Fig 67Vigas Hiperestáticas Fig 68 METODOS DE SOLUCION PARA EL TRAZADO DE DIAGRAMAS Existen fundamentalmente 2 métodos para trazar los diagramas de cortes y momentos en una viga: a) Método de las secciones b) Método de la relación de carga-corte-momento a) Método de las secciones Este método se basa en realizar secciones en la viga cada vez que hay un cambio en la ubicación de las cargas sobre la viga. Para el analisis de la sección asumida se identifica todas las cargas exteriores a la derecha o izquierda de la sección asumida en el grafico siguiente se muestra la forma de solución para una sección cualquiera. Fig 69 N= Carga axial V= Corte M= Momento flector ∑ N=0 (no se considera carga axial) ∑ ( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) En los casos de los signos a utilizar en el caso de las fuerzas (+) (-) Para el caso de momentos flectores el criterio mas extendido es que el momento flexionante es positivo si la flexion que produce en la viga presenta concavidad hacia arriba, un criterio equivalente es que las fuerzas que actúan hacia arriba respecto a cualquier sección producen momentos flexionantes negativos adicionalmente indicaremos que los momentos serán positivos o negativos de acuerdo a los sentidos horario o antihorario. Fig 70 b) Metodo relación carga-corte-momento Este método resulta mas sencillo y se basa en la siguiente ecuación. ∫ ∫ W: Carga V: Corte Este método si bien mas practico y de rápida solución presenta algunas dificultades cuando las cargas son uniformemente variables por lo que para la aplicación de este método se dan algunas recomendaciones practicas que se indican a continuación: 1.- La variación de cortes y momentos de acuerdo al tipo de cargas se muestran en el cuadro siguiente: CARGA CORTE MOMENTO Parabola 2° Parabola 2° Parabola 3° 2) Tanto como en el método de secciones y el método de carga-corte-momento el punto de máximo momento será donde el corte es igual a cero en el caso de secciones en la Ecuación de corte se iguala la distancia X para la cual el corte es cero y con esa distancia se calcula el valor máximo de la Ecuacion de Momentos. En el caso relación carga-corte-momento se busca el punto donde el diagrama de corte es cero y el área de esa sección nos dara el máximo momento como se muestra en el grafico siguiente. Fig 71 3) En el caso de que se tenga que trabajar con parábolas y como no es factible hallar puntos intermedios los diagramas deben ser continuos y si no hay apoyos intermedios a la carga las parábolas serán como se muestra a continuación: Fig 72 4) En el caso de tramos completos y que las parábolas sean perfectamente cóncavas o convexas las a considerar son las siguientes: Fig 73 5) Salvo de que exista un momento inicial en el apoyo, para cualquier tipo de cargas el diagrama de momentos empieza siempre en cero. 6) Si existiese un momento actuante a lo largo de la viga, el valor del momento, no influye para nada en el diagrama de cortes y aparece como una línea recta vertical en el diagrama de momentos tal como se muestra a continuación: Fig 74 7) para comprobar que los diagramas han sido ejecutados correctamente hay que tener en cuenta que tanto el diagrama de corte como el diagrama de momentos deben cerrar al final el valor cero. 8) Finalmente indicaremos que el método de secciones es algo mas engorroso pero seguro. El método relación Carga-Corte-Momento es mas rápido pero resulta mas intuitivo, en todo caso el alumno puede utilizar cualquiera de los métodos o incluso combinar ambos de acuerdo a lo que resulte mas comodo. Problema: Trazar los diagramas de cortes y momentos para la viga isostática de la figura. Utilice la solución tanto el método de secciones como el de relación CargaCorte-Momento. Fig 75 ∑ ( ) ( ) ( ) ( )( ) Sección 1: Fig 76 ∑ ∑ ( ) Sección 2: Fig 77 ∑ ( ) ∑ ( ( ) ) Sección 