razonamiento matemático

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Problemas sobre Edades Porcentajes Operadores Matemáticos Razonamiento Inductivo – Deductivo Regla de Tres simple y compuesta Criptoaritmética Series y Sumatorias Probabilidades CIENCIAS EMPRESARIALES CIENCIAS EMPRESARIALES 0 ÍNDICE PROBLEMAS SOBRE EDADES.........................................................................3 PROBLEMAS RESUELTOS.......................................................................................4 PROBLEMAS PROPUESTOS...................................................................................7 PORCENTAJES.............................................................................................. 10 PROBLEMAS RESUELTOS.....................................................................................13 EJERCICIOS PROPUESTOS..................................................................................16 OPERADORES MATEMATICOS.......................................................................19 EJERCICIOS PROPUESTOS..................................................................................23 RAZONAMIENTO INDUCTIVO - DEDUCTIVO....................................................26 EJERCICIOS PROPUESTOS..................................................................................30 REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA.......................................................32 EJERCICIOS RESUELTOS......................................................................................35 PROBLEMAS PROPUESTOS.................................................................................37 CRIPTOARITMETICA...................................................................................... 40 EJERCICIOS PROPUESTOS..................................................................................43 SERIES Y SUMATORIAS.................................................................................46 EJERCICIOS RESUELTOS......................................................................................49 EJERCICIOS PROPUESTOS..................................................................................50 PROBABILIDADES......................................................................................... 52 EJERCICIOS RESUELTOS......................................................................................55 EJERCICIOS PROPUESTOS..................................................................................57 BIBLIOGRAFÍA.............................................................................................. 62 1 PRESENTACIÓN La siguiente guía de Razonamiento Matemático tiene por objetivo poner al alcance de los estudiantes del Ciclo Pre Universitario de la Universidad Privada de Tacna, los temas que serán desarrollados, teniendo en cuenta el marco teórico con ejemplos prácticos, problemas explicados y ejercicios propuestos. El curso de Razonamiento Matemático permite medir la habilidad y el razonamiento crítico que posee el alumno para desarrollarse dentro de un campo del conocimiento humano. Los Temas que se proponen para este Ciclo Pre Universitario Problemas sobre Edades, Porcentajes, Operadores son: Matemáticos, Razonamiento Inductivo – Deductivo, Regla de Tres, Criptoaritmética, Series y Sumatorias, y Probabilidades. 2 Son relaciones dadas entre las cantidades o edades que intervienen y que se cumplen en un determinado tiempo.TEMA 01 : PROBLEMAS SOBRE EDADES Los problemas sobre edades es un caso particular de planteo de ecuaciones. son condiciones. 2. tiempos y condiciones.  Tiempo pasado: “Hace 14 años”.  Tiempo futuro: “Dentro de m años”.En todo problema sobre edades se pueden distinguir principalmente tres elementos: personas. edades: condiciones y tiempos. “hace n años”. puede ser otro tipo de cantidades que las personas posean. las expresiones como: “dentro de 12 años”. ( II ) T PASADO (I) I E M P O S PRESENTE PASADO Persona A Edades o cantidad es Persona B Persona C Condiciones ( IV ) Una vez leído y entendido cada problema. etc. etc. “tengo”. PERSONAS. “cuando tengas la edad que tengo”. Cada condición da lugar a una ecuación.. 3 . contribuye a enriquecer nuestro conocimiento de otras técnicas de planteo y resolución de ecuaciones. CONDICIONES. como:  Tiempo presente: “Tienes”. recomendamos utilizar un cuadro de doble entrada. puesto que la acción se desarrolla ne tiempos diferentes. en donde intervienen: personas. tenemos”. “tendrás”. “tenía”. “la suma de nuestras edades es 72 años”. II.. según corresponda de acuerdo al enunciado. IV. 3. TIEMPOS. II. La importancia del tema “Problemas sobre Edades”. “tuve”.A las cuales corresponden las edades con las que se trabajan. o entre tiempos diferentes. aunque en lugar de edades.Es una de las partes más importantes del problema.. etc. extraemos de él los datos y la incógnita para ser colocados en el gráfico .. en el orden sugerido I. Con el propósito de ordenar y relacionar adecuadamente los datos. 1. “tenga”. en donde se colocarán los datos e incógnitas en el orden y lugar. 3. Katy tiene 48 años.. su edad es el doble de la edad que tenía Ana.8  A = 5(B – 8) .... Rpta 2...PROBLEMAS RESUELTOS 1.. 4 . Si hace 6 años la suma de las edades de los tres era de 41 años.. Pedro tiene 3 años menos que su hermano Beto y la edad del padre es el séxtuplo de la edad de su hijo Pedro.. ¿Cuántos años tiene Berta? SOLUCION: 1 A = B .... ¿Qué edad tiene Ana? SOLUCION: Aplicando el método del aspa: x + x = 24 + 48 2x = 72 x = 36 . La quinta parte de la edad de Alicia es 8 años menos que la de Berta y el triple de la edad de Berta es 10 años más que la edad de Alicia. (2) Reemplazando (1) en (2) 3B = 10 + 5(B – 8) 3B = 10 + 5B – 40 30 = 2B 15 = B . ¿Cuántos años tiene Pedro? SOLUCION: Del enunciado: ( x + 9) + (x – 6) + (6x – 24) = 41 8x = 80 x = 10 La edad actual de Pedro: x – 3 = 10 – 3 = 7 años .... cuando Katy tenía la edad que ahora tiene Ana. Rpta.. (1) 5 3B = 10 + A .Rpta. (1) * 3x – y = 56– 6x  y = 9x –56. cuando yo tenía la edad que tú tienes. ¿Qué edad tiene el menor? SOLUCION: Del enunciado:  1  x  5   52 3   (x + 7) + (x + 5) +  2x + 1 x  35 3 x = 15 .. A le dice a B: “Yo tengo el triple de la edad que tú tenías..4..... 5.(2) De (1) y (2): 2x = 9x – 56  x = 8 Piden: Edad de A = 3(8) = 24 ..Rpta. 6. SOLUCION: Por diferencia de edades: * y – x = 3x – y  y = 2x . tu edad será a mi edad como 5 es a 4 y hace 5 años esa relación era como 3 es a 2. entonces la suma de nuestras edades será 56 años”.... Hallar la edad de A.. pero cuando tú tengas la edad que yo tengo.. Dentro de 5 años. ¿Cuántos años tengo? SOLUCION: 5 .. El mayor de tres hermanos tiene 2 años más que el segundo y la edad del menor es la tercera parte del segundo. Dentro de 5 años la suma de las edades será 52 años.Rpta. SOLUCION: Año de Nac. por enunciado: n(x + 5) – n(x – 5) = n(x) nx + 5n – nx + 5n = nx 10n = nx x = 10 .Rpta.Del enunciado: 3k  10 2k  10   k=5 5 4 Luego. b = 7  Nació en 1967 y tendrá: 62 +72 = 85 años en.. 1967 + 85 = 2052 . + Edad actual = Año actual 19ab  a  b  1980 1900 + ab + a  b = 1980 10a + b + a + b = 80 11a + 2b = 80 Por tanteo: a = 6 ... 9.. PROBLEMAS PROPUESTOS 6 . ¿En qué año tendrá “ a2 + b2 ” años?.. se le resta “n” veces la edad que tuvo hace 5 años. yo tengo: 3k + 5 = 3(5) + 5 = 20 . Una persona nació en el año 19ab y en 1980 tuvo (a + b) años.. SOLUCION: Sea la edad: “x”.... Sabiendo que si a “n” veces la edad que tendrá dentro de 5 años.. ¿Cuántos años tiene Iván sabiendo que la raíz cuadrada de la edad que tenía hace 3 años más la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años suman 9 años? SOLUCION: x : Edad de Iván x 3  x6 9  ( x  6)  9  2 x3  2 x  6  81  18 x  3  x  3 18 x  3  72 x3  4 x = 19 .Rpta. 7.. 