razonamiento matematico

Razonamiento Matemático1 La asignatura de razonamiento matemático es de naturaleza teórico- práctico el cual pretende desarrollar en el alumno las capacidades de análisis, interpretación de datos, habilidades operativas, comprensión de la información; entre otras, de los diversos fenómenos concretos y abstractos en el proceso de preparación para el ingreso a las universidades. Debido a ello en el área de matemática, las capacidades que se busca desarrollar y por lo tanto evaluar son: El Razonamiento y Demostración: Implica desarrollar ideas, explorar fenómenos, justificar resultados, expresar conclusiones e interrelaciones entre variables. El razonamiento y la demostración proporcionan formas de argumentación basados en la lógica. Razonar y pensar analíticamente, implica identificar patrones, estructuras o regularidades, tanto en situaciones del mundo real como en situaciones abstractas. La Comunicación Matemática: El mundo actual donde la información fluye y avanza rápidamente, los estudiantes deben comprender dicha información proveniente de diferentes fuentes: textos, mapas, gráficos, etc. Está vinculado con la comunicación matemática, tanto cuando se expresa como cuando se lee. Ello es posible cuando discrimina gráficos y expresiones simbólicas, infiere las representaciones gráficas, evalúa las representaciones gráficas y simbólicas, representa los resultados. La Resolución de Problemas: Debe apreciarse como la razón de ser de la matemática pues los estudiantes siempre se encuentran con situaciones que requiern solución y muchas veces no se observa una ruta para encontrar respuestas. Esta área busca f ortalecer esta capacidad para lo cual es indispensable considerar la importancia de aprender a valorar el proceso de resolución de problemas en la misma medida en que valoran los resultados; así aprenderán en la práctica, a formular problemas a partir del mundo real, organizar datos y elaborar estrategias variadas para resolver problemas. Identifica, formula, algoritmiza y resuelve. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Razonamiento Matemático 2 CAPACIDADES DE ÁREA MATRIZ DE CAPACIDADES DE ÁREA Y ESPECÍFICAS DE LA ASIGNATURA DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Y SUS ENLACES PENSAMIENTO CREATIVO PENSAMIENTO CRÍTICO SOLUCIÓN DE PROBLEMAS TOMA DE DECISIONES Identifica - Datos, conceptos - Conjeturas - Proposiciones - Resultados Anticipa - Argumentos - Resultados Reflexiona - Sus ideas sobre conceptos y relaciones Interpreta - Postulados matemáticos - Teoremas, problemas propuestos Formula - Ejemplos - Contraejemplos - Conjeturas Representa - Resultados - Conclusiones lógicas Imagina/Elabora - Conjeturas - Argumentos sencillos y válidos - Demostraciones para enunciados matemáticos Utiliza - Razonamiento inductivo para reconocer patrones y formular conjeturas Discrimina - Ideas principales, secundarias y complementarias - Datos, hechos, opiniones Clasifica - Objetos matemáticos de acuerdo a diferentes criterios Analiza - Situaciones para hallar propiedades y estructuras comunes, así como singulares y particulares Establece - Relaciones entre conceptos Evalúa - Conjeturas usando contraejemplos y cadenas deductivas Traduce - Situaciones presentadas en forma verbal al lenguaje matemático Observa/Identifica - Información estadística - Notaciones simbólicas Compara - Gráficos - Conclusiones - Datos Analiza/Interpreta - Gráficos - Expresiones simbólicas Organiza - Datos relevantes - Información complementaria Infiere - Conclusiones - Información relevante Utiliza - Gráficos para representar situaciones matematizables y conceptos - Símbolos matemáticos para representar conceptos y relaciones - Notaciones y objetos matemáticos para modelar situaciones Comunica - Conceptos, juicios y razonamientos matemáticos Formula - Ejemplos de un contenido conceptual Resuelve - Situaciones problemáticas Analiza - Datos disponibles - Condiciones dadas - Posibles soluciones Elabora/Aplica - Estrategias - Algoritmos Formula/Plantea - Observaciones y críticas - Alternativas de solución - Opinión a favor y en contra Comprueba/Interpreta - Resultados Generaliza/Elabora - Generaliza patrones y elabora conjeturas Busca/Reconoce/Usa - Patrones Juzga - La validez de un argumento y construye argumentos válidos Halla/Calcula - Estrategias para la solución de problemas. - Métodos prácticos para el calculo de incógnitas. - Problemas relacionados a la vida cotidiana. RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN COMUNICACIÓN MATEMÁTICA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CAPACIDADES FUNDAMENTALES LOGROS DE APRENDIZAJE (CAPACIDADES) - MATEMÁTICA Razonamiento Matemático 3 1.1. TEORÍA DE NUMERACIÓN Numeración Parte de la aritmética que estudia la correcta formación, representación, lectura y escritura de los números, así también como las diversas propiedades que derivan de ellos. Número Es una idea o abstracción de una cantidad observada en la realidad concreta. Numeral Es la representación simbólica o figurativa de un número mediante determinados símbolos convencionales. Cifra (Digito) Símbolo empleado para representar a los numerales. Sistema Posicional de Numeración Es un conj unto de principi os, normas, convenios y leyes que nos permiten la correcta formación, lectura y escritura de los números. Principios Fundamentales Del orden Toda cifra que forma parte de un numeral, ocupa un orden determinado el cual se considera de derecha a izquierda. El lugar que ocupa una cif ra se indica de izquierda a derecha. 1 2 3 4 5 Lugar Numeral: 2 0 1 0 3 5 4 3 2 1 Orden De la base Todo sistema de numeración tiene una base, que es un número entero y mayor que la unidad, el cual nos indica la cantidad de unidades necesarias y suficientes de un orden cualquiera para formar una unidad del orden inmediato superior. Principales Sistemas de Numeración Observaciones:  En base «n» se pueden utilizar «n» cifras diferentes, las cuales son: 0 ; 1; 2; 3; 4; 5; . . . ; (n – 1) Por convención, cuando la cifra es mayor que «9» se utiliza una letra para su representación. (10) < > o < > A (11) < > | < > B (12) < > ì < > C (13) < > o < > D . . .  Si: ) x ( cepreval ; donde: x e Z + ; x > 2 entonces: x = {2; 3; 4; 5; ……. ·} Cifras Significativas Cifra no Significativa CIFRA MÁXIMA BASE NOMBRE DEL SISTEMA 2 Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octanario Nonario Decimal Undecimal Duodecimal 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 . CIFRAS QUE SE EMPLEAN 0; 1 0; 1; 2 0; 1; 2; 3 0; 1; 2; 3; 4 0; 1; 2; 3; 4; 5 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 0; 1; 2; 3; . . . ; 6; 7 0; 1; 2; 3; . . . ; 7; 8 0; 1; 2; 3; . . . ; 8; 9 0; 1; 2; 3; . . . ; 9; 10 0; 1; 2; 3; . . . ;10;11 . . CAPÍTULO I TEORÍA DE NUMERACIÓN Razonamiento Matemático 4 Toda cifra que conforma un numeral es menor que la base; además el número de cifras posibles a utilizar en cierta base es igual a la base. ) 3 ( c b a ) 5 ( c b a 1 0 0 1 0 0 2 1 1 2 1 1 2 2 3 2 2 4 3 3 4 4 Valor de las cifras Toda cifra que forma parte de un numeral tiene 2 valores. Valor Absoluto (V.A.). Es el valor que tiene una cifra por su apariencia o figura. Valor Relativo (V.R.). Es el valor que tiene una cifra de acuerdo al orden que ocupa dentro de un numeral. VA(3) = 3 VA(1) = 1 VA(6) = 6 ) 8 ( 6 1 3 VR(6) = 0 8 6× VR(1) = 1 8 1× VR(3) = 2 8 3× Representación literal de un numeral Cuando no se conocen las cifras de un numeral, éstas se representan mediante letras teniendo en cuenta que:  Toda expresión entre paréntesis representa una cifra.  La primera cifra de un numeral debe ser diferente de cero.  Letras dif erentes no necesariamente indican cif ras diferentes, salvo que lo señalen.  Para diferenciar de ser una multiplicación de factores, se coloca una raya horizontal arriba de las letras. cepreval cepreval = Ejemplos ab Numeral de 2 cifras diferentes abc Numeral de 3 cifras diferentes aaaa Numeral de 4 cifras iguales Numeral Capicúa Son aquel los numeral es cuyas cif ras equidistantes son iguales, es decir tienen representación simétrica. * aa Numeral capicúa de 2 cifras * aba Numeral capicúa de 3 cifras * abba Numeral capicúa de 4 cifras * abcdcba Numeral capicúa de 7 cifras Palabras políndromas que representan un numeral capicúa. * OSO * ANA * SALAS * SOMOS DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA Descomposición Simple En Base «k» (k = 10) k mydoom = m ok ok dk yk mk 2 3 4 5 + + + + + En Base «10» ab = 10a + b abc = 100a + 10b + c abcd = 1000a + 100b + 10c + d Descomposición Por Bloques En Base «k» (k = 10) k mydoom = k 2 k 4 k om k do k my + · + · Numeral de 8 cifras Multiplicación de 8 factores Razonamiento Matemático 5 CAMBIOS DE BASE 1er CASO: De base diferente de diez a base diez Ejemplo Nº 01 * Expresa (5) 1 22 3 1 en base 10. Por descomposición polinómica: (5) 1 22 3 1 = 1 ) 5 ( 2 ) 5 ( 2 ) 5 ( 3 ) 5 ( 1 2 3 4 + + + + = 625 + 375 + 50 + 10 + 1 = 1 061 Por Método de Ruffini: 1 3 2 2 1 5 5 40 210 1060 1 8 42 212 1061 (5) 3221 1 = 1 061 2do CASO: De base diez a base diferente de diez Ejemplo Nº 02 * Expresa 1 061 en base 7. Por divisiones sucesivas Para su desarrollo se realizan divisiones sucesivas hasta que el cociente sea menor que el divisor. 1 061 7 4 151 7 4 21 7 0 3 1 061 = (7) 3044 Propiedades 1. Si: ) n ( ) m ( UNHEVAL CEPREVAL = entonces: n > m 2. Si: n abcd entonces: {a, b, c, d, n} e + Z ; a = 0; n >1 Además: a, b, c, d < n 3. Numeral de Cifras Máximas 1 n ) 1 n )...( 1 n )( 1 n ( k ) n ( cifras k ÷ = ÷ ÷ ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ ¸ 4. Bases Sucesivas  a n a 1 ) n ( + =  a b n a 1 ) n ( b 1 + + =  a b c n a 1 ) n ( c 1 b 1 + + + = Por lo tanto: a b c ... x n a 1 ) n ( x 1 c 1 b 1 + + + + + = Ejemplo Nº 03 Si la siguiente operación: 44p 33m 33n 136 (n) (p) (m) = + + está correctamente escrito, halla «m + n + p» A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24 Resolución De cada numeral 44p 33m 33n 136 (n) (p) (m) = + + 6 < m n < p m < n p < 10 entonces: 6 < m < n < p < 10 m + n + p = 7 + 8 + 9 = 24 Descomposición polinómica o Método de RUFFINI De Base (n) a Base (10) x De Base (10) a Base (m) Divisiones sucesivas Razonamiento Matemático 6 PRÁCTICA Nº 01 Capacidad 01: Razonamiento y Demostración 1. Det ermina el valor de verdad de los siguientes enunciados. I. Número nos proporciona la idea de cantidad II. La cifra es diferente al digito III. El numeral es la representación simbólica de números IV. El numero nos permite cualificar los números A) VVVV B) VFVF C) FVFV D) FFFF E) FFVV 2. Identif ica cual de l os enunciados es incorrecto. A) Si su cifra de orden 4 coincide con su cifra de tercer lugar, el numeral tiene 7 cifras. B) A menor base mayor representación aparente C) A mayor base menor representación aparente D) La base es un número entero positivo mayor a cero E) La base es un número natural mayor o igual a dos. 3. Analiza cual de las siguientes proposiciones es verdadera. A) De cualquier numeral la primera cifra puede ser igual a cero. B) La mayor cifra que se puede utilizar en cierto sistema de numeración es igual a la base. C) La cantidad de cifras de un número depende de la base. D) La base es consecutivo al mayor digito que pertenece a dicha base. E) Para leer un número en cualquier base se nombra cifra por cifra de derecha a izquierda. 4. Analiza la verdad o f al sedad según corresponda. I. Existen 8 números de 3 cifras impares en base 5. II. En base 10 existen 100 números de 2 cifras. III. Toda expresión entre paréntesis de un numeral representa una cifra. A) VFV B) VFF C) VVV D) FFV E) FVV 5.Interpreta cual de las siguientes afirmaciones es incorrecta. I. Capicúa de una cifra es : 1;2;3;…;9 II. Capicúa de dos cifras son : 11;22;33;…;99 III. Capicúa de cuatro ci f ras son : 1001;1111;1221;…;9999 A) FFV B) FVF C) FVV D) FFF E) VVV 6. Analiza cuál de las siguientes proposiciones es verdadera. A) Si ) x ( 4 abc N= , entonces la solución de la ecuación 2x + 2 = 10, puede ser base del número dado. B) Por convención se considera al cero como cifra par. C) El numeral ) 12 ( 2009 unheval , representa un número par. D)En el si guient e numeral ) a 5 )( a 4 )( a 3 )( a 2 ( a , el valor de «a» puede ser 2. E) El numeral ) x ( abc ) abc ( abc , posee 9 cifras. Razonamiento Matemático 7 Capacidad 02: Comunicación Matemática 8. El numeral: ( ) ( ) ( )( ) 8 2 4 5 ÷ | . | \ | + + | . | \ | ÷ ÷ a a c b a a a b b b , es capicúa, Interpreta cual de las siguientes proposiciones es verdadera. I. a + b + c = 16 II. c = 4 III. Si: b = 8 entonces a = 5 A) I, II B) II, III C) I, III D) II E) III 9.Un número en base 5 identifica la proposición falsa. I. 5 unidades del orden cero conforman una unidad del orden uno II. 5 unidades del orden uno conforman una unidad de orden dos. III.5 unidades del orden dos conforman una unidad del orden 5 y así sucesivamente. A) I B) II C) III D) II, III E) I, III 10.Si el numeral ) ( 231 x a es impar, entonces analiza la suma de los posibles valores de «a» es : A) 16 B) 25 C) 23 D) 18 E) 19 11.Si: ) 7 ( ) 5 ( ) 4 ( 460 + = e abcde y a.b + c.d+ e = 12 Identif ica, cual de las siguientes proposiciones es falsa: I. ) ( ) 5 ( 23140 x abcde = . II. 1570 4604 ) 7 ( = . III. a = 2; b = 3; c = 1; d = 4; e = 2 IV. a + b + c + d + e = 12 A) I B) II C) III D) IV E) I y II 12.Traduce el eununciad «Si se descompone poli nómicamente el numeral ) ( ) 1 ).....( 1 )( 1 )( 1 ( n n n n n ÷ ÷ ÷ ÷ que posee k cifras» se obtiene : A) n n - 1 B) n k - 1 C) k n - 1 D) n n + 1 E) k k - 1 13.Det ermina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) Desde el ) 5 ( 344 al ) 13 ( 10 , hay 82 números naturales. ( ) II) Si ( ) n m 1420 281 ) ( = y además m+n =14; entonces m.n = 45. ( ) III) Si ( ) 6 ) ( 214 10001 = n ; entonces el valor de n es 3. ( ) IV) La base del sistema en el cual esta la sucesión es heptal 23; 27; 32; ... ( ) A) VVVF B) VVFF C) VVFV D) FFVV E) VFFF Capacidad 03: Resolución de Problemas 15. Si los sigui entes númerales ) ( ) ( ) ( 2 , , a c a c bb a está bien representados. Calcula a+b+c. A)5 B)4 C)6 D)7 E)8 16.Si. 1 1 1 ) 1 ( 1 ) 4 ( a a a = + . Halla a 2 . A)9 B)4 C)8 D)16 E)1 17.Halla: (a + b) si se cumple: ( ) n aba 1106 8 = A)5 B)6 C)4 D) 7 E)8 Razonamiento Matemático 8 18.Si los números : 7 5 34a ; a b 211 y b cc2 están correctamente escri tos. Busca cuántos valores puede tomar «a» A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 19.Si a un número de tres cifras que empieza por 9 se le suprime esta cif ra, el número resultante es 1/21 del número original. Halla suma de las tres cifras de dicho número. A) 12 B) 18 C) 15 D) 24 E) 21 20.Determina cuál es la base del sistema de numeración usado para escribir el número 3157, si su equivalente en el sistema decimal es 6832. A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 21.Calcula: 5 5 6 120 240 . 122 y expresarlo como un número en base 3. A) 12002 (3) B) 21002 (3) C) 10201 (3) D) 10210 (3) E) 20012 (3) 22.Hall a (a+b+c) si l os numerales están correctamente escritos: ) ( 256 a ; ) ( 4 2 b a ; ) ( 43 c b ; c 75 . A) 24 B) 22 C) 32 D) 20 E) 36 23.Efectua la suma de m y n ) ( ) ( ) ( ) ( 288 460 284 458 n m n m = = A) 26 B) 27 C) 28 D) 29 E) 30 24.Reconozca el valor de N ) ( ) 2 ( 322 134 N N = + A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 1 25.Dado el número: ) 2 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( + + + + = a a a a a a N Calcula P (a); si P (x) = x 2 + x + 2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 7 26.Si el número 12100102010211 (n) se le convierte a base n 2 la suma de sus cifras aumenta en 15. Determina cuál es el valor de «n». A) 4 B) 5 C) 6 D) 3 E) 7 27. Si: 6560 2 ...... 222 ) 3 ( = n cifras Hall e la suma de cif ras de ) ( ) 2 )( 1 ( n n n ÷ ÷ escrito en el sistema senario. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 28.Sabiendo que: 4095 ...... ) 2 ( = x xxx «n» cifras además: 13 nnn P = Halla «P» expresado en base 10. A) 2 193 B) 2 196 C) 2 396 D) 2 186 E) 2 176 29. Calcula el minimo valor de M, si: M = a+b+c+k. Además k abc es la suma de cifras de F representado en el sistema heptanario donde 60 7 15 7 35 7 5 2 3 5 + × ÷ × + × = F A)5 B)6 C)7 D)10 E)12 Razonamiento Matemático 9 2.1. TEORÍA DE DIVISIBILIDAD Divisibilidad Un número entero «A» es divisible entre otro número entero positivo «B», si al dividir «A» entre «B» la división es entera y exacta. En general: Sean AeZ; BeZ + ; keZ A B «A es divisible entre B» 0 k «B es divisor de A» Multiplicidad Un número entero A es múltiplo de un número entero positivo, si A es el resultado de multiplicar a B por una cantidad entera. A = kB «A es múltiplo de B» «B es factor de A» A= · B = kB «A es múltiplo del módulo B» Conclusiones: Todo número entero positivo será múltiplo de sí mismo. B = · B ; Be + Z El cero es múltiplo de todo número entero positivo. 0 = · k ; ke + Z Principios Básicos de Divisibilidad Las operaciones arit méticas elementales respecto a los múltiplos de un mismo módulo son:  Adición: · · · · n n ... n n = + + +  Sustracción: · · · n n n = ÷  Multiplicación: · · n ) k ( n = ; k e + Z  Potenciación: · · n ) n ( k = ; ke + Z  Si: N = a.b.c Entonces: N · a · b · c · a.b · a.c · b.c · a.b.c · a  Si: N = · b , entonces: N = · c) b; MCM(a; · c Ejemplo Nº 01 En una votación el número de votos, oscila entre 215 y 186, de tal manera que si se cuentan de 5 en 5 o de 7 en 7, siempre sobran 3. ¿Cuántos son los votos? A) 208 B) 213 C) 193 D) 178 E) 198 Resolución Sea «N» el número de votos buscado: Por dato: N = 3 5+ · N = 3 7+ · Luego: N = 3 ) 7 ; 5 ( mcm + · N = 3 35+ · = 35k + 3 . . . . . . . (o) Además: 186 < 35k + 3 < 215 CAPÍTULO II TEORÍA DE DIVISIBILIDAD Razonamiento Matemático 10 Desarrollando: k = 6 reemplazando en (o): N = 35(6) + 3 = 213 Los votos son 213. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES Si: A x B = · n Donde «A» y «n» no tienen divisores en común, aparte de la unidad, entonces: B = · n Si: z .... c . b . a n ) z n )...( c n )( b n )( a n ( ± = ± ± ± ± · · · · · Divi sibilidad Apli cada al Binomi o de Newton En general, sean los enteros positivos; n, a y k. - k k a n ) a n ( + = + · · - 1 2 k ; a n 2 k ; a n ) a n ( k k k + = ÷ = + = ÷ · · · · · Ejemplo Nº 02 Halla el resto de dividir 200 2 entre 7. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Resolución 1 2 = · 7 + 2 2 2 = · 7 + 4 g = 3 3 2 = · 7 + 1 Entonces: 1 3 2 + · = · 7 + 2 2 3 2 + · = · 7 + 4 g = 3 · 3 2 = · 7 + 1 donde: 200 = 2 3+ · Finalmente: 200 2 = 2 3 2 + · = · 7 + 4 El residuo es 4 Restos Potenciales En general, si: {b, m} c + Z { n, r } c + 0 Z Además: n n r m b + = · Luego: Al conjunto formado por los restos: r 0 ; r 1 ; r 2 ; ..., se l e denomina restos potenciales de b respecto al módulo m, siendo ésta periódica desde un lugar en adelante (con período menor que m). Ejemplo Nº 03 Determina los restos potenciales de 4 respecto al módulo 7. Dar como respuesta la suma de dichos restos. Resolución 1, 4; 2; 1; 4; 2; . . . se denomina restos potenciales de 4 respecto al módulo 7, la cual se observa que se repite en forma periódica y que el primer residuo es 1. Piden: Suma de restos potenciales = 1 + 2 + 4 = 7. 0 4 = · 7 + 1 1 4 = · 7 + 4 g = 3 2 4 = · 7 + 2 · 7 +1 · E= · 3 3 4 = · 7 + 1 E 4 = · 7 +4 · E= · 3 +1 4 4 = · 7 + 4 g = 3 · 7 +2 · E= · 3 +2 5 4 = · 7 + 2 n 4 = · 7 + r Razonamiento Matemático 11 Principales criterios de Divisibilidad Un criterio de divisibilidad es una relación que deben cumplir las cifras de un determinado numeral para que éste sea divisible por otro, si no lo es, nos permitirá calcular el residuo a partir de ellas. Divisibilidad por 2 Si: · 2 abcde = , entonces: · 2 e = Divisibilidad por 3 Si: · 3 abcde = , entonces: · 3 e d c b a = + + + + Divisibilidad por 4 Si: · 4 abcde = , entonces: · 4 de = Divisibilidad por 5 Si: · 5 abcde = , entonces: }) 5 ; 0 { e ( 5 e e = · Divisibilidad por 6 Si: · 6 abcde = , entonces: · · 3 2 abcde . = Divisibilidad por 7 Si: · 7 abcde = , entonces: e+3d+2c–b–3a= · 7 Divisibilidad por 8 Si: · 8 abcde = , entonces: · 8 cde = Divisibilidad por 9 Si: · 9 abcde = , entonces: · 9 e d c b a = + + + + Divisibilidad por 11 Si: · 11 abcde = , entonces: · 11 a b c d e = + ÷ + ÷ 31231 - + + - + - + Divisibilidad por 13 Si: · 13 abcde = , entonces: e–3d–4c–b+3a= · 13 Ejemplo Nº 04 Calcula la suma de todos los valores de «x», si el numeral 8 xx 4 es divisible entre 7. A) 11 B) 12 C) 13 D) 10 E) 14 Resolución Aplicando el criterio de divisibilidad por 7: · 7 8 x x 4 = entonces: - 4 + 2x + 3x + 8 = · 7 5x + 4 = · 7 donde: x = { 2 ; 9 } Suma de valores de x es: 9 + 2 = 11 1 Ejemplo Nº 05 Determina el valor de «x», en: · 17 35 x 4 = A) 12 B) 3 C) 6 D) 9 E) 8 Resolución Descomponiendo el numeral 35 x 4 · 17 00 x 4035 = + ( · 17 + 6) + ( · 17 + 15x) = · 17 6 + 15x = · 17 ¬ 15x = · 17 – 6 5x = · 17 – 2 ¬ 5x = · 17 +15 x = · 17 + 3 donde «x» es 3. El valor de 3x será igual a 9. 31431 + - + 31231 - + Razonamiento Matemático 12 PRÁCTICA Nº 02 Capacidad 01: Razonamiento y Demostración 1. Analiza el valor de verdad de las siguientes proposiciones. I. El cero es múltiplo de todo número positivo II. La unidad es divisor de todo número entero III. 18 no es múltiplo de 3. IV. Tres es divisor de 18. V. Un número es divisible por dos si termina en cifra par o cero. A) FVFVV B) FFFVV C) VVFVV D) VVVVF E) FVVVV 2. Discrimina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. La ecuación 4x + 16y = 79 no tiene solución en los enteros. II. La ecuación 6x + 21y = 102 no tiene solución en los enteros positivos. III. La ecuación 3x + 7y = 141 tiene solución en los enteros positivos. A) VFV B) FFF C) VVF D) VVV E) VFF 3. Analiza los siguientes enunciados y pon V (verdadero) y F (Falso). I. Un numeral es divisible por 13, cuando la suma algebraica de sus cifras de derecha a izquierda por 1;-3;-4;-1; 3; 4; 1. II. El residuo de dividir 3445 entre 3 es 2. III. Todo número divisible por cinco debe terminar en cero. A) VFV B) FFF C) VVF D) VVV E) VFF 4. Analiza cual es valor de verdad de las siguientes proposiciones: I.La suma de tres números consecutivos es siempre divisible por 3. II. cba abc ÷ siempre es múltiplo de 33 III. Un número capicúa de cuatro cifras siempre es múltiplo de 11. A) FVV B) FFV C) VVF D) VVV E) VFV 5. Establece la relacion correcta. I. Un número es divisible por 3. II. Un número es divisible por 7. III. Un número es divisible por 11. a. Cuando se multi plica de derecha a izquierda por los dígitos 1;3;2 y -1;-3;-2 b. Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3. c. Cuando se suman algebraicamente sus cifras; previamente afectadas de derecha a izquierda por los signos +;-;+;-….y así sucesivamente. A) I-a; II-b; III-c. B) I-b; II-c; III-a. C) I-b; II-a; III-c. D) I-c; II-b; III-a. E) I-a; II-c; III-b. 6. En el año 2006, el 1°de Enero es día domingo, luego interpreta el día de la semana que fue el 1° de enero de 1983 será: A) Jueves B) Viernes C) Sábado D) Domingo E) Lunes 7. Si ° = ÷ b a bcd a 1 ) 2 ( además ° = ÷ 10 ) 4 (b mnpqr , entonces; I. Evalua el valor de 2a + 3b II. Evalua el valor de a! + b! III. Evalua el valor de a + b A) 34; 744; 10 B) 24; 444; 10 C) 14; 144; 100 D) 24; 744; 10 E) 14; 644; 10 Capacidad 02: Comunicación Matemática 8. Analiza la condición necesaria para que ( ) 12 abcde E = sea divisible entre 8 A) 2c + 4d + e = 8 B) 4d + e = 8 C) b + 4c + 2d + e = 8 D) d+4e+2c= 8 E) c + d + e + a + b = 8 Razonamiento Matemático 13 9. Si se cumple que ° = 11 abc ; 6 9+ = ° abc y 1 8+ = ° abc . Identifica que valor toma abc A) 845 B) 835 C) 825 D) 815 E) 855 10.En la expresión 2 7 3 + = ° Q , traduce el valor de «Q». A) 2 7+ = ° Q B) 4 7+ = ° Q C) 3 7 + = ° Q D) 5 7+ = ° Q E) 2 7 3 + = ° Q 11. Se reparte a a a ) 2 )( 1 ( + + soles. Cada persona recibió 19 soles y al final nada quedo. Infiera cuantas personas recibieron los 19 soles. A) 9 B) 12 C) 16 D) 21 E) 27 12. Determina la condición necesaria para que la suma de valores de x e y en ( ) 7 4 2 xy N = sea divisible entre 2. Dato I: y es par Dato II: y es impar Dato III: x es par Dato IV: x es impar A) Es necesario I y II B) Es necesario I y IV C) Es necesario III y II D) Es necesario I E) Es necesario (I y III) o (II y IV) 13. Traduce la siguiente expresión en su forma simbólica mas simple si: 17 ÷ A 2 1 3 4 2 2 4 3 + + + + = n x n A A) 1 17 + ° B) 2 17 + ° C) 3 17 + ° D) 2 17 ÷ ° E) 3 17 ÷ ° 14. Si: ° = 17 17 1x y ° = 21 3 4a , se cumple que: I. El valor de «x» es siete. II. El valor de «a» es ocho. III. El producto de x por a es 56. A) Solo I B) Solo II C) I y II D) Todas E) Solo III Capacidad Nº 03: Resolución de Problemas 15. Reconoce que valores puede tomar «x» para que el número 341 2 x sea múltiplo de 3. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 16. Resuelva el producto de los 70 primeros números impares al dividirlo entre 4 da como residuo. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7 17. Determina el residuo de la división. 7 c 0 120 ...... 56123456 1234561234 ÷ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ ¸ ifras A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 18. La expresión: .......... 30 25 23 18 16 11 9 4 x x x x x x x x E = , tiene 2n factores, luego el residuo que se obtiene al dividir entre 7 es: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 19. Si 3 7 2 8 3 2 + ° = c b a .Comprueba cual será el resto al dividir c b a 5 4 entre 7. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 20. Al dividir 131313131345762 (g) entre 11 (g) , Analiza el residuo: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Razonamiento Matemático 14 21. Juzga la cantidad de números de la forma n n n 1 0 4 que son divisibles por 13 es: A) 3 B) 5 C) 7 D) 10 E) 13 22. CEPRITO agrupaba sus canicas de 6 en 6, de 8 en 8 y de 10 en 10 y siempre le faltaba una para formar más grupos. Calcula cuántas canicas tiene si es una cantidad máxima menor que 1000 A) 954 B) 941 C) 959 D) 1079 E) 823 23. Halla a + b sabiendo que el número ababa es divisible por 126 A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 24. Analiza el valor de axbxc, si: ° = 9 abc ° = 5 cba ° =13 ca A) 140 B) 150 C) 120 D) 105 E) 210 25. Edú observa que sus ab compañeros del aula se agrupan para estudiar de 6 en 6 y sobran 2; pero si se agrupan de 5 en 5, faltarían 3 para formar otro grupo. Interpreta cuántos alumnos hay en el aula de Edú, si es lo mayor posible. De cómo respuesta la suma de sus cifras. A) 16 B) 11 C) 14 D) 15 E) 10 26. Calcula cuántos numerales de 4 cifras al ser divididos entre 4 y 5 de como residuo 3 en ambos casos. A) 58 B) 45 C) 43 D) 36 E) 40 27. Si : ° = 3 1 4b aaa y ° = 9 7 4n n Calcula el residuo de dividir ) 2 ( ) 1 ( ) 3 2 ( n bb n b b ÷ + entre 8 A) 58 B) 45 C) 43 D) 36 E) 40 28.Si se cumple que 6 7 673 42 + ° = a a . Indica el valor de «a». A) Sólo 2 B) 9 C) 2 y 9 D) 2 ó 9 E) Sólo 9 29.Analiza el residuo de divi dir: 9 421 424 ÷ A) 2 B) 5 C) 4 E) 3 E) 1 30. Si el numeral q pqp 4 6 es divisible entre 88, Calcula el valor de p+q A) 2 B) 5 C) 9 E) 5 E) 0 31. En el colegio Leoncio Prado en la reunión de aniversario se observa que la séptima parte de los asistentes tienen estudios de postgrado, la tercera parte de los asistentes hablan inglés, la catorceava parte son ingenieros y la dieciochoava son literatos. Si el curt interno tiene un límite de 1000 personas. Halla cuantos asistieron como máximo a la reunión de aniversario. A) 1005 B) 350 C) 844 D) 955 E) 882 32. Juzca el valor de «a» si: 4 11 5 2 3 + ° = a aaa A) 2 B) 1 C) 0 D) 3 E) 4 33. Un almacenero cuenta los clavos que tiene de 5 en 5, de 7 en 7, de 9 en 9 y de 11 en 11 y siempre sobra una cantidad que es menor en una que el divisor empleado, si cada clavo le costo 2 soles y gasto entre 12000 y 16000 soles. Halla la suma de las cifras de dicho número de clavos. A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) 23 Razonamiento Matemático 15 3.1. TEORÍA DE NÚMEROS CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS El conjunto de los números enteros positivos se pueden clasif icar de acuerdo a una determinada característica en particular; en este caso se va ha clasificar de acuerdo a la cantidad de divisores que posee cada número. 1 1 1 2 1 2 2 3 1 3 2 4 1 2 4 3 5 1 5 2 6 1 2 3 6 4 7 1 7 2 8 1 2 4 8 4 9 1 3 9 3 10 1 2 5 10 4 . a) Números simples Son aquellos números que tienen a lo más dos divisores. a.1. Unidad: Es un número especial porque es el único que posee un solo divisor. {1} a.2. Números primos: Son aquellos números que poseen únicamente dos divisores que son la unidad y el mismo número. {2; 3; 5; 7; 11; 13; …… } b) Números compuestos Son aquellos números que tienen más de dos divisores. {4; 6; 8; 9; 10; 12; ……} CLASIFICACIÓN POR GRUPOS DE NÚMEROS a) Números primos entre sí (PESI) Son aquellos números que tienen como único divisor común la unidad. Ejemplo Nº 01 ¿8; 10 y 15 son PESI? Resolución Número Divisores 8 1 2 4 8 10 1 2 5 10 15 1 3 5 15 8, 10 y 15 son PESI b) Números primos entre si 2 a 2 Son aquellos grupos de números que al ser tomados de 2 en 2; estos pares de números son PESI. Ejemplo Nº 02 ¿4; 9 y 25 son PESI 2 a 2? Resolución Tomando los números de 2 en 2, tenemos: 4 1 2 4 PESI 9 1 3 9 4 1 2 4 PESI 25 1 5 25 9 1 3 9 PESI 25 1 5 25 Cantidad de divisores Números enteros positivos Divisores común primo único CAPÍTULO III TEORÍA DE NÚMEROS Razonamiento Matemático 16 4, 9 y 25 son PESI 2 a 2. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA Todo número compuesto se descompone en una multiplicación de potencias de exponentes enteros positivos de sus divisores primos. A esta descomposición se le conoce con el nombre de DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA. En general: Ejemplo Nº 03 Descomponer canónicamente el número 600. Resolución 600 2 300 2 150 2 75 3 25 5 5 5 1 ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO a) Tabla de divisores de N Sea el número 18, donde: 2 3 2 18 × = Entonces se puede elaborar la siguiente tabla de divisores de 18. 18 9 9 6 3 3 2 1 1 2 1 b) Cantidad de divisores de N  CD(N)  Si: µ ¸ | o × × × × = z ...... c b a N Entonces: c) Suma de divisores de N  SD(N)  Si: µ ¸ | o × × × × = z ...... c b a N Entonces: d) Suma de las inversas de los divisores de N  SID(N)  Sea «N» un número entero positivo. Entonces: e) Producto de los divisores de N  PD(N) Sea «N» un número entero positivo. Entonces: Ejemplo Nº 04 Si: m 18 15 N × = , tiene 144 divisores. Determina el valor de «m». A) 4 B) 5 C) 6 D) 3 E) 7 Resolución Descomponiendo canónicamente el número N, tenemos: m 2 ) 3 2 ( ) 5 3 ( N × × × = m 2 m 3 2 5 3 N × × × = 5 3 2 N 1 m 2 m × × = + Además CD(N) = 144 por propiedad (m+1)(2m+1+1)(1+1) = 144 (m+1)2(m+1)(2) = 144 36 ) 1 m ( 2 = + m +1 = 6 m = 5 ¸ ¸¸ ¸ ¸_ ¸ canònica ción Descomposi 2 2 5 3 2 600 × × = 18 de divisores 2 de divisores 2 3 de divisores µ ¸ | o × × × × = z ...... c b a N | | . | \ | ÷ ÷ | | . | \ | ÷ ÷ | | . | \ | ÷ ÷ | | . | \ | ÷ ÷ = + µ + ¸ + | + o 1 z 1 z ..... 1 c 1 c 1 b 1 b 1 a 1 a ) N ( SD 1 1 1 1 N ) N ( SD ) N ( SID = ) N ( CD N ) N ( PD = ) 1 )....( 1 )( 1 )( 1 ( ) N ( CD + µ + ¸ + | + o = Razonamiento Matemático 17 PRÁCTICA Nº 03 Capacidad 01: Razonamiento y Demostración 1. Interpreta el valor de verdad de los siguientes enunciados I. El número 5 posee 2 divisores primos II. El 4 y 9 no son primos entre sí III. La unidad no es ni primo ni compuesto A) FFF B) VVF C) FVF D) VFF E) FFV 2. Anticipa la alternativa correcta: A) Los números primos poseen sólo 2 divisores primos. B) Los números compuestos poseen más de 2 divisores primos. C)Los divisores simples están conformados por los divisores primos y los compuestos. D) El único divisor simple no primo es la unidad. E) Los números son proporcionales a la cantidad de divisores que tienen. 3. Identif ica la verdad o f alsedad de las siguientes proposiciones. I. A los divisores primos y la unidad se les denomina divisores simples II. Los divisores primos y los compuestos conf orman el total de divi sores de un número. III. Los divisores simples y la unidad conforman los divisores compuestos A) FFF B) VFV C) VFF D) FVF E) VVV 4. Evalua el enunciado incorrecto con respecto a: «Todo número primo es… A) De la forma ) 1 4 ( ) 1 4 ( 0 0 ÷ + ó B) De la forma ) 1 6 ( ) 1 6 ( 0 0 ÷ + ó C) Impar a excepción del 2 D) No compuesto E) El que tiene únicamente 2 divisores 5. Identif ica la alternativa incorrecta con respecto a la tabla de divisores b 0 b 1 b 2 b 3 a 0 1 2 Y 8 a 1 5 X 20 40 a 2 25 50 100 Z A) X = 10 B) Y = 4 C) Z = a 2 .b 3 D) a + b = 2 E) Z = a 2 - b 3 = 17 6. Si a 74 se le multiplica por 100. Establece si las si las proposiciones son verdaderas o falsas: I. El producto tiene 4 divisores primos II. Sus divisores se incrementan en 20 III. Uno de sus divisores es 185 A) FVV B) VVV C) FVF D) VFF E) FFV 7. Si A y B son números primos diferentes de 2. Identifica cuáles son verdaderas. I. (A + B) es un número primo II. AxB tiene 4 divisores III.(A.B)(A+B) tiene divisores múltiplos de 2. A) I y II B) II y III C) I y III D) I; II y III E) Sólo II Capacidad Nº 02: Comunicación Matemática 8.Traduce los enunciados e indica la alternativa que no corresponde a la cantidad de divisores de un número (CD) A) CD propios +1 = CD B) CD = CD primos + CD compuestos + 1 C) CD primos = CD simples -1 D) CD propios = CD compuestos +1 E) CD compuestos = CD – (CD primos +1) 9. Analiza el número N = 2002 y su descomponer canónicamente: A) N = 2.7.13 B) N = 2.3.7.13 C) N = 2.7.11.13 D) N = 7.11.13.19 E) N = 3.7.13.31 Razonamiento Matemático 18 10. Identi f ica l a alternativa que no le corresponde al número 2009 A) Posee 2 divisores primos B) Posee 6 divisores en total C) Posee 3 divisores simples D) Posee 3 divisores compuestos E) Es un número primo 11. Si N = 5(10 m ) tiene 20 divisores. Identifica cuántas de las proposiciones son verdaderas. I. m= 3 II. N = 500 III. Sus divisores 0 5 son 16 IV. Sus divisores 0 2 son 15 A)0 B) 1 C) 2 D) 3 E)4 12. La expresión: 3) 3)(5b (4a ÷ ÷ si a y b son cif ras; Interpreta cuáles de las proposiciones son verdaderas. I. El numeral puede representar hasta 2 números primos. II. Como máximo puede tener hasta 6 divisores. III. Si a=3 y b= 2 resulta un numeral primo A) I y II B) II y III C) I y III D) I; II y III E) Sólo II 13. Si N = 30 n tiene 1000 divisores. Identifica cuántas de l as proposiciones son verdaderas. I. N tiene 3 divisores primos II. N = tiene 9 divisores simples III. n = 9 A) I y II B) II y III C) I y III D) Sólo III E) Sólo I 14. Traduce convenientemente. « (8) aa si posee 9 divisores. I. El valor de «a» es… II. El número de divisores primos es… III. El número de divisores simples es… a, 2 b, 3 c, 4 A) Ic; IIa; IIIb B) Ib; IIc; IIIa C) Ic; IIb; IIIa D) Ia; IIb; IIIc E) Ia; IIc; IIIb Capacidad Nº 03: Resolución de Problemas 15. Un número tiene 23 divisores propios, 4 divisores múltiplos de 12 y 12 divisores múltiplos de 3. Halla cuántos de sus divisores son múltiplos de 4. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 16. Si, ( ) 1bc 2 2.3.p p .p n .n m m = : Interpreta : «b + c»; donde a; b y c son primos absolutos. A) 10 B) 1 C) 2 D) 8 E) 4 17. La cantidad de divisores del menor número N = 45.12 n+4 es 0 7 , Analiza cuántos de los divisores de N son múltiplos de 4 pero no de 8. A) 8 B) 12 C) 18 D) 20 E) 14 18. Si abcde tiene 4 divisores primos y 91 divisores compuestos tal que si se divide entre: 16; 49 y 27 dejan residuo 8; 35 y 9 respectivamente. Busca de sus divisores no son 0 28 . A) 60 B) 56 C) 72 D) 42 E) 84 Razonamiento Matemático 19 19. Halla la suma de las cifras de mnpq ; sabiendo que m + p = n + q, además dicho numeral posee 27 divisores. A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18 20. El numeral abc es múltiplo de 3 y tiene 12 divisores, si se le disminuye en (a + b + c) se obtiene un numeral que termina en 75 y tiene 12 divisores. Calcula el número abc . A) 729 B) 693 C) 684 D) 816 E) 924 21. El número nn075 tiene 4 divisores simples y 32 divisores compuestos. Reconoce cuántos divisores del número son PESI con 21. A) 3 B) 4 C) 5 D) 2 E) 6 22. Sea N = 54.5 n+4 , Reconoce cuántos de los divisores de «N» son múltiplos de 9 pero no de 27, si la cantidad de divisores de «N» es múltiplo de 7 y es lo menor posible. A) 8 B) 14 C) 5 D) 7 E) 9 23. Halla (m + n), en el numeral P =2 m .7 n , sabiendo que el cuadrado de P tiene 44 divisores más, mientras que su raíz cuadrada tiene 13 divisores menos de lo que tiene P. