Mathématiques pour l’Economie et la GestionSéance d’Exercices Dirigés Leçon 1 Séance d’exercices dirigés Leçon 1 Exercice 1 : On donne, dans le plan, 5 points A(2,5), B(3,7), C(6,4),D(4,3), E(2,3) question 1 Représentez ces 5 points sur un graphique . question 2 Caractérisez par des inéquations le pentagone délimité par ces 5 points. question 3 Placez dans le dessin le point F(3, 4). On décide de retirer du pentagone précédent le carré de diagonale EF. On obtient ainsi une nouvelle figure à 7 cotés. Est il possible de caractériser cette figure par des inégalités ? Exercice 2 : question 1 Tracer dans le plan les droites d’équations y = 2x + 5 y = 1.5x - 6 question 2 Calculer les coordonnées du point d’intersection M(x0, y0) de ces deux droites Exercice 3 : a) Les droites d’équations 3x + 5y = 5 6x + 10y = 9 sont-elles parallèles ? Si non, calculez les coordonnées de leur point d’intersection. b) Même question pour les droites d’équations 2x + 7y = 9 1.4x + 4.9y = 14 c) Même question pour les droites d’équations 5x + 7y = 6 4x + 5.2y = 12 Exercice 4 a) Calculez la pente de la droite d’équation 3x + 7y = 18 b) Parmi les 8 droites dont les équations sont les suivantes, lesquelles sont parallèles entre elles ? 12.6x - 8.8y = -7 1.5x + 2y = 14 3x + 5y = 19 9x - 6y = -3 1.2x + 4.2y = 12 1.8x + 3y = 12 2x + 7y = 21 5.4x - 3.6y = +6 Exercice 5 Représentez sur un plan l’ensemble des points M(x, y) tels que 3x + 5 y ≥ 3000 6x + 2y ≥ 3600 3x + 2y ≥ 2400 12x + 8y ≤ 12000 Page 1 Mathématiques pour l’Economie et la Gestion Séance d’Exercices Dirigés Leçon 1 Exercices dirigés Leçon 2 Exercice 1 Dans chacun des deux questions suivantes, la variable B représente le bénéfice d’une fruitière la variable x représente la quantité x de yaourts maison vendus et la variable y la quantité de tome de Savoie. a) B = 5x + 20y Représentez sur un plan les courbes d’iso-bénéfice. b) B = 6x + 15y Représentez sur le graphique suivant les courbes d’iso-bénéfice y 100 75 50 25 0 x 0 20 40 60 80 100 Exercice 2 Résoudre par la méthode graphique le programme maximiser B = 5x + 4y 2x + 4y ≤ 36 2x + 3y ≤ 30 x≥ 0 , y ≥ 0 Exercice 3 Résoudre par la méthode graphique le programme : minimiser A = 4x + 6y x + 3y ≥ 9 4x + 2y ≥ 16 x≥ 0,y≥0 Page 2 120 dans ce domaine. Chaque hélicoptère dispose de deux soutes : dans la première on ne peut mettre que des hommes. L’ Avette peut transporter en un seul voyage 20 personnes accompagnées de 6 tonnes de matériel.9) droite BC pente -2/3 droite CD pente -3/2 D(13.0) Cherchez. Page 3 .Mathématiques pour l’Economie et la Gestion Séance d’Exercices Dirigés Leçon 1 Exercice 4 On se donne dans le plan. dans la seconde que du matériel. Les militaires doivent déterminer un couple de nombres (x.6) droite DE pente -3 E(15.13) C(11. y). le polygone convexe OABCDE. question 1 : On désigne par x le nombre de voyages qu’effectue l’Avette et y le nombre de voyages qu’effectue la Colombe.15) droite AB pente -2/5 B(5. ce que l’on appellera un plan de manœuvre. le ou les points qui maximisent les fonctions a) 4x + 4y b) 2x + 2y c) 3x + 2y d) 5x + 2y Exercice 5 : Des militaires doivent organiser au moindre coût un pont aérien entre le centre de Durlaboue (Guyane) et le poste de Mollaboue (dans la forêt où une zone a été dégagée pour l’atterrissage d’hélicoptères) pour transporter des hommes et du matériel : Ils ont en effet 90 tonnes de matériel à transporter 140 personnes à transporter Ils disposent pour cela de 2 hélicoptères . il est de 3 écus avec la Colombe. La Colombe peut transporter en un seul voyage 10 personnes accompagnées de 15 tonnes de matériel . On sait simplement que y 18 A 16 B 14 12 C 10 8 D 6 4 2 x E 0 -2 O 3 8 13 18 coordonnées pente des droites A(0. l’Avette et