Rappel Math

Chapitre 1Rappels mathématiques Avant de rentrer dans le vif du sujet, l’objet de ce chapitre est de rappeler quelques concepts et formules mathématiques omniprésents dans les développements analytiques de l’aéroacoustique. Les principaux opérateurs d’analyse vectorielle, la manipulation des tenseurs d’ordre 2, les pro- priétés de la transformée de Fourier, les concepts de fonctions généralisées ou ceux des fonctions de Green ne doivent pas être totalement inconnus à un élève ingénieur en 3 ème année. Afin de démystifier leur utilisation, on rappelera les principales définitions et propriétés de ces outils sans donner de démonstration rigoureuse. Les élèves soucieux d’approfondir leurs fondements mathématiques pourront se reporter aux références bibliographiques données dans ce chapitre. 1.1 Eléments d’analyse vectorielle 1.1.1 L’opérateur gradient L’opérateur ”nabla” ∇ appliqué à un scalaire définit le gradient du scalaire. Il s’agit d’un vecteur. Par exemple, pour la pression p, qui est un scalaire, le vecteur ∇p ou gradp 1 (gradient p) s’écrit : – en coordonnées cartésiennes ∇p = ∂p ∂x e x + ∂p ∂y e y + ∂p ∂z e z soit ∇p = _ _ ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z _ _ p (e x , e y , e z ) étant les trois vecteurs unitaires pour les coordonnées cartésiennes (x, y, z). – en coordonnées cylindriques ∇p = ∂p ∂r e r + 1 r ∂p ∂θ e θ + ∂p ∂z e z (e r , e θ , e z ) étant les trois vecteurs unitaires pour les coordonnées cylindriques (r, θ, z). – en coordonnées sphériques ∇p = ∂p ∂r e r + 1 r ∂p ∂θ e θ + 1 r sinθ ∂p ∂φ e φ (e r , e θ , e φ ) étant les trois vecteurs unitaires pour les coordonnées sphériques (r, θ, φ). 1 On utilise des lettres en gras pour désigner les grandeurs vectorielles. 115 116 Chapitre 1 : Rappels math´ ematiques 1.1.2 L’opérateur divergence Le produit scalaire de l’opérateur ”nabla” ∇ par un vecteur définit la divergence du vecteur. La divergence (également noté div) d’un vecteur est un scalaire. Pour le vecteur v, elle s’écrit : – en coordonnées cartésiennes ∇.v = div v = ∂v x ∂x + ∂v y ∂y + ∂v z ∂z avec v = v x e x + v y e y + v z e z 2 . – en coordonnées cylindriques ∇.v = div v = 1 r ∂(rv r ) ∂r + 1 r ∂v θ ∂θ + ∂v z ∂z avec v = v r e r + v θ e θ + v z e z . – en coordonnées sphériques ∇.v = div v = 1 r 2 ∂(r 2 v r ) ∂r + 1 r sin θ ∂(sin θv θ ) ∂θ + 1 r sin θ ∂v φ ∂φ avec v = v r e r + v θ e θ + v φ e φ . 1.1.3 L’opérateur laplacien Il s’agit d’un opérateur différentiel, noté ∆ ou ∇ 23 , qui est appliqué à un scalaire. – en coordonnées cartésiennes ∆p = ∂ 2 p ∂x 2 + ∂ 2 p ∂y 2 + ∂ 2 p ∂z 2 – en coordonnées cylindriques ∆p = 1 r ∂ ∂r _ r ∂p ∂r _ + 1 r 2 ∂ 2 p ∂θ 2 + ∂ 2 p ∂z 2 – en coordonnées sphériques ∆p = 1 r 2 ∂ ∂r _ r 2 ∂p ∂r _ + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ _ sin θ ∂p ∂θ _ + 1 r 2 sin 2 θ ∂ 2 p ∂φ 2 1.1.4 L’opérateur rotationnel Le produit vectoriel de l’opérateur ”nabla” ∇ par un vecteur définit le rotationnel du vecteur. Le rotationnel (également noté rot 4 ) d’un vecteur est un vecteur. Pour le vecteur v, il s’écrit : 2 Pour 2 vecteurs u =   u x u y u z   et v =   v x v y v z   , le produit scalaire u.v =   u x u y u z   .   v x v y v z   = u x v y + u x v y + u z v z ; donc ∇.v =   ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z   .   v x v y v z   = ∂v x ∂x + ∂v y ∂y + ∂v z ∂z (∇ se comporte comme un vecteur ordinaire.) 3 En effet, ∆ = ∇ 2 = ∇.∇ =   ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z   .   ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z   = ∂ 2 ∂x 2 + ∂ 2 ∂y 2 + ∂ 2 ∂z 2 4 En gras puisqu’il s’agit d’un vecteur. 1.1 Eléments d’analyse vectorielle 117 – en coordonnées cartésiennes 5 ∇∧ v = rot v = _ ∂v z ∂y − ∂v y ∂z _ e x + _ ∂v x ∂z − ∂v z ∂x _ e y + _ ∂v y ∂x − ∂v x ∂y _ e z – en coordonnées cylindriques ∇∧ v = rot v = _ 1 r ∂v z ∂θ − ∂v θ ∂z _ e r + _ ∂v r ∂z − ∂v z ∂r _ e θ + 1 r _ ∂(rv θ ) ∂r − ∂v r ∂θ _ e z – en coordonnées sphériques ∇∧v = rot v = 1 r sin θ _ ∂(sin θv φ ) ∂θ − ∂v θ ∂φ _ e r + 1 r _ 1 sinθ ∂v r ∂φ − ∂(rv φ ) ∂r _ e θ + 1 r _ ∂(rv θ ) ∂r − ∂v r ∂θ _ e φ 1.1.5 Quelques relations de base p et q étant des scalaires et u et v étant des vecteurs, ∇.(pv) = (v.∇)p + p(∇.v) ∇.(pq) = q(∇p) + p(∇q) ∇.(uv) = (u.∇)v +v(∇.u) ∇.(∇∧ u) = 0 soit div(rot u) = 0 ∇∧ (∇p) = 0 soit rot(gradp) = 0 ∇∧ (pv) = (∇p) ∧ v + p(∇∧ v) ∇.(u ∧ v) = (∇∧ u).v + (∇∧ v).u soit div(u ∧ v) = rot u.v +rot v.u ∇∧ (u ∧ v) = u(∇.v) −v(∇.u) + (v.∇)u −(u.∇)v ∇∧ (∇∧ v) = ∇(∇.v) −∇ 2 v soit rot(rot v) = grad(div v) −∆v Si ∇∧ u = 0, alors ∇.u = −∆ψ (o` u ψ est un scalaire). Autrement dit, un champ à rotationnel nul dérive d’un potentiel scalaire ψ. Si ∇.u = 0, alors u = ∇ ∧ v à un gradient près. Un champ à divergence nulle peut s’écrire comme le rotationnel d’un vecteur. 1.1.6 Formules de Green ___ V gradf dV = __ S fndS ___ V div v dV = __ S v.ndS La première formule est la formule du gradient ; elle permet par exemple de relier la force de pression exercée sur une surface au gradient de pression dans la masse du fluide. La seconde formule est la formule d’Ostrogradski, très utile pour exprimer le flux d’une quantité à travers une surface par une intégrale volumique 5 Pour 2 vecteurs u =   u x u y u z   et v =   v x v y v z   , le produit vectoriel u ∧ v =   u x u y u z   ∧   v x v y v z   =   u y v z −u z v y u z v x −u x v z u x v y −u y v x   ; donc ∇∧ v =   ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z   ∧   v x v y v z   =    ∂v z ∂y − ∂v y ∂z ∂v x ∂z − ∂v z ∂x ∂v y ∂x − ∂v x ∂y    118 Chapitre 1 : Rappels math´ ematiques 1.1.7 Formule de Stokes-Ampère __ S rot v.ndS = _ C v.dl o` u S désigne une surface s’appuyant sur le contour C. 1.2 Rappels sur les tenseurs d’ordre 2 Pour écrire les équations de Navier-Stokes on peut faire appel à la notion de tenseur, en se limitant à l’ordre 2. On se contente donc de présenter quelques propriétés des tenseurs d’ordre 2. Dans ce cadre, on peut voir le tenseur d’ordre 2 comme une matrice 3×3 6 . Ceci n’est pas abusif tant que l’on garde à l’esprit qu’il existe une définition plus générique et que la réprésentation matricielle dépend du système de coordonnées choisi. 1.2.1 Tenseur gradient Définition Il permet d’exprimer la variation d’un champ de vecteur v entre 2 points voisins x et x+dx (de la même fa¸con que le gradient exprime les variations d’un scalaire entre ces deux points). dv = v(x +dx) −v(x) = gradv dx En coordonnées cartésiennes, on vérifiera qu’il s’exprime par : gradv = _ _ _ _ _ _ _ ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v ∂z ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z _ _ _ _ _ _ _ avec v = _ _ u(x, y, z) v(x, y, z) w(x, y, z) _ _ Applications Le tenseur gradient s’avère pratique pour exprimer la dérivée particulaire d’une grandeur vectorielle v dans un écoulement de champ de vitesse u : dv dt = ∂v ∂t +gradv u On écrit parfois cette relation sous la forme : dv dt = ∂v ∂t + (u.