REPLANTEO O METODOLIGIA DE CURVAS DE TRANSICIÓNEn la aplicación de esta metodología, la variación programada de la aceleración centrífuga y de la evolución de la velocidad puede ser establecida mediante expresiones analíticas o simplemente de forma empírica, con tal de que satisfagan las exigencias dinámicas impuestas. En los desarrollos que a continuación se efectúan se utilizan modelos matemáticos sencillos en función del recorrido S. USOS DE LAS CLOTOIDES a) Transición entre recta y arco de círculo. b) Enlace de círculos. c) Como curva de transición total. Curvas de transición . e) Problemas de distribuidores. f) Clotoide como curva compuesta.d) Curva revertida. Se obtiene un cambio gradual de curvatura desde cero. L = longitud de la curva entre su punto de inflexión (R = infinito ) y el punto de radio R. VENTAJAS DE USO DE LAS CURVAS TRANSICIÓN 1. En la normativa española se indica la necesidad de las curvas de transición para enlazar las alineaciones rectas y las curvas circulares con el fin de procurar la continuidad de curvaturas. en su diseño deberán ofrecer las mismas condiciones de seguridad. La curva de transición que se emplea es la clotoide. por lo que.Las curvas de transición son elementos geométricos donde la variación de la curvatura es lineal a lo largo de su desarrollo. A = parámetro de la clotoide. comodidad y estética que el resto de los elementos del trazado. característico de la misma. cuya ecuación intrínseca es: R·L = A2 Siendo: R = radio de curvatura en un punto cualquiera. Se adoptará en todos los casos como curva de transición la clotoide. . por lo que evitan las discontinuidades de curvatura. en el punto de unión de las tangentes con las curvas de transición a G° en la unión de la curva de transición con la curva circular correspondiente. Las curvas de transición tienen por objeto evitar las discontinuidades en la curvatura de la traza. TIPOS DE CURVAS DE TRANSICIÓN Las curvas de transición inicialmente se aplicaron en el trazado de líneas férreas a finales del siglo XIX mientras que para las carreteras su uso se inicia en la década de los XXX. 3. 5. Prevé suficiente longitud para efectuar la transición del peralte y del sobreancho y para que en cada punto el peralte esté de acuerdo con el grado de curvatura. Su uso tiende a aminorar el efecto de las fuerzas centrífugas y por tanto a disminuir la incomodidad y el peligro en las curvas. 4. Permitirá conducir a una velocidad uniforme en todo el recorrido de la vía. A la largo de todos estos años se han planteado diferentes tipos de curvas de transición dentro de las cuales tenemos: * Clotoide o Espiral de euler * La Lemniscata de Bernaulli * Curva de Transición de Óvalos de Cassine * La Parábola Cubica * La Espiral Cubica * Curva de Transición de Klein * Curva de Transición senoidal de Bloss * Curva de Transición de schram (parábola de cuarto grado) * Curva de Transición de Lange (parábola de quinto grado) * Curva de Transición de séptimo grado * Espiral de Searles * Espiral Logarítmica . con la seguridad y comodidad debida y que los conductores de éstos puedan y estén animados a mantenerse dentro del carril por donde circulan.2. Permite que los vehículos puedan circular a mayores velocidades. Siendo la primera las conveniente y empleada en ferrocarriles y carreteras Curvatura y Peralte Peralte significa ligeramente curvado o inclinado. iglesias y cubiertas debido a que los cálculos pueden hacerse para compensar cargas particularmente pesadas en peso. mide la rapidez con la que la curva abandona la tangente en ese punto. Los peraltes se utilizan en ventanas. En la construcción. la lemniscata de Bernaulli y la cuerda elástica. La palabra peralte se utiliza normalmente para describir un tipo de arco o viga.Dentro de las anteriores las más usadas son la clotoide o espiral de euler. El peralte se utiliza en la construcción de puentes y edificios. por otro lado. una recta no tiene curvatura. entonces la curvatura podemos medirla por el inverso del radio de curvatura (1 / R) . hay muchos diferentes tipos de arcos y vigas. con lo que dicta la curva actual hacia arriba o peralte a ser utilizado. una recta podemos imaginarla como una circunferencia de radio infinito. ¿Cómo medimos la curvatura? Por un lado. puertas interiores y dispositivos estructurales como vigas y arcos. El término peralte