- RESUMÃO INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE(Cálculo) Formulário, Dicas e Macetes para a Prova www.respondeai.com.br 𝜕𝑣 ⃗ (𝑢. 𝑣). 𝑦. e 𝑓(𝜑(𝑢. 𝐷 é o domínio dos parâmetros 𝑢 e 𝑣. OBS: Se você não se lembra muito bem de como parametrizar superfícies. sua massa é: A área de uma superfície 𝑆 é: 𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝐴(𝑆) = ∬ 𝑑𝑆 = ∬ ‖ × ‖ 𝑑𝑢𝑑𝑣 𝜕𝑣 𝑆 𝐷 𝜕𝑢 𝑀 = ∬ 𝛿(𝑥. Integrar! 1 . podemos fazer algo semelhante quando temos àreas não planas. Parametrizar 𝑆 como 𝜑(𝑢. A integral de uma função 𝑓 escalar ao longo de uma superfície 𝑆 é calculada pela seguinte fórmula: ∬ 𝑓𝑑𝑆 = ∬ 𝑓(𝜑(𝑢. Montar a integral usando a fórmula que demos lá em cima. 𝑣) = 𝜕𝜑 × 𝜕𝜑. 𝑦. Calcular as derivadas parciais 𝜕𝜑 𝜕𝑢 e 𝜕𝜑 . dá uma olhada na revisão que fizemos no final do resumo! =) Área de uma superfície Massa de uma superfície Sendo 𝛿 a densidade de 𝑆. Calcular a normal à superfície 𝑁 𝜕𝑢 𝜕𝑣 ⃗ (𝑢. Tirar o módulo desse vetor: ‖𝑁 𝜕𝑢 𝜕𝑣 5. 𝑦. 𝑧) em áreas planas 𝑑𝐴 = 𝑑𝑥𝑑𝑦. 𝑣)‖ = ‖𝜕𝜑 × 𝜕𝜑‖. encontrando 𝐷. 4. superfícies no espaço. 2. 𝑣)) é o campo 𝑓(𝑥. 6. 𝑣) é a parametrização de 𝑆. 𝑧)𝑑𝑆 = ∬ 𝛿(𝜑(𝑢. 𝑧) escrito em função da parametrização de 𝑆. 𝑣)) ‖ 𝑆 𝐷 𝜕𝜑 𝜕𝜑 × ‖ 𝑑𝑢𝑑𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑣 ‘ Passo a passo Integrais de superfície – caso escalar 1.Integrais de Superfície – Caso Escalar Da mesma forma que. nós “somamos” os valores de uma função 𝑓(𝑥. 𝑣)) ‖ 𝑆 𝐷 𝜕𝜑 𝜕𝜑 × ‖ 𝑑𝑢𝑑𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑣 Onde: 𝜑(𝑢. trazendo os valores encontrados nos passos anteriores. nas integrais duplas. 3. trazendo os valores encontrados nos passos anteriores. 2. n ⃗ 𝑑𝑆 = ∬ 𝐹 (𝜑(𝑢. Por esse motivo. a diferença com o que acabamos de ver é que não tiramos o módulo da normal à superfície. usamos a seguinte fórmula: ∬ 𝐹.Integrais de Superfície – Caso Vetorial Para calcular a integral de superfície de um campo vetorial 𝐹 ao longo de uma superfície 𝑆. 𝑁 4. Fluxo O fluxo de um campo 𝐹 sobre uma superfície 𝑆 é: Φ = ∬ 𝐹. 𝑣). Integrar! 2 . ( 𝑆 𝐷 𝜕𝜑 𝜕𝜑 × ) 𝑑𝑢𝑑𝑣 𝜕𝑢 𝜕𝑣 Basicamente. 𝑁 6. trocando o sinal de ⃗ (𝑢. Calcular as derivadas parciais 𝜕𝜑 𝜕𝑢 e 𝜕𝜑 . Calcular a normal à superfície 𝑁 𝜕𝑢 𝜕𝑣 a orientação pedida pelo problema. n ⃗ 𝑑𝑆 𝑆 Passo a passo Integrais de superfície – caso vetorial 1. 𝑣) = 𝑁 𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝜕𝜑 ⃗ (𝑢. 𝑣) = 𝜕𝜑 × 𝜕𝜑 e verificar 3. Parametrizar 𝑆 como 𝜑(𝑢. 𝑣)). caso seja a contrária. Temos que lembrar que existem dois campo de vetores normais à 𝑆: ⃗ (𝑢. ⃗ (𝑢. 𝑣) = × 𝑒 𝑁 × 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑢 Em geral. Fazer o produto escalar 𝐹 (𝜑(𝑢. o problema vai nos dizer a orientação que devemos tomar. 5. encontrando 𝐷. 𝑣)) . a orientação dada à superfície importa agora. 𝜕𝑣 ⃗ (𝑢. escolher como normal o vetor oposto. 𝑣). Montar a integral usando a fórmula que demos lá em cima. 𝑣). Por exemplo: Então.Teorema de Stokes O Teorema de Stokes vai nos dar uma relação entre a integral de superfície sobre uma superfície 𝑆 com a integral de linha sobre a sua fronteira. pelo Teorema de Stokes: ∬ (𝑟𝑜𝑡(𝐹 ). 𝑛⃗)𝑑𝑆 = ∮ 𝐹 . podemos orientar sua fronteira usando a Regra da Mão Direita. 𝐹3 ) é um campo vetorial de classe 𝐶 1 (sua primeira derivada é contínua) e se a fronteira de 𝑆. que é uma curva no espaço. seus outros dedos. 