∇)v avec un ”produit scalaire” qui est plus simple sur le plan formel mais devient faux en co- ordonnées curvilignes (cylindriques, sphériques ...). La notation tensorielle possède également l’avantage d’une écriture identique à celle du cas scalaire. 6 On utilise des lettres en gras surmontées de deux traits pour désigner les tenseurs d’ordre 2, qui sont donc des matrices 3 ×3 en 3-D et des matrices 2 ×2 en 2-D. 1.2 Rappels sur les tenseurs d’ordre 2 119 Il est parfois judicieux de décomposer le tenseur gradient en deux parties, l’une symétrique et l’autre antisymétrique 7 : gradv = S +R avec S = 1 2 _ gradv + (gradv) T _ et R = 1 2 _ gradv −(gradv) T _ Lorsque le champ v représente le champ de déplacement dans un solide (respectivement le champ de vitesse d’un écoulement), le terme symétrique quantifie la déformation (respectivement la vitesse de déformation) d’un élément de volume, tandis que le terme antisymétrique quantifie la rotation en bloc (respectivement la vitesse angulaire) de l’élément de volume. Il s’agit alors d’une expression différente du rotationnel de v. Propriétés (v.∇)v = gradv v = grad v 2 2 +rot v ∧ v grad(u.v) = (gradu) T v + (gradv) T u 1.2.2 Divergence d’un tenseur Définition Il s’agit d’un vecteur qui peut être défini par la généralisation de la formule d’Ostrogradski 8 : ___ V divTdV = __ S TndS Son expression en coordonnées cartésiennes est obtenue en prenant la divergence de chaque ligne du tenseur, comme on peut le montrer à partir de sa définition : divT = _ _ _ _ _ _ _ ∂T xx ∂x + ∂T xy ∂y + ∂T xz ∂z ∂T yx ∂x + ∂T yy ∂y + ∂T yz ∂z ∂T zx ∂x + ∂T zy ∂y + ∂T zz ∂z _ _ _ _ _ _ _ avec T = _ _ T xx T xy T xz T yx T yy T yz T zx T zy T zz _ _ Applications Les forces de contact exercée sur une surface (pression ou cisaillement) peuvent être exprimées au moyen d’un tenseur, nommé tenseur des contraintes et noté généralement τ, σ ou Σ. La force sur un élément de surface dS s’écrit alors : df = ΣndS et celle obtenue sur une surface macroscopique S est obtenue par intégration : f = __ S ΣndS 7 L’exposant T désigne l’opération de transposition. 8 La divergence appliquée à un tenseur est un vecteur et est donc écrite en gras 120 Chapitre 1 : Rappels math´ ematiques Cette intégrale de surface peut être exprimée comme une intégrale de volume via la formule d’Ostrogradski, ce qui fait apparaˆıtre divΣ dans les équations de la dynamique ou d’équilibre locales. Ainsi l’équilibre d’un solide élastique s’écrit : divΣ = 0 La loi de la dynamique dans un fluide conduit à : ρ du dt = divΣ+ ρg Propriétés Elles sont directement transposables de celles de la divergence scalaire : div fT = fdivT+Tgradf Dans le cas particulier o` u T est le tenseur identité, noté I, cette relation donne : div pI = I gradp = gradp Ainsi il est commode de modéliser un fluide newtonien par un tenseur des contraintes contenant un terme de pression et un terme visqueux : Σ = −pI +τ Ainsi l’équation de conservation de la quantité de mouvement peut s’écrire : ρ du dt = divΣ+ ρg = −gradp +divτ + ρg Une autre propriété utile est : div _ (gradv) T +gradv _ = ∇ 2 v +grad(div v) Cette formule permet notamment d’exprimer le terme divτ. En effet, dans le modèle newtonien, le tenseur des contraintes visqueuses est proportionnel au tenseur vitesse de déformation, le coefficient de proportionnalité étant le double de la viscosité dynamique µ : τ = µ _ (gradu) T +gradu _ Si, de plus, le fluide est incompressible, alors div v = 0 et en appliquant la propriété ci-dessus, on a : divτ = µ∇ 2 u 1.3 Transformation de Fourier 1.3.1 Transformation de Fourier temporelle Le caractère linéaire des ondes sonores va permettre d’exprimer le champ acoustique comme la somme de solutions élémentaires de l’équation d’onde. L’analyse de Fourier correspond à la 1.3 Transformation de Fourier 121 décomposition en harmoniques temporelles. Ce passage de l’espace temporel à l’espace fréquentiel est très intéressant tant du point de vue mathématique (les équations deviennent indépendantes du temps) que du point de vue physique (l’oreille per¸coit les harmoniques fréquentielles). On considère une fonction f(t) continue (sauf en un nombre fini de discontinuités o` u f(t) = 1 2 [f(t +0) +f(t −0)]) et telle que |f(t)| et |f(t)| 2 sont intégrables. La transformée de Fourier de f(t), qui sera notée ˆ f(ω), est la fonction complexe définie par : ˆ f(ω) = _ ∞ −∞ f(t)e −iωt dt (1.1) et la transformée de Fourier inverse est : f(t) = 1 2π _ ∞ −∞ ˆ f(ω)e +iωt dω (1.2) La transformée de Fourier et son inverse sont étroitement liés. Il s’agit de la même opération hormis le changement de signe de l’exponentielle et le facteur 2π. Ainsi, la définition de la transformée de Fourier peut varier d’un ouvrage à l’autre : on peut appliquer le facteur 1/2π à la transformée directe ou à son inverse comme on peut utiliser e ±iωt dans la définition (1.1). Ces conventions doivent toujours être consciencieusement vérifiées lorqu’on compare deux références différentes. On note également que certains auteurs utilisent la fréquence f plutôt que la pulsation ω = 2πf. 1.3.2 Transformation de Fourier spatiale De la même fa¸con que l’on peut travailler dans l’espace temporel ou dans l’espace fréquentiel, on peut passer de l’espace spatial à l’espace des nombres d’onde, en introduisant la transformée de Fourier spatiale multidimensionnelle : ´ f(k) = 1 (2π) 3 _ ∞ −∞ f(x)e −ik.x dx (1.3) f(x) = _ ∞ −∞ ´ f(k)e +ik.x dk (1.4) k = (k 1 , k 2 , k 3 ) est le vecteur d’onde (ou vecteur des nombres d’onde) et x = (x 1 , x 2 , x 3 ) la position spatiale. Il s’agit d’une intégrale triple en 3-D et double en 2-D. 1.3.3 Séries de Fourier La série de Fourier d’une fonction f(t) définie sur [0, T] est définie par : a 0 2 + ∞ n=1 _ a n cos 2πnt T + b n sin 2πnt T _ o` u les coefficients sont donnés par : a n = 1 T _ T 0 f(t) cos 2πnt T dt b n = 1 T _ T 0 f(t) sin 2πnt T dt Si f et f sont continues par morceaux et si f est périodique de période T alors la série de Fourier converge vers f(t) si f est continue en x ou vers 1 2 [f(t + 0) + f(t − 0)] si f n’est pas continue en x. 122 Chapitre 1 : Rappels math´ ematiques Forme complexe f(t) ∞ n=−∞ c n e 2πint/T avec c n = 1 T _ T 0 f(t)e −2πint/T dt = _ _ _ 1 2 (a n −ib n ) n > 0 1 2 a 0 n = 0 1 2 (a −n + ib −n ) n < 0 Identité de Parseval 1 T _ T 0 [f(t)] 2 dt = a 2 0 2 + ∞ n=1 _ a 2 n + b 2 n _ 1.4 Les fonctions généralisées Depuis les années 50 et la publication de la théorie des distributions de Schwartz, les fonctions généralisées sont utilisées dans de nombreux domaines des sciences et de l’ingénierie. Un des aspects les plus attractifs de cette théorie est qu’elle permet de manipuler certaines fonctions discontinues 9 aussi facilement que des fonctions continues différentiables, notamment en ce qui concerne les règles usuelles de l’addition, de la dérivation ou de l’intégration. Elles enrichissent ainsi l’équipement mathématique à la disposition des physiciens et permettent d’obtenir de fa¸con élégante des solutions à de nombreux problèmes en aérodynamique ou en acoustique. 