Reconstrucci´ on PSU Admisi´ on 2017 PSU Matem´ atica Las preguntas escritas en este documento han sido creadas a partir de los recuerdos de cada profesor y estudiante de la Academia Narvezzi(*) que ha rendido la PSU en el proceso de admisi´on 2017. Esperamos que este material sirva de apoyo para todos los estudiantes que se preparar´an el pr´oximo a˜ no en su proceso de admisi´on y los profesores de todos los colegios de Chile que preparan material a˜ no tras a˜ no. Los ejercicios presentados aqu´ı no corresponden a una r´eplica exacta de la prueba, m´as bien, hemos querido mostrar la dificultad y contenidos evaluados en este proceso. (*) La Academia Narvezzi es un centro de desarrollo de conocimiento, motivaci´on y construcci´ on de aprendizaje, actualmente estamos ubicados en Rancagua y hacemos preparaci´on de PSU y cursos de refozamiento escolar.
´Indice 1. N´ umeros
2
2. Algebra y Funciones
7
3. Geometr´ıa
13
4. Datos y Azar
23
5. Respuestas
30
Departamento de Matem´ atica
1. 1.
Academia Narvezzi
N´ umeros Tres amigos se reparten $4.000 de tal forma que uno de ellos recibe 2/5 del total, otro recibe $1.400, ¿qu´e fracci´on del total recibe el tercero? A) 1/4 B) 3/4 C) 1/2 D) 1/5 E) 1/6
2.
Un criador de cerdos quiere probar un nuevo sistema de alimentaci´on para sus 360 cerdos, y al 1 analizar sus resultados se percat´ o que el 20 % baja de peso, del total mantuvo su peso, y el resto 4 sube de peso. ¿ Qu´e porcentaje del total sube de peso ? A)
11 20
B) 198
3.
C)
9 20
D)
2 9
E)
3 5
¿Cu´al de los siguientes n´ umeros es m´ as cercano a 25:10 ? A) 15 : 3 B) 19 : 9 1 C) 2 4 D) 17 : 7 E) 25 : 5
4.
¿Cu´al es el orden creciente de los siguientes n´ umeros p 0, 045 q 0, 045 r 0, 045 s 0, 045 A) p, q, r, s B) q, r, s, p C) s, p, q, r D) p, s, r, q E) p, s, q, r
2
Departamento de Matem´ atica
5.
1, 103 A) B) C) D) E)
6.
Academia Narvezzi
1092 990 1103 990 1103 99 1092 99 1092 999
¿Cu´al de las siguientes igualdades es verdadera? A) 6 70 1 B) 52 25 1 C) 2 24 4 D) 80 0 E) 34 32 38
7.
¿Cu´al es el orden correcto de los siguientes n´ umeros? P
3
?
5, Q
?
14, R
?
30 4
A) R Q P B) P Q R C) R P Q D) Q R P E) Q P R
8.
¿Cu´al(es) de las siguientes afiramaciones es verdadera para los complejos z1 , z2 y z3 de la figura? I) z1 z3 II) z1 z2 III) z2 z3 A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III
3
Departamento de Matem´ atica
9.
2 3 1 1 2
3
Academia Narvezzi
A) 31 5 B) 36 13 C) 36 31 D) 108 E) Otro valor
10.
Un se˜ nor retira $6540000 de un banco en billetes de $5000 y $20000, sumando un total de 450 billetes. ¿Cuantos billetes de $20000 recibe ? A) 164 B) 30 C) 143 D) 280 E) 307
11.
Sea z un n´ umero complejo de la forma z A) a2 B) a2 C) a2 D) 2a2 E) 4abi
12.
a
bi. Al operar z 2
zz z 2 se obtiene
b2 b2 4abi b2 6abi 2b2 2abi
El valor de π
3, 141592 . . . aproximado por redondeo a la mil´esima es:
A) 3,141 B) 3,142 C) 3,1416 D) 3,14 E) 3,15
13.
Si 0 p 1 y n entero positivo, ¿cu´ al de las siguientes expresiones es mayor? A) B) C) D) n pn E) pp 1qn
14.
