RESPUESTASContenidos Matemáticos Matemáticas incluye reactivos que implican el conocimiento de contenidos matemáticos del currículum de educación primaria y secundaria. La tabla siguiente contiene las respuestas a cada reactivo. Reactivo Respuesta correcta Reactivo Respuesta correcta 1 A 16 E 2 D 17 A 3 E 18 C 4 C 19 B 5 B 20 C 6 D 21 A 7 C 22 B 8 D 23 E 9 E 24 A 10 D 25 B 11 D 26 B 12 C 27 B 13 B 28 C 14 D 29 D 15 B 30 C ANÁLISIS DE RESPUESTAS Reactivo No. 1 El alambre enrollado en un carrete pesa 9 kilogramos y mide 108 metros. Si en una instalación eléctrica se utilizan 72 metros, ¿cuánto pesa el alambre que se utilizó? A) 6 kg B) 3 kg C) 4.5 kg D) 2 kg E) 4 kg Solución: Este es un problema típico de proporcionalidad entre el peso y la longitud del alambre contenido en el carrete: si x representa el peso del alambre usado, entonces podemos establecer la proporción (puede utilizarse la forma esquemática de la regla de tres): kg m m kg x m x m kg 6 108 ) 72 ( 9 72 108 9 = = = ∵ . Así, la respuesta correcta es: A) 6 kg _________________________________________________________________________________ Respuestas de los reactivos tipo CENEVAL. Matemáticas 1 Reactivo No. 2 ¿Cuánto mide el cordel que sujeta la caja del regalo? A) 45 cm B) 95 cm C) 150 cm D) 190 cm E) 195 cm 25 cm 10 cm 20 cm Solución. Tenemos un paralelepípedo del que se quiere medir el perímetro de la cara formada por el rectángulo de lados 25 y 10 cm; y de la que sus lados miden 20 y 10 cm. Entonces, si a la longitud del cordel le llamamos : l [ ] [ ] cm cm cm cm cm cm cm l 190 60 2 70 2 10 2 20 2 2 10 2 25 = + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = Así, la respuesta correcta es: D) 190cm. Reactivo No. 3 Un casete de juegos electrónicos ofrece siete juegos distintos. Cada juego tiene tres niveles: Principiante, Intermedio y Experto. ¿Cuántas alternativas de juego ofrece el casete? A) 10 B) 4 C) 7/4 D) 7 4 E) 21 Solución. Si denotamos con J al evento “juegos distintos que ofrece el casete” y con N los “niveles de juego”, tenemos que J puede ocurrir de 7 maneras y N puede ocurrir de 3 maneras; por lo tanto, el evento conjunto J y N ocurrirá de maneras distintas, de acuerdo al principio de la multiplicación para eventos conjuntos. 21 3 7 = ⋅ Así, la respuesta es: E) 21. _________________________________________________________________________________ Respuestas de los reactivos tipo CENEVAL. Matemáticas 2 Reactivo No. 4 Martha quiere grabar la Sinfonía Nuevo Mundo de Dvorak en un CD de 74 minutos de capacidad. El tiempo de duración de cada movimiento de la sinfonía se muestra en la siguiente tabla: ¿Cuánto espacio libre quedará en el CD? A) 39 min. y 9 seg. B) 34 min. y 51 seg. C) 33 min. y 51 seg. D) 38 min. y 9 seg. E) 37 min. y 9 seg. Movimiento Duración 1 9 minutos y 4 segundos 2 12 minutos y 9 segundos 3 7 minutos y 43 segundos 4 11 minutos y 13 segundos Solución. Primero debemos sumar el total de minutos y segundos de los cuatro movimientos; que son . 9 . min 40 . 69 . min 39 seg seg + = + Ahora debemos cerrar este tiempo de grabación de los 74 minutos: . 51 . min 33 .) 9 . min 40 ( . 