Regla de Chvorinov

Regla de ChvorinovLa regla de Chvorinov es una relación matemática formulada por Nicolas Chvorinov en 19401 que, en procesos de fundición metalúrgica, relaciona el tiempo de solidificación de una pieza con su volumen y superficie. Cuantifica la experiencia empírica de que a iguales condiciones externas, la pieza con mayor superficie y menor volumen se enfriará más rápidamente que otra con menos superficie y mayor volumen. La relación puede escribirse como:2 donde:  t es el tiempo de solidificación,  V es el volumen de la pieza,  A es la superficie de la pieza en contacto con el molde,  n es una constante (según Askeland,normalmente 2; sin embargo Degarmo la establece entre 1,5 y 22 3 ), y  B es la constante del molde. Esta última constante depende de las propiedades del metal (densidad, capacidad calorífica, calor de fusión) y del molde, como temperatura inicial, densidad, conductividad térmica, capacidad calorífica y grosor de pared. Las unidades de B son .4 B, puede ser calculada según la siguiente relación: donde:  Tm = temperatura de fusión o solidificación del líquido (en Kelvin)  To = temperatura inicial del molde (en Kelvin)  ΔTs = Tvertido − Tm = sobrecalentamiento (en Kelvin)  L = calor latente de fusión (en [J.kg-1])  k = conductividad térmica del molde (en [W.m-1.K-1)])  ρ = densidad del molde (en [kg.m-3])  c = calor específico del molde (en [J.kg-1.K-1]) Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad.kg-1. 11 y 13.m-3])  cm = calor específico del metal (en [J. que resultan operaciones triviales.K-1]) Es muy útil para el diseño de mazarotas. ya que si esta solidifica antes deja de cumplir su función. ρm = densidad del metal (en [kg. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent. En matemáticas. 9. 3. es posible calcular la optimidad de la aproximación. Si esta serie está centrada sobre el punto cero. Determinar si una mazarota solidificará antes que la pieza. Se ilustran las aproximaciones de MacLaurin a sen(x). 7. se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones. una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como ( x-a )^n llamados términos de la serie. de grados 1. Esta aproximación tiene tres ventajas importantes: la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término. 5. 3 Serie de Taylor A medida que aumenta el grado del polinomio de MacLaurin. dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o punto a suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie. se le denomina serie de McLaurin. a=0. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent). La gráfica de la función exponencial (en azul). se aproxima a la función. centradas en 0. y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo). Índice [ocultar] 1 Definición 2 Historia . 5 Función W de Lambert 5 Varias variables 6 Aplicaciones 7 Véase también 8 Referencias 9 Enlaces externos Definición[editar] La serie de Taylor de una función f real o compleja ƒ(x) infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias: f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(xa)^3+\cdots que puede ser escrito de una manera más compacta como la siguiente suma: \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}\.3 Funciones trigonométricas 4. la serie se denomina también de McLaurin.1 Función exponencial y logaritmo natural 4.4 Funciones hiperbólicas 4. .3 Función analítica 4 Series de McLaurin (Taylor alrededor del número 0) notables 4.. donde: n! es el factorial de n f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f para el valor a de la variable respecto de la cual se deriva.2 Serie geométrica 4. En caso de ser a = 0. como ya se mencionó. La derivada de orden cero de f es definida como la propia f y tanto (x − a)0 como 0! son ambos definidos como 1 (0! = 1). los primeros ejemplos del uso de series de Taylor y métodos similares fueron dados por Madhava de Sangamagrama. Posteriormente. Aristóteles propuso una resolución filosófica a la paradoja. Luego hay que deshacer el cambio de variable.2 En el siglo XIV. a+r) y la suma es igual a f(x). quién publicó el caso especial de las series de Taylor en el siglo XVIII. Función analítica[editar] Si una serie de Taylor converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r. Para . escritos de matemáticos hindúes posteriores sugieren que él encontró un número de casos especiales de la serie de Taylor. un profesor de Edinburgo. incluidos aquellos para las funciones trigonométricas del seno. tangente y arcotangente. James Gregory también trabajó en esta área y publicó varias series de Maclaurin. Liu Hui utilizó un método similar cientos de años después. si se quiere desarrollar la función f(x)=x\ln x alrededor de a = 1 se puede tomar z=x-1.1 Independientemente.Cabe destacar que en una serie de Taylor de potencias centrada en a de la forma \sum^{}_{}a_n(x-a)^n siempre se puede hacer el cambio de variable z=x-a (con lo que x=z+a en la función a desarrollar original) para expresarla como \sum^{}_{}a_nz^n centrada en 0. Historia[editar] El filósofo eleata Zenón de Elea consideró el problema de sumar una serie infinita para lograr un resultado finito. Fue a través del método exhaustivo de Arquímedes que un número infinito de subdivisiones geométricas progresivas podían alcanzar un resultado trigonométrico finito. pero el contenido matemático de esta no quedó resuelto hasta que lo retomaron Demócrito y después Arquímedes. Las series de Maclaurin fueron nombradas así por Colin Maclaurin. Por ejemplo.3 A pesar de que hoy en día ningún registro de su trabajo ha sobrevivido a los años. pero lo descartó por considerarlo imposible: el resultado fueron las