8..Rpta. se obtiene “n” veces su edad.. Calcular la edad de Pepe.Rpta.... pero dentro de 5 años. suman en total 4200”. pero cuando tú tengas la edad que yo tengo la suma de nuestras edades será 68 años. Cuando tenga el triple de la edad que tendré dentro de 3 años. Hallar la suma de las edades en este tiempo. Las edades de dos personas están en la relación de 3 a 5. Si uno es 20 años mayor. La suma del triple de la edad que tuve hace 9 años y el doble de la que tuve hace 5 años es igual a la que tendré dento de 15 años. más el triple de ella y así sucesivamente hasta tantas veces mi edad. Tú tienes 19 años. Las edades actuales de dos hermanos se encuentran en la relación de 5 a 4. Hace 12 años las edades de 2 hermanos estaban en la relación de 4 a 3·. determinar la relación en que estarán sus edades dentro de 5 años a)5/7 b)11/5 c)7/5 d )7/11 e)3/11 5. Si sumamos la edad que tenía Sandra hace 8 años. ¿Cuál es mi edad actual? a)10 b)11 c)12 d)9 e)14 4. ¿Qué edad tiene Sandra? a)12 b)13 c)14 d)15 e)16 2. pero hace 7 años dicha relación era de 4 a 3. a)24 b)34 c) 44 d)54 e)50 7 . ¿Cuál es la suma de sus edades actuales? a)36 b)40 c)44 d)38 e)52 6. ¿Cuántos años suman sus edades actuales? a)54 b)72 c)66 d) 63 e)45 9. actualmente sus edades suman 59 años. ¿Qué edad tengo? a) 29 b)33 c)24 d)36 e)27 8. Hace 4 años la edad de un padre era el triple de la de su hijo. Le preguntaron la edad a Mariela y ella responde: “Mi edad. 10 y 6 años. la que tiene y la que tendrá dentro de 7 años obtendremos 38 años. Hace cierto tiempo el producto de las edades de sus hijos era igual a la edad de su padre. Si uno es 20 años mayor que el otro. será solamente el doble. más el doble de ella. ¿Qué edad tengo? a)15 b)14 c) 13 d)12 e)17 3.1. ¿Qué edad tenía Mariela hace 2 años? a)18. Dentro de cuántos años sus edades estarán en la relación de 8 es a 7? a)10 b) 8 c)12 d)9 e)7 7. La edad de un padre y sus dos hijos son: 34. mi edad será el quíntuplo de la edad que tenía hace 3 años. b)20 c)22 d)24 e)26 10. Tú tiene 24 años. a)21 b)23 c)25 d) 27 e)29 18. sin embargo cuando tenías 15 años yo tenía la edad que tendrás dentro de 2 años.e)49 . Hace 5 años la edad de un padre fue 4 veces la de su hijo y dentro de 5 años será solamente el doble. pero cuando tengas la edad que yo tengo. la suma de nuestras edades será 60 años. ¿Qué edad tendrá en el año 2014? a)35 b)39 c)42 d)45 . ¿Qué edad tengo? a)12 b)14 c)18 d)24 e) 16 19. Una persona tuvo en 1995. pero él tiene el triple de la mía. Las edades de los padres de Carlos son entre sí como 8 es a 7. Mariela le dice a Ana: La suma de nuestras edades es 46 años y tu edad es el triple de la edad que tenías cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando yo nací. tanto años como el producto de las 2 últimas cidras del año de su nacimiento. Cuando su madre tenga la edad que tiene su padre éste tendrá el doble de la edad que tenía su madre hace 20 años. La edad que tendré dentro de “2m” años es a lo que tenía hace “m” años como 8 es a 5. Hallar la edad de Pamela. Fiorella le dice a Pamela: “Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. ¿Hace cuántos años tenía yo los 2/3 partes de los años que tendré dentro de 22 años? a)12 b)10 c) 8 8 d)6 e)14 . ¿Qué edad tendrá el padre cuando su hijo tenga los años que tuvo el padre cuando nació el hijo? a)29 b) 30 c)35 d)40 e)45 20. Si mi edad actual es 60 años: a)105 b)75 c)120 d)100 e) 90 17. pero cuando tu tengas la edad que yo tengo la suma de nuestras edades será 81 años. Nuestras edades suman 47 años. ¿Qué edad tienes? a)30 b) 20 c)10 d)15 e)18 14.11. Yo tengo el doble de tu edad. a)40 b)42 c)45 d)49 e)38 15. ¿Qué edad tendré dentro de “3m” años?. ¿Cuál es la suma de las edades de sus padres. Determinar la edad que cumplirá una persona en el año 2014. sabiendo que en 1996 su edad era igual a la suma de las cifras de su año de nacimiento. si el padre de Carlos es mayor que su madre? a)90 b)100 c)86 d)102 e) 120 16. 12. Si dentro de 6 años tu edad sumada a la mía es 18 años menos que la edad de él. ¿Qué edad tiene Ana? a)21 b) 24 c)26 d)18 e)48 12. ¿Cuál es la edad actual de Susy. Si dentro de 8 años el menor tendrá la edad que tiene su hermano mayor. ¿Cuál es la edad actual del hijo. Dentro de 10 años.21. la edad del padre era el triple de la de su hijo? a)17 b)15 c)16 d)13 e) 14 27. la suma de nuestras edades será 84 años. Hace “n” años sus edades eran como 3 es a 2 y dentro de “2n” años serán como 5 a 4. la edad de un hijo se diferenciaba de la edad de su padre en el triple de su edad. a)24 b)22 c) 20 d)18 e)16 23. Norma le dice a Paco: Tú tienes el triple de la edad que yo tenía cuando tú tenías la edad que tienes. ¿Hace cuántos años la edad de Pedro era la tercera parte de la edad de Luis? a)7 TEMA 02: b) 9 c)6 PORCENTAJES 9 d)8 e)12 . Hace 12 años la edad de Pedro era la cuarta parte de la edad de Luis. y de la edad de su hermano menor en la mitad de su edad. si hace 2 años. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será la suma de las edades de los hijos? a)8 b)9 c) 10 d)12 e)7 26. Carmen le pregunta a Susy sobre los años que tiene. La edad actual de Pedro es igual a la mitad de la edad actual de Luis. sabiendo ademñas. que dentro de 6 años sus edades sumaran 68 años? a) 32 b)24 c)28 d)36 e)30 24. Hace 4 años. 8y 10 años. La edad de un padre es de 42 años y la de sus hijos es 4. entonces Susy le responde: “Tengo el doble de la edad que tú tenías. El cuádruplo de la edad que tenía hace 3 años. ¿Cuántos años tendré dentro de 14 años? a)24 b)25 c) 26 d)27 e)30 25. restado del triple de la edad que tendre dentro de 4 años resulta la edad que tengo. Calcule la edad que tiene el hermano mayor. ¿Cuál es la relación actual entre sus edades? a)11/7 b)9/8 c)8/11 d) 11/8 e)9/7 28. la edad de un pafre será el doble de la de su hijo. cuando yo tenía la edad que tienes”. Juan nació “x” años antes que Luis. ¿Cuántos años tiene Norma? a)20 b)23 c) 24 d)17 e) a)20 22. 10 .2 Para los descuentos sucesivos del a% y del b%.04? 0.1RELACION PARTE – TODO Para expresar que tanto por ciento representa una cantidad (Parte) respecto de otra (Todo). DEFINICION: Se llama porcentaje o tanto por ciento a una determinada cantidad con relación a 100 unidades. viene a ser el descuento único equivalente (Du). %= lo / que / hace / de / parte x100% lo / que / hace / de / todo Ejemplo: ¿Qué tanto por ciento de 0.1. P% x N = R Ejemplo:Hallar el 25% de 400 25 x 400  100 100 1. pueden ser reemplazados por un solo descuento que equivale a los dos anteriores.04 x100%  200 0. En general: A% = 50 100  50% =  30% de 70 =  a a % b 100.b 30 x70 100 Los problemas fundamentales de tanto por ciento pueden reducirse a la siguiente expresión.2 es 0. .Du = Para dos aumentos sucesivos del a% y del b% el aumento único (Au) que representa a estos dos aumentos es: ab   Au   a  b  % 100   Ejemplo: A qué aumento único equivale los aumentos sucesivos del 10% y 20%? 10 x 20    32% Au =  10  20  100   Para más de dos descuentos sucesivos se aplica la siguiente fórmula: Du =  100  D1 100  D2 ...   100 % n 1 100   Au =  Ejemplo:Dos aumentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un aumento único de : A1  30% A2  20% n =2  100  301 100  20 2 .   100 % n 1  100   Para más de dos aumentos sucesivos se aplica la siguiente fórmula:  100  A1 100  A2 ...   100 % 2 1 100   Au =  Au = + 56% Nota: El signo (+) nos indica el aumento por lo que los aumentos sucesivos del 30% y 20% equivalen a un aumento único del 56%. APLICACIONES COMERCIALES 11 .. PL = PC + D PL : Precio de Lista PROBLEMAS RESUELTOS 1.P P : Pérdida 3. Pf = PV + D Pf : Precio fijado D : Descuento 4. PV = PC + G PV : Precio de Venta PC : Precio de costo G : Ganancia 2. ELEMENTOS DE UNA VENTA: 1. El 60% del número de hombres es igual al 40% del número de mujeres ¿Qué tanto por ciento del total representa el número de mujeres? Solución: 60% (Nº Hombres) = 40% (Nº de mujeres) 12 . PV = PC . 3.venta + Ganancia 13 . 5 2.Rpta. ¿Cuál fue el precio que tenía antes de dicho descuento? Solución: Se halla el descuento total o descuento único. sabiendo que se haceuna rebaja del 20% todavía se gana el 30%? Solución: Se deduce que al final de la transacción gañó 30%(800) = 240 Es decir vendió: 800 + 240 = 1040 Precio Fijado = P. D xD   Du    D1  D2   1 2  % 100   10(30)   Du   10  30   % 100   Du  37% Luego: Nuevo. N º Hombres 2  N º Mujeres 3 Total = 5 El número de mujeres representa el: 3 x100%  60% Total …Rpta.inicial  descuento 63 = P – 37%(P) 63 = 100%P – 37%(P) 63 = 63%P 63 = 63 P 100 P = 100 soles …. precio  p. Si el precio de un par de zapatos luego de habérsele hecho dos descuentos sucesivos del 10% y 30% es de 63 soles.. ¿Qué precio debe fijarse a un artículo que costó $800. Auto pierde: S/. 4..x = 1040 + 20%(x) 80%(x) = 1040 80 x  1040 100 x = 1300 …. 