CHAPITRE 1LA TRANSFORMEE DE LAPLACE Chapitre1: La transformée de Laplace L’ESSENTIEL DU CHAPITRE I. Définition de la transformée de Laplace Soit f (t ) une fonction réelle, de la variable temps (t ) , définie pour t > 0, f (t ) = 0 pour t < 0 . La transformée de Laplace F (p) , image, de f (t ) est définie par: F (p ) = ∫ ∞ 0+ e −pt f (t ).dt (1.1) p étant une variable complexe (p = σ + jw ) , σ, w sont des variables réelles et j 2 = −1 . Notation: La transformée de Laplace F (p) de f (t ) est notée : F (p ) = L[ f (t )] , Inversement f (t ) = L−1[F (p)] . La transformée de Laplace inverse f (t ) , originale, de F (p) est donnée par : σ + jw 1 f (t ) = e pt F (p).dp ∫ jw σ − j 2π (1.2) II. Propriétés II.1. Linéarité Si f (t ) = α.f1(t ) + β.f2 (t ) α et β sont des constantes arbitraires. ⇔ F (p) = α.F1(p) + β.F2 (p) (1.3) II.2. Dérivation Connaissant la transformée de Laplace F (p ) = L[ f (t )] , on se propose d’exprimer la transformée de la fonction dérivée L[ f ' (t )] . L[ f ' (t )] = pF (p) − f (0). L[ f '' (t )] = p 2 .F (p) − p.f (0) − f ' (0) Pour la dérivée n ième , on démontre de la même manière que : L[ f n (t )] = p n F (p) − p n −1 f (0) − p n −2 f ' (0) − p n −3 f '' (0) − ........ − f (n −1)(0) (1.4) II.3. Intégration t L[ ∫ f (t )] = 0 1 F (p). p (1.5) II.4. Théorème de la valeur initiale Si p → ∞; e −pt → 0 ⇒ L[ f ' (t )] → 0 ⇒ pF (p) − f (0) → 0 , D’où : f (0+ ) = lim f (t ) = lim pF (p) t →0 (1.6) p →∞ II.5. Théorème de la valeur finale Si p → 0; e −pt → 1 ⇒ L[ f ' (t )] → D’où : ∞ ∫0 f ' (t )dt = f (∞) − f (0)= lim[ pF (p)] − f (0) p →0 f (∞) = lim f (t ) = lim pF (p) t →∞ p →0 4 (1.7) Chapitre1: La transformée de Laplace II.6. Théorème du retard Soit L[ f (t )] = F (p ) L[ f (t − τ )] = e −p.τ F (p) Ou τ > 0 et f (t - τ ) = 0 pour t < τ (1.8) A retenir: Quand une même fonction apparaît avec un retard τ , sa transformée est égale à celle de la précédente multipliée par e −p.τ . II.7. Translation dans le domaine complexe Soit L[ f (t )] = F (p ) L[e ±at .f (t )] = F (p ∓ a ) (1.9) II.8. Changement d’échelle de temps Soit L[ f (t )] = F (p ) 1 1 L[ f (at )] = F ( p) a a (1.10) II.9. Changement d’échelle de fréquence Soit L−1[F (p)] = f (t ) p L−1[F ( )] = a.f (t ) a (1.11) II.10. Intégrale de convolution : Théorème de Duhamel Soient L[ f1(t )] = F1(p); L[ f2 (t )] = F2 (p); L[ f (t )] = F (p) Si, F (p) = F1(p).F2 (p) alors f (t ) = L−1[F (p)] = L−1[F1(p).F2 (p)] est donnée par : f (t ) = ∫ t 0 t f1(τ ).f2 (t − τ )d τ =∫ f2 (τ ).f1(t − τ )d τ 0 (1.12) III. Transformée de Laplace d’une fonction périodique La transformée de Laplace d’une fonction périodique f (t ) de période T étant F (p) . Soit F1(p) la transformée de la 1ère onde. La deuxième onde a un retardT . La troisième à un retard 2T etc. ⇒ F (p) = F1(p) ⎡⎣1 + e −pT + e −2 pT + e −3 pT + ..........................⎤⎦ 1 Pour : e −pT < 1 ⇒ F (p) = F1p) (1.13) 1 − e −pT A retenir: La transformée d’une fonction périodique de période T est égale à la transformée de la première onde divisée par 1 − e −pT . IV. Transformées de Laplace des signaux canoniques IV.1. Impulsion de Dirac : f (t ) = δ(t ) ⇒ F (p) = 1 1 Lδ(t ) = p.Lu(t ) = p. = 1 p 5 G (p) 3. 2.2. Fonction rampe (échelon de vitesse) f (t ) = t. IV. Unicité : A f (t ) correspond F (p) unique et inversement.3.u(t ) ⇒ F (p) = 1 p IV. f (t ) est dite causale si elle est définie pour t > 0. 6 .Chapitre1: La transformée de Laplace ε → 0 : étant un intervalle de temps très petit.g(t )] ≠ F (p). f (t ) = 0 pour t < 0 . Fonction échelon de position unité f (t ) = 1.u(t ) ⇒ F (p) = 1 p2 Remarques : 1. L[ f (t ). p ) w p + w2 t ⎛ ⎛ ⎞ ⎜⎜1 − ⎜1 + t ⎟⎞⎟e − τ ⎟⎟ .t .sin w 0 1 − m 2 .t + ψ 2 ⎢ 1−m ⎣ avec : ψ = arc cos(m ) ( ( ⎤ ⎥ .u(t ) τ n (n − 1)! 1 n (1 + τ.p ) 1 (1 − cos(w 0t )).e −at .p u(t − τ ) 1 −τ p e p t − τt e .1.u(t ) 1 2 (p + a ) u(t ) 1 p 1 − τt e .u(t ) 2 (m < 1) (m < 1) (m < 1) 1 t t − ⎞ 1 ⎛⎜ − τ1 τ2 ⎟ ⎜e − e ⎟⎟ .u(t ) ⎡ 1 ⎢1 − e −mw0t .sin w 0 1 − m 2 .u(t ) ⎜⎝ ⎜⎝ τ ⎠ ⎟⎠ 1 2 p (1 + τ.u(t ) τ 1 1 + τ.t .u(t ) ⎟⎠ τ1 − τ2 ⎜⎜⎝ (1 + τ1p )(1 + τ2 p ) 1 p (1 + τ1p )(1 + τ2 p ) t ⎡ ⎛ −t − ⎞⎤ ⎢1 − 1 ⎜⎜τ e τ1 − τ e τ2 ⎟⎟⎥ .p ) 1 pn t ⎛ ⎞ ⎜⎜t − τ + τ.u(t ) ⎥ ⎦ ) w 02 p (p 2 + 2mw 0 p + w 02 ) p + mw 0 p + 2mw 0 p + w 02 ) e −mw0t .u(t ) ⎟⎟⎥ 1 2 ⎢ τ1 − τ2 ⎜⎜⎝ ⎠⎥⎦ ⎢⎣ Tableau 1.u(t ) τ2 1 2 (1 + τ.Chapitre1: La transformée de Laplace TABLE DE TRANSFORMEES DE LAPLACE f (t ) F (p) f (t ) F (p) δ(t ) 1 e −at .u(t ) ⎟⎠ ⎜⎝ 1 p (1 + τ.u(t ) ⎟⎠ ⎜⎝ 1 p (1 + τ.cos w 0 1 − m 2 .u(t ) 1 p2 t ⎛ ⎞ ⎜⎜1 − e − τ ⎟⎟ . Table de transformées de Laplace 7 .u(t ) 2 f (t ) w0 1 − m2 F (p) ( ) w 02 p 2 + 2mw 0 p + w 02 e −mw0t .u(t ) p 2 p + w2 t − t n −1 τ e .u(t ) w 02 1 2 p (p + w 02 ) e −at f (t ) F (p + a ) t n −1 .p ) cos(wt ).p ) t.u(t ) (n − 1)! ( n : entier 2 positif) sin(wt ).u(t ) 1 p +a δ(t − τ ) e −τ p t.e − τ ⎟⎟ . Rampe unitaire (Echelon de vitesse) : t. Connaissant la transformée de Laplace de la fonction f (t ) = e jwt .e.u(t ) Soit le système de fonction de transfert H (p) = 8 . Echelon de position unitaire : u(t ) c.sin wt . p − jw on vous demande de retrouver la transformée de Laplace des fonctions suivantes : g(t ) = cos wt et h(t ) = sin wt Déduire la transformée de Laplace de : e −at . Déterminer la tension aux bornes de la capacité C en supposant que la charge initiale de C est nulle. 2. Calculer l’expression de U (p).Chapitre1: La transformée de Laplace EXERCICES Exercice N° 1 Calculer la transformée de Laplace du signal trapézoïdal suivant : Exercice N° 2 Soit le circuit RC exciter par une f. Exercice N° 3 1 ). Impulsion de Dirac : δ(t ) b.m.cos wt et e −at . ( F (p) = Exercice N° 4 −e −3 p (1 − e −3 p ) p Calculer et tracer les réponses de ce système face aux signaux suivants: a. sinusoïdale e(t ) = Em sin wt 1. 9 . b. e. c. d.Chapitre1: La transformée de Laplace Exercice N° 5 Calculer la transformée de Laplace de la fonction f (t ) et en déduire celle de g(t ) dans chacun des cas suivants : a. Exercice N° 9 On considère le signal suivant : 1. 10 . y '' + 4y ' + 3y = 6 avec y(0) = y ' (0) = 0 Exercice N° 7 Trouver la transformée de Laplace inverse des fonctions suivantes : p2 + 1 1. Trouver l’expression de Y (p) et la décomposer en éléments simples. 2.10) + (t − 16)u(t . H (p) = p 2 + 2p + 5 (p + 1)3 Exercice N° 8 Ecrire la transformée de Laplace de l’équation différentielle suivante : ⎛dy ⎞ d 2y dy Avec y(0) = . G (p) = 2 p (p + 1)3 3.5u(t .(t − 15)u(t .5) .6) . y ' + 2y = 8 avec y(0) = 0 2. Représenter e(t ) et v(t ) Donner l’expression de E (p) et de V (p) Retrouver graphiquement f (t ) = e(t ) + v(t ) Calculer la transformée de Laplace de f (t ). 2. * v(t ) = -(t − 6)u(t . 1. En déduire la solution y(t ) de l’équation différentielle. 4. F (p) = (p + 1)(p + 2)(p + 3) p2 + p + 1 2. 2.16). Donner l’expression de e(t ). 3.1 et ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = 2 +3 + 2y(t ) = u(t ) 2 ⎝ dt ⎠t =0 dt dt 1.15). Exercice N° 10 On considère les signaux décrits par les équations suivantes : * e(t ) = 5u(t ) + (t − 5)u(t . Calculer sa transformée de Laplace E (p).Chapitre1: La transformée de Laplace Exercice N° 6 Résoudre les équations différentielles suivantes : 1. Chapitre 2: Schémas fonctionnels & Théorie des graphes CHAPITRE 2 SCHEMAS FONCTIONNELS & THEORIE DES GRAPHES 11 . Chapitre 2: Schémas fonctionnels & Théorie des graphes L’ESSENTIEL DU CHAPITRE I. Figure 2.1. Schéma fonctionnel Un schéma fonctionnel est une représentation graphique abrégée des relations cause à effet entre le signal d’entrée (consigne) et le signal de sortie d’un système physique. capable de délivrer au processus réel la commande (politique) optimale. I.1. un schéma fonctionnel est constitué par les 4 éléments suivants : * des blocs caractérisés.2. Mais cela n’est que idéal. * K 1 et K 2 : désignent les facteurs de transfert de l’organe d’affichage et de la chaîne de retour. D’une manière générale.1. * des comparateurs et/ou des sommateurs représentés par un cercle. soit par un gain G et schématisés par un rectangle. Boucle de commande Il s’agit de réaliser un système physique appelé système de commande. soit par une transmittanceT (p) . Figure 2.1. perturbations). on adopte alors une structure de commande en boucle fermée. * des points de dérivation schématisés par un point (un nœud) et traduisent un prélèvement sans perturbation d’une grandeur de sortie. I. Schéma fonctionnel d’une boucle de commande. on utilise un système de commande qui fonctionnerait en boucle ouverte. Si le processus réel était parfaitement décrit par le modèle mathématique. * des flèches représentants la circulation orientée des signaux. Pour « insensibiliser » le fonctionnement réel par rapport à toutes les imperfections (incertitudes. Exemple de schéma fonctionnel. Schéma fonctionnel d’une boucle de commande La figure suivante illustre sous forme de schéma bloc la représentation fonctionnelle d’une commande par l’erreur corrigée d’un processus. cela consiste à modifier la commande en fonction de cette dernière ou de son écart avec l’évolution idéale. 