Razones Trigonométricasd de Un Ángulo en Posición Normal

TRILCE51 Capítulo RAZONES TRI GONOM ÉTRI CAS DE UN ÁNGULO EN POSI CI ÓN NORM AL 5 Definiciones Previas: I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Llamado tambi én en posi ci ón canóni ca o stándar. Esaquél ángulo tri gonométri co cuyo vérti ce coi nci de con el ori gen del si stema cartesi ano y su lado i ni ci al coi nci de con el eje "x" posi ti vo. Cuando un ángulo, está en posi ci ón normal, el lado fi nal puede estar en uno de loscuadrantes, en cuyo caso se di ce que éste pertenece a tal cuadrante. Lado Final Lado Inicial Vértice u ( + ) x y Del gráfico : * u : es un ángulo en posi ci ón normal * 0 ; I I C > u e u Lado Final Lado Inicial Vértice ( -) x y | * | : es un ángulo en posi ci ón normal * 0 ; I I I C < | e | Definición de las Razones Trigonométricas: Para determi nar el valor de las R.T. de un ángulo en posi ci ón normal, tomaremos un punto ) y ; x ( P 0 0 perteneci ente a su lado fi nal. x y P( ) x ;y o o r x o y o o o' Se define: o o o o x y Tan r x Cos r y Sen = o = o = o o o o o y r Csc x r Sec y x Cot = o = o = o * 2 o 2 o y x r + = * ' o : se denomi na ángulo de referenci a Trigonometría 52 Signo de las R.T. en los cuadrantes Dependiendo del cuadrante al que pertenezca un ángulo en posición normal, susR.T. pueden ser positi vas o negativas. Es así como se obtiene el cuadro adjunto. Cosecante y Seno ( + ) Cotangente y Tangente ( + ) positi vas son Todas ( + ) Secante y Coseno ( + ) Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales u radianes u ( grados) Sen u Cosu T an u Cot u Sec u Csc u t . 2 0 0 0 1 0 N. D. 1 N. D. 2 t 90º 1 0 N. D. 0 N. D. 1 t 180º 0 - 1 0 N. D. - 1 N. D. 2 3t 270º - 1 0 N. D. 0 N. D. - 1 Nota: N.D. no defi ni do Ángulos Coterminales: Son aquellos ángulos tri gonométri cos que poseen el mi smo vérti ce, el mi smo lado i ni ci al y fi nal. Ejemplo: u Vértice Lado inicial Lado final i) ii) P( ; ) x x o o x y Se ti ene que : * o y u : son cotermi nales * | y | : son cotermi nales( están en P. N.) Propiedades: Si o y u son cotermi nales se cumple que: I. II . o u - = 360ºn ; n Z R.T. ( o u ) = R. T. ( ) TRILCE 53 EJ ERCICIOS PROPUESTOS 01. Del si gui ente gráfi co, calcular: u ÷ u = Cot 12 Sen 10 E x y u ( 1;-3) a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 02. Por el punto ) 5 ; 2 ( P ÷ pasa el lado fi nal de un ángulo en posi ci ón normal cuya medi da es " o ". C alcular: Coso . a) -1/2 b) -2/3 c) -3/4 d) -4/3 e) -3/2 03. Si : 3 2 Sen ÷ = o y e o I I I C. Calcular: ) Sec T an ( 5 E o + o = a) -1 b) -2 c) -3 