RESOLUÇÃOConhecimentos Básicos CP-CEM/2015 Marinha do Brasil 2 Estrutura da prova, de acordo com o edital CLIQUE AQUI PARA ABRIR A PROVA 3 QUESTÃO 1 ?? A derivada de ? ? = ???? é a função ?′ ? igual a? Para resolver essa derivada devemos utilizar a regra da cadeia, pois temos uma função composta. A regra da cadeia afirma que a derivada de uma função composta ? = ?(? ? ) será ? ′ = ? ′ ? ? . ?′ (?) Na prática, podemos separar o método em dois passos: 1 – Identificar quantas funções existem na composição; 2 – Derivar de “fora para dentro”; ?2 Na função ? ? = ? ??? , podemos identificar 3 funções primitivas: 1 - ?? 2 - ??? ? 3 - ?2 Aplicando o segundo passo do método, temos que a derivada de ? ? será: ?2 ? ′ ? = ? ??? . cos ? 2 . 2. ? Derivada da função “mais de fora”: Derivada da função Derivada da função “do “mais de dentro”: meio”: (? ? )′ = ? ? ?2 ′ = 2. ? sin(?) ′ = cos(?) 4 Caso queira resolver mais questões para entender melhor a regra, os links abaixo são interessantes: Um site totalmente gratuito e muito bom para resolver integrais e derivadas: ??? ? . ?? nessa expressão. ?? E. poderemos dar sequência nesse método. como apareceu o termo ?. ?? é: Para resolver essa integral devemos utilizar uma técnica específica de integração. Por exemplo. ?. As principais técnicas são: por PARTES e por SUBSTITUIÇÃO. ??? ? 2 + 3 ?? Percebemos que se definirmos: ? = 2. tal que ??? ?? = ?? . o método da SUBSTITUIÇÃO geralmente será a melhor alternativa. Sendo ? ?? assim. ? 2 + 3 Teremos: ?? = 4. podemos ver que a derivada de nenhum termo resultará em outro termo presente na . que também está presente em nossa integral. o valor de ? ?. Como saber qual delas utilizar? A experiência adquirida com a resolução de exercícios é que vai dizer qual o melhor método a seguir. 5 QUESTÃO 2 ? Seja ?? o ponto do intervalo ?. na seguinte integral: ?. Na integral da questão. mas uma dica é: Caso você consiga enxergar um termo na função que derivando irá resultar em outro termo presente na função. Portanto. ?? = ?. então. ?? E que pode ser calculada pela seguinte expressão: ?. devemos utilizar o método da integração por PARTES. ? − ?. BREVE EXPLICAÇÃO DO MÉTODO: O objetivo de utilizar essa técnica é transformar uma integral desconhecida em uma das integrais padrões que sabemos calcular. Dada uma integral da seguinte forma: ? ? . definir quem serão os seguintes termos: ? ?? Calcular: ? ?? E. substituir na expressão e resolver a integral. . por fim. ?? Basta. ?(?). ?? Podemos reescrevê-la como: ?. 6 função. ?? O próximo passo é calcular ? e ??: Derivando os dois lados da equação ?=? ?? = ?? Integrando os dois lados da equação ?? = ??? ? . Aritméticas ou Algébricas 4. Exponenciais Que formam o acrônimo LIATE. ?? ? = − cos t . ?? ?=? ?? = ??? ? . ?? COMO DEFINIR QUAL TERMO SERÁ ? E QUAL SERÁ ?? ? Para isso. por exemplo. Isso significa que. Com base nisso. definiremos como ? a função logarítmica. 7 ?? A integral da questão é 0 ?. faremos a seguinte definição: ?? 0 ?. Inversa de Trigonométrica 3. se na integral tiver uma função logaritmica e uma trigonométrica. Logaratmicas 2. Trigonométricas 5. podemos utilizar a seguinte regra: Escolheremos quem será o ? na seguinte ordem de prioridade: 1. ??? ? . ??? ? . ??? ? . (− cos ? ) − −cos ? . ??? ? . ? − ?. ?? = −?? . ?? = ?. ?? + ??? ?? 