Ministerio de Educación y JusticiaUniversidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael Cátedra: Probabilidad y Estadística Profesor: Lic. Oscar Raúl Zapata JTP: Lic. Andrea Roldán ATP: Ing. Valeria Cordero Taller N º 5 Muestreo Ciclo Lectivo: 2014 Ejercicio Nº 1 1. Dadas las investigaciones que se indican a continuación, se pide determinar para cada caso: a- Población de estudio. b- Unidad de análisis. c- Variable. d- Tipo de muestreo (probabilístico, no probabilístico) a- Técnica de muestreo utilizada. I. A efectos de realizar un estudio sobre el comportamiento dentro de la clase, el profesor ha solicitado a todos los alumnos que escriban en un papel su nombre, a continuación extrae al azar 4 papeles con los cuales forma un grupo y así sucesivamente hasta concluir con todos los papeles. a- Población de estudio: alumnos de la clase b- Unidad de análisis: alumno c- Variable: comportamiento dentro de la clase d- Tipo de muestreo (probabilístico, no probabilístico): probabilístico. a- Técnica de muestreo utilizada: Muestreo aleatorio simple (MAS) II. Para estudiar las infracciones cometidas en una esquina, ante un cartel de “Pare”, un equipo de observación ha permanecido de 8 de la mañana a 8 de la tarde, durante tres días consecutivos, registrando una de cada tres de las infracciones observadas en ese tiempo. a- Población de estudio: vehículos que pasan por una esquina b- Unidad de análisis: vehículo c- Variable: infracciones cometidas d- Tipo de muestreo (probabilístico, no probabilístico): muestreo no probabilístico a- Técnica de muestreo utilizada: Muestreo intencional (MI) III. Con el fin de investigar los coeficientes intelectuales de los estudiantes de una universidad, se obtiene un listado de los estudiantes matriculados, numerados del 1 al 20000, de los cuales se extrae una muestra de 100, mediante un generador de números aleatorios. a- Población de estudio: estudiantes matriculados de una universidad b- Unidad de análisis: estudiante c- Variable: coeficiente intelectual d- Tipo de muestreo (probabilístico, no probabilístico): probabilístico sin reposición. a- Técnica de muestreo utilizada: Muestreo aleatorio simple (MAS) IV. Un ingeniero que supervisa la calidad de producción en una fábrica de laminados, desea determinar la proporción de fallas en el producto final. Decide tomar una muestra de 50 láminas en un día, para lo Taller Nº 5 1 Ministerio de Educación y Justicia Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael cual, durante cinco horas seguidas, toma las últimas diez láminas producidas y cuenta el número de fallas. a- Población de estudio: láminas producidas b- Unidad de análisis: lámina c- Variable: fallas d- Tipo de muestreo (probabilístico, no probabilístico): no probabilístico. a- Técnica de muestreo utilizada: Muestreo intencional (MI) V. Para observar el comportamiento de una red de distribución eléctrica de media tensión en una ciudad, se toman 10 muestras de igual cantidad de viviendas con una superficie cubierta similar, posteriormente a las mismas se miden los kw. Consumidos durante la primer semana de un mes. a- Población de estudio: viviendas de una ciudad con superficie similar b- Unidad de análisis: vivienda c- Variable: comportamiento de la red eléctrica / consumo en Kw. d- Tipo de muestreo (probabilístico, no probabilístico): no probabilístico. a- Técnica de muestreo utilizada: Muestreo intencional (MI) VI. Se desea conocer la inserción profesional, de los egresados de las carreras de ingeniería de la UTN FRSR, por lo cual, se realiza una encuesta en fecebook a los estudiantes de último año de cada especialidad, cuantificando a aquellos que han recibido algún ofrecimiento laboral. a- Población de estudio: egresados de ingeniería de la UTN b- Unidad de análisis: estudiante de último año c- Variable: ofrecimiento laboral d- Tipo de muestreo (probabilístico, no probabilístico): no probabilístico. a- Técnica