2do. Conclusión: Pierde S/. Entonces ganó 1000 soles. En qué porcentaje aumenta el área? Solución: A  BxH 2 Nueva base B1 = 130%B Nueva altura H1 = 150%H 14 . ganando en el primero el 20% y en el segundo pierde el 20% del precio de compra.Rpta. 5. Si la base de un triángulo aumenta en un 30% y su altura en 50%.Rpta.6000 cada uno..6000______120% x _____ 100% x = 5000 soles.500 …. Auto gana: S/.6000______80% x _____ 100% x = 7 500 soles Entonces pierde 1500 soles. ¿Gana o pierde y cuánto? Solución: 1er. Un vendedor vende dos autos a S/. El número es: a)1800 b) 2000 c)2400 d)1720 e)2100 Si el (x-1)% del 40% del 50% del 0.5% del quíntuplo de 4000 es 4. Hallar “x” a )21 b)18 c)12 d)20 e)15 De qué número es 128 el 36% menos? a)120 b)180 c)200 d)400 e)150 El 40% del 50% de “x” es el 30% de “y”. 5. 3.5% c)20% d)10% e)22.. 4.Nueva A1 = 130% Bx150% H 2 130 150 Bx H A1 = 100 100 2 195 BxH A1 = 100 2  BxH    2  A1 = 195%  A1 = 195% A La Nueva área se incrementará en: 195%A – A = 95% …. El 30% del 40% del 60% de la mitad de un número es equivalente al 180% del 2. Rpta. 50% de los 2/5 de 200. ¿Qué porcentaje de (2x+ 7y) es (x+y)? a)25% b)12. Calcular el 30% del 20% del 60% de una cantidad cuyo 36% es equivalente al 50% del 72% de 25000. 6.500 …. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. ¿Cuál era el precio del costo? Solución: Pventa = Pcosto + Ganancia 600 = Pc + 20%Pc 600 = 120%Pc 120 Pc 600 = 100 Pc = $. Se vende un artefacto en $.5% ¿Qué porcentaje de un número que tienen por 20% al 40% de 60 es el 72% de otro número que tiene por 40% al 60% de 20? a)20 b) 18% c)12% d)30% e)42% 6.600 ganando el 20%. Rpta. 15 . El 30% de los alumnos de un colegio son mujeres. Si en un aula de 80 alumnos el 40% son mujeres ¿Cuántos son varones? a)45 b)46 c)32 d)47 e)48 8. murieron por desnutrición 1900 niños antes de cumplir los 3 años. Luis es un 50% más eficiente que José. En una reunión el 20% de los hombres y el 25% de las mujeres son peruanos: Si el número de mujeres representa el 40% del total de personas. Al comprar un mueble que cuesta S/. ¿Qué tanto por ciento de las personas presentes en dicha reunión no son peruanos? a) 78% b)88% c)22% d)68% e)12% 15.240 16 d)S/. Si son 203 varones. de los sobrevivientes el 30% asistió a la escuela a partir de los 6 años. En una reunión. En un aula el 20% de las mujeres es igual al 30% de los hombres.270 . ¿Qué porcentaje de las chompas son blancas? a)50% b) 60% c)36% d)70% e)54% 9.a)1500 b)450 c)900 d)1800 e)750 7. el 70% del número de mujeres es igual al 50% del número de varones. ¿Cuántos fueron estos últimos? a)3720 b)3325 c)3580 d) 3710 e)3570 12. El descuento único equivalente a 2 descuentos sucesivos del 20% más el 30% es: a)40% b)42% c) 44% d)36% e)30% 16. ¿Qué porcentaje del total son mujeres? a)36. ¿Qué porcentaje son hombres? a) 20% b) 40% c) 50% d) 60% e) 70% 13.2% b)28. ¿Cuántos alumnos son en total? a)280 b)300 c) 290 d)270 e)284 10. b)30% c)42% d)36% e)44% 17. El número de días que Luis emplea para hacer el mismo trabajo es: a)7 b) 8 c)5 d)6 e)4 14.2 e)40% 11.200 e)S/. 180 son amarillas y las restantes son blancas. De un lote de 450 chompas.180 b) S/. José hace un trabajo en 12 días.6% d)39.1500 soles se hacen dos descuentos sucesivos del 10% más el 20%. mientras que el resto no lo pudo hacer sino hasta los 9 años.250 c)S/.1% c)41. En cierto pueblo se ha estimado que de los 7200 niños que nacieron cierto año. Si con el monto del descuento pagamos 170 soles para transportar el mueble ¿Cuánto queda? a)S/. El aumento único equivalente a dos aumentos sucesivos del 15% más el 20% es: a)38%. 30% y 50% equivalen a uno del: a) 160% b) 156% c) 173% d) 137% e) 120% 22. ¿Cuál es el total de alumnos del salón? a)90 b)75 c) 80 d)150 e)120 25. ¿Qué tanto por ciento de las personas presentes en dicha reunión no son peruanos? a) 78% b)88% c)22% d)68% e)12% 23. Tres aumentos sucesivos del 40%.Del total de conferencistas. En una reunión el 20% de los hombres y el 25% de las mujeres son peruanos: Si el número de mujeres representa el 40% del total de personas. El precio de un televisor sube en 30%. si en total habían 350 personas. Si faltan el 25% de las mujeres y sólo asisten 18 mujeres. luego en 10% sobre el nuevo precio. Se vendió un artículo en 600 soles ganando el 20% del costo. ¿Cuántas personas estaban bailando? a)120 b)150 c)200 17 d) 240 e)180 . el 60% son mujeres: De ellas el 30% disertan por primera vez. el 50% lo hace por primera vez. ¿A cuánto ascendió su sueldo? a)S/1200 b)S/1240 c)S/1300 d)S/ 1160 e)S/1120 19. El porcentaje de los conferencistas que disertan por primera vez es: a)28% b) 38% c)16% d)15% e)42% 24. ¿A cómo se debe vender para ganar el 9%? a)724 b)936 c)827 d) 872 e)836 26. Se vende un artículo en 680 soles perdiendo el 15% del costo. ¿Cuál era el precio inicial? a)1800 b)1600 c)1750 d) 2000 e)2100 21.120 d) S/100 e)S/90 20. En una fiesta se observó que el 60% de los hombres estaban bailando y el 20% de las mujeres no bailaban. Si por el televisor se pagó 2860 soles. ¿Cuánto se ganó? a)S/80 b)S/110 c) S/. mientras que de los varones. En un salón de clases el 70% son hombres. El sueldo de 800 soles mensuales que tiene Ronald sufre dos aumentos sucesivos del 16% y 25%.18. . ¿Qué porcentaje de empleados de dicha empresa salió de paseo? a)40% b)50% TEMA 03: c)28% d) 24% e)30% OPERADORES MATEMATICOS .En una compañía salen de paseo el 30% de los hombres con el 20% de las mujeres. si los hombres representan el 40% del total de trabajadores de la empresa. 2 OPERADOR MATEMÁTICO: Son símbolos arbitrarios con los cuales se van a realizar operaciones matemáticas.Una tela al lavarse se encoje el 10% en el ancho y el 20% en el largo. Toda operación matemática tiene un símbolo que la representa llamado MATEMATICO.1 OPERACIONES MATEMATICAS: Es aquel procedimiento que transforma una o más cantidades en otra cantidad llamada resultado. ¿Qué longitud debe comprarse si se necesitan 36 metros cuadrados de tela después de lavada? a)28 b)34 c) 25 d)50 e)75 28.27. Operación matemática Adición Sustracción Multiplicación División Radicación Valor absoluto Sumatoria Operador matemático + x ÷ 18 OPERADOR . Si se sabe que la tela tiene 2 metros de ancho. sujetas a una estructura o ley de formación. bajo ciertas reglas y/o condiciones convenidas. Si Hallar Solución: 19 128 243 .Son aquellas en las que antes de reemplazar y B. Ëjemplo: 1.Son aquellas en las que solamente hay que reconocer los elementos. Ejemplo: 1. reemplazar y operar... 5 Implícita.o Los símbolos que se indican son la base para crear nuevas operaciones de diferentes reglas o leyes de operar. Otros tipos de Operadores: Operador asterisco Operador porcentaje Operador rectángulo = = = Operador beta = Operador integral = * % Existen dos formas de plantear la definición de operaciones matemáticas arbitrarias y son:  MEDIANTE FORMULAS: A. También se puede hacer cambio de variable. Con definición explícita. hay que darle la forma de la definición a lo que nos piden para poder reconocer los elementos a reemplazar. Con definición operar. 2. Si m@n= Calcule: S = (2 @ 1) + (2 @ 3) Solución: m@n= 2 @ 1= =8 2 @ 3= 3(3) + 1 = 14 Luego. S = 8 + 14 = 22 … Rpta. Si = 7(5) +x 3 = 7x + 3 = 38…Rpta. Si : = 4x + 8 Hallar Solución: 9 Dando m la + forma de la definición 5= = 4(4) + 8 = 24 ….3 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES : Entonces: a MATEMÁTICAS b=R  Elemento Neutro o elemento identidad (e). Se debe cumplir que: A e=A ó e A=A Es decir. 20 . para cualquier elemento que uno elija. Si = x(x + 2) Determinar X1 X -2 Solución: a Si x – 2 = a ⟹ = a(a + 2) Luego por artificio: X- = (x – 1)(x -1 +2) = Entonces: X- 1 = ( = …. debe ser el mismo elemento neutro.Rpta.. Donde: x = 4.Es un elemento único para la operación dada. que no altera al elemento que se elija. es un valor único para toda la operación. 4+ 5 9 3. y = 3 2.Dando la forma de la regla de definición 128 243 = = 5 …Rpta. Es decir.  