Polinomios y monomiosTra b a j a r e n á l g e b r a c o n s i s t e e n m a n e j a r r e l a c i o n e s n u m é r i c a s e n l a s q u e u n a o m á s cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se representan por letras. Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligada por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Val o r n u m é r i c o El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de la misma por números determinados y efectuar las operaciones indicadas en la expresión. M o n om io s Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural . El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables. La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes. El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables. Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal. O pe rac io n e s c o n m on o m io s Suma de Monomios Sólo podemos sumar monomios semejantes . La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes. P r o d u c t o d e u n n ú me r o p o r u n m o n o m i o PRE CÁLCULO MARTHA SARAI SERRANO CHÁVEZ 1 x n . ao es el término independiente. Po l i n o m i o c o mp l e t o Es aquel que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado Po l i n o m i o o r d e n a d o Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.. P r o d u c t o d e mo n o m i o s El producto de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base..2 + . n un número natural. + a1 x 1 + a 0 .2 x n ..El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número. an + an . llamados coeficientes. x la variable o indeterminada.. a1 . PRE CÁLCULO MARTHA SARAI SERRANO CHÁVEZ . G rad o d e u n p o l i n o m i o El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x. ao números.1 + an . Pol in o m io s Un polinomio es una expresión algebraica de la forma: P(x) = an x n Siendo an. Cociente de monomios El cociente de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.1 . La diferencia consiste en sumar el opuesto del sustraendo . 2 Se suman los monomios del mismo grado. O pe rac io n e s c o n po lin o m io s S um a de po l in o m io s Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. M u lt ip l ic a c ió n de p o lin o m io s P r o d u c t o d e u n n ú me r o p o r u n p o l in o m i o Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número .Po l i n o m i o s i g u a l e s Dos polinomios son iguales si verifican: Los dos polinomios tienen el mismo grado. Producto de polinomios 1 Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio. D iv is ió n de p o lin o m io s P(x) : Q(x) PRE CÁLCULO MARTHA SARAI SERRANO CHÁVEZ . Val o r n u m é r i c o d e u n p o l i n o m i o Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera. Los coeficientes de los términos del mismo grado son i guales. Producto de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio. llamado regla de Ruffini . entonces utilizamos un método más breve para hacer la división. utilizaríamos la prueba de la división: D = d · c + r Reg la de Ru f f in i Si el divisor es un binomio de la forma x — a . Repetimos el proceso anterior hasta que el grado del resto sea menor que el grado del divisor. (x4 −3x2 +2 ) : (x −3 ) 1Si el polinomio no es completo. PRE CÁLCULO MARTHA SARAI SERRANO CHÁVEZ . A la derecha situamos el divisor dentro de una caja. 2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea. 3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor. Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.A la izquierda situamos el dividendo . Y e l r e s u l t a d o l o m u l t i p l i c a m o s p o r e l d i v i s o r y l o r e s t a m o s a l d i v i d e n d o . Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan. Para comprobar si la operación es correcta. lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros. 4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente. y por tanto no se puede continuar dividiendo. Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo: Vol v e m o s a d i v i d i r e l p r i m e r m o n o m i o d e l d i v i d e n d o e n t r e e l p r i m e r m o n o m i o d e l d i v i s o r. 6Sumamos los dos coeficientes. I de n t id a de s no t a b le s B i n o m i o a l c u a d rad o (a ± b)2 = a2 ± 2 · a · b + b2 S u m a p o r d i f e re n c i a (a + b) · (a − b) = a2 − b2 Binomio al cubo (a ± b)3 = a3 ± 3 · a2 · b + 3 · a · b2 ± b3 Fac t o r iz a c ió n de u n p o lin o m io Teo r e m a d e l r e s t o El resto de la división de un polinomio P(x).5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término. 7Repetimos los pasos 5y 6las veces que fuera necesarias. entre un polinomio de la forma x a es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a. PRE CÁLCULO MARTHA SARAI SERRANO CHÁVEZ . 9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido. 8El último número obtenido es el resto. 2A cada raíz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x −a). O b s e r vac i o n e s 1Los ceros o raíces son divisores del término independiente del polinomio. admite como factor x. a · b + a · c + a · d = a (b + c + d) I g u a l d ad e s n o t a b l e s D if e re n c i a d e c u ad rad o s Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia. 3 Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los binomios del tipo x — a. M é t o do s pa ra f a c t o r iz a r u n p o lin o m io Sacar factor común Consiste en aplicar la propiedad distributiva.a si y sólo si P(x = a) = 0.Teo r e m a d e l f a c t o r El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma x . 5Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x = 0. ó lo que es lo mismo. Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x). 6Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores. a2 − b2 = (a + b) · (a − b) PRE CÁLCULO MARTHA SARAI SERRANO CHÁVEZ . que se correspondan a las raíces x = a que se obtengan. 4La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio. y l o s n u e v o s q u e obtengamos. Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini. hasta que sea de grado uno o no se pueda descomponer en factores reales. ±2. ±3. F r ac c i o n e s a l g e b rai c a s e q u i vale n t e s Dos fracciones algebraicas PRE CÁLCULO MARTHA SARAI SERRANO CHÁVEZ . a2 ± 2 a b + b2 = (a ± b)2 Tri n o m i o d e se g u n d o g rad o a x2 + bx +c = a · (x -x1 ) · (x -x2 ) Po l i n o m i o d e g rad o s u p e r i o r a d o s . D = d · c 5 C o n t i n u a m o s r e a l i z a n d o l a s m i s m a s o p e r a c i o n e s a l s e g u n d o f a c t o r. 2Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta. 1Tomamos los divisores del término independiente: ±1. 4Por ser la división exacta . 3Dividimos por Ruffini. F rac c io n e s a lge b raic a s Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios y se representa por: P ( x ) e s e l n u m e r a d o r y Q ( x ) e l d e n o m i n a d o r.Tri n o m i o c u ad rad o p e r f e c t o Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado. 2Dividimos el común denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente. que será el común denominador. 1Descomponemos los denominadores en factores para hallarles el mínimo común múltiplo. si multiplicamos el numerador y el denominador de dicha fracción por un mismo polinomio distinto de cero. O pe rac io n e s c o n f rac c io n e s a lge b raic a s S u m a y d if e re n c i a d e f rac c i o n e s a l g e b r ai c a s F rac c i o n e s a l g e b rai c a s c o n ig u a l d e n o m i n a d o r La suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador es otra fracción algebraica con el mismo denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores.son equivalentes. S i m p l i f i c a c i ó n d e f rac c i o n e s a l g e b r ai c a s Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y el denominador de la fracción por un polinomio que sea factor común de ambos. reducirlas a común denominador es encontrar dos fracciones algebraicas equivalentes con el mismo denominador. Dada una fracción algebraica. y lo representamos por: si se verifica que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x). Red u c c i ó n d e f rac c i o n e s a l g e b rai c a s a c o m ú n d e n o m i n a d o r Dadas dos fracciones algebraicas. la fracción algebraica resultante es equivalente a la dada. F rac c i o n e s a l g e b rai c a s c o n d i s t i n t o d e n o m i n ad o r PRE CÁLCULO MARTHA SARAI SERRANO CHÁVEZ . y con denominador el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda. I de n t id a d Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras. Resumen de ecuaciones de primer grado I gu a ld a d Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual. Los términos son los sumandos que forman los miembros. C o c i e n t e d e f rac c i o n e s a lg e b r ai c a s El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica con numerador el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda. P r o d u c t o d e f rac c i o n e s a l g e b r ai c a s El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica donde el numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores.En primer lugar se ponen las fracciones algebraica a común denominador. Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual. PRE CÁLCULO MARTHA SARAI SERRANO CHÁVEZ . posteriormente se suman los numeradores. E c u a c ió n Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras. 3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro.Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación. 4º Reducir los términos semejantes. Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una misma cantidad. 2º Quitar denominadores. Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta. la ecuación es equivalente a la dada. 5º Despejar la incógnita. Res o lu c ió n de e cu a c io n e s d e p r im e r g rado En general para resolver una ecuación debemos seguir los siguientes pasos: 1º Quitar paréntesis. la ecuación es equivalente a la dada. E c u a c io ne s e q u ivale n t e s Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. E c u a c io ne s de s e g u n do g rad o Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0. Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad. El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros. Se resuelve mediante la siguiente fórmula: PRE CÁLCULO MARTHA SARAI SERRANO CHÁVEZ . que son números reales distintos. PRE CÁLCULO MARTHA SARAI SERRANO CHÁVEZ . x = 0. Res o lu c ió n de e cu a c io n e s d e se g un d o g rad o in c o m p le t a s ax2 = 0 La solución es x = 0. ax2 + c = 0 Despejamos: ax2 +bx +c = 0 b2 − 4ac se llama discriminante de la ecuación y permite averiguar en cada ecuación e l n ú m e r o d e s o l u c i o n e s . ax2 + bx = 0 Extraemos factor común x.Si es a<0. multiplicamos los dos miembros por (−1). Po d e m o s d i s t i n g u i r t r e s c a s o s : b2 − 4ac > 0 La ecuación tiene dos soluciones. Igualamos cada factor a 0 y resolvemos las ecuaciones de 1 er grado. podemos escribir ésta como: Siendo S = x1 + x2 y P = x1 · x2 PRE CÁLCULO MARTHA SARAI SERRANO CHÁVEZ .b2 − 4ac = 0 La ecuación tiene una solución doble. b2 − 4ac < 0 La ecuación no tiene soluciones reales. La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a: El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a: Si conocemos las raíces de una ecuación.