de muestreo utilizada: Muestreo intencional (MI) Ejercicio Nº 2 1. Sobre los datos presentados en la tabla siguiente, indicar: abcd- Población de estudio Unidad de análisis Variable/s Tipo y clasificación de variable/s Universidad Tecnológica Nacional Estudiantes de Ingeniería según condición laboral Especialidad Total Trabajan Civil 8.040 1.769 Aeronáutica 4.002 1.385 Electromecánica 5.473 940 Industrial 11.076 2.671 Química 6.884 1.496 Electrónica 6.703 1.635 Fuente: Ministerio de Educación de la Nación. Anuario de Estadísticas Universitarias, 2008. a- Población de estudio: estudiantes de ingeniería b- Unidad de análisis: estudiante c- Variable/s: Especialidad/ condición laboral Taller Nº 5 2 2 2. la técnica adecuada para realizar un muestreo de esta población.3 6.No trabajan 3. 3.25+ 30.2 6. 4.2 11. Ejercicio Nº 3 Una población consta de los números 2. podría haber realizado previamente un muestreo al azar de las especialidades.Establecer el nivel de confiabilidad con el cual se va a trabajar. pero siempre calculando la cantidad de especialidades que deberían incluirse en la muestra de forma probabilística. fundamentando.5 )2+ ( 11−5 )2 σ= =¿ 4 2 σ 2= 12. Hallar la media de la población μ= 2+3+6+11 22 = =5. porque tenemos cierto conocimiento de la población a estudiar.3 2. Pasos a seguir: 1.5 4 4 b. 6. sería Muestreo estratificado. de esa población.6 2.6 11.Calcular el tamaño de la muestra.25+6.11 6. porque deseamos incluir a los jóvenes según su condición laboral (contamos con esta información) a.11 3. que incluya a todas las especialidades.Dos sub-estratos: Trabajan . Consideremos todas las posibles muestras de tamaño 2 que puedan tomarse con reposición.11 11.25+ 0.3 3. y 11.25 4 4 Taller Nº 5 3 .Ministerio de Educación y Justicia Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael d.6 3.6 6.Determinar la cantidad por especialidad de los estudiantes que no trabajan. en primer lugar las 6 especialidades.Determinar la cantidad de estratos que formarán parte de la muestra: en este caso serán 8 estratos.Tipo y clasificación de variable/s: Cualitativa nominal / Cualitativa nominal 2.25 49 = =12. asignando las proporciones adecuadas a cada estrato. y 2 estratos más.3 11. Aunque no sabemos el parámetro que vamos a estimar a partir de la muestra. sugiera la técnica a utilizar y los pasos a seguir.5 )2+ ( 3−5.5 )2 + ( 6−5. Para realizar un muestreo que incluya a todas las especialidades. Si la consigna no hubiese especificado incluir todas las especialidades. 2.2 3.11 a.seis estratos: Especialidad b. en vez de incluirlas a todas. La desviación típica de la población ( 2−5. Las muestras posibles son 4(4)= 16 2. 5 7 7 8.5 2.25 3 9 98 σ 2 12.2 2. La media de la distribución de muestreo de medias Calculamos la media a cada muestra: 2.5 2 σ ´x =¿ Taller Nº 5 98 =¿ 6.6 2.125 = n 2 4 .125 = 16 (x(x.5 3 4 4 4.3 11.25 -1.25=3.5 12.5 c.2 6.11 11.5 4.5 2.5 2.11 2.3 6.25 1.5 6.0 La media de la distribución muestral de medias es: μx´ = Suma de tod as las medias muestrales 88 = 16 = 5.25 3 9 5.0 4.0 2.6 6.11 3.5 2.5 16 d.5 6.5 7. La desviación típica de la distribución de muestreo de medias ´x −μx´ ∑ (¿)2 /n σ 2´x =¿ Med 2 2.11 4.5 4.25 =6.5 6.2 11.5 6.0 4.0 8.6 11.5 2.5 11 8.5 6 6.5 3.0 8.Ministerio de Educación y Justicia Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael σ =√ 12.3 2.3 3.0 6.5 11.5 7.5 30.25 1 1 1 1 1.5 0.5 2.0 6.25 -3 9 -3 9 -2.2 3.6 3.med) med)^2 -3.25 -1.25 -1 1 -1 1 0. 