UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA FACULTAD DE ESTUDIOS GENERALES RAZONAMIENTO Y REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA GUIA Nº 3 2011 – II RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES Objetivos: Utilizar números y sus relaciones como razones y como proporciones para resolver problemas en diferentes contextos Aplicar razones, proporciones, sus relaciones y propiedades para solucionar ejercicios y problemas. Utilizar porcentajes para resolver problemas de proporcionalidad aplicados a las finanzas. Analizar si dos magnitudes se relacionan de manera directa o inversa. Competencias: Uso la idea de razón para calcular la probabilidad de ocurrencia de algunos hechos. Planteo situaciones en las que se involucran razones. Valoro la importancia de la proporcionalidad en la solución de problemas cotidianos con distintas magnitudes. Deduzco o verifico las propiedades de las proporciones para solucionar problemas. Aplico la proporcionalidad en el cálculo de porcentajes. Interpreto los porcentajes como fracciones con denominador 100 y uso este hecho para resolver problemas de contextos reales. Hago uso de los porcentajes y de la proporcionalidad para resolver problemas financieros. Establezco las características de dos magnitudes relacionadas de forma directa o inversa y de sus gráficas correspondientes. Desarrollo Temático: En el mundo que nos rodea existe una disposición armoniosa en su estructura, cosas que a simple vista y en un consenso común nos parecen bellas, esto debido a que la naturaleza en general es ordenada en ciertos aspectos a causa de proporciones que la rigen. Por ejemplo, el muy conocido esquema del cuerpo humano de Leonardo Da Vinci está basado en una proporción. la razón entre las estampillas de Juan y Pedro es: (Valor de La Razón) Ejemplo Un padre quiere repartir la mesada correspondiente a sus dos hijos. en particular. gracias a la armonía implícita en la naturaleza. a través de su diferencia (razón aritmética). Razones La razón es un concepto matemático que utilizamos para comparar dos cantidades cualesquiera y poder establecer una característica que la relacione. por lo tanto tenemos que: . por lo cual lo va a castigar dándole $6. y a través de su cociente (razón geométrica) La razón entre a y b se puede expresar como a: b ó y se lee a es a b. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? Respuesta: Para resolver este y todos los otros problemas de este tipo existe un método bastante sencillo a utilizar.000 a repartir.En la presente guía retomarás los conceptos básicos de las razones y las proporciones. Al resultado de la división entre el antecedente y el consecuente se le llama Valor de la Razón. es decir $3. Consiste en dividir el intervalo en dos partes iguales (en este caso $20.000).000 para cada lado en este caso. de forma que puedas aprender de paso a deleitarte con la belleza. e incorporar a cada parte la mitad de la diferencia que existe entre el antecedente y el consecuente de la razón.000 menos que a su hermano. a es el antecedente y b es el consecuente. en la razón . ambas cantidades las podemos comparar principalmente de dos formas. pero al fin del mes uno de ellos se portó mal. Ejemplo Si Juan tiene 600 estampillas y Pedro 400.000: 2 = $10. Si dispone de $20. ¿Cuánto dinero le corresponderá cada uno? Respuesta: Para este tipo de problemas te recomendamos utilizar el siguiente método. es decir quiere repartir el dinero a razón de 3 es a 2. Si dispone nuevamente de $20. ya que 3+2 = 5.000).Luego. por lo que quiere darle menos mesada que a su hermano. la cual