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IntroducciónPreliminares Existencia de atractores para semigrupos Referencias bibliográficas Atractores globales para problemas parabólicos en espacios de potencia fraccionaria Rodiak Nicolai Figueroa López Beca FAPESP Asesor: Dr. German Jesus Lozada Cruz Departamento de Matemática IBILCE/UNESP - São José do Rio Preto Conferencia UNT 19 de Enero del 2011 Figueroa López, R. N.; Lozada Cruz, G. J. Atractores globales para problemas parabólicos Introducción Preliminares Existencia de atractores para semigrupos Referencias bibliográficas Introducción Muchos fenómenos que aparecen en diversas áreas del conocimiento como, por ejemplo, en la quı́mica, fı́sica, biologı́a, etc., son modelados por ecuaciones diferenciales parciales. El objetivo en este trabajo es presentar los resultados básicos para la existencia del atractor global para una ecuación diferencial parcial parabólica con operador elı́ptico de segundo orden en espacios de potencia fraccionaria. Figueroa López, R. N.; Lozada Cruz, G. J. Atractores globales para problemas parabólicos Introducción Preliminares Semigrupos y órbitas Existencia de atractores para semigrupos Atractor global Referencias bibliográficas Semigrupos y órbitas Sea X un espacio de Banach sobre un cuerpo K = R o C y C(X ) = {ϕ : X → X /ϕ es continua}. Denotemos T = Z o R y T+ = {t ∈ T : t ≥ 0}. Definición (Semigrupo) Un semigrupo es una familia {T (t) : t ∈ T+ } ⊂ C(X ) tal que T (0)x = x, para todo x ∈ X , T (t + s) = T (t) ◦ T (s) para todo t, s ∈ T+ e [0, ∞) × X 3 (t, x) 7→ T (t)x ∈ X es continuo. Definición (Semigrupo Analı́tico) Sea 4 = {z ∈ C/φ1 < arg z < φ2 } con φ1 < 0 < φ2 e para z ∈ C, T (z) un operador linear limitado. La familia {T (z) : z ∈ 4} es un semigrupo analı́tico en 4 si Figueroa López, R. N.; Lozada Cruz, G. J. Atractores globales para problemas parabólicos Introducción Preliminares Semigrupos y órbitas Existencia de atractores para semigrupos Atractor global Referencias bibliográficas Ejemplo El problema de valor inicial ( ẋ = f (x) (1) x(0) = x0 ∈ Rn , donde f ∈ C 1 (Rn ) y f (0) = 0 tiene una única solución x : [0, ∞) → X definida por x(t, 0, x0 ). La familia {T (t) : t ∈ T+ } ⊂ C (Rn ) dada por T (t)x0 = x(t, 0, x0 ) define un semigrupo de operadores. Figueroa López, R. N.; Lozada Cruz, G. J. Atractores globales para problemas parabólicos Introducción Preliminares Semigrupos y órbitas Existencia de atractores para semigrupos Atractor global Referencias bibliográficas Definición (Órbitas) Dados un semigrupo {T (t) : t ∈ T+ }, un punto x ∈ X y B ⊂ X , definimos La órbita positiva de B, es γ + (B) := t∈T+ T (t)B; S La órbita de T (t)B, es γt+ (B) := s∈T+ T (t + s)B. S Definición (ω-limite) El conjunto ω-limite de un subconjunto B de X es definido como sigue \ ω(B) = γt+ (B) = {y ∈ X : ∃ {tn }n∈N ⊂ T+ y {xn }n∈N ⊂ B, t∈T+ n→∞ tal que tn −−−→ ∞ e y = lim T (tn )xn }. n→+∞ Figueroa López, R. N.; Lozada Cruz, G. J. Atractores globales para problemas parabólicos Introducción Preliminares Semigrupos y órbitas Existencia de atractores para semigrupos Atractor global Referencias bibliográficas Semi-distancia de Hausdorff, Atractor Definición (Semi-distancia de Hausdorff) Dados A y B subconjuntos de X definimos la Semi-distancia de Hausdorff como dH (A, B) := sup inf d(x, y ). (2) x∈A y ∈B Observación La distancia usual de conjuntos es dist(A, B) := inf inf d(x, y ), x∈A y ∈B observemos la diferencia con la semi-distancia de Hausdorff. Proposición Sean A y B subconjuntos