La mitad de un tercio m´ as el doble de un tercio es: A) 2/3 B) 5/6 C) 1 D) 1/2 E) 3/5
4
Departamento de Matem´ atica
c 6 15.
4
1 24
Academia Narvezzi
A) 2 1 B) 2 C) 26 1 D) ? 2 6 1 E) 2
16.
A la suma de dos racionales no nulos se le suma uno y se obtiene cero. Siempre es correcto afirmar que: I) Si uno es negativo el otro es positivo II) Si se suman los inversos multiplicativos el resultado ser´a positivo III) La diferencia entre ellos es distinta de cero A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Ninguna de ellas
Dos adolescentes multiplican los n´ umeros 0, 25 y 0, 555. Uno de ellos lo trunca el producto a la mil´esima y el otro lo redondea a la mil´esima, ¿cu´al es el valor absoluto de la diferencia entre ambas aproximaciones? A) 1 B) 0,001 C) 0,01 D) 0,1 E) 0
5
Departamento de Matem´ atica
19.
2 Se tienen tres n´ umeros p , q 5
Academia Narvezzi
15 y r 252 . El resultado de pp
qq
1 r
6 125 B) 5 C) 1 15 D) 2 E) 10
A)
20.
Sean a y b enteros positivos, con a b, es posible conocer el valor de x en la expresi´on
pax bxqpa bq a2 b2 si se sabe que: (1) a 2b (2) el 20 % de a
b es 2
A) (1) por s´ı sola B) (2) por s´ı sola C) Ambas juntas D) Cada una por s´ı sola E) Se requiere informaci´ on adicional
6
Departamento de Matem´ atica
2. 21.
Academia Narvezzi
Algebra y Funciones
Si f pxq
?
x 2 ¿cu´ al de los siguientes gr´aficos representa mejor a f ?
A)
D)
B)
E)
C)
22.
Dada la funci´ on f pxq
3x 6 definida para todos los reales, hallar el valor de f 1p4q 5
6 5 1 B) 3 14 C) 3 26 D) 5 E) 2
A)
23.
Si a
b 8 y ab 10, ¿cu´ al es el valor de a2
6ab
b2 ?
A) 24 B) 40 C) 64 D) 104 E) No se puede determinar
7
Departamento de Matem´ atica
24.
Academia Narvezzi
¿Cu´al(es) de las siguientes relaciones se representa(n) como una funci´on cuadr´atica? I) El volumen de un cilindro de radio 5 cm en funci´on de su altura x. II) El lado de un rect´ angulo de ´ area 36 cm2 en funci´on del otro lado x. III) La diagonal de un cuadrado en funci´on de su lado x. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Ninguna de ellas
25.
¿C´ ual es el valor de m si se cumple que pa bq2
a2
b2
2m?
A) ab B) a2 b C) ab D) bpabq E) 1
26.
¿Cu´al(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? 4 I) 5 II)
P
4 ,3 5
2, 3 P 37 , 52
1 III) 8
P
1 1 , 4 2
A) Solo I B) Solo II D) II y III C) I y II E) Todas las anteriores
27.
Un cuadrado de lado 4 se divide en tres partes iguales. Luego una de las partes se vuelve a dividir en tres partes iguales. Si este proceso se repite 10 veces ¿Cu´al es el ´area de cada uno de los cuadril´ ateros m´as peque˜ nos que se forman?
9
1 16 3 10 1 B) 16 3 10 1 C) 16 9 16 D) 243 3 4 E) 6
A)
8
Departamento de Matem´ atica
28.
Academia Narvezzi
Sean dos n´ umeros p y n tales que 0 p 1 y n ¡ 1. ¿Cu´al de las siguientes expresiones es mayor? A) p1 pqn B) npn C) pn D) pn 1 E) p2n
29.