la Colombe qui pourront effectuer autant de voyages que nécessaire. Le prix de revient d’un voyage aller retour avec l’ Avette est de 2 écus (la monnaie locale à peu prés équivalente à 1000 francs). Quel plan de manœuvre permet d’assurer le transport des hommes et du matériel le plus vite possible.7). y) permet-il de transporter tout le matériel ? b) Représentez sur un dessin l’ensemble des plans de manœuvre (x. sur les problèmes « a moitié résolus » donnés plus bas . quel est le coût associé ? Quelle relation lie x et y si le plan de manœuvre (x. question 2 a) A quelle condition le plan de manœuvre (x.9) ? c) Représentez sur un graphique l’ensemble des plans de manœuvre qui coûtent autant que le plan de manœuvre (6. Nous nous restreignons ici à des problèmes comportant deux variables. y) permet-il de transporter tous les hommes ? A quelle condition le plan de manœuvre (x. Nous verrons plus loin d’autres problèmes de « mise en équations » comportant 3 variables ou plus . une des grandes difficultés de cette partie du cours est qu’il faut passer d’un problème posé en termes « économiques ».9) et ceux qui coûtent moins cher . Désignez sur ce graphique les plans de manœuvre qui coûtent plus cher que le plan de manœuvre (6.9) : l’Avette effectuera 9 voyages et la Colombe 6 voyages. On pourra s’appuyer.Mathématiques pour l’Economie et la Gestion Séance d’Exercices Dirigés Leçon 1 a) Donner en fonction de x et y coût de revient de x voyages effectués par l’Avette et de y voyages effectués par la Colombe. nous allons insister sur les problèmes de « mise en équation ». y) coûte autant que le plan de manœuvre (6.9) . L’épreuve de mise en équation étant passée. d) Représentez sur le même graphique l’ensemble des plans de manœuvre (x. Dans la suite des exercices sur la leçon 2. En effet. Page 4 . Une rotation de l’Avette (un voyage aller retour) prend 5 heures. il faut faire vite). b) Les militaires envisagent le plan de manœuvre (6. c) En vous servant des résultats de la question 1. une rotation de la Colombe prend 7 heures. y) qui permettent de transporter tous les hommes et tout le matériel. c’est à dire en langage ordinaire à un problème mathématique. y) qui coûtent autant que le plan de manœuvre (5. il faudra tenter de répondre aux questions posées. quel est le plan de manœuvre qui permet de réaliser le transport des hommes et du matériel au moindre coût ? question 3 L’état major décide de réaliser le transport des hommes et du matériel dans le temps le plus court possible (il n’est plus question de coût. pour ce faire. Les services comptables de l’entreprise donnent la consigne de ne pas dépasser la somme de 360 000 F par semaine. question 1 : déterminer les profits unitaires pour un produit de type A et pour un produit de type B. Le coût horaire de fonctionnement de chaque machine est de 20 F pour M1. Déterminer la fabrication qui assure un bénéfice maximum à l ’entreprise. et 40 F pour M3. ce ne sont plus 240 heures au total que l’on dispose pour faire l’opération n° 1. Chaque ouvrier travaille 40 heures par semaine. pièces et main d’œuvre. Les prix de vente sont tels que l’entreprise. tous frais payés. A partir de quelle valeur de T va t’on devoir modifier la production. 