Resolucao lista 07 Produtos com Vetores.pdf

Curso de Geometria AnalíticaAbrangência:Graduação em Engenharia e Matemática Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis Exercícios, Lista 07 - Base Ortonormal e Produtos com Vetores. → → → 1. Dados os vetores u (−1,1,1) , v=( 3,2,3), e w=(4,1,3), verificar sua condição de ortogonalidade, tomando os 2 a 2: Para ser ortogonal X1.X2+Y1.Y2+Z1.Z2=0 Vamos comparar u e v: -1.3+1.2+1.3=2, portanto não são ortogonais v e w: 3.4+2.1+3.3=23, portanto não são ortogonais w e u: 4.(-1)+1.1+3.1=0, portanto são ortogonais 2. Dados os pontos A=(1, 2, 1 ), B=( 2, 3, 1 ) , C=( 2, 1, 1 ), determinar as coordenadas de um ponto D=(x0, y0, z0 ) de modo que ABCD seja um paralelogramo. A C B D Se os pontos formam um paralelogramo então podemos dizer que (B-A)=(D-C). (B-A)=(1,1,0), e (D-C)=(X-2,Y-1,Z-1) então: X-2=1 Y-1=1 Z-1=0 X=3 Y=2 Z=1 O ponto D=(3,2,1) 3. Dados os vetores u =(m+1, 3, 1) e v =( 4, 2, n−1), determinar os valores de m e n , para que estes vetores sejam paralelos. Para serem paralelos u e v precisam ser L.D, então: = 2.(m+1)=4.3 2m+2=12 m=5 3.(n-1)=2.1 3n-3=2 n=5/3 4. Dados os pontos A=( x1, y1, z1), B=( x2, y2, z2 ) , obter as coordenadas do ponto M=( xm, ym, zm), considerando que o ponto M é o ponto médio do segmento AB. M-A=B-M M-A=(xm-x1,ym-y1,zm-z1) e B-M=(x2-xm,y2-ym,z2-zm) 0 . 0 ). −5. y0.a-4b) -4=a+2b -4=-2a 14=a-4b a=-4/-2 a=2 -4=a+2b -4=2+2b -6=2b b=-3 7.(xm-x1. = .14)=(a+2b. portanto não são colineares.a)+(2b. em relação ao ponto A = (−1. −7. 1 ) . F =( 1.D. Se forem colineares possuem a mesma direção. 0. −3 ) P P´ A .0. w=a. 0 ) .-2a.(1. −2. portanto são colineares. 1.4) (-4. −2 ).-2.0.-2a. 14 ). A B C = D F E ~ -3=-3=-3. C=( −2. E=( 3. −1 ).y2-ym.1)+b. 1. 0. 4 ).-4.-4. Verificar se são colineares os conjuntos de pontos em cada caso: a) A=(−1. Determinar os valores de a e b . −4) e w =( −4. Simétrico ao ponto P = (3. 6. 3 ) . z0 ). −1. tais que w = a u + b v sendo: → → → u = (1.ym-y1. b) D=(2.z2-zm) xm-x1=x2-xm ym-y1=y2-ym xm+xm=x2=x1 ~ ym+ym=y2+y1 zm-z1=z2-zm ~ zm+zm=z2+z1 2xm=x2+x1 xm=(x2+x1)/2 2ym=y2+y1 ~ ym=(y2+y1)/2 2zm=z2+z1 zm=(z2+z1)/2 5. Determinar o ponto P’ = (x0. então são L. 1.-4b) (-4.zm-z1) =(x2-xm. −1 ). B=( 2.(2. v = ( 2.14)=(a. −4. -2k.(w) v=k.2.(5/3). para que o vetor v = ( k.m-3l=7 + =7 elevamos os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz: 4+9+ -6m-27=0 m=6±(√36+108)/2 m´= (6+12)/2=9 ou m” =(6-12)/2=-3 9. −1.