siempre resulta ser la suma entre el antecedente y el consecuente de la razón geométrica. Ejemplo: Al siguiente mes. en este caso debes dividir $20.000. es decir. el otro reciba solo $2. Observa el siguiente diagrama: .000 en 5 partes iguales.000. y luego 3 de esas partes le corresponderán al antecedente (hijo que se portó bien). el mismo padre del ejemplo anterior tiene el mismo problema. pero esta vez quiere que cada $3 del hermano que se portó bien. el entero que se va a repartir (en este caso $20. divídelo en el total de partes más conveniente para repartirse. $7. y las otras 2 al consecuente (hijo que se portó mal). resulta ser la cantidad que aparece gris en la figura 2.000. y el resto es para el mal hijo. $13. uno de sus hijos se ha portado mal.1 la que le corresponde al hijo que se portó bien. Obviamente esta división del dinero que eligió su padre para castigarlo le conviene más al mal hijo que la anterior. Claro que esto no quiere decir que siempre sea así. y los medios. están los extremos. Este tipo de proporción no es particularmente importante. Proporción Geométrica Una proporción geométrica (o simplemente proporción). Proporción Aritmética Es la igualación de dos razones aritméticas equivalentes. es la igualación de dos razones geométricas equivalentes. que son el antecedente de la primera razón y el consecuente de la segunda.000 para repartir y te podrás dar cuenta. . es por esto que no le dedicaremos más páginas de estudio. haz de ejercicio los mismos dos ejemplos pero que el padre disponga solo de $10. que son el consecuente de la primera razón y el antecedente de la segunda. Proporciones Una proporción es una igualdad entre dos razones equivalentes. A la diferencia entre las razones involucradas se la llama constante de proporcionalidad aritmética. En una proporción podemos distinguir sus partes por distintos nombres.Donde la parte gris es la que le corresponde al hijo que hizo todas sus obligaciones. Por ejemplo: Dada la proporción 7 : 3 = 21 : x. pues 4 · 2 ≠ 3 · 5 Con esta ´ultima propiedad podemos resolver ejercicios para determinar algunos de los elementos de una proporción. · x = 3 · 21 · →1·x= si y sólo si si y sólo si si y sólo si si y sólo si si y sólo si si y sólo si .a·d=b·c Ejemplos 3 : 2 = 9 : 6 es una proporción. además de la equivalencia entre razones.Otra forma. de comprobar si una proporción realmente lo es. determinemos el valor de x utilizando la igualación entre el producto de medios y extremos: 7 : 3 = 21 : x → 7 · x = 3 · 21 → 7 · →x=9 Propiedades de las proporciones A partir de la proporción Propiedad 1 Propiedad 2 Propiedad 3 Propiedad 4 Propiedad 5 Propiedad 6 se pueden obtener otras. pues 3 · 6 = 2 · 9 4 : 3 = 5 : 2 No es una proporción. es verificar que el producto entre los extremos sea igual al producto entre los medios es decir: a:b=c:d. Todas estas propiedades se pueden demostrar a partir de la Propiedad Fundamental que establece que si y sólo si a x d = b x c Proporcionalidad Directa Hasta ahora solo hemos trabajado con este tipo de proporcionalidades.300. que es precisamente el caso de las proporciones que hemos visto. 