0 Utilizamos a identidade trigonométrica ???2 ? + ??? 2 ? = 1 para deixarmos a expressão em função somente de ?? ???2 ?? = 1 − ??? 2 ?? . ??? ? . ?? = −?? . ?? 0 0 0 Substituindo os limites de integração e sabendo que cos ? . podemos reescrever o resultado da seguinte forma: ?? ?. 8 Substituindo os valores encontrados na fórmula geral: ?. cos ?? + 0. ?? = ???(?). cos ?? + ??? ?? 0 Como foi dado na questão que cos ?? = ?? . chegamos na seguinte expressão: ?? 0 ?. cos 0 + ??? ?? − ???(0) 0 0 ?? ?. ?? Temos que: ?? ?? ?? ?. ?? = ?. ??? ? . ?? = −?? . ??? ? . a resposta final é: ?? 0 ?. 9 ??? ?? = 1 − ??? 2 ?? ?? 2 Portanto. assista ao vídeo abaixo: . ?? = −?? 2 + 1 − ?? 2 Caso queira ver mais ume exemplo desse tipo de integração. substituindo ? por 0 na função. Nesse caso. mas a mais simples é através do cálculo do volume de rotação de uma função. rotacionar a área entre as linhas vermelhas em torno do eixo ? para obtermos o volume que . teremos a seguinte função: ?2 + ?2 ≤ 9 ? ≤ 9 − ?2 (II) ? ? Devemos. Essa fórmula é a seguinte: ? ?=? ? ?(?) 2 ?? (I) Desenharemos a função no plano ??. portanto. 10 QUESTÃO 3 Qual o volume da parte da bola da equação tal que ?? + ?? + ?? ≤ ? que fica entre os planos ? = ? e ? = ?? Existem várias formas para resolver esse tipo de problema. ? − 3 1 . podemos calcular o volume da parte de bola 2 2 ?=? 9− ?2 ?? 1 2 ?=? 9 − ? 2 ?? 1 ?3 2 ? = ?. e definindo os limites de integração ? = 1 e ? = 2. A figura abaixo ilustra a revolução dessa superfície: Substituindo (II) em (I). 11 é pedido na questão. 9. 9 × 2 − − 9 × 1 − 3 3 20? ?= 3 Caso tenha interesse. 12 23 13 ? = ?. assista ao vídeo abaixo para mais um exemplo: . ?) pelo vetor ? = (1. cisalhamento. ou seja. como: rotação.. rotaciona. ?). .1). ?. reflexão.1. . deslocando o vetor ? para um outro lugar no espaço. ela transforma (desloca. O que o exercício quer saber é justamente qual é esse lugar no espaço. além de outras deformações no plano ou no espaço.) um vetor em outro. ?. ? = ?. 13 QUESTÃO 4 A imagem da transformação linear ? ?. ?. em que × indica o produto vetorial em ?? . ?. a imagem da transformação. Por exemplo: a transformação da figura abaixo faz com que um vetor seja espelhado em relação ao eixo x: A transformada dada na questão faz o produto vetorial de um vetor qualquer ? = (?. ? × (?. é: O que é uma transformação linear? Transformações lineares são usadas para descrever vários tipos de mudanças geométricas. homotetia.. Em outras palavras. 14 Para calcular o produto vetorial ?. ? + ? − ? . ?. fizer essa transformação em um vetor ?? = (3. ? + 8 − 3 . ?. ? + 3 − 5 . 5. podemos verificar que esse vetor ??? pertence ao plano de equação ? + ? + ? = 0.1. ? Baseado nas alternativas dadas pela questão. ? + −2 .1). por exemplo. ? = ? − ? . ? + 5 . ? Isso significa que se. temos que calcular o seguinte determinante: ? ? ? ??? ? ? ? 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 ? ?. ? + ? − ? . 8). teremos: ??? = 5 − 8 . ? ??? = −3 . ? × (1. pois: −3 + 5 − 2 = 0 . temos: Onde: O vetor em azul é ?? O vetor em vermelho é ??? O plano é ? + ? + ? = 0 Outra maneira de analisar a questão é através do fato de que o produto vetorial entre dois vetores gera um vetor que é ortogonal ao plano que contém esses dois vetores. 15 Graficamente. conforme a figura abaixo: . 