Relaciones ejercicios resueltos

Matemática Discreta ITema 1 - Ejercicios resueltos Relaciones de equivalencia Ejercicio 1. En el conjunto N se define la relaci´ on (a, b)R(c, d) ⇔ ad = bc. Averigua si es de equivalencia y si lo es calcula la clase del elemento (4, 8). Solución. Observamos primero que (a, b)R(c, d) ⇔ ad = bc ⇔ a b = c d (pues b, d = 0 ya que b, d ∈ N). Comprobamos ahora que es relaci´ on de equivalencia: • R es reflexiva: (a, b)R(a, b) ya que a b = a b . • R es simétrica: (a, b)R(c, d) ⇔ a b = c d ⇔ c d = a b ⇔ (c, d)R(a, b). • R es transitiva: (a, b)R(c, d) ⇔ a b = c d (c, d)R(e, f) ⇔ c d = e f    ⇒ a b = e f ⇔ (a, b)R(e, f). Finalmente, la clase del elemento (4, 8) es [(4, 8)] = {(a, b) ∈ N×N | (a, b)R(4, 8)} = (a, b) ∈ N×N | a b = 4 8 = (a, b) ∈ N×N | a b = 1 2 = {(a, b) ∈ N×N | 2a = b} = {(a, 2a) | a ∈ N} = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10), . . . }. Ejercicio 2. En el conjunto N se define la relación (a, b)R(c, d) ⇔ a + d = b + c. Averigua si es de equivalencia y si lo es calcula la clase del elemento (2, 5). Solución. Observamos primero que (a, b)R(c, d) ⇔ a + d = b + c ⇔ a −b = c −d. Comprobamos ahora que es relaci´ on de equivalencia: • R es reflexiva: (a, b)R(a, b) ya que a −b = a −b. • R es simétrica: (a, b)R(c, d) ⇔ a −b = c −d ⇔ c −d = a −b ⇔ (c, d)R(a, b). • R es transitiva: (a, b)R(c, d) ⇔ a −b = c −d (c, d)R(e, f) ⇔ c −d = e −f ⇒ a −b = e −f ⇔ (a, b)R(e, f). Finalmente, la clase del elemento (2, 5) es [(2, 5)] = {(a, b) ∈ N×N | (a, b)R(2, 5)} = {(a, b) ∈ N×N | a −b = 5 −2 = 3} = {(a, b) ∈ N×N | b = a −3} = {(a, a −3) | a ∈ N, a ≥ 4} = {(4, 1), (5, 2), (6, 3), . . . }. Ejercicio 3. En R 2 se define la relación (x 1 , y 1 )R(x 2 , y 2 ) ⇔ x 1 y 1 = x 2 y 2 . Comprueba que es de equivalencia y calcula el conjunto cociente. Solución. Comprobamos que es relaci´ on de equivalencia: • R es reflexiva: (x 1 , y 1 )R(x 1 , y 1 ) ya que x 1 y 1 = x 1 y 1 . • R es simétrica: (x 1 , y 1 )R(x 2 , y 2 ) ⇔ x 1 y 1 = x 2 y 2 ⇔ x 2 y 2 = x 1 y 1 ⇔ (x 2 , y 2 )R(x 1 , y 1 ). • R es transitiva: (x 1 , y 1 )R(x 2 , y 2 ) ⇔ x 1 y 1 = x 2 y 2 (x 2 , y 2 )R(x 3 , y 3 ) ⇔ x 2 y 2 = x 3 y 3 ⇒ x 1 y 1 = x 3 y 3 ⇔ (x 1 , y 1 )R(x 3 , y 3 ). Para calcular el conjunto cociente, calculamos primero la clase de un elemento (a, b) es [(a, b)] = {(x, y) ∈ R 2 | (a, b)R(x, y)} = {(x, y) ∈ R 2 | xy = ab} que es una hipérbola equil´ atera que pasa por el punto (a, b) y tiene como as´ıntotas los ejes coordenados. Por otra parte, la clase del punto (0, 0) es [(0, 0)] = {(x, y) ∈ R 2 | (0, 0)R(x, y)} = {(x, y) ∈ R 2 | xy = 0} que es el conjunto formado por los dos ejes coordenados. As´ı, el conjunto cociente es la familia formado todas las hipérbolas equil´ ateras con as´ıntotas los ejes coordenados y el conjunto formado por los dos ejes coordenados. Ejercicio 4. En Z se define la relaci´ on xRy ⇔ x 2 − y 2 = x − y. Comprueba que es de equivalencia y calcula el conjunto cociente. Solución. Observamos primero que xRy ⇔ x 2 −y 2 = x −y ⇔ x 2 −x = y 2 −y. Comprobamos que es relaci´ on de equivalencia: • R es reflexiva: xRx ya que x 2 −x = x 2 −x. • R es simétrica: xRy ⇔ x 2 −x = y 2 −y ⇔ y 2 −y = x 2 −x ⇔ yRx. • R es transitiva: xRy ⇔ x 2 −x = y 2 −y yRz ⇔ y 2 −y = z 2 −z ⇒ x 2 −x = z 2 −z ⇔ xRz. Para calcular el conjunto cociente, observamos primero que xRy ⇔ x 2 −y 2 = x−y ⇔ (x+y)(x−y) = x−y ⇔    x −y = 0 ´ o x −y = 0 y x + y = 1    ⇔    y = x ´ o y = x, y = 1 −x    . Por tanto, la clase de un elemento x es [x] = {x, 1 −x} y el conjunto cociente es {{0, 1}, {−1, 2}, {−2, 3}, {−3, 4}, . . . } que es equivalente al conjunto N = {1, 2, 3, 4, 5, . . . } pues cada clase tiene un representante en N y dos elementos de N siempre están en clases distintas. Ejercicio 5. En Q se define la relación xRy ⇔ ∃h ∈ Z tal que x = 3y + h 3 . Prueba que es de equivalencia. Razona si los elementos 2 3 y 