Un t´ecnico cobr´ o $48.000 por reparar un computador. Si gast´o $24.000 en repuestos y cobra $7.500 por la hora de trabajo, ¿cu´ antas horas se demor´o en hacer el trabajo? A) 2 horas B) 3 horas y 12 minutos C) 3 horas y 20 minutos D) 5 horas y 20 minutos E) 6 horas y 20 minutos
30.
Si log 2 m, log 3 n y log 5 p, entonces log
?36 5
A) n m p p B) 2n 2m 2 mn C) p D) mp n E) m n p
31.
2px
2qpx 3q
A) 2x2 2x 12 B) 2x2 4x 12 C) 2x2 2x D) x2 6x 2 E) 4x2 4x 24
32.
El peso de cierto tipo de animal viene dado por la funci´on M ptq 5t P , donde P es la medici´ on anterior y t el tiempo transcurrido desde la u ´ltima medici´on. Si el peso de un animal es de 4600 y la u ´ltima medici´ on fue 3250, ¿cu´ antos d´ıas pasaron desde la u ´ltima medici´on? A) 3 B) 270 C) 3200 D) 50 E) 1350
9
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33.
Academia Narvezzi
En un terreno rectangular de 4x de largo y 2x 2 de ancho se pondr´a una piscina de 2x 2 de largo por 3x 2 de ancho, el resto del terreno tiene 136 metros cuadrados de superficie, ¿cu´al de las siguientes expresiones permite saber el valor de x? A) p8x2 8xq p6x2 10x 4q 136 B) p8x2 8xq p6x2 2x 4q 136 C) p8x2 8xq p6x2 10x 4q 136 D) p8x2 8q p6x2 10x 4q 136 E) p8x2 8q p6x2 10x 4q 136
34.
Si m y x son enteros mayores que 1, entonces
mx mx mx mx mx
2 3 2mx B) 3 1 C) x m 1 D) m E) m
A)
35.
36.
Un cilindro que se llena con un caudal constante tiene un volumen inicial de 2m3 , ¿cu´al de los siguientes gr´ aficos representa la altura en funci´on del tiempo a medida que se llena?
A)
C)
B)
D)
Se tiene la siguiente funci´ on cuadr´ atica f pxq verdadero?
E)
x2. ¿Cu´al(es) de los siguientes enunciados es (son)
I) El v´ertice pertenece al eje y. II La pendiente de la recta que pasa por el v´ertice y un punto cualquiera de la par´abola tiene pendiente negativa. III) Si se traza una recta paralela al eje y corta en un solo punto A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III 10
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37.
Academia Narvezzi
Una compa˜ n´ıa de tel´efonos tiene un costo fijo de $b por servicio y un costo por minuto de $c. La funci´on que modela lo que paga una persona que habla t minutos, est´a dada por A) f ptq ct b B) f ptq bc C) f ptq bt c D) f ptq c b E) f ptq pc bqt
38.
1 En la funci´on cuadr´ atica f pxq 3x2 bx ¿en qu´e intervalo debe estar b para que ´esta corte al 3 eje X en dos puntos? A) s 8, 8r B) r3, 8r C) s3, 8r D) s2, 3s E) Ninguna de las anteriores
39.
¿Cu´al de las siguientes funciones cuadr´ aticas corresponde a una que pasa por el punto p0, 2q y tiene v´ertice en p2, 2q? A) f pxq x2 4x 2 B) f pxq x2 4x 2 C) f pxq 2x2 4x 2 D) f pxq x2 4x 2 x2 E) f pxq 2x 2 2
40.
La soluci´on pp, q q del siguiente sistema de ecuaciones es:
5p 6q p q
12 9
A) p12, 3q
21 78 B) , 11 8 C) p6, 15q D) p6, 3q E) p66, 57q
41.
Siendo a y b positivos, se puede determinar el valor exacto de log a
log b si se sabe que
(1) a 100 b (2) ab 100 A) (1) por s´ı sola B) (2) por s´ı sola C) Ambas juntas D) Cada una por s´ı sola E) Se requiere informaci´ on adicional
11
Departamento de Matem´ atica
42.