6 con 3900. x = 5. es decir: Con k constante Ejemplo Si para comprar dos kilogramos de pan necesitas $1.300: 2 = 650. entonces aumenta el dinero. es decir. También decimos que dos cantidades a y b son directamente proporcionales si su cociente es constante. etc. 4 con 2600. ¿Cuánto dinero necesitas para comprar 5 kilogramos de pan? Respuesta: Nos podemos dar cuenta que el ejemplo es sobre una proporcionalidad directa ya que si aumenta la cantidad de kilogramos de pan. unamos los puntos 2 con 1300. ya que dos magnitudes son directamente proporcionales si multiplicando o dividiendo una de ellas por un número la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número. . grafiquemos el mismo ejemplo anterior. $ 1300 → Y así puedes verificar que para cualquier cantidad de kilos de pan con el dinero que necesites para comprarlo tendrán un cociente constante. En este caso ese cociente (k) es igual a 1. Por lo tanto se debe cumplir que: → 2 . Una forma de representar dos cantidades que son directamente proporcionales es a través de un gráfico. Una forma de representar dos cantidades que son inversamente proporcionales es a través de un gráfico. es decir. Proporcionalidad Inversa Dos cantidades tienen proporcionalidad inversa si al multiplicar una de ellas por un número la otra queda dividida por ese mismo número y viceversa. es decir: a · b = k. Con k constante Ejemplo 2 trabajadores se demoran 24 horas en pintar una casa.0) u origen.Siempre dos cantidades directamente proporcionales al ser graficadas representarán una recta que pasa por el (0. ¿Cuánto se demorarán 6 trabajadores? Respuesta: Nos podemos dar cuenta que el ejemplo es sobre una proporcionalidad inversa debido a que si aumenta una de las magnitudes la otra disminuye (si hay más trabajadores se demoran menos tiempo). También decimos que dos magnitudes a y b son inversamente proporcionales si su producto es constante. por lo tanto se debe cumplir que: Trabajadores · Horas = k → 2 · 24 = 6 · x → =x → x = 8 horas. unamos los . grafiquemos el mismo ejemplo anterior. Ejemplo Si 10 vacas comen 30 kilos de pasto en 20 días. o aumentamos al doble los kilos de pasto. 1 con 48. o aumentamos al doble las vacas. luego la proporción la podemos cambiar por: . lo que provoca que la forma de analizar el problema sea un poco más complicada. la cantidad de kilos de pasto y el número de días. 3 con 16. 8 con 6 y 6 con 8. esto quiere decir si por ejemplo queremos igualar el número de días.puntos cuyo producto es 48 (pues 48 es la constante k de el ejemplo). entre ellos están. sin embargo puede pasar que las variables en juego para una proporción sean más de dos. Iguala una de las columnas procurando hacer la corrección sobre las variables de la fila que corregiste. ¿Cuántos kilos de pasto comerán 15 vacas en 10 días? Respuesta: Como puedes ver las variables en juego son ahora tres. el número de vacas. Proporcionalidad Compuesta Hasta ahora solo hemos visto casos con dos variables. entonces 15 vacas comerán 2 · x kilos en 20 días (el doble de comida en el doble de tiempo). 2 con 24. Para comenzar es bueno esquematizar el problema como sigue: Vacas Kilos Días 10 → 30 → 20 15 → x → 10 Para resolver este tipo de ejercicios te recomendamos utilizar el siguiente método. ya que si 15 vacas comen x kilos en 10 días. ya que no existe diferencia entre una situación y la otra. “Mata el 99. 10 · 2x = 30 · 15 20x = 450 x= x = 22.5 kilos Otro ejemplo: 8 obreros trabajan 18 días para poner 16 metros cuadrados de cerámica. “Con un interés del 0. hasta un 70% de dscto”.Vacas Kilos Días 10 → 30 → 20 15 → 2x → 20 Luego. y que ya sabemos resolver. Y nos queda una proporción de dos magnitudes. ¿Cuántos metros cuadrados de cerámica pondrán 10 obreros si trabajan 9 días? Respuesta: El esquema del problema es algo como: Obreros Días Metros cuadrados 8 → 18 → 16 10 → 9 → x Ahora vemos que nos queda una proporción directa (a más obreros.9% de los gérmenes y bacterias”. ¿Cuántos kilos de pasto comerán 15 vacas? Vacas Kilos 10 → 30 15 → 2x Simplemente eliminamos la columna que coincidía. etc.01 %”. más metros