SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN–RESPUESTA NATURAL En un circuito con dos elementos irreductibles de almacenamiento de energía puede representarse por una ecuación diferencial de segundo orden de la forma d 2x dx a1 a0 x f t 2 dt dt a2 donde se conocen las constantes a 2 , a1 , a 0 y se especifica la función forzada f t . La respuesta completa x t está dada por x x n x fo Donde x n es la respuesta natural y x fo la forzada. La respuesta natural satisface la ecuación diferencial no forzada cuando f t 0 . La respuesta forzada x fo satisface la ecuación diferencial con la función forzante presente. La respuesta natural, de un circuito x n , logrará satisfacer la ecuación d 2x dx a1 a0 xn 0 2 dt dt a2 Como x n y sus derivadas deben satisfacer la ecuación, se postula la solución exponencial x n Ae st Donde se deben determinar A y s. la exponencial es la única función que es proporcional a sus derivadas e integrales y, por tanto, es la elección natural para la solución de una ecuación diferencial con coeficientes constantes. Sustituyendo la ecuación 10-24 en la 10-23 y derivando donde haga falta se obtiene a 2 As 2 e st a1 Ase st a 0 Ae st 0 Puesto que x n Ae st , la ecuación 10-25 puede reescribirse como sigue: a 2 s 2 x n a1 sx n a 0 x n 0 O bien a s 2 2 a1 s a 0 x n 0 Se obtiene fácilmente reemplazando la derivada por s y la segunda derivada por s 2 . puesto que la ecuación es lineal. Obviamente. cada uno con un coeficiente arbitrario. su suma es también una solución. . donde s1 s1 a1 a12 4a 2 a 0 2a 2 a1 a12 4a 2 a 0 2a 2 Cuando hay dos raíces distintas. es necesario que a s 2 2 a1 s a0 0 Esta ecuación. para satisfacer el teorema fundamental de las ecuaciones diferenciales. se llama ecuación característica. La solución de la ecuación cuadrática (10-26) tiene dos raíces. s1 y s 2 . Oliver Heaviside anticipó la teoría de los operadores para la solución de ecuaciones diferenciales. Además. se ha regresado al operador ya conocido dn sn n dt La ecuación característica se obtiene de la ecuación diferencial dominante de un circuito. Se supondrá el análisis del caso especial cuando s1 = s 2 .Como no se acepta la solución trivial x n 0 . en términos de s. Usar operadores para formular la ecuación diferencial y obtener la respuesta en términos de constantes arbitrarias. asignando a todas las fuentes independientes el valor de cero y suponiendo una solución exponencial. Ejemplo. Las raíces de la ecuación característica contienen toda la información necesaria para determinar la respuesta natural. Hallar la respuesta natural de la corriente i 2 en el circuito mostrado en la figura 10-8. existen dos soluciones tales que x n A1e s1t A2 e s2t Aunque en efecto hay dos soluciones de la ecuación diferencial de segundo orden. la solución general debe de constar de tantos términos de acuerdo al orden de la ecuación. se tiene 12i1 2 di1 4i 2 v f dt Y 4i1 4i 2 1 di2 0 dt Usando el operador 12 2s i1 4i 2 s d dt . . Planteando las dos ecuaciones de malla.Solución. se obtiene vf 4i1 4 s i 2 0 Usando la regla de Cramer para despejar i 2 se tiene i2 4v f 12 2s 4 s 16 4v f 2 s 20 s 32 2v f 2 s 2 10s 16 Por lo tanto. Pero se omite dado que el propósito no es tener la solución de circuitos específicos sino más bien ilustrar el método general. Podría presentarse una discusión análoga del circuito que RLC en serie. Figura 10-9 Se escribe la LKC en el nodo para obtener v 1 t dv vd i 0 C 0 R L 0 dt Derivando la ecuación (10-32). las raices de la ecuación característica