www.Matematica.pe 04.¿Cuántos triángulos existen en la figura mostrada? TECNICAS DE CONTEO www.youtube.com/Matematica1com d) 55 e) N.A 08.Dada la figura: I. CONTEO DE FIGURAS PRACTICA DE CLASE I 01.Si consideramos el segmento como la unión de dos puntos, diga ud. cuántos segmentos se cuentan en total en la figura mostrada: 05.¿Cuántos triángulos se cuentan como máximo que por lo menos tenga un asterisco en su interior? a) 48 d) 45 b) 53 e) 36 c) 55 02.¿Cuántos triángulos se cuentan como máximo en la figura mostrada? a) 52 d) 56 b) 53 e) 60 c) 54 I. ¿Cuántos cuadrados se cuentan como máximo? II. ¿Cuántos cuadriláteros se cuentan como máximo? III. ¿Cuántos rectángulos hay? a) 20 – 60 – 40 b) 25 – 35 10 c) 30 – 40 - 10 d) 10 – 50 - 40 e) 10 – 60 50 09.Decir cuántos cuadrados siguiente figura: b) 84 e) 100 c) 96 03.¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada? b) 57 e) 64 www.Matematica.pe en la a) 60 d) 70 b) 68 e) 74 c) 72 13.Determinar el número total de pirámides de base cuadrada que se puede contar. b) 14 e) 19 c) 15 10.En la figura mostrada: a) 70 d) 90 b) 71 e) 121 a) 45 d) 70 c) 89 07.¿Cuántos triángulos se cuentan como máximo en la figura mostrada.? ¿Cuántos cuadriláteros se cuentan como máximo? a) 76 d) 100 a) 52 d) 59 hay 06.¿Cuántos ángulos agudos hay en la figura mostrada? a) 12 d) 18 a) 82 d) 98 a) 144 b) 121 c) 136 d) 170 e) 148 12.¿Cuántos cuadrados hay en la figura? c) 60 a) 120 b) 124 c) 136 b) 84 e) 105 c) 65 14.¿Cuántos cuadriláteros que por lo menos tengan 1 asterisco hay en la figura mostrada? c) 96 11.Hallar el número de cuadriláteros en la siguiente figura: www.youtube.com/Matematica1com b) 60 e) 50 a) 119 b) 121 c) 118 www.Matematica.pe d) 136 e) 120 15.En la figura mostrada: 18.Hallar el número de puntos de intersección de 102 circunferencias dispuestas tal como se muestra en la figura mostrada. www.youtube.com/Matematica1com II. CONTEO DE NÚMEROS 01.¿Cuántos números de a a 3 b b 18 existen? I. ¿Cuántos cubos se cuentan en total? II. ¿Cuántos paralelepípedos se cuentan como máximo? a) 120 – 1 150b) 110 – 1 260 c) 115 – 1 330 d) 180 – 1 230 e) 115 – 1 360 a) 24 d) 30 a) 640 d) 612 b) 620 e) 642 02.¿Cuántos a) 24 d) 30 19.¿Cuántos semicírculos hay en total? 16.En la figura que se muestra, el máximo número de triángulos es 272. hallar "n" 1 2 .. 3. b) 13 e) 24 c) 17 b) 60 e) 32 1 2 3 4 1 (n-1) n n . 3 . . a) (n + 1)2 2 a) n2 – n + 1 b) n2 + 2n - 3 c) 2n2 – 2n d) 3n2 + n - 1 e) 2n2 – 2n +1 www.Matematica.pe 2 . 3. . n b) n2 se : de la forma b) 35 e) 36 c) (n - 1)2 b) 25 e) 2500 b) 864 e) 750 05.¿Cuántos números de a a / 2 b b / 214 existen? : c) 25000 a) 44 d) 48 b) 56 c) 200 c) 802 forma : c) 42 06.¿Cuántos números de tres cifras diferentes existen en el sistema senario? a) 100 d) 180 b) 120 e) 216 www.youtube.com/Matematica1com c) 140 b) 15 e) 18 la forma, c) 21 a) 8375 d) 9000 b) 7875 e) 1250 c) 320 09.¿Cuántos numerales capicúa de tres cifras del sistema senario tienen como suma de cifras a un número par? c) 60 la a) 30 d) 42 de 08.¿Cuántos números de cuatro cifras existen tal que el producto de sus cifras sea par? c) 35 04.¿Cuántos números de cinco cifras existen en base 7 de manera que comiencen en cifra impar, terminen en 2, su cifra central no sea impar y las otras dos cifras sean significativas? a) 726 d) 720 1 n ( n 1) d) n( n + 1 ) e) 2 n a) 250 d) 120 c) 48 20.¿Cuántos cuadriláteros convexos cuentan en la figura mostrada? 17.En la figura se tiene "n" filas y "n" columnas de circunferencias. hallar el número total de puntos de intersección. 1 2 3 4 números forma 03.¿Cuántos números de cuatro cifras que empiezan y terminan en cifra impar existen en el sistema decimal? n a) 64 d) 72 a) 14 d) 21 b) 28 e) 56 la a 2 b 2 a / 2 b 312 existen? c) 600 07.¿Cuántos números a a b b6 existen? PRÁCTICA DE CLASE II a) 9 d) 20 b) 12 e) 24 c) 15 10.¿Cuántos numerales de tres cifras, del sistema decimal existen de tal manera que no utilizan ni la cifra de dos, ni la cifra 3 en su escritura? a) 800 d) 512 b) 900 e) 448 c) 810 11.¿Cuántos números existen en el sistema decimal cuyo producto de sus cifras es 15, si estos tienen cuatro cifras? a) 24 d) 6 b) 12 e) 32 c) 8 12.¿Cuántos números de tres cifras de la base 8 utilizan la cifra dos en su escritura? a) 162 d) 154 b) 172 e) 108 c) 146 13.¿Cuántos números de 4 cifras comienzan o terminan en 7? a) 1900 b) 2600 c) 1800 tienen sus tres cifras distintas entre sí? a) 244 d) 360 b) 288 e) 324 c) 320 15..youtube. a) 516 b) 483 www.. c) 8100 . capicuas de cinco cifras.pe d) 3000 e) 2400 www. 80 . . a) 1002 d) 984 b) 1280 e) 1204 c) 1008 08. Hallar el último número escrito.¿Cuántos números de la forma : (2x) y (x / 2) (3y) existen en base 12? a) 5 d) 9 b) 6 e) 36 c) 8 16..2.... Siendo t k el término de lugar “k”.a.. 18 . Calcular en cada una de las siguientes sucesiones. t 20 = ? a) 8420 d) 8400 b) 7900 e) N.¿Cuántos números de 3 cifras que tienen como cifra central un número impar existen en base 9? a) 405 d) 288 b) 360 e) 547 c) 256 17... c) 17669 06. 3 .¿Cuántos números de tres cifras cuya cifra central es 5.pe EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01 01. 72 .. a) Quinario b) Hexanario c) Notario www.En que sistema de numeración existen 56 números capicúas de 4 cifras que no usan las cifras 2 ni 5.. .. 29 ... Calcular el número de términos de cada una de las siguientes sucesiones de números : * 3 .. 62 . ¿Cuántas cifras se han escrito? a) 16569 d) 16589 b) 16669 e) N. 2 . 5} a) 60 d) 144 b) 128 e) 162 c) 96 19. todos impares que 9 existen? a) 20 d) 16 b) 27 e) 23 c) 32 03..¿Cuántos números de la forma a (a 2) b (8 b) existen en el sistema decimal? a) 65 d) 87 b) 74 e) 102 c) 56 09.. 99? a) 65 d) 49 b) 45 e) 76 c) 48 05. el término que se indica..¿Cuántos números de tres cifras capicúas existen en el sistema senario? a) 2 d) 18 b) 30 e) 40 c) 32 04..www. existen en base 13 si las cifras extremas son diferentes? a) 144 d) 120 b) 121 e) 156 c) 132 18.a.En la sucesión natural : 1.¿Cuántos números de 4 cifras distintas entre sí existen tal que todas sus cifras pertenecen al conjunto A? A = {0 . 57 .Hallar la cantidad de páginas que tiene un libro..... 12 .Matematica.¿Cuántos números tiene la siguiente sucesión : 52 .¿Cuántos números impares. 11 . 382? a) 64 d) 45 b) 67 e) 21 c) 80 02.3... tanto en base 9 como en base 11? a) 608 d) 728 b) 609 e) 706 c)610 11. sabiendo que para enumerar sus últimas 36 páginas se emplearon la misma cantidad de tipos que se empleo en las primeras 63 páginas. 07.Matematica. 150 .. 35 . .¿Cuántos numerales de dos cifras..4 . 33 ..¿Cuántos números del sistema decimal se representan con tres cifras. 4 . .¿Cuántos términos tiene la siguiente secuencia 27 ...com/Matematica1com d) Octanario e) Decimal 14. 30 .com/Matematica1com c) 515 d) 482 e) N.. 6 ..a....En que sistema de numeración existen 180 números capicúas de 5 cifras.4444.Si en la serie natural de los números se han empleado 1341 cifras.youtube.¿Cuántos números de 4 cifras tienen una y sólo una cifra significativa? a) 2187 d) 6541 b) 729 e) 1511 c) 6961 10. 32 . * 2. 67 .. 402 a) 20 d) 40 b) 10 e) 80 c) 30 12. . a) Octavario b) Notario c) Decimal d) Undecimal e) Duodecimal 20. .. 36 . Hallar el total de ángulos en la figura.En la paginación de las 38 primeras hojas de un libro se ha usado la sexta parte de la cantidad de cifras que se emplean en la paginación total. desde la unidad hasta el número indicado inclusive. TAREA DOMICILIARIA 01. a) 24 d) 30 b) 26 e) 32 c) 28 18. Hallar el total de triángulos en la figura ANALISIS COMBINATORIO INTRODUCCIÓN a) 14 d) 20 b) 16 e) 15 c) 18 14.com/Matematica1com Previamente al desarrollo del Análisis Combinatorios. 1 2 3 4 5 a) 40 d) 49 b) 36 e) 52 c) 45 a) 34 d) 40 b) 32 e) 28 c) 36 02.youtube. El número de hojas del libro será.Calcular el total de segmentos P E R A Z O N a) 120 d) 100 a) 98 d) 108 b) 96 e) 112 c) 102 20..Cuantos triángulos hay e la figura. esta dado por el producto de los números naturales consecutivos desde el 1 hasta n.www.Hallar el total de paralelogramos 19.¿Cuántas páginas de un libro se podrán enumerar con el doble del número de cifras que se utilizan para numerar un libro de 500 páginas? a) 962 b) 972 d) 948 e) 965 www.Hallar el total de ángulos en figura.Cuantos segmentos existen en total en la figura. FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL Es un operador matemático que se utiliza para realizar producto de todos los números naturales.Matematica.pe c) 40 a) 16 d) 20 b) 18 e) 15 c) 19 c) 96 b) 135 e) 114 c) 161 05. a fin de determinar todas las posibilidades de ganar en las loterías. etc.1) x n En consecuencia.Hallar el total de triángulos en la figura 1 a) 18 d) 25 2 4 3 5 b) 22 e) 30 6 c) 24 16. ya que esta operación se utiliza permanente en todo en el desarrollo del presente capítulo. revisaremos el concepto del Factorial y sus propiedades más importantes. c) 964 n !.youtube. donde n! = 1 x 2 x 3 x … x (n . caballos.Matematica. cuyo iniciador fue FERMANT. Veamos los siguientes ejemplos: a) 3! = 1 x 2 x 3 = 6 b) 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24 .com/Matematica1com 17.Calcular el total de segmentos que hay en la figura a) 22 b) 16 c) 24 d) 18 e) 20 15.Cuántos exágonos hay en total: www. se lee : “n factorial” o también “factorial de n”. a) 322 d) 228 S b) 110 e) 90 La teoría del Análisis Combinatorio tiene una importante aplicación en los procedimientos relacionados a los juegos de azar. dados.pe 13.Calcular el total de triángulos en la figura a) 32 d) 30 b) 36 e) 40 c) 35 03. deducimos que el factorial de un número natural n. Simbólicamente se representa por: 04. A R A R a) 36 d) 28 b) 32 e) 42 www. asimismo este tipo de problemas están íntimamente ligados al Cálculo de Probabilidades. de 2 en 2 y que son las siguientes: mn .www. nr .¿Cuántas variaciones se pueden obtener con los elementos : m. Entonces. cb . ¿De cuántas maneras pueden caer? Solución: Ejemplos: a) b) c) d) 2! x 3 = 3! 