150 ouvriers travaillent à la fabrication. fait un bénéfice de 240 F par électrophone et de 160 F par poste de télévision.Mathématiques pour l’Economie et la Gestion Séance d’Exercices Dirigés Leçon 1 A Exercices portant sur la production Exercice 6 Une entreprise vend deux produits A et B à 205 et 216 F l’unité. question 3 : les machines de type M1 doivent souvent être mises en réparation : du coup. Le prix de revient. et les chefs de service estiment qu’il faut 10 heures de main d’œuvre d’ouvrier pour fabriquer un magnétophone.5 h 1h opération n°3 2h 1h L’opération n°1 est menée sur une machine M1. Chaque machine fonctionne au plus 120 h par mois. La fabrication de chacun de ces produits entraîne les charges suivantes : A B Matière première 50 F 85 F Opération n°1 1h 1. Déterminer la fabrication qui assure un bénéfice maximum à l ’entreprise. question 2 par suite de l ’arrivée d’un nouveau concurrent qui casse les prix. On envisage de faire décroître T vers 0. T étant inférieur ou égal à 240 .5 h Opération n°2 0. question 2 : déterminer le programme de production qui maximise le profit total du mois. et 5 heures de main d’œuvre d’ouvrier pour fabriquer un poste de télévision. Y a t-il une valeur de T pour laquelle on ne produira plus qu’un seul produit ? Lequel ? Exercice 7 Une entreprise fabrique des magnétophones et des postes de télévision. l’opération n°2 est menée sur une machine M2. pièces et main d’œuvre d’un magnétophone est de 400 F et celui d’un poste de télévision est de 450 F. Les prix de vente restent inchangés. l’opération n°3 est menée sur une machine M3. 30 F pour M2. mais T heures . les services commerciaux ne peuvent vendre plus de 300 magnétophone et 250 postes de télévision par semaine. question 1 Les services commerciaux ne peuvent vendre plus de 500 magnétophone et 500 postes de télévision par semaine. d’une seule machine M2 et de 2 machines M3. L’entreprise dispose de 2 machine M1. Page 5 . Décrire alors qualitativement comment va se réorganiser la production. Le minerai est d’abord concassé. l’entreprise accepte de limiter sa production : elle ne vendra pas plus de F0 chaises longues en tout. question 1 Rechercher la combinaison des productions qui maximise la bénéfice de l’entreprise si elle peut écouler sans contrainte toute sa production. moyen. Les montants de chaises longues sont en bois : il faut compter 6 mètres de tasseaux pour faire une chaise longue de luxe et 8 mètres de tasseaux pour faire une chaise longue moderne : le stock journalier de l’entreprise est de 120 mètres. La compagnie minière n’a qu’un seul client : une fonderie auprès de laquelle elle s’est engagée à fournir au moins 12 tonnes de minerai riche. Une chaise longue de luxe nécessite 3 m2 de toile et une chaise longue moderne 2 m2 de toile. en un jour d’exploitation. 10 ouvriers travaillant 6 heures par jour sont affectés à la fabrication des chaises longues. Combien de jours par semaine faut-il exploiter chaque mine pour que les engagements soient tenus le plus économiquement possible ? Page 6 . puis rangé dans l’une des trois qualités : minerais riche. Les trois qualités sont demandées par le marché. Le bénéfice sur un chaise longue de luxe est de 200 F et celui d’un chaise longue moderne est de 240 F..Mathématiques pour l’Economie et la Gestion Séance d’Exercices Dirigés Leçon 1 Exercice 8 Une usine est spécialisée dans la fabrication de deux types de chaises longues : des chaises longues de luxe et des chaises longues modernes. 2 tonnes de minerai moyen et 8 tonnes de minerai pauvre. L’exploitation du premier puits coûte à la compagnie 200 écus par jour et celle du second puits 160 écus par jour. au moins 8 de moyen et au moins 24 tonnes de minerai pauvre par semaine. pauvre. Les puits sont en deux lieux distincts et n’ont pas la même capacité de production. question 2 A la suite d’un accord avec les fabricants de chaises longues. en plus des coûts d’exploitation. 