[FÍSICA “RESISTENCIA DE MATERIALES”] 12 de Mayo de 2014CARRERA: INGENIERIA INDUSTRIAL MATERIA: FÍSICA FECHA: 12 - MAYO - 2014 HORA: LUNES - JUEVES 12 – 13 HRS UNIDAD: IV TEMA: RESISTENCIA DE MATERIALES CLAVE DE LA ASIGNATURA: 4b2 C PRESENTA: XIXIHUA PERALTA HÉCTOR LUIS CATEDRÁTICO: MARISELA GUZMÁN HERNÁNDEZ Héctor Luis Xixihua Peralta Página 1 [FÍSICA “RESISTENCIA DE MATERIALES”] 12 de Mayo de 2014 Índice Índice……………………………………………………………………………..……....2 Introducción……………………………………………………………....…………...…3 4 - Resistencia de materiales………………………………...…...………...…4 Enfoque de la resistencia de materiales……………………….….….4 4.1 - Esfuerzo y deformación debido a cargas externas………………..……....5 4.1.1 - Esfuerzo mecánico………………………………………..………..…..6 4.1.2 - Esfuerzo térmico…………………………………………….................8 4.1.3 - Ley de Hooke………………………………………….…………..........9 Valores del módulo de elasticidad …….………..……………….…..12 4.2 - Vigas con dos apoyos cargadas en puntos…………………..…………..…..14 4.2.1 – Vigas con cargas uniformes………………………………………….14 4.2.2 - Vigas hiperestáticas……………………………………………..........14 Ejemplo………………………………………………………………….16 4.2.3 - Vigas en Cantiliver……………………………….……………………17 4.3 – Clasificación de columnas………………………………..……………………19 4.3.1- Tipos e columnas…………………………….………………………..20 Conclusión…………………………………………………………………….…..…..20 Bibliografía…………………………………………………………………..….…..…21 Héctor Luis Xixihua Peralta Página 2 porque como sabemos en el ámbito laboral podemos encontrarnos con problemas de este tipo y es indispensable tener conocimientos de estos para no tener completamente desconocido el tema. como si fuera para ingeniería civil. Los temas abarcados son esfuerzo y deformación debido a cargas externas. Como sabemos hoy en día la resistencia de los materiales es de gran ayuda y una base muy importante para la industria. herramientas.[FÍSICA “RESISTENCIA DE MATERIALES”] 12 de Mayo de 2014 Introducción Durante este trabajo de investigación lograremos abarcar los puntos más importantes y esenciales de nuestro programa de estudios de la materia de física de la unidad 4 “Resistencia de materiales” lo que se mostrara a continuación es una recopilación de los más importante sin meternos tan a fondo en cada uno de los temas. puentes.) es por esta razón que debemos saber a qué se bebe la resistencia y para que nos sirve. Pero mejor adentrémonos en el tema… Héctor Luis Xixihua Peralta Página 3 . artículos del hogar. ya que de ella dependen en gran parte la durabilidad de los artículos fabricados (edificios. Ya que el echo se saber sobre estos temas es de gran importancia para nosotros como futuros ingenieros industriales. Pero nosotros abarcaremos la resistencia de los materiales más que nada desde el punto de vista de las vigas y las columnas. etc. solo que sin tomar grandes detalles de estos. vigas con dos apoyos cargadas en puntos y clasificación de columnas. [FÍSICA “RESISTENCIA DE MATERIALES”] 12 de Mayo de 2014 4. celosías.) o bidimensionales (placas y láminas. arcos. La Resistencia de los Materiales analiza a los cuerpos como deformables. Resistencia de materiales La Resistencia de Materiales es la disciplina que estudia las solicitaciones internas y las deformaciones que se producen en el cuerpo sometido a cargas exteriores.) el estudio puede simplificarse y se pueden analizar mediante el cálculo de esfuerzos internos definidos sobre una línea o una Héctor Luis Xixihua Peralta Página 4 . membranas. Sin embargo. La resistencia de un elemento se define como su capacidad para resistir esfuerzos y fuerzas aplicadas sin romperse. La Resistencia de Materiales tiene como finalidad elaborar métodos simples de cálculo. Un modelo de resistencia de materiales establece una relación entre las fuerzas aplicadas. empleando para ello diversos procedimientos aproximados. y los esfuerzos y desplazamientos inducidos por ellas. para ciertas geometrías aproximadamente unidimensionales (vigas. que cualquier carga producirá en ellos deformaciones que en magnitud son pequeñas comparadas con las dimensiones globales del cuerpo. de los elementos típicos más frecuentes de las estructuras. es decir. Estas magnitudes vienen dadas por campos tensoriales