Vetoresparalelogramo desenhado para se obterem os dois componentes é um retângulo, e Fx e Fy são chamados de componentes retangulares. Vetores são definidos como expressões matemáticas que tem intensidade, direção e sentido. São representados por seta acima da letra usada para representá-lo . Um usado vetor usado para representar uma força que atua sobre uma dada partícula tem um ponto de aplicação bem definido, a saber, a partícula propriamente dita. Dois vetores que têm a mesma intensidade, a mesma direção e o mesmo sentido são considerados iguais, independentemente de terem ou não o mesmo ponto de aplicação; vetores iguais podem ser representados pela mesma letra. O vetor oposto de um dado vetor P é definido como um vetor que tem a mesma intensidade e a mesma direção de P e um sentido oposto ao de P; o oposto de um vetor P é denotado por –P. Em geral nos referimos aos vetores P e –P como vetores iguais e opostos.Obviamente P+(-P) = 0. Os eixos x e y são, geralmente escolhidos na horizontal e na vertical, respectivamente, como na Figura; podem, entretanto, ser escolhidos em duas direções perpendiculares quaisquer. Vetores iguais Dois vetores de intensidade unitária, dirigidos respectivamente ao longo dos eixos positivos x e y, serão introduzidos nesse ponto. Esses vetores são denominados vetores unitários e são representados por i e j, respectivamente. Os componentes retangulares Fx e Fy da força F podem ser obtidos multiplicando-se respectivamente os vetores unitários i e j pelos escalares apropriados. Escrevemos Fx = Fxi Vetores opostos e F = Fxi + Fy j Decomposição de Vetores – Componentes Retangulares de uma Força Em muitos problemas será desejável decompor uma força em dois componentes que são perpendiculares entre si. Na figura, a força F foi decomposta em um componente Fx ao longo do eixo x e um componente Fy ao longo do eixo y. O Fy = Fy j medido no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo. Um homem puxa com a força de 300N uma corda amarrada a um edifício. Quais são os componentes horizontal e vertical da força exercida pela corda no ponto A? A intensidade da força F pode ser obtida aplicando o teorema de Pitágoras e escrevendose: F= Fx2 Fy2 . Quando a força F é definida pelos seus componentes retangulares Fx e Fy . Representando por F a intensidade da força F e por o ângulo entre F e o eixo x. ________________________________________ . como mostra a Figura. de 00 a 3600. Determine a intensidade da força e o ângulo que ela forma com a horizontal.sen Notamos que as relações obtidas valem para qualquer valor do ângulo . como mostra a figura. o ângulo definindo sua direção pode ser obtido escrevendose tg Fy Fx . 02. Uma força de 800N é exercida no parafuso A. Fy = F. o mesmo sentido que o eixo x positivo) e é negativo quando Fx tiver sentido oposto.cos e ________________________________________ Exercícios: 01.750N) j é aplicada a um parafuso A. podemos expressar os componentes retangulares de F da seguinte maneira: Fx = F. 03.Para que não haja confusão. Uma força F = (3. e que elas definem tanto o sinal quanto o valor absoluto dos componentes escalares Fx e Fy. o componente escalar Fx é positivo quando o componente vetorial Fx tiver o mesmo sentido que o vetor unitário i (ou seja. Determine os componentes vertical e horizontal dessa força.150N) i + (6. Pode-se chegar a uma conclusão semelhante com relação ao sinal do componente escalar Fy. Sabendo que P deve ter um componente vertical de 960N. O cabo de sustentação BD exerce no poste telefônico AC uma força P dirigida ao longo de BD. O elemento BD exerce sobre o elemento ABC uma força P dirigida ao longo da linha BD. (D) 07. Sabendo que P deve ter um componente horizontal de 1170N. determine (a) a intensidade da força P. Determine os