Resistência Dos Materiais - Beer Flexão Assimétrica

Capo 44.124 A força axial excêntrica P atua no ponto D, que deve estar localizado 25 mm abaixo da superfície superior da barra de aço mostrada. Para P = 60 kN, determine (a) a altura d da barra para a qual a tensão de tração no ponto A é máxima, (b) a tensão correspondente no ponto A. Fig. P4.124 4.125 Para a barra e o carregamento do Problema 4.124, determine (a) a altura d da barra para a qual a tensão de compressão no ponto B é máxima, (b) a tensão correspondente no ponto B. 4.13. FLEXÁO ASSIMÉTRICA !f Nossa análise de fIexão pura esteve limitada até agora a barras que possuem pelo menos um plano de simetria e submetidas a momentos fIetores atuando naquele plano. Devido à simetria dessas barras e de seus carregamentos, concluímos que as barras permaneceriam simétricas com relação ao plano dos momentos e portanto flexionadas naquele plano (Seção 4.3). Isso está ilustrado na Fig. 4.55: a parte a mostra a seção transversal de uma barra que possui dois planos de simetria, um vertical e um horizontal, e a parte b mostra a seção transversal de uma barra com um único plano de simetria vertical. Em ambos os casos o momento fIetor que atua na seção age no plano vertical de simetria da barra e é representado pelo vetor momento M horizontal, e em ambos os casos a linha neutra da seção transversal coincide com a direção do vetor momento. Vamos agora considerar situações nas quais os momentos fletores não atuam em um plano de simetria da barra, ou porque eles atuam em um plano diferente ou porque a barra não possui nenhum plano de simetria. Em tais situações, não podemos considerar que a barra será fIexionada no plano dos momentos. Isso está ilustrado na Fig. 4.56. Em cada parte da figura, consideramos !f (ll) (b) Fig.4.55 y !f (a) Fig.4.56 (b) (c) Flexão Pura 259 No entanto.57. Nossa proposta é determinar as condições sob as quais a linha neutra de uma seção transversal de forma arbitrária coincide com a direção do momento M representando os esforços que atuam naquela seção. Uma seção assim é mostrada na Fig. Jr.2 que a seção transversal era simétrica com relação ao eixo y. ou que a linha neutra da seção coincida com a direção do momento. São Paulo: McGraw-Hill. Lembramos da Seção 4. ed. Agora que estamos considerando uma seção transversal de forma arbitrária.57 linha neutra estão direcionados ao longo do eixo z. . 7. obtemos componentes x: f (J'xdA = momentos em relação ao eixo y: fzuxdA momentos em relação ao eixo z: f( -yuxdA)'= O = (4.51) A integral J yzdA representa o produto da inércia IyZ da seção transversal com relação aos eixos y e Z. e a última equação conduz à relação fundamental (J'x = -M/ I.. 2006. Como supomos na Seção 4. não podemos esperar que a barra venha a flexionar naquele plano. R.8-9. Mechanics for Engineers. e consideramos que tanto o vetor momento M quanto a v v x x z Fig. F. como o plano vertical não é um plano de simetria. 4.4. ou Mecânica Vetorial para Engenheiros. E. podemos substituir (J'x = -(J'mY/c na Equação (4.2) e escrever ou fyzdA = O (4.260 Resistência dos Materiais novamente que o momento fIetor que atua na seção age em um plano vertical e foi representado por um vetor momento M horizontal. seções 9. se expressarmos que as forças internas elementares (J'x dA formam um sistema equivalente ao momento M. Nova York: McGrawHill. ed. tVeja BEER. o vetor momento fletor M estiver direcionado ao longo de um dos eixos principais da seção transversal.. e será zero se esses eixos forem os eixos principais de inércia da seção transversal.3) Conforme já vimos. a Equação (4.. e somente se. quando todas as tensões estão dentro do limite de proporcionalidade. Supondo que as tensões permaneçam dentro do limite de proporcionalidade do material. 