5 √2 e.25+6.3 6.5 )2+ ( 11−5 )2 σ= =¿ 4 2 σ 2= 12.25 49 = =12.5 )2+ ( 3−5.25=3.3 2. ¿Qué conclusión obtenemos al observar estas medidas? Por teorema del límite central. (En Excel) Las muestras posibles son 4(4)= 16 2.11 11.25+ 30. La desviación típica de la población ( 2−5. Hallar la media de la población μ= 2+3+6+11 22 = =5.25 4 4 σ =√ 12. Se cumple entonces que: μ=μ ´x Y que la varianza del muestreo de medias es igual a la varianza de la población /n Ejercicio Nº 4 A continuación se presenta una tabla con datos de una población de estudiantes.6 2.6 11. tendrá comportamiento normal. Construir 30 muestras por muestreo aleatorio simple de tamaño 4.3 11.2 3.6 6.2 2.5 c.6 3.2 11.5 4 4 b. 60-62 63-65 66-68 69-71 72-74 Número de estudiantes 5 18 42 27 8 a.11 3.Ministerio de Educación y Justicia Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael σ ´x =√ 6.11 6. La media de la distribución de muestreo de medias Calculamos la media a cada muestra: Taller Nº 5 5 .11 a.5 )2 + ( 6−5.25+ 0.2 6. Peso en Kg.47 = σ = √n 3.125 ≅ 2. el comportamiento de la distribución de muestreo de medias.3 3. 25 -1.11 3.25 1.5 11.11 11.3 2.125 ≅ 2.5 4.5 2.3 6.11 4.6 3.5 4.25 -3 9 -3 9 -2.6 2.5 7.125 = 16 σ ´x =√ 6.5 16 16 d.5 6.3 3.Ministerio de Educación y Justicia Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael 2.3 11.11 2.5 11 8.5 3 4 4 4.5 7 7 8. ¿Qué conclusión obtenemos al observar estas medidas? Taller Nº 5 6 .25 -1 1 -1 1 0.5 3. La desviación típica de la distribución de muestreo de medias ´x −μx´ ∑ (¿)2 /n σ 2´x =¿ (x(x.5 30.2 11.0 8.25 3 9 5.5 6.0 4.125 = n 2 σ = √n 3.0 8.5 √2 e.5 2.2 3.5 2.0 6.0 6.5 2.5 7.5 2.5 6.med) med)^2 -3.0 4.25 1 1 1 1 1.0 La media de la distribución muestral de medias es: μx´ = Suma de tod as las medias muestrales 88 = = 5.2 6.5 6.5 2.2 2.25 =6.5 6 6.5 2 ´x σ =¿ 98 =¿ 6.25 3 9 98 Med 2 2.6 6.5 12.6 11.25 -1.5 0.47 = 2 σ 12.0 2. extraemos conjuntos de cuatro números. entre 0 y 99. 60-62 63-65 66-68 69-71 72-74 en Número de estudiante s 5 18 42 27 8 Asignamo s un número 00 05 23 65 a a a a 04 22 64 91 92 a 99 Taller Nº 5 11 42 82. tenderá a un comportamiento normal. Consideramos primero el tamaño de la población N= 100. Construir 30 muestras por muestreo aleatorio simple de tamaño 4. (En Excel) Para realizar un MAS de tamaño cuatro. debemos tener en cuenta que los datos están agrupados. lo cual exige que asignemos un número de 0 a 99 a cada uno de los valores de variable. Por ejemplo: el primer conjunto está formado por (85. Marcas de clase (Xc) 61 64 67 70 73 Peso Kg. Se cumple entonces que: μ=μ ´x Y que la varianza del muestreo de medias es menor a la varianza de la población. el comportamiento de la distribución de muestreo de medias. en Número de estudiante s 5 18 42 27 8 Asignamo s un número 60-62 00 a 04 63-65 05 a 22 66-68 23 a 64 69-71 65 a 91 72-74 92 a 99 N 100 Posteriormente utilizando el generador de números aleatorios.Ministerio de Educación y Justicia Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael Por teorema del límite central. 11). Observo ahora en qué intervalos están incluidos. (ver tabla). 42.85 7 . Ejercicio Nº 4 A continuación se presenta una tabla con datos de una población de estudiantes. 82. de acuerdo a las frecuencias que conforman los intervalos. 60-62 63-65 66-68 69-71 72-74 Número de estudiantes 5 18 42 27 8 a. La muestra estará formada por las marcas de clase correspondientes: Marcas de clase (Xc) 61 64 67 70 73 Peso Kg. Peso en Kg. 37 90. 39 60.75.63.7 8 15.41.17 79. 73).28.43.31 37.Ministerio de Educación y Justicia Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael N 100 Así la primera muestra estará formada por: (64.68 71. 82.81. Calculamos ahora la media aritmética a cada una de las muestras.72.75 67 67 61 67 65.89.5 70 70 67 70 69. 73.29 85.25 70 67 70 73 70 67 67 67 64 66.57. 92 94.99.30. 10 69.18.71.1.99.91.29.56 19.8. Calcular la media y la desviación típica de la distribución muestral.33.25 70 67 67 67 67.68.16. 54 40.57 77.31.76.35.97.71.96 54.3.13. Podemos hacerlo rápidamente en Excel.25 67 67 70 67 67.25 70 64 67 67 67 70 67 64 67 67 70 70 70 67 69. 42.90 27.2. 10 50.29. puedo construir una tabla: Números 85.46.55.82. 57 73.50.18.17. utilizando la misma tabla.25 Taller Nº 5 8 .80.89.97.56.13.40.47 12.91.56.41. Medi Medi Muestras a Muestras a 64 67 73 73 69.5 70 64 73 70 69.49.50. Como el problema me pide. 98 Muestras Media 70 67 67 67 70 64 73 70 70 67 64 67 67 67 70 67 70 70 67 70 67 67 67 64 70 73 70 67 64 67 67 67 67 67 67 67 67 67 67 64 67 64 70 73 67 70 64 70 64 64 64 73 73 73 67 67 67 67 73 73 b.55.72.41.97.61 41. 