MEDIANTE TABLAS DE DOBLE ENTRADA: Se opera así: ® b aR 2.Rpta. Es un elemento particular para cada elemento. Siendo . Ejemplo: Hallar el elemento inverso del 4 de operación “ . aplicamos el principio de A N=A a+e–5=a ⟹e=5 Hallamos el elemento inverso al 4. para esto aplicamos: a =e ⟹ 4 =5 Reemplazamos en la operación: 4 + Ejemplo: Si a b=a+b+2 Hallar P = (3 elemento inverso de “a” Solución: Como: a b = a + b + 2  Se sabe: a e=a a + e + 2 = a ⟹ e = -2  Se sabe: a a =e +2 = -2 = -4 –a ⟹ = -4 –(2) = -6 = -4 – (3) = -7 Piden: –5= 5 ⟹ P= ( 21 … Rpta.Rpta  Elemento inverso ( ). Se deduce que requiere conocerse el elemento neutro para poder hallar el elemento inverso. sabiendo que: a b=a+b–5 Soluciòn: Hallamos el elemento neutro..Ejemplo: Hallar el elemento neutro de la operación “ sabiendo que: a b= a+b–3 Solución: Aplicamos el principio de A e=A A + e – 3 = A ⟹e = 3 …. Se debe cumplir que: siendo“e” un elemento neutro. EJERCICIOS PROPUESTOS a)-12 1.1 = 2m + 5 5. y b) 7 c)8 d)9 e)10 Halla a)1 b)2 c) r 5/2 d)3 e)18/5 9.Se define en N ▲(3 Calcular R = (9 # 9) (2 # 5) Halle el valor de: E = (128▲243)(2▲9) a) b) c)5 a)8 d)7 e)6 b)2 c)11d)7 e)52 10. x. Si d)72 7. Si e) 71 = 2x + 3 X b)10 e)-6 b2 = a + b Calcular 3 4 3√a a)7 x c)6 d)-4 Calcular b)21 c)29 d)31 e)43 = 4x . Si = Calcule: E= a = (a+1 . Se define : 3√a a)6 . Si Calcular a)19 b)11 c)7 d)23 e)31 3.P = (3 – 6 + 2) -7 P = (-1) (-7) P = (-1) + (-7)+2 = P = -6…Rpta. Si : Calcular S = 5 * 32 a)68 b)60 c)70 2. Se define: a#b = 4. Se define: a 11. Si x ♦ y = x – y + 2(y ♦ x) Hallar: 12 ♦ 3 Hallar el valor de: E= a)2b) 3 c)4d)6e)9 a)20 5+ 5 1 4 b)23 c)22 d)24 e)25 6.3 8.a x= 22 . Si : 3m .hallar “x”en: . Siendo: a ® b = a3 + 2a Calcular: b)36 c)34 d)33 d)144 e)48 21. Se sabe que: Hallar: = x(x+2) x 3 + a)5033 d)5003 b)5023 e)5053 c)5035 2 = 20. Dado: m * n = 2n – 3m  a)VV Calcular B = 23 La ecuación: x % 4 = 4 tiene solución única. Se define el siguiente operador como: x 14.(19®20))) a)32 b)6 c) 9 e)35 16. X Hallar el valor de “x”. (2%3) % (3 % (4 % 1)) = 4 b)FF c)VF d)FV e)N. si: a)3 b) 5 c)7 d)10 e)13 19. Si: Halla : .a) b) c) d) a)3 e) b)5 c)7 d)6 e)12 18. Definimos © según la tabla: a)1 b) 2 c)3 d)4 Calcular : e)5 325 © 353 13. Se define: 12. Según : H = 3®(4®(5®…….D . Si : 2m ▼ 3n = Hallar Hallar el valor de : E =(12▼(12▼…(12▼(12▼(12▼9)))…))) a) b)6 c)3 d)5 e) +1 “n” paréntesis a)12 15. Se define: Calcular Decir si es verdadero o falso : a)4 b)5 c)8 d)6 e)10  2 17. Si : e)5 23. Si : d)-77 e)-42 . Se define en R: a©b = a+ b – 6 Calcular M = (3-1 + 2-1 ) a)12 b)15 c)19 Determinar el valor de “x” en: d)24 e)18 (3 * x) * (2 * 0) = (3 * 3) * 0 26. m*n y MN =P 24. Se define en R la operación: = n–n+n–n+n -… a * b = a + b + 4/3 Calcular: El inverso de 2 para dicha operación es de la forma a/b. Si P M = N Calcular el valor de “x” en: a) 2 b)3 c)5 d)7 e)9 2x-1 y =a . Definimos en R: m۞n = Además: a-1 : elemento inverso de a Calcular S = a) 1 b)2 a)-1 c)4 d)8 b)0 c)1 d)3 e)2 28. 7⊡4 = 81 9 ⊡ 5 = 1024 a*b= entonces la suma de las raíces de la ecuación (4 * 2)*12 = x2 .Halle el mayor número que satisface la ecuación : 22. Si definimos el operador: a)1 c)3 d)0 e)4 31.x a)-4 b) 2 b)0 c)-1 d)4 Calcule: M = ((2⊡5)+(8⊡9)-(5@6))@100 e)1 a)101 b)100 c)95 d)97 27. Si : 32. a)0 b)2 c)1 d)Absurdo e)N. Se define: Además: 3 ⊡1 = 2 . Se define: 24 = e)90 .A entonces a b es igual a: a)-2 b)60 c)-66 29. 2x+1 y = 3a a) 2 b)4 c)3 d)1 e)Cero 25. En A = d)18 e)1/3 se define: TEMA RAZONAMIENTO INDUCTIVO – DEDUCTIVO O4 : 4. llegamos a conclusiones con amplia posibilidad de ocurrencia. Se define: b)14 c)12 d)10 e)20 33. Se define: Calcular M = (9#8#6)#(5#2#8)#3 Calcular : a)37 b)81 c)9 30. Cuál es el valor de: M = (111…112 + 222…244)2. 100 cifras 100 cifras Solución Analizando tres casos sencillos: (12 + 24)2 = 362 = 1296 = 18 = 9(2) (112+224)2 = 3362 =11289 ⟹ = 27 = 9(3) (1112+2224)2 = 3336 = 11128896 ⟹ = 36 = 9(4) En el problema: Suma de cifras = 9(100) = 900 …Rpta 25 . Es decir mediante el análisis de situaciones sencillas con las mismas características del problema original. Dar como respuesta la suma de cifras del resultado. Caso 1 Caso 2 Caso Gener al Caso 3 inducir Casos Ejemplos: 1.1 RAZONAMIENTO INDUCTIVO:Es el tipo de razonamiento que en base a experiencias sencillas nos permite hacer conclusiones generales.Calcular a) 16 3 -2 34. 5-5+5-5+5-5+5-5+5-5+5-5+5-5+5 Resolución: Observar: 1 “cinco” : 5=5 2 “cincos” : 5–5=0 3 “cincos” : 5 – 5 + 5 = 5 = 26 . Determinar el resultado de: 3 Rpta. ¿Cuántos puntos de contacto hay en la siguiente gráfica de circunferencias? Solución: Vamos a proceder a contar. Total de puntos de contacto 3= 3(1) = 3 x ( 9 = 3(3) = 3 x ( 18 = 3(6) = 3 x ( De acuerdo a lo observado en los 3 casos particulares.2. aplicando el método inductivo. podemos concluir que: Total de puntos de contacto d 3. 4 “cincos” : 5 – 5 + 5 – 5 = 0 Conclusión. Cuando es un número par de “cincos” el resultado es cero (0) y cuando es un número impar “cincos” el resultado es cinco (5). Calcular “A” A = 100002 . Indicar la suma de las cifras del resultado al efectuar la expresión siguiente a)8000 b)100 c)600 d)9000 e)900 Resolución : CASOS PARTICULARES SUMAS DE CIFRAS 9=9x1 18 = 9 x 2 27 = 9 x 3 Luego nos piden efectuar : 9 x 100 = 900 Rpta. “ E “ 4. 15 cincos 4. se parte de un conocimiento general cuya verdad ya ha sido demostrada y se aplica a un caso particular. Luego: Rpta. Caso 1 Caso General Caso 2 Casos particulares Caso 3 EJEMPLO: 1.2 RAZONAMIENTO DEDUCTIVO: Es aquel tipo de razonamiento que va de lo general a lo particular.99992 Solución : Recordando: a2 – b2 = (a + b)(a – b) 27 . se cumple: 1. Otro punto que debemos tener en cuenta. (…1)N = …1 5129 = …1 6. (…5)2N = …25 358 = …25 28 .P = 100002 – 99992 = P = 19 999 …Rpta 2. Aplicaremos métodos que nos permitan ahorrar tiempo en los cálculos u operaciones tediosas.9 = 2 + 2 (a + b + c) = 9 = 3 a+b+c=3 Sumamos: Rpta. es que aprenderemos las diferentes formas de cómo afrontar un ejercicio que aparentemente tiene una solución operativa. (…76)N = …76 2765 = …76 3. agilidad mental y una lectura rápida de los signos y símbolos que intervienen en una operación matemática. y es un ejercicio que estimula la concentración. (…5)N = …5 1357 = …5 7. (…6)N= …6 4635 = …6 8. Calcular: sabiendo que: (a + b + c) = Resolución: (a + b + c). HABILIDAD OPERATIVA: Es la capacidad para desarrollar estrategias de cálculo mental. CIFRAS TERMINALES:Siendo “N” un número natural. pero con un poco de habilidad en las operaciones se puede resolver de una forma más práctica y rápida. Calcular “x” Solución: X+1=3 X = 2 …Rpta 3. (…25)N = …25 2. 4. (…125)impar=…125 EJERCICIOS PROPUESTOS 1 Hallar el total de palitos de fósforos en: a)1 d)90 5 a)2500 d)2499 2 b)500 e)999 3 a)279 d)828 4 c)400 b)3 e)0 7 c)2 8 Calcule la suma de cifras del resultado de: 29 b)549 e)720 c)270 ¿Cuántos cerillos conforman la torre mostrada? a)21 d)200 Hallar el valor de: a)4 d)1 Si: A = Calcule la diferencia entre la suma de cifras del resultado de A y la suma de cifras del resultado de B. c)156 Calcular la suma de cifras del resultado de: . ¿cuántos triángulos equiláteros simples se formarán. 5 x Impar =…5 5 x 3011 =. en total. 6 b)21 e)360 c)100 c)2550 En el gráfico. 5 x par = …0 5x2016= …0 5. (…125)par =…625 10.A. 5 9... al unir los centros de tres circunferencias vecinas inmediatas? a)20 d)441 b)10 e)900 b)20 e)420 c)210 Hallar el valor de “x + y + z” en: a)181 b)188 d)182 e)N. Halle la cifra terminal del desarrollo de A: c)1/999 14. ¿Cuántos palitos de fósforo conforman la siguiente torre? A= a)3 b)2 c)1 d)9 e)6 20.A c)630 b)65 c)25 d)12 e)15 18. Calcular la suma de cifras de A b)2001 e)2010 c)2008 17. En el arreglo mostrado ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra NUMERO? a)2450 d)4500 b)1350 e)1325 c)1225 30 .1197 – 9711)1998 a)76 a)606 d)500 b)600 e)N. ¿De cuántas formas diferentes se puede leer FORTUNATA a)450 d)700 9. Calcular la suma de la fila 50: a)512 b)64 c)256 d)128 e)250 16. Calcular las últimas cifras de: E= (1997. Calcular el valor de “E” Fila 3 a)1 d)2007 12. b)630 e)2500 c)350 Calcular la suma de cifras de . Hallar “E” : 20012003 + 20052004+ 20062 a)7 a)1 b)2000 d)1/2000 e)2 b) 2 c)6 d)0 e)3 19.15.¿En qué cifra termina el resultado de: 13.Calcular el valor de la fila 2010 Fila 1 : 1 Fila 2 : 3 + 5 Fila 3 : 7 + 9 +11 Fila 1 Fila 2 a)125000 b)12500 c)25000 d)75000 e)250000 11. a)33 b)20 c)50 d)45 e)16 10. si al multiplicar el valor de uno de ellos por un número. En qué cifra termina A: A= (990)222+(111)333+(222)333+(444)222*(5 55)444 a)6 d)3 b)5 a)128 d)42 c)4 b)64 e)28 c)49 e)1 REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (DP): Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales si varían en proporción directa. disminuye la otra. entonces el valor correspondiente de la otra magnitud también queda multiplicada por el mismo número. 31 . Luego. Así: . RECUERDA: 1. Es decir.  Si disminuye una de ellas.El precio de una pieza de tela es directamente proporcional a su calidad.  