definidos sobre dominios tridimensionales que satisfacen complicadas ecuaciones diferenciales. sin embargo en la realidad los cuerpos sufren deformaciones. etc. predice estas deformaciones y permite encontrar los materiales y dimensiones óptimos. La teoría de sólidos deformables requiere generalmente trabajar con tensiones y deformaciones. Generalmente las simplificaciones geométricas y las restricciones impuestas sobre el modo de aplicación de las cargas hacen que el campo de deformaciones y tensiones sean sencillos de calcular. adquirir deformaciones permanentes o deteriorarse de algún modo. etc. pilares. Entonces en lo posterior se consideran a todos los cuerpos no rígidos sino elásticos. también llamadas cargas o acciones. aceptables desde el punto de vista práctico. Con la Resistencia de los Materiales se puede verificar la habilidad de los elementos para soportar las cargas a las que están sometidos y se pueden diseñar elementos seguros y baratos. Enfoque de la resistencia de materiales En los cursos de estática se consideran los cuerpos indeformables. Si la fuerza aplicada no es normal ni paralela a la superficie.[FÍSICA “RESISTENCIA DE MATERIALES”] 12 de Mayo de 2014 superficie en lugar de tensiones definidas sobre un dominio tridimensional. Además las deformaciones pueden determinarse con los esfuerzos internos a través de cierta hipótesis cinemática. 4. Estas ecuaciones son casos particulares de las ecuaciones de Lamé-Hooke. Para piezas prismáticas las hipótesis más comunes son la hipótesis de Bernouilli-Navier para la flexión y la hipótesis de Saint-Venant para la torsión. Las ecuaciones de equivalencia son ecuaciones en forma de integral que relacionan las tensiones con los esfuerzos internos. transversales o combinados. siempre puede descomponerse en la suma vectorial de otras dos que siempre resultan ser una normal y la otra paralela. Se distinguen dos direcciones para las fuerzas.1 Esfuerzo y deformación debido a cargas externas En general un esfuerzo es el resultado de la división entre una fuerza y el área en la que se aplica. las que son normales al área en la que se aplican y las que son paralelas al área en que se aplican. que establece una relación entre las deformaciones o desplazamientos deducibles de la hipótesis cinemática y las tensiones asociadas. Estos esfuerzos dependen no solo de las dimensiones del elemento estructural sino de la forma como estén aplicadas las cargas las cuales pueden producir esfuerzos normales o cortantes dependiendo de que las fuerces o momentos actuantes sean axiales. Héctor Luis Xixihua Peralta Página 5 . La ecuación constitutiva. La Resistencia de Materiales se ocupa del cálculo de los esfuerzos y deformaciones que se producirán debiendo garantizar que las deformaciones estén dentro de unos límites permisibles y obviamente que no se produzcan roturas. Los esfuerzos resistentes del material deben calcularse con el fin de poder compararlos con los esfuerzos actuantes. se denotan como _ (sigma) y representa un esfuerzo de tracción cuando apunta hacia afuera de la sección. El esquema teórico de un análisis de resistencia de materiales comprende: La hipótesis cinemática establece cómo serán las deformaciones o el campo de desplazamientos para un determinado tipo de elementos bajo cierto tipo de solicitudes. Los esfuerzos con dirección normal a la sección. Las ecuaciones de equilibrio relacionan los esfuerzos internos con las fuerzas exteriores. kg/mm2. kg/cm2. El esfuerzo con dirección paralela al área en la que se aplica se denota como _ (tau) y representa un esfuerzo de corte. representa un esfuerzo de compresión cuando apunta hacia la sección. uno de sus filos mueven el papel hacia un lado mientras el otro filo lo mueve en dirección contraria resultando en el desgarro del papel a lo largo de una línea.1 Esfuerzo mecánico Héctor Luis Xixihua Peralta Página 6 . Este esfuerzo. psia. 4. kpsia. se utilizan con frecuencia: MPa. tratando de aplastar al elemento analizado. En cambio. fuerza dividida por área.