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 24. Halla el residuo de dividir abcd entre 7, tal que es múltiplo de 2; b + d = 15; a + c = 4 además se sabe que tiene 15 divisores. A) 3 B) 4 C) 5 D) 2 E) 1 25. Si el numeral 432 a posee 1268 divisores enteros no primos. Calcula la suma de los divisores no compuestos de a a . A) 7 B) 8 C) 15 D) 10 E) 14 26. Determi na el menor número nat ural diferente de 1, que sea coprimo con 5460 y coprimo con 5610. Da cómo respuesta la suma de sus cifras. A) 3 B) 9 C) 5 D) 10 E) 11 27. Sea N =n2mp3 ; Halla el valor de «a» para que el número sea múltiplo de 72, sabiendo que N -2 es múltiplo de 9. A) 1 B) 4 C) 7 D) 12 E) 11 28. Si 3m4n5p67 al ser dividido entre 13 deja residuo 7, determina el residuo de dividir m1n3p2 entre 7. A) 3 B) 4 C) 5 D) 0 E) 6 29. Si: abc = 5 7 0 ÷ cba = 3 11 0 ÷ bca = 6 9 0 ÷ Calcula: c + 3b + 5a A) 12 B) 44 C) 55 D) 22 E) 31 Razonamiento Matemático 20 4.1. OPERADORES MATEMÁTICOS Operador Matemático Es aquel sí mbolo que representa a una determinada operación matemática. x # y = y x x 2 y 2 + Operadores Universales Adición + Sustracción – Multiplicación x División ÷ Radicación n Potenciación n ) ( Valor absoluto Sumatoria ¿ . . Operadores Arbitrarios Asterisco * Grilla # Triángulo  Nabla  Yin - Yang  Arroba @ Porcentaje % . Operación Matemática Es un proceso que consiste en la transformación de una o más cantidades en otra cantidad llamada resultado, mediante ciertas condiciones en la cual se define la operación. Operaciones matemáticas con regla de definición Explícita Son aquellas operaciones en los cuales la regla de definición se da directamente, sólo hay que reconocer las componentes que intervienen, reemplazar y operar. regla de definición operador matemático Ejemplo Nº 01 Se define: a b b a b # a · = Calcula « 2 2 y x + », si: 5 5 y # x = A) 5 B) 10 C) 20 D) 15 E) 14 Resolución Por la definición: 5 5 y # x = 5 x y ) 5 5 ( y x · = · 5 5 x y 5 5 y x · = · Comparando términos: x = 5 . y = 5 Piden: 2 2 2 2 ) 5 ( ) 5 ( y x + = + 2 2 y x + = 10 Operaciones matemáticas con regla de definición Implícita. Son aquellas operaciones en los cuales la regla de definición no ha sido definida de manera explicita, por lo que hay que darle una forma de def inici ón a lo que nos pide; para posteriormente reemplazar y operar los datos. Ejemplo Nº 02 Si: 6x + 2 = 12x + 9 ; x +1 = x + 4 Halla el valor de: 8 + 3 A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 CAPÍTULO IV OPERADORES MATEMÁTICOS Razonamiento Matemático 21 Fila de entrada Columna de entrada c b a u c a b a c b a b b c a c Operador Diagonal Resolución Como: 6x + 2 = 12x + 9 Entonces: x +1 = x + 4 2 x + 1 + 5 = x + 4 x + 1 = 2 1 x ÷ Luego: 8 = (8 – 2) ÷ 2 = 3 3 = 3× 2 + 5 = 11 1 Reemplazando valores 8 + 3 = 3 + 11 = 14 = (14 – 2) ÷ 2 = 6 8 + 3 = 6 Operaciones matemáticas que no tienen regla de definición Explícita ni ImplÍcita. En este caso se tiene que hacer uso de mucha creatividad e ingenio, pues el resultado se puede obtener de muchas maneras (realizando ciertas operaciones). Ejemplo Nº 03 Si se sabe que: 48 - 24 = 72 32 - 31 = 20 26 - 41 = 40 Halla el valor de: K = 76 - 13 A) 31 B) 72 C) 46 D) 27 E) 52 Resolución Observamos que la regla de definición no está dado de manera explícita ni de manera implícita. Se buscará una regla que cumpla para todos los casos según la información dada. 48 - 24 = 72 = (4 + 8)(2 + 4) 32 - 31 = 20 = (3 + 2)(3 + 1) 26 - 41 = 40 = (2 + 6)(4 + 1) Luego se tiene: ab - bc = (a + b)(c + d) Entonces: K = 76 - 13 K = (7 + 6)(1 + 3) K = 52 Operaciones en Tablas de Doble Entrada Sea el siguiente conjunto no vacío A = {a, b, c}, en el cual se define la operación representada por «u», mediante la siguiente tabla. Para operar se recomienda realizar la siguiente operación: tabla la en ción sec er int fila la de Elemento * columna la de Elemento = | | . | \ | | | . | \ | Ejemplo Nº 04 Se define el operador @ mediante la siguiente tabla: Calcula: M = [ (1 @ 2) @ (3 @ 4) ] @ 5 A) 2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 5 Resolución Según la tabla: M = [ (1 @ 2) @ (3 @ 4) ] @ 5 M = ( 5 @ 4 ) @ 5 M = 1 @ 5 M = 3 × 2 + 5 - 2 ÷2 @ 1 2 3 4 5 1 4 5 1 2 3 2 5 1 2 3 4 3 1 2 3 4 5 4 2 3 4 5 1 5 3 4 5 1 2 Razonamiento Matemático 22 Propiedades En el conjunto A = |, definimos la operación simbolizada por « * », entonces estudiaremos las siguientes propiedades. Propiedad de Clausura o Cerradura ¬a,beA ¬ a * beA Propiedad Conmutativa ¬a,beA ¬ a * b = b * a Criterio de la Diagonal, para determinar si una tabla es conmutativa. Propiedad Asociativa ¬a,b,ceA ¬ a * ( b * c ) = ( a * b ) * c Propiedad del Elemento Neutro (e) - eeA / ¬aeA ¬ a * e = e * a = a Criterio de Intersección, para determinar el elemento neutro en una tabla. Propiedad del Elemento Inverso ( 1 a ÷ ) - eeA, ¬a eA, - 1 a ÷ eA ¬ a * 1 a ÷ = 1 a ÷ * a = e donde: e : Elemento neutro Mantienen el mismo orden Elementos ubicados simétricamente c b a u c a b a c b a b b c a c Diagonal principal Filas iguales Columnas iguales c b a u c a b a c b a b b c a c Elemento neutro PRÁCTICA Nº 04 Capacidad 01: Razonamiento y Demostración 1. Identif i ca cuál de las siguientes informaciones es falsa. A) El elemento neutro en la adición es el cero. B) El elemento neutro es único. C) En la multiplicación el elemento simétrico es el uno. D) En el conjunto de los números reales, la sustracción no es conmutativa. E) La adición es una composición interna en los números naturales. 2. Dado un conjunto no vacío, en el cual se define una operación matemática, mediante una determinada tabl a. Analiza cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta. A) Cuando los elementos del cuerpo de la tabla pertenecen al conjunto de partida, se dice que es clausurativa. B) La tabla es conmutativa si la matriz es simétrica con respecto a su diagonal principal. C) La intersección de la columna y fila de entrada nos determina el elemento neutro. D) Si la matriz en una tabla tiene diagonales secundarias semej antes se dice que es asociativa. E) Si en el cuerpo de la tabla se nota al menos un elemento que no pertenece al conjunto de partida se dice que la operación es abierta. 3. En la siguiente tabla discrimina cuál de las siguientes proposiciones son falsas: I. No es conmutativa II. El elemento neutro es c III. a * (b * d) = (d * c) * d IV. La operación «*» es cerrada A) I y II B) Sólo II C) II y III D) Ninguna es falsa E) II; III y IV  a b c d a a b a a b c b b d c d a c b d b c d a Razonamiento Matemático 23 E) II; III y IV 4. Se define en A = { 1; 2; 3; 4; 5 } la operación «*», mediante la siguiente tabla: Analiza el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si x = 1, entonces (1 * x) * 3 = 3 II.Se cumple la propiedad conmutativa. III. Se cumple la propiedad de clausura. IV. El elemento neutro es 3. A) VFVF B) FVVF C) FVFV D) VVFF E) VFVV Capacidad Nº 02: Comunicación Matemática 5. Para cualquier número entero «x» se define la operación x , como: 1 x x 2 ÷ = . Identifica cuál de las siguientes expresiones es equivalente al producto de 3 y 4 . A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 7 6. Se define la siguiente operación: 44 x 32 1 x 2 + = ÷ ; « x Î R Analiza, cuál de las siguientes expresiones no corresponde a la definicion dada. A) 2 x 4 1 x 2 + = ÷ B) 8 x 8 1 x 2 + = ÷ C) x = 16x + 60 D) x = 2x + 4 E) x = 16x + 16 - 1 2 3 4 5 1 3 4 1 2 5 2 5 1 2 5 1 3 1 2 3 4 5 4 2 5 4 3 2 5 5 1 5 1 3 7. Se define la siguiente relación: Entonces, podemos inferir que: es igual a : A) B) C) D) E) 8. En el conjunto A = { 1; x; 2 x } se define la operación «*», dado por la tabla: En la siguiente tabla interpreta la expresión equivalente a: 1 2 1 ) x ( x ÷ ÷ + A) ) 1 x ( x 2 + B) 2 ) 1 x ( + C) 1 x 2 + D) ) 1 x ( x + E) 1 x 2 + Capacidad Nº 03: Resolución de Problemas 9. Se define: (2b) b 2 a b además: a+b a b . a + b Calcula: 10 36 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 - = - - 1 x x 2 1 1 x x 2 x x x 2 1 x 2 x 2 1 x Razonamiento Matemático 24 10. Si: h(x) = ax 2 + bx + c h(1) = 7 Ù h(–1) = 3 Ù h(0) = 4 Halla: h(h(–2)) A) 124 B) 120 C) 134 D) 144 E) 150 11. Si: a * b = (b * a) 2 ; a * b > 0 Resuelva: E = (1 * 2) 2 + (2 * 3) 3 + (3 * 4) 4 + ... + (10 * 11) 11 A) 10 B)8 C) 2 D) 7 E) 6 12. Se define: Æ a Æ b = [a] [b] además: [x] = n si n < x < n +1 ; ¬ n Î Z Interpreta: 4 , 0 3 1 , 0 2 1 , 0 3 , 2 2 , 0 5 , 3     t + + + A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0 13. Se define: b 9 b * a 0 1 x ; 9 x 1 x 2 = > ÷ ÷ = ÷ Calcula: 225 * 15 A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 14. Se define: b a ; b a b a b a a b ÷ = + + = A Halla el valor de: E = (...((((1 D 1) D 2) D 3) D 4 ... D 100) A) 40 B) 160 C) 50 D) 1 E) 101 15. Si: x x + 1 x – 1 ; x 1 = Elabora: B ........ 2 ........ 149 operadores A) 1 B) 2 C)3 D) 4 E) 5 16. De acuerdo a: 22 * 30 = 6 12 * 53 = 13 45 * 14 = 21 Halla en: 32 * 73 59 * ) 18 * 5 a ( = A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 17. Si: a Ä b = a 2 – b 2 a Å b = Log 2 (a – b) ; a – b > 0 Calcula: ) 2 a 2 2 a 3 ( ) 3 5 ( E © © = A) a 7 B) a 3 C) a 8 D) 3 E) 1 18. Se define el operador siguiente: x + 1 x + 2 2(x + 1) Halla “y” en: y 4 y A) 1 B) 5 C) 7 D) 9 E) 3 19. Si: m D n = p + 2 Û p x n = m – 1 Busca el valor de “x”: x D 7 + (x + 1) D 7 = (6 D 5) + 8 A) 10 B) 35 C) 20 D) 30 E) 25 Razonamiento Matemático 25 20. Se define: n x ... x x f n 2 1 ) n ( + + + = donde “n” es núme- ro entero positivo. Si: x k = (–1) k ; k Î N reconoce el conjunto de valores posibles de f (n) es: A) {0} B) ) ` ¹ ¹ ´ ¦ n 1 C) ) ` ¹ ¹ ´ ¦ ÷ n 1 , 0 D) ) ` ¹ ¹ ´ ¦ n 1 , 0 E) ) ` ¹ ¹ ´ ¦ n 1 , 1 21. En el conjunto de los números naturales definimos las siguientes operaciones: a * b = a 2 – b a ? b = 3a – b 2 a D b = 2a + 3b Si: x * x = 6 ; y ? y = – 4 Halla: x D y A) 7 B) 17 C) 18 D) 16 E) 8 22. Si: 2 1 F 2 F ) n ( ) 1 n ( + = + Calcula: F (61) ; si F (1) = 2 A) 30 B) 28 C) 32 D) 26 E) 40 23. Se define: x 8x + 35 Efectua: A) 20 B) 24 C) 27 D) 25 E) 21 24 Dada la siguiente tabla de doble entrada y de módulo 4, definamos la operación (-) en el conjunto: A = {1; 2; 3; 4}: - 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1 Calcula "x", si: [ (2 –1 - 3) –1 - x ] - [ (4 –1 - 2) - 3 ] –1 = 1 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 25. Dada la operación binaria: a # b = a + b + ab Halla el elemento neutro. A) 1 B) 1/2 C) 0 D) –1 E) –2 26. Si: A = {1; 2; 3; 4} - 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1 Efectúa el valor de "x" en: ( (2 –1 - 3) –1 - x –1 ) * ( (4 –1 -2) * 4) –1 = 2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) No existe 27. En el conj unto de los números reales definimos la operación (-): a - b = a + b + 2ab a, b e R Interpreta si se cumplen las siguientes afirmaciones: ( ) a - b = b - a. Es conmutativa ( ) (a - b) - c = a - (b - c). Es asociativa ( ) El cero se comporta como el elemento identidad A) VVF B) VFF C) VVV D) FFF E) FVV Razonamiento Matemático 26 5.1. HABILIDAD OPERATIVA Consiste en analizar formas de solución para problemas aparentemente complicados, con un poco de habilidad matemática e intuición práctica. Observaciones  (N°par) + (N°par) = (N°par)  (N°impar) + (N°impar) = (N°par)  (N°par) + (N°impar) = (N°impar)  (…5) x (N°impar) = ….5  (…5) x (N°par) = ….0  (N°par) x (N°par) = (N°par)  (N°par) x (N°impar) = (N°par)  (N°impar) x (N°impar) = (N°impar)  2 2 2 ) b a ( b ab 2 a ± = + ±  ) b a )( b a ( b a 2 2 ÷ + = ÷  ) b ab a )( b a ( b a 2 2 3 3 + + ÷ = ÷ Razonamiento Inductivo Consiste en analizar casos particulares, es decir realizar experiencias sencillas pero con las mismas características del problema original, que nos permita llegar a una conclusión. C A S O I C A S O II C A S O III C A S O G E N E R A L Casos Particulares Razonamiento Inductivo Ejemplo Nº 01 Halla el total de formas que se puede leer la palabra cepreval si no interesa el orden de lectura. c c e c c e p e c c e p r p e c c e p r e r p e c c e p r e v e r p e c c e p r e v a v e r p e c c e p r e v a l a v e r p e c A) 512 B) 1 024 C) 2 048 D) 255 E) 8 192 Resolución Analizando casos particulares N°de formas De 1 letra c 1 = 1 2 – 1 De 2 letras c 3 = 2 2 – 1 c e c De 3 letras c 7 = 3 2 – 1 c e c c e p e c De 4 letras c 15 = 4 2 – 1 c e c c e p e c c e p r p e c N °de formas = 8 2 – 1 = 255 CAPÍTULO V HABILIDAD OPERATIVA Y SUCESIONES Razonamiento Matemático 27 Cifras terminales Consiste en calcular la última cifra del resultado de un número que será expuesto a sucesivas operaciones. a) Cifras terminales para números que terminan en: 0; 1; 5 ó 6 En este caso la cifra terminal será la última cifra del número base. 0 . . . ) 0 . . . ( n = 1 . . . ) 1 . . . ( n = 5 . . . ) 5 . . . ( n = 6 . . . ) 6 . . . ( n = b) Cifras terminales para números que terminan en: 4 ó 9 En este caso la última cifra del desarrollo dependerá si el exponente es par o impar. 4 . . . ) 4 . . . ( IMPAR N = ° 6 . . . ) 4 . . . ( PAR N = ° 9 . . . ) 9 . . . ( IMPAR N = ° 1 . . . ) 9 . . . ( PAR N = ° c) Cifras terminales para números que terminan en: 2; 3; 7 ó 8 En este caso las cuatro primeras ci f ras terminales son diferentes y cada grupo de cuatro se repiten las mismas cifras terminales. 6 . . . ) 2 . . . ( 4 = · 2 . . . ) 2 . . . ( 1 4 = + · 4 . . . ) 2 . . . ( 2 4 = + · 8 . . . ) 2 . . . ( 3 4 = + · 1 . . . ) 3 . . . ( 4 = · 3 . . . ) 3 . . . ( 1 4 = + · 9 . . . ) 3 . . . ( 2 4 = + · 7 . . . ) 3 . . . ( 3 4 = + · 1 . . . ) 7 . . . ( 4 = · 7 . . . ) 7 . . . ( 1 4 = + · 9 . . . ) 7 . . . ( 2 4 = + · 3 . . . ) 7 . . . ( 3 4 = + · 6 . . . ) 8 . . . ( 4 = · 8 . . . ) 8 . . . ( 1 4 = + · 4 . . . ) 8 . . . ( 2 4 = + · 2 . . . ) 8 . . . ( 3 4 = + · Observación:  ) positivo entero número ( ) par N ( °  ) positivo entero número ( ) impar N ( ° Ejemplo Nº 02 En que cifra termina: 2 VAL UNHE 282 9 MAT 5 RAZ ) 4 DEF 8 ABC ( + + + A) 0 B) 1 C) 3 D) 9 E) 4 Resolución Analizando los exponentes de cada sumando 282 = · 4 +2 UNHE : es un número de 4 cifras 2 VAL : es un número par Entonces: = 2 VAL UNHE 282 ) 9 (..... ) 5 (..... ) 4 ..... 8 (..... + + + = par número número 2 4 ) 9 (..... ) 5 (..... ) 2 (..... + + + · = par # # 2 ) 9 (..... ) 5 (..... ) 2 (..... + + = ……4 + ……5 + ……1 = ……0 Termina en cifra 0. número ) 2 . . . ( número ) 7 . . . ( número ) 3 . . . ( número ) 8 . . . ( número ) 4 . . . ( número ) 9 . . . ( n + e Z Razonamiento Matemático 28 Razonamiento Deductivo Consiste en analizar y aplicar una verdad general (ya demostrado), en ciertos casos particulares. Ejemplo Nº 03 Si: d abcd d = Calcula: c d b a E + × = A) 8 B) 4 C) 1/4 D) 5/3 E) 6 Resolución Como d abcd d = ; entonces: d d abcd = Se observa que el numeral de 4 cifras depende del valor que toma «d». Si: d = 1 ¬ abcd 1 1 1 1 = ¬ = Si: d = 2 ¬ abcd 4 4 2 2 = ¬ = Si: d = 3 ¬ abcd 27 27 3 3 = ¬ = Si: d = 4 ¬ abcd 256 256 4 4 = ¬ = Si: d = 5 ¬ abcd 3125 3125 5 5 = ¬ = (cumple) Si: d = 6 ¬ abcd 46656 46656 6 6 = ¬ = . Por lo tanto cumple cuando «d» es igual a 5; comparando términos: a = 3 , b = 1 , c = 2 , d = 5 Reemplazando c d b a E + × = 4 2 5 1 3 = + × = La respuesta es 4. . Razonamiento Deductivo Casos Particulares CASO I C A S O G E N E R A L CASO II CASO III CASO IV 5.2. SUCESIONES Sucesión Es un conjunto de números, letras y/o gráficos ordenados de acuerdo a una determinada LEY DE FORMACIÓN. Una sucesión es finita cuando tiene un último término y es infinita, cuando no tiene último término. Sucesiones Numéricas Es un conjunto formado exclusivamente por números que están ligados entre si mediante una determinada ley de formación. Sucesiones Literales Son conj untos formados exclusivamente por letras del abecedario que están ordenados de acuerdo a un determinado criterio; estos criterios son:  Lugar que ocupa en el alfabeto.  Iniciales de palabras conocidas.  Formación de palabras. Sucesiones Gráficas Son conj untos formados exclusivamente por gráficos ordenados de acuerdo a ciertos criterios:  Criterio de giro (horario o antihorario).  Criterio de aparición y/o desaparición de elementos de la figura.  Unión y/o intersección de figuras. Ejemplo Nº 04 Halla el valor de «x» en la siguiente sucesión. 2 ; 50 ; 74 ; 86 ; 92 ; x A) 91 B) 93 C) 95 D) 97 E) 99 Resolución 2 ; 50 ; 74 ; 86 ; 92 ; x +48 +24 +12 +6 +3 ÷2 ÷2 ÷2 ÷2 Se observa que: x = 95 …Cada elemento de una sucesión se denomina término... Razonamiento Matemático 29 SUCESIÓN ARITMÉTICA Sucesión Lineal o Progresión Aritmética Sea la sucesión aritmética: 1 t ; 2 t ; 3 t ; 4 t ; … ; n t +r +r +r En general: Sucesión Cuadrática Sea la sucesión cuadrática: o t 1 t ; 2 t ; 3 t ; 4 t ; … o k 1 k ; 2 k ; 3 k ; 4 k r r r r En general: SUCESIÓN GEOMÉTRICA Sea la sucesión geométrica: 1 t ; 2 t ; 3 t ; 4 t ; … ; n t ×q ×q ×q En general: SUCESIONES ESPECIALES Sucesión de los números primos 2; 3; 5; 7; 11; 13; … Sucesión de Fibonacci 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; … Sucesión de los números triangulares 1; 3; 6; 10; 15; 21; . . . . . . Sucesiones de números de la forma: 1 2 n ÷ 1; 3; 7; 15; 31; 63; . . . . . . c bn an t 2 n + + = 2 r a k 0 ÷ 0 t r t 1 ÷ r b an t n + = 1 n 1 n q t t ÷ · = 1er orden 2do orden Ejemplo Nº 05 En la siguiente sucesión, halla el primer término negativo de tres cifras: 120; 113; 106; 99; … A) – 101 B) – 102 C) – 103 D) – 104 E) – 105 Resolución Calculo del término enésimo 120 ; 113 ; 106 ; 99 ; …. -7 -7 -7 -7 Reemplazando los valores en el término general de una sucesión lineal. 127 n 6 t n + ÷ = Por dato: 100 127 n 6 ÷ > + ÷ .... 8 , 37 n > Donde el primer término negativo, será cuando n = 38, entonces: 127 ) 38 ( 6 t 38 + ÷ = = -101 El primer término negativo de tres cifras es -101. Ejemplo Nº 06 En la siguiente sucesión: 1; 3; 7; 15; 31;…… el tercer término después de 31 es: A) 127 B) 245 C) 265 D) 295 E) 255 Resolución 1 ; 3 ; 7 ; 15 ; 31 ; … 1 2 1 ÷ 1 2 2 ÷ 1 2 3 ÷ 1 2 4 ÷ 1 2 5 ÷ Se observa que su término enésimo es de la forma: 1 2 t n n ÷ = Entonces para n = 8 ¬ 1 2 t 8 8 ÷ = = 255 El tercer término después de 31 es 255. Razonamiento Matemático 30 PRÁCTICA Nº 05 Capacidad 01: Razonamiento y Demostración 1. Analiza las siguientes proposiciones y determina si son verdaderas (V) o falsas (F) según corresponda: I. El primer térmi no de una sucesión geométrica es diferente de cero. II. La sucesión de f orma an 2 +bn+c es bicuadrática. III. Si se reparte caramelos de 3 en 3 a un grupo de alumnos , estamos hablando de una sucesión. IV. En la sucesión alfanumérica, las letras representan números naturales consecutivos. A) FFFF B) FFVV C) FVFF D) VFVF E) FFFV 2. Identifica el enunciado incorrecto: A) En una analogía numérica la incógnita está en la columna del centro. B) La sucesión: U; N; O;….. Corresponde a una sucesión literal. C) Una sucesión geométrica no es una secuencia de gráficos. D) En una distribución gráfica no intervienen números. E) Una sucesión aritmética posee una ley de formación de forma an+b. 3. Anal ice cuales de los enunciados son incorrectos. 1;1;2;3;5;8;13;…….. I. Es una sucesión lineal II. Es una sucesión cuadrática III. Es una serie IV. Es una sucesión geométrica A) Sólo I B) Sólo II C) I , IV D) II , III E) II,III y IV 4. Reflexiona en cuál de las alternativas no se representa una sucesión: A) 7; 3; -1; -5; -9; -13;… B) 2x; 5x; 7x; 9x;… C) C; E; P; R; E; V; … D) 2 + 4 + 6 + 8 +…. E) 2X +1; 3X + 2; 4X +3; … 5. Discirmina la alternativa que cumple con la analogía mostrada A) B) C) D) E) Capacidad Nº 02: Comunicación Matemática 6. Indentifica las sucesiones con sus términos enésimos correspondientes: I 1; 3; 6; 10; 15…. II 9; 13; 17; 21; 30…. III 0; 7; 26; 63; 124;… a) 4n + 5 b) n 3 – 1 c) 2 ) 1 ( + n n A) Ia; IIb; IIIc B) Ic; IIa; IIIb C) Ia; IIc; IIIb D) Ib; IIa; IIIc E) Ic; IIb; IIIa es a como es a …..? Razonamiento Matemático 31 7.Infiere su término enésimo: 3; 12; 27; 48; 75; … A) 1 2 + n B) 3 3n C) 2 2 1 3 | . | \ | + n D) ( ) 3 1 2 ÷ n E) 2 3n 8. En la sucesión: 3x; 4x; 7x; 11x;… Analiza cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas: I. t 5 =18x II. t n = t n-1 + t n-2 ; para n e» 3 III. t 6 = 38x IV. t n = 2n 2 – 3n + 4 A) 3 B) 1 C) 4 D) 2 E) 0 9. Interprta la relación correcta: 9 11 a 2 20 8 2 2 10 x R y 4 2 b A) 2(x + y) = R B) y = R+x 3 C) (a.b) = R + (x.y) D) (y – x)+( a - b) =R +1 E) (a.x) = R + (b.y) 10. En la siguiente sucesión gráfica: ; ; ; … Identifica cuales de las proposiciones son verdaderas: I. El criterio de giro es anti horario II. El criterio de giro es horario III. El criterio es de aparición y desaparición A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) II y III E) I y II Capacidad Nº 03: Resolución y Problemas 11. Analiza qué letra sigue. D; D; R; M; S; ........... A) D B) M C) F D) L E) R 12.Busca qué letra sigue en. A; A; B; D; G; M; ..... A) A B) X C) Y D) Z E) W 13. Halla el término de lugar 10 en: 5; 17; 43; 89; 161; ...... A) 1121 B) 1221 C) 1321 D) 1421 E) 1721 14. Calcula el valor de «n» en la siguiente sucesión: (a + 3) 1 ; (a + 7) 3 ; (a + 11) 5 ; ... ; (a + 118 – n) n A) 210 B) 20 C) 39 D) 28 E) 72 15. En la siguiente progresión aritmética creciente: Interpreta el término de lugar (a + b + c) A) 210 B) 213 C) 216 D) 219 E) 222 16.Juzga cuántos términos de la siguiente sucesión terminan en cifra 5. 13; 22; 31; 40; ....... ; 904 A) 12 B) 10 C) 11 D) 15 E)20 17. En la siguiente sucesión: ;...... 29 25 ; 5 4 ; 13 9 ; 2 1 ; 5 1 Calcula el término enésimo. A) 1 n 2 n 2 + B) n 4 n 2 + C) n 4 n n 2 2 + D) 4 n n 2 2 ÷ E) 4 n n 2 2 + Razonamiento Matemático 32 18. Busca qué figura sigue en la siguiente secuencia. ; ; ; ; ...... A) B) C) D) E) 19. De un libro de 226 páginas se han marcado cierto número de pa´ginas del princi pio; observándose que en las páginas que quedan se utilizaran 451 cifras. Halla cuántas hojas se arrancaron. A) 64 B) 16 C) 44 D) 32 E) 88 20. El número de tipos de imprenta utilizados en la numeración de un libro excede al número de páginas en 160. Calcula el número de hojas de dicho libro. A) 134 B) 120 C) 67 D) 60 E) 94 21. En la siguiente sucesión, Interpreta el tercer término negativo de 3 cifras. 120 ; 113 ; 106 ; 99; ..... A) -120 B) - 104 C) -118 D)-115 E) - 111 22. Dadas las siguientes sucesiones: S1 ; 7; 12; 17; 22; ......; 297 S2 : 5 ; 12; 21; 29; ..... Formula cuántos términos son comunes a ambas sucesiones. A) 10 B) 7 C) 12 D) 5 E) 8 23. Plantea en la siguiente figura cuántas bolitas sombreadas hay. A) 625 B) 360 C) 475 D) 725 E) 820 1 2 3 4 5 4647484950 24. Halla el máximo número de triángulos, en: 1 2 3 19 20 A) 180 B) 158 C) 160 D) 156 E) 178 25. Determina cuántos triángulos se cuentan en total en la siguiente figura. A) 5050 1 2 3 48 49 50 B) 5030 C) 5020 D) 5000 E) 5120 26. Calcula el residuo de la siguiente división: 1 2 2 1 2003 + ÷ = UNHVH UNHVH E A)1 B) 0 C)2 D) 3 E) 4 27. Interpreta cuántos triángulos se contarán en la posición 100? A) 103 B) 300 C) 301 D) 275 E) 725 (1) (2) (3) Razonamiento Matemático 33 6.1. SERIES Serie Es la suma de todos los términos de una determinada sucesión. Sea la sucesión: 2 ; 7 ; 12 ; 17 ; 22 Entonces la serie será: 2 + 7 + 12 + 17 + 22 Series Notables Suma de los «n» primeros números naturales consecutivos. 2 1) n(n n 4 3 2 1 + = + + + + + Suma de los «n» primeros números naturales pares consecutivos. 1) n(n 2n 8 6 4 2 + = + + + + + Suma de los «n» primeros números naturales impares consecutivos. 2 n 1) - (2n 7 5 3 1 = + + + + + Suma de los cuadrados de los «n» primeros números naturales consecutivos. 6 1) 1)(2n n(n n 3 2 1 2 2 2 2 + + = + + + + Suma de los cubos de los «n» primeros números naturales consecutivos. 2 3 3 3 3 2 1) n(n n 3 2 1 | . | \ | + = + + + + Suma de los «n» primeros productos consecutivos. © Tomados de 2 en 2 ) 1 n ( n ... 4 3 3 2 2 1 + + + · + · + · 3 2) 1)(n n(n + + = © Tomados de 3 en 3 ) 2 n )( 1 n ( n ... 5 4 3 4 3 2 3 2 1 + + + + · · + · · + · · 4 3) 2)(n 1)(n n(n + + + = Suma de los inversos de los productos de dos números consecutivos: ) n ( n ) n ( n 1 1 1 ... 4 x 3 1 3 x 2 1 2 x 1 1 + + + + + = Ejemplo Nº 01 Calcula el valor de: 2 2 2 2 10 11 .... 3 4 2 3 1 2 S × + + × + × + × = A) 3 410 B) 3 452 C) 4 134 D) 3 420 E) 5 423 Resolución Ordenando y transformando la serie, tenemos: 11 10 .... 4 3 3 2 2 1 S 2 2 2 2 × + + × + × + × = ) 1 10 ( 10 .... ) 1 3 ( 3 ) 1 2 ( 2 ) 1 1 ( 1 S 2 2 2 2 + + + + + + + + = ) 10 10 ( .... ) 3 3 ( ) 2 2 ( ) 1 1 ( S 2 3 2 3 2 3 2 3 + + + + + + + + = Separando en dos series: ) 10 .... 3 2 1 ( ) 10 .... 3 2 1 ( S 3 3 3 3 2 2 2 2 + + + + + + + + + = 2 2 ) 11 ( 10 6 ) 21 ( ) 11 ( 10 S | | . | \ | + | | . | \ | = = 385 + 3 025  S = 3 410 CAPÍTULO VI SERIES, SUMATORIAS Y CONTEO DE FIGURAS Razonamiento Matemático 34 Suma de términos de una Progresión Aritmética Sea: S = 1 t + 2 t + 3 t + 4 t + …+ n t +r +r +r En general: donde: 1 t : primer término r : razón aritmética n : número de términos n t : último término Suma de términos de una Progresión Geométrica Sea: S = 1 t + 2 t + 3 t + 4 t +…+ n t xq xq xq En general: donde: 1 t : primer término q : razón geométrica n : número de términos n t : último término Suma de términos de una serie asociada a una sucesión polinomial de orden «n» utilizando números combinatorios Sea la serie: S = 1 t + 2 t + 3 t + 4 t + ….. + n t 1 k 2 k 3 k 4 k 1 q 2 q 3 q r r Se debe cumplir lo siguiente: n 2 t t S n 1 n · | | . | \ | + = 1 q ) 1 q ( t S n 1 n ÷ ÷ = q 1 t S 1 ÷ = · Propiedades Ejemplo Nº 02 Calcula el valor de la suma de los 20 primeros números de la siguiente serie: S = 2 + 3 + 6 + 11 + 18 +… A) 2 510 B) 4 502 C) 3 120 D) 3 150 E) 2 345 Resolución Aplicando números combinatorios: S = 2 + 3 + 6 + 11 + 18 + ….. C C C 20 3 20 2 20 1 2 1 2 S + + = | | . | \ | × × × × + | | . | \ | × × + = 1 2 3 18 19 20 2 1 2 19 20 1 ) 20 ( 2 S 2280 190 40 S + + =  S = 2 510 Suma Límite Sea la serie: S = 1 t + 2 t + 3 t + 4 t +…… · xq xq xq En general: donde: 1 t : primer término q : razón geométrica ( 0 < q < 1) S = C C C C n 4 n 3 1 n 2 1 n 1 1 r q k t + + + +1 +5 +3 +7 +2 +2 +2 n n n n 2 n 1 n 0 10 3 10 7 n k n n k n n n 1 n 0 2 C ... C C C C C C C 1 C n C 1 C = + + + + - = ¬ = - = - = - = - ÷ Razonamiento Matemático 35 6.2. SUMATORIAS Sumatoria Es la síntesis de una serie. Sea la serie: 2 + 7 + 12 + 17 + 22 Entonces la sumatoria será: ¿ = ÷ 5 1 k 3) (5k Notación ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ _ ¸ sumatoria la de desarrollo n 1 n 2 p 1 p p n p k k a a a a a a + + + + + = ÷ + + = ¿ donde: n : límite superior o índice superior p : límite inferior o índice inferior k a : término general ¿ : operador sumatoria (Sigma) Sumatorias notables 1. Sumatoria de los «n» primeros números naturales consecutivos. 2 1) n(n k n 1 k + = ¿ = 2. Sumatoria de los «n» primeros números naturales pares consecutivos. 1) n(n 2k n 1 k + = ¿ = 3. Sumatoria de los «n» primeros números naturales impares consecutivos. 2 n 1 k n 1) (2k = ÷ ¿ = 4. Sumatoria de los cuadrados de los «n» primeros números naturales consecutivos. 6 1) 1)(2n n(n k n 1 k 2 + + = ¿ = 5. Sumatoria de los cubos de los «n» primeros números naturales consecutivos. 2 n 1 k 3 2 1) n(n k | | . | \ | + = ¿ = 6. Sumatoria de los «n» primeros productos consecutivos. 6.1. Tomados de 2 en 2 3 ) 2 n )( 1 n ( n ) 1 k ( k n 1 k + + = + ¿ = 6.2. Tomados de 3 en 3 4 ) 3 n )( 2 n )( 1 n ( n ) 2 k )( 1 k ( k n 1 k + + + = + + ¿ = 7. Sumatoria de los inversos de los productos de dos números consecutivos ) n ( n ) x ( x 1 1 1 n 1 X + + = ¿ = Propiedades 1. Número de términos de una sumatoria. 1 m n términos de N ak n m k + ÷ = ° ¬ ¿ = Caso particular: n términos de N ak n 1 k = ° ¬ ¿ = 2. Sumatoria con término general constante o numérico. 1).c m (n c términos). de (N c n m k + ÷ = ° = ¿ = Caso particular: n.c c n 1 k = ¿ = 3. Sumatoria de un término general con coeficiente ¿ ¿ = = = n 1 k n 1 k k a ak 4. Sumatoria de un término compuesto ¿ ¿ ¿ ¿ = = = = ± ± = ± ± n 1 k n 1 k n 1 k n 1 k ck bk ak ck) bk (ak 5. Descomposición en 2 o más sumatorias ¿ ¿ ¿ = = = ÷ = 1 - m 1 k n 1 k n m k ak ak ak Razonamiento Matemático 36 6.3. CONTEO DE FIGURAS Consiste en determinar el máximo número de f iguras pudiendo ser estás ángul os, segmentos, triángul os, cuadriláteros, semi circunf erencias, cubos, etc; que se encuentran presentes en una determinada figura dada. Figura Simple Figura Compuesta Cuando en su Cuando en su interior no aparece interior aparecen otra figura. otras figuras simples. MÉTODOS PRÁCTICOS DE CONTEO Método Combinatorio Consiste en asignar números y/o letras a todas las figuras simples, posteriormente se procede al conteo creciente y ordenado de figuras de 1 número, al unir 2 números, al unir 3 números, etc. Método de Inducción Consiste en analizar casos particulares según la figura dada (figuras análogas), tratando de encontrar una ley de formación coherente, para luego poder generalizar (encontrar la fórmula). PRINCIPALES FÓRMULAS PARA EL CONTEO DE FIGURAS Conteo de Segmentos Conteo de Triángulos Caso I = 1 3 n 2 4 1 3 n 2 4 m 3 2 4 1 1 3 n 2 1 3 H 2 4 3 V 2 # = 2 ) 1 n ( n + # ÷ = 2 ) 1 n ( n + # A = 2 ) 1 n ( n + # A = 2 ) 1 n ( n + × m # Z = 2 ) 1 n ( n + 1 3 n 2 4 1 3 n 2 1 3 n 2 4 1 3 n 2 # = 2 ) 1 n ( n + # = 2 ) 1 V ( V 2 ) 1 H ( H + · + Caso II Conteo de Ángulos Conteo de Sectores Circulares Conteo de Cuadriláteros Caso I Cuando tiene una sola dimensión (horizontal o vertical). Caso II Cuando tienen 2 dimensiones (horizontales y verticales). Conteo de Diagonales # de Diagonales = 2 (# de Cuadriláteros) Razonamiento Matemático 37 Conteo de Cuadrados Caso I Cuando sus 2 dimensiones son iguales. Caso II Cuando sus 2 dimensiones son diferentes. OBS: Multiplicar las dos dimensiones hasta que uno de los factores sea 1 para posteriormente sumar los resultados. Conteo de Cubos Caso I Cuando sus 3 dimensiones son iguales. Caso II Cuando sus 3 dimensiones son diferentes. OBS: Multiplicar sus tres dimensiones hasta que uno de los f actores sea 1 para posteriormente sumar los resultados. 1 3 n 2 3 n 2 Conteo de Paralelepípedos Conteo de Semicircunferencias donde: n : N°de Diámetros Ejemplo Nº 03 Calcula el número total de cuadriláteros, en la siguiente figura.. A) 3 B) 4 C) 8 D) 12 E) 22 Resolución Enumerando la figura dada: Efectuando el conteo tenemos: De 1 número : 1; 3; 4; 6 ¬ 4 De 2 números: 12; 23; 35; 56 ¬ 4 De 3 números: 123; 356; 245 ¬ 3 De 4 números: 2345 ¬ 1 Total de cuadriláteros: 12 3 n 1 p 2 1 3 2 m 1 3 2 1 3 n 2 n - 1 # = 6 ) 1 n 2 )( 1 n ( n + + # = m.n + (m–1)(n–1) + (m–2)(n–2) + … 3 n 1 n 2 1 3 2 n 1 3 2 1 3 m 2 3 n 2 # = 2 2 ) 1 n ( n ( ¸ ( ¸ + # = 2 n 6 1 2 4 5 3 # = m·n·p + (m - 1)(n - 1)(p - 1)+ . . . # = 2 ) 1 p ( p 2 ) 1 n ( n 2 ) 1 m ( m + · + · + Razonamiento Matemático 38 PRÁCTICA Nº 06 Capacidad 01: Razonamiento y Demostración 1.Interpreta el valor de verdad las siguientes proposiciones: a) Una serie numérica es la suma indicada de los términos de una sucesión numérica. b) En la serie geométrica el valor del término enésimo esta dado por la siguiente relación: 1 1 ÷ = n q t n t . c) q: significa la cantidad de términos de una serie geométrica. A) FVF B) FFF C) VVF D) VVV E) FVV 2. Identifica los siguientes conceptos con su correspondiente: a) Secuencia de términos regidos por una ley de formación. b) Suma indicada de los términos de una sucesión. c) Síntesis de la serie. I. Sumatoria II. Serie III. Sucesión A) a-I; b-II; c-III B) b-I; c-II; a-III C) c-I ; b-II ; a-III D) a-I ; c-II ; b-III E) c-I ; a-II ; b-III 3.Sobre una carretera hay colocados 8 troncos distantes una de otra 6 metros. Discrimina la distancia que tendrá que recorrer una persona que los tenga que llevar uno a uno a un camión colocado a 10 metros del primer tronco. A) 494 B) 500 C) 504 D) 496 E) 498 4. Identif ica cual de l os enunciados son correctos con respecto a la siguiente sumatoria. ¿ ÷ | . | \ | 15 1 2 3k 4. Identif ica cual de l os enunciados son correctos con respecto a la siguiente sumatoria. ¿ ÷ | . | \ | 15 1 2 3k I. Su descomposición es: ¿ + ¿ + ¿ 15 1 2 15 1 15 1 3 k . II. Su descomposición es: ¿ ÷ ¿ + ¿ 15 1 2 15 1 15 1 3 k l. III. Su descomposición es: ¿ ÷ ¿ 15 1 2 15 1 3k . A) I B) II C) III D) I y II E) Solo II y III 5.Analiza la siguiente figura si es verdad o falso los siguientes enunciados. I. El número de triángulos con asteriscos es 14. II. El número de triángulos sin asteriscos es 10. III. El número total de triángulos es 24. A) VFV B) FFF C) VVV D) VFF E) FVF 6.En una fiesta asistieron 115 personas. Alicia bailo con 6 muchachos, Celita lo hizo con 9, Sabina con 14, y así sucesivamente hasta que Sonia (la última) bailo con todos ellos. Anticipa cual es valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) La cant idad de muchachos que no asistieron a la fiesta son 100 b) La cantidad de muchachas que hay en la fiesta son 15 c) La cantidad de muchachos y muchachas que asistieron a la fiesta fueron 105 d) La cantidad de muchachos que asistieron a la fiesta fueron 105 e) El número de muchachas es divisible por tres. A) FVFVV B) FFFVV C) VVFVV D) VVVVF E) FFVFF Razonamiento Matemático 39 7. De la siguiente serie: 7 ......... 15 .......... 47 38 29 20 ba a E + + + = Anticipa cual es el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) El término enésimo es .......... 11 9 + = n n t b) El valor de a – b = 5. c) La serie tiene 96 términos. d) La serie presentada como una sumatoria es: ( ).......... 94 1 11 9 ¿ + = n E A) FVV B) FFV C) VVF D) VFFV E) VFV Capacidad Nº 02 Comunicación Matemática 8. interpreta la figura y mensionar su valor de verdad de los enunciados. I. El número total de tri ángulos es: 2 ) ( m n nm ÷ II. Si m y n son iguales el número de triángulos es n 3 . III. Si m = 6 y n = 7 la cantidad de triángulos que habría es: 280 A) VFV B) FFF C) FVF D) VFF E) FVF 9. En la siguiente serie aritmética. 67 ......... 132 12 n n E + + = , tiene 129 términos. Infiere si es verdad (v) o falso (f), lo siguiente: a. El valor de «n» es 7. b. La razón de la serie es «6».. c. La suma de los 20 primeros términos es: 3490. d. El termino de lugar 20 es: 222. e. El termino 237 ocupa el lugar 22. A) FVFVV B) FFFVV C) VVFVV D) VFVVF E) FFVFF 10. Infiere lo siguiente: I. Si la base es cuadrangular cuántas pirámides existieran. II. Si la base es cuadrada cuantas pirámides existieran. III.La suma de la cantidad de pirámides de base cuadrada y cuadrangular es. A) 288; 112; 5000 B) 288; 116; 500 C) 288; 112; 500 D) 298; 112; 500 E) 208; 120; 510 11.Analiza la verdad o falsedad de acuerdo al siguiente arreglo lo siguiente. .......... 6 9 3 4 6 2 2 3 1 + + + + + + + + + = S I. Si la serie tiene 40 sumandos la suma será 560. II. La serie es convergente. III. La cantidad de sumandos que debe tener, para que la suma de la serie sea 3400 es 100. A) VFV B) FFF C) VVF D) VVV E) FFV 12. De la siguiente serie: + + + + 441 20 ......... .......... 16 3 9 2 4 1 . Identifica cual o cuales son representadas como sumatorias. I. ( ) ¿ + 20 1 2 1 n n II. ( ) ( ) ¿ + + ¿ + 7 1 2 1 20 8 2 1 n n n n III. ( ) ( ) ( ) ¿ + + ¿ + + ¿ + 7 1 2 1 14 8 2 1 20 15 2 1 n n n n n n A) I B) II C) III D) Solo II y III E) Todas Razonamiento Matemático 40 13. Un atleta recorre el día de hoy 15 kilómetros y cada día que pasa un kilómetro más que el día anterior.Interpreta los enunciados: I. La distancia que recorrió, si el penúltimo día recorrió 33 kilómetros. II. El término enésimo. III. El valor de la suma de serie hasta el último día sera: A) 490; t n = 4n+1; 410 B) 490; t n = 3n+1; 490 C) 490; t n = 2n+1; 490 D) 490; t n = n+1; 490 E) 490; t n = n+1; 690 14. Un camionero lleva ladrillos de un deposito a su fabrica y lleva la primera vez 28, pero se le caen 7, entonces decide aumentar a 16 ladrillos por viaj e con respecto a cada viaje anterior, pero las caídas aumentan de viaje en viaje en 4 ladrillos. Si desea acumular 2700 ladrillos. Interpreta cuantos viajes debe hacer. A) 26 B) 15 C) 24 D) 35 E) 20 Capacidad Nº 03 Resolución de Problemas 15. De la siguiente serie: 100 ......... .......... 23 22 21 + + + = S . A) 2025 B) 2205 C)5048 D) 4840 E) 5050 16. Determina el valor de «x+y» si: 1+3+5+7+……………..+x = 196 2+4+6+8+……………..+y = 420 A) 27 B) 40 C) 67 D) 40 E) 69 17. Infiera la cantidad de triángulos que hay en la siguiente figura. A) 92 B) 93 C) 94 D) 95 E) 97 18. La cantidad de segmentos como máximo que hay en la siguiente figura será 1 2 3 10 A) 502 B) 4620 C) 492 D) 522 E) 165 19. Halla la cantidad de ángulos agudos de la siguiente figura A) 26 B) 28 C) 20 D) 23 E) 21 20. De la siguiente figura. Indica cuantos cuadriláteros hay. A) 32 B) 33 C) 30 D) 35 E) 36 21. Edú piensa pagar por una bicicleta BMX de la siguiente forma cada fin de mes, el primer mes S/. 0,25, el segundo mes S/. 1, el tercer mes S/. 2, 25, el cuarto mes S/. 4 y así sucesivamente durante 20 meses. Analiza cual será el precio final de la BMX. A) S/.400,50 B) S/.717,50 C) S/.350,50 D) S/.700,50 E) S/.750,50 22. Determina la suma de todos los términos de la sucesión finita. 4; 7; 12; 19; 28;…………….; 292 A) 1752 B) 1896 C) 1863 D) 1785 E) 1836 Razonamiento Matemático 41 Enunciado Lenguaje Matemático Traducción Forma Verbal Forma Simbólica Oraciones traduci das del lenguaje castellano al lenguaje simbólico  La suma de tres números consecutivos ¬ x + (x + 1) + (x + 2)  El cubo de la suma de dos números ¬ 3 ) b a ( +  La suma de los cubos de dos números ¬ 3 3 b a +  A excede a B en 11 A es mayor que B en 11 El exceso de A sobre B es 11 B es excedido por A en 11 A – B = 11 ¬ A = x + 11 1 B = x  A es a B como 3 es a 8 La relación entre A y B es 3/8 8 3 B A = ¬ A = 3k B = 8k  A es el doble de B A es dos veces B B es la mitad de A A = 2B ¬ A = 2k B = k  A es tres veces más que B A es tres veces mayor que B A = 4B ¬ A = 4k B = k  La mitad de un número aumentado en 5 ¬ x + 5 2 7.1. PLANTEO DE ECUACIONES Plantear una ecuación consiste básicamente en la traducción de un enunciado literal a un enunciado simbólico (ecuación). Esquema: Ejemplo Nº 01 Matematiza el siguiente enunciado: Una mañana soleada Gustavo, le dice a Carlos: «Yo tengo S/. 22 más que tú». Yo: 22 + x Tú: x Ecuación Es una relación de igualdad que se establecen entre 2 expresiones algebraicas que tienen como mínimo una variable. Conjunto solución de una ecuación (CS) Es l a relación de todas las soluci ones particulares que presenta la ecuación. Ecuación Lineal Es de la forma: ax + b = 0 ; a = 0 donde C.S. = ) ` ¹ ¹ ´ ¦ ÷ a b Ecuación Cuadrática Es de la forma: 0 c bx ax 2 = + + ; a = 0 donde C.S. = } x ; x { 2 1 además: a 2 ac 4 b b x 2 ) 2 , 1 ( ÷ ± ÷ = CAPÍTULO VII PLANTEO DE ECUACIONES, EDADES Y MÓVILES Razonamiento Matemático 42 Ejemplo Nº 02 En un examen de 30 preguntas, cada respuesta correcta vale 4 puntos, la incorrecta -1 punto y en blanco 0 puntos. Si un estudiante obtuvo 82 puntos y noto que por cada respuesta en blanco tenía 3 correctas. ¿Cuántas contestó correctamente? A) 20 B) 7 C) 13 D) 21 E) 14 Resolución N° de preguntas en blanco: x N° de preguntas correctas: 3x N° de preguntas incorrectas: (30 – 4x) Del enunciado tenemos: x(0) + 3x(4) + (30 – 4x)(-1) = 82 12x – 30 + 4x = 82 16x = 112 x = 7 Piden: Nº° de preguntas correctas = 3x = 3(7) = 21 Contestó correctamente 21 preguntas. 