Resistencia de Materiales

ED A I C N RESISTE S E L A I R E T A M A N E R R A B L A D ING. VICTOR VI K C A J A L L I V Z ALUM NO: LÓP E 2015 - I  FLEXIÓN DEBIDO A CARGA DE MOMENTOS  CASO GENERAL DE FLEXIÓN EN PLACAS PLANAS  FLEXIÓN CON CARTANTE   del momento  de  inercia de  la  sección  transversal  de  las  vigas.  • La hipótesis de TIMOSHENKO.  existen  dos  hipótesis  cinemáticas comunes para representar la flexión de vigas y arcos: • La hipótesis de NAVIER-EULER-BERNOUILLI.  entre  otras  cosas.FLEXIÓN DEBIDO A CARGA DE MOMENTOS • Las vigas o arcos son elementos estructurales pensados para trabajar  predominantemente  en  flexión.  .  geométricamente  son prismas  mecánicos cuya  rigidez  depende. Z) LAS COORDENADAS SOBRE LA  SECCIÓN TRANSVERSAL. PARA EL CASO DE ARCOS ESTE SISTEMA DE COORDENAS  ES CURVILÍNEO. Z) CON S LA DISTANCIA A LO LARGO DEL EJE DE LA VIGA E (Y.TEORÍA DE EULER-BERNOULLI • LA TEORÍA DE EULER-BERNOULLI PARA EL CÁLCULO DE VIGAS ES LA QUE SE DERIVA DE LA  HIPÓTESIS CINEMÁTICA DE EULER-BERNOUILLI. Y PUEDE EMPLEARSE PARA CALCULAR  TENSIONES Y DESPLAZAMIENTOS SOBRE UNA VIGA O ARCO DE LONGITUD DE EJE GRANDE  COMPARADA CON EL CANTO MÁXIMO O ALTURA DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL. Y. AUNQUE PARA VIGAS DE EJE RECTO PUEDE TOMARSE COMO CARTESIANO (Y  EN ESE CASO S SE NOMBRA COMO X). • PARA ESCRIBIR LAS FÓRMULAS DE LA TEORÍA DE EULER-BERNOUILLI CONVIENE TOMAR UN  SISTEMA DE COORDENADAS ADECUADO PARA DESCRIBIR LA GEOMETRÍA. y. PARA UNA VIGA DE SECCIÓN RECTA LA TENSIÓN EL CASO  DE FLEXIÓN COMPUESTA ESVIADA LA TENSIÓN VIENE DADA POR LA FÓRMULA DE NAVIER: yI y  zI xy N x(x) zI z  yI yz  (x. z)   M y(x)  M z( x) A I z I y  I yz2 I z I y  I yx2 . UNA VIGA ES DE  HECHO UN PRISMA MECÁNICO SOBRE EL QUE SE PUEDEN CONSIDERAR LAS COORDENADAS (S.  : es el momento de área mixto o producto de inercia según los ejes Z e Y. . : Son los momentos flectores según las direcciones Y y Z.  : es el esfuerzo axial a lo largo del eje. Iz I yz M y ( x).Donde: I y . M z ( x) N x ( x)  : son los segundos momentos de área (momentos de inercia) según los ejes Y y Z. que en general variarán según  la coordenada x.   Y  ENTONCES  SUCEDE  QUE  LAS  DEFORMACIONES  DEBIDAS  AL  ESFUERZO  CORTANTE  SON  DESPRECIABLES  FRENTE  A  LAS  DEFORMACIONES  OCASIONADAS  POR  EL  MOMENTO  FLECTOR.TEORÍA DE TIMOSHENKO • ESQUEMA  DE  DEFORMACIÓN  DE  UNA  VIGA  QUE  ILUSTRA  LA  DIFERENCIA  ENTRE  LA  TEORÍA  DE  TIMOSHENKO  Y      DE  EULER-BERNOUILLI:  EN  LA  PRIMERA      Y      NO  TIENEN  NECESARIAMENTE  QUE  COINCIDIR. • LA DIFERENCIA FUNDAMENTAL ENTRE LA TEORÍA DE EULER-BERNOUILLI Y LA TEORÍA DE TIMOSHENKO ES  QUE  EN  LA  PRIMERA  EL  GIRO  RELATIVO  DE  LA  SECCIÓN  SE  APROXIMA  MEDIANTE  LA  DERIVADA  DEL  DESPLAZAMIENTO VERTICAL. ESTO CONSTITUYE UNA APROXIMACIÓN VÁLIDA SÓLO PARA PIEZAS LARGAS  EN  RELACIÓN  A  LAS  DIMENSIONES  DE  LA  SECCIÓN  TRANSVERSAL. MIENTRAS QUE EN LA SEGUNDA SON IGUALES.  