raciocinio logico

Ministério da SaúdeAnalista Técnico de Políticas Sociais Princípio da Regressão ou Reversão. Lógica Dedutiva, Argumentativa e Quantitativa. Lógica Matemática Qualitativa. Sequências Lógicas envolvendo Números, Letras e Figuras. ............................. 1 Regra de três simples e compostas. ................................................................................................. 84 Razões Especiais. ............................................................................................................................ 98 Análise Combinatória e Probabilidade. ........................................................................................... 106 Progressões Aritmética e Geométrica. ............................................................................................ 126 Conjuntos: as relações de pertinência, inclusão e igualdade; operações entre conjuntos, união, interseção e diferença. ........................................................................................................................ 135 Geometria plana e espacial. ........................................................................................................... 146 Trigonometria................................................................................................................................... 225 Conjuntos numéricos. ..................................................................................................................... 239 Equações de 1º e 2º graus. ............................................................................................................. 270 Inequações de 1º e 2º graus. .......................................................................................................... 283 Funções de 1º e 2° graus. ............................................................................................................... 291 Geometria analítica. ........................................................................................................................ 318 Matrizes determinantes e sistemas lineares. ................................................................................... 343 Polinômios. ...................................................................................................................................... 377 Candidatos ao Concurso Público, O Instituto Maximize Educação disponibiliza o e-mail [email protected] para dúvidas relacionadas ao conteúdo desta apostila como forma de auxiliá-los nos estudos para um bom desempenho na prova. As dúvidas serão encaminhadas para os professores responsáveis pela matéria, portanto, ao entrar em contato, informe: - Apostila (concurso e cargo); - Disciplina (matéria); - Número da página onde se encontra a dúvida; e - Qual a dúvida. Caso existam dúvidas em disciplinas diferentes, por favor, encaminhá-las em e-mails separados. O professor terá até cinco dias úteis para respondê-la. Bons estudos! . 1 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Princípio da Regressão ou Reversão. Lógica Dedutiva, Argumentativa e Quantitativa. Lógica Matemática Qualitativa. Sequências Lógicas envolvendo Números, Letras e Figuras. Caro(a) candidato(a), antes de iniciar nosso estudo, queremos nos colocar à sua disposição, durante todo o prazo do concurso para auxiliá-lo em suas dúvidas e receber suas sugestões. Muito zelo e técnica foram empregados na edição desta obra. No entanto, podem ocorrer erros de digitação ou dúvida conceitual. Em qualquer situação, solicitamos a comunicação ao nosso serviço de atendimento ao cliente para que possamos esclarecê-lo. Entre em contato conosco pelo e-mail: professores @maxieduca.com.br PRINCÍPIO DA REGRESSÃO OU REVERSÃO Princípio da regressão Este princípio tem como objetivo resolver determinados problemas de forma não algébrica, mas utilizando uma técnica baseada em raciocínio lógico, conhecida como princípio da regressão ou reversão. Esta técnica consiste em determinar um valor inicial pedido pelo problema a partir de um valor final dado. Utiliza-se para resolução dos problemas as operações matemáticas básicas com suas respectivas reversões. - Fundamento da regressão Utilizando as quatro operações fundamentais, podemos obter uma construção quantitativa lógica fundamentada no princípio da regressão, cujo objetivo é obter o valor inicial do problema proposto através da operação inversa. Soma ↔ a regressão é feita pela subtração. Subtração ↔ a regressão é feita pela soma. Multiplicação ↔ a regressão é feita pela divisão. Divisão ↔ a regressão é feita pela multiplicação. Veja os exemplos abaixo: 1 – Uma pessoa gasta metade do seu capital mais R$ 10,00, ficando sem capital algum. Quanto ela possuía inicialmente? Solução: No problema acima, a pessoa gastou em dinheiro (– R$ 10,00), ou seja, houve uma perda. Pelo princípio da regressão, iremos supor que ele recuperará o dinheiro, para que possamos chegar à situação inicial (+ R$ 10,00). Posteriormente, ele gasta metade do seu capital (÷2). Para voltarmos a situação inicial devemos multiplicar por 2 o valor em dinheiro que ele possuía. Logo, 2 × R $10,00 = R$ 20,00. 2 – Um indivíduo fez uma promessa a São Sebastião, se este dobrar o seu dinheiro, ele doará R$ 20,00 para a igreja, no final da 3º dobra, nada mais lhe restara, quanto possuía o indivíduo inicialmente? (A) 14,50 (B) 15,50 . 1 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (C) 16,50 (D) 17,50 (E) 18,50 Solução: a) Solução Algébrica Valor que possuía inicialmente: x 1º dobra: 2x – 20 2° dobra: 2(2x – 20) – 20 3° dobra: 2[2(2x – 20) – 20] – 20 = 0 Resolvendo a equação encontramos x = 17,50 Resposta: Inicialmente o indivíduo possui R$17,50 b) Solução pelo método da regressão Pelo método da regressão, vamos abordar o problema do final para o início, ou seja, partiremos do passo IV até o passo I. IV) Se no final restou 0, significa que todo o dinheiro foi doado. III) No terceiro passo, ele dobrou o capital que tinha e deu 20 reais para a igreja, fazendo a regressão, podemos dizer se ele deu 20 reais para a igreja (representar – 20), então, ele os possuía inicialmente 20 (representar +20). Como ele dobrou o capital, temos agora que reduzi-lo a metade (20 ÷ 2) = 10. Conclusão: na terceira etapa ele possuía 10 reais, que dobrados originaram 20 reais. Como doou 20 reais, ficou com nada no quarto passo. II) No segundo passo, ele já possuía 10 reais, mas doou 20 para a igreja (-20) e ao recuperá-lo ficou com 10 + 20 = 30. Como ele dobrou o capital, temos agora que reduzi-lo a metade (30 ÷ 2) = 15. Conclusão: na segunda etapa ele possuía 15 reais, que dobrados originaram 30 reais. Como doou 20 reais, ficou com 10 no terceiro passo. I) Inicialmente, ele possuirá os 15 reais mais 20 reais que serão recuperados, ou seja, 35 reais e reduzir o capital pela metade (35 ÷ 2) = 17,50. Resposta: Inicialmente, possuía R$ 17,50. Gabarito: D Explicações do item 2,3,4. 2- Tabela verdade e equivalência lógica, negação e validade de um argumento. 3- Regras de Inferência 4- Diagramas de Euller-Venn O candidato deve ficar atento, após o entendimento da tabela verdade, este deve saber aplicar as regras de inferência, diagramas de Venn, equivalência e negação, assim ele verificará que não existe lógica pelas frases ou suas interpretações , veja o modelo abaixo( caso 1 e 2 ). Caso 1: validade de um argumento Um argumento é válido caso satisfaça duas condições: I – A proposição 1, a proposição 2 e a conclusão (p1, p2, C), têm pelo menos uma linha verdadeira quando construída a sua tabela-verdade. II – (p1 p2) → C é tautológica, caso contrário, temos um sofisma. Nota: argumento possui 3 premissas no mínimo e uma conclusão e silogismo 2 premissas e uma conclusão, assim de início chamarei o silogismo de argumento sem o rigor da definição, pois a preocupação é quanto a validade, e percebe que não há correlação com o português, mas sim com a estrutura. Exemplo: Verifique se o argumento (silogismo) abaixo é válido: Premissa 1 (P1): p q Premissa 2 (P2): ~q Conclusão (C): p . 2 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Condição I: P1, P2 e C devem ter pelo menos uma linha da tabela-verdade toda verdadeira. P1: p q P2: ~q C: p V F V V V V V F F F V F Condição II: (p1 p2) → C deve ser tautológica (p q) ~q → p F V V V V V F V F F V F Resposta: O argumento é válido, pois satisfaz as duas condições. 1) Verifique se os argumentos abaixo são válidos: ( ) p1: hoje é sábado ou domingo. p2: hoje não é sábado. C: hoje é domingo. Solução: Construindo a tabela, temos: p1: p q p2: ~p C: q V F V V F F V V V F V F De acordo com a tabela, podemos garantir que o argumento é válido, pois existe pelo menos uma linha toda verdadeira (V, V, V) e a verdade das premissas (V, V) garante a verdade da conclusão (V). Gabarito: V, pois o argumento é válido. ( ) É correto o raciocínio lógico dado pela sequência de proposições seguintes: Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um bom emprego. Ela conseguiu um bom emprego. Portanto, Célia tem um bom currículo. Solução: p1: p → q p2: q C: p V V V F F V V V F V F F Neste caso, a primeira condição é satisfeita, ou seja, temos uma linha toda verdadeira (V, V, V). No entanto, a verdade das premissas, além de garantir a verdade da conclusão, também garantiu a sua falsidade, havendo assim uma contradição (também conhecido como princípio do terceiro excluído). Exemplo: p1 p2 C V V V V V F A conclusão não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo, logo o argumento não é válido. Gabarito: F Caso 2 - DIAGRAMAS DE VENN- EULLER –EXPRESSÕES CATEGÓRICAS As expressões categóricas são: . 3 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  TODO ALGUM NENHUM NOTA: Deve ficar claro que a negação destas expressões não tem nenhuma relação com a gramática, língua Portuguesa ou relação com o seu antônimo como todo, nenhum ou coisa do gênero, na verdade a negação destas expressões tem relação direta com a cisão topológica do diagrama, podendo ainda ser associada à mecânica dos fluidos no que se refere a volume de controle, para não entramos no contexto da física será feito apenas uma abordagem topológica da estrutura. Caso 1: Negação da expressão Nenhum Qual a negação da proposição: “Nenhum rondoniense é casado” i) deve ficar claro que a negação de nenhum não é todo ou pelo menos um ou qualquer associação que se faça com o português, a topologia da estrutura nos fornecerá várias respostas, vejamos: Possíveis negações: Negar a frase é na verdade verificar os possíveis deslocamentos dos círculos. I) pelo menos 1 rondoniense é casado II) algum rondoniense é casado III) existe rondoniense casado IV) Todo rondoniense é casado V) Todo casado é rondoniense Definir: A = Rondoniense B= Casado CONCLUSÃO: Topologicamente o pelo menos 1 é a condição mínima de existência; algum e existe estão no mesmo nível de importância e o todo é a última figura sendo assim topologicamente possível mas a última, em termos de importância. Questões 01. Uma senhora levava uma caixa de chocolates para dar aos seus netos. Ao primeiro ela deu a metade dos chocolates que levava mais meio chocolate. Ao segundo, deu a metade do que restou e mais meio chocolate. Por último, ao terceiro neto ela deu a metade do que ainda sobrou e mais meio chocolate, não sobrando nenhum com ela. Quantos chocolates havia inicialmente na caixa? 02. Um homem gastou tudo o que tinha no bolso em três lojas. Em cada uma gastou R$ 1,00 a mais do que a metade do que tinha ao entrar. Quanto o homem tinha ao entrar na primeira loja? 03. Um feirante vendeu 1/3 das frutas que possuía mais duas. A seguir, vendeu 4/5 das restantes mais uma, ficando, assim, com três frutas. Se n é o número inicial de frutas, então: (A) n > 100 (B) 90 < n < 100 (C) 70 < n < 90 (D) 50 < n < 70 (E) 30 < n < 50 04. (SENAI 2015) O sr. Altair deu muita sorte em um programa de capitalização bancário. Inicialmente, ele apresentava um saldo devedor X no banco, mas resolveu depositar 500 reais, o que cobriu sua dívida e ainda lhe sobrou uma certa quantia A. Essa quantia A, ele resolveu aplicar no programa e ganhou quatro . 4 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  vezes mais do que tinha, ficando então com uma quantia B. Uma segunda vez, o sr. Altair resolveu aplicar no programa, agora a quantia B que possuía, e novamente saiu contente, ganhou três vezes o valor investido. Ao final, ele passou de devedor para credor de um valor de R$ 3 600,00 no banco. Qual era o saldo inicial X do sr. Altair? (A) -R$ 350,00. (B) -R$ 300,00. (C) -R$ 200,00. (D) -R$ 150,00. (E) -R$ 100,00. Respostas 01. Resposta: 02. Resposta: . 5 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  03. Resposta: 04. Resposta: C. Devemos partir da última aplicação. Sabemos que a última aplicação é 3B, logo: 3B = 3600 → B = 3600/3 → B = 1200 A 1º aplicação resultou em B e era 4A: B = 4A → 1200 = 4A → A = 1200/4 → A = 300 A é o saldo que sobrou do pagamento da dívida X com o 500 reais: A = 500 – X → 300 = 500 – X → -X = 300 – 500 → -X = -200. (-1) → X = 200. Como o valor de X representa uma dívida representamos com o sina negativo: a dívida era de R$ - 200,00. DEFINIÇÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO Raciocínio lógico é um processo de estruturação do pensamento de acordo com as normas da lógica que permite chegar a uma determinada conclusão ou resolver um problema. É aquele que se desvincula das relações entre os objetos e procede da própria elaboração do indivíduo. Surge através da coordenação das relações previamente criadas entre os objetos. Um raciocínio lógico requer consciência e capacidade de organização do pensamento. É possível resolver problemas usando o raciocínio lógico. No entanto, ele não pode ser ensinado diretamente, mas pode ser desenvolvido através da resolução de exercícios lógicos que contribuem para a evolução de algumas habilidades mentais. Muitas empresas utilizam exercícios de raciocínio lógico para testarem a capacidade dos candidatos. Este tipo de avaliação também é comum em concursos públicos. - Raciocínio lógico matemático ou quantitativo O raciocínio lógico matemático ou quantitativo é o raciocínio usado para a resolução de alguns problemas e exercícios matemáticos. Esses exercícios são frequentemente usados no âmbito escolar, através de problemas matriciais, geométricos e aritméticos, para que os alunos desenvolvam determinadas aptidões. Este tipo de raciocínio é bastante usado em áreas como a análise combinatória. - Raciocínio analítico (crítico) ou Lógica informal - é a capacidade de raciocinar rapidamente através da percepção. Em concursos exigem bastante senso crítico do candidato e capacidade de interpretação, portanto exigem mecanismos próprios para a resolução das questões. O raciocínio analítico nada mais é que a avaliação de situações através de interpretação lógica de textos. Tipos de raciocínio Raciocínio verbal - consiste Raciocínio espacial - remete Raciocínio abstrato - na capacidade de apreensão e para a aptidão para criar e responsável pelo pensamento estruturação de elementos manipular representações mentais abstrato e a capacidade para . 6 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  verbais, culminando na visuais. Está relacionada com a determinar ligações abstratas formação de significados e uma capacidade de visualização e de entre conceitos através de ordem e relação entre eles. raciocinar em três dimensões. ideias inovadoras. Vejamos um exemplo que roda pela internet e redes sociais, os quais são chamados de Desafios, os mesmos envolvem o “raciocínio” para chegarmos ao resultado: Solução: 4 em romanos é IV e 1 em inglês é ONE, logo juntando os dois temos: IVONE. CONCEITOS LÓGICOS A lógica a qual conhecemos hoje foi definida por Aristóteles, constituindo-a como uma ciência autônoma que se dedica ao estudo dos atos do pensamento (Conceito, Juízo, Raciocínio, Demonstração) do ponto de vista da sua estrutura ou forma lógica, sem ter em conta qualquer conteúdo material. Falar de Lógica durante séculos, era o mesmo que falar da lógica aristotélica. Apesar dos enormes avanços da lógica, sobretudo a partir do século XIX, a matriz aristotélica persiste até aos nossos dias. A lógica de Aristóteles tinha objetivo metodológico, a qual tratava de mostrar o caminho correto para a investigação, o conhecimento e a demonstração científicas. O método científico que ele preconizava assentava nos seguintes fases: 1. Observação de fenômenos particulares; 2. Intuição dos princípios gerais (universais) a que os mesmos obedeciam; 3. Dedução a partir deles das causas dos fenômenos particulares. Por este e outros motivos Aristóteles é considerado o pai da Lógica Formal. A lógica matemática (ou lógica formal) estuda a lógica segundo a sua estrutura ou forma. A lógica matemática consiste em um sistema dedutivo de enunciados que tem como objetivo criar um grupo de leis e regras para determinar a validade dos raciocínios. Assim, um raciocínio é considerado válido se é possível alcançar uma conclusão verdadeira a partir de premissas verdadeiras. Em sentido mais amplo podemos dizer que a Lógica está relacionado a maneira específica de raciocinar de forma acertada, isto é, a capacidade do indivíduo de resolver problemas complexos que envolvem questões matemáticas, os sequências de números, palavras, entre outros e de desenvolver essa capacidade de chegar a validade do seu raciocínio. O estudo das estruturas lógicas, consiste em aprendemos a associar determinada preposição ao conectivo correspondente. Mas é necessário aprendermos alguns conceitos importantes para o aprendizado. Conceito de proposição Chama-se proposição a todo conjunto de palavras ou símbolos que expressam um pensamento ou uma ideia de sentido completo. Assim, as proposições transmitem pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados conceitos ou entes. Esses fatos ou juízos afirmados pela . 7 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  proposição em questão deverão sempre ter um valor verdadeiro (V) ou um valor falso (F), senão a frase em si não constituirá uma proposição lógica, e sim apenas uma frase. Vejamos alguns exemplos de proposições: A) Júpiter é o maior planeta do sistema Solar. B) Salvador é a capital do Brasil. C) Todos os músicos são românticos. Observe que a todas as frases podemos atribuir um valor lógico (V ou F). A Lógica matemática adota como regra fundamental dois princípios (ou axiomas): I – PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO: uma proposição não pode ser verdadeira E falsa ao mesmo tempo. II – PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO: toda proposição OU é verdadeira OU é falsa, verificamos sempre um desses casos, NUNCA existindo um terceiro caso. Valores lógicos das proposições Chamamos de valor lógico de uma proposição a verdade, se a proposição é verdadeira (V), e a falsidade, se a proposição é falsa (F). Designamos as letras V e F para abreviarmos os valores lógicos verdade e falsidade respectivamente. Com base nas duas regras fundamentais que norteiam a Lógica Matemática (Princípios da não Contradição e do Terceiro Excluído), podemos afirmar que: “Toda proposição tem um, e somente um, dos valores, que são: V ou F.” Consideremos as seguintes proposições e os seus respectivos valores lógicos: a) A velocidade de um corpo é inversamente proporcional ao seu tempo. (V) b) A densidade da madeira é maior que a da água. (F) A maioria das proposições são proposições contingenciais, ou seja, dependem do contexto para sua análise. Assim, por exemplo, se considerarmos a proposição simples: “Existe vida após a morte”, ela poderá ser verdadeira (do ponto de vista da religião espírita) ou falsa (do ponto de vista da religião católica); mesmo assim, em ambos os casos, seu valor lógico é único — ou verdadeiro ou falso. Classificação de uma proposição Uma proposição pode ser classificada como: 1) Sentença aberta: quando não se pode atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso para ela (ou valorar a proposição!), portanto, não é considerada frase lógica. São consideradas sentenças abertas: a) Frases interrogativas: Quando será prova? - Estudou ontem? – Fez Sol ontem? b) Frases exclamativas: Gol! – Que maravilhoso! c) Frase imperativas: Estude e leia com atenção. – Desligue a televisão. d) Frases sem sentido lógico (expressões vagas, paradoxais, ambíguas, ...): “esta frase é verdadeira” (expressão paradoxal) – O cavalo do meu vizinho morreu (expressão ambígua) – 2 + 3 + 7 2) Sentença fechada: quando a proposição admitir um único valor lógico, seja ele verdadeiro ou falso, nesse caso, será considerada uma frase, proposição ou sentença lógica. . 8 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Uma forma de identificarmos se uma frase simples é ou não considerada frase lógica, ou sentença, ou ainda proposição, é pela presença de: - sujeito simples: "Carlos é médico"; - sujeito composto: "Rui e Nathan são irmãos"; - sujeito inexistente: "Choveu" - verbo, que representa a ação praticada por esse sujeito, e estar sujeita à apreciação de julgamento de ser verdadeira (V) ou falsa (F), caso contrário, não será considerada proposição. Atenção: orações que não tem sujeito NÃO são consideradas proposições lógicas. Observe mais alguns exemplos: Frase Sujeito Verbo Conclusão Maria é baiana Maria (simples) É (ser) É uma frase lógica Lia e Maria têm dois Lia e Maria (composto) Têm (ter) É uma frase lógica irmãos Ventou hoje Inexistente Ventou (ventar) É uma frase lógica Um lindo livro de Um lindo livro Frase sem verbo NÂO é uma frase lógica literatura Manobrar esse carro Frase sem sujeito Manobrar NÂO é uma frase lógica Existe vida em Marte Vida Existir É uma frase lógica Sentenças representadas por variáveis a) x + 4 > 5; b) Se x > 1, então x + 5 < 7; c) x = 3 se, e somente se, x + y = 15. Classificação das proposições As proposições podem ser classificadas em quatro tipos diferentes: 1. Proposições simples (ou atômicas). 2. Proposições compostas (ou moleculares). 3. Proposições categóricas. 4. Proposições quantificadas (ou funcionais). Observação: Os termos “atômicos” e “moleculares” referem-se à quantidade de verbos presentes na frase. Consideremos uma frase com apenas um verbo, então ela será dita atômica, pois se refere a apenas um único átomo (1 verbo = 1 átomo); consideremos, agora, uma frase com mais de um verbo, então ela será dita molecular, pois se refere a mais de um átomo (mais de um átomo = uma molécula). Conceito de Tabela Verdade É uma forma usual de representação das regras da Álgebra Booleana. Nela, é representada cada proposição (simples ou composta) e todos os seus valores lógicos possíveis. Partimos do Princípio do Terceiro Excluído, toda proposição simples é verdadeira ou falsa , tendo os valores lógicos V (verdade) ou F (falsidade). Quando trabalhamos com as proposições compostas, determinamos o seu valor lógico partindo das proposições simples que a compõe. . 9 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  O valor lógico de qualquer proposição composta depende UNICAMENTE dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles UNIVOCAMENTE determinados. Questão 01. (Cespe/UNB) Na lista de frases apresentadas a seguir: • “A frase dentro destas aspas é uma mentira.” • A expressão x + y é positiva. • O valor de √4 + 3 = 7. • Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. • O que é isto? Há exatamente: (A) uma proposição; (B) duas proposições; (C) três proposições; (D) quatro proposições; (E) todas são proposições. Resposta 01. Resposta: B. Analisemos cada alternativa: (A) “A frase dentro destas aspas é uma mentira”, não podemos atribuir valores lógicos a ela, logo não é uma sentença lógica. (B) A expressão x + y é positiva, não temos como atribuir valores lógicos, logo não é sentença lógica. (C) O valor de √4 + 3 = 7; é uma sentença lógica pois podemos atribuir valores lógicos, independente do resultado que tenhamos (D) Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira, também podemos atribuir valores lógicos (não estamos considerando a quantidade certa de gols, apenas se podemos atribuir um valor de V ou F a sentença). (E) O que é isto? - como vemos não podemos atribuir valores lógicos por se tratar de uma frase interrogativa. ESTUDO DAS PROPOSIÇÕES E DOS CONECTIVOS Definições - Proposições simples (ou atômicas): aquela que NÃO contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. As proposições simples são designadas pelas letras latinas minúsculas p,q,r, s..., chamadas letras proposicionais. Exemplos r: Carlos é careca. s: Pedro é estudante. a: O céu é verde. - Proposições compostas (ou moleculares): aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições simples. Elas também são chamadas de estruturas lógicas. As proposições compostas são designadas pelas letras latinas maiúsculas P,Q,R, R..., também chamadas letras proposicionais. Exemplos P: Carlos é careca e Pedro é estudante. Q: Carlos é careca ou Pedro é estudante. R: Se Carlos é careca, então é triste. Observamos que todas as proposições compostas são formadas por duas proposições simples. . 10 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  No campo gramatical conseguimos identificar uma porposição simples ou composta pela quantidade de verbos existentes na frase. Então uma frase que contenha um verbo é uma proposição simples, que contenha mais de um verbo é uma proposição composta. Este conceito não foge ao aplicado aos do princípios lógicos. Operadores Lógicos Temos dois tipos - os modificadores: têm por finalidade modificar (alterar) o valor lógico de uma proposição, seja ela qual for. Exemplo: Não vou trabalhar neste sábado. (o não modificou o valor lógico). - os conectivos (concectores lógicos): palavras usadas para formar novas proposições a partir de outras, ou seja, unindo-se ou conectando-se duas ou mais proposições simples. Exemplos: 1) O número 2 é par E o número 16 é um quadrado perfeito. (conectivo “e”) 2) OU Carlos viaja OU Pedro trabalha. (conectivo “ou”) 3) SE o Brasil jogar com seriedade, ENTÂO Portugual não será campeã.(concectivo “ se ... então”) 4) Luciana casa SE, E SOMENTE SE, Pedro arranjar um emprego (conectivo “se, e somente se..”) Em Lógica são considerados operadores lógicos as seguintes palavras: Também podemos representar a negação utilizando o símbolo “ ¬” (cantoneira). Estudo dos Operadores e Operações Lógicas Quando efetuamos certas operações sobre proposições chamadas operações lógicas, efetuamos cálculos proposicionais, semelhantes a aritmética sobre números, de forma a determinarmos os valores das proposições. 1) Negação ( ~ ): chamamos de negação de uma proposição representada por “não p” cujo valor lógico é verdade (V) quando p é falsa e falsidade (F) quando p é verdadeira. Assim “não p” tem valor lógico oposto daquele de p. Pela tabela verdade temos: Simbolicamente temos: ~V = F ; ~F = V V(~p) = ~V(p) Exemplos Proposição (afirmações): p Negação: ~p Carlos é médico Carlos NÂO é médico Juliana é carioca Juliana NÂO é carioca Nicolas está de férias Nicolas NÂO está de férias Norberto foi trabalhar NÃO É VERDADE QUE Norberto foi trabalhar . 11 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  A primeira parte da tabela todas as afirmações são verdadeiras, logo ao negarmos temos passam a ter como valor lógico a falsidade. - Dupla negação (Teoria da Involução): vamos considerar as seguintes proposições primitivas, p:” Netuno é o planeta mais distante do Sol”; sendo seu valor verdadeiro ao negarmos “p”, vamos obter a seguinte proposição ~p: “Netuno NÂO é o planeta mais distante do Sol” e negando novamente a proposição “~p” teremos ~(~p): “NÃO É VERDADE que Netuno NÃO é o planta mais distante do Sol”, sendo seu valor lógico verdadeiro (V). Logo a dupla negação equivale a termos de valores lógicos a sua proposição primitiva. p ≡ ~(~p) Observação: O termo “equivalente” está associado aos “valores lógicos” de duas fórmulas lógicas, sendo iguais pela natureza de seus valores lógicos. Exemplo: 1. Saturno é um planeta do sistema solar. 2. Sete é um número real maior que cinco. Sabendo-se da realidade dos valores lógicos das proposições “Saturno é um planeta do sistema solar” e “Sete é um número rela maior que cinco”, que são ambos verdadeiros (V), conclui-se que essas proposições são equivalentes, em termos de valores lógicos, entre si. 2) Conjunção – produto lógico (^): chama-se de conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por “p e q”, cujo valor lógico é verdade (V) quando as proposições, p e q, são ambas verdadeiras e falsidade (F) nos demais casos. Simbolicamente temos: “p ^ q” (lê-se: “p E q”). Pela tabela verdade temos: Exemplos (a) p: A neve é branca. (V) q: 3 < 5. (V) V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = V ^ V = V (b) p: A neve é azul. (F) q: 6 < 5. (F) V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = F ^ F = F (c) p: Pelé é jogador de futebol. (V) q: A seleção brasileira é octacampeã. (F) V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = V ^ F = F (d) p: A neve é azul. (F) q: 7 é número impar. (V) V(p ^ q ) = V(p) ^ V(q) = F ^ V = F . 12 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  - O valor lógico de uma proposição simples “p” é indicado por V(p). Assim, exprime-se que “p” é verdadeira (V), escrevendo: V(p) = V - Analogamente, exprime-se que “p” é falsa (F), escrevendo: V(p) = F - As proposições compostas, representadas, por exemplo, pelas letras maiúsculas “P”, “Q”, “R”, “S” e “T”, terão seus respectivos valores lógicos representados por: V(P), V(Q), V(R), V(S) e V(T). 3) Disjunção inclusiva – soma lógica – disjunção simples (v): chama-se de disjunção inclusiva de duas proposições p e q a proposição representada por “p ou q”, cujo valor lógico é verdade (V) quando pelo menos umas proposições, p e q, é verdadeira e falsidade (F) quando ambas são falsas. Simbolicamente: “p v q” (lê-se: “p OU q”). Pela tabela verdade temos: Exemplos (a) p: A neve é branca. (V) q: 3 < 5. (V) V(p v q) = V(p) v V(q) = V v V = V (b) p: A neve é azul. (F) q: 6 < 5. (F) V(p v q) = V(p) v V(q) = F v F = F (c) p: Pelé é jogador de futebol. (V) q: A seleção brasileira é octacampeã. (F) V(p v q) = V(p) v V(q) = V v F = V (d) p: A neve é azul. (F) q: 7 é número impar. (V) V(p v q) = V(p) v V(q) = F v V = V 4) Disjução exclusiva ( v ): chama-se dijunção exclusica de duas proposições p e q, cujo valor lógico é verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são ambas veradeiras e a falsidade (F) quando p e q são ambas veradeiras ou ambas falsas. Simbolicamente: “p v q” (lê-se; “OU p OU q”; “OU p OU q, MAS NÃO AMBOS”). Pela tabela verdade temos: . 13 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Para entender melhor vamos analisar o exemplo. p: Nathan é médico ou professor. (ambas podem ser verdeiras, ele pode ser as duas coisas ao mesmo tempo, uma condição não exclui a outra – disjunção inclusiva). Podemos escrever: Nathan é médico ^ Nathan é professor q: Mario é carioca ou paulista (aqui temos que se Mario é carioca implica que ele não pode ser paulista, as duas coisas não podem acontecer ao mesmo tempo – disjunção exlcusiva). Reescrevendo: Mario é carioca v Mario é paulista. Exemplos a) Plínio pula ou Lucas corre, mas não ambos. b) Ou Plínio pula ou Lucas corre. 5) Implicação lógica ou condicional (→): chama-se proposição condicional ou apenas condicional representada por “se p então q”, cujo valor lógico é falsidade (F) no caso em que p é verdade e q é falsa e a verdade (V) nos demais casos. Simbolicamente: “p → q” (lê-se: p é condição suficiente para q; q é condição necessária para p). p é o antecendente e q o consequente e “→” é chamado de símbolo de implicação. Pela tabela verdade temos: Exemplos (a) p: A neve é branca. (V) q: 3 < 5. (V) V(p → q) = V(p) → V(q) = V → V = V (b) p: A neve é azul. (F) q: 6 < 5. (F) V(p → q) = V(p) → V(q) = F → F = V (c) p: Pelé é jogador de futebol. (V) q: A seleção brasileira é octacampeã. (F) V(p → q) = V(p) → V(q) = V → F = F (d) p: A neve é azul. (F) q: 7 é número impar. (V) V(p → q) = V(p) → V(q) = F → V = V 6) Dupla implicação ou bicondicional (↔):chama-se proposição bicondicional ou apenas bicondicional representada por “p se e soemnete se q”, cujo valor lógico é verdade (V) quando p e q são ambas verdadeiras ou falsas e a falsidade (F) nos demais casos. Simbolicamente: “p ↔ q” (lê-se: p é condição necessária e suficiente para q; q é condição ncessária e suficiente para p). Pela tabela verdade temos: . 14 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Exemplos (a) p: A neve é branca. (V) q: 3 < 5. (V) V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = V ↔ V = V (b) p: A neve é azul. (F) q: 6 < 5. (F) V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = F ↔ F = V (c) p: Pelé é jogador de futebol. (V) q: A seleção brasileira é octacampeã. (F) V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = V ↔ F = F (d) p: A neve é azul. (F) q: 7 é número impar. (V) V(p ↔ q) = V(p) ↔ V(q) = F ↔ V = F Transformação da linguaguem corrente para a simbólica Este é um dos tópicos mais vistos em diversas provas e por isso vamos aqui detalhar de forma a sermos capazes de resolver questões deste tipo. Sejam as seguintes proposições simples denotadas por “p”, “q” e “r” representadas por: p: Luciana estuda. q: João bebe. r: Carlos dança. Sejam, agora, as seguintes proposições compostas denotadas por: “P ”, “Q ”, “R ”, “S ”, “T ”, “U ”, “V ” e “X ” representadas por: P: Se Luciana estuda e João bebe, então Carlos não dança. Q: É falso que João bebe ou Carlos dança, mas Luciana não estuda. R: Ou Luciana estuda ou Carlos dança se, e somente se, João não bebe. O primeiro passo é destacarmos os operadores lógicos (modificadores e conectivos) e as proposições. Depois reescrevermos de forma simbólica, vajamos: Juntando as informações temos que, P: (p ^ q) → ~r Continuando: Q: É falso que João bebe ou Carlos dança, mas Luciana estuda. . 15 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Simbolicamente temos: Q: ~ (q v r ^ ~p). R: Ou Luciana estuda ou Carlos dança se, e somente se, João não bebe. (p v r) ↔ ~q Observação: os termos “É falso que”, “Não é verdade que”, “É mentira que” e “É uma falácia que”, quando iniciam as frases negam, por completo, as frases subsequentes. - O uso de parêntesis A necessidade de usar parêntesis na simbolização das proposições se deve a evitar qualquer tipo de ambiguidade, assim na proposição, por exemplo, p ^ q v r, nos dá a seguinte proposições: (I) (p ^ q) v r Conectivo principal é da disjunção. (II) p ^ (q v r) Conectivo principal é da conjunção. As quais apresentam significados diferentes, pois os conectivos principais de cada proposição composta dá valores lógicos diferentes como conclusão. Agora observe a expressão: p ^ q → r v s, dá lugar, colocando parêntesis as seguintes proposições: a) ((p ^ q) → r) v s b) p ^ ((q → r) v s) c) (p ^ (q → r)) v s d) p ^ (q → (r v s)) e) (p ^ q) → (r v s) Aqui duas quaisquer delas não tem o mesmo significado. Porém existem muitos casos que os parêntesis são suprimidos, a fim de simplificar as proposições simbolizadas, desde que, naturalmente, ambiguidade alguma venha a aparecer. Para isso a supressão do uso de parêntesis se faz mediante a algumas convenções, das quais duas são particularmente importantes: 1ª) A “ordem de precedência” para os conectivos é: (I) ~ (negação) (II) ^, v (conjunção ou disjunção têm a mesma precedência, operando-se o que ocorrer primeiro, da esquerda para direita). (III) → (condicional) (IV) ↔ (bicondicional) Portanto o mais “fraco” é “~” e o mais “forte” é “↔”. Exemplo p → q ↔ s ^ r , é uma bicondicional e nunca uma condicional ou uma conjunção. Para convertê-la numa condicional há que se usar parêntesis: p →( q ↔ s ^ r ) E para convertê-la em uma conjunção: (p → q ↔ s) ^ r 2ª) Quando um mesmo conectivo aparece sucessivamente repetido, suprimem-se os parêntesis, fazendo-se a associação a partir da esquerda. Segundo estas duas convenções, as duas seguintes proposições se escrevem: Proposição Nova forma de escrever a proposição ((~(~(p ^ q))) v (~p)) ~~ (p ^ q) v ~p ((~p) → (q → (~(p v r)))) ~p→ (q → ~(p v r)) - Outros símbolos para os conectivos (operadores lógicos): “¬” (cantoneira) para negação (~). “●” e “&” para conjunção (^). “‫( ”ﬤ‬ferradura) para a condicional (→). . 16 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Em síntese temos a tabela verdade das proposições que facilitará na resolução de diversas questões (Fonte: http://www laifi.com.) ESTUDO DA TABELA VERDADE Sabemos que tabela verdade é toda tabela que atribui, previamente, os possíveis valores lógicos que as proposições simples podem assumir, como sendo verdadeiras (V) ou falsas (F), e, por consequência, permite definir a solução de uma determinada fórmula (proposição composta). De acordo com o Princípio do Terceiro Excluído, toda proposição simples “p” é verdadeira ou falsa, ou seja, possui o valor lógico V (verdade) ou o valor lógico F (falsidade). Em se tratando de uma proposição composta, a determinação de seu valor lógico, conhecidos os valores lógicos das proposições simples componentes, se faz com base no seguinte princípio, vamos relembrar: O valor lógico de qualquer proposição composta depende UNICAMENTE dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles UNIVOCAMENTE determinados. Para determinarmos esses valores recorremos a um dispositivo prático que é o objeto do nosso estudo: A tabela verdade. Em que figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta (sua solução) correspondente a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes. Número de linhas de uma Tabela Verdade O número de linhas de uma proposição composta depende do número de proposições simples que a integram, sendo dado pelo seguinte teorema: “A tabela verdade de uma proposição composta com n* proposições simpleste componentes contém 2n linhas.” (* Algumas bibliografias utilizam o “p” no lugar do “n”) Os valores lógicos “V” e “F” se alteram de dois em dois para a primeira proposição “p” e de um em um para a segunda proposição “q”, em suas respectivas colunas, e, além disso, VV, VF, FV e FF, em cada linha, são todos os arranjos binários com repetição dos dois elementos “V” e “F”, segundo ensina a Análise Combinatória. Construção da tabela verdade de uma proposição composta Para sua construção começamos contando o número de proposições simples que a integram. Se há n proposições simples componentes, então temos 2n linhas. Feito isso, atribuimos a 1ª proposição simples “p1” 2n / 2 = 2n -1 valores V , seguidos de 2n – 1 valores F, e assim por diante. Exemplos: 1) Se tivermos 2 proposições temos que 2n =22 = 4 linhas e 2n – 1 = 22 - 1 = 2, temos para a 1ª proposição 2 valores V e 2 valores F se alternam de 2 em 2 , para a 2ª proposição temos que os valores se alternam de 1 em 1 (ou seja metade dos valores da 1ª proposição). Observe a ilustração, a primeira parte dela corresponde a árvore de possibilidades e a segunda a tabela propriamente dita. . 17 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (Fonte: http://www.colegioweb.com.br/nocoes-de-logica/tabela-verdade.html) 2) Neste caso temos 3 proposições simples, fazendo os cálculos temos: 2n =23 = 8 linhas e 2n – 1 = 23 -1 = 4, temos para a 1ª proposição 4 valores V e 4 valores F se alternam de 4 em 4 , para a 2ª proposição temos que os valores se alternam de 2 em 2 (metade da 1ª proposição) e para a 3ª proposição temos valores que se alternam de 1 em 1(metade da 2ª proposição). (Fonte: http://www.colegioweb.com.br/nocoes-de-logica/tabela-verdade.html) Exemplo Vamos construir a tabela verdade da proposição: P(p,q) = ~ (p ^ ~q) 1º Resolução) Vamos formar os par de colunas correspondentes as duas proposições simples p e q. Em seguida a coluna para ~q , depois a coluna para p ^ ~q e a útima contento toda a proposição ~ (p ^ ~q), atribuindo todos os valores lógicos possíveis de acordo com os operadores lógicos. p q ~q p ^~q ~ (p ^ ~q) V V F F V V F V V F F V F F V F F V F V 2º Resolução) Vamos montar primeiro as colunas correspondentes a proposições simples p e q , depois traçar colunas para cada uma dessas proposições e para cada um dos conectivos que compõem a proposição composta. p q ~ (p ^ ~ q) V V V F F V F F Depois completamos, em uma determinada ordem as colunas escrevendo em cada uma delas os valores lógicos. . 18 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  p q ~ (p ^ ~ q) p q ~ (p ^ ~ q) p q ~ (p ^ ~ q) V V V V V V V F V V V V F F V V F V F V F V V F V F V V V F F V F V F V F F V F V F F F V F F F F F F F V F F F F F V F 1 1 1 2 1 1 3 2 1 p q ~ (p ^ ~ q) V V V V F F V V F F V V V F F V V F F F V F F V F F V F 4 1 3 2 1 Observe que vamos preenchendo a tabela com os valores lógicos (V e F), depois resolvemos os operadores lógicos (modificadores e conectivos) e obtemos em 4 os valores lógicos da proposição que correspondem a todas possíveis atribuições de p e q de modo que: P(V V) = V, P(V F) = F, P(F V) = V, P(F F) = V A proposição P(p,q) associa a cada um dos elementos do conjunto U – {VV, VF, FV, FF} com um ÚNICO elemento do conjunto {V,F}, isto é, P(p,q) outra coisa não é que uma função de U em {V,F} P(p,q): U → {V,F} , cuja representação gráfica por um diagrama sagital é a seguinte: 3ª Resolução) Resulta em suprimir a tabela verdade anterior as duas primeiras da esquerda relativas às proposições simples componentes p e q. Obtermos então a seguinte tabela verdade simplificada: ~ (p ^ ~ q) V V F F V F V V V F V F F F V V F F V F 4 1 3 2 1 Vejamos mais alguns exemplos: (FCC) Com relação à proposição: “Se ando e bebo, então caio, mas não durmo ou não bebo”. O número de linhas da tabela-verdade da proposição composta anterior é igual a: (A) 2; (B) 4; (C) 8; (D) 16; (E) 32. Vamos contar o número de verbos para termos a quantidade de proposições simples e distintas contidas na proposição composta. Temos os verbos “andar’, “beber”, “cair” e “dormir”. Aplicando a fórmula do número de linhas temos: Número de linhas = 2n = 24 = 16 linhas. Resposta D. . 19 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (Cespe/UnB) Se “A”, “B”, “C” e “D” forem proposições simples e distintas, então o número de linhas da tabela-verdade da proposição (A → B) ↔ (C → D) será igual a: (A) 2; (B) 4; (C) 8; (D) 16; (E) 32. Veja que podemos aplicar a mesma linha do raciocínio acima, então teremos: Número de linhas = 2n = 24 = 16 linhas. Resposta D. Conceitos de Tautologia , Contradição e Contigência Tautologia: possui todos os valores lógicos, da tabela verdade (última coluna), V (verdades). Contradição: possui todos os valores lógicos, da tabela verdade (última coluna), F (falsidades). Contigência: possui valores lógicos V e F ,da tabela verdade (última coluna). Questão 01. (MEC – Conhecimentos básicos para os Postos 9,10,11 e 16 – CESPE/2015) A figura acima apresenta as colunas iniciais de uma tabela-verdade, em que P, Q e R representam proposições lógicas, e V e F correspondem, respectivamente, aos valores lógicos verdadeiro e falso. Com base nessas informações e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue o item subsecutivo. A última coluna da tabela-verdade referente à proposição lógica P v (Q↔R) quando representada na posição horizontal é igual a ( ) Certo ( ) Errado Resposta 01. Resposta: Certo. P v (Q↔R), montando a tabela verdade temos: . 20 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  R Q P [P v (Q ↔ R) ] V V V V V V V V V V F F V V V V V F V V V F F V V F F F F F F V F V V V V V F F F V F F F V F F F F V V V F V F F F F F V F V F IMPLICAÇÃO LÓGICA Uma proposição P(p,q,r,...) implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q(p,q,r,...) se Q(p,q,r,...) é verdadeira (V) todas as vezes que P(p,q,r,...) é verdadeira (V), ou seja, a proposição P implica a proposição Q, quando a condicional P → Q for uma tautologia. Representamos a implicação com o símbolo “⇒”, simbolicamente temos: P(p,q,r,...) ⇒ Q(p,q,r,...). A não ocorrência de VF na tabela verdade de P → Q, ou ainda que o valor lógico da condicional P → Q será sempre V, ou então que P → Q é uma tautologia. Observação: Os símbolos “→” e “⇒” são completamente distintos. O primeiro (“→”) representa a condicional, que é um conectivo. O segundo (“⇒”) representa a relação de implicação lógica que pode ou não existir entre duas proposições. Exemplo: A tabela verdade da condicional (p ^ q) → (p ↔ q) será: p q p ^q p↔q (p ^ q) → (p ↔ q) V V V V V V F F F V F V F F V F F F V V Portanto, (p ^ q) → (p ↔ q) é uma tautologia, por isso (p ^ q) ⇒ (p ↔q). Em particular: - Toda proposição implica uma Tautologia: p ⇒ p v ~p p p v ~p V V F V - Somente uma contradição implica uma contradição: p ^ ~p ⇒ p v ~p → p ^ ~p p ~p p ^ ~p p v ~p → p ^ ~p V F F F F V F F Propriedades da Implicação Lógica A implicação lógica goza das propriedades reflexiva e transitiva: Reflexiva: P(p,q,r,...) ⇒ P(p,q,r,...) . 21 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Uma proposição complexa implica ela mesma Transitiva: Se P(p,q,r,...) ⇒ Q(p,q,r,...) e Q(p,q,r,...) ⇒ R(p,q,r,...), então P(p,q,r,...) ⇒ R(p,q,r,...) Se P ⇒ Q e Q ⇒ R, então P ⇒ R Exemplificação e Regras de Inferência Inferência é o ato de derivar conclusões lógicas de proposições conhecidas ou decididamente verdadeiras. Em outras palavras: é a obtenção de novas proposições a partir de proposições verdadeiras já existentes. Vejamos as regras de inferência obtidas da implicação lógica: 1 – A tabela verdade das proposições p ^ q, p v q , p ↔ q é: A proposição “p ^ q” é verdadeira (V) somente na 1ª linha, e também nesta linha as proposições “p v q” e “p → q” também são. Logo a primeira proposição IMPLICA cada uma das outras duas proposições. Então: p^q⇒pvq p^q⇒p→q A tabela acima também demonstram as importantes Regras de Inferência: Adição – p ⇒ p v q e q ⇒ p v q Simplificação – p ^ q ⇒ p e p ^ q ⇒ q 2 – A tabela verdade das proposições p ↔ q, p → q e q → p, é: L p q p↔q p→q q→p 1ª V V V V V 2ª V F F F V 3ª F V F V F 4ª F F V V V A proposição “p ↔ q” é verdadeira (V) na 1ª e 4ª linha e as proposições “p → q” e “q → p” também são verdadeiras. Logo a primeira proposição IMPLICA cada uma das outras duas proposições. Então: p↔q⇒p→q e p↔q ⇒q → p 3 - Dada a proposição: (p v q) ^ ~p sua tabela verdade é: p q p v q ~p (p v q) ^ ~p V V V F F V F V F F F V V V V F F F V F Esta proposição é verdadeira somente na 3ª linha e nesta linha a proposição “q” também verdadeira, logo subsiste a IMPLICAÇÃO LÓGICA, denominada Regra do Silogismo disjuntivo. (p v q) ^ ~p ⇒ q É válido também: (p v q) ^ ~q ⇒ p . 22 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  4 – A tabela verdade da proposição (p → q) ^ p é: A proposição é verdadeira somente na 1ª linha, e nesta linha a proposição “q” também é verdadeira, logo subsiste a IMPLICAÇÃO LÓGICA, também denominada Regra de Modus ponens. (p → q) ^ p ⇒ q 5 – A tabela verdade das proposições (p → q) ^ ~q e ~p é: A proposição (p → q) ^ ~q é verdadeira somente na 4º linha e nesta a proposição “~p” também é verdadeira, logo subsiste a IMPLICAÇÃO LÓGICA, denominada de Regra Modus tollens. (p → q) ^ ~q ⇒ ~p Observe que “~p” implica “p → q”, isto é: ~p ⇒ p → q Recapitulando as Regras de Inferência aplicadas a Implicação Lógica: Adição p⇒pvq q⇒pvq Simplificação p^q⇒p p^q⇒q Silogismo disjuntivo (p v q) ^ ~p ⇒ q (p v q) ^ ~q ⇒ p Modus ponens (p → q) ^ p ⇒ q Modus tollens (p → q) ^ ~q ⇒ ~p Questão 01. (TJ/PI – Analista Judiciário – Escrivão Judicial – FGV/2015) Renato falou a verdade quando disse: • Corro ou faço ginástica. • Acordo cedo ou não corro. • Como pouco ou não faço ginástica. Certo dia, Renato comeu muito. É correto concluir que, nesse dia, Renato: (A) correu e fez ginástica; (B) não fez ginástica e não correu; (C) correu e não acordou cedo; (D) acordou cedo e correu; (E) não fez ginástica e não acordou cedo. . 23 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Resposta 01. Resposta: D. Na disjunção, para evitarmos que elas fiquem falsas, basta por uma das proposições simples como verdadeira, logo: "Renato comeu muito" Como pouco ou não faço ginástica F V Corro ou faço ginástica V F Acordo cedo ou não corro V F Portanto ele: Comeu muito Não fez ginástica Corrreu, e; Acordou cedo EQUIVALÊNCIAS LÓGICAS Diz-se que duas ou mais proposições compostas são equivalentes, quando mesmo possuindo estruturas lógicas diferentes, apresentam a mesma solução em suas respectivas tabelas verdade. Se as proposições P(p,q,r,...) e Q(p,q,r,...) são ambas TAUTOLOGIAS, ou então, são CONTRADIÇÕES, então são EQUIVALENTES. Exemplo: Dada as proposições “~p → q” e “p v q” verificar se elas são equivalentes. Vamos montar a tabela verdade para sabermos se elas são equivalentes. p q ~p → q p v q V V F V V V V V V F F V F V V F F V V V V F V V F F V F F F F F Observamos que as proposições compostas “~p → q” e “p ∨ q” são equivalentes. ~p → q ≡ p ∨ q ou ~p → q ⇔ p ∨ q, onde “≡” e “⇔” são os símbolos que representam a equivalência entre proposições. Equivalência fundamentais (Propriedades Fundamentais): a equivalência lógica entre as proposições goza das propriedades simétrica, reflexiva e transitiva. 1 – Simetria (equivalência por simetria) a) p ^ q ⇔ q ^ p p q p ^ q q ^ p V V V V V V V V V F V F F F F V F V F F V V F F F F F F F F F F b) p v q ⇔ q v p p q p v q q v p V V V V V V V V V F V V F F V V F V F V V V V F F F F F F F F F . 24 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  c) p ∨ q ⇔ q ∨ p p q p v q q v p V V V F V V F V V F V V F F V V F V F V V V V F F F F F F F F F d) p ↔ q ⇔ q ↔ p p q p ↔ q q ↔ p V V V V V V V V V F V F F F F V F V F F V V F F F F F V F F V F 2 - Reflexiva (equivalência por reflexão) p→ p⇔p→ p p p p → p p → p V V V V V V V V F F F V F F V F 3 – Transitiva Se P(p,q,r,...) ⇔ Q(p,q,r,...) E Q(p,q,r,...) ⇔ R(p,q,r,...) ENTÃO P(p,q,r,...) ⇔ R(p,q,r,...) . Equivalências notáveis: 1 - Distribuição (equivalência pela distributiva) a) p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p q r p ^ (q v r) (p ^ q) v (p ^ r) V V V V V V V V V V V V V V V V V F V V V V F V V V V V F F V F V V V F V V V F F V V V V V F F V F F F F V F F F V F F F V V F F V V V F F V F F F V F V F F F V V F F F V F F F F F F V F F F V V F F F F F F V F F F F F F F F F F F F F F F b) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p q r p v (q ^ r) (p v q) ^ (p v r) V V V V V V V V V V V V V V V V V F V V V F F V V V V V V F V F V V V F F V V V F V V V V V F F V V F F F V V F V V V F F V V F V V V V F V V V F V V F V F F F V F F F V V F F F F F F V F F F F V F F F F F V V F F F F F F F F F F F F F F F 2 - Associação (equivalência pela associativa) a) p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ (p ∧ r) . 25 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  p q r p ^ (q ^ r) (p ^ q) ^ (p ^ r) V V V V V V V V V V V V V V V V V F V F V F F V V V F V F F V F V V F F F V V F F F V V V V F F V F F F F V F F F V F F F V V F F V V V F F V F F F V F V F F F V F F F F V F F F F F F V F F F F V F F F F F F V F F F F F F F F F F F F F F F b) p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ (p ∨ r) p q r p v (q v r) (p v q) v (p v r) V V V V V V V V V V V V V V V V V F V V V V F V V V V V V F V F V V V F V V V V F V V V V V F F V V F F F V V F V V V F F V V F V V V V F V V V F V V F V F F V V V F F V V V F F F F F V F V F V V F F F V F V V F F F F F F F F F F F F F F F 3 – Idempotência a) p ⇔ (p ∧ p) p p p ^ p V V V V V F F F F F b) p ⇔ (p ∨ p) p p p v p V V V V V F F F F F 4 - Pela contraposição: de uma condicional gera-se outra condicional equivalente à primeira, apenas invertendo-se e negando-se as proposições simples que as compõem. 1º caso – (p → q) ⇔ (~q → ~p) p q p → q ~q → ~p V V V V V F V F V F V F F V F F F V F V V F V V F F F V F V V V Exemplo: p → q: Se André é professor, então é pobre. ~q → ~p: Se André não é pobre, então não é professor. 2º caso: (~p → q) ⇔ (~q → p) p q ~p → q ~q → p V V F V V F V V V F F V F V V V F V V V V F V F F F V F F V F F Exemplo: ~p → q: Se André não é professor, então é pobre. ~q → p: Se André não é pobre, então é professor. . 26 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  3º caso: (p → ~q) ⇔ (q → ~p) p q p → ~q q → ~p V V V F F V F F V F V V V F V F F V F V F V V V F F F V V F V V Exemplo: p → ~q: Se André é professor, então não é pobre. q → ~p: Se André é pobre, então não é professor. 4 º Caso: (p → q) ⇔ ~p v q p q p → q ~p v q V V V V V F V V V F V F F F F F F V F V V V V V F F F V F V V F Exemplo: p → q: Se estudo então passo no concurso. ~p v q: Não estudo ou passo no concurso. 5 - Pela bicondicional a) (p ↔ q) ⇔ (p → q) ∧ (q → p), por definição p q p ↔ q (p → q) ^ (q → p) V V V V V V V V V V V V V F V F F V F F F F V V F V F F V F V V F V F F F F F V F F V F V F V F b) (p ↔ q) ⇔ (~q → ~p) ∧ (~p → ~q), aplicando-se a contrapositiva às partes p q p ↔ q (~q → ~p) ^ (~p → ~q) V V V V V F V F V F V F V F V F F V F F F F V V F V F F V F V V F V F F F F F V F V V V V V V V c) (p ↔ q) ⇔ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q) p q p ↔ q (p ^ q) v (~p ^ ~q) V V V V V V V V V F F F V F V F F V F F F F F V F V F F V F F V F V F F F F F V F F F F V V V V 6 - Pela exportação-importação [(p ∧ q) → r] ⇔ [p → (q → r)] p q r [(p ^ q) → r] [p → (q → r)] V V V V V V V V V V V V V V V F V V V F F V F V F F V F V V F F V V V V F V V V F F V F F V F V V F V F F V V F F V V V F V V V V F V F F F V V F F V V F F F F V F F F V V F V F V V F F F F F F V F F V F V F . 27 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Proposições Associadas a uma Condicional (se, então) Chama-se proposições associadas a p → q as três proposições condicionadas que contêm p e q: – Proposições recíprocas: p → q: q → p – Proposição contrária: p → q: ~p → ~q – Proposição contrapositiva: p → q: ~q → ~p Observe a tabela verdade dessas quatro proposições: Note que: Observamos ainda que a condicional p → q e a sua recíproca q → p ou a sua contrária ~p → ~q NÃO SÃO EQUIVALENTES. Exemplos: p → q: Se T é equilátero, então T é isósceles. (V) q → p: Se T é isósceles, então T é equilátero. (F) Exemplo: Vamos determinar: a) A contrapositiva de p → q b) A contrapositiva da recíproca de p → q c) A contrapositiva da contrária de p → q Resolução: a) A contrapositiva de p → q é ~q → ~p A contrapositiva de ~q → ~p é ~~p → ~~q ⇔ p → q b) A recíproca de p → q é q → p A contrapositiva q → q é ~p → ~q c) A contrária de p → q é ~p → ~q A contrapositiva de ~p → ~q é q → p Equivalência “NENHUM” e “TODO” 1 – NENHUM A é B ⇔ TODO A é não B. Exemplo: Nenhum médico é tenista ⇔ Todo médico é não tenista (= Todo médico não é tenista) 2 – TODO A é B ⇔ NENHUM A é não B. Exemplo: Toda música é bela ⇔ Nenhuma música é não bela (= Nenhuma música é bela) . 28 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Questões 01. (MRE – Oficial de Chancelaria – FGV/2016) Considere a sentença: “Corro e não fico cansado". Uma sentença logicamente equivalente à negação da sentença dada é: (A) Se corro então fico cansado. (B) Se não corro então não fico cansado. (C) Não corro e fico cansado. (D) Corro e fico cansado. (E) Não corro ou não fico cansado. 02. (TCE/RN – Conhecimentos Gerais para o cargo 4 – CESPE/2015) Em campanha de incentivo à regularização da documentação de imóveis, um cartório estampou um cartaz com os seguintes dizeres: “O comprador que não escritura e não registra o imóvel não se torna dono desse imóvel". A partir dessa situação hipotética e considerando que a proposição P: “Se o comprador não escritura o imóvel, então ele não o registra" seja verdadeira, julgue o item seguinte. A proposição P é logicamente equivalente à proposição “O comprador escritura o imóvel, ou não o registra". ( ) Certo ( ) Errado Respostas 01. Resposta: A. A negação de P→Q é P ^ ~ Q A equivalência de P-->Q é ~P v Q ou pode ser: ~Q-->~P 02. Resposta: Certo. Relembrando temos que: Se p então q = Não p ou q. (p → q = ~p v q) NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS – LEIS DE MORGAN As Leis de Morgan ensinam - Negar que duas dadas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras equivale a afirmar que pelo menos uma é falsa - Negar que uma pelo menos de duas proposições é verdadeira equivale a afirmar que ambas são falsas. As Leis de Morgan exprimem que NEGAÇÂO transforma: CONJUNÇÃO em DISJUNÇÃO e DISJUNÇÃO em CONJUNÇÃO Vejamos: – Negação de uma conjunção (Leis de Morgan) Para negar uma conjunção, basta negar as partes e trocar o conectivo CONJUNÇÃO pelo conectivo DISJUNÇÃO. ~ (p ^ q) ⇔ (~p v ~q) p q ~ (p ^ q) ~p v ~q V V F V V V F F F V F V V F F F V V F V V F F V V V F F F V F F F V V V - Negação de uma disjunção (Lei de Morgan) Para negar uma disjunção, basta negar as partes e trocar o conectivo DISJUNÇÃO pelo conectivo- CONJUNÇÃO. . 29 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  ~ (p v q) ⇔ (~p ^ ~q) p q ~ (p v q) ~p ^ ~q V V F V V V F F F V F F V V F F F V F V F F V V V F F F F V F F F V V V Exemplo: Vamos negar a proposição “É inteligente e estuda”, vemos que se trata de uma CONJUNÇÂO, pela Lei de Morgan temos que uma CONJUNÇÃO se transforma em uma DISJUNÇÃO, negando-se as partes, então teremos: “Não é inteligente ou não estuda” Questões 01. (TJ/PI – Analista Judiciário – Escrivão Judicial – FGV/2015) Considere a afirmação: “Mato a cobra e mostro o pau" A negação lógica dessa afirmação é: (A) não mato a cobra ou não mostro o pau; (B) não mato a cobra e não mostro o pau; (C) não mato a cobra e mostro o pau; (D) mato a cobra e não mostro o pau; (E) mato a cobra ou não mostro o pau. 02. (CODEMIG – Advogado Societário – FGV/2015) Em uma empresa, o diretor de um departamento percebeu que Pedro, um dos funcionários, tinha cometido alguns erros em seu trabalho e comentou: “Pedro está cansado ou desatento." A negação lógica dessa afirmação é: (A) Pedro está descansado ou desatento. (B) Pedro está descansado ou atento. (C) Pedro está cansado e desatento. (D) Pedro está descansado e atento. (E) Se Pedro está descansado então está desatento. Respostas 01. Resposta: A 02. Resposta: D. LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO A argumentação é a forma como utilizamos o raciocínio para convencer alguém de alguma coisa. A argumentação faz uso de vários tipos de raciocínio que são baseados em normas sólidas e argumentos aceitáveis. A lógica de argumentação é também conhecida como dedução formal e é a principal ferramenta para o raciocínio válido de um argumento. Ela avalia conclusões que a argumentação pode tomar e avalia quais dessas conclusões são válidas e quais são inválidas (falaciosas). O estudo das formas válidas de inferências de uma linguagem proposicional também faz parte da Teoria da argumentação. Conceitos Premissas (proposições): são afirmações que podem ser verdadeiras ou falsas. Com base nelas que os argumentos são compostos, ou melhor, elas possibilitam que o argumento seja aceito. Inferência: é o processo a partir de uma ou mais premissas se chegar a novas proposições. Quando a inferência é dada como válida, significa que a nova proposição foi aceita, podendo ela ser utilizada em outras inferências. . 30 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Conclusão: é a proposição que contém o resultado final da inferência e que esta alicerçada nas premissas. Para separa as premissas das conclusões utilizam-se expressões como “logo, ...”, “portanto, ...”, “por isso, ...”, entre outras. Sofisma: é um raciocínio falso com aspecto de verdadeiro. Falácia: é um argumento válido, sem fundamento ou tecnicamente falho na capacidade de provar aquilo que enuncia. Silogismo: é um raciocínio composto de três proposições, dispostas de tal maneira que a conclusão é verdadeira e deriva logicamente das duas primeiras premissas, ou seja, a conclusão é a terceira premissa. Argumento: é um conjunto finito de premissas – proposições –, sendo uma delas a consequência das demais. O argumento pode ser dedutivo (aquele que confere validade lógica à conclusão com base nas premissas que o antecedem) ou indutivo (aquele quando as premissas de um argumento se baseiam na conclusão, mas não implicam nela) O argumento é uma fórmula constituída de premissas e conclusões (dois elementos fundamentais da argumentação). Alguns exemplos de argumentos: 1) Todo homem é mortal Premissas João é homem Logo, João é mortal Conclusão 2) Todo brasileiro é mortal Premissas Todo paulista é brasileiro Logo, todo paulista é mortal Conclusão 3) Se eu passar no concurso, então irei viajar Premissas Passei no concurso Logo, irei viajar Conclusão Todas as PREMISSAS tem uma CONCLUSÃO. Os exemplos acima são considerados silogismos. Um argumento de premissas P1, P2, ..., Pn e de conclusão Q, indica-se por: P1, P2, ..., Pn |----- Q Argumentos Válidos Um argumento é VÁLIDO (ou bem construído ou legítimo) quando a conclusão é VERDADEIRA (V), sempre que as premissas forem todas verdadeiras (V). Dizemos, também, que um argumento é válido quando a conclusão é uma consequência obrigatória das verdades de suas premissas.Ou seja: A verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão. . 31 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Um argumento válido é denominado tautologia quando assumir, somente, valorações verdadeiras, independentemente de valorações assumidas por suas estruturas lógicas. Argumentos Inválidos Um argumento é dito INVÁLIDO (ou falácia, ou ilegítimo ou mal construído), quando as verdades das premissas são insuficientes para sustentar a verdade da conclusão. Caso a conclusão seja falsa, decorrente das insuficiências geradas pelas verdades de suas premissas, tem-se como conclusão uma contradição (F). Um argurmento não válido diz-se um SOFISMA. - A verdade e a falsidade são propriedades das proposições. - Já a validade e a invalidade são propriedades inerentes aos argumentos. - Uma proposição pode ser considerada verdadeira ou falsa, mas nunca válida e inválida. - Não é possível ter uma conclusão falsa se as premissas são verdadeiras. - A validade de um argumento depende exclusivamente da relação existente entre as premissas e conclusões. Critérios de Validade de um argumento Pelo teorema temos: Um argumento P1, P2, ..., Pn |---- Q é VÁLIDO se e somente se a condicional: (P1 ^ P2 ^ ...^ Pn) → Q é tautológica. Métodos para testar a validade dos argumentos Estes métodos nos permitem, por dedução (ou inferência), atribuirmos valores lógicos as premissas de um argumento para determinarmos uma conclusão verdadeira. Também podemos utilizar diagramas lógicos caso sejam estruturas categóricas (frases formadas pelas palavras ou quantificadores: todo, algum e nenhum). Os métodos constistem em: 1) Atribuição de valores lógicos: o método consiste na dedução dos valores lógicos das premissas de um argumento, a partir de um “ponto de referência inicial” que, geralmente, será representado pelo valor lógico de uma premissa formada por uma proposição simples. Lembramos que, para que um argumento seja válido, partiremos do pressuposto que todas as premissas que compõem esse argumento são, na totalidade, verdadeiras. Para dedução dos valores lógicos, utilizaremos como auxílio a tabela-verdade dos conectivos. Exemplo Sejam as seguintes premissas: P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. P2: Se o rei fica nervoso, então o príncipe foge a cavalo. P3: Se a rainha fica na masmorra, então o bárbaro usa a espada. P4: Ora, a rainha fica na masmorra. Se todos os argumentos (P1,P2,P3 e P4) forem válidos, então todas premissas que compõem o argumento são necessariamente verdadeiras (V). E portanto pela premissa simples P4: “a rainha fica na masmorra”; por ser uma proposição simples e verdadeira, servirá de “referencial inicial” para a dedução dos valores lógicos das demais proposições que, também, compõem esse argumento. Teremos com isso então: . 32 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. P2: Se o rei fica nervoso, então o príncipe foge a cavalo. P3: Se a rainha fica na masmorra, então o bárbaro usa a espada. P4: Ora, a rainha fica na masmorra. (1º) V Já sabemos que a premissa simples “a rainha fica na masmorra” é verdadeira, portanto, tal valor lógico confirmará como verdade a 1a parte da condicional da premissa P3 (1º passo). P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. P2: Se o rei fica nervoso, então o príncipe foge a cavalo. P3: Se a rainha fica na masmorra, então o bárbaro usa a espada. (2º) V P4: Ora, a rainha fica na masmorra. (1º) V Lembramos que, se a 1ª parte de uma condicional for verdadeira, implicará que a 2ª parte também deverá ser verdadeira (2º passo), já que a verdade implica outra verdade (vide a tabela-verdade da condicional). Assim teremos como valor lógico da premissa uma verdade (V). P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. P2: Se o rei fica nervoso, então o príncipe foge a cavalo. P3: Se a rainha fica na masmorra, então o bárbaro usa a espada. (2º) V (3º) V P4: Ora, a rainha fica na masmorra. (1º) V Confirmando-se a proposição simples “o bárbaro usa a espada” como verdadeira (3º passo), logo, a 1ª parte da disjunção simples da premissa P1, “o bárbaro não usa a espada”, será falsa (4º passo). P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. (4º) F P2: Se o rei fica nervoso, então o príncipe foge a cavalo. P3: Se a rainha fica na masmorra, então o bárbaro usa a espada. (2º) V (3º) V P4: Ora, a rainha fica na masmorra. (1º) V Como a premissa P1 é formada por uma disjunção simples, lembramos que ela será verdadeira, se pelo menos uma de suas partes for verdadeira. Sabendo-se que sua 1ª parte é falsa, logo, a 2ª parte deverá ser, necessariamente, verdadeira (5º passo). P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. (4º) F (5º) V P2: Se o rei fica nervoso, então o príncipe foge a cavalo. P3: Se a rainha fica na masmorra, então o bárbaro usa a espada. (2º) V (3º) V P4: Ora, a rainha fica na masmorra. (1º) V Ao confirmarmos como verdadeira a proposição simples “o príncipe não foge a cavalo”, então, devemos confirmar como falsa a 2a parte da condicional “o príncipe foge a cavalo” da premissa P2 (6o passo). P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. (4º) F (5º) V P2: Se o rei fica nervoso, então o príncipe foge a cavalo. (6º) F P3: Se a rainha fica na masmorra, então o bárbaro usa a espada. (2º) V (3º) V P4: Ora, a rainha fica na masmorra. (1º) V . 33 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  E, por último, ao confirmar a 2a parte de uma condicional como falsa, devemos confirmar, também, sua 1a parte como falsa (7o passo). P1: O bárbaro não usa a espada ou o príncipe não foge a cavalo. (4º) F (5º) V P2: Se o rei fica nervoso, então o príncipe foge a cavalo. (7º) F (6º) F P3: Se a rainha fica na masmorra, então o bárbaro usa a espada. (2º) V (3º) V P4: Ora, a rainha fica na masmorra. (1º) V Através da analise das premissas e atribuindo os seus valores lógicos chegamos as seguintes conclusões: - A rainha fica na masmorra; - O bárbaro usa a espada; - O rei não fica nervoso; - o príncipe não foge a cavalo. Observe que onde as proposições são falsas (F) utilizamos o não para ter o seu correspondente como válido, expressando uma conclusão verdadeira. Caso o argumento não possua uma proposição simples “ponto de referência inicial”, devem-se iniciar as deduções pela conjunção, e, caso não exista tal conjunção, pela disjunção exclusiva ou pela bicondicional, caso existam. 2) Método da Tabela – Verdade: para resolvermos temos que levar em considerações dois casos. 1º caso: quando o argumento é representado por uma fómula argumentativa. Exemplo: A → B ~A = ~B Para resolver vamos montar uma tabela dispondo todas as proposições, as premissas e as conclusões afim de chegarmos a validade do argumento. (Fonte: http://www.marilia.unesp.br) O caso onde as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa esta sinalizada na tabela acima pelo asterisco.Observe também, na linha 4, que as premissas são verdadeiras e a conclusão é verdadeira. Chegamos através dessa análise que o argumento não é valido. 2o caso: quando o argumento é representado por uma sequência lógica de premissas, sendo a última sua conclusão, e é questionada a sua validade. Exemplo: “Se leio, então entendo. Se entendo, então não compreendo. Logo, compreendo.” P1: Se leio, então entendo. P2: Se entendo, então não compreendo. C: Compreendo. . 34 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Se o argumento acima for válido, então, teremos a seguinte estrutura lógica (fórmula) representativa desse argumento: P1 ∧ P2 → C Representando inicialmente as proposições primitivas “leio”, “entendo” e “compreendo”, respectivamente, por “p”, “q” e “r”, teremos a seguinte fórmula argumentativa: P1: p → q P2: q → ~r C: r [(p → q) ∧ (q → ~r)] → r ou 𝑝→𝑞 𝑞 → ~𝑟 𝑟 Montando a tabela verdade temos (vamos montar o passo a passo): p q r [(p → q) ^ (q → ~r)] → r V V V V V V V F V V V F V V V V V F V F V V F F F F V V F F V F F F V F F V V F V V V F V F V F F V V V V F F F V F V F F F V F F F F V F F V F 1º 2º 1º 1º 1º 1º p q r [(p → q) ^ (q → ~r)] → r V V V V V V V F F V V V F V V V V V V F V F V V F F F V F V V F F V F F F V V F F V V F V V V F F V F V F F V V V V V F F F V F V F F V F V F F F F V F F V V F 1º 2º 1º 1º 3º 1º 1º p q r [(p → q) ^ (q → ~r)] → r V V V V V V F V F F V V V F V V V V V V V F V F V V F F F F V F V V F F V F F F F V V F F V V F V V F V F F V F V F F V V V V V V F F F V F V F V F V F V F F F F V F V F V V F 1º 2º 1º 4º 1º 3º 1º 1º p q r [(p → q) ^ (q → ~r)] → r V V V V V V F V F F V V V V F V V V V V V V F F V F V V F F F F V F V V V F F V F F F F V V V F F V V F V V F V F F V V F V F F V V V V V V F F F F V F V F V F V F V V F F F F V F V F V V F F 1º 2º 1º 4º 1º 3º 1º 5º 1º . 35 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Sendo a solução (observado na 5a resolução) uma contingência (possui valores verdadeiros e falsos), logo, esse argumento não é válido. Podemos chamar esse argumento de sofisma embora tenha premissas e conclusões verdadeiras. Implicações tautológicas: a utilização da tabela verdade em alguns casos torna-se muito trabalhoso, principlamente quando o número de proposições simples que compõe o argumento é muito grande, então vamos aqui ver outros métodos que vão ajudar a provar a validade dos argumentos. 3.1 - Método da adição (AD) p ou p → (p ∨ q) p ∨ q 3.2 - Método da adição (SIMP) 1º caso: p ∧q ou (p ∧ q) → p p 2º caso: p ∧q ou (p ∧ q) → q p 3.3 - Método da conjunção (CONJ) 1º caso: p q ou (p ∧ q) → (p ∧ q) p∧q 2º caso: p q ou (p ∧ q) → (q ∧ p) q∧p 3.4 - Método da absorção (ABS) p→q ou (p → q) → [p → p ∧ q)] p → (p ∧ q) 3.5 – Modus Ponens (MP) p→q p ou [(p → q) ∧ p] → q q 3.6 – Modus Tollens (MT) p→q ~q ou [(p → q) ∧ ~q] → p ~p 3.7 – Dilema construtivo (DC) p→q r →s p ∨r ou [(p → q) ∧ (r → s) ∧ (p ∨ r) ] → (q ∨ s) q∨s . 36 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  3.8 – Dilema destrutivo (DD) p→q r →s ~q ∨ ~s ou [(p → q) ∧ (r → s) ∧ (~q ∨ ~s) ] → (~p ∨ ~r) ~p ∨ ~r 3.9 – Silogismo disjuntivo (SD) 1º caso: p ∨q ~p ou [(p ∨ q) ∧ ~p] → q q 2º caso: p ∨q ~q ou [(p ∨ q) ∧ ~q] → p p 3.10 – Silogismo hipotético (SH) p →q q→r ou [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) p→r 3.11 – Exportação e importação. 1º caso: Exportação (p ∧ q) → r ou [(p ∧ q) → r] → [p → (q → r)] p → (q → r) 2º caso: Importação p → (q → r) ou [p → (q → r)] → [(p ∧ q) → r] (p ∧ q) → r Produto lógico de condicionais: este produto consiste na dedução de uma condicional conclusiva – que será a conclusão do argumento –, decorrente ou resultante de várias outras premissas formadas por, apenas, condicionais. Ao efetuar o produto lógico, eliminam-se as proposições simples iguais que se localizam em partes opostas das condicionais que formam a premissa do argumento, resultando em uma condicional denominada condicional conclusiva. Vejamos o exemplo: Nós podemos aplicar a soma lógica em três casos: . 37 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  1º caso - quando a condicional conclusiva é formada pelas proposições simples que aparecem apenas uma vez no conjunto das premissas do argumento. Exemplo Dado o argumento: Se chove, então faz frio. Se neva, então chove. Se faz frio, então há nuvens no céu. Se há nuvens no céu, então o dia está claro. Temos então o argumento formado pelas seguintes premissas: P1: Se chove, então faz frio. P2: Se neva, então chove. P3: Se faz frio, então há nuvens no céu. P4: Se há nuvens no céu, então o dia está claro. Vamos denotar as proposições simples: p: chover q: fazer frio r: nevar s: existir nuvens no céu t: o dia esta claro Montando o produto lógico teremos: 𝑝→𝑞 𝑝→𝑞 𝑟→𝑞 𝑟→𝑞 𝑟→𝑝 𝑟→𝑝 𝑟→𝑠 𝑟→𝑠 𝑥{ ⇒ 𝑥{ ⇒ 𝑥 {𝑞 → 𝑠 ⇒ 𝑥 { 𝑞 → 𝑠 ⇒ 𝑥 { ⇒ 𝑥{ ⇒𝑟→𝑡 𝑞→𝑠 𝑞→𝑠 𝑠→𝑡 𝑠→𝑡 𝑠→𝑡 𝑠→𝑡 𝑠→𝑡 𝑠→𝑡 Conclusão: “Se neva, então o dia esta claro”. Observe que: As proposições simples “nevar” e “o dia está claro” só apareceram uma vez no conjunto de premissas do argumento anterior. 2º caso - quando a condicional conclusiva é formada por, apenas, uma proposição simples que aparece em ambas as partes da condicional conclusiva, sendo uma a negação da outra. As demais proposições simples são eliminadas pelo processo natural do produto lógico. Neste caso, na condicional conclusiva, a 1ª parte deverá necessariamente ser FALSA, e a 2ª parte, necessariamente VERDADEIRA. Tome Nota: Nos dois casos anteriores, pode-se utilizar o recurso de equivalência da contrapositiva (contraposição) de uma condicional, para que ocorram os devidos reajustes entre as proposições simples de uma determinada condicional que resulte no produto lógico desejado. (p → q) ⇔ ~q → ~p Exemplo Seja o argumento: Se Ana trabalha, então Beto não estuda. Se Carlos não viaja, então Beto não estuda. Se Carlos viaja, Ana trabalha. Temos então o argumento formado pelas seguintes premissas: P1: Se Ana trabalha, então Beto não estuda. P2: Se Carlos não viaja, então Beto não estuda. P3: Se Carlos viaja, Ana trabalha. Denotando as proposições simples teremos: p: Ana trabalha q: Beto estuda r: Carlos viaja Montando o produto lógico teremos: . 38 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  𝑝 → ~𝑞 𝑝 → ~𝑞 𝑟 → ~𝑞 {~𝑟 → ~𝑞 (𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎) ⇒ 𝑥 { 𝑞 → 𝑟 ⇒ 𝑥 { 𝑞 → 𝑟 ⇒ ⏟ 𝑞 → ~𝑞 ⏟ 𝑟→𝑝 𝑟→𝑝 𝐹 𝑉 Conclusão: “Beto não estuda”. 3º caso - aplicam-se os procedimentos do 2o caso em, apenas, uma parte das premissas do argumento. Exemplo Se Nivaldo não é corintiano, então Márcio é palmeirense. Se Márcio não é palmeirense, então Pedro não é são-paulino. Se Nivaldo é corintiano, Pedro é são-paulino. Se Nivaldo é corintiano, então Márcio não é palmeirense. Então as presmissas que formam esse argumento são: P1: Se Nivaldo não é corintiano, então Márcio é palmeirense. P2: Se Márcio não é palmeirense, então Pedro não é são-paulino. P3: Se Nivaldo é corintiano, Pedro é são-paulino. P4: Se Nivaldo é corintiano, então Márcio não é palmeirense. Denotando as proposições temos: p: Nivaldo é corintiano q: Márcio é palmerense r: Pedro é são paulino Efetuando a soma lógica: 𝑃1: ~𝑝 → 𝑞 𝑃1: ~𝑝 → 𝑞 𝑃2: ~𝑞 → ~𝑟 𝑃2: ~𝑞 → ~𝑟 { ⇒ { 𝑃3: 𝑝 → 𝑟 (𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎) 𝑃3: ~𝑟 → ~𝑝 𝑃4: 𝑝 → ~𝑞 𝑃4: 𝑝 → ~𝑞 Vamos aplicar o produto lógico nas 3 primeiras premissas (P1,P2,P3) teremos: ~𝑝 → 𝑞 ~𝑟 → 𝑞 {~𝑞 → ~𝑟 ⇒ {~𝑞 → ~𝑟 ⇒ ~𝑞 ⏟ →⏟ 𝑞 ~𝑟 → ~𝑝 𝐹 𝑉 Conclusão: “ Márcio é palmeirense”. Questões 01. (DPU – Agente Administrativo – CESPE/2016) Considere que as seguintes proposições sejam verdadeiras. • Quando chove, Maria não vai ao cinema. • Quando Cláudio fica em casa, Maria vai ao cinema. • Quando Cláudio sai de casa, não faz frio. • Quando Fernando está estudando, não chove. • Durante a noite, faz frio. Tendo como referência as proposições apresentadas, julgue o item subsecutivo. Se Maria foi ao cinema, então Fernando estava estudando. ( ) Certo ( ) Errado 02. (STJ – Conhecimentos Gerais para o cargo 17 – CESPE/2015) Mariana é uma estudante que tem grande apreço pela matemática, apesar de achar essa uma área muito difícil. Sempre que tem tempo suficiente para estudar, Mariana é aprovada nas disciplinas de matemática que cursa na faculdade. Neste semestre, Mariana está cursando a disciplina chamada Introdução à Matemática Aplicada. No entanto, ela não tem tempo suficiente para estudar e não será aprovada nessa disciplina. A partir das informações apresentadas nessa situação hipotética, julgue o item a seguir, acerca das estruturas lógicas. . 