Se puede saber si
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6a es un n´ umero entero si: 4b
(1) b es m´ ultiplo de 3 y a es par (2) b es par y a es m´ ultiplo de 3 A) (1) por s´ı sola B) (2) por s´ı sola C) Ambas juntas D) Cada una por s´ı sola E) Se requiere informaci´ on adicional
43.
Se puede determinar el valor de p en la funci´on f pxq px si (1) f es creciente (2) f p3q 8 A) (1) por s´ı sola B) (2) por s´ı sola C) Ambas juntas D) Cada una por s´ı sola E) Se requiere informaci´ on adicional
44.
Siendo c 0, se puede determinar que
ab es un entero positivo si: c
(1) a b es m´ ultiplo de c (2) a kc y b pc con k y p enteros positivos A) (1) por s´ı sola B) (2) por s´ı sola C) Ambas juntas D) Cada una por s´ı sola E) Se requiere informaci´ on adicional
45.
Es posible conocer el valor de x en la expresion pax bxqpa bq a2 b2 si (1) a 2b (2) el 20 % de a
b es 2
A) (1) por s´ı sola B) (2) por s´ı sola C) Ambas juntas D) Cada una por s´ı sola E) Se requiere informaci´ on adicional
12
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3. 46.
Academia Narvezzi
Geometr´ıa
En la siguiente figura las cuerdas AB y CD son iguales. ¿Cu´al de las siguientes afirmaciones podr´ıa ser FALSA? A) el arco AB es igual al arco CD B) AO OC C) ON OM D) AO OD E) DM OM
47.
En la figura, el tri´ angulo ABC es rect´ angulo en C, DE ? es perpendicular a CB, CD es perpendicular a AB y EF es perpendicular a CD. Si CF=1 y FE= 2, entonces AD=
?
2 2 A) ?3 5 3 B) ?2 3 2 C) ?2 2 D) ?2 E) 6
48.
En la circunferencia de la figura AP : P B
4 : 3, BP 6 y DP 12, entonces CP
A) 4 B) 5 C) 1 D) 2 E) Otro valor
13
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49.
Academia Narvezzi
En la siguiente figura se muestran un cuarto de circunferencia de radio r y una semicircunferencia de radio r{2. Estas figuras se hacen rotar indefinidamente en torno al eje X y forman una semiesfera y una esfera, respectivamente. ¿Cu´ al es la relaci´on correcta entre el volumen de la semiesfera y la esfera? A) Los vol´ umenes son iguales B) El volumen de la esfera es el cu´ adruple del volumen de la semiesfera C) El volumen de la semiesfera es el cu´adruple del volumen de la esfera D) El volumen de la esfera es el doble de la semiesfera E) El volumen de la semiesfera es el doble de la esfera
50.
En la figura siguiente el tri´ angulo ABC es equil´atero y su centro de gravedad es G. Si GA , GB y GC son los puntos obtenidos de G por el efecto de rotaciones en 60o con sentido antihorario con centros A, B y C, respectivamente, ¿cu´ al(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) G es el centro de gravedad del tri´ angulo GA GB GC II) GA GC {{AB III) El tri´angulo GB GC GA se obtiene del tri´angulo ABC por una rotaci´on de 60o con sentido antihorario y centro G C
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) I, II y III
51.
Dados los vectores p p3, 0q, q afirmaciones es (son) verdaderas?
p4, 2q, r p1, 1q
y s
p6, 3q,
¿cu´al(es) de las siguientes
I) p q se encuentra en el segundo cuadrante II) r s se encuentra en el tercer cuadrante III) p q r s A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III
14
Departamento de Matem´ atica
52.
Academia Narvezzi
Se tiene un tri´ angulo ABC donde Ap1, 1q, B p3, 1q y C p4, mq, ¿cu´al debe ser el valor de m para que el ´area del tri´ angulo ABC sea 8? A) 4 B) 5 C) 3 D) 2? E) 5 3
53.