7.2. EDADES En el tema de edades intervienen sujetos cuyas edades se relacionan a través del tiempo bajo una serie de condiciones que deben cumplirse, dichas relaciones se traducen en una o más ecuaciones según indica el problema. Casos Frecuentes a) Cuando interviene la edad de un solo sujeto Sea la edad actual del suj eto: «n» años, entonces dentro de «a» años tendrá «n + a» años y hace «b» años tenía «n – b» años. Esquema b) Cuando intervienen las edades de dos o más sujetos Para resolver estos tipos de problemas se sugiere el uso de un cuadro de doble entrada con el propósito de ordenar y relaci onar convenientemente los datos. Esquema Observación * La diferencia de edades de 2 personas es constante en cualquier tiempo. * La suma en aspa de valores extremos simétricos es constante. Ejemplo Nº 03 Manuel tiene cuatro veces la edad de su hijo David; dentro de 20 años Manuel tendrá el doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene el hijo actualmente? A) 10 años B) 11 años C) 12 años D) 13 años E) 14 años Resolución Del enunciado tenemos: 4x + 20 = 2 (x + 20) desarrollando x = 10 Piden determinar la edad del hijo: x = 10 años El hijo de Manuel tiene 10 años. Edad actual - b +a n – b n n + a Presente Futuro Pasado Pasado Presente Futuro Sujeto 1 Sujeto 2 EDADES TIEMPOS S U J E T O S Pasado Presente Futuro Manuel David 4x x 4x + 20 x + 20 Edad de Manuel = 2 (Edad de su hijo) Razonamiento Matemático 43 Presente Futuro Pasado Tú Yo Él tenías, tuviste tienes tendrás, tengas tenía, tuve tengo tendré, tenga tenía, tuvo tiene tendrá, tenga Ubicación de expresiones frecuentes, que encontramos en los enunciados en una tabla de doble entrada. c) Relaciones entre el Año de Nacimiento y la Edad de un seujeto Para todo sujeto, se cumple que la relación de su edad actual, su año de nacimiento y el año actual es el siguiente: Cuando el sujeto cumplió años en el presente, se cumple que: Cuando el sujeto todavía no cumplió años en el presente, se cumple que: Ejemplo Nº 04 Gustavo nació en el año xy 19 y en 1 980 tuvo (x + y) años. ¿Cuántos años tendrá el 2 006? A) 35 B) 36 C) 37 D) 38 E) 39 Resolución Como: Año de nacimiento + Edad = Año actual Entonces: xy 19 + (x + y) = 1 980 1 900 + 10x + y + (x + y) = 1 980 11x + 2y = 80 dando valores: 11(6) + 2(7) = 80 En el 2 006, tendrá: 2 006 – 1 967 : 39 años 1 ACTUAL AÑO ACTUAL EDAD NACIMIENTO AÑO ÷ = + ACTUAL AÑO ACTUAL EDAD NACIMIENTO AÑO = + V A t B d 7.3. MÓVILES Los problemas sobre móviles están relacionados al estudio del movimiento de los cuerpos y de sus característ icas fundamentales (distancia, velocidad y tiempo). Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U) Es aquel tipo de movimiento que tiene como trayectori a una línea recta, además se caracteriza por mantener su velocidad constante (módulo, dirección y sentido) durante todo el movimiento. En general: Dado un móvil que se mueve desde el punto «A» hasta «B», según se indica la figura: Se cumple: empleado tiempo recorrida cia tan dis velocidad = Leyes del Movimiento Rectilineo Uniforme t d v = d = vt v d t = TIEMPO DE ALCANCE 2 1 A V V d T ÷ = TIEMPO DE ENCUENTRO 2 1 E V V d T + = V1 V 2 t t d d V1 V2 t t Razonamiento Matemático 44 TREN PUENTE TREN c V L L T + = TREN TREN c V L T = 2 Tren 1 TREN 2 Tren 1 TREN c V V L L T + + = V2 t d V 1 t TIEMPO DE SEPARACIÓN 2 1 E V V d T + = TIEMPO DE CRUCE * Entre un puente * Entre una persona * Entre dos trenes Donde L: longitud del tren y/o del puente d: distancia que separación inicial 2 1 V y V : velocidades Equivalencias notables 1 km < > 1 000 m 18 km/h < > 5 m/s 1h < > 3 600 s 1 min < > 60 s Observación: velocidad del sonido <> 340 m/s Ejemplo Nº 5 Para ir de un punto A a otro B, una persona camina a razón de 8 km/h y para volver al punto de partida lo hace a razón de 5 km/h. Se desea saber el espacio total recorrida por la persona sabiendo que en el viaj e de ida y vuelta ha empleado en total 13 horas. A) 80 km B) 90 km C) 70 km D) 60 km E) 50 km 8 km/h A t 1 B x 5 km/h t 2 Resolución Graficando según el enunciado: Por dato: 13 t t 2 1 = + ¬ 13 5 x 8 x = + x = 40  El recorrido total es: 2x = 2(40) = 80 km. PRÁCTICA Nº 07 Capacidad 01: Razonamiento y Demostración 1. Establece la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. La trayectoria es el movimiento a la curva que describe el cuerpo. II. La cinemática es el estudio de los movi mientos en f unci ón al ti empo independiente de las interacciones que los produce III. Siendo la vel ocidad instant anea constante, necesariamente, la velocidad media es también constante e igual a v. A) FVV B) VFV C) VVF D) VFF E) VVV 2. Con respecto al movimiento de los cuerpos, identifica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Movimiento: es el cambio de posición que experimenta un cuerpo con respecto al tiempo. II. Desplazamiento: cambio de posición de un cuerpo III. Trayectoria: camino que sigue un cuerpo en movimiento. IV. Velocidad: es la distancia recorrida en la unidad de tiempo V. Movimiento rectilíneo uniforme: es el que realiza un móvil que sigue una trayectoria recta A) VVFFV B) VFFVV C) FVVVF D) FVVVV E) VVVVV Razonamiento Matemático 45 5. Esquemat iza a seguir para resolver problemas de ecuaciones : I. Plantear la ecuación II. Designar la incógnita III. Leer y comprender el enunciado IV.Resolver la ecuación V. Discusión e int erpretación de los resultados A) I. II, III, IV, V B) II, III, IV, V, I C) III, IV, V, I II D) III, II, V, I, IV E) III, II, I IV, V 6. Analiza el siguiente enunciado y diga cuantas de estos enunciados son verdaderos: I. El móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales II.La velocidad es constante III. La velocidad y el desplazamiento tienen la misma dirección y sentido IV. La magnitud de la velocidad es igual a la rapidez V.La magnitud del desplazamiento es igual a la rápidez A) 2 B) 5 C) 3 D) 3 E) 4 Capacidad 02: Comunicación Matemática 7. El profesor de un colegio le dice al Director si se forman filas de 7 niños sobran 5, pero faltarían 4 niños para formar 3 filas más de 6 niños. Halla cuántos niños son: A)72 B) 61 C) 68 D) 116 E) 92 8. Un comandante dispone sus tropas formando un cuadrado y ve que le quedan fuera 36 hombres. Entonces pone un hombre más en cada lado del cuadrado y ve que le faltan 75 hombres para completar l cuadrado. Busca cuántos hombres habia en el lado del primer cuadrado y cuántos hombres hay en la tropa. A) 50 y 3 051 B) 55 y 3061 C) 56 y 3060 D) 60 y 3000 E) 55 y 3060 9. En un examen de 30 preguntas, cada respuesta correcta vale 4 puntos, la incorrrecta -1 punto y en blanco 0 puntos. Si un estudiante obtuvo 82 puntos y notó que por cada respuesta en blanco tenia 3 corrrectas. Calcula cuántas contesto incorrectamente. A) 4 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6 10.Un ganadero compró 30 cabaloos más que vacas y tantos cerdos como caballos y vacas juntos, pagando por las vacas el doble que por los caballos, además por dos vacas pagó tanto como por 7 cerdos y gastó lo mismo. Resuelva cuántos animales compró. A)240 B) 180 C) 140 D) 120 E) 200 11.Varios loros se posan en postes con travesaños. Cuando hay un loro en cada poste, 3 loros estan volando pero cuando en cada poste hay 3 loros quedan 3 postes libres. Determina el número de postes. A) 9 B)10 C) 8 D) 6 E) 12 12. En un negocio de aves se venden pavos, gallinas y codornices. Son todos gallinas menos 5, son todos pavos menos 7, y son todos codornices menos 4, si un cliente compró todas las gallinas y codornices, interpreta cuantos: A) Compró 8 aves B) Sólo quedó 1 pavo C) Dejó 3 pavos D) Habian 7 pavos E) Llevó 16 aves 13. 5 libros y 3 cuadernos cuestan 350 soles más caro que 3 libros y 5 cuadernos. Analiza cuántos soles más barato que una docena de libros cuesta una docena de cuadernos. A) 15 B) 20 C) 21 D) 22 E) 20,5 14. Un niño fue con 36 soles para comprar pelotas, pero al llegar a su destino se enteró que cada pelota costaba 1 sol menos de lo que creía, donde dedujo que con el mismo dinero que llevaba podía comprar 3 más de lo que pensó. Resuelva cuántas pelotas compró. A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 Capacidad 03: Resolución de Problemas Razonamiento Matemático 46 15. En una reunión el número de caballeros es dos veces más que el número de mujeres; después de que se retiran 8 parejas el número de hombres que aún queda es igual a cuatro veces el de damas. Interprete cuántos caballeros había inicialmente. A) 16 B) 32 C) 48 D) 64 E) 72 16.Un tren que pasa por delante de un observador inmovil, demora 7 segundos y al pasar por una estación de 360 m. demora 22 segundos. Deduzca su velocidad. A) 20m/s B) 21m/s C) 22m/s D) 23m/s E) 24 m/s 17. La rapidez de un bote de ida es 20km/h; cuando va de regreso (contra la corriente), logra una rapidez de 15 km/h. Halla el espacio recorrido si va de Huánuco a huancayo, sabiendo además que de ida demora 5 horas menos que de regreso. A) 500km B) 150km C) 225km D) 300km E) 180km 18. Una persona sale todos los días de su casa a la misma hora y llega a su trabajo a las 10:00 h; un día se traslada a triple velocidad y llega a su trabajo a las 8:00 h. Juzga a que hora sale siempre de su casa. A) 7:00 h B) 6:00 h C) 5:00 h D) 4:00 h E) 9:00 h 19. En una carrera toman parte 3 cabalolos, «A», «B» y «C» que han de recorrer 1800m. El Caballo «A» llega a la meta con una ventaja de 60 m sobre «B» y 8 segundos antes que «C» y «B», luego de 2 segundos antes que «C». Hala cuánto tiempo tardo en la carrera el caballo «B». A) 1min. B) 1min. 20s C) 2 min. 30 s D) 3 min E) 3 min. 10s 20. Un microbus debía cubrir una ci erta distancia en un determinado tiempo, pero como el conductor era novato, recorrío todo el trayecto con 1/5 menos de la velocidad normal y llego con un retraso de 4 horas. Reconoce en cuántas debío llegar normalmente. A) 12 horas B) 18 horas C) 15 horas D) 19 horas E) 16 horas 21. Dos trenes cuyas longitudes son 147m y 103m marchan sobre vias paralelas en el mismo sentido. Si la velocidad del primero es de 48m/ s y el segundo demoró 50 segundos en pasarlo. Calcula en m/s la velocidad del último tren. A) 25m/s B) 15 m/s C) 12 m/s D) 35 m/s E) 53 m/s 22. Dos motociclistas Javier y Carlos disputan una carrera, cuyo recorrido es de 30 km. Si Javier le da a Carlos 6 km de ventaja, llegan al mismo tiempo a la meta; en cambio si le da 3 km de ventaj a solamente, le gana por 10 minutos.Calcula cuánto más rápido es Javier de Carlos. A) 3,5 km/h B)22,5 km/h C) 18 km/h D) 4,5 km/h E) 14,5 km/h 23. Dos ciclistas corren sobre una pista circular de 360 metros de longitud, si van en el mismo sentido el primero pasa al segundo en todos los minutos; cuando ellos marchan en sentido contrario ellos se cruzan a intervalos regulares de 12 segundos. Halla cuáles son las velocidades de los ciclistas en metros por segundo respectivamente? A) 15 m/s y 18 m/s B) 18 m/s y 14 m/s C) 15 m/s y 12 m/s D) 18 m/s y 12 m/s E) 15 m/s y 14 m/s 24. En una pista circular de 3 000 m, dos atletas parten j untos en sentidos contrarios y se cruzan al cabo de 20 min. Después de 5 minutos llega el más veloz al punto de partida. Busca cuál es la velocidad del otro en m/min? A) 30 m/min B) 36 m/min C) 24 m/min D) 18 m/min E) 20 m/min 25. Dentro de 8 años la suma de nuestras edades será de 46 años; pero hace «n» años la diferencia de nuestras edades era de 4 años. Analiza hace cuántos años la edad de uno era el triple de la edad del otro. A) 10 B) 13 C) 12 D) 11 E) 9 26. Se le pregunto por su edad a ugusto y él responde: «Multipliquen por 3 los años que tendré dentro de 3 años y réstenle el triple de los que tenía hace 3 años y obtendrán precisamente los años que tengo». Resuelva qué edad tenia ahora. A) 11 años B) 18 años C) 20 años D) 22 años E) 25 años Razonamiento Matemático 47 27. Cuando yo tenga el doble de la edad que tu tenías, cuando yo tenia la mitad de la edad que tuve, cuando tu tuviste la edad que yo tengo, tu tendras el doble de lo que tengo, si nuestras edades suman 60 años. Interprete cuántos años tendrás cuando yo tenga lo que ya te dije. A) 24 B) 48 C) 36 D) 42 E) 50 28. Dentro de 10 años tu tendras la edad que yo tenía cuando tu tenías la edad que yo tenía hace 34 años. Halla cuántos años tengo si dentro de 20 años la suma de nuestras edades sera 98. A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 29. Cuando tengas lo que yo tengo, tendrás lo que él tenía, cuando tenías la tercera parte de lo que tienes y yo tenia la tercera parte de lo que él tiene, que es, 5 años más de los que tendré, cuando tengas lo que ya te dije y él tenga lo que tú y yo tenemos. Juzge yo tenía: A) 5 B) 7 C) 8 D) 10 E) 11 30. Dentro de 8 años la suma de nuestras edades será 42 años; pero hace «a» años la diferencia de nuestras edades era de 8 años. Calcule hace cuántos años la edad de uno era el triple de la del otro. A) 2 B) 3 C) 4 D)5 E)6 31. Se le pregunta por su edad a Augusto y él responde: «Multipliquen por 3 los años que tendré dentro de 3 años y restenle el triple delos que tenía hace 3 años y obtendrán precisamente los años que tengo». Analiza qué edad tenia ahora. A) 11 años B) 18 años C) 20 años D) 22 años E) 25 años 32. Hace 12 años la edad de 2 hermanos estaban en relación de 4 a 3, actualmente sus edades suman 59 años. Calcula dentro de cuántos años sus edades estarán en relación de 8 es a 7. A) 9 B) 8 C) 7 D) 20 E) 21 Razonamiento Matemático 48 8.1. CRONOMETRÍA Tiempo transcurrido (TT) y tiempo que falta transcurrir (TFT) Para la resolución de este tipo de problemas, es recomendable tener presente la realización de un esquema; por ejemplo: Para un día Ejemplo Nº 01 Dentro de 10 minutos el tiempo que faltará para las 5:00 pm será l a mitad del ti empo transcurrido desde las 4:00 pm hasta hace 20 minutos. ¿Qué hora es? A) 4:20 p.m. B) 4:30 p.m. C) 4:40 p.m. D) 4:10 p.m. E) 4:35 p.m. Resolución Sea «x» los minutos que indicará la hora correcta: Del gráfico: 2k +k + 20+10 = 60 k = 10 min Cálculo de «x»: x = 2k + 20 = 2(10) + 20 = 40 min Son las 4:40 pm HORA EXACTA Tiempo transcurrido 0 h Tiempo que falta transcurrir 1 Día <> 24h x 24 h (24 – x) x 5:00 TFT TT 1hora <> 60min x 4:00 2k k 10min 20min Ángulos formados por el Minutero y el Horario Cuando el horario se adelanta al minutero Cuando el minutero se adelanta al horar io Ejemplo Nº 02 ¿A qué hora entre las cuatro y las cinco las agujas de un reloj están superpuestas? A) 4 h B) 4 h 11 9 21 min C) 4 h 30 min D) 4 h 12 9 35 min E) 3 h 21min Resolución Como las agujas se encuentran superpuestas, entonces formaran un ángulo de 0°, luego reemplazando los datos tenemos: 30(4) m 2 11 0 + ÷ = ° Desarrollando: m = 11 9 21 min La hora será 4 h 11 9 21 min 8 7 4 12 5 6 3 9 10 2 11 1 o H M 30H M 2 11 + ÷ = o 30H M 2 11 ÷ = o CAPÍTULO VIII CRONOMETRÍA Y CALENDARIOS Razonamiento Matemático 49 Adelantos y Atrasos En este grupo de problemas veremos situaciones donde se encuentran relojes que por un mal funcionamiento se atrasan o se adelantan. Consideremos los siguientes casos: Cuando un reloj se adelanta Cuando un reloj se atrasa Ejemplo Nº 03 Si un reloj se adelanta 6 minutos cada 3 horas y esto ocurrió hace 14 horas. ¿Qué hora sería cuando marca las 19 h 40 min? A) 20 h 08 min B) 19 h 12 min C) 19 h 10 min D) 18 h 44 min E) 19 h 16 min Resolución Según el enunciado: Se adelanta en 6 min 3 horas x 14 horas Por regla de tres simple directa: 3 6(14) x = x = 28 min Entonces: Hora real = 19 h 40 min - 28 min Hora real = 19 h 12 min La hora real sería las 19 h 12 min Tiempo relacionado con Campanadas. En general: Número de campanadas: También: Hora Real = Hora Adelantada – Adelanto Total Hora Real = Hora Atrasada + Atraso Total | . | \ | · | . | \ | ° = intervalo cada de Tiempo intervalos de N Total Tiempo N°de campanadas = N°de intervalos + 1 Ejemplo Nº 04 Un reloj indica las horas con igual número de campanadas. Si para indicar que son las 10:00 am tarda 18 segundos. ¿Qué hora será cuando haya tardado 12 segundos en indicarla? A) 5:00 pm B) 7:00 am C) 8:00 pm D) 5:00 am E) 8:00 am Resolución Según el enunciado: # campanadas # intervalos tiempo 10 9 18 s x x – 1 12 s Por regla de tres simple directa: 9(12) = 18 (x – 1) x = 7 Por dato: Hora marcada = N°de campanadas Será las 7:00 am Relaciones entre el desplazamiento del HORARIO y el MINUTERO Desplazamiento Desplazamiento del minutero del horario 60 min 5 min ó 30° 30 min 2,5 min ó 15° 24 min 2 min ó 12° 12 min 1 min ó 6° 1 min 1/12 min ó 1°/2 En general: Ejemplo Nº 05 ¿Qué hora indica el reloj de la figura? A) 7 h 24 2/3 min B) 7 h 23 1/13 min C) 7 h 24 1/13 min D) 7 h 23 2/13 min E) 7 h 24 3/13 min 8 7 4 12 5 6 3 9 o o m h « x » min x/12 min « 6x°» x°/2 Razonamiento Matemático 50 Resolución Del gráfico: 30°+ m/2 = o …. (1) o +180°= 2o + 6m ….(2) Reemplazando (1) en (2): m = 23 1/13 Será las 7 h 23 1/13 min. 8.2. CALENDARIOS Considerar los siguientes días de cada mes: Enero = 31 Febrero = 28 ó 29 (Bis) Marzo = 31 Abril = 30 Mayo = 31 Junio = 30 Julio = 31 Agosto = 31 Setiembre = 30 Octubre = 31 Noviembre = 30 Diciembre = 31 Además; los días se repiten cada 7 días. PRÁCTICA Nº 08 Capacidad 01: Razonamiento y Demostración 1. Identifique cuantos de estos enunciados son incorrectos. I. Un año es bisiesto si es divisible por 4, excepto el último de cada siglo (aquel divisible por 100), salvo que éste último sea divisible por 400. II. Una Luna equivale a 28 dias III. El año vigesimal y solar son 360 y 365 dias IV. Si hoy es sabado, entonces dentro 160 dias sera viernes V. Si tu naciste el lunes 23 de noviembre de 1981, entonces tu cumpleaños en el año 2025 caera el día domingo A) 0 B) 1 C) 2 D) 5 E) 3 8 7 4 12 5 6 3 9 o o m h m 2 6m 30° 2. De las siguientes afirmaciones sobre relojes, reflexiona cuál es falso: A) Las agujas de un reloj se encuentran a 180º cuando estan en linea recta. B) Para que un reloj defectuoso, que sufre adelantos o atrasos, vuelva a marcar la hora correcta por primera vez, es necesario que acumule un adelanto o atraso total de 12 horas. C) Las aguj as de un reloj estan superpuestas marcan un ángulo de 0º. D) El angulo de arrastre de horario es 6mº. E) El tiempo de cada intervalo es igual en un campanario es igual al tiempo total entre el cociente de números de intervalos. 3. Estalece el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados: I. El horario y el minutero de un reloj se superponen 23 veces al día. II. Las agujas de un reloj (horario y minutero) forman un ángulo de 90º, 48 veces al día. III. Las agujas de un reloj (horario y minutero) forman 24 veces al día un ángulo llano. A) FVV B) VVF C) VFV D) VVV E) VFF Capacidad 02: Comunicación Matemática 4. Relaciona los siguientes datos sobre la hora y el tipo de desplazamiento de las manecillas del reloj entre los datos de derecha a izquierda. Desplazamiento Desplazamiento del minutero del horario a. 48 min I. 22,5º b. 90 min II. 15º c. 30 min III. 4 min d. 45 min IV. 7.5 min A) aIV, bI, cII, dIII B) aIV, bIII, cII, dI C) aIV, bII, cIII, dI D) aIII, bII, cIV, dI E) aIII, bIV, cII, dI Razonamiento Matemático 51 5. Sean las fórmulas «A» y «B» que relacionan al horario, minutero y el ángulo que éstas f orman; identif ica las f órmulas con las respectivas horas. a. 4:36 ( ) b. 7:18 ( ) c. 17:36 ( ) d. 3:20 ( ) A) BBBA B) AABA C) BABA D) BABB E) BBAA Capacidad 03: Resolución de Problemas 6. El reloj de Neyer da «n» campanadas 12 segundos. Halla cuántas campanadas se daran (12n +12) segundos. A) n 2 +1 B) n 2 +2 C) n 2 -1 D) n 2 E) 2n 2 7. Un boxeador da 6 golpes por minuto, Calcula cuantos golpes dara en 10 minutos. A) 61 B) 51 C) 50 D) 60 E) 71 8. Un reloj de campanario demora 1 min 27 seg en dar cierta cantidad de campanadas, si las campanadas son como 10 veces el tiempo que hay entre campanada y campanada. Resuelva cuánto demora en dar 6 campnadas. A) 39s B) 17s C)120s D) 24s E) 15s 9. Son más de las 3 pero aún no son las 4. Si los minutos transcurridos desde las 3 es el triple de los minutos que faltan transcurrir para que sean las 4. Juzga qué hora es: A) 3:50 p.m. B) 3:45 p.m. C) 3:40 p.m. D) 3:30 p.m. E) 3:15 p.m. 30H M 2 11 + ÷ = o 30H M 2 11 ÷ = o A B 10. El tiempo máximo que debe tardarse en resolver este problema se descompone del modo siguiente: 1/25 del total en leerlo, 1/4 en planteralo, 41/100 en operarlo y minuto y medio en comprobarlo. Analiza qué tiempo tardaría. A) 4 min B) 7 min C) 1 min D) 5 min E) 2 min 11. Siendo las 8 a.m. empieza a adelantarse un reloj 5 min cada hora. Plantea qué hora marcará cuando la hora corrrecta sea 9 p.m. del mismo día. A) 10:10 p.m. B) 10:12 p.m. C) 10:05 p.m. D) 10:18 p.m. E) 10:20 p.m. 12. Un reloj marca la hora exacta a las 6 p.m. Suponiendo que se adelanta 3 min cada 12 h a partir de dicha hora. Aplica cuánto tiempo pasará para que marque la hora exacta nuevamente. A) 120 días B) 150 días C) 180 días D) 75 días E) 60 diás 13. Dos relojes se sincronizan a las 8 a.m. uno de ellos se adelanta 3 minutos cada cuarto de hora y el otro se adelanta 4 minutos cada hora. Plantea cada cuánto tiempo marcaran la misma hora. A) 108 h B) 60 h C) 90 h D) 75 h E) 30 h 14. Un reloj señala las 4:00 p.m. del día. Analiza a que hora las dos agujas del reloj formar un ángulo recto inmediatamente después de la hora indicada. A) 4 horas 20 minutos B) 4 horas 6 3/11 minutos C) 4 horas 12 5/11 minutos D) 4 horas 8 3/11 minutos E) 4 horas 5 5/11 minutos 15. Formula cada cuántos minutos las manecillas del reloj estan perpendiculares. A) 3600/11 B) 240/11 C) 210/11 D) 480/11 E) 320/11 Razonamiento Matemático 52 16. Analiza que hora señala segun gráfica: A) 6:28:48 B) 6:27:48 C) 6:26:48 D) 6:28:40 E) 6:27:45 17. María sale de su casa cuando su reloj esta marcando las 09:00 h y llega a la academia cuando el reloj de ésta muestra la hora que se indica en la figura. Busca qué tiempo duró su viaje, si su reloj está adelantado 5 minutos y el de la CEPREVAL esta atrasado 5 minutos. A) 3 min 20 s B) 23 min 20 s C) 13 min 20 s D) 33 min 20 s E) 24 min 20 s 18. Calcula que hora señala el reloj: A) 4:40 B) 4:42 C) 4:37 D) 4:35 E) 4:36 19. Se construye un reloj que tiene el horario más grande que el minutero, cuando Mary ve la hora dice: «son las 9:29, si el ángulo ue forman las manecillas es 114º». Juzga qué hora es en realidad. A)5:47 B) 5:45 1/7 C) 5:48 3/13 D) 5:48 E) 5:47 5/7 20. Naldy se despierta, ve la hora y confunde el minutero con el horario y viceversa y dice: «son las 04:42 h es temprano seguiré durmiendo». Comprueba qué hora era realmente. A) 08:23 h B) 08:22 h C) 08:25 h D) 08:24 h E) 08:21 h 1 2 10 12 o 2o ) 3 4 5 6 7 8 9 11 1 2 3 4 5 6 12 o 3o 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 o o+20 ) 6 7 8 9 10 12 11 21. Un reloj indica las horas con igual número de campanadas. Si para indicar que son las 10:00 a.m. tarda 18 segundos. Plantea qué hora será cuando haya tardado 12 segundos en indicarla. A) 5:00 pm. B) 7:00 am. C) 8:00 pm. D) 5: 00 am. E) 8:00 am. 22. Elabora que hora será dentro de 5 horas. Si el triple de las horas transcurridas del día, es igual al quintuplo de las que faltan para términar el día. A) 10: 00 am. B) 8:00 am. C) 8:00 pm. D) 7:00 pm. E) 9:00 pm. 23. Margarita sale de la oficina y al marcar su tarjeta de salida ve que son las 6 h 17 min de la noche. Al llegar a su casa ve que su reloj son las 7h 10min . Luego se entera de que el reloj de su oficina estaba atrasado 13 minutos y su reloj estaba adelantado en 10 minutos. Resuelva cuánto tiempo demoró de la oficina a su casa. A) 43 min B) 3/4 min C) 3/5 min D) 1/2 h E) 23 min 24. Manuel al ser interrogado por la fecha de su matrimonio, contesto: «La ceremonia se realizó transcurrido de aquel año era igual a la cuarta parte de lo que faltaba por transcurrir». Analiza en que f echa y hora se casó Manuel(febrero 28 dias) A) 02 de mayo, 18h. B) 30 de abril, 15 h C) 31 de abril, 10 h D) 03 de mayo, 19 h E) 01 de mayo, 16 h 25. Tania nació en el año de 1988 a las 8:00h de un día tal que los días transcurridos del año eran igual a la quinta parte de los días que faltabsn transcurrir. Dar la fecha de nacimiento de Tania, sabiendo que el primero de enero de 1988 fue lunes y el año fue bisiesto A) Sábado 4 de marzo de 1988 B) Sábado 5 de marzo de 1988 C) Viernes 4 de marzo de 1988 D) Viernes 5 de marzo de 1988 E) Sábado 2 de marzo de 1988 Razonamiento Matemático 53 9.1. PERÍMETROS Perímetro Se denomina perímetro (2p) de una figura, a la suma de las longitudes de todos sus lados o la longitud de curva que rodea a una detreminada figura. Notación: 2p = Perímetro p = Semiperímetro Principales fórmulas básicas 1. Perímetro de un cuadrado 2. Perímetro de un rectángulo 3. Perímetro de un triángulo 4. Perímetro de un triángulo equilátero 5. Longitud de una Circunferencia 6. Longitud de arco «AB» LO = 2 t R R o B A R B A L 2 L L AB t = LAB = ° o t 180 R 7. Suma de l ongitudes de semicircunferencias trazadas en una línea recta AB Ejemplo Nº 01 Calcula el perímetro de la figura sombreada, si el lado del cuadrado mide 6 m. (Obs: Las curvas son semicircunferencias) A) 4t m B) 8 m C) 12t m D) 15t m E) 24t m Resolución El perímetro de la región sombreada es igual a la suma de las longitudes de las líneas curvas que pasan por los vértices del cuadrado. Del gráfico: Longitud de la curva AB = 2 AB t = 3t m Longitud de la curva BC = 2 BC t = 3t m Longitud de la curva CD = 2 CD t = 3t m Longitud de la curva DA = 2 DA t = 3t m Luego, el perímetro total es: 4 (3t m) = 12t m El perímetro es 12t m L 2p = 4L B h 2p = 2(B+h) b a c 2p = a + b + c L 2p = 3L B A C D CAPÍTULO IX PERÍMETROS Y ÁREAS DE REGIONES SOMBREADAS Razonamiento Matemático 54 9.2. ÁREAS Área de una superficie El área de una superficie limitada, es la medida de su extensión, indicada por un número positivo único, acompañado de una unidad adecuada. Para simbolizar el área de una región cualquiera se usa comúnmente las letras mayúsculas A o S. ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES 1. Área de un cuadrado 2. Área de un rectángulo 3. Área de un rombo 4. Área de un trapecio 5. Área de un paralelogramo ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES 6. Área de un triángulo / Fórmula General 7. Área de un triángulo equilátero S = h ) 2 b B ( + b B h 3 3 h S 2 = L h 4 3 L S 2 = S = o sen 2 ab a b o R S = t R 2 8. Área de un triángulo / forma trigonométrica 9. Área de un triángulo en función de sus tres lados / Fórmula de Herón Donde: 2 c b a p + + = 10. Área de un triángulo inscrito 11. Área de un triángulo circunscrito P = Semiperímetro ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES 12. Área de un círculo 13. Área de un sector circular 14. Área de una corona circular b a c ) c p )( b p )( a p ( p S ÷ ÷ ÷ = S = P x r c a r b r R S = ) r R ( 2 2 ÷ t S = 2 h B× B h S = B×h B h S = L 2 L S = 2 d D× d D S = (a×b) sen o a b h o S = 4 c b a × × R c a b S = º 360 ) ( R 2 o t R o Razonamiento Matemático 55 S S B A C M 2 S S ABC = Propiedad del Baricentro En todo triángulo, al trazar las tres medianas se determi nan seis triángulos parci ales equivalentes. donde: «G» es Baricentro PROPIEDADES DE FIGURAS QUE SE OBTIENE AL UNIR LOS PUNTOS MEDIOS En un cuadrilátero En un triángulo Casos particulares I caso: II caso: B A C D 4S 3S S 3S S 3S S 3S S B A C D S S S S S B A C 20 S S ABCD = 4 S S ABC = 2 S S ABCD = B A C D S S B A C D 12 S S ABCD = S S S S S S B A C G 6 S S ABC = T r A E B AE = EB c a r b c a b PRINCIPALES TEOREMAS Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos. 2 2 2 a c b + = Teorema de Poncelet En todo triángulo rectángulo se cumple que la suma de las longitudes de sus catetos es igual a la suma de la longitud de su hipotenusa y el doble del inradio de dicho triángulo. c + b = a + 2r PRINCIPALES PROPIEDADES Propiedades en la circunferencia I. Todo radio hacia el punto de tangencia es perpendicular a la tangente. donde: «T» es punto de tangencia II. Las tangentes trazadas a una misma circunf erencia, desde un punto común son congruentes (iguales). Propiedad de la mediana En todo triángulo, al trazar una mediana (AM) se determi nan dos triángulos parci ales equivalentes. Razonamiento Matemático 56 Relación de áreas en triángulos semej antes Si 2 triángulos son semejantes, la relación de sus áreas es igual a la relación de los cuadrados de los elementos homólogos. LUNULA DE HIPÓCRATES Ejemplo Nº 02 Halla el área de la región sombreada, si la medida de AB es igual a «a» unidades. A) a 2 (t – 2) B) a 2 (t – 3) C) a 2 (t – 2)/2 D) a 2 (t – 2)/4 E) a 2 (t – 3)/2 Resolución Trazando el segmento AB y trasladando las regiones sombreadas como se muestra en la figura Del gráfico: = – Luego: somb S = 2 axa 4 ) a ( 2 ÷ t somb S = 2 a 4 a x 2 2 ÷ t somb S = 4 ) 2 ( a 2 ÷ t El área sombreada mide: 4 ) 2 ( a 2 ÷ t Ejemplo Nº 03 Si ABCD es un cuadrado, calcula el área de la región sombreada. A) 6 cm 2 B) 9 cm 2 C) 12 cm 2 D) 16 cm 2 E) 18 cm 2 Resolución Trazando la otra diagonal y trasladando las regiones sombreadas como se muestra en la figura Luego el área de la región sombreada es la cuarta parte del área total. somb S = 4 L 2 = 4 6 2 = 9 m 2 El área de la región sombreada es 9 m 2 . B A D B A C D B A C D B A C D 6cm B A D B A D A B C X M Z Y M = X + Y + Z 2 2 2 2 2 2 2 2 MNP AMB y h ..... r R n b m a S S = = = = = R c a b h C A B r p m n y P M N Razonamiento Matemático 57 PRÁCTICA Nº 09 Capacidad 01: Razonamiento y Demostración 1. Identifica el enunciado incorrecto: A) El área de un círculo es  por el cuadrado de su radio B) Si el área de un círculo y su perímetro son numéricamente iguales entonces el radio es 2 unidades C) El área de una región hexagonal regular de lado x es 3 3 x 2 /2 D) El área de un triángulo equilátero de lado «a» es a 2 /4 E) La circunferencia no tiene área. 2. Infiere el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones I. Toda región poligonal tiene perímetro II. Un triángulo no tiene perímetro ni área III. El área de una región cuadrada es la longitud de su lado al cuadrado A) FFF B) VVF C) VFV D) VVV E) FFV 3. Analiza el gráfico y determina la verdad o falsedad de las proposiciones, sabiendo que cada recuadro contiene 4cm 2 de área. I. El perímetro es 36 cm II. El área de la región sombreada es: (21 / 4 + 80) cm 2 III. El área de la región sombreada es: (64 - 21  /4 + 80) cm 2 A) FFF B) VVV C) VFF D) FVV E) VVF 4. Identif ica la f igura que tiene dif erente perímetro a las demás si cada uno esta inscrito en cuadrados congruentes. A) B) C) D) E) 5. Analiza e indica el enunciado incorrecto con relación a un círculo. A) Son todos los punt os de una circunf erencia y la región plana comprendida en ella. B) Su perímetro es una circunferencia C) Su perímetro no es un polígono D) Su centro siempre es parte del diámetro E) Se determina como todos los puntos en el plano que equidistan de un punto fijo Capacidad 02: Comunicación Matemática 6. Determina la relación correcta respecto al área sombreada de la figura mostrada A) S =A 2 /8 B) S =A 2 /12 C) S =A 2 /32 D) S =5A 2 /48 E) S =A 2 /20 7. Determi na el perímetro de la región sombreada si la relación entre los lados de los cuadrados es «a + 2x = b» A) 4(a + c – 2b) B) 4(a + b – c) C) 2(a + b – 2c) D) 2(a + c – 2b) E) 4(a + b – 2c) 8. Determina el área del circulo sombreado: a(2+ 2 ) A) a  B) a 2  C) a 2 (-2  -1) D) 2a 2  E) a 2  A X X Razonamiento Matemático 58 9. Analiza el gráf ico el área de la región sombreada. Si ABC es un triángulo equilátero de lado «2a» A) | . | \ | ÷ 3 3 2  a B) | . | \ | + 3 3  a C) ( )  + 3 a D) ( )  ÷ 3 2 a E) ( )  2 3 2 + a 10. Determina en el triangulo su área si su lado es 4 3 2x A) x 2 B) 2x C) 3x 2 D) x 2 3 E) x 2 2 3 Capacidad 03: Resolución de Problemas 11.El triángulo de la figura es equilátero de 10cm de lado. Halla de la región sombreada perímetro. A) 15(2 + p) B) 15(2 - p) C) 30 (1 + 2p) D) 10(2 + p) E) 5(2 + p) 12. Calcula el Área de la región sombreada si: AD // BC; AB // ED. A) 47m 2 B) 22m 2 C) 34m 2 D) 28m 2 E) 44 m 2 13. En la figura, los lados de los cuadrados son 5m y 2m. Halla el área sombreada. A) 19m 2 B) 15m 2 C) 22m 2 D) 21m 2 E) 20m 2 14. Halla el área de la región sombreada si el radio de las circunferencias menores es un metro. A) 2(32 - 9p)m 2 B) 4(32 - 3p)m 2 C) 4(32 - 9p)m 2 D) 2(16 - 9p)m 2 E) 4(16 - 3p)m 2 15. En el hexágono regular, halla el área de la región sombreada A) 2 3 B) 3 C) 3 D) 4 E) 6 16. Calcula el valor de S 1 - S 2 en el cuadrado ABCD A) 3p - 6 B) 3p - 8 C) 3p -10 D) 3p - 5 E) 3p 17. Halla el perímetro de la región sombreada; si A, B, C y D son puntos medios de los lados del cuadrado. A) 16(1 + 5 /5)cm. B) 16(2 + 5 /5)cm. C) 16(4 + 2 5 / 5)cm. D) 16(6 + 5 / 5)cm. E) 16(4 + 3 5 / 5)cm. C D A B 4cm Razonamiento Matemático 59 18. Calcula el perímetro de la siguiente región sombreada: 16 3 m A) 16(p+ 3 )m B) 16(p+2 3 )m C) 16(p+ 3 +1)m D) 64(p+ 3 )m E) 16(p+ 3 - 2)m. 19. En la figura el triángulo ABC es equilátero y MN // AC Halla el área sombreada A) 6 3 m 2 B) 6m 2 C) 3 3 m 2 D) 3 m 2 E) 8 3 m 2 20. Halla el porcentaj e de la región comprendida en el hexágono regular es el área de la región sombreada. A) 62,5% B) 25% C) 37,5% D) 35% E) 40% 8 m 8 m 10m 12m 21. Sabiendo que MNPQ es un cuadrado, se pide calcula A x , sabiendo que: A 1 + A 2 + A 3 = 25m 2 A) 20m 2 B) 25m 2 C) 30m 2 D) 35m 2 E) 40m 2 22.. El radio de la circunferencia es «2R». Calcula S 2 /S 1 , sabiendo que el ángulo formado por MT y NT mide 60º, además MN // PQ. A) 3/2 B) 7/4 C) 5/4 D) 15/11 E) 4/3 23. Si el área de ABCD es 100m 2 , calcula el perímetro. A) 25pm 2 B) 20(p + 1)m C) 20(p - 1)m D) 50pm E) 25m 24.En la figura, AH = 4 cm ; AC = 13 cm . “H” es punto de tangencia y “O” es centro. Halla el área sombreada. A) 5 cm 2 . B) 9 cm 2 . C) 7,5 cm 2 . D) 4,5 cm 2 . E) 4 cm 2 . 25. Halla el área sombreada si S1 = 22 m 2 . Si ABCD : cuadrado A) 8 cm 2 . B) 4 cm 2 . C) 6 cm 2 . D) 9 cm 2 . E) 5 cm 2 . A B C D A B C 0 H A B C D S 1 Razonamiento Matemático 60 10.1. FRACCIONES Fracción Se denomina fracción a la expresión de la forma b a ; donde: · b a = ; + eZ a . + eZ b RELACIÓN PARTE - TODO Es la relación entre una parte de un total y el respectivo total (todo). Parte Número de partes que se consideran. Todo Número de partes en que se divide la unidad. REPRESENTACIÓN GRÁFICA 1 < > total < > 7 partes iguales. 3 partes El área sombreada con respect o al total representa los tres séptimos. FRACCIÓN DE FRACCIÓN Se llama así a las partes que se consideran de una f racción que se ha dividido en partes iguales. Ejemplo Nº 01 El total se divide en 6 partes iguales, una de esas partes se divide en 4 partes iguales; entonces cada una representa: 4 1 de 6 1 de 1< > 1 x 6 1 x 4 1 < > 24 1 TODO PARTE f = Principales fracciones a) Fracciones Homogéneas Son aquellas fracciones que poseen igual denominador. Ejemplo: 3 1562 , 3 25 , 3 5 , 3 7 , 3 2 b) Fracciones Heterogéneas Son aquellas fracciones que poseen diferente denominador. Ejemplo: 1000 3 , 51 234 , 5 3 , 2 5 , 7 3 c) Fracción Propia Es aquella fracción donde el numerador es menor que el denominador. Ejemplo: 10 1 , 8 7 , 22 11 , 8 3 d) Fracción Impropia Es aquella fracción donde el numerador es mayor que el denominador. Ejemplo: 3 313 , 9 10 , 5 12 , 3 7 e) Fracción Equivalente Dos o más fracciones son equivalentes, si expresan la misma parte de un todo, aun cuando sus términos sean diferentes. Ejemplo: 7 x 7 7 x 4 7 4 = ¬ 49 28 7 4 = f) Fracción Irreductible Son aquellas fracciones cuyo numerador y denominador son primos entre sí. Ejemplo: 37 11 , 19 9 , 5 13 , 3 7 CAPÍTULO X FRACCIONES, RAZONES Y PROPORCIONES Razonamiento Matemático 61 g) Fracción Decimal Es aquella fracción donde el denominador es una potencia de 10. Ejemplo: 10000000 11 , 100 9 , 1000 13 , 10 7 h) Fracción Ordinaria Es aquella fracción donde el denominador no es una potencia de 10. Ejemplo: 1237 11 , 4 9 , 11 13 , 23 7 GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL Se llama así a la fracción que genera a los números decimales exactos e inexactos periódicos (puros o mixtos). a) Decimal Exacto * 0, 37 = 100 37 * 0, 9 = 10 9 * 1, 237 = 1000 1237 En el numerador se coloca la parte decimal. En el denomi nador se coloca l a uni dad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el número dado. b) Decimal Periódico Puro * 0, 373737…= 37 , 0 = 99 37 * 0, 777…= 7 , 0 = 9 7 * 2 , 1 = 1 + 9 11 9 2 = En el numerador se coloca la(s) cifra(s) que se repiten. En el denominador se coloca tantos nueves como cifras tiene el número que se repite. c) Decimal Periódico Mixto * 0,1292929…= 129 , 0 = 990 1 129 ÷ * 0,27333…= 3 27 , 0 = 900 246 900 27 273 = ÷ * 1,222…= 2 , 1 = 9 11 9 1 12 = ÷ En el numerador se coloca la parte decimal y se le quita la parte que no se repite. En el denominador se coloca tantos nueves como cifras tiene el período (lo que se repite) seguida de tantos ceros como el número de cifras no periódicas. EXTRACCIÓN Y REPOSICIÓN DE FRACCIONES DE VOLÚMENES En el caso de que nos hablen de un sólo líquido se procede de la siguiente manera: Luego se procede con fracción de fracciones de las fracciones que quedan del total de litros. REDUCCIÓN A LA UNIDAD Es aquel procedi miento que consist e en homogenizar lo hecho por cada elemento en una unidad de tiempo. El procedimiento consiste en determinar el avance por unidad de tiempo, para lo cual basta tomar la inversa al tiempo total, así por ejemplo: Si el caño «A» llena el tanque en 4 horas Entonces en una hora llenará la 4 1 parte del total Razonamiento Matemático 62 Ejemplo Nº 02 Un caño A llena una piscina en 3 horas y otro caño B la llena en 6 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará la piscina, si estando vacía se abren los dos caños? A) 9 h B) 2 h C) 4,5 h D) 1 h E) 1/2 h Resolución Sea «T» la capacidad de la piscina, entonces: El caño «A» en una hora llena: 3 1 T El caño «B» en una hora llena: 6 1 T Luego juntos en una hora llenan: x 1 T x 1 6 1 3 1 = + ¬ x = 2 Los dos caños llenan la piscina en 2 horas 10.2. RAZONES Razón. Se llama razón al resultado de comparar 2 cantidades; esta comparación se puede hacer de dos modos «sustracción o división». a) Razón Aritmética La razón aritmética determina en cuánto es mayor una cantidad respecto a otra cantidad para lo cual se hará una sustracción. a – b = r donde: a = antecedente b = consecuente r = razón aritmética b) Razón Geométrica La razón geométrica calcula cuántas veces una cantidad contiene a otra, en este caso se hará una división. b a = K donde: a = antecedente b = consecuente k = razón geométrica 10.3. PROPORCIONES Proporción. Se denomina proporción a la igualdad de dos razones. CLASIFICACIÓN DE LAS PROPORCIONES 1°PROPORCIÓN ARITMÉTICA a – b = c – d terminología: a y c : antecedentes b y d : consecuentes a y d : términos extremos b y c : términos medios Propiedad de la Proporción Aritmética En cualquier proporción aritmética se cumple que: «La suma de los términos extremos es igual a la suma de los términos medios». Clasificación de las proporciones aritméticas Proporción Aritmética Continua a – b = b – c ¬ b = 2 c a + b : media aritmética o media diferencial c : tercera diferencial Proporción Aritmética Discontinua a – b = c – d d : cuarta diferencial 2°PROPORCIÓN GEOMÉTRICA b a = d c terminología: a y c : antecedentes b y d : consecuentes a y d : términos extremos b y c : términos medios Propiedad de la Proporción Geométrica En toda proporción geométrica se cumple que: «El producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios». Razonamiento Matemático 63 Clasificación de las proporciones geométicas Proporción Geométrica Continua b a = c b ¬ b = c . a b : media geométrica o media proporcional c : tercera proporcional Proporción Geométrica Discreta b a = d c · a = b = c = d d : cuarta proporcional Propiedades Dada la proporción geométrica: b a = d c «Cualquier variación de suma y/o resta en los términos de la primera razón será igual a la misma variación respectiva con los términos de la segunda razón». 