UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS VIBRAÇÕES MECÂNICAS RELATÓRIO - AULA PRÁTICA N°2DETERMINAÇÃO DO FATOR DE AMORTECIMENTO E FREQUÊNCIA NATURAL: TÉCNICA DO DECREMENTO LOGARÍTMICO Profa. Dra. Maria Lúcia Machado Duarte Alunos: Filipe Cotta Lanna Castro Queiroz Joel Laguárdia Reis Luiz Paulo Rodrigues Miranda 2009020400 2010020582 2009019118 Belo Horizonte, 12 de março de 2014 1 Analisar os resultados práticos e determinar a melhor técnica para cada material. Ou seja: () Para cada na equação I. Esse método utiliza a razão de queda das oscilações livres de um sistema e é determinado pela logaritmo neperiano da razão entre dois picos/vales consecutivos. 2) OBJETIVOS: . na região da envoltória o valor de seno é sempre o mesmo para qualquer . 3) REVISÃO TEÓRICA: O Decremento Logarítmico (δ) é uma maneira de se determinar o fator de amortecimento de uma dada estrutura de forma experimental. tem-se: ( ) (√ ) Sendo que.1) INTRODUÇÃO: Nesta segunda prática foram realizadas três técnicas distintas para obtenção da frequência natural e do fator de amortecimento de um sistema vibratório: decremento logarítmico de picos consecutivos e alternados e linearização da envoltória.Aplicar as técnicas de decremento logarítmico de picos consecutivos e alternados e linearização da envoltória.Avaliar possíveis fontes de erros nos cálculos e na prática em geral. pode-se mostrar que: 2 . Sabe-se também que o fator de amortecimento pode ser determinado encontrando-se o valor de dois picos/vales que estejam separados por um número de ciclos conhecido. Foram utilizados dados medidos por um analisador de espectro em frequência e um acelerômetro em duas barras em balanço de materiais diferentes. tem-se que: ( ) Uma vez que o período amortecido é inversamente proporcional a frequência amortecida. Posteriormente. . os métodos citados foram tratados com técnicas computacionais e foram então obtidos os valores para os dois sistemas para efeito de comparação e análise. . Juntamente com a equação da frequência angular amortecida (VI) a seguir. Aplicando o logaritmo neperiano nos dois lados ( ) da equação. τd é o período do sistema. (VI) 3 . tem-se: (V) onde é o coeficiente de inclinação da reta que pode ser construída com a equação (V). conforme explicitado a seguir: ( ) onde (IV) é a maior amplitude possível do sistema. podemos afirmar que: ( ) Onde: é a razão entre duas amplitudes durante a oscilação. A Formulação de Euler para determinação das características vibracionais de uma viga submetida a vibração de flexão. ωd é a frequência de amortecimento do sistema. o que resulta em uma equação de forma similar à equação da reta. que se comporta de forma linear com seus coeficientes de inclinação e termo independente. é possível então calcular o valor da frequência angular natural e do fator de amortecimento . Na Análise de Pico Alternado .. xn é a amplitude da curva em uma crista ou vale n.. pode ser explicada através da observação da seguinte figura. A partir do coeficiente de inclinação .√ Para . ξ é um fator de amortecimento. dada pela equação (V). √ (VII) sendo o período amortecido do sistema. é possível obter o produto entre a frequência angular natural e o fator de amortecimento . O método de Linearização da Envoltória é uma técnica que trabalha no domínio do tempo que consiste em aplicar o logaritmo neperiano na equação da envoltória dada pela equação (IV). portanto.995541 ) √ ( ) ) para a condição da viga a ser analisada (em 4 . Utilizando o método de separação de variáveis. sabemos que serão necessárias quatro condições de contorno e mais duas condições inicias para se encontrar a solução para tal equação. a um momento fletor e a uma distribuição de carga por unidade de comprimento. Figura 1 – Diagrama de corpo livre de um elemento diferencial da viga Fazendo-se o somatório de forças na direção Y e fazendo os devidos desenvolvimentos. que a equação VII possui derivada segunda em