1987.1 O. JOHNSTON. t Concluímos então que a linha neutra da seção transversal coincidirá com a direção do momento M que representa os esforços que atuam naquela seção se.2) torna-se altamente significativa.2 que.1) (4.2) não foi considerada naquele momento.2) O M (4. 4. a primeira dessas equações leva à condição de que a linha neutra deve ser um eixo que passa pelo centróide. a Equação (4. P. no caso b. qualquer seção possui eixos principais de inércia.... 2006. Flexão Pura 261 . ed. e a linha neutra não coincide com a direção do momento.3 e 4. Considere primeiro uma barra com um plano vertical de simetria. Jr. 4. e esses eixos podem ser determinados analiticamente ou usando o círculo de Mohr. Como o vetor momento M está direcionado ao longo de um dos eixos principais de inércia. Nova York: McGrawHill..58). São Paulo: McGraw-Hill. Mechanics for Engineers. 4.10. e a linha neutra novamente coincidirá com a direção do momento. em cada caso. ll~-- c. os eixos y e z são os principais eixos de inércia da seção.Cap.55 são simétricas com relação a pelo menos um dos eixos coordenados. apesar de que. e os eixos coordenados não são os eixos principais de inércia.4 para barras de seção simétrica podem ser usadas para determinar a tensão nesse caso também. P. o y v _~.56. mesmo que ela seja assimétrica. nenhum dos eixos coordenados é de simetria ~para as seções mostradas. R. na Fig.8-9.59 Conforme você verá aqui. verificamos que a linha neutra coincidirá com a direção do momento.4 Observamos que as seções transversais mostradas na Fig.. Por outro lado. 4. 4. 7.. F.A_. que está submetida aos tVeja BEER. o princípio da superposição pode ser usado para determinar tensões no caso mais geral de flexão assimétrica. Conclui-se que. como a seção mostrada na Fig. No entanto. o vetor momento M não está direcionado ao longo de um eixo principal de inércia. Assim. 4. 4._---+_ l\f (a) (b) Fig.56c.4. E.4. y (a) y (b) Fig. o momento não atua em um plano de simetria da barra.58 vetor momento M ainda estará direcionado ao longo do eixo principal de inércia.. seções 9. se as seções transversais forem rotacionadas em 90° (Fig. ou Mecânica Vetorial para Engenheiros. 1987. JOHNSTON. a linha neutra coincidirá com a direção do momento (Fig. z ll..59) e as equações deduzidas nas Seções 4. ed. t Se o vetor momento M estiver direcionado ao longo de um dos eixos principais de inércia da seção.. Notamos também que. o momento My atua em um plano horizontal e flexiona a barra naquele plano (Fig. ~. 4.61 M. O momento M.62 (T x = (4.4. 4. e My. e onde o sinal positivo é devido ao fato de que temos tração à esquerda do plano xy vertical (z > O) e compressão à sua direita (z < O).Dnta\"l'lg.16) para determinar as tensões resultantes da aplicação de qualquer um dos momentos representados por M. podemos usar a Equação (4.Dú:z. Por outro lado. respectivamente. 4. As tensões resultantes são Fig. atua em um plano vertical e flexiona a barra naquele plano (Fig.53) e (4.4. escrevemos '2.4.63).62).l)ecDmpDnuo o vetor M nas àireçóes z e y.b\).60). A distribuição das tensões provocada pelo momento M original é obtida superpondo-se as distribuições de tensão definidas pelas Equações (4.54). = M cos e My = M sen () (4. Temos (4.52) lj M= Como os eixos y e z são eixos principais de inércia da seção transversal. é o momento de inércia da seção em relação ao eixo principal de inércia y. nas comçonentes Me e MJ' resçectivamente.63 (4.55) .60 'n.262 Resistência dos Materiais e momentos fletores M e M' atuando em um plano formando um ângulo com o plano vertical (Fig. O vetar momento M representando os esforços que atuam em uma dada seção transversal formará o mesmo ângulo e com o eixo Fig.54) onde L. Fig. As tensões resultantes são Fig.4.53) lj onde Iz é o momento de inércia da seção em relação ao eixo principal de inércia z. O sinal negativo é devido ao fato de que temos compressão acima do plano xz (y > O) e tração abaixo (y < O). 