1.4.1 Le concept de fonction généralisée Lorsque Dirac a introduit la fonction delta (qui sera appelée fonction Dirac) δ(x) possédant la propriété dite de ”glissement” : _ ∞ −∞ φ(x)δ(x) dx = φ(0) , il s’est rendu compte qu’aucune fonction ordinaire ne pouvait posséder cette propriété. Pour inclure des objets mathématiques comme la fonction δ(x), il est nécessaire de généraliser le concept de fonction. C’est une approche courante en mathématique. On étend par exemple les nombres naturels aux entiers, les entiers aux rationnels, les rationnels aux réels puis les réels aux complexes. A chaque extension, des objets nouveaux sont introduits tout en conservant les pro- priétés fondamentales du système de nombres précédent. Chaque extension doit s’accompagner d’une vision différente du système de nombres. Par exemple, les nombres rationnels peuvent être vus comme des paires ordonnées d’entiers (a, b) avec b = 0. On identifie les paires (a, 1) avec les entiers a. Le nouveau système contient donc le précédent. On doit maintenant penser les nombres comme des paires ordonnées (a, b), noté a/b, au lieu de simples nombres. De même, on peut généraliser l’espace des fonctions ordinaires à un espace plus étendu de ”fonctions”, que l’on nommera distributions ou fonctions généralisées. Leur sens est donné par une relation intégrale, qui les relie de fa¸con unique aux fonctions ordinaires. Une présentation mathématique rigoureuse de cette extension pourra être trouvée dans les ouvrages [?, ?, ?, ?]. 9 En réalité, les effets dissipatifs du fluide vont adoucir les discontinuités. De plus, le signal décroˆıt toujours pour t →∞ et il ne se passe rien pour t →−∞. Le concept classique des fonctions ordinaires décrit donc bien les phénomènes réels. En revanche, ce n’est pas toujours le cas pour les modèles idéalisés que l’on utilisera. Une source ponctuelle sort par exemple du cadre des fonctions ordinaires. Un autre exemple est celui d’un signal qui n’est pas décroissant, illustré par sin(ωt). On ne peut pas prendre la transformée de Fourier (classique) de ce signal : pour certaines fréquences le signal n’est pas défini et pour d’autres, il est infiniment grand. Ainsi le spectre de sin(ωt), qui consiste en deux pics isolés en −ω et ω, n’est pas vraiment une fonction ordinaire. 1.4 Les fonctions généralisées 123 1.4.2 La fonction de Heaviside Elle est définie par la propriété intégrale suivante : _ ∞ −∞ H(g −a)G(g) dg = _ ∞ a G(g) dg (1.5) o` u la fonction ”test” G(g) est une fonction de g ayant de ”bonnes” propriétés. On peut associer la fonction de Heaviside à des constantes par morceaux : H(g −a) = _ 1 g > a 0 g < a La valeur en g = a n’a pas de sens. On peut avoir une image simple de la fonction de Heavisde par la relation précédente mais la définition rigoureuse est la relation intégrale (1.5). 1.4.3 La fonction Dirac La fonction delta ou Dirac est définie par la propriété intégrale : _ ∞ −∞ δ(g −a)G(g) dg = G(a) (1.6) Concrètement, on peut formaliser δ comme : δ(g −a) = _ 0 g = a +∞ g = a et _ ∞ −∞ δ(g −a) dg = 1 On peut également voir la fonction généralisée δ(g − a) comme la limite d’une fonction qui ne prend de ”valeur notable” que dans le voisinage de a o` u elle présente un maximum très marqué. Ainsi, δ(x −x 0 ) = 1 π lim m→∞ sin m(x −x 0 ) x −x 0 = 1 π lim m→∞ 1 −cos m(x −x 0 ) m(x −x 0 ) 2 = 1 π lim ε→0 + ε (x −x 0 ) 2 + ε 2 = lim ε→0 H(x −x 0 + ε) −H(x −x 0 ) ε Dans la dernière relation, H est la fonction de Heaviside. Ce qui montre que la fonction δ est la dérivée de la fonction de Heaviside. 124 Chapitre 1 : Rappels math´ ematiques Propriétés de la fonction Dirac δ(x) = δ(−x) δ(ax) = 1 |a| δ(x) δ[g(x)] = n 1 |g (x n )| δ(x −x n ) avec g(x n ) = 0 avec g (x n ) = 0 , ∀n f(x)δ(x −a) = f(a)δ(x −a) _ δ(x −y)δ(y −a) dy = δ(x −a) xδ(x) = 0 δ(x) = 1 2π _ ∞ −∞ exp(ikx)dk δ(x) = _ ∞ −∞ exp(2iπkx)dk Dérivation et intégration La fonction généralisée δ est dérivable à tout ordre. La n ième dérivée de δ(x), notée δ (n) (x), est définie par : _ ∞ −∞ δ (n) (x)f(x) dx = (−1) n f (n) (0) pour toute fonction f n-fois dérivable au point x = 0. La dérivée de la fonction Dirac possède les propriétés : δ (n) (x) = (−1) n δ (n) (−x) _ δ (m) (x −y)δ (n) (y −a) dy = δ (m+n) (x −a) x n+1 δ (n) (x) = 0 _ ∞ −∞ δ (x)f(x) dx = f (0) δ (x) = −δ (−x) xδ (x) = −δ(x) x 2 δ (x) = 0 δ (x) = i 2π _ ∞ −∞ k exp(ikx)dk Pour la fonction de Heaviside : H (g −a) = ∂ ∂g H(g −a) = δ(g −a) A l’inverse : _ g −∞ δ(g −a)φ(g )dg = H(g −a)φ(a) 1.4 Les fonctions généralisées 125 Il s’ensuit, pour des bornes d’intégration de part et d’autre de a : _ >a <a δ(g −a)φ(g)dg = φ(a) exemple : La propriété précédente permet de déterminer directement la solution de : ∂ 2 G ∂x 2 (x, x 0 ) = δ(x −x 0 ) Il s’agit de G(x, x 0 ) = (x −x 0 )H(x −x 0 ) +Ax +B. Les contraintes G = 0 en x = 0 et en x = 1 (puisque 0 ≤ x ≤ 1 et 0 < x 0 < 1) permettent d’obtenir A et B, soit : G(x, x 0 ) = x(H(x −x 0 ) + x 0 −1) −x 0 H(x −x 0 ) La fonction delta bidimensionnelle x étant un vecteur à deux dimensions, la fonction delta bidimensionnelle est définie par : _ f(x)δ(x) dx = f(0) o` u dx est une aire élémentaire et l’intégration englobe un voisinage du vecteur nul x = 0. On peut se ramener à des fonctions delta monodimensionnelles : _ f(x)δ(x) dx = _ f(x)δ(x) dx 1 x 2 = f(0) = f(x 1 = 0; x 2 = 0) = _ f(x)δ(x 1 )δ(x 2 ) dx 1 x 2 On a donc : δ(x) = δ(x 1 )δ(x 2 ) quelle que soit l’orientation des axes. Cette isotropie de la fonction δ implique qu’elle ne soit fonction que du module de x, r = |x| ; soit : f(0) = _ 0 f(x)δ(x) 2πrdr = 2 _ 0 f(x)δ(r) dr qui fournit rδ(x) = δ(r) π , or rδ (r) = −δ(r) d’o` u δ(x) = − δ (r) π Ainsi l’équation homogène : ∇ 2 G ≡ _ ∂ 2 ∂r 2 + 1 r ∂ ∂r _ G = 0, a pour solution G = Alog r + B pour r = 0 En utilisant le théorème de la divergence, _ V ∇.v dV = _ S n.v dS appliqué à v = ∇G, on montre que ∇ 2 G = δ(x) a pour solution G = 1 2π log r + B 126 Chapitre 1 : Rappels math´ ematiques La fonction delta tridimensionnelle De la même fa¸con qu’en 2-D, elle est définie par : _ V f(x)δ(x) dx = f(0) On peut montrer que : δ(x) = δ(x 1 )δ(x 2 )δ(x 3 ) L’isotropie conduit à : 2πr 2 δ(x) = δ(r) et r 2 δ (r) = 2δ(r) d’o` u : δ(x) = δ (r) 4πr Chapitre 2 Un peu de mécanique des fluides 2.1 Equations générales de la mécanique des fluides On écrit les équations générales qui régissent un fluide newtonien pour une particule fluide. A chaque fois, on donne la notation tensorielle et son développement en coordonnées cartésiennes entre crochets 1 . 