Sérgio Carvalho Weber Campos RACIOCÍNIO LÓGICO um Vol e Simplif icado 21 2ª edição • Revista, atualizada e ampliada Inclui • Gráficos, tabelas e outros elementos visuais para melhor aprendizado • Exercícios resolvidos passo a passo (questões comentadas) • Questões de concursos públicos selecionadas para praticar • Destaques coloridos para facilitar a compreensão 2016 Rac_log_vol_II.indb 3 21/09/2015 16:30:31 Os Autores SÉRGIO CARVALHO é Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil. Leciona Matemática (Básica e Financeira), Estatística (Descritiva e Inferencial) e Raciocínio Lógico em cursos preparatórios para concursos de diversas capitais do País. É também fundador do site Olá Amigos (www.olaamigos.com.br) e autor das obras Matemática Financeira Simplificada e Estatística Básica Simplificada, pela Editora JusPodivm. WEBER CAMPOS é Engenheiro de Telecomunicações, com graduação e mestrado concluídos no IME – Instituto Militar de Engenharia. É professor de Raciocínio Lógico, Matemática Financeira, Estatística Descritiva e Inferencial, ministrando aulas em várias capitais do Brasil, e também no site Olá Amigos (www.olaamigos.com.br). É autor, em parceria com o Prof. Sérgio Carvalho, das obras Matemática Financeira Simplificada e Estatística Básica Simplificada, pela Editora JusPodivm. Rac_log_vol_II.indb 7 21/09/2015 16:30:32 etc.G. próxima do aluno. geometria. É com imensa satisfação que lhes apresentamos este volume 2 da obra Raciocínio Lógico Simplificado.indb 9 21/09/2015 16:30:32 . a exemplo de razão e proporção.. reunidos. Na escolha dos assuntos deste livro. aquele que normalmente não se estuda nos ensinos fundamental e médio. de sorte que os dois volumes da obra. capaz de conduzi-lo à compreensão facilitada dos diversos temas abordados. Seguindo a mesma dinâmica do primeiro volume. Estamos certos de que Raciocínio Lógico Simplificado em muito os ajudará em seu conhe- cimento matemático. nosso intuito foi realmente o de assegurar aos alunos que visam aos concursos públicos um material completo. Enquanto o volume inicial tratava do Raciocínio Lógico propriamente dito. o presente livro retomará assun- tos como análise combinatória. Inclusive temas comumente relacionados à Matemática básica – mesmo que de forma mais breve – foram aqui trabalhados. e na tão almejada conquista de um lugar no serviço público brasileiro! Um forte abraço a todos! Sérgio Carvalho & Weber Campos Rac_log_vol_II. usamos igualmente aqui a linguagem de sala de aula. Introdução Caríssimos leitores. contemplem integralmente o conjunto de tudo o que costuma ser cobrado em provas desta disciplina. e que passaram a ser cobrados com frequência em diversos certames. trigonometria.A. porcentagem. entre outros tantos que já fizeram parte da vida estudantil de todos nós. regra de três. P. matrizes. P. Capítulo 4 Problemas Lógicos com Dados. Passemos às resoluções de questões envolvendo dados. figuras e palitos. características que podem ser aperfeiço- adas mediante muito treino. Exercícios Resolvidos Exemplo 1. qual das figuras seguintes NÃO representa a planificação de um dado? Rac_log_vol_II. Figuras e Palitos Este capítulo aborda problemas de lógica envolvendo dados. Com esse intuito. Questões deste tipo requerem visão espacial e concentração. 4. trazemos neste capítulo várias resoluções de questões. essa regra não é válida. Num dado viciado.1. Questões Lógicas que Envolvem Dados Se uma questão informar que o dado é honesto (ou não viciado) significa que a soma de suas faces opostas é sete. (FCC) Sabendo que em qualquer dado a soma dos pontos marcados em faces opostas é igual a 7. 4.indb 253 21/09/2015 16:31:36 .1.1. – As faces 1 e 6 são opostas porque há a face 4 entre elas. e a soma delas é 7 (=1+6). recortando-as em seguida. porque há a face 3 entre elas. E a soma dessas duas faces é 7 (=2+5). E a soma dessas duas faces é 7 (=3+4). dobrar as faces a fim de formar um dado. E a soma dessas duas faces é 7 (=1+6). Essa tarefa não é difícil. a figura trazida na alternativa A representa a planificação de um dado! Æ Alternativa B: – As faces 1 e 6 são opostas. porque há a face 3 entre elas. então. E a soma dessas duas faces é 7 (=2+5). por meio apenas da visualização de suas faces. e a soma delas é 7 (=2+5). 254 Raciocínio Lógico Simplificado Vol. porque há a face 1 entre elas. Æ Alternativa A: – As faces 3 e 4 são opostas porque há a face 2 entre elas. aconselho a passar para o papel cada uma das figuras trazidas nas alternativas. Temos de construir o dado correspondente a cada figura (planificação do dado). Ok! – As faces 2 e 5 são opostas. Ao visualizar o dado espacialmente. para. a figura trazida na alternativa B representa a planificação de um dado! Æ Alternativa C: – As faces 2 e 5 são opostas. Ok! Portanto. Tudo bem? Aproveitaremos para verificar se a figura da alternativa A atende à exigência do enuncia- do: “a soma dos pontos marcados em faces opostas é igual a 7”. Ok! Rac_log_vol_II. então. Ok! – As faces 2 e 5 são opostas. é treinar a habilidade de visualização espacial. É claro que não podemos fazer isso durante a prova. mas caso esteja tendo dificuldades em visualizar o dado formado a partir da planificação. então aquelas duas primeiras faces são opostas. e a soma delas é 7 (=3+4). você perceberá que se duas faces estão separadas por outra face. – As faces 2 e 5 são opostas porque há a face 4 entre elas. – As faces 3 e 4 são opostas. porque há a face 6 entre elas. 2 – Sérgio Carvalho e Weber Campos Solução: Este tipo de questão testa a nossa capacidade de visualização espacial. Ok! – As faces 3 e 4 são opostas. Aplicaremos esse princípio na análise de cada uma das planificações. Ok! – As faces 1 e 6 são opostas. Ok! Portanto.indb 254 21/09/2015 16:31:36 . o objetivo. Dentre as três planificações indicadas. E a soma dessas duas faces é 7 (=6+1). porque a face 5 está entre elas. E a soma dessas duas faces é 7 (=1+6). Erro! – As faces 3 e 5 são opostas. Erro! Como a figura da alternativa D não atendeu a exigência. apenas com dobras. Ok! – As faces 2 e 5 são opostas. III c) I e III. Ok! – As faces 1 e 6 são opostas. E a soma dessas duas faces é 7 (=3+4). porque há a face 6 entre elas. E a soma dessas duas faces é 7 (=3+4). porque a face 5 está entre elas. E a soma dessas duas faces é 8 (=3+5). a figura trazida na alternativa E representa a planificação de um