ESTIMACION ROBUSTAHERIBERTO L. URBISAIA y JUANA Z. BRUFMAN (UBA) 1.- GENERALIDADES La robustez de un método de estimación se refiere a su condición para obtener estimaciones insensibles ante posibles violaciones de alguno de los supuestos fijados al especificar un modelo, en particular, el relativo a la distribución admitida para la perturbación aleatoria. Un estimador robusto produce “buenas” estimaciones” (en algún sentido), ante una amplia variedad de posibles procesos generadores de datos. De acuerdo con la formalización habitual en la estadística matemática, se supone que las observaciones del fenómeno en estudio son generadas a partir de un proceso aleatorio, representado por un miembro Fθ de la familia paramétrica F de funciones de distribución: F = {Fθ ; θ ∈ Θ} Se admite que el mecanismo es totalmente conocido salvo el parámetro θ , que debe ser estimado utili- zando un estimador θˆ , con las propiedades desables conocidas: insesgadez y eficiencia. En general el método de Máxima Verosimilitud (MV) satisface tales requerimientos y en gran parte de las aplicaciones se admite la distribución normal ó gaussiana como modelo teórico de distribución. En el modelo lineal general: yi = xi′ β + ε i , con errores normales, independientes e idénticamente distribuidos, el estimador mínimo cuadrático clásico (MCC) βˆ es el más eficiente de los estimadores insesgados ( best unbiased estimator). Cuando los errores no están normalmente distribuidos, βˆ sigue siendo el más eficiente, pero dentro de una clase más restringida de estimadores, esto es, dentro de la clase de estimadores lineales insesgados (best linear unbiased estimator). Ahora bien; si la distribución de los errores es leptocúrtica, en el sentido de generar frecuentemente errores grandes, la linealidad es una condición extremadamente restrictiva: se prueba que los estimadores MCC resultan inferiores a otros estimadores no lineales insesgados, que se denominan estimadores robustos. Es sabido que la distribución subyacente de la perturbación aleatoria no se conoce con certeza; de ahí que el área de la estimación robusta que ha merecido mayor atención, dentro del campo econométrico, se refiere a estimadores que si bien son algo menos eficientes que los MCC cuando los errores se hallan normalmente distribuidos, resultan considerablemente más eficientes que los MCC para errores no normales. Otros desarrollos referentes a la robustez incluyen estimadores que son robustos ante especificaciones alternativas de la matriz de varianza-covarianza de los errores y estimadores que son robustos con respecto a la especificación de la forma funcional; también en la Inferencia Bayesiana la elección de un estimador robusto con respecto a la especificación de la distribución a priori, ha sido tema de interés para los econometristas bayesianos. La robustez de las estimaciones constituye actualmente un tema preocupante entre economistas teóricos y aplicados, dada la extrema sensibilidad de algunos procedimientos de estimación ante la no normalidad del término de error. 2.- OBSERVACIONES ATÍPICAS. OBSERVACIONES INFLUYENTES. Cuando se analizan datos muestrales es fácil captar visualmente discrepancias respecto a una distribución normal: en datos microeconómicos ó financieros de alta frecuencia, se observan a menudo distribuciones empíricas con colas más densas que la normal. Además. por tanto 0 ≤ hi ≤ 1 . estos valores se denominan observaciones de efecto palanca. a priori. Kuh y Welsch. alteraciones en la metodología de recolección de datos. ii) quitando la observación i . Con frecuencia. DFFITS = xi′β − xi′β ( i ) hi1 2 εˆi = σˆ ( i ) hi1 2 σˆ ( i )(1 − hi ) 1 Toda observación que no parece seguir el patrón de agrupamiento de la mayoría de los datos recibe el nombre de observación anómala ó atípica. denominada Matriz H es matriz idempotente. la expresión DFFIT = yˆi − yˆi ( i ) = hiεˆi 1 − hi mide diferencias entre valores ajustados yˆ : i) con la totalidad de la información . i El i =1 tamaño promedio de un elemento diagonal es K n. digamos entre el 2% y el 10% aparezca como atípica. En este caso se habla de valores influyentes y su identificación puede realizarse corriendo dos regresiones: una con la muestra completa y otra quitando la i -ésima observación. a ser estimado con n observaciones. etc. es conveniente normalizarlas dividiendo cada una de ellas por sus correspondientes errores estándar. Dado que estas diferencias dependen de las unidades de medición. 2 hi es el “Hat” . que deberán ser analizados a los efectos de decidir sobre el tratamiento más adecuado al objetivo del modelo.. si se desea medir el cambio en la estimación del coeficiente β k . se deben calcular: DFBETASki = βˆk − βˆk ( i ) σˆ ( i ) ( X ′X )kk −1 . Del mismo modo. ii) quitando la observación i . por lo que n ∑h = K . valores influyentes ha sido formalizada por Belsley. La contribución de la observación i -ésima en la estimación βˆ se define como: ( X ′X ) xi′ εˆi DFBETA = βˆ − βˆ ( i ) = 1 − hi −1 expresión que mide diferencias entre los coeficientes βˆ . los autores utilizan medidas de diagnóstico que apuntan a cuantificar el impacto de observacio- nes potencialmente influyentes en la estimación MCC del Modelo de Regresión. Por tanto. En esta expresión xi′ es la fila i -ésima de la matriz X y hi = xi′ ( X ′X ) xi mide la influencia a priori de −1 2 la observación i . una incidencia desproporcionada en las estimaciones MCC. originado por la supresión de la información i .1. 2 . Sea el Modelo y = X β + ε . i -ésimo elemento diagonal de la matriz de proyección MCC: −1 H = X ( X ′X ) X ′ . La metodología para identificar (1980 ) . con el correspondiente aumento de los errores estándar de las estimaciones. Todo dato cuya eliminación altera marcadamente la estimación MCC se considera observación influyente. Las medidas estandarizadas se indican como DFBETAS y DFFITS . 2. debido a errores de medición. con K variables explicativas. la función estimada resulta desplazada en exceso.DETECCION DE OBSERVACIONES INFLUYENTES. estimados: i) con la totalidad de la información . la traza de H = K .La falta de normalidad obedece a la presencia de datos anómalos (outliers)1 : puede ocurrir que una pequeña fracción de la muestra. Valores extremos en la muestra pueden tener. wi se tomará =0. en caso contrario. Esta opción implica desechar observaciones que generen errores absolutos mayores que d . los autores consideran observaciones influyentes cuando: DFBETAS ki > 12 2 . 3 En este sentido. Consisten en minimizar la función suma ponderada n de errores absolutos: ∑w i yi − xi′β utilizando diferentes ponderaciones. 3.. la ponderación se estabiliza en b : iii) Aplicando un esquema wi = yi − xi′β si yi − xi′β < b wi = b sgn ( yi − xi′β ) si yi − xi′β ≥ b similar al anterior. i =1 Por ejemplo: i) Fijando todas las ponderaciones iguales. en este caso el estimador minimiza la suma de errores absolutos.Como regla práctica ó valor de corte. el estimador se denomina “Desviación Absoluta Mínima”: n MAD = ∑ yi − xi′β i =1 ii) Utilizando un esquema de ponderaciones que dependa de la magnitud del error en términos absolutos: si éste es menor a un valor arbitrario b ... los estimadores MCC utilizan como