Razones Trigonométricas de Ángulos Agudos

Razones Trigonométricasde ángulos agudos 1 Razones Trigonométricas de ángulos agudos TRIÁNGULO RECTÁNGULO Un triángulo rectángulo es aquel en el que uno de sus ángulos es recto (90°). β En la figura mostrada: c : hipotenusa a ˆ b : catetos α ˆ β : ángulos agudos Además en el triángulo rectángulo se cumple que: a 2 + b2 = c 2 c> aˆ b α + β = 90° a α b 2 . los otros dos son agudos. siendo la hipotenusa el lado opuesto a ese ángulo. Llamaremos catetos a los lados que forman el ángulo recto. Podemos definir las razones trigonométricas de α del modo siguiente: 3 . β a α b Si en el triángulo anterior nos referimos a las longitudes de los lados del triángulo con los nombres hipotenusa (c) cateto opuesto (b) cateto adyacente (a).Razones Trigonométricas de ángulos agudos RAZÓN TRIGONOMÉTRICA La razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de dos de los lados del triángulo rectángulo con respecto del ángulo agudo. Razones Trigonométricas de ángulos agudos RAZÓN TRIGONOMÉTRICA Cateto adyacente Cateto opuesto α senα = cosα = tgα = Cateto opuesto Hipotenusa Cateto adyacente Hipotenusa Cateto opuesto Cateto adyacente Hipotenusa cscα = secα = Cateto opuesto Hipotenusa Cateto adyacente ctgα = Cateto adyacente Cateto opuesto . esto lo hacemos aplicando el Teorema de Pitágoras. 3 5 senα  csc α  5 3 α 5 4 3 cos α  4 5 sec α  5 4 tan α  3 4 cot α  4 3 . si la hipotenusa mide 5m y uno de los catetos mide 3m. Solución Para poder calcular las seis razones trigonométricas necesitamos hallar la medida del otro cateto.Razones Trigonométricas de ángulos agudos Ejempl0 1 Halla las razones trigonométricas del menor ángulo de un triángulo rectángulo. Una vez hallado el valor de este cateto. procedemos a encontrar los valores de las razones por medio sus respectivas definiciones. calculamos las razones trigonométricas.Razones Trigonométricas de ángulos agudos Ejempl0 2 Se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 8 y 15m. Solución Primero hallamos el valor de la hipotenusa. a partir de sus respectivas definiciones y con los datos dados y obtenidos: 17 15 senα  α 8 15 17 csc α  17 15 cos α  8 17 sec α  17 8 tan α  15 8 co t α  8 15 . Halla las razones trigonométricas del mayor ángulo agudo. luego. aplicando el Teorema de Pitágoras. Razones Trigonométricas de ángulos agudos RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE TRIÁNGULOS NOTABLES Considerando los siguientes triángulos: k 45° Se obtiene: k 2 45° k k 60° 2k 30° k 3 3k 53° 5k 4k R.T 30° 37° 45° 53° 60° sen 1/2 3/5 2 /2 4/5 3 /2 cos 3 /2 4/5 2 /2 3/5 1/2 tg 3 /3 3/4 1 4/3 3 ctg 3 4/3 1 3/4 3 /3 sec 2 3 / 3 5/4 2 5/3 2 csc 5/3 2 5/4 2 3/3 2 37° 7 . ¿cuál es su área? 8 .senC = 0.cosB + b. se sabe que: secA = 2. los lados de menor longitud miden 2 y 3cm.6.tanA E= a + c. calcular: E = 2tanA. En un triángulo rectángulo ABC recto en A se sabe que: b + c = 14 y senB. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B). Si el mayor de los ángulos agudos mide “”. En un triángulo rectángulo. calcular: 5 E = 2sen 2β 13 04. En un triángulo ABC (B = 90º).cscC 02.senA 03. reducir: 2c.tanC + 3cosA. En un triángulo rectángulo ABC (recto en C). Calcular la longitud de la hipotenusa.48.Razones Trigonométricas de ángulos agudos EJERCICIOS PARA LA CLASE 01. Si el perímetro del triángulo es 60cm. 05. o su inverso multiplicativo: sec α  1 cos α cos α . o su inverso multiplicativo: csc α  1 s enα s enα . que al multiplicarse entre si resultan la unidad. como las razones recíprocas (inversas) al seno. csc α  1 La secante es la razón recíproca del coseno. o su inverso multiplicativo: ctgα  1 tgα tgα .Razones Trigonométricas de ángulos agudos RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS Son recíprocas. coseno y tangente. Se definen la cosecante. aquellos pares de razones trigonométricas de un mismo ángulo. c tgα  1 9 . s e c α  1 La cotangente es la razón recíproca del tangente. la secante y la cotangente. del siguiente modo: La cosecante es la razón recíproca del seno. Si se cumple que: cos(7x2 – 3)° . Sabiendo que sen(2x + 15)° .30)°. Calcula x e y en: ïí ïï tg(5 x + y + 20)°. sec(2x + 9)° = 1 ìï sen(3x + 2y . csc65° = 1.Razones Trigonométricas de ángulos agudos EJERCICIOS PARA LA CLASE 06. sec(x + 70)° = 1. ctg(4x + 20)° = 1 09. Halla el valor de x si tg(5x – 50)° .y + 10)° = 1 10. Si cos(3x + 10)°. halla el valor de x 07.ctg(x + 2y + 30)° = 1 î 10 . csc(x . calcula el valor de x 08. Razones Trigonométricas de ángulos agudos RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su suma es un ángulo recto (90°). β a α b En la figura se muestra: α ˆ β : Son ángulos complementarios (α + β = 90º) Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto a como α y al ángulo opuesto al cateto b como β en consecuencia: 11 . Razones Trigonométricas de ángulos agudos RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS senα = β cosα = tgα = c a ctα = secα = α b cscα = a c b c a b b a c b c a senβ = cosβ = tgβ = ctgβ = secβ = cscβ = b c a c b a a b c a c b cosα = senβ senα = cosβ ctgα = tgβ tcgα = tgβ cscα = secβ secα = cscβ “Las razones trigonométricas de todo ángulo agudo son respectivamente iguales a las co-razones trigonométricas de su ángulo complementario” . Razones Trigonométricas de ángulos agudos RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Ejemplos: sen 25° = cos 65° tg 50° = ctg 40° sec 12° = csc 78° Ejercicio 1 Halla el valor de θ en: Sen 2θ = Cos 84° Solución Dado que deben ser ángulos complementarios:  2θ + 84° = 90°  2θ = 6°  θ = 3° porque porque porque 25° + 65° = 90° 50° + 40° = 90° 12° + 78° = 90° Ejercicio 2 Halla el valor de θ en: tg 5α = ctg α Solución Dado que deben ser ángulos complementarios:  5α + α = 90°  6α = 90°  α = 15° . Siendo: tg(x 2 + 5 x . calcula el valor de x 12.8)° = csc(x + y + 20)° î 14 . Calcula x e y en: ïí ïï sec(2x + 3y . Si tg(2x + 15)° . tg51° = 1. halla el valor de x 14. Si sen(3x + 10)° = cos(2x + 53)° .1)° ctg(6x + 11)° = 1 . Si sec(5x – 40)° = csc(2x – 10)°.Razones Trigonométricas de ángulos agudos EJERCICIOS PARA LA CLASE 11. halla el valor de x 13. Halla el valor de x (x є Z+) ìï sen(2x + y + 8)° = cos(x + 2y + 16)° 15. net/smtc/homeTC.librosvivos.Razones Trigonométricas de ángulos agudos http://www.asp?temaclave=1173 .