4 5 pertenecen a la misma clase. Solución. Comprobamos que es relaci´ on de equivalencia: • R es reflexiva: xRx ya que x = 3x + h 3 para h = 0. • R es simétrica: xRy ⇔ ∃h ∈ Z | x = 3y + h 3 ⇒ y = 3x + (−h) 3 con (−h) ∈ Z ⇒ yRx. • R es transitiva: xRy ⇔ ∃h 1 ∈ Z | x = 3y + h 1 3 yRz ⇔ ∃h 2 ∈ Z | y = 3z + h 2 3      ⇒ x = 3 3z + h 2 3 + h 1 3 = 3z + h 2 + h 1 3 con h 2 + h 1 ∈ Z ⇒ xRz. Vamos a ver si los elementos 2 3 y 4 5 pertenecen a la misma clase, es decir, si se cumple que 2 3 R 4 5 : 2 3 R 4 5 ⇔ ∃h ∈ Z | 2 3 = 3 4 5 + h 3 ⇒ 2 = 3 4 5 + h ⇒ h = 2 − 12 5 = − 2 5 ∈ Z. Por tanto, 2 3 y 4 5 no pertenecen a la misma clase. Relaciones de orden Ejercicio 1. Determina el orden lexicogr´ afico de las siguientes cadenas de bits: 001, 111, 010, 011, 000y100 basado en el orden 0 ≤ 1. Dibujar el diagrama de Hasse de estas cadenas, ahora con el orden producto. Solución. Con el orden lexicogr´ afico: 000 ≤ 001 ≤ 010 ≤ 011 ≤ 100 ≤ 111. El diagrama de Hasse con el orden producto es el de la figura. u u u u u u 000 001 010 100 011 111 ` ` ` Ejercicio 2. Sea S = {1, 2, 3, 4}. Con respecto al orden lexicográfico basado en el orden usual ≤: a) Encontrar todos los pares en S ×S anteriores a (2, 3). b) Encontrar todos los pares en S ×S posteriores a (3, 1). c) Dibujar el diagrama de Hasse de (S ×S, ≤ Lex ). Solución. a) Los pares en S ×S anteriores a (2, 3) son: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2). b) Los pares en S ×S posteriores a (3, 1) son (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4). b) El diagrama de Hasse de (S ×S, ≤ Lex ) es el de la figura. u u u u u u u u u u u u u u u u (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) Ejercicio 3. Hallar los elementos maximales, minimales, m´ aximo y m´ınimo (si los hay) para los siguientes conjuntos con el orden dado por el diagrama de Hasse: a) u u u u u d e b c a b) u u u u u d e c a b c) u u u u u u f d e b c a d) u u u u u c d e a b Solución. a) Maximales {a}, minimales {d, e}, máximo a, m´ınimo no hay. b) Maximales {a, b}, minimales {d, e}, máximo no hay, m´ınimo no hay. c) Maximales {a}, minimales {d, f}, máximo a, m´ınimo no hay. d) Maximales {a, b}, minimales {c, d, e}, máximo no hay, m´ınimo no hay. Ejercicio 4. Hallar cotas superiores, cotas inferiores, supremo e ´ınfimo del conjunto B (si los hay) en cada uno de los siguientes casos: a) u u u u u u u h h h f g d e c a b B = {c, d, e} b) u u u u u u u u h h h h f g d e c a b B = {d, e, f} c) u u u u u u h h h e f c d b a ` ` ` ` ` ` B = {b, c, d} Solución. a) Cotas superiores {a, b, c}, cotas inferiores {f}, supremo c, ´ınfimo no hay. b) Cotas superiores {a, b, c}, cotas inferiores {h}, supremo a, ´ınfimo f. c) Cotas superiores {a, b}, cotas inferiores {e, f}, supremo b, ´ınfimo no hay. Ejercicio 5. Representar el diagrama de Hasse de los siguientes conjuntos ordenados y hallar los elementos notables de los subconjuntos se˜ nalados: a) (D 60 , |), A = {2, 5, 6, 10, 12, 30} y B = {2, 3, 6, 10, 15, 30}. b) (D 48 , |), A = {2, 4, 6, 12} y B = {3, 6, 8, 16}. c) (D 40 , |), A = {4, 5, 10} y B = {2, 4, 8, 20}. Solución. Teniendo en cuenta que 60 = 2 2 · 3 · 5, 48 = 2 4 · 3 y 40 = 2 3 · 5, se tienen los siguientes diagramas de Hasse: a) u u u u u u u u u u u u 1 2 3 5 4 6 10 15 12 20 30 60 D 60 b) u u u u u u u u u u 1 2 4 8 16 3 6 12 24 48 D 48 c) u u u u u u u u 1 2 4 8 5 10 20 40 D 40 a) Cotas superiores de A {60}, cotas inferiores de A {1}, sup A = 60, inf A = 1, no existe max A ni min A. Cotas superiores de B {30, 60}, cotas inferiores de B {1}, sup B = 30, inf 1, max B = 30, no existe min B. b) Cotas superiores de A {12, 24, 48}, cotas inferiores de A {1, 2}, sup A = max 12, inf A = min A = 2. Cotas superiores de B {48}, cotas inferiores de B {1}, sup B = 48, inf B = 1, no existe max B ni min B. c) Cotas superiores de A {20, 40}, cotas inferiores de A {1}, sup A = 20, inf