POTENCIAS – PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS - ECUACIONES EXPONENCIALES –RAÍCES – PROPIEDADES DE LAS RAÍCES – APLICACIÓN – EJERCICIOS B.I. – EJERCICIOS PSU - LOGARITMOS – PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS – CAMBIO DE BASE - APLICACIONES HISTORIA: Antecedentes históricos señalan que fueron los algebristas babilonios quienes primero estudiaron la resolución de las ecuaciones exponenciales por medio de un tanteo inicial seguido de una interpolación. con estos procedimientos trataron de calcular el tiempo necesario para que una cantidad determinada de dinero se duplicara al ponerla a una tasa dada de interés compuesto.... Sus tablas les indicaban que no todos los números racionales que figuraban en ellas tenían una raíz cuadrada tabulada. Enfrentados a este problema, procedieron a 1 a + b2 . Dos mil años obtener sus valores aproximados por medio de la regla a 2 + b 2 2 = 2a después, Herón de Alejandría ( s. II a. De C.) deduciría esta misma regla. Resulta interesante observar que esta aproximación razonable puede obtenerse hoy por medio de la serie binomial de Newton. queda claro que, en cierta forma, los babilonios dos mil años antes que los griegos, dominaban ya algunos aspectos del Álgebra. ( ) a n ; a ∈ R, n ∈ Z Se denomina potencia de base real y exponente entero a toda expresión de la forma PROPIEDADES Potencias de igual base Multiplicación a m ⋅ a n = a m+n División a m : a n = a m−n ∀a ∈ R ; m, n ∈ Z ∀a ∈ R * ; m, n ∈ Z Se conserva la base y se suman los Se conserva la base y se restan los exponentes exponentes Potencias de igual exponente Multiplicación a m ⋅ b m = ( a ⋅ b) m ∀a, b ∈ R ; m ∈ Z Potencia de un producto ( a ⋅ b) m = a m ⋅ b m ∀a, b ∈ R ; m ∈ Z Para elevar un producto a potencia, se eleva cada factor al exponente común División m a am :bm = b ∀a , b ∈ R ; b ≠ 0 ; m ∈ Z Potencia de un cuociente m am a = m b b ∀a , b ∈ R ; b ≠ 0 ; m ∈ Z Potencia de una potencia ( a m ) n = a m⋅ n Potencia de exponente cero a0 =1 ∀a ∈ R ; m, n ∈ Z ∀a ∈ Z * Para elevar una potencia a potencia, se Toda potencia de exponente conserva la base y se multiplican los cero es igual a 1 exponentes Potencia de base 1 1n = 1 Potencia de exponente negativo a −m = ∀n ∈ Z 1 am a b −m b = a m ∀a, b ∈ R ; a, b ≠ 0 ; m ∈ Z * Toda potencia de exponente negativo es igual al valor recíproco de la base elevada al mismo exponente, pero de signo positivo. Nota: Toda potencia elevada a exponente par es siempre positiva. Nota: Toda potencia elevada a exponente impar es positiva si la base lo es y es negativa si la base lo es. a 2 n −1 > 0 si a > 0 a 2 n −1 < 0 si a < 0 ( ) ( ) (1) 3a 4 ⋅ 2 a 3 ⋅ (2 a ) 2 3 5 3a 2 ⋅ 4b 3 c 144 x13 2 a −3 ⋅ x 3a + 4 ⋅ x 5− a (3) x ( 2) 2a 2 x 3 ( 4) − 3 z 3 x 2 a −3b ⋅ x 3 a + 5 b ⋅ x a −b (5) 3a − 2b : x 3a + 2b x 14 x 2 a + 3 7 x 4 (6 ) : 3a −2 10 x 5 a 5x 2 2 a −3b ECUACIONES EXPONENCIALES Ecuación exponencial es aquella que tiene al menos una potencia con una o más incógnitas en su exponente. Para resolver una ecuación exponencial debemos reducir cada miembro a una potencia y luego igualar las bases, aplicando las propiedades correspondientes. En consecuencia, como las potencias son iguales, sus exponentes también lo son, quedando así planteada la ecuación a resolver. Ejemplo: 3 (0,75) 3 x − 2 = 4 3 4 3 4 3x −2 3x −2 3 = 4 2x 3 = 4 2x 3x −2 3 3 = 4 4 Igualando los 2x 9 • 16 x +1 3 2 • 4 3 • 4 x +1 igualdad de las bases 2 x+2 potencia de una potencia 4 x+2 multiplicación de potencias exp onentes 3x − 2 = 4 x + 2 x = −4 POTENCIAS DE BASE REAL Y EXPONENTE RACIONAL 1 POTENCIAS DE LA FORMA a n 1 a n = n a ; n ∈ N , Lo que se lee: Raíz enésima de a m POTENCIAS DE LA FORMA a n m a n = n a m ; n ≠ 0 . Lo que se lee: Raíz enésima de a elevada a m Nota: El valor de una raíz en el conjunto de los números reales depende del signo de la cantidad subradical y del índice de la raíz. Nota: siempre existe la raíz de un número real positivo, cualquiera sea su índice ( par o impar) Nota: La raíz de un número real negativo, existe si y solo si su índice es impar Nota: La raíz de índice par de un número real negativo no es un número real, es un número llamado imaginario. PROPIEDADES (1) Raíz de radicando cero 0 =0 n Es una consecuencia inmediata de la definición de raíz. En efecto =0 n 0 = 0 , ya que 0n (2) Raíz de la unidad n 1 =1 (3) La multiplicación de raíces de igual índice n es igual a la raíz enésima del producto de las cantidades subradicales. n a ⋅n b = n a ⋅b ∀a, b ∈ R0+ , si n es par y ∀a, b ∈ R, si n es impar También es valida para la multiplicación de tres o más raíces de igual índice. Ejemplo: m2 − n2 ⋅ (1) ( (3) ( ( 2) 6 − 2 x + 1 ) 1 m−n 2 2x +1 − 3 x − 2 ) 2 (4) La raíz enésima de un producto de dos o más factores es igual al producto de las raíces enésimas de cada factor. n a ⋅b = n a ⋅ n b (a ) 75 = 25 ⋅ 3 = 25 ⋅ 3 = 5 3 48 = (b) (c) 3 40 = (d ) 3 24ab 3 x = (5) Forma típica de una raíz: Una raíz está expresada en su forma típica cuando se ha reducido al máximo la cantidad subradical. 80 = 16 ⋅ 5 = 4 5 Ejemplo: 8 x 3 y 2 z 10 (1) (2) 4 64 x 4 y 10 2 + 32 + 5 8 (3) (4) 128 + 5 18 − 5 98 − 23 16 3 5 =45 (a) 3 (b) 2 3= (c) (d ) 2 = 3 2 2 a = mn a = m⋅ n a . b≠0 n b b Ejercicios: (1) 5 y 3 x − 2 : 5 y 2 x −3 (2) (5 10 − 2 15 ) : 5 (8) Raíz de un cuociente. La división de raíces de igual índice n es igual n a n a a la raíz enésima del cuociente de las cantidades subradicales. debemos elevar el coeficiente a su enésima potencia.b ≠ 0 b nb Ejemplo: 5 5 + (1) 12 18 (2) 3 (3) 4 64m 3 n 5 p 7 125a 6 b 3 16a 8 p 12 81b 4 (9) La raíz enésima de una raíz enésima es equivalente a una raíz cuyo índice es el producto m⋅n. es a na igual al cuociente de las raíces enésimas de cada una de ellas. an b = n a n ⋅ b (a) a b = (b) 23 3 x = (c) m mx = (d ) a 3 b = (7) División de raíces de igual índice. Para introducir un coeficiente dentro de una raíz enésima. = . n = .(6) Introducir un coeficiente de una raíz como factor de la cantidad subradical. La raíz enésima de un cuociente de dos cantidades. se debe amplificar por un factor a± b a− b adecuado que forme un producto suma por un producto diferencia Para racionalizar la fracción o Ejemplo: (a) 3 7+ 5 = = 3 7+ 5 • 7− 5 7− 5 3( 7 − 5 ) 7 2 − 52 3( 7 − 5 ) 7−5 3( 7 − 5 ) = 2 6 −2 5 (c ) (b) = = 3 3 +1 2 3− 2 = (d ) x+2 x+2 −2 = . quedando este transformado en un número racional. (a) (b) (c) (d ) 3 3⋅ 2 = 2 2⋅ 2 1+ 3 5 2 2 3 6 2x = 3 2 ( 2) 2 = 3 2 2 = = = x x . se debe amplificar por a . ya que de esta forma Para racionalizar la fracción a se elimina la raíz del denominador.RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR DE UNA FRACCIÓN Racionalizar una expresión fraccionaria consiste en transformar su denominador irracional en un número racional x . C y n Nota: Es importante insistir en que i corresponde al tanto por uno. de modo que para obtener el tanto por ciento. es necesario multiplicar por 100 Ejemplo: Un capital de $100. con un capital inicial C. se convirtió en $106. a una tasa de interés i ( tanto por uno) es: M = C(1 + i)n (1 + i ) n = M M → 1+ i = n C C i=n M −1 C Esta fórmula permite calcular la tasa de interés i.120.02 i = 2% Ejercicio: Si la suma de $ 200.120 −1 100. durante n periodos de capitalización. tal desea conocer toda fórmula o expresión algebraica en que se requiera despejar una aparece elevada a algún exponente. Tasa de interés compuesto: La fórmula para determinar el monto final M. se hace necesario aplicar la es el caso que se presenta en la fórmula del interés compuesto.000 se ha convertido en $ 231. con capitalización trimestral de intereses.02 − 1 = 0.000 M = $ 106.000. colocado a interés compuesto durante 3 meses.000 = 3 1. . si se la tasa de interés. ¿A qué tasa de interés mensual fue colocado? C = $ 100.Aplicación: En incógnita que radicación.120 n = 3 meses i=? i=3 =3 M −1 C 106. Calcular la tasa de interés anual.730 después de un año. conociendo M.0612 − 1 = 1. 9 18 A) 2 B) 36 C ) 38 18 19 19 E) 18 D) (5) 2 −1 − 3 −1 2 −1 ⋅ 3 −1 A) –1 B) 1 C) 0 D) E) 1 3 1 2 = .EJERCICIOS DE OPCIÓN MÚLTIPLE (1) 75 :72 – 7 = A) 72 B) 7⋅72 C) 7⋅(72 – 1) D) 7⋅(7 – 1) E) 73 – 1 (2) Si n es un número impar mayor que uno.05 (4) 9 = 5 ⋅1. entonces: (−1) n +1 + (−1) n −1 + (−1) n + 2 A) 3 B) 2 C) 1 D) 0 E) –1 (3) A) B) C) D) E) (−2 3 ) 2 − (−2 2 ) 3 = 128 24 0 –24 –128 1 1 − 0. 69 ⋅10 −5 ) : (1.25) –1 = 1 6 3 B) 4 4 C) 3 D) 3 A) E) 6 (7) (10 −3 ) −3 ⋅ (0.3 ⋅10 −1 C ) 1.3 ⋅10 −1 E ) 13 ⋅10 9 (9) Al multiplicar (a5)2 por a7 se obtiene: A) B) C) D) E) a14 a32 a17 a70 a3 .5 ⋅10 −3 ) −2 = A) 4 ⋅10 −3 B) 2 ⋅10 −3 C ) 10 D) 10 −15 E ) 4 ⋅1015 (8) (1.