componentes x e y de cada uma das forças indicadas: (A) (B) 05. determine a intensidade da . determine (a) a intensidade da força P e. (b) seu componente horizontal. (C) 06.O elemento CB de um torno de bancada (morsa) exerce no bloco B uma força P dirigida ao longo da linha CB.04. e (b) seu componente vertical. Sabendo que P tem um componente de 450N ao longo da linha AC. medida no sentido anti-horário. R=P+Q+R Decompondo cada força em seus componetes retangulares. a determinação da resultante R é feita em três passos. em notação reduzida. Por fim. Este é o único método analítico prático para a adição de três ou mais forças. Adicionado esses componentes. em relação ao eixo x positivo. a solução analítica do problema pode ser obtida decompondo-se cada força em dois componentes retangulares. e (b) seu componente em direção perpendicular a AC. tres forças.força P. a resulatnte R = Rxi + Ry j é determinada aplicando-se a lei do paralelogramo. Q e R atuando sobre uma partícula A. a resultante é obtida pela relação: Exemplo: Determine a intensidade da força resultante e indique sua direção. obtemos os Exercícios: 01. Primeiro as forças são decompostas em seus componentes x e y de R. componentes x e y de R. escrevemos Rxi + Ry j = Pxi + Pyj + Qxi + Qyj + Rxi + Ryj = (Px + Qx + Sx) i + (Py + Qy + Sy) j De onde temos que Rx = Px + Qx + Sx Ry = Py + Qy + Sy Ou. Rx = Fx Ry = Fy Concluímos que os componentes escalares Rx e Ry da resultante R de várias forças que atuem sobre uma partícula são obtidos adicionando-se algebricamente os correspondentes componentes escalares das forças dadas. Considere.Determine a resultante das forças mostradas: (A) . Adição de Forças Pela Soma dos Componetes XeY Quando três ou mais forças são adicionadas. P. Na prática. por exemplo. (C) F x 0 e F y 0 Exercícios 01.Dois cabos estão atados em C. cada força poderá ser decomposta em componentes x e y e para a condição de equilíbrio é necessário que as seguintes condições sejam atendidas. em cada caso: A) (D) . Determine as trações em AC e BC.(B) Equilíbrio de uma Partícula Se um ponto material estiver submetido a um sistema de vária forças coplanares e colineares. . onde é aplicada uma carga. 04. Dois cabos estão ligados em C e são carregados tal como mostra a figura. determine (a) a intensidade dessa força e (b) a tração no cabo BC. 05. Determine a tração (a) no cabo AC e (b) no cabo BC. Sabendo que α = 25◦. 02. Sabendo que α = 30º .Sabendo que α = 50º e que a haste AC exerce no pino C uma força dirigida ao longo da linha AC.B) C) 03. determine a tração (a) no cabo AC e (b) no cabo BC.Dois cabos estão ligados em C e são carregados tal como mostra a figura. . determine a tração (a) no cabo AC e (b) na corda BC. seny. mostrada na figura. A direção de F pode ser decomposta em um componente vertical Fy e um componente horizontal Fh. mostrada na figura.y e z. Para definir a direção de F.Um teleférico parou na posição indicada. 09. podem ser formulados e solucionados em um único plano. Quatro elementos de madeira são unidos com placas conectoras metálicas e estão em equilíbrio sob a ação das quatro forças mostradas. Dois cabos ligados em C são carregados tal como mostra a figura. A Partir deste ponto. essa operação. consideraram somente duas dimensões. vamos discutir problemas que envolvem as três dimensões do espaço. é feita no plano OBAC de acordo com as regras desenvolvidas na primeira parte do estudo. determine a tração (a) no cabo AC e (b) no cabo BC. determine as intensidades das forçaas exercidas nas hastes A e B. Sabendo que FA = 2295N e FB = 2160N.cos . Considere a força F atuando na origem do sistema de coordenadas retangulares x. 08. Duas forças P e Q são aplicadas tal como mostra a figura a uma conexão de uma aeronave. cadeira pesa 