1°) b a a + = d c c + 2°) b a b ÷ = d c d ÷ 3°) a b a ÷ = c d c ÷ 4°) b a d b c a = + + = d c 5°) b b a + = d d c + 6°) b a d b c a = ÷ ÷ = d c 3°PROPORCIÓN ARMÓNICA Sean cuatro cantidades a, b, c y d (diferentes de cero); estas f ormaran una proporción armónica cuando sus inversas a 1 , b 1 , c 1 y d 1 formen una proporción aritmética. a 1 - b 1 = c 1 - d 1 ¬ c d a b ÷ ÷ = d . c b . a SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES Se denomina así al conj unto de más de 2 razones que tienen el mismo valor. En general: 1 1 b a = 2 2 b a = 3 3 b a = ... = n n b a = K …(I) donde: a 1 , a 2 , a 3 …, a n : antecedentes b 1 , b 2 , b 3 …, b n : consecuentes K : constante de proporcionalidad De (I) despejando tenemos que: : : : k b a k b a k b a 3 3 2 2 1 1 = = = Propiedades 1° Propiedad k b .... b b b a .... a a a n 3 2 1 n 3 2 1 = + + + + + + + + o también: 1 1 n 3 2 1 n 3 2 1 b a b .... b b b a .... a a a = + + + + + + + + 3 2 1 3 2 1 b b b a a a + + + + = k 2° Propiedad n n 3 2 1 n 3 2 1 k b .... b . b . b a ..... a . a . a = o también: 2 2 1 2 1 k b . b a . a = ; 4 4 3 2 1 4 3 2 1 k b . b . b . b a . a . a . a = 3° Propiedad m 1 m 1 b a = m 2 m 2 b a = m 3 m 3 b a = ... = m n m n b a = K m ¬ m m n m 3 m 2 m 1 m n m 3 m 2 m 1 k b .... b b b a .... a a a = + + + + + + + + Razonamiento Matemático 64 PRÁCTICA Nº 10 Capacidad 01: Razonamiento y Demostración 1. Indica la alternativa incorrecta con respecto al conjunto d los números Racionales (Q) A) Todo número fraccionario pertenece al conjunto Q B) El 5 es un es un número Racional C) 8/2 es un número Racional D) 6/2 no es un número fraccionario E) El conjunto de los números enteros es subconjunto del conj unto de los números fraccionarios 2. Identifica la relación correcta. I. Número fraccionario a) 0/7 II. Numero entero no positivo b) 2/3 III. Número natural c) 8/2 A) Ic; IIa; IIIb B) Ib; IIc; IIIa C) Ic; IIb; IIIa D) Ib; IIa; IIIc E) Ia; IIc; IIIb 3. Indica la alternativa que corresponde a una f racción, donde el numerador es 1/3 del denominador A) Es equivalente a un tercio B) Es menor que la unidad C) Es una fracción propia D) El denominador es el triple del numerador E) Es equivalente a 3 1 1 4. Infiere la relación correcta I. 5 3 a) 0,16666… II. 3 1 b) 0,06666… III. 60 2 c) 0,6 IV. 6 1 c) 0,6666… A) Ic; IId; IIIb; IVa B) Ib; IId; IIIa; IVc C) Ic; IId; IIIa; IVb D) Id; IIa; IIIc; IVb E) Ia; IIc; IIIb; IVd 5. «Si los antecedentes de una proporción geométrica son iguales» . Identifica la verdad o falsedad de los siguientes enunciados: I. Todos sus términos son iguales. II. Es una proporción continua III. Sus consecuentes son iguales A) FVV B) VVV C) FVF D) VFF E) FFV 6. Anticipa el valor de verdad de los siguientes enunciados. I. La media diferencial es igual a la raíz cuadrada de los términos extremos II. Una proporción continua tiene sus términos extremos iguales III. La media aritmética es la semisuma de los términos extremos A) FVV B) FFV C) FVF D) VFF E) FFF Razonamiento Matemático 65 7. Si: m – n = 12 y 5 6 n m = ; Identifica cuáles de los enunciados son incorrectos I. La media diferencial de m y n es 66 II. La tercera proporcional entre 50 III. La media proporcional de m y n excede a su tercera proporcional en 16 A) FVV B) FFV C) FVF D) VFF E) VVF Capacidad 02: Comunicación Matemática 8. Analiza el siguiente enunciado y determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: «Tengo los tres cuartos de lo que me falta» I. Tengo 2/5 del total II. Me falta 4/5 del total III. Tengo dos veces menos de lo que me falta A) FFF B) VFV C) FVF D) VVV E) VFF 9. Interpreta la alternativa incorrecta de acuerdo a la siguiente proporción K 27 18 18 12 6 4 = = = A) K = 2/3 B) 3K 2 = 4/3 C) K + 4/3 = 2 D) 3K = 2 E) K + K/2 = 3/2 10. Organiza en forma decreciente los números y determina la alternativa correspondiente. I. 28/9 II. 7/3 III. 14/5 IV. 70/32 A) I; II; III; IV B) I; III; II; IV C) IV; II; III; I D) IV; I; II; III E) I; IV; II; III 11. infiere la proporción e identifica la alternativa que no corresponde d c b a = A) d c c b a a + = + B) d c - d b a - b = C) d d c d b a + = + D) d c b a d - b c - a = = E) d - d d - c b - b b - a = 12. En la fracción 1/ x analiza cuales de los enunciados son verdaderos. I. Si x pertenece a N su grafico en R 2 son puntos II. Si x pertenece a Z su grafico en R 2 es una recta III. Si x pertenece a R su grafico en R 2 es una Hipérbola. A) I y II B) II y III C) I y III D) I; II y III E) Sólo II 13. Interpreta el valor de verdad si: 26 (n) abc (n) abcabc... 0, = | . | \ | . I. a = 2 II. (a + b+ c) = 3 III. (n) abc =7 A) I y II B) II y III C) I y III D) I, II y III E) Sólo II Razonamiento Matemático 66 14. Analiza las proposiciones verdaderas de acuerdo al sigui ente enunciado: (5) mnmnmn... 0, = (7) ... (2m)n(2m)n 0, I. nnn... o, …= 4/9 II. (n) mn 0, = 17/50 III. (n) mnmnmn... 0, = 1 A) I y II B) II y III C) I y III D) I; II y III E) Sólo II Capacidad 03: Resolución de Problemas 15. De un grupo de damas se sabe que los 4/5 son señoras, y del resto los 3/4 son señoritas; siendo las 4 restantes niñas. Halla la diferencia entre el número de señoras y de señoritas A) 48 B) 50 C) 52 D) más de 52 E) menos de 48 16. Calacula cuál es la fracción irreductible que dividida entre su reciproco da como resultado el decimal 0,751111… A) 11/15 B) 26/14 C)2/7 D) 13/20 E) 13/15 17. Los 3/4 de un barril más 7 litros son de vino y 1/3 menos 20 litros son de agua Determina cuántos litros de agua hay en el recipiente. A) 124 B) 108 C) 136 D) 112 E) 118 18. Meyer empezó a jugar casino con cierta cantidad de dinero perdiendo el primer juego 1/ 4 de su dinero, en el segundo juego ganó s/ 5, en el tercer juego perdió 1/7 de lo que tenía hasta ese momento y el último juego gana s/ 3, retirándose con s/ 15. Calcula qué parte de lo que tenia al inicio gano o perdió Meyer. A) Perdió 5/6 B) Ganó 5/2 C) Ganó 5/3 D) Ganó 5/4 E) Perdió 5/5 19. Si «a» y «b» son números naturales tal que: ... 0363636 , 1 = + 5 b 11 a Halla 3a + 4b. A) 22 B) 25 C) 29 D) 65 E) 68 20. Mientras una piscina está vacía se abren 2 llaves y un desagüe que lo llenan y lo vacían en 3, 6 y 4 horas respectivamente. Analiza en que tiempo se llenará la piscina. A) 2h B) 4h C) 6h D) 5h E) 7h 21. Dada la serie de razones equivalentes K c 292 c 292 b - 244 b 244 a - 160 a 160 = ÷ + = + = + Halla la razón común «K» si es el mayor número entero positivo. A) 3 B) 4 C) 5 D) 2 E) 1 22. Dada las fracciones irreductibles a/b y c/d se cumple que 5 = + d c b a ; además «d» es el menor número que tiene 4 divisores. Calcula la menor diferencia de «a» y «c» A) 1 B) 3 C) 4 D) 16 E) 8 23. Los catetos de un triángulo son entre si como 12 es a 5. si su razón aritmética entre la hipotenusa y el menor de los catetos es 64. Halla el valor de la hipotenusa. A) 104 B) 108 C) 110 D) 120 E) 124 24. Cuatro comerciantes A; B; C y D; tienen dinero en soles en la relación de: 3; 5; 6 y 11 respectivamente, si «D» le diera a «A» 120 soles, ambos tendrían la misma cantidad de dinero. Determina cuántos soles más tiene «B» con respecto a «A» A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 80 Razonamiento Matemático 67 11.1. MAGNITUDES PROPORCIONALES Magni tud Es todo aquello susceptible a ser medido, de modo que experimenta cambios (aumentando o disminuyendo sus valores). Cantidad Es el resultado de medir el cambio o variación que experimenta la magnitud. Ejemplos Magni tud Cantidad Nº de personas 50 personas tiempo 60 segundos velocidad 12 m/s Relación entre Magnitudes a) Magnitudes Directamente Proporcionales Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales, si al aumentar o disminuir los valores de una de ellas, el valor de la otra aumente o disminuye en la misma proporción, es decir: b) Magnitudes Inversamente Proporcionales Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales, si al aumentar o disminuir los valores de una de ellas, el valor de la otra disminuye o aumenta en la misma proporción, es decir: Ejemplo Nº 01 Sabiendo que A es I.P a B 4 y C D.P a B, halla el valor de A; cuando C = 9, B = 1; si cuando A = 16, C = 36, B = 6. A) 16 B) 64 C) 81 D) 24 E) 48 Resolución Por dato: cte C A B C ) DP ( B A ) IP ( B B ) DP ( C B ) IP ( A 4 4 4 4 4 4 = · ¬ ¬ Además: Entonces: 4 4 4 4 36 ) 16 ( 6 9 ) x ( 1 = 4 3 x =  x = 81 REPARTO PROPORCIONAL Es una aplicaci ón de las magnitudes proporcionales, en donde las partes obtenidas son D.P. o I.P. a ciertos números llamados índices de reparto. Ejemplo Nº 02 Dividir S/. 1350 en partes I.P a los números: 8 1 y 4 1 ; 7 1 ; 6 1 . ¿Cuánto es el valor de la mayor de las partes? A) S/. 400 B) S/. 480 C) S/. 432 D) S/. 270 E) S/. 750 Resolución Sean A, B, C y D las partes 1350 = A + B + C + D 8 1 ; 4 1 ; 7 1 ; 6 1 Si: A (DP) B ¬ te tan Cons B A = Si: A (IP) B te tan cons B A = · ¬ TIPOS DE REPARTO REPARTO SIMPLE REPARTO COMPUESTO C 9 B 1 A x 36 6 16 DP CAPÍTULO XI MAGNITUDES PROPORCIONALES Y PORCENTAJES Razonamiento Matemático 68 a 1 a 2 b 1 x DP x = 1 1 2 a b a · Magnitud 1 Magnitud 2 x = 1 2 2 1 2 1 1 d d c c a a b · · · a1 a 2 b1 x Magnitud 1 Magnitud 2 Magnitud 3 Magnitud 4 c1 c 2 d1 d 2 IP IP DP 1 3 40 m x # obreros obra DP 2 h 2,5 h tiempo DP 16 4 7 3,5 dureza eficiencia DP IP Método Práctico 1. La magnitud incógnita se compará con cada una de las otras. 2. Si al comparar son directamente proporcionales, el cociente se invierte. 3. Si al comparar son inversamente proporcionales, el cociente se mantiene. Ejemplo Nº 03 Un minero excava 40 metros en 2 horas cuando la dureza del terreno es como 16, siendo su eficiencia como 7, ¿cuánto excavarán en total 3 mineros en 2,5 horas cuando la dureza del terreno es como 4 y su eficiencia de cada minero sea 3,5? A) 220 m B) 250 m C) 275 m D) 300 m E) 325 m Resolución Por dato: 70 35 4 16 20 25 1 3 40 x × × × × = x = 3(25)(4) x = 300 m  Excavarán 300 metros. 11.2. PORCENTAJES Un porcentaje es una forma de expresar una proporción o fracción de denominador 100, es decir, como una cantidad de centésimas. Así es que, una expresión como «45%» («45 por ciento») es lo mismo que la fracción 45/100. Ejemplo: «El 45% de la población humana...» es equivalente a: «45 de cada 100 personas...» 100% 45% Entonces: | . | \ | = | . | \ | = | . | \ | = | . | \ | 8 1 D 4 1 C 7 1 B 6 1 A k 8 D 4 C 7 B 6 A = = = = Desarrollando: k 8 4 7 6 D C B A = + + + + + + ¬ k 25 1350 = ¬ k = 54 Piden: D = 8k = 8(54)  D = 432 REGLA DE TRES * Regla de Tres Simple Una regla de tres simple es aquélla donde intervienen 2 magnitudes y pueden ser: Regla de Tres Simple Directa Regla de Tres Simple Inversa ** Regla de Tres Compuesta Cuando intervienen 3 o más magnitudes. a 1 a 2 b 1 x I P x = 2 1 1 a b a · Magnitud 1 Magnitud 2 Razonamiento Matemático 69 TANTO POR CUANTO Significa que tomamos «a» partes de un total de «b» partes iguales en que fue dividida la cantidad «N». El a por b de N < > N b a · TANTO POR CIENTO (%) Significa que tomamos «a» parte de un total de «100» partes iguales en que fue dividida la cantidad «N». El a % de N < > N 100 a · Equivalencias 1% < > 100 1 20% < > 100 20 100% < > 1 N < > 1. N < > 100%.N Ejemplo Nº 04 En una fiesta, se observa que si todos los hombres salen a bailar, 10 mujeres se quedan sin hacerlo, pero si el 60% de las mujeres salen a bailar, la cuarta parte de los hombres no podrían hacerlo. ¿Cuántas personas hay en la fiesta? A) 70 B) 80 C) 90 D) 85 E) 100 Resolución Sea Bailan No Bailan N°de Hombres x 0 N°de Mujeres x 10 Por dato: …si el 60% de las mujeres salen a bailar, la cuarta parte de los hombres no podrían hacerlo, es decir sólo bailarían los 3/4 del total… 60% (x + 10) = ) x ( 4 3 4 x 3 100 ) 10 x ( 60 = + ¬ x = 40 Porcentaje Cantidad Resultado …Las palabras de, del o de los significan multiplicación... Además, el total de personas es «2x + 10» entonces: N° personas = 2(40) + 10 Asistieron 90 personas. Expresión Porcentual Si el P % de N es R, entonces: P % . N = R Ejemplo Nº 05 ¿Qué porcentaje de (a 2 + ab + b 2 ) es (a 3 – b 3 )? A) 100a% B) 100b% C) (a + b)% D) 100(a – b)% E) 100% Resolución Según el enunciado tenemos: P% (a 2 +ab+b 2 ) = (a 3 – b 3 ) P% (a 2 +ab+b 2 ) = (a – b) (a 2 +ab+b 2 ) b a 100 P ÷ = P = 100(a–b)% El porcentaje es el 100(a–b)%. Aumentos Sucesivos del a % y b % Sean a % y b % los aumentos sucesivos, entonces se cumple que: AU = % 100 b a b a | | . | \ | · + + Descuentos Sucesivos del a % y b % Sean a % y b % los descuentos sucesivos, entonces se cumple que: DU = % 100 b a b a | | . | \ | · ÷ + Razonamiento Matemático 70 Ejemplo Nº 06 Dos aumentos sucesivos del 30% y 80% equivalen a uno del: A) 132% B) 125% C) 226% D) 134% E) 124% Resolución Aplicando la fórmula de aumentos tenemos: AU = % 100 80 30 80 30 | | . | \ | · + + AU = (110+24)% AU = 134% Ambos aumentos equivalen a un aumento único del 134%. Aplicaciones Comerciales Esquema: Caso 1: Pv > Pc Pv = Pc + Gb Donde: Gb = G neta + Gastos adicionales Caso 2: Pv < Pc Pv = Pc – P Caso 3: Cuando hay descuentos Pventa = Pfijado – Descuento Ejemplo Nº 07 ¿Cuál fue el precio fijado de un artículo que se vendió en S/. 180 habiéndose hecho un descuento del 20%? A) S/. 200 B) S/. 225 C) S/. 250 D) S/. 300 E) S/. 400 Resolución Por dato: Pv = 180 Descuento = 20% Pf Luego: Pventa = Pfijado – Descuento 180 = Pf – 20%Pf 180 = 80%Pf ¬ Pf = 225 El precio fijo es de 225 soles. Variación Porcentual Observación  Toda constante numérica se reemplaza por la unidad.  Solo se analiza los valores que varían. Ejemplo Nº 08 Si la base de un triángulo aumenta en 20% y su altura disminuye en 20%, entonces su área... A) aumenta en 8% B) no varía C) aumenta en 4% D) aumenta en 6% E) disminuye en 4% Resolución Área de un triángulo = 2 Altura Base × se desprecia Entonces Base x Altura = Área Al inicio (100%) x (100%) = 100% Al final (120%) x (80%) = P donde: P = (120%)(80%) = 96% ¬ AS = 100% - 96% = 4% Su área disminuye en 4%. Operaciones con Tanto por Ciento  40% M + 22% M = 62% M  M +25% M = 125% M 30% M + 20% N¬No se puede 40% M + 20% (40% M) = 120% (40% M) 25% M + M 2 1 M 5 3 ÷ =35% M Precio de venta Precio de costo Ganancia Descuento Precio fijado o de lista +20% -20% AS Razonamiento Matemático 71 PRÁCTICA Nº 11 Capacidad 01: Razonamiento y Demostración 1. Determina el valor de verdad de las siguientes proposici ones (K: constante de proporcionalidad). I. Si: A (DP) B ÷B (IP) A A II. Si: A (DP) B ÷A n (DP) B n III. A (IP) B; si y solo si: A (DP) 1 B IV. A (DP) B y B (IP) C ÷ = AC K B A) FFVV B) FVVF C) FVFV D) VVVV E) FFFF 2.En una reunión había 25 parejas bailando, además 30 hombres y 20 mujeres sentados. Analizando dicha información podemos inferir: I. El 45% de los reunidos son mujeres. II. El 50% de los que no bailan son los hom- bres que bailan. III. Los que bailan son el 100% de los que no bailan. A) Solo I B) Solo II C)Solo III D) I y II E)Todas 3. Relaciona cada uno de los siguientes enunciados con su correspondiente de la parte inferior. I. Si: p 1 ;p 2 ;p 3 ;. ..; p n son l os descuent os sucesivos, ello equivale a uno solo. II. Si: p 1 ;p 2 ;p 3 ;... ;p n son los aument os sucesivos, ello equivale a uno solo. III. Si «p» repartimos en f orma «DP» a p 1 ;p 2 ;p 3 ;...;p n entonces se cumple: IV. Si «p» repartimos en forma «IP» a p 1 ;p 2 ;p 3 ;...;p n entonces se cumple: a) = + + + + 1 2 3 n n cte p p p ... p b) = + + + + 1 2 3 n n cte 1 1 1 1 ... p p p p c) ÷ ÷ ÷ ÷ ( ÷ ( ¸ ¸ 1 2 n n 1 (100 p )(100 p )...(100 p ) 100 % 100 d) ÷ + + + ( ÷ ( ¸ ¸ 1 2 n n 1 (100 p )(100 p )...(100 p ) 100 % 100 A) Id, IIc, IIIb, IVa B) Id, IIc, IIIa, IVb C) Ia, IIb, IIIc, IVd D) Ic, IId, IIIa, IVb E) Ic, IId, IIIb, IVa 4.De la siguiente Información: «La magnitud A es DP a la inversa de B 2 cuando la magnitud C permanece constante y C es IP a B 2 cuando A es constante. Si C se cuadruplica mientras B se mantiene constante, entonces Infiere la alternativa correcta: A) A se multiplica por 4 B) A se multiplica por 8 C) A se divide entre 4 D) A se divide entre 8 E) A permanece constante 5. Evalúe e identifica las tasas equivalentes. I. 5% mensual II. 10% bimestral III. 25 % quincenal IV. 30% semestral A) I, II B) II, IV C) III y I D) I, II y III E)Todas 6.Relaciona cada af irmación con su correspondiente consecuencia de la derecha. I. P VENTA =P COSTO -perdida, si: ( ) P V > P C. II. No hay ganancia ni perdida ( ) P V < P C III. P VENTA =P FIJADO -rebaja, si: ( ) P V = P C IV. G NETA =G BRUTA -gastos; si: ( ) P V > P C A) I-II-III-IV B) II-III-I-IV C) V-II-I -III D) IV-I- II-III E) II-I-IV-III Razonamiento Matemático 72 Capacidad 02: Comunicación Matemática 7. Al analizar un fenómeno intervienen las magnitudes A, B, C, y D. Si C y D permanecen constante se obtiene: A 4 B 6 8 3 12 2 x 1 Si B y D permanecen constante se obtiene: A 3 C 2 6 8 9 18 12 y Si B y C permanecen constante se obtiene: A 72 D 2 18 4 8 6 z 1 Cuando todos varian se tiene: A B 720 2 C 3 D 5 w 6 12 4 identifica el valor de: x+y+z+w A) 288 B) 320 C) 344 D) 750 E) 1 094 8. Interpreta la siguiente información: «El (x - 1)% de (x + 36) es 2x 5 » Identifique el valor de x. A) 16 B) 9 C) 4 D) 5 E) 7 9. En el siguiente gráfico A y B son rectas y C es la rama de una hiperbola. Si: a + b + c + m = 60 Determina el valor de «m» 4 b c a m 2m y x B A C A) 2 B) 4 C) 6 D) 7 E) 10 10.El gerente de ventas de cierta compañía reduce su promedio de producción en N%. Si el promedio final fue T, entonces organice la información e identifique el promedio original. A) TN 100 B) ÷ (100 N) T C) ÷ 100T (100 N) D) ÷ T (100 N) E) 100N T 11. Si : ) b ( ) a ( ) b a ( f f f + = + ; Q b , a e . Además: 4 f ) 1 ( = formule el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: I. 7 4 7 f = | . | \ | II. 80 f f ) 13 ( ) 7 ( = + III. 8004 f ) 2001 ( = A) VVV B) FVV C) FFV D) VFF E) FVF 12.El peso «w» de un ci lindro varía proporcionalmente a su altura «h» y al cuadrado del diámetro «d» de su base. Formule la suma de números con que se llenará los espacios en blanco de la siguiente tabla: w 25 h 2,5 4 7,2 2 d 2 0,6 A) 4,80 B) 5,04 C) 6,80 D) 7,20 E) 7,44 Razonamiento Matemático 73 Capacidad 03: Resolución de Problemas 13. Se tiene 6 ruedas dentadas, y se sabe que sus números de dientes son proporcional a 1, 2, 3, 4, 5 y 6 respectivamente. La primera engrana con la segunda y fija al eje de ésta va montada la tercera que engrana con la cuarta en cuyo eje va montada la quinta rueda, que a su vez engrana con la sexta rueda. Si la sexta rueda da 250 rpm. Determine en cuánto tiempo la primera rueda dará 8000 vueltas. A) 15 min B) 12 min C) 18 min D) 10 min E) 9 min 14. Al repartir una cantidad en forma D.P. a 36, 60 y 45 e I.P. a 16, 24 y 60. Se observo que la diferencia entre el mayor y menor de las partes es 5600. Halla la suma de cifras de la cantidad repartida. A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18 15. La duración de un viaje por ferrocarril es directamente proporcional a la distancia e inversamente proporcional a la velocidad. A su vez la velocidad es IP al número de vagones del tren. Si un tren de 20 vagones recorre 30 km. en 2 1 hora. Evalúe los kms. que puede recorrer un tren de 10 vagones en 10 min. A) 10 km. B) 15 km. C) 18 km. D) 20 km. E) 16 km. 16. Si A DP B (cuando C es constante) A IP C (cuando B es constant e). En un determinado momento A vale 720. Si a partir de ese momento B aumenta en 80% y C disminuye en 36%. Calcule qué valor tomaría A? A) 1200 B) 1440 C) 1620 D) 1728 E) 1500 17. Para 4 magnitudes A, B, C y D se conoce : A DP a B; B IP a C; 3 C DP a D 1 . Determina la relación correcta A) 3 2 D DP A B) 2 3 D DP A C) 2 D DP A D) A DP D E) 3 2 D IP A 18. Un reloj se atrasa 8 minutos cada 24 horas. Si este marca la hora correcta 7 a.m. el 2 de mayo. Determina qué hora marcará a la 1 p.m. del 7 de mayo. A) 11h 18min B) 12h 8min C) 11h 40min D) 12h 42min E) 12h 18min 19. Se contrataron 25 obreros para que terminen una obra en 21 días trabajando 8 horas diarias. Luego de 6 días, se acordó que la obra quede terminada 5 días antes del plazo establecido, Calcule cuántos obreros más se tuvi eron que contratar sabiendo que se incrementó en 2h el trabajo diario. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 30 20. Si 18 gallinas ponen 18 decenas de huevos en 18 días y 12 gallinas comen 12 kg de maíz en 12 días, Halla cuánto será el costo del alimento necesario para que 20 gallinas pongan 20 decenas de huevos, si el kilogramo de maíz cuesta 8 soles. A) S/. 250 B) S/. 240 C) S/. 225 D) S/. 200 E) S/. 180 21. Un hombre prodactivo, al morir, dejó a su esposa embarazada una herencia de S/. 27940, condicionándola de la siguiente forma : ella recibirá los 6 5 de lo que le toque al niño si era varón, pero si nacía niña recibirá los 9 7 de lo que a ésta le tocaría. Si la esposa del Hombre, al dar a luz, tuvo quintillizos: 2 niños y 3 niñas. Calcula cuánto le correspondió de la herencia a cada niña. Razonamiento Matemático 74 A) 4590 B) 4950 C) 3780 D) 3870 E) 3965 22. Se reparte N en forma DP a los números 3; 4 y 5 y luego se reparte N en forma DP a los consecutivos de dichos números con lo cual una de las partes varía en 80. Calcula la segunda parte. A) 360 B) 560 C) 630 D) 960 E) 2880 23. Un artículo se vende en S/. 390 ganándose el 30% del costo; por efecto de la inflación el costo ha aumentado en 10%. Para seguir ganando el mismo porcentaje el artículo debe venderse en: A) S/. 546 B) S/. 339 C) S/. 429 D) S/. 492 E) S/. 465 24. Si gastara el 30% del dinero que tengo, y ganara el 28% de lo que me queda, perdería S/ . 156. calcula cuánto tengo. A) S/. 3500 B) S/. 2000 C) S/. 1500 D) S/. 1560 E) S/. 2500 25.En una Uni versidad part icular, el departamento de Servicio Social, decide rebajar las pensiones de enseñanza a los estudiantes de menores recursos económicos en un 20% y aumentar un 30% al resto. Si el monto total de las pensiones queda disminuido en un 10% con esta política. Hall a qué porcent aj e de la pensión t otal representa la pensión pagada por los estudiantes de menores recursos económicos? A) 50% B) 82% C) 79% D) 80% E) 85% 26. En una tienda se exhiben los vestidos con el precio "marcado" y un aviso "con la tarjeta más más rebajamos la tercera parte". El costo de los vestidos es los 3 4 del precio de venta con tarjeta, entonces reconoce la razón entre el precio de costo y el precio "marcado". A) 1 2 B) 3 1 C) 4 1 D) 2 3 E) 4 3 27. Al vender un celular en las tiendas METRO se descontó el 40%, pero aún así se gana el 30% de su costo. Si sabemos que la utilidad neta es el 75% de la ganancia bruta y los gastos ascendieron a S/90. Determine el precio fijado del celular. A) S/. 1500 B) S/. 1800 C) S/. 2600 D) S/. 3000 E) S/. 2000 28. Una rueda de caucho tiene un diámetro exterior de 25 pulgadas cuando el radio disminuye en un cuarto de pulgada. Halla el número de revoluciones que la rueda dará en una milla... A) Se aumenta en 2%. B) Se aumenta en 20%. C) Se aumenta en 1%. D) Se aumenta en 1 2 %. E) Permanece constante. 29. Se tiene dos recipientes de 10 litros cada uno, el primero con 60% de alcohol y el segundo con 80% de alcohol. Calcula cuántos litros deben intercambiarse para que ambos tengan el mismo porcentaje de alcohol. A) 6 L B) 4 L C) 7 L D) 5,4 L E) 5 L Razonamiento Matemático 75 n! = n.(n–1)! = n.(n–1).(n–2)! = . . . Si: x! = n! ¬ x = n Si: x! = 1 ¬ x = 0 v x = 1 n! + m! = (n + m)! n! × m! = (n×m)! (–n)! ¬ No existe ! n m | . | \ | ¬ No existe 12.1. ANÁLISIS COMBINATORÍO Factorial de un número El factorial de un número entero positivo «n», se define como el producto de todos los enteros consecutivos desde 1 hasta «n»; es decir: n! = 1×2×3×4×...×(n–2)×(n–1)×n n! = n×(n–1)×(n–2)×...×4×3×2×1 Se lee: «Factorial de n» Principales Factoriales 0! = 1 (por convención) 1! = 1 2! = 2×1 = 2 3! = 3×2×1 = 6 4! = 4×3×2×1 = 24 5! = 5×4×3×2×1 = 120 6! = 6×5×4×3×2×1 = 720 7! = 7×6×5×4×3×2×1 = 5 040 8! = 8×7×6×5×4×3×2×1 = 40 320 . Ejemplo Nº 01 Calcule el valor de «m», en: ! ) 2 m ( m 216 ! ) 1 m ( ÷ = ÷ + A) 5 B) 6 C) 7 D) 4 E) 3 Resolución Desarrollando la expresión, tenemos: ! ) 2 m ( m 216 ! ) 2 m )( 1 m )( m )( 1 m ( ÷ = ÷ ÷ ÷ + donde m 216 m m 3 ÷ = ÷ 216 m 3 = ¬ m = 6ta. El valor de «m» es 6. COFACTORIAL O SEMIFACTORIAL DE UN NÚMERO (N!!) Para «n» Par (producto de números pares) En general: n! ! = 2×4×6×8×10× . . . ×(n–2)×n Ejemplos: 4! ! = 2´4 8! ! = 2´4´6´8 12!! = 2´4´6´8´10´12 Para «n» Impar (producto de números impares) En general: n! ! = 1×3×5×7×9× . . . ×(n–2)×n Ejemplos: 3! ! = 1x3 7! ! = 1x3x5x7 13!! = 1x3x5x7x9x11x13 3!! = (3!)! 3! !! ¬ No existe ((3!)! )! = (6! )! = 720! = 720×719×. . .×4×3×2×1 Propiedades CAPÍTULO XII ANÁLISIS COMBINATORIO Y PROBABILIDADES Razonamiento Matemático 76 PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO Principio de Multiplicación Si un event o A ocurre de «n» maneras diferentes y otro evento B ocurre de «m» maneras distintas; entonces: Ejemplo Nº 02 Hay 3 caminos que conectan las ciudades A y B y 2 caminos que conectan las ciudades B y C. ¿De cuántas maneras se puede ir de A a C, pasando por B? A) 5 B) 7 C) 6 D) 8 E) 9 Resolución Para poder ir de A a C es necesario pasar por B, es decir realizar los dos eventos de manera simultánea. N°de maneras: 3 x 2 = 6 formas formas De una ciudad a otra se puede ir de 6 maneras diferentes. Principio de Adición Si un evento A ocurre de «n» maneras y otro B ocurre de «m» maneras (A · B = O), entonces: Ejemplo Nº 03 Si de una ciudad a otra puede irse por vía férrea, de 4 maneras y por vía aérea de 6 maneras, en total de una ciudad a otra podemos ir de: A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 24 Resolución Según el enunciado se puede viajar de una cuidad a otra utilizando la vía férrea o la vía aérea de manera no simultánea. A B C N°de maneras en que puede ocurrir A y B es: n x m N°de maneras en que puede ocurrir A o B es: n + m vía férrea o vía aérea N°de maneras: 4 + 6 = 10 De una ciudad a otra se puede ir de 10 maneras diferentes. PERMUTACIONES Son los grupos o conjuntos ordenados que se pueden formar con «n» elementos, tomados de «k» en «k». En una permutación si importa el orden de los elementos. Permutación Lineal * De algunos elementos: Son los diferentes ordenamientos que se pueden formar con «n» elementos tomados de «k» en «k». )! k n ( ! n n k P ÷ = ; 0 < k s n * De todos los elementos P(n) = n! Ejemplo Nº 04 ¿De cuántas maneras se podrá ordenar en una mesa 1 cuchillo, 1 cuchara y 1 plato? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 Resolución Según lo señalado interesa el orden como serán ubicados los objetos. Total de elementos : 3 entonces: P(3) = 3! = 6 Se podrá ordenar de 6 maneras diferentes los 3 objetos. Permutaciones con Repetición Se aplica cuando se van a ordenar «n» elementos; algunos de los cuales se repiten una cierta cantidad de veces. ! x k !.... 2 k !. 1 k ! n n k ,..., k , k P x 2 1 = Razonamiento Matemático 77 Propiedades Ejemplo Nº 07 El diario La Republica organiza un campeonato deportivo, en donde participan 12 equipos dif erentes. ¿Cuántos partidos de fútbol se j ugarán en total si el campeonato es de 2 ruedas? A) 125 B) 132 C) 130 D) 150 E) 144 Resolución Para poder contar un partido, tenemos que tomar grupos de 2 en 2 de los 12 equipos, en el cual no interesa el orden en que son tomados. Número de partidos jugados en la primera rueda ! 2 )!. 2 12 ( ! 12 C 12 2 ÷ = 66 1 x 2 11 x 12 C 12 2 = = entonces, en la segunda vuelta se jugarán: 2 x 66 = 132 Se jugarán 132 partidos. Ejemplo Nº 08 En el partido político de Karina, hay 8 varones y 6 mujeres, incluida ella. Para poder participar en las elecciones vecinales, desean formar un comité de 6 personas (mitad varones y mitad mujeres), encabezado por Karina. ¿De cuántas maneras diferentes se puede formar esta lista? A) 56 B) 260 C) 420 D) 120 E) 560 n n n n 2 n 1 n 0 10 3 10 7 n k n n k n n n 1 n 0 2 C ... C C C C C C C 1 C n C 1 C = + + + + - = ¬ = - = - = - = - ÷ Ejemplo Nº 05 ¿Cuántas «palabras» dif erentes pueden formarse con todas las letras de ALABABA? A) 125 B) 105 C) 115 D) 100 E) 155 Resolución Total de elementos (n) : 7 letras Letra A (k 1 ) : 4 veces Letra B (k 2 ) : 2 veces entonces: Nº de palabras = ! 2 !. 4 ! 7 P 7 2 , 4 = 105 2 !. 4 ! 4 x 5 x 6 x 7 = = Se podrá formar 105 palabras diferentes. Permutación Circular Se aplica cuando «n» elementos se ordenan circularmente o alrededor de un objeto. )! 1 n ( ) n ( c P ÷ = Ejemplo Nº 06 ¿De cuántas maneras dif erentes podrán sentarse 5 niños alrededor de una mesa? A) 12 B) 15 C) 24 D) 120 E) 6 Resolución Nº de maneras = 24 ! 4 )! 1 5 ( ) 5 ( c P = = ÷ = Los 5 niños se podrán sentar alrededor de una mesa de 24 maneras diferentes. COMBINACIONES Son los dif erentes agrupamientos que se pueden formar con «n» elementos tomados de k en k. En una combinación No interesa el orden de los elementos. ! k )!. k n ( ! n n k C ÷ = ; 0 s k s n Razonamiento Matemático 78 Resolución Del enunciado desean agrupar a 6 personas de un total de 14 N°de maneras = 1 C C 5 2 8 3 × × N°de maneras = 1 ! 2 ! 3 ! 3 4 5 ! 4 ! 5 ! 5 6 7 8 × × × × × × × × × N°de maneras = 560 Se puede formar esta lista de 560 maneras. Ejemplo Nº 09 ¿De cuántas maneras diferentes podrá viajar una persona de «A» a «D» sin retroceder? A) 21 B) 18 C) 20 D) 17 E) 23 Resolución Si toma la ruta (A – B – D) N°de maneras = 3 × 1 = 3 Si toma la ruta (A – C – D) N°de maneras = 1 × 2 = 2 Si toma la ruta (A – B – C – D) N°de maneras = 3 × 2 × 2 = 12 N°total de maneras = 3 + 2 + 12 = 17 Podrá viajar de 17 maneras diferentes. B C D A B C D A B C D A B C D A 12.2. PROBABILIDADES La probabilidad que un evento A ocurra: «P(A)», se define como el coeficiente entre el número de sucesos favorables y el número total de sucesos posibles. ( ) T f casos de total # favorables casos # A P = = Propiedades 1 ) A ( P 0 s s P(A) + P(A’) = 1 Donde: P(A) = Probabilidad de que ocurra el suceso A P(A’) = Probabilidad de que No ocurra el suceso A  Para dos sucesos cualesquiera A y B se tiene que: P(A B) = P(A) + P(B) – P(A · B)  Si dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes ( A · B = | ), entonces: P(A B) = P(A) + P(B)  Si los sucesos A y B son independientes se tiene que: P(A B) = P(A)xP(B) Ejemplo Nº 10 ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar un dado se obtenga un valor impar? A) 1/2 B) 1/8 C) 1/3 D) 1/4 E) 1/6 Resolución espacio muestral: = O {1; 2; 3; 4; 5; 6} casos favorables: A = {1; 3; 5} 6 3 ) ( n ) A ( n ) A ( P = O = La probabilidad es de 1/2. Razonamiento Matemático 79 PRÁCTICA Nº 12 Capacidad 01: Razonamiento y Demostracción 1.Determine, cuántas de las afirmaciones son verdaderas. I. Un evento es casi seguro, si la probabilidad de su ocurrencia es P(A) = 0,99.... II. El factorial es una operación binaria. III. Si eventos diferentes no son posibles de que ocurran de manera simultanea, entonces para contarlos su utiliza el criterio de la adición. IV. Si A ocurre luego de B, entonces para contar el proceso se aplica la multiplicación. V. Si realizo subconj unt os de «k» elementos de un conjunto de «n» elementos, entonces utilizo la permutación. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 2.Relaciona cada uno de los siguientes enunciados con su correpondiente. I. Si el evento «A» es imposible II. El evento «A» es seguro III. Un evento «A» tiene 50% a favor de que ocurra, su probabilidad será. IV. El evento «A» tiene el 80% de que no ocurra, luego su probabilidad de que ocurra es: a. P(A)=1 b. 1 P(A) 2 = c. P(A)=0 d. 1 P(A) 5 = e. 4 P(A) 5 = A) Ia, IIb, IIIc, IVd B) Ia, IIc, IIId, IVe C) Ic, IIa, IIId, IVe D) Ic, IIa, IIIb, IVe E) Ic, IIa, IIIb, IVd 3.Identifica cuál de las siguientes expresiones es incorrecta. A) n n 1 n n n 1 k k 1 k k 1 k 1 n C C y C C C k ÷ + ÷ + + = + = B) n n n 1 n k n k 1 j 1 j j 1 j k j k C C C ...C C + + + + ÷ + + + + + + = C) n n n n n 1 1 2 3 n 1C 2C 3C ... nC n 2 ÷ + + + + = × D) n n n n n 0 1 2 n 1C 3C 5C ... (2n 1)C (n 1) 2 + + + + + = + × E) 0! 1.1! 2.2! 3.3! .... n.n! (n!)! + + + + + = 4. Identifica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Un espacio muestral discreto es finito si tiene un número finito de elementos. II. El espacio muestral de lanzar una moneda hasta que ocurra cara es infinito. III. Un espacio muestral es continuo, si su número de elementos es no numerable. IV. Un espacio muestral discreto infinito es equi valent e a un espaci o muestral contínuo. A) VVFV B) VVVF C) VFVV D) FVVV E) FVFV 5.Se sabe que 1! =1 y Rigoberto se atreve a realizar la siguiente demostración: n! n (n 1)! = × ÷ ............(I) 1! 1 (1 1)! = × ÷ ..............(II) 1 1 (1 1)! = × ÷ ................(III) 1 (0)! = ...................(IV) 0! 1 = ...................(V) Evalúe el momento o paso en que Rigoberto comete un error. A) (I) B) (II) C) (III) D) (IV) o (V) E) No hay error 6.Infiere el númmero total de segmentos que se puede formar en el siguiente gráfico al unir los puntos de una región con los de otra: “a” puntos “b” puntos “c” puntos “d” puntos A) abcd B) ab bc cd da + + + C) abc bcd + D) (a+b)(c+d)+ab+cd E) a b c d 2 P + + + Razonamiento Matemático 80 7. Deduzca el valor de «n» (2n)! 512.n! 1.3.5.7.9....