(6) (0.3 ⋅101 D ) 1.5 + 0.3 ⋅10 4 ) = A) 1.3 ⋅10 −9 B ) 1. entonces 8a+3es igual a: A) 24 B) 32 C) 48 D) 512 E) 1. entonces su arista mide: A) 49 dm B) 98 dm C) 7 2 dm D) 7 dm E) 14 dm (14) La suma de 7 A) 15 B) 17 C) 11 D) 5 1 E) 5 2 0 1 + 16 2 es igual a: .(10) La fracción A) − B) 2a −1 − 3b −2 a −1 + 2b − 2 equivale a: 1 3 1 3 2b − 3a 2 b + 2a 2b − 3a D) b + 2a 2b 2 − 3a E) 2 b + 2a C) (11) La suma de a 1+ y a + a 1 + y −a es igual a: A) 0 B) a C) D) 2a 1 − y 2a 2 1− y 2 E ) Ninguna de las anteriores (12) Si 8ª = 2.024 (13) Si el área total de un cubo es 294 dm2. c.b C) b.a.c B) a.5 2 cm (18) El valor de 512 A) − − 1 3 −3 + 3 ⋅ (16) 4 1 − 32 − 2 5 es : 7 2 7 2 9 C) 2 B) 9 2 E ) Ninguna de las Anteriores D) − (19) Los números a = 2 2 .b.c.b .a.(15) La expresión (x 18 ) A) x2 B) x 6 C) x 10 D) x4 E) No se puede calcular 2 es equivalente a: (16) El producto 5 ⋅ (4 −1 + 3 −1 ) es : 35 12 7 B) 5 C ) − 35 A) 5 7 E ) 35 D) (17) Si la medida del área de un cuadrado es 729 cm2. D) b.5 cm E ) 364. b = 3 .c.a E) c. escritos en orden creciente es: A) a. c = π . entonces su diagonal debe medir: A) 17 cm B) 27 cm C ) 27 2 cm D) 364. entonces + = 2 4a 3b 3 −1 + 1+ a 1 a − 2 es : −1 . 3 ⋅ • 0. 9 = A) 0. el valor de la expresión : a 2 A) B) C) D) E) 9 4 5 4 25 16 1 4 4 5 (23) Si a = A) 2 B) 1 11 72 D) − 1 C) − E) − 2 1 3 1 2 y b = .0501 50.51 5.1 B ) 0.1 = : 0.01 (21) 0.1 3 (20) 0. 9 E) 0. 3 D) 0.09 C ) 0.1 A) B) C) D) E) 104 102 10-3 10-4 10-8 1 1 (22) Si a = 1 . 8 ⋅ 2 − 0.5 − (−1) (25) = 2 1 − 3 : 2 2 2 A) B) C) D) E) 27 9 –3 –9 –27 (26) A) B) C) D) E) 3. 6 3 2 B) 2 1 4 4 9 D) 1.44 C) E) 15 7 3 2 − 0.00314 −3 2.04 : 204 −1 = 10-5 10-7 10-9 10-11 107 (27) El valor de A) 2 + 3 B) 2 − 3 C) 4 D) 4 + 3 E) 4 − 3 1 1− 3 +4− 1 1+ 3 es igual a: .(24) El valor de la expresión A) 2 1 3 es : 1.14 0. (28) La expresión A) –6 B) 10 C) 2 D) –2 E) 10 + 2 10 ( ) 2 2 − 8 es equivalente a: (29) Si x = 3 .5 ⋅ (0. 25) −3 (31) a) b) c) d) e) −2 (1. cuando x = -2 A) B) C) D) E) 60 106 –53 81 72 .5)0.5) −3 ⋅ 33 0. entonces el valor de 3 3x − 2 y − 3z será : A) –5 B) 3 25 C) 9 D) –9 E) 3 − 7 (30) La expresión 3 ⋅ 3 2 es equivalente a : A) 3 B) 6 6 6 C) 5 D) 6 6 E ) 108 ( −2 ) ⋅ ( 0. y = -2 . z = -4.75 −4 (33) 5x3 – 3x2 + 4x-2 + 16x-3.75 4 –16 1 (32) (23 )−2 A) -1 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5 0.25 0. para a = -3 y b = -2 A) B) C) D) E) –7 1 –1 17 –119 (36) (a2 – b3)٠a – b2 . 25) −3 ⋅ 8−2 (−0. para a = -3 y b = -2 A) B) C) D) E) –7 1 –55 109 19 (37) (−a 3 ) ⋅ (−a 2 )3 ⋅ (−a −2 ) A) B) C) D) E) a7 –a-5 a-5 –a11 Ninguna de las anteriores (38) A) B) C) D) E) a n + 2 ⋅ b n −3 ⋅ a a 2 n − 3 ⋅ b n − 3 ⋅ a 2 n −5 a 11-3n a 11-n a 3n+8 a0 a3 .25)-3 (34) A) B) C) D) E) (35) (a2 – b3)( a – b2) . 4)−2 ⋅10−3 100 –160 –105 153 (0.(−1) −9 ⋅ (0. 25)-1 = 1 8 1 B) 2 1 C) 5 D) 2 E) 5 A) . 75 ⋅ (−b −4 ) ⋅ 5b 7 ⋅ 4b −3 A) B) C) D) E) 15b –60 5b0 –b1 –15 (40) (−2a 5 )3 ⋅ (−5a −4 ) 2 ⋅ (7 a −2 )0 A) –200 B) –200a7 C) 70a5 D) 10a7 E) Ninguna de las anteriores (41) A) b a B) − C) a 3 x + 2 ⋅ b3 x + 2 (ba )3 x + 2 : =? a b b a a b a b E ) Ninguna de las anteriores D) − (42) (0.5)-1 : (0.(39) 0. 321 C) 543.000 (5) ( 2a 2 x3 y 5 ) = ? 5 A) 2a 2 x8 y10 B) 2a 7 x8 y10 C )10a10 x15 y 25 D)32a10 x3 y15 E ) 32a10 x15 y 25 (46) Si a = 5 ⋅10−2 entonces A) 5 B) 3 1 C) 3 1 D) 5 3 E) 10 a −3 − 5 a −2 = 2 ⋅103 .572 (44) • 0.(43) 5 ⋅102 + 4 ⋅101 + 3 ⋅100 + 2 ⋅10−1 + 1 ⋅10−2 = A)5.1 B) 1 C) 10 D) 100 E) 1. 0572 A) 0.21 D) 5432. 0203 0. 03 0.1 • = 0.4321 B) 54.1 E) Ninguna de las anteriores 3 −2 2. entonces a −1 ⋅ a −2 = a −3 ⋅ a A) 100 B) 10 C) 102 D) 104 E) 105 (49) 29 .23 = A) 23 ⋅ 32 ⋅ 7 B ) 26 C ) 23 ⋅ 7 D) 22 ⋅ 3 E ) 23 2 − 8 + 18 (10) A) 2 B) 8 C ) 12 D) 28 E ) 72 (51) ¿Para qué valor de x se cumple la siguiente igualdad: 3x + 3x + 4 + 3x −1 = A) -5 B) –4 C) –3 D) –2 E) –1 247 ? 