dado! Resposta: Alternativa D. II. porque a face 2 está entre elas. porque há a face 4 entre elas. Ok! – As faces 4 e 2 são opostas. Rac_log_vol_II. então ela NÃO representa a planifi- cação de um dado! Já encontramos a opção que deve ser marcada.indb 255 21/09/2015 16:31:36 . E a soma dessas duas faces é 6 (=4+2). Ok! Portanto. a figura trazida na alternativa C representa a planificação de um dado! Æ Alternativa D: –As faces 1 e 6 são opostas. de tal maneira que a soma dos pontos que ficam em cada par de faces opostas é sempre sete. porque a face 3 está entre elas. e) I. Æ Alternativa E: – As faces 3 e 4 são opostas. d) II e III b) I e lI. Ok! Portanto. E a soma dessas duas faces é 7 (=1+6). porque há a face 3 entre elas. um dado com as características descritas é (são): I II III a) I. Ok! – As faces 6 e 1 são opostas. (FCC) Um dado é feito com pontos colocados nas faces de um cubo. Exemplo 2. Capítulo 4 – Problemas Lógicos com Dados. E a soma dessas duas faces é 7 (=2+5). porque a face 4 está entre elas. em correspondência com os números de 1 a 6. a(s) única(s) que permite(m) formar. Figuras e Palitos 255 – As faces 3 e 4 são opostas. mas vejamos ainda a alternativa E. mas sim girando) a face 4 para esquerda a fim de que ela fique acima da face 3. 2 – Sérgio Carvalho e Weber Campos Solução: Esta questão é muito parecida com a anterior. teremos antes de transformar as planificações para forma de cruz. a planificação I não permite formar o dado com as características descritas no enunciado. ainda. 256 Raciocínio Lógico Simplificado Vol. teremos de girar a face 6 para o lado da face 5: Pronto! Já podemos verificar se a soma das faces opostas é igual a sete! Æ As faces 1 e 4 são opostas porque há a face 3 entre elas. deve-se verificar se a exi- gência do enunciado é atendida: “a soma dos pontos que ficam em cada par de faces opostas é sempre sete”. Para formar uma cruz. basta girarmos a face 5 para a direita (ou a face 2 para esquerda). A soma dessas duas faces é 5 (=1+4). Como NÃO foi igual a 7. você pode. as planificações tinham a forma de uma cruz. diferentemente destas planificações. se utilizar do princípio que foi ensinado no exemplo anterior: “se duas faces estão separadas por outra face. Caso tenha dificuldades em visualizar o dado a partir da planificação. mostrada a seguir. Ok! Rac_log_vol_II. na questão anterior. Contudo. Vamos fazer isso! Vamos iniciar pela planificação I: Vamos deslocar (não arrastando. A soma dessas duas faces é 7 (=5+2). Observe que. Pronto! Vamos verificar se a soma das faces opostas é igual a sete! Æ As faces 5 e 2 são opostas porque a face 6 está entre elas.indb 256 21/09/2015 16:31:36 . Passemos a verificar a planificação II. Feita a visualização espacial do dado a partir da planificação. a fim de formar uma cruz. porém há uma diferença na forma de pla- nificação do dado. então aquelas duas faces são opostas”. Isso dificulta um pouco mais a solução da questão. E depois. A partir dessa planificação. teremos de gi- rar a face 3 para a direita. como é mostrado nesta figura. Ok! Æ As faces 4 e 3 são opostas porque a face 6 está entre elas. A soma dessas duas faces é 7 (=1+6). Ok! Portanto. Pronto! Vamos verificar se a soma das faces opostas é igual a sete! Æ As faces 3 e 4 são opostas porque a face 5 está entre elas. A soma dessas duas faces é 7 (=2+5). Ok! Æ As faces 1 e 6 são opostas porque a face 5 está entre elas. A soma dessas duas faces é 7 (=4+3). Para formar a cruz.indb 257 21/09/2015 16:31:38 . por fim. Capítulo 4 – Problemas Lógicos com Dados. constatamos que a planificação II permite formar o dado com as características descritas no enunciado! Passemos a verificar a planificação III. A soma dessas duas faces é 7 (=1+6). Ok! Portanto. qual dos seguintes cubos pode ser montado? a) b) c) d) e) Solução: Testaremos cada uma das alternativas. Exemplo 3. a face 6 para o lado direito da face 5. Ok! Æ As faces 2 e 5 são opostas porque há a face 1 entre elas. mostrada a seguir. Figuras e Palitos 257 Æ As faces 1 e 6 são opostas porque há a face 4 entre elas. a face 2 para o lado esquerdo da face 1 e. (FCC) O desenho seguinte mostra a planificação de um cubo que apre- senta um número pintado em cada face. Æ Teste da alternativa A: Rac_log_vol_II. A soma dessas duas faces é 7 (=3+4). constatamos que a planificação III também permite formar o dado! Resposta: Alternativa D. indb 258 21/09/2015 16:31:41 . 2 – Sérgio Carvalho e Weber Campos O dado trazido na alternativa A mostra as faces 1. Se planificarmos somente as faces 1 e 2. Gi- raremos a face 2 para esquerda: Isolando as faces 1 e 2 desta última planificação. as faces 2 e 3. separadamente. Æ Teste da alternativa B: O dado trazido na alternativa B mostra as faces 2. teremos o seguinte: 2 1 Para compararmos essa planificação com a planificação dada no enunciado. teremos de fazer uma pequena modificação nesta última de forma que a face 2 fique sobre a face 5. e colocando lado a lado com a planifica- ção das faces 1 e 2 da alternativa A. Vamos girar a face 2 para direita: I II Rac_log_vol_II. Se planificarmos. teremos de fazer uma pequena modificação nesta última de forma que a face 2 fique sobre a face 1. 3 e 5. que o dado da alternativa A não corresponde à planificação vista na figura da questão. então. 258 Raciocínio Lógico Simplificado Vol. e as faces 2 e 5. 2 e 5. logo não são iguais! Con- cluímos. teremos: 2 2 1 1 São iguais? O número 2 está diferente nas duas planificações. teremos o seguinte: 2 2 3 5 e Para compararmos a planificação dessas faces 2 e 5 com a planificação dada no enuncia- do. Teremos: 2 2 1 1 Elas são diferentes! Logo. devemos descartar esta alternativa! Resposta: Alternativa B. Figuras e Palitos 259 Isolando as faces 2 e 3 (retirada da planificação I) e as faces 2 e 5 (retirada da planificação II). e ao lado repetiremos o resultado da planificação das mesmas faces obtida na alternativa B. Rac_log_vol_II. Considere que a figura seguinte indica dois dados convencionais. as faces 2 e 4 são opostas. Já encontramos a opção correta da questão. e colocando ao lado delas a planificação correspondente do dado apresentado na alter- nativa B. Exemplo 4. devemos descartar esta alternativa! Æ Teste da alternativa E: Desenharemos a seguir a planificação das faces 2 e 5 desse dado. devemos descartar esta alternativa! Æ Teste da alternativa D: Colocaremos lado a lado a planificação das faces 1 e 2 do dado da alternativa D e a pla- nificação das faces 1 e 2 da figura trazida no enunciado (obtida na alternativa A). mas isso não ocorre no dado da alternativa C. e que suas faces em contato não pos- suem quantidades de pontos iguais. de tal maneira que a soma dos pontos que ficam em cada par de faces opostas é sempre igual a sete. teremos: 2 2 2 2 3 3 5 5 e e Esses pares são iguais? Positivo! Concluímos. Æ Teste da alternativa C: Essa é fácil! Na planificação fornecida no enunciado. Logo. Capítulo 4 – Problemas Lógicos com Dados. então. Teremos: 2 2 5 5 Elas são diferentes! Logo. (FCC) Em um dado convencional os pontos que correspondem aos nú- meros de 1 a 6 são colocados nas faces de um cubo. mas continuaremos a análise das demais alternativas. que o dado da alternativa B corres- ponde à planificação dada no enunciado.indb 259 21/09/2015 16:31:41 . 