(2n 1) = ÷ A) 5 B) 9 C) 7 D) 11 E) 11 Capacidad 02: Comunicación Matemática 8. Si la abejita se encuentra en el punto «A» y tiene que llegar al punto «B» que es una reserva de Polen. Formado de cuántas maneras diferentes puede la abejita llegar a la reserva, teniendo en cuenta que no debe retroceder por los caminos a su meta. A B Entrada Polen A) 8 B) 16 C) 20 D) 24 E) 48 9. El siguiente tablero Determine, de cuántas maneras diferentes se puede escoger una casilla blanca y una casilla negra de tal manera que no estén en la misma horizontal ni vertical. A) 24 B) 120 C) 32 D) 256 E) 64 10.En el gráfico, evalúe por cuántas rutas diferentes se puede ir de A a B. A C B A) 12 B) 14 C) 16 D) 20 E) 24 11.Determine con cinco retazos de tela, infiere cuántas banderas bicolor se pueden formar. Se sabe que los retazos son de col ores diferentes y la bandera debe tener la forma mostrada. A) 10 B) 20 C) 24 D) 40 E) 25 12. En la figura, se han marcado ocho partes equidistantes sobre la circunferencia de un círculo dado. Formula cuántos cuadriláteros dif erentes podemos inscribir en el círculo usando los vértices marcados? A) 210 B) 1680 C) 15 D) 56 E) 70 Razonamiento Matemático 81 13. Interprete los gráficos, evalúe y relacione las probabilidades afines a ellos: I) O A B II) O A B III) O A B IV) A B O a) P(A B) P(A) P(B) P(A B) = + ÷ · b) P(A B) P(A) P(B) = + c) P(A) P(B) 1 + = d) P(A) P(B) s e) P(A) P(B) 0 + = A) Ia, IIb, IIIc, IVd B) Ia, IIc, IIId, IVe C) Ic, IIa, IIId, IVe D) Ic, IIa, IIIb, IVe E) Ib, IIc, IIId, IVa 14. Analizar la siguiente situación, graficar e inerpretar: Formula cuál es la probabilidad de que al lanzar 2 dados legales el resultado sea ... I. ... puntaje mayor que 8? II.... 6 ó 7 puntos? A) 5 1 ; 18 36 B) 5 11 ; 18 36 C) 1 17 ; 36 18 D) 1 5 ; 18 36 E) 7 5 ; 18 36 Capacidad 03: Resolución de Problemas 15. En una reunión se encuentran 5 mujeres y 8 hombres. Si se desea formar grupos mixtos de 5 personas. Evalue de cuántas maneras pueden formarse tales grupos de modo que en cada uno de ellos estén siempre dos mujeres. A) 560 B) 390 C) 120 D) 140 E) 280 16.Hay 5 candidatos para presidente de un club, 6 para vicepresidente y 3 para secretario. Calcula de cuántas maneras se pueden ocupar estos tres cargos. A) 108 B) 64 C) 128 D) 72 E) 90 17. A una reunión asistieron 30 personas. Si se saludan estrechándose las manos, suponiendo que cada uno es cortés con cada uno de los demás, Halla cuántos apretones de manos hubieron. A) 60 B) 435 C) 870 D) 120 E) 205 18.Diez equipos de fútbol participan en un campeonato (una rueda, todos contra todos). Formula cuántos partidos más se deberán programar, si llegan 3 equipos más. A) 31 B) 33 C) 9 D) 12 E) 21 19.Seis ladrones se escapan de la policía, y tienen 3 escondites para poder ocultarse. Calcula de cuántas maneras diferentes como máximo se pueden ocultar. A) 729 B) 840 C) 120 D) 720 E) 512 Razonamiento Matemático 82 20.Se tiene 6 números negativos y 5 números positivos, Determina de cuántas maneras se pueden escoger cuatro números, de tal manera que su producto sea positivo. A) 140 B) 160 C) 175 D) 180 E) 170 21.Juan Carlos tiene 5 pantalones y 6 camisas todos de distintos colores. Calcula de cuántas maneras puede escoger las prendas, sabiendo que el pantalón marrón se lo debe poner siempre con la camisa crema y viceversa. A) 30 B) 20 C) 21 D) 36 E) 24 22. Una moneda cuyas caras están marcadas con los números 2 y 3, respectivamente, es tirada 5 veces. Determina de cuántas maneras se obtendrá como suma 12. A) 120 B) 60 C) 30 D) 15 E) 10 23. Se tiene una urna con 9 bolas numeradas. Se quiere saber, Halla de cuántas maneras podemos sacar primero 2 bolas, luego 3 y finalmente 4? A) 630 B) 306 C) 1080 D) 108 E) 1260 24.Calcula cuál es la probabilidad de que, al tirar al aire "n" veces una moneda, se obtenga "n" caras? . A) n 1 2 B) n 2 8 C) 8 n n D) 2 1 n E) 1 2n 25. Se lanza un dado "cargado", de tal manera que los números impares tienen el triple deposibilidades que los números pares. Resuelva cuál es la probabilidad de que el resultado sea un número mayor que 5. A) 1/6 B) 1/4 C) 1/12 D) 5/12 E) 5/6 26. Una persona tira dos dados, uno de ellos es un cubo y el otro un tetraedro regular, tomando el número de la cara inferior cuando se trata del tetraedro, Fornula cuál es la probabilidad de que la suma de los números obtenidos no sea menor que 5. A) 3/4 B) 4/5 C) 3/5 D) 2/5 E) 1/2 27. En una urna, se introducen bolas marcadas con los números 1 , 2 y 3. Se extrae una bola, se anota el número y se devuelve a la urna. El proceso se repite tres veces. Calcula cuál es la probabilidad de obtener una suma total de 6 puntos. A) 1/9 B) 1/3 C) 7/27 D) 21/25 E) 17/27 28. La probabilidad de que Erica ingrese a la UNHEVAL es 0,7 que ingrese a la UNMSM es 0,4. Si la probabilidad de que no ingrese a ninguna es 0,12, halla la probabilidad de que ingrese a ambas a la vez. A) 0,42 B) 0,22 C) 0,24 D) 0,48 E) 0,58 29. Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 negras, otra bolsa contiene 3 bolas blancas y 5 negras. Se extrae una bola de cada bolsa. Determina la probabilidad de que ambas sean blancas. A) 1/2 B) 1/4 C) 2/3 D) 3/4 E) 1/3 Razonamiento Matemático MATRIZ DE CAPACIDADES DE ÁREA Y ESPECÍFICAS DE LA ASIGNATURA DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Y SUS ENLACES CAPACIDADES DE ÁREA CAPACIDADES FUNDAMENTALES LOGROS DE APRENDIZAJE (CAPACIDADES) - MATEMÁTICA RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN Identifica  Datos, conceptos  Conjeturas  Proposiciones  Resultados Anticipa  Argumentos  Resultados Reflexiona  Sus ideas sobre conceptos y relaciones Interpreta  Postulados matemáticos  Teoremas, problemas propuestos COMUNICACIÓN MATEMÁTICA Traduce  Situaciones presentadas en forma verbal al lenguaje matemático Observa/Identifica  Información estadística  Notaciones simbólicas Compara  Gráficos  Conclusiones  Datos Analiza/Interpreta  Gráficos  Expresiones simbólicas Organiza  Datos relevantes  Información complementaria Infiere  Conclusiones  Información relevante Utiliza  Gráficos para representar situaciones matematizables y conceptos  Símbolos matemáticos para representar conceptos y relaciones  Notaciones y objetos matemáticos para modelar situaciones Comunica  Conceptos, juicios y razonamientos matemáticos Formula  Ejemplos de un contenido conceptual RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Resuelve  Situaciones problemáticas Analiza  Datos disponibles  Condiciones dadas  Posibles soluciones Elabora/Aplica  Estrategias  Algoritmos Formula/Plantea  Observaciones y críticas  Alternativas de solución  Opinión a favor y en contra Comprueba/Interpreta  Resultados Generaliza/Elabora  Generaliza patrones y elabora conjeturas Busca/Reconoce/Usa  Patrones Juzga  La validez de un argumento y construye argumentos válidos Halla/Calcula  Estrategias para la solución de problemas.  Métodos prácticos para el calculo de incógnitas.  Problemas relacionados a la vida cotidiana. PENSAMIENTO CREATIVO PENSAMIENTO CRÍTICO Formula  Ejemplos  Contraejemplos  Conjeturas Representa  Resultados  Conclusiones lógicas Imagina/Elabora  Conjeturas  Argumentos sencillos y válidos  Demostraciones para enunciados matemáticos Utiliza  Razonamiento inductivo para reconocer patrones y formular conjeturas Discrimina  Ideas principales, secundarias y complementarias  Datos, hechos, opiniones SOLUCIÓN DE PROBLEMAS TOMA DE DECISIONES Clasifica  Objetos matemáticos de acuerdo a diferentes criterios Analiza  Situaciones para hallar propiedades y estructuras comunes, así como singulares y particulares Establece  Relaciones entre conceptos Evalúa  Conjeturas usando contraejemplos y cadenas deductivas 2 Razonamiento Matemático TEORÍA DE NUMERACIÓN CAPÍTULO I 1.1. TEORÍA DE NUMERACIÓN Numeración Parte de la aritmética que estudia la correcta formación, representación, lectura y escritura de los números, así también como las diversas propiedades que derivan de ellos. N úm er o Es una idea o abstracción de una cantidad observada en la realidad concreta. Numeral Es la representación simbólica o figurativa de un número mediante determinados símbolos convencionales. Cifra (Digito) Símbolo empleado para representar a los numerales. Sistema Posicional de Numeración Es un conj unto de principios, normas, convenios y leyes que nos permiten la correcta formación, lectura y escritura de los números. Principios Fundamentales Del orden Toda cifra que forma parte de un numeral, ocupa un orden determinado el cual se considera de derecha a izquierda. El lugar que ocupa una cifra se indica de izquierda a derecha. 1 2 3 4 5 Lugar Numeral: 2 0 1 0 3 5 4 3 2 1 Orden De la base Todo sistema de numeración tiene una base, que es un número entero y mayor que la unidad, el cual nos indica la cantidad de unidades necesarias y suficientes de un orden cualquiera para formar una unidad del orden inmediato superior. Principales Sistemas de Numeración BASE NOMBRE DEL SISTEMA CIFRAS QUE SE EMPLEAN 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12  Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octanario Nonario Decimal Undecimal Duodecimal  0; 1 0; 1; 2 0; 1; 2; 3 0; 1; 2; 3; 4 0; 1; 2; 3; 4; 5 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 0; 1; 2; 3; . . . ; 6; 7 0; 1; 2; 3; . . . ; 7; 8 0; 1; 2; 3; . . . ; 8; 9 0; 1; 2; 3; . . . ; 9; 10 0; 1; 2; 3; . . . ;10;11  Observaciones:  En base «n» se pueden utilizar «n» cifras diferentes, las cuales son: Cifras Significativas 0 ; 1; 2; 3; 4; 5; . . . ; (n – 1) Cifra no Significativa CIFRA MÁXIMA Por convención, cuando la cifra es mayor que «9» se utiliza una letra para su representación. (10) < >  < > A (11) < >  < > B (12) < >  < > C (13) < >  < > D     Si: cepreval ( x ) ; donde: x  Z+ ; x  2 entonces: x = {2; 3; 4; 5; ……. } 3 Razonamiento Matemático  Toda cifra que conforma un numeral es menor que la base; además el número de cifras posibles a utilizar en cierta base es igual a la base. a b c (3 ) 100 211 22 a b c (5 ) 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 cepreval  cepreval Numeral de 8 cifras Multiplicación de 8 factores Ejemplos ab abc Numeral de 2 cifras diferentes Numeral de 3 cifras diferentes Numeral de 4 cifras iguales aaaa Valor de las cifras Toda cifra que forma parte de un numeral tiene 2 valores. Valor Absoluto (V.A.). Es el valor que tiene una cifra por su apariencia o figura. Valor Relativo (V.R.). Es el valor que tiene una cifra de acuerdo al orden que ocupa dentro de un numeral. VA(3) = 3 VA(1) = 1 VA(6) = 6 3 1 6( 8 ) VR(6) = 6  8 0 Numeral Capicúa Son aquellos numerales cuyas cif ras equidistantes son iguales, es decir tienen representación simétrica. * aa * aba * abba * abcdcba Numeral capicúa de 2 cifras Numeral capicúa de 3 cifras Numeral capicúa de 4 cifras Numeral capicúa de 7 cifras Palabras políndromas que representan un numeral capicúa. * OSO * ANA * SALAS * SOMOS VR(1) = 1 81 VR(3) = 3  8 2 Representación literal de un numeral Cuando no se conocen las cifras de un numeral, éstas se representan mediante letras teniendo en cuenta que:  Toda expresión entre paréntesis representa una cifra.  La primera cifra de un numeral debe ser diferente de cero.  Letras diferentes no necesariam ente indican cifras diferentes, salvo que lo señalen.  Para diferenciar de ser una multiplicación de factores, se coloca una raya horizontal arriba de las letras. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA Descomposición Simple En Base «k» (k  10) mydoom k = mk 5  yk 4  dk 3  ok 2  ok  m En Base «10» ab = 10a + b abc = 100a + 10b + c abcd = 1000a + 100b + 10c + d Descomposición Por Bloques En Base «k» (k  10) mydoom k = my k  k 4  do k  k 2  omk 4 .  c  b  a 1c  1x (n ) Ejemplo Nº 03 Si la siguiente operación: 136 (m)  33n (p)  33m (n)  44p está correctamente escrito.. c. b.(n  1) (n)  nk  1     k cifras 4.Razonamiento Matemático CAMBIOS DE BASE 1er CASO: De base diferente de diez a base diez De Base (n) a Base (10) Propiedades 1. Bases Sucesivas  1a(n)  n  a 3 5 8 2 40 42 2 1  1a 1b(n)  n  b  a  1a 1b1c(n ) Por lo tanto:  nc ba 210 1060 212 1061  13221(5) = 1 061 2do CASO: De base diez a base diferente de diez De Base (10) a Base (m) Divisiones sucesivas 1a 1b  n  x  . Si: abcdn entonces: {a. d. Por divisiones sucesivas Para su desarrollo se realizan divisiones sucesivas hasta que el cociente sea menor que el divisor. Si: CEPREVAL(m)  UNHEVAL(n) entonces: n > m 2. b. halla «m + n + p» A) 20 D) 23 B) 21 C) 22 E) 24 Ejemplo Nº 02 * Expresa 1 061 en base 7. Numeral de Cifras Máximas Descomposición polinómica o Método de RUFFINI Ejemplo Nº 01 * Expresa 13221(5) en base 10.. Por descomposición polinómica: 13221(5) = 1(5 4 )  3(5 3 )  2(5 2 )  2(5)  1 = 625 + 375 + 50 + 10 + 1 = 1 061 Por Método de Ruffini: 1 5 1 x (n  1)(n  1).. n >1 Además: a. n}  Z  . d < n 3. c. 1 061 7 4 151 7 4 21 0 7 3 Resolución De cada numeral 136 (m)  33n (p)  33m (n)  44p 6<m entonces: n<p m<n p < 10 6 < m < n < p < 10  1 061 = 3044 (7)  m + n + p = 7 + 8 + 9 = 24 5 . a  0. 22.9 II.99 III.1111. El numeral es la representación simbólica de números IV. entonces la solución de la ecuación 2x + 2 = 10. La cifra es diferente al digito III. Analiza cual de las siguientes proposiciones es verdadera. B) Por convención se considera al cero como cifra par. A) Si su cifra de orden 4 coincide con su cifra de tercer lugar. E) Para leer un número en cualquier base se nombra cifra por cifra de derecha a izquierda. A naliza la verdad o falsedad según corresponda. B) La mayor cifra que se puede utilizar en cierto sistema de numeración es igual a la base. I. D)En el siguiente numeral a( 2a)(3a )( 4a)(5a) . Identif ica cual de los enunciados es incorrecto. III. C) El numeral unheval 2009 (12 ) . Existen 8 números de 3 cifras impares en base 5.…. el numeral tiene 7 cifras. Determina el valor de verdad de los siguientes enunciados. 6 . representa un número par. C) La cantidad de cifras de un número depende de la base. Capicúa de una cifra es : 1.9999 A) FFV D) FFF B) FVF C) FVV E) VVV 2. Analiza cuál de las siguientes proposiciones es verdadera. A) VFV D) FFV B) VFF C) VVV E) FVV 5. puede ser base del número dado. 6. Toda expresión entre paréntesis de un numeral representa una cifra.2. El numero nos permite cualificar los números A) VVVV D) FFFF B) VFVF C) FVFV E) FFVV 4. Capicúa de cuatro cifras son : 1001. En base 10 existen 100 números de 2 cifras. II.Interpreta cual de las siguientes afirmaciones es incorrecta. el valor de «a» puede ser 2. 3. Número nos proporciona la idea de cantidad II. Capicúa de dos cifras son : 11.33. I. B) A menor base mayor representación aparente C) A mayor base menor representación aparente D) La base es un número entero positivo mayor a cero E) La base es un número natural mayor o igual a dos. D) La base es consecutivo al mayor digito que pertenece a dicha base.….Razonamiento Matemático PRÁCTICA Nº 01 Capacidad 01: Razonamiento y Demostración 1. A) De cualquier numeral la primera cifra puede ser igual a cero. posee 9 cifras.1221. A) Si N  abc 4 ( x ) .3.…. I. E) El numeral abc (abc )abc ( x ) . 5 unidades del orden cero conforman una unidad del orden uno II. ( ) III) Si 10001n)  2146 . A)5 D)7 B)4 C)6 E)8 11. hay 82 números naturales. A) I D) II. 4604(7)  1570 . a = 2. .. 1( a  1)a1(4)  1a1 .1 C) kn . 2c ( a ) está bien representados. abcde(5)  23140( x) .Si el numeral 231a ( x) analiza la suma de los posibles valores de «a» es : A) 16 D) 18 B) 25 C) 23 E) 19 a (a) . bb (c ) siguientes númerales 10.Si: abcde (5)  460(e  4)( 7) y a. III.Razonamiento Matemático Capacidad 02: Comunicación Matemática 8..Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) Desde el 344(5) al 10 (13) .Un número en base 5 identifica la proposición falsa.. III C) I.5 unidades del orden dos conforman una unidad del orden 5 y así sucesivamente. a + b + c + d + e = 12 A) I D) IV B) II C) III E) I y II las siguientes 16. Calcula a+b+c. ( ) IV) La base del sistema en el cual esta la sucesión es heptal 23. III E) III 13.n = 45.1 D) nn + 1 B) nk . A)9 D)16 B)4 C)8 E)1 17. I. entonces Capacidad 03: Resolución de Problemas 15..Traduce el eununciad «Si se descompone polinómicamente el num eral (n  1)(n  1)( n  1). III. es a   4 capicúa..( n  1) ( n) que posee k cifras» se obtiene : A) nn . El numeral: ba a bb  5 a  b  c  a  28 .. 32. e = 2 IV. III B) II C) III E) I.b + c. ( ) A) VVVF D) FFVV B) VVFF C) VVFV E) VFFF A) I. a + b + c = 16 c=4 Si: b = 8 entonces a = 5 B) II. II. Halla a2. III es impar. 27. cual de proposiciones es falsa: I. c = 1. III. 5 unidades del orden uno conforman una unidad de orden dos. II.1 E) kk .Halla: (a + b) si se cumple: aba 8  1106n A)5 D) 7 B)6 C)4 E)8 7 .d+ e = 12 Identifica. ( ) II) Si 281m)  1420n y además m+n =14.Si. 12. entonces el valor de ( n es 3.1 I. II D) II 9. d = 4. (  entonces m. b = 3.Si los . Interpreta cual de las siguientes proposiciones es verdadera. Razonamiento Matemático 18.Si los números : 34a57 ; 211b a y cc2b están correctamente escritos. Busca cuántos valores puede tomar «a» A) 2 D) 5 B) 3 C) 4 E) 6 25.Dado el número: N  (a  1) a (a  1)a (a  1) 2 ( a  2) Calcula P (a); si P (x) = x2 + x + 2 A) 1 D) 5 B) 2 C) 3 E) 7 19.Si a un número de tres cifras que empieza por 9 se le suprime esta cifra, el número resultante es 1/21 del número original. Halla suma de las tres cifras de dicho número. A) 12 D) 24 B) 18 C) 15 E) 21 26.Si el número 12100102010211(n) se le convierte a base n2 la suma de sus cifras aumenta en 15. Determina cuál es el valor de «n». A) 4 D) 3 B) 5 C) 6 E) 7 20.Determina cuál es la base del sistema de numeración usado para escribir el número 3157, si su equivalente en el sistema decimal es 6832. A) 11 D) 14 21.Calcula: B) 12 C) 13 E) 15 27. Si: 222......2(3)  6560 n cifras Halle la suma de cifras de 1226.2405 y expresarlo como un 1205 número en base 3. A) 12002(3) D) 10210(3) B) 21002(3) C) 10201(3) E) 20012(3) (n  1)( n  2) ( n ) escrito en el sistema senario. A) 5 D) 8 B) 6 C) 7 E) 9 28.Sabiendo que: 22.Halla (a+b+c) si los numerales están correctamente escritos: 256(a ) ; 2a4(b) ; 43b(c) ; 75c . A) 24 D) 20 B) 22 C) 32 E) 36 xxx ...... x ( 2)  4095 «n» cifras además: P  nnn13 Halla «P» expresado en base 10. A) 2 193 D) 2 186 B) 2 196 C) 2 396 E) 2 176 23.Efectua la suma de m y n 458(m)  284(n ) 460(m)  288(n ) A) 26 D) 29 B) 27 C) 28 E) 30 29. Calcula el minimo valor de M, si: M = a+b+c+k. Además abc k es la suma de cifras de F representado en el sistema heptanario donde 24.Reconozca el valor de N 134 ( N  2)  322 ( N ) F  5  75  35  73  15  7 2  60 C) 6 E) 1 A)5 D)10 B)6 C)7 E)12 A) 4 D) 7 B) 5 8 Razonamiento Matemático TEORÍA DE DIVISIBILIDAD CAPÍTULO II 2.1. TEORÍA DE DIVISIBILIDAD Divisibilidad Un número entero «A» es divisible entre otro número entero positivo «B», si al dividir «A» entre «B» la división es entera y exacta. En general: Sean A  Z; B  Z+; k  Z A B 0 k «A es divisible entre B» «B es divisor de A»  Multiplicación: n (k )  n ; k  Z  k  Potenciación: ( n )  n ; k  Z   Si: N = a.b.c Entonces: N            a Multiplicidad Un número entero A es múltiplo de un número entero positivo, si A es el resultado de multiplicar a B por una cantidad entera.  Si: N = A = kB  b c  a.b a.c b.c a.b.c a    b , entonces: N = MCM(a; b; c) c «A es múltiplo de B» «B es factor de A» «A es múltiplo del módulo B» A= B = kB Conclusiones: Todo número entero positivo será múltiplo de sí mismo. B = B ; B  Z El cero es múltiplo de todo número entero positivo. 0 = k ; k  Z Principios Básicos de Divisibilidad Las operaciones aritméticas elementales respecto a los múltiplos de un mismo módulo son:          Ejemplo Nº 01 En una votación el número de votos, oscila entre 215 y 186, de tal manera que si se cuentan de 5 en 5 o de 7 en 7, siempre sobran 3. ¿Cuántos son los votos? A) 208 D) 178 B) 213 C) 193 E) 198 Resolución Sea «N» el número de votos buscado: Por dato: N = 53 N = 73    Luego: N = mcm(5 ;7)  3   Adición: n  n  ...  n  n  Sustracción: n  n  n N = 35  3 = 35k + 3 . . . . . . . () Además: 186 < 35k + 3 < 215 9 Razonamiento Matemático Desarrollando: k = 6 reemplazando en (): N = 35(6) + 3 = 213  Los votos son 213.  El residuo es 4  donde: 200 = 3 2   200 3 2 Finalmente: 2 =2 =7+ 4  PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES Si: A x B = n Donde «A» y «n» no tienen divisores en común,  Restos Potenciales En general, si: {b, m}  Z   { n, r }  Z 0 aparte de la unidad, entonces: B = n      Si: (n  a)(n  b)(n  c )...( n  z)  n  a.b.c....z Además: bn  m rn Luego: Al conjunto formado por los restos: r0; r1; r2; ..., se le denomina restos potenciales de b respecto al módulo m, siendo ésta periódica desde un lugar en adelante (con período menor que m). Ejemplo Nº 03 Determina los restos potenciales de 4 respecto al módulo 7. Dar como respuesta la suma de dichos restos. Resolución  Divisibilidad Aplicada al Binomio de N ewton En general, sean los enteros positivos; n, a y k. k k  (n  a)  n  a      k  (n  a)  n a ; k  2 n ak ; k  2 1  k  Ejemplo Nº 02 Halla el resto de dividir 2 200 entre 7. A) 1 D) 4 Resolución 21 = 7 + 2 22 = 7 + 4 23 = 7 + 1 Entonces:  40 = 7 + 1 41 = 7 + 4 42 = 7 + 2 43 = 7 + 1        B) 2 C) 3 E) 5 g=3     7 +1  E= 3 4E =    7 +4  E= 3 +1 7 +2  E= 3 +2 44 = 7 + 4 g=3 45 = 7 + 2 4n = 7 + r g=3   2 3 1  =7+ 2   23  2 = 7 + 4  g=3 1, 4; 2; 1; 4; 2; . . . se denomina restos potenciales de 4 respecto al módulo 7, la cual se observa que se repite en forma periódica y que el primer residuo es 1. Piden:  Suma de restos potenciales = 1 + 2 + 4 = 7. 23  =7+1 10 Razonamiento Matemático Principales criterios de Divisibilidad Un criterio de divisibilidad es una relación que deben cumplir las cifras de un determinado numeral para que éste sea divisible por otro, si no lo es, nos permitirá calcular el residuo a partir de ellas. Divisibilidad por 2   Divisibilidad por 13  31 431 + - + Si: abcde  13 , entonces: e–3d–4c–b+3a= 13  Ejemplo Nº 04 Calcula la suma de todos los valores de «x», si el numeral 4 xx 8 es divisible entre 7. A) 11 D) 10  Si: abcde  2 , entonces: e  2 Divisibilidad por 3  B) 12 C) 13 E) 14 Si: abcde  3 , entonces: a  b  c  d  e  3 Divisibilidad por 4   Resolución Aplicando el criterio de divisibilidad por 7:  4 xx8  7 31231 - +  Si: abcde  4 , entonces: de  4 Divisibilidad por 5 Si: abcde  5 , entonces: e  5 (e  {0 ; 5}) Divisibilidad por 6    entonces: - 4 + 2x + 3x + 8 = 7 5x + 4 = 7 donde: x = { 2 ; 9 } 1  Suma de valores de x es: 9 + 2 = 11  Si: abcde  6 , entonces: abcde  2  3 Divisibilidad por 7     Ejemplo Nº 05  Determina el valor de «x», en: 4 x35  17 A) 12 D) 9 Resolución Descomponiendo el numeral 4 x35   B) 3 Si: abcde  7 , entonces: e+3d+2c–b–3a= 7 31231 - + C) 6 E) 8 Divisibilidad por 8  Si: abcde  8 , entonces: cde  8  4035  x00  17        Divisibilidad por 9   ( 17 + 6) + ( 17 + 15x) = 17 6 + 15x = 17  15x = 17 – 6 5x = 17 – 2  5x = 17 +15  Si: abcde  9 , entonces: a  b  c  d  e  9 Divisibilidad por 11 Si: abcde  11 , entonces: e  d  c  b  a  11 +-+-+  x = 17 + 3 donde «x» es 3.  El valor de 3x será igual a 9. 11 III. E) I-a. 3. B) I-b. II-a. La ecuación 6x + 21y = 102 no tiene solución en los enteros positivos. II-b. II.+.y así sucesivamente. a. III-b. 1. Analiza el valor de verdad de las siguientes proposiciones.-. La ecuación 4x + 16y = 79 no tiene solución en los enteros. 10 B) 24. Evalua el valor de a! + b! III. Todo número divisible por cinco debe terminar en cero.-3.-4. II. II-c. III-c. I. 10 C) 14. En el año 2006. 10 D) 24. cuando la suma algebraica de sus cifras de derecha a izquierda por 1. Analiza los siguientes enunciados y pon V (verdadero) y F (Falso). 18 no es múltiplo de 3. A) VFV D) VVV B) FFF C) VVF E) VFF (a  2)bcd1a  b  además entonces.Razonamiento Matemático PRÁCTICA Nº 02 Capacidad 01: Razonamiento y Demostración 1.2 y -1. Un número es divisible por 3. 444. 10 4. 144.-1. II-b. el 1° de Enero es día domingo. Evalua el valor de a + b A) 34. I. 744. Cuando se multiplica de derecha a izquierda por los dígitos 1. mnpqr (b  4)  10 . A) VFV D) VVV B) FFF C) VVF E) VFF 6. 744. Analiza la condición necesaria para que abc  cba siempre es múltiplo de 33 E  abcde 12  sea divisible entre 8 III. El cero es múltiplo de todo número positivo II. c. Un número es divisible por dos si termina en cifra par o cero. Un número es divisible por 11. 2. II. III. Un número capicúa de cuatro cifras siempre es múltiplo de 11. Cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Si B) Viernes D) Domingo  3. Un numeral es divisible por 13.La suma de tres números consecutivos es siempre divisible por 3. A) FVV D) VVV B) FFV C) VVF E) VFV A) 2c + 4d + e = 8 B) 4d + e = 8 C) b + 4c + 2d + e = 8 D) d+4e+2c= 8 E) c + d + e + a + b = 8 12 . IV.3. luego interpreta el día de la semana que fue el 1° de enero de 1983 será: A) Jueves C) Sábado E) Lunes 7. III. 644. La ecuación 3x + 7y = 141 tiene solución en los enteros positivos. III-c. I.-2 b. D) I-c. 4. Un número es divisible por 7. II-c. Analiza cual es valor de verdad de las siguientes proposiciones: I.-…. Evalua el valor de 2a + 3b II.-3. III-a. El residuo de dividir 3445 entre 3 es 2. previamente afectadas de derecha a izquierda por los signos +. V. II. D iscrim ina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Establece la relacion correcta. A) I-a. Capacidad 02: Comunicación Matemática 8. III-a. C) I-b. I. A) FVFVV D) VVVVF B) FFFVV C) VVFVV E) FVVVV 5. 100 E) 14. Cuando se suman algebraicamente sus cifras. La unidad es divisor de todo número entero III. Tres es divisor de 18. Comprueba a 4b 5c entre 7. Determina la condición necesaria para que la suma de valores de x e y en N  sea divisible entre 2. Traduce la siguiente expresión en su forma simbólica mas simple si: A  17 1234561234      .. 12. Reconoce que valores puede tomar «x» para que el número 2 x 341 sea múltiplo de 3.En la expresión 3 Q  7  2 . A) 2 D) 5 B) 3 C) 4 E) 6 A) Q  7 2   B) Q  7  4 D) Q  7  5  C) Q  7  3 E) 3 Q  7  2 11. Al dividir 131313131345762(g) entre 11(g). La expresión: E  4 x9 x11 x16 x18 x 23 x 25 x30 x.  7       56123456   120 0 c ifras A) 1 D) 4 B) 2 C) 3 E) 5 2 xy 4 7  18.... Si B) 1 C) 2 E) 4 cual  2 a 3b 8 c 2  7  3 . II. III. se cumple que: y abc  8 1 . A) 2 D) 5 B) 3 C) 4 E) 7 persona recibió 19 soles y al final nada quedo. A) 9 D) 21 B) 12 E) 27 C) 16 17. abc  9  6    14. Determina el residuo de la división.. Infiera cuantas personas recibieron los 19 soles.Razonamiento Matemático  9. tiene 2n factores. luego el residuo que se obtiene al dividir entre 7 es: A) 0 D) 3 19.. El producto de x por a es 56.. Si se cumple que abc  11 . C) 4 E) 6 será el resto al dividir A) 2 D) 5 B) 3 A  3 4 n  2  2 x 4 3 n 1  2 A) 17  1     B) 17  2 C) 17  3  20. Dato I: y es par Dato II: y es impar Dato III: x es par Dato IV: x es impar A) Es necesario I y II B) Es necesario I y IV C) Es necesario III y II D) Es necesario I E) Es necesario (I y III) o (II y IV) 13. El valor de «x» es siete. El valor de «a» es ocho.. A) Solo I D) Todas B) Solo II C) I y II E) Solo III C) 825 E) 855 10...... Cada 16. Analiza el residuo: A) 1 D) 4 B) 2 C) 3 E) 5 D) 17  2 E) 17  3 13 . Identifica que valor toma abc A) 845 D) 815 B) 835  I. . Resuelva el producto de los 70 primeros números impares al dividirlo entre 4 da como residuo. Si: 1x17  17 y  4a3  21 . traduce el valor de «Q»..  Capacidad Nº 03: Resolución de Problemas 15. Se reparte  (a  1)(a  2)a soles. Si el curt interno tiene un límite de 1000 personas. de 9 en 9 y de 11 en 11 y siempre sobra una cantidad que es menor en una que el divisor empleado. la tercera parte de los asistentes hablan inglés. Halla cuantos asistieron como máximo a la reunión de aniversario. si es lo mayor posible. CEPRITO agrupaba sus canicas de 6 en 6. de 8 en 8 y de 10 en 10 y siempre le faltaba una para formar más grupos. Interpreta cuántos alumnos hay en el aula de Edú.Si se cumple que  42 a 673 a  7  6 . Calcula el valor de p+q A) 2 E) 5  B) 5 24. Juzca el valor de «a» si: 26. Edú observa que sus ab compañeros del aula se agrupan para estudiar de 6 en 6 y sobran 2. pero si se agrupan de 5 en 5. A) Sólo 2 D) 2 ó 9 29. Un almacenero cuenta los clavos que tiene de 5 en 5. A) 16 D) 15 B) 11 C) 14 E) 10 31. Halla la suma de las cifras de dicho número de clavos.A naliza B) 9 22. A) 58 D) 36 27. En el colegio Leoncio Prado en la reunión de aniversario se observa que la séptima parte de los asistentes tienen estudios de postgrado.Razonamiento Matemático 21. de 7 en 7. De cómo respuesta la suma de sus cifras. Calcula cuántos numerales de 4 cifras al ser divididos entre 4 y 5 de como residuo 3 en ambos casos. Juzga la cantidad de números de la forma 4 n 0 n1n que son divisibles por 13 es: A) 3 D) 10 B) 5 C) 7 E) 13 28. si:  C) 9 E) 0 abc  9 A) 140 D) 105 cba  5 B) 150  ca 13 C) 120 E) 210 25. Analiza el valor de axbxc. la catorceava parte son ingenieros y la dieciochoava son literatos. Halla a + b sabiendo que el número es divisible por 126 A) 6 D) 10 B) 8 C) 9 E) 11 ababa 30. faltarían 3 para formar otro grupo. A) 1005 D) 955 B) 350 C) 844 E) 882 32. Si el numeral 6 pqp 4 q es divisible entre 88. si cada clavo le costo 2 soles y gasto entre 12000 y 16000 soles. Calcula cuántas canicas tiene si es una cantidad máxima menor que 1000 A) 954 D) 1079 B) 941 C) 959 E) 823 el residuo de dividir: 424 421  9 A) 2 E) 3 B) 5 C) 4 E) 1 23. Si : B) 45 C) 43 E) 40 y  3aaa 2 a 5  11 4 A) 2 D) 3 B) 1 C) 0 E) 4  aaa 4b1  3  n 4n 7  9 entre 8 C) 43 E) 40 Calcula el residuo de dividir n ( 2b  3)b ( n  1)bb ( ) 2 A) 58 D) 36 B) 45 33. C) 2 y 9 E) Sólo 9 Indica el valor de «a». A) 24 D) 27 B) 25 C) 26 E) 23 14 . 8.2. 12. ……  b) Números compuestos Son aquellos números que tienen más de dos divisores. 9. Números enteros positivos Divisores Cantidad de divisores CLASIFICACIÓN POR GRUPOS DE NÚMEROS a) Números primos entre sí (PESI) Son aquellos números que tienen como único divisor común la unidad. 4. estos pares de números son PESI. 10.Razonamiento Matemático TEORÍA DE NÚMEROS CAPÍTULO III 3. 2. 5. Unidad: Es un número especial porque es el único que posee un solo divisor. en este caso se va ha clasificar de acuerdo a la cantidad de divisores que posee cada número. Ejemplo Nº 02 ¿4. 6. tenemos: 4 PESI 9 4 PESI 25 1 1 1 5 3 5 25 9 25 9 PESI 25 1 1 3 2 9 4 1 2 4 a) Números simples Son aquellos números que tienen a lo más dos divisores. 3. 10 y 15 son PESI? Resolución Número 8 1 1 1 Divisores 2 2 3 4 5 5 8 10 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 5 2 7 2 3 2 4 3 6 4 8 9 5 10 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 10 15 único primo común  8.1. a. 10 y 15 son PESI b) Números primos entre si 2 a 2 Son aquellos grupos de números que al ser tomados de 2 en 2. 9 y 25 son PESI 2 a 2? Resolución Tomando los números de 2 en 2. Ejemplo Nº 01 ¿8. 13. 1 a.1. …… 15 . Números primos: Son aquellos números que poseen únicamente dos divisores que son la unidad y el mismo número. 11. TEORÍA DE NÚMEROS CLAS IFICACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS El conjunto de los números enteros positivos se pueden clasificar de acuerdo a una determinada característica en particular. 7.  z  Ejemplo Nº 03 Descomponer canónicamente el número 600.. En general: N  a   b  c   . Resolución 600 300 150 75 25 5 1 2 2 2 3 5 5 d) Suma de las inversas de los divisores de N  SID(N)  Sea «N» un número entero positivo.... A esta descomposición se le conoce con el nombre de DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA..... Resolución Descomponiendo canónicamente el número N..  z  Entonces: (m  1)2  36 m +1 = 6 m = 5 CD(N)  (  1)(  1)(   1).(  1) 16 . Determina el valor de «m». A) 4 D) 3 B) 5 C) 6 E) 7 ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO a) Tabla de divisores de N Sea el número 18. Entonces: PD(N)  NCD(N) 600  22  3  5 2     Descomposi ción canònica Ejemplo Nº 04 Si: N  15  18 m .. Entonces: SID(N)  SD(N) N e) Producto de los divisores de N  PD(N) Sea «N» un número entero positivo... donde: 18  2  3 2 Entonces se puede elaborar la siguiente tabla de divisores de 18.... tiene 144 divisores.. c) Suma de divisores de N  SD(N)  Si: N  a   b  c   ...  SD(N)    a  1  b  1  c  1   z  1        TEOR EMA FU NDAMEN TAL DE LA ARITMÉTICA Todo número compuesto se descompone en una multiplicación de potencias de exponentes enteros positivos de sus divisores primos...Razonamiento Matemático  4. tenemos: N  (3  5)  (2  3 2 )m N  3  5  2m  3 2m N  2m  3 2m 1  5 divisores de 2 1 2 2 6 18 divisores de 3 2 1 3 9 1 3 9 divisores de 18 Además CD(N)  144 por propiedad (m+1)(2m+1+1)(1+1) = 144 (m+1)2(m+1)(2) = 144 b) Cantidad de divisores de N  CD(N)  Si: N  a   b  c   .. 9 y 25 son PESI 2 a 2..  z  Entonces:  a   1  1  b  1  1  c   1  1   z  1  1    . B)(A+B) tiene divisores múltiplos de 2.7. I. C)Los divisores simples están conformados por los divisores primos y los compuestos.7.11. AxB tiene 4 divisores III.11. A) I y II D) I.Traduce los enunciados e indica la alternativa que no corresponde a la cantidad de divisores de un número (CD) A) CDpropios +1 = CD B) CD = CDprimos + CDcompuestos + 1 C) CDprimos = CDsimples -1 D) CDpropios = CDcompuestos +1 E) CDcompuestos = CD – (CDprimos +1) 9. Analiza el número N = 2002 y su descomponer canónicamente: A) N = 2.19 4.31 B) N = 2.13. Evalua el enunciado incorrecto con respecto a: «Todo número primo es… A) De la forma ( 4  1 ) ó ( 4  1 ) B) De la forma ( 6  1 ) ó ( 6  1 ) C) Impar a excepción del 2 D) No compuesto E) El que tiene únicamente 2 divisores 0 0 0 0 17 . Interpreta el valor de verdad de los siguientes enunciados I.13 E) N = 3. Uno de sus divisores es 185 A) FVV D) VFF B) VVV C) FVF E) FFV 2. Identifica la alternativa incorrecta con respecto a la tabla de divisores b0 1 5 25 b1 b2 b3 2 Y 8 X 20 40 50 100 Z a a1 a2 0 A) X = 10 B) Y = 4 C) Z = a2.b3 = 17 6.(A. La unidad no es ni primo ni compuesto A) FFF D) VFF B) VVF C) FVF E) FFV 5.3. Si A y B son números primos diferentes de 2. (A + B) es un número primo II. Si a 74 se le multiplica por 100. Identif ica la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones. E) Los números son proporcionales a la cantidad de divisores que tienen. B) Los números compuestos poseen más de 2 divisores primos. Los divisores primos y los compuestos conf orman el total de divisores de un número. El número 5 posee 2 divisores primos II.7. A los divisores primos y la unidad se les denomina divisores simples II. I. El 4 y 9 no son primos entre sí III.b3 D) a + b = 2 E) Z = a2 . Identifica cuáles son verdaderas. El producto tiene 4 divisores primos II. D) El único divisor simple no primo es la unidad.13 D) N = 7.Razonamiento Matemático PRÁCTICA Nº 03 Capacidad 01: Razonamiento y Demostración 1.13 C) N = 2. Anticipa la alternativa correcta: A) Los números primos poseen sólo 2 divisores primos.13. Sus divisores se incrementan en 20 III. Los divisores sim ples y la unidad conforman los divisores compuestos A) FFF D) FVF B) VFV C) VFF E) VVV 7. Establece si las si las proposiciones son verdaderas o falsas: I. III.7. II y III B) II y III C) I y III E) Sólo II Capacidad Nº 02: Comunicación Matemática 8. 3. N = 500 0 III.p  «b + c». IIa. III. Interpreta cuáles de las proposiciones son verdaderas. IIIa Ia. IIb. A) 0 D) 3 16. IIc.p : Interpreta :  1bc 2 2.n . m B) 1 C) 2 E) 4 12. IIc. Si N = 5(10m) tiene 20 divisores. Halla cuántos de sus divisores son múltiplos de 4. IIIa Ic. I.12n+4 es 7 . II y III m  A) 10 D) 8 n p . El numeral puede representar hasta 2 números primos. 4 Ic. b y c son primos absolutos. El número de divisores simples es… a. IIIb Ib. Sus divisores 2 son 15 A)0 D) 3 B) 1 C) 2 E)4 14. Sus divisores 50 son 16 IV. 35 y 9 respectivamente.3. 4 divisores múltiplos de 12 y 12 divisores múltiplos de 3. « aa(8) si posee 9 divisores. A) 8 D) 20 B) 12 C) 18 E) 14 0 13. El valor de «a» es… II. IIb. Traduce convenientemente. Un número tiene 23 divisores propios. I. La cantidad de divisores del menor número N = 45.Razonamiento Matemático 10. Si a=3 y b= 2 resulta un numeral primo A) I y II C) I y III E) Sólo II B) II y III D) I. Si. Busca de sus divisores no 0 son 28 . donde a. II. Si abcde tiene 4 divisores primos y 91 divisores compuestos tal que si se divide entre: 16. Identifica cuántas de las proposiciones son verdaderas. I. m= 3 II. 3 c. Como máximo puede tener hasta 6 divisores. 2 A) B) C) D) E) b. N tiene 3 divisores primos II. n = 9 A) I y II D) Sólo III B) II y III C) I y III E) Sólo I 18. N = tiene 9 divisores simples III. Identifica la alternativa que no le corresponde al número 2009 A) Posee 2 divisores primos B) Posee 6 divisores en total C) Posee 3 divisores simples D) Posee 3 divisores compuestos E) Es un número primo 11. Identifica cuántas de las proposiciones son verdaderas. IIIc Ia. IIIb Capacidad Nº 03: Resolución de Problemas 15. Si N = 30n tiene 1000 divisores. A) 60 D) 42 B) 56 C) 72 E) 84 18 . El número de divisores primos es… III. Analiza cuántos de los divisores de N son múltiplos de 4 pero no de 8. I. La expresión: (4a  3)(5b  3) si a y b son cifras. 