95 27. voy a construir de la misma manera las treinta muestras.72.29.68.41.10.13 Muestras 6 4 67 73 73 6 7 70 70 67 7 0 64 67 67 7 0 70 70 67 6 7 67 61 67 7 0 67 70 73 6 7 67 70 64 7 0 67 70 70 7 0 64 70 67 6 7 61 73 67 6 4 61 67 67 6 7 70 70 67 6 4 67 70 70 6 7 70 67 70 6 7 67 70 64 Media Número s 68. 67. Para facilitar el trabajo. 37 37.86 38. 73 66. 35 80. 25 40.80.75 67 70 70 67 68. 11 26.77.62 41. 87 63. 36 14. 25 67 66. usando la técnica MAS. será menor a la poblacional. Y la desviación estándar de la distribución de medias.5 67.75 68.75 67 64.25 67. sabemos que la media de la distribución del muestreo de medias.9 Kg.99 ≅ 1. la cual será µ=67. Formular las conclusiones de los resultados obtenidos.9 Kg.25 68. con una confianza de 95% y un error de estimación. no mayor a 2 centímetros. para estimar la talla promedio de las algas en la población.5 67 70 64 67 67 67 67 64 73 67 73 67 67 67 64 70 64 73 67 70 67 67 67 70 64 64 67 73 67 67 67 64 73 70 73 67 73 70 66. Por teorema del límite central. es un estimador insesgado de la media de la población.99Kg2 30 σ ´x =√ 1.2 El investigador desea determinar el tamaño de muestra mínimo necesario.9 30 30 Por teorema del límite central.75 68. se elige una muestra piloto de 13 plantas y se miden obteniendo una talla promedio de la muestra de 5.718 =¿ 1. si en la población hay 200 plantas de algas ¿Cuántas deben elegirse para constituir la muestra? Taller Nº 5 9 .Ministerio de Educación y Justicia Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael 67 70 70 67 64 67 64 67 67 67 67 64 61 61 70 67 70 67 70 70 70 73 67 70 70 67 70 64 70 67 67 67 67 70 70 64 67 69.41 Kg c. Calculamos la desviación estándar: ´x −μx´ ∑ (¿)2 /n σ 2´x =¿ 2 σ ´x =¿ 59.25 70 70 Ahora calculamos la media de la distribución muestral de medias: μx´ = Suma de todaslas medias muestrales 2036.3 centímetros y una varianza muestral de 19.75 66.5 67.25 = = 67. sabemos que µ=67. Ejercicio Nº 5 Para analizar el crecimiento de ciertas algas. 96 /2] 19.σ 2 μ . es un estimador de μ y S2 cm 2 es un estimador de σ 2 .Ministerio de Educación y Justicia Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael Primero. usando un diseño MAS con una confianza de 95% y un error de estimación no mayor a 2 centímetros.05 ≥ 0.42 ≅ 19 → n 0 = 19/200 = 0.3 cm. presenta algún defecto de fabricación.05? Primero. En este caso se debe suponer que involucrados son dos: μ .095 1+ 200 Para estimar la talla media de las algas en la población.96 Y un error de estimación no mayor a 2 cm. Determinar el tamaño de muestra.2 X´ = 5. Tercero. σ 2 ) y los parámetros X N¿ donde μ es la talla promedio de las algas en la población y σ es la desviación estándar de la talla de las algas. Estimar los parámetros. el investigador debe elegir al menos 18 algas en la muestra. Para analizar la calidad del producto se desea estimar la proporción de artículos defectuosos de un lote de 2000 celulares.095 N n´ = n0 n 1+ 0 N = Si n0 / N ≤ 0. ¿Cuántos celulares deben ser elegidos del lote si se desea una confianza de 95% y un error de estimación no mayor a 0. sabemos que debemos utilizar MAS para determinar la muestra mínima necesaria para estimar la talla media de la población de alga. generalmente el 10% de los mismos. X = Talla de las algas (en centímetros). Cuarto. En este caso se tiene. Identificar la variable en estudio y los parámetros involucrados .2=18. del enunciado del problema. Identificar la variable en estudio y los parámetros involucrados. y: El problema define una confiabilidad de 95%: Para 1-α/2= 95% → Z= 1.35 ≅ 18 19 1+0. que 19.05→ 19 19 = =17. n0 = [Z (∝/2)/ε ]2 S2´x n0 = 2 [1. listo para ser embarcado. Ejercicio Nº 6 En el proceso de fabricación de ciertos celulares. Segundo. Taller Nº 5 10 . Y