cuadrados). más pasto comen). y resolvemos como ya sabemos: 8 · x = 16 · 5 x= x = 10 m2 Porcentaje En la vida cotidiana siempre nos encontramos con expresiones como “Liquidatodo. cuando tenemos una columna igualada ese valor pasa a ser un dato más del problema. que es directamente proporcional (mientras más vacas. . Entonces ahora la pregunta es: ¿Si 10 vacas comen 30 kilos de pasto. no nos referimos a otra cosa que a una razón. El 15% de 80 se obtiene de la forma: ? = 80 · 15% = 80· = 8 · 1. el 15% de 80 es 12. Por ejemplo: Si queremos conocer qué porcentaje es 36 de 40. Cuando hablamos de porcentaje. es una razón cuyo consecuente es 100. Cuando queremos buscar el tanto por ciento de una cantidad solo debemos formar la proporción geométrica y directa entre la cantidad y la incógnita versus el porcentaje. veremos el significado matemático del tanto por ciento. debemos considerar una proporción donde el antecedente de la primera razón sea A y el consecuente B. y en la segunda razón el antecedente es la incógnita mientras que el consecuente es 100. por lo tanto el tratamiento que se haga con un porcentaje es el mismo que con una razón. Entonces debemos decir 36 es a 40 como x es a 100. Así se tiene: El a% de b lo obtenemos resolviendo la siguiente proporción: Por lo tanto tenemos que siempre el a% de b es: Veamos algunos ejemplos: El 30% de 60 se obtiene de la forma: ? = 60 · 30% = 60· = 6 · 3 = 18 Por lo tanto. pero una muy especial.5 = 12 Por lo tanto. es decir x% = x/100. el 30% de 60 es 18. Porcentaje de una Cantidad Cuando queremos determinar el porcentaje que una cantidad A es de otra B.Bueno para que tengas aún más claro el significado de ´estas expresiones. esto escrito matemáticamente se ve como: ó 36 : 40 = x : 100 Resolviendo como ya sabemos hacerlo: 40· x = 36·100 → x = →x= → x = 90 → 36 es el 90% de 40 Porcentaje de un Porcentaje . Como veremos a continuación este pensamiento está completamente erróneo ya que cuando se dice “un 20% adicional” se hace referencia a un descuento sobre la cantidad ya descontada.000 .000 · 6 = $3.2 = 200 · = = 40 . te descuentan menos de lo que parece. que claramente es distinto a la suma anterior de $28.000 − $7. le descuentan un 20% adicional. el abrigo nos saldría por una cantidad de $60. Si tiene un descuento de un 40% y luego al pagar con tarjeta de crédito.$36.Muchas veces habrás escuchado en una liquidación “40% de descuento.000 · 20% = $36.000 · = $3. ¿Qué valor debe cancelar una persona que lo compra con tarjeta de crédito? Respuesta: Primero debemos calcular el primer descuento.000 · = $6. como 40% y 20% son descuentos (lo que quiere decir que cancelas 60% con el primer descuento y 80% con el segundo).000 = $36.600 · 2 = $7.800 Ahora comparemos el precio si es que hubiéramos considerado un descuento de 40% + 20% = 60 %.000 de descuento Esto quiere decir que el abrigo nos cuesta $60.000 − $24. Más en general. Por lo tanto. como pagamos con tarjeta de crédito nos dan de nuevo un descuento de: $36.000 · = $6. ante esta estupenda promoción la mayoría de la gente cree que le están dando un 60% de descuento en total.000 · 40% = $60. $60.000. Luego.800 Otros ejemplos: El 25% del 80% de 200 es: 200 · 80% · 25% = 200 · El 60% del 30% de 90 es: 90 · 30% · 60% = 90 · ACTIVIDADES Resuelve los siguientes problemas: =9·3· = 16.000 · 4 = $24.600 de descuento Es decir. el abrigo nos sale por: $36.800 que es lo que sale realmente el abrigo.200 = $28. Veamos un ejemplo: Un abrigo cuesta originalmente $60.000 = $24.000. que no te hagan tonto. entonces el ejercicio se debío efectuar de la forma: $60.000 · = $600 · 6 · 8 = $3. Es decir: $60.600 · 8 = $28. lo que resulta ser menor al 20% de la suma original. para poder determinar el porcentaje del porcentaje de una cantidad simplemente se vuelve a multiplicar por el siguiente porcentaje.000 · 60% = $60. más un 20% adicional”. En el caso anterior.000.200 de descuento adicional Es decir. ) 0. Escribe la razón en cada caso. por cada 40 personas 3 son carpinteros.) 