12 . c’est-à-dire sans aucun contrôle. la consigne étant considérée nulle. Simplification des schémas fonctionnels Simplifier un schéma fonctionnel revient à exprimer la sortie du système en fonction de son entrée ( S = f (e) ) en éliminant les variables intermédiaires.1.K (p) E (p ) ⇒ Y (p) = G (p).ε(p) et ε(p) = E (p) ± Y (p). Schéma fonctionnel de la boucle ouverte. 13 .1) I. I. * e(t ) . Fonction de transfert en boucle ouverte La fonction de transfert en boucle ouverte.1. I.Chapitre 2: Schémas fonctionnels & Théorie des graphes * ε(t ) et u(t ) : variables internes.2.4.K (p) T (p) = ⎢− s ⎥ ⎢ Ve (p) ⎥ ⎣ ⎦ E ( p )=0 (2.K (p)] Soit : H (p ) = G (p ) 1 ∓ G (p). y(t ) : variables externes. Fonction de transfert en boucle fermée : Formule de Black Figure 2.2.K (p) (2. H (p ) = Y (p ) avec : Y (p) = G (p). ⎡ V (p ) ⎤ soit T (p) = G (p). Figure 2.3.2) La transmittance en boucle ouverte n’est autre que le produit des transmittances des chaînes d’action et de réaction. d’une boucle de commande est l’opposé du rapport des transformées de Laplace de la sortie et de l’entrée de la boucle ouverte.[E (p) ± Y (p).3. Schéma fonctionnel de la boucle fermée. La fonction de transfert en boucle fermée est notée H (p) . b Redisposition des comparateurs 7 8 9 déplacement d’un comparateur en amont d’un élément déplacement d’un comparateur en aval d’un élément déplacement d’un point de dérivation en amont d’un élément Z = T1(p)X ± Y Z = T1(p)[X ± Y ] Y = T1(p)E Tableau 2.T (p) E 1 2 boucle de retour 6. 14 .a.E Elimination d’une boucle de retour Retrait d’un T1(p) élément d’une Y = 1 ∓ T (p).T2 (p).a Redisposition des comparateurs Z=W±X±Y 6.1.Chapitre 2: Schémas fonctionnels & Théorie des graphes Transformation 1 Association d’éléments en cascade 2 Association d’éléments en parallèle 3 Retrait d’un élément d’une chaîne d’action 4 5 Equation Schéma fonctionnel Schéma fonctionnel équivalent Y = T1(p). Simplification des schémas fonctionnels.E Y = [T1(p) ± T2 (p)]. 5. Schéma fonctionnel à 2 entrées & 1 sortie Figure 2.3) Avec : * T1(p) = G1K (G2 − H 2 ) S (p ) (Présence de E (p) ) = E (p) 1 + G1 (G2K + H 1 − KH 2 ) * T2 (p) = S (p ) 1 + H 1G1 (Présence de Z (p) ) = Z (p) 1 + G1 (G2K + H 1 − KH 2 ) Donc S (p ) = G1K (G2 − H 2 ) E (p) + (1 + H 1G1 ) Z (p) 1 + G1 (G2K + H 1 − KH 2 ) 15 . On applique le théorème de superposition.O.Z (p) (2.I.E (p) + T2 (p) E (p )=0 .b.Chapitre 2: Schémas fonctionnels & Théorie des graphes Transformation Equation déplacement d’un point de dérivation 10 en aval d’un élément déplacement d’un 11 point de dérivation en amont d’un comparateur déplacement d’un 12 point de dérivation en aval d’un comparateur Schéma fonctionnel Schéma fonctionnel équivalent Y = T1(p)E Z = X ±Y Z = X ±Y Tableau 2.3. Simplification des schémas fonctionnels. l’expression de la sortie S (p) en présence à la fois de l’entrée E (p) et de la perturbation Z (p) est donnée par : S (p) = T1(p) Z ( p )=0 . Exemple de schéma fonctionnel M. I.S.1. i =1 n ∑ B .B j .2. Définition Un graphe de transfert ou graphe de fluence est constitué d'un ensemble de noeuds et de branches.Bk : Produits des transmittances des triplets de boucles sans noeuds commun.B i j : Produits des transmittances des paires de boucles sans noeuds commun.Bk + .. 16 . Les noeuds représentent les variables systèmes.4) ∗ Δ : C’est le déterminant du graphe. j ≠i =1 n ∑ Bi ...5) j ≠k ≠i =1 n ∑ B : Transmittance i des différents boucles du graphe. Les branches relient les noeuds entre eux et chaque branche est affectée d'un coefficient correspondant à une transmittance.B i j ≠i =1 j − n ∑ Bi .. il est donné par : n Δ = 1 − ∑ Bi + i =1 n ∑ B .6.. dans le cas général le noeud et dit secondaire.. ils sont symbolisés par des ronds.B j . (2. Exemple de graphe de fluence. Un noeud au quel arrivent plusieurs branches est appelé puits. Règle de Mason La transmittance d'un graphe d'entrée Xe (p) et de sortie Xs (p) est donnée par l'équation suivante : N X (p ) H (p ) = s = X e (p ) ∑ P . II. * Δi : Le déterminant du graphe obtenu en supprimant tous les noeuds traversés par le parcourt i .Δ i i i =1 Δ (2..1. j ≠k ≠i =1 On appelle boucle.. Graphe de fluence II. * N : C’est un entier qui représente le nombre de parcourt direct de l'entrée Xe à la sortie X s . * Pi : La transmittance du parcours direct N ° i obtenue en faisant le produit des transmittance des branches du parcourt i ....Chapitre 2: Schémas fonctionnels & Théorie des graphes II. un parcours fermé sans répétition (c'est à dire aucun noeud des graphes n'est traversé plus d'une fois durant un parcourt). D'un noeud peuvent partir plusieurs branches il s'agit alors d'un noeud source.. Figure 2. Dans un tel parcourt aucun noeud n'est traversé plus d'une fois. calculons la fonction de transfert H (p) = Y (p ) .Chapitre 2: Schémas fonctionnels & Théorie des graphes II.G2 (p) 17 . Δ = 1 − (B1 + B2 + B3 ) + B1B2 H (p ) = Y (p ) G1(p). E (p ) * Les parcours : P1 = G1(p). 1 seul paire de boucle n’ayant pas de nœuds : B1 & B2 .G2 (p) = E (p) 1 − G1(p) + G2 (p) + G1(p).G2 (p) ⇒ Δ1 = 1 * Les boucles : B1 = −G1(p). B3 = 2G1(p) . B2 = −G2 (p).3. Exemple Un système asservi linéaire est représenté par le graphe de fluence suivant: En utilisant la règle de Mason. Tracer le graphe de fluence et retrouverT (p) . 1. Calculer la fonction de transfert T (p) = 18 . x1 Exercice N° 2 On considère un système mécanique donné par la figure suivante : Bi : cœfficient de frottement de la tige i et ki : raideur du ressort i S (p ) Calculer la fonction de transfert du système : H (p) = 2 F (p ) Exercice N° 3 Soient les schémas fonctionnels suivants : S (p ) E (p ) 2.Chapitre 2: Schémas fonctionnels & Théorie des graphes EXERCICES Exercice N° 1 Tracer le schéma fonctionnel et le graphe de fluence du système décrit par les équations suivantes : ⎧⎪x = x − x 1 4 ⎪⎪ 2 ⎪⎪ ⎨x 3 = A1x 2 − A3x 3 ⎪⎪ ⎪⎪x 4 = A4x 3 − A2x 1 ⎪⎩ x4 En déduire le rapport . i. sa vitesse angulaire et l’inertie totale rapportée à l’arbre du moteur ( J m = 0. C m = Kmi avec : K m : Coefficient du couple moteur ( K m = 1. C r : Couple résistant équivalent ramené sur l’arbre du moteur.14Ω ) f : Le coefficient de frottement visqueux ( f = 0. e.Chapitre 2: Schémas fonctionnels & Théorie des graphes Exercice N°4 Le système qu’on désire étudier est un moteur à courant continu accouplé à une charge mécanique. Exercice N° 5 On considère le schéma fonctionnel suivant : Calculer K . son courant d’induit. C m .011 ).55). Son fonctionnement est décrit par les équations suivantes : di dΩ + f Ω + Cr ua = ri + L + e. sa force contre-électromotrice. La vitesse de rotation est mesurée par une dynamo tachymétrique de coefficient de transfert λ = 0.191 Kg. K 2 & K 3 pour que la fonction de transfert en boucle fermée soit : H (p ) = Y (p ) 40 = 2 E (p) (p + 1)(p + 6p + 10) 19 . l étant l’inductance d’induit ( l = 14 mH ). 2. Calculer la fonction de transfert du système. Ke : Coefficient de la force contre-électromotrice du moteur ( Ke = 1. r : Résistance de l’induit ( r = 1. K1.06 . le couple moteur.55). La tension d’induit du moteur est donnée par un hacheur supposé parfait et de gain égal à 26 . Cm = Jm dt dt Où : ua . Etablir le modèle du moteur hacheur (donner le schéma fonctionnel). Son alimentation en énergie électrique se fait par l’induit. 1. Les extraits du catalogue du constructeur des moteurs permettent d’écrire les relations suivantes : E = Ke Ω .m 2 ). Ω & J m sont respectivement la tension d’alimentation du moteur. Chapitre 2: Schémas fonctionnels & Théorie des graphes Exercice N° 6 Soit le schéma fonctionnel suivant : Trouver les expressions suivantes : 1. y = f (x 1, x 2 , x 3 , x 4 ) 2. z = g(x 1, x 2 , x 3 , x 4 ) Exercice N° 7 On donne le schéma fonctionnel d’un système continu suivant : 1. Donner la représentation par graphe de fluence de ce système. 