conocemos que el lote completo (la población de estudio) es N= 2000 celulares.05 ó si no conocemos el tamaño de la población. En este caso el parámetro de interés es p(x)= proporción de artículos defectuosos y el parámetro involucrado es ^ρ = 0. Taller Nº 5 11 . → n 0 = 139/2000 = 0. El problema define una confiabilidad de 95%: Para 1-α/2= 95% → Z= 1. Primero.96 /0. sabiendo que la población.2976≅ 139 Si n0 / N ≤ 0.0059≅ 83 139 1+0. el tamaño medio de truchas y la proporción de truchas que cumplen las normas para el consumo. determinar el tamaño de muestra.05] 0.695 N n´ = n0 n 1+ 0 N = ≥ 0.80 0. el investigador debe elegir al menos 83 celulares del lote.05. determinamos la técnica de muestreo que debemos utilizar (MAS) para determinar la muestra mínima necesaria y estimar la proporción de población.Ministerio de Educación y Justicia Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael X = artículos defectuosos.50 a) ¿Cuántas truchas se debe elegir en la muestra del cultivo y por estanque para estimar el tamaño medio. si se desea una confianza de 95% y un error no mayor a 2 centímetros? Si usamos la técnica MAE con asignación proporcional.05→ 139 139 = =82. usando un diseño MAS con una confianza de 95% y un error de estimación no mayor a 0. Estanque 1 2 3 Total N 155 62 93 310 σ2 25 225 100 p 0.96 Y un error de estimación no mayor a 0.05. Ejercicio Nº7 Se desea estimar en una estación de piscicultura. 2 n0 = [ ] n0 = Z α ¿2 ^ρ (1− ^ρ ) ε 2 [1.25 0. Identificar la variable en estudio y los parámetros involucrados.695 1+ 2000 Para estimar la proporción de celulares con fallas en la población.9=138.1∗0. está formada por 310 truchas. Tercero. distribuidas en tres estanques con la siguiente información.1 (10%) el cual estima a P Segundo. determinar el tamaño de muestra. sabemos que debemos utilizar MAE para determinar la muestra mínima necesaria para estimar el tamaño medio de la población de truchas: El problema define una confiabilidad de 95%: Para 1-α/2= 95% → Z= 1. Cuarto.2742 ≥ 0. para el cual tendremos que calcular una muestra por cada estanque: n0 = [Z (∝/2)/ε ]2 S2´x n0 = [1. σ2 μ . En este caso se debe suponer que parámetros involucrados son dos: μ .4 ≅ 13 310 67∗93 =20. el investigador debe elegir una muestra de 67 truchas. 62 al estanque 2 y 93 al estanque 3. Taller Nº 5 12 . σ 2 ) y los X N¿ donde μ es el tamaño promedio de las truchas en la población y σ es la desviación estándar.035≅ 85 310 310 310 Si n0 / N ≤ 0. de las cuales 155 corresponden al estanque 1. N= 310 truchas. 34 deben ser del primer estanque.1≅ 20 310 Para estimar el tamaño medio de la población de truchas. Estimar los parámetros. σ 21=25 cm2 σ 22=225 cm2 σ 23 =100 cm2 Tercero.2742 1+ 310 155 = 310 ´ 62 n = 310 93 n´ = 310 n´ 67∗155 =33. de las cuales.96 /2]2 [ ] [ ] [ ] 155 62 93 25+ 225+ 100=84.05 ó si no conocemos el tamaño de la población. En este caso se desconoce la media poblacional pero se conoce σ 2 para cada estanque.96 Y un error de estimación no mayor a 2 cm. → ´ n0 = 85/310 = 0. Segundo. 13 deben ser del segundo y 20 del tercero.05→ N n= n0 n 1+ 0 N n1 ´ = n´2 = n´2 = = 85 85 = =66.5 ≅ 34 310 67∗62 =13.Ministerio de Educación y Justicia Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael X = Tamaño de las truchas (en centímetros). usando un diseño MAE con una confianza de 95% y un error de estimación no mayor a 2 centímetros.7085 ≅ 67 85 1+0. 05]2 [ ] 155 62 93 0.9548 N n´ = n0 n 1+ 0 N n´1 = n2 ´ = n´2 = Taller Nº 5 = 296 296 = =151.8032 ≅296 310 310 310 Si n0 / N ≤ 0. Identificar la variable en estudio y los parámetros involucrados.4221≅ 152 296 1+ 0. sabemos que la técnica de muestreo que debemos utilizar es MAE para determinar la muestra mínima necesaria y estimar la proporción de población.75+ 0.4 ≅ 30 310 152∗93 =45.05 ó si no conocemos el tamaño de la población. 