. 24. (UE-PI) Uma mercearia tem, em estoque, uma quantidade de canetas, de determinada marca, em número inferior a 60 e superior a 1, que pretende oferecer em liquidação. Na liquidação, todas as canetas foram vendidas, e obteve-se um faturamento de exatamente R$ 37,63 com a sua venda. Se cada uma das canetas foi vendida pelo mesmo preço, qual foi este preço? a) R$ 0,73 b) R$ 0,72 c) R$ 0,71 d) R$ 0,70 e) R$ 0,69 25. (UF-RN) A presença de nitrogênio sob a forma de nitrato em índices elevados oferece risco à saúde e deixa a água imprópria para o consumo humano, ou seja, não potável. Uma Portaria do Ministério da Saúde limita a concentração de nitrato em, no máximo, 10 mg/,. Quando essa concentração ultrapassa tal valor, uma maneira de deduzi-la é adicionar água limpa, livre de nitrato. Uma análi- se feita na água de um reservatório de 12 000 , constatou a presença de nitrato na concentração de 15 mg/,. Com base em tais informações, a quantidade míni- ma de litros de água que se deve acrescentar para que o reservatório volte aos padrões normais de potabilidade é: a) 6 000 , b) 4 000 , c) 12 000 , d) 18 000 , 26. (UF-PA) A Orquestra Sinfônica do Theatro da Paz (OSTP) é composta por músicos de quatro naipes de instrumentos distintos: cordas, sopro de metais, sopro de madeiras e percussão. Ela conta com 27 músicos de cordas, 11 de metais, 8 de madeiras e 4 de percussão. No caso de se desejar ampliar a orquestra, de modo que ela passe a ter 150 músicos e tal que os naipes de instrumentos mantenham a mesma proporção entre eles, o número de músicos de cordas e o número de músicos de metais passariam a ser respectivamente: a) 54 e 22 b) 60 e 30 c) 50 e 20 d) 82 e 40 e) 81 e 33 Matemática Volume Único 5 respostas 1. e 2. a 3. 04 4. 01, 02, 04, 08 5. 01 1 04 5 05 6. d 7. Opção V 8. e 9. c 10. b 11. a 12. e 13. b 14. b 15. x 5 22 16. b 17. c 18. b Conjuntos e conjuntos numéricos 19. F, F, V, V, F 20. d 21. e 22. a 23. 03 24. c 25. a 26. e Funções 6 Funções 1. (UF-SC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s). Indi- que a soma dos valores: 01) Dentre todos os retângulos com 40 m de períme- tro, o de maior área é aquele com lado de 20 m e área de 400 m 2 . 02) Uma cidade é servida por três empresas de telefonia. A empresa X cobra, por mês, uma assinatura de R$ 35,00 mais R$ 0,50 por minuto utilizado. A empresa Y cobra, por mês, uma assinatura de R$ 20,00 mais R$ 0,80 por minuto utilizado. A empresa Z não cobra assinatura mensal para até 50 minutos utilizados e, acima de 50 minutos, o custo de cada minuto utilizado é de R$ 1,20. Portanto, acima de 50 minutos de uso mensal a empresa X é mais vantajosa para o cliente do que as outras duas. 04) Em certa fábrica, durante o horário de trabalho, o custo de fabricação de x unidades é de C(x) 5 x 2 1 x 1 500 reais. Num dia normal de trabalho, durante as t primeiras horas de pro- dução, são fabricadas x(t) 5 15t unidades. O gasto na produção, ao fnal da segunda hora, é de R$ 1 430,00. 08) Certa substância radioativa que se desintegra uniformemente ao longo do tempo tem sua quantidade ainda não desintegrada, após t anos, dada pela equação M(t) 5 M 0 ? 2 2 t 20 onde M 0 representa a quantidade inicial dessa substância. A porcentagem da quantidade ainda não desintegrada após 40 anos em relação à quantidade inicial M 0 é de, aproximadamente, 50%. 16) O gráfco abaixo mostra quanto cada brasileiro pagou de impostos (em reais per capita) nos anos indicados. 1980 2 042 2 082 2 006 2 594 3 269 4 160 R$ 1 000 R$ 1 500 R$ 2 000 R$ 2 500 R$ 3 000 R$ 3 500 R$ 4 000 R$ 4 500 1985 1990 1995 2000 2005 Veja, São Paulo: Ed. Abril, ano 39, n. 15, 19 abr. 2006. Com base nos dados fornecidos pelo gráfco, pode- se afrmar que no ano 2000 houve um aumento de 20% no gasto com impostos, em relação a 1995. 2. (U.F. Lavras-MG) A solução da equação log(x) 2 10(log(0,5) 1 log(8)) 5 log 1 x satisfaz: a) log(log2(x)) 5 1 b) x 5 10 c) log 2 (log(x)) 5 1 d) x 5 10 log(4) 3. (UE-CE) Na fgura a seguir estão representados seis retângulos com lados paralelos aos eixos coordenados e vértices opostos sobre o gráfco da função f(x) 5 log 2 x, x . 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y f(x) 5 log 2 x A soma das áreas dos seis retângulos é igual a: a) 2 unidades de área b) 3 unidades de área c) 4 unidades de área d) 5 unidades de área 4. (UF-TO) Seja f: ]2, 2] → [21, [ defnida por f(x) 5 x 2 2 4x 1 3 Então a função inversa f 21 é: a) f 21 (x) 5 2 b) f 21 (x) 5 1 2 c) f 21 (x) 5 2 115 3 d) f 21 (x) 5 2 1 55 6 5. (U.E. Londrina-PR) Considere a função real defnida por f(x) 5 ax 2 1 bx 1 c, cujo gráfco é o seguinte: 7 Matemática Volume Único y x Com base na situação exposta e nos conhecimentos sobre o tema, considere as seguintes afrmativas: I. A 5 b 2 2 4ac . 0 II. a(b 1 c) . 0 III. f 2b 2 2a 2a 5 f 2b 1 2a 2a IV. a √ A . 0 Assinale a alternativa que contém todas as afrma- ções corretas. a) I e III. b) III e IV. c) I, II e III. d) I, II e IV. e) II, III e IV. 6. (UF-PA) O vértice da parábola y 5 ax 2 1 bx 1 c é o ponto (22, 3). Sabendo que 5 é a ordenada onde a curva corta o eixo vertical, podemos afrmar que: a) a . 1, b , 1 e c , 4 b) a . 2, b . 3 e c . 4 c) a , 1, b , 1 e c . 4 d) a , 1, b . 1 e c . 4 e) a , 1, b , 1 e c , 4 7. (PUC-RS) A representação: y 4 2 0 x 2 22 22 24 24 4 é da função dada por y 5 f(x) 5 log n (x). O valor de log n (n 3 1 8) é a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 8. (U.F. Santa Maria-RS) Sabe-se que as equações são expressões matemáticas que definem uma rela- ção de igualdade. Dessa forma, dadas as funções f(x) 5 1 (9 x 2 1 ) e h(x) 5 3 x 1 1 , para que seus gráfcos tenham um ponto em comum, deve existir um valor de x, de modo que as imagens desse valor, pelas duas funções, coincidam. Isso ocorre no ponto: a) (1, 21) b) (21, 1) c) (3, 81) d) 1 3 , 4 3 e) 1 3 , 3 3 √ 3 9. (U.F. Santa Maria-RS) Durante um passeio noturno de barco, diversão preferida de um grupo de jovens, surgiu uma situação de perigo, em que houve necessidade de disparar um sinalizador para avisar o restante do grupo que fcara no acampamento. A função que descreve o movimento do sinal luminoso é dada por h(t) 5 30t 2 3t 2 , onde h é a altura do sinal em metros e t, o tempo decorrido em segundos, desde o disparo até o momento em que o sinalizador cai na água. Assim, a altura máxima atingida pelo sinalizador e o tempo decorrido até cair na água são, respectivamente: a) 75 m e 10 s b) 75 m e 5 s c) 74 m e 10 s d) 74 m e 5 s e) 70 m e 5 s 10. (Ibmec-RJ) A soma dos quadrados dos números naturais que pertencem ao conjunto solução de: (3 2 x) ? (x 2 2 1) x 1 2 > 0 é igual a: a) 13 8 Funções b) 14 c) 15 d) 19 e) 20 11. (PUC-MG) Uma empresa de turismo fretou um avião com 200 lugares para uma semana de férias, devendo cada participante pagar R$ 500,00 pelo transporte aéreo, acrescidos de R$ 10,00 para cada lugar do avião que fcasse vago. Nessas condições, o número de passagens vendidas que torna máxima a quantia arrecadada por essa empresa é igual a: a) 100 b) 125 c) 150 d) 180 12. (PUC-PR) O prazo de validade, V, medido em uma escala de 0% (vencido) a 100% (fresco), de um produto em conserva, segue a seguinte função de tempo, t, em meses: V 5 e 2t , t > 0 Onde: e 5 2,7183 É CORRETO afrmar: I. Um mês após a produção, t 5 1, a validade corresponde a 36,79%. II. Seis meses após a produção, t 5 6, a validade corresponde a 0,25%. III. Quanto mais próximo do dia da produção maior o frescor. a) Somente a alternativa III está correta. b) As alternativas I e III estão corretas. c) As três alternativas, I, II e III, estão corretas. d) As alternativas II e III estão corretas. e) Nenhuma das alternativas está correta. 13. (Udesc-SC) O conjunto solução da inequação:  (2 x 2 2 ) 3  x 1 3 . 4 x é: a) S 5 {x   | 21 , x , 6} b) S 5 {x   | x , 26 ou x . 1} c) S 5 {x   | x , 21 ou x . 6} d) S 5 {x   | 26 , x , 1} e) S 5 {x   | x , 2 √ 6 ou x . √ 6 } 14. (Udesc-SC) A alternativa que representa o gráfco da função f(x) 5 |x 1 1| 1 2 é: a) y 4 3 2 1 x 2 1 0 22 21 23 b) y 4 3 2 1 x 4 3 2 0 1 21 c) y 2 1 x 1 0 22 21 23 d) y 4 3 2 1 x 2 3 1 0 22 21 23 24 e) y 3 2 1 x 2 3 1 0 22 21 21 22 23 15. (Unicamp-SP) Duas locadoras de automóveis oferecem planos diferentes para a diária de um veículo econômico. A locadora Saturno cobra uma taxa fxa de R$ 30,00, além de R$ 0,40 por quilômetro rodado. Já a locadora Mercúrio tem um plano mais elaborado: ela cobra uma taxa fxa de R$ 90,00 com uma franquia de 200 km, ou seja, o cliente pode percorrer 200 km sem custos adicionais. Entretanto, para cada km rodado além dos 200 km incluídos na franquia, o cliente deve pagar R$ 0,60. 9 Matemática Volume Único a) Para cada locadora, represente no gráfco a função que descreve o custo diário de locação em termos da distância percorrida no dia. b) Determine para quais intervalos cada locadora tem o plano mais barato. Supondo que a locadora Saturno vá manter inalterada a sua taxa fxa, indique qual deve ser seu novo custo por km rodado para que ela, lucrando o máximo possível, tenha o plano mais vantajoso para clientes que rodam quaisquer distâncias. 16. (Fuvest-SP) A função f:  →  tem como gráfco uma parábola e satisfaz f(x 1 1) 2 f(x) 5 6x 2 2, para todo número real x. Então, o menor valor de f(x) ocorre quando x é igual a: a) 11 6 b) 7 6 c) 5 6 d) 0 e) 2 5 6 17. (U.E. Ponta Grossa-PR) Sobre as funções f(x) 5 2x 1 1 x 2 1 e g(x) 5 3x 2 5, assinale o que for correto. Indique a soma dos valores. 01) O domínio da função f é {x   | x . 1} 02) A função f assume valores estritamente positivos para x , 2 1 2 ou x . 1 04) g(f(2)) 5 10 08) A função inversa de g é defnida por g 21 (x) 5 5 x 1 5 3 16) f 1 x 5 2f(x) 18. (U.E. Ponta Grossa-PR) Em relação à função de  em  defnida por f(x) 5 3 x 1 2, assinale o que for correto. Indique a soma dos valores. 01) f(f(0)) 5 29 02) Sua imagem é o conjunto ]2, 1 [ 04) f(a 1 b) 5 f(a) 1 f(b) 08) A função é decrescente 16) f(x 1 1) 2 f(x) 5 2 ? 3 x 19. (Fuvest-SP) A magnitude de um terremoto na escala Richter é proporcional ao logaritmo, na base 10, da energia liberada pelo abalo sísmico. Analogamente, o pH de uma solução aquosa é dado pelo logaritmo, na base 10, do inverso da concentração de íons H 1 . Considere as seguintes afrmações: I. O uso do logaritmo nas escalas mencionadas justifca-se pelas variações exponenciais das grandezas envolvidas. II. A concentração de íons H 1 de uma solução ácida com pH 4 é 10 mil vezes maior que a de uma solução alcalina com pH 8. III. Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala Richter libera duas vezes mais energia que outro, de magnitude 3. Está correto o que se afrma somente em: a) I b) II c) III d) I e II e) I e III 20. (UFF-RJ) A fgura a seguir representa um quadrado MNPQ inscrito no quadrado ABCD cuja área mede 16 cm 2 . A Q D B N C P M Determine: a) as medidas de AM e MB para que a área do quadrado MNPQ seja igual a 9 cm 2 . b) as medidas de AM e MB para que a área do quadrado MNPQ seja a menor possível. Justifque suas respostas. 21. (FGV-SP) O valor de um carro decresce exponencialmente, de modo que seu valor, daqui a x anos, será dado por V 5 Ae 2kx , em que e 5 2,7182… . Hoje, o carro vale R$ 40 000,00 e daqui a 2 anos valerá R$ 30 000,00. 10 Funções Nessas condições, o valor do carro daqui a 4 anos será: a) R$ 17 500,00 b) R$ 20 000,00 c) R$ 22 500,00 d) R$ 25 000,00 e) R$ 27 500,00 22. (Enem cancelado e modifcado-MEC) A empresa WQTU Cosmético vende um determinado produto, cujo custo de fabricação de x unidades é dado por 3x 2 1 232, e o seu valor de venda é expresso pela função 180x 2 116. A empresa vendeu 10 unidades do produto x, contudo a mesma deseja saber quantas unidades precisa vender para obter um lucro máximo. A quantidade máxima de unidades a serem vendidas pela empresa WQTU para a obtenção do maior lucro é: a) 10 d) 116 b) 30 e) 232 c) 58 23. (UF-GO) Grande parte da arrecadação da Coroa Por- tuguesa, no século XVIII, provinha de Minas Gerais devido à cobrança do quinto, do dízimo e das entradas (Revista de História da Biblioteca Nacional). Desses impostos, o dízimo incidia sobre o valor de todos os bens de um indivíduo, com uma taxa de 10% desse valor. E as entradas incidiam sobre o peso das mercadorias (secos e molhados, entre outros) que entravam em Minas Gerais, com uma taxa de, aproximadamente, 1,125 contos de réis por arroba de peso. O gráfco a seguir mostra o rendimento das entradas e do dízimo, na capitania, durante o século XVIII. 1 700 0 50 000 100 000 150 000 200 000 250 000 (Em Contos de Réis) Rendimento Fiscal da Capitania de Minas Gerais 1 720 1 740 1 760 1 780 1 800 Entradas Dízimos Revista de História da Biblioteca Nacional, Rio de Janeiro, ano 2, n. 23, ago. 2007 [Adaptado]. Com base nessas informações, em 1760, na capitania de Minas Gerais, o total de arrobas de mercadorias, sobre as quais foram cobradas entradas, foi de aproximadamente: a) 1 000 b) 60 000 c) 80 000 d) 100 000 e) 750 000 24. (UF-GO) A distância que um automóvel percorre até parar, após ter os freios acionados, depende de inú- meros fatores. Essa distância em metros pode ser calculada aproximadamente pela expressão D 5 V 2 250  , onde V é a velocidade em km/h no momento inicial da frenagem e  é um coefciente adimensional que depende das características dos pneus e do asfalto. Considere que o tempo de reação de um condutor é de um segundo, do instante em que vê um obstáculo até acionar os freios. Com base nessas informações, e considerando  5 0,8, qual é a distância aproximada percorrida por um automóvel do instante em que o condutor vê um obstáculo, até parar completamente, se estiver trafegando com velocidade constante de 90 km/h? a) 25,0 m b) 40,5 m c) 65,5 m d) 72,0 m e) 105,5 m 25. (PUC-MG) A função f é tal que f(x) 5 g(x) . Se o gráfco da função g é a parábola a seguir, o domínio de f é o conjunto: 4 3 2 1 2 3 4 1 0 22 21 21 22 23 24 a) {x   | x > 0} b) {x   | x < 22 ou x > 2} c) {x   | 0 < x < 2} d) {x   | 22 < x < 2} 11 Matemática Volume Único 26. (PUC-MG) O valor de certo equipamento, comprado por R$ 60 000,00, é reduzido à metade a cada 15 meses. Assim, a equação V(t) 5 60 000 ? 2 2 t 15 , onde t é o tempo de uso em meses e V(t) é o valor em reais, representa a variação do valor desse equipamento. Com base nessas informações, é CORRETO afrmar que o valor do equipamento após 45 meses de uso será igual a: a) R$ 3 750,00 c) R$ 10 000,00 b) R$ 7 500,00 d) R$ 20 000,00 27. (PUC-RJ) Considere a função real g(x) 5 x 4 2 40x 2 1 144 e a função real f(x) 5 x(x 2 4) (x 1 4) a) Para quais valores de x temos f(x) , 0? b) Para quais valores de x temos g(x) , 0? c) Para quais valores de x temos f(x) ? g(x) . 0? 28. (PUC-RJ) Sabendo que a curva a seguir é a parábola de equação y 5 x 2 2 x 2 6, a área do triângulo ABC é: B C A a) 4 b) 6 c) 9 d) 10 e) 12 29. (Cefet-SC) O volume de água de um reservatório aumenta em função do tempo, de acordo com o gráfco abaixo: t(h) V(m 3 ) 3 1 Para encher este reservatório de água com 2 500 litros, uma torneira é aberta. Qual o tempo necessário para que o reservatório fque completamente cheio? a) 7h b) 6h50min c) 6h30min d) 7h30min e) 7h50min 30. (UF-PR) Sabe-se que a velocidade do som no ar depende da temperatura. Uma equação que relaciona essa velocidade v (em metros por segundo) com a temperatura t (em graus Celsius) de maneira aproximada é v 5 20 t 1 273. Com base nessas informações, responda às seguintes perguntas: a) Qual é a velocidade do som à temperatura de 27 °C? (Sugestão: use 3 5 1,73) b) Costuma-se assumir que a velocidade do som é de 340 m/s (metros por segundo). Isso ocorre a que temperatura? 31. (UE-MG) “Em janeiro de 2008, o Brasil tinha 14 milhões de usuários residenciais na rede mundial de computadores. Em fevereiro de 2008, esses internautas somavam 22 milhões de pessoas 2 8 milhões, ou 57% a mais. Deste total de usuários, 42% ainda não usam banda larga (internet mais rápida e estável). Só são atendidos pela rede discada”. Atualidade e Vestibular 2009, 1 º semestre, Ed. Abril. Baseando-se nessa informação, observe o gráfco a seguir: (mês) 22 JAN/08 FEV/08 14 (milhões de usuários) Se mantida, pelos próximos meses, a tendência de crescimento linear, mostrada no gráfco acima, o número de usuários residenciais de computadores, em dezembro de 2009, será igual a: a) 178 3 10 6 b) 174 3 10 5 c) 182 3 10 7 d) 198 3 10 6 12 Funções 32. (UE-RJ) Para melhor estudar o Sol, os astrônomos utilizam fltros de luz em seus instrumentos de ob- servação. Admita um fltro que deixe passar 4 5 da intensidade da luz que nele incide. Para reduzir essa intensidade a menos de 10% da original, foi necessário utilizar n fltros. Considerando log 2 5 0,301, o menor valor de n é igual a: a) 9 c) 11 b) 10 d) 12 33. (UE-RJ) Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e, em seguida, toca o solo nos pontos A e B, conforme representado no sistema de eixos ortogonais: x (m) y (m) A B 35 0 C D Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas com vértices C e D. A equação de uma dessas parábolas é y 5 2x 2 75 1 2x 5 . Se a abscissa de D é 35 m, a distância do ponto 0 ao ponto B, em metros, é igual a: a) 38 b) 40 c) 45 d) 50 34. (PUC-PR) Sabendo que log 20 5 1,3 e log 5 5 0,7, é correto afrmar que log 5 20 corresponde a: a) Exatamente 2. b) Exatamente 0,6. c) Maior ou igual a 0,5 e menor que 0,6. d) Um valor entre 1,8 e 1,9. e) Nenhuma das alternativas anteriores. 35. (UE-CE) A idade de Paulo, em anos, é um número inteiro par que satisfaz a desigualdade x 2 2 32x 1 252 , 0. O número que representa a idade de Paulo pertence ao conjunto a) {12, 13, 14} b) {15, 16, 17} c) {18, 19, 20} d) {21, 22, 23} 36. (FGV-SP) O gráfco de uma função quadrática f(x) tem as seguintes características: O vértice é o ponto (4, 21). Intercepta o eixo das abscissas no ponto (5, 0). O ponto de interseção do gráfco com o eixo das ordenadas é: a) (0, 14) b) (0, 15) c) (0, 16) d) (0, 17) e) (0, 18) 37. (FGV-SP) Nos últimos anos, o salário mínimo tem cres- cido mais rapidamente que o valor da cesta básica, contribuindo para o aumento do poder aquisitivo da população. O gráfco abaixo ilustra o crescimento do salário mínimo e do valor da cesta básica na região Nordeste, a partir de 2005. y R$ 300,00 R$ 510,00 Salário Mínimo Cesta Básica R$ 184,00 R$ 154,00 2005 2006 2007 2008 2009 2010 x 0 1 2 3 4 5 Suponha que, a partir de 2005, as evoluções anuais dos valores do salário mínimo e dos preços da cesta básica, na região Nordeste, possam ser aproximados mediante funções polinomiais do 1º grau, f(x) 5 ax 1 b, em que x representa o número de anos transcorridos após 2005. a) Determine as funções que expressam os crescimentos anuais dos valores do salário mínimo e dos preços da cesta básica, na região Nordeste. b) Em que ano, aproximadamente, um salário míni- mo poderá adquirir cerca de três cestas básicas, na região Nordeste? Dê a resposta aproximando o número de anos, após 2005, ao inteiro mais próximo. 13 Matemática Volume Único 38. (Enem-MEC) O gráfco mostra o número de favelas no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004, considerando que a variação nesse número entre os anos considerados é linear. 372 1980 1992 2004 573 750 Favela tem memória. Época, nº 621, 12 abr. 2010 (adaptado). Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas em 2016 será: a) menor que 1 150. b) 218 unidades maior que em 2004. c) maior que 1 150 e menor que 1 200. d) 177 unidades maior que em 2010. e) maior que 1 200. 39. (Enem-MEC) Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto fnal e a economia no processo. Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função: 7 5 t 1 20, para 0 < t < 100 T(t) 5 2 125 t 2 2 16 5 t 1 320, para t > 100 em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é ligado. Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48 °C e retirada quando a temperatura for 200 °C. O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a: a) 100 d) 130 b) 108 e) 150 c) 128 40. (UF-RJ) Considere o programa representado pelo seguinte fuxograma: Entre com o valor de x Calcule √ x 2 1 Calcule 2x 22 Calcule (x 1 2) 1/3 Verifque: √ x 2 1 . 1? SIM NÃO a) Determine os valores reais de x para os quais é possível executar esse programa. b) Aplique o programa para x 5 0, x 5 4 e x 5 9. 41. (U. F. Juiz de Fora-MG) Os gráfcos I, II e III, a seguir, esboçados em uma mesma escala, ilustram modelos teóricos que descrevem a população de três espécies de pássaros ao longo do tempo. tempo população I tempo população II tempo população III Sabe-se que a população da espécie A aumenta 20% ao ano, que a população da espécie B aumenta 100 pássaros ao ano e que a população da espécie C permanece estável ao longo dos anos. Assim, a evolução das populações das espécies A, B e C, ao longo do tempo, correspondem, respectivamente, aos gráfcos a) I, III e II. d) III, I e II. b) II, I e III. e) III, II e I. c) II, III e I. 42. (UF-RJ) Um ponto P desloca-se sobre uma reta numerada, e sua posição (em metros) em relação à origem é dada, em função do tempo t (em segundos), por P(t) 5 2(1 2 t) 1 8t. 2 8 P(t) a) Determine a posição do ponto P no instante inicial (t 5 0). 14 Funções b) Determine a medida do segmento de reta correspondente ao conjunto dos pontos obtidos pela variação de t no intervalo  0, 3 2  . 43. (UF-PR) Um importante estudo a respeito de como se processa o esquecimento foi desenvolvido pelo alemão Hermann Ebbinghaus no fnal do século XIX. Utilizando métodos experimentais, Ebbinghaus determinou que, dentro de certas condições, o percentual P do conhecimento adquirido que uma pessoa retém após t semanas pode ser aproximado pela fórmula: P 5 (100 2 a) ? b t 1 a, sendo que a e b variam de uma pessoa para outra. Se essa fórmula é válida para um certo estudante, com a 5 20 e b 5 0,5, o tempo necessário para que o percentual se reduza a 28% será: a) entre uma e duas semanas. b) entre duas e três semanas. c) entre três e quatro semanas. d) entre quatro e cinco semanas. e) entre cinco e seis semanas. 44. (Fuvest-SP) Sejam f(x) 5 2x 2 9 e g(x) 5 x 2 1 5x 1 3. A soma dos valores absolutos das raízes da equação f(g(x)) 5 g(x) é igual a: a) 4 d) 7 b) 5 e) 8 c) 6 45. (U.F. Juiz de Fora-MG) Uma pessoa aplicou uma quantia inicial em um determinado fundo de investimento. Suponha que a função F, que fornece o valor, em reais, que essa pessoa possui investido em relação ao tempo t, seja dada por: F(t) 5 100(1,2) t . O tempo t, em meses, é contado a partir do instante do investimento inicial. a) Qual foi a quantia inicial aplicada? b) Quanto essa pessoa teria no fundo de investimento após 5 meses da aplicação inicial? c) Utilizando os valores aproximados log 10 2 5 0,3 e log 10 3 5 0,48, quantos meses, a partir do instante do investimento inicial, seriam necessários para que essa pessoa possuísse, no fundo de investimento, uma quantia igual a R$ 2 700,00? 46. (UF-PI) Sejam a, b  , a  0, b  0, satisfazendo a equação 2 3a 1 b 5 3a.Considerando log 2 5 0,30 e log 3 5 0,48, é correto afrmar que a) b a 5 2 7 5 b) se 3a 2 b 5 1, então a 5 8 5 c) a 5 2b d) b a 5 2 e) a 5 b 5 log 3 47. (UF-PI) Sobre o domínio da função f: D   → , defnida pela lei f(x) 5 3 2 | x 1 2 | , pode-se afrmar que a) contém somente seis números inteiros. b) possui dois inteiros positivos. c) é um intervalo de comprimento igual a seis unidades. d) não possui números racionais. e) é um conjunto fnito. 48. (UF-MG) Um tipo especial de bactéria caracteriza-se por uma dinâmica de crescimento particular. Quan- do colocada em meio de cultura, sua população mantém-se constante por dois dias e, do terceiro dia em diante, cresce exponencialmente, dobrando sua quantidade a cada 8 horas. Sabe-se que uma população inicial de 1 000 bactérias desse tipo foi colocada em meio de cultura. Considerando essas informações, 1. CALCULE a população de bactérias após 6 dias em meio de cultura. 2. DETERMINE a expressão da população P, de bac- térias, em função do tempo t em dias. 3. CALCULE o tempo necessário para que a popu- lação de bactérias se torne 30 vezes a população inicial. (Em seus cálculos, use log 2 5 0,3 e log 3 5 0,47.) 49. (UF-RN) Em uma fábrica, o custo diário com matéria- prima, para produzir x unidades de um produto, é dado pela equação C(x) 5 10x. A quantidade de unidades produzidas desse produto, após t horas, 0 < t < 8, por sua vez, é dada por Q(t) 5 6t 2 1 2 t 2 . a) Faça uma tabela com valores de C(x) para x igual a 10, 16 e 18, e uma tabela com valores de Q(t) para t igual a 2, 4 e 6, explicite os cálculos efetuados. b) Construa o gráfco da função composta C(Q(t)), que corresponde ao custo em função das horas (t). 15 Matemática Volume Único 50. (UF-AM) O produto dos números naturais que satisfazem a inequação x x 2 5 < x 2 5 x é: a) 12 d) 2 b) 2 e) 1 c) 60 51. (Uneb-BA) Considerando-se as funções reais f(x) 5 log 3 (x 1 1), g(x) 5 log 2 x e h(x) 5 log 4x, pode- se afmar que o valor de f(26) 2 g(0,125) 1 h(25) é 01) 8 04) 22 02) 2 05) 23 03) 0 52. (UF-PA) Beber e dirigir é uma combinação perigosa, mas parece que o número de acidentes nas rodovias e estradas não está sendo sufciente para convencer os motoristas a abandonarem o volante depois de umas doses de álcool. Então, para evitar essa combinação perigosa, foi criada a chamada Lei 13, que determina a punição muito mais rigorosa para os condutores bêbados. Sobre a concentração de álcool (etanol) no organismo, um recente estudo científco concluiu que essa decai linearmente em função do tempo. Em outros termos, a concentração pode ser descrita por uma função do tipo C(t) 5 a ? t 1 b Após o consumo de certa quantidade de álcool, verifca-se que a concentração de álcool no sangue de uma pessoa, após uma hora e meia da ingestão, é de 113,9 mg/d,, e, após duas horas e meia da ingestão, é de 96,9 mg/d,. Sabendo-se que essa pessoa, consciente de suas responsabilidades, só voltará a dirigir quando a concentração de álcool em seu sangue for zero, quanto tempo após o consumo, no mínimo, ela deve esperar para voltar a dirigir? a) 8,2 horas d) 7,9 horas b) 2,0 horas e) 8,6 horas c) 9,7 horas 53. (UF-PB) Considere a vibração de uma corda elástica sob a resistência de uma força de atrito. O decaimen- to da energia total é descrito pela função E(t) 5 E 0 e 2at , onde: t é o tempo, medido em segundos, a partir do instante inicial t 0 5 0; a . 0 é uma constante real; e E 0 é a energia inicial da corda. Considerando que em 7 segundos, a partir de t 0 , a energia da corda cai pela metade, o tempo necessário, para que a energia seja reduzida a 20% de E 0 , é: Use: e 0,7 5 2; e 1,6 5 5 a) 16 s d) 18 s b) 15 s e) 19 s c) 14 s 54. (UF-AL) A fórmula para medir a intensidade de um dado terremoto na escala Richter é R 5 log 10 (I/I 0 ), com I 0 sendo a intensidade de um abalo quase im- perceptível e I a intensidade de um terremoto dada em termos de um múltiplo de I 0 . Se um sismógrafo detecta um terremoto com intensidade I 5 32 000I 0 , qual a intensidade do terremoto na escala Richter? Indique o valor mais próximo. Dado: use a aproximação log 10 2  0,30. a) 3,0 d) 4,5 b) 3,5 e) 5,0 c) 4,0 55. (UF-MG) Uma fábrica vende determinado produto somente por encomenda de, no mínimo, 500 unidades e, no máximo, 3 000 unidades. O preço P, em reais, de cada unidade desse produto é fxado, de acordo com o número x de unidades encomendadas, por meio desta equação: P 5 90, se 500 < x < 1 000. 100 2 0,01x, se 1 000 , x < 3 000. O custo C, em reais, relativo à produção de x unidades desse produto é calculado pela equação C 5 60x 1 10 000 O lucro L apurado com a venda de x unidades desse produto corresponde à diferença entre a receita apurada com a venda dessa quantidade e o custo relativo à sua produção. Considerando essas informações, 1. ESCREVA a expressão do lucro L correspondente à venda de x unidades desse produto para 500 < x < 1 000 e para 1 000 , x , 3 000. 2. CALCULE o preço da unidade desse produto correspondente à encomenda que maximiza o lucro. 3. CALCULE o número mínimo de unidades que uma encomenda deve ter para gerar um lucro de, pelo menos, R$ 26 400,00. 56. (UF-AL) Associe aos gráfcos a seguir, enumerados de 1 a 4, as funções correspondentes, que têm como 16 Funções domínio e contradomínio o conjunto dos números reais, e assinale a sequência obtida, de cima para baixo. 1) 2) 3) 4) ( ) y 5 | 2 2x 2 1 | ( ) y 5 | x 2 2 3x 1 2 | ( ) y 5 2 2 | x 1 1 | ( ) y 5 | x | A sequência correta é: a) 3, 4, 1, 2 d) 1, 4, 3, 2 b) 3, 2, 1, 4 e) 4, 1, 3, 2 c) 2, 3, 4, 1 57. (UF-PA) Uma das técnicas para datar a idade das ár- vores de grande porte da foresta amazônica é medir a quantidade do isótopo radioativo C 14 presente no centro dos troncos. Ao tirar uma amostra de uma castanheira, verifcou-se que a quantidade de C 14 presente era de 84% da quantidade existente na atmosfera. Sabendo-se que o C 14 tem decaimento exponencial e sua vida média é de 5 730 anos e considerando os valores de In(0.50) 5 20.69 e In(0.84) 5 20.17, podemos afrmar que a idade, em anos, da castanheira é aproximadamente a) 420 d) 1 430 b) 750 e) 1 700 c) 1 030 58. (UE-PB) Um reservatório contendo gás é aquecido, de modo que a pressão P no seu interior varia com o tempo e a partir de um determinado valor, con- 1 1,5 2 20,5 21 1 2 0 22 21 23 24 0,5 1 1,5 2 1 2 3 0 22 21 23 0,5 2 3 4 5 6 7 1 2 3 0 22 21 23 1 2 3 4 5 6 3 4 2 0 1 21 1 forme o gráfco a seguir. A função que representa a pressão P no interior do reservatório em um instante t (minutos) tem lei de correspondência: t 6 P(t) 5 4 3 0 2 4 6 a) y 5 2 3 x 1 3 b) y 5 x 1 3 c) y 5 1 2 x 1 2 d) y 5 1 2 x 1 3 e) y 5 2 1 2 x 1 3 59. (UF-AM) Considere a função f:  →  dada por f(x) 5 | 3x 2 2 | . Com relação à função acima considere as afrmações: I. f é injetora. II. O valor mínimo assumido por f é zero. III. O gráfco de f intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0, 22). IV. O gráfco de f é uma reta. V. f é uma função par. Então: a) Somente V é verdadeira. b) Somente I e II são falsas. c) Somente II é verdadeira. d) Somente III é verdadeira. e) Todas são falsas. 60. (UE-PI) As populações das cidades A e B crescem exponencialmente, com taxas anuais de crescimento de 3% e 2%, respectivamente. Se, hoje, a população de A é de 9 milhões de habitantes, e a de B é de 11 milhões, em quanto tempo, contado a partir de hoje, as populações das duas cidades serão iguais? Dados: use as aproximações In(1,03/1,02)  0,01 e In(11/9)  0,20. a) 2 anos d) 15 anos b) 6 anos e) 20 anos c) 10 anos 17 Matemática Volume Único 61. (UnB-DF) Em 1772, o matemático Euler observou que, ao se inserir os números inteiros de 0 a 39 na fórmula x 2 1 x 1 41, obtém-se uma lista de 40 nú- meros primos. No plano de coordenadas cartesianas xOy considerando y 5 g(x) 5 x 2 1 x 1 41, conclui-se que os pares (N, g(N)), para 0 < N < 39, pertencem a uma parábola que: a) intercepta o eixo das ordenadas em um número composto. b) ilustra uma função crescente no intervalo [0, 39]. c) intercepta o eixo das abscissas em dois números primos. d) tem vértice em um dos pares ordenados obtidos por Euler. 62. (UnB-DF) Pode-se determinar o instante da morte de um organismo utilizando-se a Lei de Resfriamento de Newton, segundo a qual a taxa da variação da temperatura de um corpo é proporcional à diferença entre as temperaturas do corpo e do meio externo. Nesse sentido, suponha que, na investigação de um homicídio, a temperatura do cadáver encontrado, em °C, t horas (h) após o óbito, seja dada pela função T 5 T(t) 5 22 1 10 e 2kt , em que: t 0 5 0 representa o instante em que o corpo foi encontrado; t , 0 corresponde, em módulo, à quantidade de horas decorridas antes da descoberta do cadáver; t . 0 representa a quantidade de horas decorridas desde a descoberta do corpo; e k é uma constante positiva. Admitindo que, nessa situação hipotética, na hora do óbito, a temperatura do corpo era de 37 °C e que, duas horas após a descoberta do corpo, a temperatura do corpo era de 25 °C e considerando In 2 5 0,7, In 3 5 1,1, In 5 5 1,6, julgue os itens seguintes. a) No instante em que o corpo foi descoberto, sua temperatura era inferior a 30 °C. b) A função T 5 T(t) é inversível e sua inversa é dada por t 5 t(T) 5 1 k In 10 T 2 22 . c) O valor de k, em h 21 é superior a 5 8 . d) Com base nos dados, conclui-se que o óbito ocorreu 40 minutos antes da descoberta do cadáver. e) No sistema de coordenadas cartesianas tOT, o gráfco de T 5 T(t), válido a partir do momento em que o indivíduo morre, representa uma função decrescente que se inicia no 1º quadrante. f) À medida que t aumenta, T 5 T(t) tende a se aproximar da temperatura de 22 °C, mas nunca chega a atingi-la. 63. (UE-PI) Um fo de comprimento c deve ser dividido em dois pedaços, e os pedaços utilizados para formar o contorno de um quadrado e o de um hexágono regular. Se a divisão do fo deve ser tal que a soma das áreas do quadrado e do hexágono regular seja a menor possível, qual o perímetro do hexágono? a) (2 3 2 3)c d) 3 c 6 b) c 2 e) 2c 5 c) 2 c 3 64. (UF-SE) Sejam f e g funções de  em  tais que f é do primeiro grau e g é defnida por g(x) 5 x 2 2 4x 2 5. A fgura abaixo apresenta um esboço gráfco de f e g em um sistema de eixos cartesianos ortogonais. 0 9 16 7 x y Use as informações dadas para analisar as sentenças seguintes. a) O vértice da parábola é o ponto (2, 23). b) Os gráfcos de f e g interceptam o eixo das abscissas nos pontos (29, 0), (21, 0) e (5, 0). c) Em , o conjunto solução da inequação g(x) < < f(x) é [22, 7]. d) O coefciente angular da reta que representa f é igual a 1. e) Os gráfcos das funções defnidas por y 5 | f(x) | e y 5 | g(x) | têm três pontos comuns. 65. (UF-AM) Sejam f:  →  e g:  →  funções de fi ni das respectivamente por f(x) 5 3x 1 2 e g(x) 5 ax 1 b. Se (g  f)(x) 5 (f  g)(x), então, podemos concluir que: a) b 5 a 2 2 d) b 5 a 1 1 b) b 5 a 2 1 e) b 5 a 1 2 c) b 5 a Funções 18 respostas 1. 02 1 04 5 06 8. e 2. c 9. a 3. a 10. b 4. a 11. b 5. c 12. c 6. d 13. c 7. b 14. a 15. a) C (x) 5 0,4 ? x 1 30 (locadora Saturno) e C (x) 90, se 0 < x < 200 0,6 ? x 2 30, se x . 200 (locadora Mercúrio) x: número de quilômetros percorridos. 30 90 190 210 Distância percorrida (km) C u s t o d e l o c a ç ã o ( R $ ) 200 400 C m C s b) Saturno: 0 < x < 150 ou x > 300 Mercúrio: 150 < x < 300 R$ 0,30 por quilômetro rodado. 16. c 18. 01 1 02 1 16 5 19 17. 02 1 04 1 08 5 14 19. d 20. a) AM 5 2 2 √ 2 2 e MB 5 2 1 √ 2 2 b) AM 5 MB 5 2 21. c 23. d 25. d 22. b 24. c 26. b 27. a) S 5 {x   | x , 24 ou 0 , x , 4} b) S 5 {x   | 26 , x , 22 ou 2 , x , 6} c) S 5 {x   | 26 , x , 24 ou 22 , x , 0 ou 2 , x , 4 ou x . 6} 28. c 29. d 30. a) 346 m/s b) 16 °C 31. d 34. d 32. c 35. b 33. b 36. b 37. a) Salário: S(x) 5 42x 1 300 Cesta básica: C(x) 5 6x 1 154 b) Em 2012 38. c 39. d Funções 40. a) x > 0 b) x 5 0 → 3 √ 2 x 5 4 → 3 √ 6 x 5 9 → 2 81 41. e 42. a) 2 m b) 9 m 43. c 44. d 45. a) 100 reais b) aproximadamente R$ 249,00 c) 18 meses 46. a 47. c 48. 1) 4 096 bactérias 2) P(t) 5 1 000; se 0 < t < 2 1 000 ? 2 3(t 2 2) ; se t . 2 3) 3,63 dias 49. a) x C t Q 10 100 2 10 16 160 4 16 18 180 6 18 b) 180 6 0 12 50. a 53. a 51. 01 54. d 52. a 55. 1) L(x) 5 30x 2 10 000; se 500 < x < 1 000 20,01x 2 1 40x 2 10 000; se 1 000 , x < 3 000 2) 80 reais 3) 1400 unidades 56. a 59. c 57. d 60. e 58. d 61. b 62. a) F b) V c) F d) V e) F f) V 63. a 65. b 64. São verdadeiras: b, c, d. Matemática Volume Único 19 1. (Mackenzie-SP) Para que o produto dos termos da sequência (1, √ 3 , √ 3 2 , √ 3 3 , √ 3 4 ,..., √ 3 n21 ) seja 3 14 , deverão ser considerados, nessa sequência: a) 8 termos b) 6 termos c) 10 termos d) 9 termos e) 7 termos 2. (UF-RS) Considere o padrão de construção representado pelos desenhos a seguir. Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Na Etapa 1, há um único quadrado com lado 10. Na Etapa 2, esse quadrado foi dividido em quatro quadrados congruentes, sendo um deles retirado, como indica a fgura. Na Etapa 3 e nas seguintes, o mesmo processo é repetido em cada um dos quadrados da etapa anterior. Nessas condições, a área restante na Etapa 6 será de: a) 100 1 4 5 b) 100 1 3 6 c) 100 1 3 5 d) 100 3 4 6 e) 100 3 4 5 3. (FGV-SP) A soma dos 100 primeiros termos de uma progressão aritmética é 100, e a soma dos 100 termos seguintes dessa progressão é 200. A diferença entre o segundo e o primeiro termos dessa progressão, nessa ordem, é: a) 10 24 d) 10 21 b) 10 23 e) 1 c) 10 22 Progressões 4. (PUC-RS) Devido à epidemia de gripe do último inverno, foram suspensos alguns concertos em lugares fechados. Uma alternativa foi realizar espetáculos em lugares abertos, como parques ou praças. Para uma apre- sentação, precisou-se compor uma plateia com oito flas, de tal forma que na primeira fla houvesse 10 cadeiras; na segunda, 14 cadeiras; na terceira, 18 cadeiras; e assim por diante. O total de cadeiras foi: a) 384 b) 192 c) 168 d) 92 e) 80 5. (UF-PR) Um quadrado está sendo preenchido como mostra a sequência de fguras abaixo: quadrado original passo 1 passo 2 passo 3 No passo 1, metade do quadrado original é preenchido. No passo 2, metade da área não coberta no passo anterior é preenchida. No passo 3, metade da área não coberta nos passos anteriores é preenchida, e assim por diante. a) No passo 4, que percentual do quadrado original estará preenchido? b) Qual é o número mínimo de passos necessários para que 99,9% do quadrado original seja preenchido? 6. (UF-BA) Considerando-se as sequências (a n ) e (b n ) defnidas por: a n 5 (21) n n 2 n 2 1 1 e b 1 5 1 b n 1 1 5 n 1 2 n 1 1 b n 20 Progressões 01) O produto de dois termos consecutivos quaisquer da sequência (a n ) é um número negativo. 02) Para qualquer n, tem-se 21 , a n , 1. 04) A sequência (b n ) é crescente. 08) Existe n tal que a n 5 1 2 . 16) A sequência (b n ) é uma progressão aritmética. 32) A sequência (a n ) é uma progressão geométrica de razão negativa. 7. (Unicamp-SP) Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrantes usando estraté- gias agressivas de propaganda. O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos integrantes em um pe- ríodo de uma semana e dobrar o número de novos participantes a cada semana subsequente. Assim, entrarão 100 internautas novos na primeira semana, 200 na segunda, 400 na terceira, e assim por diante. Por sua vez, o site B, que já tem 2 200 membros, acredita que conseguirá mais 100 associados na primeira semana e que, a cada semana subsequente, aumentará o número de internautas novos em 100 pessoas. Ou seja, 100 novos membros entrarão no site B na primeira semana, 200 entrarão na segunda, 300 na terceira, etc. a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos associados o site A espera ter daqui a 6 semanas? b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos 10 000 membros? 8. (Unemat-MT) Dada uma PA cujo a 1 é o quádruplo de sua razão e a 20 é igual a 69, sua razão será: a) 2 b) 6 c) 4 d) 5 e) 3 9. (Enem-MEC) Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar fguras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada fgura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada fgura. A estrutura de formação das fguras está representada a seguir. Figura I Figura II Figura III Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada fgura? a) C 5 4Q d) C 5 Q 1 3 b) C 5 3Q 1 1 e) C 5 4Q 2 2 c) C 5 4Q 2 1 10. (UFF-RJ) Ao se fazer um exame histórico da presença africana no desenvolvimento do pensamento matemático, os indícios e os vestígios nos remetem à matemática egípcia, sendo o papiro de Rhind um dos documentos que resgatam essa história. Nesse papiro encontramos o seguinte problema: “Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes recebidas estejam em progressão aritmética e que um sétimo da soma das três partes maiores seja igual à soma das duas menores.” A G B P H O T O / T P G Papiro de Rhind 21 Matemática Volume Único Coube ao homem que recebeu a parte maior da divisão acima a quantidade de a) 115 3 pães b) 55 6 pães c) 20 pães d) 65 6 pães e) 35 pães 11. (UEL-PR) A solução da equação logarítmica: log 3 x 1 log 3 x 2 1 ... 1 log 3 x 49 1 log 3 x 50 5 2 550 é: a) x 5 1 b) x 5 3 c) x 5 9 d) x 5 log 3 1 275 e) x 5 log 3 2 550 12. (UF-RS) Na sequência 1, 3, 7, 15..., cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma unidade ao dobro do termo anterior. O 13º termo dessa sequência é: a) 2 11 2 1 b) 2 11 1 1 c) 2 12 2 1 d) 2 12 1 1 e) 2 13 2 1 13. (UFF-RJ) Com o objetivo de criticar os processos inf- nitos, utilizados em demonstrações matemáticas de sua época, o flósofo Zenão de Eleia (século V a.C.) propôs o paradoxo de Aquiles e a tartaruga, um dos paradoxos mais famosos do mundo matemático. Existem vários enunciados do paradoxo de Zenão. O escritor argentino Jorge Luis Borges o apresenta da seguinte maneira: Aquiles, símbolo de rapidez, tem de alcançar a tartaruga, símbolo de morosidade. Aquiles corre dez vezes mais rápido que a tartaruga e lhe dá dez metros de vantagem. Aquiles corre esses dez metros, a tartaruga corre um; Aquiles corre esse metro, a tartaruga corre um decímetro; Aquiles corre esse decímetro, a tartaruga corre um centímetro; Aquiles corre esse centímetro, a tartaruga um milímetro; Aquiles corre esse milímetro, a tartaruga um décimo de milímetro, e assim infnitamente, de modo que Aquiles pode correr para sempre, sem alcançá-la. Fazendo a conversão para metros, a distância percorrida por Aquiles nessa fábula é igual a d 5 10 1 1 1 1 10 1 1 10 2 1 ...5 10 1  ∑ n50 1 10 n É correto afrmar que: a) d 5 1 b) d 5 11,11 c) d 5 91 9 d) d 5 12 e) d 5 100 9 14. (CP2-MEC-RJ) Qual é o próximo número da sequência abaixo? 18, 15, 30, 26, 42, 37, 54, _____ 15. (Unemat-MT) Lança-se uma bola, verticalmente de cima para baixo, da altura de 4 metros. Após cada choque com o solo, ela recupera apenas 1 2 da altura anterior. A soma de todos os deslocamentos (medidos verticalmente) efetuados pela bola até o momento de repouso é: a) 12 m b) 6 m c) 8 m d) 4 m e) 16 m 16. (UE-RJ) Um jogo com dois participantes, A e B, obedece às seguintes regras: – antes de A jogar uma moeda para o alto, B deve adivinhar a face que, ao cair, fcará voltada para cima, dizendo “cara” ou “coroa”; – quando B errar pela primeira vez, deverá escrever, em uma folha de papel, a sigla UERJ uma única vez; ao errar pela segunda vez, escreverá UERJUERJ, e assim sucessivamente; – em seu enésimo erro, B escreverá n vezes a mesma sigla. 22 Progressões Veja o quadro que ilustra o jogo: ordem de erro Letras escritas 1 º UERJ 2 º UERJUERJ 3 º UERJUERJUERJ 4 º UERJUERJUERJUERJ - - - n º UERJUERJUERJUERJ. . .UERJ O jogo terminará quando o número total de letras escritas por B, do primeiro ao enésimo erro, for igual a dez vezes o número de letras escritas, considerando apenas o enésimo erro. Determine o número total de letras que foram escritas até o fnal do jogo. 17. (Unifesp-SP) Progressão aritmética é uma sequência de números tal que a diferença entre cada um desses termos (a partir do segundo) e o seu antecessor é constante. Essa diferença constante é chamada “ra- zão da progressão aritmética” e usualmente indicada por r. a) Considere uma PA genérica fnita (a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n ) de razão r, na qual n é par. Determine a fórmula da soma dos termos de índice par dessa PA, em função de a 1 , n e r. b) Qual a quantidade mínima de termos para que a soma dos termos da PA (2224, 2220, 216, ...) seja positiva? 18. (UF-PB) Em uma determinada plataforma marítima, foram extraídos 39 960 barris de petróleo, em um pe- ríodo de 24 horas. Essa extração foi feita de maneira que, na primeira hora, foram extraídos x barris e, a partir da segunda hora, r barris a mais do que na hora anterior. Sabendo-se que, nas últimas 9 horas desse período, foram extraídos 18 360 barris, o número de barris extraídos, na primeira hora, foi: a) 1 180 d) 1 190 b) 1 020 e) 1 090 c) 1 065 19. (UPE-PE) Considere uma progressão aritmética infnita de números reais da forma a 1 , a 2 , a 3 ,... com razão r. Formando a sequência b 1 , b 2 , b 3 ,... na qual b n 5 a 4n , n 5 1, 2, 3,..., é CORRETO afrmar que, necessariamente, a) b 1 , b 2 , b 3 ,... forma uma progressão geométrica de razão 4r. b) b 1 , b 2 , b 3 ,... forma uma progressão aritmética de razão 4r. c) b 1 , b 2 , b 3 ,... forma uma progressão aritmética cuja razão não depende de r. d) b 1 , b 2 , b 3 ,... não forma, necessariamente, nem uma progressão aritmética nem uma progressão geométrica. e) b 1 , b 2 , b 3 ,... independentemente do valor de r, formam uma sequência que é tanto uma progressão aritmética quanto uma progressão geométrica. 20. (UF-RN) A corrida de São Silvestre, realizada em São Paulo, é uma das mais importantes provas de rua disputadas no Brasil. Seu percurso mede 15 km. João, que treina em uma pista circular de 400 m, pretende participar dessa corrida. Para isso, ele estabeleceu a seguinte estratégia de treinamento: correrá 7 000 m na primeira semana; depois, a cada semana, aumentará 2 voltas na pista, até atingir a distância exigida na prova. a) A sequência numérica formada pela estratégia adotada por João é uma progressão geométrica ou uma progressão aritmética? Justifque sua resposta. b) Determine em que semana do treinamento João atingirá a distância exigida na prova. 21. (UE-PB) Se o segundo dos cinco meios aritméticos inseridos entre a e b foi 21 e o último foi 12, então o valor de b a 21 está no intervalo real: a) [2, 4[ d) ]21, 0] b) [1, 3[ e) ]0, 2[ c) [4, 6] 22. (UF-AM) Considere os inteiros positivos dispostos em uma sequência infnita de “quadrados” formados por quatro linhas e quatro colunas, representados a seguir: 1 2 3 4 17 18 19 20 ... 5 6 7 8 21 22 23 24 9 10 11 12 25 26 27 28 13 14 15 16 29 30 31 32 Em qual linha e coluna de um determinado quadrado desta sequência está localizado o número 2009? a) 1ª linha e 3ª coluna b) 3ª linha e 1ª coluna 23 Matemática Volume Único c) 4ª linha e 2ª coluna d) 2ª linha e 4ª coluna e) 4ª linha e 1ª coluna 23. (UE-PI) Três números reais positivos formam uma pro- gressão aritmética, e outros três formam uma progres- são geométrica. Multiplicando os termos da pro- gressão geométrica obtém-se 12 3 . Adicionando os termos correspondentes nas duas progressões obtemos a sequência 50, 17 e 11. Qual a razão da progressão aritmética? a) 1 3 d) 3 b) 2 e) 1 5 c) 1 2 24. (UnB-DF) nível I nível II nível III A sequência de fguras acima ilustra 3 passos da construção de um fractal utilizando-se como ponto de partida um triminó – nível I –, que consiste em uma peça formada por três quadrinhos de 1 cm de lado cada, justapostos em forma de L. No segundo passo, substitui-se cada quadradinho do fractal de nível I por um triminó, que tem os comprimentos dos lados de seus quadradinhos adequadamente ajustados à situa- ção, de forma a se obter o fractal de nível II, conforme ilustrado acima. No terceiro passo, obtém-se, a partir do fractal de nível II, também substituindo-se cada um de seus quadrinhos ajustados, o fractal de nível III. O processo continua dessa forma, sucessiva e indefnida- mente, obtendo-se os fractais de níveis n 5 I, II, III, ... . Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. a) No fractal de nível n, há 3 n quadradinhos sombreados. b) O perímetro externo do fractal de nível VI é igual a 8 cm. c) A área do fractal de nível V correspondente aos quadradinhos sombreados é superior a 1 cm 2 . d) À medida que n cresce, a área do fractal de nível n correspondente aos quadradinhos sombreados aproxima-se cada vez mais de 1 cm 2 . e) No quarto passo da construção, será obtido o fractal de nível IV, com a forma ilustrada a seguir: f) Caso o fractal de nível V seja cortado ao longo de uma reta que bissecta o ângulo interno inferior esquerdo do quadradinho localizado no canto inferior esquerdo, as duas partes obtidas serão congruentes, o que mostra ser essa estrutura simétrica em relação a essa reta. g) O fractal de nível II pode ser considerado uma planifcação de um poliedro convexo de 9 faces. 25. (UF-PI) Ao largar-se uma bola de uma altura de 5 m sobre uma superfície plana, observa-se que, devido a seu peso, a cada choque com o solo, ela recupera apenas 3 8 da altura anterior. Admitindo-se que o deslocamento da bola ocorra somente na direção vertical, qual é o espaço total percorrido pela bola pulando para cima e para baixo? a) 6 m d) 18 m b) 11 m e) 19 m c) 15 m 26. (UF-PA) O estudo dos logaritmos teve origem na análise de relações entre progressões aritméticas e progressões geométricas. Considerando que a tabela abaixo, incompleta, apresenta uma PA e uma PG com o mesmo número de termos, determine o último termo, X, da PG. PA 0 0,5 1 1,5  6 PG 1 2 4 8  X A alternativa correta é: a) 500 b) 1 024 c) 3 216 d) 4 096 e) 10 128 Progressões 24 respostas 1. a 2. e 3. c 4. b 5. a) 93,75% b) n 5 10 6. 01 1 02 1 04 1 16 5 23 7. a) 3 200 novos participantes e no total 6 450. b) 12 semanas. 8. e 9. b 10. a 11. c 12. e 13. e 14. 48 15. a 16. 760 letras Progressões 17. a) n 4 (n ? r 1 2 a 1 ) b) 114 termos 18. e 19. b 20. a) PA de razão 800 b) 11ª semana 21. a 22. b 23. d 24. a) V b) V c) F d) F e) V f) V g) F 25. b 26. d Matemática Volume Único 25 matemática comercial e financeira 1. (UF-PR) Luiz Carlos investiu R$ 10 000,00 no mercado fnanceiro da seguinte forma: parte no fundo de ações, parte no fundo de renda fxa e parte na poupança. Após um ano ele recebeu R$ 1 018,00 em juros simples dos três investimentos. Nesse período de um ano, o fundo de ações rendeu 15%, o fundo de renda fxa rendeu 10% e a poupança rendeu 8%. Sabendo que Luiz Carlos investiu no fundo de ações apenas metade do que ele investiu na poupança, os juros que ele obteve em cada um dos investimentos foram: a) R$ 270,00 no fundo de ações, R$ 460,00 no fundo de renda fxa e R$ 288,00 na poupança. b) R$ 300,00 no fundo de ações, R$ 460,00 no fundo de renda fxa e R$ 258,00 na poupança. c) R$ 260,00 no fundo de ações, R$ 470,00 no fundo de renda fxa e R$ 288,00 na poupança. d) R$ 260,00 no fundo de ações, R$ 480,00 no fundo de renda fxa e R$ 278,00 na poupança. e) R$ 270,00 no fundo de ações, R$ 430,00 no fundo de renda fxa e R$ 318,00 na poupança. 2. (Cefet-MG) Uma loja de eletrodomésticos publicou o seguinte anúncio: “Compre uma geladeira por R$ 950,00 para pagamento em 30 dias, ou à vista, com um desconto promocional de 20%”. Se um cliente optar pela compra com pagamento em 30 dias, a taxa de juros a ser paga, ao mês, é: a) 20% b) 22% c) 25% d) 28% 3. (Fatec-SP) Uma empresa decidiu trocar todos os seus computadores e aparelhos de telefone celular utilizados por seus funcionários. Após a troca, fez um levantamento do destino dado a esses equipamentos e constatou que 75% do total de equipamentos foram para a reciclagem, sendo que os computadores correspondiam a 60% do total de equipamentos e que 20% do total de telefones celulares não foram para a reciclagem. Com base nesses dados sobre o total de equipamentos, pode-se concluir que a porcentagem de computadores que foram para a reciclagem corresponde a a) 18% d) 37% b) 25% e) 43% c) 30% 4. (Unicamp-SP) Segundo o IBGE, nos próximos anos, a participação das gerações mais velhas na população do Brasil aumentará. O gráfco a seguir mostra uma estimativa da população brasileira por faixa etária, entre os anos de 2010 e 2050. Os números apresentados no gráfco indicam a população estimada, em milhões de habitantes, no início de cada ano. Considere que a população varia linearmente ao longo de cada década. a) Com base nos valores fornecidos no gráfco, calcule exatamente em que ano o número de habitantes com 60 anos ou mais irá ultrapassar o número de habitantes com até 17 anos. (Atenção: não basta encontrar um número aproximado a partir do gráfco. É preciso mostrar as contas). b) Determine qual será, em termos percentuais, a varia- ção da população total do país entre 2040 e 2050. 140 120 2010 2020 2030 Ano P o p u l a ç ã o ( e m m i l h õ e s ) 2040 2050 100 80 60 40 19 59 115 127 131 127 28 40 40 35 64 52 52 45 116 20 0 Legenda: 0 a 17 anos 18 a 59 anos 60 anos ou mais 5. (Fuvest-SP) O Índice de Massa Corporal (IMC) é o número obtido pela divisão da massa de um indivíduo adulto, em quilogramas, pelo quadrado da altura, medida em metros. É uma referência adotada pela Organização Mundial de Saúde para classifcar um indivíduo adulto, com relação ao seu peso e altura, conforme a tabela a seguir. imC Classifcação até 18,4 Abaixo do peso de 18,5 a 24,9 Peso normal de 25,0 a 29,9 Sobrepeso de 30,0 a 34,9 Obesidade grau 1 de 35,0 a 39,9 Obesidade grau 2 a partir de 40,0 Obesidade grau 3 26 Matemática comercial e fnanceira Levando em conta esses dados, considere as seguintes afrmações: I. Um indivíduo adulto de 1,70 m e 100 kg apresenta Obesidade Grau 1. II. Uma das estratégias para diminuir a obesidade na população é aumentar a altura média de seus indivíduos por meio de atividades físicas orientadas para adultos. III. Uma nova classifcação que considere obesos somente indivíduos com IMC maior que 40 pode diminuir os problemas de saúde pública. Está correto o que se afrma somente em: a) I b) II c) III d) I e II e) I e III 6. (UF-RS) Alguns especialistas recomendam que, para um acesso confortável aos bebedouros por parte de crianças e usuários de cadeiras de rodas, a borda desses equipamentos esteja a uma altura de 76,2 cm do piso, como indicado na fgura a seguir. Um bebedouro que tenha sido instalado a uma altura de 91,4 cm do piso à borda excedeu a altura recomendada. Dentre os percentuais a seguir, o que mais se aproxima do excesso em relação à altura recomendada é: a) 5% b) 10% c) 15% d) 20% e) 25% 7. (UF-RS) Entre julho de 1994 e julho de 2009, a infa- ção acumulada pela moeda brasileira, o real, foi de 244,15%. Em 1993, o Brasil teve a maior infação anual de sua história. A revista Veja de 08/07/2009 publicou uma matéria mostrando que, com uma infação anual como a de 1993, o poder de compra de 2 000 reais se reduziria, em um ano, ao poder de compra de 77 reais. Dos valores a seguir, o mais próximo do percentual que a infação acumulada entre julho de 1994 e julho de 2009 representa em relação à infação anual de 1993 é: a) 5% b) 10% c) 11% d) 13% e) 15% 8. (UFF-RJ) O Índice de Liberdade Econômica (Index of Economic Freedom) é um indicador elaborado pelo The Wall Street Journal e The Heritage Foundation, que avalia o grau de liberdade econômica de um país. Esse índice varia de zero a cem. Quanto maior o seu valor, maior a “liberdade econômica” do país. Tal índice é uma média da liberdade econômica em dez âmbitos: negócios; comércio; liberdade fscal; intervenção do governo; monetário; investimentos; fnanceiro; corrupção; trabalho; direitos de propriedade. A tabela a seguir fornece os índices de quatro países, no período de 2000 a 2009, e suas respectivas posições no ranking em 2009 (ano em que 179 países foram avaliados). Posição em 2009 País Índice de Liberdade Econômica 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2002 2001 2000 1 Hong Kong 90,0 89,7 89,9 88,6 89,5 90,0 89,8 89,4 89,9 89,5 6 Estados Unidos 80,7 81,0 81,2 81,2 79,9 78,7 78,2 78,4 79,1 76,4 105 Brasil 56,7 56,2 56,2 60,9 61,7 62,0 63,4 61,5 61,9 61,1 179 Coreia do Norte 2,0 3,0 3,0 4,0 8,0 8,9 8,9 8,9 8,9 8,9 Fonte: http://www.heritage.org/Index/Explore.aspx? view=by-region-country-year Com base nessa tabela, pode-se afrmar que o índice de liberdade econômica do Brasil: a) teve um aumento superior a 1%, do ano de 2000 para o ano de 2001. b) teve um decréscimo de 0,1%, no período de 2001 a 2004. c) teve um aumento superior a 13%, do ano de 2003 para o ano de 2008. d) teve um decréscimo de 30%, do ano de 2004 para o ano de 2005. e) cresceu, ano a ano, no período de 2003 a 2008. 9. (FGV-SP) Um supermercado fez a seguinte oferta para a compra de determinada marca de suco de laranja em caixa de 1litro: Expresse, em porcentagem, o desconto obtido por unidade em relação ao preço original, para quem comprar 8 sucos de laranja. Compre 6 e lhe damos 2 a mais R $ 3 ,6 0 T h i n k s t o c k / G e t t y I m a g e s F e r n a n d o M o n t e i r o 27 Matemática Volume Único 10. (FGV-SP) O gráfco a seguir fornece o Índice da Bolsa de Valores de São Paulo (IBovespa) nos fnais dos anos 2000 (ano 0), 2001 (ano 1) até 2008 (ano 8). 70 000 Í n d i c e B o v e s p a 60 000 50 000 40 000 30 000 20 000 10 000 0 0 1 15 259 13 577 11 268 22 236 26 196 33 455 44 473 37 550 63 886 2 3 4 Ano 5 6 7 8 9 Considerando o menor e o maior valor observados do índice, o aumento porcentual em relação ao menor valor foi de aproximadamente: a) 170% b) 270% c) 370% d) 470% e) 570% 11. (UF-CE) Uma garrafa está cheia de uma mistura, na qual 2 3 do conteúdo é composto pelo produto A e 1 3 pelo produto B. Uma segunda garrafa, com o dobro da capacidade da primeira, está cheia de uma mistura dos mesmos produtos da primeira garrafa, sendo agora 3 5 do conteúdo composto pelo produto A e 2 5 pelo produto B. O conteúdo das duas garrafas é derramado em uma terceira garrafa, com o triplo da capacidade da primeira. Que fração do conteúdo da terceira garrafa corresponde ao produto A? a) 10 15 d) 17 45 b) 5 15 e) 3 8 c) 28 45 12. (PUC-RJ) Duas torneiras jogam água em um reserva- tório, uma na razão de 1 m³ por hora e a outra na razão de 1 m³ a cada 6 horas. Se o reservatório tem 14 m³, em quantas horas ele estará cheio? a) 8 d) 14 b) 10 e) 16 c) 12 13. (Unicamp-SP) O valor presente, V p , de uma parcela de um fnanciamento, a ser paga daqui a n meses, é dado pela fórmula a seguir, em que r é o percentual mensal de juros (0 < r < 100) e p é o valor da parcela. V p 5 p  1 1 r 100  n a) Suponha que uma mercadoria seja vendida em duas parcelas iguais de R$ 200,00, uma a ser paga à vista, e outra a ser paga em 30 dias (ou seja, 1 mês). Calcule o valor presente da mercadoria, V p , supondo uma taxa de juros de 1% ao mês. b) Imagine que outra mercadoria, de preço 2p, seja vendida em duas parcelas iguais a p, sem entrada, com o primeiro pagamento em 30 dias (ou seja, 1 mês) e o segundo em 60 dias (ou 2 meses). Supon- do, novamente, que a taxa mensal de juros é igual a 1%, determine o valor presente da mercadoria, V p , e o percentual mínimo de desconto que a loja deve dar para que seja vantajoso, para o cliente, comprar à vista. 14. (UF-ES) Num país longínquo, a tributação sobre a venda de veículos novos é feita por meio de um imposto único de 8%, que incide sobre o valor de venda estipulado pelas concessionárias. O preço fnal de um veículo ao consumidor é o valor estipulado pelas concessionárias acrescido dos 8% de imposto, que as concessionárias então repassam ao governo. Como as vendas vinham caindo muito, em decor- rência da crise mundial, o governo resolveu reduzir temporariamente esse imposto para 4%. a) Determine a queda percentual no preço fnal de um veículo novo ao consumidor. Essa queda depende do preço de venda estipulado pelas concessionárias? Justifque a sua resposta. b) A redução do imposto veio acompanhada de um acréscimo de 20% nas vendas, o que não impediu que o governo perdesse receita. Determine a queda percentual da receita do governo advinda do imposto sobre a venda de veículos novos. c) Ao invés de reduzir o imposto para 4%, o governo poderia ter reduzido o imposto para x%. Admi- tindo que, com a redução do imposto para x%, houvesse um aumento de 5(8 − x)% nas vendas, o governo arrecadaria uma fração f(x) do que arrecadava antes. Determine f(x), 0 < x < 8, e esboce o gráfco de f. 28 Matemática comercial e fnanceira 15. (UF-TO) Uma TV de plasma com 20% de desconto é vendida por R$ 2 500,00. O preço da TV sem desconto é: a) R$ 3 125,00 b) R$ 3 000,00 c) R$ 2 800,00 d) R$ 3 100,00 e) R$ 3 500,00 16. (Unemat-MT) Sr. José, residente em um município do Estado de Mato Grosso, verifcou na fatura da rede de energia que a alíquota de ICMS para o seu Estado é de 25%. Em determinado mês, a fatura de Sr. José acusou um total (consumo + ICMS) de R$ 199,00 a ser pago. Assinale a alternativa correta. a) Deste total, R$ 49,75 é referente ao ICMS. b) Retirando-se a quantia cobrada como ICMS, Sr. José pagará o valor de R$ 149,25. c) O valor a ser pago pelo Sr. José, sem o ICMS, representa 75% do total apresentado na fatura. d) De acordo com a alíquota do Mato Grosso, do total apresentado na fatura de R$ 199,00, 25% são referentes ao ICMS. e) No referido mês, Sr. José pagará a quantia de R$ 39,80, referente ao ICMS. 17. (PUC-PR) O senhor Rogério economiza dinheiro para seu futuro, faz isto guardando R$ 50,00 por mês em um cofre dentro de sua casa. O senhor Mauricio tam- bém economiza dinheiro para seu futuro e também guarda R$ 50,00 por mês, só que Mauricio guarda na poupança, que rende 0,5% ao mês. Rogério tem atualmente R$ 500,00 e Mauricio R$ 100,25. Considerando que a situação descrita não sofrerá qualquer alteração, pode-se afrmar: a) Mauricio nunca terá mais dinheiro que Rogério. b) O dinheiro de Rogério aumenta em PG e o de Mauricio em PA. c) Em cinco anos Mauricio terá mais dinheiro que Rogério. d) Se Rogério, em vez de guardar R$ 50,00 por mês, passar a guardar R$ 51,00 por mês, Mauricio nunca terá mais dinheiro que Rogério. e) Nenhuma das alternativas anteriores. 18. (UE-CE) Renato contratou um empréstimo de R$ 1 400,00, para pagar um mês depois, com juros de 15% ao mês. Ao fnal do mês, não podendo pagar o total, deu por conta apenas R$ 750,00 e, para o restante, frmou um novo contrato nas mesmas bases do anterior, o qual foi pago integralmente um mês depois. O valor do último pagamento foi: a) R$ 889,00. b) R$ 939,00. c) R$ 989,00. d) R$ 1 009,00. 19. (UE-CE) Quatro amigos fundaram uma empresa com capital inicial K. Um deles participou com a terça parte, outro com a sexta parte, o terceiro com 20% e o último com R$ 1 029 000,00. O valor de K situa-se entre: a) R$ 3 000 000,00 e R$ 3 150 000,00. b) R$ 3 100 000,00 e R$ 3 250 000,00. c) R$ 3 200 000,00 e R$ 3 350 000,00. d) R$ 3 300 000,00 e R$ 3 450 000,00. 20. (UE-RJ) A defnição apresentada pelo personagem não está correta, pois, de fato, duas grandezas são inversamente proporcionais quando, ao se multiplicar o valor de uma delas por um número positivo, o valor da outra é dividido por esse mesmo número. Z i r a l d o 29 Matemática Volume Único Admita que a nota em matemática e a altura do personagem da tirinha sejam duas grandezas, x e y, inversamente proporcionais. A relação entre x e y pode ser representada por: a) y 5 3 x 2 c) y 5 2 x 1 1 b) y 5 5 x d) y 5 2x 1 4 3 21. (FGV-SP) Sandra fez uma aplicação fnanceira, comprando um título público que lhe proporcionou, após um ano, um montante de R$ 10 000,00. A taxa de juros da aplicação foi de 10% ao ano. Podemos concluir que o juro auferido na aplicação foi: a) R$ 1 000,00 d) R$ 909,09 b) R$ 1 009,09 e) R$ 800,00 c) R$ 900,00 22. (FGV-SP) Em uma escola, a razão entre o número de alunos e o de professores é de 50 para 1. Se houvesse mais 400 alunos e mais 16 professores, a razão entre o número de alunos e o de professores seria de 40 para 1. Podemos concluir que o número de alunos da escola é: a) 1 000 d) 1 150 b) 1 050 e) 1 200 c) 1 100 23. (Enem-MEC) Os dados do gráfco foram coletados por meio da Pesquisa Nacional por Amostra de Do- micílios. 0 10 20 30 40 50 60 70 Possuíam Não possuíam Regiões brasileiras Estudantes que possuem telefone móvel celular com idade de 10 anos ou mais 37 36 56 62 58 63 64 44 38 42 N o r t e P o r c e n t a g e m ( % ) N o r d e s t e S u d e s t e S u l C e n t r o - O e s t e Fonte: IBGE. Disponível em http://www.ibge.gov.br. Acesso em: 28 abr. 2010 (adaptado). Supondo-se que, no Sudeste, 14 900 estudantes foram entrevistados nessa pesquisa, quantos deles possuíam telefone móvel celular? a) 5 513 d) 8 344 b) 6 556 e) 9 536 c) 7 450 24. (Enem-MEC) O jornal de certa cidade publicou em uma página inteira a seguinte divulgação de seu caderno de classifcados. 