relação ao tempo (t) e derivada quarta em relação à posição (x).onde uma viga está sendo submetida a um esforço cortante.854757 4º = 10. As quais podem ser calculadas através da seguinte equação: ( Abaixo encontra-se os valores de balanço). (modos de flexão) para viga Engastada-Livre 1º = 1.694091 3º = 7. teremos a seguinte equação: ( Onde: √ Tem-se. encontram-se as frequências naturais de flexão. Dessa forma.875104 2º = 4. O mesmo procedimento foi realizado igualmente para as duas vigas.4) DESCRIÇÃO DO ENSAIO E INSTRUMENTAÇÃO UTILIZADA: Foi fixado um acelerômetro de massa à extremidade livre de uma viga engastada em sua extremidade oposta.82 mm L a c b h Comprimento total Comprimento em cima da base metálica (ponta da viga até início da extremidade livre) Comprimento até o 1/2 sargento Largura da base da viga Espessura Figura 2 . no qual foi previamente ajustado o tipo de análise a ser feita e os parâmetros de sensibilidade do transdutor e frequência de captura de sinais.34 mm 2. Este acelerômetro foi ligado a um analisador de espectro de frequência.Medidas da montagem do experimento Dimensões da Viga (conforme Figura 1) 356 mm 45 mm 27 mm 40. A aceleração do movimento periódico foi captada pelo analisador de espectro e os resultados armazenados para posterior análise. A de alumínio está à esquerda e a de plástico está à direita na imagem. que passou a vibrar com um movimento periódico e de amplitude cada vez menor. 5 . Tabela I . A montagem está ilustrada na Figura 1 com suas respectivas medidas na Tabela I. Na Figura 1 é possível visualizar as duas vigas utilizadas.Montagem da viga engastada Foi aplicado um impulso único com o dedo à viga. 30 Sem janela Com janela Amplitude (gRMS) 0.8 1. Viga de Alumínio 0.0 Tempo (s) Figura 4: Curva de resposta – Composto A partir dos dados das Figuras 1 e 2 pode-se retirar os valores do período amortecido de forma visual ou com a seleção de dados individuais.30 -0.30 -0.0 1.30 0.20 -0.2 0. Os dados sem o uso da janela exponencial estão representados com a cor azul. Observa-se que há o uso da técnica da janela exponencial para tratamento dos dados.6 0.2 0.10 -0.5) RESULTADOS E DISCUSSÃO: Os resultados obtidos no experimento foram representados de forma gráfica nas Figuras 1 e 2 a seguir.4 0.8 2.0 Tempo (s) Figura 3: Curva de resposta – Alumínio Viga de Composto 0.0 0. cuja curva é representada an cor vermelha.20 -0.6 1.00 -0.40 0.10 0.6 1.6 0.8 2.0 0.20 0. 6 .4 1.2 1.00 Sem janela Com janela Amplitude (gRMS) -0.0 1.8 1. que foram fornecidos em tabela em Excel.10 0.50 0.40 0.4 1.20 0.50 0.40 -0.2 1.4 0.10 -0.40 0.50 0. 300 0.000 Envoltória / Alumínio com Janela Expon. 7 .143x R² = 1 Tempo (s) Figura 5: Envoltória – Alumínio com janela Aplicando-se o logaritmo neperiano nos valores da amplitude e reconstruindo o gráfico.200 1. Quanto menor esta taxa for. (Envoltória / Alumínio com Janela) y = 0. Para a técnica da linearização da envoltória com janela. os valores discrepantes da amplitude máxima das vibrações em diferentes picos causaram uma diferença pequena de valores do período. Isto se deve provavelmente à taxa de amostragem do experimento.100 0.101074 0.4277e-1.090332 0.200 0. Tabela II – Período amortecido para as curvas (em segundos) Alumínio s/ Janela Alumínio c/ Janela Compósito s/ Janela Compósito c/ Janela Período ( ) (Picos Consecutivos) Período ( ) (Picos Alternados) 0. Neste experimento.500 Amplitude (gRMS) 0. Juntamente com a figura.107421 0.143 já mostra que o valor de b antes mesmo da linearização.400 0. foram selecionados os dados dos picos e então construída uma curva exponencial no Excel.095703 0. tem-se na Figura 4 a envoltória linearizada para o alumínio sem janela.600 2.101074 Observa-se que desde o cálculo do período os dois métodos já apresentam diferenças.107421 0. O período amortecido da técnica de picos consecutivos também é o período utilizado na técnica de linearização da envoltória.Com os dados em Excel e