𝑑𝑟 𝑆 𝜕𝑆 Isso quer dizer que a integral de superfície do rotacional de 𝐹 em 𝑆 é igual à integral de linha de 𝐹 na sua fronteira. sendo 𝑆 uma superfície orientada. precisamos de uma curva orientada positivamente. que vão “furar” a superfície S devem estar no sentido de n ⃗ . O conceito é o seguinte: quando seu polegar direito apontar no sentido da curva C. Para aplicar Stokes. se 𝐹 = (𝐹1 . Com base na orientação de 𝑆. Dessa forma. 𝐹2 . Fica atento a isso porque se você orientar ao errado vai dar treta. Onde o rotacional de 𝐹 é dado pelo produto vetorial: 3 . 𝜕𝑆 está orientada positivamente. a curva estará orientada positivamente. 𝑣). 𝑣). 𝑣) = 𝜕𝜑 × 𝜕𝜑 e usar a Regra da Mão 4. − . Isso quer dizer que podemo escolher 𝑆 dada uma curva! Claro. 𝑛⃗)𝑑𝑠 = ∬ 𝑟𝑜𝑡 (𝐹 (𝜑(𝑢. encontrando o domínio dos parâmetros 𝐷. 𝑣))) . Parametrizar 𝑆 como 𝜑(𝑢. Integrar! 4 . 𝑣). Ver que não conseguimos calcular a integral de linha pela definição e calcular 𝑟𝑜𝑡(𝐹 ) (rezando para ser uma expressão tranquila). ⃗ (𝑢. Montar a integral de superfície pela seguinte forma: ⃗ (𝑢. não. − ) |=( 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝐹3 Lendo o teorema da direita para a esquerda: a integral de linha de 𝐹 sobre uma curva 𝜕𝑆 é igual à integral de superfície do rotacional de 𝐹 sobre uma superfície que tenha 𝜕𝑆 como fronteira. Fazer o produto escalar 𝑟𝑜𝑡 (𝐹 (𝜑(𝑢. ⃗ (𝑢. se ⃗ (𝑢.𝑖 𝜕 𝑟𝑜𝑡(𝐹 ) = ∇ × 𝐹 = | 𝜕𝑥 𝐹1 𝑗 𝜕 𝜕𝑦 𝐹2 𝑘 𝜕𝐹3 𝜕𝐹2 𝜕𝐹1 𝜕𝐹3 𝜕𝐹2 𝜕𝐹1 𝜕 − . Escolher uma superfície 𝑆 que tenha a curva do problema como fronteira (o campo 𝐹 deve estar definido ao longo dela). 𝑣))) . 𝑁 𝑆 𝐷 Trazendo o que encontramos nos passos anteriores e escrevendo 𝑟𝑜𝑡(𝐹 ) em função das variáveis da parametrização. 2. 𝑁 7. a boa é escolher 𝑆 de uma forma que simplifique o problema! Hora do Bizú Pensamos em usar Stokes quando: A curva da integral de linha é difícil de parametrizar O campo 𝐹 tem uma expressão bizarra Passo a passo Teorema de Stokes 1. 6. trocar o sinal de 𝑁 5. Calcular sua normal 𝑁 𝜕𝑢 𝜕𝑣 Direita para ver se a orientação está de acordo com a da curva. 3. 𝑣) 𝑑𝑢𝑑𝑣 ∬ (𝑟𝑜𝑡(𝐹 ). seu vetor normal deve sempre apontar para fora do sólido. fronteira de uma região sólida 𝑊. precisamos nos preocupar com a orientação de 𝑆: para uma superfície que limita um sólido estar orientada positivamente.Teorema de Gauss (Teorema do Divergente) O Teorema de Gauss relaciona uma integral tripla sobre um volume 𝑊 com uma integral de superfície sobre a sua fronteira. temos essa esfera com uma parte oca: Assim. 𝑛⃗ 𝑑𝑠 = ∭ 𝑑𝑖𝑣(𝐹 ) 𝑑𝑉 𝜕𝑊 𝑤 Onde o divergente de 𝐹 = (𝐹1 . 𝐹3 ) é dado por: 𝑑𝑖𝑣(𝐹 ) = ∇. 𝐹2 . Hora do Bizú Pensamos em usar Gauss quando: A superfície da integral é difícil de parametrizar O campo tem uma expressão complicada 𝑆 é formada por várias superfícies 5 . trocamos a integral de superfície por uma integral tripla do divergente do campo no sólido limitado por essa superfície. e 𝐹 um campo vetorial que tenha derivadas parciais contínuas em 𝑊: ∬ 𝐹 . 𝐹 = 𝜕𝐹1 𝜕𝐹2 𝜕𝐹3 + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Em outras palavras. que chamamos de 𝜕𝑊. Por exemplo. Novamente. sendo 𝜕𝑊 uma superfície orientada positivamente. fazer mudança para coordenadas cilíndricas ou esféricas) e resolver a integral tripla. até para fazermos esboços. escrevemos essas superfícies com eixo de simetria 𝑧. Aí você precisa descontar a integral na superfície nova. usando. Aqui. 4. Escrever matematicamente a região 𝐷 (se for preciso.Se liga em duas coisas importantes: E se 𝑺 não for fechada? Se você achar que a boa é usar Gauss.como vimos ao lado. 3.. Se você tiver usado uma superfície auxiliar. 