2011APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL 1.0. PROPOSIÇÕES Chama-se proposição, toda oração declarativa , expressa em palavras ou símbolos, que pode ser classificada em verdadeira ou falsa, mas não as duas. Sendo oração, deve possuir sujeito e predicado. As proposições exprimem um pensamento de sentido completo. É comum representar as proposições de forma literal utilizando-se letras minúsculas p, q, r, s, (mais comum) ou maiúsculas do alfabeto: P, Q, R, S,... O valor lógico de uma proposição verdadeira é denotado por V e o de uma proposição falsa é representado por F. Os valores lógicos também costumam ser representados ( 0 ou F ) e 1 (um) para proposições verdadeiras (1 ou V ) . por 0 (zero) para proposições falsas São exemplos de proposições: 1p : Dilma Rousseff é a atual presidente do Brasil. q : O Brasil é um país da América do Norte. s : Existe vida fora da Terra. R : −2 > 0 A proposição p é verdadeira(V); a proposição q é Falsa(F); e não sabemos o valor lógico da proposição s , mas ela, apesar de ainda não conseguirmos classificá-la, possui um valor lógico V ou F, sendo, portanto, uma proposição. O valor lógico de uma proposição p é indicado por V ( p ) . Por exemplo, se uma proposição R indicamos V ( R ) = F . for falsa, Outros exemplos de proposições: A : 2π > 1 (valor lógico V) B : ( ∀x ∈ )( x + 4 = 13 ) (valor lógico F) OBSERVAÇÃO: Algumas bancas utilizam a palavra Sentença como sinônimo de Proposição. 1.1. SENTENÇAS FECHADAS E ABERTAS As sentenças podem ser abertas ou fechadas. Sentenças abertas ou Funções Proposicionais são aquelas que possuem uma indeterminação. Nas sentenças abertas (o valor lógico da sentença depende do valor (do nome) atribuído a variável): I. Não há como julgar se é verdadeira ou falsa, pois se atribuirmos a x o valor 2, ela será falsa, mas se atribuirmos a x o valor 5, ela será verdadeira. II. Jogaram lixo no chão. É indeterminado quem jogou lixo no chão, logo a sentença é aberta. Não se pode julgar se é verdadeira ou falsa. Outros exemplos de Sentenças Abertas: • x é filho de y • x + 3 = 10 • Ele foi o melhor goleiro do mundo em 2010. Ora, não sabemos quem é “ele”. Portanto, não podemos classificar esta frase em V ou F. Se “ele” for, Casillas então a frase é verdadeira. Se “ele” for qualquer outra pessoa que não Casillas então a frase é falsa. Como não sabemos quem é “ele”, não podemos classificar a frase e, portanto, não é considerada uma proposição. A palavra “ele” dá o teor de indefinição. Não sabemos quem é ele. Ou seja, temos uma variável. Sentenças fechadas são aquelas que não possuem indeterminação. Nas sentenças fechadas é possível afirmar o valor lógico da proposição. I. Roberto Carlos é um grande cantor. II. 10 + 2 < 6 (10 mais 2 é menor que 6 ) Não são proposições: (Não são sentenças declarativas) • Sentenças como as interrogativas Ex: Quando será a prova de Raciocínio Lógico? • Sentenças exclamativas Ex: Que loira gelada! • Sentenças imperativas Ex: Leia isto atenciosamente. • Sentenças sem verbo Ex: O livro de José Roberto. • Poemas Ex: “Quando começamos usei a aritmética. Com a chave do tempo fizemos um conjunto. A soma de nossos sentimentos era o universo. E a paixão veio forte, em progressão geométrica” • Sentenças Abertas: são aquelas sentenças cujo resultado (verdadeiro ou falso) é desconhecido, pode conter elementos ou variáveis indefinidas. x+3>7 Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra.
[email protected] 2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Exemplos: 1. x é um número primo(que número x ?). 2. Esse animal é um mamífero 3. A cidade é linda; (que cidade?) • Sentenças paradoxais (contrário ao senso comum) Exemplos: 1. O cidadão português afirma que todos os portugueses são mentirosos. 2. “Esta sentença é falsa” 3. A próxima sentença é falsa e a sentença anterior é verdadeira. 4. Eu sou mentiroso. (Paradoxo de Eubulides) 2 Nota do tio Sormany: A frase 4 não pode ser classificada em V ou F, pois teríamos um paradoxo. Suponha que tenhamos imposto que seu valor lógico seja V. Seria um absurdo, pois um mentiroso não declara verdade. Suponha agora que o seu valor lógico seja F. Se é falso dizer que ele é um mentiroso, concluímos que ele é veraz. Absurdo novamente, pois a proposição é falsa. A frase 4 não pode ser verdadeira nem falsa, portanto não é uma proposição lógica. • Promessas Ex: Prometo que irei amanhã. ATENÇÃO: Também não são proposições: Ex1: Todo homem(não tem sentido, falta o verbo e o predicado) Ex2: 3 + 4 (falta o verbo e o predicado) Ex3: Os alunos do FMB( falta predicado) 1.2. PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA LÓGICA a)PRINCÍPIO DA IDENTIDADE Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa. Você é você e não podemos contestar isso, ou seja, se um carro é branco, ele será branco enquanto for branco. Sormany é da família Barreto se, e somente se, é da família Barreto. Todo conjunto é igual a ele mesmo. ( A = A ) b)PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Por exemplo, uma pessoa não pode ser gorda e não gorda ao mesmo tempo. c)PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa, não podendo assumir um terceiro valor lógico. Não há meio termo entre o ser e o não ser. Para a lógica uma pessoa é alta ou não é alta e não há uma terceira possibilidade. Assim, por exemplo, a proposição s (“Existe vida fora da Terra”) só pode assumir uma das duas possibilidades, V ou F, excluindo-se um hipotético valor lógico “talvez”, “não lembro” ou “pode ser”. A lógica não estuda o alto, o médio e o baixo, estuda o alto e o não alto, o magro e o não magro, o gordo e o não gordo, o feio e o não feio. Em alguns problemas encontraremos a seguinte situação: É verdadeiro que João é alto. Então, podemos concluir que é falso dizer que João é baixo, por que: se João é alto, ele não pode ser baixo. EXERCÍCIOS DO CONCURSEIRO-NÍVEL 1 1)(SEBRAE-2008/CESPE) Uma proposição é uma sentença afirmativa ou negativa que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. Nesse sentido, considere o seguinte diálogo: (1)Você sabe dividir? — perguntou Ana. (2)Claro que sei! — respondeu Mauro. (3)Então, qual é o resto da divisão de onze milhares, onze centenas e onze por três? — perguntou Ana. (4)O resto é dois. — respondeu Mauro, após fazer a conta. (5)Está errado! Você não sabe dividir. — respondeu Ana. A partir das informações e do diálogo acima, julgue os itens que se seguem. A frase indicada por (3) não é uma proposição. A sentença (5) é F. A frase (2) é uma proposição. 2)(SEBRAE 2010/CESPE-UnB) Para os itens seguintes, serão consideradas como proposições apenas as sentenças declarativas, que mais facilmente são julgadas como verdadeiras — V — ou falsas — F —, deixando de lado as sentenças interrogativas, exclamativas, imperativas e outras. As proposições serão representadas por letras maiúsculas do alfabeto: A, B, C etc. [...] Sentenças como “x + 3 = 5”, “Ele é um político”, “x é jogador de futebol” são denominadas sentenças abertas; essas sentenças, como estão, não poderão ser julgadas como V ou F, pois os sujeitos, no caso, são Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra.
[email protected] 2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL variáveis. Essas expressões tornam-se proposições depois de substituída a variável por elemento determinado, permitindo o julgamento V ou F. [...] Tendo como referência as informações do texto, julgue os itens de a . Entre as frases apresentadas a seguir, identificadas por letras de A a E, apenas duas são proposições. A: Pedro é marceneiro e Francisco, pedreiro. B: Adriana, você vai para o exterior nessas férias? C: Que jogador fenomenal! D: Todos os presidentes foram homens honrados. E: Não deixe de resolver a prova com a devida atenção. As frases “Transforme seus boletos de papel em boletos eletrônicos” e “O carro que você estaciona sem usar as mãos” são, ambas, proposições abertas. Considere a seguinte sentença aberta: “ x é um número x 2 > 5 ”. Nesse caso, se x = 2 , então a proposição será F, mas, se x = −3 , então a proposição real e 3 será V. 3)(MCT-2008-CESPE)Uma proposição é uma sentença que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F). De acordo com essa definição, julgue os itens a seguir. A sentença “O feijão é um alimento rico em proteínas” é uma proposição. A frase “Por que Maria não come carne vermelha?” não é uma proposição. Considerando-se que a proposição “Se Eulália é vegetariana, então ela come verduras” seja verdadeira, é correto concluir que a proposição “Se Eulália come verduras, então ela é vegetariana” também é verdadeira. 4)(PM-BA 2009/FCC) Define-se sentença como qualquer oração que tem sujeito (o termo a respeito do qual se declara alguma coisa) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relação que segue há expressões e sentenças: 1. Tomara que chova! 2. Que horas são? 3. Três vezes dois são cinco. 4. Quarenta e dois detentos. 5. Policiais são confiáveis. 6. Exercícios físicos são saudáveis. De acordo com a definição dada, é correto afirmar que, dos itens da relação acima, são sentenças APENAS os de números (A) 1, 3 e 5. (B) 2, 3 e 5. (C) 3, 5 e 6. (D) 4 e 6. (E) 5 e 6 5)(ICMS-SP) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia. A frase que não possui essa característica comum é a a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V EXERCÍCIOS DO CONCURSEIRO-NÍVEL 2 1)(CESPE-FINEP-2010). Acerca de proposições, considere as seguintes frases. I. Os Fundos Setoriais de Ciência e Tecnologia são instrumentos de financiamento de projetos. II. O que é o CT-Amazônia? III. Preste atenção ao edital! IV. Se o projeto for de cooperação universidade-empresa, então podem ser pleiteados recursos do fundo setorial verde-amarelo. São proposições apenas as frases correspondentes aos itens a) I e IV. b) II e III. c) III e IV. d) I, II e III. e) I, II e IV 2)(SEGER)Na lista de afirmações abaixo, há exatamente 3 proposições. • Mariana mora em Piúma. • Em Vila Velha, visite o Convento da Penha. • A expressão algébrica x + y é positiva. • Se Joana é economista, então ela não entende de políticas públicas. • A SEGER oferece 220 vagas em concurso público. 3)(MPE-TO)Na lista abaixo, há exatamente três proposições. • Faça suas tarefas. • Ele é um procurador de justiça muito competente. • Celina não terminou seu trabalho. • Esta proposição é falsa. • O número 1.024 é uma potência de 2. 4)(TRT-ES-2009) Julgue os itens seguintes: Na seqüência de frases abaixo, há três proposições. •Quantos tribunais regionais do trabalho há na região Sudeste do Brasil? •O TRT/ES lançou edital para preenchimento de 200 vagas. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra.
[email protected] 2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL •Se o candidato estudar muito, então ele será aprovado no concurso do TRT/ES. •Indivíduo com 50 anos de idade ou mais não poderá se inscrever no concurso do TRT/ES. A seqüência de frases a seguir contém exatamente duas proposições. A sede do TRT/ES localiza-se no município de Cariacica. Por que existem juízes substitutos? Ele é um advogado talentoso. 5)(Técnico Judiciário) Nas sentenças abaixo, apenas A e D são proposições. A: 12 é menor que 6. B: Para qual time você torce? C: x + 3 > 10 . D: Existe vida após a morte. 4 x+ y 5 é um número inteiro. III) João da Silva foi o secretário da Fazenda do estado de São Paulo em 2000. É verdade que apenas: a)I é uma sentença aberta b)II é uma sentença aberta c)I e II são sentenças abertas d) I e III são sentenças abertas e) II e III são sentenças abertas 1.3. CONECTIVOS LÓGICOS OU OPERADORES LÓGICOS. Chamamos conectivos lógicos ou simplesmente conectivos as palavras ou símbolos que se usam para formar novas proposições a partir de outras proposições dadas. Os conectivos usuais da lógica matemática são as e (∧) , ou (∨ ) , “ou... ou”, ( ∨ ) “se..., então (→) , se e somente se ( ↔) ”. seguintes palavras: Ordem de precedência dos conectivos 1)negação 2)conjunção 3)disjunção 5)bicondicional Proposição Composta (Proposição molecular) Denomina-se proposição composta a proposição formada (ou conectada) por duas ou mais proposições simples. Ao fazermos uso da linguagem combinamos idéias simples através de conectivos como “e”, “ou”, “se..., então”, “se, e somente se” obtendo, então, proposições compostas. O valor lógico de uma proposição composta é totalmente determinado pelos valores lógicos das proposições simples que a constituem e pela forma como elas estão ligadas através do conectivo. Exemplos: 6)Considere as seguintes frases: I) Ele foi o melhor jogador do mundo em 2000. II) Exemplos: p : O número 25 é quadrado perfeito. (V) q : O retângulo é um polígono regular.(F) 4)Condicional 1.4. CLASSIFICAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES LÓGICAS Proposição Simples (Proposição atômica) Uma proposição é dita simples quando não contém qualquer outra proposição como sua componente. Nota: A proposição simples apresenta apenas um núcleo (objeto de estudo). 1)A Lua é um satélite da Terra e Aracaju é a capital de Sergipe. 2)A governanta mentiu ou o cozinheiro é culpado. 3)Se um quadrilátero tem todos os lados congruentes então é um losango. 4)Um quadrilátero é um quadrado se e somente se for retângulo e losango. 5)Gil e Caetano são compositores FIQUE LIGADO!!! A proposição Gil e Caetano são compositores é composta pois pode ser escrita da seguinte forma: Gil é compositor e Caetano é compositor.Porém o candidato a concurso público deverá ter cuidado se a banca examinadora for o CESPE, pois esta banca(a única) considera a proposição Gil e Caetano são compositores como sendo simples, contrariando a definição da lógica sentencial. Veja um item da prova do SEBRAE(2008), elaborada pelo Cespe. A frase “Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE” é uma proposição simples. Este item foi gabaritado pelo CESPE como certo, porém, trata-se de uma proposição composta. Polêmica a parte, o candidato deverá ficar atento, pois nas outras bancas o item é errado. 2.0. TABELA VERDADE Definição: É uma maneira prática de organizar os valores lógicos de uma proposição simples ou composta. O número de linhas de uma tabela verdade é fornecido pela expressão 2n , onde né o número de proposições simples(distintas) componentes e o 2 representa Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra.
[email protected] o 2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL número de valores lógicos possíveis(V ou F). n DICA: A fórmula 2 será usada para descobrir o total de linhas ou saber a quantidade de valorações de uma proposição lógica. Para a construção das tabelas lógicas iremos adotar a“IDÉIA DE METADES”. Exemplo: p : 21 = 2 linhas p V V F F q V F V F RESUMO: Divida o total de linhas por 2 e repita o mesmo processo com o resultado obtido da coluna anterior, até chegar a última coluna, o resultado de cada divisão será a repetição da valoração(V e F), começando pelo V e iniciando pela primeira linha. Dica do concursando: As colunas bases não seguem a ordem das proposições e sim a ordem do alfabeto. B → A , a primeira coluna dessa proposição será a letra A e a segunda coluna será a letra B. Exemplo: NOTA: conjuntos, por meio de um diagrama, a conjunção “ q“ corresponderá à intersecção do conjunto conjunto p p e com o q. p∩ q p, q : 22 = 4 linhas p V F 5 RELAÇÃO COM CONJUNTOS Se as proposições p e q forem representadas como ( p ∨ ∼ r ) → (q ∧ ∼ r ) 3 Número de linhas = 2 = 8 linhas 3.0. OPERADORES LÓGICOS 3.1. Conectivo “e” Quando duas proposições simples são ligadas pelo conectivo e, a proposição composta é chamada conjunção das proposições simples iniciais. Símbolo: ∧ Exemplos: Dadas as proposições simples: 1) p : O sol é uma estrela q : A lua é um satélite p ∧ q : O sol é uma estrela e a lua é um satélite. 2) r : Sormany é analista do TRE s : Max é analista do TRE r ∧ s : Sormany e Max são analistas do TRE. Tabela- verdade: p p∧q q V V V V F F F V F F F F Nota: Existe apenas uma situação em que a conjunção é verdadeira: quando todas as suas “parcelas” são verdadeiras (ou ainda, quando todas as proposições simples são verdadeiras) Nota: A expressão p∧q seguintes formas: i p e q i p mas também pode ser escrita nas q i Tanto p como q i p , apesar de q . 3.2. Conectivo “ou” (Disjunção inclusiva) Quando duas proposições simples são ligadas pelo conectivo ou, a proposição composta resultante é chamada disjunção das proposições simples iniciais. Símbolo: ∨ Exemplo: Dadas as proposições simples: p : Andrezza fala inglês. q : Andrezza é universitária. A disjunção inclusiva p ou q pode ser escrita como: p ∨ q : Andrezza fala inglês ou é universitária. RELAÇÃO COM CONJUNTOS Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a disjunção " q " corresponderá à união do conjunto p p com o Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra.
[email protected] ou 2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL conjunto q . p∪ q Tabela-verdade: p q p∨q V V V V F V F V V F F F Nota: Existe apenas uma situação em que a disjunção é falsa: quando todas as suas “parcelas” são falsas (ou ainda, quando todas as proposições simples são falsas) 3.3. Conectivo “ou... ou...”(Disjunção exclusiva) 6 Duas proposições quaisquer podem ser combinadas pela palavra “ou” para formar uma proposição chamada de disjunção exclusiva das proposições originais. Simbolicamente a disjunção exclusiva das proposições p e q é designada por p∨q (lê-”se” ou p ou q ”). FIQUE DE OLHO!!!! O CESPE não faz distinção entre “ou” e “ou... ou”; espero que a partir desse material comece a ser respeitada essa diferença. O CESPE considera certo, até esta data, a forma p ∨ q escrita na forma “ou p ou q .” • Caro concursando fique atento ao texto explicativo da questão do CESPE, pois se o texto não mencionar sobre a diferença das disjunções, então a expressão p ∨ q pode ser escrita nas " p ou q " formas ou "ou p ou q " . • Existe apenas uma questão em que o CESPE fez distinção entre as disjunções(inclusiva e exclusiva) e a forma simbólica lida " ou utilizada: p ◊ q, essa forma então q ”, p ou q " 3.4. Conectivo “se..., então“ As sentenças que têm a forma “se p, são Exemplos: Dadas as proposições simples: p : Sormany é sergipano chamadas de proposições condicionais e representadas simbolicamente por p → q . q: A proposição Sormany é pernambucano. A disjunção exclusiva “ou p ou q” pode ser escrita como: p∨q: Ou Sormany é sergipano ou Sormany é pernambucano. Concursando, a expressão “ou” tem função de inclusão, enquanto a expressão “ou... ou...” tem uma função de exclusão. Mas essa relação é do ponto de vista lógico − deixemos bem claro isso! NOTA: Ou hoje é sexta-feira ou sábado, mas não ambos. Nesse caso, as duas proposições − “Hoje é sexta-feira e “Hoje é sábado” − não podem ser simultaneamente verdadeiras. Tabela- verdade: p p∨q q V V F F ∗ No “ou p V F V F ou F V V F q ”se p e q tiverem valores lógicos diferentes, o resultado é verdadeiro. p , que é anunciada pelo uso da conjunção “se”, é denominada condição ou antecedente enquanto a proposição q , apontada pelo advérbio “então” é denominada conclusão ou conseqüente. Exemplo: Dadas as proposições simples: p : Hoje é sábado. q : Amanhã irei à praia. Observação: A condicional “Se p, então q” pode ser escrita como: p → q : Se hoje é sábado, então amanhã irei à praia. Observação: O condicional também pode ser lido: → p implica q → Quando p , q → Sempre que p , q . → p somente se q → Todo p é q → p é condição suficiente para q (basta p acontecer para que q aconteça) isto é, se pé verdadeiro, verdadeiro. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra.
[email protected] qé é Daí. • A proposição composta p ↔ q chamada de P : É torcedor do América. A proposição bicondicional (bijunção) “ Exemplo: Se é torcedor do América. então faz frio” poderá também ser dita das seguintes maneiras: Se chove. Chover implica fazer frio. DICA: causa ( p ) → q (efeito) 3. por meio de um diagrama.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Meus alunos decoram a tabela assim: Vera Fischer é falso e o restante é V. então hoje é Natal”. faz frio. e se hoje é 25 de dezembro. é falso quando for VF nessa ordem. p se. se qé falso. e somente se. Todo p é q e todo q é p. falsa. a proposição composta “Hoje é Natal se e somente se hoje é 25 de dezembro” significa que “Se hoje é Natal. pé falso. se chove. a proposição condicional: “Se chove. faz frio. Conectivo “se. p se e somente se q ”. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL → q é condição necessária para p (se q não acontecer. e só se q . sormany_barreto@hotmail. a proposição condicional "Se p então q " corresponderá à inclusão do conjunto 7 em p no conjunto q. Toda vez que chove. Faz frio. e somente se” (bijunção ou dupla implicação) As sentenças que têm a forma “ são chamadas de proposições representadas por p ↔ q .verdade: p p→q q V V V F F V F F • Na condicional p V F V V → q o resultado. bicondicional pode ser lida das seguintes maneiras: p se. p não aconteça) isto é. (VF) é falso Nota: Existe apenas uma situação em que o condicional é falso: quando a primeira proposição for verdadeira e a segunda. RELAÇÃO COM CONJUNTOS Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos. p ⊂ q ( p está contido q ). bicondicionais e q” são Exemplo: Dada as proposições simples: p : Sormany é professor. Tabela. q : Sormany é sofredor. Pode ser escrita como: p ↔ q : Sormany é professor se e somente se Sormany é sofredor. Chove somente se faz frio. Fazer frio é condição necessária para chover. p é condição suficiente e necessária para q . Chover é condição suficiente para fazer frio. p se e somente se q q se somente se p .com . então hoje é 25 de dezembro.5. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. então sofre muito. Quando chove. faz frio. Q : Sofre muito. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. Observações: • A bicondicional dois condicionais p ↔ q equipara-se p→q e q→ p à conjunção de Por exemplo. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. V V V V F F F V F F F V ∗ Na Bicondicional: Conjunção de duas condicionais (p se. MODIFICADOR A negação de uma proposição p é representada por ∼ p. NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO SIMPLES CASO 1 A frase não possui o advérbio não. então qual a cor do avesso do avesso do preto? A resposta é: preto Note que. e reciprocamente. Outras formas de negar essa mesma proposição è: i Não é verdade que Aracaju tem praia. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL q é condição suficiente e necessária para p . O CESPE utiliza o símbolo ¬ (cantoneira) para representar a negação. CASO 3 Utilização de antônimos.com . é comum em algumas provas a substituição de palavras ou expressões da sentença por antônimos ou expressões de sentido oposto Proposição Negação da Proposição p : Lógica é fácil ∼ p : Lógica é difícil r : Sormany é culpado ∼ r : Sormany é inocente Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. logo colocamos o advérbio antes do verbo de ligação. negando duas vezes.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. 2)Se o avesso do preto é branco. nesse caso. 2)Se o avesso do preto é branco.verdade: p 8 q e q. Nesse caso. p q : O Brasil não é um país do continente Americano ∼ q : O Brasil é um país do continente Americano ∼ (∼ p) = p que é verdadeira quando quando Exemplos: Outras formas de negar essa mesma proposição è: i Não é verdade que o Brasil não é um país do continente Americano i É falso que o Brasil não é um país do continente Americano. então qual a cor do avesso do avesso do avesso do preto? A resposta é: branco DICA DO TIO SORMANY ∼p V F F V 4. SÍMBOLOS IGUAIS (VV ou FF) = V 4. A frase possui o advérbio não. é só retirar o advérbio não. então q . a negação da negação da negação de uma proposição é uma negação: Exemplos: 1)Dizer que César não viu nada não é o mesmo que dizer que César não viu algo. e somente se q). contraditório. p Exemplos: p↔q p é falsa e é falsa é verdadeira. sormany_barreto@hotmail. ou seja. A negação de uma proposição deve ter sempre um valor lógico oposto. RELAÇÃO COM CONJUNTOS Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos. ∼ p :Aracaju não tem praia.1. por meio de um diagrama. i É falso que Aracaju tem praia. você está afirmando. Exemplos: p : Aracaju tem praia.0. Com o objetivo de negar uma proposição. a proposição bicondicional " p se e somente se q " corresponderá à p igualdade dos conjuntos p=q Tabela. CASO 2 Se p . com a proposição dada. 1)Dizer que César não viu nada é o mesmo que dizer que César viu algo. utilizamos a dupla negação. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL CASO 4 Negação dos símbolos matemáticos. quando negar passará a ser falsa. não fugiu Negação: João é culpado e fugiu ou João não fugiu e é inocente. colocar o conectivo”e” e depois negar somente a segunda proposição(simples ou composta). então ele é mentiroso Negação: João é pescador e ele não é mentiroso ∗ Negação da bicondicional (equivalente a disjunção exclusiva) Negação de ( p ↔ q ) = ∼ ( p ↔ q ) = ou p ou q Negação de ( p ↔ q ) = ∼ ( p ↔ q ) = p e ∼ q ou q e ∼ p Exemplo: Afirmação: João é culpado se. e somente se Pedro está presente. y ∈ AFIRMAÇÃO NEGAÇÃO x< y x≥ y x≤ y x> y x> y x≤ y x≥ y x< y x= y •x ≠ y • x > y ou x < y Exemplos: p :5 + 2 = 7 ∼ p :5 + 2 ≠ 7 9 VALE A PENA RESSALTAR: Ex1: A negação de “ Sormany é mais velho que Thiago é” Sormany é mais novo ou da mesma idade que Thiago. e.” Ex2: A negação de “ O flamengo ganhou o jogo” é O Flamengo não ganhou o jogo”. Negação: Não te ensino Lógica e meu nome é Sormany. e somente se.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Exemplo: Afirmação: Se João é pescador. passará a ser verdadeira. sormany_barreto@hotmail. depois colocar o conectivo”e” e negar a segunda proposição(simples ou composta). e sim trocar a valoração. o que significa que o Flamengo pode ter perdido ou empatado o jogo. se for falsa. se ela for verdadeira. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. Negação: Maria fica feliz se. Exemplo: p : Paris está na Inglaterrra Está é uma proposição falsa. termos uma proposição verdadeira. 4. Exemplo: Afirmação: O Vaticano é o menor país do mundo ou Pedro é culpado. Negação: O Vaticano não é o menor país do mundo e Pedro é inocente” ∗ Negação da condicional ∼ ( p → q) ⇔ p ∧ ∼ q Conservamos a primeira proposição(simples ou composta). FIQUE LIGADO!!! Negar não é tornar uma sentença falsa. ∗ Negação da disjunção inclusiva ∼ ( p ∨ q) ⇔ ∼ p ∧ ∼ q Negar a primeira proposição(simples ou composta). NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS. ∗ Negação da disjunção exclusiva (equivalente a bicondicional) Negação de (ou p ou q ) = ∼ (ou p ou q ) = p ↔ q Exemplo: Afirmação: Ou Maria fica feliz ou Pedro está presente. Exemplo: Afirmação: Eu te ensino Lógica ou meu nome não é Sormany.2. isto é. Sejam x. Ex3: A negação de “Flávio Monteiro ganha mais de 30 mil reais” é “Flávio Monteiro ganha 30 mil reais ou menos”. depois colocar o conectivo”ou” e negar a segunda proposição(simples ou composta). ¬ p : Paris não está na Inglaterrra. ∗ Negação da conjunção ∼ ( p ∧ q) ⇔ ∼ p ∨ ∼ q Negar a primeira proposição(simples ou composta). Ao aplicarmos o modificador.com . . Essas expressões tornam-se proposições depois de substituída a variável por elemento determinado. p.] Tendo como referência as informações do texto. As proposições serão representadas por letras maiúsculas do alfabeto: A. deixando de lado as sentenças interrogativas. digitar ou ditar o código de barras” e “O débito não é automático. o pagamento só é efetuado após a sua autorização” são. 3)A questão fornece uma proposição falsa e pede uma verdadeira. a frase“A indústria editorial se adapta. 2) r : Algum recifense não é pernambucano. B. no caso. ¬ t : Algum brasileiro é europeu. NENHUM E ALGUM Em resumo. ¬ p : Existe concurseiro que não é persistente não é 10 q : Algum político é honesto. temos o seguinte quadro para negação de proposições quantificadas. Teremos: “Algum livro não é ilustrado”.3. não poderão ser julgadas como V ou F. identificadas por letras de A D. ¬q : Nenhum político é honesto. [. B e C sejam convenientemente escolhidas.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. NEGAÇÃO DOS TERMOS TODO. que mais facilmente são julgadas como verdadeiras — V — ou falsas — F —. essas sentenças. C: Todo número natural é o quadrado de um número real. A proposição “Se você é cliente. então o Pelé é maratonista” é V.. serão consideradas como proposições apenas as sentenças declarativas. ¬ t : Existe brasileiro que é europeu.. ¬ p : Algum (Pelo menos um) concurseiro persistente. A proposição “Se o presidente Lula é paulista. NÃO. CUIDADO!!! “Nem todo livro é ilustrado” é o mesmo que: O termo “nem” na frente do “todo” significa que devemos negar a proposição “todo livro é ilustrado”. ¬q : Todo político não é honesto. desde que as proposições A e B sejam convenientemente escolhidas. são variáveis.com. como estão. “Ele é um político”. ou morre” pode ser simbolizada na forma A ∨ B.fgjkh.. julgue os itens de 1 a 6. que é equivalente a [ ¬ A] → B. ambas. imperativas e outras. D: Os conjuntos dos números pares e dos números primos são disjuntos. C etc. todas são proposições simples e mais de uma delas é V. pois os sujeitos. desde que A.br ou procure a sua seguradora” estará corretamente simbolizada na forma A → [B ∨ C]. 10). As proposições “Não precisa mais capturar. exclamativas. A: A Lua é um planeta. q : Existe político honesto. Proposição Negação direta Equivalente da Negação Algum p é q Não (Algum p é q) Nenhum p é q Algum p não é q Não (algum p não é q) Nenhum p não é q (ou Todo p é q) Nenhum p é q Não (Nenhum p é q) Algum p é q Todo p é q Não (Todo p é q) Algum p não é q (ou pelo menos um p não é q) Exemplos: 1) p : Todo concurseiro é persistente. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL 4.. (Resposta!) OBSERVAÇÃO: Como saberemos se uma questão qualquer se refere à negação? De três maneiras: 1) A questão explicitamente pede a negação de uma proposição dada 2)A questão fornece uma proposição verdadeira e pede uma falsa. B: O sistema de governo no Brasil é o parlamentarista.. Com relação às frases a seguir. . [. basta trocar o termo TODO por ALGUM. 3) 5)A negação de Alguém ganhou a aposta é Ninguém ganhou a aposta. permitindo o julgamento V ou F. r : Existe recifense que não é pernambucano ¬r : Todo recifense é pernambucano 4) t : Nenhum brasileiro é europeu. “x é jogador de futebol” são denominadas sentenças abertas. cadastre-se no sítio www. t : Todo brasileiro não é europeu. E para obter a negação desta proposição.] Sentenças como “x + 3 = 5”. EXERCÍCIO DO CONCURSEIRO-NÍVEL 3 1)(SEBRAE 2010/CESPE-UnB) Para os itens seguintes. compostas de três proposições simples Publicada na revista Veja (de 28/4/2010. sormany_barreto@hotmail. é correto afirmar que a tabela-verdade da Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright.Considerando as proposições simples que compõem a frase“A música nos conecta a nós mesmos. aos outros e à alma do Brasil”.com . Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. julgue os itens a seguir. é F. é V quando P e Q são V. A negação da proposição “A ginástica te transforma e o futebol te dá alegria” está assim corretamente enunciada: “A ginástica não te transforma nem o futebol te dá alegria”.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. e as demais são chamadas conclusões e são verdadeiras por consequência das premissas. Q. R etc. A forma ¬ P simboliza a negação da proposição P e tem valores lógicos contrários a P. B e C sejam proposições simples. 2) (UnB/CESPE – TRT/21R-2010-Nível médio) Texto para os itens de 1 a 6 Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras — V — ou falsas — F —. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL proposição referente a essa frase tem 8 linhas. quanto mais elas estudam. de forma que um julgamento exclui o outro. e são simbolizadas por letras maiúsculas. P → Q. a tabela-verdade correspondente será a seguinte . Considerando que R e T são proposições lógicas simples. caso contrário. Uma expressão da forma P → Q é uma proposição cuja leitura é “se P então Q” e tem valor lógico F quando P é V e Q é F. A sentença “Trabalhar no TRT é o sonho de muitas pessoas e. A sentença “Maria é mais bonita que Sílvia. Novas proposições podem ser construídas usando-se símbolos especiais e parênteses. Se a expressão lógica envolvendo R e T for (R → T) ↔ R. é V. Considere que A. A sentença “Homens e mulheres. Considerando que cada proposição lógica simples seja representada por uma letra maiúscula e utilizando os símbolos usuais para os conectivos lógicos. é V. pois Maria é Miss Universo e Sílvia é Miss Brasil” é representada corretamente pela expressão simbólica (P ∧ Q) → R. Nesse caso. e é F quando P e Q são F. mais chances elas têm de alcançar esse objetivo” é representada corretamente pela expressão simbólica S ∧ T. Um argumento lógico válido é uma sequência de proposições em que algumas são chamadas premissas e são verdadeiras por hipótese. que se lê “P e Q”. caso contrário. caso contrário. como P. acerca da construção de tabelasverdade. Uma expressão da forma P ∨ Q é uma proposição que se lê: “P ou Q”. todos da raça humana são imprevisíveis” é representada corretamente pela expressão simbólica (P ∧ Q) → R. julgue os itens seguintes. e que a proposição D seja definida por D = [A ↔ B] → [ ¬ A] → C. a tabela-verdade da proposição D tem 16 linhas. Uma expressão da forma P ∧ Q. distintas. ou melhor. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. a tabela-verdade correspondente será a seguinte. isto é. D) 1 valor F e 3 valores V. E) 2 valores V e 2 valores F. essas proposições têm exatamente os mesmos valores V e F. Assinale a opção equivalente à negação da proposição “Pedro tem 20 anos de idade e é assistente administrativo”. A) Pedro não tem 20 anos de idade e não é assistente administrativo.Se a expressão lógica envolvendo R e T for (R ∧ T) ∨ ( ¬ R). Então. 11 A sentença “Mais seis meses e logo virá o verão” é representada corretamente pela expressão simbólica 3)(TRE-MT-Analista -2010)A negação da proposição A. é correto concluir que a proposição [ ¬ A → ¬ B] → [B → A] possui exatamente A)4 valores F.com . 4)(PCPA/CESPE-UnB) Uma proposição da forma ¬ A ∨ ¬ B é equivalente a uma proposição da forma ¬ (A ∧ B). C )1 valor V e 3 valores F. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. e será V se A for F. será F se A for V. B) 4 valores V. simbolizada por ¬A. Considere que A simbolize a proposição “Pedro tem 20 anos de idade” e B simbolize “Pedro é assistente administrativo”. sormany_barreto@hotmail. para todas as possíveis valorações V ou F atribuídas às proposições A e B. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL B) Pedro não tem 20 anos de idade ou Pedro não é assistente administrativo.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. A proposição “Embora a lei penal não tenha retroagido. ela beneficiou o réu” tem valor lógico F. denotadas por A. P Q. que será V sempre que as proposições A e B tiverem valores lógicos distintos. considerando as proposições P: “A lei penal beneficiou o réu” e Q: “A lei penal retroagiu”. • disjunção exclusiva: A ∨ B. • disjunção: A ∨ B (lê-se “A ou B”). A: A prática do racismo é crime afiançável. C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado. (D) Alguma lâmpada está apagada ou nenhuma porta está aberta.º da Constituição Federal.º. será V. B e C. A negação da proposição composta p→∼q é (A) (D) ∼ p → ∼ q (B) ∼ p → q p ∧ ∼ q (E) p ∧ q (C) p→q 7)(UnB/CESPE – UNIPAMPA-2009-CESPE-UNB ) Uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F). B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. caso contrário. • conjunção: A ∧ B (lê-se “A e B”). De acordo com as valorações V ou F atribuídas corretamente às proposições A. lida como "P ou Q". A proposição “É necessário que a lei penal não retroaja para não beneficiar o réu” tem valor lógico V. Considere as proposições simples e compostas apresentadas abaixo. sormany_barreto@hotmail. • Condicional: A → B (lê-se “se A. ou a lei penal não beneficiou o réu” tem valor lógico F. Para a simbolização apresentada acima e seus ∨ correspondentes valores lógicos. que terá valor lógico F se A for V e B for F. denotada por P→Q.V . da Constituição Federal de 1988 estabelece que a lei penal não retroagirá. Uma expressão da forma ¬P. então B”). 8)(CESPE-UNB-INSS)Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras . À luz dessa regra constitucional. e.F -. isto é. como nos exemplos seguintes.com . D) Pedro não tem 20 anos de idade ou Pedro é assistente administrativo. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. (B) Todas as lâmpadas estão apagadas ou alguma porta está aberta. respectivamente. 5)(Administrador – FUNASA – CESGRANRIO 2009) Qual é a negação da proposição “Alguma lâmpada está acesa e todas as portas estão fechadas”? (A) Todas as lâmpadas estão apagadas e alguma porta está aberta. é correto ∨ afirmar que a proposição ( ¬A ) ( ¬C ) tem valor lógico F. que terá valor lógico F se as proposições A e B forem ambas F. será V. XL. e as definições associadas à lógica sentencial. A proposição “Ou a lei penal retroagiu. d) nem todos os funcionários públicos são eficientes. a partir da Constituição Federal. então é verdade que: a) nenhum funcionário público é eficiente. será V. as 12 suas negações. 9)(TJ/PE/2007/FCC) Considere a afirmação abaixo.ou falsas . será F. mas não como ambas. a negação da proposição P. mas não como V e F simultaneamente. então a proposição "Se P então Q". O artigo 5. terá valor lógico F quando P e Q forem. C)Pedro tem 20 anos de idade e não é assistente administrativo. ambas verdadeiras. B. terá valores lógicos contrários aos de P. b) nenhuma pessoa eficiente é funcionário público. julgue os itens a seguir. julgue os itens a seguir. salvo para beneficiar o réu. caso contrário. simbolizada por ¬ A (lê-se “não A”). nos demais casos. podem-se construir novas proposições usando símbolos lógicos. (C) Alguma lâmpada está apagada e nenhuma porta está aberta. nos demais casos. (E) Alguma lâmpada está apagada e todas as portas estão abertas. que podem ou não estar de acordo com o artigo 5. “se a lei penal retroagiu. Se P e Q são proposições. c) todo funcionário público é eficiente. A partir de proposições dadas. então a lei penal beneficiou o réu”. A negação da proposição A. Se essa afirmação é FALSA. será V. 6)(Analista CAPES CESGRANRIO 2008) Sejam p e q proposições simples e ∼ p e ∼ q . B e C. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. F se A for V. ambas. terá valor lógico F quando P for V e Q for F. C etc. Existem funcionários públicos que não são eficientes. e) todas as pessoas eficientes são funcionários públicos. caso contrário. F. a proposição B → C é V De acordo com a notação apresentada acima. será V se A for F e. que terá valor lógico V se as proposições A e B forem ambas V. As proposições são representadas por letras maiúsculas A. e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. d) Paris não é a capital da Inglaterra. d) nenhum dos cargos deste concurso não é de analista judiciário. (E) Beatriz não é morena e nem inteligente. q : Beatriz é inteligente. mas Beatriz é inteligente e não morena. b) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra. então 3 + 4 = 9 c) 3 = 4 e 3 + 4 = 9 d) Se 3 = 4.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. ( p ∧ ∼ r) → ∼ q 10)(TRT/9ª Região/FCC) A correta negação da proposição "todos os cargos deste concurso são de analista judiciário. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL r : Pessoas inteligentes estudam. 14)São dadas as seguintes proposições simples: p : Beatriz é morena. é: a) alguns cargos deste concurso são de analista judiciário. então é I) 3 + 4 = 7 ↔ 53 = 125 II) 3 + 2 = 6 → 4 + 4 = 9 III) 3 > 1 ∨ π não é um número real 2 > 1 → 20 = 2 2 V) −2 > 0 ↔ π < 0 IV) A que tem valor lógico FALSO é a: a) I b)II c)III d)IV e)V 17)(TCI-RJ) Dadas as proposições compostas I) ¬(1 + 1 = 2 ↔ 3 + 4 = 5) II) ¬(2 + 2 ≠ 4 ∧ 3 + 5 = 8) ≠ 64 → ¬(3 + 3 = 7 ↔ 1 + 1 = 2) 3 2 4 IV) ¬(2 ≠ 8 ∨ 4 ≠ 2 ) III) 4 4 V) 3 3 = 81 ↔ ¬(2 + 1 = 3 ∧ 5 × 0 = 0) A que tem valor lógico FALSO é a : a) I b)II c)III d)IV e) 18)A negação da proposição” Se João é jogador de Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. b) existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário. a) alguns atos não têm causa se não há atos livres. b)todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres. (C) Beatriz é uma morena inteligente e pessoas inteligentes não estudam. e) os cargos deste concurso são ou de analista. verdade que (A) Beatriz é uma morena inteligente e pessoas inteligentes estudam. Se não há atos livres. sormany_barreto@hotmail. (E) Nenhum candidato tem exatamente 18 anos 15) (AOF-ESAF-2009) A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra é: a) Milão não é a capital da Itália. então não há atos livres. (D) Nenhum candidato desse concurso tem menos de 18 anos. e)alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa. então 3 + 4 = 9 e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9 13)Se todos os nossos atos têm causa. então todos os nossos atos têm causa. d)todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres.com . (B) Pelo menos um candidato desse concurso tem menos de 18 anos. (D) Pessoas inteligentes não estudam. ou no judiciário. Se a implicação é FALSA. c) existem cargos deste concurso que são de analista judiciário. 16)(TCI-RJ) Dadas as proposições compostas 13 12)(AOF-ESAF-2009) Assinale a opção verdadeira. Logo. c)todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres. a) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9 b) Se 3 = 3. c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra. (B) Pessoas inteligentes não estudam e Beatriz é uma morena não inteligente. mas estuda 11)Qual é a negação de “Todos os candidatos desse concurso têm mais de 18 anos” ? (A) Todos os candidatos desse concurso têm menos de 18 anos. (C) Pelo menos um candidato desse concurso tem 18 anos ou menos. Como Paulo sabe que Pedro sempre mente. 19)A negação da proposição” Nenhuma fruta não é doce” pode ser: a)” Nenhuma fruta é doce”. Pedro afirma para Paulo que X = B e Y = D. é correto concluir que: (A) Leonardo joga futebol e Fernanda joga golfe.SEAD/PE-2009) Leonardo disse a Fernanda: – Eu jogo futebol ou você não joga golfe. ou ele não é bonito e) João é jogador de basquete. Sua negação é: (A) A prova estava difícil ou mais do que 20% dos candidatos foram aprovados no concurso. (C) Algum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem mais de 20 anos. 20)(AFC-CGU 2009 ESAF) Dois colegas estão tentando resolver um problema de matemática. (C) Não é verdade que Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel. (B) José não é gordo e Carlos não é alto. eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo. e ele não é bonito (A) José não é gordo ou Carlos não é alto. (B) Maly não é usuária do Metrô e não gosta de dirigir automóvel. então ela gosta de dirigir automóvel. sormany_barreto@hotmail. Qual a negação da proposição “Algum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos”? (A) Todo funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos. (D) Não é verdade que. eu levo o guarda-chuva" é: a) se não estiver chovendo. Considere as proposições simples: p : Maly é usuária do Metrô e A negação da proposição composta p∧∼q é: (A) Maly não é usuária do Metrô ou gosta de dirigir automóvel. (B) Leonardo joga futebol e Fernanda não joga golfe. 25)(CESGRANRIO-IBGE-2010-AUDITOR). então ele é bonito” é: a) Se João não é jogador de basquete. (E) Se Maly não é usuária do Metrô. DE ESTAÇÃO-2010). Sabendo que Fernanda falou a verdade. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. então ela não gosta de dirigir automóvel. então Carlos não é alto.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. então Y = D q : Maly gosta de dirigir automóvel 14 21) (Analista em Gestão Administrativa . Considere a proposição composta “A prova estava difícil e menos do que 20% dos candidatos foram aprovados no concurso”. Paulo pode afirmar a)se X ≠ B. (D) A prova não estava difícil ou mais do que 80% dos candidatos foram reprovados no concurso. então Carlos é alto. c)”Existem frutas que são doces” d)”Todas as frutas não são doces”. então Y ≠ D b) X = B ou Y ≠ D c) X ≠ B e Y ≠ D d) X ≠ B ou Y ≠ D e) se X ≠ B. (B) A prova estava difícil e mais do que 80% dos candidatos foram reprovados no concurso. se Maly não é usuária do Metrô. eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva 23)Dizer que não é verdade que José é gordo e Carlos é alto é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: 24)(FCC-METRÔ-AG. (C) A prova não estava difícil ou menos do que 20% dos candidatos foram reprovados no concurso. (D) se José não é gordo. b)”Todas as frutas são doces”. (E) se José não é gordo. do ponto de vista lógico. e)”Existem frutas que não são doces”. (D) Leonardo não joga futebol e Fernanda não joga golfe. então ele não é jogador de basquete” c) João não é jogador de basquete. 26)(CESGRANRIO-BANCO BRASIL-2010). (E) Nem todo funcionário da agência P do Banco do Brasil Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Fernanda retrucou: – isso não é verdade. (C) Leonardo não joga futebol e Fernanda joga golfe. então ele não é bonito” b) Se João não é bonito.com . 22)A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo. então. (D) Nenhum funcionário da agência P do Banco do Brasil tem menos de 20 anos. (E) A prova não estava fácil ou 20% dos candidatos foram reprovados no concurso. ou ele é bonito” d) João é jogador de basquete. (C) José é gordo ou Carlos não é alto. (B) Não existe funcionário da agência P do Banco do Brasil com 20 anos. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL basquete. I. além de A e B. sormany_barreto@hotmail. Nesse caso. B: 3 < 6. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL tem menos de 20 anos. b)I e II.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. II. A última coluna da tabela-verdade abaixo corresponde à proposição (P∧ R)→Q. a última coluna da direita corresponde à tabela-verdade da proposição ( ¬ A) ∨ B → ¬ (A ∨ B). (E) ~p é verdadeira e q é falsa 15 Eulália come verduras. então Pelé foi o pior jogador de futebol de todos os tempos” é valorada como F. D: 8 > 11. É verdade o que se afirma APENAS em a) I. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. A: 4 > 1. E e F também sejam proposições. Considerando-se que a proposição “Se Eulália é vegetariana.3 = 6)” é falsa. A proposição “Se 3 + 3 = 9. A frase “Por que Maria não come carne vermelha?” não é uma proposição. após visitar uma aldeia distante. I: C → B. A afirmação “Trabalhar não é saudável" ou "o cigarro mata” é FALSA se (A) p é falsa e ~q é falsa. De acordo com essa definição. então 2 ≤ N ≤ 64 . O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par. nessa lista de 9 proposições. Na tabela abaixo. d)nenhum dos dois. então ela é vegetariana” também é verdadeira. e que N seja o número de linhas da tabela-verdade da proposição [A → (B ∨ C)] ↔ [(D ∧ E) → F]. não necessariamente todas distintas. C: 5 > 9. C. afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. E: A → B. 3. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição: a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. então o número de linhas da tabela-verdade da proposição (A → B) ↔ (C → D) será superior a 15. A proposição “(10 < 10 ) ↔ (8 . Considerando que. 31)(CESPE-UNB-MCT/2008) Uma proposição é uma sentença que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F). é correto concluir que a proposição “Se 2)(MCT/CESPE) Julgue os itens que seguem. c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. A sentença “O feijão é um alimento rico em proteínas” é uma proposição. EXERCÍCIO DO CONCURSEIRO-NÍVEL 4 1)(CESPE)Julgue os itens seguintes Se A. (D) p é verdadeira e q é falsa. 28)A negação de “ x ≠ 3 ∧ y < 2 ” é: a) x = 3∧ y ≥ 2 b) x = 3 ∧ y > 2 c) x = 3 ∨ y ≥ 2 d) x ≠ 2∧ y<3 e) x ≠ 3∧ y < 2 29)(TJ-SE/2009)Considere as seguintes premissas: p : Trabalhar é saudável q : O cigarro mata. 27)Pedro. D. 1. (B) p é falsa e q é falsa. H: C → D. então ela come verduras” seja verdadeira. B. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. (C) p e q são verdadeiras. julgue os itens a seguir.com . 30)Considere as afirmações abaixo. c)II. apenas 4 são V. d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. é correto afirmar que. e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta. C e D forem proposições simples e distintas. Considere as proposições. G: A → D. 2. F: A → C. A resposta branda acalma o coração irado. Considerando que P. B: O prédio do MCT fica na Esplanada. sormany_barreto@hotmail. julgue os itens subseqüentes. Nesse caso. ( P ∨ (¬S )) ∧ (Q ∨ (¬R )) é verdadeira. e)Quatro.com . mas nunca ambos. Se A e B são proposições. ¬P ∨ Q é verdadeira. • Max é dentista ou Lucas não é advogado. R e S representam proposições e que os símbolos ¬ . ∧ e ∨ são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não. ¬[(¬P ∨ Q ) ∨ (¬R ∨ S )] é verdadeira. Q. c)Apenas duas. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. b)Apenas uma. então. A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Considere as proposições: A: O cachorro mordeu a bola. R e S são proposições verdadeiras. tais que P é verdadeira e Q é falsa. então a proposição ¬ A estará corretamente escrita como: “O soldado Vítor não fará a ronda noturna nem o soldado Vicente verificará os cadeados das celas”. Na lógica proposicional. 16 3)(CESPE-TRT) Considere as letras P. Tendo como referência as quatro frases acima. • Se o tempo está chuvoso então está frio • Todo vascaíno é sofredor. cada proposição assume um único valor (valor verdade) que pode ser verdadeiro(V) ou falso(F). A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção. na tabela ao lado. Q. considere as seguintes proposições compostas: (1) P ∧ Q : (2) ∼ P → Q : (3) ∼ (P∨ ∼ Q) : (4) ∼ (P ↔ Q) Quantas dessas proposições compostas são verdadeiras? a)Nenhuma. Se A e B são proposições. ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. então. e e ou respectivamente. 6)Dê a negação de cada uma das proposições abaixo • Pedro é pobre e Alberto é alto. Uma tautologia é uma proposição lógica composta que será verdadeira sempre que os valores lógicos das proposições simples que a compõem forem verdade. na tabela abaixo. (CESPE/TRE-ES/2009) A proposição “Carlos é juiz e é Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. a última coluna da direita corresponde à tabela-verdade da proposição A ∨ [ A ∧ ( ¬ B )]. 5)(CESPE-STF) Filho meu. O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem. (CESPE/TRT-17ª/ANALISTA-2009)A negação da proposição “O juiz determinou a libertação de um estelionatário e de um ladrão” é expressa na forma “O juiz não determinou a libertação de um estelionatário nem de um ladrão”. os itens seguintes. a última coluna da direita corresponde à tabela-verdade da proposição ( A ∧ B ) → ( ¬ A ). Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade. • Nenhum triângulo é Retângulo • Alguns pássaros não sabem voar 7) Julgue os itens seguintes (CESPE/PMCE/2008) Se A é a proposição “O soldado Vítor fará a ronda noturna e o soldado Vicente verificará os cadeados das celas”. d)Apenas três. A terceira frase é uma proposição lógica composta. 4)(CESPE)Dadas as proposições simples P e Q . [ P ∧ (Q ∨ S )] ∧ (¬[( R ∧ Q ) ∨ ( P ∧ S )]) é verdadeira. A segunda frase é uma proposição lógica simples. um enunciado correto da proposição ¬ (A ∨ B) é: O cachorro não mordeu a bola nem o prédio do MCT fica na Esplanada. julgue. A proposição “Ninguém ensina a ninguém” é um exemplo de sentença aberta. ¬ A. então Mário é bobo ou Felipe não é esperto d) Ana não é feliz. julgue o item a seguir. mas não pratica A ∨ (¬ B ) . é V se A for F. chamada disjunção. se A e B são V. e é F se A for V. ou Mário é bobo e Felipe não é esperto e) Ana é feliz ou Mário é bobo e Felipe não é esperto 17 11)TRT-BA Considerando as informações do texto e a proposição P: “Mário pratica natação e judô”. Uma proposição composta na forma A ∧ B. é lida como “A e B” e tem valor lógico V. nos demais casos. que simboliza a negação da proposição A. 12)(TRT-ES-2009) Uma proposição composta na forma A ∨ B. Além disso. julgue os itens subseqüentes. e vice-versa. Toda proposição lógica pode assumir no mínimo dois valores lógicos. 10)(CESPE-2010)A negação de”Ana é feliz. . 13)(CESPE-Unb-Sebrae) Com relação à lógica formal. A : Mário pratica natação B : Mário pratica judô (I) P : A ∧ B → P “Mário pratica natação e judô” Simbolizando a proposição P por A ∧ B . é lida como “A ou B” e tem valor lógico F. então a proposição Q: “Mário pratica natação. 9)(PF-2009) Julgue o item seguinte: Se A for a proposição “Todos os policiais são honestos”. cuja tabela-verdade é a apresentada abaixo. e F. Considere que uma proposição Q seja composta apenas das proposições simples A e B e cujos valores lógicos V ocorram somente nos casos apresentados na tabela abaixo. A negação da proposição P é a proposição R : “Mário judô” é corretamente simbolizada por não pratica natação nem judô”. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL muito competente” tem como negação a proposição “Carlos não é juiz nem é muito competente”. nos demais casos. julgue os itens seguintes. (CESPE/TRE-ES/09)A proposição “A Constituição brasileira é moderna ou precisa ser refeita” será V quando a proposição “A Constituição brasileira não é moderna nem precisa ser refeita” for F. A frase “Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE” é uma proposição simples. A negação da proposição “2 + 5 = 9” é a proposição “2 + 5 = 7”. A partir do texto. A V F B F F Q V V Nessa situação. então a proposição ¬ A estará enunciada corretamente por “Nenhum policial é honesto”. A proposição “João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma” é um exemplo de proposição formada por duas proposições simples relacionadas por um conectivo de conjunção.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. se A e B são F. 8)(TRE-BA-2010) Julgue o item seguinte: A negação da proposição “O presidente é o membro mais antigo do tribunal e o corregedor é o vice-presidente” é “O presidente é o membro mais novo do tribunal e o corregedor não é o vice-presidente”. chamada conjunção. uma forma simbólica correta para Q é [A ∧ (¬B)] ∨ [(¬A) ∧ (¬B)] . (CESPE/BB/2008) A negação da proposição A → B possui os mesmos valores lógicos que a proposição A ∧ ( ¬ B ). mas Mário não é bobo ou Felipe é esperto” é a proposição: a) Ana não é feliz e Mário não é bobo e Felipe não é esperto b) Ana não é feliz ou Mário é bobo ou Felipe não é esperto c) Se Ana não é feliz. e V.