3: Fig 78 ∑ ∑ ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) Sección 4: Fig 79 ∑ Sección 5: Fig 80 ∑ ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) Fig 81 METODO RELACION CARGA-CORTE-MOMENTO Fig 82 Y Fig 83 Problema: Hallar los diagramas de corte y momentos para la viga isostática de la fig. utilice el método relación Carga-Corte-Momento. Fig 84 ( ) ∑ ( Fig 85 ) ( )( ) ( ) ) . Se pide hallar las cargas actuantes. Fig 90 y Fig 91 Problema: Para la viga isostática de la figura se pide hallar el diagrama de cortes y momentos. Fig 87 ∑ ( )( ) ( ) Fig 88 Fig 89 Problema: Para el diagrama de cortes que se muestra en la fig. .Fig 86 Problema: Calcular los diagramas de corte y momentos para la viga isostática de la fig. Fig 94 y Fig 95 Se tiene que: CARGAS MOVILES En el caso de cargas de tipo móvil como es el caso de puentes donde los vehículos transitan sobre las vigas y loza de sostenimiento no es conveniente trazar los diagramas como se ha venido haciendo. sino que conviene mover el tren de cargas .Fig 92 Fig 93 ∑ ( ) ∑ : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Para el diagrama de cortes que se muestra en la figura haga el esquema de cargas. sobre la estructura del puente y calcular los momentos y cortes máximos que se producen. La expresión anterior significa lo siguiente: “El momento flexionante bajo una determinada carga es máximo cuando el punto medio entre la referida carga y la resultante de todas las cargas coincide con el punto medio de la luz del claro”. En cuanto el valor máximo ocurrió siempre en el apoyo de soporte la carga más pesada. Para calcular estos valores utilizaremos el método del tren de cargas que detallamos a continuación. Para demostrar en qué posición se produce el momento máximo utilizaremos un tren de cargas cualquiera como se muestra en la figura. Fig 96 ∑ : ( ) ( ) : ( ) [ ( ( ) )] ( ) ( ( ( ) ) ) posición donde el momento es máximo. se logra los máximos momentos y máximo corte y luego determinar los valores correspondientes. . Este proceso que se hizo para el eje2 debe hacerse para todos los ejes del tren de cargas y al final de la toma el de mayor valor absoluto. Metodo de Tren de Cargas: Este método consiste en determinar para que la posición del tren de cargas. Fig. 98 ∑ : ( ) ( ) ( ) ( ) Para B: Fig.97 ∑ : Para A: Fig. 100 ∑ : ( ) ( ( ) ) .Problema: Un camión con trailer o semirremolque con las cargas por el eje que se indica en la fig. 99 ∑ : ( ) Para C: Fig. atraviesa sobre un puente viga de 12 m de luz determine el máximo momento y máximo corte debido al tren de cargas. 101 ∑ : ( ) ( ) ( ) Corte máximo: Fig. Se pide calcular máximo momento y máximo corte. 104 ∑ : ( ) ( ( ) ) Para B: Fig. 105 ∑ : ( ) ( ) . 20 y 30 KN separadas respectivamente por distancias de 3 y 5. 103 ∑ : Para A: Fig. 102 ∑ : ( ) ( ) Problema: Un camión con remolque rueda sobre una vía de 12m tiene carga por el ejes de 10.Fig. Fig. Esfuerzos de flexión En el grafico siguiente se muestra una viga sometida a flexión por acción de cargas y además la deformación que sufre un elemento diferencia de viga para deducción de las formulas correspondientes: Fig. en primer término. 106 ∑ : ( ) ( ) Fig. 108 ∑ : ( ) ( ) Esfuerzos en vigas Introducción Los esfuerzos en vigas son de dos tipos. 107 ∑ : ( ) ( ) ( ) Corte máximo: Fig.( ) Para C: Fig. analizaremos los esfuerzos de flexión en términos para secciones simétricas y posteriormente en secciones asimétricas. esfuerzos por flexión y esfuerzos por corte que corresponden a los diagramas de momentos y de corte respectivamente. 109 . ( ) ( ) La fórmula anterior es válida pero está en función a parámetros como y que no son fáciles de hallar. . por lo que continuaremos desarrollando la formula en función a parámetros más prácticos. 