A = 1, no existe max A ni min A. Cotas superiores de B {40}, cotas inferiores de B {1, 2}, sup B = 40, inf B = 2, no existe max B, min B = 2. Ejercicio 6. Hallar, si los hay, los elementos maximales, minimales, m´ aximo y m´ınimo para los siguientes conjuntos ordenados: a) (P(X), ⊂), b) ((0, 1), ≥), c) (N, |), d) (N−{1}, |). Solución. a) Maximales {X}, minimales {∅}, máximo X, m´ınimo ∅. b) Maximales y minimales no hay, no hay máximo ni m´ınimo. c) Maximales no hay, minimales 1, no hay máximo, m´ınimo 1. d) Maximales no hay, minimales {2, 3, 5, 7, 11, . . . } (conjunto de los n´ umeros primos), no hay máximo ni m´ınimo. Ejercicio 7. En cada uno de los casos siguientes, d´ıgase si el conjunto X tiene o no una cota inferior, y si tiene alguna hallase su ´ınfimo si existe: a) X = {x ∈ Z | x 2 ≤ 16}, b) X = {x ∈ Z | x = 2y para alg´ un y ∈ Z}, c) X = {x ∈ Z | x 2 ≤ 100x}. Solución. a) X = {x ∈ Z | x 2 ≤ 16} = {x ∈ Z | −4 ≤ x ≤ 4} = {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}. Una cota inferior de X es 4, que es también el m´ınimo de X. b) X = {x ∈ Z | x = 2y para alg´ un y ∈ Z} = {x ∈ Z | x es par} = {. . . , −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, . . . }. X no tiene cotas inferiores y por tanto tampoco tiene m´ınimo. Solución. c) X = {x ∈ Z | x 2 ≤ 100x} = {x ∈ Z | x 2 −100x ≤ 0} = {x ∈ Z | (x −100)x ≤ 0}. Ahora, (x −100)x ≤ 0 ⇔    x −100 ≥ 0 y x ≤ 0 ´ o x −100 ≤ 0 y x ≥ 0    ⇔    x ≥ 100 y x ≤ 0 ´ o x ≤ 100 y x ≥ 0    ⇔ 0 ≤ x ≤ 100. Una cota inferior de X es 0, que es también el m´ınimo de X. Ejercicio 8. Se considera en D 48 ×N el orden lexicogr´ afico correspondiente a tomar el orden divisibilidad en el primer factor y el orden usual en el segundo factor. Sea S = {(2, 2), (2, 3), (3, 2), (6, 3), (6, 1), (4, 2)}. Se pide hallar, si existen, las cotas superiores e inferiores, elementos maximales y minimales, m´ aximo, m´ınimo, supremo e ´ınfimo de S. Solución. Como S = {(2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (6, 1), (6, 3)}, las cotas inferiores de S son los elementos del conjunto {(1, b) | b ∈ N}, y las cotas superiores de S son los elementos del conjunto {(a, b) | a ∈ {12, 24, 48}, b ∈ N}. No existe ´ınfimo de S y sup S = (12, 1). Los elementos maximales de S son (4, 2) y (6, 3), y los elementos minimales de S son (2, 2) y (3, 2). No existe m´ aximo ni m´ınimo de S. Ejercicio 9. Dado el orden parcial del siguiente diagrama de Hasse, obtener un orden total que lo contenga. ¿Cuantos pueden obtenerse? Solución. Un orden total que lo contiene es a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e ≤ f ≤ g ≤ h ≤ i. Para calcular el n´ umero de ´ ordenes totales vemos que en cualquier caso, e estar´ a en quinto lugar. Para llegar a c hay varias posibilidades: • Primero cogemos el par {a, b} y luego el par {c, d} (hay 4 maneras posibles de hacerlo). • Primero cogemos a ´ o b y luego c, después ir´ıa el que no hayamos escogido del par {a, b} y luego c (hay 2 maneras posibles de hacerlo). • Primero cogemos d y luego a ´ o b, después ir´ıa el que no hayamos escogido del par {a, b} y luego c (hay 2 maneras posibles de hacerlo). As´ı, hay 8 maneras de ordenar los 4 vértices anteriores a e. u u u u u u u u u a b c d e f g h i Después de e puede ir f (y después g) o g (y después f), y después han de ir h e i. As´ı, hay 2 maneras de ordenar los 4 vértices posteriores a e. Combinando las 8 maneras de ordenar los 4 vértices anteriores a e con las 2 maneras de ordenar los 4 vértices posteriores a e obtenemos 16 posibles ordenaciones de los vértices. Hay, por tanto, 16 ´ ordenes totales que contengan al dado. Ejercicio 10. Sea T = {a, b, c, d, e, f, g} la lista de tareas para realizar un trabajo, de las que se sabe que unas preceden inmediatamente a otras de la siguiente forma: f ≤ a, f ≤ d, e ≤ b, c ≤ f, e ≤ c, b ≤ f, e ≤ g, g ≤ f. Hallar el orden parcial. ¿Que