26 mm x mm 260 mm 400 mm 4% outros jornais 96% Pessoas que consultam nossos classifcados Para que a propaganda seja fdedigna à porcentagem da área que aparece na divulgação, a medida do lado do retângulo que representa os 4% deve ser de aproximadamente: a) 1 mm d) 160 mm b) 10 mm e) 167 mm c) 17 mm 25. (Enem-MEC) Uma empresa possui um sistema de controle de qualidade que classifca o seu desempenho fnanceiro anual, tendo como base o do ano anterior. Os conceitos são: insufciente, quando o crescimento é menor que 1%; regular, quando o crescimento é maior ou igual a 1% e menor que 5%; bom, quando o crescimento é maior ou igual a 5% e menor que 10%; ótimo, quando é maior ou igual a 10% e menor que 20%; e excelente, quando é maior ou igual a 20%. Essa empresa apresentou lucro de R$ 132 000,00 em 2008 e de R$ 145 000,00 em 2009. De acordo com esse sistema de controle de qualidade, o desempenho fnanceiro dessa empresa no ano de 2009 deve ser considerado: a) insufciente d) ótimo b) regular e) excelente c) bom 26. (Enem-MEC) Um grupo de pacientes com Hepatite C foi submetido a um tratamento tradicional em que 40% desses pacientes foram completamente curados. Os pacientes que não obtiveram cura foram distribuídos em dois grupos de mesma quantidade e submetidos a dois tratamentos inovadores. No primeiro tratamento inovador, 35% dos pacientes foram curados e, no segundo, 45%. 30 Matemática comercial e fnanceira Em relação aos pacientes submetidos inicialmente, os tratamentos inovadores proporcionaram cura de: a) 16% d) 48% b) 24% e) 64% c) 32% 27. (UF-PR) O gráfco abaixo representa a velocidade de um veículo durante um passeio de três horas, iniciado às 13h00. 35 40 45 50 55 60 65 13h00 14h00 15h00 16h00 tempo V e l o c i d a d e ( k m / h ) De acordo com o gráfco, o percentual de tempo nesse passeio em que o veículo esteve a uma velocidade igual ou superior a 50 quilômetros por hora foi de: a) 20% d) 45% b) 25% e) 50% c) 30% 28. (UE-GO) A fazenda do João da Rosa produz, em média, 80 litros de leite por dia. Desse leite, 65% são utilizados na fabricação de queijos que são vendidos a R$ 7,50 o quilo, e o restante é vendido no laticínio da cidade a R$ 0,75 o litro. Se, a cada 8 litros de leite, João fabrica 1 quilo de queijo, a arrecadação mensal de João da Rosa com a venda dos queijos e do leite será a) menor que 1 946 reais. b) maior que 2 200 e menor que 2 275 reais. c) maior que 1 987 e menor que 2 000 reais. d) maior que 1 950 e menor que 2 170 reais. 29. (UE-GO) Uma pequena empresa foi aberta em sociedade por duas pessoas. O capital inicial aplicado por elas foi de 30 mil reais. Os sócios combinaram que os lucros ou prejuízos que eventualmente viessem a ocorrer seriam divididos em partes proporcionais aos capitais por eles empregados. No momento da apuração dos resultados, verifcaram que a empresa apresentou lucro de 5 mil reais. A partir dessa constatação, um dos sócios retirou 14 mil reais, que correspondia à parte do lucro devida a ele e ainda o total do capital por ele empregado na abertura da empresa. Determine o capital que cada sócio empregou na abertura da empresa. 30. (UF-PI) Aumentar o preço de um produto em 15% e, em seguida, conceder um desconto de 10% equivale a a) permanecer com o preço original. b) ter um prejuízo de 1% em relação ao preço original. c) ter um ganho de 3,5% em relação ao preço original. d) ter um prejuízo de 5% em relação ao preço original. e) ter um ganho de 7% em relação ao preço original. 31. (UF-AL) Dois eletrodomésticos foram comprados por um total de R$ 3 500,00. Se um desconto de 10% fosse dado no preço do primeiro eletrodoméstico e um desconto de 8% fosse dado no preço do segundo, o preço total dos eletrodomésticos seria de R$ 3 170,00. Quanto se pagou pelo primeiro eletrodoméstico? a) R$ 2 400,00 d) R$ 2 650,00 b) R$ 2 500,00 e) R$ 2 700,00 c) R$ 2 600,00 32. (UF-GO) Um pecuarista deseja fazer 200 kg de ração com 22% de proteína, utilizando milho triturado, farelo de algodão e farelo de soja. Admitindo-se que o teor de proteína do milho seja 10%, do farelo de algodão seja 28% e do farelo de soja seja 44%, e que o produtor disponha de 120 kg de milho, calcule as quantidades de farelo de soja e farelo de algodão que ele deve adicionar ao milho para obter essa ração. 33. (UF-GO) Segundo uma reportagem publicada na Folha on-line (31/08/2009), a chamada camada pré- sal é uma faixa que se estende, abaixo do leito do mar, ao longo dos estados de Espírito Santo e Santa Catarina e engloba três bacias sedimentares. O petró- leo encontrado nessa área está a profundidades que superam os 7 000 m, abaixo de uma extensa camada de sal, e sua extração colocaria o Brasil entre os dez maiores produtores do mundo. Para extrair petróleo da camada pré-sal, a Petrobras já perfurou poços de petróleo a uma profundidade de 7 000 m, o que representa um aumento de 582% em relação à profundidade máxima dos poços perfurados em 1994. De acordo com essas informações, calcule a profundidade máxima de um poço de petróleo perfurado pela Petrobras, no ano de 1994. 31 Matemática Volume Único 34. (UE-PI) Maria comprou uma blusa e uma saia em uma promoção. Ao término da promoção, o preço da blusa aumentou de 30%, e o da saia de 20%. Se comprasse as duas peças pelo novo preço, pagaria no total 24% a mais. Quanto mais caro foi o preço da saia em relação ao preço da blusa? a) 42% d) 48% b) 44% e) 50% c) 46% 35. (UF-MG) Um banco oferece dois planos para pagamento de um empréstimo de R$ 10 000,00, em pres- tações mensais iguais e com a mesma taxa mensal de juros: • no Plano 1, o período é de 12 meses; e • no Plano 2, o período é de 24 meses. Contudo a prestação de um desses planos é 80% maior que a prestação do outro. 1. Considerando essas informações, DETERMINE em qual dos dois planos – Plano 1 ou Plano 2 – o valor da prestação é maior. 2. Suponha que R$ 10 000,00 são investidos a uma taxa de capitalização mensal igual à taxa mensal de juros oferecida pelo mesmo banco. CALCULE o saldo da aplicação desse valor ao fnal de 12 meses. 36. (UF-PA) A tabela abaixo fornece os dados sobre a produção de alumínio primário no Brasil, importante componente da produção industrial do Estado do Pará, e apresenta, além disso, a porcentagem da produção exportada. Ano Quantidade de alumínio (mil ton) Exportação (%) 1973 111 700 1 1978 186 365 2,1 1983 400 744 44,5 1989 887 432 61,5 2000 1 271 400 71,4 2004 1 457 000 71,3 Alguns críticos destacam a importância da produ- ção de alumínio primário na exportação de energia elétrica, devido ao grande consumo dessa forma de energia na produção industrial. Considerando que o consumo de energia dependa linearmente da quantidade de alumínio produzida, podemos afrmar que, comparando os anos de 1983 e 2004, o crescimento da quantidade exportada de energia elétrica presente na produção de alumínio primário foi de aproximadamente: a) 60% d) 363% b) 263% e) 160% c) 482% 37. (Uneb-BA) Uma empresa produz e comercializa um determinado equipamento K. Desejando-se aumentar em 40% seu faturamento com as vendas de K, a pro- dução desse equipamento deve aumentar em 30% e o preço do produto também deve sofrer um reajuste. Para que a meta seja atingida, estima-se um reajuste mínimo aproximado de a) 5,6% d) 8,6% b) 6,3% e) 9,8% c) 7,7% 38. (UE-PI) O salário bruto mensal de um vendedor é composto de uma parcela fxa de R$ 600,00, adicionada a 5% do total de suas vendas que exceder R$ 1 000,00. Em determinado mês, o vendedor recebeu de salário líquido um total de R$ 1 080,00. Se o total de descontos que incidem sobre seu salário bruto é de 10%, qual foi o seu total de vendas naquele mês? a) R$ 11 000,00 d) R$ 14 000,00 b) R$ 12 000,00 e) R$ 15 000,00 c) R$ 13 000,00 39. (UF-SE) Um comerciante vende artigos nordestinos. No início deste ano ele comprou 100 redes ao preço unitário de X reais. Até o fnal de junho vendeu 3 5 do total delas, com lucro de 40% sobre o preço da compra. Como desejava renovar o estoque, fez uma liquidação em agosto e alcançou seu intento: vendeu todas as que haviam sobrado. Entretanto, nessa segunda venda, teve um prejuízo de 10% em relação ao valor pago por elas. O total arrecadado com as vendas das 100 redes foi R$ 3 600,00. Use o texto acima para analisar as afrmações abaixo. a) X 5 30 b) O valor arrecadado com a venda das redes no primeiro semestre foi R$ 2 650,00. c) O valor arrecadado com a venda das redes em agosto foi R$ 1 080,00. d) Com a venda de todas as redes, ele teve um lucro de R$ 750,00. e) Com a venda de todas as redes, ele teve um pre- juízo de R$ 150,00. Matemática comercial e fnanceira 32 respostas 1. a 2. c 3. e 4. a) No ano de 2032. b) Redução de 1,83% no número de habitantes. 5. a 6. d 7. b 8. a 9. 25% 10. d 11. e 12. c 13. a) 398,02 b) 1,5% 14. a) 3,7% b) 40% c) f(x) 5 x(28 2 x) 160 O gráfco é uma parábola, com a , 0 e raízes 0 e 28. 15. a 16. e 17. c 18. c matemática comercial e financeira 19. d 20. b 21. d 22. e 23. d 24. d 25. c 26. b 27. e 28. d 29. R$ 12 000,00 e R$ 18 000,00 30. c 31. b 32. 20 kg de farelo de algodão e 60 kg de farelo de soja. 33. 1 026,4 m, aproximadamente. 34. e 35. 1) Plano 1 2) R$ 12 500,00 36. c 37. c 38. c 39. São verdadeiras: a, c. Matemática Volume Único 33 Trigonometria 1. (FGV-SP) O número de soluções da equação: 1 1 sen x 2 2 ? |cos 2x| 5 0, com 0 < x , 2r, é: a) 8 d) 5 b) 7 e) 4 c) 6 2. (UFU-MG) O valor de tg 10°(sec 5° 1 cossec 5°) ? ? (cos 5° 2 sen 5°) é igual a: a) 2 b) 1 2 c) 1 d) 0 3. (PUC-SP) Leia com atenção o problema proposto a Calvin na tira seguinte. Calvin Hobbes, Bill Watterson © 1987 Watterson / Dist. by Universal Uclic Supondo que os pontos A, B e C sejam vértices de um triângulo cujo ângulo do vértice A mede 60°, então a resposta correta que Calvin deveria encontrar para o problema é, em centímetros: a) (5 √ 3) 3 d) 5 √ 3 b) (8 √ 3) 3 e) 10 √ 3 c) (10 √ 3) 3 4. (FGV-SP) O valor de cos 72° 2 cos 2 36° é idêntico ao de: a) cos 36° d) 2sen 2 36° b) 2cos 2 36° e) sen 2 36° c) cos 2 36° 5. (UF-PB) Considere a função f: [0, 2r] → , defnida por: y 5 f(x) 5 1 2 ? [sen x 1 cos x 2 sen (2x) 2 cos (2x)] O gráfco que melhor representa essa função é: a) 1 y x 21 0 r 2r 1 2 r 2 3r 2 2 1 2 b) 1 y x 21 0 r 2r r 2 3r 2 c) 1 y x 21 0 2r d) 1 y x 21 0 r 2r 1 2 r 2 3r 2 2 1 2 e) 1 y x 21 0 r 2r r 2 3r 2 34 Trigonometria 6. (UFSM-RS) Em determinada cidade, a concentração diária, em gramas, de partículas de fósforo na atmosfera é medida pela função C(t) 5 3 1 2 sen rt 6 , em que t é a quantidade de horas para fazer essa medição. O tempo mínimo necessário para fazer uma medição que registrou 4 gramas de fósforo é de: a) 1 2 hora b) 1 hora c) 2 horas d) 3 horas e) 4 horas 7. (Mackenzie-SP) Na fgura, tg  é igual a: 2,0 cm 0,5 cm  10,0 cm a) 16 81 d) 2 3 b) 8 27 e) 1 4 c) 19 63 8. (UEL-PR) Se cos (2x) 5 1 3 , onde x  (0, r), então o valor de y 5 [sen (3x) 2 sen (x)] cos (2x) é: a) 21 d) (2 √ 3) 3 b) ( √ 3) 3 e) 1 c) 3 √ 3 9. (UF-SC) Na fgura a seguir determine a medida do segmento AB, em cm, sabendo que sen a 5 0,6. A a C a 100 cm B 10. (Fatec-SP) Da trigonometria sabe-se que quaisquer que sejam os números reais p e q, sen p 1 sen q 5 2 ? sen p 1 q 2 ? cos p 2 q 2 . Logo, a expressão cos x ? sen 9x é idêntica a: a) sen 10x 1 sen 8x b) 2 ? (sen 6x 1 sen 2x) c) 2 ? (sen 10x 1 sen 8x) d) 1 2 ? (sen 6x 1 sen 2x) e) 1 2 ? (sen 10x 1 sen 8x) 11. (UF-RS) As medidas dos lados de um triângulo são proporcionais a 2, 2 e 1. Os cossenos de seus ângulos internos são, portanto: a) 1 8 , 1 8 , 1 2 d) 1 2 , 1 2 , 1 4 b) 1 4 , 1 4 , 1 8 e) 1 2 , 1 2 , 7 8 c) 1 4 , 1 4 , 7 8 12. (PUC-RS) Para representar os harmônicos emitidos pelos sons dos instrumentos da orquestra, usam-se funções trigonométricas. A expressão 2 sen 2 x 1 2 cos 2 x 2 5 envolve estas funções e, para r , x , 3r 2 , seu valor é de: a) 27 d) 2r 2 5 b) 23 e) 3r 2 5 c) 21 13. (UE-MG) Na fgura a seguir, um fazendeiro F dista 600 m da base da montanha (ponto B). A medida do ângulo AF ˆ B é igual a 30º. A (F) B Ao calcular a altura da montanha, em metros, o fazendeiro encontrou a medida correspondente a: a) 200 √ 3 b) 100 √ 2 c) 150 √ 3 d) 250 √ 2 F e r n a n d o M o n t e i r o 35 Matemática Volume Único a) 308,55 b) 309,05 c) 309,55 d) 310,05 e) 310,55 18. (Enem-MEC) Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, está a r qui- lômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por: r(t) 5 5 865 1 1 0,15 ? cos (0,06t) Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S. O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de: a) 12 765 km b) 12 000 km c) 11 730 km d) 10 965 km e) 5 865 km 19. (Fuvest-SP) No losango ABCD de lado 1, representado na fgura, tem-se que M é o ponto médio de AB, N é o ponto médio de BC e MN 5 14 4 . Então, DM é igual a: D A C B M N a) √ 2 4 b) √ 2 2 c) √ 2 d) 3 √ 2 2 e) 5 √ 2 2 14. (Unemat-MT) Na fgura abaixo, o triângulo ABC é um triângulo equilátero de 3 cm de lado, e o triângulo retângulo BCD tem lados BD 5 4 cm e CD 5 5 cm e CB ˆ D 5 900. A C D B Qual a medida do segmento AD? a) √ 3 b) 4 √ 3 c) √ 100 1 √ 3 d) √ 25 1 12 √ 3 e) 2√ 3 15. (ESPM-SP) Uma pessoa cujos olhos estão a 1,80 m de altura em relação ao chão avista o topo de um edifício segundo um ângulo de 30° com a horizontal. Percor- rendo 80 m no sentido de aproximação do edifício, esse ângulo passa a medir 60°. Usando o valor 1,73 para a raiz quadrada de 3, podemos concluir que a altura desse edifício é de aproximadamente: a) 59 m b) 62 m c) 65 m d) 69 m e) 71 m 16. (UE-CE) O número de soluções da equação 3 sen 2 x 2 3 ? |sen x| 1 cos 2 x 5 0 que estão no intervalo [0, 2r] é: a) 2 b) 8 c) 4 d) 6 17. (FGV-SP) A previsão de vendas mensais de uma empresa para 2011, em toneladas de um produto, é dada por f(x) 5 100 1 0,5x 1 3 sen rx 6 , em que x 5 1 corresponde a janeiro de 2011, x 5 2 corresponde a fevereiro de 2011 e assim por diante. A previsão de vendas (em toneladas) para o primeiro trimestre de 2011 é: (Use a aproximação decimal √ 3 5 1,7.) 36 Trigonometria 20. (Mackenzie-SP) Considerando o esboço do gráfco da função f(x) 5 cos x, entre 0 e 2r, a reta que passa pelos pontos P e Q defne com os eixos coordenados um triângulo de área: y x P Q 0 1 2 3 4 5 6 a) r 2 d) r 8 b) r 4 e) r 6 c) r 21. (Fuvest-SP) A fgura representa um quadrado ABCD de lado 1. O ponto F está em BC, BF mede √ 5 4 , o ponto E está em CD e AF é bissetriz do ângulo BÂE. Nessas condições, o segmento DE mede: A B F C E D a) 3 √ 5 40 d) 11 √ 5 40 b) 7 √ 5 40 e) 13 √ 5 40 c) 9 √ 5 40 22. (UFF-RJ) Nos itens a seguir, arccos denota a função inversa da função cosseno restrita ao intervalo [0, r] e arctg denota a função inversa da função tangente restrita ao intervalo 2 r 2 , r 2 . a) Calcule arccos cos r 5 . b) Calcule sen (arctg (21)). c) Verifque que sen (arccos (x)) 5 √ 1 2 x 2 para todo x  [21,1]. 23. (UF-BA) Dadas as funções reais: f(x) 5 sen x, 0 < x , r 2 1 1 cos x, r 2 < x < r 1 2 e g(x) 5 f x 1 r 2 , 2 r 2 < x , 0 1 1 f x 1 r 2 , 0 < x < r 2 determine x, pertencente ao intervalo  0, r 2  tal que [f(x)] 2 1 g(x) 2 7 4 5 0. 24. (UE-RJ) Observe abaixo a ilustração de um pistão e seu esquema no plano. O pistão é ligado, por meio da haste BC, a um disco que gira em torno do centro A. Considere que: • o raio AB e a haste BC medem, respectivamente, 1 polegada e 4 polegadas; • à medida que o disco gira, o pistão move-se verticalmente para cima ou para baixo, variando a distância AC e o ângulo BÂC. Se a medida do ângulo BÂC é dada por x radianos, a distância entre A e C, em polegadas, pode ser obtida pela seguinte equação: a) y 5 4 1 sen (x) b) y 5 4 1 cos (x) c) y 5 sen (x) 1 √ 16 2 cos 2 (x) d) y 5 cos (x) 1 √ 16 2 sen 2 (x) 25. (UE-GO) No ciclo trigonométrico, as funções seno e cosseno são defnidas para todos os números reais. F e r n a n d o M o n t e i r o 37 Matemática Volume Único Em relação às imagens dessas funções, é correto afrmar: a) sen (7) . 0 b) sen (8) , 0 c) (cos ( √ 5) . 0) d) (cos ( √ 5) . sen (8)) 26. (UF-RN) Marés são movimentos periódicos de rebaixamento e elevação de grandes massas de água formadas pelos oceanos, mares e lagos. Em determinada cidade litorânea, a altura da maré é dada pela função h(t) 5 3 1 0,2 cos r 6 ? t , onde t é medido em horas a partir da meia-noite. Um turista contratou um passeio de carro pela orla dessa cidade e, para tanto, precisa conhecer o movimento das marés. Desse modo, a) qual a altura máxima atingida pela maré? b) em quais horários isto ocorre no período de um dia? 27. (UF-AL) De um ponto A, situado no mesmo nível da base de uma torre, o ângulo de elevação do topo da torre é de 20°. De um ponto B, situado na mesma vertical de A e 5 m acima, o ângulo de elevação do topo da torre é de 18°. Qual a altura da torre? Dados: use as aproximações tg 20°  0,36 e tg 18°  0,32. a) 42 m d) 45 m b) 43 m e) 46 m c) 44 m 28. (UF-AL) Quantas soluções a equação trigonométrica sen 4 x 2 cos 4 x 5 1 2 admite no intervalo fechado com extremos 0 e 35r? a) 66 d) 72 b) 68 e) 74 c) 70 29. (UF-PI) Seja o um número real satisfazendo 0 , o , r 2 e tan o 2 5 √ 2. É correto afrmar que: a) cos o 1 sen o 5 1 2 2 √ 2 3 b) sec o 5 3 c) cossec o é um número racional d) sen o 5 1 e) sen o cos o 5 1 30. (UF-GO) Uma empresa de vigilância irá instalar um sistema de segurança em um condomínio fechado, representado pelo polígono da fgura abaixo. T A S P R Q A empresa pretende colocar uma torre de comunica- ção, localizada no ponto A, indicado na fgura, que seja equidistante dos vértices do polígono, indicados por P, Q, R, S e T, onde serão instalados os equipamentos de segurança. Sabe-se que o lado RQ desse polígono mede 3 000 m e as medidas dos outros lados são todas iguais à distância do ponto A aos vértices do polígono. Calcule a distância do ponto A, onde será instalada a torre, aos vértices do polígono. 31. (UE-PB) Dados tg x 5 22 e x um arco do 2º quadrante, o valor de sec x 1 cossec x é: a) 2√ 5 d) √ 5 2 b) 2 √ 5 4 e) √ 5 c) 2 √ 5 2 32. (UF-PB) Em determinado trecho do oceano, durante um período de vinte e quatro horas, a altura H das ondas, medida em metros, variou de acordo com a F e r n a n d o M o n t e i r o 38 Trigonometria expressão H(t) 5 2 1 3 2 sen rt 12 , onde t . 0 é o tempo, dado em horas. A altura das ondas nesse trecho não ultrapassou 2,75 m no horário da(s): a) 0h às 2h e das 10h às 24h b) 1h às 3h e das 9h às 23h c) 2h às 3h e das 8h às 20h d) 3h às 5h e das 7h às 20h e) 4h às 5h e das 6h às 20h 33. (UF-PE) Considere a função f, com domínio e con- tradomínio o conjunto dos números reais, dada por f(x) 5 √ 3 cos x 2 sen x, que tem parte de seu gráfco esboçado a seguir. Analise a veracidade das afrmações seguintes acerca de f: a) f(x) 5 2 ? sen x 1 r 6 , para todo x real. b) f é periódica com período 2r. c) As raízes de f(x) são 2 r 6 1 2 kr, com k inteiro. d) f(x) > 2√ 3, para todo x real. e) f(x) < 2, para todo x real. 34. (UE-PI) Do topo de uma montanha se avistam os pontos A e B de uma planície. As linhas de visão do topo aos pontos A e B formam entre si um ângulo de 30°. A linha de visão do topo com o ponto A tem inclinação de 30°, em relação à horizontal. Se AB 5 2 √ 3 km, qual a altura da montanha? 30° 30° A B a) 2,8 km b) 2,9 km c) 3,0 km d) 3,1 km e) 3,2 km 35. (UF-PE) Na ilustração abaixo, temos dois retângulos congruentes com base medindo 12 cm, e altura 5 cm. Qual o inteiro mais próximo da distância, em cm, do ponto A até a horizontal? Dado: use a aproximação √ 3  1,73. 30° A 36. (UF-AM) O alcance máximo no lançamento oblíquo de um corpo é dado pela expressão A 5 v 2 0 sen θ g , onde v 0 e g denotam respectivamente a velocidade inicial de lançamento do corpo e a aceleração da gravidade. Um jogador de golfe lança uma bola com velocidade inicial v 0 5 √ 10 m/s obtendo um alcance máximo de √ 2 2 cos θ metros. Considerando que θ é um ângulo do 1º quadrante, e a aceleração da gravidade igual a 10 m/s², o ângulo de lançamento θ é: a) r 2 b) r 3 c) r 4 d) r 6 e) r 8 F e r n a n d o M o n t e i r o 39 Matemática Volume Único 37. (UF-AM) O Big Ben, ao contrário do que muitos pensam, não é o famoso relógio do Parlamento Inglês, nem tampouco sua torre. É o nome do sino, que pesa 13 toneladas. http://emundo.fles.wordpress.com/2009/01/big-ben2.jpg Acesso em: 21 out. 2009. O nome do relógio é Tower Clock, e é muito conhecido pela sua precisão e tamanho. O ponteiro dos minutos mede 3,4 m (medindo do centro do relógio até a extremidade do ponteiro). Ao se deslocar 42 minutos, a distância percorrida pela extremidade do ponteiro dos minutos deste relógio é aproximadamente (considere r 5 3,14): a) 11 m b) 12 m c) 15 m d) 19 m e) 21 m 38. (UE-PI) Se os lados de um triângulo medem a, b e √ a 2 1 ab 1 b 2 , quanto mede o maior ângulo do triângulo? a) 30° b) 45° c) 60° d) 90° e) 120° 39. (Uneb-BA) Se arcsen x 5 r 3 , então cos (2 arcsen x) é igual a: a) 1 2 √ 3 4 b) 2 1 2 c) 1 2 √ 3 d) 0 e) 1 40. (UPE-PE) Um relógio de ponteiros (apenas com ponteiro para hora e ponteiro para minuto) foi acertado, exatamente, às 3h. Se o ponteiro menor (das horas) tiver percorrido um ângulo de 2r 5 radianos com relação a sua posição inicial, qual a hora que estará indicada pelo relógio, assumindo que a cada hora o ponteiro maior (dos minutos) percorre um ciclo completo e que tanto o movimento do ponteiro menor quanto do ponteiro maior ocorre continuamente com o passar do tempo? a) 6 horas e 24 minutos. b) 5 horas e 30 minutos. c) 3 horas e 12 minutos. d) 5 horas e 12 minutos. e) 5 horas e 24 minutos. 41. (UF-RN) A fgura abaixo representa uma torre de altura H equilibrada por dois cabos de comprimentos L 1 e L 2 , fxados nos pontos C e D, respectivamente. 30° 60° A B D C H L 1 L 2 Entre os pontos B e C passa um rio, difcultando a medição das distâncias entre esses pontos. Apenas com as medidas dos ângulos C e D e a distância entre B e D, um engenheiro calculou a quantidade de cabo (L 1 1 L 2 ) que usou para fxar a torre. O valor encontrado, usando √ 3 5 1,73 e BD 5 10 m, é a) 54,6 m. c) 62,5 m. b) 44,8 m. d) 48,6 m. T h i n k s t o c k / G e t t y I m a g e s Trigonometria 40 respostas 1. b 2. a 3. c 4. d 5. e 6. b 7. a 8. d 9. 96 cm 10. e 11. c 12. b 13. a 14. d 15. e 16. d 17. d 18. b 19. b 20. b 21. d 22. a) arccos cos r 5 5 r 5 b) sen (arctg(21)) 5 sen 2 r 4 5 2 √ 2 2 c) Use a relação: sen 2 a 1 cos 2 a 5 1 Trigonometria 23. x 5 r 6 24. d 25. a 26. a) 3,2 b) 0h e 12h 27. d 28. c 29. b 30. 1 000 √ 3 m 31. c 32. a 33. a) F b) V c) F d) F e) V 34. c 35. 10 36. c 37. c 38. e 39. b 40. e 41. a Matemática Volume Único 41 1. (Ufa-MG) O determinante da matriz A 5 j , , ( sen x cos 2 x cos x \ ( ( , cos x 0 2sen x sen x 2sen 2 x cos x é: a) 21 b) 1 c) 0 d) sen 2x 2. (Fatec-SP) Sobre o sistema linear, nas incógnitas x, y e z, S ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ x 1 2y 1 3z 5 1 2x 1 y 2 z 5 m 3x 1 ky 1 2z 5 4 em que k e m são constantes reais, pode-se afrmar que: a) não admite solução se k 5 4. b) admite infnitas soluções se k 5 m 5 3. c) admite infnitas soluções se k 5 3 e m 5 5. d) admite solução única se k 5 3 e m é qualquer real. e) admite solução única se k  5 e m 5 3. 3. (Udesc-SC) Dada a matriz A (fgura 1). Seja a matriz B tal que A 21 BA 5 D, onde a matriz D (fgura 2), então o determinante de B é igual a: Figura 1 A 5 , , ¸ 1 2] ] ] 1 21 Figura 2 D 5 , , ¸ 2 1] ] ] 21 2 a) 3 b) 25 c) 2 d) 5 e) 23 4. (U.E. Londrina-PR) Se o determinante da matriz A 5 , , , ¸ x 2 1] ] ] ] 1 21 1 2x 21 3 matrizes, determinantes e sistemas lineares é nulo, então: a) x 5 23 b) x 5 2 7 4 c) x 5 21 d) x 5 0 e) x 5 7 4 5. (Mackenzie-SP) Considerando 0 , x , 3r 2 , o número de soluções da equação det j , ( log(tg(x)) log(cotg(x)) \ ( , 5 0 é: 1 1 a) 2 b) 3 c) 0 d) 1 e) 4 6. (Mackenzie-SP) Dadas as matrizes A 5 (a ij ) 3 3 3 tal que ¦ ¦ ¦ a ij 5 10, se i 5 j a ij 5 0, se i  j e B 5 (b ij ) 3 3 3 tal que ¦ ¦ ¦ b ij 5 3, se i 5 j b ij 5 0, se i  j , o valor de det(AB) é: a) 27 3 10 3 b) 9 3 10 3 c) 27 3 10 2 d) 3 2 3 10 2 e) 27 3 10 4 7. (FGV-SP) O sistema linear abaixo, nas incógnitas x e y: ¦ ¦ ¦ x 1 3y 5 m 2x 2 py 5 2 , será impossível quando: a) Nunca b) p  26 e m 5 1 c) p  26 e m  1 d) p 5 26 e m 5 1 e) p 5 26 e m  1 42 Matrizes, determinantes e sistemas lineares 8. (PUC-RJ) Maria comprou duas bicicletas por um total de R$ 670,00. Vendeu uma das bicicletas com lucro de 10% e a outra com prejuízo de 5%. No total, ela ganhou R$ 7,00. Quais foram os preços de compra? a) R$ 370,00 e R$ 300,00 b) R$ 270,00 e R$ 400,00 c) R$ 277,00 e R$ 400,00 d) R$ 200,00 e R$ 470,00 e) R$ 377,00 e R$ 293,00 9. (UF-CE) Os inteiros não todos nulos m, n, p, q são tais que 45 m ? 60 n ? 75 p ? 90 q 5 1. Pede-se: a) dar exemplo de um tal quaterno (m, n, p, q). b) encontrar todos os quaternos (m, n, p, q) como acima, tais que m 1 n 1 p 1 q 5 8. 10. (CP2-MEC-RJ) Para comemorar o seu aniversário de 15 anos, Marcela convidou alguns amigos para uma festa em sua casa e comprou certa quantidade de brindes para distribuir entre seus convidados. Planejou que cada um dos seus amigos ganharia três brindes e ainda restariam dois para guardar de reserva. Porém, no dia da festa, seis amigos não puderam comparecer. Dessa forma, Marcela preferiu dar, para cada convidado, um brinde a mais do que o previsto, não lhe restando, assim, mais nenhum. a) Represente a situação descrita no texto acima através de um sistema de equações. b) Resolva o sistema de equações obtido no item (a) e diga quantos amigos compareceram à festa de Marcela. 11. (UF-PR) Considere a função f defnida pela expressão: , , , , , ¸ cos (2x) sen x 0 ] ] ] ] ] ] f(x) 5 det cos x 1 2 0 1 0 2 a) Calcule f(0) e f 5 r 4 . b) Para quais valores de x se tem f(x) 5 0? 12. (Unicamp-SP) Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de festa. Cada quilograma do bolo do tipo A consome 0,4 kg de açúcar e 0,2 kg de farinha. Por sua vez, o bolo do tipo B consome 0,2 kg de açúcar e 0,3 kg de farinha para cada quilograma produzido. Sabendo que, no momento, a confeitaria dispõe de 10 kg de açúcar e 6 kg de farinha, responda às questões a seguir. a) Será que é possível produzir 7 kg de bolo do tipo A e 18 kg de bolo do tipo B? Justifque sua resposta. b) Quantos quilogramas de bolo do tipo A e de bolo do tipo B devem ser produzidos se a confeitaria pretende gastar toda a farinha e todo o açúcar de que dispõe? 13. (UF-ES) Vicente, que tem o hábito de fazer o controle do consumo de combustível de seu carro, observou que, com 33 L de gasolina, ele pode rodar 95 km na cidade mais 276 km na estrada e que, com 42 L de gasolina, ele pode rodar 190 km na cidade mais 264 km na estrada. a) Calcule quantos quilômetros Vicente pode rodar na cidade com 1L de gasolina. b) Sabendo que Vicente viajou 143,5 km com 13 L de gasolina, determine o comprimento do seu trajeto na estrada e o comprimento do seu trajeto na cidade. 14. (PUC-PR) Considere as seguintes desigualdades: I. 2 2 . 3 4 21 4 1 5 II. 3 26 . 4 7 5 22 21 5 III. 8 1 . 9 2 22 26 21 27 É correto afrmar que: a) São verdadeiras apenas as desigualdades I e II. b) São verdadeiras apenas as desigualdades II e III. c) São verdadeiras apenas as desigualdades I e III. d) As três desigualdades são verdadeiras. e) As três desigualdades são falsas. 15. (UE-CE) Se x, y e z constituem a solução do sistema linear ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ x 1 y 1 z 5 1 x 1 2y 2 3z 5 22 x 1 4y 1 5z 5 24 então o produto x ? y ? z é igual a: a) 24 c) 22 b) 28 d) 26 43 Matemática Volume Único a) , , , ¸ 0 0 1 ] ] ] ] 1 0 0 0 1 0 d) , , , ¸ 0 0 1 ] ] ] ] 0 1 0 1 0 0 b) , , , ¸ 1 0 0 ] ] ] ] 0 0 1 0 1 0 e) , , , ¸ 1 0 0 ] ] ] ] 0 1 0 0 0 1 c) , , , ¸ 0 1 0 ] ] ] ] 1 0 0 0 0 1 19. (Fuvest-SP) Uma geladeira é vendida em n parcelas iguais, sem juros. Caso se queira adquirir o produto, pagando-se 3 ou 5 parcelas a menos, ainda sem juros, o valor de cada parcela deve ser acrescido de R$ 60,00 ou de R$ 125,00, respectivamente. Com base nessas informações, conclui-se que o valor de n é igual a: a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 20. (UF-RN) Matilda saiu de casa para fazer compras. Passou em um supermercado e numa farmácia, gastando um total de R$ 110,00. Se suas despesas no supermercado foram superiores às despesas na farmácia em R$ 94,00, quanto ela gastou em cada estabelecimento? 21. (UF-AL) Três ligas metálicas têm as constituições seguintes: – a primeira é formada por 20 gramas de ouro, 30 gramas de prata e 40 gramas de bronze; – a segunda é formada por 30 gramas de ouro, 40 gramas de prata e 50 gramas de bronze; – a terceira liga é formada por 40 gramas de ouro, 50 gramas de prata e 90 gramas de bronze. As três ligas devem ser combinadas para compor uma nova liga contendo 37 gramas de ouro, 49 gramas de prata e 76 gramas de bronze. Quanto será utilizado da terceira liga? a) 0,3 gramas b) 0,4 gramas c) 0,5 gramas d) 0,6 gramas e) 0,7 gramas 16. (UE-CE) Se n é um número inteiro positivo e X é a matriz , , , ¸ 1 0 0 ] ] ] ] 1 2 0 1 1 3 , então o valor do determinante da matriz Y 5 X n é: a) 2 n c) 6 n b) 3 n d) 9 n 17. (FGV-SP) O sistema linear nas incógnitas x, y e z ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ x 2 y 5 10 1 z y 2 z 5 5 2 x z 1 x 5 7 1 y pode ser escrito na forma matricial AX 5 B , em que: X 5 , , , ¸ x ] ] ] ] y z e B 5 , , , ¸ 10] ] ] ] 5 7 Nessas condições, o determinante da matriz A é igual a: a) 5 d) 2 b) 4 e) 1 c) 3 18. (UFF-RJ) A transmissão de mensagens codifcadas em tempos de confitos militares é crucial. Um dos métodos de criptografa mais antigos consiste em permutar os símbolos das mensagens. Se os símbolos são números, uma permutação pode ser efetuada usando-se multiplicações por matrizes de permuta- ção, que são matrizes quadradas que satisfazem as seguintes condições: Cada coluna possui um único elemento igual a 1 (um) e todos os demais elementos são iguais a zero; cada linha possui um único elemento igual a 1 (um) e todos os demais elementos são iguais a zero. Por exemplo, a matriz M 5 , , , ¸ 0 1 0 ] ] ] ] 0 0 1 1 0 0 permuta os elementos da matriz coluna Q 5 , , , ¸ a ] ] ] ] b c , transformando-a na matriz P 5 , , , ¸ b ] ] ] ] c a , pois P 5 M ? Q. Pode-se afrmar que a matriz que permuta , , , ¸ a ] ] ] ] b c , transformando-a em , , , ¸ c ] ] ] ] a b , é: 44 Matrizes, determinantes e sistemas lineares 22. (UF-PB) Na confecção de três modelos de camisas (A, B e C), são usados dois tipos de botão: grandes (G) e pequenos (P). O número de botões, por modelo, está indicado na tabela a seguir. modelo botão A B C P 3 1 5 G 6 5 5 O número de cada modelo de camisas confeccionadas, nos meses de julho e agosto, está indicado na tabela a seguir. meses camisas julho agosto A 100 50 B 50 100 C 50 50 De acordo com esses dados, o número total de botões usados na confecção dessas camisas, nesses dois meses, foi: a) 3 250 b) 5 000 c) 2 850 d) 4 200 e) 2 550 23. (UF-AM) Seja A uma matriz quadrada de ordem n, tal que det A 5 k, com k  0. Sendo A 21 a matriz inversa de A, o valor do det A 21 é: a) 2k b) 3k c) k 3 d) k 2 e) 1 k 24. (UF-GO) Uma agência de turismo vende pacotes familiares de passeios turísticos, cobrando para crianças o equivalente a 2 3 do valor para adultos. Uma família de cinco pessoas, sendo três adultos e duas crianças, comprou um pacote turístico e pagou o valor total de R$ 8 125,00. Com base nessas informações, calcule o valor que a agência cobrou de um adulto e de uma criança para realizar esse passeio. 25. (UF-PE) Uma fábrica de automóveis utiliza três tipos de aço, A 1 , A 2 e A 3 na construção de três tipos de carros, C 1 , C 2 e C 3 . A quantidade dos três tipos de aço, em toneladas, usados na confecção dos três tipos de carro, está na tabela a seguir: C 1 C 2 C 3 A 1 2 3 4 A 2 1 1 2 A 3 3 2 1 Se foram utilizadas 26 toneladas de aço do tipo A 1 , 11 toneladas do tipo A 2 e 19 toneladas do tipo A 3 , qual o total de carros construídos (dos tipos C 1 , C 2 ou C 3 )? 26. (UE-PB) Se os dois sistemas lineares ¦ ¦ ¦ 2x 2 y 5 0 x 1 y 5 3 e ¦ ¦ ¦ mx 1 ny 5 21 mx 2 ny 5 1 são equivalentes, os valores de m e n são, respectivamente: a) 1 2 e 21 b) 0 e 1 2 c) 1 2 e 1 d) 0 e 2 1 2 e) 1 e 22 27. (UF-SE) Considere as matrizes A 5 , , ¸ 21 2] ] ] 0 1 , B 5 , , ¸ 1 0] ] ] 2 21 e C 5 , , ¸ a b] ] ] c d , com a, b, c, d reais, para analisar as afrmações abaixo. a) A 1 B 5 , , ¸ 0 2] ] ] 2 0 b) Se A 2 B 2 5 C, então b a 5 √ 2. c) Se A t é a matriz transposta de A, então det A t 5 21. d) Se C é a matriz inversa de B, então a ? d 5 1. e) Se A ? C 5 B, então C 5 , , ¸ 3 2] ] ] 2 1 . Matemática Volume Único 45 respostas 1. a 2. b 3. d 4. e 5. a 6. a 7. e 8. b 9. a) n 5 3, m 5 5, p 5 21 e q 5 26, por exemplo. b) m 5 40, n 5 24, p 5 28 e q 5 248. 10. a) Sejam: x o número de amigos e y o número de brindes, temos: ¦ ¦ ¦ y 5 3x 1 2 y 5 4(x 2 6) b) O número de amigos que compareceram à festa é 20. 11. a) 1; 21 b) S 5 ¦ ¦ ¦ x   | x 5 r 8 1 k r 2 , com k  Z ¦ ¦ ¦ 12. a) Não, pois faltará farinha. b) 22,5 kg do tipo A e 5 kg do tipo B. 13. a) 9,5 km na cidade e 12 km na estrada. b) 96 km na estrada e 47,5 km na cidade. 14. b 15. a 16. c 17. b 18. a 19. a 20. R$ 8,00 na farmácia e R$ 102,00 no supermercado. 21. c 22. a 23. e 24. Adulto: R$ 1 875,00; criança: R$ 1 250,00. 25. 9 carros ao todo 26. d 27. São verdadeiras: a, c. matrizes, determinantes e sistemas lineares Geometria plana 46 Geometria plana 1. (UF-MG) O octógono regular de vértices ABCDEFGH, cujos lados medem 1 dm cada um, está inscrito no quadrado de vértices PQRS, conforme mostrado nesta fgura: A P H G B Q C D R E F S Então, é correto afrmar que a área do quadrado PQRS é: a) 1 1 2√ 2 dm 2 b) 1 1 √ 2 dm 2 c) 3 1 2√ 2 dm 2 d) 3 1 √ 2 dm 2 2. (UF-GO) Os “Sulbasutras” são manuscritos que foram escritos pelos habitantes do noroeste da Índia por volta de 1500 a.C. Eles trazem instruções para a realização de cerimônias religiosas que requeriam a construção de altares em formatos combinados de triângulos, retângulos e trapézios. Uma dessas instruções é um método para construir um quadrado a partir de dois quadrados menores. Denotando-se por ABCD e PQRS os dois quadrados menores na fgura a seguir, marca-se um ponto X no lado DC, de modo que DX 5 PQ; em seguida, ligam-se A e X e constrói-se o novo quadrado AXFE. A E B F G C X D S R P Q Sabendo que PQ 5 2 m e AD 5 4 m, calcule a área da região sombreada ABGFE. 3. (Fuvest-SP) A F G C x E B O triângulo ABC da fgura acima é equilátero de lado 1. Os pontos E, F e G pertencem, respectivamente, aos lados AB, AC e BC do triângulo. Além disso, os ângulos AFE e CGF são retos e a medida do segmento AF é x. Assim, determine: a) A área do triângulo AFE em função de x. b) O valor de x para o qual o ângulo FEG também é reto. 4. (Ibmec-RJ) O triângulo ABC (fgura) tem área igual a 36 cm 2 . Os pontos M e N são pontos médios dos lados AC e BC. Assim, a área da região MPNC, em cm 2 , vale: A P N C B M a) 10 d) 16 b) 12 e) 18 c) 14 5. (PUC-MG) Certo desenhista faz dois modelos de la- drilho: um desses modelos é um quadrado de 64 cm 2 e outro, um retângulo cujo comprimento tem 2 cm a mais e cuja largura tem 2 cm a menos que a medida do lado do quadrado. Nessas condições, pode-se afrmar que a medida da área do modelo retangular, em centímetros quadrados, é igual a: a) 60 c) 72 b) 64 d) 80 47 Matemática Volume Único 6. (Udesc-SC) Uma circunferência intercepta um triân- gulo equilátero nos pontos médios de dois de seus lados, conforme mostra a fgura, sendo que um dos vértices do triângulo é o centro da circunferência. Se o lado do triângulo mede 6 cm, a área da região destacada na fgura é: a) 9 , , ¸ (2√ 3 ) 2 j ( r 6 \ , ] ] ] cm 2 b) 9 , , ¸ ( √ 3 ) 2 j ( r 18 \ , ] ] ] cm 2 c) 9 [( √ 3 ) 2 r] cm 2 d) 9 , , ¸ ( √ 3 ) 2 j ( r 3 \ , ] ] ] cm 2 e) 9 , , ¸ ( √ 3 ) 2 j ( r 6 \ , ] ] ] cm 2 7. (U.E. Londrina-PR) Uma metalúrgica utiliza chapas de aço quadradas de 8 m 3 8 m para recortar formas circulares de 4 m de diâmetro, como mostrado na fgura a seguir. A área de chapa que resta após a operação é de aproximadamente: Dado: considere r 5 3,14. a) 7,45 m 2 c) 26,30 m 2 e) 56 m 2 b) 13,76 m 2 d) 48 m 2 8. (Mackenzie-SP) 2x 50 90 4 4 x 160 Considerando r 5 3, a área da fgura vale: a) 1 176 d) 978 b) 1 124 e) 1 232 c) 1 096 9. (UF-MG) Por razões antropológicas desconhecidas, certa comunidade utilizava uma unidade de área singular, que consistia em um círculo, cujo raio media 1 cm, e a que se dava o nome de anelar. Adotando-se essa unidade, é CORRETO afrmar que a área de um quadrado, cujo lado mede 1 cm, é: a) 1 r anelar c) 1 anelar b) 1 2r anelar d) r anelares 10. (Vunesp-SP) A fgura representa uma chapa de alu- mínio de formato triangular de massa 1 250 gramas. Deseja-se cortá-la por uma reta r paralela ao lado BC, que intercepta o lado AB em D e o lado AC em E, de modo que o trapézio BCED tenha 700 gramas de massa. A espessura e a densidade do material da chapa são uniformes. Determine o valor percentual da razão de AD por AB. Dado: √ 11  3,32 A E D B C r a) 88,6 d) 66,4 b) 81,2 e) 44,0 c) 74,8 11. (UF-RS) O tangran é um jogo chinês formado por uma peça quadrada, uma peça em forma de paralelogramo e cinco peças triangulares, todas obtidas a partir de um quadrado de lado ,, como indica a fgura a seguir. 1 5 6 3 2 4 7 , 2 , , 2 Três peças do tangran possuem a mesma área. Essa área é: a) , 2 16 b) , 2 12 c) , 2 8 d) , 2 6 e) , 2 4 48 Geometria plana a) 4 c) 6 b) 5 d) 7 14. (Fuvest-SP) Um transportador havia entregado uma encomenda na cidade A, localizada a 85 km a noroeste da cidade B, e voltaria com seu veículo vazio pela rota AB em linha reta. No entanto, recebeu uma solicitação de entrega na cidade C, situada no cruzamento das rodovias que ligam A a C (sentido sul) e C a B (sentido leste), trechos de mesma extensão. Com base em sua experiência, o transportador percebeu que esse desvio de rota, antes de voltar à cidade B, só valeria a pena se ele cobrasse o combustível gasto a mais e também R$ 200,00 por hora adicional de viagem. a) Indique a localização das cidades A, B e C num esquema. b) Calcule a distância em cada um dos trechos perpendiculares do caminho. (Considere a aproxima- ção √ 2 5 1,4.) c) Calcule a diferença de percurso do novo trajeto relativamente ao retorno em linha reta. d) Considerando o preço do óleo diesel a R$ 2,00 o litro, a velocidade média do veículo de 70 km/h e seu rendimento médio de 7 km por litro, estabe- leça o preço mínimo para o transportador aceitar o trabalho. Norte 15. (PUC-RJ) Ao meio-dia, a formiga A está 3 km a oeste da formiga B. A formiga A está se movendo para o oeste a 3 km/h e a formiga B está se movendo para o norte com a mesma velocidade. 12. (UF-GO) Uma folha de papel retangular, de lados a e b, com a . b 2 , foi dobrada duas vezes, conforme as fguras a seguir e as seguintes instruções: – dobre a folha ao longo da linha tracejada, sobrepondo o lado menor, a, ao lado maior, b (fg. 1 e fg. 2); – dobre o papel ao meio, sobre o lado b, de modo que o ponto P sobreponha-se ao ponto Q (fg. 3). Figura 1 b a Figura 2 Q P a Figura 3 A B C a A área do triângulo ABC, destacado na fgura 3, em função de a e b, é: a) A 5 2a 2 1 2ab 1 b 2 2 b) A 5 ab 2 c) A 5 a 2 2 2ab 1 b 2 d) A 5 a 2 2 b 2 4 e) A 5 a 2 2 ab 1 b 2 4 13. (PUC-MG) De uma placa quadrada de 16 cm 2 , foi recortada uma peça conforme indicado na fgura. A medida da área da peça recortada, em centímetros quadrados, é: 49 Matemática Volume Único Qual a distância entre as duas formigas às 14 h? a) √ 17 km d) √ 117 km b) 17 km e) 117 km c) √ 51 km 16. (Cefet-SC) Para cobrir o piso de uma cozinha com 5 m de comprimento por 4 m de largura, serão utilizados pisos de 25 cm 3 25 cm. Cada caixa contém 20 pisos. Supondo que nenhum piso se quebrará durante o serviço, quantas caixas são necessárias para cobrir o piso da cozinha? a) 17 caixas d) 15 caixas b) 16 caixas e) 12 caixas c) 20 caixas 17. (CP2-MEC-RJ) Na fgura abaixo, os quatro círculos são tangentes dois a dois. Os raios dos círculos menores medem 4 cm cada um. A altura do trapézio ABCD mede 12 cm. A D E C B a) Simbolizando o raio da circunferência maior por x, determine esse valor, aplicando o Teorema de Pitágoras aos lados do triângulo ADE. b) Calcule a medida da área do trapézio ABCD. 18. (UF-ES) Para irrigar uma região retangular R de dimen- sões , 3 3,, um irrigador giratório é acoplado a uma bomba hidráulica por meio de um tubo condutor de água. A bomba é instalada em um ponto B. Quando o irrigador é colocado no ponto C, a uma distância 3, 2 do ponto B, ele irriga um círculo de centro C e raio 2, (veja fgura). R B C porção irrigada tubo condutor de água 2, 3, , 3, 2 a) Calcule a área da porção irrigada de R quando o irrigador está no ponto C. b) Admitindo que o raio da região irrigada seja inversamente proporcional à distância do irrigador até a bomba, calcule o raio da região irrigada quando o irrigador é colocado no centro da região retangular R. 19. (Unemat-MT) No triângulo equilátero ABC, os pontos M e N são respectivamente pontos médios dos lados AB e AC. O segmento MN mede 6 cm. A N C M B A área do triângulo ABC mede: a) 18√ 3 cm 2 b) 24√ 2 cm 2 c) 30√ 2 cm 2 d) 30√ 3 cm 2 e) 36√ 3 cm 2 20. (ESPM-SP) Uma folha de papel retangular foi dobrada como mostra a fgura abaixo. De acordo com as medidas fornecidas, a região sombreada, que é a parte visível do verso da folha, tem área igual a: 4 cm 6 cm a) 24 cm 2 b) 25 cm 2 c) 28 cm 2 d) 35 cm 2 e) 36 cm 2 50 Geometria plana 21. (UE-CE) Se a medida, em metros, de cada um dos lados de um triângulo equilátero é x, seja S(x) a ex- pressão da área deste triângulo em função de x. O valor, em m², de S 1 3 1 S(3) é: a) 17√ 3 18 b) 35√ 3 18 c) 49√ 3 18 d) 41√ 3 18 22. (UE-CE) Uma reta paralela a um dos lados de um triângulo equilátero intercepta os outros dois lados determinando um triângulo menor e um trapézio, os quais têm o mesmo perímetro. A razão entre a área do triângulo menor e a área do trapézio é: a) 6 4 c) 8 6 b) 7 5 d) 9 7 23. (Enem-MEC) A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro quadrado de tela, 15 reais por metro linear de moldura, mais uma taxa fxa de entrega de 10 reais. Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, sufcientes para 8 quadros retangulares (25 cm 3 50 cm). Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora para 8 quadros retangulares (50 cm 3 100 cm). O valor da segunda encomenda será: a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram. b) maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro. c) a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram. d) menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a metade. e) igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega será o mesmo. 24. (Enem-MEC) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas faces laterais, conforme mostra a fgura. 6 cm 8 cm 10 cm O raio da perfuração da peça é igual a: a) 1 cm d) 4 cm b) 2 cm e) 5 cm c) 3 cm 25. (UF-RJ) A fgura 1 a seguir apresenta um pentágono regular de lado 4L; a fgura 2, dezesseis pentágonos regulares, todos de lado L. Figura 1 Figura 2 Qual é maior: a área A do pentágono da fgura 1 ou a soma B das áreas dos pentágonos da fgura 2? Justifque sua resposta. 26. (UF-PR) Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes verticais de aço, colocados nos pontos A, B e C, como mostra a fgura abaixo. Os suportes nas extremidades A e C medem, respectivamente, 4 metros e 6 metros de altura. 12 m A B C 4 m 8 m 6 m A altura do suporte em B é, então, de: a) 4,2 metros d) 5,2 metros b) 4,5 metros e) 5,5 metros c) 5 metros 51 Matemática Volume Único 27. (Fuvest-SP) Na fgura, o triângulo ABC é equilátero de lado 1, e ACDE, AFGB e BHIC são quadrados. A área do polígono DEFGHI vale: A B F G H I D E C a) 1 1 √ 3 b) 2 1 √ 3 c) 3 1 √ 3 d) 3 1 2√ 3 e) 3 1 3√ 3 28. (UF-MG) Considere esta fgura: A C B E F D Nesta fgura, • o triângulo ABC é equilátero, de lado 3; • o triângulo CDE é equilátero, de lado 2; • os pontos A, C e D estão alinhados; e • o segmento BD intersecta o segmento CE no ponto F. Com base nessas informações, 1. DETERMINE o comprimento do segmento BD. 2. DETERMINE o comprimento do segmento CF. 3. DETERMINE a área do triângulo sombreado BCF. 29. (UF-PI) Conforme ilustrado na fgura a seguir, um trem saiu da cidade A com destino à cidade B, deslocandose com a mesma velocidade com que um outro trem ia da cidade C para a cidade D. Sabendo-se que a distância do ponto M às cidades C e A é a mesma, e que, por um atraso, as locomotivas partiram no mesmo instante, é correto afrmar que: M 90° Cidade D Cidade B Cidade C Cidade A Distância em km Cidade D Cidade A 1 200 Cidade C 1 600 a) a distância da cidade D ao ponto M é 350 km. b) a distância da cidade C ao ponto M é 336 km. c) a distância da cidade A ao ponto M é 500 km. d) a distância da cidade C à cidade A é 1 200 km. e) não haverá o choque dos trens. 30. (UF-RN) Para comemorar o aniversário de indepen- dência, o Governo da Guiana comprou um lote de bandeiras para distribuir com a população. A Figura 1 representa a bandeira e a Figura 2, as características geométricas desta. Figura 1 A B D C E F Figura 2 Sabendo que BE 5 EC e que F é o ponto de interseção das diagonais do retângulo ABCD, justifque por que a quantidade de tecido utilizada na confecção da bandeira correspondente ao triângulo ADF é a mesma que a utilizada para o quadrilátero AFDE. 31. (UF-GO) A grama-esmeralda é uma das mais difundidas no Brasil, usada para cobrir terrenos, jardins, 52 Geometria plana campos de futebol, etc. Em certa loja de jardinagem, essa grama é vendida em tapetes (ou placas) naturais regulares, cada um com 0,40 m de largura por 1,25 m de comprimento, ao preço de R$ 1,50. Para o plantio, recomenda-se que cada tapete dessa grama seja colocado no terreno mantendo-se uma distância de 2 cm entre um tapete de grama e outro, em toda a volta do tapete. E, em relação às margens do terreno, recomenda-se que haja uma distância de 1 cm entre a placa e a margem, conforme a fgura a seguir. Plantio de tapetes segundo as recomendações 2 cm 2 c m 1 , 2 5 m 2 c m 1 cm 1 c m 0,40 m O dono de uma chácara procurou a referida loja para cobrir com grama-esmeralda seu terreno retangular, com dimensões de 52,5 m por 25,4 m. Sabendo que cada tapete será plantado inteiro, ou seja, sem ser cortado e seguindo as recomendações acima, qual será o custo total com os tapetes de grama- esmeralda? 32. (UF-GO) A “árvore pitagórica fundamental” é uma forma estudada pela Geometria Fractal e sua apa- rência característica pode representar o formato dos galhos de uma árvore, de uma couve-for ou de um brócolis, dependendo de sua variação. A árvore pitagórica a seguir foi construída a partir de um triângulo retângulo, ABC, de lados AB 5 3, AC 5 4 e CB 5 5, e de quadrados construídos sobre seus lados. A fgura ramifca-se em quadrados e triângulos retângulos menores, semelhantes aos iniciais, sendo que os ângulos C ˆ , F ˆ , e I ˆ , são congruentes, seguindo um processo iterativo que pode se estender infnitamente. A E D H G I F B C Com base nessas informações, calcule a área do triângulo GHI, integrante dessa árvore pitagórica. 33. (UF-PE) Na ilustração a seguir, temos três cincunfe- rências tangentes duas a duas e com centros nos vértices de um triângulo com lados medindo 6 cm, 8 cm e 10 cm. Calcule a área A da região do triângulo, em cm 2 , limitada pelas três circunferências e indique 10A. Dado: use as aproximações: r  3,14 e arctg 0,75  0,64. 34. (UF-PE) Na fgura abaixo, AB 5 AD 5 25, BC 5 15 e DE 5 7. Os ângulos DEA, BCA e BFA são retos. Determine AF. 35. (UF-RN) Uma empresa de publicidade foi contratada para confeccionar um outdoor com a sigla RN, conforme as medidas determinadas na fgura a seguir. F e r n a n d o M o n t e i r o 53 Matemática Volume Único Para estimar a quantidade de tinta a ser utilizada na pintura, a empresa precisa calcular as áreas das letras. Sabendo que as medidas acima estão em centímetros, determine, em metros quadrados, a área de cada uma das letras. 36. (UF-GO) Dados experimentais indicam que a dilatação linear experimentada por um objeto material é proporcional ao seu comprimento inicial (L 0 ) e à variação da temperatura a que é submetido (AT), sendo que a constante de proporcionalidade, denominada de coefciente de dilatação linear (o) depende do material utilizado. Um fo de alumínio (o 5 25 3 10 26 °C 21 ) de 10 m de comprimento está a uma temperatura de 20 °C, e é fxado pelas extremidades entre dois suportes, cuja distância é de 10 m. Um peso é colocado em seu ponto médio, de modo que o fo possa ser considerado reto entre o ponto médio e cada extremidade. Caso o fo seja aquecido, atingindo uma temperatura de 40 °C, ele sofrerá uma dilatação, de modo que o ponto médio estará a uma distância H da horizontal, como mostrado na fgura. Nessa situação, qual é o valor de H em centímetros? 37. (UF-MA) Em uma planta residencial, em escala, ao utilizar-se uma régua convencional, nota-se que os lados da sala retangular medem, exatamente, 16 cm e 9 cm. Se a área real da sala em questão é igual a 36 m 2 , então o perímetro real da sala é igual a: a) 21 m d) 25 m b) 19 m e) 22 m c) 20 m 38. A fgura abaixo é a representação de seis ruas de uma cidade. As ruas R 1 , R 2 e R 3 são paralelas entre si. Paulo encontra-se na posição A da rua R 1 e quer ir para a rua R 2 até a posição B. Se a escala de representação for de 1 : 50 000, a distância, em metros, que Paulo vai percorrer será de, aproximadamente, a) 1 333. b) 750. c) 945. d) 3 000. 39. (UF-MA) Sobre os lados opostos AB e CD de um retângulo ABCD são marcados, respectivamente, os pontos P e Q. A soma das áreas dos triângulos AQB e CPD resulta exatamente em 240 u.a. Então, a área do retângulo ABCD é igual a: a) 360 u.a. d) 200 u.a. b) 120 u.a. e) 300 u.a. c) 240 u.a. 40. (UF-MG) Nesta fgura plana, PQR é um triângulo equilátero de lado a e, sobre os lados desse triângulo, estão construídos os quadrados ABQP, CDRQ e EFPR: Considerando essas informações, a) DETERMINE o perímetro do hexágono ABCDEF. b) DETERMINE a área do hexágono ABCDEF. c) DETERMINE o raio da circunferência que passa pelos vértices do hexágono ABCDEF. I l u s t r a ç õ e s : F e r n a n d o M o n t e i r o Geometria plana 54 respostas 1. c 2. 9 m 2 3. a) Área 5 (x 2 √ 3 ) 2 b) 1 5 4. b 5. a 6. e 7. b 8. a 9. a 10. d 11. c 12. e 13. c 14. a) A C B b) 59,5 km c) 34 km d) R$ 106,86 15. d 16. b 17. a) x 5 9 b) 156 cm 2 18. a) A 5 , 2 6 (2r 1 3 √ 3 ) b) R 5 6 ? , 5 Geometria plana 19. e 20. b 21. d 22. d 23. b 24. b 25. As áreas são iguais. 26. d 27. c 28. 1) √ 19 2) 6 5 3) 9 √ 3 10 29. a 30. Note que área ADF 5 1 2 ? área ADE. 31. R$ 3 750,00 32. 2,4576 cm 2 33. 1,9 cm 2 34. 15 35. letra R ⇒ 0,64 m 2 letra N ⇒ 0,64 m 2 36. Aproximadamente 5 √ 1 000 m (ou 15,8 cm). 37. d 38. a 39. c 40. a) 3a( √ 3 1 1) b) a 2 ? (3 1 √ 3 ) c) a√ 12 1 3 √ 3 3 Matemática Volume Único 55 Geometria espacial T h i n k s t o c k / G e t t y I m a g e s 1. (UE-GO) Uma lâmpada, cujas dimensões são consideradas desprezíveis, é fxada no teto de uma sala de 4 metros de altura. Um objeto quadrado com lado de 30 centímetros é suspenso a 1 metro do teto, de modo que fque paralelo ao solo e seu centro esteja na mesma vertical que a lâmpada. Calcule a área da sombra projetada pela luminosidade da lâmpada no solo. 2. (Fuvest-SP) A fgura representa uma pirâmide ABCDE, cuja base é o retângulo ABCD. Sabe-se que: A E Q P B D C AB 5 CD 5 √ 3 2 AD 5 BC 5 AE 5 BE 5 CE 5 DE 5 1 AP 5 DQ 5 1 2 Determine: a) A medida de BP. b) A área do trapézio BCQP. c) Volume da pirâmide BPQCE. 3. (Mackenzie-SP) a a a 2 2 a 3 A peça da fgura, de volume a 2 , é o resultado de um corte feito em um paralelepípedo reto retângulo, retirando-se um outro paralelepípedo reto retân- gulo. O valor de a é: a) 2 3 d) 4 b) 5 e) 4 5 c) 6 4. (PUC-RJ) Pretende-se fabricar uma caixa com faces retangulares e ângulos retos, aberta em cima, com um volume de 10 m 3 (conforme fgura a seguir). O comprimento de um dos lados da base deve ser o dobro do comprimento do outro lado. O material para construir a base custa R$10,00 por metro quadrado, ao passo que o material para construir as laterais custa R$ 6,00 por metro quadrado. n p 2p a) Se o lado p mede 2 metros, quanto vale n? b) Com os valores do item (a), calcule o custo de construção da caixa. c) Encontre o custo de construção da caixa em fun- ção de p. 5. (UE-RJ) Observe o dado ilustrado a seguir, formado a partir de um cubo, com suas seis faces numeradas de 1 a 6. Esses números são representados por buracos deixados por semiesferas idênticas retiradas de cada uma das faces. Todo o material retirado equivale a 4,2% do volume total do cubo. Considerando r 5 3, a razão entre a medida da aresta do cubo e a do raio de uma das semiesferas, expressas na mesma unidade, é igual a: a) 6 c) 9 b) 8 d) 10 56 Geometria espacial 6. (UF-SC) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01) Considere duas caixas-d’água de mesma altura: uma em forma de cubo e a outra em forma de paralelepípedo retângulo com área da base de 6 m 2 . Se o volume da caixa cúbica tem 4 m 3 a menos que o volume da outra caixa, então a única medida possível da aresta da caixa cúbica é 2 m. 02) É possível construir um poliedro regular, utilizando-se seis triângulos equiláteros. 04) Na fgura 1, estão representados três sólidos e, na fgura 2, estão representadas três planifcações. Fazendo corresponder cada sólido com sua plani- fcação, tem-se a relação A → 1, B → 3 e C → 2. A B C fgura 1 3 1 2 fgura 2 08) Um retângulo, quando girado em torno de seu lado maior, descreve um cilindro cujo volume tem 432r cm 3 . Se o lado maior do retângulo mede o dobro da medida do lado menor, então a área desse retângulo é de 72 cm 2 . 7. (Unicamp-SP) Em um sistema de piscicultura superintensiva, uma grande quantidade de peixes é cultivada em tanques-rede colocados em açudes, com alta densidade populacional e alimentação à base de ração. Os tanques-rede têm a forma de um paralelepípedo e são revestidos com uma rede que impede a fuga dos peixes, mas permite a passagem da água. a) Um grupo de 600 peixes de duas espécies foi posto em um conjunto de tanques-rede. Os peixes consomem, no total, 800 g de ração por refeição. Sabendo-se que um peixe da espécie A consome 1,5 g de ração por refeição e que um peixe da espécie B consome 1,0 g por refeição, calcule quantos peixes de cada espécie o conjunto de tanques-rede contém. b) Para uma determinada espécie, a densidade má- xima de um tanque-rede é de 400 peixes adultos por metro cúbico. Suponha que um tanque possua largura igual ao comprimento e altura igual a 2 m. Quais devem ser as dimensões mínimas do tanque para que ele comporte 7 200 peixes adultos da espécie considerada? 8. (Fuvest-SP) Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo equilátero. Então, a área do quadrado, que tem como vértices os baricentros de cada uma das faces laterais, é igual a: a) 5 9 d) 2 9 b) 4 9 e) 1 9 c) 1 3 9. (UEPG-PR) Considerando dois planos o e þ e uma reta r, assinale o que for correto. 01) Se r é perpendicular a o e a þ então o é paralelo a qualquer plano que contenha r. 02) Se r é perpendicular a o e a þ então o e þ são paralelos entre si. 04) Se o e þ são perpendiculares e a reta r está contida em o, então r é também perpendicular a þ. 08) Se r é paralela a o então todo plano contendo r é paralelo a o. 16) Se r  o 5  então r e o são paralelos. 10. (UEPG-PR) Dado que um poliedro convexo tem 2 faces pentagonais, 4 faces quadrangulares e n faces triangulares, assinale o que for correto. 01) Se o número de vértices do poliedro é 11, então n 5 4. 02) Se o número de faces do poliedro é 16, então n 5 10. 04) O menor valor possível para n é 1. 08) Se a soma dos ângulos de todas as faces do poliedro é 3 600º, então n 5 6. 16) Se o número de arestas do poliedro é 25, então n 5 8. 11. (UF-MG) Em uma indústria de velas, a parafna é armazenada em caixas cúbicas, cujo lado mede a. Depois de derretida, a parafna é derramada em moldes em formato de pirâmides de base quadrada, cuja altura e cuja aresta da base medem, cada uma, a 2 . 57 Matemática Volume Único 14. (UF-GO) Leia o texto a seguir. Era uma laje retangular enorme, uma brutidão de mármore rugoso […]. É a mãe da pedra, não disse que era o pai da pedra, sim a mãe, talvez porque viesse das profundas, ainda maculada pelo barro da matriz, mãe gigantesca sobre a qual poderiam deitar-se quantos homens, ou ela esmagá-los a eles, quantos, faça as contas quem quiser, que a laje tem de comprimento trinta e cinco palmos, de largura quinze, e a espessura é de quatro palmos, e, para ser completa a notícia, depois de lavrada e polida, lá em Mafra, fcará só um pouco mais pequena, trinta e dois palmos, catorze, três, pela mesma ordem e partes, e quando um dia se acabarem palmos e pés por se terem achado metros na terra, irão outros homens a tirar outras medidas [...]. SARAMAGO, José. Memorial do convento. 17. ed. Rio de Janeiro: Bertrand Brasil, 1996. p. 244-245. No romance citado, Saramago descreve a constru- ção do Palácio e Convento de Mafra (séc. XVIII), em Portugal, no qual a laje (em forma de paralelepípedo retângulo) foi colocada na varanda da casa de Bene- dictione. Supondo que a medida de um palmo seja 20 cm, então o volume retirado do mármore, após ser polido e lavrado, em m 3 , foi de: a) 0,024 c) 10,752 e) 60,480 b) 6,048 d) 16,800 15. (PUC-RJ) Um octaedro é um poliedro regular cujas faces são oito triângulos equiláteros, conforme indicado na fgura. Para um octaedro de aresta a: a) Qual é a sua área total? b) Qual é o seu volume? c) Qual é a distância entre duas faces opostas? 16. (Cefet-SC) Uma indústria precisa fabricar 10 000 caixas com as medidas da fgura abaixo. Desprezando as abas, aproximadamente, quantos m 2 de papelão serão necessários para a confecção das caixas? 40 cm 20 cm 14 cm a) 0,328 m 2 c) 112 m 2 e) 1 640 m 2 b) 1 120 m 2 d) 3 280 m 2 Considerando-se essas informações, é CORRETO afrmar que, com a parafna armazenada em apenas uma dessas caixas, enche-se um total de: a) 6 moldes c) 24 moldes b) 8 moldes d) 32 moldes 12. (UF-RS) Um reservatório tem forma de um cilindro circular reto com duas semiesferas acopladas em suas extremidades, conforme representado na fgura ao lado. O diâmetro da base e a altura do cilindro medem, cada um, 4 dm, e o volume de uma esfera de raio r é 4 3 rr 3 . Dentre as opções a seguir, o valor mais próximo da capacidade do reservatório, em litros, é: a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90 13. (FGV-SP) A fgura indica a planifcação da lateral de um cone circular reto: 252° 10 10 O cone a que se refere tal planifcação é a) 10 6 d) 10 6 b) 10 7 e) 10 7 c) 10 8 58 Geometria espacial 17. (UF-PR) A parte superior de uma taça tem o formato de um cone, com as dimensões indicadas na fgura. a) Qual o volume de líquido que essa taça comporta quando está completamente cheia? b) Obtenha uma expressão para o volume V de líqui- do nessa taça, em função da altura x indicada na fgura. 18. (UF-BA) Sendo  o ângulo formado entre uma diagonal e uma face de um mesmo cubo, determine 1 sen 2  . 19. (UE-MG) 10 cm 60 cm 40 cm O desenho, acima, representa uma caixa de madeira maciça de 0,5 cm de espessura e dimensões externas iguais a 60 cm, 40 cm e 10 cm, conforme indicações. Nela será colocada uma mistura líquida de água com álcool, a uma altura de 8 cm. Como não houve reposição da mistura, ao longo de um certo período, 1 200 cm³ do líquido evaporaram. Com base nesta ocorrência, a altura, em cm, da mistura restante na caixa corresponde a um valor numérico do intervalo de a) [5,0; 5,9] b) [6,0; 6,9] c) [7,0; 7,6] d) [7,6; 7,9] 20. (UFU-MG) Um canal de televisão pretende instalar o serviço de TV digital em Uberlândia e, para isso, será necessária a construção de uma nova antena de transmissão. A antena deve ser composta por uma base cúbica, por um poste cilíndrico, ambos maciços e feitos de concreto, por uma haste de sustentação e por uma esfera maciça feita de uma liga metálica (conforme a ilustração a seguir). esfera metálica haste da antena poste cilíndrico base cúbica Sejam D, d e R, respectivamente, as medidas (em metros) da diagonal da base cúbica, da diagonal da face da base cúbica e do raio da esfera metálica. Sabe-se que: 1) O valor de D 2 excede em 16 m 2 o valor de d 2 . 2) O diâmetro da base do poste cilíndrico é a metade da aresta da base cúbica. 3) O volume do poste cilíndrico é 18 m 3 . 4) 1 m 3 da liga metálica corresponde a 300 kg (quilogramas). Com base nestas informações, responda as seguintes perguntas: a) Deseja-se pintar o poste cilíndrico de uma cor diferente da base cúbica. Considerando que a região de contato entre a haste e a parte superior do poste tenha área desprezível, qual é o valor da área do poste a ser pintada? b) Se a haste da antena suporta um peso máximo de 50 kg, determine o maior valor possível para R, de forma que o peso da esfera de raio igual a este valor não exceda o peso máximo suportado pela haste. 21. (Vunesp-SP) Prevenindo-se contra o período anual de seca, um agricultor pretende construir uma cisterna fechada, que acumule toda a água proveniente da chuva que cai sobre o telhado de sua casa, ao longo de um período de um ano. As fguras e o gráfco representam as dimensões do telhado da casa, a forma da cisterna a ser construída e a quantidade média mensal de chuva na região onde o agricultor possui sua casa. I l u s t r a ç õ e s : F e r n a n d o M o n t e i r o 4 cm x 12 cm 59 Matemática Volume Único Figura 1 Figura 2 8 m h m 2 m 4 m 12 m Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao acúmulo de 100 litros de água em uma superfície plana horizontal de 1 metro quadrado, determine a profundidade (h) da cisterna para que ela comporte todo o volume de água da chuva armazenada durante um ano, acrescido de 10% desse volume. 22. (UE-RJ) A embalagem de papelão de um determinado chocolate, representada na fgura abaixo, tem a forma de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm. Em relação ao prisma, considere: • cada um dos ângulos Â, B ˆ , C ˆ e D ˆ da base superior mede 120º; • as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada. Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a embalagem custa R$ 10,00 por m 2 e que √ 3 5 1,73. Na confecção de uma dessas embalagens, o valor, em reais, gasto somente com o papelão é aproximadamente igual a: a) 0,50 c) 1,50 b) 0,95 d) 1,85 23. (UE-RJ) A fgura abaixo representa um recipiente cônico com solução aquosa de hipoclorito de sódio a 27%. O nível desse líquido tem 12 cm de altura. H 12 cm Para o preparo de um desinfetante, diluiu-se a so- lução inicial com água, até completar o recipiente, obtendo-se a solução aquosa do hipoclorito de sódio a 8%. Esse recipiente tem altura H, em centímetros, equivalente a a) 16 c) 20 b) 18 d) 22 24. (ESPM-SP) Um vidro de perfume tem a forma e as medidas indicadas na fgura abaixo e sua embalagem tem a forma de um paralelepípedo cujas dimensões internas são as mínimas necessárias para contê-lo. Pode-se afrmar que o volume da embalagem não ocupado pelo vidro de perfume vale aproximadamente: 2 cm 6 cm 3 cm 10 cm a) 142 cm 3 d) 176 cm 3 b) 154 cm 3 e) 182 cm 3 c) 168 cm 3 I l u s t r a ç õ e s : F e r n a n d o M o n t e i r o 60 Geometria espacial 25. (UE-CE) Um fabricante de latas de alumínio com a forma de cilindro circular reto vai alterar as dimensões das latas fabricadas de forma que o volume seja preservado. Se a medida do raio da base das novas latas é o dobro da medida do raio da base das antigas, então a medida da nova altura é: a) a metade da medida da altura das latas antigas. b) um terço da medida da altura das latas antigas. c) um quarto da medida da altura das latas antigas. d) dois terços da medida da altura das latas antigas. 