7! X 8 = 8 43! X 44 = 44! 75! X 76 = 76! Generalizando n! (n + 1) = (n + 1)! Propiedad Nº 2 : “EL factorial de un número n. mp. se pueden formar solamente 12 variaciones.Matematica. Vk A x B 6 x 2 = 12 formas Ejemplos: www. c. Ejemplo: Si se lanzan simultáneamente. permutaciones y combinaciones con o sin repetición de “m” elementos de grado “n” y deducir en cada caso las fórmulas que dan el número total de las que pueden formar. en por lo menos un elemento o en orden de los mismos. un dado con seis caras numeradas de 1 a 6 y una moneda. de ea . C 6 1 Para deducir la fórmula observamos el siguiente ejemplo: n Este hecho lo podemos representar según el siguiente árbol de posibilidades lógicas: PROBLEMAS RESUELTOS Se le llama variaciones de “n” objetos tomados de “k” en “k” a los grupos que pueden formarse con los elementos del conjunto base de modo tal que un grupo es diferente de otro.com/Matematica1com VARIACIONES www. es igual al factorial de este último k! : cuya forma general es:” n! (n + 1) (n + 2) (n + 3) … k = k! Se presentan dos sucesos. bd .youtube. r tomando de 2 en 2? Dados los elementos: a. cd . veamos el siguiente ejemplo ilustrativo. 3 e) (– 6 ) = No es posible. tomándoles de 2 en 2 se pueden formar las siguientes variaciones. ec . sólo puede darse de 2 formas que corresponden a la cara (c) o sellos (s). rn . ae ba .Matematica. 01. multiplicado por sus consecutivos hasta k. los dos sucesos A y B en forma simultánea se dan según la siguiente relación: a) 2! x 3 x 4 = 4! b) 5! X 6 x 7 x 8 = 8! c) 12! x 13 x 14 x 15 x 16 = 16! 7! x 2 ! 7 x 6 x 5 x 4! x 2! d) 4! x 3 ! 4! x 3 x 2! 7x6x5 3 S 3 C 70 4 2 S C C S C S ab . es igual al factorial de este último.. 02. ed Donde se cumple: 5! 5 V 2 5 2 5 x 4 x 3! 3! n! n k ! n>k V n se lee : Variaciones de “n” elementos tomados de k en k. b. que tiene por objeto dar regalos metódicas para formar: las variaciones. p. pn . ac . 12 var iaciones pm . ce total 20 var iaciones da .youtube. ¿De cuantas maneras se les puede distribuir de modo que siempre ocupen aulas diferentes? Solución: Nuestros datos son : n=7 k=4 C S Punto de Partida www. de este último” cuya forma general es : n! ( n + 1) = (n + 1)! ANÁLISIS COMBINATORIO Es la parte del análisis algebraico. nm . db . multiplicado por su consecutivo (n + 1). pr . f) 0! = 1 y 1! = 1 Propiedades de los Factoriales Se presentan dos propiedades importantes: Propiedad Nº 1: “El factorial de un número n. se obtiene: n Vk 4! 4 V 2 4 2! n! n k ! 4 x 3 x 2! 2! 4 V 2 12 var iaciones Esto nos indica. np . que corresponden a los 6 números de cada una de sus caras. Mientras que el suceso B. eb . Para tener una idea general. mr . Solución: Aplicando la fórmula correspondiente. que con los 4 elementos dados.com/Matematica1com (números de aulas) (grupos de 4 en 4) . be ca .pe c) 27! = 1 x 2 x 3 x …. x 27 2 d) ! no es posible. rm . d.Cuatro alumnos llegan a matricularse a una academia que dispone de 7 aulas. generalizado se obtiene la fórmula: S 5 respectiva. donde el suceso A es “caer el dado” y el suceso B es “calor de moneda” Lógicamente que el suceso A puede darse de 6 maneras diferentes. e. ad .pe 20 Es decir. dc . n. bc . rp . tales que: k N. a. (132) .. Para calcular el número de permutaciones (Pn) que se pueden dar en un evento.a. (312) .. por lo tanto se trata de permutación. luego : V 8 6 8! 01. 2 y 3? a) 3 d) 12 b) 6 e) N. Solución: La palabra NONOM. N 3 = número de objetos de todavía otra clase..com/Matematica1com V 8 6 20 160 Rpta. siendo un grupo diferente del otro en el orden de los elementos y lo designaremos por Pn.youtube. porque las personas se van a ubicar en diferentes sillas.Matematica.. obtenemos el número total de posibilidades o variaciones. N 2 = número de objetos de otra clase. Nm ! Donde : P8 40 320 Rpta. .¿Cuántas permutaciones se obtienen con los elementos 1.: B N! N1 ! N 2 ! N 3 ! . (231) . e total de permutaciones es: Pn = n! Pn = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 Pn = 6 permutaciones Esta 6 permutaciones son las siguientes: (123) . : E 03. c) 1 680 Solución: Se trata de calcular el número de variaciones. . PROBLEMAS RESUELTOS 01. ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse? a) 48 d) 6 720 b) 336 e) N.Se desea preparar un alfabeto criptológico comercial.youtube. c) 64 Solución : La palabra ARBOL puede se ordenado de otra manera. se caracteriza por tener: N° 5 (Total de elementos) N1 2 (La letra “N” se repite dos veces) N 2 2 (La letra “O” se repite dos veces) Según la fórmula tenemos : N! PR N1 ! N 2 ! 02.a. Solución : Para realizar la entrega de premios de los 8 socios intervienen todos a la vez. ¿De cuantas maneras pueden agruparse 8 socios? www.Para efectos del orden de entrega de los premios de un pandero. observamos que cambia de sentido..¿Cuántas palabras de 5 letras se puede formar con las letras de la palabra NONOM? a) 60 d) 25 b) 45 e) N. entonces aplicamos la fórmula: 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2! 2! www. (321) b) 1 680 e) N. : Alternativa E PERMUTACIONES Las permutaciones de “n” elementos son los diferentes grupos que pueden formarse con todos los elementos del conjunto. por lo tanto es una permutación tomados a la vez.Seis personas entran en un salón de espera en la que hay 8 sillas. así: n! n V k n k ! 7! 7 V 4 7 4! 7 4 Rpta.a.pe PERMUTACIONES CON REPETICIÓN (PR) Este tipo de permutaciones se caracterizan porque algunos de sus integrantes se repiten. . el siguiente diagrama te ilustrará el resultado obtenido: www. para lo cual emplearemos la siguiente fórmula: PR Pn = n ! P8 8 ! 8x7x65x 4 x 3x 2 N = Rpta.com/Matematica1com c) 30 .www. Aplicando la fórmula respectiva.Matematica. aplicamos la siguiente fórmula: Aulas A1 A2 A3 A4 A5 A6 a) 56 d) 20 160 Pn = n ! A7 PROBLEMAS RESUELTOS 4 posibilidades 5 posibilidades 6 posibilidades 7 posibilidades Total : 4 x 5 x 6 x 7 = 840 posibilidades. N m número total de objetos N1 = número de objetos de una clase.. : B 8 6! c) 3 360 N1 N 2 N 3 .pe Luego según la fórmula respectiva. c) 9 Solución: Aplicando la fórmula respectiva. : 7 x 6 x 5 x 4 x 3! 3! V 840 posibilida des A modo de verificación . (213) .a. N m = número de objetos de también otra clase. de la palabra ARBOL ¿Capacidad para cuántas letras de diferentes maneras se obtendrán? a) 360 d) 32 b) 120 e) N. cambiando de lugar las letras tenemos : LABOR. se obtiene el número de permutaciones: Pn = n ! P5 5 ! =5x4 x3x2 P5 120 Rpta. 03. Solución: Nuestros datos son: www. : B Para calcular el número total de combinaciones se emplea la siguiente fórmula. tomados de 2 en 2? a) 5 d) 15 7! b) 10 e) N.: B x x 2! 2 ! 2 2! 2 2x1 03. 5! 5 C2 se lee: Combinaciones de n elementos tomados de k en k. ae . dc .com/Matematica1com de este suceso quedan 5 bolas.¿En cuántas formas se pueden ordenar los siguientes cubos de diversos colores de un juego de niños: 2 rojos. c. PR PR PR N! N1 ! N 2 ! N 3 21 ! 32 ! 23 7x6x5x4 x 3x 2 210 2x 3x 2x 2 PR = 210 formas de ordenar Rpta. N1 2 rojos C se 2 ! 5 2! respectiva. luego 3 y finalmente 2. podemos sacar primero 2 bolas. b) 210 www. De acuerdo a este orden. Alex y Gerson forman un comité. aplicamos la fórmula. suponiendo que cada uno de los participantes es cortés con cada uno de los demás. luego si cambiamos el orden. be .youtube. ac . bc .Matematica.¿Cuántos comités de 3 miembros se podrán escoger en un grupo de 8 personas? a) 420 www. 10 combinaciones ad .nk PROBLEMAS RESUELTOS 01.: C 02.a. e) N. ce . para obtener el número total de formas de ordenar.Un total de 120 estrechadas de mano efectuaron al final de una fiesta. de .www. 7 C2 5 c) 56 Solución : Para ilustrar el problema vamos a suponer que : Hugo.youtube.¿Cuántas combinaciones se pueden realizar con los elementos: a. por lo que corresponden a combinaciones del siguiente modo: Las 2 primeras bolas se pueden extraer de Rpta.Se tiene una urna con 7 bolas numeradas y se quiere saber de cuantas maneras. 3 verdes y 2 azules? a) 210 d) 24 b) 90 e) N. Aplicando la fórmula respectiva.pe 5! 5 x 4 x 3 x 2! PR 21 ! 22 ! 2 x 2! PR = 30 palabras COMBINACIONES Rpta.pe 10 10 combinaciones a) 7 d) 96 d) 96 Solución: En este caso no interesa el orden en que son extraídas las bolas.a.: C 02. sin .a. : A n! k ! n k ! . por lo que las 3 bolas siguientes pueden extraerse de 02. 5x 4x 3x 2 2x 3x 2 5 2 c) 12 Solución: En la combinación no interesa el orden de colocación porque resultan los mismos. d. 56 56 comités Rpta. e.Matematica.com/Matematica1com Aplicando la fórmula obtiene: n! n Ck k ! n k ! c) 120 y finalmente quedan 2 bolas que pueden ser extraídas de 2 C2 maneras. c) 20 Solución: Las “n”personas que asistieron se saludaron en grupos de 2 en 2 (K = 2).a.a. ¿Cuál es el número de personas que asistieron a dicha fiesta? a) 12 d) 30 b) 16 e) N. b. c) 48 Una combinación de objetos. el total de maneras en que se pueden extraer tales bolas será: 7 5 N C2 x C3 N 2 ! 7 2 N 7! 7 x 6 x 5! x x x 2 C2 5! 3 ! 5 3 5 x 4 x 3! 2x 5! 3! x 2 N = 21 x 10 x 1 = 210 N = 210 maneras Rpta. db . Simbólicamente un número combinatorio se denota así: C n k n Ck N 2 3 verdes N 3 2 azules N = 2 + 3 + 2= 7 (total) Luego. así tenemos que ab y ba son los mismos y sólo se indicará a uno de ellos es decir que las combinaciones son las siguientes: ab . es aquel acto de juntarlos en donde no cuenta el orden de colocación de los objetos se diferencian entre sí por tener un elemento por lo menos diferente. Por lo tanto se trata de una combinación. se tiene: n! n Ck k ! n k ! 8! 8! 8 C3 3 ! 8 3! 3 ! 5 ! 8 x 7 x 6 x 5! 3 x 2 x 5! 8 C3 maneras : Después C3 maneras b) 8 e) N. n Ck Z n C0 1 . entonces resulta: 120 1 ! 5 1! 21 1 C n! n! 5! b) 48 c) 56 .a. 5. mayores que 10 y menores que 100. 4.Cuatro personas entran en un microbús.youtube.a. 6? a) 720 d) 90 b) 360 e) N. de donde 5 x 4! 3! 3 C3 1 x 4! 3 ! 3 3! 3! 3! 0! 5.¿Cuatas señales distintas pueden hacerse con 9 banderas.