16 Como o vetor (1.1) é o vetor normal do plano ? + ? + ? = 0. Um vídeo bom caso queira dar uma revisada sobre produto vetorial: .1. qualquer vetor multiplicado por ele irá gerar um vetor pertencente a esse plano. Para visualizar melhor todas as possibilidades. ela tem probabilidade 2/3 de primeiro subir três degraus e depois descer dois degraus. o enunciado ficou um pouco ambíguo. A pessoa vence o jogo se passar pelo décimo degrau da escada em cinco etapas ou menos. Em cada etapa de um jogo. Aqui mostrarei o raciocínio que eu utilizei para resolver. Questões como essas de probabilidade não possuem um jeito único para resolver. pois cada pessoa pode modelar o problema de uma forma. se na quinta etapa ele pisar no décimo e voltar para o nono andar. ou seja. Qual é a probabilidade de a pessoa vencer o jogo? Primeiramente. e probabilidade 1/3 de primeiro subir dois degraus e depois descer três degraus. como o abaixo: . ele quis dizer isso). temos que deixar claro que quando o exercício fala em passar pelo décimo andar. 17 QUESTÃO 5 Uma pessoa está inicialmente no quinto degrau de uma escada de dez degraus. significa que ele tem que apenas pisar no décimo andar. mas pela resposta da banca. é interessante construir um diagrama de estados. ele vence (sim. é a soma das probabilidades desses eventos que queremos calcular. A seta para esquerda significa que a pessoa subiu 2 degraus e desceu 3. portanto. . 18 ETAPA 1 ETAPA 2 ETAPA 3 P4 ETAPA 4 ETAPA 5 P1 P2 P3 Nesse diagrama: O que está no interior do círculo significa o degrau que a pessoa se encontra. A seta para direita significa que a pessoa subiu 3 degraus e desceu 2. O círculo com o número 10 em seu interior significa que a pessoa atingiu o objetivo e. Temos. até atingir o degrau 10. Probabilidade do caminho P1 ocorrer: 1 2 2 2 2 16 ?1 = × × × × = 3 3 3 3 3 243 Probabilidade do caminho P2 ocorrer: 2 1 2 2 2 16 ?2 = × × × × = 3 3 3 3 3 243 Probabilidade do caminho P3 ocorrer: 2 2 1 2 2 16 ?3 = × × × × = 3 3 3 3 3 243 Probabilidade do caminho P4 ocorrer: 2 2 2 8 ?4 = × × = 3 3 3 27 . É necessário. P3 e P4. 19 Os eventos que não foram apresentados são os que a pessoa não teria mais chance de atingir o décimo degrau. Para isso. portanto. calcular a probabilidade de cada um ocorrer e fazer soma delas. se a pessoa está no degrau 6 e possui mais duas tentativas. P2. não precisamos colocar a hipótese dela ir para o degrau 5. Os caminhos foram definidos como P1. pois a única forma dela atingir o degrau 10 é se ela subir de degrau duas vezes consecutivas. temos que fazer a multiplicação das probabilidades de cada evento. Por exemplo. 4 caminhos possíveis para a pessoa atingir o degrau 10. então. Segundo as probabilidades dadas na questão e a lógica que utilizamos. cada seta para esquerda tem um valor de 1/3 e cada seta para a direita tem um valor de 2/3. 20 Somando essas 4 probabilidades. encontramos que a probabilidade pedida na questão é: 40 81 . ou seja. Queremos encontrar o valor de ? 0.1 + 0.2 = ?1 + ?. ? ? = ?. ou seja. A fórmula desse método é a seguinte: ??+1 = ?? + ?. ? ?1 = 1. 1 = 1. ? ?0 = 1 + 0. a segunda iteração. até encontrar o valor desejado.221 . qual a aproximação encontrada para ?(?.1. ?).1 2 ?2 = ? 0. A notação pode ser entendida da seguinte forma: ?? = ?(0 + ?. ?1 significa o primeiro passo da iteração e é. O procedimento é fazer o cálculo quantas vezes forem necessárias.1 = ?0 + ?.1 = 1. ?)