Si disminuye una de ellas. longitud y ancho. . aumenta la otra. aumenta la otra. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (IP): Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una de ellas por un número la otra resulta dividida y al dividir una de ellas la otra resulta multiplicad por el mismo número. Luego.En el arreglo mostrado ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra INGENIO? c)63 21. las magnitudes inversamente proporcionales:  Si aumenta una de ellas. disminuye la otra.El área de un rectángulo es directamente proporcional a su base y altura.a)32 d)64 b)48 e)127 22. las magnitudes directamente proporcionales:  Si aumenta una de ellas. -La velocidad es directamente proporcional al espacio recorrido e inversamente proporcional al tiempo. Una magnitud puede ser directa o inversamente proporcional a otras magnitudes. con sus respectivos valores. o de menos a menos.c a  Regla de tres simple inversa.. con sus respectivos valores.2. Las magnitudes inversamente proporcionales van de más a menos o menos a más REGLA DE TRES REGLA DE TRES.. mediante una comparación de dos o más magnitudes que guardan entre sí.  Regla de tres simple directa. Magnitudes : M ( DP) N Velocidad ( IP) tiempo m _____________ n   p _____________ x   Xx= m .Es un procedimiento aritmético que permite el cálculo del valor de una cantidad. una relación de proporcionalidad.Sean M y N dos magnitudes directamente proporcionales. 3. REGLA DE TRES SIMPLE : En la regla de tres simple intervienen tres cantidades conocidas o datos y una desconocida o incógnita.Sean M y N dos magnitudes inversamente proporcionales. Magnitudes : M ( DP ) N Kg ( DP) soles a _____________ b    c _____________ x  xX=  b . n p 32 . Las magnitudes directamente proporcionales van de más a más..   Simple directa  Simple Simple inversa Re gla de tres    Compuesta 1. Efecto a  b  c  d e  f  x  g 33 ...( ) METODO DE LAS RAYAS-. Con el fin de saber si son directamente o inversamente proporcionales. en las cuales solo una es desconocida. Se tiene en cuenta: Acción Circunstancia Efecto Hombres Características. h/d Raciones/día Trabajo realizado..(  ) ( ).( ). aplicamos el método de: “Ley de signos”  Comparamos cada una de las magnitudes con aquella que contiene la incógnita. Si son inversamen te Arriba )  (+ Abajo El valor de la incógnita es igual al producto de las cantidades que lleva el signo( +) dividido entre el producto de las cantidades que lleva el signo(-) x  ( ).(  ). con su respectiva dificultad.Nota: Obreros Obreros h/d h/d obreros (DP) obra (IP) horas/diarías (DP) obra (IP) días (IP) días 2. Rapidez.( )... * Para resolver problemas. REGLA DE TRES COMPUESTA: Es aquella en la que intervienen tres o más magnitudes.(  ).. 42 2.x a. Luis es el triple de rápido de José. ¿Cuántos carpinteros de la misma capacidad deberán ser contratados si se quiere terminar el tablado en 7 días? SOLUCION: (I. P) Carpinteros días 25 ( 25 + x ) (25 + x) = 35 7 25 x35  100 ... Si juntos pueden hacer cierto trabajo en 9 días..d EJERCICIOS RESUELTOS 1.. f . 7 3... Si 25 carpinteros se comprometieron en hacer un tablado en 35 días.Rpta.P) Obreros Zanja 42 60 x= 140m X 60 x140  200m .b.c. Una cuadrilla de 42 obreros cavan 140m de zanja en cierto tiempo..g e. P) 34 .. ¿Cuántos metros de zanja harán 60 en el mismo tiempo? SOLUCION: (D. Rpta. ¿Cuánto tiempo le tomará a Luis hacerlo sólo? SOLUCION: (I.. andando 9 horas diarias? SOLUCION: (D) (I) 280km. ¿Cuántos días tardará en recorrer 540km. P) Personas Hombres 14 _____ 6 1022 _____ x x= 1022 x 6  438 .9  12días .. A una fiesta asistieron 1022 personas se sabe que por cada 6 hombres. 540 7 .. en ocho días caminando 7 horas diarias. 540km _____ x = 8.. x ____ 9hrs... habían 8 mujeres.. 3v 4.Rpta. ¿Cuántos hombres asistieron a la fiesta? SOLUCION: (D.Rpta. 14 5. trabajando 8 horas diarias.  12 …. _____ 8días ____ 7hrs. Rpta.. ¿Cuántos operarios pueden producir 160 zapatos en 24 días trabajando 5 horas diarias? SOLUCION: (D) Obreros (I) (I) Obra Días h/d 35 . Si 20 operarios pueden producir 120 pares de zapatos en 18 días. Una persona ha recorrido 280km... 280 9 6.Velocidad N° días Luis: v José 3v x Juntos 4v 9 x= 4v. 20 120 18 8 x 80 24 5 x = 20. Rpta.. ¿Cuántos días tardarán en construir 800m de carretera. en un terreno de triple dificultad. 24 obreros pueden llenar un techo en 15 hora.. los 4/7 de lo que ya está hecho y les falta solamente 12 días para entregar la obra. 120 24 5 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Si 18 obreros cavan 240 metros de una zanja ¿Cuál será el avance diario. 100% más eficientes. cuando se ausentan 9 obreros? a)100m e)110m b)130m c)120m d)150m 2. ¿Cuántos obreros se contrataron? a)6 b)4 c)7 36 d)5 e)8 . con 50 obreros. 80 18 8 . se percataron que falta terminar de la obra. ¿Qué tiempo tardarían 30 obreros.  6 . ¿En qué fecha entregaron la obra. contrataron de inmediato más obreros y trabajaron 1 hora más por día. 35 obreros pueden terminar una obra en 27 días.35 obreros que trabajaron 8 horas diarias. los obreros restantes? a)24 de noviembre d)25 de noviembre b)23 de noviembre e)26 de noviembre c)22 de noviembre 7. . trabajando 8 horas diarias pueden construir 600 m de una carretera. Al cabo de 6 días de trabajo se les une un cierto número de obreros de otro grupo. pero faltando 18 días. trabajando 2 horas más por día? a)45 b)50 c)56 d)64 e)60 4. ¿Cuántos obreros hay en el segundo grupo? a)14 b)12 c)15 d)10 e)9 5. Vista la situación. en llenar el mismo techo? a)12 b)14 c)10 d)8 e)13 3. 40 obreros en 50 días. 12 de los obreros sufrieron un accidente y no puedieron continuar trabajando. 36 obreros debieron terminar de construir un puente el 17 de noviembre. que los anteriores. Al cabo de 27 días de trabajo. de modo que en 15 días terminan la obra.. Se contrataron 5 artesanos que tejen 12 chompas en 15 días. ¿En cuántos días Harán toda la obra 10 obreros? a) 80 b) 68 c) 90 d) 69 e) 100 16. con 50 obreros doblemente eficientes que los anteriores.8. Un barco tiene víveres para 22 días si lleva 69 tripulantes. ¿Cuántos plátanos comerán 40 monos en 18 minutos? a) 120 b) 100 c) 110 d) 90 e) 140 17. diga cuánto puede durar un viaje de 33 tripulantes. Un obrero pensó realizar una obra en 15 días pero tardó 6 días más por trabajar 2 horas menos cada día. ¿Cuántos días tardaría este ingeniero en construir 8 km de pista. Se pretende tejer 60 chompas en 25 días. a) 25 b) 30 c) 42 d) 46 e) 21 10. Un ingeniero puede construir 6 km de pista con 40 obreros en 50 días. ¿Cuántos artesanos doblemente rápidos se deben contratar además de los ya contratados? a)10 b)11 c)12 d)9 e)15 9. En una isla hay 15 náufragos que tienen alimentos para 17 días y luego de 5 días mueren 3. Seis monos comen seis plátanos en 6 minutos. ¿cuántas horas trabajó diariamente? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 11 11. Un grupo de 8 alumnos resolvió una tarea de 15 problemas en 30 minutos. Un caballo atado con una soga de 3 metros de largo demora 5 días en comer el pasto que está a su alcance. diarias realizan los 2/5 de una obra en 15 días. trabajando 8 horas diarias. ¿en cuántos días comería todo el pasto a su alcance? a) 20 b) 30 c) 25 d) 10 e) 9 12. 8. 8 obreros trabajando a razón de 6 h. a) 48 b) 60 c) 70 d) 65 e) 24 14. 12 obreros trabajando a razón de 8 h. 40 hombres realizan los 3/5 de una obra en 15 días. ¿Cuánto demorará otro grupo de 12 alumnos en resolver 18 problemas?. Si la soga fuera de 6 metros. ¿Para cuántos días más de lo previsto tendrán alimentos? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 13. trabajando 2 horas más por día? a) 56 b) 67 c) 73 d) 64 e) 23 15. diarias ¿En cuántos días terminarán la obra? a) 35 b) 40 c) 45 37 d) 50 e) 60 . en un terreno de triple dificultad. de miel contiene 24 kg. Diez peones se demoran 15 días trabajando 7 horas diarias para sembrar 50 m2 de un terreno. de mezcla contengan 2 kg. de H2O hay que agregar a esta miel para que 5 kg. ¿Cuántos artesanos doblemente rápidos se deben contratar además de los ya contratados? a) 4 b) 8 c) 10 d) 5 e) 20 19. . por lado? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 20. ¿Cuántos agricultores de doble rendimiento será necesario para que en 6 días de 8 h/d puedan arar otro terreno de 480 m. b) 30 c) 25 d) 15 e) 10 23. ¿En cuántos días 10 obreros cuya rapidez es 5 veces la de los anteriores harán una obra 9 veces más difícil que la primera? a)30 b)32 c)28 d)36 e)40 22. Con 8 obreros se puede hacer una obra en 20 días. ¿Cuántos días necesitaran 100 obreros para cavar una zanja de 1200 metros cuya dureza es 3 veces la del terreno anterior? a)48 135 b)160 c)145 d)130 e) 21. 