Operaciones con Fracciones y RadicalesGrupo: SC54A Primavera 15 Radicales semejantes son radicales del mismo grado y que tienen la misma cantidad sub-radical. Un radical está reducido a su más simple expresión cuando la cantidad sub-radical es entera y del menor grado posible. Las raíces indicadas inexactas o cantidades irracionales son los radicales propiamente dichos. Así 2 √ 3 . El grado de una radical es el índice de la raíz. Simplificación de radicales Es reducirlo a su más simple expresión. 5 √2 . una raíz es exacta. Por lo tanto √ x es una radical de segundo grado. Propiedades de los Radicales Reducción de un radical: es cambiar su forma sin cambiar su valor. 5 √3 y 1 2 √ 3 son radicales semejantes. no son semejantes. tenemos una cantidad racional y si no pues es irracional. √3 3 a es un radical de tercer grado.Radicales Elementos de la raíz Signo Índice Cantidad sub-radical radical o radicando Se puede definir como radical a toda raíz indicada de una cantidad. Así. 2 √ 3 . . √4a 2 es una cantidad racional y √ 3 a es una cantidad irracional. Si. Ejemplo: Cuando la cantidad sub-radical es una fracción y el denominador es irracional hay que multiplicar ambos términos de la fracción por la cantidad necesaria para que el denominador tenga raíz exacta. sino que una vez arreglados los factores de la cantidad sub-radical. o sea: √n abc=( √n a )( √n b )( √n c ) En la simplificación de radicales consideramos los dos casos siguientes: Caso I Cuando la cantidad sub-radical contiene factores cuyo exponente es divisible por el índice. Ejemplo: 1¿ √ 9 3 ∙ √ 9 a 3= √ 32 ∙ a2 ∙ a = √ 3 2 ∙ √a 2 ∙ √ a = 3ª √ a En la práctica no se indican las raíces. Simplificar: √4 4 a 2 = √4 4 a 2 √4 22 ∙ a2 =2 2 4 2 ∙ a 4 1 =2 2 1 ∙ a 2 = √ 2a Introducción de cantidades bajo el signo radical . se sacan del radical dividiendo su exponente por el índice. aquellos cuyo exponente sea divisible por el índice.Para simplificar radicales debe tenerse muy presente que para extraer la raíz a un producto se extrae dicha raíz a cada uno de sus factores. Simplificar: √ √ 2 3 = 2 ∙3 3∙3 = √ 6 32 = 1 3 √6 Caso II Cuando los factores de la cantidad sub-radical y el índice tienen un divisor común. Lo que se hace es prácticamente dividir el índice y los exponentes de los factores por su divisor común. m de los índices. se reducen como términos semejantes que son. √3 5 . Para ello se aplica el siguiente concepto: Regla: Se halla el m. Para introducir el coeficiente de un radical bajo el signo radical se eleva dicho coeficiente a la potencia que indique el índice del radical.Esta operación es inversa a la simplificación de radicales. Así: √ 4 a es un radical entero.c. y se eleva cada cantidad sub-radical a la potencia que resulta de dividir el índice común entre el índice de su radical. 3 y 4 es 12. Ejemplo: Reducir al mínimo común índice √ 3 . √4 2 El m. √ a = √ 22 ∙ a = √ 4 a 2 Cuando el coeficiente de un radical es 1 el radical es entero. Ejemplo: -3 √ 2+ 5 √ 2 = (3+5) √ 2 = (8 √ 2 ) Operaciones con radicales Suma y resta de radicales Regla: Se simplifican los radicales dados. Ejemplo: Introducir el coeficiente de 2 √ a bajo el signo radical. que será el índice común.m de los índices 2. se reducen los radicales semejantes y a continuación se escriben los radicales no semejantes con su propio signo. .c. hallando la suma algebraica de los coeficientes y poniendo esta suma como coeficiente de la parte radical común. Reducción de radicales al mínimo común índice Esta operación tiene por objeto convertir radicales de distinto índice en radicales equivalentes que tengan el mismo índice. Este es el indicé común así que: √ 3 = 12√ 36 = 12√ 729 √3 5 = 12√ 54 = 12√ 625 √4 2 = 12√ 23 = 12√ 8 Reducción de radicales semejantes Los radicales semejantes o sea los radicales del mismo grado que tienen igual cantidad subradical. colocando subradicales entre sí. División de radicales División de radicales del mismo índice Se dividen los coeficientes entre si y las cantidades sub-radicales entre sí. colocando este último cociente bajo el signo