[FÍSICA “RESISTENCIA DE MATERIALES”] 12 de Mayo de 2014 tratando de estirar al elemento analizado. Las unidades de los esfuerzos son las mismas que para la presión. trata de cortar el elemento analizado.1. tal como una tijera cuando corta papel. [FÍSICA “RESISTENCIA DE MATERIALES”] 12 de Mayo de 2014 Héctor Luis Xixihua Peralta Página 7 . Ordinariamente esta dilatación o contracción es linealmente relacionada con el incremento o disminución de temperatura que se presenta. Si este es el caso y el material es homogéneo e Héctor Luis Xixihua Peralta Página 8 . Si la temperatura aumenta. Al presentarse un cambio de temperatura en un elemento éste experimentará una deformación axial. denominada deformación térmica. Si la deformación es controlada no se presenta deformación pero si un esfuerzo denominado térmico. Un cambio de temperatura puede ocasionar que un material cambie sus dimensiones. un esfuerzo térmico es un esfuerzo de tensión o compresión que se produce en un material que sufre una dilatación o contracción térmica. mientras que si la temperatura disminuye. generalmente un material se dilata.[FÍSICA “RESISTENCIA DE MATERIALES”] 12 de Mayo de 2014 4. Así. el material se contrae.1.2 Esfuerzo termico Se dice que un esfuerzo es térmico cuando varía la temperatura del material. hornos.[FÍSICA “RESISTENCIA DE MATERIALES”] 12 de Mayo de 2014 isotrópico. compresores de aire. equipo de moldeo y extrusión de plástico. δT = 0LαΔT dx Los casos más generales de deformación y esfuerzo térmico son: Puentes y elementos estructurales. equipo procesador de alimentos. Las unidades miden deformación unitaria por grado de temperatura. δT = cambio algebraico en la longitud del miembro. La relación entre el esfuerzo realizado sobre un material por tracción o compresión y la deformación que sufre es una constante llamada Módulo de Young 4. llamado tensión de proporcionalidad. como motores. cortadores de metal. trenes de laminación. originalmente formulada para casos del estiramiento longitudinal. Si el cambio de temperatura varia sobre toda la longitud del miembro esto es ΔT = ΔT(x). La ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke. Piezas de máquinas con calentamiento excesivo.3 Ley de Hooke La denominada Ley de Hooke constituye la base de la Resistencia de Materiales y es válida dentro de lo que se denomina régimen lineal elástico. se ha encontrado experimentalmente que la deformación de un miembro de longitud L puede calcularse utilizando la fórmula: Dónde: α= propiedad del material llamada coeficiente lineal de dilatación térmica. o si α varia a lo largo de la longitud. Vehículos y maquinaria. donde se puede pasar de temperaturas iniciales de – 30 °F a 110 °F . entonces la ecuación anterior es apreciable para cada segmento de longitud dx. las deformaciones específicas y las tensiones son directamente proporcionales. En este caso el cambio de longitud en el miembro es.1. establece que el alargamiento unitario que Héctor Luis Xixihua Peralta Página 9 . ΔT = cambio algebraico en la temperatura del miembro. Ellas son 1/ºF en el sistema ingles y 1/ºC o 1/ºK en el sistema SI. y mecanismos industriales. Esta ley establece que si la tensión normal s se mantiene por debajo de un cierto valor sp. La ley se aplica a materiales elásticos hasta un límite denominado límite elástico. El esfuerzo correspondiente al último punto se denomina limite proporcional o limite elástico del material. La ley de Hooke recibe su nombre de Robert Hooke. el material experimenta deformaciones permanentes y no recupera su forma original al retirar las cargas. E el módulo de Young. físico británico contemporáneo de Isaac Newton. un material sometido a tensiones inferiores a su límite de elasticidad es deformado temporalmente de acuerdo con la ley de Hooke. esta constante se mide usualmente en libras por pulgada cuadrada y en sistema de unidades SI se mide en newtons por metro cuadrad (o Pa. En general. Gráficamente se interpreta como la pendiente de una línea recta que va del origen al punto algo vago A sobre un diagrama de esfuerzo-deformación unitaria uniaxial. El límite elástico. Esta constante se llama módulo elástico. A la sección transversal de la pieza estirada. es la tensión máxima que un material elástico puede soportar sin sufrir deformaciones permanentes. Si se aplican tensiones superiores a este límite. L la longitud original. Como ε no tiene dimensiones. donde la constante de proporcionalidad es . el modulo elástico representa la rigidez del material bajo una carga impuesta. Héctor Luis Xixihua Peralta Página 10 . En el sistema inglés. Físicamente. La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es: Que simplemente significa que el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación unitaria. en la relación anterior tiene las unidades del esfuerzo. también denominado límite de elasticidad y límite de fluencia.