¿Cuántos comités distintos de 5 personas se pueden formar con 7 personas? a) 12 d) 21 b) 14 e) N.De entre 8 candidatos. es decir 4 C0 1 18 C0 1 n C1 n .Hallar el número de permutaciones distintas que se pueden formar con las letras de la palabra ÁLGEBRA.¿Cuántos números distintos de 3 cifras se pueden formar con los números : 4. 7. 2.¿De cuantos modos pueden sentarse un padre. ¿Cuántas ternas se pueden escoger? a) 24 www.com/Matematica1com c) 24 11. : B www.¿Cuántos números enteros y desiguales.¿Cuántos números de 6 cifras.a.a.Dado la expresión: n Ca m Cb se cumple: c) 36 b) a + b = n + m c) n = m d) n – m = a – b e) N.Julio tiene 5 texto de Razonamiento Matemático. 05. ¿Cuál es el número de permutaciones que se pueden realizar? a) 20 d) 120 b) 25 e) N. c) 1 960 09. 06.a. su esposa y sus cuatro hijos en un banco? a) 720 d) 160 b) 540 e) N. el total de saludos es 120 21 n 1 .Un comensal se sirve en cada comida 4 platos de los 9 que son de su agrado. ¿Cuántas comidas diferentes puede servirse esa persona? a) 7 d) 126 b) 9 e) N. Manuel 4 textos de Álgebra y Giovanni 2 textos de Geometría. 10. no repitiéndose ninguna de ellas? (las cifras se deben considerar a partir de 1) C12 1 = (n – 2)! (n – 1) n. c) 360 13.Simplificar: C 10 3 C2 : V 2 16 5 a) 120 d) 12 www. en el cual hay 6 asientos. ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse? 1 a) 36 d) 180 . ¿De cuantas maneras pueden prestarse un texto? a) 10 d) 40 b) 18 e) N.a. 5. a) 100 d) 180 b) 120 e) N. a) 2 520 d) 1 080 b) 2 630 e) N. 3. 14. así: 1 1 a) 100 b) 86 c) 64 d) 56 e) N.a.a. 2. c) 15 12.a.Tres viajeros llegan a una ciudad en la que hay 6 hoteles. 2 ! n 2! Pero. se pueden formar con las 8 primeras cifras. ¿De cuantas maneras pueden ocupar sus cuartos.youtube. así 8 2 8 x7 C C20 18 C2 20 1x 2 20 28 20 x 19 1x 2 190 01. n Ck 8 6 C Cn k 8 8 6 20 C18 n C A continuación planteamos algunas propiedades de las combinaciones que permiten simplificar.a. así Cn C n 2 120 y n! n 2! n 1 n 2 n 2! n 1 n 2 240 = (n – 1) n. no repetidas pueden formarse con las cifras : 1.Simplificar la expresión: E a) 24 d) 11/8 23 ! 33 ! c) 8/ 11 02.pe importar el orden por lo que corresponde a combinaciones. izando 3 de cada vez? a) 604 d) 336 32 ! 24 ! b) 33 e) N. c) 100 03.Se tiene 5 objetos de diferente color cada uno. debiendo estar cada uno en un hotel diferente? a) 240 d) 18 b) 120 e) N.a.a. 1.a. c) 96 c) 180 c) 140 b) 504 e) N.a. b) 48 e) N. 3.www.a.Matematica. c) 485 08. 6. 8 y 9? PRÁCTICA DE CLASE Factorizando: PROPIEDADES 5 12 n 2 n 240 0 (n – 16) (n + 15) = 0 n = 16 y n = – 15 Tomamos : n = 16 Rpta. Según la fórmula: n Ck n 2 C 5 C1 k ! n k ! 4.Matematica. c) 61 16.com/Matematica1com 04. c) 64 15.pe b) 60 e) N. a) n m 07. 6. manzana. 7 de tal manera que todos empiezan con 2 y terminen en 1 ? a) 60 d) 52 b) 55 e) 40 c) 50 12.Alicia tiene 5 amigos y siempre va al cine acompañada por lo menos con uno de ellos. c) 30 EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02 01. 4. ¿De cuántos modos se puede disponer un equipo de básket de 5 integrantes? a) 25 d) 240 b) 120 e) N. c) 24 y 4 03.En un concurso de Periódico Mural organizado por una institución.com/Matematica1com a) 3600 b) 600 c) 1600 d) 1500 e) 1680 08. para que entre los cuyes. y hay 4 cajones con 2 orificios cada uno.a.2.5 son tales que.¿Cuántas palabras aunque carezcan de sentido se pueden formar “ROCACORO”? a) 5040 d) 1860 b) 1680 e) 1668 c) 2100 13. ¿De cuantas maneras diferentes. maracuya.A. tomando todos a la vez y tomando de 3 en 3.Matematica.Con seis pesas diferentes de . 2.A. 2.a. 5. los impares están antes que los pares? 6 n n 1 a) 20 d) 90 02. Si a la tienda entran Juan.3.com/Matematica1com c) 6120 14.pe d) 120 e) N. sabiendo que hay premios para los 5 puestos? a) 24 d) 120 b) 60 e) 240 c) 72 18. ¿Cuántas pesas diferentes pueden obtenerse. piña. ¿De cuantas maneras diferentes podrá colocarlas en un estante en grupos de 5. si todas las prendas son diferentes? a) 200 d) 900 b) 2160 e) 3410 www.youtube. ¿Cuántas de las permutaciones de los dígitos 1. c) 56 10. naranja.Con los elementos A. ¿De cuantas maneras podrá vestirse Nancy. papaya.5 niños de un colegio se van de campamento y deciden realizar una fogata en la noche.En un juego de cuyes intervienen 2 cuyes.En un tienda de juguetes sólo tenían 35 peluches (todos iguales).Dado un grupo de 9 personas 5 varones y 4 mujeres ¿Cuántos comités de 4 personas se podrán formar tal que siempre en cada comité haya 2 varones? b) 30 e) N.Nancy va a vestirse y para ello cuenta con 6 pantalones. tal que contengan piña pero no manzana? a) 63 d) 25 b) 15 e) 31 c) 30 16. ¿Cuántos jugos diferentes podrá preparar. 20 pelotas (todas iguales) y 10 juegos de mesa (todos iguales). ¿De cuántas formas el producto es un número positivo? a) 273 d) 505 b) 240 e) N.El equipo de fulbito de un salón de clase debe escoger 2 madrinas.www.Matematica. ¿Cuántas alternativas de compañía tiene Alicia para ir al cine? a) 28 d) 31 b) 29 e) 32 c) 30 06.¿Cuántos números diferentes formados por 3 fichas de los que se muestran. 6 camisas. ¿De cuantas maneras diferentes se podrán colocar alrededor de la fogata si cada niño va con su padre y su madre.Se tiene 8 corredores. si en total hay 6 candidatas. además cada niño se sienta entre su padre y su madre a la hora de la fogata? a) 768 d) 218 b) 455 e) 478 c) 367 17. c) 435 09. C.Se tiene 6 números positivos y 8 negativos si se eligen 4 números arbitrariamente sin sustitución y se multiplican. 20 y 50 kg. c) 180 20. ¿Cuántas combinaciones se pueden realizar tomando todos a la vez y tomando de 3 en 3? a) 1 y 4 b) 24 y 24 www. María. B. 5 pares de zapatos. C y D el número de permutaciones que se pueden formar.Jessica tiene 6 libros grandes y 5 pequeños.Calcular l número de triángulos que se pueden trazar por “n” puntos no colineales. aquellas de 3 en 3? a) 18 d) 36 b) 24 e) N.¿Cuántos números diferentes de cinco cifras. ¿De cuantas maneras se puede escoger las 2 madrinas? . d) 1 y 24 17. a) b) c) d) n n 1 n 2 6 n n 1 n 2 a) 18 d) 36 2 e) N. 3 pares de medias.4. D. B. 3. mandarina. mezclando 5 frutas diferentes para ello cuenta con las siguientes frutas: plátano. ¿De cuantas maneras diferentes pueden obtener los premios estos 5 finalistas. ¿De cuantas maneras diferentes podrán escoger dichos juguetes? a) 65 b) 81 c) 210 d) 55 e) 30 15.Con los elementos A. se puede premiar a los cuatro primeros lugares? www. 4 faldas. 5. ¿De cuantas maneras diferentes pueden entrar cuyes si a cada orificio sólo puede entrar un cuy? a) 18 d) 56 b) 24 e) 72 c) 60 05. es: a) 1 y 4 d) 1 y 24 6 n n 1 2n 1 e) 1 y 20 c) 24 y 4 b) 12 e) 120 c) 24 04.a. ¿De cuántas maneras podemos escoge 3 sillas de tal manera que entre estos hay al menos 2 defectuosas? a) 70 d) 90 b) 80 e) 50 c) 60 11. 10. de los cuales 3 sean grandes y 2 pequeños? a) 12000 d) 3360 b) 24000 e) 336 c) 200 07.A. Ana y Carlos y cada uno compra un juguete.pe b) 24 y 24 e) N.Se tiene 10 sillas de lo cuales 6 son defectuosas.Jessica se va a preparar un jugo.Con 5 jugadores. se pueden formar:? 1 2 3 4 5 6 7 a) 36 d) 20 b) 18 e) N. c) 60 19. hay 5 finalistas. Jaime. 18.a.youtube. una para el equipo y otra para las camisetas.Determinar. sin que ninguna se repita se pueden formar con las cifras: 1.a. durazno. pe PROBABILIDAD Consideremos otra vez el modelo de la urna y pongamos en ellas tres bolitas: dos blancas y una negra. debería aparecer una vez la negra y dos veces la blanca. podríamos pensar que es más probable la extracción de una bola blanca. el 2do y el 3er puesto.Un estudiante tiene un libro de cada uno de los siguientes : Aritmética.pe a) 10 b) 20 d) 30 e) 40 www. En la extración de una : a. Al ser el número de blancas el doble del número de negras. si el de Geometría siempre está en el medio? PROBABILIDAD Antes de dar la noción de probabilidad hagamos una breve referencia sucesos que por su simplicidad se prestan a ser experimentados. Teniendo en cuenta lo anterior: la suma de las probabilidades de que sea negra es : 1 1 1 . ¿Cuántas de estas pueden ejecutarse? 05. Supongamos que en una urna colocamos una bolita blanca y una bolita negra.www. ¿De cuantas maneras puede viajar una persona a Huancayo y regresar en un ómnibus diferente? 02. repitiendo la prueba tres veces.Una orquesta debe interpretar tres piezas musicales. 5 amigas le quisieron acompañar. no podemos excluir que se obtengan resultados absolutamente contrapuestos a lo que se ha dicho antes.Cuando Jhony quiso ir a “Expociencia”. Pero si se lleva a la práctica la experiencia. 2 2 www. cada una de las cuales puede ocurrir por igual. debería presentarse dos veces la negra y cuatro veces la blanca. sin embargo él quería ir solamente con 2 amigas.. la probabilidad de extraer una bola 2 blanca es (2 casos favorables de un total de 3 3 casos posibles) y la probabilidad de extraer 1 una bola negra es (1 caso a favor de 3 2 1 posible). siendo 1 la certeza.youtube. Vamos. A dicha relación vamos a llamarla.com/Matematica1com b. Física y Química. En forma análoga establecemos la relación para el caso de la extracción de una bola negra: 1/2 (Otra vez: 1 caso favorable de entre dos casos posibles de que la bola extraída sea negra). ¿De cuantas maneras puede organizarse este comité siempre y cuando tenga en él 2 chilenos? 04. ¿De cuantos www. ¿De cuantas maneras diferentes pudo haber ido acompañado por 2 amigas? a) 6 b) 10 c) 20 d) 24 e) 40 20. pero aún no daremos más detalles de lo que esto significa.Matematica. en estos momentos. Álgebra. por ejemplo.Con 7 peruanos y 4 chilenos debe conformarse un comité de 6 personas. hay un caso favorable de entre dos posibles de que la bola extraída sea blanca (diremos que la relación es de 1 a 2 ó 1/2). . Ejemplo 1: Casos posibles : 3 TAREA DOMICILIARIA M Ejemplo 2: En la extración de una bolita de la urna se presentan dos casos a.youtube. Así.Hay 6 ómnibus diferentes que viajan entre Lima y Huancayo. Sale bolita blanca : casos favorables : 1 Casos posibles : 2 b. Sale bolita negra : casos favorables : 1 Es evidente que la bola extraída es blanca o es negra. de las tres pruebas puede presentarse dos veces la blanca o bien tres veces la negra o la blanca. ahora.com/Matematica1com c) 15 19. Bolita blanca : casos favorables : 1 c) 40 01. dentro de un total de 7.En el campeonato de ajedrez por el Aniversario de la Academia habrán premios diferentes para el 1ero. también aquí ocurre : 1 3 3 Decir que la probabilidad de extraer una bola negra es 1/3 y de extraer una blanca. es decir. probabilidad.Simplificar: n ! n 1! n1 03. 