110 ∑ : ∫ (2) ∫ ∫ : Distancia del eje neutro a la partícula en estudio. para la cual utilizamos el grafico siguiente: Fig. Fig. 115 ⁄ . Fig. del eje neutro al extremo S: Modulo de sección Finalmente en la tabla en la tabla siguiente se muestra los valores del módulo de sección S para las secciones más comunes. Si el esfuerzo de flexión admisible es de 9 MPa para que valor máximo de se anula la fuerza cortante bajo P y cuánto vale P. 114 Fig. determine el máximo esfuerzo de flexión que se produce. 111 Problemas: Una viga de sección rectangular de 150x250 mm soporta las cargas que se indica en la figura.C: máximo. Fig. 113 2. 112 Fig.Una de madera de y 8 de longitud soporta las cargas indicadas en la figura.. Si el esfuerzo flexionante está restringido a 20 MPa. 119 ( ) . 118 ∑ : ( ) Fig..-Una barra de 40 mm de diámetro se emplea como viga simplemente apoyada sobre un claro de 2 m.Determinar el espesor mínimo b de la viga de figura de manera que el máximo esfuerzo normal no exceda de 10 MPa. 116 75 mm 4. determine la máxima carga uniformemente distribuida que puede aplicarse a lo largo de la mitad derecha de la viga es el esfuerzo debido a la derecha de la viga si el esfuerzo debido a la flexión está limitada a un valor de 60MPa. Cuál es la longitud máxima de la barra. Fig. 117 ( ) 5.-Una barra rectangular simplemente apoyada de 50 mm de ancho por 100 mm de espesor soporta una carga de uniformemente distribuida sobre toda su longitud. Fig.3. Fig. Fig. Problema: calcular los esfuerzos máximos en tensión y comprensión para la viga de la figura. . Determinar el ancho b de la sección de t invertida de tal manera que se alcance simultáneamente los esfuerzos admisibles de 30 y 90MPa respectivamente.( ) ( ) Secciones asimétricas En este caso el eje neutro no está a centro de la sección y por tanto debe calcularse previamente su posición a través de centroides y luego la inercia total del sistema aplicando el teorema de Steiner. 121 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Problema: Una viga de fundición simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida. 120 Fig. Debe indicarse además que en este caso debe calcularse esfuerzos máximos en compresión y en tracción que en el caso de momentos positivos compresiones arriba tracciones abajo en el caso de momentos negativos compresiones abajo tracciones arriba. Determine la carga máxima que puede soportar. 122 Fig. 124 Fig. 125 ( ) ( ) ( ) ( ): . Es de fundición y los esfuerzos admisibles son de 40MPa a tensión y 100MPa a compresión.Fig. 123 Momentos en 1: ( ) ( ) ( ) Problema: La viga con voladizos de la fig. Si la sección es la indicada en la fig. Fig. Con estos datos determine el valor máximo de P de manera que los esfuerzos sean: . 127 ( ) ( ) ( ) d2 3600 3600 400 A* d2 2160000 2160000 1440000 5760000 . 126 Fig. comprobar que la línea o eje neutro está a 70 mm de la parte inferior de la sección y que .Problema: Una viga de sección en T soporta las 3 fuerzas concentradas que se indican en la fig. I II III ∑ A y 600 600 3600 4800 A*y 6000 6000 324000 336000 10 10 90 ∑ ∑ figura I II III ∑ Io 20000 20000 9720000 9760000 A 600 600 3600 d 60 60 20 Fig. Fig. 131 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ En la expresión anterior la integral ∫ representa la suma de los momentos con respecto al eje neutro de las áreas diferenciales de A y lo representamos con la letra Q.Fig. 130 ∫ ∫ Fig. 128 Esfuerzos de Corte Para calcular los esfuerzos de corte mostramos el grafico siguiente: un elemento diferencial con dos secciones adyacentes 1 y 2 donde los esfuerzos normales son diferentes si asumimos H2>H1 se forma la condición siguiente: Fig. 129 *∑ + Fig. . En una sección rectangular el esfuerzo cortante máximo será: Fig. 136 . el cortante varía para cada sección desde un valor . en los extremos hasta un En el E.N. Fig. 135 Fig. 132 ( ) ( ( ) ) Finalmente hay que indicar que si bien lo más importante es calcular el cortante máximo. 