Sobre un objeto se aplican tres fuerzas representadas por los vectores F1 3p3a, 2bq, F2 5pa, 2bq, F3 2p2a, 3bq, donde a y b son n´umeros reales distintos de cero. Si la fuerza resultante F sobre el objeto corresponde a la suma de las fuerzas ¿cu´al es el vector que representa a F ? A) p4a, 3bq B) p18a, 22bq C) p0, 0q D) p15a, 22bq E) p18a, 3bq
54.
¿Cu´al de las siguientes figuras puede formar un cono truncado al ser rotado indefinidamente? I) Tri´angulo rect´ angulo II) Trapecio is´ osceles III) Trapecio rect´ angulo A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III
55.
En la figura se muestran dos cuadrados congruentes y un tri´angulo, el punto E es punto medio de AD, si la figura se hace rotar indefinidamente en torno a la recta que pasa por FG, se forma A) dos cubos y una pir´ amide B) un paralelep´ıpedo y un cono C) un cilindro y un cono D) dos cilindros y un cono E) un cilindro y una pir´ amide
15
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56.
Academia Narvezzi
En la figura siguiente se muestran dos cuadril´ateros ABCD y M N P Q homot´eticos con centro O de homotecia, ¿cu´ al(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verderas? I) si la raz´on de la homotecia es 0,5 entonces
area ABCD areaM N P Q
21
II) CD{{P Q III) si la raz´ on de homotecia es 4 y el per´ımetro de ABCD es 10, entonces el per´ımetro de M N P Q es 40 A) Solo I B) Solo II C) Solo II y III D) Solo I y III E) I, II y III
57.
En la circunferencia de la figura, de centro O, el tri´angulo ABC es equil´atero, el ´angulo BOD mide 2x 10, ¿cu´ al es el valor de x? A) 15o B) 35o C) 63o D) 4,3o E) No se puede determinar
58.
A un punto px, y q en el plano se le aplica una rotaci´on de 90 grados en sentido antihorario respecto al origen, se le aplica una traslaci´ on seg´ un el vector p2, 2q y luego se le aplica otra traslaci´on usando el mismo vector, y se obtiene el punto pc, 2pc 1qq. El punto donde se comenz´o es el: A) p2c 1, cq B) p2c, 2cq C)p2, cq D) p2, cqq E) pc, 2pc 1qq
16
Departamento de Matem´ atica
59.
Academia Narvezzi
El punto p1, 1q es el centro de una circunferencia que pasa por el punto p5, 2q, ¿cu´al es el radio de ´esta? A) 5 B) 3? C) 5 ?2 5 2 D) ?2 5 2 E) 3
60.
En la siguiente figura se muestran los tri´angulos ABC y DEF , se sabe que son semejantes, que el ´angulo BAC es igual al ´ angulo DEF y que DE EF , entonces EF mide A) 36 B) 24 C) 9 D) 16 E) 20
61.
En la figura CD y AB son paralelos, CE
4, CD 8, CB 10, entonces AB
A) 12 B) 13 C) 16 D) 10 E) 20
17
Departamento de Matem´ atica
62.
Academia Narvezzi
Considerando los tri´ angulos de la imagen siguiente, ¿cu´al(es) de las siguientes relaciones es correcta para α, β y γ? I) α β γ II) α β γ III) α β γ A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Ninguna
63.
En la figura ABCD es un cuadrado de ´area 16, se puede determinar la ecuaci´on de la recta L que pasa por D si se sabe que: (1) Se conocen las coordenadas de P (2) L es paralela a la diagonal AC A) (1) por s´ı sola B) (2) por s´ı sola C) Ambas juntas D) Cada una por s´ı sola E) Se requiere informaci´ on adicional
64.
La recta y ax a 1 representada en la figura siguiente intersecta al semieje positivo Y , ¿cu´ al(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) a ¡ 1 II) corta al eje Y en p0, 1q III) ap1 aq 0 A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III
18
Departamento de Matem´ atica
65.
Academia Narvezzi
(En edici´on, a´ un con errores) ¿Cu´ al(es) de las siguientes afirmaciones es correcta respecto a la imagen adjunta? I) F G es perpendicular a AB II) F G dimidia a AB III) 4ABC 4BAD A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III
66.