son s1 2 y s 2 8 . las constantes de tiempo son ½ y 1/8 segundo. RESPUESTA NATURAL DEL CIRCUITO RLC EN PARALELO NO FORZADO En esta sección se considera la respuesta natural (no forzada) del circuito RLC en paralelo mostrada en la figura 10-9. se tiene C d 2 v 1 dv 1 v0 dt 2 R dt L . En este circuito. Se elige examinar este circuito para ilustrar las tres formas de la respuesta natural. Las raíces s1 y s 2 son las raíces características y suelen llamarse frecuencias naturales. Los recíprocos de las magnitudes de las raíces características son las constantes de tiempo.s 2 10 s 16 i 2 2v f Nótese que s 2 10 s 16 0 es la ecuación característica y puede determinarse directamente evaluando el determinante de la ecuación (10-30) y (10-31) entonces. Por lo tanto. la respuesta natural el s1 2 x n A1 e 2t A2 e 8t Donde x i 2 . Cuando las dos raíces son reales y distintas. se dice que el circuito está sobreamortiguado. Dos raíces iguales cuando 0 . 2 2 2. Cuando las . Normalmente. la solución de la ecuación diferencial de segundo orden 10-33 es v n A1e s1t A2 e s2t Las raíces de la ecuación característica pueden reescribirse como s1 2 02 s 2 2 02 2 Donde 1 2 RC y 0 1 LC . Dos raíces complejas cuando 2 02 . debido a la presencia de dos elementos independientes de almacenamiento de energía. o se llama frecuencia resonante. se dice que el circuito está críticamente amortiguado. 3. El concepto de frecuencia resonante se amplia en capítulos subsiguientes. Dos raíces reales y diferentes cuando 2 02 . Cuando son reales e iguales. Las raíces de la ecuación característica contienen tres posibles condiciones: 1. Usando el operador s se obtiene la ecuación característica s2 1 1 s 0 RC LC Las dos raíces de la ecuación característica son 1 1 s1 2 RC 2 RC 1 1 s2 2 RC 2 RC 2 2 1 LC 1 LC 1 2 1 2 Entonces.Un circuito de segundo orden tiene una ecuación diferencial homogénea que contiene un término de segundo grado. dos raíces sn complejas conjugadas. C=1/2 F. L=1H. derivando la ecuación 10-37 y haciendo t=0 . Hallar la respuesta natural de v(t) para t>0 en el circuito RLC en paralelo de la figura 10-9 cuando R=2/3 . se obtiene una segunda ecuación en términos de las dos constantes como s1 A1 s 2 A2 v 0 i 0 RC C De las ecuaciones 10-40 y 10-43 pueden obtenerse A1 y A 2 . respectivamente. se obtiene dv 2 0 s1 A1 s 2 A2 dt Igualando las ecuaciones 10-41 y 10-42. se necesita una ecuación más en t=0 reescribiendo la ecuación 10-32 en t=0 se tiene v 0 dv 0 i 0 C 0 R dt Como i(0) y v(0) son conocidos se tiene dv 0 v 0 i 0 dt RC C Así se conoce el valor inicial de la derivada de v. Se determinará la respuesta natural del circuito RLC sobreamortiguado de la figura 10-9 cuando las condiciones iniciales son v(0) e i(0) para el capacitor y el inductor. se dice que el circuito está subamortiguado. La ecuación 10-37 t 0 es v n 0 A1 A 2 Puesto que A1 y A 2 son ambas desconocidas. Ejemplo 10-4. Solución. La ecuación característica es s2 1 1 s 0 RC LC s 2 3s 2 0 . v(0)= 10V e i(0)=2 A. la respuesta natural es v n A1 e t A2 e 2t El voltaje inicial del capacitor es v(0) 10 se tiene v n A1 A2 ó 10 A1 A2 Se utiliza la ecuación 10-43 para obtener una segunda ecuación para las constantes desconocidas. se obtiene A2 24 y A1 14 . Por tanto. se tiene A1 2 A2 34 Resolviendo simultáneamente las ecuaciones 10-45. la respuesta natural es v n 14e t 24e 2t V La respuesta natural del circuito aparece en la siguiente .Por tanto. las raíces de la ecuación característica son s1 1 y s 2 2 . Entonces s1 A1 s 2 