? O método de Euler explícito é um método numérico utilizado para solucionar equações diferenciais ordinárias de primeira ordem com um valor inicial dado.1). 21 QUESTÃO 6 Aplicando o método de Euler explícito com passo ? = ?. temos que: 2 ?1 = ? 0.1. portanto. 1. Os dados do problema são os seguintes: ? ? = ?2 ? 0 = ?0 = 1 ? = 0. ?(?? ) Onde ? é o passo de cada iteração. ?2 .2 .1 Fazendo as duas iterações necessárias. ? ao problema ?′ = ?? . o valor de ?(0. 22 QUESTÃO 7 A integral de linha do campo ? ?. Nessas condições. em que ?. ? = ?. ?? + ??). tem valor igual ao da área da região limitada por ?. ? → ?? . TEOREMA DE GREEN: Estabelece uma relação entre a integral de linha ao longo deOuma curva Cdefechada método Euler eexplícito uma integral é umdupla sobre anumérico método região D. ? + ?(?). ?? (???) ?(? ? ). ?? + ?. é necessário utilizar o Teorema de Green. utilizado para solucionar equações diferenciais ordinárias de primeira ordem com um valor inicial dado. ? = (?. . ? = (?? + ??. ? ′ ? . calculada ao longo de cada caminho fechado simples ?: ?. ?? + ?. ? + ?. percorrido uma vez no sentido anti-horário. A fórmula desse método é a seguinte: ?? ?? ?. ? ?. ?? = − ?? ?? ?? ? Relembrando as notações para: Campo: ? ?. ?? ?? ?. ?? ? ? ? O teorema de Green utiliza a segunda notação. ?(?)) Existem 3 notações para representar uma integral de linha: ? ? ? . pode-se concluir que: Para resolver essa questão. ?) Curva: ? ? = ? ? . ? = (?(?). ? são constantes reais. de acordo com a notação de campo apresentada. ?) é igual a área ? da região limitada pela circunferência ?. a seguinte condição deve ser satisfeita: ?? ?? − ?? = ? ?? ?? ? Esse termo deve ser igual a 1 para que a integral resulte na área A. pois assim teremos que ? ?? = ? Portanto: ?? ?? − =1 (I) ?? ?? Identificando ? ? ?. ?? + ??) M N Substituindo ? ? ? em (I): ?(?? + ??) ?(?? + ??) − =1 ?? ?? Resolvendo essa derivada. Para que isso ocorra. ? = (?? + ??. encontramos a seguinte resposta: ?−b=1 . 23 O exercício diz que a integral de linha do campo ?(?. temos: ? ?. então ?≥? (??−?)? é igual a: ? Para resolver essa questão. resultando no seguinte termo 1 1 . mas sem os termos com o denominador par. devemos fazer a expansão das séries e comparar os termos de uma com os termos da outra: 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + + + +⋯ ?2 12 22 32 42 52 62 72 ?≥1 1 1 1 1 1 = + + + +⋯ (2? − 1)2 12 32 52 72 ?≥1 Comparando as séries. podemos calcular o somatório desejado da seguinte forma: 1 1 1 = − (2? − 1)2 ?2 (2?)2 ?≥1 ?≥1 ?≥1 Por ser uma constante. A série de termos com o denominador par pode ser representada da seguinte forma: 1 1 1 1 1 = + + + +⋯ (2?)2 22 42 62 82 ?≥1 Portanto. podemos retirar esse “2” da expressão. 24 QUESTÃO 8 ? ?? ? Sabe-se que ?≥? ?? = . ?≥1 (?)2 4 . percebemos que a segunda é igual a primeira. = (2? − 1)2 6 4 6 8 ?≥1 . 25 Dessa forma. (2? − 1)2 ?2 4 (?)2 ?≥1 ?≥1 ?≥1 Substituindo a informação dada no exercício. teremos: 6 1 ?2 1 ?2 ?2 = − . que 1 ?2 ?≥1 ? 2 = . teremos a expressão final: 1 1 1 1 = − . e no instante t0=0 está na posição (0. percorrendo a circunferência de centro na origem e raio 2 no sentido horário com velocidade angular constante ?. um ponto material P2 de massa m está na posição (0. No primeiro instante ? > 0 em que os pontos P1 e P2 estiverem alinhados com a origem. obtemos a seguinte representação: P2 ? P1 ?? ∆?? ∆?? A relação entre a velocidade angular ? e o deslocamento angular ∆? de um corpo é dada por: ∆? ?