2.1.1 Loi de conservation de la masse La loi de conservation de la masse, encore nommée équation de continuité, s’écrit : ∂ρ ∂t +∇.(ρu) = m _ ∂ρ ∂t + ∂ ∂x i (ρu i ) = m _ (2.1) soit ∂ρ ∂t + div(ρu) = m o` u ρ désigne la masse volumique, u le vecteur vitesse et m une source de masse (en général, m = 0). 2.1.2 Loi de conservation de la quantité de mouvement La loi de conservation de la quantité de mouvement (ou équations de Navier-Stokes, 3 équations en 3-D et 2 en 2-D) est donnée par 2 : ∂ ∂t (ρu) +div(ρu ⊗u +Σ) = ρf _ ∂ ∂t (ρu i ) + ∂ ∂x j (ρu i u j + Σ ij ) = f i _ (2.2) ∂ ∂t (ρu) +gradu u +div(Σ) = ρf avec Σ = pI −τ [ Σ ij = pδ ij −τ ij ] (2.3) avec f une force externe (qui peut inclure par exemple la gravité), p la pression, I le tenseur unité, Σ le tenseur des contraintes du fluide, τ le tenseur des contraintes visqueuses, δ ij le symbole de Kronecker (δ ij = 1 si i = j et δ ij = 0 si i = j). 1 La sommation d’Einstein est sous-entendue ( ex. : div ≡ ∂ ∂x i = ∂ ∂x 1 + ∂ ∂x 2 + ∂ ∂x 3 ). 2 ”⊗” désigne le produit tensoriel ou produit dyadique de 2 tenseurs. 127 128 Chapitre 2 : Un peu de m´ ecanique des fluides On suppose que le fluide est newtonien et suit la loi de Stokes, d’o` u : τ = µ _ gradu + (gradu) T _ − 2 3 µ(div u)I _ τ ij = µ _ ∂u i ∂x j + ∂u j ∂x i _ − 2 3 µ _ ∂u k ∂x k _ δ ij _ (2.4) τ = 2µS − 2 3 µ(div u)I avec µ(T) le coefficient de viscosité dynamique (déterminé expérimentalement) et ν la viscosité cinématique (ν = µ/ρ). S est le tenseur des vitesses de déformation. 2.1.3 Loi de conservation de l’énergie On l’écrit pour m = 0. ∂ ∂t (ρE) + div(ρEu +Σu +q) = f .u (2.5) _ ∂ ∂t (ρE) + ∂ ∂x i (ρu i E) + ∂ ∂x i (pu i ) + ∂ ∂x i (τ ij u j ) + ∂q i ∂x i = f i u i _ avec l’énergie totale E somme de l’énergie interne par unité de masse e et de l’énergie cinétique : E = e + 1 2 u 2 , u = |u| (2.6) et q le vecteur flux de chaleur dˆ u à la convection thermique, qui suit la loi de Fourier : q = −κ c ∇T _ q i = −κ c ∂T ∂x i _ (2.7) avec κ c = c p µ/Pr le coefficient de conductivité thermique, Pr le nombre de Prandtl 3 (∼ 0.72 pour l’air) et T la température (en Kelvin). Rq : forme entropique de la loi de conservation de l’énergie En utilisant la loi fondamentale de la thermodynamique pour un processus réversible, Tds = de + p (dρ) −1 on a 4 : ρT _ ∂s ∂t +u.∇s _ = −div q +τ : gradu = −div q + div(τ u) −u.div τ (2.8) _ ρT _ ∂s ∂t + u i ∂s ∂x i _ = − ∂q i ∂x i + τ ij ∂u j ∂x i _ Si on néglige la conduction thermique et la dissipation visqueuse, l’écoulement est isentropique 5 ∂s ∂t + u i ∂s ∂x i = 0 ou Ds Dt Si s = cste, l’écoulement est homentropique 3 parfois noté σ. 4 ” :” désigne le produit de contraction double de deux tenseurs. 5 La dérivée particulaire en suivant l’écoulement ou dérivée matérielle de Stokes est notée d/dt ou D/Dt. On utilisera dans la suite la notation D/Dt, afin d’éviter toute confusion. 2.2 Quelques éléments de dynamique des tourbillons 129 2.1.4 Equation d’état Afin de fermer le système (2.1)(2.2)(2.5), et sauf indication contraire, on considère la loi des gaz parfait : p = ρrT (2.9) et de = c v dT r = c p −c v = 286.73 J kg −1 K −1 γ = c p c v = 1.402 avec c v la chaleur spécifique à volume constant, c p la chaleur spécifique à pression constante, r la constante spécifique des gaz et γ le rapport des chaleurs spécifiques. Pour un gaz parfait, l’énergie interne est e = c v T et l’énergie totale vaut ρE = p/(γ −1)+ρu 2 /2. 2.2 Quelques éléments de dynamique des tourbillons Les structures cohérentes de la turbulence et plus généralement les tourbillons jouent un rôle central dans le bruit produit par un écoulement. C’est pourquoi, nous rappelons ici quelques éléments de dynamique du tourbillon. Pour un traitement plus complet, le lecteur pourra se référer aux ouvrages [?, ?, ?]. 2.2.1 La vorticité La vorticité est le vecteur ω défini comme ω = rot u = ∇∧ u. Sous forme indicielle on peut la noter ω i = ε ijk ∂u k ∂x j . On peut aussi définir : ω ij = 1 2 _ ∂u i ∂x j − ∂u j ∂x i _ avec seulement trois termes non nuls puisque ω 11 = ω 22 = ω 33 = 0 et ω ij = −ω ji . La vorticité donne une mesure de la rotation angulaire des particules de fluide. ω correspond à une vitesse angulaire de 1 2 ω autour du centre de la particule. Un corps rigide possédant une vitesse angulaire Ω autour de son centre définit donc une vorticité : ω = rot u = 2Ω On suppose que le champ de vorticité est localisé, c’est-à-dire que l’on peut toujours trouver une distance x ∗ telle que ωe x/x ∗ → 0 lorsque x → ∞. Cette hypothèse permet de montrer que l’intégrale de chacune des composantes de ω est nulle sur un volume V donné : _ V ω i dx = _ V ∂ ∂x j (ω j x i ) dx car ∂ ∂x j (ω j x i ) = ∂ω j ∂x j x i + ω j ∂x i ∂x j = ω j δ ij = ω i . Comme la vorticité est soléno¨ıdale par construction (∇.ω = 0), l’application du théorème de la divergence fournit : _ V ω i dx = _ V ∂ ∂x j (ω j x i ) dx = _ Σ ω j x i n j dx = 0 130 Chapitre 2 : Un peu de m´ ecanique des fluides 2.2.2 La loi de Biot et Savart La vitesse u peut toujours être exprimée à l’aide d’un potentiel scalaire ϕ et d’un potentiel vectoriel A tels que : u = ∇ϕ +rot A avec divA = 0 En coordonnées cartésiennes, ces relations induisent : ∇ 2 ϕ = divu et pour un écoulement incompressible (divu = 0), la vitesse dérive d’un vecteur potentiel A qui vérifie l’équation de Poisson suivante : ω = ∇∧ u = ∇∧ (∇∧ A) = ∇(∇.A) −∇ 2 A = −∇ 2 A et l’on connaˆıt la solution intégrale à cette équation : A(x) = 1 4π _ V ω(y) |x −y| dy En l’absence de paroi, on en déduit l’expression de Biot et Savart donnant la vitesse en fonction de la vorticité : u(x) = 1 4π ∇ x ∧ _ V ω(y) |x −y| dy = 1 4π _ V ω(y) ∧ (x −y) |x −y| 3 dy en remarquant que : ∂ ∂x i _ 1 r _ = 1 r 2 ∂r ∂x i = − 1 r 2 r i r avec r = x −y Le champ de vorticité permet de déterminer le champ de vitesse associé. On remarque, d’autre part, que cette relation est non locale, puisqu’elle fait intervenir tout le volume V . 