[FÍSICA “RESISTENCIA DE MATERIALES”] 12 de Mayo de 2014 experimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada F: Siendo: δ el alargamiento. módulo de elasticidad o módulo de Young. que significa Pascal). [FÍSICA “RESISTENCIA DE MATERIALES”] 12 de Mayo de 2014 La Ley de HOOKE expresa la ecuación de una recta de pendiente E que pasa por el origen de coordenadas. Héctor Luis Xixihua Peralta Página 11 . Valores del módulo de elasticidad Héctor Luis Xixihua Peralta Página 12 .[FÍSICA “RESISTENCIA DE MATERIALES”] 12 de Mayo de 2014 El límite elásticos σγ de un material representa la tensión máxima que soporta sin sufrir de formaciones permanentes (plásticas). [FÍSICA “RESISTENCIA DE MATERIALES”] 12 de Mayo de 2014 Héctor Luis Xixihua Peralta Página 13 . produciéndose las máximas en el cordón inferior y en el cordón superior respectivamente. cortante o momento) es y. Por tanto. entonces. En general. entonces el valor de la función es (dF) (y) = (wdx)y. El esfuerzo de flexión provoca tensiones de tracción y compresión. aunque también pueden ser inclinadas.1 Vigas con cargas uniformes Considerando una porción de una viga sometida a una carga uniforme w. una estructura es hiperestática o estáticamente indeterminada cuándo está en equilibrio pero las ecuaciones de la estática resultan insuficientes para determinar todas las fuerzas internas o las reacciones.[FÍSICA “RESISTENCIA DE MATERIALES”] 12 de Mayo de 2014 4.2 Vigas Hiperestáticas En el tipo de vigas que vamos a analizar en esta sección. Formas de Hiperestaticidad Héctor Luis Xixihua Peralta Página 14 . En las vigas. También pueden producirse tensiones por torsión. la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y son elementos cuya disposición en las estructuras es principalmente horizontal. multiplicada por la intensidad de la carga uniforme. en general. El efecto de todas las fuerzas concentradas en dF se determina integrando sobre la longitud total de la viga. las relaciones geométricas con el momento flector. el valor de una función causada por una carga uniforme distribuida es simplemente el área bajo la línea de influencia para la función. hemos de buscar algún método que nos permita establecer tantas relaciones independientes. En las zonas cercanas a los apoyos se producen esfuerzos cortantes o punzonamiento. 4. sobre todo en las vigas que forman el perímetro exterior de un forjado.2 Vigas con dos apoyos cargadas en puntos Se denomina viga a un elemento constructivo lineal que trabaja principalmente a flexión. ya que w es constante. el número de incógnitas es mayor que el número de ecuaciones. Además. como ecuaciones necesitemos para calcular las reacciones. pero que en todo caso tienen la importante función de servir de apoyo de otros miembros estructurales que le transmiten las cargas verticales generadas por la gravedad. Si dF está localizada en x. cada segmento dx de la carga w crea una fuerza concentrada igual a dF= wdx sobre la viga. esta integral equivale al área bajo la línea de influencia. donde la ordenada de la línea de influencia de la viga para alguna función (reacción. 4. las cuales se calculan relacionando el momento flector y el segundo momento de inercia. las cuales actúan lateralmente a lo largo de su eje.2.2. Xn) a la energía potencial elástica o potencial interno. .. ... Una estructura es completamente hiperestática si es internamente y externamente hiperestática. Existen varios métodos generales que pueden proporcionar las siguientes ecuaciones. Entonces la relación entre la deformación δi del punto Ai y Xi viene dada por: Método matricial de la rigidez Teoremas de Mohr Héctor Luis Xixihua Peralta Página 15 . Las solicitaciones externas.An y llamamos UT (X1. Teoremas de Castigliano Sea un cuerpo elástico enR3 sobre el que actúan un conjunto de fuerzas generalizadas2 X1... . generan un cortante..Xn aplicadas sobre los puntos del sólido A1.