[email protected] negação da proposição “Ninguém aqui é brasiliense” é a proposição “Todos aqui são brasilienses”. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. 14)(CESPE)Assinale a opção correspondente à proposição composta que tem exatamente 2 valores lógicos F e 2 valores lógicos V. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra.com . para todas as possíveis atribuições de valores lógicos V ou F para as proposições A e B. então Sílvia não vai ao teatro”. "¬" e "→" sejam os conectores lógicos que representam. respectivamente. respectivamente. (CESPE)Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja verdadeira. por meio da reescrita das proposições envolvidas na linguagem da lógica formal. "V". A: Júlia gosta de peixe. Q = "Quando Paulo vai ao trabalho de metrô". Considere também a proposição a seguir. Cespe . ∨. pode-se evitar considerações subjetivas. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. 16) Julgue os itens abaixo. julgue os itens Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright.” Julgue os itens que se seguem. 18)(CESPE-SEBRAE) Julgue os itens seguintes. Nesse caso. B: Sílvia vai ao teatro. Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus ou de metrô. (CESPE) Considere as seguintes proposições. Considere as proposições seguir. ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado. B: Sílvia vai ao teatro. a) P → (Q V R) b)(P → Q) V R c)(P V Q) → (R Λ S).Técnico Judiciário) D : a lei é igual para todos A partir dessas informações. Considere que P. d)P V (Q → (R Λ S)). A: Jorge briga com sua namorada Sílvia. ∧. A proposição “Tanto João não é norte-americano como Lucas não é brasileiro. então P ∧ Q. A : as despesas foram previstas no orçamento B : os gastos públicos aumentaram C : os funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único 17)(TSE. Nesse caso. se Alberto é francês” poderia ser representada por uma expressão do tipo P → ( ¬Q ) ∧ ( ¬ R ) A proposição ¬ (P ∨ Q) é equivalente à proposição (¬P) ∧ (¬Q). "ou". são usados para formar novas proposições. Assinale a opção que expressa corretamente a proposição acima em linguagem da lógica formal. A proposição “Existe alguém que será considerado culpado ou condenado sem julgamento” é uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição acima. "negação" e o "conector condicional". que simbolizam “não”. (CESPE) Considere como V as seguintes proposições. Q. Os caracteres ¬. 19)(CESPE-SEBRAE)Considere a seguinte proposição: “Ninguém será considerado culpado ou condenado sem julgamento. então a proposição B → A é uma simbolização correta para a proposição “Uma condição necessária para que o autor envie duas cópias de sua publicação de pesquisa para a Biblioteca do Itamaraty é que a publicação use e cite documentos do Itamaraty A proposição P: “Ser honesto é condição necessária para um cidadão ser admitido no serviço público” é corretamente simbolizada na forma A → B. (MRE-CESPE)Considerando que A e B simbolizem. “ou” e “e”. Então pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é verdadeira. a expressão ¬ (A ∨ B) correspondente à proposição C: “Jorge não briga com sua namorada Sílvia e Sílvia não vai ao teatro”. em que A representa “ser honesto” e B representa “para um cidadão ser admitido no serviço público”. (CESPE)Considere que A e B sejam as seguintes proposições.com . assumindo que P = "Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus". sormany_barreto@hotmail. acerca dessa proposição. “Todos serão considerados culpados e condenados sem julgamento” não é uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição acima. A: Jorge briga com sua namorada Sílvia. independentemente das valorações V ou F para A e B. a proposição “Júlia não gosta de peixe. 18 Na análise de um argumento. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL a) B ∨ (¬A) c) ¬[(¬A) ∧ (¬B)] b) ¬(A ∧ B) d) [(¬A) ∨ (¬B)] ∧ (A ∧ B) e) [(¬A) ∨ B] ∧ [(¬B) ∨ A] 15)Julgue os itens abaixo. B: Júlia não gosta de carne vermelha. P ∨ Q e ¬ P também são proposições. se P e Q são proposições. ¬ (A → B) é a proposição C: “Se Jorge não briga com sua namorada Sílvia. R = "ele sempre leva um guarda-chuva" e S = "ele sempre leva dinheiro trocado". Por exemplo. as proposições “A publicação usa e cita documentos do Itamaraty” e “O autor envia duas cópias de sua publicação de pesquisa para a Biblioteca do Itamaraty”. "e". 20)(CESPE)Uma proposição pode ter valoração verdadeira (V) ou falsa (F). respectivamente. R e S sejam proposições e que "Λ". Nesse caso. mas gosta de carne vermelha” está corretamente simbolizada por ¬ (A ∨ B). Na lógica proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F). Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL subsequentes. A: “O Saturno Futebol Clube vence”. R: “Ou o Saturno Futebol Clube vence ou.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. 25)Marque certo (C) ou errado (E). por A ∨ (B → C). Considere que a proposição composta “Alice não mora aqui ou o pecado mora ao lado” e a proposição simples “Alice mora aqui” sejam ambas verdadeiras. Nesse caso. Uma proposição é denominada simples quando não contém nenhuma outra proposição como parte de si mesma. então a sentença representada por ¬ P → Q é falsa. C: “O Estrela Futebol Clube cairá para a segunda divisão”. A expressão ¬A Representa uma proposição composta. é V. 22)Considere as proposições a seguir. respectivamente. sormany_barreto@hotmail. mas não como ambas. A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P ∧ ¬Q. Nesse caso. Nesse caso. e é denominada composta quando for formada pela combinação de duas ou mais proposições simples. A frase “Se o mercúrio é mais leve que a água. a proposição Q pode ser expressa. Se a proposição Hoje não choveu for valorada como F e a proposição José foi à praia for valorada como V. B: “O Estrela Futebol Clube perde”. nos demais casos. Uma proposição da forma ( ¬ A) ∨ ( B ∨ ¬ C ) tem. mas nunca ambos. A proposição “Ou os gastos públicos aumentaram ou as despesas não foram previstas no orçamento” está corretamente simbolizada por ( ∨ B) ∨ ( ¬ A). Com base nessas informações e no texto. A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia pode ser corretamente representada por ¬ P → (¬ R ∧ ¬Q). freqüentemente. ou falsa — F —. julgue os itens a seguir.” A proposição “Não é verdade que os funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único nem que os gastos públicos aumentaram” está corretamente simbolizada pela forma ( ¬C ) ∧ ( ¬B ). ∧ e → são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não. simbolicamente. julgue os itens seguintes.com . para cada valoração atribuída às letras proposicionais. 21)Considere as proposições seguintes. A ∧ ( C ∨ ( ¬ B )) simboliza corretamente a proposição “As despesas foram previstas no orçamento e. O número de valorações possíveis para (Q ∧ ¬R) → P é inferior a 9. De acordo com as informações contidas no texto. e tem valor lógico V quando A é F. não é considerada uma proposição composta. cairá para a segunda divisão”. se perder. e que tem valor lógico F quando A e B são ambos F e. então a expressão A ∨ B representa uma proposição composta. e tem valor lógico F quando A é V. julgue os itens seguintes. A: “O Estrela Futebol Clube vence”. B: “O Saturno Futebol Clube perde”. cairá para a segunda divisão”. no máximo. A frase “Você sabe que horas são?” é uma proposição. por A ∧ B → C. Q e R representam proposições e os símbolos ¬. 6 possíveis valores lógicos V ou F. 24)(CESPE 2008 – SGA/AC ESCRIVÃO) Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como verdadeira — V —. na tabela abaixo. a proposição R pode ser expressa. a proposição simples “O pecado mora ao lado” é verdadeira. Q represente a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Uma proposição simples é representada. lida como “não A”. e e então. 19 P V V F F Q V F V F ¬P F V P∧Q V F F F P→Q V F V V Suponha que P represente a proposição Hoje choveu. ou os funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único ou os gastos públicos não aumentaram. esses operadores estão definidos. Com base nessas informações e no texto. simbolicamente. por letras maiúsculas do alfabeto. então o planeta Terra é azul”. Se A e B são proposições simples. 23)Técnico de Controle Externo -CESPE Texto para os itens de 1 a 4 Considere que as letras P. C: “O Saturno Futebol Clube cairá para a segunda divisão”. lida como “A ou B”. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. Q: “Se o Estrela Futebol Clube vencer ou perder. 28) São dadas as seguintes proposições: − p : Computadores são capazes de processar quaisquer 20 tipos de dados. (E) ser possível provar que ∞ + 1 = ∞ é condição necessária para que os computadores sejam capazes de processar quaisquer tipos de dados 18)(CESPE-2010) Para a análise de processos relativos a arrecadação e aplicação de recursos de certo órgão público. (D) computadores serem capazes de processar quaisquer tipos de dados é condição necessária para que seja possível provar que∞ + 1 = ∞. então Carina é prima de Denise. ( ) Nascer em Belo Horizonte é condição necessária para ser mineiro. análise. 27)(CESPE)Maria foi informada por João que Ana é prima de Beatriz e Carina é prima de Denise. um total de 4 processos. Maria tem certeza que a afirmação é falsa. A proposição ¬Q é equivalente à proposição seguinte: P Pelo menos um analista recebeu apenas um processo. c) Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris. (B) computadores serem capazes de processar quaisquer tipos de dados não é condição necessária e nem suficiente para que seja possível provar que ∞ + 1 = ∞. → Q é sempre verdadeira. juntos. 19)(CESPE-UNB-SEDUC-CEARÁ-2009) A negação da proposição “A prova será aplicada no local previsto ou o seu horário de aplicação será alterado. Com base nessas informações. b) Ana não é prima de Beatriz e Carina não é prima de Denise. c) A prova será aplicada no local previsto mas o seu horário de aplicação não será alterado. Se R é verdadeira. Maria pode concluir que é verdade que: a) Ana é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise. e) se Ana não é prima de Beatriz. Desse modo. então Paulo está em Paris” é logicamente equivalente à afirmação: a) É verdade que Pedro está em Roma e Paulo está em Paris. ( ) Sou mineiro somente se nasci em Belo Horizonte 26) A afirmação “Não é verdade que. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Q : a + b + c = 10 R : Um analista recebeu mais que 8 processos e os outros dois receberam. Bruno recebeu Carlos recebeu processos. então o fato de − (A) ser possível provar que ∞ + 1 = ∞ é uma condição necessária e suficiente para que os computadores sejam capazes de processar quaisquer tipos de dados. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. b)A prova não será aplicada no local previsto ou o seu horário de aplicação será alterado. e do ponto de vista lógico. então Carina não é prima de Denise. julgue os itens que se seguem. Bruno e Carlos. P : A quantidade de processos que cada analista recebeu é menor ou igual a 5. então sou mineiro. sendo que Nessa situação. Como Maria sabe que João sempre mente. q : É possível provar que ∞ + 1 = ∞ . ( ) Ser mineiro é condição suficiente para nascer em Belo Horizonte . considere as proposições seguintes.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. ( ) Nasci em Belo Horizonte somente se sou mineiro. (C) ser possível provar que ∞ + 1 = ∞ é uma condição suficiente para que os computadores sejam capazes de processar quaisquer tipos de dados. sormany_barreto@hotmail.” pode ser escrita como a)A prova não será aplicada no local previsto ou o seu horário de aplicação não será alterado. então S é falsa. Daí: ( ) Nascer em Belo Horizonte é condição suficiente para ser mineiro. d) Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris.Sabe-se que Alberto recebeu a processos para b processos e a × b × c = 30 . c) Ana não é prima de Beatriz ou Carina não é prima de Denise. se Pedro está em Roma. S : Algum analista recebeu apenas 2 processos. d)A prova não será aplicada no local previsto e o seu horário de aplicação não será alterado.com c . b) Não é verdade que Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris. foram destacados os analistas Alberto. d) se Ana não é prima de Beatriz. Se p implica em q . ( ) Ser mineiro é condição necessária para nascer em Belo Horizonte . e) É verdade que Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Se nasci em Belo Horizonte. entre essas 4 sentenças. PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES. começando-se da posição designada por “início” e seguindo-se as setas. A expressão no losango é avaliada e. Há vida no planeta Marte. Elas querem dizer a mesma coisa!! Quando uma delas for verdadeira. e) Maria comprou uma blusa nova. respectivamente. então as expressões ¬P . que elas Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. prossegue-se na direção indicada por V. quando resultar verdadeira. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL 20)(CESPE)O fluxograma abaixo contém uma seqüência finita de instruções a serem executadas na ordem em que são apresentadas. O Acre é um estado da Região Nordeste. 23)(TJ Rondônia 2008 Cesgranrio) A negação de “Nenhum rondoniense é casado “ é : (A) há pelo menos um rondoniense casado. Nesse caso. Estudaremos agora queridos alunos um conceito importantíssimo em Lógica: as famosas equivalências lógicas. apenas duas são proposições. a outra também será. (E) todos os rondonienses são solteiros. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. Por exemplo: p : Eu chutei a bola.com . prossegue-se na direção indicada Q representam proposições que podem ter valorações V ou F. F e F. e. IV. duas proposições são logicamente equivalentes quando elas “dizem a mesma coisa”. d) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema. b) Maria não comprou uma blusa nova e foi ao cinema sozinha. a outra também será. Se P e proposições e podem ter valorações V ou F conforme as valorações dadas a P e a Q. c) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema com José. P → Q . então a valoração de Y seria A proposição também F 21)(CESPE-PM-2008). a seta para a esquerda indica que o valor escrito ou obtido à direita é atribuído à variável à esquerda. (D) todos os casados são rondonienses. siga as instruções do fluxograma e julgue os itens a seguir. 5. A valoração atribuída a de A→B X será igual à valoração ¬( A → B ) tem as mesmas valorações V e F que a proposição (¬A) → (¬B ) Se as valorações iniciais de A e de B fossem. “ P ou Q ” e “ P e Q ”. Se x < 2 . e P ∧ Q . EQUIVALÊNCIASLÓGICAS A partir do texto e do fluxograma precedente. também são por F. p : A bola foi chutada por mim. I. Dentro das formas retangulares. Quando uma delas for falsa. então x + 3 > 1 . B . Considere as seguintes sentenças. 21 II. em que A . As duas proposições acima têm o mesmo significado.0.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Você viu o cometa Halley? III. (C) todos os rondonienses são casados. sormany_barreto@hotmail. que são lidas “não P ”. Dizemos. “ P implica Q”. (B) alguns casados são rondonienses. mas não foi ao cinema com José. P ∨ Q . respectivamente. 22)(MPOG 2009 [ESAF] A negação de “Maria comprou uma blusa nova e foi ao cinema com José” é: a) Maria não comprou uma blusa nova ou não foi ao cinema com José. quando for falsa. E o que são proposições logicamente equivalentes? Grosso modo. portanto. X e Y são proposições quaisquer. Lê-se: A é equivalente a CUIDADO!!! B. então B = não A ou B. irei entrar na internet” ⇔ “Se eu não e se vivo então amo. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL são logicamente equivalentes. 4ª) A ou B = Se não B. 1ª) A e A • Leis Associativas. viajarei” ⇔ “Se eu não viajar então não recebi dinheiro” “Caso não faça sol. Exemplos: “Se chover então irei ao shopping” ⇔ “Se não for ao shopping então não choveu” “Se eu receber dinheiro. percebemos que a forma equivalente para A → B pode ser obtida pela seguinte regra: 1º) Trocam-se os termos da condicional de posição. Não devemos confundir o símbolo da equivalência de proposições implicação (⇔) com o símbolo da operação dupla (↔) . então não A. B ou A Exemplo: “Estudarei lógica ou informática” = “Estudarei informática ou lógica” ↔ B = B ↔ A Exemplo: Amo se e somente se vivo = Vivo se e somente se amo 6ª) B = A→B=¬B→¬ A forte 5ª) A então A↔ B = (A → B) e ( B → A) Exemplo: Amo se e somente se vivo = Se amo então vivo. Regra do Modus Ponens e Modus Tollens ( A → B) ∧ A ⇒ B ( A → B ) ∧ (∼ B) ⇒ (∼ A) Nota: Há algumas equivalências notáveis que são muito cobradas em concursos. Equivalências que envolvem a Condicional: BeA Exemplo: O cavalo é forte e veloz = O cavalo é veloz e 1ª) Se A... EQUIVALÊNCIAS BÁSICAS = A Exemplo: “Eu não minto e só falo a verdade” = “Eu falo a 22 verdade” 2ª) A ou A = A Exemplo: Sormany foi ao parque ou ao parque = Sormany foi ao parque. entrei na internet então fez sol” 7ª)Leis de De Morgan 2ª) Se A.1. 3ª) A e B = (Ae B)eC = Ae(B eC) ( A ou B ) ou C = A ou ( B ou C ) Leis distributivas Vamos conversar formalmente agora. Distributivas e da Dupla Negação: Leis Associativas A e ( B ou C ) = ( A e B ) ou ( A e C ) A ou ( B e C ) = ( A ou B ) e ( A ou C ) Lei da dupla negação ¬ ( ¬ A) = A Exemplo: Não é verdade que Flávia não foi à festa = Flávia foi à festa.
[email protected] APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Duas proposições são logicamente equivalentes ou simplesmente equivalentes quando são compostas pelas mesmas proposições simples e suas tabelas-verdade são idênticas 5. 2º) Negam-se ambos os termos da condicional. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright.com . ∼( A ∧ B ) ⇔ (∼ A ∨ ∼ B ) Em símbolos dizemos: ∼ ( A ∨B ) ⇔ ( ∼ A ∧ ∼ B ) A ⇔ B ou simplesmente A = B . Observando a relação simbólica acima. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. r . ( RESUMINDO O resultado é todas as valorações verdadeiras SE LIGUE! Tautologia é uma frase sempre verdadeira.3. sormany_barreto@hotmail.. B : Pedro é mentiroso. então não dirijo = Não bebo ou não dirijo. RESUMINDO O resultado é todas as valorações falsas. q . então é pescador... por isso a banca de concurso pode usar tautologia ou solicitar uma expressão sempre verdadeira. no concurso.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Se bebo. r . 2º) Troca-se o “ou” pelo símbolo → ”. Se estudo então passo no concurso = Não estudo ou passo q .. então é mentiroso. p q V V V F F V F F p∧q p∨q ( p ∧ q) → ( p ∨ q ) CONTRADIÇÃO Uma proposição composta formada pelas proposições q .. então Pedro não é mentiroso. percebemos que pela seguinte regra: 1º) Nega-se o primeiro termo. através da seguinte regra: 1º) Nega-se o primeiro termo. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. é uma contradição(proposição logicamente falsa) se ela for sempre falsa. 2º) Troca-se o símbolo do implica pelo “ou”. r . q . 3º) Mantém-se o segundo termo IMPORTANTE!!! 23 Seja a proposição: A → B (condicional) →A A→∼ B 3) Proposição contrapositiva da condicional: ∼B→∼ A Exemplos: Se Pedro é pescador.. então B A∨ B = ¬ A → B A relação simbólica acima nos mostra que podemos transformar uma disjunção numa condicional equivalente. que a compõem.2. independentemente dos valores lógicos das proposições p .. 3º) Mantém-se o segundo termo. independentemente dos valores lógicos das proposições p .. verdadeira) se ela for sempre verdadeira. r . então não é pescador.. Equivalência entre “nenhum” e “todo”: 1ª) Todo A não é B = Nenhum A é B Exemplo: Todo médico não é louco = Nenhum médico é louco. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL A → B = ¬ A∨ B essa outra forma equivalente para A → B pode ser obtida Observando a relação simbólica acima. . CLASSIFICAÇÃO DAS TABELAS VERDADES TAUTOLOGIA Uma proposição composta formada pelas proposições p. que a compõem. Exemplo(1): p ∨ ∼ p é uma tautologia p p∨∼ p ∼p V F F V V V Exemplo(2): Vamos resolver? 1) Proposição recíproca da condicional: B 2) Proposição contrária(inversa) da condicional: ∼ é uma tautologia(ou proposição logicamente A → B) A : Pedro é pescador. Contrapositiva: Se Pedro não é mentiroso.com p.. 2ª) Nenhum A não é B = Todo A é B Exemplo: Nenhuma arte não é bela = Toda arte é bela. 3ª) A ou B = se não A . Exemplo: 5.. Inversa: Se Pedro não é pescador. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Recíproca: Se Pedro é mentiroso. 5.. Exemplo(1): Fulano é culpado(V ou F). para x = 1 . SENTENÇAS ABERTAS E QUANTIFICADORES Observe as seguintes expressões: +6=0 x −3> 0 a) 2 x b) Elas contém variáveis e seus valores lógicos(verdadeiro ou falso) dependem do valor atribuído a variável.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof.com DAS . cada um. duas maneiras de transformar sentenças abertas em proposições: Proposição universal Todo aracajuano é afirmativa sergipano Proposição universal Nenhum aracajuano é negativa sergipano Proposição particular Algum aracajuano é afirmativa sergipano Proposição particular Algum aracajuano não é negativa sergipano Observe que a proposição universal negativa “Nenhum recifense é pernambucano” equivale a dizer que “Todo recifense não é pernambucano”..REPRESENTAÇÃO E LEITURA PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS. existe. um elo e outra classe de atributos. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. para x = 8 falsa.. sormany_barreto@hotmail. Exemplo(2): p → ∼ p é uma contingência. Como já comentei tais sentenças não são proposições. por exemplo. não . e Expressões que contêm variáveis são chamadas de sentenças abertas ou funções proposicionais. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Exemplo(1): p ∧ ∼ p é uma contradição.PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS Uma proposição é dita categórica quando é caracterizada atributos. b) Há fundamentalmente dois tipos de quantificadores: por um quantificador seguido por uma classe ou de F a) 2 x + 6 = 0 é verdadeira se trocarmos x por falsa para qualquer outro valor atribuído a x . a expressão “nenhum” pode ser substituída pela expressão “todo. −3 eé x − 3 > 0 é verdadeira. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. pois seu valor lógico (V ou F) é discutível. • atribuir valor às variáveis.6. Os quantificadores são geralmente indicados por palavras como: todo. de Primeira Ordem.. • utilizar quantificadores p ∼p V F F V → Quantificadores: São elementos que transformam as sentenças abertas em proposições. nenhum.) 5. Há. Exemplos: “Todo cachorro tem quatro patas” “Algum cavalo é marrom” “Nenhum triângulo tem 5 lados” “Todos os homens têm olhos azuis” Atenção: Concurseiro o assunto Quantificadores em p∧∼ p F F Exemplo(2): Vamos resolver? p q V V V F F V F F p↔∼q p∧q (p ↔ ∼ q) ∧ (p ∧ q) alguns editais é chamado de Lógica INDETERMINAÇÃO OU CONTINGÊNCIA Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia nem uma contradição RESUMINDO O resultado apresenta valorações verdadeiras ou falsas. Eles são utilizados para indicar a quantidade de valores que a variável de uma sentença precisa assumir para que esta sentença torne-se verdadeira ou falsa e assim gere uma proposição.4. dependem do valor dado às variáveis. V 5.. existe etc.. Dessa forma. 24 p ∼p V F F V p→∼ p • Quantificador universal: ∀ (todo) • Quantificador Existencial: ∃ (para algum..5. entretanto.. por exemplo. 5. algum. 8.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof.com . TIPOS DE QUANTIFICADORES O quantificador Universal O quantificador universal. • Algum professor é rico. Algum A ∃x / A( x ) ∧ ¬B( x ) Existe um elemento x tal não é B que x pertence a A e não pertence a B. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. Como fica: Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright.7. usado para transformar sentenças abertas em proposições. se ele pertence a A. “para cada”. é indicado pelo símbolo ∀ que se lê:” qualquer que seja”. Exemplo 1: Todos os homens são mortais. sormany_barreto@hotmail. Exemplos: • Todo professor é rico. 25 Proposição Todo A é B ( ∀x )( A → B) Diagrama de Venn • Algum professor não é rico (Universal afirmativa) Nenhum A é B ( ∀x )( A → ¬B) (Universal negativa) Algum A é B ( ∃x )( A ∧ B) (Particular afirmativa) Algum A não é B ( ∃x )( A ∧ ¬ B) (Particular negativa) 5. 5. • Nenhum professor é rico.DIAGRAMA DAS PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS. Nenhum Não existe um ¬∃ / A( x ) ∧ B( x ) AéB elemento x que pertença a A e também pertença a B. também (necessariamente a B) Algum A e Existe um ∃x / A( x ) ∧ B( x ) B elemento x tal que x pertence a A e também pertence a B. ”para todo”. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Proposição categórica Todo A e B Representação simbólica Leitura ∀x( A( x ) → B( x )) Qualquer que seja x . Do mesmo H ( x) = x é homem. então QUANTIFICADORES Note que uma função proposicional (ou sentença x é mortal. se x é um homem. DICA: A frase “Todo homem é mortal” possui as seguintes conclusões: 1)Algum mortal é homem ou algum homem é mortal. Exemplo 1 (∀x) (x gosta de Raciocínio Lógico ) Exemplo 2: Negação (∀x)( x + x 2 = 8) (FALSO) ( x) . ATENÇÃO: Algumas vezes utilizamos também outro quantificador: | que se lê: "existe um único”. M ( x) = x é mortal. H ( x) = x é homem. subsistem as seguintes equivalências: ∼ (∀x)( x gosta de Raciocínio Lógico) ⇔ (∃x)( x não gosta de Raciocínio lógico ) ∼ (∃x) (x gosta de Andrezza ) ⇔ (∀x)( x não gosta de Andrezza ) Exemplo(2) (∃x)( x + 3 = 5) (∀x)( x + 3 ≠ 5) Proposição quantificada: Negação: Cuidado!!! No caso de negar o quantificador nenhum ou ninguém o único quantificador é o existe(algum ou alguém). se atribuirmos ( x = 2 ). Como fica: Existe x tal que x é homem e x é mortal. 5. DIAGRAMAS DE EULER-VENN O estudo das proposições categóricas pode ser feito utilizando os diagramas de Euler-Venn. tal que. "existe só um". 2)”Se Sormany é homem. Lê-se: Qualquer que seja o valor de Tal proposição é falsa.7. x + x = 6 Tal proposição é verdadeira. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Todos os x são tais que. x + x 2 = 8 atribuirmos( x = 1 ). aberta) quantificada é uma proposição. como afirma a sentença. troca-se o quantificador universal (∀) ∀x = Todos os elementos do conjunto x . Pra fazer a negação de uma sentença com Onde: quantificadores."existe um e um só". ∃ (∃x) (x não gosta de Raciocínio Lógico ) Trocou-se o quantificador universal (∀) pelo existencial (∃) e negou-se a sentença.8.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. como ∀x( H ( x) → M ( x)) proposição.9. pois. então Sormany é mortal. M ( x) = x é mortal Exemplo 2: (∃x)( x + x 2 = 6) (VERDADEIRO) 2 Lê-se: Existe um número x . "existe um". a resposta será 6. modo se faz com o quantificador existencial (∃) :troca-o pelo quantificador universal (∀) e nega-se a sentença. sormany_barreto@hotmail. Exemplo 1: Alguns homens são mortais. "existe pelo menos um". É habitual representar um conjunto por uma linha fechada e não entrelaçada. pode ser negada. pelo existencial (∃) e nega-se a sentença.NEGAÇÃO DE SENTENÇAS COM 5. A Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Então. “Para Algum”. 5.com . Do exposto. pois se a resposta não será 8. QUANTIFICADOR EXISTENCIAL 26 O quantificador existencial é indicado pelo símbolo: ∃ que se lê: "existe". ∃x( H ( x) ∧ M ( x)) Onde: ∃x = Existem elementos no conjunto x . Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. de cada uma das proposições categóricas. há um soberano e ninguém exercerá o poder de forma ilimitada”. na linguagem de conjuntos. • A palavra Nenhum permite a inversão dos termos. então x é um número ímpar” é equivalente à proposição “Se x é um número par. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. ou Paulo é engenheiro” e “Se Pedro é analista judiciário então Paulo é engenheiro” apresentam os mesmos valores lógicos. Nenhum A é B ↔ A e B são conjuntos disjuntos. não há soberano e ninguém exercerá o poder de forma ilimitada” é a proposição “No estado democrático. Algum A não é B ↔ O conjunto A tem pelo menos 1 elemento que não é elemento de B. P2 : “ 5 é um número ímpar”. 2)(CESPE-UNB/SEFAZ)Considere as proposições a seguir para julgar os itens abaixo. o índice de criminalidade da cidade caiu pela metade em relação ao ano de 2006” é uma sentença aberta.com . Todo A é B Algum A é B 27 Nenhum A é B Algum A não é B FIQUE LIGADO! • A palavra Todo não permite inversão dos termos. Algum A é B ↔ Os conjuntos A e B possuem pelo menos 1 elemento em comum. Relembremos o significado. sormany_barreto@hotmail. não possuem elementos comuns. então x + 1 é um número ímpar”.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Vejamos como representar cada uma das proposições categóricas utilizando os diagramas de Euler-Venn. As tabelas-verdade das proposições “Pedro não é analista judiciário. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Nenhum vascaíno é flamenguista = Nenhum flamenguista é vascaíno. Exemplo: Algum político não é honesto = Algum político é não ladrão. A frase “No ano de 2007. Como assim? Exemplo: Todo A é B é diferente de Todo B é A Todo sergipano é brasileiro ≠ Todo brasileiro é sergipano. Como assim? Exemplo:” Nenhum A é B ” é a mesma coisa que:” Nenhum B A” é IMPORTANTE: Algum A não é B = Algum A é não B . A frase “O triplo de quatro é menor do que dez?” é uma proposição falsa. Como assim? Exemplo:” Algum A é B ” é a mesma coisa que :” Algum B é A ” Algum matemático é louco = Algum louco é matemático. A proposição “Se x + 1 é um número par. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. • A palavra Algum permite a inversão dos termos. Observação: A proposição categórica” Todo i i i i A é subconjunto de B A está contido em B B é universo de A B é superconjunto de A A é B ” é equivalente a: i A é parte de B i B contém A EXERCÍCIO DO CONCURSEIRO-NÍVEL 1 1)(CESPE-TJCE) Julgue os itens que se seguem. A negação da proposição “No estado democrático. P1 : “ 5 não é par”. Todo A é B ↔ Todo elemento de A também é elemento de B. P3 :“ 5 é um número primo”. ou seja. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. então Norberto é estatístico. são empregados da PETROBRAS e são alegres. mas os cariocas. A afirmação “Não dirija após ingerir bebidas alcoólicas ou você pode causar um acidente de trânsito” é. P1 → P2 é uma contradição P2 ∧ P3 → P4 é uma tautologia 3)(CESPE-TJCE) Acerca de tautologia.com .º 4. III Marcelo é empregado da PETROBRAS. Existe pelo menos um empregado da PETROBRAS que é carioca. julgue os itens a seguir. então Nestor é médico e Luís é economista” é uma tautologia. Se U for o conjunto de todos os funcionários públicos e P(x) for a propriedade "x é funcionário do INSS". Nenhum indivíduo rico é alegre.” a) Se Mário não é contador. Se a sentença aberta for uma expressão da forma ∀x P( x ). 28 5)(PETROBRAS 2007 CESPE) Considere as seguintes frases. apesar de não serem ricos. c) Se Mário não é contador. então a proposição p∧ ( ¬ q ) ∨ ( p → q ) é uma tautologia 4)(CESPE-TRE-MA-2009).553/2002 — que estabelece que toda autoridade responsável pelo trato de dados ou informações sigilosos. Desse modo.º do Decreto n. julgue os itens subseqüentes. então você pode causar um acidente de trânsito”. I Todos os empregados da PETROBRAS são ricos. deve providenciar para que o pessoal sob suas ordens conheça integralmente as medidas de segurança estabelecidas. A respeito desse assunto. A proposição “Se Luís é economista. então é preciso explicitar U e P para que seja possível fazer o julgamento como V ou como F. é correto afirmar que duas das formas apresentadas na lista abaixo simbolizam a proposição Todos os funcionários do INSS têm mais de 35 anos de idade. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL P4 :“ Todo número ímpar é primo”. cada servidor deve triturar todos os papéis usados como rascunho ou que não tenham mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos que esteja realizando ou que tenha realizado”. zelando pelo seu fiel cumprimento —. lida como "para todo x. 6)(CESPE-INSS)Algumas sentenças são chamadas abertas porque são passíveis de interpretação para que possam ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). então Norberto não é estatístico. Do ponto de vista formal. P(x) seja a propriedade "x é funcionário do INSS" e Q(x) seja a propriedade "x tem mais de 35 anos de idade". b) Mário não é contador e Norberto não é estatístico. são alegres. d) Se Mário é contador. o chefe de uma repartição que trabalha com material sigiloso fixou no mural de avisos a seguinte determinação: “no fim do expediente. em que x é um elemento qualquer de um conjunto U. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. equivalente à afirmação “Dirija após ingerir bebidas alcoólicas e você não causará um acidente de trânsito”. A negação da proposição “Não dirija após ingerir bebidas alcoólicas ou você pode causar um acidente de trânsito” é. Considere-se que U seja o conjunto dos funcionários do INSS. A proposição “Se Luís é economista ou Nestor é médico. mas é um indivíduo rico. equivalente à proposição “Se você dirige após ingerir bebidas alcoólicas. A partir das definições acima. e) Se Mário é contador. julgue os itens que se seguem. então Norberto não é estatístico.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. P(x)". do ponto de vista lógico. (i) x(se Q(x) então P(x)) (ii) x(P(x) ou Q(x)) (iii) x(se P(x) então Q(x)) ∀ ∀ ∀ 7)(DETRAN-TÉCNICO SUPERIOR-CESPE-2010) A noção de equivalência de proposições refere-se à possibilidade de expressar de diferentes formas uma mesma afirmação. Com base nas regras da lógica sentencial. diz-se que duas proposições são logicamente equivalentes quando possuem tabelas de valorações idênticas. Se pe q são proposições. sormany_barreto@hotmail. julgue os itens que se seguem. Alguns cariocas são ricos. IV Nenhum indivíduo alegre é rico. do ponto de vista lógico. Marcelo não é carioca. e P(x) é uma propriedade a respeito dos elementos de U. no âmbito da administração pública federal. então Luís é economista” é uma tautologia. então é falsa a sentença ∀x P( x ) . II Os cariocas são alegres. assinale a opção que corresponde à negação da proposição “Mário é contador e Norberto é estatístico. 8)(ABIN-NÍVEL MÉDIO-CESPE-2010) Para cumprir as determinações do parágrafo único do artigo 3. Admitindo que as quatro frases acima sejam verdadeiras e considerando suas implicações. então Norberto é estatístico. (C) Se não dirijo. (B) Não é verdade que. (2) Se Jaime não trabalha no Tribunal de Contas. então dirijo. sormany_barreto@hotmail. b) se a taxa de juros aumenta. 2 e 3 e) 1. A negação da proposição “estes papéis são rascunhos ou não têm mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos” é equivalente a “estes papéis não são rascunhos e têm serventia para o desenvolvimento dos trabalhos”. d) Penso ou não existo. julgue os itens a seguir. (E) Se dirijo. então não bebo. (B) Se não dirijo. A partir das informações dos textos I e II acima. então ele é eficiente. logo existo” é logicamente equivalente a: a) Penso e existo. então ela não melhora o seu desempenho profissional. Jaime trabalha no Tribunal de Contas e não é eficiente. a partir da proposição contida na determinação do chefe citado na situação apresentada acima. então bebo. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. uma pessoa não melhora o seu desempenho 29 profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Considerando as regras da lógica sentencial. 13)(MPE-AM 2007/CESPE-UnB) Texto II – para os itens 1 e 26 Duas proposições são denominadas equivalentes quando têm exatamente as mesmas valorações V e F. A proposição “Se o Coelho Branco não olhou o relógio. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra.com . então não bebo. então ele não é eficiente. (D) Se não bebo. então não dirijo. (4) Jaime é eficiente ou não trabalha no Tribunal de Contas. A proposição “um papel é rascunho ou não tem mais serventia para o desenvolvimento dos trabalhos” é equivalente a “se um papel tem serventia para o desenvolvimento dos trabalhos. d) o dia estar bonito é condição necessária e suficiente para chover. 9)(Agente Penitenciário SJDH-BA 2010/FCC) Uma afirmação equivalente à afirmação “Se bebo. e) chover é condição necessária para o dia não estar bonito. afirmação do renomado economista equivale a dizer que: a) se a inflação baixa. b) não chover é condição suficiente para o dia estar bonito. (E) Uma pessoa não melhora seu desempenho profissional ou faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. Do ponto de vista lógico. nem existo. A proposição “Se o Coelho Branco olhou o relógio. 14)MPOG 2009 [ESAF] Considere que: “se o dia está bonito. e) Existo. Por exemplo.” Uma proposição logicamente equivalente à proposição dada é: (A)É falso que.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. então ela não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. 15) CGU 2008 [ESAF] Um renomado economista afirma que “A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta”. então Alice não perseguiu o Coelho Branco” pode ser simbolizada por ( ¬ B)→( ¬ A). julgue os itens a seguir. c) chover é condição necessária para o dia estar bonito. c) Não penso ou existo. logo penso 11)(TCE/MG/FCC) São dadas as seguintes proposições: (1) Se Jaime trabalha no Tribunal de Contas. são equivalentes as proposições ( ¬ A) ∨ B e A → B. então é um rascunho”. Desse modo: a) não chover é condição necessária para o dia estar bonito. 3 e 4 12)(Administrador DNOCS 2010/FCC) Considere a seguinte proposição: “Se uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. uma pessoa não faz cursos de aperfeiçoamento profissional e não melhora o seu desempenho profissional. (3) Não é verdade que. então não dirijo” é (A) Se não bebo. (D) Uma pessoa melhora o seu desempenho profissional ou não faz cursos de aperfeiçoamento na sua área de trabalho. 3 e 4 d) 1. então Alice não perseguiu o Coelho Branco” é equivalente à proposição “O Coelho Branco não olhou o relógio ou Alice não perseguiu o Coelho Branco”. 10)(Polícia Civil 2007/Ipad) A sentença “Penso. É correto afirmar que são logicamente equivalentes apenas as proposições de números a) 2 e 4 b) 2 e 3 c) 2. então a taxa de juros não aumenta. b) Nem penso. e supondo que A simboliza a proposição “Alice perseguiu o Coelho Branco” e B simboliza a proposição “O Coelho Branco olhou o relógio”. então a inflação baixa. (C) Se uma pessoa não melhora seu desempenho profissional. então não chove”. julgue os itens subsequentes A proposição ( A → B ) → ( ¬ A ∨ B ) é uma tautologia. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL c) se a inflação não baixa. e) Se o chão está seco. então não choveu ou não nevou. c) Se o chão está seco. então choveu ou nevou. d) Se o chão está seco. então a taxa de juros aumenta. ¬ ( A ∧ B ) é equivalente a proposição ( ¬ A ∨ ¬ B ) . 16)AFRFB 2009 [ESAF] Considere a seguinte proposição: “Se chove ou neva. 30 A coluna da tabela-verdade da proposição composta ( A → B ) → (( ¬B ) → ( ¬A )) conterá somente valores lógicos V. independentemente dos valores lógicos de Ae B . então choveu e nevou.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Em relação às proposições B : 9 é par. então o chão fica molhado”. b) Se o chão está molhado. então choveu ou nevou. Sendo assim. a proposição A proposição A → B é equivalente à proposição ¬ B → ¬ A A proposição ¬ B → A é equivalente à proposição A → B . então não choveu e não nevou. então a taxa de juros não aumenta. e) se a inflação não baixa. d) se a inflação baixa. 17)(Cespe-Unb Serpro-/2008) Com relação à Lógica Formal. pode-se afirmar que: a) Se o chão está molhado. A : 16 = ±4 e A → B é uma contradição. então a taxa de juros aumenta. A proposição 18)(CESGRANRIO) Hoje, logo após um jogo do Flamengo, o comentarista disse: ―”Toda vez que o Romário não faz gol, o Flamengo perde”. Tomando isto como verdade, marque a única sentença verdadeira: a) Se hoje o Romário fez gol, então podemos afirmar que hoje o Flamengo venceu. b) Se hoje o Flamengo perdeu, então podemos afirmar que hoje o Romário não fez gol. c) Se hoje o Flamengo empatou, então podemos afirmar que hoje o Romário fez gol. d) Se hoje o Romário fez gol, então podemos afirmar que hoje o Flamengo não perdeu. 19)(Prominp 2008 Cesgranrio) Considere verdadeira a declaração: Se x > 2 , então y ≠ 1 . y seja igual a 1 , pode-se afirmar que x ≤ 2 (B) x < 2 (C) x = 2 (D) x ≠ 2 Caso (A) (E) x = 1 20)(Cespe-Unb-Ipea/2008) Considere a afirmação X seguinte, que pode ser V ou F: “Se Maria for casada, então ela virá de vestido branco”. Tendo como base o texto, essa afirmação e as possíveis valorações V ou F das proposições simples que a compõem, julgue os itens seguintes. Independentemente de X ser V ou F, a proposição “Se Maria não vier de vestido branco, então ela não é casada” será sempre V. Se as proposições “Maria é casada” e “Maria não virá de vestido branco” forem ambas V, então X será F. Se a proposição “Maria é casada” for F, então, independentemente de X ser V ou F, a proposição “Se Maria não for casada, então ela não virá de vestido branco” será sempre F. As tabelas-verdade das proposições “Se Maria não vier de vestido branco, então ela não é casada” e “Se Maria é casada, então ela virá de vestido branco” são iguais. 21)(Cespe-Senado Federal-2002) A noção de conjunto fornece uma interpretação concreta para algumas idéias de natureza lógica que são fundamentais para a Matemática e o desenvolvimento do raciocínio. Por exemplo, a implicação lógica denotada por P → Q pode ser interpretada como uma inclusão entre conjuntos, ou seja, como P ⊂ Q, em que P é o conjunto cujos objetos cumprem a condição P, e Q é o conjunto cujos objetos cumprem a condição Q Com o auxílio do texto acima, julgue se a proposição apresentada em cada item a seguir é equivalente à sentença abaixo. 1. Se um indivíduo não pode ter acesso às provas do concurso do Senado Federal, então ele não está inscrito nesse concurso. 2. O conjunto de indivíduos que não podem ter acesso às provas do concurso do Senado Federal e que estão inscritos nesse concurso é vazio. 3. Se um indivíduo pode ter acesso às provas do concurso do Senado Federal, então ele está inscrito nesse concurso. 4. O conjunto de indivíduos que podem ter acesso às provas do concurso do Senado Federal é igual ao conjunto de indivíduos que estão inscritos nesse concurso. 5. O conjunto de indivíduos que estão inscritos no Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra.
[email protected] 2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL concurso do Senado Federal ou que podem ter acesso às provas desse concurso está contido neste último conjunto. EXERCÍCIO DO CONCURSEIRO-NÍVEL 2 1)(CESPE)Proposições das formas ¬ B → ¬ A são A → B , ¬ A∨ B e sempre equivalentes. A partir dessa informação e das definições incluídas no texto, julgue os itens a seguir: As proposições “Se Hélio é conselheiro do TCE/AC, então Hélio é formado em Contabilidade” e “Hélio não é conselheiro do TCE/AC ou Hélio é formado em Contabilidade” são equivalentes. Considere a seguinte proposição: “Se Antônio resolver corretamente esta prova, então ele passará no concurso”. Nessa situação, é correto concluir que “Se Antônio não resolver corretamente esta prova, então ele não passará no concurso”. Toda proposição simbolizada na forma A→B tem os mesmos valores lógicos que a proposição B → A A sentença “No Palácio Itamaraty há quadros de Portinari ou no Palácio Itamaraty não há quadros de Portinari” é uma proposição sempre verdadeira. 2)Considere a seguinte proposição: “na eleição para a prefeitura, o candidato A será eleito ou não será eleito”. Do ponto de vista lógico, a afirmação da proposição caracteriza. A) um silogismo B) uma tautologia C) uma equivalência D) uma contingência E) uma contradição 31 3)(PMDF-2009) julgue os itens que se seguem, acerca de proposições e seus valores lógicos. A negação da proposição “O concurso será regido por este edital e executado pelo CESPE” estará corretamente simbolizada na forma (¬A) ∧ (¬B) , isto é, “O concurso não será regido por este edital nem será executado pelo CESPE”. A proposição (A ∧ B) → (A ∨ B) é uma tautologia. 4) Julgue os itens abaixo: Se A e B são proposições, completando a tabela abaixo, se necessário, conclui-se que a proposição ¬( A ∨ B ) → ¬A ∧ ¬B é uma tautologia. A proposição [ ¬B ] ∨ {[ ¬B ] → A proposição [ ¬B ] ∧ [ A } é uma tautologia. A → B ] é logicamente falsa. 5)(CESPE) Proposições são sentenças que podem ser julgadas somente como verdadeiras ou falsas. A esse respeito, considere que p represente a proposição simples "É dever do servidor promover o atendimento cordial a clientes internos e externos", que q represente a proposição simples "O servidor deverá instruir procedimentos administrativos de suporte gerencial" e que r represente a proposição simples "É tarefa do servidor propor alternativas e promover ações para o alcance dos objetivos da organização". Acerca dessas proposições p, q e r e das regras inerentes ao raciocínio lógico, assinale a opção correta a) ~ (p ∨ q ∨ r) é equivalente a ~ p ∧ ~ q ∧ ~ r . b) p → q é equivalente a ~ p → ~ q . c) p ∧ (q ∨ r) é equivalente a p ∧ q ∧ r . d) ~(~(~ r )) ⇔ r . e) A tabela-verdade completa das proposições simples p, q e r tem 24 linhas. 6)(FINEP-2009) Considere todas as possíveis valorações V ou F atribuídas às proposições simples P, Q e R. Nesse caso, a proposição composta ¬[(P → R) ∧ (Q → R)] tem exatamente os mesmos valores lógicos da proposição: a) R ∨ [¬(P ∨ Q)] b) [(¬P) ∨ R] ∧ [(¬Q) ∨ R] c) [¬(P ∨ R)] ∧ [¬(Q ∨ R)] d) [P ∧ (¬R)] ∨ [Q ∧ (¬R)] e) (P ∨ Q) → R 7)(PF-2009)Julgue os itens seguintes: Considere que um delegado, quando foi interrogar Carlos e José, já sabia que, na quadrilha à qual estes pertenciam, os comparsas ou falavam sempre a verdade ou sempre Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra.
[email protected] 2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL mentiam. Considere, ainda, que, no interrogatório, Carlos disse: José só fala a verdade, e José disse: Carlos e eu somos de tipos opostos. Nesse caso, com base nessas declarações e na regra da contradição, seria correto o delegado concluir que Carlos e José mentiram. Independentemente dos valores lógicos atribuídos às proposições A e B, a proposição [(A → B) ∧ (¬B)] → (¬A) tem somente o valor lógico F. As proposições [A ∨ (¬B)] → (¬A) e [(¬A) ∧ B] ∨ (¬A) são equivalentes. As proposições “Se o delegado não prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra não será bemsucedida” e “Se o delegado prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra será bem-sucedida” são equivalentes. 8)(TRT-ES-2009) Julgue os itens seguintes. As proposições (¬A) ∨ (¬B) e A → B têm os mesmos valores lógicos para todas as possíveis valorações lógicas das proposições A e B. Para todos os possíveis valores lógicos atribuídos às proposições simples A e B, a proposição composta [A ∧ (¬B)] ∨ B tem exatamente 3 valores lógicos V e um 32 F. 9) A afirmação “se a onça é pintada e o urso é pardo, então o macaco é preto” é logicamente equivalente a: A) Se o macaco é preto, então a onça não é pintada e ou o urso não é pardo. B) Se o macaco não é preto, então a onça não é pintada e o urso não é pardo. C) Se o macaco não é preto, então a onça não é pintada ou o urso não é pardo. D) Se o macaco não é preto, então a onça é pintada ou o urso não é pardo. E) Se o macaco não é preto, então a onça não é pintada ou o urso é pardo 10)(TRT) A negação da sentença “A Terra é chata e a Lua é um planeta.” é: a) Se a Terra é chata, então a Lua não é um planeta. b) Se a Lua não é um planeta, então a Terra não é chata. c) A Terra não é chata e a Lua não é um planeta. d) A Terra não é chata ou a Lua é um planeta. e) A Terra não é chata se a Lua não é um planeta. 11) Considere a seguinte afirmação: Todos os irmãos de André têm mais de 180 cm de altura. Dessa afirmação, pode-se concluir que (A) se Bernardo é irmão de André, então a altura de Bernardo é menor que 180 cm. (B) se a altura de Caetano é maior que 180 cm, então ele é irmão de André. (C) se a altura de Dario é menor que 180 cm, então ele não é irmão de André. (D) a altura de André é maior que 180 cm. (E) a altura de André é menor que 180 cm 12) Com relação às estruturas lógicas, julgue os seguintes itens. Se é verdade que P → Q , então é falso que P ∧ (¬ Q). ¬ (P → (¬ Q)) é logicamente equivalente à Q → (¬P). Considere a seguinte proposição. Ocorre conflito ambiental quando há confronto de interesses em torno da utilização do meio ambiente ou há confronto de interesses em torno da gestão do meio ambiente. A negativa lógica dessa proposição é: Não ocorre conflito ambiental quando não há confronto de interesses em torno da utilização do meio ambiente ou não há confronto de interesses em torno da gestão do meio ambiente. 13)(cespe-2009)É correto afirmar que a proposição simbolizada por ((¬A) ∨ B) ↔ ((¬B) → (¬A)) possui os mesmos valores lógicos que a proposição simbolizada por: a) (B → A) ∨ ¬(¬A → ¬B) . b) (A ∨ ¬B) ↔ (B → ¬A) . c) (A ∨ ¬B) ∧ (A → ¬B) . d) (B ∨ A) ∨ ¬(¬A → ¬B) e) (B → A) ∧ ¬(¬A → ¬B) . 14)(ME-2008)Julgue os itens seguintes: Considere as seguintes proposições. A: Maria não é mineira. B: Paulo é engenheiro. Nesse caso, a proposição “Maria não é mineira ou Paulo é engenheiro”, que é representada por AVB, é equivalente à proposição “Se Maria é mineira, então Paulo é engenheiro”, simbolicamente representada por ( ¬ A) → B. O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta (A Λ B) V C é igual a 6. Uma proposição composta é uma tautologia quando todos os seus valores lógicos são V, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que a compõem. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra.