2/3 equivale teóricamente a afirmar que. en el sentido de que en el caso. tenemos dos posibilidades. Geometría. a extraer al azar una bolita y ver de qué color es. Si participan 5 semifinalistas de cuantas maneras diferentes pueden ganar los premios a) 20 d) 50 b) 30 e) 60 modos pueden disponerse en un estante. y así sucesivamente.Matematica. Bolita negra : casos favorables : 2 Luego. repitiéndola seis veces. los consideramos igualmente probables. es decir son equiprobables. . Para dar un valor a estas probabilidades se procede así: realizamos sucesivamente la experiencia de lanzar el dado trucado y anotamos los resultados. No debes olvidar que nuestra definición es sólo aproximada. 50 Puesto que líneas atrás hemos utilizado la palabra equiprobable. entonces la probabilidad de ocurrencia de A se denota por P(A) y está dado por: Números de casos favorables PA al evento A Número total de casos posibles resultados posibles en n A n Esta definición. o es de esperar que se dé un acontecimiento con preferencia al otro” ¿Qué es el principio de razón insuficiente? Usualmente se acostumbra decir que no puede apreciarse probabilidad alguna donde falta un conocimiento relevante o apropiado y esto estaría en aparente contradicción con lo dicho en la definición dada. ya que no hay razón alguna para anticipar un resultado u otro. si saber cuáles son éstas. con esto confeccionamos una tabla donde se expresa el número de veces que ha salido cada cara (frecuencia absoluta). los cocientes entre la frecuencia absoluta y el número de veces que se ha realizado la experiencia reciben el nombre de frecuencias relativas.com/Matematica1com sello. Si suponemos. la probabilidad de un suceso se obtiene dividiendo el número de casos favorables al suceso entre el número de casos posibles del experimento” Luego : Si “A” es un evento de un espacio muestral . En nuestro ejemplo. de acuerdo al cual. es de esperar que la probabilidad de que salga una cara determinada del dado común es 1/6. Los 50 valores de estos cocientes son los que tomaremos como probabilidad asociada a cada cara. Así.youtube. pueden ser igualmente probables. de los experimentos aleatorios. es equiprobable que caerá cara o www. Puntaje par acompañado de sello en la moneda. Por ejemplo. “Dos acontecimientos contingentes serán considerados equiprobables si. o dos acontecimientos. que una moneda es simétrica. ¡Pero ahí esta la clave ! Un poco de conocimiento es peligroso. si lanzamos el dado irregular 50 veces y la cara correspondiente al 2 ha salido 17 de las 50 veces que hemos lanzamos el dado. mientras que carecer de él por completo es mucho más satisfactorio. sólo es aplicable a los experimentos aleatorios dotados de simetría y. por lo tanto. PRIMERA DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD (definición clásica) “Cuando un experimento aleatorio es simétrico. bajo las www. pues allí se dice que dos proposiciones. tiene un alcance de aplicación muy restringido.youtube. entonces. Ahora. a falta de un conocimiento sobre dos acontecimientos. www. ya que todas las caras tienen igual probabilidad de salir. Puntaje no menor de 3 y acompañado de cara en la moneda. o cualquier otra cosa acerca del juego. si el dado tiene una forma irregular las probabilidades correspondientes a cada cara son distintas entre sí. es decir. la cara 2 tiene una 17 probabilidad de . debida a Laplace. Y también que es posible saber que dos cantidades son iguales sin saber que son.pe consideraciones hechas. diremos que la frecuencia absoluta del 2 es 17 y 17 que la frecuencia relativa es .www.Matematica. Esto constituye un caso particular. además.com/Matematica1com b. por ejemplo. Ejemplo 1 Se lanza un dado acompañado de una moneda.Matematica. Dado normal Dado trucado Sin embargo. Así para nuestros fines podemos invocar el principio de razón insuficiente.pe EVENTOS EQUIPROBABLES Hay muchos experimentos aleatorios en los cuales no existen razones para suponer que unos eventos se presentarán más frecuentemente que otros. muy importante. Calcule la probabilidad de obtener: a. cualquiera que sea. ya sea por falta de evidencia o después de considerar todas las circunstancias que hagan al caso. conviene ahora definir que significa equiprobable (igualmente probable). alguien que tenga un conocimiento general sobre los juegos puede saber que en el ajedrez ambas partes comienzan con fuerzas iguales. es completamente homogéneo. en un número muy grande de pruebas los distintos sucesos ocurren con igual frecuencia o todos los eventos son equiprobables. A los experimentos aleatorios dotados de eventos equiprobables también se les denomina experimentos aleatorios simétricos (expeimentos aleatorios dotados de simetría). en el lanzamiento de un dado: si el dado tiene una forma cúbica perfecta (lo cual nunca es rigurosamente exacto) y si. aun si carecemos de conocimiento alguno. 3. 2.Matematica. que de alguna manera ya habíamos adelantado cuando hablamos del dado trucado y cuando extraíamos al azar bolitas de una urna. 6} n () = 6 Evento (A): El resultado es impar: A = {1. 1 luego su probabilidad P será : P . d.com/Matematica1com frecuencia que las otras. luego la 4 1 probabilidad es .youtube. el cociente que resulta de dividir el número de veces que ocurre un suceso por el número total de pruebas (frecuencia relativa del suceso) tiende a estabilizarse en torno a un número fijo. como la baraja tiene 4 ases. ya que no existe la posibilidad que sea de color blanco. 52 13 c. pero no se tiene la certeza de que de hecho va a ocurrir.Matematica. por ejemplo. 52 13 En este caso. será expresada por un número comprendido entre 0 y 1. tendremos: Experimento aleatorio Probabilidad de obtener 1 “as” = Total de casos posibles (espacio muestral ) :1 2 3 4 5 6 :S S S S S S 1 PA 2 3 4 5 6 C C C C C C n ( ) = 12 Luego : a. En la baraja existen 4 ases. Sea un 8 de corazones. entonces la probabilidad que 26 1 la carta extraída sea roja es . Sea figura roja. en cierto sentido. pues no hay razones para suponer que unas cartas saldrán con más 1º Evento Seguro y Evento Imposible: Veamos las figuras: 3 1 Demos ahora una definición. c. tendremos siempre la certeza de que será de color negro. y el fenómeno es simétrico. que se llama la probabilidad de dicho suceso ” Ejemplo 3: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un “as” al extraer una carta de una baraja de 52? Resolución: a. b. 3. El número de casos favorables al evento : sale punto par y sello .pe n A n 3 6 4 52 la 1 Ejemplo 4: 2 Se tiene una baraja de 52 cartas y de ella se extrae una al azar. Resolución: Experimento aleatorio () : Lanzamiento de un dado normal Espacio muestral () : = {1. se dice que su “probabilidad es cero”. El número de casos favorables al evento: sale puntaje no menor de 3 y acompañado de cara en la moneda. PROPIEDADES En la figura se puede apreciar que hay 5 bolitas negras dentro de la urna.youtube. Los números 0 y 1 expresan. Resolución : A A A A a. Halle la probabilidad de que la carta extraída : SEGUNDA DEFINICIÓN PROBABILIDAD DE Condición de regularidad estadística (De Richard Von Misses) Dado un experimento aleatorio .com/Matematica1com . al lanzar un dado. como cada uno tiene cuatro cartas. sabemos que en cada prueba que hagamos no podemos predecir cuál de los sucesos que lo integran se va a presentar (condición de azar). si extraemos al azar . Si pedimos que el evento sea: “Sale una bola blanca” tal evento será imposible. el resultado sea un número impar. 52 2 d) Las cartas que presentan su valor con una letra son: el once “J”.www. aplicando definición de Laplace. Las figuras rojas son 13 corazones y 13 oros (cocos). Sea un “as”. trece “K” y el as “A”. es: n (A) = 4 4 1 P A 12 3 Ejemplo 2: Determine la probabilidad de que. Luego. 52 b. si la urna contiene bolas blancas y bolas negras y se extrae aleatoriamente una de ellas. la probabiliad de que la bola extraída sea. no es ni 0 ni 1 por cuanto existe la posibilidad de que esto ocurra. 5} n (A) = 3 www. sesos sobre los que se tiene la certeza de su verificación o su verificación. luego la 16 4 probabilidad es . En la baraja sólo existe un 8 de corazones. doce “Q”. lo cual depende del número de bolitas blancas y negras que contenga la urna. y si queremos señalar la imposibilidad de que se verifique. la probabilidad de extraer una bolita blanca. si A es un evento de un espacio muestral . Represente su valor con una letra. 4. se cumple: 0 < P(A) < 1 www. es un “evento seguro”. 5. Para indicar que la certeza de que evento se verifica se dice que éste tiene “probabilidad 1”. es: n (A) = 3 3 1 P A 12 4 b. En tal caso. en total hay 16.pe Resolución: www. entonces: “Cuando el número de pruebas se aumenta indefinidamente. blanca. si extraemos al azar una bolita cualquiera. Ahora. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola blanca o negra? Resolución: Los sucesos son excluyentes. que ambos eventos son mutuamente excluyentes. es decir. sólo ocurre un de los dos.pe Luego : P(A) = 1 – P (A´) = 1 1 8 7 8 3º Sucesos que se Excluyen Mutuamente: (Mutuamente Excluyente) Supongamos que tenemos una baraja de naipes con 52 cartas. 