2 n0 = [ ] n0 = Z α ¿2 ^ρ (1− ^ρ ) ε [1. El problema define una confiabilidad de 95%: Para 1-α/2= 95% → Z= 1.5∗0.05? Si usamos un diseño MAE con Asignación proporcional Primero.96 /0.5 =295. Tercero. X = truchas que cumplen la norma.05→ 152∗155 ≅ 76 310 152∗62 =30. En este caso el parámetro de interés es p(x)= proporción de truchas que cumplen la norma y el parámetro involucrado es ^ρ el cual estima a P En este caso.25 ^p3 = 0.9548 1+ 310 155 = 310 ´ 62 n = 310 93 n´ = 310 n´ ≥ 0.2+ 0. → n 0 = 296/310 = 0.6 ≅ 46 310 13 .Ministerio de Educación y Justicia Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael b) ¿Cuántas truchas se debe elegir en la muestra del cultivo y por estanque para estimar la proporción de truchas que cumple la norma si se desea una confianza de 95% y un error no mayor a 0. Y conocemos que el lote completo (la población de estudio) es N= 310 truchas.80 ^p2=0. conocemos la proporción estimada de cada estanque: ^p1 = 0.25∗0.05.96 Y un error de estimación no mayor a 0.50 Segundo. determinar el tamaño de muestra.8∗0. Sabemos que en total.−68 Kg .3 Kg. Ejercicio Nº 8 El peso de 3000 estudiantes varones de una Universidad está normalmente distribuido con media 68 Kg.8 Kg .0. = -2.668712329 = 53. Muestreo con reposición: σ ´x = σ = √n 3 Kg .5 0.? Para calcular la cantidad de muestras debemos primero estimar la probabilidad.5951 Kg ≅ 0 . Muestreo sin reposición: σ ´x = σ √n (√ N−n N−1 ) = 3 Kg . Estimamos el área bajo la curva normal entre z1 y z2 La probabilidad acumulada para z1 = -2 p(z1)=0. usando un diseño MAE con una confianza de 95% y un error de estimación no mayor a 0. = √ 25 0. 76 del estanque 1. = 0.05.Ministerio de Educación y Justicia Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael Para estimar la proporción de truchas que cumplen con la norma de consumo en la población.y 68. ¿En cuántas de las muestras se esperaría encontrar que la media estuviera entre 66.49698635 ≅54 muestras Se espera encontrar la media entre 66. para ello estandarizamos. √ 25 (√ 3000−25 3000−1 ) = 0.3 Kg.y 68.6 Kg.022750132 = 0. entonces: Muestras = 80*p= 80*0. el comportamiento de la distribución de muestreo de medias.−68 Kg .691462461 .8 Kg.668712329 Calculamos la probabilidad de encontrar que la media estuviera entre 66.8Kg y 68. b.8 Kg. Si se toman 80 muestras de 25 estudiantes cada una: a.022750132 La probabilidad acumulada para z2 =0.0 0. el investigador debe elegir al menos 152 truchas. en 54 muestras. 30 del estanque 2 y 46 del estanque 3.3 Kg. Taller Nº 5 14 . calculando el valor Z para cada valor de media: Z 1= X´ −μ ´x σ ´x = 66..5 p(z2)=0. las muestras son 80. si el muestreo se hizo con y sin reposición? Por teorema del límite central. y desviación típica 3 Kg.3 Kg . Z 2= X´ −μ ´x σ ´x = 68. Se cumple entonces que: μ=μ ´x = 68Kg. sólo resta calcular la cantidad de muestras. tenderá a un comportamiento normal.6 Kg.6 Kg.6 Kg . ¿cuáles serán la media y la desviación típica esperadas de la resultante distribución de muestreo de medias.691462461 La probabilidad entre z1 y z2 = 0. = P (z)= 0. y los parámetros involucrados . se cometa como máximo un error del 5% al estimar la media poblacional de una distribución.4 Kg. las muestras son 80. Taller Nº 5 15 .05 ò N es desconocida N En este caso no conocemos el tamaño de la población.Ministerio de Educación y Justicia Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael c. si se sabe que la desviación estándar poblacional es de 0.2976 0. Sólo se conoce En este caso se tiene.96 ( 0.6 Kg . una muestra donde la media sea menor a 66. Identificar.67 0. que σ =¿ 0.3 )2=¿ 138. 