[email protected] simbolizada na forma A ∧ B . então 13 será divisível por 2” é valorada como F. então. B. A negação da proposição ( ∃ x)(x + 3 = 25) pode ser expressa corretamente por ( ∀ x)(x + 3 ≠ 25). então a proposição “Nesse processo. que é a negação de A e tem valores lógicos contrários aos de A. . (TRT-1ª Região-Técnico Judiciário-Administrativo2008) Uma proposição é uma sentença que pode ser julgada como verdadeira – V -. três réus foram absolvidos. ou falsa – F -. assinale a opção correspondente à proposição composta que tem sempre valor lógico F. dois réus prestarão serviços à comunidade”. três réus foram absolvidos” e B é a proposição “Nesse processo. independentemente das valorações falsa ou verdadeira de A e C. A proposição “Se 2 for ímpar. a respeito dos conceitos básicos de lógica e tautologia. Proposições simples são simbolizadas por letras maiúsculas A. 16)Considerando todos os possíveis valores lógicos V ou F atribuídos às proposições A e B. B. então Mário não é assessor de Pedro” são equivalentes. chamadas letras proposicionais. após o preenchimento da tabela abaixo. mas não V e F simultaneamente. em que A é a proposição “Nesse processo. C etc. se e somente se dois réus prestarão serviços à comunidade” é valorada como V. três réus foram condenados. caso contrário será sempre F. em que B é falsa e D é verdadeira. a) [A ∧ (¬B)] ∧ [(¬A) ∨ B] b) (A ∨ B) ∨ [(¬A) ∧ (¬B)] 33 c) [A ∧ (¬B)] ∨ (A ∧ B) d) [A ∧ (¬B)] ∨ A e) A ∧ [(¬B) ∨ A] 17)(TRT-BA-2008) Considerando a proposição “Nesse processo. então o número de linhas da tabela-verdade da proposição (A → B) ↔ (C → D) será superior a 15. se necessário. então três réus foram absolvidos. que a tabela-verdade da proposição “Nesse processo. Se A. São proposições compostas expressões da forma A ∨ B. É correto inferir. que é lida como “A ou B” e tem valor lógico F quando A e B forem F. mas pelo menos um dos outros dois não prestará serviços à comunidade” coincide com a tabela-verdade da proposição simbolizada por ¬(A → B) . três réus foram absolvidos e os outros dois prestarão serviços à comunidade”. A proposição (¬A) → A pode ser assim traduzida: Se. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Então. C e D forem proposições simples e distintas. a proposição [AΛ(A → B)] → B é uma tautologia. julgue os itens que se seguem. a proposição A ∨ B → C ∧ D será sempre verdadeira.. Se A. julgue os itens que se seguem. ¬A . A B ¬B A→ B ¬ (A → B) A ∧ ¬ B V V V F F V F F Se as proposições A e B forem valoradas como F. 15)(TCE-RN-2009)Com relação a lógica sentencial e de primeira ordem.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. B. nesse processo. As proposições “Se Mário é assessor de Pedro. três réus foram absolvidos. C e D são proposições. Julgue os itens abaixo. então Carlos é cunhado de Mário” e “Se Carlos não é cunhado de Mário. Simbolizando por P o trecho meu cliente fosse culpado e simbolizando por Q o trecho a arma estaria no carro. então a arma do crime estaria no carro. obtém-se uma proposição implicativa. então (¬A) ∨ ¬[(¬B) ∧ C] é V. 18)A afirmação “Se os atletas se dedicarem nos treinamentos e houver investimento no esporte. Se A e B são proposições. então a proposição (∀x) (x ∈ ) (∃y) (y ∈ ) (x + y = x) é valorada como V. então o Brasil não será bem sucedido na próxima Olimpíada. E) Se o Brasil não for bem sucedido na próxima Olimpíada. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. então os atletas não se dedicaram nos treinamentos ou não houve investimento no esporte. sormany_barreto@hotmail. então o Brasil será bem sucedido na próxima Olimpíada” é logicamente equivalente a: A) Se o Brasil for bem sucedido na próxima Olimpíada. ou simplesmente Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. então o Brasil não será bem sucedido na próxima Olimpíada. D) Se os atletas não se dedicarem ao esporte ou não houver investimento no esporte. C) Se os atletas não se dedicarem ao esporte e não houver investimento no esporte. B e C são proposições em que A e C são V e B é F. Se é o conjunto dos números reais.Se A. então os atletas não se dedicaram nos treinamentos e não houve investimento no esporte 19)(CESPE)Considere a proposição: Se meu cliente fosse culpado. então os atletas se dedicaram nos treinamentos e houve investimento no esporte. então a proposição A ∨ B ↔ (¬A) ∧ (¬B) é uma tautologia. B) Se o Brasil não for bem sucedido na próxima Olimpíada.com . então a armado crime estaria no carro.9. em que A(x) representa “x é advogado” e H(x) representa “x é homem”. julgue os itens subseqüentes. acerca dessa proposição. então x>0 ou x < −1 Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Logo: a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear.3. I) ∀x .3. essa proposição é V. A proposição “Se meu cliente fosse culpado. será V se x pertencer a um conjunto de pessoas que torne a implicação V. João não passeia. 20) Se Marcos não estuda. Então essa argumentação é válida. c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear. então a armado crime estaria no carro. 2. ou meu cliente não é culpado ou a arma do crime estaria no carro. então a proposição ( ∀∈ x )( x ∈ e x > 0 )( x 2 > x ) é como F . Considere uma argumentação em que duas premissas são da forma 1. então meu cliente não é culpado. julgue os itens subseqüentes. se x. Para expressar simbolicamente a proposição “Algum advogado é homem”. e a conclusão é da forma “Nenhum C é B”. Portanto. considerando que x pertença ao conjunto de todas as pessoas do mundo. A proposição “Existe alguém que será considerado culpado ou condenado sem julgamento” é uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição acima. Uma tautologia é uma proposição que é sempre V (verdadeira).( x + 1 ) > 0 .16} 23) MPE-TO . Na tabela abaixo. e) Marcos estudar é condição necessária para João passear 21)(CESPE)Considere a seguinte proposição: “Ninguém será considerado culpado ou condenado sem julgamento. . Considere que as proposições “Todo advogado sabe lógica” e “Todo funcionário do fórum é advogado” são premissas de uma argumentação cuja conclusão é “Todo funcionário do fórum sabe lógica”. A proposição “Se meu cliente fosse culpado. que pode ser simbolizada por ( ∀x )( A( x ) → H( x )) . . é verdadeira para todos os valores de estão no conjunto tem-se x que 5 3 1 5. 2 2 2 A proposição funcional” Existem números que são divisíveis por 2 e por 3” é verdadeira para os elementos do conjunto {2. nesse caso. Todos serão considerados culpados e condenados sem julgamento” não é uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição acima. em que A e B simbolizam predicados. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear. a proposição “Todos os advogados são homens”.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Proposição todo A é B ∀x ( A( x) → B ( x)) Forma simbólica nenhum A é B ¬∃x( A( x) ∧ B( x)) A partir das informações dos textos I e II. 2 .
[email protected]. Por exemplo. A proposição “Nenhum pavão é misterioso” está corretamente simbolizada por ¬∃x(P(x) ∧ M(x)) . d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear. Essa argumentação não pode ser considerada válida. Uma proposição que tenha a forma P → Q é V sempre que P for F (falsa) e sempre que P e Q forem V. Considerando que (∀x)(A(x) e (∃x)(A(x)) são proposições. caso contrário. se a arma do crime não estava no carro. escreve-se ( ∃ x)(A(x) ∧ H(x)).” Julgue os itens que se seguem. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL uma implicação. Todo C é A. avaliar uma proposição como V ou F vai depender do conjunto onde essas variáveis assumem valores.” não é uma tautologia. A proposição ( ∀x ) ((x > 0) →(x+2) é par) é V se um número inteiro. e simbolizada por P → Q.” é uma tautologia. Com base nessas informações e na simbolização sugerida. se P(x) representa “x é um pavão” e M(x) representa “x é misterioso”. 24)(CESPE-TCE-ES) Considere as seguintes afirmativas .Texto II – para os itens de 1 a 5 Proposições também são definidas por predicados que dependem de variáveis e. será F. que é lida: Se P então Q. A proposição funcional “Para qualquer x > x” 2 valorada x. Nenhum A é B. é correto afirmar que a proposição (∀x)(A(x) → (∃x)(A(x)) é avaliada como V em qualquer conjunto em que x assuma valores. 34 22)Julgue os itens abaixo Se é o conjunto dos números racionais. Portanto. Nesse caso.10.com x é . estão simbolizadas algumas formas de proposições. podendo-se concluir que essas proposições constituem um argumento válido. 3. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL II) ∀n . se n é divisível por 2. 8. 5. 4. João é Se a2 ≥ 0. Nesse caso. Se x pertence ao conjunto {0. Considere que são V as seguintes proposições: “todos os candidatos que obtiveram nota acima de 9 na prova de Língua Portuguesa foram aprovados no concurso” e “Joaquim foi aprovado no concurso”. então 10 ≥ 102. (x + 3) < 8” é verdadeira para x pertencente ao conjunto {2. Algumas células já estão preenchidas e sabe-se que a proposição “rosas são azuis” é F. A afirmativa I é verdadeira para x pertencente ao conjunto dos números reais. Acerca dessas informações. 7. 4. em cada célula da tabela abaixo. 8. então a proposição “existe x. Palmas é a V capital do Tocantins. A negação das proposições “para cada x. Se a = 4 e b = 5. 9}. Rosas são azuis. 13)MPE – TO – Técnico Ministerial Considere que. V então a + b = 9. 8. . médico.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. 1. Pedro é V procurador de justiça. então n é par. 9}. 6. deve-se associar uma projeção da forma P∧Q. em que P é proposição correspondente à linha e Q à coluna. o preenchimento correto de todas as células vazias é F. (x + 6) < 4” é V. Então a proposição “Joaquim teve nota acima de 9 na prova de Língua Portuguesa” é também V. 10}. A proposição “para cada x. 7. julgue os itens que seguem A negação da afirmativa II pode ser escrita da seguinte forma: ∃n tal que n é divisível por 2 ou n não é par. 6. 2. (x + 2) > 7” é interpretada como V para x pertencente ao conjunto {6. (x + 4) ≠ 10” e “existe x. então X > 4. então as operações de crédito no país não aumentam” é também V. A negação da proposição “algum promotor de justiça do MPE/TO tem 30 anos ou mais” é “nem todo promotor de justiça do MPE/TO tem 30 anos ou mais”. A contrapositiva (ou recíproca da contrária) da proposição condicional dada é: a) Se Carlos é administrador. então Marcos não levantou cedo. conclui-se que a proposição “Se não há linguagem. LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. então Y > 7. então Júlia não perde a hora. então Marcos levantou cedo. então X ≥ 4. e) Se X < 4. É possível sempre garantir que (A) se Marcos não levanta cedo. 31)(FUNASA 2009 Cesgranrio) Se Marcos levanta cedo. então Y ≥ 7. então Pedro é bonito e o céu é azul b) se Pedro é bonito. então Marcos levantou cedo.com . (D) se Júlia perde a hora. Um exemplo de tautologia é: a) se Pedro é bonito. então não é administrador. 28)(CESPE/BB/08) Se o valor lógico da proposição “Se as operações de crédito no país aumentam. (B) se Marcos não levanta cedo. b) Se Carlos é pobre. então é administrador. c) Se X ≥ 4. independentemente da verdade dos termos que a compõem. sormany_barreto@hotmail. Sendo assim: a) Se Y ≤ 7. então X ≥ 4. b) Se Y > 7. d) Se Y < 7. e) Se Carlos não é administrador. (C) se Júlia perde a hora. então é pobre. então Júlia perde a hora. então é pobre ”. então não há acesso à realidade” é também V. então os bancos ganham muito dinheiro” é V. então Pedro é bonito ou o céu é azul c) se Pedro é bonito ou o céu é azul. d) Se Carlos é pobre. então Júlia não perde a hora. (E) se Júlia não perde a hora. então o céu é azul d) se Pedro é bonito ou o céu é azul. não há acesso à realidade”. 35 25)(TÉCNICO FAZENDÁRIO -2009 -ESAF) X e Y são números tais que: Se X ≤ 4. então Y < 7. então é correto concluir que o valor lógico da proposição “Se os bancos não ganham muito dinheiro. 29)(CESPE)Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira. então não é administrador. 27) (CESPE/BB/08) Considerando-se como V a proposição “Sem linguagem. c) Se Carlos não é pobre. então Pedro é bonito e o céu é azul 30)Seja a proposição condicional: “ Se Carlos é administrador. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. então é rico. 26)(CESPE/BB/2008) A frase “Quanto subiu o percentual de mulheres assalariadas nos últimos 10 anos?” não pode ser considerada uma proposição. Para concluir.com de uma .
[email protected]á as premissas e a conclusão Exemplos: 1)Um homem casado é infeliz. Logo um homem casado morre cedo.. pn P1 : Todos os apaixonados gostam de flores. e conclusão: Nenhum médico é vagabundo. SILOGISMO nossa finalidade é observar a relação entre as premissas Denomina-se e a conclusão. Por exemplo. a conclusão é falsa ou não provém das proposições iniciais 36 O argumento está inserido no nosso cotidiano. Um homem infeliz morre cedo. Nem sempre uma argumentação é “boa”. 2)Nenhum homem rico é vagabundo.. No lugar dos termos premissa e conclusão podem ser usados os componentes hipótese e tese. um bom vendedor tem que saber argumentar. mas 6. p3 .. argumento SILOGISMO constituído de a um duas tipo especial premissas e conclusão. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. Todos os médicos são ricos.0.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. nenhum médico é vagabundo. Q : Nane é uma apaixonada são Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. e conclusão: Um homem casado morre cedo.2. conclusão do argumento. por isso no início pode ocorrer um pouco de espanto. pn ⇒ C Nota: Argumento é um encadeamento lógico de premissas que implicam uma conclusão. p3 .1. p2 .. 6. o bom político tem que saber argumentar. Em um argumento as proposições p1 . por isso devemos dar atenção maior a esse tópico. É um argumento de premissas: Nenhum homem rico é vagabundo e Todos os médicos são ricos.. 6. uma boa cantada tem um pouco de argumentação! O argumento lógico é classificado em válido e não válido(sofisma ou falácia). Nosso estudo sobre argumento é do ponto de vista lógico. pn tem como conseqüência ou acarreta uma C. p2 . Na análise da validade de um argumento um conhecimento útil é o da Teoria dos Conjuntos. respectivamente Forma Simbólica: p1 . isto é. apesar da aparência de um encadeamento lógico. Mais precisamente. P2 : Nane gosta de flores. É um argumento de premissas: Um homem casado é infeliz e Um homem infeliz morre cedo. da validade ou não de um argumento. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Um dos objetivos principais da Lógica é o estudo chamadas premissas e a proposição C ou q é chamada Dos argumentos... Portanto. NOTA: Um argumento também pode-se apresentar na seguinte forma: Premissa 1 Premissa 2 Premissa n ---------------Conclusão são classificadas como verdadeiras ou falsas.. ARGUMENTO Argumentar é estabelecer uma relação entre proposições dadas e uma conclusão. especialmente os diagramas de Venn... . DEFINIÇÃO Exemplo(1): Chamamos de argumento toda afirmação de que uma seqüência finita de proposições (n ≥ 1) proposição p1 . p2 . 2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Exemplo(2): Se penso, existo. Penso. -----------------------Logo, existo. 6.3. ARGUMENTO VÁLIDO Dizemos que um argumento é válido ou ainda que ele é legítimo ou bem construído quando a sua conclusão é uma conseqüência obrigatória do seu conjunto de premissas. Posto de outra forma: quando um argumento é válido, a Premissa 2:Nenhum peixe é animal. verdade das premissas deve garantir a verdade da conclusão do argumento. Isto significa que jamais poderemos chegar a uma conclusão falsa quando as premissas forem verdadeiras e o argumento for válido. É importante observar que ao discutir a validade de um argumento é irrelevante o valor de verdade de cada uma de suas premissas. Em lógica, o estudo dos argumentos não leva em conta a verdade ou a falsidade das proposições que compõem os argumentos, mas tãosomente a validade destes. Exemplos de Argumentos válidos: Exemplo 1: 37 Premissa 1: Todos os homens são peixes. Premissa 2:Nenhum peixe é animal. Conclusão: Nenhum homem é animal. Observe que as premissas são absurdas, porém, não importa o seu conteúdo e sim a conseqüência lógica delas. Para melhor entendimento da validade desse argumento, vamos utilizar Diagramas Lógicos: Premissa 1: Todos os homens são peixes. Conclusão: não é possível um homem pertencer ao conjunto dos animais. Logo, o argumento é Válido!!! Exemplo 2: Se um homem é careca, ele é infeliz. Se um homem é infeliz, ele morre jovem ---------------------------------------------------------Logo, os carecas morrem jovens. As premissas e a conclusão deste argumento envolvem três categorias de homens: os que são carecas, os que são infelizes e os que morrem cedo. Argumentos deste tipo são chamados argumentos categóricos. Em linguagem da teoria dos conjuntos a primeira premissa afirma que o conjunto dos carecas está contido no conjunto dos infelizes e que este último está contido no conjunto dos que morrem cedo. Usando diagramas (diagramas de Venn) para representar esta situação teremos a figura ao lado: Portanto, analisando o diagrama abaixo concluímos que o argumento é válido. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra.
[email protected] 2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Premissa 2: Sormany não é criança. 6.4. REGRAS QUE UM SILOGISMO DEVE SEGUIR PARA SER VÁLIDO ∗ A conclusão deve, necessariamente, estar respeitando a relação existente entre as premissas ∗ O termo médio, aquele que relaciona as duas premissas, jamais, nunca, em hipótese alguma, pode estar na conclusão ∗ A conclusão não pode ser mais abrangente do que as premissas, ∗ A conclusão segue sempre a parte mais fraca: se uma das premissas é particular, a conclusão tem que ser particular; se uma das premissas é negativa, a conclusão tem que ser negativa 6.5. ARGUMENTO INVÁLIDO (SOFISMA) 38 Dizemos que um argumento denominado ilegítimo, mal é inválido, também construído ou falacioso, Como Sormany não é criança, ele pode ou não gosta de chocolate Conclusão: Sormany não gosta de chocolate. Logo, o argumento é Inválido!!! Exemplo 2: quando a verdade das premissas não é suficiente para Analisemos o argumento: garantir a verdade da conclusão. Alguns estudantes são preguiçosos. Todos os homens são preguiçosos. -------------------------------------------------Portanto, alguns estudantes são homens Exemplos de Argumentos inválidos: Exemplo 1: Premissa 1: Todas as crianças gostam de chocolate. Premissa 2: Sormany não é criança. Conclusão: Sormany não gosta de chocolate. Vamos usar os diagramas: Premissa 1: Todas as crianças gostam de chocolate. O argumento dado não é válido, pois não podemos concluir a proposição alguns estudantes são homens, a partir das premissas. Vejamos isto usando diagramas de Venn. Em linguagem da teoria dos conjuntos, a proposição: alguns estudantes são preguiçosos afirma que existe interseção (não vazia) entre o conjunto dos estudantes e o conjunto das pessoas preguiçosas. A proposição: todos os homens são preguiçosos afirma que o conjunto dos homens está contido no conjunto das pessoas preguiçosas. Assim, dois dos diagramas possíveis são: Diagrama 1 Diagrama2 Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra.
[email protected] 2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL ATENÇÃO: Devemos atentar para um tipo de enunciado típico das argumentações lógicas. Sempre há um encadeamento de idéias, com uma conclusão que costuma vir após palavras de comando do tipo: logo, segue que, então, acarreta que, ora, etc. Logo, de acordo com o diagrama 2, a conclusão alguns estudantes são homens não é verdadeira e, portanto, o argumento não é válido, embora o diagrama 1 induza à validade do argumento. OBSERVAÇÃO IMPORTANTE!!! Proposições são verdadeiras ou falsas. Argumentos são válidos ou inválidos. A validade de um argumento depende da conexão das premissas com a conclusão, não do valor lógico das premissas que formam o argumento. Podemos ter: Argumentos válidos com: 39 Pr emissas verdadeiras e conclusão verdadeira. Pr emissas falsas e conclusão verdadeira. Pr emissas falsas e conclusão falsa. Argumentos inválidos com: Pr emissas verdadeiras e conclusão verdadeira. Pr emissas verdadeiras e conclusão falsa. Pr emissas falsas e conclusão verdadeira. Pr emissas falsas e conclusão falsa. Não podemos ter argumentos válidos com premissas verdadeiras e conclusão falsa. Então, como determinar a validade de um argumento? Admita que as premissas sejam verdadeiras, mesmo que não sejam. Há a possibilidade de, considerando-se as premissas verdadeiras, a conclusão ser falsa? Se isso puder acontecer(premissas verdadeiras e conclusão falsa), então o argumento será inválido, um sofisma , uma falácia.Se não, o argumento será válido. Argumentos válidos com premissas verdadeiras e conclusão verdadeira são chamados cogentes. IMPLICAÇÕES LÓGICAS Implicação Lógica trata de um conjunto de afirmações, proposições simples ou compostas, cujo encadeamento lógico resultará em uma conclusão, a ser descoberta. Esta conclusão será, normalmente, a resposta requisitada na questão da prova. Ressalta-se que, para ser considerada a resposta correta, tal conclusão deverá ser necessariamente verdadeira, para aquele conjunto de afirmações. COMO RESOLVER QUESTÕES DESSE TIPO? Uma situação que nos deparamos é quando nos é dado um argumento para que se ache a(s) conclusão(ões). Sempre nos basearemos em que, num argumento válido, o que garante conclusão verdadeira são as premissas todas verdadeiras. O procedimento, então, é fazer todas as premissas verdadeiras. Procuremos uma premissa formada por uma proposição simples; esta deve ser verdadeira como ponto de partida. Se não houver premissa com proposição simples, procuremos uma premissa com uma conjunção “e”, pois para ela ser verdadeira, obrigatoriamente as duas proposições que a compõem terão que ser verdadeiras. Caso não haja nem proposição simples nem uma conjunção como premissas, escolhe-se uma proposição qualquer, atribui-se um valor lógico verdadeiro ou falso e opera-se no argumento. Se conseguirmos fazer todas as premissas verdadeiras, encontraremos a conclusão. Se não conseguirmos fazer todas as premissas verdadeiras, é porque o valor lógico atribuído à primeira proposição está errado e basta, então, trocar esse valor e operar todo argumento de novo. EXERCÍCIO DO CONCURSEIRO NÍVEL 1 1)(ABIN-NÍVEL SUPERIOR-2010) Um entrevistador obteve de um suspeito a seguinte declaração: “Ora, se eu fosse um espião, então eu não amaria o meu país, pois eu amo o meu país, ou sou um traidor da pátria, já que não é possível acontecer as duas coisas ao mesmo tempo. Agora, se eu não fosse um traidor da pátria, então eu amaria o meu país. Logo, eu não sou um Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra.
[email protected] João e Gerson. C. Conclusão: “Existem advogados que são engenheiros”. “Existem juízes que são advogados”. no diagrama acima. E) Sport. B) Santa Cruz. B. todos precisam ser fiscalizados. A sentença “Falhas administrativas e maior tempo no poder andam de mãos dadas” é uma premissa desse argumento. 2)(TRT-21° REGIÃO-2010-NÍVEL SUPERIOR) O sustentáculo da democracia é que todos têm o direito de votar e de apresentar a sua candidatura. “Existem funcionários públicos concursados que são engenheiros”. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. C) Santa Cruz. Sport e Náutico. assinale a opção correspondente à argumentação cuja validade é determinada pelo diagrama acima.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Náutico e Sport. 5)(PETROBRAS-CESPE) Julgue os itens a seguir. “Todos os engenheiros são funcionários públicos concursados”. sormany_barreto@hotmail. E a alternância no poder é imprescindível. julgue os itens subsequentes. Náutico e Santa Cruz. Os times de Felipe. 3)(TRE-MT/CESPE/2010) 40 A validade de uma argumentação pode ser decidida por meio de um diagrama formado por conjuntos correspondentes aos elementos que possuem determinada propriedade. “Existem advogados que são juízes”. Conclusão: “Existem advogados que são engenheiros”. Mas.com . “Todos os advogados são juízes”. 3) Felipe torce pelo Náutico ou João torce pelo Sport. E) Premissas: “Todos os juízes são funcionários públicos concursados”. o conjunto de todos os funcionários públicos concursados. “Existem advogados que são juízes”. Essa propriedade é expressa nas proposições que compõem a argumentação. o outro pelo Náutico e o terceiro pelo Sport. “Todos os funcionários públicos concursados são engenheiros”. Com base nessas informações. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. O argumento do suspeito é um argumento válido. A seja o conjunto de todos os juízes. Santa Cruz e Sport. Considere que. o conjunto de todos os advogados. C )Premissas: “Todos os funcionários públicos concursados são juízes”.” Considerando a lógica sentencial apresentada. Um deles torce pelo Santa Cruz. “Todos os funcionários públicos concursados são engenheiros”. A)Premissas: “Existem juízes que são funcionários públicos concursados”. Esse é um argumento válido. Santa Cruz e Náutico. “Todos os juízes são advogados”. A afirmação “E a alternância no poder é imprescindível” é uma premissa desse argumento. mas não ocorrem as duas opções simultaneamente. Conclusão: “Existem engenheiros que são advogados”. respectivamente: A) Sport. enganoso é o coração do homem. D) Premissas: “Todos os juízes são funcionários públicos concursados”. 2) Felipe torce pelo Santa Cruz ou Gerson torce pelo Santa Cruz. Sabe-se que: 1) João torce pelo Náutico ou Gerson torce pelo Náutico. o conjunto de todos os engenheiros. D) Náutico. “Existem funcionários públicos concursados que são engenheiros”. A negação da conclusão do argumento utilizado pelo suspeito é equivalente à seguinte proposição: “eu sou um espião ou não amo o meu país”. Conclusão: “Todos os advogados são engenheiros”. Por isso. João e Gerson são. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL espião e amo o meu país. D. 4) Gerson torce pelo Sport ou João torce pelo Sport. Conclusão: “Existem advogados que são engenheiros”. julgue os itens subsequentes. Considerando o argumento citado. 4)(Delegado Pol Civil-PE 2006 IPAD) Cleyton têm três filhos: Felipe. B) Premissas: “Existem juízes que são funcionários públicos concursados”. Falhas administrativas e maior tempo no poder andam de mãos dadas. ¬ ( P ∧ Q ) ∧ ( ¬R ∧ S ) exatamente 8 possíveis valorações V ou F . III) José não é inocente. D) Se Josué não mudou de emprego. que: I) se Lucas é inocente. . Nesse caso. também será valorada como V a seguinte proposição: “Algum flamenguista não é botafoguense”. só comparece em casamentos quando é convidado. se Rivaldo for convidado para o casamento de Nivaldo. Uma proposição da forma 41 tem 6)(SAD-PE/CESPE-2010) Um argumento válido é uma sequência finita de proposições em que algumas são chamadas premissas e assumidas como verdadeiras. 10)(FUNASA 2009 Cesgranrio) Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. A PETROBRAS patrocinar o Comitê Olímpico Brasileiro (COB) é condição suficiente para que o COB promova maior número de eventos esportivos.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. mas não os dois. Conclusão: 3. considere verdadeiras as proposições abaixo. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL A proposição “O piloto vencerá a corrida somente se o carro estiver bem preparado” pode ser corretamente lida como “O carro estar bem preparado é condição necessária para que o piloto vença a corrida”. seu irmão Osvaldo será convidado. Se Rivaldo compareceu ao casamento de Nivaldo.Se Nivaldo casar. 9)(TERMORIO 2009 Cesgranrio) Rivaldo é primo dos irmãos Nivaldo e Osvaldo. concluise que (A) Osvaldo não foi ao casamento de seu irmão. em que A e B são as premissas e C é a conclusão. A PETROBRAS patrocina o COB. (C) somente José é culpado. Simbolizando-se adequadamente. B: “Nenhum número par é primo”. B) Josué não foi aprovado no concurso e mudou de cidade. (E) Rivaldo foi ao casamento. . 8)(Petrobras 2008 Cesgranrio) Existem três suspeitos de invadir uma rede de computadores: Lucas. (B) somente Mariana é culpada. Uma proposição da forma ( ¬B → ¬A ) → ( A → B ) é F exatamente para uma das possíveis valorações V ou F. Sabe-se que a invasão foi efetivamente cometida por um ou por mais de um deles. e as demais são conclusões que se garantem verdadeiras em consequência da veracidade das premissas e de conclusões previamente estabelecidas. Por isso. Com base nestas considerações. C: “Nenhum número inteiro é primo”. então Josué não mudou de cidade. por não ter sido convidado. E) Se Josué não mudou de emprego. de A e de B . sormany_barreto@hotmail. mesmo não tendo sido convidado.Osvaldo não fala com Rivaldo. por isso.Rivaldo é orgulhoso e. Considere que as proposições “Alguns flamenguistas são vascaínos” e “Nenhum botafoguense é vascaíno” sejam valoradas como V. Considere o argumento formado pelas proposições A: “Todo número inteiro é par”. Mariana e José. Sabe-se. O COB promove maior número de eventos esportivos. Nesse caso. então Josué mudou de emprego” seja uma premissa de um argumento. mesmo não tendo sido convidado. é correto afirmar que o argumento é um argumento válido. (E) são culpados Lucas e José. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra.com . já que podem ter agido individualmente ou não. Suponha que a proposição “Se Josué foi aprovado no concurso e mudou de cidade. (C) Osvaldo não foi ao casamento de Nivaldo. (D) Osvaldo foi ao casamento de Nivaldo. Se a proposição “Josué não mudou de emprego” for outra premissa desse argumento. conclui-se que (A) somente Lucas é inocente. 7) (IPEA-CESPE-2008) Julgue os itens seguintes. (B) Osvaldo foi ao casamento. C) Josué não foi aprovado no concurso ou não mudou de cidade. . uma conclusão que garante sua validade é expressa pela proposição A) Josué foi aprovado no concurso e não mudou de cidade. 2. Premissas: 1. Osvaldo não irá. é correto concluir que a seqüência formada pelas três proposições abaixo constitui um argumento válido. então Mariana é culpada. ainda. (D) são culpados Mariana e José. mas não falou com Rivaldo. Sobre eles. então Josué não foi aprovado no concurso. mesmo tendo sido convidado. a respeito de lógica. II) ou José é culpado ou Mariana é culpada. Na sua forma padronizada. então Antônio levantou cedo. Conclusão: a + b é par. somente. (E) Premissa 1: Nenhum mamífero é peixe. julgue o item abaixo. então Laura não trabalha. e pela Os diagramas lógicos. então Antônio levantou cedo. que: (A) nenhum carioca é fumante. Premissa 2: b é divisor de 9. a conclusão é conseqüência necessária das premissas. também denominados diagramas de Euler-Venn. (C) Laura trabalha. outra proposição B. São silogismos: (A) I. Em um silogismo. 14)(UnB-Cespe-Serpro-2010) Uma afirmação formada por um número finito de proposições A1. (D) I e III. A 3 = A1 → A 2 . Premissa 2: Todo brasileiro é desportista. (E) alguns fumantes são cariocas. (II) Premissa 1: p é múltiplo de 4. Premissa 2: Nenhum homem é imortal.. 13)(INEP 2008 Cesgranrio) O silogismo é uma forma de raciocínio dedutivo. somente. Conclusão: José é brasileiro. 11)(Prominp 2009 Cesgranrio) O silogismo é uma forma de raciocínio dedutivo. (B) Premissa 1: Todo brasileiro gosta de futebol. A2. Em um silogismo. é constituído por três proposições: as duas primeiras denominam-se premissas e a terceira. (C) alguns cariocas não são fumantes. em certo dia. Conclusão: q é divisor de p. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Se Antônio levanta cedo. A 2 . Na são as premissas. é constituído por três proposições: as duas primeiras denominam-se premissas e a terceira. então Alice não perdeu a hora. (C) Premissa 1: João é mortal. A2.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. . As premissas são juízos que precedem a conclusão. somente. II e III.com As . Na sua forma padronizada.. Conclusão: x. então Alice perdeu a hora. Conclusão: Algum animal que nada não é peixe. O argumento formado pelas premissas A1 . então Alice não perde a hora.y é múltiplo de 6. Premissa 2: José gosta de futebol. Corresponde a um silogismo: Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. São dados três conjuntos formados por duas premissas verdadeiras e uma conclusão não necessariamente verdadeira. (D) Premissa 1: Todo peixe nada. corretamente. São três os diagramas básicos. (E) I. são utilizados como auxiliares na solução de problemas envolvendo conjuntos. a conclusão é conseqüência necessária das premissas. Premissa 2: Alguns mamíferos nadam. Tendo como base essas informações. em um argumento. se. conclusão.. então o argumento é denominado argumento válido. 42 (A) Premissa 1: Todo brasileiro gosta de futebol. Se Alice perde a hora. Premissa 2: q é divisor de 6.Todos os cariocas tomam café.. (B) II.Alguns fumantes não tomam café. (C) III. Premissa 2: Alguns mamíferos nadam. Conclusão: Alguns mamíferos são peixes. Premissa 2: y é múltiplo de 3. 12)(Prominp 2007 Cesgranrio) Admita serem verdadeiros os seguintes fatos: .. Conclusão: Todo desportista gosta de futebol. (D) alguns fumantes não são cariocas. As premissas são juízos que precedem a conclusão. (B) Laura não trabalha. sormany_barreto@hotmail. então Laura trabalha. e B é a conclusão. An é An que tem como conseqüência denominada argumento. (I) Premissa 1: x é múltiplo de 2. (A) Laura trabalha. A 4 = A 2 → A1 conclusão B = A 3 ∧ A 4 é válido. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. (D) Alice não perdeu a hora.. proposições A1. conclusão.. (III) Premissa 1: a é número ímpar. Se. (E) Alice não perdeu a hora. Conclusão: João é homem. somente. Pode-se concluir. (B) nenhum fumante é carioca.. a conclusão for verdadeira sempre que todas as premissas forem verdadeiras. Portanto. tautologias EXERCÍCIO DO CONCURSEIRO NÍVEL 2 1)(PF-2009-Escrivão) Julgue os seguintes itens. As proposições “Não precisa mais capturar nem digitar o código de barras” e “Não precisa mais capturar ou digitar o código de barras são equivalentes. Paulo não foi ao cinema e não choveu. Considere os conjuntos políticos. então ele tem porte de arma. B e C a seguir. analfabetos e juízes pode ser representada pelo seguinte diagrama. Se Fred mora em São Paulo. Paulo foi ao cinema e choveu. Nesse caso. é correto inferir que a proposição “Fred não mora em São Paulo” é uma conclusão verdadeira com base nessa seqüência. Paulo não foi ao cinema e choveu. A) não fez frio. Se Fred é policial. o diagrama seguinte pode ser usado para descrever a relação entre esses conjuntos. Paulo não foi ao cinema e choveu. Nesse caso. A: Se Jane é policial federal ou procuradora de justiça. B: Jane foi aprovada em concurso público. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. é correto afirmar que há apenas uma possibilidade de essa proposição ser verdadeira. Se Carlos não estudou. julgue os itens a seguir. Carlos não jogou futebol. • Se não faz frio ou Paulo vai ao cinema. D) fez frio. então Márcia vai ao cinema. A seqüência de proposições a seguir constitui uma dedução correta.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Se Fred é engenheiro. então ele não estudou. 43 No Brasil. nessa noite. em que A é a proposição “Não precisa mais capturar o código de barras” e B é a proposição “Não precisa mais digitar o código de barras”. Fred mora em São Paulo ou ele é engenheiro. julgue os itens seguintes. Com base nessas informações. C) fez frio. então ele faz cálculos estruturais. Considere que as proposições da seqüência a seguir sejam verdadeiras. dos advogados e dos católicos. então ele comprará uma bicicleta”. é correto afirmar que. Márcia não foi ao cinema. 2)(CESPE – Unb / Analista de Controle Externo / TCE – AC / 2009) Considere que as seguintes afirmações sejam verdadeiras: • Se é noite e não chove. B) fez frio. ambas. Fred não tem porte de arma. 15)(UnB-Cespe-Serpro-2010) Tendo como referência as informações apresentadas. As proposições A ∧ B → A ∨ B e A ∨ B → A ∧ B são. então Jane foi aprovada em concurso público. 3)(TRT-ES-2009)Considere que cada uma das Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. A proposição “Não precisa mais capturar nem digitar o código de barras” pode ser simbolicamente. é correto afirmar que há apenas uma possibilidade de essa proposição ser julgada com V. C: Jane é policial federal ou procuradora de justiça. então ele fracassou na prova de Física. então C também será V. em determinada noite. Considere as proposições A. então ele é policial. sormany_barreto@hotmail. Nesse caso. Carlos não fracassou na prova de Física. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Considerando todas as possibilidades de julgamento V ou F das proposições simples que formam a proposição “O SERPRO processará as folhas de pagamento se e somente se seus servidores estiverem treinados para isso”. então Paulo vai ao cinema. E) não fez frio. Considerando que. Paulo foi ao cinema e não choveu. Se Carlos jogou futebol.com . se A e B forem V. escrita como A ∧ B. Considerando todas as possibilidades de julgamento V ou F das proposições simples que formam a proposição “Se Pedro for aprovado no concurso. a relação entre eleitores. então os processos estavam sobre a mesa. II Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Carla não pagou o condomínio. então ele usará o cartão de crédito. os quais distribuem água entre os moradores dessas localidades. então o juiz estava lendo os processos na sala de audiências” não é uma conclusão verdadeira. então ele estava lendo os processos na sala de audiências” é uma conclusão verdadeira. “Tânia não estava no escritório” tem. Considerando que essas proposições sejam verdadeiras. valor lógico V. julgue os itens subsequentes.com . *Se Carlos viajar. A proposição “se Carlos viajar. A proposição “se Carlos fizer um empréstimo no banco. sormany_barreto@hotmail. III Se o juiz estava lendo os processos em seu escritório . então ele não comprará um carro novo. que têm o direito de receber água antes das famílias que não são preferenciais. pessoas com deficiência. Embora todos os moradores tenham direito a água. então ele comprará um carro novo” é verdadeira. Uma dedução é denominada válida quando tanto as premissas quanto as conclusões são verdadeiras. com quem formou a família Souza. é correto afirmar que a proposição “Se o juiz não estava lendo os processos em seu escritório. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. a tia Marta. a mãe Maria. regiões que ficaram sem acesso a água potável recebam periodicamente a visita de caminhões-pipa. Nessa situação.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. A proposição “se Carlos não usar o cartão de crédito. II O juiz estava lendo os processos em seu escritório ou ele estava lendo os processos na sala de audiências. Considerando o contexto apresentado. então ele comprará uma moto” é verdadeira. no dia do casamento de Joana. imediatamente após esses acontecimentos. são consideradas preferenciais as famílias que tenham idosos. tenha sofrido a seguinte evolução: Joana se casou com Carlos. são apresentadas proposições relativas a um cliente de uma instituição financeira. então ele não viajará. A partir dessas proposições. então ele não comprará uma moto nem usará o cartão de crédito” é falsa. 6)(EMBASA-2010)Suponha que. a filha Joana e o filho Antônio. então os processos estavam sobre a bandeja. a família Ferreira deixou de ser preferencial. obrigatoriamente. "Considere que a família Ferreira. que é preferencial e não tem membros com deficiência. então ele não fará um empréstimo na instituição financeira” é verdadeira. “Os processos não estavam sobre bandeja” é uma conclusão verdadeira. “Se os processos não estavam sobre a mesa. um acidente de carro vitimou fatalmente Marta e Antônio. então o juiz os analisou. “Se o juiz analisou os processos. é correto afirmar que Joana casou-se grávida e que pelo menos um dos membros da composição original da família Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. I Tânia estava no escritório ou Jorge foi ao centro da cidade. IV O juiz não analisou os processos. então ele comprará um carro novo. julgue os seguintes itens. A negação da afirmação Todas as famílias da rua B são preferenciais é Nenhuma família da rua B é preferencial. é correto afirmar que a proposição: “Carla pagou o condomínio” tem valor lógico F. 5)(BRB-2010) A seguir. então ele não esteve no escritório” é uma conclusão verdadeira. A proposição “se Carlos comprar um carro novo. devido a um desastre natural. Suponha que as seguintes premissas sejam verdadeiras. * Se Carlos comprar uma moto ou usar o cartão de crédito. III Jorge não foi ao centro da cidade. 44 V Se o juiz estava lendo os processos na sala de audiências. I Se os processos estavam sobre a bandeja. * Se Carlos fizer um empréstimo na instituição financeira. *Se Carlos não viajar. 4)(TRT-ES-2009) Uma dedução é uma seqüência de proposições em que algumas são premissas e as demais são conclusões. “Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Jorge foi ao centro da cidade” tem valor lógico V. originalmente preferencial e composta pelo pai José. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL proposições seguintes tenha valor lógico V. crianças em fase de amamentação e gestantes. A partir do texto e das informações e premissas acima. c) A FINEP visa ao aumento das exportações. 7)(EMBASA-2010) Julgue o item seguinte: Considerando que as proposições “As pessoas que. D) Alberto usa o Linux. < se Cícero usa o Linux. no banho. … pn . fecham a torneira ao se ensaboar são ambientalmente educadas” e “Existem crianças ambientalmente educadas” sejam V. Cícero. D) ¬P. A esse respeito. Se a FINEP financia a realização de pesquisas. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Ferreira era ou é uma pessoa com deficiência. então ela joga voleibol” e “Margarida não é alta”. e)A FINEP não financia a realização de pesquisas nem contribui para ampliação do conhecimento. Douglas e Ernesto para uma prospecção a respeito do uso de sistemas operacionais. Bruno. existem mamíferos que são dinossauros” é um raciocínio correto. ele chega atrasado ao seu trabalho. se a conclusão for a proposição “Margarida não joga voleibol”. < se Douglas não usa o Windows. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. i Se Paulo dorme tarde. i Se Paulo faz o jantar. existem mamíferos que são animais extintos. B) Douglas não usa o Linux. é correto concluir que A) Cícero não usa o Linux. i Se Paulo não acorda cedo.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. se a conclusão é uma consequência verdadeira das proposições que são colocadas como premissas. E) Bruno usa o Linux. Considerando como premissas as proposições “Nenhum universitário é analista judiciário” e “Todo analista judiciário faz curso de informática”. ele vai dormir tarde. “Existem pessoas tímidas que são caprichosas”. b) A FINEP não financia a realização de pesquisas. a proposição simbolizada por [P ∨ (¬Q)] → R é uma das premissas verdadeiras e Q é uma conclusão. tem-se uma dedução que expressa um raciocínio correto. p2 .A FINEP não contribui para ampliação do conhecimento ou a FINEP visa ao aumento das exportações. 8)(FINEP-2009)Considere que todas as proposições da sequência a seguir sejam premissas verdadeiras. considere o seguinte argumento. é suficiente considerar como a outra premissa a proposição A) P ∧ (¬Q).com . i Ou Paulo fica em casa. 45 9)(FINEP-2009)Considere que em determinada dedução. 10)(TER-PR-2009-Analista) Na lógica de primeira ordem. então Alberto usa o Windows. n ≥ 1 - de proposições tem como conseqüência uma proposição final q . então a FINEP contribui para ampliação do conhecimento. Nesse caso. para que a dedução seja uma dedução correta. C) Ernesto usa o Linux. então faz o jantar. então a proposição “Existem crianças que. que possui duas premissas. após reunir-se com os técnicos judiciários Alberto. e como conclusão a proposição “Nenhum universitário faz curso de informática”. fecham a torneira ao se ensaboar” também será V. então Bruno usa o Linux. Considere que a sequência de proposições a seguir constituam três premissas e a conclusão. “Existem pessoas tímidas que são mulheres”. II. então o raciocínio formado por essas proposições é correto. Nesse caso. Com base nessas conclusões e sabendo que Ernesto usa o Windows. então o raciocínio será correto 11)(TRE-MA-2009)Gilberto. como definida no texto. d) A FINEP não contribui para ampliação do conhecimento. A FINEP financia a realização de pesquisas. gerente de sistemas do TRE de determinada região. concluiu que: < se Alberto usa o Windows. As deduções da lógica proposicional ou da lógica de primeira ordem têm uma estrutura cuja análise permite decidir se o raciocínio expresso está correto ou não. “Todas as pessoas vaidosas são caprichosas”. alguns. os objetos de um domínio são quantificados por todos. Sabendo-se que Paulo não chegou atrasado ao seu Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. julgue os itens de 1 a 4. i Se Paulo fica em casa. sempre consideradas verdadeiras. então Ernesto também não o faz. portanto. C) (¬P) ∧ R. I. ele não acorda cedo. ou ele vai ao cinema. A dedução expressa por “Todos os dinossauros são animais extintos. no banho. B) P ∨ (¬Q). E) ¬R. 12)(TRE-MG-2009) Um argumento é uma afirmação na qual uma dada seqüência finita - p1 . Com base nas informações do texto acima. Considerando como premissas as proposições “Se Margarida é alta. a) A FINEP não visa ao aumento das exportações. < se Douglas usa o Windows. nessa ordem: “Todas as mulheres são pessoas vaidosas”. isto é. sormany_barreto@hotmail. Assinale a opção correspondente à proposição que é uma conclusão verdadeira em conseqüência dessas premissas. então Cícero usa o Linux. III. nenhum etc. mas é ministro. I Existe uma mulher desembargadora ou existe uma mulher juíza. forma um argumento correto. (A) Roberto não é brasileiro nem tem plena liberdade de associação. Supondo que todas essas proposições sejam verdadeiras. então .Joaquim é bacharel em direito. Com base nas definições apresentadas no texto acima. III – Todos aqueles que têm direito de herança são cidadãos de muita sorte. é correto afirmar que. de acordo com as regras de raciocínio lógico. III Nenhum morador da cidade Alpha preserva limpas suas praias. 16)(SEBRAE-2008)Considere as seguintes proposições: I – Todos os cidadãos brasileiros têm garantido o direito de herança. II – Joaquina não tem garantido o direito de herança. por conseqüência da veracidade das proposições acima. então Roberto tem plena liberdade de associação. E) Adriano impõe penas disciplinares na forma da lei. II Catarina é banhista de Vila Velha. então Adriano é o vicepresidente do tribunal de contas. B) Se César é o presidente do tribunal de contas. é também V a proposição A) Não existe uma mulher juíza. e)Joaquim é bacharel em direito 18) Considere que todas as proposições listadas abaixo são V. II Se existe uma mulher juíza então existe uma mulher que estabelece punições ou existe uma mulher que revoga prisões. (B) Se Roberto é brasileiro. i Se Adriano é o vice-presidente do tribunal de contas. 13)(TCE-AC-2008)Considere que as seguintes proposições são premissas de um argumento: i César é o presidente do tribunal de contas e Tito é um conselheiro. b)Joaquim não é desembargador. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL trabalho. conclui-se que também é V a proposição: a)Joaquim não é desembargador. então Joaquina não é de muita sorte. então Roberto é brasileiro. é correto deduzir-se que Paulo: a)ficou em casa b)foi ao cinema. c) fez o jantar.com . Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. Assinale a opção que correspondente à proposição que é verdadeira por conseqüência da veracidade dessas premissas. c)Se Joaquim é bacharel em direito então Joaquim é desembargador. Nessa situação. então Carlos interpretou corretamente a legislação. assinale a opção em que a proposição apresentada. (C) Se Carlos não interpretou corretamente a legislação. 15)Considere-se as seguintes proposições. sormany_barreto@hotmail. 17)(TRT-RJ) Considere que são V as seguintes proposições: ―Se Joaquim é desembargador ou Joaquim é ministro. d)Se Joaquim não é desembargador nem ministro. C) Existe uma mulher que estabelece punições mas não Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. d)dormiu tarde. I Todos os banhistas de Vila Velha preservam limpas suas praias. D) Tito não é o corregedor.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. ―Joaquim é ministro. então a proposição “Catarina não é moradora da cidade Alpha” será necessariamente verdadeira. A) Adriano não é o vice-presidente do tribunal de contas. * Roberto não tem plena liberdade de associação ou Magnólia foi obrigada a associar-se. é correto concluir logicamente que: Joaquina não é cidadã brasileira. (E) Se Magnólia foi obrigada a associar-se. C) Se Tito é corregedor. então Adriano não é o corregedor. B) Existe uma mulher juíza mas não existe uma mulher que estabelece punições. junto com essas premissas. (D) Carlos interpretou corretamente a legislação ou Magnólia foi obrigada a associar-se. * Se Carlos não interpretou corretamente a legislação. i César não é o presidente do tribunal de contas ou Adriano impõe penas disciplinares na forma da lei. então Tito não é o corregedor. Nessa situação. Todos os que têm direito de herança são cidadãos brasileiros. Se Joaquina não é cidadã brasileira. então Roberto não tem plena liberdade de associação. IV Não existe uma mulher que revoga prisões. Se as proposições apresentadas forem verdadeiras. e) não acordou cedo. 46 14)Considere que as proposições abaixo sejam premissas de determinado argumento: * Se Roberto é brasileiro. então Joaquim não é bacharel em direito. então Magnólia não foi obrigada a associar-se. III Não existe uma mulher que estabelece punições. II Há gestão dos sistemas de dessalinização. sormany_barreto@hotmail. ao se considerar como conclusão a proposição “A Secretaria de Recursos Hídricos e Ambiente Urbano do MMA coordena o Programa Água Doce”. Considerando como V as proposições "Os países de economias emergentes têm grandes reservas internacionais" e "O Brasil tem grandes reservas internacionais". então os preços vão baixar. julgue os itens a seguir. 