radical común y se simplifica el resultado. y el producto de dos radicales compuestos se halla el producto de dos polinomios Multiplicación de radicales con distinto índice Se reducen los radicales al mínimo común índice y se multiplican como radicales del mismo índice. División de radicales de distinto índice Se reducen los radicales al mínimo común índice y se dividen como radicales del mismo índice. El producto de un radical compuesto por uno simple se halla como el producto de un polinomio por un monomio. Potenciación de radicales . Multiplicación de radicales compuestos. colocando este último producto bajo el signo radical común y se simplifica el resultado.Ejemplo: Simplificar 2 2 √ 450+9 √ 12−7 √ 48−3 √ 9 8 2 2∙ 3 ∙5 =¿ 30 √2 2 √ 450=2 √ ¿ 9 √ 12=9 √ 22 ∙ 3=18 √ 3 7 √ 48=7 √2 4 ∙ 3=28 √ 3 3 √ 98=3 √ 2∙ 72 =21 √ 2 Entonces: 18 √ 3−21 √ 2=( 30−21 ) √ 2+ ( 18−28 ) √ 3=9 √2−10 √3 2 2 √ 450+9 √ 12−7 √ 48−3 √98=30 √ 2+ 18 √3−28 √ 3−21 √ 2=( 30−21 ) √ 2+ ¿ Multiplicación de radicales con el mismo índice Se multiplican los coeficientes entre si y las cantidades sub-radicales entre sí. Para simplificar al máximo habrá que factorizar los polinomios numerador y denominador. son fracciones algebraicas: Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas. y se simplifica el resultado. por ejemplo: Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya que son frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis. Radicación de radicales Para extraer una raíz a un radical se multiplica el índice del radical por el índice de la raíz y se simplifica el resultado. por ejemplo. la clave está en el factor común. Operaciones con fracciones algebraicas Simplificar fracciones algebraicas La simplificación de fracciones algebraicas es objeto de frecuentes errores. El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y denominador por una misma cantidad. simplificar la fracción: . Racionalización Racionalizar el denominador de una fracción es convertir una fracción cuyo denominador sea irracional Fracciones Algebraicas Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios. Entonces.Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el coeficiente y la cantidad subradical. simplificar: Otro ejemplo. pero se simplifican igual que las fracciones ordinarias: dividiendo el numerador y el denominador por factores comunes. esta cantidad debe ser distinta de cero. Ahora sacamos los paréntesis teniendo cuidado de cambiar el signo interior cuando delante del paréntesis hay un signo menos (−). que ahora tiene como numerador a todas las cantidades que eran numeradores en las fracciones que estamos sumando y restando. Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador Veamos el siguiente ejemplo de suma y resta: Como el denominador es común (x + 1).) las fracciones con distintos denominadores se transforman en fracciones equivalentes con denominador común. y nos queda: Suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador Ejemplo: Tal como lo hacíamos al sumar o restar fracciones de números enteros. este se ha unificado en una sola fracción. que llamaremos mínimo común denominador (m.m.m.Primero factorizamos los polinomios del numerador y del denominador: Suma y resta de fracciones algebraicas Para sumar y restar procederemos de forma similar a como lo hacemos con fracciones de números enteros.c.m.c. para no confundir luego los signos. de los denominadores. utilizando el mínimo común múltiplo (m. Calcular el m. que debemos hacer: encontrar el m. reduciendo primero a común denominador.c. entonces.d. la suma y resta de fracciones algebraicas puede ser con fracciones de igual denominador o de distinto denominador. Igual como ocurre con las fracciones de números enteros. Nótese que dichas cantidades se anotan entre paréntesis cuando no son monomios.). factorizamos: .c. dividimos el denominador común (15a²b²) por cada uno de los denominadores individuales.c. ejemplo: ..c.d. Conocido el m. del modo siguiente: Nótese que “los términos que faltan” se obtienen haciendo la misma división del caso