A2 v 0 i 0 RC C ò A1 2 A2 10 2 13 12 Por tanto. Entonces. Como ya se observó. Si la función forzada es de la forma f t Be at . entonces la derivada de f t son todas exponenciales de la forma Qe at y se espera que x f 0 De at Si la función forzada es una función senoidal.RESPUESTA FORZADA DE UN CIRCUITO RLC La respuesta forzada de un circuito RLC por una ecuación diferenta de segundo orden debe satisfacer la ecuación diferencial y contener constantes no arbitrarias. se probará x f 0 Msen 0 t N cos 0 t Qsen 0 t En la tabla 10-4 aparecen funciones forzadas seleccionadas y sus soluciones supuestas asociadas. la respuesta a una función forzada tendrá a menudo la misma forma que ésta. De nuevo se establece la ecuación diferencial para el circuito de segundo orden como d 2x dx a1 a0 x f t 2 dt dt La respuesta forzada x f 0 debe satisfacer la ecuación 10-59. puede esperarse que la respuesta forzada sea una función senoidal. Tabla 10-4 Función forzada k kt kt 2 ksent ke at Solución supuesta A At B At 2 Bt C Asent B cos t Ae at . Por tanto. Si f t Asen 0 t . sustituyendo x f 0 se tiene d 2 x fo dx fo a a 0 x fo f t 1 dt dt 2 Se necesita hallar una x f 0 tal que ésta y sus derivadas de una constante son cero. se obtiene d 2i di 7 6i 48e 2t 2 dt dt Se desea obtener la respuesta forzada por lo que se supone que la respuesta será i f 0 Be 2 t . FIGURA 10-6 Solución. Sean R=6 . La ecuación de LCK en el nodo superior es i v dv C if R dt Dividiendo entre LC y reordenando. Hallar la respuesta forzada de la corriente del inductor i f 0 en el circuito RLC en paralelo 2 t mostrado e la figura 10-13 cuando i f 8e . L=7H y C=1/42F. La corriente de la fuente se aplica en t=0 como se indica por la función escalón unitario u(t).Ejemplo. se obtiene la conocida ecuación diferencial de segundo orden if d 2i 1 di 1 i 2 RC dt LC LC dt Sustituyendo los valores de los componentes y de la fuente i f . toda la corriente de la fuente fluye por el inductor en estado estable y i f 0 I0 Circuito RLC en paralelo en estado estable . Como primer método. El inductor se representa por un corto circuito y el capacitor por un circuito abierto. se tiene 4 Be 2t 7 2 Be 2t 6 Be 2t 48e 2t 4 14 6 Be 2t 48e 2t En consecuencia. Dado que las derivadas primera y segunda de la respuesta forzada supuesta son cero. se espera que la respuesta forzada sea también constante. Puesto que la fuente es una constante aplicada en t=0. se usará la ecuación diferencial para hallara la respuesta forzada. como el modelo de estado estable del inductor es un corto circuito. Hallar la respuesta forzada i f 0 del circuito del ejemplo anterior cuando i f I 0 . una constante. en la ecuación diferencial. Después. se supone que la respuesta forzada es i f 0 D . Sustituyendo la solución supuesta. Solución. La ecuación diferencial con la fuente constante se obtiene de la ecuación 10-64 como d 2i di 7 6i 6 I 0 2 dt dt De nuevo. B= -12 y i f 0 12e 2 t A Ejemplo. ecuación 10-66.Donde B ha de determinarse. se demostrará el método alterno que emplea el comportamiento de estado estable del circuito para hallar i f 0 . tal como aparece en la figura 10-14. se tiene 6D 6I 0 o D I 0 En consecuencia. Obviamente. i f 0 I0 Otro enfoque de determinar la respuesta de estado estable. Simplificando la ecuación 10-71. i fo te 6 t 5 5 En general. a veces se confronta un caso especial en que la forma de la función forzante es la misma que la de uno de los componentes de la respuesta natural. la respuesta forzada y un componente de la respuesta natural. se