LA  ECUACIÓN  DE  LA  CURVA  ELÁSTICA  VIENE DADA POR EL SISTEMA DE ECUACIONES MÁS COMPLEJO:  V  w    z  y A  x     G  E   z  M z   x  Iz  . PROBLEMA: Donde  w = 3lb/plg  L = 10plg  Aplicando una sumatoria de momentos en B y A tenemos.     M M B 0 A 0 Rb(10)  3  5   10   0 Rb  15lb  Ra (10)  3  5   10   0 Ra  15lb Realizando los diagramas  Por tener una carga distribuida el esfuerzo cortante queda . Donde:  A 15 x5  37.5 2 .Realizando el diagrama de momentos tenemos que para el primer triangulo por  ser positivo hará una parábola siendo el resultado el área de dicho triangulo y  ese  será  su  momento  máximo  cuando  pasa  a  ser  negativa  la  curva  bajara  de  manera gradual. . 2.- Ahora seleccionamos el tipo de carga (se observa son 8 tipos de cargas que se le  pueden aplicar a la viga) que tendrá la viga así como las unidades que se utilizaran y  se le da click en enter.De  esta  forma  se  obtuvo  el  esfuerzo  cortante  y  el  momento  máximo  de  forma  analítica procedemos a realizarlo por medio de MDsolids. 1.  4.-seleccionamos el segmento de vigas en este caso determinate beans.- Seleccionamos la distancia que tendrá la viga y sus unidades.- seleccionamos el tipo de apoyo que se utilizara son uno fijo y otro con rodamiento 3. 5. .-  al  darle  enter  a  la  carga  el  programa  nos  arroja  inmediatamente  el  diagrama  de  momento  y  cortante  las  reacciones  que  tiene  la viga y diferentes tipos de unidades. . Estructuras para construcción Figura 2. en este caso. como se observa la viga que sostiene el asiento amarrado está influenciado por dos momentos de igual valor por la simetría de la estructura. se ven dos estructuras metálicas usadas para lo que es construcción civil. los momentos varían en magnitud de acuerdo a el peso que se le ejerza (Persona que se siente y haga movimientos en el columpio). la viga vertical sostiene a la horizontal. como los columpios. Una estructura completa puede actuar como una viga.APLICACIONES DE FLEXION DEBIDO A CARGA DE MOMENTOS Juegos Mecanicos Figura 1. que ejerce un momento hacia abajo por su determinado peso. En casos simples también se puede observar momentos de flexión en los juegos para los niños. estas actúan como vigas.  w  y 0  0  w    y   0 y 0 .  TAMBIÉN  SE  HARÁ  MENCIÓN  MÁS  ADELANTE  DE  MÉTODOS APROXIMADOS A TRAVÉS DE DIFERENCIAS FINITAS COMO SER EL MÉTODO DE  MARCUS.  DE  VINCULACIÓN DE LA PLACA AL MEDIO CIRCUNDANTE. PARA  CADA  UNO  DE  LOS  MÉTODOS  SE  HARÁ  EL  TRATAMIENTO  PARA  PLACAS  RECTANGULARES  CON  DISTINTAS  CONDICIONES  DE  CONTORNO.CASO GENERAL DE FLEXIÓN EN PLACAS PLANAS   LA  ECUACIÓN  DIFERENCIAL  GENERAL  PARA  LA  FLEXIÓN  DADA  ANTERIORMENTE  SE  RESOLVERÁ  UTILIZANDO    MÉTODOS  EXACTOS  COMO  EL  DE  SERIE  DE  FOURIER  Y  EL  MÉTODO  ALTERNATIVO  DE  LEVI.  ES  DECIR.    ENTONCES  SI  EL  EJE  X  COINCIDE CON EL BORDE EMPOTRADO TENDREMOS.  