39 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Considerando-se as seguintes proposições: p: “Se Mariana aprende o conteúdo de Cálculo 1, então ela aprende o conteúdo de Química Geral"; q: “Se Mariana aprende o conteúdo de Química Geral, então ela é aprovada em Química Geral"; c: “Mariana foi aprovada em Química Geral", é correto afirmar que o argumento formado pelas premissas p e q e pela conclusão c é um argumento válido. ( ) Certo ( ) Errado 03. (Petrobras – Técnico (a) de Exploração de Petróleo Júnior – Informática – CESGRANRIO/2014) Se Esmeralda é uma fada, então Bongrado é um elfo. Se Bongrado é um elfo, então Monarca é um centauro. Se Monarca é um centauro, então Tristeza é uma bruxa. Ora, sabe-se que Tristeza não é uma bruxa, logo (A) Esmeralda é uma fada, e Bongrado não é um elfo. (B) Esmeralda não é uma fada, e Monarca não é um centauro. (C) Bongrado é um elfo, e Monarca é um centauro. (D) Bongrado é um elfo, e Esmeralda é uma fada (E) Monarca é um centauro, e Bongrado não é um elfo. 04. (Petrobras – Técnico(a) de Informática Júnior – CESGRANRIO/2014) Suponha que as seguintes afirmações são simultaneamente verdadeiras: • Se Antígona toma leite e o leite está estragado, então ela fica doente. • Se Antígona fica doente, então ela passa mal e volta para o palácio. • Antígona vai ao encontro de Marco Antônio ou volta para o palácio. Qual afirmação também será verdadeira? (A) Se Antígona toma leite e o leite está estragado, então ela não vai ao encontro de Marco Antônio. (B) Se Antígona fica doente e volta para o palácio, então ela vai ao encontro de Marco Antônio. (C) Se o leite está estragado, então Antígona não o toma ou ela fica doente. (D) Se o leite está estragado ou Antígona fica doente, então ela passa mal. (E)Se Antígona toma leite e volta para o palácio, então o leite está estragado e ela não passa mal. Respostas 01. Resposta: Errado. A questão trata-se de lógica de argumentação, dadas as premissas chegamos a uma conclusão. Enumerando as premissas: A = Chove B = Maria vai ao cinema C = Cláudio fica em casa D = Faz frio E = Fernando está estudando F = É noite A argumentação parte que a conclusão deve ser (V) Lembramos a tabela verdade da condicional: A condicional só será F quando a 1ª for verdadeira e a 2ª falsa, utilizando isso temos: O que se quer saber é: Se Maria foi ao cinema, então Fernando estava estudando. // B → ~E Iniciando temos: 4º - Quando chove (F), Maria não vai ao cinema. (F) // A → ~B = V – para que o argumento seja válido temos que Quando chove tem que ser F. 3º - Quando Cláudio fica em casa (V), Maria vai ao cinema (V). // C → B = V - para que o argumento seja válido temos que Maria vai ao cinema tem que ser V. 2º - Quando Cláudio sai de casa(F), não faz frio (F). // ~C → ~D = V - para que o argumento seja válido temos que Quando Cláudio sai de casa tem que ser F. . 40 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  5º - Quando Fernando está estudando (V ou F), não chove (V). // E → ~A = V. – neste caso Quando Fernando está estudando pode ser V ou F. 1º- Durante a noite(V), faz frio (V). // F → D = V Logo nada podemos afirmar sobre a afirmação: Se Maria foi ao cinema (V), então Fernando estava estudando (V ou F); pois temos dois valores lógicos para chegarmos à conclusão (V ou F). 02. Resposta: Errado. Se o argumento acima for válido, então, teremos a seguinte estrutura lógica (fórmula) representativa desse argumento: P1 ∧ P2 → C Organizando e resolvendo, temos: A: Mariana aprende o conteúdo de Cálculo 1 B: Mariana aprende o conteúdo de Química Geral C: Mariana é aprovada em Química Geral Argumento: [(A → B) ∧ (B → C)] ⇒ C Vamos ver se há a possibilidade de a conclusão ser falsa e as premissas serem verdadeiras, para sabermos se o argumento é válido: Testando C para falso: (A → B) ∧ (B →C) (A →B) ∧ (B → F) Para obtermos um resultado V da 2º premissa, logo B têm que ser F: (A → B) ∧ (B → F) (A → F) ∧ (F → F) (F → F) ∧ (V) Para que a primeira premissa seja verdadeira, é preciso que o “A” seja falso: (A → F) ∧ (V) (F → F) ∧ (V) (V) ∧ (V) (V) Então, é possível que o conjunto de premissas seja verdadeiro e a conclusão seja falsa ao mesmo tempo, o que nos leva a concluir que esse argumento não é válido. 03. Resposta: B. Vamos analisar cada frase partindo da afirmativa Trizteza não é bruxa, considerando ela como (V), precisamos ter como conclusão o valor lógico (V), então: (4) Se Esmeralda é uma fada(F), então Bongrado é um elfo (F) → V (3) Se Bongrado é um elfo (F), então Monarca é um centauro (F) → V (2) Se Monarca é um centauro(F), então Tristeza é uma bruxa(F) → V (1) Tristeza não é uma bruxa (V) Logo: Temos que: Esmeralda não é fada(V) Bongrado não é elfo (V) Monarca não é um centauro (V) Como a conclusão parte da conjunção, o mesmo só será verdadeiro quando todas as afirmativas forem verdadeiras, logo, a única que contém esse valor lógico é: Esmeralda não é uma fada, e Monarca não é um centauro. 04. Resposta: C. Temos as seguintes proposições: p: Antígona toma leite. q: O leite está estragado. r: Antígona fica doente. s: Antígona passa mal. t: Antígona volta para o palácio. u: Antígona vai ao encontro de Marco Antônio. Todas as afirmações do enunciado são verdadeiras, então teremos: Para a 1ª temos: . 41 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (p ^ q) --> r VERDADE (V ^ V ) --> V Para 2ª temos: r --> ( s ^ t ) VERDADE V ---> (V ^ V ) De acordo com a hipótese da 1ª proposição composta, r possui valor verdadeiro. Para que a 2ª proposição seja verdadeira, (s ^ t) devem também possuir valor verdadeiro. Para a 3ª temos: (u v t) VERDADE ( V ou F v V) De acordo com a análise da 2ª proposição composta, t possui valor verdadeiro. Entretanto, nada pode- se afirmar sobre u, pois ambos valores (V ou F) atendem o valor VERDADE da 3ª proposição composta. Analisando todas as proposições, temos que a alternativa C será verdadeira: Se o leite está estragado, então Antígona não o toma ou ela fica doente. q --> (~p v r) V --> (F v V) V --> V LÓGICA SEQUENCIAL O Raciocínio é uma operação lógica, discursiva e mental. Neste, o intelecto humano utiliza uma ou mais proposições, para concluir através de mecanismos de comparações e abstrações, quais são os dados que levam às respostas verdadeiras, falsas ou prováveis. Foi pelo processo do raciocínio que ocorreu o desenvolvimento do método matemático, este considerado instrumento puramente teórico e dedutivo, que prescinde de dados empíricos. Logo, resumidamente o raciocínio pode ser considerado também um dos integrantes dos mecanismos dos processos cognitivos superiores da formação de conceitos e da solução de problemas, sendo parte do pensamento. Sequências Lógicas As sequências podem ser formadas por números, letras, pessoas, figuras, etc. Existem várias formas de se estabelecer uma sequência, o importante é que existem pelo menos três elementos que caracterize a lógica de sua formação, entretanto algumas séries necessitam de mais elementos para definir sua lógica. Algumas sequências são bastante conhecidas e toda pessoa que estuda lógica deve conhecê-las, tais como as progressões aritméticas e geométricas, a série de Fibonacci, os números primos e os quadrados perfeitos. Sequência de Números Progressão Aritmética: Soma-se constantemente um mesmo número. Progressão Geométrica: Multiplica-se constantemente um mesmo número. Incremento em Progressão: O valor somado é que está em progressão. Série de Fibonacci: Cada termo é igual a soma dos dois anteriores. 1 1 2 3 5 8 13 Números Primos: Naturais que possuem apenas dois divisores naturais. 2 3 5 7 11 13 17 . 42 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Quadrados Perfeitos: Números naturais cujas raízes são naturais. 1 4 9 16 25 36 49 Sequência de Letras As sequências de letras podem estar associadas a uma série de números ou não. Em geral, devemos escrever todo o alfabeto (observando se deve, ou não, contar com k, y e w) e circular as letras dadas para entender a lógica proposta. ACFJOU Observe que foram saltadas 1, 2, 3, 4 e 5 letras e esses números estão em progressão. ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTU B1 2F H4 8L N16 32R T64 Nesse caso, associou-se letras e números (potências de 2), alternando a ordem. As letras saltam 1, 3, 1, 3, 1, 3 e 1 posições. ABCDEFGHIJKLMNOPQRST Sequência de Pessoas Na série a seguir, temos sempre um homem seguido de duas mulheres, ou seja, aqueles que estão em uma posição múltipla de três (3º, 6º, 9º, 12º,...) serão mulheres e a posição dos braços sempre alterna, ficando para cima em uma posição múltipla de dois (2º, 4º, 6º, 8º,...). Sendo assim, a sequência se repete a cada seis termos, tornando possível determinar quem estará em qualquer posição. Sequência de Figuras Esse tipo de sequência pode seguir o mesmo padrão visto na sequência de pessoas ou simplesmente sofrer rotações, como nos exemplos a seguir. Sequência de Fibonacci O matemático Leonardo Pisa, conhecido como Fibonacci, propôs no século XIII, a sequência numérica: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …). Essa sequência tem uma lei de formação simples: cada elemento, a partir do terceiro, é obtido somando-se os dois anteriores. Veja: 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5 e assim por diante. Desde o século XIII, muitos matemáticos, além do próprio Fibonacci, dedicaram-se ao estudo da sequência que foi proposta, e foram encontradas inúmeras aplicações para ela no desenvolvimento de modelos explicativos de fenômenos naturais. Veja alguns exemplos das aplicações da sequência de Fibonacci e entenda porque ela é conhecida como uma das maravilhas da Matemática. A partir de dois quadrados de lado 1, podemos obter um retângulo de lados 2 e 1. Se adicionarmos a esse retângulo um quadrado de lado 2, obtemos um novo retângulo 3 x 2. Se adicionarmos agora um quadrado de lado 3, obtemos um retângulo 5 x 3. Observe a figura a seguir e veja que os lados dos quadrados que adicionamos para determinar os retângulos formam a sequência de Fibonacci. . 43 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Se utilizarmos um compasso e traçarmos o quarto de circunferência inscrito em cada quadrado, encontraremos uma espiral formada pela concordância de arcos cujos raios são os elementos da sequência de Fibonacci. O Partenon que foi construído em Atenas pelo célebre arquiteto grego Fidias. A fachada principal do edifício, hoje em ruínas, era um retângulo que continha um quadrado de lado igual à altura. Essa forma sempre foi considerada satisfatória do ponto de vista estético por suas proporções sendo chamada retângulo áureo ou retângulo de ouro. 𝑦 𝑎 Como os dois retângulos indicados na figura são semelhantes temos: = (1). 𝑎 𝑏 Como: b = y – a (2). Substituindo (2) em (1) temos: y2 – ay – a2 = 0. Resolvendo a equação: 𝑎(1±√5 1−√5 𝑦= 2 em que ( 2 < 0) não convém. 𝑦 (1+√5 Logo: 𝑎 = 2 = 1,61803398875 Esse número é conhecido como número de ouro e pode ser representado por: 1 + √5 𝜃= 2 . 44 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Todo retângulo e que a razão entre o maior e o menor lado for igual a 𝜃 é chamado retângulo áureo como o caso da fachada do Partenon. As figuras a seguir possuem números que representam uma sequência lógica. Veja os exemplos: Exemplo 1 A sequência numérica proposta envolve multiplicações por 4. 6 x 4 = 24 24 x 4 = 96 96 x 4 = 384 384 x 4 = 1536 Exemplo 2 A diferença entre os números vai aumentando 1 unidade. 13 – 10 = 3 17 – 13 = 4 22 – 17 = 5 28 – 22 = 6 35 – 28 = 7 Exemplo 3 Multiplicar os números sempre por 3. 1x3=3 3x3=9 . 45 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  9 x 3 = 27 27 x 3 = 81 81 x 3 = 243 243 x 3 = 729 729 x 3 = 2187 Exemplo 4 A diferença entre os números vai aumentando 2 unidades. 24 – 22 = 2 28 – 24 = 4 34 – 28 = 6 42 – 34 = 8 52 – 42 = 10 64 – 52 = 12 78 – 64 = 14 Questões 01. Observe atentamente a disposição das cartas em cada linha do esquema seguinte: A carta que está oculta é: (A) (B) (C) . 46 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (D) (E) 02. Considere que a sequência de figuras foi construída segundo um certo critério. Se tal critério for mantido, para obter as figuras subsequentes, o total de pontos da figura de número 15 deverá ser: (A) 69 (B) 67 (C) 65 (D) 63 (E) 61 03. O próximo número dessa sequência lógica é: 1000, 990, 970, 940, 900, 850, ... (A) 800 (B) 790 (C) 780 (D) 770 04. Na sequência lógica de números representados nos hexágonos, da figura abaixo, observa-se a ausência de um deles que pode ser: (A) 76 (B) 10 (C) 20 (D) 78 05. Uma criança brincando com uma caixa de palitos de fósforo constrói uma sequência de quadrados conforme indicado abaixo: ............. 1° 2° 3° Quantos palitos ele utilizou para construir a 7ª figura? (A) 20 palitos . 47 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (B) 25 palitos (C) 28 palitos (D) 22 palitos 06. Ana fez diversas planificações de um cubo e escreveu em cada um, números de 1 a 6. Ao montar o cubo, ela deseja que a soma dos números marcados nas faces opostas seja 7. A única alternativa cuja figura representa a planificação desse cubo tal como deseja Ana é: (A) (B) (C) (D) (E) 07. As figuras da sequência dada são formadas por partes iguais de um círculo. Continuando essa sequência, obtém-se exatamente 16 círculos completos na: (A) 36ª figura (B) 48ª figura (C) 72ª figura (D) 80ª figura (E) 96ª figura 08. Analise a sequência a seguir: Admitindo-se que a regra de formação das figuras seguintes permaneça a mesma, pode-se afirmar que a figura que ocuparia a 277ª posição dessa sequência é: (A) (B) (C) (D) (E) . 48 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  09. Observe a sequência: 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ... Qual é o próximo número? (A) 20 (B) 21 (C) 100 (D) 200 10. Observe a sequência: 3,13, 30, ... Qual é o próximo número? (A) 4 (B) 20 (C) 31 (D) 21 11. Os dois pares de palavras abaixo foram formados segundo determinado critério. LACRAÇÃO  cal AMOSTRA  soma LAVRAR  ? Segundo o mesmo critério, a palavra que deverá ocupar o lugar do ponto de interrogação é: (A) alar (B) rala (C) ralar (D) larva (E) arval 12. Observe que as figuras abaixo foram dispostas, linha a linha, segundo determinado padrão. Segundo o padrão estabelecido, a figura que substitui corretamente o ponto de interrogação é: (A) (B) (C) (D) (E) 13. Observe que na sucessão seguinte os números foram colocados obedecendo a uma lei de formação. Os números X e Y, obtidos segundo essa lei, são tais que X + Y é igual a: (A) 40 (B) 42 (C) 44 (D) 46 (E) 48 . 49 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  14. A figura abaixo representa algumas letras dispostas em forma de triângulo, segundo determinado critério. Considerando que na ordem alfabética usada são excluídas as letra “K”, “W” e “Y”, a letra que substitui corretamente o ponto de interrogação é: (A) P (B) O (C) N (D) M (E) L 15. Considere que a sequência seguinte é formada pela sucessão natural dos números inteiros e positivos, sem que os algarismos sejam separados. 1234567891011121314151617181920... O algarismo que deve aparecer na 276ª posição dessa sequência é: (A) 9 (B) 8 (C) 6 (D) 3 (E) 1 16. Em cada linha abaixo, as três figuras foram desenhadas de acordo com determinado padrão. Segundo esse mesmo padrão, a figura que deve substituir o ponto de interrogação é: (A) (B) (C) (D) (E) 17. Observe que, na sucessão de figuras abaixo, os números que foram colocados nos dois primeiros triângulos obedecem a um mesmo critério. . 50 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Para que o mesmo critério seja mantido no triângulo da direita, o número que deverá substituir o ponto de interrogação é: (A) 32 (B) 36 (C) 38 (D) 42 (E) 46 18. Considere a seguinte sequência infinita de números: 3, 12, 27, __, 75, 108,... O número que preenche adequadamente a quarta posição dessa sequência é: (A) 36, (B) 40, (C) 42, (D) 44, (E) 48 1 1 1 1 19. Observando a sequência (1, 2 , 6 , 12 , 20 , ...) o próximo numero será: 1 (A) 24 1 (B) 30 1 (C) 36 1 (D) 40 20. Considere a sequência abaixo: BBB BXB XXB XBX XBX XBX BBB BXB BXX O padrão que completa a sequência é: (A) (B) (C) XXX XXB XXX XXX XBX XXX XXX BXX XXB (D) (E) XXX XXX XBX XBX XXX BXX 21. Na série de Fibonacci, cada termo a partir do terceiro é igual à soma de seus dois termos precedentes. Sabendo-se que os dois primeiros termos, por definição, são 0 e 1, o sexto termo da série é: (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 . 51 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  22. Nosso código secreto usa o alfabeto A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z. Do seguinte modo: cada letra é substituída pela letra que ocupa a quarta posição depois dela. Então, o “A” vira “E”, o “B” vira “F”, o “C” vira “G” e assim por diante. O código é “circular”, de modo que o “U” vira “A” e assim por diante. Recebi uma mensagem em código que dizia: BSA HI EDAP. Decifrei o código e li: (A) FAZ AS DUAS; (B) DIA DO LOBO; (C) RIO ME QUER; (D) VIM DA LOJA; (E) VOU DE AZUL. 23. A sentença “Social está para laicos assim como 231678 está para...” é melhor completada por: (A) 326187; (B) 876132; (C) 286731; (D) 827361; (E) 218763. 24. A sentença “Salta está para Atlas assim como 25435 está para...” é melhor completada pelo seguinte número: (A) 53452; (B) 23455; (C) 34552; (D) 43525; (E) 53542. 25. Repare que com um número de 5 algarismos, respeitada a ordem dada, podem-se criar 4 números de dois algarismos. Por exemplo: de 34.712, podem-se criar o 34, o 47, o 71 e o 12. Procura-se um número de 5 algarismos formado pelos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8, sem repetição. Veja abaixo alguns números desse tipo e, ao lado de cada um deles, a quantidade de números de dois algarismos que esse número tem em comum com o número procurado. Número dado Quantidade de números de 2 algarismos em comum 48.765 1 86.547 0 87.465 2 48.675 1 O número procurado é: (A) 87456 (B) 68745 (C) 56874 (D) 58746 (E) 46875 26. Considere que os símbolos  e  que aparecem no quadro seguinte, substituem as operações que devem ser efetuadas em cada linha, a fim de se obter o resultado correspondente, que se encontra na coluna da extrema direita. 36  4  5 = 14 48  6  9 = 17 54  9  7 = ? Para que o resultado da terceira linha seja o correto, o ponto de interrogação deverá ser substituído pelo número: (A) 16 (B) 15 (C) 14 (D) 13 (E) 12 . 52 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  27. Segundo determinado critério, foi construída a sucessão seguinte, em que cada termo é composto de um número seguido de uma letra: A1 – E2 – B3 – F4 – C5 – G6 – .... Considerando que no alfabeto usado são excluídas as letras K, Y e W, então, de acordo com o critério estabelecido, a letra que deverá anteceder o número 12 é: (A) J (B) L (C) M (D) N (E) O 28. Os nomes de quatro animais – MARÁ, PERU, TATU e URSO – devem ser escritos nas linhas da tabela abaixo, de modo que cada uma das suas respectivas letras ocupe um quadrinho e, na diagonal sombreada, possa ser lido o nome de um novo animal. Excluídas do alfabeto as letras K, W e Y e fazendo cada letra restante corresponder ordenadamente aos números inteiros de 1 a 23 (ou seja, A = 1, B = 2, C = 3,..., Z = 23), a soma dos números que correspondem às letras que compõem o nome do animal é: (A) 37 (B) 39 (C) 45 (D) 49 (E) 51 Nas questões 29 e 30, observe que há uma relação entre o primeiro e o segundo grupos de letras. A mesma relação deverá existir entre o terceiro grupo e um dos cinco grupos que aparecem nas alternativas, ou seja, aquele que substitui corretamente o ponto de interrogação. Considere que a ordem alfabética adotada é a oficial e exclui as letras K, W e Y. 29. CASA: LATA: LOBO: ? (A) SOCO (B) TOCO (C) TOMO (D) VOLO (E) VOTO 30. ABCA: DEFD: HIJH: ? (A) IJLI (B) JLMJ (C) LMNL (D) FGHF (E) EFGE 31. Os termos da sucessão seguinte foram obtidos considerando uma lei de formação (0, 1, 3, 4, 12, 13, ...). Segundo essa lei, o décimo terceiro termo dessa sequência é um número: (A) Menor que 200. (B) Compreendido entre 200 e 400. (C) Compreendido entre 500 e 700. (D) Compreendido entre 700 e 1.000. (E) Maior que 1.000. Para responder às questões de números 32 e 33, você deve observar que, em cada um dos dois primeiros pares de palavras dadas, a palavra da direita foi obtida da palavra da esquerda segundo determinado critério. Você deve descobrir esse critério e usá-lo para encontrar a palavra que deve ser colocada no lugar do ponto de interrogação. . 53 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  32. Ardoroso  rodo Dinamizar  mina Maratona  ? (A) mana (B) toma (C) tona (D) tora (E) rato 33. Arborizado  azar Asteróide  dias Articular  ? (A) luar (B) arar (C) lira (D) luta (E) rara 34. Preste atenção nesta sequência lógica e identifique quais os números que estão faltando: 1, 1, 2, __, 5, 8, __,21, 34, 55, __, 144, __... 35. Uma lesma encontra-se no fundo de um poço seco de 10 metros de profundidade e quer sair de lá. Durante o dia, ela consegue subir 2 metros pela parede; mas à noite, enquanto dorme, escorrega 1 metro. Depois de quantos dias ela consegue chegar à saída do poço? 36. Quantas vezes você usa o algarismo 9 para numerar as páginas de um livro de 100 páginas? 37. Quantos quadrados existem na figura abaixo? 38. Retire três palitos e obtenha apenas três quadrados. 39. Qual será o próximo símbolo da sequência abaixo? 40. Reposicione dois palitos e obtenha uma figura com cinco quadrados iguais. . 54 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  41. Observe as multiplicações a seguir: 12.345.679 × 18 = 222.222.222 12.345.679 × 27 = 333.333.333 ... ... 12.345.679 × 54 = 666.666.666 Para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679 por quanto? 42. Esta casinha está de frente para a estrada de terra. Mova dois palitos e faça com que fique de frente para a estrada asfaltada. 43. Remova dois palitos e deixe a figura com dois quadrados. 44. As cartas de um baralho foram agrupadas em pares, segundo uma relação lógica. Qual é a carta que está faltando, sabendo que K vale 13, Q vale 12, J vale 11 e A vale 1? 45. Mova um palito e obtenha um quadrado perfeito. . 55 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  46. Qual o valor da pedra que deve ser colocada em cima de todas estas para completar a sequência abaixo? 47. Mova três palitos nesta figura para obter cinco triângulos. 48. Tente dispor 6 moedas em 3 fileiras de modo que em cada fileira fiquem apenas 3 moedas. 49. Reposicione três palitos e obtenha cinco quadrados. 50. Mude a posição de quatro palitos e obtenha cinco triângulos. Respostas 01. Resposta: A. A diferença entre os números estampados nas cartas 1 e 2, em cada linha, tem como resultado o valor da 3ª carta e, além disso, o naipe não se repete. Assim, a 3ª carta, dentro das opções dadas só pode ser a da opção (A). 02. Resposta: D. Observe que, tomando o eixo vertical como eixo de simetria, tem-se: Na figura 1: 01 ponto de cada lado  02 pontos no total. Na figura 2: 02 pontos de cada lado  04 pontos no total. Na figura 3: 03 pontos de cada lado  06 pontos no total. Na figura 4: 04 pontos de cada lado  08 pontos no total. . 56 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Na figura n: n pontos de cada lado  2.n pontos no total. Em particular: Na figura 15: 15 pontos de cada lado  30 pontos no total. Agora, tomando o eixo horizontal como eixo de simetria, tem-se: Na figura 1: 02 pontos acima e abaixo  04 pontos no total. Na figura 2: 03 pontos acima e abaixo  06 pontos no total. Na figura 3: 04 pontos acima e abaixo  08 pontos no total. Na figura 4: 05 pontos acima e abaixo  10 pontos no total. Na figura n: (n+1) pontos acima e abaixo  2.(n+1) pontos no total. Em particular: Na figura 15: 16 pontos acima e abaixo  32 pontos no total. Incluindo o ponto central, que ainda não foi considerado, temos para total de pontos da figura 15: Total de pontos = 30 + 32 + 1 = 63 pontos. 03. Resposta: B. Nessa sequência, observamos que a diferença: entre 1000 e 990 é 10, entre 990 e 970 é 20, entre o 970 e 940 é 30, entre 940 e 900 é 40, entre 900 e 850 é 50, portanto entre 850 e o próximo número é 60, dessa forma concluímos que o próximo número é 790, pois: 850 – 790 = 60. 04. Resposta: D. Nessa sequência lógica, observamos que a diferença: entre 24 e 22 é 2, entre 28 e 24 é 4, entre 34 e 28 é 6, entre 42 e 34 é 8, entre 52 e 42 é 10, entre 64 e 52 é 12, portanto entre o próximo número e 64 é 14, dessa forma concluímos que o próximo número é 78, pois: 76 – 64 = 14. 05. Resposta: D. Observe a tabela: Figuras 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª N° de Palitos 4 7 10 13 16 19 22 Temos de forma direta, pela contagem, a quantidade de palitos das três primeiras figuras. Feito isto, basta perceber que cada figura a partir da segunda tem a quantidade de palitos da figura anterior acrescida de 3 palitos. Desta forma, fica fácil preencher o restante da tabela e determinar a quantidade de palitos da 7ª figura. 06. Resposta: A. Na figura apresentada na letra “B”, não é possível obter a planificação de um lado, pois o 4 estaria do lado oposto ao 6, somando 10 unidades. Na figura apresentada na letra “C”, da mesma forma, o 5 estaria em face oposta ao 3, somando 8, não formando um lado. Na figura da letra “D”, o 2 estaria em face oposta ao 4, não determinando um lado. Já na figura apresentada na letra “E”, o 1 não estaria em face oposta ao número 6, impossibilitando, portanto, a obtenção de um lado. Logo, podemos concluir que a planificação apresentada na letra “A” é a única para representar um lado. 07. Resposta: B. Como na 3ª figura completou-se um círculo, para completar 16 círculos é suficiente multiplicar 3 por 16: 3. 16 = 48. Portanto, na 48ª figura existirão 16 círculos. 08. Resposta: B. A sequência das figuras completa-se na 5ª figura. Assim, continua-se a sequência de 5 em 5 elementos. A figura de número 277 ocupa, então, a mesma posição das figuras que representam número 5n + 2, com n ∈ N. Ou seja, a 277ª figura corresponde à 2ª figura, que é representada pela letra “B”. 09. Resposta: D. A regularidade que obedece a sequência acima não se dá por padrões numéricos e sim pela letra que inicia cada número. “Dois, Dez, Doze, Dezesseis, Dezessete, Dezoito, Dezenove, ... Enfim, o próximo só pode iniciar também com “D”: Duzentos. 10. Resposta: C. Esta sequência é regida pela inicial de cada número. Três, Treze, Trinta,... O próximo só pode ser o número Trinta e um, pois ele inicia com a letra “T”. . 57 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  11. Resposta: E. Na 1ª linha, a palavra CAL foi retirada das 3 primeiras letras da palavra LACRAÇÃO, mas na ordem invertida. Da mesma forma, na 2ª linha, a palavra SOMA é retirada da palavra AMOSTRA, pelas 4 primeira letras invertidas. Com isso, da palavra LAVRAR, ao se retirarem as 5 primeiras letras, na ordem invertida, obtém-se ARVAL. 12. Resposta: C. Em cada linha apresentada, as cabeças são formadas por quadrado, triângulo e círculo. Na 3ª linha já há cabeças com círculo e com triângulo. Portanto, a cabeça da figura que está faltando é um quadrado. As mãos das figuras estão levantadas, em linha reta ou abaixadas. Assim, a figura que falta deve ter as mãos levantadas (é o que ocorre em todas as alternativas). As figuras apresentam as 2 pernas ou abaixadas, ou 1 perna levantada para a esquerda ou 1 levantada para a direita. Nesse caso, a figura que está faltando na 3ª linha deve ter 1 perna levantada para a esquerda. Logo, a figura tem a cabeça quadrada, as mãos levantadas e a perna erguida para a esquerda. 13. Resposta: A. Existem duas leis distintas para a formação: uma para a parte superior e outra para a parte inferior. Na parte superior, tem-se que: do 1º termo para o 2º termo, ocorreu uma multiplicação por 2; já do 2º termo para o 3º, houve uma subtração de 3 unidades. Com isso, X é igual a 5 multiplicado por 2, ou seja, X = 10. Na parte inferior, tem-se: do 1º termo para o 2º termo ocorreu uma multiplicação por 3; já do 2º termo para o 3º, houve uma subtração de 2 unidades. Assim, Y é igual a 10 multiplicado por 3, isto é, Y = 30. Logo, X + Y = 10 + 30 = 40. 14. Resposta: A. A sequência do alfabeto inicia-se na extremidade direita do triângulo, pela letra “A”; aumenta a direita para a esquerda; continua pela 3ª e 5ª linhas; e volta para as linhas pares na ordem inversa – pela 4ª linha até a 2ª linha. Na 2ª linha, então, as letras são, da direita para a esquerda, “M”, “N”, “O”, e a letra que substitui corretamente o ponto de interrogação é a letra “P”. 15. Resposta: B. A sequência de números apresentada representa a lista dos números naturais. Mas essa lista contém todos os algarismos dos números, sem ocorrer a separação. Por exemplo: 101112 representam os números 10, 11 e 12. Com isso, do número 1 até o número 9 existem 9 algarismos. Do número 10 até o número 99 existem: 2 x 90 = 180 algarismos. Do número 100 até o número 124 existem: 3 x 25 = 75 algarismos. E do número 124 até o número 128 existem mais 12 algarismos. Somando todos os valores, tem-se: 9 + 180 + 75 + 12 = 276 algarismos. Logo, conclui-se que o algarismo que ocupa a 276ª posição é o número 8, que aparece no número 128. 16. Resposta: D. Na 1ª linha, internamente, a 1ª figura possui 2 “orelhas”, a 2ª figura possui 1 “orelha” no lado esquerdo e a 3ª figura possui 1 “orelha” no lado direito. Esse fato acontece, também, na 2ª linha, mas na parte de cima e na parte de baixo, internamente em relação às figuras. Assim, na 3ª linha ocorrerá essa regra, mas em ordem inversa: é a 3ª figura da 3ª linha que terá 2 “orelhas” internas, uma em cima e outra em baixo. Como as 2 primeiras figuras da 3ª linha não possuem “orelhas” externas, a 3ª figura também não terá orelhas externas. Portanto, a figura que deve substituir o ponto de interrogação é a 4ª. 17. Resposta: B. No 1º triângulo, o número que está no interior do triângulo dividido pelo número que está abaixo é igual à diferença entre o número que está à direita e o número que está à esquerda do triângulo: 40 : 5 = 21 - 13 = 8. A mesma regra acontece no 2º triângulo: 42 ÷ 7 = 23 - 17 = 6. Assim, a mesma regra deve existir no 3º triângulo: ? ÷ 3 = 19 – 7 ? ÷ 3 = 12 ? = 12 x 3 = 36. . 58 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  18. Resposta: E. Verifique os intervalos entre os números que foram fornecidos. Dado os números 3, 12, 27, __, 75, 108, obteve-se os seguintes 9, 15, __, __, 33 intervalos. Observe que 3x3, 3x5, 3x7, 3x9, 3x11. Logo 3x7 = 21 e 3x 9 = 27. Então: 21 + 27 = 48. 19. Resposta: B. Observe que o numerador é fixo, mas o denominador é formado pela sequência: Primeiro Segundo Terceiro Quarto Quinto Sexto 1 1 x 2 = 2 2 x 3 = 6 3 x 4 = 12 4 x 5 = 20 5 x 6 = 30 20. Resposta: D. O que de início devemos observar nesta questão é a quantidade de B e de X em cada figura. Vejamos: BBB BXB XXB XBX XBX XBX BBB BXB BXX 7B e 2X 5B e 4X 3B e 6X Vê-se, que os “B” estão diminuindo de 2 em 2 e que os “X” estão aumentando de 2 em 2; notem também que os “B” estão sendo retirados um na parte de cima e um na parte de baixo e os “X” da mesma forma, só que não estão sendo retirados, estão, sim, sendo colocados. Logo a 4ª figura é: XXX XBX XXX 1B e 8X 21. Resposta: D. Montando a série de Fibonacci temos: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... A resposta da questão é a alternativa “D”, pois como a questão nos diz, cada termo a partir do terceiro é igual à soma de seus dois termos precedentes. 2 + 3 = 5 22. Resposta: E. A questão nos informa que ao se escrever alguma mensagem, cada letra será substituída pela letra que ocupa a quarta posição, além disso, nos informa que o código é “circular”, de modo que a letra “U” vira “A”. Para decifrarmos, temos que perceber a posição do emissor e do receptor. O emissor ao escrever a mensagem conta quatro letras à frente para representar a letra que realmente deseja, enquanto que o receptor, deve fazer o contrário, contar quatro letras atrás para decifrar cada letra do código. No caso, nos foi dada a frase para ser decifrada, vê-se, pois, que, na questão, ocupamos a posição de receptores. Vejamos a mensagem: BSA HI EDAP. Cada letra da mensagem representa a quarta letra anterior de modo que: VxzaB: B na verdade é V; OpqrS: S na verdade é O; UvxzA: A na verdade é U; DefgH: H na verdade é D; EfghI: I na verdade é E; AbcdE: E na verdade é A; ZabcD: D na verdade é Z; UvxaA: A na verdade é U; LmnoP: P na verdade é L; 23. Resposta: B. A questão nos traz duas palavras que têm relação uma com a outra e, em seguida, nos traz uma sequência numérica. É perguntado qual sequência numérica tem a mesma ralação com a sequência numérica fornecida, de maneira que, a relação entre as palavras e a sequência numérica é a mesma. Observando as duas palavras dadas, podemos perceber facilmente que têm cada uma 6 letras e que as letras de uma se repete na outra em uma ordem diferente. Tal ordem, nada mais é, do que a primeira palavra de trás para frente, de maneira que SOCIAL vira LAICOS. Fazendo o mesmo com a sequência numérica fornecida, temos: 231678 viram 876132, sendo esta a resposta. . 59 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  24. Resposta: A. A questão nos traz duas palavras que têm relação uma com a outra, e em seguida, nos traz uma sequência numérica. Foi perguntado qual a sequência numérica que tem relação com a já dada de maneira que a relação entre as palavras e a sequência numérica é a mesma. Observando as duas palavras dadas podemos perceber facilmente que tem cada uma 6 letras e que as letras de uma se repete na outra em uma ordem diferente. Essa ordem diferente nada mais é, do que a primeira palavra de trás para frente, de maneira que SALTA vira ATLAS. Fazendo o mesmo com a sequência numérica fornecida temos: 25435 vira 53452, sendo esta a resposta. 25. Resposta: E. Pelo número 86.547, tem-se que 86, 65, 54 e 47 não acontecem no número procurado. Do número 48.675, as opções 48, 86 e 67 não estão em nenhum dos números apresentados nas alternativas. Portanto, nesse número a coincidência se dá no número 75. Como o único número apresentado nas alternativas que possui a sequência 75 é 46.875, tem-se, então, o número procurado. 26. Resposta: D. O primeiro símbolo representa a divisão e o 2º símbolo representa a soma. Portanto, na 1ª linha, tem- se: 36  4 + 5 = 9 + 5 = 14. Na 2ª linha, tem-se: 48  6 + 9 = 8 + 9 = 17. Com isso, na 3ª linha, ter-se-á: 54  9 + 7 = 6 + 7 = 13. Logo, podemos concluir então que o ponto de interrogação deverá ser substituído pelo número 13. 27. Resposta: A. As letras que acompanham os números ímpares formam a sequência normal do alfabeto. Já a sequência que acompanha os números pares inicia-se pela letra “E”, e continua de acordo com a sequência normal do alfabeto: 2ª letra: E, 4ª letra: F, 6ª letra: G, 8ª letra: H, 10ª letra: I e 12ª letra: J. 28. Resposta: D. Escrevendo os nomes dos animais apresentados na lista – MARÁ, PERU, TATU e URSO, na seguinte ordem: PERU, MARÁ, TATU e URSO, obtém-se na tabela: P E R U M A R A T A T U U R S O O nome do animal é PATO. Considerando a ordem do alfabeto, tem-se: P = 15, A = 1, T = 19 e 0 = 14. Somando esses valores, obtém-se: 15 + 1 + 19 + 14 = 49. 29. Resposta: B. Na 1ª e na 2ª sequências, as vogais são as mesmas: letra “A”. Portanto, as vogais da 4ª sequência de letras deverão ser as mesmas da 3ª sequência de letras: “O”. A 3ª letra da 2ª sequência é a próxima letra do alfabeto depois da 3ª letra da 1ª sequência de letras. Portanto, na 4ª sequência de letras, a 3ª letra é a próxima letra depois de “B”, ou seja, a letra “C”. Em relação à primeira letra, tem-se uma diferença de 7 letras entre a 1ª letra da 1ª sequência e a 1ª letra da 2ª sequência. Portanto, entre a 1ª letra da 3ª sequência e a 1ª letra da 4ª sequência, deve ocorrer o mesmo fato. Com isso, a 1ª letra da 4ª sequência é a letra “T”. Logo, a 4ª sequência de letras é: T, O, C, O, ou seja, TOCO. 30. Resposta: C. Na 1ª sequência de letras, ocorrem as 3 primeiras letras do alfabeto e, em seguida, volta-se para a 1ª letra da sequência. Na 2ª sequência, continua-se da 3ª letra da sequência anterior, formando-se DEF, voltando-se novamente, para a 1ª letra desta sequência: D. Com isto, na 3ª sequência, têm-se as letras HIJ, voltando-se para a 1ª letra desta sequência: H. Com isto, a 4ª sequência iniciará pela letra L, continuando por M e N, voltando para a letra L. Logo, a 4ª sequência da letra é: LMNL. 31. Resposta: E. Do 1º termo para o 2º termo, ocorreu um acréscimo de 1 unidade. Do 2º termo para o 3º termo, ocorreu a multiplicação do termo anterior por 3. E assim por diante, até que para o 7º termo temos 13 . 3 = 39. 8º termo = 39 + 1 = 40. 9º termo = 40 . 3 = 120. 10º termo = 120 + 1 = 121. 11º termo = 121 . 3 = 363. 12º . 60 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  termo = 363 + 1 = 364. 13º termo = 364 . 3 = 1.092. Portanto, podemos concluir que o 13º termo da sequência é um número maior que 1.000. 32. Resposta: D. Da palavra “ardoroso”, retiram-se as sílabas “do” e “ro” e inverteu-se a ordem, definindo-se a palavra “rodo”. Da mesma forma, da palavra “dinamizar”, retiram-se as sílabas “na” e “mi”, definindo-se a palavra “mina”. Com isso, podemos concluir que da palavra “maratona”. Deve-se retirar as sílabas “ra” e “to”, criando-se a palavra “tora”. 33. Resposta: A. Na primeira sequência, a palavra “azar” é obtida pelas letras “a” e “z” em sequência, mas em ordem invertida. Já as letras “a” e “r” são as 2 primeiras letras da palavra “arborizado”. A palavra “dias” foi obtida da mesma forma: As letras “d” e “i” são obtidas em sequência, mas em ordem invertida. As letras “a” e “s” são as 2 primeiras letras da palavra “asteroides”. Com isso, para a palavras “articular”, considerando as letras “i” e “u”, que estão na ordem invertida, e as 2 primeiras letras, obtém-se a palavra “luar”. 34. O nome da sequência é Sequência de Fibonacci. O número que vem é sempre a soma dos dois números imediatamente atrás dele. A sequência correta é: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... 35. Dia Subida Descida 1º 2m 1m 2º 3m 2m 3º 4m 3m 4º 5m 4m 5º 6m 5m 6º 7m 6m 7º 8m 7m 8º 9m 8m 9º 10m ---- Portanto, depois de 9 dias ela chegará na saída do poço. 36. 09 – 19 – 29 – 39 – 49 – 59 – 69 – 79 – 89 – 90 – 91 – 92 – 93 – 94 – 95 – 96 – 97 – 98 – 99. Portanto, são necessários 20 algarismos. 37. = 16 = 09 = 04 =01 Portanto, há 16 + 9 + 4 + 1 = 30 quadrados. . 61 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  38. 39. Os símbolos são como números em frente ao espelho. Assim, o próximo símbolo será 88. 40. 41. 12.345.679 × (2×9) = 222.222.222 12.345.679 × (3×9) = 333.333.333 ... ... 12.345.679 × (6×9) = 666.666.666 Portanto, para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679 por (9x9) = 81 42. 43. 44. Sendo A = 1, J = 11, Q = 12 e K = 13, a soma de cada par de cartas é igual a 14 e o naipe de paus sempre forma par com o naipe de espadas. Portanto, a carta que está faltando é o 6 de espadas. 45. . 62 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  46. Observe que: 3 6 18 72 360 2160 15120 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Portanto, a próxima pedra terá que ter o valor: 15.120 x 8 = 120.960 47. 48. 49. 50. Questões 01. (TRE/MT – Técnico Judiciário – CESPE/2015) A negação da proposição: “Se o número inteiro m > 2 é primo, então o número m é ímpar" pode ser expressa corretamente por: (A) “O número inteiro m > 2 é não primo e o número m é ímpar". (B) “Se o número inteiro m > 2 não é primo, então o número m não é ímpar". (C) “Se o número m não é ímpar, então o número inteiro m > 2 não é primo". (D) “Se o número inteiro m > 2 não é primo, então o número m é ímpar". (E) “O número inteiro m > 2 é primo e o número m não é ímpar". 02. (DPE/RR Administrador – FCC/2015) Dentro de um envelope há um papel marcado com um número. Afirma-se sobre esse número que: . 63 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  I. o número é 1; II. o número não é 2; III. o número é 3; IV. o número não é 4. Sabendo que três das afirmações são verdadeiras e uma é falsa, é necessariamente correto concluir que (A) I é verdadeira. (B) II é falsa. (C) II é verdadeira. (D) III é verdadeira. (E) IV é falsa. 03. (TCE/SP – Auxiliar da Fiscalização Financeira II – FCC/2015) Considere a afirmação condicional: Se Alberto é médico ou Alberto é dentista, então Rosa é engenheira. Seja R a afirmação: 'Alberto é médico'; Seja S a afirmação: 'Alberto é dentista' e Seja T a afirmação: 'Rosa é engenheira'. A afirmação condicional será considerada necessariamente falsa quando (A) R for verdadeira, S for falsa e T for verdadeira. (B) R for falsa, S for verdadeira e T for verdadeira. (C) R for falsa, S for falsa e T for falsa. (D) R for falsa, S for falsa e T for verdadeira. (E) R for verdadeira, S for falsa e T for falsa. 04. (ICMS) Se você se esforçar então irá vencer. Assim sendo, (A) mesmo que se esforce, você não vencerá. (B) seu esforço é condição necessária para vencer. (C) se você não se esforçar então não irá vencer. (D) você vencerá só se se esforçar. (E) seu esforço é condição suficiente para vencer. 05. (Cespe - Analista do Seguro Social - INSS) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não como ambas. Se p e q são proposições, então a proposição “Se p então q”, denotada por P → Q, terá valor lógico F quando p for V e q for F, e, nos demais casos, será V. Uma expressão da forma ~p, a negação da proposição p, terá valores lógicos contrários aos de p. (p v q, lida como “p ou q”, terá valor lógico F quando p e q forem, ambas, F; nos demais casos, será V. Considere as proposições simples e compostas apresentadas abaixo, denotadas por A, B e C, que podem ou não estar de acordo com o artigo 50 da Constituição Federal. A: A prática do racismo é crime afiançável. B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado. De acordo com as valorações V ou F atribuídas corretamente às proposições A, B e C, a partir da Constituição Federal, julgue o item. Para a simbolização apresentada acima e seus correspondentes valores lógicos, a proposição B = C é V. Certo ou Errado? 06. Roberta, Rejane e Renata são servidoras de um mesmo órgão público do Poder Executivo Federal. Em um treinamento, ao lidar com certa situação, observou-se que cada uma delas tomou uma das seguintes atitudes: A1: deixou de utilizar avanços técnicos e científicos que estavam ao seu alcance; A2: alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências; A3: buscou evitar situações procrastinatórias. Cada uma dessas atitudes, que pode ou não estar de acordo com o Código de Ética Profissional do Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal (CEP), foi tomada por exatamente uma das servidoras. Além disso, sabe-se que a servidora Renata tomou a atitude A3 e que a servidora Roberta não tomou a atitude A1. Essas informações estão comtempladas na tabela a seguir, em cada célula, correspondente ao cruzamento de uma linha com uma coluna, foi preenchida com V(verdadeiro) ou F(falso) caso contrário. . 64 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  A1 A2 A3 Roberta F Rejane Renata V Com base nessas informações, julgue o item seguinte: Se p for a proposição “Rejane alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências” e q for a proposição” Renata buscou evitar situações procrastinatórias”, então a proposição p→q tem valor lógico V. Certo ou errado? 07. (FCC - Oficial de Justiça - TJ/PE) Suponha que exista uma pessoa que só fala mentiras as terças, quartas e quintas-feiras, enquanto que, nos demais dias da semana, só fala a verdade. Nessas condições, somente em quais dias da semana seria possível ela fazer a afirmação “Eu menti ontem e também mentirei amanha”? (A) Terça e quinta-feira. (B) Terça e sexta-feira. (C) Quarta e quinta-feira. (D) Quarta-feira e sábado. (E) Quinta-feira e domingo. 08. Na análise de um argumento, podem-se evitar considerações subjetivas, por meio da reescrita das proposições envolvidas na linguagem da lógica formal. Considere que P, Q, R e S sejam proposições e que “”, “”, “” e “” sejam os conectores lógicos que representam, respectivamente, “e”, “ou”, “negação” e o “conector condicional”. Considere também a proposição a seguir: Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus ou de metrô, ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado. Assinale a opção que expressa corretamente a proposição acima em linguagem da lógica formal, assumindo que: P= “Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus”; Q= “Quando Paulo vai ao trabalho de metrô”; R= “ele sempre leva um guarda-chuva”; S= “ele sempre leva dinheiro trocado”. (A) P (Q  R) (B) (P  Q)  R (C) (P  Q)  (R  S) (D) P  (Q  (R  S)) 09. Considere as proposições p: Está frio e q: Está chovendo. Traduza para linguagem corrente as seguintes proposições: (A) p v ~q (B) p → q (C) ~p ∧ ~q (D) p ↔ ~q (E) (p v ~q) ↔ (q ∧ ~p) 10. Considere as proposições p: A Terra é um planeta e q: A Terra gira em torno do Sol. Traduza para linguagem simbólica as seguintes proposições: (A) Não é verdade: que a Terra é um planeta ou gira em torno do Sol. (B) Se a Terra é um planeta então a Terra gira em torno do Sol. (C) É falso que a Terra é um planeta ou que não gira em torno do Sol. (D) A Terra gira em torno do Sol se, e somente se, a Terra não é um planeta. (E) A Terra não é nem um planeta e nem gira em torno do Sol. (Expressões da forma “não é nem p e nem q” devem ser vistas como “não p e não q”) . 65 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  11. Escreva a negação das seguintes proposições numa sentença o mais simples possível. (A) É falso que não está frio ou que está chovendo. (B) Se as ações caem aumenta o desemprego. (C) Ele tem cabelos louros se e somente se tem olhos azuis. (D) A condição necessária para ser um bom matemático é saber lógica. (E) Jorge estuda física mas não estuda química. (Expressões da forma “p mas q” devem ser vistas como “ p e q”) 12. Dada a condicional: “Se p é primo então p = 2 ou p é ímpar”, determine: (A) a contrapositiva (B) a recíproca 13. (A) Supondo V(p Λ q ↔ r v s) = F e V(~r Λ ~s) = V, determine V(p → r Λs). (B) Supondo V(p Λ (q v r)) = V e V (p v r → q) = F, determine V(p), V(q) e V(r). (C) Supondo V(p→ q) = V, determine V(p Λ r → q Λ r) e V(p v r → q v r). 14. Utilizando as propriedades das operações lógicas, simplifique as seguintes proposições: (A) (p v q) Λ ~p (B) p Λ (p → q) Λ (p →~q) (C) p Λ (p v q) → (p v q) Λ q (D) ~(p → q) Λ ((~p Λ q) v ~(p v q)) (E) ~p → (p v ~(p v ~q)) 15. Escrever as expressões relativas aos circuitos. Simplificá-las e fazer novos esquemas. (A) (B) 16. Verifique a validade ou não dos seguintes argumentos sem utilizar tabela-verdade: (A) p v q, ~r v ~q ╞ ~p → ~r (B) p → q v r, q → ~p, s → ~r ╞ ~(p ∧ s) (C) p → q, r → s, p v s ╞ q v r (D) Se o déficit público não diminuir, uma condição necessária e suficiente para inflação cair é que os impostos sejam aumentados. Os impostos serão aumentados somente se o déficit público não diminuir. Se a inflação cair, os impostos não serão aumentados. Portanto, os impostos não serão aumentados. 17. Dê o conjunto-verdade em R das seguintes sentenças abertas: (A) x² + x – 6 = 0 → x² - 9 = 0 (B) x² > 4 ↔ x² - 5x + 6 = 0 18. Dê a negação das seguintes proposições: (A) Existem pessoas inteligentes que não sabem ler nem escrever. (B) Toda pessoa culta é sábia se, e somente se, for inteligente. (C) Para todo número primo, a condição suficiente para ser par é ser igual a 2. . 66 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  19. Demonstre as relações abaixo utilizando as equivalências notáveis: (A) p  q  r  (p  q)  (p  r) (B) p  q  r  (p  q)  (p  r) (C) p  (r  s  t)  (p  r)  (p  s)  (p  t) (D) p  q  r  p  (q  r) (E) ~(~p  ~q)  ~p  q 20. Demonstre, utilizando as equivalências notáveis, que as relações de implicação são válidas: (A) Exemplo: Regra da simplificação: p  q  q Para provarmos uma relação de implicação temos que demonstrar que a condicional p  q  q é tautológica, ou seja, que a condicional p  q  q  V Desenvolvendo o lado esquerdo da equivalência, tem-se: p  q  q  (aplicando-se a equiv. de reescrita da condicional) ~(p  q)  q  (aplicando-se a Lei de Morgan) ~p  ~q  q  (aplicando-se lei complementar, ~q  q é uma tautologia) ~p  V  (pela lei da identidade ~p  V é um tautologia) V Portanto, está provado que p  q  q é uma tautologia (B) Regra da adição: p  p  q (C) Regra do Silogismo Disjuntivo: (p  q)  ~q  p (D) Regra de Modus Ponens: (p  q)  p  q (E) Regra de Modus Tollens: (p  q)  ~q  ~p 21. Usando as regras de equivalência, mostre a seguinte tautologia: (p → q) → r ⇔ r ∨ (p ∧ ~q) 22. Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo, (A) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês. (B) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês. (C) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol. (D) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano. (E) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês. 23. Sabe-se que todo o número inteiro n maior do que 1 admite pelo menos um divisor (ou fator) primo.Se n é primo, então tem somente dois divisores, a saber, 1 e n. Se n é uma potência de um primo p, ou seja, é da forma ps, então 1, p, p2, ..., ps são os divisores positivos de n. Segue-se daí que a soma dos números inteiros positivos menores do que 100, que têm exatamente três divisores positivos, é igual a: (A) 25 (B) 87 (C) 112 (D) 121 (E) 169 24. Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica. Por outro lado, se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de Lógica, então: (A) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil. (B) Lógica é fácil e Geografia é difícil. (C) Lógica é fácil e Geografia é fácil. (D) Lógica é difícil e Geografia é difícil. (E) Lógica é difícil ou Geografia é fácil. 25. Três suspeitos de haver roubado o colar da rainha foram levados à presença de um velho e sábio professor de Lógica. Um dos suspeitos estava de camisa azul, outro de camisa branca e o outro de camisa preta. Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos é culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e às vezes mente. Sabe-se, também, que dos outros dois (isto é, dos suspeitos que são inocentes), um . 67 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  sempre diz a verdade e o outro sempre mente. O velho e sábio professor perguntou, a cada um dos suspeitos, qual entre eles era o culpado. Disse o de camisa azul: “Eu sou o culpado”. Disse o de camisa branca, apontando para o de camisa azul: “Sim, ele é o culpado”. Disse, por fim, o de camisa preta: “Eu roubei o colar da rainha; o culpado sou eu”. O velho e sábio professor de Lógica, então, sorriu e concluiu corretamente que: (A) O culpado é o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente. (B) O culpado é o de camisa branca e o de camisa preta sempre mente. (C) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre mente. (D) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre diz a verdade. (E) O culpado é o de camisa azul e o de camisa azul sempre diz a verdade. 26. O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo, e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Logo: (A) A duquesa foi ao jardim ou o Conde encontrou a princesa. (B) Se o duque não saiu do castelo, então o Conde encontrou a princesa. (C) O rei não foi à caça e o Conde não encontrou a princesa. (D) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim. (E) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça. 27. (PC-DF - Perito Criminal – FUNIVERSA) Cinco amigos encontraram-se em um bar e, depois de algumas horas de muita conversa, dividiram igualmente a conta, a qual fora de, exatos, R$ 200,00, já com a gorjeta incluída. Como se encontravam ligeiramente alterados pelo álcool ingerido, ocorreu uma dificuldade no fechamento da conta. Depois que todos julgaram ter contribuído com sua parte na despesa, o total colocado sobre a mesa era de R$ 160,00, apenas, formados por uma nota de R$ 100,00, uma de R$ 20,00 e quatro de R$ 10,00. Seguiram-se, então, as seguintes declarações, todas verdadeiras: Antônio: — Basílio pagou. Eu vi quando ele pagou. Danton: — Carlos também pagou, mas do Basílio não sei dizer. Eduardo: — Só sei que alguém pagou com quatro notas de R$ 10,00. Basílio: — Aquela nota de R$ 100,00 ali foi o Antônio quem colocou, eu vi quando ele pegou seus R$ 60,00 de troco. Carlos: — Sim, e nos R$ 60,00 que ele retirou, estava a nota de R$ 50,00 que o Eduardo colocou na mesa. Imediatamente após essas falas, o garçom, que ouvira atentamente o que fora dito e conhecia todos do grupo, dirigiu-se exatamente àquele que ainda não havia contribuído para a despesa e disse: — O senhor pretende usar seu cartão e ficar com o troco em espécie? Com base nas informações do texto, o garçom fez a pergunta a (A) Antônio. (B) Basílio. (C) Carlos. (D) Danton. (E) Eduardo. 28. (ESAF - Auditor Fiscal da Receita Federal) Caso ou compro uma bicicleta. Viajo ou não caso. Vou morar em Passárgada ou não compro uma bicicleta. Ora, não vou morar em Passárgada. Assim, (A) não viajo e caso. (B) viajo e caso. (C) não vou morar em Passárgada e não viajo. (D) compro uma bicicleta e não viajo. (E) compro uma bicicleta e viajo. 29. (FCC - TST - Técnico Judiciário) A declaração abaixo foi feita pelo gerente de recursos humanos da empresa X durante uma feira de recrutamento em uma faculdade: “Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde e ganha mais de R$ 3.000,00 por mês”. Mais tarde, consultando seus arquivos, o diretor percebeu que havia se enganado em sua declaração. Dessa forma, conclui-se que, necessariamente, (A) dentre todos os funcionários da empresa X, há um grupo que não possui plano de saúde. . 68 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (B) o funcionário com o maior salário da empresa X ganha, no máximo, R$ 3.000,00 por mês. (C) um funcionário da empresa X não tem plano de saúde ou ganha até R$ 3.000,00 por mês. (D) nenhum funcionário da empresa X tem plano de saúde ou todos ganham até R$ 3.000,00 por mês. (E) alguns funcionários da empresa X não têm plano de saúde e ganham, no máximo, R$ 3.000,00 por mês. 30. (CESGRANRIO - Chesf - Analista de Sistemas) Se hoje for uma segunda ou uma quarta-feira, Pedro terá aula de futebol ou natação. Quando Pedro tem aula de futebol ou natação, Jane o leva até a escolinha esportiva. Ao levar Pedro até a escolinha, Jane deixa de fazer o almoço e, se Jane não faz o almoço, Carlos não almoça em casa. Considerando-se a sequência de implicações lógicas acima apresentadas textualmente, se Carlos almoçou em casa hoje, então hoje (A) é terça, ou quinta ou sexta-feira, ou Jane não fez o almoço. (B) Pedro não teve aula de natação e não é segunda-feira. (C) Carlos levou Pedro até a escolinha para Jane fazer o almoço. (D) não é segunda, nem quarta, mas Pedro teve aula de apenas uma das modalidades esportivas. (E) não é segunda, Pedro não teve aulas, e Jane não fez o almoço. 31. (VUNESP- TJM-SP) Se afino as cordas, então o instrumento soa bem. Se o instrumento soa bem, então toco muito bem. Ou não toco muito bem ou sonho acordado. Afirmo ser verdadeira a frase: não sonho acordado. Dessa forma, conclui-se que (A) sonho dormindo. (B) o instrumento afinado não soa bem. (C) as cordas não foram afinadas. (D) mesmo afinado o instrumento não soa bem. (E) toco bem acordado e dormindo. Respostas 01. Resposta: E. P: O número inteiro m>2 é primo Q: o número m é ímpar Então temos: p→q A negação de uma condicional é dada por: p^~q Portanto: O número inteiro m>2 é primo e o número m não é ímpar 02. Resposta: C. Hipótese 1 Hipótese 2 Hipótese 3 Hipótese 4 I F V V V II V F V V III V V F V IV V V V F Essas duas hipóteses não se contradizem, podemos começar analisando por elas. Veja que a hipótese 2 nos diz que o número é 1 (I-Verdadeiro) e o número é 3(III-Verdadeiro) Na hipótese 4 a mesma situação. Agora, comparando as hipóteses 1 e 2, percebemos que somente na afirmação II, elas são verdadeiras. Quer dizer que: o número não é 2. Portanto, a afirmação II é verdadeira. 03. Resposta: E. RvS→T Para a condicional ser falsa, devemos ter: V→F Portanto a afirmação (T: Rosa é engenheira) tem que ser falsa. E para RvS ser verdadeira, as duas só não podem ser falsas. Lembrando pela tabela verdade de cada uma: Condicional . 69 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Disjunção 04. Resposta: E. Aqui estamos tratando de uma proposição composta (Se você se esforçar então irá vencer) formada por duas proposições simples (você se esforçar) (irá vencer), ligadas pela presença do conectivo (→) “se então”. O conectivo “se então” liga duas proposições simples da seguinte forma: Se p então q, ou seja: → p será uma proposição simples que por estar antes do então é também conhecida como antecedente → q será uma proposição simples que por estar depois do então é também conhecida como consequente → Se p então q também pode ser lido como p implica em q → p é conhecida como condição suficiente para que q ocorra, ou seja, basta que p ocorra para q ocorrer. → q é conhecida como condição necessária para que p ocorra, ou seja, se q não ocorrer então p também não irá ocorrer. Logo a seguir está a tabela verdade do “se então”. Tabela Verdade é a forma de representar todas as combinações possíveis de valores verdadeiros ou falsos de determinadas proposições, sejam elas simples ou compostas. Observe que para quaisquer valores lógicos de p e q (na realidade uma combinação de valores de verdadeiros e falsos poderá ocorrer e está sendo estudada logo abaixo). O número de linhas de uma tabela verdade é dado por: 2n onde n = número de proposições simples. Na tabela verdade são duas proposições simples e ao todo 22 = 4 linhas. p q pq V V V V F F F F V F V V Poderíamos resumir a tabela verdade do conectivo “se então” pela seguinte regra: “A implicação p→q só será FALSA quando p for VERDADEIRA e q for FALSA, nesta ordem”. Observe que estamos falando da segunda linha. Observe também que todos os demais valores lógicos de p→q que não se tratam da regra passam a ser verdadeiros (1ª, 3ª e 4ª linhas). Agora por definição informamos que dado que p→q se verifica então também se verifica que ~q→~p. Para analisarmos esta afirmação devemos conhecer um novo conectivo, o conectivo “não” ou “negação”, cuja tabela verdade se verifica a seguir: p ~p V F F V O “~” representa o conectivo “não” e a tabela verdade do conectivo não é a inversão do valor lógico da proposição, vejamos, se a proposição p é verdadeira, então ~p é falsa e viceversa, se a proposição p é falsa, ~p é verdadeira. Desse modo vamos comprovar o que foi afirmado logicamente, ou seja, dado que p→q posso afirmar que negando a condição necessária eu nego a condição suficiente, observe através da tabela verdade: . 70 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  p q ~p ~q pq ~q~p V V F F V V V F F V F F F V V F V V F F V V V V Observe que para a mesma entrada de valores (V) ou (F) as colunas que representam os possíveis valores de p→q e de ~q→~p são exatamente iguais, o que equivale a afirmar que são expressões logicamente equivalentes. Sabendo um pouco mais a respeito do “se então” vamos ao exercício: Se você se esforçar então irá vencer → você se esforçar é a proposição p também conhecida como antecedente. → irá vencer é a proposição q também conhecida como consequente. → você se esforçar é a proposição p também conhecida como condição suficiente para que ocorra q→ irá vencer é a proposição q também conhecida como condição necessária para que ocorra q→. Dado p→q é uma equivalente lógica de: ~q→~p. Ou seja, Se você se esforçar então irá vencer é uma equivalente lógica de Se você não venceu então você não se esforçou. Observe que p e q podem ser quaisquer conjuntos de palavras ou símbolos que expressam um sentido completo, por mais absurdo que pareça basta estar na forma do conectivo “se então” que as regras acima transpostas estão logicamente corretas. Vamos analisar as alternativas: Se você se esforçar então irá vencer. Assim sendo, a) errada, a alternativa “A” encontra erro uma vez que você se esforçar é a condição suficiente para que você vença, ou seja, basta que você se esforce que você irá vencer, e a afirmação nega isto. b) errada, na forma p→q, o p é o antecedente e condição suficiente para que q ocorra. c) errada, esta afirmação sempre vai cair em prova. Cuidado: Sempre vai levar muitos candidatos ao erro, ao afirmar: Se você se esforçar então irá vencer a única conclusão possível é de que basta que você se esforce que você irá vencer, e se você não se esforçar, ora se não ocorreu a condição suficiente nada posso afirmar, se você não se esforçar você poderá ou não vencer. Na tabela verdade é possível comprovar que (Se você se esforçar então irá vencer p→q) e (Se você não se esforçar então não irá vencer ~p→~q) não são equivalentes lógicas. Observe que as proposições p→q e ~p→~q não apresentam os mesmos valores lógicos, ou seja, afirmar uma não quer dizer afirmar a outra. d) errada, você vencerá só se se esforçar, indica que seu esforço é condição necessária para você vencer, o que não é verdade. e) correta, seu esforço (você se esforçar) é condição suficiente para que você vença. 05. Resposta: Errado. Analisando as proposições: A: “A prática do racismo é crime afiançável”- é falsa B: “A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado” - é verdadeira; C: “Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado” - é falsa. Então, a proposição composta “B - C” pode ser traduzida em “V > F” e, pela regra do conectivo → (implica), a proposição composta terá valor lógico F. 06. Resposta: Certo. Sabendo que cada uma das servidoras tomou apenas uma das atitudes, basta completar a tabela de acordo com os dados do enunciado: A1 A2 A3 Roberta F V F Rejane V F F Renata F F V Analisando a questão: Como (a proposição p) “Rejane alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências” tem valor lógico F e (a proposição q) “Renata buscou evitar situações procrastinatórias” tem valor lógico V, a proposição “p → q” pode ser traduzida em “F → V” e, pela regra do conectivo → (implica), o valor lógico da proposição é V. 07. Resposta: A. Pelo enunciado, sabemos que a pessoa só fala mentiras as terças, quartas e quintas-feiras. Com o conectivo “e”, para se ter uma verdade, ambas as sentenças devem ser verdadeiras. Assim, nesse problema, é preciso analisar dia a dia e procurar um em que não ocorra contradição. . 71 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  - Domingo, segunda, sexta, sábado: a sentença é falsa, pois nesses dias a pessoa fala a verdade. Portanto, temos uma contradição. - Terça e quinta: a sentença é falsa, mas como a pessoa sempre mente na terça e na quinta, não há contradição. - Quarta: a sentença é verdadeira, mas como a pessoa mente na quarta, há contradição. Então, a alternativa “A” satisfaz ao enunciado. 08. Resposta: C. A proposição composta original possui uma divisão principal, que é o fato de Paulo trabalhar de ônibus ou metrô; outro aspecto é o fato de ele levar guarda-chuva e dinheiro trocado. Portanto, o conectivo  é o principal, interligando as duas partes da proposição. Na primeira parte da proposição, ou Paulo vai ao trabalho de ônibus ou vai de metrô. Nesse caso, essa proposição é interligada pelo conectivo “ou”: P  Q. Já na parte final da proposição, como ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado, essa parte da proposição é interligada pelo conectivo “e”: R  S. Reunindo então as duas partes da proposição original, obtém-se (P  Q)  (R  S). 09.(A) “Não está frio e não está chovendo”. (B) “Está frio se e somente se está chovendo”. (C) “Não esta frio e não esta chovendo”. (D) “Está frio se somente se não esta chovendo”. (E) “Está frio ou não esta chovendo se e somente se esta chovendo e não esta frio”. 10.(A) ~(p v q) (B) p → q (C) ~(p v ~q) (D) q ↔ ~p (E) ~p ∧ ~q 11.(A) “Não está frio ou está chovendo”. (B) “As ações caem e não aumenta o desemprego”. (C) “Ele tem cabelos louros e não tem olhos azuis ou ele tem olhos azuis e não tem cabeloslouros”. (D) A proposição é equivalente a “Se é um bom matemático então sabe lógica” cuja negação é “É um bom matemático e não sabe lógica”. (E) “Jorge não estuda lógica ou estuda química”. 12.(A) contrapositiva: “Se p ≠ 2 e p é par então p não é primo”. (B) recíproca: “Se p = 2 ou p é ímpar então p é primo”. 13.(A) Supondo V(p Λ q ↔ r v s) = F(1) e V(~r Λ ~s) = V (2), determine V(p → r Λ s). Solução: De (2) temos que V (r) = V(s) = F; Usando estes resultados em (1) obtemos: V(p) = V(q) = V, logo, V(p → r Λ s) = F (B) Supondo V(p Λ (q v r)) = V (1) e V(p v r → q) = F (2), determine V(p), V(q) e V(r). Solução: De (1) concluimos que V(p) = V e V(q v r) = V e de (2) temos que V(q) = F, logo V (r) = V. (C) Supondo V(p → q) = V, determine V(p Λ r → q Λ r) e V(p v r → q v r). Solução: Vamos supor V(p Λ r →q Λ r) = F. Temos assim que V(p Λ r) = V e V(q Λ r) = F, o que nos permite concluir que V(p) = V(r) = V e V(q) = F, o que contradiz V(p → q) = V. Logo, V(p v r → q v r) = V. Analogamente, mostramos que V(p v r → q v r) = V. 14. (A) (p∨q) ∧ ~p ↔ (p∧~p) ∨ (q∧~p) ↔ F ∨ (q∧~p) ↔ (q∧~p) (B) p ∧ (p→q) ∧ (p→~p) ↔ p ∧ (~p∨q) ∧ (~p∨~q) ↔ p ∧ ((~p ∨ (q∧~q)) ↔ p ∧ (~p ∨ F) ↔ p ∧ ~p ↔ F (C) p ∧ (p∨q) → (p ∨q) ∧ q ↔ p→q (D) ~(p→q) ∧ ((~p∧q)) ↔ (p∧~q) ∧ ((~p∧q) ∨ (~p∧~q)) (p∧~q) ∧ ((~p ∧ (q∨~q)) ↔ (p∧~q) ∧ (~p∧V) ↔ (p∧~q) ∧ ~p . 72 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (p∧~p) ∧ ~q ↔ F ∧ ~q ↔ F (E) ~p → (p ∨ ~(p∨~q)) ↔ p ∨ (p ∨ ~(p∨~q)) ↔ (p ∨ (~p∧q)) ↔ (p∨~p) ∧ (p∨q) ↔ V ∧ (p∨q) ↔ p∨q 15. (A) (p∧q) ∨ ((p∧q) ∨ q) ∧ p ↔ ((p∧q) ∧ p ↔ q∧p (B) ((p∨q) ∧ r)) ∨ ((q∧r) ∨ q)) ↔ ((p∨q) ∧ r) ∨ q ↔ (p∨q∨q) ∧ (r∨q) ↔ (p∨q) ∧ (r∨q) ↔ q ∨ (p∧r) 16. (A) Válido (B) Válido (C) Sofisma. Considerando V(p) = V(q) = V( r ) = F e V(s) = V, todas as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa. (D) Considere p: O déficit público não diminui; q: A inflação cai; r: Os impostos são aumentados. Analise o argumento: p → (q↔r), r →p, q →~r ╞ ~r (Válido) 17. (A) R- {2} (B) [-2, 2[ 18. (A) “Todas as pessoas inteligentes sabem ler ou escrever”. (B) “Existe pessoa culta que é sábia e não é inteligente ou que é inteligente e não é sábia”. (C) “Existe um número primo que é igual a 2 e não é 19. (A) p  q  r  (p  q)  (p  r) pqr ~p  (q  r)  (reescrita da condicional) (~p  q)  (~p  r)  (distributiva) (p  q)  (p  r) (reescrita da condicional) (B) p  q  r  (p  q)  (p  r) pqr ~p  (q  r)  (reescrita da condicional) ~p  q  r  (associativa) ~p  ~p  q  r  (idempotente, adicionei um ~p, pois ~p  ~p  ~p) (~p  q)  (~p  r)  (associativa) (p  q)  (p  r) (reescrita da condicional) (C) p  (r  s  t)  (p  r)  (p  s)  (p  t) p  (r  s  t)  p  (r  (s  t))  (associativa em s  t) (p  r)  (p  (s  t))  (distributiva) (p  r)  (p  s)  (p  t) (distributiva) (D) p  q  r  p  (q  r) pqr ~(p  q)  r  (reescrita da condicional) ~p  ~q  r  (De Morgan) ~p  (~q  r)  (associativa) ~p  (q  r)  (reescrita da condicional) p  (q  r) (reescrita da condicional) . 73 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (E) ~(~p  ~q)  ~p  q ~(~p  ~q)  ~(~~p  ~q)  (reescrita da condicional) ~(p  ~q)  (dupla negação) ~p  ~~q  (De Morgan) ~p  q (dupla negação) 20. (B) Regra da adição: p  p  q p  p  q  V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia) ~p  (p  q)  (condicional) ~p  p  q  (associativa) V  q  (complementares ~p  p) V (identidade) (C) Regra do Silogismo Disjuntivo: (p  q)  ~q  p (p  q)  ~q  p  V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia) (p  ~q)  (q  ~q)  p  (distributiva) (p  ~q)  F  p  (complementares) (p  ~q)  p  (identidade) ~(p  ~q)  p  (condicional) ~p  ~q  p  (De Morgan) (~p  p)  ~q  (associativa) V  ~q  (complementares) V (identidade) (D) Regra de Modus Ponens: (p  q)  p  q (p  q)  p  q  V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia) (~p  q)  q  q  (condicional) (q  ~p)  (q  q)  q  (distributiva) (q  ~p)  q  q  (idempotente) ~((q  ~p)  q)  q  (condicional) (~(q  ~p)  ~q)  q  (De Morgan) ((~q  p)  ~q)  q  (De Morgan) (~q  ~q)  (~q  p)  q  (distributiva) ~q  (~q  p)  q  (idempotente) (~q  q)  (~q  p)  (associativa) V  (~q  p)  (complementares) V (identidade) (E) Regra de Modus Tollens: (p  q)  ~q  ~p (p  q)  ~q  ~p  V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia) (~p  q)  ~q  ~p  (De Morgan) (~q  ~p)  (~q  q)  ~p  (Distributiva) (~q  ~p)  F  ~p  (Complementares) (~q  ~p)  ~p  (Identidade) ~(~q  ~p)  ~p  (condicional) ~~q  ~~p  ~p  (De Morgan) q  p  ~p  (Dupla Negação) q  V  (complementares) V 21. Mostraremos que (p → q) → r ⇔ r ∨ (p ∧ ~q) é uma tautologia, de fato: . 74 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Ordem Proposição 1 (p → q) → r ⇔ 2 ⇔(~p ∨ q) → r ⇔ 3 ⇔~(~p ∨ q) ∨ r ⇔ 4 ⇔ r ∨ ~(~p ∨ q) 5 r ∨ (p ∧ ~q) 22. (P1) Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. (P2) Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. (P3) Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. (P4) Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. (P5) Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Ao todo são cinco premissas, formadas pelos mais diversos conectivos (Se então, Ou, Se e somente se, E). Mas o que importa para resolver este tipo de argumento lógico é que ele só será válido quando todas as premissas forem verdadeiras, a conclusão também for verdadeira. Uma boa dica é sempre começar pela premissa formada com o conectivo e. Na premissa 5 tem-se: Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo para esta proposição composta pelo conectivo e ser verdadeira as premissas simples que a compõe deverão ser verdadeiras, ou seja, sabemos que: Francisco não fala francês Ching não fala chinês Na premissa 4 temos: Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Temos uma proposição composta formada pelo se e somente se, neste caso, esta premissa será verdadeira se as proposições que a formarem forem de mesmo valor lógico, ou ambas verdadeiras ou ambas falsas, ou seja, como se deseja que não seja verdade que Francisco não fala francês e ele fala, isto já é falso e o antecedente do se e somente se também terá que ser falso, ou seja: Elton não fala espanhol. Da premissa 3 tem-se: Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Uma premissa composta formada por outras duas simples conectadas pelo se então (veja que a vírgula subentende que existe o então), pois é, a regra do se então é que ele só vai ser falso se o seu antecedente for verdadeiro e o seu consequente for falso, da premissa 4 sabemos que Elton não fala espanhol, logo, para que a premissa seja verdadeira só poderemos aceitar um valor lógico possível para o antecedente, ou seja, ele deverá ser falso, pois F Î F = V, logo: Débora não fala dinamarquês. Da premissa 2 temos: Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Vamos analisar o consequente do se então, observe: ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. (temos um ou exclusivo, cuja regra é, o ou exclusivo, só vai ser falso se ambas forem verdadeiras, ou ambas falsas), no caso como Ching não fala chinês e Débora não fala dinamarquês, temos: F ou exclusivo F = F. Se o consequente deu falso, então o antecedente também deverá ser falso para que a premissa seja verdadeira, logo: Iara não fala italiano. Da premissa 1 tem-se: Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Ora ocorreu o antecedente, vamos reparar no consequente... Só será verdadeiro quando V Î V = V pois se o primeiro ocorrer e o segundo não teremos o Falso na premissa que é indesejado, desse modo: Ana fala alemão. Observe que ao analisar todas as premissas, e tornarmos todas verdadeiras obtivemos as seguintes afirmações: Francisco não fala francês Ching não fala chinês Elton não fala espanhol Débora não fala dinamarquês Iara não fala italiano Ana fala alemão. A única conclusão verdadeira quando todas as premissas foram verdadeiras é a da alternativa (A), resposta do problema. 23. Resposta: B. O número que não é primo é denominado número composto. O número 4 é um número composto. Todo número composto pode ser escrito como uma combinação de números primos, veja: 70 é um número composto formado pela combinação: 2 x 5 x 7, onde 2, 5 e 7 são números primos. O problema informou que um número primo tem com certeza 3 divisores quando puder ser escrito da forma: 1 p p 2, onde p é um número primo. . 75 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Observe os seguintes números: 1 2 22 (4) 1 3 3² (9) 1 5 5² (25) 1 7 7² (49) 1 11 11² (121) Veja que 4 têm apenas três divisores (1, 2 e ele mesmo) e o mesmo ocorre com os demais números 9, 25, 49 e 121 (mas este último já é maior que 100) portanto a soma dos números inteiros positivos menores do que 100, que têm exatamente três divisores positivos é dada por: 4 + 9 + 25 + 49 = 87. 24. Resposta: B. O Argumento é uma sequência finita de proposições lógicas iniciais (Premissas) e uma proposição final (conclusão). A validade de um argumento independe se a premissa é verdadeira ou falsa, observe a seguir: Todo cavalo tem 4 patas (P1) Todo animal de 4 patas tem asas (P2) Logo: Todo cavalo tem asas (C) Observe que se tem um argumento com duas premissas, P1 (verdadeira) e P2 (falsa) e uma conclusão C. Veja que este argumento é válido, pois se as premissas se verificarem a conclusão também se verifica: (P1) Todo cavalo tem 4 patas. Indica que se é cavalo então tem 4 patas, ou seja, posso afirmar que o conjunto dos cavalos é um subconjunto do conjunto de animais de 4 patas. (P2) Todo animal de 4 patas tem asas. Indica que se tem 4 patas então o animal tem asas, ou seja, posso afirmar que o conjunto dos animais de 4 patas é um subconjunto do conjunto de animais que tem asas. (C) Todo cavalo tem asas. Indica que se é cavalo então tem asas, ou seja, posso afirmar que o conjunto de cavalos é um subconjunto do conjunto de animais que tem asas. Observe que ao unir as premissas, a conclusão sempre se verifica. Toda vez que fizermos as premissas serem verdadeiras, a conclusão também for verdadeira, estaremos diante de um argumento válido. Observe: Desse modo, o conjunto de cavalos é subconjunto do conjunto dos animais de 4 patas e este por sua vez é subconjunto dos animais que tem asas. Dessa forma, a conclusão se verifica, ou seja, todo cavalo tem asas. Agora na questão temos duas premissas e a conclusão é uma das alternativas, logo temos um argumento. O que se pergunta é qual das conclusões possíveis sempre será verdadeira dadas as premissas sendo verdadeiras, ou seja, qual a conclusão que torna o argumento válido. Vejamos: Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica (P1) Se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. (P2) Artur gosta de Lógica (P3) . 76 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Observe que deveremos fazer as três premissas serem verdadeiras, inicie sua análise pela premissa mais fácil, ou seja, aquela que já vai lhe informar algo que deseja, observe a premissa três, veja que para ela ser verdadeira, Artur gosta de Lógica. Com esta informação vamos até a premissa um, onde temos a presença do “ou exclusivo” um ou especial que não aceita ao mesmo tempo que as duas premissas sejam verdadeiras ou falsas. Observe a tabela verdade do “ou exclusivo” abaixo: p q pVq V V F V F V F V V F F F Sendo as proposições: p: Lógica é fácil q: Artur não gosta de Lógica p v q = Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica (P1) Observe que só nos interessa os resultados que possam tornar a premissa verdadeira, ou seja, as linhas 2 e 3 da tabela verdade. Mas já sabemos que Artur gosta de Lógica, ou seja, a premissa q é falsa, só nos restando a linha 2, quer dizer que para P1 ser verdadeira, p também será verdadeira, ou seja, Lógica é fácil. Sabendo que Lógica é fácil, vamos para a P2, temos um se então. Se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Do se então já sabemos que: Geografia não é difícil - é o antecedente do se então. Lógica é difícil - é o consequente do se então. Chamando: r: Geografia é difícil ~r: Geografia não é difícil (ou Geografia é fácil) p: Lógica é fácil (não p) ~p: Lógica é difícil ~r → ~p (lê-se se não r então não p) sempre que se verificar o se então tem-se também que a negação do consequente gera a negação do antecedente, ou seja: ~(~p) → ~(~r), ou seja, p → r ou Se Lógica é fácil então Geografia é difícil. De todo o encadeamento lógico (dada as premissas verdadeiras) sabemos que: Artur gosta de Lógica Lógica é fácil Geografia é difícil Vamos agora analisar as alternativas, em qual delas a conclusão é verdadeira: a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil. (V → F = F) a regra do “se então” é só ser falso se o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso, nas demais possibilidades ele será sempre verdadeiro. b) Lógica é fácil e Geografia é difícil. (V ^ V = V) a regra do “e” é que só será verdadeiro se as proposições que o formarem forem verdadeiras. c) Lógica é fácil e Geografia é fácil. (V ^ F = F) d) Lógica é difícil e Geografia é difícil. (F ^ V = F) e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil. (F v F = F) a regra do “ou” é que só é falso quando as proposições que o formarem forem falsas. 25. Resposta: A. Com os dados fazemos a tabela: Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos é culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e às vezes mente. Sabe-se, também, que dos outros dois (isto é, dos suspeitos que são inocentes), um sempre diz a verdade e o outro sempre mente. I) Primeira hipótese: Se o inocente que fala verdade é o de camisa azul, não teríamos resposta, pois o de azul fala que é culpado e então estaria mentindo. II) Segunda hipótese: Se o inocente que fala a verdade é o de camisa preta, também não teríamos . 