2 – Sérgio Carvalho e Weber Campos A soma dos pontos que estão nas faces em contato dos dois dados é a) 7 d) 11 b) 8 e) 12 c) 9 Solução: Por primeiro. que está em contato com o primeiro dado. b) certamente é 2. portanto. teremos dois possíveis desenhos para o dado superior: Rac_log_vol_II. Resposta: Alternativa A. Exemplo 5. (FCC) A figura a seguir mostra uma pilha de três dados idênticos. do segundo dado. a face oposta a face 3 é a face 4. igual a 7 (=1 + 6). Como o enunciado disse que as faces em contato dos dois dados não possuem quantidades de pontos iguais. Feito isso. Solução: A informação de que os três dados são idênticos é muito importante. Daí. O núme- ro da face do dado inferior que está em contato com o dado intermediário: a) certamente é 1. a face oposta à face 1 tem de ser a face 6. vamos observar o segundo dado. para que a soma das fa- ces seja sete. então resta que a face do primeiro dado que está em contato com o segundo dado é a face 1.indb 260 21/09/2015 16:31:41 . é a face 6. 260 Raciocínio Lógico Simplificado Vol. mostrado a seguir: Neste segundo dado. c) certamente é 5. Resta descobrir onde estão as faces 1 e 6. O enunciado afirmou que a soma dos pontos que ficam em cada par de faces opostas é sempre igual a sete. e) pode ser 5 e pode ser 6. A soma dos pontos que estão nas faces em contato dos dois dados é. e a usaremos nas considerações que se seguem. d) pode ser 1 e pode ser 2. tentaremos descobrir os números das faces do primeiro dado. e a face oposta a face 2 é a face 5. Logo. Para isso. Vamos girar o dado superior de modo que a face 3 fique com a mesma disposição dos pontos mostrada na face 3 do dado inferior. Dessa comparação. Resposta: Alternativa B. Figuras e Palitos 261 1o desenho) Face 6 para frente e face 2 para baixo: 2o desenho) Face 6 para trás e face 2 para cima: Esses dois desenhos são válidos e se referem ao mesmo dado. Solução: Vamos montar a pilha de dados de acordo com a descrição feita no enunciado. se o número de dados da pilha for par. – os pontos das faces em contato de dois dados da pilha são sempre iguais. enquanto no segundo desenho o dado foi posicionado de modo que a face 6 ficou para trás). A questão pede o número da face do dado inferior que está em contato com o dado inter- mediário. se o número de dados da pilha for par. Vamos comparar o 2o desenho com o dado inferior. se o número de dados da pilha for ímpar. (FCC) Um certo número de dados de seis faces forma uma pilha única sobre uma mesa. Exemplo 6. Sabe-se que: – os pontos de duas faces opostas de um dado sempre totalizam 7. c) tem 6 pontos. e) necessariamente tem um número par de pontos. d) tem 1 ponto. conclui-se que a face voltada para cima no dado inferior tem de ser a face 2. Sendo verdadeiras essas três afirmações. é o de número 2. Esse número pode ser visto no desenho anterior. pois ambos têm a face 3 na mesma posição. b) tem 6 pontos. Capítulo 4 – Problemas Lógicos com Dados. na pilha. Os desenhos estão difrentes apenas porque as faces estão sendo vistas por ângulos diferentes (no primeiro desenho a face 6 está para frente. – a face do dado da pilha que está em contato com a mesa é a do número 6.indb 261 21/09/2015 16:31:41 . a face do dado da pilha mais afastada da mesa: a) necessariamente tem um número de pontos ímpar. Rac_log_vol_II. Já encontramos a alternativa correta: Alternativa B! Exemplo 7. e) 17. observa-se que a face do dado da pilha mais afastada da mesa tem 6 pontos. 2 – Sérgio Carvalho e Weber Campos 1o) A face do dado da pilha que está em contato com a mesa é a do número 6. Sabendo-se que a soma das faces superiores nos três lançamentos foi igual a 12. que é par. a soma das faces inferiores é: a) 9. Certo! Para a situação com dois dados. Um dado. podemos formar a seguinte equação: a + b + c = 12 Rac_log_vol_II. desenharemos duas representações: uma pilha com 2 dados e outra com 3 dados. Com base nisso. b) 13. Errado! Pois observe que na pilha com dois dados a face mais afastada da mesa é a face 6. 262 Raciocínio Lógico Simplificado Vol. verificando qual delas fala a verdade sobre a face do dado da pilha mais afastada da mesa. c) 15. para que a soma seja 7. b e c os valores das faces superiores nos três lançamentos. é lançado três vezes. a face de cima do dado é 1. passemos a analisar as alternativas da questão.indb 262 21/09/2015 16:31:42 . Æ Alternativa B: tem 6 pontos. cuja soma das faces opostas é sete. Æ Alternativa A: necessariamente tem um número de pontos ímpar. d) 16. O mesmo vai ocorrer para a pilha com quatro dados. 1 6 6 6 1 1 1 1 6 6 Agora. seis dados. Veja o desenho do dado sobre a mesa: 1 6 2o) Os pontos das faces em contato de dois dados da pilha são sempre iguais. Então. oito dados etc. se o número de dados da pilha for par. Solução: Designando por a. 4. b e c.2. aquele que pode ser encontrado na figura dada é: a) d) b) e) c) Rac_log_vol_II.2. (FCC) Observe com atenção a figura a seguir: Dos desenhos seguintes. Capítulo 4 – Problemas Lógicos com Dados.indb 263 21/09/2015 16:31:42 . respectivamente. Como a soma das faces opostas é 7. Figuras e Palitos 263 Designaremos por a’. b e c por essas relações na equação estabelecida no início da questão: (7 – a’) + (7 – b’) + (7 – c’) = 12 21 – a’ – b’ – c’ = 12 – a’ – b’ – c’ = 12 – 21 a’ + b’ + c’ = 9 Pronto! Encontramos a resposta solicitada na questão. 