anterior.c. (15a²b²) se multiplica cada fracción (tanto numerador como denominador) por los términos que faltan por completar dicho m.c.c.d.) de las tres fracciones involucradas. como la siguiente: Encontrado el m.d. para conocer la cifra o valor que se multiplica por cada uno de los numeradores: Esta es la forma tradicional de operar cuando hemos hallado el m.d. operamos con fracciones con denominador común: Previamente. Pero también hay otra.d.Multiplicamos los factores y queda a • a • b • b • 5 • 3 = a² • b² • 15 que es lo mismo que 15a²b² y es el mínimo común denominador (m. Sumamos los dejando el mismo simplificamos el numerador. numeradores denominador y . analizando previamente si es posible. aunque antes de multiplicar debemos simplificar. multiplicando los numeradores y los denominadores. ejemplo: . aunque antes de multiplicar debemos simplificar. haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores. analizando previamente si es posible.Producto (multiplicación) de fracciones algebraicas Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones. ejemplo: Cociente o división de fracciones algebraicas Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual como lo hacemos con fracciones. 12 4 5(4) ) ¿ 1000 (1+ 0.03 )20 ≈ $ 1806.38 500 √ 588.38 500 1+r= 6 .Fórmula de interés compuesto Para un principal original de P.38en una cuenta de ahorros después de 3 años. Calcular el monto total cuando $1000 son invertidos por 5 años a la tasa nominal del 12%compuesto trimestralmente.11 Ejemplo 1: Interés compuesto Supongamos que $500 llegan a $588.12/4 y el numero de periodos de interés es 5(4). ( S=1000 1+ 0. la formula S=P ( 1+r ) n Proporciona el monto total S al final de n periodos de interés a una tasa r por periodo. que fue devengada por el dinero. Por ejemplo.38 ( 1+r )6= 588. encuentra la tasa de interés nominal. Si el interés fue capitalizado semestralmente. La tasa por periodo es de 0. 6 500 (1+ r ) =588. compuesta semestralmente. Ejemplo 2: Duplicación del dinero ¿A qué tasa de interés nominal compuesto anual el dinero se duplica en 8 años? P (1+r )8=2 P ( 1+r )8=2 1+r= √8 2 r= √8 2−1≈ 0.02 )n=1.5 ≈ 20. n 900=600(1.08/4=0.5 n ln 1. Sea n el numero de periodos de interés que le toma a .475 ln 1.0905 Por lo tanto.02 una principal de P= 600 a S= 900.02 . la tasa semestral fue del 2.5 n= ln 1.75%.02)n = 600 900 ( 1.02 ) =ln 1.05% Ejemplo 3: Interés compuesto ¿Cuánto tiempo tomará para que $600 ascienda a $900 a una tasa anual de 8% compuesto trimestralmente? La tasa periódica es r=0. la tasa deseada es del 9.5 n ln ( 1.02) (1. de modo que la tasa nominal fue de 5.0275 500 Por lo tanto.r= √ 6 588.02=ln 1.5% capitalizada semestralmente.38 −1≈ 0. 475/4 = 5. 418-430. Ernest y Richard Paul.» México: PRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA. x 2+2 x+ 22 ¿ 2 x −2 x +22 ¿ ( x+ 2 ) ¿ ( x−2 ) ¿ 3 x −8 3 ∗x +8 x 2−4 =¿ x 5.» México: Universidad Autonoma MEtropolitana. ( 3 x 2−5 x−2 ) ( 3 x+ 1 )( x−2 ) 3 x+1 = = 2 x −4 ( x+ 2 )( x−2 ) ( x 2−6 x +9 ) ∗ ( 2 x−2 ) ( x 2−1 ) ( x−3 ) x+2 ( x −3 )( x−3 ) ∗2 ( x−1 ) 2 ( x+ 1 )( x−1 ) 2 ( x−3 ) ( x−1) 2(x−3) = = = ( x −3 ) ( x +1 )( x−1 ) (x−3) ( x+1) 3. A. 190-202. 16 x 2+ 8 x +1 ¿ 2 4 x + 25 x +6 ¿ x¿ x2 ¿ 16 x 4 +8 3+ x 2 =¿ 4 x 3 +28 x 2 +6 x . 1. «matemáticas para Administración. 367-369. x+ 2 ∗2 x2−3 x x ( x+2 )( 2 x−3) x +2 x 2−4 2 x −3 x / 2 = = = 2 2 x−3 2 x −3 x ( 2 x−3 )( x +2 ) (x−2) x−2 x −4 4. 2001. Ciencias Sociales y de la Vida.1188.El número de años que corresponde a 20. Baldor. Economía. C. Bibliografía Alaid. un poco más de 5 años 1 mes. 1997.» 1941. Soluciones con el Paquete Mathematica. «Algebra. «Álgebra Básica. Haeussler. 2.475 periodos de interés semestral es 20. 2 √ 12−3 √75+ √ 27=2 √ 22∗3−3 √ 3∗5 2+ √ 33 =4 √ 3−15 √ 3+3 √3=−8 √3 8. √6 16 16 24 10.3 √ 3 6. 16 2 = √163 = ( 24 ) = √212=26 =64 7. √ 6 ( √2−√ 10 )=√ 6 √ 2−√ 6 √ 10=√ 12− √ 60=√ 4∗3−√ 4∗15= √ 22∗3−√ 22∗15=2 √3−2 √ 15 . 2 √ 5+ √ 45+ √ 180−√ 80=2 √ 5+ √ 32∗5+ √22∗32∗5−√ 24∗5=2 √5+ 3 √ 5+6 √5−4 √5=7 √ 5 √ √ √6 128 = 6 128 = 6 27 = √6 23 =√3 2 9.