tareas pueden realizarse independientemente? Construir un orden si el trabajo lo realiza solo una persona. Solución. El orden parcial es el del diagrama de Hasse de la figura. Las tareas que pueden realizarse independientemente son las del conjunto {b, c, g} que no dependen unas de otras, y también las del {a, d}. Si el trabajo lo realiza solo una persona, un orden posible es e−b−c−g−f −a−d. u u u u u u u e b c g f a d Ejercicio 11. En (D 10 , |) × (D 18 , |) se considera el orden lexicográfico. Hallar las cotas superiores, cotas inferiores, supremo e ´ınfimo, si existen, del subconjunto S = {(2, 2), (2, 3)}. Dibujar el diagrama de Hasse. Se define f : D 10 ×xD 18 −→ D 180 por f(a, b) = ab ¿es f inyectiva? ¿es suprayectiva? Solución. Las cotas superiores de S son los elementos del conjunto {(2, 6), (2, 18)} ∪ {(10, b) | b ∈ D 18 }. Las cotas inferiores de S son los elementos del conjunto {(2, 1)} ∪ {(1, b) | b ∈ D 18 }. El supremo de S es (2, 6) y el ´ınfimo es (2, 1). El diagrama de Hasse de (D 10 , |) ×(D 18 , |) es u u u u u u (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 6) (1, 9) (1, 18) u u u u u u (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 6) (2, 9) (2, 18) u u u u u u (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 6) (5, 9) (5, 18) u u u u u u (10, 1) (10, 2) (10, 3) (10, 6) (10, 9) (10, 18) Si se define f : D 10 × xD 18 −→ D 180 por f(a, b) = ab, f no es inyectiva porque f(2, 1) = 2 = f(1, 2) (esto ocurre por ser 2 un factor com´ un a 10 y 18). Por otra parte, f es suprayectiva pues cualquier divisor de 180 se puede poner como producto de un divisor de 10 y un divisor de 18. Para demostrarlo tomemos un divisor n de 180. Como 180 = 2 2 3 2 5, n es de la forma n = 2 a 2 b 3 c 3 d 5 e con 0 ≤ a, b, c, d, e ≤ 1. Entonces n = (2 a 5 e )(2 b 3 c 3 d ) = pq con p divisor de 10 y q divisor de 18. Ret´ıculos Ejercicio 1. Estudiar cuales de los siguientes conjuntos ordenados son ret´ıculos: a) u u u u u u u u f g h d e b c a b) u u u u u u u u h g e f a b c d ` ` ` ` ` c) u u u u u u f e b c d a Solución. (a) no es ret´ıculo porque tiene más de un minimal (f, g, h son minimales). (b) no es ret´ıculo porque tiene más de un maximal (a, b, c, d son minimales). (c) es ret´ıculo porque para cada par de elementos x, y existe sup{x, y} y existe inf{x, y}. Ejercicio 2. Obtener los diagramas de Hasse de todos los ret´ıculos, salvo isomorfismos, de uno, dos, tres, cuatro y cinco elementos. Solución. u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u ´ ´ ´ ´ ´ ` ` ` ` ` Ejercicio 3. Estudiar si en el siguiente ret´ıculo se verifica la siguiente igualdad a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c). Solución. Por un parte a ∨ (b ∧ c) = a ∨ (0) = a. Y por otro lado (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = 1 ∧ 1 = 1. Por tanto, a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c). u u u u u u 0 d a b c 1 Ejercicio 4. Encontrar el complementario de cada elemento de D 42 y D 105 . Solución. En las siguientes tablas se pueden ver los inversos: D 42 x x 1 42 = 2 · 3 · 7 2 21 = 3 · 7 3 14 = 2 · 7 7 6 = 2 · 3 6 = 2 · 3 7 14 = 2 · 7 3 21 = 3 · 7 2 42 = 2 · 3 · 7 1 D 105 x x 1 105 = 3 · 5 · 7 3 35 = 5 · 7 5 21 = 3 · 7 7 15 = 3 · 5 15 = 3 · 5 7 21 = 3 · 7 3 35 = 5 · 7 2 105 = 3 · 5 · 7 1 Como 24 es producto de factores primos distintos, el inverso de un divisor x de 24 es el n´ umero x formado por el producto de los divisores primos de 24 que no aparecen en x, pues entonces se tiene que mcd(x, x ) = 1 y mcm(x, ) = 24. Lo mismo ocurre con 105. También se podr´ıa haber resuelto a partir de los diagramas de Hasse correspondientes. ´ Algebras de Boole Ejercicio 1. Expresar la operaci´ on conjunción en funci´ on de la disyunci´ on y la complementaria. Expresar la disyunción en función de la conjunci´ on y la complementaria. Solución. a ∧ b = ((a ∧ b) ) = (a ∨ b ) , a ∨ b = ((a ∨ b) ) = (a ∧ b ) . Ejercicio 2. Demostrar que en un algebra de Boole se verifican las siguientes propiedades: a) a ≤ b ⇒ b ≤ a . b) a ≤ b ⇒ a ∨ (b ∧ c) = b ∧ (a ∨ b). c) a ≤ b ≤ c ⇒ (a ∧ b) ∨ (a ∧ b ∧ c) ∨ (b ∧ c) ∨ (a ∧ c) = b. d) a ≤ b ⇔ a ∧ b = 0 ⇔ a ∨ b = 1. Solución. a) a ≤ b ⇒ a ∧ b = a ⇒ (a ∧ b) = a ⇒ a ∨ b = a ⇒ b ≤ a . b) a ≤ b ⇒ a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) = b ∧ (a ∨ b). c) a ≤ b ≤ c ⇒ (a ∧ b) ∨ (a ∧ b ∧ c) ∨ (b ∧ c) ∨ (a ∧ c) = a ∨ a ∨ b ∨ a = a ∨ b = b. d) a ≤ b ⇒ a ∧ b = (a ∧ b ) ∨ (b ∧ b ) = (a ∨ b) ∧ b = b ∧ b = 0. a ∧ b = 0 ⇒ a ∧ b = (a ∧ b) ∨ (a ∧ b ) = a ∨ (b ∧ b ) = a ∨ 0 = a ⇒ a ∧ b = a ⇔ a ≤ b. a ∧ b = 0 ⇔ (a ∨ b) = 0 ⇔ (a ∨ b) = 1 ⇔ a ∧ b = 1. Ejercicio 3. Construir un isomorfismo entre (P(C), ⊂) y (B n , ≤ n ) para alg´ un n ∈ N, donde C = {1, 2, 3, 4} y ≤ n denota el orden producto en B n . Solución. El isomorfismo f viene dado por la siguiente tabla Para comprobar que f es un isomorfismo razonamos como sigue: Sabemos que f ser´ a isomorfismo de álgebras de Boole si y solo si es isomorfismo de ret´ıculos. Por otra parte, f ser´ a isomorfismo de ret´ıculos si y solo s´ı es isomorfismo de conjuntos ordenados. Finalmente, f es isomorfismo de conjuntos ordenados pues es claramente biyectiva y se tiene que x ⊂ y ⇔ x ≤ n y. x ∈ P(C) f(x) ∈ B 4 ∅ 0000 {a} 1000 {b} 0100 {c} 0010 {d} 0001 {a, b} 1100 {a, c} 1010 {a, d} 1001 {b, c} 0110 {b, d} 0101 {c, d} 0011 {a, b, c} 1110 {a, b, d} 1101 {a, c, d} 1011 {b, c, d} 0111 {a, b, c, d} 1111 Ejercicio 4. Sea (A, ≤) un álgebra de Boole. ¿Cuantos elementos minimales tiene A − {0}, si A es un ´ algebra de Boole de 8 elementos? ¿Y si A tiene 16 elementos? Solución. Si A es un álgebra de Boole de 8 elementos, A es isomorfa a B 3 . Entonces A − {0} tiene 3 elementos minimales: 001, 010 y 100. Si A es un álgebra de Boole de 16 elementos, A es isomorfa a B 4 . Entonces A−{0} tiene 4 elementos minimales: 0001, 0010, 0100 y 1000. Expresiones booleanas Ejercicio 1. Halla la tabla de verdad de la función f : B 2 −→ B definida por la expresión E(x, y) = (x ∧ y ) ∨ ((y ∧ (x ∨ y)). Solución. La tabla de verdad de f es x y x ∧ y x ∨ y y ∧ (x ∨ y) f(x, y) = (x ∧ y ) ∨ ((y ∧ (x ∨ y)) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 Ejercicio 2. Determina S(f) para las funciones f : B 3 −→ B definidas por: a) f(x, y, z) = x ∧ y, b) f(x, y, z) = z , c) f(x, y, z) = (x ∧ y) ∨ z . Solución. a) S(f) = {110, 111} pues f(x, y, z) = 1 ⇔ x = y = 1. b) S(f) = {000, 010, 100, 110} pues f(x, y, z) = 1 ⇔ z = 1 ⇔ z = 0. c) S(f) = {000, 010, 100, 110, 111} pues f(x, y, z) = 1 ⇔ x = y = 1 ó z = 0. Ejercicio 3. Determina todas las funciones booleanas binarias que cumplan: f(a , b) = f(a, b ) = (f(a, b)) . Solución. Si hacemos a = b = 0 en la f´ ormula anterior obtenemos que f(1, 0) = f(0, 1) = (f(0, 0)) , y si hacemos a = b = 1 obtenemos que f(0, 1) = f(1, 0) = (f(1, 1)) . Por otra parte, si hacemos a = 1 y b = 0 obtenemos que f(0, 0) = f(1, 1) = (f(1, 0)) , y si hacemos a = 0 y b = 1 obtenemos que f(1, 1) = f(0, 0) = (f(0, 1)) . Como se tienen que cumplir todos los casos, tenemos que las f que cumplen f(a , b) = f(a, b ) = (f(a, b)) son las que cumplen que f(0, 0) = f(1, 1), f(1, 0) = f(0, 1) y f(1, 0) = (f(0, 0)) . Las ´ unicas funciones f con estas condiciones son las siguientes: x y f 1 (x, y) 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 x y f 2 (x, y) 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Ejercicio 4. Dados los siguientes mapas de Karnaugh, escribe las expresiones booleanas que definen estos mapas: x x z z z z y y y y 0 0 1 0 1 1 1 0 x x z z z z y y y y 1 1 1 0 1 0 1 0 x x z z z z y y y y 0 0 1 1 1 0 0 1 x x x x t t t t y y y y z z z z 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 x x x x t t t t y y y y z z z z 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 x x x x t t t t