d) 2 e) 3 04. I ndi car el si gno de cada expresi ón: I. Sen200ºTan240º II. C os120ºTan100º II I. Sen150ºC os340º a) + , + , + b) ÷, ÷, ÷ c) ÷, + , + d) + , ÷, ÷ e) + , ÷, + 05. ¿A qué cuadrante pertenece " u " , si : 0 T an < u y 0 Cos > u . a) I C b) I I c) I I I C d) I V e) I C y I I C 06. De la fi gura, calcular: " T an " u x y u 17 ( 1-x;2x) a) 1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5 07. Calcular: 270 abCsc 2 180 Cos ) b a ( º 360 Sec ) b a ( E 2 2 ÷ + + = a) 1 b) 2 c) 3 d) -3 e) -2 08. Si : IVC x e y 0 6 Sen 4 | Cscx | = t ÷ Calcular: E = Senx + 3 Cosx a) 1 b) 1/2 c) 1/3 d) 2/3 e) 3/2 09. Si : 3 , 0 Cos  = | y I I C e | Calcular: | + | = Sec T an E 2 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 10. Si : f( x) = 2Sen2x+ 3Cos3x+ 4Tan4x. Calcular: ) 2 ( f t a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2 11.Una raí z de la ecuaci ón: 0 3 x 2 x 2 = ÷ ÷ es un valor de "Tano ", si : I I I C e o . Calcular: ) Cos Sen ( 10 E o + o = a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5 12. Si : f( x) = Senx+ C os2x+ Tan4x. Calcular: ) 2 ( f t a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2 13. Si : o y | son medi das de ángulos cotermi nales y se cumple que: Tan o < 0 y | C os| | = -C os| . ¿A qué cuadrante pertenece " | "? a) I C b) I I C c) I I I C d) I VC e) I C y I I C Trigonometría 54 14. C alcular: u + o = T an Sen 25 E , a parti r de la fi gura mostrada: x y u o ( 24;7) ( -4;-8) a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 15. Por el punto ) 7 ; 2 ( P ÷ ÷ pasa por el fi nal de un ángulo en posi ci ón normal cuya medi da es " u ". C alcular: u Csc 7 . a) 1 b) 2 c) 3 d) -3 e) -2 16. Calcular: 1 Cosx Senx E ÷ + = a) 0 b) 1 c) 2 d) 2 e) 2 2 17. Si : I V e o , determi ne el si gno de: o ÷ o o ÷ o = Cos Sen ) Cos 1 ( T an E a) + b) - c) + ó - d) - y + e) Todas son correctas 18. C on ayuda del gráfi co mostrado, calcular: ) 2 ( Sen 3 ) ( Sen ) 6 ( Cos 3 E | ÷ o | ÷ o + | ÷ o = | o a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4 d) 4/3 e) 3/2 19. De la fi gura, calcule: "Tan u " x y u 37º a) -3/7 b) -4/7 c) -5/7 d) -6/7 e) -7/4 20. Del gráfi co, calcule: " T an " | . x y ( 2;-3) | a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4 d) 4/3 e) 3/2 21. De acuerdo al gráfi co calcular: | ÷ o = Cos Cos 5 K y x ( -24;7) ( -4;-3) | o a) ÷ 2 b) ÷ 3 c) ÷ 4 d) 2 e) 4 22. Si el punto Q ( 8; 5) pertenece al lado fi nal de un ángulo canóni no " | ". Calcular: | ÷ | = Cot Csc R a) 0, 4 b) ÷ 0, 4 c) 0, 6 d) ÷ 0, 6 e) ÷ 0, 3 23. Si mpli fi car: 2 bCos 2 3 aSen Cos ) b a ( 2 Sen ) b a ( L 