2. En utilisant la règle de Mason, calculer la fonction de transfert Y (p ) système H (p) = . U (p ) 3. On réalise l’asservissement suivant : du Que doit-on choisir comme régulateur R(p) afin que la fonction de transfert du système 1 Y (p ) = bouclé H (p) = . E (p ) p + 3 20 Chapitre 2: Schémas fonctionnels & Théorie des graphes Exercice N° 8 Déterminer la sortie S (p) du système suivant : Exercice N°9 Un système d’entrée E et de sortie S est décrit par les équations suivantes : ⎧⎪x 1 = E − x 5 ⎪⎪ ⎪⎪x 2 = a1x 1 ⎪⎪ ⎧⎪a1; a2 ; a 3 ; a 4 ⎪⎪ ⎪⎪⎪x 3 = a2x 2 + b1x 1 − c1x 4 ⎪b ; b où sont des constantes ⎨x = a x ⎨1 2 ⎪⎪ 4 ⎪⎪ 3 3 ⎪⎪ ⎪⎪c1; c2 ; c3 ⎩ ⎪⎪x 5 = c2x 3 + c3S ⎪⎪ ⎪⎪⎩S = a 4x 4 + b2x 2 1. Tracer le graphe de fluence et le schéma fonctionnel du système. S (p ) 2. Calculer le rapport en utilisant la règle de Mason. E (p ) Exercice N°10 Soit le schéma fonctionnel suivant : Déterminer les sorties S1 = f (E1, E 2 ) et S 2 = g(E1, E 2 ) . Exercice N°11 Soit le graphe de fluence Calculer le rapport Y . X 21 Chapitre 2: Schémas fonctionnels & Théorie des graphes Exercice N° 12 On considère un système asservi décrit par le graphe de transfert suivant : Y (p ) . E (p ) 2. Tracer le schéma fonctionnel du système et retrouver la fonction de transfert. 1. Calculer la fonction de transfert H (p) = Exercice N° 13 On donne le graphe de fluence suivant : Calculer la fonction de transfert du système en utilisant la règle de Mason. Exercice N° 14 Soit le système régi les équations suivantes : ⎧⎪x 1 = a11x 1 + a12x 2 + b1u1 ⎪ ⎨ ⎪⎪x 2 = a21x 1 + a22x 2 + b2u2 ⎩ 1. Etablir le graphe de fluence correspondant. x x x x 2. Calculer les rapports 1 , 1 , 2 , 2 u1 u2 u1 u2 Exercice N° 15 On considère le circuit suivant : 1. Chercher la fonction de transfert de ce circuit H (p) = Y (p ) . E (p ) 22 y6 = G5y5 + G7y 3 ⎪⎪ ⎪⎪y = G6y6 + G 8y5 ⎪⎩ y En utilisant la formule de Mason. Donner la représentation par graphe de fluence et retrouver H (p) . calculer le rapport . y 3 = G2y2 ⎪ ⎨⎪y 4 = G 3y 3 − H 4y5 . Ecrire les équations du système décrit par le graphe ci-dessus. Exercice N° 18 On considère le graphe de transfert suivant : 1. 1.Chapitre 2: Schémas fonctionnels & Théorie des graphes 2. En utilisant la règle de Mason. Tracer le graphe de transfert correspondant et retrouver la fonction de transfert. x Exercice N° 17 On donne le circuit suivant : La sortie étant y(t ) = x 2 (t ) . y 2. calculer le rapport . y5 = G 4y 4 − H 1y. décrit par les équations suivantes : ⎧ ⎪⎪⎪y1 = x − H 3y. y2 = G1y1 − H 2y6 . x Exercice N° 19 On donne les circuits RC suivants : 23 . Calculer la fonction de transfert du système. Exercice N° 16 Soit le système d’entrée x et de sortie y . 2. Exercice N° 20 On considère les graphes de fluence suivants : 1. Calculer pour chacun des graphes les boucles Bi . Exercice N° 21 On donne le schéma de simulation de la fonction de transfert H (p) = S (p ) sur le E (p ) calculateur analogique. les parcours Pi et les cofacteurs Δk 2. 24 . le déterminant Δ .Chapitre 2: Schémas fonctionnels & Théorie des graphes 1. en déduire le gain en tension. Tracer le schéma fonctionnel correspondant. 2. En déduire la fonction de transfert de chaque graphe. Retrouver ce gain en utilisant le graphe de fluence. en déduire H (p) . 2. 2. Tracer le graphe de fluence. E (p ) 1 1 3 . Donner la représentation en graphe de fluence et appliquer la règle de Mason pour S (p ) calculer la fonction de transfert H (p) = . Exercice N° 22 Sur la maquette « SAMOURAI ». G2 = p +1 10p + 1 p Représenter le nouveau schéma fonctionnel obtenu. on utilise le montage suivant: 0 ≤ τ ≤ 10s et 0 ≤ G1 ≤ 1 . en déduire H (p) . P2 et P3 sont des potentiomètres. Tracer le graphe de fluence. G3 = . G6 = G7 = 0 2. 1. pour obtenir une constante de tempsT > 10s . P1 . G5 = . T) Exercice N° 23 On donne le schéma fonctionnel suivant : 1. E (p ) 25 . On donne G1 = B. Tracer le schéma fonctionnel. 1. Le simplifier et en déduire la nouvelle S (p ) expression de H (p) = . Etablir la relation G1 = f (τ. G 4 = 1.Chapitre 2: Schémas fonctionnels & Théorie des graphes P0 . pour obtenir un cœfficient d’amortissement m < 0 ou m > 1 . K : le gain 1. 2. p+3 Soit H (p) = 3 . Tracer son graphe de fluence. ma ) . Etablir la relation K = f (m. Il est à signaler que ma = 1 pour m > 0 et ma = 0 pour m < 0 .14 et m = -0. Le graphe précédent permet de représenter une fonction de transfert quelconque. ma : le cœfficient d’amortissement affiché par un potentiomètre.Chapitre 2: Schémas fonctionnels & Théorie des graphes Exercice N° 24 On donne le graphe de transfert suivant : S (p ) en utilisant la règle de Mason. Calculer H (p) = Exercice N° 25 Sur la maquette « SAMOURAI ». E (p ) 2.314 . on utilise le montage suivant : fa : la fréquence affichée par un potentiomètre. de K pour : 26 . p + 5p 2 + 2p + 7 1. Tracer le graphe de fluence. en déduire la valeur m = 4. Chapitre 3: Etude temporelle des systèmes linéaires élémentaires CHAPITRE 3 ETUDE TEMPORELLE DES SYSTEMES LINEAIRES ELEMENTAIRES 27 . y(t ) + y(t ) = K .1.E (p) Soit : H (p) = Y (p ) K = E (p) 1 + τ.1) y(t ) : La sortie (réponse) du système. K : Gain statique du processus. Exemple de système de 1er ordre.2) I.e(t ) (3.2.1.p (3. en considérant que les conditions initiales sont nulles.e.m. e(t ) : L’entrée du système (consigne). e(t ) R o e(t) C y(t) o Figure 3. Exemple d’un système de 1er ordre Soit le circuit RC exciter par une f. y(t ) + y(t ) = K . • τ. τ : Constante de temps du processus.Chapitre 3: Etude temporelle des systèmes linéaires élémentaires L’ESSENTIEL DU CHAPITRE I. H (p) = Y (p ) 1 K = = E (p) 1 + RC . Définition Un système du premier ordre est régi par l’équation différentielle à coefficient constant suivante : • τ.p Avec : τ = RC & K = 1 28 .e(t ) ⇒ τ. La fonction de transfert d’un système est obtenue à partir de la transformée de Laplace de l’équation différentielle caractérisant le système.pY (p) + Y (p) = K . Système de premier ordre I.p 1 + τ. E 0 (1 − e − τ ) . τ = 1s Réponse impulsionnelle e(t ) = E 0 .Chapitre 3: Etude temporelle des systèmes linéaires élémentaires I. Réponses temporelles d’un système de 1er ordre. = K .u(t ) ⇒ E (p)= E0 .1.p ⎟⎠ En utilisant la transformée de Laplace inverse on obtient : t ⎛ − ⎞ y(t ) = K .t. Dans le cas d’un système de premier ordre on montre que : Ts ≈ 3.u(t ) ⎣ ⎦ Tableau 3.1. (−1 + e − τ )⎤⎥ .4. unitaire.u(t ) y(t ) = K .E 0 ⎜⎜1 − e τ ⎟⎟⎟. Etude temporelle L’entrée La sortie Impulsion de Dirac K = E 0 = 1.E 0 ⎜⎜ − ⎟ p 1 + τ. Grandeurs caractéristiques d’un système de 1er ordre I. et à une rampe.u(t ) Echelon de vitesse Réponse à 1 rampe e(t ) = E 0 . ⎛1 E0 K τ ⎞⎟ .p ⎝⎜ p 1 + τ. indicielle.δ(t ) y(t ) = K .u(t ) t t y(t ) = K .τ 29 .E 0 ⎡⎢t + τ. Temps de stabilisation à 5% C’est le temps nécessaire au système pour atteindre 95% de la valeur finale. la réponse est dite respectivement impulsionnelle.E 0 −t τ e .4.u(t ) τ Echelon de position Réponse indicielle e(t ) = E 0 .3) Remarque : Dans le cas où E 0 = 1 .u(t ) ⎜⎝ ⎠ Dans ce cas la sortie s’écrit : Y (p) = (3. I.3. Exemple de calcul : Soit e(t ) = E 0 . p avec u(t ) : Echelon unitaire. 63K .3.3τ (3.6) Figure 3.3. Influence de τ sur la réponse indicielle.4) (3. 30 . I.4.y(∞) (3.ln(0. Soit : τ 3 = 5.τ1 Figure 3. Constante de temps C’est le temps nécessaire au système pour atteindre 63% de la valeur finale de sa réponse.E 0 = 63%.E 0 ⎜1 − e ⎟⎟ = 0.2.05) = 2.5) I.E 0 (1 − e −1 ) = 0.4.E 0 ⇒ 1 − e τ = 0.95K . Influence de τ sur la réponse du système Représentons la réponse indicielle du système pour trois différentes valeurs de la constante de temps τ avec τ1 < τ2 < τ 3 .95 ⎜⎝ ⎟⎠ Remarque : Soit: Ts = −τ.2.Chapitre 3: Etude temporelle des systèmes linéaires élémentaires T T ⎛ − s ⎞ − s τ ⎟ ⎜ y(Ts ) = K .τ2 = 10. y(τ ) = K .99τ à 10% : Ts =2. Détermination de Ts et de τ à partir de la réponse indicielle. R2 + 1 Cp Y (p ) R2Cp + 1 1 + λτ.u(t ) (3. y(t ) + y(t ) = K .K .e ⎟ .1. ⎡⎣⎢e(t ) + τ ' e(t )⎤⎦⎥ .3.u(t ) ⇒ E (p)= 31 .p = = = K.E 0 ⎜1 − (1 − ).4. Système de 1er ordre généralisé II. dans ce cas la sortie s’écrit : p E 1 + τ ' . pour différentes valeurs de λ .p Y (p) = 0 .pY (p) + Y (p) = K .p (R1 + R2 )Cp + 1 1 2 Cp R2 Avec : τ = (R1 + R2 )C . p 1 + τ. K =1 R1 + R2 H (p ) = II.u(t ) = K . ⎡⎣E (p) + τ ' pE (p)⎤⎦ • Soit : • H (p ) = Y (p ) 1 + λτ.p En utilisant la transformée de Laplace inverse on obtient : t ⎛ ⎛ − ⎞ τ ' − τt ⎞⎟ τ⎟ ⎜ ⎜ y(t ) = K .p (3.E 0 ⎜1 − (1 − λ). E (p ) R + R + 1 1 + τ. R1 o R2 y(t) e(t) C o Figure 3.7) τ. ⎡⎢⎣e(t ) + τ ' e(t )⎤⎥⎦ ⇒ τ. Etude temporelle E0 .Chapitre 3: Etude temporelle des systèmes linéaires élémentaires II. τ ' = λτ =R2C ⇒ λ = . τ ' = λτ (3. est donnée par la figure 3. Exemple de système de 1er ordre généralisé Montrons que la fonction de transfert du circuit suivant est celle d’un système du premier généralisé.p =K E (p ) 1 + τ. Définition Un système de premier ordre généralisé est régi par l’équation différentielle à coefficient constant suivante : • • τ.8) II.9) ⎟⎠ ⎜⎝ τ ⎠⎟ ⎝⎜ Pour K = 1.e ⎟ .2. suivante : Si e(t ) = E 0 . Exemple de système de 1er ordre généralisé. y(t ) + y(t ) = K . E 0 = 1 la réponse indicielle du système.5. 