2 tonnes de minerai moyen et 4 tonnes de minerai pauvre. et il faut 6 heures pour la fabrication d’un chaise longue de luxe et 2 heures pour celle d’un chaise longue moderne. la compagnie minière doit supporter des coûts de transport : toute la production des puits est envoyée à la fonderie . le premier puits produit 6 tonnes de minerai riche. A partir de quelle valeur de F0 devra-t’elle limiter le travail de ses ouvriers ? Exercice 9 Une compagnie minière possède deux puits différents d’extraction d’un certain minerai. Le coût de transport est de 10 écus par tonne de minerai transportée du premier puits vers la fonderie et de 20 écus par tonne de minerai transportée du second puits. le stock journalier de toile est de 36 m2. Mais. le second puits fournit en un jour d’exploitation 2 tonnes de minerai riche. question 1 Combien de jours par semaine faut-il exploiter chaque mine pour que les engagements soient tenus le plus économiquement possible ? question 2 On suppose maintenant que. et les coûts sont ceux de la question 1 Pour résoudre cet exercice. celles du premier coûtent 4 kopecks le kg. celles du second 3 kopecks le kg et celles du troisième. il faut que les 12 tonnes nécessaires chaque jour ne soient pas transportées en plus de 40 minutes.y. x et y l’expression du profit. y celle fournie par le second. question 2 donnez en fonction de D. Admettons que le fermier puisse vendre ses poulets à 30 F pièce. Pour transporter les pommes de terre. Il veut avoir 500 volatiles. des canards et des dindons.Mathématiques pour l’Economie et la Gestion Séance d’Exercices Dirigés Leçon 1 B Exercices comportant 3 variables que l’on ramène à 2 variables Exercice 10 Les halles d’une ville reçoivent des pommes de terre de 3 kolkhozes . celui d’un canard à 10 F celui d’un dindon à 40 F. on appellera x la quantité fournie par le premier kolkhoze. puisque le total fourni est de 12 tonnes. les canards à 20 F pièce et les dindons à D francs. Pour transporter une tonne de pommes. un seul transporteur peut fonctionner à la fois. le second 8 tonnes au plus et le troisième au plus 6 tonnes ? Combien faut-il amener de pommes de terre de chaque kolkhoze pour que le prix global des pommes de terre soit minimum. la quantité fournie par le troisième kolkhoze est donc égale à ( 12 – x – y ) Exercice 11 Pour cet exercice. question 1 Soit x le nombre de poulets et y le nombre de canards. question 3 Dans chacune des hypothèses suivantes. Le premier kolkhoze peut fournir chaque jour au plus 10 tonnes au plus. 5 kopecks. sachant que question 1 les trois transporteurs à bande peuvent fonctionner simultanément question 2 Supposons maintenant que les trois transporteurs à bande peuvent fonctionner simultanément et que le coût d’approvisionnement depuis le premier kolkhoze augmente fortement : décrire qualitativement comment va varier la solution optimale en fonction de ce prix. Il voudrait savoir quelles volailles il faut élever pour réaliser le profit maximum. y) possibles. chaque kolkhoze est relié aux halles par un transporteur à bandes. il faut une minute au premier kolkhoze. question 3. Le nombre de dindons est donc 500 . Pour que le produit arrive à temps aux halles.x . Supposons que l’élevage d’un poulet revienne à 15 francs. on ne donne pas de graphique d’aide Un fermier élève des poulets. donnez la politique d’élevage optimale du fermier : a) D = 60 F b) D = 50 F c) D = 55 F Page 7 . Quelles contraintes portent sur x et y ? Représentez sur un graphique l’ensemble des couples (x. Par pénurie d’électricité. 