2 5 2 3 2 t + t t ÷ + | . | \ | t + = a) 2a b) ÷ 2a c) 4a d) ÷ 4a e) ÷ 4b 24. Señale los si gnos de: º 260 T an º 300 T an º 140 Cos º 140 Sen M ÷ = y º 348 Sen º 248 Cos º 116 T an º 217 Cos º 160 T an R + ÷ = a) ( ÷) No se puede preci sar. b) ( + ) ; ( + ) c) ( + ) ; ( ÷) d) ( ÷) ; ( ÷) e) ( ÷) ; ( + ) TRILCE 55 25. Señale Verdadero ( V) o Falso ( F) según corresponda en: I. Si : 0 Cos 0 Sen > u . < u , entonces I V e u . II. Si : 0 Sec 0 T an < u . > u , entonces I I I C e u . II I. Si : 0 Cot 0 Csc < u . < u , entonces I I C e u . a) VVF b) VVV c) VFV d) FFV e) FVV 26. Sabi endo que: 0 Sen > u 0 Sec T an < u u ¿A qué cuadrante pertenece el ángulo canóni co u ? a) I C b) I I C c) I I I C d) I VC e) No se puede preci sar. 27. Señale el cuadrante al que pertenece " u " si : u > u ÷ u T an Cos a) I C b) I I C c) I I I C d) I VC e) No se puede preci sar 28. Señale Verdadero ( V) o Falso, según corresponda en: I. Si : 180º ; º 90 e u , entonces I I C e u . II. Si : I I C e u , entonces 180º ; º 90 e u . II I. Si : I I I C e u , es posi ti vo y menor que una vuelta, entonces 270º ; º 180 e u . a) VVF b) VFV c) VFF d) FVV e) VVV 29. Sabi endo que: 3 2 T an ÷ = | I I C e | Calcular: | + | = Cos Sen Q a) 13 1 b) 13 13 ÷ c) 13 5 ÷ d) 13 13 5 e) 13 3 30. Si el lado fi nal de un ángulo canóni co " u " pasa por los puntos P( m+ n; n) y Q ( n;m÷n) , Calcular: u + u = 2 2 T an Cot K a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12 31. Sabi endo que " o " es un ángulo posi ti vo menor que una vuelta perteneci ente al I I I C señale el si gno de: 5 3 T an 3 2 Cos 2 Sen Q o | . | \ | o ÷ o = a) ( + ) b) ( ÷) c) ( + ) o ( ÷) d) ( + ) y ( ÷) e) No se puede preci sar. 32. Del gráfi co, calcular : 1 T an 3 E + o = y x 53º o a) 0 b) 1 c) ÷ 1 d) 2 e) ÷ 2 33. Tomando 236 , 2 5 = y sabi endo que: Ctgx = - 0, 5 y que I VC x e . ¿Cuál esel valor de Cscx? a) ÷ 2, 236 b) 2, 236 c) ÷ 0, 4472 d) 1, 118 e) ÷ 1, 118 34. Loscuadrantesen losque el Coseno y Tangente ti enen el mi smo si gno son: a) 1º y 2º b) 1º y 3º c) 2º y 3º d) 2º y 4º e) 1º y 4º 35. Se ti enen dos ánguloscotermi nales tales que el mayor esal menor como 23 esa 2. Su suma está comprendi da entre 2820º y 3100º. ¿Cuál esla medi da del mayor? a) 2540º b) 2760º c) 2820º d) 2420º e) 3000º 36. Si endo: 130 1 70 1 28 1 4 1 Sen 5 4 + + + = | | ÷ = | Cos Cos Calcular: | + | = Cos 3 Sen 2 K a) 1 b) ÷ 1 c) 2 d) ÷ 2 e) ÷ 3 37. El valor numéri co de la expresi ón: Sen180º+ 2Cos180º+ 3Sen270º+ 4Cos270º- 5Sec180º-6C sc270º es: a) ÷ 4 b) 12 c) 6 d) ÷16 e) 8 Trigonometría 56 38. I ndi car los si gnos de