Regresión lineal simple 109EJERCICIOS 1. ¿ Por qué son iguales los signos del coeficiente de correlación y de la pendiente de la recta de regresión de mínimos cuadrados?. Rp.'r=bsx/sr. 2. Dadas las rectas de regresión de mínimos cuadrados Y = a + b X y X = c + d Y . Verificar que bd es igual al coeficiente de determinación. 3. Si las gráficas de las rectas de regresión de Y en X y de X en Y forman un ángulo de 90 grados, ¿qué se puede afirmar del índice de correlación?. Rp. es cero. 4. Si ( JCj JC2 •>'2 ) » - - - »3Vi) son n Pares de datos observados que se encuentran en la recta L: Y = m X + b, ¿por qué L es la recta de regresión de mínimos cuadrados para estos puntos?, ¿qué porcentaje de la varianza total de los >’,• es explicado por L?. Rp. por que E (y - >, )2=0, 100%. 5. Dada la recta de regresión de mínimos cuadrados Y = a + bX, si se produce un incremento igual a c en uno de los valores de X, ¿cuánto es el incremento respectivo que se produce en K?. Rp. be. 6 . AI realizar la regresión de Y en X basado en una muestra de 10 pares de datos (J t/.y ,), se tiene que la varianza de los y¡ es igual a 16 y que la suma de cuadrados debido a la regresión es 140. ¿Qué porcentaje de la varianta de los y, es explicada por la regresión ?. Rp. 87.5%. 7. El coeficiente de correlación entre dos variables X e Y e s r= 0.60. Si s x = 1.50, 5 }/ = 2 . 0 0 , x = 1 0 , y = 2 0 , hallar la recta de regresión: a) de Y en X, b) de X en Y. Rp. a) K= 12 + 0.8X. b )X = 1 + 0.45K O Y = -2 .2 + 2 2 X 8 . Si n pares (jC|, y , ) , . . . , (x n , y n ) son tales que cumplen la relación -V| — 5 ^ , y si y = 0, ¿es válida la relación S XY = S% / 5 ?. Rp. si 9. Si la ecuación de regresión de Y en X es : Y = 3 + I X , hallar la ecuación de regresión de Y en X ’, donde X ’ = X + 3 e Y = Y + 6. Rp. r - 9 = 2(X’ - 3) www.FreeLibros.me estimar los ingresos de las familias con 4 hijos. y = 120.57%.5 . se obtuvo la siguiente información: s x = 7 . Si las ventas observadas fueron 10.5 -J sXY .665x50=33. X =b 11. a) ¿Qué porcentaje de la varianza de las utilidades es explicada por la regresión de utilidades sobre costos?. x = 100. Rp Y = 6 8 8 + 4X. x = 5 0 . s Y = 4 . 8.25% . a) $40.76X. a) y=60+l . ¿en cuanto se incrementaría la estim ación de sus gastos en educación?. 12. y desviaciones estándar respectivas de $10 y 7$. s x = 0 . r = 0. 8 . y = 114. una muestra proporciona un coeficiente de determinación del 90. si jc=45. y .FreeLibros. Al estimar las ventas (10 de un artículo en función de los precios (X) se usó una recta de mínimos cuadrados basado en una muestra de 4 datos. b) Si una fam ilia estim a su gasto por educación en $370.3+0.2X .2. Rp. medias respectivas de $420 y $120.110 Estadística 10. b) 81%. ¿qué porcentaje de la varianza de las ventas es explicada por la recta de regresión?. 13. >' = $704.6. Al estudiar la regresión lineal entre los ingresos medios ( Y en $) y el número de hijos por familia (X). 5.7 0 0 . 14. 6 . Rp. b) ¿Qué porcentaje de la varianza de la presión es explicada por la regresión de la presión sanguínea con respecto a la edad ?. 0. Al estudiar la relación entre el costos(X) y las utilidades (10 en dólares de ciertos productos a partir de una muestra se obtuvo la siguiente información: s x = 5 .25 13.2.me . ¿a cuántos hijos por familia correspondería un ingreso estimado en $712?. www. ¿cuánto debería ser su ingreso mensual?. Y= -159. se obtuvo la siguiente información: x = 3.4. b) $795. En un estudio de la relación entre ingresos m ensuales y gastos de educación de las familias.94. s Y = 10.6665^. 14 y si las ventas estimadas respectivas son 10. y = 50. K=-26+0.90 a) Hallar la relación lineal de la presión con respecto a 3a edad y predecir la presión sanguínea para una mujer de 45 años.8. Al estudiar la relación entre la edad (X) y la presión sanguínea (10 a partir de una muestra de mujeres. 