paradojas de Zenón. En el siglo XVII. de manera que se desarrollaría f(z+1)=(z+1)\ln(z+1) centrada en 0. coseno. Pero en 1715 se presentó una forma general para construir estas series para todas las funciones para las que existe y fue presentado por Brook Taylor. entonces la función f(x) se llama analítica. de quién recibe su nombre. \forall x. para } \left| x \right| < 1 Serie geométrica[editar] \frac{a}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} ax^n\quad\mbox{ para } \left| x \right| <1 . el límite del polinomio de Taylor de esa función. Función exponencial y logaritmo natural[editar] e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad. Las dos imágenes superiores unidas. El Teorema de Taylor facilita la estimación cuantitativa del error de dicha aproximación. los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x. se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. La serie de Taylor de una función es.comprobar si la serie converge a f(x). Una aproximación de octavo orden de la función coseno en el plano de los complejos. A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Una función igual a su serie de Taylor en un intervalo abierto (o un disco en el plano complejo) se denomina función analítica. Series de McLaurin (Taylor alrededor del número 0) notables[editar] La función coseno.. n \in \mathbb{N}_0 \ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n-1}}n x^n\quad\mbox{. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias. Se suele aproximar una función mediante un número finito de términos de su serie de Taylor. Una función puede no ser igual a la serie de Taylor ni siquiera convergiendo tal serie para cada punto. en caso de existir. Se denomina polinomio de Taylor al número finito de los términos iniciales de la serie de Taylor de una función. para } \left| x \right| < 1 Funciones hiperbólicas[editar] \sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad . Los Ek del desarrollo de sec(x) son Números de Euler. para } \left| x \right| < 1 \arctan x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{.n) del desarrollo del binomio son los coeficientes binomiales. para } 0<\left |{x}\right |< \pi \arcsin x = \sum^{\infin} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{. \forall x \cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad . \forall x \tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n1}\quad. para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2} \csc{x}=\sum_{n=1}^\infty{\frac{2(2^{2n-1}-1)B_{n}x^{2n-1}} {(2n)!}}\quad\mbox{. Los valores C(α. \mbox{ para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2} Donde Bs son los Números de Bernoulli. para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2} \sinh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{.Funciones trigonométricas[editar] \sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad. para } \left| x \right| < 1 \tanh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{. \sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{. Varias variables[editar] La serie de Taylor se puede generalizar a funciones de d variables: . \forall x \cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad. para } \left| x \right| < 1 Función W de Lambert[editar] W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad\mbox{. para } \left| x \right| < \frac{1}{e} Los números Bk que aparecen en los desarrollos de tan(x) y tanh(x) son Números de Bernoulli. \forall x \tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n1}\quad\mbox{. \mathbf{a}) + \cdots donde \nabla f(\mathbf{a}) es el gradiente y \nabla^2 f(\mathbf{a}) es la matriz hessiana.y) \. Un polinomio de Taylor de segundo grado puede ser escrito de manera compacta así: T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + (\mathbf{x} . donde {n \choose n_1 \cdots n_d} es un coeficiente multinomial.b) (y-b)^2 \right).b)(y-b) \. \approx f(a. + \frac{1}{2}\left( f_{xx}(a.a_d)}{n_1!\cdots n_d!} (x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d} = \sum_{n=0}^{\infty} {1 \over n!} \sum_{n_1+\cdots+n_d=n} {n \choose n_1 \cdots n_d} {\partial^n f(a_1.\mathbf{a})^T \nabla f(\mathbf{a}) + \frac{1}{2} (\mathbf{x} . la serie de Taylor de segundo orden en un entorno del punto (a.\mathbf{a})^T \nabla^2 f(\mathbf{a}) (\mathbf{x} .b)(x-a) + f_y(a. Como ejemplo. x e y.b) + f_x(a. b) es: f(x. Otra forma: T(\mathbf{x}) = \sum_{|\alpha| \ge 0}^{} {\frac{\mathrm{D}^{\alpha}f(\mathbf{a})}{\alpha !} (\mathbf{x}-\mathbf{a})^{\alpha}} Aplicaciones[editar] .b)(x-a)^2 + 2f_{xy}(a.b)(x-a)(y-b) + f_{yy}(a.\cdots.a_d) \over \partial x_1^{n_1} \cdots \partial x_d^{n_d}} (x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}.\cdots. para una función de 2 variables.\sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin} \frac{\partial^{n_1}}{\partial x_1^{n_1}} \cdots \frac{\partial^{n_d}} {\partial x_d^{n_d}} \frac{f(a_1. determinación de convergencia y suma de algunas series importantes. estudio de puntos estacionarios en funciones (máximos o mínimos relativos o puntos sillas de tendencia estrictamente creciente o decreciente).Además de la obvia aplicación de utilizar funciones polinómicas en lugar de funciones de mayor complejidad para analizar el comportamiento local de una función. estimación de números irracionales acotando su error. estudio de orden y parámetro principal de infinitésimos. estimación de integrales. etc. teorema de L'Hopital para la resolución de límites indeterminados. Algunas de ellas son: análisis de límites y estudios paramétricos de los mismos. las series de Taylor tienen muchas otras aplicaciones. . 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