22)(PF – Nacional – Agente – CESPE) Uma noção básica da lógica é a de que um argumento é composto de um conjunto de sentenças denominadas premissas e de uma sentença denominada conclusão. logo todo planeta é azul”. e a Terra é um planeta. Nesse caso. então não haveria gestão dos sistemas de dessalinização. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. conclui-se que a proposição “Se não há linguagem. for verdadeira. II Mariana não fica zangada.com . é correto concluir que “O salário aumentou”. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL revoga prisões. então os bancos ganham muito dinheiro” é V. Nessa situação. Considere que os diagramas abaixo representam conjuntos nomeados pelos seus tipos de elementos.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. julgue os itens que se seguem. e tudo que é verde é vegetal. É válido o seguinte argumento: “O Sol é uma estrela. O diagrama da direita representa a inclusão descrita pela sentença “Miosótis é bípede”. então é correto concluir que o valor lógico da proposição “Se os bancos não ganham muito dinheiro. É válido o seguinte argumento: Todo cachorro é verde. Considerando-se como V a proposição “Sem linguagem. Toda premissa de um argumento válido é verdadeira. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. Suponha verdadeiras as três proposições seguintes: I Se as vendas aumentaram. Um argumento é válido se a conclusão é necessariamente verdadeira sempre que as premissas forem verdadeiras. Se o valor lógico da proposição “Se as operações de crédito no país aumentam. Um elemento específico é marcado com um ponto. a sentença “todo homem é bom” é a premissa do argumento. III As vendas aumentaram. O diagrama da esquerda representa a inclusão descrita pela sentença “Todos os seres humanos são bípedes”. É válido o seguinte argumento: “A Terra é azul. necessariamente. tomando-se como premissa 47 A Conclusão do raciocínio válido que usa como premissas as proposições I e III. o argumento não é válido. então as operações de crédito no país não aumentam” é também V. Em “Eu sou bom. Se a conclusão é verdadeira. I Se a Secretaria de Recursos Hídricos e Ambiente Urbano do MMA não coordenasse o Programa de Água Doce. E) Se não existe uma mulher que estabelece punições então existe uma mulher que revoga prisões 19)(BB-2008) Analise as assertivas abaixo. e tem por conclusão a proposição II. então não há acesso à realidade” é também V. pois todo homem é bom”. a conclusão. 20) (CESPE-MMA-2008) Considere como premissas de um argumento as seguintes proposições. obtém-se um argumento válido. Então é correto afirmar que essas proposições constituem um raciocínio válido. não há acesso à realidade”. logo todo cachorro é vegetal. 23)(CESPE-CENSIPAM)Uma noção básica da lógica é a de que um argumento é composto de um conjunto e de sentenças denominadas premissas e uma outra sentença chamada de conclusão. o argumento é válido. Se a conclusão é falsa. Um argumento é válido se. e toda estrela tem cinco pontas. 21) Considere as seguintes proposições: I Mariana fica zangada ou ela não acorda cedo. o raciocínio que tem como premissas a proposição I e a proposição “ela não acorda cedo”. D) Existe uma mulher que não é desembargadora. sempre que as premissas forem verdadeiras. é válido. Com o auxílio dessas informações. Considere que as proposições “Se o ladrão deixou pistas então o ladrão não é profissional” e “O ladrão não deixou pistas ”sejam premissas e a proposição “O ladrão é profissional” seja a conclusão. 24) (CESPE/UNB-2009) Julgue os itens subseqüentes. Com base nessas informações. é correto concluir que a proposição "O Brasil é um país de economia emergente" é V. logo o Sol tem cinco pontas”. II O salário aumentou ou os preços não vão baixar. Nessa situação. muitas pessoas compram o livro e o lêem. Quando Paulo gosta de alguém. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Nessas condições. Nesse caso. R : É falso que Pedro é pobre ou forte. O livro sobre viagens maravilhosas. (D) João não ingressou no tribunal por concurso público. II. Quando os críticos literários recomendam a leitura de um livro. 28)PF – Nacional – Agente Quando Paulo estuda. (C) Se José não ingressou no tribunal por concurso público. Suponha um argumento no qual as premissas sejam as proposições I e II abaixo. Nesse caso.Se uma mulher está desempregada.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof.com . não deve ser aprovado neste concurso. não recebeu comentários favoráveis dos críticos literários. Julgue os itens subsequentes tendo como referência esses diagramas. então José é advogado. assim. A proposição “Mara é formada em direito e é juíza” é verdadeira. então Mara e Jonas são formados em direito” é falsa. em sua juventude. Q : Pedro é forte. As ruas da cidade de Vitória estão molhadas” e “Está chovendo na cidade de Vitória”.Se uma mulher é infeliz. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. tem-se um argumento correto Considere as seguintes proposições: P : Pedro é rico. Em cada um dos itens a seguir. (E) José ingressou no tribunal por concurso público e João é advogado. em fazer uma poupança financeira tem. estão representados dois conjuntos de pessoas que possuem o diploma do curso superior de direito. se a conclusão for a proposição “Mulheres desempregadas vivem pouco”. também é verdadeira a proposição.” Nesse caso. Como Maria gosta muito de Paulo. Nesse caso. em que duas primeiras são premissas e a terceira é a conclusão de um argumento. 26)(CESPE-UNB) Nos diagramas acima. é correto afirmar que o argumento formulado pelo delegado constitui uma falácia. as ruas da cidade de Vitória estão molhadas”. em fazer uma poupança financeira. é correto concluir que “Miosótis é um ser humano”. dois conjuntos de juízes e dois elementos desses conjuntos: Mara e Jonas. (A) José é advogado. lançado recentemente. a proposição R pode ser escrita na forma simbólica como r: ¬ ( ¬ P ∨ Q ). Considere o seguinte argumento: “Um cidadão que se preocupa.” 25)(CESPE) Considere que sejam verdadeiras as proposições: (I) Todos os advogados ingressam no tribunal por concurso público. ela é infeliz. I. 48 (III) João não é advogado ou João não ingressou no tribunal por concurso público. então é correto afirmar que esse argumento é um argumento válido. sormany_barreto@hotmail. Nesse caso. Considere que o delegado faça a seguinte afirmação para o acusado: “O senhor espanca a sua esposa. o enunciado ¬ [( ¬ A ∨ B) ∨ ( ¬ B ∨ A)] é verdadeiro. não deve ser lido por muitas pessoas. então. Como ele não estudou recentemente. como conseqüência. a premissa desse argumento é “Um cidadão que se preocupa. (B) João não é advogado. ele é aprovado nos concursos em que se inscreve. em sua juventude. A proposição “Se Jonas não é um juiz. uma velhice financeiramente tranqüila. julgue se o argumento apresentado tem estrutura lógica equivalente à do texto acima. ele vai ajudá-la a responder as questões de direito Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Nesse caso. ele não mede esforços para oferecer ajuda. então. 27)CESPE/UnB — PC/ES — Cargo: Agente de Polícia Civil (2009) Se as proposições “Se chove. Suponha que A e B sejam enunciados falsos. pois foi acusado de maltratá-la’’. ela vive pouco. (II) José ingressou no tribunal por concurso público. sormany_barreto@hotmail. também será valorada como V a seguinte proposição: “Algum flamenguista não é botafoguense”. B: “Nenhum número par é primo”. então a conclusão também será verdadeira. Se estou furioso. Considere que as proposições “Alguns flamenguistas são vascaínos” e “Nenhum botafoguense é vascaíno” sejam valoradas como V. b) André e Caio são inocentes. julgue os próximos itens. Logo: a) Caio e Beto são inocentes. estou furioso e não bebo c) não durmo. d) Caio e Denis são culpados. Sempre que Paulo insulta Maria. julgue os itens seguintes. é correto afirmar que o argumento é um argumento válido. Se todos os amigos de Ana são vegetarianos e Cláudio também é vegetariano. C: “Nenhum número inteiro é primo”.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. administração e economia. não estou furioso e não bebo e) não durmo. não estou furioso. tenha: Encontrado um livro de administração de capa dura. 29)( PF – Nacional – Agente ) Pedro.com . Selecionado para compra um livro nacional de direito de capa dura. especializada nas áreas de direito. seu cachorro late e corre a seu encontro. candidato ao cargo de Escrivão de Polícia Federal. necessitando adquirir livros para se preparar para o concurso. não estou furioso e bebo 35)O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. ela fica aborrecida. 31)(Cespe/MCT-2008) 49 chamado Cláudio. estou furioso e não bebo b) durmo. bebo. em sua pesquisa. O argumento II é válido porque toda vez que as premissas P1 E P2 forem verdadeiras. Alem disso. então Caio é culpado. não bebo. 32)(CESPE-Técnico Judiciário) Considerando os argumentos I e II acima. c) André e Beto são inocentes. Se durmo. Adquirido dessa livraria um livro de economia de capa flexível. em que A e B são as premissas e C é a conclusão. então é correto concluir que Cláudio é amigo de Ana. Considere que o círculo maior do diagrama acima represente o conjunto dos vegetarianos. Logo. Denis é culpado. e que o círculo menor represente o conjunto dos amigos de Ana. mesmo que as premissas P1 e P2 sejam verdadeiras. Toda vez que Paulo chega a casa. a respeito de lógica. estou furioso e bebo d) durmo. Comprado um livro importado de direito de capa flexível 30)(CESPE-UNB-IPEA)Tendo como base o texto. a) não durmo. alguns livros de direito e todos os de administração fazem parte dos produtos nacionais. Com base nas informações acima é possível que Pedro. durmo. 33)André é inocente ou Beto é inocente. Nesse caso. julgue o item abaixo. isto não acarreta que a conclusão seja verdadeira. Nesse caso. o qual contém um indivíduo e) André e Denis são culpados 34)Se não durmo. que também está contido no conjunto dos vegetarianos. não há livro nacional disponível de capa dura. logo seu cachorro está triste. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL constitucional. Caio é inocente se e somente se Denis é culpado. O argumento I não é válido porque. Nessa livraria. ela não deve estar aborrecida. Com base nessas informações. Hoje Paulo viajou. Se Beto é inocente. Ora. Considere o argumento formado pelas proposições A: “Todo número inteiro é par”. Se não estou furioso. utilizou um site de busca da Internet e pesquisou em uma livraria virtual. Como Paulo não insultou Maria recentemente. que vende livros nacionais e importados. alunos de inglês. Se Carina não é cunhada de Carol. a) Carina é cunhada de Carmem e é amiga de Carol. Todos os alunos de português são também alunos de informática. Helena ir à Holanda é condição suficiente para Alexandre ir à Alemanha. 39)Quando não vejo Lucia. (C) Todos os momorrengos são jaguadartes. 41)Se todos os jaguadartes são momorrengos e todos os momorrengos são cronópios então pode-se concluir que: (A) É possível existir um jaguadarte que não seja momorrengo. e chove. Alexandre não vai à Alemanha. (B) É possível existir um momorrengo que não seja jaguadarte. Relativamente a esses resultados. e não estou deprimido. (E) Todos os cronópios são jaguadartes 42)Se "Alguns poetas são nefelibatas" e "Todos os Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. c) nenhum aluno de português é aluno de matemática. Carlos vai ao Canadá. Carlos não vai ao Canadá. e) todos os alunos de informática são alunos de português. Logo: a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa. d) todos os alunos de informática são alunos de matemática. então: a) pelo menos um aluno de português é aluno de inglês. e faz calor. Carlos não vai ao Canadá. e não chove. Quando não chove e estou deprimido.com . e não chove. e faz calor 40)(MPOG. não vejo Lucia. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL do castelo. c) todo funcionário fumante costuma faltar ao trabalho. b) Se o duque não saiu do castelo. não passeio. também.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. d) Carina é amiga de Carmem e é amiga de Carol. e não chove. b) todo funcionário que tem bronquite é fumante. (D) É possível existir um jaguadarte que não seja cronópio. e) Helena vai à Holanda. b) Helena vai à Holanda. Quando não faz calor e passeio. e não faz calor. Portanto: a) Helena não vai à Holanda. Hoje. d) Helena vai à Holanda. Alexandre não vai à Alemanha. d) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim. c) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa. (E) vejo Lucia. e) é possível que exista algum funcionário que seja fumante e não tenha bronquite. sormany_barreto@hotmail. Logo. Alexandre não ir à Alemanha é condição necessária para Carlos não ir ao Canadá. e como nenhum aluno de português é aluno de história. b) pelo menos um aluno de matemática é aluno de história. Carlos não vai ao Canadá. é correto concluir que a) existem funcionários fumantes que não faltam ao trabalho. e estou deprimido. e estou deprimido. 38)Se Carina é amiga de Carol. Alexandre vai à Alemanha. Carmem não é cunhada de Carol. c) Helena não vai à Holanda. o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. Helena não ir à Holanda é condição suficiente para Carlos ir ao Canadá. e faz calor. e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Alexandre não vai à Alemanha. e alguns alunos de informática são também alunos de história. b) Carina não é amiga de Carol ou não é cunhada de Carmem. então Carina é amiga de Carol. mas nenhum aluno de inglês é aluno de história. (B) não vejo Lucia. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. não passeio e fico deprimido. e) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça 36)As afirmações seguintes são resultados de uma pesquisa feita entre os funcionários de certa empresa. O barão não sorriu. então Carmem é cunhada de Carol. – Todo indivíduo que tem bronquite costuma faltar ao trabalho. hoje (A) vejo Lucia. 50 37)Todos os alunos de matemática são. (C) não vejo Lucia. Portanto. e estou deprimido. d) é possível que exista algum funcionário que tenha bronquite e não falte habitualmente ao trabalho. Como nenhum aluno de informática é aluno de inglês. Quando chove. Carlos vai ao Canadá. e) Carina é amiga de Carol e não é cunhada de Carmem. e chove. – Todo indivíduo que fuma tem bronquite. então o conde encontrou a princesa. (D) vejo Lucia.ESAF) Carlos não ir ao Canadá é condição necessária para Alexandre ir à Alemanha. e não estou deprimido. e faz calor. Alexandre não vai à Alemanha. c) Carina é amiga de Carol ou não é cunhada de Carol. não passeio ou fico deprimido. passeio. Por outro lado. Nosso papel será determinar quem tem qual característica. São questões envolvendo um grupo de pessoas ou objetos. uma proposta para fazer um curso de especialização no exterior. I. Dito de outra forma.A advogada foi aprovada em um concurso público. I. o de outra é preto. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. cada um com uma determinada característica. L. adotamos os seguintes passos. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. em geral. não necessariamente nesta ordem. (C) Algum poeta é melancólico. b) o vestido de Júlia é branco e seus sapatos são pretos. foi aprovada em um concurso público. c) Azul. para resolver este tipo de exercício. 3)(Auditor Fiscal do Trabalho) Três amigas encontram-se em uma festa. um outro é verde e o outro é azul. então. I.com . chegando-se ao final a uma conclusão. (D) L.” O estudo da associação lógica envolve enunciados nos quais estarão presentes uma série de informações que deverão ser associadas umas às outras. (A) L. Bruna e Carla. e que podem ser resolvidas mediante o uso de uma tabela muito simples de ser construída. As cores da Brasília. Bernardo e César são. c) os sapatos de Júlia são pretos e os de Ana são brancos. obtêm-se. L . atividades etc. I.Carla é professora . cinza e verde. I. questões fáceis. outra recebeu uma ótima oferta de emprego e a terceira. verde e cinza. da Parati e da Santana são respectivamente: a) Cinza. O carro de Artur é cinza. L. L . L. carros. (C) I. São. EXERCÍCIO DO CONCURSEIRO –NÍVEL 1 1)Alice. Considerando que: .0. quando o exercício lhe pedir que identifique”quem usou o quê. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são brancos. o carro de Bernardo não é verde e não é Brasília. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL nefelibatas são melancólicos". sormany_barreto@hotmail. tiveram grandes oportunidades para progredir em sua carreira: uma delas.. e) Bruna é dentista 2)(AFTN) Os carros de Artur. profissões. que será a resposta requerida. aonde. O vestido de uma delas é azul.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. e) Verde. L. azul e verde. e o da outra é branco. L 7. (E) Nenhum poeta não é melancólico 43)Considere os argumentos abaixo: Indicando-se os argumentos legítimos por L e os ilegítimos por I. na ordem dada. não necessariamente nessa ordem uma Brasília. Um dos carros é cinza. com quem. O objetivo é descobrir o correlacionamento entre os dados dessa informações. como por exemplo: nomes. I. d) Cinza. indicando todas as possibilidades de relacionamento entre as informações. Segundo: vamos lendo as informações do enunciado. mas somente Ana está com vestido e sapatos de mesma cor. atitudes. de que cor etc.Alice recebeu proposta para fazer o curso de especialização no exterior . o carro de César é o Santana. cores qualidades. (D) Nenhum melancólico é poeta. (B) I. uma Parati e um Santana. eliminando as possibilidades incorretas e anotando aquelas que estão certas. b) Azul. (E) L. d) os sapatos de Ana são pretos e o vestido de Marisa é branco. Em geral. É correto afirmar que: a) Alice é advogada b) Bruna é advogada c) Carla foi aprovada no concurso público d) Bruna recebeu a oferta de emprego. Marisa está com sapatos azuis. cujas profissões são. Primeiro: montamos uma tabela. dentista e professora. verde e azul. advogada. a) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto. Elas calçam pares de sapatos destas mesmas três cores. L. necessariamente: (A) Todo melancólico é nefelibata. 51 Problemas que são prestadas informações de diferentes tipos. Desse modo. (B) Todo nefelibata é poeta. I. quando. azul e cinza. ASSOCIAÇÕES LÓGICAS – CORRELACIONAMENTO. . pintura e artesanato. torcedores do Flamengo.Francisco não freqüenta a praia de Candeias. e Luís é mais velho do que o matemático. A proposição “Se Ricardo tem 7 anos de idade. Oliveira o mais antigo entre eles. que possuem 5. e o matemático é mais velho do que o agrônomo. Há também um paulista. como o agrônomo. mas não como verdadeira e falsa simultaneamente. o economista e Mário residem no mesmo bairro. um carioca e um baiano. é engenheiro e não mora em Campinas. e o matemático é mais velho do que o agrônomo. moram em cidades diferentes — Brasília.com . à direita do paulista.Duarte não freqüenta a praia de Maria Farinha nem a de Piedade. c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista. então o filho não gêmeo será o mais velho dos 3” é falsa. não mora em Brasília e é médico. Sabe-se que o Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. engenheiro e médico —. Berta e Carla sejam as mães de Ricardo. c) Pedro é matemático. arquiteto. por sua vez.Maurício e Francisco não freqüentam a praia de Maria Farinha nem a de Piedade. e o engenheiro é mais velho do que o agrônomo. O economista é mais velho do que Nédio e mais moço do que Pedro. Roberto e Ronaldo. então Ana é a mãe de Ricardo” é verdadeira. julgue os próximos itens. Suponha também que: . Paulo está sentado à direita de Oliveira. Bruno tem por passatempo o violão.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. 52 6)(CESPE-CETURB-2010). Luís é paulista. 5)(MPU) Em torno de uma mesa quadrada. e) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista. cada um. A proposição “Se o produto das 3 idades for inferior a 50. Considere que Ana. e) Nédio é engenheiro. expressas em anos. julgue os itens seguintes. . Carlos não tem o artesanato como passatempo. c) de Boa Viagem é Francisco. Goiânia e Vitória — e possuem diferentes passatempos — violão.Duarte não freqüenta a praia do Pina nem a de Candeias.Antônio e João não freqüentam a praia de Boa Viagem. Logo. são números inteiros positivos cuja soma é igual a 13 e sabendo também que 2 filhos são gêmeos e que todos têm menos de 7 anos de idade. . então ele não é um dos gêmeos” é verdadeira. Além disso. e é mais moço do que o engenheiro e mais velho do que Oscar. Bruno. d) de Candeias é João. Por sua vez. é mineiro. A proposição “Berta é a mãe de Roberto e o filho de Carla tem 6 anos de idade” é verdadeira. O agrônomo. Assim: a) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano. todos. considerando que cada um deles freqüenta uma única praia. 4)As afirmações abaixo referem-se às praias que 5 amigos pernambucanos costumam freqüentar: . e o economista é mais novo do que Luís. uma profissão diferente. O filho de Ana tem 7 anos de idade. 6 e 7 anos de idade. A proposição “Se um dos filhos tem 5 anos de idade. a) Mário é engenheiro.Antônio não freqüenta a praia de Maria Farinha. Nessas condições. Carla não é a mãe de Ronaldo nem de Roberto. Campinas. aquele que freqüenta a praia: a) de Piedade é Antônio. encontram-se sentados quatro sindicalistas. Vasconcelos. 7)(Analista-MPU-ESAF) Cinco irmãos exercem. d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista. b) do Pina é Duarte. . Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL e) o vestido de Ana é preto e os sapatos de Marisa são azuis. d) Luís é arquiteto. Proposição é uma sentença que pode ser julgada como verdadeira ou falsa. e o arquiteto é mais velho do que o engenheiro. e o arquiteto é mais velho do que o matemático. e) de Maria Farinha é Maurício. e Mário é mais velho do 8)(PM DF 2009 CESPE) Considerando que os 3 filhos de um casal têm idades que. 9)AUDITOR FISCAL DO TESOURO MUNICIPAL DE VITÓRIA(ES)-2009 Quatro amigos de infância — André. A proposição “As informações acima são suficientes para determinar-se completamente as idades dos filhos” é falsa. Roberto tem 6 anos de idade. b) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano. e Pedro é mais velho do que o matemático. sabe-se que André mora em Goiânia. O matemático costuma ir ao cinema com Mário e Nédio. . este. que não é carioca. é mais moço do que o arquiteto. A partir dessas informações. encontra-se à frente de Paulo. Norton. e Oscar é mais velho do que o agrônomo. Carlos e Davi — resolveram reunir-se novamente depois de muitos anos de separação. . o matemático e Luís são. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. sormany_barreto@hotmail. não é arquiteto e não joga xadrez como passatempo. . O economista. b) Oscar é engenheiro. Todos têm profissões diferentes — advogado. xadrez. c) fada. O advogado mora em Goiânia EXERCÍCIO DO CONCURSEIRO –NÍVEL 2 Fátima. Joaquim. isto é. da área tributária. Disse Fátima: “Acho que eu sou a Governanta. de acordo com a tabela.com . a da área tributária ocupa sala individual. juntas. um biólogo e um engenheiro florestal. então a pessoa correspondente à linha não exerce a profissão correspondente àquela coluna. é correto afirmar que a proposição “Mário não é contador ou Flávio é técnico em informática é V. A da área cível divide a mesma sala do escritório com Camila. Bruno mora em Vitória. Camila não é da área cível. julgue os itens que se seguem. Suponha que os candidatos a esses cargos. estão marcadas como V ou F algumas informações iniciais: o arquiteto nasceu em Brasiléia. 03)(MPE-RR)Camila. Carlos tem o xadrez por passatempo. Sílvia é a Bruxa e Carla é a Princesa”. de umas das seguintes cidades: Rio Branco. Na tabela a seguir. o diretor reuniu-as e pediu que cada uma desse seu palpite sobre qual havia sido o resultado do sorteio. Juliana é da área constitucional e Maria. Disse Gina: “Acho que Silvia é a Governanta ou a Rainha”. Disse Beatriz: “Acho que Fátima é a Princesa ou a Bruxa”. bruxa. o diretor falou: “Todos os palpites estão completamente errados. sejam naturais. princesa. Tendo como referência a situação hipotética apresentada acima. Bruxa. Célio e Carlos. princesa. governanta. concluiu então. penal. nenhuma de vocês acertou sequer um dos resultados do sorteio”! Um estudante de Lógica. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. se o valor for F. Disse Carla: “Acho que a Bruxa sou eu ou Beatriz”. 04)(TCE)O Tribunal de Contas do estado do Acre pretende contratar um arquiteto. constitucional. Juliana e Renata. “Júlio não é técnico em informática e Mário é contador” é F. que os papéis sorteados para Fátima. Maria. o diretor da peça realizou um sorteio para determinar a qual delas caberia cada papel. Cada uma dessas advogadas se especializou em uma das seguintes áreas do direito: cível.” “Flávio não é técnico em informática” é V. a respeito de lógica da argumentação. não necessariamente nesta ordem. Juliana e Maria têm menos idade que a da área trabalhista. Beatriz. Princesa e Governanta. Considere que as informações sobre o nome das pessoas. André é advogado. Davi é arquiteto. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL passatempo do arquiteto é a pintura e que ele mora em Brasília. Com base nessas informações. os papéis de Fada. cada um. governanta. Camila. julgue os itens seguintes. Sílvia e Carla são atrizes de teatro infantil. nome Técnico em informática administrador Contador Flávio F Júlio V Mário F Considerando as informações e a tabela apresentadas acima. sormany_barreto@hotmail. Se a célula que é o cruzamento de uma linha com uma coluna apresenta o valor V. Beatriz. princesa. Gina. Juliana. Fátima é da área penal e Renata. rainha. respectivamente: a) rainha. Beatriz é a Fada. Gina e Sílvia foram.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. fada. Disse Sílvia: “Acho que eu sou a Princesa”. Carlos é o Engenheiro Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. fada. Flávio não é contador nem Mário é técnico de informática. então a pessoa correspondente àquela linha exerce a profissão correspondente àquela coluna. bruxa. bruxa. b) rainha. Juliana e a da área penal são solteiras. Fátima. trabalhista e tributária. abriram um escritório de advocacia. Assim. Neste ponto. Rainha. e vão participar de uma peça em que representarão. princesa 53 2)(TRT-ES-2009)Considere que cada pessoa cujo nome está indicado na tabela abaixo exerça apenas uma profissão. bruxa. e tenham nascido em cidades diferentes. d) rainha. corretamente. princesa. e) fada. que a tudo assistia. Tarauacá e Brasiléia. Nos fins de semana. fada. Antes de anunciar o resultado. a da área tributária vai ao cinema com Fátima. Como todas são atrizes versáteis. que as pessoas tenham profissões distintas e somente uma profissão. Maria e Renata são advogadas e. da área trabalhista. sua profissões e naturalidade estejam em correspondência biunívoca. Júlio é administrador. Alex era mais velho que Paulo. Se for verdade que o filme dirigido por Andrucha Waddington foi distribuído pela Fox. ainda. sormany_barreto@hotmail. isto é. então Célio não é biólogo”. que não foi distribuído pela Columbia. Sérgio Goldenberg foi o diretor de Bendito Fruto. É V a proposição: “Se Joaquim não é arquiteto. cada filme teve um único diretor e uma única distribuidora. assinale a opção correta. marque na tabela acima com V ou F as células possíveis de serem preenchidas e julgue os seguintes itens. Julgue os itens a seguir. Marque com V (verdadeiro) as células que correspondem ao cruzamento correto das informações das respectivas linhas e colunas e com F (falso) as demais. 05)(ANCINE-técnico Administrativo) Na tabela abaixo estão especificados três filmes. e descobriu também que o de 28 anos de idade era médico e o outro. Paulo e Sérgio. e vice-versa. professor. Por dedução lógica. considere as seguintes observações. Ele conseguiu descobrir que um deles tem 60 anos de idade e é pai dos outros dois. entre filmes e distribuidoras. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL F F F V F Brasiléia F Tarauacá F F F V Rio Branco Engenheir o Florestal Joaquim Célio Carlos Rio Branco Tarauacá Brasiléia Biólogo Arquiteto Florestal e não nasceu em Tarauacá. que dizem respeito ao preenchimento lógico das demais células. É correto inferir que o engenheiro florestal não nasceu em Rio Branco. com diferença de idade inferior a 30 anos. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Com base nessas informações. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. então é verdade que o filme dirigido por Maurício Farias foi distribuído pela Columbia.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Considere como V que “Célio não é o biólogo”. um detetive recolheu de uma lixeira alguns pedaços de papéis semi-destruídos com o nome de três pessoas: Alex. Descobriu. que Sérgio era advogado. Se for verdade que Maurício Farias dirigiu Casa de Areia. F A partir dessas informações. e que Joaquim nasceu em Tarauacá. Para isso. então é verdade que Andrucha Waddington dirigiu O Coronel e o Lobisomem. outras células foram marcadas de acordo com a lógica especificada no texto.com . 05) (CESPE – Unb / Analista de Controle Externo / TCE – AC / 2009) Em uma investigação. três diretores e três distribuidoras de filmes. 54 Considere que as correspondências entre filmes e diretores e. O filme O Coronel e o Lobisomem foi distribuído pela Fox. também será verdadeiro que “Célio não nasceu em Brasiléia”. Nesse caso. seja uma correspondência biunívoca. É verdadeiro que o filme dirigido por Sérgio Goldenberg não foi distribuído pela Paris/Rio filme e que o filme Casa de Areia foi distribuído pela Columbia. cujas idades são: 36 e 28 anos. águia. Nesse caso. de uma reunião em Brasília – DF. Q seja a proposição “João nasceu em São Paulo” e R seja a proposição “Sidnei nasceu na Bahia”.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. 22 anos.a idade de Arnaldo não é 22 anos. Se a idade de Arnaldo for 35 anos. Cocal e Vila. as cores predominantes no estádio serão o verde e o branco. Com base nessas informações. Sabe-se também que: I a cor do Barreiras não é o verde. Com base nessas informações.os números de suas poltronas são C2. elas apresentaram as respostas a seguir. 22 e 18 anos. 35. D) Míriam toca violino. mas sua cor não é o azul. então a poltrona de numero C4 pertencerá a Mauro. mas o seu mascote é o galo. respectivamente. Paulo tem 28 anos de idade e Sérgio tem 36 anos de idade. .a idade de um deles é 35 anos e a de outro. Os clubes finalistas são: Barreiras. Célio e João fizeram duras críticas às opiniões do baiano. então Adélio não nasceu no Ceará”. julgue os itens seguintes. IV o clube que tem o leão como mascote tem cor azul. C) Alex não tem 28 anos de idade e Paulo não é médico. que pode ser simbolizada na forma A → (¬B). Míriam: Maria não toca flauta. João e Sidnei comeram um lauto churrasco no jantar. Considere que P seja a proposição “Raul nasceu no Paraná”. no último final de semana. 09) (UnB/Cespe – MCT Superior) Raul. Sabe-se que: . . A proposição “Se Célio nasceu no Acre. Míriam e Marina são componentes de uma orquestra. . sormany_barreto@hotmail. para discutir projetos do MS. C3 e C4. Se necessário. Com base na situação hipotética apresentada acima. II a cor do Vila é o branco. Raul. III o mascote do Cocal é o dragão. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. verde e branco — e a quatro animais diferentes — leão. e Sérgio e Paulo são irmãos. Se a soma das idades dos três passageiros for 75 anos. Com base nessas informações. Tupã. E) Alex não é médico. Paraná. participaram. Cada uma delas toca somente um dos seguintes instrumentos: flauta. Célio. a proposição “Se Raul não nasceu no Paraná. mas o leão não é o seu mascote. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. A cor do Cocal é o vermelho.Paulo é o mais velho dos três e sua poltrona não é C4. Maria: Marina toca flauta. O mascote do Vila é a águia. julgue os itens a seguir. 08)(ANAC-2009) Paulo. nascidos em diferentes unidades da Federação: São Paulo. agentes administrativos do MS. azul. o cearense. Sidnei. Se a soma das idades dos três passageiros for 90 anos. Célio e o paulista não conhecem nada de contabilidade. . “Adélio nasceu no Ceará”. pode-se afirmar que A) Maria toca violino. B) Alex tem 60 anos de idade. então João não nasceu em São Paulo e Sidnei nasceu na Bahia” pode ser simbolizada como (¬P) → [(¬Q) ∧ R)] e é valorada como V. em que A é a proposição “Célio nasceu no Acre” e B.com . Se a soma das idades dos três passageiros for igual a 100 anos. B) Míriam toca piano. Marina: Míriam não toca piano. Paulo tem 36 anos de idade e Sérgio tem 28 anos de idade. Célio. que estão associados a quatro cores diferentes— vermelho. E) Marina toca violino. Raul. utilize a tabela à disposição no espaço para rascunho. e o paranaense preferiu fazer apenas um lanche. No jogo entre o Tupã e o Vila. é valorada como V. que terá 35 anos. piano e violino. Questionadas por um desconhecido a respeito do instrumento que tocavam. C) Maria toca flauta. então as idades de Paulo. Mauro e Arnaldo serão. A poltrona de Paulo é C2. 06)(TCU-2009) Maria. o paranaense foi almoçar com Adélio. Ceará e Acre. D) Alex tem 36 anos de idade e Paulo é médico.a poltrona C3 pertence ao de idade intermediária. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL A) Alex tem 60 anos de idade. então a poltrona de número C3 será de Arnaldo e Mauro será o mais jovem dos 3 passageiros. julgue os itens seguintes. 55 07)(IBRAM-DF-2009)A fase decisiva de um campeonato de futebol terá a participação de quatro clubes. então a poltrona de Mauro terá numeração C4. João e Adélio. dragão e galo — como mascotes. Mauro e Arnaldo estão embarcando em um vôo para Londres. Bahia. A2: alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências. respectivamente. julgue os itens subseqüentes. FCC . 56 A1 Roberta A2 A partir do preenchimento das células da tabela e das definições apresentadas no texto. foi preenchida com V (verdadeiro) no caso de a servidora listada na linha ter tomado a atitude representada na coluna.com . 10)(INSS)Roberta. julgue os itens seguintes. A proposição “O documentário recebeu o prêmio de melhor fotografia ou o filme B não recebeu o prêmio de melhor diretor” é V A proposição “Se o filme B é um documentário. A atitude adotada por Rejane está de acordo com o CEP e é especialmente adequada diante de filas ou de qualquer outra espécie de atraso na prestação dos serviços. Essas informações estão contempladas na tabela a seguir. ao lidar com certa situação. e. em que cada célula. em um festival de cinema. A3: buscou evitar situações procrastinatórias. Além disso. ou com F (falso). Em um treinamento. sormany_barreto@hotmail. observou-se que cada uma delas tomou uma das seguintes atitudes: A1: deixou de utilizar avanços técnicos e científicos que estavam ao seu alcance. e que Fernanda é da área de informática. Rejane e Renata são servidoras de um mesmo órgão público do Poder Executivo Federal. considere que os filmes A e B sejam de categorias distintas — documentário ou ficção —. 2 são da área administrativa e 4 da área de informática. A proposição “O filme A é um filme de ficção” é V. receberam premiações diferentes — melhor fotografia ou melhor diretor. Cada uma dessas atitudes. então o filme de ficção recebeu o prêmio de melhor fotografia” é V. 11)(BB-2008)Para preencher a tabela a seguir. que pode ou não estar de acordo com o Código de Ética Profissional do Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal (CEP). Um funcionário que necessariamente é da área de informática é A)Beatriz B)Cristina C)Júlia D)Ricardo E)Silvia Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright.Técnico Judiciário ) A tabela indica os plantões de funcionários de uma repartição pública em três sábados consecutivos: A3 F Rejane Renata V Com base nessas informações. Tendo como base as células já preenchidas. sabe-se que a servidora Renata tomou a atitude A3 e que a servidora Roberta não tomou a atitude A1. preencha as outras células com V ou F. Sabe-se que para cada plantão de sábado são convocados 2 funcionários da área de informática. Se P for a proposição "Rejane alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências" e Q for a proposição "Renata buscou Dos seis funcionários indicados na tabela. A atitude adotada por Roberta ao lidar com documento oficial fere o CEP. 1 da área administrativa.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. conforme o cruzamento da informação da linha e da coluna correspondentes constitua uma proposição verdadeira ou falsa. correspondente ao cruzamento de uma linha com uma coluna. então a proposição P→Q tem valor lógico V. caso contrário. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. 12)(TRT-MT. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL evitar situações procrastinatórias". foi tomada por exatamente uma das servidoras. seja ela veraz ou mentirosa. e as demais proposições. B: Se Carlos mora em Serra ou em Vila Velha.” Max diz” Sormany está mentindo. Considere as quatro proposições a seguir. deverá responder sobre algo que ela disse anteriormente. Uma dedução lógica é uma seqüência finita de proposições na qual algumas proposições. então Beto mora em Serra. D: Beto mora em Linhares. Se ela for veraz. Forçamos a mentirosa a mentir duas vezes. seja ela veraz ou mentirosa.” Ora. Se a pessoa questionada for mentirosa. Max está mentindo ao chamar Sormany de mentiroso. Carlos não mora em Vila Velha. Em resumo. se perguntarmos a uma pessoa. se ela diz a verdade. a sua resposta será “não”. Max estará dizendo a verdade ao Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Danilo mora em Vitória 57 8. ela também responderá “sim”. Então ela dirá:” A minha resposta seria não”. C: Se Danilo não mora em Vitória. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL 13)(CESPE-BRB-2010-ADVOGADO). o que me responderia? Outra situação muito comum é a seguinte: Sormany diz” Lula é culpado. se Sormany estiver dizendo a verdade. se ela mentirosa. porque estará mentindo. pois estará dizendo a verdade. pois mentirá sobre a resposta dela próprio) e por que foi forçada a dizer a verdade(mentir sobre uma mentira).Vamos tentar responder algumas perguntas feitas a cada uma dessas pessoas: a) Você é veraz? Se a pessoa indagada for uma pessoa realmente veraz. se a pessoa que for responder for uma pessoa veraz. Faremos uma breve exposição de algumas dicas que poderão ajudar o estudante a descobrir quem é quem em cada uma das questões. ou situações em que ocorreu. considerando as proposições A. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. ela será forçada a mentir (pois é mentira) sobre algo declarado por ela anteriormente (que foi outra mentira) A resposta da mentirosa à pergunta “Você é veraz?” é “sim”. portanto. Sabendo que cada um dos rapazes mora em uma cidade diferente. c) Se eu lhe perguntasse se você é veraz. VERDADES E MENTIRAS: CULPADOS E INOCENTES É muito comum em provas de concursos ocasiões envolvendo pessoas verazes e mentirosas. chamadas conclusões. o que me responderia? Se eu lhe perguntasse se você NÃO SIM é mentiroso. são também verdadeiras por conseqüência das premissas e conclusões previamente obtidas. denominadas premissas.0. sormany_barreto@hotmail. Se a pessoa indagada for uma pessoa mentirosa. Se ela for veraz. Em suma. Ela dirá a verdade e responderá: “A minha resposta seria “sim”. se perguntarmos a uma pessoa. C e D como premissas de uma dedução lógica. fizemos que ela dissesse a verdade. A mentirosa responderá que “sim”. julgue os itens que se segue. pois estará dizendo a verdade. o que me responderia? Neste caso. então Abel mora em Vitória. Então. temos dois tipos de pessoas (verazes e mentirosas) e as seguintes perguntas e respectivas respostas: Veraz Mentiroso Você é veraz? SIM SIM Você é mentiroso? NÃO NÃO Se eu lhe perguntasse se você SIM NÃO é veraz. ela dirá “não”. b)Você é mentiroso? De maneira análoga.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. A veraz então responderá:” A minha resposta seria “não”. Se Sormany estiver mentindo. então Carlos mora em Vila Velha. ela responderá “sim”. d) Se eu lhe perguntasse se você é mentiroso. são supostas verdadeiras. o que me responderia? A resposta de ambas as pessoas (veraz e mentiroso) à pergunta “Você é mentiroso?” é “não”. a sua resposta será “sim”. A: Se Abel não mora em Vitória. um crime em que há culpados e inocentes. estamos forçando a pessoa questionada a dar uma resposta sobre algo que ela disse anteriormente. por exemplo. B. Imagine que em certo lugar há pessoas verazes(que sempre dizem a verdade) e pessoas mentirosas(que sempre mentem). deverá responder qual seria a resposta à pergunta “Você é veraz?”. ou seja.com . Se a pessoa questionada for mentirosa. responderá “não”. ela deverá mentir e. • D disse que C não matou o líder. Considerando a situação hipotética apresentada acima e sabendo que três dos comparsas mentiram em suas declarações. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL chamar Sormany de mentiroso. 05)(Papiloscopista 2004 CESPE) Julgue o item que se segue. julgue os itens seguintes. (E) Beatriz. em tal dia. 04)(PETROBRAS 2007 CESPE) Julgue o item seguinte. cada qual pintada com uma das três cores: branca. Cássia e Amália. Durante o interrogatório. ou dizer que ela não tem razão. o indivíduo P afirmar Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. branca e vermelha. em um pequeno grupo de pessoas — G — envolvidas em um acidente. para brincar com seus colegas. • A afirmou que C matou o líder. (C) Amália. a que está na posição intermediária diz: “Eu sou a Beatriz”. (E) preta. a segunda e a terceira posições são ocupadas respectivamente por (A) Cássia. A aprendizagem das soluções de questões desse tipo depende apenas de treinamento. a que ocupa a primeira posição entre as três diz: “Amália está atrás de mim”. É impossível termos dois verazes ou dois mentirosos. Ela sempre responderá: SIM EXERCÍCIO DO CONCURSEIRO –NÍVEL 1 01)(TRF 4ª Região Analista Judiciário 2007 FCC) Três pessoas − Amália. do conjunto G. Ela sempre responderá: NÃO → Perguntas do tipo: “você é verdadeiro?” Não importa se a pessoa é verdadeira ou mentirosa. (C) branca. branca e preta. Se. poderiam estar respectivamente nas caixas (A) vermelha. ou que está enganada. por isso. Indagadas sobre seus nomes. rotulou as três caixas da forma como é mostrado nas figuras abaixo. Certo dia. Considere que. haja apenas dois tipos de indivíduos: aqueles que sempre falam a verdade e os que sempre mentem.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Diariamente. em posições sucessivas. • B afirmou que D não matou o líder. Conclusão: se em alguma questão uma pessoa A chamar a pessoa B de mentirosa. então. esses indivíduos fizeram as seguintes declarações. Beatriz e Amália. A declaração de C não pode ser verdadeira. outra para colocar apenas os documentos que deve protocolar e a terceira. teremos uma pessoa veraz e uma pessoa mentirosa. RESUMINDO → Perguntas do tipo: “você é mentiroso?” Não importa se a pessoa é verdadeira ou mentirosa. preta e vermelha.com . Amália e Beatriz. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. apenas os que deve encaminhar a outras seções do Tribunal. • C disse que D estava jogando dardos com A quando o líder foi morto e. Beatriz e Cássia − aguardam atendimento em uma fila. Considerando que Amália só fala a verdade. B. 03)(Papiloscopista 2004 CESPE) Um líder criminoso foi morto por um de seus quatro asseclas: A. Treinaremos várias questões sobre esse assunto. Beatriz mente algumas vezes e Cássia só fala mentiras. preta e vermelha. vermelha e preta. então está correto concluir que a gêmea honesta é Linda. Considere ainda que uma delas sempre minta e que a outra seja sempre honesta. (B) vermelha. enquanto um deles falou a verdade. Amália e Cássia. então a primeira. 58 02) (TCE/PB–Agente-2006-FCC) Sobre a mesa de um Agente de Protocolo há três caixas. a que ocupa a terceira posição diz: “Cássia é aquela que ocupa a posição intermediária”. D matou o líder. preta e branca. (D) Beatriz. Se somente um dos rótulos dizia a verdade. sormany_barreto@hotmail. os que deveriam ser protocolados e os que deveria encaminhar. Beatriz e Cássia. não tiveram participação no crime. os documentos recebidos. Considere que duas gêmeas idênticas — Bella e Linda — tenham sido acusadas de se fazerem passar uma pela outra. (D) branca. ele usa uma das caixas para colocar apenas os documentos que recebe. Supondo que Bella tenha confessado: “Pelo menos uma de nós mente”. (B) Cássia. C e D. Se somente um dos três guris dizia a verdade. b)dois rapazes falam a verdade. Perguntados sobre quem era o culpado. além de mentir.Fui eu. fala somente verdades. mas. O dia em que foi feita essa afirmação era: A) segunda-feira D) sábado B) terça-feira E) domingo C) sexta-feira 09)(TCE ACRE 2009 CESPE) Leonardo. Celso. Galileu e Tales – estavam brincando com o gato “x quatro”. . Duas pessoas carregam fichas nas cores branca e preta. porém não sabe qual é qual. 11)(STJ/CESPE) Julgue o item seguinte. os comparsas ou falavam sempre a verdade ou sempre mentiam. ainda. contou Tales. Considere. o LUCIANÊS. . jogaram o felino dentro da piscina. julgue o item a seguir. é correto concluir que P e Q mentem. c)Tales disse a verdade. sormany_barreto@hotmail. dizendo a verdade no resto da semana. mas sabe que as palavras “BAK” e “KAB” significam sim e não. . então. Pode-se deduzir que: A) KAB significa sim.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Considere o seguinte desafio inspirado nos enigmas de Smullyan. 08)(OBM 1998) Pedro e Maria formam um estranho casal. quintas e sextas-feiras. Edu. Carlos disse: José só fala a verdade. que. Certo dia. D) A pessoa que respondeu disse a verdade. Márcio disse que era inocente e que Leonardo e Caio não falavam a verdade. disse Galileu. mas não jogou “x quatro” na piscina. jogou o gato na piscina. Ao serem interrogados por um delegado. Nesse caso. com base nessas declarações e na regra da contradição. então: a)Tales. c)nenhuma afirmação feita por Márcio é verdadeira. e)Márcio é inocente e fala a verdade. Pedro mente às quartas. EXERCÍCIO DO CONCURSEIRO –NÍVEL 2 1)Três dos netos de JONOFON – Daniel. Por outro lado. então. quando em dado momento. e Q afirmar que P e ele são tipos opostos de indivíduos. quando foi interrogar Carlos e José. ambos dizem: ''Amanhã é dia de mentir''. 06) (BB1 2007 CESPE) No livro Alice no País dos Enigmas. a LUCIÂNIA. 59 07)(OBM ) Você está em um país estrangeiro. quando a segunda pessoa carrega a ficha branca. quando carrega a ficha preta. B) KAB significa não. segundas e terças-feiras. e José disse: Carlos e eu somos de tipos opostos. já sabia que. Maria mente aos domingos. E) Não é possível determinar sem um dicionário LUCIANÊS-PORTUGUÊS. Nesse caso. ela fala somente mentira. Com base no texto acima.Foi Galileu. é correto afirmar que a)os três rapazes mentem.com . Desesperado JONOFON indagou quem foi que fez aquele ato de maldade. Caio e Márcio são considerados suspeitos de praticar um crime. nesse caso. quando carrega a ficha preta. pode-se concluir que a segunda pessoa está dizendo a verdade. ela fala somente a verdade. no interrogatório. mas. dizendo a verdade no resto da semana. C) A pessoa que respondeu mentiu. d)Márcio mente. Quando a primeira pessoa carrega a ficha branca. e Caio fala a verdade. cada um deles respondeu: Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. 10)(PF-2009)Julgue o item seguinte.Foi Tales. a proposição “João e Pedro são mentirosos” é V. b)Daniel mentiu. Juarez e Tarso. afirmou Daniel. e JONOFON sabia que Galileu estava mentindo. e não conhece o idioma. seria correto o delegado concluir que Carlos e José mentiram. Se a primeira pessoa diz “Nossas fichas não são da mesma cor” e a segunda pessoa diz “Nossas fichas são da mesma cor”. Considere que um delegado. e)Quem jogou “x quatro” na piscina foi Galileu ou Daniel. A partir das informações dessa situação hipotética. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL que o indivíduo Q fala a verdade. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. na quadrilha à qual estes pertenciam. d) Não foi Tales que jogou o gato na piscina. Considere que João e Pedro morem em uma cidade onde cada um dos moradores ou sempre fala a verdade ou sempre mentem e João tenha feito a seguinte afirmação a respeito dos dois: “Pelo menos um de nós dois é mentiroso”. 2)Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando. ela fala somente mentiras. o professor de matemática e lógica Raymond Smullyan apresenta vários desafios ao raciocínio lógico que têm como objetivo distinguir-se entre verdadeiro e falso. e Caio disse que Márcio não falava a verdade. Leonardo disse que Caio não falava a verdade. Você encontra uma pessoa que entende português e pergunta: "KAB significa sim?" A pessoa responde “KAB”. – “Foi a Mara ou o Marcos”. 