60 . min 73 seg seg seg + = + − + Por lo tanto la respuesta es: . seg y C 51 min 33 ) Reactivo No. 5 De una Terminal salen autobuses hacia tres ciudades diferentes cada 5, 6 y 8 minutos respectivamente. Si a las 9:00 a.m. coincidieron las tres salidas, ¿cuál es la siguiente hora en la que vuelven a coincidir? A) 13:00 B) 11:00 C) 12:00 D) 10:00 E) 9:00 Solución. A partir de las 9:00 a.m. las salidas a las tres ciudades son: A la 1er. Ciudad: 9:00, 9:05, 9:10, …; a la 2da. Ciudad: 9:00, 9:06, 9:12, …; a la 3er. Ciudad: 9:00, 9:08, 9:16, … Para evitar hacer la lista hasta que vuelvan a coincidir los horarios de salida, podemos encontrar el mínimo común múltiplo de 5, 6 y 8, cuya regla establece que es el producto de los factores primos comunes y no comunes tomados con sus mayores exponentes. Como: ; es decir, las salidas vuelven a coincidir dentro de 120 minutos, o sea dentro de 2 horas. 120 2 3 5 2 8 ; 2 3 6 ; 1 5 5 3 3 = ⋅ ⋅ = ⇒ = ⋅ = ⋅ = mcm Por lo tanto la respuesta es B) 11:00 _________________________________________________________________________________ Respuestas de los reactivos tipo CENEVAL. Matemáticas 3 Reactivo No. 6 Un productor tiene que envasar 78 litros de miel, 110 litros de leche y 98 litros de yogurt en el menor número posible de recipientes del mismo tamaño. ¿De qué capacidad debe ser cada recipiente? A) 5 litros B) 7 litros C) 3 litros D) 2 litros E) 11 litros Solución. Necesitamos encontrar el mayor número que divida a 78, 110, y 98, de esta manera se utilizará la menor cantidad de recipientes. Este número puede obtenerse haciendo la lista de divisores comunes; o bien, mediante la regla para obtener el máximo común divisor, descomponiendo cada número en sus factores primos y tomar el producto de los factores que son comunes, tomados con los menores exponentes: 2 7 2 98 ; 11 5 2 110 ; 13 3 2 78 2 = ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = mcd . Así, los recipientes deben ser de: D) 2 litros. Reactivo No. 7 La rueda delantera de una bicicleta tiene un perímetro de 150 cm y la trasera un perímetro de 180 cm. Cuando la bicicleta comienza a rodar, un rayo de cada rueda apunta hacia arriba. ¿Qué distancia deberá recorrer la bicicleta para que estos mismos rayos vuelvan a quedar hacia arriba? A) 8 metros B) 10.5 metros C) 9 metros D) 12.3 metros E) 11 metros 150 cm 180 cm Solución. Si pudiéramos desdoblar una rueda, su perímetro es igual a la distancia lineal recorrida cuando da una vuelta. Así, a partir de que inicia el recorrido, el rayo de la 1er. rueda apunta hacia arriba a los: 150 cm., 300 cm., 450 cm., … Mientras que el rayo de la 2da. Rueda, apunta hacia arriba a los: 180 cm., 360 cm., …, etc. Por lo tanto, debemos obtener el mínimo común múltiplo de 150 y 180: _________________________________________________________________________________ Respuestas de los reactivos tipo CENEVAL. Matemáticas 4 . 900 5 3 2 ; 5 3 2 180 ; 5 3 2 150 2 2 2 2 2 2 = ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = mcm Es decir, a los 900 cm. los rayos de ambas ruedas vuelven a apuntar hacia arriba. La respuesta es: C) 9 metros. Reactivo No. 8 La manecilla que marca las horas de un reloj mide 6 cm y la que marca los minutos mide 8 cm. ¿A qué distancia se encuentran los extremos de las manecillas cuando son las 9:00 horas en punto? A) 7cm. B) 14 cm. C) 9 cm. D) 10 cm. E) 12 cm. Solución. Colocando las manecillas en su posición de las 9:00, la manecilla de las horas apunta al número 9 y la de los minutos apunta al 12. Se forma un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 cm. y 8 cm.; aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que la distancia entre los extremos es . 10 . 100 .) 8 ( .) 