134 Problema: Una viga simplemente apoyada de 120mm de ancho x 180mmm de peralte y 6m de longitud soportara una carga uniformemente distribuida de 4KN-m: a) Determine los esfuerzos cortantes en planos sucesivos trazados cada 30mm desde la parte superior de la viga una sección que dista 1m del apoyo izquierdo. 133 Un caso especial es cuando hay cambios de sección como en el ejemplo siguiente produciéndose un diagrama aproximado como se muestra a continuación: Fig. siendo la variación de esfuerzos parabólica tal como se muestra en el grafico siguiente: Fig. b) Calcule el máximo esfuerzo cortante. En una sección donde la fuerza constante es V=70KN. Fig. 137 * a) + [ ] b) ( ) ( ) Problema: demostrar que el esfuerzo cortante en el eje neutro de una sección circular. 138 .a) ( ) ( ) ( ) b) ( ) Problema: Una viga tiene una sección I como muestra en la fig. Calcular: a) El máximo esfuerzo cortante b) El esfuerzo cortante en la unión del alma y los patines c) Dibujar el diagrama de esfuerzos Fig. Corresponde a una viga formada al ensamblar 2 piezas rectangulares de madera. Fig.( )( ( ) ) ( ) Problema: Una viga simplemente apoyada de 4m de luz tiene la sección indicado en la fig. La viga está sometida a una fuerza cortante máxima v=60KN. 140 1) 2) ( ) ( ) Problema: La sección mostrando en la fig. Demuestre que el eje neutro está localizado a 34 mm abajo del borde superior y que usando estos valores determine: . Determine la máxima carga de la viga si el esfuerzo cortante está limitado de 1.2 MPa. 139 Fig. en vigas de madera el mayor problema es generalmente la flexión y en vigas de concreto armado dependiendo de las cargas cualquiera de las solicitaciones. Es de destacar que en líneas generales en vigas cortas y fuertemente cargadas el esfuerzo predominante es el cortante. . en cambio en vigas de gran longitud el esfuerzo predominante es el de flexión finalmente hay que indicar que de acuerdo al tipo de material. sin embargo en la práctica ambos solicitaciones actúan conjuntamente por lo que en esta parte final analizaremos flexión y corte simultáneamente para determinar cuál de estas solicitaciones es la más crítica para la viga en estudio. 1 2 ∑ A 8000 2000 10000 y 20 90 A*y 160000 180000 340000 ∑ ∑ figura I II ∑ Io A 1066666. 141 Fig.a) Esfuerzo cortante en el EN b) En la unión entre las dos piezas Fig.7 56 2733333.7 14 1666666.4 d2 8000 2000 d 196 3136 A* d2 1568000 6272000 7840000 a) ( ) b) ( ( ) ) Diseño por flexión cortante En los acápites anteriores se analizó los esfuerzos de flexión y corte en una viga. 2MPa. 144 1) 2) 3) ( ) ( ) . Fig. Determine la longitud crítica para la cual el esfuerzo repartida cortante y el normal alcanzan simultáneamente sus valores admisibles. 142 ⁄ Fig. Calcular el valor máximo de P si el esfuerzo de flexión es 8 MPa y el esfuerzo cortante es 1. Fig. 143 Problema: Una viga en unión soporta las cargas de fig.Problema: Una viga de sección rectangular soporta una carga uniformemente ⁄ sobre un claro L. 145 ( ) ( ) Problema: Una viga simplemente apoyada de L de longitud soporta una carga uniformemente distribuida de 16KN-m a todo su largo y tiene la sección mostrada en la fig. I II ∑ y 10 100 Io A 93333. 146 Fig. Fig.67 42 6919999. 147 ∑ ∑ d 2304 1764 A*y 28000 320000 348000 d2 2800 3200 A* d2 6451200 5644800 12096000 . En estas condiciones cuánto vale el máximo esfuerzo cortante. I II ∑ A 2800 3200 6000 Fig. Calcule el valor de L que ocasione un máximo esfuerzo pro flexión de 40MPa.97 Fig.3 48 6826666.( ) Fig. 148 Fig. 150 ( ) ( ) ( Deformaciones en vigas Introducción: ) .( ) ( ) La viga de patín ancho de la fig. 149 ∑ : Fig. sostiene una carga concentrada w y una uniformemente distribuida de valor total 2w. Determine el valor máximo de w si esfuerzo en flexión Fig. En la práctica no se puede evitar totalmente las deflexiones. Fig. 135 . En el presente curso utilizaremos 2 métodos para el cálculo de deformaciones en vigas. 