data de principios de 1600 y es de origen francés y latín. El peralte se utiliza en tramos largos con el fin de contrarrestar la deflexión debida a la carga. Curvatura La curvatura de una curva en el plano. en un punto de la curva. ¿PARA QUÉ SE UTILIZA EL PERALTE? Un peralte añade soporte estructural adicional a un palmo de ancho o espacio. Lo que distingue a un peralte es su ligera curva hacia arriba. luego su curvatura es cero. lo cual se reparte 2/3 antes del TE y 1/3 después. La curvatura de una superficie. en un punto. el radio de curvatura varía en cada punto de la curva. la curvatura pasa de 0 en la recta. . Si nos movemos a lo largo del cilindro (sobre la generatriz) la curvatura es cero y si nos movemos en dirección perpendicular a la generatriz (recorriendo una circunferencia) la curvatura será máxima (igual a 1 / R. siendo R el radio de la circunferencia). pues sólo nos podemos mover a lo largo de la curva). En general. mide la rapidez con la que la curva abandona el plano tangente a la curva en ese punto. Curvatura de una superficie El concepto es similar. Euler demostró que en cada punto de una superficie existen dos direcciones en las que la curvatura alcanza su máximo y su mínimo y que estas direcciones son perpendiculares entre si. a un valor finito y constante en la curva. En una superficie la curvatura depende de la dirección en la que nos movamos (este detalle no tiene sentido en el caso de curvas lineales. Podemos visualizar la curvatura de una superficie viendo un cilindro.El radio de curvatura de una circunferencia. lo que produce incomodidad y puede causar accidentes por la aparición brusca de la fuerza centrífuga. es el radio de la circunferencia que pasa por ese punto y otros dos infinitamente próximos (por tres puntos sólo pasa una circunferencia). Para el caso de una curva cualquiera. es el radio de la circunferencia. el radio de curvatura en un punto. Para alcanzar el peralte requerido en una curva debe pasarse del bombeo a dicho peralte. GEOMETRÍA DE LAS CURVAS DE TRANSICIÓN En un trazado de rectas y curvas circulares. CLOTOIDE O ESPIRAL DE EULER Es la figura geométrica que cumple con las condiciones necesarias para ser una curva de transición.Estas cusas hacen necesario el empleo de un alineamiento de transición. . Es por ello que en el punto origen de la curva. el radio es infinito. Otras causas: - Se tiende alentar la uniformidad de la velocidad. además de ser la más manejable comparando con otras figuras como la lemniscata de Bernoulli o la parábola cubica. también denominada radioide de arcos o espiral de Cornú en honor de Marie Alfred Cornu. Permite el cambio gradual de la deflexión de las ruedas. es una curva tangente al eje de las abcisas en el origen y cuyo radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella. La clotoide. El mayor número de accidentes se relaciona a efectos de entrada y salida. introducida en la práctica de la ingeniería por L. . Oerley en 1937. C= la constante de la espiral. La parábola cúbica. La espiral de Cornu o Clotoide. s = el desarrollo o arco. La clotoide es una espiral cuya curvatura varía proporcionalmente con la longitud comenzando en cero desde el origen. (*) (*) Avanzada por Max Von Leber 1860. Numerosas curvas cumplen las condiciones requeridas de cambio de curvatura: El ovalo. La lemniscata de Bernoulli.La expresión matemática usual es: Siendo: ρ = el radio de curvatura. Ventajas de la Clotoide: 1. es constante (K 2) donde K se denomina el parámetro de la curva. el producto del radio de curvatura (R) por la longitud (L) desde el origen hasta ese punto.2. R x L = K2 . F= W V2 gR 3. Tc Le L 4. La fórmula de la Clotoide es sencilla. La parte de la clotoide a usar es un segmento que no permite apreciar la forma de la espiral. Esta característica le da la propiedad de que un móvil que la recorra a velocidad constante experimente una variación uniforme de la fuerza centrífuga. 