2. ya sea un as o un rey de un juego de naipes. Si hay cuatro ases en un juego de naipes. una cara en el lanzamiento de 3 monedas legales: Resolución: 1º Forma: 1º Moneda 2º Moneda 3º Moneda Resultados C CCC S CCS C CSC S CSS C C S SCC S C S SSC SSS C C S S SCS n ( ) = 8 A : sale al menos una cara.pe Además: I. el cual sería: Así: n(A´) = 1 P (A´) 1 8 www. 60 6 20 1 . A es un evento seguro. Puede deducirse.youtube. también se les denomina sucesos incompatibles. Sea A un evento definido en un espacio muestral . Cuando dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes (A B = ). pues no puede ocurrir que habiendo extraído una sola carta de corazones ésta tenga. PROBABILIDAD DE UN EVENTO EN FUNCIÓN DE SU EVENTO COMPLEMENTARIO. n (B) = 3 3 n () = 52 P(B) = 52 entonces : P (A B) = P (A) + P(B) 6 3 9 52 52 52 Observación : Sucesos Compatibles Si A y B son eventos no excluyentes. 13. Pero.www. Ejemplos: 01. de acuerdo con la expresión () planteamos: 1 1 2 P A B P A P B 13 13 13 Un teorema más general del cálculo de probabilidades expresa que la probabilidad de que ocurra uno entre varios sucesos que se excluyen mutuamente. un valor menor que 7 y a la vez un valor mayor que 10. 5. al menos.com/Matematica1com simultáneamente. 4. 2. si sumamos los números de elementos de ambos conjuntos. Por ejemplo: el evento A : sale un puntaje para lanzar un dado y el evento B: sale un puntaje múltiplo de 3 son compatibles.com/Matematica1com Evento A : sale una carta de corazones con un valor menor que 10. 12. pues cuando sale el puntaje 6 se están cumpliendo los dos. la de obtener una bola negra. n (A) = 7 7 P A 8 2º Forma: Aplicando la propiedad: complementario de A. la probabilidad de extraer un rey es 1/3. Ejemplo: Calcular la probabilidad de obtener. dados dos sucesos A y B de un espacio muestral se dice que ellos son mutuamente excluyentes cuando no pueden ocurrir simultáneamente en una prueba del experimento aleatorio. A es un evento imposible. Luego: Casos favorables al evento A : 6. la probabilidad de la ocurrencia . En una baraja de 52 cartas. 60 3 Luego. Cuando los sucesos A y B son compatibles. es decir : A B . es la suma de las probabilidades de cada uno de los sucesos aislados. Si P(A) = 0 A = . Si P(A) = 1 A = . Así. si uno de los dos sucesos ocurre. en una sola vez? Esta es la probabilidad de sucesos que se excluyen mutuamente o alternativos. este exceso se corrige restando en la expresión anterior de la probabilidad de sucesos mutuamente excluyente. el otro no puede acontecer. se dice que son compatibles cuando en una misma prueba pueden ocurrir ambos simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una carta de corazones con un valor menor que 7 ó un valor mayor que 10? Resolución : se extrae al azar una carta de la baraja www. 20 negras y 30 rojas. los elementos comunes se contarían dos voces (por estar en ambos conjuntos).Matematica. entonces: P(A) = 1 – P (A) Donde: A es el suceso complementario de A. si se extrae una bola al azar. si sumamos los números de elementos comunes.youtube. simultáneamente. ocurre P (A B) = 0 entonces: Probabilidad de sucesos mutuamente excluyentes: P (A B) = P (A) + P (B) …… () Ejemplo: Evento Apliquemos este resultado en el ejemplo inicial: : Se retira al azar una carta de la baraja Evento A : sale un as Evento B : Sale un rey Como se retira una sola carta de la baraja ambos eventos no pueden ocurrir www. los conjuntos de sus casos favorables tienen elementos comunes. la probabilidad de obtener una bola blanca es 10 1 . ¿Cuál es la probabilidad de reiterar. fácilmente. 3. la probabilidad de obtener una bola blanca o negra será: 1 6 1 3 1 2 6 3 6 1 2 02. 1 n (A) = 6 n () = 52 6 P(A) = 52 Casos favorables al evento B : 11. II. Así. es decir : A = . 52 13 análogamente.Matematica. la probabilidad de reiterar un as de entre 4 1 las 52 cartas es y. Una urna contiene 10 bolas blancas. youtube. es decir : la ocurrencia del evento A no afecta al hecho de que ocurra.youtube. ¿Cuál es la posibilidad de obtener 2 veces cara? Resolución: La propiedad correspondiente establece que la probabilidad de que ocurran. ¿Cuál es la probabilidad que le guste Raz. : R ¿Cuál es la probabilidad de que. Si la probabilidad de que un cliente compre la marca A es 1/3 y la de que compre la marca B es 1/5. dos sucesos independientes es el producto de las probabilidades individuales de cada uno de los sucesos. Una caja contiene 30 bolas numeradas de 1 al 30 ¿Cuál es la probabilidad de que.pe simultánea de ambos eventos (más A B = ) obteniéndose la siguiente expresión: TEOREMA DE MORGAN : P (A B) = P (A) + P (B) – P (A B) (Probabilidad de sucesos cmpatibles) Como A B P (A B) 03. Mat. las dos siguientes defectuosas y las 3 siguientes correctas es: 99 100 25 2 3 1 99 99 x x 100 100 100 www. La probabilidad de obtener dos caras seguidas 1 1 1 es. ésta prefiera Literatura? PL 70 200 7 20 ¿Cuál es la probabilidad que. ¿Cuál es la probabilidad de que. Se tira dos veces una moneda . Supongamos que la probabilidad de que una máquina automática produzca una 1 pieza defectuosa es . De una baraja de 52 cartas. si el acontecer de uno de ellos no está. en modo alguno. Luego: 15 1 La probabilidad de A es 30 2 6 1 La probabilidad de B es 30 5 3 1 La probabilidad de A y B = 30 10 Aplicando el teorema de Morgan. www. simultáneamente o sucesivamente. al extraer una carta al azar ésta sea 8 ó de figura negra? Resolución: : se extrae una cara al azar Evento A : se obtiene 8 www. la probabilidad de sacar 5 e la segunda tirada) no depende de que en la primera tirada haya salido 3 o no haya salido 3.. por lo tanto : x 2 2 4 06. Si efectuamos dos tiradas sucesivas del dado se comprende fácilmente que la probabilidad de que ocurra B en la segunda tirada (es decir.www. a la vez. la probabilidad de que los clientes sucesivos compren. 100 Si suponemos que los sucesos “salir pieza buena” y “salir pieza defectuosa” son independientes. al elegir una persona. Ejemplo: Sea el evento A: sacar 3 puntos lanzando un dado y el evento B: sacar 5 puntos lanzando el mismo dado. Mat.com/Matematica1com 05. al sacar al azar una bola. el primero la marca A y el segundo la B. la probabilidad de que de 30 piezas las 25 primeras sean correctas. Cuando dos eventos A y B son independientes entonces: P (A B) = P(A) x P(B) : Probabilidad producto para sucesos independientes. exclusivamente de las mujeres. 20 ó 30 se cumplen simultáneamente las condiciones de ser un número par y múltiplo de 5.Matematica.pe 4 P (A) = ¿Por qué? 52 Evento B : se obtiene figura negra 26 P(B) = ¿Por qué? 52 2 Además : P(A B) = (el 8 de tréboles y el 52 8 de espadas son dos figuras negras) Luego: P A B 4 52 P (A B) = 26 52 2 52 28 52 7 13 Observación: Sucesos Independientes Dados dos sucesos A y B de un espacio muestral . de acuerdo con la regla anterior es: P(A B) = 1 1 1 x 3 5 15 07. Evento B : Sale una bola numerada con un múltiplo de 5. entonces la 100 probabilidad de fabricar una pieza buena 99 es .com/Matematica1com 28 1 x 100 2 PROBABILIDAD CONDICIONAL Analicemos un ejemplo previo: Luego de entrevistar a 200 estudiantes se observó que: Prefieren sólo Raz. al elegir una persona. Raz.Matematica. Matemático) 100 P R 125 . ésta sea varón? P V 75 200 3 8 Ahora elegiremos una persona. Matemático? n() = 125 (Total de mujeres) n(R) = 100 (pref. Supongamos que los sucesos consistentes en comprar una u otra marca de hojas de afeitar sean independientes. resulte par o múltiplo de 5? Resolución: En este caso los sucesos son compatibles pues cuando sale 10. tendremos: P(A B) = P(A) + P(B) – P (A B) 1 1 1 6 3 2 5 10 10 5 04. se dice que dos sucesos son independientes uno del otro en relación con un cierto experimento aleatorio. relacionado con el acontecer del otro. el evento B. Prefieren sólo Literartura Varones 30 45 Total 75 Mujeres 100 25 Total 125 Total 130 Total 70 Sucesos: Que sean varones : V Que sean mujeres : M Que gustan Literatura : L Que gustan Raz. Evento A : Sale una bola con número par. (6. si se sabe que fue par? Resolución: º Evento A : Que sea 3 Evento B : Que sea par. 3) . 90 Resolución: Se nos pide la probabilidad www. 6. Resolución: Evento A: la suma de los puntos es 6 Evento B : sale puntaje 2 en uno de los dados. (3 . B = {(2.youtube. dado que estuvo listo su envío? Resolución: R : Suceso de que un pedido está listo para su distribución . 4. 72 (también que se entregará a tiempo). 72 PD / R PD R PR 0 .2) . (4. 4). (3. Calculemos primero el espacio muestral del evento A: Sale suma igual a 6.80 y que estará listo para entregarse a tiempo es 0.youtube. tendríamos: Para que esté formalmente expresado se denota así: 100 P R / M 125 Se lee : “Probabilidad que prefiera Raz. sabiendo que ya ocurrió el suceso A. (2. Matemático. 4. = {1. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea menor que seis si sabemos que dicha suma ha sido múltiplo de cuatro? suma 6 / Utilizando 10 suma multiplo de 4 P : casos favorables casos posibles tenemos: Casos posibles: No son todos los resultados posibles al lanzar dos dados. A = {(1.pe Si hacemos un diagrama. 72 0 . Se denota : PB / A Y se calcula. ¿Cuál es la probabilidad de que este pedido se entregue a tiempo. 6) Casos favorables: Son aquellos de entre los anteriores cuya suma es menor que 6. es decir: (1.com/Matematica1com PROBABILIDAD COMPUESTA (TEOREMA DE LA MULTIPLICACIÓN . 04. por experiencia pasada. sabiendo que fue mujeres”. es decir: (1. P A / B 1 5 02. inténtalo usando dicha fórmula. 4). 8. Se sabe: P M 125 . si la suma debe de ser 6. 10} de los cuales sólo un cumple que sea 3º . 6. Se lanzan dos dados. 10} PB P A / B 5 10 P A B P B www. (3. . 2). como ya lo hemos demostrado. (2. 3) . (5. Si la suma de los puntajes es 6. (5. 3) . 10} A B : Que el bolo tenga numeración 3º y sea par a la vez A B = {6} P A B 1 10 B : evento que se toma como referencia (que sea par) {2.1) Por tanto: 3 1 P suma 6 / suma múltiplo de 4 9 3 ¡Observa que no hemos utilizado la fórmula de la probabilidad condicional !.com/Matematica1com 1 1 P A / B 10 5 5 De otra forma: Se sabe ya que el bolo extraído es par {2. sino sólo aquellos que producen una suma múltiplo de 4. (4. 6) . del cual depende el suceso B.Matematica. 