2.2.3 L’équation de Crocco Il s’agit d’une reformulation de l’équation de conservation de la quantité de mouvement en introduisant la vorticité ω et l’enthalpie totale B = h + 1 2 u 2 : ∂u i ∂t + ∂B ∂x i = −(ω ∧ u) i + T ∂s ∂x i + 1 ρ ∂σ ij ∂x j + f i ρ (2.10) o` u on a utilisé dh = Tds + dp ρ et le développement de la dérivée particulaire en : Du Dt = ∂u ∂t + (u.∇)u = ∂u ∂t +∇ _ 1 2 u 2 _ +ω ∧ u 2.2.4 L’équation de Bernouilli Pour un fluide parfait (viscosité et conduction thermique négligeables), homentropique (s = cste), irrotationnel (ω = 0), pour lequel la force extérieure est conservative et peut être déduite d’une fonction scalaire φ (f = ρ∇φ), l’équation de Crocco (2.10) induit l’existence d’un potentiel ϕ tel que u = ∇ϕ Une intégration fournit l’équation de Bernouilli : ∂ϕ ∂t + B −φ = Cste(t) ou ∂ϕ ∂t + h + 1 2 u 2 −φ = Cste(t) 2 L’op´rateur divergence e Le produit scalaire de l’op´rateur ”nabla” par un vecteur d´finit la divergence du vecteur.4 L’op´rateur rotationnel e Le produit vectoriel de l’op´rateur ”nabla” par un vecteur d´finit le rotationnel du vecteur. not´ ∆ ou 23 .1. ∂z ∂z .  ∂y  = + + 2 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ 4  En gras puisqu’il s’agit d’un vecteur. vy  = ux vy + ux vy + uz vz . ∆ = = .v = div v = avec v = vr er + vθ eθ + vz ez .116 ´ Chapitre 1 : Rappels mathematiques 1.1. e e La divergence (´galement not´ div) d’un vecteur est un scalaire. 1 ∂(r2 vr ) 1 ∂(sin θvθ ) 1 ∂vφ + + r2 ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ 1 ∂(rvr ) 1 ∂vθ ∂vz + + r ∂r r ∂θ ∂z ∂vx ∂vy ∂vz + + ∂x ∂y ∂z 1. – en coordonnés cylindriques e . il s’ćrit : e e e        ux vx ux vx 2 Pour 2 vecteurs u = uy  et v = vy . =  ∂y  . uz vz uz vz ∂    vx ∂x ∂vy ∂vz ∂vx ∂ + + ( se comporte comme un vecteur ordinaire. vy  = ∂x ∂y ∂z ∂ vz ∂z ∂  ∂  ∂x ∂x ∂2 ∂2 ∂2 ∂ ∂ 3 2 En effet.v =  ∂y  .v = div v = avec v = vx ex + vy ey + vz ez 2 . – en coordonnés sph´riques e e . e e Le rotationnel (´galement not´ rot4 ) d’un vecteur est un vecteur.v = div v = avec v = vr er + vθ eθ + vφ eφ . e e e ea – en coordonnés cart´siennes e e ∂2p ∂2p ∂2p ∆p = + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 – en coordonnés cylindriques e ∆p = – en coordonnés sph´riques e e ∆p = 1 ∂ r2 ∂r r2 ∂p ∂r + 1 ∂ r2 sin θ ∂θ sin θ ∂p ∂θ + 1 ∂2p 2 ∂φ2 r2 sin θ 1 ∂ r ∂r r ∂p ∂r + 1 ∂2p ∂2p + r2 ∂θ2 ∂z 2 1. Pour le vecteur v.v = uy  . Pour le vecteur v. qui est appliqu´ ` un scalaire. le produit scalaire u.1.) donc . elle s’ćrit : e e e – en coordonnés cart´siennes e e .3 L’op´rateur laplacien e Il s’agit d’un op´rateur diff´rentiel. Un champ ` divergence nulle peut s’ćrire a e a e comme le rotationnel d’un vecteur.v) − 2 ∧ ( p) = 0 soit rot(grad p) = 0 ∧ v) ∧ v).(uv) = (u.u) + (v. elle permet par exemple de relier la force de e pression exercé sur une surface au gradient de pression dans la masse du fluide.(pv) = (v. uz vz uz vz ux vy − uy vx   ∂     ∂vz ∂vy − ∂z vx ∂x   ∂y ∂ donc ∧ v =  ∂y  ∧ vy  =  ∂vx − ∂vz  ∂z ∂x ∂vy ∂ ∂vx vz − ∂y ∂z ∂x  .6 Formules de Green grad f dV = V S f n dS v. )p + p( . )v v soit rot(rot v) = grad(div v) − ∆v Si ∧ u = 0.u = −∆ψ (o` ψ est un scalaire). alors u = ∧ v ` un gradient pr`s.u) . e e . La seconde e formule est la formule d’Ostrogradski.v + rot v.u = 0. e Si .v) − v( .v + ( ( .(u ∧ v) = ( ∧( ∧ v) = ∧ u). Autrement dit.1 El´ments d’analyse vectorielle e – en coordonnés cart´siennes5 e e ∧ v = rot v = ∂vy ∂vz − ∂y ∂z ex + ∂vx ∂vz − ∂z ∂x ∂vr ∂vz − ∂z ∂r ey + ∂vy ∂vx − ∂x ∂y ez 117 – en coordonnés cylindriques e ∧ v = rot v = 1 ∂vz ∂vθ − r ∂θ ∂z er + eθ + 1 r ∂(rvθ ) ∂vr − ∂r ∂θ ez – en coordonnés sph´riques e e ∧v = rot v = 1 r sin θ ∂(sin θvφ ) ∂vθ − ∂θ ∂φ er + 1 r ∂(rvφ ) 1 ∂vr − sin θ ∂φ ∂r eθ + 1 r ∂(rvθ ) ∂vr − ∂r ∂θ eφ 1.5 Quelques relations de base p et q ´tant des scalaires et u et v ´tant des vecteurs.u soit div(u ∧ v) = rot u. alors .v) .1.1. )v + v( . tr`s utile pour exprimer le flux d’une quantit´ ` travers e ea une surface par une int´grale volumique e          ux vx ux vx uy vz − uz vy 5 Pour 2 vecteurs u = uy  et v = vy .u ∧ (u ∧ v) = u( . 1. le produit vectoriel u ∧ v = uy  ∧ vy  = uz vx − ux vz  . )u − (u. un champ ` rotationnel u a nul d´rive d’un potentiel scalaire ψ.( ∧ u) = 0 soit div(rot u) = 0 ∧ (pv) = ( p) ∧ v + p( .(pq) = q( p) + p( q) .1.n dS S div v dV = V La premi`re formule est la formule du gradient . 6 dx  ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y  ∂u ∂z  ∂v    ∂z  ∂w  ∂z  u(x.7 Formule de Stokes-Amp`re e rot v.). sph´riques .1. on peut voir le tenseur d’ordre 2 comme une matrice 3 × 36 .1 Tenseur gradient D´finition e Il permet d’exprimer la variation d’un champ de vecteur v entre 2 points voisins x et x + dx (de la mˆme fa¸on que le gradient exprime les variations d’un scalaire entre ces deux points). )v dt ∂t avec un ”produit scalaire” qui est plus simple sur le plan formel mais devient faux en coordonnés curvilignes (cylindriques. e a On utilise des lettres en gras surmontés de deux traits pour d´signer les tenseurs d’ordre 2. en se e e a limitant ` l’ordre 2. Ceci n’est pas abusif tant que l’on garde ` l’esprit qu’il existe une d´finition plus gń´rique et que la r´pr´sentation a e e e e e matricielle d´pend du syst`me de coordonnés choisi. On se contente donc de pr´senter quelques propri´t´s des tenseurs d’ordre 2.118 ´ Chapitre 1 : Rappels mathematiques 1. y.2. La notation tensorielle poss`de ´galement e e e e l’avantage d’une ćriture identique ` celle du cas scalaire. qui sont donc e e des matrices 3 × 3 en 3-D et des matrices 2 × 2 en 2-D. a e ee Dans ce cadre.2 Rappels sur les tenseurs d’ordre 2 Pour ćrire les ´quations de Navier-Stokes on peut faire appel ` la notion de tenseur. y. z) avec v =  v(x. e c dv = v(x + dx) − v(x) = grad v En coordonnés cart´siennes. e e e 1.. u e 1. y.n dS = S C v.. z)  u . on v´rifiera qu’il s’exprime par : e e e ∂u  ∂x  ∂v  grad v =   ∂x  ∂w ∂x Applications Le tenseur gradient s’av`re pratique pour exprimer la d´rivé particulaire d’une grandeur e e e vectorielle v dans un ćoulement de champ de vitesse u : e ∂v dv = + grad v dt ∂t On ćrit parfois cette relation sous la forme : e dv ∂v = + (u. z)  w(x.dl o` S d´signe une surface s’appuyant sur le contour C. 2.v) = (grad u)T 1. l’une sym´trique e e 7 : et l’autre antisym´trique e grad v = S + R avec S = 1 grad v + (grad v)T 2 et R = 1 grad v − (grad v)T 2 Lorsque le champ v repr´sente le champ de d´placement dans un solide (respectivement le champ e e de vitesse d’un ćoulement). e Propri´t´s e e (v. Il s’agit alors ee d’une expression diff´rente du rotationnel de v.2 Rappels sur les tenseurs d’ordre 2 119 Il est parfois judicieux de dćomposer le tenseur gradient en deux parties. )v = grad v v = grad v2 + rot v ∧ v 2 v + (grad v)T u grad(u. tandis