= ∆? Podemos concluir.2). o ângulo entre o eixo Oy e o segmento OP2 será: Modelando o enunciado da questão. 26 QUESTÃO 9 Um ponto material P1 de massa m percorre a circunferência de centro na origem O e raio 1 no sentido anti-horário com velocidade angular constante 2?. que: .1). a partir do desenho apresentado. Nesse mesmo instante. basta calcular o ângulo pedido pela questão. ∆? = 3 Calculando o deslocamento angular para o corpo 2. ?. 27 ∆?1 + ∆?2 = 2? 2. ∆? + ?. que está representado por ? na imagem abaixo: ?? ? ? Oy OP2 O ângulo ? pode ser calculado através da relação: 2? ? ?=?− = 3 3 . ∆? = 2? 2? ?. ∆? = 3 Agora. temos: 2? ∆?2 = ?. 28 QUESTÃO 10 Um fio condutor muito longo. A figura abaixo ajudará nesse entendimento: . A intensidade máxima do campo magnético gerado pela corrente num plano perpendicular ao eixo do cilindro é ? = ?. devemos entender como se comporta o campo magnético dentro e fora do fio. de raio ? . cilíndrico. ? é igual a: Para resolver essa questão. é atravessado por uma corrente de intensidade ? = ??. uniformemente distribuída nas seções transversais perpendiculares ao eixo do cilindro. ??−? ?. Se ?? é a permeabilidade magnética no vácuo. temos que: ?. ? 2. 29 Vamos separar a análise em duas condições: 1. ? < ?: Levando em conta que a distribuição de corrente é uniforme. ? 2 Onde ?2 é a corrente envolvida (aquela que irá gerar o campo magnético no interior do fio) e ? é a corrente total que circula no fio. (I) ?. ? 2 ?2 = ?. ? Para uma trajetória circular. A fórmula que relaciona essas variáveis é a seguinte: ? ?? = ?? . ? ?? . (2?. e sendo a corrente envolvida proporcional a área envolvida pela curva 2. Para a trajetória circular 2. Para a trajetória circular 1. ? ???? = 2?. ou seja. ? ≥ ?: A Lei de Ampere permite calcular o Campo Magnético ? produzido por uma corrente elétrica ?. (2?. ?) = ?? . Portanto. ?2 (II) . ou seja. podemos calcular o campo magnético no interior do fio da seguinte forma: ?. ?) = ?? . temos que: ?. 10−4 4? .? 2?. ? ??á? = 2?. Ou seja. já que nele que ocorre o campo magnético máximo fornecido na questão. o campo será máximo na superfície do fio. ? 2 Analisando as expressões de ???? e ???? . fica fácil concluir que o campo magnético terá seu valor máximo quando o valor de r for igual a R. 1 104 . ??á? Substituindo os valores fornecidos no exercício: ?? . O gráfico abaixo mostra a variação do campo magnético em relação ao raio: Queremos descobrir o valor de R. 30 Substituindo (I) em (II): ?? . ? ?? . 2. ? ???? = . ?? . ?? ?= = 2?. ? ?= 2?. variação de altura e variação de velocidade em um fluído incompreensível num escoamento estacionário. por esse orifício. localizado a uma distância h2 do topo e por onde o líquido escapa. com velocidade v2 = 2. estão cheios. Então h2/h1 é igual a: Para resolver essa questão precisamos relembrar a equação de Bernoulli EQUAÇÃO DE BERNOULLI Ela relaciona variação de pressão. ? 2. Ela é obtida como uma consequência da conservação de energia. Dados dois pontos. Na parede lateral do primeiro cilindro. similar ao anterior. ? . com velocidade v1. a seguinte relação deve ser satisfeita: ?1 ?12 ?2 ?22 ?1 + + = ?2 + + ?. há um pequeno orifício. contendo um mesmo líquido de densidade ?. Na parede lateral do segundo cilindro. 