1)} n(A) = 5 Ahora tomemos las muestras para el evento B : Sale puntaje 2 en uno de los dados. de la siguiente forma: PB / A PA B PA .www.5) . Se lanzan un par de dados. Se extrae un bolo de un total de 10 (los bolos están numerados del 1 al 10). (4. …. (6. 80 0 . 5). 2) . 2.pe P www. hallar la probabilidad de que el puntaje de uno de los dados sea 2. PR : 0 . que la probabilidad de que un pedido esté listo para ser distribuido es 0. 4.Matematica. P A 0 01. Ejemplos: Analizando : P(R M) P R M 125 200 100 200 100 x PM 125 P R / M Se concluye: P(M) x P(R/M) = P(R M) PR / M PR M P M ¿Qué es probabilidad condicional? Es un caso particular de probabilidad donde se calcula la probabilidad de un suceso B. la probabilidad de que aparezca 2. 8. (2. (3. D : Suceso que se entregará a tiempo. 3. PR M 200 100 PR / M 125 100 200 A AB B Observación: Aquí debemos de tener cuidado tendremos que considerar como “espacio muestral” los resultados del suceso que ocurren inicialmente. 4) . será: 2 PB / A 5 03. Un fabricante de partes de avión sabe. 2)} n (B) = 2 Luego.. 3). ¿Cuál es la probabilidad que dicho bolo sea múltiplo de 3. (2. 1) . 80 y PD R : 0 . 2) . la www. Halle la probabilidad de obtener la suma igual a seis o la obtención de un número 2 en el dado verde. habiéndose dado A. simultáneamente. la probabilidad de extraer dos N seguidas.Diez parejas cenan juntas. por probabilidad de B.Matematica. una por una sin reposición. 06. Betty y 4 amigas más van a ser ubicadas en una carpeta de 6 asientos.Ana.Halle la probabilidad de que al lanzar tres dados simultáneamente se obtengan los puntos 4 – 2 – 1. las extracciones dejan de ser independientes y dependen una de la otra.youtube. se eligen al azar cinco personas para lavar las vajillas.Tres cazadores disparan simultáneamente contra una liebre. halle la probabilidad de obtener un número menor que 3 e el dado rojo. si no se 1 hace un reemplazo. depende de lo que haya ocurrido en A. mientras que es si la B 9 es reemplazada. Después de haber retirado una bola. 10. La probabilidad de que un determinado día llueva en una ciudad A.Se escogen al azar dos dígitos tomados desde 1 hasta 9. no roja II. Ahora. Una persona extrae una bola al azar. 02. 51 02. se demuestra también por el hecho de que la probabilidad de sacar dos B es cero. 05. Blanca III.Una lista de personas consta de 140 hombres de varones y 30 nombres de mujeres.Se lanzan un par de dados balanceados. sin devolver el primero. P [B/A] PRÁCTICA DE CLASE 01. 3 3 9 Sin embargo. calcule la probabilidad de que el producto de cifras sea par o cero. Ejemplos: 01. Determine la probabilidad de que sea: www.pe probabilidad de obtener as de trébol en la primera extracción y figura trébol en la 4 12 segunda es: x . el segundo 3 veces de cada 5. En una urna se tiene 7 bolas azules y 5 bolas blancas.En una caja hay 120 bolas iguales. el segundo 3 veces de cada 10 y el tercero solamente 1 vez de cada 10. s la probabilidad de que 2 llueva en B. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea azul. uno verde y otro blanco. puede. 1 blanco y otro rojo. la segunda blanca y la tercera azul? P Sale P sale P sale Azul 7 Blanca 5 Azul 6 12 x Conclusión: 11 x 10 7 44 www. Se escoge un nombre al azar y resulta que es de mujer. 3 ¿Cuál será la probabilidad de que un día con esa fecha llueva. 04. ¿Cuál es la probabilidad de que Ana y Betty se sienten juntas? 11. El primero consigue hacer blanco 3 veces de cada 5. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída tenga un número que sea múltiplo de 4? 13. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos. 15. todas del mismo tamaño. Después de cada extracción debe calcularse la nueva probabilidad a fin de formar la probabilidad compuesta correcta. uno de los tres cazadores alcance a la liebre? 12.youtube. es : x .Se arrojan 2 dados honestos. I. la probabilidad de 1 1 1 retirar dos B seguidas es : x y de 3 3 9 2 2 4 retirar dos N seguidas es : x . 3 de ellas se llaman María. Si la suma es par halle la probabilidad p de que ambos números sean impares. Determine la probabilidad de que el lapicero extraído no sea de color azul. Azul V. Si extraemos 3 bolas. Tomemos de nuevo el ejemplo de la extracción sucesiva de un naipe y luego de otro. algunas veces. sin haber habido 2 1 1 reemplazos. 3 3 Supongamos dos extracciones sucesivas de la misma bolsa. B. pues si se saco as 52 51 de trébol en la primera extracción y no se devolvió la carta. 50 3 75 03. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga una nota par mayor que 12? 03.Raúl rinde su práctica calificada y la calificación es de 0 a 20. Encontrar la probabilidad de no obtener un total de 7 u 11 en ninguno de los dos lanzamientos. estimada 1 estadísticamente es igual a (En una 50 gran cantidad de días con esa fecha. se supone que la probabilidad de que llueva en esa misma fecha en una ciudad cercana. P (A B) = P(A) .com/Matematica1com .com/Matematica1com La probabilidad de la conjunción de dos sucesos dependientes (probabilidad de A y B) es igual a la probabilidad de A. ¿Cuál es la probabilidad que sea una de las Marías? 08. 4 bolas blancas y 5 bolas azules.Se arrojan dos dados balanceados. ¿Qué probabilidad hay de encontrar en ellas sólo una de las parejas? 07.Una caja contiene 7 lapiceros negros y 5 lapiceros azules.Matematica. Una bolsa contiene una bola blanca (B) y dos negras (N). roja o blanca 09.www.pe PARA LA PROBABILIDAD CONDICIONAL) El teorema que trata de la probabilidad de acontecimientos independientes.Se escribe al azar un número cualquiera de 4 cifras. si después de cada extracción no se reemplazan las bolas. numeradas del 1 al 120. la probabilidad de figura 12 trébol en la segunda es . habiendo llovido en A es .Halle la probabilidad de obtener al menos un 3 en dos lanzamientos de un dado balanceado. la probabilidad de retirar una bola 2 1 negra es y la de una bola blanca es . ser extendido provechosamente para tratar casos en que las probabilidades no son realmente independientes. se extrae un de ellos al azar.Una bola se extrae aleatoriamente de una caja que contiene 6 bolas rojas. 14. e A y en B? Aplicando la regla anterior se tiene: 1 2 1 x . Roja IV. 3 2 3 Que la probabilidad de la segunda extracción depende del resultado de la primera. aproximadamente la cincuenteava parte de ellos llueve). reemplazando la bola después de cada extracción. B y C están aportando con sus rifles a un león.a.a.a. uno rojo y el otro negro. a) d) 3 8 2 5 b) 5 8 a) d) c) 1 8 a) d) 2 1 4 b) 1 8 c) 1 3 e) N. 05.www. ¿Qué probabilidad existe de que no caiga en zona de guerra? (Región sombreada : círculo) a) d) 9 9 7 7 b) 9 8 c) 9 6 e) N. ambas concuerdan en asegurar que de una bolsa que contenía 6 .Una pareja planifica tener 4 hijos. 3. 8. Si los tres disparan.5. 45. la de tocar la parte II es 0.Un sistema electrónico consta de dos dispositivos A y B. Ana de cada 5 dice la verdad 4. d) 3 07.6 y la probabilidad de aprobar física I es 0. e) N. Si se lanza el dado. 1 2 1 y y 1 b) 3 1 d) 1 2 1 . de febrero fue lunes? (Observación: el año es no bisiesto) 18.a.Supongamos que se ha cargado un dado de manera que la probabilidad que ocurra un número determinado es proporcional al mismo.a. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar solo uno de dichos cursos? 19. determine la probabilidad de que este disparo haya alcanzado la parte II.com/Matematica1com probabilidad de que ingrese a ambas a la vez? e) N. Si la probabilidad de que ingrese sólo a una de dichas universidades es 0.Sabemos que entre seis pernos.a. la probabilidad que ingrese a la UNI es 0.Se elige un comité de 8 personas de un grupo de 6 hombres y 5 mujeres. Halle la probabilidad de cada uno de los eventos. . 11 3 11 b) 1 11 c) 7 11 d) 1 2 1 5 b) e) 1 3 1 c) 1 4 6 09. si además el 1ro. la de B es 3/7 y la de C es 2/3.Matematica. 5 10. determinar la probabilidad de que: Evento A: las 2 sean blancas. 13.Matematica. ¿Cuál es la probabilidad que el otro también sea no defectuoso? a) e) N.pe 16.3 y de que ingrese a San Marcos es 0. 08. 1 3 1 y y 1 5 1 6 2 3 6 2 4 e) N.Una caja contiene 4 tubos defectuosos y 6 no defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de obtener en uno resultado par y en el otro un número impar? a) parte I. si extrae al azar 2 bolas en forma sucesivas. calcule la probabilidad de que: Los tres acierten. Una vez que llegaron prenden una fogata y se sientan alrededor de ésta.7 ¿Cuál es la 1 06. Los eventos son mutuamente excluyentes y uno de ellos debe ocurrir.Tres cazadores A.Una pareja y sus tres hijos salen al campo. Falle sólo A d) a) 8 35 b) 1 5 www. la probabilidad que falle A es 0. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger Manuel 2 días del mes de febrero para salir con su enamorada. el evento B tiene igual posibilidad que la suma de posibilidades de A y C.El evento C tiene el doble de posibilidad que el evento A. ¿Cuál es la probabilidad de que gane C? 17. Si se escogen dos pernos al azar. A tiene doble probabilidad de ganar que B y B doble probabilidad de ganar que C.Pepe tiene 6 bolas negras y 5 bolas blancas en uno de sus bolsillos.a.Se efectúa un disparo sobre un objetivo que consta de 2 partes I y II (como se muestra en la figura) la probabilidad de tocar la parte I es 0.pe c) 3 7 www. 1 d) 1 b) 6 1 1 c) 4 1 2 e) N. a) d) 11 10 1 2 b) 10 11 c) 11 21 e) N.a.a. Un disparo efectuado no alcanzó la www.Tres caballos A. 5 11.Se lanzan dos dados simultáneamente. dos son más cortos que los demás. al menos.15 y de que falle sólo B es 0.El proyectil lanzado por el “Kafir F – 17” de la figura cae dentro del rectángulo. 