26. (UE-RJ) Um sólido com a forma de um cone circular reto, constituído de material homogêneo, futua em um líquido, conforme a ilustração abaixo. Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao meio pelo nível do líquido, a razão entre o volume submerso e o volume do sólido será igual a: a) 1 2 b) 3 4 c) 5 6 d) 7 8 27. (FGV-SP) Após t horas do início de um vazamento de óleo de um barco em um oceano, constatou-se ao redor da embarcação a formação de uma mancha com a forma de um círculo cujo raio r varia com o tempo t mediante a função r(t) 5 30 √ r t 0,5 metros. A espessura da mancha ao longo do círculo é de 0,5 centímetros. Desprezando a área ocupada pelo barco na mancha circular, podemos afrmar que o volume de óleo que vazou entre os instantes t 5 4 horas e t 5 9 horas foi de: a) 12,5 m 3 b) 15 m 3 c) 17,5 m 3 d) 20 m 3 e) 22,5 m 3 28. (Enem-MEC) A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o forma- to de um paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na fgura que segue. 1,3 m 0,5 m 2,5 m Metal Nobre O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza a) massa d) capacidade b) volume e) comprimento c) superfície 29. (Enem-MEC) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos. 4 cm 4 cm 8 cm 20 cm Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá: a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. 30. (Enem-MEC) Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro com 2 m de diâmetro e 4 m de altura (de espessura desprezível) foi envolvido homogeneamente por uma camada de concreto, contendo 20 cm de espessura. F e r n a n d o M o n t e i r o 61 Matemática Volume Único Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e tomando 3,1 como valor aproximado de r, então o preço dessa manilha é igual a: a) R$ 230,40 b) R$ 124,00 c) R$ 104,16 d) R$ 54,56 e) R$ 49,60 31. (Enem-MEC) No manejo sustentável de forestas, é preciso muitas vezes obter o volume da tora que pode ser obtida a partir de uma árvore. Para isso, existe um método prático, em que se mede a circunferência da árvore à altura do peito de um homem (1,30 m), conforme indicado na fgura. A essa medida denomina-se “rodo” da árvore. O quadro a seguir indica a fórmula para se cubar, ou seja, obter o volume da tora em m 3 a partir da medida do rodo e da altura da árvore. Um técnico em manejo forestal recebeu a missão de cubar, abater e transportar cinco toras de madeira, de duas espécies diferentes, sendo: • 3 toras da espécie I, com 3 m de rodo, 12 m de comprimento e densidade 0,77 toneladas/m 3 ; • 2 toras da espécie II, com 4 m de rodo, 10 m de comprimento e densidade 0,78 toneladas/m 3 . Após realizar seus cálculos, o técnico solicitou que enviassem caminhões para transportar uma carga de, aproximadamente a) 29,9 toneladas b) 31,1 toneladas c) 32,4 toneladas d) 35,3 toneladas e) 41,8 toneladas 32. (Enem-MEC) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual. R 5 3 cm Figura 1 Figura 2 R 5 3 cm h Considere: V esfera 5 4 3 rR 3 e V cone 5 1 3 rR 2 h Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de: a) 1,33 b) 6,00 c) 12,00 d) 56,52 e) 113,04 33. (Enem-MEC) Um porta-lápis de madeira foi construí- do no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado abaixo. O cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm. O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de a) 12 cm 3 b) 64 cm 3 c) 96 cm 3 d) 1 216 cm 3 e) 1 728 cm 3 I l u s t r a ç õ e s : F e r n a n d o M o n t e i r o O volume da tora em m 3 é dado por V 5 rodo 2 3 altura 3 0,06 O rodo e a altura da árvore devem ser medidos em metros. O coefciente 0,06 foi obtido experimentalmente. 62 Geometria espacial 34. (UFF-RJ) Para ser aprovada pela FIFA, uma bola de futebol deve passar por vários testes. Um deles visa garantir a esfericidade da bola: o seu “diâmetro” é medido em dezesseis pontos diferentes e, então, a média aritmética desses valores é calculada. Para passar nesse teste, a variação de cada uma das dezesseis medidas do “diâmetro” da bola com relação à média deve ser no máximo 1,5%. Nesse teste, as variações medidas na Jabulani, bola ofcial da Copa do Mundo de 2010, não ultrapassaram 1%. Se o diâmetro de uma bola tem aumento de 1%, então o seu volume aumenta x%. Dessa forma, é correto afrmar que: a) x  [5, 6) d) x  [3, 4) b) x  [2, 3) e) x  [4, 5) c) x 5 1 35. (Fuvest-SP) A esfera ε, de centro O e raio r > 0, é tangente ao plano o. O plano þ é paralelo a o e contém O. Nessas condições, o volume da pirâmide que tem como base um hexágono regular inscrito na intersecção de ε com þ e, como vértice, um ponto em o, é igual a: a) √ 3r 3 4 d) 7√ 3r 3 16 b) 5√ 3r 3 16 e) √ 3r 3 2 c) 3√ 3r 3 8 36. (UF-AL) A cúpula de uma catedral tem a forma de uma semiesfera (sem incluir o círculo da base) com diâmetro medindo 50 m. O exterior da cúpula será restaurado ao custo de R$ 800,00 por metro quadrado. Quanto custará a restauração? Dado: use a aproximação r  3,14. a) 3,14 milhões de reais b) 6,28 milhões de reais c) 7,28 milhões de reais d) 8,14 milhões de reais e) 262 milhões de reais 37. (UF-PI) De um círculo feito com uma folha de cartolina com raio 15 cm, é retirado um setor de ângulo central igual a 120°. Com o que restou do círculo, constrói-se um copo cônico. Qual é o volume desse copo? 120° 15 cm a) r√ 3 3 cm 3 d) 128r cm 3 b) 100r 3 cm 3 e) 500r√ 5 3 cm 3 c) 128r 3 cm 3 38. (UF-AL) Na ilustração a seguir, temos um paralele- pípedo retângulo e são conhecidos os ângulos que duas das diagonais de duas faces adjacentes formam com arestas da base e o comprimento da diagonal da face superior, como estão indicados na fgura. Qual o volume do paralelepípedo? 30° 60° √ 30 cm a) 23 cm 3 b) 24 cm 3 c) 25 cm 3 d) 26 cm 3 e) 27 cm 3 39. (UF-PA) Uma rasa é um paneiro utilizado na venda de frutos de açaí. Um típico exemplar tem forma de um tronco de cone, com diâmetro de base 28 cm, diâmetro de boca 34 cm e altura 27 cm. Podemos afrmar, utilizando r 5 3,14, que a capacidade da rasa, em litros, é aproximadamente a) 18 d) 24 b) 20 e) 26 c) 22 40. (UPE-PE) Um cone circular reto possui o mesmo volume de uma esfera com raio igual à medida do raio da base deste cone. Sabendo-se que a soma do raio da base do cone com sua altura é igual a 5 metros, qual o volume deste cone em m 3 ? I m a g e b r o k e r R M / D i o m e d i a 63 Matemática Volume Único a) r 2 d) 2r 3 b) 5r 3 e) 4r 3 c) r 3 41. (UF-RN) Como parte da decoração de sua sala de trabalho, José colocou sobre uma mesa um aquário de acrílico em forma de paralelepípedo retângulo, com dimensões medindo 20 cm 3 30 cm 3 40 cm. Com o aquário apoiado sobre a face de dimensões 40 cm 3 20 cm, o nível da água fcou a 25 cm de altura. Se o aquário fosse apoiado sobre a face de dimensões 20 cm 3 30 cm, a altura da água, mantendo-se o mesmo volume, seria de, aproximadamente, a) 16 cm. c) 33 cm. b) 17 cm. d) 35 cm. 42. (UE-MA) Uma pirâmide regular de base hexagonal tem altura igual a 5 m e é interceptada por um plano paralelo a sua base a uma distância de 2 m de seu vértice, formando uma região de área igual a 25 m 2 . A área da base dessa pirâmide é: a) 156,25 m 2 d) 125,00 m 2 b) 165,52 m 2 e) 225,00 m 2 c) 150,00 m 2 43. (UF-AM) Considere as seguintes proposições: I. Se dois planos o e þ são paralelos a uma reta r, então o é paralelo a þ. II. Se as projeções ortogonais de duas retas, sobre um plano, são paralelas, então as retas são paralelas. III. Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então a reta está contida neste plano. IV. Se duas retas r e s são concorrentes, então elas possuem um único ponto em comum. Podemos afrmar que: a) somente as proposições I e II são falsas. b) somente as proposições II e III são falsas. c) somente as proposições I e IV são verdadeiras. d) todas as proposições são falsas. e) todas as proposições são verdadeiras. 44. (UF-PB) Para fazer seu cafezinho, dona Severina ferve a água e o pó de café juntos; em seguida, despeja essa mistura em um fltro de onde o café escoa para um recipiente, conforme a fgura abaixo. Nessa situa- ção, considere: • o recipiente tem a forma de um cilindro circular reto, com diâmetro e altura medindo 12 cm e 20 cm respectivamente; • o fltro tem a forma de um cone circular reto, com diâmetro e altura medindo 15 cm e 18 cm respectivamente. Nesse contexto, sabendo-se que a mistura atingiu a altura máxima de 12 cm no fltro e que o volume do resíduo do pó de café que fcou no fltro era de 28r cm 3 , é correto afrmar que, no recipiente, o café atingiu uma altura de pelo menos: a) 6,3 cm b) 4 cm c) 3 cm d) 5,5 cm e) 2 cm 45. (UF-AM) Uma piscina tem a forma e as medidas conforme a fgura a seguir: 3x + 9 x + 1 x + 3 x + 3 9 – x 3x A aplicação polinomial que melhor representa o volume desta piscina é: a) V(x) 5 9x 3 1 51 2 x 2 1 45 2 x 1 5 b) V(x) 5 9x 3 1 45 2 x 2 1 36x 1 3 c) V(x) 5 3x 3 1 30x 2 1 45 2 x 1 81 2 d) V(x) 5 3x 3 1 30x 2 1 6x 1 81 2 e) V(x) 5 3x 3 1 51 2 x 2 1 63x 1 81 2 46. (UF-PE) Uma pirâmide hexagonal regular tem a medida da área da base igual à metade da área lateral. Se a altura da pirâmide mede 6 cm, assinale o inteiro mais próximo do volume da pirâmide, em cm 3 . Dado: use a aproximação √ 3  1,73. 15 12 18 20 I l u s t r a ç õ e s : F e r n a n d o M o n t e i r o Geometria espacial 64 respostas 1. 1,44 m 2 2. a) ( √ 10 ) 4 b) 9 16 c) (3 √ 3 ) 64 3. d 4. a) 1,25 m b) R$ 170,00 c) 20p 2 1 180 p 5. d 6. 04 1 08 5 12 7. a) 400 da espécie A e 200 da espécie B. b) 3 m 3 3 m 3 2 m 8. d 9. são corretas: 2 e 16 10. são corretas: 01, 02, 08 e 16 11. c 12. d 13. b 14. b 15. a) 2a 2 ? √ 3 b) (a 3 ? √ 2 ) 3 c) (a ? √ 6 ) 3 16. d 17. a) 16r cm 3 b) r ? x 3 18. 3 19. c Geometria espacial 20. a) 18 r cm (36 1 r) cm 2 b) r 5 ( 3 √ r 2 ) 2r cm 21. 7,7 m 22. b 23. b 24. d 25. c 26. d 27. e 28. b 29. a 30. d 31. a 32. b 33. d 34. d 35. e 36. a 37. e 38. e 39. b 40. e 41. c 42. a 43. a 44. e 45. e 46. 83,04 cm 3 Matemática Volume Único 65 Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton 1. (FGV-SP) Se j , ( n 2 1\ ( , 5 1 j , ( n 2 1\ ( , 6 5 n 2 2 n 2 , então n é igual a: a) 4 b) 6 c) 9 d) 5 e) 8 2. (UF-CE) O símbolo j , ( n\ ( , k indica a combinação de n objetos k a k. O valor de x 2 2 y 2 quando x 5 4 20 ? 20 ∑ k50 j , ( 20\ ( , k ? j , ( 3 4 \ ( , k e y 5 5 20 ? 20 ∑ k50 j , ( 20\ ( , k ? j , ( 2 5 \ ( , k é igual a: a) 0 d) 225 b) 21 e) 2125 c) 25 3. (Fatec-SP) Admita que, na FATEC-SP, há uma turma de 40 alunos de Logística, sendo 18 rapazes; e uma turma de 36 alunos de Análise de Sistemas, sendo 24 moças. Para participar de um debate serão escolhidos aleatoriamente dois alunos, um de cada turma. Nessas condições, a probabilidade de que sejam escolhidos uma moça e um rapaz é: a) 29 60 d) 81 160 b) 47 96 e) 183 360 c) 73 144 4. (Mackenzie-SP) Eu vou ser aprovado no vestibular do Mackenzie. Cada palavra da frase acima é colocada em uma urna. Sorteando-se, sucessivamente, sem reposição, duas palavras, a probabilidade de pelo menos uma das palavras sorteadas ter mais do que 4 letras é: a) 9 14 d) 5 15 b) 6 56 e) 21 56 c) 5 14 5. (UF-RS) O Google, site de buscas na internet criado há onze anos, usa um modelo matemático capaz de entregar resultados de pesquisas de forma muito efciente. Na rede mundial de computadores, são realizadas, a cada segundo, 30 000 buscas, em média. A tabela a seguir apresenta a distribuição desse total entre os maiores sites de busca. Sites Buscas Google 21 000 Yahoo 2 700 Microsoft 800 Outros 5 500 Total 30 000 De acordo com esses dados, se duas pessoas fazem simultaneamente uma busca na internet, a probabilidade de que pelo menos uma delas tenha usado o Google é a) 67% b) 75% c) 83% d) 91% e) 99% 6. (UF-RS) Uma urna contém bolas numeradas de 1 até 15. Retirando-se da urna 3 bolas, sem reposição, a probabilidade de a soma dos números que aparecem nessas bolas ser par é: a) 1 13 d) 31 65 b) 6 13 e) 33 65 c) 28 65 7. (Ita-SP) A expressão (2√ 3 1 √ 5) 5 2 (2√ 3 2 √ 5) 5 é igual a: a) 2 630√ 5 b) 2 690√ 5 c) 2 712√ 5 d) 1 584√ 15 e) 1 604√ 15 8. (PUC-RS) Uma melodia é uma sequência de notas musicais. Para compor um trecho de três notas mu- 66 Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton sicais sem repeti-las, um músico pode utilizar as sete notas que existem na escala musical. O número de melodias diferentes possíveis de serem escritas é: a) 3 b) 21 c) 35 d) 210 e) 5 040 9. (UF-CE) Poupêncio investiu R$ 1 000,00 numa aplica- ção bancária que rendeu juros compostos de 1% ao mês, por cem meses seguidos. Decorrido esse prazo, ele resgatou integralmente a aplicação. O montante resgatado é sufciente para que Poupêncio compre um computador de R$ 2 490,00 à vista? Explique sua resposta. 10. (UF-PR) Em uma população de aves, a probabilidade de um animal estar doente é 1 25 . Quando uma ave está doente, a probabilidade de ser devorada por predadores é 1 4 , e, quando não está doente, a probabilidade de ser devorada por predadores é 1 40 . Portanto, a probabilidade de uma ave dessa população, escolhida aleatoriamente, ser devorada por predadores é de: a) 1,0% b) 2,4% c) 4,0% d) 3,4% e) 2,5% 11. (Unicamp-SP) Considere a matriz A 5 , , , ¸ a 11 a 12 a 13 ] ] ] ] a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 , cujos coefcientes são números reais. a) Suponha que exatamente seis elementos dessa matriz são iguais a zero. Supondo também que não há nenhuma informação adicional sobre A, calcule a probabilidade de que o determinante dessa matriz não seja nulo. b) Suponha, agora, que a ij 5 0 para todo elemento em que j . i, e que a ij 5 i 2 j 1 1 para os elementos em que j < i. Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua inversa, A −1 . 12. (UFU-MG) O Programa Nacional de Tecnologia Educacional do MEC fnancia e instala laboratórios de informática nas escolas públicas de Educação Básica. Suponha que, no processo de licitação para a compra dos computadores destinados aos labora- tórios, o MEC tenha a sua disposição 15 consultores técnicos, sendo que 10 são consultores júnior e 5 são consultores sênior. Dois fabricantes de computadores, sendo um da marca A e outro da marca B, resolveram participar do processo de licitação. Para decidir qual marca comprar, uma equipe de consultores técnicos testou as duas marcas durante uma semana. Os téc- nicos concluíram que a probabilidade de que ocorra um problema em computadores da marca A é de 1 2 , da marca B é de 1 4 , e, em ambas, é de 1 100 . Com base nestas informações, responda às seguintes perguntas: a) Se o MEC deseja designar 5 consultores técnicos para compor a equipe de testes, sendo que 3 são consultores júnior e 2 são consultores sênior, de quantas maneiras distintas podem ser escolhidos os 5 consultores? b) Durante os testes realizados, qual a probabilidade de que nenhuma marca tenha apresentado problema? 13. (UF-ES) Três casais devem sentar-se em 8 poltronas de uma fleira de um cinema. Calcule de quantas maneiras eles podem sentar-se nas poltronas: a) de modo arbitrário, sem restrições; b) de modo que cada casal fque junto; c) de modo que todos os homens fquem à esquerda ou todos os homens fquem à direita de todas as mulheres. 14. (UE-RJ) Uma rede é formada de triângulos equiláteros congruentes, conforme a representação abaixo. A B Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os lados dos triângulos, percorrendo X cami- 67 Matemática Volume Único a) 26 d) 30 b) 24 e) 28 c) 22 19. (FGV-SP) a) Em um laboratório, uma caixa contém pequenas peças de mesma forma, tamanho e massa. As peças são numeradas, e seus números formam uma progressão aritmética: 5, 10, 15, ..., 500 Se retirarmos ao acaso uma peça da caixa, qual é a probabilidade, expressa em porcentagem, de obtermos um número maior que 101? b) Explique por que podemos afrmar que 101! 1 19 não é um número primo. 20. (Enem-MEC) A fgura I abaixo mostra um esquema das principais vias que interligam a cidade A com a cidade B. Cada número indicado na fgura II representa a probabilidade de pegar um engarrafamento quando se passa na via indicada. Assim, há uma probabilidade de 30% de se pegar engarrafamento no deslocamento do ponto C ao ponto B, passando pela estrada E4, e de 50%, quando se passa por E3. Essas probabilidades são independentes umas das outras. A B C D E3 E5 E4 E1 E6 E2 A B C D 0,5 0,4 0,3 0,8 0,6 0,7 Figura I Figura II Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B usando exatamente duas das vias indicadas, percorrendo um trajeto com a menor probabilidade de engarrafamento possível. O melhor trajeto para Paula é a) E1E3 b) E1E4 c) E2E4 d) E2E5 e) E2E6 nhos distintos, cujos comprimentos totais são todos iguais a d. Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os comprimentos desses caminhos, X equivale a: a) 20 c) 12 b) 15 d) 10 15. (Unemat-MT) Em uma competição há sete candidatos, dois do sexo masculino e cinco do sexo feminino. Para defnir os dois primeiros candidatos que irão iniciar a competição, efetuam-se dois sorteios seguidos, sem reposição, a partir de uma urna contendo fchas com os nomes de todos os candidatos. Nesta situação, a probabilidade de os dois nomes sorteados serem do sexo feminino é de: a) 10 21 d) 5 7 b) 7 21 e) 5 14 c) 2 5 16. (UE-RJ) Ao refazer seu calendário escolar para o segundo semestre, uma escola decidiu repor algumas aulas em exatamente 4 dos 9 sábados disponíveis nos meses de outubro e novembro de 2009, com a condição de que não fossem utilizados 4 sábados consecutivos. Para atender às condições de reposição das aulas, o número total de conjuntos distintos que podem ser formados contendo 4 sábados é de: a) 80 c) 120 b) 96 d) 126 17. (UE-CE) A senha de um cartão eletrônico possui sete caracteres, todos distintos, sendo quatro algarismos e três letras maiúsculas, intercalando algarismos e letras (por exemplo, 5C7X2P8). Sabendo que são disponibilizados 26 letras e 10 algarismos, o número de senhas distintas que podem ser confeccionadas é: a) 66 888 000 c) 78 624 000 b) 72 624 000 d) 84 888 000 18. (FGV-SP) As saladas de frutas de um restaurante são feitas misturando pelo menos duas frutas escolhidas entre: banana, laranja, maçã, abacaxi e melão. Quantos tipos diferentes de saladas de frutas podem ser feitos considerando apenas os tipos de frutas e não as quantidades? 68 Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton 21. (Enem-MEC) O diretor de um colégio leu numa revista que os pés das mulheres estavam aumentando. Há alguns anos, a média do tamanho dos calçados das mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0. Embora não fosse uma informação científca, ele fcou curioso e fez uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio, obtendo o quadro a seguir: Tamanho dos calçados Número de funcionárias 39,0 1 38,0 10 37,0 3 36,0 5 35,0 6 Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calçado maior que 36,0, a probabilidade de ela calçar 38,0 é: a) 1 3 d) 5 7 b) 1 5 e) 5 14 c) 2 5 22. (Enem-MEC) João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA informa que ele saíra da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado entre as letras informa o custo do deslocamento entre as cidades. A fgura mostra o custo de deslocamento entre cada uma das cidades. B C F D A 6 6 8 9 7 13 10 12 8 4 5 5 3 2 6 E Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes. Examinando a fgura, percebe que precisa considerar somente parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1min30s para examinar uma sequência e descartar sua simétrica, conforme apresentado. O tempo mínimo necessário para João verifcar todas as sequências possíveis no problema é de a) 60 min b) 90 min c) 120 min d) 180 min e) 360 min 23. (UF-RJ) Um ponto M é selecionado ao acaso no interior de um círculo C de raio 2 e centro O. Em seguida, constrói-se um quadrado, também centrado em O, que tem M como ponto médio de um de seus lados. Calcule a probabilidade de que o quadrado assim construído esteja inteiramente contido no círculo C. 24. (UFF-RJ) Muitos consideram a Internet como um novo continente que transpassa fronteiras geográfcas e conecta computadores dos diversos países do globo. Atualmente, para que as informações migrem de um computador para outro, um sistema de endereça- mento denominado IPv4 (Internet Protocol version 4) é usado. Nesse sistema, cada endereço é constituí- do por quatro campos separados por pontos. Cada campo, por sua vez, é um número inteiro no intervalo [0, 2 8 2 1]. Por exemplo, o endereço IPv4 do servidor WEB da UFF é 200.20.0.21. Um novo sistema está sendo proposto: o IPv6. Nessa nova versão, cada en- dereço é constituído por oito campos e cada campo é um número inteiro no intervalo [0, 2 16 2 1]. Com base nessas informações, é correto afrmar que: a) o número de endereços diferentes no sistema IPv6 é o quádruplo do número de endereços diferentes do sistema IPv4. T h i n k s t o c k / G e t t y I m a g e s 69 Matemática Volume Único b) existem exatamente 4 ? (2 8 2 1) endereços diferentes no sistema IPv4. c) existem exatamente 2 32 endereços diferentes no sistema IPv4. d) o número de endereços diferentes no sistema IPv6 é o dobro do número de endereços diferentes do sistema IPv4. e) existem exatamente (2 8 2 1) 4 endereços diferentes no sistema IPv4. 25. (UF-PR) Em uma cidade de 250 000 habitantes, aproximadamente 10 000 foram vacinados contra o vírus H1N1, número muito menor do que as autoridades de saúde previam. Se tomarmos aleatoriamente 50 habitantes dessa cidade, quantos deles se espera que tenham sido vacinados contra o vírus H1N1? a) 2 habitantes b) 6 habitantes c) 8 habitantes d) 12 habitantes e) 15 habitantes 26. (Fuvest-SP) Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é lançado três vezes. Em cada lançamento, anota-se o número obtido na face superior do dado, formando-se uma sequência (a, b, c). Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a ou que c seja sucessor de b? a) 4 27 b) 11 54 c) 7 27 d) 10 27 e) 23 54 27. (U.F. Juiz de Fora-MG) Nas quartas de fnal de um campeonato de futebol, 8 times, denominados A, B, C, D, E, F, G e H, serão divididos aleatoriamente em 4 grupos de 2 times. Em cada grupo, os 2 times se enfrentam sem possibilidade de empate. O perdedor é eliminado e o vencedor avança para a próxima fase. a) O time A sempre vence os times B, C, D e E. Além disso, o time A sempre perde dos times F, G e H. Qual é a probabilidade de o time A avançar à próxima fase? b) Já sabemos que o time B sempre perde para o time A. Além disso, a probabilidade de vitória do time B, quando este enfrenta os times C, D ou E, é sempre igual a 1 4 , e a probabilidade de vitória do time B, quando este enfrenta os times F, G ou H, é sempre igual a 2 3 . Qual é a probabilidade de o time B avançar à próxima fase? 28. (UE-GO) Na cantina “Canto Feliz”, surgiram as seguintes vagas de trabalho: duas para serviços de limpeza, cinco para serviços de balcão, quatro para serviços de entregador e uma para serviços gerais. Para preencher essas vagas, candidataram-se 23 pessoas: oito para a função de limpeza, sete para a de balconista, seis para a de entregador e duas para serviços gerais. Considerando todas as possibilidades de seleção desses candidatos, determine o número total dessas possibilidades. 29. (UE-RJ) Uma máquina contém pequenas bolas de borracha de 10 cores diferentes, sendo 10 bolas de cada cor. Ao inserir uma moeda na máquina, uma bola é expelida ao acaso. Observe a ilustração: Para garantir a retirada de 4 bolas de uma mesma cor, o menor número de moedas a serem inseridas na máquina corresponde a: a) 5 b) 13 c) 31 d) 40 30. (UF-PI) Considere os resultados da Olimpíada Brasi- leira de Matemática das Escolas Públicas – 2008 e os números de medalhas dos alunos do Piauí, Ceará e Maranhão, apresentados no quadro a seguir. Qual é I N B - I m a g e s / G l o w I m a g e s 70 Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton a probabilidade de se escolher dentre esses alunos um que seja do Piauí, dado que ele tenha recebido medalha de prata? CE mA Pi Totais ouro 19 1 1 21 Prata 31 7 8 46 Bronze 47 20 20 87 Totais 97 28 29 a) 8 29 b) 31 29 c) 29 46 d) 8 31 e) 8 46 31. (UF-MG) Numa brincadeira, um dado, com faces numeradas de 1 a 6, será lançado por Cristiano e, depois, por Ronaldo. Será considerado vencedor aquele que obtiver o maior número como resultado do lançamento. Se, nos dois lançamentos, for obtido o mesmo resultado, ocorrerá empate. Com base nessas informações, 1. CALCULE a probabilidade de ocorrer um empate. 2. CALCULE a probabilidade de Cristiano ser o vencedor. 32. (UF-RN) Uma família é composta por cinco pessoas: os pais, duas meninas e um menino. No aniversário de casamento dos pais, uma foto foi “tirada” com os flhos em pé e os pais sentados à frente dos flhos. Mantendo-se os pais à frente dos flhos, a) qual a quantidade máxima de fotos diferentes que podem ser tiradas, com relação à ordem de localização das pessoas na foto? b) dentre as diferentes fotos obtidas, qual a probabilidade do pai estar à esquerda da mãe e o menino fcar entre as duas meninas? 33. (UF-PE) Um escritório tem 7 copiadoras e 8 fun- cionários que podem operá-las. Calcule o número m de maneiras de se copiar simultaneamente (em máquinas distintas, sendo operadas por funcionários diferentes) 5 trabalhos idênticos neste escritório. Indique a soma dos dígitos de m. 34. (UF-PE) Um construtor compra 60% das suas telhas da Companhia A e o restante da Companhia B. Suponha que 96% das telhas compradas de A são entregues sem defeito, e o mesmo ocorre com 98% das telhas de B. Se uma telha foi entregue com defeito, calcule a probabilidade percentual p% de ter sido entregue pela Companhia A. Indique p. 35. (UF-AM) As cidades A, X, Y, Z e B estão interligadas por rodovias indicadas conforme a fgura a seguir. De quantos modos uma pessoa pode sair da cidade A e chegar à cidade B, passando apenas uma vez por cada cidade em cada caminho escolhido? a) 90 b) 92 c) 94 d) 95 e) 102 36. (UE-PI) O código de abertura de um cofre é formado por seis dígitos (que podem se repetir, e o código pode começar com o dígito 0). Quantos são os có- digos de abertura com pelo menos um dígito 7? a) 468 559 b) 468 595 c) 486 595 d) 645 985 e) 855 964 37. (UF-MG) Cinco times de futebol, de igual excelência, vão disputar oito edições seguidas de um torneio anual. Considerando essa informação: 1. CALCULE a probabilidade de um mesmo time vencer as duas primeiras edições desse torneio. 2. CALCULE a probabilidade de não haver vencedores consecutivos durante a realização das oito edições desse torneio. 38. (UF-PE) No desenvolvimento binomial de 1 1 1 3 10 , quantas parcelas são números inteiros? F e r n a n d o M o n t e i r o 71 Matemática Volume Único 41. (UF-GO) Observa-se empiricamente, em diversas séries estatísticas quantitativas, que é muito maior a frequência de dados cujo primeiro dígito (à esquerda) é 1 do que a frequência de dados cujo primeiro dígito é 9. Por exemplo, na série de população dos 5 565 municípios brasileiros publicada pelo IBGE em 2009, existem 1 619 municípios cuja população é expressa por um número iniciado por 1 (por exemplo: Goiânia, 1 281 975 habitantes), enquanto em apenas 209 municípios a população é expressa por um número iniciado por 9 (por exemplo: Itumbiara, 92 832 habitantes). Esse fato é conhecido como lei de Benford, e é expresso da seguinte maneira: em um conjunto de observações numéricas satisfazendo essa lei, a probabilidade de que o primeiro dígito seja D, em que D pode assumir os valores inteiros de 1 a 9, é dada por: P D 5 log 1 1 1 D . De acordo com essas informações, para uma série de dados que satisfaz a lei de Benford, extraindo um dado ao acaso, qual é a probabilidade de se ter o primeiro dígito menor do que 5? Use log 2 5 0,3 39. (UF-RN) De um grupo de cinco homens e quatro mulheres, duas pessoas serão premiadas com uma viagem. Como todos merecem o prêmio, a escolha será feita escrevendo-se o nome de cada um num pedaço de papel, que será colocado numa urna. Sem nenhuma possibilidade de identifcação prévia, dois papéis serão retirados da urna. Determine a probabilidade de as duas pessoas escolhidas serem homens. 40. (UF-RN) Um empresário contribui fnanceiramente para uma instituição flantrópica e a visita semanalmente, sendo o dia da semana escolhido aleatoriamente. Em duas semanas consecutivas, a probabilidade de a visita ocorrer no mesmo dia da semana é a) três vezes a probabilidade de ocorrer em dois dias distintos. b) um terço da probabilidade de ocorrer em dois dias distintos. c) seis vezes a probabilidade de ocorrer em dois dias distintos. d) um sexto da probabilidade de ocorrer em dois dias distintos. Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton 72 respostas 1. e 2. a 3. a 4. a 5. d 6. e 7. b 8. d 9. (11 0,01) 100 . 2 495 Para verifcar essa afrmação, some os três primeiros termos do desenvolvimento do binômio. Logo, o montante resgatado será sufciente para comprar o computador de R$ 2 490,00. 10. d 11. a) 1 14 b) A 21 5 , , , ¸ 1 0 0 ] ] ] ] 22 1 0 1 22 1 12. a) 1 200 b) 26% 13. a) 20 160 b) 480 c) 2 016 14. b 15. a 16. c 17. c 18. a 19. a) 80% b) Observe que 101! 1 19 é múltiplo de 19, pois um dos fatores de 101! é igual a 19. 20. d 21. d 22. b 23. 50% 24. c 25. a 26. c 27. a) 4 7 b) 11 28 28. 17 640 29. c 30. e 31. 1) 1 6 2) 5 12 32. a) 12 b) 1 6 33. 141 120 maneiras; a soma dos dígitos é 9. 34. 75 35. d 36. a 37. 1) 1 5 2) 4 5 7 38. 2 39. 5 18 40. d 41. 70% Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton Matemática Volume Único 73 Geometria analítica 1. (U.E. Londrina-PR) O vértice, o foco e a reta diretriz da parábola de equação y 5 x 2 são dados por: a) Vértice: (0, 0); Foco: 0, 1 4 ; Reta diretriz: y 5 2 1 4 b) Vértice: (0, 0); Foco: 0, 1 2 ; Reta diretriz: y 5 2 1 2 c) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 1); Reta diretriz: y 5 21 d) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 21); Reta diretriz: y 5 1 e) Vértice: (0, 0); Foco: (0, 2); Reta diretriz: y 5 22 2. (Ita-SP) Considere a parábola de equação y 5 ax 2 1 1 bx 1 c, que passa pelos pontos (2, 5), (21, 2) e tal que a, b, c formam, nesta ordem, uma progres- são aritmética. Determine a distância do vértice da parábola à reta tangente à parábola no ponto (2, 5). 3. (UF-PA) Conhecendo as coordenadas de três pontos A(0, 2), B(3, 0) e C(21, 22), encontre a coordenada do centro da circunferência que contém os três pontos. 4. (PUC-RJ) Dadas a parábola y 5 x 2 1 x 1 1 e a reta y 5 2x 1 m: a) Determine os valores de m para os quais a reta intercepta a parábola. b) Determine para qual valor de m a reta tangencia a parábola. Determine também o ponto de tan- gência. 5. (U.F. Pelotas-RS) O gráfco a seguir representa a função: f(x) 5 x 2 2 5x 1 6. A y B x Com base nessas informações é CORRETO afrmar que a equação da circunferência que passa em B e tem centro em A é: a) (x 2 6) 2 1 y 5 45 b) x 2 1 (y 2 6) 2 5 9 c) x 2 1 (y 2 6) 2 5 45 d) (x 2 6) 2 1 y 2 5 9 e) x 2 1 (y 2 3) 2 5 9 6. (U.F. Santa Maria-RS) A massa utilizada para fazer pastéis folheados, depois de esticada, é recortada em círculos (discos) de igual tamanho. Sabendo que a equação matemática da circunferência que limita o círculo é x 2 1 y 2 2 4x 2 6y 2 36 5 0 e adotando r 5 3,14, o diâmetro de cada disco e a área da massa utilizada para confeccionar cada pastel são, respectivamente: a) 7 e 113,04 b) 7 e 153,86 c) 12 e 113,04 d) 14 e 113,04 e) 14 e 153,86 7. (PUC-RJ) Calcule a área do triângulo de vértices A 5 (1, 2), B 5 (2, 4) e C 5 (4, 1). y B x A C a) 5 2 b) 3 c) 7 2 d) 4 e) 9 2 8. (Udesc-SC) Analise as afrmações dadas a seguir, classifque-as como verdadeiras (V) ou falsas (F). 74 Geometria analítica ( ) A equação x 2 2 2x 1 y 2 1 2y 1 1 5 0 representa uma circunferência que é tangente tanto ao eixo das abscissas quanto ao eixo das ordenadas. ( ) A elipse de equação 9x 2 1 4y 2 5 36 intercepta a hipérbole de equação x 2 2 4y 2 5 4 em apenas dois pontos, que são os vértices da hipérbole. ( ) O semieixo maior da elipse 9x 2 1 4y 2 5 36 é paralelo ao eixo real da hipérbole x 2 2 4y 2 5 4. Assinale a alternativa que contém a sequência correta, de cima para baixo. a) V – V – V d) F – F – V b) V – V – F e) V – F – F c) F – V – F 9. (UF-CE) Um losango do plano cartesiano Oxy tem vértices A(0, 0), B(3, 0), C(4, 3) e D(1, 3). a) Determine a equação da reta que contém a diagonal AC. b) Determine a equação da reta que contém a diagonal BD. c) Encontre as coordenadas do ponto de interseção das diagonais AC e BD. 10. (UF-CE) Considere as seguintes regiões do plano cartesiano xOy: A 5 {P(x, y); x 2 1 y 2 2 4x 2 4y 1 4 < 0} e B 5 {P(x, y); 0 < y < x < 4}. a) Identifque e esboce grafcamente a região A. b) Identifque e esboce grafcamente a região B. c) Calcule a área da região A  B. 11. (UF-RJ) Os pontos (26, 2), (3, 21) e (25, 25) pertencem a uma circunferência. Determine o raio dessa circunferência. 12. (Unifesp-SP) Num sistema cartesiano ortogonal, são dados os pontos A(1, 1), B(5, 1), C(6, 3) e D(2, 3), vértices de um paralelogramo, e a reta r, de equação r: 3x 2 5y 2 11 5 0. y B x A D C r A reta s, paralela à reta r, que divide o paralelogramo ABCD em dois polígonos de mesma área, terá por equação: a) 3x 2 5y 2 5 5 0 b) 3x 2 5y 5 0 c) 6x 2 10y 2 1 5 0 d) 9x 2 15y 2 2 5 0 e) 12x 2 20y 2 1 5 0 13. (U.E. Ponta Grossa-PR) Sabendo que os pontos A(–3, –1), B(–2, 6) e C(5, 5) são vértices de um quadrado ABCD, assinale o que for correto. 01) A área do quadrado vale 50 u.a. 02) O vértice D tem coordenadas (4, –2). 04) A circunferência que circunscreve o quadrado tem raio igual a 5 u.c. 08) A reta suporte da diagonal BD tem equação 4x 1 3y – 10 5 0. 16) As diagonais do quadrado se interceptam no ponto (1, 2). 14. (Vunesp-SP) A fgura mostra a representação de algumas das ruas de nossas cidades. Essas ruas possuem calçadas de 1,5 m de largura, separadas por uma pista de 7 m de largura. Vamos admitir que: I. os postes de iluminação projetam sobre a rua uma área iluminada na forma de uma elipse de excentricidade 0,943; II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente abaixo da lâmpada, no meio da rua; III. o eixo menor da elipse, perpendicular à calçada, tem exatamente a largura da rua (calçadas e pista). Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem nas extremidades dos eixos maiores, a distância, em metros, entre dois postes consecutivos deverá ser de aproximadamente: Dado: 0,943 2  0,889 e √ 0,111  0,333 a) 35 b) 30 c) 25 d) 20 e) 15 F e r n a n d o M o n t e i r o 75 Matemática Volume Único 19. (FGV-SP) A representação gráfca da equação (x 1 1 y) 2 5 x 2 1 y 2 no sistema cartesiano ortogonal é: a) o conjunto vazio. b) um par de retas perpendiculares. c) um ponto. d) um par de pontos. e) um círculo. 20. (Fuvest-SP) No sistema ortogonal de coordenadas cartesianas Oxy da fgura, estão representados a circunferência de centro na origem e raio 3, bem como o gráfco da função y 5 √ 8 |x| . y B C x A O D Nessas condições, determine a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D de interseção da circunferência com o gráfco da função. b) a área do pentágono OABCD. 21. (UF-CE) Em um sistema cartesiano de coordenadas, o valor positivo de b tal que a reta y 5 x 1 b é tangente ao círculo de equação x 2 1 y 2 5 1 é: a) 2 d) 1 √ 2 b) 1 e) 3 c) √ 2 22. (Cefet-SC) Dada a fgura abaixo cujas medidas estão expressas em centímetros, 2 2 22 22 15. (UF-RS) Os pontos de interseção do círculo de equa- ção (x 2 4) 2 1 (y 2 3) 2 5 25 com os eixos coordenados são vértices de um triângulo. A área desse triângulo é a) 22 b) 24 c) 25 d) 26 e) 28 16. (UFF-RJ) A palavra “perímetro” vem da combinação de dois elementos gregos: o primeiro, perí, signifca “em torno de”, e o segundo, metron, signifca “medida”. O perímetro do trapézio cujos vértices têm coordenadas (21, 0), (9, 0), (8, 5) e (1, 5) é: a) 10 1 √ 29 1 √ 26 b) 16 1 √ 29 1 √ 26 c) 22 1 √ 26 d) 17 1 2√ 26 e) 17 1 √ 29 1 √ 26 17. (FGV-SP) Dionísio possui R$ 600,00, que é o máximo que pode gastar consumindo dois produtos A e B em quantidades x e y respectivamente. O preço por unidade de A é R$ 20,00 e o de B é R$ 30,00. Admite-se que as quantidades x e y sejam representadas por números reais não negativos e sabe-se que ele pretende gastar no máximo R$ 300,00 com o produto A. Nessas condições, o conjunto dos pares (x, y) possí- veis, representados no plano cartesiano, determinam uma região cuja área é: a) 195 b) 205 c) 215 d) 225 e) 235 18. (FGV-SP) Dada a circunferência de equação x 2 1 y 2 2 2 6x 2 10y 1 30 5 0, seja P seu ponto de ordenada máxima. A soma das coordenadas de P é: a) 10 d) 11,5 b) 10,5 e) 1 c) 11 76 Geometria analítica e as proposições: I. é uma circunferência de diâmetro 2 cm. II. é uma circunferência de área 4r cm². III. é uma circunferência de equação x² 1 y² 5 4. Considerando as proposições apresentadas, assinale a alternativa correta: a) Apenas as proposições I e III são verdadeiras. b) Apenas as proposições I e II são verdadeiras. c) Apenas a proposição III é verdadeira. d) Apenas as proposições II e III são verdadeiras. e) Apenas a proposição II é verdadeira. 23. (UF-PR) A fgura a seguir mostra uma circunferência tangente ao eixo y, com centro C sobre o eixo x e diâmetro de 10 unidades. y B x A D C a) Sabendo que A 5 (8, 4) e que r: 3y 1 x 5 20 é a reta que passa por A e B, calcule a área do triân- gulo CAB. b) Encontre as coordenadas do ponto D, indicado na fgura acima, no qual a reta r intercepta a circun- ferência. 24. (UF-BA) Na fgura, considere os pontos A(4, 0), B(4, 2), C(4, 3) e D(3, 3) e a reta r que passa pela origem do sistema de coordenadas e pelo ponto B. B r A 4 3 2 1 O C D 1 2 3 y x Com base nessa informação, pode-se afrmar: 01) O triângulo BCD é equilátero. 02) A área do setor circular hachurado é igual a r 4 u.a. 04) A equação y 5 x 2 representa a reta r. 08) O ângulo entre o eixo Ox, no sentido positivo, e a reta r mede 30º. 16) A imagem do ponto C pela refexão em relação à reta r é o ponto de coordenadas (4, 1). 32) A imagem do triângulo OAB pela homotetia de razão 1 3 é um triângulo de área 4 3 u.a. 64) A imagem do ponto D pela rotação de 45º em torno da origem do sistema, no sentido positivo, é o ponto de coordenadas (0, 3). 25. (Unicamp-SP) No desenho a seguir, a reta y 5 ax (a . 0) e a reta que passa por B e C são perpendiculares, interceptando-se em A. Supondo que B é o ponto (2, 0), resolva as questões que se seguem. a) Determine as coordenadas do ponto C em função de a. b) Supondo, agora, que a 5 3, determine as coordenadas do ponto A e a equação da circunferência com centro em A e tangente ao eixo x. A y y 5 a x B O C x 26. (UFU-MG) No plano cartesiano, considere o círculo S descrito pela equação cartesiana x 2 1 y 2 5 5 e a reta r descrita pela equação cartesiana y 5 2x. Assim, r intersecta S nos pontos A e B. Considerando uma nova reta h, descrita pela equa- ção cartesiana y 5 x 1 1, esta reta intersecta S nos pontos A e C. a) Determine os pontos A, B e C. b) Determine a área do triângulo de vértices A, B e C. 27. (UF-TO) Considere as equações das circunferências: C 1 : x 2 2 2x 1 y 2 2 2y 5 0 C 2 : x 2 2 4x 1 y 2 2 4y 5 0 cujos gráfcos estão representados abaixo: C 2 C 1 O y x 77 Matemática Volume Único A área da região hachurada é: a) 3r unidades de área. b) r unidades de área. c) 5r unidades de área. d) 6r unidades de área. e) r 2 unidades de área. 28. (UF-TO) Considere  o conjunto dos números reais e b  . Encontre os valores de b, tais que no plano cartesiano xy, a reta y 5 x 1 b intercepta a elipse x 2 4 1 y 2 5 1 em um único ponto. A soma dos valores de b é: a) 0 d) √ 5 b) 2 e) 22√ 5 c) 2√ 5 29. (Unemat-MT) Dada uma circunferência de centro C (3; 1) e raio r 5 5 e seja o ponto P(0; a), com a  , é correto afrmar: a) Se 23 , a , 5, então P é externo à circunferência. b) Se 23 , a , 5, então P pertence à circunferência. c) Se a 5 5 ou a 5 23, então P é interno à circun- ferência. d) Se a , 23 ou a . 5, então P é externo à circun- ferência. e) Se a , 23 ou a . 5, então P é interno à circun- ferência. 30. (Unemat-MT) Dada a equação de reta (s): 2x 2 y 1 1 1 5 0, a equação de reta paralela a s pelo ponto P(1, 1) será: a) 2x 2 y 5 0 b) 2x 1 y 11 5 0 c) 2x 1 y 2 1 5 0 d) 2x 2 y 2 1 5 0 e) 2x 2 y 1 2 5 0 31. (ESPM-SP) No plano cartesiano, uma reta de coefciente angular 1 intercepta a parábola de equação y 5 5 x 2 2 2x 1 4 nos pontos A e V, sendo V o vértice da mesma. O comprimento do segmento AV é igual a: a) 1 d) √ 3 b) 2 e) √ 2 c) √ 5 32. (UE-CE) Para valores reais de k, as equações (k 2 4)x 1 1 5y 2 5k 5 0 representam no plano cartesiano uma família de retas que passam pelo ponto fxo P(m, n). O valor de m 1 n é: a) 9 b) 11 c) 13 d) 14 33. (FGV-SP) No plano cartesiano, uma circunferência, cujo centro se encontra no segundo quadrante, tangencia os eixos x e y. Se a distância da origem ao centro da circunferência é igual a 4, a equação da circunferência é: a) x 2 1 y 2 1 (2√ 10)x 2 (2√ 10)y 1 10 5 0 b) x 2 1 y 2 1 (2√ 8)x 2 (2√ 8)y 1 8 5 0 c) x 2 1 y 2 1 (2√ 10)x 1 (2√ 10)y 1 10 5 0 d) x 2 1 y 2 2 (2√ 8)x 1 (2√ 8)y 1 8 5 0 e) x 2 1 y 2 2 4x 1 4y 1 4 5 0 34. (Enem-MEC) A fgura a seguir é a representação de uma região por meio de curvas de nível, que são curvas fechadas representando a altitude da região, com relação ao nível do mar. As coordenadas estão expressas em graus de acordo com a longitude, no eixo horizontal, e a latitude, no eixo vertical. A escala em tons de cinza desenhada à direita está associada à altitude da região. 20,0 70,0 800 m 700 m 600 m 500 m 400 m 300 m 200 m 100 m 60,8 60,6 60,4 60,2 60,0 20,2 20,4 20,6 20,8 21,0 21,2 N S L O X Um pequeno helicóptero usado para reconhecimento sobrevoa a região a partir do ponto X 5 (20; 60). O helicóptero segue o percurso: 0,8° L → 0,5° N → 0,2° O → 0,1° S → 0,4° N → 0,3° L De acordo com as orientações, o helicóptero pousou em um local cuja altitude é: a) menor ou igual a 200 m. b) maior que 200 m e menor ou igual a 400 m. c) maior que 400 m e menor ou igual a 600 m. d) maior que 600 m e menor ou igual a 800 m. e) maior que 800 m. 78 Geometria analítica 35. (UF-PR) Um balão de ar quente foi lançado de uma rampa inclinada. Utilizando o plano cartesiano, a fgura abaixo descreve a situação de maneira simpli- fcada. Ao ser lançado, o balão esticou uma corda presa aos pontos P e Q, mantendo-se fxo no ar. As coordenadas do ponto P, indicado na fgura, são, então: a) (21, 7) b) (22, 8) c) (24, 12) d) (25, 13) e) (26, 15) 36. (U.F. Juiz de Fora-MG) No plano cartesiano, seja λ a circunferência de centro C 5 (3, 5) e raio 4 e seja r a reta de equação y 5 2x 1 6. a) Determine todos os valores de x para os quais o ponto P 5 (x, y) pertence à reta r e está no interior da circunferência λ. b) Encontre a equação cartesiana da circunferência λ 1 concêntrica à circunferência λ e tangente à reta r. 37. (UE-GO) Em uma chácara há um pasto que é utilizado para criar vacas e bezerros. Esse pasto tem área de dois hectares, sendo que cada um corresponde a um quadrado de 100 metros de lado. Observações técnicas indicam que cada vaca deverá ocupar uma área de, no mínimo, 1 000 m 2 e cada bezerro de, no mínimo, 400 m 2 . a) De acordo com as observações técnicas, esse pasto comportará 15 vacas e 15 bezerros? Justifque sua resposta. b) Represente algébrica e grafcamente as condi- ções dessa situação, respeitando as observações técnicas. 38. (UF-AL) A fgura a seguir ilustra os gráfcos da circun- ferência com equação x 2 1 y 2 2 6x 1 2y 2 17 5 0, da reta com equação x 2 y 1 2 5 0 e da circunferência que tem um diâmetro com extremos nas interseções da reta e da circunferência anteriores. Qual das alternativas a seguir é uma equação da circunferência, em tracejado na ilustração, que tem um diâmetro com extremos nas interseções da reta e da circunferência dadas? 2 2 22 22 4 0 4 6 8 24 26 6 a) x 2 1 y 2 2 4y 1 5 5 0 b) x 2 1 y 2 2 4y 2 5 5 0 c) x 2 1 y 2 1 4y 1 5 5 0 d) x 2 1 y 2 1 4y 2 5 5 0 e) x 2 1 y 2 2 5y 1 4 5 0 39. (UF-AM) A equação da reta t que passa pela origem e pelo ponto de interseção das retas r: y 2 3x 1 2 5 0 e s: y 1 x 2 2 5 0 é dada pela equação: a) t: y 1 2x 5 0 b) t: y 2 2x 5 0 c) t: y 1 x 5 0 d) t: y 2 x 5 0 e) t: y 5 0 40. (UF-PI) Duas retas r e s do plano se interceptam no ponto (21, 6) e formam, com o eixo das abscissas, ângulos agudos o e þ, respectivamente. Se tg (o) 5 3 e tg (þ) 5 2, uma possibilidade para a medida da área do triângulo formado por r, s e o eixo das abscissas é a) 11 unidades de área b) 12 unidades de área c) 13 unidades de área d) 14 unidades de área e) 15 unidades de área F e r n a n d o M o n t e i r o 79 Matemática Volume Único b) CALCULE as coordenadas dos pontos de interse- ção A 5 r  s, B 5 r  y e C 5 s  t. c) DETERMINE a área do triângulo ABC. 44. (UF-PB) A secretaria de infraestrutura de um município contratou um arquiteto para fazer o projeto de uma praça. Na fgura a seguir, está o esboço do projeto proposto pelo arquiteto: uma praça em formato retangular medindo 80 m 3 120 m, onde deverá ser construído um jardim em forma de elipse na parte central. 120 m 80 m 10 m 10 m B C F 2 F 1 A D 10 m 10 m Estão destacados na fgura os segmentos AC e BD, que são, respectivamente, o eixo maior e menor da elipse, bem como os pontos F 1 e F 2 , que são os focos da elipse onde deverão ser colocados dois postes de iluminação. Com base nessas informações, conclui-se que a distância entre os postes de iluminação será, aproximadamente, de: a) 68 m b) 72 m c) 76 m d) 80 m e) 84 m 45. (UF-GO) No plano cartesiano, as retas r e s, de equa- ções 2x 2 3y 1 3 5 0 e x 1 3y 2 1 5 0, respectivamente, se intersectam em um ponto C. Considerando o ponto P(0, 24) determine as coordenadas de dois pontos, A  r e B  s, de modo que o segmento CP seja uma mediana do triângulo ABC. 46. (Uneb-BA) Se (m, n) são as coordenadas do centro da circunferência x 2 1 2√ 3x 1 y 2 2 6y 1 7 5 0, então (23m 1 √ 3n) é igual a a) 6√ 3 b) 1 c) 0 d) 2√ 3 e) 23 41. (UF-PE) Seja (a, b) o ortocentro do triângulo com vértices nos pontos com coordenadas (5, 1), (7, 2) e (1, 3). Assinale 4a 2 2b. 42. (UF-PB) O Governo pretende construir armazéns com o intuito de estocar parte da produção da safra de grãos, de modo que não haja desperdícios por situações adversas. A seção transversal da cobertura de um desses armazéns tem a forma de um arco de cincunferência, apoiado em colunas de sustentação que estão sobre uma viga. O comprimento dessa viga é de 24 m e o comprimento da maior coluna de sustentação é de 8 m, conforme fgura a seguir. 24 m C D 8 m Considerando um sistema cartesiano de eixos ortogonais xy, com origem no ponto C, de modo que o semieixo x positivo esteja na direção CD e o semieixo y positivo apontando para cima, é correto afrmar que a equação da circunferência que contém o arco CD da seção transversal do telhado, com relação ao sistema de eixos xy, é dada por: a) (x 2 12) 2 1 (y 1 5) 2 5 169 b) (x 2 12) 2 1 (y 2 7) 2 5 193 c) (x 2 12) 2 1 (y 2 6) 2 5 180 d) (x 2 12) 2 1 (y 1 6) 2 5 180 e) (x 2 12) 2 1 (y 2 5) 2 5 169 43. (UF-MG) Considere as retas r, s e t de equações, respectivamente, y 5 2x 2 4, y 5 2x 1 11 e y 5 x 1 7 5 . a) TRACE, no plano coordenado abaixo, os gráfcos dessas três retas. 7 6 5 4 3 2 1 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 y x 80 Geometria analítica 47. (UE-MA) A equação da circunferência com raio r 5 5 2 cm e que tem centro no ponto S de encontro das retas y 2 x 2 1 5 0 e y 1 x 2 3 5 0 corta o eixo y nos pontos A e B. Dessa forma, sendo as medidas em centímetros, a distância entre os pontos A e B é: a) 3 √ 2 cm b) (2 1 √ 3) cm c) 2√ 3 cm d) 2 cm e) 1 cm 48. (UF-AM) A equação da elipse cujo gráfco é mostrado na fgura a seguir é dada por: a) 16x 2 1 9y 2 1 96x 2 36y 1 36 5 0 b) 16x 2 1 9y 2 2 96x 1 36y 1 36 5 0 c) 9x 2 1 16y 2 2 36x 2 96y 1 36 5 0 d) 9x 2 2 16y 2 2 36x 1 96y 1 36 5 0 e) 9x 2 1 16y 2 2 36x 1 96y 1 36 5 0 49. (UF-RN) Na construção de antenas parabólicas, os fabricantes utilizam uma curva, construída a partir de pontos dados, cujo modelo é uma parábola, conforme a fgura abaixo. Uma fábrica, para construir essas antenas, utilizou como modelo a curva que passa pelos pontos de coordenadas (0, 0), (4, 1), (24, 1). Outro ponto que também pertence a essa curva tem coordenadas a) 3, 1 2 c) 22, 1 2 b) 2, 1 4 d) 21, 1 4 50. (Uneb-BA) A reta 3x 1 4y 2 6 5 0 determina na circunferência x 2 1 y 2 2 2x 2 4y 1 1 5 0 uma corda de MN de comprimento igual, em u.c., a a) 6 c) 3 e) √ 3 b) 2 √ 3 d) 2√ 2 I l u s t r a ç õ e s : F e r n a n d o M o n t e i r o Matemática Volume Único 81 respostas 1. a 2. √ 5 5 3. 9 14 , 2 2 7 4. a) m   | m > 3 4 b) 3 4 ; 1 2 , 7 4 5. c 6. e 7. c 8. b 9. a) y 5 0,75x b) y 5 23 4 x 1 9 2 c) 2, 3 2 10. a) 2 2 C A região A é um círculo centrado em (2, 2) de raio igual a 2. b) Temos que: ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ 0 < y < 4 0 < y < x < 4 ⇒ 0 < x < 4 y < x 4 4 y 5 x C A região B é um triângulo retângu- lo isósceles cujos catetos medem 4. c) r ? 2 2 2 5 2r u.a. 11. 5 12. c 13. São corretas: 01, 02, 04, 08 e 16. 14. b 15. b 16. e 17. d 18. a 19. b 20. a) A(2√ 2; 1), B(1; 2√ 2 ), C(21; 2√ 2 ) e D(22√ 2; 1) b) 7 1 2√ 2 21. c 22. d 23. a) 30 b) (5, 5) 24. São corretas: 02 e 04. 25. a) C 0, 2 a b) A 1 5 , 3 5 x 2 1 5 2 1 x 2 3 5 2 5 3 5 2 26. a) A(1, 2), B(21, 22) e C(22, 21) b) 3 27. d 28. a 29. d 30. d 31. e 32. a 33. b 34. a 35. c 36. a) 2 2 √ 7 , x , 2 1 √ 7 b) (x 2 3) 2 1 (y 2 5) 2 5 2 37. a) não b) Sejam x e y, respectivamente, o número de vacas e o número de bezerros. Devemos ter: x > 0, y > 0 e 5x 1 2y < 100. 50 y (B) x (V) 20 38. b 39. d 40. e 41. 24 42. a 43. a) 7 6 5 4 3 2 1 21 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 y A B C r s t x b) A(5, 6), B(3, 2), C(8, 3) c) 9 u.a. 44. d 45. A 5 2 28 3 , 2 47 9 e B 5 28 3 , 2 25 9 46. a 47. c 48. e 49. b 50. b Geometria analítica Números complexos, polinômios e equações algébricas 82 1. (UFU-MG) Sabe-se que o número complexo 2 1 i, em que i é a unidade imaginária, e o número real 3 são raízes do polinômio de terceiro grau p(z), cujos coefcientes são números reais. Sabendo-se também que p(0) 5 30, calcule |p(i)|. 2. (FGV-SP) O quociente da divisão do polinômio P(x) 5 (x 2 1 1) 4 ? (x 3 1 1) 3 por um polinômio de grau 2 é um polinômio de grau: a) 5 b) 10 c) 13 d) 15 e) 18 3. (Mackenzie-SP) A B y x O A fgura mostra uma semicircunferência com centro na origem. Se o ponto A é (2√ 2, 2), então o ponto B é: a) (2, √ 2) b) ( √ 2, 2) c) (1, √ 5) d) ( √ 5, 1) e) (2, √ 5) 4. (U.E. Ponta Grossa-PR) As representações gráfcas dos complexos z tais que z 3 5 1 são os vértices de um triângulo. Em relação a esse triângulo assinale o que for correto. 01) É um triângulo equilátero de lado igual a √ 3 u.c. 02) É um triângulo isósceles de altura igual a 3 4 u.c. 04) Um de seus vértices pertence ao 2º quadrante. 08) Seu perímetro é 3√ 3 u.c. 16) Sua área é 3√ 3 4 u.a. 5. (UF-RS) O menor número inteiro positivo n para o qual a parte imaginária do número complexo cos r 8 1 i ? sen r 8 n é negativa é: a) 3 d) 8 b) 4 e) 9 c) 6 6. (Ita-SP) Sabe-se que o polinômio p(x) 5 x 5 2 ax 3 1 1 ax 2 – 1, a  , admite a raiz 2i. Considere as seguintes afrmações sobre as raízes de p: I. Quatro das raízes são imaginárias puras. II. Uma das raízes tem multiplicidade dois. III. Apenas uma das raízes é real. Destas, é (são) verdadeira(s) apenas: a) I d) I e III b) II e) II e III c) III 7. (UF-GO) Considere o polinômio p(x) 5 x 3 2 9x 2 1 1 25x 2 25. Sabendo-se que o número complexo z 5 2 1 i é uma raiz de p, o triângulo, cujos vértices são as raízes de p, pode ser representado, no plano complexo, pela seguinte fgura: a) 2 1 21 5 x y b) 2 1 22 22 x y c) 2 1 21 21 x y Números complexos, polinômios e equações algébricas 83 Matemática Volume Único d) 2 1 5 22 x y e) 2 1 21 22 x y 8. (Vunesp-SP) Uma raiz da equação x 3 2 (2a 2 1)x 2 2 2 a(a 1 1)x 1 2a 2 (a 2 1) 5 0 é (a 2 1). Quais são as outras duas raízes dessa equação? 9. (UE-CE) Os números 22, 21, 0, 1 e 2 são as soluções da equação polinomial p(x) 5 0, as quais são todas simples. Se o polinômio p(x) é tal que p( √ 2) 5 2√ 2, então o valor de p( √ 3) é igual a: a) 2√ 3 b) 3 √ 2 c) 3 √ 3 d) 6 √ 2 10. (Ibmec-RJ) O conjunto imagem de todos os números complexos da forma z 5 a 1 bi que satisfazem a equação z ? w 1 z 1 w 5 0, onde w é o conjugado de z, é dado por: a) uma circunferência b) uma elipse c) uma hipérbole d) uma parábola e) o semiplano x < 0 11. (FGV-SP) a) Calcule a área do losango ABCD cujos vértices são os afxos dos números complexos: 3, 6i, 23 e 26i, respectivamente. b) Quais são as coordenadas dos vértices do losango A’B’C’D’ que se obtém girando 90° o losango ABCD, em torno da origem do plano cartesiano, no sentido anti-horário? c) Por qual número devemos multiplicar o número complexo cujo afxo é o ponto B para obter o número complexo cujo afxo é o ponto B’? O C A B D x y 12. (U.F. Juiz de Fora-MG) Seja p(x) 5 x 3 1 ax 2 1 bx 1 c um polinômio com coefcientes reais. Sabe-se que as três raízes desse polinômio são o quarto, o sétimo e o décimo sexto termos de uma progressão aritmética, cuja soma de seus vinte primeiros termos é igual a 80 3 e o seu décimo terceiro termo é igual a 3. Encontre os valores de a, b e c. 13. (UE-GO) João gosta de brincar com números e fazer operações com eles. Em determinado momento, ele pensou em três números naturais e, em relação a esses números, observou o seguinte: • a soma desses números é 7; • o produto deles é 8; • a soma das três parcelas resultantes dos produtos desses números tomados dois a dois é 14. Assim, os três números pensados por João são raízes da equação a) x 3 2 7x 2 1 14x 2 8 5 0 b) x 3 1 7x 2 2 14x 1 8 5 0 c) x 3 2 7x 2 2 14x 2 8 5 0 d) x 3 1 7x 2 2 14x 2 8 5 0 14. (UF-AL) Ao dividirmos o polinômio x 2010 1 x 1005 1 1 pelo polinômio x 3 1 x, qual o resto da divisão? a) 0 b) x 2 1 x 1 1 c) x 2 2 x 1 1 d) x 2 2 x 2 1 e) x 2 1 x 2 1 15. (UF-PI) Seja o polinômio p(x) 5 x 3 2 3x 2 1 ax 1 b, com coefcientes reais. Sabe-se que p(x) possui três 84 Números complexos, polinômios e equações algébricas 20. (UF-AM) Na fgura a seguir os números complexos Z 1 , Z 2 , Z 3 , Z 4 , Z 5 e Z 6 estão representados pelos vérti- ces de um hexágono regular. Podemos afrmar que Z 2 ? Z 3 Z 5 ? Z 6 é: Z 1 5 1 Z 6 Z 5 Z 4 Z 3 Z 2 x y a) 1 d) 22 b) 21 e) 3 c) 2 21. (UF-SE) Considerando que a e b são números reais, use os números complexos u 5 4 2 ai 1 2 i , v 5 3 2 (b 1 1) ? i e w 5 cos 18° 1 i sen 18° para analisar a veracidade das afrmações seguintes. a) Se u é um imaginário puro, então u 5 5 1 024i. b) Considerando que, no plano de Argand-Gauss, o afxo de v pertence ao quadrante, então, se |v| 5 5, o argumento principal de v é: 11r 6 rad. c) Se a 5 22 e b 5 3, então 3 , v u , 5. d) Se a 5 b 5 0, o conjugado de (u 2 v) 2 é igual a 21 1 i. e) Uma das raízes sextas de w 10 é igual a 2 √ 3 2 1 1 2 i. raízes reais, distintas e que estão em Progressão Geo- métrica. Sabendo-se que p(x) é divisível por x 2 4, pode-se afrmar que o valor do coefciente a é: a) 26 b) 23 c) 0 d) 3 e) 6 16. (UF-GO) Dados dois polinômios p(x) e q(x), as abscissas dos pontos de intersecção dos seus gráfcos são as soluções da equação algébrica p(x) 5 q(x). Considere os polinômios p(x) 5 x 3 1 a 2 x 2 1 a 1 x 1 a 0 e q(x) 5 3 2 2x. Determine os valores de a 0 , a 1 e a 2 para que os polinômios p(x) e q(x) se intersectem nos pontos de abscissa 22, 3 e 4. 17. (UE-PB) O resto da divisão do polinômio P(x) 5 3x 2n13 2 2 5x 2n12 1 8, por x 1 1 com n natural é: a) 21 b) 1 c) zero d) 2 e) 6 18. (UF-PE) Se as raízes da equação x 3 2 7x 2 2 28x 1 1 k 5 0 são termos de uma progressão geométrica, determine e assinale o valor do termo constante k. 19. (UF-PE) A representação geométrica dos nú- meros complexos z que satisfazem a igualdade 2|z 2 i| 5 |z 2 2| forma uma circunferência com raio r e centro no ponto com coordenadas (a, b). Calcule r, a e b e determine 9(a 2 1 b 2 1 r 2 ). Matemática Volume Único 85 respostas 1. 16√ 5 2. d 3. a 4. São corretas: 01, 04, 08 e 16 5. e 6. c 7. a 8. 2a e 2a 9. a 10. a 11. a) 36 b) (0, 3), (26, 0), (0, 23) e (6, 0) c) Devemos multiplicar por i. 12. A 5 21, B 5 217 e C 5 215 13. a 14. b 15. a 16. a 0 5 27; a 1 5 24 e a 2 5 25. 17. c 18. 64 19. 40 20. a 21. São verdadeiras: a, e. Números complexos, polinômios e equações algébricas Estatística 86 Estatística 1. (PUC-RJ) Na revisão de prova de uma turma de quinze alunos, apenas uma nota foi alterada, passando a ser 7,5. Considerando-se que a média da turma aumentou em 0,1, a nota do aluno antes da revisão era: a) 7,6 d) 6,0 b) 7,0 e) 6,4 c) 7,4 2. (UF-GO) O gráfco a seguir mostra a prevalência de obesidade da população dos EUA, na faixa etária de 20 a 74 anos, para mulheres e homens, e de 12 a 19 anos, para meninas e meninos. 0 10 20 30 40 1960-62 Mulheres Homens Meninas Meninos 1971-74 1976-80 1988-94 1999-2002 p o r c e n t a g e m Fonte: Scientifc American Brasil. São Paulo, jun. 2005, n. 38, p. 46. De acordo com os dados apresentados neste gráfco, a) de 1960 a 2002, em média, 30% dos homens estavam obesos. b) a porcentagem de meninas obesas, no período 1999-2002, era o dobro da porcentagem de meninas obesas no período 1988-1994. c) no período 1999-2002, mais de 20% dos meninos estavam obesos. d) no período 1999-2002, mais de 50% da popula- ção pesquisada estava obesa. e) a porcentagem de mulheres obesas no perío- do1988-1994 era superior à porcentagem de mulheres obesas no período 1976-1980. 3. (Cefet-MG) O gráfco da fgura apresenta dados referentes às faltas diárias dos alunos na classe de uma escola, em determinado tempo. nº de faltas por dia nº de dias 0 1 2 3 4 5 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Analisando-se esses dados, é correto concluir que ocorreram: a) 2 faltas por dia b) 19 faltas em 15 dias c) 52 faltas em 27 dias d) 2 faltas a cada 4 dias 4. (CP2-MEC-RJ) A coleta seletiva de lixo é a separa- ção dos materiais recicláveis do restante do lixo. Os principais materiais recicláveis são os papéis, vidros, plásticos e metais. O objetivo é que estes materiais sejam enviados para as usinas de reciclagem e transformados em outros produtos. Considere que a matéria orgânica (vide gráfco) seja a parte do lixo que pode ser transformada em composto orgânico (adubo). O que tem o lixo do brasileiro Fonte: ABRELPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matéria orgânica 57,4% Plástico 16,49% Papel/ papelão 13,16% Outros 8,08% Alumínio 0,51% Material ferroso 1,56% Vidro 2,34% Inertes 0,46% Fonte: Revista Carta Capital (27/9/2007 – Adaptado). a) Considere que as oito mil toneladas de lixo coletadas, em média, diariamente na cidade do Rio de Janeiro se distribuam proporcionalmente como no gráfco acima. Determine quantas toneladas desse lixo poderiam ser transformadas em adubo. b) Um exemplo que deve ser imitado é o da cidade de Londrina, no Paraná. Das 400 toneladas de lixo recolhidas diariamente, 110 são recicladas. Qual o percentual de lixo reciclado, por mês, em Londrina? 5. (CP2-MEC-RJ) Um comerciante de frutas possuía 70 dúzias de laranjas de uma mesma qualidade para vender num dia ensolarado do mês de outubro. Ini- cialmente, começou vendendo a dúzia dessa laranja por R$ 3,70 e, conforme as vendas não correspondiam às suas expectativas, foi reduzindo o preço para garantir a venda de toda a mercadoria. Dessa forma, 87 Matemática Volume Único o preço da laranja foi reduzido em três ocasiões. A tabela a seguir informa a quantidade de dúzias de laranjas vendidas em cada horário daquele dia e os respectivos preços cobrados pelo comerciante. Período Preço por dúzia Nº de dúzias vendidas Das 8h às 10h 3,70 10 Das 10h às 12h 3,20 15 Das 12h às 14h 2,80 30 Das 14h às 16h 2,50 15 a) Qual foi o preço médio da dúzia da laranja vendida naquele dia? b) Se o comerciante vendesse as 25 primeiras dúzias a R$ 3,42 (a dúzia), por quanto deveria vender cada dúzia restante para que o preço médio das dúzias de laranjas vendidas naquele dia fosse de R$ 3,15? 6. (PUC-MG) Ao misturar 2 kg de café em pó do tipo I com 3 kg de café em pó do tipo II, um comerciante obtém um tipo de café cujo preço é R$ 6,80 o quilograma. Mas, se misturar 3 kg de café em pó do tipo I com 2 kg de café em pó do tipo II, o quilo da nova mistura custará R$ 8,20. Com base nessas informações, é CORRETO afrmar que o preço de um quilo do café em pó do tipo I é igual a: a) R$ 4,00 c) R$ 11,00 b) R$ 7,50 d) R$ 12,40 7. (UF-RJ) A revista DigiNet publicou uma pesquisa sobre 50 páginas da Internet muito visitadas, informando que a média diária de visitas às páginas era igual a 500 e que o tempo médio de existência dessas páginas era igual a 38 meses. A revista BiteNet criticou a pesquisa por ela não ter considerado a sua página, uma das mais visitadas. A BiteNet informou ainda que, com a inclusão de sua página, a média de visitas aumentaria para 1000 e o tempo médio de existência passaria para 37 meses. Admitindo-se que as médias publicadas pela DigiNet estejam corretas, então pelo menos uma das médias informadas pela BiteNet estaria errada. Determine qual delas estaria necessariamente errada. Justifque sua resposta. 8. (UF-RS) O orçamento do Fundo de Amparo ao Tra- balhador para 2010 é de 43 bilhões de reais. Um pesquisador estudou a distribuição desse orçamento e representou o resultado em um gráfco de setores, como na fgura a seguir. Abono para quem ganha até dois salário mínimos Financiamento do BNDES Outras despesas Seguro-desemprego Qualifcação de trabalhadores Nesse gráfco, a quantia destinada ao abono para quem ganha até dois salários mínimos foi representada por um setor cujo ângulo mede 72º. O pesquisador verifcou, então, que o gráfco não estava correto, pois a quantia destinada ao abono encontrada na pesquisa superava em 200 milhões de reais a representada pelo gráfco. Logo, o valor encontrado na pesquisa para aquele abono foi, em bilhões de reais, a) 8,8 d) 9,8 b) 9,1 e) 10,6 c) 9,5 9. (FGV-SP) Chama-se custo médio de fabricação por unidade ao custo total de fabricação dividido pela quantidade produzida. Uma empresa fabrica bicicletas a um custo fxo mensal de R$ 90 000,00; entre peças e mão de obra, cada bicicleta custa R$ 150,00 para ser produzida. A capacidade máxima de produção mensal é de 1 200 unidades. O custo médio mensal mínimo por unidade vale: a) R$ 150,00 d) R$ 262,50 b) R$ 187,50 e) R$ 300,00 c) R$ 225,00 10. (FGV-SP) A média aritmética dos elementos do conjunto {17, 8, 30, 21, 7, x} supera em uma unidade a mediana dos elementos desse conjunto. Se x é um número real tal que 8 , x , 21 e x  17, então a média aritmética dos elementos desse conjunto é igual a: a) 16 d) 19 b) 17 e) 20 c) 18 88 Estatística 14. (UE-CE) A média aritmética entre os divisores primos e positivos do número 2 310 é: a) 5,6 c) 6,3 b) 6,0 d) 6,7 15. (UF-PR) O gráfco a seguir mostra o número de usuários no restaurante universitário da UFPR Litoral atendidos durante uma determinada semana, de segunda a sexta-feira. 400 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 n ú m e r o d e e s t u d a n t e s 2ª feira 3ª feira 4ª feira almoço jantar 5ª feira 6ª feira 450 350 50 100 200 300 250 150 50 dia da semana Os preços fxos praticados pelo restaurante são: almo- ço R$ 1,60 e jantar R$ 2,00. Qual foi o faturamento do restaurante nessa semana? a) R$ 4 220,00 d) R$ 5 000,00 b) R$ 10 800,00 e) R$ 10 000,00 c) R$ 4 060,00 16. (FGV-SP) O gráfco abaixo apresenta os lucros anuais (em milhões de reais) em 2008 e 2009 de três empresas A, B e C de um mesmo setor. A média aritmética dos crescimentos percentuais dos lucros entre 2008 e 2009 das três empresas foi de aproximadamente: 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 A B 2008 2009 C 200 210 300 320 400 450 a) 8,1% d) 9,3% b) 8,5% e) 9,7% c) 8,9% 17. (Enem-MEC) Em sete de abril de 2004, um jornal publicou o ranking de desmatamento, conforme gráfco, da chamada Amazônia Legal, integrada por nove estados. 