y y y y z z z z 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 Solución. x x z z z z y y y y 0 0 1 0 1 1 1 0 f(x, y, z) = x y + y z _ ' ¸ _ ' ¸ x x z z z z y y y y 1 1 1 0 1 0 1 0 f(x, y, z) = xy + yz + y z _ ' ¸ _ ' ¸ _ ' ¸ x x z z z z y y y y 0 0 1 1 1 0 0 1 f(x, y, z) = xy + x z _ ' ¸ _ ' ¸ x x x x t t t t y y y y z z z z 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 f(x, y, z, t) = zt + z t + xy z _ ¸ _ ' ¸ ¸ _ x x x x t t t t y y y y z z z z 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 f(x, y, z, t) = xy + xz + yzt _ ¸ ¸ _ _ ' ¸ x x x x t t t t y y y y z z z z 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 f(x, y, z, t) = xy + y z + y t + x z t _ ¸ _ ¸ _ ' ¸ ¸ _ ' Ejercicio 5. Se considera el conjunto a) S(f) = {(1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 1)} b) S(f) = {(0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0)} Simplifica la expresi´ on booleana de la función f que toma valor 1 en el conjunto S(f) y cero en el resto, mediante el mapa de Karnaugh. Solución. a) 00 01 11 10 00 01 11 10 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 f(x, y, z) = x z + x z + xzt _ ' ¸ _ ¸ _ ' ¸ b) 00 01 11 10 00 01 11 10 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 f(x, y, z) = x y + x z t + yz t + yzt + y zt _ ' ¸ _ ' ¸ _ ' ¸ _ ' ¸ _¸ ' Ejercicio 6. Completa los huecos de la tabla de la derecha, teniendo en cuenta que la expresión que se desea obtener ha de ser lo mas sencilla posible. Determina esa expresión y dibuja el mapa de Karnaugh correspondiente. Solución. El mapa de Karnaugh y la expresión simplificada de f es la figura. Para que f sea lo m´ as simplificada posible hay que definir f(100) = 1, f(101) = 0, f(111) = 1. 0 1 00 01 11 10 1 0 1 1 1 f(x, y, z) = y + z ¸ _ _ ¸ x y y f 1 (x, y) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Ejercicio 7. Dada la funci´ on booleana f : B 4 −→ B f(x, y, z, t) = xyzt + xy zt + xyzt + xy zt + x y z t + x yz t + x y z t + x yz t a) Utilizando las propiedades de un Algebra de Boole demuestra que f(x, y, z, t) = xz + x z . b) Verifica el resultado anterior utilizando los mapas de Karnaugh. Solución. a) Operando se tiene: f(x, y, z, t) = xyzt + xy zt + xyzt + xy zt + x y z t + x yz t + x y z t + x yz t = x(y + y )zt + x(y + y )zt + x (y + y)z t + x (y + y)z t = xzt + xzt + x z t + x z t = xz(t + t ) + x z (t + t) = xz + x z b) El mapa de Karnaugh es x x x x t t t t y y y y z z z z 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 f(x, y, z, t) = xz + x z _ ¸ ¸ _ Ejercicio 8. Simplifica al m´ aximo las siguientes expresiones booleanas: a) (x + y) + y z b) (x y) (x + xyz ) c) x(xy + x y + y z) d) (x + y) (xy ) e) y(x + yz) f) (x + y z)(y + z ). Solución. a) (x + y) + y z = xy + y z. b) (x y) (x + xyz ) = (x + y )(x + xyz ) = xx + xxyz + y xx + y xyz = 0 + xyz + 0 + 0 = xyz . c) x(xy + x y + y z) = xxy + xx y + xy z = xy + 0 + xy z = xy + xy z = xy (1 + z) = xy 1 = xy . d) (x + y) (xy ) = (x y )(x + y) = x y x + x y y = x y + 0 = x y . e) y(x + yz) = y(x (yz) ) = y(x (y + z )) = yx (y + z ) = yx y + yx z = 0 + yx z = x yz f) (x + y z)(y + z ) = xy + xz + y zy + y zz = xy + xz + 0 + 0 = xy + xz . Ejercicio 9. Utilizando el algoritmo de Quine-McCluskey halla la expresi´ on booleana minima de la funci´ on f : B 5 −→ B tal que S(f) = {(1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0, 1), (1, 1, 0, 1, 1), (1, 0, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 0, 1), (1, 0, 0, 0, 1)}. Solución. 1 1 1 1 1 * 1 1 1 0 1 * 1 1 0 1 1 * 1 0 1 1 1 * 1 0 1 0 1 * 1 0 0 1 1 * 1 1 0 0 1 * 1 0 0 0 1 * 1 1 1 - 1 * 1 1 - 1 1 * 1 - 1 1 1 * 1 - 1 0 1 * 1 1 - 1 1 * 1 - 0 1 1 * 1 1 0 - 1 * 1 0 1 - 1 * 1 0 - 1 1 * 1 0 - 0 1 * 1 0 0 - 1 * 1 - 0 0 1 * 1 1 - - 1 * 1 - 1 - 1 * 1 - - 1 1 * 1 - - 0 1 * 1 - 0 - 1 * 1 0 - - 1 * 1 - - - 1 Por tanto, f(x, y, z, t, u) = xu. Ejercicio 10. Encuentra la expresi´ on mas sencilla que detecte dentro del conjunto {0, 1, 2, 3, . . . , 15} los numeros del conjunto: a) A = {m´ ultiplos de dos} b) B = {m´ ultiplos de tres}, c) C = {m´ ultiplos de cuatro} Solución. 