31 33 1 b) 17 31 a) 2 c) 17 33 e) N. Se sacan 3 a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que los padres estén siempre juntos? a) d) 1 b) 4 1 1 c) 2 1 3 e) N. ¿Cuál es la probabilidad de que sean todos del mismo sexo? EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 03 01.a. La probabilidad de que acierte A el disparo es 4/5.a. Se prueban dos de ellos y se encuentra que son no defectuosos.Eva dice la verdad 2 de cada 3 veces.youtube. calcule la probabilidad que ocurra un número mayor que 4. Determine la probabilidad de que: a. 3 mujeres? d) 04. ¿Cuál es la probabilidad de que en dicho comité haya. 8 02. a) c) 1 4 1 .com/Matematica1com a) 1 b) 4 3 1 c) 5 1 2 e) N. 2 de que fallen ambos es 0. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos más cortos sean los escogidos? 20. éstos resulten ser días consecutivos y de la misma semana. .La probabilidad de aprobar matemática I es 0. 03. B y C intervienen en una carrera. 5 12.Yamilet se presenta a los exámenes de la UNI y San Marcos. Falle A sabiendo que falló B b.9.youtube.Considerando que la semana comienza el lunes. com/Matematica1com c) 1 16 . ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola resulte par o múltiplo de 5? a) las 6 últimas negras.youtube. ¿Cuál es la probabilidad que pase por el punto M? d) 11 b) e) 4 11 8 c) 10 2 10 e) N. resultó siendo defectuoso? 02.10 M 11 3 4 www. 10 a) 0.Matematica.youtube.Se tienen cinco cajas que contienen cada uno 100 focos.a.Una caja contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10.a. c) 0.4 05. dado que al www.La probabilidad que mañana llueva es 0.03. 12 e) N. 8 b) 2 c) 5 3 5 e) N.Una persona debe pasar del punto A al punto B.Matematica. Determinar la probabilidad de que se obtenga suma 7. ¿Cuál es la probabilidad que llueva o truene ese día? d) A a) a) 15 14. a) 1 b) 6 3 1 c) 4 2 5 e) N.a.a. 15. Si se selecciona al azar una de estas y de ella se toma un foco. a) d) 14 15 11 15 b) 1 15 c) 14 d) 1 5 1 d) e) N. Halle la probabilidad de que la aserción sea verdadera. ¿Cuál es la probabilidad de que el foco defectuoso provenga de la caja que contiene el 2% de defectuosos.3 e) 0. Las cuatro primeras son blancas y www. 20 . a) d) 1 15 3 16 b) 2 13 e) N. P(B) = 0. ¿Cuál es la.Sean A y B dos eventos que no son mutuamente excluyentes tal que: P(A) = 0.pe fichas de distintos colores se retiró una de color verde.30 y P (A B) = 0. Al llegar a una intersección elige el camino a seguir aleatoriamente. además hace su recorrido sin retroceder en ningún momento. la probabilidad que truene es 0.a.a.10.com/Matematica1com seleccionar aleatoriamente un foco. probabilidad de que al sacar una bola salga blanca o número par? c) 1 11 11 TAREA DOMICILIARIA 01.pe a) 0.1 d) 0.05 y la probabilidad que llueva y truene es 0. Dos de las cajas contienen 10 focos defectuosos cada uno y la última 2 focos defectuosos.6 c) 0.Se lanza untar de dados en forma simultánea. 10 d) 0.www.Una caja contiene 30 bolas numeradas del 1 al 30. 7 03.5 b) 0. 5 Calcule : P A C B C B 7 b) 10 7 5 04. 5 b) 0. 4) e) N. x1 d 1 Ejemplo: Halle las coordenadas del baricentro en: x 2 2 y 1 y 2 2 G (x.Determinar las coordenadas del punto medio del segmento que tiene como puntos extremos: A (4.pe Pendiente de una recta conociendo dos puntos de paso.youtube.Matematica. A y B puntos de paso. 2 M 3 . a) 1 d) 5 b) 3 e) 2 c) 4 02.a. y) Y L -1 B 3 X -2 y L -5 P ( 2. y ) x x1 x 2 2 G(x. b) A (4. – 2) a) (4. Y A (8 . 1) d MN = …………. Q(–4. 3) . y ) 1 1 y1 y 2 m=tg C (x . 6) d AB …………… II. 4 ) 2 4 4 12 . A (x . (c. –5) . P(–3 . 2) y B (4.… Intercepto III. y) = G (5 . c) (8.Matematica. y ) 2 2 de AB 4 6 12 8 . 2) y P(4. 12 ) 0 A (x . M(5 . y ) 1 1 Ax+By+C=0 L : Ax + By + C = 0 25 5 d =5 www. –2) d PQ …………. N(6 .6) R ( 6.8) Ejemplo: Halle la distancia entre los puntos A(3.y) L 2 Ejemplo: Halle las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo. d) N M X B (5.pe SISTEMA DE COORDENADAS GEOMETRÍA ANALÍTICA Coordenadas del Punto Medio de un Segmento Punto Medio B (x . 6 L 2 2 www.com/Matematica1com Ejemplo : Halle las distancias en cada caso: I. 8 ) www. B (–1. 8 M 2 2 x A 4 5 6 3 68 4 3 3 1 2 5 22 d 16 9 d-b c-a C (6. –2 ).Calcular la distancia entre los puntos: M(4. B (10 . 2 N 5 . y ) 2 2 d y X Pendiente de un recta conociendo su ángulo de inclinación.com/Matematica1com 01.youtube. 2) . –2) Q( 4. y ) 1 A (x . –1). 2).www.4) PRÁCTICA DE CLASE 5 6 G (x . 10 N 2 2 2 6 4 8 . y ) 2 2 Y L M( x . y ) 3 3 B (x . 0) d) (4. OBSERVACIONES: Coordenadas triángulo 0 del Distancia entre Dos Puntos Dados Baricentro de un B(x . 2 L 4 . 6) ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA d AB m= (a. 2) b) (8. (0.5 e) 5 www. B(2. si: L 1 y L 2 son paralelas y L 2 pasa por el punto A (2. calcule las coordenadas de L si RO = 6 2 . N(-3. 4) B a) 27 b) 81 d) 6 3 e) 3 3 c) 9 3 b) (2. 8). Calcular: E= AB 5 8 BC a) 16 d) 2 5 17 c) 13 b) 6 3 c) 13 3 e) 11 3 06.5 (4. b) 60 u2 e) 45 u2 c) 40 u2 15.a.1) y (1. I = (1.4) www.youtube.0) b) 13 e) 16 x N c) 14 M 09. 1). 07.pe 03.2) I y 0 05.5 d) 12. -5). A(-2.pe R L 45º 0 a) 12 d) 15 c) 7. Si la abscisa de un extremo es 6.0) y (0. T(5.De la figura.Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 cm es el punto P(3.6) respectivamente.Hallar el área de la región sombreada: b) 2 e) 6 Y (a .Si: A(2. 2) respectivamente. B(2.com/Matematica1com b) 3 e) 6 3 4 7 3 b) e) 5 6 1 5 c) 6 5 . 1). ¿Cuál es el área del círculo? (0.3) L1 L2 a) 2 d) 5 c) 4 19.2) 04.1).De acuerdo a sus lados que clase de triángulo es el que tiene por vértices los puntos: A(-2. -1).5). -5) y B(-5. B(-4. 10).En la figura. a) escaleno d) isósceles b) equilátero c) no existe e) N.Hallar el perímetro del triángulo tiene como vértices los puntos: A(1. B(4.Los vértices de un triángulo son: A(3. y A(3. 4).Encuentre el valor de “a + b”.1 82 11.2) d) (1.4) c) (3. 3) 17. si M(x. 1). a) 10 y AC 13 b) 4 e) 9 a) 12 d) 14 08.0): a) 2( 7 + 3) b) 3( 5 + c) 2( 5 + 3) d) 2( 5 + 2 ) e) 2( 5 + 3) 2) a) 9 d) 6 b) 12 d) e) c) 8. Hallar su área.youtube. -2). E(2.1). B(3. 11) c) (11 . 1) L 1 : ax y 3 0 L 2 : bx 5 y 7 0 a) c) 4 d) www. a) (1. -1).2). 2) e) (3 . -2).y) es el punto medio de BC calcular la mediana AD . -3). las coordenadas de los puntos M y N son (6. (2. 2). 9) (a + 8.Matematica.En la figura calcule el valor de a : a) 21 71 x 17.5) e) (2.www. C(-2. 0) X 15. 4) d) (2 . Determinar un “P” que unido a dichos vértices forman 3 triángulos equivalentes. -5) y C(6.Hallar el área del polígono cuyas coordenadas de los vértices son Y(1. -1) y C(6.Hallar el volumen del cubo si los puntos A y B tienen como coordenadas (4.Sean: A(-6.5) x 0 a) 9. 2) y C(5. Hallar su ordenada? a) 6 y -4 d) –6 y 2 b) 36 e) 12 c) 16 A X a) (4 . -2). 4). -2) y C(4. 4).Hallar el área de la región sombreada.5 b) 10.Hallar el perímetro del paralelogramo que tiene como vértices: (3. 10. son los puntos A(-1. a) 80 u2 d) 30 u2 B(5. 3 Y c) 3 b) 8 e) 20 d) 8 3 (5. los vértices de un triángulo.4) 16. 5) b) (5 .com/Matematica1com 16.Matematica.Dos vértices de un triángulo equilátero ABC.Halle la ecuación de la recta mediatriz d segmento que los ejes coordenados determinan en la recta 5x + 3y – 15 = 0 a) 5x – 3y + 8 = 0 b) 3x + 5y – 8 = 0 c) 5x + 3y – 8 = 0 d) 5x – 3y – 8 = 0 e) 3x – 5y + 8 = 0 18.2) y (1. 3) Son los puntos extremos del segmento P1 P2 .Hallar los puntos de trisección del segmento AB cuyas coordenadas son A(4.La recta de ecuación x = 0. a) 16 2 b) 32 2 d) 12 2 e) 20 2 c) 8 2 10.El punto (6 .5) y B(-2.a. con los ejes coordenados. 5) . . -1). Calcular el valor de r.La distancia del punto P(x.1) y D(7. a) (5 .D. a) 20 2 a) 1 d) 3 06. 5) y (10.6) F) (-7. -4). b) el eje y e) N. y = 2. 2) a) –2 d) 1 b) –1 e) 2 c) 0 08. Calcular el valor de a.Matematica. Hallar las coordenadas de su punto medio. a) x 4 y 16 2 0 c) x 4 y 16 2 0 a) –14 d) 20 d) x 4 y 16 2 0 2 0 EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 04 01. 7).La recta de ecuación y = 0. c) 25 2 a) el eje x d) F.www. -3) y E(5.5) y F(1.-3) G) (-6.7) H) (0. 08.Calcular el área de la región que encierran los ejes coordenados con las rectas: a) 3 2 b) 3 . forman con el eje de abscisas.-3) E (9.Una recta de pendiente negativa forma un ángulo de 45º con el eje de abscisas y pasa por el punto (–4 . ¿en que punto corta al eje de abscisas? a) –1 d) 2 b) –2 e) 1 c) 4 09. www. B(-2.Determinar el área de la región que encierran las rectas: x = –1 . -6) al punto Q(3. B ( 3 .Para la recta del problema anterior. 10) e) (–10 .A(-2. -5) G (-4.pe b) 2 e) –3 c) –2 b) –18 e) 16 c) –20 07. 2) y B(-5. de vértices A(1.La recta de pendiente –2 interseca al eje de ordenadas en el punto r y al eje de abscisas el punto (r + 1). Calcular el valor de n. x = 4 .8) y H(6. a) 10 2 b) 11 2 d) 13 2 e) 15 2 c) 12 2 12.La recta de ecuación : 3x + 4y + 36 = 0 pasa por el puno (r . c) 44 b) 22 2 d) 24 2 e) 18 2 c) 23 2 04. 4). Hallar la pendiente de la recta que contiene a los puntos A(7. 5) TAREA DOMICILIARIA 01. y = –2 a) 20 2 b) 28 2 d) 23 2 e) 15 2 www.ABCD es un paralelogramo: A(–2 . localizar los siguientes puntos: A) (2. y = 3 .La recta de ecuación : 5x – y + 12 = 0 pasa pr ls puntos (a .La recta de ecuación : nx + ny – 30 = 0 corta al eje de ordenadas en el punto 2.4) 02.3) C (-4. 10) b) (5 .3) D) (4.1) y B(-2.En el sistema de coordenadas cartesianas.Hallar la distancia entre los siguientes puntos y determinar las coordenadas de su punto medio.Los puntos (-6. 5 2 e) 5 2 c) 4 2 13. 05. Además L 1 forma una región triangular con los ejes coordenadas del primer cuadrante cuya área es de 64 2 . -3) J (2 1 .1) www. 5 2 d) 4 . Hallar el valor de X.-3) 09. es: 7 03.4) es 10. c) No existe 15.D.Hallar la distancia entre los puntos A(4. –5) c) (– 5. Calcular las coordenadas del vértice D.a. es: a) el eje x d) F. 6) d) (–5 . (3.6) y B(-3.-4) C) (-4.Si P1(3.pe 20. 5) . b) x 4 y 16 2 0 e) 2x 3y 16 a) 12 b) 15 c) 13 d) 18 e) 20 05. -2).-4) 07. 04.com/Matematica1com 11.0) B) (-3. r + 2). 1) 10.Calcular el área de la región que encierran las rectas : y = x/2 + 2 .youtube.Hallar el área de la región triangular ABC. -6) y K(-6. b) el eje y e) N. a) 4 4 7 d) 13 b) 4 7 e) N.Matematica. x = 4. b).Calcular el área de la región triangular que la recta de ecuación : 4x – 3y + 36 = 0 forma con los ejes coordenados.Hallar el área de la región pentagonal. 