134 Por otro lado: ∫ ∫ (∫ ) En el ejemplo siguiente se muestra como la ecuación inicial de momentos. especialmente en vigas de gran longitud como en el caso de puentes o edificaciones con luces considerables el problema de flexiones resulta más crítico que por resistencia a flexión o corte. Método de la doble integral Fig. el método de la doble integral que resulta más analítica y el método de área de momentos que resulta más práctico y sencillo cuando se quiere calcular las deformaciones en puntos específicos.El cálculo de deformaciones en vigas resulta sumamente importante ya que en muchos casos. Esta comprobando que ante solicitaciones sísmicas las deformaciones resultan críticas y pueden ser causa de colapso antes que la acción de las cargas. sin embargo conviene conocer la magnitud de las mismas y que estas sean menores que los permisibles. [ ( ( [ )] ) ( ) ] En este método debe cuidarse la continuidad de las cargas. 137 ( ) Problema: Una carga concentrada de 300N está apoyado como se indica en la fig. 138 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) . si se descontinua un valor la ecuación no reconoce este cambio cuyo caso se sigue l artificio que a continuación se muestra: Fig. Determine la ecuación de la elástica y la máxima deflexión de la viga sabiendo que E=10GPa. Fig. 136 Fig. 139 ( ) ( ) ( ) Para ( ) ( ) ( ) Para ( ) ( ) .Permisible: Problema: Hallar el valor E.I y en el punto medio de apoyos y en el extremo volado de la fig. Fig. 140 ( ) ( ) Maxima deflexión: ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) ) Finalmente: Donde: Problema: calcular el valor EIy en le extremo derecho de la viga como indica la figura. Fig.Problema: Una viga simplemente apoyada soporta una carga triangular como se indica en la fig. Determine la ecuación de la Elástica y el valor de la deflexión máxima. . 141 ( ∑ ( )( ) )( ( ) )( ) ( ) ( ( ) )( ) En el extremo derecho de la viga: ( )( ) ( )( ) ( )( ) Deteminar el valor de EIy en le centro de la viga de la figura. Fig.Fig. 142 ( ) . Nota: Problema de Examen de l curso Concreto Armado I Fig. 143 y 144 ( ) ( ) Ecuacion de momentos: ( ) ( ) . caso contrario haga las correcciones del caso.( ) ( ) ( ) ( ) Ecuación de la elástica ( ) En el caso de vigas hiperestáticas se utiliza la misma metodología de solución. se pide calcular: a) La deflexión inmediata al centro de luz b) La deflexión diferida c) Verifique si la deflexión hallada es permisible o no. solo que buscando mas condiciones de borde se calcula previamente las reacciones y momentos superabundantes también con el método de la doble integral tal como se muestra en los ejemplos siguientes: Problema: Para la viga hiperestática de la figura con una carga concentrada de 5000 kgf. Para: Para hallar y : ( ) ∑ ( ) ( ) a) Deflexion al centro ( ) Deflexion maxima ( ) ( ) . . 145 1er EXAMEN PARCIAL 1.} Fig.Para la armadura de la figura hallar el área de las barras BC. BG y HG para los datos que a continuación se indican: Fig. calcular los momentos de empotramiento y la deflexión m. 146 Solución: Calculo de reacciones: ∑ ∑ ( ) ( ) ( ) .( ) ( ) Problema: En la viga doblemente empotrada de la figura. .Fig. 147 ( ) ∑ ( ) ( ( ) ∑ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( √ √ ) √ ( ( ) ∑ ( ) ( ) )( ) ( ( ) ( )( ) ) Hallamos las secciones: Para GH: Para BG: Para BC: 2. b) Con el valor de la carga P del paso anterior calcule la deformación total del sistema.5 cm2 .} Bronce Aluminio A=5 cm2 A=7 cm2 Acero A=3.Un tubo de aluminio esta firmemente unido a una varilla de acero y otra de bronce como se muestra en la figura se pide calcular: a) El valor máximo de la carga P de tal manera que no se sobrepase los siguientes esfuerzos 1250 kgf/cm2 en el bronce. Para el sistema en equilibrio de la figura determine las componentes vertical y horizontal del desplazamiento del punto B. E=2.. 