4.57) onde e é o ângulo que o vetor momento fletor M forma com o mesmo eixo z. (4. Fig. como aquela mostrada na Fig. > Iy. 4. 4. conforme já indicamos nesta seção.4. a equação que define aquela linha pode ser obtida fazendo-se (Tx = O na Equação (4. e M. Escrevemos ou. uma vez que os eixos principais de inércia y e z foram determinados. A Equação (4. a linha neutra está sempre localizada entre o vetor momento fletor M e o eixo principal correspondente ao momento mínimo de inércia.64 Equação (4. <p e e têm o mesmo sinal. ela não deverá ser usada se as tensões combinadas excederem o limite de proporcionalidade do material. resolvendo para y e usando M. Como I.65) é definido pela relação (4.55) só é válida se forem satisfeitas as condições de aplicabilidade do princípio da superposição.52).64. Assim. e <p < ()quando I. e Iy são ambos positivos. Além disso. das Equações (4. Por outro lado.55) mostra que a distribuição de tensões provocada pela flexão assimétrica é linear. não coincidirá com a direção do momento fletor. Como a tensão normal é zero em qualquer ponto da linha neutra. a linha neutra da seção transversal. Em outras palavras. em geral. ou se as deformações provocadas por um dos momentos componentes afetar de forma apreciável a distribuição de tensões provocadas pelo outro. a :: y Fig. < Iy.55).Capo 4 Notamos que a expressão obtida também pode ser usada para calcular as tensões em uma seção assimétrica. Assim. No entanto. notamos que <p > e quando I.56) A equação obtida é aquela de uma linha reta de inclinação m = (IzlIy) tg e. o ângulo <p que a linha neutra forma com o eixo z (Fig.65 Flexão Pura 263 . A maior tensão de tração provocada por My ocorre ao longo de AD e é M.4.41 X 10-6 m" A maior tensão de tração provocada por M. _:--' M"' c Z ()= tg 4) 3~ cp 1. m MI' Z = (180 N . 4.. 19mm Fig.:z --J-- Fig. (b) Ângulo da Superfície Neutra com o Plano Horizontal. m) sen 30° = 90 N . 4.264 Resistência EXEMPLO dos Materiais 4.2 = 72MPa A maior tensão de compressão tem a mesma intensidade e ocorre em E. Determine (a) a tensão máxima na viga. de seção transversal retangular de 38 X 90 mm em um plano formando um ângulo de 30° com a vertical (Fig.. 4. ocorre ao longo de AB e é (156 N . O ângulo que a superfície neutra forma com o plano horizontal (Fig..67 Calculamos também os momentos de inércia da seção transversal em relação aos eixos z e y: I) = iz(0.68 180:\ .31 X 10-6 m" tg 30° 0. portanto.4. m) cos 30° = 156 N .9° = 3 25 ' ~ B A~ A distribuição das tensões ao longo da seção é mostrada na Fig.41 X 10-6 m" cp = 72. n1 r.045 m) MzY (T I =- 1. = (180 N .038 m):' = 0. (b) o ângulo que a superfície neutra forma com o plano horizontal. = --2: 1y tg e mm =' 2.0 + 4.8 Um momento de 180 N . m é aplicado a uma viga de madeira.66 r\--+--.68) é obtido da Equação (4.69..67): E M.31 X 10-6 m" = 3 O MPa ' Fig.4.. e My do vetor momento são determinados em primeiro lugar (Fig.69 . (a) Tensão Máxima..090 m)(0.-..57): Fig.4. As componentes M. = 2.4.z = -' (T 2 Ir (90N' = m)(0.66).019m) 0. ocorre em A e é (Tmáx = (TI + (T2 = 3. m !J D E . m)(0.41 X = 10-6 m" 4 2 MPa ' A maior tensão de tração provocada pela carga combinada. que representa a linha neutra da seção: Flexão Pura 265 . obtemos a equação de uma linha reta.4. e sejam a e b as distâncias da linha de ação das forças até os eixos principais de inércia da seção transversal da barra. A relação obtida mostra que a distribuição de tensões ao longo da seção é linear. 