40 kg. de azúcar? a)20. ¿Cuántas horas tardarían? a) 40 b) 100 c) 120 38 d) 90 e) N. 60 obreros pueden cavar una zanja de 800 metros en 50 días. En un cuartel se calculó que los alimentos alcanzaban para 65 días. de lado.A.18. Ocho agricultores trabajando 10 h/d durante 5 días pueden arar un terreno cuadrado de 400 m. Se contrataron 5 artesanos que tejen 12 chompas en 15 días. Con 8 obreros se puede hacer una obra en 20 días. de azúcar ¿ Cuántos kg. ¿Cuántos días de 8 horas diarias se demorarán en sembrar 80m2 de un terreno 15 peones doblemente hábiles? a)15 b)14 c) 7 d)10 e)8 24. si ahora fuesen el triple de hombres y trabajaran cavando 90 fosas. pero al término de 20 días se retiraron 200 soldados por lo que los alimentos duraron para 15 días más de lo calculado. 8 obreros cavan 3 fosas en 10 horas. ¿Cuántos eran los soldados inicialmente? a) 400 b) 600 c) 800 d) 550 e) 480 26. ¿En cuántos días 10 obreros cuya rapidez es 5 veces la de los anteriores harán una obra 9 veces más difícil que la primera? a)30 b)32 c)28 d)36 e)40 25. se toma los segundos valores Por lo tanto: MAS + 249+ M A S2 4 9 A SI 4 9 8 donde A = 4.2 CARACTERISTICAS:  A cierta letra le corresponde una y solamente una cifra o viceversa. S = 9. Observación: La letra “O” no representa necesariamente el cero. si ASI. 39 .A. los cuales intervienen en la formación de números. más una adecuada dosis de ingenio y razonamiento. Una compañía constructora emplea 20 obreros que tardan en construir una pared de 400m³ en 2 días.  A letras iguales le corresponden cifras iguales.1 CRIPTO ARITMETICA: Es el proceso de encontrar las cifras que están representadas por letras o por otros símbolos. en las operaciones aritmética y otros. Criptoaritmética con adición Ejemplo Una chica al recibir un beso de su enamorado. ¿Cuánto tardarán en construir la quinta parte de la pared con 8 obreros? a) 1 día b) 1 ½ día TEMA 06 : c) ½ día d) 20 horas e) N. 1. cada símbolo no equivale necesariamente a cifras diferentes a no ser que se indique en el problema. suspirando le dijo: MAS + MAS ASI Hallar: A2 + S2 + I2 .  Si las cantidades vienen expresadas por otros símbolos que no son letras. Teniendo en cuenta las propiedades de las mismas. es lo máximo posible Solución MAS + MAS A SI Como ASÍ es máximo. CRIPTOARITMETICA 1. a no ser que sea dado en el problema. 1.3 CASOS PRINCIPALES A. I = 8 Hallar: A2 + S2 + I2 = 42 + 92 + 82 = 161 Rpta.27. Criptoaritmética con sustracción Sea N = . Criptoaritmética con multiplicación Ejemplo Si : E x Calcular: Tx Solución El producto: se puede escribir como: x 29936+ 37420 Por lo tanto: = = 404136 Rpta.a Si Ejemplo Hallar “ d + e + c “ si: Solución Escribiendo verticalmente tenemos: Luego: 10 + c – d = 5 ⟹ c = 3 Como: c – e = 1 ⟹ e = 2 Entonces: d + e + c = 8 + 2 + 3 = 13 Rpta. Ejemplo En la siguiente multiplicación. C. hallar la suma de las cifras del producto * * * x * 3 *4* 40 .B. ¿De dónde sale este 5?. Como se sabe dicha cifra ha bajado directamente del primer producto C. es el resultado de multiplicar la cifra 3 de B por la primera cifra de A es decir: 3 x (*) = …. D. además que: * x ** = *** Llegamos a la misma situación que el problema anterior. 41 . Criptoaritmética con división Ejemplo Hallar la suma de cifras del divisor en: ******* ** ** **8*** ** ** *** *** * Solución Si observamos minuciosamente la distribución de los asteriscos encontraremos que la segunda cifra del cociente es cero. esto indica que la primera cifra de C vale 5.Solución A cada fila de la multiplicación la designo con una letra * * * x * 3 ⟹B ⟹C *4* ⟹D ⟹E Se observa que la primera cifra del resultado E es 5.5 y se deduce que * = 5 * * 5 x * 3 *4* Completando cifras tenemos: 235 x 2 3 5 x * 3 43 ⟹ *4* 94 0 Entonces la suma de cifras del producto: 1 + 0 + 1 + 0 + 5 = 7 Rpta. Reconstruir la siguiente suma: SAL  Y dar el valor de: MAS ALLA a)34 b)37 c)38 d)36 e)35 MAS  SAL a) 1442 b) 1331 d) 1221 e) 1431 9. Calcular la suma de todos los asteriscos c) 1774 2. P si se cumple que: M82N  P7N  5NP2  NNM64 a) 30 b) 42 d) 36 e) 35 2 Hallar la suma de las cifras de c) 48 a)27 b)24 c)23 d)22 e) 21 11. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.6876 Calcular: AB + CD 5. c) 1665 Si se cumple: CDU  DU  DCU Hallar: «D + C + U» A)9 B)8 13. Si: PAZ  ZAP  847 Hallar P + A + Z a) 12 b) 13 d) 15 e) 16 b)7 c)5 d)13 e)9 10. Calcular M .8 x ** = ** Entonces el divisor es igual a 12. Si: abc5 x d 6. Si c) 1552 Hallar: U + P + T a) 11 3. Hallar: abc  acb  bac  bca  cba  cab a)50 b)55 c)37 d)99 e)72 Sabiendo que: a + b + c = 14 a) 1554 b) 1664 d) 1778 e) 3108 12. Si: (P + U + C)2 = 289 Calcular: PUC  UCP  CPU a) 867 b) 289 d) 1778 e) 1878 C)16 D)17  39140 Hallar: a + b + c + d c) 1887 A)24 B)25 C)26 D)28 E)11 42 E)7 .. Hallar: abc  bca  cab Si: a + b + c = 14 a) 2834 d) 1554 b) 1664 e) 3108 7. Si: ABCD x 999999 =. Si: c) 14 4.... N. y = 3 Rpta. b)31 c)14 24.Si suma de las 4 últimas cifras del resultado de: S = 7+77+777+7777+…+777…777 (40 sumandos) a)601 d) 610 15..14..Sea: 19. Si: abc x a  498 Hallar: e)84 Calcular 19.8239 Hallar: “a + b + d” A)17 B)19 D)23 E)25 a)6050 d)7750 c)5 d)6 e)7 abc x b  996 a)44 C)2220 . Si c)7050 Hallar: x2+y2+z2 1ab  a2c  bc3  cba B)2010 b)5070 e)7500 23. b)801 e)810 Si Calcular la a)20 b) 18 c)13 d)15 e)11 c)106 sabemos que: 21.. Si: RAS  PAR  ASSA Dar el valor de P a)3 b)48 Hallar el valor de: e)20 43 c)324 . a)124 d) 424 b)224 e)Absurdo = y Hallar U+P+T a)17 b)16 c)18 d)19 e)41 17 25. En la siguiente suma: 17. Sea: D)2110 E)2420 18. abc x cba + tres últimas cifras de: 18. Si (a + b + c)2 = 289 A)2120 d)32 C)21 b)4 Calcular: c)64 22.. Si: abcd x 797  . Si se cumple que: + d) 54 Hallar la suma de las abc x c  2241 A) 24008 B) 25648 C) 234558D) 222344 E) 23068 19. Hallar la suma de cifras del resultado de efectuar: LAPC x 7  1PCCC Calcular: L + A + P + C a)12 b)13 d)15 c)14 E= e)16 a)96 16. Hallar las 3 últimas cifras de la suma: 20. Si Hallar a +b +c +d a)15 b)18 c)16 d)20 e)14 Hallar el a) 324 e)364 Calcular: b)234 c)318 d)423 34. Si se cumple que: A+M+O+R b)9 e)14 producto de las cifras de 27. Si .c es: Calcular A+M+P b)22 c)54 e)20 29.A 26. Si d)20 Hallar el valor de e)17 a)71362 d)72632 Calcular la b)68732 e) 70632 c)69362 suma de las cifras de: 38. Si *8 *** *** *** --3 c)718 y a)13 b) 15 c)18 33. Calcular la suma de los asteriscos del cociente * a)22 + b)33 c) 66 39. Si a) 28 b)25 c)27 d)30 e)32 Hallar: 32. Las cifras A. M y P son diferentes a)19 b) 63 a)65 e)20 b) 70 c)48 c)729 y a + c = 12 d)60 e)30 37. el mayor valor del producto a.b. Si a)15 d)17 c)18 d)13 e)21 Hallar (a+b)c 28. Si Calcular : 2a + c 17M7P c)21 d)18 d)60 e)65 35. Si a)36 Halle R+O+S+A a)15 b)16 c)17 d)18 a)745 d) 576 MAMA PAPA b)512 e)648 36. Si calcular A+C+ 2B a) 15 b)12 c)18 31.a)827 d)615 b)817 e)N. Si 30. Si se cumple que: *3 44 d)77 e)99 . SERIE NUMERICA: Una serie numérica es la suma indicada de los términos de una sucesión numérica y al resultado de dicha suma se le llama valor de la serie. Serie 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40 1. S= Ejemplo: (1) Hallar el valor de S = Solución: Hallamos el último término (t60) r = -4 tn = t1 + (n – 1) r S = tn = 42 + (60-1)-4 tn = -194 S= S = . de términos r = razón +r La suma se obtiene así: Nota: Sabemos que en una P.A conSun= número impar de términos. tn = t1 + (n – 1) r Dada la serie aritmética: S = t1 + t2 + t3+ …. En la siguiente suma: b)7987 e)9787 c)8789 Calcular 40. SERIE ARITMETICA: La serie aritmética es la adición indicada de los términos de una sucesión aritmética.+ tn +r t1 = primer término tn = último término n = Nro.4560 45 Rpta. . Hallar la suma de cifras del resultado de efectuar: a) 6050 d)7750 b)5070 e)7500 c)7050 E= TEMA 07 : SERIES Y SUMATORIAS 1.1SERIES NUMERICAS IMPORTANTES: 1.a)96 Hallar el valor de : a)7897 d)8589 b)48 c)64 d)32 e)84 41. Tn = t1.2.tn xq xq Serie geométrica Infinita S= Ejemplo: S = 12 S –4 = + 4/3 – 4/9 + ….. SERIES Y SUMAS NOTABLES:  Suma de los primeros números naturales 1+ 2+ 3+ 4+ …+n =  Suma de los primeros números impares  Suma de cuadrados  Suma de cubos 4. S = (2) Calcular el valor de: Solución: r = -4/12 = -1/3 Serie geométrica Finita S= S= = 9Rpta. SERIE POLINOMIAL Ejemplo: Hallar el valor de: S = Solución: 46 . 