4. isolaremos as letras a. Questões Lógicas com Figuras Colocamos nesta seção tipos variados de questões de lógica que envolvem figuras.2. Exercícios Resolvidos Exemplo 8. então temos as seguintes igualdades: a + a’ = 7 b + b’ = 7 c + c’ = 7 Nessas igualdades. b e c: a = 7 – a’ b = 7 – b’ c = 7 – c’ Substituiremos as letras a. b’ e c’ as faces opostas às faces a. compará-la com as figuras trazidas nas alternativas. aquela que. A questão diz que devemos deslizar a figura sobre o papel. ela é igual a uma das figuras trazidas nas alternativas? Também não! Após o terceiro giro obtemos a figura (iv). E fazer isso até encontrar a opção correta. Qual delas resolve mais rápido a questão? Em geral. 264 Raciocínio Lógico Simplificado Vol. em seguida. Sendo mais prático. (FCC) Considere a figura a seguir: Se você pudesse fazer uma das figuras seguintes deslizar sobre o papel. não é recomendável executar de uma só vez todos os giros da figura. coincidiria exatamente com ela é: a) b) c) d) e) Solução: Temos duas opções: 1a) deslizar a figura do enunciado. o que significa isso? Quer dizer que podemos movimentar a figura em qualquer direção. em nenhum momento. pois po- demos estar perdendo tempo. do papel. quando sobreposta à figura dada. significa que teremos de girar a figura. Sugerimos a fazer um giro na figura e. ou 2a) deslizar uma a uma as figuras trazidas nas alternativas. 2 – Sérgio Carvalho e Weber Campos Solução: Observe o desenho em cor cinza dentro da figura a seguir. Após o primeiro giro obtemos a figura (ii). Rac_log_vol_II. ele é exatamente igual ao de- senho da alternativa C. ela é igual a uma das figuras trazidas nas al- ternativas? Não! Passemos ao próximo giro. a primeira opção nos conduz a uma solução mais rápida. Exemplo 9. Vamos deslizar (girar no sentido horário) a figura do enunciado: (i) (ii) (iii) (iv) Na verdade.indb 264 21/09/2015 16:31:47 . ela é igual a uma das figuras trazidas nas alter- nativas? SIM! A figura (iv) é igual à figura da alternativa A! Resposta: Alternativa A. Após o segundo giro obtemos a figura (iii). desde que não a tiremos. Resposta: Alternativa C. Rac_log_vol_II. Capítulo 4 – Problemas Lógicos com Dados. é melhor usarmos outra estratégia para a resolução. (FCC) Considere esta figura. aquela que coincidirá com a figura dada é: a) d) b) e) c) Solução: Esta questão é semelhante à anterior. Então. Figuras e Palitos 265 Exemplo 10. o ponto se deslocará junto com o quadrado. Portanto. Observe na figura a seguir (a mesma fornecida na questão) que há um ponto preto ao lado de um pequeno quadrado (destacado em cinza). porém a figura fornecida possui mais detalhes que dificultam a execução dos giros. E é claro que ao girarmos essa figura. Supondo que as figuras apresentadas nas alternativas a seguir possam apenas ser deslizadas sobre o papel. a opção correta também terá um ponto preto ao lado do pequeno quadrado.indb 265 21/09/2015 16:31:47 . foi caminhando ao longo do fio e. (FCC) Uma estrutura feita de arame tem a forma de um cubo cujo lado mede 40 cm. 2 – Sérgio Carvalho e Weber Campos Somente as figuras das alternativas D e E possuem essa característica. e mesmo depois de muitos giros nunca teremos uma figura igual à da alternativa E. Solução: Há vários caminhos que a formiga pode percorrer saindo de A e retornando ao ponto de partida. B e C). c) 240. retornou ao ponto de partida. levaremos em conta apenas o seu contorno. a alternativa D é a correta! Resposta: Alternativa D. Para decidirmos entre D e E. Se ela pas- sou uma única vez sobre cada vértice. após ter percorrido a maior distância possível.indb 266 21/09/2015 16:31:48 . conforme é mostrado na figura a seguir. 266 Raciocínio Lógico Simplificado Vol. Veja a figura sendo girada no sentido anti-horário: A figura (iii) tem a mesma forma da figura da alternativa D. era: a) 80. Observou-se que: essa formiga saiu do ponto A. Vamos despre- zar os desenhos que estão dentro da figura. e) 400. Rac_log_vol_II. Mas desejamos o caminho com maior distância e no qual a formiga passou uma única vez sobre cada vértice. Exemplo 11. Portanto. Daí. descartamos as demais alternativas (A. executaremos o giro da figura do enunciado. d) 320. em centímetros. b) 160. é correto afirmar que a distância que percorreu. Uma formiga encontra-se sobre um vértice do cubo (ponto A). Figuras e Palitos 267 O maior caminho percorrido pela formiga será aquele que passa por todos os vértices. (FCC) Na ilustração a seguir. percebemos que a formiga percorreu 8 lados e. no desenho a seguir. Resposta: Alternativa D. Solução: Primeiro. Exemplo 12. d) 24. Rac_log_vol_II. os quais estão identificados. a figura em forma de L recobre 4 quadra- dinhos iguais. e) 36. Capítulo 4 – Problemas Lógicos com Dados. quantos desses quadradinhos seriam recobertos pela figura ampliada? a) 6.indb 267 21/09/2015 16:31:48 . c) 18. Vejamos um desses possíveis caminhos. Se cada lado dessa figura fosse triplicado. identificaremos os lados da figura em forma de L. como cada lado tem 40 cm. nas cores azul e vermelho. indicado pelas setas azuis: A partir desse desenho. então a distância percorrida pela formiga é igual a 320 cm (= 8 x 40cm). Aproveitamos e colocamos o respectivo tamanho de cada lado (consideramos que o lado do quadrado tem tamanho 1). Ao todo são seis lados. b) 12. Podemos encontrar essa quantidade separando a figura em duas partes: Portanto. caminhando sobre as linhas desenha- das e sempre descendo.indb 268 21/09/2015 16:31:52 . sendo assim. c) 12. Exemplo 13. Rac_log_vol_II. b) 8. o número de caminhos de A para B que iniciam pela esquerda é igual ao número de caminhos de A para B que iniciam pela direita. teremos: Agora. 268 Raciocínio Lógico Simplificado Vol. (FCC) Observe este esquema: Um sentinela em vigília vai de A para B. Quantos caminhos distintos poderá percorrer? a) 6. d) 15. ao todo teremos 36 (=18+18) quadradinhos recobertos pela figura ampliada. Triplicando os lados. no sentido de A para B. temos de descobrir quantos quadradinhos são recobertos pela figura ampliada. então os números que indicam o tamanho de cada lado serão triplicados. Resposta: Alternativa E. e) 18. 2 – Sérgio Carvalho e Weber Campos Como os lados devem ser triplicados. Solução: Observe na figura a seguir que os pontos A e B são diametralmente opostos. e que chegam em B. e depois multiplicaremos o resultado por 2 para obter o total de caminhos. desse modo. Devemos seguir as linhas desenhadas e sempre des- cendo. calcularemos o número de caminhos somente em um dos sentidos (esquerdo ou direito). respectivamente: Rac_log_vol_II. Sabe-se que 64 pessoas partem de P: metade delas na direção I. Voltando à solução. Exemplo 14. há poucos caminhos. em cada cruzamento. Mas caso a figura fosse maior. 