11. (CP2-MEC-RJ) Uma estimativa feita por cientistas da USP indica que as emissões de gases do efeito estufa no Brasil aumentaram 24,6% entre 1990 e 2005. Após a leitura das informações contidas no texto e ilustração acima, responda às perguntas abaixo: a) Mantendo a variação percentual de emissão de gases para os próximos 15 anos, quantos milhões de toneladas de CO 2 estima-se que o Brasil deverá emitir em 2020? b) Qual a média de emissão de CO 2 relativa aos anos observados na fgura acima? 12. (ESPM-SP) Uma prova era composta de 3 testes. O primeiro valia 1 ponto, o segundo valia 2 pontos e o terceiro 4 pontos, não sendo considerados acertos parciais. A tabela abaixo mostra a quantidade de alunos que obtiveram cada uma das notas possíveis: Nota obtida 0 1 2 3 4 5 6 7 N º de alunos 2 3 1 5 7 2 3 1 O número de alunos que acertaram o segundo teste foi: a) 10 d) 13 b) 11 e) 14 c) 12 13. (ESPM-SP) Considere o conjunto A 5 {x  N* | x < 51}. Retirando-se um número desse conjunto, a média aritmética entre seus elementos não se altera. Esse número é: a) ímpar b) primo c) quadrado perfeito d) maior que 30 e) múltiplo de 13 F e r n a n d o M o n t e i r o 89 Matemática Volume Único Ranking do Desmatamento em km 2 9º Amapá 8º Tocantins 7º Roraima 6º Acre 5º Maranhão 4º Amazonas 3º Rondônia 2º Pará 1º Mato Grosso 4 136 326 549 766 797 3 463 7 293 10 416 Disponível em: www.folhaonline.com.br. Acesso em: 30 abr. 2010 (adaptado). Considerando-se que até 2009 o desmatamento cresceu 10,5% em relação aos dados de 2004, o desmatamento médio por estado em 2009 está entre: a) 100 km 2 e 900 km 2 b) 1 000 km 2 e 2 700 km 2 c) 2 800 km 2 e 3 200 km 2 d) 3 300 km 2 e 4 000 km 2 e) 4 100 km 2 e 5 800 km 2 18. (Enem-MEC) O gráfco apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo desde a Copa de 1930 até a de 2006. Quantidade de Gols dos Artilheiros das Copas do Mundo Gols 14 0 2 4 6 8 10 12 Ano 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 Disponível em: http://www.suapesquisa.com. Acesso em: 23 abr. 2010 (adaptado). A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo? a) 6 gols d) 7,3 gols b) 6,5 gols e) 8,5 gols c) 7 gols 19. (Enem-MEC) Marco e Paulo foram classifcados em um concurso. Para a classifcação no concurso o candidato deveria obter média aritmética na pontua- ção igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor da pontuação mais regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos. Dados dos candidatos no concurso: mate- mática Portu- guês Co- nheci- mentos Gerais média mediana Desvio Padrão marco 14 15 16 15 15 0,32 Paulo 8 19 18 15 18 4,97 O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classifcado no concurso, é: a) Marco, pois a média e a mediana são iguais. b) Marco, pois obteve menor desvio padrão. c) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português. d) Paulo, pois obteve maior mediana. e) Paulo, pois obteve maior desvio padrão. 20. (Enem-MEC) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols. Gols marcados Quantidade de partidas 0 5 1 3 2 4 3 3 4 2 5 2 7 1 Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então: a) X 5 Y , Z d) Z , X , Y b) Z , X 5 Y e) Z , Y , X c) Y , Z , X 21. (UFF-RJ) Diz-se que uma família vive na pobreza extrema se sua renda mensal por pessoa é de, no máximo, 25% do salário mínimo nacional. Segundo levantamento do Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (Ipea), mais de treze milhões de brasileiros saíram da pobreza extrema entre 1995 e 2008. No entanto, a diminuição generalizada nas taxas de po- 90 Estatística breza extrema nesse período não ocorreu de forma uniforme entre as grandes regiões geográfcas do país, conforme ilustra o gráfco a seguir. Taxas de pobreza extrema no Brasil e nas suas grandes regiões em 1995 e 2008 (em %) 22,8 0 10 20 30 40 50 Norte 1995 2008 Nordeste Sudeste Sul Centro-Oeste Brasil 41,8 11,7 13,6 17,5 20,9 17,6 24,9 6,9 5,5 11,6 10,5 Adaptado do IBGE – PNAD – Ipea. Tendo em vista o gráfco, verifca-se que a taxa nacional de pobreza extrema caiu 49,8%, passando de 20,9% para 10,5%. Pode-se concluir, então, que a região em que a taxa de pobreza extrema (em %) caiu mais de 50% foi: a) a região Norte b) a região Sudeste c) a região Nordeste d) a região Centro-Oeste e) a região Sul 22. (UF-PR) Em 2010, uma loja de carros vendeu 270 carros a mais que em 2009. A seguir temos um gráfco ilustrando as vendas nesses dois anos. Nessas condições, pode-se concluir que a média aritmética simples das vendas efetuadas por essa loja durante os dois anos foi de: a) 540 carros d) 270 carros b) 530 carros e) 135 carros c) 405 carros 23. (UF-PI) Na rede de padarias Estrela Dalva, a distri- buição de frequências de salários de um grupo de 30 funcionários, no mês de dezembro de 2008, é apresentada na tabela a seguir: Número da classe Salário do mês (em reais) Número de empregados 1 465 | — 665 16 2 665 | — 865 8 3 865 | — 1065 4 4 1065 | — 1265 2 A média e a mediana do salário pago, nesse mesmo mês, são: a) R$ 725,00 e R$ 725,00 b) R$ 711,67 e R$ 652,50 c) R$ 865,00 e R$ 525,00 d) R$ 711,67 e R$ 660,00 e) R$ 575,00 e R$ 625,00 24. (UF-PB) Segundo dados do IBGE, as classes sociais das famílias brasileiras são estabelecidas, de acordo com a faixa de renda mensal total da família, conforme a tabela a seguir. Classe Faixa de renda A Acima de R$ 15 300,00 B De R$ 7 650,01 até R$ 15 300,00 C De R$ 3 060,01 até R$ 7 650,00 D De R$ 1 020,01 até R$ 3 060,00 E Até R$ 1 020,00 Adaptado de: http://www.logisticadescomplicada.com/ o-brasil-suas-classes-sociais-e-a-implicacao-na-economia. Acesso em: 5 nov. 2010. Após um levantamento feito com as famílias de um município, foram obtidos os resultados expressos no gráfco a seguir. 250 Classe A N ú m e r o d e f a m í l i a s Classe B Classe C Classe D Classe E 500 1 500 2 250 Com base nas informações contidas no gráfco e na tabela, conclui-se que o percentual das famílias que têm renda acima de R$ 3 060,00 é de: a) 45% d) 85% b) 60% e) 90% c) 70% F e r n a n d o M o n t e i r o 91 Matemática Volume Único 25. (UF-PB) A tabela a seguir apresenta a quantidade exportada de certo produto, em milhares de toneladas, no período de 2000 a 2009. Ano Quantidade Exportada (em milhares de toneladas) 2000 48 2001 52 2002 54 2003 52 2004 52 2005 50 2006 48 2007 52 2008 54 2009 52 Considerando os dados apresentados na tabela, identifque as afrmativas corretas: I. A quantidade exportada, de 2006 a 2008, foi crescente. II. A média da quantidade exportada, de 2003 a 2006, foi de 53 mil toneladas. III. A moda da quantidade exportada, de 2000 a 2009, foi de 52 mil toneladas. IV. A média da quantidade exportada, de 2000 a 2004, foi maior que a média de 2005 a 2008. V. A mediana da quantidade exportada, de 2000 a 2009, foi de 51 mil toneladas. 26. (UE-MA) Realizada uma pesquisa na Escola Vamos Estudar para saber o número de horas que seus alunos dormem por dia, encontrou-se o resultado apresentado no quadro a seguir: Número de horas Número de alunos 3 5 5 10 7 14 9 8 11 3 O tempo médio dormido pelos alunos dessa escola foi: a) 6h d) 5h30min b) 7h e) 6h42min c) 7h36min 27. (UF-RN) José, professor de Matemática do Ensino Médio, mantém um banco de dados com as notas dos seus alunos. Após a avaliação do 1º bimestre, construiu as tabelas a seguir, referentes à distribuição das notas obtidas pelas turmas A e B do 1º ano. Nota por n º de alunos – Turma A Nota Número de alunos 30 4 50 5 60 9 70 5 80 2 90 3 100 2 Nota por n º de alunos – Turma B Nota Número de alunos 20 2 40 3 50 4 60 6 90 3 100 2 Ao calcular a média das notas de cada turma, para motivar, José decidiu sortear um livro entre os alunos da turma que obteve a maior média. A média da turma que teve o aluno sorteado foi: a) 63,0 b) 59,5 c) 64,5 d) 58,0 28. (UF-SE) A tabela abaixo apresenta a distribuição da arrecadação de certo imposto municipal, num dado mês, em uma cidade com 5 000 contribuintes. Classe Valor do imposto, em reais, per capita Número de contribuintes Valor total arrecadado por classe, em reais 1 0 —| 10 3 000 21 000 2 10 —| 20 1 000 15 000 3 20 —| 30 700 17 500 4 30 —| 40 300 10 000 Total 5 000 64 000 Use esses dados para analisar as informações que seguem. a) Um histograma demonstrativo da relação entre os intervalos de valores do imposto per capita, em reais, e os respectivos números de contribuintes é: Valor do imposto, em reais Número de contribuintes 0 10 300 700 1 000 2 000 3 000 20 30 40 b) Nesse mês, o valor médio do imposto per capita localiza-se na classe 3. c) Na classe 2, o valor médio do imposto pago pelos contribuintes é R$ 12,00. d) Nesse mês, 20% do total de contribuintes pagaram mais de R$ 20,00 de imposto. e) Escolhendo-se aleatoriamente um dos contribuintes do município, a probabilidade de que o valor do imposto pago por ele nesse mês seja igual ou menor do que R$ 30,00 é 47 50 . Estatística 92 respostas 1. d 2. e 3. c 4. a) 4 592 toneladas b) 27,5% 5. a) R$ 2,95 b) R$ 3,00 6. c 7. Tempo médio de existência. 8. a 9. c 10. a 11. a) 2 492 milhões de toneladas. b) 1 796,5 milhões de toneladas. 12. a 13. e 14. a 15. c 16. a 17. c 18. b 19. b 20. e 21. e 22. a 23. b 24. b 25. I, III, IV 26. e 27. a 28. São verdadeiras: a, d, e. Estatística Matemática Volume Único 93 1. O mapa ao lado representa um bairro de determinada cidade, no qual as flechas indicam o sentido das mãos do tráfego. Sabe-se que esse bairro foi planejado e que cada quadra representada na fgura é um terreno quadrado, de lado igual a 200 metros. Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o tempo, em minutos, que um ônibus, em velocidade constante e igual a 40 km/h, partindo do ponto X, demoraria para chegar até o ponto Y? a) 25 min d) 1,5 min b) 15 min e) 0,15 min c) 2,5 min Texto para as questões 2 e 3 A população mundial está fcando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfco seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Na- ções Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos. países desenvolvidos países em desenvolvimento estimativas números em milhões 110 1950 70 90 2010 30 50 0 5 10 15 20 25 30 35 269 1592 461 95 490 Fonte: “Perspectivas da População Mundial”. ONU, 2009. Disponível em: www.economist.com. Acesso em: 9 jul. 2009 (adaptado). 2. Suponha que o modelo exponencial y = 363e 0,03x , em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e 0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre: a) 490 e 510 milhões. b) 550 e 620 milhões. c) 780 e 800 milhões. d) 810 e 860 milhões. e) 870 e 910 milhões. 3. Em 2050, a probabilidade de se escolher, aleatoriamente, uma pessoa com 60 anos ou mais de idade, na população dos países desenvolvidos, será um número mais próximo de: a) 1 2 c) 8 25 e) 3 25 b) 7 20 d) 1 5 4. Dados da Associação Nacional de Empresas de Transportes Urbanos (ANTU) mostram que o núme- ro de passageiros transportados mensalmente nas principais regiões metropolitanas do país vem caindo sistematicamente. Eram 476,7 milhões de passageiros em 1995, e esse número caiu para 321,9 milhões em abril de 2001. Nesse período, o tamanho da frota de veículos mudou pouco, tendo no fnal de 2008 praticamente o mesmo tamanho que tinha em 2001. O gráfco a seguir mostra um índice de produtividade utilizado pelas empresas do setor, que é a razão entre o total de passageiros transportados por dia e o tamanho da frota de veículos. 650 Capitais brasileiras - Sistema de Ônibus Urbano* Passageiros transportados por veículos/dia** 1995 a 2008 *São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte, Recife, Porto Alegre, Salvador, Fortaleza, Curitiba e Goiânia ** Passageiro total mensal/frota/25 600 550 500 450 400 350 631 581 569 555 568 505 506 446 451 422 435 400 438 440 447 391 428 393 407 404 410 410 418 415 463 411 441 o u t / 9 5 p a s s a g e i r o / v e í c u l o a b r / 9 6 o u t / 9 6 a b r / 9 7 o u t / 9 7 a b r / 9 8 o u t / 9 8 a b r / 9 9 o u t / 9 9 a b r / 0 0 o u t / 0 0 a b r / 0 1 o u t / 0 1 a b r / 0 2 o u t / 0 2 a b r / 0 3 o u t / 0 3 a b r / 0 4 o u t / 0 4 a b r / 0 5 o u t / 0 5 a b r / 0 6 o u t / 0 6 a b r / 0 7 o u t / 0 7 a b r / 0 8 o u t / 0 8 Disponível em: http://www.ntu.org.br. Acesso em: 16 jul. 2009 (adaptado). Coletânea de testes do ENEm X Y I m a g e n s : Z a p t Coletânea de testes do ENEM 94 Supondo que as frotas totais de veículos naquelas regiões metropolitanas em abril de 2001 e em outubro de 2008 eram do mesmo tamanho, os dados do gráfco permitem inferir que o total de passageiros transportados no mês de outubro de 2008 foi aproximadamente igual a: a) 355 milhões b) 400 milhões c) 426 milhões d) 441 milhões e) 477 milhões 5. Uma resolução do Conselho Nacional de Política Energética (CNPE) estabeleceu a obrigatoriedade de adição de biodísel ao óleo dísel comercializado nos postos. A exigência é que, a partir de 1 º de julho de 2009, 4% do volume da mistura fnal seja formada por biodísel. Até junho de 2009, esse percentual era de 3%. Essa medida estimula a demanda de biodísel, bem como possibilita a redução da importação de dísel de petróleo. Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 12 jul. 2009 (adaptado). Estimativas indicam que, com a adição de 4% de biodísel ao dísel, serão consumidos 925 milhões de litros de biodísel no segundo semestre de 2009. Considerando-se essa estimativa, para o mesmo volume da mistura fnal dísel/biodísel consumida no segundo semestre de 2009, qual seria o consumo de biodísel com a adição de 3%? a) 27,75 milhões de litros. b) 37,00 milhões de litros. c) 231,25 milhões de litros. d) 693,75 milhões de litros. e) 888,00 milhões de litros. 6. O governo cedeu terrenos para que famílias cons- truíssem suas residências com a condição de que no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o terreno retangular ABCD, em que AB = BC 2 , Antônio demarcou uma área quadrada no vértice A, para a construção de sua residência, de acordo com o desenho, no qual AE = AB 5 é lado do quadrado. B C A E D I m a g e n s : Z a p t Nesse caso, a área defnida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele: a) duplicasse a medida do lado do quadrado. b) triplicasse a medida do lado do quadrado. c) triplicasse a área do quadrado. d) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%. e) ampliasse a área do quadrado em 4%. 7. A suspeita de que haveria uma relação causal entre tabagismo e câncer de pulmão foi levantada pela primeira vez a partir de observações clínicas. Para testar essa possível associação, foram conduzidos inúmeros estudos epidemiológicos. Dentre esses, houve o estudo do número de casos de câncer em relação ao número de cigarros consumidos por dia, cujos resultados são mostrados no gráfico a seguir. Centers for Disease Control and Prevention CDC-EIS Summer Course — 1992 (adaptado). 60 50 40 30 20 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 1415 16 17 18 19 2021 22 2324 25 número de cigarros consumidos diariamente c a s o s d e c â n c e r p u l m o n a r Casos de câncer pulmonar dado o número de cigarros consumidos diariamente De acordo com as informações do gráfco, a) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas inversamente proporcionais. b) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que não se relacionam. c) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas diretamente proporcionais. d) uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada com câncer de pulmão. e) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que estão relacionadas, mas sem proporcionalidade. 8. O gráfco a seguir mostra a evolução, de abril de 2008 a maio de 2009, da população economicamente ativa para seis regiões metropolitanas pesquisadas. Matemática Volume Único 95 23 500 População economicamente ativa (em mil pessoas) 23 300 23100 22900 22700 22500 22300 0 4 / 0 8 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 0 1 1 1 2 0 1 / 0 9 0 2 0 3 0 4 0 5 2 2 8 1 1 2 2 7 4 1 2 2 9 6 9 2 3 0 2 0 Fonte: IBGE, Diretoria de Pesquisas, Coordenação de Trabalho e Rendimento, Pesquisa Mensal de Emprego. Disponível em: www.ibge.gov.br. Considerando que a taxa de crescimento da popula- ção economicamente ativa, entre 05/09 e 06/09, seja de 4%, então o número de pessoas economicamente ativas em 06/09 será igual a: a) 23 940 c) 920 800 e) 32 228 000 b) 32 228 d) 23 940 800 9. A música e a matemática se encontram na repre- sentação dos tempos das notas musicais, conforme a fgura seguinte. semibreve mínima semínima colcheia semicolcheia fusa semifusa 1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 Z a p t Um compasso é uma unidade musical composta por determinada quantidade de notas musicais em que a soma das durações coincide com a fração indicada como fórmula do compasso. Por exemplo, se a fór- mula de compasso for 1 2 , poderia ter um compasso ou com duas semínimas ou uma mínima ou quatro colcheias, sendo possível a combinação de diferentes fguras. Um trecho musical de oito compassos, cuja fórmula é 3 4 , poderia ser preenchido com: a) 24 fusas. d) 24 colcheias e 12 semínimas. b) 3 semínimas. e) 16 semínimas e 8 semicolcheias. c) 8 semínimas. 10. As fguras a seguir exibem um trecho de um quebra- cabeças que está sendo montado. Observe que as peças são quadradas e há 8 peças no tabuleiro da fgura A e 8 peças no tabuleiro da fgura B. As peças são retiradas do tabuleiro da fgura B e colocadas no tabuleiro da fgura A na posição correta, isto é, de modo a completar os desenhos. R e p r o d u ç ã o Figura A R e p r o d u ç ã o peça 1 peça 2 Figura B Disponível em: http://pt.eternityii.com. Acesso em: 14 jul. 2009. É possível preencher corretamente o espaço indicado pela seta no tabuleiro da fgura A colocando a peça: a) 1 após girá-la 90° no sentido horário. b) 1 após girá-la 180° no sentido anti-horário. c) 2 após girá-la 90° no sentido anti-horário. d) 2 após girá-la 180° no sentido horário. e) 2 após girá-la 270° no sentido anti-horário. Z a p t Coletânea de testes do ENEM 96 11. O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos? a) 2 ? (0,2%) 4 d) 4 ? (0,2%) b) 4 ? (0,2%) 2 e) 6 ? (0,2%) ? (99,8%) c) 6 ? (0,2%) 2 ? (99,8%) 2 12. A tabela mostra alguns dados da emissão de dióxido de carbono de uma fábrica, em função do número de toneladas produzidas. Produção (em toneladas) Emissão de dióxido de carbono (em partes por milhão – ppm) 1,1 2,14 1,2 2,30 1,3 2,46 1,4 2,64 1,5 2,83 1,6 3,03 1,7 3,25 1,8 3,48 1,9 3,73 2,0 4,00 Cadernos do Gestar II, Matemática TP3. Disponível em: www.mec.gov.br. Acesso em: 14 jul. 2009. Os dados na tabela indicam que a taxa média de variação entre a emissão de dióxido de carbono (em ppm) e a produção (em toneladas) é: a) inferior a 0,18. b) superior a 0,18 e inferior a 0,50. c) superior a 0,50 e inferior a 1,50. d) superior a 1,50 e inferior a 2,80. e) superior a 2,80. 13. Uma pousada oferece pacotes promocionais para atrair casais a se hospedarem por até oito dias. A hospedagem seria em apartamento de luxo e, nos três primeiros dias, a diária custaria R$ 150,00, preço da diária fora da promoção. Nos três dias seguintes, seria aplicada uma redução no valor da diária, cuja taxa média de variação, a cada dia, seria de R$ 20,00. Nos dois dias restantes, seria mantido o preço do sexto dia. Nessas condições, um modelo para a pro- moção idealizada é apresentado no gráfco a seguir, no qual o valor da diária é função do tempo medido em número de dias. 150 1 2 3 4 5 6 7 8 tempo valor da diária De acordo com os dados e com o modelo, comparando o preço que um casal pagaria pela hospedagem por sete dias fora da promoção, um casal que adquirir o pacote promocional por oito dias fará uma economia de: a) R$ 90,00 d) R$ 150,00 b) R$ 110,00 e) R$ 170,00 c) R$ 130,00 14. Em Florença, Itália, na Igreja de Santa Croce, é possível encontrar um portão em que aparecem os anéis de Borromeo. Alguns historiadores acreditavam que os círculos representavam as três artes: escultura, pintura e arquitetura, pois elas eram tão próximas quanto inseparáveis. R e p r o d u ç ã o Scientifc American, ago, 2008. Qual dos esboços a seguir melhor representa os anéis de Borromeo? a) d) b) e) c) Matemática Volume Único 97 15. Brasil e França têm relações comerciais há mais de 200 anos. Enquanto a França é a 5ª nação mais rica do planeta, o Brasil é a 10ª, e ambas se destacam na economia mundial. No entanto, devido a uma série de restrições, o comércio entre esses dois países ainda não é adequadamente explorado, como mostra a tabela seguinte, referente ao período 2003-2007. investimentos bilaterais (em milhões de dólares) Ano Brasil na França França no Brasil 2003 367 825 2004 357 485 2005 354 1 458 2006 539 744 2007 280 1214 Disponível em: www.cartacapital.com.br. Acesso em: 7 jul. 2009. Os dados da tabela mostram que, no período considerado, os valores médios dos investimentos da França no Brasil foram maiores que os investimentos do Brasil na França em um valor a) inferior a 300 milhões de dólares. b) superior a 300 milhões de dólares, mas inferior a 400 milhões de dólares. c) superior a 400 milhões de dólares, mas inferior a 500 milhões de dólares. d) superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a 600 milhões de dólares. e) superior a 600 milhões de dólares. 16. Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verifcou-se ao fnal que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00. De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto fnal para cada uma das 55 pessoas? a) R$ 14,00 d) R$ 32,00 b) R$ 17,00 e) R$ 57,00 c) R$ 22,00 17. Técnicos concluem mapeamento do aquífero Guarani O aquífero Guarani localiza-se no subterrâneo dos territórios da Argentina, Brasil, Paraguai e Uruguai, com extensão total de 1 200 000 quilômetros quadrados, dos quais 840000 quilômetros quadrados estão no Brasil. O aquífero armazena cerca de 30 mil quilômetros cúbicos de água e é considerado um dos maiores do mundo. Na maioria das vezes em que são feitas referências à água, são usadas as unidades metro cúbico e litro, e não as unidades já descritas. A Companhia de Saneamento Básico do Estado de São Paulo (SABESP) divulgou, por exemplo, um novo reservatório cuja ca pacidade de armazenagem é de 20 milhões de litros. Disponível em: http://noticias.terra.com.br. Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado). Comparando as capacidades do aquífero Guarani e desse novo reservatório da SABESP, a capacidade do aquífero Guarani é: a) 1,5 × 10 2 vezes a capacidade do reservatório novo. b) 1,5 × 10 3 vezes a capacidade do reservatório novo. c) 1,5 × 10 6 vezes a capacidade do reservatório novo. d) 1,5 × 10 8 vezes a capacidade do reservatório novo. e) 1,5 × 10 9 vezes a capacidade do reservatório novo. 18. A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é: a) 1,16 metro. d) 5,6 metros. b) 3,0 metros. e) 7,04 metros. c) 5,4 metros. 19. A fgura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que será fabricada para utilização por companhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em escala de 1 : 150. 36 metros 28,5 metros Z a p t Coletânea de testes do ENEM 98 Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem de 1 cm em relação às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em centímetros, que essa folha deverá ter? a) 2,9 cm 3 3,4 cm. d) 21 cm 3 26 cm. b) 3,9 cm 3 4,4 cm. e) 192 cm 3 242 cm. c) 20 cm 3 25 cm. 20. Um posto de combustível vende 10 000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10 200 litros. Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é: a) V = 10 000 + 50x – x 2 d) V = 15 000 + 50x – x 2 b) V = 10 000 + 50x + x 2 e) V = 15 000 – 50x + x 2 c) V = 15 000 – 50x – x 2 21. Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para transportá-las. Sabendo que a capacidade da caixa é de 13 824 cm 3 , então o número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a: a) 4 b) 8 c) 16 d) 24 e) 32 22. Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é composta por um número de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na forma d 1 d 2 , em que os dígitos d 1 e d 2 são denominados dígitos verifcadores. Os dígitos verifcadores são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d 1 é zero, caso contrário d 1 = (11 – r). O dígito d 2 é calculado pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são contados a partir do segundo algarismo, sendo d 1 o último algarismo, isto é, d 2 é zero se o resto s da divisão por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, d 2 = (11 – s). Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verifcadores, recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram 123.456.789. Neste caso, os dígitos verifcadores d 1 e d 2 esquecidos são, respectivamente: a) 0 e 9 d) 9 e 1 b) 1 e 4 e) 0 e 1 c) 1 e 7 23. Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na fgura a seguir. Como resultado do experimento, concluiu-se que o nível da água é função do número de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo. O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado. Número de bolas (x) Nível da água (y) 5 6,35 cm 10 6,70 cm 15 7,05 cm Disponível em: www.penta.ufrgs.br. Acesso em: 13 jan. 2009 (adaptado). Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)? a) y = 30x d) y = 0,7x b) y = 25x + 20,2 e) y = 0,07x + 6 c) y = 1,27x 24. Suponha que a etapa fnal de uma gincana escolar consista em um desafo de conhecimentos. Cada equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pontuação da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao fnal, a vencedora foi a equipe Ômega, com 7,8 pontos, seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual fcou na terceira e última colocação, não pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notas obtidas pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0. Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe a) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0. b) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10. c) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 y Z a p t Matemática Volume Único 99 d) permaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno. e) empataria com a equipe Ômega na primeira co- locação se o aluno obtivesse nota 9. 25. Uma cooperativa de colheita propôs a um fazendeiro um contrato de trabalho nos seguintes termos: a cooperativa forneceria 12 trabalhadores e 4 máquinas, em um regime de trabalho de 6 horas diárias, capazes de colher 20 hectares de milho por dia, ao custo de R$ 10,00 por trabalhador por dia de trabalho, e R$ 1 000,00 pelo aluguel diário de cada máquina. O fazendeiro argumentou que fecharia contrato se a cooperativa colhesse 180 hectares de milho em 6 dias, com gasto inferior a R$ 25 000,00. Para atender às exigências do fazendeiro e supondo que o ritmo dos trabalhadores e das máquinas seja constante, a cooperativa deveria a) manter sua proposta. b) oferecer 4 máquinas a mais. c) oferecer 6 trabalhadores a mais. d) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias. e) reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário de uma máquina. 26. Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecí- veis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao fnal do prazo estipulado seria de: a) 920 kg b) 800 kg c) 720 kg d) 600 kg e) 570 kg 27. Segundo as regras da Fórmula 1, o peso mínimo do carro, de tanque vazio, com o piloto, é de 605 kg, e a gasolina deve ter densidade entre 725 e 780 gramas por litro. Entre os circuitos nos quais ocorrem competições dessa categoria, o mais longo é Spa-Francorchamps, na Bélgica, cujo traçado tem 7 km de extensão. O consumo médio de um carro da Fórmula 1 é de 75 litros para cada 100 km. Suponha que um piloto de uma equipe específca, que utiliza um tipo de gasolina com densidade de 750 g/L, esteja no circuito de Spa-Francorchamps, parado no box para reabastecimento. Caso ele pretenda dar mais 16 voltas, ao ser liberado para retornar à pista, seu carro deverá pesar, no mínimo: a) 617 kg b) 668 kg c) 680 kg d) 689 kg e) 717 kg 28. Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km 3 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um fcasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a fgura a seguir. 3 km 2 km 1 km 1 km João Pedro José Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a: considere 3 3 = 0,58 a) 50% d) 33% b) 43% e) 19% c) 37% 29. Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados ou países. O mapa a seguir mostra os estados brasileiros e a localização de algumas capitais identifcadas pelos números. Considere que a direção seguida por um avião AI que partiu de Brasília-DF, sem Z a p t Coletânea de testes do ENEM 100 escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de reta com extremidades em DF e em 4. 1 2 3 5 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 DF 16 15 17 18 1 Manaus 2 Boa Vista 3 Macapá 4 Belém 5 São Luís 6 Teresina 7 Fortaleza 8 Natal 9 Salvador 10 Rio de Janeiro 11 São Paulo 12 Curitiba 13 Belo Horizonte 14 Goiânia 15 Cuiabá 16 Campo Grande 17 Porto Velho 18 Rio Branco SIQUEIRA, S. Brasil Regiões. Disponível em: www.santiagosiqueira.pro.br. Acesso em: 28 jul. 2009 (adaptado). Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião AII, que seguiu a direção que forma um ângulo de 135° no sentido horário com a rota Brasília – Belém e pousou em alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a direção que forma um ângulo reto, no sentido anti-horário, com a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF. Considerando que a direção seguida por um avião é sempre dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela cidade destino do avião, pela descrição dada, o passageiro Carlos fez uma conexão em: a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba. b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador. c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho. d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro. e) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus. 30. Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de: a) uma combinação e um arranjo, respectivamente. b) um arranjo e uma combinação, respectivamente. c) um arranjo e uma permutação, respectivamente. d) duas combinações. e) dois arranjos. 31. Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008. mês Cotação Ano Outubro R$ 83,00 2007 Novembro R$ 73,10 2007 Dezembro R$ 81,60 2007 Janeiro R$ 82,00 2008 Fevereiro R$ 85,30 2008 Março R$ 84,00 2008 Abril R$ 84,60 2008 De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse período era igual a: a) R$ 73,10 c) R$ 82,00 e) R$ 85,30 b) R$ 81,50 d) R$ 83,00 32. O quadro apresenta informações da área aproximada de cada bioma brasileiro. Biomas continentais brasileiros área aproximada (km 2 ) área / total Brasil Amazônia 4 196 943 49,29% Cerrado 2 036 448 23,92% Mata Atlântica 1 110 182 13,04% Caatinga 844 453 9,92% Pampa 176 496 2,07% Pantanal 150 355 1,76% Área Total Brasil 8 514 877 Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado). É comum em conversas informais, ou mesmo em noticiários, o uso de múltiplos da área de um campo de futebol (com as medidas de 120 m 3 90 m) para auxiliar a visualização de áreas consideradas extensas. Nesse caso, qual é o número de campos de futebol correspondente à área aproximada do bioma Pantanal? Z a p t Matemática Volume Único 101 a) 1 400 d) 1 400 000 b) 14 000 e) 14 000 000 c) 140 000 33. A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocu- pação constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para controlar o fuxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles, tem as medidas especifcadas na fgura I. Neste caso, a vazão da água é de 1 050 m 3 /s. O cálculo da vazão, Q em m 3 /s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a água), em m 2 , pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av. Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimen- sões especifcadas na fgura II, para evitar a ocorrência de enchentes. 30 m 20 m 2,5 m 49 m 41 m 2,0 m Disponível em: www2.uel.br. Acesso em: 5 maio 2010. Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois da reforma na canaleta? a) 90 m 3 /s d) 1 512 m 3 /s b) 750 m 3 /s e) 2 009 m 3 /s c) 1 050 m 3 /s 34. Uma fábrica produz velas de parafna em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a fgura. Se o dono da fábrica resolver diversifcar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafna para fabricar uma vela? a) 156 cm 3 d) 216 cm 3 b) 189 cm 3 e) 540 cm 3 c) 192 cm 3 35. A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da mega-sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50. Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009. Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega-sena, justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco nú- meros em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente: a) 1 1 2 vez menor. d) 9 vezes menor. b) 2 1 2 vezes menor. e) 14 vezes menor. c) 4 vezes menor. 36. Nos últimos anos, o volume de petróleo exportado pelo Brasil tem mostrado expressiva tendência de crescimento, ultrapassando as importações em 2008. Entretanto, apesar de as importações terem se mantido praticamente no mesmo patamar desde 2001, os recursos gerados com as exportações ainda são inferiores àqueles despendidos com as importações, uma vez que o preço médio por metro cúbico do petróleo importado é superior ao do petróleo nacional. Nos primeiros cinco meses de 2009, foram gastos 2,84 bilhões de dólares com importações e gerada uma receita de 2,24 bilhões de dólares com as exportações. O preço médio por metro cúbico em maio de 2009 foi de 340 dólares para o petróleo importado e de 230 dólares para o petróleo exportado. 6 cm 6 c m I m a g e n s : Z a p t Coletânea de testes do ENEM 102 O quadro a seguir mostra os dados consolidados de 2001 a 2008 e dos primeiros cinco meses de 2009. Comércio exterior de petróleo (milhões de metros cúbicos) Ano importação Exportação 2001 24,19 6,43 2002 22,06 13,63 2003 19,96 14,03 2004 26,91 13,39 2005 21,97 15,93 2006 20,91 21,36 2007 25,38 24,45 2008 23,53 25,14 2009* 9,00 11,00 *Valores apurados de janeiro a maio de 2009. Disponível em: http://www.anp.gov.br. Acesso em: 15 jul. 2009 (adaptado). Considere que as importações e exportações de pe- tróleo de junho a dezembro de 2009 sejam iguais a 7 5 das importações e exportações, respectivamente, ocorridas de janeiro a maio de 2009. Nesse caso, supondo que os preços para importação e exportação não sofram alterações, qual seria o valor mais aproximado da diferença entre os recursos despendidos com as importações e os recursos gerados com as exportações em 2009? a) 600 milhões de dólares. b) 840 milhões de dólares. c) 1,34 bilhão de dólares. d) 1,44 bilhão de dólares. e) 2,00 bilhões de dólares. 37. A resolução das câmeras digitais modernas é dada em megapixels, unidade de medida que representa um milhão de pontos. As informações sobre cada um desses pontos são armazenadas, em geral, em 3 bytes. Porém, para evitar que as imagens ocupem muito espaço, elas são submetidas a algoritmos de com- pressão, que reduzem em até 95% a quantidade de bytes necessários para armazená-las. Considere 1 KB = = 1 000 bytes, 1 MB = 1 000 KB, 1 GB = 1 000 MB. Utilizando uma câmera de 2.0 megapixels cujo algoritmo de compressão é de 95%, João fotografou 150 imagens para seu trabalho escolar. Se ele deseja armazená-las de modo que o espaço restante no dispositivo seja o menor espaço possível, ele deve utilizar a) um CD de 700 MB. b) um pendrive de 1 GB. c) um HD externo de 16 GB. d) um memory stick de 16 MB. e) um cartão de memória de 64 MB. 38. Considere um ponto P em uma circunferên- cia de raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo x, como mostra a fgura, e suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distância d < r sobre a circunfe- rência. Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada por: a) r 1–sen d r b) r 1–cos d r c) r 1 –tg d r d) r sen r d e) r cos r d 39. Joana frequenta uma academia de ginástica onde faz exercícios de musculação. O programa de Joana requer que ela faça 3 séries de exercícios em 6 aparelhos diferentes, gastando 30 segundos em cada série. No aquecimento, ela caminha durante 10 minutos na esteira e descansa durante 60 segundos para começar o primeiro exercício no primeiro aparelho. Entre uma série e outra, assim como ao mudar de aparelho, Joana descansa por 60 segundos. Suponha que, em determinado dia, Joana tenha iniciado seus exercícios às 10h30min e fnalizado às 11h7min. Nesse dia e nesse tempo, Joana a) não poderia fazer sequer a metade dos exercícios e dispor dos períodos de descanso especifcados em seu programa. b) poderia ter feito todos os exercícios e cumprido rigorosamente os períodos de descanso especifcados em seu programa. y x r P Q Matemática Volume Único 103 c) poderia ter feito todos os exercícios, mas teria de ter deixado de cumprir um dos períodos de descanso especifcados em seu programa. d) conseguiria fazer todos os exercícios e cumpriria todos os períodos de descanso especificados em seu programa, e ainda se permitiria uma pausa de 7 min. e) não poderia fazer todas as 3 séries dos exercícios especificados em seu programa; em alguma dessas séries deveria ter feito uma série a menos e não deveria ter cumprido um dos períodos de descanso. 40. O Indicador do CadÚnico (ICadÚnico), que compõe o cálculo do Índice de Gestão Descentralizada do Programa Bolsa Família (IGD), é obtido por meio da média aritmética entre a taxa de cobertura quali- fcada de cadastros (TC) e a taxa de atualização de cadastros (TA), em que TC = NV NF , TA = NA NV , NV é o número de cadastros domiciliares válidos no perfl do CadÚnico, NF é o número de famílias estimadas como público-alvo do CadÚnico e NA é o número de cadastros domiciliares atualizados no perfl do CadÚnico. Portaria nº 148 de 27 de abril de 2006 (adaptado). Suponha que o ICadÚnico de um município específco é 0,6. Porém, dobrando NF o ICadÚnico cairá para 0,5. Se NA + NV = 3 600, então NF é igual a: a) 10 000 b) 7 500 c) 5 000 d) 4 500 e) 3 000 41. João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco e cinco parcelas de R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no cheque especial, caso João quitasse esta dívida imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociar suas dívidas em 18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado. A opção que dá a João o menor gasto seria: a) renegociar suas dívidas com o banco. b) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas dívidas. c) recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos. d) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque especial e pagar as parcelas do cartão de crédito. e) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do cheque especial. 42. Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada com um plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal. Qual dos argumentos a seguir justifca a conclusão do artesão? a) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmi- de intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de 4 lados. b) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um plano intercepta essa pirâmide, divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados. c) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um plano é um segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem 5 lados. d) O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados. e) O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma pirâmide por um plano é igual ao número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4 lados. 43. Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios avan- çados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos Coletânea de testes do ENEM 104 sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamen- to, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir. Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente? a) 3 doses. b) 4 doses. c) 6 doses. d) 8 doses. e) 10 doses. 44. A cisterna é um recipiente utilizado para armazenar água da chuva. Os principais critérios a serem observados para captação e armazenagem de água da chuva são: a demanda diária de água na propriedade; o índice médio de precipitação (chuva), por região, em cada período do ano; o tempo necessário para armazenagem; e a área de telhado necessária ou disponível para captação. Para fazer o cálculo do volume de uma cisterna, devese acrescentar um adicional relativo ao coefciente de evaporação. Na difculdade em se estabelecer um coefciente confável, a Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária (EMBRAPA) sugere que sejam adicionados 10% ao volume calculado de água. Desse modo, o volume, em m 3 , de uma cisterna é calculado por V c = V d × N dia , em que V d = volume de demanda da água diária (m 3 ), N dia = número de dias de armazena gem, e este resultado deve ser acrescido de 10%. Para melhorar a qualidade da água, recomenda-se que a captação seja feita somente nos telhados das edifcações. Considerando que a precipitação de chuva de 1 mm sobre uma área de 1 m 2 produz 1 litro de água, pode- se calcular a área de um telhado a fm de atender a necessidade de armazenagem da seguinte maneira: área do telhado (em m 2 ) = volume da cisterna (em litros)/precipitação. Disponível em: www.cnpsa.embrapa.br. Acesso em: 8 jun. 2009 (adaptado). Para atender a uma demanda diária de 2 000 litros de água, com período de armazenagem de 15 dias e precipitação média de 110 mm, o telhado, retangular, deverá ter as dimensões mínimas de: a) 6 metros por 5 metros, pois assim teria uma área de 30 m 2 . b) 15 metros por 20 metros, pois assim teria uma área de 300 m 2 . c) 50 metros por 60 metros, pois assim teria uma área de 3 000 m 2 . d) 91 metros por 30 metros, pois assim teria uma área de 2 730 m 2 . e) 110 metros por 30 metros, pois assim teria uma área de 3 300 m 2 . 45. Um professor dividiu a lousa da sala de aula em quatro partes iguais. Em seguida, preencheu 75% dela com conceitos e explicações, conforme a fgura seguinte. XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX Algum tempo depois, o professor apagou a lousa por completo e, adotando um procedimento semelhante ao anterior, voltou a preenchê-la, mas, dessa vez, utilizando 40% do espaço dela. Uma representação possível para essa segunda situação é a) XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX b) XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX c) XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX d) XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX e) XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX 46. Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de Matemática Volume Único 105 paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. Analisando as características das fguras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a a) 5 cm. d) 24 cm. b) 6 cm. e) 25 cm. c) 12 cm. 47. O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado. Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado). Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance dimi- nuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre a) 4,0 m e 5,0 m. d) 7,0 m e 8,0 m. b) 5,0 m e 6,0 m. e) 8,0 m e 9,0 m. c) 6,0 m e 7,0 m. 48. O gráfco a seguir apresenta o gasto militar dos Es- tados Unidos, no período de 1988 a 2006. Em bilhões de dólares O GASTO MILITAR DOS ESTADOS UNIDOS SUPERA O DO FIM DA GUERRA FRIA 526,7 536,6 486,4 417,4 341,5 304,1 301,7 290,5 289,7 298,1 315,1 315,1 334,8 354,8 371,4 354,3 403,7 422,1 426,8 600 500 400 300 200 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Queda do Muro de Berlim (fim da Guerra Fria) EUA entram na Guerra do Golfo Início da guerra no Iraque Atentado de 11 de setembro: ação militar no Afeganistão Almanaque Abril 2008. Editora Abril. Com base no gráfco, o gasto militar no início da guerra no Iraque foi de a) US$ 4 174 000,00. b) US$ 41 740 000,00. c) US$ 417 400 000,00. d) US$ 41 740 000 000,00. e) US$ 417 400 000 000,00. 49. Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras res- trições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamen- tação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares. As fórmulas que determinam esses índices são: IMC = massa (kg) [altura (m)] 2 RIP = altura (cm) 3 √ massa (kg) ARAUJO, C. G. S.; RICARDO, D. R. Índice de Massa Corporal: Um Questionamento Científco. Baseado em Evidências. Arq. Bras. Cardiologia, volume 79, nº 1, 2002 (adaptado). Se uma menina com 64 kg de massa apresenta IMC igual a 25 kg/m 2 , então ela possui RIP igual a a) 0,4 cm/kg 1 3 . d) 20 cm/kg 1 3 . b) 2,5 cm/kg 1 3 . e) 40 cm/kg 1 3 . c) 8 cm/kg 1 3 . 50. Os dados do gráfco seguinte foram gerados a partir de dados colhidos no conjunto de seis regiões metropolitanas pelo Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Socioeconômicos (Dieese). 0 5 10 15 20 13,1 São Paulo Salvador Recife Porto Alegre Belo Horizonte Distrito Federal 19,9 19,3 9,8 10,2 14,7 25 Taxas de desemprego nas regiões metropolitanas março/2010 Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 28 abr. 2010 (adaptado). Supondo que o total de pessoas pesquisadas na região metropolitana de Porto Alegre equivale a 250 000, o número de desempregados em março de 2010, nessa região, foi de a) 24 500. d) 223 000. b) 25 000. e) 227 500. c) 220 500. Coletânea de testes do ENEM 106 51. Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 qui- lômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do úl- timo domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição. Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 2 maio 2010. 30° 60° 1,8 km 3,7 km B A Balão Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o ba- lão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na fgura, e o avistou sob um ângulo de 30°. Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão? a) 1,8 km c) 3,1 km e) 5,5 km b) 1,9 km d) 3,7 km 52. Uma escola recebeu do governo uma verba de R$ 1 000,00 para enviar dois tipos de folhetos pelo correio. O diretor da escola pesquisou que tipos de selos deveriam ser utilizados. Concluiu que, para o primeiro tipo de folheto, bastava um selo de R$ 0,65 enquanto para folhetos do segundo tipo seriam ne- cessários três selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e um de R$ 0,20. O diretor solicitou que se comprassem selos de modo que fossem postados exatamente 500 folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante de selos que permitisse o envio do máximo possível de folhetos do primeiro tipo. Quantos selos de R$ 0,65 foram comprados? a) 476 d) 965 b) 675 e) 1 538 c) 923 53. Acompanhando o crescimento do flho, um casal constatou que, de 0 a 10 anos, a variação da sua altura se dava de forma mais rápida do que dos 10 aos 17 anos e, a partir de 17 anos, essa variação passava a ser cada vez menor, até se tornar imper- ceptível. Para ilustrar essa situação, esse casal fez um gráfco relacionando as alturas do flho nas idades consideradas. Que gráfco melhor representa a altura do flho desse casal em função da idade? a) 180 171 148 Altura (cm) Idade (anos) 51 0 10 17 b) 180 171 148 Altura (cm) Idade (anos) 51 0 10 17 c) 180 171 148 Altura (cm) Idade (anos) 51 0 10 17 d) 180 171 148 Altura (cm) Idade (anos) 51 0 10 17 e) 180 171 148 Altura (cm) Idade (anos) 51 0 10 17 Matemática Volume Único 107 54. Em 2006, a produção mundial de etanol foi de 40 bilhões de litros e a de biodiesel, de 6,5 bilhões. Neste mesmo ano, a produção brasileira de etanol correspondeu a 43% da produção mundial, ao passo que a produção dos Estados Unidos da América, usando milho, foi de 45%. Disponível em: www.planetasustentavel.abril.com.br. Acesso em: 2 maio 2009. Considerando que, em 2009, a produção mundial de etanol seja a mesma de 2006 e que os Estados Unidos produzirão somente a metade de sua produ- ção de 2006, para que o total produzido pelo Brasil e pelos Estados Unidos continue correspondendo a 88% da produção mundial, o Brasil deve aumentar sua produção em, aproximadamente, a) 22,5%. d) 65,5%. b) 50,0%. e) 77,5%. c) 52,3%. 55. Ronaldo é um garoto que adora brincar com núme- ros. Numa dessas brincadeiras, ele empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência mostrada no esquema a seguir. 1 1 2 1 1 2 3 2 1 1 2 3 4 3 2 1 ... Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas. A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9ª linha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo? a) 9 c) 64 e) 285 b) 45 d) 81 56. Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser visto na fgura, em que as estacas foram indicadas por letras. B A P N M C A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto. Nessas condições, a área a ser calçada corresponde a) à mesma área do triângulo AMC. b) à mesma área do triângulo BNC. c) à metade da área formada pelo triângulo ABC. d) ao dobro da área do triângulo MNC. e) ao triplo da área do triângulo MNC. 57. A resistência elétrica e as dimensões do condutor A relação da resistência elétrica com as dimensões do condutor foi estudada por um grupo de cientistas por meio de vários experimentos de eletricidade. Eles verifcaram que existe proporcionalidade entre: • resistência (R) e comprimento (,), dada a mesma secção transversal (A), • resistência (R) e área da secção transversal (A), dado o mesmo comprimento (,) e • comprimento (,) e área da secção transversal (A), dada a mesma resistência (R). Considerando os resistores como fios, pode-se exemplifcar o estudo das grandezas que infuem na resistência elétrica utilizando as fguras seguintes. resistência R A fio condutor ᐉ resistência R A fios de mesmo material ᐉ resistência R A fios de mesmo material ᐉ ᐉ resistência R A fios de mesmo material ᐉ resistência 2R A 2ᐉ resistência R 2A 2ᐉ resistência 2A R 2 Disponível em: http://www.efeitojoule.com. Acesso em: abr. 2010 (adaptado). As fguras mostram que as proporcionalidades existentes entre resistência (R) e comprimento (,), resis- tência (R) e área da secção transversal (A), e entre comprimento (,) e área da secção transversal (A) são, respectivamente, a) direta, direta e direta. b) direta, direta e inversa. c) direta, inversa e direta. d) inversa, direta e direta. e) inversa, direta e inversa. Coletânea de testes do ENEM 108 58. Alguns testes de preferência por bebedouros de água foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 120 cm e 60 cm, respectivamente. O bebedouro 3 é um semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Os três recipientes estão ilustrados na fgura. Bebedouro 1 Bebedouro 3 Bebedouro 2 120 cm 60 cm 60 cm 60 cm 60 cm 30 cm 1 0 0 c m Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, qual das fguras a seguir representa uma planifcação para o bebedouro 3? a) 100 cm 60 cm 60 cm d) 60 cm 100 cm b) 100 cm 60 cm e) 60 cm 60 cm 100 cm c) 100 cm 60 cm 59. No monte de Cerro Armazones, no deserto de Ataca- ma, fcará o maior telescópio da superfície terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande (E-ELT). O E-ELT terá um espelho primário de 42 m de diâmetro, “o maior olho do mundo voltado para o céu”. Disponível em: http://www.estadao.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado). Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora fez uma suposição de que o diâmetro do olho humano mede aproximadamente 2,1 cm. Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho humano, suposto pela professora, e o diâmetro do espelho primário do telescópio citado? a) 1 : 20 d) 1 : 1 000 b) 1 : 100 e) 1 : 2 000 c) 1 : 200 60. Uma empresa vende tanques de combustíveis de formato cilíndrico, em três tamanhos, com medidas indicadas nas fguras. O preço do tanque é diretamente proporcional à medida da área da superfície lateral do tanque. O dono de um posto de combustí- vel deseja encomendar um tanque com menor custo por metro cúbico de capacidade de armazenamento. 8 m (II) 8 m (III) 4 m 6 m (I) 4 m 6 m Qual dos tanques deverá ser escolhido pelo dono do posto? (Considere r > 3.) a) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 1 3 . b) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 4 3 . c) II, pela relação área/capacidade de armazenamen- to de 3 4 . d) III, pela relação área/capacidade de armazenamen- to de 2 3 . e) III, pela relação área/capacidade de armazenamen- to de 7 12 . 61. A ideia de usar rolos circulares para deslocar objetos pesados provavelmente surgiu com os antigos egíp- cios ao construírem as pirâmides. BOLT, Brian. Atividades matemáticas. Ed. Gradiva. Representando por R o raio da base dos rolos cilín- dricos, em metros, a expressão do deslocamento horizontal y do bloco de pedra em função de R, após o rolo ter dado uma volta completa sem deslizar, é a) y 5 R. c) y 5 rR. e) y 5 4rR. b) y 5 2R. d) y 5 2rR. Matemática Volume Único 109 respostas 1. d 2. e 3. c 4. a 5. d 6. c 7. e 8. d 9. d 10. c 11. c 12. d 13. a 14. e 15. d 16. d 17. e 18. d 19. d 20. d 21. b 22. a 23. e 24. d 25. d 26. a 27. b 28. e 29. b 30. a 31. d 32. e 33. d 34. b 35. c 36. c 37. e 38. b 39. b 40. c 41. e 42. c 43. b 44. b 45. c 46. b 47. d 48. e 49. e 50. a 51. c 52. c 53. a 54. c 55. d 56. e 57. c 58. e 59. e 60. d 61. e Coletânea de testes do ENEm Sumário Seleção de exercícios de vestibulares 1 Conjuntos e conjuntos numéricos ................................................................................................................ Respostas ................................................................................................................................................... 1 5 6 18 19 24 25 32 33 40 41 45 46 54 55 64 65 72 73 81 82 85 86 92 93 109 2 Funções ....................................................................................................................................................... Respostas ................................................................................................................................................... 3 Progressões.................................................................................................................................................. Respostas ................................................................................................................................................... 4 Matemática comercial e financeira ............................................................................................................... Respostas ................................................................................................................................................... 5 Trigonometria .............................................................................................................................................. Respostas ................................................................................................................................................... 6 Matrizes, determinantes e sistemas lineares ................................................................................................. Respostas ................................................................................................................................................... 7 Geometria plana .......................................................................................................................................... Respostas ................................................................................................................................................... 8 Geometria espacial ...................................................................................................................................... Respostas ................................................................................................................................................... 9 Análise combinatória, probabilidade e binômio de Newton .......................................................................... Respostas ................................................................................................................................................... 10 Geometria analítica ...................................................................................................................................... Respostas ................................................................................................................................................... 11 Números complexos, polinômios e equações algébricas ............................................................................... Respostas ................................................................................................................................................... 12 Estatística..................................................................................................................................................... Respostas ................................................................................................................................................... Coletânea de testes do ENEm .................................................................................................. Respostas............................................................................................................................................................. Matemática Volume Único Conjuntos e conjuntos numéricos 1. (Fatec-SP) O número inteiro N 5 1615 1 256 é divisível por: a) 5 b) 7 c) 11 d) 13 e) 17 01) O número real representado por 0,5222... é um número racional. 02) O quadrado de qualquer número irracional é um número racional. 04) Se m e n são números irracionais então m ? n pode ser racional. 08) O número real √3 pode ser escrito sob a forma a , onde a e b são inteiros e b  0. b 16) Toda raiz de uma equação algébrica do 2º grau é um número real. 2. (Unifesp-SP) Dia 20 de julho de 2008 caiu num domingo. Três mil dias após essa data, cairá: a) Numa quinta-feira. b) Numa sexta-feira. c) Num sábado. d) Num domingo. e) Numa segunda-feira. 6. (UFF-RJ) Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891), “Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem”. Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático, uma das grandes invenções humanas. Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é correto afirmar que: a) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional. b) a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional. c) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional. d) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional. e) a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo. 3. (U.E. Ponta Grossa-PR) Dois sinais luminosos acendem juntos num determinado instante. Um deles permanece aceso 1 minuto e apagado 30 segundos, enquanto o outro permanece aceso 1 minuto e apagado 20 segundos. A partir desse instante qual o número mínimo de minutos necessários para que os dois sinais voltem a acender juntos outra vez? Assinale no cartão de respostas o número da alternativa que contém a resposta que você calcular como correta. 01) Oito 02) Dez 04) Doze 08) Quatorze 7. (UF-RJ) Manuel, Joaquim e Antônio olham, num certo instante, para dois relógios, A e B, que só indicam horas e minutos. Naquele instante, A e B indicam, respectivamente, 11h51min e 11h53min. Diante dessa situação, segue-se o seguinte diálogo entre os amigos: “Nessas condições, a dedução lógica é que a defasagem entre A e B é de 120 segundos.”, exclama Manuel. “Não! Só podemos garantir que a defasagem entre A e B é de, no máximo, 120 segundos!”, contesta Joaquim. “Vocês dois estão enganados. Com esses dados, só é possível concluir que a defasagem entre A e B é de, pelo menos, 120 segundos!”, afirma Antônio. 1 4. (U.E. Ponta Grossa-PR) Indica-se por n(X) o número de elementos do conjunto X. Se A e B são conjuntos tais que n(A) 5 20, n(B – A) 5 15 e n(A  B) 5 8, assinale o que for correto. 01) n(A – B) 5 12 02) n(B) 5 23 04) n(A  B) 5 35 08) n(A  B) – n(A  B) 5 27 16) n(A) – n(B) 5 n(A – B) 5. (U.E. Ponta Grossa-PR) Assinale o que for correto. (Indique a soma dos números obtidos.) 10. avalie qual das afirmativas a seguir é verdadeira. o Brasil foi o décimo sexto colocado no quadro de medalhas.Conjuntos e conjuntos numéricos Sobre as conclusões dos três patrícios. então podemos afirmar que a 1 b 1 c é igual a: a) 2a b) 3a c) 4a d) 5a e) 6a 12. Acesso em: 05 abr. I – Só Manuel está certo II – Só Joaquim está certo III – Só Antônio está certo IV – Os três estão certos V – Os três estão errados VI – Não é possível decidir se algum nem qual dos três está certo. para x 5 21 e y 5 4. (Cefet-PR) Encontre o valor numérico da expressão algébrica a) b) c) 10 3 11 3 12 7 2x2 2 3xy √ x2 1 3y 2 4 .quadroademedalhas. Por exemplo. Se exatamente 49 funcionários falam inglês e espanhol. 45% falam espanhol e 30% deles não falam nenhuma daquelas línguas. para obtermos (relativo à nota FÁ). 2010 (adaptado). 2 de prata e 3 de bronze. d) e) 13 7 14 3 9. multiplicamos 3 8 SOL) por . se o número é 142. sabe-se que 60% dos funcionários falam inglês. dos dígitos de um número natural. tendo como critério de desempate o número de medalhas de prata seguido do número de medalhas de bronze conquistados. respectivamente. b e c são números naturais tais que a – b 5 c. (Cefet-PR) Se a. tendo obtido 5 medalhas de ouro. (Enem-MEC) A classificação de um país no quadro de medalhas nos Jogos Olímpicos depende do número de medalhas de ouro que obteve na competição. devemos 4 64 (da nota MI) por: multiplicar 81 Para encontrarmos o número 8 a) 9 b) c) d) e) 9 8 243 256 256 243 192 324 País Itália Coreia do Sul GrãBretanha Cuba Ucrânia Hungria medalhas medalhas medalhas Total de de ouro de prata de bronze medalhas 10 9 9 9 9 8 11 12 9 7 5 6 11 9 12 11 9 3 32 30 30 27 23 17 Disponível em: http://www. então x 5 7 e y 5 8. 9 3 Assim. Nas Olimpíadas de 2004.br. (PUC-RS) Pitágoras estabeleceu a seguinte relação entre as sete notas musicais e números racionais: DÓ 1 rÉ 8 9 mi 64 81 Fá 3 4 SoL 2 3 Lá 16 27 Si 128 DÓ 1 2 13. o dígito da unidade de N é: a) 2 b) 3 c) 6 d) 8 e) 9 11. podemos concluir que o número de funcionários dessa empresa é igual a: a) 180 b) 140 c) 210 d) 165 e) 127 8.com. Sabendo-se que N é um número natural de dois dígitos tal que N 5 x 1 y. (ESPM-SP) Numa empresa multinacional. Parte desse quadro de medalhas é reproduzida a seguir: Classificação 8º 9º 10º 11º 12º 13º 243 16 (relativo à nota 27 2 (o correspondente da nota LÁ). (FGV-SP) Sejam x e y a soma e o produto. 2 . 14. nessa data. e) há mais alunos que aprovam Cotas do que alunos que aprovam somente o ENEM.55 e) R$ 3. No primeiro. nº 26. 4-4) Antônio nasceu em 1936. (UF-RJ) Se x 5 √ 3 2 √ 8 2 √ 3 1 √ 8 . 2008 (adaptado). apresentava a seguinte equivalência: 1 dólar 5 0. e seu pai.45 c) R$ 3. quantas Terras cabem dentro de Júpiter? a) 406 b) 1 334 c) 4 002 d) 9 338 e) 28 014 18.9 euro 1 euro 5 0. Marte é o segundo menor: dentro dele cabem três Mercúrios. 2-2) O pai de Antônio tinha 44 anos em 1936. As respostas dos alunos foram sintetizadas na tabela abaixo: Política pública Número de aprovações Cotas. o câmbio. b) a quantidade de alunos que aprovam apenas uma política pública é 415. Netuno é o quarto maior: dentro dele cabem 58 Terras. 1 dólar equivalia a: a) R$ 3. estão 15 figuras. c) a quantidade de alunos que aprovam mais de uma política é 167. como modelo de exame vestibular. Júpiter é o maior dos planetas: dentro dele cabem 23 Netunos.18 libra De acordo com esses dados. entre as moedas abaixo. Cotas Bolsas Cotas Bolsas Cotas Bolsas ENEm e e e e Bolsas ENEm ENEm ENEm 226 147 418 53 85 116 44 20. é correto afirmar que: . O planeta Mercúrio é o menor de todos. no terceiro álbum. 