ponderación la magnitud de cada error absoluto. esto es wi = 1 .Estimadores con influencia acotada En lo que sigue ejemplificamos cada uno de los estimadores refiriéndonos al campo econométrico. se procederá a la búsqueda de estimadores robustos que permiten la inclusión de toda observación influyente considerada por el investigador como información confiable y valiosa.. cuando yi − xi′β alcance un valor arbitrario d ..Estimadores Lp 3. Completada la etapa de identificación. de ahí la denominación “estimadores.Estimadores M 2.Estimadores L 4.. según la magnitud del error. efectuada por Huber (1964) es la siguiente: 1. tales valores pueden ser indicio de cambios estructurales cuyos efectos deben ser detectados a partir de las estimaciones del modelo.. por fallas en la carga de datos ó errores de medición.. se lo toma como ponderación. 3 . Una clasificación apropiada.Mínimos Cuadrados Recortados 5. pero con valores wi decrecientes hacia cero si yi − xi′β ≥ b . por ejemplo. A menudo. n K DFFITSi > 2 n La detección de valores influyentes no implica que deban ser desechados del grueso de la información.ESTIMADORES ROBUSTOS Existen propuestas alternativas para la estimación robusta de medidas de posición y de escala. efectuadas la correcciones que correspondan. ∀ i . específicamente al Modelo de Regresión: yi = β 0 + β1 xi1 + β 2 xi 2 + . 3.M”. + β K xi K + ε i = xi′β + ε i Estimadores M: Esta clase de estimadores pueden considerarse como generalización de los de Máxima Verosímil. . ≤ y( n) . se τ ( 0 < τ < 1) .25 ) + 0.25 ) + 0.25 ) y el 75% mayores que qY ( 0. la función de distribución empírica tradicional vie- Si se dispone de una muestra aleatoria de tamaño ne dada por: Fn ( y ) = ∑ I (Yi ≤ y ) k donde I ( z ) es una función indicativa que toma valor 1 cuando el argumento es cierto y 0 en los demás casos. es decir.. separa la distribución de modo que el 25% de las observaciones son menores que qY ( 0. Se recordará que.50q% ( 0.n Estimadores Lp : Resultan de minimizar la función ∑ p yi − xi′β .25q% ( 0.50 ) + 0.25 ) . la suma de errores abso- i =1 lutos elevados a la potencia p..75 ) 4 Las observaciones ordenadas de la muestra aleatoria ( y1 . como el menor y mente: que satisface la relación F ( y ) ≥ τ . y( n) siendo de la muestra. dada una variable aleatoria define el cuantil de orden Y . Los estimadores L se obtienen combinando linealmente cuantiles de diferente orden. 4 . etc. la mediana es el segundo cuartil ó cuantil de orden 0. por ejemplo.40q% ( 0. el estimador coincide con el MAD.75 ) ó bien: 0. cuanto más densas son las colas de la distribución empírica.30q% ( 0...50 ) + 0.25 ) ... Formal- q(τ ) = inf { y : F ( y ) ≥ τ } n . menor debe ser p.50.. 4 Estimadores L: Son combinaciones lineales de estadísticos de orden muestrales.. n . las combinaciones: 0. de este modo es posible construir estimadores robustos de una medida de posición. se denomina estadístico de orden i y(1) ... Se han propuesto.2. Si p = 2.25 ó primer cuartil: qY ( 0. con función de distribución F ( y ) = P (Y ≤ y ) . La correspondiente función empírica de los cuantiles viene dada por la expresión: q(τ )n = inf { y : Fn ( y ) ≥ τ } o lo que es lo mismo.30q% ( 0. y( 2) . y2 . estamos ante los Estimadores MCC. si p = 1. i = 1.. el estadístico de orden 0.25q% ( 0. Como regla práctica para decidir sobre el valor de p . yn ) se indican como: y(1) ≤ y( 2) ≤ . considerado como un problema de optimización: qn (τ ) = arg min ξ ∑ τ Yi − ξ + i:Y ≥ξ ∑ (1 − τ ) Yi − ξ i:Y <ξ qn (τ ) = arg min ξ ∑ ρτ (Yi − ξ ) donde ρτ (u ) = u (τ − I (u < 0)) i se denomina función de chequeo (check