4. as tensões provocadas pelo carregamento da Fig. haverá uma linha na seção. ou algumas podem ser positivas e outras negativas. A força excêntrica P é estaticamente equivalente ao sistema consistindo em uma força centrada P e dois momentos M.17).70a pelo carregamento estaticamente equivalente da Fig. Em virtude do princípio de Saint Venant (Seção 2. 4. Além do mais.70a). Agora estudaremos o caso mais geral quando uma força axial não é aplicada a um plano de simetria. 4. as tensões combinadas O"x obtidas da Equação (4.58) (b) Fig. dependendo do sentido das forças P e P' e da localização de suas linhas de ação em relação aos eixos principais de inércia da seção transversal.55).58) em vários pontos da seção podem ter todas elas o mesmo sinal. desde que os correspondentes vetores momentos estejam direcionados ao longo dos eixos principais de inércia da seção.70b para determinar a distribuição de tensões em uma seção S da barra.58).58). As tensões provocadas pela força centrada P são dadas pela Equação (1.70 onde y e Z são medidos em relação aos eixos principais de inércia da seção. a força excêntrica P' é equivalente à força centrada P' e aos momentos M' x e M'~. = Pa e M. desde que sejam satisfeitas as condições de aplicabilidade do princípio da superposição (Seção 2.70b podem ser obtidas superpondo-se as tensões correspondentes pela força axial centrada P e pelos momentos fletores My e M. A (a) (4. = Pb representados na Fig. desde que aquela seção não esteja muito perto de uma das extremidades da barra. CASO GERAL DE CARREGAMENTO AXIAL EXCÊNTRICO Na Seção 4. pois cada um desses termos pode ser positivo ou negativo. Fazendo O"x = O na Equação (4.5). 4. Escrevemos então. podemos substituir o carregamento original da Fig. ao longo da qual as tensões são zero. Considere um elemento reto AB submetido a forças axiais centradas iguais e opostas P e P' (Fig. Ao calcular-se a tensão combinada O"x da Equação (4. Dependendo da geometria da seção transversal e da localização da linha de ação de P e P'. e as tensões provocadas pelos momentos fletores pela Equação (4. 4. Nesse último caso. deve-se tomar cuidado para determinar corretamente o sinal de cada um dos três termos no membro da direita.Capo 4 4.12). Analogamente.12 analisamos as tensões produzidas em uma barra por uma força axial excêntrica aplicada a um plano de simetria da barra.14.70b. 625 = + 1. e My.4.120 m)3 = 11.74).375 MPa = -0.60 X 10-3 m2 I. Como a distribuição de tensão é linear. são positivas em B e C. m)(60 mm) = -1-1-. e em um ponto H entre D e A (Fig. C e D.12 X 10-6 m" (b) 80mm HA 80mm 1.5~[Pa mm 0 .72. 4. As tensões nos cantos da seção são onde os sinais devem ser determinados pela Fig.1. (a) Determine as tensões nos pontos A. com valores máximos iguais.80 kN)(40 mm) = 192 N .0. - Fig. m -2.80 kN)(60 mm .72).625 MPa Fig.4. 4. B..5 + 0.75.625 2.375 HA = 70mm A linha neutra pode ser traçada pelos pontos G e H (Fig. e negativas em A e D.80 kN é aplicada em um poste de madeira de seção transversal retangular. = 12(0.73 (b) Linha Neutra.71 I -1.120 m)(0. = 12(0.625 = -1. = (4.') /0.5 + 1. a (192 N .52 X 10-6 m" A tensão (To em virtude da força centrada P é negativa e uniforme ao longo da seção.4. 4. I. 111 = -0.3/.266 Resistência dos Materiais EXEMPLO 4.9 Uma força vertical de 4. 4. (b) Localize a linha neutra da seção transversal.5 .375 1.. m)(40 mm) 5. são positivas em C e D.