5)Depois de um assalto a um banco. Com base nesses trechos de conversa julgue os itens a seguir. disse Marcos. e cada característica foi corretamente descrita por uma das testemunhas. olhos castanhos. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. – “Foi a Mara”. – “O Mário está mentindo”. conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi: a) Mário b) Marcos c) Mara d) Manuel e) Maria 60 4)Numa ilha há apenas dois tipos de pessoas: as que sempre falam a verdade e as que sempre mentem.Um visitante chega à ilha. e honestas. tipo de cabelos e usar ou não bigode.” Testemunha 3: “Ele é de estatura mediana. Dessa situação é correto concluir que: a)Y fala a verdade. Geni e Marlim. mas fala a verdade nos outros dias da semana. pode-se concluir que o culpado é: a) Armando b) Celso c) Edu d) Juarez e) Tarso 3)Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. o assaltante é: a) baixo. a saber: estatura. d) estatura mediana. em um livro. 6) Joselias é um cara estranho. e)X fala a verdade. nem o Manuel”. e o explorador lhe pergunta se ele fala a verdade. um Importante lógico chamado Smullyan descreveu. Cada pessoa fez a seguinte afirmação sobre o número: Pessoa I: o número é divisível apenas por 1 e por ele mesmo. eles informaram: – “Não fui eu. Apanhados por um funcionário do parque. Assim. e) estatura mediana.” Testemunha 2: “Ele é baixo. pois mente às quintas. c)ambos falam a verdade. quatro testemunhas deram quatro diferentes descrições do assaltante segundo quatro características. olhos azuis.” Testemunha 4: “Ele é alto. cabelos lisos e usa bigode. olhos verdes. Em qual dos dias da semana não é possível que o Joselias faça a seguinte afirmação: “Se menti ontem. cabelos crespos e não usa bigode.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Armando: "Sou inocente" Celso: "Edu é o culpado" Edu: "Tarso é o culpado" Juarez: "Armando disse a verdade" Tarso: "Celso mentiu" Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade.com . cor de olhos. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. chamado Y. disse Manuel. disse Mário. olhos azuis. chamados Jari. o total de números distintos que podem ter sido mostrados às três pessoas é: (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 25)No final dos anos 70 do século passado. Ambos encontram outro ilhéu. que queria saber qual deles entrou sem pagar. pois só falavam mentiras. cabelos crespos e usa bigode. pois só falavam verdades. cabelos crespos e usa bigode. cabelos lisos e usa bigode. b)a resposta de Y foi NÃO. sormany_barreto@hotmail.” a)sábado b) domingo c) segunda d)terça e)quarta 7)Um número de 1 a 10 foi mostrado para três pessoas. disse Maria. olhos negros. cabelos lisos e não usa bigode. – “Foi o Manuel ou a Maria”. Ele responde na sua língua e o intérprete diz – Ele disse que sim. cabelos lisos e usa bigode. olhos verdes. c) baixo. Considerando que apenas duas pessoas dizem a verdade. Pessoa II: o número é ímpar. olhos azuis. b) alto. Marli. olhos verdes. uma ilha onde havia apenas dois tipos de pessoas: mentirosas. disse Mara. cabelos crespos e não usa bigode. sextas e sábados. cabelos crespos e não usa bigode. aproxima-se de quatro nativos. mas ele pertence ao grupo dos mentirosos. Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu. Pessoa III: o número é múltiplo de 5.” Cada testemunha descreveu corretamente uma e apenas uma das características do assaltante. então mentirei de novo amanhã. Testemunha 1: “Ele é alto. Um explorador contrata um ilhéu chamado X para servir-lhe de intérprete. d)ambos mentem. olhos negros. e inicia uma conversação da qual relatam-se os seguintes trechos. como confecções de horários. 9. o número de irmãs de Zilda neste conjunto de cinco amigas é dado por: a) 1 b) 2 c)3 d)4 e)5 61 9.1. A Análise Combinatória é a parte da Matemática que estuda o número de maneiras que um acontecimento pode ocorrer. de número de placas de automóveis etc.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof.M2. além de aplicações mais específicas. Atualmente.. De acordo com o trecho 2 da conversa.CARA). nessa ordem. são 4 possibilidades. você também pode perceber a utilização da Análise Combinatória nas estimativas de acerto em jogos populares tais como: loteria esportiva. Para escolher o homem temos 3 possibilidades e para escolher a mulher temos 2 possibilidades. de planos de produção.COROA). PRINCÍPIOS DE CONTAGEM 9.H3 e as mulheres de M1. (COROA. Bia di que Cati é irmã de Zilda.2. se o visitante concluiu que Geni é honesta e Marlim é mentiroso. mega-sena etc. são tias ou irmãs de Zilda. loto. então o visitante chegou a uma conclusão errada. de n maneiras distintas. está correto que o visitante conclua que Jari e Marli são ambos mentirosos. EXEMPLOS INTRODUTÓRIOS Exemplo 1: Quantos são os resultados possíveis que se obtém ao jogarmos uma moeda não-viciada duas vezes consecutivas para cima? Como podemos ver no diagrama de árvore. 2 possibilidades para a segunda etapa (a segunda etapa é escolher a mulher). Cati. Assim. O número de diferentes casais que podem ser formados é igual a 3 × 2 = 6 . A necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos jogos gerou o estudo dos métodos de contagem. sem que haja a necessidade de desenvolvermos todas as possibilidades.CARA).H2. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL De acordo com o trecho 1 da conversa.com . As tias de Zilda sempre contam a verdade e as irmãs de Zilda sempre mentem. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC) ou PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO. “Se um experimento A pode ocorrer de m maneiras distintas e um outro B. Ana. De quantos modos é possível selecionar um casal (homemmulher)? Vamos chamar os homens de H1. Dida e Elisa. sormany_barreto@hotmail. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. Bia. pode ocorrer Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. 26)(ESAF)Cinco amigas. Cati diz que Dida é irmã de Zilda.0 ANÁLISE COMBINATÓRIA Introdução Um motivo tão mundano quanto os jogos de azar é que acabou levando ao desenvolvimento da Análise Combinatória. Elisa diz que Ana é tia de Zilda. (COROA. No primeiro lançamento há duas possibilidades (cara ou coroa) e no segundo lançamento há duas possibilidades (cara ou coroa) gerando os seguintes resultados: (CARA. Existem 3 possibilidades para a primeira etapa (a primeira etapa é escolher o homem). Dida diz que Bia e Elisa têm diferentes graus de parentesco com Zilda. Ana diz que Bia é tia de Zilda. isto é: se uma é tia a outra é irmã. então o evento composto por A e B. Este é o princípio fundamental da contagem que pode ser assim enunciado. Exemplo 2: Numa sala há 3 homens e 2 mulheres.COROA). (CARA. calça e sapato. ou ela vai de blusa. 2.PRINCÍPIO ADITIVO DA CONTAGEM(PAC) A A A B B B A A U B AU UB B Sendo A um conjunto com m elementos e B um conjunto com n elementos.com . r2 . 62 refrigerantes por: cervejas por R = {r1 . 7. Imaginem se somarmos o tempo do banho. O namorado tem que ter paciência! Exemplo 3: Quantos são os números naturais de três algarismos distintos que existem no nosso sistema de numeração? SOLUÇÃO Candidatos: 0. com A e B disjuntos. Então nós faremos cada caso isolado e depois somamos. Assim: Portanto. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. b) As duas bebidas estarão escolhidas citando um par de elementos. utilizando o princípio aditivo. 3. r3 } e dos tipos de C = {c1 . 8. calça e sapatos ou se iria de vestido e sapato. etc. experimentando apenas as duas blusas.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. 1. Pergunta-se: a) Quantas são as opções para quem escolher uma bebida? b) Quantas são as opções para quem quer tomar um refrigerante e depois uma cerveja? SOLUÇÃO: Vamos então indicar o conjunto dos tipos de 2 × 3 = 6 opções Exemplo 2 Uma moça se arrumava para sair com o namorado. As cadeiras de um dígito serão as de 1 a 9. os três pares de sapatos e os três vestidos que ela está em dúvida. Ex. ou ela vai de vestido e sapato. 12 + 9 = 21 possibilidades OBSERVAÇÃO. estando em dúvida se usava blusa. 5. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra.3. logo existem 2 + 3 = 5 opções. 4. sormany_barreto@hotmail. 9. as duas calças. Para a escolha de um elemento de A ou de um elemento de B existem: Exemplos Resolvidos para entendermos os dois princípios. da maquiagem. quantas combinações de roupas ela terá provado? SOLUÇÃO: Perceba que.: ao contarmos as cadeiras de um auditório não teremos a cadeira 0. passará mais de 1 hora apenas escolhendo a roupa. Se ela provar todas as possíveis combinações de roupas. c2 } Então: a) Escolher uma bebida significa tomar um elemento de R ou de C. logo: DICA DO TIO SORMANY: O zero jamais encabeçará uma contagem. 6. 9 O número não começar por 0 (zero). Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL de m × n maneiras distintas. Exemplo 1: Uma lanchonete que vende três tipos de refrigerantes e dois tipos de cerveja. sendo o primeiro do conjunto R e o segundo do conjunto C.: Se a namorada gastar apenas 3 minutos em cada combinação. dos acessórios.”Este enunciado também vale para um experimento composto por três ou mais experimentos. 7. com a mesma probabilidade de vencer.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. 5. 4. 5.com . 3. 3. 9) • SISTEMA DECIMAL a) O sistema de numeração decimal utiliza os algarismos: 0. sormany_barreto@hotmail. 5. 6. 3. sua contagem é feita em separado. O número de diferentes maneiras para a classificação dos 3 primeiros lugares é igual a: a) 24. 6.650 SOLUÇÃO: → Os passos básicos para resolver os problemas com o Princípio Fundamental da Contagem são os seguintes: i) Identificar as etapas do problema.400 b) 1. 8. temos: 30 × 29 × 28 • DICAS = 24. Temos 30 possibilidades para o primeiro colocado. 4. 1.060 e) 4. 2. b) Os algarismos pares são: 0. Cada cadeado é aberto por meio de uma senha. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Exemplo 4 Quantos números naturais pares e de quatro algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0. 9. ii) Calcular a quantidade de possibilidades em cada etapa. possivelmente perderíamos detalhes importantes como: “Quando o 0 estiver na última casa não haverá restrição na primeira casa”. 7. Nessas condições. 8. o número máximo de tentativas para abrir os cadeados é: a) 518. 6. 2. isto é.360 diferentes maneiras DO TIO SORMANY: • O zero quando aparece nas terminações. temos: 63 Pelo Princípio Aditivo: 60 + 48 = 108 Resposta: 108 números Exemplo 5 (ANEEL) Em um campeonato de tênis participam 30 duplas. fixaremos uma delas e abriremos o problema em vários problemas de uma restrição só. 29 possibilidades para o segundo colocado e 28 possibilidades para o terceiro colocado. 1. 5. por exemplo. 3. Para não cairmos nesse tipo de armadilha. • Entendemos como algarismos significativos (1. 1. 7? SOLUÇÃO: Candidatos: 0. 7 Os números em questão não podem começar por 0 e devem terminar em 0 ou 2: Se tentássemos resolver o exercício em um só bloco. evitaremos trabalhar com duas restrições. 7. enquanto o número 085 tem 2 algarismos.460 d) 4. Assim. iii) Multiplicar. 2. 2. IMPORTANTE: conectivo (ou ) : Soma conectivo(e) : Pr oduto Exemplo 6 (MPOG 2000/ESAF) Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é preciso abrir dois cadeados. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. 4. 3. 2. 5.440 c) 720 d) 120 e) 54 Resolução Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright.360 b) 25. Observação: O número 482 tem 3 algarismos. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. o número 7465382. 9 d) Considerando.240 c) 24. 8 c) Os algarismos ímpares são: 1. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. o número de opções de investimento é 6 + 3 = 9. Muitas pessoas. Logo.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof.1 = 6 4 ! = 4. Analogamente. número inferior a 12. 2 ou 3) e 3 senhas possíveis para o segundo cadeado (esta senha só pode ser 1. Dica: Cuidado com essas desigualdades: 2 x ! ≠ (2 x)! ( n )! ≠ ( n !) 2 2 n! é (a ± b)! ≠ a ! ± b ! Atenção: Ao desenvolvermos um fatorial.2. a segunda senha falha e finalmente a terceira senha funciona. A primeira senha falha.2.. UnB/CESPE – Banco do Brasil S. Por exemplo: 5 + 7! → 5 mais o fatorial de 7. chama-se fatorial de n o número representado por n ! . Item CERTO 9. Exemplo 7 Um correntista do BB deseja fazer um único investimento no mercado financeiro.4! = = 30 4! 4! Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright.4. vamos abrir o segundo cadeado na 720ª tentativa. temos 3 + 3 = 6 tentativas. ( 5 + 7 )! → fatorial de 5 mais 7.440 (esta é a minha opinião) e outras pessoas dizem que a resposta é igual a 720 x 720 = 518. As pessoas que falam “ n fatorial” vão falar assim (erradamente): 5 + 7! → 5 mais 7 fatorial ( 5 + 7 )! → 5 mais 7 fatorial Espero ter convencido que a leitura correta de fatorial de n .(n − 2).3. o número de opções de investimento desse correntista é inferior a 12.1 = 24 5 ! = 5. Resolução: Questão bastante tranquila. vamos abrir o primeiro cadeado na 720ª tentativa.2. .FATORIAL DE UM NÚMERO NATURAL Introduziremos inicialmente o conceito de fatorial que será de grande utilidade nos exercícios de Análise Combinatória DEFINIÇÃO n ∈ . erradamente. Algumas pessoas dizem que a resposta é igual a 720 + 720 = 1.1 para n ≥ 2 Sendo 0! = 1 1! = 1 Exemplos: 2 ! = 2 .. que poderá ser em uma das 6 modalidades de caderneta de poupança ou em um dos 3 fundos de investimento que permitem aplicações iniciais de pelo menos R$ 200.400. temos 720 senhas possíveis para o primeiro cadeado e 720 senhas possíveis para o segundo cadeado.00. Há muitas discussões sobre esta questão na Internet. A primeira senha falha.1 = 120 Observação: A leitura correta da expressão n! é fatorial de n . assim definido: n ! = n.2 . 16/09/2007. Vamos analisar um caso com menos possibilidades para deixar bem claro que devemos somar as quantidades de possibilidades. indicando os últimos fatores também na notação de fatorial. podemos interromper onde for conveniente.1 = 2 3 ! = 3 . Ok? Então temos 3 senhas possíveis para o primeiro cadeado (esta senha só pode ser 1. Se tivermos muito azar.A. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Vamos olhar separadamente para cada um dos cadeados. Vejam que temos 6 possibilidades diferentes para investir em uma caderneta de poupança e 3 possibilidades diferentes de investirmos em um fundo de investimento. O total de senhas de cada cadeado é igual a 720. 6! 6. 2 ou 3. Após abrir o primeiro cadeado. Imagine que a senha de cada cadeado é composta por apenas um algarismo que só pode ser 1. Queremos calcular o número máximo de tentativas para abrir os cadeados. Nessa situação.(n − 1). no nosso problema original. colocando os fatores em ordem decrescente. Cargo: Escriturário. 64 O total de tentativas é igual a 720 + 720 = 1440 . No total.5. vamos imaginar que somos muito azarados e só vamos acertar a senha nas últimas tentativas. Qual o total de senhas de cada cadeado? Tem-se 10 possibilidades para o primeiro algarismo. 9 possibilidades para o segundo algarismo e 8 possibilidades para o terceiro algarismo.4. falam “ n fatorial”.3. se tivermos muito azar.3. sormany_barreto@hotmail. 2 ou 3).com . Esta leitura incorreta pode gerar ambigüidades. a segunda senha falha e finalmente a terceira senha funciona! Vamos para o segundo cadeado. Vamos tentar abrir o primeiro cadeado. Se quisermos calcular o número máximo de tentativas para abrir os cadeados. . 3.9.3 = 10! 10! 10.. Cada maneira possível de se formar um pódio é uma sequência ordenada de três seleções escolhidas entre as quatro semi-finalistas Observe que: (Brasil. Estados Unidos. -Arranjos Simples de n elementos tomados p a p são todos os agrupamentos sem repetição que é possível formar com p ( n ≥ p ) elementos diferentes escolhidos entre os n elementos de um conjunto dado..9. n! (n − p )! Resolvendo o problema anterior. 1. Venezuela e Cuba.7. A competição foi vencida pela seleção brasileira. Se uma pessoa tentar abrir o cofre.6 = = = 56 5!.6.7! = = = 10.9 ! VAMOS RESLOVER? 1)Considere a equação: 6.5! 8. EUA e Cuba) ≠ (EUA.7. embora o pódio seja formado pelas mesmas equipes. mas de quantas maneiras distintas poderia ter sido definido o pódio (ouro. Brasil e Cuba) A quantidade de resultados possíveis é: Pelo princípio fundamental de contagem(Princípio multiplicativo) Para a primeira posição teremos 10 alternativas.8 = 720 7! (10 − 3)! 7! ou As seqüências serão do tipo xyz. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. 9.18. PFC = 10.PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DOS FATORIAIS n ! = n.com . 3! 5!.24. Perceba que ao tratarmos de um código a ordem em que os números aparecem é importante. . sormany_barreto@hotmail. 2.4 ! 10 ! = 10.3 = 4! 4 ! 24 = = = 24 (4 − 3)! 1! 1 O pódio poderia ser formado de 24 maneiras diferentes. temos: A4. quantas tentativas deverá fazer (no máximo) para conseguir abri-lo? Resolução: Faz-se necessário agrupar 3 elementos de um grupo de 10 ( número de algarismos do sistema de numeração decimal).. 3! 8! 8.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. p = Anp = O valor de n . 9.12. .8. os grupos diferem pela ordem (colocações). O segredo do cofre é marcado por uma seqüência de 3 dígitos distintos.TIPOS DE AGRUPAMENTOS Considere o seguinte problema Nos jogos Pan Americanos de 2007. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Exemplo: Calcule o valor de 8! 5!. que verifica essa igualdade é: a) 1 3 b) 3 2 c) 15 2 d) 25 3 e) 50 3 65 2)Qual a soma das raízes da equação (5 x − 7)! = 1 ? a)3 b)4 c)5 d) 8 5 e) 7 5 9.(n − 1)! .8 = 720 Ex: 2)Quantos números de três algarismos distintos Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. 8. Lembre-se de expandir o fatorial de 3. Exemplos: 5 ! = 5.ARRANJOS SIMPLES -Arranjos Simples é o tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes.300 = 216n 50! Observe que no problema acima.2.6. prata e bronze). no Rio de Janeiro. real. O número de arranjos simples pode ser obtido pelo princípio multiplicativo de contagem ou pela fórmula: An . EXEMPLOS RESOLVIDOS PELO TIO SORMANY Ex: 1)Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0... para n ≥ 1 ..1 6 Aqui podemos expandir o fatorial de 8 e “travar” no número 5. 9.7. A10. as quatro seleções semi-finalistas do voleibol masculino foram Brasil. 9 e para a terceira.9. para a segunda.5. Esse tipo de problema é resolvido pela idéia de arranjo. O número de combinações simples é obtido pela fórmula 9. com n≥ p Exemplo Quantas comissões com duas pessoas podemos formar. senhas. PFC = 6. 66PFC = 6. 4. Desejamos fazer uma salada de fruta com 3 destas frutas. usaremos a fórmula: de n elementos tomados ARn . 2. p = C np = n! (n − p )! p! . são chamados de combinações.. 2. posições numa fila indiana. chamamos de combinações simples dos n elementos. {A. p (arranjos com repetição p a p . uvas e bananas.3 = 6! 6! 6. 5. maçã e uva no segundo prato. C}. 5 e 7) e os números (agrupamentos e seqüências) que queremos formar devem ter três algarismos distintos.2 = 62 = 36 OUTRA RESOLUÇÃO: Pelo princípio fundamental C n .8. D}. placas de veículos.6 = 36 OBSERVAÇÃO: Utilizar o PFC na resolução de uma questão significa dizer que. uva no primeiro prato e banana. que têm a característica de não mudar quando alteramos a ordem de seus elementos. tomados p a p .. 4. 2. etc.3! = = = 120 3! ( 6 − 3)! 3! multiplicativo) Para a primeira posição teremos 6 possibilidades e para a segunda. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. É óbvio que obtemos o mesmo resultado. {B. EX: 123 321 145 154 . 4. Observe que invertendo-se a ordem desses algarismos obtemos novos números.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. a ordem em que os números são arrumados no agrupamento faz diferença. Dado um conjunto A com n elementos. C e D. cada um dos agrupamentos (ou subconjuntos) que podem ser formados contendo. de contagem (Princípio A saber: {A. o problema é de arranjo. C}. 2 = 4! 4 ⋅ 3 ⋅ 2! 4 ⋅ 3 = = =6 2!⋅2! 2!⋅2 ⋅1 2 ⋅1 Portanto 6 comissões. então as comissões serão: C 4. p dos n elementos de A . 3. pelo menos um dos elementos. 9. anagramas. DICA: Arranjos são agrupamentos que diferem entre si ao mudar a ordem de seus elementos.com . ARRANJOS COM REPETIÇÃO Para arranjos com elementos repetidos. laranjas.. 6 possibilidades. então picamos separadamente cada fruta e. 5 e 7? Resolução: Temos um total de seis algarismos (1. Agrupamentos como este. que indicamos por ARn . em seguida misturamos tudo na seguinte ordem: maçã. Portanto.COMBINAÇÕES SIMPLES Logo. de tal modo que um agrupamento difira do outro. p = n p Quantos números de dois algarismos podemos formar com os dígitos 1. B.4 = 120 ARRANJOS PISTAS TEXTUAIS: quando se falar em premiações..9. como é para o cálculo do número de arranjos. isto é. Ou Pelo princípio fundamental de contagem(Princípio multiplicativo) Para a primeira posição teremos 6 possibilidades.4. 5 e para a terceira. podemos formar 120 números. números de tantos algarismos. D}. posições para sentar.5. a ordem dos elementos é algo importante na nossa resposta. sormany_barreto@hotmail. {C. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL formamos com os algarismos 1. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. peras. 3. 6 e 7 ? Resolução: AR6. B}.5. havendo quatro pessoas disponíveis? Considerando que as pessoas são A. D}. 4. A6. para a segunda. banana. {A. para essa questão. cada um. DICA Imagine que dispomos das seguintes frutas: maçãs. {B. Uma permutação simples de n elementos distintos é dada por: Pn = A n . 10. SOLUÇÃO: Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright.3.1 = n SOLUÇÃO: Como são cinco pessoas para cinco lugares.. n = 1 MACETES DO TIO SORMANY COMBINAÇÕES PISTAS TEXTUAIS: quando falar em beijos.β .2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Exemplo 1: Foram escolhidas as 5 melhores redações em um concurso promovido pelo jornal Diário e será feita uma foto com os seus 5 autores.. abraços. etc. Todos os elementos participam em cada agrupamento.1. De quantas Devemos permutar Chico e Beti “dentro da caixa”: Devemos permutar Caio. diretorias(desde que não se diferencie os cargos).PERMUTAÇÕES REPETIDOS SIMPLES COM ELEMENTOS O número de permutações simples de n elementos. 67 P5 = 5! = 5. cambiar. códigos(Braille. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL maneiras distintas o fotografo do Diário pode organizar esses 5 alunos para fotografá-los? DICA: Combinações são agrupamentos que não diferem entre si ao mudar a ordem de seus elementos. lado a lado.0 = 1 • Cn . caracterizamos a permutação (troca. dos quais há α repetições de um elemento. Biba e a Caixa: P2 P4 P4 • P2 = 4 ! • 2 ! = 24 • 2 = 48 10. tr. naturalidades. etc. v.). Proibido a reprodução total ou parcial desta obra.p n! = p!(n − p)! Logo: C n . Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti. Permutare v. Diferem entre si ao mudarmos a ordem de seus elementos. profissões.1 = 120 . PROPRIEDADE DAS COMBINAÇÕES SIMPLES C n . na mesma fila.2.n = n! DICA: Permutações é um caso particular do arranjo que cada agrupamento é formado por todos os elementos do conjunto dado. • Cn . Exemplo 2: (Oficial de Chancelaria /ESAF) Chico. PERMUTAÇÃO SIMPLES Permutar do Lat.n−p n! (n − p)!p! Temos então Satisfeitas as condições de existência temos: • Cn ... sormany_barreto@hotmail. pontos e circunferências.4... equipes (de plantão. no sentido de embaralhar). para divulgação do evento. etc.p = C n . um ao lado do outro. trocar uma coisa por outra. de busca. γ ) = n! α !⋅β !⋅ γ ! Exemplo 1 Quantos anagramas possui a palavra ARARAQUARA? O problema surge quando há letras repetidas como na palavra ARARAQUARA. trocar reciprocamente os lugares. deveremos colocá-los dentro de “caixas”. nacionalidades.n −p n = e p C n. Caco. γ repetições de um outro elemento é dado por: Pn ( α .comissões. apertos de mão.).. e desejam sentar-se. é igual a: a) 16 b) 24 c) 32 d) 46 e) 48 Resolução Em todos os problemas de permutação onde houver pessoas ou objetos que obrigatoriamente fiquem juntos. dar reciprocamente. β repetições de um segundo elemento.0. sexos. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Beti fiquem sempre juntos.com . os cinco. e int. tr. 2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. deslocando uma unidade de cada vez para cima ou para a direita? repetidas.2. Calcule de quantas maneiras diferentes a partícula pode realizar uma sequência de 10 movimentos terminando na posição de partida. a úncia csioa iprotmatne é que a piremria e útmlia lrteas etejasm no lgaur crteo. o número de permutações de 10 elementos. com o intuito de formar outras palavras com ou sem sentido. isto é.3. 10. a letra A três.2 ! 2!.5.2 ! Exemplo 3 Uma partícula desloca-se sobre uma reta. o número de soluções naturais é igual à quantidade de permutações possíveis de se fazer com três símbolos. O MODELO DE PAU e BOLA Qual o número de soluções naturais da equação x+ y=2 ? Observe que cada solução da equação está associada a uma das permutações.9. 4 !.8. mas a plravaa cmoo um tdoo.5! = = 5.3.040 5!. a cada movimento. com repetição.com .5.5) = 10 ! 10.6. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra.2) •• •• em que o número de bolas antes do traço é o valor de x. o total de caminhos existentes será igual ao total de anagramas da palavra hipotética: “DDDDCCC” “DDCCCDD” é um anagrama e um tipo de trajeto! “DCDCDCD” é um anagrama e um tipo de trajeto! “DDDCCCD” é um anagrama e um tipo de trajeto! “DCCCDDD” é um anagrama e um tipo de trajeto! Logo: P7(4.5 ! = = 252 5 !.3! De aorcdo com uma pqsieusa de uma uinrvesriddae ignlsea.1) (0. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright.3 ! Falando em anagramas.4 ! = = 35 4 !⋅ 3!.3!. o número de anagramas da palavra ARARAQUARA é igual P10(5. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Nesta palavra a letra A aparece 5 vezes e a letra R aparece 3 vezes. RESOLUÇÃO: Para que a partícula realize os 10 movimentos e pare exatamente no lugar de onde saiu. Exemplo 2 SOLUÇÃO: Quantos são os anagramas da palavra MATEMÁTICA? Temos 10 elementos. não ipomtra em qaul odrem as lrteas de uma plravaa etãso.6.1.3! = = 151 200 2 !⋅ 3!. Devemos dividir o 10! por 5! e por 3! que são as quantidades de letras repetidas.8. sormany_barreto@hotmail. conforme o modelo a seguir: (2. Observe que a letra M está repetida duas vezes.9. percorrendo 1 cm para esquerda. devemos calcular o número de permutações dos elementos DDDDDEEEEE. Aparentemente a quantidade de anagramas seria 10! (pois há 10 letras na palavra).5 ! RESPOSTA: De 252 maneiras.4. quantos caminhos diferentes podem ser percorridos do ponto A ao ponto B. sabia que ARGENTINO é um anagrama de IGNORANTE? NOTA: O anagrama é um jogo de palavras que utiliza a transposição ou rearranjo de letras de uma palavra ou frase.3! 5!. Explicando melhor: chamando os sentidos de D(direita) e E(esquerda). Itso é poqrue nós não lmeos cdaa lrtea isladoa. Isto pode ser encontrado assim: P10(5. duas vezes.7.9.8.3) = 7! 7. ou seja.4.2) = 10! 10.2.5 ! 5. de forma que tenhamos 5 elementos D e 5 elementos E. e o número de bolas depois do traço é o valor de y.3) = 10 ! 10.6. ou para direita.6. a letra T. dentre os quais dois são repetidos.7. Exemplo 3 SOLUÇÃO: Chamando cada deslocamento para a direita de “D” e cada deslocamento para cima de “C”.0) • • (1. 68 P10(2. Devemos fazer uma “correção” por conta das letras Na figura abaixo. Portanto. são necessários 5 movimentos para um sentido e também 5 movimentos em sentido contrário. Assim. O rseto pdoe ser uma ttaol bçguana que vcoê pdoe anida ler sem pobrlmea.7. Vamos construir um armário. todos Item Correto. ou seja: ( PC ) n = ( n − 1)! Permutação Circular é um caminho de resolução que será utilizado quando estivermos em um problema que sai por Permutação. Exemplo: Julgue o item abaixo em Certo ou Errado. Temos 3 marcas de cadernos e queremos utilizar 5 cadernos para formar um pacote. (BB 2009/CESPE-UnB) Com 3 marcas diferentes de cadernos.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. ela pode ter outras formas: quadrada.. oval. y e. o número de permutações objetos distintos. Como há 3 marcas de cadernos. Duas divisórias(paus) iguais e 5 bolinhas(bolas) iguais. precisamos de apenas 2 divisórias. a quantidade de maneiras distintas de se formar um pacote contendo 5 cadernos será inferior a 25. São também questões de permutação circular: o número de maneiras de se fazer um colar com 13 contas Número de soluções inteiras positivas: Cnk−−11 Número de soluções inteiras não negativas: Cnk+−k1−1 10. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra..2) 7! 7. x+ y+ z =5 As incógnitas x. PERMUTAÇÕES CIRCULARES De quantos modos podemos colocar n objetos distintos em n lugares equiespaçados em torno de um círculo. + xk = n ( n ∈ * ) circular.. DICA DO TIO SORMANY: Dada uma equação linear: os elementos do grupo terão um elemento a sua esquerda e a sua direita. Então. Repare que nas permutações simples importam os lugares que os objetos ocupam ao passo que nas permutações circulares o que importa é apenas a posição relativa dos objetos entre si. A resposta desse problema é representada por circulares de n ( PC ) n .5! 42 = = = = 21 5!. z Solução: representam os marcas diferentes de cadernos e 5 o total de cadernos. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL P3( 2 ) = 3 soluções. Exemplo1: De quantas maneiras distintas 6 pessoas podem ocupar 6 lugares em torno de uma mesa redonda? Resolução: PC( 6 ) = ( 6 − 1 )! = 5 ! = 120 MEMORIZE O ESQUEMA DO TIO SORMANY A pergunta que propomos considera as 3 posições acima Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright.3. a mesa não precisa necessariamente ser x1 + x2 + x3 + .com . para obtermos o número de permutações circulares de n elementos distintos.2 ! 5!.2! 2 como equivalentes.6... 69 Temos 7 objetos para permutar. fixam um deles numa posição e permutamos os ( n − 1 ) restantes nas outras posições. e em que os elementos do subgrupo estarão dispostos em uma linha fechada. Isso porque podemos obter a segunda e a terceira disposições por uma simples rotação da primeira disposição. Os 5 cadernos que serão utilizados na formação dos pacotes serão representados por bolinhas. Generalizando. sormany_barreto@hotmail. se considerarmos equivalentes disposições que possam coincidir por rotação? coloridas. o número de maneiras de dispor sete crianças em uma brincadeira de roda etc. P7(5. ou seja. 1 10. p∈.CCA. Para calcularmos número de combinações com repetição. mostrando em seguida.3! 4 !. AAD. De quantas formas diferentes posso servir 3 pessoas com esse refrigerante? Resolução: Primeiramente. aos 70 grupamentos que contêm p elementos.3! 3 !.BBA.3! = = 20 3!. usaremos a seguinte fórmula: CR = C p n Em que p n + p −1 =C n −1 n + p −1 n∈. Princípio da Casa dos Pombos. y . Princípio da Garantia mínima ou Princípio de Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright.onde as representam a quantidade que vamos servir de cada refrigerante(podendo. AAC.3) = 7! 7. sendo dois desses grupamentos considerados distintos quando diferirem por pelo menos um elemento. CR 35 = C33+ 5 −1 = C 37 = n = 5 (são 7! = 35 3!. ser zero).5.5.3 ! = = 20 3 !.6. ABD.BCD. BBD.BBB. alguns ou todos iguais entre si. C e D .1 A título de ilustração.BBC.CCB.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Outra resolução: É importante salientar que o mesmo problema poderia ser interpretado com o número de soluções inteiras e não negativas da equação linear x + incógnitas x.3! 3!. considerando n elementos. Utilizando a fórmula teríamos combinações com elementos repetidos de 4 elementos tomados três a três.4! Exemplo2: Tenho quatro tipos de refrigerantes A.DDA. z e w y + z + w = 3 .DDD. AAB.4. os agrupamentos são: AAA.5! = = 35 4 !. w e t representam os dedos e 3 o total de anéis. B. CR 34 = C 34 + 3−1 = C 36 = 6! 6. pois podemos ter dedo sem anel ou até dedo com três anéis.4. Obviamente que procuramos soluções naturais da equação dada.2.CCD.com 5 .COMBINAÇÕES COM REPETIÇÃO OU COMBINAÇÕES COMPLETAS Chamamos de combinações completas ou combinações com repetição de n elementos tomados p a p . Exemplo1: (CESPE) De quantas formas diferentes posso distribuir 3 anéis iguais pelos 5 dedos das mãos? a)20 b)35 c)50 d)60 e)70 Resolução Creio ser mais cômoda uma solução que não utiliza a fórmula acima.CCC. onde as incógnitas x. O problema pode ser traduzido pela equação x + y + z + w + t = 3 .2. Vou apresentá-la em primeiro lugar.5. note-se que é possível que duas pessoas queiram o mesmo tipo de refrigerante ou até mesmo que as três queiram o mesmo tipo de refrigerante. encontramos facilmente o p = 3 (são 3 anéis).3. Princípio das Gavetas. como fica a resolução com a fórmula.3! Outra resolução Se quiséssemos utilizar a fórmula do número de combinações completas ficaríamos com dedos) e 10. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. z .4. tomados p a p . ABC. ACD. y . P6(3. sormany_barreto@hotmail. Pegando carona no exercício resolvido anteriormente no modelo de paus e bolas.3) = 6! 6. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL número de soluções da equação dada: P7(4.3.DDC. inclusive.DDB. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. ou seja. então pelo menos uma delas conterá pelo menos dois objetos. qualquer camisa que ela tirar será uma repetida. 71 Conclusão: Pelo menos dois pombos entrarão no mesmo buraco. Uma noite. cada pombo teria seu buraco. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Exemplos Resolvidos pelo tio Sormany: Exemplo 1 (ANPAD-2010)Para se garantir que em uma sala de aula. nove amarelas. se tivéssemos 20 pombos e 20 buracos. Imaginemos que a ‘nossa amiga’ Ana seja uma pessoa muito azarada. É um assunto muito fácil de Análise Combinatória que não é abordado nos livros de ensino médio. no máximo. três verdes e três vermelhas.Então. há uma explosão que os afugenta. Uma outra leitura do mesmo Princípio seria: “Se n objetos forem colocados em. Devemos sempre pensar nos casos extremos. Regra geral: Número de mínimo de pessoas: 12 × 5 + 1 = 61 Exemplo 2 (MPU)Ana guarda suas blusas em uma única gaveta em seu quarto. havendo 60 pessoas. II)Como temos 21 pombos. aquele que sobrou ocupará um dos 20 buracos possíveis. Como queremos pelo menos 6 pessoas no mesmo mês. Logo. O princípio do pombal ou princípio da casa dos pombos é a afirmação de que se n pombos devem ser postos em m casas. teoria dos números. sormany_barreto@hotmail. Ana abre a gaveta e pega algumas blusas. O número mínimo de blusas que Ana deve pegar para ter certeza de ter pegado ao menos duas blusas da mesma cor é : a)6 b)4 c)2 d)8 e)10 Solução: Chamo este tipo de questão de 'Princípio do Azarado'! Vamos na tática do Azarado. já ocupados por um outro pombo. temos então 61 pessoas. Então. Este princípio pode ser aplicado em alguns problemas de matemática elementar. serão 6 camisas antes de uma da mesma cor. 5 aniversariando no mesmo mês. no mínimo: a)18 pessoas b)36 pessoas c)61 pessoas d)66 pessoas e)72 pessoas Solução: Como o ano tem 12 meses. Veja o seguinte exemplo: Imagine que estamos em um parque e à nossa volta há 21 pombas. com certeza. não tem mais jeito. n − 1 gavetas. nas piores das hipóteses – devemos nos colocar na pele de um extremo azarado. pode ocorrer que existam. Todos fogem para um pombal próximo com 20 buracos. e se n > m então pelo menos uma casa irá conter mais de um pombo. exemplificando. temos: 1ª camisa = azul 2ª camisa = amarela 3ª camisa = preta 4ª camisa = verde 5ª camisa = vermelha Como nós dissemos: QUE MULHER AZARADA! Agora. geometria. eles se espalham na média. uma preta. no escuro.” DICA Gosto de apelidar este Princípio da Casa dos Pombos de “O princípio do azarado”.com . havendo 13 pessoas na sala. De repente.Nela encontram-se sete blusas azuis. com certeza pelo menos 2 aniversariam no mesmo mês. Hipótese do modelo: I)Vamos considerar que cada pombo ocupe um buraco. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Dirichehlet.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. é necessário que existam. Um tópico muito comum em provas de concursos públicos é denominado “Princípio da Casa dos Pombos” ou “Princípio das Gavetas” ou ainda “Princípio de Dirichlet” (em homenagem ao matemático alemão Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 -1859). combinatórias na teoria dos grafos. haja pelo menos 6 pessoas que aniversariam no mesmo mês. que ela tirará todas as cores de camisa antes de tirar uma repetida Então. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Exemplo 3 (APO-MPOG 2008/ESAF) Marcos está se arrumando para ir ao teatro com sua nova namorada. ele corre até uma de suas gavetas onde guarda 24 meias de cores diferentes. Se dois estudantes matriculados num mesmo ano devem ter. Pedrinho decidiu pintar sua bandeira utilizando as quatro cores da bandeira do Estado de Rondônia. O vendedor lhe informou apenas que os Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright.046 (B)9. obrigatoriamente. o número mínimo de meias que Marcos deverá tirar da gaveta para ter a certeza de obter um par de mesma cor é igual a: a) 30 b) 40 c) 246 d) 124 e) 5 Resolução Vamos imaginar que Marcos é uma pessoa extremamente azarada. com certeza.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. a saber: 5 pretas. 7 azuis e 3 amarelas. Marcos precisa então de 5 meias (no pior dos casos teríamos 1 preta. representada abaixo. mas o azar mora ao seu lado. 1 branca. c) alguma coluna não tem casas ocupadas. Marcos então retira uma meia branca. de quatro listras verticais. Apressado. uma branca. teremos ocupado 72 5 × 6 = 30 casas. obrigatoriamente.000 (E)20. qual é o número máximo de estudantes que podem ser matriculados em 2008? (A)6. se duas listras seguidas devem. Marcos tem em mãos 4 meias: uma preta. Os números seguem um padrão: o primeiro dígito não pode ser zero. o número de matrícula dos estudantes é formado por 7 dígitos. Ele torce que a segunda meia também seja preta. d) alguma linha tem pelo menos 6 casas ocupadas. Ele quer tirar meias da mesma cor. de Se Yin e Yang fossem dispostos em 8 linhas. A próxima meia. É possível que a primeira meia seja preta? Sim! Então vamos supor que a primeira meia retirada por Marcos tenha sido preta. 32 casas estão ocupadas.com . Exemplo 4 3)(CESPE) Em um tabuleiro com 6 linhas e 9 colunas. mas lembre-se: o azar está colado com Marcos. números de matrícula diferentes.000 3)Pedrinho precisava inventar uma bandeira para representar seu grupo em um trabalho escolar. Podemos afirmar que: a) todas as colunas têm pelo menos 3 casas ocupadas. ser de cores diferentes? a) 24 b) 48 c) 72 d) 96 e) 108 4)Carlitos comprou um cofre cujo segredo é formado por 3 números. o ano da matrícula. uma meia amarela. Para que Marcos não saia com sua namorada vestindo meias de cores diferentes. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. será de uma das cores que Marcos já possui em mãos.080 (D)18. De quantos modos essa bandeira poderá ser pintada.000 (C)10. b) nenhuma coluna tem mais de 3 casas ocupadas. 1 amarela e mais uma para formar o par) para ter certeza que pelo menos duas vão ser da mesma cor.isto é. quando todas as luzes de seu apartamento apagam. “4234. uma azul e uma amarela.207” é um número de matrícula atribuído a um estudante que iniciou seu curso no segundo semestre de 2007. A partir deste ponto. 1 azul. repetidos ou não. em 3 linhas. em seguida. Como há 32 ocupadas. sormany_barreto@hotmail. Em certa universidade. o anti-penúltimo indica em que semestre (primeiro ou segundo) foi iniciado o curso e os dois últimos. Por exemplo. haveria quantas possibilidades de disposição? (A) 512 (B) 256 (C) 128 (D) 63 (E) 32 3)(CESGRANRIO-2008). Ele começa a retirar as meias. Ele criou uma bandeira simples. e) todas as linhas têm pelo menos 4 casas ocupadas Solução: Ocupando 5 casas em cada linha. não tem azar que consiga impedir o objetivo de Marcos. é porque há duas linhas com 6 casas ocupadas ou há uma linha com 7 casas ocupadas. Marcos continua a sua “onda” de azar e tira uma meia azul e. alguma linha tem PELO MENOS 6 casas ocupadas EXERCÍCIO DO CONCURSEIRO –NÍVEL 1 1)(Petrobras 2008 Cesgranrio) Quantos são os números naturais pares que se escrevem (na base 10) com três algarismos distintos? (A) 256 (B) 288 (C) 320 (D) 328 (E) 360 2)(TJ Rondônia 2008 Cesgranrio) A figura acima ilustra as 8 possibilidades de disposição. 9 brancas. Quantos capícuas de quatro algarismos se pode conseguir com os algarismos significativos? a) 60 b) 67 c) 74 d)81 e) 96 12)(CESPE)Para a codificação de processos. Sabendo-se que dois círculos consecutivos nunca serão pintados com a mesma cor. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. Foi informado também que o número nunca era par. mas se esqueceu da senha. ache a quantidade de números errados que poderá compor? 8)(CESPE-UnB) Uma pessoa joga simultaneamente 3 dados de cores diferentes. Beatriz pede emprestado à Ana quatro pares de sapatos. 9)(CESPE)Uma fábrica produz três modelos de carro. O número de processos que podem ser codificados por esse sistema de modo que em cada código não haja repetição de letras ou de algarismos é superior a 470. opcionalmente. 13)Uma senhora idosa foi retirar dinheiro em um caixa automático. 7. tais que: a) sejam pares b) sejam múltiplos de 5 e tenham os algarismos distintos? 73 7)(CESPE-UnB) Um rapaz está em dúvida quanto a 4 algarismos consecutivos do telefone da namorada. Qual é o número máximo de tentativas que Carlitos deverá realizar para descobrir o segredo do cofre se: (a) no segredo não há dígito repetido? (b) no segredo é possível repetir dígito? 5)Cada um dos círculos da figura ao lado deverá ser pintado com uma única cor. O número de processos que podem ser codificados por esse sistema utilizando-se letras iguais nas duas primeiras posições do código é superior a 28. o cliente pode adquirir. no sistema de numeração decimal. o terceiro era menor que 5 e o quarto e último era ímpar . existem entre 300 e 900? Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. que o primeiro algarismo era 8 .com .2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. 74 847). Qual o maior número de tentativas que ela pode fazer no intuito de acertar a senha? a)13 b)60 c)75 d)78 e)80 14)(AFC-STN 2008/ESAF) Ana possui em seu closed 90 pares de sapatos. sormany_barreto@hotmail. o segundo era par . Ana retira do closed quatro caixas de sapatos.000. cujos algarismos são todos ímpares e distintos. Sabendo-se que os algarismos são todos distintos. Lembrava que não havia o algarismo zero. todos devidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. julgue os itens que se seguem. O número de processos que podem ser codificados por esse sistema é superior a 650. escolhidos entre os de 0 a 9. o protocolo utiliza um sistema com cinco símbolos. Para cada modelo o cliente deve escolher entre sete cores diferentes. 3. O número de retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a: a) 681384 b) 382426 c) 43262 d) 7488 e) 2120 15) (INSS 2009/FUNRIO) Quantos números inteiros. 5. Calcule o número de casos possíveis em que o dado vermelho apresenta o mesmo resultado que o branco. Atendendo ao pedido da amiga. cinco tipos de estofamento e vidros brancos ou verdes. o limpador de vidro traseiro. vermelha e branca. sendo duas letras de um alfabeto com 26 letras e três algarismos. 2002. Sabe quais são esses algarismos. De quantas maneiras distintas essa fábrica pode montar carros para atender a todas as possíveis escolhas desses clientes? a)60 b)70 c)140 d)210 e)420 10)Quantos são os números naturais de 3 algarismos distintos ? a)900 b)648 c)720 d)820 e)848 11)Um número capícua é aquele que não se altera quando lido da direita para esquerda ou da esquerda para direita(por exemplo: 101. mas não se lembra da ordem em que aparecem. escolhida dentre quatro disponíveis.000. 8 e 9. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL algarismos usados para os segredos dos cofres são 1. Além disso.000. As cores dos dados são amarela. então o número de formas de se pintar os círculos é: a) 100 b) 240 c) 729 d) 2916 e) 5040 6) Quantos números naturais de quatro algarismos existem.Supondo que as letras ocupem sempre as duas primeiras posições. Além disso. de tal maneira que a soma dos três números retirados não ultrapasse 28? (A) 528 (B) 525 (C) 515 (D) 462 (E) 459 26)(Petrobrás 2006 Cesgranrio) Uma mesa redonda apresenta lugares para 7 computadores. amargo. c) 48. y e z números naturais positivos. é: e) 12! − 8! a) 12! b) 8!. que não apresentam as cinco vogais juntas. Em uma promoção. d) 77.6.4. mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos.
[email protected] são . repetidos ou não. ou Carla ou Denise. pode-se formar diversos anagramas — anagrama é qualquer palavra. Duas bolas serão retiradas da Urna A simultaneamente e ao acaso. um ao lado do outro. mas não a posição desses algarismos na senha.12}.000. o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a: a) 420 b) 480 c) 360 d) 240 e) 60 74 18) Considere as letras da palavra ESCOLA. De quantos modos podemos arrumar os 7 computadores na mesa de modo que dois deles. vão participar de um desfile de modas. Com este procedimento. há 8 bolas idênticas.2.3. branco ou com amêndoas. sendo n igual a (A) 4 (B) 10 (C) 12 (D) 16 (E) 20 Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. não fiquem juntos. de modo que André e Enzo nunca fiquem juntos? a) 120 b) 96 c) 72 d) 54 e) 24 25)(Petrobras 2010 Cesgranrio) Em uma urna. Em uma segunda. é (A) 13 (B) 15 (C) 17 (D) 19 (E) 21 28)(BB 2010 Cesgranrio) Uma loja vende barras de chocolate de diversos sabores. ficam em pé. cada uma com um número diferente retirado do conjunto {1. A quantidade de anagramas que é possível formar com as letras de RIO BRANCO é superior a 360. julgue os seguintes itens. Com base nessas informações. ou Beatriz. a quantidade de tentativas mal sucedidas realizadas pelo “hacker” foi a) 50. e) 64. Em seguida. um cliente que comprar as três barras na promoção poderá escolher os sabores de n modos distintos. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra.2. Carla e Denise. e) 71.4. com significado ou não. cada uma com um número diferente retirado do conjunto {0.1.7. é: a) 60 b) 36 c) 240 d) 720 e) 120 21)O número de anagramas da palavra VESTIBULANDO. há 12 bolas idênticas. se os pais devem ficar sempre juntos. desde que estas fossem dos sabores ao leite.5.8. Denise não poderá ser a primeira da fila. A quantidade de anagramas que é possível formar com as letras de RIO BRANCO de modo que as letras R.6. Carlos. que pode ser formada a partir das letras fornecidas. Assim.5! d) 12! − 8! 24) (PRONIMP) De quantas formas diferentes podem ser colocados em fila André. considerando equivalentes disposições que possam coincidir por rotação? (A) 120 (B) 240 (C) 480 (D) 720 (E) 840 27)Cesgranrio) O número de elementos do conjunto soluções da equação x + y + z = 8 . Davi e Enzo. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas. Assim. c) 65. b) 58. nessa ordem? e)Quantos anagramas têm as letras ES juntas? 19)(CESPE)Com as letras que formam o nome da capital RIO BRANCO.9. 17)(AFRE-MG 2005/ESAF) Sete modelos. previamente determinados. Ele então desenvolveu um programa de computador para testar combinações distintas desses algarismos até obter o acesso ao sistema pretendido. e O fiquem juntas e nesta ordem é inferior a 5. I. d) 36.5. uma bola será retirada ao acaso da Urna B.11.5! c) 12! − 8!. o “hacker” conseguiu descobrir a senha após testar 10% de todas as possibilidades. denominada Urna A. onde x .7}. Finalmente.3. 16)(Assistente Administrativo – FURP 2010/FUNRIO) Um “hacker” descobriu os seis algarismos de uma senha. Beatriz. denominada Urna B. b) 27. era possível comprar três barras de chocolate com desconto. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL a)24.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof.000 20)Um casal e seus quatro filhos. O número de modos que eles poderão se dispor. Bruno. a última de cada fila só poderá ser ou Ana. entre elas Ana. a)Quantos anagramas podemos formar? b)Quantos anagramas começam por vogal? c)Quantos anagramas começam por vogal e terminam em consoante? d)Quantos anagramas têm as letras ES juntas.10. Sabendo-se que a senha é formada por algarismos distintos. ao posar para uma fotografia. De quantas formas diferentes esse processo pode ser feito. S ou T.520 (C)5. para norte(N) ou para leste(L). Com cinco engenheiros e dez técnicos. como mostra a figura. O número total de lutas que podem ser realizadas.784 34)Quantos números distintos podem ser escritos permutando-se. Celso. Em uma fábrica de bijuterias são produzidos colares enfeitados com cinco contas de mesmo tamanho dispostas lado a lado. De quantos modos distintos é possível escolher as cinco contas para compor um colar. R.com . b) GUANABARA c) PARALELOGRAMO 36)Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra PAPAGAIO que começam e terminam com a letra P? 37)Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal. Pedro. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL 29)(BB 2010 Cesgranrio) João. uma única vez.760 (C)62. por sorteio. O número de moças é.800 33)Quantos números naturais de 5 algarismos apresentam dígitos repetidos? (A)27. de quantos modos distintos é possível distribuir os demais aprovados pelas unidades restantes? (A) 12 (B) 24 (C) 48 (D) 90 (E) 120 30)(CESGRANRIO-PETROBRAS-2008).880 (E)3. os algarismos do número 21 555 225? a) 280 b) 420 c) 432 d) 700 e) 840 b) 20! 2 c) 19! d) 19! 2 e) nda 39)Há 12 inscritos em um campeonato de boxe. pode escolhê-las de N formas.