27 .2 5 18 (47) 2 −5 = 5 2 A) -80 B) – 13 C) 4 D) 40 E) 94 (48) Si a = 102 . (52) Sea n ∈ Z + . si N = 3n − 2n entonces N 2 es igual a : A) 3n+ 2 − 2(6n ) + 2n+ 2 B) 9n + 4n C ) 9n − 4n D) 9n + 2(6n ) + 4n E ) 9n − 2(6n ) + 4n (13) 2 ⋅ 2n + 4 ⋅ 2n − 2 + 8 ⋅ 2n−3 = A) 2n +1 B) 2n + 2 C ) 22 n − 2 D) 22 n −1 E ) 22 n + 4 (54) Si a y b son números reales no nulos. entonces (a-1+b-1)-1 : ( a + b) –1 = A) ab ab B) a+b C) a + b a+b D) ab 1 E) a+b (55) 25 – 24 + 23 – 22 + 21 = A) 8 B) 16 C) 22 D) 32 E) 64 . entonces A) -2 B) –1 C) 0 D) 2 E) a –6 ( − a 2 )3 + ( − a 3 ) 2 = a6 .3n +1 ⋅ 3n −1 = (56) 32− n ⋅ 3n A) 9n −1 B) 3n−1 C ) 3n − 2 D) 32 n+ 2 E) 3 n 2 −1 2 n − n2 (57) La expresión ( 2 3n)2m es equivalente a: I) ( 22n)3m II) (22m)3n III) (2mn)6 De estas afirmaciones. la expresión: (−1) n 2 −n + (−1)2 n + (−1) 2 n −1 = A) -3 B) -2 C) -1 D) 1 E) 3 (59) Si “a” es un número real positivo. entonces. II y III (58) Si n es un número natural. es(s0n) verdaderas: A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I. son semejantes.2z –3 = A) − 120 z −3 B) − 15 z −3 C) − 15 −3 z 8 D) 0 E )15 z −3 (62) Al racionalizar la fracción 5( 2 + 3 ) 2 2+ 3 se obtiene: A) 5(1 + 6 ) 1 B) (1 + 6 ) 5 C) 5 + 6 D) 1 + 6 E ) Ninguna de las anteriores (63) Se afirma que dos cuadriláteros que tienen: I) Sus 4 lados respectivamente iguales son congruentes II) Sus 4 ángulos respectivamente proporcionales. Entonces. son semejantes III) Sus 4 lados respectivamente proporcionales.(60) 1 : ( 0. de estas afirmaciones es(son) verdadera(s): A) sólo I B) solo II C) II y III D) Todas E) Ninguna de las anteriores .125) –1 = 1 8 1 B) 4 1 C) 2 D) 4 A) E) 8 (61) (2z)-3 . entonces sus áreas están en la razón: A) 1 : 3 B) 3 : 1 C) 1 : 9 D) 9 : 1 E) 1 : 12 (65) Si las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo están en la razón 1 : 2 y su área es 25 cm2. entonces su área mide: A) 20 m 2 B) 10 3 m 2 C) 4 5 m 2 D) 5 5 m 2 E) 5 3 m 2 . rectángulo en C.(64) Los rectángulos APQR y ABCD son semejantes en la razón 1: 3. entonces su lado mide: A) 5 3 m B) 10 m C ) 100 m D) 20 3 m E ) 50 3 m (68) Si las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo están en la razón 1 : 2 y su hipotenusa es 10 m. hc = I) (p + q)2 = 4pq II) q = p 2 c en relación con esto se afirma que: 2 III) p = q De estas afirmaciones es(son) verdadera(s): A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) I y III (67) Si el área de un triángulo equilátero mide 25 3 m 2 . entonces la hipotenusa mide: A) 5 3 cm B) 5 5 cm C ) 10 cm D) 10 3 cm E ) 10 3 cm (66) En el triángulo ABC. entonces ( x − 3) 2 = A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 9 (70) (−3 3 ) 2 = A) − 27 B ) 27 C) 27 D) − 27 E ) No es un número real (71) 3 3 + 2 • 3 3 − 2 = A) 3 B) 25 C) 25 D) 5 E) 6 3 (72) ¿Cuál(es) de los siguientes números es(son) real(es)? I) A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) Ninguno de ellos 2 7 75 (73) 3 − 7 = A) 546 B) –546 C) 504 D) –504 E) 336 3 7 2 5 −5 II ) 4 3 −3 5 III ) 9−4 5 .(69) Si 5 + 2 4 = x. Sin ser un matemático de profesión. Donde y = logaritmo a = Base x= argumento Nota: Si a es un número real positivo( a ≠ 1 ) talque ax = ay . contribuyó a su desarrollo con una herramienta que simplificó los cálculos matemáticos y mercantiles. entonces: y = loga x si y sólo si ay = x.0) (d) El eje y es una asíntota en la gráfica de f(x) (e) La gráfica de la función logarítmica es una función uno a uno . tiene una función inversa. Napier. en Inglaterra. entonces x = y • La función logarítmica f(x) = logb x es: (a) una función creciente si b > 1 (b) una función decreciente si 0 < b < 1 Para todo número real positivo b ≠ 1 . creador de los logaritmos. nació y vivió John Napier ( 1550 – 1617). la función f(x) = logbx tiene las siguientes propiedades: (a) f(x) tiene al conjunto de los números reales positivos como su dominio (b) f(x) tiene al conjunto de los números reales como su rango (c) La gráfica de f(x) intersecta al eje x en el punto ( 1. John (1550-1617) • Cualquier función exponencial es una función uno a uno y por lo tanto. f(x) = ax y = ax x = ay Para poder despejar “y” necesitamos de la siguiente notación: Si x > 0 y a es una constante positiva ( a ≠ 1 ).LOGARITMOS Muy cerca del lugar donde se clonó a la oveja “ Dolly”. en uno o en ambos miembros. Nota: en algunos casos no es posible igualar sus bases y son resueltos aplicando logaritmos y sus propiedades . son llamados logaritmos naturales.Propiedades de los Logaritmos En las siguientes propiedades b. es común escribir logex como lnx Fórmula cambio de base Si x. En algunos casos. ( división) (6) loga (Mp) = plogaM (7) log a M = log a N → (8) a loga p = p ( Potencia) M =N ( para p > 0). ( muy utilizados en cálculo). M y N son números positivos ( a ≠ 1 ) y p es cualquier número real: (1) logaa = 1 (2) loga 1 = 0 (3) loga(ap) = p (4) loga MN = loga M + loga N ( producto ) (5) M log a N = log a M − log a N . propiedad inversa Nota 1: Logaritmos con base 10 son llamados logaritmos comunes y se escribe: log10 x = log x Nota 2: logaritmos con base e. en otros. a y log b x = b son números reales positivos con a ≠ 1 y b ≠ 1 . la igualdad de los exponentes da lugar a una ecuación de primer grado. y que consta de una incógnita en al menos uno de sus exponentes. la ecuación exponencial planteada conduce a la resolución de una ecuación de segundo grado. entonces: log a x ln x = log a b ln b Ejemplos: Halla el valor de x en los siguientes casos: (a) log2 128 = x (c) log 343 7 = x (b) log x 100 = 1 2 (d) log2 322 = x Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas Una ecuación exponencial es una igualdad en la que intervienen potencias. está restringido solo a números reales positivos. se aplican las propiedades de los logaritmos. Para resolver ecuaciones como estas. por lo tanto todo valor negativo se descarta como solución de la ecuación. un antilogaritmo. el cual. .Ejemplo 1: Resolver la ecuación logarítmica log 2 x − log( x − 3) = 1 log 2x x −3 2x = 101 x −3 2 x = 10 x − 30 15 x= 4 Ejemplo 2: Resolver la ecuación logarítmica ln(3x + 8) = ln(2x + 2) + ln(x – 2) ln(3x + 8) = ln(2 x + 2)( x − 2) (3x + 8) = 2 x 2 − 2 x − 4 0 = 2 x 2 − 5 x − 12 0 = (2 x + 3)( x − 4) x1 = 4 x2 = − 3 ( no es solucio´n) 2 Ecuaciones logarítmicas con una incógnita Se denomina ecuación logarítmica con una incógnita a una igualdad en la que intervienen logaritmos y donde dicha incógnita forma parte de. al menos. como sabemos. ya que los valores negativos dan origen a un antilogaritmo negativo. Ejemplo 1: Resolver log2(2x + 5) = 3 Aplicando la definición de logaritmo: 23 = 2 x + 5 8 = 2x + 5 3 = 2x 3 =x 2 Nota: Se debe comprobar cada valor obtenido para x en la ecuación original. . a través del tiempo. es solucio´n 2 PROBLEMAS DE APLICACIÓN ARQUEOLOGÍA: La variación de la masa de cierta cantidad de carbono – 14. puede calcularse. t ( en miles de años) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que queda como consecuencia de la desintegración radiactiva. aplicando la siguiente función: M(t) = M 0 ⋅ 0. t donde Mo ( en gramos) es la masa inicial. aproximadamente. se descarta −1 ± 1 + 4 2 = x= 2 −1 + 5 .Ejemplo 2: Resolver la ecuación log 2 [log 2 ( x + 1)] = 1 log 2 [log 2 ( x + 1)] = log 2 2 log 2 ( x + 1) = 2 log 2 ( x + 1) = log 2 4 x +1 = 4 x=3 Ejercicio: Analiza la solución de las siguientes ecuaciones e indica el o los errores que se cometieron: (1) log( x + 1) + log( x + 2) = 1 log( x + 1 + x + 2) = 1 log(2 x + 3) = 1 10 = 2 x + 3 x= 7 2 (2) log 5 x + log 5 ( x + 1) = 1 log 5 x( x + 1) = 1 x( x + 1) = 1 x2 + x −1 = 0 −1 − 5 .886 . se utiliza la fórmula: M = Monto o capital final C = capital inicial i% = tasa de interés ⇒ M = C (1 + i ) n n = tiempo o plazo $2.500.• Se encontró un fósil con 100 g de carbono – 14 y se sabe que cuando estaba vivo.000(1 + 0. contenía 200 g de carbono – 14. obtendremos t = 6 años .886 −0.000 al 12% anual de interés.886 2 1 log 2 t= log 0.886t . aplicando log aritmo 2 1 log = t log 0. ¿En qué tiempo su capital será $ 2. aplicando log aritmo 2.000.500. 788 −0.000? En un problema de matemática financiera ( interés compuesto). 25 n = 2 años n= ESTADÍSTICA • La población de un país dentro de t años está dada por la relación 2t P(t ) = 2 • 3 3 millones de habitantes. 25 = n ln1.12 ln1. este fósil tiene aproximadamente 6 mil años.000 ln1.000. 052 Es decir. ¿Cuántos años de antigüedad tiene? 100 = 200 ⋅ 0. MATEMÁTICA FINANCIERA • Una persona deposita en un banco $ 2.000 = $2.000 t=x Aplicando logaritmo y sus propiedades.12) n .500.000.301 t= = 5.12) n 2.000.886t 1 = 0.12 ln1.000 = (1. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la población del país sea 162 millones de habitantes? P(t) = 162. Asi lnu es el valor numérico del área bajo y= 1 entre 1 y u x .01 M ( molar) Solución: la relación que permite calcular el pH de una concentración acuosa es: + pH = -log[ H ] + ( Nota: [ H ] = 10-3 M) pH = − log(1 ⋅ 10 −3 ) pH = −(−3) pH = 3 (Nota: Neper concebió los logaritmos como el área bajo la curva.QUÍMICA • Calcular el ph de una solución de ácido clorhídrico (Hcl). de concentración 0. - Dado que 2. determina el valor exacto de 4. log a 64 + log a b = 8 log b a = 0. 5. b χ IR+ .46 x = 25 . 3.