¿Cu´al(es) de las siguientes afirmaciones es verdadera para las rectas px
2y
1 y 2x
py
2?
I) Si p ¥ 2 las rectas se tocan en un solo punto II) Si p 2 las rectas son coincidentes III) Si p Ps 8, 2rYs2, 8r no se tocan en ning´ un punto A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) Ninguna de ellas
67.
En la figura CQ 5, DQ 2, BQ 3 y P A 6. Si P A es tangente en A a la circunferencia, ¿cu´ al es el valor de PB+QA? 6 5 23 B) 5 42 C) 5 26 D) 5 E) 4 A)
19
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68.
Academia Narvezzi
En la siguiente figura se muestran los puntos B p2, 0, 0q Ap1, 0, 0q y E p2, 1, aq en el espacio, el cuadril´atero ABQC es cuadrado, entonces la distancia de M a Q es:
?
A) ? a B) 2 a2 C) a2 2 D) ? a E) 5
69.
En el plano cartesiano se tiene P px, y q, Q siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
px, yq y el origen O p0, 0q, ¿cu´al(es) de las
I) La distancia de P a Q es cero II) La distancia P O es igual a la distancia QO III) Los puntos P , O y Q son colineales A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III
70.
En el tri´angulo ABC de la figura siguiente DE es paralelo a AB. Si CB AB 24, entonces el per´ımetro del trapecio ABDE es:
16, CE 9, CD 12 y
A) 29 B) 30 C) 49 D) 42 E) No se puede determinar
20
Departamento de Matem´ atica
71.
En la recta pa
1qx
A) a y a 1 B) a2 1 y a a2 C) a2 1 y a2 a D) 1 a2 y a2 a E) 1 a2 y a a2
72.
Academia Narvezzi 1
a1
y a 0 la pendiente y el coficiente de posici´on, respectivamente, son:
En la figura las cuerdas AB y CD se intersectan en el centro de la circunferencia. Si el >QOD y >AP Q 114o ¿cu´ al es el valor del a´ngulo α?
84o
A) 40o B) 36o C) 30o D) 10o E) Ninguna de las anteriores
73.
Sea A y B puntos del plano, Apa, cq y B pasa por A y B es negativa si
pb, dq. Se puede decir que la pendiente de la recta que
(1) B est´ a en el segundo cuadrante y A est´a en el cuarto cuadrante (2) b a y d ¡ c A) (1) por s´ı sola B) (2) por s´ı sola C) Ambas juntas D) Cada una por s´ı sola E) Se requiere informaci´ on adicional
74.
Se puede saber si dos tri´ angulos son congruentes si: (1) La raz´ on de homotecia entre los dos es 1 (2) Las alturas de sus respectivos lados son congruentes A) (1) por s´ı sola B) (2) por s´ı sola C) Ambas juntas D) Cada una por s´ı sola E) Se requiere informaci´ on adicional
21
Departamento de Matem´ atica
75.
Academia Narvezzi
Si R y Q corresponden a rotaciones de 270o y 90o en sentido antihorario respectivamente, se puede saber las coordenadas del punto A si: (1) el hom´ ologo de A luego de aplicarle R es p2, 3q (2) si al punto A se le aplica una traslaci´on seg´ un el vector p1, 2q y luego se le aplica Q, se obtiene p0, 4q A) (1) por s´ı sola B) (2) por s´ı sola C) Ambas juntas D) Cada una por s´ı sola E) Se requiere informaci´ on adicional
22
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4. 76.
Academia Narvezzi
Datos y Azar
Se tiene una muestra de datos n1 , n2 , n3 y n4 , Si a la muestra se le agrega un dato p ¿Cu´al de las siguientes afirmaciones es o son verdaderas? I) Si p µ la desviaci´ on estandar aumenta. II) Si p 0 la desviaci´ on estandar disminuye. III) Si n1 , n2 , n3 , n4 y p son enteros consecutivos, la desviaci´on estandar es
?
2
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III
77.