function) que pondera asimétri- camente valores positivos y negativos... Entonces y(i ) . Así. debe tenerse en cuenta que. se intenta determinar la incidencia de las variables explicativas En la regresión por cuantiles..cuadrática con las observaciones remanentes y se obtiene un estimador MCC α -recortado. En total se elimina el 10% de las observaciones. donde ε i es el error correspondiente a la observación i . condicionada al conjunto de variables regresoras. constituye actualmente una metodología de aplicación corriente en estudios socioeconómicos orientados al análisis de la desigualdad. en un análisis clásico de regresión lineal. la regresión por cuantiles amplifica notablemente el análisis de la distribución de la variable respuesta.REGRESIÓN POR CUANTILES Ó REGRESIÓN CUANTÍLICA La regresión cuantílica. Retomando el modelo yi = xi′β + ε i . condicionada a las variables regresoras x . no sólo el valor medio condicional.. resulta que: i) Mínimos Cuadrados Clásicos minimiza la función objetivo ii) La regresión por la mediana ∑ε (estimador MAD) minimiza ∑ ε i i 2 i i iii) La regresión por quintiles considera como función objetivo una suma que pondera asimétricamente los errores absolutos: otorga ponderación τ a errores por subestimación y ponderación (1 − τ ) para errores por sobreestimación.. xi′ sobre el valor medio condicional de y . Si se consideran cuantiles equiespaciados. que simbolizamos como β%τ . admitiendo que la eficiencia del nuevo estimador resulte hasta. etc. La cota se elige generalmente. formalizado mediante el modelo yi = xi′ β + ε i . Un caso importante de la regresión por cuantiles es el estimador “Desviación Absoluta Mínima” (MAD). por ejemplo. después de calcular los cuantiles 0.Mínimos Cuadrados Recortados: El método consiste. las que conservan ponderación unitaria.95 ) . Por tanto.EL MODELO DE REGRESIÓN POR CUANTILES Como ya dijimos. disminuyendo el peso otorgado a la observación atípica. 4. cuartiles. en cambio.05 y 0. Sin embargo. En esta dirección la regresión por cuantiles apunta a una descripción más detallada al modelizar. la relación yi = xi′ β + ε i .10 . al especificar por ejemplo. se descartan observaciones con residuos negativos respecto a q% ( 0. introducida por Koenker y Bassett en 1978. siendo en este caso α = 0. Por ejemplo. básicamente en desechar algunas observaciones. 5. es posible modelizar cada una de las posiciones predeterminada de la distribución de y . un 5% menor que la correspondiente a los estimadores MCC. cada 5% ó 1% de la población. se practica una regresión mínimo. condicionados a los niveles de las variables regresoras. se estima específicamente la función media condicional de y . 5 . por ejemplo.05 ) y positivos respecto a q% ( 0. unida a su procesamiento electrónico a través de paquetes informáticos cada vez más sofisticados. respecto de las restantes. existe actualmente un interés creciente en métodos que permitan apreciar otros aspectos de la distribución de y . Se trata de minimizar la suma ponderada de errores cuadráticos. Estimadores con influencia acotada : Estos estimadores se diseñan de modo de limitar la incidencia que una observación anómala pueda tener sobre las estimaciones MCC. Ello ha sido posible gracias a la mayor disponibilidad de información microeconómica. la incidencia resulta cuantificada al obtener las estimaciones βˆ . percentiles. sino la mediana.95. En la mayoría de los estudios econométricos se modelan momentos condicionales. se obtiene entonces un vector de estimaciones por cada cuantil. se analiza la incidencia de las variables explicativas sobre cada uno