00 01 11 10 00 01 11 10 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 f(x, y, z) = z ¸ _ 00 01 11 10 00 01 11 10 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 f(x, y, z) = x y z t + x y zt + x yzt +xyz t + xyzt + xy z t _ ` ¸ _ ` ¸ _ ` ¸ _ ` ¸ _ ` ¸ _ ` ¸ 00 01 11 10 00 01 11 10 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 f(x, y, z) = z t _ ' ¸ Ejercicio 11. Un examen de tipo test consta de 5 preguntas. Las respuestas correctas son: 1 →Si, 2 →No, 3 →Si, 4 →Si, 5 →No. Construye una expresi´ on booleana que analice cada examen y distinga los aprobados de los suspensos. Se considera aprobado si al menos tres respuestas son correctas. Solución. Un examen tendr´ a 5 aciertos si contesta 10110, tendr´ a 4 aciertos si contesta 00110, 11110, 10010, 10100 ´ o 10111, y tendrá 3 aciertos si contesta 01110, 00010, 00100, 00111, 11010, 11100, 11111, 10000, 10011 ´ o 10101. Por tanto, buscamos una función booleana que valga uno exactamente en los valores anteriores. Utilizamos el método de Quine- McCluskey. 1 1 1 1 1 * 1 1 1 1 0 * 1 0 1 1 1 * 1 1 1 0 0 * 1 1 0 1 0 * 1 0 1 1 0 * 1 0 1 0 1 * 1 0 0 1 1 * 0 1 1 1 0 * 0 0 1 1 1 * 1 0 1 0 0 * 1 0 0 1 0 * 0 0 1 1 0 * 1 0 0 0 0 * 0 0 1 0 0 * 0 0 0 1 0 * 1 1 1 1 - * 1 - 1 1 1 * 1 1 1 - 0 * 1 1 - 1 0 * 1 - 1 1 0 * - 1 1 1 0 * 1 0 1 1 - * 1 0 1 - 1 * 1 0 - 1 1 * - 0 1 1 1 * 1 - 1 0 0 * 1 - 0 1 0 * 1 0 1 - 0 * 1 0 - 1 0 * - 0 1 1 0 * 1 0 1 0 - * 1 0 0 1 - * 0 - 1 1 0 * 0 0 1 1 - * 1 0 - 0 0 * - 0 1 0 0 * 1 0 0 - 0 * - 0 0 1 0 * 0 0 1 - 0 * 0 0 - 1 0 * 1 - 1 1 - 1 - 1 - 0 1 - - 1 0 - - 1 1 0 1 0 1 - - 1 0 - 1 - - 0 1 1 - 1 0 - - 0 - 0 1 - 0 - 0 - 1 0 Ahora hacemos la tabla para detectar factores que sobren. 11111 11110 10111 11100 11010 10110 10101 10011 01110 00111 10100 10010 00110 10000 00100 00010 1 - 1 1 - X X X X 1 - 1 - 0 X X X X 1 - - 1 0 X X X X - - 1 1 0 X X X X 1 0 1 - - X X X X 1 0 - 1 - X X X X - 0 1 1 - X X X X 1 0 - - 0 X X X X - 0 1 - 0 X X X X - 0 - 1 0 X X X X Sobra el término 1 0 1 - -. Por tanto, la expresión buscada es f(x, y, x, t, u) = xzt + xzu + xtu + ztu + xy t + y zt + xy u + y zu + y tu . Ejercicio 12. Define una expresi´ on booleana que compare, seg´ un el orden ≤, dos numeros del conjunto {0, 1, 2, 3} y simplif´ıcala. Solución. Si codificamos cada para de n´ umeros (m, n) por sus coordenadas binarias (es decir, (0, 0) ≡ 0000, (0, 1) ≡ 0001, (0, 2) ≡ 0010, . . . (3, 3) ≡ 1111), el problema equivale a encontrar una funci´ on f : B 4 −→ B tal que S(f) = {0000, 0001, 0010, 0011, 0101, 0110, 0111, 1010, 1011, 1111}. En la figura representamos el mapa de Karnaugh de f. Su expresión simplificada es f(x, y, z) = x y + x t + x z + y z. 00 01 11 10 00 01 11 10 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 _ ' ¸ _ ' ¸ _¸ _ ¸ _ ¸ Ejercicio 13. Se considera un ascensor dotado de un dispositivo de seguridad, para que no puedan viajar ni˜ nos peque˜ nos solos ni pesos excesivos. Queremos que el ascensor se ponga en marcha cuando este vac´ıo o con pesos entre 25 y 300 kilos. Dotamos al ascensor de tres sensores: A sensible a cualquier peso, B sensible a pesos mayores de 25 kilos y C sensible a pesos superiores a 300 kilos. Dise˜ na el circuito mas sencillo posible que cumpla dichas condiciones. Solución. Los sensores pueden estar en dos estados, apagado (0) o activado (1). El problema equivale a encontrar una función f : B 3 −→ B con los valores de la tabla (consideramos f(A, b, c) = 1 si permitimos que el ascensor se mueva y f(A, b, c) = 0 si impedimos que se mueva). El mapa de Karnaugh correspondiente es el siguiente: 0 1 00 01 11 10 1 0 0 1 f(x, y, z) = x + yz _ ' ¸ _ ' ¸ A B C f(A,B,C) 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 