que le terme antisym´trique quantifie e ee e la rotation en bloc (respectivement la vitesse angulaire) de l’´l´ment de volume. σ ou Σ. e e La divergence appliqué ` un tenseur est un vecteur et est donc ćrite en gras e a e . La force e e e e sur un ´l´ment de surface dS s’ćrit alors : ee e df = Σ n dS    Txx Txy Txz avec T = Tyx Tyy Tyz  Tzx Tzy Tzz et celle obtenue sur une surface macroscopique S est obtenue par int´gration : e f= S 7 8 Σ n dS L’exposant T d´signe l’op´ration de transposition. le terme sym´trique quantifie la d´formation (respectivement la e e e vitesse de d´formation) d’un ´l´ment de volume.1.2 Divergence d’un tenseur D´finition e Il s’agit d’un vecteur qui peut ˆtre d´fini par la gń´ralisation de la formule d’Ostrogradski8 : e e e e divT dV = V S T n dS Son expression en coordonnés cart´siennes est obtenue en prenant la divergence de chaque ligne e e du tenseur. comme on peut le montrer ` partir de sa d´finition : a e  ∂Txz ∂Txx ∂Txy + +  ∂x ∂y ∂z   ∂T ∂Tyz   yx ∂Tyy  + + divT =    ∂x ∂y ∂z   ∂Tzx ∂Tzy ∂Tzz  + + ∂x ∂y ∂z Applications Les forces de contact exercé sur une surface (pression ou cisaillement) peuvent ˆtre exprimés e e e au moyen d’un tenseur. nomm´ tenseur des contraintes et not´ gń´ralement τ . 3. e le tenseur des contraintes visqueuses est proportionnel au tenseur vitesse de d´formation. ee on a : divτ = µ 2 u 1. dans le mod`le newtonien.1 Transformation de Fourier Transformation de Fourier temporelle Le caract`re lináire des ondes sonores va permettre d’exprimer le champ acoustique comme e e la somme de solutions ´l´mentaires de l’´quation d’onde.120 ´ Chapitre 1 : Rappels mathematiques Cette int´grale de surface peut ˆtre exprimé comme une int´grale de volume via la formule e e e e d’Ostrogradski. ce qui fait apparaˆ divΣ dans les ´quations de la dynamique ou d’´quilibre ıtre e e locales. alors div v = 0 et en appliquant la propri´t´ ci-dessus. Ainsi l’´quilibre d’un solide ´lastique s’ćrit : e e e divΣ = 0 La loi de la dynamique dans un fluide conduit ` : a ρ Propri´t´s e e Elles sont directement transposables de celles de la divergence scalaire : div f T = f divT + T grad f du = divΣ + ρg dt Dans le cas particulier o` T est le tenseur identit´. En effet. le fluide est incompressible. cette relation donne : u e e div pI = I grad p = grad p Ainsi il est commode de mod´liser un fluide newtonien par un tenseur des contraintes contenant e un terme de pression et un terme visqueux : Σ = −pI + τ Ainsi l’´quation de conservation de la quantit´ de mouvement peut s’ćrire : e e e ρ du = divΣ + ρg = −grad p + divτ + ρg dt Une autre propri´t´ utile est : ee div (grad v)T + grad v = 2 v + grad(div v) Cette formule permet notamment d’exprimer le terme divτ . de plus. not´ I.3 1. le e coefficient de proportionnalit´ ´tant le double de la viscosit´ dynamique µ : ee e τ = µ (grad u)T + grad u Si. L’analyse de Fourier correspond ` la ee e a . e c e on peut passer de l’espace spatial ` l’espace des nombres d’onde. T ] est d´finie par : e e e a0 + 2 an cos n=1 2πnt 2πnt + bn sin T T o` les coefficients sont donn´s par : u e an = 1 T 1 bn = T T 0 T 0 2πnt dt T 2πnt f (t) sin dt T f (t) cos Si f et f sont continues par morceaux et si f est p´riodique de p´riode T alors la s´rie de e e e Fourier converge vers f (t) si f est continue en x ou vers 1 [f (t + 0) + f (t − 0)] si f n’est pas 2 continue en x. Ces e a e conventions doivent toujours ˆtre consciencieusement v´rifiés lorqu’on compare deux e e e r´f´rences diff´rentes.1. Il s’agit de la mˆme op´ration e e e e e hormis le changement de signe de l’exponentielle et le facteur 2π.3 S´ries de Fourier e ∞ La s´rie de Fourier d’une fonction f (t) d´finie sur [0. c e On consid`re une fonction f (t) continue (sauf en un nombre fini de discontinuit´s o` f (t) = e e u 1 [f (t + 0) + f (t − 0)]) et telle que |f (t)| et |f (t)|2 sont int´grables. k3 ) est le vecteur d’onde (ou vecteur des nombres d’onde) et x = (x1 .2 Transformation de Fourier spatiale De la mˆme fa¸on que l’on peut travailler dans l’espace temporel ou dans l’espace fr´quentiel.4) f (k)e+ik. 1.x dx (1.1). La transformé de Fourier de e e 2 f (t).3) (1. Ce passage de l’espace temporel ` l’espace fr´quentiel e a e est tr`s int´ressant tant du point de vue math´matique (les ´quations deviennent ind´pendantes e e e e e du temps) que du point de vue physique (l’oreille per¸oit les harmoniques fr´quentielles).3. Il s’agit d’une int´grale triple en 3-D et double en 2-D.3. e 1. en introduisant la transformé a e de Fourier spatiale multidimensionnelle : f (k) = f (x) = −∞ 1 (2π)3 ∞ ∞ −∞ f (x)e−ik.1) ˆ f (ω)e+iωt dω (1. Ainsi.x dk k = (k1 . . On note ´galement que certains auteurs utilisent la fr´quence f plutˆt que ee e e e o la pulsation ω = 2πf .2) La transformé de Fourier et son inverse sont ´troitement li´s. est la fonction complexe d´finie par : e ˆ e ˆ f (ω) = et la transformé de Fourier inverse est : e f (t) = 1 2π ∞ −∞ ∞ −∞ f (t)e−iωt dt (1. qui sera noté f (ω). k2 .3 Transformation de Fourier 121 dćomposition en harmoniques temporelles. x3 ) la position spatiale. x2 . la d´finition de la e transformé de Fourier peut varier d’un ouvrage ` l’autre : on peut appliquer le facteur 1/2π ` e a a la transformé directe ou ` son inverse comme on peut utiliser e±iωt dans la d´finition (1. e e En rálit´. ee a e e 1. b). les fonctions e e gń´ralisés sont utilisés dans de nombreux domaines des sciences et de l’ingńierie. not´ a/b. Un des e e e e e aspects les plus attractifs de cette thórie est qu’elle permet de manipuler certaines fonctions e discontinues9 aussi facilement que des fonctions continues diff´rentiables. les rationnels aux réls puis les réls aux e e complexes. les effets dissipatifs du fluide vont adoucir les discontinuit´s. les entiers aux rationnels. ce n’est pas toujours le cas pour les mod`les idális´s que l’on utilisera. −∞ il s’est rendu compte qu’aucune fonction ordinaire ne pouvait poss´der cette propri´t´. les nombres rationnels peuvent ˆtre e e e vus comme des paires ordonnés d’entiers (a. il est infiniment grand. b) avec b = 0. de la d´rivation ou de l’int´gration.4 Les fonctions gń´ralisés e e e Depuis les annés 50 et la publication de la thórie des distributions de Schwartz. On ne peut pas prendre la transformé de Fourier (classique) de ce signal : e e e pour certaines fr´quences le signal n’est pas d´fini et pour d’autres. il est nćessaire de gń´raliser le e e e e concept de fonction. On identifie les paires (a. Ainsi le spectre de e e sin(ωt). des objets nouveaux sont introduits tout en conservant les propri´t´s fondamentales du syst`me de nombres prć´dent. En revanche. Elles enrichissent e e e ainsi l’´quipement math´matique ` la disposition des physiciens et permettent d’obtenir de fa¸on e e a c ´l´gante des solutions ` de nombreux probl`mes en a´rodynamique ou en acoustique. Le concept classique des fonctions ordinaires dćrit donc bien les e phńom`nes réls. au lieu de simples nombres. illustr´ par sin(ωt). De mˆme. C’est une approche courante en math´matique. e e a e que l’on nommera distributions ou fonctions gń´ralisés. A chaque extension. 