Prof.Jorge Targino RESUMO DE PROBABILIDADES 1.1 INTRODUÇÃO: Elementos do estudo das probabilidades O problema fundamental da estatística consiste em lidar com o acaso e a incerteza.Os eventos que dependem do acaso sempre foram considerados misteriosos. As conquistas científicas dos séculos que seguiram a Renascença, enfatizando a observação e a experimentação, deram origem à teoria da probabilidade, para estudar as leis da natureza e os problemas da vida cotidiana. Neste curso veremos como a incerteza pode realmente ser medida, como podemos associar-lhes números e como interpretar esses números. No curso anterior vimos como caracterizar uma massa de dados, a fim de organizar e resumir informações. Agora, veremos um pouco da Estatística Inferencial, que está fundamentada em modelos matemáticos probabilísticos, assim é conveniente dispormos de uma medida que exprima a incerteza presente em afirmações tais como “É possível que chova amanhã”, ou “Não há chance de vitória”, em termos de uma escala numérica. Essa medida é probabilidade. A teoria das Probabilidades é um ramo da matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios. Devemos esclarecer que esta técnica é bastante intuitiva e não existe “fórmulas” específicas para todos os problemas. Cada caso é um caso e deve ser estudado com muito cuidado. Motivação: Considere os seguintes problemas: • • • Fazendo a aposta mínima na Mega Sena, qual é a chance de acertar as seis dezenas? Se um aluno “chutar” cinco testes (cada um com quatro alternativas) em um exame de vestibular, qual é a probabilidade de acertar pelo menos dois? Lançando dois dados simultaneamente, qual é a probabilidade de saírem números iguais? A teoria das probabilidades nos ajuda a resolver problemas como estes e muitos outros. 1.1.1 Experimento determinístico e Experimento aleatório Dentro de certas condições, é possível prever a que temperatura o leite ferve. Este tipo de experimento, cujo resultado é previsível, recebe o nome de determinístico. No entanto, ao lançarmos um dado uma ou mais vezes, sob as mesmas condições, não podemos saber com antecedência o número obtido; sabemos apenas que os possíveis resultados são: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Este tipo de experimento, cujo resultado não pode ser previsto, é chamado aleatório. Exemplo de experimentos aleatórios: O sorteio da quina da Loto; Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar o seu naipe; O sorteio do primeiro prêmio da Loteria Federal; O lançamento de uma moeda honesta; Lançar duas moedas e observar as faces voltadas para cima; Lançamento de um dado honesto; De uma urna contendo 4 bolas brancas e 5 vermelhas, retirar 1 bola e observar sua cor. 1.1.2 Experimentos aleatórios equiprováveis São experimentos onde qualquer resultado pode ocorrer com a mesma chance. Exemplo: No lançamento de uma moeda, a probabilidade de ocorrer cara ou coroa é a mesma. 1.2 ESPAÇO AMOSTRAL OU CONJUNTO UNIVERSO É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório (equiprovável) que será indicado por S Indicaremos o número de elementos de um espaço amostral por n(S). Exemplos: 1) Quando se lançam duas moedas e se observam as faces voltadas para cima, sendo as faces da moeda cara(c) e coroa(k), o espaço amostral do experimento é: S={(c,c), (c,k), (k,c), (k,k)} e n(S)=4 2) Lançam-se dois dados, (um azul e um branco), e observam-se os números das faces voltadas para cima. Sejam: Dado azul Dado branco 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) 1 2 3 4 5 6 Experimento aleatório: Lançar dois dados S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (Todos os resultados possíveis do experimento aleatório) 1 vamos construir o diagrama da árvore. ao acaso. (B. Muitas vezes um evento pode ser caracterizado por um fato.(c. Seja: vermelha=V e branca=B 1ª extração V 2ª extração V B V B B Experimento aleatório: Extrair duas bolas.c)} onde n( E 2 )=3 2) No lançamento de dois dados.(k.(6.k).k)} onde n( E1 )=2 E 2 : aparecer cara em pelo menos uma moeda E 2 = {(c. definimos: Experimento: Lançar duas moedas S={(c.c).V).