LAS CONDICIONES DE CONTORNO  SE PUEDEN CLASIFICAR DE LA SIGUIENTE FORMA: • BORDE EMPOTRADO:   LA DEFLEXIÓN A LA LARGO DEL BORDE EMPOTRADO ES CERO Y LA TANGENTE AL PLANO  DE  LA  SUPERFICIE  MEDIA  DEFLECTADA  ES  HORIZONTAL.   EL  MOMENTO  TORSOR  Y  LA  FUERZA  DE  CORTE A LO LARGO DE ESTE LADO ES NULA.  SI EL LADO LIBRE  COINCIDE  CON  LA  LÍNEA  RECTA  CORRESPONDIENTE  A  UN  X=AL  SE TIENE.  Qx  xa  0  M xy  xa  0  M x  x a  0 .  ENTONCES SI EL EJE X COINCIDE CON EL  BORDE SIMPLEMENTE APOYADA TENDREMOS.• BORDE SIMPLEMENTE APOYADO:   LA DEFLEXIÓN A LO LARGO DEL BORDE SIMPLEMENTE APOYADO  ES  CERO  Y  EL  MOMENTO  FLEXOR  PARALELO  A  ESTE  LADO  TAMBIÉN SERÁ NULO.      w  y 0  0   2 2    w   w My 0 2 y 0  x 2  y   y 0  • BORDE LIBRE:      EL  MOMENTO  FLEXOR.  es decir.Como  ha  sido  probado  por  Kirchhoff.  dos  condiciones  de  borde  son  solo  necesarias  para  encontrar  una  única  solución  al  problema  de  flexión.  Aunque  el  también demostró que  las dos últimas condiciones de  Mxy y Qx pueden ser reemplazadas por una sola.   3w 3w      2 0 2  x3  xy  xa  Y  finalmente  expresando  la  condición  de  Mx en  términos  de  w las  condiciones finales para un borde libre queda como.  3w 3   w    2  0 3 2  x  xy  xa   2w 2 w     0 2 2  x y  xa  . Indicación: El plano de carga coincide con el eje de Simetría de la sección.Ejemplo:   Una viga simplemente apoyada de luz 5. se encuentra solicitada por una carga uniformemente repartida de 2.0 ton/m.   . Se pide determinar las Máximas tensiones Normales que se desarrollan en la viga y el lugar donde ocurren.0 m. Si la sección de la viga es triangular de base 20 cm. y altura 30 cm.  El Plano de carga pasa por el Centroide y coincide con el Eje de Simetría de la Sección. iii.- Cálculo del Momento Máximo:     .  ii. El Eje “y” por ser de Simetría es un Eje Principal de Inercia.Solución:   i. 1. De i) y ii) se deduce que la Flexión es Simple. TRAMO AB  0 xl ql qx 2 M z  x  x   5x  x 2 2 2 M z  x  ql l   qx  5  2 x  0  x  x 2 2 l ql 2  M máx  M z  x     M máx  6.25 x105 kg / cm 2 2 8  2.25ton  m  M máx  6.- Cálculo de Inercia:  I z   y 2 dA  A 1 bh 3  15000cm 4 36 . 3.67kg 2 máx cm   c  x y 20 833.67 y Iz 15000  T  x y 10  416.- Cálculo de las Tensiones Normales Máximas:  M z  x  6.25x105 y y  41.33kg máx cm2  x                             . como la de los autos. generalmente rectangular. tal cual se puede observar en la figura. o de los mismos cables.APLICACIONES SOBRE EL CASO GENERAL DE FLEXIÓN EN PLACAS PLANAS VIDA COTIDIANA Figura 3. así como también los cables que se observan en la figura. Este es uno de las aplicaciones donde se puede observar casi todos los temas de la Resistencia de Materiales. Hay muchos casos en los que se puede observar flexión en placas planas. . uno de los ejemplos más vistosos son los estantes. en las cuales son placas planas. su propio peso (gravedad). las cuales las placas de concreto o de metal. CONSTRUCCIONES Figura 4. son afectadas por la fuerza del peso que sostienen. Otro caso que se puede observar en casi todas partes del mundo son los puentes. de cualquier forma geométrica. las cuales soportan peso en toda su estructura.   