77 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  resposta, observem: Se ele fala a verdade e declara que roubou ele é o culpado e não inocente. III) Terceira hipótese: Se o inocente que fala a verdade é o de camisa branca achamos a resposta, observem: Ele é inocente e afirma que o de camisa branca é culpado, ele é o inocente que sempre fala a verdade. O de camisa branca é o culpado que ora fala a verdade e ora mente (no problema ele está dizendo a verdade). O de camisa preta é inocente e afirma que roubou, logo ele é o inocente que está sempre mentindo. O resultado obtido pelo sábio aluno deverá ser: O culpado é o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente (Alternativa A). 26. Resposta: C. Uma questão de lógica argumentativa, que trata do uso do conectivo “se então” também representado por “→”. Vamos a um exemplo: Se o duque sair do castelo então o rei foi à caça. Aqui estamos tratando de uma proposição composta (Se o duque sair do castelo então o rei foi à caça) formada por duas proposições simples (duque sair do castelo) (rei ir à caça), ligadas pela presença do conectivo (→) “se então”. O conectivo “se então” liga duas proposições simples da seguinte forma: Se p então q, ou seja: → p será uma proposição simples que por estar antes do então é também conhecida como antecedente. → q será uma proposição simples que por estar depois do então é também conhecida como consequente. → Se p então q também pode ser lido como p implica em q. → p é conhecida como condição suficiente para que q ocorra, ou seja, basta que p ocorra para q ocorrer. → q é conhecida como condição necessária para que p ocorra, ou seja, se q não ocorrer então p também não irá ocorrer. Vamos às informações do problema: 1) O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo. Chamando A (proposição rei ir à caça) e B (proposição duque sair do castelo) podemos escrever que se B então A ou B → A. Lembre- se de que ser condição necessária é ser consequente no “se então”. 2) O rei ir à caça é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Chamando A (proposição rei ir à caça) e C (proposição duquesa ir ao jardim) podemos escrever que se A então C ou A → C. Lembre-se de que ser condição suficiente é ser antecedente no “se então”. 3) O conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir. Chamando D (proposição conde encontrar a princesa) e E (proposição barão sorrir) podemos escrever que D se e somente se E ou D ↔ E (conhecemos este conectivo como um bicondicional, um conectivo onde tanto o antecedente quanto o consequente são condição necessária e suficiente ao mesmo tempo), onde poderíamos também escrever E se e somente se D ou E → D. 4) O conde encontrar a princesa é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. Chamando D (proposição conde encontrar a princesa) e C (proposição duquesa ir ao jardim) podemos escrever que se C então D ou C → D. Lembre-se de que ser condição necessária é ser consequente no “se então”. A única informação claramente dada é que o barão não sorriu, ora chamamos de E (proposição barão sorriu). Logo barão não sorriu = ~E (lê-se não E). Dado que ~E se verifica e D ↔ E, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: esse modo ~E → ~D (então o conde não encontrou a princesa). Se ~D se verifica e C → D, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~D → ~C (a duquesa não foi ao jardim). Se ~C se verifica e A → C, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~C → ~A (então o rei não foi à caça). Se ~A se verifica e B → A, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~A → ~B (então o duque não saiu do castelo). Observe entre as alternativas, que a única que afirma uma proposição logicamente correta é a alternativa C, pois realmente deduziu-se que o rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa. 27. Resposta: D. Como todas as informações dadas são verdadeiras, então podemos concluir que: 1 - Basílio pagou; 2 - Carlos pagou; 3 - Antônio pagou, justamente, com os R$ 100,00 e pegou os R$ 60,00 de troco que, segundo Carlos, estavam os R$ 50,00 pagos por Eduardo, então... . 78 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  4 - Eduardo pagou com a nota de R$ 50,00. O único que escapa das afirmações é o Danton. Outra forma: 5 amigos: A,B,C,D, e E. Antônio: - Basílio pagou. Restam A, D, C e E. Danton: - Carlos também pagou. Restam A, D, e E. Eduardo: - Só sei que alguém pagou com quatro notas de R$ 10,00. Restam A, D, e E. Basílio: - Aquela nota de R$ 100,00 ali foi o Antônio. Restam D, e E. Carlos: - Sim, e nos R$ 60,00 que ele retirou, estava a nota de R$ 50,00 que o Eduardo colocou. Resta somente D (Dalton) a pagar. 28. Resposta: B. 1°: separar a informação que a questão forneceu: "não vou morar em passárgada". 2°: lembrando-se que a regra do ou diz que: para ser verdadeiro tem de haver pelo menos uma proposição verdadeira. 3°: destacando-se as informações seguintes: - caso ou compro uma bicicleta. - viajo ou não caso. - vou morar em passárgada ou não compro uma bicicleta. Logo: - vou morar em pasárgada (F) - não compro uma bicicleta (V) - caso (V) - compro uma bicicleta (F) - viajo (V) - não caso (F) Conclusão: viajo, caso, não compro uma bicicleta. Outra forma: c = casar b = comprar bicicleta v = viajar p = morar em Passárgada Temos as verdades: c ou b v ou ~c p ou ~b Transformando em implicações: ~c → b = ~b → c ~v → ~c = c → v ~p → ~b Assim: ~p → ~b ~b → c c→v Por transitividade: ~p → c ~p → v Não morar em passárgada implica casar. Não morar em passárgada implica viajar. 29. Resposta: C. A declaração dizia: “Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde e ganha mais de R$ 3.000,00 por mês”. Porém, o diretor percebeu que havia se enganado, portanto, basta que um funcionário não tenha plano de saúde ou ganhe até R$ 3.000,00 para invalidar, negar a declaração, tornando-a desse modo FALSA. Logo, necessariamente, um funcionário da empresa X não tem plano de saúde ou ganha até R$ 3.000,00 por mês. Proposição composta no conectivo “e” - “Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde e ganha mais de R$ 3.000,00 por mês”. Logo: basta que uma das proposições seja falsa para a declaração ser falsa. . 79 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  1ª Proposição: Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde. 2ª Proposição: ganha mais de R$ 3.000,00 por mês. Lembre-se que no enunciado não fala onde foi o erro da declaração do gerente, ou seja, pode ser na primeira proposição e não na segunda ou na segunda e não na primeira ou nas duas que o resultado será falso. Na alternativa C a banca fez a negação da primeira proposição e fez a da segunda e as ligaram no conectivo “ou”, pois no conectivo “ou” tanto faz a primeira ser verdadeira ou a segunda ser verdadeira, desde que haja uma verdadeira para o resultado ser verdadeiro. Atenção: A alternativa “E” está igualzinha, só muda o conectivo que é o “e”, que obrigaria que o erro da declaração fosse nas duas. A questão pede a negação da afirmação: Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde “e” ganha mais de R$ 3.000,00 por mês. Essa fica assim ~(p ^ q). A negação dela ~pv~q ~(p^q) ↔ ~pv~q (negação todas “e” vira “ou”) A 1ª proposição tem um Todo que é quantificador universal, para negá-lo utilizamos um quantificador existencial. Pode ser: um, existe um, pelo menos, existem... No caso da questão ficou assim: Um funcionário da empresa não possui plano de saúde “ou” ganha até R$ 3.000,00 por mês. A negação de ganha mais de 3.000,00 por mês, é ganha até 3.000,00. 30. Resposta: B. Sendo: Segunda = S e Quarta = Q, Pedro tem aula de Natação = PN e Pedro tem aula de Futebol = PF. V = conectivo ou e → = conectivo Se, ... então, temos: S V Q → PF V PN Sendo Je = Jane leva Pedro para a escolinha e ~Je = a negação, ou seja Jane não leva Pedro a escolinha. Ainda temos que ~Ja = Jane deixa de fazer o almoço e C = Carlos almoça em Casa e ~C = Carlos não almoça em casa, temos: PF V PN → Je Je → ~Ja ~Ja → ~C Em questões de raciocínio lógico devemos admitir que todas as proposições compostas são verdadeiras. Ora, o enunciado diz que Carlos almoçou em casa, logo a proposição ~C é Falsa. ~Ja → ~C Para a proposição composta ~Ja → ~C ser verdadeira, então ~Ja também é falsa. ~Ja → ~C Na proposição acima desta temos que Je → ~Ja, contudo já sabemos que ~Ja é falsa. Pela mesma regra do conectivo Se, ... então, temos que admitir que Je também é falsa para que a proposição composta seja verdadeira. Na proposição acima temos que PF V PN → Je, tratando PF V PN como uma proposição individual e sabendo que Je é falsa, para esta proposição composta ser verdadeira PF V PN tem que ser falsa. Ora, na primeira proposição composta da questão, temos que S V Q → PF V PN e pela mesma regra já citada, para esta ser verdadeira S V Q tem que ser falsa. Bem, agora analisando individualmente S V Q como falsa, esta só pode ser falsa se as duas premissas simples forem falsas. E da mesma maneira tratamos PF V PN. Representação lógica de todas as proposições: S V Q → PF V PN (f) (f) (f) (f) F F PF V PN → Je F F Je → ~Ja F F ~Ja → ~C F F . 80 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Conclusão: Carlos almoçou em casa hoje, Jane fez o almoço e não levou Pedro à escolinha esportiva, Pedro não teve aula de futebol nem de natação e também não é segunda nem quarta. Agora é só marcar a questão cuja alternativa se encaixa nesse esquema. 31. Resposta: C. Dê nome: A = AFINO as cordas; I = INSTRUMENTO soa bem; T = TOCO bem; S = SONHO acordado. Montando as proposições: 1° - A → I 2° - I → T 3° - ~T V S (ou exclusivo) Como S = FALSO; ~T = VERDADEIRO, pois um dos termos deve ser verdadeiro (equivale ao nosso “ou isso ou aquilo, escolha UM”). ~T = V T=F I→T (F) Em muitos casos, é um macete que funciona nos exercícios “lotados de condicionais”, sendo assim o F passa para trás. Assim: I = F Novamente: A → I (F) O FALSO passa para trás. Com isso, A = FALSO. ~A = Verdadeiro = As cordas não foram afinadas. Outra forma: partimos da premissa afirmativa ou de conclusão; última frase: Não sonho acordado será VERDADE Admita todas as frases como VERDADE Ficando assim de baixo para cima Ou não toco muito bem (V) ou sonho acordado (F) = V Se o instrumento soa bem (F) então toco muito bem (F) = V Se afino as cordas (F), então o instrumento soa bem (F) = V A dica é trabalhar com as exceções: na condicional só dá falso quando a primeira V e a segunda F. Na disjunção exclusiva (ou... ou) as divergentes se atraem o que dá verdade. Extraindo as conclusões temos que: Não toco muito bem, não sonho acordado como verdade. Se afino as corda deu falso, então não afino as cordas. Se o instrumento soa bem deu falso, então o instrumento não soa bem. Joga nas alternativas: (A) sonho dormindo (você não tem garantia de que sonha dormindo, só temos como verdade que não sonho acordado, pode ser que você nem sonhe). (B) o instrumento afinado não soa bem deu que: Não afino as cordas. (C) Verdadeira: as cordas não foram afinadas. (D) mesmo afinado (Falso deu que não afino as cordas) o instrumento não soa bem. (E) toco bem acordado e dormindo, absurdo. Deu não toco muito bem e não sonho acordado. PROBLEMAS DE RACIOCINIO LOGICO Este é um assunto muito cobrado em concursos e exige que o candidato tenha domínio de habilidades e conteúdos matemáticos (aritméticos, algébricos e geométricos) para sua resolução. Para que se ganhe gradativamente essas habilidades e o domínio dos conteúdos. Vejamos algumas questões que abordam o assunto. . 81 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Questões 01. (TJ/PI – Analista Judiciário – Escrivão Judicial – FGV/2015) Em um prédio há três caixas d'água chamadas de A, B e C e, em certo momento, as quantidades de água, em litros, que cada uma contém aparecem na figura a seguir. Abrindo as torneiras marcadas com x no desenho, as caixas foram interligadas e os níveis da água se igualaram. Considere as seguintes possibilidades: 1. A caixa A perdeu 300 litros. 2. A caixa B ganhou 350 litros. 3. A caixa C ganhou 50 litros. É verdadeiro o que se afirma em: (A) somente 1; (B) somente 2; (C) somente 1 e 3; (D) somente 2 e 3; (E) 1, 2 e 3. 02. (TJ/PI – Analista Judiciário – Escrivão Judicial – FGV/2015) Cada um dos 160 funcionários da prefeitura de certo município possui nível de escolaridade: fundamental, médio ou superior. O quadro a seguir fornece algumas informações sobre a quantidade de funcionários em cada nível: Fundamental Médio Superior Homens 15 30 Mulheres 13 36 Sabe-se também que, desses funcionários, exatamente 64 têm nível médio. Desses funcionários, o número de homens com nível superior é: (A) 30; (B) 32; (C) 34; (D) 36; (E) 38. 03. (CODEMIG – Advogado Societário – FGV/2015) Abel, Bruno, Caio, Diogo e Elias ocupam, respectivamente, os bancos 1, 2, 3, 4 e 5, em volta da mesa redonda representada abaixo. São feitas então três trocas de lugares: Abel e Bruno trocam de lugar entre si, em seguida Caio e Elias trocam de lugar entre si e, finalmente, Diogo e Abel trocam de lugar entre si. Considere as afirmativas ao final dessas trocas: • Diogo é o vizinho à direita de Bruno. • Abel e Bruno permaneceram vizinhos. • Caio é o vizinho à esquerda de Abel. • Elias e Abel não são vizinhos. É/são verdadeira(s): . 82 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (A) nenhuma afirmativa; (B) apenas uma; (C) apenas duas; (D) apenas três; (E) todas as afirmativas. 04. (TJ/PI – Analista Judiciário – Escrivão Judicial – FGV/2015) Francisca tem um saco com moedas de 1 real. Ela percebeu que, fazendo grupos de 4 moedas, sobrava uma moeda, e, fazendo grupos de 3 moedas, ela conseguia 4 grupos a mais e sobravam 2 moedas. O número de moedas no saco de Francisca é: (A) 49; (B) 53; (C) 57; (D) 61; (E) 65. 05. (DPU – Agente Administrativo – CESPE/2016) Em uma festa com 15 convidados, foram servidos 30 bombons: 10 de morango, 10 de cereja e 10 de pistache. Ao final da festa, não sobrou nenhum bombom e • quem comeu bombom de morango comeu também bombom de pistache; • quem comeu dois ou mais bombons de pistache comeu também bombom de cereja; • quem comeu bombom de cereja não comeu de morango. Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir. É possível que um mesmo convidado tenha comido todos os 10 bombons de pistache. ( ) Certo ( ) Errado 06. (DPU – Agente Administrativo – CESPE/2016) Em uma festa com 15 convidados, foram servidos 30 bombons: 10 de morango, 10 de cereja e 10 de pistache. Ao final da festa, não sobrou nenhum bombom e • quem comeu bombom de morango comeu também bombom de pistache; • quem comeu dois ou mais bombons de pistache comeu também bombom de cereja; • quem comeu bombom de cereja não comeu de morango. Com base nessa situação hipotética, julgue o item a seguir. Quem comeu bombom de morango comeu somente um bombom de pistache. ( ) Certo ( ) Errado Respostas 01. Resposta: C. Somando os valores contidos nas 3 caixas temos: 700 + 150 + 350 = 1200, como o valor da caixa será igualado temos: 1200/3 = 400l. Logo cada caixa deve ter 400 l. Então de A: 700 – 400 = 300 l devem sair De B: 400 – 150 = 250 l devem ser recebidos De C: Somente mais 50l devem ser recebidos para ficar com 400 (400 – 350 = 50). Logo As possibilidades corretas são: 1 e 3 02. Resposta: B. São 160 funcionários No nível médio temos 64, como 30 são homens, logo 64 – 30 = 34 mulheres Somando todos os valores fornecidos temos: 15 + 13 + 30 + 34 + 36 = 128 160 – 120 = 32, que é o valor que está em branco em homens com nível superior. 03. Resposta: B. Imagine que todos estão sentados de frente para mesa. E que isso é o círculo antes e depois: vou substituir por letras dos respectivos nomes . 83 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Dessa forma podemos dizer que: • Diogo é o vizinho à direita de Bruno. Certo (Verifique que D está a direita de B) • Abel e Bruno permaneceram vizinhos. ERRADO: Abel e Bruno não são vizinhos (Observe que A não está ao lado de B) • Caio é o vizinho à esquerda de Abel. ERRADO: Caio é o vizinho à DIREITA de Abel. (Verifique que C está no lado direito e não do lado esquerdo conforme a afirmação, o que comprova que a resolução está correta e de acordo com o gabarito) • Elias e Abel não são vizinhos. ERRADO: Elias e Abel são vizinhos (A e E estão lado a lado, conforme observado na figura acima) 04. Resposta: B. Fazendo m = número de moedas e g = número de grupos temos: Primeiramente temos: m = 4g + 1 Logo após ele informa: m = 3(g +4) + 2 Igualando m, temos: 4g + 1 = 3(g + 4) + 2 → 4g + 1 = 3g + 12 + 2 → 4g – 3g = 14 -1 → g = 13 Para sabermos a quantidade de moedas temos: m = 4.13 + 1 = 52 + 1 = 53. 05. Resposta: Errado. Vamos partir da 2ª informação, utilizando a afirmação do enunciado que ele comeu 10 bombons de pistache: - quem comeu dois ou mais bombons (10 bombons) de pistache comeu também bombom de cereja; - CERTA. Sabemos que quem come pistache come morango, logo: - quem comeu bombom de morango comeu também bombom de pistache; - CERTA Analisando a última temos: - quem comeu bombom de cereja não comeu de morango. – ERRADA, pois esta contradizendo a informação anterior. 06. Resposta: Certa. Se a pessoa comer mais de um bombom de pistache ela obrigatoriamente comerá bombom de cereja, e como quem come bombom de cereja NÂO come morango. Regra de três simples e compostas. REGRA DE TRÊS SIMPLES Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser resolvidos através de um processo prático, chamado regra de três simples. Vejamos a tabela abaixo: Grandezas Relação Descrição MAIS funcionários contratados demanda Nº de funcionário x serviço Direta MAIS serviço produzido MAIS funcionários contratados exigem Nº de funcionário x tempo Inversa MENOS tempo de trabalho MAIS eficiência (dos funcionários) exige Nº de funcionário x eficiência Inversa MENOS funcionários contratados . 84 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Quanto MAIOR o grau de dificuldade de Nº de funcionário x grau Direta um serviço, MAIS funcionários deverão ser dificuldade contratados MAIS serviço a ser produzido exige MAIS Serviço x tempo Direta tempo para realiza-lo Quanto MAIOR for a eficiência dos Serviço x eficiência Direta funcionários, MAIS serviço será produzido Quanto MAIOR for o grau de dificuldade Serviço x grau de dificuldade Inversa de um serviço, MENOS serviços serão produzidos Quanto MAIOR for a eficiência dos funcionários, MENOS tempo será Tempo x eficiência Inversa necessário para realizar um determinado serviço Quanto MAIOR for o grau de dificuldade de um serviço, MAIS tempo será Tempo x grau de dificuldade Direta necessário para realizar determinado serviço Exemplos: 1) Um carro faz 180 km com 15L de álcool. Quantos litros de álcool esse carro gastaria para percorrer 210 km? O problema envolve duas grandezas: distância e litros de álcool. Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido. Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha: Distância (km) Litros de álcool 180 ---- 15 210 ---- x Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”), vamos colocar uma flecha: Distância (km) Litros de álcool 180 ---- 15 210 ---- x Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo de álcool também duplica. Então, as grandezas distância e litros de álcool são diretamente proporcionais. No esquema que estamos montando, indicamos esse fato colocando uma flecha na coluna “distância” no mesmo sentido da flecha da coluna “litros de álcool”: Distância (km) Litros de álcool 180 ---- 15 210 ---- x As setas estão no mesmo sentido Armando a proporção pela orientação das flechas, temos: 180 15 180: 30 15 = → 𝑐𝑜𝑚𝑜 180 𝑒 210 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 30, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: = 210 𝑥 210: 30 𝑥 1806 15 = → 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑑𝑜(𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑖𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠) → 6𝑥 = 7.15 2107 𝑥 105 6𝑥 = 105 → 𝑥 = = 𝟏𝟕, 𝟓 6 Resposta: O carro gastaria 17,5 L de álcool. . 85 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  2) Viajando de automóvel, à velocidade de 50 km/h, eu gastaria 7 h para fazer certo percurso. Aumentando a velocidade para 80 km/h, em quanto tempo farei esse percurso? Indicando por x o número de horas e colocando as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha, temos: Velocidade (km/h) Tempo (h) 50 ---- 7 80 ---- x Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos colocar uma flecha: Velocidade (km/h) Tempo (h) 50 ---- 7 80 ---- x Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. Isso significa que as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. No nosso esquema, esse fato é indicado colocando-se na coluna “velocidade” uma flecha em sentido contrário ao da flecha da coluna “tempo”: Velocidade (km/h) Tempo (h) 50 ---- 7 80 ---- x As setas em sentido contrário Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das flechas. Assim, temos: 7 80 7 808 35 = , 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 → = 5 → 7.5 = 8. 𝑥 → 𝑥 = → 𝑥 = 4,375 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑥 50 𝑥 50 8 Como 0,375 corresponde 22 minutos (0,375 x 60 minutos), então o percurso será feito em 4 horas e 22 minutos aproximadamente. 3) Ao participar de um treino de fórmula Indy, um competidor, imprimindo a velocidade média de 180 km/h, faz o percurso em 20 segundos. Se a sua velocidade fosse de 300 km/h, que tempo teria gasto no percurso? Vamos representar pela letra x o tempo procurado. Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade (180 km/h e 300 km/h) com dois valores da grandeza tempo (20 s e x s). Queremos determinar um desses valores, conhecidos os outros três. Velocidade (km/h) Tempo (s) 180 ---- 20 300 ---- x Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto para fazer o percurso cairá para a metade; logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, os números 180 e 300 são inversamente proporcionais aos números 20 e x. Daí temos: 3600 180.20 = 300. 𝑥 → 300𝑥 = 3600 → 𝑥 = → 𝑥 = 12 300 Conclui-se, então, que se o competidor tivesse andando em 300 km/h, teria gasto 12 segundos para realizar o percurso. Questões 01. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) Em 3 de maio de 2014, o jornal Folha de S. Paulo publicou a seguinte informação sobre o número de casos de dengue na cidade de Campinas. . 86 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  De acordo com essas informações, o número de casos registrados na cidade de Campinas, até 28 de abril de 2014, teve um aumento em relação ao número de casos registrados em 2007, aproximadamente, de (A) 70%. (B) 65%. (C) 60%. (D) 55%. (E) 50%. 02. (FUNDUNESP – Assistente Administrativo – VUNESP/2014) Um título foi pago com 10% de desconto sobre o valor total. Sabendo-se que o valor pago foi de R$ 315,00, é correto afirmar que o valor total desse título era de (A) R$ 345,00. (B) R$ 346,50. (C) R$ 350,00. (D) R$ 358,50. (E) R$ 360,00. 03. (PREF. IMARUÍ – AGENTE EDUCADOR – PREF. IMARUÍ/2014) Manoel vendeu seu carro por R$27.000,00(vinte e sete mil reais) e teve um prejuízo de 10%(dez por cento) sobre o valor de custo do tal veículo, por quanto Manoel adquiriu o carro em questão? (A) R$24.300,00 (B) R$29.700,00 (C) R$30.000,00 (D)R$33.000,00 (E) R$36.000,00 04. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES/2014) Em um mapa, cuja escala era 1:15.104, a menor distância entre dois pontos A e B, medida com a régua, era de 12 centímetros. Isso significa que essa distância, em termos reais, é de aproximadamente: (A) 180 quilômetros. (B) 1.800 metros. (C) 18 quilômetros. (D) 180 metros. 05. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO/2014) A Bahia (...) é o maior produtor de cobre do Brasil. Por ano, saem do estado 280 mil toneladas, das quais 80 mil são exportadas. O Globo, Rio de Janeiro: ed. Globo, 12 mar. 2014, p. 24. Da quantidade total de cobre que sai anualmente do Estado da Bahia, são exportados, aproximadamente, (A) 29% (B) 36% (C) 40% (D) 56% (E) 80% . 87 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  06. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) Um comerciante comprou uma caixa com 90 balas e irá vender cada uma delas por R$ 0,45. Sabendo que esse comerciante retirou 9 balas dessa caixa para consumo próprio, então, para receber o mesmo valor que teria com a venda das 90 balas, ele terá que vender cada bala restante na caixa por: (A) R$ 0,50. (B) R$ 0,55. (C) R$ 0,60. (D) R$ 0,65. (E) R$ 0,70. 07. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) Em 25 de maio de 2014, o jornal Folha de S. Paulo publicou a seguinte informação sobre a capacidade de retirada de água dos sistemas de abastecimento, em metros cúbicos por segundo (m3/s): De acordo com essas informações, o número de segundos necessários para que o sistema Rio Grande retire a mesma quantidade de água que o sistema Cantareira retira em um segundo é: (A) 5,4. (B) 5,8. (C) 6,3. (D) 6,6. (E) 6,9. 08. (FUNDUNESP – Auxiliar Administrativo – VUNESP/2014) Certo material para laboratório foi adquirido com desconto de 10% sobre o preço normal de venda. Sabendo-se que o valor pago nesse material foi R$ 1.170,00, é possível afirmar corretamente que seu preço normal de venda é (A) R$ 1.285,00. (B) R$ 1.300,00. (C) R$ 1.315,00. (D) R$ 1.387,00. (E) R$ 1.400,00. 09. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) A mais antiga das funções do Instituto Médico Legal (IML) é a necropsia. Num determinado período, do total de atendimentos do IML, 30% foram necropsias. Do restante dos atendimentos, todos feitos a indivíduos vivos, 14% procediam de acidentes no trânsito, correspondendo a 588. Pode-se concluir que o total de necropsias feitas pelo IML, nesse período, foi (A) 2500. (B) 1600. (C) 2200. (D) 3200. (E) 1800. . 88 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  10. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP/2014) A expectativa de vida do Sr. Joel é de 75 anos e, neste ano, ele completa 60 anos. Segundo esta expectativa, pode-se afirmar que a fração de vida que ele já viveu é 4 (A) 7 5 (B) 6 4 (C) 5 3 (D) 4 2 (E) 3 11. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP/2014) Foram digitados 10 livros de 200 páginas cada um e armazenados em 0,0001 da capacidade de um microcomputador. Utilizando-se a capacidade total desse microcomputador, o número de livros com 200 páginas que é possível armazenar é (A) 100. (B) 1000. (C) 10000. (D) 100000. (E) 1000000. 12. (IF/GO – Assistente de Alunos – UFG/2014) Leia o fragmento a seguir A produção brasileira de arroz projetada para 2023 é de 13,32 milhões de toneladas, correspondendo a um aumento de 11% em relação à produção de 2013. Disponível em: <http://www.agricultura.gov.br/arq_editor/projecoes-ver saoatualizada.pdf>. Acesso em: 24 fev. 2014. (Adaptado). De acordo com as informações, em 2023, a produção de arroz excederá a produção de 2013, em milhões de toneladas, em: (A) 1,46 (B) 1,37 (C) 1,32 (D) 1,22 13. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB/2014) Numa transportadora, 15 caminhões de mesma capacidade transportam toda a carga de um galpão em quatro horas. Se três deles quebrassem, em quanto tempo os outros caminhões fariam o mesmo trabalho? (A) 3 h 12 min (B) 5 h (C) 5 h 30 min (D) 6 h (E) 6 h 15 min 14. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC/2014) Uma receita para fazer 35 bolachas utiliza 225 gramas de açúcar. Mantendo-se as mesmas proporções da receita, a quantidade de açúcar necessária para fazer 224 bolachas é (A) 14,4 quilogramas. (B) 1,8 quilogramas. (C) 1,44 quilogramas. (D) 1,88 quilogramas. (E) 0,9 quilogramas. 15. (METRÔ/SP – Usinador Ferramenteiro – FCC/2014) Laerte comprou 18 litros de tinta látex que, de acordo com as instruções na lata, rende 200m² com uma demão de tinta. Se Laerte seguir . 89 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  corretamente as instruções da lata, e sem desperdício, depois de pintar 60 m² de parede com duas demãos de tinta látex, sobrarão na lata de tinta comprada por ele (A) 6,8L. (B) 6,6L. (C) 10,8L. (D) 7,8L. (E) 7,2L. Respostas 01. Resposta: E. Utilizaremos uma regra de três simples: ano % 11442 ------- 100 17136 ------- x 11442.x = 17136 . 100 x = 1713600 / 11442 = 149,8% (aproximado) 149,8% – 100% = 49,8% Aproximando o valor, teremos 50% 02. Resposta: C. Se R$ 315,00 já está com o desconto de 10%, então R$ 315,00 equivale a 90% (100% - 10%). Utilizaremos uma regra de três simples: $ % 315 ------- 90 x ------- 100 90.x = 315 . 100 x = 31500 / 90 = R$ 350,00 03. Resposta: C. Como ele teve um prejuízo de 10%, quer dizer 27000 é 90% do valor total. Valor % 27000 ------ 90 X ------- 100 27000 909 27000 9 𝑥 = 10010 → 𝑥 = 10 → 9.x = 27000.10 → 9x = 270000 → x = 30000. 04. Resposta: C. 1: 15.104 equivale a 1:150000, ou seja, para cada 1 cm do mapa, teremos 150.000 cm no tamanho real. Assim, faremos uma regra de três simples: mapa real 1 --------- 150000 12 --------- x 1.x = 12 . 150000 x = 1.800.000 cm = 18 km 05. Resposta: A. Faremos uma regra de três simples: cobre % 280 --------- 100 80 ---------- x 280.x = 80 . 100 x = 8000 / 280 x = 28,57% 06. Resposta: A. Vamos utilizar uma regra de três simples: Balas $ 1 ----------- 0,45 90 ---------- x 1.x = 0,45 . 90 x = R$ 40,50 (total) * 90 – 9 = 81 balas Novamente, vamos utilizar uma regra de três simples: . 90 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Balas $ 81 ----------- 40,50 1 ------------ y 81.y = 1 . 40,50 y = 40,50 / 81 y = R$ 0,50 (cada bala) 07. Resposta: D. Utilizaremos uma regra de três simples INVERSA: m3 seg 33 ------- 1 5 ------- x 5.x = 33 . 1 x = 33 / 5 = 6,6 seg 08. Resposta: B. Utilizaremos uma regra de três simples: $ % 1170 ------- 90 x ------- 100 90.x = 1170 . 100 x = 117000 / 90 = R$ 1.300,00 09. Resposta: E. O restante de atendimento é de 100% – 30% = 70% (restante) Utilizaremos uma regra de três simples: Restante: atendimentos % 588 ------------ 14 x ------------ 100 14.x = 588 . 100 x = 58800 / 14 = 4200 atendimentos (restante) Total: atendimentos % 4200 ------------ 70 x ------------ 30 70.x = 4200 . 30 x = 126000 / 70 = 1800 atendimentos 10. Resposta: C. Considerando 75 anos o inteiro (1), utilizaremos uma regra de três simples: idade fração 75 ------------ 1 60 ------------ x 75.x = 60 . 1 x = 60 / 75 = 4 / 5 (simplificando por 15) 11. Resposta: D. Neste caso, a capacidade total é representada por 1 (inteiro). Assim, utilizaremos uma regra de três simples: livros capacidade 10 ------------ 0,0001 x ------------ 1 0,0001.x = 10 . 1 x = 10 / 0,0001 = 100.000 livros 12. Resposta: C. Toneladas % 13,32 ----------- 111 x ------------- 11 111 . x = 13,32 . 11 x = 146,52 / 111 x = 1,32 . 91 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  13. Resposta: B. Vamos utilizar uma Regra de Três Simples Inversa, pois, quanto menos caminhões tivermos, mais horas demorará para transportar a carga: caminhões horas 15 ---------------- 4 (15 – 3) ------------- x 12.x = 4 . 15 x = 60 / 12 x=5h 14. Resposta: C. Bolachas açúcar 35----------------225 224----------------x 224.225 𝑥= = 1440 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 = 1,44 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 35 15. Resposta: E. 18L----200m² x-------120 x=10,8L Ou seja, pra 120m²(duas demãos de 60 m²) ele vai gastar 10,8 l, então sobraram: 18-10,8=7,2L REGRA DE TRÊS COMPOSTA O processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais, é chamado regra de três composta. Exemplos: 1) Em 4 dias 8 máquinas produziram 160 peças. Em quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras produziriam 300 dessas peças? Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma só coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha. Na coluna em que aparece a variável x (“dias”), coloquemos uma flecha: Máquinas Peças Dias 8 --- 160 --- 4 6 --- 300 --- x Comparemos cada grandeza com aquela em que está o x. As grandezas peças e dias são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna “peças” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “dias”: Máquinas Peças Dias 8 --- 160 --- 4 6 --- 300 --- x Mesmo sentido As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais (duplicando o número de máquinas, o número de dias fica reduzido à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna (máquinas) uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “dias”: Máquinas Peças Dias 8 --- 160 --- 4 6 --- 300 --- x Sentidos contrários . 92 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  4 Agora vamos montar a proporção, igualando a razão que contém o x, que é , com o produto das x  6 160  outras razões, obtidas segundo a orientação das flechas  . :  8 300  Simplificando as proporções obtemos: 4 2 4.5 = → 2𝑥 = 4.5 → 𝑥 = → 𝑥 = 10 𝑥 5 2 Resposta: Em 10 dias. 2) Uma empreiteira contratou 210 pessoas para pavimentar uma estrada de 300 km em 1 ano. Após 4 meses de serviço, apenas 75 km estavam pavimentados. Quantos empregados ainda devem ser contratados para que a obra seja concluída no tempo previsto? 1 1 Em 3 de ano foi pavimentada 4 de estrada. Comparemos cada grandeza com aquela em que está o x. Pessoas Estrada Tempo 210 --- 75 --- 4 x --- 225 --- 8 Sentidos contrários As grandezas “pessoas” e “tempo” são inversamente proporcionais (duplicando o número de pessoas, o tempo fica reduzido à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna “tempo” uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “pessoas”: Pessoas Estrada Tempo 210 --- 75 --- 4 x --- 225 --- 8 Mesmo sentido As grandezas “pessoas” e “estrada” são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna “estrada” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “pessoas”: Como já haviam 210 pessoas trabalhando, logo 315 – 210 = 105 pessoas. Reposta: Devem ser contratados 105 pessoas. Questões 01. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC/2014) O trabalho de varrição de 6.000 m² de calçada é feita em um dia de trabalho por 18 varredores trabalhando 5 horas por dia. Mantendo-se as mesmas proporções, 15 varredores varrerão 7.500 m² de calçadas, em um dia, trabalhando por dia, o tempo de (A) 8 horas e 15 minutos. (B) 9 horas. (C) 7 horas e 45 minutos. (D) 7 horas e 30 minutos. (E) 5 horas e 30 minutos. . 93 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  02. (PREF. CORBÉLIA/PR – CONTADOR – FAUEL/2014) Uma equipe constituída por 20 operários, trabalhando 8 horas por dia durante 60 dias, realiza o calçamento de uma área igual a 4800 m². Se essa equipe fosse constituída por 15 operários, trabalhando 10 horas por dia, durante 80 dias, faria o calçamento de uma área igual a: (A) 4500 m² (B) 5000 m² (C) 5200 m² (D) 6000 m² (E) 6200 m² 03. (PC/SP – OFICIAL ADMINISTRATIVO – VUNESP/2014) Dez funcionários de uma repartição trabalham 8 horas por dia, durante 27 dias, para atender certo número de pessoas. Se um funcionário doente foi afastado por tempo indeterminado e outro se aposentou, o total de dias que os funcionários restantes levarão para atender o mesmo número de pessoas, trabalhando uma hora a mais por dia, no mesmo ritmo de trabalho, será: (A) 29. (B) 30. (C) 33. (D) 28. (E) 31. 04. (TRF 3ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2014) Sabe-se que uma máquina copiadora imprime 80 cópias em 1 minuto e 15 segundos. O tempo necessário para que 7 máquinas copiadoras, de mesma capacidade que a primeira citada, possam imprimir 3360 cópias é de (A) 15 minutos. (B) 3 minutos e 45 segundos. (C) 7 minutos e 30 segundos. (D) 4 minutos e 50 segundos. (E) 7 minutos. 05. (METRÔ/SP – Analista Desenvolvimento Gestão Júnior – Administração de Empresas – FCC/2014) Para inaugurar no prazo a estação XYZ do Metrô, o prefeito da cidade obteve a informação de que os 128 operários, de mesma capacidade produtiva, contratados para os trabalhos finais, trabalhando 6 horas por dia, terminariam a obra em 42 dias. Como a obra tem que ser terminada em 24 dias, o prefeito autorizou a contratação de mais operários, e que todos os operários (já contratados e novas contratações) trabalhassem 8 horas por dia. O número de operários contratados, além dos 128 que já estavam trabalhando, para que a obra seja concluída em 24 dias, foi igual a (A) 40. (B) 16. (C) 80. (D) 20. (E) 32. 06. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB/ 2014) Para digitalizar 1.000 fichas de cadastro, 16 assistentes trabalharam durante dez dias, seis horas por dia. Dez assistentes, para digitalizar 2.000 fichas do mesmo modelo de cadastro, trabalhando oito horas por dia, executarão a tarefa em quantos dias? (A) 14 (B) 16 (C) 18 (D) 20 (E) 24 07. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO/2014) No Brasil, uma família de 4 pessoas produz, em média, 13 kg de lixo em 5 dias. Mantida a mesma proporção, em quantos dias uma família de 5 pessoas produzirá 65 kg de lixo? (A) 10 (B) 16 (C) 20 (D) 32 . 94 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (E) 40 08. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST/2014) Na safra passada, um fazendeiro usou 15 trabalhadores para cortar sua plantação de cana de 210 hectares. Trabalhando 7 horas por dia, os trabalhadores concluíram o trabalho em 6 dias exatos. Este ano, o fazendeiro plantou 480 hectares de cana e dispõe de 20 trabalhadores dispostos a trabalhar 6 horas por dia. Em quantos dias o trabalho ficará concluído? Obs.: Admita que todos os trabalhadores tenham a mesma capacidade de trabalho. (A) 10 dias (B) 11 dias (C) 12 dias (D) 13 dias (E) 14 dias 09. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) Dez funcionários de uma repartição trabalham 8 horas por dia, durante 27 dias, para atender certo número de pessoas. Se um funcionário doente foi afastado por tempo indeterminado e outro se aposentou, o total de dias que os funcionários restantes levarão para atender o mesmo número de pessoas, trabalhando uma hora a mais por dia, no mesmo ritmo de trabalho, será (A) 29. (B) 30. (C) 33. (D) 28. (E) 31. 10. (BNB – Analista Bancário – FGV/2014) Em uma agência bancária, dois caixas atendem em média seis clientes em 10 minutos. Considere que, nesta agência, todos os caixas trabalham com a mesma eficiência e que a média citada sempre é mantida. Assim, o tempo médio necessário para que cinco caixas atendam 45 clientes é de: (A) 45 minutos; (B) 30 minutos; (C) 20 minutos; (D) 15 minutos; (E) 10 minutos. Respostas 01. Resposta: D. Comparando- se cada grandeza com aquela onde esta o x. M² varredores horas 6000--------------18-------------- 5 7500--------------15--------------- x Quanto mais a área, mais horas (diretamente proporcionais) Quanto menos trabalhadores, mais horas (inversamente proporcionais) 5 6000 15 = ∙ 𝑥 7500 18 6000 ∙ 15 ∙ 𝑥 = 5 ∙ 7500 ∙ 18 90000𝑥 = 675000 𝑥 = 7,5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 Como 0,5 h equivale a 30 minutos, logo o tempo será de 7 horas e 30 minutos. 02. Resposta: D. Operários horas dias área 20-----------------8-------------60-------4800 15----------------10------------80-------- x Todas as grandezas são diretamente proporcionais, logo: . 95 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  4800 20 8 60 = ∙ ∙ 𝑥 15 10 80 20 ∙ 8 ∙ 60 ∙ 𝑥 = 4800 ∙ 15 ∙ 10 ∙ 80 9600𝑥 = 57600000 𝑥 = 6000𝑚² 03. Resposta: B. Temos 10 funcionários inicialmente, com os afastamento esse número passou para 8. Se eles trabalham 8 horas por dia , passarão a trabalhar uma hora a mais perfazendo um total de 9 horas, nesta condições temos: Funcionários horas dias 10---------------8--------------27 8----------------9-------------- x Quanto menos funcionários, mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). Quanto mais horas por dia, menos dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). Funcionários horas dias 8---------------9-------------- 27 10----------------8----------------x 27 8 9 𝑥 = 10 ∙ 8 → x.8.9 = 27.10.8 → 72x = 2160 → x = 30 dias. 04. Resposta: C. Transformando o tempo para segundos: 1 min e 15 segundos = 75 segundos Quanto mais máquinas menor o tempo (flecha contrária) e quanto mais cópias, mais tempo (flecha mesma posição) Máquina cópias tempo 1----------------80-----------75 segundos 7--------------3360-----------x Devemos deixar as 3 grandezas da mesma forma, invertendo os valores de” máquina”. Máquina cópias tempo 7----------------80----------75 segundos 1--------------3360--------- x 75 7 80 𝑥 = 1 ∙ 3360 → x.7.80 = 75.1.3360 → 560x = 252000 → x = 450 segundos Transformando 1minuto-----60segundos x-------------450 x = 7,5 minutos = 7 minutos e 30segundos. 05. Resposta: A. Vamos utilizar a Regra de Três Composta: Operários  horas dias 128 ----------- 6 -------------- 42 x ------------- 8 -------------- 24 Quanto mais operários, menos horas trabalhadas (inversamente) Quanto mais funcionários, menos dias (inversamente)  Operários  horas dias x -------------- 6 -------------- 42 128 ------------ 8 -------------- 24 𝑥 6 42 = ∙ 128 8 24 𝑥 1 42 = ∙ 128 8 4 𝑥 1 21 = ∙ 128 8 2 . 96 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  16𝑥 = 128 ∙ 21 𝑥 = 8 ∙ 21 = 168 168 – 128 = 40 funcionários a mais devem ser contratados. 06. Resposta: E. Fichas Assistentes dias horas 1000 --------------- 16 -------------- 10 ------------ 6 2000 -------------- 10 -------------- x -------------- 8 Quanto mais fichas, mais dias devem ser trabalhados (diretamente proporcionais). Quanto menos assistentes, mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). Quanto mais horas por dia, menos dias (inversamente proporcionais). Fichas Assistentes dias horas 1000 --------------- 10 -------------- 10 ------------ 8 2000 -------------- 16 -------------- x -------------- 6 10 1000 10 8 = ∙ . 𝑥 2000 16 6 10 80000 𝑥 = 192000 80. 𝑥 = 192.10 1920 𝑥= 80 𝑥 = 24 𝑑𝑖𝑎𝑠 07. Resposta: C. Faremos uma regra de três composta: Pessoas Kg dias 4 ------------ 13 ------------ 5 5 ------------ 65 ------------ x Mais pessoas irão levar menos dias para produzir a mesma quantidade de lixo (grandezas inversamente proporcionais). Mais quilos de lixo levam mais dias para serem produzidos (grandezas diretamente proporcionais). 5 5 13 𝑥 = 4 . 65 5 65 𝑥 = 260 65.x = 5 . 260 → x = 1300 / 65 → x = 20 dias 08. Resposta: C. Faremos uma regra de três composta: Trabalhadores Hectares h / dia dias 15 ------------------ 210 ---------------- 7 ----------------- 6 20 ------------------ 480 ---------------- 6 ----------------- x Mais trabalhadores irão levar menos dias para concluir o trabalho (grandezas inversamente proporcionais). Mais hectares levam mais dias para se concluir o trabalho (grandezas diretamente proporcionais). Menos horas por dia de trabalho serão necessários mais dias para concluir o trabalho (grandezas inversamente proporcionais). 6 20 210 6 𝑥 = 15 . 480 . 7 6 25200 𝑥 = 50400 25200.x = 6 . 50400 → x = 302400 / 25200 → x = 12 dias . 97 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  09. Resposta: B. Funcionários horas dias 10 ----------------- 8 ----------- 27 8 ------------------ 9 ----------- x Quanto menos funcionários, mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). Quanto mais horas por dia, menos dias (inversamente proporcionais). Funcionários horas dias 10 ----------------- 8 ----------- x 8 ------------------ 9 ----------- 27 𝑥 10 8 27 = ∙ 8 9 72𝑥 = 2160 𝑥 = 30 𝑑𝑖𝑎𝑠 10. Resposta: B. caixas clientes minutos 2 ----------------- 6 ----------- 10 5 ----------------- 45 ----------- x Quanto mais caixas, menos minutos levará para o atendimento (inversamente proporcionais). Quanto mais clientes, mais minutos para o atendimento (diretamente proporcionais). caixas clientes minutos 5 ----------------- 6 ----------- 10 2 ----------------- 45 ----------- x 10 5 6 10 30 = ∙ = 𝑥 2 45 𝑥 90 900 30. 𝑥 = 90.10 𝑥 = 30 𝑥 = 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 Razões Especiais. RAZÃO É o quociente entre dois números (quantidades, medidas, grandezas). Sendo a e b dois números a sua razão, chama-se razão de a para b: 𝑎 𝑜𝑢 𝑎: 𝑏 , 𝑐𝑜𝑚 𝑏 ≠ 0 𝑏 Onde: Exemplos: 1 - Em um vestibular para o curso de marketing, participaram 3600 candidatos para 150 vagas. A razão entre o número de vagas e o número de candidatos, nessa ordem, foi de 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑔𝑎𝑠 150 1 = = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 3600 24 . 98 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Lemos a fração como: Um vinte e quatro avós. 2 - Em um processo seletivo diferenciado, os candidatos obtiveram os seguintes resultados: − Alana resolveu 11 testes e acertou 5 − Beatriz resolveu 14 testes e acertou 6 − Cristiane resolveu 15 testes e acertou 7 − Daniel resolveu 17 testes e acertou 8 − Edson resolveu 21 testes e acertou 9 O candidato contratado, de melhor desempenho, (razão de acertos para número de testes), foi: 5 𝐴𝑙𝑎𝑛𝑎: = 0,45 11 6 𝐵𝑒𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧: 14 = 0,42 7 𝐶𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑎𝑛𝑒: 15 = 0,46 8 𝐷𝑎𝑛𝑖𝑒𝑙: = 0,47 17 9 𝐸𝑑𝑠𝑜𝑛: 21 = 0,42 Daniel teve o melhor desempenho. - Quando a e b forem medidas de uma mesma grandeza, essas devem ser expressas na mesma unidade. - Razões Especiais Escala  Muitas vezes precisamos ilustrar distâncias muito grandes de forma reduzida, então utilizamos a escala, que é a razão da medida no mapa com a medida real (ambas na mesma unidade). 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑝𝑎 𝐸= 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙 Velocidade média  É a razão entre a distância percorrida e o tempo total de percurso. As unidades utilizadas são km/h, m/s, entre outras. 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑉= 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 Densidade É a razão entre a massa de um corpo e o seu volume. As unidades utilizadas são g/cm³, kg/m³, entre outras. 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 𝐷= 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 PROPORÇÃO É uma igualdade entre duas razões. 𝑎 𝑐 𝑎 𝑐 Dada as razões 𝑏 e 𝑑 , à setença de igualdade 𝑏 = 𝑑 chama-se proporção. Onde: Exemplo: 1 - O passageiro ao lado do motorista observa o painel do veículo e vai anotando, minuto a minuto, a distância percorrida. Sua anotação pode ser visualizada na tabela a seguir: . 99 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Distância percorrida (em km) 2 4 6 8 ... Tempo gasto (em min) 1 2 3 4 ... Nota-se que a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la é sempre igual a 2: 2 4 6 8 =2; =2 ; =2 ; =2 1 2 3 4 Então: 2 4 6 8 = = = 1 2 3 4 Dizemos que os números da sucessão (2,4,6,8,...) são diretamente proporcionais aos números da sucessão (1,2,3,3,4,...). - Propriedades da Proporção 1 - Propriedade Fundamental O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é, a . d = b . c Exemplo: 45 9 Na proporção 30 = 6 ,(lê-se: “45 esta para 30 , assim como 9 esta para 6.), aplicando a propriedade fundamental , temos: 45.6 = 30.9 = 270 2 - A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo), assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo). 𝑎 𝑐 𝑎+𝑏 𝑐+𝑑 𝑎+𝑏 𝑐+𝑑 = → = 𝑜𝑢 = 𝑏 𝑑 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 Exemplo: 2 6 2 + 3 6 + 9 5 15 2 + 3 6 + 9 5 15 = → = → = = 30 𝑜𝑢 = → = = 45 3 9 2 6 2 6 3 9 3 9 3 - A diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo), assim como a diferença entre os dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo). 𝑎 𝑐 𝑎−𝑏 𝑐−𝑑 𝑎−𝑏 𝑐−𝑑 = → = 𝑜𝑢 = 𝑏 𝑑 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 Exemplo: 2 6 2 − 3 6 − 9 −1 −3 2 − 3 6 − 9 −1 −3 = → = → = = −6 𝑜𝑢 = → = = −9 3 9 2 6 2 6 3 9 3 9 4 - A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente. 𝑎 𝑐 𝑎+𝑐 𝑎 𝑎+𝑐 𝑐 = → = 𝑜𝑢 = 𝑏 𝑑 𝑏+𝑑 𝑏 𝑏+𝑑 𝑑 Exemplo: 2 6 2+6 2 8 2 2+6 6 8 6 = → = → = = 24 𝑜𝑢 = → = = 72 3 9 3+9 3 12 3 3+9 9 12 9 5 - A diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente. 𝑎 𝑐 𝑎−𝑐 𝑎 𝑎−𝑐 𝑐 = → = 𝑜𝑢 = 𝑏 𝑑 𝑏−𝑑 𝑏 𝑏−𝑑 𝑑 . 100 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Exemplo: 6 2 6−2 6 4 6 6−2 2 4 2 = → = → = = 36 𝑜𝑢 = → = = 12 9 3 9−3 9 6 9 9−3 3 6 3 - Problemas envolvendo razão e proporção 1 - Em uma fundação, verificou-se que a razão entre o número de atendimentos a usuários internos e o número de atendimento total aos usuários (internos e externos), em um determinado dia, nessa ordem, foi de 3/5. Sabendo que o número de usuários externos atendidos foi 140, pode-se concluir que, no total, o número de usuários atendidos foi: A) 84 B) 100 C) 217 D) 280 E) 350 Resolução: Usuários internos: I Usuários externos : E Sabemos que neste dia foi atendidos 140 externos  E = 140 𝐼 3 𝐼 𝐼+𝐸 = 5 = 𝐼+140 , usando o produto dos meios pelos extremos temos  5I = 3(I + 140) 5I = 3I + 420 5I – 3I = 420 2I = 420 I = 420 / 2 I = 210 I + E = 210 + 140 = 350 Resposta “E” 2 – Em um concurso participaram 3000 pessoas e foram aprovadas 1800. A razão do número de candidatos aprovados para o total de candidatos participantes do concurso é: A) 2/3 B) 3/5 C) 5/10 D) 2/7 E) 6/7 Resolução: Resposta “B” 3 - Em um dia de muita chuva e trânsito caótico, 2/5 dos alunos de certa escola chegaram atrasados, sendo que 1/4 dos atrasados tiveram mais de 30 minutos de atraso. Sabendo que todos os demais alunos chegaram no horário, pode-se afirmar que nesse dia, nessa escola, a razão entre o número de alunos que chegaram com mais de 30 minutos de atraso e número de alunos que chegaram no horário, nessa ordem, foi de: A) 2:3 B) 1:3 C) 1:6 D) 3:4 E) 2:5 Resolução: Se 2/5 chegaram atrasados . 101 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  2 3 1− = 𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎𝑚 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 5 5 2 1 1 ∙ = 𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟𝑎𝑚 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜 5 4 10 1 𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟𝑎𝑚 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 30 min 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜 10 𝑟𝑎𝑧ã𝑜 = = 𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎𝑚 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 3 5 1 5 1 𝑟𝑎𝑧ã𝑜 = 10 ∙ 3 = 6 𝑜𝑢 1: 6 Resposta “C” Questões 01. (SEPLAN/GO – Perito Criminal – FUNIVERSA/2015) Em uma ação policial, foram apreendidos 1 traficante e 150 kg de um produto parecido com maconha. Na análise laboratorial, o perito constatou que o produto apreendido não era maconha pura, isto é, era uma mistura da Cannabis sativa com outras ervas. Interrogado, o traficante revelou que, na produção de 5 kg desse produto, ele usava apenas 2 kg da Cannabis sativa; o restante era composto por várias “outras ervas”. Nesse caso, é correto afirmar que, para fabricar todo o produto apreendido, o traficante usou (A) 50 kg de Cannabis sativa e 100 kg de outras ervas. (B) 55 kg de Cannabis sativa e 95 kg de outras ervas. (C) 60 kg de Cannabis sativa e 90 kg de outras ervas. (D) 65 kg de Cannabis sativa e 85 kg de outras ervas. (E) 70 kg de Cannabis sativa e 80 kg de outras ervas. 02. (MPE/SP – Oficial de Promotoria – VUNESP/2016) Alfredo irá doar seus livros para três bibliotecas da universidade na qual estudou. Para a biblioteca de matemática, ele doará três quartos dos livros, para a biblioteca de física, um terço dos livros restantes, e para a biblioteca de química, 36 livros. O número de livros doados para a biblioteca de física será (A) 16. (B) 22. (C) 20. (D) 24. (E)18. 03. (PC/SP – OFICIAL ADMINISTRATIVO – VUNESP/2014) Foram construídos dois reservatórios de água. A razão entre os volumes internos do primeiro e do segundo é de 2 para 5, e a soma desses volumes é 14m³. Assim, o valor absoluto da diferença entre as capacidades desses dois reservatórios, em litros, é igual a (A) 8000. (B) 6000. (C) 4000. (D) 6500. (E) 9000. 04. (EBSERH/ HUPAA-UFAL - Técnico em Informática – IDECAN/2014) Entre as denominadas razões especiais encontram-se assuntos como densidade demográfica, velocidade média, entre outros. Supondo que a distância entre Rio de Janeiro e São Paulo seja de 430 km e que um ônibus, fretado para uma excursão, tenha feito este percurso em 5 horas e 30 minutos. Qual foi a velocidade média do ônibus durante este trajeto, aproximadamente, em km/h? (A) 71 km/h (B) 76 km/h (C) 78 km/h (D) 81 km/h (E) 86 km/h. . 102 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  05. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) Um restaurante comprou pacotes de guardanapos de papel, alguns na cor verde e outros na cor amarela, totalizando 144 pacotes. Sabendo que a razão entre o número de pacotes de guardanapos na cor verde e o número de pacotes de 5 guardanapos na cor amarela, nessa ordem, é 7, então, o número de pacotes de guardanapos na cor amarela supera o número de pacotes de guardanapos na cor verde em (A) 22. (B) 24. (C) 26. (D) 28. (E) 30. 06. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) Uma gráfica produz blocos de papel em dois tamanhos diferentes: médios ou pequenos e, para transportá-los utiliza caixas que comportam exatamente 80 blocos médios. Sabendo que 2 blocos médios ocupam exatamente o mesmo espaço que 5 blocos pequenos, então, se em uma caixa dessas forem colocados 50 blocos médios, o número de blocos pequenos que poderão ser colocados no espaço disponível na caixa será: (A) 60. (B) 70. (C) 75. (D) 80. (E) 85. 07. (FUNDUNESP – Auxiliar Administrativo – VUNESP/2014) Em uma edição de março de 2013, um telejornal apresentou uma reportagem com o título “Um em cada quatro jovens faz ou já fez trabalho voluntário no Brasil”. Com base nesse título, conclui-se corretamente que a razão entre o número de jovens que fazem ou já fizeram trabalho voluntário no Brasil e o número de jovens que não fazem parte desse referido grupo é 3 (A) 4 2 (B) 3 1 (C) 2 1 (D) 3 1 (E) 4 08. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP/2014) Uma cidade A, com 120 km de vias, apresentava, pela manhã, 51 km de vias congestionadas. O número de quilômetros de vias congestionadas numa cidade B, que tem 280 km de vias e mantém a mesma proporção que na cidade A, é (A) 119 km. (B) 121 km. (C) 123 km. (D) 125 km. (E) 127 km. 09. (FINEP – Assistente – Apoio administrativo – CESGRANRIO/2014) Maria tinha 450 ml de tinta vermelha e 750 ml de tinta branca. Para fazer tinta rosa, ela misturou certa quantidade de tinta branca com os 450 ml de tinta vermelha na proporção de duas partes de tinta vermelha para três partes de tinta branca. Feita a mistura, quantos ml de tinta branca sobraram? (A) 75 (B) 125 (C) 175 (D) 375 . 103 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (E) 675 10. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP/2014) A medida do comprimento de um salão retangular está para a medida de sua largura assim como 4 está para 3. No piso desse salão, foram colocados somente ladrilhos quadrados inteiros, revestindo-o totalmente. Se cada fileira de ladrilhos, no sentido do comprimento do piso, recebeu 28 ladrilhos, então o número mínimo de ladrilhos necessários para revestir totalmente esse piso foi igual a (A) 588. (B) 350. (C) 454. (D) 476. (E) 382. Respostas 01. Resposta: C. O enunciado fornece que a cada 5kg do produto temos que 2kg da Cannabis sativa e os demais outras 2 ervas. Podemos escrever em forma de razão 5, logo : 2 . 150 = 60𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑛𝑛𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 ∴ 150 − 60 = 90𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑟𝑣𝑎𝑠 5 02. Resposta: E. X = total de livros Matemática = ¾ x , restou ¼ de x Física = 1/3.1/4 = 1/12 Química = 36 livros Logo o número de livros é: 3/4x + 1/12x + 36 = x Fazendo o mmc dos denominadores (4,12) = 12 Logo, 9𝑥 + 1𝑥 + 432 = 12𝑥 432 → 10𝑥 + 432 = 12𝑥 → 12𝑥 − 10𝑥 = 432 → 2𝑥 = 432 → 𝑥 = → 𝑥 = 216 12 2 Como a Biblioteca de Física ficou com 1/12x, logo teremos: 1 216 . 216 = = 18 12 12 03. Resposta: B. Primeiro:2k Segundo:5k 2k + 5k = 14 7k = 14 k=2 Primeiro: 2.2 = 4 Segundo5.2=10 Diferença: 10 – 4 = 6 m³ 1m³------1000L 6--------x x = 6000 l 04. Resposta: C. 5h30 = 5,5h, transformando tudo em hora e suas frações. 430 = 78,18 𝑘𝑚/ℎ 5,5 05. Resposta: B. Vamos chamar a quantidade de pacotes verdes de (v) e, a de amarelos, de (a). Assim: v + a = 144 , ou seja, v = 144 – a ( I ) . 104 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  𝑣 5 𝑎 = 7 , ou seja, 7.v = 5.a ( II ) Vamos substituir a equação ( I ) na equação ( II ): 7 . (144 – a) = 5.a 1008 – 7a = 5a – 7a – 5a = – 1008 . (– 1) 12a = 1008 a = 1008 / 12 a = 84 amarelos Assim: v = 144 – 84 = 60 verdes Supera em: 84 – 60 = 24 guardanapos. 06. Resposta: C. Chamemos de (m) a quantidade de blocos médios e de (p) a quantidade de blocos pequenos. 𝑚 2 𝑝 = 5 , ou seja , 2p = 5m - 80 blocos médios correspondem a: 2p = 5.80  p = 400 / 2  p = 200 blocos pequenos - Já há 50 blocos médios: 80 – 50 = 30 blocos médios (ainda cabem). 2p = 5.30  p = 150 / 2  p = 75 blocos pequenos 07. Resposta: D. Jovens que fazem ou fizeram trabalho voluntário: 1 / 4 Jovens que não fazem trabalho voluntário: 3 / 4 1 1.4 1 𝑅𝑎𝑧ã𝑜 = 4 = = 3 3.4 3 4 08. Resposta: A. 51 𝑥 = 120 280 120.x = 51 . 280  x = 14280 / 120  x = 119 km 09. Resposta: A. 2 450 3 = 𝑥 2x = 450. 3  x = 1350 / 2  x = 675 ml de tinta branca Sobraram: 750 ml – 675 ml = 75 ml 10. Resposta: A. 𝐶 4 𝐿 = 3 , que fica 4L = 3C Fazendo C = 28 e substituindo na proporção, temos: 28 4 = 𝐿 3 4L = 28 . 3  L = 84 / 4  L = 21 ladrilhos Assim, o total de ladrilhos foi de 28 . 21 = 588 . 105 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Análise Combinatória e Probabilidade. ANÁLISE COMBINATÓRIA A Análise Combinatória é a parte da Matemática que desenvolve meios para trabalharmos com problemas de contagem. Ela também é o suporte da Teoria das Probabilidades, e de vital importância para as ciências aplicadas, como a Medicina, a Engenharia, a Estatística entre outras. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM-PFC (PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO) O princípio multiplicativo ou fundamental da contagem constitui a ferramenta básica para resolver problemas de contagem sem que seja necessário enumerar seus elementos, através da possibilidades dadas. É uma das técnicas mais utilizadas para contagem, mas também dependendo da questão pode se tornar trabalhosa. Exemplos: 1) Imagine que, na cantina de sua escola, existem cinco opções de suco de frutas: pêssego, maçã, morango, caju e mamão. Você deseja escolher apenas um desses sucos, mas deverá decidir também se o suco será produzido com água ou leite. Escolhendo apenas uma das frutas e apenas um dos acompanhamentos, de quantas maneiras poderá pedir o suco? 2) Para ir da sua casa (cidade A) até a casa do seu de um amigo Pedro (que mora na cidade C) João precisa pegar duas conduções: A1 ou A2 ou A3 que saem da sua cidade até a B e B1 ou B2 que o leva até o destino final C. Vamos montar o diagrama da árvore para avaliarmos todas as possibilidades: De forma resumida, e rápida podemos também montar através do princípio multiplicativo o número de possibilidades: . 106 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  2 x 3 = 6 3) De sua casa ao trabalho, Silvia pode ir a pé, de ônibus ou de metrô. Do trabalho à faculdade, ela pode ir de ônibus, metrô, trem ou pegar uma carona com um colega. De quantos modos distintos Silvia pode, no mesmo dia, ir de casa ao trabalho e de lá para a faculdade? Vejamos, o trajeto é a junção de duas etapas: 1º) Casa → Trabalho: ao qual temos 3 possibilidades 2º) Trabalho → Faculdade: 4 possibilidades. Multiplicando todas as possibilidades (pelo PFC), teremos: 3 x 4 = 12. No total Silvia tem 12 maneiras de fazer o trajeto casa – trabalho – faculdade. Podemos dizer que, um evento B pode ser feito de n maneiras, então, existem m • n maneiras de fazer e executar o evento B. FATORIAL DE UM NÚMERO NATURAL É comum aparecerem produtos de fatores naturais sucessivos em problemas de análise combinatória, tais como: 3. 2 . 1 ou 5. 4 . 3 . 2 . 1, por isso surgiu a necessidade de simplificarmos este tipo de notação, facilitando os cálculos combinatórios. Assim, produtos em que os fatores chegam sucessivamente até a unidade são chamados fatoriais. Matematicamente: Dado um número natural n, sendo n є N e n ≥ 2, temos: n! = n. (n – 1 ). (n – 2). ... . 1 Onde: n! é o produto de todos os números naturais de 1 até n (lê-se: “n fatorial”) Por convenção temos que: 0! = 1 1! = 1 Exemplos: 1) De quantas maneiras podemos organizar 8 alunos em uma fila. Observe que vamos utilizar a mesma quantidade de alunos na fila nas mais variadas posições: Temos que 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40320 9! 2) Dado 5! , qual o valor dessa fração? Observe que o denominador é menor que o numerador, então para que possamos resolver vamos levar o numerador até o valor do denominador e simplificarmos: 9! 9.8.7.6.5! = = 3024 5! 5! . 107 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  TIPOS DE AGRUPAMENTO Os agrupamentos que não possuem elementos repetidos, são chamamos de agrupamentos simples. Dentre eles temos aqueles onde a ordem é importante e os que a ordem não é importante. Vamos ver detalhadamente cada um deles. - Arranjo simples: agrupamentos simples de n elementos distintos tomados(agrupados) p a p. Aqui a ordem dos seus elementos é o que diferencia. Exemplos: 1) Dados o conjunto S formado pelos números S= {1,2,3,4,5,6} quantos números de 3 algarismos podemos formar com este conjunto? Observe que 123 é diferente de 321 e assim sucessivamente, logo é um Arranjo. Se fossemos montar todos os números levaríamos muito tempo, para facilitar os cálculos vamos utilizar a fórmula do arranjo. Pela definição temos: A n,p (Lê-se: arranjo de n elementos tomados p a p). Então: 𝒏! 𝑨𝒏, 𝒑 = (𝒏 − 𝒑)! Utilizando a fórmula: Onde n = 6 e p = 3 n! 6! 6! 6.5.4.3! An, p = → A6,3 = = = = 120 (n − p)! (6 − 3)! 3! 3! Então podemos formar com o conjunto S, 120 números com 3 algarismos. 2) Uma escola possui 18 professores. Entre eles, serão escolhidos: um diretor, um vice-diretor e um coordenador pedagógico. Quantas as possibilidades de escolha? n = 18 (professores) p = 3 (cargos de diretor, vice-diretor e coordenador pedagógico) n! 18! 18! 18.17.16.15! An, p = → A18,3 = = = = 4896 grupos (n − p)! (18 − 3)! 15! 15! - Permutação simples: sequência ordenada de n elementos distintos (arranjo), ao qual utilizamos todos os elementos disponíveis, diferenciando entre eles apenas a ordem. A permutação simples é um caso particular do arranjo simples. É muito comum vermos a utilização de permutações em anagramas (alterações da sequência das letras de uma palavra). Pn! = n! Exemplos: 1) Quantos anagramas podemos formar com a palavra CALO? . 108 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Utilizando a fórmula da permutação temos: n = 4 (letras) P4! = 4! = 4 . 3 . 2 . 1! = 24 . 1! (como sabemos 1! = 1)  24 . 1 = 24 anagramas 2) Utilizando a palavra acima, quantos são os anagramas que começam com a letra L? P3! = 3! = 3 . 2 . 1! = 6 anagramas que começam com a letra L. - Combinação simples: agrupamento de n elementos distintos, tomados p a p, sendo p ≤ n. O que diferencia a combinação do arranjo é que a ordem dos elementos não é importante. Vemos muito o conceito de combinação quando queremos montar uma comitiva, ou quando temos também de quantas maneiras podemos cumprimentar um grupo ou comitiva, entre outros. Exemplos: 1) Uma escola tem 7 professores de Matemática. Quatro deles deverão representar a escola em um congresso. Quantos grupos de 4 professores são possíveis? Observe que sendo 7 professores, se invertermos um deles de posição não alteramos o grupo formado, os grupos formados são equivalentes. Para o exemplo acima temos ainda as seguintes possibilidades que podemos considerar sendo como grupo equivalentes. P1, P2, P4, P3 – P2, P1, P3, P4 – P3, P1, P2, P4 – P2, P4, P3, P4 – P4, P3, P1, P2 ... Com isso percebemos que a ordem não é importante! Vamos então utilizar a fórmula para agilizar nossos cálculos: 𝑨𝒏, 𝒑 𝒏! 𝑪𝒏, 𝒑 = → 𝑪𝒏, 𝒑 = 𝒑! (𝒏 − 𝒑)! 𝒑! Aqui dividimos novamente por p, para desconsiderar todas as sequências repetidas (P1, P2, P3, P4 = P4, P2, P1, P3= P3, P2, P4, P1=...). Aplicando a fórmula: . 109 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  n! 7! 7! 7.6.5.4! 210 210 Cn, p = → C7,4 = = = = = = 35 grupos de professores (n − p)! p! (7 − 4)! 4! 3! 4! 3! 4! 3.2.1 6 2) Considerando dez pontos sobre uma circunferência, quantas cordas podem ser construídas com extremidades em dois desses pontos? Uma corda fica determinada quando escolhemos dois pontos entre os dez. Escolher (A,D) é o mesmo que escolher (D,A), então sabemos que se trata de uma combinação. Aqui temos então a combinação de 10 elementos tomados 2 a 2. n! 10! 10! 10.9.8! 90 C10,2 = = = = = = (n − p)! p! (10 − 2)! 2! 8! 2! 8! 2! 2 45 cordas AGRUPAMENTOS COM REPETIÇÃO Existem casos em que os elementos de um conjunto repetem-se para formar novos subconjuntos. Nestes casos, devemos usar fórmulas de agrupamentos com repetição. Assim, teremos: A) arranjo com repetição; B) permutação com repetição; C) combinação com repetição. Vejamos: A) Arranjo com repetição: ou arranjo completo, é um grupo de p elementos de um dado conjunto, com n elementos distintos, onde a mudança de ordem determina grupos diferentes, podendo porém ter elementos repetidos. Indicamos por AR n,p No arranjo com repetição, temos todos os elementos do conjunto à disposição a cada escolha, por isso, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒑 Exemplo: Quantas chapas de automóvel compostas de 2 letras nas duas primeiras posições, seguidas por 4 algarismos nas demais posições (sendo 26 letras do nosso alfabeto e sendo os algarismos do sistema decimal) podem ser formadas? O número de pares de letras que poderá ser utilizado é: Pois podemos repetir eles. Aplicando a fórmula de Arranjo com repetição temos: 𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒑 → 𝑨𝑹 𝟐𝟔, 𝟐 = 𝟐𝟔𝟐 = 𝟔𝟕𝟔 Para a quantidade de números temos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 – 10 algarismos): 𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒑 → 𝑨𝑹 𝟏𝟎, 𝟒 = 𝟏𝟎𝟒 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎 . 110 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Assim o número de chapas que podemos ter é dado pela multiplicação dos valores achados: 676 . 10 000 = 6 760 000 possibilidades de placas. Observação: Caso não pudesse ser utilizada a placa com a sequência de zeros, ou seja, com 4 zeros teríamos: 𝑨𝑹 𝒏, 𝒑 = 𝒏𝒑 → 𝑨𝑹 𝟏𝟎, 𝟒 = 𝟔𝟕𝟔. 𝟏𝟎𝟒 − 𝟏𝟎𝟒 = 𝟏𝟎𝟒 . (𝟔𝟕𝟔 − 𝟏) B) Permutação com repetição: a diferença entre arranjo e permutação é que esta faz uso de todos os elementos do conjunto. Na permutação com repetição, como o próprio nome indica, as repetições são permitidas e podemos estabelecer uma fórmula que relacione o número de elementos, n, e as vezes em que o mesmo elemento aparece. 𝒏! 𝑷𝒏(∝,𝜷,𝜸,… ) = … 𝜶! 𝜷! 𝜸! Com α + β + γ + ... ≤ n Exemplo: Quantos são os anagramas da palavra ARARA? n=5 α = 3 (temos 3 vezes a letra A) β = 2 (temos 2 vezes a letra R) Equacionando temos: 𝒏! 𝟓! 𝟓. 𝟒. 𝟑! 𝟓. 𝟒 𝟐𝟎 𝑷𝒏(∝,𝜷,𝜸,… ) = … → 𝒑𝟓(𝟑,𝟐) = = = = = 𝟏𝟎 𝒂𝒏𝒂𝒈𝒓𝒂𝒎𝒂𝒔 𝜶! 𝜷! 𝜸! 𝟑! 𝟐! 𝟑! 𝟐! 𝟐. 𝟏 𝟐 B.1) Permutação circular: a permutação circular com repetição pode ser generalizada através da seguinte forma: 𝑷𝒄𝒏 = (𝒏 − 𝟏)! Vejamos o exemplo como chegar na fórmula, para aplicação. - De quantas maneiras 5 meninas que brincam de roda podem formá-la? Fazendo um esquema, observamos que são posições iguais: O total de posições é 5! e cada 5 representa uma só permutação circular. Assim, o total de permutações circulares será dado por: 5! 5.4! 𝑃𝑐 5 = = = 4! = 4.3.2.1 = 24 5 5 . 111 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  C) Combinação com repetição: dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se combinação com repetição, classe p (ou combinação completa p a p) dos n elementos desse conjunto, a todo grupo formado por p elementos, distintos ou não, em qualquer ordem. 𝑪𝑹𝒏, 𝒑 = 𝑪 𝒏 + 𝒑 − 𝟏, 𝒑 Exemplo: Em uma combinação com repetição classe 2 do conjunto {a, b, c}, quantas combinações obtemos? Ilustrando temos: Utilizando a fórmula da combinação com repetição, verificamos o mesmo resultado sem necessidade de enumerar todas as possibilidades: n=3ep=2 𝟒! 𝟒! 𝟒. 𝟑. 𝟐! 𝟏𝟐 𝑪𝑹𝒏, 𝒑 = 𝑪 𝒏 + 𝒑 − 𝟏, 𝒑 → 𝑪𝑹 𝟑 + 𝟐 − 𝟏, 𝟐 → 𝑪𝑹𝟒, 𝟐 = = = = =𝟔 𝟐! (𝟒 − 𝟐)! 𝟐! 𝟐! 𝟐! 𝟐! 𝟐 Questões 01. (Pref. Chapecó/SC – Engenheiro de Trânsito – IOBV/2016) Em um restaurante os clientes têm a sua disposição, 6 tipos de carnes, 4 tipos de cereais, 4 tipos de sobremesas e 5 tipos de sucos. Se o cliente quiser pedir 1 tipo carne, 1 tipo de cereal, 1 tipo de sobremesa e 1 tipo de suco, então o número de opções diferentes com que ele poderia fazer o seu pedido, é: (A) 19 (B) 480 (C) 420 (D) 90 02. (Pref. Rio de Janeiro/RJ – Agente de Administração – Pref. do Rio de Janeiro/2016) Seja N a quantidade máxima de números inteiros de quatro algarismos distintos, maiores do que 4000, que podem ser escritos utilizando-se apenas os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. O valor de N é: (A) 120 (B) 240 (C) 360 (D) 480 03. (CRQ 2ª Região/MG – Auxiliar Administrativo – FUNDEP/2015) Com 12 fiscais, deve-se fazer um grupo de trabalho com 3 deles. Como esse grupo deverá ter um coordenador, que pode ser qualquer um deles, o número de maneiras distintas possíveis de se fazer esse grupo é: (A) 4 (B) 660 (C) 1 320 (D) 3 960 04. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO/2013) Uma empresa de propaganda pretende criar panfletos coloridos para divulgar certo produto. O papel pode ser laranja, azul, preto, amarelo, vermelho ou roxo, enquanto o texto é escrito no panfleto em preto, vermelho ou branco. De quantos modos distintos é possível escolher uma cor para o fundo e uma cor para o texto se, por uma questão de contraste, as cores do fundo e do texto não podem ser iguais? (A) 13 (B) 14 (C) 16 (D) 17 (E) 18 . 112 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  05. (TCE/BA – Analista de Controle Externo – FGV/2013) Um heptaminó é um jogo formado por diversas peças com as seguintes características: • Cada peça contém dois números do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5,6, 7}. • Todas as peças são diferentes. • Escolhidos dois números (iguais ou diferentes) do conjunto acima, existe uma, e apenas uma, peça formada por esses números. A figura a seguir mostra exemplos de peças do heptaminó. O número de peças do heptaminó é (A) 36. (B) 40. (C) 45. (D) 49. (E) 56. 06. (SANEAR – FISCAL - FUNCAB/2013) Os números dos segredos de um determinado modelo de cadeado são compostos por quatro algarismos do conjunto C = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. O número máximo de segredos distintos, desse modelo de cadeado, que começam com um algarismo ímpar e terminam com um algarismo par, é: (A) 1.120 (B) 1.750 (C) 2.255 (D) 2.475 (E) 2.500 07. (PM/SP – CABO – CETRO/2012) Uma lei de certo país determinou que as placas das viaturas de polícia deveriam ter 3 algarismos seguidos de 4 letras do alfabeto grego (24 letras). Sendo assim, o número de placas diferentes será igual a (A) 175.760.000. (B) 183.617.280. (C) 331.776.000. (D) 358.800.000. 08. (TJ/RS - TÉCNICO JUDICIÁRIO - ÁREA JUDICIÁRIA E ADMINISTRATIVA – FAURGS/2012) O Tribunal de Justiça está utilizando um código de leitura de barras composto por 5 barras para identificar os pertences de uma determinada seção de trabalho. As barras podem ser pretas ou brancas. Se não pode haver código com todas as barras da mesma cor, o número de códigos diferentes que se pode obter é de (A) 10. (B) 30. (C) 50. (D) 150. (E) 250. 09. (SEED/SP – AGENTE DE ORGANIZAÇÃO ESCOLAR – VUNESP/2012) Um restaurante possui pratos principais e individuais. Cinco dos pratos são com peixe, 4 com carne vermelha, 3 com frango, e 4 apenas com vegetais. Alberto, Bianca e Carolina pretendem fazer um pedido com três pratos principais individuais, um para cada. Alberto não come carne vermelha nem frango, Bianca só come vegetais, e Carolina só não come vegetais. O total de pedidos diferentes que podem ser feitos atendendo as restrições alimentares dos três é igual a (A) 384. (B) 392. (C) 396. (D) 416. (E)432. . 113 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  10. (PREF. JUNDIAI/SP – ELETRICISTA – MAKIYAMA/2013) Dentre os nove competidores de um campeonato municipal de esportes radicais, somente os quatro primeiros colocados participaram do campeonato estadual. Sendo assim, quantas combinações são possíveis de serem formadas com quatro desses nove competidores? (A) 126 (B)120 (C) 224 (D) 212 (E) 156 11. (PREF. LAGOA DA CONFUSÃO/TO – ORIENTADOR SOCIAL – IDECAN/2013) Renato é mais velho que Jorge de forma que a razão entre o número de anagramas de seus nomes representa a diferença entre suas idades. Se Jorge tem 20 anos, a idade de Renato é (A) 24. (B) 25. (C) 26. (D) 27. (E) 28. 12. (PREF. NEPOMUCENO/MG – TÉCNICO EM SEGURANÇA DO TRABALHO – CONSULPLAN/2013) Numa sala há 3 ventiladores de teto e 4 lâmpadas, todos com interruptores independentes. De quantas maneiras é possível ventilar e iluminar essa sala mantendo, pelo menos, 2 ventiladores ligados e 3 lâmpadas acesas? (A) 12. (B) 18. (C) 20. (D) 24. (E) 36. 13. (CREA/PR – AGENTE ADMINISTRATIVO – FUNDATEC/2013) A fim de vistoriar a obra de um estádio de futebol para a copa de 2014, um órgão público organizou uma comissão composta por 4 pessoas, sendo um engenheiro e 3 técnicos. Sabendo-se que em seu quadro de funcionários o órgão dispõe de 3 engenheiros e de 9 técnicos, pode-se afirmar que a referida comissão poderá ser formada de _____ maneiras diferentes. Assinale a alternativa que completa corretamente a lacuna do trecho acima. (A) 252 (B) 250 (C) 243 (D) 127 (E) 81 14. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS – MÚSICA – EXÉRCITO BRASILEIRO/2013) Colocando-se em ordem alfabética os anagramas da palavra FUZIL, que posição ocupará o anagrama ZILUF. (A) 103 (B) 104 (C) 105 (D) 106 (E) 107 15. (CODEMIG – Analista de Administração – Gestão de Concursos/2013) Oito amigos encontraram-se em uma festa. Se cada um dos amigos trocar um aperto de mão com cada um dos outros, quantos apertos de mão serão trocados? (A) 22. (B) 25. (C) 27. (D) 28. . 114 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Respostas 01. Resposta: B. A questão trata-se de princípio fundamental da contagem, logo vamos enumerar todas as possibilidades de fazermos o pedido: 6 x 4 x 4 x 5 = 480 maneiras. 02. Resposta: C. Pelo enunciado precisa ser um número maior que 4000, logo para o primeiro algarismo só podemos usar os números 4,5 e 6 (3 possibilidades). Como se trata de números distintos para o segundo algarismo poderemos usar os números (0,1,2,3 e também 4,5 e 6 dependo da primeira casa) logo teremos 7 – 1 = 6 possibilidades. Para o terceiro algarismos teremos 5 possibilidades e para o último, o quarto algarismo, teremos 4 possibilidades, montando temos: Basta multiplicarmos todas as possibilidades: 3 x 6 x 5 x 4 = 360. Logo N é 360. 03. Resposta: B. Esta questão trata-se de Combinação, pela fórmula temos: n! Cn, p = (n − p)! p! Onde n = 12 e p = 3 n! 12! 12! 12.11.10.9! 1320 1320 Cn, p = → C12,3 = = = = = = 220 (n − p)! p! (12 − 3)! 3! 9! 3! 9! 3! 3.2.1 6 Como cada um deles pode ser o coordenado, e no grupo tem 3 pessoas, logo temos 220 x 3 = 660. 04. Resposta: C. __ 6.3=18 Tirando as possibilidades de papel e texto iguais: P P e V V=2 possibilidades 18-2=16 possiblidades 05. Resposta: A. Teremos 8 peças com números iguais. Depois, cada número com um diferente 7+6+5+4+3+2+1 8+7+6+5+4+3+2+1=36 06. Resposta: E. O primeiro algarismo tem 5 possibilidades: 1,3,5,7,9 Os dois do meio tem 10 possibilidades, pois pode repetir os números E o último tem 5: 0,2,4,6,8 ____ 5.10.10.5=2500 . 115 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  07. Resposta: C. Algarismos possíveis: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9=10 algarismos _ _ _ _ _ _ _ 101010  242424 24=331.776.000 08. Resposta: B. _____ 22222=32 possibilidades se pudesse ser qualquer uma das cores Mas, temos que tirar código todo preto e todo branco. 32-2=30 09. Resposta: E. Para Alberto:5+4=9 Para Bianca:4 Para Carolina: 12 ___ 9.4.12=432 10. Resposta: A. 1001. C_9,4 = 9! / 5!4! = (9∙8∙7∙6∙5!) / (5!∙24) = 126 11. Resposta: C. Anagramas de RENATO ______ 6.5.4.3.2.1=720 Anagramas de JORGE _____ 5.4.3.2.1=120 720 Razão dos anagramas: =6 120 Se Jorge tem 20 anos, Renato tem 20+6=26 anos 12. Resposta: C. 1ª possibilidade:2 ventiladores e 3 lâmpadas 3! 𝐶3,2 = 1!2! = 3 4! 𝐶4,3 = 1!3! = 4 𝐶3,2 ∙ 𝐶4,3 = 3 ∙ 4 = 12 2ª possibilidade:2 ventiladores e 4 lâmpadas 3! 𝐶3,2 = 1!2! = 3 4! 𝐶4,4 = 0!4! = 1 𝐶3,2 ∙ 𝐶4,4 = 3 ∙ 1 = 3 3ª possibilidade:3 ventiladores e 3 lâmpadas 3! 𝐶3,3 = 0!3! = 1 4! 𝐶4,3 = 1!3! = 4 𝐶3,3 ∙ 𝐶4,3 = 1 ∙ 4 = 4 4ª possibilidade:3 ventiladores e 4 lâmpadas . 