[FÍSICA “RESISTENCIA DE MATERIALES”] 12 de Mayo de 2014 Existen diversas formas de hiperestaticidad: Una estructura es internamente hiperestática si las ecuaciones de la estática no son suficientes para determinar los esfuerzos internos de la misma. cargas y reacciones. Una forma de enfocar la resolución de las vigas hiperestáticas consiste en descompones la viga inicial en varias vigas cuyo efecto sumado equivalga a la situación original. Los problemas hiperestáticos requieren condiciones adicionales usualmente llamas ecuaciones de compatibilidad que involucran fuerzas o esfuerzos internos y desplazamientos de puntos de la estructura.. momento y deformación. Una estructura es extremadamente hiperestática si las ecuaciones de la estática no son suficientes para determinar fuerzas de reacción de la estructura al suelo o a otra estructura. siendo válido el principio de descomposición de las vigas en vigas cuyas acciones sumen el mismo efecto... [FÍSICA “RESISTENCIA DE MATERIALES”] 12 de Mayo de 2014 Teorema de los tres momentos Ejemplo: Héctor Luis Xixihua Peralta Página 16 . 2.[FÍSICA “RESISTENCIA DE MATERIALES”] 12 de Mayo de 2014 4. mientras que el extremo opuesto presenta una condición contraria. debido a la clase de apoyo. La viga en cantilever está sujeta a condiciones de frontera tomando en consideración un extremo fijo y por consiguiente su lado opuesto libre tal y como lo indica la siguiente Figura: El lado fijo de este modelo no tiene desplazamiento y su ángulo de deflexión por tanto es cero. también se conoce como un extremo empotrado.3 Vigas Cantiliver También se les llama vigas en voladizo. excepto que cuando nos ubicamos en el punto más alejado de la viga ósea cuando x = L no hay presencia de momentos flexionantes ni esfuerzos cortantes. En estas vigas un extremo esta fijo para impedir la rotación. Héctor Luis Xixihua Peralta Página 17 . [FÍSICA “RESISTENCIA DE MATERIALES”] 12 de Mayo de 2014 Estas situaciones son conocidas como condiciones de frontera y pueden ser representadas de la siguiente forma: Aplicando estas condiciones de frontera. para el enésimo modo es: A continuación se muestran los cuatro modos de la viga: Héctor Luis Xixihua Peralta Página 18 . nos permite reducir la ecuación a la siguiente forma: En donde los valores para la ecuación Y la función que describe el modo de forma. es decir: Apoyo móvil Apoyo Fijo Empotramiento Héctor Luis Xixihua Peralta Página 19 . Aunque no existe un limite perfectamente establecido entre elemento corto y columna. lo bastante delgado respecto su longitud. y el esfuerzo resultante está producido por la superposición del esfuerzo directo de compresión y el esfuerzo de flexión (o mejor dicho. por flexión). excepto en su forma de trabajar. Los postes cortos. es decir. A veces.[FÍSICA “RESISTENCIA DE MATERIALES”] 12 de Mayo de 2014 La grafica anterior se obtuvo utilizando la ecuación 9. aplastamiento y pandeo.3 Clasificación de columnas Una columna es un elemento axial sometido a compresión. No se ha dado. las columnas suelen tener siempre pequeñas imperfecciones de material y de fabricación. y sometido a compresión. Sin embargo. Las diferencias entre los tres grupos vienen determinadas por su comportamiento. 