96. Según este estudio a) ¿En cuánto se estim a los gastos por educación de una familia cuyo ingreso mensual es de $300?. Rp. c) Si una familia tiene un aum ento de $50. Un estudio de mercado trata de averiguar si es efectiva la propaganda televisada de un producto que salió a la venta con relación al tiempo de publicidad (en horas/semana). Se tiene la siguiente información: « = 1 0 0 . www.9025. . 68. . c) ¿Cuántos empleados tiene la tienda cuya venta promedio se estima en $1. Determinar el índice de correlación entre los valores x¡ e y¡ si además.100?. r * = r . . 82. ^=0.y . Para medir la eficiencia de las tiendas se estudió la relación del número de empleados (X) y el promedio del volumen de ventas mensuales (J7) expresado en cientos de dólares para todas las tiendas durante el año pasado. = -------. ¿en cuanto se estima la utilidad para un costo de $ 120 ?.9 Rp.( x „ . No se pudo recopilar datos de la cuarta semana. a) Y=l+2. Rp. 2 . c) 4. .6%. y . (x„ . Regresión lineal simple 111 b) Si cada valor del costo se aumenta en $3 y el valor correspondiente a la utilidad se aumenta en 6 $. y n ) tienen índice de correlación r. entonces y ' = rx' 17. 19. (x „ .>■*). . .5X.para i = l. Una compañía de alimentos maneja una cadena de tiendas al menudeo..9..> '*).. y:. . b) ¿Qué porcentaje de la varianza de las ventas es explicada por la variabilidad del número de empleados?.x . I X K = 13600. .„ x. el 90 25%. y n ) son tales que cumplen la relación: Y = bX .76(A"-1()3).: . deducir b usando el método de mínimos cuadrados. 15.95. / i . y¡ = --------. Si n pares ( x . x * = 0. es y = rx . I K = 1600.y-¡). 16. Se recopilaron datos a partir de la segunda semana de iniciada la publicidad resultando el cuadro que sigue. .FreeLibros. I K 2 =37700 a) Hallar la recta de mínimos cuadrados para estimar las ventas partir del número de empleados. a) r=0. Rp. b) >=0. 21 o $2100. y n ) se obtiene una ecuación de regresión lineal con pendiente igual a -1 . I X 2 =5200. I X = 600. v* = 0.me . b='LxyfZx 18.92. Si n pares (x. r = -0.(x * .. b) K-56=0. s x / sr = 0. ¿En cuánto se estiman las ventas para una tienda de 8 empleados?. La gráfica de los datos sugiere una relación lineal entre las variables. Sx Sy Rp. Rp.. ) .909 .. en donde * x. Utilizando los n pares de datos . comprobar que la recta de regresión para los puntos (xj*. b) $5 12.5. ¿ Que porcentaje de la varianza total de precios se explica por esta función?. a) Y= 176.96. c) Si realm ente cada máquina de la muestra produce 10 artículos menos determinar la recta de regresión.me .467X. Una muestra de 5 varones adultos de quienes se observaron las estaturas (X en pies.26.82 + 5. Se quiere estudiar la relación entre las edades en años (X) de un tipo de máquinas que se utiliza en la fabricación de cierto artículo y el número de artículos (y) que producen. X 1= 1 r.92.27?. Si a este libro se le incrementa 2 0 páginas en una segunda edición. c) 850 21.013X. ¿Cuánto es el porcentaje de la varianza explicada por la regresión de la producción?. r = 0.112 Estadística Semana 2 3 4 5 6 7 Tiempo de propaganda 2 0 25 22 28 36 40 Venta del Producto($) 300 310 .5 + 8. Estim ar la producción para 4. b) 297. ¿en cuánto se incrementaría su precio?. Rp. a) Y= 1. 94.5 + 722. $ 0.22 + 0. Un editor tomó una muestra de 7 libros anotando el precio y el número de páginas respectivo.5%. b) Estim ar el precio de un libro de 300 páginas. 20. de páginas 630 550 400 250 370 320 610 Precio ($) 10 8 7 4 6 6 9 a) Determine una función lineal entre el precio y el número de páginas con el fin de predecir precios. b) ¿En cuanto estim aría las ventas para la semana 4? Rp.FreeLibros. 22. www.5X'.5.3. b) r = 0. c) ¿Cuántas páginas debería tener un libro cuyo precio se estima en $12. 320 350 420 a) ¿Es efectiva la publicidad del producto?. pulgadas) y los pesos (y en libras) ha dado los siguientes resultados: X 5'1" 5'2" 5'3" 5'4" 5'5" Y 125 130 140 145 160 a) Realice una regresión lineal y utilice los datos para verificar que la varianza total de Y es igual a la varianza residual más la varianza explicada por la recta de regresión. 