10) Avec wn .wn2 .m.11) III.1. * Si λ < 1 . d’amortissement et le gain statique du système.E (p) Y (p ) K .6. le système est dit à avance de phase.wn y(t ) + wn2y(t ) = K . m et K : Respectivement la pulsation propre non amortie.wn2 .wn y(t ) + wn2y(t ) = K .Chapitre 3: Etude temporelle des systèmes linéaires élémentaires Figure 3.m. Réponse indicielle unitaire d’un système de 1er ordre généralisé. Exemple de système de 2ème ordre Soit le circuit électrique suivant : R L o e(t) C y(t) o Figure 3. Système de 2nd ordre III.e(t ) (3. le système est dit à retard de phase.wn2 Soit : = H (p ) = E (p) p 2 + 2mwn p + wn2 le facteur (3. III. * Si λ > 1 .5.e(t ) ⇒ p 2Y (p) + 2mwnY (p) + wn2Y (p) = K . Définition Un système de second ordre est régi par l’équation différentielle à coefficient constant suivante : •• • y (t ) + 2. •• • y (t ) + 2.2. 32 . Exemple de système de 2ème ordre. les deux constantes de temps sont : τ1 = − 1 1 1 1 =− . τ2 = − = − 2 p1 p2 −mwn + wn m − 1 −mwn − wn m 2 − 1 2ème cas : m = 1 pôles réels doubles 1 = wn τ L’expression de la sortie est alors : Les pôles sont : p1 = p2 = ⎛ ⎛ y(t ) = K .Chapitre 3: Etude temporelle des systèmes linéaires élémentaires 1 1 Y (p ) Kwn2 LC = = = H (p ) = E (p) LCp 2 + RCp + 1 p 2 + R p + 1 p 2 + 2mwn p + wn2 L LC 1 R C Avec : wn = . l’expression temporelle de la sortie est donnée par l’expression suivante : t t ⎛ − ⎞⎞ 1 ⎛⎜ − τ1 ⎜ τ2 ⎟⎟ ⎜ y(t ) = K .wn2 Y (p ) = 0 .u(t ) τ ⎠ ⎟⎠ C’est un régime apériodique amorti. le régime libre est la somme de deux exponentielles à exposant négatif. (3.13) 3ème cas : 0 < m < 1 2 pôles complexes conjugués Les pôles sont : p1 = −mwn + jwn 1 − m 2 .E 0 ⎜1 + (3. K = 1. dit régime critique.3. m = 2 L LC III. dans ce cas la sortie s’écrit : p E K .u(t ) ⇒ E (p)= 0 . p2 = − = −mwn − wn m 2 − 1 τ1 τ2 En utilisant la transformée de Laplace.E 0 ⎜⎜1 − ⎜⎜1 + ⎜⎝ ⎝ t ⎞⎟ − τt ⎞⎟ ⎟e ⎟ . Etude temporelle Les pôles du système sont soient réels soient imaginaires suivant que le facteur d’amortissement est supérieur ou inférieur à l’unité.12) ⎜τ1e − τ2e ⎟⎟⎟⎟ . p2 = −mwn − jwn 1 − m 2 33 . E Si e(t ) = E 0 . 2 p p + 2mwn p + wn2 1er cas : m > 1 2 pôles réels distincts 1 1 Les pôles sont : p1 = − = −mwn + wn m 2 − 1.u(t ) ⎟⎠⎠⎟⎟ τ2 − τ1 ⎜⎜⎝ ⎜⎝ C’est un régime transitoire apériodique. 3.16) wn 1 − m 2 III.E 0 ⎜1 − w t .19) III. Grandeurs caractéristiques d’un système de 2nd ordre III. pic y∞ Où y(t pic ) est la valeur maximale prise par la sortie et y∞ la valeur finale. Temps de stabilisation Dans le cas d’un système de deuxième ordre on montre.sin ϕ ( ) p ⎜⎝ ⎠⎟⎟ 1 − m2 Avec : w p = wn 1 − m 2 .4.. (3.14) (3. (3.π Tpic = . Temps de montée C’est le temps mis par la réponse du système pour passer de 10% à 90% de sa valeur finale. Tm = t2 − t1 avec : y(t2 ) = 0.4. Dépassement Il est défini à partir de la réponse indicielle par la forme : y(t ) − y ∞ D % = 100. Temps de pic C’est le temps du premier maximum de la réponse indicielle.e − k .18) III. III.m 1−m 2 avec k = 1.7.Chapitre 3: Etude temporelle des systèmes linéaires élémentaires Figure 3.4.. pour des valeurs faible de m ..u(t ) + y(t ) = K . Dans le cas de deuxième ordre oscillant : k . que le temps de stabilisation à ±5% est donné par: 34 . ϕ = Arc sin 1 − m 2 = Arc cos(m ) (3. k =1 (3..π .15) C’est un régime oscillatoire formé d’oscillations de pulsation w p amortie par e −mwnt .1y(∞) (3.2. Système de 2nd ordre : courbe d’iso amortissement.4. (−1) . L’expression temporelle de la sortie est : ⎛ ⎞⎟ e −mwnt ⎜ ⎟ .1.4.17) Dans le cas de deuxième ordre oscillant : k +1 Dk % = 100..3. 2.9y(∞) et y(t1 ) = 0.4. wn 3 1 1 e −mwnTs ⇒ Ts = − 0.20) m. wn =1 rd/s .7. 35 . si m est faible. Influence de l’amortissement sur la réponse indicielle du système : Pour K = 1. soit: Ts ≈ 2 mwn mwn 1−m De même.5.Chapitre 3: Etude temporelle des systèmes linéaires élémentaires 3 (3.7. on montre que le temps de stabilisation à ±2% est : 4 Ts ≈ (3.21) m.05 1 − m 2 . suivante : Figure 3. Influence de m sur la réponse indicielle d’un système de 2ème ordre.95 = 1 − ln 0. la réponse indicielle du système pour différentes valeurs de l’amortissement m est donnée par la figure 3.wn Ts ≈ ( ) III. E 0 = 1. w 4 = w 7 = . le temps de pic et le temps de stabilisation à ±5% . w 5 = 2 . En déduire le temps de stabilisation à ±5% .Chapitre 3: Etude temporelle des systèmes linéaires élémentaires EXERCICES Exercice N°1 Un processus est décrit par l’équation différentielle suivante : 40s ''(t ) + 14s '(t ) + 3s(t ) = e(t ) e(t ) . Déterminer le gain statique. 1. 3. II. Calculer la fonction de transfert relative à la perturbation.5 2. le temps de pic et de dépassement D % . on suppose que le processus est décrit par une équation plus complexe. E (p ) 2. 5. w2 = 0.p 1. une grandeur perturbatrice. S (p ) 1. étant l’entrée et s(t ) la sortie du système.p. En déduire le dépassement D % . E (p ) 2. Soit 1 w1 = w 6 = 1. w 3 = 25. 40s ''(t ) + 14s '(t ) + s(t ) = e(t ) + v(t ) + 10v '(t ) Avec v(t ) . 6. Soit w1 = w 6 = w 8 = 1. 3. w 5 = 2. En déduire le dépassement D % et le temps de pic. Calculer la fonction de transfert H (p) = du système. Calculer et tracer la réponse s(t ) à un échelon unitaire e(t ) = u(t ) . Exercice N°2 On donne le schéma fonctionnel suivant : I. w 2 = . 4. w 3 = 25. En déduire la réponse du système à des entrées e(t ) et v(t ) indiquées sur la figure suivante. w 4 = w 7 = . Calculer et représenter la réponse s(t ) à une perturbation en échelon unitaire v(t ) = u(t ) . w 8 = 1 + d . Faire le schéma fonctionnel relatif à l’équation. 36 . Dans la suite. le coefficient d’amortissement et la fréquence propre du S (p ) système de fonction de transfert H (p) = . Calculer et représenter la réponse indicielle unitaire du système.d . Déterminer le paramètre d pour avoir un coefficient d’amortissement égal à 0. 7. τ.32 . Déterminer l’expression de s(t ) et la représenter graphiquement. 5. . λ et τ en fonction de a et b . Exercice N°4 Un processus physique est modélisé par une fonction de transfert de premier ordre : G0 G (p ) = avec τ = 1s et G 0 = 1 1 + τp Ce processus est inséré dans une boucle d’asservissement comme le montre la figure suivante : 1. 37 . Déterminer l’expression de u(t ) et la représenter graphiquement. 4. Calculer les valeurs de la constante de temps en boucle fermée τBF et du gain statique H 0 pour K = 10 .p K . On donne d = 0. Si a = 0. On applique à l’entrée un échelon d’amplitude unité: E = 1V et on règle le correcteur avec K = 10 .τ. 4. Exprimer H 0 et τBF en 1 + τBF p fonction de τ. 2. Etablir l’expression de la grandeur de commande U (p) en fonction de E (p) . 3. tracer la réponse indicielle unitaire de ce système. Donner l’allure de la réponse s(t ) à l’entrée suivante: e(t ) = −2u(t − 10) + 4u(t − 30) − (t − 50)u(t − 50) Exercice N° 3 Y (p ) p +b avec a ≠ b = E (p ) p + a 1 + λ.5 .Chapitre 3: Etude temporelle des systèmes linéaires élémentaires 3. Pour b = 1 et a = 0. quelles sont les valeurs de b pour lesquelles le système est à retard de phase. quelles sont les valeurs de a pour lesquelles le système est à avance de phase.5 . Donner l’expression de y(t ) et tracer son allure si e(t ) = u(t − 1) − u(t − 3) et a = 2b . a. Exprimer 1 + τ. Soit un système de fonction de transfert H (p) = 1. 2. b. 3. en déduire le temps de stabilisation à 5% . Calculer les valeurs de la sortie s(+∞) et de la commande u(+∞) . A l’aide du théorème de la valeur initiale. d. calculer u(0+ ) .p Mettre la fonction sous la forme suivante : H (p) = K . c. Si b = 1 . G 0 et K . Déterminer l’expression de la fonction de transfert en boucle fermée H (p) = la mettre sous la forme suivante : H (p ) = S (p ) et E (p ) H0 . G 0 et K . Calculer et tracer la réponse s(t ) du système à une entrée e(t ) = -t. Trouver le temps de stabilisation à ±5% . que A = 1. Calculer et tracer la réponse s(t ) du système à une entrée e(t ) = 0. déterminer le gain statique. Si on considère que cette réponse est la réponse indicielle unitaire d’un système du second ordre. 1 + 2p 4. Déterminer le gain statique.5(1 − e −0. Tracer le schéma fonctionnel correspondant au graphe de fluence ci-dessus. E (p ) 2. Exercice N°6 On donne le graphe de fluence suivant : Partie 1 a = 1 3 S (p ) en appliquant la formule de Mason. le cœfficient d’amortissement et la pulsation propre non amortie. 3.u(t ) si 1 A = B = 1 = C = D = 1 et E = . Calculer la fonction de transfert H (p) = Partie 2 1. C = D = 0 et E = 1 + 2p 3. le temps de montée. 2. Calculer et tracer la réponse s(t ) à un échelon unitaire e(t ) = u(t ) . A partir du schéma fonctionnel. E (p ) 3. trouver la fonction de transfert H (p) = sachant E (p ) 1 . 5. 4. B = -1. Déterminer les boucles et les parcours.Chapitre 3: Etude temporelle des systèmes linéaires élémentaires Exercice N°5 On donne le graphe de fluence suivant : Partie 1 1.5t )u(t ) . S (p ) 2. 