49 y 27 dejan residuo 8. B) 1 C) 2 E) 4 17. tal que es múltiplo de 2. A) 3 D) 0 29. Sea N = 54. Calcula el número abc .5n+4.7 n . sabiendo que el cuadrado de P tiene 44 divisores más. Halla la suma de las cifras de mnpq . si se le disminuye en (a + b + c) se obtiene un numeral que termina en 75 y tiene 12 divisores. A) 3 D) 2 B) 4 C) 5 E) 6 27. A) 8 D) 7 B) 14 E) 9 C) 5 28. Da cómo respuesta la suma de sus cifras. A) 3 D) 2 B) 4 C) 5 E) 1 19 . Sea N = n2mp3 . determina el residuo de dividir m1n3p2 entre 7. Calcula la suma de los divisores no compuestos de aa.Razonamiento Matemático 19. A) 1 D) 12 B) 4 C) 7 E) 11 22. A) 3 D) 10 B) 9 C) 5 E) 11 21. A) 4 D) 7 B) 5 C) 6 E) 8 cba = 11  3 0 bca = 9  6 abc = 7  5 0 0 Calcula: c + 3b + 5a A) 12 D) 22 B) 44 C) 55 E) 31 24. a + c = 4 además se sabe que tiene 15 divisores. Halla el residuo de dividir abcd entre 7. Si 3m4n5p67 al ser dividido entre 13 deja residuo 7. que sea coprimo con 5460 y coprimo con 5610. b + d = 15. A) 7 D) 10 B) 8 C) 15 E) 14 26. sabiendo que N -2 es múltiplo de 9. Halla (m + n). si la cantidad de divisores de «N» es múltiplo de 7 y es lo menor posible. Halla el valor de «a» para que el número sea múltiplo de 72. A) 729 D) 816 B) 693 C) 684 E) 924 25. El número nn075 tiene 4 divisores simples y 32 divisores compuestos. sabiendo que m + p = n + q. El numeral abc es múltiplo de 3 y tiene 12 divisores. además dicho numeral posee 27 divisores. mientras que su raíz cuadrada tiene 13 divisores menos de lo que tiene P. en el numeral P =2 m. Si el numeral 432a posee 1268 divisores enteros no primos. Reconoce cuántos divisores del número son PESI con 21. Si: B) 4 C) 5 E) 6 23. Reconoce cuántos de los divisores de «N» son múltiplos de 9 pero no de 27. Determina el menor núm ero natural diferente de 1. A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18 20. Operaciones matemáticas con regla de definición Explícita Son aquellas operaciones en los cuales la regla de definición se da directamente. por lo que hay que darle una forma de definición a lo que nos pide. sólo hay que reconocer las componentes que intervienen. para posteriormente reemplazar y operar los datos. Ejemplo Nº 02 Si: 6x + 2 = 12x + 9 .1. x +1 =x+4 Operación Matemática Es un proceso que consiste en la transformación de una o más cantidades en otra cantidad llamada resultado. Halla el valor de: A) 2 D) 8 B) 4 8 + 3 C) 6 E) 10 20 . x # y = operador matemático x Ejemplo Nº 01 b a Se define: a # b  a  b 2 2 Calcula « x  y ».Razonamiento Matemático OPERADORES MATEMÁTICOS CAPÍTULO IV 4. reemplazar y operar. OPERADORES MATEMÁTICOS Operador Matemático Es aquel símbolo que representa a una determinada operación matemática. si: x # y  5 5 2 y  y 2x regla de definición A) 5 D) 15 Resolución B) 10 C) 20 E) 14 Por la definición: x # y  5 Operadores Universales Adición Multiplicación Radicación Valor absoluto  5 5 xy  yx  ( 5  5 ) –  xy  yx  5 + x n Sustracción División 5 Potenciación ( )n Sumatoria   5 5  Comparando términos: x = 5  y = 5 Piden: x 2  y 2  ( 5 ) 2  ( 5 ) 2 Operadores Arbitrarios Asterisco Triángulo Yin .Yang Porcentaje *   % Grilla Nabla Arroba   x 2  y 2 = 10 #  @ Operaciones matemáticas con regla de definición Implícita. mediante ciertas condiciones en la cual se define la operación. Son aquellas operaciones en los cuales la regla de definición no ha sido definida de manera explicita. Fila de entrada 2+5 Entonces: x +1 =x+4 2 x+1 +5=x+4 x+1 = x 1 2 . En este caso se tiene que hacer uso de mucha creatividad e ingenio. c}. Se buscará una regla que cumpla para todos los casos según la información dada. Resolución Según la tabla: M = [ (1 @ 2) @ (3 @ 4) ] @ 5 M=(5@4)@5 M=1@5  M=3 21 . b. Ejemplo Nº 03 Si se sabe que: 48  24 = 72 32  31 = 20 26  41 = 40 Halla el valor de: K = 76  13 A) 31 D) 27 B) 72 Resolución Observamos que la regla de definición no está dado de manera explícita ni de manera implícita. pues el resultado se puede obtener de muchas maneras (realizando ciertas operaciones).2 2 Luego: 8 = (8 – 2)  2 = 3 3 = 3  2 + 5 = 11 1 Reemplazando valores 8 + 3 = 3 + 11 = 14 Columna de entrada Operador  a b c a b a a b a b c c c c b Diagonal = (14 – 2)  2 = 6  8 + 3 = 6 Para operar se recomienda realizar la siguiente operación:  Elemento de   Elemento de  int er sec ción    la columna  *     en la tabla la fila     Ejemplo Nº 04 Se define el operador @ mediante la siguiente tabla: @ 1 2 3 4 5 1 4 5 1 2 3 2 5 1 2 3 4 3 1 2 3 4 5 4 2 3 4 5 1 5 3 4 5 1 2 Calcula: M = [ (1 @ 2) @ (3 @ 4) ] @ 5 C) 46 E) 52 A) 2 D) 4 B) 1 C) 3 E) 5 Operaciones matemáticas que no tienen regla de definición Explícita ni ImplÍcita. mediante la siguiente tabla.Razonamiento Matemático Resolución Como: 6x + 2 = 12x + 9 48  24 = 72 = (4 + 8)(2 + 4) 32  31 = 20 = (3 + 2)(3 + 1) 26  41 = 40 = (2 + 6)(4 + 1) Luego se tiene: ab  bc = (a + b)(c + d) Entonces: K = 76  13 K = (7 + 6)(1 + 3)  K = 52 Operaciones en Tablas de Doble Entrada Sea el siguiente conjunto no vacío A = {a. en el cual se define la operación representada por «». III. en el cual se define una operación matemática. C) La intersección de la columna y fila de entrada nos determina el elemento neutro. a a c d b b b b a c c a b c d d a d b a No es conmutativa El elemento neutro es c a * (b * d) = (d * c) * d La operación «*» es cerrada B) Sólo II D) Ninguna es falsa donde: e : Elemento neutro A) I y II C) II y III E) II. C) En la multiplicación el elemento simétrico es el uno. la sustracción no es conmutativa. E) Si en el cuerpo de la tabla se nota al menos un elemento que no pertenece al conjunto de partida se dice que la operación es abierta.  a  A.b  A  a * b = b * a Criterio de la Diagonal. B) La tabla es conmutativa si la matriz es simétrica con respecto a su diagonal principal. las siguientes A) El elemento neutro en la adición es el cero. A) Cuando los elementos del cuerpo de la tabla pertenecen al conjunto de partida. III y IV 22 . para determinar si una tabla es conmutativa. para determinar el elemento neutro en una tabla.c  A  a * ( b * c ) = ( a * b ) * c Propiedad del Elemento Neutro (e)  e A /  a A  a * e = e * a = a Criterio de Intersección. Dado un conjunto no vacío.b.Razonamiento Matemático Propiedades En el conjunto A  .b  A  a * b  A Propiedad Conmutativa  a. E) La adición es una composición interna en los números naturales. 2. Propiedad de Clausura o Cerradura  a. Mantienen el mismo orden Elementos ubicados simétricamente PRÁCTICA Nº 04 Capacidad 01: Razonamiento y Demostración Identifica cuál de informaciones es falsa. entonces estudiaremos las siguientes propiedades. 1. definimos la operación simbolizada por « * ». II. mediante una determinada tabla. IV. En la siguiente tabla discrimina cuál de las siguientes proposiciones son falsas:  a b c a b a a b a b c c c c b Diagonal principal Propiedad Asociativa  a. se dice que es clausurativa. D) En el conjunto de los números reales. B) El elemento neutro es único. D) Si la matriz en una tabla tiene diagonales secundarias semejantes se dice que es asociativa.  a b c Columnas iguales a b a a b a b c c c c b Filas iguales Elemento neutro Propiedad del Elemento Inverso ( a 1 )  e  A.  a 1  A 1 1  a*a =a *a=e  a b c d I. 3. Analiza cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta. 4.Razonamiento Matemático E) II.Se cumple la propiedad conmutativa. cuál de las siguientes expresiones no corresponde a la definicion dada. 2. « xÎR 9. El elemento neutro es 3. Se define la siguiente operación: 2x  1  32 x  44 . Se cumple la propiedad de clausura. (2b) además: b a a. Para cualquier número entero «x» se define x  x2  1 . mediante la siguiente tabla: 1 2 3 4 5  7. x 2 } se define la operación «*». Se define en A = { 1. IV. entonces (1 * x) * 3 = 3 II. 3. como: Identifica cuál de las siguientes expresiones es equivalente al producto de 3 y A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 7 4 . la operación x . x. 5 } la operación «*». D) E) 8. Se define la siguiente relación:  = Entonces. En el conjunto A = { 1. dado por la tabla: 1 x x2  1 x x 2 1 x x 2 x x 1 2 x 1 x 2 En la siguiente tabla interpreta la expresión equivalente a: x 1  ( x 2 ) 1 2 A) x 2 ( x  1) B) ( x  1) C) 2x  1 E) x 2  1 D) x( x  1) 6. b A) 2x  1  4 x  2 B) 2x  1  8 x  8 a+b Calcula: a+b C) x = 16x + 60 10 D) x = 2x + 4 E) x = 16x + 16 A) 5 D) 8 36 B) 6 C) 7 E) 9 23 . A) VFVF B) FVVF C) FVFV D) VVFF E) VFVV Capacidad Nº 02: Comunicación Matemática 5. Si x = 1. III y IV 4. podemos inferir que: 1 2 3 4 5 3 5 1 2 5 4 1 2 5 1 1 2 3 4 5 2 5 4 3 1 5 1 5 2 3  es igual a : A) B) C) Analiza el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Capacidad Nº 03: Resolución de Problemas Se define: b 2 Analiza. III.  n Î Z Interpreta: 3. Si: x x+1 x–1 .. Si: mDn=p+2 Û pxn=m–1 Busca el valor de “x”: x D 7 + (x + 1) D 7 = (6 D 5) + 8 A) 10 D) 30 B) 35 C) 20 E) 25 24 . a – b > 0 Calcula: 2 2 E  (5  3)(3a  2a ) A) 4 D) 1 13. x1 Elabora: B .... a  b ab B) 12 C) 13 E) 15 A) 1 D) 9 B) 5 4 y C) 7 E) 3 Halla el valor de: E = (. 149 operadores B) 2 C)3 E) 5 16.. Si: a * b = (b * . + (10 * 11)11 A) 10 D) 7 B)8 C) 2 E) 6 a)2 B) 120 C) 134 E) 150 A) 1 D) 4 15..a*b>0 Resuelva: E = (1 * 2)2 + (2 * 3)3 + (3 * 4)4 + . Se define el operador siguiente: x  1  x 2  9... x  1  0 x+1 a * b  9b Halla “y” en: Calcula: 225 * 15 x+2 2(x + 1) y A) 11 D) 14 14.2  2..1  3  0. Si: h(x) = ax2 + bx + c h(1) = 7 Ù h(–1) = 3 Ù h(0) = 4 Halla: h(h(–2)) A) 124 D) 144 11.4  A) 2 D) 5 B) 3 C) 4 E) 6 17. De acuerdo a: 22 * 30 = 6 12 * 53 = 13 45 * 14 = 21 Halla en: (a 5 * 18) * 59  73 * 32 12....((((1 D 1) D 2) D 3) D 4 . 2 .Razonamiento Matemático 10. D 100) A) 40 D) 1 B) 160 C) 50 E) 101 19.. Se define: Æ a Æ b = [a][b] además: [x] = n si n < x < n +1 .5  0. Si: a Ä b = a2 – b2 a Å b = Log2(a – b) .... Se define: B) 3 C) 2 E) 0 A) a7 D) 3 B) a3 C) a8 E) 1 18..1  2  0... Se define: ab  a b  ba .3  0.. Si: F( n 1)  2F(n )  1 2 Efectúa el valor de "x" en: ( (2–1  3)–1  x–1 ) * ( (4–1 2) * 4)–1 = 2 A) 1 D) 4 C) 32 E) 40 B) 2 C) 3 E) No existe Calcula: F(61) . Es asociativa ( ) El cero se comporta como el elemento identidad A) VVF D) FFF B) VFF C) VVV E) FVV 25 . definamos la operación () en el conjunto: A = {1. 3. 4}  1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1 22. Dada la operación binaria: a # b = a + b + ab Halla el elemento neutro.   n   1 E) 1. A) 1 B) 1/2 C) 0 D) –1 E) –2 26. b  R Interpreta si se cumplen las siguientes afirmaciones: ( ) a  b = b  a. Es conmutativa ( ) (a  b)  c = a  (b  c).  x n donde “n” es númef(n )  1 n ro entero positivo.   n 1 B)   n  1  C) 0. 3. Si: xk = (–1)k .. 4}:  1 2 3 4 Calcula "x". y ? y = – 4 Halla: x D y A) 7 D) 16 B) 17 C) 18 E) 8 25. Se define: B) 28 x Efectua: 8x + 35 A) 20 D) 25 B) 24 C) 27 E) 21 27. 2.   n 24 Dada la siguiente tabla de doble entrada y de módulo 4..Razonamiento Matemático 20. Si: A = {1. En el conj unto de los números reales definimos la operación (): a  b = a + b + 2ab a. Se define: x  x 2  . En el conjunto de los números naturales definimos las siguientes operaciones: a * b = a2 – b a ? b = 3a – b2 a D b = 2a + 3b Si: x * x = 6 . si F(1) = 2 A) 30 D) 26 23. k Î N reconoce el conjunto de valores posibles de f(n) es: A) {0}  1 D) 0. si: [ (2–1  3)–1  x ]  [ (4–1  2)  3 ]–1 = 1 A) 0 D) 3 B) 1 C) 2 E) 4 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1 21. 2. es decir realizar experiencias sencillas pero con las mismas características del problema original. que nos permita llegar a una conclusión. c c e c c e p e c c e p r p e c c e p r e r p e c c e p r e v e r p e c c e p r e v a v e r p e c c e p r e v a l a v e r p e c A) 512 D) 255 B) 1 024 C) 2 048 E) 8 192 Resolución Analizando casos particulares N° de formas De 1 letra c  ( a  b )( a  ab  b ) 2 2 1= 2 1 –1 De 2 letras c c e 3= 2 c 2 Razonamiento Inductivo Consiste en analizar casos particulares. –1 De 3 letras c e c e p 7= 2 c e c 3 –1 c C A S O I C A S O II C A S O III C A S O G E N E R A L De 4 letras c e p c e p r 15 = 2 c e p c e 4 –1 c c e c Casos Particulares Razonamiento Inductivo  8 N ° de formas = 2 – 1 = 255 26 . Observaciones  (N° par) + (N° par) = (N° par)  (N° impar) + (N° impar) = (N° par)  (N° par) + (N° impar) = (N° impar)  (…5) x (N° impar) = …. con un poco de habilidad matemática e intuición práctica.1. HABILIDAD OPERATIVA Consiste en analizar formas de solución para problemas aparentemente complicados.5     (…5) x (N° par) = ….0 (N° par) x (N° par) = (N° par) (N° par) x (N° impar) = (N° par) (N° impar) x (N° impar) = (N° impar)  a 2  2ab  b 2  ( a  b ) 2  a 2  b 2  ( a  b )( a  b ) a b 3 3 Ejemplo Nº 01 Halla el total de formas que se puede leer la palabra cepreval si no interesa el orden de lectura.Razonamiento Matemático HABILIDAD OPERATIVA Y SUCESIONES CAPÍTULO V 5. . 6 n  Z ( . . . . 1 ( . 9 ) N PAR  ... . .5)número  (.. . . . 4 )N IMPAR  ... 7 )número  ( . . 7 ) 4 1  . 7 ) 4 3  . . . . . . . 5 ( . . . 9)número par = (. .. . . 1  ( . 3. 9  ( . 3 )4 2  . . ( . .. 8  ( . 2 ) 4 1   .. 7  Termina en cifra 0. 9) # par = ……4 + ……5 + ……1 = ……0 ( . . . 9  ( . 7 ( .. .. ... .8  .. 9) VAL 2  ( . . . 4 ( .. .. 6  Resolución Analizando los exponentes de cada sumando  ( ..2) 4  2  (.Razonamiento Matemático Cifras terminales Consiste en calcular la última cifra del resultado de un número que será expuesto a sucesivas operaciones. . 3 ) número ( . . . 6 )n  . 8 ) 4 3  . . .... .. .5)UNHE  (..... 6 b) Cifras terminales para números que terminan en: 4 ó 9 En este caso la última cifra del desarrollo dependerá si el exponente es par o impar. .. . 1 )n  .. . .. . 2 )4 2  . 2 )4  . 8 )número  ( . 4  ( . 6 ( . .. 2 282 = 4 +2 ( . .. 9 ) número ( . . ... . 5 ó 6 En este caso la cifra terminal será la última cifra del número base. . . . 8 )4  . 27 . 3 ) 4 3  .. 5 )  .. . 3 )4 1  .... 2 Observación:  (N par )(número entero positivo )  (N impar )(número entero positivo ) ( . . 2 ) número UNHE : es un número de 4 cifras VAL2 : es un número par Entonces: = (. 4 )N PAR  . 1. . . 0 ( . . 8  ( ...... . . . . .2) 2  (. .. . 9 )N IMPAR  . . ... .. . 3  ( . . a) Cifras terminales para números que terminan en: 0. 4 )número n  ( . ... .. . 7 ó 8 En este caso las cuatro primeras cifras terminales son diferentes y cada grupo de cuatro se repiten las mismas cifras terminales. .. 5) #  (.   MAT9 C) 3 E) 4 VAL 2 ( . ( . . 1  = (. 4  ( . 3  ( .. ... 2 ) 4 3  . 8 ) 4 2  ..1 Ejemplo Nº 02 En que cifra termina: ( ABC8  DEF4) 282  RAZ5 A) 0 D) 9 B) 1 UNHE c) Cifras terminales para números que terminan en: 2. . .4) 282  (. .. .. 0 )n  . .. .. . . . . . 8 )4 1  . 3 )4  . . . . . 9 ( . 7 )4  . . . 7 ) 4 2  . 50 . 74 .  Razonamiento Deductivo Una sucesión es finita cuando tiene un último término y es infinita. letras y/o gráficos ordenados de acuerdo a una determinada LEY DE FORMACIÓN. 74 .Razonamiento Matemático Razonamiento Deductivo Consiste en analizar y aplicar una verdad general (ya demostrado). CASO I C A S O G E N E R A L CASO II CASO III CASO IV Casos Particulares 5. estos criterios son:  Lugar que ocupa en el alfabeto. Sucesiones Gráficas Son conjuntos formados exclusivamente por gráficos ordenados de acuerdo a ciertos criterios:  Criterio de giro (horario o antihorario). x (cumple) Ejemplo Nº 03 Si: d abcd  d a b  d c B) 4 C) 1/4 E) 6 Calcula: E  A) 8 D) 5/3 Resolución Como d d abcd  d . cuando no tiene último término. b=1 . en ciertos casos particulares. 50 . 92 . entonces: abcd  d Se observa que el numeral de 4 cifras depende del valor que toma «d».  Se observa que: x = 95 28 .  Iniciales de palabras conocidas.  Formación de palabras. Si: d = 1  11  1  1  abcd Si: d = 2  2 2  4  4  abcd Si: d = 3  3 3  27  27  abcd Si: d = 4  4 4  256  256  abcd Si: d = 5  5 5  3125  3125  abcd Si: d = 6  6 6  46656  46656  abcd  Por lo tanto cumple cuando «d» es igual a 5.2. comparando términos: a=3 . c=2 . Sucesiones Numéricas Es un conjunto formado exclusivamente por números que están ligados entre si mediante una determinada ley de formación. 92 ... SUCESIONES Sucesión Es un conjunto de números. x +48 +24 +12 +6 +3 Reemplazando E  a b  d 3 1 5  4 c 2 2 2 2 2  La respuesta es 4. 86 . Sucesiones Literales Son conjuntos formados exclusivamente por letras del abecedario que están ordenados de acuerdo a un determinado criterio.  Criterio de aparición y/o desaparición de elementos de la figura. d=5 A) 91 D) 97 Resolución B) 93 C) 95 E) 99 2 . …Cada elemento de una sucesión se denomina término. Ejemplo Nº 04 Halla el valor de «x» en la siguiente sucesión.  Unión y/o intersección de figuras. 86 . 2 . . 113. … . … Sucesión de Fibonacci 1. …. k 4 r r r 1er orden -7 -7 -7 -7 Reemplazando los valores en el término general de una sucesión lineal. t n +r En general: +r +r t n  an  b t1  r Resolución Calculo del término enésimo 120 . t 4 . halla el primer término negativo de tres cifras: 120. 15. 99. 29 . t 2 . 3. k 3 . k 2 . t 4 . 5. . .. . . Ejemplo Nº 06 En la siguiente sucesión: 1. 21. 99 . … . Sucesiones de números de la forma: 2n  1 1. 31 . … A) – 101 D) – 104 B) – 102 C) – 103 E) – 105 t1 . 3. . 7. t n q En general: q q n 1 t n  t1  q SUCESIONES ESPECIALES Sucesión de los números primos 2. 1 . t 3 . . . 8. 3. 3 . 31. será cuando n = 38. entonces: En general: t n  an 2  bn  c r 2 k0  a t0 t 38  6(38)  127 = -101  El primer término negativo de tres cifras es -101. . 3. 106. 7. 63. t 3 . 6. 2. 15. … 21  1 22  1 23  1 24  1 25  1 Se observa que su término enésimo es de la forma: t n  2n  1 Entonces para n = 8  t 8  28  1 = 255  El tercer término después de 31 es 255. Donde el primer término negativo. t 2 . 5. r Sucesión Cuadrática Sea la sucesión cuadrática: to ko r t1 . 11. 113 . 3. . . 1. t 3 .Razonamiento Matemático SUCESIÓN ARITMÉTICA Sucesión Lineal o Progresión Aritmética Sea la sucesión aritmética: Ejemplo Nº 05 En la siguiente sucesión. 15. 7. 13.. 106 . 10. 31. t 4 . t n  6n  127 Por dato: 2do orden 6n  127  100 n  37. . 7 . … k1 .8. … Sucesión de los números triangulares 1. 13.. 15 . t 2 .…… el tercer término después de 31 es: A) 127 D) 295 Resolución B) 245 C) 265 E) 255 SUCESIÓN GEOMÉTRICA Sea la sucesión geométrica: t1 . 10. E l primer término de una sucesión geométrica es diferente de cero. III B) Sólo II C) I .Razonamiento Matemático PRÁCTICA Nº 05 Capacidad 01: Razonamiento y Demostración 1.1. Es una sucesión geométrica A) Sólo I D) II . D) En una distribución gráfica no intervienen números. IIIc C) Ia. -13. La sucesión de form a an 2 +bn+c es bicuadrática. 124. V. Es una sucesión lineal II. E.3. IIIc Capacidad Nº 02: Comunicación Matemática 6. Si se reparte caramelos de 3 en 3 a un grupo de alumnos . IIb. Analiza las siguientes proposiciones y determina si son verdaderas (V) o falsas (F) según corresponda: I. 3. 7x. IV E) II. 26.2. IIa. N. Reflexiona en cuál de las alternativas no se representa una sucesión: A) 7.… a) 4n + 5 b) n3 – 1 c) n ( n  1 ) 2 30 . 4X +3. 1.…. I. II 9.8. -5. IIIb D) Ib. Identifica el enunciado incorrecto: A) En una analogía numérica la incógnita está en la columna del centro. IIc. IIIa B) Ic.. Discirmina la alternativa que cumple con la analogía mostrada es a A) B) como C) es a …. -9. las letras representan números naturales consecutivos. O. IV. Indentifica las sucesiones con sus términos enésimos correspondientes: I 1. R. -1.. 6. … 5. 63. III. Es una sucesión cuadrática III. IIb. En la sucesión alfanumérica. Analice cuales de los enunciados son incorrectos. … D) 2 + 4 + 6 + 8 +…. 3. II.III y IV A) Ia. 3. Corresponde a una sucesión literal.… B) 2x. C) Una sucesión geométrica no es una secuencia de gráficos.5. III 0. 7. 3X + 2. B) La sucesión: U. A) FFFF D) VFVF B) FFVV C) FVFF E) FFFV 4.… C) C. 15…. 5x. E) 2X +1. estamos hablando de una sucesión. 13. 30….13.……. IIIb E) Ic.. 21. E. E) Una sucesión aritmética posee una ley de formación de forma an+b. 9x. Es una serie IV. P. 17.? D) E) 2. IIa. Busca qué letra sigue en. A) A B) X C) Y D) Z E) W 8.… Identifica cuales de las proposiciones son verdaderas: I. (a + 7)3.Razonamiento Matemático 7.Juzga cuántos términos de la siguiente sucesión terminan en cifra 5.. A. . En la siguiente sucesión gráfica: 16. El criterio de giro es horario III. El criterio es de aparición y desaparición A) Sólo I D) II y III B) Sólo II C) Sólo III E) I y II C) n2 D) n2 E) n2 n2 4 31 . . . (a + 118 – n)n A) 210 B) 20 C) 39 D) 28 E) 72 9. B. 31. A) D B) M C) F D) L E) R 3n 3 C) E) 1   3n   2  D) 2n  13 3n 2 12. 17.y) 10.. 161. Halla el término de lugar 10 en: 5.. 11x. . 4x. En la sucesión: 3x.. para n e» 3 t6 = 38x tn = 2n2 – 3n + 4 B) 1 C) 4 E) 0 13.... . D. (a + 11)5.... 89.. 13.. En la siguiente sucesión: 1 1 9 4 25 ..x) = R + (b. . D... III.. El criterio de giro es anti horario II. 40. Interprta la relación correcta: 9 11 a 15.. . R.. 7x. 48. II... 22.Infiere su término enésimo: 3.. Analiza qué letra sigue. ..b) =R +1 E) (a.. IV. M... A) n2 2n  1 n2  4n B) n2  4 n n2 4 . A. 12.. . 75.. . . 43. 27..y) D) (y – x)+( a . Calcula el valor de «n» en la siguiente sucesión: (a + 3)1. G. D... A) 1121 D) 1421 B) 1221 C) 1321 E) 1721 14..b) = R + (x. 5 2 13 5 29 Calcula el término enésimo. En la siguiente progresión aritmética creciente: Interpreta el término de lugar (a + b + c) 2 20 8 2 2 10 x R y A) 210 D) 219 B) 213 C) 216 E) 222 4 2 b A) 2(x + y) = R B) y = R+x3 C) (a. A) 3 D) 2 t5 =18x tn = tn-1+ tn-2.. … A) 2 n  1 B) 2 Capacidad Nº 03: Resolución y Problemas 11. 904 A) 12 B) 10 C) 11 D) 15 E)20 17.… Analiza cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas: I.. M. S. . . B) D) .Razonamiento Matemático 18. . El número de tipos de imprenta utilizados en la numeración de un libro excede al número de páginas en 160.. . A) 134 B) 120 C) 67 D) 60 E) 94 26.. A) 64 B) 16 C) 44 D) 32 E) 88 25... 22. 12. A) -120 D)-115 B) . Halla el máximo número de triángulos. De un libro de 226 páginas se han marcado cierto núm ero de pa´ginas del principio. A ) 103 A) B) C) D) E) 625 360 475 725 820 1 2 3 4 5 4647484950 B) 300 C) 301 D) 275 E) 725 32 . A ) 5050 B) C) D) E) 5030 5020 5000 5120 1 2 3 48 49 50 20.. Halla cuántas hojas se arrancaron. 120 . A) 10 D) 5 B) 7 C) 12 E) 8 27. en: . .. Plantea en la siguiente figura cuántas bolitas sombreadas hay. 1 A) 180 D) 156 2 3 B) 158 19 20 C) 160 E) 178 19... 12.. Calcula el número de hojas de dicho libro. . 297 S2 : 5 . Calcula el residuo de la siguiente división: 21. 24.104 C) -118 E) . 113 . Formula cuántos términos son comunes a ambas sucesiones. 21... Busca qué figura sigue en la siguiente secuencia. . observándose que en las páginas que quedan se utilizaran 451 cifras. 17.. A) C) E) . Interpreta cuántos triángulos se contarán en la posición 100? (1) (2) (3) 23. 99.. 7.. 106 ..111 A)1 E B) 0 20032 UNHVH 1 2UNHVH 1 C)2 D) 3 E) 4 22. Interpreta el tercer término negativo de 3 cifras.. Dadas las siguientes sucesiones: S1 . 29. Determina cuántos triángulos se cuentan en total en la siguiente figura... En la siguiente sucesión.. 12 .. tenemos: S  12  2  2 2  3  3 2  4  .  103 )  10 (11) ( 21)   10 (11)  S     2  = 385 + 3 025  6      S = 3 410 2 33 .. 17 .   1x2 2x3 3x4 n(n  1) (n  1) Ejemplo Nº 01 Calcula el valor de: S  2  12  3  22  4  32  .Razonamiento Matemático SERIES. 7 .......  Tomados de 2 en 2 1 2  2  3  3  4  .  102 )  (13  23  33  ... SERIES Serie Es la suma de todos los términos de una determinada sucesión. SUMATORIAS Y CONTEO DE FIGURAS CAPÍTULO VI 6. 1  3  5  7    (2n .  11  10 2 A) 3 410 D) 3 420 B) 3 452 C) 4 134 E) 5 423 Suma de los «n» primeros números naturales pares consecutivos.. 22 Suma de los «n» primeros productos consecutivos.  n(n  1)  1  2  3  n    2   3 3 3 3 2 S  ( 12  22  32  ..  n(n  1)  n(n  1)(n  2) 3  Tomados de 3 en 3 Entonces la serie será: 2 + 7 + 12 + 17 + 22 Series Notables Suma de los «n» primeros números naturales consecutivos.. 1 2  3  4    n  n(n  1) 2 1 2  3  2  3  4  3  4  5  ...  n(n  1)(n  2) n(n 1)(n 2)(n 3) 4 Suma de los inversos de los productos de dos números consecutivos: 1 1 1 1 n   .1)  n 2 Resolución Ordenando y transformando la serie....  10 2  11 S  12 (1  1)  22 (2  1)  32 (3  1)  . 12  22  3 2    n 2  n(n  1)(2n  1) 6 Separando en dos series: Suma de los cubos de los «n» primeros números naturales consecutivos.1.  102 (10  1) S  (13  12 )  (23  22 )  (33  32 )  .... Sea la sucesión: 2 ...  (10 3  102 ) Suma de los cuadrados de los «n» primeros números naturales consecutivos. 2  4  6  8    2n  n(n  1) Suma de los «n» primeros números naturales impares consecutivos.. .  Cn  2n n 0 2 En general: donde: t t Sn   1 n  2  t1 : primer término r : razón aritmética n : número de términos t n : último término Suma de términos de una Progresión Geométrica Sea: S = t1 + t 2 + t 3 + t 4 +…+ t n xq xq xq Ejemplo Nº 02 Calcula el valor de la suma de los 20 primeros números de la siguiente serie: S = 2 + 3 + 6 + 11 + 18 +… A) 2 510 D) 3 150 B) 4 502 C) 3 120 E) 2 345 Resolución Aplicando números combinatorios: S= 2 + 3 + 6 + 11 + 18 + ….. + t n k1 k2 k3 q3 k4 S  2 C 1  1C 2  2 C 3 20 20 20  20  19   20  19  18  S  2(20 )  1        2 3  2 1   21    S  40  190  2280  S = 2 510 Suma Límite Sea la serie: S = t1 + t 2 + t 3 + t 4 +……  xq xq xq q1 q2 r En general: r donde: Se debe cumplir lo siguiente: S  t1 1 q S = t1 C n 1  k1 C n 2  q1 C n 3 r C n 4 t1 : primer término q : razón geométrica ( 0 < q < 1) 34 . +1 +2 +3 +2 +5 +2 +7 En general: donde: t (q  1) Sn  1 q 1 n t1 : primer término q : razón geométrica n : número de términos t n : último término Suma de términos de una serie asociada a una sucesión polinomial de orden «n» utilizando números combinatorios Sea la serie: S= t1 + t 2 + t 3 + t 4 + …..Razonamiento Matemático Suma de términos de una Progresión Aritmética Sea: S = t1 + t 2 + t 3 + t 4 + …+ t n +r +r +r  n   Propiedades  Cn  1 0 n  C1  n  Cn  1 n  Cn  Cn k  C10  C10 7 k n 3 n  Cn  C1  Cn  .. Tomados de 2 en 2 n  k(k  1)  k 1 n(n  1)(n  2) 3 Entonces la sumatoria será:  (5k  3) k 1 6. SUMATORIAS Sumatoria Es la síntesis de una serie. Sea la serie: 2 + 7 + 12 + 17 + 22 5 6.c k m 3. Sumatoria de los «n» primeros productos consecutivos. Sumatoria de los «n» primeros números naturales consecutivos.2.c k 1  (2k  1)  n k 1 2 Sumatoria de un término general con coeficiente n k 1 n k 1 4. Descomposición en 2 o más sumatorias n k m n k 1 m -1 k 1  ak   ak   ak 35 . Sumatoria de los cuadrados de los «n» primeros números naturales consecutivos.1. Sumatoria de los cubos de los «n» primeros números naturales consecutivos. Sumatoria de los inversos de los productos de dos números consecutivos n donde: n : límite superior o índice superior p : límite inferior o índice inferior ak : término general  X 1 1 x ( x  1)  n ( n  1)  : operador sumatoria (Sigma) Sumatorias notables 1. Sumatoria de los «n» primeros números naturales pares consecutivos.Razonamiento Matemático 6. 6.2. Sumatoria de un término compuesto n k 1 n k 1 n k 1 n k 1 k2  k 1 n n(n  1)(2n  1) 6  (ak  bk  ck)   ak   bk   ck 5. n(n  1) k  2 k 1 n Propiedades 1.  ak  a  k 4. Tomados de 3 en 3 n Notación n kp  k(k  1)(k  2)  k 1 n(n  1)(n  2)(n  3) 4 a a   n   ak  app 1 p a1 a n    2     desarrollo de la sumatoria 7. c  (n  m  1). n  2k  n(n  1) k 1  c  (N de términos).  n(n  1)   k3     2   k 1 n 2 5. Sumatoria con término general constante o numérico. n n Caso particular: 3. n  ak k m n  N de términos  n  m  1 Caso particular:  ak k 1  N de términos  n 2. Sumatoria de los «n» primeros números naturales impares consecutivos. Número de términos de una sumatoria.  c  n. n 2. Figura Compuesta Cuando en su interior aparecen otras figuras simples. triángulos. posteriormente se procede al conteo creciente y ordenado de figuras de 1 número.3. etc. etc. 1 2 1 2 3 3 4 n # n = n(n  1) 2 #= n(n  1) 2 Caso II Cuando tienen 2 dimensiones (horizontales y verticales).Razonamiento Matemático 6. que se encuentran presentes en una determinada figura dada. tratando de encontrar una ley de formación coherente. semicircunferencias. Figura Simple Cuando en su interior no aparece otra figura. Método de Inducción Consiste en analizar casos particulares según la figura dada (figuras análogas). cuadriláteros. = Caso II m 4 3 2 1 2 3 4 n 1 #= n(n  1) m 2 Conteo de Ángulos 1 2 3 #=  n n(n  1) 2 Conteo de Sectores Circulares MÉTODOS PRÁCTICOS DE CONTEO 1 Método Combinatorio Consiste en asignar números y/o letras a todas las figuras simples. para luego poder generalizar (encontrar la fórmula). cubos. al unir 3 números. segm entos. PRINCIPALES FÓRMULAS PARA EL CONTEO DE FIGURAS Conteo de Segmentos 1 2 3 4 n 2 3 # = n(n  1) 2 n Conteo de Cuadriláteros Caso I Cuando tiene una sola dimensión (horizontal o vertical). 1 2 2 3 3 4 H Conteo de Triángulos Caso I n(n  1) #= 2 1 2 3 4 n V # = H(H  1) V( V  1)  2 2 Conteo de Diagonales # de Diagonales = 2 (# de Cuadriláteros) 36 . al unir 2 números. CONTEO DE FIGURAS Consiste en determinar el máximo número de figuras pudiendo ser estás ángulos. . 56 De 3 números: 123.Razonamiento Matemático Conteo de Cuadrados Caso I Cuando sus 2 dimensiones son iguales.1)(p .1)(n . 356.1)+ . 35. p 1 2 2 3 3 n Conteo de Paralelepípedos n 32 1 m 3 2 1 3 2 1 n # n(n  1)(2n  1) = 6 # = m(m  1) n(n  1) p(p  1)   2 2 2 Caso II Cuando sus 2 dimensiones son diferentes. Resolución Enumerando la figura dada: n 3 2 1 1 2 3 3 n 2 n 1 3 #  n(n  1)  =   2  2 1 2 4 5 6 Efectuando el conteo tenemos: Caso II Cuando sus 3 dimensiones son diferentes. Conteo de Cubos Caso I Cuando sus 3 dimensiones son iguales. 1 2 2 3 3 m Conteo de Semicircunferencias 1 2 3 n-1 n # =2n n donde: n : N° de Diámetros # = m. 23. 3. . OBS: Multiplicar sus tres dimensiones hasta que uno de los factores sea 1 para posteriormente sumar los resultados. . 6 De 2 números: 12.     4 4 3 1 37 . De 1 número : 1. en la siguiente figura. 245 De 4 números: 2345  Total de cuadriláteros: 12 # = mnp + (m .n + (m–1)(n–1) + (m–2)(n–2) + … Ejemplo Nº 03 Calcula el número total de cuadriláteros. 4. A) 3 B) 4 C) 8 D) 12 E) 22 OBS: Multiplicar las dos dimensiones hasta que uno de los factores sea 1 para posteriormente sumar los resultados. Su descomposición es: 3   k   2 l.En una fiesta asistieron 115 personas.Sobre una carretera hay colocados 8 troncos distantes una de otra 6 metros. Identif ica cual de los enunciados son correctos con respecto a la siguiente sumatoria. I. c) Síntesis de la serie. 1 1 A) I D) I y II B) II E) Solo II y III C) III 2. b) Suma indicada de los términos de una sucesión. c-III C) c-I . 15 15 15 1 1 1 II. III. Identif ica cual de los enunciados son correctos con respecto a la siguiente sumatoria. 1 1 1 15 15 15 15 15 III.Analiza la siguiente figura si es verdad o falso los siguientes enunciados. A) FVFVV D) VVVVF B) FFFVV C) VVFVV E) FFVFF 4. I. b-II . Sabina con 14. Su descomposición es:  3k   2 . A) FVF D) VVV B) FFF C) VVF E) FVV 4. A) 494 D) 496 B) 500 C) 504 E) 498 6. El número de triángulos con asteriscos es 14. 15     3k  2    1 38 . b-II. A) B) C) D) E) VFV FFF VVV VFF FVF A) a-I.Interpreta el valor de verdad las siguientes proposiciones: a) Una serie numérica es la suma indicada de los términos de una sucesión numérica. y así sucesivamente hasta que Sonia (la última) bailo con todos ellos. a-III E) c-I . c-II . Identifica los siguientes conceptos con su correspondiente: a) Secuencia de términos regidos por una ley de formación. c-II. Anticipa cual es valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) La cantidad de muchachos que no asistieron a la fiesta son 100 b) La cantidad de muchachas que hay en la fiesta son 15 c) La cantidad de muchachos y muchachas que asistieron a la fiesta fueron 105 d) La cantidad de muchachos que asistieron a la fiesta fueron 105 e) El número de muchachas es divisible por tres. El número de triángulos sin asteriscos es 10. a-III D) a-I . II.Razonamiento Matemático PRÁCTICA Nº 06 Capacidad 01: Razonamiento y Demostración 1. 15    3k  2    1 I. a-II . b) En la serie geométrica el valor del término enésimo esta dado por la siguiente relación: 1 tn t1qn . Su descomposición es: 3 k  2. III. b-III 3. El número total de triángulos es 24. b-III 5. Alicia bailo con 6 muchachos. c) q: significa la cantidad de términos de una serie geométrica. Celita lo hizo con 9. Discrimina la distancia que tendrá que recorrer una persona que los tenga que llevar uno a uno a un camión colocado a 10 metros del primer tronco. II. Sumatoria Serie Sucesión B) b-I. El termino de lugar 20 es: 222.. E  20 2938 47. 1 2 3 20    . III. 500 D) 298. Si m y n son iguales el número de triángulos es n3. d.... 112.Analiza la verdad o falsedad de acuerdo al siguiente arreglo lo siguiente. e.. para que la suma de la serie sea 3400 es 100. c. Si la serie tiene 40 sumandos la suma será 560.... 510 11...... tiene términos...  2 1 n  1 II. interpreta la figura y mensionar su valor de verdad de los enunciados... 116.Razonamiento Matemático 7. El valor de «n» es 7.. 20 n 7 n   2 2 8 n  1 1 n  1 14 7 n n    2 2 2 15 n  1  8 n  1  1 n  1  n B) II C) III E) Todas 20 III.. A) FVFVV D) VFVVF B) FFFVV C) VVFVV E) FFVFF 20 n I. a.. d) La serie presentada como una 94 sumatoria es: E   9 n  11 . I.. Si m = 6 y n = 7 la cantidad de triángulos que habría es: 280 A) VFV D) VFF B) FFF C) FVF E) FVF 12.... La razón de la serie es «6»...... 120. b) El valor de a – b = 5..n67 .. .... A) VFV D) VVV B) FFF C) VVF E) FFV II.. ..  A) I D) Solo II y III 39 . En la siguiente serie aritmética. 1 A) FVV D) VFFV B) FFV C) VVF E) VFV Capacidad Nº 02 Comunicación Matemática 8... 4 9 16 441 129 Identifica cual o cuales son representadas como sumatorias.. De la siguiente serie: 10.. E 12n 132 ...La suma de la cantidad de pirámides de base cuadrada y cuadrangular es... 500 E) 208.. lo siguiente: a.. 5000 B) 288. Infiere lo siguiente: I. II..... III. El termino 237 ocupa el lugar 22. II. La serie es convergente. La cantidad de sumandos que debe tener. 112.. 112... La suma de los 20 primeros términos es: 3490. 7 15 ba Anticipa cual es el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) El término enésimo es t n  9 n  11 ... S i la base es cuadrangular cuántas pirámides existieran.. De la siguiente serie: 9. b.. I.... Infiere si es verdad (v) o falso (f)... III... A) 288. c) La serie tiene 96 términos. Si la base es cuadrada cuantas pirámides existieran...... 500 C) 288. E l número total de triángulos es: nm ( n  m ) 2 S 1 3  2  2  6  4  3 9  6 .. 410 B) 490.100 . Infiera la cantidad de triángulos que hay en la siguiente figura.+y = 420 A) 27 D) 40 B) 40 C) 67 E) 69 17. 490 C) 490. tn= 4n+1. 690 14.. 4.. si el penúltimo día recorrió 33 kilómetros.. tn= n+1. 28.Interpreta los enunciados: I. 292 A) 1752 D) 1785 B) 1896 C) 1863 E) 1836 S  21  22  23  .+x = 196 2+4+6+8+……………... Un atleta recorre el día de hoy 15 kilómetros y cada día que pasa un kilómetro más que el día anterior.350.... A) 26 D) 35 B) 15 C) 24 E) 20 18. pero las caídas aumentan de viaje en viaje en 4 ladrillos.400. III.. Interpreta cuantos viajes debe hacer. 490 E) 490. 490 D) 490. entonces decide aumentar a 16 ladrillos por viaje con respecto a cada viaje anterior. A) 92 B) 93 C) 94 D) 95 E) 97 40 .. Determina la suma de todos los términos de la sucesión finita. 19. tn= 2n+1. 1. Indica cuantos cuadriláteros hay. el tercer mes S/. De la siguiente serie: A) 32 B) 33 C) 30 D) 35 E) 36 21.. El valor de la suma de serie hasta el último día sera: A) 490. II. Un camionero lleva ladrillos de un deposito a su fabrica y lleva la primera vez 28. Analiza cual será el precio final de la BMX. La cantidad de segmentos como máximo que hay en la siguiente figura será 1 A) 502 D) 522 2 B) 4620 3 C) 492 E) 165 10 19. A) 2025 D) 4840 B) 2205 C)5048 E) 5050 16.700....717.…………….750..50 E) S/. Si desea acumular 2700 ladrillos.. 4 y así sucesivamente durante 20 meses.. tn= n+1. A) S/. La distancia que recorrió. pero se le caen 7. Capacidad Nº 03 Resolución de Problemas 15.Razonamiento Matemático 13.25. el segundo mes S/..50 C) S/. El término enésimo.50 D) S/.. el cuarto mes S /. De la siguiente figura. el primer mes S/. Edú piensa pagar por una bicicleta BMX de la siguiente forma cada fin de mes. 7. tn= 3n+1. Halla la cantidad de ángulos agudos de la siguiente figura A) 26 B) 28 C) 20 D) 23 E) 21 20. 2. Determina el valor de «x+y» si: 1+3+5+7+…………….50 22.25.. 12. 0.50 B) S/.. S. Conjunto solución de una ecuación (CS) Es la relación de todas las soluciones particulares que presenta la ecuación. a 0  b donde C. le dice a Carlos: «Yo tengo S/. x 2 } además: x(1. EDADES Y MÓVILES CAPÍTULO VII 7.Razonamiento Matemático PLANTEO DE ECUACIONES. Yo: 22 + x Tú: x Ecuación Es una relación de igualdad que se establecen entre 2 expresiones algebraicas que tienen como mínimo una variable. Ecuación Lineal Es de la forma: ax + b = 0 . 22 más que tú».1.S. 2 )   b  b2  4ac 2a 41 . = { x1. =    a Ecuación Cuadrática Es de la forma: ax 2  bx  c  0 . PLANTEO DE ECUACIONES Plantear una ecuación consiste básicamente en la traducción de un enunciado literal a un enunciado simbólico (ecuación). a 0  A es el doble de B A es dos veces B B es la mitad de A A = 2B  A = 2k B=k  A es tres veces más que B A es tres veces mayor que B A = 4B  A = 4k B=k  La mitad de un número aumentado en 5 x5  2 donde C. Esquema: Forma Verbal Enunciado Traducción Forma Simbólica Lenguaje Matemático Oraciones traducidas del lenguaje castellano al lenguaje simbólico  La suma de tres números consecutivos  x + (x + 1) + (x + 2)  El cubo de la suma de dos números  (a  b)3  La suma de los cubos de dos números  a3  b3  A excede a B en 11 A es mayor que B en 11 El exceso de A sobre B es 11 B es excedido por A en 11 A – B = 11  A = x + 11 1 B=x  A es a B como 3 es a 8 La relación entre A y B es 3/8 A 3  B 8  A = 3k B = 8k Ejemplo Nº 01 Matematiza el siguiente enunciado: Una mañana soleada Gustavo. 