6 caminhos. O número de pessoas que chegarão nos cruzamentos A e B são. Capítulo 4 – Problemas Lógicos com Dados. essa seria uma ótima dica. Teremos: Encontramos três caminhos de A para B partindo pela esquerda. então talvez não fosse necessário ensinar essa coisa de “pontos diametralmente opostos”. (FCC) Na figura a seguir tem-se um conjunto de ruas paralelas às di- reções I e II indicadas. todos os que chegam se di- videm prosseguindo metade na direção I e metade na direção II.indb 269 21/09/2015 16:31:54 . pela esquerda. a outra metade na direção II. Continuam a caminhada e. então o total de cami- nhos de A para B é igual ao dobro de 3. determinaremos agora o número de caminhos distintos partindo de A. ou seja. Figuras e Palitos 269 Portanto. Resposta: Alternativa A. Como a figura é pequena e. no próximo. a fim de verificar quantas pessoas estão chegando ao ponto A por cada um dos caminhos. Ela mostra outro caminho possível para ir de P até A. e. no próximo. no próximo cruzamento apenas 16 (metade de 32) prosseguem na direção I. como dissemos anteriormente. Isso quer dizer que as pessoas devem sempre estar descendo pelas ruas. e) 1 e 6. Solução: Faremos dois caminhos de P para A. 32 pessoas (metade de 64) partem do ponto P na direção I. De acordo com a 1a figura. Concluímos que existem seis caminhos de P para A. apenas seis pessoas chegam ao ponto A. 270 Raciocínio Lógico Simplificado Vol. Portanto. E per- cebe-se que. Se construirmos outros caminhos. Observe agora a 2a figura. das 32 pessoas que partem de P na direção I. b) 6 e 20.indb 270 21/09/2015 16:31:55 . apenas 2 (metade de 4) prosseguem na direção I. E. c) 6 e 15. apenas 8 (metade de 16) prosseguem na direção I. Mas como? Por cada caminho. Passemos neste momento a contar o número de caminhos de P para A. e em nenhum momento subindo. apenas uma chega pelo caminho indicado na 1a figura. no próximo cruzamento apenas 1 pessoa segue na direção do ponto A. E é claro que essa pessoa é diferente daquela que chegou ao ponto A pelo caminho mostrado na 1a figura. d) 1 e 15. apenas uma pessoa chega em A. das 32 pessoas que partem de P. no próximo. novamente. apenas 4 (metade de 8) pros- seguem na direção I. Usaremos esse resultado para resolver esta questão. apenas uma pessoa chega ao ponto A. 2 – Sérgio Carvalho e Weber Campos a) 15 e 20. respeitando o que foi dito no enunciado: as pessoas só seguem nas direções I e II. Ou seja. por cada um desses caminhos chega uma pessoa em A. perceberemos que também apenas uma pessoa chega em A em cada um deles. por fim. Rac_log_vol_II. então se encontrarmos o total de caminhos de P para A. obviamente teremos o total de pessoas que chegam em A. Portanto. e na alternativa C é 15 (ÍMPAR). enquanto uma delas não tem essa característica. Exemplo 15. Para decidirmos entre as alternativas B e C. (FCC) Das cinco figuras abaixo. em nenhu- ma das duas direções. Rac_log_vol_II. encontrando o número de caminhos apenas em uma direção. pois o número de ca- minhos é bem maior. restando-nos somente a alternativa B. o resultado sempre será um número par. usaremos o mesmo artifício aplicado na solução da questão anterior. E pra que isso? Você já vai entender. Achamos a resposta da questão sem precisar contar os caminhos de P para B. Essa mesma questão foi resolvida na página 60 por meio de uma fórmula de Análise Combinatória. Observe na figura a seguir que P e B são diametral- mente opostos: Assim. o que nos dá uma boa economia de tempo. Capítulo 4 – Problemas Lógicos com Dados. basta multiplicarmos o resultado por 2 para obter o total de caminhos. as únicas alternativas que podem ser verdadeiras são a B e a C. Quando multiplicamos um número qualquer por 2. Figuras e Palitos 271 Com esse resultado. Portanto.indb 271 21/09/2015 16:31:56 . Para contar o número de caminhos de P para B é mais complicado. Como o total de caminhos de P para B é necessariamente um número PAR. o total de caminhos de P para B é um número PAR. então devemos descartar a al- ternativa C. quatro delas têm uma característica geométrica em comum. Sabemos que as alternativas que podem estar corretas são a B e a C. Na alternativa B o número de caminhos de P para B é 20 (PAR). Resposta: Alternativa B. o número de caminhos de P para B que iniciam pela direção I é igual ao número de caminhos de P para B que iniciam pela direção II. B. 272 Raciocínio Lógico Simplificado Vol. d) IV. O vencedor será aquele que primeiro conseguir assinalar sua marca em três casas de uma mesma linha. tem-se o seguinte esquema: Dos esquemas seguintes. as duas marcações do x estão de um mesmo lado (numa mesma linha ou numa mes- ma coluna). Já no esquema mostrado na alternativa E. Considere que. assinalar suas respectivas marcas nas casas de um esquema formado por linhas paralelas. Logo. IV e V têm todas as suas faces opostas paralelas entre si. o único esquema que NÃO apresenta jogadas equivalentes às do esquema for- necido no enunciado é o da alternativa E. após três jogadas sucessivas. Resposta: Alternativa C. coluna ou diagonal do esquema. duas horizontais e duas verticais. Resposta: Alternativa E. e) V. o único que não apresenta jogadas equivalentes à do es- quema anterior é: Solução: No esquema fornecido no enunciado e nos esquemas apresentados nas alternativas A. Rac_log_vol_II. Observando as faces frontais de cada figura. devemos marcar a alternativa C! Há outra forma de se chegar à alternativa correta. b) II. 2 – Sérgio Carvalho e Weber Campos A figura que não tem essa característica é a: a) I. Portanto. alternadamente. nem na mesma coluna). Exemplo 16. c) III. enquanto na figura III nem todas as faces opostas são paralelas.indb 272 21/09/2015 16:31:56 . as duas marcações do x estão numa diagonal (não estão na mesma linha. (FCC) Do conhecido “jogo da velha” participam duas pessoas que devem. Solução: As figuras I. II. C e D. notamos que a face frontal da figura III é a única que possui um par de lados opostos de tamanhos diferentes (y zz). Exemplo 18. b) 9. (OBM) Onze cubinhos. mas sabemos que há cubos encobertos. O menor número de cubinhos. iguais aos já