16. √ 15 ? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) Nenhum 15. sobre as políticas públicas de acesso ao Ensino Superior.7 libra 1 real 5 0. analise as afirmações seguintes: 0-0) O pai de Antônio nasceu no século vinte. (Sugestão: calcule x2. no segundo.40 b) R$ 3. d) a quantidade de alunos que aprovam as três políticas é 45.50 d) R$ 3. tinha X anos no ano X2. estão alguns oitavos do total de figuras e. No questionário. (UF-PE) Antônio nasceu no século XX. estão três décimos do total de figuras. sem alterações no número de medalhas dos demais países mostrados no quadro. (UF-PI) O Diretor de uma tradicional escola da cidade de Teresina resolveu fazer uma pesquisa de opinião junto aos seus 590 alunos do Ensino Médio. Considerando estas informações. Quantas figuras estão no segundo álbum? a) 110 b) 115 c) 120 3 d) 125 e) 130 Sobre a pesquisa e a tabela acima. que tinha 30 anos quando Antônio nasceu. 1-1) O pai de Antônio nasceu em 1936. Revista Veja.60 Seguindo o raciocínio proposto. é correto afirmar que.) 19. qual teria sido a classificação brasileira no quadro de medalhas das Olimpíadas de 2004? a) 13º b) 12º c) 11º d) 10º e) 9º a) a quantidade de alunos que não opinaram por nenhuma das três políticas é 12. 4 de prata e 10 de bronze. 17. (UF-PB) Em determinada data. (UF-MA) Quantos números inteiros pertencem ao intervalo 2 √ 10 . pergunta-se sobre a aprovação de: Cotas. Terra é o único com vida: dentro dela cabem sete Martes.Matemática Volume Único Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro. (UE-PI) Júnior tem três álbuns de figuras. Bolsas e ENEM. mostre que x é inteiro e negativo. Ano 41. (Enem-MEC) A disparidade de volume entre os planetas é tão grande que seria possível colocálos uns dentro dos outros. 25 jun. 3-3) Antônio nasceu em 1922. Com base nelas. III – Se a . que pretende oferecer em liquidação. II – Existe um número racional cujo quadrado é 2. 03) A proposição III é verdadeira. todas as ca- 4 . b) 4 000 . uma maneira de deduzi-la é adicionar água limpa. é correto afirmar que o número de candidatos que fizeram provas dos dois concursos foi: a) 4 630 b) 1 870 c) 1 300 d) 1 740 e) 1 000 netas foram vendidas. 05) As proposições II. exatamente. 870 fizeram prova somente do concurso para gari. c 5 √ 36 4 d) a 5 2 √ 12. Com base em tais informações.70 e) R$ 0. de determinada marca. III e IV são verdadeiras. (UF-RN) A presença de nitrogênio sob a forma de nitrato em índices elevados oferece risco à saúde e deixa a água imprópria para o consumo humano. d) 18 000 .. 02) A proposição II é verdadeira. Sabendo-se que. Ela conta com 27 músicos de cordas. c 5 6 23. (UF-PA) A Orquestra Sinfônica do Theatro da Paz (OSTP) é composta por músicos de quatro naipes de instrumentos distintos: cordas. 22. Uma análise feita na água de um reservatório de 12 000 . Desse total. é correto afirmar: 01) A proposição I é verdadeira. c 5 √ 36 c) a 5 √ 144 . (Uneb-BA) Considerem-se as proposições I – p é um número racional. ou seja. b 5 1 . II e IV são verdadeiras. de modo que ela passe a ter 150 músicos e tal que os naipes de instrumentos mantenham a mesma proporção entre eles.73 b) R$ 0. uma quantidade de canetas. b 5 √ 4 . Assinale a única alternativa abaixo que exemplifica esta afirmação. c 5 √ 36 b) a 5 √ 9 . 04) As proposições I. IV – Todo número primo é impar. a) a 5 √ 12. do total de candidatos inscritos. Quando essa concentração ultrapassa tal valor. a quantidade mínima de litros de água que se deve acrescentar para que o reservatório volte aos padrões normais de potabilidade é: a) 6 000 . 4 630 não fizeram a prova do concurso para gari. sopro de madeiras e percussão. qual foi este preço? a) R$ 0. c 5 2 √ 36 e) a 5 √ 9. 10 mg/. não potável..71 d) R$ 0. Na liquidação. c) 12 000 . e obteve-se um faturamento de exatamente R$ 37.Conjuntos e conjuntos numéricos 21. Se cada uma das canetas foi vendida pelo mesmo preço. houve um total de 6 500 candidatos inscritos. o número de músicos de cordas e o número de músicos de metais passariam a ser respectivamente: a) 54 e 22 b) 60 e 30 c) 50 e 20 d) 82 e 40 e) 81 e 33 24. No caso de se desejar ampliar a orquestra. b 5 √ 4 . (UE-PI) Uma mercearia tem. Uma Portaria do Ministério da Saúde limita a concentração de nitrato em. b 5 √ 3 . 0. no máximo. 8 de madeiras e 4 de percussão.69 25. b 5 2√ 3 .72 c) R$ 0. constatou a presença de nitrato na concentração de 15 mg/. em número inferior a 60 e superior a 1. então 2a . 11 de metais. sopro de metais.63 com a sua venda. (UF-PB) A prefeitura de certa cidade realizou dois concursos: um para gari e outro para assistente administrativo. 26. Nesses dois concursos. em estoque. (UPE-PE) Sabe-se que o produto de dois números irracionais a e b pode ser um número racional c. 0. livre de nitrato. x 5 22 16. e 9. b 11. F. c 18. a 26. Opção V 8. c 10. 02. F. c 25. e 13. d 21. 01 1 04 5 05 6. e 2. 04. b 14. F 20. a 12. e 5 .Matemática Volume Único Conjuntos e conjuntos numéricos respostas 1. V. a 3. b 15. d 7. b 19. 03 24. a 23. b 17. e 22. 04 4. 01. V. 08 5. uma assinatura de R$ 35. durante as t primeiras horas de produção.80 por minuto utilizado. (UF-SC) Assinale a(s) proposição(ões) correta(s). (UE-CE) Na figura a seguir estão representados seis retângulos com lados paralelos aos eixos coordenados e vértices opostos sobre o gráfico da função f(x) 5 log2 x. (UF-TO) Seja f: ]2. podese afirmar que no ano 2000 houve um aumento de 20% no gasto com impostos. o de maior área é aquele com lado de 20 m e área de 400 m2. Portanto. 0. o custo de cada minuto utilizado é de R$ 1. 08) Certa substância radioativa que se desintegra uniformemente ao longo do tempo tem sua quantidade ainda não desintegrada. cujo gráfico é o seguinte: . 15. n. uma assinatura de R$ 20. A empresa X cobra. 02) Uma cidade é servida por três empresas de telefonia.Funções Funções 1. Num dia normal de trabalho. Londrina-PR) Considere a função real definida por f(x) 5 ax2 1 bx 1 c. 6 5. A empresa Y cobra. durante o horário de trabalho.F. ao final da segunda hora. A empresa Z não cobra assinatura mensal para até 50 minutos utilizados e. x . Lavras-MG) A solução da equação log(x) 2 10(log(0. R$ 4 500 R$ 4 000 R$ 3 500 R$ 3 000 R$ 2 500 R$ 2 000 R$ 1 500 R$ 1 000 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2 042 2 082 2 006 2 594 3 269 4 160 2 t 2. 50%. O gasto na produção.20. acima de 50 minutos. 2] → [21. 04) Em certa fábrica. por mês.E.00. são fabricadas x(t) 5 15t unidades. após t anos. [ definida por f(x) 5 x2 2 4x 1 3 Então a função inversa f21 é: a) f21(x) 5 2 b) f21(x) 5 1 2 115 3 55 6 c) f21(x) 5 2 Veja.50 por minuto utilizado. é de R$ 1 430. Abril. 16) O gráfico abaixo mostra quanto cada brasileiro pagou de impostos (em reais per capita) nos anos indicados. ano 39. (U. dada pela equação M(t) 5 M0 ? 2 20 onde M0 representa a quantidade inicial dessa substância.5) 1 log(8)) 5 log a) log(log2(x)) 5 1 b) x 5 10 c) log2(log(x)) 5 1 d) x 5 10log(4) 1 satisfaz: x 3. em relação a 1995. acima de 50 minutos de uso mensal a empresa X é mais vantajosa para o cliente do que as outras duas. A porcentagem da quantidade ainda não desintegrada após 40 anos em relação à quantidade inicial M0 é de. y f(x) 5 log2x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x A soma das áreas dos seis retângulos é igual a: a) 2 unidades de área b) 3 unidades de área c) 4 unidades de área d) 5 unidades de área 4. por mês. (U. São Paulo: Ed. d) f21(x) 5 2 1 Com base nos dados fornecidos pelo gráfico.00 mais R$ 0. Indique a soma dos valores: 01) Dentre todos os retângulos com 40 m de perímetro. o custo de fabricação de x unidades é de C(x) 5 x2 1 x 1 500 reais. 19 abr. 2006. aproximadamente.00 mais R$ 0. 3 3 1 3 . 1. 1. Assim. o tempo decorrido em segundos. a √ D . diversão preferida de um grupo de jovens. desde o disparo até o momento em que o sinalizador cai na água. b . pelas duas funções. 0 II. 4 9. Santa Maria-RS) Sabe-se que as equações são expressões matemáticas que definem uma relação de igualdade. a) I e III. 1 e c . Sabendo que 5 é a ordenada onde a curva corta o eixo vertical. a(b 1 c) . b . 1 e c . em que houve necessidade de disparar um sinalizador para avisar o restante do grupo que ficara no acampamento. respectivamente: a) 75 m e 10 s b) 75 m e 5 s c) 74 m e 10 s d) 74 m e 5 s e) 70 m e 5 s 7. e) II. surgiu uma situação de perigo. b . 1. (Ibmec-RJ) A soma dos quadrados dos números naturais que pertencem ao conjunto solução de: (3 2 x) ? (x2 2 1) > 0 é igual a: x12 a) 13 7 24 . dadas as funções 1 f(x) 5 x 2 1 e h(x) 5 3x 1 1. 1. O valor de logn (n3 1 8) é a) 2 x b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 Com base na situação exposta e nos conhecimentos sobre o tema. Dessa forma. b .F. II e IV. III e IV. d) I. b) III e IV. b . 4 b) a . c) I. (PUC-RS) A representação: y 4 2 24 22 0 22 2 4 x 10. 4 c) a .F. coincidam. 4 e) a . 6. (U. podemos afirmar que: a) a . 0 III. 1 e c . onde h é a altura do sinal em metros e t. 2. considere as seguintes afirmativas: I. 3). II e III. 0 Assinale a alternativa que contém todas as afirmações corretas. 3 √3 3 IV. A função que descreve o movimento do sinal luminoso é dada por h(t) 5 30t 2 3t2. 1) c) (3. 21) b) (21. D 5 b2 2 4ac . 4 d) a . para que seus gráficos (9 ) tenham um ponto em comum.Matemática Volume Único y é da função dada por y 5 f(x) 5 logn (x). (U. 1 e c . deve existir um valor de x. f 2b 2 2a 2b 1 2a 5f 2a 2a 8. 3 e c . a altura máxima atingida pelo sinalizador e o tempo decorrido até cair na água são. Santa Maria-RS) Durante um passeio noturno de barco. 81) d) e) 1 4 . de modo que as imagens desse valor. Isso ocorre no ponto: a) (1. (UF-PA) O vértice da parábola y 5 ax2 1 bx 1 c é o ponto (22. o número de passagens vendidas que torna máxima a quantia arrecadada por essa empresa é igual a: a) 100 b) 125 c) 150 d) 180 c) b) 12. 2 √ 6 ou x . I. o cliente pode percorrer 200 km sem custos adicionais. de um produto em conserva. c) As três alternativas. 4x a) S 5 {x   | 21 . Já a locadora Mercúrio tem um plano mais elaborado: ela cobra uma taxa fixa de R$ 90. III. em meses: V5e .79%. medido em uma escala de 0% (vencido) a 100% (fresco). acrescidos de R$ 10.25%. 6} b) S 5 {x   | x .60. d) As alternativas II e III estão corretas. x . II e III. d) y 4 3 2 1 24 23 22 21 0 1 2 3 x e) y 3 2 1 23 22 21 0 21 22 1 2 3 x 13. a validade corresponde a 36.t>0 2t 2 1 23 22 21 0 1 x Onde: e 5 2. 6} d) S 5 {x   | 26 . (PUC-MG) Uma empresa de turismo fretou um avião com 200 lugares para uma semana de férias. ou seja. segue a seguinte função de tempo. 1} c) S 5 {x   | x . Um mês após a produção. a validade corresponde a 0. √ 6 } 8 . t.40 por quilômetro rodado. x . Nessas condições.00 com uma franquia de 200 km. o cliente deve pagar R$ 0.00 para cada lugar do avião que ficasse vago. A locadora Saturno cobra uma taxa fixa de R$ 30. 21 ou x . 1} e) S 5 {x   | x . Quanto mais próximo do dia da produção maior o frescor. (Udesc-SC) O conjunto solução da inequação: 15.  3 (2x 2 2)  é: x13 . devendo cada participante pagar R$ 500.00 pelo transporte aéreo. (Unicamp-SP) Duas locadoras de automóveis oferecem planos diferentes para a diária de um veículo econômico. t 5 1. t 5 6.7183 É CORRETO afirmar: I. (PUC-PR) O prazo de validade.Funções b) 14 c) 15 d) 19 e) 20 14. estão corretas. além de R$ 0. II. a) Somente a alternativa III está correta. e) Nenhuma das alternativas está correta. Entretanto. 26 ou x . V. b) As alternativas I e III estão corretas. (Udesc-SC) A alternativa que representa o gráfico da função f(x) 5 |x 1 1| 1 2 é: a) y 4 3 2 1 23 22 21 y 4 3 2 1 21 0 1 y 2 3 4 x 0 1 2 x 11. Seis meses após a produção. para cada km rodado além dos 200 km incluídos na franquia.00. (Fuvest-SP) A função f:  →  tem como gráfico uma parábola e satisfaz f(x 1 1) 2 f(x) 5 6x 2 2.00. na base 10. Justifique suas respostas. da energia liberada pelo abalo sísmico. Considere as seguintes afirmações: I. 2 ou x . Hoje. II. b) Determine para quais intervalos cada locadora tem o plano mais barato.E. indique qual deve ser seu novo custo por km rodado para que ela. (Fuvest-SP) A magnitude de um terremoto na escala Richter é proporcional ao logaritmo. em que e 5 2. Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala Richter libera duas vezes mais energia que outro. assinale o que for correto. o pH de uma solução aquosa é dado pelo logaritmo. Indique a soma dos valores. tenha o plano mais vantajoso para clientes que rodam quaisquer distâncias. represente no gráfico a função que descreve o custo diário de locação em termos da distância percorrida no dia. Ponta Grossa-PR) Em relação à função de  em  definida por f(x) 5 3x 1 2. 9 . 01) O domínio da função f é {x   | x .E. A concentração de íons H1 de uma solução ácida com pH 4 é 10 mil vezes maior que a de uma solução alcalina com pH 8. b) as medidas de AM e MB para que a área do quadrado MNPQ seja a menor possível. (FGV-SP) O valor de um carro decresce exponencialmente.7182… . de magnitude 3. será dado por V 5 Ae2kx. 1 2 04) g(f(2)) 5 10 08) A função inversa de g é definida por g21(x) 5 x15 5 3 1 5 2f(x) 16) f x N Q D P C Determine: a) as medidas de AM e MB para que a área do quadrado MNPQ seja igual a 9 cm2. na base 10. 1} 02) A função f assume valores estritamente positivos 1 para x . Ponta Grossa-PR) Sobre as funções f(x) 5 2x 1 1 e g(x) 5 3x 2 5. o menor valor de f(x) ocorre quando x é igual a: a) 11 6 7 b) 6 5 c) 6 d) 0 5 e) 2 6 20. 01) f(f(0)) 5 29 02) Sua imagem é o conjunto ]2. (U. 18. Então. 19. Está correto o que se afirma somente em: a) I b) II c) III d) I e II e) I e III 16. do inverso da concentração de íons H1. assinale o que for x21 correto. lucrando o máximo possível.Matemática Volume Único a) Para cada locadora. de modo que seu valor. (UFF-RJ) A figura a seguir representa um quadrado MNPQ inscrito no quadrado ABCD cuja área mede 16 cm2. daqui a x anos.00 e daqui a 2 anos valerá R$ 30 000. (U. para todo número real x. III. Supondo que a locadora Saturno vá manter inalterada a sua taxa fixa. Indique a soma dos valores. O uso do logaritmo nas escalas mencionadas justifica-se pelas variações exponenciais das grandezas envolvidas. 1 [ 04) f(a 1 b) 5 f(a) 1 f(b) 08) A função é decrescente 16) f(x 1 1) 2 f(x) 5 2 ? 3x 21. A M B 17. o carro vale R$ 40 000. Analogamente. cujo custo de fabricação de x unidades é dado por 3x2 1 232. do dízimo e das entradas (Revista de História da Biblioteca Nacional). com uma taxa de. Com base nessas informações. a) {x   | x > 0} b) {x   | x < 22 ou x > 2} c) {x   | 0 < x < 2} d) {x   | 22 < x < 2} Com base nessas informações.0 m b) 40. e o seu valor de venda é expresso pela função 180x 2 116.00 d) R$ 25 000. o valor do carro daqui a 4 anos será: a) R$ 17 500. Desses impostos. Essa distância em metros pode ser calV2 culada aproximadamente pela expressão D 5 . E as entradas incidiam sobre o peso das mercadorias (secos e molhados. (Enem cancelado e modificado-MEC) A empresa WQTU Cosmético vende um determinado produto. contudo a mesma deseja saber quantas unidades precisa vender para obter um lucro máximo. até parar completamente. ago.5 m c) 65. provinha de Minas Gerais devido à cobrança do quinto.8.5 m 23.125 contos de réis por arroba de peso. n.00 c) R$ 22 500. depende de inúmeros fatores. aproximadamente. na capitania de Minas Gerais. em 1760. o dízimo incidia sobre o valor de todos os bens de um indivíduo.00 e) R$ 27 500. na capitania. 2007 [Adaptado]. durante o século XVIII. do instante em que vê um obstáculo até acionar os freios.00 b) R$ 20 000. se estiver trafegando com velocidade constante de 90 km/h? a) 25. A quantidade máxima de unidades a serem vendidas pela empresa WQTU para a obtenção do maior lucro é: a) 10 b) 30 c) 58 d) 116 e) 232 24. 1. e considerando  5 0. (PUC-MG) A função f é tal que f(x) 5 g(x). (UF-GO) Grande parte da arrecadação da Coroa Portuguesa. Considere que o tempo de reação de um condutor é de um segundo. entre outros) que entravam em Minas Gerais.00 sobre as quais foram cobradas entradas. O gráfico a seguir mostra o rendimento das entradas e do dízimo. Se o gráfico da função g é a parábola a seguir. (UF-GO) A distância que um automóvel percorre até parar.5 m d) 72.Funções Nessas condições. qual é a distância aproximada percorrida por um automóvel do instante em que o condutor vê um obstáculo.0 m e) 105. o total de arrobas de mercadorias. 10 . Rio de Janeiro. com uma taxa de 10% desse valor. A empresa vendeu 10 unidades do produto x. 23. no século XVIII. ano 2. após ter os freios acionados. foi de aproximadamente: a) 1 000 b) 60 000 c) 80 000 d) 100 000 e) 750 000 22. o domínio de f é o conjunto: 4 3 2 1 0 21 22 250 000 200 000 150 000 24 100 000 50 000 0 1 700 23 22 21 1 2 3 4 1 720 1 740 1 760 1 780 1 800 Revista de História da Biblioteca Nacional. Rendimento Fiscal da Capitania de Minas Gerais Entradas (Em Contos de Réis) Dízimos 25. 250  onde V é a velocidade em km/h no momento inicial da frenagem e  é um coeficiente adimensional que depende das características dos pneus e do asfalto. o Brasil tinha 14 milhões de usuários residenciais na rede mundial de computadores. Atualidade e Vestibular 2009. Abril. 1º semestre. 42% ainda não usam banda larga (internet mais rápida e estável). (UE-MG) “Em janeiro de 2008. Só são atendidos pela rede discada”. a tendência de crescimento linear. a equação V(t) 5 60 000 ? 2 15 . mostrada no gráfico acima. responda às seguintes perguntas: a) Qual é a velocidade do som à temperatura de 27 °C? (Sugestão: use 3 5 1. Deste total de usuários. (PUC-MG) O valor de certo equipamento. Qual o tempo necessário para que o reservatório fique completamente cheio? .00 c) R$ 10 000. a área do triângulo ABC é: 31.00. (PUC-RJ) Considere a função real g(x) 5 x4 2 40x2 1 144 e a função real f(x) 5 x(x 2 4) (x 1 4) a) Para quais valores de x temos f(x) . é reduzido à metade a cada 15 meses.00 2 t a) 7h b) 6h50min c) 6h30min d) 7h30min e) 7h50min 30. 0? 28. Com base nessas informações. Uma equação que relaciona essa velocidade v (em metros por segundo) com a temperatura t (em graus Celsius) de maneira aproximada é v 5 20 t 1 273 . pelos próximos meses. Em fevereiro de 2008. 0? c) Para quais valores de x temos f(x) ? g(x) .Matemática Volume Único 26. uma torneira é aberta.73) b) Costuma-se assumir que a velocidade do som é de 340 m/s (metros por segundo). Ed. (Cefet-SC) O volume de água de um reservatório aumenta em função do tempo. B C Baseando-se nessa informação. Isso ocorre a que temperatura? 27. (PUC-RJ) Sabendo que a curva a seguir é a parábola de equação y 5 x2 2 x 2 6. o número de usuários residenciais de computadores. (UF-PR) Sabe-se que a velocidade do som no ar depende da temperatura. é CORRETO afirmar que o valor do equipamento após 45 meses de uso será igual a: a) R$ 3 750. Com base nessas informações.00 b) R$ 7 500. ou 57% a mais. onde t é o tempo de uso em meses e V(t) é o valor em reais. 0? b) Para quais valores de x temos g(x) . comprado por R$ 60 000. em dezembro de 2009. será igual a: 3 t(h) a) 178 3 106 b) 174 3 105 c) 182 3 107 d) 198 3 106 11 Para encher este reservatório de água com 2 500 litros.00 d) R$ 20 000. observe o gráfico a seguir: (milhões de usuários) 22 A a) 4 b) 6 c) 9 d) 10 e) 12 29. representa a variação do valor desse equipamento. esses internautas somavam 22 milhões de pessoas 2 8 milhões. Assim. de acordo com o gráfico abaixo: V(m3) 14 JAN/08 FEV/08 (mês) 1 Se mantida. c) Maior ou igual a 0. os astrônomos utilizam filtros de luz em seus instrumentos de observação. a) Determine as funções que expressam os crescimentos anuais dos valores do salário mínimo e dos preços da cesta básica. 16) d) (0. O número que representa a idade de Paulo pertence ao conjunto 12 . na região Nordeste.00 R$ 184. em anos. e) Nenhuma das alternativas anteriores. (FGV-SP) Nos últimos anos.8 e 1. 0. 14} b) {15. (FGV-SP) O gráfico de uma função quadrática f(x) tem as seguintes características: O vértice é o ponto (4. 0). Suponha que. b) Exatamente 0. (UE-CE) A idade de Paulo.00 R$ 154. na região Nordeste. Intercepta o eixo das abscissas no ponto (5. y R$ 510. 17) e) (0. 2x 2x2 1 . 17} c) {18. 4 Admita um filtro que deixe passar da intensidade 5 da luz que nele incide. 15) c) (0. d) Um valor entre 1. a distância do ponto 0 ao ponto B.Funções 32. em metros. é correto afirmar que log5 20 corresponde a: a) Exatamente 2. foi necessário utilizar n filtros. Considerando log 2 5 0. contribuindo para o aumento do poder aquisitivo da população. 20} d) {21. a bola descreve duas parábolas com vértices C e D. é um número inteiro par que satisfaz a desigualdade x2 2 32x 1 252 . A equação de uma dessas parábolas é y 5 5 75 Se a abscissa de D é 35 m. 19. aproximadamente. 21). na região Nordeste? Dê a resposta aproximando o número de anos. toca o solo nos pontos A e B. em que x representa o número de anos transcorridos após 2005. 16.00 Salário Mínimo R$ 300. em seguida.6. 18) 33. (UE-RJ) Para melhor estudar o Sol. f(x) 5 ax 1 b. é igual a: a) 38 b) 40 c) 45 d) 50 0 1 2 3 4 5 x 2005 2006 2007 2008 2009 2010 34.9. 23} 36. a partir de 2005. O gráfico abaixo ilustra o crescimento do salário mínimo e do valor da cesta básica na região Nordeste. o menor valor de n é igual a: a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 a) {12. o salário mínimo tem cresC D 0 A 35 B x (m) cido mais rapidamente que o valor da cesta básica. possam ser aproximados mediante funções polinomiais do 1º grau. conforme representado no sistema de eixos ortogonais: y (m) 37.6.7. b) Em que ano.00 Cesta Básica Durante sua trajetória.3 e log 5 5 0. a partir de 2005. O ponto de interseção do gráfico com o eixo das ordenadas é: a) (0. as evoluções anuais dos valores do salário mínimo e dos preços da cesta básica. 22.301. 13. 35.5 e menor que 0. (UE-RJ) Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e. 14) b) (0. após 2005. (PUC-PR) Sabendo que log 20 5 1. Para reduzir essa intensidade a menos de 10% da original. ao inteiro mais próximo. um salário mínimo poderá adquirir cerca de três cestas básicas. F. e t é o tempo. 1? √ SIM 1980 1992 2004 Verifique: NÃO Calcule (x 1 2)1/3 Favela tem memória. considerando que a variação nesse número entre os anos considerados é linear. B e C. a evolução das populações das espécies A. o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função: 7 t 1 20. em muitas situações. (Enem-MEC) O gráfico mostra o número de favelas no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004. que a população da espécie B aumenta 100 pássaros ao ano e que a população da espécie C permanece estável ao longo dos anos. então o número de favelas em 2016 será: a) menor que 1 150. aos gráficos a) I. b) II. (UF-RJ) Um ponto P desloca-se sobre uma reta numerada. esboçados em uma mesma escala. 2010 (adaptado). (U. nº 621. para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo. 13 . Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48 °C e retirada quando a temperatura for 200 °C. (Enem-MEC) Nos processos industriais. o tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado. a) Determine os valores reais de x para os quais é possível executar esse programa. em graus Celsius. Em uma indústria de cerâmica. Época. e sua posição (em metros) em relação à origem é dada. b) Aplique o programa para x 5 0. Juiz de Fora-MG) Os gráficos I. a seguir. respectivamente. (UF-RJ) Considere o programa representado pelo seguinte fluxograma: Entre com o valor de x Calcule x 2 1 √ 372  x 2 1 . II e I. em minutos.Matemática Volume Único 38. e) maior que 1 200. em função do tempo t (em segundos). decorrido desde o instante em que o forno é ligado. e sabendo que o número de favelas em 2010 é 968. 12 abr. III e II. população população população 39. I e III. d) 177 unidades maior que em 2010. c) II. como na indústria de cerâmica. e) III. x 5 4 e x 5 9. por P(t) 5 2(1 2 t) 1 8t. ilustram modelos teóricos que descrevem a população de três espécies de pássaros ao longo do tempo. 750 573 40. O tempo de permanência dessa peça no forno é. ao longo do tempo. Assim. III e I. d) III. 8 2 P(t) a) Determine a posição do ponto P no instante inicial (t 5 0). é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e. em minutos. para t > 100 125 5 em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno. c) maior que 1 150 e menor que 1 200. I e II. igual a: a) 100 b) 108 c) 128 d) 130 e) 150 tempo I II tempo III tempo Sabe-se que a população da espécie A aumenta 20% ao ano. para 0 < t < 100 5 T(t) 5 2 2 16 t 2 t 1 320. b) 218 unidades maior que em 2004. II e III. correspondem. Calcule 2x22 Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos próximos 6 anos. 42. 41. em reais. pode-se afirmar que a) contém somente seis números inteiros. a) Qual foi a quantia inicial aplicada? b) Quanto essa pessoa teria no fundo de investimento após 5 meses da aplicação inicial? c) Utilizando os valores aproximados log10 2 5 0. que essa pessoa possui investido em relação ao tempo t. Ebbinghaus determinou que. c) entre três e quatro semanas. é correto afirmar que 14 . com a 5 20 e b 5 0.3 e log 3 5 0. 3.F. d) não possui números racionais. sua população mantém-se constante por dois dias e. em meses. Utilizando métodos experimentais. O tempo t. 46. em função do tempo t em dias. Sabe-se que uma população inicial de 1 000 bactérias desse tipo foi colocada em meio de cultura.) 44. dentro de certas condições. o tempo necessário para que o percentual se reduza a 28% será: a) entre uma e duas semanas. 2. após t horas. no fundo de investimento. seja dada por: F(t) 5 100(1. 4 e 6. por sua vez. b) Construa o gráfico da função composta C(Q(t)).Funções b) Determine a medida do segmento de reta correspondente ao conjunto dos pontos obtidos pela 3 variação de t no intervalo 0. (UF-PI) Sobre o domínio da função f: D   → . dobrando sua quantidade a cada 8 horas. e) é um conjunto finito. Quando colocada em meio de cultura. b  . a partir do instante do investimento inicial. Se essa fórmula é válida para um certo estudante. uma quantia igual a R$ 2 700. a  0. o percentual P do conhecimento adquirido que uma pessoa retém após t semanas pode ser aproximado pela fórmula: P 5 (100 2 a) ? b 1 a. o custo diário com matériaprima. é contado a partir do instante do investimento inicial. (UF-RN) Em uma fábrica. satisfazendo a equação 23a 1 b 5 3a. A quantidade de unidades produzidas desse produto. (UF-PI) Sejam a. (UF-PR) Um importante estudo a respeito de como se processa o esquecimento foi desenvolvido pelo alemão Hermann Ebbinghaus no final do século XIX. cresce exponencialmente. (Em seus cálculos.5. use log 2 5 0.Considerando log 2 5 0. . b) possui dois inteiros positivos.3 e log10 3 5 0.00? 49. (Fuvest-SP) Sejam f(x) 5 2x 2 9 e g(x) 5 x2 1 5x 1 3. do terceiro dia em diante.48.30 e log 3 5 0. c) é um intervalo de comprimento igual a seis unidades. 2 a) Faça uma tabela com valores de C(x) para x igual a 10. d) entre quatro e cinco semanas. de bactérias. então a 5 c) a 5 2b d) b 52 a e) a 5 b 5 log 3 8 5 43.2)t. quantos meses. CALCULE o tempo necessário para que a população de bactérias se torne 30 vezes a população inicial. DETERMINE a expressão da população P. sendo que a e b variam de uma pessoa para outra. para produzir x unidades de um produto. é dado pela equação C(x) 5 10x. Juiz de Fora-MG) Uma pessoa aplicou uma quantia inicial em um determinado fundo de investimento. 16 e 18.48. e) entre cinco e seis semanas. (UF-MG) Um tipo especial de bactéria caracteriza-se por uma dinâmica de crescimento particular. seriam necessários para que essa pessoa possuísse. Suponha que a função F.47. 2 a)   b 7 52 a 5 b) se 3a 2 b 5 1. que corresponde ao custo em função das horas (t). e uma tabela com valores de Q(t) para t igual a 2. explicite os cálculos efetuados. b) entre duas e três semanas. b  0. que fornece o valor. é dada por Q(t) 5 6t 2 t2. t 47. 1 0 < t < 8. (U. definida pela lei f(x) 5 3 2 |x 1 2| . 1. 48. A soma dos valores absolutos das raízes da equação f(g(x)) 5 g(x) é igual a: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 45. Considerando essas informações. CALCULE a população de bactérias após 6 dias em meio de cultura. (UF-AL) A fórmula para medir a intensidade de um dado terremoto na escala Richter é R 5 log10(I/I0). onde: t é o tempo. de cada unidade desse produto é fixado. a .125) 1 h(25) é 01) 8 02) 2 03) 0 04) 22 05) 23 54. (UF-MG) Uma fábrica vende determinado produto somente por encomenda de. (UF-AL) Associe aos gráficos a seguir. podese afimar que o valor de f(26) 2 g(0. 3. que têm como 15 . Então. 0 é uma constante real.9 mg/d. se 500 < x < 1 000.6 horas 55. relativo à produção de x unidades desse produto é calculado pela equação C 5 60x 1 10 000 O lucro L apurado com a venda de x unidades desse produto corresponde à diferença entre a receita apurada com a venda dessa quantidade e o custo relativo à sua produção. a concentração pode ser descrita por uma função do tipo C(t) 5 a ? t 1 b Após o consumo de certa quantidade de álcool. foi criada a chamada Lei 13. g(x) 5 log2 x e h(x) 5 log 4x. qual a intensidade do terremoto na escala Richter? Indique o valor mais próximo.Matemática Volume Único 50. R$ 26 400. 500 unidades e. O custo C. (UF-PB) Considere a vibração de uma corda elástica sob a resistência de uma força de atrito. após duas horas e meia da ingestão.01x. é de 96.5 e) 5. consciente de suas responsabilidades. Sobre a concentração de álcool (etanol) no organismo. Considerando essas informações.0 52. que determina a punição muito mais rigorosa para os condutores bêbados. um recente estudo científico concluiu que essa decai linearmente em função do tempo. pelo menos. e E0 é a energia inicial da corda. no mínimo. O preço P.00. 53. medido em segundos. enumerados de 1 a 4. O decaimento da energia total é descrito pela função E(t) 5 E0e2at. é de 113. Se um sismógrafo detecta um terremoto com intensidade I 5 32 000I0. a energia da corda cai pela metade. e1. CALCULE o preço da unidade desse produto correspondente à encomenda que maximiza o lucro. CALCULE o número mínimo de unidades que uma encomenda deve ter para gerar um lucro de. 1. no mínimo. a partir de t0. as funções correspondentes. Em outros termos. a) 3. a partir do instante inicial t0 5 0.9 mg/d. e. se 1 000 .0 horas c) 9. (Uneb-BA) Considerando-se as funções reais f(x) 5 log3(x 1 1). em reais. após uma hora e meia da ingestão. por meio desta equação: P5 90.7 5 2. (UF-AM) O produto dos números naturais que satisx25 x fazem a inequação < é: x x25 d) 2 e) 1 b) 2 c) 60 Use: e0. com I0 sendo a intensidade de um abalo quase imperceptível e I a intensidade de um terremoto dada em termos de um múltiplo de I0. (UF-PA) Beber e dirigir é uma combinação perigosa. Dado: use a aproximação log10 2  0.7 horas d) 7. verifica-se que a concentração de álcool no sangue de uma pessoa.. mas parece que o número de acidentes nas rodovias e estradas não está sendo suficiente para convencer os motoristas a abandonarem o volante depois de umas doses de álcool. ESCREVA a expressão do lucro L correspondente à venda de x unidades desse produto para 500 < x < 1 000 e para 1 000 . x < 3 000.0 d) 4. para que a energia seja reduzida a 20% de E0.0 b) 3. Sabendo-se que essa pessoa. no máximo.2 horas b) 2. de acordo com o número x de unidades encomendadas. 3 000. para evitar essa combinação perigosa. x . quanto tempo após o consumo. Considerando que em 7 segundos. só voltará a dirigir quando a concentração de álcool em seu sangue for zero.. é: 56. 2.9 horas e) 8. 3 000 unidades. ela deve esperar para voltar a dirigir? a) 8. o tempo necessário. 100 2 0.6 5 5 a) 16 s b) 15 s c) 14 s d) 18 s e) 19 s a) 12 51. em reais.5 c) 4.30. 2 e) 4. da castanheira é aproximadamente a) 420 b) 750 c) 1 030 d) 1 430 e) 1 700 60.69 e In(0. 1) 2 1. Com relação à função acima considere as afirmações: I. 1. Então: a) Somente V é verdadeira.03/1. hoje. O valor mínimo assumido por f é zero. e) Todas são falsas. (UE-PI) As populações das cidades A e B crescem exponencialmente. 4.5 21 23 22 21 0 forme o gráfico a seguir. 1 d) 1. (UF-PA) Uma das técnicas para datar a idade das árvores de grande porte da floresta amazônica é medir a quantidade do isótopo radioativo C14 presente no centro dos troncos. 3. d) Somente III é verdadeira. a) 2 anos b) 6 anos c) 10 anos d) 15 anos e) 20 anos 58.50) 5 20. 2 b) 3. O gráfico de f intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0. a população de A é de 9 milhões de habitantes. 4 c) 2.02)  0. II. 2. respectivamente. O gráfico de f é uma reta. 3. de modo que a pressão P no seu interior varia com o tempo e a partir de um determinado valor. A função que representa a pressão P no interior do reservatório em um instante t (minutos) tem lei de correspondência: P(t) 2) 2 1. de cima para baixo. 1. V. 4.5 1 2 3 6 5 4 3 3) 7 6 5 4 3 2 1 4) 6 5 4 3 2 1 1 2 3 21 0 1 2 3 4 0 2 4 6 t a) y 5 b) c) d) e) 23 22 21 0 2 x13 3 y5x13 1 y5 x12 2 1 y5 x13 2 1 y52 x13 2 ( ) y 5 |22x 2 1| 59. c) Somente II é verdadeira.5 1 0.20. Ao tirar uma amostra de uma castanheira. contado a partir de hoje. Se. 3.84) 5 20. (UF-AM) Considere a função f:  →  dada por f(x) 5 |3x 2 2|. podemos afirmar que a idade.5 1 0. e assinale a sequência obtida. verificou-se que a quantidade de C14 presente era de 84% da quantidade existente na atmosfera. 4. f é injetora. b) Somente I e II são falsas.Funções domínio e contradomínio o conjunto dos números reais. e a de B é de 11 milhões. (UE-PB) Um reservatório contendo gás é aquecido. 1. III. 22). com taxas anuais de crescimento de 3% e 2%.5 24 23 22 21 0 1 2 20. f é uma função par. 2 57. IV.01 e In(11/9)  0. ( ) y 5 |x2 2 3x 1 2| ( ) y 5 2 2 |x 1 1| ( ) y 5 |x| A sequência correta é: a) 3. em quanto tempo. Sabendo-se que o C14 tem decaimento exponencial e sua vida média é de 5 730 anos e considerando os valores de In(0.17. con16 . as populações das duas cidades serão iguais? Dados: use as aproximações In(1. em anos. c) Em . e) No sistema de coordenadas cartesianas tOT. pertencem a uma parábola que: a) intercepta o eixo das ordenadas em um número composto. a temperatura do corpo era de 25 °C e considerando In 2 5 0. 65. 39]. 0 representa a quantidade de horas decorridas desde a descoberta do corpo. mas nunca chega a atingi-la. em módulo. conclui-se que os pares (N. a temperatura do corpo era de 37 °C e que. 0 corresponde. podemos concluir que: a) b 5 a 2 2 b) b 5 a 2 1 c) b 5 a d) b 5 a 1 1 e) b 5 a 1 2 17 . 0) e (5. (UF-SE) Sejam f e g funções de  em  tais que f é do primeiro grau e g é definida por g(x) 5 x2 2 4x 2 5. o conjunto solução da inequação g(x) < < f(x) é [22. (UnB-DF) Pode-se determinar o instante da morte de um organismo utilizando-se a Lei de Resfriamento de Newton. b) Os gráficos de f e g interceptam o eixo das abscissas nos pontos (29. duas horas após a descoberta do corpo. obtém-se uma lista de 40 números primos. na investigação de um homicídio. 16 9 0 7 x Use as informações dadas para analisar as sentenças seguintes. Se a divisão do fio deve ser tal que a soma das áreas do quadrado e do hexágono regular seja a menor possível. f) À medida que t aumenta.1. suponha que. em h21 é superior a . b) A função T 5 T(t) é inversível e sua inversa é dada 1 10 por t 5 t(T) 5 In . representa uma função decrescente que se inicia no 1º quadrante. d) tem vértice em um dos pares ordenados obtidos por Euler.7. julgue os itens seguintes. então. sua temperatura era inferior a 30 °C. a temperatura do cadáver encontrado. t . em que: t0 5 0 representa o instante em que o corpo foi encontrado. segundo a qual a taxa da variação da temperatura de um corpo é proporcional à diferença entre as temperaturas do corpo e do meio externo. o gráfico de T 5 T(t). seja dada pela função T 5 T(t) 5 22 1 10 e2kt. 7]. Admitindo que. 0). (21. y 62. b) ilustra uma função crescente no intervalo [0. nessa situação hipotética. ao se inserir os números inteiros de 0 a 39 na fórmula x2 1 x 1 41. (UE-PI) Um fio de comprimento c deve ser dividido em dois pedaços. g(N)). (UnB-DF) Em 1772. c) intercepta o eixo das abscissas em dois números primos.6. 63. à quantidade de horas decorridas antes da descoberta do cadáver. (UF-AM) Sejam f:  →  e g:  →  funções de fi ni das respectivamente por f(x) 5 3x 1 2 e g(x) 5 ax 1 b. In 3 5 1.Matemática Volume Único 61. a) No instante em que o corpo foi descoberto. d) O coeficiente angular da reta que representa f é igual a 1. In 5 5 1. 8 d) Com base nos dados. Nesse sentido. e os pedaços utilizados para formar o contorno de um quadrado e o de um hexágono regular. qual o perímetro do hexágono? a) (2 3 2 3)c b) c) c 2 2 c 3 d) e) 3 2c 5 c 6 64. t horas (h) após o óbito. o matemático Euler observou que. 23). e k é uma constante positiva. para 0 < N < 39. k T 2 22 5 c) O valor de k. na hora do óbito. em °C. T 5 T(t) tende a se aproximar da temperatura de 22 °C. t . conclui-se que o óbito ocorreu 40 minutos antes da descoberta do cadáver. a) O vértice da parábola é o ponto (2. 0). A figura abaixo apresenta um esboço gráfico de f e g em um sistema de eixos cartesianos ortogonais. No plano de coordenadas cartesianas xOy considerando y 5 g(x) 5 x2 1 x 1 41. Se (g  f)(x) 5 (f  g)(x). válido a partir do momento em que o indivíduo morre. e) Os gráficos das funções definidas por y 5 |f(x)| e y 5 |g(x)| têm três pontos comuns. c. c 60. x . a 5. a) 346 m/s 31. a) 100 reais b) aproximadamente R$ 249. d. b 36. d √2 e MB 5 2 1 √2 20. se 0 < t < 2 1 000 ? 23(t 2 2). b 23. c 25. d 64. d 58. . a) C (x) 5 0. 01 52. c 1 000. 1) L(x) 5 2) 80 reais 3) 1400 unidades 30x 2 10 000. 6} 28. x . se 500 < x < 1 000 20. e 42. x 10 16 18 180 C 100 160 180 t 2 4 6 Q 10 16 18 b) 16. c 33. x .63 dias Distância percorrida (km) 200 400 49. b 50. 01 1 02 1 16 5 19 19.Funções Funções respostas 1. b 12. c 17. a 10. x . 1) 4 096 bactérias 2) P(t) 5 47. c 3. d 24. d 15. x < 3 000 0 6 12 27. c 45. 200 x: número de quilômetros percorridos. a) F 63. b 11. c 13. 4} b) S 5 {x   | 26 . 0 ou 2 . b 8. x .30 por quilômetro rodado. b 56. d 35. c 6. 02 1 04 1 08 5 14 18. b 37. d 7. se t .4 ? x 1 30 (locadora Saturno) e 46. a) 2 m 43. 6} c) S 5 {x   | 26 . 2 90 30 3) 3. c 53. e 9. se 0 < x < 200 (locadora Mercúrio) C (x) 0. 02 1 04 5 06 2. c 18 39.01x2 1 40x 2 10 000. a 90. a 54. se x . a) Salário: S(x) 5 42x 1 300 Cesta básica: C(x) 5 6x 1 154 b) Em 2012 b) 16 °C 34. São verdadeiras: b. a) b) Saturno: 0 < x < 150 ou x > 300 Mercúrio: 150 < x < 300 R$ 0. c 22. a b) V c) F 59. a 57. e 61. a) x > 0 b) x 5 0 → √2 x 5 4 → √6 2 x59→ 81 3 3 41. 22 ou 2 . b d) V e) F f) V 65. d 30. a 4.6 ? x 2 30. a) AM 5 2 2 2 2 b) AM 5 MB 5 2 21. d 29. a 48. se 1 000 . a 55. d 26. d 62. d 32. 24 ou 0 . a 51. b 38. 4 ou x . a) S 5 {x   | x . Custo de locação (R$) 210 190 Cm Cs 40. x .00 c) 18 meses b) 9 m 44. 24 ou 22 . c 14. como parques ou praças. e assim por diante. nessa sequência: a) 8 termos b) 6 termos c) 10 termos d) 9 termos e) 7 termos 4. √ 3 . metade da área não coberta no passo anterior é preenchida. 14 cadeiras. e assim por diante. e a soma dos 100 termos seguintes dessa progressão é 200. foram suspensos alguns concertos em lugares fechados. (PUC-RS) Devido à epidemia de gripe do último inverno. (UF-PR) Um quadrado está sendo preenchido como mostra a sequência de figuras abaixo: Na Etapa 1. Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 5. Nessas condições. metade do quadrado original é preenchido. na segunda. na terceira. Na Etapa 2. Na Etapa 3 e nas seguintes. o mesmo processo é repetido em cada um dos quadrados da etapa anterior. √ 3 . O total de cadeiras foi: a) 384 b) 192 c) 168 d) 92 e) 80 2.9% do quadrado original seja preenchido? 5 3. √ 3 ) seja 314. A diferença entre o segundo e o primeiro termos dessa progressão. (Mackenzie-SP) Para que o produto dos termos da 2 3 4 n21 sequência (1. (UF-RS) Considere o padrão de construção representado pelos desenhos a seguir. 18 cadeiras. precisou-se compor uma plateia com oito filas. há um único quadrado com lado 10. a área restante na Etapa 6 será de: a) 100 b) 100 1 4 1 3 5 quadrado original passo 1 6 passo 2 5 passo 3 1 c) 100 3 d) 100 e) 100 3 4 3 4 6 No passo 1.Matemática Volume Único Progressões 1. nessa ordem. metade da área não coberta nos passos anteriores é preenchida. No passo 2.. que percentual do quadrado original estará preenchido? b) Qual é o número mínimo de passos necessários para que 99.. é: a) 1024 b) 1023 c) 1022 d) 1021 e) 1 6. deverão ser considerados. Para uma apresentação. de tal forma que na primeira fila houvesse 10 cadeiras. (FGV-SP) A soma dos 100 primeiros termos de uma progressão aritmética é 100. √ 3 . como indica a figura. (UF-BA) Considerando-se as sequências (an) e (bn) definidas por: an 5 (21)n n2 e 2 n 11 b1 5 1 bn 1 1 5 n12 b n11 n 19 .. No passo 3. sendo um deles retirado. Uma alternativa foi realizar espetáculos em lugares abertos. esse quadrado foi dividido em quatro quadrados congruentes.. √ 3 . a) No passo 4. a cada semana subsequente. 1 08) Existe n tal que an 5 . a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos associados o site A espera ter daqui a 6 semanas? b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos 10 000 membros? 8. os indícios e os vestígios nos remetem à matemática egípcia. Figura I Figura II Figura III Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura? a) C 5 4Q b) C 5 3Q 1 1 c) C 5 4Q 2 1 d) C 5 Q 1 3 e) C 5 4Q 2 2 10. O site A. tem-se 21 . o site B. 02) Para qualquer n. sua razão será: b) 6 c) 4 d) 5 e) 3 a) 2 7. espera conseguir 100 novos integrantes em um período de uma semana e dobrar o número de novos participantes a cada semana subsequente. 200 entrarão na segunda. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. 100 novos membros entrarão no site B na primeira semana. sendo o papiro de Rhind um dos documentos que resgatam essa história. que tem 150 participantes atualmente. Assim. (Enem-MEC) Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras. que já tem 2 200 membros. 32) A sequência (an) é uma progressão geométrica de razão negativa. (Unicamp-SP) Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrantes usando estratégias agressivas de propaganda. e assim por diante. (UFF-RJ) Ao se fazer um exame histórico da presença africana no desenvolvimento do pensamento matemático. Nesse papiro encontramos o seguinte problema: “Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes recebidas estejam em progressão aritmética e que um sétimo da soma das três partes maiores seja igual à soma das duas menores. etc. Ou seja.” AGB PHOTO/TPG Papiro de Rhind 20 . 200 na segunda. 300 na terceira. 2 16) A sequência (bn) é uma progressão aritmética. 400 na terceira. 04) A sequência (bn) é crescente.Progressões 01) O produto de dois termos consecutivos quaisquer da sequência (an) é um número negativo. 1. acredita que conseguirá mais 100 associados na primeira semana e que. Por sua vez. (Unemat-MT) Dada uma PA cujo a1 é o quádruplo de sua razão e a20 é igual a 69. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir. aumentará o número de internautas novos em 100 pessoas. an . onde cada lado foi representado por um canudo. entrarão 100 internautas novos na primeira semana. 9. deverá escrever. Aquiles corre esses dez metros. verticalmente de cima para baixo. A soma de todos os deslocamentos (medidos verticalmente) efetuados pela bola até o momento de repouso é: a) 12 m b) 6 m c) 8 m d) 4 m e) 16 m 1 da altura 2 13. 42. (Unemat-MT) Lança-se uma bola. cada termo. 1 log x 1 log x 5 2 550 3 3 3 3 2 49 50 d) d 5 12 e) d 5 100 9 é: a) x 5 1 b) x 5 3 c) x 5 9 d) x 5 log 1 275 3 3 14. ao errar pela segunda vez. a tartaruga corre um decímetro. Aquiles corre esse centímetro. símbolo de rapidez.11 c) d 5 91 9 11.. 21 . obedece às seguintes regras: – antes de A jogar uma moeda para o alto.) propôs o paradoxo de Aquiles e a tartaruga. 15. (UE-RJ) Um jogo com dois participantes. a partir do segundo. utilizados em demonstrações matemáticas de sua época. dizendo “cara” ou “coroa”. (UFF-RJ) Com o objetivo de criticar os processos infinitos.5 10 1∑ n50 10 10 10  n É correto afirmar que: a) d 5 1 b) d 5 11.. é obtido adicionando-se uma unidade ao dobro do termo anterior. 7.. Existem vários enunciados do paradoxo de Zenão. – em seu enésimo erro. ela recupera apenas anterior. Aquiles corre esse metro. e assim sucessivamente. 54. ao cair. da altura de 4 metros. 26. tem de alcançar a tartaruga.Matemática Volume Único Coube ao homem que recebeu a parte maior da divisão acima a quantidade de 115 pães 3 55 b) pães 6 a) c) 20 pães 65 d) pães 6 e) 35 pães esse milímetro. 37. e assim infinitamente. O 13º termo dessa sequência é: a) 2 2 1 b) 2 1 1 c) 2 2 1 d) 2 1 1 e) 2 2 1 13 12 12 11 11 15. 15. o filósofo Zenão de Eleia (século V a. sem alcançá-la.C. Após cada choque com o solo. B deve adivinhar a face que. a distância percorrida por Aquiles nessa fábula é igual a d 5 10 1 1 1 1 1 1 1 2 1 . Aquiles corre esse decímetro. B escreverá n vezes a mesma sigla. um dos paradoxos mais famosos do mundo matemático. (UF-RS) Na sequência 1. (UEL-PR) A solução da equação logarítmica: log x 1 log x 1 . a tartaruga corre um centímetro. 3.. de modo que Aquiles pode correr para sempre. a tartaruga um milímetro. a sigla UERJ uma única vez. 30. símbolo de morosidade.. A e B. Aquiles corre dez vezes mais rápido que a tartaruga e lhe dá dez metros de vantagem. (CP2-MEC-RJ) Qual é o próximo número da sequência abaixo? 18. ficará voltada para cima. O escritor argentino Jorge Luis Borges o apresenta da seguinte maneira: Aquiles. a tartaruga corre um.. Aquiles corre 16.. Fazendo a conversão para metros. _____ e) x 5 log 2 550 12. em uma folha de papel. – quando B errar pela primeira vez. a tartaruga um décimo de milímetro. escreverá UERJUERJ. nas últimas 9 horas desse período. . aumentará 2 voltas na pista. b) b1... r barris a mais do que na hora anterior. an) de razão r. b2.. . e) b1. necessariamente. Formando a sequência b1. b3. a3. a3.. 6] e) ]0. na primeira hora. Essa diferença constante é chamada “razão da progressão aritmética” e usualmente indicada por r... for igual a dez vezes o número de letras escritas. forma uma progressão aritmética de razão 4r. b2. 216.. nem uma progressão aritmética nem uma progressão geométrica.. 2[ 18.. b3. b2. 19. do primeiro ao enésimo erro. ele estabeleceu a seguinte estratégia de treinamento: correrá 7 000 m na primeira semana.. n 5 1. 3[ c) [4. na primeira hora. b) Qual a quantidade mínima de termos para que a soma dos termos da PA (2224.. pretende participar dessa corrida.. na qual n é par.. d) b1. . b3. então b 21 está no intervalo real: o valor de a a) [2. (UF-RN) A corrida de São Silvestre. a2. b3.. a2. c) b1. b2. em função de a1. (UPE-PE) Considere uma progressão aritmética infinita de números reais da forma a1. 2. foram extraídos x barris e. Determine a fórmula da soma dos termos de índice par dessa PA.. 2220. Para isso.) seja positiva? 21. até atingir a distância exigida na prova. a) Considere uma PA genérica finita (a1. foi: a) 1 180 b) 1 020 c) 1 065 d) 1 190 e) 1 090 22. é CORRETO afirmar que. a partir da segunda hora. (UE-PB) Se o segundo dos cinco meios aritméticos inseridos entre a e b foi 21 e o último foi 12.. foram extraídos 18 360 barris. b) Determine em que semana do treinamento João atingirá a distância exigida na prova. em um período de 24 horas. forma uma progressão aritmética cuja razão não depende de r.. formam uma sequência que é tanto uma progressão aritmética quanto uma progressão geométrica. 22 Em qual linha e coluna de um determinado quadrado desta sequência está localizado o número 2009? a) 1ª linha e 3ª coluna b) 3ª linha e 1ª coluna . 0] b) [1.Progressões Veja o quadro que ilustra o jogo: ordem de erro 1º 2º 3º 4º nº UERJUERJUERJUERJ. realizada em São Paulo. a) A sequência numérica formada pela estratégia adotada por João é uma progressão geométrica ou uma progressão aritmética? Justifique sua resposta... independentemente do valor de r. b2. não forma. O jogo terminará quando o número total de letras escritas por B. (UF-AM) Considere os inteiros positivos dispostos em uma sequência infinita de “quadrados” formados por quatro linhas e quatro colunas. representados a seguir: 1 5 9 13 2 6 10 14 3 7 11 15 4 8 12 16 17 21 25 29 18 22 26 30 19 23 27 31 20 24 28 32 . Seu percurso mede 15 km. forma uma progressão geométrica de razão 4r.. Sabendo-se que. João. 20... .. o número de barris extraídos.. na qual bn 5 a4n. Determine o número total de letras que foram escritas até o final do jogo.. necessariamente.. (UF-PB) Em uma determinada plataforma marítima. foram extraídos 39 960 barris de petróleo. com razão r. b2. depois. b3. n e r. 3.UERJ Letras escritas UERJ UERJUERJ UERJUERJUERJ UERJUERJUERJUERJ a) b1... 17. considerando apenas o enésimo erro. a cada semana... Essa extração foi feita de maneira que. (Unifesp-SP) Progressão aritmética é uma sequência de números tal que a diferença entre cada um desses termos (a partir do segundo) e o seu antecessor é constante.. que treina em uma pista circular de 400 m.. b3. é uma das mais importantes provas de rua disputadas no Brasil. 4[ d) ]21. apresenta uma PA e uma PG com o mesmo número de termos. julgue os itens que se seguem. incompleta. o fractal de nível III. sobre uma superfície plana.5 8   6 X A alternativa correta é: a) 500 b) 1 024 c) 3 216 d) 4 096 e) 10 128 23 . será obtido o fractal de nível IV. ela recupera 3 apenas da altura anterior.5 2 1 4 1. No segundo passo. com a forma ilustrada a seguir: 23. as duas partes obtidas serão congruentes. Adicionando os termos correspondentes nas duas progressões obtemos a sequência 50. há 3n quadradinhos sombreados. (UnB-DF) 25. c) A área do fractal de nível V correspondente aos quadradinhos sombreados é superior a 1 cm2. d) À medida que n cresce. determine o último termo. (UF-PI) Ao largar-se uma bola de uma altura de 5 m nível I nível II nível III A sequência de figuras acima ilustra 3 passos da construção de um fractal utilizando-se como ponto de partida um triminó – nível I –. (UF-PA) O estudo dos logaritmos teve origem na análise de relações entre progressões aritméticas e progressões geométricas. X. Admitindo-se que o 8 deslocamento da bola ocorra somente na direção vertical. e outros três formam uma progressão geométrica. a) No fractal de nível n.Matemática Volume Único c) 4ª linha e 2ª coluna d) 2ª linha e 4ª coluna e) 4ª linha e 1ª coluna e) No quarto passo da construção. devido a seu peso. (UE-PI) Três números reais positivos formam uma progressão aritmética... que tem os comprimentos dos lados de seus quadradinhos adequadamente ajustados à situação. a cada choque com o solo. b) O perímetro externo do fractal de nível VI é igual a 8 cm. conforme ilustrado acima. da PG. . observa-se que. que consiste em uma peça formada por três quadrinhos de 1 cm de lado cada. Qual a razão da progressão aritmética? a) 1 3 b) 2 1 2 d) 3 e) 1 5 f) Caso o fractal de nível V seja cortado ao longo de uma reta que bissecta o ângulo interno inferior esquerdo do quadradinho localizado no canto inferior esquerdo. o que mostra ser essa estrutura simétrica em relação a essa reta. qual é o espaço total percorrido pela bola pulando para cima e para baixo? a) 6 m b) 11 m c) 15 m d) 18 m e) 19 m 26. No terceiro passo. . Considerando que a tabela abaixo. O processo continua dessa forma. substitui-se cada quadradinho do fractal de nível I por um triminó. Com base nessas informações. obtendo-se os fractais de níveis n 5 I. de forma a se obter o fractal de nível II. II. a partir do fractal de nível II. justapostos em forma de L. a área do fractal de nível n correspondente aos quadradinhos sombreados aproxima-se cada vez mais de 1 cm2. III. obtém-se. também substituindo-se cada um de seus quadrinhos ajustados. sucessiva e indefinidamente. Multiplicando os termos da progressão geométrica obtém-se 123. c) 24. PA PG 0 1 0. g) O fractal de nível II pode ser considerado uma planificação de um poliedro convexo de 9 faces. 17 e 11. 75% b) n 5 10 17.Progressões Progressões respostas 1. e 19. 01 1 02 1 04 1 16 5 23 7. b) 12 semanas. b n (n ? r 1 2 a1) 4 b) 114 termos 20. e 13. e 9. a) PA de razão 800 b) 11ª semana 6. c 4. e 3. b 23. b 5. a 16. 760 letras 25. a) 3 200 novos participantes e no total 6 450. a 11. e 14. a) 18. a 22. 48 15. a) V b) V c) F d) F e) V f) V g) F 8. d 24. a 2. d 24 . c 12. a) 93. b 26. b 10. 21. 00 na poupança.00 no fundo de ações. com um desconto promocional de 20%”.00 em juros simples dos três investimentos. ao mês. d) R$ 260. (Fuvest-SP) O Índice de Massa Corporal (IMC) é o número obtido pela divisão da massa de um indivíduo adulto.4 de 18.00 na poupança. em milhões de habitantes. É preciso mostrar as contas).00 no fundo de ações. Os números apresentados no gráfico indicam a população estimada. em termos percentuais.00 na poupança.00 no mercado financeiro da seguinte forma: parte no fundo de ações.9 de 35. com relação ao seu peso e altura. o fundo de renda fixa rendeu 10% e a poupança rendeu 8%. R$ 470. a participação das gerações mais velhas na população do Brasil aumentará. Após a troca.0 a 29.00 na poupança. b) R$ 300. O gráfico a seguir mostra uma estimativa da população brasileira por faixa etária. (UF-PR) Luiz Carlos investiu R$ 10 000. 2. a taxa de juros a ser paga.0 a 39. a) Com base nos valores fornecidos no gráfico. parte no fundo de renda fixa e parte na poupança. (Cefet-MG) Uma loja de eletrodomésticos publicou o seguinte anúncio: “Compre uma geladeira por R$ 950.00 no fundo de renda fixa e R$ 288. c) R$ 260.00 no fundo de renda fixa e R$ 278. nos próximos anos. pelo quadrado da altura. Nesse período de um ano.5 a 24. os juros que ele obteve em cada um dos investimentos foram: a) R$ 270. Após um ano ele recebeu R$ 1 018. Considere que a população varia linearmente ao longo de cada década. É uma referência adotada pela Organização Mundial de Saúde para classificar um indivíduo adulto. R$ 460.0 a 34. o fundo de ações rendeu 15%. conforme a tabela a seguir. calcule exatamente em que ano o número de habitantes com 60 anos ou mais irá ultrapassar o número de habitantes com até 17 anos. (Atenção: não basta encontrar um número aproximado a partir do gráfico.9 de 30. no início de cada ano.00 para pagamento em 30 dias.00 no fundo de ações. imC até 18. (Fatec-SP) Uma empresa decidiu trocar todos os seus computadores e aparelhos de telefone celular utilizados por seus funcionários. entre os anos de 2010 e 2050. em quilogramas. Sabendo que Luiz Carlos investiu no fundo de ações apenas metade do que ele investiu na poupança. (Unicamp-SP) Segundo o IBGE. medida em metros. População (em milhões) 4.00 na poupança.9 de 25.9 a partir de 40.00 no fundo de renda fixa e R$ 318. b) Determine qual será. a variação da população total do país entre 2040 e 2050. 140 120 115 100 80 60 40 20 19 0 2010 2020 2030 Ano Legenda: 0 a 17 anos 18 a 59 anos 60 anos ou mais 2040 2050 28 59 64 52 45 40 52 127 131 127 116 e) R$ 270.00 no fundo de renda fixa e R$ 288. pode-se concluir que a porcentagem de computadores que foram para a reciclagem corresponde a a) 18% b) 25% c) 30% d) 37% e) 43% 5.00 no fundo de ações. R$ 480.Matemática Volume Único matemática comercial e financeira 1. sendo que os computadores correspondiam a 60% do total de equipamentos e que 20% do total de telefones celulares não foram para a reciclagem. é: a) 20% b) 22% c) 25% d) 28% 40 35 3. fez um levantamento do destino dado a esses equipamentos e constatou que 75% do total de equipamentos foram para a reciclagem.00 no fundo de renda fixa e R$ 258. Com base nesses dados sobre o total de equipamentos.00 no fundo de ações. ou à vista. R$ 460. Se um cliente optar pela compra com pagamento em 30 dias. R$ 430.0 Classificação Abaixo do peso Peso normal Sobrepeso Obesidade grau 1 Obesidade grau 2 Obesidade grau 3 25 . A revista Veja de 08/07/2009 publicou uma matéria mostrando que. do ano de 2003 para o ano de 2008.2 81. liberdade fiscal. (UF-RS) Entre julho de 1994 e julho de 2009. a borda desses equipamentos esteja a uma altura de 76. o real.7 89.5 6.9 89. o Brasil teve a maior inflação anual de sua história.8 89.4 61.9 61.aspx? view=by-region-country-year Com base nessa tabela. (UFF-RJ) O Índice de Liberdade Econômica (Index of Economic Freedom) é um indicador elaborado pelo The Wall Street Journal e The Heritage Foundation.0 3.2 cm do piso.9 8.5 90. a inflação acumulada pela moeda brasileira. Posição em 2009 1 6 105 179 País Hong Kong Índice de Liberdade Econômica 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2002 2001 2000 90.9 88. Tal índice é uma média da liberdade econômica em dez âmbitos: negócios. no período de 2003 a 2008. que avalia o grau de liberdade econômica de um país.1%. corrupção. com uma inflação anual como a de 1993.4 Unidos Brasil 56. pode-se afirmar que o índice de liberdade econômica do Brasil: Fernando Monteiro a) teve um aumento superior a 1%. Um bebedouro que tenha sido instalado a uma altura de 91.7 78.Matemática comercial e financeira Levando em conta esses dados. como indicado na figura a seguir. foi de 244.0 8. Um indivíduo adulto de 1. Uma das estratégias para diminuir a obesidade na população é aumentar a altura média de seus indivíduos por meio de atividades físicas orientadas para adultos. o que mais se aproxima do excesso em relação à altura recomendada é: a) 5% b) 10% c) 15% d) 20% e) 25% 9.0 63.0 89. comércio. financeiro. para quem comprar 8 sucos de laranja.0 81. maior a “liberdade econômica” do país. trabalho. .0 8.9 8. o poder de compra de 2 000 reais se reduziria. no período de 2000 a 2009. para um acesso confortável aos bebedouros por parte de crianças e usuários de cadeiras de rodas. Esse índice varia de zero a cem. direitos de propriedade.7 81.1 76.60 Thinkstock/ Getty Images Compre 6 e lhe damos 2 a mais Expresse. no período de 2001 a 2004.9 8.0 4. ao poder de compra de 77 reais. A tabela a seguir fornece os índices de quatro países. Estados 80. Quanto maior o seu valor.2 60.2 56.4 cm do piso à borda excedeu a altura recomendada.9 61. (FGV-SP) Um supermercado fez a seguinte oferta para a compra de determinada marca de suco de laranja em caixa de 1litro: 7. e suas respectivas posições no ranking em 2009 (ano em que 179 países foram avaliados).9 8. intervenção do governo. II. Uma nova classificação que considere obesos somente indivíduos com IMC maior que 40 pode diminuir os problemas de saúde pública.7 62.5 61. (UF-RS) Alguns especialistas recomendam que. do ano de 2000 para o ano de 2001. b) teve um decréscimo de 0. Dentre os percentuais a seguir.org/Index/Explore.1 3. o desconto obtido por unidade em relação ao preço original.15%.heritage. monetário. ano a ano.0 89. considere as seguintes afirmações: I.2 79. em um ano. Dos valores a seguir.9 78. Está correto o que se afirma somente em: a) I b) II c) III d) I e II e) I e III 8.7 56. d) teve um decréscimo de 30%. e) cresceu.2 78.9 Coreia 2. investimentos.70 m e 100 kg apresenta Obesidade Grau 1. o mais próximo do percentual que a inflação acumulada entre julho de 1994 e julho de 2009 representa em relação à inflação anual de 1993 é: a) 5% 26 b) 10% c) 11% d) 13% e) 15% R$ 3.4 79. c) teve um aumento superior a 13%. do ano de 2004 para o ano de 2005. III.6 89.4 89. Em 1993. em porcentagem.0 do Norte Fonte: http://www. Vp. uma na razão de 1 m³ por hora e a outra na razão de 1 m³ a cada 6 horas. O preço final de um veículo ao consumidor é o valor estipulado pelas concessionárias acrescido dos 8% de imposto. (PUC-RJ) Duas torneiras jogam água em um reservatório. (UF-ES) Num país longínquo. sem entrada. houvesse um aumento de 5(8 − x)% nas vendas.00. com o 3 dobro da capacidade da primeira. c) Ao invés de reduzir o imposto para 4%. Admitindo que. e o percentual mínimo de desconto que a loja deve dar para que seja vantajoso. b) A redução do imposto veio acompanhada de um acréscimo de 20% nas vendas. na 2 qual do conteúdo é composto pelo produto A e 3 1 pelo produto B. a tributação sobre a venda de veículos novos é feita por meio de um imposto único de 8%. seja vendida em duas parcelas iguais a p. 1 mês). em decorrência da crise mundial. Vp 5 p r 1 1 100  n Considerando o menor e o maior valor observados do índice. Determine a queda percentual da receita do governo advinda do imposto sobre a venda de veículos novos. Se o reservatório tem 14 m³. Vp. com o triplo da capacidade da primeira. (UF-CE) Uma garrafa está cheia de uma mistura. o governo resolveu reduzir temporariamente esse imposto para 4%. em que r é o percentual mensal de juros (0 < r < 100) e p é o valor da parcela. 11. com o primeiro pagamento em 30 dias (ou seja. e outra a ser paga em 30 dias (ou seja. (FGV-SP) O gráfico a seguir fornece o Índice da Bolsa de Valores de São Paulo (IBovespa) nos finais dos anos 2000 (ano 0). está cheia de uma mistura dos mesmos produtos da primeira garrafa. Essa queda depende do preço de venda estipulado pelas concessionárias? Justifique a sua resposta. de preço 2p. a ser paga daqui a n meses. para o cliente. 2001 (ano 1) até 2008 (ano 8). o governo arrecadaria uma fração f(x) do que arrecadava antes. Como as vendas vinham caindo muito. a) Determine a queda percentual no preço final de um veículo novo ao consumidor. com a redução do imposto para x%. que as concessionárias então repassam ao governo. de uma parcela de um financiamento. Vp. 0 < x < 8. que incide sobre o valor de venda estipulado pelas concessionárias. O conteúdo das duas garrafas 5 é derramado em uma terceira garrafa. 27 12. uma a ser paga à vista. Calcule o valor presente da mercadoria. Que fração do conteúdo da terceira garrafa corresponde ao produto A? a) b) c) 10 15 5 15 28 45 d) e) 17 45 3 8 14. supondo uma taxa de juros de 1% ao mês. o governo poderia ter reduzido o imposto para x%. é dado pela fórmula a seguir. que a taxa mensal de juros é igual a 1%. Uma segunda garrafa. e esboce o gráfico de f. 70 000 60 000 Índice Bovespa 50 000 40 000 30 000 20 000 10 000 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ano 15 259 13 577 11 268 22 236 44 473 33 455 26 196 37 550 63 886 13. 1 mês) e o segundo em 60 dias (ou 2 meses). novamente. em quantas horas ele estará cheio? a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 . Supondo. comprar à vista. (Unicamp-SP) O valor presente. o que não impediu que o governo perdesse receita.Matemática Volume Único 10. 3 sendo agora do conteúdo composto pelo produto 5 2 A e pelo produto B. b) Imagine que outra mercadoria. Determine f(x). determine o valor presente da mercadoria. o aumento porcentual em relação ao menor valor foi de aproximadamente: a) 170% b) 270% c) 370% d) 470% e) 570% a) Suponha que uma mercadoria seja vendida em duas parcelas iguais de R$ 200. b) Retirando-se a quantia cobrada como ICMS. e) No referido mês.00 e. d) De acordo com a alíquota do Mato Grosso.00 c) R$ 2 800. (UE-CE) Renato contratou um empréstimo de R$ 1 400. outro com a sexta parte.00 e Mauricio R$ 100. de fato. firmou um novo contrato nas mesmas bases do anterior. c) Em cinco anos Mauricio terá mais dinheiro que Rogério. (PUC-PR) O senhor Rogério economiza dinheiro para seu futuro.00. b) O dinheiro de Rogério aumenta em PG e o de Mauricio em PA.00 por mês. a fatura de Sr. o terceiro com 20% e o último com R$ 1 029 000. que rende 0. o qual foi pago integralmente um mês depois. (UF-TO) Uma TV de plasma com 20% de desconto é vendida por R$ 2 500. c) R$ 989.00. pois. do total apresentado na fatura de R$ 199.00. duas grandezas são inversamente proporcionais quando. a) Deste total. Assinale a alternativa correta.00.00. e) Nenhuma das alternativas anteriores. 