las si gui entes expresi ones en el orden F. G . H . º 338 Ctg º 215 Csc º 210 Sen º 138 Tan º 285 Sec F 3 3 2 = 2 3 2 3 º 336 Tan º 195 Csc º 116 Cos º 115 Ctg º 260 Sen G = 3 3 º 298 Sec º 135 T g º 128 Csc º 340 Ctg º 195 Sen H = a) ÷ , + , ÷ b) ÷ , ÷ , + c) ÷ , ÷ , ÷ d) + , ÷ , ÷ e) + , + , + 39. Si : u ÷ u ÷ + u = u 2 Cos ) 2 ( Sen 1 ) 3 ( Cos ) ( f 2 Calcular: 1 3 f 3 f + | . | \ | t + | . | \ | t ÷ a) 2 b) 2 3 2+ c) 5 d) 3 2 3 + e) 2 3 3 2÷ 40. Determi nar el si gno de S en cada uno de loscuadrantes ( I , I I , I I I , I V) . S = Ctgx + Senx - Cscx I II III I V a) + + + + b) + ÷ + + c) + ÷ + ÷ d) ÷ + ÷ + e) + + ÷ ÷ 41. Determi nar el si gno de: Q Q Ctg Q Sec Sen 4 5 3 a) ÷ ; si Q pertenece al I C. b) + ; si Q pertenece al I I C. c) + ; si Q pertenece al I I I C. d) + ; si Q pertenece al I VC. e) ÷ ; si Q pertenece al I I C. 42. Dado: 2 2 2 2 q p q p Cosx + ÷ ÷ = ; p > q > 0 Calcular T gx, con x en el segundo cuadrante. a) 2 2 p q pq 2 ÷ ÷ b) 2 2 p q pq 2 ÷ c) 2 2 p q pq 2 + ÷ d) 2 2 p q pq 2 + e) 2 2 2 2 p q p q + ÷ 43. Sabi endo que: 4 1 CosQ = 270º < Q < 360º Calcular el valor de la expresi ón: CtgQ 1 CscQ SecQ ÷ ÷ a) 0, 25 b) 0, 50 c) 2, 50 d) 4, 00 e) 4, 50 44. Si o es un ángulo del tercer cuadrante, tal que: 8 Ctg 1 2 = o + Calcular: 3 ) Sec 8 ( o a) 63 8 3 b) 63 8 3 ÷ c) 63 8 3 d) 63 3 8 3 ÷ e) 63 63 8 6 ÷ 45. Si el ángulo x esposi ti vo, pertenece al cuarto cuadrante y es tal que: t s < 2 x 0 . Entonces, hallar el si gno de las si gui entes expresi ones tri gonométri cas. I. | . | \ | | . | \ | | . | \ | 4 x sec Co 2 x Sen 4 x T an II. | . | \ | | . | \ | | . | \ | 5 x Cos 4 x 3 Sec 3 x Cot II I. | . | \ | | . | \ | | . | \ | 4 x 3 Sec 3 x 2 T an 3 x Sen a) ( + ) ( + ) ( + ) b) ( ÷) ( ÷) ( ÷) c) ( + ) ( + ) ( ÷) d) ( ÷) ( +) ( ÷) e) ( ÷) ( ÷) ( + ) 46. H allar el si gno de las expresi ones tri gonométri cas, en el orden dado: 3 25 Cos 3 52 Sen t t ; 3 22 Cot 5 32 Sen t t ; 10 73 Cot 3 205 Sen t | . | \ | t ÷ a) ( + ) ( + ) ( ÷) b) ( ÷) ( + ) ( ÷) c) ( ÷) ( + ) ( + ) d) ( ÷) ( ÷) ( + ) e) ( + ) ( ÷) ( + ) TRILCE 57 47. Si o es un ángulo en el pri mero cuadrante y 25 , 0 Sen = o . ¿Cuál esel valor de o ÷ o 2 Ctg Csc ? a) 15 b) 19 21 c) 15 19 d) 21 19 e) 19 48. Si 5 , 1 T g = | , si endo | un ángulo en el I I I cuadrante, el valor de la expresi ón: ) Csc Sec ( 13 1 M | ÷ | = es: a) 6 1 ÷ b) 6 1 ÷ c) 6 1 d) 6 5 ÷ e) 6 1 49. C alcular el C oseno del ángulo o del segundo cuadrante, tal que 5 3 Sen = o . a) 5 4 b) 5 3 c) 3 2 ÷ d) 5 4 ÷ e) 3 1 ÷ 50. Si 3 1 T an ÷ = o y o está en el segundo cuadrante. H allar : o o + o = Ctg 