1. Calculer la fonction de transfert H (p) = 38 . S (p ) en appliquant la formule de Mason. le cœfficient d’amortissement et la pulsation propre non amortie de ce système. Trouver le temps de stabilisation à 5% . le temps de pic et de dépassement D % . b3 = 1. 2. 1 12 1.2. K = −2 & K = 2 . A partir de ce schéma fonctionnel. Si b1 = 0 . le cœfficient d’amortissement et la pulsation propre non amortie. Vérifier à l’aide du résultat précédent.Chapitre 3: Etude temporelle des systèmes linéaires élémentaires 4. Donner l’expression de la réponse indicielle unitaire du système et la représenter dans les cas suivants : K = 1. Un choix convenable de R(p) a conduit à la réponse indicielle unitaire suivante: Trouver R(p) 39 . 5. 2. Dans la suite de l’exercice on considérera : 1 b2 = R(p). calculer et représenter la réponse indicielle unitaire du système. E (p ) 2. 4.1. 2. R(p) = K . p 3. 4. 5. trouver la fonction de transfert H (p) = Exercice N°7 On considère le schéma fonctionnel suivant : 1. En déduire le temps de stabilisation à 5% . Partie 2 a = S (p ) . le temps de pic et de dépassement D % . Déterminer le gain statique. Déduire pour chacun de ces cas la valeur du temps de stabilisation à 5% . En déduire le temps de stabilisation à ±5% . a 3 = a 5 = a 6 = −1. b1 = 0 . Trouver la valeur maximale de s(t ) . Calculer la nouvelle expression de la fonction de transfert. a1 = a 4 = . Calculer et tracer la réponse s(t ) du système à une impulsion de Dirac. R(p) = 0 . A partir du graphe tracer le schéma fonctionnel. Simplifier le schéma fonctionnel et calculer la fonction de transfert H (p) = S (p ) . E (p ) 3. G5 = . On prend dans toute la suite : 1 1 1 1 G1 = . Exercice N°9 On veut déterminer.G 3 = G7 = G 8 = G12 = . Calculer la fonction de transfert H (p) = S (p ) en appliquant la formule de Mason. Un essai statique a fait correspondre à une variation de l’entrée (force) de 5N une variation de la sortie (déplacement) de 10cm . le temps de pic et de dépassement D % .G11 = G14 = −1 Calculer de nouveau la fonction de transfert en fonction de a et b .G2 = G9 = b. 3. En déduire le temps de stabilisation à ±5% . 6. un premier dépassement de 25% et une pseudo période des oscillations d’environ 7s .G 4 = G6 = − . trouver la valeur de m et wn . En déduire les valeurs de C 0 etC 1 . 7. a p p b G10 = G13 = a. 1. la fonction de transfert d’un système mécanique dont on sait qu’il peut être modélisé par un second ordre. une variation en échelon de l’entrée de la forme e(t ) = a [1 − u(t )] a permis d’enregistrer le régime dynamique de la sortie . Ensuite. le temps de montée. le cœfficient d’amortissement et la pulsation propre non amortie de ce système. Quel est le temps du premier maximum.Chapitre 3: Etude temporelle des systèmes linéaires élémentaires Exercice N°8 On donne le graphe de fluence suivant : 1. Donner l’expression de la fonction de transfert de ce système de second ordre. Déterminer le gain statique. à partir d’un essai expérimental. 5. nous avons relevé dans la réponse. 40 . Déterminer a et b si la réponse impulsionnelle unitaire est de la forme s(t ) = (C 0e −t + C 1e −4t ) u(t ) . E (p ) 2. Calculer et tracer la réponse s(t ) à un échelon unitaire e(t ) = u(t ) . 4. Si a = b = 1 . les temps de réponse à 5% & à 2% de la réponse indicielle. 2. Chapitre 4: Etude fréquentielle des systèmes linéaires élémentaires CHAPITRE 4 ETUDE FREQUENTIELLE DES SYSTEMES LINEAIRES ELEMENTAIRES 41 . les réponses harmoniques sont données par les figures 4.3 suivantes : 42 . Fonction de transfert harmonique (Transmittance hormonique) Y0 j . H ( jw ) = [H (p)]p= jw = H (p) = H ( jw ) = Re l [H ( jw )] + j Im [H ( jw )] = ⎡⎣ H ( jw ) .7) III. il existe trois modes de représentation d’une fonction de transfert H (p) . H ( jw ) dB = 20 log H ( jw ) = 20 log Re l 2 [H ( jw )] + Im2 [H ( jw )] (4. Diagramme de Nyquist Sur un système d’axes (la partie imaginaire de H ( jw ) en fonction de sa partie réelle). le module de H ( jw ) exprimé en dB et son argument en fonction de la pulsation w . ϕ ⎤⎦ (4. Arg [H ( jw )] = ϕ(w ) = Arctg Re l [H ( jw )] Soit : H ( jw ) = H ( jw ) e jArg (H ( jw )) = A(w ).Chapitre 4: Etude fréquentielle des systèmes linéaires élémentaires L’ESSENTIEL DU CHAPITRE I. Réponses harmoniques II. on représente en coordonnées polaires le module et l’argument de H ( jw ) pour une fréquence donnée. Diagramme de Black (Nichols) C’est l’image du module et de l’argument de H ( jw ) dans un même système d’axes: H ( jw ) dB = f (ϕ) (4.1. Chaque point du lieu est repéré par la valeur de w .3. Réponse harmonique d’un système de 1er ordre Dans le cas où on applique à l’entrée du système un signal sinusoïdal de fréquence f et de pulsation w .2. Diagrammes de Bode Les diagrammes de Bode consistent à tracer en échelle semi-logarithmique.1. Le lieu de Nyquist est la trajectoire de l’extrémité du vecteur H lorsque w varie de 0 à +∞.2) Avec : Im [H ( jw )] (4.6) II. Arg(H ( jw ))⎤⎦ = ⎡⎣ H ( jw ) .e jϕ (4. (l’axe d’ordonnée en échelle linéaire et l’axe d’abscisse en échelle logarithmique).5) Arg(H ( jw )) = ϕ(w ) = Arctg Im [H ( jw )] Re l [H ( jw )] II.1) E0 Dans le domaine fréquentielle.ϕ e (4.3) H ( jw ) = Re l 2 [H ( jw )] + Im2 [H ( jw )].4) II. 4. Im [H ( jw )] = f (Re l [H ( jw )]) (4.2 et 4. w H ( jw ) = = +j = Re l [H ( jw )] + j Im [H ( jw )] = X + jY 2 2 1 + j τw 1+τ w 1 + τ 2w 2 K K τ.10) ⎝ 2⎠ ⎝2⎠ ⎛K ⎞ K Le lieu de Nyquist est un cercle de centre ⎜⎜ .2. 43 . 0⎟⎟⎟ et de rayon R = .p 1 + j τw ⎪⎪⎩⎪Arg [H ( jw )] = ϕ = −Arctg (τw ) Figure 4.Chapitre 4: Etude fréquentielle des systèmes linéaires élémentaires III.1.1. Diagramme de Nyquist d’un système de 1er ordre. Diagrammes de Bode d’un système de 1er ordre.2. Diagrammes de Bode 2 2 ⎧ K K ⎪⎪⎪ H ( jw ) dB = 20 log K − 10 log (1 + τ w ) H (p ) = (4.8) ⇒ H ( jw ) = ⇒⎨ 1 + τ. Diagramme de Nyquist K K −K τ. III. ⎝2 ⎠ 2 Figure 4.w Avec (4.9) X= & Y = 2 2 1+ τ w 1 + τ 2w 2 Une relation entre X & Y est donnée par : 2 2 ⎛ K ⎞⎟ ⎛ K ⎞⎟ 2 Y + ⎜⎜X − ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ = 0 (4. 4.w ⇒ H ( jw ) = K = K . IV. Diagrammes de Bode d’un système de 1er ordre généralisé.1.3.3.11) Figure 4.12) (4.w 1 + λτ. Diagramme de Black ⎧ ⎪ H ( jw ) dB = 20 log K − 10 log (1 + τ 2w 2 ) K ⎪ ⎪ H ( jw ) = ⇒⎨ ⎪⎪Arg [H ( jw )] = ϕ = −Arctg (τw ) 1 + j τw ⎪⎩ (4.H 2 ( jw ) 1 + τ.w & H 2 ( jw ) = 1 + j λτ. Réponse hormonique d’un système de 1er ordre généralisé H (p ) = K Avec H 1( jw ) = 1 1 + j τ.p 1 + j τ. Diagrammes de Bode ⎧ ⎪ H ( jw ) dB = 20 log K + 10 log (1 + λ 2 τ 2w 2 ) − 10 log (1 + τ 2w 2 ) ⎪ ⎪ (4. 44 .w ) − Arctg (τw ) ⎪ ⎩ Figure 4.H 1( jw ).14) ⎨ ⎪⎪Arg [H ( jw )] = ϕ = Arctg (λτ. Diagramme de Black (Nichols) d’un système de 1er ordre.13) IV.w (4.Chapitre 4: Etude fréquentielle des systèmes linéaires élémentaires III.p 1 + j λτ. p ) = K . Diagramme de Black d’un système de 1er ordre généralisé.τ & H ( jwm ) = λ .16) 45 .5. Diagramme de Black Figure 4. ϕmax = Arc sin ⎜⎜⎜ ⎟ ⎝ λ + 1⎠⎟ λ . IV.K (4.H 2 ( jw ) (4. Réponse hormonique d’un système de 2nd ordre H (p ) = 1er cas : m > 1 ⇒ H (p) = K .15) IV.p )(1 + τ2 .3.6. V.wn2 p 2 + 2mwn p + wn2 K (1 + τ1. Diagramme de Nyquist Figure 4. Diagramme de Nyquist d’un système de 1er ordre généralisé.H 1( jw ).Chapitre 4: Etude fréquentielle des systèmes linéaires élémentaires On montre que : wm = ⎛ λ − 1 ⎞⎟ 1 .2. wn2 p 2 + 2mwn p + wn2 V.2. Diagrammes de Bode d’un système de 2ème ordre. Diagramme de Nyquist Figure 4. Diagrammes de Bode Figure 4.8.Chapitre 4: Etude fréquentielle des systèmes linéaires élémentaires 2ème cas : m < 1 ⇒ H (p) = K . Diagramme de Nyquist d’un système de 2ème ordre.1. 46 .7. V. Diagramme de Black d’un système de 2ème ordre.Chapitre 4: Etude fréquentielle des systèmes linéaires élémentaires V. Diagramme de Black Figure 4. 47 .9.3. le lieu de Nyquist de la fonction de transfert −A(p) . Tracer les diagrammes de Bode. de calculer la fonction de transfert du système H (p) = Vs (p) G (p). Ve (p) 1 + G (p ) 3. p w→∞ Sachant que F (p) = −1 . la réponse à un échelon unitaire de la fonction de transfert 1 C (p) et V4 (t ) = e −t u(t ) pour l’entréeV3 (p) = . C (p) et D(p) .F (p) = .Chapitre 4: Etude fréquentielle des systèmes linéaires élémentaires EXERCICES Exercice N°1 Un système d’entrée Ve et de sortie Vs est représenté par le schéma fonctionnel suivant : On donne. d’écrire les expressions des fonctions de transfert A(p) .F (p) . le diagramme de Bode (courbe d’amplitude) de la fonction B(p) . 2. le lieu de Nyquist et celui de Black du système de fonction de transfertT (p) = G (p). on vous demande : 1. 