4 minutes au second et 3 minutes au troisième. mais pas plus de 300 canards à la fois. Donnez en fonction de x et y le nombre de barquettes d’ingrédients qu’il utilisera question 2 Compte tenu de la réponse à la question 1 et des 350 places vides dans le réfrigérateur. quelle contrainte porte sur x et y pour que le fabriquant puisse mettre au frais sa production ? question 3 Résoudre le problème du fabricant par la méthode graphique. Il s’agit de transporter à une même destination des marchandises en vrac dont le nom est secret et que nous désignerons par leur code X33 et Y25 avec les frets unitaires suivants : 30 F par tonne pour le X33 et 20 F par m3 pour le Y25 . on ne donne pas de graphique d’aide Exercice 12 On dispose d’un camion de 7 tonnes de charge utile. certains ingrédients sont eux-mêmes conservés au froid. Sachant que les coûts unitaires de fabrication des cannelloni et des ravioli sont respectivement de 40 F et 33 F le kilo. et d’une capacité maximale de 12 m3. Les quantités d’ingrédients disponibles permettraient de fabriquer jusqu’à 600 barquettes de cannelloni et 500 barquettes de ravioli lors de la prochaine préparation. la fabrication de quatre barquettes de ravioli libère la place de stockage de trois barquettes. de même. mais les réfrigérateurs . Ces barquettes doivent être stockées au froid dès leur fabrication. de sorte que leur utilisation libère les espaces de stockage réfrigérés qu’ils occupent.25 tonnes par m3. question 1 Le fabricant décide de produire un nombre x de barquettes de cannelloni et un nombre y de barquettes de ravioli. on souhaite déterminer le programme de fabrication qui maximise le bénéfice du fabricant. Le poids spécifique du X33 est de 1 tonne par m3. celui du Y25 est de 0. la fabrication de deux barquettes de cannelloni libère la place de stockage d’une barquette. ne peuvent accueillir que 350 barquettes au maximum. déjà chargés. Ainsi.Mathématiques pour l’Economie et la Gestion Séance d’Exercices Dirigés Leçon 1 C Exercices comportant une utilisation forcenée de la règle de trois Pour les exercices suivants. et que le coût des barquettes vides est de 2 F pour une barquette de cannelloni et de 1. vendues respectivement aux prix de 42 F et 33 F l’unité. Toutefois. question : Le camion ne peut effectuer qu’un seul voyage : comment doit-on composer le chargement pour obtenir le meilleur chiffre d’affaires ? Exercice 13 Un fabricant de plats cuisinés commercialise des cannelloni et des ravioli présentés en barquettes de 500 g. Page 8 .50 F pour une barquette de ravioli. Mathématiques pour l’Economie et la Gestion Séance d’Exercices Dirigés Leçon 1 D Exercice dit « de programmation dynamique Exercice 14 Un élevage de poules possède 10 poules et 32 œufs. en fin de seconde période œufs et poules. Pour quelles valeurs de x et de y le revenu du fermier est-il maximum ? Page 9 . Son problème est de maximiser son revenu en vendant . question 1 On note x le nombre de poules qui couvent en première période et y le nombre de celles qui couvent en seconde période. Dans une période donnée. Le fermier veut utiliser tout ce dont il dispose durant deux périodes. à la fin desquelles il vendra toutes ses poules et tous ses œufs Il pourra utiliser au cours de la seconde période les produits de la première : en particulier. a) donnez les contraintes qui portent sur x et y b) combien d’œufs et de poules obtient-on en fin de deuxième période question 2 Les œufs se vendent 2 F pièce et les poules 10F. mais c’est comme ça). soit couver 4 œufs (jamais 3. Un œuf couvé une période donnée donne naissance à une nouvelle poule ( c’est étrange. ni 5 ). un œuf jamais couvé peut être vendu en fin de seconde période. un œuf non couvé à la première période pourra être couvé en seconde. soit en pondre 6. une poule peut. 5 x2 ≤ 240 (M2) 0. x2 ≥ 0 x2 280 M3 M2 240 200 160 M1 120 80 40 x1 0 0 60 120 180 Page 10 240 300 .5x1 + x2 ≤ 120 (M3) 2x1 + x2 ≤ 120 x1≥ 0.Mathématiques pour l’Economie et la Gestion Séance d’Exercices Dirigés Leçon 1 programmes « a moitie résolus » problème 1 deux produits A et B (M1) x1 + 1. Mathématiques pour l’Economie et la Gestion problème 2 (M1) (M2) Séance d’Exercices Dirigés Leçon 1 magnétophone et télévision 10x1 + 5 x2 400x1 + 450x2 x1≥ 0. x2 ≥ 0 ≤ 6 000 ≤ 360 000 x2 1400 M1 1200 1000 M2 800 600 400 200 0 0 200 400 600 Page 11 800 1000 . Mathématiques pour l’Economie et la Gestion Séance d’Exercices Dirigés Leçon 1 problème 3 chaise longue (M1) (M2) (M3) 2x1 + 6x1 + 6x1 + x1≥ 0. 