= A -4.4. Temos M.5 ~[Pa (a) Fig. A força excêntrica dada é substituída par um sistema equivalente consistindo em uma força centrada P e dois momentos M. 111 :\I. 4.625 +0.5 + 0.080 m)(0.5 ~IPd Fig.625 + 1.7l. = I~() '\ .1.35 mm) = 120 N .r = 192 . = (4.5 .72 I H A D ~80mm~ (a) Tensões. são linearmente distribuídas ao longo da seção.625 + 0.75 .62.60 X 1O-3m2 ' As tensões provocadas pelos momentos fletores M.4.080 m)(0.375 BG = 36.080 m? = 5. m M.5 + 1. representados por vetares direcionados ao longo dos eixos principais de inércia da seção (Fig.5 .5-2-X-I-0---:-6 -m-:-4-= 0. Temos A'----I----'B P (T o =. respectivamente.74 A distribuição de tensões ao longo da seção é mostrada na Fig.:3'. conforme mostra a Fig.625 MPa (TD = (TB -0. e M. . Notamos que a tensão será zero em um ponto G entre B e C.625 MPa = (Te = -0.80 kN = -O 5 MPa 9.625 -2.7 mm 2. de 80 X 120 mm. obtemos (TA ~I.120 m) = 9. 4.5 MPa (120 N .12 X 10-6 m" MzXmáx (T2 = -1-. e negativas em A e B.5 . e que as tensões provocadas por M.62.0.375 MPa = r8~ l 1.73).11 a r-~7--~C Fig. Observando que as tensões provocadas por M. 1. escrevemos BG Calculamos também a área e os momentos de inércia da seção transversal: A = (0. são P P A 4820 mrrr' =. Lembrando que (Tadm = -82 N/mm2. determine a maior força P admissível.8 mm)P My = (38 mm)P Note que os vetores momentos M. (TA (TB (TD (TE = = = = -(TI + + (T2 - -(TI - (T2 -(TI - (T2 - -(TI (T2 + (T3 (T3 + (T3 (T3 = = = = (-2.9 Uma força horizontal P é aplicada a uma seção curta de uma viga de aço laminado 1250 X 37.1 X 1O-4P 10-4 = 2. conforme mostra a figura. = _.1P 3. SOLUÇÃO Propriedades da Seção Transversal.5 X 103 mm! Força e Momento em C. A tensão total em cada ponto é encontrada superpondo-se as tensões provocadas por P.1 X 1O-4p P = 62.1 X 1O-4p B. estão direcionados ao longo dos eixos principais de inércia da seção transversal..OP) X + = B. y Tensões Normais.9 X 1O-4P 10-4 = -13.OP (-2.3.1P .1P + + (-2. Sabendo que a tensão de compressão na viga não pode ultrapassar 82 MPa. e M.= (T = 21 ' 103 mrrr' X = 3 O X 1O-4p = 8 O X 1O-4p 38P 47. 2 Wy 3 D X 1O-4p ' 1208P 402 My = --'. Apêndice C.OP) X Maior Força Admissível.5 X 103 mrrr' ' ' Superposição.B.OP .B.= (T I M. respectivamente. e My.OP + 3. Substituímos P por um sistema equivalente de força e momento no centróide C da seção transversal. e My.6kN ••• ••• . B. M.Capo 4 Flexão Pura 267 PROBLEMA RESOLVIDO 4.1P .Determinamos o sinal de cada tensão examinando cuidadosamente o esquema do sistema de força e momento. escrevemos -82 Nzrnrrr' = -13. Os valores absolutos das tensões nos pontos A. D e E. M. Área: A = 4820 mrnMódu!os de Resistência da Seção: Wx Os dados a seguir são obtidos do = 402 103 mm'' Wy X = 47.9 X 1O-4p 10-4 = -7. em virtude da carga centrada P e dos momentos M.OP) X 10-4 B.OP . = (120.OP) X (-2.8.3. = (T W:. A máxima tensão de compressão ocorre no ponto E. m)(0.268 Resistência dos Materiais *PROBLEMA ~~ y . Determine (a) a tensão no ponto A. I: (10-<3 m4) O ~~~+-~~~-4-------- tg 28m FZ EF = 2..8° .:. encontramos o ângulo que a linha neutra forma com o eixo v tg 1> Iv = I tg 11 8/11 = 6.810 = 3. O ângulo {3formado pela linha neutra e a horizontal é 1> = 81.63 X 10-6 m" 10-6 m" X Carregamento. O momento Mo aplicado é decomposto em componentes paralelos aos eixos principais .63 ° O 810 tg 40. ponto A são .87) Iy. notamos que M.4° + 74 sen 40. 25 X 10-6 m" -1-2-m-m--r I.18 X 10-6 m" 100mm ~ 1. m)(0.0 mm = -50 sen 40.68 MPa) .5 kN . m atuando em um plano vertical é aplicado a uma viga que tem uma seção transversal em forma de Z. mostrada na figura. (b) o ângulo que a linha neutra forma com o plano horizontal.2. Linha Neutra.4 . Desenhamos o círculo de Mohr e determinamos a orientação dos eixos principais de inércia e os momentos principais de inércia correspondentes.0239 m) MvuA = +--A .'5ix .63 +(28.