2 En este caso se debe suponer que μ . es de 139 elementos. Determinar el tamaño de muestra. para ello estandarizamos. calculando el valor Z para este valor de media: Z= ´ X−μ ´x σ ´x 66. Tercero. ? Para calcular la cantidad de muestras debemos primero estimar la probabilidad.3.003792562= 0. los datos que presenta el enunciado. el tamaño adecuado de la muestra. ¿Cuál sería el número de muestras esperadas con media menor a 66. = -2. usando un diseño MAS con una confianza de 95% y un error de estimación del 5%. por lo cual no realizamos el ajuste n´ Para estimar la media en la población. sabemos que debemos utilizar (MAS) para determinar la muestra necesaria para estimar la media de la población: El problema define una confiabilidad de 95%: Para 1-α/2= 95% → Z= 1. entonces: ≅ 0 ó 1 muestras Muestras = 80*p= 80*0. con un nivel de confianza del 95%.−68 Kg . del enunciado del problema. σ 2 donde μ es la media y σ es la desviación estándar de la población. μ es desconocida.003792562 Sabemos que en total.30 Se espera encontrar como mucho.5.96 Y un error de estimación de 0. n0 = [Z (∝/2)/ε ]2 S2´x 2 n0 = [ ] 1. Cuarto.4Kg.4Kg. σ ) y los parámetros involucrados son dos: X N¿ μ . Ejercicio Nº 9 Determinar el tamaño de muestra adecuado para que.5 ≅139 Si n 0 ≤0.3. 61086=¿ σ =√ ¿ 200∗300 = 967. sabemos que: [ ^ N -Z_ (α/2) √(σ^2).Ministerio de Educación y Justicia Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael Ejercicio Nº 10 Antes de iniciar un proceso ganadero. luego ^p= s n es la proporción estimada de marcadas en la segunda muestra.61086 vacas2 3 62 102. → t p Estimador : Se elige una segunda muestra de tamaño n en la cual se encuentran (aleatorio) s marcadas.74 62 ≅ 968 vacas 2 (300) 200(200−62) =¿ 10422.091 vacas La población estimada es de 968 vacas. de las cuales 62 venían marcadas. se desea estimar la población de ganado bovino. De esta forma se tiene que: t dónde p N p= Parámetro: N = = es la proporción de marcadas en la población. Taller Nº 5 ^ N +Z_(α/2) √(σ^2)] 16 . con una desviación estándar de 102 vacas. así un estimador puntual del tamaño de la población es: t nt ^ N= = ^p s Varianza estimada: (en este caso s es aleatoria y n es fija) 2 t n ( n−s ) σ= =¿ s3 2 Sabemos que: t= 300 n=200 s= 62 t nt ^ N= = ^p s σ 2= = t 2 n ( n−s ) =¿ s3 10422. Primero: Identificar los parámetros involucrados En este caso el parámetro a estimar es el número de vacas de la población: N Para ello se elige una muestra aleatoria de t elementos. para lo cual se captura una muestra de 300 vacas. Estime el total de vacas en el campo y determine un intervalo de 95% de confianza para dicho parámetro. Para estimar el intervalo de confianza. se marcan y se regresan al campo. Dos semanas después se eligen 200 vacas. 968 +1. luego ^p= s n es la proporción estimada de marcados en la segunda muestra. estará comprendida entre 768 y 1168 vacas.57 35 ≅ 429 vehículos (15 0)2 1 00(1 00−35) =¿ 3316.96* 102.091] [ 767. 1168 ] Podemos decir que para un 95% de confianza la población.09873033024 ] ≅ [ 768.091. En el mismo mes se controla hasta encontrar 35 vehículos marcados. De esta forma se tiene que: t dónde p N p= Parámetro: N = = es la proporción de marcados en la población.3265 vehículos2 352 (35+1) 17 . cuantificando 100 vehículos para lograr esto. Estime el número total de vehículos que circulan en la autopista en horario pico y un intervalo de 95% de confianza para dicho total. → t p Estimador : Se elige una segunda muestra hasta lograr 35 vehículos marcados (s fijo) de tamaño n. Primero: Identificar los parámetros involucrados En este caso el parámetro a estimar es el número de vehículos de la población: N Para ello se elige una muestra aleatoria de t elementos. 1168.901269669756. así un estimador puntual del tamaño de la población es: t nt ^ N= = ^p s Este caso difiere del problema anterior en que Varianza estimada: σ 2= t 2 n ( n−s ) =¿ (En este caso n es aleatoria y s es fijo) s2 (s+1) Sabemos que: t= 150 n=100 s= 35 t nt ^ N= = ^p s σ 2= = t 2 n ( n−s ) =¿ s2 (s+1) Taller Nº 5 1 00∗15 0 = 428.96* 102. Ejercicio Nº 11 En una autopista es de interés estimar el número total de vehículos de un determinado tamaño que por allí circulan en horario pico. para lo cual se selecciona una muestra inicial de 150 vehículos y se marcan.Ministerio de Educación y Justicia Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael [ 968 -1. la consigna nos pide estimar la probabilidad. estará comprendida entre 316 y 542 vehículos.Ministerio de Educación y Justicia Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael 3316.5 p(z1)= 0. b. 541.993790335 = 0.587 ≅58 vehículos La población estimada es de 429 vehículos. Cuál es la probabilidad de encontrar personas con coeficiente intelectual superior a 125? En este caso.96* 57.3265=¿ σ =√ ¿ 57. Ejercicio Nº 12 Se conoce que el coeficiente intelectual humano se distribuye en forma normal.5 10 La probabilidad acumulada para z1 =0.006209665 La probabilidad de hallar personas con un IQ superior a 125 es 0. con una desviación estándar de 58 vehículos.5 p(z2)= 0. para ello estandarizamos.12948.0. sabemos que: [ ^ N -Z_ (α/2) √(σ^2).241730337 La probabilidad de encontrar un individuo con IQ entre 105 y 115 es 0.933192799 La probabilidad entre z1 y z2 = 0. 542 ] Podemos decir que para un 95% de confianza la población.96* 57.5 La probabilidad acumulada para z1 = 2.933192799 .87052 ] ≅ [ 316 . [ 429 -1. de halar ciertos valores en una población normal. El promedio del IQ de la población es 100 y la desviación estándar es igual a 10: a. Para estimar el intervalo de confianza.241730337 c.p(z1) =1.5 p(z1)=0.006209665.0.5 10 Z 2= X´ −μ ´x σ ´x = 115−100 = 1. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un individuo con coeficiente intelectual entre 105 y 115? Z 1= X´ −μ ´x σ ´x = 105−100 = 0.5 10 Estimamos la probabilidad el área bajo la curva normal par valores superiores a 2. ^ N +Z_(α/2) √(σ^2)] 429 +1.587] [ 316.691462461 La probabilidad acumulada para z2 =1.691462461= 0.587.993790335 Entonces 1. calculando el valor Z para 125: Z 1= X´ −μ ´x σ ´x = 125−100 = 2. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un individuo con coeficiente intelectual entre 80 y 95? Taller Nº 5 18 . 66 √100 P(z)=p(2.5 p(z1)= 0. Hallar la probabilidad de que una muestra al azar de 100 bolillas de ese conjunto.003830381.022750132 p(z2)= 0.02 g σ =0. revela que la desviación estándar de sus pesos es de 12.308537539 La probabilidad entre z1 y z2 = 0.0.1 g n 100 Necesitamos hallar la probabilidad para una muestra.022750132= 0.3 g = 2.2 Kg.02 g y una desviación típica de 0. con un peso total mayor a 510g es 0.66)= 0. tengan un peso total. entonces.003830381 La probabilidad de encontrar una muestra al azar de 100 bolillas.Ministerio de Educación y Justicia Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael Z 1= X´ −μ ´x σ ´x = 80−100 = -2 10 Z 2= X´ −μ ´x σ ´x = 95−100 = -0. Primero: Identificar los parámetros y estadísticos involucrados N= 500 μ=5.1 g−5. estandarizamos: Z= ´ X−μ ´x σ ´x = (5.308537539 . ¿De qué tamaño debe ser la muestra con el 95% de confianza y un error de estimación máximo de 4 Kg? Primero: Identificar los parámetros y estadísticos involucrados N= desconocido μ=desconocida Taller Nº 5 19 . Ejercicio Nº 14 Un ingeniero quiere estimar el peso promedio de ciertos envases con fruta. mayor de 510 g.5 10 La probabilidad acumulada para z1 = -2 La probabilidad acumulada para z2 =-0.285787407 Ejercicio Nº 13 500 bolillas de rulemán tienen un peso medio de 5.02 g)/0. Un estudio anterior de 10 envases.3 g n=100 peso total 510 g X´ = = =5.285787407 La probabilidad de encontrar un individuo con IQ entre 80 y 95 es 0.3 g. el tamaño adecuado de la muestra.2 )2 =¿ 35. n0 = [Z (∝/2)/ε ]2 S2´x Recordemos que: 2 n0 = [ ] 1.736 4 ≅36 Si zσ →n=( zσ /ε )2 √n n 0 ≤0. Taller Nº 5 20 .05 ò N es desconocida ε= N En este caso no conocemos el tamaño de la población.2 Kg n=10 El problema define una confiabilidad de 95%: Para 1-α/2= 95% → Z= 1.Ministerio de Educación y Justicia Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael σ =12. por lo cual no realizamos el ajuste n´ Para estimar la media en la población. es de 36 envases.96 Y un error de estimación de 4 Kg. con una confianza de 95% y un error de estimación de 4Kg.96 (12.