-2.1-y.P. ¼ ) .-k) colocamos módulo em ambos os lados para não mudar o valor da equação lvl=|(2k. Sabendo que a distância entre os pontos A = (−1.D então. de modo que | v |=5 e que v //w = ( 2. Determinar as coordenadas do vetor v=( x.-k)| 5=√ 5=√ 5=9 5=3k 5/3=k então: v =(2. lvl=1 √ + ½ .-(5/3) v=(10/3. como são paralelos.(2.-3. −2 . Determinar o valor de k. m ) é igual a 7.-2k.-2.-1) v=(2k.-5/3) .P’=A. seja unitário. z). lB-Al=7 l2.-10/3. 3 ) e B = ( 1.-3-(-2)) 3-x=-4 x=7 1-y=-1 y=2 -2-z=-1 z=-1 P’=(7. −1).(5/3). =1 elevamos os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz ficamos: k= 10.P (3-x. são L. calcular o valor de m. =k v=k. 2.0-1. y.-1) 8.-2-z)=(-1-3. c) Determinar o valor de x para que o volume do tetraedro ABCD seja 4 uv.-k.1/√5. segundo seus ângulos. –3 ): a) Determinar o valor de z para que sejam ortogonais.0)| 1=√ 1=√ 1=√5 elevamos os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz ficamos: 1=5 1/5= 1/√5=k então:u=(2/√5. 0 ) e D=(x. a) precisamos saber quanto mede cada lado do triângulo.. b) Ao definir o valor de z. Dados os vetores v=( 2.0) 12.11.(1)-1. 1. para classificarmos como: eqüilátero: 3 lados iguais isósceles: 2 lados iguais escaleno: 3 lados diferentes B A C |B-A|=|(-4.-1. –1 . 1 ). C=( 0. .(2. a)para serem ortogonais VxW=0 2. b) Identificar o tipo do triângulo ABC. 2 ) . 1 ).0) colocamos módulo em ambos os lados para não mudar o valor da equação lul=|(2k. 2 .0.3.1)|=√ |C-B|=|(3. B=( –3. –2. Dados os pontos A=(1.(-3)=0 2-2-3z=0 z=0 b)|u|=1 =k u=k. 0.-2)|=√ |A-C|=|(1.-3. a) Identificar o tipo do triângulo ABC. 1.-k.0) u=(2k.1)|=√ como possui 3 lados diferentes é um triângulo escaleno. determinar as coordenadas do vetor unitário u // v.(v) u=k. z ) e w =( 1. segundo seus lados.(2)+z. pois possui um ângulo maior que 90˚.1. tetraedro como é dado o vol: 4.-1) (B-D)=(-3-x. c) D B A C (A-D)=(1-x.1) Vol.b)precisamos achar cada ângulo do triângulo para compará-los: um ângulo reto (90˚): retângulo um ângulo maior que 90˚: obtusângulo três ângulos menores que 90˚: acutângulo ~ Â=arco cos Â=arco cos Â=arco cos ~ B= arco cos ~ B=arco cos ~ C=arco cos ~ Â=44.-2.(6)= ~ 24=|0+1-x-2x+1-x-6-2x+0| ~ 24=|-6x-4| ~ 24=-6x-4~ 24+4=-6x ~ -28/6=x ou 24=|-6x-4| ~ 24=6x+4 ~ 24-4=6x ~ 20/6=x .0) (C-D)=(-x.8˚ B=arco cos B=arco cos ~ C= arco cos ~ Â=arco cos ~ B=40.1.7˚ Portanto é um triângulo obtusângulo.4˚ ~ C=arco cos C=arco cos ~ C=94. com o produto vetorial achamos um vetor ortogonal e multiplicamos por 10. b) Atribuir um destes valores a m e determinar um vetor de módulo 10.