[email protected] APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. é a) 12 b) 33 c)24 d)66 e)132 40)Um grupo de estudantes encontra-se reunido em uma sala para escolher aleatoriamente.760 (E)72. O valor de N é (A) 3 (B) 10 (C) 15 (D) 35 (E) 125 75 32)Quantos são os anagramas da palavra PETROBRAS que começam com as letras PE. todas e apenas entre si. igual a: a) 10 b) 14 c) 20 d) 25 e) 45 41)Uma equipe de pesquisa da universidade deve ser formada por um engenheiro e quatro técnicos. o número de diferentes equipes que poderão ser formadas é: a) 15 b) 210 c) 1050 d) 2520 e) 25 200 42)Unindo-se os vértices de um decágono. Q. uma única vez. Cada um trabalhará em uma unidade diferente da empresa: P.040 (D)362. Quantas trajetórias (caminhos) existem da origem ao ponto P(7. quem entre eles irá ao Simpósio de Matemática do próximo ano. se a primeira e a últimas contas devem ser da mesma cor. ficam determinados: a) 110 triângulos b) 350triângulos c) 120 triângulos d) 710 triângulos e) 720 triângulos 43)Entre 6 livros de autores diferentes. portanto. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra.784 (D)69. Raul e Marcos foram aprovados em um concurso. Há um total de 150 cumprimentos. todos e apenas entre si. entre os inscritos. nesta ordem? (A)720 (B)2. sem que haja preferência por uma determinada marca. Considerando que João já foi designado para trabalhar na unidade P. as moças cumprimentam-se. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. de todos os modos possíveis. Uma pessoa que deseje comprar 3 latas de refrigerante. O grupo é composto de 15 rapazes e de um certo número de moças. Os rapazes cumprimentam-se.216 (B)59.5)? a) 612 b) 638 c) 780 d) 792 e) 810 38)O número de maneiras em que podemos dispor 20 pessoas em torno de uma mesa redonda é: a) 20! As contas estão disponíveis em 8 cores diferentes.628. uma pessoa quer 35)Quantos anagramas têm as palavras abaixo: a) NATÁLIA escolher 3 para presentear: a)três amigos(um livro para cada amigo). a segunda e a penúltimas contas devem ser da mesma cor e duas contas consecutivas devem ser de cores diferentes? a) 336 b) 392 c) 448 d) 556 e) 612 31) Em um supermercado são vendidas 5 marcas diferentes de refrigerante. Ele só pode dar um passo de cada vez. está representada apenas uma das várias possibilidades de caminhos que ele pode escolher.02. 05. na sala 2 fiquem 3 pacientes e na sala 3 fiquem. Quando Ribamar vai de casa (esquina 1) até o shopping Aldeota (esquina 2). quantos pratos podem ser formados.600 c) 4. Pedro sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas no próximo concurso estarão entre as seguintes: 01. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL b)um só amigo com os três livros.000 e) 42. Beatriz precisa distribuir esses 10 pacientes em três salas diferentes. Quantos caminhos diferentes. (B) mais de 1 ano e meio e menos de 2 anos. de modo que a arrumação de um dia nunca era a mesma dos dias anteriores. também. tendo. 35.440 b) 5. ele pode escolher para ir de casa até o shopping? 76 (A) mais de 2 anos. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. nas três diferentes salas. (C) mais de 1 ano e menos de 1 ano e meio.45. Para obter melhores resultados neste programa. é igual a: a) 2. sem voltar. 46)Com seis tipos de doce e cinco tipos de fruta. 32. dois tipos de doce e dois tipos de fruta? (A) 300 (B) 150 (C) 75 (D) 50 (E) 25 a)32 b)64 d)124 d)126 e)128 45) Marli colocou cada um dos 6 objetos diferentes em uma prateleira do móvel.000 48)Na mega sena são sorteadas seis dezenas de um conjunto de 60 possíveis ( as dezenas sorteáveis são de 01. O número mínimo de apostas simples para o próximo concurso que Pedro deve fazer para ter certeza matemática de que será um dos ganhadores caso Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright..60). Ela conseguiu fazer isso durante 47)(APO-MPOG 2009/ESAF) Beatriz é fisioterapeuta e iniciou em sua clínica um programa de reabilitação para 10 pacientes.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. 10... 3 pacientes. sormany_barreto@hotmail. cada um. 18.com . (E) menos de 6 meses. 02.. ele percorre exatos 9 quarteirões. Na figura. Quantas são as maneiras que essa pessoa tem de presentear os livros? 44)(CESPE)A figura abaixo mostra um mapa de uma pequena parte da cidade de Fortaleza. consiste em escolher 6 dezenas. de modo que na sala 1 fiquem 4 pacientes. Assim. o número de diferentes maneiras que Beatriz pode distribuir seus pacientes. (D) mais de 6 meses e menos de 1 ano.200 d) 24. Uma aposta simples ( ou aposta mínima). representado abaixo. na Mega Sena .03. todos e apenas entre si. seguida de uma assertiva a ser julgada. O total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações com a equipe A em primeiro lugar é 15. o jogador dispõe de uma tela onde pode selecionar de 1 a 4 jogadores. salpicão e mista —. mas Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Se a equipe A for desclassificada. portanto. julgue os itens a seguir. (D) 5. todos os juízes têm competência para julgar qualquer um dos 3 processos. o número de jogos será superior a 12. 02)(CESPE/BB/2009)Com relação a lógica sentencial. o número de códigos distintos disponíveis para esse cadastramento é igual a (A) 11. O número de moças é.100. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. A proposição Se x é um número par. uma instituição usa códigos numéricos de 2 algarismos. O grupo é composto de 15 rapazes e de um certo número de moças. O total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações é 58. D e E disputem um torneio que premie as três primeiras colocadas. então o total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações será 24. uma única vez. 07)(STJ 2008) Com relação a contagem. Há um total de 150 cumprimentos. a quantidade de maneiras distintas de se formar um pacote contendo 5 cadernos será inferior a 25. contagem e combinação. todas e apenas entre si.000. com certeza. os processos são protocolados com números de 6 algarismos de 0 a 9 e o primeiro algarismo refere-se ao número da sala onde o processo foi arquivado. (D) 7. Ao iniciar um videogame. a quantidade n de refeições possíveis de serem escolhidas por um cliente será (A) n ≤ 9 (B) 10 ≤ n ≤ 14 . (B) 3.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. (C) 5. outra tela onde pode selecionar de 1 a 3 níveis de dificuldade e. as moças cumprimentam-se. de 3 algarismos e de 4 algarismos. o total de processos que podem ser arquivados nas salas de números 4 e 5 é superior a 300. Em um tribunal. frango com arroz ou massa italiana — e uma sobremesa — doce de leite ou pudim —. a quantidade de formas distintas de se jogar esse videogame é superior a 25.850. dois representantes do grupo de solteiros ou do grupo de casados? (A) 1. cada um dos próximos itens apresenta uma situação hipotética. Os rapazes cumprimentam-se. igual a: a) 10 b) 14 c) 20 d) 25 e) 45 55)Em um concurso público. (E) n ≥ 25 05)(CENTRO DE PERÍCIAS “RENATO CHAVES”-PARÁ CESPE-2007) Para proceder a uma investigação criminal. A partir dos algarismos de 0 a 9. são. Nessa situação. Em um torneio em que 5 equipes joguem uma vez entre si em turno único. "casado" ou "solteiro". Levando em consideração que as únicas respostas à pergunta: "estado civil". qual o número mínimo de candidatos dessa sala a que deveríamos fazer essa pergunta para obtermos. Nessa situação. 56 são casados. C. 04)(TER-MG-2009) Em um restaurante que ofereça um cardápio no qual uma refeição consiste em uma salada — entre salada verde.990. (B) 9. uma tela onde pode selecionar de 1 a 3 velocidades para o jogo. dentre os 60 candidatos de uma sala de provas. (C) 5. um prato principal — cujas opções são bife com fritas. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL o seu sonho esteja correto é: a) 8 b) 28 c) 40 d) 60 e) 8 49)Um grupo de estudantes encontra-se reunido em uma sala para escolher aleatoriamente. Nesse tribunal.com .040. o desembargador tem a sua disposição 10 juízes para distribuir 3 processos para julgamento: um da área trabalhista. sormany_barreto@hotmail. a quantidade de procedimentos distintos que o perito tem à disposição para realizar a mencionada investigação é igual a a)4 b)9 c)14 d)45 06) (CENTRO DE PERÍCIAS CIENTÍFICAS “RENATO CHAVES” PARÁ CESPE 2007) Para cadastrar seus equipamentos. por último. (E) 9. então y é um número primo é equivalente à proposição Se y não é um número primo. Com 3 marcas diferentes de cadernos. peixe com purê. Em um tribunal. uma única vez. não sendo permitidas repetições de algarismos. um perito dispõe de 9 procedimentos distintos que empregam apenas recursos eletrônicos e outros 5procedimentos distintos que empregam apenas recursos humanos. (C) 15 ≤ n ≤ 19 (D) 20 ≤ n ≤ 24 . por sorteio. quem entre eles irá ao Simpósio de Matemática do próximo ano.Nesse caso. então x não é um número par. B. 03)(CESPE MPE/AM)Julgue o item seguinte. julgue os itens a seguir. outro da área cível e o terceiro da área penal. 77 EXERCÍCIO DO CONCURSEIRO –NÍVEL 2 1)(CESPE/BB/2009) Considerando que as equipes A. aguardando a decisão de juiz. sormany_barreto@hotmail. identificado como código da vara jurídica correspondente à região geográfica.000 códigos distintos O número total de códigos diferentes formados por 3 letras distintas é superior a 15.000 protocolos distintos. entre 0 e 9. empresas públicas ou privadas utilizam códigos para protocolar a entrada e a saída de documentos e processos. O terceiro desses campos. pode ocorrer 1 (cara) ou 0 (coroa) e as ocorrências são registradas em uma seqüência de dez dígitos. Um órgão especial de um tribunal é composto por 15 desembargadores. sendo permitida a repetição de caracteres. Bruna. A comissão deve ser composta por 3 técnicos de informática e 5 técnicos administrativos. Cláudio. Considere que um código seja constituído de 4 letras retiradas do conjunto {q. 11)(Técnico do TCU ) Em geral. sendo permitida a repetição de caracteres. Então. cuja função é julgar os processos. ou que seja um processo solucionado sem mérito. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. A probabilidade de serem obtidas seqüências nas quais ocorra coroa nas primeiras 3 jogadas é inferior a 1/4. os demais membros desse órgão especial podem integrar turmas. julgue os itens a seguir. o vice-presidente e o corregedor. Em um tribunal. se forem permitidas repetições das letras e dos algarismos. y.000. w. Se os protocolos de uma empresa devem conter 4 letras. Nessa situação. Nessa situação. os três algarismos não sejam todos iguais. 0110011010. é igual a 3/5. 11 deles não precisaram ser utilizados. ou que seja um processo pendente. existem 20 possibilidades distintas para a classificação Com Bruna. por exemplo.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Considere que se deseja gerar códigos cujos caracteres pertencem ao conjunto das 26 letras de um alfabeto. os cinco primeiros classificados em um concurso. Nessa situação. que julgará apenas esse processo. a probabilidade de se retirar desse armário um processo que esteja com sentença anulada. z}. Nesse caso. formados com os algarismos de 0 a 9. nesses códigos. mas dentro do prazo vigente. u. conclui-se que podem ser criados. haja uma caixa de correspondência para cada um de seus 79 apartamentos e em cada uma delas tenha sido instalada uma fechadura eletrônica com código de 2 dígitos distintos. então podem ser gerados menos de 400. duas barras e 2 algarismos. Considerando essas informações. a quantidade de maneiras distintas de se formar a comissão pode ser corretamente representada por: 12! 16! + 3! x9! 5! x11! 08)(CESPE)Uma moeda é jogada para o alto 10 vezes. o desembargador tem mais de 700 formas diferentes para distribuir os processos. é constituído por 3 algarismos com valores. como. 09)(CESPE/BB/2009) Supondo que André. aguardando a decisão de juiz. então é possível obter mais de 11. existem 36 possibilidades distintas para classificação O número de possibilidades distintas para a classificação com um homem em último lugar é 144. 2 ou 3 letras. cada um. Se uma empresa decide não usar as 5 vogais em seus 78 códigos. Com base nessas informações. 20 estavam solucionados sem mérito e 30 estavam pendentes. Nessa situação. julgue os próximos itens. não necessariamente nesta ordem. escolhidos entre os algarismos de 0 a 9. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. que possui apenas 5 vogais. Em cada jogada. r. de todos os códigos assim formados. julgue os itens que se seguem. que poderão ter 1. 13)(2007 – TRT 9ª REGIÃO – Analista Judiciário) Julgue o itens seguintes Os tribunais utilizam códigos em seus sistemas internos e. verificouse que 10 correspondiam a processos com sentenças anuladas. Leila e Roberto sejam. Existem 120 possibilidades distintas para essa classificação Com André em primeiro lugar. v. t. os processos protocolados nesses órgãos seguem uma codificação única formada por 6 campos. Supondo-se que. s. no máximo.000. que serão escolhidas entre 12 técnicos de informática e 16 técnicos administrativos. cada uma delas constituída de 5 membros. o número de turmas distintas que podem ser formadas é superior a 10.com . De 100 processos guardados em um armário. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL cada processo será distribuído para um único juiz. deve ser formada uma comissão de 8 pessoas. 90 códigos distintos para identificar as varas jurídicas. então o número de possíveis códigos distintos desse tipo será igual a 102 ( 102 + 1 ) . mas dentro do prazo vigente. Leila e Roberto classificados em posições consecutivas. 12)(MPE-AM/08) Julgue o item seguinte Considere que. Excetuando-se o presidente. O número de seqüências nas quais é obtida pelo menos uma cara é inferior a 512. em um edifício residencial. x. usualmente. Entre esses trabalhos. b)63. conhecidas como Os doze trabalhos de Hércules. 140 formas diferentes com essas faixas. Sabe-se que no BB há 9 vice-presidências e 22 diretorias. O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” na primeira posição e “capturar o javali de Erimanto” na terceira posição é inferior a 72 × 42 × 20 × 6. em um acesso de loucura. se 3 faixas são verdes e indistinguíveis. Com as letras da palavra COMPOSITORES. é superior a 10 . considere que somente um trabalho seja executado de cada vez. 16)(CESPE-BB-2007) Julgue o itens seguintes Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem usados em uma propaganda na televisão. sormany_barreto@hotmail. em expressões do tipo Banco do Bruno. de 3 letras distintas. pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas.uma empresa contratou 4 professores americanos e 3 espanhóis.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. é igual a 16. Suponha. todas começando por U ou V. então há. sendo uma para pessoas do sexo feminino e a outra para pessoas do sexo masculino. no máximo. As 4 palavras da frase “Dançam conforme a música” podem ser rearranjadas de modo a formar novas frases de 4 palavras. O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” e “capturar o javali de Erimanto” nas últimas duas posições. c)32. sempre apareçam somente dois nomes distintos. esse decorador conseguirá produzir. incluindo a frase original. Considerando-se que se candidataram às vagas 9 homens e 7 mulheres.Nessa situação. matou sua família. O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho “matar o leão de Neméia” na primeira posição é inferior a 240 × 990 × 56 × 30. e que a escolha dessa ordem seja totalmente aleatória. também. que a quantidade total de nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que. 79 O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior a 12 × 10!. que pode ou não ter significado. foi enviado à presença do rei Euristeu. julgue os itens subseqüentes. Para oferecer a seus empregados cursos de inglês e de espanhol. é inferior a 6! × 8!. a quantidade de inserções com pares diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. d)16. julgue o item a seguir como CERTO ou ERRADO. capturar a corça de Cerinéia e capturar o javali de Erimanto. Banco da Rosa etc. 24 maneiras de se realizarem tais lotações. 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca. encontram-se: matar o leão de Neméia. em cada inserção da propaganda na TV. 15)PF – Regional – Agente . no máximo. Nesse caso. podem ser formadas mais de 500 palavras diferentes. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL 14) Considerando que uma palavra é uma concatenação de letras entre as 26 letras do alfabeto. então o número de opções distintas para a ocupação dessas vagas é igual a a)126. Considere que a Hércules seja dada a escolha de preparar uma lista colocando em ordem os doze trabalhos a serem executados. Com relação ao número de possíveis listas que Hércules poderia preparar. Nessa situação. em qualquer ordem. Para expiar seu crime. é superior a 2 × 103. para ocupar os dois cargos que Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Nessa situação. Além disso. que lhe apresentou uma série de provas a serem cumpridas por ele. 18) CENTRO DE PERÍCIAS “RENATO CHAVES”-PARÁ CESPE-2007) Uma empresa está oferecendo 2 vagas para emprego. 19)(ANAC-2009-Técnico de Regulação em Aviação) Considerando que. constituídas por 3 vice-presidentes e 3 5 diretores. Considerando todas as 26 letras do alfabeto. com ou sem significado.2004 Conta-se na mitologia grega que Hércules.com .um determinado empregado disporá de exatamente 7 duplas distintas de professores para escolher aqueles com os quais fará os seus cursos. a quantidade de comissões que é possível formar.sabendo que cada funcionário fará exatamente um curso de cada língua estrangeira. 17) (CESPE)Considere a seguinte situação hipotética. Se 6 candidatos são aprovados em um concurso público e há 4 setores distintos onde eles podem ser lotados. Nesse caso. Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais. o número máximo dessas frases que podem ser formadas. a quantidade de palavras de 3 letras que podem ser formadas. Há mais de 20 mil maneiras para se formar uma diretoria que tenha 2 empregados de nível médio e 3 empregados de nível superior. e um candidato aprovado tenha igual chance de ser alocado em qualquer uma delas. diretor e vicediretor. 4 ou 5 marchas. são. de 3 sejam completamente azuis e de 4 equipes os uniformes tenham as cores azul e vermelho. acerca de contagens. com ou sem vidros e travas elétricas. 20 ficam em Curitiba. então a quantidade de maneiras distintas para se formar esse grupo é igual a (A) 1. Em um tribunal. o número possível de escolhas para a diretoria da empresa será igual 5.Considerando que. Nenhuma vara tem código 0 e nenhuma vara tem código que começa com 0. julgue os itens seguintes. julgue os itens que se seguem. 6 em Londrina e 2 em Jacarezinho. a quantidade de maneiras diferentes de se constituírem essas comissões é superior a 12. for preciso formar. das 82 varas do trabalho relacionadas no sítio do TRT da 9. Considere-se. em um torneio de basquete. que os uniformes de 4 equipes sejam completamente vermelhos. A respeito dessa restrição.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. para formar o grupo A. julgue os itens subsequentes. Se a diretoria fosse escolhida ao acaso. a quantidade de comissões diferentes que poderão ser formadas será: a)superior ou igual a 200. serão sorteadas 5 equipes. d)superior ou igual a 110 e inferior a 140. entre titulares e reservas.com . Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL compõem a diretoria de uma empresa. as 11 equipes inscritas serão divididas nos grupos A e B. 2 concorrem apenas ao cargo de diretor e os demais. 21)(PERITO CRIMINAL-FORMAÇÃO: RENATO CHAVES-CESPE) Para formar um grupo de investigação. a probabilidade de um candidato aprovado no concurso ser alocado em uma das varas de Curitiba. Se.(C) 8. Nessa situação. Se cada um dos candidatos for capaz de ocupar qualquer um dos dois cargos.100. comissões de 4 pessoas com pelo menos 2 homens. e) inferior a 110. o número possível de escolhas para a diretoria da empresa será igual a 10. A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formarão o grupo A será inferior a 400.(B) 3. apenas ao cargo de vice-diretor.240 80 22) (TRT 9 região analista judiciário) Em cada um dos itens a seguir é apresentada uma situação hipotética seguida de uma assertiva a ser julgada. no máximo. a quantidade possível de códigos de varas é inferior a 1. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. 128 as opções distintas para a escolha de um veículo 25)(CESPE)Julgue o itens seguintes A diretoria da associação dos servidores de uma pequena empresa deve ser formada por 5 empregados escolhidos entre os 10 de nível médio e os 15 de nível superior. no departamento de recursos humanos de uma empresa em que trabalhem 5 homens e 4 mulheres. 20)(TRE-MG-2009)Se. Nessas condições. dos 5 candidatos. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. que.080. 23)(Agente-PF . 24) (CESPE) Julgue o item seguinte. haja vagas em todas as varas. ou de Londrina. então a probabilidade de se escolher aleatoriamente um jogador cujo uniforme seja somente vermelho ou somente azul será inferior a 30%. ainda. Se esse grupo de investigação deve ter 3 peritos. com essa equipe. os julgamentos dos processos são feitos em comissões compostas por 3 desembargadores de uma turma de 5 desembargadores. Ainda no que se refere a contagens. 4 cores internas. Uma concessionária oferece aos clientes as seguintes opções para a aquisição de um veículo: 4 cores externas. Considerando que cada equipe tenha 10 jogadores. e que. Nessa situação. 2 ou 3 algarismos de 0 a 9.2009 / CESPE) Texto para os itens 1 e 2 . os códigos que identificam as varas podem ter 1.540. Desse modo.ª Região. Considere-se que. ou de Jacarezinho é superior a 1/3.000. a probabilidade de serem escolhidos 3 empregados de nível superior seria maior que a probabilidade de serem escolhidos 2 empregados de nível médio. b)superior ou igual a 170 e inferior a 200. com ou sem direção hidráulica. Em um tribunal. julgue o seguinte item. existam 5 candidatos. sormany_barreto@hotmail. com ou sem ar condicionado.(D) 9. c)superior ou igual a 140 e inferior a 170. um centro de pesquisas dispõe de 22 peritos com especialidades distintas. para o presente concurso. você deve retirar do saco certo número de bolinhas de forma que tenha a certeza de ter. (E) mais de 100000 páginas serão lidas na realização do serviço 34)(CESPE ME Agente Administrativo) A etapa final de um torneio de futebol será disputada entre os times A e B. um presidente. Suponha que 60 promotores tenham menos de 50 anos. Considerando que os jogos que terminarem empatados serão decididos nos pênaltis. o campeão será necessariamente conhecido. devem ser retirados para que se possa garantir que. de que. (B) não existe processo com exatamente 9 páginas.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. haja pelo menos quatro da mesma cor é: a) 44 b) 10 c) 12 d) 4 e) 45 O enunciado abaixo refere-se às questões de números 29 e 30 Em uma urna. Considere que. 6 brancas e 7 amarelas.br. Nessa situação. 16 brancos e 20 pretos. entre as esferas retiradas.com . neste grupo. O número mínimo de lenços que devem ser retirados do baú para que se possa garantir que. Considere que se deseje eleger. julgue o item que se segue. 22 bolinhas vermelhas e 16 bolinhas pretas todas iguais em tamanho e peso. 9 páginas. 81 29)Qual o menor valor de N para que se possa garantir que. em média. Lenços serão retirados. pelo menos. de dentro dessa gaveta.to. e que. 35)Uma estante tem 10 livros distintos. Sem olhar para dentro do saco. (D) existem pelo menos 9 processos com o mesmo número de páginas. se desejamos que os livros de um mesmo assunto permaneçam juntos? a) 720 b) 1440 c) 3540 d) 8620 e) 8640 TREINAMENTO DO CONCURSANDO 1)(MPE-TO-2006) Considerando o texto acima e a informação do portal www. uma bolinha branca. Não é possível saber a cor de uma esfera sem que ela seja retirada. de modo que nenhuma pessoa possa ser eleita para mais de um cargo. Também não é possível distingui-las a não ser pela cor. 8 azuis e 9 vermelhos. três de Geometria e dois de Trigonometria. entre os lenços retirados. no mínimo. de forma que sempre haja um vencedor. há 85 promotores de justiça e 12 procuradores de justiça. O número mínimo de bolinhas que você deve retirar do saco para ter essa certeza é: a) 42 b) 17 c) 23 d) 39 e) 3 27)Num saquinho de veludo estão 12 dados vermelhos. sendo cinco de Álgebra. (C) cada processo tem. há 6 lenços brancos.gov. entre as esferas retiradas. entre os procuradores e os promotores do MPE/TO. é correto afirmar que (A) não existem 2 processos com o mesmo número de páginas. é correto afirmar que há 288 maneiras diferentes de se escolherem os três membros para a direção do clube e este resultado é uma conseqüência do Princípio da Soma. ao acaso. 25 vermelhos e 12 pretos. O valor mínimo de N para que se tenha certeza de que duas delas fazem aniversário no mesmo dia da semana é (A)7 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 14 33)Admitindo que certo Tribunal tem 1800 processos para serem lidos e que cada processo não possui mais do que 200 páginas. De quantos modos podemos arrumar esses livros na estante. dentre os lenços retirados haja um de cada cor? (A)18 (B) 17 (C) 16 (D) 15 (E) 11 32)Um grupo é formado por N pessoas.mp. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL 26)Um saco contém 30 bolinhas brancas. Quantos lenços. entre os promotores de justiça do MPE/TO. quantos dados se devem tirar para haver certeza de se ter em mãos um par de dados da mesma cor? a) 15 dados b) 4 dados c) 3 dados d) 12 dados e) um número ímpar de dados 28)Em um baú há 15 lenços brancos. No escuro. no Ministério Público do Estado do Tocantins (MPE/TO). haja 15 Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. julgue os itens de 1 a 2. Realizados 4 jogos entre as equipes A e B. e o campeão será o time que vencer duas partidas seguidas ou um total de três partidas. sormany_barreto@hotmail. um vicepresidente e um ouvidor. há 18 esferas: 5 azuis. para a direção de um clube dos membros do MPE/TO. N esferas serão retiradas simultaneamente dessa urna. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. haverá 2 com cores diferentes? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 7 (E) 8 31)Em uma gaveta. haja 27 mulheres. haverá 2 da mesma cor? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 7 (E) 8 30)Qual o menor valor de N para que se possa garantir que. Há 70 maneiras diferentes de se constituir um comitê que contenha exatamente 4 membros escolhidos de uma lista de 8 procuradores de justiça. Considere que. Se 4 dos procuradores de justiça são mulheres. os processos desse arquivo. O arquivo de um tribunal contém 100 processos. não se permitindo códigos com 3 letras iguais e(ou) 3 dígitos iguais. 2 02)(BB-2008)O código de acesso exigido em transações nos caixas eletrônicos do Banco do Brasil é uma seqüência de letras. somente entre os procuradores. distribuidos entre as seguintes áreas: direito penal 30. que constitui um dos principais fundamentos da matemática. Até o dia 17/12/2007. então a probabilidade de se escolher. um dos eventos “ter menos de 50 anos” ou “ser mulher” tem 72 maneiras distintas de ocorrer. O número de cadeias distintas de 14 caracteres que podem ser formadas apenas com as letras da palavra 8 Papiloscopista é inferior a 10 . Após decidido o nome da pessoa que ocupará a presidência. 10 se referem a uma mesma área. é apresentada uma situação hipotética a respeito de. 7 dos promotores de justiça nasceram no mesmo mês. Lu S Ra. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL mulheres. no máximo. 03)(IBRAM-DF-2009)A diretoria de uma empresa deverá ser formada por três pessoas diferentes: o presidente. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. cada um escolhido no intervalo de 0 a 9. o número de códigos de acesso distintos. 06)(CESPE-2009-Analista Administrativo) Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. É correto afirmar que. Considere a seguinte situação hipotética. entre os processos retirados do arquivo. distinta das demais. sendo três letras iniciais. Na situação descrita no texto. julgue os itens a seguir. será necessário que se retirem pelo menos 45 processos 05)(PF-PAPILOSCOPISTA) A respeito de contagem. ao se retirar. seguidas de 3 dígitos. Nessa situação. haverá 42 maneiras diferentes de se compor a diretoria. sormany_barreto@hotmail. A partir dessas informações. para se ter a certeza de que.com . que eram compostos por exatamente 3 letras maiúsculas e que podiam ser gerados pelo sistema do Banco do Brasil para transações nos caixas eletrônicos. 82 era inferior a 18x103 . que é igual ao número de letras minúsculas. o código de acesso era composto por 3 letras maiúsculas. Até 17/12/2007. gerada automaticamente pelo sistema. nos quais cada sílaba é formada por exatamente 1 letra maiúscula e 1 letra minúscula nessa ordem. a primeira que vencer 4 jogos será considerada vencedora. considere que o número de letras maiúsculas disponíveis para a composição dos códigos de acesso seja igual a 26. T M Z. É superior a 18 × 107 a quantidade de códigos de acesso compostos por 3 sílabas de 2 letras. Nessa situação. então ele terá. julgue os itens que se seguem. então o gráfico a seguir é capaz de representar todas as possibilidades de A vencer a disputa. Nesse caso. escolhidas em um alfabeto de 26 letras. ao acaso. sílabas de 2 letras — uma letra maiúscula seguida de uma letra minúscula. Exemplos de código de acesso no novo modelo: Ki Ca Be. não havendo repetições de qualquer uma das letras em um mesmo código. Considere que um cliente do Banco do Brasil deseje que seu código de acesso comece com a sílaba Lu e que cada uma das outras duas posições tenha apenas 1 letra maiúscula. no máximo. direito trabalhista 30. direito tributário e agrário 10. um a um. Se um cliente do Banco do Brasil decidir formar seu código de acesso com 3 letras maiúsculas usando somente as 4 letras iniciais de seu nome. Uma grande empresa cataloga seus bens patrimoniais usando códigos formados por uma cadeia de 6 caracteres. incluindo-se as letras L e u.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. na disputa entre duas equipes. julgue os itens subsequentes. esse cliente terá menos de 600 escolhas de código. 04)(MPE-RR-2008) No próximo item. o vice-presidente e um secretário. sem verificar a que área se referem. Se uma das equipes — A — tiver vencido os 3 primeiros confrontos. também. um procurador de justiça que seja mulher é inferior a 1 . que serão escolhidos a partir de uma lista composta por 7 nomes diferentes. Há 210 maneiras diferentes de se compor a diretoria.seguida de uma assertiva a ser julgada. Os códigos de acessos gerados a partir de 18/12/2007 utilizam. direito civil 30. Acerca dessa composição. 12 escolhas de código. 2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. fazendo uma escala em Belo Horizonte. as placas de identificação dos veículos têm 3 letras do alfabeto e 4 algarismos.880 e 5! = 120. 83 07)(BB-2008) Julgue os itens que se seguem. 8 das Américas e uma da Oceania. Brasília. Ao iniciar um videogame. a respeito de contagem. existem 31 x 29 x 10 x 4 maneiras distintas de se formar o grupo A.000. sendo 14 da Europa. Então. 2 vezes. Se o diretor de uma secretaria do MS quiser premiar 3 de seus 6 servidores presenteando cada um deles com um ingresso para teatro. Florianópolis ou Curitiba com destino a Fortaleza. João Pessoa. o jogador dispõe de uma tela onde pode selecionar de 1 a 4 jogadores. Maceió. colocando-se uma peça ao lado da outra. pintando cada vaso de uma única cor de 56 maneiras distintas. e sabendo que o primeiro grupo formado é o A.000. admitindo-se repetição. que será realizada na África do Sul.com . Com referência a essa situação. sejam usadas seqüências binárias de 4 dígitos. no Brasil. O número de rotas aéreas possíveis partindo de Porto Alegre.5! Com 4 cores diferentes. para criar códigos a partir das 5 vogais. siga o mesmo modelo da última copa. escolhidos de 0 a 9. podemos pintar 5 vasos idênticos. nesse caso. Considere que um painel deva ser montado utilizando-se 4 peças em forma de losangos. uma tela onde pode selecionar de 1 a 3 velocidades para o jogo. 11)Julgue os itens a seguir. a quantidade de clientes que poderão ser cadastrados será superior a 15. além disso. Considere que. sormany_barreto@hotmail. o algarismo 5. a quantidade de formas distintas de se jogar esse videogame é superior a 25. A quantidade de permutações distintas que podem ser formadas com as 7 letras da palavra REPETIR. o algarismo 1. seguindo-se essa mesma lei de formação. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. a quantidade de códigos distintos que podem ser formados é igual a 16! . o algarismo 0 deverá aparecer 4 vezes. Nesse caso. é igual a 60. β seja a quantidade de anagramas começando por consoante e terminando por vogal possíveis de se formar com a palavra TURBINA. então α = 21β. todas as seleções terão as mesmas chances de serem escolhidas nesse sorteio.000 placas diferentes que não possuam letras nem algarismos repetidos. que começam e terminam Com R. 09)(MPE-AM-2008)Julgue os itens a seguir. Em cada número de cadastro. é inferior a 14. Caso as senhas de acesso dos clientes aos caixas eletrônicos de certa instituição bancária contenham 3 letras das 26 do alfabeto. 3 vezes. com a participação de seleções de 32 países. é possível construir mais de 600. 11!. Considere também que essas 32 seleções serão distribuídas. a quantidade de vezes que esta palavra aparece é igual a 6. por sorteio. Nesse caso. Nessa situação. incluindo-se as repetições. 1 vez. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Julgue os itens que se seguem. outra tela onde pode selecionar de 1 a 3 níveis de dificuldade e. Um mercadinho tem 6 marcas diferentes de café no estoque. Sabe-se que. Com as letras da palavra TROCAS é possível construir mais de 300 pares distintos de letras. A quantidade de maneiras que se pode construir esse painel. 10)Julgue os itens a seguir. Salvador. A quantidade de maneiras distintas para se efetuar uma compra de 8 pacotes de café é igual a 13! . em 8 grupos identificados pelas primeiras oito letras do número de seleções e que. Rio de Janeiro ou São Paulo é múltiplo de 12. ele terá mais de 24 maneiras diferentes para fazê-lo. e sabendo que 9! = 362. 5 da África. 4 da Ásia. Natal. e o algarismo 7. mas utilizando-se apenas as letras da palavra BRASIL. 6 em forma de círculos e 2 em forma de triângulos. Considerando que: um anagrama de uma palavra é uma permutação das letras dessa palavra. Se o diretor de uma secretaria do MS quiser premiar 3 de seus 6 servidores presenteando um deles com um ingresso para cinema. Recife ou Aracaju.5! Considere que a copa do mundo de futebol de 2010. 8!. α seja a quantidade de anagramas possíveis de se formar com a palavra AEROPORTO. 08)(MS-2008) Julgue os itens. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. outro com um ingresso para teatro e o terceiro com um ingresso para show. por último. Os números de cadastro dos clientes de uma loja serão compostos de 10 algarismos. tendo ou não significado na linguagem comum. Ao se listar todas as possíveis permutações das 13 letras da palavra PROVAVELMENTE. a quantidade dessas senhas que têm letras repetidas é superior a 2x103 . ele terá mais de 100 maneiras diferentes para fazê-lo. B e C. Cada peça tem dois campos. Uma equipe de 10 trabalhadores vai executar duas tarefas: 5 delas vão cuidar do jardim. Um hotel tem três quartos vagos A. sendo que no quarto A cabem 3 pessoas e nos quartos B e C cabem 2 pessoas é igual a 210. formando várias combinações. Nesse caso. retangulares. . as tarefas podem ser distribuídas de 252 modos diferentes. O número de possibilidades de acomodações existentes para 7 pessoas nos três quartos. e cada campo tem pontos marcados de zero (vazio) a seis. o número máximo de peças distintas que podem ser formadas para o jogo de dominó é 28. Nesse caso. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL O jogo de dominó é composto por peças (pedras) chatas. enquanto as outras vão pintar a casa.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Essa distribuição pode ser realizada de 126. A e B. de determinado fabricante possui 6 marcadores numéricos que representam as unidades. Devido às condições tecnológicas. com dois bairros em A e três bairros em B. Um cliente pode escolher os ingredientes que serão acrescentados em sua salada de 25 modos diferentes. julgue os próximos itens. em duas regiões. ou saltar determinados dígitos. O sorteio será realizado entre os 8 setores dessa empresa. há uma distribuição aleatória em que cinco desses bairros são designados para cada um desses funcionários. por proximidade geográfica. deseja-se formar duas equipes de 5 para disputar uma partida de vôlei de praia. então haverá 356.500 leituras distintas que poderão ser exibidas por esse medidor.001 leituras distintas. Considerando-se que os bairros sob a responsabilidade de determinado funcionário sejam agrupados. as dezenas de milhar e as centenas de milhar. Suponha que uma empresa irá sortear 3 passagens aéreas para um curso de formação. cada marcador pode apresentar dois tipos de defeito de fabricação: ficar travado em determinado marcador.126 maneiras diferentes. Se um dos medidores tiver seu marcador das dezenas de milhar travado ou saltar os dígitos ímpares no marcador das unidades e os números 2. Nesse caso. se um setor for premiado. julgue os itens a seguir. 84 12)(EMBASA-2010-NM) A leitura mensal do consumo de água residencial em cada um dos quinze bairros de determinado município é feita por apenas um dos três funcionários responsáveis por essa atividade. então haverá 112 resultados distintos possíveis para esse sorteio. e.A partir de um grupo de 10 pessoas. ou hidrômetro. o chefe do setor contemplado indicará um funcionário para participar do evento. De acordo com as informações apresentadas nessa situação hipotética. a cada mês. existem 126 formas distintas de serem formadas as equipes. Se um setor puder ser contemplado até duas vezes. Um restaurante oferece cinco ingredientes para que o cliente escolha no mínimo 2 e no máximo 4 para serem acrescentados à salada verde. Um medidor de consumo de água. Com relação a essa situação hipotética. impedindo a movimentação dos marcadores relativos às ordens superiores à do marcador defeituoso. então esse medidor poderá exibir um total de 1. as centenas. . então esse funcionário poderá visitar esses bairros de 24 maneiras distintas se ele visitar todos os bairros de uma mesma região antes dos demais bairros. 7 e 8 no marcador das centenas. Se o marcador das unidades de milhar de um dos medidores travar. as dezenas. as unidades de milhar. julgue os itens a seguir. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra.com . se todos os anagramas da palavra CINEMA forem usados e se cada anagrama for usado apenas uma Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. 13)(EMBASA-2010-NS)Uma empresa promotora de eventos cinematográficos confeccionou fôlderes ilustrados cada um com uma tabela de seis linhas e seis colunas contendo anagramas da palavra CINEMA. dêem origem a um tipo de folder. Considere que cada 6 anagramas distintos da palavra CINEMA. C I N E M A A C I N E M M A C I N E E M A C I N N E M A C I I N E M A C A respeito desses folders.Se cada setor só puder ser contemplado uma única vez e cada passagem for de uma companhia aérea distinta. como a mostrada na figura abaixo. usados para formar as linhas das tabelas incluídas nos folders. então o sorteio terá um total de 56 resultados distintos possíveis. sormany_barreto@hotmail. Nesse caso. os eleitores resolverem criar uma comissão. Nesse caso. denominadas buchas.500. sejam necessários pelo menos 101 eleitores com domicílio eleitoral em. 5. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL vez. Cada número ocorre em 7 peças distintas. 8. 11 e 12 terá um total de 82 peças. os 4 jogadores podem se sentar à mesa de 6 maneiras distintas. 10D e 10E. o número de maneiras diferentes de esses 5 eleitores ocuparem essas poltronas será inferior a 50. duas ou três letras escolhidas entre as 26 letras do alfabeto. 14)Julgue os itens seguintes. de Salvador para Brasília com a finalidade de proceder ao registro do partido junto ao TSE e que. 1. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. 4. 1. se reúnam para discutir a fundação de um partido político.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof.000. Rio de Janeiro. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. Suponha que uma empresa. em um total de 55 peças. 7. sendo 5 da Bahia. 5. a ordem dos setores no grupo determina a prioridade na escolha das instalações. as peças de um dominó tradicional poderão ser divididas entre os 4 jogadores de 28! maneiras distintas. tenha recebido 52 propostas diferentes. em mais de 100 milhões delas algum deles começará o jogo com todas as 7 buchas. na sua vez.2. composta de 4 membros com. fundadores do partido. 4. para a fundação de um partido político. e. 5. o número de escolhas possíveis para a sigla do partido será superior a 18. então. (7!) 4 Entre todas as possíveis divisões das peças de um dominó tradicional entre os 4 jogadores. Para o início das obras. No dominó tradicional. igualmente divididas entre 4 jogadores sentados face a face em torno de uma mesa retangular. a quantidade de possibilidades diferentes para tal escolha será inferior a 2 milhões. Bahia. Pernambuco e Rio Grande do Sul. 2. 10C. é superior a 24 milhões. será possível formar mais de 400 grupos diferentes. Considerando que 5 eleitores da Bahia. retire as 7 peças ao mesmo tempo. eles ocuparão as poltronas 10A. 3. Considerando que a sigla do partido deva começar com a letra P e o complemento poderá ter mais uma. 85 Considere que uma empresa seja composta de 9 setores (departamentos e divisões) e que esses setores devam ser divididos em grupos ordenados de 3 elementos cada para a escolha das novas instalações. a quantidade de maneiras diferentes de se constituir essa comissão será inferior a 160. em que as metades representam os números 0. Considere que cada jogador. As metades representam 7 números: 1. Nesse caso. como a ilustrada acima. Desse modo. no mínimo. será possível confeccionar menos de 150 tipos diferentes de folders. julgue os itens a seguir. 6. a secretaria escolherá 4 dos municípios com menos de 10 mil habitantes e 2 dos municípios com mais de 10 mil habitantes. Espírito Santo. o número aparece nas duas metades. 4. 9 das 27 unidades da Federação. 6 e 0. 10. julgue os itens subseqüentes. com mais de 10 mil habitantes. então. no avião. ou está gravado um determinado número de buracos que representam números. Considerando que o citado grupo tenha conseguido fundar o partido político com o número mínimo de filiados exigido e que 98 deles tenham domicílio eleitoral nos estados de São Paulo. 8 e 9. para formular uma proposta de estatuto do partido. ao promover um concurso para a escolha de seu novo logotipo. viajarão de avião. que 10 eleitores. 16)(TRE-BA-2010-NS) Considerando que. A partir dessas informações. 2 da Bahia. sendo este último representado por uma metade sem marcação. 6. pelo menos. Se. de modo que não haja ocorrência da mesma letra em uma linha ou coluna.com . Considere que a secretaria de saneamento de um estado tenha destinado recursos para melhorar a qualidade da água de 20 municípios: 11 deles com menos de 10 mil habitantes e os outros 9. 10B. 9. em cada metade: ou não há nada gravado. ainda. se 5 dessas propostas serão escolhidas como finalistas. e que nenhum dos outros 3 eleitores tenha domicílio nessas unidades citadas. Em 7 peças. Existe também uma variação de dominó conhecida como double nine. 7. 3. 3. 15)(TRE-BA-2010) O jogo de dominó tradicional é jogado com 28 peças. sormany_barreto@hotmail. então o número de possibilidades diferentes para o domicílios desses outros 3 fundadores será inferior a 1. As peças são retangulares e possuem uma marcação que as divide em duas metades iguais. nessa reunião. a quantidade de possibilidades diferentes de escolha da secretaria será inferior a 10 mil. Uma variação de dominó cujas metades representem os números 0. Minas Gerais. Nesse caso. A quantidade de tabelas diferentes que é possível construir. 2. Se. C e D forem diferentes. com exceção daquelas da fronteira do MS com o Paraguai. ao votar.br> (com adaptações). para formar o grupo A. demorará. para concluir a votação. então. então um dos candidatos a senador será desse mesmo partido do deputado federal. julgue os itens de 6 a 10. B. 3 minutos e 50 segundos para concluir a votação. < se o candidato escolhido para deputado federal for de partido diferente do candidato escolhido para presidente. então. 3 minutos para concluir a votação.ª vaga de senador. o referido eleitor digitará os números de candidatos dos partidos A. então ele não votará em candidato do partido B para deputado federal. 313 dos 1. Se o citado eleitor votar no candidato do partido A para governador e não votar no candidato do partido B para senador. Com base nessas informações. mas um desses candidatos será do mesmo partido do candidato a presidente escolhido. Considere o preenchimento da tela de acordo com as regras estabelecidas no texto. se cada unidade da Federação possuírem pelo menos um eleitor fundador e se 5 desses fundadores forem da Bahia. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra.ª vaga de senador. no entanto. os 3 minutos requeridos para digitar todos os algarismos corretamente e mais 25 segundos para cada número digitado incorretamente. o eleitor digitar o número 9104. a quantidade 86 de formas diferentes de preenchimento da tela será superior a 729 × 1013. os candidatos escolhidos serão de partidos diferentes. para governador. julgue o próximo item. para a entrada ilegal de armas no Brasil. então o eleitor. 6 dessas cidades estão na fronteira do Mato Grosso do Sul (MS) com o Paraguai. no mínimo. então ele demorará. no mínimo. C. serão sorteadas 5 equipes. escolherá seus candidatos da seguinte forma: < para senador. Nos quadradinhos em branco. no mínimo. para a 2. <www.estadao. se esse eleitor digitar todos os algarismos corretamente. para a 1. em um torneio de basquete. então essa organização terá mais de 500 maneiras diferentes de fazer essa escolha. então ele terá errado. o número de dois candidatos a cargos diferentes. Nesse caso. 18)(PF-2009)A Polícia Federal brasileira identificou pelo menos 17 cidades de fronteira como locais de entrada ilegal de armas. Internet.jornaldamidia. Nesse caso.472 bacharéis em direito que se inscreveram no primeiro exame do ano da Ordem dos Advogados do Brasil (OAB) conseguiram aprovação. 19)(TRT-ES-2009) Em 2007. é correto concluir que ele demorará.com. se os partidos A. caso queira corrigir seu voto. sormany_barreto@hotmail. A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formarão o grupo A será inferior a 400. se ele digitar algum algarismo incorretamente e acionar a tecla CORRIGE. Considerando que. < os candidatos a presidente e a governador serão do mesmo partido. Se o eleitor referido no texto demorar mais de 4 minutos para concluir a votação e votar corretamente para senador. no máximo.br Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. para presidente.com . Considerando as informações do texto acima. que 27 sejam os partidos políticos registrados no TSE e que o número de registro de nenhum partido se inicie com 0 ou 9. o eleitor deverá colocar os algarismos dos números dos candidatos. e D. então será possível que alguma unidade tenha mais de 20 eleitores fundadores desse partido. julgue os itens que se seguem. no estado do Espírito Santo. e que. demorará mais de 3 minutos e meio para concluir a votação. Considere que o número de cada candidato comece sempre com o número do partido — os dois primeiros algarismos —. Durante a votação. de acordo com as suas convicções. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Se o partido for criado com a quantidade mínima de fundadores. para o cargo de deputado federal. Se uma organização criminosa escolher 6 das 17 cidades citadas no texto.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Considere que. as 11 equipes inscritas serão divididas nos grupos A e B. B. Determinado eleitor.com. Internet: www. 17)(TRE-BA-2010-NS) A figura acima representa um modelo de tela para a urna eletrônica das eleições de 2010. será feita por sorteio e seguirá o modelo abaixo. de forma que um mesmo proprietário possa participar de mais de uma comissão. E) superior a 3. O número de anagramas distintos que começam com VL é igual a 6. B) superior a 30 e inferior a 3. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. e sabendo que esse eleitor votará em um candidato a presidente. haverá mais de 1. C) 36. Com relação à primeira fase do exame da OAB de 2008. sendo 4 escolhidos entre os aprovados e 2 entre os reprovados.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. a quantidade de configurações diferentes para a cédula em função do sorteio da posição dos nomes dos candidatos é: A) inferior a 30. permutam-se as letras de uma palavra. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL (com adaptações) Em 2008. ao Senado Federal. pelas suas convicções. O número de anagramas distintos que começam e terminam com vogal é superior a 15. 22)(TRT-MT-2010)Considerando que um eleitor. com 12 proprietários diferentes. usualmente. ele poderá votar em um. B) 27. e se os bacharéis premiados forem distintos. para o Senado Federal. E) 864 23)(MCT-2008) Com relação a contagem e combinatória. Com base nessas informações. é correto concluir que o número de formas diferentes do voto desse eleitor será igual a: A) 9. haverá mais de 9 × 105 maneiras diferentes de se formar a referida comissão. a quantidade de números de telefones distintos em que nenhum dígito aparece repetido é inferior a 1. têm 8 dígitos escolhidos entre os algarismos de 0 a 9.000. 39 dos 44 bacharéis provenientes da Universidade Federal do Espírito Santo (UFES) que fizeram a primeira fase do exame da OAB foram aprovados. em um prédio de 12 apartamentos. a eleição será feita com cédula comum.000. Considerando que 0 não possa ser o primeiro dígito. relacionados aos anagramas que podem ser obtidos a partir da palavra VALOR.com . em determinado estado. D) 99. Se a UFES decidir distribuir dois prêmios entre seus bacharéis em direito aprovados na primeira fase do exame da OAB de 2008. Nesse estado. julgue os próximos itens. em um dos candidatos a governador e em dois dos candidatos a senador. forem constituídas 3 comissões para discutir assuntos distintos.600. jamais votaria em dois dos candidatos à presidência.000. obtendo-se ou não uma outra palavra conhecida. C) superior a 3. dois ou nenhum candidato. neste ano Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. de papel. se candidataram 5 cidadãos à presidência da República e.400 maneiras diferentes de serem concedidos tais prêmios. nesse caso. a posição dos candidatos.000. a quantidade de possibilidades de escolha desses 3 proprietários será superior a 1. O número de anagramas distintos que começam com vogal e terminam com consoante é superior a 44 Texto para as questões 21 e 22 Para as eleições gerais em determinado ano. independentemente de partido político. 20)(CESPE UnB-2009) Para formar-se um anagrama. O número de anagramas distintos é inferior a 100. em um candidato a governador e.000. e.000. Com referência às informações contidas nos textos acima julgue os itens seguintes. cada uma formada por 3 proprietários. sormany_barreto@hotmail. 4 cidadãos se candidataram a governador do estado e 6. Os números de telefone. caso se deseje formar uma comissão composta por 6 bacharéis provenientes da UFES. por cargo. O campeonato brasileiro de futebol da série A.000.000 e inferior a 3.700. Se. julgue os itens. D) superior a 300.000 e inferior a 300. Por exemplo. VROAL é um anagrama da palavra VALOR. 87 21)(TRT-MT-2010)De acordo com as informações do texto. a quantidade de possibilidades de escolha será inferior a 40. Nessa situação. se o número de técnicos que trabalham nessas duas habilitações é igual a 10 então o número de técnicos dessa empresa é inferior a 30. Nessa aeronave. sendo considerado campeão o clube que. Ao retirar uma senha para ser atendida em uma empresa. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL de 2008. caso aceitasse a proposta e pagasse ao contador. no máximo. cada um dos próximos itens apresenta uma situação hipotética. Nesse caso. estava exibido o número 98. Os números variam de 1 a 9 na primeira coluna. na qual os números variam de 80 a 90. 24)(MCT-2008) Entre os 7 servidores do setor de administração de um órgão público. Há. cujo portador estava sendo atendido. formando a diretoria do condomínio em que residam. todos jogando contra todos.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Considerando que Pedro e outras 9 pessoas devam escolher.000 moedas. Nessa situação. é superior a 100. julgue os itens a seguir. seguida de uma assertiva a ser julgada. Nessa situação. Nessa situação. o síndico. até completar os 5 dias trabalhados. 4 dessas moedas pelo segundo dia de trabalho e assim. e assim sucessivamente. 1536 maneiras diferentes de se formar uma equipe composta de 4 homens e 4 mulheres escolhidos aleatoriamente em um grupo de 12 homens e 8 mulheres. Um milionário contratou um rapaz para contar as moedas de ouro de sua coleção. Um colecionador possui 5 moedas de diferentes países e 2 caixinhas para acomodá-las. Considere que os servidores sejam divididos em dois grupos A e B e que os 3 cargos sejam também divididos em 2 grupos em que o primeiro grupo tenha 2 desses cargos. No painel de controle. cada fileira com três assentos de cada lado do corredor: o assento da janela. a quantidade de variações distintas de numeração para a nona coluna. Se forem 3 cargos de chefia diferentes. Um anagrama de uma palavra é qualquer permutação que se possa formar com suas letras. com a participação de 20 clubes. A figura abaixo mostra uma cartela de bingo na qual cada uma das 9 colunas tem 3 células que podem ou não conter um número. no máximo. sormany_barreto@hotmail. tendo ou não significado. a quantidade de diretorias que poderão ser formadas sem que Pedro seja o síndico será superior a 4. nos dias subseqüentes. o subsíndico. 2 servidores. Após 5 dias. 3 serão escolhidos para cargos de chefia. Nessa situação.500.com 81 85 90 . incluindo a garota. somar o maior número de pontos. e apenas um servidor ocupar cada um desses cargos. com a prerrogativa de escolher quaisquer dois assentos dessa aeronave. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. até a nona coluna. no instante descrito faltavam 29 pessoas para serem atendidas. Se cada servidor do grupo A puder ocupar apenas um dos cargos do primeiro grupo e o cargo do segundo grupo for ocupado por um único servidor do grupo B. O rapaz pediu em pagamento 2 das moedas de ouro da coleção do milionário pelo primeiro dia de trabalho. é 990. de 20 a 29 na terceira coluna. julgue os itens seguintes. uma garota observou que os números eram consecutivos e que seu número era 126. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. sucessivamente. segundo as regras estabelecidas. ele deveria receber. há três fileiras com poltronas que não podem reclinar: duas devido a saídas de emergência e a outra por estar no fundo da aeronave. considerando-se que as 3 células contém um número. a quantidade de jogos previstos para esse campeonato é superior a 360. 88 Em uma empresa trabalham 20 técnicos em banco de dados e 17 técnicos em análise de sistemas. o secretário e o tesoureiro. fixados os números das oito primeiras colunas. o do meio e o do corredor. Considerando que todos os 7 servidores são igualmente competentes para ocupar qualquer das chefias. o milionário ficaria com apenas 200 moedas. o rapaz terminou a contagem e declarou que o milionário possuía 66. entre eles. então o maior número de possibilidades de escolha dessas chefias ocorrerá quando o conjunto A tiver 5 servidores e o conjunto B. O casal Ana e Bruno receberam uma passagem de cortesia. A quantidade de anagramas que se pode formar com as letras da palavra AGENTE e que começam por A. de 10 a 19 na segunda coluna. é disputado em turno e returno. 10 maneiras distintas de guardá-las. 4 6 17 19 27 20 31 34 55 43 64 71 73 27) (ANAC-Especialista em Regulação de Aviação Civil) Uma aeronave de passageiros conta com 25 fileiras de poltronas. 25)(MPE-AM2008)Com relação a contagens e probabilidades. 26)(MCT-2008) Acerca de contagens. o valor recebido no dia anterior elevado ao quadrado. o colecionador tem. Para acomodar Ana e Bruno nas condições estabelecidas. a designação dos seus assentos poderá ser feita de 24 maneiras distintas. . os assentos que Ana e Bruno irão ocupar. b) em que a e b designem. se Ana e Bruno desejarem se sentar em assentos contíguos. a designação de seus assentos poderá ser feita de exatamente 8 maneiras distintas. se Ana e Bruno desejarem se sentar juntos e um deles desejar se sentar junto à janela. 2 passagens. 4 passagens e. se Ana e Bruno desejarem se sentar em assentos consecutivos possivelmente separados pelo corredor da aeronave. da seguinte forma: de segunda a sexta-feira. julgue o item seguinte. houvesse uma reserva de assentos para ministros de Estado. Considerando a situação hipotética acima. de modo que pelo menos um desses assentos seja junto ao corredor. respectivamente —pela companhia aérea Alfa. Sabese que a companhia aérea Alfa realiza diariamente um vôo de ida e volta da cidade A para a cidade B e que uma passagem significa um trecho de A para B ou um trecho de B para A. Nas condições estabelecidas. respectivamente. a designação dos seus assentos poderá ser feita de exatamente 24maneiras distintas. O governo de determinado país determinou que. Se Bruno escolher o seu assento imediatamente após a escolha de Ana. em cada vôo realizado entre as cidades A e B — capital do país e cidade que concentra o maior número de indústrias. existem 306 possibilidades distintas de designação de assentos. que é subsidiada pelo Estado. aos domingos. aos sábados. julgue os itens que se seguem. Nas condições estabelecidas. ele terá 17 poltronas à sua disposição. Com base nessa situação hipotética e considerando que uma designação de assentos para Ana e Bruno seja um par ordenado (a.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. nem mesmo separados pelo corredor da aeronave. deveriam ser reservadas 6 passagens. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL desde que não ocupem poltronas reclináveis. Nas condições estabelecidas. julgue os itens subsequentes.Miami . a companhia Beta dispõe de aeronaves do tipo A. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. 2 concorrem apenas ao cargo de diretor e os demais. Para os vôos previstos nas opções 2 e 3. julgue os itens a seguir Escolhendo-se aleatoriamente uma aeronave para realizar o trajeto exemplificado no texto. 29)(ANAC-2009-Técnico de Regulação em Aviação) Considerando um grupo formado por 5 pessoas. Opção 2: escala em Manaus ou em Natal — dependendo das condições climáticas no dia do vôo — tanto no trecho de Brasília para Miami quanto no de Miami para Brasília. o número possível de escolhas para a diretoria da empresa será igual a 10. para ocupar os dois cargos que compõem a diretoria de uma empresa. que são reabastecidas nas escalas previstas.70. existem pelo menos 3 aeronaves que podem ser alocadas para realizá-lo. no período de uma semana.Natal . em determinado dia. 89 A empresa aérea Beta inaugurou uma nova rota entre Brasília e Miami. Para uma aeronave do tipo B. dos 5 candidatos. e escolhendo-se aleatoriamente um desses planos. oferecendo as seguintes opções de vôo: Opção 1: vôos sem escalas de Brasília para Miami e de Miami para Brasília. Com relação à situação hipotética acima. a companhia Beta dispõe de 2 aeronaves do tipo A e de 5 aeronaves do tipo B. Se.Manaus . Por exemplo. Opção 3: escala em Recife. todos os planos de vôo possíveis sejam realizados. Supondo que. que são capazes de fazer longos vôos sem reabastecer. Se cada um dos candidatos for capaz de ocupar qualquer um dos dois cargos. que compreende um percurso de ida e volta de Brasília para Miami. existam 5 candidatos. mas a companhia Beta também dispõe de aeronaves do tipo B. existem 5 possíveis planos de vôo que podem ser atribuídos. diretor e vicediretor. podem ser utilizadas as aeronaves do tipo A. apenas ao cargo de vice-diretor. tanto no trecho de Brasília para Miami quanto no de Miami para Brasília. Para realizar os vôos previstos na opção 1. a reserva instituída pelo governo totalizará 72 passagens. Para cada uma dessas aeronaves é estabelecido diariamente um plano de vôo. julgue os itens a seguir. quando é o caso. com as escalas que devem ser utilizadas. a probabilidade de que ele inclua a cidade de Manaus será inferior a 0.40. o número possível de escolhas para a diretoria da empresa será igual 5. a probabilidade de que ela seja do tipo B será superior a 0. Há 24 modos de essas 5 pessoas se posicionarem em Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Brasília . Para qualquer dos planos de vôo possíveis.com . 28)(ANAC-2009-Técnico de Regulação em Aviação) Considerando que.Brasília é um possível plano de vôo.