obtenção dos pontos de amplitude máxima consecutivos e alternados através de algoritmo em MATLAB. ilustrada na Figura 5. que representa a envoltória.800 1. O valor do expoente -1.095703 0. menor a probabilidade de que os picos obtidos em amostragem discreta correspondam aos picos do sistema real analisado. Envoltória / Alumínio com Janela 0. foram obtidos os períodos amortecidos para essas duas técnicas.000 0.400 0. o que mostra que o ajuste a uma curva exponencial é muito satisfatório. conforme a equação (V). encontra-se o valor de R² = 1.000 0.090332 0. Tabela III – Fator de amortecimento para as curvas com a técnica da linearização da envoltória Alumínio s/ Janela Fator de Amortecimento ( ) (Linearização da envoltória) 0. esse processo com o Excel não foi repetido.5000 0.1425.0000 -0.e sua respectiva equação da reta.0000 -1. Com a aplicação dos métodos dos picos consecutivos e alternados. Envoltória Linearizada / Alumínio com Janela 0.0000 -2. é possível obter o valor das duas Para o alumínio sem janela.50 2. os erros para os dois materiais são. Para agilizar a obtenção dos resultados.1425x . os valores do decremento e do fator de amortecimento e frequência natural obtidos com o cálculo em MATLAB foram os apresentados nas tabelas III e IV.8493 R² = 1 Figura 6: Envoltória linearizada – Alumínio com janela Os fatores de amortecimento obtidos para os sistemas de viga de alumínio e de material composto com a técnica da linearização da envoltória estão presentes na Tabela II.50 1. Isto também foi feito para os demais valores obtidos na técnica de linearização da envoltória deste relatório. poupou-se a etapa gráfica e foi utilizado um algoritmo no MATLAB para computar os parâmetros desse sistema.5000 -3.4% para o alumínio e de 26. Isto acontece porque a janela exponencial.00 0.017618 Alumínio c/ Janela 0.378975 Os valores variam entre análise sem janela e com janela.00 Tempo (s) 1.0000 -3. equações (I) a (III). causa diferenças nos valores após tratamento de dados. um ajuste matemático.0. e com as equações (VI) e (VII).278187 Compósito c/ Janela 0. Observa-se também o valor de R² = 1 para a reta. de onde se tira o valor de b = -1. respectivamente.5000 log (x) -2. Isto também se repetiu para o cálculo do fator de amortecimento. A diferença percentual é de 87. No cálculo da frequência natural.5% para o alumínio e de 0% para o material compósito.6% para o compósito.5000 -1. 8 .00 ln(x(t)) Linear (ln(x(t))) y = -1. A diferença percentual de decremento entre as duas técnicas é de 24. Dado que variáveis e .139655 Compósito s/ Janela 0. respectivamente.002290 0.034510 75.216838 0.61%. Materiais compósitos não feitos com diversas construções.388059 Assim. uma classe de materiais amplamente utilizada para mitigar vibrações. Tabela IV – Decremento para as curvas com as técnicas de picos consecutivos e picos alternados Alumínio s/ Janela Decremento ( ) (Picos Consecutivos) Decremento ( ) (Picos Alternados) 0.216838 Tabela V – Fator de amortecimento e frequência natural para e as curvas com as técnicas de picos consecutivos e picos alternados Alumínio s/ Janela Fator de Amortecimento ( ) (Picos Consecutivos) Fator de Amortecimento ( ) (Picos Alternados) Frequência Natural ( ) (Picos Consecutivos) [rad/s] Frequência Natural ( ) (Picos Alternados) [rad/s] 0. A técnica de picos consecutivos apresentou frequências naturais maiores e fatores de amortecimento menores que a técnica de picos alternados. Portanto. o material com o maior fator de amortecimento. em todas as técnicas.390972 67. o resultado correspondeu com o esperado.003034 65.019065 Compósito s/ Janela 0.8% e 10.014392 0. de 10.034510 0.673346 58.516628 Compósito s/ Janela 0. que era o do sistema oscilatório com material compósito ter um amortecimento maior que o sistema com material metálico. é o material compósito. 9 . O material analisado era predominantemente polimérico.
Report "Relatório Decremento Logarítmico GRUPON QUASE FINAL"