-3.1˚ cos β= ~ β = arco cos β = arco cos 4/5 ~ β =36.m 6≠-2m -3≠m b)vamos atribuir o valor m=-2 w=(u⋀v). a)ângulos diretores de u: cos α= ~ α= arco cos ~ α= arco cos ~ ~ β = arco cos ~ α= arco cos3/5 ~ α=53.I ½.-200.0) 15.2.(12)≠-2.-20.1). –m ): a) Determinar os valores de m. Dados u= (–4 .(10. (u⋀v)= ~ (u⋀v)=-10i-20j+0k ~ w=10. 2 . −1.13.8˚ . Sabendo que a distância entre os pontos A = (−1. na direção do segundo vetor. c) O vetor projeção do primeiro.m-3l=12 + =12 elevamos os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz: 4+9+ -6m-122=0 m=6±(√36+488)/2 ~ m= m=±√131+3 14. para que sejam Linearmente Independentes(LI). 12 ) e v= (–1. pois seu módulo é 10. ~ a) para serem L. determinar: a) Os Ângulos Diretores. ortogonal a ambos. calcular o valor de m. ½ . 2. v=( 2. 3 ) e B = ( 1.0) ~ w=(-100. α. β e γ. m ) é igual a 12.0) . lB-Al=12 l2. Dados os vetores u=(3.4. b) O ângulo ϕ determinado pelas direções destes vetores. para ambos os vetores. 1˚ cos ~ γ = arco cos γ= b) O ângulo ϕ determinado pelas direções destes vetores. 2 ) . 2. u= u= .5˚ ~ ϕ=arco cos ~ ~ ϕ=21. 4 ). ~ 16.03˚ c) O vetor projeção do primeiro. C=( 2. identificar o tipo do triângulo ABC. na direção do segundo vetor. ~ u=(28/9. ~ u= . 1. B=( 2. precisamos achar cada ângulo do triângulo para compará-los: um ângulo reto (90˚): retângulo um ângulo maior que 90˚: obtusângulo três ângulos menores que 90˚: acutângulo Â=arco cos ~ Â=arco cos ~ . −1 ).cos ~ γ = arco cos γ= ~γ = arco cos 0 ~ γ = 90˚ ângulos diretores de v: cos α= ~ α= arco cos ~ α= arco cos ~ α= arco cos 2/3 ~ α=48.1˚ ~ β = arco cos ~ β = arco cos cos β= ~ β = arco cos 2/3 ~ β =48. ~ ϕ=arco cos ϕ=arco cos ϕ=arco cos ~ γ = arco cos 1/3 = 70. 3.14/9) ~ u= . Dados os pontos A=(1.28/9. através da determinação de seus ângulos internos. . ~ Â=arco cos ~ B= arco cos ~ B=arco cos ~ ~ Â=38. −2).y.z)=(4.x2+y1.9˚ ~ C=arco cos C=arco cos ~ C=24.5.-2k) se v2 u . v1+v2=v v1//u v2 u se v1//u então v1=k.k.y2+z1.z2=0 2x+y-2z=0 se v1+v2=v então (2k. sendo v2= (x.(3+2k)=0 8-4k+5-k-6-4k=0 -9k=-7 k=7/9 .3) (2k+x. 1.3) 2k+x=4 ~ x=4-2k k+y=5 ~ y=5-k -2k+z=3 ~ z=3+2k Como 2x+y-2k=0 2. Dados v =(4. determinar os vetores v1 e v2 .5.2˚ ~ B=arco cos B=arco cos C= arco cos C=arco cos ~ Â=arco cos ~ B=116.(4-2k)+(5-k)-2. 17. 5. -2k+z )=(4.