116 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  3! 𝐶3,3 = 0!3! = 1 4! 𝐶4,4 = 0!4! = 1 𝐶3,3 ∙ 𝐶4,4 = 1 ∙ 1 = 1 Somando as possibilidades: 12 + 3 + 4 + 1 = 20 13. Resposta: A. Engenheiros 3! 𝐶3,1 = =3 2! 1! Técnicos 9! 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6! 𝐶9,3 = = = 84 3! 6! 6 ∙ 6! 3 . 84 = 252 maneiras 14. Resposta: D. F _ _ _ _ P4 = 4! I _ _ _ _ P4 = 4! L _ _ _ _p4 = 4! U_ _ _ _P4 = 4! ZF_ _ _P3 = 3! ZIF_ _P2 = 2! ZILFU-1 ZILUF 4 . 4! + 3! + 2! + 1 = 105 Portanto, ZILUF está na 106 posição. 15. Resposta: D. A primeira pessoa apertará a mão de 7 A Segunda, de 6, e assim por diante. Portanto, haverá: 7+6+5+4+3+2+1=28 PROBABILIDADE A teoria das probabilidades surgiu no século XVI, com o estudo dos jogos de azar, tais como jogos de cartas e roleta. Atualmente ela está intimamente relacionada com a Estatística e com diversos ramos do conhecimento. Definições: A teoria da probabilidade é o ramo da Matemática que cria e desenvolve modelos matemáticos para estudar os experimentos aleatórios. Alguns elementos são necessários para efetuarmos os cálculos probabilísticos. - Experimentos aleatórios: fenômenos que apresentam resultados imprevisíveis quando repetidos, mesmo que as condições sejam semelhantes. Exemplos: a) lançamento de 3 moedas e a observação das suas faces voltadas para cima b) jogar 2 dados e observar o número das suas faces c) abrir 1 livro ao acaso e observar o número da suas faces. - Espaço amostral: conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer em um determinado experimento aleatório. Indicamos esse conjunto por uma letra maiúscula: U, S , A, Ω ... variando de acordo com a bibliografia estudada. Exemplo: . 117 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  a) quando lançamos 3 moedas e observamos suas faces voltadas para cima, sendo as faces da moeda cara (c) e coroa (k), o espaço amostral deste experimento é: S = {(c,c,c); (c,c,k); (c,k,k); (c,k,c); (k,k,k,); (k,c,k); (k,c,c); (k,k,c)}, onde o número de elementos do espaço amostral n(A) = 8 - Evento: é qualquer subconjunto de um espaço amostral (S); muitas vezes um evento pode ser caracterizado por um fato. Indicamos pela letra E. Exemplo: a) no lançamento de 3 moedas: E1→ aparecer faces iguais E1 = {(c,c,c);(k,k,k)} O número de elementos deste evento E1 é n(E1) = 2 E2→ aparecer coroa em pelo menos 1 face E2 = {(c,c,k); (c,k,k); (c,k,c); (k,k,k,); (k,c,k); (k,c,c); (k,k,c)} Logo n(E2) = 7 Veremos agora alguns eventos particulares: - Evento certo: que possui os mesmos elementos do espaço amostral (todo conjunto é subconjunto de si mesmo); E = S. E: a soma dos resultados nos 2 dados ser menor ou igual a 12. - Evento impossível: evento igual ao conjunto vazio. E: o número de uma das faces de um dado ser 7. E: Ø - Evento simples: evento que possui um único elemento. E: a soma do resultado de dois dados ser igual a 12. E: {(6,6)} - Evento complementar: se E é um evento do espaço amostral S, o evento complementar de E indicado por C tal que C = S – E. Ou seja, o evento complementar é quando E não ocorre. E1: o primeiro número, no lançamento de 2 dados, ser menor ou igual a 2. E2: o primeiro número, no lançamento de 2 dados, ser maior que 2. S: espaço amostral é dado na tabela abaixo: E: {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3) (2,4), (2,5), (2,6)} Como, C = S – E C = {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} . 118 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  - Eventos mutuamente exclusivos: dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um deles implica a não ocorrência do outro. Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então: A ∩ B = Ø. Sejam os eventos: A: quando lançamos um dado, o número na face voltada para cima é par. A = {2,4,6} B: quando lançamos um dado, o número da face voltada para cima é divisível por 5. B = {5} Os eventos A e B são mutuamente exclusivos, pois A ∩ B = Ø. Probabilidade em espaços equiprováveis Considerando um espaço amostral S, não vazio, e um evento E, sendo E ⊂ S, a probabilidade de ocorrer o evento E é o número real P (E), tal que: 𝐧(𝐄) 𝐏(𝐄) = 𝐧(𝐒) Sendo 0 ≤ P(E) ≤ 1 e S um conjunto equiprovável, ou seja, todos os elementos têm a mesma “chance de acontecer. Onde: n(E) = número de elementos do evento E. n(S) = número de elementos do espaço amostral S. Exemplo: Lançando-se um dado, a probabilidade de sair um número ímpar na face voltada para cima é obtida da seguinte forma: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6 E = {1, 3, 5} n(E) = 3 n(E) 3 1 P(E) = = = = 0,5 𝑜𝑢 50% n(S) 6 2 Probabilidade da união de dois eventos Vamos considerar A e B dois eventos contidos em um mesmo espaço amostral A, o número de elementos da reunião de A com B é igual ao número de elementos do evento A somado ao número de elementos do evento B, subtraindo o número de elementos da intersecção de A com B. Sendo n(S) o número de elementos do espaço amostral, vamos dividir os dois membros da equação por n(S) a fim de obter a probabilidade P (A U B). 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) 𝑛(𝐴) 𝑛(𝐵) 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = + − 𝑛(𝑆) 𝑛(𝑆) 𝑛(𝑆) 𝑛(𝑆) P (A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B) . 119 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Para eventos mutuamente exclusivos, onde A ∩ B = Ø, a equação será: P (A U B) = P(A) + P(B) Exemplo: A probabilidade de que a população atual de um país seja de 110 milhões ou mais é de 95%. A probabilidade de ser 110 milhões ou menos é de 8%. Calcule a probabilidade de ser 110 milhões. Sendo P(A) a probabilidade de ser 110 milhões ou mais: P(A) = 95% = 0,95 Sendo P(B) a probabilidade de ser 110 milhões ou menos: P(B) = 8% = 0,08 P (A ∩ B) = a probabilidade de ser 110 milhões: P (A ∩ B) = ? P (A U B) = 100% = 1 Utilizando a regra da união de dois eventos, temos: P (A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B) 1 = 0,95 + 0,08 - P (A ∩ B) P (A ∩ B) = 0,95 + 0,08 + 1 P (A ∩ B) = 0,03 = 3% Probabilidade condicional Vamos considerar os eventos A e B de um espaço amostral S, definimos como probabilidade 𝐴 condicional do evento A, tendo ocorrido o evento B e indicado por P(A | B) ou 𝑃 (𝐵), a razão: 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) 𝑷(𝑨|𝑩) = = 𝒏(𝑩) 𝑷(𝑩) Lemos P (A | B) como: a probabilidade de A “dado que” ou “sabendo que” a probabilidade de B. Exemplo: No lançamento de 2 dados, observando as faces de cima, para calcular a probabilidade de sair o número 5 no primeiro dado, sabendo que a soma dos 2 números é maior que 7. Montando temos: S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} Evento A: o número 5 no primeiro dado. A = {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)} Evento B: a soma dos dois números é maior que 7. B = {(2,6), (3,5), (3,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} A ∩ B = {(5,3), (5,4), (5,5), (5,6)} P (A ∩ B) = 4/36 P(B) = 15/36 Logo: 4 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 36 4 36 4 𝑃(𝐴|𝐵) = = = . = 𝑃(𝐵) 15 36 15 15 36 Probabilidade de dois eventos simultâneos (ou sucessivos) A probabilidade de ocorrer P (A ∩ B) é igual ao produto de um deles pela probabilidade do outro em relação ao primeiro. Isto significa que, para se avaliar a probabilidade de ocorrem dois eventos simultâneos (ou sucessivos), que é P (A ∩ B), é preciso multiplicar a probabilidade de ocorrer um deles P(B) pela probabilidade de ocorrer o outro, sabendo que o primeiro já ocorreu P (A | B). . 120 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Sendo: 𝐏(𝐀 ∩ 𝐁) 𝐏(𝐀 ∩ 𝐁) 𝐏(𝐀|𝐁) = 𝐨𝐮 𝐏(𝐁|𝐀) = 𝐏(𝐁) 𝐏(𝐀) - Eventos independentes: dois eventos A e B de um espaço amostral S são independentes quando P(A|B) = P(A) ou P(B|A) = P(B). Sendo os eventos A e B independentes, temos: P (A ∩ B) = P(A). P(B) Exemplo: Lançando-se simultaneamente um dado e uma moeda, determine a probabilidade de se obter 3 ou 5 na dado e cara na moeda. Sendo, c = coroa e k = cara. S = {(1,c), (1,k), (2,c), (2,k), (3,c), (3,k), (4,c), (4,k), (5,c), (5,k), (6,c), (6,k)} Evento A: 3 ou 5 no dado A = {(3,c), (3,k), (5,c), (5,k)} 4 1 𝑃(𝐴) = = 12 3 Evento B: cara na moeda B = {(1,k), (2,k), (3,k), (4,k), (5,k), (6,k)} 6 1 𝑃(𝐵) = = 12 2 Os eventos são independentes, pois o fato de ocorrer o evento A não modifica a probabilidade de ocorrer o evento B. Com isso temos: P (A ∩ B) = P(A). P(B) 1 1 1 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = . = 3 2 6 Observamos que A ∩ B = {(3,k), (5,k)} e a P (A ∩ B) poder ser calculada também por: 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) 2 1 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = = = 𝑛(𝑆) 12 6 No entanto nem sempre chegar ao n(A ∩ B) nem sempre é fácil dependendo do nosso espaço amostral. Lei Binomial de probabilidade Vamos considerar um experimento que se repete n número de vezes. Em cada um deles temos: P(E) = p , que chamamos de probabilidade de ocorrer o evento E com sucesso. P(𝐸̅ ) = 1 – p , probabilidade de ocorrer o evento E com insucesso (fracasso). A probabilidade do evento E ocorrer k vezes, das n que o experimento se repete é dado por uma lei binomial. A probabilidade de ocorrer k vezes o evento E e (n - k) vezes o evento 𝐸̅ é o produto: pk . (1 – p)n - k As k vezes do evento E e as (n – k) vezes do evento 𝐸̅ podem ocupar qualquer ordem. Então, precisamos considerar uma permutação de n elementos dos quais há repetição de k elementos e de (n – k) elementos, em outras palavras isso significa: . 121 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  𝑛! 𝑃𝑛 [𝑘,(𝑛−𝑘)] = 𝑘.(𝑛−𝑘)! = (𝑛𝑘), logo a probabilidade de ocorrer k vezes o evento E no n experimentos é dada: 𝒏 𝒑 = ( ) . 𝒑𝒌 . 𝒒𝒏−𝒌 𝒌 A lei binomial deve ser aplicada nas seguintes condições: - O experimento deve ser repetido nas mesmas condições as n vezes. - Em cada experimento devem ocorrer os eventos E e 𝐸̅ . - A probabilidade do E deve ser constante em todas as n vezes. - Cada experimento é independente dos demais. Exemplo: Lançando-se uma moeda 4 vezes, qual a probabilidade de ocorrência 3 caras? Está implícito que ocorrerem 3 caras deve ocorrer uma coroa. Umas das possíveis situações, que satisfaz o problema, pode ser: Temos que: n=4 k=3 1 1 ̅̅̅ = 1 − 𝑃(𝐸) = , 𝑃(𝐸) 2 2 Logo a probabilidade de que essa situação ocorra é dada por: 1 3 1 1 (2) . (1 − 2) , como essa não é a única situação de ocorre 3 caras e 1 coroa. Vejamos: 4! 4 𝑃4 3!.1! = =( )=4 3! .1! 3 1 3 1 1 Podemos também resolver da seguinte forma: (43) maneiras de ocorrer o produto (2) . (1 − 2) , portanto: 4 1 3 1 1 1 1 1 𝑃(𝐸) = ( ) . ( ) . (1 − ) = 4. . = 3 2 2 8 2 4 Questões 01. (ENEM - CESGRANRIO/2015) Em uma escola, a probabilidade de um aluno compreender e falar inglês é de 30%. Três alunos dessa escola, que estão em fase final de seleção de intercâmbio, aguardam, em uma sala, serem chamados para uma entrevista. Mas, ao invés de chamá-los um a um, o entrevistador entra na sala e faz, oralmente, uma pergunta em inglês que pode ser respondida por qualquer um dos alunos. A probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter sua pergunta oralmente respondida em inglês é (A) 23,7% (B) 30,0% (C) 44,1% (D) 65,7% (E) 90,0% . 122 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  02. (ENEM - CESGRANRIO/2015) Uma competição esportiva envolveu 20 equipes com 10 atletas cada. Uma denúncia à organização dizia que um dos atletas havia utilizado substância proibida. Os organizadores, então, decidiram fazer um exame antidoping. Foram propostos três modos diferentes para escolher os atletas que irão realizá-lo: Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes; Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas; Modo III: sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes. Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que P(I), P(II) e P(III) sejam as probabilidades de o atleta que utilizou a substância proibida seja um dos escolhidos para o exame no caso do sorteio ser feito pelo modo I, II ou III. Comparando-se essas probabilidades, obtém-se (A) P(I) < P(III) < P(II) (B) P(II) < P(I) < P(III) (C) P(I) < P(II) = P(III) (D) P(I) = P(II) < P(III) (E) P(I) = P(II) = P(III) 03. (ENEM - CESGRANRIO/2015) Em uma central de atendimento, cem pessoas receberam senhas numeradas de 1 até 100. Uma das senhas é sorteada ao acaso. Qual é a probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20? (A) 1/100 (B) 19/100 (C) 20/100 (D) 21/100 (E) 80/100 04. (Pref. Niterói – Agente Fazendário – FGV/2015) O quadro a seguir mostra a distribuição das idades dos funcionários de certa repartição pública: Faixa de idades (anos) Número de funcionários 20 ou menos 2 De 21 a 30 8 De 31 a 40 12 De 41 a 50 14 Mais de 50 4 Escolhendo ao acaso um desses funcionários, a probabilidade de que ele tenha mais de 40 anos é: (A) 30%; (B) 35%; (C) 40%; (D) 45%; (E) 55%. 05. (Pref. Niterói – Fiscal de Posturas – FGV/2015) Uma urna contém apenas bolas brancas e bolas pretas. São vinte bolas ao todo e a probabilidade de uma bola retirada aleatoriamente da urna ser branca é 1/5. Duas bolas são retiradas da urna sucessivamente e sem reposição. A probabilidade de as duas bolas retiradas serem pretas é: (A) 16/25; (B) 16/19; (C) 12/19; (D) 4/5; (E) 3/5. 06. (TJ/RO – Técnico Judiciário – FGV/2015) Um tabuleiro de damas tem 32 quadradinhos pretos e 32 quadradinhos brancos. . 123 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Um desses 64 quadradinhos é sorteado ao acaso. A probabilidade de que o quadradinho sorteado seja um quadradinho preto da borda do tabuleiro é: (A) ½; (B) ¼; (C) 1/8; (D) 9/16; (E) 7/32. 07. (Pref. Jucás/CE – Professor de Matemática – INSTITUTO NEO EXITUS/2014) Fernanda organizou um sorteio de amigo secreto entre suas amigas. Para isso, escreveu em pedaços de papel o nome de cada uma das 10 pessoas (incluindo seu próprio nome) que participariam desse sorteio e colocou dentro de um saco. Fernanda, como organizadora, foi a primeira a retirar um nome de dentro do saco. A probabilidade de Fernanda retirar seu próprio nome é: (A) 3/5. (B) 2/10. (C) 1/10. (D) ½. (E) 2/3. 08. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT/2014) Uma loja de eletrodoméstico tem uma venda mensal de sessenta ventiladores. Sabe-se que, desse total, seis apresentam algum tipo de problema nos primeiros seis meses e precisam ser levados para o conserto em um serviço autorizado. Um cliente comprou dois ventiladores. A probabilidade de que ambos não apresentem problemas nos seis primeiros meses é de aproximadamente: (A) 90% (B) 81% (C) 54% (D) 11% (E) 89% 09. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT/2014) Em uma caixa estão acondicionados uma dúzia e meia de ovos. Sabe-se, porém, que três deles estão impróprios para o consumo. Se forem escolhidos dois ovos ao acaso, qual a probabilidade de ambos estarem estragados? (A) 2/153 (B) 1/9 (C) 1/51 (D) 1/3 (E) 4/3 10. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT/2014) O jogo da memória é um clássico jogo formado por peças que apresentam uma figura em um dos lados. Cada figura se repete em duas peças diferentes. Para começar o jogo, as peças são postas com a figura voltada para baixo, para que não possam ser vistas. Cada participante deve, na sua vez, virar duas peças e deixar que todos as vejam. Caso as figuras sejam iguais, o participante deve recolher consigo esse par e jogar novamente. Se forem peças diferentes, estas devem ser viradas novamente e a vez deve ser passada ao participante seguinte. Ganha o jogo quem tiver descoberto mais pares, quando todos eles tiverem sido recolhidos. Fonte:<http:// www.wikipedia.org/wiki/Jogo_de_memoria>. Acesso em: 13.mar.2014. Suponha que o jogo possua 2n cartas, sendo n pares distintos. Qual é a probabilidade de, na primeira tentativa, o jogador virar corretamente um par igual? . 124 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  1 (A) 2𝑛−1 1 (B) 𝑛 1 (C) 2𝑛 1 (D) 𝑛−1 1 (E) 𝑛+1 Respostas 01. Resposta: D. A probabilidade de nenhum dos três alunos responder à pergunta feita pelo entrevistador é 0,70 . 0,70 . 0,70 = 0,343 = 34,3% Portanto, a possibilidade dele ser entendido é de: 100% – 34 ,3% = 65,7% 02. Resposta: E. Em 20 equipes com 10 atletas, temos um total de 200 atletas, dos quais apenas um havia utilizado substância proibida. A probabilidade desse atleta ser um dos escolhidos pelo: Modo I é 1 199 198 3 𝑃(𝐼) = 3 ∙ ∙ ∙ = 200 199 198 200 Modo II é 1 1 9 8 3 𝑃(𝐼𝐼) = ∙3∙ ∙ ∙ = 20 10 9 8 200 Modo III é 1 19 18 1 10 10 3 𝑃(𝐼𝐼𝐼) = 3 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ = 20 19 18 10 10 10 200 A equipe dele pode ser a primeira, a segunda ou a terceira a ser sorteada e a probabilidade dele ser o sorteado na equipe é 1/10 P(I)=P(II)=P(III) 03. Resposta: C. A probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20 é 20/100, pois são 20 números entre 100. 04. Resposta: D. O espaço amostral é a soma de todos os funcionário: 2 + 8 + 12 + 14 + 4 = 40 O número de funcionário que tem mais de 40 anos é: 14 + 4 = 18 Logo a probabilidade é: 18 𝑃(𝐸) = = 0,45 = 45% 40 05. Resposta: C. B = bolas brancas T = bolas pretas Total 20 bolas = S (espaço amostral) P(B) = 1/5 𝑛(𝐵) 1 𝑛(𝐵) 20 𝑃(𝐵) = → = → 𝑛(𝐵) = =4 𝑛(𝑆) 5 20 5 . 125 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Logo 20 – 4 = 16 bolas pretas 𝑛(𝑇) 16 4 𝑃(𝑇1) = = = 𝑛(𝑆) 20 5 Como não há reposição a probabilidade da 2º bola ser preta é: 𝑛(𝑇) 15 𝑃(𝑇2) = = 𝑛(𝑆) 19 Como os eventos são independentes multiplicamos as probabilidades: 4 15 60 12 . = = 5 19 95 19 06. Resposta: E. Como são 14 quadrinhos pretos na borda e 32 quadradinhos pertos, logo a probabilidade será de: 14 7 𝑃(𝐸) = = 64 32 07. Resposta: C. 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑎𝑑𝑜 A probabilidade é calculada por 𝑃 = 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 1 Assim, 𝑃 = 10 08. Resposta: B. 6 / 60 = 0,1 = 10% de ter problema Assim, se 10% tem problemas, então 90% não apresentam problemas. 90 90 8100 𝑃= . 100 100 = 10000 = 81% 09. Resposta: C. 3 2 6 1 𝑃 = 18 . 17 = 306 = 51 (: 6 / 6) 10. Resposta: A. Como a primeira carta pode ser qualquer uma, as chances são certas ( 1 ). Após, a segunda carta precisa ser igual à primeira, e só há 1 igual. Assim: 1 1 1 𝑃= . = 1 2𝑛−1 2𝑛−1 Progressões Aritmética e Geométrica. SEQUÊNCIAS Podemos, no nosso dia-a-dia, estabelecer diversas sequências como, por exemplo, a sucessão de cidades que temos numa viagem de automóvel entre Brasília e São Paulo ou a sucessão das datas de aniversário dos alunos de uma determinada escola. Podemos, também, adotar para essas sequências uma ordem numérica, ou seja, adotando a 1 para o 1º termo, a2 para o 2º termo até an para o n-ésimo termo. Dizemos que o termo an é também chamado termo geral das sequências, em que n é um número natural diferente de zero. Evidentemente, daremos atenção ao estudo das sequências numéricas. As sequências podem ser finitas, quando apresentam um último termo, ou, infinitas, quando não apresentam um último termo. As sequências infinitas são indicadas por reticências no final. . 126 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Exemplos: - Sequência dos números primos positivos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...). Notemos que esta é uma sequência infinita com a1 = 2; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 11; a6 = 13 etc. - Sequência dos números ímpares positivos: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...). Notemos que esta é uma sequência infinita com a1 = 1; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 9; a6 = 11 etc. - Sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Notemos que esta é uma sequência finita com a1 = 0; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3; a5 = 4; a6 = 5; a7 = 6; a8 = 7; a9 = 8; a10 = 9. 1. Igualdade As sequências são apresentadas com os seus termos entre parênteses colocados de forma ordenada. Sucessões que apresentarem os mesmos termos em ordem diferente serão consideradas sucessões diferentes. Duas sequências só poderão ser consideradas iguais se, e somente se, apresentarem os mesmos termos, na mesma ordem. Exemplo A sequência (x, y, z, t) poderá ser considerada igual à sequência (5, 8, 15, 17) se, e somente se, x = 5; y = 8; z = 15; e t = 17. Notemos que as sequências (0, 1, 2, 3, 4, 5) e (5, 4, 3, 2, 1, 0) são diferentes, pois, embora apresentem os mesmos elementos, eles estão em ordem diferente. 2. Formula Termo Geral Podemos apresentar uma sequência através de um determinado valor atribuído a cada de termo an em função do valor de n, ou seja, dependendo da posição do termo. Esta formula que determina o valor do termo an é chamada formula do termo geral da sucessão. Exemplos: - Determinar os cincos primeiros termos da sequência cujo termo geral e igual a: an = n2 – 2n,com n ∈ N*. Teremos: - se n = 1 ⇒ a1 = 12 – 2. 1 ⇒ a1 = 1 – 2 = - 1 - se n = 2 ⇒ a2 = 22 – 2. 2 ⇒ a2 = 4 – 4 = 0 - se n = 3 ⇒ a3 = 32 – 2. 3 ⇒ a3 = 9 – 6 = 3 - se n = 4 ⇒ a4 = 42 – 4. 2 ⇒ a4 =16 – 8 = 8 - se n = 5 ⇒ a5 = 52 – 5. 2 ⇒ a5 = 25 – 10 = 15 - Determinar os cinco primeiros termos da sequência cujo termo geral é igual a: an = 3n + 2, com n ∈ N*. - se n = 1 ⇒ a1 = 3.1 + 2 ⇒ a1 = 3 + 2 = 5 - se n = 2 ⇒ a2 = 3.2 + 2 ⇒ a2 = 6 + 2 = 8 - se n = 3 ⇒ a3 = 3.3 + 2 ⇒ a3 = 9 + 2 = 11 - se n = 4 ⇒ a4 = 3.4 + 2 ⇒ a4 = 12 + 2 = 14 - se n = 5 ⇒ a5 = 3.5 + 2 ⇒ a5 = 15 + 2 = 17 - Determinar os termos a12 e a23 da sequência cujo termo geral é igual a: an = 45 – 4n, com n ∈ N*. Teremos: - se n = 12 ⇒ a12 = 45 – 4.12 ⇒ a12 = 45 – 48 = - 3 - se n = 23 ⇒ a23 = 45 – 4.23 ⇒ a23 = 45 – 92 = - 47 3. Lei de Recorrências Uma sequência pode ser definida quando oferecemos o valor do primeiro termo e um “caminho” (uma fórmula) que permite a determinação de cada termo conhecendo-se o seu antecedente. Essa forma de apresentação de uma sucessão é chamada lei de recorrências. . 127 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Exemplos: - Escrever os cinco primeiros termos de uma sequência em que: a1 = 3 e an+1 = 2an – 4 , em que n ∈ N*. Teremos: o primeiro termo já foi dado. - a1 = 3 - se n = 1 ⇒ a1+1 = 2.a1 – 4 ⇒ a2 = 2.3 – 4 ⇒ a2 = 6 – 4 = 2 - se n = 2 ⇒ a2+1 = 2.a2 – 4 ⇒ a3 = 2.2 – 4 ⇒ a3 = 4 – 4 = 0 - se n = 3 ⇒ a3+1 = 2.a3 – 4 ⇒ a4 = 2.0 – 4 ⇒ a4 = 0 – 4 = - 4 - se n = 4 ⇒ a4+1 = 2.a4 – 4 ⇒ a5 = 2.(-4) – 4 ⇒ a5 = - 8 – 4 = - 12 - Determinar o termo a5 de uma sequência em que: a1 = 12 e an+ 1 = an – 2, em que n ∈ N*. - a1 = 12 - se n = 1 ⇒ a1+1 = a1 – 2 ⇒ a2 = 12 – 2 ⇒ a2=10 - se n = 2 ⇒ a2+1 = a2 – 2 ⇒ a3 = 10 – 2 ⇒ a3 = 8 - se n = 3 ⇒ a3+1 = a3 – 2 ⇒ a4 = 8 – 2 ⇒ a4 = 6 - se n = 4 ⇒ a4+1 = a4 – 2 ⇒ a5 = 6 – 2 ⇒ a5 = 4 Observação 1 Devemos observar que a apresentação de uma sequência através do termo geral é mais pratica, visto que podemos determinar um termo no “meio” da sequência sem a necessidade de determinarmos os termos intermediários, como ocorre na apresentação da sequência através da lei de recorrências. Observação 2 Algumas sequências não podem, pela sua forma “desorganizada” de se apresentarem, ser definidas nem pela lei das recorrências, nem pela formula do termo geral. Um exemplo de uma sequência como esta é a sucessão de números naturais primos que já “destruiu” todas as tentativas de se encontrar uma formula geral para seus termos. Observação 3 Em todo exercício de sequência em que n ∈ N*, o primeiro valor adotado é n = 1. No entanto de no enunciado estiver n > 3, temos que o primeiro valor adotado é n = 4. Lembrando que n é sempre um número natural. A Matemática estuda dois tipos especiais de sequências, uma delas a Progressão Aritmética. PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.) Definição: é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo termo, é igual ao termo anterior somado com uma constante que é chamada de razão (r). Como em qualquer sequência os termos são chamados de a1, a2, a3, a4,.......,an,.... Cálculo da razão: a razão de uma P.A. é dada pela diferença de um termo qualquer pelo termo imediatamente anterior a ele. r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = a5 – a4 = .......... = an – an – 1 Exemplos: - (5, 9, 13, 17, 21, 25,......) é uma P.A. onde a1 = 5 e razão r = 4 - (2, 9, 16, 23, 30,.....) é uma P.A. onde a1 = 2 e razão r = 7 - (23, 21, 19, 17, 15,....) é uma P.A. onde a1 = 23 e razão r = - 2. Classificação: uma P.A. é classificada de acordo com a razão. 1- Se r > 0 ⇒ a P.A. é crescente. 2- Se r < 0 ⇒ a P.A. é decrescente. 3- Se r = 0 ⇒ a P.A. é constante. Fórmula do Termo Geral Em toda P.A., cada termo é o anterior somado com a razão, então temos: . 128 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  1° termo: a1 2° termo: a2 = a1 + r 3° termo: a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r 4° termo: a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r 5° termo: a5 = a4 + r = a1 + 3r + r = a1 + 4r 6° termo: a6 = a5 + r = a1 + 4r + r = a1 + 5r . . . . . . . . . . . . . . . . . . n° termo é: 𝐚𝐧 = 𝐚𝟏 + (𝐧 − 𝟏). 𝐫 Fórmula da soma dos n primeiros termos (𝐚𝟏 + 𝐚𝐧 ). 𝐧 𝐒𝐧 = 𝟐 Propriedades: 1- Numa P.A. a soma dos termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. Exemplo 1: (1, 3, 5, 7, 9, 11,......) Exemplo 2: (2, 8, 14, 20, 26, 32, 38,......) - como podemos observar neste exemplo, temos um número ímpar de termos. Neste caso sobrou um termo no meio (20) que é chamado de termo médio e é igual a metade da soma dos extremos. Porém, só existe termos médio se houver um número ímpar de termos. 2- Numa P.A. se tivermos três termos consecutivos, o termo médio é igual à média aritmética dos a anterior com o posterior. Ou seja, (a1, a2, a3,...) <==> a2 = a3 . 1 Exemplo: P.G. – PROGRESSÃO GEOMETRICA Definição: é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo termo, é igual ao termo anterior multiplicado por uma constante que é chamada de razão (q). . 129 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Como em qualquer sequência os termos são chamados de a1, a2, a3, a4,.......,an,.... Cálculo da razão: a razão de uma P.G. é dada pelo quociente de um termo qualquer pelo termo imediatamente anterior a ele. 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑞 = 𝑎2 = 𝑎3 = 𝑎4 = ⋯ … … … = 𝑎 𝑛 1 2 3 𝑛−1 Exemplos: - (3, 6, 12, 24, 48,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 3 e razão q = 2 −9 −9 1 - (-36, -18, -9, 2 , 4 ,...) é uma PG de primeiro termo a1 = - 36 e razão q = 2 5 5 1 - (15, 5, 3, 9,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 15 e razão q = 3 - (- 2, - 6, -18, - 54, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = - 2 e razão q = 3 - (1, - 3, 9, - 27, 81, - 243, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 1 e razão q = - 3 - (5, 5, 5, 5, 5, 5,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 5 e razão q = 1 - (7, 0, 0, 0, 0, 0,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 7 e razão q = 0 - (0, 0, 0, 0, 0, 0,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 0 e razão q indeterminada Classificação: uma P.G. é classificada de acordo com o primeiro termo e a razão. 1- Crescente: quando cada termo é maior que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando a1 < 0 e 0 < q < 1. 2- Decrescente: quando cada termo é menor que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou quando a1 < 0 e q > 1. 3- Alternante: quando cada termo apresenta sinal contrário ao do anterior. Isto ocorre quando q < 0. 4- Constante: quando todos os termos são iguais. Isto ocorre quando q = 1. Uma PG constante é também uma PA de razão r = 0. A PG constante é também chamada de PG estacionaria. 5- Singular: quando zero é um dos seus termos. Isto ocorre quando a1 = 0 ou q = 0. Fórmula do termo geral Em toda P.G. cada termo é o anterior multiplicado pela razão, então temos: 1° termo: a1 2° termo: a2 = a1.q 3° termo: a3 = a2.q = a1.q.q = a1q2 4° termo: a4 = a3.q = a1.q2.q = a1.q3 5° termo: a5 = a4.q = a1.q3.q = a1.q4 . . . . . . . . . . . . . . . n° termo é: an = a1.qn – 1 Soma dos n primeiros termos 𝐚𝟏 . (𝐪𝐧 − 𝟏) 𝐒𝐧 = 𝐪−𝟏 Soma dos infinitos termos (ou Limite da soma) Vamos ver um exemplo: 1 Seja a P.G. (2, 1, ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32,.....) de a1 = 2 e q = 2 se colocarmos na forma decimal, temos (2; 1; 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625; 0,03125;.....) se efetuarmos a somas destes termos: 2+1=3 3 + 0,5 = 3,5 3,5 + 0,25 = 3,75 . 130 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  3,75 + 0,125 = 3,875 3,875 + 0,0625 = 3,9375 3,9375 + 0,03125 = 3,96875 . . . Como podemos observar o número somado vai ficando cada vez menor e a soma tende a um certo limite. Então temos a seguinte fórmula: 𝐚𝟏 𝐒= → −𝟏 < 𝐪 < 𝟏 𝟏−𝐪 2 2 Utilizando no exemplo acima: 𝑆 = 1 = 1 = 4, logo dizemos que esta P.G. tem um limite que tenda a 1− 2 2 4. Produto da soma de n termos |𝐏𝐧 | = √(𝐚𝟏 . 𝐚𝐧 )𝐧 Temos as seguintes regras para o produto, já que esta fórmula está em módulo: 1- O produto de n números positivos é sempre positivo. 2- No produto de n números negativos: a) se n é par: o produto é positivo. b) se n é ímpar: o produto é negativo. Propriedades 1- Numa P.G., com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto destes extremos. Exemplos 1: (3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384,....) Exemplo 2: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,....) - como podemos observar neste exemplo, temos um número ímpar de termos. Neste caso sobrou um termo no meio (8) que é chamado de termo médio e é igual a raiz quadrada do produto dos extremos. Porém, só existe termos médio se houver um número ímpar de termos. 2- Numa P.G. se tivermos três termos consecutivos, o termo médio é igual à média geométrica do termo anterior com o termo posterior. Ou seja, (a1, a2, a3,...) <==> a2 = √a3 . a1. Exemplo: . 131 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Questões 01. (Pref. Amparo/SP – Agente Escolar – CONRIO/2014) Descubra o 99º termo da P.A. (45, 48, 51,...) (A) 339 (B) 337 (C) 333 (D) 331 02. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC/2014) Uma sequência inicia-se com o número 0,3. A partir do 2º termo, a regra de obtenção dos novos termos é o termo anterior menos 0,07. Dessa maneira o número que corresponde à soma do 4º e do 7º termos dessa sequência é (A) –6,7. (B) 0,23. (C) –3,1. (D) –0,03. (E) –0,23. 03. Os termos da sequência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa sequência, então a30 + a55 é igual a: (A) 58 (B) 59 (C) 60 (D) 61 (E) 62 04. A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é: (A) 3,1 (B) 3,9 (C) 3,99 (D) 3, 999 (E) 4 05. (EBSERH/ HUSM – UFSM/RS – Analista Administrativo – Administração – AOCP/2014) Observe a sequência: 1; 2; 4; 8;... Qual é a soma do sexto termo com o oitavo termo? (A) 192 (B) 184 (C) 160 (D) 128 (E) 64 06. (PREF. NEPOMUCENO/MG – TÉCNICO EM SEGURANÇA DO TRABALHO – CONSULPLAN/2013) O primeiro e o terceiro termos de uma progressão geométrica crescente são, respectivamente, 4 e 100. A soma do segundo e quarto termos dessa sequência é igual a (A) 210. (B) 250. (C) 360. (D) 480. (E) 520. 07. (TRF 3ª – Analista Judiciário - Informática – FCC/2014) Um tabuleiro de xadrez possui 64 casas. Se fosse possível colocar 1 grão de arroz na primeira casa, 4 grãos na segunda, 16 grãos na terceira, 64 grãos na quarta, 256 na quinta, e assim sucessivamente, o total de grãos de arroz que deveria ser colocado na 64ª casa desse tabuleiro seria igual a (A) 264. . 132 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (B) 2126. (C) 266. (D) 2128. (E) 2256. 08. (Polícia Militar/SP – Aluno – Oficial – VUNESP/2014) Planejando uma operação de policiamento ostensivo, um oficial desenhou em um mapa três círculos concêntricos de centro P, conforme mostrado na figura. Sabe-se que as medidas dos raios r, r1 e r2 estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Se r + r1 + r2 = 52 cm, e r . r2 = 144 cm, então r + r2 é igual, em centímetros, a (A) 36. (B) 38. (C) 39. (D) 40. (E) 42. 09. (EBSERH/HU-UFGD – Técnico em Informática – AOCP/2014) Observe a sequência numérica a seguir: 11; 15; 19; 23;... Qual é o sétimo termo desta sequência? (A) 27. (B) 31. (C) 35. (D) 37. (E) 39 10. (METRÔ/SP – USINADOR FERRAMENTEIRO – FCC/2014) O setor de almoxarifado do Metrô necessita numerar peças de 1 até 100 com adesivos. Cada adesivo utilizado no processo tem um único algarismo de 0 a 9. Por exemplo, para fazer a numeração da peça número 100 são gastos três adesivos (um algarismo 1 e dois algarismos 0). Sendo assim, o total de algarismos 9 que serão usados no processo completo de numeração das peças é igual a (A) 20. (B) 10. (C) 19. (D) 18. (E) 9. 11. (MPE/AM – AGENTE DE APOIO- ADMINISTRATIVO – FCC/2013) Considere a sequência numérica formada pelos números inteiros positivos que são divisíveis por 4, cujos oito primeiros elementos são dados a seguir. (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,...) O último algarismo do 234º elemento dessa sequência é (A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8 . 133 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Respostas 01. Resposta: A. r = 48 – 45 = 3 𝑎1 = 45 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 𝑎99 = 45 + 98 ∙ 3 = 339 02. Resposta: D. 𝑎𝑛 = 𝑎1 − (𝑛 − 1)𝑟 𝑎4 = 0,3 − 3.0,07 = 0,09 𝑎7 = 0,3 − 6.0,07 = −0,12 𝑆 = 𝑎4 + 𝑎7 = 0,09 − 0,12 = −0,03 03. Resposta: B. Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 - (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 - (8; 9; 10; 11; …). Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato: (1) ai = a1 + (i - 1).1 = a1 + i – 1 Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está intrinsecamente relacionada às duas progressões da seguinte forma: - Se n (índice da sucessão) é ímpar temos que n = 2i - 1, ou seja, i = (n + 1)/2; - Se n é par temos n = 2i ou i = n/2. Daqui e de (1) obtemos que: an = 10 + [(n + 1)/2] - 1 se n é ímpar an = 8 + (n/2) - 1 se n é par Logo: a30 = 8 + (30/2) - 1 = 8 + 15 - 1 = 22 e a55 = 10 + [(55 + 1)/2] - 1 = 37 E, portanto: a30 + a55 = 22 + 37 = 59. 04. Resposta: E. Sejam S as somas dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009;…) de razão q = 0,09/0,9 = 0,1. Assim: S = 3 + S1 Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1: S1 = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1 → S = 3 + 1 = 4 05. Resposta: C. Esta sequência é do tipo 𝑎𝑛 = 2𝑛−1 . Assim: 𝑎6 = 26−1 = 25 = 32 𝑎8 = 28−1 = 27 = 128 A soma fica: 32 + 128 = 160. 06. Resposta: E. 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞 𝑛−1 𝑎3 = 𝑎1 ∙ 𝑞 2 100 = 4 ∙ 𝑞 2 𝑞 2 = 25 𝑞=5 𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑞 = 4 ∙ 5 = 20 𝑎4 = 𝑎3 ∙ 𝑞 = 100 ∙ 5 = 500 𝑎2 + 𝑎4 = 20 + 500 = 520 . 134 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  07. Resposta: B. Pelos valores apresentados, é uma PG de razão 4 A64 = ? a1 = 1 q=4 n = 64 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞 𝑛−1 𝑎𝑛 = 1 ∙ 463 = (22 )63 = 2126 08. Resposta: D. 𝑟1 𝑟2 Se estão em Progressão Geométrica, então: = , ou seja, 𝑟1 . 𝑟1 = 𝑟 . 𝑟2. 𝑟 𝑟1 2 Assim: 𝑟1 = 144 𝑟1 = √144 = 12 𝑐𝑚 Sabemos que r + r1 + r2 = 52. Assim: 𝑟 + 12 + 𝑟2 = 52 𝑟 + 𝑟2 = 52 − 12 𝑟 + 𝑟2 = 40 09. Resposta: C. Trata-se de uma Progressão Aritmética, cuja fórmula do termo geral é 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑟 𝑛 = 7; 𝑎1 = 11; 𝑟 = 15 − 11 = 4 Assim, 𝑎7 = 11 + (7 − 1). 4 = 11 + 6.4 = 11 + 24 = 35 10. Resposta: A. 99 = 9 + (𝑛 − 1)10 10𝑛 − 10 + 9 = 99 𝑛 = 10 Vamos tirar o 99 pra ser contato a parte: 10-1=9 99 = 90 + (𝑛 − 1) 𝑛 = 99 − 90 + 1 = 10 São 19 números que possuem o algarismo 9, mas o 99 possui 2 19+1=20 11. Resposta: D. r=4 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 𝑎234 = 4 + 233 ∙ 4 = 936 Portanto, o último algarismo é 6. Conjuntos: as relações de pertinência, inclusão e igualdade; operações entre conjuntos, união, interseção e diferença. CONJUNTOS Conjunto é uma reunião, agrupamento de pessoas, seres, objetos, classes…, que possuem a mesma característica, nos dá ideia de coleção. Noções Primitivas Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem definições: - Conjunto; - Elemento; - E a pertinência entre um elemento e um conjunto. . 135 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Um cacho de bananas, um cardume de peixes ou uma porção de livros são todos exemplos de conjuntos. Conjuntos, como usualmente são concebidos, têm elementos. Um elemento de um conjunto pode ser uma banana, um peixe ou um livro. Convém frisar que um conjunto pode ele mesmo ser elemento de algum outro conjunto. Em geral indicaremos os conjuntos pelas letras maiúsculas A, B, C, ..., X, e os elementos pelas letras minúsculas a, b, c, ..., x, y, ..., embora não exista essa obrigatoriedade. A relação de pertinência que nos dá um relacionamento entre um elemento e um conjunto. Se x é um elemento de um conjunto A, escreveremos x  A. Lê-se: x é elemento de A ou x pertence a A. Se x não é um elemento de um conjunto A, escreveremos x  A. Lê-se x não é elemento de A ou x não pertence a A. Como representar um conjunto 1) Pela designação de seus elementos: Escrevemos os elementos entre chaves, separando os por vírgula. Exemplos: {a, e, i, o, u} indica o conjunto formado pelas vogais {1, 2, 5,10} indica o conjunto formado pelos divisores naturais de 10. 2) Pela sua característica Escrevemos o conjunto enunciando uma propriedade ou característica comum de seus elementos. Assim sendo, o conjunto dos elementos x que possuem a propriedade P é indicado por: {x, | (tal que) x tem a propriedade P} Exemplos: - {x| x é vogal} é o mesmo que {a, e, i, o, u} - {x | x são os divisores naturais de 10} é o mesmo que {1, 2, 5,10} 3) Pelo diagrama de Venn-Euler Os elementos do conjunto são colocados dentro de uma figura em forma de elipse, chamada diagrama de Venn. Exemplos: - Conjunto das vogais - Conjunto dos divisores naturais de 10 . 136 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Igualdade de Conjuntos Dois conjuntos A = B são ditos iguais (ou idênticos) se todos os seus elementos são iguais, e escrevemos A = B. Caso haja algum que não o seja dizemos que estes conjuntos são distintos e escrevemos A ≠ B. Exemplos: 1) A = {3, 5, 7} e B = {x| x é primo e 3 ≤ x ≤ 7}, então A = B. 2) B = {6, 9,10} e C = {10, 6, 9}, então B = C, note que a ordem dos elementos não altera a igualdade dos conjuntos. Tipos de Conjuntos - Conjunto Universo Reunião de todos os conjuntos que estamos trabalhando. Exemplo: Quando falamos de números naturais, temos como Conjunto Universo os números inteiros positivos. - Conjunto Vazio Conjunto vazio é aquele que não possui elementos. Representa-se por 0 ou, simplesmente { }. Exemplo: A = {x| x é natural e menor que 0} - Conjunto Unitário Conjunto caracterizado por possuir apenas um único elemento. Exemplos: - Conjunto dos números naturais compreendidos entre 2 e 4. A = {3} - Conjunto dos números inteiros negativos compreendidos entre -5 e -7. B = {- 6} - Conjuntos Finitos e Infinitos Finito = quando podemos enumerar todos os seus elementos. Exemplo: Conjuntos dos Estados da Região Sudeste, S= {Rio de Janeiro, São Paulo, Espirito Santo, Minas Gerais} Infinito = contrário do finito. Exemplo: Conjunto dos números inteiros, Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}. A reticências representa o infinito. Relação de Pertinência A pertinência é representada pelo símbolo ∈ (pertence) ou não pertence). Ele relaciona elemento com conjunto. Exemplo: Seja o conjunto B={1, 3, 5, 7} * 1ϵ B, 3 ϵ B, 5 ϵ B * 2 B, 6  B , 9 B Subconjuntos Quando todos os elementos de um conjunto A são também elementos de um outro conjunto B, dizemos que A é subconjunto de B. Podemos dizer ainda que subconjunto é quando formamos vários conjuntos menores com as mesmas caraterísticas de um conjunto maior. Exemplos: - B = {2, 4}  A = {2, 3, 4, 5, 6}, pois 2  {2, 3, 4, 5, 6} e 4  {2, 3, 4, 5 ,6} - C = {2, 7, 4}  A = {2, 3, 4, 5, 6}, pois 7  {2, 3, 4, 5, 6} - D = {2, 3}  E = {2, 3}, pois 2 ϵ {2, 3} e 3 ϵ {2, 3} . 137 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  1) Todo conjunto A é subconjunto dele próprio; 2) O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto; 3) O conjunto das partes é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A. Exemplo: Pegando o conjunto B acima, temos as partes de B: B= {{ },{2},{4},B} Podemos concluir com essa propriedade que: Se B tem n elementos então B possui 2n subconjuntos e, portanto, P(B) possui 2n elementos. Se quiséssemos saber quantos subconjuntos tem o conjunto A (exemplo acima), basta calcularmos aplicando o fórmula: Números de elementos(n)= 5 → 2n = 25 = 32 subconjuntos, incluindo o vazio e ele próprio. Relação de inclusão Deve ser usada para estabelecer relação entre conjuntos com conjuntos, verificando se um conjunto é subconjunto ou não de outro conjunto. Representamos as relações de inclusão pelos seguintes símbolos: Está contido  Contém Não está contido Não contém Operações com Conjuntos - União de conjuntos A união (ou reunião) dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B. Representa-se por A  B. Simbolicamente: A  B = {x | x  A ou x B} Exemplos: - {2, 3}  {4, 5, 6} = {2, 3, 4, 5, 6} - {2, 3, 4}  {3, 4, 5} = {2, 3, 4, 5} - {2, 3}  {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} - {a, b}   = {a, b} - Intersecção de conjuntos A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem, simultaneamente, a A e a B. Representa-se por A  B. Simbolicamente: A  B = {x | x  A e x  B} Exemplos: - {2, 3, 4}  {3, 5} = {3} - {1, 2, 3}  {2, 3, 4} = {2, 3} . 138 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  - {2, 3}  {1, 2, 3, 5} = {2, 3} - {2, 4}  {3, 5, 7} =  Observação: Se A  B =  , dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. - Propriedades dos conjuntos disjuntos 1) A U (A ∩ B) = A 2) A ∩ (A U B) = A 3) Distributiva da reunião em relação à intersecção: A U (B U C) = (A U B) ∩ (A U C) 4) Distributiva da intersecção em relação à união: A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) - Número de Elementos da União e da Intersecção de Conjuntos Dados dois conjuntos A e B, como vemos na figura abaixo, podemos estabelecer uma relação entre os respectivos números de elementos. 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) Note que ao subtrairmos os elementos comuns (𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)) evitamos que eles sejam contados duas vezes. Observações: a) Se os conjuntos A e B forem disjuntos ou se mesmo um deles estiver contido no outro, ainda assim a relação dada será verdadeira. b) Podemos ampliar a relação do número de elementos para três ou mais conjuntos com a mesma eficiência. Observe o diagrama e comprove: 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) - Propriedades da União e Intersecção de Conjuntos Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades: 1) Idempotente: A U A = A e A ∩ A= A 2) Elemento Neutro: A U Ø = A e A ∩ U = A 3) Comutativa: A U B = B U A e A ∩ B = B ∩ A 4) Associativa: A U (B U C) = (A U B) U C e A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C - Diferença A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Representa-se por A – B. Para determinar a diferença entre conjuntos, basta observamos o que o conjunto A tem de diferente de B. . 139 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Simbolicamente: A – B = {x | x  A e x  B} Exemplos: - A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2}  A – B = {1, 3} e B – A =  - A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}  A – B = {1} e B – A = {4} - A = {0, 2, 4} e B = {1 ,3 ,5}  A – B = {0, 2, 4} e B – A = {1, 3, 5} Note que A – B ≠ B - A - Complementar Dados dois conjuntos A e B, tais que B ⊂ A (B é subconjunto de A), chama-se complementar de B em relação a A o conjunto A - B, isto é, o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. Dizemos complementar de B em relação a A. Exemplos: Seja S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então: a) A = {2, 3, 4}  A = {0, 1, 5, 6} b) B = {3, 4, 5, 6 }  B = {0, 1, 2} c) C =   C = S Resolução de Problemas Utilizando Conjuntos Muitos dos problemas constituem- se de perguntas, tarefas a serem executadas. Nos utilizaremos dessas informações e dos conhecimentos aprendidos em relação as operações de conjuntos para resolvê-los. Exemplos: 1) Numa pesquisa sobre a preferência por dois partidos políticos, A e B, obteve-se os seguintes resultados. Noventa e duas disseram que gostam do partido A, oitenta pessoas disseram que gostam do partido B e trinta e cinco pessoas disseram que gostam dos dois partidos. Quantas pessoas responderam a pesquisa? Resolução pela Fórmula » n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) » n(A U B) = 92 + 80 – 35 » n(A U B) = 137 Resolução pelo diagrama: - Se 92 pessoas responderam gostar do partido A e 35 delas responderam que gostam de ambos, então o número de pessoas que gostam somente do partido A é: 92 – 35 = 57. - Se 80 pessoas responderam gostar do partido B e 35 delas responderam gostar dos dois partidos, então o número de operários que gostam somente do partido B é: 80 – 35 = 45. - Se 57 gostam somente do partido A, 45 responderam que gostam somente do partido B e 35 responderam que gostam dos dois partidos políticos, então o número de pessoas que responderam à pesquisa foi: 57 + 35 + 45 = 137. . 140 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  2) Num grupo de motoristas, há 28 que dirigem automóvel, 12 que dirigem motocicleta e 8 que dirigem automóveis e motocicleta. Quantos motoristas há no grupo? (A) 16 motoristas (B) 32 motoristas (C) 48 motoristas (D) 36 motoristas Resolução: Os que dirigem automóveis e motocicleta: 8 Os que dirigem apenas automóvel: 28 – 8 = 20 Os que dirigem apenas motocicleta: 12 – 8 = 4 A quantidade de motoristas é o somatório: 20 + 8 + 4 = 32 motoristas. Resposta: B 3) Em uma cidade existem duas empresas de transporte coletivo, A e B. Exatamente 70% dos estudantes desta cidade utilizam a Empresa A e 50% a Empresa B. Sabendo que todo estudante da cidade é usuário de pelo menos uma das empresas, qual o % deles que utilizam as duas empresas? (A) 20% (B) 25% (C) 27% (D) 33% (E) 35% Resolução: 70 – 50 = 20. 20% utilizam as duas empresas. Resposta: A. Questões 01. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC/2014) Dos 43 vereadores de uma cidade, 13 dele não se inscreveram nas comissões de Educação, Saúde e Saneamento Básico. Sete dos vereadores se inscreveram nas três comissões citadas. Doze deles se inscreveram apenas nas comissões de Educação e Saúde e oito deles se inscreveram apenas nas comissões de Saúde e Saneamento Básico. Nenhum dos vereadores se inscreveu em apenas uma dessas comissões. O número de vereadores inscritos na comissão de Saneamento Básico é igual a (A) 15. (B) 21. (C) 18. (D) 27. (E) 16. . 141 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  02. (EBSERH/HU-UFS/SE - Tecnólogo em Radiologia - AOCP /2014) Em uma pequena cidade, circulam apenas dois jornais diferentes. O jornal A e o jornal B. Uma pesquisa realizada com os moradores dessa cidade mostrou que 33% lê o jornal A, 45% lê o jornal B, e 7% leem os jornais A e B. Sendo assim, quantos por centos não leem nenhum dos dois jornais? (A) 15% (B) 25% (C) 27% (D) 29% (E) 35% 03. (TRT 19ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2014) Dos 46 técnicos que estão aptos para arquivar documentos 15 deles também estão aptos para classificar processos e os demais estão aptos para atender ao público. Há outros 11 técnicos que estão aptos para atender ao público, mas não são capazes de arquivar documentos. Dentre esses últimos técnicos mencionados, 4 deles também são capazes de classificar processos. Sabe-se que aqueles que classificam processos são, ao todo, 27 técnicos. Considerando que todos os técnicos que executam essas três tarefas foram citados anteriormente, eles somam um total de (A) 58. (B) 65. (C) 76. (D) 53. (E) 95. 04. (METRÔ/SP – OFICIAL LOGISTICA –ALMOXARIFADO I – FCC/2014) O diagrama indica a distribuição de atletas da delegação de um país nos jogos universitários por medalha conquistada. Sabe- se que esse país conquistou medalhas apenas em modalidades individuais. Sabe-se ainda que cada atleta da delegação desse país que ganhou uma ou mais medalhas não ganhou mais de uma medalha do mesmo tipo (ouro, prata, bronze). De acordo com o diagrama, por exemplo, 2 atletas da delegação desse país ganharam, cada um, apenas uma medalha de ouro. A análise adequada do diagrama permite concluir corretamente que o número de medalhas conquistadas por esse país nessa edição dos jogos universitários foi de (A) 15. (B) 29. (C) 52. (D) 46. (E) 40. 05. (PREF. CAMAÇARI/BA – TÉC. VIGILÂNCIA EM SAÚDE NM – AOCP/2014) Qual é o número de elementos que formam o conjunto dos múltiplos estritamente positivos do número 3, menores que 31? (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 (E) 13 06. (PREF. CAMAÇARI/BA – TÉC. VIGILÂNCIA EM SAÚDE NM – AOCP/2014) Considere dois conjuntos A e B, sabendo que 𝐴 ∩ 𝐵 = {3}, 𝐴 ∪ 𝐵 = {0; 1; 2; 3; 5} 𝑒 𝐴 − 𝐵 = {1; 2}, assinale a alternativa que apresenta o conjunto B. (A) {1;2;3} (B) {0;3} . 142 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (C) {0;1;2;3;5} (D) {3;5} (E) {0;3;5} 07. (INES – Técnico em Contabilidade – MAGNUS CONCURSOS/2014) Numa biblioteca são lidos apenas dois livros, K e Z. 80% dos seus frequentadores leem o livro K e 60% o livro Z. Sabendo-se que todo frequentador é leitor de pelo menos um dos livros, a opção que corresponde ao percentual de frequentadores que leem ambos, é representado: (A) 26% (B) 40% (C) 34% (D) 78% (E) 38% 08. (METRÔ/SP – ENGENHEIRO SEGURANÇA DO TRABALHO – FCC/2014) Uma pesquisa, com 200 pessoas, investigou como eram utilizadas as três linhas: A, B e C do Metrô de uma cidade. Verificou- se que 92 pessoas utilizam a linha A; 94 pessoas utilizam a linha B e 110 pessoas utilizam a linha C. Utilizam as linhas A e B um total de 38 pessoas, as linhas A e C um total de 42 pessoas e as linhas B e C um total de 60 pessoas; 26 pessoas que não se utilizam dessas linhas. Desta maneira, conclui-se corretamente que o número de entrevistados que utilizam as linhas A e B e C é igual a (A) 50. (B) 26. (C) 56. (D) 10. (E) 18. 09. (INES – Técnico em Contabilidade – MAGNUS CONCURSOS/2014) Numa recepção, foram servidos os salgados pastel e casulo. Nessa, estavam presentes 10 pessoas, das quais 5 comeram pastel, 7 comeram casulo e 3 comeram as duas. Quantas pessoas não comeram nenhum dos dois salgados? (A) 0 (B) 5 (C) 1 (D) 3 (E) 2 10. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT/2014) Em uma pesquisa realizada com alunos de uma universidade pública sobre a utilização de operadoras de celular, constatou-se que 300 alunos utilizam a operadora A, 270 utilizam a operadora B, 150 utilizam as duas operadoras (A e B) e 80 utilizam outras operadoras distintas de A e B. Quantas pessoas foram consultadas? (A) 420 (B) 650 (C) 500 (D) 720 (E) 800 Respostas 01. Resposta: C. De acordo com os dados temos: 7 vereadores se inscreveram nas 3. APENAS 12 se inscreveram em educação e saúde (o 12 não deve ser tirado de 7 como costuma fazer nos conjuntos, pois ele já desconsidera os que se inscreveram nos três) APENAS 8 se inscreveram em saúde e saneamento básico. São 30 vereadores que se inscreveram nessas 3 comissões, pois 13 dos 43 não se inscreveram. Portanto, 30 – 7 – 12 – 8 = 3 Se inscreveram em educação e saneamento 3 vereadores. . 143 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Em saneamento se inscreveram: 3 + 7 + 8 = 18 02. Resposta: D. 26 + 7 + 38 + x = 100 → x = 100 – 71 → x = 29% 03. Resposta: B. Técnicos arquivam e classificam: 15 Arquivam e atendem: 46 – 15 = 31 Classificam e atendem: 4 Classificam: 15 + 4 = 19 como são 27 faltam 8 Dos 11 técnicos aptos a atender ao público 4 são capazes de classificar processos, logo apenas 11 - 4 = 7 técnicos são aptos a atender ao público. Somando todos os valores obtidos no diagrama teremos: 31 + 15 + 7 + 4 + 8 = 65 técnicos. 04. Resposta: D. O diagrama mostra o número de atletas que ganharam medalhas. No caso das intersecções, devemos multiplicar por 2 por ser 2 medalhas e na intersecção das três medalhas multiplica-se por 3. Intersecções: 6 ∙ 2 = 12 1∙2=2 4∙2=8 3∙3=9 Somando as outras: 2 + 5 + 8 + 12 + 2 + 8 + 9 = 46 05. Resposta: B. Se nos basearmos na tabuada do 3, teremos o seguinte conjunto . 144 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30} 10 elementos. 06. Resposta: E. A intersecção dos dois conjuntos, mostra que 3 é elemento de B. A – B são os elementos que tem em A e não em B. Então de A  B, tiramos que B = {0; 3; 5}. 07. Resposta: B. 80 – x + x + 60 – x = 100 → - x = 100 – 140 → x = 40% 08. Resposta: E. 92-[38-x+x+42-x]+94-[38-x+x+60-x]+110-[42-x+x+60-x]+(38-x)+x+(42-x)+(60-x)+26=200 92 - [80 - x] + 94 - [98 - x] + 110 - [102 - x] + 38 + 42 – x + 60 – x + 26 = 200 92 – 80 +x + 94 – 98 +x + 110 – 102 + x + 166 -2x = 200 x + 462 – 280 = 200  x + 182 = 200  x = 200-182  x = 18 09. Resposta: C. 2 + 3 + 4 + x = 10 → x = 10 – 9 → x = 1 . 145 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  10. Resposta: C. 300 – 150 = 150 270 – 150 = 120 Assim: 150 + 120 + 150 + 80 = 500(total) Geometria plana e espacial. ÂNGULOS Ângulo: É uma região limitada por duas semirretas de mesma origem. Elementos de um ângulo: - LADOS: são as duas semirretas ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 e ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵. -VÉRTICE: é o ponto de intersecção das duas semirretas, no exemplo o ponto O. Ângulo Agudo: É o ângulo, cuja medida é menor do que 90º. Ângulo Central: - Da circunferência: é o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência; - Do polígono: é o ângulo, cujo vértice é o centro do polígono regular e cujos lados passam por vértices consecutivos do polígono. . 146 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Ângulo Circunscrito: É o ângulo, cujo vértice não pertence à circunferência e os lados são tangentes a ela. Ângulo Inscrito: É o ângulo cujo vértice pertence a uma circunferência. Ângulo Obtuso: É o ângulo cuja medida é maior do que 90º. Ângulo Raso: - É o ângulo cuja medida é 180º; - É aquele, cujos lados são semirretas opostas. Ângulo Reto: - É o ângulo cuja medida é 90º; - É aquele cujos lados se apoiam em retas perpendiculares. . 147 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  0 Ângulos Complementares: Dois ângulos são complementares se a soma das suas medidas é 90 . 0 Ângulos Replementares: Dois ângulos são ditos replementares se a soma das suas medidas é 360 . Ângulos Suplementares: Dois ângulos são ditos suplementares se a soma das suas medidas de dois ângulos é 180º. Então, se x e y são dois ângulos, temos: - se x + y = 90°  x e y são Complementares. - se x + y = 180°  x e y são Suplementares. - se x + y = 360°  x e y são Replementares. Ângulos Congruentes: São ângulos que possuem a mesma medida. Ângulos Opostos pelo Vértice: Dois ângulos são opostos pelo vértice se os lados de um são as respectivas semirretas opostas aos lados do outro. Ângulos consecutivos: são ângulos que tem um lado em comum. Ângulos adjacentes: são ângulos consecutivos que não tem ponto interno em comum. . 148 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  ̂ B e BO - Os ângulos AO ̂ C, AO ̂ B e AO ̂ C, BO ̂ C e AO ̂ C são pares de ângulos consecutivos. ̂ B e BO - Os ângulos AO ̂ C são ângulos adjacentes. Unidades de medida de ângulos: Grado: (gr.): dividindo a circunferência em 400 partes iguais, a cada arco unitário que corresponde a 1/400 da circunferência denominamos de grado. Grau: (º): dividindo a circunferência em 360 partes iguais, cada arco unitário que corresponde a 1/360 da circunferência denominamos de grau. - o grau tem dois submúltiplos: minuto e segundo. E temos que 1° = 60’ (1 grau equivale a 60 minutos) e 1’ = 60” (1 minuto equivale a 60 segundos). Questões 01. As retas f e g são paralelas (f // g). Determine a medida do ângulo â, nos seguintes casos: a) b) c) 02. As retas a e b são paralelas. Quanto mede o ângulo î? . 149 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  03. Obtenha as medidas dos ângulos assinalados: a) b) c) d) 04. Quantos segundos tem um ângulo que mede 6° 15’? 05. A medida de um ângulo é igual à metade da medida do seu suplemento. Qual é a medida desse ângulo? 06. O complemento de um ângulo é igual a um quarto do seu suplemento. Qual é o complemento desse ângulo? . 150 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  07. Dois ângulos que medem x e x + 20° são adjacentes e complementares. Qual a medida desses dois ângulos? 08. Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calcule y. 09. Observe a figura abaixo e determine o valor de m e n. 10. Determine o valor de a na figura seguinte: Respostas 01. Respostas: a) 55˚ b) 74˚ c) 33˚ 02. Resposta: 130. Imagine uma linha cortando o ângulo î, formando uma linha paralela às retas "a" e "b". Fica então decomposto nos ângulos ê e ô. Sendo assim, ê = 80° e ô = 50°, pois o ângulo ô é igual ao complemento de 130° na reta b. Logo, î = 80° + 50° = 130°. 03. Respostas: a) 160° - 3x = x + 100° 160° - 100° = x + 3x 60° = 4x → x = 60°/4 → x = 15° Então 15°+100° = 115° e 160°-3*15° = 115° . 151 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  b) 6x + 15° + 2x + 5º = 180° 6x + 2x = 180° -15° - 5° 8x = 160° x = 160°/8 x = 20° Então, 6*20°+15° = 135° e 2*20°+5° = 45° c) Sabemos que a figura tem 90°. Então x + (x + 10°) + (x + 20°) + (x + 20°) = 90° 4x + 50° = 90° 4x = 40° → x = 40°/4 → x = 10° d) Sabemos que os ângulos laranja + verde formam 180°, pois são exatamente a metade de um círculo. Então, 138° + x = 180° x = 180° - 138° x = 42° Logo, o ângulo x mede 42°. 04. Resposta: 22.500 Sabemos que 1° = 60’ e 1’ = 60”, temos: 6°.60 = 360’ (multiplicamos os graus por 60 para converter em minutos). 360’ + 15’ = 375’ (somamos os minutos) 375’.60 = 22.500” (multiplicamos os minutos por 60 para converter em segundos). Portanto 6° 15’ equivale a 22.500”. 05. Resposta: 60˚. - sendo x o ângulo, o seu suplemento é 180° - x, então pelo enunciado temos a seguinte equação: 180°−x x= 2 (multiplicando em “cruz”) 2x = 180° - x 2x + x = 180° 3x = 180° x = 180° : 3 = 60° 06. Resposta:30˚. - sendo x o ângulo, o seu complemento será 90° – x e o seu suplemento é 180° – x. Então, temos: 180°−x 90° - x = 4 (o 4 passa multiplicando o primeiro membro da equação) 4.(90° - x) = 180° - x (aplicando a distributiva) 360° - 4x = 180° - x 360° - 180° = - x + 4x 180° = 3x x = 180° : 3 = 60º - o ângulo x mede 60º, o seu complemento é 90° - 60° = 30° 07. Resposta: 35° e 55°”. - do enunciado temos a seguintes figura: Então: x + x + 20° = 90° 2x = 90° - 20° 2x = 70° x = 70° : 2 = 35° - os ângulos são: 35° e 35° + 20° = 55° . 152 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  08. Resposta: 135˚. Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calcule y. Então vale lembrar que: x + y = 180 então y = 180 – x. E também como x e z são opostos pelo vértice, x = z E de acordo com a figura: o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calcule y. x=y/6+z/2 Agora vamos substituir lembrando que y = 180 - x e x = z Então: x = 180° - x/6 + x/2 agora resolvendo fatoração: 6x = 180°- x + 3x | 6x = 180° + 2x 6x – 2x = 180° 4x = 180° x=180°/4 x=45º Agora achar y, sabendo que y = 180° - x y=180º - 45° y=135°. 09. Resposta: 11º; 159º. 3m - 12º e m + 10º, são ângulos opostos pelo vértice logo são iguais. 3m - 12º = m + 10º 3m - m = 10º + 12º 2m = 22º m = 22º/2 m = 11º m + 10º e n são ângulos suplementares logo a soma entre eles é igual a 180º. (m + 10º) + n = 180º (11º + 10º) + n = 180º 21º + n = 180º n = 180º - 21º n = 159º 10. Resposta:45˚. É um ângulo oposto pelo vértice, logo, são ângulos iguais. POLÍGONOS Um polígono é uma figura geométrica fechada, simples, formada por segmentos consecutivos e não colineares. Elementos de um polígono Um polígono possui os seguintes elementos: . 153 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  - Lados: cada um dos segmentos de reta que une vértices consecutivos: ̅̅̅̅ AB, ̅̅̅̅ BC, ̅̅̅̅ DE e ̅̅̅̅ CD, ̅̅̅̅ AE. - Vértices: ponto de intersecção de dois lados consecutivos: A, B, C, D e E. ̅̅̅̅, AD - Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecutivos: AC ̅̅̅̅, BD ̅̅̅̅ e BE ̅̅̅̅, CE ̅̅̅̅. - Ângulos internos: ângulos formados por dois lados consecutivos (assinalados em azul na figura): , , , , . - Ângulos externos: ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo (assinalados em vermelho na figura): , , , , . Classificação: os polígonos são classificados de acordo com o número de lados, conforme a tabela abaixo. N° de lados Nome 3 Triângulo 4 Quadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octógono 9 Eneágono 10 Decágono 11 Undecágono 12 Dodecágono 15 Pentadecágono 20 Icoságono Fórmulas: na relação de fórmulas abaixo temos a letra n que representa o números de lados ou de ângulos ou de vértices de um polígonos, pois um polígono de 5 lados tem também e vértices e 5 ângulos. 1 – Diagonais de um vértice: dv = n – 3. (𝐧−𝟑).𝐧 2 - Total de diagonais: 𝐝 = . 𝟐 3 – Soma dos ângulos internos: Si = (n – 2).180°. 4 – Soma dos ângulos externos: para qualquer polígono o valor da soma dos ângulos externos é uma constante, isto é, Se = 360°. Polígonos Regulares: um polígono é chamado de regular quando tem todos os lados congruentes (iguais) e todos os ângulos congruentes. Exemplo: o quadrado tem os 4 lados iguais e os 4 ângulos de 90°, por isso é um polígono regular. E para polígonos regulares temos as seguintes fórmulas, além das quatro acima: (𝐧−𝟐).𝟏𝟖𝟎° 𝐒𝐢 1 – Ângulo interno: 𝐚𝐢 = ou 𝐚𝐢 = . 𝐧 𝐧 𝟑𝟔𝟎° 𝐒𝐞 2 - Ângulo externo: 𝐚𝐞 = ou 𝐚𝐞 = . 𝐧 𝐧 Semelhança de Polígonos: Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. . 154 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Vejamos: Fonte: http://www.somatematica.com.br 1) Os ângulos correspondentes são congruentes: 2) Os lados correspondentes (homólogos) são proporcionais: 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐷𝐴 = = = 𝑜𝑢 𝐴′𝐵′ 𝐵′𝐶′ 𝐶′𝐷′ 𝐷′𝐴′ 3,8 4 2,4 2 = = = 5,7 6 3,6 3 Podemos dizer que os polígonos são semelhantes. Mas a semelhança só será válida se ambas condições existirem simultaneamente. A razão entre dois lados correspondentes em polígonos semelhante denomina-se razão de semelhança, ou seja: 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐷𝐴 2 = = = = 𝑘 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 = 𝐴′𝐵′ 𝐵′𝐶′ 𝐶′𝐷′ 𝐷′𝐴′ 3 Outras figuras semelhantes (formas iguais e tamanhos diferentes): Fonte: http://www.somatematica.com.br Questões 01. A soma dos ângulos internos de um heptágono é: (A) 360° (B) 540° (C) 1400° (D) 900° (E) 180° 02. Qual é o número de diagonais de um icoságono? (A) 20 (B) 70 (C) 160 (D) 170 (E) 200 . 155 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  03. O valor de x na figura abaixo é: (A) 80° (B) 90° (C) 100° (D) 70° (E) 50° 04. Um joalheiro recebe uma encomenda para uma joia poligonal. O comprador exige que o número de diagonais seja igual ao número de lados. Sendo assim, o joalheiro deve produzir uma joia: (A) Triangular (B) Quadrangular (C) Pentagonal (D) Hexagonal (E) Decagonal 05. Num polígono convexo, a soma dos ângulos internos é cinco vezes a soma dos ângulos externos. O número de lados e diagonais desse polígono, respectivamente, são: (A) 54 e 12 (B) 18 e 60 (C) 12 e 54 (D) 60 e 18 (E) 15 e 30 06. Cada um dos ângulos externos de um polígono regular mede 15°. Quantos lados tem esse polígono? (A) 20 (B) 24 (C) 26 (D) 30 (E) 32 Respostas 01. Resposta: D. Heptágono (7 lados) → n = 7 Si = (n – 2).180° Si = (7 – 2).180° Si = 5.180° = 900° 02. Resposta: D. Icoságono (20 lados) → n = 20 (𝑛−3).𝑛 𝑑= 2 (20−3).20 𝑑= 2 = 17.10 d = 170 . 156 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  03. Resposta: A. A soma dos ângulos internos do pentágono é: Si = (n – 2).180º Si = (5 – 2).180º Si = 3.180º → Si = 540º 540º = x + 3x / 2 + x + 15º + 2x – 20º + x + 25º 540º = 5x + 3x / 2 + 20º 520º = 10x + 3x / 2 1040º = 13x X = 1040º / 13 → x = 80º 04. Resposta: C. Sendo d o números de diagonais e n o número de lados, devemos ter: d=n (𝑛−3).𝑛 2 = 𝑛 (passando o 2 multiplicando) (n – 3).n = 2n n–3=2 n=2+3 n = 5 → pentagonal 05. Resposta: C. Do enunciado, temos: Si = 5.Se (n – 2).180º = 5.360° (n – 2).180° = 1800° 1800 n–2= 180 n – 2 = 10 n = 10 + 2 = 12 lados (𝑛−3).𝑛 𝑑= 2 (12−3).12 𝑑= 2 d = 9.6 = 54 diagonais 06. Resposta: B. Temos que ae = 15° 360° 𝑎𝑒 = 𝑛 360° 15° = 𝑛 15n = 360 n = 360 : 15 n = 24 lados POLÍGONOS REGULARES Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência. E temos fórmulas para calcular o lado e o apótema desse triângulo em função do raio da circunferência. Apótema e um segmento que sai do centro das figuras regulares e divide o lado em duas partes iguais. . 157 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  I) Triângulo Equilátero: - Lado: l = r√3 r - Apótema: a = 2 II) Quadrado: - Lado: l = r√2 r√2 - Apótema: a = 2 III) Hexágono Regular - Lado: l = r r√3 - Apótema: a = 2 Questões 01. O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 8 cm, vale, em centímetros: (A) 4 (B) 4√3 (C) 8 (D) 8√2 (E) 12 02. O apótema de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência mede 10 cm, o raio dessa circunferência é: (A) 15 cm (B) 10 cm (C) 8 cm (D) 20 cm (E) 25 cm 03. O apótema de um quadrado mede 6 dm. A medida do raio da circunferência em que esse quadrado está inscrito, em dm, vale: . 158 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (A) 4√2 dm (B) 5√2 dm (C) 6√2 dm (D) 7√2 dm (E) 8√2 dm Respostas 01. Resposta: B. Basta substituir r = 8 na fórmula do hexágono 𝑟√3 8√3 𝑎= →𝑎 = = 4√3 cm 2 2 02. Resposta: D. Basta substituir a = 10 na fórmula do triangulo equilátero. 𝑟 𝑟 𝑎 = 2 → 10 = 2 → r = 2.10 → r = 20 cm 03. Resposta: C. Sendo a = 6, temos: 𝑟√2 𝑎= 2 𝑟 √2 6= 2 → 𝑟√2 = 2.6 → 𝑟√2 = 12 (√2 passa dividindo) 12 r= (temos que racionalizar, multiplicando em cima e em baixo por √2) √2 12.√2 12√2 𝑟= →𝑟= → 𝑟 = 6√2 dm √2.√2 2 RAZÃO ENTRE ÁREAS - Razão entre áreas de dois triângulos semelhantes Vamos chamar de S1 a área do triângulo ABC = S1 e de S2 a do triângulo A’B’C’ = S2 𝑏1 ℎ1 Δ ABC ~ Δ A’B’C’ → 𝑏2 = ℎ2 = 𝑘 (𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎𝑛ç𝑎) 𝑏.ℎ Sabemos que a área do triângulo é dada por 𝑆 = 2 Aplicando as razões temos que: . 159 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  𝑏1. ℎ1 𝑆1 𝑏1 ℎ1 𝑆1 = 2 = . = 𝑘. 𝑘 = 𝑘 2 → = 𝑘2 𝑆2 𝑏2. ℎ2 𝑏2 ℎ2 𝑆2 2 A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança. - Razão entre áreas de dois polígonos semelhantes Área de ABCDE ... MN = S1 Área de A’B’C’D’ ... M’N’ = S2 ABCDE ... MN = S1 ~ A’B’C’D’ ... M’N’ = S2 → ΔABC ~ ΔA’B’C’ e ΔACD ~ ΔAMN → 𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝑀𝑁 = ′ ′ = ⋯ = ′ ′ = 𝑘 (𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎𝑛ç𝑎) 𝐴′𝐵′ 𝐵 𝐶 𝑀𝑁 Fazendo: Área ΔABC = t1, Área ΔACD = t2, ..., Área ΔAMN = tn-2 Área ΔA’B’C’ = T1, Área ΔA’C’D’ = T2, ..., Área ΔA’M’N’ = Tn-2 Anteriormente vimos que: 𝑡𝑖 = 𝑘 2 → 𝑡𝑖 = 𝑘 2 𝑇𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 − 2 𝑇𝑖 Então: 𝑆1 𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 + ⋯ + 𝑡𝑛−2 𝑆1 = → = 𝑘2 𝑆2 𝑇1 + 𝑇2 + 𝑇3 + ⋯ + 𝑇𝑛−2 𝑆2 A razão entre as áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança. Observação: A propriedade acima é extensiva a quaisquer superfícies semelhantes e, por isso, vale A razão entre as áreas de duas superfícies semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança. . 160 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  TRIÂNGULOS Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor número de lados. É o único polígono que não tem diagonais. Todo triângulo possui alguns elementos e os principais são: vértices, lados, ângulos, alturas, medianas e bissetrizes. 1. Vértices: A, B e C. 2. Lados: ̅̅̅̅ AB,BC̅̅̅̅ e AC ̅̅̅̅. 3. Ângulos internos: a, b e c. Altura: É um segmento de reta traçada a partir de um vértice de forma a encontrar o lado oposto ao ̅̅̅̅ é uma altura do triângulo. vértice formando um ângulo reto. BH ̅̅̅̅ é uma mediana. Mediana: É o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. BM ̂ está dividido ao meio Bissetriz: É a semi-reta que divide um ângulo em duas partes iguais. O ângulo B e neste caso Ê = Ô. ̂, B Ângulo Interno: Todo triângulo possui três ângulos internos, na figura são A ̂ e Ĉ Ângulo Externo: É formado por um dos lados do triângulo e pelo prolongamento do lado adjacente a ̂, E este lado, na figura são D ̂ e F̂ (na cor em destaque). Classificação O triângulo pode ser classificado de duas maneiras: 1- Quanto aos lados: . 161 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  ̅̅̅̅) = m(BC Triângulo Equilátero: Os três lados têm medidas iguais, m(AB ̅̅̅̅) = m(AC ̅̅̅̅) e os três ângulos iguais. ̅̅̅̅) = m(AC Triângulo Isósceles: Tem dois lados com medidas iguais, m(AB ̅̅̅̅) e dois ângulos iguais. ̅̅̅̅) ≠ m(AC Triângulo Escaleno: Todos os três lados têm medidas diferentes, m(AB ̅̅̅̅) ≠ m(BC ̅̅̅̅) e os três ângulos diferentes. 2- Quanto aos ângulos: Triângulo Acutângulo: Todos os ângulos internos são agudos, isto é, as medidas dos ângulos são menores do que 90º. Triângulo Obtusângulo: Um ângulo interno é obtuso, isto é, possui um ângulo com medida maior do que 90º. Triângulo Retângulo: Possui um ângulo interno reto (90° graus). Propriedade dos ângulos 1- Ângulos Internos: a soma dos três ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°. . 162 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  a + b + c = 180º 2- Ângulos Externos: Consideremos o triângulo ABC onde as letras minúsculas representam os ângulos internos e as respectivas letras maiúsculas os ângulos externos. Temos que em todo triângulo cada ângulo externo é igual à soma de dois ângulos internos apostos. ̂ = b̂ + ĉ; B A ̂ = â + ĉ e Ĉ = â + b̂ Semelhança de triângulos Dois triângulos são semelhantes se tiverem, entre si, os lados correspondentes proporcionais e os ângulos congruentes (iguais). Dados os triângulos acima, onde: ̅̅̅̅ AB ̅̅̅̅BC ̅̅̅̅AC = = ̅̅̅̅ DE EF ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ DF eÂ=D̂ ̂=E B ̂ Ĉ = F̂, então os triângulos ABC e DEF são semelhantes e escrevemos ABC~DEF. Critérios de semelhança 1- Dois ângulos congruentes: Se dois triângulos tem, entre si, dois ângulos correspondentes congruentes iguais, então os triângulos são semelhantes. ̂=D Nas figuras ao lado: A ̂ e Ĉ = F̂ então: ABC ~ DEF 2- Dois lados congruentes: Se dois triângulos tem dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos formados por esses lados também são congruentes, então os triângulos são semelhantes. Nas figuras ao lado: ̅̅̅̅ AB ̅̅̅̅BC 6 8 = → = =2 ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ EF FG 3 4 então: ABC ~ EFG 3- Três lados proporcionais: Se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais, então os triângulos são semelhantes. . 163 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Nas figuras ao lado: ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 𝐴𝐶 ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ 3 5 4 = = → = = =2 ̅̅̅̅ 𝑆𝑇 ̅̅̅̅ 𝑅𝑆 𝑅𝑇 ̅̅̅̅ 1,5 2,5 2 então: ABC ~ RST Observação: temos três critérios de semelhança, porém o mais utilizado para resolução de exercícios, isto é, para provar que dois triângulos são semelhantes, basta provar que eles tem dois ângulos correspondentes congruentes (iguais). Questões 01. O valor de x na figura abaixo é: (A) 30° (B) 40° (C) 50° (D) 60° (E) 70° 02. Na figura abaixo ̅̅̅̅ AB = ̅̅̅̅ AC, ̅̅̅̅ CB = ̅̅̅̅ CD, a medida do ângulo DĈB é: (A) 34° (B) 72° (C) 36° (D) 45° (E) 30° ̂ C é reto. O valor em graus do ângulo CB 03. Na figura seguinte, o ângulo AD ̂D é igual a: (A) 120° (B) 110° (C) 105° (D) 100° (E) 95° 04. Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em A, ADEF é um quadrado, AB = 1 e AC = 3. Quanto mede o lado do quadrado? . 164 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (A) 0,70 (B) 0,75 (C) 0,80 (D) 0,85 (E) 0,90 05. Em uma cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em forma de disco, que estacionou a aproximadamente 50 m do solo. Um helicóptero do Exército, situado a aproximadamente 30 m acima do objeto iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura seguinte. A sombra projetada pelo disco no solo tinha em torno de 16 m de diâmetro. Sendo assim, pode-se concluir que a medida, em metros, do raio desse disco-voador é aproximadamente: (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 Respostas 01. Resposta: B. Da figura temos que 3x é um ângulo externo do triângulo e, portanto, é igual à soma dos dois internos opostos, então: 3x = x + 80º → 3x – x = 80º → 2x = 80° → x = 80° : 2 → x = 40° 02. Resposta: C. Na figura dada, temos três triângulos: ABC, ACD e BCD. Do enunciado AB = AC, o triângulo ABC tem dois lados iguais, então ele é isósceles e tem dois ângulos iguais: AĈB = AB̂C = x. A soma dos três ângulos é igual a 180°. 36° + x + x = 180° 2x = 180° - 36° 2x = 144 x = 144 : 2 x = 72 Logo: AĈB = AB̂C = 72° Também temos que CB = CD, o triângulo BCD é isósceles: CB̂D = CD̂ B = 72°, sendo y o ângulo DĈB, a soma é igual a 180°. 72° + 72° + y = 180° 144° + y = 180° y = 180° - 144° → y = 36º . 165 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  03. Resposta: D. ̂ C = 90° (reto). Na figura temos três triângulos. Do enunciado o ângulo AD O ângulo BD ̂ C = 30° → AD̂ B = 60º. O ângulo CB̂D (x) é ângulo externo do triângulo ABD, então: x = 60º + 40° (propriedade do ângulo externo) → x = 100° 04. Resposta: B. Sendo x o lado do quadrado: Temos que provar que dois dos triângulos da figura são semelhantes. O ângulo BA ̂ C é reto, o ângulo CF̂E é reto e o ângulo AĈB é comum aos triângulos ABC e CEF, logo estes dois triângulos são semelhantes. As medidas de seus lados correspondentes são proporcionais: ̅̅̅̅ AB ̅̅̅̅ AC ̅̅̅̅ EF = ̅̅̅̅ CF 1 3 x = 3−x (multiplicando em “cruz”) 3x = 1.(3 – x) → 3x = 3 – x 3x + x = 3 → 4x = 3 → x = ¾ → x = 0,75 05. Resposta: A. Da figura dada, podemos observar os seguintes triângulos: Os triângulos ABC e ADE são isósceles. A altura divide as bases em duas partes iguais. E esses dois triângulos são semelhantes, pois os dois ângulos das bases de cada um são congruentes. Então: ̅̅̅̅ CG ̅̅̅̅ AG ̅̅̅̅ EF = ̅̅̅̅ AF . 166 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  8 80 = r 30 8r = 8.3 → r = 3 m QUADRILÁTEROS Quadrilátero é todo polígono com as seguintes propriedades: - Tem 4 lados. - Tem 2 diagonais. - A soma dos ângulos internos Si = 360º - A soma dos ângulos externos Se = 360º Observação: é o único polígono em que Si = Se No quadrilátero acima, observamos alguns elementos geométricos: - Os vértices são os pontos: A, B, C e D. - Os ângulos internos são A, B, C e D. - Os lados são os segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅, CD AB, BC ̅̅̅̅ e AD ̅̅̅̅. Observação: Ao unir os vértices opostos de um quadrilátero qualquer, obtemos sempre dois triângulos e como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus, concluímos que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360 graus. Quadriláteros Notáveis: Trapézio: É todo quadrilátero tem dois paralelos. - ̅̅̅̅ AB é paralelo a ̅̅̅̅ CD Os trapézios podem ser: - Retângulo: dois ângulos retos. - Isósceles: lados não paralelos congruentes (iguais). - Escaleno: os quatro lados diferentes. . 167 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Paralelogramo: É o quadrilátero que tem lados opostos paralelos. Num paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes e os lados apostos também são congruentes. - ̅̅̅̅ AB//CD̅̅̅̅ e AD ̅̅̅̅//BC ̅̅̅̅ - AB = CD e AD = ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ BC (lados opostos iguais) - = Ĉ e B ̂=D ̂ (ângulos opostos iguais) ̅̅̅̅ ≠ BD - AC ̅̅̅̅ (duas diagonais diferentes) Os paralelogramos mais importantes recebem nomes especiais: - Losango: 4 lados congruentes - Retângulo: 4 ângulos retos (90 graus) - Quadrado: 4 lados congruentes e 4 ângulos retos. - Observações: - No retângulo e no quadrado as diagonais são congruentes (iguais) - No losango e no quadrado as diagonais são perpendiculares entre si (formam ângulo de 90°) e são bissetrizes dos ângulos internos (dividem os ângulos ao meio). Fórmulas da área dos quadriláteros: (B+b).h 1- Trapézio: A = , onde B é a medida da base maior, b é a medida da base menor e h é 2 medida da altura. 2- Paralelogramo: A = b.h, onde b é a medida da base e h é a medida da altura. 3- Retângulo: A = b.h D.d 4- Losango: A = 2 , onde D é a medida da diagonal maior e d é a medida da diagonal menor. 5- Quadrado: A = l2, onde l é a medida do lado. Questões 01. Determine a medida dos ângulos indicados: a) . 168 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  b) c) 02. Com relação aos quadriláteros, assinale a alternativa incorreta: (A) Todo quadrado é um trapézio. (B) Todo retângulo é um paralelogramo. (C) Todo quadrado é um losango. (D) Todo trapézio é um paralelogramo. (E) Todo losango é um paralelogramo. 03. Corta-se um arame de 30 metros em duas partes. Com cada uma das partes constrói-se um quadrado. Se S é a soma das áreas dos dois quadrados, assim construídos, então o menor valor possível para S é obtido quando: (A) o arame é cortado em duas partes iguais. (B) uma parte é o dobro da outra. (C) uma parte é o triplo da outra. (D) uma parte mede 16 metros de comprimento. 