y  la  fibra  superior  al  eje  neutro  estará  sometido  a  esfuerzos  normales de compresión. entonces  el esfuerzo de tensión o de compresión experimentado (sm). Para un momento flector interno (M). y una distancia desde el eje  neutro hasta las fibras extremas. inclusive sin llegar a los extremos. se calcula como: Sm  MY I . la fibra  inferior  al  eje  neutro  (que  coincide  con  el  eje  centroidal)  está  sometido  a  esfuerzos  normales  de  tensión. (Y).  los  esfuerzos  normales  son  nulos. que en  el  eje  neutro. en un diagrama de momentos  flectores internos. un momento positivo significa que en su sección transversal. y de igual manera.FLEXIÓN CON CARTANTE En las vigas la flexión genera momentos internos. y una sección transversal de la viga cuya  rigidez está cuantificada con el momento de inercia (I).  y  máximos  para  cada  caso  en  las  fibras extremas. Se puede deducir como es el comportamiento de la sección  transversal cuando el momento flector interno es negativo.  V o Q.  VQ It . se designa variadamente como T. de  corte. de  cizalla o de  cortadura es  el esfuerzo  interno o resultante de  las  tensiones  paralelas  a  la  sección  transversal  de  un prisma  mecánico como  por  ejemplo  una viga o un pilar. Q: ES EL MOMENTO ESTÁTICO DE ÁREA.ESFUERZO CAUSADO POR CORTANTES • El esfuerzo  cortante. I: ES EL MOMENTO DE INERCIA. V: ES LA FUERZA CORTANTE. t: ES EL ANCHO DE LA SECCIÓN (O ESPESOR EN  PERFILES ESTRUCTURALES). 104 mm 4 Vy Qz  s  Vz Qy  s   xs   t  s  . debidas sólo a Vy.104 mm4 I y  604. 3) Valores medios de las tensiones cortantes en alas y alma.  Vz=20kN. IPE-300 I z  8360.I z t  s  I y . debidas sólo a Vz.  Se  pide  calcular: 1) Los diagramas de tensiones cortantes en las alas y en el alma de la sección.PROBLEMA La  sección  de  una  viga  IPE-300  esta  solicitada  por  los  esfuerzos  cortantes:  V y  =30kN. 2)  Los diagramas de tensiones cortantes en las alas y en el alma de la sección. 35 xS22  802.7 x604 x10 4 t  s   t f  10.7 xS2  (75  2 )  5.7  Qz  s   10.7 TRAMO S2 mm 2 10.I y  S1  0   xs  0 20 x103 x( 5.75 xS2 2  S   Qy  s   10.7 xS1  75  1  5.75 xS 2 Vy   xs    S2  75   xs  3.35 xS12  802.35 xS12  802.5 xS1 2  debido Vy   xs  Vy Qz  s  t  s  .5 xS2 2  debido S2  0   xs  0 30 x103 x1547.176 N 10.t  s   t f  10.7 xS1  150    1547.75 xS1  S1  75   xs  3.75 xS1 2  S  Qy  s   10.I y S 2  0   xs  0 20 x103 x(5.9 N 10.I z  S1  0   xs  0 30 x103 x1547.7 x604 x104 mm 2 .5 xS1 )  S1  75   xs  9.I z 10.7 TRAMO S1 10.9 N t  s  .7  Qz  s   10.7 x8360 x104 Vy Qz  s  mm 2 debido Vz   xs  Vz Qy  s  t  s  .5 xS2 )   S 2  75   xs  9.35 xS 22  802.7 xS 2  150    1547.176 N 10.7 x8360 x104 mm2 debido Vz   xs  Vz Qy  s  t  s  . 