-2k)+(x. pois possui um ângulo maior que 90˚. k+y. de modo que v1 + v2 = v e que v1 seja paralelo a u e v2 seja ortogonal a u.y.k.u v1=(2k.z) então x1. 3) e u =( 2.8˚ Portanto é um triângulo obtusângulo. Usando a definição e propriedades do produto escalar entre vetores. 4) e v = ( 4 .3=0 m=-9 b) u = ( m .então v1=(2k. 41/9) 18. m .(m-1)+1. 2) e v = ( m− 1 .y.7/9.4+m. -m+m-1-1-4=0 .-1+2. − 1 .3+2k) v2=(4-2. .7/9) v1=(14/9.7/9. 38/9. em cada caso para que os pares de vetores sejam ortogonais: a) u = ( m .1+0. 19.7/9 ) v2=(22/9.1=0 +4m4=0 m= m=-4/2=-2 c) u = ( m+1 .m+4. 3 ) m.-2=0 .-2k) v1=(2. u u e v são iguais. pois como se trata de um losango.-2. 5-7/9.k.5-k. Determinar os valores de m. temos que provar que X x Y=0 v x X x Y = (u+v)x(u-v) XxY= XxY= y X x Y = 0.-14/9) v2= (x. 3+2.7/9. 0 . =6 m=± d) u = ( m . − 3 . m . 3) e v = ( 1 . Provar que as diagonais de um losango são perpendiculares. − 1 . 0) e v = ( m .m+3.7/9. 1 ) m. 1 ) .z) v2=(4-2k. − 2 ) (m+1). m . 1 . v e w. sendo que estes vetores formam entre si de 2 a 2 ângulos de 60 ˚ .cos 0˚ (porque estão no mesmo sentido) u x v = 3. eles estão na mesma linha da seguinte forma: u v w u e v no mesmo sentido e w no sentido oposto.3. Dados os vetores u e v sendo |u| = 3 e |v|= 4 e o ângulo ϕ = 2π/3.-1=-12 então: u x v + v x w + w x u = 3 – 4 – 12 = -13 22.m.4.cos w x u = 4.1. determinar o valor de u x v + v x w + w x u.-1/2=-6 b) |u ∧ v|=|u|. 9 16 (u+v)x(u+v) uxu+uxv+vxu+vxv= 9+12+12+16=49 f) (3u − 2v) x ( u + 2v)= 3u x u + 3u x 2v – 2v x u – 2v x 2v= 27-24+72-64=11 21.|v|.|v|. formado por eles.cos v x w =1.|v|.cos 180 (porque tem sentido oposto) w x u = 4.cos 120˚ = 3.1=3 v x w =|v|. Dados vetores u.4.-1=-4 w x u =|w|.sen c) u x u= d) vxv= e) ϕ = 3. u x v = |u|. |v| = 1 e |w|= 4.1=0 +3=0 m=± 20. |v| = 2 e |w|= 6. determinar: ( 2π/3=120˚) a) u x v=|u|. |p|= .-3+0. sendo |u| = 3.4. Dados vetores u. calcular o |p| do vetor p = u + v + w. colocamos módulo em ambos os lados |p|=|u+v+w| lembrando que |p| = como p=u+v+w.4.|w|.1.3.4.cos ϕ = 3.m-1.cos (porque tem sentido oposto) v x w = 1. sendo u + v + w =0.cos u x v = 3. v e w.|u|. Como a soma dos vetores é 0. sendo |u| = 4. Dados os vetores u e v sendo |u| = 1 e |v|= 2 e o ângulo por eles.cos 60˚=4.(u∧v)+3. Dados os vetores u e v sendo |u| = 6 e |v|= 5 e o ângulo por eles.(0)-( u∧v)+9( v∧u)-3(0)|= usamos a propriedade 4 e 1 ϕ = 2π/3.(v∧v)|= |3.cos 60˚=2.|u|.6.4.