31 QUESTÃO 11 Dois reservatórios cilíndricos de mesmas dimensões.v1. altura H e raio R. 1 e 2. ? 2. ? ?. pela ação da gravidade. há um pequeno orifício localizado a uma distância h1 do topo do cilindro e. pela ação da gravidade. nesse escoamento. o líquido escapa. ?? ??2 ?? ??2 ?? + + = ?? + + ?. ? . ? 2. ?? pode ser considerado 0. pois a velocidade que diminui o nível do tanque é muito menor do que a velocidade de saída de água pelo furo lateral. Portanto. pois é a altura do topo até o furo. ? ?. ?? = ???í?? = 2. (?? − ?? ) Mas ?? − ?? é a altura ? fornecida pelo exercício. ?. ? 2. Logo. ? As pressões Pa e Pb são iguais a atmosférica e por isso foram cortadas na equação. 32 O desenho do tanque pode ser representado como a figura abaixo: ?? ? ?? ?? ? ?? Agora temos que aplicar a equação de Bernoulli para achar a relação entre as variáveis dos pontos a e b. ?. temos que a velocidade de saída pode ser calculada como: ?? = 2. 33 Para o tanque 1 temos que a velocidade de saída da água é: ?1 = 2. ?1 2. que ?2 = 2. ?1 : ?12 2. ?2 ?22 ?= (II) 2. ?. ?2 Usando a relação dada na questão. ?1 ?12 ?= (I) 2. ?. ?2 Igualando (I) com (II). ?2 Concluímos que: ?2 = 4 ?1 . ?1 Para o tanque 2 temos que a velocidade de saída da água é: ?2 = 2. ?1 2 = 2. temos que: ?12 ?22 = 2. ?1 2. sistema aumente. Interna será ele será NEGATIVO NEGATIVA . 1a LEI DA TERMODINÂMICA A variação da Energia interna ΔU de um sistema é expressa por meio da diferença entre a quantidade de calor Q trocada com o meio ambiente e o trabalho W realizado durante a transformação. o temperatura do volume aumenta. Ao final. Nesse caso. O calor será POSITIVO Caso o trabalho seja caso o sistema absorva Caso a temperatura realizado sobre o calor do ambiente. diminua durante a sistema. ∆? = ? − ? A variação da Energia O trabalho é POSITIVO Interna do sistema se ele for realizado pelo será POSITIVA caso a sistema. diminuirá. ele será transformação. 34 QUESTÃO 12 Um sistema gasoso recebe de uma fonte térmica uma quantidade de calor equivalente a 30 J e expande-se. verifica-se que houve um aumento de 20 J na energia interna do sistema. a Caso o sistema ceda NEGATIVO e o volume variação de Energia calor para o ambiente. O trabalho realizado pelo gás na expansão foi de: Para resolver essa questão temos que aplicar a 1a Lei da Termodinâmica. que tivemos um trabalho realizado pelo gás e que houve uma expansão. 35 Dados do problema: Sistema recebe 30 J de calor. Q = 30 J. ou seja. . temos: 20 = 30 − ? ? = 10 J O valor positivo do trabalho comprova o que o enunciado do problema afirmou. Sistema teve um aumento na energia interna de 20 J. ou seja. ∆? = 20J Substituindo esses valores na fórmula apresentada. ? 0 = 0 . respectivamente: Nos circuitos RC.m ?. ?? 0 = 0. em t = 0. como o da figura abaixo. os valores de R e C desse circuito são. pois o capacitor se comporta como um circuito aberto quando o tempo tende a infinito. a tensão no capacitor é nula. Aplicando a Lei das Malhas de Kirchhoff no circuito.5 A. ? Logo: ? − ?. Então. a corrente tenderá a 0 quando o tempo tender a infinito. ligado a uma bateria de f. passa uma corrente que no instante t = 0 é de 1 A. e temos que: ? − ?? 