9 N t  s  .7 xS3    150    1547.I z S  75   xs  3.5 xS 4 3 4 2    TRAMO S4  debido S  0   xs  0 V yQz  s  30 x103 x(1547.7  1547.75 xS3 2     S   Qy  s   10.75 xS ) 4 4 V y   xs    t  s  .7  Qz  s   10.9 N 10.176 N 10.35 xS 2  802.35 xS 2  802.7 xS    150  10.t  s   t f  10.I y S  75   xs  9.7  mm 2   Qz  s   10.7 TRAMO S3   10.7 x8360 x104 4 mm2 debido S  0   xs  0 20 x103 x(5.75 xS3 ) Vy   xs    S3  75   xs  3.5 xS3 )   S3  75   xs  9.35 xS32  802.75 xS 4  4 2      S  Q y  s   10.7 xS3  (75  3 )  5.I z 10.5 xS3 2  debido S3  0   xs  0 30 x103 x(1547.7 x8360 x104 Vy Qz  s  mm 2 debido Vz   xs  t  s  t Vz Qy  s  f t  s  .7 xS  (75  4 )  5.35 xS32  802.I y S3  0   xs  0 20 x103 x(5.7 x604 x104  10.7 x604 x104 4 mm2 .5 xS ) 4 VzQ y  s  4 4 Vz   xs    t  s  .176 N 10. 1x 5 5 2 pl .t  s   tw  10.87 N 3 3 5 V yQz  s  30 x10 x(314. y 2 Q y  s   0  simetría  TRAMO S5 debido S2 S  0   xs  15.10  7.7 S S2 3 5 Qz  s   W / 2  7.1 N 7.3   xs  13.1x8360 x104 5 mm2 debido V Qz  s  Vz   xs  y 0 e  s  .1x 5 ) mm2 2  V y   xs   e  s  .10  7.I z S  124.1xS x  314.I z . 87 N mm2 En el centro del alma (G).tw 53.176 N mm2 En el centro de las alas. Valores medios de las tensiones cortantes en alma y alas Vy V 3  y  30 x10  14.53 N  A xymedia  A  d .tw 300 x7.08 N xymedia A h.Debido a Ry: hay tensiones cortantes en el alma y en las alas  máx  15.6 x7.8x102  248. Debido a Vz: solo hay tensiones en las alas  máx  9.1 mm2 alma Vz Vz 20 x103  alas     5.1 mm2 alas   alma   . puede ser afectada por dos variables. Cuando un cuerpo. o momento es demasiado fuerte puede.APLICACIONES SOBRE FLEXIÓN CON CORTANTE •Investigación de la calidad y magnitud que puede soportar una estructura (Viga y Placa) Figura 5. . en muchos de los casos estos se pueden romper. rajar. la flexión y el esfuerzo cortante. la viga o placa. llevando al extremo de su condiciones que puede soportar la estructura. partir. ES  IMPORTANTE  TENER  PRESENTE  QUE  DESPUÉS  DE  OBTENER  LAS  DEFORMACIONES  UNITARIAS  NORMALES  SE  PUEDEN  OBTENER  LOS  ESFUERZOS  LAS  QUE  ACTÚAN  PERPENDICULARES A LA SECCIÓN TRANSVERSAL DE UN ELEMENTO SOMETIDO A FLEXIÓN. TAMBIÉN SE DEBE RECORDAR QUE PARA QUE EXISTA FLEXIÓN: A.  (TAL CUAL SE OBSERVAN EN LAS APLICACIONES). 2. LOS  ESFUERZOS  EN  EL  ELEMENTO  SE  ENCUENTRAN  POR  DEBAJO  DEL  LÍMITE  DE  PROPORCIONALIDAD Y POR TANTO SE CUMPLE LA LEY DE HOOKE. EXISTIRÁ ALABEO. PERO SI NO SON UNIFORMES. LAS SECCIONES TRANSVERSALES SE CONSERVAN PLANAS DESPUÉS DE LA FLEXIÓN  SIEMPRE Y CUANDO SEAN PURAS. 3.CONCLUSIONES 1. (TAL CUAL SE OBSERVAN EN LAS APLICACIONES). LA VIGA INICIALMENTE ES RECTA Y TIENE UNA SECCIÓN TRANSVERSAL CONSTANTE  SIMÉTRICA CON RESPECTO AL PLANO QUE CONTIENE LAS CARGAS EN SU SENTIDO  LONGITUDINAL. . B.  Theory of elasticity. Vol. Monleón Cremades. ISBN 84-7721-769-6. 18 pp.  1945. placas y láminas.  McGraw-Hill. 31–38.N. 3.  ed.  Reissner. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates. 12.  Vol.  pp. 2.RESEÑA BIBLIOGRÁFICA 1. ed. Luis (1991). Ed. Resistencia de Materiales. 5.  Stephen.  UPV. .  Godier  J.  (1951).. ISBN 84-7651-512-3. 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