( 0 )|= usamos a propriedade 4 e 1 |-5.1=4 (v x w)=|v|.cos 0˚= 6.(v∧u)-2. formado = 15√3 b) |u ∧ v|.15=75 24.1=16 (u x v)=|u|.( u∧u)-2.cos 60˚=4.1/2=6 (w x w)=|w|.√3 .1/2=15 c) |(u + v ) ∧ (3u − 2v)| .sen 30˚= 6. formado .1=36 |p|= |p|= = 10 23.(u∧v)-3.2( u∧v)+( v∧u)+ 2(v∧v)|= |2(0)+4( u∧v)+( v∧u)+ 2(0)|= usamos a propriedade 4 |(0)+4( u∧v)-( u∧v)+(0)|= usamos a propriedade 1 |3.cos 0˚= 2. calculado no exercício anterior. |(u∧v)|= 5. determinar: obs 2π/3=120˚ a) = .|w|.5.1/2=12 (v x v)=|v|. c) |( u + 3v) ∧ (3u − v)|= |u∧(3u-v)+3v∧(3u-v)|= usamos a propriedade 3 |(u∧3u)+( u∧-v)+(3 v∧3u)+(3v∧-v)|= |3(u∧u)+( u∧-v)+9( v∧u)-3(v∧v)|= |3.|p|= (u x u)=|u|. |u|.cos 30˚= 6.( 0 )-2.2.6.5.|v|.|v|. determinar: π/6 = 30˚ a) u x v. ϕ = π/6. |u|. pois |u|= ~ ~ =3 b) |( 2u + v) ∧ (u +2 v )|= |2u∧(u+2v)+v∧(u+2v)|= usamos a propriedade 3 |(2u∧u)+( 2u∧2v)+( v∧u)+ (v∧2v)|= |2(u∧u)+2.cos 0˚= 4. |u∧( 3u-2v)+v∧(3u-2v)|= usamos a propriedade 3 |( u∧3u)-( u∧2v)+( v∧3u)-( v∧2v)|= |3. ( u∧v)|= 3.6.|w|.(u∧v)|= 5.2.(u∧v)-2.|v|.|w|.1/2=4 (u x w)=|u|.|v|. |u X v | = |u|. 1 ) e v = ( 2. 5. -11 ) Para terem a mesma direção precisão ser L.|-7. 1. 3 .|-5i-2j-k-k+5j-2i|= = usando a fórmula geométrica: área= . 2 .2. ½.-1. v . -2 . -1 . 0.D. Dos conjuntos de vetores abaixo. Dados os pontos A=(1. −4). w ]= = -18+2-10+10-3+12=-7 28.4) = (40.30.1=6 29. isto é [ u .(8. determinar para cada caso se tem a mesma direção: a) a = ( 2 . determinar um vetor de módulo 5. para determinarmos a alt. 2. sabendo que são ortogonais 2 a 2. 1 ) e w = ( 3 .20) 27.4) como o módulo é 5. ~ . referente ao ângulo A. v e w.h ~ 26. |v| = 2 e |w|= 3.sen 90˚= 2.h ~ = =h . Dados os vetores u = (1. |C-B|= = = substituindo na fórmula: .3. −1 ).0=0 | ( v ∧ w) | = |u|. 3). w= ( u∧v) = = 8i+2j+4k+4j = (8.6. v = ( -2 . determinar a área do Triângulo ABC e a altura relativa ao ângulo A. v . 4 ). Dados u.6. Não possuem a mesma direção. que seja ortogonal a estes dois vetores. [ u . B (B-A)=u= (1. Dados os vetores u = ( 1 . w ].1.cos 90˚= 4.-2| = 1/2.-2) (C-A)=v= (1. -1 ) e b = ( 1 . sendo |u| = 4. = ½. Vamos chamar de w o vetor ortogonal. B=( 2. 5). 2 ) . 3.|v|.|v|.|( v∧u)+9( v∧u)-|= usamos a propriedade 1 10(v∧u)=10√3 25. Determinar o valor de [ (u ∧ v ) x w ]. C=( 2. Sabemos que a base é |C-B|.-5) A área C = ½. determinar o valor de |u X v | e | ( v ∧ w) |. −2.3. 9 . = ½. 4 ) e C = ( 4 . -2 ) e C = ( -5 . -2 . área ∆= ½. 2 ) e m = ( 1.7) área ∆=1/2. = ½. 5 ) e C = ( 2 . 