6 ( 2 2 2 cm cm cm cm d = = + = La respuesta es: D) 10 cm. Reactivo No. 9 Un trozo de cuerda mide 13.25 metros y otro mide 22.60 metros. Al unir los dos trozos, en el nudo se emplean 5 cm, ¿de qué longitud queda la cuerda después de amarrar los dos trozos? A) 33 metros B) 34.5 metros C) 35.85 metros D) 32.75 metros E) 35.8 metros Solución. La suma de las longitudes de los dos trozos es metros; como se utilizan 5 cm. en el nudo, la longitud total de la cuerda amarrada es: 85 . 35 60 . 22 25 . 13 = + metros metros metros l 8 . 35 05 . 0 85 . 35 = − = . La respuesta es E) 35.8 metros. _________________________________________________________________________________ Respuestas de los reactivos tipo CENEVAL. Matemáticas 5 Reactivo No. 10 Al inicio de una semana, un cultivo contiene 5000 bacterias y al final de la semana hay un 10% más de bacterias. ¿Cuántas bacterias habrá al final de la segunda semana, si el crecimiento semanal se mantiene al 10%? A) 6000 B) 5050 C) 5500 D) 6050 E) 6500 Solución. La cantidad inicial 5000 se incrementa en una semana el 10%; es decir, al término de la primer semana se aumentaron 500 bacterias ( el 10% de 5000). Así, al inicio de la segunda semana hay 5500 y a su término habrá 550 más. Por lo tanto, al final de la segunda semana habrá 6050 bacterias. La respuesta es: D) 6050. Reactivo No. 11 Un círculo cuyo radio mide 1 centímetro está inscrito en un cuadrado. Si este cuadrado, a su vez, está inscrito en otro círculo, ¿cuánto mide el radio de este último círculo? A) 2 B) _________________________________________________________________________________ Respuestas de los reactivos tipo CENEVAL. Matemáticas 6 3 C) 1 D) 2 E) 1.5 Solución. Si dibujamos en la figura dos radios en el círculo interior a puntos de tangencia en lados consecutivos del cuadrado, tendremos un cuadrado de lado 1; su diagonal es el radio del círculo mayor y por el teorema de Pitágoras: 2 1 1 2 2 = + = r . La respuesta es: D) 2 . Reactivo No. 12 Un reloj despertador se adelanta 3 minutos cada hora. Si el Domingo a las 9 de la noche pongo a tiempo mi reloj y deseo despertarme el Lunes a las 7 de la mañana, ¿qué hora tengo que poner en la alarma para que me despierte a tiempo? A) 7:30 B) 6:40 C) 6:30 D) 6:15 E) 7:10 Solución. De las 9 de la noche del Domingo a las 7 de la mañana del Lunes hay 10 horas, por lo tanto, en ese periodo el reloj se adelanta min 30 3 10 = ⋅ ; para despertar a tiempo se deben restar los 30 minutos de la 7:00 de la mañana. Es decir, . 30 : 6 30 : 0 60 : 6 = − La respuesta correcta es: C) 6:30 Reactivo 13 Pedro fue a cortar mangos a una huerta. Para salir debe pasar por dos puertas; en cada una de ellas debe dejar dos tercios de los mangos que lleve en ese momento. Si Pedro salió con 8 mangos, ¿cuántos mangos cortó? A) 27 B) 72 C) 24 D) 18 E) 32 Solución. Si x es el número de mangos que Pedro cortó en la huerta, en la puerta 1 dejó x 3 2 ; y se quedó con x x x 3 1 3 2 = − . En la segunda puesta dejó x x 9 2 3 1 3 2 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ; y se quedó con x x x 9 1 9 2 3 1 = − , que son los 8 mangos con los que salió; por lo tanto debemos tener que 72 8 9 1 = ⇒ = x x . La respuesta correcta es: B) 72 mangos. Reactivo 14 Se aplicó una encuesta a 500 radioescuchas de una colonia, para detectar su preferencia respecto a dos estaciones de radio: XEI y XEQ, obteniéndose los resultados siguientes: 330 escuchan XEI y posiblemente también XEQ 120 solamente escuchan XEQ 150 escuchan ambas estaciones ¿Cuántas personas escuchan