16.00.75 é referente ao ICMS.00 a ser pago.00 Considerando que a situação descrita não sofrerá qualquer alteração. em vez de guardar R$ 50. para pagar um mês depois.00 e R$ 3 450 000.Matemática comercial e financeira 15. Sr.00. 20. Um deles participou com a terça parte. d) R$ 1 009.00 e R$ 3 250 000. O preço da TV sem desconto é: a) R$ 3 125. Sr. b) R$ 939.80.00 e R$ 3 350 000. sem o ICMS. José pagará o valor de R$ 149. d) R$ 3 300 000.00. 17. O valor de K situa-se entre: a) R$ 3 000 000.00.00 e R$ 3 150 000. Mauricio nunca terá mais dinheiro que Rogério. José acusou um total (consumo + ICMS) de R$ 199. O valor do último pagamento foi: a) R$ 889. verificou na fatura da rede de energia que a alíquota de ICMS para o seu Estado é de 25%. José. faz isto guardando R$ 50. referente ao ICMS. o valor da outra é dividido por esse mesmo número.00 por mês. c) R$ 3 200 000. 25% são referentes ao ICMS. Ao final do mês.00. deu por conta apenas R$ 750. para o restante.00 e) R$ 3 500. b) R$ 3 100 000. com juros de 15% ao mês. José. só que Mauricio guarda na poupança.00 por mês em um cofre dentro de sua casa. passar a guardar R$ 51. R$ 49.00 d) R$ 3 100.00 b) R$ 3 000. 28 . ao se multiplicar o valor de uma delas por um número positivo.00.00 por mês. O senhor Mauricio também economiza dinheiro para seu futuro e também guarda R$ 50.25. c) O valor a ser pago pelo Sr. representa 75% do total apresentado na fatura.00. pode-se afirmar: a) Mauricio nunca terá mais dinheiro que Rogério. não podendo pagar o total. Em determinado mês. 18. Rogério tem atualmente R$ 500. (UE-RJ) Ziraldo A definição apresentada pelo personagem não está correta. José pagará a quantia de R$ 39.25.5% ao mês. (Unemat-MT) Sr. d) Se Rogério. (UE-CE) Quatro amigos fundaram uma empresa com capital inicial K. 19. residente em um município do Estado de Mato Grosso. Podemos concluir que o juro auferido na aplicação foi: a) R$ 1 000. a medida do lado do retângulo que representa os 4% deve ser de aproximadamente: a) 1 mm b) 10 mm c) 17 mm d) 160 mm e) 167 mm 25. A relação entre x e y pode ser representada por: a) y 5 b) y 5 3 x2 5 x c) y 5 d) y 5 2 x11 2x 1 4 3 x mm 24. quando o crescimento é menor que 1%. 29 Supondo-se que. tendo como base o do ano anterior. De acordo com esse sistema de controle de qualidade.ibge. quando é maior ou igual a 10% e menor que 20%.br.09 e) R$ 800. 14 900 estudantes foram entrevistados nessa pesquisa. (Enem-MEC) Uma empresa possui um sistema de controle de qualidade que classifica o seu desempenho financeiro anual. 45%. e excelente. Essa empresa apresentou lucro de R$ 132 000. Centro-Oeste Sul 26. (Enem-MEC) Os dados do gráfico foram coletados por meio da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios. quando é maior ou igual a 20%.gov. Estudantes que possuem telefone móvel celular com idade de 10 anos ou mais 70 60 50 40 30 20 10 0 Porcentagem (%) 63 37 36 64 56 44 62 38 58 42 Norte Nordeste Sudeste Possuíam Não possuíam Regiões brasileiras Fonte: IBGE.00. bom. 26 mm 4% outros jornais 96% Pessoas que consultam nossos classificados 400 mm 21. Se houvesse mais 400 alunos e mais 16 professores.00 260 mm 22. quantos deles possuíam telefone móvel celular? a) 5 513 b) 6 556 c) 7 450 d) 8 344 e) 9 536 . Disponível em http://www. A taxa de juros da aplicação foi de 10% ao ano. 2010 (adaptado). quando o crescimento é maior ou igual a 1% e menor que 5%. 35% dos pacientes foram curados e. no segundo. no Sudeste. quando o crescimento é maior ou igual a 5% e menor que 10%. comprando um título público que lhe proporcionou.Matemática Volume Único Admita que a nota em matemática e a altura do personagem da tirinha sejam duas grandezas. a razão entre o número de alunos e o de professores seria de 40 para 1. após um ano. o desempenho financeiro dessa empresa no ano de 2009 deve ser considerado: a) insuficiente b) regular c) bom d) ótimo e) excelente 23. Os conceitos são: insuficiente.09 c) R$ 900.00 em 2009. (FGV-SP) Em uma escola.00 d) R$ 909. ótimo. a razão entre o número de alunos e o de professores é de 50 para 1. x e y. Os pacientes que não obtiveram cura foram distribuídos em dois grupos de mesma quantidade e submetidos a dois tratamentos inovadores. (Enem-MEC) O jornal de certa cidade publicou em uma página inteira a seguinte divulgação de seu caderno de classificados. um montante de R$ 10 000. Podemos concluir que o número de alunos da escola é: a) 1 000 b) 1 050 c) 1 100 d) 1 150 e) 1 200 Para que a propaganda seja fidedigna à porcentagem da área que aparece na divulgação.00 b) R$ 1 009. regular.00 em 2008 e de R$ 145 000. (FGV-SP) Sandra fez uma aplicação financeira. Acesso em: 28 abr. No primeiro tratamento inovador. inversamente proporcionais. (Enem-MEC) Um grupo de pacientes com Hepatite C foi submetido a um tratamento tradicional em que 40% desses pacientes foram completamente curados. 00 b) R$ 2 500.Matemática comercial e financeira Em relação aos pacientes submetidos inicialmente. calcule as quantidades de farelo de soja e farelo de algodão que ele deve adicionar ao milho para obter essa ração. (UF-GO) Um pecuarista deseja fazer 200 kg de ração com 22% de proteína. verificaram que a empresa apresentou lucro de 5 mil reais. Quanto se pagou pelo primeiro eletrodoméstico? a) R$ 2 400. o preço total dos eletrodomésticos seria de R$ 3 170. b) maior que 2 200 e menor que 2 275 reais. utilizando milho triturado. os tratamentos inovadores proporcionaram cura de: a) 16% b) 24% c) 32% d) 48% e) 64% empresa. d) maior que 1 950 e menor que 2 170 reais. 28. (UF-GO) Segundo uma reportagem publicada na Folha on-line (31/08/2009). um dos sócios retirou 14 mil reais. 80 litros de leite por dia.00 tempo De acordo com o gráfico. De acordo com essas informações. 33. farelo de algodão e farelo de soja. a arrecadação mensal de João da Rosa com a venda dos queijos e do leite será a) menor que 1 946 reais.00 d) R$ 2 650. abaixo do leito do mar. c) maior que 1 987 e menor que 2 000 reais. em seguida. calcule a profundidade máxima de um poço de petróleo perfurado pela Petrobras. (UF-PR) O gráfico abaixo representa a velocidade de um veículo durante um passeio de três horas. o percentual de tempo nesse passeio em que o veículo esteve a uma velocidade igual ou superior a 50 quilômetros por hora foi de: a) 20% b) 25% c) 30% d) 45% e) 50% 32. a Petrobras já perfurou poços de petróleo a uma profundidade de 7 000 m.00. e o restante é vendido no laticínio da cidade a R$ 0. o que representa um aumento de 582% em relação à profundidade máxima dos poços perfurados em 1994.75 o litro. em média. Determine o capital que cada sócio empregou na abertura da empresa. 30. No momento da apuração dos resultados. c) ter um ganho de 3. João fabrica 1 quilo de queijo. d) ter um prejuízo de 5% em relação ao preço original. ao longo dos estados de Espírito Santo e Santa Catarina e engloba três bacias sedimentares.5% em relação ao preço original. e que o produtor disponha de 120 kg de milho. 65 Velocidade (km/h) 60 55 50 45 40 35 13h00 14h00 15h00 16h00 31. 27. a cada 8 litros de leite. b) ter um prejuízo de 1% em relação ao preço original. Se um desconto de 10% fosse dado no preço do primeiro eletrodoméstico e um desconto de 8% fosse dado no preço do segundo. O capital inicial aplicado por elas foi de 30 mil reais. A partir dessa constatação. Para extrair petróleo da camada pré-sal. no ano de 1994. abaixo de uma extensa camada de sal. que correspondia à parte do lucro devida a ele e ainda o total do capital por ele empregado na abertura da 30 . a chamada camada présal é uma faixa que se estende. 29. iniciado às 13h00. e) ter um ganho de 7% em relação ao preço original. 65% são utilizados na fabricação de queijos que são vendidos a R$ 7. Se.00 e) R$ 2 700. O petróleo encontrado nessa área está a profundidades que superam os 7 000 m.00. e sua extração colocaria o Brasil entre os dez maiores produtores do mundo. (UF-PI) Aumentar o preço de um produto em 15% e. (UE-GO) A fazenda do João da Rosa produz.00 c) R$ 2 600. (UF-AL) Dois eletrodomésticos foram comprados por um total de R$ 3 500. Os sócios combinaram que os lucros ou prejuízos que eventualmente viessem a ocorrer seriam divididos em partes proporcionais aos capitais por eles empregados. do farelo de algodão seja 28% e do farelo de soja seja 44%. Admitindo-se que o teor de proteína do milho seja 10%. Desse leite. conceder um desconto de 10% equivale a a) permanecer com o preço original.50 o quilo. (UE-GO) Uma pequena empresa foi aberta em sociedade por duas pessoas. 00. e • no Plano 2.00.1 44. Quantidade de alumínio (mil ton) 111 700 186 365 400 744 887 432 1 271 400 1 457 000 Exportação (%) 1 2. ele teve um prejuízo de R$ 150. o período é de 12 meses.00. podemos afirmar que. e apresenta.00. o período é de 24 meses.5 71.3% c) 7. Considerando essas informações. (UE-PI) O salário bruto mensal de um vendedor é composto de uma parcela fixa de R$ 600. (UF-PA) A tabela abaixo fornece os dados sobre a produção de alumínio primário no Brasil. estima-se um reajuste mínimo aproximado de a) 5. devido ao grande consumo dessa forma de energia na produção industrial. e) Com a venda de todas as redes. comparando os anos de 1983 e 2004.00 c) R$ 13 000. CALCULE o saldo da aplicação desse valor ao final de 12 meses. Entretanto. c) O valor arrecadado com a venda das redes em agosto foi R$ 1 080. 2.00 e) R$ 15 000. Se comprasse as duas peças pelo novo preço.5 61.6% e) 9. d) Com a venda de todas as redes.00.00. No início deste ano ele comprou 100 redes ao preço 3 unitário de X reais. fez uma liquidação em agosto e alcançou seu intento: vendeu todas as que haviam sobrado. qual foi o seu total de vendas naquele mês? a) R$ 11 000. a porcentagem da produção exportada. (UE-PI) Maria comprou uma blusa e uma saia em uma promoção.00.00 b) R$ 12 000. Como desejava renovar o estoque. O total arrecadado com as vendas das 100 redes foi R$ 3 600. com lucro de 40% sobre o preço da compra. o crescimento da quantidade exportada de energia 31 . Use o texto acima para analisar as afirmações abaixo. e o da saia de 20%. Contudo a prestação de um desses planos é 80% maior que a prestação do outro. 1. a produção desse equipamento deve aumentar em 30% e o preço do produto também deve sofrer um reajuste. (Uneb-BA) Uma empresa produz e comercializa um determinado equipamento K. além disso.00 são investidos a uma taxa de capitalização mensal igual à taxa mensal de juros oferecida pelo mesmo banco. (UF-SE) Um comerciante vende artigos nordestinos. Ano 1973 1978 1983 1989 2000 2004 39. o preço da blusa aumentou de 30%. DETERMINE em qual dos dois planos – Plano 1 ou Plano 2 – o valor da prestação é maior.3 Alguns críticos destacam a importância da produção de alumínio primário na exportação de energia elétrica. 38. a) X 5 30 b) O valor arrecadado com a venda das redes no primeiro semestre foi R$ 2 650. Desejando-se aumentar em 40% seu faturamento com as vendas de K.00 36. pagaria no total 24% a mais.00.4 71.00. ele teve um lucro de R$ 750. Considerando que o consumo de energia dependa linearmente da quantidade de alumínio produzida. Se o total de descontos que incidem sobre seu salário bruto é de 10%.00 d) R$ 14 000. Em determinado mês. importante componente da produção industrial do Estado do Pará. Para que a meta seja atingida. nessa segunda venda. o vendedor recebeu de salário líquido um total de R$ 1 080. Ao término da promoção. Quanto mais caro foi o preço da saia em relação ao preço da blusa? a) 42% b) 44% c) 46% d) 48% e) 50% elétrica presente na produção de alumínio primário foi de aproximadamente: a) 60% b) 263% c) 482% d) 363% e) 160% 37. (UF-MG) Um banco oferece dois planos para pagamento de um empréstimo de R$ 10 000. teve um prejuízo de 10% em relação ao valor pago por elas. Até o final de junho vendeu 5 do total delas. Suponha que R$ 10 000.6% b) 6. em prestações mensais iguais e com a mesma taxa mensal de juros: • no Plano 1.8% 35.7% d) 8. adicionada a 5% do total de suas vendas que exceder R$ 1 000.Matemática Volume Único 34. 20 kg de farelo de algodão e 60 kg de farelo de soja. d 22.00 e R$ 18 000. e 4. c 36. 34. c 39. a 9. a) No ano de 2032. a) 3. b 21. c 38. d 11.00 30.00 5. 19. e 35. e 28. 32 . 0 e raízes 0 e 28. e 17. c 18. 33. b) Redução de 1. R$ 12 000. e 12. 1) Plano 1 2) R$ 12 500. a) 398. a 2. d 25. d 20.5% 14. 1 026.83% no número de habitantes. b 27. b 8. c 13. c 31.Matemática comercial e financeira matemática comercial e financeira respostas 1. d 29. d 24. d 7. c 37. c) f(x) 5 b) 40% 15. 25% 10. c 3. aproximadamente.7% x(28 2 x) 160 O gráfico é uma parábola. b 32. c 26. a 16.02 b) 1. com a .4 m. c. a 6. São verdadeiras: a. e 23. 2p. então a resposta correta que Calvin deveria encontrar para o problema é. com 0 < x . é: a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4 3 (8 3 ) b) √ 3 (10 √ 3 ) c) 3 de: a) (5 √ 3 ) d) 5 √ 3 e) 10 √ 3 4. definida por: y 5 f(x) 5 1 ? [sen x 1 cos x 2 sen (2x) 2 cos (2x)] 2 c) 1 d) 0 3. (FGV-SP) O número de soluções da equação: 1 1 sen x 2 2 ? |cos 2x| 5 0. (FGV-SP) O valor de cos 72° 2 cos2 36° é idêntico ao a) cos 36° b) 2cos2 36° c) cos2 36° d) 2sen2 36° e) sen2 36° 2. em centímetros: 33 . Bill Watterson © 1987 Watterson / Dist. 2p] → . (UF-PB) Considere a função f: [0. O gráfico que melhor representa essa função é: a) 1 1 2 2 1 2 21 y 1 p 2 0 21 p 3p 2 2p x 0 y p 2 p 3p 2 2p x b) c) 1 y 0 21 2p x d) 1 1 2 2 1 2 21 y 0 p 2 p 3p 2 2p x Calvin Hobbes.Matemática Volume Único Trigonometria 1. (UFU-MG) O valor de tg 10°(sec 5° 1 cossec 5°) ? ? (cos 5° 2 sen 5°) é igual a: a) 2 b) 1 2 5. B e C sejam vértices de um triângulo cujo ângulo do vértice A mede 60°. by Universal Uclic e) 1 y 3p 2 0 21 p 2 p 2p x Supondo que os pontos A. (PUC-SP) Leia com atenção o problema proposto a Calvin na tira seguinte. (UEL-PR) Se cos (2x) 5 1 . (UFSM-RS) Em determinada cidade. 2 e 1. 2 d) 1 .6.0 cm  a) b) c) 16 81 8 27 19 63 d) e) 2 3 1 4 12.5 cm 10. 2 1 . sabendo que sen a 5 0. (UF-RS) As medidas dos lados de um triângulo são proporcionais a 2. (UE-MG) Na figura a seguir. 2 1 e) . p).Trigonometria 6. Os cossenos de seus ângulos internos são. então o 3 [sen (3x) 2 sen (x)] é: valor de y 5 cos (2x) a) 21 d) 13. 4 1 c) . em cm. (Fatec-SP) Da trigonometria sabe-se que quaisquer que sejam os números reais p e q. portanto: a) 1 . p 1 q p 2 q ? cos . seu valor é de: 2 a) 27 d) 2p 2 5 b) 23 c) 21 e) 3p 2 5 8. . usam-se funções trigonométricas. A Fernando Monteiro (2 √ 3 ) 3 b) c) ( √3 ) 3 3 e) 1 √3 (F) B 9. 2 2 Logo. para p . a concentração diária. em metros. 4 1 2 1 8 7 8 1 . (Mackenzie-SP) Na figura. a expressão cos x ? sen 9x é idêntica a: sen p 1 sen q 5 2 ? sen a) sen 10x 1 sen 8x b) 2 ? (sen 6x 1 sen 2x) c) 2 ? (sen 10x 1 sen 8x) 1 d) ? (sen 6x 1 sen 2x) 2 1 ? (sen 10x 1 sen 8x) e) 2 11. de partículas de fósforo na atmosfera é medida pela função C(t) 5 3 1 2 sen pt . 4 1 .0 cm 0. (PUC-RS) Para representar os harmônicos emitidos pelos sons dos instrumentos da orquestra. 8 1 . 4 1 . A medida ˆ do ângulo AFB é igual a 30º. B a Ao calcular a altura da montanha. x . 8 1 b) . 2 1 4 7 8 7. um fazendeiro F dista 600 m da base da montanha (ponto B). em gramas. 6 em que t é a quantidade de horas para fazer essa medição. tg  é igual a: 2. o fazendeiro encontrou a medida correspondente a: a) 200 √ 3 b) 100 √ 2 c) 150 √ 3 C a 100 cm A d) 250 √ 2 34 . A expressão 2 sen2 x 1 2 cos2 x 2 5 envolve estas 3p funções e. (UF-SC) Na figura a seguir determine a medida do segmento AB. onde x  (0. O tempo mínimo necessário para fazer uma medição que registrou 4 gramas de fósforo é de: 1 a) hora 2 b) 1 hora c) 2 horas d) 3 horas e) 4 horas 10. Percorrendo 80 m no sentido de aproximação do edifício. em toneladas de um produto.55 d) 310.) a) √2 4 2 √2 b) c) d) √2 3 √2 2 5 √2 e) 2 35 . O cientista deveria concluir que. (UE-CE) O número de soluções da equação 3 sen2 x 2 3 ? |sen x| 1 cos2 x 5 0 que estão no intervalo [0. Suponha que.7.80 m de altura em relação ao chão avista o topo de um edifício segundo um ângulo de 30° com a horizontal. Usando o valor 1. diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu. px é dada por f(x) 5 100 1 0.05 e) 310. x 5 2 corresponde a fevereiro de 2011 e assim por diante. S atinge o valor de: a) 12 765 km b) 12 000 km c) 11 730 km d) 10 965 km e) 5 865 km 19. o valor de r em função de t seja dado por: r(t) 5 5 865 1 1 0. Então.55 A D 18.05 c) 309. representado na figura. tem-se que M é o ponto médio de AB. B Qual a medida do segmento AD? √ 100 1 √ 3 d) √ 25 1 12 √ 3 c) e) 2 √ 3 √3 b) 4 √ 3 a) t minutos após ter atingido sua órbita.06t) 15. (Unemat-MT) Na figura abaixo. está a r quilômetros de distância do centro da Terra. ele precisa calcular a soma dos valores de r. periodicamente. representada por S. (ESPM-SP) Uma pessoa cujos olhos estão a 1. (Enem-MEC) Um satélite de telecomunicações. Quando r assume seus valores máximo e mínimo. (FGV-SP) A previsão de vendas mensais de uma empresa para 2011. Para isso.73 para a raiz quadrada de 3. podemos concluir que a altura desse edifício é de aproximadamente: a) 59 m b) 62 m c) 65 m d) 69 m e) 71 m Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da Terra.Matemática Volume Único 14. em que 6 x 5 1 corresponde a janeiro de 2011. (Fuvest-SP) No losango ABCD de lado 1. para esse satélite. N 14 é o ponto médio de BC e MN 5 .5x 1 3 sen .15 ? cos (0. 2p] é: a) 2 b) 8 c) 4 d) 6 N A M B 17. A previsão de vendas (em toneladas) para o primeiro trimestre de 2011 é: (Use a aproximação decimal √ 3 5 1. C a) 308. o triângulo ABC é um triângulo equilátero de 3 cm de lado. no apogeu e no perigeu. DM é 4 igual a: D C 16. esse ângulo passa a medir 60°.55 b) 309. respectivamente. e o triângulo retângulo BCD tem lados BD 5 4 cm e CD 5 5 cm ˆ e CBD 5 900. a reta que passa pelos pontos P e Q define com os eixos coordenados um triângulo de área: y P 23. 1 polegada e 4 polegadas. Nessas condições. as funções seno e cosseno são definidas para todos os números reais. pertencente ao intervalo 0. arccos denota a função inversa da função cosseno restrita ao intervalo [0. c) Verifique que sen (arccos (x)) 5 √ 1 2 x2 para todo x  [21. variando a distância AC e o ângulo BÂC. (UE-RJ) Observe abaixo a ilustração de um pistão e seu esquema no plano. (UFF-RJ) Nos itens a seguir. f x1 g(x) 5 e p <x<p12 2 p 2 p p 2 < x . 2 2 p p 0<x< . a distância entre A e C. a um disco que gira em torno do centro A. 2 2 Q 0 1 2 3 4 5 6 11f x1 x determine x. respectivamente. 4  p tal que 2  b) p 4 e) p 6 24. 2 2 a) Calcule arccos cos p 5 . Se a medida do ângulo BÂC é dada por x radianos. (UF-BA) Dadas as funções reais: sen x. em polegadas. f(x) 5 1 1 cos x. o pistão move-se verticalmente para cima ou para baixo. pode ser obtida pela seguinte equação: a) y 5 4 1 sen (x) b) y 5 4 1 cos (x) c) y 5 sen (x) 1 √ 16 2 cos2 (x) d) y 5 cos (x) 1 √ 16 2 sen2 (x) a) b) 3 √5 40 7 √5 40 d) e) 11√ 5 40 13 √ 5 40 9 √5 c) 40 22. BF mede 4 ponto E está em CD e AF é bissetriz do ângulo BÂE. (Mackenzie-SP) Considerando o esboço do gráfico da função f(x) 5 cos x. 0 . 36 25. (UE-GO) No ciclo trigonométrico. o de lado 1.1]. por meio da haste BC. Fernando Monteiro 21. p a) 2 p d) 8 7 [f(x)]2 1 g(x) 2 5 0. c) p A B F D E C O pistão é ligado. (Fuvest-SP) A figura representa um quadrado ABCD √5 . Considere que: • o raio AB e a haste BC medem. b) Calcule sen (arctg (21)). • à medida que o disco gira. O ponto F está em BC. 0 < x . restrita ao intervalo 2 . o segmento DE mede: . p] e arctg denota a função inversa da função tangente p p .Trigonometria 20. entre 0 e 2p. 0 b) sen (8) . (UF-PI) Seja a um número real satisfazendo p tan a e 5 √ 2. aos vértices do polígono. situado na mesma vertical de A e 5 m acima.32. S R T A 27. P Q A empresa pretende colocar uma torre de comunicação. onde t é medido 6 em horas a partir da meia-noite. Em determinada cidade litorânea. 0) d) (cos ( √ 5 ) . sen (8)) a) 66 b) 68 c) 70 d) 72 e) 74 29. (UF-PB) Em determinado trecho do oceano. 0 c) (cos ( √ 5 ) . Q. Um turista contratou um passeio de carro pela orla dessa cidade e.Matemática Volume Único Em relação às imagens dessas funções. É correto afirmar que: 2 2 1 2 2 √2 a) cos a 1 sen a 5 3 b) sec a 5 3 0. (UE-PB) Dados tg x 5 22 e x um arco do 2º quadrante. o ângulo de elevação do topo da torre é de 18°. indicado na figura. a) qual a altura máxima atingida pela maré? b) em quais horários isto ocorre no período de um dia? 30. c) cossec a é um número racional d) sen a 5 1 e) sen a cos a 5 1 26. (UF-AL) Quantas soluções a equação trigonométrica 1 admite no intervalo fechado com 2 extremos 0 e 35p? sen4 x 2 cos4 x 5 32. situado no mesmo nível da base de uma torre. que seja equidistante dos vértices do polígono. precisa conhecer o movimento das marés. Fernando Monteiro 31.a. (UF-GO) Uma empresa de vigilância irá instalar um sistema de segurança em um condomínio fechado. (UF-RN) Marés são movimentos periódicos de rebaixamento e elevação de grandes massas de água formadas pelos oceanos. indicados por P. o ângulo de elevação do topo da torre é de 20°. S e T.2 cos p ? t . Sabe-se que o lado RQ desse polígono mede 3 000 m e as medidas dos outros lados são todas iguais à distância do ponto A aos vértices do polígono. a altura H das ondas. representado pelo polígono da figura abaixo.36 e tg 18°  0. Desse modo. o valor de sec x 1 cossec x é: a) 2 √ 5 d) e) √5 2 a) 42 m b) 43 m c) 44 m d) 45 m e) 46 m √5 b) 2 4 √5 c) 2 2 √5 28. durante um período de vinte e quatro horas. (UF-AL) De um ponto A. Calcule a distância do ponto A. a altura da maré é dada pela função h(t) 5 3 1 0. localizada no ponto A. é correto afirmar: a) sen (7) . mares e lagos. para tanto. variou de acordo com a 37 . onde serão instalados os equipamentos de segurança. medida em metros. onde será instalada a torre. De um ponto B. Qual a altura da torre? Dados: use as aproximações tg 20°  0. R. em relação à horizontal. 6 p 1 2 kp. onde t . para todo x real. 0 é 2 12 o tempo. (UF-AM) O alcance máximo no lançamento oblíquo de um corpo é dado pela expressão A 5 Analise a veracidade das afirmações seguintes acerca de f: a) f(x) 5 2 ? sen x 1 p . em cm. 6 2 v 0 sen θ . temos dois retângulos congruentes com base medindo 12 cm. para todo x real. com k inteiro. do ponto A até a horizontal? Dado: use a aproximação √ 3  1. Um jogador de golfe lança uma bola com velocidade inicial v0 5 √ 10 m/s obtendo um alcance máximo de √ 2 2 cos θ metros. para todo x real.73. que tem parte de seu gráfico esboçado a seguir. Se AB 5 2 √ 3 km. As linhas de visão do topo aos pontos A e B formam entre si um ângulo de 30°.2 km 35. 34.0 km d) 3.9 km c) 3. Qual o inteiro mais próximo da distância.1 km e) 3.Trigonometria 3 pt sen . g onde v0 e g denotam respectivamente a velocidade inicial de lançamento do corpo e a aceleração da gravidade. com domínio e contradomínio o conjunto dos números reais. A altura das ondas nesse trecho não ultrapassou 2. e a aceleração da gravidade igual a 10 m/s². e altura 5 cm. o ângulo de lançamento θ é: p a) 2 p b) 3 p c) 4 p d) 6 p e) 8 30° 30° A B 38 Fernando Monteiro . A 33. (UF-PE) Na ilustração abaixo. c) As raízes de f(x) são 2 d) f(x) > 2 √ 3.75 m no horário da(s): expressão H(t) 5 2 1 a) 0h às 2h e das 10h às 24h b) 1h às 3h e das 9h às 23h c) 2h às 3h e das 8h às 20h d) 3h às 5h e das 7h às 20h e) 4h às 5h e das 6h às 20h a) 2. A linha de visão do topo com o ponto A tem inclinação de 30°. (UF-PE) Considere a função f. 30° 36. qual a altura da montanha? Considerando que θ é um ângulo do 1º quadrante.8 km b) 2. dado em horas. e) f(x) < 2. b) f é periódica com período 2p. dada por f(x) 5 √ 3 cos x 2 sen x. (UE-PI) Do topo de uma montanha se avistam os pontos A e B de uma planície. usando √ 3 5 1. a distância percorrida pela extremidade do ponteiro dos minutos deste relógio é aproximadamente (considere p 5 3.5 m. que pesa 13 toneladas. (Uneb-BA) Se arcsen x 5 é igual a: a) 1 2 √3 4 1 2 p . então cos (2 arcsen x) 3 b) 2 c) 1 2 √ 3 d) 0 e) 1 40.jpg Acesso em: 21 out. b) 44. d) 5 horas e 12 minutos.6 m. nem tampouco sua torre. A L1 H L2 60° B D C 30° 38.com/2009/01/big-ben2.14): a) 11 m b) 12 m c) 15 m d) 19 m e) 21 m 41. 39 .4 m (medindo do centro do relógio até a extremidade do ponteiro). ao contrário do que muitos pensam. (UF-AM) O Big Ben. é a) 54. c) 62. (UPE-PE) Um relógio de ponteiros (apenas com ponteiro para hora e ponteiro para minuto) foi acertado.73 e BD 5 10 m. O nome do relógio é Tower Clock.8 m. assumindo que a cada hora o ponteiro maior (dos minutos) percorre um ciclo completo e que tanto o movimento do ponteiro menor quanto do ponteiro maior ocorre continuamente com o passar do tempo? a) 6 horas e 24 minutos. dificultando a medição das distâncias entre esses pontos.Matemática Volume Único 37. respectivamente. Ao se deslocar 42 minutos. triângulo? a) 30° b) 45° c) 60° d) 90° e) 120° quanto mede o maior ângulo do Entre os pontos B e C passa um rio. não é o famoso relógio do Parlamento Inglês.wordpress. exatamente. (UE-PI) Se os lados de um triângulo medem a.files. e é muito conhecido pela sua precisão e tamanho. b e √ a2 1 ab 1 b2 . qual a hora que estará indicada pelo relógio. d) 48. às 3h. 2009. É o nome do sino.6 m. b) 5 horas e 30 minutos. O valor encontrado. fixados nos pontos C e D. c) 3 horas e 12 minutos. e) 5 horas e 24 minutos. O ponteiro dos minutos mede 3. um engenheiro calculou a quantidade de cabo (L1 1 L2) que usou para fixar a torre. Apenas com as medidas dos ângulos C e D e a distância entre B e D. Thinkstock/Getty Images 39. http://emundo. (UF-RN) A figura abaixo representa uma torre de altura H equilibrada por dois cabos de comprimentos L1 e L2. Se o ponteiro menor (das horas) 2p tiver percorrido um ângulo de radianos com 5 relação a sua posição inicial. x 5 24. 10 36. e 6. c 12. b 40. a) F b) V c) F d) F e) V 34. 1 000 √ 3 m 31. d 5. b 13. e 41. a p √2 b) sen (arctg(21)) 5 sen 2 5 2 2 4 c) Use a relação: sen2 a 1 cos2 a 5 1 40 . a 8. e 39. d 28. 96 cm 10. d p 22. b 2. b 19. b 20. c 29. b 30. a) 3. b 7. c 35. c 38.Trigonometria Trigonometria respostas 1. c 32. d 15. e 16. a 3. c 4. d 25. c 37. a 14. a) arccos cos 5 p 5 5 p 6 23. a 26. b 21. e 11. d 18. d 9. d 17.2 b) 0h e 12h 27. a 33.  x 1 2y 1 3z 5 1  S  2x 1 y 2 z 5 m   3x 1 ky 1 2z 5 4 5. d) admite solução única se k 5 3 e m é qualquer real. x . (Mackenzie-SP) Dadas as matrizes A 5 (aij)3 3 3 tal que  aij 5 10. y e z. (Udesc-SC) Dada a matriz A (figura 1). onde a matriz D (figura 2). determinantes e sistemas lineares 1. nas incógnitas x e  x 1 3y 5 m y:  . se i 5 j . (Fatec-SP) Sobre o sistema linear. (U. c) admite infinitas soluções se k 5 3 e m 5 5.E. e) admite solução única se k  5 e m 5 3. nas incógnitas x. pode-se afirmar que: a) não admite solução se k 5 4. (Mackenzie-SP) Considerando 0 . se i 5 j e B 5 (bij)3 3 3 tal que   aij 5 0. o número 2 2. o valor de det(AB) é:   bij 5 0. se i  j a) 27 3 103 b) 9 3 103 c) 27 3 102 d) 32 3 102 e) 27 3 104 3.Matemática Volume Único matrizes. Londrina-PR) Se o determinante da matriz  x 2 1 A 5  1 21 1    2x 21 3 . b) admite infinitas soluções se k 5 m 5 3. de soluções da equação  log(tg(x)) det   1 a) 2 b) 3 c) 0 d) 1 e) 4 log(cotg(x))   5 0 é:  1 em que k e m são constantes reais.  2x 2 py 5 2 será impossível quando: a) Nunca b) p  26 e m 5 1 c) p  26 e m  1 d) p 5 26 e m 5 1 e) p 5 26 e m  1 41 e) 23 4. (Ufla-MG) O determinante da matriz cos x  sen x cos2 x 0 A 5  cos x 2sen x   cos x  sen x 2sen2 x é: a) 21 b) 1 c) 0 d) sen 2x é nulo. (FGV-SP) O sistema linear abaixo. se i  j  bij 5 3. então: a) x 5 23 b) x 5 2 7 4 c) x 5 21 d) x 5 0 e) x 5 7 4 3p . Seja a matriz B tal que A21BA 5 D. então o determinante de B é igual a: Figura 1 1 2  A5  1 21  Figura 2  2 D5  21 a) c) d) 3 2 5 b) 25 1  2 7. 6. o bolo do tipo B consome 0. determinantes e sistemas lineares 8. n.2 kg de açúcar e 0. (PUC-RJ) Maria comprou duas bicicletas por um total de R$ 670. seis amigos não puderam comparecer. d) As três desigualdades são verdadeiras. 10. No total. q). responda às questões a seguir.00.00 c) R$ 277.00.00 e R$ 400. Planejou que cada um dos seus amigos ganharia três brindes e ainda restariam dois para guardar de reserva. com 33 L de gasolina. (Unicamp-SP) Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de festa. c) São verdadeiras apenas as desigualdades I e III.00 e R$ 300. p. ela ganhou R$ 7. 22 26 21 27 É correto afirmar que: a) São verdadeiras apenas as desigualdades I e II.00 e R$ 400. assim. b) Quantos quilogramas de bolo do tipo A e de bolo do tipo B devem ser produzidos se a confeitaria pretende gastar toda a farinha e todo o açúcar de que dispõe? 9. Por sua vez. n. (UF-PR) Considere a função f definida pela expressão:  cos (2x)  f(x) 5 det  cos x   1  a) Calcule f(0) e f 5 sen x 1 2 0 p . para cada convidado. 42 c) 22 d) 26 . no momento. Pede-se: a) dar exemplo de um tal quaterno (m. p.00 Sabendo que. 4 1 5 26 . determine o comprimento do seu trajeto na estrada e o comprimento do seu trajeto na cidade. 13. b) encontrar todos os quaternos (m.4 kg de açúcar e 0. 22 4 7 21 5 8 1 9 2 . Quais foram os preços de compra? a) R$ 370. 4 0  0   2 15. a confeitaria dispõe de 10 kg de açúcar e 6 kg de farinha. Dessa forma. q são tais que 45m ? 60n ? 75p ? 90q 5 1. ele pode rodar 95 km na cidade mais 276 km na estrada e que. a) Será que é possível produzir 7 kg de bolo do tipo A e 18 kg de bolo do tipo B? Justifique sua resposta. mais nenhum. tais que m 1 n 1 p 1 q 5 8. b) Sabendo que Vicente viajou 143.5 km com 13 L de gasolina. (UF-ES) Vicente. 11.00 e R$ 470.00 e R$ 293.2 kg de farinha.00 d) R$ 200. (UE-CE) Se x. III. 14. q) como acima. II.00 e) R$ 377.3 kg de farinha para cada quilograma produzido. (UF-CE) Os inteiros não todos nulos m. ele pode rodar 190 km na cidade mais 264 km na estrada.Matrizes. n. com 42 L de gasolina. a) Calcule quantos quilômetros Vicente pode rodar na cidade com 1L de gasolina. que tem o hábito de fazer o controle do consumo de combustível de seu carro. 2 21 3 5 2 3 4 . Marcela convidou alguns amigos para uma festa em sua casa e comprou certa quantidade de brindes para distribuir entre seus convidados. Cada quilograma do bolo do tipo A consome 0. b) São verdadeiras apenas as desigualdades II e III. Marcela preferiu dar. e) As três desigualdades são falsas.00 b) R$ 270. Porém. não lhe restando. no dia da festa. a) Represente a situação descrita no texto acima através de um sistema de equações. um brinde a mais do que o previsto. Vendeu uma das bicicletas com lucro de 10% e a outra com prejuízo de 5%. b) Resolva o sistema de equações obtido no item (a) e diga quantos amigos compareceram à festa de Marcela. observou que. y e z constituem a solução do sistema linear x 1 y 1 z 5 1   x 1 2y 2 3z 5 22   x 1 4y 1 5z 5 24 então o produto x ? y ? z é igual a: a) 24 b) 28 b) Para quais valores de x se tem f(x) 5 0? 12. p. (CP2-MEC-RJ) Para comemorar o seu aniversário de 15 anos. (PUC-PR) Considere as seguintes desigualdades: I. – a terceira liga é formada por 40 gramas de ouro. (UFF-RJ) A transmissão de mensagens codificadas em tempos de conflitos militares é crucial. uma permutação pode ser efetuada usando-se multiplicações por matrizes de permutação. – a segunda é formada por 30 gramas de ouro. então o valor do determinante da   1 1 3 0 0 1 a)  1 0 0    0 1 0 1 0 0 b)  0 0 1    0 1 0 0 1 0 c)  1 0 0    0 0 1 0 0 1 d)  0 1 0    1 0 0 1 0 0 e)  0 1 0    0 0 1 matriz Y 5 Xn é: a) 2n b) 3n c) 6n d) 9n 17. As três ligas devem ser combinadas para compor uma nova liga contendo 37 gramas de ouro.00. é:   b 20. (FGV-SP) O sistema linear nas incógnitas x. que são matrizes quadradas que satisfazem as seguintes condições: Cada coluna possui um único elemento igual a 1 (um) e todos os demais elementos são iguais a zero. 0 1 0 Por exemplo.00.00. a matriz M 5  0 0 1  permuta os   1 0 0 a elementos da matriz coluna Q 5  b  . o determinante da matriz A é igual a: a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 18. (UF-RN) Matilda saiu de casa para fazer compras.Matemática Volume Único 16.00 ou de R$ 125. ainda sem juros. conclui-se que o valor de n é igual a: a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 X5yeB5 5  Nessas condições.5 gramas d) 0. quanto ela gastou em cada estabelecimento? 21. Quanto será utilizado da terceira liga? a) 0.4 gramas c) 0. Passou em um supermercado e numa farmácia. (UF-AL) Três ligas metálicas têm as constituições seguintes: – a primeira é formada por 20 gramas de ouro.   a a Pode-se afirmar que a matriz que permuta  b  . Um dos métodos de criptografia mais antigos consiste em permutar os símbolos das mensagens. respectivamente. pois P 5 M ? Q.6 gramas e) 0. 30 gramas de prata e 40 gramas de bronze. pagando-se 3 ou 5 parcelas a menos. Se suas despesas no supermercado foram superiores às despesas na farmácia em R$ 94. cada linha possui um único elemento igual a 1 (um) e todos os demais elementos são iguais a zero. em que: x   z  10   7 19.   c b transformando-a na matriz P 5  c  . Se os símbolos são números. 40 gramas de prata e 50 gramas de bronze. Caso se queira adquirir o produto. 50 gramas de prata e 90 gramas de bronze. sem juros.7 gramas 43 . (Fuvest-SP) Uma geladeira é vendida em n parcelas iguais. o valor de cada parcela deve ser acrescido de R$ 60. gastando um total de R$ 110.3 gramas b) 0. 49 gramas de prata e 76 gramas de bronze. y e z  x 2 y 5 10 1 z  y 2 z 5 5 2 x  z 1 x 5 7 1 y pode ser escrito na forma matricial AX 5 B . (UE-CE) Se n é um número inteiro positivo e X é a 1 0 0 matriz  1 2 0  . Com base nessas informações.   c c transformando-a em  a  . c. 2 1 24. com k  0. determinantes e sistemas lineares 22. A quantidade dos três tipos de aço. (UF-PE) Uma fábrica de automóveis utiliza três tipos de aço. está na tabela a seguir: C1 A1 A2 50 100 50 2 1 3 O número de cada modelo de camisas confeccionadas.Matrizes. está indicado na tabela a seguir. comprou um pacote turístico e pagou o valor total de R$ 8 125. com a. modelo botão P G A 3 6 B 1 5 C 5 5 Com base nessas informações. em toneladas. 44 . d reais. nos meses de julho e agosto. 11 toneladas do tipo A2 e 19 toneladas do tipo A3. 25.  0 1  2x 2 y 5 0 e  x1y53 23. o número total de botões usados na confecção dessas camisas. B e C). b.  2 21  c d para analisar as afirmações abaixo.00. 3 2 e) Se A ? C 5 B. usados na confecção dos três tipos de carro. foi: a) 3 250 b) 5 000 c) 2 850 d) 4 200 e) 2 550 Se foram utilizadas 26 toneladas de aço do tipo A1. O número de botões. está indicado na tabela a seguir. sendo três adultos e duas crianças. então ba 5 √ 2. A1. C1. então C 5  . meses camisas A B C C2 3 1 2 C3 4 2 1 julho 100 50 50 agosto A3 De acordo com esses dados. Sendo A21 a matriz inversa de A. qual o total de carros construídos (dos tipos C1. C2 e C3. então a ? d 5 1. são usados dois tipos de botão: grandes (G) e pequenos (P). tal que det A 5 k. 2 c) Se At é a matriz transposta de A. Uma família 3 de cinco pessoas. respectivamente: a) b) c) d) e) 1 e 21 2 1 0 e 2 1 e1 2 1 0e2 2 1 e 22  21 2  . o valor do det A21 é: a) 2k b) 3k k 3 k d) 2 1 e) k c) 27. C2 ou C3)? 26. d) Se C é a matriz inversa de B. 0 2 a) A 1 B 5   2 0 B b) Se A 2 5 C. (UF-AM) Seja A uma matriz quadrada de ordem n. (UF-SE) Considere as matrizes A 5  1 a b 0 B5   eC5   . calcule o valor que a agência cobrou de um adulto e de uma criança para realizar esse passeio. (UF-GO) Uma agência de turismo vende pacotes familiares de passeios turísticos. então det At 5 21. por modelo. nesses dois meses. (UF-PB) Na confecção de três modelos de camisas (A. cobrando para crianças 2 o equivalente a do valor para adultos. (UE-PB) Se os dois sistemas lineares   mx 1 ny 5 21 são equivalentes. A2 e A3 na construção de três tipos de carros. os valores de m   mx 2 ny 5 1 e n são. b 15. b 3.00 no supermercado. 14. a 20.5 km na cidade e 12 km na estrada. p 5 28 e q 5 248. a 19. 45 . a 16.00. a 6. b) 22. c 22. b 18. São verdadeiras: a. d 4. a 23.00. por exemplo. determinantes e sistemas lineares respostas 1.5 kg do tipo A e 5 kg do tipo B.00 na farmácia e R$ 102. temos:  y 5 3x 1 2   y 5 4(x 2 6) b) O número de amigos que compareceram à festa é 20. R$ 8. a) n 5 3. a) Sejam: x o número de amigos e y o número de brindes. b) m 5 40. d 27. p 5 21 e q 5 26. com k  Z  8 2  10. m 5 5. a 7. 21 b) S 5 x   | x 5   26. 11. b 9. a 2. 12. pois faltará farinha. a) 1. criança: R$ 1 250. e 5.Matemática Volume Único matrizes. n 5 24. c 17. a) Não. 21. 13. 25.5 km na cidade. e 8. e 24. a) 9. Adulto: R$ 1 875. 9 carros ao todo p p  1 k . b) 96 km na estrada e 47. c. um retângulo cujo comprimento tem 2 cm a mais e cuja largura tem 2 cm a menos que a medida do lado do quadrado. em centímetros quadrados. é igual a: a) 60 b) 64 c) 72 d) 80 Sabendo que PQ 5 2 m e AD 5 4 m. Eles trazem instruções para a realização de cerimônias religiosas que requeriam a construção de altares em formatos combinados de triângulos. (Fuvest-SP) C G G D F x H C A E B P A B Q Então. Assim. b) O valor de x para o qual o ângulo FEG também é reto. cujos lados medem 1 dm cada um. vale: A M P B N C a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 A B 5. 2. está inscrito no quadrado de vértices PQRS. em seguida.Geometria plana Geometria plana 1. aos lados AB. Os pontos E. 46 . pode-se afirmar que a medida da área do modelo retangular.C. de modo que DX 5 PQ. determine: a) A área do triângulo AFE em função de x. retângulos e trapézios. respectivamente. ligam-se A e X e constrói-se o novo quadrado AXFE. Os pontos M e N são pontos médios dos lados AC e BC. conforme mostrado nesta figura: S F E R 3. Nessas condições. Uma dessas instruções é um método para construir um quadrado a partir de dois quadrados menores. a área da região MPNC. Denotando-se por ABCD e PQRS os dois quadrados menores na figura a seguir. (PUC-MG) Certo desenhista faz dois modelos de laF Q R G P S D X C drilho: um desses modelos é um quadrado de 64 cm2 e outro. em cm2. F e G pertencem. calcule a área da região sombreada ABGFE. (UF-GO) Os “Sulbasutras” são manuscritos que foram escritos pelos habitantes do noroeste da Índia por volta de 1500 a. Assim. AC e BC do triângulo. os ângulos AFE e CGF são retos e a medida do segmento AF é x. marca-se um ponto X no lado DC. (UF-MG) O octógono regular de vértices ABCDEFGH. é correto afirmar que a área do quadrado PQRS é: a) 1 1 2 √ 2 dm2 b) 1 1 √ 2 dm2 c) 3 1 2 √ 2 dm d) 3 1 √ 2 dm 2 2 O triângulo ABC da figura acima é equilátero de lado 1. Além disso. E 4. (Ibmec-RJ) O triângulo ABC (figura) tem área igual a 36 cm2. todas obtidas a partir de um quadrado de lado . 2x 4 50 x 160 90 3 . (UF-MG) Por razões antropológicas desconhecidas. que intercepta o lado AB em D e o lado AC em E. a área da região destacada na figura é:  a) 9  (2 √ 3 ) 2  p 2  6   cm  10. cujo lado mede 1 cm. como indica a figura a seguir. 9. 2 1 peça quadrada. (Udesc-SC) Uma circunferência intercepta um triângulo equilátero nos pontos médios de dois de seus lados.0 11. Determine o valor percentual da razão de AD por AB. 2 4 4 7 . conforme mostra a figura. e) 56 m2 2 6 8. Deseja-se cortá-la por uma reta r paralela ao lado BC. e a que se dava o nome de anelar. cujo raio media 1 cm.2 a) b) c) d) e) 16 12 8 6 4 47 .2 .2 .14.Matemática Volume Único 6. B C a) 88.2 . a área da figura vale: a) 1 176 b) 1 124 c) 1 096 d) 978 e) 1 232 Três peças do tangran possuem a mesma área. Londrina-PR) Uma metalúrgica utiliza chapas de aço quadradas de 8 m 3 8 m para recortar formas circulares de 4 m de diâmetro. certa comunidade utilizava uma unidade de área singular.30 m2 d) 48 m2 . a) 7. como mostrado na figura a seguir.2 c) 74. é: 1 a) anelar c) 1 anelar p 1 anelar d) p anelares b) 2p Se o lado do triângulo mede 6 cm. que consistia em um círculo.8 d) 66.2 .E.6 b) 81.4 e) 44. Adotando-se essa unidade. uma peça em forma de paralelogramo e cinco peças triangulares. Essa área é: .76 m2 c) 26. Dado: √ 11  3.45 m2 b) 13. de modo que o trapézio BCED tenha 700 gramas de massa.. (Mackenzie-SP) 5 Considerando p 5 3. (UF-RS) O tangran é um jogo chinês formado por uma A área de chapa que resta após a operação é de aproximadamente: Dado: considere p 5 3. é CORRETO afirmar que a área de um quadrado. (U. A espessura e a densidade do material da chapa são uniformes.32 A   p  b) 9  ( √ 3 ) 2 cm2  18     c) 9 [( √ 3 ) 2 p] cm2  p d) 9  ( √ 3 ) 2    cm2  3   p e) 9  ( √ 3 ) 2 cm2 6   D E r 7. sendo que um dos vértices do triângulo é o centro da circunferência. (Vunesp-SP) A figura representa uma chapa de alumínio de formato triangular de massa 1 250 gramas. foi dobrada duas vezes. só valeria a pena se ele cobrasse o combustível gasto a mais e também R$ 200. 1 e fig. com a . (PUC-MG) De uma placa quadrada de 16 cm2. B e C num esquema. é: 48 15. (PUC-RJ) Ao meio-dia. – dobre o papel ao meio. 2). e voltaria com seu veículo vazio pela rota AB em linha reta. Figura 3 A área do triângulo ABC. a. ao lado maior. Com base em sua experiência. situada no cruzamento das rodovias que ligam A a C (sentido sul) e C a B (sentido leste). em centímetros quadrados. localizada a 85 km a noroeste da cidade B. a) 4 a c) 6 d) 7 b) 5 14.00 por hora adicional de viagem. trechos de mesma extensão. . 3). Norte c) A 5 a2 2 2ab 1 b2 d) A 5 a2 2 e) A 5 a2 2 ab 1 b2 4 13.) c) Calcule a diferença de percurso do novo trajeto relativamente ao retorno em linha reta. de modo que o ponto P sobreponha-se ao ponto Q (fig. No entanto.Geometria plana 12. (Fuvest-SP) Um transportador havia entregado uma b Figura 1 encomenda na cidade A.00 o litro. (UF-GO) Uma folha de papel retangular. o transportador percebeu que esse desvio de rota. b (fig. b . a) Indique a localização das cidades A. em função de a e b. A medida da área da peça recortada.4. C B a Q Figura 2 A P a b) Calcule a distância em cada um dos trechos perpendiculares do caminho. é: a) A 5 2a2 1 2ab 1 b) A 5 ab 2 b2 4 b2 2 d) Considerando o preço do óleo diesel a R$ 2. a formiga A está 3 km a oeste da formiga B. A formiga A está se movendo para o oeste a 3 km/h e a formiga B está se movendo para o norte com a mesma velocidade. recebeu uma solicitação de entrega na cidade C. a velocidade média do veículo de 70 km/h e seu rendimento médio de 7 km por litro. sobrepondo o lado menor. (Considere a aproximação √ 2 5 1. foi recortada uma peça conforme indicado na figura. sobre o lado b. de lados a e b. estabeleça o preço mínimo para o transportador aceitar o trabalho. conforme 2 as figuras a seguir e as seguintes instruções: – dobre a folha ao longo da linha tracejada. antes de voltar à cidade B. destacado na figura 3. b) Admitindo que o raio da região irrigada seja inversamente proporcional à distância do irrigador até a bomba. A 17. tem área igual a: 18. os pontos M e N são respectivamente pontos médios dos lados AB e AC. calcule o raio da região irrigada quando o irrigador é colocado no centro da região retangular R. serão utilizados pisos de 25 cm 3 25 cm. O segmento MN mede 6 cm. A bomba é instalada em um ponto B. determine esse valor. do ponto B. (CP2-MEC-RJ) Na figura abaixo. 4 cm 6 cm a) 24 cm2 b) 25 cm2 c) 28 cm2 d) 35 cm2 e) 36 cm2 49 3. De acordo com as medidas fornecidas. a uma distância 3. (Unemat-MT) No triângulo equilátero ABC. b) Calcule a medida da área do trapézio ABCD. 2 . ele irriga um círculo de centro C e 2 raio 2.Matemática Volume Único Qual a distância entre as duas formigas às 14 h? a) √ 17 km b) 17 km c) √ 51 km d) √ 117 km e) 117 km a) Calcule a área da porção irrigada de R quando o irrigador está no ponto C. e) 36 √ 3 cm2 20. A B B C M N A área do triângulo ABC mede: a) 18 √ 3 cm2 D E C b) 24 √ 2 cm2 c) 30 √ 2 cm2 d) 30 √ 3 cm2 a) Simbolizando o raio da circunferência maior por x. os quatro círculos são tangentes dois a dois. um irrigador giratório é acoplado a uma bomba hidráulica por meio de um tubo condutor de água. Cada caixa contém 20 pisos. quantas caixas são necessárias para cobrir o piso da cozinha? a) 17 caixas b) 16 caixas c) 20 caixas d) 15 caixas e) 12 caixas 19.. a região sombreada. Os raios dos círculos menores medem 4 cm cada um. (veja figura). R porção irrigada 3. que é a parte visível do verso da folha. (ESPM-SP) Uma folha de papel retangular foi dobrada como mostra a figura abaixo. 3 3. aplicando o Teorema de Pitágoras aos lados do triângulo ADE. Quando o irrigador é colocado no ponto C. A altura do trapézio ABCD mede 12 cm. 2. tubo condutor de água B C . (UF-ES) Para irrigar uma região retangular R de dimensões . (Cefet-SC) Para cobrir o piso de uma cozinha com 5 m de comprimento por 4 m de largura. 16. Supondo que nenhum piso se quebrará durante o serviço. (UE-CE) Se a medida. Os suportes nas extremidades A e C medem. mas não o dobro. mas não a metade. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas faces laterais. (UF-PR) Um telhado inclinado reto foi construído sobre três suportes verticais de aço. de: 24. de S 1 S(3) é: 3 a) b) c) d) 17 √ 3 18 35 √ 3 18 49 √ 3 18 41 √ 3 18 e 10 cm e cuja altura é 10 cm. a figura 2. porque o custo de entrega será o mesmo. mas agora para 8 quadros retangulares (50 cm 3 100 cm). os quais têm o mesmo perímetro. colocados nos pontos A. O valor da segunda encomenda será: a) o dobro do valor da primeira encomenda. Em seguida. mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais.2 metros e) 5. porque a altura e a largura dos quadros dobraram.5 metros c) 5 metros d) 5. (UF-RJ) A figura 1 a seguir apresenta um pentágono regular de lado 4L. respectivamente. em m². A altura do suporte em B é. em metros.2 metros b) 4. seja S(x) a expressão da área deste triângulo em função de x. fez uma segunda encomenda.Geometria plana 21. (Enem-MEC) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar. de cada um dos lados de um triângulo equilátero é x. O 1 valor. Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja. em grande quantidade. todos de lado L. 4 metros e 6 metros de altura. (UE-CE) Uma reta paralela a um dos lados de um triângulo equilátero intercepta os outros dois lados determinando um triângulo menor e um trapézio. 15 reais por metro linear de moldura. 23. b) maior do que o valor da primeira encomenda. A razão entre a área do triângulo menor e a área do trapézio é: 6 a) 4 7 b) 5 8 c) 6 9 d) 7 25. 6 cm 8 cm 10 cm O raio da perfuração da peça é igual a: a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 4 cm e) 5 cm 22. conforme mostra a figura. dezesseis pentágonos regulares. B e C. 8 cm 50 a) 4. (Enem-MEC) A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro quadrado de tela. e) igual ao valor da primeira encomenda. porque a altura e a largura dos quadros dobraram. 26. c) a metade do valor da primeira encomenda. d) menor do que o valor da primeira encomenda. uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular. cujas dimensões da base são 6 cm. 6m 4m 12 m A B 8m C Figura 1 Figura 2 Qual é maior: a área A do pentágono da figura 1 ou a soma B das áreas dos pentágonos da figura 2? Justifique sua resposta. então. como mostra a figura abaixo.5 metros . suficientes para 8 quadros retangulares (25 cm 3 50 cm). Matemática Volume Único 27. de lado 3. (UF-GO) A grama-esmeralda é uma das mais difundidas no Brasil. AFGB e BHIC são quadrados. c) a distância da cidade A ao ponto M é 500 km. d) a distância da cidade C à cidade A é 1 200 km. o triângulo ABC é equilátero de lado 1. • o triângulo CDE é equilátero. C e D estão alinhados. (Fuvest-SP) Na figura. justifique por que a quantidade de tecido utilizada na confecção da bandeira correspondente ao triângulo ADF é a mesma que a utilizada para o quadrilátero AFDE. (UF-RN) Para comemorar o aniversário de independência. DETERMINE o comprimento do segmento CF. • os pontos A. usada para cobrir terrenos. • o triângulo ABC é equilátero. deslocandose com a mesma velocidade com que um outro trem ia da cidade C para a cidade D. (UF-PI) Conforme ilustrado na figura a seguir. e ACDE. 1. por um atraso. Com base nessas informações. b) a distância da cidade C ao ponto M é 336 km. D Figura 2 C A Figura 1 B F E 29. (UF-MG) Considere esta figura: B 30. 2. 3. A área do polígono DEFGHI vale: D C E H I Cidade C Distância em km Cidade D Cidade A 1 200 Cidade C 1 600 Cidade B M A B 90° F G Cidade A Cidade D a) 1 1 √ 3 b) 2 1 √ 3 c) 3 1 √ 3 d) 3 1 2 √ 3 e) 3 1 3 √ 3 a) a distância da cidade D ao ponto M é 350 km. e que. jardins. as características geométricas desta. E F A C D Nesta figura. DETERMINE o comprimento do segmento BD. A Figura 1 representa a bandeira e a Figura 2. de lado 2. o Governo da Guiana comprou um lote de bandeiras para distribuir com a população. é correto afirmar que: Sabendo que BE 5 EC e que F é o ponto de interseção das diagonais do retângulo ABCD. 51 . 31. e • o segmento BD intersecta o segmento CE no ponto F. e) não haverá o choque dos trens. Sabendo-se que a distância do ponto M às cidades C e A é a mesma. as locomotivas partiram no mesmo instante. um trem saiu da cidade A com destino à cidade B. 28. DETERMINE a área do triângulo sombreado BCF. (UF-RN) Uma empresa de publicidade foi contratada para confeccionar um outdoor com a sigla RN. conforme a figura a seguir. F . BC 5 15 e DE 5 7. BCA e BFA são retos. limitada pelas três circunferências e indique 10A. 8 cm e 10 cm.75  0.Geometria plana campos de futebol. AC 5 4 e CB 5 5. etc. E. seguindo um processo iterativo que pode se estender infinitamente. Em certa loja de jardinagem. 2 cm 1 cm 1 cm Plantio de tapetes segundo as recomendações 33. (UF-PE) Na ilustração a seguir. em cm2. qual será o custo total com os tapetes de gramaesmeralda? 32. 34. Determine AF. ao preço de R$ 1. ou seja. AB 5 AD 5 25. sem ser cortado e seguindo as recomendações acima. A árvore pitagórica a seguir foi construída a partir de um triângulo retângulo. e I . recomenda-se que haja uma distância de 1 cm entre a placa e a margem. (UF-GO) A “árvore pitagórica fundamental” é uma forma estudada pela Geometria Fractal e sua aparência característica pode representar o formato dos galhos de uma árvore. sendo que os ângulos C. .25 m de comprimento.40 m 2 cm 2 cm Calcule a área A da região do triângulo. A figura ramifica-se em quadrados e triângulos retângulos menores. em toda a volta do tapete.14 e arctg 0.50. cada um com 0. de lados AB 5 3. dependendo de sua variação. 52 35. semelhantes aos ˆ ˆ ˆ iniciais.25 m 0. Para o plantio. (UF-PE) Na figura abaixo.4 m. essa grama é vendida em tapetes (ou placas) naturais regulares. de uma couve-flor ou de um brócolis. Fernando Monteiro 1. Os ângulos DEA. O dono de uma chácara procurou a referida loja para cobrir com grama-esmeralda seu terreno retangular. ABC.5 m por 25. Dado: use as aproximações: p  3. temos três cincunferências tangentes duas a duas e com centros nos vértices de um triângulo com lados medindo 6 cm. G H D E I F A C B Com base nessas informações. calcule a área do triângulo GHI. e de quadrados construídos sobre seus lados. conforme as medidas determinadas na figura a seguir.40 m de largura por 1. recomenda-se que cada tapete dessa grama seja colocado no terreno mantendo-se uma distância de 2 cm entre um tapete de grama e outro.64. integrante dessa árvore pitagórica. Sabendo que cada tapete será plantado inteiro. em relação às margens do terreno. com dimensões de 52. são congruentes. denominada de coeficiente de dilatação linear (a) depende do material utilizado. A figura abaixo é a representação de seis ruas de uma cidade.a. b) 120 u. c) DETERMINE o raio da circunferência que passa pelos vértices do hexágono ABCDEF. estão construídos os quadrados ABQP. atingindo uma temperatura de 40 °C. a) DETERMINE o perímetro do hexágono ABCDEF. que Paulo vai percorrer será de.a. d) 200 u.a. a empresa precisa calcular as áreas das letras. exatamente. b) DETERMINE a área do hexágono ABCDEF. determine. c) 240 u. R2 e R3 são paralelas entre si. em escala. nota-se que os lados da sala retangular medem. e é fixado pelas extremidades entre dois suportes. sendo que a constante de proporcionalidade. de modo que o fio possa ser considerado reto entre o ponto médio e cada extremidade. sobre os lados desse triângulo. a área de cada uma das letras.a.a. c) 945. em metros. como mostrado na figura. 40. (UF-MA) Sobre os lados opostos AB e CD de um retângulo ABCD são marcados. então o perímetro real da sala é igual a: a) 21 m b) 19 m c) 20 m d) 25 m e) 22 m Considerando essas informações. respectivamente. a) 1 333. em metros quadrados. PQR é um triângulo equilátero de lado a e. Sabendo que as medidas acima estão em centímetros. Nessa situação. (UF-MA) Em uma planta residencial. 53 . (UF-GO) Dados experimentais indicam que a dilatação linear experimentada por um objeto material é proporcional ao seu comprimento inicial (L0) e à variação da temperatura a que é submetido (DT). a distância. Então. d) 3 000. Um peso é colocado em seu ponto médio. b) 750. e) 300 u. 36. 16 cm e 9 cm. Caso o fio seja aquecido. aproximadamente. Um fio de alumínio (a 5 25 3 1026 °C21) de 10 m de comprimento está a uma temperatura de 20 °C. qual é o valor de H em centímetros? Paulo encontra-se na posição A da rua R1 e quer ir para a rua R2 até a posição B. (UF-MG) Nesta figura plana.Matemática Volume Único Ilustrações: Fernando Monteiro 38. As ruas R1. A soma das áreas dos triângulos AQB e CPD resulta exatamente em 240 u.a. ao utilizar-se uma régua convencional. cuja distância é de 10 m. CDRQ e EFPR: 37. de modo que o ponto médio estará a uma distância H da horizontal. Se a área real da sala em questão é igual a 36 m2. ele sofrerá uma dilatação. a área do retângulo ABCD é igual a: a) 360 u. os pontos P e Q. 39. Se a escala de representação for de 1 : 50 000. Para estimar a quantidade de tinta a ser utilizada na pintura. a 9. c 28. 15 C B 35.2 18. c 12. letra R ⇒ 0. c 14. d 16. b 5.5 km c) 34 km d) R$ 106.8 cm). R$ 3 750.Geometria plana Geometria plana respostas 1. c 40. a 30.9 cm2 34. Aproximadamente 37. a) x 5 9 b) 156 cm2 .86 36.64 m2 5 b) 59. e 7.64 m2 letra N ⇒ 0. a) A 29. a 10. b 21. 2. a 39. 1. a) Área 5 b) 1 5 19. 26. d 11. e (x2 √3 ) 2 20. e 13. c 2. d 27. 1) √19 2) 3) 6 5 9 √3 10 1 ? área ADE.4576 cm2 33. a 6. 15. b 8. As áreas são iguais. b 24. b 25. a) 3a( √3 1 1) b) a2 ? (3 1 √3 ) c) a √12 1 3 √3 3 √1 000 m (ou 15. d 22. Note que área ADF 5 31. 9 m2 3.00 32. b 17. 2 4. d 23. a) A 5 (2p 1 3 √3 ) 6 . d 38. b) R 5 6 ? 5 54 . O comprimento de um dos lados da base deve ser o dobro do comprimento do outro lado. cujas dimensões são consideradas desprezíveis. c) Volume da pirâmide BPQCE. O material para construir a base custa R$10. Calcule a área da sombra projetada pela luminosidade da lâmpada no solo.Matemática Volume Único Geometria espacial 1. com suas seis faces numeradas de 1 a 6. (UE-RJ) Observe o dado ilustrado a seguir.00 por metro quadrado. Sabe-se que: E Q P D n A C 2p p a) Se o lado p mede 2 metros. de volume a2. retirando-se um outro paralelepípedo reto retângulo. Considerando p 5 3. 5. b) Com os valores do item (a). Todo o material retirado equivale a 4. (Mackenzie-SP) a 2 a 2 a 3 a A peça da figura. b) A área do trapézio BCQP. Um objeto quadrado com lado de 30 centímetros é suspenso a 1 metro do teto. com um volume de 10 m3 (conforme figura a seguir).00 por metro quadrado. é igual a: a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 55 Thinkstock/Getty Images . expressas na mesma unidade. formado a partir de um cubo. (UE-GO) Uma lâmpada. c) Encontre o custo de construção da caixa em função de p. 2. O valor de a é: Esses números são representados por buracos deixados por semiesferas idênticas retiradas de cada uma das faces. (Fuvest-SP) A figura representa uma pirâmide ABCDE. aberta em cima. cuja base é o retângulo ABCD. a) 2 3 d) 4 b) 5 c) 6 e) 4 5 4. calcule o custo de construção da caixa. 3.2% do volume total do cubo. ao passo que o material para construir as laterais custa R$ 6. quanto vale n? B 3 AB 5 CD 5 √ 2 AD 5 BC 5 AE 5 BE 5 CE 5 DE 5 1 1 AP 5 DQ 5 2 Determine: a) A medida de BP. de modo que fique paralelo ao solo e seu centro esteja na mesma vertical que a lâmpada. (PUC-RJ) Pretende-se fabricar uma caixa com faces retangulares e ângulos retos. a razão entre a medida da aresta do cubo e a do raio de uma das semiesferas. é o resultado de um corte feito em um paralelepípedo reto retângulo. é fixada no teto de uma sala de 4 metros de altura. b) Para uma determinada espécie. Se o volume da caixa cúbica tem 4 m3 a menos que o volume da outra caixa. 16) Se o número de arestas do poliedro é 25. uma grande quantidade de peixes é cultivada em tanques-rede colocados em açudes. Se o lado maior do retângulo mede o dobro da medida do lado menor. (UEPG-PR) Dado que um poliedro convexo tem 2 faces pentagonais. 2 . figura 1 por metro cúbico. é igual a: 5 2 a) d) 9 9 4 1 b) e) 9 9 1 c) 3 A figura 2 B C 9. (Unicamp-SP) Em um sistema de piscicultura superintensiva. 08) Se r é paralela a a então todo plano contendo r é paralelo a a. 08) Um retângulo. (UEPG-PR) Considerando dois planos a e b e uma reta r. Fazendo corresponder cada sólido com sua planificação. então n 5 8. (UF-MG) Em uma indústria de velas. e cada uma de suas faces laterais é um triângulo equilátero. 7. Então. cujo lado mede a. . estão representadas três planificações. Os peixes consomem. então n 5 4. com alta densidade populacional e alimentação à base de ração. 08) Se a soma dos ângulos de todas as faces do poliedro é 3 600º. 02) Se r é perpendicular a a e a b então a e b são paralelos entre si. Suponha que um tanque possua largura igual ao comprimento e altura igual a 2 m. B → 3 e C → 2. cuja a altura e cuja aresta da base medem. mas permite a passagem da água. então n 5 6.Geometria espacial 6. calcule quantos peixes de cada espécie o conjunto de tanques-rede contém. (UF-SC) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). Depois de derretida. assinale o que for correto. 02) É possível construir um poliedro regular. utilizando-se seis triângulos equiláteros. tem-se a relação A → 1. 10. 3 1 2 04) Se a e b são perpendiculares e a reta r está contida em a. então r é também perpendicular a b. Os tanques-rede têm a forma de um paralelepípedo e são revestidos com uma rede que impede a fuga dos peixes. Quais devem ser as dimensões mínimas do tanque para que ele comporte 7 200 peixes adultos da espécie considerada? 8. a parafina é armazenada em caixas cúbicas.5 g de ração por refeição e que um peixe da espécie B consome 1. descreve um cilindro cujo volume tem 432p cm3. 04) O menor valor possível para n é 1. assinale o que for correto. cada uma. no total. então a área desse retângulo é de 72 cm2. então n 5 10. 02) Se o número de faces do poliedro é 16. 16) Se r  a 5  então r e a são paralelos. (Fuvest-SP) Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado 1. 01) Considere duas caixas-d’água de mesma altura: uma em forma de cubo e a outra em forma de paralelepípedo retângulo com área da base de 6 m2. estão representados três sólidos e. quando girado em torno de seu lado maior. a) Um grupo de 600 peixes de duas espécies foi posto em um conjunto de tanques-rede. 4 faces quadrangulares e n faces triangulares. 04) Na figura 1. a parafina é derramada em moldes em formato de pirâmides de base quadrada. a área do quadrado. a densidade máxima de um tanque-rede é de 400 peixes adultos 56 11. na figura 2. 800 g de ração por refeição. Sabendo-se que um peixe da espécie A consome 1. 01) Se o número de vértices do poliedro é 11. então a única medida possível da aresta da caixa cúbica é 2 m.0 g por refeição. 01) Se r é perpendicular a a e a b então a é paralelo a qualquer plano que contenha r. que tem como vértices os baricentros de cada uma das faces laterais. ficará só um pouco mais pequena. pela mesma ordem e partes. não disse que era o pai da pedra.048 c) 10. uma brutidão de mármore rugoso […]. Supondo que a medida de um palmo seja 20 cm. Rio de Janeiro: Bertrand Brasil.752 d) 16. de largura quinze. Saramago descreve a construção do Palácio e Convento de Mafra (séc. cada um. e o volume de uma 4 esfera de raio r é pr3. com a parafina armazenada em apenas uma dessas caixas. três. Para um octaedro de aresta a: a) Qual é a sua área total? b) Qual é o seu volume? 6 O cone a que se refere tal planificação é a) 10 d) 10 6 c) Qual é a distância entre duas faces opostas? b) 10 e) 10 16. lá em Mafra. e quando um dia se acabarem palmos e pés por se terem achado metros na terra. trinta e dois palmos.800 e) 60.. é: a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90 13. 3 Dentre as opções a seguir. catorze. (Cefet-SC) Uma indústria precisa fabricar 10 000 caixas com as medidas da figura abaixo. no qual a laje (em forma de paralelepípedo retângulo) foi colocada na varanda da casa de Benedictione.Matemática Volume Único Considerando-se essas informações. José. (PUC-RJ) Um octaedro é um poliedro regular cujas faces são oito triângulos equiláteros. ed. enche-se um total de: a) 6 moldes b) 8 moldes c) 24 moldes d) 32 moldes 14. para ser completa a notícia. XVIII). é CORRETO afirmar que. (UF-GO) Leia o texto a seguir. quantos. SARAMAGO.024 b) 6. o valor mais próximo da capacidade do reservatório. (UF-RS) Um reservatório tem forma de um cilindro circular reto com duas semiesferas acopladas em suas extremidades. quantos m2 de papelão serão necessários para a confecção das caixas? 40 cm 20 cm 7 7 c) 14 cm 10 8 a) 0. p. faça as contas quem quiser. talvez porque viesse das profundas. aproximadamente. Era uma laje retangular enorme. depois de lavrada e polida. O diâmetro da base e a altura do cilindro medem. após ser polido e lavrado.480 252° 10 10 15. conforme indicado na figura. então o volume retirado do mármore. que a laje tem de comprimento trinta e cinco palmos. em Portugal. ou ela esmagá-los a eles. foi de: a) 0. em m3. (FGV-SP) A figura indica a planificação da lateral de um cone circular reto: No romance citado. 12. conforme representado na figura ao lado. Memorial do convento. e. Desprezando as abas. 17. 1996. ainda maculada pelo barro da matriz.328 m2 b) 1 120 m2 c) 112 m2 d) 3 280 m2 e) 1 640 m2 57 . mãe gigantesca sobre a qual poderiam deitar-se quantos homens. em litros. 4 dm. 244-245. sim a mãe. e a espessura é de quatro palmos. É a mãe da pedra. irão outros homens a tirar outras medidas [..]. 0. com as dimensões indicadas na figura. a uma altura de 8 cm. 58 . acima. será necessária a construção de uma nova antena de transmissão. (UF-BA) Sendo  o ângulo formado entre uma diagonal e uma face de um mesmo cubo. respectivamente. um agricultor pretende construir uma cisterna fechada. de forma que o peso da esfera de raio igual a este valor não exceda o peso máximo suportado pela haste. Nela será colocada uma mistura líquida de água com álcool. (UFU-MG) Um canal de televisão pretende instalar o serviço de TV digital em Uberlândia e. da diagonal da face da base cúbica e do raio da esfera metálica. Com base nestas informações. em cm. responda as seguintes perguntas: a) Deseja-se pintar o poste cilíndrico de uma cor diferente da base cúbica. (UE-MG) 2) O diâmetro da base do poste cilíndrico é a metade da aresta da base cúbica. d e R. ao longo de um período de um ano. por uma haste de sustentação e por uma esfera maciça feita de uma liga metálica (conforme a ilustração a seguir). (Vunesp-SP) Prevenindo-se contra o período anual de seca.0.9] c) [7. 6. qual é o valor da área do poste a ser pintada? b) Se a haste da antena suporta um peso máximo de 50 kg. 10 cm 19. determine 1 . que acumule toda a água proveniente da chuva que cai sobre o telhado de sua casa. em função da altura x indicada na figura. sen2  Sejam D. a forma da cisterna a ser construída e a quantidade média mensal de chuva na região onde o agricultor possui sua casa. determine o maior valor possível para R. para isso. Com base nesta ocorrência. conforme indicações. as medidas (em metros) da diagonal da base cúbica.9] b) [6. 