3x2 ≤ 36 8x2 ≤ 120 2x2 ≤ 60 x2 ≥ 0 x2 30 M1 27 24 M3 21 18 M2 15 12 9 6 3 0 x1 0 2 4 6 8 10 12 Page 12 14 16 18 20 . Mathématiques pour l’Economie et la Gestion Séance d’Exercices Dirigés Leçon 1 problème 4 mines (M1) 6 x1 + 2x2 ≤ 12 (M2) 2x1 + 2x2 ≤8 (M3) 4x1 + 8x2 ≤ 24 x1≥ 0. x2 ≥ 0 x2 7 M1 6 M2 5 M3 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 Page 13 5 6 7 x1 . 4x1 + x1 + x2 ≥ 0 x2 x2 ≥ 4 ≤ 12 x2 24 M1 20 M2 16 12 8 4 0 0 2 4 6 8 Page 14 10 12 14 x1 .Mathématiques pour l’Economie et la Gestion Séance d’Exercices Dirigés Leçon 1 problème kolkhoze (M1) (M2) x1≥ 0. puis on remplacera a et b par leurs valeurs pour obtenir les solutions des trois systèmes proposés : le système précédent peut se réécrire sous la forme : (notez que l’on a rajouté deux colonnes pour les « paramètres » a et b . y » / « a. la tentation est alors forte de résoudre une « version paramétrée des systèmes ».Mathématiques pour l’Economie et la Gestion Séance d’Exercices Dirigés Leçon 1 Séance d’exercices dirigés Leçon 3 Le but de cette séance est de s’exercer à utiliser la méthode du Pivot de Gauss Exercice 1 : A l’aide de la méthode du pivot. on doit résoudre plusieurs fois le même système. mais avec des valeurs différentes. par exemple que nous devions résoudre les trois systèmes : 2 x −6 y = 9 x −4 y = 5 et 2 x −6 y = 6 x −4 y = 2 et 2 x −6 y = −4 x −4 y = 1 Il apparaît que nous allons recommencer plusieurs fois le même type de calculs. bien entendu . le trait vertical qui sépare les colonnes « x. résoudre les trois systèmes suivants : a) 2 x +5 y = 9 3 x −4 y = 6 b) 3x +9 y −7 z = 12 5x −6 y + z = 5 x + y +z = 4 c) x x x 2 x +y −y +2 y +2 y +z +z −z −3z +t −t +2 t +4 t = = = = 5 2 3 6 Souvent. Supposons. Aussi. b » est à la place du signe « = » Page 15 . on peut décider de résoudre un seul système « paramètre » : 2 x −6 y = a x −4 y = b On résout ce système avec les nombres a et b comme « des paramètres ». 5a −b x = 2a −3b la solution du premier système s’obtient en remplaçant a par 9 et b par 5 : x=8 y = -0.5 2 b -1 -3 le système se réécrit : y = 0. on obtient : x 0 1 0 y (2) -4 1 a 1 0 0.Mathématiques pour l’Economie et la Gestion x 2 1 y -6 -4 a 1 0 Séance d’Exercices Dirigés Leçon 1 b 0 1 Prenons comme ligne pivot la ligne du bas ( L2 ).5 la solution du premier système s’obtient en remplaçant a par 6 et b par 2 : x=6 y=1 la solution du premier système s’obtient en remplaçant a par -4 et b par 1 : x = -11 y = -3 Exercice 2 : En vous servant de raisonnements analogues trouvez les solutions des systèmes : a) 2 x − y = 5 2 x − y = 7 2 x − y = −5 et et x + y = 9 x + y = 11 x + y = −4 b) x + y +z = 9 x + y + z = 11 x + y +z = 0 3x +2 y − z = 5 et 3x +2 y − z = −4 et 3x +2 y − z = −1 x − y − z = −4 x − y − z = +6 x − y − z = +1 Page 16 . on obtient : x y a b x y a 2 -6 1 0 l1 = L1-2lp 0 2 1 (1) -4 0 1 l2 = lp 1 -4 0 1 -4 0 1 lp = L2 b -2 1 Prenons comme ligne pivot la ligne du haut ( L1 ).5 b -2 1 -1 x l1 = lp 0 l2 = L2+4lp 1 lp =(1/2) L1 y 1 0 a 0. 