Se tienen 120 elementos. ¿Cuantos grupos de 5 elementos se pueden formar sin reposici´on y sin orden? A) 119 118 117 116 B) 120! C) 115! D) 120 5! E) 120
78.
La tabla siguiente muestra una variable aleatoria X, su funci´on de probabilidad y probabilidad acumulada, ¿cu´ al de las siguientes afirmaciones es FALSA? A) P pX ¤ 2q P pX ¤ 0q P pX B) P pX ¤ 2q a C) P pX 0q b D) P pX 1q 0 E) P p1 ¤ X ¤ 1q 2a b
79.
¤ 2q ¡ 1
k
2 1 0 1 2
P pX k q P pX ¤ k q a a 0 a b a b 0 a b 1 pa bq 1
En la poblaci´ on P , Q, R y S se han extra´ıdo todas las muestras de tama˜ no 2 y se ha calculado el promedio de cada muestra, los que se muestran en la tabla siguiente. ¿Cu´al es la media de la poblaci´on? A) 41 B) 160 C) 81 D) 163 E) 164
{P,Q} {P,R} {P,S} {Q,R} {R,S} {Q,S}
Promedio de la muestra 161 162 163 165 166 167
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80.
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¿Cu´al es la correcta relaci´ on de las desviaciones est´andar entre los datos de la tablas A y B? Tabla A f -2 3 0 4 1 2 Total 9
Tabla B 999.998 1.000.000 1.000.001 Total
f 3 4 2 9
A) SA SB B) SA 1.000 SB C) SA 1.000.000 SB D) SA SB E) SA ¡ SB
81.
Se lanzan dos dados y se define la variable aleatoria X como la cantidad de n´ umeros repetidos. ¿Cu´al es el recorrido de la variable aleatoria? A) t0, 1u B) t0, 2u C) t0, 1, 2, 3, 4, 5, 6u D) t1, 2, 3, 4, 5, 6u E) t1u
82.
Se tienen una poblaci´ on de n individuos. ¿C´ ual de las siguientes alternativas corresponde a la cantidad de muestras posibles de tama˜ no 2, sin reposici´on y sin orden? n! 2! B) 2n
n C) 2 D) 2n n! E) p n 2 q! A)
83.
En la poblaci´ on 2, 3, a, b la media es 4 y la varianza es 2,5; entonces a2
b2 es igual a:
A) 57,5 B) 61 C) 101 D) 76 E) Ninguna de las anteriores
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84.
En una oficina el 60 % es hombre, el 30 % de las mujeres es mayor de edad y el 15 % de los hombres es mayor de edad. ¿Cu´ al es la probabilidad de que al sacar una persona al azar sea mujer y mayor de edad? A) B) C) D) E)
85.
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24 100 12 100 20 100 6 100 105 1000
En un pa´ıs la estatura de su poblaci´ on se distribuye normal con media 168 cm. Si se escoge una persona al azar de este pa´ıs ¿Cu´ al es la probabilidad de que su estatura sea mayor a 168 cm? A) 0, 25 B) 0, 28 C) 0, 5 D) 0, 63 E) 0, 75
86.
Si se lanzan 2 dados ¿Cu´ al es la probabilidad de que la suma sea par dado que en el primer dado sali´o 3? A) B) C) D) E)
87.
1 6 5 36 1 2 1 3 1 12
Si se lanzan 2 dados ¿Cu´ al es la probabilidad de que la suma sea par dado que en uno de ellos sali´o 3? A) B) C) D) E)
1 6 5 36 1 2 1 3 1 12
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88.
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En una poblaci´ on de 1200 personas la variable X tiene una distribuci´on normal, aproximadamente ¿cu´antas personas est´ an entre µ σ y µ 2σ? A) 12 B) 81 C) 324 D) 163 E) 816
89.
Se tiene 8 casilleros y 12 l´ apices de colores distintos. ¿De cu´antas formas se pueden pintar las casillas de modo que dos casillas consecutivas no sean del mismo color? A) 128 B) 11 12 C) 118 D) 12 117 E) 812
90.