de los cuantiles de la distribución de y . que corresponde al ajuste de la mediana condicional de la variable respuesta. Por otra parte. que coincide en este caso con la mediana Q0.90. por ejemplo.95 .95 βτ resultan crecientes con τ . La recta central representa la recta de regresión mínimo cuadrática. La regresión por cuantiles condicionales estándar supone una especificación lineal en las variables regresoras x : Q(τ / xi . estaríamos en el caso homocedástico. la expresión n n min ∑ τ yi − xi′βτ + ∑ (1 − τ ) yi − xi′βτ β (τ ) i: yi < xi′βτ i:yi ≥ xi′βτ Obsérvese que se utiliza la notación βτ . β 0. si τ es 0. La función objetivo del párrafo anterior se modifica de manera que el vector cuantílico β%τ resulta de minimizar. respecto a βτ .05 y τ = 0. 6 . la esperanza condicional de y dado x .GRAFICO I Regresión Cuantílica (Normal) En el grafico adjunto se ha representado para dos valores de x : x1. x2 la distribución condicionada de y que supondremos en ambos casos normal pero con distinta media y varianza (ambas crecientes con x ).05 = β 0.50 . y no β como en el caso de MCC. la pon- elecciones de deración asimétrica opera con mayor intensidad para observaciones y ≥ x ′β que para observaciones donde y < x ′β La función objetivo no es diferenciable. para destacar que diferentes τ generan distintas estimaciones de β . Como puede observarse. por lo que se utilizan métodos de programación lineal para la búsqueda de la solución. es decir. lo x. Las líneas punteadas son las regresiones cuantilicas Qτ para τ = 0. las pendientes dadas por los coeficientes que muestra la presencia de heterocedasticidad a medida que crece Si las rectas punteadas fuesen paralelas. βτ ) = xi′ βτ siendo βτ el vector de coeficientes asociado al τ cuantil . Esparcimiento. 6. el resultado final puede ser incierto. se estimaron elasticidades del Gasto por Deciles de Ingreso. la saciedad física llega mas rápidamente que en otros. Debemos tener en cuenta. Trajtenberg aplicando el programa STATA 8. nos da el instrumento necesario para analizar en forma cuantitativa el resultado final y el impacto social de este tipo de impuestos. 6. con sus respectivas elasticidades. Implicancias sobre la Distribución del Ingreso y el Bienestar”. Un incremento de precios vía un aumento de impuesto. considerándose diversos rubros que componen el presupuesto familiar: Alimentos. el comportamiento de la demanda según tramos de ingreso. Se utilizaron datos de la Encuesta Nacional de Gastos de los Hogares 1996-1997. puede establecerse un nuevo nivel del equilibrio de las variables precioconsumo. Transporte. En este caso.. Bienes y Servicios varios. Educación. aunque en valores puede la misma puede ser mas extensa. una baja en los consumos.Desde el momento que este enfoque no requiere supuestos fuertes en lo que respecta a la distribución de los errores se lo considera un método robusto para modelizar esas relaciones. pero las calidades pueden aumentar significativamente el valor. A partir de estos conceptos. Una de las aplicaciones más interesantes de este instrumental se refiere al estudio de la repercusión de los impuestos al consumo (ejemplo el valor agregado). la proporción dedicada a este gasto disminuye a medida que aumenta el ingreso. pero dado que simultáneamente se da el efecto contrario (negativo) por la baja en los consumos.. aún cuando luego puede haber un cambio de calidad. correspondientes a la Región Metropolitana del Gran Buenos Aires. las cantidades compradas siguen siendo las mismas o aumentan levemente. cada grupo de bienes sigue su propia dinámica.0. Salud. Por tanto..UNA APLICACIÓN AL CÁLCULO DE ELASTICIDADES DEL GASTO En Urbisaia y Brufman (2005). tiene un efecto doble sobre las cuentas fiscales: uno positivo y otro negativo. Luis A. que las elasticidades se refieren al gasto por tipo de bien. La magnitud de este efecto viene dado por las respectivas elasticidades. 