9c . et pivotez.8c 9c + + 9d + 6d + 7d 6d + + - + 5e 9e 8e 2e + + 14f + 11f .5x5 ≤ 25 (u2) 5x1 + 4x2 + 6x3 . f ≥ 0.18b . b ≥ 0.12g + 17g 7g ≤ 543 ≤ 245 ≤ 351 a ≥ 0. x2 ≥ 0. donnez cette solution. x4 ≥ 0. x5 ≥ 0 b) maximiser T T = ( x ) 32a ( y ) 23a ( z ) 17a 12a + 4b + 24b + 5c + 31b . c ≥ 0. sous forme canonique. x3 ≥ 0. e ≥ 0. puis sous forme « initiale » correspondants aux tableaux suivants : H a b c d u v w x 0 0 0 0 1 4 5 7 4 -15 5 7 -4 2 -18 2 3 2 5 -14 6 5 8 3 -18 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 H 0 0 0 0 1 x 3 4 2 4 26 t 5 6 3 5 28 u1 2 -6 0 5 -13 u2 0 0 2 3 -7 y 0 1 0 0 0 z 0 0 0 1 0 u3 0 0 1 0 0 u4 1 0 0 0 0 19 24 34 38 0 29 17 12 23 149 b) Pour chacun de ces programmes dire sur quelle colonne on pivote. g ≥ 0 exercice 2 a) Donnez les programmes linéaires. Page 17 . La solution obtenue est-elle optimale ? Dans le cas d’une réponse affirmative.Mathématiques pour l’Economie et la Gestion Séance d’Exercices Dirigés Leçon 1 Séance d’exercices dirigés Leçon 4 exercice 1 Mettez les programmes linéaires suivants sous forme canonique.21f 5f + + 4g .8x4 + 5x5 ≤ 34 (u3) 7x1 + 6x2 + 4x3 + 5x4 + 3x5 ≤ 46 (u4) 3x1 + 3x2 . d ≥ 0. puis sous forme de tableaux a) Maximiser S S = 9x1 + 3x2 + 5x3 + 6x4 + 4x5 (u1) 4x1 + 2x2 + 8x3 + 9x4 .2x3 + 4x4 + 2x5 ≤ 29 (u5) 6x1 + 7x2 + 5x3 + 6x4 + 4x5 ≤ 32 x1 ≥ 0. c ≥ 0 Page 18 . b ≥ 0. y ≥ 0. t ≥ 0 b) maximiser T T = 2a + 4b + 5c ( u ) a + 2b + 6c ≤ 42 ( v ) 2a + 5b + 3c ≤ 25 ( w ) 4a + 2b + 6c ≤ 26 a ≥ 0. z ≥ 0.Mathématiques pour l’Economie et la Gestion Séance d’Exercices Dirigés Leçon 1 exercice 3 résoudre les problèmes suivants : a) maximiser S S = 10x + 13y + 2z + 3t ( h1) 5x 4y 2z 3t ≤ 22 ( h2) 4x 5y 2z 5t ≤ 25 ( h3) 3x 4y 5z 2t ≤ 35 x ≥ 0. 270 1. b) On suppose maintenant que les contraintes du problème sont changées et que le nouveau tableau initial est : nouveau tableau initial : H x y z t u v w 0 2 6 12 1 0 0 0 0 3 7 2 0 1 0 0 0 5 6 8 0 0 1 0 0 4 3 6 0 0 0 1 1 -10 -15 -21 0 0 0 0 Donnez le nouveau programme posé par ce tableau ainsi que sa solution . tableau initial : H x y z t u v w 0 2 6 12 1 0 0 0 13 0 3 7 2 0 1 0 0 14 0 5 6 8 0 0 1 0 17 0 4 3 6 0 0 0 1 21 1 -10 -15 -21 0 0 0 0 0 tableau final : x y 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 H 0 0 0 0 1 z 1 0 0 0 0 t u v 0.085 -0. ainsi que sa solution.220 -0.620 w 0 0 0 1 0 0.210 1.120 0.160 0.735 a) Donnez le programme linéaire de maximisation que ce tableau est censé résoudre( forme canonique et forme initiale).760 38.360 0.580 9.020 0.635 0.160 -0. exercice 2 On considère le tableau suivant : H 0 0 0 1 m 1 2 4 -8 n 3 6 2 -12 p 2 7 6 -13 q 4 3 5 -7 r 1 0 0 0 s 0 1 0 0 Page 19 t 0 0 1 0 230 170 250 0 12 15 18 22 0 .080 0.Mathématiques pour l’Economie et la Gestion Séance d’Exercices Dirigés Leçon 1 Séance d’exercices dirigés Leçon 5 exercice 1 On donne ici les tableaux initiaux et finaux obtenus par application de la méthode du simplex.090 0.360 -1.185 1.070 0.220 -0. y ≥ 0.3 58 1.1 9 -0.4 q 2.5 0. on obtient : H a b c d e f g 0 2/3 1 4/3 1 1/3 0 0 10/3 0 11/3 0 10/3 5 -2/3 1 0 22/3 0 -1/3 0 -14/3 -1 -5/3 0 1 4/3 1 20/3 0 4/3 4 25/3 0 0 250/3 Page 20 .6 1. y ≥ 0.1 1. z ≥ 0. t ≥ 0 d) On s'intéresse maintenant encore à un nouveau problème : Maximiser H H = 9x + 22y + 28z + 21t (u) x + 3y + 2z + 4t ≤ 220 (v) 2x + 6y + 7z + 3t ≤ 190 (w) 4x + 2y + 6z + 5t ≤ a x ≥ 0.8 1.2 572 Quelle est la solution du problème de maximisation ? c) Utiliser ces tableaux pour donner la solution du nouveau problème : Maximiser H H = 8x + 12y + 13z + 7t (u) x + 3y + 2z + 4t ≤ 220 (v) 2x + 6y + 7z + 3t ≤ 190 (w) 4x + 2y + 6z + 5t ≤ 210 x ≥ 0.5 0.2 3.1 5.0 127 0.5 0. b) Après application de la méthode du pivot.Mathématiques pour l’Economie et la Gestion Séance d’Exercices Dirigés Leçon 1 a) Quel programme de maximisation ce tableau est il censé poser ? ( forme canonique et forme initiale).8 r 1 0 0 0 s t -0. on obtient : H 0 0 0 1 m 0 0 1 0 n 0 1 0 0 p -1. z ≥ 0. t ≥ 0 Pour quelle valeur du paramètre a la solution de ce problème est – elle obtenue "presque directement" par application du tableau précédent ? exercice 3 On considère le tableau suivant : H 0 0 0 1 a 2 5 3 -10 