300N e que o esquiador que está na cadeira E pesa 890N.cos = F. é feita no plano xz. Sabendo que a conexão está em equilíbrio e P = 1800N e Q = 2340N. sua orientação é definida pelo ângulo que ele forma com o plano xy. Sabendo que cada. determine o peso do esquiador da cadeira F.cosy Fh = F. 07. Sabendo que W = 840N. Forças no Espaço Componentes Retangulares de uma força no Espaço Os problemas considerados na primeira parte do estudo. respectivamente. Obtemos as seguintes expressões para os componentes escalares correspondentes: Fx = Fh. traçamos o plano vertical OABC contendo F.06. Esse plano passa pelo eixo vertical y.seny Mas Fh pode ser decomposta em dois componentes retangualres Fx e Fz ao longo dos eixos x e z. Essa operação. determine as intensidades das outras duas forças. Os componentes escalares correspondentes são: Fy = F. _________________________________________ Fx = F. Fy. com os eixos x. Exemplo 02: A força F tem os componentes F x. .sen A força F dada foi então decomposta em três componentes retangulares vetoriais Fx . dirigidos respectivamente ao longo dos eixos x. eles são mais comumente usados para essa finalidade do que os ângulos y e apresentados no ínicio. obtemos a seguinte relação entre a intensidade de F e seus componentes retangulares escalares: F2 = Fx2 + Fy2 + Fz2 A relação existente entre a força F e seus três componentes Fx.cosx _________________________________________ Aplicando o teorema de Pitágoras aos triângulos OAB e OCD da figura acima. Fz como arestas for desenhada como tal mostra a figura. Fz que estão dirigidos ao longo dos três eixos coordenados. Fz da força. Fy. Introduzindo os vetores unitários i. Fy. seny. y z definem a direção da força F. j e K. y e z. A força F é então representada pela diagonal AO dessa caixa.Fz = Fh. = 90N.sen = F. Fz é mais facilmente visualizada se uma “caixa” tendo Fx. Determine sua intensidade F e os ângulos x. Fy. Os cossenos de x. respectivamente. podemos expressar F na forma F = F x i + Fy j + Fz k Exemplo 01: Uma força de 500N forma ângulos de 60 0. Encontre os componentes Fx. y z são conhecidos como cossenos diretores da força F. Fy = F.cosz Os três ângulos x. = -135N. 450 e 1200. Fy. y e z. Fz = 270 N.cosy Fz = F. y z que essa força forma com os eixos coordenados. escrevemos: F2 = (AO)2 = (OB)2 + (BA)2 = Fy2 + Fh2 2 2 2 2 2 x 2 Fh = (OC) = (OD) + (DC) = F + Fz Eliminando Fh2 dessas duas equações e resolvendo para F. z2). Calcule. temos: 03. escrevemos seus dz . Substituindo por de dx i + dy j + dz k e observando que MN é igual a distância d e M a N. y z que forma com os eixos coordenados.Determine (a) os componentes x. os cabos AB e AC são amarrados na parte superior do tronco da árvore e depois são presos a hastes de aço ancoradas no chão. determine (a) os componentes x. 02.y e z da força de 1890N e (b) os ângulos x. Representando componentes escalares por dx. Exemplo 04: Um cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de um parafuso em A. A componente de uma força de 300N no plano xz vale 260N e seu ângulo formado com o eixo é de 30º. z1) e N (x2. = dx i + dy j + dz k O vetor unitário λ ao longo da linha de ação de F pode ser obtido dividindo-se o vetor por sua intensidade d (MN). M (x1. Determine (a) os componentes Fx.2KN. y1.Determine (a) os componentes x. e (b) os ângulos x. A tração no cabo é de 2500N. como mostra a figura. escrevemos Lembrando que F é igual ao produto de F e λ. a direção de uma força F é definida pela coordenada de dois pontos. Fy.y e z da força exercida por esse cabo na árvore. y2. y z que definem a direção da força. dy e respectivamente. Sabendo que a tração no cabo AB é 4. y z que forma com os eixos coordenados. . localizados em sua linha de ação. Fz da força que atua sobre o parafuso.Exemplo 03. e (b) os ângulos x. mesmo sentido de F.Para se estabilizar uma árvore parcialmente arrancada durante uma tempestade. Força definida por sua Intensidade e por dois pontos em sua linha de Ação Em muitas aplicações. y z que forma com os eixos em A paralelos aos eixos coordenados.y e z da força de 900N e (b) os ângulos x. Considere o vetor N e ligando M e de 01. e (b) os ângulos x. 10. Uma placa circular horizontal está suspensa. Sabendo que o componente x da força exercida pelo fio CD na placa é de -180N. 05. determine (a) os componentes da força exercida por esse fio na placa e (b) os ângulos θ x. como mostra a figura. 09. Determine a intensidade.04. Para se estabilizar uma árvore parcialmente arrancada durante uma tempestade. 07 e 08. θy e θz que a força exercida em A forma com os eixos coordenados. 06. Utilize a figura abaixo para resolver as questões 11 e 12. como mostra a figura.28N. 08. determine (a) a tração no fio CD e (b) os ângulos θx. Sabendo que a tração no cabo AC é 3. Sabendo que tração no fio CD é 540N. como mostra a figura. Uma placa circular horizontal está suspensa. a direção e o sentido da força F = (400N) i .6N.(1200N) j + (300N) k. por três fios que estão ligados a um suporte D e forma ângulos de 30 0 com a vertical. determine (a) a tração no fio BD e (b) os ângulos θx. por três fios que estão ligados a um suporte D e forma ângulos de 30 0 com a vertical. y z que forma com os eixos em A paralelos aos eixos coordenados.y e z da força exercidapor esse cabo na árvore.Uma placa circular horizontal está suspensa. θy e θz que a força exercida em C forma com os eixos coordenados. Determine a intensidade. por três fios que estão ligados a um suporte D e forma ângulos de 30 0 com a vertical. por três fios que estão ligados a um suporte D e forma ângulos de 30 0 com a vertical. determine (a) a tração no fio AD e (b) os ângulos θx. Uma placa circular horizontal está suspensa. θy e θz que a força exercida em C forma com os eixos coordenados.6KN. os cabos AB e AC são amarrados na parte superior do tronco da árvore e depois são presos a hastes de aço ancoradas no chão. 06. como mostra a figura. Sabendo que o componente x da força exercida pelo fio AD na placa é de 220. determine (a) os componentes x. Utilize a figura para resolver as questões 05. θy e θz que a força exercida em B forma com os eixos coordenados. 07. a direção e o sentido da força F = (3600N) i + (1170N) j – (1440N) k. Sabendo que o componente z da força exercida pelo fio BD na placa é de -64. . . Uma placa retangular é sustentada por três cabos. que estão amarrados ao anel em B. Utilize a figura abaixo para resolver as questões 15 e 16. em parte. determine os componentes da força exercida pelo cabo no parafuso em B. 16. expressando que os componentes da resultante são zero. e Fz = 0. em parte. Utilize a figura abaixo para resolver as questões 13 e 14. 15. tal como mostra a figura. C e D. De acordo com a definição dada. determine os componentes da força exercida pelo cabo no parafuso em D. Uma torre de transmissão é sustentada por três cabos de sustentação ancorados por parafusos em B. tal como mostra a figura. Fy = 0. determine os componentes dessa força exercida pelo cabo no suporte em E. determine os componentes da força exercida em D. Uma placa retangular é sustentada por três cabos. 