3.qn-1 S = t1 + t2 + t3 + …. SERIE GEOMETRICA: Es la adición indicada de los términos de una sucesión o progresión geométrica. la serie geométrica puede ser infinita o finita según el número de términos que posea. S = 4 + 14 + 30 + 52 + 80 + …. 10 16 22 6 28 6 6 S=4 S = 4(15) + 10( )+ 6 S = 3140 SUMATORIAS Sea la serie: S =t1 + t2 + t3 + …..tn Si queremos representar la serie numérica en forma abreviada, usaremos la siguiente notación, en la cual el operador sumatoria. S =t1 + t2 + t3 + …..tn = Se lee: sumatoria de los términos de la forma tk, desde k = 1 hasta k = n Ejemplo: Expresar en términos de sumatoria Solución : Hallamos tn y el de términos: 5,8 ,11 , 14 ,17 , …., 98 +3 +3 +3 +3tn = 3n + 5 términos: Luego: S = Propiedades:  47 S = 8 + 11 + 14 + 17 + ….+ 98 SUMATORIAS NOTABLES1       EJERCICIOS RESUELTOS 1. Calcular “x + y” si: 1 + 3 + 5 + 7 + …+ x = 196 2 + 4 + 6 + 8 + …+ y = 420 Solución Aplicando métodos prácticos: = 196 = 420 = 196 x = 27 y = 40 Entonces: x + y = 27 + 40 = 67 2. Calcular R = 1 + 2 + 22 + 23 +22001 Solución Es una progresión geométrica finita t1 = 1; q = 2 ; S= S = 1. = 22002– 1 3. Hallar el valor de : S = 48 n = 2002 Solución Para expresar la serie en términos de sumatoria debemos hallar tn 5; 9; 15; 23; … t n = n2 + n + 3 Luego: S= S= S= + S = 3140 4. Calcular E = Solución Desarrollando la sumatoria E = restando E = 19/4 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Calcular E = a)1 b)0,123 c)80 d)99 e) 100 b)1 c) 1/3 d)1/4 e)0 b) 7/36 c)1/2 d)1/3 2. Hallar S = a)2 3. CalcularS a)1/49 = 4. Calcular 49 e)13/37 ¿Después de cuántos días coincidirán si empiezan al mismo tiempo? a)10 b)20 6. 6. Calcular E = a)15/32 10. 13. Calcular la suma total del siguiente arreglo: 2 3 +3 4 +4+4 5 +5+5+5 20+20+20+…+20 a)2650 b)2460 c) 2660 d)2760 e)2860 12. Calcular “x” x + (x +1) + (x + 2)+ …+3x = 1640 a)25 b)24 c)23 d)20 e)18 11. 3 el 3er día y así sucesivamente. Lula lee 10 páginas diarias y Ana lee 1 página el 1er día. Calcular la suma de los 25 términos de la siguiente sucesión: 2. 2 el 2do día. Calcular “x” c) 19 d)21 e)42 1 + 2 + 3 + …+ x = a)35 b)36 7..+S20 c)2000 d)400 e)210 8. Hallar la suma de las diez primeras filas del siguiente arreglo numérico 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 a)2530 b)100 c)1000 d) 3025 e)4238 b)15/16 c)15/64 d)1 e)12/25 9. Si Sn = 1 + 2 + 3 + …. 23: 36. 52.. a)11700 b)11050 c)8250 50 d)4225 e)8150 .a)4260 b)5440 c) 2680 d)4440 e)8990 5. Lula y Ana leen una novela de Vargas Llosa. + n a)1240 b) 1610 c)37 d)38 e)111 Calcular: S1 + S2 + S3 + …. …. Calcular a)10 e)80 17. Fiorella debe leer un libro en un número determinado de días y se da cuenta que si lee 13 páginas cada día logrará su cometido. Calcular el valor de la siguiente sumatoria a)3840 b)4100 c) 3900 d)3910 e)3710 18. Hallar S= a)14681 16. le faltarán aún 12 páginas por leer. Calcular a)8727 15. ¿Cuántas páginas tiene dicho libro? a)144 b)142 c)165 d)156 e)124 b)7912 c) 9512 d)9192 e)N.13.A PROBABILIDADES El estudio de probabilidades nos proporciona una teoría matemática para que la probabilidad de ocurrencia de un evento o suceso en un experimento aleatorio (no determinístico) o que depende del azar.1EXPERIMENTO 51 .A b) 26481 c)18362 d)28540 e)25682 b)20 c)30 d) 40 14. tres el segundo día. Hallar el valor de : a)23/20 e)24/19 S= b)20/19 TEMA 08 : d)17/6 c) 19/20 d)21/20 e)N. Calcule E = a)10/9 20. pero si lee una página el primer día. 8. cinco el terco y así sucesivamente. El valor de la sumatoria a)1 b)2-1 c) 3-1 b)19/4 c)4/5 d)1/4 e)1/5 19. A. Evento seguro: Llamado también “universal”.3TIPOS DE EVENTO a). B. porque siempre ocurre. pero si consta de un conjunto de posibles resultados. n( =2= n( =6 EVENTO O SUCESO Es cualquier subconjunto del espacio muestral. Ejemplo: Al lanzar un dado legal. Ejemplo: Al extraer una bola de una urna que tiene 5 bolas rojas. será siempre roja. no se puede predecir cuál de los 6 números aparecerá en la cara superior.2 ESPACIO MUESTRAL ( ) Conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. A= = 52 . A : Obtener un número par al lanzar un dado A= n(A) = 3 8. Experimento No Determinístico o Aleatorio ( ) Es toda prueba o ensayo cuyos resultados no pueden predecirse antes de su realización. se denota con letras mayúsculas. Ejemplo:* En = n(  : lanzar una moneda al aire =2 En : Lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior.Es una actividad o proceso mediante el cual se obtiene un resultado. A: Lanzar una moneda y obtener cara o sello. 8. Experimento Determinístico Es toda prueba o ensayo cuyos resultados pueden predecirse antes de su realización. Ejemplo: A : Lanzar un dado y obtener un número múltiplo de 2. Entonces: A’ : Lanzar un dado y no obtener un número par. es decir “A’” es el evento contrario de A. B : Al lanzar una moneda y obtener 2 caras. Ejemplo: A : Lanzar una moneda y obtener un número primo. d) Eventos Mutuamente excluyentes: Si la ocurrencia de uno de ellos. A= B : Lanzar un dado y obtener cara B= 8.b) Evento Imposible: Llamado también “vacío”. porque nunca ocurre. (Pueden ocurrir en forma conjunta).4 DEFINICION DE PROBABILIDAD Si “A” es un evento de un espacio muestral entonces la probabilidad de ocurrencia de “A” se denota P(A) y está dada por: 53 . impide la ocurrencia de los demás (no pueden ocurrir juntos. A : Lanzar un dado y obtener un número par. A= B : Lanzar un dado y obtener 1ó 3 ⟹B= e) Eventos Independientes:Cuando la ocurrencia de los demás. B= = Contrario (A’): Se considera cuando un evento ocurre y otro no. Para eventos mutuamente excluyentes (A P(A B) = P(A) + P(B) VI.Si P(A) = 0 ⟹ A = A : Evento imposible III..P(A) = PROPIEDADES I.Para eventos independientes ( A y B a la vez) P(A ) = P(A) x P(B) VII.....P(A B) VII.Para eventos compatibles(A P(A B) 0 ) = P(A) + P(B) ..Probabilidad condicional P(A )= 54 B= ) .Si P(A) = 0 ⟹ A = A: Evento seguro IV..- 0 P(A) 1 II.Aplicación del Evento contrario P(A)= 1 – P(A’) V. A’ : Evento de extraer una bola roja ⟹ P(A) = 1 – P(A’) P(A) = 1 - P(A) = …Rpta 3. 4 bolas blancas y 2 bolas negras . ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 4 ó un número primo al lanzar un dado? Solución = n(Ω) = 6 A : Obtener un 4 A= . n(A) = 1 ⟹ P(A)= B :Obtener un número primo 55 .EJERCICIOS RESUELTOS 1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par ó múltiplo de 3 al lanzar un dado? Solución = n(Ω) = 6 A= n(A) = 3 B= n(B) = 2 (A )= ⟹P(A P(A P(A) = n(A P(B) = )= 1 P(A )= ) = P(A) + P(B) .P(A B) = = …Rpta 2. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bola de una urna donde hay 3 bolas rojas. esta no sea roja? Solución A : Evento de extraer una bola que no sea roja. 7 bolas azules. S i la suma es 6. 3 de álgebra y 2 de aritmética ordenados en un estante. Si se escogen 2 personas al zar. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los dados sea 2? Solución B= n(B) = 5 A= n(A) = 2 A B= n(A B) = 2 P(A )= P(A )= …Rpta 5. ¿Cuál es la probabilidad de que una sea hombre y la otra mujer? Solución * Casos totales : * Casos a favor: Probabilidad: 10 x 10 = 100 combinaciones … Rpta.B= Luego: = 3 ⟹P(B) = . Se lanza un par de dados. Se tiene 5 libros.n P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = = …Rpta 4. ¿Cuál es la probabilidad de que los libros de aritmética sean separados por los 3 libros de álgebra? 56 . Diez parejas de casados se encuentran en un cuarto. De una caja que contiene 5 focos defectuosos y 6 focos en buen estado se sacan dos focos a la vez. Si la probabilidad de que estudie RM o RV es 0. 5 bolas rojas y 2 bolas azules. Una bola se extrae al azar de una caja que contiene 4 bolas blancas. a)2/11 b)10/11 c)5/11 d)4/11 e) 7/11 2.75 y la probabilidad de que estudie RV es 0. ¿Cuál es la probabilidad de que este número sea divisible por 3? a)2/13 b)3/10 c)1/10 d)1/15 e)7/10 4. a)7/9 b)4/11 c)7/11 d)8/11 e) 3/11 7. Determinar la probabilidad de que sea azul o roja. a)7/36 b)1/6 c)1/12 57 d)1/4 e)7/18 . éstas sean corazones? a)1/13 b)1/2 c)1/17. Hallar la probabilidad de que compre sólo una de dichas prendas.1. Hallar la probabilidad de que los dos sean buenos. La probabilidad de Nataly compre una blusa es 0. Se extrae una ficha y se sabe que su número es par.Se lanzan dos dados al mismo tiempo.3 y de que compre una falda es 0.50. Hallar la probabilidad de que la suma de los resultados de los dos dados sea igual a 10 o igual a 7. EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1 b)0. b)0.2 c)0.5 3.5.5 a)0. si la probabilidad de que no compre ninguna es 0.Solución * A1 X1 X2 X3 A2 * Casos totales: * Casos a favor: 2 x Probabilidad: … Rpta.4 e)0. Determinar la probabilidad de que al extraer 2 cartas de una baraja.4 e)0.3 d) 0.3 d)0.85.5 5. La probabilidad de que Angélica estudie RM es 0. En una urna se tienen 20 fichas numeradas del 1 al 20.