solamente XEI? A) 250 B) 210 C) 270 D) 180 E) 120 Solución. Haciendo un diagrama de Venn, como el de la siguiente figura, en un rectángulo con dos curvas cerradas que se intersecan y anotando los datos acomodados en el siguiente orden: 150 en la intersección, 120 en la figura que representa a XEQ, fuera de la intersección, y 180 en XEI. Debe notarse que 50 radio escuchas sintonizan otra estación. Así, con el auxilio de diagrama, la respuesta es: D) 180. _________________________________________________________________________________ Respuestas de los reactivos tipo CENEVAL. Matemáticas 7 XEQ XEI 50 150 180 120 Reactivo 15 En una tienda de ropa para dama se exhibe un letrero que dice: Si un chaleco cuesta $230.00, ¿cuál es el porcentaje de ahorro al adquirir dos chalecos? A) 50 % B) 25 % C) 20 % D) 33 % E) 15 % _________________________________________________________________________________ Respuestas de los reactivos tipo CENEVAL. Matemáticas 8 OFERTA: Pague uno y medio, y llévese DOS Solución. Este problema puede resolverse sin tomar en cuenta el costo específico del chaleco. Si llamamos P al precio de un artículo y se paga el precio de uno y medio por dos artículos, el porcentaje del pago es la razón 75 . 0 2 5 . 1 = P P ; o sea, se pagó el 75 % del valor de los dos. Entonces el ahorro es del 25 %. La respuesta es: B) 25 %. Reactivo 16 Dos circunferencias que son tangentes interiormente en el punto T, tienen centros en los puntos R y P. Si TP es un diámetro de la circunferencia interior, ¿cuánto vale la razón de las áreas: P centro de Circunf Area R centro de Circunf Area . . ? A) 2 1 B) 2 C) 3 1 D) π E) 4 1 Solución. Llamemos al área de la circunferencia de centro R y al área de la circunferencia de centro P; como y , entonces: 1 A 2 A 2 1 r A π = ) 4 ( ) 2 ( 2 2 2 r r A π π = = 4 1 4 2 2 2 1 = = r r A A π π . La respuesta es: E) 4 1 . Reactivo 17 Se emplea un tanque rectangular para almacenar agua. La base del tanque tiene un área de 144 metros cuadrados. Si el nivel de agua llega hasta 2.5 m, ¿cuál es el volumen de agua almacenado en este tanque? A) 360 m 3 B) 57.6 m 3 C) 30 m 3 D) 288.5 m 3 E) 900 m 3 Solución. Se trata de una pila que tiene forma de un cuerpo geométrico llamado paralelepípedo. El volumen del líquido contenido es el producto del área de la base por la altura. En este caso . 3 2 360 ) 5 . 2 )( 144 ( m m m V = = La respuesta es: A) 360 m 3 . Reactivo 18 ¿Cuál es el mayor número de vasos de 90 ml. que pueden llenarse con un litro de jugo? A) 9 B) 12 C) 11 D) 10 E) 15 Solución. Se transforman los 90 ml. a litros: litro ml litro ml 09 . . 1000 1 . 90 = . Así, si multiplicamos , y litro por litro 99 . 11 09 . = litro por litro 08 . 1 12 09 . = ; se pasa del litro del que disponemos. La respuesta es: C) 11. Reactivo 19 El rancho de Don J osé mide 30 hectáreas y está dividido en ocho partes iguales. En la temporada de siembra, Don J osé plantó trigo en tres partes, sorgo en dos partes y alfalfa en una parte, ¿cuántas hectáreas quedaron sin sembrar? A) 2 B) 7.5 C) 5 D) 4 E) 3.5 _________________________________________________________________________________ Respuestas de los reactivos tipo CENEVAL. Matemáticas 9 Solución. Cada parte del rancho tiene un área de Ha 8 30 . Las partes sembradas son: Ha Ha Ha Ha Ha 5 . 22 ) 6 ( 8 30 ) 1 ( 8 30 ) 2 ( 8 30 ) 3 ( 8 30 = = + + . Entonces la extensión de terreno sin sembrar es Ha Ha Ha 5 . 7 5 . 