7. ambos maciços e feitos de concreto. base cúbica 18. 1 200 cm³ do líquido evaporaram.Geometria espacial Ilustrações: Fernando Monteiro 17. a altura. 7. As figuras e o gráfico representam as dimensões do telhado da casa. Sabe-se que: 1) O valor de D2 excede em 16 m2 o valor de d2. representa uma caixa de madeira maciça de 0. 4) 1 m3 da liga metálica corresponde a 300 kg (quilogramas). a) Qual o volume de líquido que essa taça comporta quando está completamente cheia? 4 cm esfera metálica haste da antena 12 cm x poste cilíndrico b) Obtenha uma expressão para o volume V de líquido nessa taça. A antena deve ser composta por uma base cúbica. Considerando que a região de contato entre a haste e a parte superior do poste tenha área desprezível. 20.6. ao longo de um certo período. 3) O volume do poste cilíndrico é 18 m3. 5.5 cm de espessura e dimensões externas iguais a 60 cm.6] d) [7. Como não houve reposição da mistura.0. 40 cm e 10 cm. da mistura restante na caixa corresponde a um valor numérico do intervalo de a) [5. 40 cm 60 cm O desenho.9] 21. por um poste cilíndrico. (UF-PR) A parte superior de uma taça tem o formato de um cone. diluiu-se a solução inicial com água. tem a forma de um prisma pentagonal reto de altura igual a 5 cm. (UE-RJ) A embalagem de papelão de um determinado chocolate.00 por m2 e que √ 3 5 1. até completar o recipiente. Na confecção de uma dessas embalagens. que o papelão do qual é feita a embalagem custa R$ 10.50 d) 1. Esse recipiente tem altura H. a) 142 cm3 b) 154 cm3 c) 168 cm3 6 cm d) 176 cm3 e) 182 cm3 59 . 24. equivalente a a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 22. (UE-RJ) A figura abaixo representa um recipiente cônico com solução aquosa de hipoclorito de sódio a 27%. obtendo-se a solução aquosa do hipoclorito de sódio a 8%.50 b) 0. Para o preparo de um desinfetante. acrescido de 10% desse volume. determine a profundidade (h) da cisterna para que ela comporte todo o volume de água da chuva armazenada durante um ano. em centímetros. • as arestas AB.85 8m 12 m hm Figura 2 4m 2m 23. C e D da base superior mede 120º. B. O nível desse líquido tem 12 cm de altura.73.Matemática Volume Único Ilustrações: Fernando Monteiro Figura 1 Considere. ainda. o valor. em reais.95 c) 1. gasto somente com o papelão é aproximadamente igual a: a) 0. representada na figura abaixo. BC e CD medem 10 cm cada. H 12 cm Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao acúmulo de 100 litros de água em uma superfície plana horizontal de 1 metro quadrado. considere: ˆ ˆ ˆ • cada um dos ângulos Â. Pode-se afirmar que o volume da embalagem não ocupado pelo vidro de perfume vale aproximadamente: 2 cm 3 cm 10 cm Em relação ao prisma. (ESPM-SP) Um vidro de perfume tem a forma e as medidas indicadas na figura abaixo e sua embalagem tem a forma de um paralelepípedo cujas dimensões internas são as mínimas necessárias para contê-lo. d) encher duas leiteiras de água. então a medida da nova altura é: a) a metade da medida da altura das latas antigas. constituído de material homogêneo. contendo 20 cm de espessura.5 tempo t mediante a função r(t) 5 t metros. (UE-RJ) Um sólido com a forma de um cone circular reto. a razão entre o volume submerso e o volume do sólido será igual a: a) 1 2 3 b) 4 5 c) 6 7 d) 8 4 cm 20 cm 4 cm Com o objetivo de não desperdiçar café. Para que isso ocorra. 28. constatou-se ao redor da embarcação a formação de uma mancha com a forma de um círculo cujo raio r varia com o 30 0. conforme a ilustração abaixo. Dona Maria deverá: a) encher a leiteira até a metade.5 m 26. 27. A √p espessura da mancha ao longo do círculo é de 0. pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. 8 cm Se todas as geratrizes desse sólido forem divididas ao meio pelo nível do líquido. d) dois terços da medida da altura das latas antigas. também cilíndricos. c) encher a leiteira toda de água. pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. Desprezando a área ocupada pelo barco na mancha circular. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralelepípedo retangular. e) encher cinco leiteiras de água.5 m3 b) 15 m3 c) 17. pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. 1. precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. . b) um terço da medida da altura das latas antigas. Fernando Monteiro O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza a) massa b) volume c) superfície d) capacidade e) comprimento 29. (UE-CE) Um fabricante de latas de alumínio com a forma de cilindro circular reto vai alterar as dimensões das latas fabricadas de forma que o volume seja preservado. (Enem-MEC) A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Se a medida do raio da base das novas latas é o dobro da medida do raio da base das antigas. (Enem-MEC) Dona Maria. diarista na casa da família Teixeira. podemos afirmar que o volume de óleo que vazou entre os instantes t 5 4 horas e t 5 9 horas foi de: a) 12. b) encher a leiteira toda de água.5 m3 d) 20 m3 e) 22. c) um quarto da medida da altura das latas antigas. Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos. (Enem-MEC) Para construir uma manilha de esgoto.5 m3 60 30. de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue.5 centímetros.Geometria espacial 25. um cilindro com 2 m de diâmetro e 4 m de altura (de espessura desprezível) foi envolvido homogeneamente por uma camada de concreto. flutua em um líquido. pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.5 m 2.3 m Metal Nobre 0. pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. (FGV-SP) Após t horas do início de um vazamento de óleo de um barco em um oceano. Para fazer o café. 06 O rodo e a altura da árvore devem ser medidos em metros. (Enem-MEC) Em um casamento. o técnico solicitou que enviassem caminhões para transportar uma carga de.16 d) R$ 54. No entanto. R 5 3 cm 31. O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de a) 12 cm3 b) 64 cm3 c) 96 cm3 d) 1 216 cm3 e) 1 728 cm3 61 32. aproximadamente a) 29.30 m). ou seja. seguindo o modelo ilustrado abaixo. em centímetros.00 c) 12. • 2 toras da espécie II. (Enem-MEC) Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico. mede 8 cm. A essa medida denomina-se “rodo” da árvore.40 b) R$ 124.78 toneladas/m3. Ilustrações: Fernando Monteiro h Figura 1 Figura 2 Considere: 4 1 Vesfera 5 pR3 e Vcone 5 pR2h 3 3 Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia. porém um .00 d) 56.06 foi obtido experimentalmente. os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1). Após realizar seus cálculos. que é interno.33 b) 6. sendo: • 3 toras da espécie I.9 toneladas b) 31. O cubo de dentro é vazio. os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual. é de: a) 1.3 toneladas e) 41. com 3 m de rodo. é preciso muitas vezes obter o volume da tora que pode ser obtida a partir de uma árvore. O coeficiente 0. 12 m de comprimento e densidade 0. de duas espécies diferentes. existe um método prático. Para isso. A aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor. 10 m de comprimento e densidade 0. obter o volume da tora em m3 a partir da medida do rodo e da altura da árvore. a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça.77 toneladas/m3. O volume da tora em m3 é dado por V 5 rodo2 3 altura 3 0. (Enem-MEC) No manejo sustentável de florestas. Para substituir as taças quebradas.60 R 5 3 cm acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. abater e transportar cinco toras de madeira. O quadro a seguir indica a fórmula para se cubar.Matemática Volume Único Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10. então o preço dessa manilha é igual a: a) R$ 230.52 e) 113.04 Um técnico em manejo florestal recebeu a missão de cubar.00 e tomando 3.8 toneladas 33. conforme indicado na figura.56 e) R$ 49.1 toneladas c) 32. utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). com 4 m de rodo.00 c) R$ 104.4 toneladas d) 35.1 como valor aproximado de p. em que se mede a circunferência da árvore à altura do peito de um homem (1. Dessa forma. a variação de cada uma das dezesseis medidas do “diâmetro” da bola com relação à média deve ser no máximo 1. Sabendo-se que a soma do raio da base do cone com sua altura é igual a 5 metros. como vértice. Podemos afirmar. uma bola de futebol deve passar por vários testes. que a capacidade da rasa. utilizando p 5 3.14 milhões de reais b) 6. (Fuvest-SP) A esfera ε.28 milhões de reais c) 7. constrói-se um copo cônico. a média aritmética desses valores é calculada. Um deles visa garantir a esfericidade da bola: o seu “diâmetro” é medido em dezesseis pontos diferentes e. Com o que restou do círculo.28 milhões de reais d) 8.Geometria espacial 34. Um típico exemplar tem forma de um tronco de cone. as variações medidas na Jabulani.14 milhões de reais e) 262 milhões de reais 39. como estão indicados na figura. qual o volume deste cone em m3? . diâmetro de boca 34 cm e altura 27 cm. 6) b) x  [2. de centro O e raio r > 0.5%. um ponto em a.14. 5) Imagebroker RM/Diomedia 120° 15 cm p √3 cm3 3 100p b) cm3 3 128p c) cm3 3 a) d) 128p cm3 e) 500p √ 5 cm3 3 38. Nessas condições. 4) e) x  [4. é aproximadamente a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 26 37.14. então. (UF-PI) De um círculo feito com uma folha de cartolina com raio 15 cm. em litros. Nesse teste. Para passar nesse teste. Quanto custará a restauração? Dado: use a aproximação p  3. Se o diâmetro de uma bola tem aumento de 1%. (UPE-PE) Um cone circular reto possui o mesmo volume de uma esfera com raio igual à medida do raio da base deste cone. 3) c) x 5 1 d) x  [3. o volume da pirâmide que tem como base um hexágono regular inscrito na intersecção de ε com b e. é correto afirmar que: a) x  [5. (UF-AL) A cúpula de uma catedral tem a forma de uma semiesfera (sem incluir o círculo da base) com diâmetro medindo 50 m. (UFF-RJ) Para ser aprovada pela FIFA. Qual é o volume desse copo? 62 40. é tangente ao plano a. (UF-AL) Na ilustração a seguir. (UF-PA) Uma rasa é um paneiro utilizado na venda de frutos de açaí. com diâmetro de base 28 cm. não ultrapassaram 1%. então o seu volume aumenta x%. é igual a: √ 30 cm a) 23 cm3 b) 24 cm3 c) 25 cm3 d) 26 cm3 √ 3r3 a) 4 b) c) 5 √ 3r3 16 3 √ 3r3 8 7 √ 3r3 d) 16 e) √ 3r3 2 30° 60° e) 27 cm3 36. temos um paralelepípedo retângulo e são conhecidos os ângulos que duas das diagonais de duas faces adjacentes formam com arestas da base e o comprimento da diagonal da face superior. é retirado um setor de ângulo central igual a 120°. O exterior da cúpula será restaurado ao custo de R$ 800.00 por metro quadrado. a) 3. bola oficial da Copa do Mundo de 2010. Qual o volume do paralelepípedo? 35. O plano b é paralelo a a e contém O. Se o aquário fosse apoiado sobre a face de dimensões 20 cm 3 30 cm. sabendo-se que a mistura atingiu a altura máxima de 12 cm no filtro e que o volume do resíduo do pó de café 15 que ficou no filtro era de 28p cm3. (UF-PB) Para fazer seu cafezinho. A área da base dessa pirâmide é: a) 156. Se dois planos a e b são paralelos a uma reta r. Nessa situação. 44. sobre um plano. então as retas são paralelas. Se a altura da pirâmide mede 6 cm. em seguida. (UF-PE) Uma pirâmide hexagonal regular tem a medida da área da base igual à metade da área lateral.73. em cm3.52 m2 c) 150. o nível da água ficou a 25 cm de altura. b) somente as proposições II e III são falsas. formando uma região de área igual a 25 m2. 42. II. Nesse contexto. então a reta está contida neste plano. IV. a altura da água. Se duas retas r e s são concorrentes. c) somente as proposições I e IV são verdadeiras.00 m2 e) 225. José colocou sobre uma mesa um aquário de acrílico em forma de paralelepípedo retângulo. com diâmetro e altura medindo 15 cm e 18 cm respectivamente. Se as projeções ortogonais de duas retas. • o filtro tem a forma de um cone circular reto. considere: • o recipiente tem a forma de um cilindro circular reto. mantendo-se o mesmo volume. então elas possuem um único ponto em comum. assinale o inteiro mais próximo do volume da pirâmide.25 m 2 45. (UF-RN) Como parte da decoração de sua sala de trabalho. d) todas as proposições são falsas.Matemática Volume Único p 2 5p b) 3 p c) 3 2p 3 4p e) 3 um recipiente. c) 33 cm. (UF-AM) Uma piscina tem a forma e as medidas conforme a figura a seguir: 3x + 9 d) 125. é correto afirmar que. despeja essa mistura em um filtro de onde o café escoa para 63 Ilustrações: Fernando Monteiro .3 cm b) 4 cm c) 3 cm d) 5. (UE-MA) Uma pirâmide regular de base hexagonal tem altura igual a 5 m e é interceptada por um plano paralelo a sua base a uma distância de 2 m de seu vértice. (UF-AM) Considere as seguintes proposições: I. dona Severina ferve a água e o pó de café juntos.00 m2 43. conforme a figura abaixo. b) 17 cm. 9–x x+3 x+1 x+3 3x A aplicação polinomial que melhor representa o volume desta piscina é: 51 2 45 a) V(x) 5 9x3 1 x 1 x15 2 2 45 2 b) V(x) 5 9x3 1 x 1 36x 1 3 2 45 81 c) V(x) 5 3x3 1 30x2 1 x1 2 2 81 3 2 d) V(x) 5 3x 1 30x 1 6x 1 2 51 2 81 3 x 1 63x 1 e) V(x) 5 3x 1 2 2 46. e) todas as proposições são verdadeiras. com diâmetro e altura medindo 12 cm e 20 cm respectivamente. Dado: use a aproximação √ 3  1. Com o aquário apoiado sobre a face de dimensões 40 cm 3 20 cm. a) 16 cm. 18 o café atingiu uma altura de pelo menos: a) 6. III. no recipiente. d) 35 cm. Podemos afirmar que: a) somente as proposições I e II são falsas. são paralelas. com dimensões medindo 20 cm 3 30 cm 3 40 cm. Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano.00 m 2 b) 165. seria de. aproximadamente.5 cm e) 2 cm 12 20 a) d) 41. então a é paralelo a b. a) 1. b 33. b 40. c 42. c 12. 08 e 16 11. a 32. a 30. b 29. são corretas: 2 e 16 10. d 9.25 m b) R$ 170. d 34. a) 18 cm p ( 10 ) 2. 3 19. e 46. d b) (a3 ? √2 ) 17. 1. 02. 7. d 4. c 26. a 37. b 15. b 23. e 41. a) 2a2 ? √3 3 (a ? √6 ) c) 3 16.7 m 22. d 31. a) 400 da espécie A e 200 da espécie B. d 6. a 44.Geometria espacial Geometria espacial respostas 1. a) √ 4 9 b) 16 (36 1 p) cm2 b) r 5 3 ( √p2 ) cm 2p c) (3 √3 ) 64 21. b 24. e 28. b 14. 83. e 39. d 13. a) 16p cm3 b) p ? x 3 18. e 38.04 cm3 3. d 27. d 25. são corretas: 01. e 45. c 64 .44 m2 20.00 180 c) 20p2 1 p 5. 04 1 08 5 12 7. e 36. d 35. a 43. b) 3 m 3 3 m 3 2 m 8. em média. na FATEC-SP. Cada palavra da frase acima é colocada em uma urna. Sorteando-se. (Mackenzie-SP) Eu vou ser aprovado no vestibular do Mackenzie. Para compor um trecho de três notas mu65 . (UF-RS) Uma urna contém bolas numeradas de 1 até 15. probabilidade e binômio de Newton 1. sendo 18 rapazes. Para participar de um debate serão escolhidos aleatoriamente dois alunos. Sites Google Yahoo Microsoft Outros Total Buscas 21 000 2 700 800 5 500 30 000 De acordo com esses dados. Nessas condições.Matemática Volume Único Análise combinatória. um de cada turma. duas palavras. Retirando-se da urna 3 bolas. são realizadas. sucessivamente. A tabela a seguir apresenta a distribuição desse total entre os maiores sites de busca. e uma turma de 36 alunos de Análise de Sistemas. sem reposição. (PUC-RS) Uma melodia é uma sequência de notas musicais. (UF-CE) O símbolo  n  indica a combinação de n  k objetos k a k. site de buscas na internet criado há onze anos. a probabilidade de que sejam escolhidos uma moça e um rapaz é: 29 81 d) a) 60 160 47 183 b) e) 96 360 73 c) 144 6. a probabilidade de a soma dos números que aparecem nessas bolas ser par é: a) 1 13 6 b) 13 28 c) 65 31 65 33 e) 65 d) 4. sem reposição. (UF-RS) O Google. a probabilidade de pelo menos uma das palavras sorteadas ter mais do que 4 letras é: 9 5 d) a) 14 15 6 21 b) e) 56 56 5 c) 14 7. (Fatec-SP) Admita que. Na rede mundial de computadores. O valor de x2 2 y2 quando x 5 420 ? ∑  20  ?  3  e y 5 520 ? ∑  20  ?  2          k50  k  k50  k   4  5 é igual a: a) 0 b) 21 c) 25 d) 225 e) 2125 20 k 20 k 5. sendo 24 moças. (Ita-SP) A expressão (2 √ 3 1 √ 5 ) 2 (2 √ 3 2 √ 5 ) é 5 5 igual a: a) 2 630 √ 5 b) 2 690 √ 5 c) 2 712 √ 5 d) 1 584 √ 15 e) 1 604 √ 15 8. a cada segundo. se duas pessoas fazem simultaneamente uma busca na internet. usa um modelo matemático capaz de entregar resultados de pesquisas de forma muito eficiente. (FGV-SP) Se n 2 1 n 2 1 n2 2 n .  1 5 2  5   6  então n é igual a: a) 4 b) 6 c) 9 d) 5 e) 8   2. a probabilidade de que pelo menos uma delas tenha usado o Google é a) 67% b) 75% c) 83% d) 91% e) 99% 3. 30 000 buscas. há uma turma de 40 alunos de Logística. b) de modo que cada casal fique junto. Calcule de quantas maneiras eles podem sentar-se nas poltronas: a) de modo arbitrário. 2 1 1 da marca B é de . é de .00 à vista? Explique sua resposta. a probabilidade de ser devorada por 1 predadores é . a probabilidade de uma 40 ave dessa população. ele resgatou integralmente a aplicação. Suponha que. um músico pode utilizar as sete notas que existem na escala musical. e. de quantas maneiras distintas podem ser escolhidos os 5 consultores? b) Durante os testes realizados. resolveram participar do processo de licitação. a probabilidade de 1 ser devorada por predadores é . Os técnicos concluíram que a probabilidade de que ocorra 1 um problema em computadores da marca A é de . e que aij 5 i 2 j 1 1 para os elementos em que j < i. calcule a probabilidade de que o determinante dessa matriz não seja nulo. 11. b) Suponha. que aij 5 0 para todo elemento em que j . ser de um animal estar doente é devorada por predadores é de: a) 1.Análise combinatória. 10.00 numa aplicação bancária que rendeu juros compostos de 1% ao mês.4% c) 4. c) de modo que todos os homens fiquem à esquerda ou todos os homens fiquem à direita de todas as mulheres. 25 Quando uma ave está doente. sendo um da marca A e outro da marca B. Para decidir qual marca comprar. O montante resgatado é suficiente para que Poupêncio compre um computador de R$ 2 490. Supondo também que não há nenhuma informação adicional sobre A.4% e) 2. (UFU-MG) O Programa Nacional de Tecnologia Educacional do MEC financia e instala laboratórios de informática nas escolas públicas de Educação Básica. (Unicamp-SP) Considere a matriz A 5 a21 a22 a23 . e. sem restrições. (UF-CE) Poupêncio investiu R$ 1 000.0% b) 2. responda às seguintes perguntas: a) Se o MEC deseja designar 5 consultores técnicos para compor a equipe de testes. 66 B A Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os lados dos triângulos. Determine a matriz A. sendo que 10 são consultores júnior e 5 são consultores sênior. por cem meses seguidos. sendo que 3 são consultores júnior e 2 são consultores sênior. o MEC tenha a sua disposição 15 consultores técnicos.    a31 a32 a33  cujos coeficientes são números reais. uma equipe de consultores técnicos testou as duas marcas durante uma semana. O número de melodias diferentes possíveis de serem escritas é: a) 3 b) 21 c) 35 d) 210 e) 5 040 12. 4 100 Com base nestas informações. qual a probabilidade de que nenhuma marca tenha apresentado problema? 9. probabilidade e binômio de Newton sicais sem repeti-las. (UE-RJ) Uma rede é formada de triângulos equiláteros congruentes. Decorrido esse prazo. A−1. i. Dois fabricantes de computadores. 14. a probabilidade 1 . quando não 4 está doente. percorrendo X cami- . Portanto.5%  a11 a12 a13  13. (UF-PR) Em uma população de aves. a) Suponha que exatamente seis elementos dessa matriz são iguais a zero. escolhida aleatoriamente. em ambas. agora.0% d) 3. no processo de licitação para a compra dos computadores destinados aos laboratórios. e calcule sua inversa. (UF-ES) Três casais devem sentar-se em 8 poltronas de uma fileira de um cinema. nesse caso. conforme a representação abaixo. Para atender às condições de reposição das aulas. 15. a probabilidade de os dois nomes sorteados serem do sexo feminino é de: 10 21 7 b) 21 2 c) 5 a) 5 7 5 e) 14 d) 20. (UE-RJ) Ao refazer seu calendário escolar para o segundo semestre. Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os comprimentos desses caminhos. Nesta situação. abacaxi e melão. 5C7X2P8). e de 50%. Sabendo que são disponibilizados 26 letras e 10 algarismos. C E3 E4 B E6 E5 D Figura I E2 A B 0. As peças são numeradas. qual é a probabilidade. . com a condição de que não fossem utilizados 4 sábados consecutivos. laranja. O melhor trajeto para Paula é a) E1E3 b) E1E4 c) E2E4 d) E2E5 e) E2E6 67 18. uma caixa contém pequenas peças de mesma forma.5 0. (FGV-SP) As saladas de frutas de um restaurante são feitas misturando pelo menos duas frutas escolhidas entre: banana.4 D Figura II 0. Para definir os dois primeiros candidatos que irão iniciar a competição. Quantos tipos diferentes de saladas de frutas podem ser feitos considerando apenas os tipos de frutas e não as quantidades? . a partir de uma urna contendo fichas com os nomes de todos os candidatos. Cada número indicado na figura II representa a probabilidade de pegar um engarrafamento quando se passa na via indicada. (Enem-MEC) A figura I abaixo mostra um esquema das principais vias que interligam a cidade A com a cidade B. e seus números formam uma progressão aritmética: 5. 500 Se retirarmos ao acaso uma peça da caixa. sem reposição. todos distintos. maçã. o número total de conjuntos distintos que podem ser formados contendo 4 sábados é de: a) 80 b) 96 c) 120 d) 126 17. uma escola decidiu repor algumas aulas em exatamente 4 dos 9 sábados disponíveis nos meses de outubro e novembro de 2009. o número de senhas distintas que podem ser confeccionadas é: a) 66 888 000 b) 72 624 000 c) 78 624 000 d) 84 888 000 Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B usando exatamente duas das vias indicadas. sendo quatro algarismos e três letras maiúsculas. quando se passa por E3. (Unemat-MT) Em uma competição há sete candidatos. X equivale a: a) 20 b) 15 c) 12 d) 10 a) 26 b) 24 c) 22 d) 30 e) 28 19..7 E1 0. de obtermos um número maior que 101? b) Explique por que podemos afirmar que 101! 1 19 não é um número primo. Assim.Matemática Volume Único nhos distintos. percorrendo um trajeto com a menor probabilidade de engarrafamento possível. cujos comprimentos totais são todos iguais a d.8 16.6 0. Essas probabilidades são independentes umas das outras.. efetuam-se dois sorteios seguidos. (FGV-SP) a) Em um laboratório. intercalando algarismos e letras (por exemplo. (UE-CE) A senha de um cartão eletrônico possui sete caracteres.. expressa em porcentagem. passando pela estrada E4. 10. há uma probabilidade de 30% de se pegar engarrafamento no deslocamento do ponto C ao ponto B. 15. tamanho e massa.3 A C 0. dois do sexo masculino e cinco do sexo feminino. Além disso. . probabilidade e binômio de Newton 21. Há alguns anos. Nesse sistema. Nessa nova versão. Thinkstock/Getty Images 22.0 38.0 37. para que as informações migrem de um computador para outro. Embora não fosse uma informação científica. Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calçado maior que 36. A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma das cidades. um sistema de endereçamento denominado IPv4 (Internet Protocol version 4) é usado.0. Um novo sistema está sendo proposto: o IPv6. (UF-RJ) Um ponto M é selecionado ao acaso no interior de um círculo C de raio 2 e centro O. Por exemplo. 28 2 1]. E e F nesta ordem. conforme apresentado. Por exemplo.5 e. localizados em cidades diferentes da sua.0. Cada campo. (Enem-MEC) O diretor de um colégio leu numa revista que os pés das mulheres estavam aumentando. é um número inteiro no intervalo [0. constrói-se um quadrado. visitando as cidades B. 216 2 1]. hoje. Ele gasta 1min30s para examinar uma sequência e descartar sua simétrica. o endereço IPv4 do servidor WEB da UFF é 200. por sua vez. cada endereço é constituído por oito campos e cada campo é um número inteiro no intervalo [0. também centrado em O.0 é: a) b) c) 1 3 1 5 2 5 d) e) 5 7 5 14 24. ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes.20.0. pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo.0 1 10 3 5 6 Examinando a figura.0 36. 68 a) o número de endereços diferentes no sistema IPv6 é o quádruplo do número de endereços diferentes do sistema IPv4. (UFF-RJ) Muitos consideram a Internet como um novo continente que transpassa fronteiras geográficas e conecta computadores dos diversos países do globo.Análise combinatória. percebe que precisa considerar somente parte das sequências. o número indicado entre as letras informa o custo do deslocamento entre as cidades. B A 6 4 5 C 6 8 9 12 3 2 6 7 10 8 D 13 F 5 E Com base nessas informações. Calcule a probabilidade de que o quadrado assim construído esteja inteiramente contido no círculo C. é correto afirmar que: Como João quer economizar.0 35. cada endereço é constituído por quatro campos separados por pontos. a probabilidade de ela calçar 38. O tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis no problema é de a) 60 min b) 90 min c) 120 min d) 180 min e) 360 min 23. obtendo o quadro a seguir: Tamanho dos calçados Número de funcionárias 39. Atualmente. ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio. (Enem-MEC) João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes. o trajeto ABCDEFA informa que ele saíra da cidade A. que tem M como ponto médio de um de seus lados. Em seguida. Cada trajeto possível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. voltando para a cidade A.21. D. C. é de 37. a média do tamanho dos calçados das mulheres era de 35. aproximadamente 10 000 foram vacinados contra o vírus H1N1. Qual é a probabilidade de que b seja sucessor de a ou que c seja sucessor de b? a) b) c) d) e) 4 27 11 54 7 27 10 27 23 54 27. a) O time A sempre vence os times B. (Fuvest-SP) Um dado cúbico. candidataram-se 23 pessoas: oito para a função de limpeza. Ao inserir uma moeda na máquina. Em cada lançamento. Além disso. denominados A. apresentados no quadro a seguir. seis para a de entregador e duas para serviços gerais. d) o número de endereços diferentes no sistema IPv6 é o dobro do número de endereços diferentes do sistema IPv4. 8 times. C. b. a probabilidade de vitória do time B. formando-se uma sequência (a. serão divididos aleatoriamente em 4 grupos de 2 times. c) existem exatamente 232 endereços diferentes no sistema IPv4. Além disso. F. E. (UF-PR) Em uma cidade de 250 000 habitantes. Para preencher essas vagas.Images/Glow Images 26. 1 é sempre igual a . número muito menor do que as autoridades de saúde previam. G e H. Ceará e Maranhão. C. (U. quando este enfrenta os times F. com faces numeradas de 1 a 6. sete para a de balconista. G ou 2 H. Qual é a probabilidade de o time A avançar à próxima fase? Para garantir a retirada de 4 bolas de uma mesma cor. determine o número total dessas possibilidades. é lançado três vezes. quatro para serviços de entregador e uma para serviços gerais. é sempre igual a . e a probabilidade de vitória 4 do time B.F. uma bola é expelida ao acaso. D ou E. e) existem exatamente (28 2 1)4 endereços diferentes no sistema IPv4. Em cada grupo. D e E. b) Já sabemos que o time B sempre perde para o time A. Juiz de Fora-MG) Nas quartas de final de um campeonato de futebol. o time A sempre perde dos times F. D. Se tomarmos aleatoriamente 50 habitantes dessa cidade. (UE-RJ) Uma máquina contém pequenas bolas de borracha de 10 cores diferentes. Qual é 69 . os 2 times se enfrentam sem possibilidade de empate. Qual é a probabilidade de 3 o time B avançar à próxima fase? 28. (UE-GO) Na cantina “Canto Feliz”. quando este enfrenta os times C. quantos deles se espera que tenham sido vacinados contra o vírus H1N1? a) 2 habitantes b) 6 habitantes c) 8 habitantes d) 12 habitantes e) 15 habitantes 29.Matemática Volume Único b) existem exatamente 4 ? (28 2 1) endereços diferentes no sistema IPv4. O perdedor é eliminado e o vencedor avança para a próxima fase. surgiram as seguintes vagas de trabalho: duas para serviços de limpeza. sendo 10 bolas de cada cor. não viciado. o menor número de moedas a serem inseridas na máquina corresponde a: a) 5 b) 13 c) 31 d) 40 30. 25. cinco para serviços de balcão. G e H. Considerando todas as possibilidades de seleção desses candidatos. Observe a ilustração: INB . (UF-PI) Considere os resultados da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas – 2008 e os números de medalhas dos alunos do Piauí. B. c). anota-se o número obtido na face superior do dado. a) qual a quantidade máxima de fotos diferentes que podem ser tiradas. mA 1 7 20 28 Pi 1 8 20 29 Totais 21 46 87 35. 2. Mantendo-se os pais à frente dos filhos. (UF-MG) Cinco times de futebol. com relação à ordem de localização das pessoas na foto? b) dentre as diferentes fotos obtidas. (UF-PE) No desenvolvimento binomial de 1 1 quantas parcelas são números inteiros? 1 3 10 . (UF-PE) Um escritório tem 7 copiadoras e 8 funcionários que podem operá-las. será lançado por Cristiano e. a) 90 b) 92 c) 94 d) 95 e) 102 36. Se uma telha foi entregue com defeito. por Ronaldo. depois. com faces numeradas de 1 a 6. qual a probabilidade do pai estar à esquerda da mãe e o menino ficar entre as duas meninas? 37. uma foto foi “tirada” com os filhos em pé e os pais sentados à frente dos filhos. De quantos modos uma pessoa pode sair da cidade A e chegar à cidade B. probabilidade e binômio de Newton a probabilidade de se escolher dentre esses alunos um que seja do Piauí. um dado. No aniversário de casamento dos pais. Suponha que 96% das telhas compradas de A são entregues sem defeito. Se. sendo operadas por funcionários diferentes) 5 trabalhos idênticos neste escritório. dado que ele tenha recebido medalha de prata? CE ouro Prata Bronze Totais 19 31 47 97 34. (UF-MG) Numa brincadeira. (UF-PE) Um construtor compra 60% das suas telhas da Companhia A e o restante da Companhia B. e o código pode começar com o dígito 0). Indique p. CALCULE a probabilidade de não haver vencedores consecutivos durante a realização das oito edições desse torneio. Com base nessas informações. de igual excelência. duas meninas e um menino. Calcule o número m de maneiras de se copiar simultaneamente (em máquinas distintas. Z e B estão interligadas por rodovias indicadas conforme a figura a seguir. X. nos dois lançamentos. 70 38. Será considerado vencedor aquele que obtiver o maior número como resultado do lançamento. 33. CALCULE a probabilidade de um mesmo time vencer as duas primeiras edições desse torneio. Quantos são os códigos de abertura com pelo menos um dígito 7? a) 468 559 b) 468 595 c) 486 595 d) 645 985 e) 855 964 32.Análise combinatória. Indique a soma dos dígitos de m. CALCULE a probabilidade de Cristiano ser o vencedor. vão disputar oito edições seguidas de um torneio anual. (UF-AM) As cidades A. 2. . (UE-PI) O código de abertura de um cofre é formado por seis dígitos (que podem se repetir. Considerando essa informação: 1. (UF-RN) Uma família é composta por cinco pessoas: os pais. CALCULE a probabilidade de ocorrer um empate. calcule a probabilidade percentual p% de ter sido entregue pela Companhia A. for obtido o mesmo resultado. passando apenas uma vez por cada cidade em cada caminho escolhido? Fernando Monteiro a) b) c) d) e) 8 29 31 29 29 46 8 31 8 46 31. e o mesmo ocorre com 98% das telhas de B. Y. ocorrerá empate. 1. Por exemplo. que é muito maior a frequência de dados cujo primeiro dígito (à esquerda) é 1 do que a frequência de dados cujo primeiro dígito é 9. (UF-RN) De um grupo de cinco homens e quatro mulheres. dois papéis serão retirados da urna. c) seis vezes a probabilidade de ocorrer em dois dias distintos. que será colocado numa urna. De acordo com essas informações.Matemática Volume Único 39. d) um sexto da probabilidade de ocorrer em dois dias distintos. D 40. Em duas semanas consecutivas. existem 1 619 municípios cuja população é expressa por um número iniciado por 1 (por exemplo: Goiânia. b) um terço da probabilidade de ocorrer em dois dias distintos. na série de população dos 5 565 municípios brasileiros publicada pelo IBGE em 2009.3 71 . a probabilidade de a visita ocorrer no mesmo dia da semana é a) três vezes a probabilidade de ocorrer em dois dias distintos. Esse fato é conhecido como lei de Benford. (UF-RN) Um empresário contribui financeiramente para uma instituição filantrópica e a visita semanalmente. para uma série de dados que satisfaz a lei de Benford. 92 832 habitantes). qual é a probabilidade de se ter o primeiro dígito menor do que 5? Use log 2 5 0. e é expresso da seguinte maneira: em um conjunto de observações numéricas satisfazendo essa lei. a escolha será feita escrevendo-se o nome de cada um num pedaço de papel. (UF-GO) Observa-se empiricamente. Como todos merecem o prêmio. a probabilidade de que o primeiro dígito seja D. duas pessoas serão premiadas com uma viagem. Determine a probabilidade de as duas pessoas escolhidas serem homens. em diversas séries estatísticas quantitativas. sendo o dia da semana escolhido aleatoriamente. em que D pode assumir os valores inteiros de 1 a 9. 41. Sem nenhuma possibilidade de identificação prévia. extraindo um dado ao acaso. é dada por: PD 5 log 1 1 1 . enquanto em apenas 209 municípios a população é expressa por um número iniciado por 9 (por exemplo: Itumbiara. 1 281 975 habitantes). 70% 72 . a 16. 17 640 29. a 4. d 9. d 36. a) 20 160 b) 480 c) 2 016 14. pois um dos fatores de 101! é igual a 19. c 30. a soma dos dígitos é 9. d 21. d 6. d 41. Logo. o montante resgatado será suficiente para comprar o computador de R$ 2 490. probabilidade e binômio de Newton respostas 1. 20. a 26. 1)  1 0 5  22 1   1 22 0 0 1     b) A 32. c 27. b 8. a) 1 200 b) 26% 33. (11 0. a 37. a) 4 7 11 b) 28 28. b 23. probabilidade e binômio de Newton Análise combinatória. a 3. c 17.01)100 . 141 120 maneiras. a 19. 34. e 1 6 5 2) 12 1 6 10. 2 495 Para verificar essa afirmação. e 2. a) 12 b) 12. b 15. a) 1 14 21 31. a 5. d 11. e 7. a) 80% b) Observe que 101! 1 19 é múltiplo de 19. c 18.Análise combinatória. 2 39. 75 35. c 25.00. 5 18 40. 1) 1 5 7 13. d 22. 50% 24. 2) 4 5 38. some os três primeiros termos do desenvolvimento do binômio. 14. 1).04 d) 14 e 113. 21). (U.04 e) 14 e 153. o diâmetro de cada disco e a área da massa utilizada para confeccionar cada pastel são. Reta diretriz: y 5 1 e) Vértice: (0. Londrina-PR) O vértice. 22). Reta diretriz: 2 d) (x 2 6)2 1 y2 5 9 e) x2 1 (y 2 3)2 5 9 1 y52 2 c) Vértice: (0.F. (U. 5). (UF-PA) Conhecendo as coordenadas de três pontos A(0. y52 1 4 1 . 1 . 0).F. y 4. uma progressão aritmética. o foco e a reta diretriz da parábola de equação y 5 x são dados por: 2 a) Vértice: (0. nesta ordem. B A C x 5. (PUC-RJ) Calcule a área do triângulo de vértices A 5 (1. 0). (Udesc-SC) Analise as afirmações dadas a seguir. 5). respectivamente: a) 7 e 113. (Ita-SP) Considere a parábola de equação y 5 ax2 1 1 bx 1 c. 2) e tal que a. 0). Determine também o ponto de tangência. depois de esticada. Reta diretriz: y 5 21 d) Vértice: (0. Reta diretriz: y 5 22 6. 0).86 c) 12 e 113. Santa Maria-RS) A massa utilizada para fazer pastéis folheados. 0) e C(21.04 b) 7 e 153. (21. (PUC-RJ) Dadas a parábola y 5 x2 1 x 1 1 e a reta y 5 2x 1 m: a) Determine os valores de m para os quais a reta intercepta a parábola. 2). encontre a coordenada do centro da circunferência que contém os três pontos. Foco: 0. 73 . 3. B(3. b) Determine para qual valor de m a reta tangencia a parábola.Matemática Volume Único Geometria analítica 1. Sabendo que a equação matemática da circunferência que limita o círculo é x2 1 y2 2 4x 2 6y 2 36 5 0 e adotando p 5 3. é recortada em círculos (discos) de igual tamanho. 2). classifique-as como verdadeiras (V) ou falsas (F). Foco: (0. c formam. b. Determine a distância do vértice da parábola à reta tangente à parábola no ponto (2. Foco: (0. (U. 2). Reta diretriz: 4 Com base nessas informações é CORRETO afirmar que a equação da circunferência que passa em B e tem centro em A é: a) (x 2 6)2 1 y 5 45 b) x2 1 (y 2 6)2 5 9 c) x2 1 (y 2 6)2 5 45 b) Vértice: (0. Foco: 0. Foco: (0.E. 0). 1). y A a) 5 2 b) 3 7 2 d) 4 c) e) 9 2 B x 8. que passa pelos pontos (2.86 2. Pelotas-RS) O gráfico a seguir representa a função: f(x) 5 x2 2 5x 1 6. 4) e C 5 (4. 7. B 5 (2. Determine o raio dessa circunferência. 01) A área do quadrado vale 50 u. a) V – V – V b) V – V – F c) F – V – F d) F – F – V e) V – F – F 13. II.943. os postes de iluminação projetam sobre a rua uma área iluminada na forma de uma elipse de excentricidade 0. (Vunesp-SP) A figura mostra a representação de algumas das ruas de nossas cidades. a) Determine a equação da reta que contém a diagonal AC. c) Calcule a área da região A  B.889 e √ 0. assinale o que for correto. 2).c. separadas por uma pista de 7 m de largura. 14. entre dois postes consecutivos deverá ser de aproximadamente: Dado: 0. 11. (UF-CE) Considere as seguintes regiões do plano cartesiano xOy: A 5 {P(x. de cima para baixo.Geometria analítica ( ) A equação x2 2 2x 1 y2 1 2y 1 1 5 0 representa uma circunferência que é tangente tanto ao eixo das abscissas quanto ao eixo das ordenadas. 21) e (25. em metros. Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem nas extremidades dos eixos maiores. (Unifesp-SP) Num sistema cartesiano ortogonal. 9. 12. y). –2). B(3. 16) As diagonais do quadrado se interceptam no ponto (1. 08) A reta suporte da diagonal BD tem equação 4x 1 3y – 10 5 0. que divide o paralelogramo ABCD em dois polígonos de mesma área. b) Identifique e esboce graficamente a região B. C(6. 2). paralela à reta r. Vamos admitir que: I. 04) A circunferência que circunscreve o quadrado tem raio igual a 5 u. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente abaixo da lâmpada. C(4.a.111  0. Essas ruas possuem calçadas de 1. 1). terá por equação: a) 3x 2 5y 2 5 5 0 b) 3x 2 5y 5 0 c) 6x 2 10y 2 1 5 0 d) 9x 2 15y 2 2 5 0 e) 12x 2 20y 2 1 5 0 ( ( Assinale a alternativa que contém a sequência correta. y). 3) e D(2. ) A elipse de equação 9x2 1 4y2 5 36 intercepta a hipérbole de equação x2 2 4y2 5 4 em apenas dois pontos. perpendicular à calçada. 0 < y < x < 4}.9432  0. 0). no meio da rua. vértices de um paralelogramo. b) Determine a equação da reta que contém a diagonal BD. B(–2. 5) são vértices de um quadrado ABCD. 3). (3. (UF-RJ) Os pontos (26. de equação r: 3x 2 5y 2 11 5 0.333 Fernando Monteiro 10.5 m de largura. a) Identifique e esboce graficamente a região A. tem exatamente a largura da rua (calçadas e pista). (UF-CE) Um losango do plano cartesiano Oxy tem vértices A(0. y D C a) 35 b) 30 r A B c) 25 d) 20 e) 15 x 74 . são dados os pontos A(1. 02) O vértice D tem coordenadas (4. III. o eixo menor da elipse. 6) e C(5. x2 1 y2 2 4x 2 4y 1 4 < 0} e B 5 {P(x. B(5. –1).E. que são os vértices da hipérbole. e a reta r. c) Encontre as coordenadas do ponto de interseção das diagonais AC e BD. 0). 25) pertencem a uma circunferência. 3) e D(1. 1). (U. a distância. 3). A reta s. ) O semieixo maior da elipse 9x2 1 4y2 5 36 é paralelo ao eixo real da hipérbole x2 2 4y2 5 4. Ponta Grossa-PR) Sabendo que os pontos A(–3. 00 e o de B é R$ 30. A soma das coordenadas de P é: 22 2 a) 10 b) 10. (UF-CE) Em um sistema cartesiano de coordenadas. metron. como o gráfico da função y 5 |x| y 16. Nessas condições. (Cefet-SC) Dada a figura abaixo cujas medidas estão expressas em centímetros. d) um par de pontos. e o segundo. o conjunto dos pares (x. 21. C. significa “em torno de”. determine a) as coordenadas dos pontos A. O preço por unidade de A é R$ 20. (FGV-SP) Dionísio possui R$ 600. Admite-se que as quantidades x e y sejam representadas por números reais não negativos e sabe-se que ele pretende gastar no máximo R$ 300.00 com o produto A. 5) é: a) 10 1 √ 29 1 √ 26 b) 16 1 √ 29 1 √ 26 c) 22 1 √ 26 d) 17 1 2 √ 26 e) 17 1 √ 29 1 √ 26 C B D O A x 17.Matemática Volume Único 15. 0). A área desse triângulo é a) 22 b) 24 c) 25 d) 26 e) 28 19. D de interseção da circunferência com o gráfico da função. (8. 5) e (1. bem √8 .5 c) 11 d) 11. representados no plano cartesiano. 2 18. perí. b) um par de retas perpendiculares. (Fuvest-SP) No sistema ortogonal de coordenadas cartesianas Oxy da figura.00. (FGV-SP) A representação gráfica da equação (x 1 1 y)2 5 x2 1 y2 no sistema cartesiano ortogonal é: a) o conjunto vazio. (UFF-RJ) A palavra “perímetro” vem da combinação de dois elementos gregos: o primeiro. O perímetro do trapézio cujos vértices têm coordenadas (21. (9. que é o máximo que pode gastar consumindo dois produtos A e B em quantidades x e y respectivamente. (UF-RS) Os pontos de interseção do círculo de equação (x 2 4)2 1 (y 2 3)2 5 25 com os eixos coordenados são vértices de um triângulo. 0).5 e) 1 22 75 . b) a área do pentágono OABCD. (FGV-SP) Dada a circunferência de equação x2 1 y2 2 2 6x 2 10y 1 30 5 0. B. e) um círculo.00. seja P seu ponto de ordenada máxima. determinam uma região cuja área é: a) 195 b) 205 c) 215 d) 225 e) 235 Nessas condições. significa “medida”. estão representados a circunferência de centro na origem e raio 3. o valor positivo de b tal que a reta y 5 x 1 b é tangente ao círculo de equação x2 1 y2 5 1 é: a) 2 b) 1 c) d) 1 √2 e) 3 √2 22. c) um ponto. 20. y) possíveis. calcule a área do triângulo CAB. no sentido positivo. Assim. b) Determine a área do triângulo de vértices A. 2). Supondo que B é o ponto (2. y 23. (Unicamp-SP) No desenho a seguir. considere os pontos A(4.a. indicado na figura acima. y 3 2 1 A O 1 2 3 4 x D C B r 27. 0) e a reta que passa por B e C são perpendiculares. assinale a alternativa correta: a) Apenas as proposições I e III são verdadeiras. é uma circunferência de área 4p cm². a reta y 5 ax (a . 0). III. esta reta intersecta S nos pontos A e C. II.a. a) Determine as coordenadas do ponto C em função de a.Geometria analítica e as proposições: I. c) Apenas a proposição III é verdadeira. y D C A C B x A y5 ax a) Sabendo que A 5 (8. B e C. com centro C sobre o eixo x e diâmetro de 10 unidades. d) Apenas as proposições II e III são verdadeiras. 24. 1). resolva as questões que se seguem. pode-se afirmar: 01) O triângulo BCD é equilátero. 4 C2 x representa a reta r. C1 16) A imagem do ponto C pela reflexão em relação à reta r é o ponto de coordenadas (4. 3 3 64) A imagem do ponto D pela rotação de 45º em torno da origem do sistema. e) Apenas a proposição II é verdadeira. 02) A área do setor circular hachurado é igual a 04) A equação y 5 p u. a) Determine os pontos A. determine as coordenadas do ponto A e a equação da circunferência com centro em A e tangente ao eixo x. C(4. interceptando-se em A. b) Apenas as proposições I e II são verdadeiras. r intersecta S nos pontos A e B. no qual a reta r intercepta a circunferência. é uma circunferência de equação x² 1 y² 5 4. agora. 4) e que r: 3y 1 x 5 20 é a reta que passa por A e B. (UFU-MG) No plano cartesiano. B e C. que a 5 3. Considerando uma nova reta h. descrita pela equação cartesiana y 5 x 1 1. 3) e D(3. b) Encontre as coordenadas do ponto D. Considerando as proposições apresentadas. 32) A imagem do triângulo OAB pela homotetia de 1 4 razão é um triângulo de área u. e a reta r mede 30º. 25. 0). considere o círculo S descrito pela equação cartesiana x2 1 y2 5 5 e a reta r descrita pela equação cartesiana y 5 2x. (UF-TO) Considere as equações das circunferências: C1: x2 2 2x 1 y2 2 2y 5 0 C2: x2 2 4x 1 y2 2 4y 5 0 cujos gráficos estão representados abaixo: y Com base nessa informação. (UF-BA) Na figura. 2 08) O ângulo entre o eixo Ox. b) Supondo. B(4. O B x 26. 3) e a reta r que passa pela origem do sistema de coordenadas e pelo ponto B. no sentido positivo. (UF-PR) A figura a seguir mostra uma circunferência tangente ao eixo y. é o ponto de coordenadas (0. 3). é uma circunferência de diâmetro 2 cm. 76 O x . a equação de reta paralela a s pelo ponto P(1. n). 5. uma circunferência. então P é interno à circunferência.4° N → 0. 23 ou a .6 20. com a  .2° O → 0. c) maior que 400 m e menor ou igual a 600 m. que são curvas fechadas representando a altitude da região. tais que no plano cartesiano xy. então P é externo à circunferência. 70.0 34.3° L De acordo com as orientações. com relação ao nível do mar. as equações (k 2 4)x 1 1 5y 2 5k 5 0 representam no plano cartesiano uma família de retas que passam pelo ponto fixo P(m. 5.1° S → 0.8 60.Matemática Volume Único A área da região hachurada é: a) 3p unidades de área. a reta y 5 x 1 b intercepta a elipse x2 1 y2 5 1 em um único ponto. 1) será: a) 2x 2 y 5 0 b) 2x 1 y 11 5 0 c) 2x 1 y 2 1 5 0 d) 2x 2 y 2 1 5 0 e) 2x 2 y 1 2 5 0 Um pequeno helicóptero usado para reconhecimento sobrevoa a região a partir do ponto X 5 (20. no eixo vertical.4 60. 77 31.2 20. 800 m 700 m 600 m 500 m 400 m 300 m 200 m X 20. c) 5p unidades de área. a). (UE-CE) Para valores reais de k. no eixo horizontal.0 20. e) maior que 800 m.2 100 m O S N L 30. a equação da circunferência é: a) x2 1 y2 1 (2 √ 10 )x 2 (2 √ 10 )y 1 10 5 0 c) x2 1 y2 1 (2 √ 10 )x 1 (2 √ 10 )y 1 10 5 0 d) x2 1 y2 2 (2 √ 8 )x 1 (2 √ 8 )y 1 8 5 0 e) x2 1 y2 2 4x 1 4y 1 4 5 0 b) x2 1 y2 1 (2 √ 8 )x 2 (2 √ 8 )y 1 8 5 0 √5 e) 22 √ 5 29.0 60. e) Se a . O helicóptero segue o percurso: 0. e a latitude. 60). tangencia os eixos x e y. então P pertence à circunferência. 23 ou a . então P é externo à circunferência. (Unemat-MT) Dada uma circunferência de centro C (3. p unidades de área. (Enem-MEC) A figura a seguir é a representação de uma região por meio de curvas de nível.8 21. b) maior que 200 m e menor ou igual a 400 m.4 20. A soma dos valores 4 de b é: a) 0 b) 2 c) 2 √ 5 d) 33.0 21. então P é interno à circunferência. Se a distância da origem ao centro da circunferência é igual a 4. (UF-TO) Considere  o conjunto dos números reais e b  . d) 6p unidades de área. 1) e raio r 5 5 e seja o ponto P(0. a . As coordenadas estão expressas em graus de acordo com a longitude. cujo centro se encontra no segundo quadrante. (Unemat-MT) Dada a equação de reta (s): 2x 2 y 1 1 1 5 0. b) p unidades de área. a . Encontre os valores de b. 5. O comprimento do segmento AV é igual a: a) 1 b) 2 c) √3 e) √ 2 d) √5 . A escala em tons de cinza desenhada à direita está associada à altitude da região. é correto afirmar: a) Se 23 .6 60.5° N → 0. uma reta de coeficiente angular 1 intercepta a parábola de equação y 5 5 x2 2 2x 1 4 nos pontos A e V. e) 2 32. d) Se a . c) Se a 5 5 ou a 5 23. b) Se 23 .2 60. o helicóptero pousou em um local cuja altitude é: a) menor ou igual a 200 m.8° L → 0. 5. sendo V o vértice da mesma. O valor de m 1 n é: a) 9 b) 11 c) 13 d) 14 28. d) maior que 600 m e menor ou igual a 800 m. (ESPM-SP) No plano cartesiano. (FGV-SP) No plano cartesiano. (UF-PI) Duas retas r e s do plano se interceptam no ponto (21. em tracejado na ilustração. esse pasto comportará 15 vacas e 15 bezerros? Justifique sua resposta. 39. no mínimo. 12) d) (25. 400 m2. Juiz de Fora-MG) No plano cartesiano. (UF-PR) Um balão de ar quente foi lançado de uma rampa inclinada.F. Fernando Monteiro 38. (UE-GO) Em uma chácara há um pasto que é utilizado para criar vacas e bezerros. 8) c) (24. o balão esticou uma corda presa aos pontos P e Q. 7) b) (22. ângulos agudos a e b. 78 40. com o eixo das abscissas. Esse pasto tem área de dois hectares. y) pertence à reta r e está no interior da circunferência λ. a figura abaixo descreve a situação de maneira simplificada. 15) 24 26 a) x2 1 y2 2 4y 1 5 5 0 b) x2 1 y2 2 4y 2 5 5 0 c) x2 1 y2 1 4y 1 5 5 0 d) x2 1 y2 1 4y 2 5 5 0 e) x2 1 y2 2 5y 1 4 5 0 36. a) De acordo com as observações técnicas. (UF-AM) A equação da reta t que passa pela origem e pelo ponto de interseção das retas r: y 2 3x 1 2 5 0 e s: y 1 x 2 2 5 0 é dada pela equação: a) t: y 1 2x 5 0 b) t: y 2 2x 5 0 c) t: y 1 x 5 0 d) t: y 2 x 5 0 e) t: y 5 0 37. s e o eixo das abscissas é a) 11 unidades de área b) 12 unidades de área c) 13 unidades de área d) 14 unidades de área e) 15 unidades de área . respeitando as observações técnicas. a) Determine todos os valores de x para os quais o ponto P 5 (x. Utilizando o plano cartesiano. que tem um diâmetro com extremos nas interseções da reta e da circunferência dadas? 6 4 2 22 0 22 2 4 6 8 Ao ser lançado. 13) e) (26. mantendo-se fixo no ar. da reta com equação x 2 y 1 2 5 0 e da circunferência que tem um diâmetro com extremos nas interseções da reta e da circunferência anteriores. indicado na figura. As coordenadas do ponto P. seja λ a circunferência de centro C 5 (3. b) Represente algébrica e graficamente as condições dessa situação. Se tg (a) 5 3 e tg (b) 5 2. 1 000 m2 e cada bezerro de. Observações técnicas indicam que cada vaca deverá ocupar uma área de. então: a) (21. Qual das alternativas a seguir é uma equação da circunferência. no mínimo. 5) e raio 4 e seja r a reta de equação y 5 2x 1 6.Geometria analítica 35. 6) e formam. (UF-AL) A figura a seguir ilustra os gráficos da circunferência com equação x2 1 y2 2 6x 1 2y 2 17 5 0. sendo que cada um corresponde a um quadrado de 100 metros de lado. respectivamente. uma possibilidade para a medida da área do triângulo formado por r. são. b) Encontre a equação cartesiana da circunferência λ1 concêntrica à circunferência λ e tangente à reta r. (U. O comprimento dessa viga é de 24 m e o comprimento da maior coluna de sustentação é de 8 m. Na figura a seguir. (Uneb-BA) Se (m. o eixo maior e menor da elipse. 5 a) TRACE. no plano coordenado abaixo. está o esboço do projeto proposto pelo arquiteto: uma praça em formato retangular medindo 80 m 3 120 m. n) são as coordenadas do centro da circunferência x2 1 2 √ 3x 1 y2 2 6y 1 7 5 0. é dada por: a) (x 2 12) 1 (y 1 5) 5 169 2 2 Estão destacados na figura os segmentos AC e BD. aproximadamente. as retas r e s. A seção transversal da cobertura de um desses armazéns tem a forma de um arco de cincunferência. 45. x17 . com relação ao sistema de eixos xy. (UF-MG) Considere as retas r. bem como os pontos F1 e F2. 24) determine as coordenadas de dois pontos. 1). onde deverá ser construído um jardim em forma de elipse na parte central. y 5 2x 1 11 e y5 y 7 6 5 4 3 2 1 21 0 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x respectivamente. se intersectam em um ponto C. de: a) 68 m b) 72 m c) 76 m d) 80 m e) 84 m b) (x 2 12)2 1 (y 2 7)2 5 193 c) (x 2 12)2 1 (y 2 6)2 5 180 d) (x 2 12)2 1 (y 1 6)2 5 180 e) (x 2 12)2 1 (y 2 5)2 5 169 43. 3). y 5 2x 2 4. respectivamente. 2) e (1. 10 m B 10 m 10 m F1 F2 C 8m C 24 m D A 80 m 10 m D 120 m Considerando um sistema cartesiano de eixos ortogonais xy. de modo que o segmento CP seja uma mediana do triângulo ABC. então (23m 1 √ 3n) é igual a a) 6 √ 3 b) 1 c) 0 d) 2 √ 3 e) 23 79 . B 5 r  y e C 5 s  t. de modo que não haja desperdícios por situações adversas. Assinale 4a 2 2b. s e t de equações. Com base nessas informações. (UF-PB) A secretaria de infraestrutura de um município contratou um arquiteto para fazer o projeto de uma praça. 46. b) CALCULE as coordenadas dos pontos de interseção A 5 r  s. os gráficos dessas três retas. (7. (UF-PB) O Governo pretende construir armazéns com o intuito de estocar parte da produção da safra de grãos. respectivamente. b) o ortocentro do triângulo com vértices nos pontos com coordenadas (5. 44. com origem no ponto C. de equações 2x 2 3y 1 3 5 0 e x 1 3y 2 1 5 0. (UF-GO) No plano cartesiano. Considerando o ponto P(0. é correto afirmar que a equação da circunferência que contém o arco CD da seção transversal do telhado. 42. conforme figura a seguir. que são os focos da elipse onde deverão ser colocados dois postes de iluminação. de modo que o semieixo x positivo esteja na direção CD e o semieixo y positivo apontando para cima. apoiado em colunas de sustentação que estão sobre uma viga. que são. conclui-se que a distância entre os postes de iluminação será. A  r e B  s. c) DETERMINE a área do triângulo ABC.Matemática Volume Único 41. (UF-PE) Seja (a. 48. conforme a figura abaixo. a) 16x2 1 9y2 1 96x 2 36y 1 36 5 0 b) 16x2 1 9y2 2 96x 1 36y 1 36 5 0 c) 9x 1 16y 2 36x 2 96y 1 36 5 0 2 2 1 2 1 4 c) 22. cujo modelo é uma parábola. (Uneb-BA) A reta 3x 1 4y 2 6 5 0 determina na circunferência x2 1 y2 2 2x 2 4y 1 1 5 0 uma corda de MN de comprimento igual. para construir essas antenas. utilizou como modelo a curva que passa pelos pontos de coordenadas (0. b) 2. Outro ponto que também pertence a essa curva tem coordenadas a) 3. (4. 1)..Geometria analítica 47. construída a partir de pontos dados. (UE-MA) A equação da circunferência com raio r 5 5 2 cm e que tem centro no ponto S de encontro das retas y 2 x 2 1 5 0 e y 1 x 2 3 5 0 corta o eixo y nos pontos A e B. 0). d) 21. (UF-AM) A equação da elipse cujo gráfico é mostrado na figura a seguir é dada por: Uma fábrica. em u. Dessa forma. sendo as medidas em centímetros. 1). a a) 6 b) 2 √ 3 c) 3 d) 2 √ 2 e) d) 9x2 2 16y2 2 36x 1 96y 1 36 5 0 e) 9x2 1 16y2 2 36x 1 96y 1 36 5 0 √3 80 Ilustrações: Fernando Monteiro . 1 2 1 4 50. (UF-RN) Na construção de antenas parabólicas. os fabricantes utilizam uma curva. (24. a distância entre os pontos A e B é: a) 3 √ 2 cm b) (2 1 √ 3 ) cm d) 2 cm e) 1 cm c) 2 √ 3 cm 49.c. a) y 7 6 2 24.2 14 7 3 4 37. x . c 22. d 30. 02. b) 7 1 2 √ 2 C(21. 1) 4. 5) x (V) 38. o número de vacas e o número de bezerros. a) C 0. y > 0 e 5x 1 2y < 100. e 32. a 2. a b) A(5. 5 9 2 .2 3 9 A região B é um triângulo retângulo isósceles cujos catetos medem 4.75x b) y 5 c) 2. b 11. 08 e 16. A 5 2 B5 28 47 e . a) y 5 0. b) Temos que: 0 < y < 4  0 < y < x < 4 ⇒ 0 < x < 4  y < x 4 C 4 y5x 1 x2 5 3 5 5 2 5 4 3 t 21 2 1 0 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C s x 26. 44. c 48. 2 √ 2 ). 4 2 4 5. a) 2 C b) A 1 3 . 13. a) 2 2 √ 7 . Devemos ter: x > 0. 21) b) 3 27. a 43. 2). B(1. a) A(1. d 28. São corretas: 01. a) A(2 √ 2. 5 12. 2) de raio igual a 2. c 81 . b 15. a 35. c 8. e 7. b 34. C(8. b 50. 2 √ 2 ) e D(22 √ 2. b 20. b 9. c 6. b 16. e 41. B(21. d 23. c) p ? 22 5 2p u. a 19. a) não b) Sejam x e y. d 31. 5 5 3 1 x2 5 2 r A 2 A região A é um círculo centrado em (2. d 18. 3) c) 9 u.a. 3.2 3 9 28 25 . a 47. 22) e C(22. a) m   | m > b) 3 1 7 . y (B) 50 √5 14. 2). 2 33. a 29. c 36. 2 1 √ 7 b) (x 2 3) 1 (y 2 5) 5 2 2 2 46. 24 42. B(3. 23 9 x1 4 2 3 2 20 21.a. respectivamente. São corretas: 02 e 04. a) 30 b) (5. e 49. 25. 6). d 40. 1). d 45.Matemática Volume Único Geometria analítica respostas 1. b 39. 04. e 17. . 2 a 10. 2).c.c. (Ita-SP) Sabe-se que o polinômio p(x) 5 x5 2 ax3 1 1 ax2 – 1. a  . (U. Sabendo-se que o número complexo z 5 2 1 i é uma raiz de p. Em relação a esse triângulo assinale o que for correto. 4 3 u. Destas. cujos vértices são as raízes de p. admite a raiz 2i. 4 04) Um de seus vértices pertence ao 2º quadrante. (UF-RS) O menor número inteiro positivo n para o qual a parte imaginária do número complexo n p p cos é negativa é: 1 i ? sen 8 8 a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9 2.a. calcule |p(i)|. (FGV-SP) O quociente da divisão do polinômio P(x) 5 (x2 1 1)4 ? (x3 1 1)3 por um polinômio de grau 2 é um polinômio de grau: a) 5 b) 10 c) 13 d) 15 e) 18 6. é (são) verdadeira(s) apenas: a) I d) I e III e) II e III 3. (Mackenzie-SP) y A B b) II c) III O 7. 02) É um triângulo isósceles de altura igual a 08) Seu perímetro é 3 √ 3 u. Apenas uma das raízes é real. (UFU-MG) Sabe-se que o número complexo 2 1 i. no plano complexo. √ 5 ) d) ( √ 5. b) 1 22 22 y 2 x c) 1 21 21 y 2 x 82 . Se o ponto A é (2 √ 2. 16) Sua área é 3 √3 u. Quatro das raízes são imaginárias puras. pela seguinte figura: a) 1 2 21 5 x y ( √ 2. polinômios e equações algébricas Números complexos. √ 5 ) b) a) (2. o triângulo. √ 2 ) 4. (UF-GO) Considere o polinômio p(x) 5 x3 2 9x2 1 x A figura mostra uma semicircunferência com centro na origem. II. em que i é a unidade imaginária. polinômios e equações algébricas 1. Considere as seguintes afirmações sobre as raízes de p: I. pode ser representado. 01) É um triângulo equilátero de lado igual a √ 3 u.c. e o número real 3 são raízes do polinômio de terceiro grau p(z). 1) e) (2. Ponta Grossa-PR) As representações gráficas dos complexos z tais que z3 5 1 são os vértices de um triângulo. 2) c) (1. cujos coeficientes são números reais. III. Uma das raízes tem multiplicidade dois.E.Números complexos. então o ponto B é: 1 25x 2 25. Sabendo-se também que p(0) 5 30. 5. 6i. é dado por: a) uma circunferência b) uma elipse c) uma hipérbole d) uma parábola e) o semiplano x < 0 14. Sabe-se que as três raízes desse polinômio são o quarto. b) Quais são as coordenadas dos vértices do losango A’B’C’D’ que se obtém girando 90° o losango ABCD. (U. Em determinado momento. (Ibmec-RJ) O conjunto imagem de todos os números complexos da forma z 5 a 1 bi que satisfazem a equação z ? w 1 z 1 w 5 0. os três números pensados por João são raízes da equação a) x3 2 7x2 1 14x 2 8 5 0 b) x3 1 7x2 2 14x 1 8 5 0 c) x3 2 7x2 2 14x 2 8 5 0 d) x3 1 7x2 2 14x 2 8 5 0 10.F. (Vunesp-SP) Uma raiz da equação x3 2 (2a 2 1)x2 2 2 a(a 1 1)x 1 2a2(a 2 1) 5 0 é (a 2 1). (UF-AL) Ao dividirmos o polinômio x2010 1 x1005 1 1 pelo polinômio x3 1 x. (UE-GO) João gosta de brincar com números e fazer operações com eles. em relação a esses números. onde w é o conjugado de z. 0. Quais são as outras duas raízes dessa equação? um polinômio com coeficientes reais. observou o seguinte: • a soma desses números é 7. • o produto deles é 8. Encontre os valores de a. no sentido anti-horário? 15. 1 e 2 são as soluções da equação polinomial p(x) 5 0. qual o resto da divisão? a) 0 b) x2 1 x 1 1 c) x2 2 x 1 1 d) x2 2 x 2 1 e) x2 1 x 2 1 11. b e c. o sétimo e o décimo sexto termos de uma progressão aritmética. • a soma das três parcelas resultantes dos produtos desses números tomados dois a dois é 14. então o valor de p( √ 3) é igual a: a) 2 √ 3 b) 3 √ 2 c) 3 √ 3 d) 6 √ 2 13. respectivamente. Assim. 80 cuja soma de seus vinte primeiros termos é igual a 3 e o seu décimo terceiro termo é igual a 3. Juiz de Fora-MG) Seja p(x) 5 x3 1 ax2 1 bx 1 c 8. (FGV-SP) a) Calcule a área do losango ABCD cujos vértices são os afixos dos números complexos: 3. (UE-CE) Os números 22. com coeficientes reais. 9. (UF-PI) Seja o polinômio p(x) 5 x3 2 3x2 1 ax 1 b. 23 e 26i. Se o polinômio p(x) é tal que p( √ 2) 5 2 √ 2. 21. ele pensou em três números naturais e. Sabe-se que p(x) possui três 83 .Matemática Volume Único d) 5 y c) Por qual número devemos multiplicar o número complexo cujo afixo é o ponto B para obter o número complexo cujo afixo é o ponto B’? y 1 22 2 x B e) 1 22 y C O A x 2 21 x D 12. em torno da origem do plano cartesiano. as quais são todas simples. as abscissas dos pontos de intersecção dos seus gráficos são as soluções da equação algébrica p(x) 5 q(x). Calcule r. 12i v 5 3 2 (b 1 1) ? i e w 5 cos 18° 1 i sen 18° para reais. 6 v . √ 3 1 1 i. a) Se u é um imaginário puro. c) Se a 5 22 e b 5 3. o argumento principal de v é: rad. Podemos afirmar que Z2 ? Z3 é: Z5 ? Z6 y Z3 Z2 Z4 Z1 5 1 x 16. (UF-AM) Na figura a seguir os números complexos Z1. Z2. se 11p |v| 5 5. b). o afixo de v pertence ao quadrante. 3 e 4. (UF-PE) Se as raízes da equação x3 2 7x2 2 28x 1 1 k 5 0 são termos de uma progressão geométrica. 5. (UF-GO) Dados dois polinômios p(x) e q(x). então 3 . 2 2 84 . Z5 Z6 a) 1 b) 21 c) 2 d) 22 e) 3 17. por x 1 1 com n natural é: a) 21 b) 1 c) zero d) 2 e) 6 21. e) Uma das raízes sextas de w10 é igual a 2 18. Z3. a1 e a2 para que os polinômios p(x) e q(x) se intersectem nos pontos de abscissa 22. Z4. no plano de Argand-Gauss. então u5 5 1 024i. Considere os polinômios p(x) 5 x3 1 a2x2 1 a1x 1 a0 e q(x) 5 3 2 2x. use os números complexos u 5 analisar a veracidade das afirmações seguintes. pode-se afirmar que o valor do coeficiente a é: a) 26 b) 23 c) 0 d) 3 e) 6 20. polinômios e equações algébricas raízes reais. Sabendo-se que p(x) é divisível por x 2 4. (UF-SE) Considerando que a e b são números 4 2 ai . o conjugado de (u 2 v)2 é igual a 21 1 i. u d) Se a 5 b 5 0. Z5 e Z6 estão representados pelos vértices de um hexágono regular. a e b e determine 9(a2 1 b2 1 r2). distintas e que estão em Progressão Geométrica.Números complexos. (UE-PB) O resto da divisão do polinômio P(x) 5 3x2n13 2 2 5x2n12 1 8. (UF-PE) A representação geométrica dos números complexos z que satisfazem a igualdade 2|z 2 i| 5 |z 2 2| forma uma circunferência com raio r e centro no ponto com coordenadas (a. então. determine e assinale o valor do termo constante k. 19. Determine os valores de a0. b) Considerando que. c 18. 2a e 2a 9. 23) e (6. e 6. 08 e 16 5. a0 5 27. polinômios e equações algébricas respostas 1. b 85 . 64 19. 17. 16 √ 5 2. a 4. B 5 217 e C 5 215 13. São verdadeiras: a. (0. a 16. c 7. (26. 04. a 14. d 3. 0) c) Devemos multiplicar por i. 40 20. 0).Matemática Volume Único Números complexos. 3). São corretas: 01. a 21. a1 5 24 e a2 5 25. e. 12. a 8. 15. a 11. a) 36 b) (0. a 10. A 5 21. Estatística Estatística 1. (PUC-RJ) Na revisão de prova de uma turma de quinze alunos, apenas uma nota foi alterada, passando a ser 7,5. Considerando-se que a média da turma aumentou em 0,1, a nota do aluno antes da revisão era: a) 7,6 b) 7,0 c) 7,4 d) 6,0 e) 6,4 Analisando-se esses dados, é correto concluir que ocorreram: a) 2 faltas por dia b) 19 faltas em 15 dias c) 52 faltas em 27 dias d) 2 faltas a cada 4 dias 2. (UF-GO) O gráfico a seguir mostra a prevalência de obesidade da população dos EUA, na faixa etária de 20 a 74 anos, para mulheres e homens, e de 12 a 19 anos, para meninas e meninos. 40 porcentagem 30 20 10 0 4. (CP2-MEC-RJ) A coleta seletiva de lixo é a separação dos materiais recicláveis do restante do lixo. Os principais materiais recicláveis são os papéis, vidros, plásticos e metais. O objetivo é que estes materiais sejam enviados para as usinas de reciclagem e transformados em outros produtos. Considere que a matéria orgânica (vide gráfico) seja a parte do lixo que pode ser transformada em composto orgânico (adubo). O que tem o lixo do brasileiro 1960-62 1971-74 1976-80 1988-94 1999-2002 Meninos Outros 8,08% Alumínio 0,51% Matéria orgânica Mulheres Homens Meninas Fonte: Scientific American Brasil. São Paulo, jun. 2005, n. 38, p. 46. De acordo com os dados apresentados neste gráfico, a) de 1960 a 2002, em média, 30% dos homens estavam obesos. b) a porcentagem de meninas obesas, no período 1999-2002, era o dobro da porcentagem de meninas obesas no período 1988-1994. c) no período 1999-2002, mais de 20% dos meninos estavam obesos. d) no período 1999-2002, mais de 50% da população pesquisada estava obesa. e) a porcentagem de mulheres obesas no período1988-1994 era superior à porcentagem de mulheres obesas no período 1976-1980. . . . . . . . . . 57,4% . .... .............. .............. .............. .............. Material .............. . ferroso Papel/ . . . . . . . . . . . . . .............. 1,56% papelão . . . . . . . . . . . . .. .. 13,16% . . . . . . . . . . . . .............. Vidro . . . . . Plástico. . . . . .... 2,34% . . . . .16,49% . . . . ..... .............. .............. .............. Fonte: ABRELPE .............. .............. .............. Fonte: Revista Carta .Capital . . . . . . . . . . . . . (27/9/2007 – Adaptado). Inertes 0,46% a) Considere que as oito mil toneladas de lixo coletadas, em média, diariamente na cidade do Rio de Janeiro se distribuam proporcionalmente como no gráfico acima. Determine quantas toneladas desse lixo poderiam ser transformadas em adubo. b) Um exemplo que deve ser imitado é o da cidade de Londrina, no Paraná. Das 400 toneladas de lixo recolhidas diariamente, 110 são recicladas. Qual o percentual de lixo reciclado, por mês, em Londrina? 