149 ∑ √ √ ∑ .1*106 kg/cm6 Desprecie cualquier pandeo.1*106 kgf/cm2 E=2*106 kgf/cm2 Fig.E=1. 148 Solución Bronce: ( ) ( Aluminio: Acero: ( ) ) Hallando deformaciones: Bronce: ( ) Aluminio: ( ) Acero: ( ) 3. AAB = 15 cm2 ABC = 17 cm2 Fig.6*106 kgf/cm2 E=1. √ ( √ ) √ √ ( ) Deformaciones: Para AB: Para BC: Fig. .. 150 ( ) √ ( ) ( √ ) ( ) 4.En la armadura de la figura calcule el área de la barra BD para el esfuerzo admisible. considere el diagrama Esfuerzo-deformación de la figura. 153 D. soporta una carga de 200 kgf. 151 Diagrama Esfuerzo .Deformación Fig.L nudo A: ∑ Fig. 152 Solución: ( ∑ ) ( ) ( ) D.L nudo C: ∑ Fig.Un alambre de acero de 10 m de longitud que cuelga verticalmente. 154 ∑ ( ) ( ( )( ) ) 2do EXAMEN PARCIAL 1. Determine el diámetro necesario despreciando el peso del alambre para que cumpla con dos condiciones: 1ra: Que el esfuerzo de tensión no exeda 1400 kgf-cm2 .C.Fig..C. 155 ( ) ( ) ( ) .2do: Que el desplazamiento debe ser inferior a 5 mm.Para el sistema de la figura calcule los esfuerzos en cada elemento debido a las curvas exteriores. Considere E= 83 GPa. Considere E= 2*10 6 kgf/m2.. Fig. Solución: Datos L=10 m P=200 kgf kgf kgf/cm2 d=? √ ( ) √ 2. G= 8*105 kdf/cm2.Si: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Hallando los esfuerzos: 3..Calcular los diámetros minimos necesarios para el árbol de la figura para que cumpla que el esfuerzo cortante no exeda de 500 kgf/cm2 y el angulo de giro no exeda de 2°. 156 Solucion ( ) ( ( ) ) . Fig. Una placa rigida se apoya en le resorte central del sistema de la figura que es 30mm mas largo que los dos resortes laterales simétricamente colocados. Resorte central Resortes laterales n=24 n=18 d=20 mm d=10 mm D=150 mm D=100 mm R=75 mm R=50 mm G=83 GPa Fig. el resorte central tiene 24 espiras de alambre de 20mm y diámetro medio de 150mm si se aplica una carga P= 5kN sobre la placa.( ( ) ( ( ) ) ( ) ) 4.cada uno de los laterales tiene 18 espiras de alambre de 10mm sobre un diámetro medio de 100mm.. 157 Entonces: . Determinar el esfuerzo cortante máximo en cada resorte aplique la formula general y considere G= 83 GPa. 12 y 16 kN..Sobre un puente viga de 15 m de luz para un tren de cargas de 8. 158 ( ) ( Para A: Fig. 159 ∑ ( ) ( ) ) . separados 4 y 6 m respectivamente se pide calcular: a) El momento máximo b) El cortante máximo Fig.( ) ( ( ( ) ) ( ) ) Fig. 157 3er EXAMEN PARCIAL 1. 163 ∑ 2. 161 ( ∑ ) Fig.4 28239437. 164 figura I II III ∑ A 2400 3000 1600 7000 y A*Y 24000 285000 288000 597000 10 95 120 Io d 80000 75.3 d2 5667.72 53333.72 5758333.28 5685000 9.08 94.4 ∑ ∑ ( ) .88 A* d2 13600992 283440 14355005. 160 ( ∑ ) ( ) ( ) ∑ Para C: Fig.48 8971.En un viga se sabe que el corte del punto dado es V= 8 kN y tiene la sección asimétrica de la figura se pide calcular: a) El esfuerzo cortante máximo b) El esfuerzo cortante en las uniones c) Grafique el diagrama de corte Fig. 162 ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ Corte máximo: Fig.33 94.∑ Para A: Fig.. 84 130640 2448720 6028544 .74 130. Fig..3 11.57 486666. 167 ( ) ( ) ( ) d2 2155.Calcular el valor máximo de la carga w de tal manera que no se exeda los esfuerzos.64 816.3 46. 166 ( ) ∑ figura I II III ∑ A 1600 1000 3000 5600 y 10 45 85 A*Y 16000 45000 255000 316000 ( ) ( ) Io d 53333. 165 3.6 ∑ ∑ Fig.43 208333.24 A* d2 3449.( ) ( ) ( ) ( ) Fig.43 225000 28. .Para la viga hiperestática de la figura. utilizando el método de la doble integral se pide calcular: a) La deflexión al centro de la viga b) La deflexión máxima Fig.( ) 4. 168 ( ) ( ) ( ) ( ) Para: Para: ( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) . ( ) Ecuación de la elástica .