15 20 b.2 8. En una ciudad. ¿Qué fracción de la población es analfabeta? Si la población es de 7065000 habitantes. ¿Cuántos son analfabetas? 3.2 . 6.c.) 8. Si una porción de esta sopa contiene 12 tazas de garbanzo. Un auto con 8 litros de bencina recorre 72 km. Por cada $ 10 que una persona gana destina $ 3 a alimentación. ¿Cuál es la razón entre el número de niñas y de niños? ¿Cuál es la razón entre los varones y el total de participantes? ¿Cuál es la razón entre el número de participantes y el total de niñas ? A través de la simplificación busca otras razones equivalentes con: 1.) 15 70 3. 2 9. c.) 42 60 22 80 7.5 d. c. ¿Cuántas personas hay en la ciudad si 720 personas son carpinteros? 4. ¿Cuántas tazas de frijol contiene? 5. Manuel realizó la fiesta del curso.1.) 3. b. Determina el valor de cada razón: a. Si gana $ 320000 mensuales ¿cuánto gasta en alimentación? 2. en la cual participaron 16 hombres y 20 mujeres. Un bus demora 60 minutos en recorrer los 80 Km que separan dos ciudades.) 16 : 30 = 5.6 7.) 15 18 2. a. b.4 : 4= 6. 20 son analfabetas.26 0. a.8 1. Una llave gotea 100 c.) 2.) 12 : 20 = 4. Para preparar una sopa se mezclan 2 tazas de frijol por cada 3 de garbanzo.) 10 0. Por cada 100 habitantes de un país.) 25 5 c.) 0. 7. en 5 horas. ) 1 h.) 5 3 : 8 10 1 1 :1 3 6 g. i. g. o. b. e. Aplicando la proporcionalidad directa. Dólar Pesos $ 1 2 3 4 etc. c. d.27 cm. d. m.54 cm. expresa en pulgadas las siguientes medidas en centímetros. n. Si una pulgada son 2. 10.e. Encuentra el término que falta en las siguientes proporciones: a. p. f.) 1 3 : 2 4 2 7 :2 5 10 f. Realiza un gráfico para ilustrar la situación. j. Proporción Directa: Completa el cuadro de acuerdo al cambio monetario entre dólar y peso.) 12. b. 1. a. c. 750 1500 . Encuentra el valor de X y de Y. indica la propiedad o propiedades que empleas para solucionar cada ejercicio. a. k.) 1 9. a. h. c. ¿cuánto costarán 8 pantalones? e. Cuando el número de trabajadores se duplica.) 17. ¿qué ocurre con el número de días? 3. ¿cuánto tiempo necesitará para memorizar 130 líneas? c.) 20. Si un vehículo se mantiene con velocidad constante de 60 m/s. El arriendo de una cancha de tenis cuesta $5.) 15. A esta razón. Cuando el número de trabajadores se triplica. Nº de Trabajadores 1 2 3 4 5 6 8 10 Nº de días 120 60 40 30 Responde las siguientes preguntas observando el cuadro anterior: 1. Proporción Inversa: Completa el cuadro. Si los niños y las niñas de un curso están a razón de 3 : 4 respectivamente.32 cm. ¿Cuántas niñas hay si el curso es de 35 personas? 2.000. ¿cuántos metros recorrerá en un minuto? f.500 la media hora. Un alumno del taller de teatro necesita 25 minutos para aprenderse 15 líneas del texto. Una persona a cierta hora del día da una sombra de 3 m.b. d. ¿cuánto mide la persona? g. ¿qué ocurre con el número de días? . si un árbol de 4 m de altura da una sombra de 6 m.78 cm. ¿qué ocurre con el número de días? 2. ¿Cuánto deben pagar? 