𝑦 = 𝑎𝑥 2 (cilindro de parábola). para você saber reconhecer quando vir: Cones: 𝑧 2 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑦 2 .. Hiperboloides de uma folha: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑦 2 − 𝑐𝑧 2 = 1. Fazer um esboço para identificar a região 𝐷 e aplicar Gauss (se 𝑆 não formar uma região fechada. Ver que não é fácil resolver a integral de superfície pela definição e calcular 𝑑𝑖𝑣(𝐹 ). Por isso. a esfera menor da imagem que vimos lá em cima. feche a região com uma superfície auxiliar 𝑆2 : ∬ 𝐹 . Passo a passo Teorema de Gauss 1. 𝑛⃗ 𝑑𝑠 = ∭ 𝑑𝑖𝑣(𝐹 ) 𝑑𝑉 − ∬ 𝐹 . Para resolver questões de integrais de superfícies. é bom a gente saber com que superfícies estamos trabalhando. por exemplo. 2. Paraboloides elípticos: 𝑧 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑦 2 . Cilindros: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑦1 = 1 (cilindro elíptico). resolver a integral nela pela definição e encontrar a integral em 𝑆. OBS: o eixo de simetria é sempre aquela variável que “falta” na equação ou aquela com sinal diferente. E se 𝑭 tiver uma singularidade dentro de 𝑾? Se isso acontecer. fizemos aqui um resumo das principais que mais aparecem nesse tipo de questão. Relembrando as Principais Superfícies. precisamos “remover” o ponto em que 𝐹 não está definido da região. 6 . 𝑛⃗ 𝑑𝑠 𝑆1 𝑤 𝑆2 A integral em 𝑆2 você calcula pela definição. fechar com uma superfície auxiliar). 𝑣). né? Fizemos aqui um resumo disso para te ajudar! Para descrever uma superfície. 𝑏. 𝑐). entre (𝑥.. Então. As superfícies podem ter mais de uma parametrização. 𝑦(𝑢. mas também podemos encontrar algo do tipo: (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 + (𝑧 − 𝑐)2 = 𝑟 2 Isso é uma esfera com centro deslocado para (𝑎. 𝑦 = 𝑦. mas você pode escolher a variável que quiser. 𝑦) = (𝑥. Exemplo: queremos parametrizar o paraboloide: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑧 = 0 Podemos fazer o seguinte: 𝑥 = 𝑥. O mesmo raciocínio vale para as outras superfícies! Planos: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 (todas as variáveis são elevadas a "1"). cabe a nós escolher a que for melhor para a questão. 𝑧(𝑢. e na prática? Como parametrizamos? Infelizmente. 𝑣). o segredo para parametrizar é treinar mesmo. 7 . Tá. Relembrando Parametrização de Superfícies. Já viu que nessa matéria você vai precisar usar parametrização de superfícies o tempo todo. utilizamos 𝑢 e 𝑣 como parâmetros. 𝑣) = (𝑥(𝑢. as superfícies estão centradas na origem. 𝑥2 + 𝑦2 ) 2 Os intervalos de 𝑥 e 𝑦 vão depender dos dados da questão. 𝑣)) Dentro de um domínio 𝐷 do plano 𝑢𝑣. você escolhe. OBS: no nosso resumo.. Vamos usar essa notação aqui para a superfície parametrizada: 𝜑(𝑢. temos um elipsoide). 𝑦. nós teremos dois parâmetros (pois temos uma “área”). mas vamos listar umas dicas gerais para te dar uma luz nessa missão: Isolar uma variável: é a forma mais simples de parametrizar. 𝑧). 