de X , tal que dH (A, B) = 0. Entonces A ⊆ B. En particular, si B es cerrado, entonces A ⊆ B. Figueroa López, R. N.; Lozada Cruz, G. J. Atractores globales para problemas parabólicos Introducción Preliminares Semigrupos y órbitas Existencia de atractores para semigrupos Atractor global Referencias bibliográficas Definición (Atracción) Sean A y B subconjuntos de X . Decimos que A atrae B bajo la acción del semigrupo {T (t) : t ∈ T+ } si lim dH (T (t)B, A) = 0, o t→∞ equivalentemente, dado  > 0, existe un t1 (, B) ∈ T+ tal que T (t)B ⊂ O (A) para todo t ≥ t1 (, B). Definición (Absorción) Sean A y B subconjuntos de X . Decimos que A absorbe B si existe un t0 ∈ T+ tal que T (t)B ⊂ A, para todo t ≥ t0 . Observación En particular, si A absorbe B, entonces A atrae B (a recı́proca no es verdadera). Figueroa López, R. N.; Lozada Cruz, G. J. Atractores globales para problemas parabólicos Introducción Preliminares Semigrupos y órbitas Existencia de atractores para semigrupos Atractor global Referencias bibliográficas Definición (Invariancia) Diremos que un subconjunto A de X es invariante por el semigrupo {T (t) : t ∈ T+ } si T (t)A = A, para todo t ∈ T+ . Ejemplo Un conjunto unitario formado por un punto de equilibrio x ∗ de {T (t) : t ∈ T+ }, esto es, un punto x ∗ ∈ X tal que T (t)x ∗ = x ∗ , para todo t ∈ T+ , es invariante por {T (t) : t ∈ T+ }. Figueroa López, R. N.; Lozada Cruz, G. J. Atractores globales para problemas parabólicos Introducción Preliminares Semigrupos y órbitas Existencia de atractores para semigrupos Atractor global Referencias bibliográficas Definición (Atractor) Decimos que A ⊂ X es un atractor global para {T (t) : t ∈ T+ } si es compacto, invariante y atrae subconjuntos acotados de X bajo la acción de {T (t) : t ∈ T+ }. Observación El atractor global es único. Con efecto, si A y A∗ son atractores globales para este semigrupo, entonces t→∞ dH (A, A∗ ) = dH (T (t)A, A∗ ) −−−→ 0, y ası́ A ⊂ A∗ . Análogamente A∗ ⊂ A, y la afirmación queda probada. Figueroa López, R. N.; Lozada Cruz, G. J. Atractores globales para problemas parabólicos Introducción Preliminares Semigrupos y órbitas Existencia de atractores para semigrupos Atractor global Referencias bibliográficas Observación Si {T (t) : t ∈ T+ } tiene un atractor A, entonces, dado x ∈ A, existe una solución global limitada φx : T → X tal que φx (0) = x. Recı́procamente, cada solución global limitada φ : Z → X para {T (t) : t ∈ T+ } es tal que φ(T) ⊂ A. Teniendo dicho esto, concluimos que A = {x ∈ X : existe una solución global limitada por x}. Lema Si B es un subconjunto no vacı́o de X tal que γt+0 (B) es compacto, para algún t0 ∈ T+ , entonces ω(B) es no vacı́o, compacto, invariante y ω(B) atrae B. Figueroa López, R. N.; Lozada Cruz, G. J. Atractores globales para problemas parabólicos Introducción Preliminares Semigrupos y órbitas Existencia de atractores para semigrupos Atractor global Referencias bibliográficas Definición (Asintóticamente compacto) Un semigrupo {T (t) : t ∈ T+ } es dicho asintóticamente compacto si, para cualquier subconjunto cerrado, limitado y no vacı́o B ⊂ X , para el cual T (t)B ⊂ B, para todo t ∈ T+ , existe un conjunto compacto J ⊂ B que atrae B. Definición (Eventualmente limitado) Un semigrupo {T (t) : t ∈ T+ } es dicho eventualmente limitado si para cada limitado B ⊂ X , existe tB ∈ T+ tal que γt+B (B) es limitado. Diremos que {T (t) : t ∈ T+ } es limitado, se γ + (B) es limitado siempre que B fuera limitado. Figueroa López, R. N.; Lozada Cruz, G. J. Atractores globales