(k. temos: Considerando c = cara e k = coroa. temos: Experimento: Lançar dois dados 2 .(6. (V.c).(6. (B.5).(k. sucessivamente e sem reposição S ={(V.B)} n( Ω )= 4 Ponto amostral: É cada elemento do espaço amostral (S). sucessivamente e sem reposição. 1.(c. Exemplos: 1) No lançamento de duas moedas.4).3 EVENTO Evento (E) é qualquer subconjunto de um espaço amostral S. Para determinar S.B).k). Duas bolas são extraídas.(k.1).(6.6)} n(S)=36 (nº de elementos de S) 3) Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 4 brancas.2).3).c).k)} Sejam os eventos: E1 : aparecerem faces iguais E1 ={(c.c). Observamos a seqüência de cores das bolas sorteadas. ao acaso.(6.(6.V). 1).(1.4).6) (4.4).1).(2.(6.(2.(3.5).2).(3.(6.2). é tudo o que não está em E mas está no espaço amostralS).(4.1).4).(5.(2.(2.(1.3)} . n( E 4 )=3 1.4).2).(2.1).5).(6.(5.1).(1.2). n( E 5 )=36 1.(1.(4.(2.(1. é tal que Ec =S . (E=S) E 5 : a soma dos resultados dos dois dados é menor ou igual a 12 E 5 =S .(6.(2. n( E 3 )=6 E 4 : o número do primeiro dado é o dobro do número do segundo dado E 4 ={(2.(6.1)} .(2.6)}.(4. n( E 2 )=12 E 3 : a soma dos resultados é menor ou igual a 4 E 3 ={(1.(1.(5.(4.5).1).5).5).(1.3 Evento Simples: evento que possui um único elemento E 7 : a soma dos resultados nos dois dados é igual a 12.6)} .1).(2.3).3). n( E1 )=6 E 2 : o primeiro número é menor ou igual a 2 E 2 ={(1.(3.3).S={(1.1). indicado por Ec (ou A ).2).3.2).3).5).4).(2.(4.6) (5.(6.(3.3).4).6)} .(1.3).2).3).6) (6. o evento complementar de E.(1.(3.(1.5).6).6) (2.(2.2). E 7 ={(6.3.3).4).(4.4).2). Notemos que E ∩ E c = O e E ∪ E c = S / Ω Ec E 3 .4).5).3.1 Evento Certo: evento que possui os mesmos elementos do espaço amostral.3.(5.(5.(2.1).6) (3.E (ou seja.(2.2).(1. O ) / E 6 : o número do primeiro dado é igual a sete E 6 = O .2). n( E 7 )=1 1.5).(3.(3. n( E 6 )=0 / 1.1).(2.2).(6.4 Evento Complementar: Se E é um evento de um espaço amostral S.(4.6)} n(S)=36 E1 : aparecerem números iguais E1 ={(1.1).2 Evento Impossível: evento igual ao conjunto vazio (E =.1).3).(5.3).(1. 3).(5.(5.(2.4).(3.(6.4).(4.(6. então A ∩ B = o (ou seja.(1.1).6)} n(Ac)=24 1.5).(1.(2.1).(4.4).(3.(4. Determinar: a) espaço amostral S b) evento E1 : sair 2 caras e 1 coroa c) evento E 2 : sair 3 caras 4 .1).6) (4.(5.(5.3.1).(6.4).1).(1.(3.2).(2.1). / Ex: Sejam os eventos: A: quando se lança um dado.(5.6) (5.6)}.5).(6.1). Ac = Ω .(2.(1.(5.6) (3. n(A)=12 Logo.2).3).4).(4. o número na face voltada para cima é divisível por 4 ⇒ B={4} Os eventos A e B são mutuamente exclusivos. Ac: o primeiro número no lançamento dos dados é maior que 2 ( ou seja.3).(1.(4.6) (6.4).3).Ex: Considerando ainda o experimento: lançar dois dados.(6.(1. Deste modo.(1.(5.(3.(5.6)} Seja o evento A definido por: A: o primeiro número no lançamento dos dados é menor ou igual a 2.3).(2.(5.1).(1.(2.(6.(6.(2.(3.3).(3. pois A ∩ B = o .3).(3. A={(1. se A e B são eventos mutuamente exclusivos.6) (2. não existe interseção entre eles).1).3).(3.(1.5).2).2).6) (5.3).3.5).2).(2.(1.(3.4).4).2).(6.(4.5).5).5).5} B: quando se lança um dado. / Exercício: Considerar o experimento aleatório: uma moeda é lançada 3 vezes.6) (4. o número na face voltada para cima é ímpar. temos que: S={(1.4).(5.(4.1).(3.5).(4. ⇒ A={1.4).5).(6.A) Ac ={(3.3).4).4).2).5).6) (6.1).6).5).2).2).(4.(2.5).1).3).(2.3).2).2).(2.(4.(6.2).5 Eventos Mutuamente Exclusivos (ou disjuntos): dois ou mais eventos são ditos mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um deles implica a não ocorrência do outro. : Esta é a definição clássica de probabilidade quando S é finito e baseia-se no conceito de resultados equiprováveis (têm a mesma chance de ocorrer). ou seja. a probabilidade de ocorrer o evento E é o número real P(E). n( S ) onde: n(E): “tamanho” do evento E (ou número de casos favoráveis ao evento E). Definição usual de probabilidade: a probabilidade de um evento (acontecimento ou resultado) é definida como sendo a proporção do número de vezes que eventos do mesmo tipo ocorrem a longo prazo.78 ou 0. i) 0 ≤ P(A) ≤ 1 (observe que P(A) ≥ 0) ii) P(Ω) = 1 5 . e um evento E. 0. estamos lidando com experimentos equiprováveis. 