0 = 0 A queda de tensão no resistor R é dada por: ?? = ?.e. 36 QUESTÃO 13 Em um circuito R-C. Portanto. A corrente continua passando sem interrupção e no instante t = 1 é de 0. pois ele não admite variações abruptas de tensão. temos: ? − ?? ? − ?? ? = 0 No instante inicial. 37 Como ? 0 é igual a 1 A. temos: ?? 1 ?. + ?(?) = 0 ?? ? Dividimos todos os termos dessa equação por ? para deixarmos na forma padrão de uma equação diferencial de primeira ordem: ?? 1 + ?(?) = 0 ?? ?? A solução dessa equação diferencial é: 1 − . então: ? − ?? ? − ?? ? = 0 1 ? − ?. 1 = 0 ?=? Para calcular o valor de C. ? ?? . temos que: ? − ?. ?? = 0 ? Derivando essa expressão para eliminar a integral.5 A queda de tensão no capacitor C é dada por: 1 ?? = ?. vamos utilizar a segunda informação dada na questão. que ? 1 = 0.? ? ? = ?. ?? ? A lei das malhas ficará. ?(?) − ?. 5 para descobrirmos o valor de C: 1 − . ln(2) Como descobrimos anteriormente que ? = ?. utilizaremos a informação de que ? 1 = 0. basta utilizarmos a condição inicial ? 0 = 1: 1 − . temos: 1 − ln(0. ? ?? Aplicando o logaritmo neperiano dos 2 lados da equação. ? ?? ?=1 Por fim.5) = ln(? ?? ) 1 ln(0.0 ? 0 = 1 = ?.5−1 ) = ?? 1 ln(2) = ?? 1 ?= ?. ln(2) .5) = ?? 1 ln(0.5) = − ?? 1 − ln(0.5 = 1. 38 Para descobrirmos o valor da constante ?.1 ? 1 = 0. o valor de C será 1 ?= ?. O comprimento do fio é ? e o gráfico de ? ? . Se o centróide do fio está no ponto(?? . ?? ). TEOREMA DE PAPPUS O teorema afirma que a área de uma superfície de revolução é igual ao produto do comprimento da curva geradora pela distância percorrida pelo centróide da curva para gerar a superfície. ao ser girado em torno do eixo dos ?. 39 QUESTÃO 14 Um fio delgado e de distribuição de massa uniforme tem a forma do gráfico de uma função ?: [?. gera uma superfície de área lateral 5. para todo ?. ?] → ?. com derivada contínua. ?. o valor da ordenada ?? é: Para resolver essa questão é necessária aplicação do Teorema de Pappus. A equação desse teorema é a seguinte: ? = ?. com ? ? > 0. ? onde: ? = Área da Superfície de revolução ? = Comprimento da curva geradora ? = Ângulo de revolução medido em radianos ? = Distância perpendicular do eixo de revolução ao centróide da curva geradora . temos que: ?=5 ?=? ? = 2?. pois é temos uma revolução completa ? = ?? Substituindo os dados na equação de Pappus: 5 = 2?. 40 Desenhando a curva dada pela questão: ? ?: [?. ?? . ?] ?? ? ? De acordo com os dados do problema. ? 5 ?? = 2? 2 . com uma extremidade fixada no ponto O e a outra extremidade virada para baixo. o Peso deve ser igual a Força Elástica: ? = ?? ?. Esse sistema ficará em equilíbrio se o ponto material for colocado com velocidade nula e a mola estiver: O desenho abaixo representa a situação descrita no problema: ? ? ? ?? ?? ? Como o corpo está em equilíbrio. ? Δ? = ? . ? = ?. Na extremidade livre da mola. Δ? ?. com constante elástica ? e comprimento natural ?. coloca-se um ponto material de massa m. que obedece a lei de Hook. em um local cuja aceleração da gravidade é constante e tem intensidade igual a g. 41 QUESTÃO 15 Uma mola. é colocada na vertical. a mola está distendida. 42 De acordo com o sistema de referências adotado. a posição do ponto material será: ? = ? + Δ? ?. ? ?=?