1) avec e les entiers a. Par exemple. Leur sens est donn´ par une relation e e e e int´grale.4. Le nouveau syst`me contient donc le prć´dent. Pour e ee inclure des objets math´matiques comme la fonction δ(x). On ´tend par exemple les e e nombres naturels aux entiers. Un autre exemple est celui d’un signal qui n’est pas dćroissant. e e e on peut gń´raliser l’espace des fonctions ordinaires ` un espace plus ´tendu de ”fonctions”. n’est pas vraiment une fonction ordinaire. Une pr´sentation math´matique e c e e rigoureuse de cette extension pourra ˆtre trouvé dans les ouvrages [?. e 9 . On doit maintenant penser les e e e nombres comme des paires ordonnés (a. ?. notamment en ce qui e concerne les r`gles usuelles de l’addition.122 Forme complexe avec 1 cn = T Identit´ de Parseval e T 0 ∞ ´ Chapitre 1 : Rappels mathematiques f (t) n=−∞ cn e2πint/T   dt =  1 2 (an − ibn ) 1 2 a0 1 2 (a−n + ib−n ) ∞ f (t)e −2πint/T n>0 n=0 n<0 1 T T 0 [f (t)]2 dt = a2 0 + 2 a2 + b2 n n n=1 1. Chaque extension doit s’accompagner ee e e e d’une vision diff´rente du syst`me de nombres. Une source e e e e e e ponctuelle sort par exemple du cadre des fonctions ordinaires. ?. ?]. qui les relie de fa¸on unique aux fonctions ordinaires. De plus. qui consiste en deux pics isol´s en −ω et ω.1 Le concept de fonction gń´ralisé e e e Lorsque Dirac a introduit la fonction delta (qui sera appelé fonction Dirac) δ(x) poss´dant e e la propri´t´ dite de ”glissement” : ee ∞ φ(x)δ(x) dx = φ(0) . le signal dćroˆ toujours e e e e ıt pour t → ∞ et il ne se passe rien pour t → −∞. e e e e 1.6) Concr`tement. u e e e Ainsi. 1 sin m(x − x0 ) 1 1 − cos m(x − x0 ) lim = lim π m→∞ x − x0 π m→∞ m(x − x0 )2 1 ε H(x − x0 + ε) − H(x − x0 ) = lim = lim π ε→0+ (x − x0 )2 + ε2 ε→0 ε δ(x − x0 ) = Dans la derni`re relation.5). On peut associer u ee la fonction de Heaviside ` des constantes par morceaux : a 1 g>a 0 g<a H(g − a) = La valeur en g = a n’a pas de sens.1. On peut avoir une image simple de la fonction de Heavisde par la relation prć´dente mais la d´finition rigoureuse est la relation int´grale (1. Ce qui montre que la fonction δ est la e d´rivé de la fonction de Heaviside. e e . H est la fonction de Heaviside.4 Les fonctions gń´ralisés e e e 123 1.5) o` la fonction ”test” G(g) est une fonction de g ayant de ”bonnes” propri´t´s.2 La fonction de Heaviside Elle est d´finie par la propri´t´ int´grale suivante : e ee e ∞ ∞ H(g − a)G(g) dg = −∞ a G(g) dg (1.4.3 La fonction Dirac La fonction delta ou Dirac est d´finie par la propri´t´ int´grale : e ee e ∞ δ(g − a)G(g) dg = G(a) −∞ (1. on peut formaliser δ comme : e 0 g=a +∞ g = a ∞ δ(g − a) = et −∞ δ(g − a) dg = 1 On peut ´galement voir la fonction gń´ralisé δ(g − a) comme la limite d’une fonction qui ne e e e e prend de ”valeur notable” que dans le voisinage de a o` elle pr´sente un maximum tr`s marqu´.4. e e e e a e e e est d´finie par : e ∞ δ (n) (x)f (x) dx = (−1)n f (n) (0) −∞ pour toute fonction f n-fois d´rivable au point x = 0. La d´rivé de la fonction Dirac poss`de e e e e les propri´t´s : ee δ (n) (x) = (−1)n δ (n) (−x) δ (m) (x − y)δ (n) (y − a) dy = δ (m+n) (x − a) xn+1 δ (n) (x) = 0 ∞ δ (x)f (x) dx = f (0) −∞ δ (x) = −δ (−x) xδ (x) = −δ(x) x2 δ (x) = 0 i δ (x) = 2π Pour la fonction de Heaviside : H (g − a) = A l’inverse : g ∞ k exp(ikx)dk −∞ ∂ H(g − a) = δ(g − a) ∂g δ(g − a)φ(g )dg = H(g − a)φ(a) −∞ . ∀n |g (xn )| n f (x)δ(x − a) = f (a)δ(x − a) δ(x − y)δ(y − a) dy = δ(x − a) xδ(x) = 0 1 δ(x) = 2π ∞ ∞ exp(ikx)dk −∞ δ(x) = −∞ exp(2iπkx)dk D´rivation et int´gration e e e La fonction gń´ralisé δ est d´rivable ` tout ordre.124 Propri´t´s de la fonction Dirac e e ´ Chapitre 1 : Rappels mathematiques δ(x) = δ(−x) 1 δ(ax) = δ(x) |a| 1 δ[g(x)] = δ(x − xn ) avec g(xn ) = 0 avec g (xn ) = 0 . La ni`me d´rivé de δ(x). noté δ (n) (x). x0 ) = (x − x0 )H(x − x0 ) + Ax + B. e e . la fonction delta bidimensionnelle est d´finie par : e a e f (x)δ(x) dx = f (0) o` dx est une aire ´l´mentaire et l’int´gration englobe un voisinage du vecteur nul x = 0.1. On u ee e peut se ramener ` des fonctions delta monodimensionnelles : a f (x)δ(x) dx = f (x)δ(x) dx1 x2 = f (0) f (x)δ(x1 )δ(x2 ) dx1 x2 = f (x1 = 0.v dS appliqu´ ` v = ea a pour solution G. soit : G(x. on montre que G = δ(x) G= 1 log r + B 2π . soit : f (0) = 0 f (x)δ(x) 2πrdr = 2 0 f (x)δ(r) dr qui fournit rδ(x) = d’o` u δ(r) . x2 = 0) = On a donc : δ(x) = δ(x1 )δ(x2 ) quelle que soit l’orientation des axes. Ainsi l’´quation homog`ne : e e 2 G≡ ∂2 1 ∂ + 2 ∂r r ∂r a pour solution G = A log r + B En utilisant le thór`me de la divergence. x0 ) = x(H(x − x0 ) + x0 − 1) − x0 H(x − x0 ) La fonction delta bidimensionnelle x ´tant un vecteur ` deux dimensions.v dV = V S 2 pour r = 0 n. Les contraintes G = 0 en x = 0 et en x = 1 (puisque 0 ≤ x ≤ 1 et 0 < x0 < 1) permettent d’obtenir A et B.4 Les fonctions gń´ralisés e e e Il s’ensuit. Cette isotropie de la fonction δ implique qu’elle ne soit fonction que du module de x. x0 ) = δ(x − x0 ) ∂x2 Il s’agit de G(x. or π rδ (r) = −δ(r) δ(x) = − δ (r) π G = 0. pour des bornes d’int´gration de part et d’autre de a : e >a 125 δ(g − a)φ(g)dg = φ(a) <a exemple : La propri´t´ prć´dente permet de d´terminer directement la solution de : ee e e e ∂2G (x. r = |x| . elle est d´finie par : e c e ´ Chapitre 1 : Rappels mathematiques f (x)δ(x) dx = f (0) V On peut montrer que : δ(x) = δ(x1 )δ(x2 )δ(x3 ) L’isotropie conduit ` : a 2πr2 δ(x) = δ(r) et r2 δ (r) = 2δ(r) d’o` : u δ(x) = δ (r) 4πr .126 La fonction delta tridimensionnelle De la mˆme fa¸on qu’en 2-D. e ∂ ∂x2 + ∂ ∂x3 ). encore nommé ´quation de continuit´. 2.1. u e e e m = 0). e e Σ le tenseur des contraintes du fluide.1 Equations gń´rales de la mćanique des fluides e e e On ćrit les ´quations gń´rales qui r´gissent un fluide newtonien pour une particule fluide. p la pression. s’ćrit : e e e e (2. 