para problemas parabólicos Introducción Preliminares Semigrupos y órbitas Existencia de atractores para semigrupos Atractor global Referencias bibliográficas Definición (Eventualmente compacto) Un semigrupo {T (t) : t ∈ T+ } es dicho eventualmente compacto si dado B ⊂ X limitado existe un tB ∈ T+ tal que T (tB )B é compacto. Definición Diremos que un semigrupo {T (t) : t ∈ T+ } es punto disipativo (limitado disipativo/compacto disipativo) si existe un subconjunto limitado B ⊂ X que atrae puntos (subconjuntos limitados/subconjuntos compactos) de X . Observación En la definición arriba podemos cambiar la palabra atrae por la palabra absorbe sin cambiar los significados de los conceptos. Figueroa López, R. N.; Lozada Cruz, G. J. Atractores globales para problemas parabólicos Introducción Preliminares Semigrupos y órbitas Existencia de atractores para semigrupos Atractor global Referencias bibliográficas Proposición Sea {T (t) : t ∈ T+ } un semigrupo disipativo puntual en Rn , entonces {T (t) : t ∈ T+ } es disipativo limitado. Además tenemos que , para todo  > 0, el conjunto [ B = T (t)N(B, ) 0≤t≤∞ es limitado, positivamente invariante y absorbe cualquier limitado D en algún tiempo t1 (D), donde N(D, ) = {z : z = x + y , x ∈ D, y ∈ B(0, )}. Figueroa López, R. N.; Lozada Cruz, G. J. Atractores globales para problemas parabólicos Introducción Preliminares Atractor para la ecuación de Lorenz y Reacción-Difusión Existencia de atractores para semigrupos Referencias bibliográficas Teorema Un semigrupo {T (t) : t ∈ T+ } es eventualmente limitado, punto disipativo y asintóticamente compacto si y solamente si {T (t) : t ∈ T+ } tiene un atractor global A. Teorema Sea {T (t) : t ∈ T+ } un semigrupo punto disipativo y eventualmente compacto. Entonces {T (t) : t ∈ T+ } tiene un atractor global A. Teorema Si {T (t) : t ∈ T+ } es punto disipativo y B es un conjunto absorbente compacto en el espacio de Hilbert H, entonces existe el atractor global A = ω(B). Si H es conexo entonces A es conexo. Figueroa López, R. N.; Lozada Cruz, G. J. Atractores globales para problemas parabólicos Introducción Preliminares Atractor para la ecuación de Lorenz y Reacción-Difusión Existencia de atractores para semigrupos Referencias bibliográficas Atractor para la ecuación de Lorenz Consideramos la ecuación de Lorenz (predicción del clima)  ẋ = −σx + σy ,  ẏ = rx − y − xz, (3)  ż = xy − bz,  donde σ, r y b constantes positivas. Como los conjuntos limitados en R3 son compactos. De esto, solo precisamos mostrar la existencia de un conjunto absorbente limitado. Con efecto, por la Proposición 2.23, basta ver que existe una cota uniforme para cada solución. Figueroa López, R. N.; Lozada Cruz, G. J. Atractores globales para problemas parabólicos Introducción Preliminares Atractor para la ecuación de Lorenz y Reacción-Difusión Existencia de atractores para semigrupos Referencias bibliográficas Veremos que existe una esfera suficientemente grande centrada en (0, 0, r + σ) que es absorbente. Consideramos V (x, y , z) = x 2 + y 2 + (z − r − σ)2 , derivando con respecto al tiempo dV = −2σx 2 − 2y 2 − 2bz 2 + 2b(r + σ)z (4) dt = −2σx 2 − 2y 2 − b(z − r − σ)2 − bz 2 + b(r + σ)2 (5) 2 ≤ −αV + b(r + σ) , (6) donde α = min(2σ, 2, b). Luego, aplicando a desigualdad de 2 Gronwall, tenemos V (t) ≤ 2b(rα+σ) . Por lo tanto al V (t) ser limitada, u(t) = (x(t), y (t), z(t)) también está limitada, el resultado sigue usando el Teorema 3.3. Este es un ejemplo de atractor en dimensión finita. Figueroa López, R. N.; Lozada Cruz, G. J. Atractores globales para problemas parabólicos Introducción Preliminares Atractor para la ecuación de Lorenz y Reacción-Difusión Existencia de atractores para semigrupos Referencias bibliográficas Atractor para a ecuación de Reacción-Difusión Consideramos la ecuación de Reacción-Difusión  ∂u n  ∂t = ∆u + f (u), Ω ⊂ R ,  u = 0, (7)  u(0, x) = u0 (x),  onde Ω es un dominio regular limitado. f ∈ C 1 (Ω) y −k − α1 |s|p ≤ f (s)s ≤ k − α2 |s|p con p > 2. 