22 30 = − . La respuesta es: B) 7.5 . Reactivo 20 La tabla siguiente muestra las puntuaciones obtenidas por los participantes en un juego de golf: Jugador Puntuación Luis -3 Rafael +5 Enrique -7 Carlos 0 Ernesto +4 ¿Cuál lista muestra los resultados ordenados de mayor a menor? A) -7, +5, +4, -3, 0 B) -7, +4, -3, 0, +5 C) +5, +4, 0, -3, -7 D) -7, -3, 0, +4, +5 E) 0, -3, +4, +5, -7 Solución. Si colocamos los números en la recta numérica obtenemos los números ordenados de menor a mayor. Entonces la ordenación pedida es +5, +4, 0, -3, -7. La respuesta corresponde a: C) +5, +4, 0, -3, -7. Reactivo 21 Una caja de 780 gramos tiene galletas de 3 sabores diferentes: las galletas de chocolate pesan 9 gramos cada una; las de canela pesan 10 gramos cada una y las de vainilla 7 gramos cada una. Si hay el mismo número de galletas de cada sabor, ¿cuántas galletas tiene la caja? A) 90 B) 66 C) 60 D) 72 E) 75 Solución. El número de galletas de cada sabor por sus respectivos pesos deben completar los 780 gramos; pero ese número debe ser el mismo para cada sabor. Sea x este número, entonces . 780 7 10 9 gr x x x = + + Es decir, . 30 780 26 gr x gr x = ⇒ = ; por lo tanto la caja contiene 90 galletas. La respuesta es: A) 90. _________________________________________________________________________________ Respuestas de los reactivos tipo CENEVAL. Matemáticas 10 Reactivo 22 Mario carga 13 cajas de durazno en una carretilla. El peso total de las cajas es de 71.5 kg. La mejor estimación del peso de cada caja es: A) 4.2 kg B) 5.4 kg C) 6.2 kg D) 5.8 kg E) 6.8 kg Solución. Si calculamos la media aritmética obtenemos el peso promedio de cada caja, que es kg kg x 5 . 5 13 5 . 71 = = . El número más próximo a este número es 5.4. La respuesta es: B) 5.4 kg. Reactivo 23 En un campeonato de baloncesto, J uan anotó 15 puntos en el primer partido, 24 en el segundo partido y 18 en el tercero, ¿cuál fue el promedio de puntos de J uan en el campeonato? A) 22 B) 15 C) 16 D) 25 E) 19 Solución. Se calcula directamente el promedio de puntos en los tres partidos, que es la suma de los puntos entre el número de partidos: 19 3 18 24 15 = + + = x . La respuesta es: E) 19 Reactivo 24 En una carrera de relevos, cada miembro del equipo corrió 1500 metros. Los tiempos individuales fueron 1.39 minutos, 1.37 minutos, 1.31 minutos y 1.33 minutos. En promedio, ¿cuánto tiempo tardan los cuatro integrantes del equipo en recorrer cinco kilómetros en relevos? A) 4.5 m in B) 5.4 min C) 4.7 min D) 5.25 min E) 4.95 min Solución. Si hay cuatro corredores, juntos recorrieron 6000 metros. La velocidad promedio de los cuatro es: min 11 . 1111 min ) 33 . 1 31 . 1 37 . 1 39 . 1 ( 6000 m m t d v = + + + = = . Así, el tiempo que tardarán los cuatro corredores en recorrer los cinco kilómetros es: min 5 . 4 min 11 . 1111 5000 = = = m m v d t . La respuesta es: A) 4.5 min. _________________________________________________________________________________ Respuestas de los reactivos tipo CENEVAL. Matemáticas 11 Reactivo 25 ¿Cual lista muestra los números 8 5 , 3 2 y 5 4 ordenados de menor a mayor? A) 3 2 , 5 4 , 8 5 B) 8 5 , 3 2 , 5 4 C) 5 4 , 8 5 , 3 2 D) 3 2 , 8 5 , 5 4 E) 8 5 , 5 4 , 3 2 Solución. Podemos obtener las fracciones equivalentes cuyo denominador sea el mínimo común múltiplo 3, 5 y 8, que es igual a 120. Así, 120 96 5 4 ; 120 80 3 2 ; 120 75 8 5 = = = , entonces observamos que la lista de la que encontramos las fracciones equivalentes ya está ordenada de menor a mayor, pues 120 96 