04. Um terreno retangular de perímetro 200m está à venda em uma imobiliária. Sabe-se que sua largura tem 28m a menos que o seu comprimento. Se o metro quadrado cobrado nesta região é de R$ 50,00, qual será o valor pago por este terreno? (A) R$ 10.000,00. (B) R$ 100.000,00. (C) R$ 125.000,00. (D) R$ 115.200,00. (E) R$ 100.500,00. 05. Na figura, ABCD é um trapézio isósceles, onde AD = 4, CD = 1, A = 60° e a altura vale 2√3. A área desse trapézio é (A) 4. (B) (4√3)/3. (C) 5√3. (D) 6√3. (E) 7. . 169 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  06. Uma pessoa comprou 30 m2 de piso para colocar em uma sala retangular de 4 m de largura, porém, ao medir novamente a sala, percebeu que havia comprado 3,6 m2 de piso a mais do que o necessário. O perímetro dessa sala, em metros, é de: (A) 21,2. (B) 22,1. (C) 23,4. (D) 24,3. (E) 25,6. 07. A figura abaixo é um trapézio isósceles, onde a, b, c representam medidas dos ângulos internos desse trapézio. Determine a medida de a, b, c. (A) a = 63°, b = 117° e c = 63° (B) a = 117°, b = 63° e c = 117° (C) a = 63°, b = 63° e c = 117° (D) a = 117°, b = 117° e c = 63° (E) a = b = c = 63° 08. Sabendo que x é a medida da base maior, y é a medida da base menor, 5,5 cm é a medida da base média de um trapézio e que x - y = 5 cm, as medidas de x e y são, respectivamente: (A) 3 e 8 (B) 5 e 6 (C) 4 e 7 (D) 6 e 5 (E) 8 e 3 Respostas 01. Respostas: a = 70º; b = 162º e c = 18º. a) x + 105° + 98º + 87º = 360º x + 290° = 360° x = 360° - 290° x = 70º b) x + 80° + 82° = 180° x + 162° = 180° x = 180º - 162º x = 18° 18º + 90º + y + 90º = 360° y + 198° = 360° y = 360º - 198° y = 162º c) 3a / 2 + 2a + a / 2 + a = 360º (3a + 4a + a + 2a) / 2 = 720° /2 10a = 720º a = 720° / 10 a = 72° 72° + b + 90° = 180° b + 162° = 180° b = 180° - 162° b = 18°. . 170 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  02. Resposta: D. Trata-se de uma pergunta teórica. a) V  o quadrado tem dois lados paralelos, portanto é um trapézio. b) V  o retângulo tem os lados opostos paralelos, portanto é um paralelogramo. c) V  o quadrado tem os lados opostos paralelos e os 4 lados congruentes, portanto é um losango. d) F e) V  o losango tem lados opostos paralelos, portanto é um paralelogramo. 03. Resposta: A. x - um quadrado terá perímetro x  o lado será l = 4 e o outro quadrado terá perímetro 30 – x  o lado 30−x será l1 = 4 , sabendo que a área de um quadrado é dada por S = l2, temos: S = S1 + S2  S = l2 + l1 2 x 2 30−x 2 x2 (30−x)2 S=( ) +( )  S= + , como temos o mesmo denominador 16: 4 4 16 16 x +30 −2.30.x+x2 2 2 x2 +900−60x+x2 2x2 60x 900 S= 16  S = 16  S= 16 − 16 + 16 , sendo uma equação do 2º grau onde a = 2/16; b = -60/16 e c = 900/16 e o valor de x será o x do vértice que e dado pela fórmula: −b x= 2a , então: −60 60 −( ) 60 16 60 16 xv = 2 = 16 4  xv = . = = 15, logo l = 15 e l1 = 30 – 15 = 15. 2. 16 4 4 16 16 04. Resposta: D. Comprimento: x Largura: x – 28 Perímetro = 200 x + x + x – 28 + x – 28 = 200 4x – 56 = 200 → 4x = 200 + 56 → x = 256 : 4 → x = 64 Comprimento: 64 Largura: 64 – 28 = 36 Área: A = 64.36 = 2304 m2 Preço = 2304.50,00 = 115.200,00 05. Resposta: D. De acordo com e enunciado, temos: 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 √3 ℎ - sen60º = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎  2 = 4  2h = 4√3  h = 2√3 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 1 𝑥 - cos60º = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎  2 = 4  2x = 4  x = 2 . 171 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  - base maior AB = x + 1 + x = 2 + 1 + 2 = 5 - base menor CD = 1 (𝐵+𝑏).ℎ (5+1).2√3 A= 2 A= 2  A = 6√3 06. Resposta: A. Do enunciado temos que foram comprados 30 m2 de piso e que a sala tem 4 m de largura. Para saber o perímetro temos que calcular o comprimento desta sala. - houve uma sobra de 3,6 m2, então a área da sala é: A = 30 – 3,6 A = 26,4 m2 - sendo x o comprimento: x.4 = 26,4 x = 26,4 : 4 x = 6,6 m (este é o comprimento da sala) - o perímetro (representado por 2p na geometria) é a soma dos 4 lados da sala: 2p = 4 + 4 + 6,6 + 6,6 = 21,2 m 07. Resposta: C. Em um trapézio isósceles como o da figura, os ângulos da base são congruentes e os ângulos superiores também são congruentes. E a soma de uma superior mais um da base é igual a 180°. c = 117° a + 117° = 180° a = 180° - 117° a = 63° b = 63° 08. Resposta: E. x + y = 11 x-y=5 _________ 2x + 0 = 16 2x = 16/2 x=8 x + y = 11 8 + y = 11 y = 11 – 8 y=3 CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO Circunferência: A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência. Esta talvez seja a curva mais importante no contexto das aplicações. . 172 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Círculo: (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. No gráfico acima, a circunferência é a linha de cor verde escuro que envolve a região verde claro, enquanto o círculo é toda a região pintada de verde reunida com a circunferência. Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo Pontos interiores: Os pontos interiores de um círculo são os pontos do círculo que não estão na circunferência. Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo são os pontos localizados fora do círculo. Raio, Corda e Diâmetro Raio: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência (ou do círculo) e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. Na figura abaixo, os segmentos de reta ̅̅̅̅ OA, ̅̅̅̅ OB e ̅̅̅̅ OC são raios. Corda: Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à circunferência (ou seja, um segmento que une dois pontos de uma circunferência). Na figura abaixo, os segmentos de reta ̅̅̅̅ AC e ̅̅̅̅ DE são cordas. Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Observamos que o diâmetro é a maior corda da circunferência. Na figura abaixo, o segmento de reta ̅̅̅̅ AC é um diâmetro. Posições relativas de uma reta e uma circunferência Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contém uma corda. . 173 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto P. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura ao lado, o ponto P é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos E e F é uma reta tangente à circunferência. Reta externa (ou exterior): é uma reta que não tem ponto em comum com a circunferência. Na figura abaixo a reta t é externa. Propriedades das secantes e tangentes Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B e se M é o ponto médio da corda AB, então o segmento de reta OM é perpendicular à reta secante s. Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B, a perpendicular às retas que passam pelo centro O da circunferência, passa também pelo ponto médio da corda AB. Seja OP um raio de uma circunferência, onde O é o centro e P um ponto da circunferência. Toda reta perpendicular ao raio OP é tangente à circunferência no ponto de tangência P. Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. Posições relativas de duas circunferências Reta tangente comum: Uma reta que é tangente a duas circunferências ao mesmo tempo é denominada uma tangente comum. Há duas possíveis retas tangentes comuns: a interna e a externa. . 174 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Ao traçar uma reta ligando os centros de duas circunferências no plano, esta reta separa o plano em dois semi-planos. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão no mesmo semi-plano, temos uma reta tangente comum externa. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão em semi-planos diferentes, temos uma reta tangente comum interna. Circunferências internas: Uma circunferência C1 é interna a uma circunferência C2, se todos os pontos do círculo C1 estão contidos no círculo C2. Uma circunferência é externa à outra se todos os seus pontos são pontos externos à outra. Circunferências concêntricas: Duas ou mais circunferências com o mesmo centro, mas com raios diferentes são circunferências concêntricas. Circunferências tangentes: Duas circunferências que estão no mesmo plano, são tangentes uma à outra, se elas são tangentes à mesma reta no mesmo ponto de tangência. As circunferências são tangentes externas uma à outra se os seus centros estão em lados opostos da reta tangente comum e elas são tangentes internas uma à outra se os seus centros estão do mesmo lado da reta tangente comum. Circunferências secantes: são aquelas que possuem somente dois pontos distintos em comum. Segmentos tangentes: Se AP e BP são segmentos de reta tangentes à circunferência nos ponto A e B, então esses segmentos AP e BP são congruentes. ÂNGULOS (OU ARCOS) NA CIRCURFERÊNCIA Ângulo central: é um ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência. Este ângulo determina um arco na circunferência, e a medida do ângulo central e do arco são iguais. . 175 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  ̂ e sua medida é igual a esse arco. O ângulo central determina na circunferência um arco𝐴𝐵 ̂ α = AB Ângulo Inscrito: é um ângulo cujo vértice está sobre a circunferência. ̂ e sua medida é igual à metade do arco. O ângulo inscrito determina na circunferência um arco 𝐴𝐵 ̂ AB α= 2 Ângulo Excêntrico Interno: é formado por duas cordas da circunferência. O ângulo excêntrico interno determina na circunferência dois arcos AB e CD e sua medida é igual à metade da soma dos dois arcos. ̂ + CD AB ̂ α= 2 Ângulo Excêntrico Externo: é formado por duas retas secantes à circunferência. ̂ e 𝐶𝐷 O ângulo excêntrico externo determina na circunferência dois arcos 𝐴𝐵 ̂ e sua medida é igual à metade da diferença dos dois arcos. ̂ − CD AB ̂ α= 2 . 176 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Questões 01. O valor de x na figura abaixo é: (A) 90° (B) 92° (C) 96° (D) 98° (E) 100° 02. Na figura abaixo, qual é o valor de y? (A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 35° (E) 25° 03. Na figura seguinte, a medida do ângulo x, em graus, é: (A) 80° (B) 82° (C) 84° (D) 86° (E) 90° 04. A medida do arco x na figura abaixo é: . 177 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (A) 15° (B) 20° (C) 25° (D) 30° (E) 45° 05. Uma reta é tangente a uma circunferência quando: (A) tem dois pontos em comum. (B) tem três pontos em comum. (C) não tem ponto em comum. (D) tem um único ponto em comum. (E) nda Respostas 01. Resposta: B. O ângulo dado na figura (46°) é um ângulo inscrito, portanto é igual à metade do arco x: 𝑥 46° = 2 x = 46°.2 x = 92° 02. Resposta: D. O ângulo da figura é um ângulo excêntrico externo, portanto é igual à metade da diferença dos dois arcos dados. 110° − 40° 𝑦= 2 70° 𝑦= = 35° 2 03. Resposta: C. O ângulo x é um ângulo excêntrico interno, portanto é igual à metade da soma dos dois arcos. 108° + 60° 𝑥= 2 168° 𝑥= = 84° 2 04. Resposta: A. O ângulo de 55 é um ângulo excêntrico interno, portanto é igual à metade da soma dos dois arcos. 95° + 𝑥 55° = 2 55°. 2 = 95° + 𝑥 110° − 95° = 𝑥 𝑥 = 15° 05. Resposta: D. Questão teórica . 178 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  MEDIDAS DE ARCOS E ÂNGULOS Arcos (e ângulos) na circunferência Se forem tomados dois pontos A e B sobre uma circunferência, ela ficará dividida em duas partes chamadas arcos. Estes dois pontos A e B são as extremidades dos arcos. Usamos a seguinte representação: AB. Observação: quando A e B são pontos coincidentes, um arco é chamado de nulo e o outro arco de uma volta. Unidades de medidas de arcos (e ângulos) I) Grau: para medir ângulos a circunferência foi dividida em 360° partes iguais, e cada uma dessas partes passou a ser chamada de 1 grau (1°). 1 1° = (𝑢𝑚 𝑡𝑟𝑒𝑧𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑒 𝑠𝑒𝑠𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑎𝑣𝑜𝑠) 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎. 360 - submúltiplos do grau O grau tem dois submúltiplos (medidas menores que o grau). São o minuto e o segundo, de forma que: 1° = 60′ ou seja 1 minutos é igual a 1/60 do grau. 1’ = 60” ou seja 1 segundo é igual a 1/60 do minuto. II) Radiano A medida de um arco, em radianos, é a razão (divisão) entre o comprimento do arco e o raio da circunferência sobre a qual está arco está determinado. l α r Sendo α o ângulo (ou arco), r o raio e l o comprimento do arco, temos: l α= r O arco l terá seu comprimento máximo (ou maior) quando for igual ao comprimento total de uma circunferência (C = 2πr – fórmula do comprimento da circunferência), ou seja lmáximo = C  lmax = 2πr. Então, o valor máximo do ângulo α em radianos será: 2πr α= ==> α = 2π rad r Observação: uma volta na circunferência é igual a 360° ou 2π rad. . 179 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Conversões - graus para radianos: para converter grau para radianos usamos uma regra de três simples. exemplo: Converter 150° para radianos. 180° π rad 150° x rad 180° π 150° = x 180𝑥 = 150𝜋 150π x= (simplificando) 180 5π x= rad 6 - radianos para graus: basta substituir o π por 180°. exemplo: 3π Converter 2 rad para graus (ou podemos usar regra de três simples também). 3𝜋 3.180 540 = = = 270° 2 2 2 Questões 01. Um ângulo de 120° equivale a quantos radianos? 5𝜋 02. Um ângulo de rad equivale a quantos graus? 4 03. (FUVEST) Quantos graus, mede aproximadamente, um arco de 0,105 rad? (usar π = 3,14) Respostas 𝟐𝝅 01. Resposta: 𝒓𝒂𝒅 𝟑 180° π rad 120° x rad 180° 𝜋 = 120° 𝑥 180x = 120π 120𝜋 𝑥= (simplificando) 180 2𝜋 𝑥= 3 𝑟𝑎𝑑 02. Resposta: 225° 5𝜋 5.180° 900° 4 = 4 = 4 = 225° 03. Resposta: 6° Neste caso, usamos regra de três: 180° π rad x 0,105 rad 180° 𝜋 𝑥 = 0,105 π.x = 180°.0,105 → 3,14x = 18,9 → x = 18,9 : 3,14 ≅ 6,01 → x ≅ 6° . 180 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Na figura abaixo temos um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a base e h é a altura relativa a essa hipotenusa: Sendo: A= hipotenusa b e c = catetos h= altura m e n = projeções do catetos Por semelhança de triângulos temos quatro relações métricas válidas somente para triângulos retângulos que são: I) Teorema de Pitágoras: O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. HIP2 = CAT2 + CAT2 II) O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção do cateto. CAT2 = HIP.PROJ III) O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos. ALT2 = PROJ.PROJ IV) O produto da hipotenusa pela altura é igual ao produto dos catetos. HIP.ALT = CAT.CAT Questões 01. A área de um triângulo retângulo é 12 dm2. Se um dos catetos é 2/3 do outro, calcule a medida da hipotenusa desse triângulo. 02. (UEL) Pedrinho não sabia nadar e queria descobrir a medida da parte mais extensa (AC) da "Lagoa Funda". Depois de muito pensar, colocou 3 estacas nas margens da lagoa, esticou cordas de A até B e de B até C, conforme figura abaixo. Medindo essas cordas, obteve: AB = 24 m e BC = 18 m. Usando seus conhecimentos matemáticos, Pedrinho concluiu que a parte mais extensa da lagoa mede: (A) 30 (B) 28 (C) 26 (D) 35 (E) 42 03. Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 10 cm e um dos catetos mede 6 cm, pede-se determinar as medidas do outro cateto, a altura e as projeções dos catetos. . 181 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  04. Em um triângulo ABC, figura a seguir, as medianas que partem de A e de B são perpendiculares. Se BC = 8 e AC = 6, o valor de AB é: (A) 3 6 (B) 4 3 (C) 12 7 (D) 2 5 (E) 4 2 05. Em um triângulo retângulo os catetos medem 6 cm e 8 cm. Determinar a medida da hipotenusa, da altura e das projeções dos catetos desse triângulo. Respostas 01. Resposta: 𝟐√𝟏𝟑 2𝑥 Do enunciado se um cateto é x o outro é , e em um triângulo retângulo para calcular a área, uma 3 𝑏.ℎ cateto é a base e o outro é a altura, e a fórmula da área é 𝐴 = 2 , então: A = 12 2𝑥 𝑥. 3 = 12 2 2𝑥 2 = 12 → 2x2 = 12.6 → 2x2 = 72 → x2 = 72 : 2 6 x2 = 36 → 𝑥 = √36 = 6 2.6 Uma cateto mede 6 e o outro 3 = 4, pelo teorema de Pitágoras, sendo a a hipotenusa: a2 = 62 + 42 a2 = 36 + 16 a2 = 52 𝑎 = √52 𝑎 = √13.4 𝑎 = 2√13 02. Resposta: A. Pelo teorema de Pitágoras: ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 2 = 242 + 182 ̅̅̅̅ 2 = 576 + 324 𝐴𝐶 ̅̅̅̅ 2 = 900 𝐴𝐶 ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 = √900 ̅̅̅̅ = 30 𝐴𝐶 03. Resposta 8 cm Do enunciado um cateto mede 6 cm e a hipotenusa 10 cm, pelo teorema de Pitágoras: 102 = x2 + 62 . 182 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  100 = x2 + 36 100 – 36 = x2 x2 = 64 x = √64 x = 8 cm 04. Resposta: D. Mediana divide o lado oposto em duas partes iguais. Pelo teorema de Pitágoras: x2 = (2a)2 + (2b)2 x2 = 4a2 + 4b2 (colocando o 4 em evidência) x2 = 4.(a2 + b2) (I) 32 = (2a2) +b2 9 = 4a2 + b2 (II) 42 = a2 + (2b)2 16 = a2 + 4b2 (III) Somando, membro a membro, as equações (II) e (III): 9 = 4a2 + b2 + 16 = a2 + 4b2 25 = 5a2 + 5b2 (dividindo por 5) 5 = a2 + b2 (substituindo em (I)): x2 = 4.5 x2 = 20 x = √20 x = 2√5 05. Respostas: 10 cm, 4,8 cm, 3,6 cm e 6,4 cm Utilizando as relações métricas, temos: Teorema de Pitágoras: a2 = 82 + 62 a2 = 64 + 36 a2 = 100 a = √100 a = 10 cm HIP.ALT = CAT.CAT 10.h = 8.6 10h = 48 → h = 48 : 10 = 4,8 cm . 183 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  CAT2 = HIP.PROJ 62 = 10.n 36 = 10 n n = 36 : 10 = 3,6 cm 82 = 10.m 64 = 10m m = 64 : 10 = 6,4 cm RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO QUALQUER 1 - Lado oposto a um ângulo agudo do Triangulo. Temos a seguinte relação: “Num triângulo qualquer, o quadrado da medida do lado a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto de um desses lados pela medida da projeção do outro lado sobre ele”. No triângulo da figura ao lado: a2 = b2 + c2 - 2cm 2 - Lado oposto a um ângulo obtuso do Triângulo. Temos a seguinte relação: “Num triângulo obtusângulo, o quadrado da medida do lado oposto ao ângulo obtuso é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados mais duas vezes o produto de um desses lados pela medida da projeção do outro lado sobre ele”. No triângulo da figura ao lado: a2 = b2 + c2 + 2cm 3 - Outras relações (relações métricas no Triângulo Retângulo) h² = m . n b² = m . a c² = a . n b.c=a.h  Natureza dos Triângulos Quantos aos ângulos, um triângulo pode ser classificado em Acutângulo (tem os três ângulos agudos), Obtusângulo (tem um ângulo obtuso) e Retângulo (tem um ângulo reto). Sendo a, b e c os três lados de um triângulo e, a é o maior lado, temos: . 184 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  I) a2 = b2 + c2  o triângulo é retângulo (Teorema de Pitágoras). II) a2 < b2 + c2  o triângulo é acutângulo. III) a2 > b2 + c2 o triângulo é obtusângulo. Questões 01. Na figura abaixo, o valor de x é: (A)10 (B)11 (C)12 (D)13 (E)14 02. O valor de x na figura seguinte é: (A)10,775 (B)10 (C)11,775 (D)11 (E)12 03. O valor de x na figura abaixo é: (A)14√2 (B)15√2 (C)16√2 (D)17√2 (E)18√2 04. Qual é o valor de x na figura dada? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 . 185 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  05. Um triângulo tem lados medindo 10 cm, 4 cm e 9 cm. Esse triângulo é: (A) Isósceles (B) Equilátero (C) Acutângulo (D) Retângulo (E) Obtusângulo 06. Os lados de um triângulo são iguais a 13, 5 e 12. Esse triângulo é: (A) Isósceles (B) Acutângulo (C) Equilátero (D) Retângulo (E) Obtusângulo Respostas 01. Resposta: C. x2 = 82 + 102 – 2.8.1,25 x2 = 64 + 100 – 20 x2 = 144 x = √144 x = 12 02. Resposta: A. 152 = 202 + 162 – 2.20.x 115 = 400 + 256 – 40x 40x = 656 – 225 40x = 431 x = 431 : 40 x = 10,775 03. Resposta: B. x2 = 122 + 92 + 2.12.9,375 x2 = 144 + 81 + 225 x2 = 450 → x = √450 (dividindo 450 por 2 obtemos 225 que tem raiz exata e é 15) x = √225.2 → x = 15√2 04. Resposta: A. 72 = 42 + 52 + 2.4.x 49 = 16 + 25 + 8x 49 – 16 – 25 = 8x 8x = 8 → x = 8 : 8 → x = 1 05. Resposta: E. O maior lado do triângulo é 10 cm, então: 102 = 100 42 + 92 = 16 + 81 = 97 100 > 97 → triângulo obtusângulo. 06. Resposta: D. O maior lado do triângulo é 13, então: 132 = 169 . 186 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  52 + 122 = 25 + 144 = 169 169 = 169 → triângulo retângulo (Teorema de Pitágoras) TEOREMA DE PITÁGORAS Em todo triângulo retângulo, o maior lado é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são os catetos. No exemplo ao lado: - a é a hipotenusa. - b e c são os catetos. - “Em todo triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”. a2 = b2 + c2 Questões 01. Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escreveu um poema do qual extraímos o fragmento abaixo: Às folhas tantas de um livro de Matemática, um Quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma Incógnita. Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do Ápice à Base: uma figura Ímpar; olhos romboides, boca trapezoide, corpo retangular, seios esferoides. Fez da sua uma vida paralela à dela, até que se encontraram no Infinito. “Quem és tu” – indagou ele em ânsia Radical. “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” (Millôr Fernandes – Trinta Anos de Mim Mesmo). A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao Teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte resposta: (A) “Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” (B) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” (C) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da Hipotenusa.” (D) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da Hipotenusa.” (E) Nenhuma das anteriores. 02. Um barco partiu de um ponto A e navegou 10 milhas para o oeste chegando a um ponto B, depois 5 milhas para o sul chegando a um ponto C, depois 13 milhas para o leste chagando a um ponto D e finalmente 9 milhas para o norte chegando a um ponto E. Onde o barco parou relativamente ao ponto de partida? (A) 3 milhas a sudoeste. (B) 3 milhas a sudeste. (C) 4 milhas ao sul. (D) 5 milhas ao norte. (E) 5 milhas a nordeste. 03. Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos mede 5 cm, qual é a medida do outro cateto? (A) 10 . 187 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (B) 11 (C) 12 (D) 13 (E) 14 04. A diagonal de um quadrado de lado l é igual a: (A) 𝑙√2 (B) 𝑙√3 (C) 𝑙√5 (D) 𝑙√6 (E) Nenhuma das anteriores. 05. Durante um vendaval, um poste de iluminação de 9 m de altura quebrou-se em um ponto a certa altura do solo. A parte do poste acima da fratura inclinou-se e sua extremidade superior encostou no solo a uma distância de 3 m da base dele, conforme a figura abaixo. A que altura do solo se quebrou o poste? (A) 4 m (B) 4,5 m (C) 5 m (D) 5,5 m (E) 6 m Respostas 01. Resposta: D. 02. Resposta: E. x2 = 32 + 42 → x2 = 9 + 16 x2 = 25 → x = √25 = 5 03. Resposta: C. 132 = x2 + 52 169 = x2 + 25 169 – 25 = x2 x2 = 144 → x = √144 = 12 cm . 188 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  04. Resposta: A. 𝑑2 = 𝑙2 + 𝑙2 𝑑2 = 2𝑙 2 𝑑 = √2𝑙 2 → 𝑑 = 𝑙√2 05. Resposta: A. (9 – x)2 = x2 + 33 92 – 2.9.x + x2 = x2 + 9 81 – 18x = 9 81 – 9 = 18x 72 = 18x 72 x = 18 x=4m SISTEMA MÉTRICO DECIMAL E NÃO DECIMAL → Sistema de Medidas Decimais Um sistema de medidas é um conjunto de unidades de medida que mantém algumas relações entre si. O sistema métrico decimal é hoje o mais conhecido e usado no mundo todo. Na tabela seguinte, listamos as unidades de medida de comprimento do sistema métrico. A unidade fundamental é o metro, porque dele derivam as demais. Há, de fato, unidades quase sem uso prático, mas elas têm uma função. Servem para que o sistema tenha um padrão: cada unidade vale sempre 10 vezes a unidade menor seguinte. Por isso, o sistema é chamado decimal. E há mais um detalhe: embora o decímetro não seja útil na prática, o decímetro cúbico é muito usado com o nome popular de litro. As unidades de área do sistema métrico correspondem às unidades de comprimento da tabela anterior. São elas: quilômetro quadrado (km2), hectômetro quadrado (hm2), etc. As mais usadas, na prática, são o quilômetro quadrado, o metro quadrado e o hectômetro quadrado, este muito importante nas atividades rurais com o nome de hectare (há): 1 hm2 = 1 há. No caso das unidades de área, o padrão muda: uma unidade é 100 vezes a menor seguinte e não 10 vezes, como nos comprimentos. Entretanto, consideramos que o sistema continua decimal, porque 100 = 102. Existem outras unidades de medida mas que não pertencem ao sistema métrico decimal. Vejamos as relações entre algumas essas unidades e as do sistema métrico decimal (valores aproximados): 1 polegada = 25 milímetros 1 milha = 1 609 metros 1 légua = 5 555 metros 1 pé = 30 centímetros . 189 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  A nomenclatura é a mesma das unidades de comprimento acrescidas de quadrado. Agora, vejamos as unidades de volume. De novo, temos a lista: quilômetro cúbico (km 3), hectômetro cúbico (hm3), etc. Na prática, são muitos usados o metro cúbico(m3) e o centímetro cúbico(cm3). Nas unidades de volume, há um novo padrão: cada unidade vale 1000 vezes a unidade menor seguinte. Como 1000 = 103, o sistema continua sendo decimal. A noção de capacidade relaciona-se com a de volume. Se o volume da água que enche um tanque é de 7.000 litros, dizemos que essa é a capacidade do tanque. A unidade fundamental para medir capacidade é o litro (l); 1l equivale a 1 dm3. Cada unidade vale 10 vezes a unidade menor seguinte. O sistema métrico decimal inclui ainda unidades de medidas de massa. A unidade fundamental é o grama(g). Unidades de Massa e suas Transformações Nomenclatura: Kg – Quilograma hg – hectograma dag – decagrama g – grama dg – decigrama cg – centigrama mg – miligrama Dessas unidades, só têm uso prático o quilograma, o grama e o miligrama. No dia-a-dia, usa-se ainda a tonelada (t). Medidas Especiais: 1 Tonelada(t) = 1000 Kg 1 Arroba = 15 Kg 1 Quilate = 0,2 g . 190 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Relações entre unidades: Temos que: 1 kg = 1l = 1 dm3 1 hm2 = 1 ha = 10.000m2 1 m3 = 1000 l Questões 01. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP/2014) O suco existente em uma 3 jarra preenchia 4 da sua capacidade total. Após o consumo de 495 mL, a quantidade de suco restante na 1 jarra passou a preencher 5 da sua capacidade total. Em seguida, foi adicionada certa quantidade de suco na jarra, que ficou completamente cheia. Nessas condições, é correto afirmar que a quantidade de suco adicionada foi igual, em mililitros, a (A) 580. (B) 720. (C) 900. (D) 660. (E) 840. 02. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) Em uma casa há um filtro de barro que contém, no início da manhã, 4 litros de água. Desse filtro foram retirados 800 mL para o preparo da comida e meio litro para consumo próprio. No início da tarde, foram colocados 700 mL de água dentro desse filtro e, até o final do dia, mais 1,2 litros foram utilizados para consumo próprio. Em relação à quantidade de água que havia no filtro no início da manhã, pode-se concluir que a água que restou dentro dele, no final do dia, corresponde a uma porcentagem de (A) 60%. (B) 55%. (C) 50%. (D) 45%. (E) 40%. 03. (UFPE – Assistente em Administração – COVEST/2014) Admita que cada pessoa use, semanalmente, 4 bolsas plásticas para embrulhar suas compras, e que cada bolsa é composta de 3 g de plástico. Em um país com 200 milhões de pessoas, quanto plástico será utilizado pela população em um ano, para embrulhar suas compras? Dado: admita que o ano é formado por 52 semanas. Indique o valor mais próximo do obtido. (A) 108 toneladas (B) 107 toneladas (C) 106 toneladas (D) 105 toneladas (E) 104 toneladas 04. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) Uma chapa de alumínio com 1,3 m2 de área será totalmente recortada em pedaços, cada um deles com 25 cm 2 de área. Supondo que não ocorra nenhuma perda durante os cortes, o número de pedaços obtidos com 25 cm2 de área cada um, será: (A) 52000. (B) 5200. (C) 520. . 191 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (D) 52. (E) 5,2. 05. (CLIN/RJ - Gari e Operador de Roçadeira - COSEAC/2015) Uma peça de um determinado tecido tem 30 metros, e para se confeccionar uma camisa desse tecido são necessários 15 decímetros. Com duas peças desse tecido é possível serem confeccionadas: (A) 10 camisas (B) 20 camisas (C) 40 camisas (D) 80 camisas 06. (CLIN/RJ - Gari e Operador de Roçadeira - COSEAC/2015) Um veículo tem capacidade para transportar duas toneladas de carga. Se a carga a ser transportada é de caixas que pesam 4 quilogramas cada uma, o veículo tem capacidade de transportar no máximo: (A) 50 caixas (B) 100 caixas (C) 500 caixas (D) 1000 caixas 07. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) Um trecho de uma estrada com 5,6 km de 3 comprimento está sendo reparado. A empresa A, responsável pelo serviço, já concluiu 7 do total a ser 2 reparado e, por motivos técnicos, do trecho que ainda faltam reparar serão feitos por uma empresa B. 5 O número total de metros que a empresa A ainda terá que reparar é (A) 1920. (B) 1980. (C) 2070. (D) 2150. (E) 2230. Respostas 01. Resposta: B. Vamos chamar de x a capacidade total da jarra. Assim: 3 1 . 𝑥 − 495 = . 𝑥 4 5 3 1 4 .𝑥 − 5 . 𝑥 = 495 5.3.𝑥 − 4.𝑥=20.495 20 15x – 4x = 9900 11x = 9900 x = 9900 / 11 x = 900 mL (capacidade total) Como havia 1/5 do total (1/5 . 900 = 180 mL), a quantidade adicionada foi de 900 – 180 = 720 mL 02. Resposta: B. 4 litros = 4000 ml; 1,2 litros = 1200 ml; meio litro = 500 ml 4000 – 800 – 500 + 700 – 1200 = 2200 ml (final do dia) Utilizaremos uma regra de três simples: ml % 4000 ------- 100 2200 ------- x 4000.x = 2200 . 100 x = 220000 / 4000 = 55% 03. Resposta: D. 4 . 3 . 200000000 . 52 = 1,248 . 1011 g = 1,248 . 105 t . 192 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  04. Resposta: C. 1,3 m2 = 13000 cm2 (.1000) 13000 / 25 = 520 pedaços 05. Resposta: C. Como eu quero 2 peças desse tecido e 1 peça possui 30 metros logo: 30 . 2 = 60 m. Temos que trabalhar com todas na mesma unidade: 1 m é 10dm assim temos 60m . 10 = 600 dm, como cada camisa gasta um total de 15 dm, temos então: 600/15 = 40 camisas. 06. Resposta: C. Uma tonelada(ton) é 1000 kg, logo 2 ton. 1000kg= 2000 kg Cada caixa pesa 4kg  2000 kg/ 4kg = 500 caixas. 07. Resposta: A. Primeiramente, vamos transformar Km em metros: 5,6 Km = 5600 m (.1000) 7 3 4 4 4.5600 Faltam − = do total, ou seja, 𝑑𝑒 5600 = = 3200𝑚 7 7 7 7 7 2 2.3200 A empresa B vai reparar 5 𝑑𝑒 3200 = 5 = 1280𝑚 Então, a empresa A vai reparar 3200 – 1280 = 1920m PERÍMETRO E ÁREA DAS FIGURAS PLANAS Perímetro: é a soma de todos os lados de uma figura plana. Exemplo: Perímetro = 10 + 10 + 9 + 9 = 38 cm Perímetros de algumas das figuras planas: . 193 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Área é a medida da superfície de uma figura plana. A unidade básica de área é o m2 (metro quadrado), isto é, uma superfície correspondente a um quadrado que tem 1 m de lado. Fórmulas de área das principais figuras planas: 1) Retângulo - sendo b a base e h a altura: 2. Paralelogramo - sendo b a base e h a altura: 3. Trapézio - sendo B a base maior, b a base menor e h a altura: 4. Losango - sendo D a diagonal maior e d a diagonal menor: 5. Quadrado - sendo l o lado: 6. Triângulo: essa figura tem 6 fórmulas de área, dependendo dos dados do problema a ser resolvido. I) sendo dados a base b e a altura h: II) sendo dados as medidas dos três lados a, b e c: . 194 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  III) sendo dados as medidas de dois lados e o ângulo formado entre eles: IV) triângulo equilátero (tem os três lados iguais): V) circunferência inscrita: VI) circunferência circunscrita: Questões 01. A área de um quadrado cuja diagonal mede 2√7 cm é, em cm2, igual a: (A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15 (E) 16 02. (BDMG - Analista de Desenvolvimento – FUMARC/2011) Corta-se um arame de 30 metros em duas partes. Com cada uma das partes constrói-se um quadrado. Se S é a soma das áreas dos dois quadrados, assim construídos, então o menor valor possível para S é obtido quando: (A) o arame é cortado em duas partes iguais. (B) uma parte é o dobro da outra. (C) uma parte é o triplo da outra. (D) uma parte mede 16 metros de comprimento. 03. (TJM-SP - Oficial de Justiça – VUNESP/2011) Um grande terreno foi dividido em 6 lotes retangulares congruentes, conforme mostra a figura, cujas dimensões indicadas estão em metros. . 195 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Sabendo-se que o perímetro do terreno original, delineado em negrito na figura, mede x + 285, conclui- se que a área total desse terreno é, em m2, igual a: (A) 2 400. (B) 2 600. (C) 2 800. (D) 3000. (E) 3 200. 04. (TRT/4ª REGIÃO - Analista Judiciário - Área Judiciária – FCC/2011) Ultimamente tem havido muito interesse no aproveitamento da energia solar para suprir outras fontes de energia. Isso fez com que, após uma reforma, parte do teto de um salão de uma empresa fosse substituída por uma superfície retangular totalmente revestida por células solares, todas feitas de um mesmo material. Considere que: - células solares podem converter a energia solar em energia elétrica e que para cada centímetro quadrado de célula solar que recebe diretamente a luz do sol é gerada 0,01 watt de potência elétrica; - a superfície revestida pelas células solares tem 3,5m de largura por 8,4m de comprimento. Assim sendo, se a luz do sol incidir diretamente sobre tais células, a potência elétrica que elas serão capazes de gerar em conjunto, em watts, é: (A) 294000. (B) 38200. (C) 29400. (D) 3820. (E) 2940. 05. (CPTM - Médico do trabalho – MAKIYAMA/2011) Um terreno retangular de perímetro 200m está à venda em uma imobiliária. Sabe-se que sua largura tem 28m a menos que o seu comprimento. Se o metro quadrado cobrado nesta região é de R$ 50,00, qual será o valor pago por este terreno? (A) R$ 10.000,00. (B) R$ 100.000,00. (C) R$ 125.000,00. (D) R$ 115.200,00. (E) R$ 100.500,00. 06. Uma pessoa comprou 30 m2 de piso para colocar em uma sala retangular de 4 m de largura, porém, ao medir novamente a sala, percebeu que havia comprado 3,6 m2 de piso a mais do que o necessário. O perímetro dessa sala, em metros, é de: (A) 21,2. (B) 22,1. (C) 23,4. (D) 24,3. (E) 25,6 07. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES/2011) A pipa, também conhecida como papagaio ou quadrado, foi introduzida no Brasil pelos colonizadores portugueses no século XVI. Para montar a pipa, representada na figura, foram utilizados uma vareta de 40 cm de comprimento, duas varetas de 32 cm de comprimento, tesoura, papel de seda, cola e linha. As varetas são fixadas conforme a figura, formando a estrutura da pipa. A linha é passada em todas as pontas da estrutura, e o papel é colado de modo que a extremidade menor da estrutura da pipa fique de fora. . 196 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Na figura, a superfície sombreada corresponde ao papel de seda que forma o corpo da pipa. A área dessa superfície sombreada, em centímetros quadrados, é: (A) 576. (B) 704. (C) 832. (D) 1 150. (E) 1 472. 08. (TJ/SP – Escrevente Técnico Judiciário – VUNESP/2014) Para efeito decorativo, um arquiteto dividiu o piso de rascunho um salão quadrado em 8 regiões com o formato de trapézios retângulos congruentes (T), e 4 regiões quadradas congruentes (Q), conforme mostra a figura: Se a área de cada região com a forma de trapézio retângulo é igual a 24 m², então a área total desse piso é, em m², igual a (A) 324 (B) 400 (C) 225 (D) 256 (E) 196 Respostas 01.Resposta: C. Sendo l o lado do quadrado e d a diagonal: Utilizando o Teorema de Pitágoras: d2 = l2 + l2 2 (2√7) = 2l2 4.7 = 2l2 2l2 = 28 28 l2 = 2 A = 14 cm2 . 197 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  02. Resposta: A. - um quadrado terá perímetro x x o lado será l = e o outro quadrado terá perímetro 30 – x 4 30−x o lado será l1 = 4 , sabendo que a área de um quadrado é dada por S = l2, temos: S = S1 + S2 S=l²+l1² x 2 30−x 2 S = (4) + ( 4 ) x2 (30−x)2 S= + , como temos o mesmo denominador 16: 16 16 x 2 + 302 − 2.30. x + x 2 S= 16 x 2 + 900 − 60x + x 2 S= 16 2x2 60x 900 S= 16 − 16 + 16 , sendo uma equação do 2º grau onde a = 2/16; b = -60/16 e c = 900/16 e o valor de x será o x do vértice −b que e dado pela fórmula: x = 2a , então: −60 60 −( ) xv = 16 = 16 2 4 2. 16 16 60 16 60 xv = 16 . 4 = 4 = 15, logo l = 15 e l1 = 30 – 15 = 15. 03. Resposta: D. Observando a figura temos que cada retângulo tem lados medindo x e 0,8x: Perímetro = x + 285 8.0,8x + 6x = x + 285 6,4x + 6x – x = 285 11,4x = 285 x = 285:11,4 x = 25 Sendo S a área do retângulo: S= b.h S= 0,8x.x S = 0,8x2 Sendo St a área total da figura: St = 6.0,8x2 St = 4,8.252 St = 4,8.625 St = 3000 04. Resposta: E. Retângulo com as seguintes dimensões: Largura: 3,5 m = 350 cm Comprimento: 8,4 m = 840 cm A = 840.350 A = 294.000 cm2 Potência = 294.000.0,01 = 2940 05. Resposta: D. Comprimento: x Largura: x – 28 . 198 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Perímetro = 200 x + x + x – 28 + x – 28 = 200 4x – 56 = 200 4x = 200 + 56 x = 256 : 4 x = 64 Comprimento: 64 Largura: 64 – 28 = 36 Área: A = 64.36 = 2304 m2 Preço = 2304.50,00 = 115.200,00 06. Resposta: A. Do enunciado temos que foram comprados 30 m2 de piso e que a sala tem 4 m de largura. Para saber o perímetro temos que calcular o comprimento desta sala. - houve uma sobra de 3,6 m2, então a área da sala é: A = 30 – 3,6 A = 26,4 m2 - sendo x o comprimento: x.4 = 26,4 x = 26,4 : 4 x = 6,6 m (este é o comprimento da sala) - o perímetro (representado por 2p na geometria) é a soma dos 4 lados da sala: 2p = 4 + 4 + 6,6 + 6,6 = 21,2 m 07. Resposta: C. A área procurada é igual a área de um triângulo mais a área de um retângulo. A = AT + AR 32.20 A= + 16.32 2 A = 320 + 512 = 832 08. Resposta: D. O destaque da figura corresponde a base maior do nosso trapézio, e podemos perceber que equivale a 2x e a base menor x, portanto: 𝑏+𝐵 𝐴= ∙ℎ 2 𝑥 + 2𝑥 24 = ∙𝑥 2 48 = 3𝑥 2 X²=16 Substituindo: Atotal =4x 4x=16x²=1616=256 m² . 199 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  ÁREA DO CIRCULO E SUAS PARTES I- Círculo: Quem primeiro descreveu a área de um círculo foi o matemático grego Arquimedes (287/212 a.C.), de Siracusa, mais ou menos por volta do século II antes de Cristo. Ele concluiu que quanto mais lados tem um polígono regular mais ele se aproxima de uma circunferência e o apótema (a) deste polígono tende ao raio r. Assim, como a fórmula da área de um polígono regular é dada por A = p.a (onde p é 2𝜇𝑟 semiperímetro e a é o apótema), temos para a área do círculo 𝐴 = 2 . 𝑟, então temos: II- Coroa circular: É uma região compreendida entre dois círculos concêntricos (tem o mesmo centro). A área da coroa circular é igual a diferença entre as áreas do círculo maior e do círculo menor. A = 𝜋R2 – 𝜋r2, como temos o 𝜋 como fator comum, podemos colocá-lo em evidência, então temos: III- Setor circular: É uma região compreendida entre dois raios distintos de um círculo. O setor circular tem como elementos principais o raio r, um ângulo central 𝛼 e o comprimento do arco l, então temos duas fórmulas: IV- Segmento circular: É uma região compreendida entre um círculo e uma corda (segmento que une dois pontos de uma circunferência) deste círculo. Para calcular a área de um segmento circular temos que subtrair a área de um triângulo da área de um setor circular, então temos: . 200 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Questões 01. (SEDUC/RJ – Professor – Matemática – CEPERJ/2011) A figura abaixo mostra três círculos, cada um com 10 cm de raio, tangentes entre si. Considerando √3 ≅ 1,73 e 𝜋 ≅ 3,14, o valor da área sombreada, em cm2, é: (A) 320. (B) 330. (C) 340. (D) 350. (E) 360. 02. (Câmara Municipal de Catas Altas/MG - Técnico em Contabilidade – FUMARC/2011) A área de um círculo, cuja circunferência tem comprimento 20𝜋 cm, é: (A) 100𝜋 cm2. (B) 80 𝜋 cm2. (C) 160 𝜋 cm2. (D) 400 𝜋 cm2. 03. (Petrobrás - Inspetor de Segurança - CESGRANRIO/2011) Quatro tanques de armazenamento de óleo, cilíndricos e iguais, estão instalados em uma área retangular de 24,8 m de comprimento por 20,0 m de largura, como representados na figura abaixo. 2 Se as bases dos quatro tanques ocupam 5 da área retangular, qual é, em metros, o diâmetro da base de cada tanque? Dado: use 𝜋=3,1 (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. (E) 16. 04. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES/2011) Na figura a seguir, OA = 10 cm, OB = 8 cm e AOB = 30°. Qual, em cm², a área da superfície hachurada. Considere π = 3,14? (A) 5,44 cm². (B) 6,43 cm². (C) 7,40 cm². . 201 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (D) 8,41 cm². (E) 9,42 cm². 05. (U. F. de Uberlândia-MG) Uma indústria de embalagens fábrica, em sua linha de produção, discos de papelão circulares conforme indicado na figura. Os discos são produzidos a partir de uma folha quadrada de lado L cm. Preocupados com o desgaste indireto produzido na natureza pelo desperdício de papel, a indústria estima que a área do papelão não aproveitado, em cada folha utilizada, é de (100 - 25π) cm2. Com base nas informações anteriores, é correto afirmar que o valor de L é: (A) Primo (B) Divisível por 3. (C) Ímpar. (D) Divisível por 5. 06. Na figura abaixo está representado um quadrado de lado 4 cm e um arco de circunferência com centro no vértice do quadrado. Qual é a área da parte sombreada? (A) 2(4 – π) cm2 (B) 4 – π cm2 (C) 4(4 – π) cm2 (D) 16 cm2 (E) 16π cm2 07. Calcular a área do segmento circular da figura abaixo, sendo r = 6 cm e o ângulo central do setor igual a 60°: Respostas 01. Resposta: B. Unindo os centros das três circunferências temos um triângulo equilátero de lado 2r ou seja l = 2.10 = 20 cm. Então a área a ser calculada será: 𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐 𝐴 = 𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐 + 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 + 2 𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐 𝐴= + 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 2 . 202 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  𝜋𝑟 2 𝐴= + 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 2 𝜋𝑟 2 𝑙 2 √3 𝐴= + 2 4 (3,14 ∙ 102 ) 202 ∙ 1,73 𝐴= + 2 4 400 ∙ 1,73 𝐴 = 1,57 ∙ 100 + 4 𝐴 = 157 + 100 ∙ 1,73 = 157 + 173 = 330 02. Resposta: A. A fórmula do comprimento de uma circunferência é C = 2π.r, Então: C = 20π 2π.r = 20π 20π r = 2π r = 10 cm A = π.r2 → A = π.102 → A = 100π cm2 03. Resposta: D. Primeiro calculamos a área do retângulo (A = b.h) Aret = 24,8.20 Aret = 496 m2 2 4.Acirc = .Aret 5 2 4.πr2 = 5.496 992 4.3,1.r2 = 5 12,4.r2 = 198,4 r2 = 198,4 : 12, 4 → r2 = 16 → r = 4 d = 2r =2.4 = 8 04. Resposta: E. OA = 10 cm (R = raio da circunferência maior), OB = 8 cm (r = raio da circunferência menor). A área hachurada é parte de uma coroa circular que é dada pela fórmula Acoroa = π(R2 – r2). Acoroa = 3,14.(102 – 82) Acoroa = 3,14.(100 – 64) Acoroa = 3,14.36 = 113,04 cm2 - como o ângulo dado é 30° 360° : 30° = 12 partes iguais. Ahachurada = 113,04 : 12 = 9,42 cm2 05. Resposta: D. A área de papelão não aproveitado é igual a área do quadrado menos a área de 9 círculos. Sendo que a área do quadrado é A = L2 e a área do círculo A = π.r2. O lado L do quadrado, pela figura dada, é igual a 6 raios do círculo. Então: . 203 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  06. Resposta: C. A área da região sombreada é igual a área do quadrado menos ¼ da área do círculo (setor com ângulo de 90°). 07. Resposta: 3(2π - 3√𝟑) cm2. POLIEDROS Diedros Sendo dois planos secantes (planos que se cruzam) α e β, o espaço entre eles é chamado de diedro. A medida de um diedro é feita em graus, dependendo do ângulo formado entre os planos. Poliedros São sólidos geométricos ou figuras geométricas espaciais formadas por três elementos básicos: faces, arestas e vértices. Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, . 204 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos: Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro. Cada vértice pode ser a interseção de três ou mais arestas. Observando a figura abaixo temos que em torno de cada um dos vértices forma-se um triedro. Convexidade Um poliedro é convexo se qualquer reta (não paralela a nenhuma de suas faces) o corta em, no máximo, dois pontos. Ele não possuí “reentrâncias”. E caso contrário é dito não convexo. Relação de Euler Em todo poliedro convexo sendo V o número de vértices, A o número de arestas e F o número de faces, valem as seguintes relações de Euler: 1) Poliedro Fechado: V – A + F = 2 2) Poliedro Aberto: V – A + F = 1 Observação: Para calcular o número de arestas de um poliedro temos que multiplicar o número de faces F pelo número de lados de cada face n e dividir por dois. Quando temos mais de um tipo de face, basta somar os resultados. 𝑛. 𝐹 𝐴= 2 Podemos verificar a relação de Euler para alguns poliedros não convexos. Assim dizemos: Todo poliedro convexo é euleriano, mas nem todo poliedro euleriano é convexo. Exemplos: 1) O número de faces de um poliedro convexo que possui exatamente oito ângulos triédricos é? A cada 8 vértices do poliedro concorrem 3 arestas, assim o número de arestas é dado por . 205 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  𝑛. 𝐹 3.8 𝐴= →𝐴= = 12 2 2 Pela relação de Euler: V – A + F = 2 → 8 - 12 + F = 2 → F = 6 (o poliedro possui 6 faces). Assim o poliedro com essas características é: 2) Vamos aplicar a relação de Euler em um Poliedro não convexo. V – A + F = 2 → 14 – 21 + 9 = 2 → 2 = 2 Assim podemos comprovar que para alguns poliedros não convexos, podemos utilizar a relação de Euler. Soma dos ângulos poliédricos: as faces de um poliedro são polígonos. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um polígono é dada S = (v – 2).360º Poliedros de Platão São poliedros que satisfazem as seguintes condições: - todas as faces têm o mesmo número n de arestas; - todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número m de arestas; - for válida a relação de Euler (V – A + F = 2). Exemplos: 1) O prisma quadrangular da figura a seguir é um poliedro de Platão. Vejamos se ele atende as condições: - todas as 6 faces são quadriláteros (n = 4); - todos os ângulos são triédricos (m = 3); - sendo V = 8, F = 6 e A = 12, temos: 8 – 12 + 6 = 14 -12 = 2 2) O prisma triangular da figura abaixo é poliedro de Platão? As faces são 2 triangulares e 3 faces são quadrangulares, logo não é um poliedro de Platão, uma vez que atende a uma das condições. . 206 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  - Propriedade: existem exatamente cinco poliedros de Platão (pois atendem as 3 condições). Determinados apenas pelos pares ordenados (m,n) como mostra a tabela abaixo. m n A V F Poliedro 3 3 6 4 4 Tetraedro 3 4 12 8 6 Hexaedro 4 3 12 6 8 Octaedro 3 5 30 20 12 Dodecaedro 5 3 30 12 20 Icosaedro Poliedros Regulares Um poliedro e dito regular quando: - suas faces são polígonos regulares congruentes; - seus ângulos poliédricos são congruentes; Por essas condições e observações podemos afirmar que todos os poliedros de Platão são ditos Poliedros Regulares. Observação: Todo poliedro regular é poliedro de Platão, mas nem todo poliedro de Platão é poliedro regular. Por exemplo, uma caixa de bombom, como a da figura a seguir, é um poliedro de Platão (hexaedro), mas não é um poliedro regular, pois as faces não são polígonos regulares e congruentes. A figura se compara ao paralelepípedo que é um hexaedro, e é um poliedro de Platão, mas não é considerado um poliedro regular: . 207 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  - Não Poliedros Os sólidos acima são: Cilindro, Cone e Esfera, são considerados não planos pois possuem suas superfícies curvas. Cilindro: tem duas bases geometricamente iguais definidas por curvas fechadas em superfície lateral curva. Cone: tem uma só base definida por uma linha curva fechada e uma superfície lateral curva. Esfera: é formada por uma única superfície curva. - Planificações de alguns Sólidos Geométricos Poliedro Planificação Elementos - 4 faces triangulares - 4 vértices - 6 arestas Tetraedro - 6 faces quadrangulares - 8 vértices - 12 arestas Hexaedro - 8 faces triangulares - 6 vértices - 12 arestas Octaedro . 208 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  -12 faces pentagonais - 20 vértices - 30 arestas Dodecaedro - 20 faces triangulares - 12 vértices - 30 arestas Icosaedro Questões 01. (PUC RS) Um poliedro convexo tem cinco faces triangulares e três pentagonais. O número de arestas e o número de vértices deste poliedro são, respectivamente: (A) 30 e 40 (B) 30 e 24 (C) 30 e 8 (D) 15 e 25 (E) 15 e 9 02. (ITA – SP) Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos internos de todas as faces é 7200°. O número de vértices deste prisma é igual a: (A) 11 (B) 32 (C) 10 (D) 22 (E) 20 03. (CEFET – PR) Um poliedro convexo possui duas faces triangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais. Logo a soma dos ângulos internos de todas as faces será: (A) 3240° (B) 3640° (C) 3840° (D) 4000° (E) 4060° 04. Entre as alternativas abaixo, a relação de Euller para poliedros fechados é: (A) V – A + F = 1 (B) V + A + F = 2 (C) V – A + F = 2 (D) V – A – F = 2 (E) V + F – 2 = 2 . 209 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  05. (Unitau) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo vale 720°. Sabendo-se que o número de faces vale 2/3 do número de arestas, pode-se dizer que o número de faces vale: (A) 6. (B) 4. (C) 5. (D) 12. (E) 9. 06. (FAAP - SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces. 07. (Fatec - SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 lados. Qual é o número de vértices desse poliedro? Respostas 01. Resposta: E. O poliedro tem 5 faces triangulares e 3 faces pentagonais, logo, tem um total de 8 faces (F = 8). Como cada triângulo tem 3 lados e o pentágono 5 lados. Temos: 5.3+3.5 15+15 30 𝐴= = = = 15 2 2 2 V–A+F=2 V – 15 + 8 = 2 V = 2 + 15 – 8 V=9 02. Resposta: D. Basta utilizar a fórmula da soma dos ângulos poliédricos. S = (V – 2).360° 7200° = (V – 2).360° (passamos o 360° dividindo) 7200° : 360° = V – 2 20 = V – 2 → V = 20 + 2 → V = 22 03. Resposta: A. Temos 2 faces triangulares, 2 faces quadrangulares e 4 faces pentagonais. F=2+2+4 F=8 𝟐.𝟑+𝟐.𝟒+𝟒.𝟓 𝟔+𝟖+𝟐𝟎 𝟑𝟒 𝑨= 𝟐 = 𝟐 = 𝟐 = 𝟏𝟕 V–A+F=2 V – 17 + 8 = 2 V = 2 + 17 – 8 V = 11 A soma é: S = (v – 2).260° → S = (11 – 2).360°→ S = 9.360° → S = 3240° 04. Resposta: C. 05. Resposta: B. 𝟐𝑨 Do enunciado temos S = 720° e que 𝑭 = 𝟑 . S = 720° (V – 2).360° = 720° V – 2 = 720° : 360° → V – 2 = 2 → V = 2 + 2 → V = 4 V–A+F=2 𝟐𝑨 𝟒 − 𝑨 + 𝟑 = 𝟐 (o mmc é igual a 3) . 210 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  𝟏𝟐−𝟑𝑨+𝟐𝑨 𝟔 𝟑 =𝟑 - 3A + 2A = 6 – 12 -A=-6 x(- 1) multiplicando por -1 A=6 𝟐.𝟔 𝟏𝟐 Se A = 6  𝑭 = 𝟑 = 𝟑 =𝟒 06. Resposta: 08. O enunciado nos traz as seguintes informações: A=V+6 Vamos aplicar a Relação de Euler: V+F=2+A V + F = 2 + V + 6 → podemos eliminar V, então ficamos com: F = 2 + 6 → F = 8 O número de faces é igual a 8. 07. Resposta: 12. Sabemos que Número de faces: 3 + 2 + 4 = 9 Número de arestas: 3 faces com 4 lados: 3 . 4 = 12 2 faces com 3 lados: 2 . 3 = 6 4 faces com 5 lados: 4 . 5 = 20 Somando: 12 + 6 + 20 = 38 Atenção: as faces são unidas, duas a duas, por uma aresta. Ao contarmos todas as arestas de todas as faces, cada aresta é contada duas vezes, uma para cada face "grudada" nela. Assim, esse número, na verdade, é o dobro do número real de arestas do poliedro. Logo: A = 38 ÷ 2 = 19. Usando a Relação de Euler, temos: V+F=2+A V + 9 = 2 + 19 V = 21 - 9 = 12. SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Sólidos Geométricos são figuras geométricas que possui três dimensões. Um sólido é limitado por um ou mais planos. Os mais conhecidos são: prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera. - Principio de Cavalieri Bonaventura Cavalieri foi um matemático italiano, discípulo de Galileu, que criou um método capaz de determinar áreas e volumes de sólidos com muita facilidade, denominado princípio de Cavalieri. Este princípio consiste em estabelecer que dois sólidos com a mesma altura têm volumes iguais se as secções planas de iguais altura possuírem a mesma área. Vejamos: Suponhamos a existência de uma coleção de chapas retangulares (paralelepípedos retângulos) de mesmas dimensões, e consequentemente, de mesmo volume. Imaginemos ainda a formação de dois sólidos com essa coleção de chapas. . 211 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Tanto em A como em B, a parte do espaço ocupado, ou seja, o volume ocupado, pela coleção de chapas é o mesmo, isto é, os sólidos A e B tem o mesmo volume. Mas se imaginarmos esses sólidos com base num mesmo plano α e situados num mesmo semi espaço dos determinados por α. Qualquer plano β, secante aos sólidos A e B, paralelo a α, determina em A e em B superfícies de áreas iguais (superfícies equivalentes). A mesma ideia pode ser estendida para duas pilhas com igual número de moedas congruentes. Dois sólidos, nos quais todo plano secante, paralelo a um dado plano, determina superfícies de áreas iguais (superfícies equivalentes), são sólidos de volumes iguais (sólidos equivalentes). A aplicação do princípio de Cavalieri, em geral, implica na colocação dos sólidos com base num mesmo plano, paralelo ao qual estão as secções de áreas iguais (que é possível usando a congruência) - Sólidos geométricos I) PRISMA: é um sólido geométrico que possui duas bases iguais e paralelas. . 212 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Elementos de um prisma: a) Base: pode ser qualquer polígono. b) Arestas da base: são os segmentos que formam as bases. c) Face Lateral: é sempre um paralelogramo. d) Arestas Laterais: são os segmentos que formam as faces laterais. e) Vértice: ponto de intersecção (encontro) de arestas. f) Altura: distância entre as duas bases. Classificação: Um prisma pode ser classificado de duas maneiras: 1- Quanto à base: - Prisma triangular...........................................................a base é um triângulo. - Prisma quadrangular.....................................................a base é um quadrilátero. - Prisma pentagonal........................................................a base é um pentágono. - Prisma hexagonal.........................................................a base é um hexágono. E, assim por diante. 2- Quanta à inclinação: - Prisma Reto: a aresta lateral forma com a base um ângulo reto (90°). - Prisma Obliquo: a aresta lateral forma com a base um ângulo diferente de 90°. Fórmulas: - Área da Base Como a base pode ser qualquer polígono não existe uma fórmula fixa. Se a base é um triângulo calculamos a área desse triângulo; se a base é um quadrado calculamos a área desse quadrado, e assim por diante. - Área Lateral: Soma das áreas das faces laterais - Área Total: At=Al+2Ab - Volume: V = Abh Prismas especiais: temos dois prismas estudados a parte e que são chamados de prismas especiais, que são: a) Hexaedro (Paralelepípedo reto-retângulo): é um prisma que tem as seis faces retangulares. Temos três dimensões: a= comprimento, b = largura e c = altura. Fórmulas: - Área Total: At = 2.(ab + ac + bc) - Volume: Va= a.b.c . 213 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  - Diagonal: D = √a2 + b 2 + c 2 b) Hexaedro Regular (Cubo): é um prisma que tem as 6 faces quadradas. As três dimensões de um cubo comprimento, largura e altura são iguais. Fórmulas: - Área Total: At = 6.a2 - Volume: V = a3 - Diagonal: D = a√3 II) PIRÂMIDE: é um sólido geométrico que tem uma base e um vértice superior. Elementos de uma pirâmide: A pirâmide tem os mesmos elementos de um prisma: base, arestas da base, face lateral, arestas laterais, vértice e altura. Além destes, ela também tem um apótema lateral e um apótema da base. Na figura acima podemos ver que entre a altura, o apótema da base e o apótema lateral forma um triângulo retângulo, então pelo Teorema de Pitágoras temos: ap2 = h2 + ab2. Classificação: Uma pirâmide pode ser classificado de duas maneiras: 1- Quanto à base: - Pirâmide triangular...........................................................a base é um triângulo. - Pirâmide quadrangular.....................................................a base é um quadrilátero. - Pirâmide pentagonal........................................................a base é um pentágono. - Pirâmide hexagonal.........................................................a base é um hexágono. E, assim por diante. 2- Quanta à inclinação: - Pirâmide Reta: tem o vértice superior na direção do centro da base. - Pirâmide Obliqua: o vértice superior esta deslocado em relação ao centro da base. . 214 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Fórmulas: - Área da Base: 𝐴𝑏 = 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜, como a base pode ser qualquer polígono não existe uma fórmula fixa. Se a base é um triângulo calculamos a área desse triângulo; se a base é um quadrado calculamos a área desse quadrado, e assim por diante. - Área Lateral: 𝐴𝑙 = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑖𝑠 - Área Total: At = Al + Ab 1 - Volume: 𝑉 = 3 . 𝐴𝑏 . ℎ - TRONCO DE PIRÂMIDE O tronco de pirâmide é obtido ao se realizar uma secção transversal numa pirâmide, como mostra a figura: O tronco da pirâmide é a parte da figura que apresenta as arestas destacadas em vermelho. É interessante observar que no tronco de pirâmide as arestas laterais são congruentes entre si; as bases são polígonos regulares semelhantes; as faces laterais são trapézios isósceles, congruentes entre si; e a altura de qualquer face lateral denomina-se apótema do tronco. → Cálculo das áreas do tronco de pirâmide. Num tronco de pirâmide temos duas bases, base maior e base menor, e a área da superfície lateral. De acordo com a base da pirâmide, teremos variações nessas áreas. Mas observe que na superfície lateral sempre teremos trapézios isósceles, independente do formato da base da pirâmide. Por exemplo, se a base da pirâmide for um hexágono regular, teremos seis trapézios isósceles na superfície lateral. A área total do tronco de pirâmide é dada por: St = Sl + SB + Sb Onde: St → é a área total Sl → é a área da superfície lateral SB → é a área da base maior Sb → é a área da base menor → Cálculo do volume do tronco de pirâmide. A fórmula para o cálculo do volume do tronco de pirâmide é obtida fazendo a diferença entre o volume de pirâmide maior e o volume da pirâmide obtida após a secção transversal que produziu o tronco. Colocando em função de sua altura e das áreas de suas bases, o modelo matemático para o volume do tronco é: Onde, V → é o volume do tronco h → é a altura do tronco SB → é a área da base maior Sb → é a área da base menor . 215 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  III) CILINDRO: é um sólido geométrico que tem duas bases iguais, paralelas e circulares. Elementos de um cilindro: a) Base: é sempre um círculo. b) Raio c) Altura: distância entre as duas bases. d) Geratriz: são os segmentos que formam a face lateral, isto é, a face lateral é formada por infinitas geratrizes. Classificação: como a base de um cilindro é um círculo, ele só pode ser classificado de acordo com a inclinação: - Cilindro Reto: a geratriz forma com o plano da base um ângulo reto (90°). - Cilindro Obliquo: a geratriz forma com a base um ângulo diferente de 90°. Fórmulas: - Área da Base: Ab = π.r2 - Área Lateral: Al = 2.π.r.h - Área Total: At = 2.π.r.(h + r) ou At = Al + 2.Ab - Volume: V = π.r2.h ou V = Ab.h Secção Meridiana de um cilindro: é um “corte” feito pelo centro do cilindro. O retângulo obtido através desse corte é chamado de secção meridiana e tem como medidas 2r e h. Logo a área da secção meridiana é dada pela fórmula: ASM = 2r.h. . 216 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Cilindro Equilátero: um cilindro é chamado de equilátero quando a secção meridiana for um quadrado, para isto temos que: h = 2r. IV) CONE: é um sólido geométrico que tem uma base circular e vértice superior. Elementos de um cone: a) Base: é sempre um círculo. b) Raio c) Altura: distância entre o vértice superior e a base. d) Geratriz: segmentos que formam a face lateral, isto é, a face lateral e formada por infinitas geratrizes. Classificação: como a base de um cone é um círculo, ele só tem classificação quanto à inclinação. - Cone Reto: o vértice superior está na direção do centro da base. - Cone Obliquo: o vértice superior esta deslocado em relação ao centro da base. Fórmulas: - Área da base: Ab = π.r2 - Área Lateral: Al = π.r.g - Área total: At = π.r.(g + r) ou At = Al + Ab 1 1 - Volume: 𝑉 = 3 . 𝜋. 𝑟 2 . ℎ ou 𝑉 = 3 . 𝐴𝑏 . ℎ - Entre a geratriz, o raio e a altura temos um triângulo retângulo, então: g2 = h2 + r2. Secção Meridiana: é um “corte” feito pelo centro do cone. O triângulo obtido através desse corte é chamado de secção meridiana e tem como medidas, base é 2r e h. Logo a área da secção meridiana é dada pela fórmula: ASM = r.h. . 217 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Cone Equilátero: um cone é chamado de equilátero quando a secção meridiana for um triângulo equilátero, para isto temos que: g = 2r. - TRONCO DE CONE Se um cone sofrer a intersecção de um plano paralelo à sua base circular, a uma determinada altura, teremos a constituição de uma nova figura geométrica espacial denominada Tronco de Cone. Elementos - A base do cone é a base maior do tronco, e a seção transversal é a base menor; - A distância entre os planos das bases é a altura do tronco. Diferentemente do cone, o tronco de cone possui duas bases circulares em que uma delas é maior que a outra, dessa forma, os cálculos envolvendo a área superficial e o volume do tronco envolverão a medida dos dois raios. A geratriz, que é a medida da altura lateral do cone, também está presente na composição do tronco de cone. Não devemos confundir a medida da altura do tronco de cone com a medida da altura de sua lateral (geratriz), pois são elementos distintos. A altura do cone forma com as bases um ângulo de 90º. No caso da geratriz os ângulos formados são um agudo e um obtuso. Área da Superfície e Volume Onde: h = altura g = geratriz Exemplo: Os raios das bases de um tronco de cone são 6 m e 4 m. A altura referente a esse tronco é de 10 m. Determine o volume desse tronco de cone. Lembre-se que π = 3,14. . 218 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  V) ESFERA Elementos da esfera - Eixo: é um eixo imaginário, passando pelo centro da esfera. - Polos: ponto de intersecção do eixo com a superfície da esfera. - Paralelos: são “cortes” feitos na esfera, determinando círculos. - Equador: “corte” feito pelo centro da esfera, determinando, assim, o maior círculo possível. Fórmulas - na figura acima podemos ver que o raio de um paralelo (r), a distância do centro ao paralelo ao centro da esfera (d) e o raio da esfera (R) formam um triângulo retângulo. Então, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras: R2 = r2 + d2. - Área: A = 4.π.R2 4 - Volume: V = . π. R3 3 Fuso Esférico: . 219 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Fórmula da área do fuso: 𝛼. 𝜋. 𝑅 2 𝐴𝑓𝑢𝑠𝑜 = 90° Cunha Esférica: Fórmula do volume da cunha: 𝛼. 𝜋. 𝑅 3 𝑉𝑐𝑢𝑛ℎ𝑎 = 270° Questões 01. Dado o cilindro equilátero, sabendo que seu raio é igual a 5 cm, a área lateral desse cilindro, em cm2, é: (A) 90π (B) 100π (C) 80π (D) 110π (E) 120π 02. Seja um cilindro reto de raio igual a 2 cm e altura 3 cm. Calcular a área lateral, área total e o seu volume. 03. Um prisma hexagonal regular tem aresta da base igual a 4 cm e altura 12 cm. O volume desse prisma é: (A) 288√3 cm3 (B) 144√3 cm3 (C) 200√3 cm3 (D) 100√3 cm3 (E) 300√3 cm3 04. As dimensões de um paralelepípedo são 3 cm, 4 cm e 12 cm. Pede-se calcular a área total, o volume e a diagonal desse paralelepípedo. 05. Um cubo tem aresta igual a 3 m, a área total e o volume desse cubo são, respectivamente, iguais a: (A) 27 m2 e 54 m3 (B) 9 m2 e 18 m3 (C) 54 m2 e 27 m3 . 220 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (D) 10 m2 e 20 m3 06. Uma pirâmide triangular regular tem aresta da base igual a 8 cm e altura 15 cm. O volume dessa pirâmide, em cm3, é igual a: (A) 60 (B) 60√3 (C) 80 (D) 80√3 (E) 90√3 07. (Pref. SEARA/SC – Adjunto Administrativo – IOPLAN/2015) Um reservatório vertical de água com a forma de um cilindro circular reto com diâmetro de 6 metros e profundidade de 10 metros tem a capacidade aproximada de, admitindo-se π=3,14: (A) 282,60 litros. (B) 28.260 litros. (C) 282.600,00 litros. (D) 28.600,00 litros. 08. Um cone equilátero tem raio igual a 8 cm. A altura desse cone, em cm, é: (A) 6√3 (B) 6√2 (C) 8√2 (D) 8√3 (E) 8 09. Uma esfera tem raio igual a 6 cm. Pede-se calcular: a) a área. b) o volume. 10. Foi feito uma secção em uma esfera de raio 4 cm, pelo seu centro, determinando um ângulo equatorial de 60°. Determinar a área do fuso e o volume da cunha obtidos por essa secção. 11. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS – COMBATENTE/LOGÍSTICA – TÉCNICA/AVIAÇÃO – EXÉRCITO BRASILEIRO/2013) O volume de um tronco de pirâmide de 4 dm de altura e cujas áreas das bases são iguais a 36 dm² e 144 dm² vale: (A) 330 cm³ (B) 720 dm³ (C) 330 m³ (D) 360 dm³ (E) 336 dm³ 12. (UFPA 2011) Uma rasa é um paneiro utilizado na venda de frutos de açaí. Um típico exemplar tem forma de um tronco de cone, com diâmetro de base 28 cm, diâmetro de boca 34 cm e altura 27 cm. Podemos afirmar, utilizando pi=3,14, que a capacidade da rasa, em litros, é aproximadamente. (A) 18 (B) 20 (C) 22 (D) 24 (E) 26 13. Uma vasilha (figura abaixo) tem a forma de um tronco de cone. Suas dimensões estão indicadas na figura. Qual o volume máximo de água que a vasilha pode conter, em litros? (Use π =3,14.) . 221 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Respostas 01. Resposta: B. Em um cilindro equilátero temos que h = 2r e do enunciado r = 5 cm. h = 2r → h = 2.5 = 10 cm Al = 2.π.r.h Al = 2.π.5.10 Al = 100π 02. Respostas: Al = 12π cm2, At = 20π cm2 e V = 12π cm3 Aplicação direta das fórmulas sendo r = 2 cm e h = 3 cm. Al = 2.π.r.h At = 2π.r(h + r) V = π.r2.h Al = 2.π.2.3 At = 2π.2(3 + 2) V = π.22.3 Al = 12π cm 2 At = 4π.5 V = π.4.3 At = 20π cm2 V = 12π cm2 03. Resposta: A. O volume de um prisma é dado pela fórmula V = Ab.h, do enunciado temos que a aresta da base é a = 4 cm e a altura h = 12 cm. A área da base desse prisma é igual a área de um hexágono regular 6.𝑎 2 √3 𝐴𝑏 = 4 6.42 √3 6.16√3 𝐴𝑏 =  𝐴𝑏 =  𝐴𝑏 = 6.4√3  𝐴𝑏 = 24√3 cm2 4 4 V = 24√3.12 V = 288√3 cm3 04. Respostas: At = 192 cm2, V = 144 cm3 e D = 13 cm Aplicação direta das fórmulas sendo a = 3 cm, b = 4 cm e c = 12 cm. At = 2.(ab + ac + bc) V = a.b.c D = √a2 + b 2 + c 2 At = 2.(3.4 + 3.12 + 4.12) V = 3.4.12 D = √32 + 42 + 122 At = 2.(12 + 36 + 48) V = 144 cm 3 D = √9 + 16 + 144 At = 2.96 D = √169 At = 192 cm2 D = 13 cm 05. Resposta: C. Do enunciado, o cubo tem aresta a = 3 m. At = 6.a2 V = a3 2 At = 6.3 V = 33 At = 6.9 V = 27 m3 2 At = 54 m . 222 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  06. Resposta: D. 𝑙 2 √3 Do enunciado a base é um triângulo equilátero. E a fórmula da área do triângulo equilátero é 𝐴 = 4 . A aresta da base é a = 8 cm e h = 15 cm. Cálculo da área da base: 𝑎 2 √3 𝐴𝑏 = 4 82 √3 64√3 𝐴𝑏 = 4 = 4 𝐴𝑏 = 16√3 Cálculo do volume: 1 𝑉 = 3 . 𝐴𝑏 . ℎ 1 𝑉 = 3 . 16√3. 15 → 𝑉 = 16√3. 5 → 𝑉 = 80√3 07. Resposta: C. Pelo enunciado sabemos a altura (h) = 10 m e o Diâmetro da base = 6 m, logo o Raio (R) = 3m. O volume é Ab.h , onde Ab = π .R² → Ab = 3,14. (3)² → Ab = 28,26 V = Ab. H → V = 28,26. 10 = 282,6 m³ Como o resultado é expresso em litros, sabemos que 1 m³ = 1000 l, Logo 282,26 m³ = x litros 282,26. 1000 = 282 600 litros 08. Resposta: D. Em um cone equilátero temos que g = 2r. Do enunciado o raio é 8 cm, então a geratriz é g = 2.8 = 16 cm. g2 = h2 + r2 162 = h2 + 82 256 = h2 + 64 256 – 64 = h2 → h2 = 192 → h = √192 → h = √26 . 3 → h = 23√3 → h = 8√3 cm 09. Respostas: a) 144π cm2 e b) 288π cm3 O raio da esfera é 6 cm. a)A = 4.π.R2 A = 4.π.62 A = 4.π.36 A = 144π cm2 4 b)V = 3 . π. R3 4 V = 3 . π. 63 4 V = 3 . π. 216 V = 288π cm3 𝟑𝟐𝛑 𝟏𝟐𝟖𝛑 10. Respostas: Af = cm2 e Vc = cm3 𝟑 𝟗 A esfera tem raio R = 4 e o ângulo equatorial α = 60°. α.π.R2 Af = 90° 60°.π.42 6.π.16 96π 32π Af = = = = cm2 90° 9 9 3 . 223 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  α.π.R3 Vc = 270° 60°.π.43 6.π.64 384π 128π Vc = = = = cm3 270° 27 27 9 11. Resposta: E. ℎ𝑡 𝑉 = (𝐴𝐵 + √𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝑏 + 𝐴𝑏 ) 3 AB=144 dm² Ab=36 dm² 4 4 4 𝑉 = (144 + √144 ∙ 36 + 36) = (144 + 72 + 36) = 252 = 336 𝑑𝑚3 3 3 3 12. Resposta: B. Temos na nessa questão um tronco cone, vamos esboçar o desenho: Observe que temos um cone e será necessário termos um acréscimo na altura, esse acréscimo x será calculado através de semelhança entre triângulos. x/14 = (x + 27)/17 17x = 14.(x + 27) 17x = 14x + 378 17x - 14x = 378 3x = 378 x = 378/3 x = 126 cm Agora que encontramos o valor de x temos: Encontrando esses dois cones iremos calcular o volume de cada um e subtrair o volume do maior menos o volume do menor. VOLUME DO CONE MAIOR (Vma) Vma = área da base x altura /3 Vma = πR² x 153 /3 Vma = 3,14 x 289 x 153/3 Vma = 46303,93 cm³ VOLUME DO CONE MENOR (Vme) Vme = pi.R² x altura/3 . 224 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Vme = 3,14 x 196 x 126/3 Vme = 25861,59 cm³ VOLUME DO TRONCO DE CONE (Vc) Vc = Vma - Vme Vc = 46303,93 - 25861,59 Vc = 20442,34 cm³ Mas, a unidade está em cm³ devemos transformar para litros. 1cm³ = 1ml 20442,34 cm³ = 20442,34 ml Sabemos também que... 1L -----------------1000ml x---------------20442,34ml x = 20442,34 / 1000 x = 20,44 L 13. Resposta: 87,92 l R = 40cm; r = 20cm; h = 30cm ℎ𝜋 2 30. 𝜋 𝑉= (𝑅 + 𝑅𝑟 + 𝑟 2 ) → (402 + 40.2 + 202 ) → 10𝜋(2800) = 2800𝜋 ≅ 87 920𝑐𝑚3 3 3 Como 1 dm3 = 1 l  o volume máximo de água da vasilha pode conter é de cerca de 87,92l. Trigonometria. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO A palavra trigonometria significa: tri (três), gono (ângulo) e metria (medida), traduzido mais ou menos para estudo das medidas de três ângulos. A figura que tem três ângulos chama-se Triângulo. No início estudaremos a trigonometria no triângulo retângulo, ao final deste estudo temos duas leis: Lei dos senos e Lei dos cossenos que “jogam” a trigonometria para os demais triângulos que não são retângulos. Em todo triângulo retângulo os lados recebem nomes especiais. O maior lado (oposto do ângulo de 90°) é chamado de Hipotenusa e os outros dois lados menores (opostos aos dois ângulos agudos) são chamados de Catetos. Observe a figura: - a é a hipotenusa. - b e c são os catetos. Para estudo de Trigonometria, são definidos no triângulo retângulo, três razões chamadas trigonométricas: seno, cosseno e tangente. 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 - 𝑠𝑒𝑛 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 - 𝑐𝑜𝑠 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 - 𝑡𝑔 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 . 225 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  No triângulo acima, temos: Como podemos notar, 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛽 e 𝑠𝑒𝑛𝛽 = 𝑐𝑜𝑠𝛼. Em todo triângulo a soma dos ângulos internos é igual a 180°. No triângulo retângulo um ângulo mede 90°, então: 90° + α + β = 180° α + β = 180° - 90° α + β = 90° Quando a soma de dois ângulos é igual a 90°, eles são chamados de Ângulos Complementares. E, neste caso, sempre o seno de um será igual ao cosseno do outro. Valores Notáveis A tabela a seguir representa os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30°, 45° e 60°, considerados os três ângulos notáveis da trigonometria. 30° 45° 60° sen 1 √2 √3 2 2 2 cos √3 √2 1 2 2 2 tg √3 1 √3 3 Relações Fundamentais da Trigonometria I) 𝑠𝑒𝑛2 + 𝑐𝑜𝑠 2 = 1 𝑠𝑒𝑛 II) 𝑡𝑔𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 III) 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 1 VI) 𝑠𝑒𝑐𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 1 V) 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 . 226 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Nestas relações, além do senx e cosx, temos: tg (tangente), cotg (cotangente), sec (secante) e cossec (cossecante). Questões 01. Um avião levanta voo formando um ângulo de 30° com a horizontal. Sua altura, em metros, após ter percorridos 600 m será: (A) 100 (B) 200 (C) 300 (D) 400 (E) 500 02. (UDESC) Sobre um plano inclinado deverá ser construída uma escadaria. Sabendo-se que cada degrau da escada deverá ter um altura de 20 cm e que a base do plano inclinado medem 280√3 cm, conforme mostra a figura acima, então, a escada deverá ter: (A) 10 degraus (B) 28 degraus (C) 14 degraus (D) 54 degraus (E) 16 degraus 03. (FUVEST) A uma distância de 40 m, uma torre é vista sob um ângulo 𝛼, como mostra a figura. Sabendo que sen20° = 0,342 e cos20° = 0,940, a altura da torre, em metros, será aproximadamente: (A) 14,552 (B) 14,391 (C) 12,552 (D) 12,391 (E) 16,552 04. (U. Estácio de Sá) Simplificando a expressão 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛17º. 𝑐𝑜𝑡𝑔17°. 𝑐𝑜𝑡𝑔73°. 𝑠𝑒𝑐73°, encontramos: (A) – 2 (B) – 1 (C) 2 (D) 1 (E) 5 05. Qual das afirmativas abaixo é falsa: (A) sen3x + cos3x = 1 . 227 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  𝑠𝑒𝑛𝑥 (B) 𝑡𝑔𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 (C) sen2x + cos2x = 1 1 (D) 𝑠𝑒𝑐𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 1 (E) 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 06. (SEDUC/RJ - Professor – Matemática – CEPERJ/2011) A figura abaixo mostra o perfil de um muro construído para conter uma encosta pouco estável. A primeira parte da rampa tem 10m de comprimento e inclinação de 25° com a horizontal, e a segunda parte tem 10 m de comprimento e inclinação de 50° com a horizontal. Considerando sen25° = 0, 42 e cos25° = 0,91, o valor da altura total do muro (h) é, aproximadamente: (A) 11,1m. (B) 11,8m. (C) 12,5m. (D) 13,2m. (E) 13,9m. 07. (EPCAR – Cadete – EPCAR/2011) Uma coruja está pousada em R, ponto mais alto de um poste, a uma altura h do ponto P, no chão. Ela é vista por um rato no ponto A, no solo, sob um ângulo de 30°, conforme mostra figura abaixo. O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde vê a coruja, agora sob um ângulo de 45° com o chão e a uma distância BR de medida 6√2 metros. Com base nessas informações, estando os pontos A, B e P alinhados e desprezando-se a espessura do poste, pode-se afirmar então que a medida do deslocamento AB do rato, em metros, é um número entre (A) 3 e 4. (B) 4 e 5. (C) 5 e 6. (D) 6 e 7. 08. (Câmara Municipal de Catas Altas/MG - Técnico em Contabilidade – FUMARC/2011) As medidas dos catetos de um triângulo retângulo com a hipotenusa medindo 10 cm e com o seno de um dos ângulos agudos valendo 0,8 são: (A) 5cm e 4cm. (B) 3cm e 5cm. (C) 6cm e 8cm. (D) 4cm e 6cm. Respostas 01. Resposta: C. Do enunciado temos a seguinte figura. . 228 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  600 m é a hipotenusa e h é o cateto oposto ao ângulo dado, então temos que usar o seno. cat. oposto sen30° = hipotenusa 1 h 2 = 600  2h = 600  h = 600 : 2 = 300 m 02. Resposta: C. Para saber o número de degraus temos que calcular a altura BC̅̅̅̅ do triângulo e dividir por 20 (altura de ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ cada degrau). No triângulo ABC, BC e AC são catetos, a relação entre os dois catetos é a tangente. cat.oposto ̅̅̅̅ BC tg30° = = ̅̅̅̅ cat.adjacente AC Número de degraus = 280 : 20 = 14 03. Resposta: A. Observando a figura, nós temos um triângulo retângulo, vamos chamar os vértices de A, B e C. Como podemos ver h e 40 m são catetos, a relação a ser usada é a tangente. Porém no enunciado foram dados o sen e o cos. Então, para calcular a tangente, temos que usar a relação fundamental: 𝑠𝑒𝑛𝛼 0,342 𝑡𝑔𝛼 = 𝑐𝑜𝛼𝑥  𝑡𝑔𝛼 = 0,940  tg𝛼 = 0,3638 ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 ℎ 𝑡𝑔𝛼 = ̅̅̅̅  0,363 =  h = 40.0,363  h = 14,552 m 𝐴𝐵 40 04. Resposta: D. Temos que usar as relações fundamentais. 𝑐𝑜𝑠17° 𝑦= 𝑠𝑒𝑛73° Sendo 17° + 73° = 90° (ângulos complementares), lembrando que quando dois ângulos são complementares o seno de um deles é igual ao cosseno do outro, resulta que sen73° = cos17°. Então: 𝑐𝑜𝑠17° 𝑦= =1 𝑐𝑜𝑠17° 05. Resposta: A. . 229 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  06. Resposta: B. Observando a figura, temos: h = x + y 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑥 = e 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = 2. 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑥 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥25º =  0,42 =  x = 10.042  x = 4,2 10 10 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 𝑠𝑒𝑛50º = 10  𝑠𝑒𝑛(2.25º) = 10  2. 𝑠𝑒𝑛25º. 𝑐𝑜𝑠25º = 10  2.0,42.0,91 = 10 𝑦 0,76 = 10  y = 10.076  y = 7,6 h = 4,2 + 7,6 = 11,8 07. Resposta: B. Do enunciado temos a seguinte figura: BR = 6√2 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 √2 ℎ 𝑠𝑒𝑛45° = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎  2 =6  2ℎ = 6√2. √2  2h = 12  h = 6 √2 O ângulo BRP = 45º, logo o triângulo BRP é isósceles  BP = PR = h = 6 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 ℎ No triângulo APR: 𝑡𝑔30º = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑥+6 √3 6 18 3 = 𝑥+6  √3. (𝑥 + 6) = 18  𝑥 + 6 = . Racionalizando, temos: √3 18.