48 . B(p) . Chapitre 4: Etude fréquentielle des systèmes linéaires élémentaires Exercice N°2 Un système d’entrée Ve et de sortie Vs est représenté par le schéma fonctionnel suivant : 1. Calculer la fonction de transfert H (p) = s Ve (p) 3. Déterminer les coordonnées du point de concours des asymptotes de la coube de gain . Calculer la transmittance complexe H ( jw ) et l’exprimer en fonction du rapport a = R1 R et de la constante de temps τ = RC . U (p ) V (p ) 2. on ne se préoccupe pas. 1. pour l’abscisse de ce point. V (p ) 2. donner les valeurs du gain et de l’argument de H ( jw ) . 5. Tracer les diagrammes asymptotiques de Bode de H ( jw ) (gain et argument) et esquisser les courbes vraies.2μF 4. les amplificateurs sont supposés idéaux (en fait. Tracer les diagrammes asymptotiques de Bode de H ( jw ) (gain et argument) et esquisser les courbes vraies. Tracer le lieu de Nyquist et celui de Black du système de fonction de transfert H (p) . 49 . donner les valeurs du gain et de l’argument de H ( jw ) . C 1 = 0. On se place en régime sinusoïdal permanent : exprimer H ( jw ) et Arg [H ( jw )] si R1 = 2R2 = 5K Ω. Déterminer les coordonnées du point de concours des asymptotes de la coube de gain .05μF . C 2 = 0. 5. Exercice N°3 Le schéma de principe d’un filtre est donné par la figure ci-dessous. des perfectionnements qu’il faudrait apporter pour parer les effets d’une tension de décalage et des courants de polarisation). pour l’abscisse de ce point. 4. ici. Calculer la fonction de transfert H (p) = 3. Tracer le graphe de fluence correspondant. Tracer les diagrammes asymptotiques de Bode de H ( jw ) (gain et argument) et esquisser les courbes vraies. 4. E (p ) 2. En utilisant la règle de Mason. le coefficient d’amortissement et la pulsation propre non amortie du système. Tracer le lieu de Nyquist de H ( jw ) . Exercice N°5 On considère un système décrit par le schéma fonctionnel suivant : S (p ) . Simplifier ce schéma fonctionnel et calculer la fonction de transfert H (p) = 50 .2.Chapitre 4: Etude fréquentielle des systèmes linéaires élémentaires Exercice N°4 On donne le graphe de fluence suivant: 1. 1. calculer le gain statique. Retrouver à partir de la courbe du gain la valeur du coefficient d’amortissement. 3. Si a = 1 . le coefficient d’amortissement et la pulsation propre non amortie du système. Exprimer en fonction de a le gain statique. G 4 = .3. 4. calculer la fonction de transfert H (p) = S (p ) . Tracer le lieu de Nyquist et celui de Black du système de fonction de transfert H (p) . 4. G5 = . 4. Retrouver l’expression de H (p) . G 8 = G9 = G10 = −1 2 4 etG2 = a. p p 3. Retrouver H ( jw ) si k = 1 . Tracer les diagrammes asymptotiques de Bode de H ( jw ) (gain et argument) et esquisser les courbes vraies. E (p ) 2.1. si G1 = G 3 = G6 = G7 = 1. 4. Chapitre 5: Analyse & synthèse des systèmes asservis linéaires par la méthode temporelle CHAPITRE 5 ANALYSE & SYNTHESE DES SYSTEMES ASSERVIS LINEAIRES PAR LA METHODE TEMPORELLE 51 . Condition de stabilité Un système linéaire est stable si et seulement si tous les pôles de sa fonction de transfert ont leur partie réelle négative.2. Objectif de l’asservissement : stabilité. Stabilité II. * Le système s’éloigne le plus loin possible de son état initial sans s’immobiliser. On qualifie cet état d’équilibre d’instable. Si on excité ce système par un signal d’entrée infiniment petit durant un temps bref. II. le système s’écarte de son état d’équilibre. Dans le plan complexe. Définition Un système abandonné à lui-même peut se trouver dans un état d’équilibre caractérisé par la constance de la sortie dans le temps. * Le système atteint un autre état d’équilibre et demeure dans cet état tant qu’il ne reçoit pas d’excitation.Chapitre 5: Analyse & synthèse des systèmes asservis linéaires par la méthode temporelle L’ESSENTIEL DU CHAPITRE I. Il s’agit alors. Z (p) : Grandeur perturbatrice. 52 . Trois cas peuvent se produire : * Le système oscille autour de son état initial pendant un intervalle de temps limité et finit par s’immobiliser de nouveau dans son état d’équilibre initial.1. On dit que cet état d’équilibre est asymptotiquement stable.1. Schéma fonctionnel de l’asservissement.2. II. La stabilité dans le plan complexe. la zone dite stable est constituée du demi plan situé à gauche de l’axe des imaginaires purs comme le montre la figure suivante : Figure 5. S (p) : Grandeur de sortie. E (p) : Grandeur d’entrée ou de consigne. rapidité et la précision du système en question. d’un état d’équilibre stable. Introduction Figure 5. . an ≠ 0 (5.K (p) (5. an p n + an −1p n −1 + .. Ces pôles sont les racines de l’équation 1 + T (p) = 0 appelée encore l’équation caractéristique du système.2) 1 + T (p ) Ce système est stable si tous les pôles de H (p) ont leur partie réelle négative. .. si et seulement si : 53 . b0 etc.1. On construit le tableau de Routh de la manière suivante : Rang n n-1 n-2 n-3 .5) La fonction de transfert en boucle ouverte est : II..4) Ou encore.... ... .....Chapitre 5: Analyse & synthèse des systèmes asservis linéaires par la méthode temporelle Soit le système asservi suivant : T (p) = G (p)... z0 Tableau 5. .3) A(p) D (p ) L’équation caractéristique prend la forme : A(p).a1p + a 0 = 0.C (p) = 0 (5. K (p) = (5.D(p) + B(p).. . En écrivant G (p) et K (p) sous la forme de rapports de polynômes : B (p ) C (p ) G (p ) = .. b1 = n −1 n −4 .. Critère de Routh Le critère de Routh permet de ce prononcer sur la stabilité d’un système sans avoir à déterminer les zéros de son équation caractéristique...........2. 0 an an −1 an −2 an −3 an −4 an −5 b0 c0 b1 . .....1) T (p ) H (p ) = La fonction de transfert en boucle fermée est : (5.2.1.. . an −1 an −1 b a − an−1b1 c0 = 0 n −3 . . ..6) II. Enoncé du critère Les racines de l’équation caractéristique sont à partie réelle strictement négative. Table de Routh Où : an −1an −2 − anan −3 a a − anan −5 .. b0 = (5.2. 1 + T (p) = p 4 + 4 p 3 + 7 p 2 + 16p + 12 = 0 Condition 1: Vérifiée (tous les coefficients du polynôme caractéristique sont tous strictement de même signe: ’1. Exemple Soit. III.Chapitre 5: Analyse & synthèse des systèmes asservis linéaires par la méthode temporelle Condition 1 : tous les coefficients du polynôme caractéristique sont tous strictement de même signe : ai > 0 . Système de second ordre : Rappel b0 kwn2 = H (p ) = a 2 p 2 + a1 p + a 0 p 2 + 2mwn . E. Remarque : Le nombre de changement de signe de la première colonne est égale aux nombres des racines de 1 + T (p) = 0 à partie réelle positive. III.C.3. le coefficient d’amortissement et la pulsation propre non amortie sont liés aux coefficients du polynôme par les relations suivantes : a0 a2 4m 2 = 1 .1.2. II.8) a 0 . wn = (5. (Système marginalement stable).7) En identifiant. 4.a1 a2 La courbe Ts wn = f (m ) est donnée par la figure suivante : 54 .12 ’).p + wn2 (5. Rapidité (critère de Naslin) Un système est dit rapide s'il se stabilise en un temps jugé satisfaisant.16. 7. * Polynôme auxiliaire : 3p 2 + 12 = 0 * Les autres racines de l’équation caractéristique sont à partie réelle négative. Condition 2 : les (n+1) termes de la première colonne du tableau de Routh sont strictement de même signe. Tableau de Routh Rang 4 3 2 1 0 1 4 3 0 7 16 12 0 12 0 0 * La quatrième ligne du tableau étant nulle ⇒ l’équation caractéristique admet des racines imaginaires pures solution du polynôme auxiliaire. La réponse indicielle du système présente un dépassement plus grand d’autant que α0 est plus petit.7 .2... Critère de Naslin Hypoyhèse : Négliger l’influence du numérateur (Transmittance à numérateur constant) « pas de zéro ». III. Ts à 5% passe par un minimum pour m = 0.4 et pour wn fixée.ai +1 a 0 . le dépassement est alors de 4% . αi = avec 1 ≤ i ≤ n − 1 (5. Le dépassement est lié à α0 par la formule empirique suivante : n n −1 log(D %) = 4. + a1p + a 0 avec ai > 0 (5.8 − 2α0 Alors que le temps de pic est donné par : a Tp = 2.4. Exemple H (p ) = (5..9) an p + an −1p Les rapports caractéristiques : ai2 a2 a2 α1 = 1 ..... α2 = 2 ...Chapitre 5: Analyse & synthèse des systèmes asservis linéaires par la méthode temporelle Figure 5. Allure Ts wn = f (m ) Ts étant le temps de stabilisation (ou temps de réponse) à 5% .10) ai−1.11) (5.5p + 1 + K 3 2 55 . H (p ) = 1 + .. D’après la figure 5...2 × 1 a0 Résumé : Critère algébrique d’amortissement : imposer à tous les αi d’être ≥ α0 III..a2 a1.3.12) 1 8 p + 21p + 10.a 3 Le critère algébrique d’amortissement consiste à imposer aux rapports caractéristiques d’être ≥ α0 . Tableau des valeurs de l’erreur statique en fonction en fonction de la classe du système 56 ..2.25 ≥ 2 8..u(t ) 2 ∞ ∞ E0 K2 0 Signal d’entrée Impulsion e(t ) = E 0δ(t ) Echelon de position e(t ) = E 0u(t ) Echelon d’accélération e(t ) = Tableau 5...