1 ). Dados os vértices A = ( 2 .6. 3 . 7 ) e D = ( -5 . 3 . B = ( 0 . área ∆= ½. área ∆= ½. 1 . B = ( 4 . -2 ). B = ( 5 . -4 . não possuem a mesma direção. 3 ) . -1 ). B e C abaixo. área ∆= 31.|-14k-21i-14j-14i+21j-14k| área ∆= ½. 3 ) . 3 . 1 ) e e= ( 2. (B-A)=u=(3.-7.|k+6i+4j-4i+6j+k| ½.3) (C-A)=v=(2. área ∆= ½. 2 . 1 .2. 1 . (B-A)=u=(2.4) A área ∆=1/2. = ½. 30. -3 ) .-1. Dados os conjuntos de pontos A . não possuem a mesma direção. 1 ). área ∆= área ∆= b) A = ( 2 . 1 . 5 . C área ∆= ½. B = ( 4 . 8 ) de um tetraedro. área ∆= ½. 1 . -1 . 8 ). -4 . tetra= . determinar a área do triângulo ABC em cada caso. determinar a altura deste tetraedro em relação ao vértice A. 2 .-1. 1 ). C = ( 6 .6) (C-A)=v=(1. 1 . Fórmula geométrica: vol. a) A = ( 1 . c) g = ( 2 . B (B-A)=u=(-1.-2.-3) (C-A)=v=(-7.2) área ∆=1/2. área ∆= c) A = ( 2 .|-12k-6i-6j+12i+6j+6k| área ∆= ½. 2 ) .b) d = ( 3 . -1 . -3) (C-A)=v=(4. Os vértices da base deste tetraedro são A=(2.|[u.-1. 3 ).6) (D-A)=w=(-7. (unidades de volume).0. O volume de um tetraedro 5 u. considerando que o ponto D está no eixo Oz. 1 ) e C=( 2. A B D C (B-A)=u=(2.-2.v. 1.2) (C-A)=v=(0.w]= = 84+56+84+84=308 área da base em relação ao ângulo A: |z = = |18k+45i-20j+20i-81j-10k| = |65. tetra = . -1.alt.w]|=|u⋀v|. 32.7) (C-B)=z=(2. y .-2.2. z ).-1.z+1) C A B vol.8| = voltando na fórmula: 308= 308/ = xalt.-101.-5. -1 ). D=(0.v.z) (B-A)=u=(1. B=( 3.v. Determinar as coordenadas do vértice D = ( x .10) vol.-7.4) (D-A)=w=(-2. =alt.= [u.9) (D-B)=t=(-9. 0.0. .3. se isto for possível. Dados u. 9 . . escrever o vetor v como Combinação Linear de e1 e e2 . não é possível ter C.(wxw) ]=8/3.w) Prova: u=4 vol=2.D. w ]. 34. 3 ) e c = ( 1 .L. determinar quais são Complanares: a) a = ( 2 . v v v v v v . v . . -11 ) . então vamos verificar: portanto L. e sen sen = = 1= 8=|u⋀v|.I. u⋀v=8/3. Em cada um dos conjuntos de vetores abaixo. 3 . v e w.|w| [ [ [ [ [ [ u u u u u u . .( ]=8/3.w| 8=k.w 8=|k.(z+1)+8+0| 30=|2-2z| 30=2-2z ~ z=-14 ou 30=-2+2z ~ z=16 33.como são ortogonais u⋀v=k. |v| = 2 e |w|= 3.5= ~ 30=|-8+4+0-2.L entre vetores eles precisam ser L. .w. w w w w w w ]=(u⋀v)xw ]=(8/3. . sabendo que são ortogonais 2 a 2. .4=24 w=3 v=2 35. w ]=(u⋀v)xw . -1 . . determinar o valor de [ u .( ]=24 (u⋀v=k. sendo |u| = 4. e2 = i + j e v = 2i + 2j + k. . sabemos que [ u . .w)xw ]=8/3. Dados os vetores e1 = 2i + 3j –k. Para acontecer C. v . b = ( 1. -1 ). e = ( 2. 1 . 5 ). Dados os conjunto de pontos A . 