6. El análisis y procesamiento de la base de datos estuvo a cargo del Lic. En efecto. La posibilidad de segmentar los estudios según cuantiles de ingreso permite diferenciar aun más las elasticidades y determinar el rango dentro del cuál los bienes se comportan como necesarios o superfluos. en estos casos tendremos. Así para algunos bienes. acarreando variaciones más pronunciadas en el gasto. un aumento de impuestos. sobre la demanda y finalmente sobre la recaudación fiscal. Los autores Koenker y Bassett demuestran además la consistencia y normalidad asintótica. como era de esperar. es visto por el consumidor como un aumento de precios. proporción que no puede ser alterada significativamente por la calidad. (Capital Federal y Conurbano Bonaerense). Es decir que al llegar a estratos superiores del ingreso. en síntesis. El trabajo se realizó en el marco del Proyecto UBACyT E036 Programación 2001-2004: “La Reforma Tributaria. y por ende. Vivienda. Para el rubro Alimentos. Equipamiento del Hogar. ello im- 7 . El positivo viene dado por la mayor tasa de impuesto. por ejemplo alimentos respecto a indumentaria.RELEVANCIA DEL TEMA El conocimiento de las elasticidades resulta fundamental para analizar el comportamiento de la demanda ante variaciones de precios e ingresos. Indumentaria. Bebidas Alcohólicas. INDEC. que lleva a una extensión de la misma en términos de valor.CASOS EMBLEMÁTICOS El comportamiento de las elasticidades dentro de cada grupo tiene que ver con el grado de saciedad (medida en unidades físicas) y rapidez y forma con que se llega a la misma.2. el hecho de poder desagregar la demanda por cuantiles.1. lo que implica el efecto conjunto de la cantidad y la calidad. para un mismo bien. según elasticidades. 8792 0.9758 1.4329 1. las elasticidades son notoriamente decrecientes.2773 1.6719 8 0.8734 1.3610 0.7921 1.4916 1.7087 7 0. y por ende.9751 1.5328 2.3987 1.9756 1.3218 1. B. Por razones de claridad visual.0723 5 0. su elasticidad se mantiene constante a través de toda la escala.9020 0.7783 0.8904 0.4609 10 0.3070 1. No obstante en este caso el impuesto tendrá un efecto diferente según se lo aplique a las unidades consumidas (botellas. j j representa la proporción del gasto en el rubro i efectuado por el hogar j y G j w i.8769 0.8238 1.9771 1.8346 1.8775 1.8626 1.8998 0.2863 0.5608 1.3968 0.8630 1.8940 0. Indumen Viviend Equip Salud Transp Esparc Educ 1 0.5302 1. estimaciones de regresión por cuantiles de las Curvas de Engel del tipo: w = α − β ln G i.8368 1.3122 0. sólo se exiben Q0.9781 1.8299 1. esparcimiento y educación.4033 1.7017 1. En las que: 8 .4721 0. Bebidas Alcohólicas y Cigarrillos.6670 0.4197 0.6152 1. En los restantes bienes.1081 0.8904 0.0145 6 0.3152 0. Para Bebidas Alcohólicas y Cigarrillos.9711 1.9035 0.9341 2 0. El Cuadro adjunto resume los resultados obtenidos en dicha oportunidad ELASTICIDADES POR DECILES DE INGRESO Decil Aliment.1040 0.7088 0.5217 4 0.9766 1.8765 1.8793 1.9013 0. j el gasto total del hogar.8772 1.8541 1.1101 0.6017 2. difícilmente tendrá impacto sobre la demanda.7627 0.8819 1. por aplicación de un impuesto.4014 1.Alcoh Cigarril. Se consideraron los rubros Alimentos.9732 1.7251 0.1083 0.3610 0.8860 1.1277 0.1287 0. atados de cigarrillos) ó al valor de los mismos (unidades x calidad).6902 0.4566 1.7588 2. como