•• b.10 Um momento de intensidade Mo = 1.87 MPa .72 . Mil = Mo sen M.4° = 972 N .0860 m) 6. Usando a Equação (4. = 4.(14. Tensão em A. produz uma tensão de compressão no mesmo ponto.72 + 2. I' 1 80 --~l.81 MPa) (TA = X 10-6 m" + 13.40 + 74 cos 40.465)2 + (2.87 X 10-6 m" SOLUÇÃO Eixos Principais.-- = + t.2S.4° = 1142 N'· m As distâncias perpendiculares de cada eixo principal até o cos 8/11 + ZA sen 8/11 sen 8/11 + ZA cos 8/11 = 50 cos 40.91 = 0.87? R + R = 3.87 O . Muv (TA (972 N . . m IyZ = 2.A = 74 mm Y uA vA = = YA -YA 8/11 8/11 = 1500 sen 40.810 X 10-6 m" - (1142 N . lu 0. Os momentos e o produto de inércia da seção em relação aos eixos Y e z foram calculados e são os seguintes: Iy = 3 .465 = 20m R2 = (EF? + (FZ? 1 = Imín = OU = Imédio - I. m = 1500 cos 40. produz uma tensão de tração no ponto A enquanto M. 2.4° = 23. = Mo cos a. Y(3.91 = 6.4° = 86.9 mm Considerando separamente a flexão em torno de cada eixo principal de inércia.57). = Imáx = OV = Imédio 11 = (0. Mo = mm ·11 I A 12mml RESOVIDO 4. 'H 40 mm ~__ C t Fig./~ ~_-. Determine a tensão no (a) ponto A.131 O momento M é aplicado a uma viga com a seção transversal mostrada na figura em um plano formando um ângulo f3 com a vertical.127 250mm . Determine a tensão no (a) ponto A.. Determine (a) o ângulo que a linha neutra forma com a horizontal.128 O momento M é aplicado a uma viga com a seção transversal mostrada na figura em um plano formando um ângulo f3 com a vertical. y z----I--""!!''II f 60mm t :j. (c) ponto D.129 y D _.12mm 11 -1------. P4.129 e 4. (c) ponto D.130 r = 20mm Fig.126 até 4. M = 16 k~· Fig. (b) a tensão de tração máxima na viga. -+- 7. P4. (b) ponto B. P4.J Fig. P4.131 A 4. P4.126 .128 4. (b) ponto B.132 O momento M atua em um plano vertical e é aplicado a uma viga orientada conforme mostra a figura. ---f------'''W 100mm---ll ~---~---r--4D 120111111-1 Fig. P4. y y B ·111 C z--+----i M= ss k" r---200 Fig.132 III .6 mm r j mm--l L 12mm D Fig.Capo 4 Flexão Pura 269 PROBLEMAS 4. P4. i kx B m . P4.--~ _:L_tU" ~ t ~ I C 1\1= 6 '''. v 19mT- 1-27mm z-.. conforme mostra a figura. conforme mostra a figura.133 Fig.~ M = 2. P4.8kl\'.135 até 4. P4. P4.57 mm ~E 60mm 1y' = 281 X 103 mrn" 10' = 176.137 Fig.9 X 103 mm" Fig. Determine (a) o ângulo que a linha neutra forma com a horizontal..138 e *4.134 4.139 O momento M atua em um plano vertical e é aplicado a uma viga orientada.139 X 106 mm'' 111m .2 kl\ . P4.8k' - l l 150 mm 19 m'" z--~~ Il -I M = 1. (b) a tensão de tração máxima na viga.138 t A I Fig. P4.614 X 106 mm" 1y = 362 X 104111m4 10 = 1020 X 104 mm4 1yo = +0. P4. Il50 x 18.134 O momento M atua em um plano vertical e é aplicado a uma viga orientada. D Fig.6 U200 x 17.894 X 106 mm" 10 = 0. 111 60 111m I· J I~m C 18.270 Resistência dos Materiais 4.136 60mm Fig.137 O momento M atua em um plano vertical e é aplicado a uma viga orientada. v' A f 60mm D __ .1 A M = l.•. 1c--+ 60mm z-~~ M = 14 kN . Determine a tensão no ponto A..135 *4. r/ C>: EU ~ m 85mm 150mm J --------. Determine (a) o ângulo que a linha neutra forma com a horizontal.. 111 ~ 10 mm 100 111m--JA y 40mm -LlOmm C 4~m 70 mm--l ~ 1y = 1. (b) a tensão de tração máxima na viga.133 e 4.800 1yz = +345 X 104 mm" Fig. conforme mostra a figura.. 141 No Problema 4. 4.144 Uma força horizontal P de intensidade 100 kN é aplicada à viga mostrada na figura. A 660 x 2200 x 11001\ Fig. Fig.144 Flexão Pura 271 . determine (a) a tensão nos pontos A e B.140 Uma placa rígida circular com raio de 125 mm está presa a um poste retangular cheio de 150 X 200 mm. com o centro da placa alinhado com o centro do poste. C e D.:. P4.140.142 4. P4.140 e 4. (b) o ponto onde a linha neutra intercepta a linha ABD. :t D A -'.Capo 4 4.142 considerando que a intensidade da força aplicada em G cresce de 1100 N a 1800 N. IP=4k:\ y R = 125 mm . __ . P4. (b) os valores correspondentes da tensão em A. determine (a) a tensão no ponto A.142 Para o carregamento mostrado. E e C ~ ~~] . Determine a maior distância para a qual a tensão de tração máxima na viga não ultrapasse 75 MPa.143 Resolva o Problema 4. B~ 200mm 150m <:« Fig. (b) a tensão no ponto B. B. Se uma força P de 4 kN é aplicada a E com e = 30°. 