0. na prática. Considerando um espaço amostral S não vazio.44? 2. Quais ao as regras matemáticas que as probabilidades devem obedecer? Existem basicamente três definições para a probabilidade Definição subjetiva da probabilidade: afirma que a probabilidade é uma estimativa do que um indivíduo pensa que seja a viabilidade de ocorrência de um evento. por exemplo. sendo E ⊂ Ω .50.4 PROBABILIDADE No estudo da probabilidade. há três tipos de questões: 1. Neste caso dois indivíduos podem estimar diferentemente uma probabilidade. Em outras palavras.d) evento E 3 : sair pelo menos 1 cara e) evento E 4 : sair no máximo 2 coroas f) evento E 5 : nenhuma cara 1. Definição clássica de probabilidade: é quando estamos interessados em probabilidades iguais. n(S): “tamanho” do espaço amostral S (ou número total de casos). OBS. é quando precisamos realizar o experimento um número muito grande de vezes para observarmos que fração proporção) das vezes tal evento ocorre. Como determinar ou avaliar. os números que chamamos probabilidades? 3. Propriedades: Seja S um espaço amostral qualquer e sejam A e B eventos de S. tal que: P( E ) = n( E ) . O que queremos dizer quando afirmamos que a probabilidade de um evento é. 5. n(S)=6 E: o número ser primo ⇒ E={2. n(E)=3 P( E ) = n( E ) 3 1 = = = 0. Diagrama da Árvore: 6 .5 n( S ) 6 2 Portanto. S={1. Obter a distribuição da variável X={número de bolas brancas}. n(S)=6 E: sair um número ímpar ⇒ E={1.5. Exemplos: 1) Lançando-se um dado.: Nem sempre é possível descrever os elementos de um evento ou espaço amostral.6} .3.iii) P(∅) = 0 iv) P( A ) = 1-P(A) v) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B).3. P(A∪B) = P(A) + P(B) vi) P( A ∩B) = P(B) – P(A∩B).2.4. a probabilidade de sair um nº ímpar na face voltada para cima é obtida da seguinte forma: S={1.5.6. Nesse caso. Se A∩B = ∅.5} . escolhido ao acaso.5} .375. sendo uma após a outra. n(E)=3 P( E ) = n( E ) 3 = = 0. devemos utilizar outras técnicas tais como as distribuições de probabilidades.3. OBS.3. dos divisores de 30 seja um número primo é de 0. poderíamos dizer que existe 50% de chance de sair um número ímpar na face voltada para cima). Extrair casualmente duas bolas. 3) Considere uma urna com três bolas brancas e duas bolas pretas. podemos concluir que a probabilidade de sair um número ímpar na face voltada para cima é igual a 0. 2) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores de 30.30} . determinar a probabilidade de que ele seja primo. do conj.15.375 n( S ) 8 A probabilidade de que um número. (Ou.2.10. a-) Repondo a primeira bola Primeira Extração 3 5 Segundo Extração 3 B 5 2 5 B P 3 5 2 5 P 2 5 B P Eventos A= BB ⇒ {X=2} B= BP ⇒ {X=1} C= PB ⇒ {X=1} D= PP ⇒ {X=0} Distribuição de X Probabilidade de X 2 P(X=2)= 3 3 9 ⋅ = 5 5 25 3 2 2 3 12 ⋅ + ⋅ = 5 5 5 5 25 2 2 4 ⋅ = 5 5 25 1 P(X=1)= 0 P(X=0)= 7 . vamos dividir os dois membros da equação por n(S) a fim de obter a probabilidade P (A ∪ B) .5 UNIÃO DE DOIS EVENTOS Considerando A e B dois eventos contidos em um mesmo espaço amostral Ω . Assim. o número de elementos da reunião de A com B é igual ao número de elementos do evento A somado ao número de elementos de evento B.Primeira Extração 3 5 Segundo Extração 2 B 4 2 4 B P 3 4 1 4 P 2 5 B P b) Sem repor a primeira bola Eventos A= BB ⇒ {X=2} B= BP ⇒ {X=1} C= PB ⇒ {X=1} D= PP ⇒ {X=0} Distribuição de X Probabilidade de X 2 1 0 3 2 6 ⋅ = 5 4 20 3 2 2 3 12 P(X=1)= ⋅ + ⋅ = 5 4 5 4 20 2 1 2 P(X=0)= ⋅ = 5 4 20 P(X=2)= 1. n (A ∪ B) = n (A) + n (B) − n (A ∩ B) Sendo n(S) o número de elementos do espaço amostral. temos: n( A ∪ B) n( A) n( B) n( A ∩ B) = + − n( S ) n( S ) n( S ) n( S ) 8 . subtraído do número de elementos da intersecção de A com B. Encontre as probabilidades abaixo: a) P( A ∪ B ) = b) P(A-B) = c) P(B-A) = OBS: Para eventos mutuamente exclusivos. 12. 6. 2. 15. 18.08 9 .65 20 20 20 20 10 . retira-se ao acaso uma bolinha. consideramos: S={1. 8. 14. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) Por exemplo: Sejam A. a equação obtida fica: / P(A ∪ B) = P(A ) + P(B) Exemplos: 1) De uma urna com 20 bolinhas numeradas de 1 a 20. 10. Sendo P(A) a probabilidade de ser 110 milhões ou mais: P(A)=0. 18} P(A)= 6 3 . iguais a 0. 20} B: conjunto dos números divisíveis por 3 B={3. 0.Logo. 20} A: conjunto dos números divisíveis por 2 A={2. Para calcular a probabilidade de essa bolinha ter um número divisível por 2 ou 3.. 16. 9. respectivamente.2. B.3. 12.95 Sendo P(B) a probabilidade de ser 110 milhões ou menos: P(B)=0. 20 P(B)= 2) A chance de que a população atual de um país seja de 110 milhões ou mais é de 95%. .. 12. ( A ∩ B = O ). A chance de ser 110 milhões ou menos é de 8%. 3. 4. 18} A ∩ B : conjunto dos números divisíveis por 2 e por 3 A ∩ B ={6.6. P( A ∩ B )= 20 20 10 6 3 13 P(A ∪ B) = + − ⇒ P(A ∪ B) = = 0. Calcule a probabilidade de ser 110 milhões. 6.. 0. A ∩ B eventos quaisquer com probabilidades. 6 (OBS.) P( B ∪ C ) = P( B) + P(C ) − P( B ∩ C = 1. A distribuição dos alunos é a seguinte: Disciplina Sexo F Q Total H M Total 40 70 110 60 80 140 100 150 250 Um aluno é sorteado ao acaso. estão em uma corrida.95 + 0.08 . Quais são as probabilidades de vitória de cada um. A.P( A ∩ B ) P( A ∩ B ) = 0. temos: P( A ∪ B )=P(A) + P(B) – P( A ∩ B ) 1 = 0. B e C. desta forma P(B) = 2p e assim.: P(B ∩ C) = 0 pois dois PROBABILIDADE CONDICIONAL Introduziremos o conceito de probabilidade condicional através do seguinte exemplo: Consideremos 250 alunos que cursam o primeiro ciclo de uma faculdade. 7 7 1 . Como a soma das probabilidades é 1. então: P(A) + P(B) + P(C) = p + 2p + 4p = 1 ⇒ 7p = 1 ou p = Logo. 7 P(C) = p = 1 . P(A) = 2P(B) = 4p. isto é.08 – 1 P( A ∩ B ) = 0. 110 cursam física (F) e 140 cursam química (Q).03 3) Três cavalos. dado que é mulher? 10 . temos: 1 4 P(A) = 4p = 4 = . Qual a probabilidade de que esteja cursando química. e B tem duas vezes mais probabilidade de ganhar que C. P(B) e P(C)? Qual a Probabilidade de B ou C ganhar? Solução: Vamos supor P(C)= p.P( A ∩ B )= a probabilidade de ser 110 milhões: P( A ∩ B )= ? P( A ∪ B )= 1 Aplicando a regra da união de dois eventos.95 + 0. 7 7 1 2 P(B) = 2p = 2 = . P(A). Destes alunos 100 são homens (H) e 150 são mulheres (M). A tem duas vezes mais probabilidade de ganhar que B. 7 A probabilidade de B ou C ganhar é dada por: 2 1 3 + +0= 7 7 7 cavalos não ganham ao mesmo tempo. Neste caso. porém. Definimos Probabilidade Condicional de A dado que B ocorre (A|B) como segue: P (Q | M ) = P(A | B) = ou. e o valor 0. 6) (6 resultados possíveis) Seja o evento A: sair face 4. qual é a probabilidade de A ocorrer? Isto é. de forma análoga P(B | A) = P(A ∩ B) . Para obtermos o 250 250 Observamos. se P(A) ≠ 0 P(A) P(A ∩ B) . se P(B) ≠ 0 P(B) Exemplo 1: Considere o lançamento de um dado. 2. S={1. P(A)= 1 = 0.3333 é chamado de probabilidade condicional. condicionado ao fato 150 de ser mulher) 80 150 e P(M) = . sabendo que saiu um número par. suponha que embora não possamos ver o dado. alguém diga que o resultado é um número par.167. 11 . que P(M ∩ Q ) = resultado do problema basta considerar que: 80 80 P(Q | M ) = 250 = 150 150 250 Logo: P( M ∩ Q) P(M) Sejam A ⊂ S e B ⊂ S. 5.Pelo quadro vemos que esta probabilidade é de P(Q | M ) = 80 e representamos: 150 80 (probabilidade de que o aluno curse química. 6 Para entender o problema de probabilidade condicional. a informação de que o valor ocorrido é um número par afeta a probabilidade de ocorrer o evento A. 3. 4. qual a probabilidade de A ocorrer? 1 P(A) = = 0.3333 3 Assim. uma vez que ela é calculada sob a condição de que o valor na face do dado é um número par. P(A | B) = 4 36 e P(B)= 15 36 P(A ∩ B) P(B) 4 4 ⇒ P(A | B) = 36 = 15 15 36 1 3 11 .(2.(2.2).1). sabendo-se (dado) que o evento B já ocorreu.3).1).(2.5).3).4).1). A ∩ B ={(5.4).(5.2).5). probabilidade de ocorrer o evento A.(4.(6.3).6)} A ∩ B : o primeiro número é 5 e a soma dos dois números é maior que 7.(3.6).(6.2).(6.1).3).(5.(6.(3.3).(4.6) (5.(5. fazemos: S={(1.4).(1.(4.4).6) (6.6).6)} Evento B: a soma dos dois números é maior que 7 B={(2.(5.6).1).(6. 12 .5).