√3 18√3 𝑥+6= 𝑥+6=  𝑥 + 6 = 6√3 (√3 ≅ 1,7) √3.√3 3 x = 6.1,7 – 6 x = 10,2 – 6 = 4,2 08. Resposta: C. Pelo enunciado a hipotenusa mede 10 e o seno de um dos ângulos (vamos chamar este ângulo de α) mede 0,8. . 230 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑥 𝑠𝑒𝑛 ∝=  0,8 =  x = 10.0,8  x = 8 cm ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 10 Pelo Teorema de Pitágoras: x2 + y2 = 102 82 + y2 = 100  64 + y2 = 100  y2 = 100 – 64  y2 = 36  y = 6 cm TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER As relações trigonométricas se restringem somente a situações que envolvem triângulos retângulos. Na situação abaixo, PÔR é um triângulo obtusângulo, então não podemos utilizar das relações trigonométricas conhecidas. Para situações como essa, utilizamos a lei dos senos ou a lei dos cossenos, de acordo com o mais conveniente. Importante sabermos que: sen x = sen (180º - x) cos x = - cos (180º - x) Lei dos senos: Resolvendo a situação da figura, temos: Iremos aplicar a lei dos senos: 100 𝑥 100 𝑥 = ⟶ = 𝑠𝑒𝑛 120° 𝑠𝑒𝑛 45° 𝑠𝑒𝑛 60° 𝑠𝑒𝑛 45° Pela tabela de razões trigonométricas: √2 √3 𝑠𝑒𝑛 45° = ∴ 𝑠𝑒𝑛 60° = 2 2 Lei dos cossenos a² = b² + c² - 2.b.c.cosA b² = a² + c² - 2.a.c.cosB c² = a² + b² - 2.a.b.cosC Exemplo: Analise o esquema abaixo: Se optarmos pelo bombeamento da água direto para a casa, quantos metros de cano seriam gastos? . 231 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  x² = 50² + 80² - 2*50*80*cos60º x² = 2500 + 6400 – 8000*0,5 x² = 8900 – 4000 x² = 4900 x = 70 m Seriam gastos 70 metros de cano. Questões 01. Em um triângulo, os lados de medidas 6√3 cm e 8 cm formam um ângulo de 30º. Determine a medida do terceiro lado. 02. Determine o valor do lado oposto ao ângulo de 60º. Observe figura a seguir: 03. No triângulo abaixo, pede-se determinar o valor de x: Respostas 01. De acordo com a situação, o lado a ser determinado é oposto ao ângulo de 30º. Dessa forma, aplicamos a fórmula da lei dos cossenos da seguinte maneira: x² = (6√3)² + 8² - 2 * 6√3 * 8 * cos 30º x² = 36 * 3 + 64 – 2 * 6√3 * 8 * √3/2 x² = 108 + 64 – 96 * √3 * √3/2 x² = 172 – 48 * 3 x² = 172 – 144 x² = 28 x = 2√7 cm . 232 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  02. Pela lei dos cossenos x² = 6² + 8² - 2 * 6 * 8 * cos 60º x² = 36 + 64 – 96 * 1/2 x² = 100 – 48 → x² = 52 → √x² = √52 → x = 2√13 03. Pela lei dos senos: 𝑥 8 = 𝑠𝑒𝑛45° 𝑠𝑒𝑛30° 𝑥. 𝑠𝑒𝑛30° = 8. 𝑠𝑒𝑛45° 1 √2 𝑥. = 8. 2 2 𝑥 = 8√2 𝑐𝑚 CICLO TRIGONOMÉTRICO Dada uma circunferência trigonométrica contendo o ponto A=(1,0) e um número real x, existe sempre um arco orientado AM sobre esta circunferência, cuja medida algébrica corresponde a x radianos. Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferência trigonométrica, de centro em (0,0) e raio unitário. Seja M=(x',y') um ponto desta circunferência, localizado no primeiro quadrante, este ponto determina um arco AM que corresponde ao ângulo central a. A projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OX determina um ponto C=(x',0) e a projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OY determina outro ponto B=(0,y'). A medida do segmento OB coincide com a ordenada y' do ponto M e é definida como o seno do arco AM que corresponde ao ângulo a, denotado por sen(AM) ou sen(a). Como temos várias determinações para o mesmo ângulo, escreveremos sen(AM)=sen(a)=sen(a+2k )=y' Para simplificar os enunciados e definições seguintes, escreveremos sen(x) para denotar o seno do arco de medida x radianos. Cosseno: O cosseno do arco AM correspondente ao ângulo a, denotado por cos(AM) ou cos(a), é a medida do segmento 0C, que coincide com a abscissa x' do ponto M. Como antes, existem várias determinações para este ângulo, razão pela qual, escrevemos cos(AM) = cos(a) = cos(a+2k ) = x' . 233 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Tangente Seja a reta t tangente à circunferência trigonométrica no ponto A=(1,0). Tal reta é perpendicular ao eixo OX. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta tangente t no ponto T=(1,t'). A ordenada deste ponto T, é definida como a tangente do arco AM correspondente ao ângulo a. Assim a tangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações: tan(AM) = tan(a) = tan(a+k ) = µ(AT) = t' Podemos escrever M=(cos(a),sen(a)) e T=(1,tan(a)), para cada ângulo a do primeiro quadrante. O seno, o cosseno e a tangente de ângulos do primeiro quadrante são todos positivos. Um caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo horizontal OX. Neste caso: cos(0)=1, sen(0)=0 e tan(0)=0 Ampliaremos estas noções para ângulos nos outros quadrantes Ângulos no segundo quadrante Se na circunferência trigonométrica, tomamos o ponto M no segundo quadrante, então o ângulo a entre o eixo OX e o segmento OM pertence ao intervalo /2<a< . Do mesmo modo que no primeiro quadrante, o cosseno está relacionado com a abscissa do ponto M e o seno com a ordenada deste ponto. Como o ponto M=(x,y) possui abscissa negativa e ordenada positiva, o sinal do seno do ângulo a no segundo quadrante é positivo, o cosseno do ângulo a é negativo e a tangente do ângulo a é negativa. Outro caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo vertical OY e neste caso: cos( /2)=0 e sen( /2)=1 A tangente não está definida, pois a reta OM não intercepta a reta t, pois elas são paralelas. Ângulos no terceiro quadrante O ponto M=(x,y) está localizado no terceiro quadrante, o que significa que o ângulo pertence ao intervalo: <a<3 /2. Este ponto M=(x,y) é simétrico ao ponto M'=(-x,-y) do primeiro quadrante, em relação à origem do sistema, indicando que tanto a sua abscissa como a sua ordenada são negativos. O seno e o cosseno de um ângulo no terceiro quadrante são negativos e a tangente é positiva. Em particular, se a= radianos, temos que cos( )=-1, sen( )=0 e tg( )=0 Ângulos no quarto quadrante O ponto M está no quarto quadrante, 3 /2<a< 2 . O seno de ângulos no quarto quadrante é negativo, o cosseno é positivo e a tangente é negativa. . 234 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Quando o ângulo mede 3 /2, a tangente não está definida pois a reta OP não intercepta a reta t, estas são paralelas. Quando a=3 /2, temos: cos(3 /2)=0, sen(3 /2)=-1 Simetria em relação ao eixo OX Em uma circunferência trigonométrica, se M é um ponto no primeiro quadrante e M' o simétrico de M em relação ao eixo OX, estes pontos M e M' possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais opostos. Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM', obtemos: sen(a) = - sen(b) cos(a) = cos(b) tg(a) = - tg(b) Simetria em relação ao eixo OY Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M' simétrico a M em relação ao eixo OY, estes pontos M e M' possuem a mesma ordenada e as abscissa são simétricas. Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM'. Desse modo: sen(a) = sen(b) cos(a) = - cos(b) tg(a) = - tg(b) Simetria em relação à origem Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M' simétrico de M em relação a origem, estes pontos M e M' possuem ordenadas e abscissas simétricas. . 235 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo correspondente ao arco AM'. Desse modo: sen(a) = -sen(b) cos(a) = - cos(b) tg(a) = tg(b) Senos e cossenos de alguns ângulos notáveis Uma maneira de obter o valor do seno e cosseno de alguns ângulos que aparecem com muita frequência em exercícios e aplicações, sem necessidade de memorização, é através de simples observação no círculo trigonométrico. Primeira relação fundamental Uma identidade fundamental na trigonometria, que realiza um papel muito importante em todas as áreas da Matemática e também das aplicações é: sin²(a) + cos²(a) = 1 que é verdadeira para todo ângulo a. Necessitaremos do conceito de distância entre dois pontos no plano cartesiano, que nada mais é do que a relação de Pitágoras. Sejam dois pontos, A=(x',y') e B=(x",y"). Definimos a distância entre A e B, denotando-a por d(A,B), como: Se M é um ponto da circunferência trigonométrica, cujas coordenadas são indicadas por (cos(a),sen(a)) e a distância deste ponto até a origem (0,0) é igual a 1. Utilizando a fórmula da distância, aplicada a estes pontos, d(M,0)=[(cos(a)-0)²+(sen(a)-0)²]1/2, de onde segue que 1=cos²(a)+sin²(a). . 236 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Segunda relação fundamental Outra relação fundamental na trigonometria, muitas vezes tomada como a definição da função tangente, é dada por: sen(a) tg(a) = cos(a) Deve ficar claro, que este quociente somente fará sentido quando o denominador não se anular. Se a=0, a= ou a=2 , temos que sen(a)=0, implicando que tg(a)=0, mas se a= /2 ou a=3 /2, segue que cos(a)=0 e a divisão acima não tem sentido, assim a relação tg(a)=sen(a)/cos(a) não é verdadeira para estes últimos valores de a. Para a 0, a , a 2 , a /2 e a 3 /2, considere novamente a circunferência trigonométrica na figura seguinte. Os triângulos OMN e OTA são semelhantes, logo: AT OA = MN ON Como AT=|tg(a)|, MN=|sen(a)|, AO = 1 e ON = |cos(a)|, para todo ângulo a, 0 < a < 2 com a /2 ea 3 /2 temos sen(a) tg(a) = cos(a) Seno, cosseno e tangente da soma e da diferença Na circunferência trigonométrica, sejam os ângulos a e b com 0<a<2 e 0<b<2 , a>b, então; sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b) cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos: sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b) tg(a+b)= cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b) Dividindo todos os quatro termos da fração por cos(a)cos(b), segue a fórmula: tg(a) + tg(b) tg(a+b)= 1 - tg(a)tg(b) . 237 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Como sen(a-b) = sen(a)cos(b) - cos(a)sen(b) cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b) podemos dividir a expressão de cima pela de baixo, para obter: tg(a) - tg(b) tg(a-b)= 1 + tg(a)tg(b) Arcos côngruos (ou congruentes) Os arcos no círculo trigonométrico possuem origem e extremidade. Uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde a 360º ou 2π rad. mas nem todos os arcos possuem o mesmo comprimento, pois eles podem ter número de voltas completas diferentes. Com isso podemos definir que: 1º quadrante: abscissa positiva e ordenada positiva → 0º < α < 90º. 2º quadrante: abscissa negativa e ordenada positiva → 90º < α < 180º. 3º quadrante: abscissa negativa e ordenada negativa → 180º < α < 270º. 4º quadrante: abscissa positiva e ordenada negativa → 270º < α < 360º. Dois arcos são côngruos (ou congruentes) quando têm a mesma extremidade e diferem entre si apenas pelo número de voltas inteiras. Uma regra prática e eficiente para determinar se dois arcos são côngruos consiste em verificar se a diferença entre eles é um número divisível ou múltiplo de 360º, isto é, a diferença entre as medidas dos arcos dividida por 360º precisa ter resto igual a zero. Exemplo: Verificar se os arcos de medidas 6230º e 8390º são côngruos. 8390º – 6230º = 2160 2160º / 360º = 6 e resto igual a zero. Portanto, os arcos medindo 6230º e 8390º são côngruos. De maneira geral: a) Se um arco mede α graus, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por αº + k.360º, com k ϵ Z. b) Se um arco mede α radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por α + 2kπ, com k ϵ Z. Exemplos: 1) Um móvel partindo do ponto A, origem dos arcos, percorreu um arco de 1690°. Quantas voltas completas deu e qual quadrante parou? . 238 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Logo, o móvel deu 4 voltas completas no sentido anti-horário. Como 180º < 250º < 270º, o móvel parou no 3º quadrante. 2) Verifique se são côngruos os seguintes arcos: 22π/5 rad e 52π/5 rad. 22𝜋 5 = 22 = 20 + 2 = 2 + 1 2𝜋 10 10 10 5 22𝜋 1 2𝜋 2𝜋 = (2 + ) . 2𝜋 = 4𝜋 + = 2.2𝜋 + 5 5 5 5 52𝜋 5 = 52 = 50 + 2 = 5 + 1 2𝜋 10 10 10 5 52𝜋 1 2𝜋 2𝜋 = (5 + ) . 2𝜋 = 10𝜋 + = 5.2𝜋 + 5 5 5 5 2𝜋 Os arcos são côngruos, pois ambos são expressos pela forma + 2𝑘𝜋. 5 Conjuntos numéricos. CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS - N O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que estes números. Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto como: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números. Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} . 239 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Subconjuntos notáveis em N: 1 – Números Naturais não nulos N* ={1,2,3,4,...,n,...}; N* = N-{0} 2 – Números Naturais pares Np = {0,2,4,6,...,2n,...}; com n ∈ N 3 - Números Naturais ímpares Ni = {1,3,5,7,...,2n+1,...} com n ∈ N 4 - Números primos P={2,3,5,7,11,13...} A construção dos Números Naturais - Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero. Exemplos: Seja m um número natural. a) O sucessor de m é m+1. b) O sucessor de 0 é 1. c) O sucessor de 3 é 4. - Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos. Exemplos: a) 1 e 2 são números consecutivos. b) 7 e 8 são números consecutivos. c) 50 e 51 são números consecutivos. - Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente. Exemplos: a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos. b) 7, 8 e 9 são consecutivos. c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos. - Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado). Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero. a) O antecessor do número m é m-1. b) O antecessor de 2 é 1. c) O antecessor de 56 é 55. d) O antecessor de 10 é 9. O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma sequência real seja outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares: P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamados, a sequência dos números ímpares. I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...} Operações com Números Naturais Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação. - Adição de Números Naturais A primeira operação fundamental da Aritmética tem por finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. . 240 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Exemplo: 5 + 4 = 9, onde 5 e 4 são as parcelas e 9 soma ou total -Subtração de Números Naturais É usada quando precisamos tirar uma quantia de outra, é a operação inversa da adição. A operação de subtração só é válida nos naturais quando subtraímos o maior número do menor, ou seja quando a-b tal que a≥ 𝑏. Exemplo: 254 – 193 = 61, onde 254 é o Minuendo, o 193 Subtraendo e 061 a diferença. Obs.: o minuendo também é conhecido como aditivo e o subtraendo como subtrativo. - Multiplicação de Números Naturais É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominadas multiplicador. Exemplo: 2 x 5 = 10, onde 2 e 5 são os fatores e o 10 produto. - 2 vezes 5 é somar o número 2 cinco vezes: 2 x 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10. Podemos no lugar do “x” (vezes) utilizar o ponto “. “, para indicar a multiplicação). - Divisão de Números Naturais Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo. No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata. Relações essenciais numa divisão de números naturais: - Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo. 35 : 7 = 5 - Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente. 35 = 5 x 7 - A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderíamos escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível. Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Naturais Para todo a, b e c ∈ 𝑁 1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 2) Comutativa da adição: a + b = b + a 3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a 4) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c) 5) Comutativa da multiplicação: a.b = b.a 6) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a 7) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac 8) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab –ac . 241 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  9) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, continua como resultado um número natural. Questões 01. (SABESP – APRENDIZ – FCC/2012) A partir de 1º de março, uma cantina escolar adotou um sistema de recebimento por cartão eletrônico. Esse cartão funciona como uma conta corrente: coloca-se crédito e vão sendo debitados os gastos. É possível o saldo negativo. Enzo toma lanche diariamente na cantina e sua mãe credita valores no cartão todas as semanas. Ao final de março, ele anotou o seu consumo e os pagamentos na seguinte tabela: No final do mês, Enzo observou que tinha (A) crédito de R$ 7,00. (B) débito de R$ 7,00. (C) crédito de R$ 5,00. (D) débito de R$ 5,00. (E) empatado suas despesas e seus créditos. 02. (PREF. IMARUI/SC – AUXILIAR DE SERVIÇOS GERAIS - PREF. IMARUI/2014) José, funcionário público, recebe salário bruto de R$ 2.000,00. Em sua folha de pagamento vem o desconto de R$ 200,00 de INSS e R$ 35,00 de sindicato. Qual o salário líquido de José? (A) R$ 1800,00 (B) R$ 1765,00 (C) R$ 1675,00 (D) R$ 1665,00 03. (Professor/Pref.de Itaboraí) O quociente entre dois números naturais é 10. Multiplicando-se o dividendo por cinco e reduzindo-se o divisor à metade, o quociente da nova divisão será: (A) 2 (B) 5 (C) 25 (D) 50 (E) 100 04. (PREF. ÁGUAS DE CHAPECÓ – OPERADOR DE MÁQUINAS – ALTERNATIVE CONCURSOS) Em uma loja, as compras feitas a prazo podem ser pagas em até 12 vezes sem juros. Se João comprar uma geladeira no valor de R$ 2.100,00 em 12 vezes, pagará uma prestação de: (A) R$ 150,00. (B) R$ 175,00. (C) R$ 200,00. (D) R$ 225,00. 05. PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Ontem, eu tinha 345 bolinhas de gude em minha coleção. Porém, hoje, participei de um campeonato com meus amigos e perdi 67 bolinhas, mas ganhei outras 90. Sendo assim, qual a quantidade de bolinhas que tenho agora, depois de participar do campeonato? (A) 368 (B) 270 (C) 365 (D) 290 (E) 376 . 242 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  06. (Pref. Niterói) João e Maria disputaram a prefeitura de uma determinada cidade que possui apenas duas zonas eleitorais. Ao final da sua apuração o Tribunal Regional Eleitoral divulgou a seguinte tabela com os resultados da eleição. A quantidade de eleitores desta cidade é: 1ª Zona 2ª Zona Eleitoral Eleitoral João 1750 2245 Maria 850 2320 Nulos 150 217 Brancos 18 25 Abstenções 183 175 (A) 3995 (B) 7165 (C) 7532 (D) 7575 (E) 7933 07. (PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Durante um mutirão para promover a limpeza de uma cidade, os 15.000 voluntários foram igualmente divididos entre as cinco regiões de tal cidade. Sendo assim, cada região contou com um número de voluntários igual a: (A) 2500 (B) 3200 (C) 1500 (D) 3000 (E) 2000 08. EBSERH/HU-UFGD – Técnico em Informática – AOCP/2014) Joana pretende dividir um determinado número de bombons entre seus 3 filhos. Sabendo que o número de bombons é maior que 24 e menor que 29, e que fazendo a divisão cada um dos seus 3 filhos receberá 9 bombons e sobrará 1 na caixa, quantos bombons ao todo Joana possui? (A) 24. (B) 25. (C) 26. (D) 27. (E) 28 09. (CREFITO/SP – ALMOXARIFE – VUNESP/2012) O sucessor do dobro de determinado número é 23. Esse mesmo determinado número somado a 1 e, depois, dobrado será igual a (A) 24. (B) 22. (C) 20. (D) 18. (E) 16. 10. (Prefeitura Municipal de Ribeirão Preto/SP – Agente de Administração – VUNESP/2014) Em uma gráfica, a máquina utilizada para imprimir certo tipo de calendário está com defeito, e, após imprimir 5 calendários perfeitos (P), o próximo sai com defeito (D), conforme mostra o esquema. Considerando que, ao se imprimir um lote com 5 000 calendários, os cinco primeiros saíram perfeitos e o sexto saiu com defeito e que essa mesma sequência se manteve durante toda a impressão do lote, é correto dizer que o número de calendários perfeitos desse lote foi (A) 3 642. (B) 3 828. (C) 4 093. (D) 4 167. (E) 4 256. . 243 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Respostas 01. Resposta: B. Crédito: 40 + 30 + 35 + 15 = 120 Débito: 27 + 33 + 42 + 25 = 127 120 – 127 = - 7 → Ele tem um débito de R$ 7,00. 02. Resposta: B. 2000 – 200 = 1800 – 35 = 1765 O salário líquido de José é R$ 1.765,00. 03. Resposta: E. D= dividendo d= divisor Q = quociente = 10 R= resto = 0 (divisão exata) Equacionando: D = d.Q + R D = d.10 + 0  D = 10d Pela nova divisão temos: 𝑑 𝑑 5𝐷 = 2 . 𝑄 → 5. (10𝑑) = 2 . 𝑄 , isolando Q temos: 50𝑑 2 𝑄= → 𝑄 = 50𝑑. → 𝑄 = 50.2 → 𝑄 = 100 𝑑 𝑑 2 04. Resposta: B. 2100 12 = 175 Cada prestação será de R$175,00 05. Resposta: A. 345 – 67 = 278 Depois ganhou 90 278 + 90 = 368 06. Resposta: E. Vamos somar a 1ª Zona: 1750 + 850 + 150 + 18 + 183 = 2951 2ª Zona: 2245 + 2320 + 217 + 25 + 175 = 4982 Somando os dois: 2951 + 4982 = 7933 07. Resposta: D. 15000 = 3000 5 Cada região terá 3000 voluntários. 08. Resposta: E. Sabemos que 9. 3 = 27 e que, para sobrar 1, devemos fazer 27 + 1 = 28. 09. Resposta: A. Se o sucessor é 23, o dobro do número é 22, portanto o número é 11. (11 + 1)2 = 24 10. Resposta: D. Vamos dividir 5000 pela sequência repetida (6): 5000 / 6 = 833 + resto 2. Isto significa que saíram 833. 5 = 4165 calendários perfeitos, mais 2 calendários perfeitos que restaram na conta de divisão. Assim, são 4167 calendários perfeitos. . 244 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS – Z Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4,..., n,...}, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen = número em alemão). O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos notáveis: - O conjunto dos números inteiros não nulos: Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}; Z* = Z – {0} - O conjunto dos números inteiros não negativos: Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...} Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N - O conjunto dos números inteiros positivos: Z*+ = {1, 2, 3, 4,...} - O conjunto dos números inteiros não positivos: Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} - O conjunto dos números inteiros negativos: Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1} Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por | |. O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0 O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7 O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9 O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo. Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem. Exemplo: O oposto do número 3 é -3, e o oposto de -3 é 3, pois 3 + (-3) = (-3) + 3 = 0 No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e vice-versa; particularmente o oposto de zero é o próprio zero. Adição de Números Inteiros Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a ideia de ganhar e aos números inteiros negativos a ideia de perder. . 245 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+ 5) + (+ 3) = (+8) Perder 3 + perder 4 = perder 7 (- 3) + (- 4) = (- 7) Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+ 8) + (- 5) = (+ 3) Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (- 8) + (+ 5) = (- 3) O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do número negativo nunca pode ser dispensado. Subtração de Números Inteiros A subtração é empregada quando: - Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade; - Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra; - Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra. A subtração é a operação inversa da adição. Observe que em uma subtração o sinal do resultado é sempre do maior número!!! 4+5=9 4 – 5 = -1 Considere as seguintes situações: 1 - Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a variação da temperatura? Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3 2 - Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira? Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3 Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+6) + (–3). Temos: (+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3 (+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3 (–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3 Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo. Fique Atento: todos parênteses, colchetes, chaves, números, ..., entre outros, precedidos de sinal negativo, tem o seu sinal invertido, ou seja, é dado o seu oposto. Multiplicação de Números Inteiros A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e está repetição pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60 Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos. Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras. Divisão de Números Inteiros . 246 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  - Divisão exata de números inteiros. Veja o cálculo: (– 20): (+ 5) = q  (+ 5) . q = (– 20)  q = (– 4) Logo: (– 20): (+ 5) = - 4 Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. Exemplo: (+7): (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem ser realizadas em Z, pois o resultado não é um número inteiro. - No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade da existência do elemento neutro. - Não existe divisão por zero. - Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, é zero, pois o produto de qualquer número inteiro por zero é igual a zero. Exemplo: 0: (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0 Regra de Sinais da Multiplicação e Divisão: → Sinais iguais (+) (+); (-) (-) = resultado sempre positivo. → Sinais diferentes (+) (-); (-) (+) = resultado sempre negativo. Potenciação de Números Inteiros A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.an = a x a x a x a x ... x a , a é multiplicado por a n vezes Exemplos: 33 = (3) x (3) x (3) = 27 (-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125 (-7)² = (-7) x (-7) = 49 (+9)² = (+9) x (+9) = 81 - Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo. Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9 - Toda potência de base negativa e expoente par é um número inteiro positivo. Exemplo: (– 8)2 = (–8) . (–8) = +64 - Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo. Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125 - Propriedades da Potenciação: 1) Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. (–7)3 . (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9 2) Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. (- 13)8 : (-13)6 = (-13)8 – 6 = (-13)2 3) Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. [(-8)5]2 = (-8)5 . 2 = (-8)10 4) Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (-8)1 = -8 e (+70)1 = +70 5) Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1. Exemplo: (+3)0 = 1 e (–53)0 = 1 . 247 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Radiciação de Números Inteiros A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a. Atenção: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de: 9 = ± 3, mas isto está errado. O certo é: 9 = +3 Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo. A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos. Exemplos: 3 (a) 8 = 2, pois 2³ = 8. (b) 3 8 = –2, pois (–2)³ = -8. 3 (c) 27 = 3, pois 3³ = 27. (d) 3  27 = –3, pois (–3)³ = -27. Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que: (1) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo. (2) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro. Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Inteiros Para todo a, b e c ∈ 𝑍 1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 2) Comutativa da adição: a + b = b +a 3) Elemento neutro da adição : a + 0 = a 4) Elemento oposto da adição: a + (-a) = 0 5) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c) 6) Comutativa da multiplicação : a.b = b.a 7) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a 8) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac 9) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab –ac 10) Elemento inverso da multiplicação: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z –1 = 1/z em Z, tal que, z x z–1 = z x (1/z) = 1 11) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, continua como resultado um número natural. Questões 01 (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE EDUCACIONAL – VUNESP/2013) Para zelar pelos jovens internados e orientá-los a respeito do uso adequado dos materiais em geral e dos recursos utilizados em atividades educativas, bem como da preservação predial, realizou-se uma dinâmica elencando “atitudes positivas” e “atitudes negativas”, no entendimento dos elementos do grupo. Solicitou-se que cada um classificasse suas atitudes como positiva ou negativa, atribuindo (+4) pontos a cada atitude positiva e (- . 248 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  1) a cada atitude negativa. Se um jovem classificou como positiva apenas 20 das 50 atitudes anotadas, o total de pontos atribuídos foi (A) 50. (B) 45. (C) 42. (D) 36. (E) 32. 02. (UEM/PR – AUXILIAR OPERACIONAL – UEM/2014) Ruth tem somente R$ 2.200,00 e deseja gastar a maior quantidade possível, sem ficar devendo na loja. Verificou o preço de alguns produtos: TV: R$ 562,00 DVD: R$ 399,00 Micro-ondas: R$ 429,00 Geladeira: R$ 1.213,00 Na aquisição dos produtos, conforme as condições mencionadas, e pagando a compra em dinheiro, o troco recebido será de: (A) R$ 84,00 (B) R$ 74,00 (C) R$ 36,00 (D) R$ 26,00 (E) R$ 16,00 03. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO/2013) Multiplicando-se o maior número inteiro menor do que 8 pelo menor número inteiro maior do que - 8, o resultado encontrado será (A) - 72 (B) - 63 (C) - 56 (D) - 49 (E) – 42 04. (SEPLAG - POLÍCIA MILITAR/MG - ASSISTENTE ADMINISTRATIVO - FCC/2012) Em um jogo de tabuleiro, Carla e Mateus obtiveram os seguintes resultados: Carla Mateus 1ª Partida Ganhou 520 pontos 1ª Partida Perdeu 280 pontos 2ª Partida Perdeu 220 pontos 2ª Partida Ganhou 675 pontos 3ª Partida Perdeu 485 pontos 3ª Partida Ganhou 295 pontos 4ª partida Ganhou 635 pontos 4ª partida Perdeu 115 pontos Ao término dessas quatro partidas, (A) Carla perdeu por uma diferença de 150 pontos. (B) Mateus perdeu por uma diferença de 175 pontos. (C) Mateus ganhou por uma diferença de 125 pontos. (D) Carla e Mateus empataram. 05. (PREFEITURA DE PALMAS/TO – TÉCNICO ADMINISTRATIVO EDUCACIONAL – COPESE - UFT/2013) Num determinado estacionamento da cidade de Palmas há vagas para carros e motos. Durante uma ronda dos agentes de trânsito, foi observado que o número total de rodas nesse estacionamento era de 124 (desconsiderando os estepes dos veículos). Sabendo que haviam 12 motos no estacionamento naquele momento, é CORRETO afirmar que estavam estacionados: (A) 19 carros (B) 25 carros (C) 38 carros (D) 50 carros 06. (CASA DA MOEDA) O quadro abaixo indica o número de passageiros num voo entre Curitiba e Belém, com duas escalas, uma no Rio de Janeiro e outra em Brasília. Os números positivos indicam a . 249 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  quantidade de passageiros que subiram no avião e os negativos, a quantidade dos que desceram em cada cidade. Curitiba +240 Rio de Janeiro -194 +158 Brasília -108 +94 O número de passageiros que chegou a Belém foi: (A) 362 (B) 280 (C) 240 (D) 190 (E) 135 07. (Pref.de Niterói) As variações de temperatura nos desertos são extremas. Supondo que durantes o dia a temperatura seja de 45ºC e à noite seja de -10ºC, a diferença de temperatura entre o dia e noite, em ºC será de: (A) 10 (B) 35 (C) 45 (D) 50 (E) 55 08. (Pref.de Niterói) Um trabalhador deseja economizar para adquirir a vista uma televisão que custa R$ 420,00. Sabendo que o mesmo consegue economizar R$ 35,00 por mês, o número de meses que ele levará para adquirir a televisão será: (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 15 09. (Pref.de Niterói) Um estudante empilhou seus livros, obtendo uma única pilha 52cm de altura. Sabendo que 8 desses livros possui uma espessura de 2cm, e que os livros restantes possuem espessura de 3cm, o número de livros na pilha é: (A) 10 (B) 15 (C) 18 (D) 20 (E) 22 10. (FINEP – Assistente – Apoio administrativo – CESGRANRIO/2014) Um menino estava parado no oitavo degrau de uma escada, contado a partir de sua base (parte mais baixa da escada). A escada tinha 25 degraus. O menino subiu mais 13 degraus. Logo em seguida, desceu 15 degraus e parou novamente. A quantos degraus do topo da escada ele parou? (A) 8 (B) 10 (C) 11 (D) 15 (E) 19 Respostas 01. Resposta: A. 50-20=30 atitudes negativas 20.4=80 → 30.(-1)=-30 → 80-30=50 . 250 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  02. Resposta: D. Geladeira + Micro-ondas + DVD = 1213 + 429 + 399 = 2041 Geladeira + Micro-ondas + TV = 1213 + 429 + 562 = 2204, extrapola o orçamento Geladeira + TV + DVD = 1213 + 562 + 399 = 2174, é a maior quantidade gasta possível dentro do orçamento. Troco:2200 – 2174 = 26 reais 03. Resposta: D. Maior inteiro menor que 8 é o 7 Menor inteiro maior que - 8 é o - 7. Portanto: 7(- 7) = - 49 04. Resposta: C. Carla: 520 – 220 – 485 + 635 = 450 pontos Mateus: - 280 + 675 + 295 – 115 = 575 pontos Diferença: 575 – 450 = 125 pontos 05. Resposta: B. Moto: 2 rodas Carro: 4 12.2=24 124-24=100 100/4=25 carros 06. Resposta: D. 240 - 194 + 158 - 108 + 94 = 190 07. Resposta: E. 45 – (- 10) = 55 08. Resposta: D. 420 : 35 = 12 meses 09. Resposta: D. São 8 livros de 2 cm: 8.2 = 16 cm Como eu tenho 52 cm ao todo e os demais livros tem 3 cm, temos: 52 - 16 = 36 cm de altura de livros de 3 cm 36 : 3 = 12 livros de 3 cm O total de livros da pilha: 8 + 12 = 20 livros ao todo. 10. Resposta: E. 8 + 13 = 21 21– 15 = 6 25 – 6 = 19 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q m Um número racional é o que pode ser escrito na forma , onde m e n são números inteiros, sendo n que n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação: m Q = { : m e n em Z, n diferente de zero} n . 251 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos: - Q* = conjunto dos racionais não nulos; - Q+ = conjunto dos racionais não negativos; - Q*+ = conjunto dos racionais positivos; - Q _ = conjunto dos racionais não positivos; - Q*_ = conjunto dos racionais negativos. Representação Decimal das Frações p Tomemos um número racional , tal que p não seja múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, q basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos: 2 = 0,4 5 1 = 0,25 4 35 = 8,75 4 153 = 3,06 50 2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo- se periodicamente Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas: 1 = 0,333... 3 1 = 0,04545... 22 167 = 2,53030... 66 Existem frações muito simples que são representadas por formas decimais infinitas, com uma característica especial: existe um período. Aproveitando o exemplo acima temos 0,333... = 3. 1/101 + 3 . 1/102 + 3 . 1/103 + 3 . 1/104 ... Representação Fracionária dos Números Decimais Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos: . 252 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado: 9 0,9 = 10 57 5,7 = 10 76 0,76 = 100 348 3,48 = 100 5 1 0,005 = = 1000 200 2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos: Exemplos: 1) Seja a dízima 0, 333.... Veja que o período que se repete é apenas 1(formado pelo 3)  então vamos colocar um 9 no denominador e repetir no numerador o período. 3 Assim, a geratriz de 0,333... é a fração . 9 2) Seja a dízima 5, 1717.... O período que se repete é o 17, logo dois noves no denominador (99). Observe também que o 5 é a parte inteira, logo ele vem na frente: 17 512 5 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 → (5.99 + 17) = 512, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 99 99 512 Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração . 99 Neste caso para transformarmos uma dízima periódica simples em fração basta utilizarmos o dígito 9 no denominador para cada quantos dígitos tiver o período da dízima. 3) Seja a dízima 1, 23434... O número 234 é a junção do ante período com o período. Neste caso temos um dízima periódica é composta, pois existe uma parte que não se repete e outra que se repete. Neste caso temos um ante período (2) e o período (34). Ao subtrairmos deste número o ante período(234-2), obtemos 232, o numerador. O denominador é formado por tantos dígitos 9 – que correspondem ao período, neste caso 99(dois noves) – e pelo dígito 0 – que correspondem a tantos dígitos tiverem o ante período, neste caso 0(um zero). . 253 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  232 1222 1 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 − 𝑎 → (1.990 + 232) = 1222, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 990 990 611 Simplificando por 2, obtemos x = , a fração geratriz da dízima 1, 23434... 495 Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa zero. Exemplos: 3 3 3 3 1) Módulo de – é . Indica-se  = 2 2 2 2 3 3 3 3 2) Módulo de + é . Indica-se  = 2 2 2 2 3 3 Números Opostos: Dizemos que – e são números racionais opostos ou simétricos e cada um 2 2 3 3 deles é o oposto do outro. As distâncias dos pontos – e ao ponto zero da reta são iguais. 2 2 Inverso de um Número Racional 𝒂 −𝒏 𝒃 𝒏 ( ) ,𝒂 ≠ 𝟎 = ( ) ,𝒃 ≠ 𝟎 𝒃 𝒂 Representação geométrica dos Números Racionais Observa-se que entre dois inteiros consecutivos existem infinitos números racionais. Soma (Adição) de Números Racionais Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a a c adição entre os números racionais e , da mesma forma que a soma de frações, através de: b d a c ad  bc + = b d bd Subtração de Números Racionais A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto de q, isto é: p – q = p + (–q) . 254 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  a c ad  bc - = b d bd Multiplicação (Produto) de Números Racionais Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o a c produto de dois números racionais e , da mesma forma que o produto de frações, através de: b d a c ac x = b d bd O produto dos números racionais a/b e c/d também pode ser indicado por a/b × c/d, a/b.c/d . Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática: Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo. (+1) x (+1) = (+1) (+1) x (-1) = (-1) (-1) x (+1) = (-1) (-1) x (-1) = (+1)  Propriedades da Adição e Multiplicação de Números Racionais 1) Fechamento: O conjunto Q é fechado para a operação de adição e multiplicação, isto é, a soma e a multiplicação de dois números racionais ainda é um número racional. 2) Associativa da adição: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c 3) Comutativa da adição: Para todos a, b em Q: a + b = b + a 4) Elemento neutro da adição: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q + 0 = q 5) Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que q + (–q) = 0 6) Associativa da multiplicação: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c 7) Comutativa da multiplicação: Para todos a, b em Q: a × b = b × a 8) Elemento neutro da multiplicação: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q × 1 = q a 9) Elemento inverso da multiplicação: Para todo q = em Q, q diferente de zero, existe : b b a b q-1 = em Q: q × q-1 = 1 x =1 a b a 10) Distributiva da multiplicação: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )  Divisão(Quociente) de Números Racionais A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: p ÷ q = p × q-1 𝒂 𝒄 𝒂 𝒅 : = . 𝒃 𝒅 𝒃 𝒄 Potenciação de Números Racionais A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente. qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes) Exemplos:  2 2 2 2 3 8 a)   =  .  .  =  5   5   5   5  125 . 255 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA   1   1   1   1  3 1 b)    =   .   .  =   2  2  2  2 8 - Propriedades da Potenciação: 1) Toda potência com expoente 0 é igual a 1. 0  2   = 1  5 2) Toda potência com expoente 1 é igual à própria base. 1  9 9   =   4 4 3) Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente anterior. 2 2  3  5 25   =   =  5  3 9 4) Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base.  2 2 2 2 3 8   =  .  .  =  3   3   3   3  27 5) Toda potência com expoente par é um número positivo.  1   1   1  2 1   =   .   =  5      25 5 5 6) Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e somamos os expoentes. 2 3 23 5  2  2  2 2 2 2 2  2 2   .   =  . . . .        5  5   5 5 5 5 5  5 5 7) Quociente de potências de mesma base. Para reduzir um quociente de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e subtraímos os expoentes. 3 3 3 3 3 5 2 . . . . 5 2 3 3 3 2 2 2 2 2 3 3   :       2 2 3 3 . 2 2 2 2 8) Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes. 3 3  1  2  2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 3 2 1 6  1  2  1 3.2 1 6       .  .           ou           2   2 2 2 2 2 2  2   2 2 Radiciação de Números Racionais Se um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais, então cada fator é chamado raiz do número. Exemplos: 2 1 1 1 1 1 1 1) Representa o produto . ou   .Logo, é a raiz quadrada de . 9 3 3 3 3 9 . 256 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  1 1 Indica-se = 9 3 2) 0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 3 0,216 = 0,6. Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número racional positivo. Logo, os números racionais negativos não têm raiz quadrada em Q. 100 10 10 O número  não tem raiz quadrada em Q, pois tanto  como  , quando elevados ao 9 3 3 100 quadrado, dão . 9 Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um quadrado perfeito. 2 O número não tem raiz quadrada em Q, pois não existe número racional que elevado ao quadrado 3 2 dê . 3 Questões 01. (PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Na escola onde estudo, ¼ dos alunos tem a língua portuguesa como disciplina favorita, 9/20 têm a matemática como favorita e os demais têm ciências como favorita. Sendo assim, qual fração representa os alunos que têm ciências como disciplina favorita? (A) 1/4 (B) 3/10 (C) 2/9 (D) 4/5 (E) 3/2 02. (UEM/PR – AUXILIAR OPERACIONAL – UEM/2014) Dirce comprou 7 lapiseiras e pagou R$ 8,30, em cada uma delas. Pagou com uma nota de 100 reais e obteve um desconto de 10 centavos. Quantos reais ela recebeu de troco? (A) R$ 40,00 (B) R$ 42,00 (C) R$ 44,00 (D) R$ 46,00 (E) R$ 48,00 03. (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE DE APOIO OPERACIONAL – VUNESP/2013) De um total de 180 candidatos, 2/5 estudam inglês, 2/9 estudam francês, 1/3estuda espanhol e o restante estuda alemão. O número de candidatos que estuda alemão é: (A) 6. (B) 7. (C) 8. (D) 9. (E) 10. 04. (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE DE APOIO OPERACIONAL – VUNESP/2013) Em um estado do Sudeste, um Agente de Apoio Operacional tem um salário mensal de: saláriobase R$ 617,16 e uma gratificação de R$ 185,15. No mês passado, ele fez 8 horas extras a R$ 8,50 cada hora, mas precisou faltar um dia e foi descontado em R$ 28,40. No mês passado, seu salário totalizou (A) R$ 810,81. (B) R$ 821,31. (C) R$ 838,51. (D) R$ 841,91. (E) R$ 870,31. . 257 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  05. (Pref. Niterói) Simplificando a expressão abaixo 3 1,3333…+ 2 Obtém-se 4 : 1,5+ 3 (A) ½ (B) 1 (C) 3/2 (D) 2 (E) 3 06. (SABESP – APRENDIZ – FCC/2012) Em um jogo matemático, cada jogador tem direito a 5 cartões marcados com um número, sendo que todos os jogadores recebem os mesmos números. Após todos os jogadores receberem seus cartões, aleatoriamente, realizam uma determinada tarefa que também é sorteada. Vence o jogo quem cumprir a tarefa corretamente. Em uma rodada em que a tarefa era colocar os números marcados nos cartões em ordem crescente, venceu o jogador que apresentou a sequência 14 (𝐴) − 4; −1; √16; √25; 3 14 (𝐵) − 1; −4; √16; ; √25 3 14 (𝐶) − 1; −4; ; √16; ; √25 3 14 (𝐷) − 4; −1; √16; ; √25 3 14 (𝐸 ) − 4; −1; ; √16; √25 3 07. (Sabesp/SP – Agente de Saneamento Ambiental – FCC/2014) Somando-se certo número positivo x ao numerador, e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da fração 2/3 obtém-se como resultado, o número 5. Sendo assim, x é igual a (A) 52/25. (B) 13/6. (C) 7/3. (D) 5/2. (E) 47/23. 08. (SABESP – APRENDIZ – FCC/2012) Mariana abriu seu cofrinho com 120 moedas e separou-as: − 1 real: ¼ das moedas − 50 centavos: 1/3 das moedas − 25 centavos: 2/5 das moedas − 10 centavos: as restantes Mariana totalizou a quantia contida no cofre em (A) R$ 62,20. (B) R$ 52,20. (C) R$ 50,20. (D) R$ 56,20. (E) R$ 66,20. 09. (PM/SE – SOLDADO 3ªCLASSE – FUNCAB/2014) Numa operação policial de rotina, que abordou 800 pessoas, verificou-se que 3/4 dessas pessoas eram homens e 1/5 deles foram detidos. Já entre as mulheres abordadas, 1/8 foram detidas. Qual o total de pessoas detidas nessa operação policial? (A) 145 (B) 185 (C) 220 (D) 260 (E) 120 10. (PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Quando perguntado sobre qual era a sua idade, o professor de matemática respondeu: . 258 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  “O produto das frações 9/5 e 75/3 fornece a minha idade!”. Sendo assim, podemos afirmar que o professor tem: (A) 40 anos. (B) 35 anos. (C) 45 anos. (D) 30 anos. (E) 42 anos. Respostas 01. Resposta: B. Somando português e matemática: 1 9 5 + 9 14 7 + = = = 4 20 20 20 10 O que resta gosta de ciências: 7 3 1− = 10 10 02. Resposta: B. 8,3 ∙ 7 = 58,1 Como recebeu um desconto de 10 centavos, Dirce pagou 58 reais Troco:100 – 58 = 42 reais 03. Resposta: C. 2 2 1 5 +9+3 Mmc(3,5,9)=45 18+10+15 43 45 = 45 O restante estuda alemão: 2/45 2 180 ∙ 45 = 8 04. Resposta: D. 𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙: 617,16 + 185,15 = 802,31 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑠: 8,5 ∙ 8 = 68 𝑚ê𝑠 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑑𝑜: 802,31 + 68,00 − 28,40 = 841,91 Salário foi R$ 841,91. 05. Resposta: B. 1,3333...= 12/9 = 4/3 1,5 = 15/10 = 3/2 4 3 17 + 3 2= 6 =1 3 4 17 2+3 6 06. Resposta: D. √16 = 4 √25 = 5 14 3 = 4,67 14 A ordem crescente é : −4; −1; √16; 3 ; √25 07. Resposta B. 2+𝑥 =5 3−𝑥 . 259 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  13 15 − 5𝑥 = 2 + 𝑥 → 6𝑥 = 13 → 𝑥 = 6 08. Resposta: A. 1 1 𝑟𝑒𝑎𝑙: 120 ∙ = 30 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 4 1 50 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠: 3 ∙ 120 = 40 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 2 25 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠: 5 ∙ 120 = 48 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 10 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠: 120 − 118 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 = 2 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 30 + 40 ∙ 0,5 + 48 ∙ 0,25 + 2 ∙ 0,10 = 62,20 Mariana totalizou R$ 62,20. 09. Resposta: A. 3 800 ∙ = 600 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 4 1 600 ∙ 5 = 120 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 Como 3/4 eram homens, 1/4 eram mulheres 1 800 ∙ 4 = 200 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠 ou 800-600=200 mulheres 1 200 ∙ = 25 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠 8 Total de pessoas detidas: 120+25=145 10. Resposta: C. 9 75 675 ∙ = = 45 𝑎𝑛𝑜𝑠 5 3 15 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS - I Os números racionais, são aqueles que podem ser escritos na forma de uma fração a/b onde a e b são dois números inteiros, com a condição de que b seja diferente de zero, uma vez que sabemos da impossibilidade matemática da divisão por zero. Vimos também, que todo número racional pode ser escrito na forma de um número decimal periódico, também conhecido como dízima periódica. Vejam os exemplos de números racionais a seguir: 3 / 4 = 0,75 = 0, 750000... - 2 / 3 = - 0, 666666... 1 / 3 = 0, 333333... 2 / 1 = 2 = 2, 0000... 4 / 3 = 1, 333333... - 3 / 2 = - 1,5 = - 1, 50000... 0 = 0, 000... Existe, entretanto, outra classe de números que não podem ser escritos na forma de fração a/b, conhecidos como números irracionais. Exemplo: O número real abaixo é um número irracional, embora pareça uma dízima periódica: x = 0,10100100010000100000... . 260 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta a cada passo. Existem infinitos números reais que não são dízimas periódicas e dois números irracionais muito importantes, são: e = 2,718281828459045..., Pi (𝜋) = 3,141592653589793238462643... Que são utilizados nas mais diversas aplicações práticas como: cálculos de áreas, volumes, centros de gravidade, previsão populacional, etc. Classificação dos Números Irracionais Existem dois tipos de números irracionais: - Números reais algébricos irracionais: são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Todo número real que pode ser representado através de uma quantidade finita de somas, subtrações, multiplicações, divisões e raízes de grau inteiro a partir dos números inteiros é um número algébrico, por exemplo: . A recíproca não é verdadeira: existem números algébricos que não podem ser expressos através de radicais, conforme o teorema de Abel-Ruffini. - Números reais transcendentes: não são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Várias constantes matemáticas são transcendentes, como pi ( ) e o número de Euler ( ). Pode-se dizer que existem mais números transcendentes do que números algébricos (a comparação entre conjuntos infinitos pode ser feita na teoria dos conjuntos). A definição mais genérica de números algébricos e transcendentes é feita usando-se números complexos. Identificação de números irracionais Fundamentado nas explanações anteriores, podemos afirmar que: - Todas as dízimas periódicas são números racionais. - Todos os números inteiros são racionais. - Todas as frações ordinárias são números racionais. - Todas as dízimas não periódicas são números irracionais. - Todas as raízes inexatas são números irracionais. - A soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional. - A diferença de dois números irracionais, pode ser um número racional. Exemplos: 1) √3 - √3 = 0 e 0 é um número racional. - O quociente de dois números irracionais, pode ser um número racional. 2) √8 : √2 = √4 = 2 e 2 é um número racional. - O produto de dois números irracionais, pode ser um número racional. 3) √5 . √5 = √25 = 5 e 5 é um número racional. - A união do conjunto dos números irracionais com o conjunto dos números racionais, resulta num conjunto denominado conjunto R dos números reais. - A interseção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais, não possui elementos comuns e, portanto, é igual ao conjunto vazio ( ∅ ). Simbolicamente, teremos: Q∪I=R Q∩I=∅ . 261 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Questões 01. (TRF 2ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2012) Considere as seguintes afirmações: I. Para todo número inteiro x, tem-se 4𝑥−1 + 4𝑥 + 4𝑥+1 = 16,8 4𝑥−2 + 4𝑥−1 1 11 II. (83 + 0,4444 … ) : 135 = 30 4 4 III. Efetuando-se ( √6 + 2√5) 𝑥( √6 − 2√5) obtém-se um número maior que 5. Relativamente a essas afirmações, é certo que (A) I,II, e III são verdadeiras. (B) Apenas I e II são verdadeiras. (C) Apenas II e III são verdadeiras. (D) Apenas uma é verdadeira. (E) I,II e III são falsas. 02. (DPE/RS – ANALISTA ADMINISTRAÇÃO – FCC/2013) A soma S é dada por: 𝑆 = √2 + √8 + 2√2 + 2√8 + 3√2 + 3√8 + 4√2 + 4√8 + 5√2 + 5√8 Dessa forma, S é igual a (𝐴) √90 (𝐵) √405 (𝐶) √900 (𝐷) √4050 (𝐸) √9000 03. (CÂMARA DE CANITAR/SP – RECEPCIONISTA – INDEC/2013) O resultado do produto: (2√2 + 1) ∙ (√2 − 1) é: (𝐴) √2 − 1 (B) 2 (𝐶) 2√2 (𝐷) 3 − √2 04. (CBTU – METROREC – Analista de Gestão – Advogado – CONSULPLAN/2014) Sejam os números irracionais: x = √3, y = √6, z = √12 e w = √24. Qual das expressões apresenta como resultado um número natural? (A) yw – xz. (B) xw + yz. (C) xy(w – z). (D) xz(y + w). 05. (DETRAN/RJ- Assistente Técnico de identificação Civil - MAKIYAMA/2013) Assinale a seguir o conjunto a que pertence o número √2: (A) Números inteiros. (B) Números racionais. (C) Números inteiros e naturais. (D) Números racionais e irracionais. (E) Números irracionais. 06. (UFES – Técnico em Contabilidade – UFES/2015) Sejam x e y números reais. É CORRETO afirmar: (A) Se x e y são números racionais e não inteiros, então y. x é um número racional e não inteiro. (B) Se x é um número irracional e y é um número racional, então y+ x é um número irracional. (C) Se x e y são números racionais e não inteiros, então y + x é um número racional e não inteiro. . 262 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (D) Se x é um número irracional e y é um número racional, então y. x é um número irracional. (E) Se x e y são números irracionais, então y. x é um número irracional. Respostas 01. Resposta: B. 4𝑥 (4−1 +1+4) I 4 𝑥 (4 −2 +4 −1 ) 1 1+20 21 +5 21 16 21∙4 4 1 1 = 4 1+4 = 4 5 = 4 ∙ 5 = 5 = 16,8 + 16 4 16 16 II 1 3 83 = √8 = 2 10x = 4,4444... - x = 0,4444..... 9x = 4 x = 4/9 4 11 18+4 135 22 135 2∙135 (2 + 9) : 135 = 9 ∙ 11 = 9 ∙ 11 = 9 = 30 III 4 4 √62 − 20 = √16 = 2 Portanto, apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. 02. Resposta: D. 𝑆 = 15√2 + 15√8 √8 = 2√2 𝑆 = 15√2 + 30√2 = 45√2 𝑆 = √452 . 2 𝑆 = √4050 03. Resposta: D. 2 (2√2 + 1) ∙ (√2 − 1) = 2(√2) − 2√2 + √2 − 1 = 4 − √2 − 1 = 3 − √2 04. Resposta: A. Vamos testar as alternativas: A) √6 . √24 − √3 . √12 = √6 . 24 − √3 . 12 = √144 − √36 = 12 − 6 = 6 05. Resposta: E. Como √2, não tem raiz exata, logo é um número Irracional 06. Resposta: B. Esta questão pede as propriedades dos números irracionais: -A soma de um número racional r com um número irracional i é um número irracional r'. -O produto de um número racional r, não nulo, por um número irracional i é um número irracional r'. -Vejam que a D só estaria correta se cita-se "não nulo". -Na letra E não é aplicável a propriedade do fechamento para os irracionais. . 263 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS - R O conjunto dos números reais R é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. Assim temos: R = Q U I , sendo Q ∩ I = Ø ( Se um número real é racional, não irracional, e vice-versa). Lembrando que N Ϲ Z Ϲ Q , podemos construir o diagrama abaixo: O conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos importantes: - Conjunto dos números reais não nulos: R* = {x ϵ R| x ≠ 0} - Conjunto dos números reais não negativos: R+ = {x ϵ R| x ≥ 0} - Conjunto dos números reais positivos: R*+ = {x ϵ R| x > 0} - Conjunto dos números reais não positivos: R- = {x ϵ R| x ≤ 0} - Conjunto dos números reais negativos: R*- = {x ϵ R| x < 0} Representação Geométrica dos números reais Propriedades É válido todas as propriedades anteriormente vistos nos outros conjuntos, assim como os conceitos de módulo, números opostos e números inversos (quando possível). Ordenação dos números Reais A representação dos números Reais permite definir uma relação de ordem entre eles. Os números Reais positivos são maiores que zero e os negativos, menores. Expressamos a relação de ordem da seguinte maneira: Dados dois números Reais a e b, a≤b↔b–a≥0 Exemplo: -15 ≤ ↔ 5 – (-15) ≥ 0 5 + 15 ≥ 0 Operações com números Reais Operando com as aproximações, obtemos uma sucessão de intervalos fixos que determinam um número Real. É assim que vamos trabalhar as operações adição, subtração, multiplicação e divisão. Relacionamos, em seguida, uma série de recomendações úteis para operar com números Reais. Intervalos reais O conjunto dos números reais possui também subconjuntos, denominados intervalos, que são determinados por meio de desiguladades. Sejam os números a e b , com a < b. . 264 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Em termos gerais temos: - A bolinha aberta = a intervalo aberto (estamos excluindo aquele número), utilizamos os símbolos: > ;< ; ] ; [ - A bolinha fechada = a intervalo fechado (estamos incluindo aquele número), utilizamos os símbolos: ≥;≤;[;] Podemos utilizar ( ) no lugar dos [ ] , para indicar as extremidades abertas dos intervalos. [a,b[ = [a,b) ; ]a,b] = (a,b] ; e ]a,b[ = (a,b) Observações Podemos utilizar ( ) no lugar dos [ ] , para indicar as extremidades abertas dos intervalos. [a,b[ = [a,b) ; ]a,b] = (a,b] ; e ]a,b[ = (a,b) a) Às vezes, aparecem situações em que é necessário registrar numericamente variações de valores em sentidos opostos, ou seja, maiores ou acima de zero (positivos), como as medidas de temperatura ou reais em débito ou em haver etc... Esses números, que se estendem indefinidamente, tanto para o lado direito (positivos) como para o lado esquerdo (negativos), são chamados números relativos. b) Valor absoluto de um número relativo é o valor do número que faz parte de sua representação, sem o sinal. c) Valor simétrico de um número é o mesmo numeral, diferindo apenas o sinal. Operações com Números Relativos 1) Adição e Subtração de números relativos a) Se os numerais possuem o mesmo sinal, basta adicionar os valores absolutos e conservar o sinal. b) Se os numerais possuem sinais diferentes, subtrai-se o numeral de menor valor e dá-se o sinal do maior numeral. Exemplos: 3+5=8 4-8=-4 - 6 - 4 = - 10 -2+7=5 2) Multiplicação e Divisão de Números Relativos a) O produto e o quociente de dois números relativos de mesmo sinal são sempre positivos. b) O produto e o quociente de dois números relativos de sinais diferentes são sempre negativos. . 265 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Exemplos: - 3 x 8 = - 24 - 20 (-4) = + 5 - 6 x (-7) = + 42 28 2 = 14 Questões 01. (EBSERH/ HUPAA – UFAL – Analista Administrativo – Administração – IDECAN/2014) Mário começou a praticar um novo jogo que adquiriu para seu videogame. Considere que a cada partida ele conseguiu melhorar sua pontuação, equivalendo sempre a 15 pontos a menos que o dobro marcado na partida anterior. Se na quinta partida ele marcou 3.791 pontos, então, a soma dos algarismos da quantidade de pontos adquiridos na primeira partida foi igual a (A) 4. (B) 5. (C) 7. (D) 8. (E) 10. 02. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES/2014) Considere m um número real menor que 20 e avalie as afirmações I, II e III: I- (20 – m) é um número menor que 20. II- (20 m) é um número maior que 20. III- (20 m) é um número menor que 20. É correto afirmar que: A) I, II e III são verdadeiras. B) apenas I e II são verdadeiras. C) I, II e III são falsas. D) apenas II e III são falsas. 03. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES/2014) Na figura abaixo, o 3 1 ponto que melhor representa a diferença − na reta dos números reais é: 4 2 (A) P. (B) Q. (C) R. (D) S. 04. (TJ/PR - Técnico Judiciário – TJ/PR/2014) Uma caixa contém certa quantidade de lâmpadas. Ao retirá-las de 3 em 3 ou de 5 em 5, sobram 2 lâmpadas na caixa. Entretanto, se as lâmpadas forem removidas de 7 em 7, sobrará uma única lâmpada. Assinale a alternativa correspondente à quantidade de lâmpadas que há na caixa, sabendo que esta comporta um máximo de 100 lâmpadas. (A) 36. (B) 57. (C) 78. (D) 92. 05. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP/2014) Para ir de sua casa à 3 escola, Zeca percorre uma distância igual a 4 da distância percorrida na volta, que é feita por um trajeto 7 diferente. Se a distância percorrida por Zeca para ir de sua casa à escola e dela voltar é igual a 5 de um quilômetro, então a distância percorrida por Zeca na ida de sua casa à escola corresponde, de um quilômetro, a 2 (A) 3 . 266 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  3 (B) 4 1 (C) 2 4 (D) 5 3 (E) 5 06. (TJ/SP - AUXILIAR DE SAÚDE JUDICIÁRIO - AUXILIAR EM SAÚDE BUCAL – VUNESP/2013) Para numerar as páginas de um livro, uma impressora gasta 0,001 mL por cada algarismo impresso. Por exemplo, para numerar as páginas 7, 58 e 290 gasta-se, respectivamente, 0,001 mL, 0,002 mL e 0,003 mL de tinta. O total de tinta que será gasto para numerar da página 1 até a página 1 000 de um livro, em mL, será (A) 1,111. (B) 2,003. (C) 2,893. (D) 1,003. (E) 2,561. 07. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC/2014) Um funcionário de uma empresa deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. Na 2 a semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 4 a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual a (A) 5/16. (B) 1/6. (C) 8/24. (D)1/ 4. (E) 2/5. 08. (CODAR – Coletor de lixo reciclável – EXATUS/2016) Numa divisão com números inteiros, o resto vale 5, o divisor é igual ao resto somado a 3 unidades e o quociente é igual ao dobro do divisor. Assim, é correto afirmar que o valor do dividendo é igual a: (A) 145. (B) 133. (C) 127. (D) 118. 09. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC/2014) Quatro números inteiros serão sorteados. Se o número sorteado for par, ele deve ser dividido por 2 e ao quociente deve ser acrescido 17. Se o número sorteado for ímpar, ele deve ser dividido por seu maior divisor e do quociente deve ser subtraído 15. Após esse procedimento, os quatro resultados obtidos deverão ser somados. Sabendo que os números sorteados foram 40, 35, 66 e 27, a soma obtida ao final é igual a (A) 87. (B) 59. (C) 28. (D) 65. (E) 63. 10. (UNESP – Assistente de Informática I – VUNESP/2014) O valor de uma aposta em certa loteria foi repartido em cotas iguais. Sabe-se que a terça parte das cotas foi dividida igualmente entre Alex e Breno, que Carlos ficou com a quarta parte das cotas, e que Denis ficou com as 5 cotas restantes. Essa aposta foi premiada com um determinado valor, que foi repartido entre eles de forma diretamente proporcional ao número de cotas de cada um. Dessa forma, se Breno recebeu R$ 62.000,00, então Carlos recebeu (A) R$ 74.000,00. . 267 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (B) R$ 93.000,00. (C) R$ 98.000,00. (D) R$ 102.000,00. (E) R$ 106.000,00. Respostas 01. Resposta: D. Pontuação atual = 2 . partida anterior – 15 * 4ª partida: 3791 = 2.x – 15 2.x = 3791 + 15 x = 3806 / 2 x = 1903 * 3ª partida: 1903 = 2.x – 15 2.x = 1903 + 15 x = 1918 / 2 x = 959 * 2ª partida: 959 = 2.x – 15 2.x = 959 + 15 x = 974 / 2 x = 487 * 1ª partida: 487 = 2.x – 15 2.x = 487 + 15 x = 502 / 2 x = 251 Portanto, a soma dos algarismos da 1ª partida é 2 + 5 + 1 = 8. 02. Resposta: C. I. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. II. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. III. Falso, pois m é Real e pode ser positivo. 03. Resposta: A. 3 1 3−2 1 − = = = 0,25 4 2 4 4 04. Resposta: D. Vamos chamar as retiradas de r, s e w: e de T o total de lâmpadas. Precisamos calcular os múltiplos de 3, 5 e de 7, separando um múltiplo menor do que 100 que sirva nas três equações abaixo: De 3 em 3: 3 . r + 2 = Total De 5 em 5: 5 . s + 2 = Total De 7 em 7: 7 . w + 1 = Total Primeiramente, vamos calcular o valor de w, sem que o total ultrapasse 100: 7 . 14 + 1 = 99, mas 3 . r + 2 = 99 vai dar que r = 32,333... (não convém) 7 . 13 + 1 = 92, e 3 . r + 2 = 92 vai dar r = 30 e 5 . s + 2 = 92 vai dar s = 18. 05. Resposta: E. Ida + volta = 7/5 . 1 3 7 4 .𝑥 + 𝑥 = 5 5.3𝑥+ 20𝑥=7.4 20 15𝑥 + 20𝑥 = 28 35𝑥 = 28 28 𝑥= (: 7/7) 35 . 268 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  4 𝑥 = 5 (volta) 3 4 3 Ida: 4 . 5 = 5 06. Resposta: C. 1 a 9 = 9 algarismos = 0,0019 = 0,009 ml De 10 a 99, temos que saber quantos números tem. 99 – 10 + 1 = 90. OBS: soma 1, pois quanto subtraímos exclui-se o primeiro número. 90 números de 2 algarismos: 0,00290 = 0,18ml De 100 a 999 999 – 100 + 1 = 900 números 9000,003 = 2,7 ml 1000 = 0,004ml Somando: 0,009 + 0,18 + 2,7 + 0,004 = 2,893 07. Resposta: B. Tarefa: x Primeira semana: 3/8x 1 3 1 2 semana:3 ∙ 8 𝑥 = 8 𝑥 3 1 4 1 1ª e 2ª semana: 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 = 𝑥 8 8 8 2 Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade. 3ªsemana: 2y 4ª semana: y 1 2𝑦 + 𝑦 = 2 𝑥 1 3𝑦 = 2 𝑥 1 𝑦 = 6𝑥 08. Resposta: B. Tendo D = dividendo; d = divisor; Q = quociente e R = resto, podemos escrever essa divisão como: D = d.Q + R Sabemos que o R = 5 O divisor é o R + 3 → d = R + 3 = 5 + 3 = 8 E o quociente o dobro do divisor → Q = 2d = 2.8 = 16 Montando temos: D = 8.16 + 5 = 128 + 5 = 133. 09. Resposta: B. * número 40: é par. 40 / 2 + 17 = 20 + 17 = 37 * número 35: é ímpar. Seu maior divisor é 7. 35 / 35 – 15 = 1 – 15 = – 14 * número 66: é par. 66 / 2 + 17 = 33 + 17 = 50 * número 27: é ímpar. Seu maior divisor é 27. 27 / 27 – 15 = 1 – 15 = – 14 * Por fim, vamos somar os resultados: 37 – 14 + 50 – 14 = 87 – 28 = 59 10. Resposta: B. Vamos chamar o valor de cada cota de ( x ). Assim: * Breno: 𝟏 𝟏 . . 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟐 𝟑 . 269 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  𝟏 𝟔 . 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 x = 62000 . 6 x = R$ 372000,00 * Carlos: 𝟏 𝟒 . 𝟑𝟕𝟐𝟎𝟎𝟎 = 𝑹$ 𝟗𝟑𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 Equações de 1º e 2º graus. EQUAÇÃO DO 1º GRAU OU LINEAR Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade e uma incógnita ou variável (x, y, z,...). Observe a figura: A figura acima mostra uma equação (uma igualdade), onde precisamos achar o valor da variável x, para manter a balança equilibrada. Equacionando temos: x + x + 500 + 100 = x + 250 + 500 → 2x + 600 = x + 750. Exemplos: 2x + 8 = 0 5x – 4 = 6x + 8 3a – b – c = 0 - Não são equações: 4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) x – 5 < 3 (Não é igualdade) 5 ≠ 7 (não é sentença aberta, nem igualdade) Termo Geral da equação do 1º grau Onde a e b (a≠0) são números conhecidos e a diferença de 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados obtemos: ax +b – b = 0 – b  ax = -b  x = -b/a Termos da equação do 1º grau Nesta equação cada membro possui dois termos: 1º membro composto por 5x e -1 2º membro composto pelo termo x e +7 . 270 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Resolução da equação do 1º grau O método que usamos para resolver a equação de 1º grau é isolando a incógnita, isto é, deixar a incógnita sozinha em um dos lados da igualdade. O método mais utilizado para isso é invertermos as operações. Vejamos Resolvendo a equação 2x + 600 = x + 750, passamos os termos que tem x para um lado e os números para o outro invertendo as operações. 2x – x = 750 – 600, com isso eu posso resolver minha equação.  x = 150 Outros exemplos: 1) Resolução da equação 3x – 2 = 16, invertendo operações. Procedimento e justificativa: Se 3x – 2 dá 16, conclui-se que 3x dá 16 + 2, isto é, 18 (invertemos a subtração). Se 3x é igual a 18, é claro que x é igual a 18 : 3, ou seja, 6 (invertemos a multiplicação por 3). Registro: 3x – 2 = 16 3x = 16 + 2 3x = 18 18 x= 3 x=6 2 1 2) Resolução da equação: 1 – 3x + = x+ , efetuando a mesma operação nos dois lados da 5 2 igualdade(outro método de resolução). Procedimento e justificativa: Multiplicamos os dois lados da equação pelo mmc (2;5) = 10. Dessa forma, são eliminados os denominadores. Fazemos as simplificações e os cálculos necessários e isolamos x, sempre efetuando a mesma operação nos dois lados da igualdade. No registro, as operações feitas nos dois lados da igualdade são indicadas com as setas curvas verticais. Registro: 1 – 3x + 2/5 = x + 1 /2 1. (10) − 3𝑥. (10) + 2. (2) 𝑥. (10) + 1. (5) = 10 10 10 – 30x + 4 = 10 x + 5 -30x -10x = 5 – 10 – 4 -40x = -9 (-1) 40x = 9 x = 9/40 x = 0,225 Há também um processo prático, bastante usado, que se baseia nessas ideias e na percepção de um padrão visual. - Se a + b = c, conclui-se que a = c – b. Na primeira igualdade, a parcela b aparece somando no lado esquerdo; na segunda, a parcela b aparece subtraindo no lado direito da igualdade. - Se a . b = c, conclui-se que a = c : b, desde que b ≠ 0. Na primeira igualdade, o número b aparece multiplicando no lado esquerdo; na segunda, ele aparece dividindo no lado direito da igualdade. O processo prático pode ser formulado assim: - Para isolar a incógnita, coloque todos os termos com incógnita de um lado da igualdade e os demais termos do outro lado. - Sempre que mudar um termo de lado, inverta a operação. . 271 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Questões 01. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP/2014) O gráfico mostra o número de gols marcados, por jogo, de um determinado time de futebol, durante um torneio. Sabendo que esse time marcou, durante esse torneio, um total de 28 gols, então, o número de jogos em que foram marcados 2 gols é: (A) 3. (B) 4. (C) 5. (D) 6. (E) 7. 02. (PREF. IMARUÍ – AGENTE EDUCADOR – PREF. IMARUÍ/2014) Certa quantia em dinheiro foi dividida igualmente entre três pessoas, cada pessoa gastou a metade do dinheiro que ganhou e 1/3(um terço) do restante de cada uma foi colocado em um recipiente totalizando R$900,00(novecentos reais), qual foi a quantia dividida inicialmente? (A) R$900,00 (B) R$1.800,00 (C) R$2.700,00 (D) R$5.400,00 03. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB/2014) Um grupo formado por 16 motoristas organizou um churrasco para suas famílias. Na semana do evento, seis deles desistiram de participar. Para manter o churrasco, cada um dos motoristas restantes pagou R$ 57,00 a mais. O valor total pago por eles, pelo churrasco, foi: (A) R$ 570,00 (B) R$ 980,50 (C) R$ 1.350,00 (D) R$ 1.480,00 (E) R$ 1.520,00 04. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC/2014) Uma linha de Metrô inicia-se na 1ª estação e termina na 18ª estação. Sabe-se que a distância dentre duas estações vizinhas é sempre a mesma, exceto da 1ª para a 2ª, e da 17ª para a 18ª, cuja distância é o dobro do padrão das demais estações vizinhas. Se a distância da 5ª até a 12ª estação é de 8 km e 750 m, o comprimento total dessa linha de Metrô, da primeira à última estação, é de (A) 23 km e 750 m. (B) 21 km e 250 m. (C) 25 km. (D) 22 km e 500 m. (E) 26 km e 250 m. 05. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC/2014) Um funcionário de uma empresa deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1 a semana. Na 2a semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 4a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual a . 272 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (A) 5/16. (B) 1/6. (C) 8/24. (D)1/ 4. (E) 2/5. 06. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC/2014) Bia tem 10 anos a mais que Luana, que tem 7 anos a menos que Felícia. Qual é a diferença de idades entre Bia e Felícia? (A) 3 anos. (B) 7 anos. (C) 5 anos. (D) 10 anos. (E) 17 anos. 07. (DAE AMERICANAS/SP – ANALISTA ADMINSTRATIVO – SHDIAS/2013) Em uma praça, Graziela estava conversando com Rodrigo. Graziela perguntou a Rodrigo qual era sua idade, e ele respondeu da seguinte forma: - 2/5 de minha idade adicionados de 3 anos correspondem à metade de minha idade. Qual é a idade de Rodrigo? (A) Rodrigo tem 25 anos. (B) Rodrigo tem 30 anos. (C) Rodrigo tem 35 anos. (D) Rodrigo tem 40 anos. 08. (METRO/SP - AGENTE DE SEGURANÇA METROVIÁRIA I - FCC/2013) Dois amigos foram a 3 uma pizzaria. O mais velho comeu 8 da pizza que compraram. Ainda da mesma pizza o mais novo comeu 7 da quantidade que seu amigo havia comido. Sendo assim, e sabendo que mais nada dessa pizza foi 5 comido, a fração da pizza que restou foi 3 (𝐴) 5 7 (𝐵) 8 1 (𝐶) 10 3 (𝐷) 10 36 (𝐸) 40 09. (METRO/SP - AGENTE DE SEGURANÇA METROVIÁRIA I - FCC/2013) Glauco foi à livraria e comprou 3 exemplares do livro J. Comprou 4 exemplares do livro K, com preço unitário de 15 reais a mais que o preço unitário do livro J. Comprou também um álbum de fotografias que custou a terça parte do preço unitário do livro K. Glauco pagou com duas cédulas de 100 reais e recebeu o troco de 3 reais. Glauco pagou pelo álbum o valor, em reais, igual a (A) 33. (B) 132. (C) 54. (D) 44. (E) 11. 10. AGENTE DE SEGURANÇA METROVIÁRIA I - FCC/2013) Hoje, a soma das idades de três irmãos é 65 anos. Exatamente dez anos antes, a idade do mais velho era o dobro da idade do irmão do meio, . 273 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  que por sua vez tinha o dobro da idade do irmão mais novo. Daqui a dez anos, a idade do irmão mais velho será, em anos, igual a (A) 55. (B) 25. (C) 40. (D) 50. (E) 35. Respostas 01. Resposta: E. 0.2 + 1.8 + 2.x + 3.2 = 28 0 + 8 + 2x + 6 = 28 2x = 28 – 14 x = 14 / 2 → x = 7 02. Resposta: D. Quantidade a ser recebida por cada um: x Se 1/3 de cada um foi colocado em um recipiente e deu R$900,00, quer dizer que cada uma colocou R$300,00. 𝑥 𝑥 3 = + 300 3 2 𝑥 𝑥 = + 300 3 6 𝑥 𝑥 − = 300 3 6 2𝑥 − 𝑥 = 300 6 𝑥 = 300 6 x = 1800 Recebida: 1800.3=5400 03. Resposta: E. Vamos chamar de ( x ) o valor para cada motorista. Assim: 16 . x = Total Total = 10 . (x + 57) (pois 6 desistiram) Combinando as duas equações, temos: 16.x = 10.x + 570 → 16.x – 10.x = 570 6.x = 570 → x = 570 / 6 → x = 95 O valor total é: 16 . 95 = R$ 1520,00. 04. Resposta: A. Sabemos que da 5ª até a 12ª estação = 8 km + 750 m = 8750 m. A quantidade de “espaços” da 5ª até a 12ª estação é: (12 – 5). x = 7.x Assim: 7.x = 8750 x = 8750 / 7 x = 1250 m Por fim, vamos calcular o comprimento total: 17 – 2 = 15 espaços 2.x + 2.x + 15.x = . 274 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  = 2.1250 + 2.1250 + 15.1250 = = 2500 + 2500 + 18750 = 23750 m 23 km + 750 m 05. Resposta: B. Tarefa: x Primeira semana: 3/8x 1 3 1 2 semana:3 ∙ 8 𝑥 = 8 𝑥 3 1 4 1 1ª e 2ª semana:8 𝑥 + 8 𝑥 = 8 𝑥 = 2 𝑥 Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade, pois ele executou a metade na 1ª e 2ª semana como consta na fração acima (1/2x). 3ªsemana: 2y 4ª semana: y 1 2𝑦 + 𝑦 = 𝑥 2 1 3𝑦 = 2 𝑥 1 𝑦 = 6𝑥 06. Resposta: A. Luana: x Bia: x + 10 Felícia: x + 7 Bia – Felícia = x + 10 – x – 7 = 3 anos. 07. Resposta: B. Idade de Rodrigo: x 2 1 𝑥 +3 = 𝑥 5 2 2 1 5 𝑥 − 2 𝑥 = −3 Mmc(2,5)=10 4𝑥−5𝑥 = −3 10 4𝑥 − 5𝑥 = −30 𝑥 = 30 08. Resposta: C. 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎: 𝑥 ∴ 𝑦: 𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜𝑢 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 3 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑣𝑒𝑙ℎ𝑜: 𝑥 8 7 3 21 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑜𝑣𝑜 ∶ ∙ 𝑥 = 𝑥 5 8 40 3 21 𝑥+ 𝑥+𝑦 =𝑥 8 40 3 21 𝑦=𝑥− 𝑥− 𝑥 8 40 40𝑥 − 15𝑥 − 21𝑥 4𝑥 1 𝑦= = = 𝑥 40 40 10 Sobrou 1/10 da pizza. . 275 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  09. Resposta: E. Preço livro J: x Preço do livro K: x+15 𝑥 + 15 á𝑙𝑏𝑢𝑚: 3 Valor pago:197 reais (2.100 – 3) 𝑥 + 15 3𝑥 + 4(𝑥 + 15) + = 197 3 9𝑥 + 12(𝑥 + 15) + 𝑥 + 15 = 197 3 9𝑥 + 12𝑥 + 180 + 𝑥 + 15 = 591 22𝑥 = 396 𝑥 = 18 𝑥 + 15 18 + 15 á𝑙𝑏𝑢𝑚: = = 11 3 3 O valor pago pelo álbum é de R$ 11,00. 10. Resposta: C. Irmão mais novo: x Irmão do meio: 2x Irmão mais velho:4x Hoje: Irmão mais novo: x + 10 Irmão do meio: 2x + 10 Irmão mais velho:4x + 10 x + 10 + 2x + 10 + 4x + 10 = 65 7x = 65 – 30 7x = 35 x=5 hoje: Irmão mais novo: x + 10 = 5 + 10 = 15 Irmão do meio: 2x + 10 = 10 + 10 = 20 Irmão mais velho:4x + 10 = 20 + 10 = 30 Daqui a dez anos Irmão mais novo: 15 + 10 = 25 Irmão do meio: 20 + 10 = 30 Irmão mais velho: 30 + 10 = 40 O irmão mais velho terá 40 anos. EQUAÇÃO DO 2º GRAU Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Em que a, b, c são números reais e a ≠ 0. . 276 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Nas equações de 2º grau com uma incógnita, os números reais expressos por a, b, c são chamados coeficientes da equação: Equação completa e incompleta: - Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau se diz completa. Exemplos: x2 - 5x + 6 = 0= 0 é uma equação completa (a = 1, b = – 5, c = 6). -3y2 + 2y - 15 = 0 é uma equação completa (a = -3, b = 2, c = -15). - Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação do 2º grau se diz incompleta. Exemplos: x² - 36 = 0 é uma equação incompleta (b=0). x² - 10x = 0 é uma equação incompleta (c = 0). 4x² = 0 é uma equação incompleta (b = c = 0). Todas essas equações estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0, que é denominada forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau com uma incógnita. Há, porém, algumas equações do 2º grau que não estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0; por meio de transformações convenientes, em que aplicamos o princípio aditivo e o multiplicativo, podemos reduzi- las a essa forma. Exemplo: Pelo princípio aditivo. 2x2 – 7x + 4 = 1 – x2 2x2 – 7x + 4 – 1 + x2 = 0 2x2 + x2 – 7x + 4 – 1 = 0 3x2 – 7x + 3 = 0 Exemplo: Pelo princípio multiplicativo. 2 1 x   x 2 x4 4.x  4  xx  4 2x 2  2 x x  4  2 x x  4  4(x – 4) – x(x – 4) = 2x2 4x – 16 – x2 + 4x = 2x2 – x2 + 8x – 16 = 2x2 – x2 – 2x2 + 8x – 16 = 0 – 3x2 + 8x – 16 = 0 Raízes de uma equação do 2º grau Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira. As raízes formam o conjunto verdade ou solução de uma equação. Resolução das equações incompletas do 2º grau com uma incógnita. Primeiramente devemos saber duas importante propriedades dos números Reais que é o nosso conjunto Universo. 1º) Se x ϵ R, y ϵ R e x.y=0, então x= 0 ou y=0 2º) Se x ϵ R, y ϵ R e x2=y, então x= √y ou x=-√y 1º Caso) A equação é da forma ax2 + bx = 0. x2 – 9x = 0  colocamos x em evidência x . (x – 9) = 0 , aplicando a 1º propriedade dos reais temos: x=0 ou x–9=0 x=9 . 277 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Logo, S = {0, 9} e os números 0 e 9 são as raízes da equação. 