2 ) Sen 5 Cos ( 3 K a) 10 b) 10 10 ÷ c) 10 10 d) 5 10 2 e) 5 10 2 ÷ 51. En la fi gura adjunta, hallar: o + o ÷ o = T an Cos 15 Sen 5 V 24 - 7 0 o x y a) 35 141 b) 7 29 c) 35 99 d) 7 39 e) 4 1 52. I ndi car la alternati va correcta para el si gno de las si gui entes expresi ones: I. Sen( 361º) ÷ Cos( 455º) II. | . | \ | t ÷ | . | \ | t 4 3 Cos 4 3 Sen II I. ) º 315 ( Sec 4 5 T an · | . | \ | t a) + ; ÷ ; + b) + ; + ; ÷ c) ÷ ; ÷ ; + d) + ; ÷ ; ÷ e) + ; + ; + 53. Sea o un ángulo del tercer cuadrante. I ndi car la alternati va correcta al si mpli fi car: o | | . | \ | o ÷ + = Cos Sen 1 1 E 2 a) o + 2 Sen 2 b) o ÷ 2 Sen c) o + 2 Cos 1 d) o 2 Sen e) o 2 Cos 54. Si : Senx = 0, 6, ¿cuál esel valor de Cosx, sabi endo que x es un ángulo del segundo cuadrante? a) Cosx = 0, 8 b) Cosx = 0, 6 c) Cosx = ÷ 0, 7 d) Cosx = 0, 9 e) Cosx = ÷ 0, 8 55. Si " o " y " | " son ángulos cuadrantales, posi ti vos y menores que una vuelta, tales que: | > o Cos Cot Calcule: | ÷ o | ÷ o = Cos 2 Sen 2 Sen Cos K a) 2 2 ÷ b) 1 2 ÷ c) 1 2 + d) 2 2 + e) 1 56. Si o y | son ángulos posi ti vos, que no son agudos; 0 Cos > o ; 0 T an > | ; ) º 360 ( > | . o Sean: a = ) ( Sen | + o ÷ b = o ÷ 2 Sen c = | 2 Sen Entonces, son posi ti vas. a) a y b. b) a y c. c) a , b y c. d) a. e) b y c. Trigonometría 58 57. Si : 3 2 b a T anx | . | \ | = Calcular el valor de: I C x ; aCosx b bSenx a E e + = a) 3 3 1 3 1 3 1 3 1 a b b a | | | | . | \ | + b) a b b a + c) 2 1 2 2 2 2 a b b a | | . | \ | + d) 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 a b b a | | | | . | \ | + e) 3 1 3 3 3 3 a b b a | | . | \ | + 58. H allar todoslos valoresque puede tomar el ángulo u del pri mer cuadrante, cuyo ángulo doble está en el segundo cuadrante, su ángulo tri ple está en el tercer cuadrante y su cuádruple en el cuarto cuadrante; pero i nferi or a t 2 a) 2 4 t < u < t b) 2 3 t < u < t c) 2 12 5 t < u < t d) 2 8 3 t < u < t e) Faltan datos 59. Si : I I C e o y o ÷ o = o Cos 3 4 2 ) Sen ( Sen Calcular: o ÷ o Sen T g a) 143 12 11 ÷ b) 143 12 13 c) 143 12 13 ÷ d) 143 12 9 e) 143 12 11 60. Se ti ene dosángulosque se di ferenci an en un múlti plo de 360º. Se sabe que el cuádruple del menor es a la suma del ángulo menor más el tri ple del mayor de los ángulos, como 4 esa 5. H allar el menor de losángulos, si se sabe que está comprendi do entre 1080º y 3240º. a) 1280º b) 2160º c) 3200º d) 3210º e) 3230º TRILCE 59 Claves Claves b b a c d d e a e a d b b e d a a e b b c c e d a b d b b c b c e a b d c a c c c b d e c b e a d b d e d e a e d d c b 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60.