(1.5). sabendo que a soma dos dois números é maior que 7.(3.5).1).1).(6.(4.(5.Notação: P(A|B) (lê-se.5).(5.(5.(4.6) (2.6)} P( A ∩ B )= Logo.2). observando as faces de cima.4).4).3).(5.(1.3).(2.2).6)} Evento A: número 5 no primeiro dado A={(5.(4.(3.(5.2).3).4).(1.(3.3).(6.4).(5. Exemplo 2: No lançamento de dois dados.5).5).(5.(1.(3.2).(6.(4.4).5).5).(5.(5.4).(5.(6. P(B) Como P( A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) .3). P(B) = e P(A ∪ B) = .5). para calcular a probabilidade de sair o número 5 no primeiro dado.(4.(5.(3. 3 4 12 Exemplo 3: Sendo P(A) = Resolução: P(A ∩ B) . temos: Como P(A | B) = 11 1 3 2 1 = + − P(A ∩ B) ∴ P(A ∩ B) = = 12 3 4 12 6 Logo.4).6) (4.5). devemos calcular P(A ∩ B).(2.(5.6). calcular P(A|B).(5.6) (3.2).(6. R. 3 pretas e 4 verdes. Retira-se letra por letra. S. ou seja: Sendo: P(A | B) = então P(A ∩ B) = P(B) ⋅ P(A | B) P(A ∩ B) P(B) ou P(B | A) = P(A ∩ B) . R. a probabilidade de ocorrer P( A ∩ B ) é igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro em relação ao primeiro. Qual a probabilidade de que ambas a) sejam verdes? b) Sejam da mesma cor? Resolução: Temos que: P(B) = 2 3 4 . Qual a probabilidade de sair a palavra ARARAS? 13 . P(A) ou P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B | A) Exemplos: 1-) Duas bolas vão ser retiradas de uma urna que contém 2 bolas brancas.7 MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES Tiramos da definição de probabilidade condicional o chamado TEOREMA DO PRODUTO: Sejam A ⊂ S e B ⊂ S. A. P(P) = e P(V) = 9 9 5 4 3 1 ⋅ = 9 8 6 a) P(V ∩ V) = P(V) ⋅ P(V | V) = b) P(Mesma Cor ) = P(B ∩ B) + P(P ∩ P) + P(V ∩ V) 2 1 3 2 4 3 P(Mesma Cor ) = ⋅ + ⋅ + ⋅ 9 8 9 8 9 8 20 5 P(Mesma Cor ) = = 72 18 A generalização do teorema do produto é: n P I A i = P(A i ) ⋅ P(A 2 | A 1 ) ⋅ P(A 3 | A1 ∩ A 2 )K P(A n | A1 ∩ A 2 ∩ K ∩ A n −1 ) i =1 Exemplo: Uma urna contém as letras A. A. Então.2 P(A | B) = 6 = 3 9 4 1 1. k).(5. dizemos que um evento B é estatisticamente independente de um evento A se a ocorrência de A não afeta a probabilidade de ocorrer o evento B.c).(3.k).c)(6.k)} Evento B: cara na moeda P(A)= 4 1 = 12 3 6 1 = 12 2 B={(1.8 EVENTOS INDEPENDENTES (OU INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICA) Dois eventos A ⊂ S e B ⊂ S são estatisticamente independentes se a ocorrência (ou não ocorrência) de um dos eventos não afetar a probabilidade de ocorrência do outro evento.k). Em outras palavras.k).k).k)} Evento A: 3 ou 5 no dado A={(3. Ω ={(1.P(A ∩ R ∩ A ∩ R ∩ A ∩ S) = P(A) ⋅ P(R | A) ⋅ P(A | A ∩ R ) ⋅ P(R | A ∩ R ∩ A) ⋅ ⋅ P(A | A ∩ R ∩ A ∩ R ) ⋅ P(S | A ∩ R ∩ A ∩ R ∩ A) = 3 2 2 1 1 1 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1 = 6 5 4 3 2 60 1.(4.(5.c). então a probabilidade deles ocorrerem conjuntamente pode ser dada por: P(A ∩ B) = P(B) ⋅ P(A | B) e P(A | B) = P(A) (I) (II) Substituindo II em I.(3.c). determine a probabilidade de se obter 3 ou 5 no dado e cara na moeda.c).k).(4.k).(2.(2.(3.k).k). obtemos: P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) Exemplo 1: Lançando-se simultaneamente um dado e uma moeda.(5.(1.k).(4.c).(5.c).c). Assim.(5.k).(6.k)} P(B)= Os eventos são independentes.(2. temos: P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) 14 .(6. pois o fato de ocorrer A não modifica a probabilidade de ocorrer B.(3. Em símbolos: P(A | B) = P(A) ou P(B | A) = P(B) Temos também que se dois eventos A e B são ditos independentes. a bola caia no vermelho nas duas rodadas. IMPORTANTE: É comum confundir os conceitos de eventos mutuamente exclusivos e eventos independentes. é igualmente provável que a bola caia em qualquer um dos 38 números.k). Quando a roleta é girada e a bola é solta. Exemplo 2: Uma roleta contém 38 números dos quais 18 são vermelhos.Portanto. Por outro lado. isto é .k)} e P( A ∩ B ) poderia ser calculado por: P( A ∩ B) = n( A ∩ B ) 2 1 = = . No entanto. P(Vd1 ∩ P2 ) = P(Vd1 )P(P2 ) = (2/38) x (18/38) =0. Em duas jogadas da roleta. P(A ∩ B) = 1 1 1 ⋅ = 3 2 6 Note que A ∩ B ={(3. qual é a probabilidade de que: a) a bola caia no vermelho duas vezes? b) A bola caia no verde na primeira vez e no preto na segunda vez? Solução: È razoável supor que as jogadas sucessivas da roleta são independentes. ou seja. fazemos: P(V1 ∩ V2 ) = P(V1 )P(V2 ) =(18/38) x (18/38) =0. Queremos a probabilidade de que em duas rodadas sucessivas dê dois resultados vermelhos.5% de que a bola caia duas vezes no vermelho. nem sempre a obtenção de n( A ∩ B ) é n( S ) 12 6 simples.