120 80 120 75 < < . La respuesta es: B) 8 5 , 3 2 , 5 4 . Reactivo 26 _________________________________________________________________________________ Respuestas de los reactivos tipo CENEVAL. Matemáticas 12 De una placa circular de metal, se va a hacer una tuerca hexagonal cortando sectores circulares como se muestra en la figura. Si el diámetro de las placa es de 12 mm., ¿cuánto medirá cada lado de la tuerca? A) 2 6 mm. B) 6 mm. C) 27 mm. D) 2 3 mm. E) 3 2 mm. Solución. Como el diámetro mide 12 mm., el radio de la circunferencia es de 6 mm.; y por tratarse de un hexágono regular, cada lado mide el radio . 6mm r = La respuesta es: B) 6 mm. Reactivo 27 El diámetro de una rueda de bicicleta mide aproximadamente 70 cm. Haz una estimación del número de vueltas que da la rueda en un recorrido de 5 km. A) 2800 B) 2300 C) 2000 D) 1900 E) 3000 Solución. El perímetro de la rueda es cm cm r p 91 . 219 ) 35 )( 1416 . 3 ( 2 2 = = = π , si convertimos los 5 km a centímetros, entonces el número de vueltas que da la rueda es: 6 . 2273 91 . 219 500000 = = cm cm n . La respuesta es: B) 2300 Reactivo 28 J osé quiere construir una casa en un terreno desnivelado. Para asegurar que el piso de la casa quede horizontal, necesita colocar un soporte vertical en uno de los lados de la casa. Si el terreno mide 12 metros de frente y su inclinación con respecto a la horizontal 21°, ¿aproximadamente, cuánto medirá el frente de la casa? A) 12.5 m B) 9.7 m C) 11.2 m D) 13.4 m E) 10.8 m Solución. En la figura puede observarse que se forma un triángulo rectángulo cuyos lados son el frente de la casa, el soporte vertical y la longitud del terreno que mide 12 metros, el cual forma un ángulo de 21 o . Si llamamos x a la longitud del frente de la casa, podemos utilizar la función trigonométrica del coseno: 0 0 21 cos 12 ; 12 21 cos = ⇒ = x x ; para hacer la estimación tomamos en cuenta que el coseno es una función decreciente de 0 o a 90 o y como , el debe ser un número entre .866 y 1; tomémoslo como .94, entonces . 866 . 30 cos ; 1 0 cos 0 0 = = y 0 21 cos 28 . 11 ) 94 (. 12 = = x La respuesta es: C) 11.2 m. _________________________________________________________________________________ Respuestas de los reactivos tipo CENEVAL. Matemáticas 13 Reactivo 29 Dada la gráfica siguiente, ¿cuál es la ecuación que le corresponde? A) ( )( 4 1 ) + + = x x y B) C) 4 - x 2 = y 1 x 2 − = y D) E) ( )( ) 4 - x 1 − = x y 1 4 + = x y Solución. Como la figura corresponde a una parábola que cruza al eje x en ; y . Entonces la expresión 1 = x 4 = x 0 ) 4 )( 1 ( = − − x x proporciona las raíces; es decir, los valores de x donde ) 4 )( 1 ( ; 0 − − = = x x y y ∵ . La respuesta es: D) ( )( ) 4 - x 1 − = x y Reactivo 30 Dada la gráfica siguiente, ¿cuál es la ecuación que le corresponde? A) B) 3 4x - 2 + = x y x 2 = y C) 1 x+ − = y D) E) 5 - -x = y 4 - 2 x y = _________________________________________________________________________________ Respuestas de los reactivos tipo CENEVAL. Matemáticas 14 Solución. La gráfica corresponde a una recta, de modo que las opciones dadas en los incisos A) y E) quedan excluidos por corresponder a curvas llamadas parábolas. La pendiente de la recta es negativa y tanto la ordenada como la abscisa al origen son iguales; por lo tanto . 1 + − = x y La respuesta es: C) . 1 + − = x y _________________________________________________________________________________ Respuestas de los reactivos tipo CENEVAL. Matemáticas 15