4 d.24 cm. Cuando el número de trabajadores se reduce a la mitad. b. Si 5 pantalones cuestan $60. si Juan y su 1 hermano la ocupan 3 hrs. Entre 4 personas pintan una casa en 3 días. ¿Cuántas personas se necesitan para realizar el mismo trabajo en 2 días? g. ¿a qué velocidad debe desplazarse para demorarse 2 horas entre ambas ciudades? c) Si 5 personas se comen 100 completos en 35 minutos. Las variables trabajador versus día son directamente o inversamente proporcionales? ¿Por qué? 6. Para un viaje pedagógico los 30 alumnos del 7º año arrendaron un bus y cada uno de ellos deberá cancelar $ 2. ¿cuántos rompecabezas armarán 36 personas en 48 horas? b) 5 trabajadores construyen una muralla en 6 horas. Para cada par de valores de trabajador versus día encuentra el producto de ellos (anótalos al lado de la tabla) ¿es un valor constante ese producto? 7. ¿cuánto demorarán 7 personas en comer la misma cantidad? d) Un artesano hace 10 tazas de cerámica por hora. Las variables trabajador versus día son directamente o inversamente proporcionales? ¿Por qué? Resuelve los siguientes problemas: a) Si 2 personas realizan un trabajo en 5 horas. Si deciden ir solamente 25 alumnos ¿Cuánto deberá cancelar cada uno de ellos por el bus? f. ¿cuánto se demorarán 3 artesanos en hacer la misma cantidad de tasas? e.500. ¿cuántos trabajadores se necesitan para construir 8 murallas en solo un día? . Un bus demora 6 horas entre Santa Marta y Valledupar a una velocidad promedio de 80 km/h ¿A qué velocidad promedio se desplazó otro vehículo que hizo el mismo recorrido en 8 horas? 3.4. ¿cuánto tiempo demoran 5 personas? b) Si un vehículo a una velocidad de 70 Km/hr se demora 3 horas en llegar de la ciudad A a la ciudad B. Para cada par de valores de trabajador versus día encuentra el producto de ellos (anótalos al lado de la tabla) ¿es un valor constante ese producto? 5. Proporción Compuesta a) Si tres personas arman un rompecabezas en 24 horas. 30 de 90 2.000 m de tejido en 20 días.5 9. 45 de 360 3. 956 12. Qué porcentaje es la primera cantidad de la segunda: 1. 100 2. 12. Porcentaje de una Cantidad I. 10 8. Una empresa constructora estima que son necesarios 30 obreros para terminar una obra en 3 meses trabajando 8 horas diarias. Cuatro operarios producen en 10 días 320 unidades de un cierto producto. ¿Cuál sería el costo de alimentación de 15 animales en 5 días? h. 831 II. 55 de 330 8. ¿Cuánto gastarían 42 estudiantes en 34 días. cuesta $ 8. 1 de 200 PROBLEMAS 1. de igual eficiencia que las primeras. ¿Cuánto había costado originalmente? . prepararán 800 páginas? f.000.800 10. ¿Cuántas unidades del mismo producto pueden producir 10 operarios en 16 días? 4. 90 3. En una residencia con 30 estudiantes. 45693 de 458 reciben $ 15 millones. 1. Si 30 máquinas fabrican 5. el 30% y el 40% de: 1. 68 de 300 6. 8 secretarias. ¿cuántas máquinas. 60 5. viviendo en idénticas condiciones? g.000 m en 14 días? d. La alimentación de 12 animales. Se vende un automóvil y se gana el 15 % sobre el valor original de compra. iguales a las anteriores.c. Un depósito de capacidad 500 litros es llenado por un grifo de 5 cm 2 de sección en 12 horas. 364 de 4 9. 54. Ubica el 20%. será preciso poner en marcha para producir 7. 956 de 478 12. 20 de 680 5. se gastan $ 18. 23 de 89 7. 45 7. ¿En cuántos días. Seis secretarias preparan 720 páginas en 18 días. trabajando 6 horas diarias? i. durante 8 días. 35 de 70 11. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse un depósito de 750 litros por un grifo de 8 cm2 de sección? e. 50 6.000 11.000 en 25 días. 96 de 32 10. ¿cuántos obreros necesitarían para terminar la obra en 2 meses. Si se 4. 80 4. 2% por retiro inmediato de mercancía.38% por transporte propio. los registros de inmigración señalan que en ese año ingresaron 824 904 extranjeros.2. ¿cuál es la edad de cada una? 11. Por efectos de la depreciación un computador es vendido y se le pierde el 28. El seño Platín Compratodo quiere adquirir un celular de última tecnología que de contado vale $ 1850000. 