α2 = IV.. IV. L’écart ε(t ) = e(t ) − y(t ) peut être décomposé en un écart transitoire εT (t ) et un écart permanent εp (t ) vers lequel tend ε(t ) quand t vers l’infini.2. Précision La précision d’un système est définie à partir de l’erreur « ε » entre la grandeur de consigne « E » et la grandeur de sortie « Y ».. + an p n α : le nombre d’intégrateur pur dans T (p) « La classe du système ».E (p ) (5. il faut que K ≤ 1..5 Pour avoir un D % ≤ 6% . (5.. Il possède une bonne précision dynamique si son écart transitoire est bien amorti et converge assez rapidement vers zéro.10.5) 212 . K K 1 + b1p + ..T0 (p) = αα . α2 = 8....1.... ε (∞) = lim ε (t ) = lim p ε (p ) = lim Classe du système α 0 1 2 3 0 0 0 0 E0 1 + K0 0 0 0 Echelon de vitesse (Rampe) e(t ) = E 0 .625 .α1 = (10....14) p p 1 + a1p + . Un système asservi possède une bonne précision statique si son écart permanent est suffisamment petit dans un certain sens. * Les rapports caractéristiques 2 (10.Chapitre 5: Analyse & synthèse des systèmes asservis linéaires par la méthode temporelle Calculer K pour avoir D % ≤ 6% .8 − 2α0 α * Critère de Naslin : i Erreur ! Source du renvoi introuvable..t 2 . IV.10...u(t ) ∞ E0 K1 0 0 1 E 0 .t. Etude de l’erreur en régime statique p.5 21(1 + K ) ⇒ α0 = 2 * D % ≤ 6% ⇒ log(6) = 4. Définition Un système est précis si la sortie suit l'entrée en toutes sur constante..625 21(1 + K ) 212 = 5.13) t →∞ p →0 p → 0 1 + T (p ) L’erreur statique est fonction à la fois du système (fonction de transfert en boucle ouverteT (p) ) et de la forme du signal d’entrée.5) ≥ 2 ⇒ K ≤ 1. α1 = 2 . + bm p m T (p) = αα . 2. La précision augmente avec la classe du système. Erreur statique de position ( e(t ) = E 0u(t ) ) 3.t. Erreur statique de vitesse (erreur de traînage) : e(t ) = E 0 . c’est pour cela que la précision et la stabilité peuvent être deux notions contradictoires.Chapitre 5: Analyse & synthèse des systèmes asservis linéaires par la méthode temporelle Remarques: 1. 57 . L’augmentation de la classe du système peut détériorer la stabilité.u(t ) 4. p1 = −4. p 3 − 2p 2 + 4 p + 6. p1 = 2 j. p2 = −3. p2 = −5. e. b. p 6 + 4 p 4 + 8 p 2 + 16. d . p 3 + p 2 − p + 1. p2 = −1 − j . p2 = 3 j. p1 = −1. p2 = 2. c. p2 = −j. déterminer si le système qu’il représente est stable ou non? a. 2p 4 + 8 p 3 + 10p 2 + 10p + 20. Exercice N°2 Un système ayant les pôles p1 = −1 & p2 = −5 et les zéros z1 = 1 & z 2 = −2 est-il stable. p3 = 2 j. g. 58 . p1 = 2 j. f . i. p1 = −2. e. Exercice N°3 Pour chacun des polynômes caractéristiques ci-dessous. Exercice N°4 Combien de racines à partie réelle positive les polynômes caractéristiques suivants ont-ils? a. p4 = −2 j . b. p 3 + 7 p 2 + 7 p + 46. c. p2 = −2 j. d . p1 = j. p1 = −3. p 4 + 2p 3 + 2p 2 + 2p + 1. e. p 3 + p 2 + p + 6. c. p2 = −3 − 2 j. p3 = −1. p1 = −3 + 2 j. p 4 − p 2 − 2p + 2. instable ou juste oscillant: a. b. p1 = −1 + j. f . p3 = 1. p 3 + p 2 − 2. h. d . p 4 + 8 p 3 + 24 p 2 + 32p + 16. p4 = 1. p3 = −3 j . p2 = −2 j .Chapitre 5: Analyse & synthèse des systèmes asservis linéaires par la méthode temporelle EXERCICES Exercice N°1 Déterminer dans chaque cas si l’ensemble des racines des équations caractéristiques des différents systèmes représente un système stable. p 5 +6p 4 + 10p 2 + 5p + 24. p3 = 2. les racines du polynôme ci-dessous sont a partie réelle négative? p 3 + (4 + k ) p 2 + 6p + 12 Exercice N°6 Pour quelles valeurs positives de k . Pour quelles valeurs de k le système devient juste oscillant ? 3.Chapitre 5: Analyse & synthèse des systèmes asservis linéaires par la méthode temporelle Exercice N°5 Pour quelles valeurs de k . Exercice N°10 Pour quelles valeurs des paramètres du régulateur. 2. Exercice N°11 Soit l’équation caractéristique suivante : p 4 + p 3 + 5p 2 + 4 p + 4 = 0 Trouver les racines imaginaires purs de cette équation. Le système caractérisé par cette équation est-il stable? 59 . Ecrire l’équation auxiliaire et déterminer ses racines. les racines du polynôme ci-dessous sont a partie réelle nulle? p 4 + 8p 3 + 24 p 2 + 32p + k Quelles sont ces racines ? Exercice N°7 L’équation caractéristique d’un système est donnée par : p 4 + 6p 3 + 11p 2 + 6p + k = 0 Quelles conditions doit-on imposer au paramètre k pour que le système soit stable. Pour quelles valeurs de k le système est stable? 2. les systèmes suivants sont stables : 1. Exercice N°8 Construire la table de Routh et déterminer le nombre de racines a partie réelle positive d’un système caractérisé par l’équation suivante : 2p 3 + 4 p 2 + 4p + 12 = 0 Exercice N°9 Considérons un système caractérisé par l’équation suivante : p 3 + 3p 2 + 3p + 1 + k = 0 1. 2.Chapitre 5: Analyse & synthèse des systèmes asservis linéaires par la méthode temporelle Exercice N°12 Quelle est la classe des systèmes définis par les schémas suivants : 1. 1 & B (p ) = 1 p 5 p +1 A(p) = & B(p) = p(p + 3) p +2 2 A(p) = 2 & B (p ) = p + 5 p + 2p + 5 24 4 A(p) = & B(p) = 4p (3p + 1) (2p + 1)(4p + 1) 4 1 A(p) = & B(p) = p ( p + 3) p A(p) = Exercice N°14 Considérons un système décrit par le schéma fonctionnel suivant : Trouver l’erreur en régime permanent dans les cas suivants : 1. e(t ) = u(t ). 5. 3. 2. 4. 60 . 3. Exercice N°13 Classer les systèmes suivants selon leur classe 1. Chapitre 5: Analyse & synthèse des systèmes asservis linéaires par la méthode temporelle 2.u(t ).01 t →∞ pour 1 & E (p ) = 0 . e(t ) = t. p2 Exercice N°18 Soit l’asservissement représenter par la figure suivante : 61 . Pour cette valeur de k . à retour unitaire. chercher l’erreur statique pour Z (p) = 0 & E (p) = 10 .u(t ). Trouver Z (p ) = 1 p (Tp + 1) la valeur de k pour garantir lim s(t ) = 0. Exercice N°15 Etant donnée le système. 3. e(t ) = t 2 . de classe 2 suivant : Trouver l’erreur en régime permanent dans les cas où l’entrée est donnée par : 3 1 1 E (p ) = − 2 + 3 2p p p Exercice N°16 Quelle est la valeur de Ti qui garantit une erreur statique de vitesse unitaire de 3% pour le système suivant : Exercice N°17 Considérons le système décrit par le schéma fonctionnel suivant : R(p) = k & G (p) = 1. p 2. stable. Déterminer d1 et d2 tels que.Chapitre 5: Analyse & synthèse des systèmes asservis linéaires par la méthode temporelle 1.25 4 3 62 . pour une entrée en rampe.1. E (p) Exercice N°19 En utilisant le critère de Naslin. c'est-à-dire la relation entre C a (p) & G (p) pour que ε = 0 . Que devient alors . l’erreur soit S (p) nulle. C (p) = k & C a (p) = d1p + d2 p 2 p(1 + T1p)(1 + T2 p) 4. Que devient alors . Si d2 = 0 . permettant au système suivant de présenter un Exercice N°21 Trouver le dépassement et le temps de pic pour le système suivant : H (p ) = 0. trouver la valeur de k pour que le système décrit par le schéma fonctionnel ci-dessous présente un dépassement D = 20% . Que remarque-t-on sur la réalisation physique de C a (p) . déterminer d1 tel que. pour une entrée de type parabolique. 1 4. quelle que soit l’entrée. & E (p) E (p) E (p ) 2. la stabilité du système. Soit G (p) = . . 3.2. En déduire la condition d’invariance. E (p) 4.25 p + 2p + 2p 2 + p + 0. Avec C a (p) ≠ 0 . établir les nouvelles expressions des fonctions de transfert ci-dessus. Avec C a (p) = 0 . établir les expressions des fonctions de transfert suivantes : S (p) ε(p) U (p ) . Exercice N°20 Calculer la valeur de k dépassement D = 6% . l’erreur S (p) soit nulle. G 2 ( p ) = .2.Chapitre 5: Analyse & synthèse des systèmes asservis linéaires par la méthode temporelle Exercice N°22 Soit le schéma fonctionnel du système asservi linéaire représenter ci-dessous : 1 1 1 .1. Ti p p p +1 1.1. 1 . On suppose E (p) = 0 & G1(p) = 0. Quelle est la valeur numérique de l’erreur statique du système pour z (t ) = −5t. donner les valeurs de Ti pour lesquelles le système en boucle fermé est stable. G2 (p) = Tp 2. G4 (p) = −1. 2.u(t ) etT = 3.14s . 1. G4 (p) = −1. Trouver les valeurs des pôles qui donnent un système juste oscillant (oscillant pur). 2. En utilisant le critère de Routh. G 3 (p ) = . Quelle sera l’erreur statique si l’entrée est donnée par : z (t ) = u(t ) − 2u(t − 5) + (t − 10)u(t − 10) et T = 1s . G 3 (p) = 1.2. 1. On suppose Z (p) = 0 & G1(p) = 63 . Chapitre 6: Analyse & synthèse des systèmes asservis linéaires par la méthode harmonique CHAPITRE 6 ANALYSE & SYNTHESE DES SYSTEMES ASSERVIS LINEAIRES PAR LA METHODE HARMONIQUE 64 . 