01) Um caixote de 750 kg é sustentado por três cabos.96m e é sustentada. C e D.11. e Fz = Rz. Uma barra de aço é curvada em forma de anel semicircular de raio 0. Uma barra de aço é curvada em forma de anel semicircular de raio 0. determine os componentes da força exercida em B. Podem ser usadas na resolução de problemas relacionados ao equilíbrio de uma partícula que envolvam não mais do que três incógnitas. uma partícula A estará em equilíbrio se a resultante de todas as forças que atuam em A for zero. deve-se primeiro desenhar um diagrama de corpo livre representando a partícula em equilíbrio e todas as forças que atuam nela. Uma torre de transmissão é sustentada por três cabos de sustentação ancorados por parafusos em B. pelos cabos BD e BE. Sabendo que a tração no cabo BD é de 220N. determine os componentes dessa força exercida pelo cabo no suporte em D. Equilíbrio de uma Partícula no Espaço 13. Sabendo que a tração no cabo BE é de 250N. como mostra a figura.. Os componentes Rx. que estão amarrados ao anel em B. Sabendo que a tração no cabo AD é 918N.96m e é sustentada. Se a tração no cabo AD é 1260N. Ry e Rz da resultante são dados pelas relações Fx = Rx. 12. pelos cabos BD e BE. Se a tração no cabo AB é 918N. Sabendo que a tração no cabo AB é 918N. As Equações representam as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de uma partícula no espaço. escrevemos Fx =0 . 14. . Determine a tração em cada cabo. Para resolver tais problemas. Fy = Ry. .02. tal como mostra a ilustração. sabendo que as força nos elementos AB. 03. determine a intensidade de P. Três cabos são usados para amarrar uma balão. 04. Determine a tração em cada cabo. O conjunto de apoios mostrado na ilustração é aparafusado no local em B. e sustenta uma força P para baixo em A. Determine a força vertical P exercida pelo balão em A. sabendo que a tração no cabo AB é 270N. C e D. Um recipiente de peso P=1160N está suspenso por três cabos. AC e AD são dirigidas ao longo dos seus respectivos elementos e que a força no elemento AB é 146N. como ilustrado. A caminhoneta precisa ser rebocada usando duas cordas. Determine a tração (a) no cabo AC e (b) no cabo BC. . Considere = 50◦.KN (B) 04.6. orientada ao longo do eixo x positivo. 05. determine a tração (a) no cabo AC e (b) na corda BC. determine a intensidade da força T que atua sobre a argola e seu ângulo . FA = 774N e FB = 346 N 02. Determine a resultante das forças mostradas: (A) 03. Sabendo que α = 30◦. Dois cabos estão ligados em C e são carregados tal como mostra a figura.Trabalho de Estática 01.6o e T = 6. Determine as intensidades das forças FA e FB que atuam em cada corda para produzir uma força de intensidade de 950N. Se a intensidade da força resultante deve ser 9KN direcionada ao longo do eixo x positivo. =30. Se a intensidade da força resultante que atua sobre a argola é de 600N e sua direção no sentido horário do eixo x positivo é = 30o. R: =42. determine a intensidade de F1 e o ângulo .90 R=2785Kg 08. Se o bloco D pesa 1. de modo que nenhum cabo se rompa. se o navio está se movendo para a frente em velocidade constante.5KN e o bloco B pesa 1. Determine a força em cada um dos cabos de amarração. 10. TBC = 22.6KN 09.2KN e = 40. determine a massa da viga que pode ser suspensa pelo cabo AB.06.3 KN e TBD = 32.O pendente de reboque AB está submetido à força de 50KN exercida por um rebocador. O centro de massa da viga está localizado ao ponto G.Se os cabos BD e BC podem suportar uma força de tração máxima de 20KN. determine o peso do bloco C e o ângulo para o equilíbrio. Pc=1.375 KN.4o F1=730. FBD = 440N . FBC = 228N .9N 07. BC e BD.Determine a tração desenvolvida em cada um dos fios usados para sustentar o candelabro de 50Kg. FAB = 622N . R: FCD = 359N . 11. Se uma força F = 300 N é aplicada horizontalmente no anel A. R: 48.289 KN R: 2. determine a dimensão d. determine a maior massa do candelabro que pode ser suportada. R: W = 0. de modo que nenhum fio desenvolva uma tração maior que 0.A esfera D possui uma massa de 20Kg.Determine o peso máximo do balde que o sistema de fios pode suportar.2 Kg. Se a tração desenvolvida em cada um dos quatro fios não pode exceder 600N. 12.5KN.42m . 13. de modo que a força no cabo AC seja zero.