8 ). precisam ser L.-2) (D-A)=w=(2.Para serem coplanares. 2 . não estão no mesmo plano. b)(B-A)=u=(3. 2 ). 2 . C = ( 3 .0.D. -1 .-1. -2 . determinar o volume do tetraedro ABCD. C = ( 6 . 1 ). b) A = ( 2 .2) (D-A)=w=(1.-3) (C-A)=v=(4. 36.6.=0 D B C a)(B-A)=u=(-1. não estão . -3 ) e n = ( 3 . B . c) g = ( 2 . 1 .2) vol. -2 ). c) A = ( 2 .tetra= = no mesmo plano. 3 ) . a) A = ( 1 .I. b) d = ( 3 . 1 .0. C = ( -1 . B = ( 0 . B = ( 5 .tetra= = = -2-4-2+12=4/6. A se estiverem no mesmo plano o vol. m = ( 1. -4 . portanto são L. -1 . -4 .D. portanto são L. 2 . verificar se estes pontos estão no mesmo plano e em caso negativo. 7 ) =-12-24+7+28+9-8=0. =-1-54+33+22+9-9=0. 3 . 3 ) .6) = -18+12-12+18-24+6=18/3=3.2) vol.(dividir sua determinante por seis). 1 . 1 ) e D = ( 2 . como são três vetores sua determinante tem que ser Zero. 3 . 2 ) e f = ( 3 . 7 ) e D = ( -5 .3) (C-A)=v=(1. C e D abaixo. -1 ).D. -1 . que também precisa ser zero. c)(B-A)=u=(2. 1 .6) (C-A)=v=(-2. B = ( 4 . 4 ). 5 . portanto são L. -1 ) e D = ( 4 . -2 ) =-3+6-8-6-12-2=-25.-2. 2 . 1 ).3. 1 ). ou pelo cálculo de seu volume.-1.2. (unidades de volume).tetra= = = 84-56+84+84=196/6.v. z ).-2.-7. B=( 3.2) . 3.w]= |t = |12. C=(6 .6) (B-A)=t=(2.7. Dados os vértices A=(2.v. determinar a altura deste tetraedro em relação ao vértice D. O volume de um tetraedro 5 u. Determinar as coordenadas do vértice D = ( x .alt. considerando que o ponto D está no eixo Oy. 308/28=alt. D A B C (A-D)=u=(7.7.-10) (C-A)=z=(4. -1 ). tetra= |[u.w]|=|u⋀v|. B=(4 . não estão no mesmo plano. 1). 8 ) de um tetraedro. Os vértices da base deste tetraedro são A=(2.7) vol. -1. 7) e D=( -5 . 0.v. 1.8| = = 441+35+770-490-63-385=308 = |8k-12j-12i-12j| = = = 28 voltando na fórmula: 308=28xalt.5. y . 1 . 11=alt. 37. 3 . (B-A)=(1.0. 38.-3) [u. 3 ). 1 ) e C=( 2. Fórmula geométrica: vol.-1) (B-D)=w=(9.-1.-7) (C-D)=v=(11. -2).24.(D-A)=w=(-7. -4 . e1+b.0c.(1.-1a)+(1b.y.(2.y-1.3. Dados os vetores e1 = 2i + 3j –k. e2 = i + j .0.1) B C A D=(0.-a) -a=1 3a+b=2 2a+b+4c=2 a=-1 -3+b=2 -2+5+4c=2 b=5 4c=-1 c=-1/4 v=-e1+5e2-1/4e3 Centro Universitário da FSA Prof.1b.0)+c.0) vol. e2 e e3 .tetra : 5= 30=|-8-4y+4-2+8| 30=|-4y+2| -4y+2=30 ou 4y-2=30 y=-7 y=32/4=8 39.1)=(2a.4) (D-A)=(-2.1)=(2a+b+4c.0b)+(4c.2.e2+c. v=a.1)=a. escrever o vetor v como Combinação Linear de e1 .: Anastassios H.1. .K.3a.3a+b.0c) (2.0) (2.-1)+b.2.-2.e3 (2.2.(4.(C-A)=(0. e3 = 4i e v = 2i + 2j + k.