- Dado que k = ln 3. y luego resuelve el sistema uv = 2.- Resuelve la x para los cuales (log 5 x)2 = 9.17 y log p B 2 = 2.- Resuelve la ecuación 2 =3 Encuentra los dos valores de respuesta exacta. dando tu 7 ⋅ 3x = 20 2. dando tu respuesta con una ecuación aproximación correcta de 4 cifras significativas.86.- Resuelve la ecuación 6.37 ⋅ 0.- Resuelve la ecuación 4.2.- Determinar el valor numérico de 6.- Si (log p )⋅ (log q ) 2 3 q p log p A = 3.- Determina los dos valores de x que satisfacen la ecuación ( ) 22 x − 3 2 x +1 + 8 = 0 . halle (a) log p B (b) B3 log p A II Nivel Superior 1. dado que a .- Expresa log4uv en términos de log 1 3 ln − ln 7 = 2 ln k . v .EJERCICIOS: BACHILLERATO INTERNACIONAL I Métodos Matemáticos 3 x +1 2 x +1 1.- Resuelve el siguiente sistema.5 2 v) = -6 1 2 5.5 3. expresa x en términos de k x log (log 2 4 u)(log ln 3 x = − 2 u y log 2 e5 k . 034 ( 4 cs) 5) 6 6) a) b) II Nivel Superior 1) x= 2) a=2 3) 243 4) b=4 u = 64 ) log( 20 7 log 3 = 0.25 3x + 675 = 0 3x 2 −1 = ( 3) 126 8. x2 = 1.- Calcule x e y exactamente.44 (3cs) log(89 ) 2) x1 = 125 3) x= 4) x = -3.- Determina el valor de x : 4x − 3 ⋅ 8x = 0 Respuestas I Métodos matemáticos 1) log( 32 ) x= = -3.7.27 5x . sabiendo que : 1 5 =1 53 x ⋅ 25 y = 7 x ⋅ 492 y 10.58 (3cs) .43 2.956 (3cs) 1 3 7k 2 . y = − 52 10 6) 8) 10) x1 x2 x1 x2 = = = = x= 1 2 -8 8 log(13 ) log 2 = -1.705 v = 12 e − 32 5) x= 7) x1 = 2 x2 = 3 9) x= 1 .- Encuentra todos los valores reales de x tales que 9.- Halle los valores enteros de x tales que : 15x . como números racionales. 5). encuentre el valor de k. Exprese log 10 3 QR y . (2) Sea log10P = x. Inicialmente hay 500 mariposas.95 . log10R = z.EJERCICIOS: BACHILLERATO INTERNACIONAL NIVEL MEDIO NIVEL SUPERIOR (1) Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva.86. Use estos valores para encontrar una estimación para la razón de mariposas por mes. dando tu respuesta correcta con seis decimales. encuentre: B3 log p A [4] (7) Halle en forma numérica el valor exacto de cada una de las expresiones: (a) log168 (b) log 49 7 . en la cual la población de mariposas esta creciendo cuando t = 15 [12] (6) Si logpA = 3. Después de t años el número de leopardos. (e) Calcular los valores de f(14. donde f(t) = N⋅at. (a) encuentre el tamaño de la población después de 3 meses (b) encuentre el tamaño de la población después de muchos años (c) el tamaño de la población después de t años esta dado por f(t). [4] 2 P en términos de x.75x = 0.4t. x ∈ R [4] (4) Resuelva la ecuación 8x = 0.5) y f(15. está modelado por N = 10⋅e 0. Establezca (i) el valor de N (ii) el valor de a Un camino alternativo para representar el tamaño de la población esta dado por g(t). donde g(t) = 500⋅ekt.17 (a) logpB (b) y logpB2 = 2.25(3x-1) [4] (5) Una población de mariposas crece a razón de 7% por mes.z [4] (3) Resuelva la ecuación 1 – 0. N. (d) Utilizando f(t) y g(t). log10Q = y . (a) ¿Cuántos leopardos hay después de dos años? (b) ¿Cuánto tiempo tomará para que el número de leopardos sea de 100? De su respuesta con un grado de precisión apropiada. halle en función de x e y. al finalizar los 3 años la suma de dinero se ha convertido en $ 9. expresiones para (a) log25 (b) loga20 [4] (18) Trace de forma aproximada las gráficas siguientes identificando cada una y = x2 con –2 ≤ x ≤ 2. x ∈ R [4] (11) Resuelva la ecuación log2x81 = 4 3 [4] (12) Resuelve la ecuación 4x .(c) 1 log e 2 e [4] (8) Una población de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamaño viene dado por P(n) = 2500⋅An.000. ¿Cuánto tiempo tardará en doblarse el tamaño de la población? De su respuesta aproximada al minuto. halle la tasa de interés anual si el problema es de interés compuesto [4] (14) Resuelva la ecuación 43x-1 = 1.5625⋅10-2 [4] (15) resuelva la ecuación 1 9 x −1 = 3 2x [4] (16) Una población de bacterias crece a razón de 2.3⋅8x = 0 [4] (13) Depositamos en una cuenta durante tres años una suma de $ 8. e y=- 1 ln x con 0 < x ≤ 2 2 [2] .3% por minuto. loga5 = y .261. [4] (17) Si loga2 = x . aproximando con tres decimales [4] (9) Resuelve la ecuación 3x+2 = 9x-1 [4] (10) Resuelve la ecuación 128 = 23x+1.500 (a) Halle el tamaño de la población inicial P(0) (b) Halle A. Se sabe que P(12) = 7. .7senθ +5 = 3cos2θ . Halle la distancia entre los dos puntos posibles P si están ambos en el mismo lado de la base QR. de modo que 3sen2θ . punto de intersección de las dos curvas [2] (c) si las tangentes a las curvas en P cortan al eje Oy en Q y R. calcule el área del triángulo PQR [6] (d) Demuestre que las dos tangentes en los puntos donde x = a. [3] (21) Dado que f ( x) = x x+2 x−2 y g ( x) = f . a > 0 a cada curva son siempre perpendiculares. 