7 y 8 años. obteniendo los siguientes datos: No. A partir de la muestra de la tabla siguiente: a) Determ inar la recta de regresión de mínimos cuadrados para predecir la producción. b) Calcular el porcentaje de la varianza explicada por la regresión de la producción. 750 = 27. Rp. b) Usando la descom posición de la varianza calcule r 2 e interprete el resultado.4. a) Y= 114. tomando como base al año 1980 ( es decir 1980 = 100). 50 10 25 Rp. a) Y= 101.8 6 .0 1 1 1 .9 3.274 + 13 2 X b) 7. 25.6 a) Hallar la recta de mínimos cuadrados que se ajuste a los datos.4).0 4. Rp.2 2.6.5 5. 23.2 128 0 132.994 b) año 1991.0 2 .4 6 .5 4.4 Beneficios 4. 24. observando la temperatura media correspondiente en grados centígrados (X) y la cantidad de los refrescos en miles (y) pedidos durante cada uno de dichos períodos. Regresión lineal simple 113 X Y 2 95 3 70. Una fábrica de cierta marca de refresco ha tomado al azar 9 semanas del año. 80 4 - 5 75 6 60 7 - 8 _ 9 45.0 1. b) Determine el beneficio si el gasto es 5%.0 2.9 3.5 -6 .2 121. a) K= 1.99%.me . Sea Y el índice de precios al consumidor.6 4 X y r novaría.34X.0 3.5 .83 + 4.3 1. suponiendo que las tendencias presentes continúen?. r = 0.3 125. ¿Cuánto es el porcentaje de la varianza explicada de los beneficios con respecto al gasto?. Los datos se resumen en la siguiente tabla: X 28 14 12 31 30 19 24 15 16 Y 60 19 12 75 70 40 55 25 25 www. Rp.8 4.5 1 . ¿En que año podemos esperar que el índice de precios sea 150. b) Predecir el índice de precios para el año 1988 y compararlo con el valor verdadero (144.6 3.1 117.FreeLibros.57.64X b) 88 %.88 y 95.2 a) Hallar la recta de regresión de mínimos cuadrados para predecir beneficios netos. Para los datos que siguen: Año 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 Y 106. a) Y= 102. Los porcentajes en gastos de publicidad y los porcentajes de beneficios netos de ventas en una muestra de 9 negocios es com o sigue: Gastos 2. c) = 9 1 . b) 3" = 5./cm2. Y'=0. ^=0. La presión P (kg. r= \IY .74X í-0 .342. K= 12. Modelo lineal.9 1 . 4985 4890 a) Ajustar una curva de mínimos cuadrados de la forma Y = AB x . l'=40. a) Y = -23.005176X.98 27.114 Estadística Hallar la recta de regresión de mínimos cuadrados para predecir la cantidad de pedidos.9868. ¿por qué? Rp ivlodelo no lineal.9 + 3. 28. Rp. Mejor ajusta el modelo no lineal.78(0. a) Y = 6559. Ajustar por el método de mínimos cuadrados una curva de la forma: Y = 5 + -----?----- A + BX a los datos del problema 19. Rp.29(X)_ow)86. Los siguientes datos son los precios de venta en dólares Y de una marca de automóviles usados X años: X 1 2 3 4 5 6 Y 6350 5695 5790 . ¿Se puede planificar la producción en base a la temperatura?. 26.5 ).93. Ajustar por el método de mínimos cuadrados una curva de la forma: Y = -----í----- A + BX a los siguientes pares de datos: X 4 8 12 16 20 24 28 32 Y 24 21 20 15 14 10 7 5 Rp.) se registró en la siguiente tabla: www.82. b) Estimar el precio de venta de un automóvil que tenga 4 años de uso. b) r = 0.FreeLibros.154* . Los siguientes datos son la inversión neta (X) y la tasa de interés (10 X 12 8 10 7 6 5 5 Y 4 5 6 7 8 9 10 Se plantean dos modelos para relacionar Y con X Y=AXb e Y=a+bX ¿Qué modelo se ajusta m ejor a los datos?.9127 29. <=0.63 0. r=0. 30. ( hacer prim ero Y' = Y .95)* ■ r =-0. r= 0.me .87.003146+0.9658.) de un gas correspondiente a diferentes volúmenes V (cm3. 1 52.908 31.84 + 2 . r =0.8 25. www.6 36.8 3 X '. K’= 6.57)*. P V 2m =6918309.7(1. a) Y = .7 Rp.7 8.98.me .FreeLibros. Rp. Regresión lineal simple 115 £ Ajustar a los datos una curva de mínimos cuadráticos de la forma: P V =A y estimar P cuando U es 110 c m A V 50 60 70 80 90 100 p 79.1 0 + 27. 254.11.1. El número Y de bacterias por unidad de volumen presentes en un cultivo de X horas se registró en la siguiente tabla: X 0 I 2 3 4 Y 20 35 50 80 190 Ajustar a los datos una curva de mínimos cuadráticos de la forma: y estimar el número de bacterias a las 5 horas.7 65.709.=0.56.