65 . Stabilité : critère de Nyquist simplifié (Critère de revers) I. on laisse le point critique (-1. Ennoncé Un système stable en boucle ouverte est stable en boucle fermée si et seulement si en parcourant le lieu de Nyquist de T ( jw ) (fonction de transfert en boucle ouverte) dans le sens des w croissantes. juste oscillant ou oscillant mais ne permettent pas d’apprécier s’il est proche plus ou moins de la stabilité ni sa capacité à éliminer l’effet d’une perturbation. Marge de gain MG Définition 1 : La marge de gain MG est le facteur pour lequel il faut multiplier le gain statique de la fonction de transfert en boucle ouverte T ( jw ) pour amener le T ( jw ) à la 1 . valeur unitaire MG = OA 1 MGdB = 20 log = −20 log OA (6. Diagramme de Nyquist : Etude de la stabilité. Le système est instable si on laisse le point critique à sa droite et juste oscillant si le lieu de Nyquist passe par le point (-1. * MGdB < 0 ⇒ Le système est instable.1.1.2. Figure 6. I. 0) . Lieu de Nyquist : Marge de gain. I. Routh) permettent de déterminer que si le système est stable.Chapitre 6: Analyse & synthèse des systèmes asservis linéaires par la méthode harmonique L’ESSENTIEL DU CHAPITRE I.1.1) OA * MGdB > 0 ⇒ Le système est stable.2.2. 0) à sa gauche. Marge de stabilité Les critères précédents (Revers. Figure 6. D’où la notion de degré de stabilité qui permet de garantir le comportement qualitatif du système même si le modèle utilisé est imparfait. 2.3) I. Marge de phase Mϕ Définition 1: La marge de phase caractérise l’écart de phase par rapport à -180° lorsque le gain du système en boucle ouverte est égal à 1 ou ( 0dB ). c’est à dire MG > 0 & M ϕ > 0 .Chapitre 6: Analyse & synthèse des systèmes asservis linéaires par la méthode harmonique Définition 2 : La marge de gain exprime l’écart en gain par rapport à 0dB pour un déphasage de -180° . * M ϕ < 0 ⇒ Le système est instable.3. ⎧ ⎪ ⎪ Im[T ( jwA )] = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ wA ⇒ OA = Re l[T ( jwA )] = T ( jwA ) (6.3. Définition 2: ⎧ ⎪ ⎪ T ( jw B ) = 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ wB ⇒ M ϕ = 180° + Arg [T ( jw B )] ⎨ou ⎪ ⎪ ⎪ T ( jw B ) dB = 1 ⎪ ⎪ ⎩ (6. 66 .2. Figure 6. Critère de Revers dans le plan de Bode Un système stable en boucle ouverte est stable en boucle fermé si et seulement si la courbe de gain coupe l’axe des abscisses pour une phaseϕ(w ) > −180° .5) I. Lieu de Nyquist : Marge de phase.4) * M ϕ > 0 ⇒ Le système est stable. Mϕ = BOC (6.2) ⎨ou ⎪ ⎪ ⎪⎪Arg[T ( jw A )] = −180° ⎪ ⎩ D’où : MGdB = −20 log R el[T ( jwA )] = −20 log T ( jw A ) (6. Diagramme de Black (Nichols) : Marges de gain & de phase.4. Figure 6. on laisse le point critique ( 0dB . -180° ) à sa droite.Chapitre 6: Analyse & synthèse des systèmes asservis linéaires par la méthode harmonique Figure 6. 67 .5. Critère de Revers dans le plan de Black Un système stable en boucle ouverte est stable en boucle fermée si et seulement si en parcourant son lieu de Black T ( jw ) dB = f (ϕ) dans le sens des w croissants.4. Diagrammes de Bode : Marges de gain & de phase. I. Fonction de transfert en boucle fermée : H (p) = G (p). Caractéristiques du système bouclé obtenus sur l’abaque de Black Diverses informations concernant le système bouclé apparaissent immédiatement sur l’abaque de Black (bande passante « BP ».Chapitre 6: Analyse & synthèse des systèmes asservis linéaires par la méthode harmonique II. Synthèse de régulateurs continus par l’abaque de Black (Nichols) II.C (p) 1 + T (p) L’abaque de Black permet à partir de la connaissance du gain GdB et de la phase T ( jw ) ϕ(°) de T ( jw ) de déterminer directement le gain en dB et la phase en degré de 1 + T ( jw ) d’un système asservi à retour unitaire. pic de résonance « MP » et le degré de stabilité). Le but de l’abaque de Black sera donc la détermination des caractéristiques du système en boucle fermée par simple lecture.2. M ϕ : Marge de phase. II. 1 + T (0) wB : Pulsation pour T dB = 0dB . H ( jwR ) MP : Pic de résonance en dB : MP = 20 log (6. T (0) : Gain statique en boucle fermée.6) H (0) wBP : Pulsation de coupure à −3dB : H (0) dB − H (w BP ) = 3dB MG : Marge de gain. wR : Pulsation de résonance : Elle se détermine sur l’abaque de Black en notant la pulsation correspondante au point de tangence du lieu du système en boucle fermée avec la courbe iso gain de valeur maximale de l’abaque. (6. w A : Pulsation pour ϕ = Arg[T ( jwA )] = −180° . Présentation de l’abaque de Black Fonction de transfert en boucle ouverte : T (p) = C (p). T (0) : Gain statique en boucle ouverte..1.7) 68 .G (p) Erreur ! Source du renvoi introuvable.C (p) T (p ) = 1 + G (p). 6. Remarques : * Précision statique : si le gain de T (0) dB est infini le gain H (0) dB = 0 . il répond sans erreur permanente à un échelon de consigne. wR et wBP . 69 .Chapitre 6: Analyse & synthèse des systèmes asservis linéaires par la méthode harmonique Figure 6. Détermination de MP. * Si le processus bouclé est stable. 2. G0 G (p ) = e −τ p avec G0 = 1. Représenter le diagramme de Bode de Arg [T ( jw )] et préciser les valeurs des pulsations suivantes : w1 telle que Arg [T ( jw1 )] ≈ −115° w2 telle que Arg [T ( jw2 )] ≈ −180° 70 . Tracer les diagrammes asymptotiques de Bode de T (p) (gain et argument) et esquisser les courbes vraies. Exercice N°2 Un processus physique est modélisé par une fonction de transfert du premier ordre associé à un retard. 2. pour l’abscisse de ce point. donner les valeurs du gain et de l’argument deT (p) . 3. Déterminer les expressions de la transmittance de la chaîne directe T (p) et celle en boucle fermée H (p) . 1. On se place en régime sinusoïdal permanent : exprimer le module et l’argument de la fonction de transfert en boucle ouverte T ( jw ) & Arg [T ( jw )] . K : Gain du multiplicateur_filtre passe-bas. Dans quel sens faurait-il modifier la valeur de K pour améliorer la stabilité? (La réponse doit être justifiée). τ = 1s & T = 10s 1 + Tp Ce processus est inséré dans une boucle d’asservissement contenant un régulateur proportionnel C (p) = K 1. Déterminer les coordonnées du point de concours des asymptotes de la courbe de gain . λ : Constante d’intégration de l’oscillateur commandé par tension. 4. Déterminer la valeur de la constante K pour que la marge de phase du système bouclé soit de 45° . 5.Chapitre 6: Analyse & synthèse des systèmes asservis linéaires par la méthode harmonique EXERCICES Exercice N°1 Le schéma fonctionnel d’une boucle à verrouillage de phase de grandeur d’entrée ϕe et de grandeur de sortie ϕs est donné par la figure suivante : a & τ : Grandeurs caractéristiques du filtre correcteur. Déterminer l’expression de ε(p) en fonction de Ve (p) & Vs (p) et des éléments du circuit. A0 = 2. 4. R1 = 100K Ω & R2 = 1M Ω avec 1kHz ≤ f ≤ 1MHz . Calculer la valeur limite de l’amplification notée K max . de l’amplificateur. Représenter l’amplificateur sous la forme du schéma bloc suivant : Avec A(p) = Donner les expressions des transmittances H e (p) & K (p) . représenter le diagramme de Bode asymptotique et l’allure de la courbe réelle de T (p) pour les deux cas suivants : a. 2. 5. b. A l’aide des diagrammes de Bode. provoquant l’instabilité. 3.105 & wc = 20π rad / s 1 p 1+ wc 1. Déterminer l’expression de la nouvelle transmittanceT (p) . Exercice N°3 Soit le schéma structurel d’un amplificateur inverseur en tenant compte de la capacité parasite d’entrée : On prendra pour les applications numériques C 1 = 40pF On adopte pour l’amplificateur opérationnel le modèle suivant : A0 . 71 . pour les deux couples de valeurs de R1 & R2 : conclure. Pour améliorer le degré de stabilité de l’amplificateur. Calculer la valeur de K pour obtenir une marge de phase M ϕ ≈ 65° .K (p) . R1 = 1K Ω & R2 = 10K Ω avec 10kHz ≤ f ≤ 10MHz . on place en parallèle un condensateur de capacité C 2 = 1nF aux bornes de la résistance R2 . 4. Soit la transmittance de boucleT (p) = A(p). 6. déterminer la marge de phase.Chapitre 6: Analyse & synthèse des systèmes asservis linéaires par la méthode harmonique 3. 2. Quelle est sa fréquence de coupure à −3dB . les paramètres de la réponse indicielle. fait apparaître un numérateur égal à 5 . dans le plan de Black. 4. En déduire la nouvelle marge de phase : conclure. sous sa forme normalisée. Déduire de 1. on aurait un écart entre l’entrée et la sortie nul (en régime permanent) pour des valeurs particulières de A et z 0 que l’on déterminera. Exercice N°4 La figure ci-dessous représente les amplitudes des déviations obtenues sur un enregistreur soumis à des entrées sinusoïdales d’amplitude 20mV et de fréquence variable. l’entrée étant une rampe de pente a . si le numérateur était de la forme A(p − z 0 ) .Chapitre 6: Analyse & synthèse des systèmes asservis linéaires par la méthode harmonique 7. Tracer. 3. Dans le cas ou R1 = 100K Ω & R2 = 1M Ω . 1. Montrer que. de son facteur d’amortissement m et de sa pulsation propre non amortie wn . la courbe de réponse en fréquence de ce système du second ordre. Ecrire la fonction de transfert du système. 5. Donner les valeurs de son gain statique K . L’enregistreur peut être considéré comme un système du second ordre. 72 . tracer le diagramme de Bode asymptotique et l’allure de la courbe réelle deT (p) . 8. La fonction de transfert.