0° ≤θ≤90° [4] (25) (a) Sabiendo que log a b = log c b .(b) Halle la abscisa de P. halle los números reales k y m para que log c a log 9 x 3 = k log 3 x y log 27 512 = m log 3 8 . o de otro modo. exp rese log 4 x + log 2 x = log 8 128 3 2 3 en función de los logaritmos de la base 2. QR = 6 cm y ∠PQR = 45° . (b) De aquí. resuelva la ecuación de la parte (a) [4] (23) Halle todos los valores de x para los que las siguientes funciones no están definidas (a) f ( x) = x −1 x (b) g ( x) = x − 1 − x (c ) h( x ) = x 2 − 1 (d ) j ( x) = ln(1 − x 2 ) [4] (24) Halle todos los valores de θ. [4] (19) Resuelva la ecuación ln 3 x = − 1 2 [2] (20) Existen dos triángulos posibles PQR tales que PQ = 5 cm. deduzca una expresión para g(x) 3 y halle su dominio [4] (22) (a) Dado que log a c = log a b ⋅ log b c. y luego trasladando la gráfica de y = f(x) (b) Describa completamente cada una de estas transformaciones. la ecuación log2(5x2 – x – 2) = 2 + log2x [4] .1 (b) Halle todos los valores de x para los que log 9 x 3 + log 3 x 2 = log 27 512 [4] (26) Dadas las funciones f : x ֏ x +1 y g : x ֏ x 3 . halle la función ( fog)-1 [4] (27) La figura muestra una parte de la grafica aproximada de f(x) = x2 y una parte de la gráfica aproximada de g(x) = -x2 + 6x – 13 (a) Escriba las coordenadas del punto máximo de y = g(x) La gráfica de y = g(x) puede obtenerse de la gráfica de y = f(x) trazando primero la simétrica de la gráfica de y = f(x). que conjuntamente aplican la gráfica de y = f(x) en la gráfica de y = g(x) [4] (28) Resuelva en x. En este tipo de actividad se recomienda el uso de la calculadora/ computador La siguiente tarea de portafolio será evaluada frente a los siguientes criterios: CRITERIOS DE EVALUACIÓN A: Uso de la notación y terminología B: Comunicación C: Contenido matemático D: Resultados o conclusiones E: Hacer conjeturas CONTENIDOS (1) Logaritmos (2) Propiedades de logaritmos .TAREA DE PORTAFOLIO Título: INVESTIGACIÓN DE LOGARÍTMOS Una investigación matemática se define como una prospección en un área particular de las matemáticas conducentes a un resultado general desconocido previamente por el estudiante. 2 + log 11 log 2..2 log 0.75 20 – log 40 1/2 0.4 log 0.log2+ log3 log 6 log 3 + log 7 log 21 log 4 + log 20 log 80 log 0.3010 (d) Halle una regla general para logx + log y (e) ¿Puede sugerir una explicación de por qué es esto así? 2.7782 (b) ¿Observa alguna regla? Descríbala con sus propias palabras.(a) Copie y complete la siguiente tabla usando su calculadora. . Se le da un ejemplo. (c)Copie y complete la siguiente tabla eligiendo sus propios números.12 0.3 + log 0. Log 5 + log 4 log 20 1.1.4 3 – log 4 0. Aproxime sus respuestas con cuatro cifras decimales log log log log log log log log log log 12 – log 3 4 50 – log 2 25 7 – log 5 1. Aproxime sus respuestas con cuatro cifras decimales..7782 (b) ¿Observa alguna regla? Descríbala con sus propias palabras.(a) Copie y complete la siguiente tabla usando su calculadora. 4 log 2 log 24 5 log 6 log 65 ½ log 4 log 4 ½ log 7 log 7 2/5 -3 log 5 log 5 –3 1.(c) Copie y complete la siguiente tabla eligiendo sus propios números.4771 (d) Halle una regla general para log x – log y (e) ¿Puede sugerir una explicación de porqué esto es así? 3... Se le da un ejemplo log 6 – log 2 Log 3 0.(a) Copie y complete la siguiente tabla usando su calculadora. Se le da un ejemplo 3 log 6 Log 63 2.3345 (d) Halle una regla general para n log x (e) ¿Puede sugerir una explicación de porqué esto es así? 4. Aproxime sus respuestas con cuatro cifras decimales.2041 (b) ¿Observa alguna regla? Descríbala con sus propias palabras (c) Copie y complete la siguiente tabla eligiendo sus propios números.Sea la función y = log x (a) Halle el valor de y cuando x = -1 . 01 0.