¿Cuál es la probabilidad de que estudie ambos a la vez? a)0.2 c) 0. d)3/28 e)4/25 6. si ellos son 2 de los 15 amigos.Una caja contiene 30 bolas numeradas del 1 al 30 ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola. 12. b)5/36 c)1/36 58 d)35/36 e)3/5 . Se tienen dos urnas. Un dado se arroja dos veces. Un examen tiene 10 preguntas y un alumno debe contestar 6 de ellas. b)2/3 c)2/5 d)1/5 e)3/7 11. Le piden a “Pepe” que escriba un número de 3 cifras. De una urna que contiene 3 bolas blancas. a)1/8 b)1/4 c)3/8 d)7/8 e)5/8 11. 4 verdes y 3 rojas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener a los menos un 4? a)11/36. a)1/2 b)5/3 c)1/7 d)2/9 e) 4/7 15. se extraen aleatoriamente 2 bolas. una con 3 bolas azules y 4 blancas. a)1/35 b)2/3 c)5/9 d)1/7 e)2/9 14. Calcule la probabilidad de que invite a Rosa y a Héctor a la fiesta. Calcular la probabilidad de que responda las dos primeras.8. De un grupo de personas se observa que los varones 40 son peruanos y 60 extranjeros. ¿Cuál es la probabilidad de que dos de ellos sean niños y la otra sea niña? a) 45/91 b)36/53 c)46/73 d)49/81 e)34/55 10. Si se escogen tres estudiantes al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las bolas sea de color rojo o sea de distinto color? a)2/15 b)1/15 c)1/5 d)4/15 e)14/15. a)1/2 b)1/3 c)1/6 d)1/1 e)1/5 13. Daniel tiene 15 amigos de los cuales invitará 6 de ellos a su cumpleaños.Calcular la probabilidad de obtener a menos una cara en el lanzamiento de 3 monedas. De las mujeres se observa que 50son peruanas y 20 extranjeras. En un salón de clase se encuentran 10 niños y 4 niñas. Calcule la probabilidad de extraer una bola azul. y la otra con 5 bolas azules y 2 blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que el número escrito por “Pepe” este formado solo por cifras impares? a)5/36 b)1/8 c)7/36 d)7/18 e)5/18 9. a)3/17 b)9/17 c)11/19 d)7/17 e)17/19 16. resulte par o múltiplo de 5? a)3/5. En una caja hay 10 focos de los cuales 4 están en buen estado. ¿Cuál es la probabilidad de que los libros de aritmética sean separados por los 3 libros de álgebra? a)1/4 b)1/3 c)175 59 d)1/2 e)1/10. al escoger 4 equipos diferentes? a)1/7 b)2/9 c)37/335 d)2/103 e)33/205.17. a)7/23 b)31/32 c)1/32 d)7/21 e)5/54 20. Si se lanza 5 veces un dado ¿Cuál es la probabilidad de que las 5 caras que aparecen sean diferentes. En el fútbol español hay 30 equipos. ¿Cuál es la probabilidad de que el comité este compuesto por 2 norteamericanos. ¿Cuál es la probabilidad de que la carta sea roja? a)12/20 b)6/13 c)5/7 d)9/13 e)3/13 23. En una caja hay 10 bolas blancas y 6 negras. c)5/8 d)7/9 e)4/5 18. d)1/6 e)1/5 21. ordenados en un estante. d)1/9 e)31/63 22. se saca urna sin mirar. 5 ingleses y 3 franceses. Determinar cuál es la probabilidad de que las chicas no se sientan juntas? a)2/5 b)3/5.Una caja contiene 12 cartas rojas. a partir de un grupo de 8 norteamericanos. ¿Cuál es la probabilidad de que las 2 primeras sean blancas y la tercera azul? a)41/623 b) 95/609 c)45/63 d)85/503 e)25/46 25. Se saca una al azar y no se repone. En una urna hay 20 bolas blancas y 10 azules. a)3/5 b)7/13 c)5/26. una persona toma al azar 3 focos. 2 ingleses y 1 francés. de los cuales 16 no son solventes. a)2/3 b)1/12 c)5/6. . se extraen 3 bolas al azar una tras otra. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar por menos 3 equipos solventes. 6 blancas y 8 negras. Se tiene 5 libros. 19. Hallar la probabilidad de que por lo menos uno este en buen estado. Se va a seleccionar por lote un comité de 3 hombres. Tres varones y dos chicas van al cine y encuentran una fila de 5 asientos juntos en una misma fila donde desean acomodarse. 3 de álgebra y 2 de aritmética. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos primeras bolas extraídas sean negras? a)3/8 b)1/3 c)1/8 d)17/24 e)1/24 24. 9 amigos se sientan al azar en círculo ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de ellos queden juntos? a)1/2 b)1/3 c)1/4 60 d)1/8 e)1/5 . además de los universitarios 15 están solteros. a)1/5 b)2/5. ¿¿Cuál es la probabilidad de que él comité esté conformado por más de 2 hombres? a)1/2 b)2/33 c)11/6 d)13/66. si las 4 personas se escogen al azar. En una bolsa. el 15% tiene cabello castaño y ojos oscuros. c)3/5 d)6/5 e)1/3 28. si tiene cabello castaño. 8 bolas blancas y 4 bolas negras. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan 2 caramelos de limón? a)5/6 b)6/11. En una oficina hay 60 empleados de los cuales 20 son solteros que no son universitarios y 40 son universitarios. En una bolsa se tiene 9 caramelos de limón y 3 de fresa. e)5/66 31. d)1/8 e)5/8 29 Seis parejas de casados se encuentran en una habitación. ¿cuál es la probabilidad que también tenga ojos oscuros? a)2/3 b)1/4 c)3/8. encontrar la probabilidad de que esté tomando álgebra o física. encontrar la probabilidad de que se escojan 2 parejas de casados. a)1/2 b)53/66 c)17/52 d)1/3 e)23/62 34.. e)2/5 30. Al seleccionar al azar una persona. En una cierta ciudad. a)14/85 b)11/85 c) 3/7 d)3/85 e)5/13 33. se extraen tres al azar. a)1/2 b)1/3 c)1/17 d)1/33. se han depositado 5 bolas rojas. ¿Cuál es la probabilidad que el comité incluya al menos 2 ingenieros. Determinar la probabilidad de obtener 2 bolas blancas y una negra. Si se escoge al azar un estudiante. 20 estudian física y 10 toman al mismo tiempo álgebra y física. Ha de escogerse al azar un comité de 4 personas entre 5 hombres y 6 mujeres. 30 estudian álgebra. De siete médicos y 4 ingenieros se debe formar un comité de 6 miembros.. c)3/11 d)4/3 e)1/6 32. el 25% tiene ojos oscuros.26. De un total de 100 estudiantes. el 40% de la población tiene cabellos castaños. Si se extraen al azar 2 caramelos. Si se selecciona un empleado al azar ¿Cuál es la probabilidad de que sea soltero? a) 7/6 b)7/12 c)8/9 d)1/5 e) 8/27 27. que ingrese a la UNAS es 0. c)1/5 d)4/7 e)3/8 37. En una bolsa. La probabilidad de que Jorge ingrese a la UPT es 0. Si la suma es 6. 7 negras y 4 rojas.7.58 39.42 b)0.. De una caja que contiene 3 bolas negras. resulta que 70 fuman. plátano y sandía. c)1/5 d)4/7 e)3/8 40. a)14/85 b)11/85 c) 3/7 d)3/85 e)5/13 38. si de éstas personas se eligen una de ellas al azar. papaya. ¿cuál es la probabilidad de que al preparar un jugo al azar se utilice plátano o maracuyá? a)31/127 b)96/127 c)32/127 d)1/4 e)2/7 36. a)1/3 b)4/7 c)5/9 d)2/3 e)4/9 37. fresa. maracuyá.22 c)0. a)0. ¿Cuál es la probabilidad de que en uno de los dados se obtenga 2? a)2/3 b) 2/5. 8 bolas blancas y 4 bolas negras. si la probabilidad de que no ingrese a ninguna es 0. Determinar la probabilidad de obtener 2 bolas blancas y una negra. Se lanza un par de dados. ¿Cuál es la probabilidad que beba y fume? a)2/3 b)1/2.12. se han depositado 5 bolas rojas. ¿Cuál es la probabilidad de que el primero en bajar esa un niño? a)5/9 b)10/27 c)5/3 61 d)2/5 e)N.A ..4. Una bolsa contiene canicas de colores : 5 blancas. Si se dispone de manzana. se extrae al azar una de ellas. Calcule la probabilidad de que al extraer 3 canicas. Hallar la probabilidad de que ingrese a ambas a la vez.48 e)0. En una fiesta donde asistieron 90 personas. 18 damas y 20 niños. a)3/4 b)3/28 c)3/16 d)2/25 e)1/56 36.35. naranja.24 d)0. las 3 sean blancas. 50 beben y 15 no fuman ni beben. 4 blancas y 2 amarillas. En un ómnibus viajan 16 varones. se extraen tres al azar. Hallar la probabilidad de que la bola extraída no sea negra. 2. Propedéutico para las Ciencias. Luis. Luis. Editorial Moshera 62 . Editorial Moshera. INSTITUTO DE CS. Valentín. 4. II. Razonamiento Matemático. Razonamiento Matemático 2012. IV . SALVADOR TIMOTEO. Tomo I. TORRES LOZANO. Adolfo. III. Editorial Moshera. RUBIÑOS TORRES. Razonamiento Matemático. Y HUMANIDADES. 6. POVIS VEGA. Editorial SRL. Razonamiento Matemático.BIBLIOGRAFÍA 1. RUBIÑOS TORRES. Razonamiento Matemático Integral 3. Razonamiento Matemático. Editorial San Marcos EIRL. 5. Lumbreras. Alejandro.