6) y C(0 . B(4. -1). A (6.-2) y P2(5.7) y C(6. Calcular el valor de r.Calcular el área de la región triangular que las rectas y – 2x = 0 . son los vértices de un triángulo: Hallar su área. C(-3. a) pertenece a la recta del problema anterior.a.) 3 06.Determine la ecuación de la recta L 1 . – 3) y (–2 .la cual es perpendicular a la recta L 2 : y= 4x + 3. Calcular a + b a) 2 d) 1 b) –2 e) 3 c) –1 02. D(2.com/Matematica1com 03. -5) E) (0.youtube.1). c) No existe 14. Matematica.pe www. En un Trapecio: S O C 2 B B.Matematica. En un Paralelogramo: S C.www. En un Sector Circular: D S S S R2 S S F.com/Matematica1com PROPIEDADES ÁREAS DEL CÁLCULO R S ÁREAS SOMBREADAS DE 2 x S 360º S ABC B C 12 E.youtube. Unión de los Puntos Medios en el Cuadrilátero: D. En un Triángulo: S C B A. En un cuadrado : A D S H S D S L2 S B x H S L D2 2 D A B S B A S G R S A C S S 3 S B S 2S R S D A B C 2S S S S1 .com/Matematica1com S ABCD 4 . S 2 S D A C S www. S ABC S R S ABCD G. En un Círculo: 2 S ABCD 2 Consecuencia de la Propiedad “D” S ABCD www.youtube.pe S S 4S A S S 3S C S S O 2 B Las regiones sombreadas tienen la misma área. www. C B S ABCD D 3S S S 20 VIII. B S C S 2K S S A D S S ABCD 5 www.Matematica. I. II.youtube.youtube.pe K S A D S S ABCD 12 www.pe H. En un Cuadrado: www.Matematica.com/Matematica1com K 2K A D S S ABCD 6 .com/Matematica1com IV. Observando las relaciones I y II se S S deduce que : S ABCD ABCD 12 20 De donde: S S ABCD 30 D S ABCD 20 Consecuencias III. 12 D D D S A A S S A S S S S S B S A D S OJO : Estas últimas relacionados también se verifican en un paralelogramo VI. B C C S ABCD 30 X. B S ABCD S ABCD V. B C B C C B S S S S S S S S S S S ABCD S S 20 B C C B S C S 3S S S A S D S S S S S S A 3S S A S 5 IX. VII. .. B 01.pe XI. entonces el área de la región sombreadas es: C S2 S S A D S ABCD P S 8 3S ABCD A 40 S J. . entonces la suma de las áreas de regiones construidas sobre los catetos es igual al área de regiones construidas sobre los catetos es igual al área de la región apoyada en la hipotenusa.com/Matematica1com a) 6 cm 2 b) 12 cm 2 c) 2 6 cm 2 d) 6 2 cm 2 e) 18 cm 2 03.Matematica. S2 S1 B C P S ABC S1 S 2 40 Consecuencias: A R D I.En la siguiente figura encontrar el área de la región sombreada. Propiedad Rectángulo...www.Calcular el área de la región sombreada si el área del cuadrado ABCD es 324 cm 2 .pe S S S I.. Si: S3 S2 A C S S1 S 2 S 3 2S S S S ABCD Consecuencias: Hipócrates) S S (Lúnulas de F S E S ABCDEF 12 S1 S2 5S www. S B A S K. En un Hexágono Regular.. En triángulos Semejantes a Q S1 S ABCD 9 www.youtube.Si PQRS es un cuadrado de 4 cm de lado. en un Triángulo B S1 Si los lados de un triángulo rectángulo son líneas homólogas de figuras semejantes construidas sobre ellos.youtube.Matematica.. si ABCD es un cuadrado donde el lado mide 4 cm. b H a1 S1 c S S1 b1 H1 S c1 a2 a12 b2 b12 c2 c 12 S ABCD H2 H 12 . 3S D 2S S S1 S 2 B 2S 2S A 4 C S b) 4 2 cm 2 c) 4 4 cm 2 d) 2 4 cm 2 e) 2 cm 2 B C A D C S 3S a) 4 cm 2 02.com/Matematica1com B P PRÁCTICA DE CLASE S ABC S1 S 2 Paralelogramo C II. www. D a) 18 m 2 a) a 2 / 16 c) 15 m 2 . hallar el área de la región sombreada.pe www. si el área del triángulo ACE es igual a 12 u 2 y AD = 3AE www.Matematica.Sabiendo que le lado del cuadrado ABCD es 8 m y además “O” es centro de dicho cuadrado. entonces el área de la región achurada es: B 2m C O 6m 2m A b) 9 m 2 d) 20 m 2 e) 12 m 2 www.Si el lado del hexágono regular mide 4.En el paralelogramo mostrado. hallar el área de la parte sombreada.pe d) 6 3 3 b) 16 3 e) 10 3 c) 8 3 09. C O B A A a) 18 cm D 2 d) 324 cm 2 b) 68 cm 2 c) 162 cm 2 e) 981 cm 2 04.5 L D E b) 60 u 2 c) 64 u 2 d) 66 u 2 e) 72 u 2 07.Si el lado del cuadrado es “a” cm.a.Calcular el área del rectángulo ABCD.En la figura determinar el área de la región sombreada en función a “L”. calcular el área de la parte sombreada. 2 a O L a) a 2 / 3 b) a 2 / 4 d) a 2 / 6 e) a 2 / 12 c) 2 a 2 / 5 3L D a) 3 L2 / 2 b) L2 / 2 c) 2 L2 / 3 d) 2 L2 e) N. si ABCD es un rectángulo. A 10. calcular el área de la región sombreada.youtube.En el hexágono reglar. hallar x 8 2m a) 25 m 2 d) 24 m 2 a) a 2 / 5 b) 30 m 2 e) 28 m 2 c) 36 m 2 2 d) 3a / 19 b) a 2 / 6 c) a 2 / 12 2 e) 4a / 14 14.Sabiendo que ABCD es un cuadrado y “O” centro de dicho cuadrado.Calcular el área de la figura sombreada 2m a 2m 2a O a) 3 d) 4 a) 2 a d) a 2 2 2 b) 3 a / 4 2 e) 3 a C c) a / 4 2 3 b) 2 3 e) 6 3 c) 3 a 3 2m 08. 05. X 6 24 a) 12 a) 48 d) 16 b) 35 e) 24 c) 12 06.com/Matematica1com B C B 12.Matematica.youtube.Calcular el área de la figura sombreada.Hallar el área sombreada en función de “a” a) 56 u 2 1.Calcular el área de la figura sombreada 11.com/Matematica1com b) a 2 / 12 d) a 2 / 20 e) 3a 2 / 68 c) a 2 / 18 15. 13.www. Calcular el perímetro de la figura sombreada .Calcular el sombreada.En el cuadrado ABCD. F y E respectivamente.youtube. G. B b) 7 / 3 m 2 d) 5 / 7 m 2 e) 5 / 3 m 2 perímetro de la figura 8 b) 28 e) 18 02. si AC = 6 2 c) 4 / 3 m 2 05.Si : AB = 9. B Q P G www. S ABCD 12 R B C x A a) 1. 2 y 3 cm.Calcular el área de la región sombreada B E a) 36 m 2 b) 25 m 2 d) 20 m 2 e) 15 m 2 C c) 30 m 2 b) 9 e) 27/4 O1 O c) 45/4 O2 EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 05 01.com/Matematica1com 2 2 a) 2R d) R/2 b) R e) 3R c) 3R/2 .com/Matematica1com 20. b) 8 R/3 e) 7R/3 perímetro c) 4R/3 de la figura A 45º 18. O1 y O 2 cuyos radios miden 1.youtube.0 03.Calcular el sombreada b) a 2 / 12 c) a 2 / 14 d) 3a 2 / 21 e) a 2 / 16 17. respectivamente.Hallar el área de la parte sombreada si el cuadrado tiene 4 m. hallar el área de la parte sombreada.www.pe 19.5 e) 4.pe c) 3. a H A a) a 2 / 5 b) a 2 / 4 d) 3a 3 / 14 e) 5a 2 / 6 c) a 2 / 6 a a a) a 2 / 10 25 m 2 R F D C A D a) 55/4 d) 35/4 S 16.5 www.El perímetro de la figura es: a) 12 d) 8 04. Halle el área de la región sombreada.Matematica. de lado. BC = 12.Se tiene las circunferencias de centros O.0 2 c) 12 2 e) 12 2 6 C b) 6 2 d) 2 6 www.Calcular D a) 3 / 5 m 2 c) 6 R C A b) 10 e) 16 6 a) 14 d) 16 el c) 20 perímetro de a) 8 R/5 d) 5R/3 la figura sombreada.ABCD: romboide. son puntos medios H. B a) 6 2 D b) 2. hallar x.5 d) 4.Matematica. ABC es un triángulo equilátero. ¿Cuál es le perímetro de la figura sombreada? A 10. Calcular el perímetro de la figura sombreada. de la D figura www. si AB = 12 m. calcular el área de la región sombreada.Matematica. Calcular el perímetro de la región sombreada.En la figura mostrada. C 12. 07.www.Calcular el perímetro sombreada.Calcular el perímetro sombreada. determinar el área de la región sombreada: C c) 4 de la región a) 8 d) 10 A B A b) 6 e) 9 c) 12 a) 10 d) 13 D a) 13.com/Matematica1com c) 18 m 2 c) 108 m 2 17.Calcular el perímetro sombreada. determinar el perímetro de la figura sombreada.pe 06. 5 m 2 b) 9 m 2 d) 12 m 2 e) 21 m 2 15.Si: www. . si AB = 8 m a) 4 d) 3 c) 17 b) 6 e) 8 a) 6 d) 7 09. B c) 12 18.youtube.Calcular el perímetro sombreada.Calcular el perímetro sombreada. www.youtube.Si el área del cuadrado ABCD es 27 m . si AB = 4m de la figura c) 5 d) 140 m 2 e) Ninguna 14.Si OC = 6 m y OC = 4 m.ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 4 m. Calcular el perímetro de la figura sombreada.a. E b) 15 e) 12 c) 20 16. B 3 8m A B D B 4 4 A B 6m a) 5 + d) + 2 b) 2( + 5) e) 5 + 2 08.com/Matematica1com 4 A C R a) 3R d) 3R/2 b) 2R e) R/2 B a) 8 4 m c) 8 1 m c) R D b) 8 2 m 2 2 d) 4 4 m 2 2 e) N. si OA = 6 m c) 5( + 2) de la O1 A figura B a) 15 d) 18 B 10 m O2 b) 16 e) 20 11.pe b) 180 m 2 2 A b) 5 e) 8 a) 128 m 2 2 B O C A O O b) 11 e) N.Matematica.a.ABCD es un cuadrado de lado 4 m.Si AB = 10 m. si AB = 6 de la figura C A a) 10 d) 24 C a) 6 + 8 b) 8 + 6 c) 6 + 4 d) 6 + 10 e) 6 + 12 13. youtube.a. Si AB = 10 m.Calcular el área de la región sombreada.youtube. Q. R a) a 2 / 18 b) a 2 / 20 d) 3a 2 / 65 e) a 2 / 14 c) a 2 / 21 a) a 2 / 12 b) a 2 / 14 d) a 2 / 5 e) a 2 / 6 D c) a 2 / 4 03. R.Calcular el área de la región sombreada si el lado del cuadrado es “2 a” (M y N son puntos medios) M A a) 10 m d) 60 m D a) 3 cm 2 b) 6 cm 2 2 2 d) 4 cm e) 2 cm c) 5 cm 2 07. 19. siendo M y N puntos medios. calcular el área de la región sombreada. Hallar el área sombreada. 5 m 2 e) 13.Calcular el área de la región sombreada.Matematica.Si el área del cuadrilátero es 10 m 2 .pe www. C B C R N A C M b) 2 u 2 P N B a) u 2 B c) 12 .Matematica. 5 m 2 06. 6 m 2 a) a 2 / 2 b) 9a 2 / 20 c) 2 2 u 2 e) N. a a 05. a C Q C S a) 16 m 2 a D Q T B A B S b) 20 m e) 80 m D c) 40 m 2 2 a) a / 24 b) 8a / 3 d) 10a 2 / 9 e) 4a 2 / 7 A c) 6a 2 a) d) TAREA DOMICILIARIA www. encontrar el área total de la figura PBQCT (P. determinar el perímetro de la figura sombreada.pe B C 01. R y S son puntos medios. d) 3 1 u 2 d) 3a 2 / 25 e) 3a 2 / 8 20. Q. www.Si ABCD es un cuadrado de lado “a”. b) 15 m 2 d) 14.com/Matematica1com 6 a2 5 7a D b) 2 24 e) 6 a2 17 7a 2 12 c) 12 a 2 7 . Hallar el área del triángulo sombreado. c) a 2 / 3 04. son puntos medios) P A D A c) 4 5 m b) 4 m 2 a) 4 5 m 2 2 a a 5 2 m2 d) 4 e) N.BAD y BCD son sectores circulares de radio 2u.El área del cuadrado es 20 cm 2 .com/Matematica1com 02.a.En el cuadrado ABCD.www.Calcular el área de la región sombreada. P. entonces el área de la región sombreada será: B www. 08. 05. hallar “x” 10 5 8 x a) 3 d) 4 b) 6 e) 3. 07.com/Matematica1com . 19. 18. 01 B D B D B B C C B C A D D E D A D D D C Ejercicios Propuestos 02 03 04 A A C B C A B C D D C B D D C C A A E A B D A B E D A B B C A C C B A B D A B C C A B A C A D D B E 05 B B A B A B B E A B A A B A D C C C D B c) 2/3 www. 20.com/Matematica1com SOLUCIONARIO C Nº A a) 6 cm D 2 b) 12 cm d) 11 cm 2 e) 8 cm 2 c) 5 cm 2 2 09. 09.youtube. 02. 16. 11. 06.En el paralelogramo.pe 2a C 01. 75 c) 2 10. 17. 13.youtube. 14.Matematica. 12. 03.Matematica.Hallar “ S 2 / S1 ” B S1 A a) 1/5 d) 1/3 c 3a S2 b 2b 4c b) 2/5 e) 4/5 www.pe 08.Si ABCD es u cuadrado de 4 cm de lado.www. 15. 04. 10.
Report "Razonamiento Matematico Ejercicios Del Cuarto Bimestre de Quinto de Secundaria en Word x"