(b) ¿Dónde corta la curva al eje Ox? (c) ¿Puede ser x = 0? ¿Puede ser x < 0? Use la calculadora para comprobar las respuestas (d) Diga cuál es el dominio restringido de la función (e) Copie y complete la siguiente tabla de valores x y= log x 0.001 0.0001 0.00001 0.1 1 (f) ¿Qué puede decir sobre el eje Oy? (g) Copie y complete la siguiente tabla x 1 y=logx 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (h) Usando la escala de 1 cm para representar 1 unidad en el eje Ox de 2 cm para representar 1 unidad en el eje Oy.000001 0. dibuje la curva y = log x . entonces x= A) 0 B) 1 C) 10 D) 15 E) 1510 (2) Si log5x = -2.EJERCICIOS DE LOGARITMOS PSU (1) Si log15x = 100. entonces x= 64 A) 8 B) 4 C) 2 D) 1 1 E) 4 (4) log 4 16 − log 2 8 = log 100 1 2 B) − 3 A) − C) − 2 D) − 1 E) − 1 2 (5) log4(log381) = A) 1 B) 2 C) 4 D) 12 E) 16 .04 B) 25 C) –32 D) –5 1 E) 5 (3) Si log x 1 = −3 . entonces x = A) 0. 01 es: A) –2 2 B) − 9 2 C) 3 2 D) 9 E) 2 .001 3 0. entonces log2x = 2 5 4 3 2 1 (9) La solución de la ecuación: log3(92x+1) = 2x es: A) B) C) D) E) –3 –1 0 1 3 (10) El valor de log 0. entonces log2x es igual a: 5 A) 1 3 4 1 C) 2 B) 1 2 E) −1 D) − (7) Log50 + log40 + log20 + log2.5 = A) 1 B) 3 C) 5 D) 10 E) 100 (8) Si logx = log9 -2⋅log3 + A) B) C) D) E) 1 log 4 .(6) Si 25 x −1 = 1 . entonces el cuadrado de x es: A) B) C) D) E) 0 1 3 9 25 (15) Si log 5 = 0. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)? I) log3 = x⋅log2 log 2 II) x= log 3 III) A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I. entonces el valor de x en la expresión 3x = 5 es: a A) b a B) − b b C) a D) a ⋅ b E ) 3a ⋅ b (12) (log34)⋅(log43)= A) 0 B) 1 C) 3 D) 7 E) 12 (13) Con respecto a la igualdad 2x = 3. II y III x =log23 (14) SI log 2(x+1) + log2(x-1) = 3.0969 Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo I y III I.3978 II) log 5 = 0. entonces de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) I) log25 = 1. II y III .(11) Si log3= a y log5 =b.6989.3494 III) A) B) C) D) E) 2 ⋅ log 5 = 2. entonces (loga)2 – loga2 es igual a: 3 5 9 5 B) − 9 2 C) 3 5 D) 3 1 E) − 9 A) (18) Si log x 0. entonces log5x – log5y = A) -1 B) 1 C) 0 D) 5 1 E) 5 . entonces x = 2 100 9 B) 9 A) C) 3 1 D) 3 1 E) 9 (19) Si y = 5x con x > 0.(16) Si 4loga =1. 3 = − 1 . entonces log A) 2 1 B) 2 1 C) 4 1 D) 8 1 E) 16 (17) Si 2 log a = a 2 . entonces log a es igual a: b . entonces 3 p es igual a: 3 A) x B) 3 x 1 C) x 3 x D) 3 1 E) − x 3 (24) Si log a = m y A) m − n m B) n m−n C) 2 D) m − n E) m n log b = n. entonces log 10a es igual a: A) 10 + x B) 10x C) x D) 2x E) 1 + x (23) Si log p =x.(20) log[(a + b) a + b ] = A) log(a + b) − 1 log(a + b) 2 3 a + 2 log b 2 3 log(a + b) C) 2 3 3 D) log a + log b 2 2 E ) 3 log(a + b) 2 B) log (21) El valor de log2 + log3 es igual a: A) 2 log3 B) 3 log2 C) log 5 D) log6 E) Otro valor (22) Si loga = x. (25) log 10x3 es equivalente a: A) 1 + 3logx B) 3logx C) 3 D) logx3 E) Ninguna de las anteriores (26) Si log 5 x 2 = 0.000 log x B) 3 x C ) log 1000 D) log 1000 x E ) log 3 x .4 . entonces el valor de logx es: 2 5 B) 1 A) C) −1 D) 2 E) − 5 2 (27) logx + log 1 x2 equivale a: A) 3 log x 2 B) − 3 C) 3 D ) − 2 log x E ) − log x (28) El log 5 3 25 es igual a: 3 A) 2 3 B) − 2 2 C) − 3 2 D) 3 E) 2 (29) logx – 3 equivale a: log x A) 1. el valor de x es: A) 0 B) 1 C) 10 D) 2 E) 20 (32) En la ecuación log3(2x + 21) – log3x = 2.b B)a + b C) a D) b E) 2 (31) En la ecuación log2(5x – 3) – log2x = 1.9919 (36) El valor de la expresión log 365 36 2163 6 2 es: A) 55 B) 36 55 C) 36 D) 6 E) -6 . el valor de x es: A) 3 B) 8 C)21 21 D) 2 21 E) 8 (33) El desarrollo de la expresión log(x2 – 7x + 10) es: A) 2logx – log7 – logx + log10 B) 2logx – log7x + log10 C) log(x – 5) + log(x – 2) D) 2 logx – log7 E) Ninguna de las anteriores (34) El valor de la expresión log 100 + log 128 – log5625 es: A) 10 B) 5 C) –10 D) –5 E) 397 (35) El valor de la expresión log 0.30.(30) log(a – b)(a2 – 2ab + b2) es igual a: A) a .01 + log0.0081 es: A) 20 B) –2 C) 2 D) 1 E) 0. entonces f(2) – g(2) es igual a: 1 A) 2 1 B) 8 1 C) 16 D) 64 E) 1 (42) Si 25x = 0.2 B) –0.(37) El valor de la expresión log20.25 entonces x es: A)-0.4 .0625 es: A)1 B) 0 C)-2 D) –3 E) -1 (38) El valor de la expresión log 2 1 1 1 es: − log 3 + log 5 125 81 16 A) 4 B) 7 C) 11 D) –3 E) 3 (39) El valor de x en la expresión log0.025 D) 0.05 E) –0.25 + log20.40.064 = x es: A)4 B) 16 C) 64 D) 3 E) 60 (40) Al resolver la ecuación 2 x ⋅ 4 2 x −1 = 8 4 − 2 x . El valor que se obtiene para x es: A) 10 14 11 1 C) 2 D) − 4 B) E ) 27 (41) Si f(x) = 2x + 2-x y g(x) = 2x – 2-x.125 – log20.25 C) 0.