𝑧 = 𝑥 2 +𝑦 2 2 𝜑(𝑥. duas variáveis como parâmetros e a terceira fica em função delas. Esferas: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑟 2 (quando os coeficientes são diferentes de 1. 𝑦. 2𝑥). independe dele e escrevemos 𝑦 = 𝑦). 𝑟) Quando uma superfície é cortada por outra: importante. temos a parametrização: 𝜎(𝜃. parametrize o plano. Esferas. 2. é claro. Ex: para a esfera 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 1. isso gera muitas dúvidas! Ex: parametrizar a superfície 𝑆 formada pela parte do plano 𝑧 = 2𝑥 contida dentro do paraboloide 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 . 𝑦) = (𝑥. 𝑦. Nesses casos. uma circunferência. Temos 𝑥 = 𝑥 e 𝑧 = 2𝑥 (como a equação do plano não tem 𝑦. Superfícies de revolução são aquelas geradas quando giramos uma curva em relação a um eixo. iríamos usar coordenadas polares para resolver a integral em 𝐷. então. fazendo 𝜌 = 1 nas coordenadas esféricas. paraboloides. O seu interior é o domínio 𝐷 da parametrização. 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃. onde 𝐷 = (𝑥 − 1)2 + 𝑦 2 ≤ 1. Você poderia ter parametrizado 𝑆 direto em coordenadas polares. Depois. vamos limitar essa superfície nos parâmetros 𝑥 e 𝑦. 3. você faz o seguinte: 1. cos 𝜑) Cones. 2𝑥). 𝜑(𝑥. cilindros: tente as coordenadas cilíndricas. para termos 𝑆. 𝜃) = (𝑟 cos 𝜃 . 𝑦. Ex: usando coordenadas cilíndricas no cone 𝑧 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 Temos: 𝑧 2 = (𝑟 cos 𝜃)2 + (𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃)2 = 𝑟 2 e podemos. mas achamos que desse jeito aqui fica menos confuso! Você quem sabe! : ) Superfícies de revolução: esse é um caso que tem uma parametrização especial. Agora. Ou seja. A parametrização que queremos é: 𝜑(𝑥. Beleza. 𝜑) = (cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜑. Vamos fazer a interseção entre as duas superfícies: 𝑧 = 2𝑥 = 𝑥 2 + 𝑦 2 (𝑥 − 1)2 + 𝑦 2 = 1 E encontrar a projeção de 𝑆 no plano 𝑥𝑦: no caso. parametrizá-lo como: 𝜑(𝑟. elipsoides: pode ser uma boa parametrizar com coordenadas esféricas. 𝑦) = (𝑥. 8 . 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜑. já que 𝑆 pertence ao plano. 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 Em resumo: a variável 𝑦. apresentará sen 𝜃. 𝑡) = (𝑥(𝑡) cos 𝜃 .Sendo 𝛾 uma curva do plano 𝑥𝑦 parametrizada por 𝛾(𝑡) = (𝑥(𝑡). a coordenada da parametrização da curva que nos restou. apresentará cos 𝜃 . você pode se aprofundar na matéria com explicações simples e muito didáticas. Esse raciocínio pode ser seguido para rotação em torno dos eixos 𝑥 e 𝑧 também. Acesse já: www. contamos com milhares de exercícios resolvidos passo a passo para você praticar bastante e tirar todas as suas dúvidas. 𝑦(𝑡). galera :) 9 . a parametrização da superfície gerada quando rotacionamos 𝛾 em torno do eixo 𝑦 é: 𝜑(𝜃.com. 𝑦(𝑡)).respondeai. e 𝑧. As outras duas variáveis serão escritas em função de 𝑥(𝑡). Muita coisa para estudar em pouco tempo? No Responde Aí. Além disso. 𝑥(𝑡) sen 𝜃) 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏. Como 𝑥 é pertencente ao plano da curva. não pertencente.br e junte-se a outros milhares de alunos! Excelentes notas nas provas. 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏. paralela ao eixo de rotação não se altera: 𝑦 = 𝑦(𝑡).
Report "Resumao de Integrais de Superficie Do Responde Ai"