3. (Cefet-MG) O gráfico da figura apresenta dados referentes às faltas diárias dos alunos na classe de uma escola, em determinado tempo. nº de 9 dias 8 7 6 5 4 3 2 1 0 5. (CP2-MEC-RJ) Um comerciante de frutas possuía 70 dúzias de laranjas de uma mesma qualidade para vender num dia ensolarado do mês de outubro. Inicialmente, começou vendendo a dúzia dessa laranja por R$ 3,70 e, conforme as vendas não correspondiam às suas expectativas, foi reduzindo o preço para garantir a venda de toda a mercadoria. Dessa forma, 0 1 2 3 4 5 nº de faltas por dia 86 Matemática Volume Único o preço da laranja foi reduzido em três ocasiões. A tabela a seguir informa a quantidade de dúzias de laranjas vendidas em cada horário daquele dia e os respectivos preços cobrados pelo comerciante. Período Das 8h às 10h Das 10h às 12h Das 12h às 14h Das 14h às 16h e representou o resultado em um gráfico de setores, como na figura a seguir. Financiamento do BNDES Abono para quem ganha até dois salário mínimos Preço por dúzia 3,70 3,20 2,80 2,50 Nº de dúzias vendidas 10 15 30 15 Qualificação de trabalhadores Outras despesas a) Qual foi o preço médio da dúzia da laranja vendida naquele dia? b) Se o comerciante vendesse as 25 primeiras dúzias a R$ 3,42 (a dúzia), por quanto deveria vender cada dúzia restante para que o preço médio das dúzias de laranjas vendidas naquele dia fosse de R$ 3,15? Seguro-desemprego 6. (PUC-MG) Ao misturar 2 kg de café em pó do tipo I com 3 kg de café em pó do tipo II, um comerciante obtém um tipo de café cujo preço é R$ 6,80 o quilograma. Mas, se misturar 3 kg de café em pó do tipo I com 2 kg de café em pó do tipo II, o quilo da nova mistura custará R$ 8,20. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que o preço de um quilo do café em pó do tipo I é igual a: a) R$ 4,00 b) R$ 7,50 c) R$ 11,00 d) R$ 12,40 Nesse gráfico, a quantia destinada ao abono para quem ganha até dois salários mínimos foi representada por um setor cujo ângulo mede 72º. O pesquisador verificou, então, que o gráfico não estava correto, pois a quantia destinada ao abono encontrada na pesquisa superava em 200 milhões de reais a representada pelo gráfico. Logo, o valor encontrado na pesquisa para aquele abono foi, em bilhões de reais, a) 8,8 b) 9,1 c) 9,5 d) 9,8 e) 10,6 9. (FGV-SP) Chama-se custo médio de fabricação por unidade ao custo total de fabricação dividido pela quantidade produzida. Uma empresa fabrica bicicletas a um custo fixo mensal de R$ 90 000,00; entre peças e mão de obra, cada bicicleta custa R$ 150,00 para ser produzida. A capacidade máxima de produção mensal é de 1 200 unidades. O custo médio mensal mínimo por unidade vale: a) R$ 150,00 b) R$ 187,50 c) R$ 225,00 d) R$ 262,50 e) R$ 300,00 7. (UF-RJ) A revista DigiNet publicou uma pesquisa sobre 50 páginas da Internet muito visitadas, informando que a média diária de visitas às páginas era igual a 500 e que o tempo médio de existência dessas páginas era igual a 38 meses. A revista BiteNet criticou a pesquisa por ela não ter considerado a sua página, uma das mais visitadas. A BiteNet informou ainda que, com a inclusão de sua página, a média de visitas aumentaria para 1000 e o tempo médio de existência passaria para 37 meses. Admitindo-se que as médias publicadas pela DigiNet estejam corretas, então pelo menos uma das médias informadas pela BiteNet estaria errada. Determine qual delas estaria necessariamente errada. Justifique sua resposta. 10. (FGV-SP) A média aritmética dos elementos do conjunto {17, 8, 30, 21, 7, x} supera em uma unidade a mediana dos elementos desse conjunto. Se x é um número real tal que 8 , x , 21 e x  17, então a média aritmética dos elementos desse conjunto é igual a: a) 16 b) 17 c) 18 87 d) 19 e) 20 8. (UF-RS) O orçamento do Fundo de Amparo ao Trabalhador para 2010 é de 43 bilhões de reais. Um pesquisador estudou a distribuição desse orçamento Estatística 11. (CP2-MEC-RJ) Uma estimativa feita por cientistas da USP indica que as emissões de gases do efeito estufa no Brasil aumentaram 24,6% entre 1990 e 2005. 14. (UE-CE) A média aritmética entre os divisores primos e positivos do número 2 310 é: a) 5,6 b) 6,0 Fernando Monteiro c) 6,3 d) 6,7 15. (UF-PR) O gráfico a seguir mostra o número de usuários no restaurante universitário da UFPR Litoral atendidos durante uma determinada semana, de segunda a sexta-feira. 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 450 400 350 300 250 200 150 100 50 50 almoço jantar Após a leitura das informações contidas no texto e ilustração acima, responda às perguntas abaixo: a) Mantendo a variação percentual de emissão de gases para os próximos 15 anos, quantos milhões de toneladas de CO2 estima-se que o Brasil deverá emitir em 2020? número de estudantes 2ª feira 3ª feira 4ª feira 5ª feira 6ª feira dia da semana Os preços fixos praticados pelo restaurante são: almoço R$ 1,60 e jantar R$ 2,00. Qual foi o faturamento do restaurante nessa semana? a) R$ 4 220,00 b) R$ 10 800,00 c) R$ 4 060,00 d) R$ 5 000,00 e) R$ 10 000,00 b) Qual a média de emissão de CO2 relativa aos anos observados na figura acima? 12. (ESPM-SP) Uma prova era composta de 3 testes. O primeiro valia 1 ponto, o segundo valia 2 pontos e o terceiro 4 pontos, não sendo considerados acertos parciais. A tabela abaixo mostra a quantidade de alunos que obtiveram cada uma das notas possíveis: Nota obtida Nº de alunos 0 2 1 3 2 1 3 5 4 7 5 2 6 3 7 1 16. (FGV-SP) O gráfico abaixo apresenta os lucros anuais (em milhões de reais) em 2008 e 2009 de três empresas A, B e C de um mesmo setor. A média aritmética dos crescimentos percentuais dos lucros entre 2008 e 2009 das três empresas foi de aproximadamente: 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 450 400 300 200 210 320 O número de alunos que acertaram o segundo teste foi: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 13. (ESPM-SP) Considere o conjunto A 5 {x  N* | x < 51}. Retirando-se um número desse conjunto, a média aritmética entre seus elementos não se altera. Esse número é: a) ímpar b) primo c) quadrado perfeito d) maior que 30 e) múltiplo de 13 88 a) 8,1% b) 8,5% c) 8,9% A 2008 B 2009 C d) 9,3% e) 9,7% 17. (Enem-MEC) Em sete de abril de 2004, um jornal publicou o ranking de desmatamento, conforme gráfico, da chamada Amazônia Legal, integrada por nove estados. 5% em relação aos dados de 2004. Z . (Enem-MEC) Marco e Paulo foram classificados em um concurso. a diminuição generalizada nas taxas de po89 19. No entanto.Matemática Volume Único Ranking do Desmatamento em km2 9º Amapá 8º Tocantins 7º Roraima 6º Acre 5º Maranhão 4º Amazonas 3º Rondônia 2º Pará 1º Mato Grosso 4 136 326 549 766 797 3 463 7 293 10 416 mais regular.br.com.suapesquisa. Y e Z são. X . é: a) Marco. pois obteve maior desvio padrão. pois obteve menor desvio padrão.97 Disponível em: www. no máximo. pois obteve maior mediana. Y e) Z .Desvio média mática guês mentos na Padrão Gerais marco Paulo 14 8 15 19 16 18 15 15 15 18 0. portanto mais bem classificado no concurso. Em caso de empate na média.5 gols Se X. Considerando-se que até 2009 o desmatamento cresceu 10. Y . X 21. (Enem-MEC) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. qual a mediana das quantidades de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo? a) 6 gols b) 6. então: a) X 5 Y . a mediana e a moda desta distribuição. Quantidade de Gols dos Artilheiros das Copas do Mundo Gols 14 12 10 8 6 4 2 0 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 Ano 20. (UFF-RJ) Diz-se que uma família vive na pobreza extrema se sua renda mensal por pessoa é de. respectivamente.5 gols c) 7 gols d) 7. 2010 (adaptado). o desmatamento médio por estado em 2009 está entre: a) 100 km2 e 900 km2 b) 1 000 km2 e 2 700 km2 c) 2 800 km2 e 3 200 km2 d) 3 300 km2 e 4 000 km2 e) 4 100 km e 5 800 km 2 2 O candidato com pontuação mais regular. Z b) Z . Gols marcados 0 1 2 3 4 5 7 Quantidade de partidas 5 3 4 3 2 2 1 Disponível em: http://www. Para a classificação no concurso o candidato deveria obter média aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Segundo levantamento do Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (Ipea). X 5 Y c) Y . e) Paulo. a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos. (Enem-MEC) O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo desde a Copa de 1930 até a de 2006. a média. c) Paulo.3 gols e) 8. o desempate seria em favor da pontuação . 18. 2010 (adaptado). Dados dos candidatos no concurso: Comate.folhaonline. d) Paulo. Acesso em: 30 abr. A partir dos dados apresentados.Portu.com. 19 em Português. pois obteve a maior pontuação da tabela. Acesso em: 23 abr. X d) Z . b) Marco. pois a média e a mediana são iguais.32 4.nhecimedia. Português e Conhecimentos Gerais. mais de treze milhões de brasileiros saíram da pobreza extrema entre 1995 e 2008. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols. No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática. 25% do salário mínimo nacional. a média. 5 Sul Centro-Oeste 17. passando de 20.67 e R$ 660. são: 20.5%. Pode-se concluir. que a região em que a taxa de pobreza extrema (em %) caiu mais de 50% foi: a) a região Norte b) a região Sudeste c) a região Nordeste d) a região Centro-Oeste e) a região Sul 24. Após um levantamento feito com as famílias de um município.01 até R$ 7 650.00 e R$ 525.00 De R$ 1 020. nesse mesmo mês. Taxas de pobreza extrema no Brasil e nas suas grandes regiões em 1995 e 2008 (em %) 50 41. conforme a tabela a seguir.8%.Estatística breza extrema nesse período não ocorreu de forma uniforme entre as grandes regiões geográficas do país.9 24.6 11.5 a) R$ 725.9% para 10. então. Acesso em: 5 nov.00 Sudeste Brasil Adaptado do IBGE – PNAD – Ipea.6 Número da classe 1 2 3 4 Salário do mês (em reais) 465 | — 665 665 | — 865 865 | — 1065 1065 | — 1265 Número de empregados 16 8 4 2 A média e a mediana do salário pago. no mês de dezembro de 2008.00 e) R$ 575.9 10.6 5. 2010.logisticadescomplicada. é apresentada na tabela a seguir: 90 Com base nas informações contidas no gráfico e na tabela. Tendo em vista o gráfico.00 é de: a) 45% b) 60% c) 70% d) 85% e) 90% .9 13. conclui-se que o percentual das famílias que têm renda acima de R$ 3 060.7 6.00 22.5 11. 2 250 Número de famílias 1 500 Nessas condições.01 até R$ 15 300.00 De R$ 7 650. (UF-PR) Em 2010. a distribuição de frequências de salários de um grupo de 30 funcionários. (UF-PI) Na rede de padarias Estrela Dalva. uma loja de carros vendeu 270 carros a mais que em 2009.com/ o-brasil-suas-classes-sociais-e-a-implicacao-na-economia.00 e R$ 725.00 b) R$ 711.50 c) R$ 865.8 40 30 20 10 0 Norte 1995 Nordeste 2008 22. (UF-PB) Segundo dados do IBGE. verifica-se que a taxa nacional de pobreza extrema caiu 49. pode-se concluir que a média aritmética simples das vendas efetuadas por essa loja durante os dois anos foi de: a) 540 carros b) 530 carros c) 405 carros d) 270 carros e) 135 carros 500 250 Classe A Classe B Classe C Classe D Classe E 23. conforme ilustra o gráfico a seguir.00 e R$ 625. Fernando Monteiro Adaptado de: http://www. A seguir temos um gráfico ilustrando as vendas nesses dois anos. de acordo com a faixa de renda mensal total da família. Classe A B C D E Faixa de renda Acima de R$ 15 300. foram obtidos os resultados expressos no gráfico a seguir. as classes sociais das famílias brasileiras são estabelecidas.00 De R$ 3 060.67 e R$ 652.00 Até R$ 1 020.8 17.01 até R$ 3 060.00 d) R$ 711. 00. II. e os respectivos números de contribuintes é: Número de contribuintes 3 000 2 000 1 000 700 300 0 Número de alunos 5 10 14 8 3 10 20 30 40 Valor do imposto. no período de 2000 a 2009. Ano 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 Quantidade Exportada (em milhares de toneladas) 48 52 54 52 52 50 48 52 54 52 Nota por nº de alunos – Turma A Número de Nota alunos 30 50 60 70 80 90 100 4 5 9 5 2 3 2 Nota por nº de alunos – Turma B Número de Nota alunos 20 40 50 60 90 100 2 3 4 6 3 2 Ao calcular a média das notas de cada turma.5 c) 64. em reais 3 000 1 000 700 300 5 000 21 000 15 000 17 500 10 000 64 000 26. A quantidade exportada. de 2000 a 2009. em reais O tempo médio dormido pelos alunos dessa escola foi: a) 6h b) 7h c) 7h36min d) 5h30min e) 6h42min 27. 20% do total de contribuintes pagaram mais de R$ 20. A média da quantidade exportada. A moda da quantidade exportada. a probabilidade de que o valor do imposto pago por ele nesse mês seja igual ou 47 menor do que R$ 30. IV. de 2006 a 2008. 28. José decidiu sortear um livro entre os alunos da turma que obteve a maior média. foi crescente. V.5 d) 58. em reais. de 2003 a 2006. mantém um banco de dados com as notas dos seus alunos. encontrou-se o resultado apresentado no quadro a seguir: Número de horas 3 5 7 9 11 Use esses dados para analisar as informações que seguem. A mediana da quantidade exportada.0 b) 59.0 Considerando os dados apresentados na tabela. foi de 51 mil toneladas. identifique as afirmativas corretas: I. professor de Matemática do Ensino Médio. A média da turma que teve o aluno sorteado foi: a) 63. em reais. a) Um histograma demonstrativo da relação entre os intervalos de valores do imposto per capita. (UF-RN) José. Após a avaliação do 1º bimestre. num dado mês. de 2000 a 2004.Matemática Volume Único 25. em uma cidade com 5 000 contribuintes. construiu as tabelas a seguir. de 2000 a 2009.00 é . (UE-MA) Realizada uma pesquisa na Escola Vamos Estudar para saber o número de horas que seus alunos dormem por dia. foi de 52 mil toneladas. (UF-PB) A tabela a seguir apresenta a quantidade exportada de certo produto. (UF-SE) A tabela abaixo apresenta a distribuição da arrecadação de certo imposto municipal. referentes à distribuição das notas obtidas pelas turmas A e B do 1º ano. para motivar. 50 91 . Classe 1 2 3 4 Valor do imposto. III. em milhares de toneladas. per capita 0 —| 10 10 —| 20 20 —| 30 30 —| 40 Total Valor total Número de arrecadado contribuintes por classe. A média da quantidade exportada.00 de imposto. b) Nesse mês. e) Escolhendo-se aleatoriamente um dos contribuintes do município. o valor médio do imposto per capita localiza-se na classe 3. d) Nesse mês. o valor médio do imposto pago pelos contribuintes é R$ 12. c) Na classe 2. foi maior que a média de 2005 a 2008. foi de 53 mil toneladas. c 18. d. a 13. IV 26. e 21. b) 1 796. 12. e 92 . e 3. a 28. a 11. d 2. c 16. a) 2 492 milhões de toneladas. Tempo médio de existência. São verdadeiras: a. b 20.5 milhões de toneladas. a 15. I. 5. III. e 27.00 6.95 b) R$ 3. 8. a 17. b 19. e.Estatística Estatística respostas 1. a) R$ 2. c 4.5% 14. b 25. a 9. c 10. b 24. a 23. a) 4 592 toneladas b) 27. c 7. e 22. 5 min Texto para as questões 2 e 3 A população mundial está ficando mais velha. 2009 (adaptado). que é a razão entre o total de passageiros transportados por dia e o tamanho da frota de veículos. c) 780 e 800 milhões. Belo Horizonte.7 milhões de passageiros em 1995. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Acesso em: 16 jul. O mapa ao lado representa um bairro de determinada cidade.ntu. Porto Alegre.3 = 1. Em 2050. uma pessoa com 60 anos ou mais de idade. a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. ONU.35.9 milhões em abril de 2001. Rio de Janeiro. no qual as flechas indicam o sentido das mãos do tráfego. Nesse período. 2009 (adaptado). em 2030.Matemática Volume Único Coletânea de testes do ENEm 1. Capitais brasileiras .economist. qual seria o tempo. O gráfico a seguir mostra um índice de produtividade utilizado pelas empresas do setor.15 min Imagens: Zapt Passageiros transportados por veículos/dia** 1995 a 2008 110 1950 5 Fonte: “Perspectivas da População Mundial”. 2. o tamanho da frota de veículos mudou pouco. os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou.com. 2009. Acesso em: 9 jul. e assim sucessivamente. países desenvolvidos 269 números em milhões 95 490 1 592 461 35 30 25 20 15 países em 10 desenvolvimento estimativas 70 90 2010 30 50 0 passageiro/veículo d) 1. Suponha que o modelo exponencial y = 363e0. Curitiba e Goiânia ** Passageiro total mensal/frota/25 Disponível em: http://www. partindo do ponto X.03x. Sabe-se que esse bairro foi planejado e que cada quadra representada na figura é um terreno quadrado. em velocidade constante e igual a 40 km/h. e) 870 e 910 milhões. estima-se que a população com 60 anos ou mais estará.org. No gráfico seguinte. Y X população em milhões de habitantes no ano x. e que y é a *São Paulo. 3. Eram 476. de lado igual a 200 metros. a probabilidade de se escolher. x = 1 corresponde ao ano 2001. que um ônibus. será um número mais próximo de: 1 8 3 a) c) e) 2 25 25 7 1 d) b) 20 5 4. d) 810 e 860 milhões.5 min e) 0. em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos. entre: a) 490 e 510 milhões. Disponível em: www. Desse modo. Recife. são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU). Salvador. Fortaleza. aleatoriamente. em que x = 0 corresponde ao ano 2000. 93 . seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos. em minutos. na população dos países desenvolvidos. e esse número caiu para 321. b) 550 e 620 milhões. Dados da Associação Nacional de Empresas de Transportes Urbanos (ANTU) mostram que o número de passageiros transportados mensalmente nas principais regiões metropolitanas do país vem caindo sistematicamente. considerando e0.br. tendo no final de 2008 praticamente o mesmo tamanho que tinha em 2001.Sistema de Ônibus Urbano* 650 631 600 569 568 550 581 506 555 500 463 505 451 441 435 438 447 428 450 407 410 418 446 440 400 422 410 415 411 400 391 393 404 350 out/95 abr/96 out/96 abr/97 out/97 abr/98 out/98 abr/99 out/99 abr/00 out/00 abr/01 out/01 abr/02 out/02 abr/03 out/03 abr/04 out/04 abr/05 out/05 abr/06 out/06 abr/07 out/07 abr/08 out/08 Desconsiderando-se a largura das ruas. demoraria para chegar até o ponto Y ? a) 25 min b) 15 min c) 2. Por exemplo. de acordo com o desenho. Uma resolução do Conselho Nacional de Política Energética (CNPE) estabeleceu a obrigatoriedade de adição de biodísel ao óleo dísel comercializado nos postos. 8. 6.00 milhões de litros. bem como possibilita a redução da importação de dísel de petróleo.Coletânea de testes do ENEM Supondo que as frotas totais de veículos naquelas regiões metropolitanas em abril de 2001 e em outubro de 2008 eram do mesmo tamanho. esse percentual era de 3%. foram conduzidos inúmeros estudos epidemiológicos. Antônio 2 demarcou uma área quadrada no vértice A. de abril de 2008 a maio de 2009. b) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que não se relacionam. e) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que estão relacionadas. 7.00 milhões de litros. os dados do gráfico permitem inferir que o total de passageiros transportados no mês de outubro de 2008 foi aproximadamente igual a: a) 355 milhões b) 400 milhões c) 426 milhões d) 441 milhões e) 477 milhões 5.25 milhões de litros.uol. c) 231. houve o estudo do número de casos de câncer em relação ao número de cigarros consumidos por dia. Para testar essa possível associação. da população economicamente ativa para seis regiões metropolitanas pesquisadas. O gráfico a seguir mostra a evolução.75 milhões de litros. c) triplicasse a área do quadrado. casos de câncer pulmonar Casos de câncer pulmonar dado o número de cigarros consumidos diariamente 60 50 40 30 20 10 0 Estimativas indicam que.75 milhões de litros. b) triplicasse a medida do lado do quadrado. serão consumidos 925 milhões de litros de biodísel no segundo semestre de 2009. c) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas diretamente proporcionais. Até junho de 2009. De acordo com as informações do gráfico. e) 888. 2009 (adaptado). b) 37. qual seria o consumo de biodísel com a adição de 3%? a) 27. com a adição de 4% de biodísel ao dísel. Acesso em: 12 jul. e) ampliasse a área do quadrado em 4%. A exigência é que. d) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%. no AB qual AE = é lado 5 do quadrado. 4% do volume da mistura final seja formada por biodísel. Essa medida estimula a demanda de biodísel. Nesse caso. A suspeita de que haveria uma relação causal entre tabagismo e câncer de pulmão foi levantada pela primeira vez a partir de observações clínicas.folha. cujos resultados são mostrados no gráfico a seguir. O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências com a condição de que no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. d) uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada com câncer de pulmão. mas sem proporcionalidade. para o mesmo volume da mistura final dísel/biodísel consumida no segundo semestre de 2009. a) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas inversamente proporcionais. Ao receber o BC terreno retangular ABCD. Disponível em: http://www1. em que AB = . a partir de 1º de julho de 2009. B C A E D 94 . a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele: a) duplicasse a medida do lado do quadrado. Considerando-se essa estimativa.br.com. Imagens: Zapt 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 número de cigarros consumidos diariamente Centers for Disease Control and Prevention CDC-EIS Summer Course — 1992 (adaptado). d) 693. para a construção de sua residência. Dentre esses. isto é. sendo possível a combinação de diferentes figuras. Disponível em: www. 2009. 95 Reprodução . poderia ser preenchido com: 4 a) 24 fusas. A música e a matemática se encontram na representação dos tempos das notas musicais. e) 2 após girá-la 270° no sentido anti-horário. b) 1 após girá-la 180° no sentido anti-horário. Reprodução 05 06 07 08 09 10 11 12 01/09 02 03 04 Fonte: IBGE.com. se a fór1 mula de compasso for . Observe que as peças são quadradas e há 8 peças no tabuleiro da figura A e 8 peças no tabuleiro da figura B. Zapt 05 semibreve mínima semínima colcheia semicolcheia fusa semifusa 1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 Um compasso é uma unidade musical composta por determinada quantidade de notas musicais em que a soma das durações coincide com a fração indicada como fórmula do compasso. conforme a figura seguinte.br. e) 16 semínimas e 8 semicolcheias. c) 2 após girá-la 90° no sentido anti-horário. c) 8 semínimas. seja de 4%. As peças são retiradas do tabuleiro da figura B e colocadas no tabuleiro da figura A na posição correta. Pesquisa Mensal de Emprego. d) 2 após girá-la 180° no sentido horário. As figuras a seguir exibem um trecho de um quebracabeças que está sendo montado.gov. Acesso em: 14 jul. d) 24 colcheias e 12 semínimas.eternityii. cuja 3 fórmula é . poderia ter um compasso 2 ou com duas semínimas ou uma mínima ou quatro colcheias.ibge. então o número de pessoas economicamente ativas em 06/09 será igual a: a) 23 940 b) 32 228 c) 920 800 d) 23 940 800 Figura A e) 32 228 000 9. b) 3 semínimas. Figura B peça 1 peça 2 Disponível em: http://pt. entre 05/09 e 06/09. Coordenação de Trabalho e Rendimento. de modo a completar os desenhos. Diretoria de Pesquisas. Considerando que a taxa de crescimento da população economicamente ativa. Por exemplo. É possível preencher corretamente o espaço indicado pela seta no tabuleiro da figura A colocando a peça: a) 1 após girá-la 90° no sentido horário. Um trecho musical de oito compassos.Matemática Volume Único Zapt População economicamente ativa (em mil pessoas) 23 500 23 100 22 811 22 700 22 500 04/08 22 300 22 741 22 900 22 969 23 020 23 300 10. Nos dois dias restantes. nos três primeiros dias.br.64 2.2%. d) superior a 1.2%) 2 2 2 no qual o valor da diária é função do tempo medido em número de dias. pintura e arquitetura. qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos? a) 2 ? (0. a diária custaria R$ 150.8 1. Disponível em: www. em função do número de toneladas produzidas. 2009. Nessas condições. b) superior a 0.50.80. cuja taxa média de variação. Em Florença.2%) ? (99.3 1. seria de R$ 20. Uma pousada oferece pacotes promocionais para atrair casais a se hospedarem por até oito dias.83 3.1 1.00.Coletânea de testes do ENEM 11. Os dados na tabela indicam que a taxa média de variação entre a emissão de dióxido de carbono (em ppm) e a produção (em toneladas) é: a) inferior a 0.5 1.2 1.gov.4 1. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente.7 1. 13.00 De acordo com os dados e com o modelo. seria mantido o preço do sexto dia.25 3. Matemática TP3.18 e inferior a 0.6 1.2%) e) 6 ? (0.0 2. Reprodução d) R$ 150.18. c) superior a 0. um casal que adquirir o pacote promocional por oito dias fará uma economia de: a) R$ 90. ago.80.2%)4 b) 4 ? (0. seria aplicada uma redução no valor da diária. A hospedagem seria em apartamento de luxo e.2%) ? (99.00 14.73 4.50 e inferior a 1.03 3. pois elas eram tão próximas quanto inseparáveis.00 Cadernos do Gestar II. é possível encontrar um portão em que aparecem os anéis de Borromeo. 96 Scientific American. Nos três dias seguintes.00 e) R$ 170. e) superior a 2. a cada dia. Itália.30 2. Acesso em: 14 jul. Alguns historiadores acreditavam que os círculos representavam as três artes: escultura.48 3.00 b) R$ 110. O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0. Qual dos esboços a seguir melhor representa os anéis de Borromeo? a) d) b) e) c) . A tabela mostra alguns dados da emissão de dióxido de carbono de uma fábrica. na Igreja de Santa Croce.9 2.00.14 2.8%) 1 2 3 4 5 6 7 8 tempo c) 6 ? (0.46 2. um modelo para a promoção idealizada é apresentado no gráfico a seguir. valor da diária 150 d) 4 ? (0. 2008. comparando o preço que um casal pagaria pela hospedagem por sete dias fora da promoção. preço da diária fora da promoção.50.50 e inferior a 2.mec. Produção Emissão de dióxido de carbono (em toneladas) (em partes por milhão – ppm) 1.8%) 12.00 c) R$ 130. 00 28.com. No entanto.5 × 102 vezes a capacidade do reservatório novo.5 × 106 vezes a capacidade do reservatório novo. que seria dividido entre elas em cotas iguais. mas inferior a 400 milhões de dólares. com extensão total de 1 200 000 quilômetros quadrados. devido a uma série de restrições. e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo.5 × 109 vezes a capacidade do reservatório novo. d) 5. como mostra a tabela seguinte. Comparando as capacidades do aquífero Guarani e desse novo reservatório da SABESP. Paraguai e Uruguai. um novo reservatório cuja capacidade de armazenagem é de 20 milhões de litros.2 metros. e) 1.16 metro.5 metros 36 metros Zapt e) R$ 57. d) 1. 18. mas inferior a 600 milhões de dólares.4 metros. Acesso em: 7 jul. investimentos bilaterais (em milhões de dólares) Ano 2003 2004 2005 2006 2007 17.6 metros. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. 2009.00 97 .Matemática Volume Único 15. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte.2 metros e alcançou uma altura de 0.00. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é: a) 1. o comércio entre esses dois países ainda não é adequadamente explorado.5 × 108 vezes a capacidade do reservatório novo. Brasil na França 367 357 354 539 280 França no Brasil 825 485 1 458 744 1 214 Disponível em: www. e não as unidades já descritas.com. Verificou-se ao final que. Brasil.5 × 103 vezes a capacidade do reservatório novo. b) superior a 300 milhões de dólares. Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa. Brasil e França têm relações comerciais há mais de 200 anos. Acesso em: 10 jul. De acordo com essas informações.cartacapital. e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7. e) superior a 600 milhões de dólares. por exemplo. para arcar com todas as despesas. b) 1. Na maioria das vezes em que são feitas referências à água.0 metros. c) 5. e) 7. 2009 (adaptado). referente ao período 2003-2007. mas inferior a 500 milhões de dólares. 19. o Brasil é a 10ª. Técnicos concluem mapeamento do aquífero Guarani O aquífero Guarani localiza-se no subterrâneo dos territórios da Argentina.terra. no período considerado. b) 3.00. os valores médios dos investimentos da França no Brasil foram maiores que os investimentos do Brasil na França em um valor a) inferior a 300 milhões de dólares.00 c) R$ 22.8 metro.br. faltavam R$ 510.04 metros. são usadas as unidades metro cúbico e litro. e ambas se destacam na economia mundial. Enquanto a França é a 5ª nação mais rica do planeta. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em escala de 1 : 150. 16. c) superior a 400 milhões de dólares.00 b) R$ 17. A Companhia de Saneamento Básico do Estado de São Paulo (SABESP) divulgou. A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2. O aquífero armazena cerca de 30 mil quilômetros cúbicos de água e é considerado um dos maiores do mundo. d) superior a 500 milhões de dólares.br. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3. qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas? a) R$ 14. c) 1. Os dados da tabela mostram que. dos quais 840 000 quilômetros quadrados estão no Brasil.00 d) R$ 32. Disponível em: http://noticias. A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que será fabricada para utilização por companhias de transporte aéreo. a capacidade do aquífero Guarani é: a) 1. caso contrário d1 = (11 – r).05 cm y Disponível em: www. em centímetros. d) y = 0. e assim sucessivamente). Suponha que João tenha perdido seus documentos. a qual ficou na terceira e última colocação.7x e) y = 0. em seguida. respectivamente: a) 0 e 9 b) 1 e 4 c) 1 e 7 23. 10. c) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8. seguida pela equipe Delta.5 se ele obtivesse nota 0. Seu proprietário percebeu que. do desconto dado no preço de cada litro. As provas valiam. recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram 123. não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores. não pôde comparecer. isto é.07x + 6 22. 7.35 cm 6.6 pontos. Um posto de combustível vende 10 000 litros de álcool por dia a R$ 1. para transportá-las. arrecadado por dia com a venda do álcool. As notas obtidas pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10. Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista em um desafio de conhecimentos. 8. eram vendidos 100 litros a mais por dia. 9. b) 3. 8. com 7. de 6 cm de raio.4 cm. 20. ao dar queixa da perda 98 Zapt 3 . que essa folha deverá ter? a) 2. para cada centavo de desconto que concedia por litro.456. e) 192 cm 3 242 cm. no máximo. essa equipe a) teria a pontuação igual a 6. b) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10. utiliza caixas de madeira. os dígitos verificadores d1 e d2 esquecidos são. 3. a vencedora foi a equipe Ômega. então o número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a: a) 4 b) 8 c) 16 d) 24 e) 32 d) 21 cm 3 26 cm.5. Um dos alunos da equipe Gama. o segundo por 9. 7.br. Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido.70 cm 7. d2 é zero se o resto s da divisão por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1.ufrgs.2 c) y = 1. Neste caso. na forma d1d2. no dia em que o preço do álcool foi R$ 1. inclusive o cartão de CPF e. 9 10 11 12 13 14 15 4 5 6 7 8 0 1 2 d) 9 e 1 e) 0 e 1 O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado. 7. a sua inscrição no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é composta por um número de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos. com 7.8 pontos. 2 (o primeiro por 10. Sabendo que a capacidade da caixa é de 13 824 cm3. 6. em que os dígitos d1 e d2 são denominados dígitos verificadores. 6. 8. em R$. Acesso em: 13 jan. e a pontuação da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas pelos alunos.789. d2 = (11 – s). então a expressão que relaciona V e x é: a) V = 10 000 + 50x – x2 d) V = 15 000 + 50x – x2 b) V = 10 000 + 50x + x2 e) V = 15 000 – 50x + x2 c) V = 15 000 – 50x – x2 21. Por exemplo. e se esse resto r for 0 ou 1. Número de bolas (x) 5 10 15 Nível da água (y) 6. foram vendidos 10 200 litros. sendo d1 o último algarismo. 10 pontos cada. 6.27x 24. calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11. e V o valor. d1 é zero. Ao final. Os dígitos verificadores são calculados. 5. deixando uma margem de 1 cm em relação às bordas da folha.Coletânea de testes do ENEM Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel. Como resultado do experimento. c) 20 cm 3 25 cm.50 cada litro.9 cm 3 3. 4.9 cm 3 4.48. Cada equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva. Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com água até certo nível e medir o nível da água. concluiu-se que o nível da água é função do número de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo. na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são contados a partir do segundo algarismo. caso contrário. tendo recebido nota zero na prova. conforme ilustrado na figura a seguir. 2009 (adaptado). em centavos. quais as dimensões mínimas. Uma empresa que fabrica esferas de aço. na forma de um cubo. da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10.4 cm. 0. Considerando x o valor. Para cada indivíduo. Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)? a) y = 30x b) y = 25x + 20. 6. O dígito d2 é calculado pela mesma regra. a partir da esquerda.5.penta. na delegacia. Caso ele pretenda dar mais 16 voltas. d) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias. capazes de colher 20 hectares de milho por dia. com gasto inferior a R$ 25 000. e) empataria com a equipe Ômega na primeira colocação se o aluno obtivesse nota 9. e a gasolina deve ter densidade entre 725 e 780 gramas por litro. independentemente da nota obtida pelo aluno. que utiliza um tipo de gasolina com densidade de 750 g/L. e R$ 1 000. conforme mostra a figura a seguir. o peso mínimo do carro.00 por trabalhador por dia de trabalho. alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. 26. Suponha que um piloto de uma equipe específica. a cooperativa deveria a) manter sua proposta. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias. é de 605 kg. o pai de João. no mínimo: a) 617 kg b) 668 kg c) 680 kg d) 689 kg e) 717 kg 28. em um regime de trabalho de 6 horas diárias. O fazendeiro argumentou que fecharia contrato se a cooperativa colhesse 180 hectares de milho em 6 dias. Uma cooperativa de colheita propôs a um fazendeiro um contrato de trabalho nos seguintes termos: a cooperativa forneceria 12 trabalhadores e 4 máquinas. e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha. b) oferecer 4 máquinas a mais. Ao morrer. Animados com os resultados.00. arrecadando 12 kg de alimentos por dia. com o piloto. os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração. e) reduzir em R$ 400. Para atender às exigências do fazendeiro e supondo que o ritmo dos trabalhadores e das máquinas seja constante. ao custo de R$ 10. 3 km Zapt João Pedro 1 km José 1 km 2 km Em relação à partilha proposta. seu carro deverá pesar.00 o valor do aluguel diário de uma máquina. Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem. O consumo médio de um carro da Fórmula 1 é de 75 litros para cada 100 km. ao ser liberado para retornar à pista. na Bélgica. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante. a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de: a) 920 kg b) 800 kg c) 720 kg d) 600 kg e) 570 kg 27. Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km 3 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Segundo as regras da Fórmula 1. Considere que a direção seguida por um avião AI que partiu de Brasília-DF.00 pelo aluguel diário de cada máquina. 30 novos alunos somaram-se ao grupo. Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades.Matemática Volume Único d) permaneceria na terceira posição. Entre os circuitos nos quais ocorrem competições dessa categoria. sem 99 d) 33% e) 19% . estados ou países. cujo traçado tem 7 km de extensão. o mais longo é Spa-Francorchamps. c) oferecer 6 trabalhadores a mais. aproximadamente. durante 30 dias. 25.58 3 a) 50% b) 43% c) 37% 29. parado no box para reabastecimento. constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde. de tanque vazio. esteja no circuito de Spa-Francorchamps. a: considere 3 = 0. O mapa a seguir mostra os estados brasileiros e a localização de algumas capitais identificadas pelos números. Dado o maior valor da área de extração de ouro. 30. b) um arranjo e uma combinação.60 R$ 82. Acesso em: 10 jul.00 d) R$ 83. são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no atacado. no Pará. com a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF. que seguiu a direção que forma um ângulo de 135° no sentido horário com a rota Brasília – Belém e pousou em alguma das capitais brasileiras. mês Outubro Novembro Dezembro Janeiro Fevereiro Março Abril 6 7 8 18 1 Manaus 2 Boa Vista 3 Macapá 4 Belém 5 São Luís 6 Teresina 7 Fortaleza 8 Natal 9 Salvador 17 15 14 16 12 DF 10 Rio de Janeiro 11 São Paulo 12 Curitiba 13 Belo Horizonte 14 Goiânia 15 Cuiabá 16 Campo Grande 17 Porto Velho 18 Rio Branco 9 13 10 11 Cotação R$ 83.60 Ano 2007 2007 2007 2008 2008 2008 2008 SIQUEIRA. Carlos fez uma conexão e embarcou em um avião AIII.10 R$ 81. e o segundo seria o time visitante. sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo. Em seguida. Disponível em: www.gov. seja um segmento de reta com extremidades em DF e em 4.00 R$ 84.00 e) R$ 85. S. e em seguida embarcou para Curitiba.br. Acesso em: 28 jul. 2009 (adaptado). o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse período era igual a: a) R$ 73.00 R$ 73. e) dois arranjos.92% 13. o uso de múltiplos da área de um campo de futebol (com as medidas de 120 m 3 90 m) para auxiliar a visualização de áreas consideradas extensas. c) um arranjo e uma permutação. foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio. Biomas continentais brasileiros Amazônia Cerrado Mata Atlântica Caatinga Pampa Pantanal Área Total Brasil área aproximada (km ) 2 área / total Brasil 49. em reais. Nesse caso. Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. d) duas combinações. ou mesmo em noticiários. em Brasília. pela descrição dada. respectivamente.04% 9. 2 1 3 4 5 Zapt a) uma combinação e um arranjo. O quadro apresenta informações da área aproximada de cada bioma brasileiro. b) Belo Horizonte.30 R$ 84.br. Brasil Regiões. c) Boa Vista. respectivamente.07% 1. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A.30 32. e) Goiânia.50 c) R$ 82. e em seguida embarcou para Porto Velho. Ao desembarcar. respectivamente. d) Goiânia. em alguns meses dos anos 2007 e 2008.santiagosiqueira. para Belém. e em seguida embarcou para Salvador. que seguiu a direção que forma um ângulo reto. 31. 2009 (adaptado).76% 4 196 943 2 036 448 1 110 182 844 453 176 496 150 355 8 514 877 Disponível em: www. por caixa de 30 dúzias de ovos.Coletânea de testes do ENEM escalas. e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro.pro. Na tabela. A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de: 100 De acordo com esses dados. entre os times do Grupo A.92% 2.29% 23.00 R$ 85. o passageiro Carlos fez uma conexão em: a) Belo Horizonte. É comum em conversas informais. Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião AII. Considerando que a direção seguida por um avião é sempre dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela cidade destino do avião.ibge. qual é o número de campos de futebol correspondente à área aproximada do bioma Pantanal? . e em seguida embarcou para Manaus. no sentido anti-horário.10 b) R$ 81. d) 1 400 000 e) 14 000 000 Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo. v. conforme a 6c 6 cm figura. 02. mas é quase. Neste caso. cada aposta de seis dezenas. Disponível em: www.uel. O preço médio por metro cúbico em maio de 2009 foi de 340 dólares para o petróleo importado e de 230 dólares para o petróleo exportado. cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles. b) 2 vezes menor. Imagens: Zapt . retirando a pirâmide da parte superior.5 cm de aresta na base. Entretanto. Q = Av. 2 1 e) 14 vezes menor. Mesmo assim.50. custava R$ 1. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —. Até junho de 2009. que tem 1. A população brasileira sabe.0 m 41 m Disponível em: www2. do que uma única aposta com nove dezenas. . espaçados de 1 cm entre eles. em São Paulo. porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é. qual a vazão esperada para depois da reforma na canaleta? a) 90 m3/s b) 750 m3/s c) 1 050 m /s 3 d) 1 512 m3/s e) 2 009 m3/s Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126. em m2. foram gastos 2. 03. Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela? a) 156 cm3 b) 189 cm3 c) 192 cm3 35. milhões de pessoas são atraídas por essa loteria. especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. 60}. d) 216 cm3 e) 540 cm3 Na suposição de que a velocidade da água não se alterará. envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a água). Uma dessas canaletas.. Nos últimos anos. são construídas canaletas para controlar o fluxo de água. 59. uma vez que o preço médio por metro cúbico do petróleo importado é superior ao do petróleo nacional. com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco. O cálculo da vazão. para evitar a ocorrência de enchentes. apesar de as importações terem se mantido praticamente no mesmo patamar desde 2001. constitui preocupação constante nos períodos chuvosos. com as dimensões especificadas na figura II. d) 9 vezes menor. pela velocidade da água no local. pelo menos intuitivamente.84 bilhões de dólares com importações e gerada uma receita de 2. ou seja. 2009. m unindo-os.00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega-sena. 30 m 2. 101 34. que não tenham cinco números em comum.5 m 20 m 49 m 2. Em alguns trechos. os recursos gerados com as exportações ainda são inferiores àqueles despendidos com as importações. Nos primeiros cinco meses de 2009.br. 36.. justamente pela dificuldade desta última. A vazão do rio Tietê.24 bilhões de dólares com as exportações.gov.caixa. a vazão da água é de 1 050 m3/s. aproximadamente: 1 a) 1 vez menor. em m/s. que a probabilidade de acertar as seis dezenas da mega-sena não é zero. ultrapassando as importações em 2008. sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto.br. Q em m3/s. o volume de petróleo exportado pelo Brasil tem mostrado expressiva tendência de crescimento. Acesso em: 5 maio 2010. mas mantendo o mesmo molde. pertencentes ao conjunto {01. Nesse caso. Planeja-se uma reforma na canaleta. Acesso em: 7 jul.. é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes. 2 c) 4 vezes menor.Matemática Volume Único a) 1 400 b) 14 000 c) 140 000 33. tem as medidas especificadas na figura I. elas são submetidas a algoritmos de compressão. Porém. Comércio exterior de petróleo (milhões de metros cúbicos) Ano 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009* a) um CD de 700 MB.Coletânea de testes do ENEM O quadro a seguir mostra os dados consolidados de 2001 a 2008 e dos primeiros cinco meses de 2009. e) 2. como mostra a figura. gastando 30 segundos em cada série.34 bilhão de dólares. unidade de medida que representa um milhão de pontos.03 13. O programa de Joana requer que ela faça 3 séries de exercícios em 6 aparelhos diferentes.00 bilhões de dólares. assim como ao mudar de aparelho. Joana descansa por 60 segundos. d) um memory stick de 16 MB. Acesso em: 15 jul. d) 1. Nesse dia e nesse tempo.gov. c) um HD externo de 16 GB.br. respectivamente. e suponha que o ponto P x Q percorra. João fotografou 150 imagens para seu trabalho escolar.91 21.19 22.45 25. uma distância d < r sobre a circunferência. que reduzem em até 95% a quantidade de bytes necessários para armazená-las.63 14. 2009 (adaptado). Considere um ponto P y em uma circunferência de raio r no plano r P cartesiano. o ponto Q percorrerá. 1 MB = 1 000 KB. c) 1. ele deve utilizar 102 d r 39. Nesse caso. qual seria o valor mais aproximado da diferença entre os recursos despendidos com as importações e os recursos gerados com as exportações em 2009? a) 600 milhões de dólares.96 26. Se ele deseja armazená-las de modo que o espaço restante no dispositivo seja o menor espaço possível. . No aquecimento.anp. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo x. Então.53 9. b) um pendrive de 1 GB. 5 ocorridas de janeiro a maio de 2009. ela caminha durante 10 minutos na esteira e descansa durante 60 segundos para começar o primeiro exercício no primeiro aparelho.36 24.06 19.97 20. Joana tenha iniciado seus exercícios às 10h30min e finalizado às 11h7min.00 Exportação 6.44 bilhão de dólares.14 11.0 megapixels cujo algoritmo de compressão é de 95%. no sentido anti-horário. para evitar que as imagens ocupem muito espaço. 1 GB = 1 000 MB. no eixo x. em determinado dia. 38. b) poderia ter feito todos os exercícios e cumprido rigorosamente os períodos de descanso especificados em seu programa. 37. Considere que as importações e exportações de petróleo de junho a dezembro de 2009 sejam iguais a 7 das importações e exportações.00 *Valores apurados de janeiro a maio de 2009. Entre uma série e outra.93 21. uma distância dada por: a) r 1 – sen b) r 1 – cos c) r 1 – tg d) r sen e) r cos r d r d d r d r importação 24. Considere 1 KB = = 1 000 bytes.43 13. supondo que os preços para importação e exportação não sofram alterações.39 15. A resolução das câmeras digitais modernas é dada em megapixels. Joana a) não poderia fazer sequer a metade dos exercícios e dispor dos períodos de descanso especificados em seu programa. Disponível em: http://www.91 25.38 23. Suponha que. em geral. b) 840 milhões de dólares. As informações sobre cada um desses pontos são armazenadas. e) um cartão de memória de 64 MB. Joana frequenta uma academia de ginástica onde faz exercícios de musculação. Utilizando uma câmera de 2. em 3 bytes. c) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um plano é um segmento de reta. 43. quitação imediata.5.00 referentes ao cheque especial de seu banco e cinco parcelas de R$ 80. isto é. d) conseguiria fazer todos os exercícios e cumpriria todos os períodos de descanso especificados em seu programa.Matemática Volume Único c) poderia ter feito todos os exercícios. Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão? a) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas arestas laterais. com juros de 25% sobre o total emprestado. NF é o número de famílias estimadas como público-alvo do CadÚnico e NA é o número de cadastros domiciliares atualizados no perfil do CadÚnico. NV é o cadastros (TA). 42. Logo. Porém. em alguma dessas séries deveria ter feito uma série a menos e não deveria ter cumprido um dos períodos de descanso. e) O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma pirâmide por um plano é igual ao número de arestas laterais da pirâmide. mas teria de ter deixado de cumprir um dos períodos de descanso especificados em seu programa. o polígono tem 4 lados. João também poderia renegociar suas dívidas em 18 parcelas mensais de R$ 125. c) recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos. O Indicador do CadÚnico (ICadÚnico). um dos polígonos tem 4 lados. na mesma condição. Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios avançados. amigo de João. Assim.6. e) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do cheque especial.00 referentes ao cartão de crédito. é obtido por meio da média aritmética entre a taxa de cobertura qualificada de cadastros (TC) e a taxa de atualização de NV NA . vômitos ou mesmo agravamento dos 103 Suponha que o ICadÚnico de um município específico é 0. A opção que dá a João o menor gasto seria: . a) renegociar suas dívidas com o banco. o polígono tem 5 lados. dobrando NF o ICadÚnico cairá para 0. d) O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao número de faces da pirâmide. b) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas dívidas. caso João quitasse esta dívida imediatamente ou. em que TC = NF NV número de cadastros domiciliares válidos no perfil do CadÚnico. se o plano interceptar todas as faces. devido ao forte efeito dos seus componentes. Sabendo desses termos. ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18 meses. o polígono obtido nessa interseção tem 5 lados. que compõe o cálculo do Índice de Gestão Descentralizada do Programa Bolsa Família (IGD). e) não poderia fazer todas as 3 séries dos exercícios especificados em seu programa. a cada dose administrada há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo. Assim. Portaria nº 148 de 27 de abril de 2006 (adaptado). com 25% de desconto na dívida do cartão. Se NA + NV = 3 600. Após fazer um estudo das diferentes peças que poderia obter. d) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque especial e pagar as parcelas do cartão de crédito. João deve 12 parcelas de R$ 150. Porém. O gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no cheque especial. então NF é igual a: a) 10 000 b) 7 500 c) 5 000 d) 4 500 e) 3 000 41. esses pontos formam um polígono de 4 lados. ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal. divide cada face em um triângulo e um trapézio. 40. tais como dores de cabeça. quando um plano intercepta essa pirâmide. Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada com um plano. José. b) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e. e ainda se permitiria uma pausa de 7 min. TA = . Como a pirâmide tem 5 faces.00. Como a pirâmide tem 4 arestas laterais. voltou a preenchê-la. mas. c) 50 metros por 60 metros. em m3. As arestas da barra de chocolate no formato de . 8 ou 10 doses do medicamento. Considerando que a precipitação de chuva de 1 mm sobre uma área de 1 m2 produz 1 litro de água. b) 15 metros por 20 metros. 4.embrapa. Em seguida. o professor apagou a lousa por completo e. e) 10 doses. por região. 2009 (adaptado). o volume. devese acrescentar um adicional relativo ao coeficiente de evaporação. A cisterna é um recipiente utilizado para armazenar água da chuva. Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento. de acordo com o risco que o paciente pretende assumir. Desse modo. c) 6 doses. recomenda-se que a captação seja feita somente nos telhados das edificações. em cada período do ano. d) 8 doses.br. Acesso em: 8 jun. o telhado. pois assim teria uma área de 30 m2. 6. retangular.Coletânea de testes do ENEM sintomas da doença. e) 110 metros por 30 metros. Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos. e este resultado deve ser acrescido de 10%. Um professor dividiu a lousa da sala de aula em quatro partes iguais. pois assim teria uma área de 3 300 m2. utilizando 40% do espaço dela. qual é o maior número admissível de doses para esse paciente? a) 3 doses. Na dificuldade em se estabelecer um coeficiente confiável. preencheu 75% dela com conceitos e explicações. Os principais critérios a serem observados para captação e armazenagem de água da chuva são: a demanda diária de água na propriedade. conforme a figura seguinte.cnpsa. adotando um procedimento semelhante ao anterior. de uma cisterna é calculado por Vc = Vd × Ndia . podese calcular a área de um telhado a fim de atender a necessidade de armazenagem da seguinte maneira: área do telhado (em m2) = volume da cisterna (em litros)/precipitação. Uma representação possível para essa segunda situação é a) XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX b) XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX XXXXXX c) XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX d) XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX e) XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX XXXXX Para atender a uma demanda diária de 2 000 litros de água. o índice médio de precipitação (chuva). e a área de telhado necessária ou disponível para captação. d) 91 metros por 30 metros. pois assim teria uma área de 3 000 m2. Ndia = número de dias de armazenagem. a) 6 metros por 5 metros. o tempo necessário para armazenagem. Para melhorar a qualidade da água. pois assim teria uma área de 2 730 m2. deverá ter as dimensões mínimas de: 104 46. com período de armazenagem de 15 dias e precipitação média de 110 mm. em que Vd = volume de demanda da água diária (m3). dessa vez. pois assim teria uma área de 300 m2. b) 4 doses. Para fazer o cálculo do volume de uma cisterna. com o mesmo volume. O médico oferece tratamentos compostos por 3. 44. XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX XXXXX XXXXXXXX Algum tempo depois. a Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária (EMBRAPA) sugere que sejam adicionados 10% ao volume calculado de água. Disponível em: www. 45. 48.5 298. e) 8.Matemática Volume Único paralelepípedo medem 3 cm de largura.br (adaptado).7 354.0 m e 6.1 19. Índice de Massa Corporal: Um Questionamento Científico. Cardiologia. e) 227 500. Um atleta da modalidade Salto Triplo. possui uma melhor fundamentação matemática. do terceiro para o segundo salto.0 m. R. nessa região.0 m.4 341. . As fórmulas que determinam esses índices são: IMC = massa (kg) [altura (m)]2 RIP = altura (cm) d) 24 cm. Supondo que o total de pessoas pesquisadas na região metropolitana de Porto Alegre equivale a 250 000.3 371.9 19. Arq.0 m e 5. a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a a) 5 cm.1 403. e.0 m e 9. Acesso em: 28 abr. do qual o salto é realizado.8 315.2 m.6 526. Taxas de desemprego nas regiões metropolitanas março/2010 São Paulo Salvador Recife Porto Alegre Belo Horizonte Distrito Federal 0 5 10 9.1 200 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Almanaque Abril 2008.4 cm/kg 3 . Bras. percebeu que.00. já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura. Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado. volume 79. uma variável de dimensões lineares. 105 d) 223 000.8 400 422. depois de estudar seus movimentos. Disponível em: www.0 m e 8.00.cbat. nessa ordem. b) 5. 50. uma passada e um salto. RICARDO. então ela possui RIP igual a a) 0. a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre a) 4.com. Querendo atingir a meta de 17.00. D. 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura.7 15 20 25 13.4 Se uma menina com 64 kg de massa apresenta IMC igual a 25 kg/m2.globo. b) 2. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP).2 14. G. O GASTO MILITAR DOS ESTADOS UNIDOS SUPERA O DO FIM DA GUERRA FRIA Em bilhões de dólares 600 Queda do Muro de Berlim (fim da Guerra Fria) 500 426.5 289. Analisando as características das figuras geométricas descritas. e) 40 cm/kg 3 .org. na passada ele cairá com o outro pé.1 536.0 m e 7. Com base no gráfico.8 334.0 m. 1 1 d) 7. o gasto militar no início da guerra no Iraque foi de a) US$ 4 174 000. 417. S. no período de 1988 a 2006. o alcance diminuía em 1. existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas.4 m nessa prova e considerando os seus estudos. do segundo para o primeiro salto. foi de a) 24 500. b) 6 cm.8 10.3 1 1 1 d) 20 cm/kg 3 . 2002 (adaptado).0 m. b) 25 000.1 Início da guerra no Iraque 300 EUA entram na Guerra do Golfo 315.00. Os dados do gráfico seguinte foram gerados a partir de dados colhidos no conjunto de seis regiões metropolitanas pelo Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Socioeconômicos (Dieese). e) 25 cm. c) 220 500.5 cm/kg 3 .7 Atentado de 11 de setembro: ação militar no Afeganistão 486. Editora Abril. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão. d) US$ 41 740 000 000. 2010 (adaptado).5 m. c) 8 cm/kg 3 . nº 1. O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé.4 354. C.00. c) 12 cm. 47.0 m. Baseado em Evidências. Disponível em: http:/ /g1.1 290.7 304. 49. c) 6. o número de desempregados em março de 2010. de acordo com o modelo alométrico.. √ massa (kg) 3 ARAUJO.7 301. b) US$ 41 740 000. o alcance diminuía 1. O gráfico a seguir apresenta o gasto militar dos Estados Unidos. c) US$ 417 400 000. e) US$ 417 400 000 000. na região de Presidente Prudente. Concluiu que.20.5 km Altura (cm) 180 171 148 51 0 10 17 Idade (anos) c) Altura (cm) 180 171 148 52.br. um de R$ 0. Que gráfico melhor representa a altura do filho desse casal em função da idade? a) Altura (cm) 180 171 148 51 0 60° 1. Uma escola recebeu do governo uma verba de R$ 1 000. Acesso em: 2 maio 2010. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus.com. França.00 para enviar dois tipos de folhetos pelo correio. para o primeiro tipo de folheto. alinhada com a primeira. Argentina. a variação da sua altura se dava de forma mais rápida do que dos 10 106 0 10 17 Idade (anos) . conforme se vê na figura.Coletânea de testes do ENEM 51.7 km B 10 17 Idade (anos) b) Na data do acontecido.8 km b) 1. Uma estava a 1.65 foram comprados? a) 476 b) 675 c) 923 d) 965 e) 1 538 51 0 10 17 Idade (anos) d) Altura (cm) 180 171 148 51 0 10 17 Idade (anos) e) Altura (cm) 180 171 148 51 53. esse casal fez um gráfico relacionando as alturas do filho nas idades consideradas.1 km d) 3.8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°. essa variação passava a ser cada vez menor. um casal constatou que. Acompanhando o crescimento do filho. de 0 a 10 anos. Disponível em: http://www.65. um de R$ 0.60 e um de R$ 0. e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição. a partir de 17 anos. duas pessoas avistaram o balão. Quantos selos de R$ 0. e o avistou sob um ângulo de 30°. Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão? a) 1. e no mesmo sentido. bastava um selo de R$ 0. até se tornar imperceptível.8 km A 30° 3. Para ilustrar essa situação.7 km e) 5.correiodobrasil. a outra estava a 5. na noite do último domingo.65 enquanto para folhetos do segundo tipo seriam necessários três selos. assustando agricultores da região.9 km c) 3. Um balão atmosférico. para a medição do comportamento da camada de ozônio.5 km da posição vertical do balão. Inglaterra e Itália. caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista. O diretor da escola pesquisou que tipos de selos deveriam ser utilizados. lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo). desenvolvido por Brasil. Balão aos 17 anos e. O diretor solicitou que se comprassem selos de modo que fossem postados exatamente 500 folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante de selos que permitisse o envio do máximo possível de folhetos do primeiro tipo. a produção mundial de etanol foi de 40 bilhões de litros e a de biodiesel.com.0%. B. 57.com. ele empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência mostrada no esquema a seguir. direta e direta. direta e direta. a produção mundial de etanol seja a mesma de 2006 e que os Estados Unidos produzirão somente a metade de sua produção de 2006. a) direta. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. direta e inversa. pode-se exemplificar o estudo das grandezas que influem na resistência elétrica utilizando as figuras seguintes.abril. Acesso em: 2 maio 2009.).5%. 55. por meio dessa propriedade.Matemática Volume Único 54. b) à mesma área do triângulo BNC. B P A M C N A região demarcada pelas estacas A.) e área da secção transversal (A) são. b) direta. Considerando os resistores como fios. e entre comprimento (. ao passo que a produção dos Estados Unidos da América. Disponível em: www. e) ao triplo da área do triângulo MNC. Em 2006. Eles verificaram que existe proporcionalidade entre: • resistência (R) e comprimento (. inversa e direta. a) 22. dado o mesmo comprimento (. Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Acesso em: abr. qual será a soma da 9ª linha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo? a) 9 b) 45 c) 64 d) 81 e) 285 1 2 3 1 2 1 d) 65. e) 77. A partir dessa propriedade. Numa dessas brincadeiras.5%. usando milho.. de 6. d) inversa. Nessas condições. três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo. 107 . e) inversa.efeitojoule. fio condutor A resistência R Considerando que.). a produção brasileira de etanol correspondeu a 43% da produção mundial. em 2009. aproximadamente.5 bilhões. o Brasil deve aumentar sua produção em. • resistência (R) e área da secção transversal (A). A resistência elétrica e as dimensões do condutor A relação da resistência elétrica com as dimensões do condutor foi estudada por um grupo de cientistas por meio de vários experimentos de eletricidade. As figuras mostram que as proporcionalidades existentes entre resistência (R) e comprimento (. Foi possível perceber que. fios de mesmo material A resistência R fios de mesmo material A resistência R fios de mesmo material A resistência R A resistência 2R 2 2A resistência R 2 2A resistência R 2 Disponível em: http://www. M e N deveria ser calçada com concreto.) e área da secção transversal (A). d) ao dobro da área do triângulo MNC.. em que as estacas foram indicadas por letras. Neste mesmo ano. 2010 (adaptado). direta e inversa. resistência (R) e área da secção transversal (A). para que o total produzido pelo Brasil e pelos Estados Unidos continue correspondendo a 88% da produção mundial. Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que.br. c) 52. respectivamente. foi de 45%. conforme pode ser visto na figura. das seis estacas colocadas. Ronaldo é um garoto que adora brincar com números. 1 1 1 1 2 2 3 2 3 4 .planetasustentavel.) e • comprimento (. 56.3%. c) direta. b) 50. era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas. c) à metade da área formada pelo triângulo ABC. dada a mesma secção transversal (A). dada a mesma resistência (R). a área a ser calçada corresponde a) à mesma área do triângulo AMC.5%. com. Atividades matemáticas. com medidas indicadas nas figuras.estadao. uma professora fez uma suposição de que o diâmetro do olho humano mede aproximadamente 2. 3 e) III. . 100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Alguns testes de preferência por bebedouros de água foram realizados com bovinos. em três tamanhos. pela relação área/capacidade de armazenamen3 to de .br. Uma empresa vende tanques de combustíveis de formato cilíndrico. Gradiva. e o diâmetro do espelho primário do telescópio citado? a) 1 : 20 b) 1 : 100 c) 1 : 200 60. pela relação área/capacidade de armazenamento 4 de . O E-ELT terá um espelho primário de 42 m de diâmetro. Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa. Disponível em: http://www. pela relação área/capacidade de armazenamento 1 de . respectivamente. O dono de um posto de combustível deseja encomendar um tanque com menor custo por metro cúbico de capacidade de armazenamento. após o rolo ter dado uma volta completa sem deslizar. envolvendo três tipos de bebedouros. e) y 5 4pR. com 30 cm de altura. qual das figuras a seguir representa uma planificação para o bebedouro 3? a) 100 cm d) 60 cm 60 cm 100 cm 60 cm b) 100 cm 60 cm e) 60 cm 100 cm c) 100 cm 60 cm 60 cm 59. o Telescópio Europeu Extremamente Grande (E-ELT). no deserto de Atacama. Brian. 120 cm 60 cm Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho humano. Ao ler esse texto em uma sala de aula. suposto pela professora. 2010 (adaptado). c) y 5 pR.1 cm. Os três recipientes estão ilustrados na figura. e diâmetro da base superior igual a 120 cm e 60 cm. b) y 5 2R. pela relação área/capacidade de armazenamen2 to de . é a) y 5 R. BOLT. O preço do tanque é diretamente proporcional à medida da área da superfície lateral do tanque. de formatos e tamanhos diferentes. d) y 5 2pR. Ed. de altura igual a 60 cm. 4 d) III. em metros. A ideia de usar rolos circulares para deslocar objetos pesados provavelmente surgiu com os antigos egípcios ao construírem as pirâmides. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular reto. O bebedouro 3 é um semicilindro. “o maior olho do mundo voltado para o céu”. 108 Representando por R o raio da base dos rolos cilíndricos. No monte de Cerro Armazones. 4m 4m 6m (I) 8m (II) 6m 8m (III) d) 1 : 1 000 e) 1 : 2 000 60 cm 60 cm Bebedouro 1 60 cm 0 10 cm Bebedouro 2 30 cm Bebedouro 3 Qual dos tanques deverá ser escolhido pelo dono do posto? (Considere p > 3.Coletânea de testes do ENEM 58. Acesso em: 27 abr. ficará o maior telescópio da superfície terrestre.) a) I. 3 c) II. to de 12 61. 3 b) I. a expressão do deslocamento horizontal y do bloco de pedra em função de R. pela relação área/capacidade de armazenamen7 . e 33. d 10. c 36. d 16. d 61. e 15. d 21. e 29. d 56. d 32. e 18. b 47. c 52. c 53. b 39. a 51. a 27. c 55. c 11. e 3. a 5. e 24. a 23. d 9. b 35. b 28. c 4. a 54. d 6. b 45. d 26. d 20. d 48. b 40. d 34. a 31. d 25. e 109 . e 60. c 12. b 22. e 49. c 43. c 46.Matemática Volume Único Coletânea de testes do ENEm respostas 1. c 58. e 38. d 19. c 37. b 44. e 59. e 57. e 8. b 30. d 13. e 42. c 7. c 41. a 14. d 2. e 50. d 17. 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