2º Caso) A equação é da forma ax2 + c = 0. x2 – 16 = 0  Fatoramos o primeiro membro, que é uma diferença de dois quadrados. (x + 4) . (x – 4) = 0, aplicando a 1º propriedade dos reais temos: x+4=0 x–4=0 x=–4 x=4 ou x2 – 16 = 0  x2 = 16  √x2 = √16  x = ± 4, (aplicando a segunda propriedade). Logo, S = {–4, 4}. Resolução das equações completas do 2º grau com uma incógnita. Para este tipo de equação utilizaremos a Fórmula de Bháskara. Usando o processo de Bháskara e partindo da equação escrita na sua forma normal, foi possível chegar a uma fórmula que vai nos permitir determinar o conjunto solução de qualquer equação do 2º grau de maneira mais simples. Essa fórmula é chamada fórmula resolutiva ou fórmula de Bháskara. Nesta fórmula, o fato de x ser ou não número real vai depender do discriminante Δ; temos então, três casos a estudar. Duas raízes reais distintas. b  Δ>0 x'  1º caso (Positivo) 2.a b  x ''  2.a Duas raízes reais iguais. Δ=0 b 2º caso x’ = x” = (Nulo) 2a Δ<0 Não temos raízes reais. 3º caso (Negativo) A existência ou não de raízes reais e o fato de elas serem duas ou uma única dependem, exclusivamente, do discriminante Δ = b2 – 4.a.c; daí o nome que se dá a essa expressão. Exemplos: 1) Resolver a equação 3x2 + 7x + 9 = 0 no conjunto R. Temos: a = 3, b = 7 e c = 9 −7 ± √−59 𝑥= 6 Como Δ < 0, a equação não tem raízes reais. Então: S = ᴓ . 278 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  2) Resolver a equação 5x2 – 12x + 4=0 Temos que a= 5, b= -12 e c = 4. Aplicando na fórmula de Bháskara: −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 −(−12) ± √(−12)2 − 4.5.4 12 ± √144 − 80 12 ± √64 𝑥= = = = 2𝑎 2.5 10 10 Como Δ > 0, logo temos duas raízes reais distintas: 12 ± 8 12 + 8 20 12 − 8 4: 2 2 𝑥= → 𝑥′ = = = 2 𝑒 𝑥 ′′ = = = 10 10 10 10 10: 2 5 S= {2/5, 2} Relação entre os coeficientes e as raízes As equações do 2º grau possuem duas relações entre suas raízes, são as chamadas relações de Girard, que são a Soma (S) e o Produto (P). 𝒃 1) Soma das raízes é dada por: 𝑺 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = − 𝒂 𝒄 2) Produto das raízes é dada por: 𝑷 = 𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 = 𝒂 Logo podemos reescrever a equação da seguinte forma: x2 – Sx + P=0 Exemplos: 1) Determine uma equação do 2º grau cujas raízes sejam os números 2 e 7. Resolução: Pela relação acima temos: S = 2+7 = 9 e P = 2.7 = 14  Com esses valores montamos a equação: x2 -9x +14 =0 2) Resolver a equação do 2º grau: x2 -7x +12 =0 Observe que S=7 e P=12, basta agora pegarmos dois números aos quais somando obtemos 7 e multiplicados obtemos 12. S= 3+4 = 7 e P = 4.3=12, logo o conjunto solução é: S={3,4} Questões 01. (PREF. JUNDIAI/SP – ELETRICISTA – MAKIYAMA/2013) Para que a equação (3m-9)x²-7x+6=0 seja uma equação de segundo grau, o valor de m deverá, necessariamente, ser diferente de: (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 0. (E) 9. 02. (CÂMARA DE CANITAR/SP – RECEPCIONISTA – INDEC/2013) Qual a equação do 2º grau cujas raízes são 1 e 3/2? (A) x²-3x+4=0 (B) -3x²-5x+1=0 (C) 3x²+5x+2=0 (D) 2x²-5x+3=0 03. (CÂMARA DE CANITAR/SP – RECEPCIONISTA – INDEC/2013) O dobro da menor raiz da equação de 2º grau dada por x²-6x=-8 é: (A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 12 . 279 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  04. (CGU – ADMINISTRATIVA – ESAF/2012) Um segmento de reta de tamanho unitário é dividido em duas partes com comprimentos x e 1-x respectivamente. Calcule o valor mais próximo de x de maneira que x = (1-x) / x, usando 5=2,24. (A) 0,62 (B) 0,38 (C) 1,62 (D) 0,5 (E) 1/ 𝜋 05. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB/ 2014) Hoje João tem oito anos a mais que sua irmã, e o produto das suas idades é 153. Daqui a dez anos, a soma da idade de ambos será: (A) 48 anos. (B) 46 anos. (C) 38 anos. (D) 36 anos. (E) 32 anos. 06. (PREF. PAULISTANA/PI – PROFESSOR DE MATEMÁTICA – IMA/2014) Temos que a raiz do polinômio p(x) = x² – mx + 6 é igual a 6. O valor de m é: (A) 15 (B) 7 (C) 10 (D) 8 (E) 5 07. (CBTU – METROREC – Analista de Gestão – Advogado – CONSULPLAN/2014) Considere a seguinte equação do 2º grau: ax2 + bx + c = 0. Sabendo que as raízes dessa equação são x’ = 6 e x’’ = – 10 e que a + b = 5, então o discriminante dessa equação é igual a (A) 196. (B) 225. (C) 256. (D) 289. 08. (SAAE/SP - Fiscal Leiturista – VUNESP/2014) O dono de uma papelaria comprou 98 cadernos e ao formar pilhas, todas com o mesmo número de cadernos, notou que o número de cadernos de uma pilha era igual ao dobro do número de pilhas. O número de cadernos de uma pilha era (A) 12. (B) 14. (C) 16. (D) 18. (E) 20. 09. (Prefeitura de São Paulo - SP - Guarda Civil Metropolitano - MS CONCURSOS) Se x1 > x2 são 1 1 as raízes da equação x2 - 27x + 182 = 0, então o valor de - é: 𝑥2 𝑥1 1 (A) 27 . 1 (B) . 13 (C) 1. 1 (D) 182. 1 (E) 14. 10. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES) A soma das raízes da equação (k - 2)x² - 3kx + 1 = 0, com k ≠ 2, é igual ao produto dessas raízes. Nessas condições. Temos: (A) k = 1/2. . 280 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (B) k = 3/2. (C) k = 1/3. (D) k = 2/3. (E) k = -2. Respostas 01. Resposta: C. Neste caso o valor de a ≠ 0, 𝑙𝑜𝑔𝑜: 3m-9≠0 → 3m≠9 → m≠3 02. Resposta: D. Como as raízes foram dadas, para saber qual a equação: x² - Sx +P=0, usando o método da soma e produto; S= duas raízes somadas resultam no valor numérico de b; e P= duas raízes multiplicadas resultam no valor de c. 3 5 𝑆 =1+ = =𝑏 2 2 3 3 𝑃 =1∙ = = 𝑐 ; 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 2 2 5 3 𝑥2 − 𝑥 + = 0 2 2 2𝑥 2 − 5𝑥 + 3 = 0 03. Resposta: B. x²-6x+8=0 ∆= (−6)2 − 4.1.8 ⇒ 36 − 32 = 4 −(−6)±√4 6±2 𝑥= ⇒𝑥= 2.1 2 6+2 𝑥1 = 2 =4 6−2 𝑥2 = 2 =2 Dobro da menor raiz: 22=4 04. Resposta: A. 1−𝑥 𝑥= 𝑥 x² = 1-x x² + x -1 =0 ∆= (1)2 − 4.1. (−1) ⇒ ∆= 1 + 4 = 5 −1 ± √5 𝑥= 2 (−1 + 2,24) 𝑥1 = = 0,62 2 −1 − 2,24 𝑥2 = = −1,62 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚) 2 05. Resposta: B. Hoje: J = IR + 8 ( I ) . 281 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  J . IR = 153 ( II ) Substituir ( I ) em ( II ): (IR + 8). IR = 153 IR² + 8.IR – 153 = 0 (Equação do 2º Grau) 𝛥 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝛥 = 82 − 4.1. (−153) 𝛥 = 64 + 612 𝛥 = 676 −𝑏±√𝛥 𝑥= 2𝑎 −8±√676 −8±26 𝑥= 2.1 = 2 −8+26 18 𝑥1 = 2 = 2 =9 −8−26 34 𝑥2 = = = 17 2 2 Portanto, hoje, as idades são 9 anos e 17 anos. Daqui a 10 anos, serão 19 anos e 27 anos, cuja soma será 19 + 27 = 46 anos. 06. Resposta: B. Lembrando que a fórmula pode ser escrita como :x²-Sx+P, temos que P(produto)=6 e se uma das raízes é 6, a outra é 1. Então a soma é 6+1=7 S=m=7 07. Resposta: C. O discriminante é calculado por ∆ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 Antes, precisamos calcular a, b e c. * Soma das raízes = – b / a – b / a = 6 + (– 10) – b / a = – 4 . (– 1) b=4.a Como foi dado que a + b = 5, temos que: a + 4.a = 5. Assim: 5.a = 5 e a = 1 *b=4.1=4 Falta calcular o valor de c: * Produto das raízes = c / a c / 1 = 6 . (– 10) c = – 60 Por fim, vamos calcular o discriminante: ∆ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 ∆ = 42 − 4.1. (−60) = 16 + 240 = 256 08. Resposta: B. Chamando de (c o número de cadernos em cada pilha, e de ( p ) o número de pilhas, temos: c = 2.p (I) p.c = 98 (II) Substituindo a equação (I) na equação (II), temos: p.2p = 98 2.p² = 98 p² = 98 / 2 p = √49 p = 7 pilhas Assim, temos 2.7 = 14 cadernos por pilha. . 282 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  09. Resposta: D. Primeiro temos que resolver a equação: a = 1, b = - 27 e c = 182 ∆ = b2 – 4.a.c ∆ = (-27)2 – 4.1.182 ∆ = 729 – 728 ∆=1 −𝑏±√∆ −(−27)±√1 27±1 𝑥= 2𝑎 = 2.1 = 2  x1 = 14 ou x2 = 13 O mmc entre x1 e x2 é o produto x1.x2 1 1 𝑥1 − 𝑥2 14 − 13 1 − = = = 𝑥2 𝑥1 𝑥2 . 𝑥1 14.13 182 10. Resposta: C. −𝑏 𝑐 Vamos usar as fórmulas da soma e do produto: S = 𝑎 e P = 𝑎. (k – 2)x2 – 3kx + 1 = 0; a = k – 2, b = - 3k e c = 1 S=P −𝑏 𝑐 𝑎 = 𝑎  - b = c  -(-3k) = 1  3k = 1  k = 1/3 Inequações de 1º e 2º graus. INEQUAÇÃO DO 1º GRAU Inequação é toda sentença aberta expressa por uma desigualdade. Uma inequação do 1º grau pode ser expressa por: ax + b > 0 ; ax + b ≥ 0 ; ax + b < 0 ; ax + b ≤ 0 , onde a ∈ R* e b ∈ R. A expressão à esquerda do sinal de desigualdade chama-se primeiro membro da inequação. A expressão à direita do sinal de desigualdade chama-se segundo membro da inequação. Propriedades - Aditiva: Uma desigualdade não muda de sentido quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número aos seus dois membros. - Multiplicativa: Aqui teremos duas situações que devemos ficar atentos: 1º) Uma desigualdade não muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos seus dois membros por um mesmo número positivo. . 283 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  2º) Uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ou dividimos seus dois membros por um mesmo número negativo. Resolução prática de inequações do 1º grau: resolver uma inequação é determinar o seu conjunto verdade a partir de um conjunto universo dado. A resolução de inequações do 1º grau é feita procedendo de maneira semelhante à resolução de equações, ou seja, transformando cada inequação em outra inequação equivalente mais simples, até se obter o conjunto verdade. Exemplo: Resolver a inequação 4(x – 2) ≤ 2 (3x + 1) + 5, sendo U = Q. 1º passo: vamos aplicar a propriedade distributiva 4(x – 2) ≤ 2 (3x + 1) + 5 → 4x – 8 ≤ 6x + 2 + 5 2º passo: agrupamos os termos semelhantes da desigualdade e reduzimos os mesmos. 4x – 6x ≤ 2 + 5 + 8 → -2x ≤ 15 3º passo: multiplicamos por -1, e invertemos o sentido da desigualdade. -2x ≤ 15 → -2x ≥ 15 4º passo: passamos o -2 para o outro lado da desigualdade dividindo 15 𝑥≥− 2 Logo: U = {x ϵ Q | x ≥ -15/2} Vejamos mais um exemplo: Resolver a inequação – 5x + 10 ≥ 0 em U = R -5x + 10 ≥ 0 → -5x ≥ -10, como o sinal do algarismo que acompanha x é negativo, multiplicamos por (- 1) ambos os lados da desigualdade → 5x ≤ 10 (ao multiplicarmos por -1 invertemos o sinal da desigualdade) → x ≤ 2. S = {x є R | x ≤ 2} Um outro modo de resolver o mesmo exemplo é através do estudo do sinal da função: y = -5x + 10, fazemos y = 0 (como se fossemos achar o zero da função) -5x + 10 = 0 → -5x = -10 → 5x = 10 → x = 2. Temos uma função do 1º grau decrescente, pois a < 0 (a = -5 < 0). Como queremos os valores maiores e iguais, pegamos os valores onde no gráfico temos o sinal de ( + ) , ou seja os valores que na reta são menores e iguais a 2; x ≤ 2. - Inequações do 1º grau com duas variáveis Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade. As inequações podem ser escritas das seguintes formas: ax + b > 0; ax + b < 0; ax + b ≥ 0; ax + b ≤ 0. . 284 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Onde a, b são números reais com a ≠ 0. - Representação gráfica de uma inequação do 1º grau com duas variáveisMétodo prático: 1) Substituímos a desigualdade por uma igualdade. 2) Traçamos a reta no plano cartesiano. 3) Escolhemos um ponto auxiliar, de preferência o ponto (0, 0) e verificamos se o mesmo satisfaz ou não a desigualdade inicial. 3.1) Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar. 3.2) Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao semiplano oposto aquele ao qual pertence o ponto auxiliar. Exemplo: Vamos representar graficamente a inequação 2x + y ≤ 4. Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequação 2x + y ≤ 4. Verificamos: 2.0 + 0 ≤ 4 → 0 ≤ 4, a afirmativa é positiva, pois o ponto auxiliar satisfaz a inequação. A solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0). Questões 01. (OBM) Quantos são os números inteiros x que satisfazem à inequação 3 < √x < 7? (A) 13; (B) 26; (C) 38; (D) 39; (E) 40. 02. (ASSISTENTE ADMINISTRATIVO) A pontuação numa prova de 25 questões é a seguinte: + 4 por questão respondida corretamente e –1 por questão respondida de forma errada. Para que um aluno receba nota correspondente a um número positivo, deverá acertar no mínimo: (A) 3 questões (B) 4 questões (C) 5 questões (D) 6 questões (E) 7 questões 03. (Tec.enfermagem/PM) O menor número inteiro que satisfaz a inequação 4x + 2 (x-1) > x – 12 é: (A) -2. (B) -3. (C) -1. . 285 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (D) 4. (E) 5. 04. (AUX. TRT 6ª/FCC) Uma pessoa, brincando com uma calculadora, digitou o número 525. A seguir, foi subtraindo 6, sucessivamente, só parando quando obteve um número negativo. Quantas vezes ela apertou a tecla correspondente ao 6? (A) 88. (B) 87. (C) 54. (D) 53. (E) 42. 05. (CFSD/PM/2012) Baseado na figura abaixo, o menor valor inteiro par que o número x pode assumir para que o perímetro dessa figura seja maior que 80 unidades de comprimento é: (A) 06. (B) 08. (C) 10. (D) 12. (E) 14. 06. (MACK) – Em N, o produto das soluções da inequação 2x – 3 ≤ 3 é: (A) maior que 8. (B) 6. (C) 2. (D) 1. (E) 0. 07. (SEE/AC – Professor de Ciências da Natureza Matemática e suas Tecnologias – FUNCAB/2014) Determine os valores de que satisfazem a seguinte inequação: 3𝑥 𝑥 +2≤ −3 2 2 (A) x > 2 (B) x ≤ - 5 (C) x > - 5 (D) x < 2 (E) x ≤ 2 08. (UEAP – Técnico em Planejamento, Orçamento e Finanças – Ciências Contábeis – CS- UFG/2014) O dono de um restaurante dispõe de, no máximo, R$ 100,00 para uma compra de batata e feijão. Indicando por X e Y os valores gastos, respectivamente, na compra de batata e de feijão, a inequação que representa esta situação é: (A) X + Y > 100 (B) X + Y ≤ 100 𝑋 (C) 𝑌 > 100 𝑋 (D) 𝑌 ≤ 100 . 286 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Respostas 01. Resposta: D. Como só estamos trabalhando com valores positivos, podemos elevar ao quadrado todo mundo e ter 9 < x < 49, sendo então que x será 10, 11, 12, 13, 14, ..., 48. Ou seja, poderá ser 39 valores diferentes. 02. Resposta: D. Se a cada x questões certas ele ganha 4x pontos então quando erra (25 – x) questões ele perde (25 – x)(-1) pontos, a soma desses valores será positiva quando: 4X + (25 -1 )(-1) > 0 → 4X – 25 + x > 0 → 5x > 25 → x > 5 O aluno deverá acertar no mínimo 6 questões. 03. Resposta: C. 4x + 2 – 2 > x -12 4x + 2x – x > -12 +2 5x > -10 x > -2 Se enumerarmos nosso conjunto verdade teremos: V= {-1,0,1, 2,...}, logo nosso menor número inteiro é -1. 04. Resposta: A. Vamos chamar de x o número de vezes que ele apertou a calculadora 525 – 6x < 0 (pois o resultado é negativo) -6x < -525. (-1) → 6x > 525 → x > 87,5; logo a resposta seria 88(maior do que 87,5). 05. Resposta: B. Perímetro soma de todos os lados de uma figura: 6x – 8 + 2. (x+5) + 3x + 8 > 80 6x – 8 + 2x + 10 + 3x + 8 > 80 11x + 10 > 80 11x > 80 -10 x > 70/11 x > 6,36 Como tem que ser o menor número inteiro e par, logo teremos 8. 06 . Resposta: E. 2x ≤ 3+3 2x ≤ 6 x≤3 Como ele pede o produto das soluções, teremos: 3.2.1.0,...= 0; pois todo número multiplicado por zero será ele mesmo. 07. Resposta: B. 3𝑥 𝑥 3𝑥 𝑥 2𝑥 +2 ≤ −3 → − ≤ −3 − 2 → ≤ −5 → 𝑥 ≤ −5 2 2 2 2 2 08. Resposta: B. Batata = X Feijão = Y O dono não pode gastar mais do que R$ 100,00(ele pode gastar todo o valor e menos do que o valor), logo: X + Y ≤ 100 INEQUAÇÃO DO 2º GRAU Chamamos de inequação do 2º toda desigualdade pode ser representada da seguinte forma: . 287 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  ax2 + bx + c > 0 , ax2 + bx + c < 0 , ax2 + bx + c ≥ 0 ou ax2 + bx + c ≤ 0 A sua resolução depende do estudo do sinal da função y = ax2 + bx + c , para que possamos determinar os valores reais de x para que tenhamos, respectivamente: y > 0 , y < 0 , y ≥ 0 ou y ≤ 0. E para o estudo do sinal, temos os gráficos abaixo: a>0 a<0 Para melhor entendimento vejamos alguns exemplos: 1) Resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0. Δ = b2 – 4.a.c → Δ = 102 – 4.3.7 = 100 – 84 = 16 −10 + 4 −6 −10 ± √16 −10 ± 4 𝑥′ = = = −1 𝑥= →𝑥= →{ 6 6 2.3 6 −10 − 6 14 7 𝑥 ′′ = =− =− 6 6 3 Agora vamos montar graficamente o valor para que assim achemos os valores que satisfaçam a mesma. Como queremos valores menores que zero, vamos utilizar o intervalo onde os mesmos satisfaçam a inequação, logo a solução para equação é: S = {x ϵ R | -7/3 < x < -1} 2) Determine a solução da inequação x² – 4x ≥ 0. . 288 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  4+4 −(−4) ± √16 4 ± 4 𝑥′ = 2 = 4 𝑥= →𝑥= { 2 2 4−4 𝑥 ′′ = =0 2 Graficamente temos: Observe que ao montarmos no gráfico conseguimos visualizar o intervalo que corresponde a solução que procuramos. Logo: S = {x ϵ R | x ≤ 0 ou x ≥ 4} Questões 01. (VUNESP) O conjunto solução da inequação 9x2 – 6x + 1 ≤ 0, no universo do números reais é: (A) ∅ (B) R 1 (C) {3} 1 (D) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≥ 3} 1 (E) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≠ } 3 02. (PUC-MG) O produto dos elementos do conjunto 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁|(𝑥 − 2). (7 − 𝑥) > 0} é: (A) 60 (B) 90 (C) 120 (D) 180 (E) 360 1 03. Em R, o domínio mais amplo possível da função, dada por 𝑓(𝑥) = , é o intervalo: √9−𝑥 2 (A) [0; 9] (B) ]0; 3[ (C) ]- 3; 3[ (D) ]- 9; 9[ (E) ]- 9; 0[ Respostas 01. Resposta: C. Resolvendo por Bháskara: ∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 ∆= (−6)2 − 4.9.1 ∆= 36 − 36 = 0 −𝑏±√∆ 𝑥= 2𝑎 −(−6)±√0 𝑥= 2.9 6±0 6 1 𝑥= 18 = 18 = 3 (delta igual a zero, duas raízes iguais) Fazendo o gráfico, a > 0 parábola voltada para cima: . 289 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  1 S = {3} 02. Resposta: E. (x – 2).(7 – x) > 0 (aplicando a distributiva) 7x – x2 – 14 + 2x > 0 - x2 + 9x – 14 > 0 ∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 ∆= 92 − 4. (−1). (−14) ∆= 81 − 56 = 25 −9±√25 𝑥= 2.(−1) −9±5 −9+5 −4 −9−5 −14 𝑥= −2  𝑥1 = −2 = −2 = 2 ou 𝑥2 = −2 = −2 =7 Fazendo o gráfico, a < 0 parábola voltada para baixo: a solução é 2 < x < 7, neste intervalo os números naturais são: 3, 4, 5 e 6. 3.4.5.6 = 360 03. Resposta: C. Para que exista a raiz quadrada da função temos que ter 9 – x2 ≥ 0. Porém como o denominador da fração tem que ser diferente de zero temos que 9 – x2 > 0. - x2 + 9 >0 As soluções desta equação do 2° grau são 3 e – 3. Fazendo o gráfico, a < 0, parábola voltada para baixo: A solução é – 3 < x < 3 ou ]- 3; 3[ . 290 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Funções de 1º e 2° graus. RELAÇÃO Plano Cartesiano Ortogonal de Coordenadas Foi criado por René Descartes, ao qual consiste em dois eixos perpendiculares: 1 - Horizontal denominado eixo das abscissas e 2 - Vertical denominado eixo das ordenadas. Tem como objetivo localizarmos pontos determinados em um determinado espaço. Além do mais, o plano cartesiano foi dividido em quadrantes aos quais apresentam as seguinte propriedades em relação ao par ordenado (x, y) ou (a, b). Par Ordenado Quando representamos o conjunto (a, b) ou (b, a) estamos, na verdade, representando o mesmo conjunto, sem nos preocuparmos com a ordem dos elementos. Porém, em alguns casos, é conveniente distinguir a ordem destes elementos. Para isso, usamos a ideia de par ordenado que é conjunto de formado por dois elementos, onde o primeiro é a ou x e o segundo é b ou y. Propriedade Dois pares ordenados (a, b) = (c, d) são iguais se e somente se, a = c e b = d Ou Dois pares ordenados (x, y) = (w, z) são iguais se e somente se, x = w e y = z Exemplos: 1) (a,b) = (2,5)  a = 2 e b = 5. 2) (a + 1,6) = (5,2b)  a + 1 = 5 e 6 = 2b  a = 5 -1 e b = 6/2  a = 4 e b = 3. Gráfico cartesiano do par ordenado Todo par ordenado de números reais pode ser representado por um ponto no plano cartesiano. . 291 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Temos que: - P é o ponto de coordenadas a e b; - o número a é chamado de abscissa de P; - o número b é chamado ordenada de P; - a origem do sistema é o ponto O (0,0). Vejamos a representação dos pontos abaixo: A (4,3) B (1,2) C (-2,4) D (-3,-4) E (3,-3) F (-4,0) G (0,-2) Produto Cartesiano Dados dois conjuntos A e B, chamamos de produto cartesiano A x B ao conjunto de todos os possíveis pares ordenados, de tal maneira que o 1º elemento pertença ao 1º conjunto (A) e o 2º elemento pertença ao 2º conjunto (B). 𝐀 𝐱 𝐁 = {(𝐱, 𝐲)|𝐱 ∈ 𝐀 𝐞 𝐲 ∈ 𝐁} Quando o produto cartesiano for efetuado entre o conjunto A e o conjunto A, podemos representar A x A = A2. Vejamos, por meio de o exemplo a seguir, as formas de apresentação do produto cartesiano. Exemplo: Sejam A = {2,3,4} e B = {3,5}. Podemos efetuar o produto cartesiano A x B, também chamado A cartesiano B, e apresentá-lo de várias formas. a) Listagem dos elementos Apresentamos o produto cartesiano por meio da listagem, quando escrevemos todos os pares ordenados que constituam o conjunto. Assim, no exemplo dado, teremos: A x B = {(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)} Vamos aproveitar os mesmo conjuntos A e B e efetuar o produto B e A (B cartesiano A): B x A = {(3,2),(3,3),(3,4),(5,2),(5,3),(5,4)}. Observando A x B e B x A, podemos notar que o produto cartesiano não tem o privilégio da propriedade comutativa, ou seja, A x B é diferente de B x A. Só teremos a igualdade A x B = B x A quando A e B forem conjuntos iguais. Observação: Considerando que para cada elemento do conjunto A o número de pares ordenados obtidos é igual ao número de elementos do conjunto B, teremos: n (A x B) = n(A) x n(B). No nosso exemplo temos: n (A x B) = n (A) x n (B) = 3 x 2 = 6 . 292 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  b) Diagrama de flechas Apresentamos o produto cartesiano por meio do diagrama de flechas, quando representamos cada um dos conjuntos no diagrama de Euler-Venn, e os pares ordenados por “flechas” que partem do 1º elemento do par ordenado (no 1º conjunto) e chegam ao 2º elemento do par ordenado (no 2º conjunto). Considerando os conjuntos A e B do nosso exemplo, o produto cartesiano A x B fica assim representado no diagrama de flechas: c) Plano cartesiano Apresentamos o produto cartesiano, no plano cartesiano, quando representamos o 1º conjunto num eixo horizontal, e o 2º conjunto num eixo vertical de mesma origem e, por meio de pontos, marcamos os elementos desses conjuntos. Em cada um dos pontos que representam os elementos passamos retas (horizontais ou verticais). Nos cruzamentos dessas retas, teremos pontos que estarão representando, no plano cartesiano, cada um dos pares ordenados do conjunto A cartesiano B (B x A). Noção de Relação Dado os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, temos: A x B = {(4,5), (4,6), (4,7), (4,8), (5,5), (5,6), (5,7), (5,8), (6,5), (6,6), (6,7), (6,8)} Destacando o conjunto A x B, por exemplo, o conjunto R formado pelos pares (x,y) que satisfaçam a seguinte lei de formação: x + y = 10, ou seja: R = {(x,y) ϵ A x B| x + y = 10} Vamos montar uma tabela para facilitar os cálculos. x 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 y 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 x+y 9 10 11 12 10 11 12 13 11 12 13 14 Destacamos os pares que satisfazem a lei de formação: R = {(4,6), (5,5)}, podemos com isso observar que R ⊂ A x B. Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação de A em B qualquer subconjunto de A x B, isto é: R é uma relação de A em B ↔ R ⊂ A x B Noção de Função Dados os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, considerando o conjunto de pares (x,y), tais que x ϵ A e y ϵ B. Qualquer um desses conjuntos é chamado relação de A em B, mas se cada elemento dessa relação associar cada elemento de A um único elemento de B, dizemos que ela é uma função de A em B. Vale ressaltar que toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função. Analisemos através dos diagramas de Venn. . 293 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Todos os elementos de A tem um único correspondente em B, mesmo que existam elementos de B que sofram mais de uma correspondência dos elementos de A. Logo é função. Existe um elemento em A não tem correspondência em B, logo: Não é função. Todos os elementos de A tem um único correspondente em B. Logo é função. Existe elemento do conjunto A que se corresponde mais de uma vez com o de B, logo: Não é função. Todos os elementos de A se correspondem com um único em B; mesmo que sobrem elementos em B que não sofram correspondência. Logo é função. Analisemos agora através dos gráficos: Se observamos o gráfico, cada elemento de x, tem um único correspondente em y. Logo é função. . 294 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Observe que existem elementos de x que tem mais de um correspondente em y. Logo não é função. Um jeito prático de descobrirmos se o gráfico apresentado é ou não função, é traçarmos retas paralelas ao eixo do y e se verificarmos se no eixo do x existem elementos com mais de uma correspondência, aí podemos dizer se é ou não uma função, conforme os exemplos acima. Elementos da função Como já vimos nos conceitos acima, temos que dado dois conjuntos não vazios A e B chamamos de função a relação que associa a cada elemento de x (ou a) de A um único elemento y (ou b) de B, conhecida também como função de A em B. Na figura abaixo está ilustrado os elementos de uma função. Pelo diagrama de Venn: Representado no gráfico: - Ao conjunto A dá-se o nome de domínio, ou conjunto partida, representado pela letra D. Logo, D(f) = A. - Ao conjunto B dá-se o nome de contradomínio, ou conjunto chegada, representado pelas letras CD ou somente C. Logo, CD(f) = B ou C(f) = B. - A cada elemento y de B que está associado a um x de A, denominamos imagem de x. Logo, y = f(x). (Lê-se: y é igual a f de x). - Ao conjunto dos elementos y de B, que são imagens dos elementos x de A dos elementos x de A, dá-se o nome de conjunto imagem ou apenas imagem, representado por Im ou Im(f). Têm:-se que Im ⊂ B. A notação para representar função é dada por: . 295 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Exemplo: Dado A = {-2, -1, 0, 1, 2} vamos determinar o conjunto imagem da função f:A→ R, definida por f(x) = x+3. Vamos pegar cada elemento do conjunto A, aplicarmos a lei de associação e acharmos a imagem deste conjunto. F(-2) = -2 + 3 = 1 F(-1) = -1 + 3 = 2 F(0) = 0 + 3 = 3 F(1) = 1 + 3 = 4 F(2) = 2 + 3 = 5 Domínio de uma função real de variável real Para definirmos uma função precisamos conhecer dois conjuntos (não vazios) A e B e a lei que associa cada elemento x de A um único elemento y de B. Para nosso caso vamos considerar A e B sendo subconjuntos de R e diremos que f é uma função real de variável real. O conjunto A, domínio da função f, será formado por todos os elementos do conjunto real de x, para os quais as operações indicadas na lei de associação sejam possíveis em R. Exemplos: 1) y = x2 + 3x Vamos substituir x por qualquer número real obtermos para y um valor real. Logo D(f) = R. 1 2) 𝑦 = 𝑥 Neste caso como o nosso denominador não pode ser igual a zero, temos que D(f) = R* 𝒙 3) 𝒇(𝒙) = 𝒙−𝟐 Como sabemos que o denominador tem que ser diferente de zero, logo x – 2 ≠ 0  x ≠ 2. D(f) = R – {2} ou D(f) = {x ϵ R| x ≠ 2} FUNÇÃO DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU Recebe ou é conhecida por um desses nomes, sendo por definição: Toda função f: R → R, definida por: Com a ϵ R* e b ϵ R. O domínio e o contradomínio é o conjunto dos números reais (R) e o conjunto imagem coincide com o contradomínio, Im = R. Quando b = 0, chamamos de função linear. . 296 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Gráfico de uma função do 1º grau Dada a função y = 2x + 3 (a = 2 > 0). Vamos montar o gráfico dessa função. Para montarmos o gráfico vamos atribuir valores a x para acharmos y. x y (x,y) 0 y = 2 .0 + 3 = 3 (0,3) -2 y = 2 . (-2) + 3 = - 4 + 3 = -1 (-2,-1) -1 y = 2 .(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 (-1,1) Vamos construir o gráfico no plano cartesiano Observe que a reta de uma função do 1º grau ou de uma função afim é sempre uma reta. E como a > 0 ela é função crescente, que veremos mais a frente Vejamos outro exemplo: f(x) = –x + 1. Montando o gráfico temos: Observe que a < 0, logo é uma função descrente. Tipos de Função Função constante: é toda função definida f: R → R, para cada elemento de x, temos a mesma imagem, ou seja, o mesmo f(x) = y. Podemos dizer que y = f(x) = k. Observe os gráficos abaixo da função constante A representação gráfica de uma função do constante, é uma reta paralela ao eixo das abscissas ou sobre o eixo (igual ao eixo abscissas). Função Identidade Se a = 1 e b = 0, então y = x. Quando temos este caso chamamos a função de identidade, notamos que os valores de x e y são iguais, quando a reta corta os quadrantes ímpares e y = - x, quando corta os quadrantes pares. . 297 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  A reta que representa a função identidade é denominada de bissetriz dos quadrantes ímpares: E no caso abaixo a reta é a bissetriz dos quadrantes pares. Função Injetora: Quando para n elementos distintos do domínio apresentam imagens também distintas no contradomínio. Reconhecemos, graficamente, uma função injetora quando, uma reta horizontal, qualquer que seja interceptar o gráfico da função, uma única vez. Se traçarmos retas horizontais, paralelas ao eixo x, notaremos que o mesmo cortará a reta formada pela função em um único ponto (o que representa uma imagem distinta), logo concluímos que se trata de uma função injetora. . 298 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Função Sobrejetora: Quando todos os elementos do contradomínio forem imagens de pelo menos um elemento do domínio. Reconhecemos, graficamente, uma função sobrejetora quando, qualquer que seja a reta horizontal que interceptar o eixo no contradomínio, interceptar, também, pelo menos uma vez o gráfico da função. Observe que todos os elementos do contradomínio tem um correspondente em x. Logo é sobrejetora. Im(f) = B Observe que nem todos os elementos do contradomínio tem um correspondente em x. Logo não é sobrejetora. Im(f) ≠ B Função Bijetora: uma função é dita bijetora quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. . 299 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Exemplo: A função f : [1; 3] → [3; 5], definida por f(x) = x + 2, é uma função bijetora. Função Ímpar e Função Par Dizemos que uma função é par quando para todo elemento x pertencente ao domínio temos 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥), ∀ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). Ou seja os valores simétricos devem possuir a mesma imagem. Par melhor compreensão observe o diagrama abaixo: A função é dita ímpar quando para todo elemento x pertencente ao domínio, temos f(-x) = -f(x) ∀ x є D(f). Ou seja os elementos simétricos do domínio terão imagens simétricas. Observe o diagrama abaixo: Função crescente e decrescente A função pode ser classificada de acordo com o valor do coeficiente a (coeficiente angular da reta), se a > 0, a função é crescente, caso a < 0, a função é decrescente. A função do 1º grau é caracterizado por uma reta. . 300 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Observe que medida que os valores de x aumentam, os valores de y ou f(x) também aumentam. Observe que medida que os valores de x aumentam, os valores de y ou f(x) diminuem. Através do gráfico da função do 1º grau notamos que: -Para função é crescente o ângulo formado entre a reta da função e o eixo x (horizontal) é agudo (< 90º) e - Para função decrescente o ângulo formado é obtuso (> 90º). Zero ou Raiz da Função do 1º grau Chama-se zero ou raiz da função do 1º grau y = ax + b, o valor de x que anula a função, isto é, o valor de x para que y ou f(x) seja igual à zero. Para achar o zero da função y = ax + b, basta igualarmos y ou f(x) a valor de zero, então assim teremos uma equação do 1º grau, ax + b = 0. Exemplo: Determinar o zero da função: f(x) = x + 3 Igualamos f(x) = 0  0 = x + 3  x = -3 Graficamente temos: . 301 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  No plano cartesiano, o zero da função do 1º grau é representado pela abscissa do ponto onde a reta corta o eixo x. Observe que a reta f(x) = x+3 intercepta o eixo x no ponto (-3,0), ou seja, no ponto de abscissa -3, que é o zero da função. Observamos que como a > 0, temos que a função é crescente. Partindo equação ax + b = 0 podemos também escrever de forma simplificada uma outra maneira de acharmos a raiz da função utilizando apenas os valores de a e b. −𝒃 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎 → 𝒂𝒙 = −𝒃 → 𝒙 = 𝒂 Podemos expressar a fórmula acima graficamente: Estudo do sinal da função do 1º grau: Estudar o sinal da função do 1º grau y = ax + b é determinar os valores reais de x para que: - A função se anule (y = 0); - A função seja positiva (y > 0); - A função seja negativa (y < 0). Vejamos abaixo o estudo do sinal: Se a > 0 (função crescente) −𝑏 𝑥< →𝑦<0 𝑎 −𝑏 𝑥> →𝑦>0 𝑎 . 302 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Se a < 0 (função decrescente) −𝑏 𝑥< →𝑦>0 𝑎 −𝑏 𝑥> →𝑦<0 𝑎 Exemplo: Estudar o sinal da função y = 2x – 4 (a = 2 > 0). 1) Qual o valor de x que anula a função? y=0 2x – 4 = 0 → 2x = 4 4 x= 2 x=2 A função se anula para x = 2. 2) Quais valores de x tornam positiva a função? y>0 2x – 4 > 0 2x > 4 4 x> 2 x>2 A função é positiva para todo x real maior que 2. 3) Quais valores de x tornam negativa a função? y<0 2x – 4 < 0 2x < 4 4 x< 2 x<2 A função é negativa para todo x real menor que 2. Podemos também estudar o sinal da função por meio de seu gráfico: . 303 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  - Para x = 2 temos y = 0; - Para x > 2 temos y > 0; - Para x < 2 temos y < 0. Questões 01. (PM/SP – CABO – CETRO/2012) O gráfico abaixo representa o salário bruto (S) de um policial militar em função das horas (h) trabalhadas em certa cidade. Portanto, o valor que este policial receberá por 186 horas é (A) R$ 3.487,50. (B) R$ 3.506,25. (C) R$ 3.534,00. (D) R$ 3.553,00. 02. (PREF. JUNDIAI/SP – ELETRICISTA – MAKIYAMA/2013) Em determinado estacionamento cobra-se R$ 3,00 por hora que o veículo permanece estacionado. Além disso, uma taxa fixa de R$ 2,50 é somada à tarifa final. Seja t o número de horas que um veículo permanece estacionado e T a tarifa final, assinale a seguir a equação que descreve, em reais, o valor de T: (A) T = 3t (B) T = 3t + 2,50 (C) T = 3t + 2.50t (D) T = 3t + 7,50 (E) T = 7,50t + 3 03. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO/2012) Dada a função f(x) = −4x +15 , sabendo que f(x) = 35, então (A) x = 5. (B) x = 6. (C) x = -6. (D) x = -5. 04. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO/2013) O gráfico abaixo apresenta o consumo médio de oxigênio, em função do tempo, de um atleta de 70 kg ao praticar natação. . 304 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Considere que o consumo médio de oxigênio seja diretamente proporcional à massa do atleta. Qual será, em litros, o consumo médio de oxigênio de um atleta de 80 kg, durante 10 minutos de prática de natação? (A) 50,0 (B) 52,5 (C) 55,0 (D) 57,5 (E) 60,0 05. (PETROBRAS – TÉCNICO AMBIENTAL JÚNIOR – CESGRANRIO/2012) de domínio real, então, m − p é igual a (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 64 (E) 7 06. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - Condução de Veículos Metroferroviários – CONSULPLAN/2014) A função inversa de uma função f(x) do 1º grau passa pelos pontos (2, 5) e (3, 0). A raiz de f(x) é (A) 2. (B) 9. (C) 12. (D) 15. 𝑥 07. (BRDE-RS) – Numa firma, o custo para produzir x unidades de um produto é C(x) = 2 + 10000, e 2 o faturamento obtido com a comercialização dessas x unidades é f(x) = 𝑥. Para que a firma não tenha 3 prejuízo, o faturamento mínimo com a comercialização do produto deverá ser de: (A) R$ 10.000,00 (B) R$ 13.000,00 (C) R$ 15.000,00 (D) R$ 18.000,00 (E) R$ 20.000,00 08. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - Condução de Veículos Metroferroviários – CONSULPLAN/2014) Qual dos pares de pontos a seguir pertencem a uma função do 1º grau decrescente? (A) Q(3, 3) e R(5, 5). (B) N(0, –2) e P(2, 0). (C) S(–1, 1) e T(1, –1). (D) L(–2, –3) e M(2, 3). . 305 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  09. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - Condução de Veículos Metroferroviários – CONSULPLAN/2014) A reta que representa a função f(x) = ax + b intercepta o eixo y no ponto (0, 4) e passa pelo ponto (–1, 3). A raiz dessa função é (A) –4. (B) –2. (C) 1. (D) 2. 10. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT/2014) O planeta Terra já foi um planeta incandescente segundo estudos e está se resfriando com o passar dos anos, mas seu núcleo ainda está incandescente. Em certa região da terra onde se encontra uma mina de carvão mineral, foi constatado que, a cada 80 metros da superfície, a temperatura no interior da Terra aumenta 2 graus Celsius. Se a temperatura ambiente na região da mina é de 23° Celsius, qual a temperatura no interior da mina num ponto a 1200 metros da superfície? (A) 15º C (B) 38º C (C) 53º C (D) 30º C (E) 61º C Respostas 01. Resposta: A. 300 750 𝑥 16 = 40 = 186 40𝑥 = 750 ∙ 186 𝑥 = 3487,50 02. Resposta: B. Equacionando as informações temos: 3 deve ser multiplicado por t, pois depende da quantidade de tempo, e acrescentado 2,50 fixo T = 3t + 2,50 03. Resposta: D. 35 = - 4x + 15 - 4x = 20 x=-5 04. Resposta: E. A proporção de oxigênio/tempo: 10,5 21,0 𝑥 = = 2 4 10 4x = 210 x = 52,5 litros de oxigênio em 10 minutos para uma pessoa de 70 kg 52,5litros----70kg x-------------80kg x = 60 litros 05. Resposta: C. Aplicando segundo as condições mencionadas: x=1 f(1) = 2.1 - p f(1) = m - 1 x=6 f(6) = 6m - 1 . 306 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  7.6+4 42+4 𝑓(6) = 2 = 2 = 23 ; igualando as duas equações: 23 = 6m - 1 m=4 Como queremos m – p , temos: 2 - p = m - 1 ; igualando as duas novamente. 2–p=4-1 p=-1 m – p = 4 - (- 1) = 5 06. Resposta: D. Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b: Sabendo que f(x) = y , temos que y = ax + b. * a: basta substituir os pontos T (2, 5) e V (3, 0) na equação. Assim: ( T ) 5 = a.2 + b , ou seja, 2.a + b = 5 ( I ) ( V ) 0 = a.3 + b , ou seja, 3.a + b = 0 , que fica b = – 3.a ( II ) Substituindo a equação ( II ) na equação ( I ), temos: 2.a + (– 3.a) = 5 2.a – 3.a = 5 – a = 5 . (– 1) a=–5 Para calcular o valor de b, vamos substituir os valores de um dos pontos e o valor de a na equação. Vamos pegar o ponto V (3, 0) para facilitar os cálculos: y = a.x + b 0 = – 5.3 + b b = 15 Portanto, a função fica: y = – 5.x + 15 . Agora, precisamos calcular a função inversa: basta trocar x por y e vice-versa. Assim: x = – 5.y + 15 5.y = – x +15 y = – x / 5 + 15/5 y = – x / 5 + 3 (função inversa) Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim: 0=–x/5+3 x/5=3 x=3.5 x = 15 07. Resposta: E. 𝑥 C(x) = 2 + 10000 2 F(x) = 3 𝑥 f(x) > c(x) 2 𝑥 𝑥 > + 10000 3 2 2 𝑥 4𝑥−3𝑥 4𝑥−3𝑥 10000 3 𝑥 − 2 > 10000  6 x > 10000  6 x > 10000 x > 1  x > 60000 6 Substituindo 𝑥 60000 C(x) = + 10000 = + 10000 = 30000 – 10000 = 20000 2 2 2 F(x) = 3 60000 = 40000 Fm = 40000 – 20000 → Fm = 20000 Portanto o resultado final é de R$ 20.000,00. . 307 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  08. Resposta: C. Para pertencer a uma função polinomial do 1º grau decrescente, o primeiro ponto deve estar em uma posição “mais alta” do que o 2º ponto. Vamos analisar as alternativas: ( A ) os pontos Q e R estão no 1º quadrante, mas Q está em uma posição mais baixa que o ponto R, e, assim, a função é crescente. ( B ) o ponto N está no eixo y abaixo do zero, e o ponto P está no eixo x à direita do zero, mas N está em uma posição mais baixa que o ponto P, e, assim, a função é crescente. ( D ) o ponto L está no 3º quadrante e o ponto M está no 1º quadrante, e L está em uma posição mais baixa do que o ponto M, sendo, assim, crescente. ( C ) o ponto S está no 2º quadrante e o ponto T está no 4º quadrante, e S está em uma posição mais alta do que o ponto T, sendo, assim, decrescente. 09. Resposta: A. Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b: Sabendo que f(x) = y , temos que y = ax + b. * a: basta substituir os pontos T (0, 4) e V (–1, 3) na equação. Assim: ( T ) 4 = a.0 + b , ou seja, b = 4 ( V ) 3 = a.( – 1) + b a=4–3=1 Portanto, a função fica: y = x + 4 Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim: 0 = x + 4 , ou seja, x = – 4 10. Resposta: C. Vamos utilizar a função T(h) = 23 + 2.h, onde T é a temperatura e h é a profundidade. Assim: A temperatura aumenta: 1200 / 80 = 15 partes Assim: 15 . 2 = 30º C Assim: 23º C + 30º C = 53º C FUNÇÃO DO 2º GRAU Chama-se função do 2º grau, função quadrática, função polinomial do 2º grau ou função trinômio do 2º grau é toda função f de R em R definida por um polinômio do 2º grau da forma: Com a, b e c reais e a ≠ 0. Onde: a é o coeficiente de x2 b é o coeficiente de x c é o termo independente Exemplos: y = x2 – 5x + 6, sendo a = 1, b = – 5 e c = 6 y = x2 – 16, sendo a = 1, b = 0 e c = – 16 f(x) = x2, sendo a = 1, b = 0 e c = 0 f(x) = 3x2 + 3x, sendo a = 3 , b = 3 e c = 0 Representação gráfica da Função do 2º grau O gráfico da função do 2º grau é constituído de uma curva aberta chamada de parábola. Vejamos a trajetória de um projétil lançado obliquamente em relação ao solo horizontal, ela é uma parábola cuja concavidade está voltada para baixo. . 308 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Exemplo: Se a função f de R em R definida pela equação y = x2 + x. Atribuindo à variável x qualquer valor real, obteremos em correspondência os valores de y, vamos construir o gráfico da função: x y -3 6 -2 2 -1 0 -1/2 -1/4 0 0 1 2 2 6 1) Como o valor de a > 0 a concavidade está voltada para cima; 2) -1 e 0 são as raízes de f(x); 3) c é o valor onde a curva corta o eixo y neste caso, no 0 (zero) 4) O valor do mínimo pode ser observado nas extremidades (vértice) de cada parábola: -1/2 e -1/4 Concavidade da Parábola No caso das funções do 2º grau, a parábola pode ter sua concavidade voltada para cima (a > 0) ou voltada para baixo (a < 0). A concavidade é determinada pelo valor do a (positivo ou maior que zero / negativo ou menor que zero). Esta é uma característica geral para a função do 2º grau. Vértice da parábola Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima ou ponto de ordenada mínima, a esse ponto denominamos vértice. Dado por V (xv , yv). . 309 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  - Eixo de simetria É aquele que dado o domínio a imagem é a mesma. Isso faz com que possamos dizer que a parábola é simétrica a reta que passa por xv, paralela ao eixo y, na qual denominamos eixo de simetria. Vamos entender melhor o conceito analisando o exemplo: y = x2 + 2x – 3 (início do assunto). Atribuímos valores a x, achamos valores para y. Temos que: f (-3) = f (1) = 0 f (-2) = f (0) = -3 Conjunto Domínio e Imagem Toda função do 2º grau com Domínio nos Reais (R) que possui a > 0, sua concavidade está voltada para cima, e o seu conjunto imagem é dado por: −∆ −∆ 𝑰𝒎 = {𝒚 ∈ 𝑹| 𝒚 ≥ 𝟒𝒂 } 𝒐𝒖 𝑰𝒎 = [ 𝟒𝒂 ; +∞[ Logo se a < 0, a concavidade estará voltada para baixo, o seu conjunto imagem é dado por: −∆ −∆ 𝑰𝒎 = {𝒚 ∈ 𝑹| 𝒚 ≤ 𝟒𝒂 } 𝒐𝒖 𝑰𝒎 = ]−∞; 𝟒𝒂 ] Coordenadas do vértice da parábola Como visto anteriormente a função do 2º grau apresenta como eixo de simetria uma reta vertical que intercepta o gráfico num ponto chamado de vértice. As coordenadas do vértice são dadas por: Onde: x1 e x2 são as raízes da função. . 310 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Valor máximo e valor mínimo da função do 2º grau - Se a > 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada mínima. Nesse caso, o vértice é chamado ponto de mínimo e a ordenada do vértice é chamada valor mínimo da função; - Se a < 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada máxima. Nesse caso, o vértice é ponto de máximo e a ordenada do vértice é chamada valor máximo da função. Exemplo: Dado a função y = x2 – 2x – 3 vamos construir a tabela e o gráfico festa função, determinando também o valor máximo ou mínimo da mesma. Como a = 1 > 0, então a função possui um valor mínimo como pode ser observado pelo gráfico. O valor de mínimo ocorre para x = 1 e y = -4. Logo o valor de mínimo é -4 e a imagem da função é dada por: Im = { y ϵ R | y ≥ -4}. Raízes ou zeros da função do 2º grau As raízes ou zeros da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c são os valores de x reais tais que f(x) = 0, ou seja são valores que deixam a função nula. Com isso aplicamos o método de resolução da equação do 2º grau. ax2 + bx + c = 0 A resolução de uma equação do 2º grau é feita com o auxílio da chamada “fórmula de Bháskara”. . 311 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  b  x , onde, = b2 – 4.a.c 2.a As raízes (quando são reais), o vértice e a intersecção com o eixo y são fundamentais para traçarmos um esboço do gráfico de uma função do 2º grau. Forma fatorada das raízes: f (x) = a (x – x1) (x – x2). Esta fórmula é muito útil quando temos as raízes e precisamos montar a sentença matemática que expresse a função. Estudo da variação do sinal da função do 2º grau Estudar o sinal de uma função quadrática é determinar os valores reais de x que tornam a função positiva, negativa ou nula. Abaixo podemos resumir todos os valores assumidos pela função dado a e Δ (delta). Observe que: Quando Δ > 0, o gráfico corta e tangencia o eixo x em dois pontos distintos, e temos duas raízes reais distintas. Quando Δ = 0, o gráfico corta e tangencia o eixo dos x em um ponto e temos duas raízes iguais. Quando Δ < 0, o gráfico não corta e não tangencia o eixo dos x em nenhum ponto e não temos raízes reais. Exemplos 1) Considere a função quadrática representada pelo gráfico abaixo, vamos determinar a sentença matemática que a define. Resolução: Como conhecemos as raízes x1 e x2 (x1= -4 e x2 = 0), podemos nos da forma fatorada temos: f (x) = a.[ x – (-4)].[x – 0] ou f (x) = a(x + 4).x . O vértice da parábola é (-2,4), temos: 4 = a.(-2 + 4).(-2)  a = -1 Logo, f(x) = - 1.(x + 4).x  (-x – 4x).x  -x2 – 4x . 312 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  2) Vamos determinar o valor de k para que o gráfico cartesiano de f(x) = -x2 + (k + 4). x – 5 ,passe pelo ponto (2;3). Resolução: Como x = 2 e f(x) = y = 3, temos: 3 = -(2)2 + (k + 4).2 – 5  3 = -4 + 2k + 8 – 5  2k + 8 – 9 = 3  2 k – 1 = 3  2k = 3 + 1  2k = 4  k = 2. Questões 01. (CBM/MG – Oficial Bombeiro Militar – FUMARC/2014) Duas cidades A e B estão separadas por uma distância d. Considere um ciclista que parte da cidade A em direção à cidade B. A distância d, em quilômetros, que o ciclista ainda precisa percorrer para chegar ao seu destino em função do tempo t, em 100−𝑡 2 horas, é dada pela função 𝑑(𝑡) = . Sendo assim, a velocidade média desenvolvida pelo ciclista em 𝑡+1 todo o percurso da cidade A até a cidade B é igual a (A) 10 Km/h (B) 20 Km/h (C) 90 Km/h (D) 100 Km/h 02. (ESPCEX – CADETES DO EXÉRCITO – EXÉRCITO BRASILEIRO/2013) Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x)=3x²-12x e o custo mensal da produção é dado por C(x)=5x²-40x-40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a (A) 4 lotes. (B) 5 lotes. (C) 6 lotes. (D) 7 lotes. (E) 8 lotes. 03. (IPEM – TÉCNICO EM METROLOGIA E QUALIDADE – VUNESP/2013) A figura ilustra um arco decorativo de parábola AB sobre a porta da entrada de um salão: Considere um sistema de coordenadas cartesianas com centro em O, de modo que o eixo vertical (y) passe pelo ponto mais alto do arco (V), e o horizontal (x) passe pelos dois pontos de apoio desse arco sobre a porta (A e B). Sabendo-se que a função quadrática que descreve esse arco é f(x) = – x²+ c, e que V = (0; 0,81), pode- se afirmar que a distância ̅̅̅̅ 𝐴𝐵, em metros, é igual a (A) 2,1. (B) 1,8. (C) 1,6. (D) 1,9. (E) 1,4. 04. (POLICIA MILITAR/MG – SOLDADO – POLICA MILITAR/2013) A interseção entre os gráficos das funções y = - 2x + 3 e y = x² + 5x – 6 se localiza: (A) no 1º e 2º quadrantes (B) no 1º quadrante (C) no 1º e 3º quadrantes (D) no 2º e 4º quadrantes . 313 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  05. (PARANAEDUCAÇÃO – MOTORISTA – UEL/COPS/2013) Considere o gráfico da função f a seguir. Com base no gráfico, assinale a alternativa correta. (A) f(-2) < 0 (B) f(0) = -3 (C) f(1/2) > 0 (D) f(1) = 1 (E) f(2) < 0 06. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO/2012) Sabe-se que, sob um certo ângulo de tiro, a altura h atingida por uma bala, em metros, em função do tempo t, em segundos, é dada por h(t)=-3t²+15t. Portanto, é correto afirmar que, depois de 3s, a bala atingirá (A) 18 metros. (B) 20 metros. (C) 27 metros. (D) 32 metros. 07. (PETROBRAS – TÉCNICO AMBIENTAL JÚNIOR – CESGRANRIO/2012) Sejam f(x)=-2x²+4x+16 e g(x)=ax²+bx+c funções quadráticas de domínio real, cujos gráficos estão representados acima. A função f(x) intercepta o eixo das abscissas nos pontos P(xP,0) e M(xM,0) e g(x), nos pontos (1,0) e Q(xQ,0). Se g(x) assume valor máximo quando x=xM, conclui-se que xQ é igual a: (A) 3 (B) 7 (C) 9 (D) 11 (E) 13 08. (TRANSPETRO – TÉCNICO DE ADMINISTRAÇÃO E CONTROLE JÚNIOR – CESGRANRIO/2012) A raiz da função f(x) = 2x − 8 é também raiz da função quadrática g(x) = ax²+ bx + c. Se o vértice da parábola, gráfico da função g(x), é o ponto V(−1, −25), a soma a + b + c é igual a: (A) − 25 (B) − 24 (C) − 23 (D) − 22 (E) – 21 . 314 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  09. (PM/SP – OFICIAL – VUNESP/2013) Na figura, tem-se o gráfico de uma parábola. Os vértices do triângulo AVB estão sobre a parábola, sendo que os vértices A e B estão sobre o eixo das abscissas e o vértice V é o ponto máximo da parábola. A área do triângulo AVB, cujas medidas dos lados estão em centímetros, é, em centímetros quadrados, igual a (A) 8. (B) 9. (C) 12. (D) 14. (E) 16. 10. (CREA/PR – AGENTE ADMINISTRATIVO – FUNDATEC/2013) Supondo que o valor d (em milhares de reais) gasto com cimento por uma prefeitura, de janeiro a dezembro de 2011, pode ser aproximado pelo modelo d(t)= − t2 + 12t + 13, 1 ≤ t ≤ 12, em que t representa o mês, com t=1 correspondendo a janeiro, qual o mês em que a prefeitura teve o maior gasto com cimento? (A) Janeiro. (B) Maio. (C) Junho. (D) Setembro. (E) Dezembro. 11. (BRB – Escriturário – CESPEUnB/2011) Ao vender x milhares unidades de determinado produto, a receita, em reais, obtida pela fábrica é expressa pela função f(x) = -10.000(x2– 14x + 13). O custo de produção desses x milhares de unidades, também em reais, é estimado em g(x) = 20.000(x + 3,5). Considerando apenas a receita e o custo relativos a esse produto, julgue o próximo item. Com a venda de qualquer quantia do produto, superior a 2.000 unidades, o lucro líquido da fábrica será sempre positivo. (certo) (errado) 12. (BRB – Escriturário – CESPEUnB/2011) Ao vender x milhares unidades de determinado produto, a receita, em reais, obtida pela fábrica é expressa pela função f(x) = -10.000(x2 – 14x + 13). O custo de produção desses x milhares de unidades, também em reais, é estimado em g(x) = 20.000(x + 3,5). Considerando apenas a receita e o custo relativos a esse produto, julgue o próximo item. O lucro líquido máximo da fábrica será obtido quando forem vendidas 6.000 unidades do produto. (certo) (errado) Respostas 01. Resposta: A. Vamos calcular a distância total, fazendo t = 0: 100−02 𝑑(0) = = 100𝑘𝑚 0+1 Agora, vamos substituir na função: 100−𝑡 2 0= 𝑡+1 100 – t² = 0 – t² = – 100 . (– 1) t² = 100 𝑡 = √100 = 10𝑘𝑚/ℎ . 315 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  02. Resposta: D. L(x)=3x²-12x-5x²+40x+40 L(x)=-2x²+28x+40 𝑏 28 𝑥𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = − = − = 7 𝑙𝑜𝑡𝑒𝑠 2𝑎 −4 03. Resposta: B. C=0,81, pois é exatamente a distância de V F(x)=-x²+0,81 0=-x²+0,81 X²=0,81 X=0,9 A distância AB é 0,9+0,9=1,8 04. Resposta: A. -2x+3=x²+5x-6 X²+7x-9=0 =49+36=85 −7 ± √85 𝑥= 2 −7 + 9,21 𝑥1 = = 1,105 2 −7 − 9,21 𝑥2 = = −8,105 2 Para x=1,105 Y=-2.1,105+3=0,79 Para x=-8,105 Y=19,21 Então a interseção ocorre no 1º e no 2º quadrante. 05. Resposta: B. f(-2)>0 f(0)=-3 F(1/2)<0 F(1)<0 F(2)=0 06. Resposta: A. ℎ(3) = −3 ∙ 32 + 15 ∙ 3 = 18 07. Resposta: B. ∆= 16 + 128 = 144 −4 ± 12 𝑥= −4 𝑥1 = −2 𝑥2 = 4 𝑏 − =4 2𝑎 −𝑏 = 8𝑎 A soma das raízes é –b/a 𝑏 − =8 𝑎 Se já sabemos que uma raiz é 1: 1 + 𝑥𝑄 = 8 𝑥𝑄 = 7 . 316 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  08. Resposta: E. 2x-8=0 2x=8 X=4 𝑥1 + 𝑥2 𝑥𝑣 = 2 4 + 𝑥2 −1 = 2 𝑥2 = −2 − 4 = −6 Lembrando que para encontrar a equação, temos: (x - 4)(x + 6) = x² + 6x - 4x - 24 = x² + 2x - 24 a=1 b=2 c=-24 a + b + c = 1 + 2 – 24 = -21 09. Resposta: A. As raízes são -1 e 3 Sendo função do 2º grau: -(x²-Sx+P)=0(concavidade pra baixo a<0) -x²+Sx-P=0 S=-1+3=2 P=-13=-3 -𝑥 2 + 2𝑥 + 3 = 0 ∆ ℎ𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑉𝑦 = − 4𝑎 ∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 4 + 12 = 16 ℎ𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 4 Base: -1até 0 e 0 até 3 Base: 1+3=4 ℎ 4 𝐴𝑡𝑟𝑖Â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑏 ∙ = 4 ∙ = 8𝑐𝑚² 2 2 10. Resposta: C. Maior gasto corresponde ao maior valor de X. 𝑏 12 𝑥𝑣 = − =− =6 2𝑎 −2 6 corresponde ao mês de junho. 11. Resposta: ERRADO. O lucro da fábrica é obtido pela diferença entre receita e custo: L(x) = R(x) – C(x) L(x) = f(x) – g(x) L(x) = - 10.000(x2 – 14x + 3) – 20.000(x + 3,5) L(x) = - 10.000x2 + 140.000x – 130.000 – 20.000x – 7.000x L(x) = - 10.000x2 + 120.000x – 200.000 Resolvendo a equação: - 10.000x2 + 120.000x – 200.000 = 0 (cortando 4 zeros) - x2 + 12x – 20 = 0 , a = -1, b = 12 e c = -20 ∆ = b2 – 4ac ∆ = 122 – 4.(- 1).(- 20) → ∆ = 144 – 80 → ∆ = 64 −𝑏±√∆ 𝑥= 2𝑎 −12±√64 −12±8 −12+8 −4 −12−8 −20 𝑥= 2.(−1) = −2 𝑥= −2 = −2 = 2 ou 𝑥 = −2 = −2 = 10 . 317 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Como, pelo enunciado, x está em milhares: x = 2.000 ou x= 10.000, temos que fazer o gráfico da função. O a da função é negativo, a concavidade parábola é voltada para baixo. Como podemos ver pelo gráfico com a venda de x milhares entre 2000 e 10000 o lucro será positivo, acima de 10000 o lucro será negativo. 12. Resposta: CERTO. Mesma equação do exercício anterior, o lucro máximo será alcançado quando forem vendidas xv milhares de unidades. −𝑏 −120.000 −120.000 𝑥𝑣 = 2𝑎 = 2.(−10.000) = −20.000 = 6, como x é em milhares, x = 6.000 Geometria analítica. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL (OU PLANO CARTESIANO) Temos dois eixos orientados, um horizontal e outro vertical, perpendiculares entre si. O eixo horizontal é chamado de “eixo das abscissas” e o eixo vertical e chamado de “eixo das ordenadas”. Estes eixos dividem o plano em quatro partes chamadas de “quadrantes”. O ponto O e chamado de ponto “Zero” ou “Ponto de Origem” do sistema. - Propriedades do Sistema Cartesiano. Sendo um ponto p(x, y), temos: 1) Se P ∈ ao 1° quadrante: x > 0 e y > 0 2) Se P ∈ ao 2° quadrante: x < 0 e y > 0 3) Se P ∈ ao 3° quadrante: x < 0 e y < 0 4) Se P ∈ ao 4° quadrante: x > 0 e y < 0 5) Se P ∈ ao eixo das abcissas: y = 0 6) Se P ∈ ao eixo das ordenadas: x = 0 7) Se P ∈ à bissetriz dos quadrantes ímpares (1° e 3° quadrantes): x = y 8) Se P ∈ à bissetriz dos quadrantes pares (2° e 4° quadrantes): x = - y Ponto médio Sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) dois pontos do sistema cartesiano: . 318 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  - se M(xM, yM) é ponto médio do segmento ̅̅̅̅ AB, temos a fórmula do ponto médio: xA + xB xM = 2 𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 𝑦𝑀 = 2 Distância entre dois pontos - de acordo com o Teorema de Pitágoras, temos a fórmula da distância: 𝑑𝐴𝐵 = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )2 Área do triângulo e condição de alinhamento de três pontos Sejam os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) os três vértices de um triângulo ABC, para calcular a área desse triângulo temos a fórmula: |D| xA yA 1 A= , onde D = |x B yB 1| 2 xC yC 1 E a condição para que os três estejam alinhados (mesma linha ou mesma reta) é que D = 0. Questões 01. O ponto A(2m + 1, m + 7) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares. Então, o valor de m é: (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9 02. O ponto P(2 + p, 4p – 12) pertence ao eixo das abscissas, então: (A) P(2 ,0) (B) P(3, 0) (C) P(- 5, 0) (D) P(5, 0) (E) P(- 2, 0) 03. O ponto médio entre A(4, - 1) e B(2, 5) é: (A) M(- 3, 2) (B) M(3, - 2) (C) M(- 3, - 2) (D) M(3, 2) (E) M(1, 2) . 319 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  04. Se M(4, 5) é ponto médio entre A(6, 1) e B. As coordenadas xB e yB, respectivamente, são iguais a: (A) 2 e 9 (B) 2 e 7 (C) 9 e 2 (D) 3 e 9 (E) 1 e 8 05. Calcular a distância entre os pontos abaixo: a) A(3, 1) e B(7, 4) b) C(- 1, 8) e D(2, - 3) 06. Se a distância entre os pontos A(8, 2) e B(3, y) é igual a 5√2, sendo B é um ponto do 1° quadrante, então o valor de y é: (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9 07. Quais são os possíveis valores de c para que os pontos (c, 3), (2, c) e (14, - 3) sejam colineares? (A) 4 e 5 (B) 5 e – 6 (C) – 5 e 6 (D) – 4 e 5 (E) 6 e 5 08. A área de um triângulo que tem vértices nos ponto A(2, 1), B(4, 5) e C(0, 3), em unidades de área, é igual a: (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 2 09. Se (m + 2n, m – 4) e (2 – m, 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então mn é igual a: (A) 2 (B) 0 (C) – 2 (D) 1 (E) ½ Respostas 01. Resposta: B. Se o ponto pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares temos que x = y. x=y 2m + 1 = m + 7 2m – m = 7 – 1 m=6 02. Resposta: D. Se P pertence ao eixo das abscissas y = 0. y=0 4p – 12 = 0 4p = 12 p = 12/4 → p = 3 . 320 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  x=2+p x=2+3 x=5 Logo: P(5, 0) 03. Resposta: D. x +x yA +yB xM = A B e yM = 2 2 4+2 −1+5 xM = = 3 e yM = =2 2 2 04. Resposta: A. xA +xB yA +yB xM = yM = 2 2 6+xB 1+yB 4= 5= 2 2 6 + 𝑥𝐵 = 2.4 1 + 𝑦𝐵 = 2.5 𝑥𝐵 = 8 − 6 = 2 𝑦𝐵 = 10 − 1 = 9 05. Respostas: a) 5 b) √𝟏𝟑𝟎 a) 𝑑𝐴𝐵 = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )2 𝑑𝐴𝐵 = √(7 − 3)2 + (4 − 1)2 = √42 + 32 = √16 + 9 = √25 = 5 b) 𝑑𝐶𝐷 = √(𝑥𝐷 − 𝑥𝐶 )2 + (𝑦𝐷 − 𝑦𝐶 )2 2 𝑑𝐶𝐷 = √(2 − (−1)) + (−3 − 8)2 = √(2 + 1)2 + (−11)2 = √32 + 121 = = √9 + 121 = √130 06. Resposta: C. 𝑑𝐴𝐵 = 5√2 √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )2 = 5√2 (elevando os dois membros ao quadrado) 2 2 (√(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )2 ) = (5√2) (3 − 8)2 + (𝑦 − 2)2 = 25.2 (−5)2 + (𝑦 − 2)2 = 50 25 + (𝑦 − 2)2 = 50 (y – 2)2 = 50 – 25 (y – 2)2 = 25 𝑦 − 2 = ±√25 𝑦 − 2 = ±5 y – 2 = 5 ou y – 2 = - 5 y = 5 + 2 ou y = - 5 + 2 y=7 ou y = - 3 como o ponto B está no 1° quadrante, y > 0  y = 7 07. Resposta: E. Colineares (mesma linha) ou seja, os pontos dados devem estar alinhados. A condição para isto é que D = 0. . 321 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  𝑐 3 1 𝐷=|2 𝑐 1| = 0 (para resolver o determinante D, repetimos as 1ª e 2ª colunas) 14 −3 1 𝑐 3 1 𝑐 3 𝐷=|2 𝑐 1| 2 𝑐 = 𝑐. 𝑐. 1 + 3.1.14 + 1.2. (−3) − 1. 𝑐. 14 − 𝑐. 1. (−3) − 3.2.1 = 14 −3 1 14 −3 = 𝑐 2 + 42 − 6 − 14𝑐 + 3𝑐 − 6 = = 𝑐 2 − 11𝑐 + 30 Então: 𝐷 = 0  𝑐 2 − 11𝑐 + 30 = 0, equação do 2° grau em que a = 1, b = - 11 e c = 30 (lembrando que o c que queremos determinar não é o mesmo c da equação). ∆= 𝑏 2 − 4. 𝑎. 𝑐 ∆= (−11)2 − 4.1.30 ∆= 121 − 120 = 1 −b±√∆ c= 2a −(−11)±√1 11±1 11+1 12 11−1 10 c= = 𝑐= 2 = 2 =6 ou 𝑐 = = =5 2.1 2 2 2 08. Resposta: B. |D| A fórmula da área do triângulo é A = 2 . 2 1 1 2 1 𝐷 = |4 5 1| 4 5 = 2.5.1 + 1.1.0 + 1.4.3 − 1.5.0 − 2.1.3 − 1.4.1 = 0 3 1 0 3 = 10 + 0 + 12 – 0 – 6 – 4 = 22 – 10 = 12 |12| A= =6 2 09. Resposta: E. Do enunciado temos que (m + 2n, m – 4) = (2 – m, 2n), se esses dois pontos são iguais: m + 2n = 2 – m (I) e m – 4 = 2n (II), substituindo (II) em (I), temos: m+m–4=2–m 2m – 4 = 2 – m 2m + m = 2.+ 4 3m = 6 m=6:3 m = 2 (substituindo 2 em (II)) 2 – 4 = 2n - 2 = 2n n=-2:2 n=-1 Logo: mn = 2-1 = ½ (expoente negativo, invertemos a base e o expoente fica positivo. ESTUDO DA RETA Inclinação de uma reta Considere-se no Plano Cartesiano uma reta r. Chama-se inclinação de r à medida de um ângulo α que r forma com o eixo x no sentido anti-horário, a partir do próprio eixo x. . 322 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Coeficiente angular da reta Definimos o coeficiente angular (ou declividade) da reta r o número m tal que 𝐦 = 𝐭𝐠𝛂. Então, temos: - se m = 0 a reta é paralela ao eixo x, isto é, α = 0°. - se m > 0 temos um ângulo α, tal que 0° < α < 90°. O ângulo α é agudo. - se m < 0 temos um ângulo α, tal que 90° < α < 180°. O ângulo α é obtuso. - se m = ∄ (não existe)  a reta é perpendicular ao eixo x, isto é, α = 90°. Sendo A e B dois pontos pertencentes a uma reta r, temos: cateto aposto No triângulo retângulo: tgα = cateto adjacente, então temos que o coeficiente angular m é: y −y ∆𝐲 m = xB −xA  m = ∆𝐱 B A . 323 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Equação fundamental da reta Considerando uma reta r e um ponto A(x0, y0) pertencente à reta. Tomamos outro ponto B(x, y) genérico diferente de A. Com esses dois pontos pertencentes à reta r, podemos calcular o seu coeficiente angular. ∆y m y−y m = ∆x  1 = x−x0 , multiplicando em “cruz”: 0 y – yo = m(x – xo), fórmula da equação fundamental da reta. Exemplos: 1- Uma reta tem inclinação de 60° em relação ao eixo x. Qual é o coeficiente angular desta reta? Solução: m = tgα  m = tg60°  m = √3 2- Uma reta passa pelos pontos A(3, -1) e B(5, 8). Determinar o coeficiente angular dessa reta. ∆y yB −yA 8−(−1) 9 Solução: m = =  m=  m= ∆x xB −xA 5−3 2 3- Uma reta passa pelo ponto A(2, 4) e tem coeficiente angular m = 5. Determinar a equação fundamental dessa reta. Solução: o ponto por onde a reta passa são os valores de xo e yo para substituir na fórmula, então: y − yo = m. (x − xo )  y − 4 = 5. (x − 2) (esta é a equação fundamental da reta) Equação geral da reta Toda reta tem uma Equação Geral do tipo: 𝐚𝐱 + 𝐛𝐲 + 𝐜 = 𝟎 , onde a, b e c são os coeficientes da equação e podem ser qualquer número real, com a condição de que a e b não sejam nulos ao mesmo tempo. Isto é se a = 0  b ≠ 0 e se b = 0  a ≠ 0. Exemplos: (r) 2x – 3y + 8 = 0  a = 2, b = - 3 e c = 8 (s) – x + 10 = 0  a = - 1, b = 0 e c = 10 (t) 3y – 7 = 0  a = 0, b = 3 e c = - 7 (u) x + 5y = 0  a = 1, b = 5 e c = 0 −𝐚 Da equação geral da reta, temos uma nova fórmula para o coeficiente angular: 𝐦 = 𝐛 Equação reduzida da reta Para determinar a equação reduzida da reta, basta “isolar” o y. ax + by + c = 0 by = −ax − c −ax c y= − b b . 324 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  −a −c Na equação reduzida da reta temos que b é o coeficiente angular (m) da reta e b é o coeficiente linear (q) da reta. Então, a equação reduzida é da forma: y = mx + q O coeficiente linear q é o ponto em que a reta “corta” o eixo y. Observações: I) A equação reduzida de uma reta fornece diretamente o coeficiente angular e o coeficiente linear. II) As retas de inclinação igual a 90° (reta vertical ao eixo x) não possuem equação reduzida. Bissetrizes dos ângulos de duas retas A bissetriz de ângulos de retas, nada mais é a que a aplicação direta da fórmula da distância de um ponto a uma reta Paralelismo e perpendicularismo Considere-se no Plano Cartesiano duas reta r e s. Se as retas são paralelas, o ângulo 𝛼 de inclinação em relação ao eixo x é o mesmo. Este ângulo nos dá o valor do coeficiente angular da reta e, sendo mr e ms, respectivamente os coeficientes angulares de r e s, temos: . 325 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  1) Se r e s são paralelas: mr = ms 2) Se r e s são concorrentes: mr ≠ ms 3) Se r e s são perpendiculares: mr.ms = - 1 Observação: para que o produto de dois números seja igual a – 1, mr e ms devem ser inversos e opostos. Distância entre ponto e reta Seja uma reta (r) de equação geral ax + by + c = 0 e um ponto P(xo, yo): Para calcular a distância d entre o ponto P e a reta r temos a seguinte fórmula: |𝐚𝐱 𝐨 + 𝐛𝐲𝟎 + 𝐜| 𝐝𝐏,𝐫 = √𝐚𝟐 + 𝐛 𝟐 Exemplo: Qual é a distância entre a reta (r) 3x + 4y – 1 = 0 e o ponto P(1, 2)? Solução: temos uma equação de reta em que a = 3, b = 4 e c = - 1. |3x+4y−1| dP,r =  substituindo x = 1 e y = 2 (coordenadas do ponto P) √32 +42 |3.1+4.2−1| |3+8−1| |10| 10 dP,r = = = = =2 √9+16 √25 5 5 Distância entre duas retas Só existe distância entre duas retas r e s se elas forem paralelas. E, neste caso, os valores de a e b na equação geral da reta são iguais ou proporcionais, sendo diferente somente o valor de c. Isto é: (r) ax + by + c = 0 e (s) ax + by + c’ = 0. Exemplos: (r) 2x – 3y + 8 = 0 e (s) 2x – 3y – 7 = 0 são paralelas, pois a = 2 e b = - 3 nas duas equações. (r) 3x + 2y – 10 = 0 e (s) 6x + 4y + 30 = 0 são paralelas, pois na reta r a = 3 e b = 2 e na reta s a = 6 e b = 2 são proporcionais (o dobro). Se dividirmos por 2 os coeficientes a e b da reta (s) obtemos valores iguais. Então, para calcular a distância entre as retas r e s temos a seguinte fórmula: |𝐜 − 𝐜′| 𝐝𝐫,𝐬 = √𝐚𝟐 + 𝐛 𝟐 Exemplo 1: Calcular a distância entre as retas (r) 4x + 3y – 10 = 0 e (s) 4x + 3y + 5 = 0. Solução: temos que a = 4 e b = 3 nas duas equações e somente o valor de c é diferente, então, c = - 10 e c’ = 5 (ou c = 5 e c’ = - 10). . 326 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  |−10−5| |−15| 15 15 dr,s = = = = =3 √4 2 +32 √16+9 √25 5 Exemplo 2 : Calcular a distância entre as retas (r) 3x – 2y + 8 = 0 e (s) 6x – 4y – 12 = 0. Solução: primeiro temos que dividir a equação da reta (s) por dois para que a e b fiquem iguais nas duas equações. (s) 6x – 4y – 12 = 0 :(2)  3x – 2y – 6 = 0 Logo, a = 3, b = - 2, c = 8 e c’ = - 6 (ou c = - 6 e c’ = 8) |8−(−6)| |8+6| |14| 14 dr,s = = = = , neste caso temos que racionalizar o denominador multiplicando em √32 +(−2)2 √9+4 √13 √13 cima e em embaixo por √13. 14 √13 14√13 dr,s = . = √13 √13 13 Questões 01. (FGV-SP) A declividade do segmento de reta que passa pelos pontos A(0, 3) e B(3, 0) é: (A) 1 (B) – 1 (C) 0 (D) 3 (E) 1/3 𝑘 02. (MACK-SP) Se os pontos (2, - 3), (4, 3) e (5, 2 ) estão numa mesma reta, então k é igual a: (A) – 12 (B) – 6 (C) 6 (D) 12 (E) 18 03. Escreva a equação fundamental da reta que passa pelo ponto P e tem coeficiente angular m nos seguintes casos: a) P(1, 4) e m = 7 b) P(0, - 1) e m = 3 c) P(- 2, 5) e m = - 2 04. (OSEC-SP) A equação da reta que passa pelo ponto A(- 3, 4) e cujo coeficiente angular é ½ é: (A) x + 2y + 11 = 0 (B) x – y + 11 = 0 (C) 2x – y + 10 = 0 (D) x – 2y + 11 = 0 (E) nda 05. Uma reta forma com o eixo x um ângulo de 45°. O coeficiente angular dessa reta é: (A) 1 (B) – 1 (C) 0 (D) √3 (E) – √3 06. (UEPA) O comandante de um barco resolveu acompanhar a procissão fluvial do Círio-2002, fazendo o percurso em linha reta. Para tanto, fez uso do sistema de eixos cartesianos para melhor orientação. O barco seguiu a direção que forma 45° com o sentido positivo do eixo x, passando pelo ponto de coordenadas (3, 5). Este trajeto ficou bem definido através da equação: (A) y = 2x – 1 . 327 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (B) y = - 3x + 14 (C) y = x + 2 (D) y = - x + 8 (E) y = 3x – 4 07. A equação geral de uma reta é – 2x + 4y + 12 = 0. A equação geral dessa reta é: (A) 𝑦 = 𝑥 − 3 𝑥 (B) 𝑦 = 2 − 3 (C) 𝑦 = 𝑥 + 3 𝑥 (D) 𝑦 = + 3 2 (E) 𝑦 = 2𝑥 + 3 08. Determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos A e B em cada caso abaixo: a) A(1, 3) e B(2, 5) b) A(0, - 1) e B(4, 1) 09. Considere a reta (r) de equação 2x – 3y + 7 = 0. O valor de a para que o ponto P(1, a) pertença a esta reta é: (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 10. Dê o coeficiente angular da reta em cada caso abaixo: a) x – y + 3 = 0 b) 2x + 3y – 1 = 0 c) 2y – 4 = 0 d) 3x + 5 = 0 11. (CESGRANRIO-RJ) As retas x + ay – 3 = 0 e 2x – y + 5 = 0 são paralelas se a vale: (A) – 2 (B) – 0,5 (C) 0,5 (D) 2 (E) 8 12. (UFMG) A relação entre m e n, para que as retas de equações (r) 2x – my + 1 = 0 e (s) nx + 3y + 5 = 0 sejam paralelas, é: 𝑚 3 (A) 𝑛 = − 2 𝑚 2 (B) 𝑛 = −3 𝑚 2 (C) = 3 𝑛 (D) 𝑚. 𝑛 = −6 (E) 𝑚. 𝑛 = 6 13. (FUVEST) Os coeficientes angulares dos lados de um triângulo são: 1, - 1 e 0. Conclui-se que o triângulo é: (A) equilátero (B) retângulo (C) escaleno (D) acutângulo (E) obtusângulo 14. Para qual valor de a as retas (r) ax – 2y + 3 = 0 e (s) 2x + y – 1 = 0 são perpendiculares? (A) 1 (B) – 1 . 328 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (C) 2 (D) – 2 (E) 0 15. Dada uma reta r de equação 3x + 4y + 15 = 0, a distância do ponto P(1, 3) à reta r é igual a: (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8 16. Sabendo que o ponto P(a, 2a) pertence ao 1° quadrante e que a distância desse ponto até a reta (r) 3x + 4y = 0 é igual a 22, o valor de a é: (A) 11 (B) – 11 (C) – 10 (D) 10 (E) 20 17. Sendo (r) 5x + 12y – 15 = 0 e (s) 5x + 12y – 2 = 0, a distância entre estas duas retas é: (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 18. Se duas retas são perpendiculares, os seus coeficientes angulares são: (A) Iguais (B) Inversos (C) Opostos (D) Inversos e opostos. 19. (VUNESP) Dada a reta r de equação 4x + 2y + 5 = 0 e o ponto P(2, - 1), determine: a) o coeficiente angular de r. b) a equação da reta s que é perpendicular a r e passa pelo ponto P. Respostas 01. Resposta: B. ∆y Como temos dois pontos, o coeficiente angular é dado por m = ∆x. 𝑦𝐵 −𝑦𝐴 0−3 −3 𝑚= 𝑥𝐵 −𝑥𝐴  𝑚 = 3−0 = 3 =-1 02. Resposta: D. 𝑘 Chamando os pontos, respectivamente, de A(2, - 3), B(4, 3) e C(5, ) e se esses três pontos estão 2 numa mesma reta, temos: mAB = mBC (os coeficientes angulares de pontos que estão na mesma reta são iguais) yB −yA y −y xB −xA = xC −xB C B k 3−(−3) −3 4−2 = 5−4 2 k−6 6 2 = 1 2 k−6 3= 2 → k – 6 = 6 → k = 6 + 6 → k = 12 . 329 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  03. Respostas: Utilizar a fórmula y – yo = m(x – xo), onde xo e yo são do ponto P. a) y – 4 = 7(x – 1) b) y – (- 1) = 3.(x – 0)  y + 1 = 3.(x – 0) c) y – 5 = - 2(x – (-2))  y – 5 = - 2(x + 2) 04. Resposta: D. xo = - 3, yo = 4 e m = 1/2. Nesta questão as alternativas estão na forma de equação geral, então temos que desenvolver a equação fundamental. y – yo = m(x – xo) 1 y – 4 = .(x – (-3)) (passamos o 2 multiplicando o 1° membro da equação) 2 2.(y – 4) = 1(x + 3) 2y – 8 = x + 3 2y – 8 – x – 3 = 0 - x + 2y – 11 = 0 .(- 1) x – 2y + 11 = 0 05. Resposta: A. O coeficiente angular é dado por 𝑚 = 𝑡𝑔𝛼. 𝑚 = 𝑡𝑔45°  m = 1 06. Resposta: C. xo = 3, yo = 5 e 𝑚 = 𝑡𝑔45° = 1. As alternativas estão na forma de equação reduzida, então: y – yo = m(x – xo) y – 5 = 1.(x – 3) y–5=x–3 y=x–3+5 y=x+2 07. Resposta: B. Dada a equação geral da reta, para determinar a reduzida basta isolar o y. - 2x + 4y + 12 = 0 4y = 2x – 12 (passamos o 4 dividindo para o segundo membro separadamente cada termo) 2𝑥 12 𝑥 𝑦= − → 𝑦 = −3 4 4 2 08. Respostas: a) 2x – y + 1 = 0; b) x – 2y – 2 = 0 Primeiro calcular o coeficiente angular e depois podemos escolher qualquer um dos pontos A ou B para ter o valor de xo e yo. ∆𝑦 5−3 a) 𝑚𝐴𝐵 = ∆𝑥  𝑚𝐴𝐵 = 2−1 = 2 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0 ) y – 3 = 2.(x – 1) y – 3 = 2x – 2 y – 3 – 2x + 2 = 0 - 2x + y – 1 = 0 (não é obrigatório, porém é bom que o a seja um número positivo) - 2x + y – 1 = 0 x(-1) 2x – y + 1 = 0 1−(−1) 1+1 2 1 b) 𝑚𝐴𝐵 = 4−0 = 4 =4=2 1 y – 1 = 2.(x – 4) (o dois passa multiplicando o 1° membro da equação) 2.(y – 1) = x – 4 2y – 2 – x + 4 = 0 - x + 2y + 2 = 0 x(-1) → x – 2y – 2 = 0 . 330 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  09. Resposta: A. No ponto P x = 1 e y = a, basta substituir esses valores na equação. 2x – 3y + 7 = 0 2.1 – 3.a + 7 = 0 2 – 3a + 7 = 0 - 3a = - 2 – 7 - 3a = - 9 x(-1) 3a = 9 a=9:3 a=3 10. Respostas: a)1 ; b) -2/3 ; c)0 ; d) não existe −a Utilizar a fórmula m = b . a) x – y + 3 = 0  a = 1 e b = - 1 −1 𝑚 = −1 = 1 b) 2x + 3y – 1 = 0  a = 2 e b = 3 −2 𝑚= 3 c) 2y – 4 = 0  a = 0 e b = 2 −0 𝑚= =0 2 d) 3x + 5 = 0  a = 3 e b = 0 −3 𝑚= 0 = ∄ (não existe) 11. Resposta: B. −𝑎 Vamos denominar as retas de (r) x + ay – 3 = 0 e (s) 2x – y + 5 = 0 e utilizando a fórmula 𝑚 = 𝑏 para calcular o coeficiente angular das retas. −1 (r) a = 1 e b = a  𝑚𝑟 = 𝑎 −2 (s) a = 2 e b = - 1  𝑚𝑠 = = 2 −1 para que r e s sejam paralelas: mr = ms −1 2 𝑎 =1 2a = - 1 −1 𝑎= = −0,5 2 12. Resposta: D. Na reta (r)  a = 2 e b = - m, na reta (s)  a = n e b = 3. −2 2 −𝑛 𝑚𝑟 = −𝑚 = 𝑚 e 𝑚𝑠 = 3 Retas paralelas: mr = ms 2 −𝑛 𝑚 = 3  −𝑚. 𝑛 = 3.2  −𝑚. 𝑛 = 6 x(-1)  𝑚. 𝑛 = −6 . 331 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  13. Resposta: B. Dois dos coeficientes angulares dados são 1 e – 1. O produto destes dois coeficientes é 1.(-1) = - 1. Logo se o produto dos coeficientes angulares de duas retas é igual a – 1 então as retas são perpendiculares, portanto, o triângulo é retângulo. 14. Resposta: A. Na reta (r)  a = a e b = - 2, na reta (s) a = 2 e b = 1 −𝑎 𝑎 −2 𝑚𝑟 = −2 = 2 e 𝑚𝑠 = 1 = −2 Retas perpendiculares: mr.ms = - 1 −𝑎 2 . −2 = −1  - a = - 1 x(-1)  a = 1 15. Resposta: C. A reta r tem a = 3, b = 4 e c = 15 |3𝑥+4𝑦+15| 𝑑𝑃,𝑟 =  substituindo x = 1 e y = 3 (coordenadas do ponto P) √𝑎 2 +𝑏2 |3.1+4.3+15| |3+12+15| |30| 30 𝑑𝑃,𝑟 = = = = =6 √32 +42 √9+16 √25 5 16. Resposta: D. Na reta r (r) a = 3 e b = 4. 𝑑𝑃,𝑟 = 22 |3𝑥+4𝑦| = 22 (substituindo x = a e y = 2a) √𝑎 2 +𝑏2 |3.𝑎+4.2𝑎| |3𝑎+8𝑎| |11𝑎| |11𝑎| = 22  = 22  = 22  = 22  |11𝑎| = 5.22 √32 +42 √9+16 √25 5 |11𝑎| = 110, então: 11a = 110 ou 11a = - 110 a = 110 : 11 a = - 110 : 11 a = 10 a = - 10 Como P pertence ao 1° quadrante, a > 0, portanto a = 10 17. Resposta: A. Nas duas equações a = 5 e b = 12, porém c = - 15 e c’ = - 2. |𝑐−𝑐′| 𝑑𝑟,𝑠 = √𝑎 2 +𝑏2 |−15−(−2)| |−15+2| |−13| 13 𝑑𝑟,𝑠 = = = = 13 = 1 √52 +122 √25+144 √169 18. Resposta: D. Teórico. 19. Respostas: −𝑎 −4 a) 𝑚𝑟 = 𝑏  𝑚𝑟 = 2 = - 2 b) se r e s são perpendiculares, os coeficientes são inversos e opostos. Portanto se 𝑚𝑟 = −2  𝑚𝑠 = 1 2 (um é positivo e o outro é negativo; o inverso de 2 é ½). O ponto P nos dá o valor de xo e yo. 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚. (𝑥 − 𝑥0 ) 1 𝑦 − (−1) = 2 . (𝑥 − 2) 2. (𝑦 + 1) = 1. (𝑥 − 2) 2𝑦 + 2 = 𝑥 − 2 . 332 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  𝑥 − 2 − 2𝑦 − 2 = 0 𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0 INEQUAÇÃO DO 1º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS É comum aparecerem regiões do plano cartesiano delimitado por retas. Vejamos a figura abaixo: A essas regiões podemos associar expressões do tipo ax + by +c < 0 ou ax + by +c ≤ 0, assim como expressões similares, as quais constituem as chamadas inequações do 1º grau com duas variáveis ou incógnitas. Exemplo: 1) A região sombreada da figura abaixo, a qual é definida pela reta r: 3x + 4y – 12 = 0, pode ser expressa por meio da inequação: 3x + 4y – 12 > 0 Com efeito, a reta r divide o plano em dois semiplanos opostos. Como os pontos (x0, y0) de um mesmo semiplano, relativamente à reta ax + by + c = 0, conferem à expressão ax0 + by0 + c o mesmo sinal, resta apenas dúvida: “qual desigualdade, entre 3x + 4y – 12 > 0 e 3x + 4y – 12 < 0 devemos escolher? Tal escolha deve se a “experimentação” das coordenadas de um Ponto P qualquer, P ∉ r, na equação da reta delimitadora dos semiplanos. Seja P(0,0); fazendo: E = - 12 < 0 Como a origem não está contida na região sombreada, é de se supor que, para qualquer ponto da região sombreada, ocorra a outra hipótese, isto é, E > 0 (sinal escolhido). Assim, 3x + 4y – 12 > 0 é a inequação que expressa a região assinalada. ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA Os elementos principais de uma circunferência são o centro e o raio. Na geometria analítica o raio é representado por r e o centro por C(a, b). . 333 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Equação Reduzida de uma circunferência Considerando uma circunferência de centro C e raio r; e sendo P(x, y) um ponto genérico dessa circunferência, temos que a distância entre C e P é igual ao raio. 𝐝𝐂𝐏 = 𝐫 √(𝐱 − 𝐚)𝟐 + (𝐲 − 𝐛)𝟐 = 𝐫 - elevamos os dois membros da equação acima ao quadrado: 𝟐 (√(𝐱 − 𝐚)𝟐 + (𝐲 − 𝐛)𝟐 ) = 𝐫 𝟐 - então, temos a seguinte fórmula: (𝐱 − 𝐚)𝟐 + (𝐲 − 𝐛)𝟐 = 𝐫 𝟐 Exemplo: Determinar a equação reduzida da circunferência que tem centro C(3, 2) e raio r = 5. Resolução: As coordenadas do centro são os valores de a e b para substituir na fórmula. (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟 2 (x – 3)2 + (y – 2)2 = 52 (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25 Equação Geral de uma circunferência Para se obter a equação geral de um circunferência basta fazer o desenvolvimento da equação reduzida: (x − a)2 + (y − b)2 = r 2 x − 2ax + a2 + y 2 − 2by + b2 = r 2 2 𝐱 𝟐 + 𝐲 𝟐 − 𝟐𝐚𝐱 − 𝟐𝐛𝐲 + 𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 − 𝐫 𝟐 = 𝟎 Observações: - numa equação de circunferência: 1) sempre começa por x2 + y2..... 2) não existe termo xy. 3) r > 0 Questões 01. Uma circunferência tem centro C(2, 4) e raio 5. A equação reduzida dessa circunferência é: (A) (x – 2)2 + (y + 4)2 = 25 (B) (x + 2)2 + (y + 4)2 = 25 (C) (x – 2)2 + (y – 4)2 = 5 (D) (x – 2)2 + (y – 4)2 = 25 (E) (x + 2)2 + (y – 4)2 = 25 . 334 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  02. (VUNESP) A equação da circunferência, com centro no ponto C(2, 1) e que passa pelo ponto P(0, 3), é: (A) x2 + (y – 3)2 = 0 (B) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 4 (C) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 8 (D) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 16 (E) x2 + (y – 3)2 = 8 03. (CESGRANRIO-RJ) Uma equação da circunferência de centro C(- 3, 4) e que tangencia o eixo x é: (A) (x – 3)2 + (y – 4)2 = 16 (B) (x – 3)2 + (y – 4)2 = 9 (C) (x + 3)2 + (y + 4)2 = 16 (D) (x + 3)2 + (y – 4)2 = 9 (E) (x + 3)2 + (y – 4)2 = 16 04. Uma circunferência tem equação reduzida (x – 3)2 + (y – 5)2 = 49, o centro e o raio dessa circunferência igual a: (A) C(3, 5) e r = 7 (B) C(- 3, 5) e r = 7 (C) C(- 3, - 5) e r = 49 (D) C(3, - 5) e r = 7 (E) C(3, 5) e r = 49 05. Uma circunferência tem equação geral igual a x2 + y2 – 4x + 2y – 31 = 0, determinar o centro e o raio dessa circunferência. Respostas 01. Resposta: D. Temos C(2, 4), então a = 2 e b = 4; e raio r = 5. (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x – 2)2 + (y – 4)2 = 52 (x – 2)2 + (y – 4)2 = 25 02. Resposta: C. Temos que C(2, 1), então a = 2 e b = 1. O raio não foi dado no enunciado. (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x – 2)2 + (y – 1)2 = r2 (como a circunferência passa pelo ponto P, basta substituir o x por 0 e o y por 3 para achar a raio. (0 – 2)2 + (3 – 1)2 = r2 (- 2)2 + 22 = r2 4 + 4 = r2 r2 = 8 (x – 2)2 + (y – 1)2 = 8 03. Resposta: E. Neste caso temos que fazer um gráfico para determinar o raio que não foi dado no enunciado. Porém foi dito que a circunferência tangencia o eixo x. . 