En un grupo hay 30 hombres, de los cuales 10 usan frenillos, y 20 mujeres de las que 6 no usan frenillos. Si se escoge una persona al azar de este grupo, ¿cu´al es la probabilidad de que use frenillos si se sabe que es mujer? A) B) C) D) E)
10 50 6 50 14 20 6 50 14 50
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91.
En una urna hay 4 pelotitas azules y 3 blancas todas identicas, salvo color. Si se sacan dos pelotitas sin reposici´on ¿Cu´ al es la probabilidad de sacar una pelotita azul y luego una blanca? A) B) C) D) E)
92.
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3 4 7 6 4 3 7 7 4 3 7 6 3 4 7 6 4 3 7 6
¿Cu´antos n´ umeros de 3 cifras se pueden formar con lo sn´ umeros 2, 3, 4, 5, 6 y 7 si no se pueden repetir? A) 120 B) 216 C) 30 D) 27 E) 720
93.
Una persona juega a lanzar un dado, pierde si le sale un impar o un m´ ultiplo de 3, en caso contrario gana. Si juega n veces ¿cu´ al es la probabilidad de que gane exactamente 3 veces?
3 n3
n 1 2 3 3 3 3 n3 1 2 B) 3 3
A)
3 n3
C) D) E)
n 3
2 3
1 3
4
6
6
3 n3 n 1 5 3 n3 1 2 3
3
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94.
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En una poblaci´ on el 40 % ve un programa de TV. ¿Cu´al es la probabilidad de que al escoger 15 personas al azar de esa poblaci´ on, 8 de ellas vean el programa?
A) B)
15 8
0, 47 0, 68
15 8
0, 48 0, 67
C) p0, 4q8
D)
15 8
E) 120
95.
Seg´ un la informaci´ on mostrada en la tabla adjunta, ¿cu´al de las siguientes afirmaciones es correcta? A) el primer cuartil es 40 B) el percentil 80 es 110 C) la mediana se encuentra en el intervalo [40,60[ D) el percentil 90 se encuentra entre 80 y 100 ambos extremos inclusive E) el total de datos es 480
r0, 20r r20, 40r r40, 60r r60, 80r r80, 100s 96.
Frecuencia Acumulada 40 50 80 110 200
En el histograma siguiente se muestran las alturas, en metros, de un grupo de personas, pero por un error se desconoce la informaci´ on de tres intervalos. ¿Cu´al de las siguientes afirmaciones es correcta respecto al histograma? A) aproximadamente 10 personas tienen una estatura mayor a 1,7m B) al menos un 30 % de los individuos mide m´as de 1,6m C) un 20 % de los individuos mide menos de 1,5m D) un 20 % de los individuos mide menos de 1,55m E) al menos un 50 % de los individuos mide 1,6m o menos
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97.
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A continuaci´ on se muestran los gr´ aficos de las funciones de probabilidad de las variables aleatorias X e Y ¿cu´al de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) B) La desviaci´ on est´ andar de X es mayor que la desviaci´on est´andar de Y C) La esperanza de X es mayor que la esperanza de Y D) La esperanza de X es 2 E)
98.
Se tiene una bolsa con 20 bolitas iguales, de colores rojo, negro y azul. Se puede saber la probabilidad de obtener una pelotita negra al sacar una al azar si: (1) la cantidad de bolitas negras es el doble de las azules (2) la probabilidad de sacar una azul es igual a la probabilidad de sacar una negra A) (1) por s´ı sola B) (2) por s´ı sola C) Ambas juntas D) Cada una por s´ı sola E) Se requiere informaci´ on adicional
99.
Se puede saber exactamente la cantidad de varones de un colegio si se sabe que: (1) la probabilidad de elegir al azar un alumno y que ´este sea 2 var´ on es de 3 (2) Los hombres exceden a las mujeres en 300 A) (1) por s´ı sola B) (2) por s´ı sola C) Ambas juntas D) Cada una por s´ı sola E) Se requiere informaci´ on adicional