(5. O conceito de “mutuamente exclusivo” envolve se ou não dois eventos podem ocorrer simultaneamente.5% de que a bola caia a primeira vez no verde e a segunda vez no preto. 18 são pretos. Como a ocorrência de V1 não interfere na ocorrência de V2 .224 Existe uma chance de 22. como V1 e V2 são eventos independentes. b) Seja os eventos: Vd1 : “a bola cai no verde na primeira rodada” e P2 : “a bola cai no preto na segunda rodada. Estes termos não significam a mesma coisa. e dois são verdes. Então queremos P(V1 ∩ V2 ) .025 Existe uma chance de 2. o conceito de independência envolve se ou não a ocorrência de um evento afeta a probabilidade de ocorrência do outro. ou seja. 15 . a) Seja os eventos: V1 : “a bola cai no vermelho na primeira rodada” e V2 : “a bola cai no vermelho na segunda rodada”. o resultado da 1ª rodada não interfere no resultado da 2ª rodada. b) independentes. c) coroa na 2ª e 3ª moedas. A2. Resolução: a-) A e B mutuamente exclusivos ⇒ P(A ∩ B) = 0 como P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) vem 0. An são independentes então: n n P I A i = ∏ P ( A i ) i =1 i =1 onde ∏ P ( A ) = P ( A ) ⋅ P( A i 1 i =1 n 2 ) ⋅ K ⋅ P( A n ) ..2 ⋅ P como P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) vem 0. P(A ∪ B) = 0. P(B) = P.4 b-) A e B independentes ⇒ P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) = 0.6.8P ⇒ P = 0..Exemplo 3: Sejam A e B eventos tais que P(A) = 0.5 OBS. . 3) Um casal planeja ter 3 filhos.2P ∴ 0. LISTA DE EXERCÍCIOS 1) No lançamento simultâneo de dois dados considere as faces voltadas para cima e determine: a) espaço amostral S b) evento E1 : números cuja soma é igual a 5 c) evento E 2 : números iguais d) evento E 3 : números cuja soma é um número par e) evento E 4 : números ímpares nos 2 dados f) evento E 5 : número dois em pelo menos um dos dados g) evento E 6 : números cuja soma é menor que 12 h) evento E 7 : números cuja soma é maior que 12 i) evento E 8 : números divisores de 7 nos 2 dados 2) Lançam-se 3 moedas. Determine os eventos: a) os 3 são do sexo feminino 16 .2. Enumerar o espaço amostral e os eventos: a) faces iguais.6 = 0.2 + P – 0 ∴ P = 0. b) cara na 1ª moeda.6 = 0.2 + P – 0. Calcular P considerando A e B: a) mutuamente exclusivos..: Se os eventos A1.4 = 0. Retiram-se 2 cartas. f) o número escolhido é par e múltiplo de 3. 5) Qual a probabilidade de ocorrer o número 5 no lançamento de um dado? 6) Qual a probabilidade de se obter um número par no lançamento de um dado? 7) Um disco tem uma face branca e a outra azul. A probabilidade de Antônio descobrir esse número é: a) 1/2 b) 1/6 c) 4/6 d) 1/3 d) 3/36 10) (Vunesp) Um baralho de 12 cartas tem 4 ases. Se o disco for lançado 3 vezes. d) o número escolhido é múltiplo de 2 e de 3.b) pelo menos 1 é do sexo masculino c) os 3 do mesmo sexo 4) Uma urna contém 20 bolinhas numeradas de 1 a 20. numeradas de 1 a 10. Escolhe-se ao acaso uma bolinha e observa-se o seu número. Se retirarmos uma bola da urna. Determine a probabilidade de a segunda ser um ás. sabendo que a primeira é um ás. a probabilidade de não obtermos a bola número 7 é igual a: a) 2/9 b) 1/10 c) 1/5 d) 9/10 e) 9/11 12) Determine a probabilidade de se obterem os eventos a seguir. Determine os seguintes eventos: a) o número escolhido é ímpar. e) o número escolhido é primo. João diz que o número mostrado pelo dado é par. qual a probabilidade de a face azul ser sorteada pelo menos uma vez? 8) Um casal planeja Ter três filhos. b) o número escolhido é maior que 15. no lançamento simultâneo de dois dados. 