4. (c) o ponto onde a linha neutra intercepta a linha ABD. determine (a) o valor de para o qual a tensão em D atinge seu valor máximo. 7° ~ e 64. Determine o maior valor adrnissível do momento Mo se a tensão máxima na viga não deve ultrapassar 82 MPa.145 Uma força axial P de intensidade de 50 kN é aplicada.23 X 10-6 mrn"..28 X 10-6 mrn".146 A seção em forma de Z mostrada na figura está submetida a um momento Mo atuando em um plano vertical. Dados: Imáx = 2. 4. kmin = 25 mm.146 4.148 .146 assumindo que o momento Mo atue em um plano horizontal.145 4.- t 40mm + lOmm 40mm + :0 rnm Fig. a uma seção de uma viga curta de aço laminado W150 X 24. Use as relações Imín = Ak~lÍn e Imin + Imáx = Iy + Iz.-~~ NMO JC1 l_C 10 mm---- F==o" 70 mm~11. Determine o maior valor admissível do momento Mo se a tensão máxima não deve ultrapassar 80 MPa. (Sugestão: Em razão da simetria. A = 2736 mrn-. eixos principais 25. Imin = 0.147 Resolva o Problema 4. os eixos principais formam um ângulo de 45° com os eixos coordenados. P4. P4. P4.. Determine a maior distância a para a qual a máxima tensão de compressão não ultrapasse 90 MPa. . conforme mostra a figura. Fig.148 Uma viga com a seção transversal mostrada na figura está submetida a um momento Mo que atua em um plano vertical.) Fig. Dados: Iy = Iz = 550 X 104 mm". .272 Resistência dos Materiais 4.3° d. 149 Resolva o Problema 4.8 cuja alma forma um ângulo e com a vertical. 4.151 4. o momento fletor. 1f 20mm TI b = 60 mm ~ 20mm b = 60mm Fig. e IyZ são os momentos e produto de inércia da seção transversal em relação aos eixos coordenados. P4.-: Capo 4 4. de coordenadas y e z. 4.151 um momento do momento i.150 Um momento Mo atuando em um plano vertical é aplicado a uma viga de aço laminado W310 X 23. Determine o maior valor admissível Mo para que a tensão máxima não ultrapasse 100 MPa. e Mz.153 4. determine o ângulo de inclinação e da viga para o qual a tensão máxima é 2(T o. P4. e My. Mostre que a tensão no ponto A. I. é onde Iy. I. P4.148 considerando que o momento Mo age em um plano horizontal.rz. Fig. o momento fletor.152 e P4. Chamando de (To a tensão máxima na viga quando e = O. Mostre que a tensão no ponto A.153 Uma viga de seção transversal assimétrica está submetida a um momento Mo atuando no plano horizontal . 1f Fig. de coordenadas yezé onde Iy.152 Uma viga de seção transversal assimétrica é submetida a um momento Mo atuando no plano vertical xy. = b4/36 e Uma viga com a seção transversal mostrada na figura é submetida a Mo atuando em um plano vertical.150 Flexão Pura 273 . Dados: Iy = IyZ = b4/72. e IyZ são os momentos e produto de inércia da seção transversal em relação aos eixos coordenados. 15.155b.4. a equação da linha neutra BD é G~)x + (~)z = -1 onde k. e k. pode ser obtida uma boa aproximação para a distribuição de tensões supondo que a barra seja reta e usando as fórmulas deduzidas nas Seções 4. para não ocorrer tensão de tração no elemento. (b) Mostre ainda que. que foi primeiramente introduzido pelo engenheiro alemão E. é conhecida como núcleo central da seção transversal. Se a curvatura inicial da barra for pequena. t No entanto.154 (a) Mostre que. Nesta seção vamos considerar as tensões provocadas pela aplicação de momentos fletores iguais e opostos a barras que inicialmente foram curvadas. 