Obsérvese que la función booleana se interpreta como que el ascensor se mueve si x = 1 (es decir, si est´ a vac´ıo) o si yz = 1 (es decir, si hay un peso mayor de 25 y menor de 300). Ejercicio 14. En una reunión celebrada entre 12 pa´ıses de la Comunidad Europea se acuerda aceptar las resoluciones aprobadas por la mayor´ıa de los miembros. Espa˜ na, Italia, Portugal y Grecia votan en bloque. Situaci´ on similar es la de Francia y Alemania. También hacen lo mismo Reino Unido e Irlanda por un lado y Bélgica, Holanda y Luxemburgo por otro. Dinamarca siempre vota lo contrario que Alemania y los tres pa´ıses Bélgica, Holanda y Luxemburgo lo contrario que Irlanda. Encuentra los pa´ıses que tienen mayor poder de decision. Solución. Denotamos por x el voto com´ un de Espa˜ na, Italia, Por- tugal y Grecia. Denotamos por y el voto com´ un de Francia y Ale- mania. Denotamos por z el voto com´ un de Reino Unido e Irlanda. Denotamos por t el voto com´ un de Bélgica, Holanda y Luxemburgo por otro. Denotamos por u el voto de Dinamarca. Se tiene que t = z y que u = y . Podemos definir una función de 5 variables que diga el resultado de una votaci´ on en funci´ on de los votos de cada grupos. Su tabla de verdad ser´ıa la de la figura (los valores de t y u dependen de los del resto). x y z t u f(x,y,z) 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 Se ve que la funci´ on booleana asociada equivale a f(x, y, z, t, u) = x. Por tanto, los pa´ıses que tienen mayor poder de decision son los del primer bloque formado por Espa˜ na, Italia, Portugal y Grecia. Ejercicio 15. Para evitar errores de transmisión en ciertos mensajes codificados, es frecuente a˜ nadir un bit, llamado de control, a un bloque de bits. As´ı , por ejemplo, en la representaci´ on de cifras decimales mediante un c´ odigo binario, 0 se representa como 00001, 1 se representa como 00010, 2 se representa como 00100, 3 se representa como 00111. El bit de paridad vale 1 si el numero de unos del bloque es par y vale 0 en caso contrario. Define una expresión c que verifique lo anterior para los d´ıgitos del 0 al 9 de manera que sea lo mas simplificada posible en la forma suma de productos. Solución. c ser´ a una funci´ on de B 4 en B que vale 1 en los elementos de {0000, 0011, 0101, 0110, 1001}, y vale 0 en los elementos de {0001, 0010, 0100, 0111, 1000}. El mapa de Karnaugh es el de la figura. La expresi´ on simplicada de c es c(x, y, z) = x y z t +yz t+y zt+xt. 00 01 11 10 00 01 11 10 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 _ ' ¸ _ ' ¸ _¸ ' _ ¸ Ejercicio 16. 16) La aparici´ on de una cifra decimal en el visor de una calculadora se produce mediante un circuito con cuatro entradas, que se corresponden con el c´ odigo binario del d´ıgito y siete salidas fi / i = 1..7, que se presentan como peque˜ nos segmentos, iluminados o no en el visor, seg´ un el siguiente esquema: (f 1 es el segmento superior, f 2 , . . . f 6 son los restantes segmentos exteriores numerados en el sentido de las agujas del reloj, y f 7 es el segmento central. a) Traza la tabla de verdad de cada una de las funciones booleanas f i : B4 −→ B que represente este fen´ omeno binario. b) Encuentra expresiones m´ınimas en forma de suma de productos para f 1 y f 2 . Solución. Si representamos los n´ umeros de 0 a 9 por sus coordenadas binarias, La tabla de verdad de las 7 funciones es la siguiente: x y z t f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 Los mapas de Karnaugh y las expresiones simplificadas de f 1 y f 2 son las siguientes: 00 01 11 10 00 01 11 10 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 _ ¸ ¸ _ _ ¸ _ ¸ 00 01 11 10 00 01 11 10 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 _ ¸ _ ' ¸ _ ' ¸ Por tanto, f 1 (x, y, z, t) = y + yz + xz + y t f 2 (x, y, z, t) = y + z t + zt

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