2.2 Loi de conservation de la quantit´ de mouvement e La loi de conservation de la quantit´ de mouvement (ou ´quations de Navier-Stokes.2) avec f une force externe (qui peut inclure par exemple la gravit´). on donne la notation tensorielle et son d´veloppement en coordonnés cart´siennes e e e entre crochets1 . : div ≡ ∂xi = ∂x1 + ”⊗” d´signe le produit tensoriel ou produit dyadique de 2 tenseurs. A e e e e e chaque fois.Chapitre 2 Un peu de mćanique des fluides e 2.1 Loi de conservation de la masse ∂ρ + . δij le symbole de Kronecker (δij = 1 si i = j et δij = 0 si i = j). u le vecteur vitesse et m une source de masse (en gń´ral. τ le tenseur des contraintes visqueuses. 3 e e ´quations en 3-D et 2 en 2-D) est donné par2 : e e ∂ (ρu) + div(ρu ⊗ u + Σ) = ρf ∂t ∂ (ρu) + grad u ∂t u + div(Σ) = ρf avec Σ = pI − τ [ Σij = pδij − τij ] (2.1.(ρu) = m ∂t ∂ρ + div(ρu) = m ∂t ∂ρ ∂ + (ρui ) = m ∂t ∂xi La loi de conservation de la masse. 1 2 ∂ ∂ La sommation d’Einstein est sous-entendue ( ex. I le tenseur unit´.1) soit o` ρ d´signe la masse volumique. 127 .3) ∂ ∂ (ρui ) + (ρui uj + Σij ) = fi ∂t ∂xj (2. div τ (2.5) avec l’ńergie totale E somme de l’ńergie interne par unit´ de masse e et de l’ńergie cin´tique : e e e e e 1 E = e + u2 .u ∂t ∂ ∂ ∂ ∂qi ∂ (ρui E) + (pui ) + (τij uj ) + = fi ui (ρE) + ∂t ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi On l’ćrit pour m = 0. S est le tenseur des vitesses de d´formation.4) avec µ(T ) le coefficient de viscosit´ dynamique (d´termin´ exp´rimentalement) et ν la viscosit´ e e e e e cin´matique (ν = µ/ρ).8) Si on n´glige la conduction thermique et la dissipation visqueuse. qui suit la loi de Fourier : ua q = −κc T qi = −κc ∂T ∂xi (2.1. Pr le nombre de Prandtl3 (∼ 0. e e 2. e (2. 2 u = |u| (2.128 ´ Chapitre 2 : Un peu de mecanique des fluides On suppose que le fluide est newtonien et suit la loi de Stokes. l’ćoulement est isentropique5 e e ∂s ∂s + ui = 0 ou ∂t ∂xi Si s = cste. d’o` : u 2 τ = µ grad u + (grad u)T − µ(div u)I 3 2 τ = 2µS − µ(div u)I 3 τij = µ ∂uj ∂ui + ∂xj ∂xi 2 − µ 3 ∂uk ∂xk δij (2. e T ds = de + p (dρ)−1 on a4 : ρT ∂s + u. e ” :” d´signe le produit de contraction double de deux tenseurs. afin d’´viter toute confusion. e Rq : forme entropique de la loi de conservation de l’ńergie e En utilisant la loi fondamentale de la thermodynamique pour un processus r´versible. On e e e e e e e utilisera dans la suite la notation D/Dt.6) et q le vecteur flux de chaleur dˆ ` la convection thermique.3 Loi de conservation de l’ńergie e ∂ (ρE) + div(ρEu + Σ u + q) = f . e 4 3 .72 e pour l’air) et T la temp´rature (en Kelvin). e 5 La d´rivé particulaire en suivant l’ćoulement ou d´rivé mat´rielle de Stokes est noté d/dt ou D/Dt. l’ćoulement est homentropique e parfois not´ σ. s ∂t = −div q + τ : grad u = −div q + div(τ ρT ∂s ∂s + ui ∂t ∂xi =− ∂uj ∂qi + τij ∂xi ∂xi Ds Dt u) − u.7) avec κc = cp µ/Pr le coefficient de conductivit´ thermique. 2 Quelques ´l´ments de dynamique des tourbillons ee 129 2. C’est pourquoi.2.73 J kg−1 K−1 γ= cp = 1. e e 2. cp la chaleur spćifique ` pression constante. ∂xj ∂xj ∂xj Comme la vorticit´ est solńo¨ e e ıdale par construction ( .9) avec cv la chaleur spćifique ` volume constant. On peut aussi d´finir : e ∂xj ωij = 1 2 ∂uj ∂ui − ∂xj ∂xi avec seulement trois termes non nuls puisque ω11 = ω22 = ω33 = 0 et ωij = −ωji .4 Equation d’´tat e Afin de fermer le syst`me (2. ω correspond ` une vitesse a 1 angulaire de 2 ω autour du centre de la particule. le lecteur pourra se ee r´f´rer aux ouvrages [?.2. et sauf indication contraire. on consid`re la loi des e e gaz parfait : p = ρrT et de = cv dT r = cp − cv = 286.2)(2. Cette hypoth`se permet de montrer que e une distance x l’int´grale de chacune des composantes de ω est nulle sur un volume V donn´ : e e ωi dx = ∂ (ωj xi ) dx ∂xj V V ∂ωj ∂ ∂xi (ωj xi ) = xi + ωj = ωj δij = ωi . r e a e a la constante spćifique des gaz et γ le rapport des chaleurs spćifiques. Un corps rigide poss´dant une vitesse angulaire e Ω autour de son centre d´finit donc une vorticit´ : e e ω = rot u = 2Ω On suppose que le champ de vorticit´ est localis´. nous rappelons ici quelques e ´l´ments de dynamique du tourbillon.1.1 La vorticit´ e ∧ u. Pour un traitement plus complet.5). ?. c’est-`-dire que l’on peut toujours trouver e e a ∗ telle que ωex/x∗ → 0 lorsque x → ∞. La vorticit´ e donne une mesure de la rotation angulaire des particules de fluide.402 cv (2.ω = 0). ee 2.1)(2.2 Quelques ´l´ments de dynamique des tourbillons ee Les structures coh´rentes de la turbulence et plus gń´ralement les tourbillons jouent un rˆle e e e o central dans le bruit produit par un ćoulement. e e Pour un gaz parfait. ?]. Sous forme indicielle on peut La vorticit´ est le vecteur ω d´fini comme ω = rot u = e e la noter ωi = εijk ∂uk . l’ńergie interne est e = cv T et l’ńergie totale vaut ρE = p/(γ − 1) + ρu2 /2. l’application du thór`me de la e e divergence fournit : car ωi dx = ∂ (ωj xi ) dx = ∂xj ωj xi nj dx = 0 V V Σ . homentropique (s = e e cste). irrotationnel (ω = 0).A) − ω(y) dy |x − y| 2 A=− 2 A et l’on connaˆ la solution int´grale ` cette ´quation : ıt e a e A(x) = V En l’absence de paroi.130 ´ Chapitre 2 : Un peu de mecanique des fluides 2.2 La loi de Biot et Savart La vitesse u peut toujours ˆtre exprimé ` l’aide d’un potentiel scalaire ϕ et d’un potentiel e e a vectoriel A tels que : u = ϕ + rot A avec divA = 0 En coordonnés cart´siennes.2. on en d´duit l’expression de Biot et Savart donnant la vitesse en fonction e de la vorticit´ : e 1 ω(y) 1 ω(y) ∧ (x − y) u(x) = dy = dy x∧ 4π |x − y| 4π V |x − y|3 V en remarquant que : ∂ ∂xi 1 r = 1 ∂r 1 ri =− 2 2 ∂x r r r i avec r = x − y Le champ de vorticit´ permet de d´terminer le champ de vitesse associ´.3 L’´quation de Crocco e Il s’agit d’une reformulation de l’´quation de conservation de la quantit´ de mouvement en e e 1 introduisant la vorticit´ ω et l’enthalpie totale B = h + 2 u2 : e ∂ui ∂B ∂s 1 ∂σij fi + = −(ω ∧ u)i + T + + ∂t ∂xi ∂xi ρ ∂xj ρ o` on a utilis´ dh = T ds + u e dp ρ (2. )u = + Dt ∂t ∂t 2. 2.10) induit l’existence d’un potentiel e ϕ tel que u= ϕ Une int´gration fournit l’´quation de Bernouilli : e e ∂ϕ + B − φ = Cste(t) ou ∂t ∂ϕ 1 + h + u2 − φ = Cste(t) ∂t 2 . On remarque. ces relations induisent : e e 2 ϕ = divu et pour un ćoulement incompressible (divu = 0).4 L’´quation de Bernouilli e Pour un fluide parfait (viscosit´ et conduction thermique n´gligeables). l’´quation de Crocco (2.2. puisqu’elle fait intervenir tout le volume V .2.10) et le d´veloppement de la d´rivé particulaire en : e e e 1 2 u 2 +ω∧u Du ∂u ∂u = + (u. pour lequel la force ext´rieure est conservative et peut ˆtre d´duite e e e d’une fonction scalaire φ (f = ρ φ). que cette relation est non locale. la vitesse d´rive d’un vecteur potentiel A qui e e v´rifie l’´quation de Poisson suivante : e e ω= ∧u= ∧( ∧ A) = 1 4π ( . d’autre e e e part.

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