tiene B 6 g 6 g 36tg 7 B g 6tg 6 Btg 18 g Donde g g t e 6t . Se intentará la respuesta forzada i fo Bte 6t Después sustituyendo la ecuación 10-70 en la 10-67.Los dos ejemplos anteriores muestran que es relativamente fácil obtener la respuesta de un circuito a una función forzante. si la función forzada tiene la misma forma que uno de los componentes de la respuesta natural. Entonces se obtiene 36 Be 6t 42 Be 6t 6 Be 6t 18e 6 t ó 0 18e 6t Que es una solución imposible. ¿Funcionará? Se probará sustituyendo la ecuación 10-69 en la ecuación diferencial 10-67. Sin embargo. hace falta otra forma de respuesta forzada cuando uno de los términos de la respuesta natural tiene la misma forma que la función forzada. En la primera instancia. Considérese de nuevo el circuito de los ejemplos 10-6 y 10-7 (figura 10-13) cuando la ecuación diferencial es d 2i di 7 6i 6i f 2 dt dt La ecuación característica del circuito es s 2 7 s 6 0 o bien s 1 s 6 0 Entonces. se tiene B 18 18 por tanto. se espera que la respuesta forzada sea i f Be 6 t Sin embargo. En consecuencia. la respuesta natural es i n A1e t A2 e 6t 6 t Obsérvese el caso especial donde i f 3e . tendrán ambos la forma De 6 t . se utilizará . x n1 . Suponiendo una solución de la forma: X=C*E elevado a la λt Donde C y λ son constantes. y sustituyéndolas en la siguiente ecuación λ² + 2dλ + w² = 0 Esta Ecuación cuadrática da dos valores para la constante λ que podemos escribir como λ= d ± iwd Donde i= √-1 y wd= √w². Usando la identidad solución general en la fórmula: podemos expresar la . AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO El caso en donde los valores de los elementos del circuito están ajustados tal que α y w0 son iguales recibe el nombre de amortiguamiento crítico.d² Como hemos supuesto que d<w. se dice que el sistema esta subcriticamente amortiguado.αt + A2*t*e-αt Amortiguamiento Subcritico Si d<w. La solución general resultante es: Donde C y D son constantes. no se puede hacer que α y w0 sean exactamente iguales. esto en la práctica es imposible. Las dos raíces para λ Nos da dos soluciones que se vieron anteriormente. el resultado real siempre será un circuito sobre o subamortiguado. de t que no se repita en la respuesta natural. la constante wd es un número real. El amortiguamiento crítico se da cuando: α=w0 LC = 4R2C2 L = 4R2C En este caso la respuesta natural toma la siguiente forma: v(t) = A1*e.x fo t p x n1 Donde el entero p. por lo que el periodo de vibración aumenta y su frecuencia natural disminuye como resultado del amortiguamiento sudcritico. El coeficiente d determina la razón con el que disminuye la amplitud El amortiguamiento tiene un efecto importante además de la atenuación. donde el periodo y la frecuencia natural del sistema amortiguado son: Vemos que wd < w. podemos obtener una relación sencilla entre el decremento logarítmico. Excepto que la frecuencia natural circula w es reemplazada por wd. el coeficiente d y el periodo: . La razón de amortiguamiento suele expresaren términos del decremento logarítmico. Esta ecuación es producto de una función exponencial decreciente en el tiempo por una expresión idéntica en forma de solución para un sistema sin amortiguamiento. como la amplitud es proporcional a e elevado a la -dt. que es el logaritmo natural de la razón de la amplitud en tu tiempo t a la amplitud en el tiempo t + t.Donde Ay B son constantes. La función exponencial ocasiona el efecto esperado de amortiguamiento: la amplitud de la vibración se atenúa con el tiempo.