42 . Esquema B) 11 años C) 12 años E) 14 años Manuel David 4x x 4x + 20 x + 20 Edad de Manuel = 2 (Edad de su hijo) -b Pasado Presente +a Futuro Del enunciado tenemos: 4x + 20 = 2 (x + 20) desarrollando x = 10 Piden determinar la edad del hijo: x = 10 años n–b n Edad actual n+a  El hijo de Manuel tiene 10 años. * La suma en aspa de valores extremos simétricos es constante. dentro de 20 años Manuel tendrá el doble de la edad del hijo.Razonamiento Matemático Ejemplo Nº 02 En un examen de 30 preguntas. ¿Cuántos años tiene el hijo actualmente? A) 10 años D) 13 años Resolución Pasado Presente Futuro 7. dichas relaciones se traducen en una o más ecuaciones según indica el problema. Casos Frecuentes a) Cuando interviene la edad de un solo sujeto Sea la edad actual del sujeto: «n» años. Presente Futuro Sujeto 1 Sujeto 2 EDADES Observación * La diferencia de edades de 2 personas es constante en cualquier tiempo. Esquema TIEMPOS Pasado SUJETOS Resolución N° de preguntas en blanco: x N° de preguntas correctas: 3x N° de preguntas incorrectas: (30 – 4x) Del enunciado tenemos: x(0) + 3x(4) + (30 – 4x)(-1) = 82 12x – 30 + 4x = 82 16x = 112 x=7 Piden: Nº° de preguntas correctas = 3x = 3(7) = 21  Contestó correctamente 21 preguntas. Ejemplo Nº 03 Manuel tiene cuatro veces la edad de su hijo David. Si un estudiante obtuvo 82 puntos y noto que por cada respuesta en blanco tenía 3 correctas.2. ¿Cuántas contestó correctamente? A) 20 D) 21 B) 7 C) 13 E) 14 b) Cuando intervienen las edades de dos o más sujetos Para resolver estos tipos de problemas se sugiere el uso de un cuadro de doble entrada con el propósito de ordenar y relacionar convenientemente los datos. cada respuesta correcta vale 4 puntos. la incorrecta -1 punto y en blanco 0 puntos. EDADES En el tema de edades intervienen sujetos cuyas edades se relacionan a través del tiempo bajo una serie de condiciones que deben cumplirse. entonces dentro de «a» años tendrá «n + a» años y hace «b» años tenía «n – b» años. MÓVILES Los problemas sobre móviles están relacionados al estudio del movimiento de los cuerpos y de sus características fundamentales (distancia. tuve tenías.Razonamiento Matemático Ubicación de expresiones frecuentes. Pasado Yo Tú Él tenía. su año de nacimiento y el año actual es el siguiente: Cuando el sujeto cumplió años en el presente. tendrá: 2 006 – 1 967 : 39 años TE  d V1  V2 43 . se cumple que: AÑO EDAD AÑO    1 NACIMIENTO ACTUAL ACTUAL Se cumple: velocidad  dis tan cia recorrida tiempo empleado Leyes del Movimiento Rectilineo Uniforme v d t d = vt t d v Ejemplo Nº 04 Gustavo nació en el año 19 xy y en 1 980 tuvo (x + y) años. se cumple que la relación de su edad actual. según se indica la figura: t V c) Relaciones entre el Año de Nacimiento y la Edad de un seujeto Para todo sujeto. velocidad y tiempo). que encontramos en los enunciados en una tabla de doble entrada. tenga tendrás. además se caracteriza por mantener su velocidad constante (módulo. tengas tendrá. se cumple que: AÑO EDAD AÑO   NACIMIENTO ACTUAL ACTUAL A d B Cuando el sujeto todavía no cumplió años en el presente. En general: Dado un móvil que se mueve desde el punto «A» hasta «B». dirección y sentido) durante todo el movimiento. tenga 7. Movimiento Rectilíneo Uniforme (M. ¿Cuántos años tendrá el 2 006? A) 35 D) 38 B) 36 C) 37 E) 39 TIEMPO DE ALCANCE t t V1 V2 Resolución Como: Año de nacimiento + Edad = Año actual Entonces: 19 xy + (x + y) = 1 980 d TA  d V1  V2 TIEMPO DE ENCUENTRO t t V2 1 900 + 10x + y + (x + y) = 1 980 11x + 2y = 80 dando valores: 11(6) + 2(7) = 80 V1 d  En el 2 006. tuvo Presente tengo tienes tiene Futuro tendré.R.3. tuviste tenía.U) Es aquel tipo de movimiento que tiene como trayectoria una línea recta. la velocidad media es también constante e igual a v. La cinemática es el estudio de los movimientos en función al tiempo independiente de las interacciones que los produce III. Con respecto al movimiento de los cuerpos. identifica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. II. A) 80 km D) 60 km B) 90 km C) 70 km E) 50 km 2. Trayectoria: camino que sigue un cuerpo en movimiento. A) FVV D) VFF B) VFV C) VVF E) VVV * Entre una persona Tc  L TREN V TREN * Entre dos trenes Tc  L TREN1  L Tren 2 V TREN1  V Tren 2 Donde L: longitud del tren y/o del puente d: distancia que separación inicial V1 y V2 : velocidades Equivalencias notables 1 km < > 1 000 m 18 km/h < > 5 m/s 1h < > 3 600 s 1 min < > 60 s Observación: velocidad del sonido <> 340 m/s Ejemplo Nº 5 Para ir de un punto A a otro B. Se desea saber el espacio total recorrida por la persona sabiendo que en el viaje de ida y vuelta ha empleado en total 13 horas. Movimiento rectilíneo uniforme: es el que realiza un móvil que sigue una trayectoria recta A) VVFFV D) FVVVV B) VFFVV C) FVVVF E) VVVVV 44 .Razonamiento Matemático TIEMPO DE SEPARACIÓN t V1 V2 8 km/h t Resolución Graficando según el enunciado: t1 d A x 5 km/h B TE  d V1  V2 Por dato: t2 TIEMPO DE CRUCE * Entre un puente Tc  L TREN  L PUENTE V TREN t 1  t 2  13  x x   13 8 5 x = 40  El recorrido total es: 2x = 2(40) = 80 km. una persona camina a razón de 8 km/h y para volver al punto de partida lo hace a razón de 5 km/h. IV. Siendo la velocidad instantanea constante. Establece la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. II. La trayectoria es el movimiento a la curva que describe el cuerpo. PRÁCTICA Nº 07 Capacidad 01: Razonamiento y Demostración 1. necesariamente. Movimiento: es el cambio de posición que experimenta un cuerpo con respecto al tiempo. Desplazamiento: cambio de posición de un cuerpo III. Velocidad: es la distancia recorrida en la unidad de tiempo V. IV. Cuando hay un loro en cada poste. Analiza cuántos soles más barato que una docena de libros cuesta una docena de cuadernos. A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 45 Capacidad 03: Resolución de Problemas . IV. cada respuesta correcta vale 4 puntos. I II E) III. Resuelva cuántas pelotas compró. V. A)240 B) 180 C) 140 D) 120 E) 200 11. El profesor de un colegio le dice al Director si se forman filas de 7 niños sobran 5. V B) II. donde dedujo que con el mismo dinero que llevaba podía comprar 3 más de lo que pensó. pagando por las vacas el doble que por los caballos. Si un estudiante obtuvo 82 puntos y notó que por cada respuesta en blanco tenia 3 corrrectas. además por dos vacas pagó tanto como por 7 cerdos y gastó lo mismo. pero faltarían 4 niños para formar 3 filas más de 6 niños. Determina el número de postes. III. pero al llegar a su destino se enteró que cada pelota costaba 1 sol menos de lo que creía. 5 libros y 3 cuadernos cuestan 350 soles más caro que 3 libros y 5 cuadernos. IV 9. La magnitud de la velocidad es igual a la rapidez V. la incorrrecta -1 punto y en blanco 0 puntos.Un ganadero compró 30 cabaloos más que vacas y tantos cerdos como caballos y vacas juntos. V C) III. III. 3 loros estan volando pero cuando en cada poste hay 3 loros quedan 3 postes libres. Resuelva cuántos animales compró.Resolver la ecuación V.La magnitud del desplazamiento es igual a la rápidez A) 2 D) 3 B) 5 C) 3 E) 4 10.Razonamiento Matemático 5. I D) III. D iscusión e interpretación de los resultados A) I. A) 50 y 3 051 C) 56 y 3060 E) 55 y 3060 B) 55 y 3061 D) 60 y 3000 14. Un comandante dispone sus tropas formando un cuadrado y ve que le quedan fuera 36 hombres. E squematiza a seguir para resolver problemas de ecuaciones : I. V. Plantear la ecuación II. A) 4 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6 6. A) 15 B) 20 C) 21 D) 22 E) 20. Un niño fue con 36 soles para comprar pelotas. Busca cuántos hombres habia en el lado del primer cuadrado y cuántos hombres hay en la tropa. La velocidad y el desplazamiento tienen la misma dirección y sentido IV. Halla cuántos niños son: A)72 D) 116 B) 61 E) 92 C) 68 12. IV. son todos pavos menos 7. Designar la incógnita III.La velocidad es constante III. En un examen de 30 preguntas. Calcula cuántas contesto incorrectamente. interpreta cuantos: A) Compró 8 aves C) Dejó 3 pavos E) Llevó 16 aves B) Sólo quedó 1 pavo D) Habian 7 pavos 13. El móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales II. Analiza el siguiente enunciado y diga cuantas de estos enunciados son verdaderos: I. En un negocio de aves se venden pavos. Leer y comprender el enunciado IV. y son todos codornices menos 4.Varios loros se posan en postes con travesaños. gallinas y codornices. II. II. V. Entonces pone un hombre más en cada lado del cuadrado y ve que le faltan 75 hombres para completar l cuadrado. I IV. II. si un cliente compró todas las gallinas y codornices. A) 9 B)10 C) 8 D) 6 E) 12 Capacidad 02: Comunicación Matemática 7. I.5 8. Son todos gallinas menos 5. Dos trenes cuyas longitudes son 147m y 103m marchan sobre vias paralelas en el mismo sentido.5 km/h 17. Dos motociclistas Javier y Carlos disputan una carrera. cuando va de regreso (contra la corriente). después de que se retiran 8 parejas el número de hombres que aún queda es igual a cuatro veces el de damas. Juzga a que hora sale siempre de su casa. Dentro de 8 años la suma de nuestras edades será de 46 años.U n tren que pasa por delante de un observador inmovil. En una reunión el número de caballeros es dos veces más que el número de mujeres.5 km/h B)22. A) 20m/s D) 23m/s B) 21m/s C) 22m/s E) 24 m/s 22. Calcula en m/s la velocidad del último tren. luego de 2 segundos antes que «C». 20s C) 2 min. 30 s E) 3 min. Halla el espacio recorrido si va de Huánuco a huancayo. logra una rapidez de 15 km/h. pero como el conductor era novato. A) 16 B) 32 C) 48 D) 64 E) 72 21. En una pista circular de 3 000 m. A) 1min. Reconoce en cuántas debío llegar normalmente. pero hace «n» años la diferencia de nuestras edades era de 4 años. A) 25m/s D) 35 m/s B) 15 m/s C) 12 m/s E) 53 m/s 16. Interprete cuántos caballeros había inicialmente. Después de 5 minutos llega el más veloz al punto de partida. «A». El Caballo «A» llega a la meta con una ventaja de 60 m sobre «B» y 8 segundos antes que «C» y «B». demora 7 segundos y al pasar por una estación de 360 m. llegan al mismo tiempo a la meta.Calcula cuánto más rápido es Javier de Carlos. Una persona sale todos los días de su casa a la misma hora y llega a su trabajo a las 10:00 h. cuando ellos marchan en sentido contrario ellos se cruzan a intervalos regulares de 12 segundos. Un microbus debía cubrir una cierta distancia en un determinado tiempo. Se le pregunto por su edad a ugusto y él responde: «Multipliquen por 3 los años que tendré dentro de 3 años y réstenle el triple de los que tenía hace 3 años y obtendrán precisamente los años que tengo». sabiendo además que de ida demora 5 horas menos que de regreso.5 km/h C) 18 km/h E) 14. Analiza hace cuántos años la edad de uno era el triple de la edad del otro. dos atletas parten j untos en sentidos contrarios y se cruzan al cabo de 20 min. En una carrera toman parte 3 cabalolos. si van en el mismo sentido el primero pasa al segundo en todos los minutos. Busca cuál es la velocidad del otro en m/min? A) 30 m/min B) 36 m/min D) 18 m/min C) 24 m/min E) 20 m/min 19. 10s 25. A) 10 B) 13 C) 12 D) 11 E) 9 26. A) 12 horas D) 19 horas B) 18 horas C) 15 horas E) 16 horas 46 . un día se traslada a triple velocidad y llega a su trabajo a las 8:00 h. La rapidez de un bote de ida es 20km/h. D) 3 min B) 1min. A) 7:00 h D) 4:00 h B) 6:00 h C) 5:00 h E) 9:00 h 23.5 km/h D) 4. recorrío todo el trayecto con 1/5 menos de la velocidad normal y llego con un retraso de 4 horas. A) 3. A) 11 años B) 18 años D) 22 años C) 20 años E) 25 años 20. Deduzca su velocidad. Dos ciclistas corren sobre una pista circular de 360 metros de longitud. demora 22 segundos. Hala cuánto tiempo tardo en la carrera el caballo «B». Halla cuáles son las velocidades de los ciclistas en metros por segundo respectivamente? A) 15 m/s y 18 m/s B) 18 m/s y 14 m/s C) 15 m/s y 12 m/s D) 18 m/s y 12 m/s E) 15 m/s y 14 m/s 24. cuyo recorrido es de 30 km. en cambio si le da 3 km de ventaj a solamente. Si la velocidad del primero es de 48m/ s y el segundo demoró 50 segundos en pasarlo.Razonamiento Matemático 15. le gana por 10 minutos. «B» y «C» que han de recorrer 1800m. A) 500km D) 300km B) 150km C) 225km E) 180km 18. Resuelva qué edad tenia ahora. Si Javier le da a Carlos 6 km de ventaja. cuando tengas lo que ya te dije y él tenga lo que tú y yo tenemos. Halla cuántos años tengo si dentro de 20 años la suma de nuestras edades sera 98. Juzge yo tenía: A) 5 D) 10 B) 7 C) 8 E) 11 30. A) 2 D)5 B) 3 C) 4 E)6 31. Analiza qué edad tenia ahora. Hace 12 años la edad de 2 hermanos estaban en relación de 4 a 3. Dentro de 8 años la suma de nuestras edades será 42 años. actualmente sus edades suman 59 años. cuando tu tuviste la edad que yo tengo. 5 años más de los que tendré. A) 11 años D) 22 años B) 18 años C) 20 años E) 25 años 32. tendrás lo que él tenía. cuando yo tenia la mitad de la edad que tuve. A) 9 D) 20 B) 8 C) 7 E) 21 47 . pero hace «a» años la diferencia de nuestras edades era de 8 años. A) 10 D) 40 B) 20 C) 30 E) 50 29. Se le pregunta por su edad a Augusto y él responde: «Multipliquen por 3 los años que tendré dentro de 3 años y restenle el triple delos que tenía hace 3 años y obtendrán precisamente los años que tengo». Cuando yo tenga el doble de la edad que tu tenías.Razonamiento Matemático 27. Cuando tengas lo que yo tengo. Calcule hace cuántos años la edad de uno era el triple de la del otro. que es. A) 24 D) 42 B) 48 C) 36 E) 50 28. tu tendras el doble de lo que tengo. Dentro de 10 años tu tendras la edad que yo tenía cuando tu tenías la edad que yo tenía hace 34 años. Calcula dentro de cuántos años sus edades estarán en relación de 8 es a 7. cuando tenías la tercera parte de lo que tienes y yo tenia la tercera parte de lo que él tiene. si nuestras edades suman 60 años. Interprete cuántos años tendrás cuando yo tenga lo que ya te dije. m. B) 4:30 p. ¿Qué hora es? A) 4:20 p. por ejemplo: Para un día 1 Día <> 24h Tiempo transcurrido Tiempo que falta transcurrir Ángulos formados por el Minutero y el Horario 11 10 9 H 8 7 6 5  4 12 1 M 2 3 Cuando el horario minutero  24 h se adelanta al 0h x x (24 – x) HORA EXACTA 11 M  30H 2 Cuando el minuter o se adelanta al ho r ar io  11 M  30H 2 Ejemplo Nº 01 Dentro de 10 minutos el tiempo que faltará para las 5:00 pm será la mitad del tiempo transcurrido desde las 4:00 pm hasta hace 20 minutos.m. entonces formaran un ángulo de 0°.Razonamiento Matemático CRONOMETRÍA Y CALENDARIOS CAPÍTULO VIII 8.m. Ejemplo Nº 02 ¿A qué hora entre las cuatro y las cinco las agujas de un reloj están superpuestas? A) 4 h C) 4 h 30 min D) 4 h 35 9 min 12 E) 3 h 21min B) 4 h 21 9 min 11 Resolución Sea «x» los minutos que indicará la hora correcta: TT 20min 10min TFT 4:00 2k x k 1hora <> 60min 5:00 Resolución Como las agujas se encuentran superpuestas. E) 4:35 p. CRONOMETRÍA Tiempo transcurrido (TT) y tiempo que falta transcurrir (TFT) Para la resolución de este tipo de problemas. es recomendable tener presente la realización de un esquema. D) 4:10 p.m. luego reemplazando los datos tenemos: 0   11 m  30(4) 2 9 min 11 9 min 11 Del gráfico: 2k +k + 20+10 = 60 k = 10 min Cálculo de «x»: x = 2k + 20 = 2(10) + 20 = 40 min  Son las 4:40 pm Desarrollando: m = 21  La hora será 4 h 21 48 .1.m. C) 4:40 p. 5 min ó 15° 2 min ó 12° 1 min ó 6° 1/12 min ó 1°/2 Ejemplo Nº 05 ¿Qué hora indica el reloj de la figura? A) 7 h 24 2/3 min B) 7 h 23 1/13 min C) 7 h 24 1/13 min D) 7 h 23 2/13 min E) 7 h 24 3/13 min 12 También: Tiempo  N de   Tiempo de     Total  intervalos   cada intervalo  9 8 7 h 3   m 6 5 4 49 . Si para indicar que son las 10:00 am tarda 18 segundos. ¿Qué hora sería cuando marca las 19 h 40 min? A) 20 h 08 min C) 19 h 10 min D) 18 h 44 min Resolución Según el enunciado: Se adelanta en 6 min 3 horas x 14 horas Por regla de tres simple directa: 6(14) x 3 x = 28 min Entonces: Hora real = 19 h 40 min .28 min Hora real = 19 h 12 min  La hora real sería las 19 h 12 min Tiempo relacionado con Campanadas.Razonamiento Matemático Adelantos y Atrasos En este grupo de problem as veremos situaciones donde se encuentran relojes que por un mal funcionamiento se atrasan o se adelantan. ¿Qué hora será cuando haya tardado 12 segundos en indicarla? A) 5:00 pm D) 5:00 am B) 7:00 am C) 8:00 pm E) 8:00 am Cuando un reloj se atrasa Hora Real = Hora Atrasada + Atraso Total Resolución Según el enunciado: Ejemplo Nº 03 Si un reloj se adelanta 6 minutos cada 3 horas y esto ocurrió hace 14 horas. En general: Número de campanadas: N° de campanadas = N° de intervalos + 1 # campanadas 10 x # intervalos 9 x–1 tiempo 18 s 12 s B) 19 h 12 min E) 19 h 16 min Por regla de tres simple directa: 9(12) = 18 (x – 1) x=7 Por dato: Hora marcada = N° de campanadas  Será las 7:00 am Relaciones entre el desplazamiento del HORARIO y el MINUTERO Desplazamiento del minutero 60 min 30 min 24 min 12 min 1 min En general: « x » min « 6x° » x/12 min x°/2 Desplazamiento del horario 5 min ó 30° 2. Consideremos los siguientes casos: Cuando un reloj se adelanta Hora Real = Hora Adelantada – Adelanto Total Ejemplo Nº 04 Un reloj indica las horas con igual número de campanadas. 45 min A) aIV. Relaciona los siguientes datos sobre la hora y el tipo de desplazamiento de las manecillas del reloj entre los datos de derecha a izquierda. El año vigesimal y solar son 360 y 365 dias IV. 8. (1) +180° = 2 + 6m …. entonces tu cumpleaños en el año 2025 caera el día domingo A) 0 B) 1 C) 2 D) 5 E) 3 Capacidad 02: Comunicación Matemática 4. 90 min c. dI E) aIII. bII. Si tu naciste el lunes 23 de noviembre de 1981. cII. dI Desplazamiento del horario I. E) El tiempo de cada intervalo es igual en un campanario es igual al tiempo total entre el cociente de números de intervalos. dIII C) aIV. entonces dentro 160 dias sera viernes V. 48 min b. bIV. 3. cII.(2) Reemplazando (1) en (2): m = 23 1/13  Será las 7 h 23 1/13 min. III. reflexiona cuál es falso: A) Las agujas de un reloj se encuentran a 180º cuando estan en linea recta. bII. 15º III. Una Luna equivale a 28 dias III. PRÁCTICA Nº 08 Capacidad 01: Razonamiento y Demostración 1. vuelva a marcar la hora correcta por primera vez. Si hoy es sabado. que sufre adelantos o atrasos. CALENDARIOS Considerar los siguientes días de cada mes: Enero = 31 Marzo = 31 Mayo = 31 Julio = 31 Setiembre = 30 Noviembre = 30 Febrero = 28 ó 29 (Bis) Abril = 30 Junio = 30 Agosto = 31 Octubre = 31 Diciembre = 31 Además. 7. Un año es bisiesto si es divisible por 4. bIII. I. El horario y el minutero de un reloj se superponen 23 veces al día. cIII. cII. Identifique cuantos de estos enunciados son incorrectos. es necesario que acumule un adelanto o atraso total de 12 horas. salvo que éste último sea divisible por 400. 30 min d. los días se repiten cada 7 días. D) El angulo de arrastre de horario es 6mº. 4 min IV.Razonamiento Matemático Resolución 12 2. dI D) aIII. A) FVV D) VVV B) VVF C) VFV E) VFF 6m 9 8 m 2 7 30° h 3   m 6 5 4 Del gráfico: 30° + m/2 =  …. II. Desplazamiento del minutero a.5º II. II. De las siguientes afirmaciones sobre relojes. Estalece el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados: I. 48 veces al día. excepto el último de cada siglo (aquel divisible por 100).2. C) Las aguj as de un reloj estan superpuestas marcan un ángulo de 0º. 22. bI. cIV. B) Para que un reloj defectuoso. Las agujas de un reloj (horario y minutero) forman un ángulo de 90º. dI 50 .5 min B) aIV. Las agujas de un reloj (horario y minutero) forman 24 veces al día un ángulo llano. minutero y el ángulo que éstas forman. B) 10:12 p.m. E) 3:15 p.m. A) B) C) D) E) 4 horas 20 minutos 4 horas 6 3/11 minutos 4 horas 12 5/11 minutos 4 horas 8 3/11 minutos 4 horas 5 5/11 minutos 9. Plantea cada cuánto tiempo marcaran la misma hora. Calcula cuantos golpes dara en 10 minutos.m. A) 61 D) 60 B) 51 C) 50 E) 71 13. C) BABA E) BBAA Capacidad 03: Resolución de Problemas 6. Un reloj señala las 4:00 p. Si los minutos transcurridos desde las 3 es el triple de los minutos que faltan transcurrir para que sean las 4. Halla cuántas campanadas se daran (12n +12) segundos. si las campanadas son como 10 veces el tiem po que hay entre campanada y campanada. 1/4 en planteralo. del día.m. Son más de las 3 pero aún no son las 4. Plantea qué hora marcará cuando la hora corrrecta sea 9 p.m.Razonamiento Matemático 5.m. El reloj de Neyer da «n» campanadas 12 segundos. identifica las fórmulas con las respectivas horas.m. A) n +1 D) n2 2 12. 17:36 d. Analiza a que hora las dos agujas del reloj formar un ángulo recto inmediatamente después de la hora indicada. empieza a adelantarse un reloj 5 min cada hora. A) 10:10 p. A) 39s D) 24s B) 17s C)120s E) 15s 14.m. 41/100 en operarlo y minuto y medio en comprobarlo. A) 108 h D) 75 h B) 60 h C) 90 h E) 30 h 8. D) 10:18 p. Aplica cuánto tiempo pasará para que marque la hora exacta nuevamente. 7:18 c. A) 120 días B) 150 días D) 75 días C) 180 días E) 60 diás B) n +2 2 C) n -1 E) 2n2 2 7. Un reloj marca la hora exacta a las 6 p. A) 4 min D) 5 min B) 7 min C) 1 min E) 2 min B  11 M  30H 2 ( ( ( ( ) ) ) ) a.m. C) 10:05 p.m. Un reloj de campanario demora 1 min 27 seg en dar cierta cantidad de campanadas.m.m. uno de ellos se adelanta 3 minutos cada cuarto de hora y el otro se adelanta 4 minutos cada hora. E) 10:20 p. A  11 M  30H 2 10. Juzga qué hora es: A) 3:50 p. Siendo las 8 a. Suponiendo que se adelanta 3 min cada 12 h a partir de dicha hora.m. Un boxeador da 6 golpes por minuto. Sean las fórmulas «A» y «B» que relacionan al horario.m. B) 3:45 p. 4:36 b. D) 3:30 p. del mismo día.m. A) 3600/11 D) 480/11 B) 240/11 C) 210/11 E) 320/11 51 . 15. Resuelva cuánto demora en dar 6 campnadas. El tiempo máximo que debe tardarse en resolver este problema se descompone del modo siguiente: 1/25 del total en leerlo. Dos relojes se sincronizan a las 8 a. Formula cada cuántos minutos las manecillas del reloj estan perpendiculares. C) 3:40 p. 3:20 A) BBBA D) BABB B) AABA 11. Analiza qué tiempo tardaría. m. Naldy se despierta. E) 8:00 am. D) 5: 00 am. es igual al quintuplo de las que faltan para términar el día. Juzga qué hora es en realidad. Se construye un reloj que tiene el horario más grande que el minutero. Un reloj indica las horas con igual número de campanadas. cuando Mary ve la hora dice: «son las 9:29. Elabora que hora será dentro de 5 horas. Dar la fecha de nacimiento de Tania. A) 10: 00 am. Analiza en que fecha y hora se casó Manuel(febrero 28 dias) A) 02 de mayo. C) 8:00 pm. Luego se entera de que el reloj de su oficina estaba atrasado 13 minutos y su reloj estaba adelantado en 10 minutos. Comprueba qué hora era realmente. 18h. sabiendo que el primero de enero de 1988 fue lunes y el año fue bisiesto A) Sábado B) Sábado C) Viernes D) Viernes E) Sábado 4 de marzo de 1988 5 de marzo de 1988 4 de marzo de 1988 5 de marzo de 1988 2 de marzo de 1988 ) 6 19. María sale de su casa cuando su reloj esta marcando las 09:00 h y llega a la academia cuando el reloj de ésta muestra la hora que se indica en la figura. 15 h C) 31 de abril. 10 h D) 03 de mayo. D) 7:00 pm. Plantea qué hora será cuando haya tardado 12 segundos en indicarla. B) 30 de abril. Margarita sale de la oficina y al marcar su tarjeta de salida ve que son las 6 h 17 min de la noche. A) 5:00 pm. ve la hora y confunde el minutero con el horario y viceversa y dice: «son las 04:42 h es temprano seguiré durmiendo». Calcula que hora señala el reloj: 12 11 1 A) 4:40 B) 4:42 10 C) 4:37 D) 4:35 9 E) 4:36  8  2 3 4 24. A)5:47 D) 5:48 B) 5:45 1/7 C) 5:48 3/13 E) 5:47 5/7 7 5 20. A) 43 min D) 1/2 h B) 3/4 min C) 3/5 min E) 23 min 18. 16 h 25. E) 9:00 pm. B) 7:00 am. Al llegar a su casa ve que su reloj son las 7h 10min . si su reloj está adelantado 5 minutos y el de la CEPREVAL esta atrasado 5 minutos. tarda 18 segundos. Analiza que hora señala segun gráfica: A) 6:28:48 B) 6:27:48 C) 6:26:48 D) 6:28:40 E) 6:27:45 11 10 9 12 1 2 3 21. contesto: «La ceremonia se realizó transcurrido de aquel año era igual a la cuarta parte de lo que faltaba por transcurrir».Razonamiento Matemático 16. A) 08:23 h D) 08:24 h B) 08:22 h C) 08:25 h E) 08:21 h 52 . Si para indicar que son las 10:00 a. si el ángulo ue forman las manecillas es 114º». 23. Si el triple de las horas transcurridas del día. 19 h E) 01 de mayo. Busca qué tiempo duró su viaje. C) 8:00 pm. ) 8 7   4 5 6 17. B) 8:00 am. Manuel al ser interrogado por la fecha de su matrimonio. Resuelva cuánto tiempo demoró de la oficina a su casa. 12 11 1 A) 3 min 20 s B) 23 min 20 s 10 2 C) 13 min 20 s   D) 33 min 20 s 3 9 E) 24 min 20 s 8 7 6 5 4 22. Tania nació en el año de 1988 a las 8:00h de un día tal que los días transcurridos del año eran igual a la quinta parte de los días que faltabsn transcurrir. (Obs: Las curvas son semicircunferencias) B C 2. Longitud de una Circunferencia R Longitud de la curva BC =  = 3 m LO = 2  R Longitud de la curva CD =  = 3 m 6. Del gráfico: Longitud de la curva AB = AB 2 BC 2 CD 2 DA  = 3 m 2p = 3L L 5. Perímetro de un cuadrado L 2p = 4L Ejemplo Nº 01 Calcula el perímetro de la figura sombreada. Longitud de arco «AB» A Longitud de la curva DA = R LAB = 180 R  B  = 3 m 2 Luego.1. el perímetro total es: 4 (3 m) = 12 m  El perímetro es 12 m 53 . Perímetro de un rectángulo h B 2p = 2(B+h) A A) 4 m D) 15 m B) 8 m D C) 12 m E) 24 m 3. Perím etro equilátero de un triángulo Resolución El perímetro de la región sombreada es igual a la suma de las longitudes de las líneas curvas que pasan por los vértices del cuadrado. Notación: 2p = Perímetro p = Semiperímetro 7. S uma de longitudes de sem icircunferencias trazadas en una línea recta AB A L B LAB  L 2 Principales fórmulas básicas 1. Perímetro de un triángulo c a b 2p = a + b + c 4. PERÍMETROS Perím etro Se denomina perímetro (2p) de una figura.Razonamiento Matemático PERÍMETROS Y ÁREAS DE REGIONES SOMBREADAS CAPÍTULO IX 9. si el lado del cuadrado mide 6 m. a la suma de las longitudes de todos sus lados o la longitud de curva que rodea a una detreminada figura. Para simbolizar el área de una región cualquiera se usa comúnmente las letras mayúsculas A o S. Área de un trapecio b h B P = Semiperímetro Bb )h 2 ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES 12. Área de un triángulo / Fórmula General h B S= R 2 ( ) 360 º S= Bh 2 14. Área de un cuadrado 8. ÁREAS Área de una superficie El área de una superficie limitada. Área de un círculo R 5. Área de un triángulo circunscrito D d S= 2 a c r b S =( S=Pxr 4. ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES 1. Área de un triángulo inscrito Donde: p  a R S = Bh b S= c abc 4 3.Razonamiento Matemático 9.2. acompañado de una unidad adecuada. Área de un triángulo trigonométrica a / forma  b S= ab sen 2 9. Área de un paralelogramo S =  R2 a  h b S = (ab) sen  13. indicada por un número positivo único. Área de un rectángulo h B S=L 2 abc 2 10. Área de un sector circular R  ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES 6. Área de un triángulo equilátero r h L S = (R 2  r 2 ) L2 3 S 4 h2 3 S 3 R 54 . Área de un triángulo en función de sus tres lados / Fórmula de Herón S  p(p  a)(p  b)(p  c) a c b L 2. es la medida de su extensión. Área de una corona circular 7. Área de un rombo D d 11. al trazar las tres medianas se determinan seis triángulos parciales equivalentes. Propiedad del Baricentro En todo triángulo. desde un punto común son congruentes (iguales). el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos. B donde: «G» es Baricentro c a b2  c 2  a 2 S S A S S S S G S S ABC 6 b Teorema de Poncelet En todo triángulo rectángulo se cumple que la suma de las longitudes de sus catetos es igual a la suma de la longitud de su hipotenusa y el doble del inradio de dicho triángulo. A Casos particulares I caso: B C 3S S 4S S 3S A E AE = EB B A S S 3S S ABCD 20 3S S D Propiedad de la mediana En todo triángulo. Todo radio hacia el punto de tangencia es perpendicular a la tangente. Las tangentes trazadas a una m isma circunferencia. T r En un triángulo B S S S S C S S ABC 4 donde: «T» es punto de tangencia II. B S S ABC 2 II caso: B C B C S S S S A C M A D S S ABCD 12 D A 55 . al trazar una mediana (AM) se determinan dos triángulos parciales equivalentes. C PROPIEDADES DE FIGURAS QUE SE OBTIENE AL UNIR LOS PUNTOS MEDIOS En un cuadrilátero a c + b = a + 2r C B c r b S A D S S ABCD 2 PRINCIPALES PROPIEDADES Propiedades en la circunferencia I.Razonamiento Matemático PRINCIPALES TEOREMAS Teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo. 56 . calcula el área de la región sombreada. la relación de sus áreas es igual a la relación de los cuadrados de los elementos homólogos..Razonamiento Matemático Relación de áreas en triángulos sem ej antes Si 2 triángulos son semejantes. L2 4 62 = 9 m2 4 S somb = = A D A D  El área de la región sombreada es 9 m2. C B C Ejemplo Nº 02 Halla el área de la región sombreada. si la medida de AB es igual a «a» unidades. 6cm A A) 6 cm2 D) 16 cm2 B) 9 cm2 D C) 12 cm2 E) 18 cm2 B A A) a ( – 2) C) a2 ( – 2)/2 D) a2 ( – 2)/4 2 2 D B) a ( – 3) E) a2 ( – 3)/2 Resolución Trazando la otra diagonal y trasladando las regiones sombreadas como se muestra en la figura B C B C Resolución Trazando el segmento AB y trasladando las regiones sombreadas como se muestra en la figura A D A D B B Luego el área de la región sombreada es la cuarta parte del área total... B N Del gráfico: = Luego: S somb =  (a)2 4  x a2 4  axa 2 a2 2 – c A a h p y m r b R C M n P S somb =  S AMB a2 b 2 R2 h2  2  2  2  .  2 SMNP m n r y S somb = a2 (   2) 4 a2 (   2) 4  LUNULA DE HIPÓCRATES El área sombreada mide: B Y A M X Z M=X+Y+Z Ejemplo Nº 03 Si ABCD es un cuadrado.. Analiza el gráfico y determina la verdad o falsedad de las proposiciones. Determina la relación correcta respecto al área sombreada de la figura mostrada A) S =A2/8 B) S =A2/12 C) S =A2/32 D) S =5A2/48 E) S =A2/20 D) E) A 3. sabiendo que cada recuadro contiene 4cm2 de área. Identifica el enunciado incorrecto: A) El área de un círculo es  por el cuadrado de su radio B) Si el área de un círculo y su perímetro son numéricamente iguales entonces el radio es 2 unidades C) El área de una región hexagonal regular de lado x es 3 3 x2/2 D) El área de un triángulo equilátero de lado «a» es a2/4 E) La circunferencia no tiene área. A) B) C) 57 .Razonamiento Matemático PRÁCTICA Nº 09 Capacidad 01: Razonamiento y Demostración 1.21  /4 + 80) cm2 A) FFF D) FVV B) VVV C) VFF E) VVF 8. A) Son todos los puntos de una circunferencia y la región plana comprendida en ella. Identifica la figura que tiene diferente perímetro a las demás si cada uno esta inscrito en cuadrados congruentes. Un triángulo no tiene perímetro ni área III. 7. El área de la región sombreada es: (21  / 4 + 80) cm2 III. El área de la región sombreada es: (64 . El área de una región cuadrada es la longitud de su lado al cuadrado A) FFF D) VVV B) VVF C) VFV E) FFV 5. El perímetro es 36  cm II. 2. Toda región poligonal tiene perímetro II. Analiza e indica el enunciado incorrecto con relación a un círculo. Determina el área del circulo sombreado: a(2+ 2 ) A) a  B) a2  C) a2 (-2  -1) D) 2a2  E) a2  4. D etermina el perímetro de la región sombreada si la relación entre los lados de los cuadrados es «a + 2x = b» A) 4(a + c – 2b) B) 4(a + b – c) C) 2(a + b – 2c) D) 2(a + c – 2b) E) 4(a + b – 2c) X X I. Infiere el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones I. B) Su perímetro es una circunferencia C) Su perímetro no es un polígono D) Su centro siempre es parte del diámetro E) Se determina como todos los puntos en el plano que equidistan de un punto fijo Capacidad 02: Comunicación Matemática 6. A) 19m2 B) 15m2 C) 22m2 D) 21m2 E) 20m2 14. Halla de la región sombreada perímetro. Calcula el valor de S1 .El triángulo de la figura es equilátero de 10cm de lado.9p)m2 E) 4(16 . Halla el área de la región sombreada si el radio de las circunferencias menores es un metro. Si ABC es un triángulo equilátero de lado «2a» 13. Halla el perímetro de la región sombreada. Analiza el gráfico el área de la región sombreada. En el hexágono regular. A) 47m C) 34m2 E) 44 m2 2 B) 22m D) 28m2 2 D) 16(6 + 5 / 5)cm. Determina en el triangulo su área si su 2x lado es 4 3 2 A) x B) 2x C) 3x2 D) x2 3 3 3 E) x2 2 Capacidad 03: Resolución de Problemas 11.S2 en el cuadrado ABCD  2 A) a  3   3    B) a 3   3  C) a 3       E) a 2  3  2  D) a 2 3   10. halla el área de la región sombreada A) 2 3 B) C) 3 D) 4 E) 6 16. C y D son puntos medios de los lados del cuadrado. A) 16(1 + B) 16(2 + 5 /5)cm.9p)m2 D) 2(16 .Razonamiento Matemático 9. 58 . B. Halla el área sombreada. A B A) 3p B) 3p C) 3p D) 3p E) 3p -6 -8 -10 -5 C D 17. En la figura.3p)m2 15.9p)m 2 B) 4(32 . A) 15(2 + p) B) 15(2 . 4cm C) 16(4 + 2 5 / 5)cm. A) 2(32 . 5 /5)cm. si A. Calcula el Área de la región sombreada si: AD // BC. los lados de los cuadrados son 5m y 2m. AB // ED. E) 16(4 + 3 5 / 5)cm.3p)m2 C) 4(32 .p) C) 30 (1 + 2p) D) 10(2 + p) E) 5(2 + p) 12. Calcula el perímetro de la siguiente región sombreada: 21. Si ABCD : cuadrado A A) 8 cm2.5% B) 25% C) 37. A B A) 25pm2 B) 20(p + 1)m C) 20(p . B S1 D C 59 . 16 3 m A) 16(p+ 3 )m B) 16(p+2 3 )m C) 16(p+ 3 +1)m D) 64(p+ 3 )m E) 16(p+ 3 . C) 6 cm2. D) 4. B) 4 cm2. Calcula S2/S1. 19. Halla el área sombreada si S1 = 22 m2. D) 9 cm2. se pide calcula Ax . En la figura el triángulo ABC es equilátero y MN // AC Halla el área sombreada A) 6 3 m2 B) 6m2 C) 3 3 m2 D) A) 3/2 B) 7/4 C) 5/4 D) 15/11 E) 4/3 23. E) 4 cm2. además MN // PQ. sabiendo que: A1+ A2 + A 3 = 25m2 A) 20m2 B) 25m2 C) 30m2 D) 35m2 E) 40m2 8 m 8 m 22.5 cm2. C) 7. B) 9 cm2. A) 62.2)m. AC = 13 cm . E) 5 cm2. AH = 4 cm . Si el área de ABCD es 100m 2. 12m B 20. Sabiendo que MNPQ es un cuadrado. Halla el porcentaj e de la región comprendida en el hexágono regular es el área de la región sombreada. A 2 0 H C 25.5% D) 35% E) 40% A) 5 cm .En la figura. sabiendo que el ángulo formado por MT y NT mide 60º..Razonamiento Matemático 18. Halla el área sombreada. calcula el perímetro. “H” es punto de tangencia y “O” es centro. El radio de la circunferencia es «2R».1)m D) 50pm E) 25m C D 3 m2 2 10m E) 8 3 m 24.5 cm2. FRACCIONES Fracción Se denomina fracción a la expresión de la forma  a . . Ejemplo: 4 4 x7 4 28    7 7 x7 7 49 f) Fracción Irreductible Son aquellas fracciones cuyo numerador y denominador son primos entre sí. REPRESENTACIÓN GRÁFICA 1 < > total < > 7 partes iguales. 3 3 3 3 3 RELACIÓN PARTE . Ejemplo: 7 13 9 11 . . .Razonamiento Matemático FRACCIONES. si expresan la misma parte de un todo. Ejemplo: 3 11 7 1 . una de esas partes se divide en 4 partes iguales. .TODO Es la relación entre una parte de un total y el respectivo total (todo). 7 2 5 51 1000 Parte Número de partes que se consideran. . 3 5 19 37 1 1 1 1 1 de de 1< > x x1 < > 4 6 4 6 24 60 . donde: a  b . FRACCIÓN DE FRACCIÓN Se llama así a las partes que se consideran de una fracción que se ha dividido en partes iguales. entonces cada una representa: d) Fracción Impropia Es aquella fracción donde el numerador es mayor que el denominador. . . c) Fracción Propia Es aquella fracción donde el numerador es menor que el denominador. . f PARTE TODO b) Fracciones Heterogéneas Son aquellas fracciones que poseen diferente denominador. 8 22 8 10 3 partes El área sombreada con respecto al total representa los tres séptimos. Ejemplo: 7 12 10 313 . aun cuando sus términos sean diferentes.1. Ejemplo: 3 5 3 234 3 . 3 5 9 3 e ) Fracción Equivalente Dos o más fracciones son equivalentes. a  Z   b  Z  b Principales fracciones a) Fracciones Homogéneas Son aquellas fracciones que poseen igual denominador. . . RAZONES Y PROPORCIONES CAPÍTULO X 10. Ejemplo Nº 01 El total se divide en 6 partes iguales. Todo Número de partes en que se divide la unidad. . . Ejemplo: 2 7 5 25 1562 . 1292929…= 0.7 = 9 9 2 11   12 = 1 + . GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL Se llama así a la fracción que genera a los números decimales exactos e inexactos periódicos (puros o mixtos). 373737…= 0. 61 . . 23 11 4 1237 *  12  1 11  9 9 En el numerador se coloca la parte decimal y se le quita la parte que no se repite. En el denominador se coloca la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el número dado. El procedimiento consiste en determinar el avance por unidad de tiempo. a) Decimal Exacto 37 100 9 10 1237 1000 * 0. 9 * En el numerador se coloca la(s) cifra(s) que se repiten.Razonamiento Matemático g) Fracción Decimal Es aquella fracción donde el denominador es una potencia de 10.37 = * 7  0. 9 = * 1. Ejemplo: 7 13 9 11 .27333…= 0. 37 = EXTR ACCIÓN Y REP OSICIÓN DE FRACCIONES DE VOLÚMENES En el caso de que nos hablen de un sólo líquido se procede de la siguiente manera: * 0. 777…= 0. b) Decimal Periódico Puro 37 99 Luego se procede con fracción de fracciones de las fracciones que quedan del total de litros. 237 = En el numerador se coloca la parte decimal.222…= 1 2 = .129 = * 0. . .  h) Fracción Ordinaria Es aquella fracción donde el denominador no es una potencia de 10. Ejemplo: 7 13 9 11 .273 = 1. para lo cual basta tomar la inversa al tiempo total. así por ejemplo: Si el caño «A» llena el tanque en 4 horas Entonces en una hora llenará la 1 parte del total 4 * 0. 10 1000 100 10000000 c) Decimal Periódico Mixto 129  1 990 273  27 246  900 900 * 0. REDUCCIÓN A LA UNIDAD Es aquel procedimiento que consiste en homogenizar lo hecho por cada elemento en una unidad de tiempo. En el denominador se coloca tantos nueves como cifras tiene el número que se repite. En el denominador se coloca tantos nueves como cifras tiene el período (lo que se repite) seguida de tantos ceros como el número de cifras no periódicas. . Se llama razón al resultado de comparar 2 cantidades. PROPORCIONES Proporción. en este caso se hará una división.2. RAZONES Razón. a) Razón Aritmética La razón aritmética determina en cuánto es mayor una cantidad respecto a otra cantidad para lo cual se hará una sustracción.3. Se denomina proporción a la igualdad de dos razones.5 h E) 1/2 h 10. a–b=r donde: a = antecedente b = consecuente r = razón aritmética b) Razón Geométrica La razón geométrica calcula cuántas veces una cantidad contiene a otra. Clasificación de las pr oporciones aritméticas Proporción Aritmética Continua a–b=b–c  b= ac 2  Los dos caños llenan la piscina en 2 horas 10. esta comparación se puede hacer de dos modos «sustracción o división». CLASIFICACIÓN DE LAS PROPORCIONES 1° PROPORCIÓN ARITMÉTICA a–b=c–d terminología: a b a b y c : antecedentes y d : consecuentes y d : términos extremos y c : términos medios Resolución Sea «T» la capacidad de la piscina. ¿En cuánto tiempo se llenará la piscina. a =K b donde: a = antecedente b = consecuente k = razón geométrica b : media aritmética o media diferencial c : tercera diferencial Proporción Aritmética Discontinua a–b=c–d d : cuarta diferencial 2° PROPORCIÓN GEOMÉTRICA a c = b d terminología: a b a b y c : antecedentes y d : consecuentes y d : términos extremos y c : términos medios Propiedad de la Proporción Geométrica En toda proporción geométrica se cumple que: «El producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios». entonces: El caño «A» en una hora llena: 1 T 3 1 T 6 1 T x El caño «B» en una hora llena: Luego juntos en una hora llenan: 1 1 1    x = 2 3 6 x Propiedad de la Proporción Aritmética En cualquier proporción aritmética se cumple que: «La suma de los términos extremos es igual a la suma de los términos medios». si estando vacía se abren los dos caños? A) 9 h D) 1 h B) 2 h C) 4. 62 .Razonamiento Matemático Ejemplo Nº 02 Un caño A llena una piscina en 3 horas y otro caño B la llena en 6 horas. ..b 2 b1..  a n k b1  b 2  b 3  . a3….....b 2 .. 