335 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Através do gráfico, podemos ver que o raio vale 4 (distância do centro ao ponto de tangência no eixo x), então: a = - 3 e b = 4. (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x – (-3))2 + (y – 4)2 = 42 (x + 3)2 + (y – 4)2 = 16 04. Resposta: A. Através da fórmula (x – a)2 + (y – b)2 = r2. (x – 3)2 + (y – 5)2 = 49 a = 3 e b = 5  C(3, 5) e r 2 = 49  r = √49  r = 7 05. Resposta: C(2 , - 1) e r = 6 A equação geral é dada por x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0, para determinar o centro e o raio temos: x2 + y2 – 4x + 2y – 31 = 0, o coeficiente de x é – 4 e o coeficiente de y é 2, comparando com a fórmula, temos que dividir estes coeficientes por – 2 para determinar o centro. −4 2 C (−2 , −2)  (2, - 1) Para determinar o raio temos que: a2 + b2 – r2 = - 31 → 22 + (-1)2 + 31 = r2 → 4 + 1 + 31 = r2 r2 = 36 r = √36 r=6 POSIÇÕES RELATIVAS - DE UM PONTO E UMA CIRCUNFERÊNCIA Um ponto pode ser: - Interno; - Externo ou - Pertencer a uma dada circunferência de centro C e raio r. Para conhecermos a posição de um ponto P em relação a uma circunferência basta calcularmos a sua distância do ponto P ao centro da circunferência e compará-la com medida do raio. d(P,C)=r(x-a)²+(y-b)²=r² (x-a)²+(y-b)²-r²=0 (P) d(P,C)>r(x-a)²+(y-b)²>r² (x-a)²+(y-b)²-r²>0 (P é externo a ) d(P,C)>r(x-a)²+(y-b)²<r² (x-a)²+(y-b)²-r²<0 (P é interno a ) . 336 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Assim o plano cartesiano fica dividido em três regiões: - a região dos pontos pertences à circunferência representam as soluções de f(x,y) = 0 - a região dos pontos internos à circunferência representam as soluções de f(x,y) < 0 - a região dos pontos externos à circunferência representam de f(x,y) > 0 Exemplo: Determinar a posição dos pontos A(-2,3), B(-4,6) e C(4,2) em relação à circunferência de equação x2 + y2 + 8x – 20 = 0. Substituindo as coordenadas dos pontos A, B e C no 1º membro da equação da circunferência obtemos: A(-2,3)  x = -2 e y = 3 x2 + y2 + 8x – 20 = (-2)2 + 32 + 8.(-2) – 20 = -23 < 0 A é ponto interno. B(-4,6)  x = -4 e y = 6 x2 + y2 + 8x – 20 = (-4)2 + 62 + 8.(-4) – 20 = 0 B pertence à circunferência. C(4,2)  x = 4 e y = 2 x2 + y2 + 8x – 20 = 42 + 22 + 8 . 4 – 20 = 32 > 0 - DE UMA RETA E UMA CIRCUNFERÊNCIA Uma reta l e uma circunferência λ podem ocupar as seguintes posições relativas: l e λ são secantes A reta l intercepta a circunferência λ em 2 pontos, e a distância d entre a reta e o centro da circunferência é menor que o raio. l e λ são tangentes A reta l intercepta a circunferência λ em único ponto de tangência, e a distância d entre a reta e o centro da circunferência é igual ao raio. l e λ são exteriores A reta l não intercepta a circunferência λ, e a distância d entre a reta e o centro da circunferência é maior que o raio. Resumindo - Para determinarmos a posição relativa entre uma reta e uma circunferência, basta comparar a distância d (entre a reta e o centro da circunferência) com o raio r. d(C,l)<r – reta e circunferência secantes d(C,l)=r – reta e circunferência tangentes d(C,l)>r – reta e circunferência exteriores . 337 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Com isso podemos achar também a posição relativa de uma reta e uma circunferência procurando os pontos de intersecção da reta com a circunferência. Para isso resolvemos um sistema formado pelas equações da reta: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 { 2 𝑥 + 𝑦 2 + 𝛼𝑥 + 𝛽𝑦 + 𝛾 = 0 Com essa resolução caímos em um sistema de equações do 2º grau e através do discriminante (Δ) encontramos as seguintes condições: Para >0 a reta é secante à circunferência (2 pontos comuns) Para =0 a reta é tangente à circunferência (1 ponto comuns) Para <0 a reta é exterior à circunferência (nenhum ponto comum) Exemplo: 1) Verifique a posição relativa entre a reta s: 3x + y – 13 = 0 e a circunferência de equação (x – 3)2 + (y – 3)2 = 25. Solução: Devemos calcular a distância entre o centro da circunferência e a reta s e comparar com a medida do raio. Da equação da circunferência, obtemos: x0 = 3 e y0 = 3 → O(3, 3) r2 = 25 → r = 5 Vamos utilizar a fórmula da distância entre ponto e reta para calcular a distância entre O e s. Da equação geral da reta, obtemos: a = 3, b = 1 e c = – 13 Assim, Como a distância entre o centro O e a reta s é menor que o raio, a reta s é secante à circunferência. Questões 01. (ITA-SP) A distância entre os pontos de intersecção da reta com a circunferência x² + y² = 400 é: (A) 16√5 (B) 4√5 (C) 3√3 (D) 4√3 (E) 5√7 02. (UFRS) O valor de k que transforma a equação x² + y² – 8x + 10y + k = 0 na equação de uma circunferência de raio 7 é: (A) –4 (B) –8 (C) 5 (D) 7 (E) –5 Respostas 01. Resposta: A. Resolver o sistema de equações: Simplificando a 1ª equação: . 338 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Substituindo x na 2ª equação: x² + y² = 400 x² + (20 – 2x)² = 400 x² + 400 – 80x + 4x² ¬– 400 = 0 5x² – 80x = 0 5x * (x – 16) = 0 5x = 0 x’ = 0 x – 16 = 0 x’’ = 16 Para x = 0, temos: y = 20 – 2x y = 20 – 2*0 y = 20 (0; 20) Para x = 16, temos: y = 20 – 2x y = 20 – 2 * 16 y = 20 – 32 y = – 12 → (16; –12) Os pontos de intersecção são (0; 20) e (16; –12). Determinando a distância entre os pontos: 02. Resposta: B. x² + y² – 8x + 10y + k = 0 Encontrar a equação reduzida (completar os trinômios) x² – 8x + y² + 10y = –k x² – 8x + 4 + y² + 10y + 25 = – k + 4 + 25 (x – 4)² + (x + 5)² = –k + 41 Temos que o raio será dado por: –k + 41 = 7² → –k = 49 – 41 → –k = 8 → k = 8 - ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS Duas circunferências distintas, podem ter dois, um ou nenhum ponto em comum. 1. Circunferências tangentes. a) Tangentes externas Duas circunferências são tangentes internas quando possuem somente um ponto em comum e uma exterior à outra. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das duas circunferências seja equivalente à soma das medidas de seus raios. dOC = r1 + r2 . 339 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  b) Tangentes internas Duas circunferências são tangentes internas quando possuem apenas um ponto em comum e uma esteja no interior da outra. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os dois centros seja igual à diferença entre os dois raios. dOC = r1 . r2 2. Circunferências externas. Duas circunferências são consideradas externas quando não possuem pontos em comum. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das circunferências deve ser maior que a soma das medidas de seus raios. dOC > r1 + r2 3. Circunferências secantes. Duas circunferências são consideradas secantes quando possuem dois pontos em comum. A condição para que isso aconteça é que a distância entre os centros das circunferências deve ser menor que a soma das medidas de seus raios. dOC < r1 + r2 4. Circunferências internas. Duas circunferências são consideradas internas quando não possuem pontos em comum e uma está localizada no interior da outra. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das circunferências deve ser equivalente à diferença entre as medidas de seus raios. dOC < r1 . r2 5. Circunferências concêntricas. Duas circunferências são consideradas concêntricas quando possuem o centro em comum. Nesse caso, a distância entre os centro é nula. dOC = 0 . 340 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Exemplo: 1) Dadas as circunferências λ e σ, de equações: λ: x2 + y2 = 9 σ: (x – 7)2 + y2 = 16 Verifique a posição relativa entre elas. Para resolução do problema devemos saber as coordenadas do centro e a medida do raio de cada uma das circunferências. Através da equação de cada uma podemos encontrar esses valores. Como a equação de toda circunferência é da forma: (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2, teremos: Conhecidos os elementos de cada uma das circunferências, vamos calcular a distância entre os centros, utilizando a fórmula da distância entre dois pontos. Questões 01. (PUC-SP) O ponto P(3, b) pertence à circunferência de centro no ponto C(0, 3) e raio 5. Calcule o valor da coordenada b. 02. (FEI-SP) Determine a equação da circunferência com centro no ponto C(2, 1) e que passa pelo ponto A(1, 1). 03. (ITA-SP) Qual a distância entre os pontos de intersecção da reta com a circunferência x² + y² = 400? Respostas 01. A equação da circunferência que possui centro C(0, 3) e raio r = 5 é dada por: (x – 0)² + (y – 3)² = 5² → x² + (y – 3)² = 25. Sabendo que o ponto (3, b) pertence à circunferência, temos que: 3² + (b – 3)² = 25 → 9 + (b – 3)² = 25 → (b – 3)² = 25 – 9 → (b – 3)² = 16 b–3=4→b=4+3→b=7 b–3=–4→b=–4+3→b=–1 O valor da coordenada b pode ser –1 ou 7. 02. Sabendo que o ponto A(1 ,1) pertence à circunferência e que o centro possui coordenadas C(2, 1), temos que a distância entre A e C é o raio da circunferência. Dessa forma temos que d(A, C) = r. Se o raio da circunferência é igual a 1 e o centro é dado por (2, 1), temos que a equação da circunferência é dada por: (x – 2)² + (y – 1)² = 1. . 341 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  03. Vamos obter os pontos de intersecção da reta e da circunferência através da resolução do seguinte sistema de equações: Resolvendo o sistema por substituição: 2x + y = 20 y = 20 – 2x Substituindo y na 2ª equação: x² + y² = 400 x² + (20 – 2x)² = 400 x² + 400 – 80x + 4x² = 400 5x² – 80x + 400 – 400 = 0 5x² – 80x = 0 5x * (x – 16) = 0 → 5x = 0 → x’ = 0 x – 16 = 0 x’’ = 16 Substituindo x = 0 e x = 16, na equação y = 20 – 2x: x=0 y = 20 – 2 * 0 → y = 20 S = {0, 20} x = 16 y = 20 – 2 * 16 → y = 20 – 32 y = – 12 S = {16, –12} Os pontos de intersecção são: {0, 20} e {16, –12}. Vamos agora estabelecer a distância entre eles: A distância entre os pontos de intersecção da reta e da circunferência é igual a 16√5. INEQUAÇÕES DO 2º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS Quando estudamos as posições relativas entre um ponto e uma circunferência devemos conhecer um método para resolver inequações do 2º grau da forma f(x,y) > 0 ou f(x,y) < 0, em que f(x,y) = 0 é a equação de uma circunferência com coeficiente de x2 positivo. Dada a circunferência λ de equação f(x,y) = (x – a)2 + (y – b)2 – r2 = 0 , o plano cartesiano fica dividido em três subconjuntos: - subconjunto dos pontos (x,y) exteriores a λ, que é a solução para f(x,y) > 0; - subconjunto dos pontos (x,y) pertecentes a λ, que é a solução para f(x,y) = 0; - subconjunto dos pontos (x,y) interiores a λ, que é a solução para f(x,y) < 0; . 342 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Vejamos o exemplo: 1) Encontre a solução de x2 + y2 – 2x + 6y + 6 ≤ 0 Resolvendo temos: F(x,y) = x2 + y2 – 2x + 6y + 6 = (x – 1)2 – 1 + (y + 3)2 – 9 + 6 = (x – 1)2 + (y + 3)2 - 4 Sabendo que f(x,y) = 0 é a equação da circunferência λ de centro C(1, -3) e raio 2. O conjunto dos pontos que tornam f(x,y) ≤ 0 é o conjunto dos pontos interiores a λ, reunidos com os pontos de λ. Se pegarmos como exemplo o ponto P(1, -2), temos para suas coordenadas: F(1, -2) = 12 + (-2)2 – 2.1 + 6.(-2) + 6 = -3 ≤ 0 Matrizes determinantes e sistemas lineares. MATRIZES Em jornais, revistas e na internet vemos frequentemente informações numéricas organizadas em tabelas, colunas e linhas. Exemplos: Em matemática essas tabelas são exemplos de matrizes. O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Definição Seja m e n números naturais não nulos. Uma matriz do tipo m x n, é uma tabela de m.n números reais dispostos em m linhas e n colunas. Exemplo: . 343 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Um elemento qualquer dessa matriz será representado pelo símbolo: aij, no qual o índice i refere-se à linha, o índice j refere-se à coluna em que se encontram tais elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita. Exemplo: Representamos uma matriz colocando seus elementos (números) entre parêntese ou colchetes ou também (menos utilizado) duas barras verticais à esquerda e direita. Exemplos: 1 𝐴 = (5 −1 ) é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 1 𝑥 3 2 7 −2 𝐵=[ ] é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 2 𝑥 2 3 4 √5 1/3 1 𝐶=‖ 7 2 −5‖ é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 3 𝑥 3 −4 1/5 2 −1 5 8 𝐷=[ ] é 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 3 𝑥 2 −1 2 −3 Exemplo: Escrever a matriz A = (aij)2 x 3, em que aij = i – j A matriz é do tipo 2 x 3 (duas linhas e três colunas), podemos representa-la por: 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝐴 = (𝑎 ) 21 𝑎22 𝑎23 Fazendo aij = i – j, temos: a11 = 1 – 1 = 0 a12 = 1 – 2 = -1 a13 = 1 – 3 = -2 a21 = 2 – 1 = 1 a22 = 2 – 2 = 0 a23 = 2 – 3 = -1 Assim: 0 1 −2 𝐴=( ) 1 0 −1 Matrizes Especiais Algumas matrizes recebem nomes especiais. Vejamos: - Matriz Linha: é uma matriz formada por uma única linha. Exemplo: 𝐴 = [1 7 −5] , 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 1𝑥3 . 344 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  - Matriz coluna: é uma matriz formada por uma única coluna. Exemplo: 1 𝐵 = [−5] , 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 3𝑥1 7 - Matriz nula: é matriz que possui todos os elementos iguais a zero. Exemplo: 0 0 𝐶 = (0 0) , 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑛𝑢𝑙𝑎 3𝑥2 0 0 - Matriz quadrada: é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas. Podemos, neste caso, chamar de matriz quadrada de ordem n. Exemplo: 3 2 𝐷=( ) , 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 2𝑥2 𝑜𝑢 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 2. −4 1 A diagonal principal de D é formada pelos elementos cujo índice é igual ao índice da coluna (a11 e a22). A outra diagonal recebe o nome de diagonal secundária de D. - Matriz identidade: é a matriz quadrada em que cada elemento da diagonal principal é igual a 1, e os demais têm o valor 0. Representamos a matriz identidade pela seguinte notação: In. Exemplos: Também podemos definir uma matriz identidade da seguinte forma: 𝑎𝑖𝑗 = 1, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗 𝐼𝑛 = [𝑎𝑖𝑗 ]𝑛 𝑥 𝑛 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 { 𝑎𝑖𝑗 = 0, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗 - Matriz transposta: é a matriz onde as linhas são ordenadamente iguais a colunas desta mesma matriz e vice e versa. Ou seja: Dada uma matriz A de ordem m x n, chama-se matriz transposta de A, indicada por At, a matriz cuja a ordem é n x m, sendo as suas linhas ordenadamente iguais às colunas da matriz A. Exemplo: 2 −1 2 7 𝐴=[ ] , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴𝑡 = [ ] 7 10 − 10 . 345 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Observe que: - a 1ª linha da matriz A é igual à 1ª coluna da matriz At. - a 2ª linha da matriz A é igual a 2ª coluna da matriz At. Generalizando, temos: - Matriz oposta: é a matriz obtida a partir de A, trocando-se o sinal de todos os seus elementos. Representamos por -A tal que A + (-A) = O, em que O é a matriz nula do tipo m x n. Exemplo: - Matriz simétrica: é uma matriz quadrada cujo At = A; ou ainda aij = aji Exemplo: - Matriz antissimétrica: é uma matriz quadrada cujo At = - A; ou ainda aij = - aij. Exemplo: Classificação de acordo com os elementos da matriz - Real: se todos os seus elementos são reais. Exemplo: 1 −5 𝐴= [ ] 3 2 . 346 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  - Imaginária: se pelo menos um dos seus elementos é complexo. Exemplo: 1 −5 𝐵= [ ] 3 𝑖 - Triangular superior: é uma matriz quadrada em que os elementos abaixo da diagonal principal são nulos. Exemplo: - Triangular inferior: é uma matriz quadrada em que os elementos acima da diagonal principal são nulos. Exemplo: Igualdade de matrizes Dizemos que duas matrizes A e B, de mesma ordem, são iguais (A = B) se, e somente se, os seus elementos de mesma posição forem iguais, ou seja: A = [aij] m x n e B = [bij] p x q Sendo A = B, temos: m=pen=q Operações com matrizes - Adição: a soma de duas matrizes A e B de mesma ordem é matriz também de mesma ordem, obtida com a adição dos elementos de mesma posição das matrizes A e B. Exemplo: . 347 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Propriedades: considerando as matrizes de mesma ordem, algumas propriedades são válidas: Comutativa: A + B = B + A Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C Elemento simétrico: A + (-A) = 0 Elemento neutro: A + 0 = A - Subtração: a diferença entre duas matrizes A e B, de mesma ordem, é a matriz obtida pela adição da matriz A com a oposta da matriz B, ou seja: Exemplo: - Multiplicação de um número real por uma matriz: o produto de um número real k por uma matriz A, é dado pela multiplicação de cada elemento da matriz A por esse número real k. Exemplo: - Multiplicação de matrizes: para multiplicarmos duas matrizes A e B só é possível mediante a uma condição e uma técnica mais elaborada. Vejamos: Condição: o número de COLUNAS da A (primeira) têm que ser igual ao número de LINHAS de B (segunda). Logo a ordem da matriz resultante é a LINHA de A e a COLUNA DE B. . 348 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Técnica: Multiplicamos o 1º elemento da LINHA 1 de A pelo 1º elemento da primeira COLUNA de B, depois o 2º elemento da LINHA 1 de A pelo 2º elemento da primeira COLUNA de B e somamos esse produto. Fazemos isso sucessivamente, até termos efetuado a multiplicação de todos os termos. Exemplo: A matriz C é o resultado da multiplicação de A por B. Propriedades da multiplicação: admite-se as seguintes propriedades Associativa: (A.B). C = A.(B.C) Distributiva: (A + B). C = A. C + B. C e C. (A + B) = C. A + C. B Observação: a propriedade comutativa NÂO é válida na multiplicação de matrizes, pois geralmente A.B ≠ B.A Matriz Inversa Dizemos que uma matriz é inversa A–1 (toda matriz quadrada de ordem n), se e somente se, A.A-1 = In e A-1.A = In ou seja: 𝐴 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑎𝑑𝑎. 𝑨. 𝑨−𝟏 = 𝑨−𝟏 . 𝑨 = 𝑰𝒏 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 { 𝐴−1 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴. 𝐼𝑛 é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝐴. Exemplos: 1 −1 1) A matriz 𝐵 = [8 −2] é inversa da matriz 𝐴 = [23 ] , pois: 3 −1 −4 2 1 1 1 −1 8 −2 . 8 − 1.3 . (−2) − 1. (−1) 1 0 𝐴. 𝐵 = [23 ].[ ] = [23 2 3 ]=[ ] −4 3 −1 . 8 − 4.3 . (−2) − 4. (−1) 0 1 2 2 2 1 1 3 −1 8. − 2. 8. (−1) − 2. (−3) 8 −2 2 2 2 1 0 𝐵. 𝐴 = [ ].[ ]=[ ]=[ ] 3 −1 3 1 3 0 1 −4 3. . −1. 3. (−1) − 1. (−4) 2 2 2 2 5 1 2 2) Vamos verificar se a matriz 𝐴 = ( ) 𝑒𝐵=( ) , são inversas entre si: 1 3 1 1 2 5 1 2 1 0 2+5 4+5 1 0 7 9 1 0 ( ).( )= ( )→( )=( )→( )≠( ) 1 3 1 1 0 1 1+3 2+3 0 1 4 5 0 1 Portanto elas, não são inversas entre si. 2 1 3) Dada a matriz 𝐴 = [ ], determine a inversa, A-¹. 3 2 𝑎 𝑏 Vamos então montar a matriz 𝐴−1 = [ ] , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝐴. 𝐴−1 = 𝐼𝑛 𝑐 𝑑 . 349 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  2 1 𝑎 𝑏 1 0 2𝑎 + 𝑐 2𝑏 + 𝑑 1 0 [ ].[ ]=[ ]→[ ]=[ ] 3 2 𝑐 𝑑 0 1 3𝑎 + 2𝑐 3𝑏 + 2𝑑 0 1 Fazendo as igualdades temos: 2𝑎 + 𝑐 = 1 2𝑏 + 𝑑 = 0 { { 3𝑎 + 2𝑐 = 0 3𝑏 + 2𝑑 = 1 Resolvendo os sistemas temos: a = 2; b = -1; c = -3 e d = 2 Então a matriz inversa da matriz A é: 2 −1 𝐴−1 = [ ] −3 2 Questões 01. (Pref. de Rio de Janeiro/RJ – Prof. Ensino Fund. – Matemática- Pref. de Rio de Janeiro- RJ/2016) Considere as matrizes A e B, a seguir. O elemento que ocupa a terceira linha e a segunda coluna da matriz produto BA vale: (A) 9 (B) 0 (C) – 9 (D) – 11 02. (BRDE – Analista de Sistemas-Suporte – FUNDATEC/2015) Considere as seguintes 2 3 2 3 2 1 0 matrizes: 𝐴 = [ ] , 𝐵 = [ 4 5] 𝑒 𝐶 = [ ], a solução de C x B + A é: 4 6 4 6 7 6 6 (A) Não tem solução, pois as matrizes são de ordem diferentes. 10 14 (B) [ ] 78 90 2 3 (C) [ ] 4 5 6 6 (D) [ ] 20 36 8 11 (E) [ ] 74 84 03. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB/2014) A matriz abaixo registra as ocorrências policiais em uma das regiões da cidade durante uma semana. Sendo M=(aij)3x7 com cada elemento aij representando o número de ocorrência no turno i do dia j da semana. O número total de ocorrências no 2º turno do 2º dia, somando como 3º turno do 6º dia e com o 1º turno do 7º dia será: (A) 61 . 350 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (B) 59 (C) 58 (D) 60 (E) 62 04. (CPTM – ANALISTA DE COMUNICAÇÃO JÚNIOR – MAKIYAMA/2013) Para que a soma de uma 𝑎 𝑏 matriz 𝐴 = [ ] e sua respectiva matriz transposta At em uma matriz identidade, são condições a serem 𝑐 𝑑 cumpridas: (A) a=0 e d=0 (B) c=1 e b=1 (C) a=1/c e b=1/d (D) a²-b²=1 e c²-d²=1 (E) b=-c e a=d=1/2 05. (CPTM – ALMOXARIFE – MAKIYAMA/2013) Assinale a alternativa que apresente o resultado da multiplicação das matrizes A e B abaixo: 2 1 0 4 −2 𝐴=( ) ∙𝐵 =( ) 3 −1 1 −3 5 −1 −5 1 (A) ( ) 1 15 11 1 5 1 (B) ( ) −1 15 − 11 1 5 −1 (C) ( ) 1 −15 11 1 5 1 (D) ( ) 1 15 11 −1 5 − 1 (E) ( ) 1 15 − 11 06. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO/2012) Considere a seguinte sentença envolvendo matrizes: 6 𝑦 1 −3 7 7 ( )+( )=( ) 7 2 8 5 15 7 Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta o valor de y que torna a sentença verdadeira. (A) 4. (B) 6. (C) 8. (D) 10. Respostas 01. Resposta: D. Como as matrizes são quadradas de mesma ordem, podemos então multiplica-las: 5 −2 0 1 2 −2 𝐵. 𝐴 = [−1 2 4] . [−1 3 0 ] → −3 −2 1 2 1 3 5.1 + (−2). (−1) + 0.2 5.2 + (−2). 3 + 0.1 5. (−2) + (−2). 0 + 0.3 7 4 −10 [ −1.1 + 2. (−1) + 4.2 −1.2 + 2.3 + 4.1 −1. (−2) + 2.0 + 4.3 ] = [5 8 14 ] −3.1 + (−2). (−1) + 1.2 −3.2 + (−2). 3 + 1.1 −3. (−2) + (−2). 0 + 1.3 1 −11 9 Logo o elemento que ocupa a terceira linha e a segunda coluna é o -11. . 351 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  02. Resposta: B. Vamos ver se é possível multiplicar as matrizes. C(2x3) e B(3x2), como o número de colunas de C é igual ao número de colunas de B, logo é possível multiplicar, o resultado será uma matriz 2x2(linha de C e coluna de B): 2 3 2 1 0 2.2 + 1.4 + 0.6 2.3 + 1.5 + 0.6 8 11 𝐶 𝑥𝐵 = [ ] . [ 4 5] → [ ]=[ ] 4 6 7 4.2 + 6.4 + 7.6 4.3 + 6.5 + 7.6 74 84 6 6 Agora vamos somar a matriz A(2x2) a matriz resultante da multiplicação que também tem a mesma ordem: 8 11 8 11 2 3 8 + 2 11 + 3 10 14 [ ]+𝐴 = [ ]+[ ]→[ ]=[ ] 74 84 74 84 4 6 74 + 4 84 + 6 78 90 03. Resposta: E. Turno i –linha da matriz Turno j- coluna da matriz 2º turno do 2º dia – a22=18 3º turno do 6º dia-a36=25 1º turno do 7º dia-a17=19 Somando:18+25+19=62 04. Resposta: E. 𝑎 𝑏 𝑎 𝑐 2𝑎 𝑏+𝑐 1 0 𝐴 + 𝐴𝑡 = [ ]+[ ]=[ ]=[ ] 𝑐 𝑑 𝑏 𝑑 𝑏+𝑐 2𝑑 0 1 2a =1 → a =1/2 → b + c = 0 → b = -c 2d=1 D=1/2 05. Resposta: B. 2∙0+1∙1 2 ∙ 4 + 1 ∙ (−3 ) 2 ∙ (−2) + 1 ∙ 5 𝐴∙𝐵 =( ) 3 ∙ 0 + (−1) ∙ 1 3 ∙ 4 + (−1) ∙ (−3) 3 ∙ (−2) + (−1) ∙ 5 1 5 1 𝐴∙𝐵 =( ) −1 15 − 11 06. Resposta: D. 6+1=7 𝑦−3=7 ( ) 7 + 8 = 15 2 + 5 = 7 y=10 DETERMINANTES Chamamos de determinante a teoria desenvolvida por matemáticos dos séculos XVII e XVIII, como Leibniz e Seki Shinsuke Kowa, que procuravam uma fórmula para determinar as soluções de um “Sistema linear”, assunto que estudaremos a seguir. Esta teoria consiste em associar a cada matriz quadrada A, um único número real que denominamos determinante de A e que indicamos por det A ou colocamos os elementos da matriz A entre duas barras verticais, como no exemplo abaixo: 1 2  12 A=   → det A=  4 5 45 Definições Determinante de uma Matriz de Ordem 1 Seja a matriz quadrada de ordem 1: A = [a11] Chamamos determinante dessa matriz o número: det A = [ a11] = a11 . 352 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Exemplos - A = [-2] → det A = - 2 - B = [5] → det B = 5 - C=[0] → det C=0 Determinante de uma Matriz de ordem 2 Seja a matriz quadrada de ordem 2: a11 a12  A=   a 21 a 22  Chamamos de determinante dessa matriz o número: a11 a12 det A= =a11.a22-a21.a12 a 21 a 22 Para facilitar a memorização desse número, podemos dizer que o determinante é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Esquematicamente: a11 a12 det A= = a11.a22-a21.a12 a 21 a 22 Exemplos 1 2 - A=   5 3 det A= 1.3-5.2 = - 7 2  1 - B=   2 3  det B= 2.3-2.(-1) = 8 Determinante de uma Matriz de Ordem 3 Seja a matriz quadrada de ordem 3: a11 a12 a13   A= a21 a 22 a23    a31 a32 a33  Chamamos determinante dessa matriz o numero: detA= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a32 a21 a13 - a31 a22 a13 + -a12 a21 a33 - a32 a23 a11 Para memorizarmos a definição de determinante de ordem 3, usamos a regra prática denominada Regra de Sarrus: . 353 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  - Repetimos a 1º e a 2º colunas às direita da matriz. a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 - Multiplicando os termos entre si, seguindo os traços em diagonal e associando o sinal indicado dos produtos, temos: detA= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a13 a22 a31 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 Observação: A regra de Sarrus também pode ser utilizada repetindo a 1º e 2º linhas, ao invés de repetirmos a 1º e 2º colunas. Determinantes – Propriedades - I Apresentamos, a seguir, algumas propriedades que visam a simplificar o cálculo dos determinantes: Propriedade 1: O determinante de uma matriz A é igual ao de sua transposta At. Exemplo a b  a c  A=    At=   c d  b d  det A  ad  bc    det A  det A t det A  ad  bc t Propriedade 2: Se B é a matriz que se obtém de uma matriz quadrada A, quando trocamos entre si a posição de duas filas paralelas, então: detB = - detA Exemplo a b  c d  A=   e B=   c d  a b  B foi obtida trocando-se a 1º pela 2º linha de A. detA = ad - bc debt = bc - ad = - (ad - bc) = - detA Assim, detB = - detA Consequência da Propriedade 2: Uma matriz A que possui duas filas paralelas “iguais”tem determinante igual a zero. Justificativa: A matriz que obtemos de A, quando trocamos entre si as duas filas (linha ou coluna “iguais”, é igual a A. Assim, de acordo com a propriedade 2, escrevemos que detA = -detA Assim: detA = 0 Propriedade 3: Sendo B uma matriz que obtemos de uma matriz quadrada A, quando multiplicamos uma de sua filas (linha ou coluna) por uma constante k, então detB = k.detA . 354 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Consequência da Propriedade 3: Ao calcularmos um determinante, podemos “colocar em evidência” um “fator comum” de uma fila (linha ou coluna). Exemplo - Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, a matriz k. A é obtida multiplicando todos os elementos de A por k, então: det(k.A) = kn.detA Exemplo Assim: det(k.A) = k3.detA Propriedade 4: Se A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, tais que os elementos correspondentes de A, B e C são iguais entre si, exceto os de uma fila, em que os elementos de C são iguais às somas dos seus elementos correspondentes de A e B, então. detC = detA + detB Exemplos: ab x abr a b xr c d y +c d s =c d ys e f z e f t e f z t Propriedades dos Determinantes - Propriedades 5 (Teorema de Jacobi) O determinante não se altera, quando adicionamos uma fila qualquer com outra fila paralela multiplicada por um número. Exemplo: abc Considere o determinante detA= d e f g hi Somando a 3ª coluna com a 1ª multiplicada por m, teremos: . 355 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Exemplo: Vamos calcular o determinante D abaixo. 1 0 3 1 0 3 1 0 D=  2 4  1 =  2 4  1  2 4 5 0 2 5 0 2 5 0 D = 8 + 0 + 0 – 60 – 0 – 0 = -52 Em seguida, vamos multiplicar a 1ª coluna por 2, somar com a 3ª coluna e calcular: 1 0 5 1 0 5 1 0 D1=  2 4  5 =  2 4  5  2 4 5 0 12 5 0 12 5 0 D1 = 48 + 0 + 0 – 100 – 0 – 0 = -52 Observe que D1=D, de acordo com a propriedade. - Consequência Quando uma fila de um determinante é igual à soma de múltiplos de filas paralelas (combinação linear de filas paralelas), o determinante é igual a zero. Exemplo: 1 2 8 Seja D= 3 2 12 4  1 05 Observe que cada elemento de 3ª coluna é igual à 1ª coluna multiplicada por 2 somada com a 2ª coluna multiplicada por 3. 8 = 2(1) + 3(2) = 2 + 6 12 = 2(3) + 3(2) = 6 + 6 5 = 2(4) + 3(-1) = 8 - 3 Portanto, pela consequência da propriedade 5, D = 0 Use a regra de Sarrus e verifique. - Propriedade 6 (Teorema de Binet) Sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, então: det(A.B) = detA . detB Exemplo: 1 2  A=    detA=3  0 3 . 356 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA   4 3 B=    detB=-2 2 1 8 5  A.B=    det(A.B)=-6  6 3 Logo, det(AB)=detA. detB Consequências: Sendo A uma matriz quadrada e n  N*, temos: det(Na) = (detA)n Sendo A uma matriz inversível, temos: 1 detA-1= det A Justificativa: Seja A matriz inversível. A-1.A=I det(A-1.A) = det I detA-1.detA = det I 1 detA-1= det A Uma vez que det I=1, onde i é a matriz identidade. Determinantes – Teorema de Laplace - Menor complementar e Co-fator Dada uma matriz quadrada A=(aij)nxn (n  2), chamamos menor complementar do elemento aij e indicamos por Mij o determinante da matriz quadrada de ordem n-1, que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A. Exemplo: 1 2 3  Sendo A= 4 1 0  , temos:  2 1 2 1 0 M11= =2 1 2 4 0 M12= =8 2 2 4 1 M13= =2 2 1 Chamamos co-fator do elemento aij e indicamos com Aij o número (-1)i+j.Mij, em que Mij é o menor complementar de aij. Exemplo:  3 1 4   Sendo A 2 1 3 , temos:    1 3 0 1+1 2 1 3 A11=(-1) .M11=(-1) . =-9 3 0 . 357 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  2 3 A12=(-1)1+2.M12=(-1)3. =-3 1 0 3 1 A33=(-1)3+3.M33=(-1)6. =5 2 1 Dada uma matriz A=(aij)nxm, com n  2, chamamos matriz co-fatora de A a matriz cujos elementos são os co-fatores dos elementos de A; indicamos a matriz co-fatora por cof A. A transposta da matriz co-fatora de A é chamada de matriz adjunta de A, que indicamos por adj. A. Exemplo:  1 3 2   Sendo A= 1 0  1 , temos:    4 2 1  0 1 A11=(-1)1+1. =2 2 1 1 1 A12=(-1)1+2. =-5 4 1 1 0 A13=(-1)1+3. =2 4 2 3 2 A21=(-1)2+1. =1 2 1 1 2 A22=(-1)2+2. =-7 4 1 1 3 A23=(-1)2+3. =10 4 2 3 2 A31=(-1)3+1. =-3 0 1 1 2 A32=(-1)3+2. =3 1 1 1 3 A33=(-1)3+3. =-3 1 0 Assim:  2 5 2  2 1 3    cof A= 1  7 10 e adj A=  5  7 3     3 3  3   2 10  3 . 358 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Determinante de uma Matriz de Ordem n -Definição Vimos até aqui a definição de determinante para matrizes quadradas de ordem 1, 2 e 3. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Então: - Para n = 1 A=[a11]  det A=a11 - Para n  2: a11 a12 .... a1n  a a22 ... a2 n  n A=   det A   a1 j . A1 j 21 .......................  j 1   an1 an 2 ... ann  ou seja: detA = a11.A11+a12.A12+…+a1n.A1n Então, o determinante de uma matriz quadrada de ordem n, n  2 é a soma dos produtos dos elementos da primeira linha da matriz pelos respectivos co-fatores. Exemplos: a11 a12  Sendo A=   , temos: a21 a22  detA = a11.A11 + a12.A12, onde: A11 = (-1)1+1.|a22| = a22 A12 = (-1)1+2.|a21| = a21 Assim: detA = a11.a22 + a12.(-a21) detA = a11.a22 - a21.a12 Nota: Observamos que esse valor coincide com a definição vista anteriormente.  3 0 0 0  1 2 3 2  - Sendo A=  , temos:  23 5 4 3    9 3 0 2 detA = 3.A11 + 0. A12  0. A13  0. A14   zero  2 3 2 A11 = (-1) . 1 4 3 =-11 1+1   3 0 2  Assim: detA = 3.(-11)  det A=-33 Nota: Observamos que quanto mais “zeros” aparecerem na primeira linha, mais o cálculo é facilitado. . 359 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  - Teorema de Laplace Seja A uma matriz quadrada de ordem n, n  2, seu determinante é a soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos respectivos co-fatores. Exemplo: 5 0 1 2 3 2 1 0  Sendo A=  4 1 0 0   3  2 2 0 Devemos escolher a 4ª coluna para a aplicação do teorema de Laplace, pois, neste caso, teremos que calcular apenas um co-fator. Assim: detA = 2.A14 + 0.A24 + 0.A34 + 0.A44 3 2 1 A14=(-1) 1+4 4 1 0  =+21   3  2 2  detA = 2 . 21 = 42 Observações Importantes: No cálculo do determinante de uma matriz de ordem n, recaímos em determinantes de matrizes de ordem n-1, e no cálculo destes, recaímos em determinantes de ordem n-2, e assim sucessivamente, até recairmos em determinantes de matrizes de ordem 3, que calculamos com a regra de Sarrus, por exemplo. - O cálculo de um determinante fica mais simples, quando escolhemos uma fila com a maior quantidade de zeros. - A aplicação sucessiva e conveniente do teorema de Jacobi pode facilitar o cálculo do determinante pelo teorema de Laplace. Exemplo:  1 2 3 1  0 1 2 1  Calcule det A sendo A=   2 3 1 2    3 4 6 3 A 1ª coluna ou 2ª linha tem a maior quantidade de zeros. Nos dois casos, se aplicarmos o teorema de Laplace, calcularemos ainda três co-fatores. Para facilitar, vamos “fazer aparecer zero” em A31=-2 e A41=3 multiplicando a 1ª linha por 2 e somando com a 3ª e multiplicando a 1ª linha por -3 e somando com a 4ª linha; fazendo isso, teremos:  1 2 3 1  0 1 2 1  A=   0 7 7 4    0  2  3 0 Agora, aplicamos o teorema de Laplace na 1ª coluna:  1 2 1   1 2 1 detA=1.(-1)1+1.  7 7 4  =  7 7 4     2  3 0   2  3 0 . 360 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Aplicamos a regra de Sarrus, 1 2 1 1 2 7 7 4 7 7 2 3 0 2 3 + + + det A = (0 – 16 – 21) - ( - 14 + 12 + 0) detA = 0 – 16 – 21 + 14 – 12 – 0 = -49 + 14 detA = -35 - Uma aplicação do Teorema de Laplace Sendo A uma matriz triangular, o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal; podemos verificar isso desenvolvendo o determinante de A através da 1ª coluna, se ela for triangular superior, e através da 1ª linha, se ela for triangular superior, e através da 1ª linha, se ela for triangular inferior. Assim: 1ª. A é triangular superior a11 a12 a13 .... a1n  0 a22 a23 ... a2 n   A= 0 0 a33 ... a3n     ... ... ... ... ...   0 0 ... ann   0 detA=a11.a22.a33. … .ann 2ª. A é triangular inferior a11 a12 a13 .... a1n    a21 a22 0 ... a2 n  A= a31 a32 a33 ... a3n     ... ... ... ... ...  a an 3 ... ann   n1 an 2 detA=a11.a22.a33. … .ann 1 0 0  0  0 1 0  0   In=  0 0 1  0         0 0 0  1 detIn=1 - Determinante de Vandermonde e Regra de Chió Uma determinante de ordem n  2 é chamada determinante de Vandermonde ou determinante das potências se, e somente se, na 1ª linha (coluna) os elementos forem todos iguais a 1; na 2ª, números quaisquer; na 3ª, os seus quadrados; na 4ª, os seus cubos e assim sucessivamente. . 361 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Exemplos: - Determinante de Vandermonde de ordem 3 1 1 1 a b c a2 b2 c2 - Determinante de Vandermonde de ordem 4 1 1 1 1 a b c d a2 b2 c2 d 2 a 3 b3 c3 d 3 Os elementos da 2ª linha são denominados elementos característicos. - Propriedade Um determinante de Vandermonde é igual ao produto de todas as diferenças que se obtêm subtraindo- se de cada um dos elementos característicos os elementos precedentes, independente da ordem do determinante. Exemplo: Calcule o determinante: 1 2 4 detA= 1 4 16 1 7 49 Sabemos que detA = detAt, então: 1 1 1 t detA = 2 4 7 1 16 49 Que é um determinante de Vandermonde de ordem 3, então: detA = (4 – 2).(7 – 2).(7 – 4)=2 . 5 . 3 = 30 Questões 01. (COBRA Tecnologia S-A (BB) - Analista Administrativo - ESPP/2013) O valor de b para que o 𝑏 𝑥 2 determinante da matriz [ ] seja igual a 8, em que x e y são as coordenadas da solução do sistema 2 𝑦 𝑥 + 2𝑦 = 7 { , é igual a: 2𝑥 + 𝑦 = 8 (A) 2. (B) –2. (C) 4. (D) –1. 1 𝑥 02. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO/2012) É correto afirmar que o determinante | |é igual −2 4 a zero para x igual a (A) 1. (B) 2. (C) -2. (D) -1. . 362 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  03. (CGU – ADMINISTRATIVA – ESAF/2012) Calcule o determinante da matriz: 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ( ) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 (A) 1 (B) 0 (C) cos 2x (D) sen 2x (E) sen x/2 04. (PREF. ARARAQUARA/SP – AGENTE DA ADMINISTRAÇÃO DOS SERVIÇOS DE 2, 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗 SANEAMENTO – CETRO/2012) Dada a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )3𝑥3, onde 𝑎𝑖𝑗 = { , assinale a −1, 𝑠𝑒 𝑖 ≤ 𝑗 alternativa que apresenta o valor do determinante de A é (A) -9. (B) -8. (C) 0. (D) 4. 05. (COBRA TECNOLOGIA – TÉCNICO DE OPERAÇÕES – DOCUMENTOS/QUALIDADE - 𝑏 𝑥 2 ESPP/2012) O valor de b para que o determinante da matriz [ ] seja igual a 8, em que x e y são as 2 𝑦 𝑥 + 2𝑦 = 7 coordenadas da solução do sistema { é igual a: 2𝑥 + 𝑦 = 8 (A) 2. (B) -2. (C) 4. (C) -1. Respostas 01. Resposta: B. 𝑥 + 2𝑦 = 7 (𝑥 − 2) { 2𝑥 + 𝑦 = 8 −2𝑥 − 4𝑦 = −14 { 2𝑥 + 𝑦 = 8 - 3y = - 6 y=2 x = 7 - 2y x=7–4=3 𝑏 |3 2 | = 8 2 2 6–b=8 B=-2 02. Resposta: C. D = 4 - (-2x) 0 = 4 + 2x → x = - 2 03. Resposta: C. det = cos²x - sen²x det = cos(2x) 04. Resposta: A. −1 −1 −1 𝐴 = ( 2 −1 −1 ) 2 2 −1 . 363 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  −1 −1 −1 𝐷𝑒𝑡 𝐴 = | 2 −1 −1| 2 2 −1 detA = - 1 – 4 + 2 - (2 + 2 + 2) = - 9 05. Resposta: B. 𝑥 + 2𝑦 = 7 (𝑥 − 2) { 2𝑥 + 𝑦 = 8 −2𝑥 − 4𝑦 = −14 { 2𝑥 + 𝑦 = 8 Somando as equações: - 3y = - 6 y=2 x=7–4=3 𝑏 𝐷𝑒𝑡 = |3 2 | 2 2 6–b=8 b=-2 SISTEMAS LINEARES Um Sistema de Equações Lineares é um conjunto ou uma coleção de equações com as quais é possível resolvermos tudo de uma só vez. Sistemas Lineares são úteis para todos os campos da matemática aplicada, em particular, quando se trata de modelar e resolver numericamente problemas de diversas áreas. Nas engenharias, na física, na biologia, na química e na economia, por exemplo, é muito comum a modelagem de situações por meio de sistemas lineares. Definição Toda equação do tipo a1x1 + a2x2 + a3x3+...anxn = b, onde a1, a2, a3,.., an e b são números reais e x1, x2, x3,.., xn são as incógnitas. Os números reais a1, a2, a3..., an são chamados de coeficientes e b é o termo independente. Observamos também que todos os expoentes de todas as variáveis são sempre iguais a 1. Solução de uma equação linear Na equação 4x – y = 2, o par ordenado (3,10) é uma solução, pois ao substituirmos esses valores na equação obtemos uma igualdade. 4 . 3 – 10 → 12 – 10 = 2 Já o par (3,0) não é a solução, pois 4.3 – 0 = 2 → 12 ≠ 2 Sistema Linear Um conjunto de m equações lineares na variáveis x1,x2, ..., xn é dito sistema linear de m equações e n variáveis. Dessa forma temos: 2𝑥 − 3𝑦 = 5 𝑎) { é 𝑢𝑚 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚 2 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑒 2 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑥+𝑦 =4 𝑥−𝑦+𝑧 = 2 𝑏) { é 𝑢𝑚 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚 2 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑒 3 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 −3𝑥 + 4𝑦 = 1 𝑐){𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 𝑤 = 0 é 𝑢𝑚 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑚 1 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑒 4 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 . 364 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Matrizes associadas a um sistema Podemos associar a um sistema linear 2 matrizes (completas e incompletas) cujos elementos são os coeficientes das equações que formam o sistema. Exemplo: 4𝑥 + 3𝑦 = 1 𝑎) { 2𝑥 − 5𝑦 = −2 Temos que: 4 3 4 3 1 𝐴=( ) é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑒 𝐵 = ( ) é 𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎. 2 −5 2 −5 −2 Solução de um sistema Dizemos que a1,a2,...,an é a solução de um sistema linear de n variáveis quando é solução de cada uma das equações do sistema. Exemplo: A tripla ordenada (-1,-2,3) é solução do sistema: 3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2 { 𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0 2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2 1º equação → 3.(-1) – (-2) + 3 = -3 + 2 + 3 = 2 (V) 2º equação → -1 -2.(-2) – 3 = -1 + 4 – 3 = 0 (V) 3º equação → 2.(-1) + (-2) + 2.3 = -2 – 2 + 6 = 2 (V) Classificação de um sistema linear Um sistema linear é classificado de acordo com seu números de soluções. Exemplos: 2𝑥 − 𝑦 = −1 A) O par ordenado (1,3) é a única solução do sistema { 7𝑥 − 3𝑦 = −2 Temos que o sistema é possível e determinado (SPD) 3𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = 3 B) O sistema { apresenta infinitas soluções, como por exemplo (0,1,2), (1,0,0),(2,-1,- 𝑥−𝑦+𝑧 =1 2). Dizemos que o sistema é possível e indeterminado (SPI) 𝑥−𝑦+𝑧 =4 C) O sistema {−4𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0 não apresenta nenhuma solução, pois a primeira e a terceira 𝑥−𝑦+𝑧 =2 equações não podem satisfeitas ao mesmo tempo. Dizemos que o sistema é impossível (SI). Sistemas escalonados Considerando um sistema linear S no qual, em cada equação, existe pelo menos um coeficiente não nulo. Dizemos que S está na forma escalonada (ou é escalonado) se o número de coeficientes nulos, antes do 1º coeficiente não nulo, aumenta de equação para equação. . 365 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Exemplos de sistemas escalonados: 𝟒𝒙 − 𝒚 + 𝟓𝒛 = 𝟑𝟔 𝟒𝒙 + 𝒚 − 𝒛 − 𝒕 − 𝒘 = 𝟏 𝟑𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = 𝟐 { { 𝒛 + 𝒕 + 𝟐𝒘 = 𝟎 𝟑𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟏 𝟐𝒘 = −𝟑 𝟐𝒚 − 𝟑𝒛 = −𝟏 { −𝒛 = 𝟓 Observe que o 1º sistema temos uma redução de números de coeficientes nulos: da 1ª para a 2ª equação temos 1 e da 1ª para a 3ª temos 2; logo dizemos que ele é escalonado. - Resolução de um sistema na forma escalonado Temos dois tipos de sistemas escalonados. 1º) Número de equações igual ao número de variáveis 3𝑥 + 7𝑦 + 5𝑧 = −3 { 𝑦 + 𝑧 = −2 −2𝑧 = 8 Vamos partir da última equação, onde obtemos o valor de z. Substituindo esse valor na segunda equação obtemos y. Por fim, substituímos y e z na primeira equação, obtendo x. Assim temos: -2z = 8 → z = -4 y + z = -2 → y – 4 = -2 → y = 2 3x + 7y + 5z = -3 → 3x + 7.2 + 5.(-4) = -3 →3x + 14 – 20 = -3 →3x = -3 + 6 →3x = 3 → x = 1 Logo a solução para o sistema é (1,2,-4). O sistema tem uma única solução logo é SPD. 2º) Número de equações menor que o número de variáveis. 𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 5 { 𝑦+𝑧 =2 Sabemos que não é possível determinar x,y e z de maneira única, pois há três variáveis e apenas duas “informações” sobre as mesmas. A solução se dará em função de uma de suas variáveis, que será chamada de variável livre do sistema. Vamos ao passo a passo: 1º passo → a variável que não aparecer no início de nenhuma das equações do sistema será convencionada como variável livre, neste caso, a única variável livre é z. 2º passo → transpomos a variável livre z para o 2º membro em cada equação e obtemos: 𝑥 − 𝑦 = 5 − 3𝑧 { 𝑦 =2−𝑧 3º passo → para obtermos x como função de z, substituímos y = 2 – z, na equação: x - (2 – z) = 5 – 3z → x = 7 – 4z Assim, toda tripla ordenada da forma (7 – 4z, 2 – z, z), sendo z ϵ R, é solução do sistema. Para cada valor real que atribuirmos a z, chegaremos a uma solução do sistema. z = 0 → (7,2,0) z = 1 → (3,1,1) z = -1 → (11,3, -1) 1 3 1 z = 2 → (5,2 , 2 ) Este tipo de sistema é dado por infinitas soluções, por isso chamamos de SPI. . 366 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Sistemas equivalentes e escalonamento Dizemos que dois sistemas lineares, S1 e S2, são equivalentes quando a solução de S1 também é solução de S2. Dado um sistema linear qualquer, nosso objetivo é transforma-lo em outro equivalente, pois como vimos é fácil resolver um sistema de forma escalonada. Para isso, vamos aprender duas propriedades que nos permitirá construir sistemas equivalentes. 1ª Propriedade: quando multiplicamos por k, k ϵ R*, os membros de uma equação qualquer de um sistema linear S, obtemos um novo sistema S’ equivalente a S. 𝑥−𝑦 =4 𝑆{ , 𝑐𝑢𝑗𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 é (3, −1) 2𝑥 + 3𝑦 = 3 Multiplicando-se a 1ª equação de S por 3, por exemplo, obtemos: 3𝑥 − 3𝑦 = 12 𝑆′ { , 𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 (3, −1) 6𝑥 + 9𝑦 = 9 2ª Propriedade: quando substituímos uma equação de um sistema linear S pela soma, membro a membro, dele com outra, obtemos um novo sistema S’, equivalente a S. −𝑥 + 𝑦 = −2 𝑆{ , 𝑐𝑢𝑗𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 é (5,3) 2𝑥 − 3𝑦 = 1 Substituindo a 2ª equação pela soma dela com a 1ª: −𝑥 + 𝑦 = −2 −𝑥 + 𝑦 = −2 (2ª 𝑒𝑞.)+(1ª 𝑒𝑞.) 2𝑥 − 3𝑦 = 1 𝑆′ { ← (+) 2𝑥 − 3𝑦 = 1 𝑥 − 2𝑦 = −1 O par (5,3) é também solução de S’, pois a segunda também é verificada: x – 2y = 5 – 2. 3 = 5 – 6 = -1 Escalonamento de um sistema Para escalonarmos um sistema linear qualquer vamos seguir o passo a passo abaixo: 1º passo: Escolhemos, para 1º equação, uma em que o coeficiente da 1ª incógnita seja não nulo. Se possível, fazemos a escolha a fim de que esse coeficiente seja igual a -1 ou 1, pois os cálculos ficam, em geral, mais simples. 2º passo: Anulamos o coeficiente da 1ª equação das demais equações, usando as propriedades 1 e 2. 3º passo: Desprezamos a 1ª equação e aplicamos os 2 primeiros passos com as equações restantes. 4º passo: Desprezamos a 1ª e a 2ª equações e aplicamos os dois primeiros passos nas equações, até o sistema ficar escalonado. Vejamos um exemplo: Escalone e resolva o sistema: −𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −9 { 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6 −2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 1 Primeiramente precisamos anular os coeficientes de x na 2ª e na 3ª equação: . 367 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Deixando de lado a 1ª equação, vamos repetir o processo para a 2ª e a 3ª equação. Convém, entretanto, dividir os coeficientes da 2ª equação por 3, a fim de facilitar o escalonamento: −𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −9 { 𝑦 − 𝑧 = −4 −4𝑦 + 5𝑧 = 19 Que é equivalente a: -Substituímos a 3ª equação pela soma dela com a 2ª equação, −𝒙 + 𝒚 − 𝟐𝒛 = −𝟗 multiplicada por 4: { 𝒚 − 𝒛 = −𝟒 𝟒𝒚−𝟒𝒛=−𝟏𝟔 𝒛=𝟑 −𝟒𝒚+𝟓𝒛=𝟏𝟗 𝒛=𝟑 O sistema obtido está escalonado é do tipo SPD. A solução encontrada para o mesmo é (2,-1,3) Observação: Quando, durante o escalonamento, encontramos duas equações com coeficientes ordenadamente iguais ou proporcionais, podemos retirar uma delas do sistema. Exemplo: Escalone e resolva o sistema: 3𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 0 { 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1 8𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 = 2 𝒙 − 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟏 { 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝒛 = 𝟎 𝟖𝒙 − 𝟔𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟐 (-3) x (1ª eq.) + (2ª eq.): -3x + 3y – 6z = -3 3x – 2y – z = 0 y – 7z = -3 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1 { 𝑦 − 7𝑧 = −3 2𝑦 − 14𝑧 = −6 (-8) x (1eq.) + (3ª eq.) -8x + 8y – 16z = -8 8x - 6y + 2z = 2 2y – 14z = -6 . 368 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Deixamos a 1ª equação de lado e repetimos o processo para a 2ª e 3ª equação: (-2) x (2ª eq.) + (3ª eq.) 𝒙 − 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟏 -2y + 14z = 6 { 𝒚 − 𝟕𝒛 = −𝟑 2y – 14z = -6 𝟎=𝟎 0 =0 A 3ª equação pode ser retirada do sistema, pois, apesar de ser sempre verdadeira, não traz informação sobre os valores das variáveis. Assim, obtemos os sistema escalonado: 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1 (𝐼) { , 𝑞𝑢𝑒 é 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑆𝑃𝐼. 𝑦 − 7𝑧 = −3 (𝐼𝐼) A variável livre do sistema é z, então temos: (I) y = 7z – 3 (II) x – (7z – 3) + 2z = 1 → x = 5z – 2 Assim, S = [(5z – 2, 7z – 3, z); z ϵ R] Sistemas homogêneos Observe as equações lineares seguintes: x – y + 2z = 0 4x – 2y + 5z = 0 -x1 – x2 – x3 = 0 O coeficiente independente de cada uma delas é igual a zero, então denominamos de equações homogêneas. Note que a tripla ordenada (0,0,0) é uma possível solução dessas equações, na qual chamamos de solução nula, trivial ou imprópria. Ao conjunto de equações homogêneas denominamos de sistemas homogêneos. Este tipo de sistema é sempre possível, pois a solução nula satisfaz cada uma de suas equações. Exemplo: 𝑥+𝑦−𝑧 = 0 Escalonando o sistema { + 3𝑦 + 𝑧 = 0 , 𝑣𝑒𝑚: 2𝑥 5𝑥 + 7𝑦 + 𝑧 = 0 𝑥+𝑦−𝑧 =0 { 𝑦 + 3𝑧 = 0 ← (−2)𝑥(1ª 𝑒𝑞. ) + (2ª 𝑒𝑞. ) 2𝑦 + 6𝑧 = 0 ← (−5)𝑥(1ª 𝑒𝑞. ) + (3ª 𝑒𝑞. ) Dividindo os coeficientes da 3ª equação por 2, notamos que ela ficará igual à 2ª equação e , portanto poderá ser retirada do sistema. 𝑥+𝑦−𝑧 = 0 Assim, o sistema se reduz à forma escalonada { 𝑒 é 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑆𝑃𝐼. 𝑦 + 3𝑧 = 0 Resolvendo-o vem y = -3z e x = 4z. Se z = α, α ϵ R, segue a solução geral (4α,-3α, α). Vamos ver algumas de suas soluções: - α = 0 → (0,0,0): solução nula ou trivial. . 369 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  - α = 1 → (4,-3,1) - α = -2 → (-8,6,-2) As soluções onde α = 1 e – 2 são próprias ou diferentes da trivial. Regra de Cramer 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒 Consideramos os sistema { . Suponhamos que a ≠ 0. Observamos que a matriz incompleta 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓 𝑎 𝑏 desse sistema é 𝑀 = ( ), cujo determinante é indicado por D = ad – bc. 𝑐 𝑑 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 =𝑒 Escalonando o sistema, obtemos: { (∗) (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐). 𝑦 = (𝑎𝑓 − 𝑐𝑒) Se substituirmos em M a 2ª coluna (dos coeficientes de y) pela coluna dos coeficientes independentes, 𝑎 𝑒 obteremos ( 𝑐 𝑓 ),cujo determinante é indicado por Dy = af – ce. 𝐷𝑦 Assim, em (*), na 2ª equação, obtemos D. y = Dy. Se D ≠ 0, segue que 𝑦 = 𝐷 . 𝑒 𝑏 Substituindo esse valor de y na 1ª equação de (*) e considerando a matriz ( ), cujo determinante 𝑓 𝑑 𝐷𝑥 é indicado por Dx = ed – bf, obtemos 𝑥 = 𝐷 , D ≠ 0. Resumindo: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒 𝑎 𝑏 Um sistema { é possível e determinado quando 𝐷 = | | ≠ 0, e a solução desse sistema 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓 𝑐 𝑑 é dada por : 𝑫𝒙 𝑫𝒚 𝒙= 𝒆𝒚= 𝑫 𝑫 Estes resultados são conhecidos como Regra de Cramer e podem ser generalizados para um sistema n x n (n equações e n incógnitas). Esta regra é um importante recurso na resolução de sistemas lineares possíveis e determinados, especialmente quando o escalonamento se torna trabalhoso (por causa dos coeficientes das equações) ou quando o sistema é literal. Exemplo: 𝑥+𝑦+𝑧 =0 Vamos aplicar a Regra de Cramer para resolver os sistema {4𝑥 − 𝑦 − 5𝑧 = −6 2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = −3 1 1 1 De início temos que |4 −1 −5| = −9 ≠ 0. Temos, dessa forma, SPD. 2 1 2 0 1 1 𝐷𝑥 18 𝐷𝑥 = |−6 −1 −5| = 15 − 6 − 3 + 12 = 18; 𝑥 = = = −2 𝐷 −9 −3 1 2 1 0 1 𝐷𝑦 −27 𝐷𝑦 = |4 −6 −5| = −12 − 12 + 12 − 15 = −27; 𝑦 = = =3 𝐷 −9 2 −3 2 1 1 0 𝐷𝑧 9 𝐷𝑧 = |4 −1 −6| = 3 − 12 + 6 + 12 = 9; 𝑧 = = = −1 𝐷 −9 2 1 −3 Uma alternativa para encontrar o valor de z seria substituir x por -2 e y por 3 em qualquer uma das equações do sistema. Assim, S = {(-2,3-1)}. . 370 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Discussão de um sistema 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒 Consideremos novamente o sistema { , cuja forma escalonada é: 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒 {(𝑎𝑑 ⏟ − 𝑏𝑐) . 𝑦 = (𝑎𝑓 − 𝑐𝑒)(∗) 𝐷 𝑎 𝑏 em que 𝐷 = | | é o determinante da matriz incompleta do sistema. 𝑐 𝑑 Como vimos, se D ≠ 0, o sistema é possível e determinado e a solução pode ser obtida através da Regra de Cramer. Se D = 0, o 1º membro de (*) se anula. Dependendo do anulamento, ou não, do 2º membro de (*), temos SPI ou SI. Em geral, sendo D o determinante da matriz incompleta dos coeficientes de um sistema linear, temos: D ≠ 0 → SPD D = 0 → (SPI ou SI) Esses resultados são válidos para qualquer sistema linear de n equações e n incógnitas, n ≥ 2. Temos que discutir um sistema linear em função de um ou mais parâmetros significa dizer quais valores do(s) parâmetro(s) temos SPD, SPI ou SI. Exemplo: 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0 Vamos discutir, em função de m, o sistema { 3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑚𝑧 = 2 1 −2 3 Temos: 𝐷 = |3 1 1 | = 𝑚 − 4 + 27 − 6 − 3 + 6𝑚 − 7𝑚 + 14 2 3 𝑚 - Se 7m + 14 ≠ 0, isto é, se m ≠ - 2, temos SPD. - Se 7m + 14 = 0, isto é, se m = -2 , podemos ter SI ou SPI. Então vamos substituir m por -2 no sistema e resolvê-lo: 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0 { 3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2 ⟺ { 7𝑦 − 8𝑧 = 2 ⟵ (−3)𝑥 (1ª 𝑒𝑞. ) + (2ª 𝑒𝑞. ) 2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 2 7𝑦 − 8𝑧 = 2 ⟵ (−2)𝑥 (1ª 𝑒𝑞. ) + (3ª 𝑒𝑞. ) 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 0 ou ainda { , 𝑞𝑢𝑒 é 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑒 𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑆𝑃𝐼. 7𝑦 − 8𝑧 = 2 Assim: m ≠ - 2 → SPD m = -2 → SPI Observações: - Para um sistema homogêneo, a condição D = 0, é necessária para que tenhamos SPI, mas não é suficiente (pois existe a possibilidade de se ter SI). - Para um sistema homogêneo, a condição D = 0 é suficiente para que tenhamos SPI. Questões 2 x  3 y  8 01. Resolver e classificar o sistema:  3x  2 y  1 . 371 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  2 x  3 y  5 02. Determinar m real, para que o sistema seja possível e determinado:   x  my  2 3x  y  z  5  03. Resolver e classificar o sistema: x  3 y  7 2 x  y  2 z  4  x  2 y  z  5  04. Determinar m real para que o sistema seja possível e determinado. 2 x  y  2 z  5 3x  y  mz  0  05. Se o terno ordenado (2, 5, p) é solução da equação linear 6x - 7y + 2z = 5, qual o valor de p? 06. Escreva a solução genérica para a equação linear 5x - 2y + z = 14, sabendo que o terno ordenado (𝛼, 𝛽, 𝛾) é solução. 07. Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo, 2x - my = 10 3x + 5y = 8, seja impossível. 08. Se os sistemas: S1: x + y = 1 e S2: ax – by = 5 X – 2y = -5 ay – bx = -1 São equivalentes, então o valor de a2 + b2 é igual a: (A) 1 (B) 4 (C) 5 (D) 9 (E) 10 09. Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer: x + 3y - 2z = 3 2x - y + z = 12 4x + 3y - 5z = 6 2 x  y  7 10. Resolver o sistema  .  x  5 y  2 11. (UNIOESTE – ANALISTA DE INFORMÁTICA – UNIOESTE/2013) Considere o seguinte sistema de equações lineares 3 3 𝑥 + 2𝑦 + 2 𝑧 = 2 ( 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2 ) 2𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 3 Assinale a alternativa correta. (A) O determinante da matriz dos coeficientes do sistema é um número estritamente positivo. (B) O sistema possui uma única solução (1, 1, -1). (C) O sistema possui infinitas soluções. . 372 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (D) O posto da matriz ampliada associada ao sistema é igual a 3. (E) Os vetores linha (1, 2, 3/2) e (2, 4, 3) não são colineares. 12. (SEDUC/RJ - Professor – Matemática – CEPERJ) Sabendo-se que 2a + 3b + 4c = 17 e que 4a + b - 2c = 9, o valor de a + b + c é: (A) 3. (B) 4. (C) 5. (D) 6. (E) 7. Respostas 01. Resposta: S= {(1, 2)}. Calculemos inicialmente D, Dx e Dy: 2 3 D  4  9  13 3 2 8 3 Dx   16  3  13 1 2 2 8 Dy   2  24  26 3 1 Como D =-13 ≠ 0, o sistema é possível e determinado e: Dx  13 Dy  26 x  1 e y  2 D  13 D  13 Assim: S= {(1, 2)} e o sistema são possíveis e determinados.  3 02. Resposta: m  R / m   .  2 Segundo a regra de Cramer, devemos ter D ≠ 0, em que: 2 3 D  2m  3 1 m 3 Assim: 2m -3 ≠ 0 → m ≠ 2 Então, os valores reais de m, para que o sistema seja possível e determinado, são dados pelos elementos do conjunto:  3 m  R / m    2 03. Resposta: S = {(1, 2, 4)}. Calculemos inicialmente D, Dx, Dy e Dz . 373 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  3 1 1 D1 3 0  18  0  1  6  0  2  25 2 1 2 5 1 1 Dx  7 3 0  30  0  7  12  0  14  25 2 1 2 3 5 1 Dy  1 7 0  42  0  4  14  0  10  50 242 3 1 5 Dz  1 3 7  36  14  5  30  21  4  100 2 1 4 Como D= -25 ≠ 0, o sistema é possível e determinado e: Dx  25 Dy  50 x   1; y   2; z  Dz  100  4 D  25 D  25 D  25 Assim: S = {(1, 2, 4)} e o sistema são possíveis e determinados. 04. Resposta: m  R / m  3. Segundo a regra de Cramer, devemos ter D ≠ 0. Assim: 1 2 1 D  2 1 2  m  12  2  3  2  4m 3 1 m D = -5m + 15 Assim: -5m + 15 ≠ 0 → m ≠ 3 Então, os valores reais de m, para que o sistema seja possível e determinado, são dados pelos elementos do conjunto: m  R / m  3 05. Resposta: 14. Teremos por simples substituição, observando que x = 2, y = 5 e z = p, 6 . 2 – 7 . 5 + 2 . p = 5. Logo, 12 - 35 + 2p = 5. Daí vem imediatamente que 2p = 28 e, portanto, p = 14. . 374 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  06. Resposta: S = (1,3,15). Podemos escrever: 5α - 2β + γ = 14. Daí, tiramos: γ = 14 - 5α + 2β. Portanto, a solução genérica será o terno ordenado (α, β, 14 - 5α + 2β ). Observe que se arbitrando os valores para α e β, a terceira variável ficará determinada em função desses valores. Por exemplo, fazendo-se α = 1, β = 3, teremos: γ = 14 - 5 α + 2 β = 14 – 5 . 1 + 2 . 3 = 15, ou seja, o terno (1, 3, 15) é solução, e assim, sucessivamente. Verificamos, pois que existem infinitas soluções para a equação linear dada, sendo o terno ordenado (α, β, 14 - 5 α + 2 β) a solução genérica. 07. Resposta: m = -10/3. Teremos, expressando x em função de m, na primeira equação: x = (10 + my) / 2 Substituindo o valor de x na segunda equação, vem: 3[(10+my) / 2] + 5y = 8 Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplificando, vem: 3(10+my) + 10y = 16 30 + 3my + 10y = 16 (3m + 10)y = -14 y = -14 / (3m + 10) Ora, para que não exista o valor de y e, em consequência não exista o valor de x, deveremos ter o denominador igual a zero, já que , como sabemos, não existe divisão por zero. Portanto, 3m + 10 = 0, de onde se conclui m = -10/3, para que o sistema seja impossível, ou seja, não possua solução. 08. Resposta: E. Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamos resolver o sistema: S1: x + y = 1 x - 2y = -5 Subtraindo membro a membro, vem: x - x + y - (-2y) = 1 - (-5). Logo, 3y = 6 \ y = 2. Portanto, como x + y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 \ x = -1. O conjunto solução é, portanto S = {(-1, 2)}. Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução do sistema S2. Logo, substituindo em S2 os valores de x e y encontrados para o sistema S1, vem: a(-1) - b(2) = 5 → - a - 2b = 5 a(2) - b (-1) = -1 → 2 a + b = -1 Multiplicando ambos os membros da primeira equação por 2, fica: -2 a - 4b = 10 Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação, fica: -3b = 9 \ b = - 3 Substituindo o valor encontrado para b na equação em vermelho acima (poderia ser também na outra equação em azul), teremos: 2 a + (-3) = -1 \ a = 1. Portanto, a2 + b2 = 12 + (-3)2 = 1 + 9 = 10. 09. Resposta: S = {(5, 2, 4)}. Teremos: . 375 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Portanto, pela regra de Cramer, teremos: x1 = D x1 / D = 120 / 24 = 5 x2 = D x2 / D = 48 / 24 = 2 x3 = D x3 / D = 96 / 24 = 4 Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = {(5, 2, 4)}. 10. Resposta: S  3,1 2  1 A   det A  11 1 5   7  1 A1     det A1  33  2 5  2 7  A2     det A2  11 1  2 det A1 33 det A2  11 x  3 y   1 det A 11 det A 11 11. Resposta: C. 3 1 2 𝐷 = |2 1 2 | = 3 + 12 + 4 − 3 − 4 − 12 = 0 1 2 4 3 O sistema pode ser SI(sistema impossível) ou SPI(sistema possível indeterminado) Para ser SI Dx = 0 e SPI Dx  0 3 3 2 9 9 𝐷𝑥 = | 2 2 | = + 6 + 24 − − 6 − 12 = 12 2 1 1 2 2 3 4 3 Dx  0, portanto o sistema tem infinitas soluções. 12. Reposta: D. (I) 2a + 3b + 4c = 17 x(-2) (II) 4a + b – 2c = 9 Multiplicamos a primeira equação por – 2 e somamos com a segunda, cancelando a variável a: (I) 2a + 3b + 4c = 17 (II) – 5b – 10c = - 25 : (- 5) Então: (I) 2a + 3b + 4c = 17 (II) b +2c = 5 . 376 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Um sistema com três variáveis e duas equações é possível e indeterminado (tem infinitas soluções), então fazendo a variável c = α (qualquer letra grega). Substituímos c em (II): b + 2α = 5 b = 5 - 2α substituímos b e c em (I): 2a + 3(5 - 2α) + 4α = 17 2a + 15 - 6α + 4α = 17 2a = 17 – 15 + 6α - 4α 2a = 2 + 2α : (2) a=1+α Logo a solução do sistema é a = 1 + α. b = 5 - 2α e c = α, então: a + b + c = 1 + α + 5 - 2α + α = 6 Polinômios. Para polinômios podemos encontrar várias definições diferentes como: Polinômio é uma expressão algébrica com todos os termos semelhantes reduzidos. - 3xy é monômio, mas também considerado polinômio, assim podemos dividir os polinômios em monômios (apenas um monômio), binômio (dois monômios) e trinômio (três monômios). - 3x + 5 é um polinômio e uma expressão algébrica. Como os monômios, os polinômios também possuem grau e é assim que eles são separados. Para identificar o seu grau, basta observar o grau do maior monômio, esse será o grau do polinômio. Com os polinômios podemos efetuar todas as operações: adição, subtração, divisão, multiplicação, potenciação e radiciação. Em resumo: - Polinômio é uma expressão algébrica racional e inteira, por exemplo: x2y 3x – 2y x + y5 + ab - Monômio é um tipo de polinômio que possui apenas um termo, ou seja, que possui apenas coeficiente e parte literal. Por exemplo: a2 → 1 é o coeficiente e a2 parte literal. 3x2y → 3 é o coeficiente e x2y parte literal. - 5xy6 → -5 é o coeficiente e xy6 parte literal Operações com Polinômios - Adição O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes. Exemplos: 1 - Adicionar x2 – 3x – 1 com –3x2 + 8x – 6. (x2 – 3x – 1) + (– 3x2 + 8x – 6) → eliminar o segundo parênteses através do jogo de sinal. + (– 3x2) = – 3x2 + (+ 8x) = + 8x + (– 6) = – 6 x2 – 3x – 1 –3x2 + 8x – 6 → reduzir os termos semelhantes. x2 – 3x2 – 3x + 8x – 1 – 6 – 2x2 + 5x – 7 Portanto: (x2 – 3x – 1) + (– 3x2 + 8x – 6) = – 2x2 + 5x – 7 2 - Adicionando 4x2 – 10x – 5 e 6x + 12, teremos: . 377 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal. 4x2 – 10x – 5 + 6x + 12 → reduzir os termos semelhantes. 4x2 – 10x + 6x – 5 + 12 4x2 – 4x + 7 Portanto: (4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) = 4x2 – 4x + 7 Subtração Exemplos: 1 - Subtraindo – 3x2 + 10x – 6 de 5x2 – 9x – 8. (5x2 – 9x – 8) – (– 3x2 + 10x – 6) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal. – (– 3x2) = + 3x2 – (+ 10x) = – 10x – (– 6) = + 6 5x2 – 9x – 8 + 3x2 –10x +6 → reduzir os termos semelhantes. 5x2 + 3x2 – 9x –10x – 8 + 6 8x2 – 19x – 2 Portanto: (5x2 – 9x – 8) – (– 3x2 + 10x – 6) = 8x2 – 19x – 2 2 - Se subtrairmos 2x³ – 5x² – x + 21 e 2x³ + x² – 2x + 5 teremos: (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) → eliminando os parênteses através do jogo de sinais. 2x³ – 5x² – x + 21 – 2x³ – x² + 2x – 5 → redução de termos semelhantes. 2x³ – 2x³ – 5x² – x² – x + 2x + 21 – 5 0x³ – 6x² + x + 16 – 6x² + x + 16 Portanto: (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) = – 6x² + x + 16 3 - Considerando os polinômios A = 6x³ + 5x² – 8x + 15, B = 2x³ – 6x² – 9x + 10 e C = x³ + 7x² + 9x + 20. Calcule: a) A + B + C (6x³ + 5x² – 8x + 15) + (2x³ – 6x² – 9x + 10) + (x³ + 7x² + 9x + 20) 6x³ + 5x² – 8x + 15 + 2x³ – 6x² – 9x + 10 + x³ + 7x² + 9x + 20 6x³ + 2x³ + x³ + 5x² – 6x² + 7x² – 8x – 9x + 9x + 15 + 10 + 20 9x³ + 6x² – 8x + 45 A + B + C = 9x³ + 6x² – 8x + 45 b) A – B – C (6x³ + 5x² – 8x + 15) – (2x³ – 6x² – 9x + 10) – (x³ + 7x² + 9x + 20) 6x³ + 5x² – 8x + 15 – 2x³ + 6x² + 9x – 10 – x³ – 7x² – 9x – 20 6x³ – 2x³ – x³ + 5x² + 6x² – 7x² – 8x + 9x – 9x + 15 – 10 – 20 6x³ – 3x³ + 11x² – 7x² – 17x + 9x + 15 – 30 3x³ + 4x² – 8x – 15 A – B – C = 3x³ + 4x² – 8x – 15 - Multiplicação A multiplicação com polinômio (com dois ou mais monômios) pode ser realizada de três formas: 1) Multiplicação de monômio com polinômio. 2) Multiplicação de número natural com polinômio. 3) Multiplicação de polinômio com polinômio. As multiplicações serão efetuadas utilizando as seguintes propriedades: - Propriedade da base igual e expoente diferente: an . am = a n + m - Monômio multiplicado por monômio é o mesmo que multiplicar parte literal com parte literal e coeficiente com coeficiente. 1) Multiplicação de monômio com polinômio - Se multiplicarmos 3x por (5x2 + 3x – 1), teremos: 3x.(5x2 + 3x – 1) → aplicar a propriedade distributiva. 3x.5x2 + 3x.3x + 3x.(-1) 15x3 + 9x2 – 3x Portanto: 3x (5x2 + 3x – 1) = 15x3 + 9x2 – 3x . 378 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  - Se multiplicarmos -2x2 por (5x – 1), teremos: -2x2 (5x – 1) → aplicando a propriedade distributiva. -2x2 . 5x – 2x2 . (-1) - 10x3 + 2x2 Portanto: -2x2 (5x – 1) = - 10x3 + 2x2 2) Multiplicação de número natural - Se multiplicarmos 3 por (2x2 + x + 5), teremos: 3 (2x2 + x + 5) → aplicar a propriedade distributiva. 3 . 2x2 + 3 . x + 3 . 5 6x2 + 3x + 15. Portanto: 3 (2x2 + x + 5) = 6x2 + 3x + 15. 3) Multiplicação de polinômio com polinômio - Se multiplicarmos (3x – 1) por (5x2 + 2) (3x – 1) . (5x2 + 2) → aplicar a propriedade distributiva. 3x . 5x2 + 3x . 2 – 1 . 5x2 – 1 . 2 15x3 + 6x – 5x2 – 2 Portanto: (3x – 1) . (5x2 + 2) = 15x3 + 6x – 5x2 – 2 - Multiplicando (2x2 + x + 1) por (5x – 2), teremos: (2x2 + x + 1) (5x – 2) → aplicar a propriedade distributiva. 2x2 . (5x) + 2x2 . (-2) + x . 5x + x . (-2) + 1 . 5x + 1 . (-2) 10x3 – 4x2 + 5x2 – 2x + 5x – 2 10x3+ x2 + 3x – 2 Portanto: (2x2 + x + 1) (5x – 2) = 10x3+ x2 + 3x – 2 - Divisão 1) Divisão de monômio por monômio Ao resolvermos uma divisão onde o dividendo e o divisor são monômios devemos seguir a regra: dividimos coeficiente com coeficiente e parte literal com parte literal. Exemplos: 6x3 ÷ 3x = 6 . x3 = 2x2 3x2 −10 𝑥 2 𝑦 4 −10𝑥 2 𝑦 4 : 2𝑥𝑦 2 = = −5𝑥𝑦 2 2 𝑥 𝑦2 Observação: ao dividirmos as partes literais temos que estar atentos à propriedade que diz que base igual na divisão, repete a base e subtrai os expoentes. Depois de relembrar essas definições veja alguns exemplos de como resolver divisões de polinômio por monômio. Exemplo 1: (10a3b3 + 8ab2) ÷ (2ab2) O dividendo 10a3b3 + 8ab2 é formado por dois monômios. Dessa forma, o divisor 2ab2, que é um monômio, irá dividir cada um deles, veja: (10a3b3 + 8ab2) ÷ (2ab2) 10𝑎3 𝑏3 8𝑎𝑏 2 + 2𝑎𝑏 2 2𝑎𝑏 2 Assim, transformamos a divisão de polinômio por monômio em duas divisões de monômio por monômio. Portanto, para concluir essa divisão é preciso dividir coeficiente por coeficiente e parte literal por parte literal. 10𝑎3 𝑏3 8𝑎𝑏 2 + ⏟2𝑎𝑏 2 ⏟ 2𝑎𝑏 2 5𝑎 2 𝑏 4 ou . 379 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Portanto, (10a3b3 + 8ab2) ÷ (2ab2) = 5a2b + 4 Exemplo 2: (9x2y3 – 6x3y2 – xy) ÷ (3x2y) O dividendo 9x2y3 – 6x3y2 – xy é formado por três monômios. Dessa forma, o divisor 3x2y, que é um monômio irá dividir cada um deles, veja: 9𝑥 2 𝑦 3 6𝑥 3 𝑦 2 𝑥𝑦 2 − 2 − 2 3𝑥 𝑦 3𝑥 𝑦 3𝑥 𝑦 Assim, transformamos a divisão de polinômio por monômio em três divisões de monômio por monômio. Portanto, para concluir essa divisão é preciso dividir coeficiente por coeficiente e parte literal por parte literal. 9𝑥 2 𝑦 3 6𝑥 3 𝑦 2 𝑥𝑦 1 2 − 2 − 2 ⟶ 3𝑦 2 − 2𝑥𝑦 − 3𝑥 𝑦 3𝑥 𝑦 3𝑥 𝑦 3𝑥 Portanto, 1 1𝑥 −1 (9𝑥 2 𝑦 3 − 6𝑥 3 𝑦 2 − 𝑥𝑦): (3𝑥 2 𝑦) = 3𝑦 2 − 2𝑥𝑦 − 𝑜𝑢 3𝑦 2 − 2𝑥𝑦 − 3𝑥 3 2) Divisão de Polinômio por polinômio Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo. Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q(x) e R(x), que satisfaçam as duas condições abaixo: 1ª) Q(x).D(x) + R(x) = P(x) 2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0 P( x) D( x ) R( x) Q( x) Nessa divisão: P(x) é o dividendo. D(x) é o divisor. Q(x) é o quociente. R(x) é o resto da divisão. Obs: Quando temos R(x) = 0 dizemos que a divisão é exata, ou seja, P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x). Se D(x) é divisor de P(x)  R(x)=0 Exemplo: Determinar o quociente de P(x) = x4 + x3 – 7x2 + 9x – 1 por D(x) = x2 + 3x – 2. Resolução: Aplicando o método da chave, temos: . 380 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  x 4  x3  7 x 2  9 x  1 x 2  3x  2  x 4  3x3  2 x 2 x 2  2 x  1  Q( x)  2 x3  5 x 2  9 x  1  2 x3  6 x 2  4 x x2  5x  1  x 2  3x  2 2 x  1  R( x) Verificamos que: x  4  x 3 - 2 7x 9x - 1  (x 2  3x - 2) (x 2 - 2x  1)  (2x  1)      P(x) D(x) Q(x) R(x)  O dispositivo de Briot-Ruffini Utiliza-se para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (ax + b). Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x) = 3x3 – 5x2 + x – 2 por (x – 2). Resolução: Para resolvermos este problema, vamos seguir o passo a passo abaixo: 1) Vamos achar a raiz do divisor: x – 2 = 0  x = 2; 2) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo ordenadamente na parte de cima da reta, como mostra a figura acima; 3) O primeiro coeficiente do dividendo é repetido abaixo; 4) Multiplicamos a raiz do divisor por esse coeficiente repetido abaixo e somamos o produto com o 2º coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste; 5) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º coeficiente e somamos o produto com o 3º coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente; 6) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão, e os números que ficam à esquerda deste serão os coeficientes do quociente. Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x), pois o divisor é de grau 1. Resposta: Q(x) = 3x2 + x + 3 e R(x) = 4. - Máximo divisor comum de um polinômio Um máximo divisor comum de um grupo de dois ou mais polinômios não nulos, de coeficientes racionais, P1(x), P2(x), ... , Pm(x) é um polinômio de maior grau M(x) que divide todos os polinômios P1(x), P2(x), ... , Pm(x) . M(x) também deve só conter coeficientes racionais. . 381 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Saiba: P(x) = 2x3 + x – 1 é um polinômio de coeficientes racionais porque todos os coeficientes das potências xn (n = 1, 2, 3, ...) e o termo independente são números racionais. O grau deste polinômio é 3. Saiba: P(x) = 140x5 + √2 x3 – x2 + 3 NÃO é um polinômio de coeficientes racionais porque há pelo menos um coeficiente das potências xn (n = 1, 2, 3, ...) ou do termo independente que não é um número racional. No caso, o coeficiente irracional (que é um número real não racional) é √2 da potência cúbica. Preste atenção: P(x) não deixa de ser um polinômio! Apenas não é um polinômio racional. Um polinômio D(x) divide um polinômio A(x) - não nulo - se existe um polinômio Q(x) tal que A(x) ≡ Q(x)D(x) or exemplo, D(x) = x + 2 divide A(x) = x3 + 2x2 – 9x – 18 pois existe um Q(x) = x2 – 9 tal que A(x) ≡ Q(x)D(x). Veja: x3 + 2x2 – 9x – 18 ≡ (x + 2)(x2 – 9) Denotamos D(x) | A(x) e lemos: D(x) divide A(x) ou A(x) é divisível por D(x). Q(x) é o quociente. Procedimento Obtendo um mdc usando FATORAÇÃO: Obter a fatoração de P1, P2, etc... Isso quer dizer, decomponha P1, P2, etc... em fatores com menor grau possível onde os fatores ainda sejam polinômios racionais. 1) Um mdc entre os polinômios é igual produto dos fatores comuns dos polinômios. 2) Caso não existam fatores comuns, o maior divisor comum é 1, logo o mdc(P1, P2, ...) = 1 Exemplos: 1) Obter um mdc entre (x2 – 2x + 1) e (x2 – 1) x2– 2x + 1 = (x – 1)( x – 1) x2– 1 = (x – 1)(x + 1) Um mdc é (x – 1) já que é fator comum entre os polinômios x2– 2x + 1 e x2– 1. 2) Obter um mdc entre (x2 – 2x + 1) e (5x2 – 5) x2– 2x + 1 = (x – 1)( x – 1) 5x2– 5 = 5(x – 1)(x + 1) Um mdc é (x – 1) já que é fator comum entre os polinômios x2– 2x + 1 e 5x2– 5 . Entretanto, em se tratando de polinômios, temos sempre a EXISTÊNCIA de mdc (entre polinômios não nulos); e isso é garantido, uma vez que 1 divide qualquer polinômio. Mas não temos a unicidade de mdc para polinômios. Pela definição, para que um polinômio M(x) seja mdc entre A(x) e B(x) - não nulos - basta que M(x) divida A(x) e B(x). Perceba, por exemplo, que A(x) = x2 – 2x + 1 e B(x) = x2 – 1 são ambos divisíveis por x – 1, 2x – 2, 3x – 3, – 4x + 4, ... enfim! A(x) e B(x) são divisíveis por qualquer polinômio da forma a(x – 1) onde a é uma constante não nula. Pelo Teorema de D'Alembert, (x – 1) | A(x) assim como (x – 1) | B(x), pois A(1) = B(1) = 0. . 382 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  Cardica  O MDC entre polinômios não é único. Mas se P é um mdc entre os polinômios considerados, todo mdc entre eles pode ser escrito como a·P (a é uma constante não nula). Não se esqueça que para ser mdc é OBRIGATÓRIO que ele seja o produto de TODOS os divisores dos polinômios dados (desconsiderando as constantes multiplicativas). O grau do mdc é único. Questões 01. (Guarda Civil SP) O resto da divisão do polinômio x³ + 3x² – 5x + 1 por x – 2 é: (A)1 (B)2 (C)10 (D)11 (E) 12 02. (Guarda Civil SP) Considere o polinômio P(x) = 4x4 + 3x3 – 2x2 + x + k Sabendo que P(1) = 2, então o valor de P(3) é: (A) 386. (B) 405. (C) 324. (D) 81. (E) 368. 03. (UESP) Se o polinômio P(x) = x3 + mx2 - 1 é divisível por x2 + x - 1, então m é igual a: (A)-3 (B)-2 (C)-1 (D)1 (E) 2 04. (UF/AL) Seja o polinômio do 3° grau p = ax³ + bx² + cx + d cujos coeficientes são todos positivos. O n° real k é solução da equação p(x) = p(- x) se, e somente se, k é igual a: (A) 0 (B) 0 ou 1 (C) - 1 ou 1 (D) ± √c/a (E) 0 ou ± √-c/a 05 . (UFSM) Considere os polinômios, de coeficientes reais: A(x)= x3 + ax2 + bx + c B(x)= bx3 + 2x2 + cx +2 Teremos que A(k)=B(k), qualquer que seja o número real k, quando: (A) a=c=2 e b=1 (B) b=c=1 e a=2 (C) a=b=c=1 (D) a=b=c=2 (E) nunca 06. (FUVEST) Um polinômio P(x) = x3 + ax2 + bx + c, satisfaz as seguintes condições: P(1) = 0; P(–x) + P(x) = 0, qualquer que seja x real. Qual o valor de P(2)? (A) 2 (B) 3 . 383 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  (C) 4 (D) 5 (E) 6 07. (MACK) P(x) x – 2 Q(x) x – 6 4 Q(x) 1 Q1(x) Considerando as divisões de polinômios acima, podemos afirmar que o resto da divisão de P(x) por x2 – 8x + 12 é: (A) 3x – 2 (B) x + 1 (C) 2x + 2 (D) 2x + 1 (E) x + 2 08. (FGV) Sabe-se que o polinômio f = x4 – x3 – 3x2 + x + 2 é divisível por x2 – 1. Um outro divisor de f é o polinômio: (A) x2 – 4 (B) x2 + 1 (C) (x + 1)2 (D) (x – 2)2 (E) (x – 1)2 09. (FGV) Um polinômio P (x) do 4o grau é divisível por (x – 3)3. Sendo P (0) = 27 e P (2) = –1, então o valor de P (5) é: (A) 48 (B) 32 (C) 27 (D) 16 (E) 12 𝑘 10. (MACK) Se P (x) = x3 – 8 x2 + kx – m é divisível por (x – 2) (x + 1) então 𝑚 , (m≠ 0), vale: (A) 2/5 (B) – 5/14 (C) 7/2 (D) 2/7 (E) 1/2 Respostas 01. Resposta: D. x³ + 3x² - 5x + 1 x-2 -(x³ - 2x²) x² + 5x + 5 5x² - 5x + 1 -(5x² - 10x) 5x + 1 -(5x -10) 11 02. Resposta: A. P(1) = 4.1 + 3.1 – 2.1 + 1 + k =2 P(1) = 4 + 3 – 2 + 1+ k = 2 10 + k = 2 . 384 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  k=2–6 k=–4 Substituindo k, e fazendo P(3), teremos: P(3) = 4x4 + 3x³ + 2x² + x – 4 P(3) = 4.(3)4 + 3.(3)3 + 2.(3)2 + 3 -4 P(3) = 4.81 + 3.27 – 2.9 + 3 – 4 P(3) = 324 + 81 – 18 + 3 – 4 P(3) = 386 03. Resposta: E. x³+mx²+0x-1 |x²+x-1 -x³ -x²+x ............x+1 ......(m-1)x²+x-1 ...... -1x²-x-1 .........(m-2) o resto deve ser igual a zero, assim teremos que m-2=0 m=2 04. Resposta: E. p(x) = p(- x) ax³ + bx² + cx + d = - ax³ + bx² - cx + d 2ax³ + 2cx = 0 2(ax³ + cx) = 0 ax³+cx=0 Como k é solução da equação ax³ + cx = 0, teremos p(k) = ak³ + ck = 0 ak³ + ck = 0 k(ak² + c) = 0 k = 0 ou ak² + c = 0 k² = - c/a k = ± √−𝑐/𝑎 05. Resposta: E. A(x) = B(x)  x3 + ax2 + bx + c = bx3 + 2x2 + cx + 2  x3 +ax2 + bx +c - bx3 - 2x2 – cx - 2 = 0 x3 (1 - b) + x2(a - 2) + x(b - c) + c – 2 = 0, daí tiramos: b = 1 ; a = 2 ; b = c ; c = 2 , b = 2 , então se b = 1 e b = 2 , b não pode ter dois valores, logo não existe resposta correta. 06. Resposta: E. P(x) = x3 + ax2 + bx + c P(1) = 13+ a12 + b1 + c  a + b + c = - 1 P(- x) + P(x) = - x3 + ax2 – bx + c + x3 + ax2 + bx + c  2ax2 + 2c = 0  ax2 + c = 0  a = 0 ; c = 0 Substituindo em a + b + c = - 1, b = - 1 P(2) = 23 - 1.2 = 8 - 2 = 6 07. Resposta: E. P(x) = Q(x) (x – 2) + 4; Q(x) = Q1 (x) (x – 6) + 1 P(x) = (Q1 (x) (x – 6) + 1) (x – 2) + 4 P(x) = Q1 (x) (x2 – 8x + 12) + x – 2 + 4 P(x) = Q1 (x) (x2 – 8x + 12) + (x + 2) R(x) = x + 2 08. Resposta: C. x2 – 1 = (x + 1)(x – 1) . 385 1284202 E-book gerado especialmente para JOCELENE GONCALVES DE ALMEIDA  x4 – x3 – 3x2 + x +2 x2 – 1 0 x2 – x – 2 = (x + 1) (x – 2) x4 – x3 – 3x2 + x + 2 = (x + 1)2 . (x – 1) . (x – 2) 09. Resposta: E. P(x) = (x – 3)3 . Q(x) + R(x) P(0) = – 27 . Q(0) = 27 ⟹ Q(0) = – 1 P(2) = – 1 . Q(2) = – 1 ⇒ Q(2) = 1 P(5) = ? Q(x) = ax + b Q(0) = b = – 1 Q(2) = 2a – 1 = 1  a = 1  Q(x) = x – 1 P(5) = (5 – 3)3 . Q(5)  P(5) = 8 . (5 – 1) = 32 10. Resposta: B. Resolução: x3 – 8x2 + kx – m x2 – x – 2 – x3 + x2 + 2x x–7 -7x2 + (2+k)x – m +7x2 + 7x - 14 (2 + k - 7)x – (14 + m)  2 + k - 7 = 0  k = 5 - 14 – m = 0  m = - 14 Referências Fonte: Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural Introdução a Filosofia da Matemática – BERTRAND RUSSELL História da Matemática – Howard Eves D’AMBROSIO,Ubiratan. Etnomatemática – Elo entre as tradições e a modernidade – Belo Horizonte: Autentica, 2001 CENPEC – Raízes e Asas Ensinar e Aprender. Vol.5 ALENCAR FILHO, Edgar de – Iniciação a lógica matemática – São Paulo: Nobel – 2002. CABRAL, Luiz Cláudio Durão; NUNES, Mauro César de Abreu - Raciocínio lógico passo a passo – Rio de Janeiro: Elsevier, 2013. 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