[email protected] condições estabelecidas. é correto concluir que. Para implementar sua nova rota. Nesse caso. Se.com . A quantidade de maneiras distintas disponíveis para João realizar o trajeto de casa ao local de trabalho é igual a 7. ônibus e lotação. julgue os itens subsequentes. podemos afirmar que n é um múltiplo de 6. para o retorno. O número de anagramas da palavra FEDERAL. Suponha que 5 estudantes entram nesse ônibus no ponto inicial do trajeto. então. A figura acima apresenta a planta de assentos de um ônibus: 13 assentos na parte dianteira e 21 assentos na parte traseira. conforme ilustrado na figura. se não houver qualquer restrição quanto ao sexo dos membros da comissão. Considere que 6 turistas entram no ônibus quando todos os assentos da parte traseira e a assento isolado da parte dianteira estão ocupados. Para ir de sua residência ao local de trabalho e voltar para casa. Nessas condições. 32)(CESPE UnB-2009) Acerca de análise combinatória. com cada uma das crianças sentada entre 2 adultos. então a quantidade de maneiras diferentes de serem ocupados os assentos no ônibus é inferior a 2500. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. julgue os itens seguintes. Os meios de transporte entre sua casa e o terminal são: metrô. O número de soluções inteiras e não negativas da equação x + y + z + w = 7 é 120. é 66. lotação ou moto. sormany_barreto@hotmail. se os dois dos 6 turistas não aceitam sentar-se lado a lado. Entre o terminal e o local de trabalho. de 5 x 5. o mesmo tipo de transporte usado entre os trechos de ida. Nesse caso. Se 3 deles sentaram-se na parte dianteira e 2. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL torno de uma mesa redonda. para a organização da festa junina. julgue os itens a seguir. Há 12 inscritos em um campeonato de boxe. João passa por um terminal de passageiros. em que as letras AL apareçam juntas. se a comissão tiver apenas uma mulher. ônibus. Acerca das maneiras que os passageiros podem escolher seus assentos. tampouco utilizar. Na figura abaixo podem ser percorridos 35 caminhos diferentes do ponto A ao ponto B. Caso essas 5 pessoas queiram assistir a um concerto musical. João pode se deslocar utilizando mêtro. será formada uma comissão composta por 3 dessas pessoas. na parte 33)(CESPE UnB-2009) Em um tabuleiro quadrado. Somente são permitidos os movimentos horizontais (H). então será possível formar 198 comissões diferentes. O número total de lutas que podem ser realizadas. mas só existam 3 ingressos disponíveis e não haja prioridade na escolha das pessoas que irão assistir ao espetáculo. Sabendo-se que houve ao todo 66 apertos de mão. verticais (V) e diagonal (D). essa escolha poderá ser feita de 20 maneiras distintas 30)No departamento de eventos de uma empresa trabalham 9 homens e 6 mulheres e. Há ainda 2 espaços vagos. sem assentos. entre os inscritos. então haverá no máximo 120 × 10! maneiras diferentes para 6! que todo o grupo de turistas se acomode no ônibus. então ele terá 12 maneiras diferentes para organizar todos os trajetos de ida e volta. haverá 12 modos distintos de essas pessoas se posicionarem. mostrado na figura. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. deseja-se ir do quadrado esquerdo superior (ES) ao quadrado direito inferior (DI). nesse grupo. Se algum dia João decidir não usar lotação. existirem 2 crianças e 3 adultos e essas pessoas se sentarem em 5 cadeiras postadas em fila. quando todos os assentos estão vagos. é 6! Em uma reunião social havia n pessoas e cada uma saudou as outras com um aperto de mão. para cadeirantes. deslocando uma unidade de cada vez para cima ou para a direita. então será possível formar 455 comissões diferentes 31)(CETURB-2010) 90 traseira.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. 2. um caminhando exatamente ao lado do investigado e outro. 8 especialistas em reconhecimento operacional e 7 especialistas em técnicas de levantamento de informações. Se. em um órgão de inteligência. sormany_barreto@hotmail. 4. os agentes que participarão dessa operação devam chegar à referida cidade de maneira independente. o número de percursos possíveis será igual a 10.com . o número de maneiras de que esse chefe dispõe para fazer suas escolhas é inferior a 200.Sabendo que a∈ {1. 5} e {1. um para redigir o relatório de missão e um para fazer os levantamentos de 91 35)(ABIN-2010-Cespe-superior) Considere que. Nessa situação. for necessário fazer. em veículos distintos.280 maneiras distintas para organizar esses processos. 36)O número de triângulos determinados por 7 pontos distintos. então esse servidor terá 17. então o responsável pelo setor terá 340 maneiras distintas de compor uma equipe da qual façam parte 3 agentes especialistas para essa missão. Considere que seja possível chegar a uma pequena cidade por meio de carro. alguns metros atrás deste. Utilizando movimentos horizontais. 4. todos com bom desempenho na tarefa de acompanhamento de investigado. 1 em reconhecimento operacional e 1 em levantamento de informações. de modo que processos de regiões distintas fiquem em prateleiras distintas. é correto afirmar que o número de maneiras de o servidor responsável pela organização das viagens escolher os veículos para transporte de 3 agentes para essa missão é inferior a 50. 3. em uma estante com 5 prateleiras. Caso o servidor responsável pela guarda de processos de determinado órgão tenha de organizar. 34)(ABIN-2010-Cespe) Com relação aos princípios e técnicas de contagem. julgue os itens que se seguem. Considere que uma das técnicas de acompanhamento de investigado que se desloque por uma rua retilínea consista em manter um agente no mesmo lado da via que o investigado. reconhecimento operacional em 3 locais diferentes. verticais e três movimentos diagonais. julgue os itens a seguir. alguns metros atrás. De quantas maneiras diferentes isso pode ser feito? (A) 36 (B) 32 (C) 28 (D) 24 (E) 12 38)Um estudante está procurando as soluções inteiras da equação b∈ 2 x = a + b . para cumprir determinada missão. um brinquedo e não sobre brinquedo algum. pelo menos. Com base nessa situação. dado o caráter sigiloso de uma operação a ser realizada nessa cidade. é: a) 60 b) 30 c) 20 d) 10 e) 5 37)(Prominp 2007 Cesgranrio) Quatro brinquedos diferentes devem ser distribuídos entre 3 crianças de modo que cada criança receba. o responsável Por determinado setor disponha de 20 agentes. sendo que quatro deles pertencem a uma reta r e os outros três pertencem a outra reta s (r ≡ / s) paralela a r. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. 2 da região Centro-Oeste e 1 da região Sudeste. Se forem utilizados movimentos horizontais e verticais e apenas um movimento diagonal. por um dos 5 ônibus ou por um dos 2 barcos disponíveis e que. e dois outros agentes do lado oposto da rua. Em face dessa situação. 5} de quantas maneiras o estudante poderá escolher a e b para obter soluções inteiras? Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. simultaneamente. 2 da região Sul. Caso o chefe de um órgão de inteligência tenha de escolher 3 agentes entre os 7 disponíveis para viagens — um deles para coordenar a equipe. julgue os itens subsequentes. Há mais de 270 maneiras distintas de o responsável pelo setor organizar uma equipe composta por 1 especialista em entrevista. o número de percursos possíveis será igual a 140. para determinada missão. 3 processos referentes a cidades da região Nordeste. 2. então o número de percursos possíveis será igual a 70. 3 da região Norte. Se forem utilizados somente movimentos horizontais e verticais. sabendo-se que o órgão de inteligência dispõe de apenas um carro e que os deslocamentos devem ocorrer no mesmo dia. sendo 5 especialistas em técnicas de entrevista. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL informações —. A partir dessas informações. 3. há 10 maneiras distintas de 3 agentes previamente escolhidos se organizarem durante uma missão de acompanhamento em que seja utilizada essa técnica. sendo um especialista para cada local.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. .(6. 6 } Quantos deles são menores que 400? a) 20 b) 60 c) 75 d) 80 e) 120 1.2. C).. obtemos o mesmo resultado.PROBABILIDADE Historicamente. O que os experimentos acima têm em comum? As seguintes características definem um experimento aleatório. a teoria da probabilidade começou com o estudo de jogos de azar.EVENTO Chamaremos de evento todo subconjunto do espaço Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright.. cujo espaço amostral é equiprovável. Os experimentos em que podemos determinar os resultados nas diversas vezes que repetimos são denominados experimentos determinísticos 92 1. 5. dando 3 respostas SIM (e 7 respostas NAO)? a) 120 b) 148 c) 160 d) 360 e) 720 40)Considerem-se os números de três algarismos distintos que podem ser formados com os algarismos do ii) Jogue uma moeda e observe a face de cima. O cálculo das probabilidades nos permite encontrar um número que mostra a chance de ocorrência do resultado desejado no experimento aleatório.. isto é.0.. S = {(1. Repetindo esse lançamento nas mesmas condições. podemos calcular. ⇒ Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob condições essencialmente inalteradas. 3. C)}.EXPERIMENTOS DETERMINÍSTICOS Ao lançar uma pedra. sob certas condições.2). ∗ Lançamento = {(C. 2. EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS Experimentos aleatórios são aqueles que. sujeito às leis do acaso. (K. chamamos de espaço amostral ao conjunto formado por todos os resultados possíveis de ocorrer.ESPAÇO AMOSTRAL Dado um fenômeno aleatório. repetidos em idênticas condições.2). È qualquer experimento cujo resultado depende exclusivamente do acaso.(C. observando as faces pelo quociente entre o número de casos favoráveis e o voltadas para cima ⇒ número de casos possíveis.(2.(1.1).0.3). Fenômenos aleatórios acontecem constantemente em nossa vida diária.6)}. De quantas maneiras diferentes pode-se responder todas as questões do teste. conjunto A = { 1. sormany_barreto@hotmail. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e)14 39)Um teste é composto por 10 questões que devem ser respondidas por um SIM ou um NÃO. K). (K. ⇒ Embora não possamos afirmar qual é o resultado do experimento. a velocidade com que ela atingirá o solo. São freqüentes perguntas tais como: Choverá amanhã? Qual será a temperatura máxima no próximo domingo? Qual será o número de ganhadores da Loteria Esportiva? “Em um experimento aleatório.”(Laplace) que K = cara e C = coroa. como a roleta e as cartas.. C).0. Notação: S ou Ω Exemplos: ∗ Lançamento de duas moedas. com certeza.com .(2.1. podemos prever antecipadamente que ela ferverá quando chegar à temperatura de 100º C 2. 1. observando as faces superiores: Espaço Amostral: S Vejamos alguns exemplos de experimentos aleatórios: i) Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima. 4. 3. em simultâneo de dois dados. (1..2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. a probabilidade de um evento ocorrer é dada Outro Exemplo: Ao aquecermos a água à pressão de 1 atm. podem fornecer resultados diferentes. somos capazes de descrever o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento.1). Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. 4. e é o número real dado por: .5. 3. por exemplo. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra.2. Voltemos ao lançamento do dado.3. 4. desde que sejam igualmente prováveis (equiprováveis). 5. o evento Representamos o complementar de um evento A∩ A = ∅ 4. E por ⇒ Se A é um evento qualquer.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Probabilidade de Ocorrência de um Evento A probabilidade de ocorrência de um evento E de um espaço amostral S é representada por P (E). 0 se o evento for impossível e a probabilidade será igual a 1 se o evento for certo. D ={ }=∅ A ocorrência de número quadrado perfeito e o evento B ocorrência de número primo são exclusivos. o subconjunto A = {2. 4} C : ocorrência de número menor que 8. 4. Desta forma. Você rapidamente conclui que a probabilidade de não chover é de 70%. 3. ( A) + P ( A) = 1 . B : ocorrência de número menor que 5. B = {1. Note que A ∩ B = ∅ .Eventos Complementares: São eventos mutuamente exclusivos e a união entre eles é o espaço amostral. pois A = {1. B = {1. então 0 ≤ P( A ) ≤ 1 0% ≤ P( A ) ≤ 100% E C E ∪ E = S (O evento união é o próprio espaço amostral ) E ∩ E = ∅ (O evento int er sec ção é o conjunto vazio ) A – ocorrência de número par ⇒ A = {2. Isto porque a soma das probabilidades de eventos complementares é igual a 1.0. A probabilidade será igual a 3. 4} e B = {2. menor que ⇒ Se A então P é um evento qualquer. 4.3.3. Lembre-se que o símbolo % significa dividir por 100 . 3. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL amostral.PROPRIEDADES SOBRE PROBABILIDADES ⇒ A probabilidade do evento impossível é 0 e a probabilidade do evento certo é igual a 1.Eventos mutuamente exclusivos(excludentes) São aqueles que têm conjuntos disjuntos. Imagine que alguém te informa que a probabilidade de chover amanhã seja de 30%. • Quando o evento é igual ao conjunto vazio. 2.5} . então a probabilidade é um número positivo e ou por E .5} é o evento que acontece se o número mostrado na face de cima é um número primo. 6} A – ocorrência de número ímpar ⇒ A = {1.3. 4.1. 2.6} Por exemplo. 2. Se o evento A nem for o evento certo nem o evento número maior ou igual a e menor ou igual a 1. 6} Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima.1. A ∪ A = S = = {1. Já que: 100% = 100 =1 100 Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright.3. evento n( E ) n( S ) número de casos favoráveis ao acontecimento E número de casos possíveis P(E) = 93 Exemplos: P( E ) = em que n(E) é o número de casos favoráveis ao evento E e n(S) o número de casos possíveis. dizemos que o evento é certo. podemos dizer que a soma das probabilidades de eventos complementares é igual a 1 ou 100% . 2. dizemos que o evento é impossível. no lançamento de um dado. que pela definição: evento Observe que: DICA: ESPAÇO EQUIPROVÁVEL: É um espaço amostral no qual todos os eventos elementares tem a mesma probabilidade de acontecer.6} = S D : ocorrência de número maior que 8. Atenção: OBSERVAÇÃO: • Quando o evento é igual ao espaço amostral. 5} Esta propriedade afirma que qualquer probabilidade é um 0 1.com ou impossível.5. Vejamos outros eventos relativos a este espaço amostral. sormany_barreto@hotmail. S = {1. Dois eventos são mutuamente exclusivos quando não possuem elemento comum. Observamos então. É muito fácil ilustrar esta propriedade. Assim. 8 94 Exemplo 2 (CESGRANRIO)Numa caixa estão dez etiquetas numeradas C10 . K.20 b)0. 2 . (K. (K. 5 e 6.
[email protected]. o evento pedido é: E2 = {(C. respectivamente. K. a) O evento E1 que nos interessa é: {(K. C). representaremos os possíveis resultados para o 1º.5% . K). 3 e 4. A Probabilidade procurada pela questão é igual a P= 9 1 = = 0. 6 e 7. tendo 10 à nossa disposição. (C. 8 b) As seqüências que nos interessam são aquelas que apresentam nenhuma. Qual a probabilidade de observarmos: a) exatamente uma cara? b) no máximo duas caras? Resolução: Vamos construir um diagrama de árvore onde na 1ª. (C. K)} Logo. teremos: 1.30 d)0. 2ª e 3ª colunas.3. (C.(K. Pelo” Princípio Fundamental Da Contagem”. C. Isto pode ser encontrado.36 Resolução: Primeiramente vamos calcular o número de casos possíveis. C. K)} P( nascer pelo menos uma menina ) + P( nascer nenhuma menina ) = 1 Assim. 8 e 9. 9 e 10.com . K). C. Retirando.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. 2º e 3º lançamentos..2 = O espaço amostral é formado pelas oito sequências indicadas. a probabilidade de que essas etiquetas tenham números consecutivos é: a)0.25 c)0. C).32 e)0.. C. 2 45 5 Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright.. C). Exemplos Resolvidos: Exemplo1: Uma moeda é lançada três vezes. duas etiquetas. teremos: 1 e 2. simultaneamente e ao acaso. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL DICA: P( evento ocorrer ) + P( evento não ocorrer ) = 1 Exemplos: P( cara ) + P( coroa ) = 1 P( par no dado ) + P( ímpar no dado ) = 1 P( réu culpado ) + P( réu inocente ) = 1 P( mínimo de três meninos ) + P( máximo de dois meninos ) = 1 P( mais de três defeitos ) + P( máximo de três defeitos ) = 1 → 1º lançamento : 2 possibilidades → 2º lançamento : 2 possibilidades → 3º lançamento : 2 possibilidades n( S ) = 2 × 2 × 2 = 8 resultados possíveis.8 ! Para encontrar o número de casos favoráveis. C). que os números sejam consecutivos. C. K. C. tomados dois a dois: 10 ! = 45 2 ! . C). (C. 4 e 5. (C. calculando-se o número de combinações de10. de quantas maneiras podemos escolher duas etiquetas.se da caixa.5% . P ( E ) = 1 P( ganhar o jogo ) + P( não ganhar o jogo ) = 1 P( pelo menos uma cara ) + P( nehuma cara ) = 1 P( a nota é no máximo 9 ) + P( nota igual a 10 ) = 1 n ( E1 ) n(S ) = 3 = 37 . K. uma ou duas caras. 7 e 8. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. sucessivamente. Assim. isto é. isto é.. 2 e 3. P ( E2 ) = 7 = 87 . C). 6 = = = 50. 6)} ∴ n( S ) = 36 Pelo” Princípio Fundamental Da Contagem”. 60 60 ! C60 . a probabilidade de que ocorram B é igual a: a)Se os eventos forem não mutuamente exclusivos( possuem elementos em comum) A∩ B A∩ B ≠ ∅ Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright.com . ao acaso.063. no numerador teremos o número 1 representando um grupo de seis dezenas e no denominador teremos todos os grupos de 6 dezenas com 60 dezenas possíveis. teremos: → 1º lançamento : 6 possibilidades → 2º lançamento : 6 possibilidades 5.. há P5 = 5 ! maneiras de se preencherem as lacunas restantes. SOMA DE PROBABILIDADES (Regra do “ou”) (PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS) No caso de um sorteio e duas chances você ganha com uma possibilidade ou com a outra.. SO Verificamos que temos (1 + 2 + 3 + 4 + 5) casos favoráveis em um total de 36 possíveis resultados. Por isso regra do “ou”..1). é: Exemplo 4: Considere dois dados. não viciados. a probabilidade pedida n( E ) 120 1 P( E ) = = = n(Ω) 5040 42 Assim. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. A probabilidade “ P ” que atende ao enunciado será: Definidas as duas primeiras letras. um dos anagramas da palavra SORMANY. (1.860 6 6 ! . Se os dados são lançados ao acaso.0) tem que ser a mesma unidade da grandeza presente no denominador.860 ou A e B.0.3). o espaço amostral está representado abaixo: 95 ATENÇÃO: A unidade da grandeza presente no numerador (item 4. no denominador deverá ser total de duplas de bolas. Então: n( Ω ) = Ω é o número de permutações P7 = 5040 O evento E que nos interessa é “a palavra que começa por SO”. Ou seja. 2). conseqüentemente. Se fosse para determinar a probabilidade de acertar a Mega-Sena com um único cartão com 6 dezenas marcadas. Temos 60 números dos quais apenas 60 serão escolhidos. (1.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. a sua chance de ganhar é de apenas P= S = {(1.54 ! possibilidades. qual a probabilidade das faces obtidas darem soma maior ou igual a 8? Resolução: No lançamento de dois dados distintos. sormany_barreto@hotmail. Dados os eventos A n( S ) = 6 × 6 = 36 resultados possíveis Evento: Obter soma das faces maior ou igual a 8 1 ≅0 50. (6. cada um deles com seis faces numeradas de 1 a 6.063. se você faz uma aposta mínima. Logo.. Qual a probabilidade de a “palavra” escolhida começar por SO? O número de elementos de da palavra SORMANY. n( E ) = 5 ! = 120 . Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Exemplo 3 Escolhe-se. ou seja: Se no numerador fossem duplas de bolas. nas mesmas condições. são pagos milhões de reais para quem acerta os seis números distintos sorteados Também há premiação para aqueles que acertarem cinco ou quatro dos números sorteados.86% b)20. Nesse caso. 2º) Em cada tentativa ocorre evento E(sucesso) ou evento E (fracasso). Qual a probabilidade de se verificar exatamente cinco vezes o resultado cara? a)12. Observação: Dois eventos são ditos independentes se a ocorrência ou não de um. Atenção: n n! .74% d)21. P ( A e B ) = P ( A ∩ B ) = P ( A). são sorteadas bolas numeradas de zero Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright.85% EXERCÍCIO DO CONCURSEIRO –NÍVEL 1 1)(CESPE) Em uma loteria. com sorteios duas vezes por semana. 8. ao algarismo das unidades. de acordo com a tabela abaixo. a probabilidade de ocorrência deles será calculada multiplicando os resultados obtidos nas probabilidades de cada evento isolado.( n − k )! k n∈ k ∈ Exemplo: Uma moeda honesta será lançada oito vezes. vezes o resultado desejado n PK (E)= . n≥k. pois o conectivo “e” indica a intersecção dos dois eventos.86% c)20. um correspondente ao algarismo das dezenas e o outro. Essa expressão só poderá ser aplicada a experiências aleatórias com as seguintes características: 1º) A experiência é repetida um número n de vezes. *Conectivo e ⇒ Produto 96 a probabilidade do evento k E (fracasso). Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Seja p a probabilidade de ocorrência do evento E(sucesso) P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B) q = 1− p b)Se os eventos forem mutuamente exclusivos(Disjuntos) e P( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B) A probabilidade de obtermos é dado por: A∩ B = ∅ PRODUTO DE PROBABILIDADES (Regra do “e”) Se dois ou mais eventos independentes ocorrem seqüencialmente. PROBABILIDADE CONDICIONAL Qual é a probabilidade de um evento sabendo-se que um outro evento já ocorreu ? Antes da realização de um experimento. não afeta a ocorrência do outro. = Cn . é necessário que já se tenha alguma informação sobre o evento que já se deseja observar.k = k ! . ou seja o fato ocorrido. 4°) As tentativas são independentes umas das outras.P ( B ) A e B são eventos independentes. com P(B) ≠ 0 P( B) Onde B é a condição. Dica: (Esta regra pode ser generalizada para n eventos) Esse teorema é aplicado quando queremos determinar a probabilidade de ocorrer um evento A e um evento B. basta marcar entre seis e quinze números dos sessenta existentes no volante e pagar o valor correspondente ao tipo da aposta.0.87% e)23.0. o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL PROBABILIDADE CONDICIONAL Seja uma experiência com n tentativas independentes e com dois resultados possíveis em cada tentativa: sucesso ou fracasso (falha). No globo das dezenas. probabilidade de ocorrência do evento E ocorrer Esta expressão é conhecida como Lei Binomial das probabilidades. P( A dado B) = P( A / B) = P( A∩ B) .2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. p k . 7. são utilizados dois globos.com . 3º) p e q são constantes em toda a experiência.q n − k k Temos que: PK ( E ) : k vezes. Para o sorteio de cada um dos seis números. sormany_barreto@hotmail. Para concorrer. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. Dica: Você lerá da seguinte maneira: a probabilidade de A ocorrer sabendo-se que B ocorreu. após o sorteio de cada número.100. as bolas sorteadas retornam aos seus respectivos globos. com provas para esses cargos em horários distintos. 300 estudantes que iriam prestar o concurso foram selecionados ao acaso e entrevistados. considera-se. julgue os itens subseqüentes.920 inscritos concorrerem para o cargo de analista. 4)(TSE-CESPE)Para se ter uma idéia do perfil dos candidatos ao cargo de Técnico Judiciário.140 inscritos concorrerem a 46 vagas para o cargo de técnico e 7. 5 Se. em um concurso público com o total de 145 vagas. 60]. Considere que a corregedoria-geral da justiça do trabalho de determinado estado tenha constatado. 4. para isso.02. Existem menos de 4. sormany_barreto@hotmail. Para efeito de premiação. a probabilidade de que o seu algarismo das dezenas seja igual a 3 é igual à probabilidade de que o seu algarismo das unidades seja igual a 5. então a probabilidade de que um candidato inscrito para os dois cargos obtenha uma vaga de técnico ou de analista será inferior a 0. sendo que. que o número sorteado foi o 60. e que esse índice não tem diminuído.105 maneiras distintas de se distribuir 12 processos entre 4 dos 54 juízes de 1. 3)Julgue os itens seguintes.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. convênios é igual a A probabilidade de que um empregado escolhido ao acaso tenha aderido apenas ao convênio do plano de saúde é igual a Acerca do texto acima e das informações nele contidas. Para o primeiro número que é sorteado. de zero a nove.700 aderiram ao convênio com as escolas e 500 não aderiram a nenhum desses convênios. ela escolha 10 empregados que aderiram apenas ao plano de saúde e outros 10 que aderiram apenas ao convênio com as escolas. há 54 juízes de 1. um processo em fase de execução. então. no das unidades. Se. caso um cidadão tivesse. em determinado tribunal.000 empregados a possibilidade de adesão. a probabilidade de ele ter aderido a algum dos 2 . em 2007.com .º grau. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. uma empresa oferece a seus 3. a quantidade de maneiras distintas de se formar essa comissão estará corretamente expressa por (800! / 790! x 10!) x (1400! / 1390! x 10!).º grau de um tribunal de forma que cada juiz receba 3 processos. 025. acerca de contagem e probabilidades. Sabe-se que 300 empregados aderiram aos dois convênios. Em relação a essa situação. no resíduo de processos em fase de execução nas varas do trabalho desse estado. que. julgue os itens seguintes : Escolhendo-se ao acaso um dos empregados dessa empresa. entre Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. para efeito de premiação. apenas 23% tiveram solução. os números passíveis de serem sorteados são todos os inteiros positivos compreendidos no intervalo [1. Fazendo-se uma aposta do tipo A6. 1. 4 Considerando que a empresa queira formar uma comissão de 20 empregados para discutir assuntos relacionados aos dois convênios e que. das quais os dois mais antigos no tribunal participem obrigatoriamente. Quando o zero é sorteado nos dois globos. a probabilidade de que o primeiro número sorteado seja o 58 é superior a 0. será igual a 35. então a probabilidade de seu processo não ser resolvido era superior a 4 . de forma que um indivíduo possa se inscrever para os dois cargos. então a quantidade de comissões distintas que poderão ser formados por 5 desses juízes. 3 1 . a probabilidade de se errar todos os seis números sorteados é igual 97 2)Por meio de convênios com um plano de saúde e com escolas de nível fundamental e médio. Além disso. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL a cinco e. entre titulares e substitutos. Em determinado concurso. Nessa situação. em 2007. 87. 313 dos 1. Com relação à primeira fase do exame da OAB de 2008. contendo o perfil da vítima e as condições em que ocorreu o acidente.44 d) 0. fosse escolhido aleatoriamente.com. A probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente ocorrido no estado do Maranhão é superior a 0.com.21% dos bacharéis em direito da Universidade Federal de Pernambuco (UFPE) tenham sido aprovados. Com referência às informações contidas nos textos acima. sendo 4 escolhidos entre os aprovados e 2 entre os reprovados. a probabilidade de se escolher ao acaso um dos aprovados entre os bacharéis da UFPE que fizeram esse exame será maior que a probabilidade de se escolher ao acaso um dos aprovados entre os bacharéis da UFES e que também fizeram o exame da OAB. 20. considerando que um candidato seja escolhido aleatoriamente nesse conjunto de 100 pessoas. acerca de um relatório escolhido aleatoriamente entre os citados acima. A probabilidade de que o indivíduo escolhido seja candidato ao cargo de auxiliar administrativo é superior a 1 4 Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright.27. Os demais candidatos inscreveram-se em outros cargos Julgue os itens a seguir. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. quatro estados brasileiros. a probabilidade de que o acidente nele mencionado tenha ocorrido no estado do Paraná é superior a 0. A chance de que esse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino é superior a 23%. a probabilidade de ele não ter sido um dos aprovados no exame seria superior a 70% e inferior a 80%. caso se deseje formar uma comissão composta por 6 bacharéis provenientes da UFES.400 maneiras diferentes de serem concedidos tais prêmios. a PRF elaborou 1.jornaldamidia. Em 2008. 7)Em um concurso público. registrou-se a inscrição de 100 candidatos.2. Com base nessas informações.Sabe-se que 30 desses candidatos inscreveram-se para o cargo de escriturário.40 b) 0.42 c) 0.globo. descobriu se que 70 desses homens e 50 das mulheres entrevistadas estavam cursando o ensino superior. Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de um acidente que não ocorreu no Paraná.472 bacharéis em direito que se inscreveram no primeiro exame do ano da Ordem dos Advogados do Brasil (OAB) conseguiram aprovação Internet: www. não estava cursando o ensino superior é igual a: a) 0. sormany_barreto@hotmail. 39 dos 44 bacharéis provenientes da Universidade Federal do Espírito Santo (UFES) que fizeram a primeira fase do exame da OAB foram aprovados. na primeira fase do exame da OAB de 2008. haverá mais de 9 × 105 maneiras diferentes de se formar a referida comissão Se a UFES decidir distribuir dois prêmios entre seus bacharéis em direito aprovados na primeira fase do exame da OAB de 2008. Se um dos bacharéis em direito do estado do Espírito Santo inscritos no primeiro exame da OAB.405 relatórios. Considerando que. e se os bacharéis premiados forem distintos.com . no estado do Espírito Santo. a probabilidade de que ela seja de uma mulher que. um para cada uma das vítimas fatais mencionadas na tabela acima. Internet: oglobo. haverá mais de 1. Como resultado da pesquisa. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL esses. 6)(PRF)Considere que a tabela abaixo mostra o número de vítimas fatais em acidentes de trânsito ocorridos em A probabilidade de que o indivíduo escolhido seja 98 Estado em que ocorreu o acidente Maranhão Paraíba Paraná Santa Catarina Total de vítimas fatais Sexo Masculino 225 153 532 188 Sexo feminino 81 42 142 42 A fim de fazer um estudo de causas. para o cargo de auxiliar administrativo. e apenas 10 candidatos se inscreveram para os dois cargos. a probabilidade de que ela seja do sexo masculino e de que o acidente tenha ocorrido no estado do Maranhão é superior a 0.br (com adaptações).br (com adaptações). no momento da entrevista. 130 eram homens. julgue os itens que se seguem. 5)(TRT-17-2009)Em 2007.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof.5. julgue os itens que se seguem. Se uma dessas 300 fichas for selecionada ao acaso. de janeiro a junho de 2003. Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo masculino.46. A chance de que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo feminino ou a um acidente ocorrido em um dos estados da região Sul do Brasil listados na tabela é inferior a 70%. em 2007. O crime é apontado como o principal problema desses países. conclui-se que a probabilidade de se extrair uma carta e ela não ser um ás de ouros é igual a 1 .uol. Nesse caso. julgue os itens subseqüentes. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL candidato ao cargo de escriturário ou ao cargo de auxiliar administrativo é igual a 1 2 8)(CESPE-RORAÍMA) Em uma repartição com 40 funcionários. 10.625 11)(PF-2009)De acordo com o jornal espanhol El País. 65 na Colômbia. em cada grupo de 100.com 2 3 e . provocando uma grande quantidade de mortes. sormany_barreto@hotmail. Com base nas informações acima. Se. sendo um de cada naipe. a probabilidade de se retirar uma bola cuja numeração seja um múltiplo de 10 ou de 25 será inferior a 0. direito civil. respectivamente. Tendo como referência as informações apresentados no texto acima. 30. Nesse caso. 28 no Brasil. tendo crescido 16% nos últimos 12 anos. sendo. direito trabalhista.br>. Se. copas (♥) e ouros (♦). a probabilidade de se ter um número par no primeiro lançamento e um número múltiplo de 3 no segundo lançamento é igual a 1 . 52 A probabilidade de se extrair uma carta e ela conter 11 . 30. a probabilidade de ele ser apenas analista de recursos humanos é superior a 40%. 30.500 e) 0. houver 4 empresas que prestem serviços de informática e 2 empresas que cuidem da manutenção de elevadores. uma figura ou ser uma carta de paus é igual a 26 10)(CESPE-TRT-1º REGIÃO-2008). então. é apresentada uma situação hipotética a respeito de probabilidade e contagem. trabalham analistas de recursos humanos. em cada 100. 6 13)(CESPE-2009)Considerando que Ana e Carlos candidataram-se a empregos em uma empresa e sabendo que a probabilidade de Ana ser contratada é igual a Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. em 2009 o contrabando de armas disparou nos países da América Latina. um a um.000 habitantes da Europa. O arquivo de um tribunal contém 100 processos. por exemplo. Com base nessas informações. 10 se refiram a uma mesma área.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. a probabilidade de que a empresa escolhida seja prestadora de serviços de informática ou realize a manutenção de elevadores será igual a: a) 0. analistas de sistemas e outros profissionais que exercem vários tipos de atividades. 99 A probabilidade de se extrair aleatoriamente uma carta de um baralho e ela conter uma das figuras citadas no 3 texto é igual a . julgue os itens que se seguem. 50 na Guatemala. sem se verificar a que área se referem. para se ter a certeza de que. a probabilidade de que um cidadão desse grupo seja assassinado é 30 vezes menor que essa mesma probabilidade para habitantes de El Salvador ou da Guatemala. Nessa situação. distribuídos entre as seguintes áreas: direito penal. da dama e do valete. O índice de homicídios por 100. entre as 16 empresas contratadas para atender aos serviços diversos do TRT. e uma destas for escolhida aleatoriamente para prestar contas dos custos de seus serviços. seguida de uma assertiva a ser julgada. Um dado não viciado é lançado duas vezes.000 habitantes na América Latina é alarmante. será necessário que se retirem pelo menos 45processos.000 habitantes da Europa. Sabe-se que desses funcionários 20 são analistas de recursos humanos. Escolhendo-se ao acaso um dos funcionários da repartição.375 d) 0. 45 em El Salvador.125 b) 0. 13 Sabendo que há 4 ases em um baralho comum. Em uma urna há 100 bolas numeradas de 1 a 100. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. a probabilidade referida é inferior a 10−5 12)(MPE/RR-2008)Em cada um dos próximos itens. direito tributário e direito agrário.13. 18 são analistas de sistemas e 5 exercem as duas atividades: analista de recursos humanos e analista de sistemas. que consiste de 13 cartas.noticias.com. A probabilidade de um funcionário escolhido ao acaso exercer outra atividade que não seja a de analista de recursos humanos nem a de analista de sistemas é superior a 20% 9)(CESPE) Um baralho comum contém 52 cartas de 4 tipos (naipes) diferentes: paus (♣). Em cada naipe. ao se retirar. espadas (♠).entre os processos retirados do arquivo.250 c) 0. Internet: <www. os processos desse arquivo. julgue o item que se segue. 3 dessas cartas contêm as figuras do rei. a Polícia Federal já recolheu em todo o Brasil dezenas de milhares de armas de fogo.73. Qual é a probabilidade de surgirem os resultados abaixo.011. A probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente é 0 A probabilidade de ocorrer ao menos um dos eventos A ou B é 0. Escolhendo-se aleatoriamente uma arma de fogo nesse depósito. A e B. pediu que eles escrevessem todos os anagramas da palavra ESCOLA. a probabilidade de ela ter sido recolhida em um dos dois estados da região Sudeste listados na tabela é superior a 0. julgue os itens a seguir. Considerando os eventos independentes.11. em qualquer ordem? 1 . recebe um telefonema de Andrezza informando que ela está hoje em Paris. 7 que a probabilidade de Raimunda estar hoje em Paris é 2 . A tabela acima apresenta a quantidade de armas de fogo recolhidas em alguns estados brasileiros. 2 14)(POLÍCIA FEDERAL) 100 Com a campanha nacional do desarmamento. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra.54. a probabilidade de que seja Carlos será igual a 1 .6. respectivamente. A probabilidade de ocorrer exatamente um dos eventos A e B é 0. a 5 probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de: a) 2 5 b) 8 25 c) 7 25 d) 3 25 e) 4 5 5)Paulo sabe que Andrezza e Raimunda estão viajando pela Europa. Andrezza e Raimunda.3 e 0.90. Escolhendo-se aleatoriamente uma arma de fogo nesse depósito. Cada anagrama foi escrito em um pedacinho de papel e colocado em uma caixa vazia. julgue os itens que se seguem. Com as informações que dispõe. a probabilidade de ela ter sido recolhida no Rio Grande do Sul é superior a 0. 2 ser contratado é igual a a) Se um dos dois for contratado. A probabilidade de não ocorrer A nem B é 0. qual a probabilidade de que a palavra nele escrita tenha todas as consoantes juntas? a) 10% b) 20% c) 25% d) 30% e) 35% c) 1 18 d) 1 28 e) 1 36 3)(PETROBRÁS) Considerando dois eventos independentes. A probabilidade de não ocorrer exatamente um dos eventos A e B é 0. 4)A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3 . 7 e que a probabilidade de ambas. Com a informação recebida pelo telefonema de Andrezza. Paulo agora estima Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 5 4 . 1 12 b) 1)(CESPE)Uma mãe. com probabilidades de ocorrência iguais a 0. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL que a probabilidade de ambos serem contratados é 2)Joga-se um dado três vezes consecutivas. Retirando-se ao acaso um desses papéis. a probabilidade de ambas terem sido recolhidas em Pernambuco é inferior a 0. Paulo.46. Escolhendo-se aleatoriamente duas armas de fogo nesse depósito. Considerando que todas essas armas tenham sido guardadas em um único depósito.10. sormany_barreto@hotmail. 6 julgue os itens subseqüentes.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. estarem hoje em Paris é 1 .com . brincando com seus filhos. A probabilidade de Ana ser contratada e de Carlos não 1 . ele estima corretamente que a probabilidade de Andrezza estar hoje em Paris é EXERCÍCIO DO CONCURSEIRO –NÍVEL 2 1 16 3 . 7 então. sucessivamente. 48 c) 0. Os pais recomendam que ambos telefonem quando chegarem ao destino. A experiência em férias anteriores mostra que nem sempre Gustavo e Caroline cumprem esse desejo dos pais. 92 9)De um baralho de 52cartas são retiradas. 16 8)Gustavo e sua irmã Caroline viajaram de férias para cidades distintas. 40% de chance de receber uma oferta da firma de sua segunda escolha e 16% de chance de receber uma oferta de ambas as firmas. A situação dos alunos dessa escola é apresentada no quadro abaixo. a 81 361 a) 1 6 b) 5 6 c) 4 9 d) 7 18 e) 11 18 14) (CESPE-2010)Se um indivíduo tem 5 moedas de cinqüenta centavos e 4 moedas de 1 real no bolso. 20 b) 0.d.a 10)Numa maternidade. 80 c) 0. Sacamse. Qual é a probabilidade de que a soma dos dois números obtidos seja 5? probabilidade de que os 3 bebês sejam do mesmo sexo é: a) 1 2 b) 1 3 1 4 c) d) 1 6 e) 1 8 11) Uma urna contém 6 bolas brancas e 4 pretas.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. 96 b) 0.6 e a probabilidade de Caroline telefonar é 0. A probabilidade de Gustavo telefonar é 0. 86 e) 0. Qual é a probabilidade de receber uma oferta de qualquer uma das firmas? a) 0. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL corretamente que a probabilidade de Raimunda também estar hoje em Paris é igual a: a) 1 7 b) 1 3 c) 2 3 d) 5 7 e) 4 7 6)Gira-se o ponteiro (veja a figura) e anota-se o número que ele aponta ao parar. 64 d) 0. sucessivamente e sem reposição. Repete-se a operação. 32 e) 0. A probabilidade de não ocorrerem duas damas é: a) 1 26 b) 220 221 c) 1 220 d) 1 13 Considere que todos os alunos que foram aprovados direto tenham a mesma chance de ser sorteados. sem reposição. em 2005. 399 13)Um levantamento feito em determinada empresa. A probabilidade de que ambas sejam pretas é: a) 2 5 b) 6 25 c) 1 5 d) 4 25 e) 2 15 12)A direção de certa escola decidiu sortear duas bolsas de estudo para 2006 entre os alunos que foram aprovados por média. A probabilidade de pelo menos um dos filhos contactar os pais é: a) 0. a Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. duas cartas. Se a probabilidade de que cada bebê seja menino é igual a probabilidade de cada bebê seja menina. 64 d) 0. aguarda-se o nascimento de 3 bebês. sormany_barreto@hotmail. A probabilidade de que o ganhador seja uma mulher é de: e) n. sobre o tempo de serviço de seus funcionários. a) 5 24 8 b) c) 36 36 36 d) 35 12 e) 36 36 101 7) Suponha que você tenha 40% de chance de receber uma oferta de emprego da firma de sua primeira escolha.8. A probabilidade de que ambas as bolsas de estudo sejam sorteadas para meninos é de: a) b) 100 361 c) 89 399 d) 110 399 e) 120 . duas bolas dessa urna. apresentou o resultado mostrado na tabela abaixo: Um prêmio será sorteado entre os funcionários que trabalham há pelo menos 10 anos nessa empresa.com . Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. A respeito desses professores. Assim. A chance de a pessoa escolhida ter até 30 anos de idade ou mais de 50 anos de idade é superior a 30%. < 90 podem lecionar Física. Considere a situação em que uma agência bancária possua 8 caixas eletrônicos. sabendo-se que ela tem pelo menos 31 anos. julgue os itens subseqüentes. A probabilidade de o cliente. uma após a outra. Cauan e Délius. A probabilidade de a pessoa escolhida ter de 31 a 40 anos de idade é inferior a 0. A probabilidade de essa pessoa ter de 41 a 50 anos de idade. a probabilidade de ele ir a um caixa eletrônico em funcionamento na 1. < 35 podem lecionar apenas Informática. A partir da tabela acima e considerando a escolha. < 100 podem lecionar Informática. Adalton. dos quais 8 não estão funcionando. de uma pessoa entre as 900 que participaram da referida pesquisa.5% b) 15.5. Rosa. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL probabilidade de obter o total de 2 reais ao tirar somente duas moedas aleatoriamente é: a) 1/4 b) 1/6 c) 2/5 d) 2/9 e) 3/8 15) De um grupo composto por 10 homens e 15 mulheres. A probabilidade de essa pessoa não ter menos de 41 anos de idade é inferior a 0. seja igual a 1/4. A probabilidade de Rosa ou Simone ser promovida é inferior a 5/9.52. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra.5% e) 30% 20)(CESPE–BANESE). enquanto outra agência do mesmo banco possui 20 caixas eletrônicos. 21)(Policia Federal CESPE) Em um escritório. é lançado juntamente com uma moeda não viciada.3. dos quais 3 não estão funcionando. mostrou a seguinte divisão dessas pessoas. Supondo que um cliente desse banco não dispõe de qualquer informação a respeito do funcionamento dos caixas e considerando que o banco possua apenas essas duas agências. Simone e Tiago executam tarefas diferentes e apenas um deles será promovido. Suponha que a probabilidade de Rosa ser promovida seja igual a 5/12 e a de Simone. A probabilidade de que Adalton convide Beraldo para participar do jogo é de 25%. a probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na moeda é: a) 1/5 b) 3/10 c) 2/5 d) 3/5 e) 7/10 102 18)(CESPE-2010) A probabilidade de que Antonio esteja vivo daqui a 10 anos é igual a 80% e de que Paulo o esteja daqui a 10 anos é 70%. a um caixa que não está funcionando na outra agência. de acordo com a faixa etária. cuja probabilidade de se obter um número par é 3/5.5% d) 25. Tiago é o que tem a menor probabilidade de ser promovido 22)(CESPE-SEPLAG)A secretaria de educação de um município tem 500 professores de ensino médio cadastrados. Com base nessas informações.com . julgue os itens seguintes. Uma pesquisa.ª tentativa dirigir-se a um caixa eletrônico em funcionamento de uma dessas agências e. é superior a 0. sormany_barreto@hotmail. realizada com 900 pessoas que contraíram empréstimos bancários e tornaram-se inadimplentes.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Sabendo que os convites são feitos de forma totalmente independente entre si. 17)(CESPE-2010) Um dado viciado. para participar de um jogo de futebol.5% c) 22. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Entre os três indivíduos considerados. na 1. a probabilidade de que Beraldo não seja convidado por nenhum dos três amigos para o jogo de futebol é: a) 12. sabe-se que: < 100 podem lecionar Matemática. ao acaso. Então. julgue os itens seguintes.ª tentativa em ambas as agências é inferior a 25%. duas pessoas são escolhidas ao acaso. é inferior a 50%. < 25 podem lecionar apenas Física e Informática. a de que Cauan o convide é de 40% e a de que Délius o faça é de 50%. a probabilidade de que somente um deles esteja vivo daqui a 10 anos é igual a: a)30% b) 36% c)56% d)38% e)44% 19)Beraldo espera ansiosamente o convite de um de seus três amigos. < 25 podem lecionar apenas Matemática e Física. em seguida. em seguida. Se o cliente for à primeira agência e. A probabilidade de que as duas sejam mulheres é: a) 42 125 b) 14 25 c) 3 5 d) 72 125 e) 7 20 16) (CESPE-BANCO DO BRASIL-2008). for à segunda agência. 40 (E) 0.com . a probabilidade de se obter uma pontuação maior ou igual a 8 é A) igual à probabilidade de se obter 2 pontos.07. qual a probabilidade de um cliente entrar no posto para completar o óleo e calibrar os pneus? (A) 0. 130 vão completar o óleo lubrificante e 120 vão calibrar os pneus. • 80. a probabilidade de ele lecionar somente Matemática é igual a 0. Qual é a probabilidade de o comprimento do pedaço maior ser superior ao triplo do comprimento do pedaço menor? (A) 1/4 (B) 1/3 (C) 2/5 (D) 1/2 (E) 2/3 23)(TRT-MT-2010-CESPE) 103 A figura acima ilustra uma roleta construída com 5 setores diferentes e a pontuação associada a cada um deles. B) superior à probabilidade de se obter 4 pontos. C) igual à probabilidade de se obter 1 ou 8 pontos. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. em uma rodada — que consiste em girar a roleta espera sua parada e verificar a pontuação obtida. • 50. ainda. Física e Informática é igual a 0. O ponto de divisão é selecionado aleatoriamente. Destes. ao setor de cosméticos. Nessa situação. que corresponde à pontuação do setor apontado pela seta 25)(Petrobras 2010 Cesgranrio) Em um posto de combustíveis entram. • 30. Considerando que os 300 clientes entram no posto de combustíveis para executar uma ou mais das atividades acima mencionadas. Qual a probabilidade de um cliente entrar nessa loja de departamentos e se dirigir aos setores de vestuário. E) igual à probabilidade de se obter 1 ou 2 ou 4 pontos.80 Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. ao se girar a roleta.1.4. após a parada da roleta.25 (D) 0.08 (B) 0. ainda.20 (C) 0. completam o óleo e calibram os pneus. Desses. escolhendo-se um desses professores ao acaso. que 50 clientes se dirigem a outros setores que não vestuário ou cosméticos ou cinevídeo. • 120 se dirigem ao setor de vestuário. por hora. em que cada setor está indicado por uma pontuação. 80 colocam combustível e calibram os pneus e 50 colocam combustível. • 90. por hora. seja dada conforme especificado na tabela abaixo. Nessa situação. 24)(Petrobras 2005) Uma corda é dividida em dois pedaços. 210 vão colocar combustível.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof.36 (D) 0.62 —. uma disciplina que não seja Matemática. a probabilidade de a seta apontar para determinado setor. Informática ou Física é igual a 0. cerca de 300 clientes. D) superior à probabilidade de se obter 2 ou 10 pontos.48 (E) 0. Sabe-se. somente Física é igual a 0. aos setores de cosméticos e de cinevídeo e • 30. sormany_barreto@hotmail. aos setores de vestuário e cinevídeo.10 (B) 0. Matemática e Informática é igual a 0. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL < 10 podem lecionar Matemática. Física e Informática. que 70 colocam combustível e completam o óleo. ao setor de cinevídeo. Suponha que. Observou-se.05. se dirigem aos setores de vestuário e de cosméticos.45 26)(Petrobras 2005 Cesgranrio) Foi observado que uma loja de departamentos recebe. cerca de 250 clientes.20 (C) 0. de cosméticos e de cinevídeo ? (A) 0. Os objetos que compõem um conjunto são chamados de elementos do conjunto.69 (E) 0. 4 4 e) 1 3. até que se obtenha 6 pela primeira vez. 4 3 d) 1 2. no Brasil. −4 ∈ . sabendo-se que o adulto sorteado é casado? (A) 3/5 (B) 13/20 (C) 14/39 (D) 14/53 (E) 39/53 questões é 1 a) 4 3 b) 1 4 4 c) 1 2. na Inglaterra. não pode ser definido. nãoviciado. 9%.60 m e 1. 1. como tal. 4%. Se x é um elemento de um conjunto A . escreveremos: x ∈ A (lê-se “ x é elemento de A ”) x não é um elemento de um conjunto A. 40% são casadas. Cada questão possui 4 alternativas das quais somente uma é a certa.RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA É uma relação que se estabelece entre elemento e conjunto. qual a probabilidade de o referido aluno ter a altura entre 1. sem sequer olhar as perguntas da prova. A figura abaixo ilustra o cartão de respostas dessa prova.0. relacionando os pesos com as alturas: 104 Considerando-se que foi escolhido aleatoriamente um aluno que pesa entre 50 e 80 kg.75 30)(Petrobras 2010 Cesgranrio) Uma prova é composta por 5 questões objetivas.80 m? (A) 0. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL 27)(Eletronuclear 2010 Cesgranrio) Certo site pesquisou a nacionalidade de seus usuários e constatou que 50% moram nos EUA.40 (C) 0. A probabilidade de que N seja menor do que 4 é a) 150/216 b) 91/216 c) 75/216 d) 55/216 e) 25/216 29)(Petrobras 2005 Cesgranrio) O estudo antropométrico em uma amostra de 300 estudantes de determinada Universidade resultou na seguinte Tabela de Contingência.30 (B) 0. A probabilidade de que essa pessoa acerte mais do que 3 Exemplos: 3∈ .2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof.DEFINIÇÃO Conjunto é um dos conceitos primitivos da matemática e que. escreveremos: x ∉ A (lê-se “ x não é elemento de A ”). 130 são do sexo masculino. Das mulheres desse grupo. a probabilidade de que ele more fora do Brasil é de (A) 9% (B) 18% (C) 40% (D) 82% (E) 91% 28)(Petrobras 2010 Cesgranrio) Em um grupo de 200 adultos. Entre essas 200 pessoas. 7%. TEORIA DOS CONJUNTOS 1. A noção de conjunto pode ser formada a partir da idéia de coleção de objetos. e os demais.1. em outros países. qual a probabilidade de que esse adulto seja um homem. de seis faces. Sorteando-se ao acaso um usuário desse site que não more nos EUA.43 (D) 0. Se Uma pessoa “chuta” todas as respostas diretamente no cartão. 4 4 31) (CEF – Técnico Bancário – CESGRANRIO – 2008) Joga-se N vezes um dado comum. no Canadá. Escolhendo-se aleatoriamente um desses adultos. 94 delas não são casadas. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. .