4. Nossa discussão será limitada a barras curvas de seção transversal uniforme possuindo um plano de simetria no qual são aplicados os momentos fletores. y ~f\7J' A " __ " I I~ / \ / II ~_v / \f / 1 ]~I~I\ 6<1 / 1\ . se uma força vertical Q é aplicada a qualquer ponto localizado na linha BD. respectivamente. quando o raio de curvatura e as dimensões da seção transversal da barra são da mesma ordem de grandeza. se uma força vertical P é aplicada ao ponto A da seção mostrada. se seu raio de curvatura é grande comparado com a altura de sua seção transversal. devemos usar um método de análise diferente.3 e 4. P4.185. 4. a força P deve ser aplicada a um ponto localizado dentro da área delimitada pela linha encontrada na parte (a) e três linhas similares correspondendo à condição de tensão zero em B. P4.154 x z -+-=1 b/6 h/6 (b) Mostre ainda que. Fig. FLEXÃO DE BARRAS CURVAS Nossa análise de tensões provocadas por flexão esteve restrita até agora a barras retas. a tensão no ponto A será zero. isto é. respectivamente. Essa área. .155a será zero se a força vertical P for aplicada a um ponto localizado na linha. C e D. /1/(/'1\ \ B ~c \J (a) (b) ú fi Fig. representam os raios de giração da seção transversal em relação ao eixo z e ao eixo x.155 *4. [Veja o Problema 4. e assumiremos que todas as tensões permanecem abaixo do limite de proporcionalidade. mostrada na Fig.274 Resistência dos Materiais y 4. Winkler (1835-1888). P4.155 (a) Mostre que a tensão no vértice A do elemento prismático mostrado na Fig. Documents Similar To Resistência Dos Materiais - Beer Flexão AssimétricaSkip carouselcarousel previouscarousel next5ª Lista de Exercicios - Treliças Métodos Dos Nós e Método de Ritter 2P-2013Exercícios Resolvidos - Flexão PuraMecânica Dos Fluidos - 6ª EdDinâmica 12 - Fundamentos de Fisica - Gravitacao, Ondas e Termodinamica - 8edTabela de LaplaceRobôs ManipuladoresExercicio Resolvido de Resistencia Dos Materiais - HibbelerSoluções - Mecânica Vetorial para Engenheiros - Beer - 3ª Edição (1)Renato Miranda - Resistência dos MateriaisResolução Da Lista de Exercícios 1- Complementos de RM-7tubosResistencia Dos MateriaisTabela3_conversao_medidasExercícios resolvidos de equação da linha elásticaApostila de Exercicios Do RoberaldoTabela de Laplace CompletaTabela Conversao Pol_mmFlexãoTabela de diametro de tubulacao ASME.xlsConversao2014_2_Eng_Producao_8_Engenharia_de_Qualidade_e_Normalizacao.pdfConversão UnidadesDesenho Tecnico Construção CivilExercícios ResolvidosExercicios Resolvidos36697481-Resumao-Resistencia-dos-MateriaisAtps de Elementos de Maquinas (2)FlexaoConversão de medidasMore From Priscila GaionSkip carouselcarousel previouscarousel nextARTIGO-IBRACON-59CBC0523-VIADUTO-GUARARAPES-REVISADO.pdfArtigo Midia e DesastresColetanea_Fissuracao_Eduardo_Thomaz.pdfInterchange - Third Edition - Studen't Book 1Aula Pós FACENS (2)Dissert Marcos Gomes Acidente Ponte 20170911173327apresentação 5 GuararapesQuestões Sobre Madeiraaula pós FACENS (2).pptxAP-03 Superestruturas Em 2 Vigas Ttmáx r2Ex2 Drenagem Gabdrenagem_urbana.pdfDrenagem UrbanaExercício de DrenagemCisalhamento SimplesPIER Questionário Flexo-TorçãoFooter MenuBack To TopAboutAbout ScribdPressOur blogJoin our team!Contact UsJoin todayInvite FriendsGiftsLegalTermsPrivacyCopyrightSupportHelp / FAQAccessibilityPurchase helpAdChoicesPublishersSocial MediaCopyright © 2018 Scribd Inc. .Browse Books.Site Directory.Site Language: English中文EspañolالعربيةPortuguês日本語DeutschFrançaisTurkceРусский языкTiếng việtJęzyk polskiBahasa indonesiaYou're Reading a Free PreviewDownloadClose DialogAre you sure?This action might not be possible to undo. Are you sure you want to continue?CANCELOK