transporte.9758 1.7363 0.2904 1.plica que su valor es más o menos cercano al de saciedad: la elasticidad sufre un aplanamiento más pronunciado a medida que aumentan los deciles.50 Q0.5981 9 0.2149 0.8410 1.90 . en virtud de que se trata de consumos que son más bien vicios.8410 1.9758 1.10 Q0.1101 0.8358 1.7479 0.8922 0.1058 0.8199 1.4300 1.8846 2.6309 2. se trata de consumos con alto contenido de servicios.1129 0. tiene un nivel de saciedad elevado.1413 0.5590 0.7205 1.3438 3 0.6397 0.3702 Paralelamente se muestran en los Gráficos que siguen.3806 0. Un aumento de precios. Zürich.GRÁFICO II Regresión Cuantíl ica 10th Regresión Cuantíl ica 90th Regresión Cuantílica 50th A li mentos Share Proporción del Gasto destinado a Alimentos 1.E. una reducción pronunciada de la heterocedasticidad a medida que aumenta el ingreso.Trivedi [2010]: Microeconometrics using Stata. BIBLIOGRAFÍA Belsley.7335 69 1. Hampel. Revised Edition. Stata Press.000094 -.Kuh and R.2494 .0292 Para alimentos.10 -0. F: [2001]: Robust Statistics: A Brief Introduction and Overview. Seminar für Statistik.90 -0. Eidgenössische Technische Hochschule (ETH).K.5223 1 8.1193 -0.02185 8.50 -0.0044 -0.242588 Proporción del Gasto destinado a Alcohol Regresi ón Cua ntíl ica 10th Regresi ón Cua ntíl ica 90th Proporción del Gasto destinado a Cigarrillos .Welsch [1980]: Regression Diagnostics: Identifying Influential Data and Sources of Collinearity. J. Research Report N° 94.0132 -0. New York. Cameron.0047 βˆ0. se obtuvieron: Alimentos Bebidas Alcohólicas Cigarrillos βˆ0. & P.1264 -0. E. A. D. Respecto a los coeficientes βτ (pendientes) de cada una de las regresiones. muestran en la generalidad de los casos.0789 -0.733569 8.52231 Log Ingreso Per Cápi ta Curva de Engel Regresión Cuantílica Regresi ón Cuantílica 10th Regresi ón Cuantílica 90th Re gre sión Cuan tílica 5 0th Cigarril lo Share Regresión Cuantílica 50th Alcohol Share .1139 βˆ0. sino que defiere según el tipo de bien.C. Texas.003 002 ..52231 Log Ingreso Per Cápi ta Log Ingreso Per Cápi ta Curva de Engel Regresión Cuantílica Curva de Engel Regresión Cuantílica Las regresiones cuantílicas.A.20053 -. USA.013422 . Sin embargo esta reducción no es idéntica para todos los bienes.0022 -0. Switzerland 9 . podemos ver una pendiente más pronunciada.Wiley &Sons. en el sentido de que la saciedad opera más rápidamente que para otro tipo de bienes. Vol. L.J. [1999]: Probability Theory and Statistical Inference.F. [2008]: A Guide to Econometrics. Vol. 73-101. Koenker. et al. Princeton. and K. P. Koenker. Wiley & Sons. y J. Sargent [2007]: Robustness. P. R. Blackwell Publishing. John Wiley & Sons. Buenos Aires. Huber. Econometric Society Monographs. Ed.15. P. Cambridge University Press Koenker. Econometrica. Princeton University Press. Cambridge . Spanos A. En: Progresos en Econometría. R. Annals of Mathematical Statistics.Bassett [1978]: Regression quantiles. H. and G.0 y E-VIEWS 7.1 10 .G. Kennedy. 46 (1). Ediciones Cooperativas. [2005]: Perspectivas y Avances Recientes en Regresión por Cuantiles.Brufman [2005]: La Reforma Tributaria. [2005]: Quantile Regression.Hallock [2001]: Quantile Regression.Cambridge University Press. [1981]: Robust Statistics. R. New York. 33-50. [1964]: Robust estimation of a location parameter. Huber. [1985]: The Theory and Practice of Econometrics. Urbisaia. Paquetes Informáticos: STATA 8. 2 . Oxford. Cambridge.35. W. Implicancias sobre la Distribución del Ingreso y el Bienestar.J. & T. 143-156. 4. New York.Hansen. nd Judge. G. Sosa Escudero. Asociación Argentina de Economía Política. Journal of Economic Perspectives. N.J.