[email protected] . 1 ∉ 5 Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. 2. Notação: { } ou ∅ . 2. o. 4} b)Representação através de uma propriedade ou lei de formação: o conjunto é dado pela propriedade que caracteriza todos os seus elementos. 3. escrevendo-os entre chaves. Nosso conjunto universo seria o conjunto dos números naturais. Se x for o número de luvas de segurança que a empresa vai distribuir para cada funcionário.RELAÇÃO DE INCLUSÃO É uma relação que se estabelece conjuntos.0. por meio de uma propriedade. Pergunta: qual é o conjunto A? A resposta vai depender do conjunto universo com o qual se está trabalhando. m.3. A partir de várias considerações. •A relação “contém” ou a sua negação é utilizada do maior para o menor conjunto Por exemplo: 2. sormany_barreto@hotmail. Por exemplo.8. a resposta seria: A = {0.com . r} 2)B = {1. NOTA: Observe que 105 Os conjuntos anteriores podem ser representados. conclui-se que x deve ser menor que 10. Por exemplo: A = {x/x é um número natural primo e par} = {2} c) Conjunto Universo (U) É muito comum a expressão “conjunto universo”. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL 1.1. Neste caso. b)Conjunto Unitário É definido e fica implícito que é um conjunto que possui um único elemento.7 . Exemplos: 1) A = {a. então Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. 3.2. a)Representação por extensão ou listagem É quando listamos todos os elementos do conjunto. então x só pode assumir valores naturais.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. 4. considere que.6. da seguinte forma: Exemplos: A = { x | x é letra da palavra amor} B = { x | x é número natural maior do que zero e menor do que 5} c) Representação através de diagramas de Euler ou de Venn O conjunto é representado através de uma figura geométrica fechada de tal forma que seus elementos estejam dentro da figura Por exemplo: D = { x / x > 0 e x < 0} = ∅ ∅ ≠ {∅} . A título de exemplo. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. pois {∅} = {{ }} é um conjunto unitário que tem como único elemento o conjunto vazio.9} Outro exemplo. sem comprometer o gerador próprio da empresa. se x for o número de máquinas que podem estar operando simultaneamente. A simbologia utilizada é: Notação Lê-se está contido ⊂ ⊃ ⊄ contém não está contido não contém FIQUE LIGADO!!! • A relação “está contido” ou a sua negação é utilizada do menor para o maior conjunto. Seja A o conjunto formado por todos os valores de x que atendem a esta especificação. deseja-se determinar um valor x que atenda a uma necessidade da firma. Geralmente a utilizamos para indicar todos os elementos com os quais se pretende trabalhar.0. sem extrapolar o orçamento com itens de segurança. e separando-os por vírgula ou ponto-e-vírgula.REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOS Pode-se representar os conjuntos de três formas diferentes. TIPOS DE CONJUNTOS a) Conjunto Vazio É aquele que não possui elementos. em uma empresa.5. para qualquer conjunto A . Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL sempre são usadas aos pares).2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. 2.0. então existirão 2 n subconjuntos possíveis de A . • Se um conjunto A tem n elementos.6. a resposta seria: A ⊂ A . CONJUNTOS DAS PARTES DE A x só pode assumir valores naturais e pares (pois as luvas A = {0 .8} Resolva a equação universo: x + 3 = 1 considerando como conjunto x + 3 = 1∴ x = 1 − 3 = −2 a) U = S =∅ U =. Outro exemplo: 5. Este é nosso conjunto universo. Neste segundo caso. 4. S = {−2} b) Lembrete!!! (Conjunto dos números naturais) . 1.3} . • Qualquer conjunto é subconjunto de si mesmo. quando todo elemento de A pertence também ao conjunto B e todo elemento de B pertence também ao conjunto A. Logo A ⊂ B. Exemplos: 1) Se 2)Se 4.{2} . Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. O símbolo A ⊂ B se lê de uma das seguintes formas: A está contido em B.3. o. Exemplo: 1) Dados os conjuntos A = {1. 2. os elementos de A são 1. os conjuntos ∅ e o próprio A são subconjuntos de A. ∅ ⊂ A . então P(A) = { ∅ }. {2}. dizemos que A é subconjunto de B.3} . 3}. Exemplos: • {a. Dados dois conjuntos A e B. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. o conjunto formado pelos elementos que estão em A ou em B. {1. {1. e 5 e. 2. 2. {2. portanto. então P ( A) tem 2n elementos 6. sormany_barreto@hotmail. 3. Exemplo: Quantos e quais são os subconjuntos de A = {1.{2. 3. Os subconjuntos de A diferentes de ∅ e de A são chamados subconjuntos próprios de A. r} = {r . • A repetição dos elementos em um conjunto é irrelevante. então P(A) = { ∅ . • {1. a} . o conjunto A é igual ao conjunto B se eles possuem os mesmos elementos.{3} {1. 3} e B = {1. OBSERVAÇÃO: Se o conjunto A tem n elementos. 2} . 2. O conjunto de todos os subconjuntos de A é chamado conjuntos das partes de A e é denotado por P (A). os elementos de A são elementos de B.0. m. e escrevemos A ⊂ B.SUBCONJUNTO Dados os conjuntos A e B.com .IGUALDADE DE CONJUNTOS Dizemos que os conjuntos A e B são iguais. 2. a} = {a. chamados subconjuntos impróprios de A. quando todo elemento de A pertence também a B. A = { a }. 2 e 3 e os de B são 1. 2. Em outras palavras. 7. para qualquer conjunto A .{1.1.1. {3}. então P(A) = { ∅ . A é parte de B. De fato. m.3} ? Resolução: ∅. (Conjunto dos números inteiros) Dado um conjunto A. {1. 3}.OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS a) UNIÃO (OU REUNIÃO) DE CONJUNTOS. OBSERVAÇÕES • A noção de ordem não interfere na igualdade de conjuntos. 2. {1} .0.3} A possui 8 subconjuntos. {1}. o. 4. o. 2} = {1. m. OBSERVAÇÕES: • O conjunto vazio é subconjunto de qualquer outro conjunto dado. 3)Se A = {1. 4. 2. chamamos união de A com B. 106 A = ∅ . { a }}. ou em ambos. e denotamos por A ∪ B (que se lê: A união B). 2}. A é subconjunto de B.3} {1. r . 3}. 5} temos que A ⊂ B.0. 2. 3}}. e escrevemos A = B. 2.9} d)COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO EM RELAÇÃO AO OUTRO. A ∩ A = A .9} Exemplos: A = {1. ∀ B. Dados dois conjuntos se complementar de A− B. o conjunto formado pelos elementos que estão em A e em B. então Propriedades: A ∪ ∅ = A . 2. qualquer que seja o conjunto A . C) CONJUNTO DIFERENÇA Chamamos diferença A – B (que se lê: A menos B) de dois conjuntos A e B (nesta ordem) o conjunto de todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B. ∀ A.9} = {1. temos: C − D = {1.7 . 2.3.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. ∀ A.3.5} .3} • {1. A ∆ B.8} Propriedades: Se A ≠ B . • {0. 9} .8} . D − C = ∅ A − B ≠ B − A . e B = {4. 4.3. 4.7 . ∀ A.3.7 . 2.Então temos: C AB = A − B. então A − B = ∅ e B − A = ∅ . 4} ∩ {3. ATENÇÃO: Diferença Simétrica entre dois conjuntos ( A ∆ B ) A diferença simétrica entre dois conjuntos é definida por: A ∆ B = ( A − B )∪( B − A) A ∆ B = ( A∪ B )−( A∩ B ) Exemplo: Considerando os conjuntos encontre Solução: A − B = {1.9} ou A ∆ B = {1. chamamos interseção de A com B. ao mesmo tempo. então A ∪ B = A . 9. 6. b) INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS Dados dois conjuntos A e B.5. A inter B).8. A ∪ A = A . b. A ∪ B = {1. 6.9} − {4} = {1. 6. 2.3} ∩ {7. denominaem relação a A o conjunto B B Indicamos essa operação por C A (lê-se”complementar de B em relação a A ). 4.8} = {0. simplesmente. 4} ∪ {0.com . A. 6} e • {0. com B ⊂ A Graficamente: Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. 4. então A ∩ B = B . d } = {a. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra.9} A ∆ B = {1. então dizemos que os conjuntos A e B são disjuntos. ∀ B . 6. 2} ∪ {0. b} Propriedades: A ∩ ∅ = ∅ . com B ⊂ A . 2. 2.3} ∪ {7 . qualquer que seja o conjunto A . 107 D = {3.3. 4. 4. e denotamos por A ∩ B(que se lê: A interseção B ou. 7. 4} A ∩ B = {4} B − A = {7 .3. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Exemplos: Exemplo: Sendo C = {1. 2.10} = { } = ∅ •{a. c. 3. Se B ⊂ A . ∀ B . 5. qualquer que seja o conjunto Se B ⊂ A . A B e . 4} • {1. b} ∩ {a. 6.7 . Se A = B . A ∩ B = B ∩ A. 2. NOTA: Se A ∩ B = ∅ = { } .8} = {0. qualquer que seja o conjunto A . 6} . 7} = {3. sormany_barreto@hotmail. 6.3. Se A = {1. 3. então o número de elementos de A ∪ B é dado por: n( A ∪ B) = n( A) + n( B) − n( A ∩ B) A subtração por n( A ∩ B ) serve para retirarmos os elementos contados em duplicidade. determinar: A B a) A − B b) B − A c) C B d) C A e) C e A A e) COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO EM RELAÇÃO AO CONJUNTO UNIVERSO. 18. 5. ou seja: Se 108 CUA = A = U − A Exemplo: Dados os conjuntos universo A = {2. 6. 4. 19.5} B = {0. B = {8} U = {0. indicamos o complementar de A em relação a U por A . então A ∩ B = 17. B tem 7 e A ∩ B tem 2. então A ∪ B tem 8 elementos. então A = ∅ ou B = ∅ . 6} (PROBLEMAS COM CONJUNTOS) ∗ Número de elementos da união entre conjuntos Se A e B são conjuntos finitos.8} . então A ∩ B tem 3 elementos. 2. 4. ≠ Com três conjuntos sendo: A ∩ B ∩ C ∅ n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) DICA: Os problemas de conjuntos podem ser resolvidos Se A tem 3 elementos e B tem 5 elementos. Exemplo: Dados os conjuntos A = {1. 4.. DICA: O conceito de complementar só se aplica quando um conjunto estiver”dentro” do outro. 2.. Se A e B são disjuntos.. 4. . 1) (UnB) Julgue os itens seguintes. então A ∩ B = {∅}. Se A tem 4 elementos. Se A tem 2 elementos e B tem 7 elementos. 17} e B = {17. 2.. 20. 4} . 2. A é um subconjunto de um conjunto universo U .1... A ∩ B = ∅ .2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof.}. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL sem o uso de fórmulas(Utilizando os diagramas lógicos). então A ∪ B tem 9 elementos.. determinar: e o conjunto a) A b) B Resolução: a) A = U − A = {0. 2. isto é A ⊂ U . 3. 7} . 6.8} b) B = U − B = {0. 6. III)houve 5 tardes sem chuva. então A é subconjunto de B. sormany_barreto@hotmail. 6} ⊃ {5. 2} 2 ∅ ⊂ {5. Se A = { } e B = ∅ . 2) Nas sentenças abaixo. o total que manifestou disponibilidade para a jornada extra "apenas no domingo'” é igual a (A) 7 (B) 14 (C) 27 (D) 30 (E) 37 4)(USP) Depois de n dias de férias. 1. Se A ∪ B = B e A ∩ B = A . 4} 5 {5. 1}. um estudante observa: I)choveu 7 vezes. assinalam-se com V as sentenças verdadeiras e com F.com . 7} 3 ∅ ∈ {∅. então A é subconjunto de B. 6. 7} 3)O resultado de uma pesquisa com os funcionários de uma empresa sobre a disponibilidade para um dia de jornada extra no sábado e/ou no domingo. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. II)quando chove de manhã não chove à tarde. é mostrado na tabela abaixo: Disponibilidade Número de funcionários apenas no sábado 25 no sábado 32 no domingo 37 Dentre os funcionários pesquisados. de manhã ou à tarde. as falsas: 1 {2} ∈ {0. 4} 4 5 ∈ {3. {5. Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. com . O número de elementos A = {x| x ∈ Z e |x| B = {x| x ∈ Z e A e B . Julgue a veracidade dos itens que se seguem 00. tais que n( A) = 7 n( B ) = 4 . sabendo que n(A ∩ B) = 20 . Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. então n é: 17)(CESGRANRIO) Dados os conjuntos A = { 1. 15 mulheres que não os usam e 7 homens que os usam”. 19)Seja o conjunto Julgue a veracidade dos itens que se seguem.∅ ⊂A 22- {{3. Podemos afirmar então que n é igual a: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 5)(CESGRANRIO)Consultadas 500 pessoas sobre as emissoras de TV a que habitualmente assistem. 7)Qual o número de mulheres que usam óculos? a) 7 b) 11 c) 15 d) 26 e) 28 109 8)Qual o número de homens que usam óculos? a) 7 b) 11 c) 15 d) 26 e) 28 9)Qual o número de pessoas que compõem a sociedade? a) 43 b) 46 c) 50 d) 61 e) 75 10)Quantas pessoas são homens ou usam óculos? a) 18 b) 42 c) 46 d) 53 e) 61 11)Quantas pessoas são mulheres ou não usam óculos? a) 18 b) 26 c) 44 d) 54 e) 61 12)Fez-se uma pesquisa. Assinale a única alternativa correspondente ao número de subconjuntos de S que poderão apresentar os pacientes portadores desta moléstia a)7 b)8 c)16 d)15 e)14 A = {∅. S2 . obteve-se o resultado seguinte: 280 pessoas assistem ao canal A. 6. 300 de rock e 130 de samba e rock. 300 a Tribuna.∅ ∈ A 11. 18 pessoas que usam óculos. 33-O número mínimo de elementos de A ∩ B é 4 .2 ∈ A 33. O número de pessoas que assistem o canal A e não assistem o canal B é: a)30 b)150 c)180 d)200 e)210 do conjunto A ∩ B é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 14)(PUC-RJ) Num universo de 800 pessoas. Quantas não gostam nem de samba nem de rock? a) 800 pessoas b) 730 pessoas c) 670 pessoas d) 560 pessoas e) 430 pessoas 15) Considere dois conjuntos e 6)(AEUDF) Sejam três conjuntos finitos A. 3.{{3. é sabido que 200 delas gostam de samba.d. 5}}} . 50 o Diário e a Tribuna. Em geral. obtendo-se os seguintes resultados: 190 pessoas lêem regularmente o Povo. 7 }.a. sormany_barreto@hotmail. o número de subconjuntos do conjunto ( A – B) ∩ C é a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16 18)Seja S = {S 1 . Analise as proposições abaixo: A ∪ B é 11. então n( A ∩ B ) = 4 e n( A ∪ B ) = 7 00-O número máximo de elementos de 11-O número mínimo de elementos de 16)Se um conjunto C tem n todos os seus subconjuntos é a)12 b)11 c)10 d)9 e)8 elementos e o número de 2048 . S3 }o conjunto de sintomas de uma determinada moléstia.3}} ⊂ A 55. 3. TEXTO PARA AS QUESTÕES DE 7 A 11 “Numa sociedade existem 35 homens. um portador desta moléstia apresenta apenas um subconjunto não vazio de S. Calcule o número de elementos de A ∩ (B ∪ C). A∪ B é7 .∅ ∈ A { {∅} . o Diário e o Povo. 00. 4. a) 20 b) 25 c) 15 d) 10 e) n. B e C. B = { 4. 5 } e C ={ 3. 44-Se B ⊂ A . de hábito de leitura de jornais em Fortaleza. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL IV) houve 6 manhãs sem chuva. onde foram entrevistadas 600 pessoas. 2. 5. n(A ∩ C) = 10 e n(A ∩ B ∩ C) = 5 . 4 }.∅ ⊂A {3}∈ A 44. 22-O número máximo de elementos de A ∩ B é 7 . 250 assistem ao canal B e 70 assistem outros canais distintos de A e B.3}} .2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof.{3} ⊂ A 11- 20) Seja o conjunto A= 22- {{2. Pergunta-se: Quantas pessoas lêem regularmente pelo menos um dos jornais citados acima? Quantas pessoas não têm hábito de ler os jornais citados acima? a)14 b)16 c)18 d)20 e)30 13) Sejam os conjuntos: ≤ 3} e −3 < 2x – 1 < 8}.5}} ∈ A Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright.{3} . 230 o Diário. 60 o Povo e a Tribuna.{2.{3} . 40 o Povo e o Diário e 10 a Tribuna. 96 só a B e 62 só a C. 61 pessoas estavam matriculadas apenas alongamento.4% do total de pessoas envolvidas na pesquisa EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1)(CESPE-TRT) Para o lazer de seus 380 empregados.a 25)(AEUDF) No diagrama seguinte. O total de trabalhadores dessa empresa é (A) 36 (B) 28 (C) 32 (D) 24(E) 30 23)Pesquisa feita. {5} . 108 só compram a marca A. que satisfazem a condição {1.} é a)3 b)4 c)5 d)6 e)n. 73 dessas pessoas compram A e B. 66 compram A e C e 31 compram B e C. O total de entrevistados que compram as três marcas citadas é? a) 25 b) 24 c) 20 d) 21 e) 19 24)(EPCAR)O número de conjuntos X.3. Sabe-seque 19 funcionários trabalham em A. 13 trabalham em B e existem 4 funcionários que trabalham em ambos os departamentos.5} ⊂ P(F) e) {{9}} ∈ P(F) c) {3} ∉ P(F) • F = {jovens que adoram festas} 26)Numa academia de ginástica que oferece varias opções de atividades físicas. 89 pessoas estavam matriculadas em pelo menos duas atividades indicadas na tabela. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. com 500 pessoas.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof.d. B.2.2} ⊂ X ⊂ {1. C concluiu que: 84 dos entrevistados não compram nenhuma dessas três marcas. {∅}} 21)A afirmação “Todo jovem que gosta de Matemática adora esportes e festas” pode ser representada segundo o diagrama: • M = {jovens que gostam de matemática} • E = {jovens que adoram esportes} a) 3 ∈ P(F) d) {2.3} ⊂ P(F) b) {4. 259 pessoas estavam matriculadas em alongamento ou musculação. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL 33- {3} ⊂ A 44- A ⊃ {{3} .4. mas não compram o da marca A. pode-se concluir: A pesquisa envolveu 500 pessoas. tem-se que: Alongamento 109 Hidroginástica 203 Musculação 162 Alongamento e 25 hidroginástica Alongamento e musculação 28 Hidroginástica e musculação 41 As três atividades 5 Outras atividades 115 Com base nessas informações. sobre os refrigerantes das marcas A. hidroginástica e musculação. sormany_barreto@hotmail. O número de pessoas matriculadas apenas em hidroginástica corresponde a 28. foi feita uma pesquisa para saber o número de pessoas matriculadas em alongamento. um órgão do Poder Judiciário firmou contrato com um clube Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright.com em . chegando-se ao resultado expresso na tabela a seguir: Atividade Nº de pessoas matriculadas 110 22)Uma empresa divide-se unicamente nos departamento A e B. Com base nessas informações. Considerando esses 200 candidatos e os resultados da pesquisa. Mais de 10 desses juízes são professores universitários mas não têm título de doutor nem de mestre.350 empregados. julgue os itens seguintes. 81 praticaram ginástica e tênis. • 90 utilizaram o livro L. 3 Noventa candidatos se prepararam para o concurso utilizando pelos menos dois desses livros. Uma pesquisa realizada com 200 candidatos que se preparam para esse concurso usando esses livros revelou que: • 10 candidatos utilizaram somente o livro L. 4. • 20 utilizaram os livros L e M. 1 Mais de 6 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente os livros L e M. 105 praticaram apenas ginástica. 10 possuíam os títulos de doutor e mestre e eram professores universitários. 4 Menos de 900 empregados aderiram apenas ao plano de previdência. 50 possuíam o título de mestre. Mais de 100 empregados praticaram apenas tênis. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL que dispõe das seguintes atividades: ginástica. • 1. 1 Menos de 50 desses juízes possuem o título de doutor ou de mestre mas não são professores universitários. • 20 utilizaram somente o livro N. sabe-se que. um plano de previdência privada e uma seguradora de veículos para adesão voluntária de seus 5. • 280 não aderiram a nenhum convênio. 15 possuíam somente o título de doutor e não eram professores universitários e 10 possuíam os títulos de mestre e doutor e não eram professores universitários.000 empregados aderiram apenas ao plano de saúde. • 2. y) em que x pertence a A e y pertence a B. • 25 utilizaram os livros M e N.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof.280 aderiram ao plano de previdência. 3 O número de empregados que aderiram a apenas duas modalidades de convênios foi inferior a 1. e que o produto cartesiano desses conjuntos é o conjunto dos pares (x.650. • 15 utilizaram os três livros. 3. 20 possuíam somente o título de mestre e não eram professores universitários. 109 praticaram golfe. Com base nessa situação. 1 Mais de 2. • 320 aderiram apenas ao seguro de veículos. 2 Mais de 3 desses juízes possuem somente o título de doutor e são professores universitários. Menos de 200 empregados praticaram ginástica. Sabe-se que as adesões ficaram assim distribuídas: • 870 aderiram ao plano de saúde e ao seguro de veículos. 4 O número de candidatos que se prepararam para o concurso utilizando o livro M foi inferior a 105. • 580 aderiram ao seguro de veículos e ao plano de previdência. julgue os itens que se seguem O número de empregados que não praticaram nenhuma das três atividades oferecidas pelo clube é um número primo.com . M e N foram indicados como referência bibliográfica para determinado concurso. 2 O número de empregados que aderiram apenas aos planos de saúde e de previdência foi 850. julgue os itens seguintes. Menos de 35 desses juízes são professores universitários. 27. 2 Mais de 100 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente um desses livros. julgue os itens seguintes. • 350 aderiram às três modalidades de convênio. então o conjunto Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. 20 empregados praticaram apenas tênis e golfe. Gabarito: C C XX 4)(STM-2004) Uma organização contratou convênios com um plano de saúde. Em junho de 2005. julgue os itens a seguir. sormany_barreto@hotmail. 45 praticaram apenas golfe. dos 380 empregados: 16 praticaram as 3 atividades. GABARITO: E E C C 05)(Vila Velha – 2008) Sabendo que a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto dos elementos que estão em A e em B. 28 praticaram apenas ginástica e golfe. tênis e golfe. 9. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. 264 praticaram tênis ou golfe. GABARITO: E C C E 3) (STF-2008) Uma pesquisa envolvendo 85 juízes de diversos tribunais revelou que 40 possuíam o título de doutor. 243}. O número de empregados que praticaram apenas ginástica e tênis tem em sua decomposição apenas dois fatores primos GABARITO: C C E E E 111 02) (Sebrae-2008) Considere que os livros L. 1 Se o conjunto A = {x | x é um número inteiro divisível por 3} e B = {3. 81. Com base no exposto acima.230 aderiram aos planos de saúde e de previdência. julgue os itens que se seguem. Dessa forma. e) 25. b) Se A\B = {1. Com relação a operações com conjuntos. nas faces superiores dos dados. Acerca dessa situação hipotética. seja obtido. 30 preferiram os cargos AP e AC. y) x – y seja múltiplo de 2. então é correto afirmar que menos de 10 desses candidatos foram reprovados nas duas provas. que. 2. 9)(CESPE)Uma empresa solicitou a 300 pessoas que indicassem suas preferências quanto a ocupar os cargos Agente de Portaria (AP). 5} e B = {(x. 9}. então B\A = {0.2010) Os conjuntos A. O resultado dessa pesquisa foi o seguinte: 180 preferiram o cargo AP. 80 preferiram o cargo AC. 40 preferiram os cargos AP e AM. sormany_barreto@hotmail. 50 preferiram os cargos AM e AC. respectivamente. ao se lançarem dois dados. 10 preferiram os três cargos. 70 Considerando que. a) Se A\B tiver 5 elementos. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL interseção de A e B é vazio. 2. B. 67 C/D tem mais de 4 elementos.com . representados pelos conjuntos A e B. Cento e oitenta candidatos não indicaram preferência pelo cargo AC. 6. 8. 4. então 0 A. 5. em que os símbolos e ∩ representam união e intersecção. 3. B é o ∈ A × A tais que subconjunto de pares ordenados (x. 3. 210 foram aprovados em CB. julgue os itens seguintes. 65 C ∪ D tem mais de 40 elementos. C e D são tais que A e B são disjuntos de C e D e suas partes têm as quantidades de elementos conforme mostra a tabela a seguir. deles. 230 foram aprovados em CE e apenas 16 foram aprovados nas duas provas. 8}. 7. 112 Com relação a esses conjuntos e subconjuntos e aos números de elementos. Considere-se. 7. 4 elementos. 4. de acordo com a tabela abaixo. 2. 1. no mínimo. 2 Considere-se que os números representados nas faces de um dado sejam os elementos de um conjunto. Nessa situação. a quantidade de elementos do conjunto B é igual a a) 0. 69. cada entrevistado declarou que seus veículos consomem pelo menos um dos produtos citados. álcool anidro (AA) e óleo dísel (OD). ainda. GABARITO: E E 06) (Sebrae.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. b) 2. Em uma pesquisa realizada com 200 clientes. Agente de Mecânica(AM) e Agente de Carpintaria (AC). Cento e vinte candidatos não indicaram preferência pelos cargos AM ou AC. d) É possível que se tenha A\B = A. d) 13. c) 5. 3. Gabarito: C E E C E C 7)Suponha que A e B sejam dois subconjuntos de números inteiros tais que A B = {0. 68 D/C tem mais de 20 elementos. assinale a opção correta. apenas 40 não indicaram preferência por nenhum dos três cargos. 5. 6}. em um concurso público no qual as provas para determinado cargo constituíam-se de conhecimentos básicos (CB) e de conhecimentos específicos (CE). a quantidade de elementos do conjunto produto cartesiano de A e B que possuem pelo menos um número 2 no par que os representa é igual a 6. ∪ Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. 66 [A/B] ∪ [B/A] tem mais de 25 elementos. Setenta candidatos não indicaram preferência pelos cargos AP ou AC. y) ∈ A × A: 2 ( x – y ) }. 9} e A ∩ B = {4. Dos 300 entrevistados. c) Se A\B é o conjunto vazio. um par de números que pode ser representado por um elemento do produto cartesiano de A e B. julgue os itens seguintes. Nessa situação. ∈ 8) (TRE –MG-2009) Considere que A = {1. 110 preferiram o cargo AM.É possível que existam conjuntos A e B com A ≠ B e que A B = A ∩ B. 10)Um posto de abastecimento de combustíveis vende gasolina comum (GC). 430 inscritos fizeram as provas e. ∪ ∪ representando por A\B os elementos de A que não estão em B e. similarmente. então B\A tem. ou seja. por B\A os elementos de B que não estão em A. então há mais alunos estudando inglês do que espanhol. também hipotética. então há mais alunos estudando somente inglês do que espanhol. julgue os itens seguintes. E)70% das pessoas têm idéias originais e não comercializáveis. Jud 2008 CESPE) No curso de línguas Esperanto. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. Se os 60 alunos que estudam grego estudam também inglês e nenhuma outra língua mais.2 são pretos. 4. sormany_barreto@hotmail. 36 Pelo menos dois produtos são consumidos pelos veículos de mais de 120 clientes. Se os alunos que estudam grego estudam também espanhol e nenhuma outra língua mais. 1. os 180 alunos estudam inglês. GABARITO: CEC 113 11)(Agente de Policia Civil do ES 2009 CESPE) Considere que em um canil estejam abrigados 48 cães.30 têm pêlos longos. Sabe-se que 60 alunos estudam espanhol e que 40 estudam somente inglês e espanhol. 1. Se 40 alunos estudam somente grego. Se os 80 alunos que estudam grego estudam também inglês e espanhol. então mais de 90 alunos estudam somente inglês. 70 responderam que falam espanhol. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Considerando essas informações e que cada veículo consome apenas um tipo de combustível. é correto afirmar que o número total de estudantes pesquisados foi de 185. 100 alunos responderam que falam inglês.4 são pretos. . 1. dos quais: . é correto afirmar que 35 Clientes possuem apenas veículos que consomem OD. mas não possuem nenhum veículo que consome OD. nesse canil. Dos empregados que possuem casa própria há mais solteiros que casados.4 têm rabos curtos e pêlos longos e não são pretos. . o número de cães abrigados que são pretos. 3. 2.24 são pretos. para identificar quem fala inglês ou espanhol. 30 responderam que falam inglês e espanhol e 45 responderam que não falam nenhuma dessas duas línguas. 80 são casados. Sabe-se também que 60% das pessoas têm uma idéia original e apenas 50% têm idéias comercializáveis. GABARITO: EE 13)(Agente Polícia Civil/PE 2006 IPAD) Em um país estranho sabe-se que as pessoas estão divididas em dois grupos: o grupo dos que têm uma idéia original e o grupo dos que têm uma idéia comercializável. B)65% das pessoas têm idéias originais e não comercializáveis. julgue os itens que se seguem.com . Nessa situação. então a quantidade de alunos que estudam somente inglês é igual ao dobro da quantidade Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. C)10% das pessoas têm idéias originais e comercializáveis. . Mais da metade dos empregados casados possui casa própria. D) 30% das pessoas têm idéias comercializáveis. sendo que pelo menos um desses veículos consome GC e outro consome AA. 2. Com base nessa situação. 14)(PETROBRAS 2007 CESPE) O item abaixo apresenta dados hipotéticos a respeito de uma pesquisa. têm pêlos longos mas não têm rabos curtos é superior a 3 e inferior a 8. Então. mas não originais. têm rabos curtos e pêlos longos. Uma pesquisa foi feita entre estudantes. Gabarito:C 15)(TRT 5ª Região Tec. . 70 possuem casa própria e 30 são solteiros e possuem casa própria. têm rabos curtos e não têm pêlos longos. Entre os pesquisados. 12)(DETRAN-DF 2009 CESPE) Sabendo-se que dos 110 empregados de uma empresa. 37-10 clientes possuem mais de um veículo. espanhol ou grego.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. . Podemos afirmar que: A)15% das pessoas têm idéias originais e comercializáveis. seguidos de uma assertiva a ser julgada.12 têm rabos curtos. III. O número de pessoas contaminadas pelos três vírus simultaneamente representa 9% do total de pessoas examinadas. que oferece apenas um curso diurno de Português e um curso noturno de Matemática. os vírus A e B. e) exatamente 6. 50% estão matriculados também no curso de Matemática. ainda. o número de estudantes matriculados no curso de Matemática e que são paulistas é: a) 42 b) 24 c) 18 d) 84 e) 36 21)(RJ ESAF) Em uma pesquisa de mercado verificou-se que 300 pessoas não consomem o produto A. e 8 cursam disciplinas desses três cursos. Gabarito: E C 17)(ANEEL ESAF) Em um grupo de 30 crianças. em 230. mais de 50 desses alunos cursam disciplinas de apenas dois dos outros cursos mencionados. d) no máximo 6. Dos matriculados no curso de Matemática. O número de crianças deste grupo que têm olhos azuis e estudam canto é a) exatamente 16. foi constatada a presença de três tipos de vírus – A. 114 18)(ATA MF 2009 ESAF) Em um determinado curso de pós-graduação. Dos quatrocentos alunos. Mais de 140 moradores apresentaram. c) exatamente 10. qual é o número mais próximo da porcentagem de participantes com duas graduações? a) 40% b) 33% c) 57% d) 50% e) 25% 19)(MPU CESPE) Em exames de sangue realizados em 500 moradores de uma região com péssimas condições sanitárias. 15% são paulistas. 80 cursam disciplinas do curso de Física. O resultado dos exames revelou que o vírus A estava presente em 210 moradores. dos cursos de Química e Física. Sabe-se que não há participantes do curso com outras graduações além dessas. dos cursos de Biologia e Química. O número de consumidores consultados é igual a (A) 250 (D) 550 (B) 350 (E) 650 Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. V. 55. 1/4 dos participantes são graduados em Biologia e 1/3 dos participantes são graduados em Química. Por solicitação da diretoria. 16. que essa distribuição inclui todos os alunos do curso de Matemática. A quantidade de itens certos é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 20)(Fiscal Recife ESAF) Uma escola. Com base nessa situação.possui quatrocentos alunos. do curso de Biologia. 200 não consomem o produto B. então. 2/5 dos participantes são graduados em Geologia. Com relação a essa situação. e que não há participantes com três ou mais graduações. 2. Portanto. GABARITO: E C E X X 16)(TRT 1ª Região Anal Jud 2008 CESPE) Em uma universidade. O número de moradores que apresentaram o vírus C é igual a 230. Dos que estão matriculados no curso de Português. a maior concentração de alunos estará no curso de Física. em 5 moradores não foi detectado nenhum dos três vírus e o número de moradores infectados pelo vírus C era igual ao dobro dos infectados apenas pelo vírus B. I. o secretário do curso de Matemática informou que. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL dos que estudam somente espanhol. B e C. dois vírus. 100 não consomem A ou B e 50 consomem A e B. Se as informações do secretário acerca dos alunos do curso de Matemática estiverem corretas. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. o vírus B. 1/4 dos participantes são graduados em Matemática. os vírus A e C. pelo menos. 16 têm olhos azuis e 20 estudam canto. os alunos de cada curso podem cursar disciplinas de outros cursos para integralização de seus currículos. 32.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. 1/3 dos participantes são graduados em Economia. 90. dos 200 alunos desse curso. O secretário informou. em 70. em 90. 23. dos cursos de Biologia e Física. sormany_barreto@hotmail. 60% estão matriculados no curso de Português. e os vírus B e C. IV. Considerando que nenhum aluno que estude grego estude somente essa língua e que 120 alunos estudem as três línguas simultaneamente. 5. do curso de Química. b) no mínimo 6. então será possível inferir que nenhum aluno estuda apenas uma das três línguas. Considerando corretas as informações do secretário acerca dos alunos do curso de Matemática. O número de moradores que não foram contaminados pelos vírus B e C representa de 16% do total de pessoas examinadas. julgue os itens seguintes. 345 moradores apresentaram somente um dos vírus. 1. em 80. Assim. Além disso. julgue os itens abaixo. setorizada por cursos.com . II. dos alunos que cursam disciplinas de apenas um dos outros cursos. 170 lêem o jornal Y.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Uma pesquisa de mercado sobre a preferência de leitura da população da cidade revelou que: 150 lêem o jornal X. medidas em anos completos. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL (C) 450 22)(Técnico BACEN 2005 FCC) Para um grupo de funcionários. 210 lêem o jornal Z. Y e Z. 118 que preferem espanhol e 37 que pretendem estudar simultaneamente os dois idiomas. então o número de elementos do grupo é (A) 245 (B) 238 (C) 231 (D) 224 (E) 217 23)(Ipad/Delegado/2006) Em uma cidade há apenas três jornais: X. 40 lêem os jornais X e Y. 30 lêem os jornais X e Z. Há 105 funcionários que pretendem estudar inglês. 90 não lêem jornal algum. 10 lêem os três jornais. 50 lêem os jornais Y e Z. Quantas pessoas foram entrevistadas? A) 510 B) 320 C) 420 D) 400 E) 500 24)As possíveis idades de um grupo de 15 meninos. uma empresa oferece cursos para somente dois idiomas estrangeiros: inglês e espanhol. Se 1/7 do total de funcionários desse grupo não pretende estudar qualquer idioma estrangeiro. são dadas pelo conjunto A = 115 {x ∈ . são dadas pelo conjunto B ={x ∈ . As possíveis idades de um grupo de 25 meninas. também medidas em anos completos. | 1 ≤ x ≤ 15}. Por outro lado. O Tribunal de Contas da União (TCU) conta com um organograma com a seguinte estrutura. ( ) A SERUR é um subconjunto da SEGECEX. sede do TCU. Finanças e Contabilidade (SECOF).com .gov. Secretaria de Fiscalização e Avaliação de Programas de Governo (SEPROG). contando. Integram a estrutura da SEGECEX: Secretaria Adjunta de Fiscalização de Pessoal (SEFIP).Geral de Controle Externo (SEGECEX). para tanto. obtém-se um Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Internet: <www. A SGS tem por finalidade prestar apoio e assistência ao funcionamento do Plenário e das Câmaras e gerenciar as bases de informação sobre normas. a Secretaria de Orçamento. Com base nas informações do texto acima. Secretaria de Macroavaliação Governamental (SEMAG). a partir do conjunto formado pelas possíveis idades comuns ao grupo dos meninos e das meninas. a Secretaria de Material. julgue os itens a seguir: ( ) A∩ B ≠ ∅. executar e supervisionar as atividades administrativas necessárias ao funcionamento do Tribunal. Secretaria de Fiscalização de Desestatização (SEFID). é: a) 32 b) 60 c) 128 d) 148 e) 164 25)(CESPE – TCU – – Técnico de Controle Externo). organizar. Unidades de apoio estratégico: Secretaria de Planejamento e Gestão (SEPLAN). portanto. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. o conjunto dos órgãos que integram a SEGEDAM. Secretaria-Geral de Administração (SEGEDAM). Considere que A seja o conjunto dos órgãos que integram a SEGECEX e B. somando-se a quantidade total de obras sob a responsabilidade da cidade Alfa com a quantidade total de obras sob a responsabilidade da cidade Beta — incluindo-se nessas quantidades as obras que estão sob responsabilidade mútua —. Sabe-se que algumas dessas obras são de responsabilidade mútua das duas cidades e que a quantidade total de obras cujas contas estão sob análise é 28.br> (com adaptações). com a Secretaria de Recursos Humanos (SEREC). Unidades básicas: Secretaria. e vinte e seis nas capitais dos estados da Federação. | 4 < x < 12}. Secretaria de Recursos (SERUR) e trinta e duas Secretarias de Controle Externo (SECEX). sormany_barreto@hotmail. ( ) A SESEG é um elemento do conjunto B. GABARITO: EEEC 26)(CESPE-2010)As cidades Alfa e Beta estão com suas contas de obras sob análise. dirigir. controlar. A SEGECEX tem por finalidade gerenciar a área técnico executiva de controle externo visando prestar apoio e assessoramento às deliberações do Tribunal. Secretaria de Fiscalização de Obras e Patrimônio da União (SECOB). sendo seis localizadas em Brasília. jurisprudência e deliberações do Tribunal. Secretaria-Geral das Sessões (SGS). A SEGEDAM tem por finalidade planejar. ( ) O número de secretarias de A ∪ B é menor que o somatório do número de secretarias de A e B. Patrimônio e Comunicação Administrativa (SEMAT) e a Secretaria de Engenharia e Serviços Gerais (SESEG).tcu. O número total de subconjuntos que se pode obter. Secretaria de Tecnologia da Informação (SETEC) e Instituto Serzedello Corrêa (ISC). coordenar. então não será possível preenchê-lo na forma especificada.
[email protected] e 12 e) 2. diz a seguinte frase a um amigo: “O produto das idades de meus filhos vale 30". L: Sim. S: A soma de suas idades é o número da casa aí em frente. uma delas é um pouco mais pesada do que as outras 14. c) Sara não nasceu no século XXI. pode-se dizer que a soma das idades dos filhos do homem vale: A) 19 B) 11 C) 13 D) 15 E) 33 116 2)Um lógico quis saber da enigmática senhora que estava ao seu lado. De acordo com essas instruções e considerando as células de uma diagonal já preenchidas.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. 5)(Delegado de Polícia Civil de Tocantins/ Cespe) No retângulo abaixo. o número mínimo de pesagens que deverão ser feitas para que se possa garantir que a bola que destoa quanto ao peso será identificada é (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 7)(IBGE 2010 Cesgranrio) Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Quais são as idades dos 3 filhos? a)6. sendo dois deles gêmeos.1 e 36 c)1. 1. Carlos. que têm todas o mesmo peso. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. b) Sara nasceu em 2001. vejo o número.º dia: Ana. Carlos.Houve o seguinte diálogo: S: O produto de suas idades é 36. e) Sara nasceu em 1997. Lúcia. mas ainda me faltam informações. Os dois instrutores eram mulheres. Márcio. É verdadeira a seguinte afirmação: A quantidade de obras de responsabilidade mútua cujas contas estão sob análise é superior a 10. 2. 6 e 1 b) 1.2 e 9 dias foram: 1. Com base nessas informações. julgue o item a seguir. L: Ainda me faltam informações. Um estagiário era Lúcia ou Márcio. Se for colocada a vogal I em todas as células da outra diagonal desse retângulo. 3. “Realmente” – retruca o amigo –. ao que o amigo responde: “Mas não consigo saber a idade de seus filhos apenas com esta informação!”. Considerando que um dos instrutores era mulher. apenas uma das afirmações a seguir é verdadeira. Em cada dia apenas um instrutor participou do treinamento de dois estagiários e cada estagiário foi treinado em dois dias. 3)Sobre a data de nascimento de Sara. Lúcia. Carlos era estagiário. Entretanto. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL total de 37 obras.o dia: Ana. julgue os itens seguintes. julgue os itens que se seguem. então a quantidade de obras de responsabilidade exclusiva da cidade Beta cujas contas estão sob análise é inferior a 12. S: O mais velho toca piano.com . qual era a idade dos seus 3 filhos. L: Ah! Agora eu sei quais são as idades. “faltou dizer que a idade de meu filho mais velho é ímpar”. As escalas nos três Utilizando uma balança de dois pratos.2 e 18 d)1. 3. Assinale-a: a) Sara nasceu em 2004. 6) (Bacen Analista 2010 Cesgranrio) Jonas possui 15 bolas visualmente idênticas. Helena. 4)(BB 2009/001 Cespe) Uma empresa bancária selecionou dois de seus instrutores para o treinamento de três estagiários durante três dias. PROBLEMAS LÓGICOS 1)Um homem que tem 4 filhos. Com base nestas informações. d) Sara não nasceu num ano ímpar.º dia: Helena. as células vazias só podem ser preenchidas com vogais e de modo que cada vogal apareça apenas uma vez em cada linha e em cada coluna. semelhante à da figura acima. É falsa a seguinte proposição: Se a cidade Alfa tem 17 obras sob sua responsabilidade cujas contas estão sob análise. 2. 9)(INEP 2008 Cesgranrio) 117 Um jogo é constituído de 27 quadrados numa grade de 3 x 9 quadrados.em cada uma das três fileiras horizontais. a quantidade máxima.. Respeitando-se os algarismos já posicionados na tabela. então. em um cartão. 11)(BB2 2007 CESPE) Julgue o item seguinte. Y Z. 36. na outra face. A) 2 4 6 5 1 3 B) 3 5 6 2 1 4 C) 5 2 6 4 1 3 D) 4 3 6 5 1 2 E) 2 4 6 3 1 5 Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. C e E. Cada caixa contém 1 litro. permite o preenchimento logicamente correto de toda a tabela. assinale a opção que exibe uma sequência numérica que. há um número ímpar em uma face. . quando colocada na sexta linha. 40. sormany_barreto@hotmail. há um quadrado”. cada um dos números de 1 a 9 deve aparecer uma única vez. que pode ser consumida é (A) 13 (B) 14 (C) 15 (D) 16 (E) 17 8)(Sebrae 2008 Cespe) na escadaria de um prédio que não tenha subsolo e que ambos estejam correndo no mesmo sentido. cada um dos números de 1 a 9 deve aparecer uma única vez. o valor de Z é igual a 43. será necessário olhar a outra face A) apenas dos cartões A e B. em litros. . . degrau 2. 27. X. 31.. Comprando-se 11 caixas desse leite. e que alguém fez a seguinte afirmação: “se. 1. 35. C) apenas dos cartões B. D e E. Considere que cada um dos cartões acima tenha um número em uma face e uma figura na outra. D) de todos os cartões. 44.. Para comprovar se essa afirmação é verdadeira. Esses quadrados devem ser preenchidos com os números de 1 a 9.. Considere que um policial esteja perseguindo um ladrão 12)(SAD-PE-CESPE-2010) A tabela a seguir deve ter todas as linhas e todas as colunas preenchidas com os algarismos de 1 a 6 de modo que nenhum desses números ocorra repetido em uma mesma linha ou coluna. O quadro abaixo pode ser completamente preenchido com algarismos de 1 a 6.. em que X – Y = −6 . Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL Um fabricante de leite estabelece a seguinte promoção: 3 caixas vazias do leite podem ser trocadas por uma caixa cheia desse mesmo produto. então o policial e o ladrão estão descendo as escadas.e se o policial estiver no degrau X e o ladrão no degrau Y. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. de modo que cada linha e cada coluna tenham sempre algarismos diferentes. 32. Essa grade é subdividida em 3 grades menores de 3 x 3 quadrados. obedecidas as seguintes exigências: . Na sequência numérica 23. x + y + z vale (A) 16 (B) 15 (C) 13 (D) 11 (E) 10 10)(Policia Civil-Cespe) Julgue os itens a seguir. Se os degraus da escada são numerados a partir do térreo por degrau 1. acerca de raciocínio lógico. B) apenas dos cartões A..com .em cada uma das três grades menores. Nestas condições.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Algumas vezes. O homem compreendeu que o casulo apertado e o esforço necessários para a borboleta passar através da pequena abertura era a maneira como Deus fazia com que o fluido do corpo da borboleta fosse para suas asas. CONTRIBUIR PARA O SEU CRESCIMENTO PESSOAL • E PROFISSIONAL. saiu facilmente. Minha vida sempre rumou para ajudar as pessoas a conquistarem os seus sonhos. APRESENTAÇÃO Comecei a lecionar em cursos preparatórios para concursos aos 18 anos de idade. Eu nasci para ser professor. Caixa Econômica. Polícia Civil. Matemática Básica e Financeira. esperando que. Sempre devemos ensinar. Esse é o meu objetivo nesse CURSO. considerando. o esforço é justamente o que precisamos Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. professor de Raciocínio Matemático.. nessa situação. condoído. era pequeno e tinha as asas amassadas. que cada deslocamento do barco de uma margem à outra do rio seja uma viagem. A cada não aprovação significa que estamos mais perto da aprovação. as asas dela se abrissem e esticassem. mas possuam um barco que transporta. Estatística Básica e Avançada. BNB.. Mestre em Matemática.. PRF. 70 kg e 80 kg. O meu propósito é somente um: • • CONTRIBUIR PARA O SEU PROJETO DE VIDA. para que os três indivíduos atravessem o rio utilizando o barco. ainda. ao homem. a borboleta. sormany_barreto@hotmail. BACEN. Numérico. HUMILDADE – Nunca sabemos tudo. Sempre teremos o que aprender. continuou a observar a borboleta. a qualquer momento. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL 13)(Sebrae 2008 Cespe) Considerando que três indivíduos pesem 60 kg. Mas seu corpo estava murcho. PERSEVERANÇA – O nosso futuro é moldado conforme cada ação que promovemos no nosso presente.. feliz.A maneira como são cobradas as matérias de matemática e raciocínio lógico nos concursos parecem seguir certo modelo para cada banca. lança em 2011 o livro Raciocínio Lógico para Todos. A borboleta. PETROBRAS. a borboleta passou o resto de sua vida rastejando com um corpo murcho e asas encolhidas. Analítico e Crítico. Didática do Ensino superior. 135 kg. Esclarecer e desmistificar tudo o que poderá te encontrar na hora da prova. SORMANY BARRETO 8809-3929 9943-7475 A lição da borboleta Um dia. D) 8. O meu objetivo é fazer com que o aluno se sinta familiarizado com cada prova que poderá enfrentar Licenciado em Matemática e pós-graduado em Metodologia do Ensino da Matemática. C) 7. Então pareceu.2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. uma pequena abertura apareceu em um casulo e um homem observou. O conhecimento é democrático. que fazia enorme esforço para que seu corpo passasse através daquele pequeno buraco. no máximo. Ela nunca foi capaz de voar. PACIÊNCIA – Tudo tem o seu tempo. III. para serem capazes de suportar o corpo que iria se afirmar. Quantitativo.com . que ela havia parado de fazer qualquer progresso. a quantidade de viagens que esse barco necessitará fazer será igual a A) 5. Preparei alunos a prestarem concursos como TJ. TRF. AFRFB. Cálculo Diferencial e Integral. • CONTRIBUIR PARA A SUA APROVAÇÃO EM UM CONCURSO PÚBLICO. B) 6. O homem. e não conseguiria ir mais. Nada aconteceu!!! Na verdade. fiscais em geral. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. então. antes mesmo de iniciar o meu curso de Licenciatura em Matemática . O homem. Banco do Brasil. decidiu ajudar a borboleta: pegou uma tesoura e cortou o restante do casulo. por longo tempo. II.. Polícia Federal.As três regras de ouro para aprovação em concursos públicos I. para fortalecê-las. 118 REFLEXÃO. Parecia que ela tinha ido o mais longe que podia. . . não saibam nadar e queiram atravessar um rio. de modo que estaria pronta para voar assim que estivesse livre do casulo. e recebi pessoas com problemas para ajudar. Pedi AMOR. Caso Deus nos permitisse passar através de nossas vidas sem quaisquer obstáculos.. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra. Pedi PROSPERIDADE. Pedi SABEDORIA. 119 Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright...... Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL em nossa vida.. e recebi PROBLEMAS para resolver...2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Pedi FORÇA.. e recebi PERIGO para superar. e recebi CÉREBRO e MÚSCULOS para trabalhar... sormany_barreto@hotmail. Não iríamos ser tão fortes como podemos ser.com .. e recebi DIFICULDADES para me fazer forte... talvez ficássemos enfraquecidos. Pedi CORAGEM. Msc Sormany Barreto TURMA: POLÍCIA CIVIL 120 Todos os direitos reservados ao professor Sormany Barreto © Copyright. Proibido a reprodução total ou parcial desta obra.com .2011 APOSTILA RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. sormany_barreto@hotmail.