11) (UFSCar-SP) Uma urna tem 10 bolas idênticas. c) o número escolhido é múltiplo de 5. uma após a outra. observadas as faces voltadas para cima: a) números iguais b) números cuja soma é igual a 8 c) números cuja soma é ímpar d) números cujo produto é par e) números cuja soma é menor que 10 f) números cuja soma é maior que 9 g) números primos nos dois dados 17 . g) o número escolhido é ímpar e múltiplo de 7. Qual a probabilidade de os 3 serem do mesmo sexo? 9) (Unesp-SP) João lança um dado sem que Antônio veja. duas peças são retiradas aleatoriamente. qual a probabilidade de essa bolinha ter um número múltiplo de 4 ou de 3? 17) Jogando-se um dado. observa-se que ela tem um número ímpar. qual a probabilidade de se obter o número 3 ou um número ímpar? 18) Na tabela abaixo temos dados de alunos matriculados em quatro cursos de uma universidade em dado ano. Determine a probabilidade de esse número ser menor que 5. 16) Uma urna contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30.13) Uma urna contém 2 bolas brancas e 5 bolas vermelhas. Calcule: a) A probabilidade de ambas serem defeituosas b) A probabilidade de ambas não serem defeituosas c) A probabilidade de ao menos uma ser defeituosa 20A) Num período de um mês. Retirando-se 2 bolas ao acaso e sem reposição. 15) Uma bola é retirada de uma urna que contém bolas coloridas. 4 são defeituosas. Retirando-se ao acaso uma bolinha da urna. Retirando-se uma delas ao acaso. Informações sobre o método de tratamento aplicado em cada paciente e o resultado final obtido estão no quadrado abaixo. Sabe-se que a probabilidade de ter sido retirada uma bola vermelha é 5/17. Calcule a probabilidade de ter sido retirada uma bola que não seja vermelha. 18 . Sexo Homens Mulheres Total Curso (H) (F) 70 40 110 Matemática Pura (M) 15 15 30 Matemática Aplicada (A) 10 20 30 Estatística (E) 20 10 30 Computação (C) 115 85 200 Total Encontrar as probabilidades de: a) b) c) d) e) P(H) P(F) P(M) P(A) P(E) f) g) h) i) j) P(C) P(A∩H) P(A∪H) P(A∩C) P(A∪C) 19) Num lote de 12 peças. calcule a probabilidade de: a) as bolas serem de cores diferentes b) as 2 bolas serem vermelhas 14) (Mauá-SP) Uma caixa contém 11 bolas numeradas de 1 a 11. 100 pacientes sofrendo de determinada doença foram internados em um hospital. Determinar a probabilidade de ocorrer um 4. 5. a4) ter sido submetido ao tratamento A ou ter sido parcialmente curado. 22) Uma experiência consiste em lançar uma moeda e um dado. c) De surgir um ás. ou 6 no primeiro lace e um 1. b) os eventos “morte” e “ tratamento A” são independentes? Justificar. ou sua avaliação. b)De ocorrer pelo menos uma cara em dois lances de uma moeda honesta. e) De aparecer uma coroa. e) ser vermelha ou branca. b) ser branca. a3) ter sido submetido ao tratamento A e ter sido parcialmente curado. Determinar a probabilidade dela: a) ser vermelha. 3 ou 4 no segundo lance. de um total de 100 lances. bem embaralhado de 52 cartas. 56 foram caras. c) sorteando dois dos pacientes. 25) Duas cartas são retiradas de 'Um baralho. o significado de cada uma das seguintes notações: a) E1 b) E 2 c) E1E2 d)Pr{ E1/ E 2 } e) Pr{ E1/ E2} f) Pr{ E1 + E 2 } 23) Uma bola é retirada ao acaso de uma urna que cotem 6 vermelhas. um dez de ouros ou um dois de espadas na retirada de uma carta única de um baralho.um único lançamento de dois dados. para cada um dos seguintes eventos: a) De aparecer um número ímpar em um único lance de um dado honesto. em palavras. (b) não recolocada. Se E1 é o evento correspondente ao aparecimento de uma cara no lançamento da moeda e E2 o de ocorrer “3” ou “6” no lance do dado. qual a probabilidade de: c1) tenham recebido tratamentos diferentes? c2) pelo menos um deles tenha sido curado totalmente? 21) Determinar a probabilidade p. determinar a probabilidade de o paciente escolhido: a1) ter sido submetido ao tratamento A. no próximo lance de uma moeda se. c)ser azul. 19 . bem embaralhado. 24) Um dado honesto é lançado duas vezes. a2) ter sido totalmente curado. d) De aparecer o total 7 em . Determinar a probabilidade de ambas serem ases se a primeira carta for: (a) recolocada. de 52 cartas. d) não ser vermelha. expor.Tratamento Resultado A B Soma Cura total Cura Parcial Morte Soma 24 24 12 60 16 16 8 40 40 40 20 100 a) Sorteando aleatoriamente um desses pacientes. 