0 |f | ≤ l, f (0) = 0, l,α1 ,α2 , k > 0. Figueroa López, R. N.; Lozada Cruz, G. J. Atractores globales para problemas parabólicos Introducción Preliminares Atractor para la ecuación de Lorenz y Reacción-Difusión Existencia de atractores para semigrupos Referencias bibliográficas La ecuación de Reacción-Difusión (7) es un modelo muy usado para predecir ciertos problemas, tales como, formación de padrones biológicos, difusión de un cierto reactivo dentro de un compuesto quı́mico, para los cuales, f tiene una representación especı́fica y es un ejemplo de atractor en dimensión infinita. Denotemos por (L2 (Ω), k.kL2 (Ω) ) = (H, |.|), (H01 (Ω), k.kH 1 (Ω) ) = (V , k.k), 0 (H −1 (Ω), k.kH −1 (Ω) ) = (V ∗ , k.k∗ ). El problema (7) tiene una única solución débil, esto es, dado u0 ∈ H, existe una única solución u ∈ L2 (0, T ; V ), para qualquer T > 0 (ver [3], capı́tulo 8). Luego podemos definir T (t) : V → V , t ≥ 0, dado por T (t)u0 = u(t, u0 ). Figueroa López, R. N.; Lozada Cruz, G. J. Atractores globales para problemas parabólicos Introducción Preliminares Atractor para la ecuación de Lorenz y Reacción-Difusión Existencia de atractores para semigrupos Referencias bibliográficas La estrategia a seguir, es mostrar que el problema (7) posee un conjunto absorbente en el L2 (Ω), luego a partir de él, buscar otro en el H01 (Ω) y usar las inmersiones de Sobolev para tener la compacidad de forma directa. Proposición El problema (7) posee un conjunto absorbente en el L2 (Ω), esto es, existe una constante ρH y un tiempo t0 (|u0 |) tal que la solución u(t, u0 ) = T (t)u0 satisface |u(t)| ≤ ρH , para todo t ≥ t0 (|u0 |). Además, existe una constante IV de forma que Z t+1 ku(s)k2 ds ≤ IV , ∀t ≥ t0 . (8) t Figueroa López, R. N.; Lozada Cruz, G. J. Atractores globales para problemas parabólicos Introducción Preliminares Atractor para la ecuación de Lorenz y Reacción-Difusión Existencia de atractores para semigrupos Referencias bibliográficas Demostración: Escribimos el problema (7) como du + Au = f (u), (9) dt donde el operador laplaciano −∆ =: A. Multiplicando (9) por u y usando las hipótesis para f , obtenemos Z 1d 2 |u| + kuk ≤ (k − α2 |u|p )dx ≤ k|Ω|. 2 (10) 2 dt Ω Usando la desigualdad de Poincaré con el primer autovalor λ1 del laplaciano (ver [4]) em (10), tenemos d 2 |u| + 2λ1 |u|2 ≤ 2k|Ω|. (11) dt Aplicando la desigualdad de Gronwall, resulta k|Ω| |u(t)|2 ≤ |u0 |2 e −2λ1 t + (1 − e −2λ1 t ). (12) λ1 Figueroa López, R. N.; Lozada Cruz, G. J. Atractores globales para problemas parabólicos Introducción Preliminares Atractor para la ecuación de Lorenz y Reacción-Difusión Existencia de atractores para semigrupos Referencias bibliográficas 2 1 |u0 | Si t ≥ t0 (|u0 |) := 2λ1 1 ln λk|Ω| , obtenemos |u(t)|2 ≤ ρ2H = 2k λ1 |Ω|. Para obtener (8), volvemos a (10) e integramos en el intervalo [t, t + 1] con respecto t y sigue Z t+1 1 1 ku(s)k2 ds ≤ k|Ω| + |u(t)|2 ≤ k|Ω| + ρ2H =: IV , (13) t 2 2 para todo t ≥ t0 (|u0 |). Para obtener una cota em V seguimos un procedimiento análogo al anterior; pero necesitamos un resultado previo de cotas