1 2 3 4  k4 b1. y d a b c formen una proporción aritmética. c y d (diferentes de cero).c En general: a3 a1 a2 an = b = b = ...d a1m b1m = a2m b2m = a 3m b3m = ..a 2 . a2.. bn : consecuentes K : constante de proporcionalidad De (I) despejando tenemos que: SERIE DE RAZONES GEOMÉTR ICAS EQUIVALENTES Se denomina así al conjunto de más de 2 razones que tienen el mismo valor. an : antecedentes b1...a .b 2 ..b 3 ......b 4 3° Propiedad ac a c  6°) = bd b d 3° PROPORCIÓN ARMÓNICA Sean cuatro cantidades a.a .. = anm bn m = Km   a1m  a 2 m  a 3 m  .b n o también: a1.....  b n m  km 63 .. b. estas formaran una proporción 1 1 1 1 . Dada la proporción geométrica: 1°) 2°) 3°) a c = ab cd ba dc = b d a c = ba dc a1 a2 a3 : Propiedades 1° Propiedad  b1k  b 2k  b3 k : : a1  a 2  a 3  .a 2 a .  b n b1 a1  a 2  a 3 b1  b 2  b 3 = k ac a c  4°) = bd b d 5°) ab cd = b d 2° Propiedad a1.. = b = K …(I) b1 2 3 n donde: a1.  b n o también: a1  a 2  a 3  .  a n a1  b1  b 2  b 3  .a  k2 . b : media geométrica o media proporcional c : tercera proporcional Proporción Geométrica Discreta a c = d b  abcd d : cuarta proporcional Propiedades a c = d b «Cualquier variación de suma y/o resta en los términos de la primera razón será igual a la misma variación respectiva con los términos de la segunda razón».a 3 .a n  kn b1. armónica cuando sus inversas 1 1 1 1 = d a b c ba a... b3….b = dc c..Razonamiento Matemático Clasificación de las pr oporciones geométicas Proporción Geométrica Continua a b = b c  b= a.  a n m b1m  b2 m  b3 m  . b2.b 3 . 1 6 Ic. Indica la alternativa que corresponde a una fracción. 3 5 1 3 2 60 a) 0. IIc. IVd c) 0. IVa Ib. IIa. IId.06666… III. IIIb 3. Todos sus términos son iguales. Número fraccionario II. Número natural A) Ic. IIIa.Razonamiento Matemático PRÁCTICA Nº 10 Capacidad 01: Razonamiento y Demostración 1. IIb. IIIc E) Ia. IIa. IIIb.16666… b) 0. IIc. La media diferencial es igual a la raíz cuadrada de los términos extremos II. IIa. Numero entero no positivo III. IVb Ia. c) 0. II. I. Indica la alternativa incorrecta con respecto al conjunto d los números Racionales (Q) II. donde el numerador es 1/3 del denominador A) Es equivalente a un tercio B) Es menor que la unidad C) Es una fracción propia D) El denominador es el triple del numerador a) 0/7 b) 2/3 c) 8/2 4. IIIc. IIc. La media aritmética es la semisuma de los términos extremos A) FVV D) VFF B) FFV C) FVF E) FFF E) Es equivalente a 1 1 3 64 . Es una proporción continua III. IId.6 IV. IId. «Si los antecedentes de una proporción geométrica son iguales» . Identifica la relación correcta. IIIa. Anticipa el valor de verdad de los siguientes enunciados. IIIa C) Ic. Sus consecuentes son iguales A) FVV D) VFF B) VVV C) FVF E) FFV 6. IIIb. IIIa D) Ib. Una proporción continua tiene sus términos extremos iguales III.6666… A) B) C) D) E) 5. Infiere la relación correcta I. IIIb B) Ib. IVc Ic. A) Todo número fraccionario pertenece al conjunto Q B) El 5 es un es un número Racional C) 8/2 es un número Racional D) 6/2 no es un número fraccionario E) El conjunto de los números enteros es subconjunto del conjunto de los números fraccionarios 2. Identifica la verdad o falsedad de los siguientes enunciados: I. I. IVb Id. I IV. III. Tengo dos veces menos de lo que me falta A) FFF D) VVV B) VFV C) FVF E) VFF E) d a-b b-b  c-d d-d 12. Analiza el siguiente enunciado y determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: «Tengo los tres cuartos de lo que me falta» I. abc (n) =7 A) I y II B) II y III C) I y III D) I. III. IV IV. 70/32 I. Organiza en forma decreciente los números y determina la alternativa correspondiente. Interpreta el valor de verdad si: 9. II. La tercera proporcional entre 50 III. II.   (n)    abc (n)  .. Si: m – n = 12 y m 6  .. Interpreta la alternativa incorrecta de acuerdo a la siguiente proporción 4 6 A) B) C) D) E)  12 18  18 27 K K = 2/3 3K2 = 4/3 K + 4/3 = 2 3K = 2 K + K/2 = 3/2 26  0. Identifica n 5 cuáles 11. abcabc. A) I y II B) II y III C) I y III D) I. 28/9 A) B) C) D) E) II. IV. (a + b+ c) = 3 III. 14/5 IV. I. La media diferencial de m y n es 66 II. Me falta 4/5 del total III. Si x pertenece a N su grafico en R2 son puntos II. II.Razonamiento Matemático 7. Si x pertenece a Z su grafico en R2 es una recta III. II y III E) Sólo II I. 10. II. 7/3 III. III. I. infiere la proporción e identifica la alternativa que no corresponde de los enunciados son incorrectos I. III I. a = 2 II. En la fracción 1/ x analiza cuales de los enunciados son verdaderos. III 65 . La media proporcional de m y n excede a su tercera proporcional en 16 A) FVV D) VFF B) FFV C) FVF E) VVF a b  a c d  c cd  cd d D) B) b-a b A)  d-c d  a b  c d ab ab a-c b-d C) Capacidad 02: Comunicación Matemática 8. II. I. IV I. Si x pertenece a R su grafico en R2 es una Hipérbola. Tengo 2/5 del total II. II y III E) Sólo II 13. . 6 y 11 respectivamente. Analiza las proposiciones verdaderas de acuerdo al siguiente enunciado: 19. (5) = 0. A) Perdió 5/6 C) Ganó 5/3 E) Perdió 5/5 B) Ganó 5/2 D) Ganó 5/4 24. De un grupo de damas se sabe que los 4/5 son señoras. Halla la diferencia entre el número de señoras y de señoritas A) 48 D) más de 52 B) 50 C) 52 E) menos de 48 21. mnmnmn.Razonamiento Matemático 14. (n) = 1 A) I y II D) I. además «d» es 17. A) 3 D) 2 B) 4 C) 5 E) 1 16. Determina cuántos soles más tiene «B» con respecto a «A» A) 30 D) 60 B) 40 C) 50 E) 80 66 .. que:  b 5 11 A) 22 D) 65  1. 5. tienen dinero en soles en la relación de: 3.a  244  b 244 . Analiza en que tiempo se llenará la piscina. en el segundo juego ganó s/ 5.(7) I.... Dada la serie de razones equivalentes 160  a 160 ... Si «a» y «b» son números naturales tal a 0.. (2m)n(2m)n . A) 124 D) 112 B) 108 C) 136 E) 118 el menor número que tiene 4 divisores. Los 3/4 de un barril más 7 litros son de vino y 1/3 menos 20 litros son de agua Determina cuántos litros de agua hay en el recipiente.. Mientras una piscina está vacía se abren 2 llaves y un desagüe que lo llenan y lo vacían en 3. Halla 3a + 4b. B) 25 C) 29 E) 68 o. 6 y 4 horas respectivamente.0363636. y del resto los 3/4 son señoritas. 0. retirándose con s/ 15. Cuatro comerciantes A. ambos tendrían la misma cantidad de dinero. Los catetos de un triángulo son entre si como 12 es a 5. 0. A) 104 D) 120 B) 108 C) 110 E) 124 18. …= 4/9 II. Halla el valor de la hipotenusa. Calcula qué parte de lo que tenia al inicio gano o perdió Meyer.751111… A) 11/15 D) 13/20 B) 26/14 C)2/7 E) 13/15 22. Meyer empezó a jugar casino con cierta cantidad de dinero perdiendo el primer juego 1/ 4 de su dinero. II y III B) II y III C) I y III E) Sólo II 20. en el tercer juego perdió 1/7 de lo que tenía hasta ese momento y el último juego gana s/ 3. C y D. Calacula cuál es la fracción irreductible que dividida entre su reciproco da como resultado el decimal 0. siendo las 4 restantes niñas. mn (n) = 17/50 III.. nnn. mnmnmn.b  292  c 292  c K Halla la razón común «K» si es el mayor número entero positivo. A) 2h D) 5h B) 4h C) 6h E) 7h Capacidad 03: Resolución de Problemas 15. Dada las fracciones irreductibles a/b y c/d a se cumple que  c d b  5 . B. si su razón aritmética entre la hipotenusa y el menor de los catetos es 64. si «D» le diera a «A» 120 soles. Calcula la menor diferencia de «a» y «c» A) 1 B) 3 C) 4 D) 16 E) 8 23. P a B4 y C D. C = 36.P a los números: 1 1 1 1 . el valor de la otra disminuye o aumenta en la misma proporción. 750 Si: A (IP) B  A  B  cons tan te Ejemplo Nº 01 Sabiendo que A es I. y .Razonamiento Matemático MAGNITUDES PROPORCIONALES Y PORCENTAJES CAPÍTULO XI 11. de modo que experimenta cambios (aumentando o disminuyendo sus valores). A) 16 D) 24 B) 64 C) 81 E) 48 Resolución Sean A.1. 400 D) S/. Ejemplos M ag n itu d C antidad Nº de personas 50 personas tiempo 60 segundos velocidad 12 m/s Relación entre Magnitudes a) Magnitudes Directamente Proporcionales Resolución Por dato: A (IP ) B 4  B 4 (IP) A C (DP) B  B 4 (DP) C 4 Además: Entonces: 14 ( x ) 94 B4  A C4  cte A B C x 1 9 16 6 36  6 4 (16 ) 36 4 x  34  x = 81 REPARTO PROPORCIONAL Es una aplicación de las m agnitudes proporcionales. 432 E) S/. 1350 en partes I. B.P a B. TIPOS DE REPARTO Dos magnitudes A y B son directam ente proporcionales. 480 C) S/.P. ¿Cuánto es el valor de la mayor 6 7 4 8 de las partes? A) S/. MAGNITUDES PROPORCIONALES M ag n itu d Es todo aquello susceptible a ser medido. 6 7 4 8 67 . B = 1. si al aumentar o disminuir los valores de una de ellas.P. cuando C = 9. B = 6. el valor de la otra aumente o disminuye en la misma proporción. si cuando A = 16. halla el valor de A. a ciertos números llamados índices de reparto. C antidad Es el resultado de medir el cambio o variación que experimenta la magnitud. o I. . en donde las partes obtenidas son D. si al aumentar o disminuir los valores de una de ellas. es decir: Si: A (DP) B  A  Cons tan te B REPARTO SIMPLE REPARTO COMPUESTO b) Magnitudes Inversamente Proporcionales Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales. . es decir: Ejemplo Nº 02 Dividir S/. 270 B) S/. C y D las partes 1350 = A + B + C + D DP 1 1 1 1 . . es decir. Si al comparar son directamente proporcionales. el cociente se invierte.5 horas cuando la dureza del terreno es como 4 y su eficiencia de cada minero sea 3. una expresión como «45%» («45 por ciento») es lo mismo que la fracción 45/100.5? A) 220 m D) 300 m Resolución Por dato: DP DP IP DP obra tiempo dureza eficiencia  D = 432 REGLA DE TRES * Regla de Tres Simple Una regla de tres simple es aquélla donde intervienen 2 magnitudes y pueden ser: Regla de Tres Simple Directa B) 250 m C) 275 m E) 325 m DP Magnitud 1 a1 a2 Magnitud 2 b1 x a b x= 2 1 a1 # obreros 1 3 40 m x 2h 2.Razonamiento Matemático  1  1  1  1 Entonces: A  6   B 7   C 4   D  8          A B C D    k 6 7 4 8 Desarrollando: A BC D 1350 k   k  k = 54 6748 25 Piden: D = 8k = 8(54) Método Práctico 1.5 h x  40  16 4 7 3.. Así es que.. 11. ¿cuánto excavarán en total 3 mineros en 2.. el cociente se mantiene. DP IP Magnitud 1 Magnitud 2 IP Magnitud 3 Magnitud 4 a1 a2 b1 x c1 c2 d1 d2 a c d x = b1  1  1  2 a 2 c 2 d1 68 .» es equivalente a: «45 de cada 100 personas.5 Regla de Tres Simple Inversa IP Magnitud 1 a1 a2 Magnitud 2 b1 x a b x= 1 1 a2 3 25 16 35    1 20 4 70 x = 3(25)(4) x = 300 m  Excavarán 300 metros..2. como una cantidad de centésimas. Ejemplo Nº 03 Un minero excava 40 metros en 2 horas cuando la dureza del terreno es como 16.» 100% 45% ** Regla de Tres Compuesta Cuando intervienen 3 o más magnitudes. La magnitud incógnita se compará con cada una de las otras. 3. Ejemplo: «El 45% de la población humana. PORCENTAJES Un porcentaje es una forma de expresar una proporción o fracción de denominador 100. siendo su eficiencia como 7. Si al comparar son inversamente proporcionales. 2. a N El a % de N < > 100 Equivalencias 1% < > 1 100 Porcentaje …Las palabras de.Razonamiento Matemático TANTO POR CUANTO Significa que tomamos «a» partes de un total de «b» partes iguales en que fue dividida la cantidad «N». 20 100 100% < > 1 20% < >  N < > 1. entonces se cumple que: ab  DU =  a  b   100   %   60% (x + 10) = 3 ( x) 4 60( x  10 ) 3 x   x = 40 100 4 69 . pero si el 60% de las mujeres salen a bailar. 10 mujeres se quedan sin hacerlo. N < > 100%. del o de los significan multiplicación. Aumentos Sucesivos del a % y b % Sean a % y b % los aumentos sucesivos. Expresión Porcentual Si el P % de N es R. ¿Cuántas personas hay en la fiesta? A) 70 D) 85 Resolución Sea N° de Hombres N° de Mujeres Bailan x x No Bailan 0 10 B) 80 C) 90 E) 100 Resolución Según el enunciado tenemos: P% (a2+ab+b2) = (a3 – b3) P% (a2+ab+b2) = (a – b) (a2+ab+b2) P  ab 100 P = 100(a–b)%  El porcentaje es el 100(a–b)%. entonces se cumple que: a b  AU =  a  b   100   %   Por dato: …si el 60% de las mujeres salen a bailar.. el total de personas es «2x + 10» entonces: N° personas = 2(40) + 10  Asistieron 90 personas.N Ejemplo Nº 05 ¿Qué porcentaje de (a2 + ab + b2) es (a3 – b3)? A) 100a% B) 100b% D) 100(a – b)% C) (a + b)% E) 100% Ejemplo Nº 04 En una fiesta. se observa que si todos los hombres salen a bailar. El a por b de N < > a N b Además.. es decir sólo bailarían los 3/4 del total… Descuentos Sucesivos del a % y b % Sean a % y b % los descuentos sucesivos. la cuarta parte de los hombres no podrían hacerlo.N=R Resultado Cantidad TANTO POR CIENTO (%) Significa que tomamos «a» parte de un total de «100» partes iguales en que fue dividida la cantidad «N». la cuarta parte de los hombres no podrían hacerlo. entonces: P%. . 300 B) S/. Aplicaciones Comerciales Esquema: Precio fijado o de lista Precio de costo Ganancia Descuento Resolución Área de un triángulo = Entonces Base x Altura Al inicio (100%) x (100%) +20% Base  Altura 2 se desprecia Precio de venta Caso 1: Pv > Pc Pv = Pc + Gb Donde: Gb = G neta + Gastos adicionales Caso 2: Pv < Pc Pv = Pc – P Caso 3: Cuando hay descuentos Pventa = Pfijado – Descuento = Área = 100% -20% S P Al final (120%) x (80%) = donde: P = (120%)(80%) = 96%  S = 100% .96% = 4%  Su área disminuye en 4%.  Solo se analiza los valores que varían. 250 E) S/. 400 Resolución Por dato: Pv = 180 Descuento = 20% Pf 70 . A) B) C) D) E) aumenta en 8% no varía aumenta en 4% aumenta en 6% disminuye en 4% Resolución Aplicando la fórmula de aumentos tenemos:  30  80 AU =  30  80   100  AU = (110+24)% AU = 134%  %    Ambos aumentos equivalen a un aumento único del 134%. Ejemplo Nº 08 Si la base de un triángulo aumenta en 20% y su altura disminuye en 20%. 200 D) S/.Razonamiento Matemático Ejemplo Nº 06 Dos aumentos sucesivos del 30% y 80% equivalen a uno del: A) 132% D) 134% B) 125% C) 226% E) 124% Luego: Pventa = Pfijado – Descuento 180 = Pf – 20%Pf 180 = 80%Pf  Pf = 225  El precio fijo es de 225 soles. entonces su área. Variación Porcentual Observación  Toda constante numérica se reemplaza por la unidad.. Operaciones con Tanto por Ciento  40% M + 22% M = 62% M  M +25% M = 125% M 30% M + 20% N  No se puede  40% M + 20% (40% M) = 120% (40% M) 25% M + 3 1 M  M =35% M 5 2 Ejemplo Nº 07 ¿Cuál fue el precio fijado de un artículo que se vendió en S /. 225 C) S/. 180 habiéndose hecho un descuento del 20%? A) S/. IId. IVb 1 B IV. III. A (DP) B y B (IP) C  A) FFVV D) VVVV B) FVVF AC K B C) FVFV E) FFFF 4.. Si «p» repartimos en forma «D P» a p1..p2. Si «p» repartimos en forma «IP» a p1. si: ( ) PV > PC. III... Si C se cuadruplica mientras B se mantiene constante.. IVa B) Id. A) Solo I D) I y II B) Solo II C)Solo III E)Todas A) I. A (IP) B.. Si: A (DP) B  An (DP) Bn III. IVd E) Ic.. IIb. IId. II y III 3. II. IVb D) Ic.En una reunión había 25 parejas bailando.p3. I.. si y solo si: A (DP) (100  p1 )(100  p2 ). Si: p 1 ..Relaciona cada afirmación con su correspondiente consecuencia de la derecha. II D) I.Razonamiento Matemático PRÁCTICA Nº 11 Capacidad 01: Razonamiento y Demostración 1. IIc.. El 50% de los que no bailan son los hombres que bailan..  p  cte 1 2 3 n 6. si: ( A) I-II-III-IV B) II-III-I-IV C) V-II-I -III D) IV-I.p2. GNETA =GBRUTA -gastos. Si: p 1. si: ( ) PV = PC IV....p 3.  p1 p2 p3 pn 71 . IIIa. II. III. IIIb. ello equivale a uno solo.. entonces Infiere la alternativa correcta: A) A se multiplica por 4 B) A se multiplica por 8 C) A se divide entre 4 D) A se divide entre 8 E) A permanece constante 5.p 3. IIIb.. II.p 2 . IVa C) Ia. IV. Evalúe e identifica las tasas equivalentes.. II.p 2 .(100  pn )   c) 100  % 100n 1    (100  p1)(100  p2 ).pn entonces se cumple: n a) p  p  p  .p n son los aumentos sucesivos. I. IIc. Si: A (DP) B  B (IP) A II. No hay ganancia ni perdida ( ) PV< PC III.. Analizando dicha información podemos inferir: I. R elaciona cada uno de los siguientes enunciados con su correspondiente de la parte inferior. I. IIIa. PVENTA=P FIJADO-rebaja.. I..De la siguiente Información: «La magnitud A es DP a la inversa de B2 cuando la magnitud C permanece constante y C es IP a B2 cuando A es constante.p3..pn entonces se cumple: IV. 5% mensual 10% bimestral 25 % quincenal 30% semestral B) II..(100  pn )   100  % d)  100n 1   A) Id. Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones (K: constante de proporcionalidad). El 45% de los reunidos son mujeres. IIIc. además 30 hombres y 20 mujeres sentados. IV C) III y I E)Todas 2.II-III E) II-I-IV-III ) PV > PC n  cte 1 1 1 1 b)    .. ello equivale a uno solo.p n son los descuentos sucesivos.. PVENTA=PCOSTO-perdida. Los que bailan son el 100% de los que no bailan. Si : f(a  b)  f a )  f b) .20 E) 7.6 7. b  Q .44 72 . Si el promedio final fue T. entonces organice la información e identifique el promedio original. ( ( Además: f  4 (1) formule el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: I.5 4 d 2 0. En el siguiente gráfico A y B son rectas y C es la rama de una hiperbola. y D. A) 16 D) 5 B) 9 C) 4 E) 7 f(2001 )  8004 B) FVV C) FFV E) FVF 2x » Identifique el 5 A) VVV D) VFF 9. Interpreta la siguiente información: «El (x .El peso «w» de un cilindro varía proporcionalmente a su altura «h» y al cuadrado del diámetro «d» de su base. Si C y D permanecen constante se obtiene: A B 4 6 8 12 x 3 2 1 A) 2 D) 7 B) 4 C) 6 E) 10 10. Formule la suma de números con que se llenará los espacios en blanco de la siguiente tabla: w 25 h 2.Razonamiento Matemático Capacidad 02: Comunicación Matemática 7.80 D) 7.80 B) 5.El gerente de ventas de cierta compañía reduce su promedio de producción en N%.04 C) 6. III.2 2 2m m C B x 4 a b c A) 4.1)% de (x + 36) es valor de x. a . C. B. A) Si B y D permanecen constante se obtiene: A C 3 2 6 9 12 TN 100 100T (100  N) B) (100  N) T T (100  N) 8 18 y C) D) Si B y C permanecen constante se obtiene: A 72 18 8 D 2 4 6 z 1 E) 100N T Cuando todos varian se tiene: A B C 3 D 5 11. II. Al analizar un fenómeno intervienen las magnitudes A. 720 2 w 6 12 4 identifica el valor de: x+y+z+w A) 288 D) 750 B) 320 C) 344 E) 1 094   f7  7 4  f(7 )  f(13 )  80 8. Si: a + b + c + m = 60 Determina el valor de «m» y A 12. Halla cuánto será el costo del alimento necesario para que 20 gallinas pongan 20 decenas de huevos. Si 18 gallinas ponen 18 decenas de huevos en 18 días y 12 gallinas comen 12 kg de maíz en 12 días. A su vez la velocidad es IP al número de vagones del tren. Un hombre prodactivo. B) 15 km. Halla la suma de cifras de la cantidad repartida. Determina qué hora marcará a la 1 p. Calcula cuánto le correspondió de la herencia a cada niña. A) S/. el 2 de mayo. a 36. D) 20 km. Calcule cuántos obreros más se tuvieron que contratar sabiendo que se incrementó en 2h el trabajo diario. 21. Se tiene 6 ruedas dentadas. 27940. que a su vez engrana con la sexta rueda. 4.P.m. 225 E) S/. Se observo que la diferencia entre el mayor y menor de las partes es 5600. Si la esposa 9 del Hombre. si el kilogramo de maíz cuesta 8 soles. que puede recorrer un tren de 10 vagones en 10 min.m. A) 14 D) 17 B) 15 C) 16 E) 18 19. y se sabe que sus números de dientes son proporcional a 1. en 1 hora. 24 y 60.P. 60 y 45 e I. condicionándola de la siguiente forma : ella recibirá los 16. La duración de un viaje por ferrocarril es directamente proporcional a la distancia e inversamente proporcional a la velocidad. A) 15 min D) 10 min B) 12 min C) 18 min E) 9 min 17. dejó a su esposa embarazada una herencia de S/. La primera engrana con la segunda y fija al eje de ésta va montada la tercera que engrana con la cuarta en cuyo eje va montada la quinta rueda. Al repartir una cantidad en forma D. C y D se conoce : A DP a B. Si a partir de ese momento B aumenta en 80% y C disminuye en 36%. 3. Se contrataron 25 obreros para que terminen una obra en 21 días trabajando 8 horas diarias.Razonamiento Matemático Capacidad 03: Resolución de Problemas 13. A) 5 D) 8 B) 6 C) 7 E) 30 15. 180 Evalúe los kms. al morir. 3 B IP a C. Para 4 magnitudes A. del 7 de mayo. al dar a luz. Determine en cuánto tiempo la primera rueda dará 8000 vueltas. a 16. 2 20. Calcule qué valor tomaría A? A) 1200 D) 1728 B) 1440 C) 1620 E) 1500 5 de lo que le toque al niño 6 si era varón. C DP a 1 . E) 16 km. 73 . Si A DP B (cuando C es constante) A IP C (cuando B es constante). se acordó que la obra quede terminada 5 días antes del plazo establecido. A) 11h 18min C) 11h 40min E) 12h 18min B) 12h 8min D) 12h 42min B) A3 DP D 2 D) A DP D 14. 250 D) S/. 5 y 6 respectivamente. Luego de 6 días. 240 C) S/. Si un tren de 20 vagones recorre 30 km. C) 18 km. A) 10 km. E n un determinado momento A vale 720. Si la sexta rueda da 250 rpm. Si este marca la hora correcta 7 a. pero si nacía niña recibirá los 7 de lo que a ésta le tocaría. 200 B) S/. D Determina la relación correcta A) A2 DP D3 C) A DP D 2 E) A2 IP D3 18. tuvo quintillizos: 2 niños y 3 niñas. 2. Un reloj se atrasa 8 minutos cada 24 horas. B. 4 y 5 y luego se reparte N en forma DP a los consecutivos de dichos números con lo cual una de las partes varía en 80. En una tienda se exhiben los vestidos con el precio "marcado" y un aviso "con la tarjeta más más rebajamos la tercera parte". Si sabemos que la utilidad neta es el 75% de la ganancia bruta y los gastos ascendieron a S/90. Calcula la segunda parte.Razonamiento Matemático A) 4590 D) 3870 B) 4950 C) 3780 E) 3965 26. 1560 E) S/. 2500 25. pero aún así se gana el 30% de su costo. A) S/. 2 E) Permanece constante. Al vender un celular en las tiendas METRO se descontó el 40%. decide rebajar las pensiones de enseñanza a los estudiantes de menores recursos económicos en un 20% y aumentar un 30% al resto. Determine el precio fijado del celular. 339 C) S/. 1500 B) S/. 22. 465 24. A) S/. el departamento de Servicio Social.En una Universidad particular.. 1800 D) S/. 546 B) S/. Se tiene dos recipientes de 10 litros cada uno. 492 E) S/. Se reparte N en forma DP a los números 3. 1500 D) S/. B) Se aumenta en 20%. y ganara el 28% de lo que me queda. entonces reconoce la razón entre el precio de costo y el precio "marcado". 2000 28. 429 D) S/. calcula cuánto tengo. Una rueda de caucho tiene un diámetro exterior de 25 pulgadas cuando el radio disminuye en un cuarto de pulgada.4 L E) 5 L 74 . Si gastara el 30% del dinero que tengo. A) 6 L B) 4 L C) 7 L D) 5. 2000 C) S/. 29. Para seguir ganando el mismo porcentaje el artículo debe venderse en: A) S/. 2600 1 %. 3500 B) S/.. 390 ganándose el 30% del costo. perdería S/ . A) Se aumenta en 2%. el primero con 60% de alcohol y el segundo con 80% de alcohol. Si el monto total de las pensiones queda disminuido en un 10% con esta política. D) Se aumenta en C) S/. A) 360 B) 560 C) 630 D) 960 E) 2880 23. Halla el número de revoluciones que la rueda dará en una milla. por efecto de la inflación el costo ha aumentado en 10%. C) Se aumenta en 1%. 3000 E) S/. Calcula cuántos litros deben intercambiarse para que ambos tengan el mismo porcentaje de alcohol. Un artículo se vende en S/. El costo de los vestidos es los A) 1 2 2 3 B) 1 3 C) 1 4 3 4 D) E) 27. 156. Halla qué porcentaj e de la pensión total representa la pensión pagada por los estudiantes de m enores recursos económicos? A) 50% D) 80% B) 82% C) 79% E) 85% 3 del precio 4 de venta con tarjeta. .(n–1)! = n. Si: x! = n!  x = n Si: x! = 1  x = 0  x = 1 n! + m!  (n + m)! n!  m!  (nm)! (–n)!  No existe  m !  No existe n   75 .(n–2)(n–1)n n! = n(n–1)(n–2)...Razonamiento Matemático ANÁLISIS COMBINATORIO Y PROBABILIDADES CAPÍTULO XII 12. . . 3 n! = n. tenemos: (m  1)(m)(m  1)(m  2)!  (m  2)! 216  m donde m  m  216  m m3  216  El valor de «m» es 6..4321 Se lee: «Factorial de n» Principales Factoriales 0! = 1 (por convención) 1! = 1 2! = 21 = 2 3! = 321 = 6 4! = 4321 = 24 5! = 54321 = 120 6! = 654321 = 720 7! = 7654321 = 5 040 8! = 87654321 = 40 320  COFACTORIAL O SEMIFACTORIAL DE UN NÚMERO (N!!) Para «n» Par (producto de números pares) En general: n!! = 246810 . en: (m  1)!  (m  2) ! 216  m A) 5 D) 4 B) 6 C) 7 E) 3 Propiedades Resolución Desarrollando la expresión. .  m = 6ta. se define como el producto de todos los enteros consecutivos desde 1 hasta «n».1. .(n–1). (n–2)n Ejemplos: 3!! = 1x3 7!! = 1x3x5x7 13!! = 1x3x5x7x9x11x13 3!!  (3!)! 3!!!  No existe ((3!)!)! = (6!)! = 720! = 720719..4321 Ejemplo Nº 01 Calcule el valor de «m». (n–2)n Ejemplos: 4!! = 2´4 8!! = 2´4´6´8 12!! = 2´4´6´8´10´12 Para «n» Impar (producto de números impares) En general: n!! = 13579 . ANÁLISIS COMBINATORÍO Factorial de un número El factorial de un número entero positivo «n». . .(n–2)! = . es decir: n! = 1234. . entonces: N° de maneras en que puede ocurrir A o B es: n+m Resolución Según lo señalado interesa el orden como serán ubicados los objetos. ¿De cuántas maneras se puede ir de A a C. En una permutación si importa el orden de los elementos.. k x ! Ejemplo Nº 03 Si de una ciudad a otra puede irse por vía férrea. de 4 maneras y por vía aérea de 6 maneras. algunos de los cuales se repiten una cierta cantidad de veces. pasando por B? A) 5 D) 8 B) 7 C) 6 E) 9 PERMUTACIONES Son los grupos o conjuntos ordenados que se pueden formar con «n» elementos. k 2 .. 0<k  n * De todos los elementos A N° de maneras: 3 formas B x C 2 =6 formas Ejemplo Nº 04 ¿De cuántas maneras se podrá ordenar en una mesa 1 cuchillo.. entonces: N° de maneras en que puede ocurrir A y B es: nxm N° de maneras: vía férrea o vía aérea 4 + 6 = 10  De una ciudad a otra se puede ir de 10 maneras diferentes.. 76 .k 2 !. Principio de Adición Si un evento A ocurre de «n» maneras y otro B ocurre de «m» maneras (A  B = O). Permutaciones con Repetición Se aplica cuando se van a ordenar «n» elementos. n! n P  k1.. Permutación Lineal * De algunos elementos: Son los diferentes ordenamientos que se pueden formar con «n» elementos tomados de «k» en «k». Ejemplo Nº 02 Hay 3 caminos que conectan las ciudades A y B y 2 caminos que conectan las ciudades B y C. es decir realizar los dos eventos de manera simultánea..Razonamiento Matemático PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO Principio de Multiplicación Si un evento A ocurre de «n» maneras diferentes y otro evento B ocurre de «m» maneras distintas. tomados de «k» en «k». Total de elementos : 3 entonces: P(3) = 3! = 6  Se podrá ordenar de 6 maneras diferentes los 3 objetos. Resolución Para poder ir de A a C es necesario pasar por B. k x k1!. 1 cuchara y 1 plato? A) 4 D) 7 B) 5 C) 6 E) 8 P(n) = n!  De una ciudad a otra se puede ir de 6 maneras diferentes. n Pk  n! (n  k )! . en total de una ciudad a otra podemos ir de: A) 6 D) 12 B) 8 C) 10 E) 24 Resolución Según el enunciado se puede viajar de una cuidad a otra utilizando la vía férrea o la vía aérea de manera no simultánea.. en donde participan 12 equipos diferentes. ¿De cuántas maneras diferentes se puede formar esta lista? A) 56 D) 120 B) 260 C) 420 E) 560 Cn  k n! (n  k)!. En una combinación No interesa el orden de los elementos..2  Se podrá formar 105 palabras diferentes. tenemos que tomar grupos de 2 en 2 de los 12 equipos. desean formar un comité de 6 personas (mitad varones y mitad mujeres). en la segunda vuelta se jugarán: 2 x 66 = 132  Se jugarán 132 partidos.. Permutación Circular Se aplica cuando «n» elementos se ordenan circularmente o alrededor de un objeto. ¿Cuántos partidos de fútbol se jugarán en total si el campeonato es de 2 ruedas? A) 125 D) 150 B) 132 C) 130 E) 144 Resolución Para poder contar un partido. Número de partidos jugados en la primera rueda Ejemplo Nº 06 ¿De cuántas maneras diferentes podrán sentarse 5 niños alrededor de una mesa? A) 12 D) 120 Resolución Nº de maneras = Pc (5)  (5  1)!  4!  24  Los 5 niños se podrán sentar alrededor de una mesa de 24 maneras diferentes. encabezado por Karina. k! . B) 15 C) 24 E) 6 C2 C2 12  12! (12  2)!. Pc (n)  (n  1)! Ejemplo Nº 07 El diario La Republica organiza un campeonato deportivo. incluida ella. Para poder participar en las elecciones vecinales. COMBINACIONES Son los diferentes agrupamientos que se pueden formar con «n» elementos tomados de k en k.2! 7 x6 x5x 4!  105 4!. Ejemplo Nº 08 En el partido político de Karina.Razonamiento Matemático Ejemplo Nº 05 ¿Cuántas «palabras» diferentes pueden formarse con todas las letras de ALABABA? A) 125 D) 100 B) 105 C) 115 E) 155 Propiedades  Cn  1 0 n  C1  n Resolución Total de elementos (n) : 7 letras Letra A (k1 ) : 4 veces Letra B (k2 ) : 2 veces entonces: Nº de palabras = P 4. hay 8 varones y 6 mujeres.  Cn  2n n 0 2 7! 4!.2   7  Cn  1 n  Cn  Cn k  C10  C10 7 k n 3 n  Cn  C1  Cn  . en el cual no interesa el orden en que son tomados. 2! 12 x11  66 2 x1 12  entonces. 0  k n 77 . # casos favorables f  # total de casos T C3  C 2 1 8  7  6  5! 5  4  3!  1 5!  4! 3! 2! 8 5 PA   N° de maneras = 560  Se puede formar esta lista de 560 maneras.2. 3. Ejemplo Nº 09 ¿De cuántas maneras diferentes podrá viajar una persona de «A» a «D» sin retroceder? Propiedades 0  P(A )  1 P(A) + P(A’) = 1 Donde: P(A) = Probabilidad de que ocurra el suceso A P(A’) = Probabilidad de que No ocurra el suceso A  Para dos sucesos cualesquiera A y B se tiene que: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)  Si dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes ( A  B =  ). Resolución espacio muestral:   {1. 78 . 6} casos favorables: A = {1. PROBABILIDADES La probabilidad que un evento A ocurra: «P(A)». entonces: P(A  B) = P(A) + P(B) A B C D A) 21 D) 17 B) 18 C) 20 E) 23 Resolución Si toma la ruta (A – B – D) A B C D N° de maneras = 3  1 = 3 Si toma la ruta (A – C – D)  Si los sucesos A y B son independientes se tiene que: P(A  B) = P(A)xP(B) A B C D Ejemplo Nº 10 ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar un dado se obtenga un valor impar? A) 1/2 D) 1/4 B) 1/8 C) 1/3 E) 1/6 N° de maneras = 1  2 = 2 Si toma la ruta (A – B – C – D) A B C D N° de maneras = 3  2  2 = 12 N° total de maneras = 3 + 2 + 12 = 17  Podrá viajar de 17 maneras diferentes. 3. 2. se define como el coeficiente entre el número de sucesos favorables y el número total de sucesos posibles.Razonamiento Matemático Resolución Del enunciado desean agrupar a 6 personas de un total de 14 N° de maneras = N° de maneras = 12. 5. 5} P( A )  n( A ) 3  n( ) 6  La probabilidad es de 1/2. 4. IIIb..(I) 1!  1 (1  1)! ....Se sabe que 1! =1 y Rigoberto se atreve a realizar la siguiente demostración: n!  n  (n  1)! . entonces para contar el proceso se aplica la multiplicación. IIc. IVd B) Ia... IIa. El factorial es una operación binaria. P(A)  5 A) Ia.. Un evento «A» tiene 50% a favor de que ocurra.3! ...... Si A ocurre luego de B.C j  k  C j k n C) 1C1  2Cn  3Cn  .(III) 1  (0)! .... n A) Ck  “a” puntos “c” puntos “d” puntos “b” puntos A) abcd B) ab  bc  cd  da C) abc  bcd D) (a+b)(c+d)+ab+cd a E) P2  b  c  d n n 1 C k k 1 y  Cn  Cn 1  Cn 1 k k k 1 n n n 1 n k n  k 1 B) C j 1  C j  C j 1  ... IV. IIa.Determine. IV..... Un espacio muestral discreto es finito si tiene un número finito de elementos..1! 2. El espacio muestral de lanzar una moneda hasta que ocurra cara es infinito. entonces utilizo la permutación.. IVe D) Ic. Un espacio muestral discreto infinito es equivalente a un espacio muestral contínuo.  (2n  1)C n n  (n  1)  2 n E) 0! 1..Razonamiento Matemático PRÁCTICA Nº 12 Capacidad 01: Razonamiento y Demostracción 1.Identifica cuál de las siguientes expresiones es incorrecta. III. P(A)  5 4 e...... El evento «A» es seguro III.. IVe E) Ic..... si la probabilidad de su ocurrencia es P(A) = 0... Si el evento «A» es imposible II.99.... IVd C) Ic. P(A)=0 d.. II... IIIb.. Un espacio muestral es continuo. IIId.. A) (I) D) (IV) o (V) B) (II) C) (III) E) No hay error 6. IVe 0!  1 Evalúe el momento o paso en que Rigoberto comete un error. si su número de elementos es no numerable...(V) 2..2! 3.. cuántas de las afirmaciones son verdaderas.... Si eventos diferentes no son posibles de que ocurran de manera simultanea.. II. IIa....... A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 4.  n.. IIId. P(A)=1 b....... V.. IIIc..(II) 1  1 (1  1)! .Infiere el númmero total de segmentos que se puede formar en el siguiente gráfico al unir los puntos de una región con los de otra: 3.(IV) .n!  (n!)! 79 ..... IIb. IV. P(A)  2 1 c....Relaciona cada uno de los siguientes enunciados con su correpondiente... luego su probabilidad de que ocurra es: 1 a... Un evento es casi seguro..  nCn  n  2n 1 2 3 n D) 1C n 0  n 3C1  5C n 2  .. Identifica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I.. entonces para contarlos su utiliza el criterio de la adición... su probabilidad será.. Si realizo subconj untos de «k» elementos de un conjunto de «n» elementos. I. III.. I. A) VVFV B) VVVF C) VFVV D) FVVV E) FVFV 5.. El evento «A» tiene el 80% de que no ocurra.. teniendo en cuenta que no debe retroceder por los caminos a su meta. A) 12 B) 14 C) 16 D) 20 E) 24 11. En la figura. Si la abejita se encuentra en el punto «A» y tiene que llegar al punto «B» que es una reserva de Polen.5.9. Se sabe que los retazos son de colores diferentes y la bandera debe tener la forma mostrada. Formula cuántos cuadriláteros dif erentes podemos inscribir en el círculo usando los vértices marcados? A) 8 D) 24 B) 16 C) 20 E) 48 9.Razonamiento Matemático 7.En el gráfico.3.7. evalúe por cuántas rutas diferentes se puede ir de A a B... El siguiente tablero Determine. A Entrada B Polen A) 10 B) 20 C) 24 D) 40 E) 25 12. A) 24 D) 256 B) 120 C) 32 E) 64 A) 210 B) 1680 C) 15 D) 56 E) 70 80 . Deduzca el valor de «n» (2n)!  512. Formado de cuántas maneras diferentes puede la abejita llegar a la reserva.. de cuántas maneras diferentes se puede escoger una casilla blanca y una casilla negra de tal manera que no estén en la misma horizontal ni vertical.(2n  1) A) 5 D) 11 B) 9 E) 11 C) 7 10.n! 1. se han marcado ocho partes equidistantes sobre la circunferencia de un círculo dado.Determine con cinco retazos de tela. infiere cuántas banderas bicolor se pueden formar. A C B Capacidad 02: Comunicación Matemática 8. . graficar e inerpretar: Formula cuál es la probabilidad de que al lanzar 2 dados legales el resultado sea .Diez equipos de fútbol participan en un campeonato (una rueda. todos contra todos). IIId. IVe D) Ic. IIb. IIIc. IIId. IIIb. Analizar la siguiente situación. A) 560 D) 140 B) 390 C) 120 E) 280 I) II) A  B A  B III) A IV) 16. IVd C) Ic. En una reunión se encuentran 5 mujeres y 8 hombres. puntaje mayor que 8? II.Hay 5 candidatos para presidente de un club. si llegan 3 equipos más. evalúe y relacione las probabilidades afines a ellos:  A B B  Capacidad 03: Resolución de Problemas 15. .. y tienen 3 escondites para poder ocultarse. 6 para vicepresidente y 3 para secretario. Calcula de cuántas maneras diferentes como máximo se pueden ocultar. Evalue de cuántas maneras pueden formarse tales grupos de modo que en cada uno de ellos estén siempre dos mujeres.Seis ladrones se escapan de la policía. 18 36 1 5 . Interprete los gráficos. A) 60 D) 120 B) 435 C) 870 E) 205 14. 36 18 B) 5 11 . Calcula de cuántas maneras se pueden ocupar estos tres cargos. Si se desea formar grupos mixtos de 5 personas.Razonamiento Matemático 13. Si se saludan estrechándose las manos.. Halla cuántos apretones de manos hubieron. IVe 17. A una reunión asistieron 30 personas. IIa. A) 729 D) 720 B) 840 C) 120 E) 512 C) D) 7 5 . IIc. 6 ó 7 puntos? 18.. I. A) 108 D) 72 B) 64 C) 128 E) 90 a) P(A  B)  P(A)  P(B)  P(A  B) b) P(A  B)  P(A)  P(B) c) P(A)  P(B)  1 d) P(A)  P(B) e) P(A)  P(B)  0 A) Ia... 18 36 19. 18 36 1 17 . suponiendo que cada uno es cortés con cada uno de los demás. E) 18 36 81 .. IIa. IVa B) Ia. Formula cuántos partidos más se deberán programar. IIId. A) 31 D) 12 B) 33 C) 9 E) 21 A) 5 1 . IIc. IVe E) Ib. sabiendo que el pantalón marrón se lo debe poner siempre con la camisa crema y viceversa.12.48 B) 0. Se extrae una bola de cada bolsa. luego 3 y finalmente 4? A) 630 D) 108 B) 306 C) 1080 E) 1260 28. Se lanza un dado "cargado". Se extrae una bola. Fornula cuál es la probabilidad de que la suma de los números obtenidos no sea menor que 5. de tal manera que su producto sea positivo. Se quiere saber.7 que ingrese a la UNMSM es 0. En una urna. Resuelva cuál es la probabilidad de que el resultado sea un número mayor que 5. A) 0. al tirar al aire "n" veces una moneda.4. se anota el número y se devuelve a la urna. La probabilidad de que Erica ingrese a la UNHEVAL es 0. tomando el número de la cara inferior cuando se trata del tetraedro.22 C) 0. halla la probabilidad de que ingrese a ambas a la vez. A) 30 D) 36 B) 20 C) 21 E) 24 26. A) 1/2 D) 3/4 B) 1/4 C) 2/3 E) 1/3 1 E) 2n 82 . El proceso se repite tres veces. Halla de cuántas maneras podemos sacar primero 2 bolas. Una persona tira dos dados.Juan Carlos tiene 5 pantalones y 6 camisas todos de distintos colores.Se tiene 6 números negativos y 5 números positivos. uno de ellos es un cubo y el otro un tetraedro regular.42 D) 0. A) 1/6 D) 5/12 B) 1/4 C) 1/12 E) 5/6 21. Determina la probabilidad de que ambas sean blancas. A) 1/9 D) 21/25 B) 1/3 C) 7/27 E) 17/27 23. A) 120 D) 15 B) 60 C) 30 E) 10 27.Calcula cuál es la probabilidad de que. de tal manera que los números impares tienen el triple deposibilidades que los números pares. A) 140 D) 180 B) 160 C) 175 E) 170 25.58 24. es tirada 5 veces. se introducen bolas marcadas con los números 1 . Una moneda cuyas caras están marcadas con los números 2 y 3. Determina de cuántas maneras se pueden escoger cuatro números. Calcula cuál es la probabilidad de obtener una suma total de 6 puntos.Razonamiento Matemático 20. Determina de cuántas maneras se obtendrá como suma 12. 2 y 3. A) 3/4 D) 2/5 B) 4/5 C) 3/5 E) 1/2 22. Se tiene una urna con 9 bolas numeradas. Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 negras. otra bolsa contiene 3 bolas blancas y 5 negras. Calcula de cuántas maneras puede escoger las prendas. respectivamente. 1 2n n n 8 A) B) 2 8 n C) D) 1 n 2 29.24 E) 0. se obtenga "n" caras? . Si la probabilidad de que no ingrese a ninguna es 0.