4 brancas e 5 azuis. 2. d) São retiradas duas bolas da urna B. Determinar a probabilidade de: a) A vencer as três partidas. (b) não recolocada. b) ambas serem pretas. d) duas copas aparecem ao retirarem-se duas cartas de um baralho. qual a probabilidade de ambas serem da mesma cor? 32) Determine a probabilidade de cada evento: a) um número par aparece no lançamento de um dado não viciado. determinar a probabilidade de: a) ambas serem brancas.26) Três bolas são retiradas. b) duas partidas terminarem empatadas. dado mostra um número maior que o segundo. 4 por B e 2 terminam empatadas. b) um rei aparece ao extrair-se uma carta de um baralho. Se for retirada uma bola de cada bolsa. sem reposição. com reposição? f) São retiradas uma de cada urna. pelo menos uma vez. da urna do exercício 3. 27) Determinar a probabilidade de aparecer um 4. b) Enumere o evento A = { a soma dos pontos é 9} c)Enumere o evento B= { a soma dos pontos é 7} d) Calcule a probabilidade do evento A. outra contém 3 brancas e 5 pretas. d) B vencer pelo menos uma partida. 29) A e B jogam 12 partidas de xadrez. calcule a probabilidade de a soma ser 4 i) Determine a probabilidade de a soma ser 5. Pede-se a) Determinar o espaço amostral. c) pelo menos uma cara aparece no lançamento de 3 moedas. sucessivamente. 30) Dois dados são lançados. 31) São dadas duas urnas: Urna A 5 brancas 4 prestas 3 vermelhas Urna B 4 brancas 3 pretas 6 vermelhas a) Calcular a probabilidade de retirar uma bola branca da urna A. visto que o primeiro. 28) Um bolsa contém 4 bolas brancas e 2 pretas. Determinar a probabilidade de elas serem retiradas na ordem vermelha. c) A e B vencer alternadamente. e ) Calcule a probabilidade do evento B. Qual a probabilidade de ambas serem vermelhas? e) Qual a probabilidade de serem retiradas duas bolas pretas da urna A. das quais 6 são vencidas por A. Eles combinam a disputa de um torneio constante de 3 partidas. f ) Qual a probabilidade de não dar soma 9? g) Calcule a probabilidade de a soma ser 9 ou 7. c)uma ser branca e a outra preta. em dois lances de um dado honesto. b) Qual a probabilidade de retirarmos uma bola preta da urna B? c) Determine a probabilidade de retirarmos uma bola branca ou vermelha da urna A. quando cada bola for: (a) recolocada. h) Dado que as duas faces mostram números diferentes. branca e azul. 20 . c) ser primo. b) a soma ser 9. 33) Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números 1. que conclusão você chega se tiver as seguintes informações: g) G: "O estudante foi reprovado" h) H: "O estudante é do sexo feminino" Verifique se a condição de independência é satisfeita para os eventos A e B acima descritos. Qual a probabilidade de: a) o número ser divisível por 5.. 2. recalcule a probabilidade do item a. Qual a probabilidade de: a) a soma ser menor que 4.. .e) uma carta de copas e uma de ouros aparecem ao extraírem-se duas cartas de um baralho. . Na tabela acima estão descritos o Sexo e o Resultado obtido na disciplina. 50. f) E: "O estudante selecionado é do sexo masculino" . quando retiramos uma carta de um baralho? 35)Dois dados são lançados simultaneamente. 3. 21 . 34)Qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de copas. b) terminar em 3. 36) Os dados da tabela abaixo descrevem o desempenho de alunos de graduação na disciplina de Probabilidade Sexo Masculino Feminino Total Aprovado 60 30 90 Reprova 10 O 10 Tota 70 30 100 Considerando que será realizada a seleção aleatória de um estudante obtenha a probabilidade de ocorrência dos seguintes eventos: a) A: "O estudante é do sexo masculino" b) B: "O estudante foi aprovado" c) C: "O estudante é do sexo masculino e foi aprovado" d) E a probabilidade do evento: "O aluno é do sexo masculino ou foi aprovado" : Torne a calcular a probabilidade dos eventos considerando agora que você tem as seguintes informações: e) D: "O estudante foi aprovado" . recalcule a probabilidade do item b. d) ser divisível por 6 ou 8. c) o primeiro resultado ser maior do que o segundo.