b 3 2 5 -25 c 4 6 2 -32 d 3 7 4 -21 e 1 0 0 0 f 0 1 0 0 g 0 0 1 0 10 14 18 0 a) Quel programme de maximisation ce tableau est il censé poser b) Après application de la méthode du pivot.1 0.2 -0. z ≥ 0. t ≥ 0 exercice 4 On considère les deux tableaux suivants utilisés pour résoudre un problème de programmation linéaire. y ≥ 0. t ≥ ≤ 10 ≤ 14 ≤ 18 0 d) Utiliser ces tableaux pour donner la solution du problème : Maximiser H H= (u) (v) (w) 9x + 22y + 28z + 21t 2x + 3y + 4z + 3t ≤ 10 5x + 2y + 6z + 7t ≤ 14 3x + 5y + 2z + 4t ≤ 18 x ≥ 0. z ≥ 0.Mathématiques pour l’Economie et la Gestion Séance d’Exercices Dirigés Leçon 1 Quelle est la solution du problème de maximisation ? c) Utiliser ces tableaux pour donner la solution du problème : Maximiser H H= (x) (y) (z) 9x 2x 5x 3x x ≥ + 22y + 28z + 19t + 3y + 4z + 3t + 2y + 6z + 7 t + 5y + 2z + 4 t 0. tableau initial H x y z t u v 0 2 4 1 0 0 0 24 0 3 1 0 1 0 0 15 0 4 3 0 0 1 0 24 0 2 3 0 0 0 1 30 1 -20 -10 0 0 0 0 0 Page 21 . y ≥ 0. Page 22 .Mathématiques pour l’Economie et la Gestion Séance d’Exercices Dirigés Leçon 1 tableau final H x y z t u v 0 0 0 1 2 -2 0 6 0 1 0 0 3/5 -1/5 0 21/5 0 0 1 0 -4/5 3/5 0 12/5 0 0 0 0 6/5 -7/5 1 72/5 1 0 0 0 4 2 0 108 a) quel programme ces tableaux sont-ils censés résoudre ?(forme canonique et forme initiale) b) quelle est la solution de ce programme ? c) utiliser le graphique suivant pour résoudre ce programme par la méthode graphique. y 16 3x + y = 15 14 12 2x + 4y = 24 10 8 4x + 3y = 24 6 2x + 3y = 30 4 2 0 x 0 6 12 18 d) on envisage maintenant de modifier la fonction de coût : les paramètres de coût sont remplacés par H = 25x + 15y donnez la nouvelle solution de ce programme en utilisant d'une part la technique des tableaux. d'autre part la technique (l'astuce ! ) vue dans la leçon 2. Mathématiques pour l’Economie et la Gestion Séance d’Exercices Dirigés Leçon 1 Séance d’exercices dirigés Leçon 6 Vous trouverez ci-aprés 5 couples de tableaux : les tableuax initiaux et finaux obtenus en adoptant l'algorithme du simplex. On demande pour chacun de ces couples : a) donnez le programme de maximisation associé b) donnez son programme dual c) donnez la solution du programme intial et du programme dual. exercice 1 A 0 0 0 1 A 0 0 0 1 q 2 3 4 -21 q 0 0 1 0 r 3 4 2 -24 r 1 0 0 0 s 6 2 6 -32 s 3/2 -25/4 3/4 79/4 tableau initial 1 t u v 7 1 0 5 0 1 3 0 0 -18 0 0 w 0 0 1 0 21 43 17 0 tableau final 1 t u v w 11/4 1/2 0 -1/4 25/4 -33/8 -5/4 1 -1/8 117/8 -5/8 -1/4 0 3/8 9/8 279/8 27/4 0 15/8 1389/8 exercice 2 Z 0 0 0 1 Z 0 0 0 1 a 3 -8 2 -12 a 0 0 1 0 b -12 5 4 -15 b 0 1 0 0 c 45 32 16 -4 tableau initial 2 d e f 24 1 0 15 0 1 15 0 0 -9 0 0 c 241/2 -7/6 31/3 205/2 tableau final 2 d e f 307/4 7/6 1 -1/12 -1/18 0 23/3 1/9 0 327/4 1/2 0 Page 23 g 0 0 1 0 15 26 32 0 g 9/4 231/2 1/12 11/6 1/3 37/3 21/4 351/2 . Mathématiques pour l’Economie et la Gestion Séance d’Exercices Dirigés Leçon 1 exercice 3 Q 0 0 1 Q 0 0 1 u1 4 3 -24 u1 9/14 1/14 60/7 u2 5 2 -20 tableau initial 3 u3 u4 u5 2 6 1 6 4 0 -24 -48 0 u2 13/14 -2/7 124/7 u3 0 1 0 tableau final 3 u4 u5 1 3/14 0 -1/7 0 48/7 u6 0 1 0 12 18 0 u6 -1/14 3/14 12/7 9/7 15/7 792/7 exercice 4 H 0 0 1 H 0 0 1 x1 2 4 -16 x1 -2/3 4/3 56/3 x2 3 5 -30 tableau initial 4 x4 x5 7 5 2 4 -28 -40 x3 5 3 -30 u 1 0 0 tableau final 4 x2 x3 x4 x5 u -13/18 5/18 1 0 2/9 29/18 11/18 0 1 -1/9 128/9 20/9 0 0 16/9 v 0 1 0 18 14 0 v -5/18 1/9 7/18 31/9 70/9 1268/9 exercice 5 M 0 0 0 0 1 M 0 0 0 0 1 x 4 3 2 5 -12 x 0 0 0 1 0 y 5 7 8 4 -20 y 0 0 1 0 0 tableau initial 5 z1 z2 z3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 z1 1 0 0 0 0 z4 0 0 0 1 0 20 21 20 18 0 tableau final 5 z2 z3 z4 0 -9/32 -11/16 5/8 1 -23/32 -5/16 3/8 0 5/32 -1/16 15/8 0 -1/8 1/4 5/2 0 13/8 7/4 135/2 Page 24 .