utilizados. d) 53. que devem ser agregados ao sólido formado pelos onze cubinhos para obtermos um cubo maciço é igual a: a) 48. exatamente três cubos. Rac_log_vol_II.indb 273 21/09/2015 16:31:56 . Figuras e Palitos 273 Exemplo 17. todos de mesma aresta. e) 56. Resposta: Alternativa B. O número de cubos que foram usados na montagem dessa pilha é: a) 8. e) 12. (FCC) A figura seguinte mostra uma pilha de cubos de mesmas dimen- sões. foram colados confor- me a figura a seguir. c) 10. d) 11. c) 52. Solução: Na figura podem ser visualizados seis cubos. como podemos verificar nas indicações feitas no desenho a seguir: Há dois cubos embaixo desse cubo Há um cubo embaixo desse cubo Temos na pilha um total de 9 (=6+3) cubos. Capítulo 4 – Problemas Lógicos com Dados. b) 49. Teremos: Rac_log_vol_II. Resposta: Alternativa D. Qual o total de pontos escondidos pelo papel? a) 18. escreveremos os números (em vermelho) em algumas peças do dominó que estão em branco. par- cialmente cobertos por um pedaço de papel. mas somente acrescentar. Como não podemos retirar cubinhos da figura. d) 21. e observe que há 4 cubinhos no comprimento. Como temos 11 cubinhos. Os dominós se tocam de modo que 1 ponto é vizinho a 1 ponto. Exemplo 19. Seguindo essa orientação. 2 pontos são vizinhos a 2 pontos e assim por diante. 274 Raciocínio Lógico Simplificado Vol. (OBM) Nove peças diferentes de dominó estão sobre uma mesa. b) 19. então o menor cubo maciço que conseguire- mos construir é um que tenha 4 cubinhos no comprimento. 4 na largura e 4 na altura. Solução: De acordo com o enunciado. 2 – Sérgio Carvalho e Weber Campos Solução: O enunciado diz que existem 11 cubinhos na figura. O total de cubinhos que formarão esse cubo maciço pode ser encontrado pelo seguinte produto: 4 × 4 × 4 = 64 cubinhos. 2 pontos são vizinhos a 2 pontos etc. os dominós se tocam de modo que 1 ponto é vizinho a 1 pon- to. 3 cubinhos na largura e 3 cubinhos na altura.indb 274 21/09/2015 16:31:57 . então falta agregar 53 cubinhos (=6411). e) 22. c) 20. B. pois a peça (2|1) já foi usada. Rac_log_vol_II. pois a peça (4|1) já foi usada. com as distâncias dadas em quilômetros: Partindo-se de A e passando por E. Æ x pode ser igual a 4? Não. E como as partes vizinhas de duas peças de dominó que se tocam devem possuir o mesmo número de pontos. a menor distância que po- derá ser percorrida para chegar a B é. Figuras e Palitos 275 Seja x o número de pontos da parte da peça que fica bem no centro dessa figura. Æ x pode ser igual a 3? Sim. Assim. C. pois a peça (4|1) já foi usada. nessa ordem. b) 69. Assim.indb 275 21/09/2015 16:31:58 . pois a peça (5|1) já foi usada. D e E. teremos o seguinte desenho em destaque: Testaremos diversos valores para x: Æ x pode ser igual 0? Não. pois a peça (0|3) já foi usada. Capítulo 4 – Problemas Lógicos com Dados. c) 70. Æ x pode ser igual a 5? Não. Æ x pode ser igual a 2? Não. d) 71. C e D. encontramos: x=3. Æ x pode ser igual a 1? Não. Portanto. Solução: Esta é uma questão fácil. (FCC) O diagrama indica percursos que interligam as cidades A. então as demais partes que estão em branco também serão iguais a x. pois a peça (6|2) já foi usada. Æ x pode ser igual a 6? Não. a soma de pontos escondidos pelo papel é: Æ 3+4+1+2+3+3+3 = 22 Resposta: Alternativa E. porém precisamos analisá-la com cuidado. Exemplo 20. pois nada impede que usemos esse valor. em quilômetros: a) 68. e) 72. (2.6).12) = 4 Æ Triângulos com vértice no ponto 4: (4. d) 14.12). os triângulos que podem ser visualizados na figura. Æ Triângulos com vértice no ponto 1: (1. teremos de encontrar a menor distância de cada trecho. (8.7.11). O maior número de triângulos distintos que podem ser vistos nessa figura é: a) 20. (3.9) = 1 Æ Triângulos com vértice no ponto 7: já foram contados. 2 – Sérgio Carvalho e Weber Campos Para encontrarmos a menor distância de A a B (seguindo a ordem A Æ E Æ C Æ D Æ B). e) 12.7. certamente nos perderemos na contagem.5. Exemplo 21.5.4. c) 16.11) = 2 Æ Triângulos com vértice no ponto 3: (3.10. Solução: Se formos contar os triângulos que vemos nessa figura sem usar um critério adequado. Æ Triângulos com vértice no ponto 2: (2.7.5.9. (4. O critério que usaremos é a enumeração de todos os vértices da figura. Æ Triângulos com vértice no ponto 8: (8.10) = 3 Æ Triângulos com vértice no ponto 5: (5.12) = 2 triângulos. b) 18. do seguinte modo: Agora.indb 276 21/09/2015 16:31:58 .7).11. teremos: 23 + 16 + 7 + 24 = 70 Resposta: Alternativa C.11) = 1 Æ Triângulos com vértice no ponto 6: (6. (4. Façamos isso: Menor distância de A a E: 8 + 3 + 3 + 9 = 23 Menor distância de E a C: 9 + 3 + 4 = 16 Menor distância de C a D: 4 + 3 = 7 Menor distância de D a B: 3 + 3 + 7 + 5 + 6 = 24 Somando as distâncias obtidas em cada trecho. (3.4.8).6). passemos a contar.12).11). (1. 276 Raciocínio Lógico Simplificado Vol. (3.12) = 2 Rac_log_vol_II.8.7.11. (FCC) Analise a figura a seguir.6. de forma organizada. Exemplo 23. b) 18. (9.12) = 2 Æ Triângulos com vértice no ponto 10: (10.10.indb 277 21/09/2015 16:31:59 .11. Total de triângulos = 2+2+4+3+1+1+2+2+1 = 18 Resposta: Alternativa B. Exemplo 22. (OBM) Quantos triângulos existem cujos lados estão sobre alguns dos segmentos traçados na figura ao lado? Solução: A partir da figura trazida na questão podemos visualizar os seguintes triângulos: (1 triângulo) (2 triângulos) (2 triângulos) (2 triângulos) (3 triângulos) (3 triângulos) (3 triângulos) (1 triângulo) Portanto. (FCC) Considere que o cubo mostrado na figura foi montado a partir de pequenos cubos avulsos. o número total de triângulos é igual a 17 (=1+2+2+2+3+3+3+1).12) = 1 Æ Triângulos com vértice no ponto 11 : já foram contados.11.12). d) 36. Figuras e Palitos 277 Æ Triângulos com vértice no ponto 9: (9. O número de cubos que podem ser visualizados nessa figura é: a) 9. todos de mesmo tamanho. Caso tenha dificuldades na contagem dos triângulos. Capítulo 4 – Problemas Lógicos com Dados. Rac_log_vol_II. siga a orientação que foi dada na questão anterior. e) 48. Æ Triângulos com vértice no ponto 12 : já foram contados. c) 27. fazendo com que as faces X. tentaremos visualizar cubos que possuem dois cubinhos em cada aresta. como mostra a figura. O cubo da figura anterior tem três cubinhos em cada aresta (altura. teremos de contar todos os cubinhos presentes no cubo grande. nessa ordem. Agora. Quantos quadradinhos diferentes do tabuleiro estiveram em contato com o bloco? Rac_log_vol_II. Giramos o bloco em torno de uma de suas arestas de modo que a face Y fique virada para baixo. inclusive os encobertos. Para encontrar a alternativa correta. com a face X. atrás esquerda. virada para baixo. e muitos entenderam que os cubinhos encobertos não deveriam ser contados. Concluindo. 