4. se suele considerar que un elemento a compresión es una columna si su longitud es más de diez veces su dimensión transversal menor. Los apoyos de las columnas son los mismos de las vigas. Una columna ideal es un elemento homogéneo. criterio alguno de diferenciación entre columnas largas e intermedias. los elementos cortos a compresión se consideran como un tercer grupo de columnas. así como una inevitable excentricidad accidental en la aplicación de la carga. Las intermedias. por aplastamiento. inicialmente perpendicular al eje. de sección recta constante. Las columnas suelen dividirse en dos grupos: Largas e Intermedias. la columna larga está sometida esencialmente a esfuerzos de flexión y la intermedia lo está a esfuerzos de flexión y compresión directa.2 y los valores de la amplitud de frecuencia obteniendo como resultado valores de frecuencias de resonancia que oscilan entre los 12 y 400 kHz. Las columnas largas re rompen por pandeo o flexión lateral. por combinación de esfuerzas. El estado de carga en esta sección es similar al de un poste corto cargado excéntricamente. para que abajo la acción de una carga gradualmente creciente se rompa por flexión lateral o pandeo ante una carga mucho menor que la necesaria para romperlo por aplastamiento. La distribución entre ambos tipos de acuerdo con su longitud sólo puede comprenderse después de haber estudiado las columnas largas. Es por esto que debemos saber calcular cual es la resistencia Héctor Luis Xixihua Peralta Página 20 . etc. Con toda la información mostrada en el anterior trabajo podemos concluir que la resistencia de los materiales aplica en vigas y columnas dependerá del material principal del que estén fabricadas. y la fuerza con la que sean aplicados.). tomando puntos importantes de la Ley de Hooke. Se mencionaron unas tablas que muestran los módulos de elasticidad de diversos materiales. torsión. viga o columna que estemos estudiando. cortadura. compresión. Como pudimos observar los materiales tienen diferentes puntos de deformación que influirá de acuerdo al módulo de Young por que se rija el material del cual este echa la estructura. ya que lo vimos tomando a las columnas y a las vigas como tema principal.[FÍSICA “RESISTENCIA DE MATERIALES”] 12 de Mayo de 2014 TIPOS DE COLUMNAS De la combinación de estos apoyos se obtienen los cuatro tipos de Columnas básicas a) b) c) d) Extremos articulados o libres Ambos extremos empotrados Un extremo empotrado el otro libre Un extremo empotrado el otro articulado Conclusión Como pudimos observar en este trabajo de investigación la resistencia de los materiales fue tomada des un punto de vista tal vez no tan importante para las personas comunes pero para nosotros los ingenieros si es de gran importancia. flexión. a los diferentes esfuerzos a los que sean sometidos (tracción. PDF fecha 10/05/2014 Nash. 10/05/2014 Resistencia de materiales. Universidad Mayor de San Andrés. ya que la podemos aplicar a edificios o puentes y si estos no está bien calculado puede de ser fatal. McWraw Hill... Editorial Alfaomega cuarta edición. Russell Johnston Jr. “Resistencia de Materiales” http://www. Editorial Yucatán Hermosa 10/05/2014 INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE CALKINÍ. Mayori M.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r81668. Beer y E. Egor P. fecha 10/05/2014 Mecánica de solidos segunda edición.[FÍSICA “RESISTENCIA DE MATERIALES”] 12 de Mayo de 2014 que puede tener una viga o columna dependiendo del material del que este echa. Ferdinard L.PDF. Pytel.itescam. McCRAW HIIL. Anrew. Popov y Toader A. Bibliografía Mecánica de materiales. Facultad de Ingeniería Mecánica y Electrónica Tesis “Técnica de medición deformación” http://eprints. fecha 10/05/2014 Universidad de Cantabria.edu.” introducción a la mecánica de sólidos” Singer. pág. 39 Fecha 8/05/2014 Resistencia de Materiales Aplicada Primera edición. Ferdinand P.uanl. Ciencia y Tecnología de los Materiales “Ley de Hooke” http://mecanica-usach.mine. William “Resistencia de materiales” Editorial. ITESCAM. Balan editorial Pearson Educación. Esta unidad es de gran aporte para nuestra carrera como ingenieros industriales ya que en el ámbito laboral podemos encontrarnos con problemas de este tipo. porque de esta puede depender la vida de personas. Alejandro M. en el cual tengamos que determinar la resistencia de los materiales bajo condiciones ambientales distintas y con factores como fuerza. Series Schaum 10/05/2014 Héctor Luis Xixihua Peralta Página 21 .mx/1278/1/1020126377.pdf fecha 10/05/2014 Universidad Autónoma de Nuevo León. esfuerzo y modulo elástico sobre nuestra viga o columna y así ya saber cómo calcularlo o determinar que material es el mejor y el mas recomendable.nu/media/uploads/clases01. Oxford University.