6. Si la nota de Carolina es 4. 12 caballos han consumido 720 kg de alfalfa durante un mes. En una parcela. 1. 5.36% de aquél. ¿Cuál es la distancia real entre otras dos ciudades. están a 16 cm de distancia en un plano. 15 caballos durante un mes? ¿Cuánta alfalfa consumirá 12. separadas 80 km en la realidad. en enero de 2012 era de 12 563 984. En enero de 2011 la población de Hipermegacity era de 11 325 431 habitantes. Halle: a) tasa total de incremento de la población. La edad de Valeria es 2: 3 de la edad de Sofía. b) tasa de incremento de la población nativa. separadas 11 cm en el mismo plano. M y N. ¿cuál es la edad de Valeria? Si las edades de Valeria y Sofía suman 20 años. Si se cancelaron $ 1389867. ¿Cuál es la tasa de incremento en el precio? 4.37 % sobre el valor de compra. ¿cuál es la razón entre los perímetros de los cuadrados A y B? 10.2 ¿cuál es la nota de Angélica? 9. 3.3% por pronto pago. c) tasa de incremento por inmigración. Una factura de $ 3 567 987 se cancela con $ 2 994 368 ¿Cuál es la tasa de descuento? 7. Las notas de matemática de Carolina y Angélica están en la razón 2 : 3 . Halle la tasa de los descuentos en cadena aplicados a una factura de $ 5 600 000 así: 2. ¿cuál fue el precio original de compra? 3. Dos ciudades A y B. Si el lado de un cuadrado A mide 5 cm y el de un cuadrado B 8 cm. El vendedor le informa que a plazos su valor es de $ 2285000. El peso bruto de una mercancía (mercancía más empaque) es 2467 kg. ¿cuál es la edad de Sofía? Si suponemos que la edad de Sofía es de 18 años. Halle el peso neto de la mercancía si el peso del empaque es el 12. . 8. Suponiendo que Valeria tiene 10 años. 000 c) 150% de 675. Calcula de qué número: a)24 es el 25% b)900 es el 15% c) 1. 2. Calcula el IVA (18%) aplicado y el Precio Total.680 d) 128 de 470 3.560 de 13.000 vendido con un 15% de ganancia. Calcula que porcentaje es: a) 234 de 1. Los siguientes son los precios sin IVA.5 de 478 c) 4.900 c) Zapatillas $26. para cada uno.300 b) Camisa $ 8. Un vehículo que corre a 80 Km/hora. ¿cuántas cerámicas de 25 cm por lado se necesitarán? ¿y cuántas de 30 cm por lado? 14. Se quiere colocar cerámica a un sitio cuadrado de 6 m por lado.13. El piso de una pieza se compone de 20 tablas de 5 pulgadas de ancho. Calcula los siguientes porcentajes: a) 14% de 2. Tres pintores pintan una casa en 8 días. Tres alumnos tardaron 20 horas en pintar una sala ¿Cuánto tiempo tardarán 4 alumnos en pintar la misma sala? 17. demora 15 horas en realizar un viaje entre 2 ciudades ¿Cuánto tardará otro vehículo en realizar el mismo viaje si va a una velocidad de 100 Km/hora? PORCENTAJE 1.420 es el 40% 4.170 b) 119.000 d) El precio de un televisor que cuesta $ 95.500 b) 56 % de 34. ¿Cuánto demoran 2 pintores en pintar la misma casa? 15. a) Corbata $ 4. Al renovarlo se colocaron tablas de 2 pulgadas de ancho ¿Cuántas tablas se ocuparon? 16.390 BIBLIOGRAFIA . . “Módulo II: Proporcionalidad y Aplicaciones ”.Preuniversitario Popular”. ORTIZ. Colombia. International Thompson Editores. Fundamentos y Aplicaciones”. JARA.O. B. T... L. PÉREZ. (2007). M. V. J. PAREDE. CARABALLO A. Publicaciones INFOTEP. San Andrés Isla. Tecnológica de Chile. y RAMÍREZ. Editorial Voluntad. (1997) “ Razonamiento Matemático. (2003) “Inteligencia Lógico Matemática 7”. P. Universidad RODRÍGUEZ. TORRES. “Matemáticas Básicas Aplicadas”. (2008) “ Prueba de Selección Universitaria Matemática. HERNÁNDEZ. Universidad de Chile. CRUZ. J.Colombia. (2008).