278 Raciocínio Lógico Simplificado Vol. largura e comprimen- to). o número de cubos que podem ser visualizados na figura da questão é igual a: 27 + 8 + 1 = 36 Resposta: Alternativa D. atrás direita) do cubo maior: Totalizando 8 cubos! O cubo mostrado no enunciado também entrará na contagem: 1 cubo. Y e Z fiquem viradas para baixo. mas desta vez de modo que a face Z fique virada para baixo.indb 278 21/09/2015 16:32:00 . Em seguida. assim o total de cubinhos é igual a 27 (=3×3×3). Podemos visualizar 4 desses cubos na parte superior (frente esquerda. (OBM) Um bloco de dimensões 1 × 2 × 3 é colocado sobre um tabu- leiro 8 × 8. tentaremos visualizar o cubo mostrado (dois cubinhos por aresta). atrás esquerda e atrás direita) do cubo maior. frente direita. 2 – Sérgio Carvalho e Weber Campos Solução: Esta questão causou polêmica. Giramos o bloco mais três vezes. Exemplo 24. frente direita. de dimensões 1 × 2. porque ela pede o número de cubos que podem ser vi- sualizados na figura. giramos novamente o bloco. conforme mostrado a seguir: E mais 4 desses cubos na parte inferior (frente esquerda. conforme mostrado a seguir: Olhando para o cubo fornecido na questão. b) 19. Solução: O bloco tem dimensões 1 ×2 ×3. Os quadradinhos do tabuleiro em contato com a face Z do bloco estão indicados com o número 2.indb 279 21/09/2015 16:32:01 . Os quadradinhos do tabu- leiro em contato com o bloco na sua posição inicial estão indicados com o número 0. Veja o bloco da figura anterior e imagine-o após cada giro. Nesse momento. e) 22. Capítulo 4 – Problemas Lógicos com Dados. Marcaremos. Figuras e Palitos 279 a) 18. Os quadradinhos do tabuleiro em contato com a face Y do bloco estão indicados com o número 1. d) 21. 4o) gira-se o bloco fazendo com que a face Y fique virada para baixo. 5o) gira-se o bloco fazendo com que a face Z fique virada para baixo. Os quadradinhos do tabuleiro em contato com a face X do bloco estão indicados com o número 3. os quadradinhos do tabuleiro em contato com o bloco após cada giro. como mostrado na figura a seguir. Ele inicialmente encontra-se com a face X virada para baixo. o bloco é girado cinco vezes. 2o) gira-se o bloco de modo que a face Z fique virada para baixo. c) 20. Os quadradinhos do tabuleiro em contato com a face Z do bloco estão indicados com o número 5. na ordem especificada na questão. 1o) gira-se o bloco de modo que a face Y fique virada para baixo. por Y (face de dimensões 1 × 3) e por Z (face de dimensões 2 × 3). conforme mostrado na figura. no desenho a seguir. Rac_log_vol_II. 3o) gira-se o bloco fazendo com que a face X fique virada para baixo. Os quadradinhos do tabuleiro em contato com a face Y do bloco estão indicados com o número 4. E suas faces foram de- signadas por X (face de dimensões 1 × 2). de uma dessas peças. O serralheiro usa exatamente 20 metros de vareta para fazer o seu trabalho. e) 8. 2 – Sérgio Carvalho e Weber Campos 0 4 4 4. Rac_log_vol_II. d) 7. 1 2 2 1 2 2 Os quadradinhos do tabuleiro que possuem algum número são aqueles que estiveram em contato com o bloco. Exemplo 25. O desenho a seguir apresenta as medidas. Exemplo 26.indb 280 21/09/2015 16:32:02 . c) 6. (OBM) Um serralheiro solda varetas de metal para produzir peças iguais que serão juntadas para formar o seguinte painel. b) 5. 1 2 2 5 5 5. De quantos modos diferentes é possível colorir as casas de um tabuleiro 2 u 2 de branco ou preto de modo que não existam dois tabuleiros que coincidam por rotação? a) 4. Solução: Há seis possibilidades distintas de se colorir o tabuleiro. (OBM) As 4 colorações a seguir são consideradas iguais por coincidi- rem por rotação. a saber: Resposta: Alternativa C. como podemos verificar nesse tabuleiro. 280 Raciocínio Lógico Simplificado Vol. Resposta: Alternativa B. E ao todo são 19 quadradinhos. 0 3 3 5 5 5. em centímetros. o final do painel terá o seguinte desenho: O único desenho das opções de resposta que tem o final igual a essa parte desenhada é o da alternativa B. e) 152. no mínimo. que lhe possibilitará fazer as duas primeiras partes de uma peça. Capítulo 4 – Problemas Lógicos com Dados. c) 122. o serralheiro irá fazer 44 peças completas. ficando com uma sobra de 20 centímetros. b) 123. Solução: Para resolver esse tipo de questão é interessante identificar uma parte do arranjo que este- ja se repetindo. Exemplo 27. vamos separar as duas primeiras colunas de hexágonos do arranjo: Rac_log_vol_II. são necessárias para montar o arranjo? a) 113. Figuras e Palitos 281 Qual dos desenhos a seguir representa o final do painel? Solução: De acordo com as dimensões fornecidas. (OBM) O arranjo a seguir. Resposta: Alternativa B. Como 20 metros é igual a 2000 centímetros. para fazer uma peça são necessários 45 centí- metros (=3×10+3×5) de arame. d) 132.indb 281 21/09/2015 16:32:03 . Façamos o seguinte. e 2000 dividido por 45 dá quociente 44 e resto 20. Quantas varetas. composto por 32 hexágonos. foi montado com varetas. todas com comprimento igual ao lado do hexágono. Assim. 282 Raciocínio Lógico Simplificado Vol. e) 7. b) 4.3. Rac_log_vol_II. Teremos: No de varetas = 1 × 16 + 9 × 11 + 2 × 4 = 123 (Resposta) 4. c) 5.indb 282 21/09/2015 16:32:03 . retirar palitos significa que esses palitos retirados não farão parte da nova formação. restando dois hexágonos. é possível trans- formá-la na figura II: O menor número de palitos de fósforo que deve ser movido para fazer tal transfor- mação é: a) 3. E cada coluna acima tem três hexágonos.3. (FCC) Movendo alguns palitos de fósforo da figura I. Questões Lógicas com Palitos A Lógica com palitos é tradicional e popular. 