superiores. Figueroa López, R. N.; Lozada Cruz, G. J. Atractores globales para problemas parabólicos Introducción Preliminares Atractor para la ecuación de Lorenz y Reacción-Difusión Existencia de atractores para semigrupos Referencias bibliográficas Lema Sea V ⊂ H de forma compacta con dual V ∗ . Supongamos que {un } ⊂ V es uniformemente limitada en el L∞ (0, T ; V ), esto es, ess supt∈[0,T ] kun (t)k ≤ C . Supongamos también que un * u en el L2 (0, T ; V ), entonces ess supt∈[0,T ] ku(t)k ≤ C . Además, si u ∈ C 0 ([0, T ]; H) tenemos que supt∈[0,T ] kun (t)k ≤ C . Proposición El problema (7) tiene un conjunto absorbente en V, esto es, existe una constante ρV y el tiempo t1 (|u0 |) tal que ku(t)k ≤ ρV , para todo t ≥ t1 (|u0 |). Figueroa López, R. N.; Lozada Cruz, G. J. Atractores globales para problemas parabólicos Introducción Preliminares Atractor para la ecuación de Lorenz y Reacción-Difusión Existencia de atractores para semigrupos Referencias bibliográficas Demostración.Al igual como hicimos para (9); pero trabajando con ecuaciones de truncamiento de Galerkin (ver [3]), tenemos ( dun dt + Aun = Pn f (un ) (14) un (0) = Pn u0 , en las cuales un (t) = nj=1 unj (t)wj con wj las autofunciones P asociadas al operador ∆ (∆wj = λj wj ) y Pn f la proyección de la función f en el subespacio generado por {wj}nj=1 . Por la Proposición 3.4, tenemos que |un (t)| ≤ ρH para todo t ≥ t0 (|u0 |) pues |un (0)| ≤ |u0 |. Siguiendo los mismos raciocinios que en la demostración de la proposición usada anteriormente multiplicando por Aun y aplicando la fórmula de Green, resulta 1d kun k2 + |Aun |2 ≤ lkun k2 . (15) 2 dt Figueroa López, R. N.; Lozada Cruz, G. J. Atractores globales para problemas parabólicos Introducción Preliminares Atractor para la ecuación de Lorenz y Reacción-Difusión Existencia de atractores para semigrupos Referencias bibliográficas Integrando con respecto a t com t − 1 ≤ s ≤ t, se tiene Z t kun (t)k2 ≤ 2l kun (ξ)k2 dξ + kun (s)k2 . (16) s Integrando nuevamente; pero en la variable s y aplicando (8), tenemos Z t kun (t)k2 ≤ (2l + 1) kun (s)k2 ds ≤ (2l + 1)[IV ] =: ρ2V , (17) t−1 para todo t ≥ t0 (|u0 |) + 1 =: t1 (|u0 |). Como un * u en el L2 (0, T ; V ) y u ∈ C 0 ([0, T ]; H), por el Lema 3.5 tenemos que ku(t)k ≤ ρV , para todo t ≥ t1 . Figueroa López, R. N.; Lozada Cruz, G. J. Atractores globales para problemas parabólicos Introducción Preliminares Atractor para la ecuación de Lorenz y Reacción-Difusión Existencia de atractores para semigrupos Referencias bibliográficas Teorema El problema (7) posee un atractor global conexo A en el L2 (Ω). Demostración.Aplicando la inmersión compacta de V en el H, tenemos que un conjunto limitado en V es un compacto en el H, aplicando el Teorema 3.3 sigue el resultado, como L2 (Ω) es conexo. Figueroa López, R. N.; Lozada Cruz, G. J. Atractores globales para problemas parabólicos Introducción Preliminares Existencia de atractores para semigrupos Referencias bibliográficas Referencias bibliográficas CHOLEWA, J. W.; DLOTKO, T. Global Attractors in Abstract Parabolic Problems. Cambridge: University Press, 2000. NOLASCO DE CARVALHO, A. Sistemas dinâmicos não-lineares, Notas de aula, ICMC-USP, São Carlos, 2009. ROBINSON, J. C. Infinite-dimensional dynamical systems, Cambridge: Cambridge University Press, 2001. TEMAM, R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. Berlin: Springer Applied Mathematical Sciences, Volume 68, 1988. Figueroa López, R. N.; Lozada Cruz, G. J. Atractores globales para problemas parabólicos