7. ECUACIONES DE LA CLOTOIDE Los radios de curvatura están en razón inversa a los desarrollos de sus respectivos arcos. Las Clotoides de parámetro grande aumentan más lentamente su curvatura. R X L = K2 Donde: L= longitud del arco. 6. La magnitud de K se denomina. pueden desarrollarse tablas para la clotoide unitaria K=1 y obtener valores para otra clotoide por simple proporción. siendo apropiadas para marcha rápida de vehículos. siendo aptas para velocidades reducidas y para suavizar sinuosidades del trazado. K= parámetro. son homotéticas con K. . Las de parámetro pequeño aumentan rápidamente la curvatura. R= radio de curvatura.Para K = 8 R 2 4 8 16 L 32 16 8 4 RxL K2 64 64 64 64 5. parámetro de la curva. Todas las Clotoides poseen la misma forma pero distinto tamaño. Para reducir el valor del parámetro se hace: Considérese la siguiente figura: Considérese un elemento diferencial dl: dl = Rdθ R= K2 L dθ = dθ = dl R L dl 2 K 2 θ= L 2 K2 Sustituyendo K2 = R x L Integrando: . 4” Refiriendo la clotoide a un sistema de coordenadas cuyos ejes son la tangente y su perpendicular en el origen. donde L = 0 dx=dlcos θ dy=dl sen θ L x=∫ dl cos θ 0 L y=∫ dl sen θ 0 Desarrollando en serie cos θ y sen θ e integrando se obtiene: .θ= L2 2 Rl K= θ= L 2R K 2= L2 2θ L √ 2θ En el punto paramétrico o punto característico L = R: 1 180 θ= x 2 Π o 28o 38' 52. .a. x=l(1− θ2 θ4 θ6 + − +.) 3 7 x 3 ! 11 x 5! 15 x 7! b.) 5 x 2 ! 9 x 4 ! 13 x 6! 3 5 7 θ θ θ θ y=l( − + − +.)] 5 x 2! 9 x 4 ! 13 x 6 ! θ θ3 θ5 θ7 y=K [ √ 2 θ( − + − +.. Definen a la clotoide por su parámetro.)] 3 7 x 3! 11 x 5 ! 15 x 7 ! ELEMENTOS DE LA CLOTOIDE l=K √ 2θ . Sustituyendo 2 x=K [ √ 2θ (1− 4 6 θ θ θ + − +... Ecuaciones que definen la clotoide por su longitud. TL = tangente larga.espiral. Distancias: Rc = radio de la curva circular. L = longitud de la espiral desde el origen a un punto. K. P = coordenadas de PC. Xc. Θe = deflexión entre tangentes de extremos de la clotoide. CE = curva – espiral. PI = punto de intersección. . Le = longitud total de la espiral. ET = espiral – tangente. R = radio de la curvatura de la espiral en cualquier punto. Θ = deflexión entre tangente de entrada y tangente de un punto. PC = punto donde se desplaza el TE o TS de la curva circular. EC = espiral – curva. TC = tangente corta.Puntos: TE = tangente . TT = tangente total. Ángulos: Δo = ángulo de deflexión entre tangentes. Yc = coordenadas del EC. l e l R= Radio a una longitud ℓ del origen θ= l² 2k ² en EC θe = Θe = l e² 2k ² θe = le ² 2 Rc l e le 2 Rc l e Radianes ℓe = 2 Rc θe Rc = le 2θe θ = l² 2 Rc l e = l² le 2 le 2 θe ( ) = θ=( Angulo de deflexión a una distancia l l² le² l ¿² θe = ( l e l ¿² le del origen Es una transición de tipo clotoide – curva circular – clotoide θe .CALCULO DE LOS ELEMENTOS DE LA CLOTOIDE Topografía: Vproy. Rc Dato ℓe R x ℓ = Rc x ℓe Rc . 2 ×=l(1− 4 θ θ + −…) 10 216 θ θ3 Y =l( − 2 +…) 3 Y Para EC Xc. Y) en el origen de la clotoide. C): C=√ x 2 + y 2 y Ø= Arctang[ ] x Donde: C= cuerda Φ= ángulo de la cuerda Para Ec: CL = √ Xc ²+Yc ² . Yc se obtienen haciendo l = le Sistema de coordenadas polares de un punto (Ø. θe y Υ en radianes Sistema de coordenadas cartesianas (X.Υ = Δc=Δ−2 θe L=¿+lc+ ¿=2≤+lc L=4 Rc θe+ Rc Δ c L=ℜ ( 4 θe+δ ) Siendo L la longitud de la curva. Yc Φe = arcTang ( Xc ) Si la curva circular se prolonga en θe se obtiene la coordenada k. Para Clotoides iguales a la entrada y salida: Tt = k + (Rc + ρ) Tang (Δ/2) Tangente Total Ee = (ρ + Rc) Sec (Δ/2) – Rc Ee = Rc (Sec (Δ/2) – 1) + ρ Sec (Δ/2) Externa En términos de la Semitangente y la Externa de la curva circular: .ρ k =Xc−Rc sen θe ρ=Yc−Rc ( 1−cos θe ) k es aproximadamente igual a la mitad d la longitud de la clotoide. La clotoide bisecta a ρ en partes prácticamente iguales. Programas NORMAS VENEZOLANAS Longitud de transición para ancho de rotación de 1 canal Rc 50 60 70 80 90 100 120 140 150 160 180 200 440 450 520 540 600 700 750 800 850 Le 55 60 60 65 70 70 75 80 80 85 85 90 90 85 85 80 80 70 70 65 60 .Tt = T+ ρ Sen (Δ/2) + k Ee = E+ ρ Sec (Δ/2) Para calcular la Tangente Larga y la Corta: TL = Xc – Yc Cotg θe Tc = Valores de X. Y Yc Senθe Tablas. Rc )( K . R c ) (Cl . - Relación de dos elementos lineales. Para la clotoide real los multiplicamos por el parámetro. Rc ¿ ( p . Rc ) ( K . En la fila del coeficiente de forma leemos todos los elementos.l e ) ( θe . Generalmente Ec.900 950 1000 1100 1200 1300 1400 1500 60 55 55 50 45 40 35 30 USO DE LAS TABLAS Para resolver un problema de clotoide necesitamos dos datos en un punto cualquiera.θ e ) ( θe . . Φe ) Para encontrar en la tabla el punto de semejanza entramos con un coeficiente de forma: - Un ángulo. Los datos pueden ser: ( l e . l e ) ( K .
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