2 – Sérgio Carvalho e Weber Campos Observe que a coluna que está à esquerda tem 16 varetas e a que está à direita apenas 11 varetas (linhas cheias do desenho). Exercícios Resolvidos Exemplo 28. Temos um total de 32 hexágonos e como cada coluna possui três hexágonos. de modo que o total de palitos permaneça inalterado. Quando a questão diz que se devem mover palitos significa mudá-los de posição para formar uma nova configu- ração. sendo as questões mais conhecidas aquelas que pedem o menor número de palitos de fósforo que devem ser movidos a fim de realizar uma determinada formação.1. O desenho a seguir mostra o arranjo dividido em colunas e ao final os dois hexágonos que sobraram: 1 coluna 9 colunas 2 hexágonos de 16 de 11 de 4 varetas varetas varetas A partir desse desenho calcularemos a quantidade total de varetas utilizadas para formar os 32 hexágonos. então po- demos construir 10 colunas. o total de palitos será reduzido. É importante distinguir a diferença entre mover (deslocar) e retirar. portanto. 4. d) 6. Rac_log_vol_II.indb 283 21/09/2015 16:32:04 . indicados pelas setas vermelhas. Portanto. obteremos a formação dos palitos da figura II. Resposta: Alternativa C. d) 4. precisam ser movidos para obter a formação mostrada na figura II. c) 3. formando cinco quadrados congruentes. Figuras e Palitos 283 Solução: Se movermos os cinco palitos indicados pelas setas vermelhas para o lado esquerdo da figura I. (FCC) Movendo-se palito(s) de fósforo na figura I. Capítulo 4 – Problemas Lógicos com Dados. é preciso mover apenas cinco palitos. e) 5. Somente dois palitos da figura I. Exemplo 30. b) 2. é possível transfor- má-la na figura II: O menor número de palitos de fósforo que deve ser movido para fazer tal transfor- mação é: a) 1. Solução: Esta é mais fácil que a anterior. Portanto. é preciso mover apenas dois palitos. Resposta: Alternativa B. Observe a figura a seguir composta por 16 palitos. Exemplo 29. Y certamente vencerá se retirar: a) o palito da fila superior. Solução: É necessário apenas mover dois palitos. retirar quantos pa- litos quiser. Rac_log_vol_II. Cada um pode. Esse desenho continua com 16 palitos. Exemplo 31. na sua vez. d) qualquer um dos palitos. X e Y. Quem for obrigado a retirar o último palito perde. d) 4. 2 – Sérgio Carvalho e Weber Campos O número mínimo de palitos que se deve mover (não é retirar) para obtermos exa- tamente quatro quadrados congruentes é: a) 1. b) 2. conforme se pode observar no novo desenho dos palitos formando quadro quadrados congruentes. (FCC) Seis palitos de picolé são colocados sobre uma mesa em três filas. c) 3. Suponha que o jogador X comece retirando os três palitos da fila inferior. desde que todos pertençam à mesma fila. e) 5. Resposta: Alternativa B. 284 Raciocínio Lógico Simplificado Vol. como a figura mostra: Enfrentam-se dois jogadores. c) os dois palitos da fila média. Nessa situação. e) todos os palitos. b) o palito da direita da fila média.indb 284 21/09/2015 16:32:04 . d) 96 palitos. 12 palitos. com palitos de fósforo. Y perde o jogo. deixará para o jogador Y o último palito.4. O jogador X começou o jogo retirando os três palitos da fila inferior. restará apenas o palito da fila superior.indb 285 21/09/2015 16:32:04 . restarão apenas os dois palitos da fila intermediária. dessa forma. Exercícios Propostos 01. esta alternativa deve ser descartada! Alternativa C) Y retira os dois palitos da fila média Ao fazer isso. a alternativa correta é a letra C. Para montar um quadriculado 6 u6 seguindo o mesmo padrão. (TRT 5a Região Analista Judiciário 2013 FCC) Para montar. e a questão quer sa- ber como Y deve proceder para que ele vença com certeza. Assim. e) 108 palitos. fila média (2 pa- litos) e fila inferior (3 palitos). a) 64 palitos. o jogador Y vence. restarão dois palitos: um da fila superior e um da fila média. Rac_log_vol_II. temos três filas: fila superior (1 palito). ao retirar qualquer um desses palitos. no total. no total. Daí. O jogador X deve retirar somente um desses dois palitos. o quadriculado 2 x 2 mostrado na figura a seguir. o jogo. O jogador X. perdendo. Nesse caso. e. b) 72 palitos. Logo. foram usados. Lembrando que quem for obrigado a retirar o último palito perde. Resposta: Alternativa C. esta alternativa deve ser descartada! Alternativa B) Y retira o palito da direita da fila média Ao fazer isso. Logo. consequentemente. c) 84 palitos. o jogador X vai retirar o último palito. Vamos testar as alternativas! Alternativa A) Y retira o palito da fila superior Ao fazer isso. deverão ser usados. perderá o jogo. então restará a Y o último palito. Capítulo 4 – Problemas Lógicos com Dados. Figuras e Palitos 285 Solução: Na figura trazida no enunciado. 4. Portanto. qual das figu- ras seguintes NÃO pode ser a planificação de um dado? a) d) b) e) c) 03. A figura abaixo é a planificação de um dado. 3 d) 3. 2. 2 – Sérgio Carvalho e Weber Campos 02. 1. B e C. 3 b) 1. 3. Assim sendo. 286 Raciocínio Lógico Simplificado Vol. Inicialmente. a face superior é três pontos. 2. Qual será a face superior ao final de percorrer o circuito? Posição inicial Primeiro movimento feito Rac_log_vol_II. Um dado percorre um circuito como ilustrado nos dois movimen- tos feitos. (OMRJ) As faces opostas de um dado bem construído somam sempre sete pontos.indb 286 21/09/2015 16:32:05 . para que essa figura forme um dado honesto são a) 1. 1 04. Os valores de A. 1. 2 c) 2. 2 e) 3. (TRT-PE Técnico 2006 FCC) Sabe-se que os pontos marcados nas faces opostas de um dado devem somar 7 pontos. respectivamente. 6.indb 287 21/09/2015 16:32:06 . Sabendo-se que a soma das faces visíveis é 43. 7 c) 6. 4. A soma dos pontos dessas duas faces pode assumir qualquer um dos valores da sequência a) 2. são colocados em uma mesa. 9. 6 b) 5. que estão em contato com a mesa? a) 6 b) 8 c) 13 d) 15 e) 21 07. (OBM/2000) Três dados idênticos. Um dado bem construído foi lançado três vezes. 12 08. (FCC) Nos dados bem construídos. não visíveis. Um jogador lança um dado honesto (soma das faces opostas é sete) uma única vez sobre uma mesa. O número da face que é a base inferior da coluna de dados é: a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) pode ser 1 ou 4 06. qual a soma das faces. de modo que cada par de faces coladas tenha o mesmo número. Figuras e Palitos 287 a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 c) 4 05. o produto dos pontos das faces opos- tas pode ser Rac_log_vol_II. 10. 11 e) 8. nos quais a soma das faces opostas é 7. (FCC) A figura abaixo mostra três dados iguais. a soma dos pontos das faces opostas é sempre igual a 7. 8. 10 d) 7. de modo que ele observa a face superior e a face que está imediatamente a sua frente. Se o produto dos pontos obtidos foi 36. Capítulo 4 – Problemas Lógicos com Dados. conforme a figura abaixo.