+ ? Como ? > ?. . a soma das energias potencial (gravitacional e/ou elástica) e cinética será sempre constante. o pêndulo A com sua haste na horizontal e o pêndulo B com sua haste na vertical. ? . ?? = ?? + ?? = ??? CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO A quantidade de movimento também é mantida quando não há forças dissipativas. presas a um ponto O. atingindo uma altura máxima num instante t2 > t1 . a altura máxima atingida depois do choque é de: Para resolver esse problema. ?????? = ??????? ? = ?. por exemplo). com velocidade nula. Ambos têm hastes de massas desprezíveis. o sistema é conservativo. fechado ou mecanicamente isolado. de comprimento L. os pêndulos são abandonados. localizado a uma altura 2L do solo. estão em um plano vertical ?. CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA Em um sistema no qual agem somente forças conservativas (sem atrito. devemos utilizar os princípios da conservação de energia mecânica e da conservação da quantidade de movimento. a partir daí. Num instante t1 > t0 ocorre um choque perfeitamente inelástico e. Num instante t0 . 43 QUESTÃO 16 Dois pêndulos planos A e B de massas mA e mB . sujeitos à ação exclusiva da gravidade. abaixo do ponto O. respectivamente. os pêndulos passam a mover-se juntos. ou seja. Supondo que não haja atrito. t1 e t2. por se tratar de um choque inelástico. utilizamos o princípio da conservação de energia mecânica no sistema: ??? ?â???? ? 0 = ??? ?â???? ? 1 ?? . há a conservação da quantidade de movimento. 44 Dividiremos a análise em três tempos distintos: t0. Precisamos descobrir a velocidade com que o corpo A atingirá o corpo B no instante t1. ? = 2 ?? = 2. ?? 2 ?? . Para isso. ?. a seguinte equação deve ser satisfeita: . pois nesse caso a altura de B vale 0 no instante inicial. ? (I) O choque ocorre no instante t1 e. Nesse caso. Em t0 temos a seguinte situação: L t0 A L y 2L B x O sistema de referências foi colocado naquela posição para facilitar os cálculos. ?. t1 ??? Substituindo (I) em (II). ? ??? = ?? + ?? A energia mecânica do sistema nesse instante será: 2 ?? . ??? (II) Em que ??? representa a velocidade do conjunto AB. ?? = ?? + ?? . ?? + ?? ??? ?â???? ? 1 ∗ = 2 O símbolo ∗ nessa energia é para diferenciá-la da ??? ?â???? ? 1 mostrada anteriormente. 45 ?????????????? = ??????????????? ?? . 2. ?. ? (?? + ?? ). a energia imediamente após . Elas são diferentes porque o choque perfeitemante inelástico conserva somente a quantidade de movimento e não a energia mecânica do sistema. temos que: ?? . ?. ou seja. 2. em energia térmica. temos que: ??? ?â???? ? 1 ∗ = ???? â???? ? 2 2 ?? . 46 o choque é menor do que a energia imediatamente antes do choque. ?? + ?? = (?? + ?? ). A energia pode ser transformada em outra forma. Aplicando o princípio de conservação de energia novamente. ?. ? 2 . temos apenas Energia Potencial Gravitacional. por exemplo. ?. pois o conjunto atingiu a altura máxima e está em repouso. Analisando agora a situação do sistema em t2 : t2 h y x L Nesse caso. ? (?? + ?? ). ocasionando o aumento da temperatura dos objetos que colidiram. 2. concluímos que: ?? 2 ? = ?. a altura total ?????? do conjunto será: ?????? = ? + ? ?? 2 ?????? = ?. em breve. ( 1+ ?? + ?? ) Espero que esse documento tenha ajudadovocê e. enviarei mais resoluções como essa :) . ?? + ?? Devido ao sistema de referência adotado. devemos somar a altura do chão até o sistema. 47 Isolando ? nessa expressão. Com isso.